Quyển TA · Tiếng Việt

Chỉ mục mệnh đề

702 mệnh đề của Tô pô đại số, theo chương và mục. Chọn một loại, lọc theo từ, hoặc xếp những mệnh đề được trích dẫn nhiều nhất lên đầu.

Trích dẫn nhiều nhất trước

I. Phủ

§ 1. Tích thớ và các hình vuông descartes

Định nghĩa 1 Một không gian tôpô B (hay đơn giản là một không gian B) là một không gian tôpô X, được trang bị một ánh xạ liên tục p từ X vào B. Ánh xạ p được gọi là phép chiếu của không gian B… 01L9
Định nghĩa 2 Không gian tôpô X×_BX' được gọi là tích thớ của X và X' trên B. B-không gian thu được bằng cách trang bị cho X×_BX' ánh xạ q được gọi là B-không gian tích của X và X'. 01LA
Ví dụ 1 Cho X và X' là các B-không gian; khi đó ánh xạ (x, x')↦ (x', x) xác định một B-đẳng cấu từ X×_BX' lên X'×_BX. 01LB
Ví dụ 2 Cho X, X',X'' là các B-không gian và p,p',p'' là các phép chiếu tương ứng của chúng. B-không gian tích (X×_BX')×_BX'' là không gian con tôpô X×_BX'×_BX'' của X× X'× X'' gồm các bộ… 01LC
Ví dụ 3 Cho X là một B-không gian và p là phép chiếu của nó. Tích thớ X×_BX của X với chính nó trên B được gọi là bình phương thớ của X. Đó là không gian con của X× X gồm các cặp (x, x') s… 01LD
Ví dụ 4 Cho (Bᵢ)_i∈ I là một họ các không gian tôpô và, với mỗi i∈ I, cho (Xᵢ, pᵢ) và (Yᵢ, qᵢ) là các Bᵢ-không gian. Đặt B =∏_i∈ IBᵢ, X =∏_i∈ IXᵢ và Y =∏_i∈ IYᵢ. Khi được trang bị ánh xạ l… 01LE
Ví dụ 5 Cho (Xᵢ)_i∈ I và (Yⱼ)_j∈ J là các họ B-không gian. Gọi X và Y là các tổng của chúng. Với mỗi (i, j)∈ I× J, ánh xạ (x, y)↦ ((i, x),(j, y)) là một B-đẳng cấu từ Xᵢ×_BYⱼ lên không gia… 01LF
Định nghĩa 3 Không gian tôpô ∏_BXᵢ được gọi là tích thớ của họ (Xᵢ)_i∈ I trên B. B-không gian thu được bằng cách trang bị cho ∏_BXᵢ ánh xạ p được gọi là B-không gian tích của họ (Xᵢ)_i∈ I. 01LG
Ví dụ 1 Khi tập hợp I là rỗng, tập hợp ∏_i∈ IXᵢ chỉ gồm một phần tử duy nhất và B-không gian ∏_BXᵢ được đồng nhất với B (được trang bị phép chiếu Id_B). 01LH
Ví dụ 2 Khi I không rỗng, từ ánh xạ (b, x)↦ x từ B× ∏_i∈ IXᵢ vào ∏_i∈ IXᵢ, bằng cách chuyển qua các không gian con, suy ra một đồng phôi từ ∏_BXᵢ lên không gian con của ∏_i∈ IXᵢ tạo bởi cá… 01LI
Ví dụ 3 Khi tập hợp I là một tập hợp chỉ có một phần tử α (resp. có hai phần tử α và β; resp. có ba phần tử α ,β ,γ ), ánh xạ pr_α (resp. (pr_α, pr_β) ; resp. (pr_α, pr_β, pr_γ)) từ ∏_BXᵢ… 01LJ
Định nghĩa 4 Người ta nói rằng hình vuông (1) là một hình vuông Cartesian của các không gian tôpô (hoặc, đơn giản, rằng nó là Cartesian) nếu nó giao hoán và nếu, với mọi không gian tôpô Y và mọ… 01LK
Mệnh đề 1 Để hình vuông (1) là Cartesian, điều kiện cần và đủ là nó giao hoán và rằng, với mọi B-không gian Y và mọi cặp B-cấu xạ u: Y→ B',v: Y→ X, tồn tại duy nhất một B-cấu xạ w: Y→ X' sao… 01LL
Mệnh đề 2 Cho B, B' và X là các không gian tôpô và cho p: X→ B,f: B'→ B là các ánh xạ liên tục. 01LM
Mệnh đề 3 Cho 01LN
Mệnh đề 4 Cho 01LO
Hệ quả Cho 01LP
Ví dụ Cho (X, p) là một B-không gian và A là một không gian con của B. Hình vuông 01LQ
Mệnh đề 5 Cho I là một tập hợp và, với mỗi i∈ I, cho 01LR
Hệ quả 1 Cho X là một B-không gian, cho p là phép chiếu của nó, và cho F là một không gian tôpô. Bình phương 01LS
Hệ quả 2 Nếu bình phương (9) là Đề-các với mọi i∈ I, thì bình phương (9') là Đề-các. 01LT
Ví dụ 1 Cho 01LU
Mệnh đề 6 Cho I là một tập hợp và, với mọi i∈ I, cho 01LV
Ví dụ 2 Cho (X, p) là một B-không gian và cho (Aₖ)_k∈ K là một họ các không gian con của B. Cho A là không gian tổng của họ (Aₖ)_k∈ K và cho Y là không gian tổng của họ (overset-1p(Aₖ))_k∈… 01LW
Mệnh đề 7 Cho 01LX
Nhận xét 1 Có thể xảy ra rằng các hình vuông (12) và (14) là cartesian mà hình vuông (13) thì không như vậy (I, p. 139, bài tập 2). 01LY
Nhận xét 2 Cho p: X→ B và f: B'→ B là các ánh xạ liên tục. Ánh xạ g: B'→ B'× B được xác định bởi g(b') = (b', f(b')) là một phép đồng phôi từ B' lên đồ thị G của ánh xạ f (TG, I, p. 25, hệ qu… 01LZ
Nhận xét 3 Cho 01M0
Mệnh đề 8 Cho 01M1
Nhận xét 1 Với ký hiệu của mệnh đề 8, nếu p là một ánh xạ đóng, điều đó không nhất thiết còn đúng đối với p'(xem TG, I, p. 72, ví dụ). Tuy nhiên, nếu ánh xạ p là đóng và nếu A là một không gi… 01M2
Định nghĩa 5 Cho X và Y là các không gian tôpô và f: X→ Y là một ánh xạ. Gọi R là quan hệ tương đương liên kết với f, và 01M3
Ví dụ 1 Hợp thành của hai ánh xạ ngặt không nhất thiết là ngặt. Thật vậy, mọi ánh xạ liên tục f: X→ Y đều là hợp thành của ánh xạ pr₂: X× Y→ Y và của ánh xạ x↦ (x, f(x)) từ X vào X× Y, cả… 01M4
Ví dụ 2 Một ánh xạ liên tục mà mở, hoặc đóng, hoặc có một tiết diện liên tục, thì là ngặt. Điều này suy ra từ mệnh đề 3 của TG, I, p. 32 và từ mệnh đề 9 của TG, I, p. 22. 01M5
Ví dụ 3 Để một đồng cấu liên tục từ một nhóm tôpô vào một nhóm tôpô khác là một cấu xạ ngặt (TG, III, p. 16, định nghĩa 1), điều kiện cần và đủ là nó là một ánh xạ ngặt theo nghĩa của Định… 01M6
Mệnh đề 9 Cho X, Y và Z là các không gian tôpô. Cho f: X→ Y là một ánh xạ liên tục toàn ánh và g: Y→ Z là một ánh xạ. 01M7
Mệnh đề 10 Cho X là một không gian tôpô và cho R là một quan hệ tương đương trong X. Cho Y là một không gian tôpô compact địa phương. Cho S là quan hệ tương đương trong X× Y là tích của quan… 01M8
Hệ quả Cho X và Y là các không gian tôpô và cho f: X→ Y là một ánh xạ liên tục. Cho T là một không gian tôpô compact địa phương. Nếu ánh xạ f là ngặt, thì ánh xạ f× Id_T từ X× T vào Y× T… 01M9
Định nghĩa 6 Cho p: X→ B là một ánh xạ liên tục. Người ta nói rằng ánh xạ p là ngặt phổ dụng nếu với mọi hình vuông Descartes 01MA
Hệ quả Một ánh xạ liên tục mở, hoặc thực sự, hoặc thừa nhận trong một lân cận của mọi điểm một tiết diện liên tục, là ngặt phổ dụng (prop. 8 và ví dụ 2). 01MB
Ví dụ Cho B là một không gian tôpô và cho (Aᵢ)_i∈ I là một phủ của B; gọi A là không gian tổng của họ (Aᵢ)_i∈ I, và cho p: A→ B là ánh xạ chính tắc. Ánh xạ p là ngặt phổ dụng dưới mỗi mộ… 01MC
Nhận xét Một ánh xạ đóng không nhất thiết là ngặt phổ dụng (xem TG, I, p. 96, exerc. 6). 01MD
Mệnh đề 11 Cho 01ME
Hệ quả 1 Giả sử rằng ánh xạ f là ngặt phổ dụng và toàn ánh và rằng ánh xạ p' là ngặt phổ dụng. Khi đó ánh xạ p là ngặt phổ dụng. 01MF
Hệ quả 2 Cho B và X là các không gian tôpô và cho p: X→ B là một ánh xạ liên tục. Cho (Aᵢ)_i∈ I là một họ các tập con của B tạo thành một phủ mở của B, hoặc cũng có thể là một phủ đóng hữu… 01MG

§ 2. Ánh xạ étale

Mệnh đề 1 Cho X và Y là các không gian tôpô và cho f: X→ Y là một ánh xạ liên tục. Các tính chất sau là tương đương: 01MH
Định nghĩa 1 Cho X và Y là các không gian tôpô. Một ánh xạ liên tục f: X→ Y được gọi là tách nếu nó thỏa mãn các điều kiện tương đương của mệnh đề 1. 01MI
Mệnh đề 2 Cho X, Y, Z là các không gian tôpô và cho f: X→ Y và g: Y→ Z là các ánh xạ liên tục. 01MJ
Nhận xét 1 Một ánh xạ liên tục đơn ánh là tách. 01MK
Nhận xét 2 Đối với một không gian tôpô X, để X là tách (TG, I, p. 52, định nghĩa 1), điều kiện cần và đủ là ánh xạ của X vào một không gian thu gọn về một điểm là tách. Trong trường hợp này… 01ML
Nhận xét 3 Cho f: X→ Y là một ánh xạ liên tục và tách. Nếu không gian Y là tách, thì không gian X là tách. Điều này suy ra từ nhận xét 2 và mệnh đề 2 được áp dụng với một không gian Z thu gọn… 01MM
Nhận xét 4 Cho f: X→ Y là một ánh xạ liên tục và tách, y một điểm 01MN
Nhận xét 5 Cho Y là một không gian tôpô. Cho (Aᵢ)_i∈ I là một họ các tập con của Y và X là không gian tổng của họ (Aᵢ)_i∈ I. Ánh xạ chính tắc của X vào Y là tách được. 01MO
Mệnh đề 3 Cho f: X→ Y là một ánh xạ liên tục và tách được. Mọi tiết diện liên tục của f cảm sinh một phép đồng phôi của Y lên một tập con đóng của X. 01MP
Mệnh đề 4 Cho 01MQ
Mệnh đề 5 Cho X, Y, Z là các không gian tôpô và f: X→ Y,g: Y→ Z là các ánh xạ liên tục. Giả sử ánh xạ g tách được và ánh xạ g∘ f là thực sự. Khi đó ánh xạ f là thực sự. 01MR
Định nghĩa 2 Cho E và B là các không gian tôpô, cho p: E→ B là một ánh xạ và x là một điểm của E. Ta nói rằng ánh xạ p là étale tôpô tại x nếu tồn tại một lân cận U của x trong E và một lân cận… 01MS
Nhận xét 1 Tập hợp các điểm của E tại đó một ánh xạ p: E→ B là étale là một tập mở U của E, và hạn chế của p lên U là một ánh xạ étale từ U vào B. 01MT
Nhận xét 2 Một ánh xạ étale là liên tục và mở (TG, I, p. 33, prop. 5) ; đặc biệt, ảnh của một ánh xạ étale là mở. Ngược lại, nếu p: E→ B là một ánh xạ liên tục và mở, và nếu mọi điểm x của E… 01MU
Ví dụ 1 Cho B là một không gian tôpô và (Uᵢ)_i∈ I là một họ các tập con của B. Gọi E là không gian tổng của họ (Uᵢ)_i∈ I và p: E→ B là ánh xạ suy ra từ các phép nhúng chính tắc của các Uᵢ… 01MV
Ví dụ 2 Cho U là một tập mở của C. Để một hàm chỉnh hình f: U→ C là một ánh xạ étale, điều kiện cần và đủ là đạo hàm của nó không triệt tiêu ở đâu cả. 01MW
Ví dụ 3 Một cấu xạ étale của các đa tạp (VAR, R, 5.7.8) là một ánh xạ étale tôpô, nhưng tồn tại các cấu xạ của các đa tạp thực là étale tôpô nhưng không phải là các cấu xạ étale. Chẳng hạn… 01MX
Mệnh đề 6 Cho X, Y, Z là các không gian tôpô và f: X→ Y,g: Y→ Z là các ánh xạ. 01MY
Hệ quả 1 Cho B là một không gian tôpô. Một B-cấu xạ từ một B-không gian étalé vào một B-không gian étalé khác là étalé. 01MZ
Hệ quả 2 Cho B là một không gian tôpô; một B-cấu xạ song ánh từ một B-không gian étalé vào một B-không gian étalé khác là một B-đẳng cấu. 01N0
Hệ quả 3 Cho p: E→ B là một ánh xạ étalé. Mọi tiết diện liên tục của p đều cảm sinh một phép đồng phôi từ B lên một tập con mở của E. 01N1
Hệ quả 4 Cho p: E→ B là một ánh xạ étale và tách. Giả sử E liên thông và p có một tiết diện. Khi đó p là một đồng phôi. 01N2
Mệnh đề 7 Cho p: E→ B là một ánh xạ liên tục. Để ánh xạ p là étale, điều kiện cần và đủ là nó mở và đường chéo Δ_E của E×_BE mở trong E×_BE. 01N3
Mệnh đề 8 Cho 01N4
Hệ quả Cho B là một không gian tôpô. Tích sợi của hai B-không gian étale là một B-không gian étale. 01N5
Nhận xét 3 Cho 01N6
Mệnh đề 9 Cho p: E→ B là một ánh xạ liên tục. Để ánh xạ p là étale, điều kiện cần và đủ là mọi điểm của E đều có một lân cận mở là ảnh của một tiết diện liên tục của p trên một tập con mở củ… 01N7
Nhận xét 1 Cho p: E→ B là một ánh xạ liên tục và mở. Để một tập mở U của E là ảnh của một tiết diện liên tục của p trên một tập mở của B, điều kiện cần và đủ là hạn chế của p trên U là đơn án… 01N8
Nhận xét 2 Cho p: E→ B là một ánh xạ liên tục. Giả sử mọi điểm của B đều có một lân cận mở V sao cho tồn tại một tiết diện liên tục của p trên V. Một ánh xạ p như vậy không nhất thiết là étal… 01N9
Mệnh đề 10 Cho E, B và Z là các không gian tôpô, p: E→ B là một ánh xạ étale và f: Z→ B là một ánh xạ liên tục. 01NA
Mệnh đề 11 Cho E, B và Z là các không gian tôpô, p: E→ B và f: Z→ B là các ánh xạ liên tục. Cho g và g' là các nâng liên tục của f lên E. Gọi W là tập hợp các điểm của Z tại đó g và g' trùng… 01NB
Hệ quả 1 Nếu không gian Z liên thông và nếu ánh xạ p là étale và tách, các nâng liên tục của f lên E trùng nhau tại một điểm thì bằng nhau. 01NC
Hệ quả 2 Cho p: E→ B là một ánh xạ étale và tách. Nếu không gian E liên thông, nhóm Aut_B(E) tác động tự do trên E. 01ND
Hệ quả 3 Cho E, B và Z là các không gian tôpô, cho p: E→ B là một ánh xạ étale và tách được, và cho f: Z→ B là một ánh xạ liên tục. Với i= 1, 2, cho Uᵢ là một tập con mở ( resp. tập con đón… 01NE
Mệnh đề 12 Cho p: E→ B là một ánh xạ étale. Để ánh xạ p tách được, điều kiện cần và đủ là với mọi tập con mở V của B và mọi cặp (s, s') các tiết diện liên tục của p trên V, tập hợp các điểm t… 01NF
Định lý 1 Cho X, Y, Z là các không gian tôpô, cho f: Z→ X× Y là một ánh xạ étale và tách, và cho y₀ là một điểm của Y. Cho s: X× Y→ Z là một tiết diện của f. Giả sử rằng hạn chế của s lên X×… 01NG
Bổ đề Cho U là một tập hợp mở của X, cho V là một tập hợp mở liên thông của Y, và cho (x₁, y₁)∈ U× V. Giả sử rằng hạn chế của s lên U× y₁ là liên tục. Cho σ là một tiết diện liên tục của… 01NH
Hệ quả 1 Cho X, Y, E, B là các không gian tôpô. Cho p: E→ B là một ánh xạ étale và tách, cho h: X× Y→ B là một ánh xạ liên tục và cho y₀ là một điểm của Y. Cho g: X× Y→ E là một ánh xạ sao… 01NI
Nhận xét Nếu trong định lý 1 không giả sử rằng không gian Y liên thông địa phương, thì kết luận của định lý không còn nhất thiết đúng (I, p. 141, bài tập 7). 01NJ
Định lý 2 Cho B là một không gian tôpô và A là một không gian con của B. Đặt một trong các giả thiết sau: 01NK
Bổ đề 1 Mỗi tính chất (i) đến (iv) của định lý 2 đều kéo theo tính chất (PCV). 01NL
Bổ đề 2 Cho B là một không gian tôpô, và K và L là các tập con quasi-compact của B. Giả sử rằng với mọi điểm a của K và mọi điểm b của L, tồn tại các lân cận rời nhau của a và b trong B. K… 01NM
Bổ đề 3 Cho B là một không gian tôpô và A là một không gian con của B sao cho cặp (B,A) thỏa mãn tính chất (PCV) của I, p. 37. Khi đó mọi tiết diện liên tục trên A của một ánh xạ étalé p… 01NN
Định lý 3 Cho E và B là các không gian tôpô và cho p: E→ B là một ánh xạ étale và tách. Giả sử E liên thông và B liên thông địa phương. Cho W là một cơ sở của tôpô của B. Khi đó, với mọi điể… 01NO
Bổ đề 4 Cho B là một không gian tôpô, và cho W và W' là các cơ sở của tôpô của B. Tồn tại một tập con V của W' là một cơ sở của tôpô của B và sao cho Card(V)leqslant Card(W)². 01NP
Bổ đề 5 a) Cho c= (U₀, . . . ,Uₙ) và c'= (U'₀, . . . ,U'ₘ) là các dãy sâu róm sao cho U₀= U'₀ và p(c) =p(c'). Khi đó c=c'. 01NQ
Nhận xét Từ những điều trên, nếu tôpô của B có một cơ sở đếm được, thì điều tương tự cũng đúng đối với tôpô của E và các sợi của E đều đếm được (cf. TG, I, p. 88, định lý Poincaré-Volterra)… 01NR

§ 3. Bó

Định nghĩa 1 Một tiền bó trên B, tương đối với một cơ sở B của tôpô trên B, là một hệ xạ ảnh các tập hợp, tương đối với tập hợp chỉ số B được sắp thứ tự bởi quan hệ bao hàm. 01NS
Định nghĩa 2 Cho F= (F(U), f_UV) là một tiền bó trên B. Ta nói rằng F là một bó trên B nếu, với mọi tập con mở U của B và mọi họ (Uᵢ)_i∈ I các tập con mở của B, có hợp là U, các tính chất sau đ… 01NT
Nhận xét Cho F là một tiền bó trên B. Với mọi tập hợp mở U của B, f_∅ U là một ánh xạ từ F(U) vào F(∅ ), do đó F(∅ ) không rỗng ngay khi tồn tại một tập hợp mở U mà F(U) không rỗng. Nếu F l… 01NU
Định nghĩa 3 Cho B là một không gian tôpô, B một cơ sở của tôpô của B,F= (F(U), f_UV) và G= (G(U), g_UV) là các tiền bó trên B đối với B. Một cấu xạ của các tiền bó từ F đến G được gọi là một h… 01NV
Ví dụ 1 Cho B là một không gian tôpô, cho (E, p) và (E', p') là các B-không gian và cho f: E→ E' là một B-cấu xạ. Với mỗi tập con mở U của B, định nghĩa ánh xạ f_U:S(U; E)→ S(U; E') bởi f_… 01NW
Ví dụ 2 Cho B là một không gian tôpô, B một cơ sở của tôpô trên B, F= (F(U), f_UV) một tiền bó trên B đối với B và L= (L(U)) một tiền bó con của F. Với mọi tập mở U∈ B, ký hiệu bởi i_U đơn… 01NX
Ví dụ 3 Cho B là một không gian tôpô, B một cơ sở của tôpô trên B và I một tập hợp. Với mọi i∈ I, cho Fᵢ= (Fᵢ(U), f_i,UV) là một tiền bó trên B đối với B. Ký hiệu bởi F tiền bó tích của họ… 01NY
Ví dụ 4 Cho X là một đa tạp vi phân cấp C^∞ trên R và cho C^∞(X;R) là bó trên X của các hàm số trị số cấp C^∞. Nếu P là một toán tử vi phân với các hệ số C^∞ trên X, họ các hạn chế của P t… 01NZ
Mệnh đề 1 Ánh xạ p: E_F→ B là étale. Do đó, với mọi tập mở U∈ B và mọi s∈ F(U), ánh xạ σ_F(U, s) là một tiết diện liên tục của p trên U. 01O0
Định nghĩa 4 Không gian étalé trên B (E_F, p) được định nghĩa ở trên được gọi là không gian étalé trên B liên kết với tiền bó F. Với x∈ B, thớ của E_F tại x được gọi là stalk của tiền bó F tại… 01O1
Nhận xét Cho F là một bó trên B đối với cơ sở B. Cho B' là một tập con mở của B, cho B' là một cơ sở của tôpô của B' sao cho B'⊂ B. Gọi F|B' là tiền bó trên B' đối với cơ sở B' suy ra từ F… 01O2
Ví dụ 1 Cho B là một không gian tôpô, B là một cơ sở của tôpô của B và F là một tập hợp. Lấy F là tiền bó trên B đối với cơ sở B được xác định bởi F(U) = F với mọi U∈ B và r_UV = Id_F với… 01O3
Ví dụ 2 Cho B là một không gian tôpô và (E, p) một B-không gian. Cho F là bó trên B gồm các tiết diện liên tục của (E, p). Ánh xạ (U, s, x)↦ s(x) từ X_F vào E là tương thích với quan hệ tư… 01O4
Ví dụ 3 Cho B là một không gian tôpô, B một cơ sở của tôpô trên B,F một tiền bó trên B đối với B và L một bó con của F. Khi đó tập hợp X_L được chứa trong tập hợp X_F và quan hệ tương đươn… 01O5
Mệnh đề 2 Ánh xạ j_F là B-đẳng cấu nghịch đảo của e_F. 01O6
Hệ quả Với mọi a∈ B, ánh xạ (σ_F)ₐ:Fₐ→ widetildeFₐ là song ánh. 01O7
Mệnh đề 3 Cho B là một không gian tôpô, cho B là một cơ sở của tôpô của B, cho F= (F(U), f_UV) là một tiền bó trên B đối với B, cho widetildeF là bó liên kết và cho σ_F:F→ widetildeF|B là cấ… 01O8
Bổ đề Cho U là một tập con mở của B và s: U→ E_F một tiết diện liên tục của E_F trên U. Với mọi điểm a của U, tồn tại một tập mở V∈ B sao cho a∈ V và V⊂ U, và một phần tử v của F(V) sao… 01O9
Hệ quả 1 Cho B là một không gian tôpô, F là một tiền bó trên B,widetildeF là bó liên kết và σ_F:F→ widetildeF là cấu xạ chính tắc. Để F là một bó, điều kiện cần và đủ là σ_F là một đẳng cấu… 01OA
Nhận xét Cho B là một không gian tôpô, F một tiền bó trên B, G một bó trên B và φ :F→ G một cấu xạ của các tiền bó. Cấu xạ chính tắc σ_G:G→ widetildeG là một đẳng cấu theo hệ quả 1. Theo qu… 01OB
Hệ quả 2 Cho B là một không gian tôpô, F và G là các bó trên B và φ là một cấu xạ của các bó từ F vào G. Các khẳng định sau là tương đương: 01OC
Chú giải Cho B là một không gian tôpô. Với mỗi bó F trên B, người ta gắn với nó một không gian étalé trên B E_F (I, p. 50, định nghĩa 4). Với mỗi không gian étalé trên B T, người ta gắn với… 01OD
Ví dụ 1 Cho B là một không gian tôpô, A là một không gian con của B và F= (F(U), f_UV) là một tiền bó trên A. Gọi i: A→ B là đơn ánh chính tắc. Khi đó ta có i_*(F) = (F'(U), f'_UV) trong đ… 01OE
Nhận xét Cấu xạ chính tắc σ_G:G→ widetildeG ở I, p. 53 tương ứng, theo ngôn ngữ các không gian étalé, với đẳng cấu j_G của mệnh đề 2 ở I, p. 53. Suy ra rằng u^*(σ_G) là một đẳng cấu. Đặc bi… 01OF
Ví dụ 2 Cho B là một không gian tôpô và A là một không gian con của B. Cho i: A→ B ký hiệu đơn ánh chính tắc. Với mọi bó G trên B, ký hiệu G_A là bó i^*(G), và nói rằng G_A là bó trên A cả… 01OG
Nhận xét 1 Cho A, B, C là các không gian tôpô, cho u: A→ B,v: B→ C là các ánh xạ liên tục; đặt w=v∘ u. Cho G là một tiền bó trên C. 01OH
Nhận xét 2 Nếu γ :G₁→ G₂ là một cấu xạ tiền bó trên B, thì các cấu xạ tiền bó β_G₂∘ γ và u_*u^*(γ )∘ β_G₁ là bằng nhau. Thật vậy, nếu V là một tập mở của B và s∈ G₁(V),β_G₁(s) là tiết diện t… 01OI
Mệnh đề 4 Cho A và B là các không gian tôpô, u: A→ B là một ánh xạ liên tục, G là một tiền bó trên B,F là một bó trên A. 01OJ
Mệnh đề 5 Cho A và B là các không gian tôpô và cho u: A→ B là một ánh xạ liên tục. 01OK
Ví dụ 1 Xét một không gian tôpô B, một không gian con A của B, và ký hiệu bởi i: A→ B đơn ánh chính tắc. Cho (E, p) và (E', p') là các B-không gian. Lấy G là bó Mor_B(E; E') (I, p. 45, ví… 01OL
Ví dụ 2 Cho A, B, C là các không gian tôpô và cho u: A→ B, v: B→ C là các ánh xạ liên tục; đặt w=v∘ u. Cho E và E' là các C-không gian. Cấu xạ chính tắc từ Mor_C(E; E')_A vào Mor_A(E_A; E'… 01OM
Định nghĩa 5 Cho p: E→ B là một ánh xạ étale. Ta nói rằng ánh xạ p là mềm, hoặc rằng B-không gian étale (E, p) là mềm, nếu mọi tiết diện liên tục của p trên một không gian con đóng của B đều mở… 01ON
Mệnh đề 6 Cho B là một không gian tôpô, F là một bó trên B và (Aᵢ)_i∈ I là một phủ đóng hữu hạn địa phương của B. Để bó F là mềm, điều kiện cần và đủ là, với mọi i∈ I, bó cảm sinh F_Aᵢ là mề… 01OO
Hệ quả 1 Cho B là một không gian paracompact, F một bó trên B và (Uᵢ)_i∈ I một phủ mở của B. Nếu, với mọi i∈ I, bó cảm sinh F|Uᵢ là mềm, thì bó F là mềm. 01OP
Hệ quả 2 Cho B là một không gian paracompact, F một bó trên B và (Aᵢ)_i∈ I một phủ đóng hữu hạn địa phương của B. Để bó F là mềm, điều kiện cần và đủ là điều kiện sau được thỏa mãn: 01OQ

§ 4. Phủ

Định nghĩa 1 Cho B là một không gian tôpô. Cho E là một B-không gian và cho p là phép chiếu của nó. Ta nói rằng E là một B-không gian sợi địa phương tầm thường nếu mọi điểm của B đều có một lân… 01OR
Nhận xét 1 Cho (E, p) là một B-không gian sợi địa phương tầm thường và cho A là một tập con của B. A-không gian E_A= (overset-1p(A), p_A) suy ra từ E bằng cách chuyển qua các không gian con l… 01OS
Nhận xét 2 Cho (E, p) là một B-không gian và cho (Eᵢ)_i∈ I là một phân hoạch của E gồm các tập mở. 01OT
Định nghĩa 2 Một phủ là một không gian sợi địa phương tầm thường mà mọi sợi của nó đều rời rạc. 01OU
Mệnh đề 1 Cho B và E là các không gian tôpô và cho p: E→ B là một ánh xạ. Các điều kiện sau là tương đương: 01OV
Hệ quả 1 Cho B và E là các không gian tôpô và cho p: E→ B là một ánh xạ. Để E, được trang bị ánh xạ p, là một phủ của B, điều kiện cần và đủ là, với mọi điểm a của B, tồn tại một lân cận mở… 01OW
Nhận xét Cho B là một không gian tôpô. Cho E là một B-không gian và cho p là phép chiếu của nó. Nếu E là một phủ của B, suy ra từ hệ quả 1 ở trên rằng ánh xạ p là étale (I, p. 28, Def. 2) v… 01OX
Hệ quả 2 Cho B là một không gian tôpô, cho E là một B-không gian và cho p là phép chiếu của nó. Giả sử rằng p là étale và separated và rằng không gian B là liên thông. Để E là một phủ tầm t… 01OY
Mệnh đề 2 Cho B và B' là các không gian tôpô, cho (E, p) là một B-không gian và cho (E', p') là một B'-không gian. Giả sử rằng E và E' là các không gian sợi địa phương tầm thường ( resp. các… 01OZ
Hệ quả 1 Cho A là một không gian tôpô, B, B' là các A-không gian. Cho E và E' là các không gian sợi địa phương tầm thường ( tương ứng, các phủ) có cơ sở B và B'; gọi p và p' là các phép chi… 01P0
Hệ quả 2 Cho 01P1
Hệ quả 3 Cho B là một không gian tôpô. Cho E và E' là các B-không gian sợi địa phương tầm thường ( tương ứng, các phủ). Khi đó E×_BE' là một B-không gian sợi địa phương tầm thường ( tương ứ… 01P2
Mệnh đề 3 Cho 01P3
Nhận xét Nếu, trong mệnh đề 3, ta làm yếu giả thiết trên ánh xạ f bằng cách giả sử nó chỉ ngặt phổ dụng và toàn ánh, và nếu p' là một phủ, thì ánh xạ p là étale (I, p. 31, prop. 8) và tách… 01P4
Mệnh đề 4 Mọi phủ của một không gian liên thông khác rỗng đều có một bậc. 01P5
Định lý 1 Cho E, B là các không gian tôpô và p: E→ B là một ánh xạ. Các điều kiện sau là tương đương: 01P6
Bổ đề Cho X và Y là các không gian tôpô. Để một ánh xạ f: X→ Y là đóng, điều kiện cần và đủ là với mọi điểm y của Y và mọi lân cận W của sợi overset-1f(y), tồn tại một lân cận V 01P7
Nhận xét Một ánh xạ liên tục, tách, mở, riêng với các thớ hữu hạn không nhất thiết là một phủ. Đó là trường hợp của ánh xạ x↦ x² từ R vào [0; +∞ [. 01P8
Hệ quả 1 Cho E và B là các không gian tôpô và cho p: E→ B là một ánh xạ riêng và tách. Tập hợp U các điểm b của B sao cho p là étale tại mọi điểm của thớ E_b là mở trong B. U-không gian cảm… 01P9
Hệ quả 2 Cho B là một không gian tôpô tách và cho E là một B-không gian. Giả sử rằng E là compact và phép chiếu của nó p: E→ B là étale. Khi đó, E là một phủ hữu hạn của B. 01PA
Hệ quả 3 Cho B là một không gian tôpô, cho (E, p) và (E', p') là các B-không gian và cho f: E'→ E là một B-cấu xạ. Giả sử rằng E' là một phủ hữu hạn địa phương của B. 01PB
Hệ quả 4 Cho 01PC
Hệ quả 5 Cho B là một không gian tôpô liên thông và cho (E, p) là một phủ hữu hạn của B. Không gian E chỉ có một số hữu hạn các thành phần liên thông, và mỗi thành phần ấy là một phủ của B. 01PD
Mệnh đề 5 Cho B là một không gian tôpô, cho E và E' là các B-không gian, và cho f: E'→ E là một B-cấu xạ. Ta giả sử rằng E là một phủ hữu hạn địa phương và không gian E', được trang bị ánh x… 01PE
Nhận xét Nếu (E, p) là một phủ của B và nếu (E', f) là một phủ của E, ánh xạ p∘ f là étale (I, p. 29, mệnh đề 6, a)) và tách biệt (I, p. 25, mệnh đề 2, a)). Nhưng có thể xảy ra, xem bài tập… 01PF
Mệnh đề 6 Cho B là một không gian tôpô và cho E là một không gian trên B; ký hiệu p là phép chiếu của nó. Giả sử rằng không gian E là địa phương liên thông. Để E là một phủ của B, điều kiện… 01PG
Hệ quả 1 Cho B là một không gian tôpô địa phương liên thông, cho (E, p) là một phủ của B và cho E' là một tập con vừa mở vừa đóng của E. Không gian trên B (E', p|E') là một phủ và p(E') là… 01PH
Hệ quả 2 Cho B là một không gian tôpô địa phương liên thông, cho (E, p), (E', p') là các phủ của B và cho f, g: E'→ E là các B-cấu xạ. Với mỗi điểm b của B, ký hiệu f_b, g_b: E_b→ E'_b là c… 01PI
Hệ quả 3 Cho B là một không gian tôpô liên thông và địa phương liên thông, cho (E, p) và (E', p') là các phủ của B. Với mọi điểm b của B, ánh xạ f↦ f_b từ C_B(E'; E) vào C(E'_b; E_b) là đơn… 01PJ
Hệ quả 4 Cho B là một không gian tôpô liên thông và địa phương liên thông, cho (E, p) là một phủ của B, và cho b là một điểm của B. Để E là một phủ tầm thường hóa được, điều kiện cần và đủ… 01PK
Hệ quả 5 Cho 01PL
Mệnh đề 7 Cho B là một không gian tôpô, cho E và E' là các B-không gian, và cho f: E'→ E là một B-cấu xạ. Giả thiết rằng E' là một phủ của B và rằng không gian B là địa phương liên thông. 01PM
Bổ đề Nếu U là một thành phần liên thông của E', thì hạn chế của f lên U cảm sinh một đồng phôi từ U lên một thành phần liên thông của E. 01PN
Nhận xét Cho B là một không gian tôpô, cho (E, p) và (E', p') là các B-không gian và cho f: E'→ E là một B-cấu xạ. 01PO
Hệ quả Cho B là một không gian tôpô liên thông và liên thông địa phương. Cho E và E' là các phủ của B. Cho b là một điểm của B. Cho f: E'→ E là một B-cấu xạ và cho f_b: E'_b→ E_b là ánh x… 01PP
Mệnh đề 8 Một phủ của một không gian paracompact ( I, p. 69) là một không gian paracompact. 01PQ
Bổ đề Cho E là một không gian tôpô tách được. Giả sử rằng E có một phủ mở hữu hạn địa phương (Vᵢ)_i∈ I sao cho, với mọi i∈ I,overlineVᵢ là một không gian paracompact. Khi đó không gian E… 01PR
Nhận xét Có thể chứng minh rằng một phủ của một không gian khả mê hóa là khả mê hóa (I, p. 145, Exer. 1) và rằng một phủ liên thông của một không gian compact địa phương đếm được ở vô cùng… 01PS
Định nghĩa 3 Một bó F trên một không gian tôpô B được gọi là địa phương hằng nếu mọi điểm của B đều có một lân cận mở U sao cho bó cảm sinh F|U đẳng cấu với một bó hằng trên U. 01PT
Mệnh đề 9 Điều kiện cần và đủ để một bó là địa phương hằng là không gian étalé liên kết với nó là một phủ. 01PU
Hệ quả Điều kiện cần và đủ để một B-không gian étalé là một phủ là bó các mặt cắt của nó là địa phương hằng. 01PV
Mệnh đề 10 Nếu tập hợp I là hữu hạn, B-cấu xạ Φ là một đẳng cấu. 01PW
Mệnh đề 11 Nếu tập hợp I là hữu hạn, hoặc nếu không gian B là địa phương liên thông, thì cấu xạ chính tắc ψ : F→ ∏ Fᵢ là một đẳng cấu. 01PX
Hệ quả 1 Một tích hữu hạn của các bó địa phương hằng là địa phương hằng. 01PY
Hệ quả 2 Cho (Fᵢ)_i∈ I là một họ các bó trên B. Giả sử rằng không gian B là địa phương liên thông và mỗi điểm của B có một lân cận mở U sao cho, với mọi i∈ I, bó Fᵢ|U đẳng cấu với một bó hằ… 01PZ
Nhận xét 1 Cho (Eᵢ, pᵢ)_i∈ I là một họ các phủ của không gian tôpô B. Giả sử rằng không gian B là địa phương liên thông và tồn tại một phủ mở (Uⱼ)_j∈ J của B sao cho, với mọi j∈ J và mọi i∈ I… 01Q0
Nhận xét 2 Với các ký hiệu đi trước, B-cấu xạ chính tắc Φ : E→ ∏_BEᵢ là song ánh. Thực ra vấn đề có tính chất địa phương trên B, và có thể giả sử rằng, với mọi i∈ I, B-không gian Eᵢ đẳng cấu… 01Q1
Mệnh đề 12 Giả sử rằng không gian B là liên thông địa phương và rằng các B-không gian E và E' là các phủ. Khi đó bó Mor_B(E; E') là địa phương hằng và, với mọi b∈ B, ánh xạ θ_b là một song án… 01Q2
Hệ quả 1 Cho B là một không gian tôpô và A là một không gian con của B. Giả sử rằng các không gian A và B là địa phương liên thông. Cho E và E' là các phủ của B. Khi đó các cấu xạ chính tắc… 01Q3
Hệ quả 2 Cho B là một không gian tôpô và A là một không gian con của B. Giả sử rằng các không gian A và B là địa phương liên thông và cặp (B,A) có tính chất (PCV) của I, p. 37. Cho E và E'… 01Q4

§ 5. Không gian sợi chính

Định nghĩa 1 Cho G là một nhóm tôpô và B là một không gian tôpô. Một không gian sợi chính (phải) với cơ sở B và nhóm G là một B-không gian (E, p) được trang bị một phép toán phải của G trên E (… 01Q5
Ví dụ 1 Cho (E, p) là một không gian sợi chính với cơ sở B và nhóm G, và cho A là một không gian con của B. Không gian con E_A=overset-1p(A) của E là ổn định dưới phép toán của G, và ánh x… 01Q6
Ví dụ 2 Cho (E, p) là một không gian xơ chính có cơ sở B và nhóm G; cho (E', p') là một không gian xơ chính có cơ sở B' và nhóm G'. Ta định nghĩa một luật phép toán ở bên phải của nhóm G×… 01Q7
Ví dụ 3 Đặc biệt, khi B = B', B-không gian E×_BE' được đồng nhất với không gian xơ chính có nhóm G× G' cảm sinh bởi E× E' trên đường chéo Δ_B của B× B. Được trang bị cấu trúc không gian xơ… 01Q8
Ví dụ 4 Cho E là một không gian xơ chính có cơ sở B và nhóm G và cho F là một không gian tôpô. (B× F)-không gian E× F được trang bị luật phép toán (x, y)· g= (x· g, y), với x∈ E,y∈ F và g∈… 01Q9
Ví dụ 5 Cho B là một không gian tôpô và (E, p) là một không gian xơ chính có cơ sở B và nhóm G. Cho B' là một không gian tôpô và f: B'→ B là một ánh xạ liên tục. Nhóm G tác dụng ở bên phải… 01QA
Mệnh đề 1 Mọi cấu xạ của các không gian xơ chính đều là một đẳng cấu. 01QB
Hệ quả Cho G là một nhóm tôpô, (E, p) và (E', p') là các không gian sợi chính nhóm G và có các cơ sở lần lượt là B và B'. Cho f: B'→ B và f': E'→ E là các ánh xạ liên tục sao cho p∘ f'=f∘… 01QC
Mệnh đề 2 Cho (E, p) là một không gian sợi chính có cơ sở B và nhóm G, và cho ε là tiết diện b↦ (b, e) của không gian sợi chính tầm thường (B× G, pr₁), trong đó e ký hiệu phần tử đơn vị của… 01QD
Hệ quả Một không gian sợi chính tầm thường hóa được khi và chỉ khi nó thừa nhận một tiết diện liên tục. 01QE
Mệnh đề 3 Cho E và B là các không gian tôpô, p: E→ B một ánh xạ liên tục và G một nhóm tôpô tác động bên phải trên E. Các điều kiện sau là tương đương: 01QF
Nhận xét 1 Cho (E, p) là một không gian sợi chính với cơ sở B và nhóm G. Với ký hiệu của mệnh đề 3, ánh xạ θ⁻¹: E×_BE→ E× G là một tầm thường hoá của không gian sợi chính pr₁: E×_BE→ E. Người… 01QG
Hệ quả 1 Cho G là một nhóm tôpô tác động liên tục bên phải trên một không gian tôpô E. Các điều kiện sau là tương đương: 01QH
Hệ quả 2 Cho G là một nhóm tôpô, H là một nhóm con của G, và p: G→ G/H là ánh xạ chính tắc. Nếu ánh xạ p có một tiết diện liên tục trên một tập mở khác rỗng của G/H, thì ánh xạ p biến G thà… 01QI
Nhận xét 2 Tình huống này xuất hiện đặc biệt khi G là một nhóm Lie thực, có số chiều hữu hạn, đếm được ở vô cực, tác động bắc cầu và giải tích trên một đa tạp giải tích X. Nếu lấy H là nhóm ổ… 01QJ
Định nghĩa 2 Cho B là một không gian tôpô và G là một nhóm. Trang bị cho G tôpô rời rạc. Một không gian sợi chính với cơ sở B và nhóm G được gọi là một phủ chính của B với nhóm G. 01QK
Mệnh đề 4 Cho B là một không gian tôpô, (E, p) là một B-không gian, và G là một nhóm tôpô rời rạc tác động bên phải trên E. Các mệnh đề sau là tương đương: 01QL
Ví dụ 1 Cho E là một không gian tôpô, G là một nhóm tôpô rời rạc tác động liên tục và tự do bên phải trong E. Để ánh xạ chính tắc p: E→ E/G biến E thành một phủ chính của E/G, điều kiện cầ… 01QM
Ví dụ 2 Cho q: E→ X là một ánh xạ étale và tách biệt. Nhóm Aut_X(E), được trang bị tôpô rời rạc, tác động liên tục bên trái trong E. Nếu không gian E liên thông, thì tác động này là tự do… 01QN
Định lý 1 Cho G là một nhóm rời rạc tác động liên tục bên phải trong một không gian tôpô E. Giả sử rằng mọi điểm của E đều có một lân cận U sao cho U∩ (U· g) =∅ với mọi phần tử g của G khác… 01QO
Ví dụ 1 Cho n là một số nguyên geqslant 0, cho Pₙ(R) là không gian xạ ảnh chiều n (TG, VI, p. 13) và cho Sₙ là mặt cầu đơn vị của Rⁿ⁺¹ (TG, VI, p. 9). Ánh xạ chính tắc từ Sₙ lên Pₙ(R) tran… 01QP
Ví dụ 2 Mọi phủ bậc 2 đều có một cấu trúc duy nhất của phủ chính của nhóm Z/2Z. 01QQ
Ví dụ 3 Cho X là một đa tạp khả vi tách biệt, địa phương có số chiều hữu hạn trên R, và cho widetildeX là đa tạp các định hướng của bó tiếp xúc của X (VAR, R, 10.2.4). Không gian widetilde… 01QR
Hệ quả 1 Cho G là một nhóm tôpô rời rạc tác động liên tục bên phải trên một không gian tôpô E. Các điều kiện sau là tương đương: 01QS
Hệ quả 2 Cho G là một nhóm tôpô và cho H là một nhóm con rời rạc của G. Cho H tác động trên G bằng các phép tịnh tiến phải. Khi đó ánh xạ chính tắc từ G vào không gian G/H các lớp trái modu… 01QT
Ví dụ 4 Được trang bị ánh xạ chính tắc từ R lên T=R/Z (TG, V, p. 2),R là một phủ chính của R/Z với nhóm Z. 01QU
Nhận xét 1 Cho G là một nhóm tôpô tách biệt, K là một nhóm con compắc của G và H là một nhóm con rời rạc của G. Nhóm G tác động liên tục và đúng bên phải trên không gian Kbackslash G các lớp… 01QV
Hệ quả 3 Cho G và G' là các nhóm tôpô, và cho φ : G→ G' là một đồng cấu liên tục, mở và toàn ánh. Giả sử hạt nhân H của φ là rời rạc. Khi đó, đối với tác động của H trên G bằng các phép tịn… 01QW
Nhận xét 2 Cho G và G' là các nhóm tôpô và cho φ : G→ G' là một đồng cấu liên tục, mở. Nếu nhóm G' liên thông, thì đồng cấu φ là toàn ánh. Thật vậy, φ (G) là một nhóm con mở, do đó đóng, của… 01QX
Nhận xét 3 Cho G là một nhóm địa phương compact, đếm được ở vô cùng, và cho G' là một nhóm tôpô tách được mà không gian nền là một không gian Baire. Mọi đồng cấu liên tục toàn ánh từ G vào G'… 01QY
Ví dụ 5 Với mọi số nguyên n > 0, ký hiệu bởi μₙ nhóm các căn bậc n của đơn vị trong C (A, V, p. 75). Ánh xạ z↦ zⁿ trang bị cho C^* một phủ chính của C^* với nhóm μₙ, nhóm này tác động trên… 01QZ
Ví dụ 6 Được trang bị ánh xạ z↦ e^2π iz (TG, VIII, p. 8, nhận xét), không gian C là một phủ chính của C^* với nhóm Z. Ánh xạ x↦ e^2π ix=e(x) từ R lên S₁ trang bị cho R một phủ chính của S₁… 01R0
Định nghĩa 3 Cho B là một không gian tôpô khác rỗng. Một phủ E của B được gọi là Galois nếu nó liên thông và nếu, với mọi điểm b của B, phép toán của nhóm Aut_B(E) các B-tự đẳng cấu của E trên… 01R1
Mệnh đề 5 Cho B là một không gian tôpô khác rỗng và cho E là một phủ Galois của B. Ánh xạ (h, x)↦ h(x) từ Aut_B(E)× E vào E là một luật phép toán phải của nhóm Aut_B(E)^∘ trên E, luật này tr… 01R2
Định lý 2 Cho B là một không gian tôpô liên thông, cho E là một phủ của B, liên thông và khác rỗng. Các tính chất sau là tương đương: 01R3
Mệnh đề 6 Cho B là một không gian tôpô và G là một nhóm. Cho (E, p) là một phủ chính của B với nhóm G. Giả sử không gian B liên thông và địa phương liên thông. Cho E₀ là một thành phần liên… 01R4
Nhận xét Nếu, trong mệnh đề 6, người ta không giả sử không gian B địa phương liên thông, thì có thể xảy ra trường hợp không gian E₀ không phải là một phủ của B (I, p. 147, bài tập 1). 01R5
Ví dụ 1 Cho F là một không gian tôpô và cho G là một nhóm tôpô tác động liên tục ở bên trái trên F. Nếu không gian tôpô G được trang bị phép toán của G bởi các phép tịnh tiến phải, thì khô… 01R6
Ví dụ 2 Ví dụ 1 được tổng quát hóa như sau. Cho B và F là các không gian tôpô và cho G là một nhóm tôpô tác động liên tục ở bên trái trên F. Bằng cách chuyển qua các tập thương, ánh xạ từ… 01R7
Ví dụ 3 Tương tự, cho E là một không gian tôpô và cho G là một nhóm tôpô tác động liên tục bên phải trên E. Nếu không gian tôpô G được trang bị phép toán của G bởi các phép tịnh tiến trái… 01R8
Bổ đề Ánh xạ λ là một đồng phôi. 01R9
Mệnh đề 7 Cho B là một không gian tôpô, cho G là một nhóm tôpô, cho (E, p) là một không gian thớ chính trên B với nhóm G và cho F là một không gian tôpô mà trong đó nhóm G tác động liên tục… 01RA
Ví dụ 4 Cho B là một không gian tôpô, G là một nhóm tôpô, và (E, p) là một B-không gian sợi chính với nhóm G. Cho H là một nhóm con của G. 01RB
Ví dụ 5 Cho B là một không gian tôpô, cho G là một nhóm tôpô, và cho E là một B-không gian sợi chính với nhóm G. Cho F là một không gian thuần nhất tôpô đối với G (TG, III, p. 12). Cho y l… 01RC
Ví dụ 6 Cho B là một không gian tôpô, cho G là một nhóm tôpô, cho (E, p) là một B-không gian sợi chính với nhóm G. Cho H là một nhóm tôpô và cho f: G→ H là một cấu xạ của các nhóm tôpô; hã… 01RD
Định nghĩa 4 Cho B là một không gian tôpô và G là một nhóm tôpô. Một không gian sợi địa phương tầm thường X trên B được gọi là liên kết với một bó sợi chính E trên B với nhóm G nếu tồn tại một… 01RE
Định nghĩa 5 Cho B là một không gian tôpô, G là một nhóm tôpô rời rạc và E là một phủ chính của B với nhóm G. Một phủ X của B được gọi là liên kết với phủ chính E nếu tồn tại một G-tập hợp F và… 01RF
Mệnh đề 8 Cho B là một không gian tôpô liên thông khác rỗng. Cho G là một nhóm rời rạc và (E, p) là một phủ chính của B với nhóm G. Giả sử rằng E liên thông. Với ký hiệu ở trên, ta có: 01RG
Hệ quả 1 Cho (E, p) là một phủ chính của B với nhóm G; giả sử rằng E liên thông và khác rỗng. Một phủ X của B liên kết được với E khi và chỉ khi phủ p^*(X) là khả tầm thường hóa. 01RH
Hệ quả 2 Cho B là một không gian tôpô liên thông và địa phương liên thông, cho (E, p) là một phủ chính của B với nhóm G. Cho E₀ là một thành phần liên thông của E và cho G₀ là nhóm con của… 01RI
Mệnh đề 9 Cho B là một không gian tôpô, cho E là một phủ chính của B với nhóm G, liên thông và khác rỗng. Cho F là một G-tập hợp khác rỗng được trang bị tôpô rời rạc. Để không gian E×ᴳF liên… 01RJ
Mệnh đề 10 Cho B là một không gian tôpô, cho (E, p) là một phủ chính của B với nhóm G và cho X là một phủ của B. Giả sử rằng E và X liên thông và khác rỗng. Các tính chất sau là tương đương: 01RK
Hệ quả Cho E là một phủ Galois của B và cho X là một phủ của B, liên thông và khác rỗng. Giả sử rằng X là một phủ hữu hạn hoặc không gian B địa phương liên thông. Nếu tồn tại một B-cấu xạ… 01RL
Định lý 3 Cho B là một không gian tôpô khác rỗng, liên thông và địa phương liên thông. Mọi phủ của B đều kết hợp được với một phủ Galois; mọi phủ hữu hạn của B đều kết hợp được với một phủ G… 01RM
Định nghĩa 6 Cho B là một không gian tôpô, cho G là một nhóm tôpô, và cho U= (Uᵢ)_i∈ I là một phủ mở của B. Theo định nghĩa, một 1-đối chu tuyến tính liên tục trên B với giá trị trong G, phụ th… 01RN
Định nghĩa 7 Cho B là một không gian tô pô, G một nhóm tô pô và U= (Uᵢ)_i∈ I một phủ mở của B. Hai đối chu trình (gᵢⱼ) và (g'ᵢⱼ) của Z¹_cont(B,U,G) được gọi là đối đồng điều nếu tồn tại một họ… 01RO
Mệnh đề 11 Cho B là một không gian tô pô, G một nhóm tô pô và U= (Uᵢ)_i∈ I một phủ mở của B. 01RP
Định lý 4 Ánh xạ r: H¹_cont(B,G)→ P(B,G) là song ánh. 01RQ

§ 6. Không gian đơn liên thông

Định nghĩa 1 Một tập hợp có điểm gốc là một tập hợp X được trang bị một trong các phần tử của nó, gọi là điểm gốc. Tập hợp X được trang bị điểm x đôi khi được ký hiệu bởi (X, x). Cho (X, x) và… 01RR
Định nghĩa 2 Một phủ có điểm gốc (E, x) của (B, b) được gọi là một phủ phổ quát nếu, với mọi phủ có điểm gốc (E', x') của (B, b), tồn tại một cấu xạ duy nhất của các phủ của B, f: E→ E', sao ch… 01RS
Mệnh đề 1 Cho B là một không gian tôpô liên thông và địa phương liên thông và cho b là một điểm của B. Cho (E, x) là một phủ phổ quát của (B, b). Khi đó E là một phủ Galois của B và mọi phủ… 01RT
Hệ quả Cho B là một không gian tôpô địa phương liên thông. Cho b là một điểm của B và cho (E, x) là một phủ phổ quát của (B, b). Với một không gian con A của B, hai tính chất sau là tương… 01RU
Bổ đề 1 Cho E là không gian số n-chiều và cho A là một tập con lồi compắc của E mà 0 là một điểm trong của nó. Với mọi x∈ E, ký hiệu p_A(x) là cận dưới lớn nhất trong overlineR của tập hợp… 01RV
Mệnh đề 2 Cho E là không gian số chiều n và cho A là một tập con lồi và compáct của E mà 0 là một điểm trong của nó. Tồn tại một song ánh duy nhất u của E lên chính nó thỏa mãn ba tính chất… 01RW
Ví dụ Tập hợp [0,1]ⁿ là một tập con lồi, compắc, có phần trong khác rỗng của Rⁿ. Suy ra từ mệnh đề 2 của I, p. 123 rằng nó đồng phôi với quả cầu Euclid đóng. Chính xác hơn, với mọi điểm… 01RX
Định nghĩa 3 Một không gian tôpô được gọi là đơn liên thông nếu mọi phủ của nó đều tầm thường hoá được. 01RY
Nhận xét 1 Cho B là một không gian tôpô đơn liên thông và cho (E, p) là một phủ của B. Nếu không gian E liên thông và khác rỗng, thì ánh xạ p là một đồng phôi. Chẳng hạn, cho G là một nhóm tô… 01RZ
Nhận xét 2 Cho B là một không gian tôpô sao cho mọi điểm đều có một lân cận đơn liên thông; khi đó mọi phủ của một phủ của B đều là một phủ của B. Thật vậy, hãy xét một phủ (E, p) của B cùng… 01S0
Mệnh đề 3 Cho B là một không gian tôpô. Cho (E, p) là một phủ của B và cho y là một điểm của E. Cho X là một không gian tôpô đơn liên thông, cho f: X→ B là một ánh xạ liên tục và cho x là mộ… 01S1
Ví dụ 1 Cho X là một không gian tôpô đơn liên thông và cho f là một hàm liên tục từ X vào C^*. Nhắc lại (I, p. 101, ví dụ 6) rằng ánh xạ z↦ eᶻ làm cho C thành một phủ của C^*. Theo mệnh đề… 01S2
Hệ quả Cho B là một không gian tôpô và cho b là một điểm của B. Cho E là một phủ đơn liên của B. Với mọi điểm x của E_b, không gian có điểm gốc (E, x) là một phủ phổ quát của (B, b). 01S3
Mệnh đề 4 Tích của hai không gian đơn liên, trong đó một không gian là địa phương liên thông, là một không gian đơn liên. 01S4
Mệnh đề 5 Một không gian tôpô liên thông và địa phương liên thông sao cho giao của hai tập mở liên thông bất kỳ là liên thông thì là một không gian đơn liên. 01S5
Hệ quả Mọi khoảng của đường thẳng thực R đều đơn liên. 01S6
Ví dụ 2 Không gian số có n chiều Rⁿ (TG, VI, p. 1) là đơn liên. Thật vậy, đó là một tích của các không gian đơn liên và địa phương liên thông (I, p. 126, mệnh đề 4 và hệ quả của mệnh đề 5… 01S7
Mệnh đề 6 Cho X là một không gian tôpô. Cho U₁ và U₂ là các không gian con mở ( tương ứng đóng) của X sao cho X = U₁∪ U₂. Giả sử rằng U₁ và U₂ đơn liên và giao của chúng U₁∩ U₂ liên thông và… 01S8
Ví dụ 3 Với ngeqslant 2, mặt cầu Sₙ (TG, VI, p. 10) là đơn liên. Thật vậy, mặt cầu Sₙ là hợp của hai bán cầu đóng đồng phôi với Bₙ mà giao của chúng đồng phôi với Sₙ₋₁(xem TG, VI, p. 12)… 01S9
Ví dụ 4 Cho E là một không gian vectơ hữu hạn chiều có chiều n trên R và cho F là một không gian con afin của E có đối chiều pgeqslant 3. Tập hợp Rᵖ-0 đồng phôi với R× Sₚ₋₁ (TG, VI, p. 10… 01SA
Mệnh đề 7 Cho X là một không gian tôpô. Cho U₁ và U₂ là các không gian con liên thông mở ( tương ứng đóng) của X sao cho X = U₁∪ U₂. Nếu không gian X là đơn liên, thì U₁∩ U₂ liên thông. 01SB
Hệ quả Cho X là một không gian tôpô đơn liên và A là một tập con liên thông của X. Nếu phần bù của A là liên thông, thì biên của nó cũng liên thông. 01SC
Mệnh đề 8 Cho B là một không gian tôpô. Cho T là một không gian đơn liên và địa phương liên thông. Cho E là một phủ của B× T, với phép chiếu p, và cho t là một điểm của T. Ký hiệu Eₜ là khôn… 01SD
Hệ quả 1 Dưới các giả thiết của mệnh đề 8, nếu t và t' là hai điểm của T, thì các phủ Eₜ và E_t' là B-đẳng cấu. 01SE
Hệ quả 2 Dưới các giả thiết của mệnh đề 8, cho (E, p) và (E', p') là các phủ của B× T và cho k: Eₜ→ E'ₜ là một B-cấu xạ. Tồn tại một (B× T)-cấu xạ duy nhất widetildek: E→ E' mở rộng k. Nếu… 01SF
Hệ quả 3 Cho B và B' là các không gian tôpô, cho T là một không gian tôpô đơn liên và địa phương liên thông. Cho f: B'× T→ B là một ánh xạ liên tục và cho E là một phủ của B. Với một điểm t… 01SG
Nhận xét Hãy giữ lại các giả thiết và ký hiệu của mệnh đề 8. Cho G là một nhóm tôpô rời rạc. Giả sử rằng E là một phủ chính của nhóm G. Nếu các phủ Eₜ của B và Eₜ× T của B× T được trang bị… 01SH
Mệnh đề 9 Cho B là một không gian tôpô và cho (E, p) là một phủ của B. Cho T là một không gian tôpô đơn liên, liên thông địa phương và compact địa phương. Ký hiệu widetildep:C_c(T; E)→ C_c(T… 01SI
Bổ đề Cho X, Y, Z là các không gian tôpô và cho g: Y→ Z là một ánh xạ liên tục. 01SJ
Bổ đề 2 Với mọi điểm x∈ X, ánh xạ μₓ: Eₓ× M→ X cho bởi (g, u)↦ g· u là ngặt theo nghĩa phổ quát, và ảnh của nó Eₓ· M là một lân cận của x trong X. Đặc biệt, S· M là một lân cận của M. 01SK
Bổ đề 3 Nhóm G được sinh bởi S. 01SL
Bổ đề 4 Quan hệ “(g₁, u₁) đồng dư với (g₂, u₂)” là một quan hệ tương đương trong Z, tương thích với phép toán của F. 01SM
Bổ đề 5 Nếu M liên thông, không gian Y liên thông. 01SN
Bổ đề 6 Với mọi x∈ X, nhóm N tác động trung thành và bắc cầu trên thớ overset-1p(x). 01SO
Bổ đề 7 Được trang bị với tác động của N, X-không gian (Y, p) là một phủ trái chính. Nó tầm thường hóa được trên M. 01SP
Mệnh đề 10 Cho X là một không gian tôpô khác rỗng liên thông, cho G là một nhóm rời rạc tác động liên tục bên trái trên X, và cho M là một tập con của X sao cho G· M = X. Ta đặt ra một trong… 01SQ
Mệnh đề 11 Cho X là một không gian tôpô đơn liên và G là một nhóm rời rạc tác động liên tục bên phải trên X. Nếu nhóm con của G sinh bởi hợp của các nhóm ổn định của các điểm của X bằng G, th… 01SR

II. Vị nhóm

§ 1. Quiver

Định nghĩa 1 Một quiver là một bộ bốn (S,F, o, t), trong đó S và F là các tập hợp và o,t là các ánh xạ từ F vào S. 01SS
Định nghĩa 2 Cho C là một đồ thị có hướng. Một đường đi trong C là một dãy c= (a₀, f₁, a₁, . . . , aₙ₋₁, fₙ, aₙ), trong đó n là một số nguyên geqslant 0,a₀, . . . , aₙ là các đỉnh của C, và tro… 01ST

§ 2. Đồ thị

Định nghĩa 1 Một đồ thị[^1] là một quiver (S,F, o, t) được trang bị một phép đối hợp trên F, ký hiệu bởi f↦ overlinef, không có điểm bất động và sao cho t(overlinef) =o(f) với mọi f∈ F. 01SU
Định nghĩa 2 Một rừng là một đồ thị trong đó mọi vòng không quay lại đều là một vòng hằng. Một cây là một rừng liên thông. 01SV
Mệnh đề 1 Cho G là một đồ thị. Mọi rừng của G đều được chứa trong một rừng cực đại của G; đặc biệt, tồn tại một rừng cực đại của G. 01SW
Hệ quả Một rừng cực đại của một đồ thị liên thông là một cây cực đại trong nó. 01SX
Nhận xét 1 Trong LIE, IV, p. 33, phụ lục, khái niệm đồ thị tổ hợp được định nghĩa là một cặp (A,S), trong đó S là một tập hợp và A là một tập con của 𝔓(S) gồm các tập hợp có hai phần tử; các… 01SY

§ 3. Groupoid

Định nghĩa 1 Cho C là một đồ thị có hướng. Ký hiệu J là tập hợp các cặp (f, g) các mũi tên của C sao cho t(f) =o(g). Một luật hợp thành trong C là một ánh xạ m: J→ Fl(C) sao cho, với mọi cặp (f… 01SZ
Định nghĩa 2 Một phạm trù là một đồ thị có hướng được trang bị một luật hợp thành kết hợp mà tại mỗi đỉnh đều tồn tại một phần tử đơn vị. 01T0
Ví dụ 1 Cho C là một đồ thị có hướng. Ký hiệu Ch(C) là tập hợp các đường đi trong C và o: Ch(C) → Som(C),t: Ch(C) → Som(C) là các ánh xạ gán cho một đường đi gốc và đích của nó. Bộ bốn Ω_C… 01T1
Ví dụ 2 Cho Σ là một Loài cấu trúc trong một lý thuyết T mạnh hơn lý thuyết tập hợp và σ (x, y, s, u) là một số hạng của T thỏa mãn các điều kiện (MO_I), (MO_II) và (MO_III) của E, IV, p… 01T2
Định nghĩa 3 Cho C và C' là các phạm trù. Một hàm tử từ C vào C' là một cấu xạ của các đồ thị có hướng φ : C→ C' sao cho φ (f g) = φ (f)φ (g) với mọi cặp (f, g) các ánh xạ hợp thành được của C. 01T3
Định nghĩa 4 Một groupoid là một phạm trù mà mọi mũi tên của nó đều khả nghịch. 01T4
Mệnh đề 1 Cho G là một groupoid. Quan hệ "tồn tại một mũi tên của G nối a với b" là một quan hệ tương đương trên tập hợp các đỉnh của G mà các lớp tương đương là các quỹ đạo của G. 01T5
Định nghĩa 5 Cho C là một phạm trù. Một phạm trù con của C là một đồ thị có hướng con D của C thỏa mãn các điều kiện sau: 01T6
Định nghĩa 6 Cho G là một vị nhóm. Một vị nhóm con của G là một phạm trù con H của G sao cho nghịch đảo của mọi mũi tên của G thuộc H là một mũi tên của H. 01T7
Ví dụ 1 Cho X là một tập hợp; ký hiệu bởi X× X vị nhóm các cặp của X (II, p. 163, Ví dụ 2). Cho R là một quan hệ tương đương trên X. Đồ thị có hướng con của vị nhóm X× X mà tập các đỉnh là… 01T8
Ví dụ 2 Cho G và G' là các nhóm vị, cho φ và ψ là các cấu xạ nhóm vị từ G vào G'. Bộ cân bằng của φ và ψ (xem II, p. 153) là một nhóm vị con của G. 01T9
Ví dụ 3 Cho X là một tập hợp và Γ là một nhóm. Ký hiệu bởi X× Γ × X đồ thị mà tập hợp các đỉnh là X, mà tập hợp các mũi tên là X× Γ × X, các ánh xạ đầu và cuối lần lượt là pr₁ và pr₃. Được… 01TA
Ví dụ 4 Cho G là một nhóm vị, cho X là một tập hợp và cho φ : X→ Som(G) là một ánh xạ. Định nghĩa một đồ thị G' theo cách sau. Tập hợp Som(G') là tập hợp X; với mọi cặp (x, y) phần tử của… 01TB
Ví dụ 5 Cho φ : G→ G' là một cấu xạ groupoid. Gọi H là đồ thị có hướng con của G có tập đỉnh là Som(G) và có tập mũi tên gồm các f∈ Fl(G) sao cho φ (f) là một phần tử đơn vị của G'. Với mọ… 01TC
Ví dụ 6 Cho φ : G→ G' là một cấu xạ groupoid. Đồ thị có hướng φ (G) có tập đỉnh là φ(Som(G)) và có tập mũi tên là φ(Fl(G)) nói chung không phải là một groupoid con của G'. Tuy vậy, điều nà… 01TD
Ví dụ 1 Cho G là một nhóm, và cho G là nhóm vị liên kết với G (II, p. 163, Ví dụ 1). Nếu X là một tập hợp, một phép toán (ở phải) của nhóm vị G trên X không là gì khác hơn một phép toán (ở… 01TE
Ví dụ 2 Cho G = (S,F, o, t) là một nhóm vị. Tồn tại một phép toán duy nhất của G trên tập hợp S, tương đối với Id_S. Nó được cho bởi φ (f)(a) =b nếu f∈ G_a,b. Các quỹ đạo đối với phép toán… 01TF
Định nghĩa 7 Cho G là một nhóm vị. Người ta nói rằng một nhóm vị con H của G là chuẩn tắc nếu Som(H) = Som(G) và nếu với mọi cặp (a, b) đỉnh của H và mọi mũi tên f∈ G_a,b, ta có Int(f)(H_b) = H… 01TG
Bổ đề Cho u và v là các mũi tên hợp thành được của G/H, ta có thể chọn các đại diện f và g của u và v trong Fl(G) sao cho chúng hợp thành được. Lớp theo môđun R của tích f g không phụ th… 01TH
Định nghĩa 8 Người ta nói rằng G/H là nhóm vị thương của G theo H và rằng p: G→ G/H là cấu xạ chính tắc. 01TI
Nhận xét 1 Ánh xạ Som(p) xác định, khi chuyển qua các thương, một song ánh từ tập hợp các quỹ đạo của G lên tập hợp các quỹ đạo của G/H. Đặc biệt, G là bắc cầu khi và chỉ khi G/H là bắc cầu. 01TJ
Nhận xét 2 Cho a và b là các đỉnh của G. Ánh xạ từ G_a,b vào (G/H)_p(a),p(b) suy ra từ p là toàn ánh. Thật vậy, giả sử u là một mũi tên của G/H nối p(a) với p(b); nó là lớp modulo R của một m… 01TK
Mệnh đề 2 Cho a là một đỉnh của G. Đồng cấu nhóm pₐ: Gₐ→ (G/H)ₚ₍ₐ₎ suy ra từ p bằng cách chuyển qua các nhóm đẳng hướng là toàn ánh; hạt nhân của nó là Hₐ. 01TL
Mệnh đề 3 Cho G là một groupoid, cho H là một groupoid con phân biệt của G và cho p: G→ G/H là cấu xạ chính tắc. Cho φ : G→ G' là một cấu xạ groupoid sao cho H⊂ Ker(φ ). Tồn tại một cấu xạ g… 01TM
Mệnh đề 4 Được trang bị luật hợp thành này, varpi_G là một groupoid. 01TN
Mệnh đề 5 Cho G là một đồ thị; ký hiệu bởi j cấu xạ quiver chính tắc của G vào varpi_G. Cho φ là một cấu xạ quiver từ G vào một groupoid G' sao cho φ (overlinef) =φ (f)⁻¹ với mọi mũi tên f c… 01TO
Hệ quả 1 Trong một đồ thị, mỗi lớp đường đi chứa một đường đi duy nhất không quay lui. 01TP
Hệ quả 2 Cấu xạ chính tắc từ G vào varpi_G là đơn ánh. 01TQ
Hệ quả 3 Cho G' là một đồ thị con của G. Cấu xạ từ varpi_G' vào varpi_G suy ra từ đơn ánh của G' vào G là đơn ánh. 01TR
Hệ quả 4 Một đồ thị khác rỗng G là một cây nếu và chỉ nếu nhóm vị varpi_G là đơn bắc cầu. 01TS
Định nghĩa 9 Cho C là một quiver. Nhóm vị varpi_widetildeC của các lớp đường đi của đồ thị widetildeC liên kết với C được gọi là nhóm vị tự do được xây dựng trên C, và được ký hiệu bởi Grp(C). 01TT
Mệnh đề 6 Cho C là một đồ thị có hướng, G là một groupoid, và φ là một cấu xạ đồ thị có hướng từ C vào G. Tồn tại một cấu xạ groupoid duy nhất φ ' từ Grp(C) vào G sao cho φ '∘ θ_C=φ. 01TU
Ví dụ Cho C là một đồ thị có hướng chỉ có một đỉnh duy nhất s và A là tập hợp các mũi tên của nó. Khi đó groupoid Grp(C) là groupoid liên kết với nhóm tự do F(A) được xây dựng trên A. Th… 01TV
Mệnh đề 7 Với mọi cấu xạ groupoid φ : G→ G' biến mọi mũi tên thuộc F thành một phần tử đơn vị của G', tồn tại một cấu xạ groupoid duy nhất φ ': G/F→ G' sao cho φ '∘ p=φ. 01TW
Mệnh đề 8 Cho δ là cấu xạ chính tắc của nhóm vị tự do Grp(Γ) vào G kéo dài cấu xạ đơn ánh chính tắc của Γ vào G. Cho a là một đỉnh của G và A là quỹ đạo của a trong G. Với mọi b∈ A, gọi f_ab… 01TX
Hệ quả 1 Giả sử thêm rằng, với mọi mũi tên f của F, ta có o(f) =t(f). Khi đó gốc và ngọn của mọi đường đi trong quiver Γ trùng nhau. Gọi a là một đỉnh của G và gọi A là quỹ đạo của nó trong… 01TY
Hệ quả 2 Nếu đồ thị liên kết với quiver Γ là một rừng, thì đồng cấu pₐ từ Gₐ vào (G/F)ₚ₍ₐ₎ là song ánh, với mọi đỉnh a của G. 01TZ
Mệnh đề 9 Cho a là một đỉnh của G. Tồn tại một đồng cấu duy nhất λ của nhóm tự do F(S-Fl(A)) vào π₁(G, a) sao cho 01U0
Nhận xét 1 Đồng cấu μₐ là đẳng cấu nghịch đảo của λ. 01U1
Nhận xét 2 Tồn tại một đồng cấu duy nhất λ : F(Fl(G)) → π₁(G, a) được xác định bởi các hệ thức (1) với mọi f∈ Fl(G). Suy ra từ mệnh đề 8 rằng đồng cấu λ là toàn ánh và hạt nhân của nó là nhóm… 01U2

§ 4. Đồng luân

Định nghĩa 1 Cho G là một groupoid, H là một đồ thị có hướng, φ và φ ' là các cấu xạ của đồ thị có hướng từ H vào G. Một đồng luân nối φ với φ ' là một ánh xạ h từ tập hợp các đỉnh của H vào tậ… 01U3
Nhận xét 1 Cho G, G' là các groupoid, H, H' là các đồ thị có hướng, cho u: H'→ H là một cấu xạ của các đồ thị có hướng và v: G→ G' là một cấu xạ của các groupoid. Nếu các cấu xạ của đồ thị có… 01U4
Nhận xét 2 Cho G là một groupoid, H là một đồ thị có hướng, và cho φ , ψ là các cấu xạ của đồ thị có hướng từ H vào G. Ta ký hiệu bởi j cấu xạ chính tắc từ H vào Grp(H), và bởi overlineφ và o… 01U5
Định nghĩa 2 Cho G, G' là các vị nhóm và cho φ là một cấu xạ từ G vào G'. Một nghịch đảo tới đồng luân của φ là một cấu xạ vị nhóm ψ từ G' vào G sao cho các cấu xạ ψ ∘ φ và φ ∘ ψ lần lượt đồng… 01U6
Mệnh đề 1 Cho G, G' là các vị nhóm, cho φ là một cấu xạ từ G vào G', và cho A là một tập con của tập hợp các đỉnh của G cắt mọi quỹ đạo của G. Để φ là một đồng luân tương đương, điều kiện cầ… 01U7
Hệ quả 1 Cho G là một groupoid, A là một tập hợp và f: A→ Som(G) là một ánh xạ. Nếu ảnh của f cắt mỗi quỹ đạo của G, thì cấu xạ groupoid chính tắc φ từ f^*G vào G là một homotopism. 01U8
Hệ quả 2 Cho G là một groupoid, X là một rừng có hướng của G, và G' là groupoid suy ra từ G bằng phép co các mũi tên của X. Cấu xạ chính tắc từ G vào G' là một homotopism. 01U9
Mệnh đề 2 Vị nhóm Coh(φ , ψ ) được sinh bởi quiver con mà tập hợp các đỉnh là Som(G) và tập hợp các mũi tên là hợp của các ảnh của các ánh xạ Fl(α ) và h. 01UA
Mệnh đề 3 Cấu xạ quiver α là một cấu xạ vị nhóm từ G vào Coh(φ , ψ ), và ánh xạ h là một đồng luân nối α ∘ φ với α ∘ ψ. 01UB
Định nghĩa 3 Groupoid Coh(φ , ψ ) được gọi là bộ đối đồng luân hóa của cặp (φ , ψ ). Ta nói rằng α là cấu xạ chính tắc từ G vào Coh(φ , ψ ) và h là đồng luân chính tắc nối α ∘ φ với α ∘ ψ. 01UC
Mệnh đề 4 Ánh xạ Orb(α ): Orb(G) → Orb(Coh(φ , ψ )) là toàn ánh; các thớ của nó là các thành phần liên thông của khung của cặp (φ , ψ ). 01UD
Mệnh đề 5 Cho G' là một groupoid, cho η ,η ' là các cấu xạ groupoid từ Coh(φ , ψ ) vào G', và cho k là một ánh xạ từ Som(G) vào Fl(G'). Để k là một đồng luân nối η với η ', điều kiện cần và… 01UE
Định lý 1 Đặt các giả thiết sau: 01UF
Định nghĩa 4 Một trang bị nền của cặp (φ , ψ ) được nói là được cho bởi dữ liệu: 01UG
Mệnh đề 6 Tồn tại một đồng cấu nhóm duy nhất 01UH

§ 5. Đối đồng đẳng tử

Mệnh đề 1 Cấu xạ nhóm β_a₀: G_a₀→ G'_β(a₀) là toàn ánh, và hạt nhân của nó là nhóm con nhỏ nhất của G_a₀ chứa các lớp liên hợp c(z) với z∈ Ω (widetildeΓ). 01UI
Định nghĩa 1 Một tập con Z của Ω (widetildeΓ) được gọi là phân biệt (đối với cặp (φ , ψ )) nếu nó thỏa mãn các tính chất sau: 01UJ
Mệnh đề 2 Nếu N là một nhóm con phân biệt của Gₐ, tập các phần tử z∈ Ω (widetildeΓ) sao cho c(z) được chứa trong N là một tập con phân biệt của Ω (widetildeΓ). 01UK
Hệ quả Cho Z là một tập con của Ω (widetildeΓ); để các lớp liên hợp c(z), với z∈ Z, sinh hạt nhân của đồng cấu chính tắc β_a₀: G_a₀→ G'_β(a₀), chỉ cần tập con phân biệt nhỏ nhất của Ω (wi… 01UL
Định nghĩa 2 Groupoid Coeg(φ , ψ ) được gọi là đối đồng đẳng tử của cặp (φ , ψ ); cấu xạ groupoid γ được gọi là cấu xạ chính tắc từ G vào Coeg(φ , ψ ). 01UM
Mệnh đề 3 Cặp (Coeg(φ , ψ ), γ ) có tính chất phổ quát sau đây: 01UN
Hệ quả Groupoid Coeg(φ , ψ ) được sinh bởi ảnh của cấu xạ γ. 01UO
Nhận xét 1 Tập hợp các đỉnh của Coeg(φ , ψ ) là tập hợp các thành phần liên thông của quiver 01UP
Nhận xét 2 Ánh xạ Orb(γ ), suy ra từ γ bằng cách chuyển qua các quỹ đạo, xác định bằng chuyển sang thương một song ánh từ tập hợp các thành phần liên thông của khung của cặp (φ , ψ ) lên tập… 01UQ
Nhận xét 3 Ánh xạ Fl(γ ) của Fl(G) vào Fl(Coeg(φ , ψ )) nói chung không toàn ánh. 01UR
Mệnh đề 4 Cho μ: H×_GH→ H là một cấu xạ đồ thị mũi tên sao cho φ ∘ μ=φ ∘ pr₁ và ψ ∘ μ=ψ ∘ pr₂. Giả sử rằng, với mọi cặp (a, b) đỉnh của H sao cho φ (a) =φ (b), tồn tại một đỉnh c của H sao c… 01US
Bổ đề 1 a) Với mọi đỉnh a của Ker(φ , ψ ), ((a,1)) thuộc Z'₁. 01UT
Hệ quả a) Với ký hiệu của mệnh đề 4, giả sử thêm rằng ánh xạ (Som(φ ), Som(ψ )) từ Som(H) vào Som(G) × Som(G) là đơn ánh và ảnh của nó là đồ thị của một quan hệ tương đương trong Som(G)… 01UU
Ví dụ Cho X và R là các không gian tôpô, cho o và t là các ánh xạ liên tục từ R vào X, cho C là tập hợp các cặp (f, g)∈ R² sao cho t(f) =o(g) trong R, và cho m là một ánh xạ liên tục từ… 01UV
Nhận xét Nói chung hơn, các giả thiết của mệnh đề được thỏa mãn khi (G,H, φ , ψ , μ) là một "groupoid của các groupoid". Điều này có nghĩa là G và H là các groupoid, φ và ψ là các cấu xạ gr… 01UW
Định nghĩa 3 Cho G và H là các vị nhóm; cho φ và ψ là các cấu xạ vị nhóm từ H vào G. Giả sử vị nhóm Coeg(φ , ψ ) là bắc cầu. Cho (a, b, c₁, c₂,T, i₀) là một trang bị cơ bản của cặp (φ , ψ ). 01UX
Mệnh đề 5 Cho G và H là các vị nhóm; cho φ và ψ là các cấu xạ vị nhóm từ H vào G. Giả sử vị nhóm Coeg(φ , ψ ) là bắc cầu. Gọi γ : G→ Coeg(φ , ψ ) là cấu xạ chính tắc của các vị nhóm. 01UY
Mệnh đề 6 Đồng cấu nhóm duy nhất 01UZ
Hệ quả 1 Giả sử rằng nhóm K được sinh bởi các bộ ổn định của các đỉnh của G. Khi đó đồng cấu nhóm γₒ: Gₒ→ (G/K)_γ(o) là toàn ánh. Hơn nữa, nếu groupoid G là đơn bắc cầu, thì điều tương tự c… 01V0
Nhận xét 1 Người ta có thể đưa ra một mô tả khác, đôi khi tiện lợi hơn, của nhóm (G/K)_γ(o). Để làm điều này, đặt M = K× Gₒ và định nghĩa một luật hợp thành trên M bằng công thức 01V1
Hệ quả 2 Giả sử rằng nhóm K tác động tự do trên Som(G). Khi đó tồn tại một đồng cấu nhóm duy nhất π : (G/K)_γ(o)→ K mà hạt nhân chứa ảnh của γₒ và sao cho π (λ ([k])) =k với mọi k∈ K. Hơn n… 01V2
Hệ quả 3 Giả sử rằng groupoid G là đơn bắc cầu. Gọi K₀ là nhóm con của K sinh bởi các nhóm ổn định của các đỉnh của G. Ánh xạ từ K vào (G/K)_γ(o) gán cho k∈ K phần tử γ (cₖ) là một đồng cấu… 01V3

III. Đồng luân và vị nhóm Poincaré

§ 1. Đồng luân, đồng phôi

Định nghĩa 1 Cho X và Y là các không gian tôpô và f và g là các ánh xạ liên tục từ X vào Y. Một phép đồng luân liên hệ f với g theo định nghĩa là một ánh xạ liên tục σ : X× I→ Y sao cho, với mọ… 01V4
Mệnh đề 1 Cho X và Y là các không gian tôpô. Quan hệ “ f đồng luân với g ” là một quan hệ tương đương trong tập hợp C(X; Y) các ánh xạ liên tục từ X vào Y. 01V5
Mệnh đề 2 Cho X, Y và Z là các không gian tôpô, f và f' là các ánh xạ liên tục từ X vào Y,g và g' là các ánh xạ liên tục từ Y vào Z. Nếu f đồng luân với f' và nếu g đồng luân với g', thì g∘… 01V6
Mệnh đề 3 Cho X là một không gian tôpô và (Yⱼ)_j∈ J là một họ các không gian tôpô. Ánh xạ từ [X;∏_j∈ JYⱼ] vào tập hợp tích ∏_j∈ J[X; Yⱼ] xác định bởi φ ↦ ([prⱼ]∘ φ )_j∈ J là song ánh. 01V7
Hệ quả Cho (Xⱼ)_j∈ J và (Yⱼ)_j∈ J là các họ không gian tôpô có cùng tập chỉ số. Với mỗi j∈ J, cho fⱼ và gⱼ là các ánh xạ liên tục từ Xⱼ vào Yⱼ. Nếu, với mỗi j∈ J, các ánh xạ fⱼ và gⱼ đồng… 01V8
Định nghĩa 2 Cho X và Y là các không gian tôpô. Một lớp đồng luân φ ∈ [X; Y] được gọi là khả nghịch nếu tồn tại một lớp đồng luân ψ ∈ [Y; X] sao cho ψ ∘ φ = [Id_X] và φ ∘ ψ = [Id_Y]. Một ánh xạ… 01V9
Định nghĩa 3 Người ta nói rằng các không gian tôpô X và Y là tương đương đồng luân nếu tồn tại một tương đương đồng luân từ X vào Y. 01VA
Ví dụ 1 Không gian tôpô rỗng chỉ tương đương đồng luân với chính nó. 01VB
Ví dụ 2 Cho X là một không gian tôpô khác rỗng. Để X tương đương đồng luân với một không gian thu gọn thành một điểm, điều kiện cần và đủ là tồn tại một ánh xạ hằng p: X→ X đồng luân với á… 01VC
Ví dụ 3 Người ta nói rằng một không gian tôpô có điểm cơ sở (X, x) là co rút được, hoặc rằng không gian tôpô X là co rút được tại x, nếu tồn tại một đồng luân có điểm cơ sở tại x nối Id_X… 01VD
Ví dụ 4 Cho E là không gian số học n chiều (hoặc, nói chung hơn, một không gian vectơ tôpô trên R) và cho X là một tập con của E. Người ta nói rằng tập hợp X là có dạng sao tại một điểm x… 01VE
Ví dụ 5 Ta sẽ chứng minh sau (TA, V) rằng các mặt cầu Euclid Sₙ,ngeqslant 1, không phải là các không gian đồng luân với một điểm. Mặt cầu đơn vị của một không gian Hilbert kiểu đếm được và… 01VF
Định nghĩa 4 Cho X là một không gian tôpô và cho A là một tập con của X. 01VG
Bổ đề 1 Cho X và Y là các không gian tôpô và cho f: X→ Y là một ánh xạ liên tục. Các điều kiện sau là tương đương: 01VH
Định nghĩa 5 Cho X là một không gian tôpô và cho A là một tập con của X. Một phép co của X lên A là một phép đồng luân σ : X× I→ X cố định trên A có số hạng đầu là ánh xạ đồng nhất của X và có… 01VI
Nhận xét Nói cách khác, một phép co của X lên A là một phép đồng luân σ : X× I→ X có các tính chất sau: 01VJ
Định nghĩa 6 Với các ký hiệu trước đó, người ta nói rằng σ là một phép co mạnh nếu, hơn nữa, ta có r(σ (x, t)) =r(x) với mọi x∈ X và mọi t∈ I, 01VK
Ví dụ Cho X là phần bù của điểm gốc trong Bₙ. Ánh xạ của X× I vào X cho bởi (x, t)↦ ((1-t) +t1/|x|)x là một phép co mạnh của X lên Sₙ₋₁. Phép co rút của X lên Sₙ₋₁ liên kết với nó là ánh… 01VL
Bổ đề 2 Cho X là một không gian tôpô, cho U là một tập con mở của X và cho σ là một phép co mạnh của X lên X-U. Khi đó σ (U× I)⊂ overlineU. Đặc biệt, σ (U× 1) được chứa trong biên của U. 01VM
Định nghĩa 7 Hình trụ của ánh xạ f được gọi là và được ký hiệu là Cyl(f), không gian tôpô thương U/R. 01VN
Ví dụ 1 Cho X',Y' là các không gian tôpô và f': X'→ Y' là một ánh xạ liên tục. Cho u: X→ X' và v: Y→ Y' là các ánh xạ liên tục sao cho f'∘ u=v∘ f. Tồn tại duy nhất một ánh xạ liên tục w: C… 01VO
Mệnh đề 5 Ánh xạ α_f cảm sinh một phép đồng phôi từ X× [0,1[ lên một tập con mở của Cyl(f). Ánh xạ β_f xác định một phép đồng phôi từ Y lên phần bù của tập con mở này. Ánh xạ β_f∘ γ_f là một… 01VP
Mệnh đề 6 Ánh xạ σ_f: Cyl(f)× I→ Cyl(f) là một phép co ngặt của Cyl(f) lên cơ sở của nó. Số hạng của nó là phép co rút chính tắc của Cyl(f) lên cơ sở của nó. 01VQ
Nhận xét 1 Cho A là một tập con của X× I và cho A₁ là tập hợp các điểm x∈ X sao cho (x,1)∈ A. Ta có α⁻¹_f(α_f(A)) = A∪ overset-1f(f(A₁))× 1 và β⁻¹_f(α_f(A)) =f(A₁). Suy ra rằng ánh xạ α_f là… 01VR
Nhận xét 2 Giả sử rằng ánh xạ f là thực sự. Cho P là một điểm của Cyl(f). Nếu P = α_f(x, t), với 0 leqslant t < 1 và x∈ X, ta có α⁻¹_f(P) = (x, t). Trong trường hợp ngược lại, tồn tại y∈ Y sa… 01VS
Nhận xét 3 Nếu các không gian X và Y tách được, điều tương tự cũng đúng đối với trụ ánh xạ của ánh xạ f. Thật vậy, cho z và z' là hai điểm phân biệt của Cyl(f) và ta chứng minh rằng chúng có… 01VT
Định nghĩa 8 Cho X là một không gian tôpô và A là một tập con của X. Ta nói rằng cặp (X,A) có tính chất mở rộng đồng luân nếu, với mọi không gian tôpô Y, mọi ánh xạ liên tục f: X→ Y và mọi đồng… 01VU
Nhận xét 1 Cho X là một không gian tôpô và A là một tập con của X sao cho cặp (X,A) có tính chất mở rộng đồng luân. Cho Y là một không gian tôpô, cho f: X→ Y là một ánh xạ liên tục và cho σ… 01VV
Mệnh đề 7 Với các kí hiệu trên, các mệnh đề sau là tương đương: 01VW
Nhận xét 2 Cho X là một không gian tôpô Hausdorff và cho A là một tập con của X sao cho cặp (X,A) có tính chất mở rộng đồng luân. Ký hiệu i: A→ X là đơn ánh chính tắc. Cho j: Cyl(i)→ X× I là… 01VX
Bổ đề 3 Cho X và Y là các không gian tôpô, cho p: X→ Y là một ánh xạ liên tục thực sự và mở, và cho f: X→ R là một ánh xạ liên tục. Ánh xạ g: Y→ overlineR cho bởi y↦ sup_x∈overset-1p(y)f(x… 01VY
Định lý 1 Cho X là một không gian tôpô và A là một không gian con đóng của X; ký hiệu i: A→ X là đơn ánh chính tắc. Các khẳng định sau là tương đương: 01VZ
Bổ đề 4 Cho X và Y là các không gian tôpô, cho φ : X→ R₊ là một ánh xạ liên tục, và đặt A =overset-1φ(0). Cho σ : X× I→ Y là một đồng luân cố định trên A. Ánh xạ σ ': X× I→ Y biến (x, s) t… 01W0
Hệ quả 1 Cho X là một không gian tôpô chuẩn tắc và A là một không gian con đóng của X. Giả sử tồn tại một lân cận V của A trong X và một phép co V lên A, cùng với một ánh xạ liên tục f: X→… 01W1
Ví dụ 1 Lấy không gian X là quả cầu Bₙ và không gian con A là mặt cầu Sₙ₋₁. Nếu V = X-0, tồn tại một phép co mạnh của V lên Sₙ₋₁(III, p. 237, ví dụ). Do đó cặp (Bₙ,Sₙ₋₁) có tính chất mở rộ… 01W2
Hệ quả 2 Cho X và Y là các không gian tôpô, cho A là một không gian con đóng của X, cho B là một không gian con đóng của Y. Nếu các cặp (X,A) và (Y,B) có tính chất mở rộng đồng luân, thì đi… 01W3
Ví dụ 2 Đây là các trường hợp khác trong đó cặp (X,A) có tính chất mở rộng đồng luân. 01W4
Định nghĩa 9 Không gian tôpô thương Y/R được gọi là không gian thu được bằng cách gắn không gian B vào không gian X theo ánh xạ f. Nó được ký hiệu là X∪_fB. 01W5
Nhận xét 1 Ánh xạ α_f là đơn ánh. Với mọi tập con U 01W6
Nhận xét 2 Cho V là một tập con của B. Ta có α⁻¹_f(β_f(V)) =f(V∩ A) và 01W7
Nhận xét 3 Giả sử A đóng và ánh xạ f thực sự. Ta vừa thấy rằng ánh xạ β_f đóng. Với mọi x∈ X, 01W8
Ví dụ 1 Cho X và Y là các không gian tôpô và cho f: X→ Y là một ánh xạ liên tục. Hình trụ Cyl(f) chính là không gian thu được bằng cách gắn không gian Y vào không gian X× I dọc theo ánh xạ… 01W9
Ví dụ 2 Cho X là một không gian tôpô, cho B là một không gian tôpô và cho A là một không gian con của B, và cho f: A→ X là một ánh xạ liên tục cảm sinh một đồng phôi của A lên ảnh của nó. 01WA
Mệnh đề 8 Cho Z là một không gian tôpô. 01WB
Hệ quả 1 Cho B' là một không gian tôpô, A' là một không gian con của B', và f': A'→ X là một ánh xạ liên tục. Cho v: B→ B' là một ánh xạ liên tục sao cho v(A)⊂ A' và f = f'∘ (v|A). Cho w: X… 01WC
Ví dụ 3 Cho i là đơn ánh chính tắc của A vào B và lấy không gian B' là trụ của ánh xạ i; gọi αᵢ: A× I→ Cyl(i) và βᵢ: B→ Cyl(i) là các ánh xạ chính tắc và rᵢ: Cyl(i)→ B là phép co rút chính… 01WD
Hệ quả 2 Cho X' là một không gian tôpô, cho u: X→ X' là một ánh xạ liên tục, và đặt f'=u∘ f. Gọi w: X∪_fB→ X'∪_f'B là ánh xạ liên tục duy nhất sao cho w∘ α_f=α_f'∘ u và w∘ β_f=β_f'. Nếu u x… 01WE
Mệnh đề 9 Cho X và B là các không gian tôpô, cho A là một không gian con của B, và cho f: A→ X là một ánh xạ liên tục. 01WF
Định nghĩa 10 Không gian thương của X theo R được ký hiệu là X/A và được gọi là không gian thu được từ X bằng cách co tập con A. 01WG
Mệnh đề 10 Cho X là một không gian tôpô và A là một tập con của x. Giả sử tồn tại một phép đồng luân σ : X× I→ X có điểm đầu Id_X, hằng trên A× 1 và sao cho σ (A× I)⊂ A. Khi đó ánh xạ chính t… 01WH
Nhận xét Cho X là một không gian tôpô và A là một tập con của X. 01WI
Định nghĩa 11 Nón của ánh xạ f là không gian tôpô suy ra từ Cyl(f) bằng cách co f₀(X) về một điểm; nó được ký hiệu là Côn(f). 01WJ
Ví dụ 1 Cho X là một không gian tôpô. Người ta ký hiệu C(X), và gọi là nón của không gian X, nón của ánh xạ Id_X; đó là không gian thu được từ X× I bằng cách co X× 0. Gọi π là ánh xạ chính… 01WK
Nhận xét 1 Cho X là một không gian tôpô và A là một không gian con của X; ký hiệu i là đơn ánh chính tắc của A vào X. Phép co rút chính tắc rᵢ của hình trụ Cyl(i) lên cơ sở của nó ánh xạ khôn… 01WL
Nhận xét 2 Cho X và Y là các không gian tôpô và cho f: X→ Y là một ánh xạ liên tục. Ánh xạ chính tắc α '_f: X× I→ Cone(f) là hằng trên X× 0 và do đó xác định một ánh xạ liên tục γ_f: C(X)→ Co… 01WM

§ 2. Đồng luyến và các đường

Định nghĩa 1 Cho X là một không gian tôpô. Một đường trong X được gọi là một ánh xạ liên tục bất kỳ c của I vào X. Điểm c(0) được gọi là gốc, điểm c(1) được gọi là số hạng của đường c. Một vòng… 01WN
Định nghĩa 2 Cho X là một không gian tôpô. Ta nói rằng các đường c và d trong X là ghép kề nếu có c(1) =d(0). Khi đó ta gọi đường ghép kề của c và d là đường c*d được xác định bởi công thức: 01WO
Nhận xét 1 Cho X là một không gian tôpô và cho P là một không gian tôpô thu gọn thành một điểm. Đồng nhất P× I với I bởi phép chiếu pr₂. Tập hợp C(P× I; X) các đồng luân giữa các ánh xạ (nhất… 01WP
Nhận xét 2 Cho X và Y là các không gian tôpô. Ánh xạ chính tắc 01WQ
Mệnh đề 1 Cho X và Z là các không gian tôpô. Đối với một ánh xạ φ của Z vào không gian các đường đi C_c(I; X) là liên tục, điều kiện cần và đủ là ánh xạ (z, t)↦ φ (z)(t) là một ánh xạ liên t… 01WR
Mệnh đề 2 Cho X là một không gian tôpô. Ánh xạ gắn với một đường đi c đường đi đối overlinec là một phép đồng phôi của Λ(X) lên chính nó. Phép ghép các đường đi (c, d)↦ c*d là một phép đồng… 01WS
Hệ quả Cho X là một không gian tôpô và cho x,y,z là các điểm của X. Các ánh xạ c↦ overlinec của Λ_x,y(X) vào Λ_y,x(X) và (c, d)↦ c*d của Λ_x,y(X)× Λ_y,z(X) vào Λ_x,z(X) là liên tục. 01WT
Định nghĩa 3 Một không gian tôpô X được gọi là liên thông theo cung nếu với mọi cặp (x, y) các điểm của X, tồn tại một đường đi có gốc x và có số hạng y. 01WU
Ví dụ 1 Mọi khoảng của R, mọi tập con lồi của một không gian số hoặc, nói chung hơn, của một không gian vectơ tôpô trên R đều liên thông theo cung. 01WV
Mệnh đề 3 Ảnh bởi một ánh xạ liên tục của một không gian liên thông theo cung là liên thông theo cung. 01WW
Mệnh đề 4 Một không gian tôpô liên thông đường là liên thông. 01WX
Mệnh đề 5 Trong một không gian tôpô, quan hệ “tồn tại một đường có gốc x và số hạng y” là một quan hệ tương đương. 01WY
Ví dụ 2 Hợp của một họ các tập hợp liên thông đường, có giao khác rỗng, là liên thông đường (cf. TG, I, p. 81, Mệnh đề 2). 01WZ
Ví dụ 3 Một tập con của một không gian số (hoặc, nói chung, một không gian vectơ tôpô trên R) là hình sao tại một trong các điểm của nó thì là liên thông đường. 01X0
Mệnh đề 6 Cho (Yⱼ)_j∈ J là một họ các không gian tôpô. Ánh xạ 01X1
Định nghĩa 4 Một không gian tôpô được gọi là liên thông đường đi địa phương nếu mỗi điểm của nó có một hệ lân cận cơ bản gồm các lân cận liên thông đường đi. 01X2
Mệnh đề 7 Một không gian tôpô liên thông đường đi địa phương là liên thông địa phương. Các thành phần liên thông của nó trùng với các thành phần liên thông đường đi của nó. Đặc biệt, nếu một… 01X3
Hệ quả 1 Mọi tập con mở liên thông của một không gian tôpô liên thông đường đi địa phương đều là liên thông đường đi. 01X4
Hệ quả 2 Cho B là một không gian tôpô liên thông đường đi địa phương và E là một không gian étalé trên B. Không gian E là liên thông đường đi địa phương. Nếu nó liên thông thì nó liên thông… 01X5
Mệnh đề 8 Mọi không gian thương của một không gian liên thông đường đi địa phương đều là liên thông đường đi địa phương. 01X6
Mệnh đề 9 Tích của một họ các không gian liên thông đường đi địa phương, liên thông ngoại trừ một số hữu hạn không gian, là liên thông đường đi địa phương. 01X7
Hệ quả Mọi tập con mở của một không gian số đều là liên thông đường đi địa phương. 01X8
Ví dụ Cho G là nhóm con của GL(n,R) gồm các ma trận vuông cấp n có định thức dương ngặt. Nhóm G là liên thông và liên thông đường đi địa phương. 01X9
Mệnh đề 10 Cho X là một không gian tôpô. Ánh xạ (o, e) của Λ (X) =C_c(I; X) vào X× X, gán cho một đường đi c trong X cặp (c(0), c(1)), là liên tục. Nếu không gian X liên thông địa phương theo… 01XA
Bổ đề Cho c:I→ X là một đường đi và W là một lân cận của c trong không gian C_c(I; X). Tồn tại một số thực ε ∈ ]0,1/2], một lân cận V₀ của c(0) và một lân cận V₁ của c(1) trong X có các… 01XB
Hệ quả Cho X là một không gian tôpô liên thông địa phương theo cung và cho x là một điểm của X. Ánh xạ c↦ c(1) của Λₓ(X) vào X là mở. 01XC
Mệnh đề 11 Một không gian tôpô liên thông và liên thông địa phương, có tôpô được xác định bởi một khoảng cách mà theo đó nó đầy đủ, là liên thông theo cung. 01XD
Bổ đề 1 Cho X là một không gian metric liên thông và liên thông địa phương, cho a và b là các điểm của X và cho ε là một số thực >0. Tồn tại trong X một đoàn tàu có bề rộng leqslant ε nối… 01XE
Hệ quả 1 Một không gian tôpô liên thông địa phương, có tôpô có thể được xác định bởi một khoảng cách đầy đủ, là liên thông theo cung địa phương. 01XF
Bổ đề 2 Cho X là một không gian metric đầy đủ và cho U là một tập con mở của X. Tồn tại một khoảng cách trên U tương thích với tôpô của nó sao cho U là đầy đủ. 01XG
Hệ quả 2 Một không gian tôpô compact địa phương, liên thông địa phương và mêtric hóa được là liên thông theo cung địa phương. Nếu nó liên thông, thì nó liên thông theo cung. 01XH
Định nghĩa 5 Cho X và Y là các không gian tôpô. Một ánh xạ f: X→ Y được gọi là liên tục theo cung nếu, với mọi đường c trong X, ánh xạ f∘ c:I→ Y là liên tục. 01XI
Nhận xét Giả sử không gian X là liên thông theo cung. Cho x là một điểm của X. Để f liên tục theo cung, chỉ cần rằng, với mọi đường c có gốc x, ánh xạ f∘ c là liên tục. Thật vậy, cho d là m… 01XJ
Mệnh đề 12 Cho X và Y là các không gian tôpô và cho f: X→ Y là một ánh xạ. Giả sử không gian X là liên thông theo cung địa phương và mọi điểm của X đều có một hệ cơ bản đếm được các lân cận… 01XK
Bổ đề Cho X là một không gian tôpô liên thông và liên thông địa phương theo cung và cho x là một điểm của X. Giả sử rằng điểm x có một hệ cơ bản đếm được các lân cận. Khi đó, với mọi dãy… 01XL
Mệnh đề 13 Cho p: E→ B là một ánh xạ étale và tách được và cho s: B→ E là một tiết diện của p. Nếu không gian B địa phương liên thông theo đường và nếu tiết diện s liên tục theo đường, thì nó… 01XM
Hệ quả Cho B là một không gian tôpô, cho (E, p) và (E', p') là hai B-không gian. Giả sử rằng ánh xạ p là étale và tách được và rằng không gian E' địa phương liên thông theo đường. Khi đó… 01XN
Mệnh đề 14 Mọi không gian tôpô compact, mêtric hóa được, khác rỗng, hoàn toàn không liên thông không có điểm cô lập đều đồng phôi với 0,1^N. 01XO
Bổ đề 3 Cho ε là một số thực >0. Tồn tại một số nguyên mgeqslant 1 sao cho, với mọi số nguyên ngeqslant m, X thừa nhận một phân hoạch gồm n tập hợp mở và đóng khác rỗng có đường kính leqsl… 01XP
Ví dụ Cho K là tập Cantor tam phân (TG, IV, p. 9, ví dụ). Với mọi ngeqslant 0, đặt Jₙ=0,1 và định nghĩa một ánh xạ Kₙ từ tập hợp Cₙ= J₀× ⋯ × Jₙ vào tập hợp các khoảng đóng của [0,1] theo… 01XQ
Hệ quả Cho X là một không gian tôpô mêtric hóa được, compact và khác rỗng. Tồn tại một ánh xạ liên tục và toàn ánh từ 0,1^N vào X. 01XR
Mệnh đề 15 Ảnh của một đường trong một không gian tôpô tách là một không gian tôpô compact, mêtric hóa được, liên thông và liên thông địa phương bởi các cung. 01XS
Định lý 1 (Hahn và Mazurkiewicz) Mọi không gian tôpô mêtric hóa được, compact, khác rỗng, liên thông và liên thông địa phương đều đồng phôi với một không gian thương của đoạn [0,1]. 01XT
Bổ đề 4 Cho K là một không gian tôpô compact và R là một tập hợp các tập con mở của K phủ K. Tồn tại một lân cận V của cấu trúc đều của K (TG, II, p. 27, th. 1) sao cho, với mọi x∈ K, V(x)… 01XU
Bổ đề 5 Cho X và Y là các không gian đều và f là một ánh xạ từ X vào Y. Cho F là một tập hợp các tập con đóng của X phủ X và có các tính chất sau: 01XV
Bổ đề 6 Cho D là một tập sắp thứ tự toàn phần đếm được, không rút gọn thành một phần tử, có một phần tử nhỏ nhất và một phần tử lớn nhất. Giả sử rằng D không có khe hở (E, III, p. 73, bài… 01XW
Mệnh đề 16 Cho E là một tập sắp thứ tự toàn phần không chỉ gồm một phần tử. Giả sử mọi tập con của E đều có một supremum và tồn tại một tập con đếm được của E gặp mọi khoảng mở ]x, y[, trong… 01XX
Nhận xét Cho E là một tập sắp thứ tự toàn phần. Tập hợp các khoảng mở của E (bị chặn hoặc không) ổn định đối với giao hữu hạn. Nó là một cơ sở của một tôpô T₀(E) trên E (TG, I, p. 91, exerc… 01XY
Hệ quả Cho R là một quan hệ tương đương trong I. Các điều kiện sau là tương đương: 01XZ
Mệnh đề 17 Cho X là một không gian tôpô liên thông và compact. Cho a là một điểm của X, cho U là một tập con mở đóng khác rỗng của X -a. 01Y0
Hệ quả Cho X là một không gian tôpô compact liên thông, gọi N là tập hợp các điểm của X mà phần bù của chúng là liên thông. Tập X là tập con liên thông và compact duy nhất của X chứa N. 01Y1
Bổ đề 7 Một không gian tôpô liên thông địa phương T. Cho U là một tập hợp lọc tăng của các phần mở của T, có hợp là T. Với t∈ T và U∈ U, ký hiệu Uₜ là thành phần liên thông của t trong U n… 01Y2
Định lý 2 Cho X là một không gian tôpô compact liên thông có một tập con đếm được trù mật khắp nơi. Cho a,b là các điểm phân biệt của X. Các điều kiện sau là tương đương: 01Y3
Mệnh đề 18 Cho X là một không gian tôpô Hausdorff. Cho a và b là các điểm phân biệt của X thuộc cùng một thành phần liên thông theo cung của X. Tồn tại một đường đi đơn ánh nối a với b trong… 01Y4
Bổ đề 8 Tập hợp U, có thứ tự bởi quan hệ bao hàm, là quy nạp. 01Y5
Bổ đề 9 Tồn tại một ánh xạ liên tục, tăng và toàn ánh u:I→ I và một đường đi đơn c:I→ X nối a với b sao cho g=c∘ u. 01Y6
Định lý 3 Cho I là một khoảng của R và X là một không gian tôpô khác rỗng và Hausdorff. Cho p: X→ I là một ánh xạ liên tục, mở và thực sự mà các thớ của nó là hoàn toàn rời rạc (TG, I, p. 83… 01Y7
Bổ đề 10 Cho a,b là các điểm của I sao cho aleqslant b. 01Y8
Bổ đề 11 a) Tập hợp K' không rỗng. 01Y9
Hệ quả Cho X và B là các không gian tôpô và cho p: X→ B là một ánh xạ liên tục, mở, thực sự và tách được mà các thớ của nó là rời rạc hoàn toàn. Cho I là một khoảng của R, cho f: I→ B là… 01YA
Định lý 4 Cho X là một không gian tôpô, cho G là một nhóm rời rạc tác động thực sự trên X và cho p: X→ X/G là ánh xạ chính tắc. Cho I là một khoảng của R, cho f: I→ X/G là một ánh xạ liên tụ… 01YB
Ví dụ 1 Cho X là một không gian tôpô tách được và cho G là một nhóm hữu hạn, được trang bị tôpô rời rạc, tác động liên tục trong X. Phép toán này khi đó là thực sự (TG, III, p. 28, Mệnh đề… 01YC
Ví dụ 2 Cho n là một số nguyên geqslant 0. Gọi Pₙ là tập hợp các đa thức monic P∈ C[X] bậc n, được trang bị tôpô mà theo đó ánh xạ (c₀, . . . , cₙ₋₁)↦ Xⁿ+cₙ₋₁Xⁿ⁻¹+⋯ +c₀ là một phép đồng ph… 01YD

§ 3. Nhómoid Poincaré

Định nghĩa 1 Cho X là một không gian tôpô, cho c₀ và c₁ là các đường đi trong X và σ :I× I→ X là một phép đồng luân nối c₀ với c₁. Người ta nói rằng σ là một phép đồng luân ngặt nếu các ánh xạ… 01YE
Ví dụ Cho c là một đường đi trong X và cho φ :I→ I là một ánh xạ liên tục sao cho φ (0) = 0 và φ (1) = 1. Các đường đi c và c∘ φ là đồng luân ngặt. Thật vậy, ánh xạ σ :I× I→ X xác định b… 01YF
Định nghĩa 2 Người ta gọi không gian các vòng của X, và ký hiệu là Ω(X), không gian con của Λ(X) gồm các vòng (III, p. 256, định nghĩa 1) trong X. 01YG
Mệnh đề 1 Cho X là một không gian tôpô, cho x,y,z,u là các điểm của X, và cho γ₁∈ varpi_x,y(X),γ₂∈ varpi_y,z(X),γ₃∈ varpi_z,u(X) là các lớp đường. Ta có 01YH
Nhận xét 1 Cho X là một không gian tôpô. Cho n là một số nguyên geqslant 1 và (c₁, . . . , cₙ) là một dãy các đường đi trong X sao cho cᵢ và cᵢ₊₁ có thể ghép được với nhau với 1leqslant ileqs… 01YI
Định nghĩa 3 Cho X là một không gian tôpô. Groupoid varpi (X) được gọi là groupoid Poincaré, hay groupoid cơ bản, của không gian X. Cho x là một điểm của X; nhóm π₁(X, x) gồm các lớp của các vò… 01YJ
Mệnh đề 2 Cho X là một không gian tôpô. 01YK
Nhận xét 2 Cho X là một không gian tôpô và C là một thành phần liên thông theo cung của X. Nếu x và y là các điểm của C, không gian tôpô Λ_x,y(C) được đồng nhất với không gian tôpô Λ_x,y(X)… 01YL
Nhận xét 3 Cho X là một không gian tôpô và cho x,y,z là các điểm của X. Ánh xạ (c, d)↦ c*d của Λ_x,y(X)× Λ_y,z(X) vào Λ_x,z(X) là liên tục (III, p. 258, hệ quả của Mệnh đề 2). Cần lưu ý rằng… 01YM
Nhận xét 1 Đồng cấu varpi_x,y(f) là liên tục nếu trang bị cho các tập varpi_x,y(X) và varpi_f(x),f(y)(Y) tôpô thương của tôpô hội tụ compact trên C_c(I; X) và C_c(I; Y). 01YN
Mệnh đề 3 Cho X và Y là các không gian tôpô, f₀ và f₁ là các ánh xạ liên tục từ X vào Y, và cho σ : X× I→ Y là một phép đồng luân nối f₀ với f₁. Cho x là một điểm của X; đặt y₀=f₀(x), y₁=f₁(… 01YO
Bổ đề 1 Cho Y là một không gian tôpô và φ :I× I→ Y là một ánh xạ liên tục. Với t∈ I, đặt c₀(t) =φ (t,0),c₁(t) =φ (t,1), d₀(t) =φ (0, t) và d₁(t) =φ (1, t). Các đường đi c₀*d₁ và d₀*c₁ đồng… 01YP
Hệ quả 1 Cho X và Y là các không gian tôpô và x là một điểm của X. Cho f₀ và f₁ là các ánh xạ liên tục từ X vào Y. Nếu tồn tại một đồng luân có điểm tại x nối f₀ với f₁, thì π₁(f₀, x) = π₁(… 01YQ
Hệ quả 2 Cho X và Y là các không gian tôpô và f: X→ Y là một đồng phôi. Với mọi điểm x của X, đồng cấu 01YR
Ví dụ Cho G là một nhóm tôpô, cho e là phần tử đơn vị của nó. Với mọi điểm g của G, các phép tịnh tiến trái và phải, x↦ gx và x↦ xg, là các đồng phôi của G lên chính nó (TG, III, p. 2) b… 01YS
Hệ quả 3 Cho X là một không gian tôpô đồng luân với một điểm. Với mọi điểm x của X, nhóm π₁(X, x) thu về phần tử đơn vị. 01YT
Mệnh đề 4 Cho X là không gian tích của một họ (Xⱼ)_j∈ J các không gian tôpô. Cấu xạ của groupoid varpi (X) vào tích của các groupoid varpi (Xⱼ), với j∈ J, được xác định bởi họ các cấu xạ (va… 01YU
Hệ quả Cho x= (xⱼ)_j∈ J là một điểm của X. Ánh xạ 01YV
Nhận xét 2 Cho (Xⱼ)_j∈ J là một họ các không gian tôpô. Gọi X là không gian tôpô tích ∏_j∈ JXⱼ và cho x= (xⱼ) là một điểm của X. 01YW
Nhận xét 3 Cho (Xⱼ)_j∈ J là một họ các không gian tôpô. Gọi X là không gian tôpô tích ∏_j∈ JXⱼ và cho x= (xⱼ) là một điểm của X. 01YX
Mệnh đề 5 Cho X là một không gian tôpô và (Aᵢ)_i∈ I là một họ tăng các tập con của X, được chỉ số bởi một tập I có thứ tự lọc, sao cho mọi tập con gần compact của X đều được chứa trong một t… 01YY
Hệ quả Cho a là một điểm của X và cho J là tập hợp các i∈ I sao cho a∈ Aᵢ. Đồng cấu chính tắc 01YZ
Nhận xét 4 Mệnh đề và hệ quả của nó áp dụng đặc biệt khi (Aᵢ)_i∈ I là một họ tăng các tập con của X được chỉ số bởi một tập hợp có thứ tự có hướng I sao cho các phần trong của Aᵢ phủ X. 01Z0
Định nghĩa 4 Cho X là một không gian tôpô và cho c và c' là hai vòng trong X. Một đồng luân tự do nối c với c' có nghĩa là một đồng luân σ nối c với c' sao cho σ (0, s) =σ (1, s) với mọi s∈ I… 01Z1
Nhận xét Cho φ là ánh xạ chính tắc của R lên T=R/Z (TG, V, p. 2). Ánh xạ f↦ f∘ φ |I là một đồng phôi của C_c(T; X) lên Ω(X), do đó, bằng cách chuyển qua các thành phần liên thông theo cung… 01Z2
Mệnh đề 6 Cho X là một không gian tôpô liên thông theo cung và cho x là một điểm của X. 01Z3
Chú giải Cho X là một không gian tôpô liên thông theo cung và x là một điểm của X. Mệnh đề 6 cho phép định nghĩa một song ánh chính tắc từ tập hợp các lớp đồng luân tự do của các vòng trong… 01Z4

§ 4. Đồng luân và phủ

Mệnh đề 1 Cho B là một không gian tôpô và E là một phủ của B. Cho B' là một không gian tôpô và f₀ và f₁ là các ánh xạ liên tục từ B' vào B. Nếu các ánh xạ f₀ và f₁ đồng luân, thì các phủ f₀^… 01Z5
Hệ quả Một không gian tôpô đồng luân với một không gian tôpô đơn liên là đơn liên. 01Z6
Nhận xét Cho G là một nhóm tôpô rời rạc. Với ký hiệu của mệnh đề, giả sử E là một phủ chính với nhóm G. Khi đó các phủ f₀^*(E) và f₁^*(E) là các phủ chính đẳng cấu (I, p. 131, nhận xét). 01Z7
Mệnh đề 2 (Nâng của các phép đồng luân) Cho B là một không gian tôpô và E là một phủ của B. Cho B' là một không gian tôpô và f₀ và f₁ là các ánh xạ liên tục từ B' vào B. Cho σ : B'× I→ B là một phép đồng luân nối f₀ với… 01Z8
Mệnh đề 3 Cho B là một không gian tôpô và p: E→ B là một phủ. Ta ký hiệu bằng widetildep:C_c(I; E)→ C_c(I; B) ánh xạ c↦ p∘ c. Ta ký hiệu bằng o_E:C_c(I; E)→ E ( resp. o_B:C_c(I; B)→ B) ánh x… 01Z9
Hệ quả 1 Ánh xạ widetildep:C_c(I; E)→ C_c(I; B) là một phủ. 01ZA
Hệ quả 2 (Nâng các đường đi) Cho p: E→ B là một phủ, cho x là một điểm của E và a=p(x). Ánh xạ c↦ p∘ c là một phép đồng phôi của không gian Λₓ(E) các đường đi trong E có gốc x lên không gian Λₐ(B) các đường đi… 01ZB
Mệnh đề 4 Cho p: E→ B là một ánh xạ étale và tách được thỏa mãn tính chất nâng đường đi. Cho a và b là các điểm của B và cho x là một điểm của E sao cho p(x) =a. Cho c₀ và c₁ là hai đường đi… 01ZC
Hệ quả 1 Cho B là một không gian tôpô và E là một phủ của B; ký hiệu p là phép chiếu của nó. Với mọi cặp (x, y) các điểm của E, ánh xạ varpi_x,y(p):varpi_x,y(E)→ varpi_p(x),p(y)(B) là đơn á… 01ZD
Hệ quả 2 Cho B là một không gian tôpô và E là một phủ của B; ký hiệu p là phép chiếu của nó. Cho x là một điểm của E, và đặt b=p(x). Để lớp trong π₁(B, b) của một đường cong kín c trong B t… 01ZE
Hệ quả 3 Cho B là một không gian tôpô và (E₁, p₁) và (E₂, p₂) là các phủ của B. Ký hiệu (E, p) là tích thớ của chúng trên B, và cho x= (x₁, x₂) là một điểm của E. Ảnh của đồng cấu π₁(p, x)… 01ZF
Nhận xét Cho b và b' là hai điểm của B,x một điểm của E_b,c∈ Λ_b,b'(B) một đường đi trong B và widetildec đường đi trong E khởi đầu tại x nâng c. Với mọi s∈ I, ký hiệu cₛ là đường đi t↦ c(s… 01ZG
Định lý 1 Cho B là một không gian tôpô, cho (E, p) là một phủ của B, cho b là một điểm của B và cho x là một điểm của thớ E_b. 01ZH
Mệnh đề 5 Ánh xạ h_(E,x) từ π₁(B, b) vào G, ánh xạ mỗi γ ∈ π₁(B, b) vào phần tử duy nhất g của G sao cho x· g=x· γ⁻¹, là một đồng cấu nhóm, có hạt nhân là nhóm con p_*(π₁(E, x)) của π₁(B, b)… 01ZI
Ví dụ 1 Cho F là một tập hợp rời rạc được trang bị một phép toán của G, và cho X = E×ᴳF là phép phủ liên kết của B. Ký hiệu φ : E× F→ X là cấu xạ B chính tắc. Nó là một cấu xạ của các phép… 01ZJ
Ví dụ 2 Cho H là một nhóm tôpô rời rạc, cho f: G→ H là một cấu xạ nhóm. Trang bị cho H phép toán trái của G xác định bởi g· h=f(g)h, với g∈ G và h∈ H. Cho E'= E×ᴳH là phủ liên kết; nó là m… 01ZK

§ 5. Đồng luân và các phép phủ (trường hợp các không gian liên thông cung địa phương)

Mệnh đề 1 Cho B là một không gian tôpô và cho (E, p) là một phép phủ của B. Cho Y là một không gian tôpô và cho f: Y→ B là một ánh xạ liên tục. Cho y∈ Y,x∈ E,b∈ B là các điểm sao cho f(y) =p… 01ZL
Hệ quả 1 Cho B là một không gian tôpô liên thông, địa phương liên thông bởi các đường đi, và b là một điểm của B. Để một phủ (E, p) của B là tầm thường hóa được, điều kiện cần và đủ là, với… 01ZM
Nhận xét Cho B là một không gian tôpô địa phương liên thông bởi các đường đi, b là một điểm của B, và V là một lân cận mở liên thông của b sao cho ảnh của đồng cấu từ π₁(V, b) vào π₁(B, b)… 01ZN
Hệ quả 2 Cho B là một không gian tôpô liên thông, địa phương liên thông bởi các đường đi. Nếu, với một điểm b của B, nhóm π₁(B, b) rút gọn về phần tử đơn vị, thì không gian B đơn liên. 01ZO
Hệ quả 3 Cho 01ZP
Mệnh đề 2 Cho E và E' là các phủ của B. 01ZQ
Hệ quả 1 Các phủ E và E' đẳng cấu khi và chỉ khi các π₁(B, b)-tập hợp E_b và E'_b đẳng cấu. 01ZR
Hệ quả 2 Cho (E, p) và (E', p') là các phủ liên thông của B. Cho x là một điểm của E_b và x' là một điểm của E'_b. Để tồn tại một cấu xạ B g: E→ E' sao cho g(x) =x', điều kiện cần và đủ là… 01ZS
Hệ quả 3 Cho (E, p) là một phủ liên thông của B và cho x là một điểm của thớ E_b. Gọi N là chuẩn hóa tử của p_*(π₁(E, x)) trong π₁(B, b). Với mọi phần tử γ của N, tồn tại một tự đẳng cấu B… 01ZT
Hệ quả 4 Cho (E, p) là một phủ liên thông của B và cho x là một điểm của thớ E_b. Để E là một phủ Galois của B, điều kiện cần và đủ là p_*(π₁(E, x)) là một nhóm con đặc biệt của π₁(B, b). K… 01ZU
Bổ đề 1 Cho B là một không gian tôpô liên thông địa phương bởi các đường, cho p: E→ B và p': E'→ B là các ánh xạ étale và tách thỏa mãn tính chất nâng đường (III, p. 302). Cho g: E→ E' là… 01ZV
Nhận xét Cho B là một không gian tôpô liên thông địa phương bởi các đường và giả sử rằng mọi điểm b của B đều có một lân cận V sao cho ảnh của π₁(V, b) trong π₁(B, b) thu gọn thành phần tử… 01ZW
Mệnh đề 3 Cho B là một không gian tôpô liên thông đường địa phương và cho E là một tập hợp được trang bị một phép toán không có đơn trị địa phương φ của nhómoid varpi (B), tương đối với một… 01ZX
Hệ quả Cho B là một không gian tôpô liên thông, liên thông địa phương bởi các cung, cho (E, p) là một không gian B mà phép chiếu p là étale, tách được, và có tính chất nâng đường. Nếu phé… 01ZY
Mệnh đề 4 Tồn tại một tôpô duy nhất trên π₁(B, a), tương thích với cấu trúc nhóm của nó, sao cho các nhóm con chuẩn khả nạp của π₁(B, a) tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của phần tử đơn v… 01ZZ
Nhận xét 1 Nếu B₀ ký hiệu thành phần liên thông đường đi của a trong B, thì đẳng cấu chính tắc π₁(B₀, a)→ π₁(B, a) là một đẳng cấu của các nhóm tôpô khi các nhóm này được trang bị tôpô chấp n… 0200
Nhận xét 2 Cho B là một không gian tôpô. Cho b và b' là các điểm của B thuộc cùng một thành phần liên thông đường đi và cho γ là một phần tử của varpi_b,b'(B). Từ định nghĩa của một nhóm con… 0201
Nhận xét 3 Cho A và B là các không gian tôpô, cho a là một điểm của A, và cho f: A→ B là một ánh xạ liên tục. Đặt b=f(a). Nếu H là một nhóm con chấp nhận được của π₁(B, b), ảnh ngược của nó q… 0202
Mệnh đề 5 Cho B là một không gian tôpô liên thông địa phương theo cung, và cho a là một điểm của B. Để một nhóm con H của π₁(B, a) là chấp nhận được, điều kiện cần và đủ là tồn tại một phủ (… 0203
Mệnh đề 6 Cho B là một không gian tôpô và b là một điểm của B. Trang bị cho nhóm π₁(B, b) tôpô khả chấp nhận được. 0204
Mệnh đề 7 Cho B là một không gian tôpô liên thông, liên thông địa phương bởi các cung, và b là một điểm của B. Trang bị cho nhóm π₁(B, b) tôpô khả chấp nhận được. 0205
Nhận xét 4 Tôpô khả chấp trên π₁(B, b) là tôpô ít mịn nhất sao cho tác động của π₁(B, b) trên E_b là liên tục đối với mọi phủ liên thông E của B (Mệnh đề 6 của III, p. 318 và Mệnh đề 7 của II… 0206
Nhận xét 5 Cho B là một không gian tôpô liên thông và liên thông cung địa phương, cho a là một điểm của B, và cho H là một nhóm con của π₁(B, a). Theo nhận xét trước, nếu H là khả chấp, thì n… 0207

IV. Các không gian co rút được

§ 1. Không gian đơn liên

Định nghĩa 1 Một không gian tôpô X được gọi là đơn liên theo cung nếu nó liên thông theo cung và nếu mọi vòng trong X là đồng luân nghiêm ngặt với một vòng hằng. 0208
Định nghĩa 2 Một không gian tôpô B được gọi là không cuộn được nếu nó liên thông theo cung địa phương và nếu mọi điểm b của B có một lân cận V sao cho đồng cấu của π₁(V, b) vào π₁(B, b) suy ra… 0209
Nhận xét 1 Tồn tại các không gian tôpô B, liên thông và liên thông theo cung địa phương, sao cho một số điểm a của B, nhưng không phải tất cả, có một lân cận V sao cho đồng cấu của π₁(V, a) v… 020A
Nhận xét 2 Cho B là một không gian không cuộn được; mọi phép toán của groupoid varpi (B) trên một B-không gian đều không có đơn phương địa phương (cf. III, p. 313, nhận xét). Đặc biệt, để một… 020B
Mệnh đề 1 Không gian tích của một họ hữu hạn các không gian không cuộn được là không cuộn được. 020C
Mệnh đề 2 a) Mọi phủ của một không gian không cuộn được đều là không cuộn được. 020D
Mệnh đề 3 Cho B là một không gian tôpô không cuộn được. Cho (Y, q) là một phủ của B và (Z, p) là một phủ của Y. Không gian tôpô Z, được trang bị bởi ánh xạ q∘ p, khi đó là một phủ của B. 020E
Định lý 1 Cho B là một không gian tôpô liên thông, địa phương liên thông theo cung, và cho b là một điểm của B. Các tính chất sau là tương đương: 020F
Nhận xét 1 Cho B là một không gian liên thông tháo được và cho b là một điểm của B. Từ Định lý 1, (iv), suy ra rằng mọi phép toán của nhóm π₁(B, b) đều khả dụng. Do đó, mọi tập hợp π₁(B, b) l… 020G
Hệ quả 1 Cho B là một không gian tôpô tháo được và cho b là một điểm của B. Cho E là một phủ liên thông của B và cho x là một điểm của thớ E_b. Các tính chất sau là tương đương: 020H
Hệ quả 2 Cho B là một không gian tôpô tháo được và cho b là một điểm của B. Cho (E, x) là một phủ phổ quát của không gian có điểm (B, b). Với mọi phủ E' của B và mọi điểm x' của E'_b, B-cấu… 020I
Mệnh đề 4 Cho B là một không gian tôpô tháo được. Quan hệ đồng luân ngặt là một quan hệ tương đương mở trong không gian tôpô C_c(I; B). 020J
Định nghĩa 3 Một không gian tôpô B được gọi là co được địa phương nếu mọi điểm b của B đều có một lân cận V sao cho không gian có điểm đánh dấu (V, b) là co được (III, p. 234, ví dụ 3). 020K
Mệnh đề 5 Một không gian tôpô co được địa phương là không thắt nút. 020L
Mệnh đề 6 Ánh xạ p:x↦ e^2π ix của R vào S₁ làm cho (R,0) là một phủ phổ quát của (S₁,1). Nhóm π₁(S₁,1) đẳng cấu với Z; lớp của đường cong kín t↦ e^2π it là một phần tử sinh của nó. Với mọi s… 020M
Hệ quả Ánh xạ z↦ eᶻ của C vào C^* làm cho (C,0) là một phủ phổ quát của (C^*,1). Nhóm π₁(C^*,1) đẳng cấu với Z; lớp của đường cong kín t↦ e^2π it là một phần tử sinh của nó. Với mọi số ng… 020N
Mệnh đề 7 Ánh xạ x↦ φ (e^2π ix) của R lên P₁(R) làm cho (R,0) là một phép phủ phổ quát của (P₁(R), φ (1)). Cho c:I→ S₁ là đường đi t↦ e^π it; lớp của φ (c) là một phần tử sinh của nhóm π₁(P₁… 020O
Bổ đề 1 Cho X là một không gian tôpô, cho G là một nhóm rời rạc tác động thực sự trong X, và cho p là phép chiếu chính tắc của X lên X/G. 020P
Mệnh đề 8 Cho X là một không gian tôpô và cho G là một nhóm rời rạc tác động đúng trên X. Ta ký hiệu p là phép chiếu chính tắc của X lên X/G. 020Q
Nhận xét 1 Định lý 4 của III, p. 287 và Mệnh đề 8 (IV, p. 349) vẫn đúng dưới giả thiết tổng quát hơn rằng G là một nhóm Lie hữu hạn chiều trên R tác động đúng trong X. Để biết thêm chi tiết… 020R

§ 2. Các nhóm Poincaré của các không gian không thể tháo gỡ

Mệnh đề 1 Cho A là một không gian tôpô không thể tháo gỡ, cho B là một không gian tôpô liên thông địa phương bởi các cung, và cho f: A→ B là một ánh xạ liên tục. Cho a là một điểm của A và b… 020S
Mệnh đề 2 Cho A là một không gian tôpô liên thông liên thông địa phương bởi các cung, cho B là một không gian tôpô không thể tháo gỡ, và cho f: A→ B là một ánh xạ liên tục. Cho a là một điểm… 020T
Mệnh đề 3 Cho B là một không gian tôpô không cuộn được và cho A là một không gian con liên thông và liên thông địa phương theo cung của B (ví dụ một tập con mở và liên thông). Cho a là một đ… 020U
Định nghĩa 1 Cho X và Y là các không gian tôpô và cho f là một ánh xạ liên tục từ X vào Y. Ta nói rằng ánh xạ f là liên thông tương đối nếu mọi điểm của Y sở hữu một hệ cơ bản 020V
Mệnh đề 4 Cho X và Y là các không gian tôpô và cho f: X→ Y là một ánh xạ liên tục liên thông tương đối. 020W
Hệ quả 1 Cho X và Y là các không gian tôpô và cho f: X→ Y là một ánh xạ liên tục và liên thông tương đối. Bằng cách chuyển qua các thành phần liên thông, ánh xạ f cảm sinh một song ánh từ t… 020X
Hệ quả 2 Cho X và Y là các không gian tôpô và cho f: X→ Y là một ánh xạ liên tục. Để f liên thông tương đối, điều kiện cần và đủ là ba tính chất sau được thỏa mãn: 020Y
Hệ quả 3 Cho X và Y là các không gian tôpô và cho f: X→ Y là một ánh xạ liên tục và liên thông tương đối. Cho F là một tập hợp và cho g: X→ F là một ánh xạ hằng địa phương. Tồn tại một ánh… 020Z
Ví dụ 1 Cho X là một không gian tôpô và cho R là một quan hệ tương đương trong X. Gọi Y là không gian tôpô thương X/R và f: X→ Y là ánh xạ chính tắc. Giả sử rằng các lớp tương đương của R… 0210
Ví dụ 2 Cho Y là một không gian tôpô liên thông địa phương bằng các cung, và cho X là một tập con mở của Y. Không gian C_c(I; X) của các đường đi trong X được đồng nhất với một không gian… 0211
Mệnh đề 5 Cho X và Y là các không gian tôpô và cho f: X→ Y là một ánh xạ liên tục và liên thông tương đối. Với mọi cặp (T,T') các phủ của Y, ánh xạ f^*:C_Y(T; T')→ C_X(X×_YT; X×_YT') là song… 0212
Hệ quả 1 Cho X và Y là các không gian tôpô và cho f: X→ Y là một ánh xạ liên tục liên thông tương đối. Cho T và T' là các phủ của Y. Nếu các phủ X×_YT và X×_YT' của X là đẳng cấu, thì các p… 0213
Hệ quả 2 Cho X và Y là các không gian tôpô và cho f: X→ Y là một ánh xạ liên tục và liên thông tương đối. Nếu không gian X đơn liên thông, thì điều tương tự cũng đúng với không gian Y. 0214
Hệ quả 3 Cho X là một không gian tôpô liên thông địa phương bởi các cung, Y là một không gian tôpô không cuộn được, và cho f: X→ Y là một ánh xạ liên tục liên thông tương đối. Với mọi điểm… 0215
Mệnh đề 6 Cho X và Y là các không gian tôpô và cho f: X→ Y là một ánh xạ liên tục và liên thông tương đối. Giả sử rằng mọi điểm của Y có một lân cận mở V mà ảnh ngược của nó overset-1f(V) là… 0216
Hệ quả Cho X và Y là các không gian tôpô co được và cho f: X→ Y là một ánh xạ liên tục và liên thông tương đối. Giả sử rằng mọi điểm của Y có một lân cận V mà ảnh ngược 0217
Nhận xét Cho Y là một không gian tôpô, và cho X, X' và Y' là các không gian con của Y sao cho X⊂ X'⊂ Y'⊂ Y. Giả sử rằng đơn ánh chính tắc của X vào Y là liên thông tương đối. Với mọi tập co… 0218
Ví dụ Cho Y là một đa tạp khả vi hữu hạn địa phương chiều và cho Z là một đa tạp con đóng của Y (VAR, R, 5.8.3). Đặt X = Y-Z. 0219
Định lý 1 Cho X là một không gian tôpô co rút được compact và x là một điểm của X. Nhóm Poincaré π₁(X, x) có một trình bày hữu hạn. 021A
Bổ đề 1 Cho X là một không gian tôpô và A là một tập con của X. Để A là tập hợp loại một, điều kiện cần và đủ là tồn tại một phủ mở (Uᵢ)_i∈ I của X sao cho A∩ Uᵢ là tập hợp loại một trong… 021B
Bổ đề 2 Cho X là một không gian tôpô và A là một tập con của X. 021C
Nhận xét 1 Cho G là một nhóm tôpô và cho A là một tập con thưa của G. Giả sử rằng A chứa một tập con mở khác rỗng U của G và cho y là một điểm của U. Khi đó U là thưa và với mọi x∈ G,xy⁻¹U là… 021D
Mệnh đề 7 Cho X là một không gian tách. Mọi không gian con Souslinian (TG, IX, p. 59, định nghĩa 2) của X đều là tiếp cận được. 021E
Bổ đề 3 Cho (Uᵢ)_i∈ I là một họ hữu hạn các tập con mở khác rỗng của một không gian tôpô X và cho O là một tập con mở trù mật của X× X. Tồn tại một họ (Vᵢ)_i∈ I các tập con mở khác rỗng củ… 021F
Mệnh đề 8 Cho P là một không gian tôpô Polish khác rỗng và cho R là một quan hệ tương đương trong P mà đồ thị của nó là một tập con thưa của P× P. Tồn tại một ánh xạ liên tục đơn ánh của tập… 021G
Mệnh đề 9 Cho X là một không gian tôpô không thể tháo gỡ được và cho W là một cơ sở cho tôpô của X. Với mọi điểm x của X, lực lượng của nhóm π₁(X, x) bị chặn trên bởi sup(Card(W), Card(N))… 021H
Bổ đề 4 Cho X là một không gian Baire, cho G là một nhóm tôpô tác động liên tục lên X và cho B là một tập con tiếp cận được của X không thưa. Tập hợp các điểm g∈ G sao cho B∩ gB=not∅ là mộ… 021I
Định lý 2 (Shelah[^1]) Cho X là một không gian Polish liên thông được liên thông địa phương bởi các cung, và cho x là một điểm của X. Nếu X không thể tháo gỡ được, nhóm π₁(X, x) có lực lượng của continuu… 021J
Bổ đề 5 Tập hợp Γ là một tập hợp không đâu trù mật trong K× K. 021K
Ví dụ Cho P là không gian tôpô là hợp của các đường tròn có tâm (2/n,0) đi qua gốc của mặt phẳng R², với ngeqslant 1 (III, p. 336, Bài tập 6). Nhóm Poincaré của P có lũy thừa của continu… 021L

§ 3. Các nhóm Poincaré của các nhóm tôpô

Định nghĩa 1 Cho một nhóm tôpô G và một nhóm G', một đồng cấu địa phương của G vào G' có nghĩa là một ánh xạ f của một lân cận V của phần tử đơn vị của G vào G' sao cho, với mọi cặp điểm x,y củ… 021M
Mệnh đề 1 Cho G và G' là các nhóm tôpô và cho p: G→ G' là một đồng cấu nhóm. Để p làm cho G là một phủ của G', điều kiện cần và đủ là hạn chế của p trên một lân cận thích hợp của phần tử đơn… 021N
Mệnh đề 2 Cho G là một nhóm tôpô liên thông, cho G' là một nhóm và cho f: V→ G' là một đồng cấu địa phương của G vào G', trong đó V là một lân cận liên thông của phần tử đơn vị của G. Khi đó… 021O
Bổ đề 1 Cho G là một nhóm tôpô và cho V là một lân cận liên thông của phần tử đơn vị e của G. Với mọi lân cận U của e trong G và mọi x∈ V, tồn tại một số nguyên n∈ N và các phần tử u₁… 021P
Hệ quả 1 Cho G là một nhóm tôpô đơn liên thông và cho G' là một nhóm. Cho V là một lân cận liên thông của phần tử đơn vị trong G và cho f: V→ G' là một đồng cấu địa phương. Tồn tại một đồng… 021Q
Nhận xét 1 Khi G =R, hệ quả này suy ra từ mệnh đề 6 của TG, V, p. 3. 021R
Hệ quả 2 Hai nhóm tôpô liên thông địa phương và đơn liên từng địa phương đẳng cấu là đẳng cấu. 021S
Hệ quả 3 Cho G là một nhóm tôpô đơn liên và cho V là một lân cận liên thông của phần tử đơn vị của G. Ta xác định một phép trình bày của G bằng cách lấy làm tập hợp phần tử sinh tập hợp V v… 021T
Định nghĩa 2 Một không gian tôpô có điểm cơ sở (X, e) được trang bị một luật hợp thành liên tục m: X× X→ X được gọi là một không gian Hopf, sao cho 021U
Ví dụ 1 Cho G là một nhóm tôpô và m là luật hợp thành của nó. Phần tử đơn vị e của G là một phần tử đơn vị sai khác một đồng luân và (G, e) là một không gian Hopf. 021V
Ví dụ 2 Cho X là một không gian tôpô và x là một điểm của X. Được trang bị phép ghép các vòng tại x, không gian có điểm (Ωₓ(X), eₓ) là một không gian Hopf. Thật vậy, trước hết ta có eₓ*eₓ=… 021W
Mệnh đề 3 Cho (X, e) là một không gian Hopf và m: X× X→ X là luật hợp thành của nó. Với mọi vòng c,c' của X tại e, ta có: 021X
Nhận xét Cho (X, e) là một không gian Hopf. Theo Mệnh đề 3, ánh xạ hợp thành các lớp đường, π₁(X, e)× π₁(X, e)→ π₁(X, e) là liên tục nếu π₁(X, e) được trang bị tôpô thương của tôpô hội tụ đ… 021Y
Mệnh đề 4 Cho (X, e) là một không gian Hopf (IV, p. 373, định nghĩa 2) và cho m: X× X→ X là luật hợp thành của nó. Giả sử rằng không gian X là liên thông và liên thông cung địa phương. Cho X… 021Z
Mệnh đề 5 Ta giữ lại ký hiệu và các giả thiết của Mệnh đề 4. 0220
Hệ quả Cho G là một nhóm tôpô liên thông và liên thông địa phương theo cung. Cho G' là một phủ liên thông của G, cho p là phép chiếu của nó và cho e' là một phần tử của thớ N của phần tử… 0221
Mệnh đề 6 Cho G là một nhóm tôpô liên thông và phủ được. Tồn tại một nhóm tôpô widetildeG, với phần tử đơn vị widetildee, và một đồng cấu liên tục p:widetildeG→ G thỏa mãn các khẳng định sau… 0222
Ví dụ Mệnh đề 6 áp dụng đặc biệt khi G là một nhóm Lie liên thông trên R hoặc C. Khi đó trên widetildeG tồn tại một cấu trúc đa tạp giải tích duy nhất sao cho phép chiếu p:widetildeG→ G… 0223
Chú giải Cho G là một nhóm tôpô liên thông và có thể làm đơn liên theo nút, cho e là phần tử đơn vị của nó. Cho widetildeG là một nhóm tôpô đơn liên theo cung, với phần tử đơn vị widetildee… 0224
Mệnh đề 7 Để hai nhóm tôpô liên thông không cuộn được là địa phương đẳng cấu, điều kiện cần và đủ là các phủ phổ quát của chúng là các nhóm tôpô đẳng cấu. 0225
Mệnh đề 8 Cho G là một nhóm tôpô liên thông không cuộn được và cho widetildeG là một phủ phổ quát của G. Cho V là một lân cận mở liên thông của phần tử đơn vị e của G sao cho ảnh của đồng cấ… 0226

§ 4. Lý thuyết hạ giáng

Định nghĩa 1 Một dữ liệu hạ giáng đối với f trên không gian X (Z, p) được gọi là một ánh xạ liên tục τ : Z×_YX→ Z thỏa mãn hai tính chất sau: 0227
Ví dụ 1 Cho X và Y là các không gian tôpô, cho f: X→ Y là một ánh xạ liên tục và cho (T, q) là một không gian Y. Đặt Z = X×_YT. Ánh xạ τ từ Z×_YX vào Z, gán cho ((x, t), x') phần tử (x', t… 0228
Ví dụ 2 Cho Y là một không gian tôpô, (Vᵢ)_i∈ I là một họ các tập con của Y, và với mỗi i∈ I, cho (Zᵢ, pᵢ) là một không gian Vᵢ. Gọi X là không gian tôpô tổng của họ (Vᵢ)_i∈ I và (Z, p) là… 0229
Ví dụ 1 Cho X và Y là các không gian tôpô và f: X→ Y là một ánh xạ liên tục. Cho (T, q) là một không gian Y. Cho Z là không gian X X×_YT, được trang bị ánh xạ pr₁; ta ký hiệu τ là dữ kiện… 022A
Ví dụ 2 Ta lấy lại ký hiệu của Ví dụ 2 (IV, p. 383). Khi đó không gian tôpô Z/R_τ là không gian tôpô thu được bằng cách dán các không gian Zᵢ theo các overset-1pᵢ(Vᵢ∩ Vⱼ) nhờ các song ánh… 022B
Mệnh đề 1 Cho X và Y là các không gian tôpô, cho f: X→ Y là một ánh xạ liên tục. Giả sử rằng mọi điểm của Y đều có một lân cận trên đó tồn tại một tiết diện liên tục của ánh xạ f. Khi đó mọi… 022C
Mệnh đề 2 Cho f: X→ Y là một ánh xạ liên tục, cho (Z, p) là một không gian X và cho τ là một dữ liệu hạ xuống đối với f trên Z. Quan hệ tương đương R_τ là đóng nếu f là thực sự; nó là mở nếu… 022D
Mệnh đề 3 Cho X và Y là các không gian tôpô và cho f: X→ Y là một ánh xạ liên tục. Cho (Z, p) và (Z', p') là các X-không gian được trang bị dữ liệu hạ tầng đối với f, lần lượt được ký hiệu b… 022E
Mệnh đề 4 Giả sử rằng ánh xạ f là ngặt và toàn ánh và rằng T là một Y-không gian trải. Khi đó ánh xạ f^*:C_Y(T; T')→ C_f(X×_YT; X×_YT') là song ánh. 022F
Hệ quả Cho X và Y là các không gian tôpô và cho f: X→ Y là một ánh xạ ngặt và toàn ánh. Cho T và T' là các Y-không gian trải. Nếu tồn tại một X-đẳng cấu X×_YT→ X×_YT' tương thích với các… 022G
Mệnh đề 5 Cho X và Y là các không gian tôpô và cho f: X→ Y là một ánh xạ liên tục. Giả sử rằng ánh xạ f là thực sự và tách, hoặc ngược lại là mở. Mọi dữ liệu giáng tương đối với f trên một X… 022H
Bổ đề 1 Cho B, B' là các không gian tôpô, và cho f: B'→ B là một ánh xạ liên tục. Nếu bình phương thớ B'×_BB' là liên thông địa phương, thì không gian tôpô B' là liên thông địa phương. 022I
Mệnh đề 6 Cho 022J
Hệ quả 1 Cho E và B là các không gian tôpô, p: E→ B là một ánh xạ liên tục và (Aᵢ)_i∈ I là một phủ đóng hữu hạn địa phương của B sao cho với mọi cặp (i, j)∈ I× I,i=not j, giao Aᵢ∩ Aⱼ là một… 022K
Hệ quả 2 Cho X và Y là các không gian tôpô và cho f: X→ Y là một ánh xạ thực sự, tách được và toàn ánh. Giả sử thêm một trong các giả thiết sau: 022L
Mệnh đề 7 Cho X và Y là các không gian tôpô và cho f: X→ Y là một ánh xạ liên tục và toàn ánh. Giả sử rằng không gian Y là không cuộn được và rằng ánh xạ f là mở và có tính chất nâng đường… 022M
Nhận xét Cho X và Y là các không gian tôpô và cho f: X→ Y là một ánh xạ. Để mọi dữ liệu hạ giáng đối với f trên một phủ của X đều hiệu dụng, và để không gian thương là một phủ của Y, thì cầ… 022N
Mệnh đề 8 Cho X và Y là các không gian tôpô khác rỗng và cho f là một ánh xạ liên tục từ X vào Y. Giả sử rằng không gian X là liên thông cung địa phương, rằng không gian Y là liên thông, và… 022O
Mệnh đề 9 Cho X và Y là các không gian tôpô và f là một ánh xạ liên tục từ X vào Y. Giả sử không gian X địa phương liên thông cung, không gian Y đơn liên, và ánh xạ f ngặt và toàn ánh. Khi đ… 022P
Mệnh đề 10 Cho X và Y là các không gian tôpô và f là một ánh xạ liên tục từ X vào Y. Giả sử không gian X đơn liên, không gian X×_YX địa phương liên thông cung, và mọi dữ liệu hạ xuống đối với… 022Q
Bổ đề 2 Ta giữ lại ký hiệu và các giả thiết của mệnh đề. Cho T là một tập hợp được trang bị một phép toán của groupoid Coeg(f) tương đối với một ánh xạ q: T→ Y. Khi đó tồn tại một tôpô duy… 022R
Định lý 1 Cho X và Y là các không gian tôpô, và f: X→ Y là một ánh xạ liên tục toàn ánh. Giả sử rằng các không gian X và Y liên thông đường địa phương và liên thông đơn địa phương. Cuối cùng… 022S
Ví dụ Sau đây là hai ví dụ trong đó các giả thiết của định lý 1 được thỏa mãn. 022T
Định lý 2 Giả sử rằng mọi điểm của Y đều có một lân cận phía trên đó tồn tại một tiết diện liên tục của ánh xạ f. Cấu xạ nhómoid varpi '(f) từ Coeg(f) vào varpi (Y) là một đẳng cấu. 022U
Bổ đề 3 Cho G là một nhómoid và cho p, q là các số nguyên geqslant 1. Với mỗi cặp (j, k) các số nguyên sao cho 0leqslant jleqslant p và 0leqslant kleqslant q, cho x_j,k là một đỉnh của G… 022V
Ví dụ 1 Định lý áp dụng khi ánh xạ f là étale và toàn ánh. 022W
Ví dụ 2 Nó cũng áp dụng khi không gian X là không gian tổng của một họ (Vᵢ)_i∈ I các phần của Y mà các phần trong của chúng phủ Y, và khi f là ánh xạ cảm sinh bởi các đơn ánh chính tắc của… 022X
Định lý 3 Cho X là một không gian tôpô delaceable và G là một nhóm rời rạc tác động đúng trong X; cho f: X→ X/G là toàn cấu chính tắc. Cấu xạ chính tắc của các nhómoid varpi ''(f):varpi (X)/… 022Y
Bổ đề 4 Với mọi đường đi c= (c₁, c₂) trong X×_YX, ta có β ([c₁]) =β ([c₂]). 022Z

§ 5. Định lý van kampen

Định nghĩa 1 Ta nói rằng ánh xạ f thỏa mãn tính chất (VK) nếu nó là ngặt, toàn ánh và nếu cấu xạ varpi '(f) là một đẳng cấu. 0230
Ví dụ 1 Tính chất này được thỏa mãn dưới một trong các giả thiết sau: 0231
Định lý 1 Giả sử Y liên thông bằng đường và f thỏa mãn tính chất (VK). Với các ký hiệu trước đó, tồn tại một đồng cấu nhóm duy nhất 0232
Bổ đề 1 Đồ thị có hướng Γ đồng nhất với một đồ thị có hướng con của Γ; các đồ thị có hướng Γ và Γ là liên thông. 0233
Mệnh đề 1 Cho Y là một không gian tôpô liên thông bằng đường và cho (Aᵢ)_i∈ I là một phủ của Y bởi các tập con không rỗng, liên thông bằng đường, được đánh chỉ số bởi một tập sắp thứ tự toàn… 0234
Hệ quả 1 Dưới các giả thiết của mệnh đề 1, giả sử thêm rằng, với mọi i∈ I, ảnh của đồng cấu từ π₁(Aᵢ, a(i)) vào π₁(Y, a(i)), cảm sinh bởi đơn ánh chính tắc từ Aᵢ vào Y, là tầm thường. Khi đ… 0235
Hệ quả 2 Dưới các giả thiết của mệnh đề 1, giả sử thêm rằng với mọi i∈ I, nhóm π₁(Aᵢ, a(i)) thu về phần tử đơn vị và rằng, với mọi bộ ba (i₁, i₂, i₃) gồm các phần tử của I phân biệt từng đô… 0236
Ví dụ 1 Đối với trường hợp một phủ gồm hai tập hợp, xem No. 3. 0237
Ví dụ 2 Cho G là một đồ thị (II, p. 155, định nghĩa 1); gọi S là tập hợp các đỉnh của G, A là tập hợp các cạnh định hướng của nó, o và t là các ánh xạ gốc và ngọn từ A vào S; với mỗi cạnh… 0238
Hệ quả 3 Dưới các giả thiết của Mệnh đề 1, giả sử thêm rằng cốt của phủ (Aᵢ)_i∈ I là một cây có hướng. Khi đó đồng cấu N:ᵢ*_∈ Iπ₁(Aᵢ, a(i))→ π₁(Y, a(i₀)) suy ra từ M bằng cách hạn chế là to… 0239
Ví dụ 3 (Mặt phẳng bỏ đi $n$ điểm) Nhóm cơ bản của R² 0 đẳng cấu với Z, và lớp của đường đi t↦ e^2π it là một phần tử sinh của nó (IV, p. 347, hệ quả). Nói chung hơn, cho n là một số tự nhiên và cho A =z₁, . . . , z… 023A
Hệ quả 4 Dưới các giả thiết của Mệnh đề 1, giả sử tồn tại một tập con A của Y, liên thông bởi các cung và khác rỗng, sao cho giao Aᵢ∩ A_i' bằng A với mọi cặp (i, i') gồm các phần tử phân bi… 023B
Ví dụ 4 Cho ((Xᵢ, xᵢ))_i∈ I là một họ các không gian tôpô có điểm gốc. Bó của họ ((Xᵢ, xᵢ))_i∈ I theo định nghĩa, và được ký hiệu bởi bigvee_i∈ I(Xᵢ, xᵢ), là không gian tôpô thương của khô… 023C
Mệnh đề 2 Tồn tại một đồng cấu nhóm duy nhất 023D
Ví dụ Với ngeqslant 1, mặt cầu Sₙ là hợp của hai bán cầu đóng, đồng phôi với quả cầu đóng Bₙ₋₁ (TG, VI, p. 12), và có giao được đồng nhất với mặt cầu Sₙ₋₁. Với ngeqslant 2, mặt cầu Sₙ₋₁… 023E
Hệ quả 1 Đồng cấu μ là đơn ánh. Chính xác hơn, tồn tại một phép co rút liên kết với μ là một đồng cấu nhóm. 023F
Hệ quả 2 Nếu nhóm π₁(X, a) là tầm thường, tập hợp A = B∩ C liên thông bằng cung; nếu nó giao hoán, tập hợp A có nhiều nhất hai thành phần liên thông bằng cung. 023G
Hệ quả 3 Nếu các nhóm π₁(X, a) và π₁(A, a) là tầm thường, thì điều tương tự cũng đúng với các nhóm π₁(B, a) và π₁(C, a). 023H
Mệnh đề 3 Giả sử rằng X là tháo được. Khi đó đồng cấu N là toàn ánh, và hạt nhân của nó là nhóm con bất biến nhỏ nhất của π₁(X, o)*F(G) chứa các phần tử 023I
Hệ quả 1 Giả sử rằng X là tháo được và nhóm G được sinh bởi các nhóm ổn định của các điểm của X. Khi đó cấu xạ chính tắc π₁(f, o):π₁(X, o)→ π₁(Y, f(o)) là toàn ánh. Đặc biệt, nếu X đơn liên… 023J
Nhận xét Nếu X là tháo được, thì Y cũng vậy (IV, p. 349, mệnh đề 8). Vì một không gian liên thông tháo được là đơn liên thông bằng cung khi và chỉ khi nó đơn liên thông (IV, p. 344, hệ quả… 023K
Ví dụ 1 Cho X là một không gian tôpô tách biệt, liên thông bằng cung, tháo được, và cho a là một điểm của X. Cho n là một số nguyên geqslant 2 và cho Y là thương của không gian Xⁿ theo tác… 023L
Hệ quả 2 Giả sử rằng X là tháo được và nhóm G tác động tự do trên X. Tồn tại một đồng cấu nhóm duy nhất p:π₁(Y, f(o))→ G mà hạt nhân của nó chứa ảnh của π₁(X, o) và sao cho p(N(g)) =g với m… 023M
Hệ quả 3 Giả sử rằng X đơn liên thông bằng cung. Ánh xạ từ G vào π₁(Y, f(o)) gán cho g∈ G lớp đường đi f_*(β_g) là một đồng cấu nhóm toàn ánh; hạt nhân của nó là nhóm con của G được sinh bở… 023N
Mệnh đề 4 Giả sử rằng các thành phần liên thông từng cung của Y là mở. Với mỗi i∈ I, gọi Gᵢ là thương của nhóm π₁(Yᵢ, bᵢ) theo nhóm con chuẩn tắc nhỏ nhất chứa ảnh của các đồng cấu ψⱼ, với j… 023O
Hệ quả 1 Giả sử thêm rằng các không gian X và Y liên thông theo cung và cho a là một điểm của X. Ánh xạ chính tắc từ π₁(Y, f(a)) vào π₁(Cone(f), f(a)) là toàn ánh, và hạt nhân của nó là nhó… 023P
Hệ quả 2 Giả sử thêm rằng các thành phần liên thông theo cung của Y là đơn liên thông theo cung. Khi đó đồng cấu μ: F(J-T)→ π₁(Cone(f), s) là một đẳng cấu. 023Q
Nhận xét 1 Cho X là một không gian tôpô mà các thành phần liên thông theo cung của nó là mở. Cho A là một không gian con đóng của X; ký hiệu ι : A→ X là đơn ánh chính tắc, ký hiệu X/A là khôn… 023R
Bổ đề 2 Ánh xạ f: C→ A là riêng và tách biệt; các thớ của nó là hữu hạn. 023S
Mệnh đề 5 (Van Kampen) Đồng cấu Q là toàn ánh; hạt nhân của nó là nhóm con chuẩn tắc nhỏ nhất chứa các phần tử 023T
Nhận xét Cho A là một không gian tôpô, B là một tập con đóng của A, và U là một lân cận mở của B trong A. Giả sử tập hợp U-B là hợp của một họ hữu hạn (M_ℓ)_ℓ∈ L các tập mở rời nhau từng đô… 023U

§ 6. Phân loại các không gian

Mệnh đề 1 Cho X' là một không gian tôpô chuẩn, cho X là một không gian con của X', cho A là một không gian con đóng của X' được chứa trong X, và cho U là một lân cận của A trong X. 023V
Hệ quả 1 Cho X là một không gian tôpô chuẩn, cho f là một ánh xạ liên tục từ X vào một không gian tôpô Z. Cho A là một không gian con đóng của X, cho U là một lân cận của A trong X và cho σ… 023W
Hệ quả 2 Cho X là một không gian tôpô chuẩn, cho A là một không gian con đóng của X và cho U là một lân cận của A trong X. Cho f và f' là các ánh xạ liên tục đồng luân được từ U vào một khô… 023X
Hệ quả 3 Cho X là một không gian tôpô chuẩn, cho A là một không gian con đóng của X và cho U là một lân cận của A trong X. Cho Z là một không gian tôpô đồng luân với một điểm và cho g: U→ Z… 023Y
Hệ quả 4 Cho X là một không gian tôpô paracompact, cho A là một không gian con đóng của X. Cho n là một số nguyên geqslant 0 và cho V là một tập con mở của Rⁿ. Cho f: X→ V là một ánh xạ liê… 023Z
Bổ đề 1 Cho Z là một không gian tôpô, K là một không gian tôpô compact và W là một tập con mở của Z× K. Tập hợp U gồm các điểm z∈ Z sao cho z × K được chứa trong W là mở trong Z. 0240
Hệ quả 5 Cho X' là một không gian tôpô chuẩn tắc, cho X là một không gian con của X', cho A là một không gian con đóng của X' được chứa trong X, và cho U là một lân cận của A trong X. 0241
Mệnh đề 2 Cho B là một không gian tôpô paracompact và (E, p) là một không gian thớ địa phương tầm thường trên B× I. Đặt E₁=overset-1p(B× 1) và ký hiệu p₁: E₁→ B là ánh xạ pr₁∘ p|E₁. Khi đó c… 0242
Bổ đề 2 Cho α ,β ,γ là các số thực sao cho α leqslant β leqslant γ, cho B là một không gian tôpô và cho p: E→ B× [α , γ ] là một ánh xạ liên tục. Đặt B₀= B× [α , β ], B₁= B× [β , γ ], E₀=o… 0243
Bổ đề 3 Cho B là một không gian tôpô và cho (E, p) là một không gian phân thớ B× I địa phương tầm thường. Mọi điểm a của B đều có một lân cận V sao cho không gian V× I E_V×I là tầm thường… 0244
Hệ quả 1 Cho B là một không gian tôpô paracompact và (E, p) là một không gian sợi địa phương tầm thường trên B× I (I, p. 71, Hệ quả 2). Với t∈ I, ký hiệu (Eₜ, pₜ) là không gian sợi địa phươ… 0245
Hệ quả 2 Cho B và B' là các không gian tôpô, và E là một không gian sợi địa phương tầm thường trên B. Cho f₀ và f₁ là các ánh xạ liên tục từ B' vào B. Giả sử không gian B' là paracompact. N… 0246
Hệ quả 3 Cho B là một không gian tôpô paracompact. Nếu B đồng luân với một điểm, thì mọi không gian sợi địa phương tầm thường có cơ sở B đều tầm thường hóa được. 0247
Hệ quả 4 Cho B và B' là các không gian tôpô, (E, p) là một không gian sợi địa phương tầm thường trên B, f là một ánh xạ liên tục từ B' vào B, σ : B'× I→ B là một phép đồng luân bắt đầu từ f… 0248
Bổ đề 4 Cho B là một không gian tôpô, cho G là một nhóm tôpô và cho E, E' là các không gian thớ chính với nhóm G và cơ sở B. Gọi F là không gian tôpô G được trang bị phép toán trái của G×… 0249
Bổ đề 5 Cấu xạ của các bó α là một đẳng cấu. 024A
Mệnh đề 3 Cho G là một nhóm tôpô, cho B là một không gian tôpô paracompact và cho (E, p) là một không gian sợi chính của nhóm G và cơ sở B× I. Đặt E₁=overset-1p(B× 1) và cho p₁: E₀→ B là ánh… 024B
Hệ quả 1 Cho B là một không gian tôpô paracompact, cho G là một nhóm tôpô và cho (E, p) là một không gian sợi chính B× I của nhóm G. Với t∈ I, ký hiệu (Eₜ, pₜ) là không gian B-sợi chính i^*… 024C
Hệ quả 2 Cho B và B' là các không gian tôpô, cho G là một nhóm tôpô, và cho E là một không gian thớ chính trên B với nhóm G. Cho f₀ và f₁ là các ánh xạ liên tục từ B' vào B. Giả sử rằng khô… 024D
Hệ quả 3 Cho B là một không gian tôpô paracompact và cho G là một nhóm tôpô. Nếu B đồng luân với một điểm, thì mọi không gian thớ chính với nhóm G đều khả quy về tầm thường. 024E
Nhận xét Một chứng minh khác của các kết quả này sẽ bao gồm việc kiểm tra rằng các đẳng cấu của các không gian thớ được xây dựng trong mệnh đề 2 và các hệ quả của nó là các đẳng cấu của các… 024F
Mệnh đề 4 Nếu không gian B là paracompact và nếu không gian E' đồng luân với một điểm, thì bó trên B của các cấu xạ của các không gian thớ chính với nhóm G từ E vào E' là một bó mềm. 024G
Định lý 1 Cho G là một nhóm tôpô, cho Bᵤ là một không gian tôpô, và cho (Eᵤ, pᵤ) là một không gian thớ chính với nhóm G và cơ sở Bᵤ. Giả sử rằng không gian Eᵤ đồng luân với một điểm. 024H
Hệ quả Cho G là một nhóm tôpô, cho B và B' là các không gian tôpô paracompact. Cho (E, p) và (E', p') là các không gian sợi chính với nhóm G và lần lượt có cơ sở B và B'. Giả sử các không… 024I
Ví dụ Được trang bị ánh xạ p:R→ S¹,t↦ e^2π it, và với phép toán của Z bằng phép tịnh tiến, không gian R là một không gian phủ chính với nhóm Z. Do đó, không gian S¹ là một không gian phâ… 024J
Mệnh đề 5 Tồn tại duy nhất một tôpô trên G^* tương thích với cấu trúc nhóm của nó, trong đó các tập hợp V^*_ε tạo thành một cơ sở các lân cận của phần tử đơn vị. 024K
Mệnh đề 6 Không gian G^* là co rút được và co rút được địa phương tại mỗi điểm của nó. 024L
Nhận xét 1 Nếu G là một nhóm tôpô tách được, ι (G) là đóng trong G^*. 024M
Mệnh đề 7 Giả sử rằng G là một nhóm tôpô mêtric hóa được. Khi đó nhóm tôpô G^* là mêtric hóa được. Chính xác hơn, nếu d là một khoảng cách bị chặn trên G xác định tôpô của nó, thì tôpô của G… 024N
Nhận xét 2 Cho d là một khoảng cách bị chặn xác định tôpô của G. Khi nhóm tôpô G^* được trang bị khoảng cách d^*, đồng cấu ι : G→ G^* là một đẳng cự. 024O
Nhận xét 3 Giả sử rằng G là một nhóm tôpô rời rạc. Nhóm con ι (G) khi đó là một nhóm con rời rạc của G^*. Thật vậy, tôpô của G được xác định bởi khoảng cách d trên G cho bởi d(g, g') = 1 nếu… 024P
Định lý 2 Cho G là một nhóm tôpô rời rạc. Cho G tác động bên phải trên G^* bởi h· g=hι (g) và cho B ký hiệu không gian tôpô thương G^*/G. 024Q