习题 20, § 10

a) 令X为非空紧致空间，并在X上R a Hausdorff等价关系。证明当且仅当关系 R 开时，$X/R$ 在空间 $\mathfrak{P}_0(X)$ 和拓扑 $\mathfrak{T}_\Theta$ (§ 8, 习题 12) 中闭合。 [用§ 9的习题13和§ 3的习题16来表明，如果$X/R$在拓扑$\mathfrak{T}_\Theta$中的$\mathfrak{P}_0(X)$闭，则$X/R$上的商拓扑重合与$\mathfrak{T}_\Theta$诱导的，然后应用§ 5的习题7。反之，如果R是开路，则用§ 8的习题29来证明$X/R$相对于$\mathfrak{T}_\Theta$是闭的]。

b) 令 X 为点 $(1/n, y)$ 的实平面 $\mathbf{R}^2$ 由……组成的局部紧凑子空间，其中 n 为整数 > 0 且 $-1 \leq y \leq 1$，且点 $(0, y)$ 其中任一$-1 \leq y < 0$ 或$0 < y \leq 1$ 或$y = 2$。令$p$为$pr_1$至X中的限制，且R等价关系与$p$相关联。证明 R 既不是开也不是闭，但是 $X/R$ 是紧的，并且在拓扑 $\mathfrak{T}_\Theta$ 中的 $\mathfrak{P}_0(X)$ 中是闭的。 \

(*) 如果局部紧致空间 X 不是 $\sigma$ 紧致，则X 上的等价关系 R 可能是闭集[并且 更不必说 有一个闭图 (§ 8, no. 6, 命题 14)]，但 $X/R$不是 Hausdorff [cf. 章 IX, § 4, 习题 9 b) 和 14]。