Index des énoncés

Énoncés les plus cités

1. Théorème 1 INT IV § 5 Soient X un espace localement compact, μ une mesure sur X, (Fₙ) une suite d’espaces topologiques, F = ∏ₙ Fₙ leur produit. Pour chaque indice n, soit fₙ une application mesurable de… ↩ 26 08UR
2. Théorème 1 TG I § 2 Soit f une application d’un espace topologique X dans un espace topologique X'; les propriétés suivantes sont équivalentes: a) f est continue dans X; b) pour tout partie A de X, f(… ↩ 25 0B05
3. Théorème 2 (Lebesgue–Nikodym) INT V § 5 Soient μ et ν deux mesures positives sur T. Les propriétés suivantes sont équivalentes: ↩ 20 092Y
4. Théorème 1 TG I § 10 Soit f : X → Y une application continue. Les quatre propriétés suivantes sont équivalentes: ↩ 19 0BAE
5. Lemme 1 INT III § 1 Soient X un espace localement compact, K une partie compacte de X, (Vₖ)_1 ≤ k ≤ n un recouvrement fini de K par des ensembles ouverts dans X. Alors il existe n applications continu… ↩ 19 08L8
6. Théorème 1 INT III § 4 Soient X, Y deux espaces localement compacts, λ une mesure sur X, μ une mesure sur Y; il existe sur X × Y une mesure ν et une seule telle que, pour toute fonction g ∈ H(X; C) et to… ↩ 19 08O8
7. Proposition 4 A II § 2 Soit P un A-module. Les propriétés suivantes sont équivalentes: a) P est projectif. b) Pour toute suite exacte 0 → F' → F → F'' → 0 d’applications A-linéaires, la suite 0 → Hom(P… ↩ 18 05N5
8. Théorème 5 INT IV § 5 Pour qu’une application f de X dans un espace de Banach F soit de puissance p-ième intégrable (1 ≤ p < +∞), il faut et il suffit que f soit mesurable et que Nₚ(f) soit finie. ↩ 18 08VI
9. Théorème 2 TG I § 9 Si f est une application continue d’un espace quasi-compact X dans un espace topologique X', l’ensemble f(X) est quasi-compact. ↩ 17 0B8C
10. Proposition 4 A II § 3 Si E est un A-module à droite, l’application h : x ↦ x ⊗ 1 de E dans E ⊗_A (ₛA_d) est un isomorphisme de A-modules à droite, dont l’isomorphisme réciproque g est tel que g(x ⊗ λ) =… ↩ 16 05P0
11. Théorème 1 A VIII § 3 Soient K un corps commutatif algébriquement clos, A une K-algèbre et M un A-module simple. On suppose que la dimension de M comme espace vectoriel sur K est finie, ou plus générale… ↩ 16 003E
12. Proposition 2 TG I § 8 Soient f, g deux applications continues d’un espace topologique X dans un espace séparé Y; alors l’ensemble des x ∈ X tels que f(x) = g(x) est fermé dans X. En effet, cet ensemble… ↩ 16 0B68
13. Théorème 1 AC II § 2 L’anneau S⁻¹A est un A-module plat (chap. I, § 2, no 3, déf. 2). ↩ 16 0465
14. Proposition 11 AC II § 2 Soient A un anneau, S une partie multiplicative de A. Pour tout idéal b' de S⁻¹A, soit b = (i_A^S)⁻¹(b'), de sorte que b' = S⁻¹b. ↩ 16 0469
15. Théorème 4 A I § 4 Soient G un groupe à opérateurs et N un sous-groupe stable distingué de G. ↩ 15 059C
16. Proposition 7 A II § 3 L’application canonique (23) est bijective. ↩ 15 05PA
17. Théorème 7 A II § 7 Soient E un espace vectoriel sur un corps K, F un sous-espace de E, F' l’orthogonal de F dans E. ↩ 15 05SI
18. Proposition 5 TG I § 10 Soient f : X → X' et g : X' → X'' deux applications continues. Alors: a) Si f et g sont propres, g ∘ f est propre. b) Si g ∘ f est propre et si f est surjective, g est propre. c) S… ↩ 15 0BA7
19. Proposition 2 INT IX § 1 a) Soit w une prémesure positive. Pour toute partie compacte K de T, l’encombrement (w^bullet)_K induit par w^bullet sur K est égal à (w_K)^bullet. Pour toute fonction f ∈ F₊(T), o… ↩ 15 09MU
20. Théorème 1 AC II § 5 Soient A un anneau, P un A-module. Les propriétés suivantes sont équivalentes : a) P est un module projectif de type fini. b) P est un module de présentation finie, et pour tout id… ↩ 15 04BJ
21. Théorème 1 AC V § 2 Soient h : A → A' un homomorphisme injectif d’anneaux, tel que A' soit entier sur A, 𝔭 un idéal premier de A. Il existe un idéal premier 𝔭' de A' au-dessus de 𝔭. ↩ 15 04PR
22. Proposition 1 A V § 9 Soient E une extension de K contenue dans Ω et u un K-homomorphisme de E dans Ω. a) Si u applique E dans E, u induit un K-automorphisme de E. b) Il existe un K-automorphisme v de Ω… ↩ 14 06LK
23. Théorème 1 A VIII § 6 Soient A et B des k-algèbres et P un (A, B)ₖ-bimodule. Notons P^* le (B, A)ₖ-bimodule Hom_A(P, Aₛ). Les assertions suivantes sont équivalentes : ↩ 14 0072
24. Théorème 1 A VIII § 14 Soit A une K-algèbre de degré fini. Les propriétés suivantes sont équivalentes : ↩ 14 00GJ
25. Proposition 15 INT IV § 5 Soient X un espace localement compact, μ une mesure sur X, A une partie μ-mesurable de X, f une application de A dans un espace topologique F. Les conditions suivantes sont équival… ↩ 14 08VZ
26. Théorème 2 LIE VI § 1 (i) Le groupe W(R) opère de façon simplement transitive sur l’ensemble des chambres. ↩ 14 0AUV
27. Théorème 2 A V § 3 Soit E une extension de type fini de K, engendrée par des éléments a₁, ..., aₘ algébriques sur K ; alors E est une extension de degré fini de K. Si nᵢ est le degré de aᵢ sur K(a₁… ↩ 13 06HS
28. Théorème 1 (Wedderburn) A VIII § 7 Pour qu’un anneau soit simple, il faut et il suffit qu’il soit isomorphe à un anneau de matrices Mᵣ(D), où rgeqslant 1est un entier et D un corps. ↩ 13 00S3
29. Proposition 1 TG I § 8 Soit X un espace topologique. Les propositions suivantes sont équivalentes: ↩ 13 0B65
30. Proposition 2 INT V § 5 Soient θ une mesure complexe, u une fonction complexe localement θ-intégrable ; on a ↩ 13 092G
31. Théorème 1 A VII § 4 Soient L un module libre sur un anneau principal A, et M un sous-module de rang fini n de L. Il existe alors une base B de L, n éléments eᵢ de B, et n éléments non nuls αᵢ de A (1… ↩ 12 073T
32. Théorème 1 INT IV § 1 Soit H un ensemble non vide de fonctions de J₊, filtrant pour la relation ≤. Pour toute mesure positive μ sur X, on a ↩ 12 08P7
33. Proposition 4 INT V § 2 Soit μ une mesure positive sur un espace localement compact T, et soit R un ensemble μ-dense de parties compactes de T. Il existe une famille sommable (μ_α)_α ∈ A de mesures positi… ↩ 12 090Q
34. Proposition 1 AC I § 3 Soit E un A-module à droite. Les quatre propriétés suivantes sont équivalentes : ↩ 12 0444
35. Proposition 2 AC II § 2 Soient A, B deux anneaux, S une partie de A, T une partie de B, f un homomorphisme de A dans B tel que f(S) ⊂ T. Il existe un homomorphisme f' et un seul de A[S⁻¹] dans B[T⁻¹] tel… ↩ 12 045N
36. Proposition 2 AC V § 1 Soient A, A' deux anneaux, R une A-algèbre, R' une A'-algèbre (non nécessairement commutatives), f : A → A' et g : R → R' deux homomorphismes d’anneaux tels que le diagramme ↩ 12 04N0
37. Proposition 1 AC V § 2 Soient h : A → A' un homomorphisme d’anneaux tel que A' soit entier sur A, 𝔭' un idéal premier de A', et 𝔭 = h⁻¹(𝔭'). Pour que 𝔭 soit maximal, il faut et il suffit que 𝔭' le soit. ↩ 12 04PL
38. Théorème 2 LIE IX § 2 Soit G un groupe ae Lie compact connexe. a) Les algèbres de Lie des tores maximaux de G sont les sous-algèbres de Cartan de L(G). b) Soient T1 et T2 deux tores maximaux de G. Il ex… ↩ 12 01A2
39. Théorème 2 E III § 2 Tout ensemble ordonné inductif possède un élément maximal. ↩ 11 03QT
40. Proposition 2 E III § 4 Soit n un entier. Tout cardinal a tel que a ≤ n est un entier. Si n ≠ 0, il existe un entier m et un seul tel que n = m + 1, et la relation a < n est équivalente à a ≤ m. ↩ 11 03RB
41. Lemme 1 E III § 7 Soient (E_α, f_β α) un système inductif d’ensembles, E = lim E_α sa limite inductive, et pour tout α ∈ I, soit f_α : E_α → E l’application canonique. ↩ 11 03OK
42. Proposition 6 A II § 1 Soient (Eᵢ)_i ∈ I une famille de A-modules, M un A-module, et pour tout i ∈ I, soit fᵢ : Eᵢ → M une application linéaire. Il existe alors une application linéaire g : ⨁_i ∈ I Eᵢ →… ↩ 11 05K7
43. Corollaire 3 A II § 1 Soient E un A-module libre, (aₜ)_t ∈ T une base de E, F un A-module, (bₜ)_t ∈ T une famille d’éléments de F. Il existe une application linéaire f : E → F et une seule telle que l’o… ↩ 11 05LG
44. Proposition 25 A II § 1 Soient A, B deux anneaux, φ : B → A un homomorphisme d’anneaux, E un A-module. Soit (α_λ)_λ ∈ L un système générateur (resp. une famille libre d’éléments, une base) de A considéré… ↩ 11 05LX
45. Théorème 2 A II § 7 Étant donnés un système générateur S d’un espace vectoriel E sur un corps K, et une partie libre L de E contenue dans S, il existe une base B de E telle que L ⊂ B ⊂ S. ↩ 11 05RJ
46. Proposition 1 A VIII § 10 Soit A un anneau artinien à gauche. Le radical 𝔯 de A est le plus grand idéal bilatère nilpotent de A et l’anneau A/𝔯 est semi-simple. ↩ 11 00C5
47. Proposition 4 TG I § 2 Soient X un ensemble, (Yᵢ)_i ∈ I une famille d’espaces topologiques, et pour chaque i ∈ I, soit fᵢ une application de X dans Yᵢ. Soit S l’ensemble des parties de X de la forme fᵢ⁻¹… ↩ 11 0B0I
48. Proposition 1 TG I § 4 Soit f = (fᵢ) une application d’un espace topologique Y dans un espace produit X = ∏_i ∈ I Xᵢ. Pour que f soit continue en un point a ∈ Y, il faut et il suffit que, pour tout i ∈ I… ↩ 11 0B29
49. Proposition 4 TG I § 11 Soient A une partie connexe d’un espace topologique X, f une application continue de X dans un espace topologique X’ ; alors f(A) est connexe. ↩ 11 0BBQ
50. Théorème 2 INT V § 4 Soit (π, g) un couple μ-adapté, et soit ν = ∫ g(t)ε_π(t) dμ(t). Soit f une fonction définie dans X, à valeurs dans un espace de Banach F ou dans barR. Pour que f soit essentielleme… ↩ 11 0929
51. Lemme 1 AC I § 2 Soit M' xrightarrowv M xrightarroww M'' → 0 une suite exacte de A-modules à gauche, et soit E un A-module à droite. La suite ↩ 11 042F
52. Théorème 1 AC II § 3 Soient M, N deux A-modules, u : M → N un A-homomorphisme et pour tout m ∈ Ω, soit uₘ : Mₘ → Nₘ le Aₘ-homomorphisme correspondant (§ 2, n° 2, Remarque 5). Pour que u soit injectif (… ↩ 11 048A
53. Proposition 21 A II § 1 Toute suite exacte de A-modules ↩ 10 05LM
54. Corollaire 1 A V § 3 Soient E une extension de K et A une partie de E formée d’éléments algébriques sur K. Alors K(A) est algébrique sur K, et l’on a K[A] = K(A). ↩ 10 06HT
55. Théorème 1 (Jacobson) A VIII § 9 Le radical d’un anneau A se compose des éléments x∈ Atels que 1 +ax soit inversible à gauche (I, p. 15) pour tout a∈ A. C’est aussi le plus grand des idéaux bilatères 𝔞 tels que 1… ↩ 10 00S5
56. Proposition 3 A VIII § 14 Soit A une K-algèbre centrale, simple et de degré fini et soit L une sous-algèbre commutative semi-simple de A. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 10 00H2
57. Corollaire 1 (Principe de prolongement des identités) TG I § 8 Soient f, g deux applications continues d’un espace topologique X dans un espace séparé Y. Si f(x) = g(x) en tous les points d’une partie partout dense de X, on a f = g. ↩ 10 0B69
58. Lemme 2 TG III § 2 Si un groupe topologique G opère continûment dans un espace topologique E, la relation d’équivalence R définie par G est ouverte. ↩ 10 0BI4
59. Théorème 4 INT IV § 4 Pour qu’un ensemble A soit intégrable, il faut et il suffit que, pour tout ε > 0, il existe un ensemble ouvert intégrable G et un ensemble compact K, tels que K ⊂ A ⊂ G et que ↩ 10 08SY
60. Proposition 7 INT IV § 5 Soit f une application mesurable de X dans un espace topologique F ; l’image réciproque par f de tout ensemble fermé (resp. ouvert) dans F est mesurable. ↩ 10 08V6
61. Théorème 1 INT V § 3 Soit f une fonction à valeurs dans un espace de Banach F ou dans barR, et soit H l’ensemble des t ∈ T pour lesquels f n’est pas λₜ-intégrable. ↩ 10 0919
62. Proposition 3 INT V § 5 Pour toute fonction numérique f ≥ 0, définie dans T, on a ↩ 10 092J
63. Corollaire 2 INT V § 5 Soient u₁ et u₂ deux fonctions complexes localement θ-intégrables. Pour que u₁ · θ = u₂ · θ, il faut et il suffit que u₁ et u₂ soient égales localement presque partout. ↩ 10 092L
64. Théorème 1 INT V § 5 Soit f une fonction définie dans T, à valeurs dans un espace de Banach F ou dans barR. Pour que f soit essentiellement intégrable pour la mesure η = u . θ, il faut et il suffit que… ↩ 10 092P
65. Proposition 2 AC I § 1 Supposons que dans le diagramme commutatif (10), les suites (u, v) et (u', v') soient exactes. Alors : ↩ 10 0424
66. Proposition 4 AC V § 1 Soient A un anneau, R une A-algèbre (non nécessairement commutative), (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n une famille finie d’éléments de R, deux à deux permutables. Si, pour tout i, xᵢ est entier sur… ↩ 10 04N5
67. Théorème 1 LIE I § 5 Soient g une algèbre de Lie, r son radical, et s son radical nilpotent. On a alors s = Og ∩ r. ↩ 10 09YA
68. Théorème 4 LIE I § 6 Soient g une algèbre de Lie, r son radical, ρ une représentation de g de dimension finie, g' = ρ(g) et r' = ρ(r). Alors les conditions suivantes sont équivalentes : a) ρ est semi-s… ↩ 10 0A02
69. Théorème 1 LIE VII § 3 Supposons k algébriquement clos. Soit g une algèbre de Lie. Le groupe E est distingué dans Aut(g) et opère transitivement sur l’ensemble des sous-algèbres de Cartan de g. ↩ 10 00V8
70. Théorème 3 E III § 2 Soient E et F deux ensembles bien ordonnés; l’une au moins des deux propositions suivantes est vraie: 1) il existe un isomorphisme et un seul de E sur un segment de F; 2) il existe… ↩ 9 03K6
71. Proposition 15 A II § 1 Étant donnée une suite exacte de A-modules ↩ 9 05KZ
72. Corollaire 1 A II § 3 Si le A-module à gauche F admet une base (b_μ)_μ ∈ M, tout élément de E ⊗_A F s’écrit d’une seule manière sous la forme ∑_μ (x_μ ⊗ b_μ), où x_μ ∈ E et la famille (x_μ) a un support… ↩ 9 05PB
73. Corollaire 2 A II § 3 Si E et F sont deux modules libres sur un anneau commutatif C, et si (a_λ) (resp. (b_μ)) est une base du C-module E (resp. F), alors (a_λ ⊗ b_μ) est une base du C-module E ⊗_C F. ↩ 9 05PC
74. Proposition 2 A II § 5 Soient ρ : A → B, σ : B → C des homomorphismes d’anneaux. Pour tout A-module à gauche E, il existe un C-homomorphisme et un seul ↩ 9 05QG
75. Proposition 4 A II § 5 Soit E un A-module admettant une base (a_λ)_λ ∈ L; si φ : x ↦ 1 ⊗ x est l’application canonique de E dans ρ^*(E), alors (φ(a_λ))_λ ∈ L est une base de ρ^*(E). Si ρ est injectif, il… ↩ 9 05QI
76. Proposition 14 A II § 7 Étant donnés une suite exacte ↩ 9 05SY
77. Théorème 2 (Steinitz) A V § 4 Soit K un corps. Il existe une clôture algébrique de K ; si Ω et Ω′ sont deux clôtures algébriques de K, il existe un K-isomorphisme de Ω sur Ω′. ↩ 9 06IS
78. Théorème 2 A VIII § 16 Soit G un groupe fini et soit L une K-algèbre commutative, de degré fini et réduite munie d’une action de G donnée par un homomorphisme injectif λ de G dans Aut_K(L). Alors, les co… ↩ 9 00J1
79. Corollaire 1 TG I § 9 Soit f une application continue d’un espace topologique X dans un espace séparé X'; l’image par f de tout ensemble quasi-compact (resp. relativement quasi-compact) dans X est un en… ↩ 9 0B8D
80. Corollaire 2 TG I § 9 Toute application continue f d’un espace quasi-compact X dans un espace séparé X' est fermée; si en outre f est bijective, f est un homéomorphisme. Cela résulte aussitôt du cor. 1… ↩ 9 0B8E
81. Proposition 2 TG I § 10 Soit f : X → Y une application continue injective. Les trois propriétés suivantes sont équivalentes: a) f est propre. b) f est fermée. c) f est un homéomorphisme de X sur une parti… ↩ 9 0BA4
82. Corollaire 1 TG III § 4 Si A est une partie fermée (resp. compacte) de E, alors K.A est fermé dans E (resp. compact si E est séparé). En particulier, si F est une partie fermée et K une partie quasi-compa… ↩ 9 0BKV
83. Proposition 3 INT III § 4 Soient λ ∈ M(X; C), μ ∈ M(Y; C). On a |λ ⊗ μ| = |λ| ⊗ |μ|. (7) ↩ 9 08OI
84. Proposition 5 INT V § 3 Soit f une fonction numérique positive v-mesurable définie dans X, et soit N l’ensemble des t ∈ T tels que f ne soit pas λₜ-mesurable et λₜ-modérée. ↩ 9 0917
85. Théorème 1 INT V § 6 Soit f une fonction définie dans X, à valeurs dans barR ou dans un espace de Banach F. Pour que f soit essentiellement ν-intégrable, il faut et il suffit que f ∘ π soit essentielle… ↩ 9 094Y
86. Proposition 8 INT VI § 1 Soient µ une mesure positive bornée sur T, S un ensemble µ-mesurable portant µ, f une application µ-mesurable de T dans F, telle que f(S) soit contenu dans une partie convexe équil… ↩ 9 098S
87. Proposition 8 INT IX § 2 Soient T et X deux espaces topologiques, π une application de T dans X. ↩ 9 09P1
88. Proposition 1 AC I § 2 Soit E un A-module à droite. Les trois propriétés suivantes sont équivalentes : ↩ 9 042L
89. Exemple 3 AC III § 2 Plus généralement, soient A un anneau commutatif, b un idéal de A, et munissons A de la filtration b-adique. Si on pose B = gr0(A), F = gr1(A) = b/b^2, on sait (Alg., chap. III, 3e… ↩ 9 04DM
90. Proposition 3 AC IV § 1 Soient A un anneau, M un A-module, N un sous-module de M. On a ↩ 9 04JD
91. Théorème 2 AC V § 2 Soient A' un anneau, G un groupe fini opérant sur A', A l’anneau des invariants de G, de sorte que A' est entier sur A (§ 1, no 9, prop. 22). ↩ 9 04Q2
92. Proposition 1 LIE I § 6 Soient g une algèbre de Lie semi-simple, ρ une représentation fidèle de dimension finie de g. Alors la forme bilinéaire sur g associée à ρ est non dégénérée. ↩ 9 09ZE
93. Proposition 2 LIE VII § 1 Soient V, V', W des espaces vectoriels. Soient r : S → End(V), r' : S → End(V') et q : S → End(W) des applications. ↩ 9 00SK
94. Proposition 10 LIE VII § 1 Soient g une algèbre de Lie, 𝔥 une sous-algèbre nilpotente de g. Notons P l’ensemble des applications de 𝔥 dans k. ↩ 9 00T0
95. Corollaire 1 LIE IX § 1 Soit G un groupe de Lie compact connexe. Alors C(G)0 est un tore, D(G) un groupe de Lie connexe semi-simple compact et le morphisme (x, y) ↦ xy de C(G)0 × D(G) dans G est un revête… ↩ 9 019J
96. Proposition 6 E III § 7 Soient I un ensemble préordonné filtrant à droite, (E_α, f_β α) un système inductif d’ensembles, E = lim E_α sa limite inductive, et pour tout α ∈ I, soit f_α : E_α → E l’applicati… ↩ 8 03RR
97. Théorème 2 A I § 8 Soient A un anneau et a un idéal bilatère de A. a) L'application canonique π de A sur A/a est un homomorphisme d'anneaux. b) Soient B un anneau et f un homomorphisme de A dans B. S… ↩ 8 05HI
98. Corollaire 1 A II § 1 Soient (Eᵢ)_i ∈ I, (F_λ)_λ ∈ L deux familles de A-modules. L’application Hom_A(⨁_i ∈ I Eᵢ, ∏_λ ∈ L F_λ) → ∏_(i, λ) ∈ I × L Hom_A(Eᵢ, F_λ) qui, à tout g ∈ Hom_A(⨁_i ∈ L Eᵢ, ∏_λ ∈ L… ↩ 8 05K8
99. Théorème 1 A II § 2 Soient A un anneau, E', E, E'' trois A-modules, u : E' → E, v : E → E'' deux homomorphismes. Pour que la suite ↩ 8 05MV
100. Proposition 1 A II § 3 a) Soit g une application Z-linéaire de E ⊗_A F dans un Z-module G. L’application (x, y) ↦ f(x, y) = g(x ⊗ y) de E × F dans G est Z-bilinéaire et vérifie les conditions (1). ↩ 8 05OS