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Index des énoncés

Les 702 énoncés de Topologie algébrique, par chapitre et paragraphe. Choisissez un type, filtrez par un mot, ou mettez les plus cités en tête.

Les plus cités d’abord

I. Revêtements

§ 1. Produits fibrés et carrés cartésiens

Définition 1 On appelle B-espace topologique (ou simplement B-espace) un espace topologique X, muni d’une application continue p de X dans B. L’application p s’appelle la projection du B-espace… 01L9
Définition 2 L’espace topologique X×_BX' s’appelle le produit fibré de X et X' au-dessus de B. Le B-espace obtenu en munissant X×_BX' de l’application q s’appelle le B-espace produit de X et X'… 01LA
Exemple 1 Soient X et X' des B-espaces, alors l’application (x, x')↦ (x', x) définit un B-isomorphisme de X×_BX' sur X'×_BX. 01LB
Exemple 2 Soient X, X',X'' des B-espaces et p,p',p'' leurs projections respectives. Le B-espace produit (X×_BX')×_BX'' est le sous-espace topologique X×_BX'×_BX'' de X× X'× X'' formé des tri… 01LC
Exemple 3 Soient X un B-espace et p sa projection. Le produit fibré X×_BX de X et X au-dessus de B est appelé le carré fibré de X. C’est le sous-espace de X× X formé des couples (x, x') tels… 01LD
Exemple 4 Soit (Bᵢ)_i∈ I une famille d’espaces topologiques et soient, pour tout i∈ I, (Xᵢ, pᵢ) et (Yᵢ, qᵢ) des Bᵢ-espaces. Posons B =∏_i∈ IBᵢ, X =∏_i∈ IXᵢ et Y =∏_i∈ IYᵢ. Muni de l’applicat… 01LE
Exemple 5 Soient (Xᵢ)_i∈ I et (Yⱼ)_j∈ J des familles de B-espaces. Soient X et Y leurs sommes. Pour tout (i, j)∈ I× J, l’application (x, y)↦ ((i, x),(j, y)) est un B-isomorphisme de Xᵢ×_BYⱼ… 01LF
Définition 3 L’espace topologique ∏_BXᵢ s’appelle le produit fibré de la famille (Xᵢ)_i∈ I au-dessus de B. Le B-espace obtenu en munissant ∏_BXᵢ de l’application p s’appelle le B-espace produit… 01LG
Exemple 1 Lorsque l’ensemble I est vide, l’ensemble ∏_i∈ IXᵢ est réduit à un élément et le B-espace ∏_BXᵢ s’identifie à B (muni de la projection Id_B). 01LH
Exemple 2 Lorsque I n’est pas vide, on déduit de l’application (b, x)↦ x de B× ∏_i∈ IXᵢ dans ∏_i∈ IXᵢ, par passage aux sous-espaces, un homéo-morphisme de ∏_BXᵢ sur le sous-espace de ∏_i∈ IX… 01LI
Exemple 3 Lorsque l’ensemble I est un ensemble à un élément α (resp. à deux éléments α et β; resp. à trois éléments α ,β ,γ ), l’application pr_α (resp. (pr_α, pr_β) ; resp. (pr_α, pr_β, pr_… 01LJ
Définition 4 On dit que le carré (1) est un carré cartésien d’espaces topologiques (ou, simplement, qu’il est cartésien) s’il est commutatif et que, pour tout espace topologique Y et tout coupl… 01LK
Proposition 1 Pour que le carré (1) soit cartésien, il faut et il suffit qu’il soit commutatif et que, pour tout B-espace Y et tout couple de B-morphismes u: Y→ B',v: Y→ X, il existe un unique B… 01LL
Proposition 2 Soient B, B' et X des espaces topologiques et p: X→ B,f: B'→ B des applications continues. 01LM
Proposition 3 Soit 01LN
Proposition 4 Soit 01LO
Corollaire Soit 01LP
Exemple Soient (X, p) un B-espace et A un sous-espace de B. Le carré 01LQ
Proposition 5 Soit I un ensemble et, pour tout i∈ I, soit 01LR
Corollaire 1 Soit X un B-espace, soit p sa projection et soit F un espace topologique. Le carré 01LS
Corollaire 2 Si le carré (9) est cartésien pour tout i∈ I, le carré (9') est cartésien. 01LT
Exemple 1 Soit 01LU
Proposition 6 Soit I un ensemble et, pour tout i∈ I, soit 01LV
Exemple 2 Soit (X, p) un B-espace et soit (Aₖ)_k∈ K une famille de sous-espaces de B. Soit A l’espace somme de la famille (Aₖ)_k∈ K et soit Y l’espace somme de la famille (overset-1p(Aₖ))_k∈… 01LW
Proposition 7 Soient 01LX
Remarque 1 Il peut arriver que les carrés (12) et (14) soient cartésiens sans que le carré (13) le soit (I, p. 139, exerc. 2). 01LY
Remarque 2 Soient p: X→ B et f: B'→ B des applications continues. L’application g: B'→ B'× B définie par g(b') = (b', f(b')) est un homéo-morphisme de B' sur le graphe G de l’application f (T… 01LZ
Remarque 3 Soient 01M0
Proposition 8 Soit 01M1
Remarque 1 Avec les notations de la prop. 8, si p est une application fermée, il n’en est pas nécessairement de même de p'(cf. TG, I, p. 72, exemple). Cependant, si l’application p est fermée… 01M2
Définition 5 Soient X et Y des espaces topologiques et f: X→ Y une application. Soient R la relation d’équivalence associée à f et 01M3
Exemple 1 La composée de deux applications strictes n’est pas nécessairement stricte. De fait, toute application continue f: X→ Y est composée de l’application pr₂: X× Y→ Y et de l’applicati… 01M4
Exemple 2 Une application continue qui est ouverte, ou fermée ou qui possède une section continue, est stricte. Cela résulte de la prop. 3 de TG, I, p. 32 et de la prop. 9 de TG, I, p. 22. 01M5
Exemple 3 Pour qu’un homomorphisme continu d’un groupe topologique dans un autre soit un morphisme strict (TG, III, p. 16, déf. 1), il faut et il suffit que ce soit une application stricte a… 01M6
Proposition 9 Soient X, Y et Z des espaces topologiques. Soient f: X→ Y une application continue surjective et g: Y→ Z une application. 01M7
Proposition 10 Soit X un espace topologique et soit R une relation d’équivalence dans X. Soit Y un espace topologique localement compact. Soit S la relation d’équivalence dans X× Y produit de la… 01M8
Corollaire Soient X et Y des espaces topologiques et soit f: X→ Y une application continue. Soit T un espace topologique localement compact. Si l’application f est stricte, il en est de même… 01M9
Définition 6 Soit p: X→ B une application continue. On dit que l’application p est universellement stricte si pour tout carré cartésien 01MA
Corollaire Une application continue qui est ouverte, ou propre, ou qui admet au voisinage de tout point une section continue, est universellement stricte (prop. 8 et exemple 2). 01MB
Exemple Soient B un espace topologique et (Aᵢ)_i∈ I un recouvrement de B; on note A l’espace somme de la famille (Aᵢ)_i∈ I, et p: A→ B l’application canonique. L’application p est universe… 01MC
Remarque Une application fermée n’est pas nécessairement universellement stricte (cf. TG, I, p. 96, exerc. 6). 01MD
Proposition 11 Soit 01ME
Corollaire 1 Supposons que l’application f soit universellement stricte et surjective et que l’application p' soit universellement stricte. Alors, l’application p est universellement stricte. 01MF
Corollaire 2 Soient B et X des espaces topologiques et soit p: X→ B une application continue. Soit (Aᵢ)_i∈ I une famille de parties de B qui est un recouvrement ouvert de B, ou bien un recouvre… 01MG

§ 2. Applications étales

Proposition 1 Soient X et Y des espaces topologiques et soit f: X→ Y une application continue. Les propriétés suivantes sont équivalentes : 01MH
Définition 1 Soient X et Y des espaces topologiques. On dit qu’une application continue f: X→ Y est séparée si elle satisfait aux conditions équivalentes de la proposition 1. 01MI
Proposition 2 Soient X, Y, Z des espaces topologiques et soient f: X→ Y et g: Y→ Z des applications continues. 01MJ
Remarque 1 Une application continue injective est séparée. 01MK
Remarque 2 Pour qu’un espace topologique X soit séparé (TG, I, p. 52, déf. 1), il faut et il suffit que l’application de X dans un espace réduit à un point soit séparée. Dans ce cas, toute ap… 01ML
Remarque 3 Soit f: X→ Y une application continue et séparée. Si l’espace Y est séparé, l’espace X est séparé. Cela résulte de la remarque 2 et de la proposition 2 appliquée avec un espace Z r… 01MM
Remarque 4 Soient f: X→ Y une application continue et séparée, y un point 01MN
Remarque 5 Soit Y un espace topologique. Soit (Aᵢ)_i∈ I une famille de parties de Y et soit X l’espace somme de la famille (Aᵢ)_i∈ I. L’application canonique de X dans Y est séparée. 01MO
Proposition 3 Soit f: X→ Y une application continue et séparée. Toute section continue de f induit un homéomorphisme de Y sur une partie fermée de X. 01MP
Proposition 4 Soit 01MQ
Proposition 5 Soient X, Y, Z des espaces topologiques et soient f: X→ Y,g: Y→ Z des applications continues. Supposons l’application g séparée et l’application g∘ f propre. L’application f est al… 01MR
Définition 2 Soient E et B des espaces topologiques, soit p: E→ B une application et soit x un point de E. On dit que l’application p est topologiquement étale en x s’il existe un voisinage U d… 01MS
Remarque 1 L’ensemble des points de E en lesquels une application p: E→ B est étale est un ouvert U de E et la restriction de p à U est une application étale de U dans B. 01MT
Remarque 2 Une application étale est continue et ouverte (TG, I, p. 33, prop. 5) ; en particulier, l’image d’une application étale est ouverte. Inversement, si p: E→ B est une application con… 01MU
Exemple 1 Soient B un espace topologique et (Uᵢ)_i∈ I une famille de parties de B. Notons E l’espace somme de la famille (Uᵢ)_i∈ I et p: E→ B l’application déduite des injections canoniques… 01MV
Exemple 2 Soit U un ouvert de C. Pour qu’une fonction holomorphe f: U→ C soit une application étale, il faut et il suffit que sa dérivée ne s’annule pas. 01MW
Exemple 3 Un morphisme étale de variétés (VAR, R, 5.7.8) est une application topologiquement étale, mais il existe des morphismes de variétés réelles qui sont topologiquement étales et qui n… 01MX
Proposition 6 Soient X, Y, Z des espaces topologiques et soient f: X→ Y,g: Y→ Z des applications. 01MY
Corollaire 1 Soit B un espace topologique. Un B-morphisme d’un B-espace étalé dans un autre est étale. 01MZ
Corollaire 2 Soit B un espace topologique ; un B-morphisme bijectif d’un B-espace étalé dans un autre est un B-isomorphisme. 01N0
Corollaire 3 Soit p: E→ B une application étale. Toute section continue de p induit un homéomorphisme de B sur une partie ouverte de E. 01N1
Corollaire 4 Soit p: E→ B une application étale et séparée. Supposons que E soit connexe et que p admette une section. Alors p est un homéomorphisme. 01N2
Proposition 7 Soit p: E→ B une application continue. Pour que l’application p soit étale, il faut et il suffit qu’elle soit ouverte et que la diagonale Δ_E de E×_BE soit ouverte dans E×_BE. 01N3
Proposition 8 Soit 01N4
Corollaire Soit B un espace topologique. Le produit fibré de deux B-espaces étalés est un B-espace étalé. 01N5
Remarque 3 Soit 01N6
Proposition 9 Soit p: E→ B une application continue. Pour que l’application p soit étale, il faut et il suffit que tout point de E possède un voisinage ouvert qui soit l’image d’une section cont… 01N7
Remarque 1 Soit p: E→ B une application continue et ouverte. Pour qu’un ensemble ouvert U de E soit l’image d’une section continue de p au-dessus d’un ensemble ouvert de B, il faut et il suff… 01N8
Remarque 2 Soit p: E→ B une application continue. Supposons que tout point de B possède un voisinage ouvert V tel qu’il existe une section continue de p au-dessus de V. Une telle application… 01N9
Proposition 10 Soient E, B et Z des espaces topologiques, p: E→ B une application étale et f: Z→ B une application continue. 01NA
Proposition 11 Soient E, B et Z des espaces topologiques, p: E→ B et f: Z→ B des applications continues. Soient g et g' des relèvements continus de f à E. Soit W l’ensemble des points de Z où g e… 01NB
Corollaire 1 Si l’espace Z est connexe et si l’application p est étale et séparée, des relèvements continus de f à E qui coïncident en un point sont égaux. 01NC
Corollaire 2 Soit p: E→ B une application étale et séparée. Si l’espace E est connexe, le groupe Aut_B(E) opère librement sur E. 01ND
Corollaire 3 Soient E, B et Z des espaces topologiques, soit p: E→ B une application étale et séparée, et soit f: Z→ B une application continue. Pour i= 1, 2, soient Uᵢ une partie ouverte ( res… 01NE
Proposition 12 Soit p: E→ B une application étale. Pour que l’application p soit séparée, il faut et il suffit que pour toute partie ouverte V de B et tout couple (s, s') de sections continues de… 01NF
Théorème 1 Soient X, Y, Z des espaces topologiques, soit f: Z→ X× Y une application étale et séparée, et soit y₀ un point de Y. Soit s: X× Y→ Z une section de f. On suppose que la restriction… 01NG
Lemme Soit U un ouvert de X, soit V un ouvert connexe de Y et soit (x₁, y₁)∈ U× V. On suppose que la restriction de s à U× y₁ est continue. Soit σ une section continue de f au-dessus de… 01NH
Corollaire 1 Soient X, Y, E, B des espaces topologiques. Soit p: E→ B une application étale et séparée, soit h: X× Y→ B une application continue et soit y₀ un point de Y. Soit g: X× Y→ E une ap… 01NI
Remarque Si, dans le théorème 1, on ne suppose pas que l’espace Y est localement connexe, la conclusion du théorème n’est plus nécessairement exacte (I, p. 141, exerc. 7). 01NJ
Théorème 2 Soient B un espace topologique et A un sous-espace de B. Faisons l’une des hypothèses suivantes : 01NK
Lemme 1 Chacune des propriétés (i) à (iv) du théorème 2 implique la propriété (PCV). 01NL
Lemme 2 Soit B un espace topologique et soient K et L des parties quasi-compactes de B. On suppose que pour tout point a de K et tout point b de L, il existe des voisinages disjoints de a… 01NM
Lemme 3 Soient B un espace topologique et A un sous-espace de B tels que le couple (B,A) vérifie la propriété (PCV) de I, p. 37. Alors, toute section continue au-dessus de A d’une applicat… 01NN
Théorème 3 Soient E et B des espaces topologiques et p: E→ B une application étale et séparée. On suppose que E est connexe et que B est localement connexe. Soit W une base de la topologie de… 01NO
Lemme 4 Soit B un espace topologique et soient W et W' des bases de la topologie de B. Il existe un sous-ensemble V de W' qui est une base de la topologie de B et tel que Card(V)leqslant C… 01NP
Lemme 5 a) Soient c= (U₀, . . . ,Uₙ) et c'= (U'₀, . . . ,U'ₘ) des chenilles telles que U₀= U'₀ et p(c) =p(c'). Alors, c=c'. 01NQ
Remarque D’après ce qui précède, si la topologie de B admet une base dénombrable, il en est de même de celle de E et les fibres de E sont dénombrables (cf. TG, I, p. 88, théorème de Poincar… 01NR

§ 3. Faisceaux

Définition 1 Un préfaisceau sur B, relatif à une base B de la topologie de B, est un système projectif d’ensembles, relatif à l’ensemble d’indices B ordonné par la relation d’inclusion. 01NS
Définition 2 Soit F= (F(U), f_UV) un préfaisceau sur B. On dit que F est un faisceau sur B si, pour toute partie ouverte U de B et toute famille (Uᵢ)_i∈ I de parties ouvertes de B, de réunion U… 01NT
Remarque Soit F un préfaisceau sur B. Pour tout ouvert U de B, f_∅ U est une application de F(U) dans F(∅ ), donc F(∅ ) n’est pas vide dès qu’il existe un ouvert U pour lequel F(U) n’est pa… 01NU
Définition 3 Soient B un espace topologique, B une base de la topologie de B,F= (F(U), f_UV) et G= (G(U), g_UV) des préfaisceaux sur B relatifs à B. On appelle morphisme de préfaisceaux de F da… 01NV
Exemple 1 Soit B un espace topologique, soient (E, p) et (E', p') des B-espaces et soit f: E→ E' un B-morphisme. Pour tout ouvert U de B, on définit l’application f_U:S(U; E)→ S(U; E') par f… 01NW
Exemple 2 Soient B un espace topologique, B une base de la topologie de B, F= (F(U), f_UV) un préfaisceau sur B relatif à B et L= (L(U)) un sous-préfaisceau de F. Pour tout ouvert U∈ B, noto… 01NX
Exemple 3 Soient B un espace topologique, B une base de la topologie de B et I un ensemble. Pour tout i∈ I, soit Fᵢ= (Fᵢ(U), f_i,UV) un préfaisceau sur B relatif à B. Notons F le préfaisceau… 01NY
Exemple 4 Soit X une variété différentielle de classe C^∞ sur R et soit C^∞(X;R) le faisceau sur X des fonctions numériques de classe C^∞. Si P est un opérateur différentiel à coefficients C… 01NZ
Proposition 1 L’application p: E_F→ B est étale. Pour tout ouvert U∈ B et tout s∈ F(U), l’application σ_F(U, s) est donc une section continue de p au-dessus de U. 01O0
Définition 4 Le B-espace étalé (E_F, p) défini ci-dessus est appelé le B-espace étalé associé au préfaisceau F. Pour x∈ B, la fibre de E_F en x est appelée la tige du préfaisceau F en x et est… 01O1
Remarque Soit F un faisceau sur B relatif à la base B. Soit B' une partie ouverte de B, soit B' une base de la topologie de B' telle que B'⊂ B. Soit F|B' le préfaisceau sur B' relatif à la… 01O2
Exemple 1 Soient B un espace topologique, B une base de la topologie de B et F un ensemble. Prenons pour F le préfaisceau sur B relatif à B défini par F(U) = F pour tout U∈ B et r_UV = Id_F… 01O3
Exemple 2 Soient B un espace topologique et (E, p) un B-espace. Prenons pour F le faisceau sur B des sections continues de (E, p). L’application (U, s, x)↦ s(x) de X_F dans E est compatible… 01O4
Exemple 3 Soient B un espace topologique, B une base de la topologie de B,F un préfaisceau sur B relatif à B et L un sous-préfaisceau de F. Alors, l’ensemble X_L est contenu dans l’ensemble… 01O5
Proposition 2 L’application j_F est le B-isomorphisme réciproque de e_F. 01O6
Corollaire Pour tout a∈ B, l’application (σ_F)ₐ:Fₐ→ widetildeFₐ est bijective. 01O7
Proposition 3 Soit B un espace topologique, soit B une base de la topologie de B, soit F= (F(U), f_UV) un préfaisceau sur B relatif à B, soit widetildeF le faisceau associé et soit σ_F:F→ wideti… 01O8
Lemme Soient U une partie ouverte de B et s: U→ E_F une section continue de E_F au-dessus de U. Pour tout point a de U, il existe un ouvert V∈ B tel que a∈ V et V⊂ U et un élément v de F… 01O9
Corollaire 1 Soient B un espace topologique, F un préfaisceau sur B,widetildeF le faisceau associé et σ_F:F→ widetildeF le morphisme canonique. Pour que F soit un faisceau, il faut et il suffit… 01OA
Remarque Soient B un espace topologique, F un préfaisceau sur B, G un faisceau sur B et φ :F→ G un morphisme de préfaisceaux. Le morphisme canonique σ_G:G→ widetildeG est un isomorphisme d’… 01OB
Corollaire 2 Soient B un espace topologique, F et G des faisceaux sur B et φ un morphisme de faisceaux de F dans G. Les assertions suivantes sont équivalentes : 01OC
Scholie Soit B un espace topologique. À tout faisceau F sur B, on associe un B-espace étalé E_F (I, p. 50, déf. 4). À tout B-espace étalé T, on associe le faisceau S(T) sur B de ses sectio… 01OD
Exemple 1 Soient B un espace topologique, A un sous-espace de B et F= (F(U), f_UV) un préfaisceau sur A. Notons i: A→ B l’injection canonique. On a alors i_*(F) = (F'(U), f'_UV) où pour tout… 01OE
Remarque Le morphisme canonique σ_G:G→ widetildeG de I, p. 53 correspond en termes d’espaces étalés à l’isomorphisme j_G de la proposition 2 de I, p. 53. Il en résulte que u^*(σ_G) est un i… 01OF
Exemple 2 Soient B un espace topologique et A un sous-espace de B. Notons i: A→ B l’injection canonique. Pour tout faisceau G sur B, on note G_A le faisceau i^*(G) et on dit que G_A est le f… 01OG
Remarque 1 Soient A, B, C des espaces topologiques, soient u: A→ B,v: B→ C des applications continues ; posons w=v∘ u. Soit G un préfaisceau sur C. 01OH
Remarque 2 Si γ :G₁→ G₂ est un morphisme de préfaisceaux sur B, les morphismes de préfaisceaux β_G₂∘ γ et u_*u^*(γ )∘ β_G₁ sont égaux. En effet, si V est un ouvert de B et s∈ G₁(V),β_G₁(s) es… 01OI
Proposition 4 Soient A et B des espaces topologiques, u: A→ B une application continue, G un préfaisceau sur B,F un faisceau sur A. 01OJ
Proposition 5 Soient A et B des espaces topologiques et soit u: A→ B une application continue. 01OK
Exemple 1 Considérons un espace topologique B, un sous-espace A de B, notons i: A→ B l’injection canonique. Soient (E, p) et (E', p') des B-espaces. Prenons pour G le faisceau Mor_B(E; E') (… 01OL
Exemple 2 Soient A, B, C des espaces topologiques et soient u: A→ B, v: B→ C des applications continues ; posons w=v∘ u. Soient E et E' des C-espaces. Le morphisme canonique de Mor_C(E; E')_… 01OM
Définition 5 Soit p: E→ B une application étale. On dit que l’application p est molle, ou que le B-espace étalé (E, p) est mou si toute section continue de p au-dessus d’un sous-espace fermé de… 01ON
Proposition 6 Soient B un espace topologique, F un faisceau sur B et (Aᵢ)_i∈ I un recouvrement fermé localement fini de B. Pour que le faisceau F soit mou, il faut et il suffit que, pour tout i∈… 01OO
Corollaire 1 Soient B un espace paracompact, F un faisceau sur B et (Uᵢ)_i∈ I un recouvrement ouvert de B. Si, pour tout i∈ I, le faisceau induit F|Uᵢ est mou, alors le faisceau F est mou. 01OP
Corollaire 2 Soient B un espace paracompact, F un faisceau sur B et (Aᵢ)_i∈ I un recouvrement fermé localement fini de B. Pour que le faisceau F soit mou, il faut et il suffit que la condition… 01OQ

§ 4. Revêtements

Définition 1 Soit B un espace topologique. Soit E un B-espace et soit p sa projection. On dit que E est un B-espace fibré localement trivial si tout point de B possède un voisinage V tel que (o… 01OR
Remarque 1 Soit (E, p) un B-espace fibré localement trivial et soit A une partie de B. Le A-espace E_A= (overset-1p(A), p_A) déduit de E par passage aux sous-espaces est un espace fibré local… 01OS
Remarque 2 Soit (E, p) un B-espace et soit (Eᵢ)_i∈ I une partition de E formée d’ouverts. 01OT
Définition 2 On appelle revêtement un espace fibré localement trivial dont toutes les fibres sont discrètes. 01OU
Proposition 1 Soient B et E des espaces topologiques et soit p: E→ B une application. Les conditions suivantes sont équivalentes : 01OV
Corollaire 1 Soient B et E des espaces topologiques et soit p: E→ B une application. Pour que E, muni de l’application p, soit un revêtement de B, il faut et il suffit que, pour tout point a de… 01OW
Remarque Soit B un espace topologique. Soit E un B-espace et soit p sa projection. Si E est un revêtement de B, il résulte du corollaire 1 ci-dessus, que l’application p est étale (I, p. 28… 01OX
Corollaire 2 Soit B un espace topologique, soit E un B-espace et soit p sa projection. Supposons que p soit étale et séparée et que l’espace B soit connexe. Pour que E soit un revêtement trivia… 01OY
Proposition 2 Soient B et B' des espaces topologiques, soit (E, p) un B-espace et soit (E', p') un B'-espace. Supposons que E et E' soient des espaces fibrés localement triviaux ( resp. des revê… 01OZ
Corollaire 1 Soient A un espace topologique, B, B' des A-espaces. Soient E et E' des espaces fibrés localement triviaux ( resp. des revêtements) de bases B et B'; notons p et p' leurs projectio… 01P0
Corollaire 2 Soit 01P1
Corollaire 3 Soit B un espace topologique. Soient E et E' des B-espaces fibrés localement triviaux ( resp. des revêtements). Alors E×_BE' est un B-espace fibré localement trivial ( resp. un rev… 01P2
Proposition 3 Soit 01P3
Remarque Si dans la proposition 3, on affaiblit l’hypothèse sur l’application f en la supposant seulement universellement stricte et surjective, et si p' est un revêtement, l’application p… 01P4
Proposition 4 Tout revêtement d’un espace connexe non vide possède un degré. 01P5
Théorème 1 Soient E, B des espaces topologiques et p: E→ B une application. Les conditions suivantes sont équivalentes : 01P6
Lemme Soient X et Y des espaces topologiques. Pour qu’une application f: X→ Y soit fermée, il faut et il suffit que pour tout point y de Y et tout voisinage W de la fibre overset-1f(y)… 01P7
Remarque Une application continue, séparée, ouverte, propre et à fibres finies n’est pas nécessairement un revêtement. C’est le cas de l’application x↦ x² de R dans [0; +∞ [. 01P8
Corollaire 1 Soient E et B des espaces topologiques et soit p: E→ B une application propre et séparée. L’ensemble U des points b de B tels que p soit étale en tout point de la fibre E_b est ouv… 01P9
Corollaire 2 Soit B un espace topologique séparé et soit E un B-espace. Supposons que E soit compact et que sa projection p: E→ B soit étale. Alors, E est un revêtement fini de B. 01PA
Corollaire 3 Soit B un espace topologique, soient (E, p) et (E', p') des B-espaces et soit f: E'→ E un B-morphisme. Supposons que E' soit un revêtement localement fini de B. 01PB
Corollaire 4 Soit 01PC
Corollaire 5 Soit B un espace topologique connexe et soit (E, p) un revêtement fini de B. L’espace E n’a qu’un nombre fini de composantes connexes et chacune d’entre elles est un revêtement de… 01PD
Proposition 5 Soit B un espace topologique, soient E et E' des B-espaces et soit f: E'→ E un B-morphisme. On suppose que E est un revêtement localement fini et que l’espace E', muni de l’applica… 01PE
Remarque Si (E, p) est un revêtement de B et si (E', f) est un revêtement de E, l’application p∘ f est étale (I, p. 29, prop. 6, a)) et séparée (I, p. 25, prop. 2, a)). Mais il peut arriver… 01PF
Proposition 6 Soit B un espace topologique et soit E un B-espace ; notons p sa projection. Supposons que l’espace E soit localement connexe. Pour que E soit un revêtement de B, il faut et il suf… 01PG
Corollaire 1 Soit B un espace topologique localement connexe, soit (E, p) un revêtement de B et soit E' une partie ouverte et fermée de E. Le B-espace (E', p|E') est un revêtement et p(E') est… 01PH
Corollaire 2 Soit B un espace topologique localement connexe, soient (E, p), (E', p') des revêtements de B et soient f, g: E'→ E des B-morphismes. Pour tout point b de B, notons f_b, g_b: E_b→… 01PI
Corollaire 3 Soit B un espace topologique connexe et localement connexe, soient (E, p) et (E', p') des revêtements de B. Pour tout point b de B, l’application f↦ f_b de C_B(E'; E) dans C(E'_b… 01PJ
Corollaire 4 Soit B un espace topologique connexe et localement connexe, soit (E, p) un revêtement de B et soit b un point de B. Pour que E soit un revêtement trivialisable, il faut et il suffi… 01PK
Corollaire 5 Soit 01PL
Proposition 7 Soit B un espace topologique, soient E et E' des B-espaces et soit f: E'→ E un B-morphisme. On suppose que E' est un revêtement de B et que l’espace B est localement connexe. 01PM
Lemme Si U est une composante connexe de E', la restriction de f à U induit un homéomorphisme de U sur une composante connexe de E. 01PN
Remarque Soit B un espace topologique, soient (E, p) et (E', p') des B-espaces et soit f: E'→ E un B-morphisme. 01PO
Corollaire Soit B un espace topologique connexe et localement connexe. Soient E et E' des revêtements de B. Soit b un point de B. Soit f: E'→ E un B-morphisme et soit f_b: E'_b→ E_b l’applica… 01PP
Proposition 8 Un revêtement d’un espace paracompact ( I, p. 69) est un espace paracompact. 01PQ
Lemme Soit E un espace topologique séparé. Supposons que E possède un recouvrement ouvert localement fini (Vᵢ)_i∈ I tel que, pour tout i∈ I,overlineVᵢ soit un espace paracompact. Alors… 01PR
Remarque On peut démontrer qu’un revêtement d’un espace métrisable est métrisable (I, p. 145, exerc. 1) et qu’un revêtement connexe d’un espace localement compact dénombrable à l’infini est… 01PS
Définition 3 On dit qu’un faisceau F sur un espace topologique B est localement constant si tout point de B possède un voisinage ouvert U tel que le faisceau induit F|U soit isomorphe à un fais… 01PT
Proposition 9 Pour qu’un faisceau soit localement constant, il faut et il suffit que l’espace étalé associé soit un revêtement. 01PU
Corollaire Pour qu’un B-espace étalé soit un revêtement, il faut et il suffit que le faisceau de ses sections soit localement constant. 01PV
Proposition 10 Si l’ensemble I est fini, le B-morphisme Φ est un isomorphisme. 01PW
Proposition 11 Si l’ensemble I est fini, ou si l’espace B est localement connexe, le morphisme canonique ψ : F→ ∏ Fᵢ est un isomorphisme. 01PX
Corollaire 1 Un produit fini de faisceaux localement constants est localement constant. 01PY
Corollaire 2 Soit (Fᵢ)_i∈ I une famille de faisceaux sur B. Supposons que l’espace B soit localement connexe et que tout point de B possède un voisinage ouvert U tel que, pour tout i∈ I, le fai… 01PZ
Remarque 1 Soit (Eᵢ, pᵢ)_i∈ I une famille de revêtements de l’espace topologique B. Supposons que l’espace B soit localement connexe et qu’il existe un recouvrement ouvert (Uⱼ)_j∈ J de B tel… 01Q0
Remarque 2 Avec les notations précédentes, le B-morphisme canonique Φ : E→ ∏_BEᵢ est bijectif. La question est en effet de nature locale sur B et l’on peut supposer que, pour tout i∈ I, le B-… 01Q1
Proposition 12 Supposons que l’espace B soit localement connexe et que les B-espaces E et E' soient des revêtements. Le faisceau Mor_B(E; E') est alors localement constant et, pour tout b∈ B, l’a… 01Q2
Corollaire 1 Soient B un espace topologique et A un sous-espace de B. On suppose que les espaces A et B sont localement connexes. Soient E et E' des revêtements de B. Alors les morphismes canon… 01Q3
Corollaire 2 Soient B un espace topologique et A un sous-espace de B. On suppose que les espaces A et B sont localement connexes et que le couple (B,A) jouit de la propriété (PCV) de I, p. 37… 01Q4

§ 5. Revêtements principaux

Définition 1 Soient G un groupe topologique et B un espace topologique. On appelle espace fibré principal (à droite) de base B et de groupe G un B-espace (E, p) muni d’une opération à droite de… 01Q5
Exemple 1 Soit (E, p) un espace fibré principal de base B et de groupe G et soit A un sous-espace de B. Le sous-espace E_A=overset-1p(A) de E est stable pour l’opération de G et l’applicatio… 01Q6
Exemple 2 Soit (E, p) un espace fibré principal de base B et de groupe G ; soit (E', p') un espace fibré principal de base B' et de groupe G'. On définit une loi d’opération à droite du grou… 01Q7
Exemple 3 En particulier, lorsque B = B', le B-espace E×_BE' s’identifie à l’espace fibré principal de groupe G× G' induit par E× E' au-dessus de la diagonale Δ_B de B× B. Muni de cette stru… 01Q8
Exemple 4 Soit E un espace fibré principal de base B et de groupe G et soit F un espace topologique. Le (B× F)-espace E× F muni de la loi d’opération (x, y)· g= (x· g, y), pour x∈ E,y∈ F et… 01Q9
Exemple 5 Soient B un espace topologique et (E, p) un espace fibré principal de base B et de groupe G. Soient B' un espace topologique et f: B'→ B une application continue. Le groupe G opère… 01QA
Proposition 1 Tout morphisme d’espaces fibrés principaux est un isomorphisme. 01QB
Corollaire Soient G un groupe topologique, (E, p) et (E', p') des espaces fibrés principaux de groupe G et de bases B et B' respectivement. Soient f: B'→ B et f': E'→ E des applications conti… 01QC
Proposition 2 Soit (E, p) un espace fibré principal de base B et de groupe G, et soit ε la section b↦ (b, e) de l’espace fibré principal trivial (B× G, pr₁), où e désigne l’élément neutre de G… 01QD
Corollaire Un espace fibré principal est trivialisable si et seulement s’il admet une section continue. 01QE
Proposition 3 Soient E et B des espaces topologiques, p: E→ B une application continue et G un groupe topologique opérant à droite sur E. Les conditions suivantes sont équivalentes : 01QF
Remarque 1 Soit (E, p) un espace fibré principal de base B et de groupe G. Avec les notations de la proposition 3, l’application θ⁻¹: E×_BE→ E× G est une trivialisation de l’espace fibré prin… 01QG
Corollaire 1 Soit G un groupe topologique opérant continûment à droite dans un espace topologique E. Les conditions suivantes sont équivalentes : 01QH
Corollaire 2 Soit G un groupe topologique, soient H un sous-groupe de G et p: G→ G/H l’application canonique. Si l’application p possède une section continue au-dessus d’un ensemble ouvert non… 01QI
Remarque 2 Cette situation se présente notamment lorsque G est un groupe de Lie réel, de dimension finie, dénombrable à l’infini, opérant transitivement et analytiquement sur une variété anal… 01QJ
Définition 2 Soit B un espace topologique et soit G un groupe. Munissons G de la topologie discrète. Un espace fibré principal de base B et de groupe G est appelé un revêtement principal de B d… 01QK
Proposition 4 Soient B un espace topologique, (E, p) un B-espace et G un groupe topologique discret opérant à droite sur E. Les assertions suivantes sont équivalentes : 01QL
Exemple 1 Soient E un espace topologique, G un groupe topologique discret opérant continûment et librement dans E à droite. Pour que l’application canonique p: E→ E/G fasse de E un revêtemen… 01QM
Exemple 2 Soit q: E→ X une application étale et séparée. Le groupe Aut_X(E), muni de la topologie discrète, opère continûment à gauche dans E. Si l’espace E est connexe, cette opération est… 01QN
Théorème 1 Soit G un groupe discret opérant continûment à droite dans un espace topologique E. Supposons que tout point de E possède un voisinage U tel que U∩ (U· g) =∅ pour tout élément g de… 01QO
Exemple 1 Soit n un entier geqslant 0, soit Pₙ(R) l’espace projectif à n dimensions (TG, VI, p. 13) et soit Sₙ la sphère unité de Rⁿ⁺¹ (TG, VI, p. 9). L’application canonique de Sₙ sur Pₙ(R)… 01QP
Exemple 2 Tout revêtement de degré 2 possède une unique structure de revêtement principal de groupe Z/2Z. 01QQ
Exemple 3 Soient X une variété différentielle séparée localement de dimension finie sur R et widetildeX la variété des orientations du fibré tangent de X (VAR, R, 10.2.4). L’espace widetilde… 01QR
Corollaire 1 Soit G un groupe topologique discret opérant continûment à droite dans un espace topologique E. Les conditions suivantes sont équivalentes : 01QS
Corollaire 2 Soit G un groupe topologique et soit H un sous-groupe discret de G. Faisons opérer H sur G par translations à droite. Alors, l’application canonique de G dans l’espace G/H des clas… 01QT
Exemple 4 Muni de l’application canonique de R sur T=R/Z (TG, V, p. 2),R est un revêtement principal de R/Z de groupe Z. 01QU
Remarque 1 Soient G un groupe topologique séparé, K un sous-groupe compact de G et H un sous-groupe discret de G. Le groupe G opère continûment et proprement à droite dans l’espace Kbackslash… 01QV
Corollaire 3 Soient G et G' des groupes topologiques, soit φ : G→ G' un homomorphisme continu, ouvert et surjectif. On suppose que le noyau H de φ est discret. Alors, pour l’opération de H dans… 01QW
Remarque 2 Soient G et G' des groupes topologiques et soit φ : G→ G' un homomorphisme continu et ouvert. Si le groupe G' est connexe, l’homomorphisme φ est surjectif. En effet, φ (G) est un s… 01QX
Remarque 3 Soit G un groupe localement compact dénombrable à l’infini et soit G' un groupe topologique séparé dont l’espace sous-jacent est un espace de Baire. Tout homomorphisme continu et s… 01QY
Exemple 5 Pour tout entier n > 0, notons μₙ le groupe des racines n-ièmes de l’unité dans C (A, V, p. 75). L’application z↦ zⁿ fait de C^* un revêtement principal de C^* de groupe μₙ, ce gro… 01QZ
Exemple 6 Muni de l’application z↦ e^2π iz (TG, VIII, p. 8, remarque), l’espace C est un revêtement principal de C^* de groupe Z. L’application x↦ e^2π ix=e(x) de R sur S₁ fait de R un revêt… 01R0
Définition 3 Soit B un espace topologique non vide. On dit qu’un revêtement E de B est galoisien s’il est connexe et si, pour tout point b de B, l’opération du groupe Aut_B(E) des B-automorphis… 01R1
Proposition 5 Soit B un espace topologique non vide et soit E un revêtement galoisien de B. L’application (h, x)↦ h(x) de Aut_B(E)× E dans E est une loi d’opération à droite du groupe Aut_B(E)^∘… 01R2
Théorème 2 Soit B un espace topologique connexe, soit E un revêtement de B, connexe et non vide. Les propriétés suivantes sont équivalentes : 01R3
Proposition 6 Soient B un espace topologique et G un groupe. Soit (E, p) un revêtement de B, principal de groupe G. Supposons l’espace B connexe et localement connexe. Soit E₀ une composante con… 01R4
Remarque Si, dans la proposition 6, on ne suppose pas l’espace B localement connexe, il peut arriver que l’espace E₀ ne soit pas un revêtement de B (I, p. 147, exerc. 1). 01R5
Exemple 1 Soit F un espace topologique et soit G un groupe topologique opérant continûment à gauche dans F. Si l’on munit l’espace topologique G de l’opération de G par translations à droite… 01R6
Exemple 2 L’exemple 1 se généralise comme suit. Soient B et F des espaces topologiques et soit G un groupe topologique opérant continûment à gauche dans F. Par passage aux quotients, l’appli… 01R7
Exemple 3 De façon analogue, soit E un espace topologique et soit G un groupe topologique opérant continûment à droite dans E. Si l’on munit l’espace topologique G de l’opération de G par tr… 01R8
Lemme L’application λ est un homéomorphisme. 01R9
Proposition 7 Soit B un espace topologique, soit G un groupe topologique, soit (E, p) un B-espace fibré principal de groupe G et soit F un espace topologique dans lequel le groupe G opère contin… 01RA
Exemple 4 Soient B un espace topologique, G un groupe topologique et soit (E, p) un B-espace fibré principal de groupe G. Soit H un sous-groupe de G. 01RB
Exemple 5 Soit B un espace topologique, soit G un groupe topologique et soit E un B-espace fibré principal de groupe G. Soit F un espace homogène topologique relativement à G (TG, III, p. 12… 01RC
Exemple 6 Soit B un espace topologique, soit G un groupe topologique, soit (E, p) un B-espace fibré principal de groupe G. Soit H un groupe topologique et soit f: G→ H un morphisme de groupe… 01RD
Définition 4 Soit B un espace topologique et soit G un groupe topologique. Un B-espace fibré localement trivial X est dit associable à un B-espace fibré E principal de groupe G s’il existe un e… 01RE
Définition 5 Soit B un espace topologique, soit G un groupe topologique discret et soit E un revêtement de B principal de groupe G. Un revêtement X de B est dit associable au revêtement princip… 01RF
Proposition 8 Soit B un espace topologique connexe et non vide. Soit G un groupe discret et soit (E, p) un revêtement de B principal de groupe G. Supposons que E soit connexe. Avec les notations… 01RG
Corollaire 1 Soit (E, p) un revêtement principal de B de groupe G ; supposons que E soit connexe et non vide. Un revêtement X de B est associable à E si et seulement si le revêtement p^*(X) est… 01RH
Corollaire 2 Soit B un espace topologique connexe et localement connexe, soit (E, p) un revêtement de B principal de groupe G. Soit E₀ une composante connexe de E et soit G₀ le sous-groupe de G… 01RI
Proposition 9 Soit B un espace topologique, soit E un revêtement principal de B de groupe G, connexe et non vide. Soit F un G-ensemble non vide muni de la topologie discrète. Pour que l’espace E… 01RJ
Proposition 10 Soit B un espace topologique, soit (E, p) un revêtement de B principal de groupe G et soit X un revêtement de B. Supposons que E et X soient connexes et non vides. Les propriétés s… 01RK
Corollaire Soit E un revêtement galoisien de B et soit X un revêtement de B, connexe et non vide. Supposons que X soit un revêtement fini ou bien que l’espace B soit localement connexe. S’il… 01RL
Théorème 3 Soit B un espace topologique non vide, connexe et localement connexe. Tout revêtement de B est associable à un revêtement galoisien ; tout revêtement fini de B est associable à un… 01RM
Définition 6 Soit B un espace topologique, soit G un groupe topologique et soit U= (Uᵢ)_i∈ I un recouvrement ouvert de B. On appelle 1-cocycle continu sur B à valeurs dans G, subordonné à U, la… 01RN
Définition 7 Soient B un espace topologique, G un groupe topologique et U= (Uᵢ)_i∈ I un recouvrement ouvert de B. On dit que deux cocycles (gᵢⱼ) et (g'ᵢⱼ) de Z¹_cont(B,U,G) sont cohomologues s’… 01RO
Proposition 11 Soient B un espace topologique, G un groupe topologique et U= (Uᵢ)_i∈ I un recouvrement ouvert de B. 01RP
Théorème 4 L’application r: H¹_cont(B,G)→ P(B,G) est bijective. 01RQ

§ 6. Espaces simplement connexes

Définition 1 On appelle ensemble pointé un ensemble X muni de l’un de ses éléments, appelé point-base. L’ensemble X muni du point x est parfois noté (X, x). Soient (X, x) et (Y, y) des ensemble… 01RR
Définition 2 On dit qu’un revêtement pointé (E, x) de (B, b) est un revêtement universel si, pour tout revêtement pointé (E', x') de (B, b), il existe un unique morphisme de revêtements de B, f… 01RS
Proposition 1 Soit B un espace topologique connexe et localement connexe et soit b un point de B. Soit (E, x) un revêtement universel de (B, b). Alors, E est un revêtement galoisien de B et tout… 01RT
Corollaire Soit B un espace topologique localement connexe. Soit b un point de B et soit (E, x) un revêtement universel de (B, b). Pour un sous-espace A de B, les deux propriétés suivantes so… 01RU
Lemme 1 Soit E l’espace numérique à n dimensions et soit A une partie convexe et compacte de E dont 0 est un point intérieur. Pour tout x∈ E, notons p_A(x) la borne inférieure dans overlin… 01RV
Proposition 2 Soit E l’espace numérique à n dimensions et soit A une partie convexe et compacte de E dont 0 est un point intérieur. Il existe une unique bijection u de E sur lui-même vérifiant l… 01RW
Exemple L’ensemble [0,1]ⁿ est une partie convexe, compacte et d’intérieur non vide de Rⁿ. Il résulte de la proposition 2 de I, p. 123 qu’il est homéomorphe à la boule euclidienne fermée. P… 01RX
Définition 3 On dit qu’un espace topologique est simplement connexe si tous ses revêtements sont trivialisables. 01RY
Remarque 1 Soient B un espace topologique simplement connexe et (E, p) un revêtement de B. Si l’espace E est connexe et non vide, l’application p est un homéomorphisme. Soient, par exemple, G… 01RZ
Remarque 2 Soit B un espace topologique dont tout point possède un voisinage simplement connexe ; alors tout revêtement d’un revêtement de B est un revêtement de B. Considérons en effet un re… 01S0
Proposition 3 Soit B un espace topologique. Soit (E, p) un revêtement de B et soit y un point de E. Soit X un espace topologique simplement connexe, soient f: X→ B une application continue et x… 01S1
Exemple 1 Soit X un espace topologique simplement connexe et soit f une fonction continue de X dans C^*. Rappelons (I, p. 101, exemple 6) que l’application z↦ eᶻ fait de C un revêtement de C… 01S2
Corollaire Soit B un espace topologique et soit b un point de B. Soit E un revêtement simplement connexe de B. Pour tout point x de E_b, l’espace pointé (E, x) est un revêtement universel de… 01S3
Proposition 4 Le produit de deux espaces simplement connexes dont l’un est localement connexe est un espace simplement connexe. 01S4
Proposition 5 Un espace topologique connexe et localement connexe, tel que l’intersection de deux parties ouvertes connexes quelconques soit connexe, est un espace simplement connexe. 01S5
Corollaire Tout intervalle de la droite réelle R est simplement connexe. 01S6
Exemple 2 L’espace numérique à n dimensions Rⁿ (TG, VI, p. 1) est simplement connexe. Il est en effet produit d’espaces simplement connexes et localement connexes (I, p. 126, prop. 4 et cor… 01S7
Proposition 6 Soit X un espace topologique. Soient U₁ et U₂ des sous-espaces ouverts ( resp. fermés) de X tels que X = U₁∪ U₂. Supposons que U₁ et U₂ soient simplement connexes et que leur inter… 01S8
Exemple 3 Pour ngeqslant 2, la sphère Sₙ (TG, VI, p. 10) est simplement connexe. En effet, la sphère Sₙ est réunion de deux hémisphères fermés homéomorphes à Bₙ dont l’intersection est homéo… 01S9
Exemple 4 Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur R et soit F un sous-espace affine de E de codimension pgeqslant 3. L’ensemble Rᵖ-0 est homéomorphe à R× Sₚ₋₁ (TG, VI, p. 10, cor… 01SA
Proposition 7 Soit X un espace topologique. Soient U₁ et U₂ des sous-espaces ouverts ( resp. fermés) connexes de X tels que X = U₁∪ U₂. Si l’espace X est simplement connexe, alors U₁∩ U₂ est con… 01SB
Corollaire Soit X un espace topologique simplement connexe et soit A une partie connexe de X. Si le complémentaire de A est connexe, sa frontière l’est aussi. 01SC
Proposition 8 Soit B un espace topologique. Soit T un espace simplement connexe et localement connexe. Soit E un revêtement de B× T, de projection p, et soit t un point de T. Notons Eₜ l’espace… 01SD
Corollaire 1 Sous les hypothèses de la prop. 8, si t et t' sont deux points de T, les revêtements Eₜ et E_t' sont B-isomorphes. 01SE
Corollaire 2 Sous les hypothèses de la prop. 8, soient (E, p) et (E', p') des revêtements de B× T et soit k: Eₜ→ E'ₜ un B-morphisme. Il existe un unique (B× T)-morphisme widetildek: E→ E' qui p… 01SF
Corollaire 3 Soient B et B' des espaces topologiques, soit T un espace topologique simplement connexe et localement connexe. Soit f: B'× T→ B une application continue et soit E un revêtement de… 01SG
Remarque Conservons les hypothèses et les notations de la proposition 8. Soit G un groupe topologique discret. Supposons que E soit un revêtement principal de groupe G. Si l’on munit les re… 01SH
Proposition 9 Soit B un espace topologique et soit (E, p) un revêtement de B. Soit T un espace topologique simplement connexe, localement connexe et localement compact. Notons widetildep:C_c(T… 01SI
Lemme Soient X, Y, Z des espaces topologiques et soit g: Y→ Z une application continue. 01SJ
Lemme 2 Pour tout point x∈ X, l’application μₓ: Eₓ× M→ X donnée par (g, u)↦ g· u est universellement stricte, et son image Eₓ· M est un voisinage de x dans X. En particulier, S· M est un v… 01SK
Lemme 3 Le groupe G est engendré par S. 01SL
Lemme 4 La relation « (g₁, u₁) est congru à (g₂, u₂) » est une relation d’équivalence dans Z, compatible avec l’opération de F. 01SM
Lemme 5 Si M est connexe, l’espace Y est connexe. 01SN
Lemme 6 Pour tout x∈ X, le groupe N opère fidèlement et transitivement sur la fibre overset-1p(x). 01SO
Lemme 7 Muni de l’action de N, le X-espace (Y, p) est un revêtement principal à gauche. Il est trivialisable au-dessus de M. 01SP
Proposition 10 Soit X un espace topologique non vide et connexe, soit G un groupe discret opérant continûment à gauche dans X et soit M une partie de X telle que G· M = X. On fait l’une des deux… 01SQ
Proposition 11 Soient X un espace topologique simplement connexe et G un groupe discret opérant continûment à droite dans X. Si le sous-groupe de G engendré par la réunion des fixateurs des point… 01SR

II. Groupoïdes

§ 1. Carquois

Définition 1 Un carquois est un quadruplet (S,F, o, t), où S et F sont des ensembles et o,t des applications de F dans S. 01SS
Définition 2 Soit C un carquois. Un chemin dans C est une suite c= (a₀, f₁, a₁, . . . , aₙ₋₁, fₙ, aₙ), où n est un entier geqslant 0,a₀, . . . , aₙ sont des sommets de C et où, pour 1leqslant i… 01ST

§ 2. Graphes

Définition 1 Un graphe[^1] est un carquois (S,F, o, t) muni d’une involution de F, notée f↦ overlinef, sans point fixe et telle que t(overlinef) =o(f) pour tout f∈ F. 01SU
Définition 2 Une forêt est un graphe dans lequel tout lacet sans aller-retour est un lacet constant. Un arbre est une forêt connexe. 01SV
Proposition 1 Soit G un graphe. Toute forêt de G est contenue dans une forêt maximale de G ; en particulier, il existe une forêt maximale de G. 01SW
Corollaire Une forêt maximale d’un graphe connexe en est un arbre maximal. 01SX
Remarque 1 On a défini dans LIE, IV, p. 33, annexe, la notion de graphe combinatoire comme un couple (A,S), où S est un ensemble et A une partie de 𝔓(S) formée d’ensembles à deux éléments ; l… 01SY

§ 3. Groupoïdes

Définition 1 Soit C un carquois. Notons J l’ensemble des couples (f, g) de flèches de C tels que t(f) =o(g). Une loi de composition dans C est une application m: J→ Fl(C) telle que, pour tout c… 01SZ
Définition 2 Une catégorie est un carquois muni d’une loi de composition associative pour laquelle il existe en chaque sommet un élément neutre. 01T0
Exemple 1 Soit C un carquois. Notons Ch(C) l’ensemble des chemins dans C et o: Ch(C) → Som(C),t: Ch(C) → Som(C) les applications qui, à un chemin, associent son origine et son terme. Le quad… 01T1
Exemple 2 Soit Σ une espèce de structure dans une théorie T plus forte que la théorie des ensembles et soit σ (x, y, s, u) un terme de T vérifiant les conditions (MO_I), (MO_II) et (MO_III)… 01T2
Définition 3 Soient C et C' des catégories. On appelle foncteur de C dans C' un morphisme de carquois φ : C→ C' tel que φ (f g) = φ (f)φ (g) pour tout couple (f, g) de flèches composables de C. 01T3
Définition 4 Un groupoïde est une catégorie dont chaque flèche est inversible. 01T4
Proposition 1 Soit G un groupoïde. La relation « il existe une flèche de G reliant a à b » est une relation d’équivalence dans l’ensemble des sommets de G dont les classes d’équivalence sont les… 01T5
Définition 5 Soit C une catégorie. Une sous-catégorie de C est un sous-carquois D de C satisfaisant aux conditions suivantes : 01T6
Définition 6 Soit G un groupoïde. Un sous-groupoïde de G est une sous-catégorie H de G telle que l’inverse de toute flèche de G appartenant à H soit une flèche de H. 01T7
Exemple 1 Soit X un ensemble ; notons X× X le groupoïde des couples de X (II, p. 163, exemple 2). Soit R une relation d’équivalence dans X. Le sous-carquois du groupoïde X× X dont l’ensemble… 01T8
Exemple 2 Soient G et G' des groupoïdes, soient φ et ψ des morphismes de groupoïdes de G dans G'. L’égalisateur de φ et ψ (cf. II, p. 153) est un sous-groupoïde de G. 01T9
Exemple 3 Soient X un ensemble et Γ un groupe. Notons X× Γ × X le carquois dont l’ensemble des sommets est X, l’ensemble des flèches est X× Γ × X, les applications origine et terme étant res… 01TA
Exemple 4 Soit G un groupoïde, soit X un ensemble et soit φ : X→ Som(G) une application. Définissons un carquois G' de la façon suivante. L’ensemble Som(G') est l’ensemble X ; pour tout coup… 01TB
Exemple 5 Soit φ : G→ G' un morphisme de groupoïdes. Soit H le sous-carquois de G d’ensemble de sommets Som(G) et dont l’ensemble des flèches est formé des f∈ Fl(G) tels que φ (f) soit un él… 01TC
Exemple 6 Soit φ : G→ G' un morphisme de groupoïdes. Le carquois φ (G) dont l’ensemble des sommets est φ(Som(G)) et dont l’ensemble des flèches est φ(Fl(G)) n’est en général pas un sous-grou… 01TD
Exemple 1 Soit G un groupe, soit G le groupoïde associé à G (II, p. 163, exemple 1). Si X est un ensemble, une opération (à droite) du groupoïde G sur X n’est autre qu’une opération (à droit… 01TE
Exemple 2 Soit G = (S,F, o, t) un groupoïde. Il existe une unique opération de G sur l’ensemble S, relativement à Id_S. Elle est donnée par φ (f)(a) =b si f∈ G_a,b. Les orbites pour cette op… 01TF
Définition 7 Soit G un groupoïde. On dit qu’un sous-groupoïde H de G est distingué si Som(H) = Som(G) et si pour tout couple (a, b) de sommets de H et toute flèche f∈ G_a,b, on a Int(f)(H_b) =… 01TG
Lemme Étant données des flèches composables u et v de G/H, on peut choisir des représentants f et g de u et v dans Fl(G) qui soient composables. La classe modulo R du produit f g ne dépe… 01TH
Définition 8 On dit que G/H est le groupoïde quotient de G par H et que p: G→ G/H est le morphisme canonique. 01TI
Remarque 1 L’application Som(p) définit, par passage aux quotients, une bijection de l’ensemble des orbites de G sur l’ensemble des orbites de G/H. En particulier, G est transitif si et seule… 01TJ
Remarque 2 Soient a et b des sommets de G. L’application de G_a,b dans (G/H)_p(a),p(b) déduite de p est surjective. Soit en effet u une flèche de G/H reliant p(a) à p(b) ; c’est la classe mod… 01TK
Proposition 2 Soit a un sommet de G. L’homomorphisme de groupes pₐ: Gₐ→ (G/H)ₚ₍ₐ₎ déduit de p par passage aux groupes d’isotropie est surjectif ; son noyau est Hₐ. 01TL
Proposition 3 Soit G un groupoïde, soit H un sous-groupoïde distingué de G et soit p: G→ G/H le morphisme canonique. Soit φ : G→ G' un morphisme de groupoïdes tel que H⊂ Ker(φ ). Il existe un un… 01TM
Proposition 4 Muni de cette loi de composition, varpi_G est un groupoïde. 01TN
Proposition 5 Soit G un graphe ; notons j le morphisme canonique de carquois de G dans varpi_G. Soit φ un morphisme de carquois de G dans un groupoïde G' tel que φ (overlinef) =φ (f)⁻¹ pour tout… 01TO
Corollaire 1 Dans un graphe, toute classe de chemins contient un unique chemin sans aller-retour. 01TP
Corollaire 2 Le morphisme canonique de G dans varpi_G est injectif. 01TQ
Corollaire 3 Soit G' un sous-graphe de G. Le morphisme de varpi_G' dans varpi_G déduit de l’injection de G' dans G est injectif. 01TR
Corollaire 4 Un graphe non vide G est un arbre si et seulement si le groupoïde varpi_G est simplement transitif. 01TS
Définition 9 Soit C un carquois. On appelle groupoïde libre construit sur C, et on note Grp(C), le groupoïde varpi_widetildeC des classes de chemins du graphe widetildeC associé à C. 01TT
Proposition 6 Soit C un carquois, soit G un groupoïde et soit φ un morphisme de carquois de C dans G. Il existe un unique morphisme de groupoïdes φ ' de Grp(C) dans G tel que φ '∘ θ_C=φ. 01TU
Exemple Soit C un carquois ayant un unique sommet s et soit A l’ensemble de ses flèches. Le groupoïde Grp(C) est alors le groupoïde associé au groupe libre F(A) construit sur A. En effet… 01TV
Proposition 7 Pour tout morphisme de groupoïdes φ : G→ G' qui applique toute flèche appartenant à F sur un élément neutre de G', il existe un unique morphisme de groupoïdes φ ': G/F→ G' tel que… 01TW
Proposition 8 Soit δ le morphisme canonique du groupoïde libre Grp(Γ) dans G qui prolonge le morphisme injectif canonique de Γ dans G. Soit a un sommet de G et soit A l’orbite de a dans G. Pour… 01TX
Corollaire 1 Supposons de plus que, pour toute flèche f de F, on ait o(f) =t(f). Alors, l’origine et le terme de tout chemin dans le carquois Γ coïncident. Soit a un sommet de G et soit A son o… 01TY
Corollaire 2 Si le graphe associé au carquois Γ est une forêt, l’homomorphisme pₐ de Gₐ dans (G/F)ₚ₍ₐ₎ est bijectif, pour tout sommet a de G. 01TZ
Proposition 9 Soit a un sommet de G. Il existe un unique homomorphisme λ du groupe libre F(S-Fl(A)) dans π₁(G, a) tel que 01U0
Remarque 1 L’homomorphisme μₐ est l’isomorphisme réciproque de λ. 01U1
Remarque 2 Il existe un unique homomorphisme λ : F(Fl(G)) → π₁(G, a) défini par les relations (1) pour tout f∈ Fl(G). Il résulte de la proposition 8 que l’homomorphisme λ est surjectif et que… 01U2

§ 4. Homotopies

Définition 1 Soient G un groupoïde, H un carquois, φ et φ ' des morphismes de carquois de H dans G. Une homotopie reliant φ à φ ' est une application h de l’ensemble des sommets de H dans l’ens… 01U3
Remarque 1 Soient G, G' des groupoïdes, H, H' des carquois, soient u: H'→ H un morphisme de carquois et v: G→ G' un morphisme de groupoïdes. Si des morphismes de carquois φ ,φ ' de H dans G s… 01U4
Remarque 2 Soit G un groupoïde, soit H un carquois et soient φ , ψ des morphismes de carquois de H dans G. Notons j le morphisme canonique de H dans Grp(H), soient overlineφ et overlineψ les… 01U5
Définition 2 Soient G, G' des groupoïdes et soit φ un morphisme de G dans G'. On appelle inverse à homotopie près de φ un morphisme de groupoïdes ψ de G' dans G tel que les morphismes ψ ∘ φ et… 01U6
Proposition 1 Soient G, G' des groupoïdes, soit φ un morphisme de G dans G', et soit A une partie de l’ensemble des sommets de G qui rencontre chaque orbite de G. Pour que φ soit un homotopisme… 01U7
Corollaire 1 Soit G un groupoïde, soit A un ensemble et soit f: A→ Som(G) une application. Si l’image de f rencontre chaque orbite de G, le morphisme de groupoïdes canonique φ de f^*G dans G es… 01U8
Corollaire 2 Soit G un groupoïde, soit X une forêt orientée de G, soit G' le groupoïde déduit de G par contraction des flèches de X. Le morphisme canonique de G dans G' est un homotopisme. 01U9
Proposition 2 Le groupoïde Coh(φ , ψ ) est engendré par le sous-carquois dont l’ensemble des sommets est Som(G) et celui des flèches est la réunion des images des applications Fl(α ) et h. 01UA
Proposition 3 Le morphisme de carquois α est un morphisme de groupoïdes de G dans Coh(φ , ψ ) et l’application h est une homotopie reliant α ∘ φ à α ∘ ψ. 01UB
Définition 3 Le groupoïde Coh(φ , ψ ) s’appelle le cohomotopeur du couple (φ , ψ ). On dit que α est le morphisme canonique de G dans Coh(φ , ψ ) et que h est l’homotopie canonique reliant α ∘… 01UC
Proposition 4 L’application Orb(α ): Orb(G) → Orb(Coh(φ , ψ )) est surjective, ses fibres sont les composantes connexes de l’armature du couple (φ , ψ ). 01UD
Proposition 5 Soit G' un groupoïde, soient η ,η ' des morphismes de groupoïdes de Coh(φ , ψ ) dans G' et soit k une application de Som(G) dans Fl(G'). Pour que k soit une homotopie reliant η à η… 01UE
Théorème 1 Faisons les hypothèses suivantes : 01UF
Définition 4 On appelle équipement de base du couple (φ , ψ ) la donnée : 01UG
Proposition 6 Il existe un unique homomorphisme de groupes 01UH

§ 5. Coégalisateur

Proposition 1 Le morphisme de groupes β_a₀: G_a₀→ G'_β(a₀) est surjectif, son noyau est le plus petit sous-groupe de G_a₀ contenant les classes de conjugaison c(z) pour z∈ Ω (widetildeΓ). 01UI
Définition 1 On dit qu’une partie Z de Ω (widetildeΓ) est distinguée (relativement au couple (φ , ψ )) si elle vérifie les propriétés suivantes : 01UJ
Proposition 2 Si N est un sous-groupe distingué de Gₐ, l’ensemble des éléments z∈ Ω (widetildeΓ) tels que c(z) soit contenu dans N est une partie distinguée de Ω (widetildeΓ). 01UK
Corollaire Soit Z une partie de Ω (widetildeΓ); pour que les classes de conjugaison c(z), pour z∈ Z, engendrent le noyau de l’homomorphisme canonique β_a₀: G_a₀→ G'_β(a₀), il suffit que la pl… 01UL
Définition 2 On dit que le groupoïde Coeg(φ , ψ ) est le coégalisateur du couple (φ , ψ ) ; le morphisme de groupoïdes γ s’appelle le morphisme canonique de G dans Coeg(φ , ψ ). 01UM
Proposition 3 Le couple (Coeg(φ , ψ ), γ ) possède la propriété universelle suivante : 01UN
Corollaire Le groupoïde Coeg(φ , ψ ) est engendré par l’image du morphisme γ. 01UO
Remarque 1 L’ensemble des sommets de Coeg(φ , ψ ) est l’ensemble des composantes connexes du carquois 01UP
Remarque 2 L’application Orb(γ ), déduite de γ par passage aux orbites, définit par passage au quotient une bijection de l’ensemble des composantes connexes de l’armature du couple (φ , ψ ) s… 01UQ
Remarque 3 L’application Fl(γ ) de Fl(G) dans Fl(Coeg(φ , ψ )) n’est en général pas surjective. 01UR
Proposition 4 Soit μ: H×_GH→ H un morphisme de carquois tel que φ ∘ μ=φ ∘ pr₁ et ψ ∘ μ=ψ ∘ pr₂. Supposons que, pour tout couple (a, b) de sommets de H tels que φ (a) =φ (b), il existe un sommet… 01US
Lemme 1 a) Pour tout sommet a de Ker(φ , ψ ), ((a,1)) appartient à Z'₁. 01UT
Corollaire a) Avec les notations de la proposition 4, supposons en outre que l’application (Som(φ ), Som(ψ )) de Som(H) dans Som(G) × Som(G) soit injective et que son image soit le graphe d’u… 01UU
Exemple Soient X et R des espaces topologiques, soient o et t des applications continues de R dans X, soit C l’ensemble des couples (f, g)∈ R² tels que t(f) =o(g) dans R et soit m une appl… 01UV
Remarque Plus généralement, les hypothèses de la proposition sont satisfaites lorsque (G,H, φ , ψ , μ) est un « groupoïde de groupoïdes. » Cela signifie que G et H sont des groupoïdes, φ et… 01UW
Définition 3 Soient G et H des groupoïdes ; soient φ et ψ des morphismes de groupoïdes de H dans G. On suppose que le groupoïde Coeg(φ , ψ ) est transitif. Soit (a, b, c₁, c₂,T, i₀) un équipeme… 01UX
Proposition 5 Soient G et H des groupoïdes ; soient φ et ψ des morphismes de groupoïdes de H dans G. Supposons que le groupoïde Coeg(φ , ψ ) soit transitif. Notons γ : G→ Coeg(φ , ψ ) le morphis… 01UY
Proposition 6 L’unique homomorphisme de groupes 01UZ
Corollaire 1 Supposons que le groupe K soit engendré par les fixateurs des sommets de G. Alors, l’homomorphisme de groupes γₒ: Gₒ→ (G/K)_γ(o) est surjectif. En outre, si le groupoïde G est simp… 01V0
Remarque 1 On peut donner une autre description, parfois plus commode, du groupe (G/K)_γ(o). Pour cela, posons M = K× Gₒ et définissons une loi de composition dans M par la formule 01V1
Corollaire 2 Supposons que le groupe K opère librement dans Som(G). Il existe alors un unique morphisme de groupes π : (G/K)_γ(o)→ K dont le noyau contient l’image de γₒ et tel que π (λ ([k]))… 01V2
Corollaire 3 Supposons que le groupoïde G soit simplement transitif. Soit K₀ le sous-groupe de K engendré par les fixateurs des sommets de G. L’application de K dans (G/K)_γ(o) qui à k∈ K assoc… 01V3

III. Homotopie et groupoïde de Poincaré

§ 1. Homotopies, homéotopies

Définition 1 Soient X et Y des espaces topologiques et soient f et g des applications continues de X dans Y. On appelle homotopie reliant f à g une application continue σ : X× I→ Y telle que, p… 01V4
Proposition 1 Soient X et Y des espaces topologiques. La relation « f est homotope à g » est une relation d’équivalence dans l’ensemble C(X; Y) des applications continues de X dans Y. 01V5
Proposition 2 Soient X, Y et Z des espaces topologiques, f et f' des applications continues de X dans Y,g et g' des applications continues de Y dans Z. Si f est homotope à f' et si g est homotop… 01V6
Proposition 3 Soit X un espace topologique et soit (Yⱼ)_j∈ J une famille d’espaces topologiques. L’application de [X;∏_j∈ JYⱼ] dans l’ensemble produit ∏_j∈ J[X; Yⱼ] définie par φ ↦ ([prⱼ]∘ φ )_j… 01V7
Corollaire Soient (Xⱼ)_j∈ J et (Yⱼ)_j∈ J des familles d’espaces topologiques ayant même ensemble d’indices. Pour tout j∈ J, soient fⱼ et gⱼ des applications continues de Xⱼ dans Yⱼ. Si, pour… 01V8
Définition 2 Soient X et Y des espaces topologiques. On dit qu’une classe d’homotopie φ ∈ [X; Y] est inversible s’il existe une classe d’homotopie ψ ∈ [Y; X] telle que ψ ∘ φ = [Id_X] et φ ∘ ψ =… 01V9
Définition 3 On dit que des espaces topologiques X et Y sont homéotopes s’il existe une homéotopie de X dans Y. 01VA
Exemple 1 L’espace topologique vide n’est homéotope qu’à lui-même. 01VB
Exemple 2 Soit X un espace topologique non vide. Pour que X soit homéotope à un espace réduit à un point, il faut et il suffit qu’il existe une application constante p: X→ X qui soit homotop… 01VC
Exemple 3 On dit qu’un espace topologique pointé (X, x) est contractile, ou que l’espace topologique X est contractile en x, s’il existe une homotopie pointée en x reliant Id_X à l’applicati… 01VD
Exemple 4 Soit E l’espace numérique à n dimensions (ou, plus généralement, un espace vectoriel topologique sur R) et soit X un sous-ensemble de E. On dit que l’ensemble X est étoilé en un po… 01VE
Exemple 5 Nous démontrerons ultérieurement (TA, V) que les sphères euclidiennes Sₙ,ngeqslant 1, ne sont pas des espaces homéotopes à un point. La sphère unité d’un espace hilbertien de type… 01VF
Définition 4 Soit X un espace topologique et soit A une partie de X. 01VG
Lemme 1 Soient X et Y des espaces topologiques et soit f: X→ Y une application continue. Les conditions suivantes sont équivalentes : 01VH
Définition 5 Soit X un espace topologique et soit A une partie de X. On appelle contraction de X sur A une homotopie σ : X× I→ X fixe sur A dont l’origine est l’application identique de X et do… 01VI
Remarque En d’autres termes, une contraction de X sur A est une homotopie σ : X× I→ X ayant les propriétés suivantes : 01VJ
Définition 6 Avec les notations qui précèdent, on dit que σ est une contraction forte si, de plus, on a r(σ (x, t)) =r(x) pour tout x∈ X et tout t∈ I, 01VK
Exemple Soit X le complémentaire de l’origine dans Bₙ. L’application de X× I dans X donnée par (x, t)↦ ((1-t) +t1/|x|)x est une contraction forte de X sur Sₙ₋₁. La rétraction de X sur Sₙ₋₁… 01VL
Lemme 2 Soit X un espace topologique, soit U un ouvert de X et soit σ une contraction forte de X sur X-U. Alors, σ (U× I)⊂ overlineU. En particulier, σ (U× 1) est contenu dans la frontière… 01VM
Définition 7 On appelle cylindre de l’application f et on note Cyl(f) l’espace topologique quotient U/R. 01VN
Exemple 1 Soient X',Y' des espaces topologiques et f': X'→ Y' une application continue. Soient u: X→ X' et v: Y→ Y' des applications continues telles que f'∘ u=v∘ f. Il existe une unique app… 01VO
Proposition 5 L’application α_f induit un homéomorphisme de X× [0,1[ sur une partie ouverte de Cyl(f). L’application β_f définit un homéomorphisme de Y sur le complémentaire de cet ouvert. L’app… 01VP
Proposition 6 L’application σ_f: Cyl(f)× I→ Cyl(f) est une contraction forte de Cyl(f) sur sa base. Son terme est la rétraction canonique de Cyl(f) sur sa base. 01VQ
Remarque 1 Soit A une partie de X× I et soit A₁ l’ensemble des points x∈ X tels que (x,1)∈ A. On a α⁻¹_f(α_f(A)) = A∪ overset-1f(f(A₁))× 1 et β⁻¹_f(α_f(A)) =f(A₁). Par suite, l’application α_… 01VR
Remarque 2 Supposons que l’application f soit propre. Soit P un point de Cyl(f). Si P = α_f(x, t), avec 0 leqslant t < 1 et x∈ X, on a α⁻¹_f(P) = (x, t). Dans le cas contraire, il existe y∈ Y… 01VS
Remarque 3 Si les espaces X et Y sont séparés, il en est de même du cylindre de l’application f. En effet, soient z et z' deux points distincts de Cyl(f) et démontrons qu’ils possèdent des vo… 01VT
Définition 8 Soit X un espace topologique et soit A une partie de X. On dit que le couple (X,A) possède la propriété d’extension des homotopies si, pour tout espace topologique Y, toute applica… 01VU
Remarque 1 Soit X un espace topologique et soit A une partie de X telle que le couple (X,A) possède la propriété d’extension des homotopies. Soit Y un espace topologique, soit f: X→ Y une app… 01VV
Proposition 7 Avec les notations ci-dessus, les assertions suivantes sont équivalentes : 01VW
Remarque 2 Soit X un espace topologique séparé et soit A une partie de X telle que le couple (X,A) possède la propriété d’extension des homotopies. Notons i: A→ X l’injection canonique. Soit… 01VX
Lemme 3 Soient X et Y des espaces topologiques, soit p: X→ Y une application continue propre et ouverte, et soit f: X→ R une application continue. L’application g: Y→ overlineR donnée par… 01VY
Théorème 1 Soit X un espace topologique et soit A un sous-espace fermé de X ; notons i: A→ X l’injection canonique. Les assertions suivantes sont équivalentes : 01VZ
Lemme 4 Soient X et Y des espaces topologiques, soit φ : X→ R₊ une application continue, posons A =overset-1φ(0). Soit σ : X× I→ Y une homotopie qui est fixe sur A. L’application σ ': X× I… 01W0
Corollaire 1 Soit X un espace topologique normal et soit A un sous-espace fermé de X. On suppose qu’il existe un voisinage V de A dans X et une contraction de V sur A, ainsi qu’une application… 01W1
Exemple 1 Prenons pour espace X la boule Bₙ et pour sous-espace A la sphère Sₙ₋₁. Si V = X-0, il existe une contraction forte de V sur Sₙ₋₁(III, p. 237, exemple). Par suite, le couple (Bₙ,Sₙ… 01W2
Corollaire 2 Soient X et Y des espaces topologiques, soit A un sous-espace fermé de X, soit B un sous-espace fermé de Y. Si les couples (X,A) et (Y,B) possèdent la propriété d’extension des hom… 01W3
Exemple 2 Voici d’autres cas où le couple (X,A) possède la propriété d’extension des homotopies. 01W4
Définition 9 L’espace topologique quotient Y/R est appelé l’espace obtenu en attachant à l’espace X l’espace B le long de l’application f. On le note X∪_fB. 01W5
Remarque 1 L’application α_f est injective. Pour toute partie U 01W6
Remarque 2 Soit V une partie de B. On a α⁻¹_f(β_f(V)) =f(V∩ A) et 01W7
Remarque 3 Supposons que A soit fermé et que l’application f soit propre. On vient de voir que l’application β_f est fermée. Pour tout x∈ X, 01W8
Exemple 1 Soient X et Y des espaces topologiques et f: X→ Y une application continue. Le cylindre Cyl(f) n’est autre que l’espace obtenu en attachant à l’espace Y l’espace X× I le long de l’… 01W9
Exemple 2 Soit X un espace topologique, soit B un espace topologique et soit A un sous-espace de B, soit f: A→ X une application continue qui induit un homéomorphisme de A sur son image. 01WA
Proposition 8 Soit Z un espace topologique. 01WB
Corollaire 1 Soit B' un espace topologique, soit A' un sous-espace de B' et soit f': A'→ X une application continue. Soit v: B→ B' une application continue telle que v(A)⊂ A' et f = f'∘ (v|A)… 01WC
Exemple 3 Notons i l’injection canonique de A dans B et prenons pour espace B' le cylindre de l’application i; notons αᵢ: A× I→ Cyl(i) et βᵢ: B→ Cyl(i) les applications canoniques et rᵢ: Cyl… 01WD
Corollaire 2 Soit X' un espace topologique, soit u: X→ X' une application continue, posons f'=u∘ f. Soit w: X∪_fB→ X'∪_f'B l’unique application continue telle que w∘ α_f=α_f'∘ u et w∘ β_f=β_f'… 01WE
Proposition 9 Soient X et B des espaces topologiques, soit A un sous-espace de B et soit f: A→ X une application continue. 01WF
Définition 10 L’espace quotient de X par R se note X/A et s’appelle l’espace obtenu à partir de X par contraction du sous-ensemble A. 01WG
Proposition 10 Soit X un espace topologique et soit A une partie de x. Supposons qu’il existe une homotopie σ : X× I→ X d’origine Id_X, constante sur A× 1 et telle que σ (A× I)⊂ A. Alors, l’appli… 01WH
Remarque Soit X un espace topologique et soit A une partie de X. 01WI
Définition 11 On appelle cône de l’application f et on note Côn(f) l’espace topologique déduit de Cyl(f) par contraction de f₀(X). 01WJ
Exemple 1 Soit X un espace topologique. On note C(X), et on appelle cône de l’espace X, le cône de l’application Id_X; c’est l’espace déduit de X× I par contraction de X× 0. Soit π l’applica… 01WK
Remarque 1 Soit X un espace topologique et soit A un sous-espace de X ; notons i l’injection canonique de A dans X. La rétraction canonique rᵢ du cylindre Cyl(i) sur sa base applique le sous-… 01WL
Remarque 2 Soient X et Y des espaces topologiques et soit f: X→ Y une application continue. L’application canonique α '_f: X× I→ Côn(f) est constante sur X× 0 donc définit une application con… 01WM

§ 2. Homotopie et chemins

Définition 1 Soit X un espace topologique. On appelle chemin dans X toute application continue c de I dans X. Le point c(0) est appelé l’ origine, le point c(1) le terme du chemin c. On appelle… 01WN
Définition 2 Soit X un espace topologique. On dit que des chemins c et d dans X sont juxtaposables si l’on a c(1) =d(0). On appelle alors chemin juxtaposé de c et d le chemin c*d défini par la… 01WO
Remarque 1 Soit X un espace topologique et soit P un espace topologique réduit à un point. Identifions P× I à I par la projection pr₂. L’ensemble C(P× I; X) des homotopies entre applications… 01WP
Remarque 2 Soient X et Y des espaces topologiques. L’application canonique 01WQ
Proposition 1 Soient X et Z des espaces topologiques. Pour qu’une application φ de Z dans l’espace des chemins C_c(I; X) soit continue, il faut et il suffit que l’application (z, t)↦ φ (z)(t) so… 01WR
Proposition 2 Soit X un espace topologique. L’application qui à un chemin c associe le chemin opposé overlinec est un homéomorphisme de Λ(X) sur lui-même. La juxtaposition des chemins (c, d)↦ c*… 01WS
Corollaire Soit X un espace topologique et soient x,y,z des points de X. Les applications c↦ overlinec de Λ_x,y(X) dans Λ_y,x(X) et (c, d)↦ c*d de Λ_x,y(X)× Λ_y,z(X) dans Λ_x,z(X) sont contin… 01WT
Définition 3 Un espace topologique X est dit connexe par arcs si pour tout couple (x, y) de points de X, il existe un chemin d’origine x et de terme y. 01WU
Exemple 1 Tout intervalle de R, toute partie convexe d’un espace numérique ou, plus généralement, d’un espace vectoriel topologique sur R est connexe par arcs. 01WV
Proposition 3 L’image par une application continue d’un espace connexe par arcs est connexe par arcs. 01WW
Proposition 4 Un espace topologique connexe par arcs est connexe. 01WX
Proposition 5 Dans un espace topologique, la relation « il existe un chemin d’origine x et de terme y » est une relation d’équivalence. 01WY
Exemple 2 La réunion d’une famille d’ensembles connexes par arcs, dont l’intersection n’est pas vide, est connexe par arcs (cf. TG, I, p. 81, prop. 2). 01WZ
Exemple 3 Une partie d’un espace numérique (ou, plus généralement, un espace vectoriel topologique sur R) qui est étoilée en un de ses points est connexe par arcs. 01X0
Proposition 6 Soit (Yⱼ)_j∈ J une famille d’espaces topologiques. L’application 01X1
Définition 4 Un espace topologique est dit localement connexe par arcs si chacun de ses points possède un système fondamental de voisinages connexes par arcs. 01X2
Proposition 7 Un espace topologique localement connexe par arcs est localement connexe. Ses composantes connexes coïncident avec ses composantes connexes par arcs. En particulier, si un espace t… 01X3
Corollaire 1 Tout ouvert connexe d’un espace topologique localement connexe par arcs est connexe par arcs. 01X4
Corollaire 2 Soit B un espace topologique localement connexe par arcs et soit E un B-espace étalé. L’espace E est localement connexe par arcs. S’il est connexe, il est connexe par arcs. 01X5
Proposition 8 Tout espace quotient d’un espace localement connexe par arcs est localement connexe par arcs. 01X6
Proposition 9 Le produit d’une famille d’espaces localement connexes par arcs, connexes à l’exception d’un nombre fini d’entre eux, est localement connexe par arcs. 01X7
Corollaire Toute partie ouverte d’un espace numérique est localement connexe par arcs. 01X8
Exemple Soit G le sous-groupe de GL(n,R) formé des matrices carrées d’ordre n dont le déterminant est strictement positif. Le groupe G est connexe et localement connexe par arcs. 01X9
Proposition 10 Soit X un espace topologique. L’application (o, e) de Λ (X) =C_c(I; X) dans X× X, qui à un chemin c dans X associe le couple (c(0), c(1)), est continue. Si l’espace X est localemen… 01XA
Lemme Soit c:I→ X un chemin et soit W un voisinage de c dans l’espace C_c(I; X). Il existe un nombre réel ε ∈ ]0,1/2], un voisinage V₀ de c(0) et un voisinage V₁ de c(1) dans X ayant les… 01XB
Corollaire Soit X un espace topologique localement connexe par arcs et soit x un point de X. L’application c↦ c(1) de Λₓ(X) dans X est ouverte. 01XC
Proposition 11 Un espace topologique connexe et localement connexe, dont la topologie peut être définie par une distance pour laquelle il est complet, est connexe par arcs. 01XD
Lemme 1 Soit X un espace métrique connexe et localement connexe, soient a et b des points de X et soit ε un nombre réel >0. Il existe dans X un train de largeur leqslant ε joignant a à b. 01XE
Corollaire 1 Un espace topologique localement connexe, dont la topologie peut être définie par une distance pour laquelle il est complet, est localement connexe par arcs. 01XF
Lemme 2 Soit X un espace métrique complet et soit U une partie ouverte de X. Il existe une distance sur U compatible avec sa topologie pour laquelle U est complet. 01XG
Corollaire 2 Un espace topologique localement compact, localement connexe et métrisable est localement connexe par arcs. S’il est connexe, il est connexe par arcs. 01XH
Définition 5 Soient X et Y des espaces topologiques. On dit qu’une application f: X→ Y est continue par arcs si, pour tout chemin c dans X, l’application f∘ c:I→ Y est continue. 01XI
Remarque Supposons que l’espace X soit connexe par arcs. Soit x un point de X. Pour que f soit continue par arcs, il suffit que, pour tout chemin c d’origine x, l’application f∘ c soit cont… 01XJ
Proposition 12 Soient X et Y des espaces topologiques et soit f: X→ Y une application. Supposons que l’espace X soit localement connexe par arcs et que tout point de X possède un système fondamen… 01XK
Lemme Soit X un espace topologique connexe et localement connexe par arcs et soit x un point de X. Supposons que le point x possède un système fondamental dénombrable de voisinages. Alor… 01XL
Proposition 13 Soit p: E→ B une application étale et séparée et soit s: B→ E une section de p. Si l’espace B est localement connexe par arcs et si la section s est continue par arcs, elle est con… 01XM
Corollaire Soit B un espace topologique, soient (E, p) et (E', p') deux B-espaces. On suppose que l’application p est étale et séparée et que l’espace E' est localement connexe par arcs. Alor… 01XN
Proposition 14 Tout espace topologique compact, métrisable, non vide, totalement discontinu et sans point isolé est homéomorphe à 0,1^N. 01XO
Lemme 3 Soit ε un nombre réel >0. Il existe un entier mgeqslant 1 tel que, pour tout entier ngeqslant m, X admette une partition formée de n ensembles ouverts et fermés non vides de diamèt… 01XP
Exemple Soit K l’ensemble triadique de Cantor (TG, IV, p. 9, exemple). Pour tout ngeqslant 0, posons Jₙ=0,1 et définissons une application Kₙ de l’ensemble Cₙ= J₀× ⋯ × Jₙ dans l’ensemble d… 01XQ
Corollaire Soit X un espace topologique métrisable, compact et non vide. Il existe une application continue et surjective de 0,1^N dans X. 01XR
Proposition 15 L’image d’un chemin dans un espace topologique séparé est un espace topologique compact, métrisable, connexe et localement connexe par arcs. 01XS
Théorème 1 (Hahn et Mazurkiewicz) Tout espace topologique métrisable, compact, non vide, connexe et localement connexe, est homéo-morphe à un espace quotient du segment [0,1]. 01XT
Lemme 4 Soit K un espace topologique compact et soit R un ensemble d’ouverts de K recouvrant K. Il existe un entourage V de la structure uniforme de K (TG, II, p. 27, th. 1) tel que, pour… 01XU
Lemme 5 Soient X et Y des espaces uniformes et f une application de X dans Y. Soit F un ensemble de parties fermées de X recouvrant X et possédant les propriétés suivantes : 01XV
Lemme 6 Soit D un ensemble totalement ordonné dénombrable, non réduit à un élément, possédant un plus petit et un plus grand élément. On suppose que D est sans trou (E, III, p. 73, exerc… 01XW
Proposition 16 Soit E un ensemble totalement ordonné non réduit à un élément. On suppose que toute partie de E a une borne supérieure et qu’il existe une partie dénombrable de E qui rencontre tou… 01XX
Remarque Soit E un ensemble totalement ordonné. L’ensemble des intervalles ouverts de E (limités ou non) est stable par intersection finie. C’est une base d’une topologie T₀(E) sur E (TG, I… 01XY
Corollaire Soit R une relation d’équivalence dans I. Les conditions suivantes sont équivalentes : 01XZ
Proposition 17 Soit X un espace topologique connexe et compact. Soit a un point de X, soit U une partie ouverte et fermée non vide de X -a. 01Y0
Corollaire Soit X un espace topologique compact connexe, soit N l’ensemble des points de X dont le complémentaire est connexe. L’ensemble X est l’unique partie connexe et compacte de X qui co… 01Y1
Lemme 7 Soit T un espace topologique localement connexe. Soit U un ensemble filtrant croissant de parties ouvertes de T, de réunion T. Pour t∈ T et U∈ U, notons Uₜ la composante connexe de… 01Y2
Théorème 2 Soit X un espace topologique connexe compact possédant une partie dénombrable partout dense. Soient a,b des points distincts de X. Les conditions suivantes sont équivalentes : 01Y3
Proposition 18 Soit X un espace topologique séparé. Soient a et b des points distincts de X qui appartiennent à la même composante connexe par arcs de X. Il existe un chemin injectif reliant a à… 01Y4
Lemme 8 L’ensemble U, ordonné par inclusion, est inductif. 01Y5
Lemme 9 Il existe une application continue, croissante et surjective u:I→ I et un chemin injectif c:I→ X reliant a à b tels que g=c∘ u. 01Y6
Théorème 3 Soit I un intervalle de R et soit X un espace topologique non vide et séparé. Soit p: X→ I une application continue, ouverte et propre dont les fibres sont totalement discontinues… 01Y7
Lemme 10 Soient a,b des points de I tels que aleqslant b. 01Y8
Lemme 11 a) L’ensemble K' n’est pas vide. 01Y9
Corollaire Soient X et B des espaces topologiques et p: X→ B une application continue, ouverte, propre et séparée dont les fibres sont totalement discontinues. Soit I un intervalle de R, soit… 01YA
Théorème 4 Soit X un espace topologique, soit G un groupe discret opérant proprement dans X et soit p: X→ X/G l’application canonique. Soit I un intervalle de R, soit f: I→ X/G une applicatio… 01YB
Exemple 1 Soit X un espace topologique séparé et soit G un groupe fini, muni de la topologie discrète, qui opère continûment dans X. L’opération est alors propre (TG, III, p. 28, prop. 2). L… 01YC
Exemple 2 Soit n un entier geqslant 0. Notons Pₙ l’ensemble des polynômes P∈ C[X] unitaires de degré n, muni de la topologie pour laquelle l’application (c₀, . . . , cₙ₋₁)↦ Xⁿ+cₙ₋₁Xⁿ⁻¹+⋯ +c₀… 01YD

§ 3. Groupoïde de Poincaré

Définition 1 Soit X un espace topologique, soient c₀ et c₁ des chemins dans X et σ :I× I→ X une homotopie reliant c₀ à c₁. On dit que σ est une homotopie stricte si les applications s↦ σ (0, s)… 01YE
Exemple Soit c un chemin dans X et soit φ :I→ I une application continue telle que φ (0) = 0 et φ (1) = 1. Les chemins c et c∘ φ sont strictement homotopes. En effet, l’application σ :I× I… 01YF
Définition 2 On appelle espace des lacets de X, et on note Ω(X),le sous-espace de Λ(X) constitué des lacets (III, p. 256, déf. 1) dans X. 01YG
Proposition 1 Soit X un espace topologique, soient x,y,z,u des points de X et soient γ₁∈ varpi_x,y(X),γ₂∈ varpi_y,z(X),γ₃∈ varpi_z,u(X) des classes de chemins. On a 01YH
Remarque 1 Soit X un espace topologique. Soit n un entier geqslant 1 et soit (c₁, . . . , cₙ) une suite de chemins dans X telle que cᵢ et cᵢ₊₁ soient juxtaposables pour 1leqslant ileqslant n-… 01YI
Définition 3 Soit X un espace topologique. Le groupoïde varpi (X) est appelé groupoïde de Poincaré, ou groupoïde fondamental, de l’espace X. Soit x un point de X ; le groupe π₁(X, x) des classe… 01YJ
Proposition 2 Soit X un espace topologique. 01YK
Remarque 2 Soit X un espace topologique et soit C une composante connexe par arcs de X. Si x et y sont des points de C, l’espace topologique Λ_x,y(C) s’identifie à l’espace topologique Λ_x,y(… 01YL
Remarque 3 Soit X un espace topologique et soient x,y,z des points de X. L’application (c, d)↦ c*d de Λ_x,y(X)× Λ_y,z(X) dans Λ_x,z(X) est continue (III, p. 258, corollaire de la prop. 2). On… 01YM
Remarque 1 L’homomorphisme varpi_x,y(f) est continu si l’on munit les ensembles varpi_x,y(X) et varpi_f(x),f(y)(Y) de la topologie quotient de la topologie de la convergence compacte sur C_c(… 01YN
Proposition 3 Soient X et Y des espaces topologiques, f₀ et f₁ des applications continues de X dans Y et soit σ : X× I→ Y une homotopie reliant f₀ à f₁. Soit x un point de X ; posons y₀=f₀(x), y… 01YO
Lemme 1 Soit Y un espace topologique et soit φ :I× I→ Y une application continue. Pour t∈ I, posons c₀(t) =φ (t,0),c₁(t) =φ (t,1), d₀(t) =φ (0, t) et d₁(t) =φ (1, t). Les chemins c₀*d₁ et… 01YP
Corollaire 1 Soient X et Y des espaces topologiques et soit x un point de X. Soient f₀ et f₁ des applications continues de X dans Y. S’il existe une homotopie pointée en x reliant f₀ à f₁, on a… 01YQ
Corollaire 2 Soient X et Y des espaces topologiques et soit f: X→ Y une homéotopie. Pour tout point x de X, l’homomorphisme 01YR
Exemple Soit G un groupe topologique, soit e son élément neutre. Pour tout point g de G, les translations à gauche et à droite, x↦ gx et x↦ xg, sont des homéomorphismes de G sur lui-même (… 01YS
Corollaire 3 Soit X un espace topologique homéotope à un point. Pour tout point x de X, le groupe π₁(X, x) est réduit à l’élément neutre. 01YT
Proposition 4 Soit X l’espace produit d’une famille (Xⱼ)_j∈ J d’espaces topologiques. Le morphisme du groupoïde varpi (X) dans le produit des groupoïdes varpi (Xⱼ), pour j∈ J, défini par la fami… 01YU
Corollaire Soit x= (xⱼ)_j∈ J un point de X. L’application 01YV
Remarque 2 Soit (Xⱼ)_j∈ J une famille d’espaces topologiques. Notons X l’espace topologique produit ∏_j∈ JXⱼ et soit x= (xⱼ) un point de X. 01YW
Remarque 3 Soit (Xⱼ)_j∈ J une famille d’espaces topologiques. Notons X l’espace topologique produit ∏_j∈ JXⱼ et soit x= (xⱼ) un point de X. 01YX
Proposition 5 Soit X un espace topologique et soit (Aᵢ)_i∈ I une famille croissante de parties de X, indexée par un ensemble ordonné filtrant I, telle que toute partie quasi-compacte de X soit c… 01YY
Corollaire Soit a un point de X et soit J l’ensemble des i∈ I tels que a∈ Aᵢ. L’homomorphisme canonique 01YZ
Remarque 4 La proposition et son corollaire s’appliquent en particulier lorsque (Aᵢ)_i∈ I est une famille croissante de parties de X indexée par un ensemble ordonné filtrant I telle que les i… 01Z0
Définition 4 Soit X un espace topologique et soient c et c' deux lacets dans X. On appelle homotopie libre reliant c à c' une homotopie σ reliant c à c' telle que σ (0, s) =σ (1, s) pour tout s… 01Z1
Remarque Soit φ l’application canonique de R sur T=R/Z (TG, V, p. 2). L’application f↦ f∘ φ |I est un homéomorphisme de C_c(T; X) sur Ω(X), d’où, par passage aux composantes connexes par ar… 01Z2
Proposition 6 Soit X un espace topologique connexe par arcs et soit x un point de X. 01Z3
Scholie Soit X un espace topologique connexe par arcs et soit x un point de X. La proposition 6 permet de définir une bijection canonique de l’ensemble des classes d’homotopie libre de lac… 01Z4

§ 4. Homotopie et revêtements

Proposition 1 Soit B un espace topologique et soit E un revêtement de B. Soit B' un espace topologique et soient f₀ et f₁ des applications continues de B' dans B. Si les applications f₀ et f₁ so… 01Z5
Corollaire Un espace topologique homéotope à un espace topologique simplement connexe est simplement connexe. 01Z6
Remarque Soit G un groupe topologique discret. Avec les notations de la proposition, supposons que E soit un revêtement principal de groupe G. Les revêtements f₀^*(E) et f₁^*(E) sont alors… 01Z7
Proposition 2 (Relèvement des homotopies) Soit B un espace topologique et soit E un revêtement de B. Soit B' un espace topologique et soient f₀ et f₁ des applications continues de B' dans B. Soit σ : B'× I→ B une homotopie… 01Z8
Proposition 3 Soit B un espace topologique et soit p: E→ B un revêtement. Notons widetildep:C_c(I; E)→ C_c(I; B) l’application c↦ p∘ c. Notons o_E:C_c(I; E)→ E ( resp. o_B:C_c(I; B)→ B) l’applic… 01Z9
Corollaire 1 L’application widetildep:C_c(I; E)→ C_c(I; B) est un revêtement. 01ZA
Corollaire 2 (Relèvement des chemins) Soit p: E→ B un revêtement, soit x un point de E et a=p(x). L’application c↦ p∘ c est un homéomorphisme de l’espace Λₓ(E) des chemins dans E d’origine x sur l’espace Λₐ(B) des chem… 01ZB
Proposition 4 Soit p: E→ B une application étale et séparée qui vérifie la propriété de relèvement des chemins. Soient a et b des points de B et soit x un point de E tel que p(x) =a. Soient c₀ e… 01ZC
Corollaire 1 Soit B un espace topologique et soit E un revêtement de B ; notons p sa projection. Pour tout couple (x, y) de points de E, l’application varpi_x,y(p):varpi_x,y(E)→ varpi_p(x),p(y)… 01ZD
Corollaire 2 Soit B un espace topologique et soit E un revêtement de B ; notons p sa projection. Soit x un point de E, posons b=p(x). Pour que la classe dans π₁(B, b) d’un lacet c de B en a app… 01ZE
Corollaire 3 Soit B un espace topologique et soient (E₁, p₁) et (E₂, p₂) des revêtements de B. Notons (E, p) leur B-espace produit et soit x= (x₁, x₂) un point de E. L’image de l’homomorphisme… 01ZF
Remarque Soient b et b' deux points de B,x un point de E_b,c∈ Λ_b,b'(B) un chemin dans B et widetildec le chemin dans E d’origine x qui relève c. Pour tout s∈ I, notons cₛ le chemin t↦ c(st… 01ZG
Théorème 1 Soit B un espace topologique, soit (E, p) un revêtement de B, soit b un point de B et soit x un point de la fibre E_b. 01ZH
Proposition 5 L’application h_(E,x) de π₁(B, b) dans G qui, à γ ∈ π₁(B, b), associe l’unique élément g de G tel que x· g=x· γ⁻¹, est un homomorphisme de groupes, de noyau le sous-groupe p_*(π₁(E… 01ZI
Exemple 1 Soit F un ensemble discret muni d’une opération de G et soit X = E×ᴳF le revêtement de B associé. Notons φ : E× F→ X le B-morphisme canonique. C’est un morphisme de revêtements. Po… 01ZJ
Exemple 2 Soit H un groupe topologique discret, soit f: G→ H un morphisme de groupes. Munissons H de l’opération à gauche de G donnée par g· h=f(g)h, pour g∈ G et h∈ H. Soit E'= E×ᴳH le revê… 01ZK

§ 5. Homotopie et revêtements (cas des espaces localement connexes par arcs)

Proposition 1 Soit B un espace topologique et soit (E, p) un revêtement de B. Soit Y un espace topologique et soit f: Y→ B une application continue. Soient y∈ Y,x∈ E,b∈ B des points tels que f(y… 01ZL
Corollaire 1 Soit B un espace topologique connexe et localement connexe par arcs, et soit b un point de B. Pour qu’un revêtement (E, p) de B soit trivialisable, il faut et il suffit que, pour t… 01ZM
Remarque Soit B un espace topologique localement connexe par arcs, soit b un point de B et soit V un voisinage ouvert et connexe de b tel que l’homomorphisme de π₁(V, b) dans π₁(B, b) ait p… 01ZN
Corollaire 2 Soit B un espace topologique connexe et localement connexe par arcs. Si, pour un point b de B, le groupe π₁(B, b) est réduit à l’élément neutre, l’espace B est simplement connexe. 01ZO
Corollaire 3 Soit 01ZP
Proposition 2 Soient E et E' des revêtements de B. 01ZQ
Corollaire 1 Les revêtements E et E' sont isomorphes si et seulement si les π₁(B, b)-ensembles E_b et E'_b sont isomorphes. 01ZR
Corollaire 2 Soient (E, p) et (E', p') des revêtements connexes de B. Soient x un point de E_b et x' un point de E'_b. Pour qu’il existe un B-morphisme g: E→ E' tel que g(x) =x', il faut et il… 01ZS
Corollaire 3 Soit (E, p) un revêtement connexe de B et soit x un point de la fibre E_b. Notons N le normalisateur de p_*(π₁(E, x)) dans π₁(B, b). Pour tout élément γ de N, il existe un unique B… 01ZT
Corollaire 4 Soit (E, p) un revêtement connexe de B et soit x un point de la fibre E_b. Pour que E soit un revêtement galoisien de B, il faut et il suffit que p_*(π₁(E, x)) soit un sous-groupe… 01ZU
Lemme 1 Soit B un espace topologique localement connexe par arcs, soient p: E→ B et p': E'→ B des applications étales et séparées qui vérifient la propriété de relèvement des chemins (III… 01ZV
Remarque Soit B un espace topologique localement connexe par arcs et supposons que tout point b de B possède un voisinage V tel que l’image de π₁(V, b) dans π₁(B, b) soit réduite à l’élémen… 01ZW
Proposition 3 Soit B un espace topologique localement connexe par arcs et soit E un ensemble muni d’une opération sans monodromie locale φ du groupoïde varpi (B), relativement à une application… 01ZX
Corollaire Soit B un espace topologique connexe et localement connexe par arcs, soit (E, p) un B-espace dont la projection p est étale, séparée et possède la propriété de relèvement des chemi… 01ZY
Proposition 4 Il existe une unique topologie sur π₁(B, a), compatible avec sa structure de groupe, pour laquelle les sous-groupes distingués admissibles de π₁(B, a) forment un système fondamenta… 01ZZ
Remarque 1 Si B₀ désigne la composante connexe par arcs de a dans B, l’isomorphisme canonique π₁(B₀, a)→ π₁(B, a) est un isomorphisme de groupes topologiques lorsque ces groupes sont munis de… 0200
Remarque 2 Soit B un espace topologique. Soient b et b' des points de B qui appartiennent à la même composante connexe par arcs et soit γ un élément de varpi_b,b'(B). Il résulte de la définit… 0201
Remarque 3 Soient A et B des espaces topologiques, soit a un point de A et soit f: A→ B une application continue. Posons b=f(a). Si H est un sous-groupe admissible de π₁(B, b), son image réci… 0202
Proposition 5 Soit B un espace topologique localement connexe par arcs et soit a un point de B. Pour qu’un sous-groupe H de π₁(B, a) soit admissible, il faut et il suffit qu’il existe un revêtem… 0203
Proposition 6 Soit B un espace topologique et soit b un point de B. Munissons le groupe π₁(B, b) de la topologie admissible. 0204
Proposition 7 Soit B un espace topologique connexe et localement connexe par arcs et soit b un point de B. Munissons le groupe π₁(B, b) de la topologie admissible. 0205
Remarque 4 La topologie admissible sur π₁(B, b) est la topologie la moins fine pour laquelle l’opération de π₁(B, b) sur E_b est continue pour tout revêtement connexe E de B (prop. 6 de III… 0206
Remarque 5 Soit B un espace topologique connexe et localement connexe par arcs, soit a un point de B et soit H un sous-groupe de π₁(B, a). D’après la remarque précédente, si H est admissible… 0207

IV. Espaces délaçables

§ 1. Espaces délaçables

Définition 1 On dit qu’un espace topologique X est simplement connexe par arcs s’il est connexe par arcs et si tout lacet dans X est strictement homotope à un lacet constant. 0208
Définition 2 On dit qu’un espace topologique B est délaçable s’il est localement connexe par arcs et si tout point b de B possède un voisinage V tel que l’homomorphisme de π₁(V, b) dans π₁(B, b… 0209
Remarque 1 Il existe des espaces topologiques B, connexes et localement connexes par arcs tels que certains points a de B, mais pas tous, possèdent un voisinage V tel que l’homomorphisme de π… 020A
Remarque 2 Soit B un espace délaçable ; toute opération du groupoïde varpi (B) sur un B-espace est sans monodromie locale (cf. III, p. 313, remarque). En particulier, pour qu’une application… 020B
Proposition 1 L’espace produit d’une famille finie d’espaces délaçables est délaçable. 020C
Proposition 2 a) Tout revêtement d’un espace délaçable est délaçable. 020D
Proposition 3 Soit B un espace topologique délaçable. Soit (Y, q) un revêtement de B et soit (Z, p) un revêtement de Y. L’espace topologique Z, muni de l’application q∘ p, est alors un revêtemen… 020E
Théorème 1 Soit B un espace topologique connexe et localement connexe par arcs et soit b un point de B. Les propriétés suivantes sont équivalentes : 020F
Remarque 1 Soit B un espace délaçable connexe et soit b un point de B. Il résulte du théorème 1, (iv), que toute opération du groupe π₁(B, b) est admissible. Par suite, tout π₁(B, b)-ensemble… 020G
Corollaire 1 Soit B un espace topologique délaçable et soit b un point de B. Soit E un revêtement connexe de B et soit x un point de la fibre E_b. Les propriétés suivantes sont équivalentes : 020H
Corollaire 2 Soit B un espace topologique délaçable et soit b un point de B. Soit (E, x) un revêtement universel de l’espace pointé (B, b). Pour tout revêtement E' de B et tout point x' de E'_b… 020I
Proposition 4 Soit B un espace topologique délaçable. La relation d’homotopie stricte est une relation d’équivalence ouverte dans l’espace topologique C_c(I; B). 020J
Définition 3 On dit qu’un espace topologique B est localement contractile si tout point b de B possède un voisinage V tel que l’espace pointé (V, b) soit contractile (III, p. 234, exemple 3). 020K
Proposition 5 Un espace topologique localement contractile est délaçable. 020L
Proposition 6 L’application p:x↦ e^2π ix de R dans S₁ fait de (R,0) un revêtement universel de (S₁,1). Le groupe π₁(S₁,1) est isomorphe à Z; la classe du lacet t↦ e^2π it en est un générateur. P… 020M
Corollaire L’application z↦ eᶻ de C dans C^* fait de (C,0) un revêtement universel de (C^*,1). Le groupe π₁(C^*,1) est isomorphe à Z; la classe du lacet t↦ e^2π it en est un générateur. Pour… 020N
Proposition 7 L’application x↦ φ (e^2π ix) de R sur P₁(R) fait de (R,0) un revêtement universel de (P₁(R), φ (1)). Soit c:I→ S₁ le chemin t↦ e^π it; la classe de φ (c) est un générateur du group… 020O
Lemme 1 Soit X un espace topologique, soit G un groupe discret opérant proprement dans X et soit p la projection canonique de X sur X/G. 020P
Proposition 8 Soit X un espace topologique et soit G un groupe discret opérant proprement dans X. Notons p la projection canonique de X sur X/G. 020Q
Remarque 1 Le théorème 4 de III, p. 287 et la prop. 8 (IV, p. 349) restent valables sous l’hypothèse plus générale que G est un groupe de Lie de dimension finie sur R opérant proprement dans… 020R

§ 2. Groupes de Poincaré des espaces délaçables

Proposition 1 Soient A un espace topologique délaçable, B un espace topologique localement connexe par arcs et soit f: A→ B une application continue. Soient a un point de A et b=f(a). Supposons… 020S
Proposition 2 Soient A un espace topologique connexe et localement connexe par arcs, B un espace topologique délaçable, et soit f: A→ B une application continue. Soient a un point de A et b= f(a… 020T
Proposition 3 Soit B un espace topologique délaçable et soit A un sous-espace connexe et localement connexe par arcs de B (par exemple une partie ouverte et connexe). Soit a un point de A. Les p… 020U
Définition 1 Soient X et Y des espaces topologiques et soit f une application continue de X dans Y. On dit que l’application f est relativement connexe si tout point de Y possède un système fon… 020V
Proposition 4 Soient X et Y des espaces topologiques et soit f: X→ Y une application continue relativement connexe. 020W
Corollaire 1 Soient X et Y des espaces topologiques et soit f: X→ Y une application continue et relativement connexe. Par passage aux composantes connexes, l’application f induit une bijection… 020X
Corollaire 2 Soient X et Y des espaces topologiques et soit f: X→ Y une application continue. Pour que f soit relativement connexe, il faut et il suffit que les trois propriétés suivantes soien… 020Y
Corollaire 3 Soient X et Y des espaces topologiques et soit f: X→ Y une application continue et relativement connexe. Soit F un ensemble et soit g: X→ F une application localement constante. Il… 020Z
Exemple 1 Soit X un espace topologique et soit R une relation d’équivalence dans X. Notons Y l’espace topologique quotient X/R et f: X→ Y l’application canonique. Supposons que les classes d… 0210
Exemple 2 Soit Y un espace topologique localement connexe par arcs et soit X une partie ouverte de Y. L’espace C_c(I; X) des chemins dans X s’identifie à un sous-espace de l’espace C_c(I; Y)… 0211
Proposition 5 Soient X et Y des espaces topologiques et soit f: X→ Y une application continue et relativement connexe. Pour tout couple (T,T') de revêtements de Y, l’application f^*:C_Y(T; T')→… 0212
Corollaire 1 Soient X et Y des espaces topologiques et soit f: X→ Y une application continue relativement connexe. Soient T et T' des revêtements de Y. Si les revêtements X×_YT et X×_YT' de X s… 0213
Corollaire 2 Soient X et Y des espaces topologiques et soit f: X→ Y une application continue et relativement connexe. Si l’espace X est simplement connexe, il en est de même de l’espace Y. 0214
Corollaire 3 Soient X un espace topologique localement connexe par arcs, Y un espace topologique délaçable et soit f: X→ Y une application continue relativement connexe. Pour tout point x de X… 0215
Proposition 6 Soient X et Y des espaces topologiques et soit f: X→ Y une application continue et relativement connexe. Supposons que tout point de Y possède un voisinage ouvert V dont l’image ré… 0216
Corollaire Soient X et Y des espaces topologiques délaçables et soit f: X→ Y une application continue et relativement connexe. Supposons que tout point de Y possède un voisinage V dont l’imag… 0217
Remarque Soit Y un espace topologique, soient X, X' et Y' des sous-espaces de Y tels que X⊂ X'⊂ Y'⊂ Y. Supposons que l’injection canonique de X dans Y soit relativement connexe. Pour toute… 0218
Exemple Soit Y une variété différentielle localement de dimension finie et soit Z une sous-variété fermée de Y (VAR, R, 5.8.3). Posons X = Y-Z. 0219
Théorème 1 Soit X un espace topologique compact délaçable et soit x un point de X. Le groupe de Poincaré π₁(X, x) est de présentation finie. 021A
Lemme 1 Soit X un espace topologique et soit A une partie de X. Pour que A soit maigre, il faut et il suffit qu’il existe un recouvrement ouvert (Uᵢ)_i∈ I de X tel que A∩ Uᵢ soit maigre da… 021B
Lemme 2 Soit X un espace topologique et soit A une partie de X. 021C
Remarque 1 Soit G un groupe topologique et soit A une partie maigre de G. Supposons que A contienne un ouvert non vide U de G et soit y un point de U. Alors, U est maigre et pour tout x∈ G,xy… 021D
Proposition 7 Soit X un espace séparé. Tout sous-espace souslinien (TG, IX, p. 59, déf. 2) de X est approchable. 021E
Lemme 3 Soit (Uᵢ)_i∈ I une famille finie d’ouverts non vides d’un espace topologique X et soit O une partie ouverte et dense de X× X. Il existe une famille (Vᵢ)_i∈ I d’ouverts non vides de… 021F
Proposition 8 Soit P un espace topologique polonais non vide et soit R une relation d’équivalence dans P dont le graphe est une partie maigre de P× P. Il existe une application continue injectiv… 021G
Proposition 9 Soit X un espace topologique délaçable et soit W une base de la topologie de X. Pour tout point x de X, le cardinal du groupe π₁(X, x) est majoré par sup(Card(W), Card(N)). En part… 021H
Lemme 4 Soit X un espace de Baire, soit G un groupe topologique opérant continûment dans X et soit B une partie approchable de X qui n’est pas maigre. L’ensemble des points g∈ G tels que B… 021I
Théorème 2 (Shelah[^1]) Soit X un espace polonais connexe et localement connexe par arcs et soit x un point de X. Si X n’est pas délaçable, le groupe π₁(X, x) a la puissance du continu. 021J
Lemme 5 L’ensemble Γ est une partie maigre de K× K. 021K
Exemple Soit P l’espace topologique réunion des cercles de centre (2/n,0) passant par l’origine du plan R², pour ngeqslant 1 (III, p. 336, exerc. 6). Le groupe de Poincaré de P a la puissa… 021L

§ 3. Groupes de Poincaré des groupes topologiques

Définition 1 Étant donnés un groupe topologique G et un groupe G', on appelle homomorphisme local de G dans G' une application f d’un voisinage V de l’élément neutre de G dans G' telle que, pou… 021M
Proposition 1 Soient G et G' des groupes topologiques et soit p: G→ G' un homomorphisme de groupes. Pour que p fasse de G un revêtement de G', il faut et il suffit que la restriction de p à un v… 021N
Proposition 2 Soit G un groupe topologique connexe, soit G' un groupe et soit f: V→ G' un homomorphisme local de G dans G', où V est un voisinage connexe de l’élément neutre de G. Il existe alor… 021O
Lemme 1 Soit G un groupe topologique et soit V un voisinage connexe de l’élément neutre e de G. Pour tout voisinage U de e dans G et tout x∈ V, il existe un entier n∈ N et des éléments u₁… 021P
Corollaire 1 Soit G un groupe topologique simplement connexe et soit G' un groupe. Soit V un voisinage connexe de l’élément neutre dans G et soit f: V→ G' un homomorphisme local. Il existe un u… 021Q
Remarque 1 Lorsque G =R, ce corollaire résulte de la proposition 6 de TG, V, p. 3. 021R
Corollaire 2 Deux groupes topologiques localement connexes et simplement connexes qui sont localement isomorphes sont isomorphes. 021S
Corollaire 3 Soit G un groupe topologique simplement connexe et soit V un voisinage connexe de l’élément neutre de G. On définit une présentation de G en prenant pour ensemble générateur l’ense… 021T
Définition 2 On appelle espace de Hopf un espace topologique pointé (X, e) muni d’une loi de composition continue m: X× X→ X telle que 021U
Exemple 1 Soient G un groupe topologique et m sa loi de composition. L’élément neutre e de G est élément neutre à homotopie près et (G, e) est un espace de Hopf. 021V
Exemple 2 Soient X un espace topologique et x un point de X. Muni de la juxtaposition des lacets en x, l’espace pointé (Ωₓ(X), eₓ) est un espace de Hopf. En effet, on a d’abord eₓ*eₓ=eₓ. D’a… 021W
Proposition 3 Soient (X, e) un espace de Hopf et m: X× X→ X sa loi de composition. Pour tous lacets c,c' de X en e, on a : 021X
Remarque Soit (X, e) un espace de Hopf. D’après la prop. 3, l’application de composition des classes de chemins, π₁(X, e)× π₁(X, e)→ π₁(X, e) est continue si π₁(X, e) est muni de la topolog… 021Y
Proposition 4 Soit (X, e) un espace de Hopf (IV, p. 373, définition 2) et soit m: X× X→ X sa loi de composition. On suppose l’espace X connexe et localement connexe par arcs. Soit X' un revêteme… 021Z
Proposition 5 Conservons les notations et les hypothèses de la proposition 4. 0220
Corollaire Soit G un groupe topologique connexe et localement connexe par arcs. Soit G' un revêtement connexe de G, soit p sa projection et soit e' un élément de la fibre N de l’élément neutr… 0221
Proposition 6 Soit G un groupe topologique connexe et délaçable. Il existe un groupe topologique widetildeG, d’élément neutre widetildee, et un homomorphisme continu p:widetildeG→ G qui vérifie… 0222
Exemple La proposition 6 s’applique notamment lorsque G est un groupe de Lie connexe sur R ou C. Il existe alors sur widetildeG une unique structure de variété analytique telle que la proj… 0223
Scholie Soit G un groupe topologique connexe et délaçable, soit e son élément neutre. Soit widetildeG un groupe topologique simplement connexe par arcs, d’élément neutre widetildee, et p:w… 0224
Proposition 7 Pour que deux groupes topologiques connexes et délaçables soient localement isomorphes, il faut et il suffit que leurs revêtements universels soient des groupes topologiques isomor… 0225
Proposition 8 Soit G un groupe topologique connexe et délaçable et soit widetildeG un revêtement universel de G. Soit V un voisinage ouvert connexe de l’élément neutre e de G tel que l’image de… 0226

§ 4. Théorie de la descente

Définition 1 On appelle donnée de descente relative à f sur le X-espace (Z, p) une application continue τ : Z×_YX→ Z vérifiant les deux propriétés suivantes : 0227
Exemple 1 Soient X et Y des espaces topologiques, soit f: X→ Y une application continue et soit (T, q) un Y-espace. Posons Z = X×_YT. L’application τ de Z×_YX dans Z qui, à ((x, t), x') asso… 0228
Exemple 2 Soient Y un espace topologique, (Vᵢ)_i∈ I une famille de parties de Y, et pour tout i∈ I, soit (Zᵢ, pᵢ) un Vᵢ-espace. Notons X l’espace topologique somme de la famille (Vᵢ)_i∈ I et… 0229
Exemple 1 Soient X et Y des espaces topologiques et f: X→ Y une application continue. Soit (T, q) un Y-espace. Soit Z le X-espace X×_YT, muni de l’application pr₁; notons τ sa donnée de desc… 022A
Exemple 2 Reprenons les notations de l’exemple 2 (IV, p. 383). L’espace topologique Z/R_τ est alors l’espace topologique obtenu par recollement des espaces Zᵢ le long des overset-1pᵢ(Vᵢ∩ Vⱼ)… 022B
Proposition 1 Soient X et Y des espaces topologiques, soit f: X→ Y une application continue. Supposons que tout point de Y possède un voisinage au-dessus duquel il existe une section continue de… 022C
Proposition 2 Soit f: X→ Y une application continue, soit (Z, p) un X-espace et soit τ une donnée de descente relative à f sur Z. La relation d’équivalence R_τ est fermée si f est propre ; elle… 022D
Proposition 3 Soient X et Y des espaces topologiques et soit f: X→ Y une application continue. Soient (Z, p) et (Z', p') des X-espaces munis de données de descente relatives à f, notées respecti… 022E
Proposition 4 Supposons que l’application f soit stricte et surjective et que T soit un Y-espace étalé. Alors, l’application f^*:C_Y(T; T')→ C_f(X×_YT; X×_YT') est bijective. 022F
Corollaire Soient X et Y des espaces topologiques et soit f: X→ Y une application stricte et surjective. Soient T et T' des Y-espaces étalés. S’il existe un X-isomorphisme X×_YT→ X×_YT' qui e… 022G
Proposition 5 Soient X et Y des espaces topologiques et soit f: X→ Y une application continue. Supposons que l’application f soit propre et séparée, ou bien ouverte. Toute donnée de descente rel… 022H
Lemme 1 Soient B, B' des espaces topologiques et soit f: B'→ B une application continue. Si le carré fibré B'×_BB' est localement connexe, l’espace topologique B' est localement connexe. 022I
Proposition 6 Soit 022J
Corollaire 1 Soient E et B des espaces topologiques, p: E→ B une application continue et (Aᵢ)_i∈ I un recouvrement fermé localement fini de B tel que pour tout couple (i, j)∈ I× I,i=not j, l’in… 022K
Corollaire 2 Soient X et Y des espaces topologiques et soit f: X→ Y une application propre, séparée et surjective. On fait de plus l’une des hypothèses suivantes : 022L
Proposition 7 Soient X et Y des espaces topologiques et soit f: X→ Y une application continue et surjective. Supposons que l’espace Y soit délaçable et que l’application f soit ouverte et possèd… 022M
Remarque Soient X et Y des espaces topologiques et soit f: X→ Y une application. Pour que toute donnée de descente relative à f sur un revêtement de X soit effective, et que l’espace quotie… 022N
Proposition 8 Soient X et Y des espaces topologiques non vides et soit f une application continue de X dans Y. On suppose que l’espace X est localement connexe par arcs, que l’espace Y est conne… 022O
Proposition 9 Soient X et Y des espaces topologiques et soit f une application continue de X dans Y. On suppose que l’espace X est localement connexe par arcs, que l’espace Y est délaçable et qu… 022P
Proposition 10 Soient X et Y des espaces topologiques et soit f une application continue de X dans Y. On suppose que l’espace X est délaçable, que l’espace X×_YX est localement connexe par arcs… 022Q
Lemme 2 Conservons les notations et les hypothèses de la proposition. Soit T un ensemble muni d’une opération du groupoïde Coeg(f) relativement à une application q: T→ Y. Il existe alors u… 022R
Théorème 1 Soient X et Y des espaces topologiques, soit f: X→ Y une application continue et surjective. Supposons que les espaces X et Y soient délaçables. Supposons enfin que l’une des propr… 022S
Exemple Voici deux exemples où les hypothèses du théorème 1 sont satisfaites. 022T
Théorème 2 Supposons que tout point de Y possède un voisinage au-dessus duquel il existe une section continue de l’application f. Le morphisme de groupoïdes varpi '(f) de Coeg(f) dans varpi (… 022U
Lemme 3 Soit G un groupoïde et soient p, q des entiers geqslant 1. Pour tout couple (j, k) d’entiers tels que 0leqslant jleqslant p et 0leqslant kleqslant q, soit x_j,k un sommet de G ; po… 022V
Exemple 1 Le théorème s’applique lorsque l’application f est étale et surjective. 022W
Exemple 2 Il s’applique aussi lorsque l’espace X est l’espace somme d’une famille (Vᵢ)_i∈ I de parties de Y dont les intérieurs recouvrent Y, et que f est l’application déduite des injection… 022X
Théorème 3 Soit X un espace topologique délaçable et soit G un groupe discret opérant proprement dans X ; soit f: X→ X/G la surjection canonique. Le morphisme de groupoïdes canonique varpi ''… 022Y
Lemme 4 Pour tout chemin c= (c₁, c₂) dans X×_YX, on a β ([c₁]) =β ([c₂]). 022Z

§ 5. Théorème de van Kampen

Définition 1 On dit que l’application f vérifie la propriété (VK) si elle est stricte, surjective et si le morphisme varpi '(f) est un isomorphisme. 0230
Exemple 1 Cette propriété est vérifiée sous l’une des hypothèses suivantes : 0231
Théorème 1 Supposons que Y soit connexe par arcs et que f vérifie la propriété (VK). Avec les notations précédentes, il existe un unique homomorphisme de groupes 0232
Lemme 1 Le carquois Γ s’identifie à un sous-carquois de Γ; les carquois Γ et Γ sont connexes. 0233
Proposition 1 Soit Y un espace topologique connexe par arcs et soit (Aᵢ)_i∈ I un recouvrement de Y par des parties non vides, connexes par arcs, indexé par un ensemble totalement ordonné I. Supp… 0234
Corollaire 1 Sous les hypothèses de la proposition 1, supposons de plus que, pour tout i∈ I, l’image de l’homomorphisme de π₁(Aᵢ, a(i)) dans π₁(Y, a(i)), déduit de l’injection canonique de Aᵢ d… 0235
Corollaire 2 Sous les hypothèses de la proposition 1, supposons de plus que pour tout i∈ I, le groupe π₁(Aᵢ, a(i)) soit réduit à l’élément neutre et que, pour tout triplet (i₁, i₂, i₃) d’élémen… 0236
Exemple 1 Pour le cas d’un recouvrement formé de deux ensembles, voir le nᵒ3. 0237
Exemple 2 Soit G un graphe (II, p. 155, définition 1) ; notons S l’ensemble des sommets de G, A l’ensemble de ses arêtes orientées, o et t les applications origine et terme de A dans S ; pou… 0238
Corollaire 3 Sous les hypothèses de la prop. 1, supposons de plus que l’armature du recouvrement (Aᵢ)_i∈ I soit un arbre orienté. L’homomorphisme N:ᵢ*_∈ Iπ₁(Aᵢ, a(i))→ π₁(Y, a(i₀)) déduit de M… 0239
Exemple 3 (Plan privé de $n$ points) Le groupe fondamental de R² 0 est isomorphe à Z et la classe du chemin t↦ e^2π it en est un générateur (IV, p. 347, corollaire). Plus généralement, soit n un entier naturel et soit… 023A
Corollaire 4 Sous les hypothèses de la proposition 1, supposons qu’il existe une partie A de Y, connexe par arcs et non vide, telle que l’intersection Aᵢ∩ A_i' soit égale à A pour tout couple (… 023B
Exemple 4 Soit ((Xᵢ, xᵢ))_i∈ I une famille d’espaces topologiques pointés. On appelle bouquet de la famille ((Xᵢ, xᵢ))_i∈ I, et on note bigvee_i∈ I(Xᵢ, xᵢ) l’espace topologique quotient de l… 023C
Proposition 2 Il existe un unique homomorphisme de groupes 023D
Exemple Pour ngeqslant 1, la sphère Sₙ est réunion de deux hémisphères fermés, homéomorphes à la boule fermée Bₙ₋₁ (TG, VI, p. 12), et dont l’intersection s’identifie à la sphère Sₙ₋₁. Pou… 023E
Corollaire 1 L’homomorphisme μ est injectif. Plus précisément, il existe une rétraction associée à μ qui est un homomorphisme de groupes. 023F
Corollaire 2 Si le groupe π₁(X, a) est trivial, l’ensemble A = B∩ C est connexe par arcs ; s’il est commutatif, l’ensemble A possède au plus deux composantes connexes par arcs. 023G
Corollaire 3 Si les groupes π₁(X, a) et π₁(A, a) sont triviaux, il en est de même des groupes π₁(B, a) et π₁(C, a). 023H
Proposition 3 Supposons que X soit délaçable. L’homomorphisme N est alors surjectif et son noyau est le plus petit sous-groupe distingué de π₁(X, o)*F(G) contenant les éléments 023I
Corollaire 1 Supposons que X soit délaçable et que le groupe G soit engendré par les fixateurs des points de X. Le morphisme canonique π₁(f, o):π₁(X, o)→ π₁(Y, f(o)) est alors surjectif. En par… 023J
Remarque Si X est délaçable, Y l’est aussi (IV, p. 349, prop. 8). Comme un espace délaçable connexe est simplement connexe par arcs si et seulement si il est simplement connexe (IV, p. 344… 023K
Exemple 1 Soit X un espace topologique connexe par arcs, délaçable et séparé, et soit a un point de X. Soit n un entier geqslant 2 et soit Y le quotient de l’espace Xⁿ par l’action du groupe… 023L
Corollaire 2 Supposons que X soit délaçable et que le groupe G opère librement dans X. Il existe un unique homomorphisme de groupes p:π₁(Y, f(o))→ G dont le noyau contient l’image de π₁(X, o) e… 023M
Corollaire 3 Supposons que X soit simplement connexe par arcs. L’application de G dans π₁(Y, f(o)) qui, à g∈ G, associe la classe de chemins f_*(β_g) est un homomorphisme de groupes surjectif… 023N
Proposition 4 Supposons que les composantes connexes par arcs de Y soient ouvertes. Pour tout i∈ I, soit Gᵢ le quotient du groupe π₁(Yᵢ, bᵢ) par le plus petit sous-groupe distingué contenant l’i… 023O
Corollaire 1 Supposons de plus que les espaces X et Y soient connexes par arcs et soit a un point de X. L’application canonique de π₁(Y, f(a)) dans π₁(Côn(f), f(a)) est surjective, son noyau es… 023P
Corollaire 2 Supposons de plus que les composantes connexes par arcs de Y soient simplement connexes par arcs. L’homomorphisme μ: F(J-T)→ π₁(Côn(f), s) est alors un isomorphisme. 023Q
Remarque 1 Soit X un espace topologique dont les composantes connexes par arcs sont ouvertes. Soit A un sous-espace fermé de X ; notons ι : A→ X l’injection canonique, X/A l’espace déduit de… 023R
Lemme 2 L’application f: C→ A est propre et séparée ; ses fibres sont finies. 023S
Proposition 5 (Van Kampen) L’homomorphisme Q est surjectif ; son noyau est le plus petit sous-groupe distingué contenant les éléments 023T
Remarque Soit A un espace topologique, soit B une partie fermée de A et soit U un voisinage ouvert de B dans A. On suppose que l’ensemble U-B est la réunion d’une famille finie (M_ℓ)_ℓ∈ L d… 023U

§ 6. Espaces classifiants

Proposition 1 Soit X' un espace topologique normal, soit X un sous-espace de X', soit A un sous-espace fermé de X' contenu dans X et soit U un voisinage de A dans X. 023V
Corollaire 1 Soit X un espace topologique normal, soit f une application continue de X dans un espace topologique Z. Soit A un sous-espace fermé de X, soit U un voisinage de A dans X et soit σ… 023W
Corollaire 2 Soit X un espace topologique normal, soit A un sous-espace fermé de X et soit U un voisinage de A dans X. Soient f et f' des applications continues homotopes de U dans un espace to… 023X
Corollaire 3 Soit X un espace topologique normal, soit A un sous-espace fermé de X et soit U un voisinage de A dans X. Soit Z un espace topologique homéotope à un point et soit g: U→ Z une appl… 023Y
Corollaire 4 Soit X un espace topologique paracompact, soit A un sous-espace fermé de X. Soit n un entier geqslant 0 et soit V un ouvert de Rⁿ. Soit f: X→ V une application continue et soit σ… 023Z
Lemme 1 Soient Z un espace topologique, K un espace topologique compact et W une partie ouverte de Z× K. L’ensemble U des points z∈ Z tels que z × K soit contenu dans W est ouvert dans Z. 0240
Corollaire 5 Soit X' un espace topologique normal, soit X un sous-espace de X', soit A un sous-espace fermé de X' contenu dans X et soit U un voisinage de A dans X. 0241
Proposition 2 Soit B un espace topologique paracompact et soit (E, p) un B× I-espace fibré localement trivial. Posons E₁=overset-1p(B× 1) et notons p₁: E₁→ B l’application pr₁∘ p|E₁. Alors, les… 0242
Lemme 2 Soient α ,β ,γ des nombres réels tels que α leqslant β leqslant γ, soit B un espace topologique et soit p: E→ B× [α , γ ] une application continue. Posons B₀= B× [α , β ], B₁= B× [… 0243
Lemme 3 Soit B un espace topologique et soit (E, p) un B× I-espace fibré localement trivial. Tout point a de B possède un voisinage V tel que le V× I-espace E_V×I soit trivialisable. 0244
Corollaire 1 Soit B un espace topologique paracompact et soit (E, p) un B× I-espace fibré localement trivial (I, p. 71, corollaire 2). Pour t∈ I, notons (Eₜ, pₜ) le B-espace fibré localement tr… 0245
Corollaire 2 Soient B et B' des espaces topologiques, soit E un B-espace fibré localement trivial. Soient f₀ et f₁ des applications continues de B' dans B. Supposons que l’espace B' soit paraco… 0246
Corollaire 3 Soit B un espace topologique paracompact. Si B est homéotope à un point, tout espace fibré localement trivial de base B est trivialisable. 0247
Corollaire 4 Soient B et B' des espaces topologiques, soit (E, p) un B-espace fibré localement trivial, soit f une application continue de B' dans B, soit σ : B'× I→ B une homotopie d’origine f… 0248
Lemme 4 Soit B un espace topologique, soit G un groupe topologique et soient E, E' des espaces fibrés principaux de groupe G et de base B. Notons F l’espace topologique G muni de l’opérati… 0249
Lemme 5 Le morphisme de faisceaux α est un isomorphisme. 024A
Proposition 3 Soit G un groupe topologique, soit B un espace topologique paracompact et soit (E, p) un espace fibré principal de groupe G et de base B× I. Posons E₁=overset-1p(B× 1) et soit p₁… 024B
Corollaire 1 Soit B un espace topologique paracompact, soit G un groupe topologique et soit (E, p) un B× I-espace fibré principal de groupe G. Pour t∈ I, notons (Eₜ, pₜ) le B-espace fibré princ… 024C
Corollaire 2 Soient B et B' des espaces topologiques, soit G un groupe topologique, soit E un B-espace fibré principal de groupe G. Soient f₀ et f₁ des applications continues de B' dans B. Supp… 024D
Corollaire 3 Soit B un espace topologique paracompact et soit G un groupe topologique. Si B est homéotope à un point, tout espace fibré principal de groupe G est trivialisable. 024E
Remarque Une démonstration alternative de ces résultats consisterait à vérifier que les isomorphismes d’espaces fibrés construits dans la prop. 2 et ses corollaires sont des isomorphismes d… 024F
Proposition 4 Si l’espace B est paracompact et si l’espace E' est homéotope à un point, le faisceau sur B des morphismes d’espaces fibrés principaux de groupe G de E dans E' est un faisceau mou. 024G
Théorème 1 Soit G un groupe topologique, soit Bᵤ un espace topologique, et soit (Eᵤ, pᵤ) un espace fibré principal de groupe G et de base Bᵤ. On suppose que l’espace Eᵤ est homéotope à un poi… 024H
Corollaire Soit G un groupe topologique, soient B et B' des espaces topologiques paracompacts. Soient (E, p) et (E', p') des espaces fibrés principaux de groupe G et de base B et B' respectiv… 024I
Exemple Muni de l’application p:R→ S¹,t↦ e^2π it, et de l’opération de Z par translation, l’espace R est un revêtement principal de groupe Z. L’espace S¹ est ainsi un espace classifiant po… 024J
Proposition 5 Il existe une unique topologie sur G^* compatible avec sa structure de groupe pour laquelle les ensembles V^*_ε forment une base des voisinages de l’élément neutre. 024K
Proposition 6 L’espace G^* est contractile et localement contractile en chacun de ses points. 024L
Remarque 1 Si G est un groupe topologique séparé, ι (G) est fermé dans G^*. 024M
Proposition 7 Supposons que G soit un groupe topologique métrisable. Alors, le groupe topologique G^* est métrisable. Plus précisément, si d est une distance bornée sur G qui définit sa topologi… 024N
Remarque 2 Soit d une distance bornée qui définit la topologie de G. Lorsque l’on munit le groupe topologique G^* de la distance d^*, l’homomorphisme ι : G→ G^* est une isométrie. 024O
Remarque 3 Supposons que G soit un groupe topologique discret. Le sous-groupe ι (G) est alors un sous-groupe discret de G^*. En effet, la topologie de G est définie par la distance d sur G do… 024P
Théorème 2 Soit G un groupe topologique discret. Faisons opérer G à droite dans G^* par h· g=hι (g) et notons B l’espace topologique quotient G^*/G. 024Q