习题 14, § 4

设 $P$ 为素数数的集合。如果整数$n$是$\neq 0$并且它的所有质数因子属于到$P$，则称为$P$整数。如果存在$P$-整数$n$使得$x^n = e$，元素$x \in G$称为$P$-扭力元素；如果 G 的每个元素都是 P 扭转元素，$G$ 称为 $P$ 扭转（或无 P 扭转）群（或者，如果除了 e 之外，G 中没有元素是 P 扭转元素）。如果对于所有 $x \in G$ 和每个 P 整数 $n$，存在 $y \in G$ 使得 $x = y^n$，G 称为 P-整除。

假设 G 是幂零的。

(a) 令 H 为 G 的子群，并令 $H_P$ 为 $x \in G$ 的集合，使得存在一个 P 整数$n$，其$x^n \in H$。证明 $H_P$ 是 G 的子群（使用习题 12）并且$(H_P)_P = H_P$。 群 $H_P$ 称为 G 中 H 的 P 饱和度。如果 G 是 P 整除的，则 $H_P$ 也是 P 整除的。

(b) 设L为H的正规子群。证明$L_P$在$H_P$中是正规的。 （用习题 13 (c)证明，如果$g \in H_P$和$l \in L$，则$glg^{-1} \in L_P$。）

特别是，如果 L 在 G 中是正规的，那么 $L_P$ 也是正规的，$G/L_P$ 是无 P 扭转的。推断 G 的 P 扭转元素的集合是 G 的最小的法向子群 N，使得 $G/N$ 无 P 扭转。

(c) 假设 G 是无 P 扭转的。令 $n$ 为 P 整数，并令 $x, y \in G$ 满足 $x^n = y^n$。证明$x = y$。 （将习题 10 (a) 与 $r = s = n$ 结合使用。推导出存在一个 P 整数 N，使得 $(x, y)^N = e$、从而 $(x, y) = e$，因为 G 是 P-无扭的；然后$(x^{-1}y)^n = e$、从而最后$x = y$。）

(d) 令H为G的子群，令L为幂零群，令$f : H \to L$为同态。 令$\Gamma$为$f$在$H \times L$中的图，令$\Gamma_P$为其在$G \times L$中的P饱和度。 Show that $\Gamma_P$ is contained in $H_P \times L$ and that $\operatorname{pr}_1 : \Gamma_P \to H_P$ is surjective if L is P-divisible and injective if L is P-torsion-free.

假设 L 是 P-整除且 P-无扭的。证明$f$可以唯一地扩展到同态$f_P : H_P \to L$并且$f_P$的图是$\Gamma_P$。