Livre INT · Français

Index des énoncés

Les 1200 énoncés de Intégration, par chapitre et paragraphe. Choisissez un type, filtrez par un mot, ou mettez les plus cités en tête.

Les plus cités d’abord

II. Espaces de Riesz

§ 1. Espaces de Riesz et espaces complètement réticulés

Définition 1 On dit qu’un espace vectoriel ordonné est un espace de Riesz si la structure d’ordre est une structure d’ensemble réticulé (c’est-à-dire si deux éléments quelconques x, y de E adme… 08JO
Exemple L’espace Rᴬ de toutes les fonctions numériques (finies) définies dans un ensemble quelconque A est un espace de Riesz (pour la relation d’ordre « quel que soit t ∈ A, x(t) ≤ y(t) »… 08JP
Définition 2 On dit qu’un espace de Riesz E est complètement réticulé si toute partie majorée non vide de E admet une borne supérieure dans E. 08JQ
Exemple 1 Si A est un ensemble quelconque, l’espace Rᴬ des fonctions numériques définies dans A est complètement réticulé, la borne supérieure dans Rᴬ d’une famille majorée étant son envelop… 08JR
Exemple 2 Soit F un ensemble quelconque; l’espace B(F) des fonctions numériques bornées dans F, muni de la structure d’ordre induite par celle de R^F, est complètement réticulé. Par contre… 0E5V
Proposition 1 Pour qu’un espace vectoriel ordonné E soit complètement réticulé, il faut et il suffit que E soit un espace de Riesz, et vérifie l’une des deux conditions suivantes: ↩ 1 08JS
Proposition 2 Soit E un espace de Riesz, muni d’une topologie séparée compatible avec sa structure d’espace vectoriel ordonné (Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., § 2, n° 7). Si, pour tout ensemb… 08JT
Proposition 3 Soit (Eᵢ)_i ∈ I une famille d’espaces vectoriels ordonnés. Pour que l’espace produit E = ∏_i ∈ I Eᵢ soit un espace de Riesz (resp. un espace complètement réticulé), il faut et il s… ↩ 1 08JU
Définition 3 Soient E un espace vectoriel ordonné, V et W deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. On dit que E est somme directe ordonnée de V et W si l’application canonique (x, y)… 08JV
Proposition 4 Pour qu’un espace vectoriel ordonné E soit somme directe ordonnée de deux sous-espaces vectoriels supplémentaires V, W, il faut et il suffit que les relations x ∈ V,\ y ∈ W,\ x + y… ↩ 1 08JW
Définition 4 Dans un espace complètement réticulé E, on dit qu’un sous-espace vectoriel B de E est une bande s’il satisfait aux conditions suivantes : 1) les relations x ∈ B,\ y ∈ E et |y| ≤ |x… ↩ 1 08JX
Exemple Dans l’espace Rᴬ des fonctions numériques finies définies dans un ensemble A, l’ensemble des fonctions nulles en tous les points d’une partie M de A est une bande. 08JY
Remarque Dans l’espace Rᴬ, le sous-espace B(A) des fonctions numériques bornées dans A satisfait à la condition 1) de la déf. 4; en outre, pour toute partie X de B(A) majorée dans B(A), l’e… 08JZ
Proposition 5 Soient E un espace complètement réticulé, A une partie non vide de E formée d’éléments geqslant 0, telle que : 1) A + A ⊂ A; 2) les relations x ∈ A,\ 0 leqslant y leqslant x entraî… ↩ 3 08K0
Théorème 1 (F. Riesz) Soit A une partie d’un espace complètement réticulé E. L’ensemble A' des éléments étrangers à tous les éléments de A est une bande; la bande A'' des éléments étrangers à tous les é… ↩ 6 08K1
Proposition 6 Soient E un espace complètement réticulé, M une partie de E, B la bande engendrée par M. Soit M₁ l’ensemble des éléments geqslant 0 de E dont chacun est majoré par un élément de la… ↩ 1 08K2
Corollaire Soit a un élément d’un espace complètement réticulé E. Soient Bₐ la bande engendrée par a, B'ₐ la bande des éléments étrangers à a. Pour tout élément x geqslant 0 de E, le composan… ↩ 2 08K3

§ 2. Formes linéaires sur un espace de Riesz

Définition 1 Etant donné un espace vectoriel ordonné E, on dit qu’une forme linéaire L sur E est positive si, pour tout x geqslant 0 dans E, on a L(x) geqslant 0. ↩ 2 08KI
Exemple 1 Soient A un ensemble quelconque, E un sous-espace de l’espace Rᴬ de toutes les fonctions numériques définies dans A. Pour tout élément a ∈ A, l’application x ↦ x(a) est une forme l… ↩ 1 08KJ
Exemple 2 Soit I = [a, b] un intervalle compact de R, E l’espace de Riesz formé des fonctions numériques réglées dans I (Fonct. var. réelle, chap. II, §1, n° 3); l’application x ↦ ∫ₐᵇ x(t) d… 08KK
Exemple 3 Soient F un ensemble quelconque, U un ultrafiltre sur F (Top. gén., chap. I, 3e éd., § 6, n° 4), E l’espace de Riesz B(F) des fonctions numériques bornées dans F. Pour tout x ∈ E… 08KL
Proposition 1 Soient E un espace vectoriel ordonné, L une application de E dans R telle que L(x + y) = L(x) + L(y) et que la relation x geqslant 0 entraîne L(x) geqslant 0; alors, pour tout scal… ↩ 1 08KM
Proposition 2 Soient E un espace vectoriel réel, C un cône convexe de sommet 0 dans E tel que E = C - C, x ↦ M(x) une application de C dans R telle que, pour x ∈ C, y ∈ C, λ geqslant 0, μ geqsla… ↩ 4 08KN
Proposition 3 Soient E un espace vectoriel ordonné filtrant, P l’ensemble des éléments geqslant 0 de E, x ↦ M(x) une application de P dans R, à valeurs geqslant 0 et telle que M(x + y) = M(x) +… ↩ 3 08KO
Définition 2 Etant donné un espace de Riesz E, on dit qu’une forme linéaire L sur E est relativement bornée si, pour tout x geqslant 0 dans E, L est bornée dans l’ensemble des y ∈ E tels que |y… 08KP
Théorème 1 1° Pour qu’une forme linéaire L sur un espace de Riesz E soit relativement bornée, il faut et il suffit qu’elle soit la différence de deux formes linéaires positives. ↩ 3 08KQ
Lemme 1 Soient E un espace vectoriel ordonné filtrant, E^* son dual, ordonné en prenant pour éléments positifs les formes linéaires positives. Soit (u_α) une famille filtrante croissante d… 0E5W
Proposition 4 Pour que deux formes linéaires positives L, M sur un espace de Riesz E soient étrangères dans l’espace Ω, il faut et il suffit que, pour tout nombre ε > 0 et pour tout x ≥ 0 dans E… ↩ 2 08KS
Proposition 5 Soit L une forme linéaire positive sur un espace de Riesz E. Pour qu’une forme linéaire positive M sur E appartienne à la bande engendrée par L dans Ω, il faut et il suffit que, po… ↩ 2 08KT
Exemple Soit E un espace de Riesz, muni d’une topologie localement convexe, compatible avec sa structure d’espace vectoriel ordonné (Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., § 2, n° 7). Soit E'… 08KU

III. Mesures sur les espaces localement compacts

§ 1. Mesures sur les espaces localement compacts

Définition 1 Soient X un espace topologique, E un espace vectoriel sur R, ou l’espace barR. On appelle support d’une application f de X dans E et l’on note Supp (f) le plus petit ensemble fermé… 08L4
Proposition 1 Soient X un espace localement compact, E un espace localement convexe séparé. ↩ 3 08L5
Proposition 2 Soient X un espace localement compact, E un espace localement convexe séparé. (i) Si E est un espace de Fréchet, l’espace K(X; E) est tonnelé. (ii) Si X est paracompact, alors, pou… ↩ 4 08L6
Corollaire Soient X un espace localement compact et paracompact ; si E est un espace localement convexe quasi-complet, l’espace H(X; E) est quasi-complet. 08L7
Lemme 1 Soient X un espace localement compact, K une partie compacte de X, (Vₖ)_1 ≤ k ≤ n un recouvrement fini de K par des ensembles ouverts dans X. Alors il existe n applications continu… ↩ 19 08L8
Lemme 2 Soient X un espace localement compact, K une partie compacte de X, E un espace localement convexe, q une semi-norme continue sur E, Φ un ensemble équicontinu d’applications de X da… ↩ 2 08L9
Proposition 3 Soient X un espace localement compact, X' l’espace compact obtenu par adjonction à X d’un point à l’infini ω (Top. gén., chap. I, 3e éd., § 9, n° 8, th. 4), E un espace de Banach… ↩ 4 08LA
Proposition 4 Soient X un espace localement compact, E un espace localement convexe ; alors l’espace \mathscr{K}(X ; E) est partout dense dans \mathscr{C}(X ; E) pour la topologie de la converge… ↩ 1 08LB
Proposition 5 Soient X un espace localement compact, E un espace localement convexe réel (resp. complexe). Pour toute partie compacte K de X, l’espace vectoriel \mathscr{K}(X, K ; \mathbf{R}) \o… ↩ 3 08LC
Définition 2 On apelle mesure (ou mesure complexe) sur un espace localement compact X, toute forme linéaire continue sur K(X ; C). ↩ 3 08LD
Proposition 6 Soient X un espace localement compact; (K\alpha) une famille de parties compactes de X dont les intérieurs dotK_α forment un recouvrement de X. Pour qu’une forme linéaire μ sur K(X… ↩ 3 08LE
Proposition 7 Pour tout ensemble 𝔖 de parties bornées de K(X ; C) qui est un recouvrement de K(X ; C), l’espace M_𝔖(X ; C) est séparé et quasi-complet. 08LF
Remarque La donnée d’une mesure μ sur un espace localement compact X définit sur X (avec la topologie de X) une structure S. Soient X₁ un second ensemble, φ une application bijective de X s… 08LG
Exemple La mesure de Lebesgue sur R est invariante par toute translation du groupe additif R. En effet, pour toute fonction f ∈ K(R; C) et tout nombre réel a, on a, par la formule du chang… 08LH
Théorème 1 Toute forme linéaire positive sur l’espace de Riesz K(X; R) est une mesure réelle (positive) sur X. ↩ 7 08LI
Théorème 2 Toute mesure réelle sur un espace localement compact X est différence de deux mesures positives. ↩ 2 08LJ
Théorème 3 L’espace M(X; R) des mesures réelles sur un espace localement compact X est complètement réticulé. 08LK
Proposition 8 Si μ est une mesure sur X, on a, pour toute fonction h ∈ C(X; C), (18) |h · μ| ≤ |h|·|μ|. 08LL
Proposition 9 Soit V un sous-espace vectoriel de K(X; R) possédant la propriété suivante: (P) Pour toute partie compacte K de X, il existe une fonction f ∈ V telle que f geqslant 0 et que f(x) >… ↩ 3 08LM
Définition 3 On dit qu’une mesure sur un espace localement compact X est bornée si elle est continue dans K(X; C) pour la topologie de la convergence uniforme. ↩ 1 08LN
Exemple 1 La mesure εₐ définie par la masse unité en un point a ∈ X est bornée, et on a |εₐ| = 1. 08LO
Exemple 2 La mesure de Lebesgue sur R n’est pas bornée : en effet, pour tout entier n > 0, il existe une fonction f ∈ H(R; C), à valeurs dans [0, 1] et égale à 1 dans l’intervalle [-n, n] (n… 0E5X
Exemple 3 Sur la droite numérique R, l’application f ↦ ∫_-∞^+∞ (f(x) dx)/(1 + x²) est une mesure bornée, car pour toute fonction f ∈ H(R; C), on a | ∫_-∞^+∞ (f(x) dx)/(1 + x²) | leqslant |f|… 0E5Y
Proposition 10 Pour toute mesure μ sur X, on a |μ| = sup_0 leqslant f leqslant 1, f ∈ H(X; R) |μ|(f). ↩ 1 08LP
Corollaire 1 Pour toute mesure μ sur X, les normes de μ et de |μ| sont égales ; pour que μ soit bornée, il faut et il suffit que |μ| le soit. ↩ 2 08LQ
Corollaire 2 Pour toute mesure μ sur un espace compact X, on a 08LR
Corollaire 3 Pour toute mesure réelle μ sur un espace localement compact X, on a 08LS
Proposition 11 Si μ et ν sont deux mesures positives sur X, on a |μ + ν| = |μ| + |ν|. ↩ 1 08LT
Corollaire 1 Si μ et ν sont deux mesures positives sur X telles que μ ≤ ν, on a | μ | ≤ | ν |; en particulier, si ν est bornée, μ l’est aussi. En effet, on a | ν | = | μ | + | ν - μ |. 08LU
Corollaire 2 Pour toute mesure réelle μ sur X, on a | μ | = | μ⁺ | + | μ⁻ |. En effet (cor. 1 de la prop. 10), la norme de μ est égale à celle de |μ| = μ⁺ + μ⁻. 08LV
Proposition 12 Si μ est une mesure bornée sur X et g une application continue et bornée de X dans C, la mesure g.μ est bornée et l’on a | g.μ | ≤ | g | . | μ |. En effet, pour toute fonction f ∈… ↩ 1 08LW
Proposition 13 Soient X un espace localement compact, et, pour tout x ∈ X, soit εₓ la mesure de Dirac au point x. L’application x ↦ εₓ est un homéomorphisme de X sur un sous-espace de l’espace M(… ↩ 5 08LX
Proposition 14 Dans l’espace M(X; C) des mesures sur un espace localement compact X, le cône M₊(X) des mesures positives est complet pour la structure uniforme déduite de la topologie vague (et p… ↩ 1 08LY
Corollaire Si A et B sont deux parties vaguement fermées de M₊(X), A + B est vaguement fermé dans M₊(X) (donc aussi dans M(X; C)). 08LZ
Proposition 15 Soit H une partie de M(X; C). Les propriétés suivantes sont équivalentes: a) H est vaguement bornée. b) H est vaguement relativement compacte. ↩ 6 08M0
Corollaire 1 Soit v une mesure positive sur X; l’ensemble des mesures μ telles que |μ| ≤ v est vaguement compact. 08M1
Corollaire 2 L’ensemble des mesures μ telles que |μ| ≤ a (a nombre fini > 0 quelconque) est vaguement compact. ↩ 6 08M2
Corollaire 3 Si X est compact, l’ensemble des mesures positives μ sur X telles que |μ| = 1 est vaguement compact. ↩ 1 08M3
Corollaire 4 Dans l’espace M(X ; C), l’application μ ↦ |μ| est semi-continue inférieurement pour la topologie vague. ↩ 1 08M4
Proposition 16 Soient K une partie compacte de X, H une partie vaguement bornée de M(X ; C); alors la forme bilinéaire (f, μ) ↦ ⟨ f, μ ⟩ est continue dans K(X, K ; C) × H lorsqu’on munit K(X, K… 08M5
Proposition 17 Sur l’espace M(X ; C), on considère les topologies suivantes ; T₁: la topologie de la convergence simple dans un ensemble total T dans K(X ; C); T₂: la topologie vague; T₃: la topo… ↩ 4 08M6
Proposition 18 Sur le cône M₊(X), les topologies induites par les topologies suivantes coïncident: ↩ 1 08M7
Corollaire Si X est paracompact, les topologies induites sur M₊(X) par la topologie vague et par la topologie de la convergence compacte coïncident. 08M8

§ 2. Support d'une mesure

Proposition 1 Soit (Y_α)_α ∈ A un recouvrement ouvert de X, et supposons donnée, sur chaque sous-espace Y_α, une mesure μ_α, de sorte que pour tout couple (α, β), les restrictions de μ_α et de μ… ↩ 2 08MR
Corollaire (principe de localisation) Soient μ et ν deux mesures sur X, et soit (Y_α) une famille d’ensembles ouverts de X telle que, pour tout α, les restrictions à Y_α de μ et ν soient égales; alors les restrictions… ↩ 2 08MS
Définition 1 On appelle support d’une mesure μ sur un espace localement compact X et on note Supp(μ) l’ensemble fermé complémentaire du plus grand des ensembles ouverts de X dans lesquels la re… 08MT
Exemple 1 Pour qu’une mesure sur X soit nulle, il faut et il suffit que son support soit vide. 08MU
Exemple 2 Le support de la mesure de Lebesgue sur R est la droite R tout entière ; en effet, il n’est pas vide et est invariant par toute translation. 0E5Z
Exemple 3 Sur l’intervalle X = 0, 1 de R, considérons un ensemble dénombrable partout dense, rangé en une suite (aₙ), et soit μ la mesure définie par la masse 2⁻ⁿ placée au point aₙ pour tou… 0E60
Proposition 2 Le support d’une mesure μ est identique au support de la mesure |μ| ; si μ est réelle, son support est réunion des supports des mesures μ⁺ et μ⁻. ↩ 1 08MV
Proposition 3 Si μ et ν sont deux mesures sur un espace localement compact X, telles que |μ| ≤ |ν|, on a Supp(μ) ⊂ Supp(ν). 08MW
Proposition 4 Le support de la somme de deux mesures est contenu dans la réunion de leurs supports. 08MX
Proposition 5 Le support de la restriction d’une mesure μ à un ensemble ouvert U est la trace sur U du support de μ. ↩ 1 08MY
Proposition 6 L’ensemble des mesures sur un espace localement compact X, dont le support est contenu dans un ensemble fermé F, est un sous-espace vectoriel vaguement fermé de M(X; C). ↩ 3 08MZ
Proposition 7 Si Φ est un filtre sur M(X; C) tel que le support de μ s’éloigne indéfiniment suivant Φ, μ converge vaguement vers 0 suivant Φ. ↩ 1 08N0
Proposition 8 Soit μ une mesure sur un espace localement compact X. Pour toute fonction f ∈ K(X; C) qui est nulle dans Supp(μ), on a μ(f) = 0. ↩ 5 08N1
Corollaire 1 Si deux fonctions f, g de K(X; C) sont égales dans Supp\ (μ), on a μ(f) = μ(g). ↩ 1 08N2
Corollaire 2 Soit μ une mesure positive sur X; si f ∈ K(X; C) est telle que f(x) ≥ 0 dans Supp\ (μ), on a μ(f) ≥ 0. En effet, on a f = |f| dans S, donc μ(f) = μ(|f|) ≥ 0 par le cor. 1. ↩ 4 08N3
Corollaire 3 Soit μ une mesure bornée sur X; si f ∈ K(X; C) est telle que |f(x)| ≤ a dans Supp\ (μ), on a |μ(f)| ≤ a |μ|. En effet, on a Supp\ (|μ|) = Supp\ (μ), et si h est une application con… ↩ 2 08N4
Proposition 9 Soit μ une mesure positive sur X; si f est une fonction de K₊(X) telle que μ(f) = 0, f est nulle dans Supp\ (μ). Soit x un point de X tel que f(x) > 0; montrons que x n’appartient… ↩ 1 08N5
Proposition 10 Soit μ une mesure sur un espace localement compact X; pour toute fonction g ∈ C(X; C), le support de la mesure g.μ est l’adhérence T de l’ensemble des points x ∈ Supp\ (μ) tels que… ↩ 1 08N6
Corollaire Pour que la mesure g.μ soit nulle, il faut et il suffit que g soit nulle dans le support de μ. 08N7
Proposition 11 Toute mesure à support compact est bornée. ↩ 2 08N8
Proposition 12 Soient aᵢ (1 ≤ i ≤ n) des points distincts dans un espace localement compact X. Toute mesure sur X dont le support est contenu dans l’ensemble des aᵢ est une combinaison linéaire d… ↩ 1 08N9
Théorème 1 Toute mesure μ sur un espace localement compact X est vaguement adhérente à l’espace vectoriel V des mesures dont le support est fini et contenu dans Supp(μ). ↩ 3 08NA
Corollaire 1 Toute mesure bornée μ sur X est vaguement adhérente à l’ensemble convexe A des mesures dont le support est fini et contenu dans celui de μ, et dont la norme est ≤ | μ |. En outre… ↩ 2 08NB
Corollaire 2 Toute mesure bornée μ sur X est vaguement adhérente à l’ensemble des mesures dont le support est fini et contenu dans celui de μ et dont la norme est égale à | μ |. ↩ 1 08NC
Corollaire 3 Toute mesure bornée positive μ sur X est vaguement adhérente à l’ensemble convexe des mesures positives dont le support est fini et contenu dans celui de μ, et dont la norme est ég… ↩ 1 08ND
Corollaire 4 Dans l’espace M(X; C), l’ensemble des mesures ponctuelles est total pour la topologie de la convergence strictement compacte (§ 1, n° 10). ↩ 1 08NE
Proposition 13 Soit μ une mesure sur un espace localement compact X. Pour qu’un point x₀ appartienne à Supp(μ), il faut et il suffit que la mesure ponctuelle ε_x₀ soit vaguement adhérente à l’ens… ↩ 2 08NF
Corollaire Soit μ une mesure sur X. Pour qu’une mesure ν sur X soit vaguement adhérente à l’ensemble des mesures g · μ, où g parcourt K(X; C), il faut et il suffit que Supp(ν) ⊂ Supp(μ). 08NG
Proposition 14 Pour qu’une mesure μ sur un espace localement compact X soit une mesure discrète (§ 1, n° 3, Exemple 1), il faut et il suffit que Supp(μ) soit un sous-espace fermé discret de X. 08NH

§ 3. Intégrales de fonctions vectorielles continues

Définition 1 Pour toute fonction f ∈ tildeK(X; E), on appelle intégrale de f par rapport à μ et on note ∫ f dμ ou ∫ f(x) dμ(x), ou ∫ f μ, ou ∫ f(x) μ(x), l’élément de E'^* défini par ↩ 1 08NN
Exemple 1 Supposons que E soit de dimension finie sur C et séparé, de sorte que si (eᵢ)_1 ≤ i ≤ n est une base de E, l’application ↩ 1 08NO
Exemple 2 Prenons pour E l’espace M(X; C) des mesures sur X, muni de la topologie vague (§ 1, n° 9); le dual E' de E s’identifie alors canoniquement à l’espace K(X; C) (Esp. vect. top., chap… 0E61
Exemple 3 Si E est séparé, pour tout point y ∈ X et toute fonction f ∈ tildeK(X; E), on a ∫ f dε_y = f(y) car ∫ ⟨ f, z' ⟩ dε_y = ⟨ f(y), z' ⟩ par définition. 0E62
Remarque 1 Si E est un espace localement convexe, N l’adhérence de 0 dans E, de sorte que E₁ = E/N est l’espace localement convexe séparé associé à E, on sait que les duals E' et E'₁ sont ide… 08NP
Remarque 2 Soit E un espace localement convexe sur C, et soit E₀ l’espace localement convexe sur R sous-jacent à E; on sait que l’application z' ↦ Re z' qui à toute forme linéaire (complexe)… 08NQ
Proposition 1 L’application (f, μ) ↦ ∫ f dμ de tildeK(X; E) × M(X; C) dans E'^* est bilinéaire. La proposition résulte immédiatement de la déf. 1 du n° 1. ↩ 1 08NR
Proposition 2 Soit u une application linéaire continue de E dans un espace localement convexe F; pour toute fonction f ∈ tildeK(X; E), la fonction u ∘ f appartient à tildeK(X; F), et l’on a ∫ u(… ↩ 2 08NS
Proposition 3 Pour toute fonction g ∈ C(X; C) et toute fonction f ∈ tildeK(X; E), la fonction gf appartient à tildeK(X; E), et l’on a ∫ f d(g · μ) = ∫ fg dμ. En effet, pour tout z' ∈ E', on a ⟨… ↩ 1 08NT
Proposition 4 Soient μ une mesure positive sur X, S son support, f une fonction de K(X; E). On suppose E séparé, et on munit l’espace E'^* de la topologie faible σ(E'^*, E'). ↩ 3 08NU
Corollaire Soient μ une mesure positive sur X, f une application appartenant à K(X; E), D l’enveloppe fermée convexe de f(X) dans E'^*. Il existe un nombre a > 0 tel que l’on ait ∫ f dμ ∈ a… ↩ 2 08NV
Proposition 5 Supposons l’espace X compact, et soit f une application continue de X dans un espace localement convexe séparé E. L’enveloppe fermée convexe de f(X) dans E'^* (pour σ(E'^*, E')) es… ↩ 3 08NW
Proposition 6 Pour toute application continue et à support compact f de X dans un espace localement convexe séparé E, toute semi-norme continue q sur E et toute mesure μ sur X telle que ∫ f dμ ∈… ↩ 2 08NX
Proposition 7 Soient E un espace localement convexe séparé E, et f ∈ H(X; E). Si f(X) est contenu dans une partie convexe complète A de E, on a ∫ f dμ ∈ E. ↩ 8 08NY
Corollaire 1 Soit E un espace localement convexe séparé ; pour toute fonction f ∈ K(X; E), ∫ f dμ appartient au complété hatE de E. ↩ 2 08NZ
Corollaire 2 Si E est un espace localement convexe séparé quasi-complet, on a ∫ f dμ ∈ E pour toute fonction f ∈ K(X; E). ↩ 8 08O0
Proposition 8 Supposons E séparé; soit μ une mesure sur X. L’application f ↦ ∫ f dμ de K(X;E) dans hatE (n° 3, cor. 1 de la prop. 7) est l’unique application linéaire continue Φ telle que Φ(g.a)… ↩ 1 08O1
Proposition 9 Supposons E séparé: soit f une application continue à support compact de X dans E. Lorsqu’on munit l’espace M(X;C) de la topologie de la convergence strictement compacte (§ 1, n° 1… ↩ 2 08O2
Corollaire Les hypothèses et notations étant celles de la prop. 9, la restriction de l’application μ ↦ ∫ f dμ à l’ensemble M₊(X) des mesures positives, ou à une partie vaguement bornée B de M… 08O3

§ 4. Produits de mesures

Théorème 1 Soient X, Y deux espaces localement compacts, λ une mesure sur X, μ une mesure sur Y; il existe sur X × Y une mesure ν et une seule telle que, pour toute fonction g ∈ H(X; C) et to… ↩ 19 08O8
Lemme 1 Soient X, Y deux espaces localement compacts, K (resp. L) une partie compacte de X (resp. Y). (i) La restriction à H(X × Y, K × L; C) de la bijection canonique ω : F(X × Y; C) → F(… 0E63
Lemme 2 Les notations étant celles du lemme 1, pour toute fonction f ∈ K(X × Y, K × L ; C), la fonction y ↦ h(y) = ∫ f(x, y) dλ(x) appartient à K(Y, L ; C). ↩ 3 08OA
Définition 1 Etant données deux mesures λ, μ définies respectivement sur deux espaces localement compacts X, Y, on appelle mesure produit de λ par μ l’unique mesure v sur X × Y satisfaisant à l… 08OB
Théorème 2 Soient λ, μ deux mesures définies respectivement sur deux espaces localement compacts X, Y. Pour toute fonction f de K(X × Y; C), l’intégrale de f par rapport à la mesure produit v… ↩ 3 08OC
Exemple 1 La mesure produit des mesures de Dirac εₓ (x ∈ X) et ε_y (y ∈ Y) est la mesure de Dirac ε_(x, y). 08OD
Exemple 2 Prenons X = Y = R, et pour λ et μ la mesure de Lebesgue (§ 1, n° 3) sur R; leur produit est appelé la mesure de Lebesgue sur R²; l’intégrale d’une fonction f ∈ H(R²; C) par rapport… 08OE
Remarque Soit E un espace localement convexe séparé, et soit f une application de H(X × Y; E) telle que f(X × Y) soit contenu dans une partie convexe complète C de E. Pour tout y ∈ Y, l’int… 08OF
Proposition 1 Soient λ une mesure sur X, μ une mesure Y; si g ∈ C(X; C), h ∈ C(Y; C), on a (6) (g.λ) ⊗ (h.μ) = (g ⊗ h).(λ ⊗ μ). 08OG
Proposition 2 Le support du produit λ ⊗ μ est égal au produit du support de λ et du support de μ. ↩ 1 08OH
Proposition 3 Soient λ ∈ M(X; C), μ ∈ M(Y; C). On a |λ ⊗ μ| = |λ| ⊗ |μ|. (7) ↩ 9 08OI
Corollaire Soient λ ∈ M(X; R), μ ∈ M(Y; R). Alors on a begincases (λ ⊗ μ)⁺ = λ⁺ ⊗ μ⁺ + λ⁻ ⊗ μ⁻ \\ (λ ⊗ μ)⁻ = λ⁺ ⊗ μ⁻ + λ⁻ ⊗ μ⁺ endcases En effet, on a, en vertu de la prop. 3, (λ ⊗ μ)⁺ = 1/2(… 08OJ
Proposition 4 Soient λ ∈ M(X; C), μ ∈ M(Y; C). On a |λ ⊗ μ| = |λ| · |μ|, en convenant de remplacer le second membre par 0 lorsque l’un des facteurs est 0 et l’autre +∞. En particulier, si λ et μ… ↩ 2 08OK
Proposition 5 Pour toute mesure λ₀ ∈ M(X; C), l’application μ ↦ λ₀ ⊗ μ de M(Y; C) dans M(X × Y; C) est vaguement continue. 08OL
Proposition 6 Lorsqu’on munit M(X; C), M(Y; C) et M(X × Y; C) de la topologie de la convergence strictement compacte (§ 1, n° 10), l’application bilinéaire (λ, μ) ↦ λ ⊗ μ de M(X; C) × M(Y; C) da… 08OM
Proposition 7 (« associativité du produit de mesures ») Soit (Iₖ)_1 ≤ k ≤ r une partition de l’intervalle [1, n] dans N; on a 08ON
Définition 2 On dit qu’une famille (μ_α)_α ∈ I, où, pour tout α ∈ I, μ_α est une mesure sur X_α, est un système projectif de mesures si, pour α ≤ β, on a μ_α = (p_αβ)_*(μ_β). On dit qu’une mesu… 08OO
Proposition 8 (i) Si un système projectif (μ_α) de mesures sur les X_α admet une limite projective, celle-ci est unique. ↩ 2 08OP
Lemme 3 Soit F l’ensemble des fonctions f ∈ C(X ; C) ayant la propriété suivante: il existe un α ∈ I et une fonction f_α ∈ C(X_α ; C) tels que f = f_α ∘ p_α. Alors F est un sous-espace vec… ↩ 1 08OQ
Exemple Soit (X_λ)_λ ∈ L une famille d’espaces compacts; posons X = ∏_λ ∈ L X_λ, et pour toute partie finie J de L, posons X_J = ∏_λ ∈ J X_λ; désignons par pr_J : X → X_J, et pr_J,K : X_K… 08OR
Proposition 9 Supposons que toutes les mesures μ_λ soient positives et que la famille (μ_λ(1))_λ ∈ L soit multipliable dans R₊ (le produit pouvant avoir la valeur 0). Alors il existe sur X une m… ↩ 2 08OS
Corollaire Supposons vérifiées les conditions de la prop. 9, et soit (L_ρ)_ρ ∈ R une partition de L. Alors chacune des familles de mesures (μ_λ)_λ ∈ L_ρ admet une mesure produit, la famille d… 08OT

IV. Prolongement d'une mesure. Espaces $L^p$

§ 1. Intégrale supérieure d'une fonction positive

Lemme 1 Toute fonction f ∈ I₊ est l’enveloppe supérieure de l’ensemble (filtrant pour la relation leqslant) des fonctions g ∈ K₊ telles que g leqslant f. 0E64
Définition 1 Etant donnée une mesure positive μ sur X, on appelle intégrale supérieure d’une fonction f ∈ J₊ (par rapport à μ) le nombre positif (fini ou égal à +∞) ↩ 5 08P3
Exemple Soient X un espace discret, μ une mesure positive sur X, et posons α(x) = μ(φ_x) pour tout x ∈ X. Toute fonction numérique f définie dans X est alors continue; pour une telle fonct… 08P4
Proposition 1 Pour tout nombre réel fini α > 0 et toute fonction f ∈ J₊, on a ↩ 4 08P5
Proposition 2 Sur l’ensemble J₊, la fonction μ^* est croissante. ↩ 1 08P6
Théorème 1 Soit H un ensemble non vide de fonctions de J₊, filtrant pour la relation ≤. Pour toute mesure positive μ sur X, on a ↩ 12 08P7
Théorème 2 Si f₁ et f₂ sont deux fonctions de J₊, on a ↩ 4 08P8
Proposition 3 Pour toute famille (fᵢ)_i ∈ I de fonctions de I₊, on a 08P9
Proposition 4 Soit f une fonction de I₊. L’application μ ↦ μ^*(f) de l’ensemble M₊(X) des mesures positives sur X, dans la droite achevée barR, est semi-continue inférieurement pour la topologie… ↩ 2 08PA
Définition 2 Etant donnée une mesure positive μ sur X, pour tout ensemble ouvert G ⊂ X, on appelle mesure extérieure de G, et l’on note μ^*(G), l’intégrale supérieure μ^*(φ_G). ↩ 1 08PB
Proposition 5 La mesure extérieure d’un ensemble ouvert relativement compact G est finie. ↩ 1 08PC
Proposition 6 Si G₁ et G₂ sont deux ensembles ouverts tels que G₁ ⊂ G₂, on a μ^*(G₁) leqslant μ^*(G₂). ↩ 1 08PD
Proposition 7 Soit 𝔊 un ensemble de parties ouvertes de X, filtrant pour la relation ⊂; on a μ^*( ⋃_G ∈ 𝔊 G ) = sup_G ∈ 𝔊 μ^*(G). En effet, les fonctions φ_G forment un ensemble filtrant (pour l… ↩ 4 08PE
Proposition 8 Soit (Gᵢ)_i ∈ I une famille quelconque d’ensembles ouverts; on a μ^*( ⋃_i ∈ I Gᵢ ) leqslant ∑_i ∈ I μ^*(Gᵢ). En outre, si les Gᵢ sont deux à deux sans point commun, on a μ^*( ⋃_i ∈… ↩ 2 08PF
Exemple Prenons X = R, et soit μ la mesure de Lebesgue sur R (chap. III, § 1, n° 3); nous allons déterminer la mesure extérieure d’un intervalle ouvert G = ]a, b[ (-∞ ≤ a < b ≤ +∞). Suppos… 08PG
Proposition 9 Pour la mesure de Lebesgue sur R, la mesure extérieure d’un ensemble ouvert dans R est égale à la somme des longueurs de ses composantes connexes. ↩ 2 08PH
Définition 3 Soit μ une mesure positive sur X; pour toute fonction numérique f ≥ 0 (finie ou non) définie dans X, on appelle intégrale supérieure de f (par rapport à μ) le nombre positif (fini… ↩ 4 08PI
Exemple Si X est un espace discret, μ une mesure positive sur X et si l’on pose α(x) = μ(φ_x), on a μ^*(f) = ∑_x ∈ X α(x)f(x) pour toute fonction numérique f ≥ 0 définie dans X, puisqu’une… 08PJ
Proposition 10 Si f et g sont deux fonctions numériques ≥ 0 définies dans X et telles que f ≤ g, on a μ^*(f) ≤ μ^*(g). 08PK
Proposition 11 Pour tout nombre réel fini α > 0 et toute fonction numérique f ≥ 0 définie dans X, on a ↩ 1 08PL
Proposition 12 Si f₁ et f₂ sont deux fonctions numériques ≥ 0 définies dans X, on a ↩ 1 08PM
Théorème 3 Pour toute suite croissante (fₙ) de fonctions numériques geqslant 0 définies dans E, on a ↩ 8 08PN
Corollaire Soit 𝔉 un ensemble de fonctions numériques geqslant 0, filtrant pour la relation leqslant et tel qu’il existe une partie cofinale dénombrable 𝔊 de 𝔉 (Ens., chap. III, § 1, n° 7); o… ↩ 1 08PO
Remarque 1 La relation (11) ne subsiste plus nécessairement lorsque 𝔉 est un ensemble filtrant non dénombrable de fonctions geqslant 0 non semi-continues inférieurement. Prenons par exemple X… ↩ 2 08PP
Remarque 2 On observera que pour une suite décroissante (fₙ) de fonctions geqslant 0, on n’a pas nécessairement μ^*(infₙ fₙ) = infₙ μ^*(fₙ), même si μ^*(fₙ) < +∞ pour tout n (cf. § 4, exerc… 0E65
Proposition 13 Pour tout suite (fₙ) de fonctions numériques geqslant 0, définies dans X, on a μ^*( ∑ₙ₌₁^∞ fₙ ) leqslant ∑ₙ₌₁^∞ μ^*(fₙ). Il suffit d’appliquer la relation (10) à la suite croissant… ↩ 2 08PQ
Proposition 14 (lemme de Fatou) Pour toute suite (fₙ) de fonctions numériques geqslant 0, on a μ^*(lim_n → ∞ inf fₙ) leqslant lim_n → ∞ inf μ^*(fₙ). 08PR
Corollaire Soit (fₙ) une suite de fonctions numériques ≥ 0 telle que, pour tout x ∈ X, lim_n → ∞ fₙ(x) = +∞. Si la mesure μ n’est pas nulle, on a lim_n → ∞ μ^*(fₙ) = +∞. 08PS
Proposition 15 Pour tout scalaire α > 0 et tout couple de mesures positives μ, ν sur X, on a (α μ)^* = α μ^* (μ + ν)^* = μ^* + ν^*. En outre, la relation μ ≤ ν entraîne μ^* ≤ ν^*. ↩ 3 08PT
Définition 4 Soit μ une mesure positive sur X; pour toute partie A de X, on appelle mesure extérieure de A (pour la mesure μ), et on note μ^*(A), l’intégrale supérieure μ^*(φ_A). 08PU
Proposition 16 Si A et B sont deux parties de X telles que A ⊂ B, on a μ^*(A) ≤ μ^*(B). 08PV
Corollaire Tout ensemble relativement compact dans X est de mesure extérieure finie. En effet, un tel ensemble est contenu dans un ensemble ouvert relativement compact (Top. gén., chap. I, 3e… 08PW
Proposition 17 Si (Aₙ) est une suite croissante de parties de X, on a μ^*( ⋃ₙ Aₙ ) = supₙ μ^*(Aₙ). 08PX
Proposition 18 Pour toute suite (Aₙ) de parties de X, on a μ^*( ⋃ₙ Aₙ ) ≤ ∑ₙ μ^*(Aₙ). Ces propositions sont les traductions des prop. 10 et 13 et du th. 3 du n° 3 pour les fonctions caractéristiq… ↩ 2 08PY
Proposition 19 Pour toute partie A de X, μ^*(A) est la borne inférieure des mesures extérieures des ensembles ouverts contenant A. La proposition est évidente si μ^*(A) = +∞. Dans le cas contrair… ↩ 3 08PZ

§ 2. Fonctions et ensembles négligeables

Définition 1 Etant donnée une mesure μ sur un espace localement compact X, on dit qu’une fonction numérique f ≥ 0 (finie ou non) définie dans X est négligeable pour la mesure μ si l’on a |μ|^*(… ↩ 1 08Q8
Proposition 1 Si f est une fonction négligeable geqslant 0, toute fonction numérique g telle que 0 leqslant g leqslant α f (α scalaire > 0) est négligeable. En effet, on a 0 leqslant |μ|^*(g) le… 08Q9
Proposition 2 La somme et l’enveloppe supérieure d’une suite (fₙ) de fonctions négligeables geqslant 0 sont négligeables. En effet, on a |μ|^*( ∑ₙ fₙ ) leqslant ∑ₙ |μ|^*(fₙ) = 0 (§ 1, no 3, prop… ↩ 1 08QA
Proposition 3 Pour qu’une fonction f geqslant 0, semi-continue inférieurement dans X, soit négligeable, il faut et il suffit que f soit nulle dans le support de μ. En effet, si |μ|^*(f) = 0, on… ↩ 1 08QB
Définition 2 Etant donnée une mesure μ sur un espace localement compact X, on dit qu’une partie A de X est négligeable pour la mesure μ si |μ|^*(A) = 0. On dit encore que A est μ-négligeable, o… 08QC
Proposition 4 Toute partie d’un ensemble négligeable est négligeable ; toute réunion dénombrable d’ensembles négligeables est négligeables. C’est une conséquence immédiate des prop. 1 et 2. ↩ 1 08QD
Exemple Soit μ la mesure de Lebesgue sur R. Tout ensemble x₀ réduit à un point est négligeable (cf. § 1, no 3, Remarque 1). Il en résulte que toute partie dénombrable de R est négligeable… 08QE
Proposition 5 Le complémentaire du support S de μ est le plus grand ensemble ouvert négligeable dans X. ↩ 4 08QF
Théorème 1 Pour qu’une fonction numérique (finie ou non) f geqslant 0 définie dans X soit négligeable, il faut et il suffit que f(x) = 0 presque partout. ↩ 4 08QG
Proposition 6 Si f et g sont deux fonctions geqslant 0 (finies ou non) définies dans X et telles que f(x) = g(x) presque partout, on a |μ|^*(f) = |μ|^*(g). ↩ 5 08QH
Proposition 7 Si f est une fonction geqslant 0 définie dans X et telle que |μ|^*(f) < +∞, f(x) est fini presque partout. ↩ 2 08QI
Proposition 8 Soit (Fn) une famille dénombrable (finie ou infinie) d’ensembles. Pour tout indice n, soient fn, gn deux applications équivalentes de X dans Fn; alors il existe un ensemble néglige… ↩ 1 08QJ
Corollaire Si \varphi est une application de \prodn Fn dans un ensemble G, les applications \varphi((fn)) et \varphi((gn)) de X dans G sont équivalentes. 08QK
Proposition 9 Soient f et g deux applications continues de X dans un espace topologique séparé F; pour que f et g soient équivalentes, il faut et il suffit que f(x) = g(x) en tout point du suppo… ↩ 1 08QL
Proposition 10 Soit F un espace localement convexe séparé sur R tel qu’il existe dans le dual F' de F une suite (a'ₙ) partout dense pour la topologie faible σ(F', F) (Esp. vect. top., chap. II, 2… 08QM

§ 3. Les espaces $L^p$

Proposition 1 Pour tout nombre réel fini p ≥ 1 et tout couple de fonctions positives f, g (finies ou non) définies dans X, on a (1) (|μ|^*((f + g)ᵖ))^1/p ≤ (|μ|^*(fᵖ))^1/p + (|μ|^*(gᵖ))^1/p (iné… ↩ 1 08QN
Définition 1 Soient X un espace localement compact, μ une mesure sur X. Pour toute application f de X dans un espace de Banach F, et tout nombre p tel que 1 ≤ p < +∞, on désigne par Nₚ(f, μ), o… ↩ 1 08QO
Proposition 2 Si f et g sont deux applications de X dans F, et α un scalaire quelconque ≠ 0, on a, pour 1 ≤ p < +∞, ↩ 1 08QP
Théorème 1 (théorème de convexité dénombrable) Soit (fₙ) une suite de fonctions ≥ 0 (finies ou non) définies dans X. Pour 1 ≤ p < +∞, on a ↩ 2 08QQ
Proposition 3 Si f et g sont deux applications équivalentes de X dans un espace de Banach F, on a Nₚ(f - g) = 0 pour 1 ≤ p < +∞; réciproquement, si Nₚ(f - g) = 0 pour une valeur de p ≥ 1, f et g… ↩ 2 08QR
Remarque Soit F un espace de Banach sur le corps C des nombres complexes; alors, pour toute fonction f ∈ F_Fᵖ et tout nombre complexe α, α f appartient à F_Fᵖ, et l’on a Nₚ(α f) = |α| Nₚ(f)… 08QS
Proposition 4 Soit B une base de filtre sur F_Fᵖ. On suppose qu’il existe un ensemble compact K ⊂ X tel que, pour toute partie M ∈ B, toutes les applications f ∈ M aient leur support dans K. Dan… ↩ 4 08QT
Proposition 5 L’espace localement convexe F_Fᵖ est complet. ↩ 3 08QU
Proposition 6 Soit (fₙ) une suite de fonctions de F_Fᵖ, telle que ∑ₙ₌₁^∞ Nₚ(fₙ) < +∞. Dans ces conditions, la série de terme général fₙ(x) ∈ F est absolument convergente presque partout dans X… ↩ 4 08QV
Définition 2 Etant donnés un espace localement compact X, une mesure μ sur X et un espace de Banach F, on désigne par L_Fᵖ(X, μ) (ou simplement L_Fᵖ(μ), ou L_Fᵖ) l’adhérence, dans l’espace loca… ↩ 4 08QW
Remarque 1 Comme on l’a déjà signalé (§ 2, n° 5) les fonctions de puissance p-ième intégrable, à valeurs dans F, ne forment pas un espace vectoriel en général. 08QX
Remarque 2 En général, l’espace F_Fᵖ est distinct du sous-espace L_Fᵖ (§ 4, exerc. 8). 08QY
Proposition 7 Pour qu’une fonction f appartienne à L_Fᵖ, il faut et il suffit que, pour tout ε > 0, il existe une fonction g, continue et à support compact, telle que Nₚ(f - g) ≤ ε. ↩ 3 08QZ
Proposition 8 Soit f une fonction numérique (finie ou non) définie presque partout; si, pour tout ε > 0, il existe deux fonctions g, h de puissance p-ième intégrable, telles que g ≤ f ≤ h presqu… ↩ 2 08R0
Théorème 2 L’espace L_Fᵖ est complet; l’espace L_Fᵖ est un espace de Banach. ↩ 1 08R1
Théorème 3 Soit (fₙ) une suite de Cauchy dans l’espace L_Fᵖ; il existe une suite (f_nₖ) extraite de (fₙ), ayant les propriétés suivantes : 1° la série de terme général Nₚ(f_nₖ₊₁ - f_nₖ) est c… ↩ 8 08R2
Corollaire 1 Si une suite de Cauchy (fₙ) dans l’espace L_Fᵖ est telle que la suite (fₙ(x)) converge presque partout vers f(x), f est de puissance p-ième intégrable, et la suite (fₙ) converge en… ↩ 2 08R3
Corollaire 2 Soit E un ensemble partout dense dans L_Fᵖ. Pour toute fonction f ∈ L_Fᵖ, il existe une suite (gₙ) de fonctions de E possédant les propriétés suivantes : 08R4
Remarques 1) Une suite de Cauchy (fₙ) dans L_Fᵖ peut être telle que la suite (fₙ(x)) ne soit convergente en aucun point de X (exerc. 1). 2) Si f appartient à L_Fᵖ, il n’est pas toujours poss… 08R5
Théorème 4 Soient F et G deux espaces de Banach, u une application linéaire continue de F dans G. Pour toute fonction f ∈ L_Fᵖ, la fonction composée u ∘ f appartient à L_Gᵖ. En effet, soit f… ↩ 2 08R7
Corollaire 1 Soit a' une forme linéaire continue sur F; si f ∈ L_Fᵖ, la fonction numérique x ↦ ⟨ f(x), a' ⟩ (qu’on note ⟨ f, a' ⟩) appartient à Lᵖ. 08R8
Corollaire 2 Etant donnés n points aₖ de F (1 ≤ k ≤ n), et n fonctions numériques fₖ (1 ≤ k ≤ n) appartenant à Lᵖ, la fonction f = ∑ₖ₌₁ⁿ aₖ fₖ appartient à L_Fᵖ. Cela résulte de ce que l’applic… 08R9
Proposition 9 Soit F un espace vectoriel de dimension n sur R, et soit (eₖ)_1 ≤ k ≤ n une base de F. Pour qu’une fonction f = ∑ₖ₌₁ⁿ eₖ fₖ appartienne à L_Fᵖ, il faut et il suffit que chacune des… 08RA
Proposition 10 Dans l’espace L_Fᵖ, le sous-espace vectoriel formé des combinaisons linéaires (finies) ∑ₖ aₖ fₖ, où aₖ ∈ F et où les fₖ sont des fonctions numériques continues à support compact, e… ↩ 2 08RB
Proposition 11 Si une fonction f appartient à L_Fᵖ, la fonction |f| appartient à Lᵖ, et l’application f ↦ |f| de L_Fᵖ dans Lᵖ est uniformément continue (pour la topologie de la convergence en moy… ↩ 6 08RC
Proposition 12 Pour qu’une fonction numérique f appartienne à Lᵖ, il faut et il suffit que chacune des fonctions f⁺ et f⁻ appartienne à Lᵖ. 08RD
Corollaire L’enveloppe supérieure (resp. inférieure) d’une famille finie de fonctions de Lᵖ appartient à Lᵖ. ↩ 3 08RE
Proposition 13 Dans l’espace de Riesz Lᵖ, muni de la topologie définie par la norme | tildef |ₚ, l’application tildef ↦ |tildef| est uniformément continue, et l’ensemble des éléments tildef ≥ 0 e… 08RF
Proposition 14 Soit H une partie de l’espace de Riesz Lᵖ, formée de classes ≥ 0, et filtrante pour la relation ≤. Pour que H ait une borne supérieure dans Lᵖ, il faut et il suffit que sup_tildef… ↩ 4 08RG
Lemme Si f et g sont deux fonctions de Lᵖ telles que 0 ≤ f ≤ g, on a 08RH
Corollaire 1 Si tildeg est la borne supérieure de H dans Lᵖ, on a 08RI
Corollaire 2 L’espace de Riesz Lᵖ est complètement réticulé. 08RJ
Théorème 5 Soit (fₙ) une suite croissante de fonctions geqslant 0 de Lᵖ. Pour que l’enveloppe supérieure f de cette suite soit de puissance p-ième intégrable, il faut et il suffit que supₙ Nₚ… ↩ 3 08RK
Corollaire 1 Soit (fₙ) une suite décroissante de fonctions geqslant 0 de Lᵖ; l’enveloppe inférieure f de cette suite appartient à Lᵖ, la suite (fₙ) converge en moyenne d’ordre p vers f, et l’on… ↩ 1 08RL
Corollaire 2 Soit (fₙ) une suite de fonctions de Lᵖ. Pour que l’enveloppe supérieure f de la suite (fₙ) soit de puissance p-ième intégrable, il faut et il suffit qu’il existe une fonction g ≥ 0… ↩ 2 08RM
Corollaire 3 Soient A un ensemble dénombrable, F un filtre sur A ayant une base dénombrable, (f_α)_α ∈ A une famille de fonctions ≥ 0 de Lᵖ. On suppose qu’il existe une fonction g ≥ 0 telle que… ↩ 1 08RN
Théorème 6 (Lebesgue) Soient F un espace de Banach, (fₙ) une suite de fonctions de L_Fᵖ telles que : 1° la suite (fₙ(x)) converge presque partout vers une limite f(x) ∈ F; 2° il existe une fonction numé… ↩ 4 08RO
Corollaire Soit A un ensemble d’indices, filtré par un filtre 𝔉 ayant une base dénombrable. Si (f_α)_α ∈ A est une famille de fonctions de L_Fᵖ qui, suivant le filtre 𝔉, convergent simplement… ↩ 2 08RP
Remarque 1 Le th. 6 ne subsiste pas si on remplace l’hypothèse |fₙ| ≤ g (avec Nₚ(g) < +∞) par l’hypothèse plus faible supₙ Nₚ(fₙ) < +∞. Supposons par exemple que μ soit la mesure de Lebesgue… 08RQ
Remarque 2 Le cor. du th. 6 ne subsiste pas si on ne suppose plus que le filtre F ait une base dénombrable (cf. § 1, no 3, Remarque 1 suivant le th. 3). 08RR
Théorème 7 Soient p et q deux nombres réels tels que 1 ≤ p < + ∞, 1 ≤ q < + ∞. Si une fonction f appartient à L_Fᵖ, la fonction |f|^(p/q) - 1 . f appartient à L_F^q, et réciproquement. 08RS
Corollaire 1 Pour qu’une fonction f appartienne à L_Fᵖ, il faut et il suffit que la fonction |f|ᵖ⁻¹ · f appartienne à L_F¹. ↩ 1 08RT
Corollaire 2 Pour qu’une fonction numérique positive f appartienne à Lᵖ, il faut et il suffit que fᵖ appartienne à L¹. 08RU

§ 4. Fonctions et ensembles intégrables

Définition 1 On dit que les fonctions appartenant à L_F¹(X, μ) sont intégrables pour la mesure μ (ou encore, sont μ-intégrables). L’intégrale (par rapport à μ) de la fonction intégrable f est p… 08RY
Exemple Soient X un espace discret, μ une mesure sur X et posons α(x) = μ(φ_x) pour tout x ∈ X. Les fonctions de F_F¹ sont alors intégrables, autrement dit, L_F¹ = F_F¹; en outre, pour tou… 08RZ
Proposition 1 Pour toute fonction numérique μ-intégrable positive f, on a ↩ 3 08S0
Corollaire 1 Pour toute fonction intégrable f ∈ L_F¹, |f| est intégrable, et l’on a 08S1
Corollaire 2 Pour toute fonction f ∈ L_Fᵖ, la fonction numérique |f|ᵖ est intégrable, et l’on a 08S2
Proposition 2 Pour toute fonction intégrable f, on a ↩ 1 08S3
Théorème 1 Soient F et G deux espaces de Banach, u une application linéaire continue de F dans G. Pour toute fonction intégrable f à valeurs dans F, u ∘ f est intégrable et l’on a ↩ 5 08S4
Corollaire 1 Soit a' une forme linéaire continue sur F. Si f est une fonction intégrable à valeurs dans F, la fonction numérique ⟨ f, a' ⟩ est intégrable, et l’on a ∫ ⟨ f(x), a' ⟩ dμ(x) = ⟨ ∫ f… ↩ 1 08S5
Corollaire 2 Si les aₖ (1 ≤ k ≤ n) sont des vecteurs de F, et les fₖ (1 ≤ k ≤ n) des fonctions numériques intégrables, la fonction f = ∑ₖ₌₁ⁿ aₖ fₖ est intégrable, et l’on a ∫ ( ∑ₖ₌₁ⁿ aₖ fₖ ) dμ… 08S6
Proposition 3 Soit B une base de filtre sur L_F¹. On suppose qu’il existe un ensemble compact K ⊂ X tel que, pour toute partie M ∈ B, toutes les fonctions f ∈ M aient leur support dans K. Dans c… ↩ 2 08S7
Proposition 4 Soit (fₙ) une suite croissante (resp. décroissante) de fonctions numériques intégrables. Pour que l’enveloppe supérieure (resp. inférieure) f de cette suite soit intégrable, il fau… ↩ 7 08S8
Théorème 2 Soit A un ensemble d’indices, filtré par un filtre 𝔉 à base dénombrable. Soit (f_α)_α ∈ A une famille de fonctions intégrables qui, suivant le filtre 𝔉, convergent simplement presq… ↩ 6 08S9
Corollaire 1 Soient Ω un espace topologique, t₀ un point de Ω admettant un système fondamental dénombrable de voisinages, f une application de X × Ω dans F, ayant les propriétés suivantes: a) p… ↩ 1 08SA
Corollaire 2 Soit (fₙ) une suite de fonctions intégrables telle que la série de terme général fₙ(x) converge presque partout; s’il existe une fonction g geqslant 0 telle que ∫^* g d|μ| < +∞, et… ↩ 1 08SB
Proposition 5 Pour qu’une fonction numérique f ≥ 0 (finie ou non) semi-continue inférieurement dans E, soit intégrable, il faut et il suffit que ∫^* f d|μ| < +∞. ↩ 3 08SC
Corollaire 1 Pour qu’une fonction numérique finie f ≥ 0, semi-continue supérieurement dans X, soit intégrable, il faut et il suffit que ∫^* f d|μ| < +∞. ↩ 5 08SD
Corollaire 2 Soit H un ensemble non vide, filtrant pour la relation ≤ (resp. ≥) de fonctions numériques semi-continues inférieurement (resp. supérieurement) et intégrables; si sup_f ∈ H ∫ f d|μ… ↩ 5 08SE
Corollaire 3 Soit f une fonction numérique bornée, semi-continue supérieurement dans X et à support compact. Alors l’application μ ↦ ∫ f dμ est semi-continue supérieurement dans M₊(X) pour la t… ↩ 1 08SF
Théorème 3 Pour qu’une fonction numérique f ≥ 0 soit intégrable, il faut et il suffit que, pour tout ε > 0, il existe une fonction semi-continue supérieurement g ≥ 0, à valeurs finies et à su… ↩ 3 08SG
Corollaire Pour toute fonction numérique intégrable f (resp. intégrable et ≥ 0), il existe une suite croissante (gₙ) de fonctions semi-continues supérieurement et intégrables (resp. à valeurs… ↩ 1 08SH
Exemple Pour toute mesure positive μ sur R, toute fonction en escalier à support compact est μ-intégrable; en effet, une fonction caractéristique d’intervalle ouvert (resp. fermé) est semi… 08SI
Remarque 1 Soit f une fonction réglée dans R et intégrable pour la mesure de Lebesgue μ; alors |f| est aussi intégrable (no 2, cor. 1 de la prop. 1), et si l’on pose Iₙ = (-n, +n), |f| est l’… 08SJ
Remarque 2 Appliquée à la mesure de Lebesgue et aux fonctions réglées, la prop. 3 du n° 3 redonne le théorème de passage à la limite pour les intégrales de fonctions réglées dans un intervall… 08SK
Définition 2 On dit qu’une partie A d’un espace localement compact X est intégrable pour une mesure μ sur X (ou encore est μ-intégrable) si la fonction caractéristique φ_A de A est intégrable… 08SL
Proposition 6 La réunion d’une famille finie (Aᵢ)_1 ≤ i ≤ n d’ensembles intégrables est intégrable, et on a |μ|( ⋃ᵢ₌₁ⁿ Aᵢ ) ≤ ∑ᵢ₌₁ⁿ |μ|(Aᵢ). En outre, si les Aᵢ sont deux à deux sans point commu… 08SM
Proposition 7 1° Si A et B sont deux ensembles intégrables tels que B ⊂ A, l’ensemble C = A - B est intégrable, et on a μ(C) = μ(A) - μ(B). 2° L’intersection d’une famille dénombrable d’ensemble… ↩ 2 08SN
Corollaire Si (Aₙ) est une suite décroissante d’ensembles intégrables, on a μ( ⋂ₙ Aₙ ) = lim_n → ∞ μ(Aₙ). ↩ 4 08SO
Proposition 8 Soit (Aₙ) une suite croissante d’ensembles intégrables; pour que la réunion A = ⋃ₙ Aₙ soit intégrable, il faut et il suffit que supₙ |μ|(Aₙ) < +∞; on a alors μ(A) = lim_n → ∞ μ(Aₙ)… ↩ 1 08SP
Corollaire Soit (Aₙ) une suite d’ensembles intégrables telle que ∑ₙ₌₁^∞ |μ|(Aₙ) < +∞; la réunion A = ⋃ₙ Aₙ est intégrable, et on a (17) |μ|(⋃ₙ Aₙ) ≤ ∑ₙ₌₁^∞ |μ|(Aₙ). En effet, on a φ_A = supₙ… ↩ 2 08SQ
Proposition 9 Soit (Aₙ) une suite d’ensembles intégrables, deux à deux sans point commun, et telle que ∑ₙ₌₁^∞ |μ|(Aₙ) < +∞; on a alors (18) μ(⋃ₙ Aₙ) = ∑ₙ₌₁^∞ μ(Aₙ). En effet, si A = ⋃ₙ Aₙ, on a… 08SR
Proposition 10 Pour qu’un ensemble A ouvert (resp. fermé) dans X soit intégrable, il faut et il suffit que |μ|^*(A) < +∞. Comme φ_A est alors semi-continue inférieurement (resp. supérieurement)… ↩ 3 08SS
Corollaire 1 Tout ensemble compact est intégrable; tout ensemble ouvert relativement compact est intégrable. 08ST
Corollaire 2 Pour toute mesure positive μ sur X, A ↦ μ^*(A) est une capacité sur X (cf. Top. gén., chap. IX, 2e éd., § 6, n° 9, Exemple). 08SU
Exemple Pour la mesure de Lebesgue μ sur R, il résulte de la prop. 10 que tout intervalle ouvert borné ]a, b[ est intégrable et a pour mesure b - a (§ 1, n° 2, prop. 9). Comme tout ensembl… 08SV
Proposition 11 Soit G un ensemble, filtrant pour la relation ⊂, d’ensembles ouverts intégrables de X; pour que A = ⋃_G ∈ G G soit intégrable, il faut et il suffit que sup_G ∈ G |μ|(G) < +∞, et l’… ↩ 1 08SW
Corollaire Soit 𝔉 un ensemble, filtrant pour la relation ⊃, d’ensembles fermés intégrables dans E; l’ensemble fermé B = ⋂_H ∈ 𝔉 H est intégrable, et l’on a μ(B) = lim_𝔉 μ(H) et |μ|(B) = inf_H… 08SX
Théorème 4 Pour qu’un ensemble A soit intégrable, il faut et il suffit que, pour tout ε > 0, il existe un ensemble ouvert intégrable G et un ensemble compact K, tels que K ⊂ A ⊂ G et que ↩ 10 08SY
Corollaire 1 Pour qu’un ensemble A soit intégrable, il faut et il suffit que, pour tout ε > 0, il existe un ensemble compact K ⊂ A tel que |μ|^*(A - K) ≤ ε. La mesure |μ|(A) est alors la borne… ↩ 1 08SZ
Corollaire 2 Pour tout ensemble intégrable A, il existe : ↩ 3 08T0
Corollaire 3 Tout ensemble de mesure extérieure finie est contenu dans la réunion d’un ensemble négligeable et d’une famille dénombrable d’ensembles compacts, deux à deux sans point commun, don… ↩ 2 08T1
Corollaire 4 Pour tout ensemble ouvert U dans E, |μ|^*(U) est la borne supérieure des mesures |μ|(K) des ensembles compacts K ⊂ U. ↩ 2 08T2
Proposition 12 Pour qu’une mesure μ sur un espace localement compact X soit bornée (chap. III, § 1, n° 8), il faut et il suffit que X soit un ensemble intégrable pour μ (ou, ce qui revient au mêm… ↩ 3 08T3
Proposition 13 Soit μ une mesure bornée sur X. Soit B une base de filtre sur L_Fᵖ, ayant les propriétés suivantes : 1° il existe un ensemble M ∈ B tel que les fonctions f ∈ M soient uniformément… 08T4
Corollaire Pour une mesure μ bornée sur X, toute application f continue et bornée de X dans F appartient à chacun des L_Fᵖ (1 ≤ p < +∞). En effet, pour toute partie compacte K de X, soit M_K… 08T5
Proposition 14 Soient X un espace localement compact, F un espace de Banach non réduit à 0 ; on munit l’espace C(X; F) de toutes les applications continues de X dans F de la topologie de la conve… ↩ 1 08T6
Proposition 15 Soient X un espace localement compact et, pour tout x ∈ X, soit εₓ la mesure de Dirac au point x. L’application x ↦ εₓ de X dans C'(X; C) est continue pour la topologie de la conve… ↩ 2 08T7
Proposition 16 Soient K une partie compacte de X, L l’espace vectoriel des mesures μ sur X de support contenu dans K. Sur L, les topologies induites par la topologie T de la convergence compacte… ↩ 1 08T8
Corollaire 1 Pour toute partie compacte K de X et tout nombre a > 0, l’ensemble B des mesures μ sur X telles que Supp(μ) ⊂ K et | μ | ≤ a est une partie équicontinue de C'(X; C), qui est compac… 08T9
Corollaire 2 Toute mesure à support compact (resp. positive à support compact) μ est adhérente dans C'(X; C), pour la topologie T de la convergence compacte, à l’ensemble des mesures (resp. des… 08TA
Définition 3 On dit qu’un ensemble non vide Φ de parties d’un ensemble A est un clan s’il existe une algèbre A (sur R) formée de fonctions numériques finies, définies dans A, telle que les rela… 08TB
Exemple Si μ est une mesure sur un espace localement compact X, les combinaisons linéaires à coefficients réels de fonctions caractéristiques d’ensembles intégrables forment une algèbre A… 08TC
Proposition 17 Pour qu’un ensemble non vide Φ de parties d’un ensemble A soit un clan, il faut et il suffit qu’il satisfasse à la condition suivante: (CL) Pour tout couple d’ensembles M, N appart… ↩ 1 08TD
Lemme 1 Soit Φ un ensemble non vide de parties de A satisfaisant à l’axiome (CL). Etant donnée une famille finie (Mᵢ)_1 ≤ i ≤ n d’ensembles de Φ, il existe une famille finie (Nⱼ)_1 ≤ j ≤ m… 0E66
Définition 4 Etant donné un clan Φ de parties d’un ensemble A, et un espace de Banach F, on appelle fonction étagée sur les ensembles de Φ (ou fonction Φ-étagée), à valeurs dans F, toute foncti… ↩ 3 08TF
Remarque On voit aisément que la déf. 4 est équivalente à la suivante : une fonction Φ-étagée à valeurs dans F est une fonction f qui ne prend qu’un nombre fini de valeurs et qui est telle… 08TG
Définition 5 On dit qu’une fonction numérique finie λ, définie dans un clan Φ de parties d’un ensemble A, est additive, si, pour tout couple d’ensembles M, N sans point commun et appartenant à… ↩ 1 08TH
Proposition 18 Soit λ une fonction additive d’ensemble, définie dans un clan Φ. Il existe une forme linéaire et une seule (notée encore λ) sur l’espace vectoriel E(Φ) des fonctions Φ-étagées numé… ↩ 1 08TI
Proposition 19 Soient X un espace localement compact, Φ un clan de parties de X, contenant l’ensemble des parties compactes de X. Pour toute application continue f de X dans un espace de Banach F… ↩ 3 08TJ
Corollaire 1 Soit μ une mesure positive sur X; l’espace E_F(Φ) est partout dense dans chacun des espaces L_Fᵖ (1 leqslant p < +∞). ↩ 2 08TK
Corollaire 2 Pour toute partie fermée S de X, toute fonction f ∈ K(X, S; C) est limite uniforme de combinaisons linéaires ∑ᵢ λᵢ φ_Kᵢ, où les λᵢ appartiennent à C et les Kᵢ sont des parties comp… ↩ 1 08TL
Corollaire 3 Si μ et ν sont deux mesures sur X telles que μ(K) = ν(K) pour toute partie compacte K de X, on a μ = ν. En effet, il résulte du cor. 2 et de la définition d’une mesure que pour tou… ↩ 2 08TM
Théorème 5 Soit Φ un ensemble de parties d’un espace localement compact X, satisfaisant à (PC_I) et (PC_II), et soit α une fonction numérique finie, définie dans Φ, satisfaisant aux condition… ↩ 2 08TN
Corollaire Soient X un espace localement compact à base dénombrable, Ψ l’ensemble des parties boréliennes de X, β une application de Ψ dans [0, +∞] satisfaisant aux conditions suivantes: 08TO

§ 5. Fonctions et ensembles mesurables

Définition 1 Soient X un espace localement compact, μ une mesure sur X. On dit qu’une application f de X dans un espace topologique F est mesurable pour la mesure μ (ou encore μ-mesurable) si… ↩ 2 08UC
Proposition 1 Pour qu’une application f de X dans F soit mesurable, il faut et il suffit que, pour tout ensemble compact K ⊂ X et tout nombre ε > 0, il existe un ensemble compact K₁ ⊂ K, tel que… ↩ 2 08UD
Proposition 2 Soit (Fₙ) une suite d’espaces topologiques, et pour chaque n, soit fₙ une application mesurable de X dans Fₙ. Pour tout ensemble compact K ⊂ X et tout ε > 0, il existe un ensemble… ↩ 4 08UE
Définition 2 On dit qu’une partie A de X est mesurable si sa fonction caractéristique φ_A est mesurable. 08UF
Proposition 3 Pour qu’un ensemble A soit mesurable, il faut et il suffit que, pour tout ensemble compact K, A ∩ K soit intégrable. ↩ 3 08UG
Corollaire 1 Les ensembles ouverts et les ensembles fermés sont mesurables. 08UH
Corollaire 2 Si X est métrisable, tout sous-ensemble souslinien A de X (Top. gén., chap. IX, 2e éd., § 6, n° 2) est μ-mesurable pour toute mesure μ sur X. ↩ 2 08UI
Proposition 4 (principe de localisation) Soit f une application de X dans un espace topologique F. On suppose que pour tout x ∈ X, il existe un voisinage intégrable Vₓ de x, et une application mesurable gₓ de X dans F tel… ↩ 3 08UJ
Définition 3 On dit qu’un ensemble A ⊂ X est localement négligeable (pour la mesure μ) si, pour tout x ∈ X, il existe un voisinage V de x tel que V ∩ A soit négligeable. 08UK
Proposition 5 Pour qu'un ensemble A soit localement négligeable, il faut et il suffit que, pour tout ensemble compact K, A ∩ K soit négligeable. ↩ 4 08UL
Corollaire 1 Pour qu'un ensemble A soit négligeable, il faut et il suffit qu'il soit localement négligeable et de mesure extérieure finie. 08UM
Corollaire 2 Tout ensemble ouvert localement négligeable est négligeable (et par suite contenu dans le complémentaire du support de μ). ↩ 2 08UN
Corollaire 3 Dans un espace localement compact X dénombrable à l’infini, tout ensemble localement négligeable est négligeable. 08UO
Corollaire 4 Soit f une application de X dans un espace topologique F. Si l’ensemble N des points de discontinuité de f est localement négligeable, f est mesurable. ↩ 1 08UP
Proposition 6 Soit f une application mesurable de X dans un espace topologique F. Toute application de X dans F, égale à f localement presque partout, est mesurable. ↩ 1 08UQ
Théorème 1 Soient X un espace localement compact, μ une mesure sur X, (Fₙ) une suite d’espaces topologiques, F = ∏ₙ Fₙ leur produit. Pour chaque indice n, soit fₙ une application mesurable de… ↩ 26 08UR
Remarque 1 Le théorème ne s’étend pas à un produit quelconque d’espaces topologiques (exerc. 1). 08US
Remarque 2 Si f est une application continue de X dans lui-même, g une application mesurable de X dans F, g ∘ f n’est pas nécessairement mesurable (exerc. 2). 0E67
Corollaire 1 L’enveloppe supérieure et l’enveloppe inférieure d’un nombre fini de fonctions numériques mesurables (finies ou non) est mesurable. ↩ 2 08UT
Corollaire 2 Pour qu’une fonction numérique (finie ou non) soit mesurable, il faut et il suffit que f⁺ et f⁻ le soient. 08UU
Corollaire 3 Si f et g sont deux applications mesurables de X dans un espace vectoriel topologique F, f + g et α f sont mesurables (α scalaire quelconque). ↩ 1 08UV
Corollaire 4 Soit F un espace vectoriel de dimension n sur R, et soit (eₖ)_1 ≤ k ≤ n une base de F. Pour qu’une fonction f = ∑ₖ₌₁ⁿ eₖ fₖ soit mesurable, il faut et il suffit que chacune des fon… 08UW
Corollaire 5 Soient F, G, H trois espaces vectoriels topologiques et soit (u, v) ↦ [u . v] une application bilinéaire continue de F × G dans H. Si f est une application mesurable de X dans F, g… ↩ 4 08UX
Corollaire 6 Si f est une application mesurable de X dans un espace normé F, la fonction numérique |f| est mesurable. ↩ 1 08UY
Théorème 2 (Egoroff) Soient X un espace localement compact, μ une mesure sur X, A un ensemble dénombrable, 𝔉 un filtre sur A ayant une base dénombrable, (f_α)_α ∈ A une famille d’applications mesurable… ↩ 8 08UZ
Corollaire 1 Soit (fₙ) une suite de fonctions numériques (finies ou non). Si les fₙ sont mesurables, les fonctions supₙ fₙ, infₙ fₙ, limsupₙ fₙ, liminfₙ fₙ, sont mesurables. ↩ 3 08V0
Corollaire 2 Les ensembles mesurables dans X forment une tribu (Top. gén., chap. IX, 2e éd., § 6, n° 3). En effet, si M et N sont mesurables, ↩ 3 08V1
Corollaire 3 Les ensembles boréliens dans X (Top. gén., chap. IX, 2e éd., § 6, n° 3, déf. 4) sont μ-mesurables pour toute mesure μ sur X. ↩ 1 08V2
Théorème 3 Pour qu’une application f de X dans un espace métrisable F soit mesurable, il faut et il suffit que, pour tout ensemble compact K ⊂ X, il existe une suite (gₙ) de fonctions étagées… ↩ 5 08V3
Corollaire 1 Soit f une application mesurable de X dans un espace de Banach F; pour tout ensemble compact K ⊂ X, il existe une suite (gₙ) de fonctions étagées mesurables, de support contenu dan… ↩ 1 08V4
Corollaire 2 Soit X un espace localement compact dénombrable à l’infini. Si f est une application mesurable de X dans un espace métrisable F, il existe une suite (gₙ) de fonctions étagées mesur… 08V5
Proposition 7 Soit f une application mesurable de X dans un espace topologique F ; l’image réciproque par f de tout ensemble fermé (resp. ouvert) dans F est mesurable. ↩ 10 08V6
Théorème 4 Soit F un espace métrisable, et soit d une distance sur F compatible avec la topologie. Pour qu’une application f de X dans F soit mesurable, il faut et il suffit qu’elle vérifie l… ↩ 8 08V7
Remarque 1 La condition a) seule ne suffit pas pour que f soit mesurable (exerc. 7). 08V8
Remarque 2 Si la topologie de F admet une base dénombrable, la condition b) du th. 4 est automatiquement remplie pour toute application de X dans F. La démonstration prouve en outre qu’il suf… 08V9
Remarque 3 On peut remplacer l’hypothèse a) par la condition que l’image réciproque par f de toute boule ouverte de F est mesurable. 08VA
Proposition 8 Soit D un ensemble dénombrable partout dense dans R. Pour qu’une fonction numérique (finie ou non) f soit mesurable, il suffit (et il faut) que pour tout a ∈ D, l’ensemble des x ∈… 08VB
Corollaire Toute fonction semi-continue inférieurement (resp. supérieurement) est mesurable. ↩ 3 08VC
Proposition 9 Si F est un espace métrisable et compact, toute application mesurable f de X dans F est limite uniforme (dans X tout entier) d’une suite de fonctions étagées mesurables. 08VD
Proposition 10 Soient F un espace de Banach de type dénombrable, F' son dual, (a'ₙ) une suite faiblement dense dans la boule unité de F' (Esp.-vect.-top., chap.-IV,-§ 5; n° 1, prop.-2). Pour qu’u… ↩ 5 08VE
Corollaire 1 Soit F un espace de Banach. Pour qu’une application f de X dans F soit mesurable, il faut et il suffit qu’elle vérifie les deux conditions suivantes: a) pour tout a' ∈ F', la fonct… 08VF
Corollaire 2 Soient F un espace localement convexe métrisable de type dénombrable, F' son dual. Pour qu’une application f de X dans F soit mesurable, il faut et il suffit que pour tout a' ∈ F'… 08VG
Proposition 11 Soit F un espace localement convexe, limite inductive d’une suite d’espaces localement convexes métrisables Fₙ de type dénombrable, F étant réunion des Fₙ. Soit F' le dual de F mun… 08VH
Théorème 5 Pour qu’une application f de X dans un espace de Banach F soit de puissance p-ième intégrable (1 ≤ p < +∞), il faut et il suffit que f soit mesurable et que Nₚ(f) soit finie. ↩ 18 08VI
Lemme 1 Soit g une fonction à valeurs dans F, telle que Nₚ(g) < +∞ (autrement dit, une fonction de F_Fᵖ). L’ensemble A de points x ∈ X tels que g(x) ≠ 0 est contenu dans la réunion d’un en… ↩ 2 08VJ
Corollaire 1 Pour qu’un ensemble soit intégrable, il faut et il suffit qu’il soit mesurable et de mesure extérieure finie. 08VK
Corollaire 2 Soit (Fₙ) une suite d’espaces topologiques; pour chaque indice n, soit fₙ une application mesurable de X dans Fₙ, et soit f(x) = (fₙ(x)) ∈ F = ∏ₙ Fₙ; soit enfin u une application c… 08VL
Corollaire 3 Pour toute fonction intégrable f et tout ensemble mesurable A, la fonction f φ_A est intégrable. ↩ 1 08VM
Corollaire 4 Pour toute suite (fₙ) de fonctions mesurables ≥ 0 sur X, on a ↩ 2 08VN
Corollaire 5 Pour toute suite (Aₙ) d’ensembles mesurables deux à deux disjoints, on a |μ|^*(⋃ₙ Aₙ) = ∑ₙ |μ|^*(Aₙ). Cela résulte du cor. 4 appliqué aux φ_Aₙ. 08VO
Définition 4 Etant donné un sous-espace localement compact Y d’un espace localement compact X, on appelle mesure induite sur Y par une mesure μ sur X, et l’on note μ_Y ou μ|Y, la mesure définie… ↩ 2 08VP
Exemple Soient μ la mesure de Lebesgue sur R, I un intervalle quelconque dans R; I est un sous-espace localement compact de R et la mesure induite par μ sur I est la forme linéaire g ↦ ∫ₐᵇ… 08VQ
Lemme 2 Soient μ une mesure positive sur X, K une partie compacte de X. ↩ 3 08VR
Lemme 3 Soit Y un sous-espace localement compact de X ; pour toute mesure μ sur X, on a |μ_Y| = |μ|_Y. ↩ 5 08VS
Proposition 12 Soient μ une mesure sur un espace localement compact X, A une partie μ-mesurable de X, ℜ un ensemble de parties compactes de A, satisfaisant aux conditions suivantes : ↩ 8 08VT
Définition 6 Soit A une partie μ-mesurable de X. On dit qu’un ensemble A de parties compactes de A est μ-dense dans A s’il vérifie les conditions (PLI), (PL{II}), a), b), c), d) de la prop. 12. ↩ 1 08VU
Remarque Supposons que A soit réunion d’une suite (Lₙ) d’ensembles compacts et d’un ensemble μ-négligeable (resp. localement μ-négligeable), et soit A un ensemble de parties compactes, μ-de… 08VV
Proposition 13 Soient A une partie μ-mesurable de X, ℜ un ensemble de parties compactes, μ-dense dans A. Soit ℌ un ensemble de parties compactes de A satisfaissant à (PLI) et (PL{II}) et tel que… ↩ 2 08VW
Définition 7 On dit qu’un ensemble de parties 𝔘 d’un espace topologique T est localement dénombrable si, pour tout t ∈ T, il existe un voisinage V de t tel que l’ensemble des A ∈ 𝔘 rencontrant… 08VX
Proposition 14 Soient X un espace localement compact, μ une mesure sur X, A une partie μ-mesurable de X, ℜ un ensemble de parties compactes de A, μ-dense dans A. Il existe un ensemble ℌ ⊂ ℜ local… ↩ 6 08VY
Proposition 15 Soient X un espace localement compact, μ une mesure sur X, A une partie μ-mesurable de X, f une application de A dans un espace topologique F. Les conditions suivantes sont équival… ↩ 14 08VZ
Définition 8 Soient X un espace localement compact, μ une mesure sur X, A une partie μ-mesurable de X. On dit qu’une application f de A dans un espace topologique F est μ-mesurable si elle véri… ↩ 1 08W0
Corollaire 1 Soient X un espace localement compact, μ une mesure sur X, A une partie μ-mesurable de X, f une application μ-mesurable de A dans un espace topologique F. Soit ℜ un ensemble de par… 08W1
Corollaire 2 Soit K un sous-espace compact de X; pour qu’une application f de K dans un espace topologique F soit μ-mesurable, il faut et il suffit qu’elle soit μ_K-mesurable. 08W2
Proposition 16 Soit 𝔘 un ensemble localement dénombrable de parties μ-mesurables de X, et soit B = ⋃_A ∈ 𝔘 A. Pour qu’une application f de B dans un espace topologique F soit μ-mesurable, il faut… ↩ 5 08W3
Définition 9 On dit que la structure uniforme sur S(A, μ ; F) dont les W(V, B, δ) forment un système fondamental d’entourages est la structure uniforme de la convergence en mesure dans A. 08W4
Proposition 17 Soit (A_λ)_λ ∈ L une famille localement dénombrable de parties μ-mesurables de A, deux à deux disjointes et telles que A - ⋃_λ ∈ L A_λ soit localement μ-négligeable. Alors, si, pou… ↩ 2 08W5
Proposition 18 Si F est métrisable, et si A est réunion d’un ensemble localement μ-négligeable et d’une suite (An) d’ensembles μ-intégrables, l’espace S(A, μ; F) est métrisable. ↩ 1 08W6
Lemme 4 Soit F un espace uniforme métrisable, et soit B ⊂ A une réunion dénombrable d’ensembles μ-intégrables. Alors, pour toute suite de Cauchy (fn) dans S(A, μ; F), il existe une suite (… ↩ 2 08W7
Proposition 19 Si l’espace uniforme F est métrisable et complet, l’espace uniforme S(A, μ; F) est complet. 08W8
Corollaire Soit F un espace uniforme métrisable. (i) Toute suite (fₙ) d’éléments de S(A, μ; F) qui converge localement presque partout vers une application f (nécessairement μ-mesurable) de A… 08W9
Proposition 20 Soit F un espace de Banach, muni de la structure uniforme définie par sa norme. ↩ 1 08WA
Remarque 1 L’espace vectoriel topologique S(X, μ; F) n’est pas nécessairement localement convexe (exerc. 24). 08WB
Remarque 2 La topologie induite par la topologie de la convergence en mesure sur l’ensemble des f telles que Nₚ(f) ≤ 1 peut être strictement moins fine que la topologie induite sur cet ensemb… 08WD
Définition 10 Soient X un espace localement compact, μ une mesure sur X, F un espace de Banach, et p ∈ [1, +∞[. Une partie H de L_Fᵖ(X, μ) est dite équiintégrable d’ordre p (pour μ) si elle sati… ↩ 1 08WC
Remarque Supposons μ bornée. Pour tout a > 0, l’ensemble des applications mesurables de X dans F telles que |f(x)| ≤ a presque partout est équiintégrable d’ordre p, et ceci quel que soit p… 0E68
Proposition 21 Soit H une partie de L_Fᵖ(X, μ) équiintégrable d’ordre p. Sur H, la structure uniforme de la convergence en mesure est égale à la structure uniforme induite par celle de L_Fᵖ(X, μ)… ↩ 1 08WE
Lemme 5 Soient X un espace localement compact, μ une mesure positive bornée sur X, F un espace de Banach, f une fonction bornée sur X à valeurs dans F. Les conditions suivantes sont équiva… ↩ 1 08WF
Proposition 22 Soient F un espace de Banach, X un espace localement compact, E l’ensemble des mesures positives bornées sur X, μ un élément de E, B une base de filtre sur E. On suppose que B conv… ↩ 2 08WG
Remarque Les conditions (i) et (ii) de la proposition 22 sont satisfaites si f est continue et bornée. 08WH
Exemple Prenons pour X l’espace compact U des nombres complexes de valeur absolue 1. En posant, pour toute f ∈ K(U), μ(f) = ∫₀¹ f(e^2iπ t) dt, on définit une mesure positive de masse 1 sur… 08WI

§ 6. Inégalités de convexité

Théorème 1 Soient X un espace localement compact, μ une mesure positive sur X, F un espace de Banach réel, D un ensemble convexe fermé dans F, f une fonction sur X telle que f(X) ⊂ D. Pour to… ↩ 2 08XD
Corollaire Si la mesure positive μ est de masse totale égale à 1, et si f est intégrable, ∫ f dμ appartient à l’enveloppe fermée convexe de f(X) dans F. 08XE
Définition 1 Soient X un espace localement compact, μ une mesure sur X. Etant donnée une fonction numérique f (finie ou non), définie localement presque partout dans X, on appelle maximum en me… 08XF
Proposition 1 (inégalité de la moyenne) Soit f une fonction numérique mesurable et bornée en mesure. Pour toute fonction numérique intégrable g ≥ 0, la fonction fg (définie presque partout) est intégrable et on a ↩ 4 08XG
Définition 2 Pour toute application f de X dans un espace de Banach F, on pose N_∞(f) = M_∞(|f|); on dit que f est bornée en mesure (pour la mesure μ) si N_∞(f) est fini. On désigne par L_F^∞(X… ↩ 1 08XH
Proposition 2 L’espace L_F^∞ est complet ; l’espace L_F^∞ est un espace de Banach. ↩ 1 08XI
Remarque 1 Toute fonction f continue et bornée dans X, à valeurs dans F, appartient à L_F^∞, et l’on a N_∞(f) ≤ |f| = sup_x ∈ X |f(x)|. Pour que l’on ait N_∞(f) = |f| pour toute fonction cont… 08XJ
Remarque 2 Il est immédiat que la topologie définie par la semi-norme N_∞ est plus fine que la topologie induite sur L_F^∞ par la topologie de la convergence en mesure (§ 5, n° 11). 0E69
Théorème 2 (inégalité de Hölder) Soient f et g deux fonctions numériques finies presque partout et telles que f soit égale presque partout à une fonction de Lᵖ et g à une fonction de L^q. Alors la fonction fg (déf… ↩ 3 08XK
Corollaire 1 Soient F, G, H trois espaces de Banach, et (u, v) ↦ Φ(u, v) une application bilinéaire continue de F × G dans H, telle que |Φ(u, v)| ≤ |u| · |v|. Si f ∈ L_Fᵖ et g ∈ L_G^q, la fonct… ↩ 2 08XL
Corollaire 2 Soit F un espace de Banach réel (resp. complexe), F' son dual fort (Esp. vect. top., chap. IV, § 3), et soit (z, z') \mapsto \langle z, z' \rangle la forme bilinéaire canonique sur… ↩ 1 08XM
Corollaire 3 Soient μ une mesure positive sur X, F un espace hilbertien réel (resp. complexe). Sur l’espace LF^2, la forme symétrique (resp. hermitienne) 08XN
Corollaire 4 Soient F un espace de Banach, f une fonction de L_Fᵖ, g une fonction numérique appartenant à L^q; la fonction fg est intégrable et on a ↩ 1 08XO
Corollaire 5 Soient f₁, f₂, …, fₙ n fonctions positives intégrables, α₁, α₂, …, αₙ n nombres 0 tels que ∑ᵢ₌₁ⁿ αᵢ = 1; dans ces conditions, la fonction f₁^α₁ f₂^α₂ … fₙ^αₙ est intégrable, et on… 08XP
Proposition 3 Soient μ une mesure positive sur X, F un espace de Banach réel ou complexe, F' son dual fort, (z, z') ↦ ⟨ z, z' ⟩ la forme bilinéaire canonique sur F × F'. ↩ 1 08XQ
Remarque 1 Soit E un sous-espace vectoriel partout dense de L_F'^q; alors la formule (9) subsiste lorsque g parcourt l’intersection de E avec l’ensemble B des fonctions de L_F'^q, telles que… 08XR
Remarque 2 Soient μ une mesure positive sur X, f une fonction mesurable ≥ 0 (finie ou non), dont le support est contenu dans une réunion dénombrable d’ensembles compacts Kₙ. On a alors, pour… 0E6A
Corollaire Soient μ une mesure positive sur X, F un espace de Banach, F' son dual fort, g une fonction quelconque de L^q_F'. La forme linéaire sur Lᵖ_F, déduite par passage au quotient de la… ↩ 1 08XS
Proposition 4 Soit f une fonction mesurable à valeurs dans un espace de Banach F; l’ensemble I des nombres p tels que 1 \leq p \leq +\infty et que Np(f) soit finie, est vide ou est un intervalle… ↩ 8 08XT
Corollaire Si r, s, p sont trois nombres tels que 1 ≤ r < p < s ≤ +∞, l’intersection L_Fʳ ∩ L_Fˢ est contenue dans L_Fᵖ. ↩ 2 08XU
Proposition 5 Soit μ une mesure bornée, et soit f une fonction μ-mesurable à valeurs dans un espace de Banach F. L’ensemble I des nombres p tels que 1 ≤ p ≤ +∞ et que Nₚ(f) soit finie, est vide… ↩ 1 08XV
Corollaire Si la mesure μ est bornée, la relation r < s entraîne L_Fˢ ⊂ L_Fʳ; en outre, la topologie de la convergence en moyenne d’ordre s est plus fine que la topologie de la convergence en… 08XW
Proposition 6 Soient X un espace discret, μ la mesure sur X définie par la masse +1 placée en chaque point de X. Si f est une application de X dans l’espace de Banach F, l’ensemble I des nombres… 08XX
Corollaire Si X est discret et si la mesure μ est définie par la masse +1 en chaque point de X, la relation r < s entraîne L_Fʳ ⊂ L_Fˢ; en outre, la topologie de la convergence en moyenne d’o… 08XY

§ 7. Barycentres

Définition 1 Soit K une partie compacte d’un espace localement convexe séparé E. Pour toute mesure positive μ sur K, de masse totale égale à 1, on appelle barycentre de μ le vecteur b_μ = ∫ x\… 08YJ
Exemple Soit μ une mesure discrète sur K, positive et de masse totale 1 ; elle est donc de la forme μ = ∑ᵢ₌₁ⁿ λᵢ ε_xᵢ, où les xᵢ ∈ K, les λᵢ sont des nombres réels tels que λᵢ ≥ 0 pour tou… 08YK
Proposition 1 Soient E un espace localement convexe séparé, K une partie compacte de E, C l’enveloppe convexe fermée de K dans E. L’ensemble C est alors formé des points de E qui sont barycentre… ↩ 4 08YL
Corollaire Si l’enveloppe convexe fermée C de K dans E est compacte, le barycentre de toute mesure positive de masse totale 1 sur K appartient à E. En effet, C est alors aussi l’enveloppe con… ↩ 1 08YM
Remarque Le cor. de la prop. 1 s’applique en particulier lorsque K est convexe, ou lorsque E est quasi-complet. 08YN
Proposition 2 Soient K une partie convexe compacte d’un espace localement convexe séparé E, μ une mesure positive de masse 1 sur K, bμ son barycentre. Pour toute fonction numérique convexe f ≥ 0… ↩ 2 08YO
Corollaire Pour toute fonction numérique g convexe bornée et semi-continue inférieurement dans K, on a g(b_μ) ≤ ∫ g dμ. ↩ 2 08YP
Proposition 3 Soient K une partie convexe compacte d’un espace localement convexe séparé E, x un point de K. Toute mesure μ sur K, positive, de masse totale 1, et admettant x pour barycentre, es… ↩ 1 08YQ
Corollaire Soit K' une partie compacte de K telle que K soit l’enveloppe convexe fermée de K. Pour que x ∈ K' soit point extrémal de K, il faut et il suffit que εₓ soit la seule mesure positi… ↩ 1 08YR
Théorème 1 (Choquet) Soient E un espace localement convexe séparé sur R, K une partie convexe compacte et métrisable de E, M l’ensemble des points extrémaux de K. L’ensemble M est intersection d’une fa… ↩ 5 08YS
Lemme 1 Soit baru l’enveloppe inférieure des fonctions linéaires affines continues dans E et ≥ u dans K. Alors S est l’ensemble des points (a, b) ∈ E × R tels que l’on ait ↩ 1 08YT
Lemme 2 Si u est strictement convexe dans K, on a u(x) < baru(x) pour tout point non extrémal x de K. 08YU
Lemme 3 Soient E un espace localement convexe séparé sur R, K un partie convexe compacte métrisable de E. Il existe une fonction numérique strictement convexe dans K. 08YV
Corollaire Soient E un espace localement convexe séparé sur R, C un cône convexe saillant de sommet 0 dans E, complet et métrisable pour la structure uniforme induite par la structure uniform… 08YW
Proposition 4 (i) L’enveloppe convexe fermée C de i_H(X) dans H' (pour la topologie faible σ(H', H)) est compacte. ↩ 2 08YX
Proposition 5 Toute fonction h ∈ H atteint sa borne supérieure en un point H-extrémal au moins. ↩ 4 08YY
Proposition 6 Pour tout point x ∈ X, les propriétés suivantes sont équivalentes : ↩ 1 08YZ
Proposition 7 Soit F une partie fermée de X. Les propriétés suivantes sont équivalentes : ↩ 2 08Z0
Proposition 8 Supposons X métrisable. Alors l’ensemble Ch_H(X) des points H-extrémaux de X est intersection d’une famille dénombrable d’ensembles ouverts dans X, et pour tout x ∈ X, il existe un… 08Z1
Exemple Prenons pour X la boule unité |x| ≤ 1 dans R³, et soit H un espace vectoriel de fonctions continues dans X, contenant les restrictions à X des fonctions linéaires affines dans R³… 08Z2
Proposition 9 Pour toute fonction f ∈ H, Ch_H(X) rencontre l’ensemble des points où |f| atteint sa borne supérieure. ↩ 3 08Z3
Proposition 10 Soit F une partie fermée de X. Les propriétés suivantes sont équivalentes : a) F contient checkS_H(X). b) Pour toute fonction f ∈ H, F rencontre l’ensemble des points de X où |f| a… 08Z4
Remarque Si f est une fonction continue réelle, un point où |f| atteint sa borne supérieure est un point où l’une des fonctions f, -f atteint sa borne supérieure. Pour un espace vectoriel H… 08Z5
Lemme 4 Soient X un espace compact, H un sous-espace vectoriel fermé de l’espace de Banach C(X; C) (resp. C(X; R)). Soit a un point de X admettant un système fondamental dénombrable de voi… ↩ 1 08Z6
Théorème 2 (E. Bishop) Soient X un espace compact, A une sous-algèbre fermée de l’algèbre de Banach complexe C(X; C). On suppose que A contient les constantes et sépare les points de X. Soit a un point d… ↩ 1 08Z7
Corollaire Supposons de plus que X soit métrisable. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes : 08Z8
Exemple Soit X₁ l’ensemble des points (z₁, z₂) ∈ C² tels que |z₁|² + |z₂|² ≤ 1 (boule unité dans R⁴), et soit A₁' l’ensemble des restrictions à X₁ des fonctions holomorphes, à valeurs dans… 08Z9
Lemme 5 On suppose C faiblement complet. Soit A l’ensemble des restrictions à C des formes linéaires continues sur E. Soient (f_λ)_λ ∈ Λ une famille finie d’éléments de A, et f = sup (f_λ)… ↩ 2 08ZA
Lemme 6 On conserve les hypothèses et les notations du lemme 5, et on suppose les f_λ positives. La fonction barf est positivement homogène, concave et semi-continue supérieurement dans C… ↩ 1 08ZB
Théorème 3 (Choquet) Soient E un espace localement convexe faible séparé, C un cône convexe saillant faiblement complet de sommet 0 dans E, G la réunion des génératrices extrémales de C, K une partie c… ↩ 1 08ZC
Corollaire Soient E un espace localement convexe séparé, C un cône convexe saillant de sommet 0 dans E, admettant une semelle compacte M, et G la réunion des génératrices extrémales de C. Soi… 08ZD

V. Intégration des mesures

§ 1. Intégrale supérieure essentielle

Définition 1 Pour toute fonction f ∈ F₊(T), on appelle intégrale supérieure essentielle de f par rapport à μ, et on note μ^*(f), la borne supérieure, finie ou non, de l’ensemble des nombres μ^*… ↩ 1 08ZO
Proposition 1 a) Si f et g sont deux fonctions numériques ≥ 0, égales localement presque partout, on a μ^*(f) = μ^*(g). b) Si f et g sont deux fonctions numériques ≥ 0, telles que f ≤ g, on a μ^… ↩ 4 08ZP
Proposition 2 Soient f, g, h trois éléments de F₊; si g et h sont mesurables, on a: ↩ 2 08ZQ
Corollaire Soient f une fonction geqslant 0, (gₙ) une suite de fonctions mesurables geqslant 0; on a ∫^* f(∑ gₙ) dμ = ∑ (∫^* fgₙ dμ). ↩ 1 08ZR
Proposition 3 Pour tout nombre fini α geqslant 0 et tout couple de mesures μ, v sur T, on a (α μ)^* = α μ^* (μ + v)^* = μ^* + v^*. En outre, la relation μ leqslant v entraîne μ^* leqslant v^*. ↩ 2 08ZS
Proposition 4 Pour toute fonction numérique f geqslant 0, semi-continue inférieurement dans T, on a μ^*(f) = μ^*(f). ↩ 5 08ZT
Proposition 5 Soit A une partie de T; les propriétés suivantes sont équivalentes: a) L’ensemble A est contenu dans la réunion d’une suite d’ouverts μ-intégrables. b) L’ensemble A est contenu dan… ↩ 4 08ZU
Définition 2 Une partie de T est dite μ-modérée si elle satisfait aux conditions équivalentes de la proposition 5. Une fonction définie sur T, à valeurs dans un espace vectoriel ou dans barR, e… 08ZV
Remarque 1 Si θ est une mesure complexe sur T, on dira qu’une fonction f est θ-modérée (resp. que θ est modérée) si f est |θ|-modérée (resp. si |θ| est modérée). 08ZW
Remarque 2 Toute mesure bornée est modérée; si T est une réunion dénombrable de compacts, toute mesure sur T est modérée. 0E6B
Remarque 3 Soit (fₙ) une suite de fonctions μ-modérées à valeurs dans barR. Pour chaque n, soit Uₙ un ouvert, réunion dénombrable d’ouverts de mesure extérieure finie, tel que fₙ soit nulle h… 0E6C
Remarque 4 Une fonction égale presque partout à une fonction modérée est modérée. 0E6D
Proposition 6 Soit f une fonction numérique positive définie dans T, μ-mesurable et μ-modérée. Il existe alors une suite (hₙ)_n ∈ N d’éléments de F₊(T), dont la somme est égale à f, possédant le… ↩ 3 08ZX
Proposition 7 Soit f un élément de F₊(T). ↩ 5 08ZY
Corollaire 1 Pour que f soit négligeable, il faut et il suffit qu’elle soit localement négligeable et modérée. ↩ 2 08ZZ
Corollaire 2 Si μ est une mesure modérée (en particulier si μ est bornée, ou si T est dénombrable à l’infini), on a μ^* = μ^*. ↩ 1 0900
Proposition 8 a) Soit H un ensemble de fonctions ≥ 0, semi-continues inférieurement, filtrant pour la relation ≤; on a alors: 0901
Lemme 1 Soient g et g' deux applications μ-modérées à valeurs dans F; si g et g' sont égales localement presque partout à une même fonction f, on a g = g' presque partout. 0E6E
Proposition 9 Pour qu’une application f de T dans F appartienne à barF_Fᵖ (resp. à barL_Fᵖ) il faut et il suffit que l’on ait (resp. que f soit mesurable et que l’on ait) ↩ 5 0903
Corollaire Pour que f appartienne à L_Fᵖ, il faut et il suffit que f appartienne à overlineL_Fᵖ et soit modérée. ↩ 4 0904
Définition 3 Les éléments de overlineL_F¹ sont appelés fonctions essentiellement μ-intégrables à valeurs dans F. En composant l’application tildef ↦ μ(tildef) de L_F¹ dans F avec l’application… ↩ 1 0905
Proposition 10 Soit ℜ un ensemble μ-dense de parties compactes de T. ↩ 3 0906
Proposition 11 Soit (λ_α)_α ∈ A une famille de mesures positives sur T, filtrante pour la relation ≤ et admettant dans M(T) une borne supérieure λ. On a alors pour toute fonction numérique f ≥ 0 ↩ 8 0907
Corollaire 1 Pour qu’une partie N de T soit localement λ-négligeable, il faut et il suffit que N soit localement λ_α-négligeable pour tout α ∈ A. ↩ 1 0908
Corollaire 2 Pour qu’une application g de T dans un espace topologique G soit λ-mesurable, il faut et il suffit qu’elle soit λ_α-mesurable pour tout α ∈ A. ↩ 2 0909

§ 2. Familles sommables de mesures positives

Remarque 1 Il est immédiat que, lorsque la famille (λ_α)_α ∈ A est sommable, sa somme est la borne supérieure, dans M₊(X), des sommes partielles finies ∑_α ∈ J λ_α, où J parcourt l’ensemble d… ↩ 1 090G
Remarque 2 Soit (θ_α)_α ∈ A une famille de mesures complexes sur X ; on dira que la famille (θ_α) est sommable si la famille (|θ_α|) de mesures positives est sommable ; il ne suffit pas pour… ↩ 1 090H
Proposition 1 Soit f une fonction numérique positive définie dans X. On a ↩ 7 090I
Corollaire 1 Pour tout partie compacte (resp. ouverte et relativement compacte) M de X, on a ν(M) = ∑_α ∈ A λ_α(M). 090J
Corollaire 2 Pour qu’une partie N de X soit localement ν-négligeable, il faut et il suffit que, pour tout α ∈ A, N soit localement λ_α-négligeable. ↩ 2 090K
Corollaire 3 On a pour toute fonction f ∈ F₊(X) 090L
Proposition 2 Soit f une application de X dans un espace topologique G. Pour que f soit ν-mesurable, il faut et il suffit que f soit λ_α-mesurable pour tout α ∈ A. ↩ 6 090M
Proposition 3 Pour qu’une application f de X dans un espace de Banach F soit essentiellement ν-intégrable, il faut et il suffit que f soit essentiellement λ_α-intégrable pour tout α ∈ A, et qu’o… ↩ 4 090N
Corollaire 1 Supposons que f soit v-intégrable ; f est alors λ_α-intégrable pour tout α ∈ A, et on a la formule (6). Inversement, si l’ensemble A est fini, et si f est λ_α-intégrable pour tout… ↩ 1 090O
Corollaire 2 Soit θ une mesure complexe sur X; on pose θ₁ = (Re θ)⁺, θ₂ = (Re θ)⁻, θ₃ = (Im θ)⁺, θ₄ = (Im θ)⁻. Pour qu’une application f de X dans un espace topologique G (resp. dans un espace… 090P
Proposition 4 Soit μ une mesure positive sur un espace localement compact T, et soit R un ensemble μ-dense de parties compactes de T. Il existe une famille sommable (μ_α)_α ∈ A de mesures positi… ↩ 12 090Q
Remarque Une mesure positive peut être somme d’une suite de mesures à support compact, et ne pas être modérée (voir l’exerc. 4a) du § 1). 090R

§ 3. Intégration de mesures positives

Exemple 1 Supposons que T soit un espace discret, et que μ soit la mesure sur T définie par la masse +1 placée en chaque point de T (chap. III, 2e éd., § 1, n° 3). Soit h une fonction geqsla… 090W
Exemple 2 L’application t ↦ εₜ de T dans M₊(T) est vaguement continue, scalairement essentiellement μ-intégrable pour toute mesure positive μ sur T, et on a ∫ εₜ\ dμ(t) = μ. 090X
Proposition 1 Supposons que μ soit la borne supérieure d’une famille filtrante croissante (μᵢ)_i ∈ I de mesures positives sur T; pour que Λ : t ↦ λₜ soit scalairement essentiellement μ-intégrabl… ↩ 1 090Y
Corollaire Supposons que μ soit la somme d’une famille sommable (μ_α)_α ∈ A de mesures positives sur T; pour que Λ : t ↦ λₜ soit scalairement essentiellement μ-intégrable, il faut et il suffi… ↩ 5 090Z
Définition 1 Soient X un espace localement compact, Λ : t ↦ λₜ une application scalairement essentiellement μ-intégrable de T dans M₊(X), et v l’intégrale de Λ. On dit que Λ est μ-pré-adéquate… ↩ 6 0910
Proposition 2 Soit Λ : t ↦ λₜ une application scalairement essentiellement intégrable de T dans M₊(X), et soit ν = ∫ λₜ dμ(t). ↩ 8 0911
Lemme 1 Soit X un espace localement compact ayant une base dénombrable. Il existe alors dans K(X) une partie dénombrable S possédant la propriété suivante: pour toute fonction f ∈ K(X), il… 0E6F
Proposition 3 Soit f une fonction numérique geqslant 0 définie dans X. ↩ 6 0913
Corollaire 1 Soit f une fonction ≥ 0 définie dans X, et soit H l’ensemble des t ∈ T tels que f ne soit pas λₜ-négligeable. a) Si f est v-négligeable, H est localement μ-négligeable. b) Si f est… ↩ 4 0914
Corollaire 2 Soit f une fonction ≥ 0 définie dans X et v-modérée. L’ensemble des t ∈ T tels que f ne soit pas λₜ-modérée est alors localement μ-négligeable (et même μ-négligeable si Λ est vague… ↩ 1 0915
Proposition 4 Soit f une fonction v-mesurable définie dans X, à valeurs dans un espace topologique G, et soit M l’ensemble des t ∈ T tels que f ne soit pas λₜ-mesurable. a) Supposons que f soit… ↩ 4 0916
Proposition 5 Soit f une fonction numérique positive v-mesurable définie dans X, et soit N l’ensemble des t ∈ T tels que f ne soit pas λₜ-mesurable et λₜ-modérée. ↩ 9 0917
Corollaire Soit f une fonction définie dans X, à valeurs dans un espace de Banach F ou dans barR, ν-mesurable et ν-modérée. Pour que f soit ν-intégrable, il faut et il suffit que ∫^* dμ(t) ∫^… 0918
Théorème 1 Soit f une fonction à valeurs dans un espace de Banach F ou dans barR, et soit H l’ensemble des t ∈ T pour lesquels f n’est pas λₜ-intégrable. ↩ 10 0919
Remarque Soit Λ : t ↦ λₜ une application μ-adéquate de T dans M₊(X). Si une application Λ' : t ↦ λ'ₜ de T dans M₊(X) est égale à Λ localement μ-presque partout, il résulte aussitôt des défi… 091A
Définition 2 On dit qu’une application f de T dans un espace topologique F est universellement mesurable si elle est μ-mesurable pour toute mesure positive μ sur T. 091B
Proposition 6 Pour qu’une application f de T dans un espace topologique F soit universellement mesurable, il faut et il suffit que f soit mesurable pour toute mesure positive sur T à support com… ↩ 1 091C
Proposition 7 Soit μ une mesure positive sur T, et soit f une application μ-mesurable de T dans un espace topologique F. Il existe alors une application universellement mesurable f' de T dans F… ↩ 3 091D
Définition 3 Soit X un espace localement compact, et soit Λ : t ↦ λₜ une application de T dans M₊(X). On dit que Λ est une diffusion de T dans X si Λ est adéquate pour toute mesure positive sur… 091E
Proposition 8 Pour qu’une application Λ : t ↦ λₜ de T dans M₊(X) soit une diffusion, il faut et il suffit que les conditions suivantes soient satisfaites : 1) Pour toute fonction semi-continue i… ↩ 1 091F
Proposition 9 Soit Λ : t ↦ λₜ une application de T dans M₊(X), telle que la fonction t ↦ λₜ(g) soit universellement mesurable et localement bornée dans T pour tout g ∈ K₊(X). On peut affirmer qu… 091G
Proposition 10 Soient f, g deux fonctions universellement mesurables positives sur X, a un nombre ≥ 0, μ et ν deux mesures positives sur T. 091H
Proposition 11 Pour qu’une mesure positive μ sur T appartienne au domaine de Λ, il faut et il suffit que Λ soit scalairement essentiellement μ-intégrable. 091I
Corollaire 1 Si Λ est une diffusion bornée, toute mesure positive bornée μ appartient au domaine de Λ, et on a 091J
Corollaire 2 Supposons que μ soit somme d’une famille sommable (μ_α)_α ∈ A de mesures positives appartenant au domaine de Λ. Pour que μ appartienne au domaine de Λ, il faut et il suffit que la… 091K
Proposition 12 Soit μ une mesure positive sur T qui appartient au domaine de Λ, et soit f une fonction universellement mesurable geqslant 0 définie dans X. Si f est modérée pour la mesure μ Λ, ou… 091L
Corollaire Si X est dénombrable à l’infini, ou si les mesures λₜ sont bornées, la fonction Λ f est universellement mesurable dans T pour toute fonction universellement mesurable f geqslant 0… ↩ 1 091M
Proposition 13 Soient T, X, Y trois espaces localement compacts, Λ : t ↦ λₜ une diffusion bornée de T dans X, H : x ↦ ηₓ une diffusion bornée de X dans Y. L’application t ↦ λₜ H est alors une dif… ↩ 2 091N
Définition 4 Les notations étant celles de la proposition 13, la diffusion Λ H est appelée la diffusion composée des diffusions bornées H et Λ. 091O
Exemple Soient u une application universellement mesurable de T dans X, v une application universellement mesurable de X dans Y; d’après la prop. 2b), on définit des diffusions Λ et H par… 091P

§ 4. Intégration de mesures positives ponctuelles

Définition 1 Soit μ une mesure positive sur T. On dit que le couple (π, g) est μ-adapté si les conditions suivantes sont satisfaites : 1° Les fonctions π et g sont μ-mesurables. 2° Pour toute f… 0921
Proposition 1 Si le couple (π, g) est μ-adapté, l’application Λ : t ↦ λₜ = g(t) ε_π(t) de T dans M₊(X) est scalairement essentiellement μ-intégrable, vaguement μ-mesurable et μ-adéquate. Inverse… ↩ 1 0922
Lemme 1 Soient T et X deux espaces topologiques, π une application continue propre (Top. gén., chap. I, 4e éd., § 10, déf. 1) de T dans X. Soit g une fonction numérique semi-continue infér… 0E6G
Théorème 1 Soit (π, g) un couple μ-adapté, et soit ν = ∫ g(t) ε_π(t) dμ(t). Pour toute fonction numérique f ≥ 0 définie dans X, on a ↩ 4 0924
Corollaire Pour qu’une partie N de X soit localement négligeable pour v, il faut et il suffit que l’intersection de π⁻¹(N) et de l’ensemble des points t ∈ T où g(t) > 0, soit localement négli… ↩ 1 0925
Proposition 2 Soient π une application continue et propre (Top. gén., chap. I, 4e éd., § 10, n° 1) de T dans X, g une fonction numérique finie et continue dans T, telle que g(t) > 0 pour tout t… ↩ 5 0926
Proposition 3 Soit (π, g) un couple μ-adapté, et soit ν = ∫ g(t) ε_π(t) dμ(t). Soient f une application de X dans un espace topologique G, S l’ensemble (μ-mesurable) des points t ∈ T tels que g(… ↩ 7 0927
Remarque Si f est une application de X dans un espace de Banach F, il revient au même de dire que la restriction de f ∘ π à S est μ-mesurable, ou que la fonction (f ∘ π)g (définie dans T) e… 0928
Théorème 2 Soit (π, g) un couple μ-adapté, et soit ν = ∫ g(t)ε_π(t) dμ(t). Soit f une fonction définie dans X, à valeurs dans un espace de Banach F ou dans barR. Pour que f soit essentielleme… ↩ 11 0929
Remarque Soient (π, g) un couple μ-adapté, π' une application de T dans X, g' une fonction numérique finie et geqslant 0 définie dans T, telles que π' (resp. g') soit égale à π (resp. g) lo… 092A

§ 5. Mesures définies par des densités numériques

Proposition 1 Soit g une fonction définie localement presque partout dans T (pour la mesure positive μ), à valeurs dans un espace de Banach F (resp. dans barR). Les propriétés suivantes sont équ… ↩ 2 092D
Définition 1 On dit qu’une fonction g, définie localement presque partout dans T (pour la mesure positive μ), à valeurs dans un espace de Banach F (resp. dans barR) est localement intégrable po… 092E
Définition 2 Soit θ une mesure complexe, et soit u une fonction complexe (ou une fonction à valeurs dans barR) définie localement θ-presque partout et localement θ-intégrable. On dit que la mes… ↩ 1 092F
Proposition 2 Soient θ une mesure complexe, u une fonction complexe localement θ-intégrable ; on a ↩ 13 092G
Lemme 1 Soit θ une mesure complexe, et soit f un élément de barL_c¹(T, θ). On a alors ↩ 1 092H
Corollaire Soient g₁ et g₂ deux fonctions numériques localement μ-intégrables ; on a inf(g₁ . μ, g₂ . μ) = inf(g₁, g₂) . μ; sup(g₁ . μ, g₂ . μ) = sup(g₁, g₂) . μ. ↩ 4 092I
Proposition 3 Pour toute fonction numérique f ≥ 0, définie dans T, on a ↩ 10 092J
Corollaire 1 Pour qu’une fonction f, à valeurs dans un espace de Banach ou dans barR, soit localement négligeable pour la mesure u · θ, il faut et il suffit que u f soit localement négligeable… ↩ 3 092K
Corollaire 2 Soient u₁ et u₂ deux fonctions complexes localement θ-intégrables. Pour que u₁ · θ = u₂ · θ, il faut et il suffit que u₁ et u₂ soient égales localement presque partout. ↩ 10 092L
Corollaire 3 Soit u une fonction complexe localement intégrable pour la mesure positive μ. Pour que u . μ soit une mesure positive, il faut et il suffit que u(t) geqslant 0 localement presque p… ↩ 3 092M
Proposition 4 Pour qu’une application f de T dans un espace topologique G soit mesurable pour la mesure u . θ, il faut et il suffit que la restriction de f à l’ensemble θ-mesurable S des t tels… ↩ 2 092N
Corollaire Soit f une fonction définie dans T, à valeurs dans un espace de Banach F ou dans barR. Pour que f soit (u . θ)-mesurable, il faut et il suffit que uf soit θ-mesurable. En effet, uf… ↩ 2 092O
Théorème 1 Soit f une fonction définie dans T, à valeurs dans un espace de Banach F ou dans barR. Pour que f soit essentiellement intégrable pour la mesure η = u . θ, il faut et il suffit que… ↩ 10 092P
Corollaire Pour que la mesure u.θ soit bornée, il faut et il suffit que u soit essentiellement θ-intégrable. ↩ 2 092Q
Exemple Soit A une partie de T ; pour que φ_A soit localement μ-intégrable, il faut et il suffit que A soit μ-mesurable. Supposant cette condition remplie, posons v = φ_A . μ; pour toute f… 092R
Proposition 5 Soit (λ_α)_α ∈ A une famille de mesures positives sur T, filtrante pour la relation leqslant, admettant dans M(T) une borne supérieure λ. Pour qu’une fonction numérique positive g… ↩ 1 092S
Corollaire Supposons que μ soit la somme d’une famille (μ_α)_α ∈ A de mesures sur T. Pour qu’une fonction numérique positive g définie dans T soit localement μ-intégrable, il faut et il suffi… 092T
Proposition 6 Soit (g_α)_α ∈ A une famille localement dénombrable de fonctions numériques positives localement μ-intégrables définies dans T. Pour que la fonction g = ∑_α ∈ A g_α soit localement… ↩ 2 092U
Corollaire Soit (gₙ) une suite de fonctions numériques localement μ-intégrables, et telle que la suite des mesures gₙ · μ soit croissante. Pour que cette suite soit majorée dans l’espace vect… ↩ 1 092V
Proposition 7 Soit X un espace localement compact dénombrable à l’infini, et soit t ↦ λₜ une application μ-adéquate de T dans M₊(X). Soit g une fonction numérique positive définie dans X, locale… ↩ 1 092W
Proposition 8 Soient θ une mesure complexe sur T, g₁ une fonction complexe localement θ-intégrable, θ₁ la mesure g₁ . θ. Pour qu’une fonction complexe g₂ définie dans T soit localement θ₁-intégr… ↩ 8 092X
Théorème 2 (Lebesgue–Nikodym) Soient μ et ν deux mesures positives sur T. Les propriétés suivantes sont équivalentes: ↩ 20 092Y
Lemme 2 Soient α une mesure positive bornée sur T, β une mesure réelle sur T telle que |β| ≤ M α, où M est une constante positive. Il existe alors une fonction réelle u, α-intégrable, tell… ↩ 1 092Z
Lemme 3 Supposons que la mesure positive v soit telle que tout compact μ-négligeable soit v-négligeable. Soit 𝔎 l’ensemble des compacts K de T possédant la propriété suivante : 0930
Corollaire 1 Soit N un ensemble de mesures positives de base μ, admettant dans M(T) une borne supérieure v; alors v est une mesure de base μ. 0E6H
Corollaire 2 Soit v une mesure réelle sur T. Pour que v appartienne à la bande engendrée par μ dans l’espace complètement réticulé M(T) (chap. II, § 1, n° 5), il faut et il suffit que v soit un… 0E6I
Corollaire 3 Soit θ une mesure complexe; il existe une fonction universellement mesurable v, telle que |v| = 1, et qu’on ait θ = v · |θ|, \ |θ| = barv · θ. 0E6J
Remarques 1) Supposons que λ soit une mesure positive, que v soit une fonction λ-mesurable telle que |v| = 1 localement λ-presque partout (ce qui entraîne que v est localement λ-intégrable)… 0934
Corollaire 4 Soient ρ et θ deux mesures complexes. Pour qu’il existe une fonction u, localement θ-intégrable, telle que ρ = u . θ, il faut et il suffit que tout compact θ-négligeable soit ρ-nég… 0E6K
Corollaire 5 Soient μ et v deux mesures positives sur T. Les conditions 1), 2), 3) du th. 2 sont encore équivalentes aux suivantes: 0E6L
Scholie Pour tout dotf ∈ L¹_loc(T, μ ; B), posons φ(dotf) = f . μ, où f ∈ dotf; l’application φ est linéaire, croissante, injective (cor. 2 de la prop. 3), et admet pour image dans M(T) la… 0938
Proposition 9 Soit θ une mesure complexe bornée ; pour que θ soit une mesure positive, il faut et il suffit qu’on ait | θ | = θ(1). ↩ 2 0939
Proposition 10 Soient μ et v deux mesures positives sur T. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 3 093A
Définition 3 Sur un espace localement compact T, on dit que deux mesures complexes θ, θ' sont équivalentes si les mesures |θ| et |θ'| satisfont aux conditions a), b), c) de la prop. 10. ↩ 1 093B
Remarque Si μ et ν sont deux mesures positives équivalentes, les fonctions mesurables définies dans T, à valeurs dans un espace topologique quelconque G, sont les mêmes pour μ et ν, comme i… 093C
Proposition 11 Soit μ une mesure positive sur T. Si T est dénombrable à l’infini, il existe une fonction continue h telle que h(t) > 0 pour tout t ∈ T et que la mesure ν = h . μ (équivalente à μ)… ↩ 5 093D
Proposition 12 Soit (μₙ) une suite de mesures positives bornées sur T; il existe une mesure positive bornée μ sur T telle que la relation μ^*(N) = 0 soit équivalente à « quel que soit n, μₙ^*(N)… 093E
Définition 4 On dit qu’une mesure complexe θ sur T est concentrée sur une partie M de T, ou que M porte θ, si CM est localement négligeable pour θ. ↩ 2 093F
Proposition 13 Pour que deux mesures complexes ρ et σ sur T soient étrangères, il faut et il suffit qu’il existe dans T deux ensembles R et S sans point commun, tels que ρ soit concentrée sur R e… ↩ 2 093G
Corollaire 1 Pour toute mesure réelle v sur T, il existe deux ensembles disjoints M, N portant respectivement v⁺ et v⁻. 093H
Corollaire 2 Soient ρ et σ deux mesures complexes étrangères, et soient ρ′ et σ′ deux mesures complexes admettant des densités par rapport à ρ et à σ respectivement; ρ′ et σ′ sont alors étrangè… ↩ 1 093I
Corollaire 3 Soient ρ et σ deux mesures complexes étrangères; on a alors ρ + σ = ρ + σ. ↩ 1 093J
Théorème 3 (Lebesgue) Toute mesure complexe θ sur T peut s’écrire d’une seule manière sous la forme θ = g . μ + θ′, où g est localement μ-intégrable, et θ′ est une mesure étrangère à μ. On a alors θ = g… ↩ 2 093K
Corollaire Il existe un projecteur p de l’espace M_C(T) sur l’espace L¹_loc(T, μ; C), dont le noyau barp¹(0) est l’ensemble des mesures complexes étrangères à μ, tel que |θ| = |p(θ)| + |θ - p… 093L
Théorème 4 Soient p et q deux exposants conjugués tels que 1 ≤ p < +∞. Toute forme linéaire continue sur Lᵖ(T, μ) est du type f ↦ ∫ fg dμ, où g est une fonction de L^q(T, μ) dont la classe da… ↩ 4 093M
Corollaire Pour tout nombre p tel que 1 < p < ∞, l’espace de Banach Lᵖ(T, μ) est réflexif. 093N
Proposition 14 Pour qu’une forme linéaire positive θ sur L^∞ soit du type f ↦ ∫ fg dμ, où g ∈ L¹, il faut et il suffit que, pour toute famille filtrante croissante (f_α)_α ∈ A de fonctions positi… ↩ 2 093O
Lemme 4 1° Soit f une fonction positive semi-continue inférieurement et bornée dans T. Alors sa classe dotf dans L^∞ est la borne supérieure de l’ensemble des classes φ, où φ parcourt l’en… 093P
Définition 5 On dit qu’une mesure θ sur T est diffuse si, pour tout t ∈ T, on a |θ|(t) = 0. 093Q
Exemple La mesure de Lebesgue sur R est diffuse (chap. IV, § 1, n° 3, Remarque 1). 093R
Proposition 15 Toute mesure complexe σ sur T peut s’écrire d’une seule manière sous la forme ρ + θ, où ρ est une mesure atomique, θ une mesure diffuse ; on a alors |σ| = |ρ| + |θ|. ↩ 3 093S

§ 6. Images d'une mesure

Proposition 1 Soit π une application μ-mesurable de T dans un espace localement compact X. Les deux propriétés suivantes sont équivalentes : ↩ 3 094O
Définition 1 Soit μ une mesure positive sur un espace localement compact T. On dit qu’une application π de T dans un espace localement compact X est μ-propre (ou propre pour la mesure μ) si le… ↩ 2 094P
Remarque 1 Si μ est bornée (et en particulier si μ a un support compact), toute application μ-mesurable de T dans X est μ-propre (chap. IV, § 5, n° 3, th. 1 et n° 6, th. 5). ↩ 1 094Q
Remarque 2 Si π est μ-mesurable et si, pour toute partie compacte K de X, π⁻¹(K) est relativement compact, π est μ-propre (chap. IV, 2e éd., § 5, n° 5, prop. 7, et n° 6, th. 5); en particulie… 0E6M
Remarque 3 Supposons que la topologie de X admette une base dénombrable; alors toute application π de T dans X qui vérifie la condition b) de la prop. 1 est μ-mesurable, et par suite μ-propre… 0E6N
Proposition 2 Pour toute fonction numérique f geqslant 0 définie dans X, on a ↩ 3 094R
Corollaire 1 Pour toute partie A de X, on a ↩ 1 094S
Corollaire 2 Pour qu’une partie A de X soit localement négligeable pour ν, il faut et il suffit que overlineπ⁻¹(A) soit localement négligeable pour μ. ↩ 6 094T
Corollaire 3 Si la mesure μ est concentrée sur un ensemble M, π(μ) est concentrée sur π(M). En effet, si N = X - π(M), overlineπ⁻¹(N) ne rencontre pas M, donc est localement μ-négligeable, et p… ↩ 5 094U
Corollaire 4 Soit S le support de μ. Si π est continue, le support de π(μ) est overlineπ(S). En effet, il résulte du cor. 3 que π(μ) est concentrée sur π(S), donc, si S' est le support de π(μ)… 094V
Proposition 3 Pour qu’une application f de X dans un espace topologique G soit ν-mesurable, il faut et il suffit que f ∘ π soit μ-mesurable. ↩ 6 094W
Corollaire Pour qu’une partie A de X soit ν-mesurable, il faut et il suffit que overlineπ⁻¹(A) soit μ-mesurable. ↩ 1 094X
Théorème 1 Soit f une fonction définie dans X, à valeurs dans barR ou dans un espace de Banach F. Pour que f soit essentiellement ν-intégrable, il faut et il suffit que f ∘ π soit essentielle… ↩ 9 094Y
Corollaire Pour qu’une partie A de X soit essentiellement ν-intégrable, il faut et il suffit que overlineπ⁻¹(A) soit essentiellement μ-intégrable, et on a alors ν(A) = μ(overlineπ⁻¹(A)). ↩ 1 094Z
Proposition 4 Soient T, T', T'' trois espaces localement compacts, μ une mesure positive sur T, π une application μ-mesurable de T dans T', π' une application de T' dans T'', et π'' = π' ∘ π. ↩ 5 0950
Corollaire Soient T et T' deux espaces localement compacts, μ une mesure positive sur T, π une application bijective de T sur T', π'⁻¹ l’application réciproque. Supposons que π soit μ-propre… 0951
Proposition 5 Soient T et X deux espaces localement compacts, μ une mesure positive sur T, π une application μ-propre de T dans X, g une fonction numérique finie et ≥ 0, définie dans X et telle… ↩ 1 0952
Proposition 6 Soient T et X deux espaces localement compacts, (λ_α)_α ∈ A une famille de mesures positives sur T, filtrante pour la relation leqslant, admettant dans M(T) une borne supérieure μ… 0953
Corollaire 1 Soit (μ_α)_α ∈ A une famille sommable de mesures positives sur T, telle que μ = ∑_α ∈ A μ_α; pour qu’une application π de T dans un espace localement compact X soit μ-propre, il fa… ↩ 1 0954
Corollaire 2 Soient T et X deux espaces localement compacts, (λᵢ)_1 ≤ i ≤ n une suite finie de mesures positives sur T, et soit μ = ∑ᵢ₌₁ⁿ λᵢ. Pour qu’une application π de T dans X soit μ-propre… ↩ 2 0955
Définition 2 Soit θ une mesure complexe sur un espace localement compact T. On dit qu’une application π de T dans un espace localement compact X est θ-propre si elle est |θ|-propre. La mesure f… 0956
Proposition 7 Soient θ une mesure complexe sur T, π une application θ-propre de T dans un espace localement compact X, ν la mesure image π(θ). ↩ 2 0957
Proposition 8 Supposons g μ-intégrable. Si J désigne l’intervalle ouvert de R d’extrémités G(a+) et G(b-), l’image par G de la mesure g . μ est la mesure φ_J . ν si G(a+) ≤ G(b-) et la mesure -φ… ↩ 2 0958
Corollaire Si une fonction f définie dans G(I), à valeurs dans barR ou dans un espace de Banach, est telle que la fonction t ↦ f(G(t))g(t) soit intégrable dans I pour la mesure de Lebesgue, a… 0959
Proposition 9 Supposons g ≥ 0 et localement μ-intégrable. Alors, l’image par G de la mesure positive g· μ est la mesure de Lebesgue sur G(I). Pour qu’une fonction f, définie dans G(I), à valeurs… 095A
Proposition 10 On conserve les notations ci-dessus, et on suppose que π est v-mesurable. Soit g la fonction t ↦ λₜ^*(1) sur T. Pour que π soit v-propre, il faut et il suffit que g soit localement… ↩ 3 095B
Corollaire 1 Supposons que π soit ν-mesurable. ↩ 4 095C
Corollaire 2 Supposons que π soit v-propre; soit f une application définie dans T, à valeurs dans un espace de Banach ou dans barR. Pour que f ∘ π soit essentiellement v-intégrable, il faut et… 095D
Exemple Soient X et T deux espaces localement compacts, et soit π un homéomorphisme local de X dans T. Autrement dit (Top. gén., chap. XI), nous supposons que tout point x ∈ X admet un voi… 095E
Lemme 1 a) Soit f un élément de K₊(X); la fonction t ↦ λₜ(f) est positive, semi-continue supérieurement, à support compact, et sa restriction à π(X) est continue. 0E6O
Proposition 11 Soit π un homéomorphisme local d’un espace localement compact X dans un espace localement compact T, et soit μ une mesure positive sur T. Soit n la fonction numérique qui associe à… 095G

§ 7. Intégration par rapport à une mesure induite

Proposition 1 Pour toute fonction numérique g geqslant 0 définie dans X, on a ↩ 7 0963
Corollaire 1 Pour toute partie B de X, on a μ_X^*(B) = μ^*(B); pour que B soit localement μ_X-négligeable, il faut et il suffit que B soit localement μ-négligeable. 0964
Corollaire 2 Soit M une partie de T. Si μ est concentrée sur M, μ_X est concentrée sur M ∩ X. ↩ 1 0965
Corollaire 3 Pour que la mesure μ_X soit nulle, il faut et il suffit que X soit localement μ-négligeable. 0966
Remarque Si S est le support de μ, S ∩ X (qui est fermé dans X) contient le support de μ_X d’après le cor. 2, mais peut en être distinct. Par exemple, si μ est une mesure diffuse et X un so… 0967
Proposition 2 Pour qu’une application g de X dans un espace topologique soit μ_X-mesurable, il faut et il suffit que g soit μ-mesurable dans X (§ 5, no 3, Exemple). Cela résulte de la prop. 3 du… ↩ 1 0968
Corollaire Pour qu’une partie B de X soit μ_X-mesurable, il faut et il suffit que B soit μ-mesurable. 0969
Théorème 1 Soit g une fonction définie dans X, à valeurs dans barR ou dans un espace de Banach. Pour que g soit essentiellement μ_X-intégrable, il faut et il suffit que g soit essentiellement… ↩ 6 096A
Corollaire 1 Pour qu’une partie B de X soit essentiellement μ_X-intégrable, il faut et il suffit qu’elle soit essentiellement μ-intégrable, et on a μ_X(B) = μ(B). 096B
Corollaire 2 Soit g une fonction complexe définie dans T et localement μ-intégrable; la restriction g_X de g à X est alors localement μ_X-intégrable, et on a (g · μ)_X = g_X · μ_X Cela résulte… ↩ 1 096C
Corollaire 3 Soit θ une mesure complexe sur T; on a |θ|_X = |θ_X| Posons en effet |θ| = μ, et appliquons le cor. 2 en prenant pour g une fonction complexe de valeur absolue 1 telle que θ = g ·… ↩ 2 096D
Remarque a) Le cor. 3 a déjà été démontré par une autre méthode (chap. IV, 2e éd., § 7, lemme 3). b) En vertu du cor. 3, les corollaires 1, 2, 3 de la prop. 1, la prop. 2, le théorème 1 et… 096E
Scholie Pour toute fonction f (resp. g) définie dans X (resp. dans T) à valeurs dans l’espace de Banach F ou dans barR, désignons par ζ(f) (resp. par ρ(g)) le prolongement par 0 de f à T (… 096F
Proposition 3 Soient X un sous-espace localement compact de T, et λ une mesure complexe sur X. Les propriétés suivantes sont équivalentes: a) l’injection canonique i : X → T est λ-propre; b) pou… ↩ 2 096G
Corollaire 1 Si X est fermé, toute mesure complexe λ sur X est induite par une mesure sur T. 096H
Corollaire 2 Soient θ une mesure complexe sur T, π une application θ-propre de T dans un espace localement compact Y, et π_X sa restriction à X. Alors π_X est θ_X-propre, et on a π_X(θ_X) = π(φ… 096I
Proposition 4 Soient X et Y deux sous-espaces localement compacts de T, tels que Y ⊂ X. Si θ est une mesure complexe sur T, la mesure (θ_X)_Y induite par θ_X sur Y est égale à θ_Y (« transitivit… ↩ 2 096J
Proposition 5 Soit (λ_α)_α ∈ A une famille filtrante croissante de mesures positives sur T, admettant une borne supérieure λ, et soit X un sous-espace localement compact de T. La famille des mes… 096K
Corollaire Soit (μᵢ)_i ∈ I une famille sommable de mesures positives sur T, de somme μ. La famille des mesures induites μᵢ|X est alors sommable, et on a ∑_i ∈ I (μᵢ|X) = μ|X. 096L
Proposition 6 Soit Λ : t ↦ λₜ une application μ-adéquate de T dans M₊(X), où X est un espace localement compact dénombrable à l’infini, et soit Y un sous-espace localement compact de X. Posons ∫… 096M

§ 8. Produits de mesures

Lemme 1 Pour toute fonction numérique f ≥ 0 définie dans X on a ↩ 4 096Y
Lemme 2 Soit f une application de X dans un espace topologique. Pour que f soit λₜ'-mesurable, il faut et il suffit que fₜ soit μ'-mesurable. 096Z
Lemme 3 Soit f une fonction définie dans X, à valeurs dans barR ou dans un espace de Banach. Pour que f soit λₜ'-intégrable, il faut et il suffit que fₜ soit μ'-intégrable, et on a alors 0970
Remarque On peut démontrer fort simplement les lemmes 1, 2, 3 sans faire usage des résultats des §§ 4 et 6, par un raisonnement direct. Par exemple, la relation (2) est évidente par définit… 0971
Proposition 1 Soit (μ_α)_α ∈ A (resp. (μ'_β)_β ∈ B) une famille sommable de mesures positives sur T (resp. sur T') dont on désigne la somme par μ (resp. par μ'). La famille (μ_α ⊗ μ'_β)_(α, β) ∈… ↩ 1 0972
Proposition 2 Soit f une fonction v-mesurable définie dans T × T', à valeurs dans un espace topologique G, et soit M l’ensemble des t ∈ T tels que l’application t' ↦ f(t, t') ne soit pas μ'-mesu… ↩ 4 0973
Corollaire Soit A une partie v-mesurable de T × T', et soit M l’ensemble des t ∈ T tels que la coupe A(t) de A suivant t ne soit pas μ'-mesurable. 0974
Proposition 3 Soit f une application de T dans un espace topologique F. Si f est μ-mesurable, l’application (t, t') ↦ f(t) est ν-mesurable. Inversement, si μ' ≠ 0, et si cette application est ν-… ↩ 3 0975
Corollaire 1 Soient F, F' et G trois espaces topologiques, et soit u une application continue de F × F' dans G. Soit f (resp. f') une fonction définie dans T (resp. T') à valeurs dans F (resp… ↩ 4 0976
Corollaire 2 Si A ⊂ T et A' ⊂ T' sont mesurables (pour μ et μ' respectivement), A × A' est mesurable pour μ ⊗ μ'. 0977
Corollaire 3 Considérons deux fonctions numériques positives (resp. à valeurs complexes), f définie dans T, f' définie dans T'. Si ces fonctions sont mesurables pour μ et μ' respectivement, la… ↩ 1 0978
Proposition 4 Soit A une partie de T. Si A est localement μ-négligeable, A × T' est localement v-négligeable. Inversement, si A × T' est localement v-négligeable, et si μ' ≠ 0, A est localement… ↩ 6 0979
Corollaire Si la mesure μ (resp. μ') est concentrée sur M (resp. M'), μ ⊗ μ' est concentrée sur M × M'. 097A
Proposition 5 Soit f une fonction numérique ≥ 0, semi-continue inférieurement dans T × T'. Alors, la fonction ↩ 2 097B
Corollaire 1 Soit f (resp. f') une fonction semi-continue inférieurement geqslant 0 définie dans T (resp. dans T'); la fonction f ⊗ f': (t, t') ↦ f(t)f'(t') est alors semi-continue inférieureme… ↩ 1 097C
Corollaire 2 Soient A une partie μ-modérée de T, A' une partie μ'-modérée de T'; A × A' est alors ν-modérée dans T × T'. ↩ 3 097D
Corollaire 3 Soient A une partie μ-négligeable de T, B' une partie μ'-modérée de T'; A × B' est alors ν-négligeable. 097E
Proposition 6 Soit f une fonction numérique geqslant 0 définie dans T × T'. On a ↩ 3 097F
Proposition 7 Soit f une fonction numérique positive v-mesurable définie dans T × T'. ↩ 6 097G
Corollaire 1 Soit H une partie de T × T', et soit A l’ensemble des t ∈ T tels que la coupe H(t) de H suivant t ne soit pas μ'-négligeable. a) Si H est v-négligeable, A est μ-négligeable. b) Si… ↩ 1 097H
Corollaire 2 Si un ensemble A ⊂ T × T' est v-intégrable, alors, pour presque tout t ∈ T, la coupe A(t) de A suivant t est μ'-intégrable, la fonction t ↦ μ'(A(t)) est μ-intégrable, et on a ↩ 2 097I
Proposition 8 Pour tout couple de fonctions numériques f geqslant 0, f' geqslant 0, définies respectivement dans T et dans T', on a ↩ 4 097J
Corollaire 1 Avec les mêmes notations que dans la prop. 8, on a 097K
Corollaire 2 Soient f et f' deux fonctions à valeurs dans C ou dans overlineR, définies respectivement dans T et dans T', essentiellement intégrables (resp. intégrables) pour les mesures μ et μ… ↩ 3 097L
Théorème 1 (Lebesgue–Fubini) Soit f une fonction définie dans T × T', à valeurs dans un espace de Banach F ou dans overlineR; soit N l’ensemble des t ∈ T tels que la fonction t' ↦ f(t, t') ne soit pas μ'-intég… ↩ 3 097M
Scholie Soit f une fonction définie dans T × T', à valeurs dans overlineR ou dans un espace de Banach, v-mesurable et v-modérée. Pour que les trois intégrales 097N
Remarque 1 Lorsque la mesure μ' n’est pas modérée, il se peut que f soit essentiellement ν-intégrable, et que la fonction t ↦ f(t, t') ne soit essentiellement μ'-intégrable pour aucune valeur… 097O
Remarque 2 Soient μ et μ' deux mesures complexes, et soit ν = μ ⊗ μ'. Si f est ν-intégrable (autrement dit, |ν|-intégrable), le théorème appliqué aux mesures |μ| et |μ'|, dont le produit est… 0E6P
Proposition 9 Soient F, F' et G trois espaces de Banach, et soit (x, y) ↦ [x . y] une application bilinéaire continue de F × F' dans G. Soit f (resp. f') une fonction définie dans T (resp. T') à… 097P
Proposition 10 Soit g (resp. g') une fonction complexe (ou une fonction à valeurs dans barR) définie dans T (resp. T'). ↩ 2 097Q
Proposition 11 Soit π (resp. π') une application de T (resp. T') dans un espace localement compact T₁ (resp. T'₁). ↩ 2 097R
Proposition 12 Soit X (resp. X') un sous-espace localement compact de T (resp. T'). Alors la mesure induite (μ ⊗ μ')_X × X' sur le sous-espace localement compact X × X' de T × T' est égale au pro… 097S

VI. Intégration vectorielle

§ 1. Intégration des fonctions vectorielles

Définition 1 On appelle intégrale de f par rapport à μ et on note ∫ f dμ, ou ∫ f(t) dμ(t), l'élément de F'^* défini par ⟨ z', ∫ f dμ ⟩ = ∫ ⟨ z', f ⟩ dμ pour tout z' ∈ F'. 098E
Exemple Soient X un espace localement compact, t → λₜ une application de T dans l'espace M(X) des mesures sur X. Dire que la famille t → λₜ est μ-adéquate (chap. V, § 3, no 1, déf. 1) sign… 098F
Remarque 1 Si F est de dimension finie, toute application scalairement essentiellement intégrable de T dans F est essentiellement intégrable (chap. V, § 2, no 2). Par contre, dans le cas géné… 098G
Remarque 2 Il est clair que l'intégrale de f ne dépend que de la classe de f modulo l'espace des applications de T dans F qui sont scalairement localement μ-négligeables. On notera qu'une fon… ↩ 3 098H
Proposition 1 Si f est une application de T dans F, scalairement essentiellement μ-intégrable, l'application u ∘ f est scalairement essentiellement μ-intégrable et on a ∫ (u ∘ f) dμ = u ( ∫ f dμ… ↩ 4 098I
Proposition 2 Soit f une application scalairement essentiellement μ-intégrable de T dans F. Pour toute fonction numérique g geqslant 0, μ-mesurable et bornée, l’application t → g(t)f(t) (notée g… ↩ 2 098J
Proposition 3 Soient X un espace localement compact, t → λₜ une famille μ-adéquate (chap. V, § 3, no 1, déf. 1) de mesures positives sur X, et soit ν = ∫ λₜ dμ(t). Soit f une application de X da… ↩ 2 098K
Proposition 4 Soient T, T' deux espaces localement compacts, μ (resp. μ') une mesure positive sur T (resp. T'), ν = μ ⊗ μ' la mesure produit sur X = T × T'. Soit f une application de X dans F. O… ↩ 2 098L
Proposition 5 Soient μ une mesure positive bornée sur T, S un ensemble μ-mesurable portant μ (chap. V, § 5, no 7), f une fonction scalairement μ-intégrable () à valeurs dans F. Soit D l’enve- ↩ 2 098M
Corollaire Soient μ une mesure positive bornée sur T, S un ensemble μ-mesurable portant μ, f une application de T dans F, scalairement μ-mesurable et telle que f(S) soit contenu dans une part… ↩ 4 098N
Proposition 6 Soit f une fonction scalairement essentiellement μ-intégrable à valeurs dans F, telle que ∫ f dμ ∈ F. Pour toute semi-norme q sur F, semi-continue inférieurement dans F, on a ↩ 1 098O
Proposition 7 Soit f une application de T dans F, scalairement essentiellement μ-intégrable et telle que, pour toute partie compacte K de T, f(K) soit contenue dans une partie convexe équilibrée… ↩ 1 098P
Lemme 1 L’adhérence dans F'^* (pour la topologie σ(F'^*, F')) de toute partie bornée de F est contenue dans le bidual F''. ↩ 1 098Q
Corollaire Supposons F semi-réflexif, et soit f une application scalairement essentiellement µ-intégrable de T dans F telle que, pour toute partie compacte K de T, f(K) soit bornée. Alors ∫ f… ↩ 1 098R
Proposition 8 Soient µ une mesure positive bornée sur T, S un ensemble µ-mesurable portant µ, f une application µ-mesurable de T dans F, telle que f(S) soit contenu dans une partie convexe équil… ↩ 9 098S
Proposition 9 Soit U une application scalairement essentiellement μ-intégrable de T dans F = Lₛ(G; H). Pour que l'on ait ∫ Udμ ∈ F, il faut et il suffit que les deux conditions suivantes soient… ↩ 2 098T
Corollaire La condition b) de la prop. 9 est vérifiée dans chacun des deux cas suivants : 098U
Proposition 10 Soit U une application de T dans F = Lₛ(G; H). Dans chacun des trois cas suivants, U est scalairement essentiellement μ-intégrable, et on a ∫ U dμ ∈ Lₛ(G; H): ↩ 1 098V
Proposition 11 Tout espace localement convexe séparé F possédant la propriété (GDF) est tonnelé. ↩ 2 098W
Théorème 1 (Gelfand-Dunford) Soient F un espace localement convexe séparé possédant la propriété (GDF), F'ₛ son dual faible. Pour toute application f de T dans F'ₛ, scalairement essentiellement μ-intégrable, l… ↩ 7 098X
Lemme 2 Soit f une application de T dans Fₛ', telle que, pour tout z ∈ F, la fonction numérique ⟨ z, f ⟩ appartienne à Lᵖ(μ) (1 ≤ p ≤ +∞); soit θ(z) la classe de cette fonction dans Lᵖ(μ)… ↩ 1 098Y
Corollaire 1 Soient Gᵢ (1 ≤ i ≤ n) n espaces localement convexes séparés possédant la propriété (GDF), et soit F l’espace des formes multilinéaires séparément continues dans ∏ᵢ₌₁ⁿ Gᵢ, muni de l… ↩ 2 098Z
Corollaire 2 Soient G un espace localement convexe séparé possédant la propriété (GDF), H un espace semi-réflexif dont le dual fort H_b' possède la propriété (GDF) (cf. App., n° 2, prop. 3). So… 0990
Proposition 12 Si F est un espace localement convexe métrisable de type dénombrable, toute application f de T dans F, scalairement μ-mesurable, est aussi μ-mesurable. ↩ 2 0991
Proposition 13 Soit F un espace localement convexe, limite inductive d’une suite d’espaces localement convexes métrisables Fₙ de type dénombrable, F étant réunion des Fₙ. Soit F' le dual de F mun… ↩ 6 0992
Proposition 14 Soient T un espace localement compact, F un espace localement convexe séparé et quasi-complet, f une application continue de T dans F. Si on munit l’espace C'(T) des mesures sur T… ↩ 2 0993
Remarque 1 L’application t → εₜ est un homéomorphisme de T dans l’espace C'(T); en effet, si L est une partie compacte de C(T), et t₀ ∈ T, il existe (chap. X, 2e éd., § 2, no 5, cor. 2 du th… ↩ 1 0994
Remarque 2 On notera que dans la démonstration de la continuité de λ → ∫ f dλ, on n’a pas utilisé le fait que F est quasi-complet. La conclusion de la prop. 14 est donc encore valable sans ce… 0E6Q
Proposition 15 Soient T un espace localement compact, F un espace localement convexe séparé et quasi-complet, f une application continue de T dans F telle que f(T) soit borné. Si on munit l’espac… 0995
Lemme 3 Soient G, H deux espaces localement convexes, U une application d’un espace localement compact T dans L(G; H). Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 1 0996
Proposition 16 Soient G, H deux espaces localement convexes séparés, H étant supposé quasi-complet. Soit U une application de T dans L(G; H) telle que (t, x) → U(t).x soit une application continu… ↩ 2 0997
Proposition 17 Soient G, H, deux espaces localement convexes séparés, H étant supposé quasi-complet. Soit U une application de T dans L(G; H) telle que (t, x) → U(t).x soit continue dans T × G, e… ↩ 1 0998
Proposition 18 Soient G₁, G₂, H₁, H₂ quatre espaces localement convexes séparés, H₁ et H₂ étant supposés quasi-complets. Soient A : G₁ → G₂ et B : H₁ → H₂ deux applications linéaires continues. S… 0999
Remarque 1 Supposons que G et H soient des espaces de Banach, et soit U une application de T dans L(G; H) telle que (t, x) → U(t).x soit continue dans T × G. Notons que cela entraîne que la f… 099A
Remarque 2 Supposons que G = H soit quasi-complet, et que U vérifie les hypothèses de la prop. 16. Soient M une partie partout dense de l’espace C'(T), pour la topologie faible σ(C'(T), C(T))… 099B

§ 2. Mesures vectorielles

Définition 1 Soit F un espace localement convexe séparé sur R. On appelle mesure vectorielle sur T à valeurs dans F toute application linéaire continue de l’espace K(T) dans F. 09A3
Exemple 1 L’application identique de K(T) est une mesure vectorielle sur T à valeurs dans K(T). 09A4
Exemple 2 Soient H un espace hilbertien complexe, L(H) l’algèbre normée des endomorphismes continus de H. Soit A une sous-algèbre de L(H), commutative, fermée, autoadjointe et contenant l’id… 0E6R
Remarque 1 Pour qu’une application linéaire m de K(T) dans F soit une mesure vectorielle, il faut et il suffit que, pour toute partie compacte K de T, l’image par m de la boule unité |f| ≤ 1… 09A5
Remarque 2 Soient T₁ un espace localement compact, F₁ un espace localement convexe séparé sur R, u une application linéaire continue de 𝔍ᵢ(T₁) dans 𝔍ᵢ(T), φ une application linéaire continue… 0E6S
Remarque 3 Comme l’espace 𝔍ᵢ(T) est limite inductive des espaces de Banach 𝔎(T, K), et en particulier est tonnelé (Esp.\ vect.\ top., chap. III, § 1, no 1, cor. de la prop. 1 et no 2, prop. 2… 0E6T
Remarque 4 Compte tenu de la remarque 1, la prop. 1 du chap. III, § 3, no 1 et sa démonstration sont encore valables pour les mesures vectorielles. On peut donc encore définir le support d’un… 0E6U
Proposition 1 Soient m une mesure vectorielle sur T à valeurs dans F, f une fonction numérique sur T, essentiellement intégrable pour m. L’application z' → ∫ f d(z' ∘ m)⁺ - ∫ f d(z' ∘ m)⁻ est un… ↩ 4 09A6
Définition 2 Soient m une mesure vectorielle sur T à valeurs dans F, f une fonction numérique sur T, essentiellement intégrable pour m. On appelle intégrale de f par rapport à m et on note m(f)… 09A7
Exemple Prenons pour m l’application identique de K(T) sur lui-même. Comme le dual de K(T) est l’espace M(T) des mesures scalaires sur T, les fonctions f ∈ L(m) sont celles qui sont essent… 09A8
Proposition 2 Toute fonction numérique f essentiellement intégrable pour m est essentiellement intégrable pour u ∘ m, et on a ∫ f d(u ∘ m) = u ( ∫ f dm ). La proposition est évidente, compte ten… 09A9
Proposition 3 Si l’image par m de l’ensemble des f ∈ K(T) telles que sup_t ∈ T |f(t)| ≤ 1 est faiblement relativement compacte dans F, alors on a ∫ f dm ∈ F pour toute fonction numérique bornée… ↩ 8 09AA
Corollaire 1 Si, pour toute partie compacte K de T, l’image par m de l’ensemble des f ∈ K(T, K) telles que sup_t ∈ T |f(t)| ≤ 1 est relativement faiblement compacte dans F, alors on a ∫ f dm ∈… ↩ 1 09AB
Corollaire 2 Si F est semi-réflexif, on a ∫ f dm ∈ F pour toute fonction numérique f essentiellement intégrable pour m. ↩ 2 09AC
Définition 3 Soit m une mesure vectorielle sur T à valeurs dans F. Si q est une semi-norme semi-continue inférieurement sur F, on dit que m est q-majorable s’il existe une mesure positive μ tel… ↩ 2 09AD
Proposition 4 Soient (Fᵢ)_1 ≤ i ≤ n une famille finie d'espaces localement convexes séparés, F = ∏ᵢ₌₁ⁿ Fᵢ leur produit, qᵢ (1 ≤ i ≤ n) une semi-norme semi-continue inférieurement sur Fᵢ, q la se… 09AE
Corollaire Si l’espace F est de dimension finie, toute mesure vectorielle m à valeurs dans F est majorable. Pour qu’une fonction numérique soit essentiellement intégrable pour m, il faut et i… ↩ 1 09AF
Proposition 5 Soit q une semi-norme semi-continue inférieurement sur F. Soit m une mesure q-majorable, et soit f une fonction essentiellement intégrable pour m et telle que ∫ f dm ∈ F. Alors on… ↩ 2 09AG
Proposition 6 Soient F un espace localement convexe séparé quasi-complet, m une mesure majorable sur T à valeurs dans F. Si f est une fonction numérique essentiellement intégrable pour toutes le… ↩ 2 09AH
Lemme 1 Lorsqu’on munit L₀ et 𝔎(T) de la topologie induite par celle de L¹((μᵢ)_i ∈ I) : a) tout élément de L₀ est adhérent à une partie bornée de 𝔎(T); ↩ 1 09AI
Définition 4 Soit μ une mesure positive sur T. On dit qu'une mesure vectorielle m sur T, à valeurs dans F, est une mesure de base μ s'il existe une application f de T dans F, scalairement local… ↩ 1 09AJ
Proposition 7 Soit f une application scalairement localement intégrable par rapport à une mesure positive μ sur T, telle que, pour toute fonction g ∈ Jᵢ(T), l'on ait ∫ g f dμ ∈ F. Alors l'applic… 09AK
Proposition 8 Soient μ une mesure positive sur T, m une mesure sur T à valeurs dans F, de base μ et de densité f par rapport à μ. Soit q une semi-norme semi-continue inférieurement sur F. ↩ 2 09AL
Remarque Supposons qu’il existe dans A_q' un ensemble dénombrable D dense pour σ(F', F); alors la fonction q ∘ f est toujours μ-mesurable, car on a q(f(t)) = sup_z' ∈ D |⟨ z', f(t) ⟩| (chap… 09AM
Proposition 9 Soit F un espace de Banach de dimension finie. Toute mesure m sur T à valeurs dans F est une mesure de base |m|. Si m = f.|m|, on a |f(t)| = 1 localement presque partout pour |m|… ↩ 2 09AN
Remarque Si z = ∑ᵢ₌₁ⁿ zᵢ eᵢ, |z| = ψ(z₁, …, zₙ) est une fonction continue positivement homogène dans Rⁿ. Si on pose μᵢ = e'ᵢ ∘ m = hᵢ.|m|, on a, par définition (chap. V, § 5, no 9), ψ(μ₁, …… ↩ 1 09AO
Exemple Prenons pour m l’application identique de K(T). Dire que m est scalairement de base μ signifie que toute mesure réelle sur T est de base μ. En particulier, la mesure ponctuelle εₜ… 09AP
Lemme 2 Tout sous-espace G de type dénombrable de l’espace de Banach L^∞(T, μ) possède la propriété de relèvement. ↩ 1 09AQ
Définition 5 Soient F un espace localement convexe séparé, F'ₛ son dual muni de la topologie σ(F', F). On désigne par L_F'ₛ^∞ l’espace vectoriel des applications f de T dans F'ₛ, telles que f s… 09AR
Lemme 3 Soient F un espace localement convexe séparé, f un élément de L_Fₛ^∞. Pour tout z ∈ F, on a ⟨ z, f ⟩ ∈ L^∞, et l’application linéaire z → π(⟨ z, f ⟩) de F dans L^∞ est continue ; s… ↩ 1 09AS
Lemme 4 Soient F un espace localement convexe séparé, f un élément de L_Fₛ^∞. Pour toute fonction numérique g ∈ barL¹, la fonction gf est scalairement essentiellement μ-intégrable et l’on… ↩ 1 09AT
Théorème 1 Soit F un espace localement convexe séparé, contenant une partie dénombrable partout dense. Pour toute fonction f ∈ L_Fₛ^∞ et tout z ∈ F, soit v₁(z) = π(⟨ z, f ⟩) ∈ L^∞ ; l’applica… ↩ 5 09AU
Corollaire 1 Soit F un espace localement convexe séparé contenant une partie dénombrable partout dense. Pour toute fonction f ∈ L_Fₛ^∞, tout z ∈ F et toute fonction g ∈ L¹, soit Φ_f(z, tildeg)… ↩ 2 09AV
Corollaire 2 (théorème de Dunford-Pettis) Soit F un espace localement convexe séparé contenant une partie dénombrable partout dense. Pour toute fonction f ∈ L_Fₛ^∞, et toute fonction g ∈ L¹, soit ω_f(tildeg) = ∫ g f dμ ∈ F… ↩ 3 09AW
Remarque Il est clair que les applications u ∈ R(L¹, F') sont continues pour toute S-topologie sur F' (S recouvrement de F par des parties bornées). Réciproquement, si on suppose en outre F… 09AX
Corollaire 3 Soient F un espace localement convexe séparé contenant une partie dénombrable partout dense, m une mesure vectorielle sur T à valeurs dans le dual faible F' de F. Si l’image par m… ↩ 2 09AY
Corollaire 4 Soient F un espace normé de type dénombrable, m une mesure sur T à valeurs dans le dual fort F', majo- rable pour la norme de F'. Alors m est une mesure de base m, et si m = f.m, o… ↩ 1 09AZ
Proposition 10 Soit F un espace de Banach de type dénombrable. Pour toute fonction f ∈ overlineL¹_F et toute fonction g ∈ L^∞_Fₛ', la fonction numérique ⟨ f, g ⟩ : t → ⟨ f(t), g(t) ⟩ est essentie… ↩ 2 09B0
Proposition 11 Soient F, G, H trois espaces de Banach, Φ une application bilinéaire continue de F × G dans H. Soit m une mesure vectorielle majorable sur T, à valeurs dans G. Il existe alors une… ↩ 1 09B1
Corollaire Si m et m' sont deux mesures majorables sur T, à valeurs dans G, on a I_Φ, m + m' = I_Φ, m + I_Φ, m' et I_Φ, λ m = λ I_Φ, m pour tout scalaire λ. ↩ 1 09B2
Remarque Lorsque m est de la forme bμ, où b ∈ G et μ est une mesure réelle sur T, on a I_Φ, m(f) = ∫ Φ(f(t), b) dμ(t) pour toute fonction f ∈ L_F¹(μ), car les deux membres sont continus dan… 09B3
Définition 5 On appelle mesure complexe sur T toute forme linéaire continue sur l'espace vectoriel complexe K_c(T). 0E6V
Proposition 12 Soient m une mesure complexe sur T, p et q des exposants conjugués (chap. IV, § 6, no 4). La forme bilinéaire (f, g) → ∫ fg dm est définie et continue dans le produit L_cᵖ(m) × L_c… ↩ 2 09B5
Lemme 5 Soient m une mesure complexe sur T, f une fonction m-intégrable complexe. On a ∫ |f| d|m| = sup | ∫ fh dm |, lorsque h parcourt l’ensemble des fonctions de J_c(T) telles que |h(t)|… ↩ 1 09B6
Proposition 13 Soient m une mesure complexe, et μ = |m|. Pour que m soit bornée, il faut et il suffit que μ soit bornée, et on a alors |m| = |μ|. 09B7
Corollaire Soit m une mesure complexe bornée. Toute fonction f ∈ L_F^∞(m) est alors m-intégrable, et on a | ∫ f dm | ≤ N_∞(f) |m|. 09B8

§ 3. Désintégration des mesures

Lemme 1 Si Y est un espace localement compact ayant une base dénombrable, l'espace K(Y) contient une partie dénombrable partout dense. Plus précisément, il existe dans K(Y) une partie déno… ↩ 4 09C0
Lemme 2 Si Y est un espace localement compact ayant une base dénombrable, l'espace de Banach overlineK(Y) des fonctions numériques continues tendant vers 0 au point à l'infini est de type… ↩ 1 09C1
Lemme 3 Soient T et X deux espaces localement compacts à bases dénombrables, μ une mesure positive sur T, t → λₜ une famille de mesures positives sur X. Si l'application t → λₜ est scalair… ↩ 1 09C2
Théorème 1 Soient T et B deux espaces localement compacts ayant des bases dénombrables, μ une mesure positive sur T, p une application μ-propre (chap. V, § 6, no 1, déf. 1) de T dans B, et ν… ↩ 3 09C3
Définition 1 Soient T et B deux espaces localement compacts, μ une mesure positive sur T, p une application μ-mesurable de T dans B. On dit qu’une mesure positive ν sur B est une mesure pseudo-… ↩ 2 09C4
Exemple 1 Si p est μ-propre et si ν = p(μ), ν est pseudo-image de μ par p (chap. V, § 6, no 2, cor. 2 de la prop. 2). 09C5
Exemple 2 Soient B’ un espace localement compact, ν’ une mesure positive sur B’ ; prenons pour T l’espace B × B’ et pour μ la mesure ν ⊗ ν’ ; si p est la projection de T sur B, ν est pseudo-… 0E6W
Proposition 1 Soient T un espace localement compact dénombrable à l’infini, μ une mesure positive sur T, p une application μ-mesurable de T dans un espace localement compact B. Il existe alors u… 09C6
Théorème 2 Soient T et B deux espaces localement compacts ayant des bases dénombrables, μ une mesure positive sur T, p une application μ-mesurable de T dans B, ν une mesure pseudo-image de μ… ↩ 4 09C7
Définition 2 Soient T et B deux espaces localement compacts polonais. Etant données une mesure positive μ sur T, une application μ-mesurable p de T dans B, une mesure pseudo-image ν de μ par p… 09C8
Remarque Le th. 1 du chap. V, § 3, n° 4, montre (compte tenu de ce que T et B ont des bases dénombrables) que pour toute fonction f définie dans T, à valeurs dans overlineR ou dans un espac… 09C9
Définition 3 Soient T un espace localement compact, μ une mesure positive sur T. On dit qu’une relation d’équivalence R dans T est μ-mesurable si l’ensemble des parties compactes K de T, telles… 09CA
Proposition 2 Soient T un espace localement compact dénombrable à l'infini, μ une mesure positive sur T. ↩ 7 09CB
Proposition 3 Soient T un espace localement compact polonais, μ une mesure positive sur T, R une relation d’équivalence dans T. Les propriétés suivantes sont équivalentes : ↩ 1 09CC
Remarque Si R est une relation d’équivalence μ-mesurable dans T, le saturé pour R d’une partie compacte de T n’est pas nécessairement μ-mesurable (exerc. 5). 09CD
Théorème 3 Soient T un espace localement compact ayant une base dénombrable, μ une mesure positive sur T, R une relation d’équivalence μ-mesurable dans T. Il existe alors une partie μ-mesurab… ↩ 2 09CE
Théorème 4 Soient T un espace localement compact polonais, μ une mesure positive sur T, R une relation d’équivalence μ-mesurable dans T. Soient B, B’ deux espaces localement compacts polonais… ↩ 1 09CF

App. 0. Compléments sur les espaces vectoriels topologiques

Proposition 1 Pour qu’une forme bilinéaire Φ ∈ B(E, F) appartienne à B(E, F), il faut et il suffit qu’il existe un voisinage de 0 dans E dont l’image par ᵗΦ soit une partie équicontinue de F'. ↩ 1 09CS
Corollaire Si Φ est une forme bilinéaire continue dans E × F, l'Φ est une application linéaire continue de E dans le dual fort F'_b de F. Si en outre E et F sont normés, on a |l'Φ| = |Φ|. 09CT
Proposition 2 Soient E un espace vectoriel, (F_α)_α ∈ Λ une famille d’espaces localement convexes possédant la propriété (GDF), et pour chaque α ∈ Λ, soit h_α une application linéaire de F_α dan… ↩ 1 09CU
Corollaire Tout espace quotient d’un espace localement convexe possédant la propriété (GDF) possède la propriété (GDF). 09CV
Proposition 3 Le dual fort d’un espace de Fréchet réflexif possède la propriété (GDF). 09CW
Lemme 1 Soient F un espace de Fréchet, F' son dual fort, F'' son bidual. Si toute partie de F'', bornée pour σ(F'', F'), est contenue dans l’adhérence (pour σ(F'', F')) d’une partie bornée… 0E6X

VII. Mesure de Haar

§ 1. Construction d'une mesure de Haar

Définition 1 Soit μ une mesure sur X. a) On dit que μ est invariante par G si γ(s)μ = μ pour tout s ∈ G. 09CY
Remarque 1 Supposons μ invariante. Alors |μ|, Re μ, Iμ sont invariantes. Si μ est réelle, μ⁺ et μ⁻ sont invariantes. 09CZ
Remarque 2 Supposons μ relativement invariante et non nulle. Il existe, pour tout s ∈ G, un nombre complexe χ(s) unique tel que 0E6Y
Remarque 3 Comme |γ(s)μ| = γ(s)(|μ|), dire que μ est quasi-invariante revient à dire que |μ| est quasi-invariante. 0E6Z
Lemme 1 Soient X, Y, Z trois espaces topologiques, Y étant localement compact. Soit (x, y) → xy une application continue de X × Y dans Z, qui définit une application x → uₓ de X dans F(Y… ↩ 7 09D0
Proposition 1 Supposons G localement compact. Soit μ une mesure relativement invariante non nulle sur X. Alors son multiplicateur χ est une fonction continue dans G. ↩ 3 09D1
Définition 2 Soit G un groupe localement compact. On appelle mesure de Haar à gauche (resp. à droite) sur G une mesure positive non nulle sur G, invariante à gauche (resp. à droite). 09D2
Théorème 1 Sur tout groupe localement compact, il existe une mesure de Haar à gauche (resp. à droite), et, à un facteur constant près, il n’en existe qu’une. ↩ 7 09D3
Corollaire Toute mesure invariante à gauche (resp. à droite) sur G est proportionnelle à une mesure de Haar à gauche (resp. à droite). ↩ 1 09D4
Exemple 1 Sur le groupe additif R, la mesure de Lebesgue dx est une mesure de Haar (Chap. III, § 2, n° 2, Exemple). 09D5
Exemple 2 Pour toute fonction f ∈ K(R₊^*), on a (Fonct. var. réelle, chap. II, § 1, formule (13)) 0E70
Exemple 3 Prenons pour G le tore T = R/Z. Soit φ l’application canonique de R sur T. Pour f ∈ H(T), la fonction f ∘ φ est continue et périodique de période 1 sur R, et l’intégrale I(f) = ∫ₐᵃ… 0E71
Proposition 2 Soient G un groupe localement compact, μ une mesure de Haar à gauche ou à droite sur G. Pour que G soit discret, il faut et il suffit que μ(e) > 0. Pour que G soit compact, il faut… ↩ 6 09D6
Définition 3 La fonction Δ_G sur G s'appelle le module de G. Si Δ_G = 1, le groupe G est dit unimodulaire. 09D7
Remarque Si φ est un isomorphisme de G sur un groupe localement compact G', on a Δ_G' ∘ φ = Δ_G. En particulier : 1) Comme x → x⁻¹ est un isomorphisme de G sur le groupe opposé Gᵒ, on a Δ_G… 09D8
Proposition 3 S’il existe dans G un voisinage compact V de e invariant par les automorphismes intérieurs, alors G est unimodulaire. ↩ 1 09D9
Corollaire Si G est discret, ou compact, ou commutatif, G est unimodulaire. 09DA
Définition 4 Le nombre a > 0 tel que φ⁻¹(μ) = aμ s'appelle le module de l'automorphisme φ et se note mod_G φ ou simplement mod φ. 09DB
Proposition 4 Soient G un groupe localement compact, Γ un groupe topologique, et γ → u_γ un homomorphisme de Γ dans le groupe G des automorphismes de G, tel que (γ, x) → u_γ(x) soit une applicat… ↩ 1 09DC
Proposition 5 Soit (Gᵢ)_i ∈ I une famille de groupes localement compacts. Pour tout i ∈ I, soit μᵢ une mesure de Haar à gauche (resp. à droite) sur Gᵢ. On suppose qu'il existe une partie finie J… 09DD
Exemple 1 La mesure de Lebesgue sur Rⁿ est une mesure de Haar du groupe additif Rⁿ. 09DE
Exemple 2 L’application (r, u) → ru est un isomorphisme de R₊^* × U sur C^* (Top. gén., chap. VIII, § 1, no 3). Si on identifie C^* à R₊^* × U par cet isomorphisme, et si on note du une mesu… 0E72
Lemme 2 a) Soient f ∈ K₊(G), S une partie compacte de G contenant Supp\ f, U un voisinage ouvert de S dans G, et ε > 0. Il existe un α ∈ A et une fonction g ∈ K₊(G), nulle hors de U, const… 0E73
Proposition 6 Pour tout α ∈ A, soit μ_α une mesure positive sur G_α. On suppose que φ_βα(μ_α) = μ_β pour α ≥ β. Il existe alors une mesure positive μ sur G et une seule telle que φ_α(μ) = μ_α po… ↩ 2 09DF
Définition 5 On dit que μ est la limite projective des μ_α. 09DG
Proposition 7 On conserve les notations de la prop. 6. Si chaque μ_α est une mesure de Haar à gauche (resp. à droite) sur G_α, alors μ est une mesure de Haar à gauche (resp. à droite) sur G. 09DH
Proposition 8 a) Soient μ et μ' deux mesures positives sur G telles que, pour tout α et toute classe C suivant K_α, on ait μ(C) = μ'(C). Alors μ = μ'. ↩ 1 09DI
Exemple Soit Qₚ le corps p-adique, complété de Q pour la valeur absolue p-adique |x|ₚ = p^-vₚ(x) (Top. Gén., chap. IX, 2e éd., § 3, n° 2). Les éléments de Qₚ s'appellent nombres p-adiques… 09DJ
Proposition 9 Soient G un groupe localement compact, V une partie ouverte de G, μ une mesure positive non nulle sur V, ayant la propriété suivante : si U est une partie ouverte de V et si s ∈ G… ↩ 2 09DK
Corollaire Soient G, G' deux groupes localement compacts, V (resp. V') un voisinage ouvert de l’élément neutre de G (resp. G'), φ un isomorphisme local de G' à G (Top. Gén., chap. III, § 1, n… ↩ 1 09DL
Exemple La mesure de Haar sur T obtenue au no 2, Exemple 3, peut se déduire de la mesure de Lebesgue de R par un isomorphisme local de R à T. 09DM
Proposition 10 Soient G un groupe localement compact, μ une mesure relativement invariante à gauche de multiplicateur χ sur G. Si χ₁ est une représentation continue de G dans C^*, la mesure χ₁.μ… ↩ 2 09DN
Corollaire 1 Soit μ une mesure de Haar à gauche sur G. Pour qu'une mesure non nulle ν sur G soit relativement invariante à gauche, il faut et il suffit qu'elle soit de la forme a χ · μ, où a ∈… ↩ 4 09DO
Corollaire 2 Toute mesure relativement invariante à gauche est relativement invariante à droite. 09DP
Proposition 11 Soient G un groupe localement compact, μ une mesure de Haar à gauche sur G. Pour qu'une mesure ν ≠ 0 sur G soit quasi-invariante à gauche, il faut et il suffit que ν soit équivalen… ↩ 2 09DQ
Définition 6 Soit K un corps localement compact. Pour a ∈ K^*, on appelle module de a, et on note mod_K(a) ou simplement mod(a), le module de l’automorphisme x → ax du groupe additif K⁺ sous-ja… 09DR
Exemple 1 Soit K = R. Si s > 0, on a s · (0,1) = (0,s); si s < 0, on a s · (0,1) = (s,0). Donc mod_R t = |t| pour tout t ∈ R. 09DS
Exemple 2 Soit K = Qₚ. Si s ∈ Qₚ^* est tel que |s|ₚ = p⁻ⁿ, alors s Zₚ est l’ensemble des x ∈ Qₚ tels que |x|ₚ ≤ p⁻ⁿ; donc, si on désigne par μ la mesure de Haar normalisée sur Qₚ, on a μ(s Z… 0E74
Proposition 12 La fonction mod est continue dans K, et on a mod(ab) = mod(a)mod(b) quels que soient a, b dans K. ↩ 2 09DT
Proposition 13 Pour tout M > 0, soit V_M l’ensemble des x ∈ K tels que mod(x) ≤ M. Si K est non discret, les V_M forment un système fondamental de voisinages compacts de 0 dans K. 09DU
Corollaire La topologie d’un corps localement compact non discret admet une base dénombrable. ↩ 3 09DV
Proposition 14 Soit α une mesure de Haar sur K⁺. Alors la mesure β = (mod_K)⁻¹ · α sur K^* est une mesure de Haar à gauche sur le groupe multiplicatif K^*. ↩ 2 09DW
Corollaire Soit f une fonction définie dans K^*, à valeurs dans overlineR ou dans un espace de Banach. Pour que f soit β-intégrable, il faut et il suffit que (mod_K)⁻¹f soit α-intégrable, et… 09DX
Proposition 15 Supposons K commutatif. Soit u un automorphisme de l’espace vectoriel E = Kⁿ. Alors ↩ 5 09DY
Corollaire 1 Soient K un corps localement compact commutatif, E un espace vectoriel de dimension finie sur K, et u un endomorphisme de l'espace vectoriel E. On a mod_E(u) = mod_K(det u). Si u e… ↩ 3 09DZ
Corollaire 2 Soient E un espace vectoriel réel de dimension finie n, (e₁, e₂, …, eₙ) une base de E, P l'ensemble des x = ∑ᵢ₌₁ⁿ ξᵢ eᵢ ∈ E tels que 0 ≤ ξᵢ ≤ 1 pour tout i, μ l'unique mesure de Ha… 09E0
Proposition 16 Soit α une mesure de Haar du groupe additif de A. Les mesures ↩ 1 09E1
Proposition 17 Supposons que A soit un corps (localement compact). Pour tout a ∈ A, on a mod_A(a) = mod_K N_A/K(a). ↩ 1 09E2
Exemple 1 Prenons K = R, A = C. Compte tenu d'Alg., chap. VIII, § 12, n° 2, prop. 4, on obtient mod_C(z) = |z|² pour tout z ∈ C. 09E3
Exemple 2 Prenons K = R, et pour A le corps des quaternions H (Top. Gén., chap. VIII, 3e éd., § 1, n° 4). Considérons les éléments suivants de M₂(C): 0E75

§ 2. Quotient d'un espace par un groupe ; espaces homogènes

Proposition 1 Soit f une fonction numérique continue sur X dont le support S ait une intersection compacte avec le saturé de toute partie compacte de X. ↩ 5 09EY
Proposition 2 L’application f → f^χ de K(X) dans K^χ(X) est linéaire, et l’image de K(X) (resp. K₊(X)) est K^χ(X) (resp. K₊^χ(X)). ↩ 6 09EZ
Lemme 1 Soient K une partie compacte de X, u une fonction de K₊(X), avec u(x) > 0 pour x ∈ K. Soit g ∈ K^χ(X) telle que Supp g ⊂ KH. ↩ 2 09F0
Proposition 3 Soit μ une mesure sur X. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 3 09F1
Remarque 1 On va montrer que l’application f → fᵇ est un morphisme strict (Top. gén., chap. III, 3e éd., § 2, n° 8) de K(X) sur K(X/H). 09F2
Proposition 4 a) Soit λ une mesure sur X/H. Il existe une mesure λ^# et une seule sur X telle que ↩ 5 09F3
Définition 1 Les hypothèses et les notations étant celles de la prop. 4, λ s'appelle le quotient de μ par β et se note μ/β ou μ/β. 09F4
Remarque 2 Soit E un espace vectoriel localement convexe et soit m une mesure vectorielle sur X/H, à valeurs dans E. L'application f → m(fᵇ) de K(X) dans E est alors une mesure vectorielle su… 09F5
Lemme 2 Soit f une fonction sur X, à valeurs dans un espace topologique. a) Si f est une fonction numérique ≥ 0, on a, pour x ∈ X ∫_X^* f(y)dβ_dotx(y) = ∫_H^* f(xξ)dβ(ξ) (dotx = π(x)). b)… ↩ 1 09F6
Proposition 5 Soit λ une mesure positive sur X/H. ↩ 6 09F7
Proposition 6 Soit λ une mesure positive sur X/H. a) Soit N une partie de X/H. Pour que N soit localement λ-négligeable, il faut et il suffit que π⁻¹(N) soit localement λ^#-négligeable. b) Soit… ↩ 6 09F8
Corollaire 1 Soient λ, λ' deux mesures positives sur X/H. Pour que λ' soit de base λ, il faut et il suffit que λ'^* soit de base λ^*. Pour que λ et λ' soient équivalentes, il faut et il suffit… ↩ 3 09F9
Corollaire 2 Soient λ une mesure positive sur X/H, et f une fonction numérique λ^*-mesurable sur X. On suppose que, pour tout ξ ∈ H, on ait δ(ξ)f = f localement λ^*-presque partout. Alors il ex… ↩ 1 09FA
Corollaire 3 a) Soit (λᵢ)_i ∈ I une famille de mesures réelles sur X/H. Pour que la famille (λᵢ) soit majorée dans M(X/H), il faut et il suffit que la famille (λᵢ^#) soit majorée dans M(X), et… ↩ 2 09FB
Remarque 1 La prop. 6 a) peut s’exprimer en disant que λ est une mesure pseudo-image de λ^# par π (chap. VI, § 3, no 2, déf. 1). 09FC
Remarque 2 Supposons H compact et β normalisée. Le saturé de toute partie compacte de X est compact. Donc, si f ∈ K(X/H), on a f ∘ π ∈ K(X); et, pour toute mesure positive λ sur X/H, la prop… ↩ 1 09FD
Remarque 3 Le cor. 3 c) de la prop. 6 montre aussitôt que les résultats de ce n° restent valables dans le cas des mesures complexes (sauf ceux qui font intervenir l’intégrale supérieure). 09FE
Remarque 4 Soit m une mesure vectorielle sur X/H à valeurs dans E et soit q une semi-norme semi-continue inférieurement sur E. Pour que m soit q-majorable (chap. VI, § 2, n° 3, déf. 3), il fa… 09FF
Proposition 7 Supposons X/H paracompact. Soit χ une représentation continue de H dans R₊^*. ↩ 2 09FG
Proposition 8 Supposons X/H paracompact. Il existe une fonction h ≥ 0 continue dans X, dont le support a une intersection compacte avec le saturé de toute partie compacte de X, et telle que hᵇ =… ↩ 5 09FH
Remarque 1 En particulier, soit X un espace localement compact sur lequel opère à droite, continûment et proprement, un groupe discret D; supposons X/D paracompact. Alors il existe sur X une… 09FI
Remarque 2 Conservons les hypothèses et les notations de la prop. 8. L’application g → h . (g ∘ π) est une application continue de K(X/H) dans K(X) qui est inverse à droite de l’application f… 09FJ
Proposition 9 On conserve les hypothèses et les notations de la prop. 8. Soit λ une mesure positive sur X/H. ↩ 3 09FK
Corollaire L’application linéaire continue f → fᵇ de L¹(X, λ^*) dans L¹(X/H, λ) définie par la prop. 5 est surjective. 09FL
Remarque 3 Supposons X/H paracompact et gardons les notations de la proposition 9. L’application k → h(k ∘ π) de L¹(X/H, λ) dans L¹(X, λ^#) est alors isométrique d’après (14) et est inverse à… 09FM
Lemme 3 Soient G un groupe localement compact, μ une mesure de Haar à gauche sur G, ν et ν' deux mesures non nulles quasi-invariantes sur G. Si, pour tout s ∈ G, les densités de γ(s)ν par… ↩ 1 09FN
Lemme 4 Soient λ une mesure ≠ 0 sur G/H et μ une mesure de Haar à gauche sur G. Les propriétés suivantes sont équivalentes : ↩ 1 09FO
Théorème 1 Soient G un groupe localement compact, H un sous-groupe fermé de G. 09FP
Lemme 5 Soient μ une mesure de Haar à gauche sur G, et ρ une fonction localement μ-intégrable. Pour que ρ.μ soit de la forme λ^#, il faut et il suffit que, pour tout ξ ∈ H, on ait 09FQ
Théorème 2 Soient G un groupe localement compact, H un sous-groupe fermé de G, μ une mesure de Haar à gauche sur G, β une mesure de Haar à gauche sur H. ↩ 2 09FR
Remarque 1 On déduit de la remarque 1 du n° 3 que les mesures quasi-invariantes non nulles sur G/H ne sont autres que les mesures pseudo-images par π d'une mesure de Haar sur G. 09FS
Remarque 2 Si G est un groupe de Lie, nous verrons plus tard qu'on peut choisir la fonction ρ du th. 2 indéfiniment différentiable. 09FT
Lemme 6 Soient λ une mesure sur G/H, χ une représentation continue de G dans C^*. Les propriétés suivantes sont équivalentes : ↩ 2 09FU
Théorème 3 Soient G un groupe localement compact, H un sous-groupe fermé de G, μ (resp. β) une mesure de Haar à gauche sur G (resp. H), χ une représentation continue de G dans C^*. ↩ 6 09FV
Corollaire 1 Pour qu’il existe sur G/H une mesure positive non nulle relativement invariante par G, il faut et il suffit qu’il existe une représentation continue de G dans R₊^* prolongeant la r… ↩ 1 09FW
Corollaire 2 Pour qu’il existe sur G/H une mesure positive non nulle invariante par G, il faut et il suffit que Δ_G coïncide avec Δ_H sur H. ↩ 1 09FX
Corollaire 3 On suppose que H est unimodulaire et qu’il existe sur G/H une mesure positive bornée non nulle ν relativement invariante par G. Alors ν est invariante, et G est unimodulaire. ↩ 1 09FY
Proposition 10 Soient G un groupe localement compact, G' un sous-groupe distingué fermé, G'' le groupe G/G', π l'application canonique de G sur G/G', α, α', α'' des mesures de Haar à gauche sur G… ↩ 7 09FZ
Proposition 11 On conserve les notations de la prop. 10. Soit u un automorphisme de G tel que u(G') = G'. Soient u' la restriction de u à G', et u'' l'automorphisme de G'' déduit de u par passage… ↩ 2 09G0
Corollaire Pour tout x ∈ G, on a 09G1
Lemme 7 Soient K une partie compacte de X/H', et L une partie compacte de X. Alors ⋃_x ∈ L ωₓ⁻¹(K) est relativement compact dans H/H'. 09G2
Proposition 12 On a ↩ 1 09G3
Corollaire 1 a) Soit f une fonction sur X/H', à valeurs dans un espace de Banach ou dans overlineR, intégrable pour μ/β'. Il existe une partie (μ/β)-négligeable N de X/H ayant la propriété suiv… 0E76
Corollaire 2 Soient G un groupe localement compact, A et B des sous-groupes fermés de G tels que A ⊃ B. On suppose qu'il existe, sur l'espace homogène G/B des classes à gauche suivant B, une me… 0E77
Proposition 13 Supposons en outre Z compact. Soient μ_G, μ_X, μ_Y des mesures de Haar à gauche sur G, X, Y, et Λ la restriction de Δ_G à Y. Alors la restriction μ de μ_G à Ω est, à un facteur con… ↩ 5 09G6
Corollaire Soit f une fonction définie dans Ω, à valeurs dans un espace de Banach ou dans overlineR. Pour que f soit μ-intégrable, il faut et il suffit que la fonction (x, y) → f(xy)Δ_G(y)Δ_Y… 09G7
Proposition 14 Supposons que les conditions de la prop. 13 soient remplies et en outre que Y soit distingué. a) La restriction de μ_G à Ω est, à un facteur constant près, l'image de μ_X ⊗ μ_Y par… ↩ 3 09G8
Remarque La prop. 14 s’applique en particulier quand G est produit semi-direct topologique de X par Y (Top. Gén., chap. III, 3e éd., § 2, n° 10). Dans ce cas, Z = e et Ω = G. Comme yx = xiₓ… 09G9
Définition 2 Soit F \subset X. On dit que F est un domaine fondamental (pour H) si la restriction de \pi à F est une bijection de F sur X/H (autrement dit si F est un système de représentants p… 09GA
Lemme 8 Soit F un domaine fondamental. Pour tout x \in X, on a ↩ 2 09GB
Proposition 15 On suppose X dénombrable à l'infini. Soit \mu une mesure \geqslant 0 sur X. Soit F un domaine fondamental tel que Fs soit \mu-mesurable pour tout s \in H. Soit f une fonction \mu-i… ↩ 1 09GC
Théorème 4 Soient X un espace localement compact dénombrable à l'infini, H un groupe discret opérant à droite continûment et proprement dans X, π l'application canonique de X sur X/H, μ une m… ↩ 2 09GD
Corollaire On conserve les hypothèses et les notations du th. 4. Soit F' un second domaine fondamental μ-mesurable. 09GE

§ 3. Applications et exemples

Proposition 1 Soit G un sous-groupe de Aut(E). Les trois propriétés suivantes sont équivalentes : (i) G est relativement compact dans End(E) ; (ii) G est relativement compact dans Aut(E) ; ↩ 2 09GS
Lemme 1 Soient F un espace hilbertien, K un groupe compact, et s → U(s) une représentation de K dans le groupe des éléments inversibles de L(F ; F), continue pour la topologie de la conver… 09GT
Remarque Soit Φ une forme hermitienne positive non dégénérée sur E. Le groupe unitaire U(Φ) est fermé dans Aut(E), donc compact (prop. 1). La prop. 1 montre aussi que tout sous-groupe compa… 09GU
Proposition 2 Soit X un espace localement compact dans lequel un groupe localement compact H opère à droite, continûment et proprement, par (x, ξ) → xξ. Supposons X/H paracompact. Soit g une rep… ↩ 2 09GV
Corollaire Soit X un espace localement compact dans lequel un espace vectoriel réel V de dimension finie opère à droite, continûment et proprement, par (x, v) → xv. Soit π l’application canon… ↩ 1 09GW
Remarque Soient E un espace affine réel de dimension finie, T un espace compact, μ une mesure de masse totale 1 sur T, f une application continue de T dans E. Si on choisit une origine a da… 09GX
Lemme 2 Soient G un groupe compact, μ la mesure de Haar normalisée de G, E un espace affine de dimension finie, A le groupe affine de E, varrho un homomorphisme de G dans A. On suppose que… ↩ 3 09GY
Proposition 3 Soit G un groupe localement compact. Soit H un sous-groupe distingué fermé de G, isomorphe à Rⁿ et tel que G/H soit compact. ↩ 1 09GZ
Proposition 4 Soient G un groupe localement compact et H un sous-groupe distingué fermé de G tel que K = G/H soit compact. Alors toute représentation continue u de H dans R, telle que u(sξ s⁻¹)… ↩ 1 09H0
Lemme 3 Soit G un groupe topologique engendré par un voisinage compact de e. Soit H un sous-groupe fermé de G tel que l’espace homogène G/H soit compact. Alors, H est engendré par un voisi… 09H1
Lemme 4 Soient G un groupe topologique connexe, D un sous-groupe totalement discontinu distingué de G. Alors D est contenu dans le centre de G. 09H2
Proposition 5 Soit G un groupe topologique connexe admettant un sous-groupe distingué discret D tel que K = G/D soit compact, et que le groupe des commutateurs de K soit dense dans K. Alors D es… 09H3
Exemple 1 Groupe linéaire. ↩ 3 09H4
Lemme 5 Les représentations continues de GL(n, K) dans C^* sont les applications de la forme X → χ(det X), où χ est une représentation continue de K^* dans C^*. ↩ 1 09H5
Exemple 2 Groupe affine. Pour tout X ∈ GL(n, K) et tout x ∈ Kⁿ, soit (X, x) l’application linéaire affine ξ → Xξ + x dans Kⁿ. L’ensemble des (X, x) est le groupe affine G de Kⁿ (Alg., chap… 09H6
Exemple 3 Groupe trigonal strict. ↩ 1 09H7
Lemme 6 Soit L un ensemble fini totalement ordonné. Pour tout λ ∈ L, soit V_λ un module libre de dimension finie sur un anneau commutatif k; pour λ, μ dans L tels que λ ≤ μ, soit f_λ μ ∈ H… ↩ 2 09H8
Exemple 4 Groupe trigonal large. ↩ 2 09H9
Remarque Le groupe T(n, K)^* est un sous-groupe fermé de GL(n, K), et Δ_T(n, K)^*((zᵢⱼ)) = ∏ᵢ₌₁ⁿ (mod zᵢᵢ)^2i-n-1. On a vu dans l’exemple 1 que Δ_GL(n, K) = 1. Si n > 1, la fonction 09HA
Exemple 5 Groupe trigonal spécial. 09HB
Exemple 6 Groupe linéaire spécial. ↩ 1 09HC
Lemme 7 a) Soit U = (uᵢⱼ) ∈ GL(n, K). Pour que U ∈ Ω, il faut et il suffit que det(uᵢⱼ)_k ≤ i, j ≤ n ≠ 0 pour k = 2, 3, …, n. b) Ω est une partie ouverte de GL(n, K). c) L’application φ es… ↩ 2 09HD
Lemme 8 a) Soit U = (uᵢⱼ) ∈ SL(n, K). Pour que U ∈ Ω', il faut et il suffit que det(uᵢⱼ)_k ≤ i,j ≤ n ≠ 0 pour k = 2, 3, …, n. b) Ω' est une partie ouverte de SL(n, K). c) L’application ψ e… ↩ 1 09HE
Proposition 6 a) Le groupe SL(n, K) est unimodulaire. b) Soient μ₁, μ₂ des mesures de Haar à gauche sur le groupe trigonal strict supérieur T₁(n, K) et sur le groupe trigonal spécial inférieur G… ↩ 1 09HF
Lemme 9 Soit ψ un polynôme ≠ 0 de K[X₁, …, Xᵣ]. Dans l’espace Kʳ, l’ensemble N défini par ψ(x₁, …, xᵣ) = 0 est négligeable pour la mesure de Haar. 09HG
Exemple 7 Décomposition d’Iwasawa de GL(n, K). 09HH
Lemme 10 Soit (f₁, f₂, …, fₙ) une base de E. a) Il existe une base orthonormale (e₁, e₂, …, eₙ) et une seule de E telle qu’on ait fᵢ = e₁ αᵢ₁ + e₂ αᵢ₂ + … + eₙ αᵢₙ (i = 1, 2, …, n) avec αᵢᵢ… ↩ 1 09HI
Proposition 7 Soit D_*⁺ le groupe des matrices diagonales à éléments > 0. L’application (U, D, T) → UDT est un homéomorphisme de U(n, K) × D^*₊ × T₁(n, K) sur GL(n, K). 09HJ
Exemple 8 Espaces de formes hermitiennes. 09HK

App. 1.

Lemme 1 Soient X un espace localement compact, R une relation d'équivalence ouverte dans X, telle que l'espace quotient X/R soit paracompact ; soit π l'application canonique de X sur X/R… 09HX
Lemme 2 Soient G un groupe localement compact dénombrable à l'infini, M un espace de Baire. Supposons que G opère à gauche continûment et transitiivement dans M. Pour tout x \in M, soit Hx… 09HY

App. 2.

Lemme 1 Soient X, B deux espaces localement compacts, π une application de X dans B, ν une mesure positive sur B. Soit b → λ_b (b ∈ B) une famille ν-adéquate de mesures positives sur X tel… 09HZ

VIII. Convolution et représentations

§ 1. Convolution

Définition 1 Soient X₁, …, Xₙ des espaces localement compacts, μᵢ une mesure sur Xᵢ (1 ≤ i ≤ n) ; soient X le produit des Xᵢ, μ celui des μᵢ. Soit φ une application de X dans un espace localeme… 09I0
Exemple 1 Pour φ quelconque, les mesures ε_xᵢ, où xᵢ ∈ Xᵢ pour 1 ≤ i ≤ n, sont toujours convolables et ont pour produit de convolution ε_y, avec y = φ(x₁, x₂, …, xₙ). Par suite, si chacune d… 09I1
Exemple 2 Soit M un monoïde muni de la topologie discrète ; supposons que, pour tout m ∈ M, il n’y ait qu’un ensemble fini de couples (m', m'') ∈ M × M tels que m'm'' = m; cela revient à dir… 0E78
Exemple 3 Soient X, Y, Z des espaces localement compacts, φ une application continue de X × Y dans Z. Si x ∈ X et si μ est une mesure sur Y, dire que εₓ et μ sont φ-convolables revient à dir… 0E79
Lemme 1 Pour 1 ≤ i ≤ n, soient Xᵢ, Yᵢ deux espaces localement compacts, μᵢ une mesure sur Xᵢ, φᵢ une application continue de Xᵢ dans Yᵢ. Soient X = ∏ᵢ Xᵢ, Y = ∏ᵢ Yᵢ, μ = ⨂ᵢ μᵢ, et φ l’appl… ↩ 1 09I2
Lemme 2 Soient T, T', T'' trois espaces localement compacts, μ une mesure sur T, π une application μ-mesurable de T dans T', π' une application continue de T' dans T'', et π'' = π' ∘ π. Si… ↩ 1 09I3
Proposition 1 Soient Xᵢⱼ (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ nᵢ), Yᵢ (1 ≤ i ≤ m), Z des espaces localement compacts ; pour chaque i, soit φᵢ une application de Xᵢ = ∏ⱼ Xᵢⱼ dans Yᵢ ; soit φ l’application de X =… ↩ 2 09I4
Corollaire Soient Xᵢ, X'ᵢ (1 ≤ i ≤ n), Y, Y' des espaces localement compacts ; soient φ, φ' des applications continues de X = ∏ᵢ Xᵢ dans Y et de X' = ∏ᵢ X'ᵢ dans Y', respectivement ; soient f… ↩ 1 09I5
Proposition 2 Soient X₁, …, Xₙ, Y des espaces localement compacts, μᵢ une mesure bornée sur Xᵢ (1 ≤ i ≤ n), μ le produit des μᵢ, φ une application μ-mesurable de ∏ᵢ Xᵢ dans Y. Alors les μᵢ sont… ↩ 3 09I6
Proposition 3 Soient X₁, …, Xₙ, Y des espaces localement compacts, φ une application continue de ∏ᵢ₌₁ⁿ Xᵢ dans Y. Alors l’application (μ₁, …, μₙ) → *_φ μᵢ de ∏ᵢ₌₁ⁿ M¹(Xᵢ) dans M¹(Y) est multilin… 09I7
Proposition 4 Soient X₁, …, Xₙ, Y des espaces localement compacts, μᵢ une mesure sur Xᵢ (1 ≤ i ≤ n), Sᵢ son support, φ une application continue de ∏ᵢ Xᵢ dans Y telle que la restriction de φ à ∏ᵢ… ↩ 6 09I8
Proposition 5 Soient X₁, …, Xₙ, Y des espaces localement compacts, μᵢ une mesure sur Xᵢ (1 ≤ i ≤ n), μ le produit des μᵢ, φ une application μ-propre de ∏ᵢ Xᵢ dans Y, et Sᵢ le support de μᵢ. 09I9
Corollaire Si φ est continue, et si les μᵢ sont à support compact, les μᵢ sont convolables et *ᵢ μᵢ est à support compact. ↩ 2 09IA
Proposition 6 Soient X, Y, Z des espaces localement compacts, φ une application continue de X × Y dans Z, et λ, μ des mesures sur X, Y. Pour que λ et μ soient φ-convolables, il faut et il suffit… ↩ 1 09IB
Proposition 7 Soient X, Y, Z des espaces localement compacts, φ une application continue de X × Y dans Z, et λ, μ des mesures sur X, Y. On suppose que, pour tout x ∈ X, εₓ et μ sont φ-convolable… ↩ 3 09IC

§ 2. Représentations linéaires des groupes

Définition 1 (i) On dit que U est séparément continue si, pour tout s ∈ G, U(s) est un endomorphisme continu de E, et si, pour tout x ∈ E, l’application s → U(s)x de G dans E est continue. 09IF
Remarque 1 Dire que U est séparément continue signifie que s → U(s) est une application continue de G dans l’espace L(E; E) des endomorphismes continus de E, muni de la topologie de la conver… ↩ 1 09IG
Remarque 2 Dire que U est continue équivaut à l’ensemble des trois conditions suivantes : ↩ 4 09IH
Remarque 3 Supposons que U soit une représentation linéaire continue G dans E. Pour tout s ∈ G, soit widehatU(s) le prolongement continu de U(s) au complété widehatE de E. Alors widehatU est… 09II
Remarque 4 Si E est un espace normé, on dit que U est isométrique lorsque |U(s)| = 1 pour tout s ∈ G. Il suffit pour cela que |U(s)| ≤ 1 pour tout s ∈ G, car on a alors 09IJ
Proposition 1 Si G est localement compact et si E est tonnelé, toute représentation linéaire U séparément continue de G dans E est continue. ↩ 3 09IK
Lemme 1 Soient G un groupe localement compact, ρ une fonction finie semi-continue inférieurement ≥ 0 sur G telle que ρ(st) ≤ ρ(s)ρ(t) quels que soient s, t dans G. Alors ρ est majorée dans… 09IL
Lemme 2 Soient G un groupe topologique, U une représentation linéaire de G dans un espace normé E, A une partie partout dense de E. On suppose que, pour tout s ∈ G, U(s) est continu et que… 09IM
Proposition 2 Soient G un groupe localement compact, U une représentation linéaire de G dans un espace normé E. Soit A une partie partout dense de E. On suppose que, pour tout s ∈ G, U(s) est co… ↩ 2 09IN
Lemme 3 Soient X un espace localement compact, Y et Z des espaces topologiques, φ une application continue de X × Y dans Z, φₓ l’application y → φ(x, y) de Y dans Z. Les espaces C(Y), C(Z)… ↩ 2 09IO
Proposition 3 (i) Si U est séparément continue, ᵗU est séparément continue lorsqu’on munit E’ de la topologie faible σ(E', E). ↩ 1 09IP
Proposition 4 Les représentations linéaires γ_χ de G dans C(X) et K(X) sont continues. 09IQ
Proposition 5 Supposons que chaque fonction χ(s, .) soit bornée. Alors γ_χ laisse stable K(X), et la représentation linéaire γ_χ de G dans K(X) est continue. 09IR
Proposition 6 Si l’on munit M(X) (resp. C'(X)) de la topologie de la convergence uniforme dans les parties compactes de H(X) (resp. C(X)), la représentation linéaire γ_χ de G dans M(X) (resp. C'… ↩ 1 09IS
Proposition 7 Supposons que chaque fonction χ(s, .) soit bornée. Alors γ_χ laisse stable M¹(X) et, si l’on munit M¹(X) de la topologie de la convergence uniforme dans les parties compactes de ov… 09IT
Proposition 8 La représentation linéaire γ_χ,p de G dans L_cⁿ(X, β) est continue et isométrique. ↩ 2 09IU
Proposition 9 Supposons que chaque fonction χ(s, .) soit bornée. Alors γ_χ laisse stable L_cᵖ(X, β), et la représentation linéaire γ_χ de G dans L_cᵖ(X, β) est continue. ↩ 3 09IV
Lemme 4 Soient T un espace localement compact, a un point de T, M une partie de M(T), 𝔉 un filtre sur M. On suppose que : ↩ 2 09IW
Corollaire 1 Les hypothèses étant celles du lemme 4, supposons de plus qu’il existe une partie compacte K₀ de T contenant les supports de toutes les mesures μ ∈ M. Alors 𝔉 converge aussi vers ε… ↩ 3 09IX
Corollaire 2 Les hypothèses étant celles du cor. 1, soit f une application continue de T dans un espace localement convexe quasi-complet E. On a lim_μ,𝔉 ∫ f(t)dμ(t) = f(a). Ceci résulte du cor… ↩ 1 09IY
Corollaire 3 Soient G un groupe localement compact, E un espace localement convexe quasi-complet, U une représentation linéaire continue de G dans E. Soient β une mesure positive sur G, a un él… ↩ 4 09IZ
Proposition 10 Soient G un groupe localement compact, E un espace localement convexe quasi-complet, U une représentation linéaire continue de G dans E, β une mesure positive sur G de support G. 09J0

§ 3. Convolution des mesures sur les groupes

Proposition 1 Soient G un groupe localement compact, λ, μ, ν des mesures ≠ 0 sur G. (i) Si λ, μ, ν sont convolables, il en est de même de λ et μ, de |λ| * |μ| et ν, de μ et ν, de λ et |μ| * |ν|… ↩ 1 09JB
Proposition 2 (i) Deux éléments quelconques de M^ρ(G) sont convolables. 09JC
Proposition 3 Soient μ₁, …, μₙ des mesures sur G. Si toutes les μᵢ, sauf une au plus, sont à support compact, alors les μᵢ sont convolables. 09JD
Proposition 4 L’application (λ, μ) → λ * μ (resp. (λ, μ) → μ * λ) où λ ∈ C'(G), μ ∈ M(G), définit sur M(G) une structure de module à gauche (resp. à droite) sur l’algèbre C'(G). 09JE
Proposition 5 Soient λ une mesure de Haar à gauche (resp. à droite) sur G, et μ ∈ M¹(G). Alors μ et λ (resp. λ et μ) sont convolables, et μ * λ = | μ | λ (resp. λ * μ = | μ | λ). ↩ 1 09JF
Proposition 6 Soient μ et ν deux mesures convolables sur G. Soit χ une représentation continue de G dans C^*. Alors χ . μ et χ . ν sont convolables et (χ . μ) * (χ . ν) = χ . (μ * ν). ↩ 2 09JG
Proposition 7 Soient G et G' deux groupes localement compacts, u une représentation continue de G dans G', μ₁, …, μₙ des mesures sur G, toutes ≠ 0. Alors les assertions suivantes sont équivalent… ↩ 1 09JH
Corollaire Soient G un groupe localement compact, μ₁, …, μₙ des mesures sur G. Pour que la suite (μᵢ)_1 ≤ i ≤ n soit convolvable, il faut et il suffit que la suite (checkμₙ₋ᵢ)_0 ≤ i ≤ n-1 le… 09JI
Proposition 8 Soient μ une mesure sur G, ν une mesure sur X. (i) Si μ est à support compact, μ et ν sont convolvables. (ii) Si ν est à support compact, et si G opère proprement dans X, μ et ν so… ↩ 5 09JJ
Proposition 9 Pour la convolution, M¹(X) est un module à gauche sur M¹(G), M(X) et C'(X) sont des modules à gauche sur C'(G). ↩ 1 09JK
Proposition 10 Soient μ une mesure sur G, ν une mesure sur X, μ et ν étant convolables. Supposons de plus qu’il existe une mesure positive β sur X telle que γ(s)ν soit de base β quel que soit s ∈… ↩ 2 09JL
Proposition 11 Soient G un groupe localement compact, E un espace localement convexe quasi-complet, U une représentation continue de G dans E. ↩ 1 09JM
Proposition 12 Si λ ∈ C'(G) et μ ∈ M(X), on a ↩ 2 09JN
Corollaire L’application (λ, μ) → λ * μ de C'(G) × M(X) dans M(X) est hypocontinue relativement aux parties équicontinues de C'(G) et aux parties compactes de M(X) (C'(G) et M(X) étant respec… ↩ 1 09JO
Remarque 1 Soit λ₀ ∈ C'(G). L’application μ → λ₀ * μ de M(X) dans M(X) est vaguement continue. En effet, soit f ∈ K(X). On a ⟨ λ₀ * μ, f ⟩ = ∫ f(sx)dλ₀(s)dμ(x) = ⟨ μ, g ⟩ en posant g(x) = ∫ f… ↩ 2 09JP
Remarque 2 Soit μ₀ ∈ M(X). L’application λ → λ * μ₀ de C'(G) dans M(X) est continue pour les topologies σ(C'(G), C(G)) et σ(M(X), K(X)). En effet, soit f ∈ K(X). On a ⟨ f, λ * μ₀ ⟩ = ⟨ h, λ ⟩… 0E7A
Proposition 13 L’application (s, μ) → γ(s)μ de G × M₊(X) dans M₊(X) est continue lorsque l’ensemble M₊(X) des mesures positives sur X est muni de la topologie vague. ↩ 2 09JQ

§ 4. Convolution des mesures et des fonctions

Définition 1 Si μ et f.β sont convolables, on dit que μ et f sont convolables relativement à β. Toute densité de μ * (f.β) par rapport à β s'appelle un produit de convolution de μ et f relative… 09K4
Lemme 1 Soit μ une mesure sur G. Alors χ est localement (μ ⊗ β)-intégrable, et l'image de μ ⊗ β par l'homéomorphisme (s, x) → (s, s⁻¹x) de G × X sur G × X est χ · (μ ⊗ β). ↩ 6 09K5
Proposition 1 Soient μ une mesure sur G, f une fonction complexe localement β-intégrable sur X. Supposons que la fonction s → f(s⁻¹x)χ(s⁻¹, x) soit essentiellement μ-intégrable sauf pour un ense… ↩ 2 09K6
Proposition 2 Soient μ une mesure sur G, f une fonction complexe localement β-intégrable sur X. On suppose vérifiée l'une des conditions suivantes : (i) f et χ sont continues ; (ii) G opère prop… ↩ 6 09K7
Remarque L'hypothèse (iii) de la prop. 2 est satisfaite notamment quand μ est bornée. En effet, pour tout n > 0, il existe alors une partie compacte Kₙ de G telle que 09K8
Proposition 3 Supposons χ continue. Soient μ ∈ C'(G) et f ∈ C(X). Alors : ↩ 3 09K9
Proposition 4 Supposons que G opère proprement dans X et que χ soit continue. Soient μ ∈ M(G) et f ∈ K(X). ↩ 2 09KA
Remarque 1 Sous les hypothèses de la prop. 4, l’application μ → μ *^β f de M₊(G) dans C(X) est continue lorsqu’on munit M₊(G) de la topologie vague, pour toute f ∈ K(X). En effet, soient K un… ↩ 2 09KB
Proposition 5 Supposons χ continue et chaque fonction χ(s, .) bornée. (i) La fonction s → ρ(s) = sup_x ∈ X χ(s⁻¹, x) sur G est semi-continue inférieurement > 0 et vérifie ρ(st) ≤ ρ(s)ρ(t) quels… ↩ 3 09KC
Proposition 6 Supposons χ continue et chaque fonction χ(s, .) bornée. Soit ρ(s) = sup_x ∈ X χ(s⁻¹, x). Soient p et q deux exposants conjugués (1 ≤ p < +∞). Soient μ ∈ M^p^1/q(G) et f ∈ Lᵖ(X, β)… ↩ 4 09KD
Corollaire Sous les hypothèses de la prop. 6, l’application (μ, f) → μ *_β f définit sur Lᵖ(X, β) une structure de module à gauche sur M^ρ^1/q(G) (1 ≤ p ≤ +∞). 09KE
Remarque 2 Soit X un espace localement compact sur lequel un groupe localement compact G opère à droite continûment par (x,s) → xs. Soit β une mesure positive sur X. Soit χ une fonction > 0 s… 09KF
Proposition 7 Soient f une fonction localement β-intégrable sur X, ν une mesure sur X et μ une mesure sur G. On suppose que : ↩ 1 09KG
Exemple 1 On peut prendre f ∈ C(X), ν ∈ C'(X) et μ ∈ C'(G) d’après la prop. 3, et le cor. de la prop. 5 du § 1, n° 4. La formule (7) signifie alors que l’endomorphisme ν → (χ . tildeμ) * ν d… 09KH
Exemple 2 On peut prendre f ∈ K(X), ν ∈ M(X) et μ ∈ C'(G) d’après la prop. 3, la prop. 8 du § 3, n° 2, et la remarque que le support de la fonction continue g(s, x) rencontre le support de μ… ↩ 1 09KJ
Exemple 3 Si G opère proprement dans X, on peut prendre f ∈ K(X), ν ∈ C'(X) et μ ∈ M(G) d’après la prop. 4, la prop. 8 du § 3, n° 2, et la même remarque que dans l’Exemple 2. 0E7B
Proposition 8 Soient f et g deux fonctions localement β-intégrables sur X et soit μ ∈ M(G). On suppose que : 09KI
Exemple 4 On peut prendre f ∈ C(X),\ g ∈ K(X) et μ ∈ C'(G) (avec ψ = 1). 0E7C
Exemple 5 Si G opère proprement sur X, on peut prendre f ∈ K(X),\ g ∈ K(X) et μ ∈ M(G) (avec ψ = 1). 0E7D
Exemple 6 On peut prendre f ∈ Lᵖ(X, β),\ g ∈ L^q(X, β) et μ ∈ Mᵒ(G) avec 1 ≤ p < +∞,\ 1/p + 1/q = 1,\ ρ = χ^-1/q. Les conditions (i) et (ii) sont satisfaites d'après les prop. 5 et 6. Démont… 0E7E
Proposition 9 Soient f, g dans L(G). Supposons que la fonction s → g(s⁻¹x)f(s)χ(s⁻¹) soit essentiellement β-intégrable sauf pour un ensemble localement β-négligeable de valeurs de x, et que la f… ↩ 1 09KK
Proposition 10 Soient f, g dans L(G). On suppose que l’une de ces deux fonctions est continue ou nulle dans le complémentaire d’une réunion dénombrable d’ensembles compacts. Si f et g sont convol… 09KL
Proposition 11 Soient f, g dans L(G). On suppose que l'une des fonctions f, g est continue et que l'une des fonctions f, g est à support compact. Alors f et g sont convolables. La formule (15) dé… ↩ 1 09KM
Proposition 12 Soient p et q deux exposants conjugués (1 ≤ p ≤ +∞). Si fχ^-1/q ∈ L¹(G, β) et g ∈ Lᵖ(G, β), f et g sont convolables, f * g est égale localement β-presque partout à une fonction de… 09KN
Proposition 13 Si fχ⁻¹ ∈ L¹(G, β) et g ∈ K(G), ou si f ∈ K(G) et gχ'⁻¹ ∈ L¹(G, β), f et g sont convolables, et (15) définit pour tout x ∈ G un produit f * g qui appartient à K(G). 09KO
Proposition 14 Si fχ⁻¹ ∈ L¹(G, β) et g ∈ L^∞(G, β), la formule (15) définit pour tout x ∈ G un produit f * g qui est borné et uniformément continu pour la structure uniforme droite de G. 09KP
Proposition 15 Soient p et q deux exposants conjugués (1 < p < +∞). Supposons β invariante à gauche. Soient f ∈ Lᵖ(G, β), g ∈ L^q(G, tildeβ). Alors f et g sont convolables. La formule (15) défini… ↩ 3 09KQ
Corollaire Soient f ∈ L²(G, β), g ∈ L²(G, β). Alors f et overlineg sont convolables. L'une des convolées f * overlineg appartient à overlineK(G) et sa valeur en e est ∫_G f(s) overlineg(s) dβ… ↩ 1 09KR
Proposition 16 Soit U une représentation continue de G dans un espace de Banach E. Posons ρ(s) = |U(s)| pour tout s ∈ G. Pour toute f ∈ L^ρ(G, β), posons U(f) = U(f.β). Alors f → U(f) est une rep… 09KS
Proposition 17 Soient G un groupe localement compact, A une partie de G, mesurable et non localement négligeable pour une mesure de Haar. Alors A.A^{-1} est un voisinage de e. ↩ 3 09KT
Corollaire 1 Soit H un sous-groupe de G mesurable pour une mesure de Haar β. Alors H est, soit ouvert, soit localement β-négligeable. ↩ 1 09KU
Corollaire 2 Soit L une partie de G stable pour la multiplication et dont le complémentaire est localement négligeable pour une mesure de Haar β. Alors L = G. ↩ 1 09KV
Proposition 18 Soient G un groupe localement compact, Γ un ensemble muni d'une multiplication (u, v) → uv et d'une topologie séparée telles que : 1) la topologie de Γ est invariante par les trans… ↩ 2 09KW
Corollaire 1 Soient G un groupe localement compact, β une mesure de Haar de G, E un espace localement convexe tonnelé séparé, U une représentation linéaire de G dans E, telle que U(s) ∈ L(E; E)… ↩ 1 09KX
Corollaire 2 Soient G un groupe localement compact, β une mesure de Haar sur G, E un espace de Banach de type dénombrable, U une représentation linéaire de G dans E, telle que U(s) ∈ L(E; E) po… ↩ 1 09KY
Proposition 19 Soient G un groupe localement compact, β une mesure positive ≠ 0 relativement invariante sur G, B une base du filtre des voisinages de e dans G, formée de voisinages compacts. Pour… ↩ 4 09KZ
Remarque 1 On voit donc que toute mesure sur G est limite de mesures admettant une densité continue par rapport à toute mesure de Haar (pour la topologie indiquée dans la prop. 19 et a fortio… 09L0
Remarque 2 Si G est métrisable, on peut prendre pour B une suite (Vₙ) de voisinages. Alors μ est limite de la suite des mesures (μ * f_Vₙ) · β à densités continues. Si G est un groupe de Lie… 09L1
Proposition 20 On conserve les hypothèses et les notations de la prop. 19. Soient p ∈ [1, +∞], et g ∈ Lᵖ(G, β). On a 09L2
Remarque 3 D’après la prop. 15, les fonctions g * f_V, f_V * g appartiennent à overlineK(G). ↩ 1 09L3
Corollaire Soit W un sous-espace vectoriel fermé de L¹(G, β). Pour que W soit un idéal à gauche (resp. à droite) de L¹(G, β), il faut et il suffit que W soit invariant par les translations à… 09L4
Exemple On prend G = R. Définissons une fonction Fₙ ∈ K(R) par Fₙ(x) = (1 - x²)ⁿ si x ∈ [-1, 1] Fₙ(x) = 0 si x ∉ [-1, 1]. Soient Aₙ = ∫₋₁⁺¹ Fₙ(x) dx, et Gₙ = Aₙ⁻¹ Fₙ. Il est immédiat que l… 09L5

§ 5. L’espace des sous-groupes fermés

Lemme 1 Soient α une mesure positive ≠ 0 sur G, S son support ; les deux conditions suivantes sont équivalentes : a) S est un sous-groupe fermé de G et la mesure induite par α sur S est un… ↩ 1 09LY
Proposition 1 L’ensemble Γ est fermé dans l’espace M₊(G) - 0, muni de la topologie vague. Démontrons d’abord les lemmes suivants : ↩ 2 09LZ
Lemme 2 Soient X un espace localement compact et pour toute mesure α ∈ M₊(X) - 0, soit S_α le support de α. Soit Φ un filtre sur M₊(X) - 0 qui converge vaguement vers une mesure α₀ ≠ 0. Al… ↩ 3 09M0
Lemme 3 Soient E un ensemble filtré par un filtre Φ, ξ → α(ξ) une application de E dans Γ, qui converge vaguement suivant Φ vers une mesure α₀ ≠ 0. Soit d’autre part ξ → t_ξ une applicatio… ↩ 1 09M1
Proposition 2 Soit φ une fonction de K₊(G) telle que φ(e) > 0. Alors l’ensemble Γ_φ des mesures α ∈ Γ telles que ∫ φ(x)dα(x) = 1 est compact pour la topologie vague. ↩ 4 09M2
Proposition 3 Sous les hypothèses de la prop. 2, l’application α → ( ⟨ φ, α ⟩, α/(⟨ φ, α ⟩) ) est un homéomorphisme de Γ sur l’espace produit R₊^* × Γ_φ. ↩ 2 09M3
Proposition 4 Soit Γ⁰ l’ensemble des mesures α ∈ Γ telles que H_α soit unimodulaire, et pour toute α ∈ Γ⁰, posons μ_α = μ / α; alors l’application α → | μ_α | de Γ⁰ dans overlineR est semi-conti… ↩ 2 09M4
Proposition 5 Soit g une fonction numérique positive μ-intégrable et soit Γ⁰(g) l’ensemble des mesures α ∈ Γ⁰ telles que l’on ait ∫^* g(xs)dα(s) ≥ 1 pour tout x ∈ G. Alors l’application α → |μ_α… ↩ 3 09M5
Corollaire 1 Soient K une partie compacte de G, V un voisinage compact symétrique de e dans G, c un nombre réel 0. La restriction de l’application α → |μ_α| à l’ensemble des α ∈ Γ⁰ telles que l… 09M6
Corollaire 2 Soit A une partie μ-intégrable de G. La restriction de l’application α → |μ_α| à l’ensemble N_A des mesures de Haar normalisées des sous-groupes discrets H de G tels que G = AH est… 09M7
Théorème 1 Soit G un groupe localement compact. L’espace Σ des sous-groupes fermés de G est compact. On a en outre les propriétés suivantes : ↩ 3 09M8
Proposition 6 Supposons que le groupe localement compact G soit engendré par un voisinage compact de e. Alors l’ensemble Γ_c⁰ des mesures α ∈ Γ⁰ telles que G/H_α soit compact est ouvert dans Γ⁰… ↩ 1 09M9
Proposition 7 Soit N ⊂ Γ⁰ le sous-espace des mesures de Haar normalisées des sous-groupes discrets de G, et pour tout voisinage ouvert relativement compact U de e dans G, soit N_U la partie de N… ↩ 2 09MA
Corollaire Le sous-espace N de Γ⁰ est localement compact. ↩ 1 09MB
Théorème 2 Soit G un groupe localement compact vérifiant la condition suivante : 09MC
Proposition 8 La bijection canonique de N sur D est un homéomorphisme. Or, si Γd est l’ensemble des mesures de Haar sur les sous-groupes discrets de G, D est canoniquement homéomorphe à l’espace… ↩ 2 09MD
Lemme 4 Si le groupe G vérifie la condition (L), l’application α → α({e}) de Γd dans R₊^* est vaguement continue. Considérons une mesure α ∈ Γd ; soit V0 un voisinage ouvert relativement c… 09ME
Proposition 9 Soit G un groupe localement compact commutatif, engendré par un voisinage compact de e. Pour qu’une partie A de Nc soit relativement compacte dans Nc, il faut et il suffit qu’elle… ↩ 1 09MF
Corollaire Soit G un groupe localement compact commutatif, engendré par un voisinage compact de e et satisfaisant à la condition (L) du n° 4. Soit Dc l’ensemble des sous-groupes discrets H de… ↩ 2 09MG
Exemple Prenons G = \mathbf{R}^n et pour μ la mesure de Lebesgue ; toutes les hypothèses du cor. de la prop. 9 sont vérifiées. Les sous-groupes discrets H de G tels que G/H soit compact ne… 09MH

IX. Mesures sur les espaces topologiques séparés

§ 1. Prémesures et mesures sur un espace topologique

Définition 1 Soit T un ensemble. On appelle encombrement sur T toute application p de F₊(T) dans overlineR₊ qui possède les propriétés suivantes: ↩ 7 09MO
Proposition 1 Soit (p_α)_α ∈ A une famille d’encombrements sur T. La somme et l’enveloppe supérieure de la famille (p_α) (dans F₊ (F₊ (T))) sont alors des encombrements. ↩ 2 09MP
Définition 2 Soit p un encombrement sur un ensemble T. On dit que p est borné si p(T) < +∞. Si T est un espace topologique, on dit que p est localement borné si tout x ∈ T admet un voisinage V… ↩ 2 09MQ
Lemme 1 Si l’encombrement p est concentré sur A ⊂ T, on a p(f) = p(f φ_A) pour tout f ∈ F₊(T). ↩ 1 09MR
Définition 3 On appelle prémesure sur un espace topologique T toute application w qui associe, à toute partie compacte K de T, une mesure w_K sur K, et qui possède la propriété suivante : 09MS
Définition 4 Soit w une prémesure positive sur T. Nous poserons pour toute fonction f ∈ F₊(T) (1) w^*(f) = sup_K (w_K)^*(f_K), K parcourant l’ensemble des parties compactes de T. ↩ 2 09MT
Proposition 2 a) Soit w une prémesure positive. Pour toute partie compacte K de T, l’encombrement (w^bullet)_K induit par w^bullet sur K est égal à (w_K)^bullet. Pour toute fonction f ∈ F₊(T), o… ↩ 15 09MU
Corollaire Soient v et w deux prémesures positives sur T, telles que v^bullet(L) = w^bullet(L) pour toute partie compacte L de T; on a alors v = w. En particulier, la relation v^bullet = w^bu… ↩ 6 09MV
Définition 5 Soit w une prémesure sur un espace topologique T. On dit que w est une mesure (resp. une mesure bornée) si l’encombrement |w|^* est localement borné (resp. borné) (cf. n° 1, déf. 2… ↩ 1 09MW
Remarque 2 Si T est localement compact, toute prémesure w sur T est une mesure. En effet, tout x ∈ T admet un voisinage compact K, et on a |w|^*(K) = |w_K| < +∞, de sorte que l’encombrement |… 09MX
Remarque 3 Pour toute partie borélienne A de T (en particulier pour A = T), et toute mesure positive μ sur T, le nombre μ^*(A) est la borne supérieure des mesures μ^*(K) des parties compactes… ↩ 3 09MY
Exemple 1 Mesures sur un espace localement compact 09MZ
Proposition 3 Soit T un espace localement compact, et soit μ une mesure sur T. Désignons par W(μ) l’application qui à chaque partie compacte K de T associe la mesure induite μ_K. Alors W(μ) est… ↩ 2 09N0
Exemple 2 Mesures à support compact sur un espace topologique. ↩ 5 09N1
Lemme 2 Soient T un espace topologique, L une partie compacte de T, λ une mesure positive sur L. Il existe une mesure positive unique μ sur T, telle que l’on ait, pour toute fonction f ∈ F… 09N2
Remarque 1 Lorsque T est localement compact, μ est l’image de λ par l’injection de L dans T. Nous verrons au § 2, n° 3, Exemple 1, lorsque les mesures images auront été traitées, que cette in… 09N3
Remarque 2 Nous verrons aussi que les mesures définies dans l’Exemple 2 sont les mesures positives à support compact dans T (n° 6, Remarque 2)). 0E7F
Définition 6 On dit qu’une fonction f ∈ F₊ (resp. une partie A de T) est localement négligeable pour la mesure μ si μ^*(f) = 0 (resp. μ^*(A) = 0). On dit que μ est concentrée sur une partie A d… 09N4
Remarque 1 Les notions ainsi définies coïncident, lorsque T est localement compact, avec les notions usuelles. 09N5
Remarque 2 Lorsque nous aurons défini les ensembles négligeables, nous verrons que les ensembles localement négligeables sont bien ceux dont le germe, en tout point de T, est un germe d’ensem… 0E7G
Remarque 3 Comme aux chap. IV et V, l’expression « localement presque partout » sera synonyme de « sauf sur un ensemble localement négligeable ». 0E7H
Remarque 4 Si θ est une mesure complexe, on dira qu’une fonction (resp. une partie de T) est localement négligeable pour θ si elle l’est pour la mesure positive |θ|. 0E7I
Exemple Soient L une partie compacte de T, λ une mesure sur L, et μ la mesure sur T définie par λ (n° 3, Exemple 2). La formule (3) entraîne aussitôt qu’une fonction f ∈ F₊(T) est localeme… 09N6
Définition 7 On dit qu'une fonction f définie dans T, à valeurs dans un espace topologique F (séparé ou non) est mesurable pour la mesure μ (ou μ-mesurable) si, pour toute partie compacte K de… ↩ 1 09N7
Exemple Soient L une partie compacte de T, λ une mesure sur L et μ la mesure sur T définie par λ (n° 3, Exemple 2). Une fonction f définie dans T est μ-mesurable si et seulement si f_L est… 09N8
Proposition 4 Soient f une fonction positive et (gₙ)_n ≥ 1 une suite de fonctions positives μ-mesurables sur T. Si l’on pose g = ∑_n ≥ 1 gₙ, on a μ^bullet(fg) = ∑_n ≥ 1 μ^bullet(fgₙ). (4) Posons… ↩ 3 09N9
Corollaire Soit (Aₙ) une suite de parties mesurables deux à deux disjointes, de réunion A. Pour toute partie B de T, on a μ^bullet(A ∩ B) = ∑ₙ μ^bullet(Aₙ ∩ B) et en particulier μ^bullet(A) =… ↩ 2 09NA
Proposition 5 a) Soit H un ensemble filtrant croissant de fonctions ≥ 0, semi-continues inférieurement dans toute partie compacte de T. On a alors μ^bullet(sup_h ∈ H h) = sup_h ∈ H μ^bullet(h)… ↩ 5 09NB
Corollaire a) Soit (U_α)_α ∈ I une famille filtrante croissante de parties ouvertes de T, de réunion U. On a μ^*(U) = sup_α ∈ I μ^*(U_α). ↩ 3 09NC
Définition 8 On appelle support d’une mesure μ sur T le complémentaire du plus grand ensemble ouvert localement μ-négligeable de T. 09ND
Remarque 1 Si μ est une mesure complexe, on appelle support de μ le support de la mesure positive |μ|; c’est encore le complémentaire du plus grand ensemble ouvert localement μ-négligeable. 09NE
Remarque 2 Montrons que les mesures introduites dans l’Exemple 2 du n° 3 sont les mesures à support compact dans T. Soit μ une mesure positive sur T dont le support est un ensemble compact K… ↩ 1 09NF
Proposition 6 Soit (λ_α)_α ∈ A une famille filtrante croissante de mesures sur T, et soit p = sup_α λ_α^bullet. Pour que la famille (λ_α) soit majorée dans M(T), il faut et il suffit que l’encom… ↩ 2 09NG
Définition 9 Soit (μᵢ)_i ∈ I une famille de mesures sur T. Soit A l’ensemble des parties finies de I; pour tout α ∈ A, soit λ_α = ∑_i ∈ α μᵢ. Si la famille (λ_α) admet dans M(T) une borne supér… ↩ 1 09NH
Proposition 7 Pour que la famille (μᵢ)_i ∈ I soit sommable, il faut et il suffit que l’encombrement p = ∑_i ∈ I μᵢ^bullet soit localement borné, et l’on a dans ce cas p = μ^bullet. Pour toute pa… ↩ 8 09NI
Proposition 8 Soit μ la somme d’une famille sommable (μᵢ)_i ∈ I de mesures sur T. Pour qu’une application f de T dans un espace topologique F (séparé ou non) soit μ-mesurable, il faut et il suff… ↩ 4 09NJ
Définition 10 On appelle concassage de T pour μ, ou μ-concassage, une famille localement dénombrable (K_α)_α ∈ A de parties compactes de T deux à deux disjointes, telles que l’ensemble N = T - ⋃… 09NK
Proposition 9 a) Il existe un concassage (K_α)_α ∈ A de T pour μ. b) Soit (K_α)_α ∈ A un concassage de T pour μ. Si μ_α est la mesure sur T définie par μ_K_α (n° 3, Exemple 2), la famille (μ_α)_… ↩ 5 09NL
Proposition 10 Si g est une application μ-mesurable à valeurs dans un espace topologique G (séparé ou non), il existe un μ-concassage (L_β)_β ∈ B de T tel que les restrictions g_L_β soient contin… ↩ 5 09NM
Scholie Soit (K_α)_α ∈ A un concassage de T, et soit N = T - ⋃_α K_α. Nous désignerons par T' l’espace localement compact obtenu en munissant T de la topologie somme des topologies des sou… 09NN
Proposition 11 Soit X une partie μ-mesurable de T. Il existe une famille localement dénombrable (L_α)_α ∈ A de parties compactes de X, deux à deux disjointes, telle que X - ⋃_α ∈ A L_α soit local… ↩ 2 09NO
Définition 11 Pour toute fonction f ∈ F₊(T), on appelle intégrale supérieure de f (par rapport à la mesure μ) le nombre positif fini ou infini 09NP
Proposition 12 La fonction μ^* est un encombrement sur T. ↩ 1 09NQ
Corollaire Une fonction f, à valeurs dans un espace de Banach ou dans overlineR, est négligeable si et seulement si f(t) = 0 presque partout. 09NR
Proposition 13 Pour toute partie A de T, μ^*(A) est la borne inférieure des mesures extérieures des ensembles ouverts contenant A. ↩ 2 09NS
Définition 12 Soit f une fonction définie dans T, à valeurs dans un espace de Banach ou dans overlineR. On dit que f est modérée pour la mesure μ, ou μ-modérée, si f est nulle dans le complément… 09NT
Remarque 1 Sur un espace de Lindelöf T (Top. Gén., chap. IX, 3e édit., Appendice I, déf. 1), et en particulier sur un espace souslinien, toute mesure est modérée. Les ouverts de mesure finie… ↩ 1 09NU
Remarque 2 On prendra garde que l’existence d’une suite d’ensembles boréliens de mesure finie pour μ, de réunion T, n’entraîne pas nécessairement l’existence d’une suite d’ensembles ouverts d… 09NV
Proposition 14 Soit f ∈ F₊(T). Si f est μ-modérée, on a μ^*(f) = μ^*(f); si f n’est pas μ-modérée, on a μ^*(f) = +∞. ↩ 3 09NW
Corollaire 1 Pour qu’une fonction soit négligeable, il faut et il suffit qu’elle soit localement négligeable et modérée. ↩ 2 09NX
Corollaire 2 Pour qu’une fonction f soit localement négligeable, il faut et il suffit que tout x ∈ T possède un voisinage V tel que f_φ_V soit négligeable. ↩ 1 09NY
Corollaire 3 Soit f une fonction modérée définie dans T. Il existe une suite (Kₙ) de parties compactes deux à deux disjointes, et un ensemble négligeable H, tels que f = f_φ_H + ∑ₙ f_φ_Kₙ. ↩ 2 09NZ
Corollaire 4 Soient μ et ν deux mesures sur T telles que μ^* = ν^*, on a alors μ = ν. 09O0
Corollaire 5 Si μ est une mesure modérée sur T, il existe une suite (μₙ)_n ∈ N de mesures à support compact telle que μ = ∑_n ∈ N μₙ. ↩ 1 09O1
Définition 13 Soit p ∈ (1, +∞[ ; on désigne par overlineLᵖ(T, μ) (resp. overlineL_Fᵖ(T, μ) si F est un espace de Banach) l’ensemble des applications f de T dans overlineR (resp. dans F), μ-mesur… 09O2
Proposition 15 L’ensemble des fonctions f à valeurs dans F, telles que Supp(f) soit compact, et que la restriction de f à Supp(f) soit continue, est dense dans overlineL_Fᵖ(μ) et dans L_Fᵖ(μ), po… ↩ 1 09O3
Proposition 16 Il existe une application linéaire continue et une seule f ↦ ∫ f dμ, de l’espace overlineL_F¹(μ) dans F, qui possède la propriété suivante: Si f est de la forme t ↦ g(t)a, avec a ∈… 09O4

§ 2. Opérations sur les mesures

Définition 1 Soit X une partie μ-mesurable de T. On appelle mesure induite par μ sur le sous-espace X, et on note μ_X ou μ|X, la restriction de μ : K ↦ μ_K à l’ensemble des parties compactes de… ↩ 2 09OF
Proposition 1 Soit X une partie μ-mesurable de T. L’encombrement (μ_X)^* est égal à l’encombrement (μ^*)ₓ induit par μ^* sur X (§ 1, n° 1). Autrement dit, on a (μ_X)^*(g) = μ^*(g⁰) pour toute fo… ↩ 4 09OG
Remarque 1 La relation (μ_X)^* = (μ^*)_X permet d’utiliser sans ambiguïté la notation μ_X^*; nous le ferons dans toute la suite. La prop. 1 précédente et la prop. 2 du § 1, n° 2 montrent que… 09OH
Remarque 2 La déf. 1 s’étend au cas où μ est une mesure complexe sur T. Pour montrer dans ce cas que la prémesure μ_X est une mesure, il suffit de remarquer que |μ_K| = |μ|_K pour tout compac… 09OI
Définition 2 On dit qu’une fonction f définie dans T, à valeurs dans overlineR ou dans un espace de Banach, est localement μ-intégrable si f est μ-mesurable, et si tout point x ∈ T admet un voi… ↩ 1 09OJ
Proposition 2 Si f est une fonction localement μ-intégrable positive, on a, pour toute fonction g ∈ F₊(T), la relation ↩ 4 09OK
Définition 3 Soit f une fonction positive localement μ-intégrable. La mesure f.μ: K ↦ f_K · μ_K est appelée la mesure de densité f par rapport à μ, ou la mesure produit de μ par la fonction f… 09OL
Remarques 1) La définition de f.μ s’étend au cas où f est une fonction localement intégrable complexe; on a alors |f.μ| = |f|.μ, ce qui entraîne aussitôt que f.μ est une mesure, et non une s… 09OM
Proposition 3 Soit ν une mesure sur T. Pour que ν soit de la forme f.μ, où f est une fonction positive localement μ-intégrable, il faut et il suffit que tout ensemble compact μ-négligeable soit… ↩ 2 09OO
Définition 4 Soit π une application de T dans un espace topologique X. On dit que π est μ-propre si π est μ-mesurable, et si tout point x de X admet un voisinage V tel que μ^bullet(π⁻¹(V)) < +∞… ↩ 1 09OP
Remarque 1 Lorsque T et X sont localement compacts, cette définition est équivalente à celle du chap. V, 2e éd., § 6, n° 1. 09OQ
Remarque 2 Une application continue propre (Top. gén., 4e éd., chap. I, § 10, n° 1, déf. 1) de T dans X est μ-propre pour toute mesure μ. En effet, soit x ∈ X; comme π⁻¹(x) est compact (loc… ↩ 1 09OR
Remarque 3 Si μ est bornée, toute application μ-mesurable de T dans X est μ-propre. ↩ 3 09OS
Remarque 4 Si θ est une mesure complexe sur T, on dira que π est θ-propre si π est propre pour la mesure positive |θ|. 09OT
Proposition 4 Soit π une application μ-propre de T dans un espace topologique X. Il existe sur X une mesure ν et une seule telle que ν^* soit égal à l’encombrement image π(μ^*) (§ 1, nᵒ 1), autr… ↩ 3 09OU
Définition 5 Si π est une application μ-propre de T dans un espace topologique X, l’unique mesure ν sur X telle que ν^*(g) = μ^*(g ∘ π) pour tout g ∈ F₊(X) est appelée la mesure image de μ par… 09OV
Exemple Soient K un sous-espace compact de T, i l’injection canonique de K dans T, λ une mesure sur K; i étant continue, et λ étant bornée, i est λ-propre. La formule (3) du § 1, nᵒ 3 mont… 09OW
Proposition 5 Soit π une application μ-propre de T dans un espace topologique X, et soit f une application de X dans un espace topologique F (séparé ou non). Pour que f soit π(μ)-mesurable, il f… ↩ 4 09OX
Corollaire Soient X et Y deux espaces topologiques, π une application μ-propre de T dans X, π' une application π(μ)-propre de X dans Y. L’application π'' = π' ∘ π est alors μ-propre et π''(μ)… ↩ 1 09OY
Proposition 6 Soit π une application μ-propre de T dans un espace topologique X, et soit B une partie π(μ)-mesurable de X. Posons A = π⁻¹(B), et désignons par π' l’application de A dans B qui co… 09OZ
Proposition 7 Soit T un sous-espace d’un espace topologique X, et soit i l’injection de T dans X. ↩ 6 09P0
Proposition 8 Soient T et X deux espaces topologiques, π une application de T dans X. ↩ 9 09P1
Lemme 1 Soient U et V deux espaces compacts, h une application continue de U sur V. L’application λ ↦ h(λ) de M₊(U) dans M₊(V) est alors surjective. 09P2
Remarque Supposons que π soit injective. Soit θ une mesure complexe telle que π soit θ-propre, et que π(θ) = 0; on a alors θ = 0. En effet, on se ramène, en séparant les parties réelles et… 09P3
Proposition 9 Soient T un espace souslinien (Top. gén., chap. IX, 3e éd., § 6, n° 2, déf. 2), X un espace séparé, π une application continue de T sur X, et ν une mesure bornée sur X. Il existe a… ↩ 3 09P4
Définition 6 La prémesure ν définie par (3) est appelée la prémesure produit de λ et μ, et notée λ ⊗ μ. 09P5
Proposition 10 Soit ν la prémesure produit de λ et μ; on a, pour toute fonction f ∈ F₊(S) et toute fonction g ∈ F₊(T), ↩ 3 09P6
Corollaire 1 Si λ et μ sont des mesures, ν est une mesure. ↩ 1 09P7
Corollaire 2 Si A est une partie de S localement négligeable pour λ, A × T est localement ν-négligeable. 09P8
Corollaire 3 Supposons que λ (resp. μ) soit somme d’une famille sommable (λ_α)_α ∈ A (resp. (μ_β)_β ∈ B) de mesures sur S (resp. T). La famille (λ_α ⊗ μ_β)_(α, β) ∈ A × B est alors sommable, et… ↩ 1 09P9
Lemme 2 Soit f une fonction positive ν-mesurable sur S × T; pour toute partie compacte L de T, soit I_fᴸ la fonction s ↦ μ^*(fₛ φ_L) sur S. La fonction I_fᴸ est alors λ-mesurable et on a… ↩ 2 09PA
Proposition 11 Soit f une fonction semi-continue inférieurement ≥ 0 définie dans X = S × T. a) La fonction fₛ : t ↦ f(s, t) est semi-continue inférieurement dans T pour tout s ∈ S. b) La fonction… ↩ 1 09PB
Lemme 3 Soient X un espace topologique (séparé ou non), f une fonction semi-continue inférieurement geqslant 0 définie dans X; alors f est limite d’une suite croissante (fₙ)_n ∈ N de fonct… ↩ 1 09PC
Corollaire 1 Soit f une fonction numérique positive définie dans X = S × T; on a ↩ 1 09PD
Corollaire 2 Soit f une fonction numérique définie dans S × T et ν-négligeable. La fonction fₛ : t ↦ f(s, t) est alors μ-négligeable pour λ-presque tout s ∈ S. ↩ 1 09PE
Proposition 12 Soit f une fonction positive ν-mesurable définie dans X = S × T. Supposons que f soit ν-modérée (resp. que μ soit modérée). Alors a) L’ensemble N des s ∈ S tels que la fonction fₛ… ↩ 1 09PF
Remarque Soient (K_α)_α ∈ A un concassage de S pour λ et M = S - ⋃_α ∈ A K_α; définissons de manière analogue (L_β)_β ∈ B et N pour la mesure μ sur T. On note S' l’espace localement compact… 09PG
Proposition 13 Soient X un espace topologique, ν une mesure modérée sur X, p une application ν-propre de X dans un espace topologique T, et μ = p(ν). On suppose que tout sous-espace compact de X… ↩ 2 09PH
Lemme 4 Soient X un espace topologique, ν une mesure sur X et f une application ν-mesurable de X dans un espace topologique F (séparé ou non). Il existe une application universellement mes… 09PI
Remarque 1 Si X est un espace souslinien, tout sous-espace compact de X est souslinien, donc métrisable (Top. gén., 3e édit., chap. IX, Appendice I, cor. 2 de la prop 3), et toute mesure sur… 09PJ
Remarque 2 Avec les notations de la prop. 13, soit f une fonction ν-mesurable positive. On peut prouver comme au chap. V, 2e éd., § 3, n° 2, prop. 5 que l'ensemble des t ∈ T tels que f ne soi… 0E7J

§ 3. Mesures et fonctions additives d’ensemble

Théorème 1 Soient T un espace topologique, et I une application de 𝔎(T) dans R₊. Pour qu’il existe une mesure μ sur T telle que I(K) = μ^*(K) pour tout K ∈ 𝔎(T), il faut et il suffit que I sa… ↩ 5 09PN
Lemme 1 Supposons que T soit compact, et posons I(T) = l. Pour tout A ⊂ T, posons J(A) = sup_substackK ∈ 𝔎(T) \\ K ⊂ A I(K) et soit Φ l’ensemble des A ⊂ T tels que J(A) + J(complement A) =… 09PO
Remarque 1 La condition 4) peut être remplacée, dans l’énoncé du théorème 1, par la condition suivante (« continuité à droite »): 4') Pour tout K ∈ 𝔄(T) et tout ε > 0, il existe un ensemble o… 09PP
Remarque 2 L’ensemble des conditions 2) et 3) peut être remplacé, dans l’énoncé du th. 1, par la condition suivante: Si K et L sont des compacts de T, on a I(K ∪ L) + I(K ∩ L) = I(K) + I(L)… 09PQ
Définition 1 Soit T un espace topologique, et soit B(T) la tribu borélienne de T; soit I une application de B(T) dans overlineR₊. a) On dit que I est dénombrablement additive si, pour toute sui… 09PR
Remarque 1 La condition a) entraîne évidemment que I est une application croissante de B(T) (ordonné par inclusion) dans overlineR₊. 09PS
Remarque 2 Supposons que I soit dénombrablement additive; soit (Aₙ)_n ∈ N une suite croissante d’ensembles boréliens, et soit A = ⋃_n ∈ N Aₙ. Les ensembles D₀ = A₀, Dₙ = Aₙ - Aₙ₋₁ étant deux… ↩ 1 09PT
Remarque 3 Soit (Aₙ) une suite quelconque de parties boréliennes de T. Si I est dénombrablement additive, on a I(⋃ₙ Aₙ) ≤ ∑ₙ I(Aₙ). D’après la remarque précédente, il suffit d’établir cette i… 09PU
Remarque 4 Si I est une fonction dénombrablement additive et localement bornée, la remarque précédente entraîne aussitôt que I(K) < +∞ pour tout compact K ⊂ T. 09PV
Remarque 5 On peut montrer que si I est additive, c’est-à-dire satisfait à (4) pour les suites finies, et si I est intérieurement régulière, alors I est dénombrablement additive (exerc. 7). L… 09PW
Théorème 2 Soit T un espace topologique, et soit I une fonction définie sur B(T), à valeurs dans overlineR₊. Pour qu’il existe une mesure μ sur T, telle que μ^*(A) = I(A) pour tout A ∈ B(T)… ↩ 1 09PX
Définition 2 Soit T un espace topologique. On dit que T est un espace radonien (resp. fortement radonien) si T est séparé et si toute fonction définie sur la tribu borélienne B(T) de T, à valeu… 09PY
Proposition 1 Tout espace de Lindelöf (1) radonien est fortement radonien. ↩ 1 09PZ
Proposition 2 Soient X un espace topologique et T un sous-espace de X. ↩ 2 09Q0
Corollaire Si X est un espace radonien, tout sous-ensemble borélien T de X est radonien. ↩ 1 09Q1
Proposition 3 Tout espace souslinien (en particulier tout espace polonais ou lusinien) est fortement radonien. ↩ 2 09Q2
Remarque Soient X un espace lusinien (en particulier un espace polonais), et f une application continue bijective de X dans un espace (régulier) Y. On sait (Top. gén., chap. IX, 3e éd., § 6… 09Q3

§ 4. Limites projectives de mesures

Proposition 1 Soient X et Y deux espaces topologiques et f une application continue de X dans Y. Soit (K_α)_α ∈ A une famille filtrante décroissante de parties compactes de X, d’intersection K… ↩ 3 09QM
Proposition 2 Soient donnés un système projectif (Tᵢ, pᵢⱼ) d’espaces topologiques indexé par I, un espace topologique T et une famille cohérente et séparante d’applications continues pᵢ : T → Tᵢ… ↩ 2 09QN
Définition 1 Soit T = (Tᵢ, pᵢⱼ) un système projectif d'espaces topologiques indexé par I. On appelle système projectif (resp. système sous-projectif) de mesures sur T une famille (μᵢ)_i ∈ I où… ↩ 1 09QO
Proposition 3 Soient donnés un système projectif d'espaces topologiques T = (Tᵢ, pᵢⱼ) indexé par I, un espace topologique T, une famille cohérente et séparante d'applications continues pᵢ : T →… ↩ 3 09QP
Théorème 1 (Prokhorov) Soient T = (Tᵢ, pᵢⱼ) un système projectif d’espaces topologiques indexé par I, T un espace topologique et (pᵢ)_i ∈ I une famille cohérente et séparante d’applications continues pᵢ… ↩ 5 09QQ
Remarque Soit (μᵢ)_i ∈ I un système projectif de mesures sur le système projectif d’espaces T = (Tᵢ, pᵢⱼ). On suppose donné un espace topologique T' et des applications continues p'ᵢ : T' →… 09QR
Théorème 2 On suppose que l’ensemble préordonné filtrant I possède une partie cofinale dénombrable. Soient T = (Tᵢ, pᵢⱼ) un système projectif d’espaces topologiques, ↩ 1 09QS

§ 5. Mesures sur les espaces complètement réguliers

Lemme 1 Soient T un espace complètement régulier, K une partie compacte de T et U une partie ouverte de T contenant K. 09QV
Proposition 1 Soit T un espace complètement régulier. ↩ 2 09QW
Remarque 1 Soit f une fonction semi-continue inférieurement positive, et soit J_f l'ensemble des fonctions continues bornées positives nulles hors d'un ouvert μ-intégrable et majorées par f… 09QX
Remarque 2 Si la mesure μ est bornée, la formule μ^bullet(f) = inf_g ∈ S_f μ(g) est évidemment valable pour toute fonction f, semi-continue supérieurement, positive et bornée. 09QY
Proposition 2 Soient η et η' deux mesures complexes sur un espace complètement régulier T, telles que l'on ait η(f) = η'(f) pour toute fonction f ∈ Cᵇ(T), intégrable pour |η| et |η'|. On a alors… ↩ 2 09QZ
Proposition 3 Soit μ une mesure positive sur un espace complètement régulier T, et soit p ∈ [1, +∞[. L'espace H des fonctions f ∈ Cᵇ(T), dont le support est contenu dans un ouvert μ-intégrable… ↩ 1 09R0
Proposition 4 Pour qu'une mesure complexe bornée θ sur un espace complètement régulier T soit positive, il faut et il suffit qu'on ait θ(f) ≥ 0 pour toute fonction f ∈ Cᵇ₊(T). ↩ 1 09R1
Proposition 5 Soient T un espace complètement régulier, et I une forme linéaire complexe continue sur l'espace normé Cᵇ(T; C). Pour qu'il existe une mesure complexe bornée θ sur T telle que θ(f)… ↩ 2 09R2
Corollaire Avec les notations de la prop. 5, supposons qu’il existe une mesure positive bornée μ sur T telle que |I(f)| ≤ μ(|f|) pour tout f ∈ Cᵇ(T; C); alors il existe une mesure complexe θ… 09R3
Définition 1 La topologie faible sur Mᵇ(T) associée à la dualité précédente entre Cᵇ(T) et Mᵇ(T) est appelée la topologie de la convergence étroite (ou la topologie étroite) sur Mᵇ(T). 09R4
Remarque 1 Si T est localement compact, la topologie étroite est plus fine que la topologie induite sur Mᵇ(T) par la topologie vague, et ces deux topologies ne coïncident que si T est compact… 09R5
Remarque 2 Il résulte aussitôt de la prop. 4 que Mᵇ₊(T) est fermé dans Mᵇ(T). 09R6
Remarque 3 Si T est complètement régulier, l’application t ↦ εₜ de T dans Mᵇ(T) est un homéomorphisme (Top. gén., chap. IX, 3e éd., § 1, n° 5). ↩ 2 09R7
Proposition 6 Soit T un espace complètement régulier. a) Soit f une fonction numérique ≥ 0 semi-continue inférieurement définie dans T; la fonction μ ↦ |μ|^*(f) est alors semi-continue inférieur… ↩ 7 09R8
Proposition 7 Soit T un espace complètement régulier. Soit μ une mesure positive bornée sur T, et soit f une fonction positive bornée sur T, telle que l’ensemble des points de T où f n’est pas c… 09R9
Proposition 8 Soient X un espace complètement régulier, T un sous-espace de X, i l’injection canonique de T dans X. Désignons par W l’ensemble des mesures positives bornées sur X concentrées sur… ↩ 5 09RA
Proposition 9 Soit T un espace localement compact, et soit 𝔉 un filtre sur Mᵇ₊(T) qui converge vaguement vers une mesure bornée μ. Pour que 𝔉 converge étroitement vers μ, il faut et il suffit qu… ↩ 3 09RB
Proposition 10 Soit T un espace polonais; l’espace M₊ᵇ(T) est alors polonais pour la topologie étroite. ↩ 1 09RC
Corollaire 1 Si T est un espace métrisable de type dénombrable, M₊ᵇ(T) est métrisable de type dénombrable pour la topologie étroite. 09RD
Corollaire 2 Si T est un espace souslinien (resp. lusinien) complètement régulier, l’espace M₊ᵇ(T) est souslinien (resp. lusinien). 09RE
Définition 2 Soit T un espace topologique, et soit H une partie de Mᵇ(T); on dit que H satisfait à la condition de Prokhorov si a) on a sup_μ ∈ H |μ|(1) < +∞; b) pour tout nombre ε > 0, il exis… ↩ 1 09RF
Proposition 11 Soit T un espace complètement régulier, et soit H une partie de Mᵇ(T) qui satisfait à la condition de Prokhorov; son adhérence overlineH dans Mᵇ(T) satisfait alors à la condition d… ↩ 2 09RG
Théorème 1 (Prokhorov) Soit T un espace complètement régulier, et soit H une partie de Mᵇ(T) qui satisfait à la condition de Prokhorov; H est alors relativement compacte dans Mᵇ(T) pour la topologie étro… ↩ 3 09RH
Corollaire Soit T un sous-espace d’un espace complètement régulier X, et soit H une partie de M₊ᵇ(T), qui satisfait à la condition de Prokhorov. Si i désigne l’injection canonique de T dans X… ↩ 1 09RI
Théorème 2 Soit T un espace localement compact, ou un espace polonais, et soit H une partie relativement compacte de M₊ᵇ(T); H satisfait alors à la condition de Prokhorov. ↩ 2 09RJ
Proposition 12 Soit T un espace complètement régulier, et soit B la boule unité de l’espace normé Cᵇ(T, C). Soit I une forme linéaire sur Cᵇ(T, C). Pour qu’il existe une mesure complexe bornée θ… ↩ 2 09RK
Proposition 13 Soient T un espace localement compact, et H une partie bornée de l’espace normé Cᵇ(T, C). L’application (μ, f) ↦ μ(f) de M₊ᵇ(T) × H dans C est alors continue lorsqu’on munit M₊ᵇ(T)… ↩ 1 09RL
Remarque Soient T un espace complètement régulier, M une partie de Mᵇ(T) qui satisfait à la condition de Prokhorov, H une partie bornée de Cᵇ(T). Un raisonnement très voisin de celui qui vi… 09RM
Corollaire Soient T un espace complètement régulier, X un espace topologique, f une fonction à valeurs complexes définie dans T × X, continue et bornée. Pour toute mesure bornée μ sur T, soit… ↩ 2 09RN
Proposition 14 Pour toute mesure complexe bornée μ sur M, la fonction Lμ sur X est continue et bornée. Si l’on munit M₊ᵇ(M) de la topologie étroite et Cᵇ(X; C) de la topologie de la convergence c… ↩ 1 09RO
Théorème 3 Soit S un sous-monoïde plein de X. a) Si μ et μ' sont deux mesures complexes bornées sur M, telles que Lμ et Lμ' aient même restriction à S ∩ X₀, on a μ = μ'. b) Soit 𝔉 un filtre s… ↩ 5 09RP
Corollaire Soit S un sous-monoïde plein de X, tel que 1 soit adhérent à S ∩ X₀. Soit L le sous-ensemble de Cᵇ(S; C) constitué par les restrictions à S des transformées de Laplace des mesures… 09RQ
Proposition 15 Soit A un ensemble muni d’un filtre 𝔉. Pour tout α ∈ A, soit (u_α, n)_n ∈ N une suite sommable de nombres positifs, et soit Φ_α la fonction définie dans l’intervalle ]0, 1] de R pa… ↩ 2 09RR
Proposition 16 Soit A un ensemble muni d’un filtre F. Pour tout α ∈ A, soit μ_α une mesure positive bornée sur R₊, et soit Φ_α la fonction définie sur R₊ par Φ_α(p) = ∫₀^+∞ e⁻ᵖˣ dμ_α(x). Pour que… 09RS

§ 6. Promesures et mesures sur un espace localement convexe

Définition 1 Soit E un espace localement convexe. On appelle promesure sur E tout système projectif de mesures (§ 4, no 2, déf. 1) sur le système projectif des quotients de dimension finie de E… 09S6
Proposition 1 Soit E un espace localement convexe. L’application λ ↦ tildeλ est une bijection de l’ensemble des mesures bornées sur E sur l’ensemble des promesures (μ_V)_V ∈ F(E) sur E satisfais… ↩ 1 09S7
Proposition 2 Soient T un ensemble dénombrable, et E l’espace des fonctions réelles sur T, muni de la topologie de la convergence simple. Toute promesure sur E est une mesure. ↩ 3 09S8
Proposition 3 Soit E un espace localement convexe. L’application μ ↦ Fμ de l’ensemble des promesures sur E dans l’ensemble des fonctions sur E’ est injective. ↩ 4 09S9
Remarque Lorsque E est de dimension finie, tout caractère de E est de la forme x ↦ e^i⟨ x, x' ⟩ avec x' ∈ E' (Théor. spect., chap. II, § 1, n° 9, cor. 3 de la prop. 12). La prop. 3 résulte… 09SA
Lemme 1 Pour tout entier n ≥ 0, on a ↩ 2 09SB
Lemme 2 Pour tout nombre complexe y, on a ↩ 3 09SC
Proposition 4 Soit E un espace localement convexe. Pour toute forme quadratique positive Q sur E', il existe une promesure Γ_Q sur E et une seule, telle que FΓ_Q = e^-Q/2. La masse totale de Γ_Q… ↩ 2 09SD
Définition 2 Soit E un espace localement convexe. Pour toute forme quadratique positive Q sur E', on appelle promesure gaussienne de variance Q sur E, et l'on note Γ_Q, la promesure sur E dont… ↩ 3 09SE
Remarque 1 Soit E un espace vectoriel de dimension finie, et soit μ une mesure positive de masse 1 sur E, telle que toute forme linéaire sur E appartienne à L²(E, μ). On définit un élément m… 09SF
Remarque 2 Soit Q une forme quadratique sur le dual E' d'un espace localement convexe E. S'il existe une promesure sur E de transformée de Fourier e^-Q/2, la forme quadratique Q est nécessair… 0E7K
Remarque 3 Le dual de R est canoniquement isomorphe à R et les formes quadratiques positives sur R sont les fonctions de la forme t ↦ a t² avec a geqslant 0. Pour tout a geqslant 0, il existe… 0E7L
Proposition 5 Soient E et E₁ deux espaces localement convexes et u une application linéaire continue de E dans E₁. Soient Q une forme quadratique positive sur E' et Q₁ la forme quadratique posit… ↩ 1 09SG
Corollaire Soient E un espace localement convexe et Q une forme quadratique positive sur E'. Pour tout x' ∈ E', l’image de ΓQ par x' est la mesure gaussienne de variance Q(x') sur R. ↩ 1 09SH
Proposition 6 Soient E un espace localement convexe et μ une mesure gaussienne sur E, de variance Q. Pour tout entier n ≥ 0, et tout x' ∈ E', on a les relations (16) ∫_E |⟨ x, x' ⟩|ⁿ dμ(x) = π^-… ↩ 6 09SI
Proposition 7 Soient E un espace localement convexe et μ une promesure sur E. On suppose que x'(μ) est une mesure gaussienne sur R pour tout x' ∈ E'. Alors μ est une promesure gaussienne sur E. ↩ 1 09SJ
Théorème 1 (Wiener) Soit w l’image par P : H → C de la promesure gaussienne canonique sur l’espace de Hilbert H. Alors w est une mesure gaussienne de variance W sur C. 0E7M
Lemme 3 Quels que soient t, t' dans D, on a ∫_Ω | X ( (t + t')/2 ) - (X(t) + X(t'))/2 |³ dm = frac1(8π)^1/2 |t - t'|^3/2. ↩ 1 09SK
Lemme 4 Pour tout entier n geqslant 0, on a 09SL
Lemme 5 Pour toute mesure μ ∈ D, on a ↩ 1 09SM
Lemme 6 Soit μ ∈ M¹. Il existe une suite de mesures μₙ ∈ D telles que μ(f) = lim_n → ∞ μₙ(f) pour tout f ∈ C et W(μ) = lim_n → ∞ W(μₙ). 09SN
Remarque Pour tout intervalle semi-ouvert J = ]a, b] contenu dans T, posons l(J) = b - a (longueur de J) et notons A_J la forme linéaire f ↦ f(b) - f(a) sur C. On peut montrer que la mesure… 09SO
Proposition 8 Soient E un espace localement convexe, μ une promesure sur E et Φ la transformée de Fourier de μ. On a les inégalités ↩ 5 09SP
Corollaire Munissons E’ d’une topologie compatible avec sa structure d’espace vectoriel. Pour que Φ soit continue, il faut et il suffit que sa partie réelle Re Φ soit continue à l’origine, et… ↩ 1 09SQ
Proposition 9 Si F est tonnelé, la transformée de Fourier de toute mesure bornée sur F’ est une fonction uniformément continue sur F. Soient μ une mesure bornée sur F’ et Φ sa transformée de Fou… ↩ 2 09SR
Proposition 10 Sous l’hypothèse Φ(0) - RΦ ≤ ε + q, on a μ(T' - Cᵣ) ≤ 3(ε + r⁻² Tr(q/h)) pour tout r > 0. ↩ 2 09SS
Théorème 2 (Minlos) Soient F un espace localement convexe, T une topologie localement convexe sur F' intermédiaire entre Tₛ et T_c et μ une promesure sur F'_T. On suppose que transformée de Fourier Φ… ↩ 2 09ST
Corollaire Soient F un espace nucléaire tonnelé, T une topologie localement convexe intermédiaire entre Tₛ et T_c sur F', μ une promesure sur F_T' et Φ la transformée de Fourier de μ. Pour qu… ↩ 1 09SU
Remarque Soient F un espace tonnelé et T une topologie localement convexe sur F' intermédiaire entre Tₛ et T_c. Toute partie de F' compacte pour T est compacte pour la topologie moins fine… 09SV
Théorème 3 (Prokhorov–Sazonov) Soient E un espace hilbertien et Eₛ l’espace E muni de la topologie affaiblie. Soient μ une promesure sur E et Φ sa transformée de Fourier. Les conditions suivantes sont équivalent… ↩ 4 09SW
Corollaire 1 Soient E₁ et E₂ deux espaces de Hilbert, u une application de Hilbert–Schmidt de E₁ dans E₂ et μ une promesure sur E₁. On suppose que la transformée de Fourier Φ de μ est continue… 0E7N
Corollaire 2 Soit Q une forme quadratique positive nucléaire sur l’espace hilbertien E. La promesure gaussienne Γ_Q de variance Q sur E est une mesure sur Eₛ. 0E7O
Remarque 1 Soient E un espace hilbertien, Eₛ l’espace E muni de la topologie faible et j l’application identique de E dans Eₛ. On sait que j définit une bijection de l’ensemble des promesures… 09SZ
Remarque 2 On peut montrer (Annexe, exerc. 7b) que la topologie de Sazonov sur un espace hilbertien E est définie par les semi-normes du type Q^1/2 où Q est une forme quadratique positive nuc… 0E7P
Définition 3 Soit G un groupe. On dit qu’une fonction Φ sur G à valeurs complexes est de type positif si l’on a les inégalités ↩ 2 09T0
Proposition 11 Soient E un espace vectoriel de dimension finie, μ une mesure (positive) bornée sur E et Φ la transformée de Fourier de μ. La fonction Φ est continue et de type positif sur E'. ↩ 2 09T1
Théorème 4 Soit E un espace localement convexe. La transformation de Fourier est une bijection de l’ensemble des promesures sur E sur l’ensemble des fonctions de type positif sur E’ dont la r… ↩ 2 09T2
Corollaire Soit F un espace nucléaire tonnelé ; on munit F’ d’une topologie localement convexe T intermédiaire entre la topologie faible σ(F', F) et la topologie de la convergence uniforme su… 09T3

App. 0. Compléments sur les espaces hilbertiens

Remarque 1 Pour tout sous-espace F de E, notons Q_F la restriction de Q à F et H_F celle de H. On a Tr(Q_F/H_F) ≤ Tr(Q/H) et Tr(Q/H) est la borne supérieure des nombres Tr(Q_F/H_F) pour F ⊂ E… ↩ 1 09T5
Remarque 2 Soient E₁ un espace vectoriel réel, Q₁ et H₁ deux formes quadratiques positives sur E₁ et π : E → E₁ une application linéaire surjective. Si Q = Q₁ ∘ π et H = H₁ ∘ π, on a Tr(Q/H)… 0E7Q
Proposition 1 On suppose que E est de dimension finie et H non dégénérée. a) Il existe un endomorphisme u de E caractérisé par (x|y)_Q = (u(x)|y)_H pour x, y dans E. b) On a Tr(Q/H) = Tr(u). c)… ↩ 3 09T6
Proposition 2 On suppose que E est de dimension finie. Il existe une base (e₁, …, eₙ) de E et un entier m avec 0 ≤ m ≤ n tels que 09T7
Proposition 3 Supposons u continue. Soient (eᵢ)_i ∈ I une base orthonormale de E₁ et (fⱼ)_j ∈ J une base orthonormale de E₂. On a ↩ 2 09T9