习题 16, § 1

令 $(W, S)$ 为 Coxeter 系统。对于$s \in S$，用W的$W^{(s)}$子群$W_{S-\{s\}}$表示，对于$w \in W$和$s \in S$用形式$w W^{(s)}$W的子集A集合表示，并且用$\mathscr{C}$表示A 的集合的子集的形式 $C_w = \{ w W^{(s)} \mid s \in S \}$ 的$w \in W$，我们称之为 A 的腔室（练习 15）。

a) 证明映射$w \mapsto C_w$是从W到$\mathscr{C}$的双射。

b) 证明两个不同的房间$C_w$和$C_{w'}$相邻当且仅当存在$s \in S$使得$w' = ws$。推论A（与$\mathscr{C}$一起）是一个公寓（练习15），我们称之为$(W, S)$的公寓。证明末端为 $C_w$ 和 $C_{w'}$ 的最小画廊的长度等于 $l_S(w^{-1} w')$。

c) 令$\mathscr{F}$为A的面的集合，并令$F \in \mathscr{F}$。证明 S 存在唯一的子集 X 和元素 $w \in W$，使得 $w W_X = \bigcap_{i \in F} i$。那么 F 被称为型 X。证明 F 的余维等于 X 的基数。对于$w \in W$和$X \subset S$，表明从$\mathscr{F}$到形式$w W_X$W子集集合，映射$j : F \mapsto \bigcap_{i \in F} i$为严格递减双射(关于包含)。证明型 X 包含的每个方面对于每个 Y 都是型 Y 的唯一方面，使得 $X \subset Y \subset S$。

d) 令 W 作用于 A 为左平移，并设 C = C_e。证明 W 在 $\mathscr{C}$ 上是简单传递的。设 $C_1, \ldots, C_n$ 为 A 的室。证明以下条件是等价的：

(i) 序列 $\Gamma = (C_0 = C, C_1, \ldots, C_n)$ 是一个单射画廊；

(ii) S 的元素存在序列 $s = (s_1, \ldots, s_n)$，使得 $1 \leq j \leq n$ 具有$C_j = t_j(C_{j-1})$，其中 $t_j$ 是no. 4、公式 (11) 中定义的$\Phi(s)$ 的元素。

证明如果满足这些条件，则序列-s 是唯一的且$C_n = s_1 \ldots s_n(C)$。证明当且仅当序列 $s(\Gamma) = s$ 是$w = s_1 \ldots s_n$ 的分解缩减时，$\Gamma$ 是最小的。

e) 令 T 为 S 的共轭的并。 对于$t \in T$，t下A不变量的点的集合$L_t$称为t定义的墙。 证明$L_t$是并个面板，并且当且仅当$j(F)$是形式$wW_{\{s\}}$和$t = wsw^{-1}$时，面板F包含在$L_t$中。 推出，对于任意面板F，都存在唯一元素$t = t(F) \in T$，使得$F \subset L_t$：$L_t$称为F的支持度。

证明如果$w(L_t) = L_t$（对于$w \in W$），则$w = 1$或$w = t$。

f) 设 $w', w'' \in W$。放置 $C' = w'(C), C'' = w''(C)$ 并设 $\Gamma = (C_0 = C', C_1, \ldots, C_n = C'')$ 为一个单射画廊，其端点为 $C'$ 和 $C''$。令 $t_j$ 为 T 的元素，定义面板 $C_j \cap C_{j-1}$ 的支撑壁（对于 $1 \leq j \leq n$）。证明序列 $\Psi(T) = ({w'}^{-1}t_jw')_{1 \leq j \leq n}$ 重合和序列 $\Phi(s({w'}^{-1}(\Gamma)))$。对于$t \in T$，令$n(\Gamma, t)$为${w'}^{-1}tw'$出现在$\Psi(\Gamma)$的次数的数。从no. 4的引理 1 推导出数$(-1)^{n(\Gamma, t)}$仅取决于$C'$和$C''$，而不取决于$\Gamma$：我们将其表示为$\eta(C', C'', t)$。证明关系 $\eta(C', C'', t) = 1$ 是 $C'$ 和 $C''$ 之间的等价关系，其中两个等价类已被 t 置换。用 $\mathscr{C}^+(t)$ 等价类包含 C 表示，另一个用 $\mathscr{C}^-(t)$ 表示。

证明，对于 $w \in W$ 和 $s \in S$，腔室 $w(C)$ 属于到 $\mathscr{C}^+(s)$ 当且仅当 $l(sw) > l(w)$。

g) 令$A^+(t)$（或$A^-(t)$）为属于至$\mathscr{C}^+(t)$（或$\mathscr{C}^-(t)$）腔室的并（对于$t \in T$）。显示$A^+(t) \cap A^-(t) = L_t$。 （为了证明$A^+(t) \cap A^-(t) \subset L_t$，约化对应于$t \in S$。如果$a \in A^+(t) \cap A^-(t)$，则将$a = wW^{(s)}$与$s \in S$和$w$进行（$\varnothing, S - \{s\}$）约简（练习3）。如果$w(C) \in \Sigma^-(t)$，则$l(tw) < l(w)$和$w = ts_1 \ldots s_q$以及$s_j \in S$和$l(w) = q + 1$。从$a \in A^-(t)$开始，存在$x \in W^{(s)}$使得$wx(C) \in \mathscr{C}^+(t)$。

但从$twx = s_1 \ldots s_q x$开始，这是一个矛盾。因此，$w(C) \in \mathscr{C}^+(t)$和$l(tw) = 1 + l(w)$。如果$x \in W^{(s)}$使得$l(twx) < l(wx)$，则从Exerc中推导出来。 1 $twx = wx'$ 与$x' \in W^{(s)}$，因此$ta = a$ 和$a \in L_t$。

8 设 H 为群，E 为 H 作用的非空集合。如果对于所有 $x \in E$，从 H 到 E 的映射 $h \mapsto h.x$ 是双射，则 H 被称为简单传递于 E；则 E 被称为 H 的主齐次集合。

子集 $A^+(t)$ 和$A^-(t)$ 称为$A$ 的一半，由墙$L_t$ 决定。 $A$ 中的两个点被认为位于$L_t$ 的同一侧（或严格地位于相对侧），如果它们属于（或不同时为属于）到两半之一。任何面都包含在由 $L_t$ 确定的一半中。如果两个面包含在不同的半部中，则称它们位于 $L_t$ 的相对侧，或者相距 $L_t$。

h) 令$w \in W$。证明$l(w)$ 等于$C$ 和$w(C)$ 之间的墙的数。

i) 证明将$A^+(t)$（或$A^-(t)$）的一半到$(1, t)$（或$(-1, t)$）的映射$\varphi$是从$A$的一半的集合$\mathscr{M}$到双射集合$R = \{1, -1\} \times T$（cf.no. 4）。用记号 of 引理 1 of no. 4，证明 $\varphi(w(M)) = U_w(\varphi(M))$ 对于所有 $w \in W$ 和 $M \in \mathscr{M}$。