命题索引

被引用最多的命题

1. 定理 1 INT IV § 5 令X为局部紧凑空间，μ拓扑空间，F = ∏ₙ Fₙ其乘积的X，(Fₙ)序列的测度。对于每个指标 n，令fₙ是X到Fₙ的可测量映射，并令f(x) = (fₙ(x)) ∈ F；那么，对于 f(X) 的每个连续映射 u 到拓扑空间 G，函数 x ↦ u(f(x)) 是可测量的。 ↩ 26 08UR
2. 定理 1 TG I § 2 设f是拓扑空间X到拓扑空间X'的映射。那么下面的叙述是等价的： ↩ 25 0B05
3. 定理 2（勒贝格-尼科迪姆） INT V § 5 — 令μ和ν为T的两个积极措施。以下属性是等效的： ↩ 20 092Y
4. 定理 1 TG I § 10 令f : X → Y为连续的映射。那么下面四个叙述是等价的： ↩ 19 0BAE
5. 引理 1 INT III § 1 令X为局部紧致空间，K为X的紧致子集，(Vₖ)_1 ≤ k ≤ n为X的开集合对K的有限覆盖。那么，X存在n连续的映射fₖ进入[0, 1]，使得fₖ的支持度包含在Vₖ中，对于1 ≤ k ≤ n，∑ₖ₌₁ⁿ fₖ(x) ≤ 1对于所有x ∈ X， ∑ₖ₌₁ⁿ fₖ(x) = 1 对于所有x ∈ K。 ↩ 19 08L8
6. 定理 1 INT III § 4 — 令X和Y为两个局部紧致空间，λ对X的测度，μ对Y的测度；在X × Y上存在且仅有一个测度ν，使得对于每一个函数 g ∈ K(X; C) 和每一个函数 h ∈ K(Y; C)， ↩ 19 08O8
7. 命题 4 A II § 2 令 P 为 A-模。以下属性是等效的： ↩ 18 05N5
8. 定理 5 INT IV § 5 — 在阶 X 的映射 f 转化为 Banach 空间 F 是第 p 个幂可积 (1 ≤ p < +∞) 时，f 可测且 Nₚ(f) 有限是充分必要的。 ↩ 18 08VI
9. 定理 2 TG I § 9 如果f是拟紧空间X到拓扑空间X'的连续映射，则集合f(X)是拟紧的。 ↩ 17 0B8C
10. 命题 4 A II § 3 如果E是右A-模块，E到E ⊗_A (sA_d)的映射h : x ↦ x ⊗ 1是右A-模块同构，其逆同构g是这样的g(x ⊗ λ) = xλ x ∈ E, λ ∈ A。 ↩ 16 05P0
11. 定理 1 A VIII § 3 令 K 为代数闭交换域、A K-代数和 M 单A-模。假设 M 的维数作为 K 上的向量空间是有限的，或者更一般地，严格小于 K 的基数。则 A-模 M 的自同态环由同位α_M 与 α ∈ K 组成。 ↩ 16 003E
12. 命题 2 TG I § 8 令f, g为拓扑空间X的两个连续的映射变为豪斯多夫空间Y；那么所有x ∈ X中的集合使得f(x) = g(x)在X中闭合。 ↩ 16 0B68
13. 定理 1 AC II § 2 环S⁻¹A是一个扁平的A模块（章I, § 2, no. 1，定义2）。 ↩ 16 0465
14. 命题 11 AC II § 2 设 A 为环，S 为 A 的乘法子集。对于 S^{-1}A 的每个理想 b'，令 b = (iA^S)^{-1}(b') 使得 b' = S^{-1}b。 ↩ 16 0469
15. 定理 4 A I § 4 设 G 为群且有运算符，N 为 G 的正常稳定子群。 ↩ 15 059C
16. 命题 7 A II § 3 典范映射 (23) 是双射的。 ↩ 15 05PA
17. 定理 7 A II § 7 设 E 为域 K 上的向量空间，E 的 F 子空间，F' 为 E 中 F 的正交。 ↩ 15 05SI
18. 命题 5 TG I § 10 令f : X → X'和g : X' → X''为两个连续的映射。 a) 如果f和g是正确的，那么g ∘ f是正确的。 b) 如果 g ∘ f 是真且 f 是满射，则 g 是真。 c) 如果 g ∘ f 是正确的并且 g 是单射的，那么 f 是正确的。 d) 如果 g ∘ f 是正确的且 X' 是 Hausdorff，则 f 是正确的。 ↩ 15 0BA7
19. 命题 2 INT IX § 1 a) 令 w 为正预测值。对于 T 的每个紧凑子集 K，w^bullet 在 K 上引起的负担 (w^bullet)_K 等于 (w_K)^bullet。对于每一个函数 f ∈ F₊(T)，一个人有关系 (w_K)^bullet(f_K) = w^bullet(f_φ_K) 并且 ↩ 15 09MU
20. 定理 1 AC II § 5 设A为环和P一个A-模块。 以下属性是等效的： ↩ 15 04BJ
21. 定理 1 AC V § 2 令h : A → A'为单射环同态，使得A是A的积分，并且p是A的素理想。存在A'的素理想p'位于p之上。 ↩ 15 04PR
22. 命题 1 A V § 9 — 令 E 为 Ω 中包含的 K 的扩张，u 为 E 到 Ω 的 K 同态。 ↩ 14 06LK
23. 定理 1 A VIII § 6 设 A 和 B 为 K-代数，P 为 (A, B)ₖ 双模。用 P^* 表示 (B, A)ₖ-双模 Hom_A(P, Aₛ)。以下属性是等效的： ↩ 14 0072
24. 定理 1 A VIII § 14 设 A 为有限次数的 K-代数。以下属性是等效的： ↩ 14 00GJ
25. 命题 15 INT IV § 5 令X为局部紧凑空间，μ为X的测度，A为X的μ可测子集，以及f映射 A 变为拓扑空间 F。以下条件是等效的： ↩ 14 08VZ
26. 定理 2 LIE VI § 1 (i) 群 W(R) 简单传递作用于室的集合。 ↩ 14 0AUV
27. 定理 2 A V § 3 — 令 E 为 K 的有限生成的扩张，由元素 a₁, ..., aₘ 生成，它们是 K 上的代数；则 E 是 K 的有限次数扩张。如果 aᵢ 次数超过 K(a₁, a₂, ..., aᵢ₋₁) 是 nᵢ（对于 1 ≤ i ≤ m），则 E 的次数超过 K 是 n₁ n₂ ... nₘ 和元素 E 比 K 的a₁^v₁ a₂^v₂ ... aₘ^vₘ (0 ≤… ↩ 13 06HS
28. 定理 1（韦德伯恩） A VIII § 7 环是简单的当且仅当它与矩阵环 Mᵣ(D) 同构的，其中 rgeqslant 1 是整数且 D 域。 ↩ 13 00S3
29. 命题 1 TG I § 8 设X为拓扑空间。那么下面的叙述是等价的： ↩ 13 0B65
30. 命题 2 INT V § 5 令θ为复数测度，u为局部θ可积复数函数；那么 ↩ 13 092G
31. 命题 1 LIE VIII § 6 令V为𝔤模块，v为V的原语元素，以及ω权为v。假设 V 由 v 作为 𝔤 模块生成。 ↩ 13 012O
32. 定理 1 A VII § 4 — 令L为主理想整环A之上的自由模，并令M为有限秩n的L子模。那么存在L的基B、B的n元素eᵢ以及A(1 ≤ i ≤ n)的n非零元素αᵢ这样： a) M中的αᵢ eᵢ形式基； b) aᵢ 除 αᵢ₋₁，对于 1 ≤ i ≤ n-1。 ↩ 12 073T
33. 定理 1 INT IV § 1 令H为J₊中函数的非空集合，指向关系≤。对于X上的每一项积极措施μ， μ^*( sup_g ∈ H g ) = sup_g ∈ H μ^*(g) = lim_g ∈ H μ^*(g). ↩ 12 08P7
34. 命题 4 INT V § 2 — 令μ为局部紧致空间T的正测度，并令𝔎为T的紧致子集的μ密集集合。在T上存在一个正测度的可和族(μ_α)_α ∈ A，使得μ = ∑_α ∈ A μ_α，并且使得测度μ_α属于到𝔎和形式的支持是成对的不相交的紧集的局部可数族。 ↩ 12 090Q
35. 命题 1 AC I § 3 令E为右A模。以下四个属性是等效的： ↩ 12 0444
36. 命题 2 AC II § 2 令A, B从A到B为A、B的T子集和f同态两个环、S子集这样那个f(S) ⊂ T。从A[S⁻¹]到B[T⁻¹]存在唯一同态f'，使得f'(a/1) = f(a)/1对于所有a ∈ A。 ↩ 12 045N
37. 命题 2 AC V § 1 令A, A'为两个环、R一个A代数、R一个A'代数（不一定可交换）以及f : A → A'和g : R → R'两个环同态，使得图表 ↩ 12 04N0
38. 命题 1 AC V § 2 令h : A → A'为环同态，使得A'是A的积分，𝔭'是A'和𝔭 = h⁻¹(𝔭')的素理想。为了使𝔭极大，𝔭'为最大是必要且充分的。 ↩ 12 04PL
39. 定理 2 LIE IX § 2 令 G 为连通的紧李群。 ↩ 12 01A2
40. 定理 2（“佐恩的引理”） E III § 2 — 每个订购集合的电感都有极大元素。 ↩ 11 03QT
41. 命题 2 E III § 4 令n为整数。那么每个基数α使得α ≤ n是整数。如果n ≠ 0，则存在唯一的整数m，使得n = m + 1，并且关系α < n相当于α ≤ m。 ↩ 11 03RB
42. 引理 1 E III § 7 设(E_α, f_βα)为集合的直接系统，E = varinjlim E_α其直极限，并且对于每个α ∈ I让f_α colon E_α → E典范映射。 ↩ 11 03OK
43. 命题 6 A II § 1 让(Eᵢ)_i ∈ I成为A-模、MA-模的一个家庭，并且对于所有i ∈ I，让fᵢ : Eᵢ → M成为线性映射。 那么存在且仅有一个线性映射 g : ⨁_i ∈ I Eᵢ → M 这样，对于所有 i ∈ I： ↩ 11 05K7
44. 推论 3 A II § 1 让E成为E、F一个A-模块的自由A-模块、(aₜ)_t ∈ T基和(bₜ)_t ∈ TF的元素家族。 存在且仅有一个线性映射 f : E → F 这样 f(aₜ) = bₜ for all t ∈ T. 对于 f 成为单射（或满射），必要且充分的是 (bₜ) 成为 F（或 F的生成的系统）中的自由家庭。 ↩ 11 05LG
45. 命题 25 A II § 1 令A, B为两个环、ρ : B → A、环、同态和E一个A模块。令(α_λ)_λ ∈ L为生成的系统（分别为元素、基的自由族），将A视为左B模块。令(a_μ)_μ ∈ M为A模块E的生成的系统（分别为元素、基的自由族）。那么(α_λ a_μ)_(λ, μ) ∈ L × M是B-模块ρ_*(E)的生成的系统（分别是（当ρ是单射时）元素、基的自由族）。 ↩ 11 05LX
46. 定理 2 A II § 7 给定向量空间 E 的生成的系统 S 在域 K 上，并且 S 中包含 E 的自由子集 L，则存在 E 的基 B，使得 L ⊂ B ⊂ S。 ↩ 11 05RJ
47. 命题 1 A VIII § 10 设 A 为左阿廷的环。 A 的根式𝔯是A的最大的幂幂双面理想，环A/𝔯是半单。 ↩ 11 00C5
48. 命题 4 TG I § 2 令X为集合，令(Yᵢ)_i ∈ I为空间的拓扑族，对于每个i ∈ I，令fᵢ为X到Yᵢ的映射。 Let S be the set of subsets of X of the form overlinefᵢ⁻¹(Uᵢ) (i ∈ I, Uᵢ open in Yᵢ), and let 𝔅 be the set of finite intersections o… ↩ 11 0B0I
49. 命题 1 TG I § 4 Let f = (fᵢ) be a mapping of a topological space Y into a product space X = ∏_i ∈ I Xᵢ. 那么f在点a ∈ Y连续当且仅当fᵢ对于每个i ∈ I在a连续。 ↩ 11 0B29
50. 命题 4 TG I § 11 令A为拓扑空间X的连通子集，并令f为X到拓扑空间X'的连续映射。然后f(A)已连接。 ↩ 11 0BBQ
51. 定理 2 INT V § 4 设 (π, g) 为μ适应的对，并设 ν = ∫ g(t) ε_π(t) dμ(t). 让f定义为函数在X，与值在Banach空间F或在overlineR。 对于 f 本质上ν可积， t ↦ f(π(t))g(t) 本质上μ可积是必要且充分的，在这种情况下 ∫ f(x) dν(x) = ∫ f(π(t))g(t) dμ(t). 此外，假设 π 是连续且正确的… ↩ 11 0929
52. 引理 1 AC I § 2 令M' xrightarrowv M xrightarroww M'' → 0为左A-模和E右A-模的正合序列。然后序列 ↩ 11 042F
53. 定理 1 AC II § 3 设 M, N 为两个A-模，u : M → N一个A同态，并且对于所有 m ∈ Ω，让 uₘ : M, → Nₘ 为相应的 Aₘ-同态 (§ 2, no. 2， 注5)。 对于 u 是单射（分别是满射、双射、零），对于所有 m ∈ Ω、uₘ 是单射（分别是满射、双射、零）是必要且充分的。 ↩ 11 048A
54. 命题 21 A II § 1 每正合序列共A-模 ↩ 10 05LM
55. 推论 1 A V § 3 — 设 E 为 K 的扩张和 A 子集的 E 由……组成的元素，它们是 K 上的代数。然后 K(A) 是 K 上的代数，我们有 K[A] = K(A)。 ↩ 10 06HT
56. 定理 1（雅各布森） A VIII § 9 环的根 A 由元素 x∈ A 组成，使得对于每个 a∈ A，1 +ax 是可逆的（I, §2, No. 3，p. 15）。它也是最大的双面理想𝔞，使得1 +x对于每个x∈ 𝔞都是可逆的。 A 的包含左零理想的根式。 ↩ 10 00S5
57. 命题 3 A VIII § 14 设 A 为有限次数的中心单K-代数，并令 L 为 A 的半单交换子代数。以下性质是等效的： ↩ 10 00H2
58. 推论 1（原理 / 扩张恒等式） TG I § 8 设f, g是拓扑空间X到Hausdorff空间Y的两个连续的映射。如果 f(x) = g(x) 是 X 的密集子集的点，则 f = g。 ↩ 10 0B69
59. 引理 2 TG III § 2 如果拓扑群 G 在拓扑空间 X 上连续运行，则等价关系 R 由 G 定义为开。 ↩ 10 0BI4
60. 定理 4 INT IV § 4 — 为了使集合 A 可积，对于每个 ε > 0，存在可积开集合 G 和紧集 K 是必要且充分的，使得 K ⊂ A ⊂ G 和 |μ|(G - K) = |μ|(G) - |μ|(K) ≤ ε. ↩ 10 08SY
61. 命题 7 INT IV § 5 设f为X可测量的映射到拓扑空间F； F 中每个关闭（或打开）集合的f 下的逆像是可测量的。 ↩ 10 08V6
62. 定理 1 INT V § 3 — 设 f 为函数，其中值在 Banach 空间 F 或 overlineR 中，并令 H 为 t ∈ T 的集合，其中f 不是λₜ-可积。 ↩ 10 0919
63. 命题 3 INT V § 5 对于 T 上定义的每个数字函数 f geqslant 0， ↩ 10 092J
64. 推论 2 INT V § 5 设u₁和u₂是两个局部θ可积复数函数。在阶和 u₁ · θ = u₂ · θ 中，u₁ 和 u₂ 几乎处处局部相等是必要且充分的。 ↩ 10 092L
65. 定理 1 INT V § 5 令 f 为 T 上定义的函数，其中值在 Banach 空间 F 或overlineR 中。在阶中，f对于测度η = u · θ本质上可积，uf本质上θ可积是必要且充分的，在这种情况下 ↩ 10 092P
66. 命题 2 AC I § 1 假设在交换律中图表 (10) 序列 (u, v) 和 (u', u') 是精确的。然后： ↩ 10 0424
67. 命题 4 AC V § 1 令A为环，R为A代数（不一定可交换），(xᵢ)_1 ≤ i ≤ n为R的元素的有限族，它们是成对可置换的。如果对于所有 i，xᵢ 是 A[x₁, …, xᵢ₋₁] 的积分（特别是如果所有 xᵢ 是 A 的积分），则 R 的子代数 A[x₁, …, xₙ] 是有限生成的 A 模。 ↩ 10 04N5
68. 定理 1 LIE I § 5 设 g 为李代数，r 为其根式，s 为幂零根式。然后s = Dg ∩ r。 ↩ 10 09YA
69. 定理 4 LIE I § 6 令g为李代数，r其部首，g、g' = ρ(g)和r' = ρ(r)的ρ有限维表示。那么下面的条件是等价的： (a) ρ 为半单； (b) g' 是还原性的，其中心由半单自同态组成； (c) r' 由半单自同态组成； (d) ρ至r中的限制为半单。 ↩ 10 0A02
70. 定理 1 LIE VII § 3 假设 k 是代数闭的。令𝔤为李代数。 群 E 在 Aut(𝔤) 中是正规的，并且在 𝔤 的嘉当子代数的集合上传递操作。 ↩ 10 00V8
71. 定理 1 LIE VIII § 8 令I(𝔤^*)为𝔤上不变多项式函数的代数。设i:S(𝔤^*)→ S(𝔥^*)为限制同态。 ↩ 10 015A
72. 定理 3 E III § 2 设E和F为两个良序集。那么以下两个叙述至少有一个为真： ↩ 9 03K6
73. 命题 15 A II § 1 给定 A 模块中的正合序列 (33) 0 longrightarrow E xrightarrowf F xrightarrowg G longrightarrow 0 以下命题等效： (a) F中的子模f(E)为直因子。 (b) 存在与f相关的线性回缩r : F → E（集合理论，II, § 3, no. 8，定义11）。 (c) 存在与g相关的线性截面s… ↩ 9 05KZ
74. 推论 1 A II § 3 如果左A-模块F承认基(b_μ)_μ ∈ M，则E ⊗_A F的每个元素都可以唯一地写在形式∑_μ (x_μ ⊗ b_μ)中，其中x_μ ∈ E和族(x_μ)有有限支撑。 Z-模块 E ⊗_A F 与 E⁽ᴹ⁾ 同构的，被视为 Z-模块。 ↩ 9 05PB
75. 推论 2 A II § 3 如果 E 和 F 是交换环 C 上的两个自由模，且 (aλ)（分别为 (bμ)）是 C 模块 E（分别为 F）的基，则 (aλ ⊗ bμ) 是 C 模块 E 的基 ⊗C F. ↩ 9 05PC
76. 命题 2 A II § 5 令ρ : A → B,\ σ : B → C为环同态。对于每一个左A-模 E，存在且仅有一个C-同态 ↩ 9 05QG
77. 命题 4 A II § 5 设E为A-模，承认基(a_λ)_λ ∈ L； 如果φ : x ↦ 1 ⊗ x是E的典范映射到ρ^*(E)，那么(φ(a_λ))_λ ∈ L是ρ^*(E)的基。 如果 ρ 是单射的，那么 φ 也是。 ↩ 9 05QI
78. 命题 14 A II § 7 给定正合序列 ↩ 9 05SY
79. 定理 2（斯坦尼茨） A V § 4 — 令K为域；那么存在K的代数闭包。如果Ω和Ω'是K的两个代数闭包，则存在Ω到Ω'的K同构。 ↩ 9 06IS
80. 定理 2 A VIII § 16 设G为有限群，并令L为有限次数的交换K-代数，赋予G的作用，由单同态λ从G到Aut_K(L)给出。那么以下属性是等效的： ↩ 9 00J1
81. 推论 1 TG I § 9 设f是拓扑空间X到豪斯多夫空间X'的连续映射。那么 X 中任意拟紧（或相对准紧）集合 f 下的像是 X' 中的紧（或相对紧）集合。 ↩ 9 0B8D
82. 推论 2 TG I § 9 准紧空间 X 到 Hausdorff 空间 X' 的每个连续映射 f 都是闭集。如果 f 也是双射，那么 f 是同胚。 ↩ 9 0B8E
83. 命题 2 TG I § 10 令f : X → Y为连续的单射。那么下面三个叙述是等价的： a) f 是正确的。 b) f 关闭。 c) f 是 X 到 Y 的闭子集的同胚。 ↩ 9 0BA4
84. 推论 1 TG III § 4 如果 A 是 X 的闭（或紧）子集，则 K.A 在 X 中是闭的（如果 X 是 Hausdorff，则又是紧）。 ↩ 9 0BKV
85. 命题 3 INT III § 4 让λ ∈ M(X; C),\ μ ∈ M(Y; C)。然后 ↩ 9 08OI
86. 命题 5 INT V § 3 设 f 为 X 上定义的 ν 可测量正数值函数，并令 N 为 t ∈ T 的集合，使得 f 不能同时为 λₜ 可测量和 λₜ 调节。 ↩ 9 0917
87. 定理 1 INT V § 6 — 设 f 是在 X 上定义的函数，其中值在 overlineR 或 Banach 空间 F 中。 为了使 f 本质上 ν 可积，f ∘ π 本质上 μ 可积是必要且充分的，在这种情况下 ↩ 9 094Y
88. 命题 8 INT VI § 1 设μ为T上的有界正测度，S a μ可测集合将T的μ、f a μ可测映射带入F，使得f(S)包含在F的完整、有界、平衡凸子集 B中。那么，f是标量 μ 可积且 ∫ f dμ ∈ μ(T)B ⊂ F. ↩ 9 098S
89. 命题 8 INT IX § 2 设T和X为T到X的两个拓扑空间、π映射。 ↩ 9 09P1
90. 命题 1 AC I § 2 设E为右A-模。以下三个属性是等效的： ↩ 9 042L
91. 例 3 AC III § 2 更一般地，令 A 为交换环，b A 的理想值，并且A 被赋予b-adic 过滤。如果我们写B=gr₀(A)，F=gr₁(A)=b/b²，我们知道（代数，章III），B模块F的恒等映射可以从对称唯一地扩展到同态u F 的代数 S(F) 到 B-代数 gr(A)；从 gr(A) 的定义可以得出，u 是分级代数 的 满同态；对于n≥1，grₙ(A)的每元素是类和模… ↩ 9 04DM
92. 命题 3 AC IV § 1 令A为环，M为A模，N为N的子模。然后 Ass(N) ⊂ Ass(M) ⊂ Ass(N) ∪ Ass(M/N). 包含Ass(N) ⊂ Ass(M)是明显的。设p ∈ Ass(M)、E为M的子模，与A/p和F = E ∩ N同构的。如果F = 0、E同构于M/N、从而p ∈ Ass(M/N)的子模。如果F ≠ 0，则F的每一个元素≠ 0的湮没子是p（命题1）… ↩ 9 04JD
93. 定理 2 AC V § 2 令A'为环，G有限群对G的不变量A'和A环进行运算，使得A'在A上积分（§ 1, no. 9， 命题22). ↩ 9 04Q2
94. 命题 1 LIE I § 6 令g为半单李代数且φ为g的有限维忠实表示。那么与φ相关的g上的双线性形式是非简并的。 ↩ 9 09ZE
95. 命题 2 LIE VII § 1 令V,V',W为向量空间。令 r : S → End(V)、r': S→ End(V') 和 q: S→ End(W) 为映射。 ↩ 9 00SK
96. 命题 10 LIE VII § 1 令𝔤为李代数，𝔥是𝔤的幂零子代数。用从𝔥到k的映射的P集合来表示。 ↩ 9 00T0
97. 推论 LIE VIII § 1 令 E 为有限维 𝔰𝔩(2, k) 模。 ↩ 9 00Y0
98. 推论 1 LIE IX § 1 令 G 为连通的紧李群。那么C(G)₀就是环面，D(G)是一个连通紧致半单李群，而态射(x, y) → xy从C(G)₀× D(G)到G是一个有限覆盖。 ↩ 9 019J
99. 命题 6 E III § 7 设I为有向集合，让(E_α, f_βα)为集合相对于I的直接系统，让E = varinjlim E_α为直极限，并且对于每个α ∈ I让 ↩ 8 03RR
100. 定理 2 A I § 8 令A为环，且a为A的双面理想。 (a) A 到A/a 的典范映射 π 是环同态。 (b) 设B为环，并将A的f同态代入B。如果f(a) = 0，则A/a到B中存在且仅有一个同态barf使得f = barf ∘ π。 ↩ 8 05HI