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命题索引

积分的 1155 个命题，按章和节排列。选择一种类型，按词筛选，或把被引用最多的排在前面。

引用最多的在前

II. 里斯空间

§ 1. 。 RIESZ 空间和全格序空间

定义 1 有序向量空间被认为是 Riesz 空间（或晶格有序向量空间）¹ 如果其阶结构是晶格排序（也就是说，如果元素的每个对 E 的 x, y 具有上界 sup(x, y) 和下确界 inf(x, y) )。² 08JO
例在任意集合 A 上定义的所有实值函数的空间 Rᴬ 是 Riesz 空间（对于序关系 ⟨ x(t) ≤ y(t) for all t ∈ A ⟩）；例如，在 A 上定义的任意两个实数值函数 x, y 的上界（或下确界）等于映射 t ↦ sup(x(t), y(t))（或 t ↦ inf(x(t), y(t))）。 08JP
定义 2 如果上面有界的 E 的每个非空子集在 E 中都有上界，则称 Riesz 空间 E 是完全格序的。 08JQ
例 — 1) 如果 A 是在 A 上定义的实值函数的任何集合、空间 Rᴬ 是完全格序的，则其上界的族的 Rᴬ 中的上界是其上包络（GT，IV, §5, No. 5）。 08JR
命题 1 对于有序向量空间 E 来说，它是完全格序的，E 是 Riesz 空间并且它是满足以下两个条件之一是必要且充分的： ↩ 1 08JS
命题 2 — 让 E 成为配备有与其订购的向量空间结构（TVS，II, §2, No. 7）兼容的 Hausdorff 拓扑的 Riesz 空间。如果，对于每个集合 H ⊂ E ，其上界为关系 leqslant， H 的截面滤波器是收敛的，则 E 是完全格序的。 08JT
命题 3 令(E_ι)_ι ∈ I为有序向量空间的族。对于乘积空间 E = ∏_ι ∈ I E_ι 是 Riesz 空间（分别是完全格序的空间），空间 E_ι 中的每一个都是 Riesz 空间（分别是完全格序的空间）是充分必要的晶格有序空间). ↩ 1 08JU
定义 3 令E为E的有序向量空间、V和W两个补充线性子空间。有人说E是V和W的有序直和，如果有序向量空间V × W的典范映射(x, y) ↦ x + y到有序向量空间E是同构。 08JV
命题 4 对于有序向量空间 E 是两个补充线性子空间 V, W 的有序直和，关系 x ∈ V, y ∈ W, x + y ≥ 0 隐含x ≥ 0 和y ≥ 0 是充分必要的。 ↩ 1 08JW
定义 4 在完全格序空间 E 中，E 的线性子空间 B 如果满足以下条件，则被称为带： 1) 关系 x ∈ B, y ∈ E 和 |y| ≤ |x| 意味着y ∈ B； 2) 对于 B 的每个非空子集 X，其边界在 E 中，E 属于到 B 中X 的上等sup X。 ↩ 1 08JX
例在集合A上定义的实值函数空间Rᴬ中，函数集合共零子集M点 A是一支乐队。 08JY
注在空间Rᴬ中，A上的有界实值函数的子空间B(A)满足Def的条件1)。 4；此外，对于 B(A) 的每个子集 X，其边界在 in B(A) 之上，X 属于到 B(A) 的上包络线。然而，如果 A 是无限的，B(A) 的子集可能会在 Rᴬ 中上界，而不会在 B(A) 中上界，在这种情况下，B(A) 不是 Rᴬ 中的带。 08JZ
命题 5 — 令 E 为完全格序空间，A E 由……组成元素 geqslant 0 的非空子集，使得：1) A + A ⊂ A 和 2) 关系 x ∈ A,\ 0 leqslant y leqslant x 暗示y ∈ A。令M为E中的上界集合，其中A的子集在E的上方有界。在这些条件下，E的每个元素x geqslant 0都可以写成形式y + z，其中y ∈ M是元素… ↩ 3 08K0
定理 1（F.里斯） — 令A为完全格序空间E的子集。与A的每个元素都是陌生的元素集合A'是一个乐队；元素的带A''与A'的每个元素都是陌生的，与A生成的带相同，E是带A'和A''的有序直和。 ↩ 6 08K1
命题 6 — 令E为空间、E的完全格序空间、M子集，以及B由M生成的能带。令M₁为E的元素geqslant 0中的集合，其中每个leqslant是形式∑ᵢ |xᵢ|中的一些元素，其中xᵢ ∈ M；设M₂为上面有界的M₁的子集的上界集合；那么集合 M₂ 与 B 元素 geqslant 0 集合相同。 ↩ 1 08K2
推论 — 令a为完全格序空间E的元素，Bₐ由a生成的能带，B'ₐ与a不同的元素能带。对于E的每个元素x geqslant 0，Bₐ中x的分量（对于E的分解，作为Bₐ和B'ₐ的有序直和）等于sup_n ∈ N (inf(n|a|, x)). ↩ 2 08K3

§ 2. 。线性形式在 RIESZ 空间

定义 1 给定一个有序的向量空间 E，如果对于 E 中的每个 x ≥ 0 都有L(x) ≥ 0，则 E 上的线性形式 L 被认为是正数。 ↩ 2 08KI
例 1 设 A 为任意集合，E 是 A 上定义的所有实值函数的空间 Rᴬ 的线性子空间。对于每个元素 a ∈ A，映射 x ↦ x(a) 是 E 上的正线性形式。 ↩ 1 08KJ
例 2 令I = [a, b]为R的紧区间，E由I上的规范实值函数形成的Riesz空间（FRV，II, §1, No. 3）；映射 x ↦ ∫ₐᵇ x(t) dt 是 E 上的正线性形式。 08KK
例 3 设 F 为 F 上的任意集合、U 超滤器（GT、I, §6, No. 4），E 为 F 上有界实值函数的 Riesz 空间 B(F)。对于每个 x ∈ E，lim_U x(t) 都存在，因为x(U)是超滤器相对于紧集x(F)的基，因此是收敛的。此外，如果x ≥ 0则lim_U x(t) ≥ 0乘以不等式扩张的原理；因此映射x ↦ lim_U x是E上的正线性… 08KL
命题 1 令E为E到R的有序向量空间、L映射，使得L(x + y) = L(x) + L(y)并且关系x ≥ 0蕴含L(x) ≥ 0；然后对于每个标量 λ 和每个 x ≥ 0 L(λ x) = λ L(x)。 ↩ 1 08KM
命题 2 令 E 为实数向量空间，C 一个在 E 中顶点为 0 的凸锥体，使得 E = C - C，并且将 C 的 x ↦ M(x) 映射放入R，使得M(λ x + μ y) = λ M(x) + μ M(y) 对于所有 x ∈ C， y ∈ C、λ ≥ 0、μ ≥ 0。那么，存在且仅有一个线性形式L即扩展M到E。 ↩ 4 08KN
命题 3 令E为E的元素geqslant 0的有向有序向量空间、P集合以及P的x ↦ M(x)映射到R，其中值 geqslant 0，这样M(x + y) = M(x) + M(y)适用于P中的所有x, y。那么，存在且仅有一个正线性形式L即扩展M到E。 ↩ 3 08KO
定义 2 给定 Riesz 空间 E，E 上的线性形式 L 被认为是相对有界的，如果对于 E 中的每个 x geqslant 0，L 在集合上有界y ∈ E使得|y| leqslant x. 08KP
定理 1 1° 在阶中，Riesz 空间 E 上的线性形式 L 相对有界，它是两个正线性形式之差是充要的。 ↩ 3 08KQ
引理 — 令 E 为有向有序向量空间，E^* 其对偶，以正线性形式为正元素进行排序。设(u_α)是E^*的元素的递增定向族。如果，对于 E 中的每个 x geqslant 0，sup u_α(x) < +∞，则族 (u_α) 在 E^* 中有一个至高点 u，并且，对于 E 中的所有 x geqslant 0， 08KR
命题 4 — 在阶中，Riesz 空间 E 上的两个正线性形式 L, M 在空间 Ω 中彼此互不相容，对于每个数 ε > 0 和每个 x ≥ 0 来说，这是充分必要的E，E存在两个元素y ≥ 0, z ≥ 0，使得x = y + z和L(y) + M(z) ≤ ε。 ↩ 2 08KS
命题 5 — 令 L 为 Riesz 空间 E 上的正线性形式。 In order that a positive linear form M on E belong to the band generated by L in Ω, it is necessary and sufficient that, for every x ≥ 0 in E and every… ↩ 2 08KT
例令 E 为 Riesz 空间，配备与其有序向量空间结构（TVS，II, §2, No. 7）兼容的局部凸拓扑。令E'为E的拓扑对偶，并假设在加法中，E的元素geqslant 0的锥体P对于弱化的拓扑σ(E, E')来说是完全的。那么每个连续的线性形式x' ∈ E'都是相对有界的，因为我们知道（TVS，II, §6, No. 8，第11号命题的Cor.2），在… 08KU

III. 局部紧凑空间的措施

§ 1. 。局部紧凑措施空间

定义 1 — 令X为拓扑空间，令E为R上的overlineR或向量空间，并令f为E中X的映射。最小的在X中闭合集合S，使得X - S上的f(x) = 0（在其他字中，所有x ∈ X的集合在X中的闭包，使得f(x) ≠ 0）称为f的支持度，记为Supp(f)。 08L4
命题 1 令X为局部紧致空间，E为Hausdorff局部凸空间。 ↩ 3 08L5
命题 2 — 令 X 为局部紧致空间，E 为 Hausdorff 局部凸空间。 ↩ 4 08L6
推论令 X 为拟紧致、局部紧致空间；如果 E 是准完备局部凸空间，则空间 K(X; E) 是准完备的。 08L7
引理 1 令X为局部紧致空间，K为X的紧致子集，(Vₖ)_1 ≤ k ≤ n为X的开集合对K的有限覆盖。那么，X存在n连续的映射fₖ进入[0, 1]，使得fₖ的支持度包含在Vₖ中，对于1 ≤ k ≤ n，∑ₖ₌₁ⁿ fₖ(x) ≤ 1对于所有x ∈ X， ∑ₖ₌₁ⁿ fₖ(x) = 1 对于所有x ∈ K。 ↩ 19 08L8
引理 2 令X为局部紧致空间，K为X的紧致子集，E为局部凸空间，q为E上的连续半范数，Φ为X的映射等连续集合进入E，其支撑包含在K中。那么，对于每个 ε > 0，在 X 上都存在一个连续的划分单位元 (φⱼ)_0 ≤ j ≤ n，具有以下属性： (i) Supp(φⱼ) ⊂ K 为 1 ≤ j ≤ n。 (ii) 如果，对于 1 ≤ j ≤ n，xⱼ 是 Supp(φ… ↩ 2 08L9
命题 3 — 令 X 为局部紧致空间，X' 通过在无穷远 ω 邻接 X 点获得紧致空间 (GT, I, §9, No. 8, ↩ 4 08LA
命题 4 — 令 X 为局部紧致空间，E 为局部凸空间；那么，对于紧凑收敛的拓扑，空间K(X;E)在C(X;E)中是稠密的。 ↩ 1 08LB
命题 5 — 令 X 为局部紧致空间，E 为实数（或复数）局部凸空间。 For every compact subset K of X, the vector space K(X,K;R) ⊗_R E (resp. K(X,K;C) ⊗_C E) (identified with a set of mappings of X into E, cf. A, II, §7… ↩ 3 08LC
定义 2 — 在 K(X; C)上连续的线性形式，X局部紧凑的空间，称为在X上的测度（或复杂测度）。 ↩ 3 08LD
命题 6 — 令 X 为局部紧凑空间，(K_α) X 的紧凑子集系列，其内部overset∘K_α 形式 X 的开放覆盖物。为了使K(X; C)上的线性形式μ成为X上的测度，对于每个α，存在数M_α使得 ↩ 3 08LE
命题 7 对于K(X;C)的有界子集的每个集合S（覆盖K(X;C)），空间M_S(X;C)是豪斯多夫（Hausdorff）且准完备。 08LF
注在局部紧凑空间X定义上对X采取措施μ（以及X的拓扑）结构 S。设X₁是第二个集合，φ是X到X₁的双射映射；与一般的定义（S、R、§8）一致，通过φ运输到X的X₁结构 S而获得结构 S₁，定义如下。 X的拓扑由φ运输到X₁； K(X₁; C) 的函数则为函数 f，使得f∘φ 属于到 K(X; C)，并且X₁ 上的测度μ₁ 由μ₁(f)=μ(f∘φ) 定义。 08LG
例 R 的勒贝格测度在加法群 R 的每种翻译下都是不变的。事实上，对于每个函数f ∈ K(R; C)和每个实数a，我们有 08LH
定理 1 Riesz 空间 K(X; R) 上的每个正值线性形式都是 X 上的（正）实际度量。 ↩ 7 08LI
定理 2 局部紧凑空间 X 上的每个实际测度都是两个正测度的差。 ↩ 2 08LJ
定理 3 局部紧凑空间 X 上的实际测量的空间 M(X; R) 是完全格序的。 08LK
命题 8 如果 μ 是 X 的度量，那么对于每个函数 h ∈ C(X; C)， 08LL
命题 9 令V为K(X; R)的线性子空间，具有以下性质： (P) 对于X的每个紧致子集K，存在函数f ∈ V使得f ≥ 0并且对于所有x ∈ K存在f(x) > 0。在这些条件下，V上由K(X; R)（第II, §2, No. 1，定义1）引起的排序的每个正线性形式都可以扩展到X上的正测量（当V在K(X; R)中密集时，这是唯一的）。对于每个函数f ∈ K(X… ↩ 3 08LM
定义 3 如果局部紧凑空间 X 在 K(X; C) 上连续且一致收敛于拓扑，则称其为有界。 ↩ 1 08LN
例 — 1) 由单位质量在点 a ∈ X 定义的测量εₐ 有界，且|εₐ| = 1。 08LO
命题 10 — 对于 X 上的每个小节 μ， ↩ 1 08LP
推论 1 — 对于X上的每个措施μ，μ和|μ|的范数相等； μ 是有界的当且仅当 |μ| 是有界的。 ↩ 2 08LQ
推论 2 — 对于紧凑型空间 X 上的每个尺寸 μ， 08LR
推论 3 — 对于局部紧凑空间 X 上的每个实际测量μ， 08LS
命题 11 — 如果 μ 和 ν 是 X 的两个正测度，则| μ + ν | = | μ | + | ν |。 ↩ 1 08LT
推论 1 — 如果μ和ν是X的两个正测度使得μ ≤ ν，则| μ | ≤ | ν |；特别是，如果 ν 有界，那么 μ 也是有界的。确实，| ν | = | μ | + | ν - μ |。 08LU
推论 2 — 对于 X 上的每个实际测量 μ， 08LV
命题 12 — 如果 μ 是 X 上的有界测度，且 g 是 X 到 C 的有界连续映射，则测度 g · μ 是有界的且 | g · μ | ≤ | g | · | μ |。 ↩ 1 08LW
命题 13 令X为局部紧致空间，并且对于每个x ∈ X，令εₓ为点x处的狄拉克测度。映射 x ↦ εₓ 是 X 到空间 M(X; C) X 测度的子空间的同态，配备了模糊拓扑。此外，如果X'表示在无穷大ω处与X点邻接而获得的紧空间，则当x趋于ω时，εₓ趋于0。 ↩ 5 08LX
命题 14 在局部紧凑空间X上的测度空间M(X; C)中，对于从模糊拓扑推导出来的均匀结构，正测度圆锥M₊(X)是完整的（因此在M(X; C)中“模糊地封闭”）。 ↩ 1 08LY
推论如果A和B是M₊(X)的两个模糊闭子集，则A + B在M₊(X)中模糊闭（因此也在M(X; C)中）。 08LZ
命题 15 — 设 H 为 M(X; C) 的子集。以下属性是等效的： ↩ 6 08M0
推论 1 — 设ν为X的正测度；集合措施μ 使得|μ| ≤ ν 是模糊紧凑的。 08M1
推论 2 — μ 的集合测量使得|μ| ≤ a（a任何有限的数> 0）是模糊紧凑的。 ↩ 6 08M2
推论 3 — 如果 X 是紧致的，则X 上的μ 正措施集合使得 |μ| = 1 是模糊紧致的。 ↩ 1 08M3
推论 4 — 在空间M(X; C)中，映射μ ↦ |μ|对于模糊的拓扑来说是下半连续的。 ↩ 1 08M4
命题 16 — 令K为X的紧致子集，H为M(X; C)的模糊边界子集；那么，当K(X, K; C)配备一致收敛的拓扑且H配备模糊拓扑时，双线性形式(f, μ) ↦ ⟨ f, μ ⟩在K(X, K; C) × H上连续。 08M5
命题 17 在空间 M(X; C) 上，考虑以下拓扑： T₁：拓扑，总共子集 T K(X; C)； T₂: 模糊拓扑; T₃：严格紧致收敛的拓扑； T₄：紧凑收敛的拓扑。这些拓扑中的每一个都比下一个更粗糙。此外： (i) 有界集合对于 T₂、T₃ 和 T₄ 是相同的。 (ii) 如果 H 是 M(X; C) 的模糊边界子集，则由拓扑 T₁、T₂、T₃、T₄ 在 H 上… ↩ 4 08M6
命题 18 On the cone M₊(X), the topologies induced by the following topologies coincide: T₁: the topology of pointwise convergence in a linear subspace V of K(X; C) that is dense in K(X; C)… ↩ 1 08M7
推论 — 如果 X 是仿紧致的，则由紧致收敛重合的模糊拓扑和拓扑在 M₊(X) 上导出的拓扑。 08M8

§ 2. 。支持某项措施

命题 1 让(Y_α)_α ∈ A成为X的开放覆盖并假设给定，在每个子空间Y_α，测量μ_α，以这样的方式，对于每个对(α, β)，限制 μ_α 和 μ_β 到 Y_α ∩ Y_β 相同。在这些条件下，存在一个且只有一个测度μ在X上，其限制到Y_α等于μ_α对于每个指标α。 ↩ 2 08MR
推论（本地化原理） — 令μ和ν为X的两个度量，并令(Y_α)为X的开集合族，使得对于μ和ν的每个α、限制至Y_α是平等的；那么 μ 的限制和 ν 到 Y = ⋃_α Y_α 相等。 ↩ 2 08MS
定义 1 如果μ是局部紧致空间X的测度，则定义是μ的支持，表示为Supp(μ)，是闭集合与开集合的最大的互补X，其中μ中的限制是零。 08MT
例 — 1) 对于X的测度为零，其支持度为空是必要且充分的。 2）勒贝格测度对R的支持是整条线R；因为，它是非空并且在每个翻译下都是不变的。 08MU
命题 2 对μ措施的支持与对|μ|措施的支持相同；如果μ是真实的，那么它的支持度是措施μ⁺和μ⁻的支持度的并。 ↩ 1 08MV
命题 3 如果 μ 和 ν 是局部紧凑空间 X 上的两个测度，使得 |μ| ≤ |ν|，则Supp(μ) ⊂ Supp(ν)。 08MW
命题 4 两项措施的和支持包含在其并支持中。 08MX
命题 5 测量μ的限制对开放集合U的支持是μ的支持在U上的迹线。 ↩ 1 08MY
命题 6 局部紧凑空间X上的集合措施，其支持包含在封闭的集合F中，是M(X; C)的模糊封闭线性子空间。 ↩ 3 08MZ
命题 7 — 如果Φ是M(X; C)上的过滤器，使得μ的支持度沿着Φ无限后退，则μ相对于Φ模糊地收敛到0。 ↩ 1 08N0
命题 8 — 令 μ 为局部紧致空间 X 的测度。对于每个函数 f ∈ K(X; C)，即 Supp(μ)、μ(f) = 0 上的零。 ↩ 5 08N1
推论 1 — 如果K(X; C)中的两个函数f, g在Supp(μ)上相等，则μ(f) = μ(g)。 ↩ 1 08N2
推论 2 — 令μ为X的正测度；如果f ∈ K(X; C)使得f(x) ≥ 0在Supp(μ)上，那么μ(f) ≥ 0。 ↩ 4 08N3
推论 3 — 令μ为X的有界测度；如果f ∈ K(X; C)使得|f(x)| ≤ a在Supp(μ)上，则|μ(f)| ≤ a |μ|。 ↩ 2 08N4
命题 9 — 设μ为X的正测度；如果f在K₊(X)中是函数，使得μ(f) = 0，则f在Supp(μ)上是零。 ↩ 1 08N5
命题 10 — 令 μ 为局部紧凑空间 X 的测度；对于每个函数g ∈ C(X; C)，测度g · μ的支持是点x ∈ Supp(μ)的集合的闭包T，使得g(x) ≠ 0。 ↩ 1 08N6
推论 — 在阶中，措施g · μ为零，在μ的支持下，g为零是必要且充分的。 08N7
命题 11 — 每个具有紧凑支持的测度都是有界的。 ↩ 2 08N8
命题 12 — 令 aᵢ (1 ≤ i ≤ n) 在局部紧凑的空间 X 中与点不同。 X上的每一项措施，其支持包含在aᵢ的集合中，是措施ε_aᵢ（1 ≤ i ≤ n）中的线性组合。 ↩ 1 08N9
定理 1 — 每项措施 μ 在局部紧凑的空间 X 都处于向量空间 V 的模糊闭包中，其支持是有限的并包含在 Supp(μ)中。 ↩ 3 08NA
推论 1 — 每个有界测度 μ 在 X 上都处于凸集合 A 测度的模糊闭包中，其支持是有限的并且包含在 μ的支持中，其范数是 ≤ | μ |。此外，如果ν模糊地倾向于μ同时保持在A，那么| ν |倾向于| μ |。 ↩ 2 08NB
推论 2 — 每个有界测度 μ 在 X 上都处于集合测度的模糊闭包中，其支持是有限的并包含在 μ 的支持中，并且其范数等于 | μ |。 ↩ 1 08NC
推论 3 X上的每个有界正测度μ都处于正测度凸集合的模糊闭包中，其支持是有限的并包含在μ的支持中，并且其范数等于| μ |。 ↩ 1 08ND
推论 4 在空间M(X; C)中，点措施中的集合总计为拓扑严格紧致收敛（§1, No. 10）。 ↩ 1 08NE
命题 13 令 μ 为局部紧致空间 X 的测度。对于点x₀到属于到Supp(μ)，点测量ε_x₀处于测量g · μ的集合的模糊闭包中是必要且充分的，其中g运行在连续的集合之上函数具有紧凑的支撑，使得 | g · μ | ≤ 1. ↩ 2 08NF
推论令 μ 为X 的度量。对于X上的措施ν处于措施g · μ的集合的模糊封闭中，其中g超过K(X; C)，Supp(ν) ⊂ Supp(μ)是必要且充分的。 08NG
命题 14 对于局部紧凑空间X上的测度μ作为离散测度（§ 1, No. 3、例I），Supp(μ)是X的离散闭子空间是必要且充分的。 08NH

§ 3. 。连续向量值函数的积分

定义 1 对于每个函数f ∈ widetildeK(X;E)，我们称f相对于μ的积分，并用∫ f dμ或∫ f(x) dμ(x)，或∫ f μ，或∫ f(x)μ(x)，元素定义的E'^*表示 ↩ 1 08NN
例 — 1) 假设E是C和Hausdorff上的有限维的，因此如果(eᵢ)_1 ≤ i ≤ n是E的基，则映射 ↩ 1 08NO
注 1 如果E是局部凸空间，N是0在E的闭包，那么E₁ = E/N是与E相关的Hausdorff局部凸空间，我们知道对偶E'和E'₁ 相同；对于函数f至属于至widetildeK(X; E)，f₁ = π ∘ f（其中π : E → E₁为典范同态）属于至widetildeK(X; E₁)是必要且充分的，在这种情况下为∫ f dμ = ∫ f₁ dμ。因此，我们可以… 08NP
注 2 令 E 为空间 over C 的局部凸，并令 E₀ 为 E 底层的局部凸空间 over R；我们知道映射z' ↦ Re z'，对于E上的每个连续（复数）线性形式z'，使对应成为E₀上的连续（实数）线性形式z ↦ Re ⟨ z, z' ⟩，是对偶的R同构E' 到E₀ 的双E'₀（TVS，II, §8, No. 1）。类似地，实向量空间 E'₀ 的代数对偶 E'… 08NQ
命题 1 — 映射 ↩ 1 08NR
命题 2 — 令 u 为 E 的连续线性映射变为局部凸空间 F；对于每个函数 f ∈ widetildeK(X;E)、函数 u ∘ f 属于到 widetildeK(X;F) 以及 ↩ 2 08NS
命题 3 — 对于每个函数 g ∈ C(X;C) 和每个函数 f ∈ widetildeK(X;E)、函数 gf 属于到 widetildeK(X;E) 以及 ↩ 1 08NT
命题 4 — 令μ为X的积极测度，S其支持度，f函数为widetildeK(X;E)。假设E是Hausdorff，并用弱拓扑σ(E'^*, E')装备空间E'^*。 ↩ 3 08NU
推论让μ成为X、f映射属于到K(X;E)、和D在E'中f(X)的封闭凸包络。存在数a > 0使得∫ f dμ ∈ a · D。 ↩ 2 08NV
命题 5 假设空间 X 是紧致的，并且让 f 成为 X 的连续映射进入豪斯多夫局部凸空间 E。闭凸包络 f(X) 在 E' (for σ(E', E')) 是等于向量 ∫ f dμ 对于所有正测量 μ 在 X 总质量 1 上的集合。 ↩ 3 08NW
命题 6 对于每个连续映射，将X的紧支撑f转化为Hausdorff局部凸空间E，E上的每个连续半范数q以及X上的每个测度μ，使得∫ f dμ ∈ E, ↩ 2 08NX
命题 7 令 E 为 Hausdorff 局部凸空间，且f ∈ K(X; E)。如果f(X)包含在E的完全凸子集A中，则∫ f dμ ∈ E。 ↩ 8 08NY
推论 1 — 令 E 为 Hausdorff 局部凸空间；对于每个函数 f ∈ K(X; E)，∫ f dμ 属于到完成 E 的 widehatE。 ↩ 2 08NZ
推论 2 — 如果 E 是局部凸准完备 Hausdorff 空间，则对于每个函数 f ∈ K(X; E)，∫ f dμ ∈ E。 ↩ 8 08O0
命题 8 — 假设 E 是豪斯多夫；令 μ 为X 的测度。 K(X;E)的映射f ↦ ∫ f dμ进入widehatE（No. 3，第7条的Cor.1）是唯一的连续线性映射Φ，使得Φ(g · a) = μ(g) · a对于每个向量a ∈ E和每个函数g ∈ K(X;C)。 ↩ 1 08O1
命题 9 — 假设 E 是豪斯多夫；设 f 是 X 的连续映射到 E 中，具有紧支撑。当空间M(X;C)配备严格紧收敛的拓扑（§1, No. 10）时，M(X;C)入widehatE的映射μ ↦ ∫ f dμ是唯一连续的线性映射Ψ使得Ψ(εₓ) = f(x)对于所有x ∈ X。 ↩ 2 08O2
推论 — With hypotheses and notations as in Prop. 9, the restriction of the mapping μ ↦ ∫ f dμ to the set M₊(X) of positive measures, or to a vaguely bounded subset B of M(X; C), is vagu… 08O3

§ 4. 。乘积措施

定理 1 — 令X和Y为两个局部紧致空间，λ对X的测度，μ对Y的测度；在X × Y上存在且仅有一个测度ν，使得对于每一个函数 g ∈ K(X; C) 和每一个函数 h ∈ K(Y; C)， ↩ 19 08O8
引理 1— 令 X 和 Y 为两个局部紧致空间，K（分别为 L）和 X（分别为 Y）的紧致子集。 08O9
引理 2 对于记号，如引理 1，对于每个函数 f ∈ K(X × Y, K × L; C) 函数 ↩ 3 08OA
定义 1 给定分别在两个局部紧凑空间X, Y上定义的两个测度λ, μ，μ右λ的测度乘积定义为X × Y满足关系上的唯一测度ν (1) 对于每个函数 g ∈ K(X; C) 和每个函数 h ∈ K(Y; C)。 08OB
定理 2 令 λ, μ 为分别在两个局部紧凑空间 X, Y 上定义的两个度量。对于K(X × Y; C)中的每个函数f，f相对于乘积测量λ的ν除以μ的积分有值 ↩ 3 08OC
例 1 狄拉克测度εₓ (x ∈ X) 和ε_y (y ∈ Y) 的乘积测度是狄拉克测度ε_(x, y)。 08OD
例 2 让我们采用X = Y = R，对于λ和μ，使用R (§1, No. 3) 上的勒贝格测度；他们的乘积被称为R²上的勒贝格测度；函数 f ∈ K(R²; C) 对于该测量的积分表示为 iint f(x, y) dx dy 或 iint f(x, y) dy dx；公式 (4)，对于函数，即零在紧凑矩形 [a, b] × [c, d] 之外，产生公式 08OE
注令E为Hausdorff局部凸空间，并令f为K(X × Y; E)中的映射，使得f(X × Y)包含在E的完全凸子集C中。然后，对于每个y ∈ Y，h(y) = ∫ f(x, y) dλ(x)属于到E的积分（§3, No. 3，命题7）；此外，函数h属于到widetildeK(Y; E)：确实，对于每个z' ∈ E'，我们有 08OF
命题 1 设λ为X的测度，μ为Y的测度；如果 g ∈ C(X; C),\ h ∈ C(Y; C), 那么 (g · λ) ⊗ (h · μ) = (g ⊗ h) · (λ ⊗ μ). 08OG
命题 2 乘积λ ⊗ μ的支持度等于λ的支持度和μ的支持度的乘积。 ↩ 1 08OH
命题 3 让λ ∈ M(X; C),\ μ ∈ M(Y; C)。然后 ↩ 9 08OI
推论 — 让 λ ∈ M(X; R), \ μ ∈ M(Y; R)。然后 08OJ
命题 4 — 让 λ ∈ M(X; C), \ μ ∈ M(Y; C)。然后 ↩ 2 08OK
命题 5 对于每一个度量λ₀ ∈ M(X; C)，映射μ ↦ λ₀ ⊗ μ的M(Y; C)到M(X × Y; C)是模糊连续的。 08OL
命题 6 当 M(X; C) , \ M(Y; C) 和 M(X × Y; C) 配备严格紧致收敛的拓扑 (§ 1, No. 10)时，双线性映射 (λ, μ) ↦ λ ⊗ μ of M(X; C) × M(Y; C) 进入 M(X × Y; C) 对于集合是低连续的 M(X; C) 和 M(Y; C) (TVS, III, § 5, No. 3) 的子集有模糊界限。 08OM
命题 7（“措施乘积结合性”） — 设(Iₖ)_1 ≤ k ≤ r为区间[1, n]的划分N；然后 ⨂ₖ₌₁ʳ ( ⨂_i ∈ Iₖ μᵢ ) = ⨂ᵢ₌₁ⁿ μᵢ 08ON
定义 2 家庭 (μ_α)_α ∈ I，其中，对于每个 α ∈ I，μ_α 是对X_α的测量，据说是逆系测量，如果，每当α ≤ β，μ_α = (p_αβ)_*(μ_β)。测量 μ 在 X = lim_← X_α 据说是逆系 (μ_α) 如果 μ_α = (p_α)_*(μ) 对于每个 α ∈ I 的逆极限。 08OO
命题 8 (i) 如果逆系 (μ_α) 在 X_α 上的度量有逆极限，则极限是唯一的。 (ii) 如果逆系 (μ_α) 有逆极限，则范数 (|μ_α|) 的族是有界的。 (iii) 如果 p_αβ 是满射且族 (|μ_α|) 有界，则逆系测度 (μ_α) 有逆极限。 ↩ 2 08OP
引理 3 — 令 F 为函数 f ∈ C(X; C) 的集合，具有以下性质：存在 α ∈ I 和函数 f_α ∈ C(X_α; C)，使得 f = f_α ∘ p_α。那么 F 是 C(X; C) 的稠密线性子空间。 ↩ 1 08OQ
例 — 令 (X_λ)_λ ∈ L 为紧致空间族；集合 X = ∏_λ ∈ L X_λ，并且对于 L 中的每个有限子集 J，集合 X_J = ∏_λ ∈ J X_λ；用pr_J : X → X_J和pr_J, K : X_K → X_J（对于J ⊂ K）表示规范的投影。我们知道，(X_J, pr_JK)是紧凑空间的逆系，连续映射(pr_J)的系统的逆极限是X的… 08OR
命题 9 假设所有度量 μ_λ 均为正数，并且族 (μ_λ(1))_λ ∈ L 可与 R₊ 相乘（乘积可能为 0）。那么X上存在且仅有一个测度μ，使得对于L的每一个有限子集J和每一个函数f_J ∈ C(X_J; C)， ↩ 2 08OS
推论假设第9条命题的条件得到验证，令(L_ρ)_ρ ∈ R为L的划分。那么每个(μ_λ)_λ ∈ L_ρ措施族都承认乘积措施，乘积措施族( ⨂_λ ∈ L_ρ μ_λ )_ρ ∈ R承认乘积措施，并且 08OT

IV. 扩张一个度量。 $L^p$空间

§ 1. 。正函数的上积分

引理 — 每个函数 f ∈ I₊ 是集合的上封套（针对关系 ≤）所有函数 g ∈ K₊ 使得 g ≤ f。 08P2
定义 1 给定 X 上的正测度μ，可将函数f ∈ J₊（相对于μ）的上积分称为正数（有限或等于+∞） ↩ 5 08P3
例 — 令X为离散空间，μ为X的正测度，集合α(x) = μ(φ_x)为所有x ∈ X。那么在 X 上定义的每个数值函数 f 都是连续的；对于这样的函数f ≥ 0、μ^*(f) = ∑_x ∈ X α(x)f(x)，每当α(x) = 0和f(x) = +∞时，我们同意集合α(x)f(x) = 0。对于， ∑_x ∈ X α(x)f(x) = sup_M ( ∑_… 08P4
命题 1 对于每个有限的实数α > 0和每个函数f ∈ J₊， μ^*(α f) = α μ^*(f). ↩ 4 08P5
命题 2 集合J₊，函数μ^*为递增。证明是来自 Def 的直接的。 1. ↩ 1 08P6
定理 1 令H为J₊中函数的非空集合，指向关系≤。对于X上的每一项积极措施μ， μ^*( sup_g ∈ H g ) = sup_g ∈ H μ^*(g) = lim_g ∈ H μ^*(g). ↩ 12 08P7
定理 2 如果f₁和f₂是I₊中的两个函数那么 ↩ 4 08P8
命题 3 — 对于每个家庭 (f_ι)_ι ∈ I 函数中 J₊， 08P9
命题 4 — 让f成为函数在J₊中。映射 μ ↦ μ^*(f) of 集合 M₊(X) of positive measures on X, into the extended 实直线 overlineR, is lower semi-continuous for the vague 拓扑 on M₊(X) (Ch. III, §1, No. 9)。 ↩ 2 08PA
定义 2 — Given a positive measure μ on X, for every open 集合 G ⊂ X upper integral μ^*(φ_G) is called the outer measure of G and is denoted μ^*(G). ↩ 1 08PB
命题 5 — 相对紧凑的开放集合 G 的外部测量是有限的。 ↩ 1 08PC
命题 6 —如果G₁和G2是两个开集合，使得G₁⊂G2，则μ(G₁)≤μ(G2)。对于，关系 G₁ ⊂ G2 等价于 φG₁ ≤ φG2。 ↩ 1 08PD
命题 7 — 设𝔅为针对关系⊂的X开子集集合；然后 ↩ 4 08PE
命题 8 — 设 (Gι){ι \in I} 为任意开集合族；那么 ↩ 2 08PF
例 — 令 X = \mathbf{R} 并令 μ 为 \mathbf{R} 上的勒贝格测度（第 III, §1, No. 3 章）；我们将得到确定开区间 G = ]a, b[ (−∞ ≤ a < b ≤ +∞) 的外部测度。首先假设 a 和 b 是有限的。对于 K₊ 中的每个函数 f，且 f ≤ φG，我们可以通过平均值的定理（FRV，II, §1, No… 08PG
命题 9 对于R上的勒贝格测度，R中开集合的外部测度等于其连通分量的长度的和。 ↩ 2 08PH
定义 3 令μ为X的正测度；对于 X 上定义的每个数字函数 f ≥ 0（有限或非有限），正数 ↩ 4 08PI
例 — 如果 X 是离散空间，μ X 上的正测度，并且如果集合 α(x) = μ(φ_x)，则μ^*(f) = ∑_x ∈ X α(x) f(x) 对于X 上定义的每个数值函数 f ≥ 0，因为这样的函数是连续的（No. 1，例）。 08PJ
命题 10 — 如果 f 和 g 是在 X 上定义的两个数值函数 geqslant 0，使得 f leqslant g，则μ^*(f) leqslant μ^*(g)。 08PK
命题 11 — 对于每个有限实数 α > 0 以及X 上定义的每个数值函数 f geqslant 0， ↩ 1 08PL
命题 12 — 如果f₁和f₂是定义在X上的两个数值函数geqslant 0，则 ↩ 1 08PM
定理 3 — 对于X上定义的数值函数geqslant 0的每个递增序列(fₙ)， ↩ 8 08PN
推论 — 令𝔉为数值函数≥ 0的集合，指向关系≤，这样存在𝔉的可数共尾子集𝔊 (S, III, §1, No. 7);然后 ↩ 1 08PO
注 — 1) 当𝔉是函数≥ 0的不可数有向集合并且不是下半连续时，关系(11)不一定成立。取例X = R，μ是R上的勒贝格测度，并考虑特征函数φ_M的有向（对于≤）集合𝔉的所有有限子集M R。那么对于每一个有限子集 M，μ^*(φ_M) = 0，因为点包含在任意小长度的开区间中，并且集合的特征函数减少到点，因此根据Def具有上积分零。 3 和No. 2 的第 9… ↩ 2 08PP
命题 13 对于每个序列 (fₙ) 数值函数 geqslant 0 定义于 X， ↩ 2 08PQ
命题 14（法图的引理） — 对于每个序列 (fₙ) 数值函数 geqslant 0， 08PR
推论让(fₙ)成为数值函数geqslant 0的序列这样，对于每个x ∈ X，lim_n → ∞ fₙ(x) = +∞。如果 μ 不是零度量，则 lim_n → ∞ μ^*(fₙ) = +∞。 08PS
命题 15 对于X上的每个标量α > 0和每个对积极措施μ, ν， ↩ 3 08PT
定义 4 令μ为X的正测度；对于X的每个子集A，上积分μ^*(φ_A)称为A的外部测度（相对于测度μ）并表示为μ^*(A)。 08PU
命题 16 如果A和B是X中的两个子集，使得A ⊂ B，则μ^*(A) ≤ μ^*(B)。 08PV
推论 X中的每个相对紧集都有有限的外部测度。 08PW
命题 17 — 如果 (Aₙ) 是X 的子集中的递增序列，则μ^*(⋃ₙ Aₙ) = supₙ μ^*(Aₙ)。 08PX
命题 18 — 对于序列 (Aₙ) 子集 X， ↩ 2 08PY
命题 19 — 对于 X 的每个子集 A，μ^*(A) 是开集合包含 A 的外部度量的下确界。 ↩ 3 08PZ

§ 2. 。可以忽略不计的函数和集合

定义 1 — 给定局部紧凑空间 X 上的测度 μ，数值函数 f ≥ 0（是否有限）如果 |μ|^*(f) = 0，则在 X 上定义的测度对于μ 来说可以忽略不计。 ↩ 1 08Q8
命题 1 — 如果 f 是可忽略不计的函数 ≥ 0，则每个数值函数 g 使得 0 ≤ g ≤ α f（α 标量 > 0）可以忽略不计。对于，0 ≤ |μ|^*(g) ≤ α |μ|^*(f) = 0。 08Q9
命题 2 — 和和序列 (fₙ) 可忽略不计的函数 ≥ 0 可忽略不计。 ↩ 1 08QA
命题 3 为了使X上的下半连续函数f ≥ 0可以忽略不计，在μ的支持下f为零是必要且充分的。 ↩ 1 08QB
定义 2 给定局部紧凑空间X上的措施μ，X的子集A据说对于措施μ如果|μ|^*(A) = 0可以忽略不计。 08QC
命题 4 每一个子集可以忽略不计的集合都是可以忽略不计的；每个可数的并可以忽略不计的集合都是可以忽略不计的。 ↩ 1 08QD
例 — 令 μ 为R 的勒贝格测度。每集合 x₀ 减少到点都可以忽略不计（cf. § 1, No. 3，注 1）。因此，R 中的每个可数子集对于勒贝格测度来说都是可以忽略不计的。这个命题的逆命题不正确（§ 4，Exer.4 b））。 08QE
命题 5 μ的支持S的补集是最大的，在X中可以忽略不计的开放集合。 ↩ 4 08QF
定理 1 — 在阶中，X 上定义的数值函数（有限或非有限）f geqslant 0 可以忽略不计，f(x) = 0 几乎无处不在是必要且充分的。 ↩ 4 08QG
命题 6 — 如果f和g是在X上定义的两个函数geqslant 0（有限或非有限），使得f(x) = g(x)几乎无处不在，则|μ|^*(f) = |μ|^*(g)。 ↩ 5 08QH
命题 7 — 如果 f 是在 X 上定义的函数 geqslant 0，使得 |μ|^*(f) < +∞，则 f(x) 几乎处处是有限的。 ↩ 2 08QI
命题 8 设(Fₙ)为集合的可数族（有限或无限）。对于每个指标 n，让 fₙ, gₙ 成为X的两个等价的映射到 Fₙ；然后，存在一个可忽略的集合 H，使得对于每个 x ∉ H，fₙ(x) = gₙ(x) 对于所有 n。 ↩ 1 08QJ
推论 If φ is a mapping of ∏ₙ Fₙ into a set G, then the mappings φ((fₙ)) and φ((gₙ)) of X into G are equivalent. 08QK
命题 9 — 设f和g为X的两个连续映射，形成豪斯多夫拓扑空间F；为了使f和g等价，μ的支持度每点有f(x) = g(x)是必要且充分的。 ↩ 1 08QL
命题 10 — 令F为R上的Hausdorff局部凸空间，使得F序列(a'ₙ)的对偶F'中存在弱拓扑σ(F', F)稠密（TVS，II, §6, No. 2）。在阶中，X到F的两个映射f, g是等价的，对于每个n，数值函数、⟨ f(x), a'ₙ ⟩和⟨ g(x), a'ₙ ⟩是等价的充分必要。 08QM

§ 3. 。 L$^p$空间

命题 1 — 对于X上定义的每个实数p geqslant 1和每个对正函数f, g（有限或不有限）， ↩ 1 08QN
定义 1 令X为局部紧凑空间，μ为X的测度。对于X的每个映射f转化为Banach空间F，对于每个数p，这样1 ≤ p < +∞，我们用Nₚ(f, μ)或简称Nₚ(f)表示，正数 (∫^* |f|ᵖ d|μ|)^1/p。 ↩ 1 08QO
命题 2 如果f和g是X到F的两个映射，并且α是任意标量≠ 0，那么，对于1 ≤ p < +∞， ↩ 1 08QP
定理 1（可数凸性定理） — 令 (fₙ) 为 X 上定义的函数 ≥ 0（有限或非有限）的序列。对于1 ≤ p < +∞， ↩ 2 08QQ
命题 3 如果 f 和 g 是 X 的两个等价映射到 Banach 空间 F，则 Nₚ(f - g) = 0 为 1 ≤ p < +∞；相反，如果 Nₚ(f - g) = 0 对于 p ≥ 1 的值，则 f 和 g 是等价的。 ↩ 2 08QR
注 — 令 F 为 Banach 空间超过域 C 的复数；然后，对于每个函数f ∈ F_Fᵖ和每个复数α，α f属于到F_Fᵖ和Nₚ(α f) = |α| Nₚ(f)；在其他字中，F_Fᵖ也是向量空间超过C，并且Nₚ(f)是这个复合体向量空间（TVS，II, §1）的半范数。 08QS
命题 4 让B成为F_Fᵖ上的过滤器基。假设存在紧集K ⊂ X，使得对于每个集合M ∈ B，所有映射f ∈ M的支持都包含在K中。在这些条件下，如果B在X一致收敛到f₀，则 f₀ 属于到 F_Fᵖ，B 收敛于阶 p 到 f₀。 ↩ 4 08QT
命题 5 局部凸空间F_Fᵖ已完成。 ↩ 3 08QU
命题 6 令(fₙ)为F_Fᵖ中函数的序列，使得∑ₙ₌₁^∞ Nₚ(fₙ) < +∞。在这些条件下，级数与一般的项fₙ(x) ∈ F在X中几乎处处绝对收敛。设定 f(x) = ∑ₙ₌₁^∞ fₙ(x) 在点处，其中级数收敛，而 f(x) = 0 在其他地方，函数 f 属于到 F_Fᵖ 并且是和级数与一般项fₙ（对于拓扑收敛于阶p的平均值）；更准确地说，对于每个 n… ↩ 4 08QV
定义 2 给定一个局部紧凑的空间 X，测量 μ 在 X，和 Banach 空间 F，我们表示为 L_Fᵖ(X, μ) （或简单地 L_Fᵖ(μ)，或 L_Fᵖ) 闭包，在局部凸空间 F_Fᵖ(X, μ)，的向量空间 H(X; F) 的连续映射的 X 进入 F 具有紧支撑。我们用 L_Fᵖ(X, μ)表示（或 L_Fᵖ(μ)，或 L_Fᵖ）（标准化） Hausdorf… ↩ 4 08QW
注 1 正如已经发出的信号（§2, No. 5），p第幂可积函数和F中的值一般不会形式向量空间。 08QX
注 2 一般来说，空间F_Fᵖ与其子空间L_Fᵖ不同（§4，Exer.8）。 08QY
命题 7 对于函数f到属于到L_Fᵖ，对于每个ε > 0，存在一个连续的函数g，并且具有紧支持使得Nₚ(f - g) ≤ ε是充分必要的。 ↩ 3 08QZ
命题 8 令 f 为几乎处处定义的数值函数（有限或无限）；如果对于每个 ε > 0，存在两个p-第幂可积函数 g, h，使得 g ≤ f ≤ h 几乎处处且 Nₚ(h - g) ≤ ε，则 f 是 p-第幂可积。 ↩ 2 08R0
定理 2 空间L_Fᵖ已完成；空间L_Fᵖ是巴拿赫空间。 ↩ 1 08R1
定理 3 设(fₙ)为空间L_Fᵖ中的柯西序列； (fₙ) 存在一个子序列 (f_nₖ)，具有以下属性： 1° 级数与一般项 Nₚ(f_nₖ₊₁ - f_nₖ) 收敛； 2° 级数与一般项 f_nₖ₊₁(x) - f_nₖ(x) 几乎处处绝对收敛； 3° 如果 f 是在 X 上定义的函数并且几乎处处都等于序列 (f_nₖ(x)) 的极限，则 f 属于到 L_Fᵖ 和序… ↩ 8 08R2
推论 1 — 如果柯西序列 (fₙ) 在空间 L_Fᵖ 使得序列 (fₙ(x)) 几乎处处收敛到 f(x)，则 f 是第 p 个幂可积和序列 (fₙ) 收敛于阶 p 到 f。 ↩ 2 08R3
推论 2 — 让E成为L_Fᵖ的密集子集。对于每个函数 f ∈ L_Fᵖ，在 E 中存在序列 (gₙ) 中的函数具有以下属性： 08R4
注 3 L_Fᵖ 中的柯西序列 (fₙ) 可以使得序列 (fₙ(x)) 在 X 的任何点处不收敛（示例 1）。 08R5
注 4 如果 f 属于到 L_Fᵖ，并不总是能够找到具有紧凑支持的连续函数的序列 (fₙ)，使得序列 (fₙ(x)) 在X处处收敛到函数几乎在任何地方都等于f(x)（§4，Exer.4 c））。 08R6
定理 4 — 让 F 和 G 成为两个Banach 空间， u 连续的线性映射 of F 进入 G。对于每个函数 f ∈ L_Fᵖ，复合函数 u ∘ f 属于到 L_Gᵖ。 ↩ 2 08R7
推论 1 — 令 a' 成为 F上的连续线性形式；如果 f ∈ L_Fᵖ，数字函数 x ↦ ⟨ f(x), a' ⟩ （用⟨ f, a' ⟩表示）属于到 Lᵖ。 08R8
推论 2 — 给定 F (1 ≤ k ≤ n) 的 n 点 aₖ，以及 n 个数值函数 fₖ (1 ≤ k ≤ n) 属于至 Lᵖ，函数 f = ∑ₖ₌₁ⁿ aₖ fₖ 属于至L_Fᵖ。 08R9
命题 9 — 设 F 为 R 上的 n 维向量空间，并令 (eₖ)_1 ≤ k ≤ n 为 F 的基。对于函数 f = ∑ₖ₌₁ⁿ eₖ fₖ 至属于至 L_Fᵖ，每个数值函数是充分必要的fₖ属于至Lᵖ。 08RA
命题 10 — 在空间L_Fᵖ中，由（有限）线性组合∑ₖ aₖ fₖ形成的线性子空间，其中aₖ ∈ F和fₖ是具有紧支持的连续数值函数，是稠密的（对于拓扑的收敛意味着阶p）。 ↩ 2 08RB
命题 11 — 如果函数 f 属于至 L_Fᵖ，则函数 |f| 属于至 Lᵖ，以及映射 f ↦ |f| 至 L_Fᵖ Lᵖ 是一致连续的（对于拓扑来说，收敛于阶 p 的平均值）。 ↩ 6 08RC
命题 12 — 对于数值函数f至属于至Lᵖ，函数f⁺和f⁻属于至Lᵖ中的每一个都是必要且充分的。 08RD
推论 — Lᵖ 属于到 Lᵖ 中函数有限族的上（或下）包络线。 ↩ 3 08RE
命题 13 在Riesz空间Lᵖ中，配备由范数| tildef |ₚ定义的拓扑，映射tildef ↦ | tildef |均匀连续，元素tildef ≥ 0的集合是封闭的。 08RF
命题 14 令 H 为 Riesz 空间 Lᵖ 的子集，类 ≥ 0 的由……组成，并指向关系 ≤。对于 H 在 Lᵖ 有一个上界，有必要且充分 ↩ 4 08RG
引理如果f和g是Lᵖ中的两个函数，使得0 ≤ f ≤ g，那么 08RH
推论 1 如果tildeg是H在Lᵖ中的上乘，那么 08RI
推论 2 Riesz 空间 Lᵖ 是完全晶格有序的。 08RJ
定理 5 令(fₙ)为Lᵖ中函数geqslant 0中的递增序列。为了使序列的上包络f是第p次幂可积，supₙ Nₚ(fₙ) < +∞是必要且充分的。序列 (fₙ) 然后以阶 p 的平均值收敛到 f，并且 ↩ 3 08RK
推论 1 令(fₙ)为Lᵖ中函数geqslant 0的递减序列；那么，序列属于到Lᵖ的下包络线f、序列(fₙ)收敛于阶p到f的平均值，并且 ↩ 1 08RL
推论 2 令(fₙ)为Lᵖ中函数的序列。为了使序列 (fₙ) 的上包络f 成为第 p 个幂可积，存在函数 g geqslant 0 使得对于所有 n 存在 ∫^* gᵖ d|μ| < +∞ 和 fₙ leqslant g 是充分必要的。 ↩ 2 08RM
推论 3 — 令 A 为可数集合，𝔉 A 上的过滤器，具有可数基，(f_α)_α ∈ A Lᵖ 中的函数 ≥ 0 族。假设存在函数g ≥ 0，使得所有α ∈ A都有Nₚ(g) < +∞和f_α ≤ g；那么函数 limsup_𝔉 f_α 是 p-th 幂可积且 ↩ 1 08RN
定理 6（勒贝格） — 令F为L_Fᵖ中函数的Banach空间、(fₙ)序列，这样：1^∘序列(fₙ(x))几乎处处收敛到极限f(x) ∈ F； 2^∘ 存在一个数字函数 g ≥ 0，使得对于每个整数 n，∫^* gᵖ d|μ| < +∞ 和 |fₙ(x)| ≤ g(x) 几乎在 X 中无处不在。那么，函数f（几乎到处都有定义）是p-第幂可积，并且序列(fₙ)以阶p的平均值收敛… ↩ 4 08RO
推论 — 令 A 为指标的集合，由具有可数基的过滤器 𝔉 过滤。如果(f_α)_α ∈ A是L_Fᵖ中的函数族，相对于滤波器𝔉，几乎处处逐点收敛到函数f，此外，如果存在一个数值函数g ≥ 0，使得∫^* gᵖ d|μ| < +∞和|f_α(x)| ≤ g(x)对于每个 α ∈ A，几乎在 X 中的所有位置，则函数 f 是 p-第幂可积，并且 f_α 相对于滤波器倾… ↩ 2 08RP
注 1 Th。如果假设|fₙ| ≤ g（与Nₚ(g) < +∞）被较弱的假设supₙ Nₚ(fₙ) < +∞取代，则6不再成立。假设对于例，μ是R上的勒贝格测度；定义连续函数fₙ，如下：fₙ(x) = 0对于x ≤ 0以及对于x ≥ 2/n、fₙ(1/n) = n、fₙ在区间[0, 1/n]和[1/n, 2/n]上呈线性。然后对所有x ∈ R使用lim_n → ∞… 08RQ
注 2 科。的 Th。如果不假设过滤器 𝔉 具有可数基（cf. §1, No. 3、注 1 遵循 Th. 3 的 Cor.），则 6 不再成立。 08RR
定理 7 — 令p和q为两个实数，使得1 ≤ p < +∞、1 ≤ q < +∞。如果函数 f 属于至 L_Fᵖ，则函数 |f|^(p/q)-1 · f 属于至 L_F^q，反之亦然。 08RS
推论 1 — 对于函数f至属于至L_Fᵖ，函数|f|ᵖ⁻¹ · f属于至L_F¹是必要且充分的。 ↩ 1 08RT
推论 2 — 对于正数函数 f 至属于至 Lᵖ，fᵖ 属于至 L¹ 是充分必要的。 08RU

§ 4. 。可积函数和集合

定义 1 函数属于到 L_F¹(X, μ) 被认为对于测度 μ 可积（或者，再次，它们是 μ 可积）。可积函数f的积分（相对于μ）是由定义值在扩张的f连续到线性映射g ↦ ∫ g dμ的H_F的L_F¹变成F；它再次表示为μ(f)或∫ f dμ，或∫ f(x) dμ(x)或∫ fμ，或∫ f(x)μ(x)。 08RY
例 — 令 X 为离散空间，μ 为 X 的度量，集合 α(x) = μ(φ_x) 对于每个 x ∈ X。那么F_F¹中的函数是可积的，在其他字L_F¹ = F_F¹中；此外，对于每个函数 f ∈ L_F¹， 08RZ
命题 1 对于每个正的μ可积数值函数f， ↩ 3 08S0
推论 1 对于每个可积函数 f ∈ L¹_F，|f| 是可积的并且 08S1
推论 2 对于每个函数 f ∈ Lᵖ_F，数值函数 |f|ᵖ 是可积的并且 08S2
命题 2 — 对于每个可积函数 f， ↩ 1 08S3
定理 1 — 设F和G是两个Banach空间，u是F到G的连续线性映射。对于每个可积函数 f 以及 F 中的值，u ∘ f 是可积的并且 ↩ 5 08S4
推论 1 — 令 a' 为 F 上的连续线性形式。如果 f 是可积函数，且值在 F 中，则数值函数 ⟨ f, a' ⟩ 可积且 ↩ 1 08S5
推论 2 — 如果 aₖ (1 ≤ k ≤ n) 是 F 中的向量，并且 fₖ (1 ≤ k ≤ n) 是可积数值函数，则函数 f = ∑ₖ₌₁ⁿ aₖ fₖ 是可积的，并且 08S6
命题 3 — 让 B 成为 L_F¹ 上的过滤器基。假设存在紧集K ⊂ X，使得对于每个集合M ∈ B，所有函数f ∈ M都在K中得到支持。在这些条件下，如果B均匀收敛于X到f₀，则函数f₀可积且 ↩ 2 08S7
命题 4 — 令 (fₙ) 为可积数值函数的递增（分别为递减）序列。为了使序列的上（或下）包络f可积，supₙ ∫ fₙ d|μ| < +∞（或infₙ ∫ fₙ d|μ| > -∞）是必要且充分的，在这种情况下 ↩ 7 08S8
定理 2 — 令 A 为指标的集合，通过具有可数基的过滤器 𝔉 进行过滤。令(f_α)_α ∈ A为可积函数族，对于滤波器𝔉，几乎处处逐点收敛到函数f；如果存在一个数值函数 g geqslant 0，使得 ∫^* g d|μ| < +∞ 且对于每个 α ∈ A，|f_α(x)| leqslant g(x) 几乎无处不在 X 中，则函数 f 是可积的，并且 ↩ 6 08S9
推论 1 — 令Ω为空间的拓扑空间，Ω的t₀点承认可数基本邻域系统，将X × Ω的f映射引入F，具有以下性质： a) 对于每个 t ∈ Ω，函数 x ↦ f(x, t) 是可积的； b) 对于每一个x ∈ X，函数t ↦ f(x, t)在t₀连续； ↩ 1 08SA
推论 2 — 令(fₙ)为可积函数的序列，使得级数与一般的项fₙ(x)几乎处处收敛；如果存在函数g geqslant 0使得∫^* g d|μ| < +∞并且对于每个整数n，| ∑ₖ₌₁ⁿ fₖ(x) | leqslant g(x)几乎无处不在，那么级数的和f(x)（几乎无处不在定义）与一般项 fₙ(x) 可积且 ↩ 1 08SB
命题 5 — 对于数值函数 f geqslant 0（有限或非有限），X 上的下半连续，要可积，∫^* f d|μ| < +∞ 是充分必要的。 ↩ 3 08SC
推论 1 — 对于在 X 上上半连续的有限数值函数 f geqslant 0，要可积，∫^* f d|μ| < +∞ 是充分必要的。 ↩ 5 08SD
推论 2 — 设H为非空集合，针对关系leqslant（分别geqslant），下（或上）半连续可积数值函数；如果 ↩ 5 08SE
推论 3 — 令 f 为有界数值函数，在 X 上上半连续且具有紧支撑。那么，对于模糊的拓扑，映射μ ↦ ∫ f dμ是M₊(X)上的上半连续。 ↩ 1 08SF
定理 3 — 对于数值函数 f ≥ 0 可积，对于每个 ε > 0，存在一个具有有限值和紧支撑的上半连续函数 g ≥ 0，以及一个下半连续可积函数 h，这样使得g ≤ f ≤ h 和 ∫ (h - g) d|μ| ≤ ε。 ↩ 3 08SG
推论 — 对于每个可积（或可积和 ≥ 0）数值函数 f，存在可积的上半连续函数递增序列 (gₙ)（或可积，有限值 ≥ 0，并且有紧支撑），以及下半连续可积函数的递减序列(hₙ)，这样： 1^∘gₙ(x) ≤ f(x) ≤ hₙ(x)适用于所有x ∈ X和每个整数n； 2^∘ f(x) 几乎处处都等于序列 (hₙ) 的下包络线 h 以及序列 (gₙ) 的上包络线 g… ↩ 1 08SH
例对于 R 上的每个正测量μ，具有紧凑支撑的每个步骤函数都是μ可积的；因为，开（或闭）区间的特征函数是下（或上）半连续的，并且每一步函数是这样的特征函数的线性组合。 It follows that if f is a regulated function on R with compact support (FRV, II, §1, No. 3), then… 08SI
注 1 令 f 为 R 上的调节函数，可关于勒贝格测度 μ 整的；则 |f| 也是可积的（No. 2，命题 1 的 Cor.1），并且设定 Iₙ = [-n, n]、|f| 是规定的函数 |f| φ_Iₙ 递增序列的上包络线，因此 ∫ |f| dμ = lim_n → ∞ ∫₋ₙⁿ |f(x)| dx通过 Th。 2 个No. 3；因此，整的∫_-∞^+∞ f(x)… 08SJ
注 2 应用于勒贝格测度和调节函数，No. 3 的第 3 条命题在紧凑区间上的调节函数积分到极限时重新产生定理（FRV，II, §3, No. 1，命题 1）；对于序列（或具有可数基的过滤器），调节函数，Th。 No. 3的2极大地改进了命题，因为对于紧凑区间上的均匀有界调节函数，它用逐点收敛代替均匀收敛（cf.§5, No. 4，Th.2）。然而，对于在非紧区间上… 08SK
定义 2 子集 A 局部紧致空间 X 据说对于一个测度是可积的 μ 在 X （或者，它是 μ可积）如果特征函数 φ_A A 可积。有限数 μ(A) = ∫ φ_A dμ 称为 A 的测度。 08SL
命题 6 有限族的并 (Aᵢ)_1 ≤ i ≤ n 可积的集合是可积的，并且 08SM
命题 7 1° 如果 A 和 B 是两个可积集合使得 B ⊂ A，则集合 C = A - B 可积并且 ↩ 2 08SN
推论如果 (Aₙ) 是可积集合的递减序列，则 μ(⋂ₙ Aₙ) = lim_n → ∞ μ(Aₙ)。 ↩ 4 08SO
命题 8 令(Aₙ)为可积集合的递增序列；为了使并 A = ⋃ₙ Aₙ 可积， supₙ |μ|(Aₙ) < +∞ 是必要且充分的，在这种情况下， ↩ 1 08SP
推论令(Aₙ)为可积集合的序列，使得∑ₙ₌₁^∞ |μ|(Aₙ) < +∞；并 A = ⋃ₙ Aₙ 可积，并且 ↩ 2 08SQ
命题 9 — 令 (Aₙ) 为成对不相交的可积集合的序列，使得 ∑ₙ₌₁^∞ |μ|(Aₙ) < +∞；那么 08SR
命题 10 — 对于 X 中的开（或闭）集合 A 可积，|μ|^*(A) < +∞ 是充分必要的。 ↩ 3 08SS
推论 1 — 每个紧集都是可积的；每个相对紧凑的开集合都是可积的。 08ST
推论 2 — 对于 X 上的每个积极措施 μ，A ↦ μ^*(A) 是 X 上的容量（cf. GT、IX, §6, No. 9、例）。 08SU
例对于 R 上的勒贝格测度 μ，根据命题 10，每个有界开区间 [a, b[ 都是可积的，并且具有测度 b - a（\§1, No. 2，命题 9）。由于每个集合减少到点对于勒贝格测度来说可以忽略不计，因此所有具有端点 a 和 b 的区间都具有相同的测度 b - a。 08SV
命题 11 — 令G为集合，指向关系⊂，在X中可积开集合；为了使A = ⋃_G ∈ G G可积，sup_G ∈ G |μ|(G) < +∞是必要且充分的，在这种情况下μ(A) = lim_G μ(G)和|μ|(A) = sup_G ∈ G |μ|(G)。 ↩ 1 08SW
推论 — 令𝔉为集合，指向关系⊃，在X中可积闭集合；则闭集合 B = ⋂_H ∈ 𝔉 H 可积，且有 μ(B) = lim_𝔉 μ(H) and |μ|(B) = inf_H ∈ 𝔉 |μ|(H). 例如，令𝔉中的H₀为集合；由于H₀是可积的，它包含在可积开集合U中（§ 1, No. 4，命题19）；集合 U ∩ CH 形式集合指向关系 ⊂，包含在 U 中，并且… 08SX
定理 4 — 为了使集合 A 可积，对于每个 ε > 0，存在可积开集合 G 和紧集 K 是必要且充分的，使得 K ⊂ A ⊂ G 和 |μ|(G - K) = |μ|(G) - |μ|(K) ≤ ε. ↩ 10 08SY
推论 1 — 为了使集合A可积，对于每个ε > 0，存在紧集K ⊂ A使得|μ|^*(A - K) ≤ ε是充分必要的。那么测度 |μ|(A) 就是测度 |μ|(K) 紧集 K ⊂ A 的集合的至高。 ↩ 1 08SZ
推论 2 — 对于每个可积集合 A，存在： ↩ 3 08T0
推论 3 — 有限外部测度的每个集合都包含在可忽略的集合的并以及其测度有限的成对不相交的紧集和的可数族中。 ↩ 2 08T1
推论 4 — 对于 X 中的每个开集合 U，|μ|^*(U) 是紧集 K ⊂ U 的措施|μ|(K) 的上乘。 ↩ 2 08T2
命题 12 — 对于局部紧凑空间 X 上的测度 μ 有界（第 III, §1, No. 8），X 是关于 μ 可积的集合是必要且充分的（或者，同样的事情，每个有限常量函数可积）；在这种情况下， ↩ 3 08T3
命题 13 — 令 μ 为 X 上的有界测度。令B为L_Fᵖ上的过滤器基，具有以下属性： 1^∘ 存在集合 M ∈ B，使得函数 f ∈ M 一致有界于X； 2^∘ B 均匀收敛于 X 到函数 f₀ 的每个紧致子集。在这些条件下，f₀属于到L_Fᵖ和B以阶p到f₀的平均值收敛。 08T4
推论 — 对于 X 上的有界测度 μ，X 的每个有界连续映射 f 到 F 属于到每个 L_Fᵖ (1 ≤ p < +∞)。 08T5
命题 14 — 令 X 为局部紧致空间，F a Banach 空间不减至 0；将X的所有连续映射的空间C(X; F)装备到具有紧收敛的拓扑的F中。对于X上的测度μ使得K(X; F)的线性映射f ↦ ∫ f dμ进入F可扩展到F中C(X; F)的连续线性映射，Supp(μ)是紧的是必要且充分的；这样扩张是唯一的，并且重合具有No. 1中定义的积分。 ↩ 1 08T6
命题 15 — 令 X 为局部紧致空间，对于每个 x ∈ X，令 εₓ 为点 x 处的狄拉克测度。 X到C'(X; C)的映射x ↦ εₓ对于C'(X; C)上的紧凑收敛的拓扑是连续的。 ↩ 2 08T7
命题 16 — 令 K 为 X 上X、L 向量空间测度 μ 的紧致子集，并包含 K 中的支持。在 L 上，C'(X; C) 上紧致收敛的拓扑 T 所导出的拓扑以及M(X; C)（第 III, §1, No. 10）重合上的严格紧致收敛拓扑T'。 ↩ 1 08T8
推论 1 — 对于 X 的每个紧致子集 K 和 X 上的措施 μ 的每个数 a > 0、集合 B，使得 Supp(μ) ⊂ K 和 | μ | ≤ a 是 C'(X; C) 的等连续子集，紧致为拓扑 T 紧凑收敛。 08T9
推论 2 — Every measure with compact support (resp. every positive measure with compact support) μ is in the closure in C'(X; C), for the topology T of compact convergence, of the set of m… 08TA
定义 3 如果存在定义了实值函数的代数A（超过R）由……组成，则称集合A子集非空集合Φ为族A，这样关系 M ∈ Φ 和 φ_M ∈ A 是等价的。 08TB
例如果 μ 是局部紧凑空间 X 的测度，则可积集合形式的特征函数的实数系数为线性组合和代数 A，因为，对于任意两个可积集合 M, N、函数 φ_M φ_N = φ_M ∩ N 可积（No. 5，命题 7）；然后它来自 Defs。由图2和图3可知，X可积子集的集合是一个族。 08TC
命题 17 In order that a nonempty set Φ of subsets of a set A be a clan, it is necessary and sufficient that it satisfy the following condition: ↩ 1 08TD
引理令 Φ 为A 满足子集非空集合公理（CL）。给定Φ中集合的有限族(Mᵢ)_1 ≤ i ≤ n，存在 08TE
定义 4 给定一个部落Φ of 子集 of 集合 A，和一个Banach 空间 F，一个人调用步骤函数² 超过集合 of Φ（或Φ步）函数)，其中F中有值，形式 ∑ᵢ aᵢ φ_Mᵢ的每个函数，其中aᵢ属于到F，以及Mᵢ到Φ。 ↩ 3 08TF
注 — 很容易看出 Def. 4等价于：F中具有值的Φ步函数是函数f，它仅采用值的有限数，并且对于每个a ≠ 0 F、集合 f(a)⁻¹ 属于至 Φ。 08TG
定义 5 — 实值函数 λ 在部落上定义 Φ 子集 of 集合 A 如果对于每个对 M, N of 不相交的则被认为是可加的集合属于至 Φ、λ(M ∪ N) = λ(M) + λ(N)。 ↩ 1 08TH
命题 18 — 让 λ 成为加法集合函数在部落 Φ 上定义。存在且仅有一个线性形式（再次表示为λ）在向量空间E(Φ)实值Φ步长函数，使得λ(φ_M) = λ(M)对于每个集合 M ∈ Φ；此外，如果 λ(M) geqslant 0 对于每个 M ∈ Φ，则 λ 是 E(Φ) 上的正线性形式。 ↩ 1 08TI
命题 19 — 令X为局部紧凑空间，ΦX的子集族，X的紧凑子集包含集合。对于每个连续的映射 f of X 进入 Banach 空间 F （分别为每个连续的实值函数 f geqslant 0 on X）具有紧凑的支持 K，存在序列 (gₙ)的函数在E_F(Φ)包含在K中的支持（或序列(gₙ)的函数在E(Φ)这样 0 leqslant gₙ leqslant f 对于每个… ↩ 3 08TJ
推论 1 令μ为X的度量；空间 E_F(Φ) 在空间 L_Fᵖ (1 ≤ p < +∞) 中都很密集。 ↩ 2 08TK
推论 2 对于X的每个闭子集S，每个函数f ∈ K(X, S; C)都是线性组合∑ᵢ λᵢ φ_Kᵢ的统一极限，其中λᵢ属于到C和Kᵢ是紧凑子集 S。 ↩ 1 08TL
推论 3 如果μ和ν是X的两个度量，使得μ(K) = ν(K)对于X的每个紧凑子集K，则μ = ν。 ↩ 2 08TM
定理 5 令Φ为局部紧凑空间X、满足(PCI)和(PC{II})的子集的集合，并令α为实值函数，定义于Φ、满足条件（PMI）、（PM{II}）和（PM{III}）。在阶中，X上存在正测度μ，使得Φ的集合是μ可积的，并且μ(M) = α(M)对于所有M ∈ Φ来说是充分必要的，α满足加法以下条件: ↩ 2 08TN
推论 — 令X为局部紧凑空间，其中X的Borel集合的可数基、Ψ集合、Ψ的β映射进入[0, +∞]满足以下条件: 08TO

§ 5. 。可测量函数和集合

定义 1 令X为局部紧凑空间，μ为X的测度。 A mapping f of X into a topological space F is said to be measurable for the measure μ (or to be μ-measurable) if, for every compact subset K of X, there exist a… ↩ 2 08UC
命题 1 为了使X到F的映射f可测量，对于每个紧集K ⊂ X和每个数ε > 0，存在紧集K₁ ⊂ K是必要且充分的，使得f到K₁的|μ|(K - K₁) ≤ ε和限制是连续的。 ↩ 2 08UD
命题 2 让(Fₙ)成为拓扑空间的序列，并且对于每个n，让fₙ成为X到Fₙ的可测量映射。对于每个紧集K ⊂ X和每个ε > 0，存在紧集K₀ ⊂ K使得|μ|(K - K₀) ≤ ε和限制到K₀每个函数fₙ是连续的。 ↩ 4 08UE
定义 2 子集 A of X 如果其特征函数 φ_A 可测量，则称其为可测量。 08UF
命题 3 对于集合 A 可测量，对于每个紧集 K，A ∩ K 可积是充分必要的。 ↩ 3 08UG
推论 1 开放集合和封闭集合是可测量的。 08UH
推论 2 — 如果 X 可度量，则 X (GT, IX, §6, No. 2) 的每个 Souslin 子集 A 对于X 上的每个测度 μ 都是 μ 可测的。 ↩ 2 08UI
命题 4（本地化的原理） — 令 f 为 X 的映射成为拓扑空间 F。假设对于每个 x ∈ X，存在 x 的可积邻域 Vₓ 和可测量的 X 的映射 gₓ 到 F 中，使得f(y) = gₓ(y)几乎随处可见Vₓ。那么 f 是可测量的。 ↩ 3 08UJ
定义 3 — 如果对于每个x ∈ X，存在x的邻域V，使得V ∩ A可以忽略不计，则称集合A ⊂ X是局部可忽略的（对于度量μ）。 08UK
命题 5 — 为了使集合 A 局部可忽略不计，对于每个紧集 K，A ∩ K 可以忽略不计是必要且充分的。 ↩ 4 08UL
推论 1 — 要使集合 A 可以忽略不计，其局部可忽略且外部测量有限是必要且充分的。 08UM
推论 2 — 每个局部可忽略的开集合都可以忽略不计（因此包含在μ的支持补中）。 ↩ 2 08UN
推论 3 — 在无穷大可数的局部紧凑空间 X 中，每个局部可忽略的集合都是可以忽略不计的。 08UO
推论 4 — 令 f 为 X 的映射成为拓扑空间 F。如果 f 的不连续性的点的集合 N 局部可忽略，则 f 是可测的。 ↩ 1 08UP
命题 6 设 f 为 X 的可测量映射到拓扑空间 F。X 到 F 的每一个映射，几乎在任何地方都等于 f，都是可测量的。 ↩ 1 08UQ
定理 1 令X为局部紧凑空间，μ拓扑空间，F = ∏ₙ Fₙ其乘积的X，(Fₙ)序列的测度。对于每个指标 n，令fₙ是X到Fₙ的可测量映射，并令f(x) = (fₙ(x)) ∈ F；那么，对于 f(X) 的每个连续映射 u 到拓扑空间 G，函数 x ↦ u(f(x)) 是可测量的。 ↩ 26 08UR
注 — 1) 定理不扩展到拓扑空间的 \emph{任意} 乘积（例 1）。 2) 如果 f 是 X 自身的连续映射，并且 g 是 X 到 F 中的可测量的映射，则 g ∘ f 不一定是可测量的（Exer.2）。 08US
推论 1 可测量数值函数（有限或非有限）的有限数的上包络线和下包络线是可测量的。因为，sup(u, v)和inf(u, v)在overlineR × overlineR上连续。 ↩ 2 08UT
推论 2 要使数值函数 f（有限或非）可测量，f⁺ 和 f⁻ 可测量是充分必要的。 Cor 需要条件。 1;这是足够的，因为映射x ↦ (f⁺(x), f⁻(x))下overlineR × overlineR中X的像A不包含点(+∞, +∞)和(-∞, -∞)，因此映射(u, v) ↦ u - v在A上连续。 08UU
推论 3 — 如果 f 和 g 是 X 的两个可测量映射到拓扑向量空间 F，则 f + g 和 αf 是可测量的（α 任何标量）。 ↩ 1 08UV
推论 4 — 设 F 为 R 上维数 n 的向量空间，并令 (ek){1 \leq k \leq n} 为 F 的基。在阶中，函数 f = \和{k=1}^{n} ek fk 可测，每个数值是充分必要的函数 fk 是可测量的。 08UW
推论 5 — 设 F, G, H 为三个拓扑向量空间，并设 (u, v) \to [u \cdot v] 为 F \times G 到 H 的连续双线性映射。如果 f 是 X 到 F 的可测映射，g 是 X 到 G 的可测映射，则[f \cdot g] 是 X 到 H 中可测量的映射。 ↩ 4 08UX
推论 6 — 如果 f 是 X 的可测量映射到标准化空间 F，则数值函数 f是可测量的。 ↩ 1 08UY
定理 2（叶戈罗夫） — 令X为局部紧凑空间，μ为X的测度，A为可数集合，𝔉为A上具有可数基的过滤器，(f_α)_α ∈ A为X的可测映射族可度量空间 F。假设 lim_𝔉 f_α(x) = f(x) 存在于 X 的局部可忽略的子集 N 的补集中。在这些条件下， 1° 函数 f（以任何方式扩展至 N）是可测量的； 2° 对于X和每个ε > 0的每个紧致子集 K，存在紧集K₁ ⊂… ↩ 8 08UZ
推论 1 — 令 (fₙ) 为数值函数（有限或非有限）的序列。如果 fₙ 可测量，则函数 supₙ fₙ、infₙ fₙ、limsup_n → ∞ fₙ 和 liminf_n → ∞ fₙ 可测量。 ↩ 3 08V0
推论 2 — 可在 X 形式部落中测量集合（GT，IX, §6, No. 3）。 ↩ 3 08V1
推论 3 Borel 集合 in X (GT, IX, §6, No. 3, Def. 4) 对于 X 上的每个测量 μ 都可测量 μ。 ↩ 1 08V2
定理 3 为了将 X 的映射 f 转化为可测量的空间 F 可测量，对于每个紧集 K ⊂ X，存在可测量步骤序列 (gₙ) 是充分必要的函数，其中值在 F 中，这样，对于几乎每个 x ∈ K，gₙ(x) 趋向于 f(x)。 ↩ 5 08V3
推论 1 令 f 为 X 可测量的映射到 Banach 空间 F；对于每个紧集K ⊂ X，存在可测量步骤函数的序列(gₙ)，并且支持包含在K中，使得|gₙ(x)| ≤ |f(x)|对于所有x ∈ X并且使得对于几乎每个gₙ(x)趋于f(x) x ∈ K. ↩ 1 08V4
推论 2 令 X 为局部紧致的空间，其无穷大可数。如果 f 是 X 的可测量映射到可测量的空间 F，则存在可测量步骤函数的序列 (gₙ)，其中值在 F 中，使得几乎每遇到 x ∈ X，gₙ(x) 都会倾向于 f(x)。 08V5
命题 7 设f为X可测量的映射到拓扑空间F； F 中每个关闭（或打开）集合的f 下的逆像是可测量的。 ↩ 10 08V6
定理 4 — 令 F 为可度量的空间，令 d 为与拓扑兼容的 F 上的度量。为了使 X 的映射 f 进入 F 是可测量的，它满足以下两个条件是充分必要的： a) F的每个闭球的f下的逆像是可测的； b) 对于每个紧集 K ⊂ X，存在 F 的可数子集 H，使得几乎每个 x ∈ K 都有 f(x) ∈ overlineH。 ↩ 8 08V7
注 1 条件 a) 单独不足以使 f 可测量（Exer. 7）。 08V8
注 2 如果 F 的拓扑具有可数基，则 Th 的条件 b)。 4 自动满足 F 中 X 的每一个映射。此外，证明表明，假设逆像在有理半径闭球的 f 之下就足够了，其中心属于为稠密可数子集 F，可测量集合。 08V9
注 3 假设a)可以用条件代替，F的每个空球的f下的逆像是可测的。 08VA
命题 8 — 令 D 为 R 的可数稠密子集。在阶中，数值函数 f（有限或非）可测量，对于 x ∈ X 的每个 a ∈ D、集合使得 f(x) ≥ a 可测量，就足够了（且必要）。 08VB
推论 — 每个较低（分别较高）半连续函数是可测量的。 ↩ 3 08VC
命题 9 — 如果 F 是可度量紧凑空间，则 X 到 F 中的每个可度量映射 f 都是可度量步骤函数的序列的一致极限（在所有 X 上）。 08VD
命题 10 — 设 F 为可分离的 Banach 空间，F' 为对偶，(a'ₙ) 单位 F' 球中的弱稠密序列（TVS，III, § 3, No. 4，第 6 命题的 Cor. 2）。1 为了使 X 的映射 f 进入 F 可测量，它对于每个 n 标量函数 x ↦ ⟨ f(x), a'ₙ ⟩ 是可测量的。 ↩ 5 08VE
推论 1 设 F 为 Banach 空间。在阶中，X到F中的映射 f是可测的，满足以下两个条件是充分必要的： 08VF
推论 2 设 F 为可度量且可分离的局部凸空间，并令 F' 为其对偶。为了使 X 的映射 f 进入 F 可测量，对于每个 a' ∈ F'，标量函数 x ↦ ⟨ f(x), a' ⟩ 可测量是必要且充分的。 08VG
命题 11 设F为可分离可度量局部凸空间Fₙ的局部凸空间，即序列的直极限，F为Fₙ的并。令F'为F的对偶，配备弱拓扑σ(F', F)。为了使 X 到 F' 的映射 f 可测量，对于每个 a ∈ F，标量函数 x ↦ ⟨ a, f(x) ⟩ 可测量是必要且充分的。 08VH
定理 5 — 在阶 X 的映射 f 转化为 Banach 空间 F 是第 p 个幂可积 (1 ≤ p < +∞) 时，f 可测且 Nₚ(f) 有限是充分必要的。 ↩ 18 08VI
引理 1 设g为函数，F中为值，使得Np(g) < +\infty（在其他字中，在F_Fᵖ中为函数）。集合 A of 点 x \in X，使得 g(x) \neq 0 包含在可忽略的集合的并和紧集的序列中。 ↩ 2 08VJ
推论 1 为了使集合可积，它是可测的并且具有有限的外部测度是必要且充分的。 08VK
推论 2 设(Fₙ)为拓扑空间的序列；对于每个指标 n，令fₙ是X到Fₙ的可测量映射，并令f(x) = (fₙ(x)) ∈ F = ∏ₙ Fₙ；最后，让 u 成为 Banach 空间 G 的连续映射 f(X)。要使函数 g(x) = u(f(x)) 可积，N₁(g) < +∞ 是充分必要的。 08VL
推论 3 对于每个可积函数 f 和每个可测量的集合 A，函数 f φ_A 都是可积的。 ↩ 1 08VM
推论 4 对于每个序列 (fₙ) 可测量的函数 geqslant 0 在 X， ↩ 2 08VN
推论 5 对于每对序列 (Aₙ) 成对不相交的可测量集合， 08VO
定义 4 — 给定局部紧凑空间X的局部紧凑子空间Y，我们将X上的测度μ在Y上诱发测度，并用μ_Y或μ|Y表示，由公式定义的测度 ↩ 2 08VP
例 — 令 μ 为 R、I R 中的任何区间的勒贝格测度； I是R的局部紧子空间，μ在I上诱发的测度是线性形式 08VQ
引理 2 — 令μ为X的正测度，令K为X的紧子集。 ↩ 3 08VR
引理 3 设 Y 为 X 的局部紧凑子空间；对于 X、|μ_Y| = |μ|_Y 上的每个测量μ。 ↩ 5 08VS
命题 12 — 令 μ 为局部紧致空间 X、A X 的 μ 可测量子集，以及 A 紧致子集的 K 集合满足以下条件： (PLI) K 属于到 K 的每个封闭（因此紧凑）子集集合。 (PLII) K 属于到K 的集合的每个有限并。那么以下四个属性是等效的： a) 为了使A中的子集B局部μ可以忽略不计，|μ|^*(B ∩ K) = 0对于所有K ∈ K来说是必要且充分的。… ↩ 8 08VT
定义 6 — 令 A 为 X 的 μ 可测量子集。 A的紧致子集的集合K如果满足第12条的条件(PLI)、(PLII)、a), b), c), d)，则称其在A中是μ稠密。 ↩ 1 08VU
注 — 假设 A 是序列 (Lₙ) 的紧集的并以及μ 可忽略不计（分别是局部 μ 可忽略）集合，并令 K 为紧致的集合子集即 A 中的 μ 密集。应用到第12条的叙述的每个Lₙ性质c)，我们看到A是紧集属于到K的并序列和a μ-可忽略（分别为本地μ-可忽略）集合。 08VV
命题 13 令A为X的μ可测子集，紧致子集的K集合，即A中的μ稠密。令 ℌ 为 A 满足 (PL_I) 和 (PL_II) 的紧凑子集的集合，这样，对于 H ∈ ℌ 的每个K ∈ K、集合，使得H ⊂ K 是 K 中的μ_K-稠密（或者，相当于 μ-稠密）。那么 ℌ 是 A 中的 μ 密集。 ↩ 2 08VW
定义 7 拓扑空间T的子集的集合𝔄被称为“局部可数”，如果对于每个t ∈ T，存在t的邻域V，使得集合与 V 相交的 A ∈ 𝔄 是可数的。 08VX
命题 14 令X为局部紧致空间，μ为X的测度，A为X的μ可测子集，以及K集合为子集的紧致A 即 A 中的 μ 密集。存在局部可数的集合ℌ ⊂ K，由成对不相交的集合组成，使得A - ⋃_K ∈ ℌ K在局部μ可以忽略不计，并且对于每个K ∈ ℌ，μ_K的支持度都是K。 ↩ 6 08VY
命题 15 令X为局部紧凑空间，μ为X的测度，A为X的μ可测子集，以及f映射 A 变为拓扑空间 F。以下条件是等效的： ↩ 14 08VZ
定义 8 令X为局部紧凑空间，μ为X的测度，A为X的μ可测子集。将 A 的映射 f 转换为拓扑空间 F，如果满足命题 15 的等价条件，则称其为 μ 可测。 ↩ 1 08W0
推论 1 令X为局部紧凑空间，μ为X的测度，A为X的μ可测子集，以及f为μ可测将A的映射转换为拓扑空间F。令K为X的紧致子集的集合，μ-稠密于X。那么，存在由局部可忽略的集合N和集合K_λ ∈ K的局部可数族(K_λ)_λ ∈ L组成的A的划分，使得f|K_λ对于每个λ ∈ L都是连续的。 08W1
推论 2 令K为X的紧致子空间；在阶中，K的映射f变成拓扑空间F是μ可测，它是μ_K可测是充分必要的。 08W2
命题 16 令𝔄为μ的局部可数集合-可测量X的子集，并令B = ⋃_A ∈ 𝔄 A。为了使B的映射f成为空间F是μ可测的，f的限制对每个A ∈ 𝔄是必要且充分的μ-可测量。 ↩ 5 08W3
定义 9 uniform 结构 on S(A, μ; F) of which the W(V, B, δ) 形式 a fundamental 系统 of entourages is called the uniform 结构 of convergence in measure in A.. 08W4
命题 17 — 令 (A_λ)_λ ∈ L 为 A 的 μ 可测量子集的局部可数族，两两配对不相交的，并且 A - ⋃_λ ∈ L A_λ 局部 μ 可忽略不计。如果对于每个类f ∈ S(A, μ; F)和每个λ ∈ L，f_λ表示类f中任何函数的限制到A_λ中的类，则映射 ψ : f ↦ (f_λ)_λ ∈ L 是制服空间 S(A, μ; F) 的同构到乘积制服空间… ↩ 2 08W5
命题 18 — If F is metrizable, and A is 并 of a locally μ-negligible 集合 and 序列 (Aₙ) of μ-integrable 集合, then 空间 S(A, μ; F) is可计量化。 ↩ 1 08W6
引理 4 — 令F为可度量均匀空间，并令B ⊂ A为μ可积集合的可数并。 Then, for every Cauchy 序列 (fₙ) in S(A, μ; F), there exists a subsequence (f_nₖ) of (fₙ) such that (f_nₖ(x)) is a Cauchy 序列 in F for almost every x ∈… ↩ 2 08W7
命题 19 如果制服空间F可度量且完整，则制服空间S(A, μ; F)完整。 08W8
推论 — 令 F 为可度量的均匀值空间。 08W9
命题 20 — 令 F 为 Banach 空间，配备由其范数定义的制服结构。 ↩ 1 08WA
注 — 1) 拓扑向量空间S(X, μ; F)不一定是局部凸的（Exer.24）。 2) 在f的集合上诱导拓扑，使得Nₚ(f) ≤ 1通过拓扑的测量收敛可能严格比在集合通过拓扑的平均收敛阶p诱导的拓扑更粗糙（练习22）。不过，请参阅下面的第 21 条提案。 08WB
定义 10 令X为局部紧致空间，μ为X的测度，F为Banach空间和p ∈ [1, +∞[。 L_Fᵖ(X, μ) 的子集 H 被认为是阶 p（对于μ）等可积，如果它满足以下条件： ↩ 1 08WC
注 — 假设 μ 有界。对于每个a > 0，X的可测量映射到F的集合，使得|f(x)| ≤ a几乎处处都是阶p等可积，对于任何p ∈ [1, +∞[都是如此。 08WD
命题 21 设 H 为 L_Fᵖ(X, μ) 的子集，它是阶 p 等可积的。在H上，测度收敛的均匀结构等于L_Fᵖ(X, μ)的均匀收敛结构。 ↩ 1 08WE
引理 5 令X为局部紧致空间，μ为X上的有界正测度，F为Banach空间，以及f为X上的有界函数，其中值为F。以下条件是等效的： ↩ 1 08WF
命题 22 — 令 F 为 Banach 空间、X E 的X、μ 元素上的局部紧致空间、E 集合和B 滤波器基 E。假设B模糊地收敛于μ，并且| ν |相对于B趋于| μ |。令 f 为 X 的映射代入 F 满足以下条件： ↩ 2 08WG
注如果f连续且有界，则满足命题 22 的条件 (i) 和 (ii)。 08WH
例让我们将X视为绝对值 1 的复数的紧致空间U。在设定μ(f) = ∫₀¹ f(e^2iπ t) dt上，对于每个f ∈ H(U)，一个定义是U上质量1的正测量值。另一方面，令θ为实数；对于每个整数 n ≥ 0，令 νₙ 为单位质量，放置在 U 的点 e^2iπ n θ 处，并让 μₙ = 1/(n+1) (ν₀ + ⋯ + νₙ), 因此 μₙ 是 U 上质… 08WI

§ 6. 。凸性不等式

定理 1 — 令 X 为局部紧凑空间，μ X 上的正测度，F 为真正的 Banach 空间，D F 中的闭凸集合，以及 f 函数 X使得f(X) ⊂ D。对于每个不可忽略的可积数值函数g geqslant 0，使得fg可积，点(∫ fg dμ)/(∫ g dμ)属于到D。 ↩ 2 08XD
推出 — 如果正测度 μ 的总质量等于 1 并且 f 可积，则 ∫ f dμ 属于到 F 中f(X) 的封闭凸包络线。 08XE
定义 1 — 令 X 为局部紧致空间，μ 为 X 的测度。给定一个数值函数 f（有限或非有限），在 X 中几乎所有地方都在本地定义，我们称函数 f 的测量最大值，或 μ-最大值（分别为测量最小值，或 μ-最小值），并用 M_∞(f)（分别为 m_∞(f)）表示，数 α 的集合的下确界（或最高），使得 f(x) ≤ α（或f(x) ≥ α）局部几乎无处不在（对于 μ）… 08XF
命题 1（平均值的不等式） — 令 f 为可测量的数值函数，其测量有界。对于每个可积数值函数 g geqslant 0，函数 fg（几乎在任何地方都定义）是可积的并且 ↩ 4 08XG
定义 2 将 X 中的每映射 f 放入 Banach 空间 F，即可获得 1 个集合 N_∞(f) = M_∞(|f|)；如果 N_∞(f) 是有限的，则 f 被称为在测度上有界（对于测度 μ）。 X 的映射到 F 的集合是可测量的并且在测量上有界，表示为 L_F^∞(X, μ)（或 L_F^∞(μ)，或简称为 L_F^∞）。 ↩ 1 08XH
命题 2 空间 L_F^∞ 已完成；空间 L_F^∞ 是巴纳赫空间。 ↩ 1 08XI
注 — 1) 每个有界连续函数f在X上，值在F属于到L_F^∞，并且 08XJ
定理 2（霍尔德的不等式） — 令 f 和 g 为两个几乎处处有限的数值函数，并且使得 f 几乎处处等于 Lᵖ 中的函数以及 g 至 L^q 中的函数。那么，函数 fg（几乎在任何地方都定义）是可积的，并且 ↩ 3 08XK
推论 1 — 令F, G, H为三个Banach空间，并令(u, v) ↦ Φ(u, v)为F × G到H的连续双线性映射，使得|Φ(u, v)| ≤ |u| · |v|。如果 f ∈ L_Fᵖ 和 g ∈ L_G^q，则函数 Φ(f, g) 可积且 ↩ 2 08XL
推论 2 — 令F为实数（或复数）Banach空间，F'其强对偶（TVS，III, § 3, No. 1），并令(z, z') ↦ ⟨ z, z' ⟩为F × F'上的规范双线性形式。如果 f ∈ L_Fᵖ 和 g ∈ L_F'^q，则实数（或复数）函数 ⟨ f, g ⟩ 可积且 ↩ 1 08XM
推论 3 — 令 μ 为X 的正测度，F 为实数（或复数）希尔伯特空间。在空间 L_F² 上，对称（分别为厄米特）形式 08XN
推论 4 — 令 F 为 Banach 空间，f 函数 L_Fᵖ，g 函数属于至 L^q；那么函数 fg 可积且 ↩ 1 08XO
推论 5 — 令f₁, f₂, …, fₙ为n正可积函数，并令α₁, α₂, …, αₙ为n数> 0，使得∑ᵢ₌₁ⁿ αᵢ = 1；在这些条件下，函数f₁^α₁ f₂^α₂ ⋯ fₙ^αₙ是可积的并且 08XP
命题 3 — 令 μ 为X 上的正测度，F 为实数或复数 Banach 空间，F' 为强对偶，(z, z') ↦ ⟨ z, z' ⟩ F × F' 上的规范双线性形式。 ↩ 1 08XQ
注 — 1) 令E为L_F'^q的稠密线性子空间；那么当g超过E的交且L_F'^q中函数的集合B时，公式(9)成立，使得N_q(g) ≤ 1。因为，只要观察到B的内部overset∘B在B中是稠密的，并且overset∘B ∩ E在overset∘B中是稠密的，因为overset∘B是开放的。当1 ≤ q < +∞（即1 < p ≤ +∞）时，此注尤其适用于具有… 08XR
推论 — 令μ为X的正测度，F为Banach空间，F'其强对偶，g为L^q_F'中的任何函数。那么，Lᵖ_F上的线性形式，由Lᵖ_F上的线性形式f ↦ ∫ ⟨ f, g ⟩ dμ通过商推导出来，是连续的，有范数N_q(g)。 ↩ 1 08XS
命题 4 — 令 f 为可测量的函数，其中值在 Banach 空间 F 中；数 p的集合I，使得1 ≤ p ≤ +∞和Nₚ(f)是有限的，要么是空的，要么是overlineR的区间。若I为非空，则映射p ↦ Nₚ(f)中的限制至I是连续的；此外，如果f不可忽略，则log Nₚ(f)是1/p在barI上的凸函数。 ↩ 8 08XT
推论 — 如果 r, s, p 是三个数这样 ↩ 2 08XU
命题 5 — 令 μ 为有界测度，并令 f 为 μ 可测函数，且值位于 Banach 空间 F 中。数 p的集合I，使得1 ≤ p ≤ +∞和Nₚ(f)是有限的，或者是空的或者是左端点p = 1和包含这个点的区间；而且，(|μ|(X))^-1/p Nₚ(f)是I上p的递增函数。 ↩ 1 08XV
推论 — 如果测度 μ 有界，关系 r < s 意味着 L_Fˢ ⊂ L_Fʳ；此外，阶s的均值收敛性拓扑比阶r的均值收敛性拓扑（在L_Fˢ上）更细大。 08XW
命题 6 — 令 X 为离散的空间，μ 为 X 上的度量，通过在 X 的每个点放置质量 +1 来定义。如果 f 是 X 的映射到 Banach 空间 F、数 p 的集合 I，使得 1 ≤ p ≤ +∞ 和 Nₚ(f) 是有限，要么是空的，要么是右端点+∞和包含这个点的区间；此外，Nₚ(f)是I上p的递减函数。 08XX
推论 — If X is discrete and the measure μ is defined by a mass +1 at each point of X, then the relation r < s implies L_Fʳ ⊂ L_Fˢ; moreover, the topology of convergence in mean of order… 08XY

§ 7. 。重心

定义 1 令 K 为 Hausdorff 局部凸空间 E 的紧子集。对于总质量等于 1 的 K 上的每个正测度 μ，向量 b_μ = ∫ x dμ(x)（属于到 E'^*）称为 μ 的重心。 08YJ
例 — 令 μ 为 K 的离散测量值，正数且总质量为 1；因此，它是形式μ = ∑ᵢ₌₁ⁿ λᵢ ε_xᵢ，其中xᵢ ∈ K和λᵢ是实数，使得λᵢ ≥ 0对于所有i和∑ᵢ₌₁ⁿ λᵢ = 1。从∫ x dε_y(x) = y（第III, §3, No. 1，例 3）开始，b_μ = ∫ x dμ(x) = ∑ᵢ λᵢ xᵢ。特别是，对于每个 x ∈ K，x 是度… 08YK
命题 1 设 E 为 Hausdorff 局部凸空间，K 为 E 的紧凑子集，C E 中 K 的封闭凸包络线。集合 C 那么由 E 的点组成，这些点是 K 上质量 1 的至少一个正测量的重心。 ↩ 4 08YL
推论如果 E 中 K 的闭凸包络C 是紧的，则 K 属于到 E 上总质量 1 的每个正测量的重心。 ↩ 1 08YM
注科。当 K 是凸的或者 E 是准完备的时候，命题 1 的特别适用。 08YN
命题 2 — 令 K 为 Hausdorff 局部凸空间 E 的紧凸子集，μ K 上总质量 1 的正测量，b_μ 其重心。对于 K 上的下半连续的每个凸数值函数 f ≥ 0， f(b_μ) ≤ ∫^* f dμ. 已知（TVS，II, §5, No. 4，命题 5）f 是连续仿射线性函数 h_α : x ↦ c_α + ⟨ x, z'_α ⟩ 的限制到 K 族的上包络… ↩ 2 08YO
推论 — 对于 K 上的每个有界且下半连续的凸数值函数函数 g，g(b_μ) ≤ ∫ g dμ。 ↩ 2 08YP
命题 3 — 令 K 为 Hausdorff 局部凸空间 E 的紧凸子集，K 的 x 点。总质量 1 的正 K 上的每个测量 μ，并承认 x 作为重心，都位于承认 x 作为重心的总质量 1 的离散正测量的集合的模糊闭包中。 ↩ 1 08YQ
推论 — Let K' be a compact 子集 of K such that K is the closed convex envelope of K'.在阶中，x ∈ K'是K的极值点，εₓ是总质量为1、以x为重心的K'上的唯一正测度是必要且充分的。 ↩ 1 08YR
定理 1（巧克力） — 令 E 为 R 上的 Hausdorff 局部凸空间，K 为 E 的可度量紧凸子集，M 集合为 K 的极值点。集合 M 为可数开集合族的交，其中K，并且 K 的每个点都是 K 上度量 μ 的重心，使得 μ(K - M) = 0。 ↩ 5 08YS
引理 1 — 令 overlineu 为 E 上的连续仿射线性函数的下包络，其为 K 上的 ≥ u。则 S 为点 (a, b) ∈ E × R 的集合，使得 a ∈ K 和 u(a) ≤ b ≤ overlineu(a)。 ↩ 1 08YT
引理 2 If u is strictly convex on K, then u(x) < overlineu(x) for every non-extremal point x of K. 08YU
引理 3 设E是R上的豪斯多夫局部凸空间，K是E的可度量紧凸子集。那么，K上存在严格凸数值函数。 08YV
推论设 E 为在 R 上的 Hausdorff 局部凸空间，C E 中顶点为 0 的真凸锥体，对于由 E 的弱均匀结构引起的均匀结构是完整且可度量的。设 M 为极值生成元的并 C。对于每个x ∈ C，都存在C的紧凸子集 K 和总质量为 1 的 K 上的测度 λ ≥ 0，使得 K - (M ∩ K) λ 可忽略不计，λ 的重心等于 x。 08YW
命题 4 (i) 闭凸包络 C of i_H(X) in H' （对于弱拓扑 σ(H', H)）是紧凑的。 ↩ 2 08YX
命题 5 每个函数 h ∈ H 至少达到一个 H-极值点。 ↩ 4 08YY
命题 6 对于每个点 x ∈ X，以下属性是等效的： ↩ 1 08YZ
命题 7 设 F 为 X 的闭子集。以下属性是等效的： ↩ 2 08Z0
命题 8 假设X是可度量的。那么X的H-极值点的集合Ch_H(X)是X中开集合可数族的交，并且对于每个x ∈ X，存在总质量1的正测度μ在 X 这样 08Z1
例 — 取X为R³中的单位球|x| ≤ 1，令H为X、包含限制上连续函数的向量空间得R³和满足上的仿射线性函数的X最大值原理，即，对于点的每个非常数函数h ∈ H、集合 h 达到最高值的X 包含在球体S₂ 中。然后很容易从 Props 中得出结论。 5和7表示Ch_H(X) = checkS_H(X) = S₂。向量空间 H 满足前面的条件的重要例是X 上连续… 08Z2
命题 9 对于每个函数f ∈ H，Ch_H(X)与点的集合相交，其中|f|达到其最高值。 ↩ 3 08Z3
命题 10 令F为X的闭子集。以下属性是等效的： a）F包含checkS_H(X)。 b) 对于每个函数f ∈ H，F与X的点的集合相交，其中|f|达到其最高值。 c) 对于每个点x ∈ X，X上存在总质量1的正测量μ，使得每个函数f ∈ H都有Supp(μ) ⊂ F和f(x) = ∫ f dμ。让我们证明条件a)和c)的等价：让f = f₁ + i f₂和f₁, f… 08Z4
注如果f是连续实数函数，则|f|达到其最高值的点是点，其中函数f, -f之一达到其最高值。对于连续实数函数满足的向量空间H，No. 3的假设，Props。因此，9 和 10 是 Props 的微不足道的推论。分别为5和7。 08Z5
引理 4 令 X 为紧致空间，H 为 Banach 空间 C(X; C)（或 C(X; R)）的闭合线性子空间。设a为X的点，承认可数基本邻域系统；假设，对于任何数 c 和 d，使得 0 < c < d < 1 和 a 的任何开邻域 U，存在一个 f ∈ H 使得 |f| ≤ 1, |f(a)| ≥ d, |f(x)| ≤ c for all x ∈ X - U. 那… ↩ 1 08Z6
定理 2（E.主教） — 令X是复数Banach代数C(X; C)的紧空间，A闭子代数。假设 A 包含为常量并分隔点和 X。设a为X的点；以下条件是等效的： ↩ 1 08Z7
推论 — 假设在加法中 X 是可度量的。那么以下属性是等效的： 08Z8
例 — 令X₁为点(z₁, z₂) ∈ C²的集合，使得|z₁|² + |z₂|² ≤ 1（R⁴中的单位球），并令A₁'为全纯的限制至X₁的集合函数，C中的值，定义在C²中的X₁邻域内（考虑的邻域取决于函数）；设A₁为C(X₁; C)中A₁'的闭包，这显然是C(X₁; C)的闭复形子代数，并分隔X₁的点。应用全纯函数的“最大原理”表明Ch_A₁(X₁)是球体S₃… 08Z9
引理 5 假设C是弱完备的。令A为E上连续线性形式的限制到C的集合。令(f_λ)_λ ∈ Λ为A和f = sup(f_λ)的元素的有限族。每x ∈ C、定义 ↩ 2 08ZA
引理 6 我们维持引理 5 的假设和记号，并假设f_λ 为正。函数 overlinef 在 C 中是正齐次凹上半连续。如果 C 是格序的，那么它是仿射的。 ↩ 1 08ZB
定理 3（乔凯） 令E为Hausdorff弱局部凸空间，C弱完全真凸锥，顶点0位于E，G并，C的极值生成元，K紧凸C、λ 和 λ' 的子集在 K 上质量 1 的正测量，承认相同的重心，使得 λ^*(K - (K ∩ G)) = λ'^*(K - (K ∩ G)) = 0。假设 C 是晶格有序的。然后，对于C、λ^*(f|K) = λ'^*(f|K)上的每个下半连续、正齐次凸函… ↩ 1 08ZC
推论设 E 为 Hausdorff 局部凸空间，C E 中顶点为 0 的真凸锥，承认紧底 M，并设 G 为 C 极值生成元的并。让x ∈ M。如果 C 是晶格有序的，则 M 上最多存在一个质量 1 的正测度 λ，使得 λ^*(M - (G ∩ M)) = 0，并承认 x 作为重心。 08ZD

V. 措施整合

§ 1. 。基本上衣整体

定义 1 对于每个函数 f ∈ F₊(T)，我们调用 f 关于 μ 的本质上积分，并用 μ^bullet(f) 表示，即数 μ^*(f φ_K) 集合的上界，无论是否有限，其中 K 超出T紧凑子集集合。对于T中的每子集A，有一个集合μ^bullet(A) = μ^bullet(φ_A)。 ↩ 1 08ZO
命题 1 a) 如果f和g是两个几乎处处局部相等的数值函数≥ 0，则μ^bullet(f) = μ^bullet(g)。 b) 如果f和g是两个数值函数≥ 0使得f ≤ g，则μ^bullet(f) ≤ μ^bullet(g)。 c) 如果 f 是数字函数 ≥ 0，且 α 是数 ≥ 0，则μ^bullet(α f) = α μ^bullet(f)。 d) 如果f和g是… ↩ 4 08ZP
命题 2 令f, g, h为F₊中的三个元素；如果 g 和 h 可测量，则 ↩ 2 08ZQ
推论令f为可测函数≥ 0的函数≥ 0、(gₙ)序列；然后∫^bullet f ( ∑ₙ gₙ ) dμ = ∑ₙ ( ∫^bullet f gₙ dμ )。 ↩ 1 08ZR
命题 3 对于每个有限的数α ≥ 0和T上的每个对措施μ, ν， ↩ 2 08ZS
命题 4 — 对于每个数值函数 f geqslant 0 在 T、μ^bullet(f) = μ^*(f) 上是下半连续的。 ↩ 5 08ZT
命题 5 — 设 A 为 T 的子集；以下属性是等效的： a) 集合 A 包含在 μ 序列并-可积开集合。 b) 集合A包含在μ的序列并-可积集合。 c) 集合 A 包含在紧集的序列并和aμ-可忽略的集合。 ↩ 4 08ZU
定义 2 —T的子集如果满足命题5的等价条件，则称为μ-调节。函数定义在 T上，在向量空间或 overlineR中使用值，如果它是零在a μ-调节的补码上，则被认为是 μ-调节子集T。测量 μ 如果 T 是 μ-调节集合，则据说是经过调节的。 08ZV
注 — 1) 如果 θ 是 T 的复杂测度，如果 f 是 |θ| 调节（或者 |θ| 调节），则可以说函数 f 是 θ 调节（或 θ 调节）。 2) 每个有界措施都经过调节；如果T是紧集的可数并，则T上的每个度量都会被调节。 3) 令(fₙ)为μ调节的函数的序列，其中值在overlineR中。对于每个n，令Uₙ是一个开集合，它是有限外部测度的开集合的可数并，使得… 08ZW
命题 6 — 令f为在T上定义的正数值函数，即μ可测量且μ可调节。则存在F₊(T)的元素的序列(hₙ)_n ∈ N，其中和等于f，具有以下性质： ↩ 3 08ZX
命题 7 — 令 f 为 F₊(T) 的元素。 1) 如果函数 f 不是 μ 调节，则 μ^*(f) = +∞。 2) 如果函数 f 是 μ 调节，则 μ^*(f) = μ^*(f)。 3) 如果μ^*(f) < +∞，则存在μ调节的子集A、序列的并，以及T的紧凑子集，使得f = f φ_A局部几乎无处不在。 ↩ 5 08ZY
推论 1 要使 f 可以忽略不计，其局部可忽略且可调节是必要且充分的。 ↩ 2 08ZZ
推论 2 如果 μ 是一个调节测度（特别是如果 μ 有界，或者如果 T 在无穷大处可数），则 μ^* = μ^bullet。 ↩ 1 0900
命题 8 a) 设H为函数≥ 0的集合，下半连续，指向关系≤；然后 0901
引理设g和g'是两个μ调节的映射，其中值在F中；如果 g 和 g' 几乎在任何地方都等于相同的函数 f，则 g = g' 几乎在任何地方都相等。 0902
命题 9 对于T的映射 f到F到属于到overlineF_Fᵖ（分别到overlineL_Fᵖ），如果是必要和充分的（分别是f是可测量的并且） ↩ 5 0903
推论对于f到属于到L_Fᵖ，f属于到overlineL_Fᵖ是必要且充分的并且被调节。 ↩ 4 0904
定义 3 overlineL_F¹ 的元素实质上被称为 F 中与值的 μ 可积函数。将 L_F¹ 的映射 tildef ↦ μ(f) 组合到 F 中，将 overlineL_F¹ 的典范映射组合到 L_F¹ 上，得到连续将overlineL_F¹的线性映射转化为F，将L_F¹的扩展映射f ↦ ∫ f dμ转化为F。再将f ∈ overlineL_F¹的映射的∫ f… ↩ 1 0905
命题 10 令𝔎为T的紧凑子集的μ密集集合。 a) 如果 f 是数字函数 ≥ 0，则 μ^bullet(f) = sup_K ∈ 𝔎 μ^*(f φ_K). b) 如果 f 实质上是可积函数且值位于 Banach 空间 F 中，则 ∫ f dμ = lim_𝔎 ∫ f φ_K dμ, 极限是相对于指示（对于⊂）集合𝔎而言的。 ↩ 3 0906
命题 11 — 令 (λ_α)_α ∈ A 为 T 上的一系列正测度，针对关系 ≤，并在 M(T) 中具有至高λ。然后，对于每个数字函数 f ≥ 0， ↩ 8 0907
推论 1 为了使 T 的子集 N 局部 λ 可忽略，对于每个 α ∈ A，N 局部 λ_α 可忽略是必要且充分的。 ↩ 1 0908
推论 2 为了使 T 的映射 g 成为拓扑空间 G λ 可测，它对于每个 α ∈ A λ_α 可测是充分必要的。 ↩ 2 0909

§ 2. 。积极措施的总结系列

注 1 直接的，当族(λ_α)_α ∈ A可求和时，其和是有限部分和∑_α ∈ J λ_α在M₊(X)中的上界，其中J运行于A的有限子集的集合。 ↩ 1 090G
注 2 令 (θ_α)_α ∈ A 为 X 上的一系列复杂测度；如果正测量的族(|θ_α|)是可求和的，则称族(θ_α)是“可求和的”；为此，族 (θ_α) 可以在向量空间 M(X; C) 中求和，配备模糊拓扑 (cf. Exer. 3)。 ↩ 1 090H
命题 1 — 令 f 为在 X 上定义的正数函数。然后 ν^bullet(f) = ∑_α ∈ A λ_α^bullet(f). ↩ 7 090I
推论 1 — 对于每个紧凑型（分别是开放型和相对紧凑型）子集 M of X， ν(M) = ∑_α ∈ A λ_α(M). 090J
推论 2 — 为了使 X 的子集 N 局部 ν 可以忽略不计，对于每个 α ∈ A，N 局部 λ_α 可以忽略不计，这是必要且充分的。 ↩ 2 090K
推论 3 — 对于每个函数 f ∈ F₊(X)， ν^*(f) ≥ ∑_α ∈ A λ_α^*(f). 090L
命题 2 — 令 f 为 X 的映射成为拓扑空间 G。为了使 f ν 可测量，对于每个 α ∈ A，f λ_α 可测量是必要且充分的。 ↩ 6 090M
命题 3 — 为了将 X 的映射 f 转化为 Banach 空间 F 本质上 ν 可积，f 对于每个α ∈ A 本质上λ_α 可积是必要且充分的，并且 ↩ 4 090N
推论 1 — 假设f是ν可积；那么f 对于每个α ∈ A 都是λ_α 可积的，且公式 (6) 成立。相反，如果集合 A 是有限的，并且 f 对于每个 α ∈ A 是 λ_α 可积，则函数 f 是 ν 可积。 ↩ 1 090O
推论 2 — 令θ为X的复测度；集合θ₁ = (Re θ)⁺、θ₂ = (Re θ)⁻、θ₃ = (Im θ)⁺、θ₄ = (Im θ)⁻。在阶中，X 的映射 f 转换为拓扑空间 G（分别转换为 Banach 空间 F）对于测度 θ 是可测的（分别是本质上可积、可积），则对于每个测量值 θᵢ (i = 1, 2, 3, 4) 来说，它是可测量的（分别是本质上可积的、… 090P
命题 4 — 令μ为局部紧致空间T的正测度，并令𝔎为T的紧致子集的μ密集集合。在T上存在一个正测度的可和族(μ_α)_α ∈ A，使得μ = ∑_α ∈ A μ_α，并且使得测度μ_α属于到𝔎和形式的支持是成对的不相交的紧集的局部可数族。 ↩ 12 090Q
注积极措施可能是序列措施中的和具有紧凑支持，并且不进行缓和（参见 § 1 的Exer. 4 a））。 090R

§ 3. 。整合积极措施

例 1 假设 T 是离散的空间，μ 是通过在 T 的每个点处放置质量 +1 来定义的 T 的度量（Ch. III, §1, No. 3）。设h为T上定义的函数geqslant 0；因为函数 h 在 T 上是下半连续（甚至连续），μ^*(h) = μ^bullet(h) = ∑_t ∈ T h(t)（Ch. IV, §1, No. 1，例）。 090W
例 2 T 到 M₊(T) 的映射 t ↦ εₜ 是模糊连续的，对于 T 上的每个正测度 μ 而言，本质上是标量 μ 可积的，并且有 ∫ εₜ dμ(t) = μ。 090X
命题 1 假设μ是T上正测度递增有向族(μᵢ)_i ∈ I的至高；在阶中，Λ : t ↦ λₜ 本质上是 μ 可标量可积的，对于所有 i ∈ I，Λ 基本上是 μᵢ 标量可积是必要且充分的，并且族 (∫ λₜ dμᵢ(t))_i ∈ I 的边界在 M(X) 中。那么一个人有， ↩ 1 090Y
推论 — 假设 μ 是 T 上积极措施的可和族 (μ_α)_α ∈ A 的和；在阶中，Λ : t ↦ λₜ本质上是μ标量可积，对于每个α ∈ A，Λ本质上μ_α标量可积是必要且充分的，并且测度族∫ λₜ dμ_α(t)是可求和的。然后一个有 ↩ 5 090Z
定义 1 — 令X为局部紧凑空间，Λ : t ↦ λₜ为T的标量本质上μ可积映射到M₊(X)，以及νΛ的积分。 ↩ 6 0910
命题 2 — Let Λ : t ↦ λₜ be a scalarly essentially μ-integrable mapping of T into M₊(X), and let ν = ∫ λₜ dμ(t). ↩ 8 0911
引理令 X 为具有可数基的局部紧凑空间。那么，在K(X)中存在可数子集 S，具有以下性质：对于每个函数f ∈ K(X)，存在S的元素的序列(fₙ)和正函数φ ∈ S，使得，对于每个数 ε > 0，|fₙ - f| ≤ ε φ，前提是 n 为足够大。 0912
命题 3 — 令 f 为在 X 上定义的数值函数 geqslant 0。 a) 下列不等式成立： ↩ 6 0913
推论 1 — 令f为在X上定义的函数≥ 0，并令H为t ∈ T的集合，使得f不可忽略λₜ。 a) 如果 f ν-可忽略，则 H 局部 μ-可忽略。 b) 如果 f 是 ν-可忽略且 Λ 是模糊连续的，则 H 是 μ-可忽略。 c) 如果 f 局部 ν 可忽略不计，且 λₜ^bullet(1) < +∞ 局部 μ 几乎无处不在，则 H 局部 μ 可忽略不计。 ↩ 4 0914
推论 2 — 令f为函数≥ 0，定义在X、ν可测量且ν可调节。 t ∈ T的集合使得f不是λₜ调节，则局部μ可以忽略不计（如果Λ模糊地连续，甚至μ可以忽略不计）。 ↩ 1 0915
命题 4 — 令f为X上定义的ν可测函数，其中值位于拓扑空间G中，并令M为t ∈ T的集合，使得f 不可测量 λₜ。 a) 假设f在ν调节的子集对X的补集上恒定；那么M在本地是μ-可以忽略不计。 ↩ 4 0916
命题 5 设 f 为 X 上定义的 ν 可测量正数值函数，并令 N 为 t ∈ T 的集合，使得 f 不能同时为 λₜ 可测量和 λₜ 调节。 ↩ 9 0917
推论 — 令f为X上定义的函数，值位于Banach空间F或overlineR中，即ν可测量且ν可调节。对于 f ν 可积，有充分必要 0918
定理 1 — 设 f 为函数，其中值在 Banach 空间 F 或 overlineR 中，并令 H 为 t ∈ T 的集合，其中f 不是λₜ-可积。 ↩ 10 0919
注令Λ : t ↦ λₜ是T到M₊(X)的μ充分的映射。如果T到M₊(X)的映射Λ' : t ↦ λ'ₜ在局部μ几乎处处都等于Λ，那么从定义立即得出Λ'也是μ-足够的，并且Λ和Λ' 有相同的积分。如果现在H : t ↦ ηₜ是函数，M₊(X)中的值，本地定义μ-几乎无处不在，我们将再次说H是μ-足够，如果它在本地μ-几乎所有地方都等于映射 Λ : t ↦ λₜ… 091A
定义 2 将 T 的映射 f 转换成拓扑空间 F，如果对于 T 上的每个正测度 μ μ 可测，则称 F 是普遍可测的。 091B
命题 6 为了使 T 的映射 f 成为拓扑空间 F 普遍可测，f 对于具有紧支撑的 T 上的每个正测度都是可测的。 ↩ 1 091C
命题 7 设μ为T上的正测度，并设f为T到拓扑空间F的μ可测映射。那么，存在T到F的普遍可测映射f'，使得局部f = f' μ-几乎无处不在。 ↩ 3 091D
定义 3 令X为局部紧致空间，令Λ : t ↦ λₜ为T到M₊(X)的映射。映射 Λ 被认为是 T 在 X 中的扩散，如果 Λ 对于具有紧凑支持的 T 上的每个正测度来说是足够的。如果所有测度 λt 都是有界且 sup_t ∈ T | λₜ | < +∞，则称扩散 Λ 是有界的；这个量称为 Λ 的范数，并表示为 | Λ |。 091E
命题 8 — 为了使 T 的映射 Λ : t ↦ λₜ 进入 M₊(X) 成为扩散，满足以下条件是必要且充分的： 1) 对于在 X 上定义的每个下半连续函数 f geqslant 0，函数 t ↦ λₜ^bullet(f) 在 T 上普遍可测。 2) 对于每个函数 g ∈ K₊(X)，函数 t ↦ λₜ(g) 在 T 中局部有界。 3) 对于 X 上定义的每个下半连续… ↩ 1 091F
命题 9 — 令 Λ : t ↦ λₜ 为 T 到 M₊(X) 的映射，使得对于每个 g ∈ K₊(X)，函数 t ↦ λₜ(g) 是普遍可测的且在 T 中局部有界。在以下每种情况下，可以肯定 Λ 是扩散： 091G
命题 10 令f, g为X上的两个正普遍可测函数，让a为数≥ 0，并让μ和ν为T上的两个正测度。然后： 091H
命题 11 对于T到属于到Λ域的正测度μ，Λ基本上是μ可标量可积是必要且充分的。 091I
推论 1 — 如果 Λ 是有界扩散，则每个有界正测度 μ 属于到 Λ 和 | μ Λ | ≤ | μ | | Λ | 的域。 091J
推论 2 — 假设μ是Λ域的正测度属于的可和族(μ_α)_α ∈ A的和。对于μ到属于到Λ的域，测度族μ_α Λ可求和是必要且充分的，在这种情况下μ Λ = ∑_α ∈ A μ_α Λ。 091K
命题 12 — 令μ为T上属于对Λ域的正测度，并令f为在X上定义的通用可测函数≥ 0。如果f针对测度μ Λ进行调节，或者如果测度λₜ有界，则函数Λ f是μ可测且 091L
推论 — 如果 X 在无穷大处可数，或者如果测量 λₜ 有界，则对于 X 上定义的每个普遍可测的函数 f ≥ 0，函数 Λ f 在 T 上普遍可测，并且 (13)成立。 ↩ 1 091M
命题 13 — 令T, X, Y为三个局部紧凑空间，Λ : t ↦ λₜ为T在X中的有界扩散，H : x ↦ ηₓ为X在Y中的有界扩散。那么映射t ↦ λₜ H就是T在Y的有界扩散，用Λ H表示，并且 ↩ 2 091N
定义 4 记号是命题13的那些，扩散Λ H称为有界扩散H和Λ的组合扩散（或合成）。 091O
例令u为T到X的普遍可测映射，以及v为X到Y的普遍可测映射；根据提案 2 b)，通过公式进行 1 个定义扩散 Λ 和 H 091P

§ 4. 。整合积极的点措施

定义 1 令μ为T上的正测度。如果满足以下条件，则称对(π, g)为μ适配： 1° 函数 π 和 g 是 μ 可测量的。 2° 对于每个函数 f ∈ K(X)，映射 t ↦ f(π(t))g(t) 本质上是 μ 可积。 0921
命题 1 如果对 (π, g) 是 μ 适应的，那么 T 到 M₊(X) 的映射 Λ : t ↦ λₜ = g(t)ε_π(t) 本质上是 μ 可积的，模糊地 μ 可测量的，μ 是充分的。相反，如果Λ本质上是μ可标量可积且模糊地μ可测量，则函数g是μ可测量且π到集合的限制 t ∈ T的S使得g(t) ≠ 0是μ可测量的。 ↩ 1 0922
引理设T和X为两个拓扑空间、π，T到X的真连续映射（GT，I, §10, No. 1，定义1）。令g为T上定义的下半连续数值函数。对于每个x ∈ X，令f(x)为集合overlineπ⁻¹(x)中函数g(t)的下确界（如果overlineπ⁻¹(x) = ∅则下确界等于+∞；cf.S，III, §1, No. 9）。那么f在X上是下半连续的。 0923
定理 1 让(π, g)成为μ适应的对，并且让 ν = ∫ g(t)ε_π(t) dμ(t). 对于每个数字函数 f ≥ 0 在 X 上定义， (1) ∫^bullet f(x) dν(x) = ∫^bullet f(π(t))g(t) dμ(t). ↩ 4 0924
推论 — 在阶中，X的子集对于ν来说在局部可以忽略不计，π⁻¹(N)的交和点t ∈ T的集合是必要且充分的，其中g(t) > 0在局部μ可以忽略不计。 ↩ 1 0925
命题 2 — 令π为T到X的真连续映射（GT，I, §10, No. 1），并令g为T上的连续有限数值函数，使得g(t) > 0对于所有t ∈ T。对 (π, g) 则适用于 μ，如果有集合 ν = ∫ g(t) ε_π(t) dμ(t), ↩ 5 0926
命题 3 — 令(π, g)为μ改编的对，并令 ↩ 7 0927
注如果 f 是 X 的映射变成 Banach 空间 F，则同样可以说 f ∘ π 到 S 的限制是 μ 可测的，或者说函数 (f ∘ π)g（在T上定义）是μ可测量，因为g是μ可测量，在S中不是零，并且在T - S上是零（第IV, §5, No. 10，第 15 条提案）。 0928
定理 2 设 (π, g) 为μ适应的对，并设 ν = ∫ g(t) ε_π(t) dμ(t). 让f定义为函数在X，与值在Banach空间F或在overlineR。对于 f 本质上ν可积， t ↦ f(π(t))g(t) 本质上μ可积是必要且充分的，在这种情况下 ∫ f(x) dν(x) = ∫ f(π(t))g(t) dμ(t). 此外，假设 π 是连续且正确的… ↩ 11 0929
注 — Let (π, g) be a μ-adapted pair, π' a mapping of T into X, and g' a finite numerical function ≥ 0 defined on T, such that π' (resp. g') is equal to π (resp. g) locally almost ever… 092A

§ 5. 。由数值密度定义的度量

命题 1 让 g 被定义为函数，几乎在 T 中的任何地方（对于正测度 μ），值在 Banach 空间 F 中（分别在 overlineR 中）。以下属性是等效的： ↩ 2 092D
定义 1 函数 g，几乎在 T（对于正测量 μ）中局部定义，在 Banach 空间 F（分别在 overlineR）中使用值，据说可以局部可积 μ（或局部 μ-可积）如果它满足条件 a), b), c) 命题1. 如果 θ 是一个复杂的测度，函数 g 局部定义 θ-几乎无处不在如果对于正测度 |θ| 是局部可积的，则称其为局部 θ-可积。 092E
定义 2 令θ为复数测度，并令u为复数函数（或函数与overlineR中的值）本地定义θ-几乎处处且本地θ可积。 T 上的复测度 f ↦ ∫ fu dθ 被认为是测度 θ 与函数 u 的乘积，或密度 u 相对于 θ 的测度，并表示为 u · θ。 ↩ 1 092F
命题 2 令θ为复数测度，u为局部θ可积复数函数；那么 ↩ 13 092G
引理 1 — 令 θ 为复数测度，并令 f 为 overlineL¹_C(T, θ) 的元素。然后 ↩ 1 092H
推论设g₁和g₂为两个局部μ可积数值函数；那么 ↩ 4 092I
命题 3 对于 T 上定义的每个数字函数 f geqslant 0， ↩ 10 092J
推论 1 在阶、函数f、值在Banach空间或overlineR中，对于u · θ的测度局部可忽略不计，u f对于θ局部可忽略是必要且充分的。 ↩ 3 092K
推论 2 设u₁和u₂是两个局部θ可积复数函数。在阶和 u₁ · θ = u₂ · θ 中，u₁ 和 u₂ 几乎处处局部相等是必要且充分的。 ↩ 10 092L
推论 3 令u为复数函数，对于正测度μ可局部积分。为了使 u · μ 成为一个积极的措施，u(t) geqslant 0 几乎在任何地方都是必要且充分的。 ↩ 3 092M
命题 4 为了将 T 的映射 f 转换成拓扑空间 G 对于测度 u · θ 可测，f 的限制到θ 可测集合是必要且充分的t的S使得u(t) ≠ 0是θ可测量的。 ↩ 2 092N
推论令 f 为 T 上定义的函数，其中值在 Banach 空间 F 或overlineR 中。为了使 f (u · θ) 可测量，u f θ 可测量是充分必要的。 ↩ 2 092O
定理 1 令 f 为 T 上定义的函数，其中值在 Banach 空间 F 或overlineR 中。在阶中，f对于测度η = u · θ本质上可积，uf本质上θ可积是必要且充分的，在这种情况下 ↩ 10 092P
推论为了使测度u · θ有界，u本质上θ可积是必要且充分的。 ↩ 2 092Q
例设A为T中的子集；为了使φ_A局部μ可积，A是μ可测是充分必要的。假设满足条件，则集合ν = φ_A · μ；对于 T 上定义的每个数字函数 f ≥ 0，我们有 092R
命题 5 让(λ_α)_α ∈ A成为T的一系列积极措施，针对关系leqslant，承认M(T)最高λ。对于正数函数 g 要局部 λ-可积，必要且充分的是 g 局部 λ_α-对于每个 α ∈ A 可积，并且族 (g · λ_α) 在 M(T)上有界；在这种情况下， g · λ = sup_α ∈ A g · λ_α. 显然条件是必要的。相反，假设g对于每个测度λ_… ↩ 1 092S
推论 — 假设 μ 是 T 上度量族 (μ_α)_α ∈ A 的和。对于在 T 上定义的正数值函数 g 局部 μ 可积，g 对每个 α ∈ A 局部 μ_α 可积是必要且充分的，并且族 (g · μ_α)_α ∈ A是可总结的。在这种情况下， 092T
命题 6 — 设(g_α)_α ∈ A是T上定义的局部μ可积正数值函数的局部可数族。在阶中，函数g = ∑_α ∈ A g_α是局部μ可积，测度族(g_α · μ)_α ∈ A可求和是必要且充分的，在这种情况下 ↩ 2 092U
推论 — 令 (g_α) 为局部 μ 可积数值函数的序列，使得度量 gₙ · μ 的序列为递增。在阶中，这个序列在T上的实测度有序向量空间M(T)中有上界，函数g = sup gₙ是局部μ可积的充分必要；序列 (gₙ · μ) 中的M(T) 的上界就是测度g · μ。 ↩ 1 092V
命题 7 — 令X为无穷大可数的局部紧凑空间，并令t ↦ λₜ为T到M₊(X)的μ充分映射。 ↩ 1 092W
命题 8 令θ为T的复测度，g₁为本地θ可积复数函数，θ₁测度g₁ · θ。对于在 T 上定义的复数函数 g₂ 局部 θ₁ 可积，g₂ g₁ 局部 θ 可积是必要且充分的，在这种情况下 ↩ 8 092X
定理 2（勒贝格-尼科迪姆） — 令μ和ν为T的两个积极措施。以下属性是等效的： ↩ 20 092Y
引理 2 — 令 α 为 T 上的有界正测度，β 为 T 上的实测度，使得 |β| ≤ M α，其中 M 为正常数。那么，存在实数函数u、α可积，使得β = u · α。 ↩ 1 092Z
引理 3 — 假设正测度ν使得每个μ-可忽略的紧集都是ν-可忽略。令 𝔎 为 T 的紧凑子集 K 的集合，具有以下性质： 0930
推论 1 — 设 N 为集合，其中基 μ，承认 M(T) 中的上等ν；那么 ν 是基 μ 的度量。 ↩ 1 0931
推论 2 — 设ν为T的实测度。在阶中，ν属于到完全格序空间M(T)（第II, §1, No. 5）中由μ生成的能带，ν是基的测度是必要且充分的μ。 ↩ 3 0932
推论 3 — 令 θ 为复杂测度；存在普遍可测的函数v，以及|v| = 1，使得θ = v · |θ|，|θ| = overlinev · θ。 ↩ 8 0933
注 1 假设λ是正测度，v是λ可测的函数，使得|v| = 1局部λ几乎无处不在（这意味着v局部λ可积），并且θ = v · λ。命题 2 立即表明 λ = |θ|；在其他字中，前述叙述的性质表征了积极措施|θ|。 0934
注 2 如果 |θ| ≤ a μ，其中 μ 是正测度，a 是数 ≥ 0，则 θ 是具有基 μ 的测度。 0935
推论 4 — 令 ρ 和 θ 为两个复数度量。在阶中，存在局部θ可积函数u使得ρ = u · θ，每个θ可忽略的紧集是ρ可忽略的是充分必要的。 0936
推论 5 — 令 μ 和 ν 为 Th 的 T. 条件 1), 2), 3) 的两个正测度。 2 也相当于以下： 0937
学院对于每个dotf ∈ L¹_loc(T, μ; R)，集合φ(dotf) = f · μ，其中f ∈ dotf；映射φ是线性的，递增是单射的（第3命题的Cor.2），M(T)中的像是由μ生成的能带B（第2命题的Cor.2）。因此，映射φ允许识别L¹_loc(T, μ; R)与空间T上的实际度量；由于空间Lᵖ_R(T, μ)都是L¹_loc(T, μ; R… 0938
命题 9 令 θ 为有界复数测度；要使θ成为积极措施，| θ | = θ(1).是必要且充分的。 ↩ 2 0939
命题 10 令μ和ν为T上的两个正测度。以下条件是等价的： a) 局部可忽略的集合对于μ和ν是相同的。 b) M(T) 中μ 和ν 生成的能带是相同的。 c) 一个有ν = g · μ，其中g在本地μ可积，而g(t) > 0在μ几乎任何地方都可积。 ↩ 3 093A
定义 3 如果提案 10 的措施 |θ| 和 |θ'| 满足条件 a)、b)、c)，则称局部紧凑空间 T 上的两个复杂措施 θ, θ' 是等效的。 ↩ 1 093B
注 — 如果 μ 和 ν 是两个等效的正测量，则在 T 上定义的可测量函数，以及任何拓扑空间 G 中的值，对于 μ 和 ν 相同，如下： No. 3 的第 4 号提案。 093C
命题 11 令 μ 为 T 的正测度。如果 T 在无穷大处可数，则存在连续函数 h，使得 h(t) > 0 对于所有 t ∈ T 且测度 ν = h · μ（相当于 μ）有界。 ↩ 5 093D
命题 12 令(μₙ)为T上有界正测度的序列；在T上存在有界正测度μ，使得关系μ^*(N) = 0等价于每个n»的μₙ^*(N) = 0；每个措施μₙ都有基μ。此外，如果μ'是具有性质的T的第二个积极措施，则μ和μ'是等价的。 093E
定义 4 有人说，T上的复杂测度θ集中在T的子集M上，或者M携带θ，如果CM对于θ局部可忽略不计。 ↩ 2 093F
命题 13 在阶中，T上的两个复杂测度ρ和σ彼此陌生，T中存在两个不相交的集合R和S使得ρ是充分必要的集中在R，σ集中在S； R 和 S 可以被认为是普遍可测的。 ↩ 2 093G
推论 1 对于T上的每个实际测量ν，存在两个不相交的集合M, N，分别携带ν⁺和ν⁻。 093H
推论 2 — 令ρ和σ为两个外来复测度，并令ρ'和σ'分别为允许相对于ρ和σ的密度的两个复测度；那么ρ'和σ'是外星人。 ↩ 1 093I
推论 3 — 设ρ和σ为两个外来复测度；然后|ρ + σ| = |ρ| + |σ|。 ↩ 1 093J
定理 3（勒贝格） — T 上的每个复杂测度 θ 都可以用一种且仅一种方式写成形式 θ = g · μ + θ'，其中 g 是局部 μ 可积的，θ' 是与 μ 不同的测度。然后|θ| = |g| · μ + |θ'|。 ↩ 2 093K
推出 — 在空间 L¹_loc(T, μ; C) 上存在空间 M_C(T) 的投影算子 p，其核 overlinep⁻¹(0) 是集合与 μ 不同的复杂测度，使得 093L
定理 4 — 令 p 和 q 为两个共轭指数，使得 1 ≤ p < +∞。 Lᵖ(T, μ)上的每个连续线性形式都是型f ↦ ∫ fg dμ，其中g是L^q(T, μ)中的函数，而L^q中的类是明确定义的。 ↩ 4 093M
推论 — 对于每个数 p 使得 1 < p < +∞，Banach 空间 Lᵖ(T, μ) 是自反的。 093N
命题 14 — 在阶中，L^∞上的正线性形式θ为型f ↦ ∫ f g dμ，其中g ∈ L¹，有充分必要，对于每个递增定向家庭(f_α)_α ∈ A的正函数 L^∞，其类(dotf_α)_α ∈ A的集合在L^∞上界，并承认doth为其空间中的上等，有 ↩ 2 093O
引理 4 1° 令 f 为T 上的下半连续且有界正函数。那么L^∞中的类dotf是类dotφ的集合的上确界，其中φ超过K(T)中的函数的集合，使得0 ≤ φ ≤ f. 093P
定义 5 如果 |θ|(t) = 0 对于每个 t ∈ T，则 T 上的测量 θ 被认为是扩散的。 093Q
例 — R 上的勒贝格测度是分散的（第 IV, §1, No. 3，注 1）。 093R
命题 15 T上的每个复杂测度σ都可以用一种且仅一种方式写成形式ρ + θ，其中ρ是原子测度，θ是扩散测度；那么就有 |σ| = |ρ| + |θ|.。 ↩ 3 093S

§ 6. 。像尺寸

命题 1 令 π 为 T 的 μ 可测量映射为局部紧致空间 X。以下两个属性是等效的： ↩ 3 094O
定义 1 让μ成为局部紧凑空间T的正测度。映射 π of T 转化为局部紧凑的空间 X 据说是 μ-适当（或适当的度量 μ）如果对 (π, 1) 是 μ-适应，即 (§ 4, No. 1)，如果 π 是 μ-可测量并满足命题 1 的（等效）条件。测量 ∫ ε_π(t) dμ(t) 在 X 然后称为 μ 下 π 的像，并表示为 π(μ)。 ↩ 2 094P
注 — 1) 如果 μ 是有界（特别是，如果 μ 具有紧凑支持），则 T 到 X 的每个 μ-可测量映射都是 μ-本征（Ch. IV, § 5, No. 3、Th. 1 和No. 6，第 5)。 ↩ 1 094Q
命题 2 — 对于每个数字函数 f geqslant 0 定义于 X， ∫^bullet f(x) dν(x) = ∫^bullet f(π(t)) dμ(t). (2) ↩ 3 094R
推论 1 — 对于每个子集 A of X， ν^bullet(A) = μ^bullet(π⁻¹(A)). ↩ 1 094S
推论 2 — 对于子集 A X 对于 ν 局部可忽略不计，对于 π⁻¹(A) 局部可忽略 μ 是必要且充分的。 ↩ 6 094T
推论 3 — 如果测量 μ 集中在集合 M，则 π(μ) 集中在 π(M)。 ↩ 5 094U
推论 4 — 让 S 成为 μ 的支持。如果π连续，则π(μ)的支持度为π(S)。 094V
命题 3 — 对于 X 的映射 f 到拓扑空间 G 为 ν 可测量， f ∘ π 为 μ 可测量是必要且充分的。 ↩ 6 094W
推论 — 对于 X 的子集 A 为 ν 可测，π⁻¹(A) 为 μ 可测是充分必要的。 ↩ 1 094X
定理 1 — 设 f 是在 X 上定义的函数，其中值在 overlineR 或 Banach 空间 F 中。为了使 f 本质上 ν 可积，f ∘ π 本质上 μ 可积是必要且充分的，在这种情况下 ↩ 9 094Y
推论 — 为了使X的子集 A本质上ν可积，π⁻¹(A)本质上μ可积是必要且充分的，在这种情况下是ν(A) = μ(π⁻¹(A))。 ↩ 1 094Z
命题 4 — 令 T、T'、T'' 为三个局部紧凑空间、μ T 的正测度、π 将 T 的 μ 可测量映射放入 T'、将 T' 的 π' 映射放入 T'' 以及 π'' = π' ∘ π。 ↩ 5 0950
推论令T和T'为两个局部紧致空间，μ为T的正测度，π为T的双射映射到T'，以及π⁻¹的逆测度映射。假设π是μ真值，并令μ' = π(μ)。那么 π⁻¹ 就是 μ'-proper 和 π⁻¹(π(μ)) = μ。 0951
命题 5 Let T and X be two locally compact spaces, μ a positive measure on T, π a μ-proper mapping of T into X, g a finite numerical function geqslant 0, defined on X and such that g ∘ π i… ↩ 1 0952
命题 6 — 令 T 和 X 为两个局部紧致空间，(λ_α)_α ∈ A T 上的一系列正测度，针对关系 ≤，在 M(T) 中承认一个上等μ。在阶中，T到X的映射π是μ-适当的，它对于所有α ∈ A是λ_α-适当的是必要和充分的，并且家庭(π(λ_α))_α ∈ A在M(X)中被限制在上面。在这种情况下， 0953
推论 1 — 令 (μ_α)_α ∈ A 为 T 上的正测度的可求和族，使得 μ = ∑_α ∈ A μ_α；为了使 T 的映射 π 成为局部紧致空间 X 成为 μ-真值，它对于每个 α ∈ A 都是μ_α-真值，并且族 (π(μ_α))_α ∈ A 可求和是充分必要的。在这种情况下， ↩ 1 0954
推论 2 — 令 T 和 X 为 T 上正测度的两个局部紧致空间、(λᵢ)_1 ≤ i ≤ n 有限序列，并令 μ = ∑ᵢ₌₁ⁿ λᵢ。为了使 T 到 X 的映射 π 成为 μ-真值，对于每个指标 i 来说，它是 λᵢ-真值是充分必要的，在这种情况下 ↩ 2 0955
定义 2 令 θ 为局部紧凑空间 T 上的复杂测度。将 T 的映射 π 转换成局部紧致的空间 X，如果它是 |θ|-本征，则被认为是 θ-本征。然后，度量f ↦ ∫ (f ∘ π) dθ 称为π 下θ 的像，并表示为π(θ).。 0956
命题 7 令 θ 为 T、π T 的 θ 映射的复杂测度，转换为局部紧凑的空间 X、ν 像测度π(θ)。 ↩ 2 0957
命题 8 假设 g 是 μ 可积。如果 J 表示 R 中的开区间，端点为 G(a+) 和 G(b-)，则测度 g · μ 的 G 下的像是测度 φ_J · ν（如果 G(a+) ≤ G(b-)）和测度 -φ_J · ν（如果 G(a+) ≥ G(b-)）（其中ν 表示 G(I)) 上的勒贝格测度。 ↩ 2 0958
推论如果在 G(I) 上定义函数 f，且值在 overlineR 或 Banach 空间中，对于勒贝格测度，函数 t ↦ f(G(t))g(t) 可在 I 上积分，则对于勒贝格测度，f 可积在 J 上并且 0959
命题 9 假设 g ≥ 0 和局部 μ 可积。那么，正测度g · μ的G下的像就是G(I)上的勒贝格测度。对于在 G(I) 上定义的函数 f，以及 overlineR 或 Banach 空间中的值，要在勒贝格测度的 G(I) 上可积，函数 t ↦ f(G(t))g(t) 在 I 上可积是必要且充分的对于勒贝格测度，在这种情况下关系 (13) 成立。 095A
命题 10 有了上面的记号，假设π是ν可测的。令 g 为 T 上的函数 t ↦ λₜ^*(1)。为了使 π 成为ν-适当的，g 是局部 μ 可积的充分必要，在这种情况下 ↩ 3 095B
推论 1 — 假设 π 是 ν 可测量。 ↩ 4 095C
推论 2 假设π是ν-真；设f为T上定义的映射，值在Banach空间或overlineR中。为了使f ∘ π本质上ν可积，gf本质上μ可积是必要且充分的。 095D
例 — 令 X 和 T 为两个局部紧致空间，并令 π 为X 到 T 的局部同胚。在其他字（GT，I, §11，Exer.25）中，我们假设每个点x ∈ X承认一个邻域V，使得π|V是V到π(x)邻域的同胚；如果需要替换V通过x的相对紧凑开邻域W使得overlineW ⊂ V，可以推导出X的相对紧凑开子集U的集合U，使得π|overlineU 是overlineU… 095E
引理 — a) 令f为K₊(X)中的元素；函数t ↦ λₜ(f)为正，上半连续，支撑紧凑，其限制至π(X)为连续。 095F
命题 11 设π为局部紧致空间X到局部紧致空间T的局部同胚，并令μ为T的正测度。如果该数是有限的，则令n为与overlineπ⁻¹(t)的元素的每个t ∈ T数相关联的数值函数，反之则为+∞。为了使 π overlineπ⁻¹(μ) 正确，n 是μ 局部可积的充分必要，在这种情况下 095G

§ 7. 。与诱导措施相关的积分

命题 1 — 对于每个数字函数 g geqslant 0 定义于 X， ↩ 7 0963
推论 1 — 对于每个子集 B of X, μ_X^bullet(B) = μ^bullet(B)；对于B 在本地μ_X-可忽略不计，B 在本地μ-可忽略是必要且充分的。 0964
推论 2 — 设 M 为 T 的子集。如果 μ 集中于 M，则 μ_X 集中于 M ∩ X。 ↩ 1 0965
推论 3 — 对于测量 μ_X 为零， X 在本地 μ-可忽略是必要且充分的。 0966
注 — 如果 S 是 μ 的支持，则S ∩ X（在 X 中闭合）包含 Cor 的μ_X 的支持。 2，但可能与它不同。对于例，如果μ是扩散测度并且X是子空间减少到点，那么诱导测度μ_X是零，因此它的支撑是空的。然而，注，如果X在T中开放，μ_X的支持度等于S ∩ X。 0967
命题 2 — 对于 X 的映射 g 到拓扑空间为 μ_X 可测量， g 为 μ 可在 X (§5, No. 3, 例)。 ↩ 1 0968
推论 — 对于 X 的子集 B 为 μ_X可测量， B 为 μ可测量是必要且充分的。 0969
定理 1 — Let g be a function defined on X, with values in overlineR or in a Banach space. 对于 g 本质上 μ_X可积，g本质上μ可在X（§ 5, No. 3，例）中可积是必要且充分的，在这种情况下 ↩ 6 096A
推论 1 对于 X 的子集 B 本质上μ_X可积，它本质上μ可积是必要且充分的，在这种情况下μ_X(B) = μ(B)。 096B
推论 2 设 g 为在 T 上定义且局部 μ 可积的复数函数； g 到 X 的限制 g_X 则可局部 μ_X 可积，并且 ↩ 1 096C
推论 3 令 θ 为 T 上的复测度；然后 ↩ 2 096D
注 — a) Cor. 3已经被另一个方法证明（第IV, § 5, No. 7，引理3）。 b) 凭借 Cor. 3、命题1、命题2、定理1的推论1,2,3及其推论1,2扩展同时到一个复杂的测度。 096E
学院 — For every function f (resp. g) defined on X (resp. T) with values in the Banach space F or in overlineR, let us denote by ζ(f) (resp. ρ(g)) the extension by 0 of f to T (resp. th… 096F
命题 3 — 令 X 为 T 的局部紧凑子空间，而 λ 为 X 的复测度。以下属性是等效的： a) 典范嵌入 i : X → T 是λ-本征； b) 对于 T 的每个紧致子集 K，K ∩ X 本质上是 λ 可积； c) 每个点t ∈ T承认一个邻域V，使得V ∩ X本质上是λ可积； d) T 上存在一个测度θ，使得θ_X = λ。如果满足这些等价的条件，我们就有 d… ↩ 2 096G
推论 1 — 如果 X 是闭合的，则 X 上的每个复杂测度 λ 都是由 T 上的测度引发的。 096H
推论 2 — 令 θ 为 T 上的复测度，π 将 T 的 θ-proper 映射转换为局部紧凑的空间 Y，并且 πX 为限制到 X。那么 πX 就是 θX-proper，并且 πX(θX) = π(φX · θ)。 096I
命题 4 — 令 X 和 Y 为 T 的两个局部紧凑子空间，使得 Y ⊂ X。如果 θ 是 T 上的复测度，则 θX 在 Y 上引发的测度 (θX)Y 等于 θY（“引发测度的传递性”）。 ↩ 2 096J
命题 5 — 令 (λ_α)_α ∈ A 为 T 上的递增有向测度族，承认上确值 λ，并令 X 为 T 的局部紧致子空间。诱导测度族 λ_α|X 的上界为 M(X)，并且 096K
推论 — 令 (μᵢ)_i ∈ I 为 T 上的正测度的可求和族，其中和 μ。然后可对诱导测度族μᵢ|X进行求和，并且 096L
命题 6 — 令 Λ : t ↦ λₜ 为 T 到 M₊(X) 的 μ 充分映射，其中 X 为无穷大可数的局部紧致空间，并令 Y 为 X 的局部紧致子空间。集合∫ λₜ dμ(t) = ν。 T 的映射 t ↦ λₜ|Y 进入 M₊(Y) 则 μ 是足够的，并且 096M

§ 8. 。乘积措施

引理 1 对于X上定义的每个数字函数f geqslant 0， ↩ 4 096Y
引理 2 设f为X的映射，形成拓扑空间。为了使 f λ'ₜ 可测，fₜ μ' 可测是充分必要的。这是§6, No. 2第3号提案的推论。 096Z
引理 3 令f为X上定义的函数，值在overlineR或Banach空间中。对于 f λ'ₜ 可积，fₜ μ' 可积是必要且充分的，在这种情况下 0970
注引理 1,2,3 可以通过直接论证非常简单地证明，而无需使用 §§4 和 6 的结果。对于例，如果f ∈ K(T × T')，则关系 (2) 通过定义是明显的。如果f在X = T × T'上是下半连续，则足以观察到t' ↦ fₜ(t')是函数t' ↦ gₜ(t') = g(t, t')的上包络，其中g在K(X)中越过函数的集合，使得0 ≤ g ≤ f。最后，… 0971
命题 1 — 令(μ_α)_α ∈ A（或(μ'_β)_β ∈ B）为T（或T'）上的正测度的可求和族，其中和表示为μ（或μ'）。然后，族 (μ_α ⊗ μ'_β)_(α, β) ∈ A × B 可在 T × T' 上求和，并且 ↩ 1 0972
命题 2 — 令f为T × T'上定义的ν可测函数，其中值位于拓扑空间 G中，并令M为t ∈ T的集合，使得映射t' ↦ f(t, t')不是μ'-可测量。 ↩ 4 0973
推论 — 令 A 为 T × T' 的 ν 可测子集，并令 M 为 t ∈ T 的集合，使得 A 在 t 时的截面 A(t) 不可测 μ'。 0974
命题 3 — 设 f 是 T 的映射到拓扑空间 F。如果 f 是 μ 可测，则映射 (t, t') ↦ f(t) 是 ν 可测。相反，如果μ' ≠ 0，并且如果这个映射是ν可测的，那么函数 f是μ可测的。 ↩ 3 0975
推论 1 — 设 F、F' 和 G 为三个拓扑空间，并设 u 为 F × F' 到 G 中的连续映射。设 f（分别为 f'）为函数，在 T（分别为 T'）上定义，值在 F（分别为 F'）中定义，并且可测量μ（或μ'）。那么函数 (t, t') ↦ u(f(t), f'(t')) 可测量 μ ⊗ μ'。 ↩ 4 0976
推论 2 — 如果 A ⊂ T 和 A' ⊂ T' 可测量（分别对于 μ 和 μ'），则 A × A' 对于 μ ⊗ μ' 可测量。这是从 Cor 立即得出的结论。 1. 0977
推论 3 — 考虑在 T 上定义的两个正数值（分别为复数值）函数 f 和在T' 上定义的f'。如果这些函数分别可测量 μ 和 μ'，则函数 ↩ 1 0978
命题 4 — 令A为T的子集。如果A局部μ可忽略，则A × T'局部ν可忽略。相反，如果 A × T' 局部 ν 可忽略不计，并且如果 μ' ≠ 0，则 A 局部 μ 可忽略。 ↩ 6 0979
推论 — 如果措施μ（或μ'）集中于M（或M'），则μ ⊗ μ'集中于M × M'。 097A
命题 5 — 令 f 为数值函数 geqslant 0，T × T' 上的下半连续。然后，函数 ↩ 2 097B
推论 1 — 令f（或f'）为在T（或T'）上定义的下半连续函数geqslant 0；那么函数f ⊗ f' : (t, t') ↦ f(t)f'(t')是T × T'上的下半连续，并且 ↩ 1 097C
推论 2 — 设A为T的μ调节的子集，A'为T'的μ'调节的子集；那么 A × A' 是 T × T' 中的 ν 调节的。 ↩ 3 097D
推论 3 — 令A为T的μ可忽略的子集，令B'为T'的μ'调节的子集；那么 A × B' 是 ν-可以忽略不计。 097E
命题 6 — 令 f 为在 T × T' 上定义的数值函数 geqslant 0。然后 ↩ 3 097F
命题 7 — 令 f 为定义在 T × T' 上的 ν 可测量正数值函数。 ↩ 6 097G
推论 1 — 令H为T × T'的子集，并令A为t ∈ T的集合，使得t处H的截面H(t)不是μ'可忽略不计。 ↩ 1 097H
推论 2 — 如果集合 A ⊂ T × T' 是 ν 可积的，则截面 A(t) of A 在 t 对于几乎所有 t ∈ T、函数 t ↦ μ'(A(t)) 都是 μ′ 可积μ 可积，并且 ↩ 2 097I
命题 8 — 对于每个对的数值函数 f ≥ 0、f' ≥ 0 分别定义在 T 和 T'，上， ↩ 4 097J
推论 1 使用第 8 条中的记号， 097K
推论 2 设f和f'是两个函数，其中值在C或overlineR中，分别定义在T和T'上，并且对于测度μ和μ'来说本质上可积（或可积），分别。函数 f ⊗ f' 对于测度 μ ⊗ μ' 来说本质上是可积的（或可积的），并且 ↩ 3 097L
定理 1（勒贝格-富比尼） — 令 f 为 T × T' 上定义的函数，其中值在 Banach 空间 F 或overlineR 中；令N为t ∈ T的集合，使得函数t' ↦ f(t,t')不可积μ'。 ↩ 3 097M
学院 — 令f为T × T'上定义的函数，值在overlineR或Banach空间中，即ν可测量且ν可调节。对于三个积分 097N
注 — 1) 当测度μ'未经调节时，对于t ∈ T的任何值，可能会发生f本质上是ν可积，而函数t' ↦ f(t, t')本质上不是μ'可积（§3，Exer.4）。 097O
命题 9 令F、F'和G为三个Banach空间，并令(x, y) ↦ [x · y]为F × F'到G的连续双线性映射。令f（或f'）是在T（或T'）上定义的函数，其中值在F（或F'）中定义，并且对于μ（或μ'）本质上可积。设g为函数(t, t') ↦ [f(t) · f'(t')]；那么 g 本质上可积为 μ ⊗ μ'，并且 097P
命题 10 — 令g（或g'）为在T（或T'）上定义的复数函数（或函数与overlineR中的值）。 a) 如果g（或g'）对于μ（或μ'）可局部可积，则函数 g ⊗ g': (t, t') ↦ g(t)g'(t')对于ν = μ ⊗ μ'可局部可积，且 ↩ 2 097Q
命题 11 让π（或π'）是T（或T'）的映射成为局部紧凑的空间T₁（或T'₁）。 ↩ 2 097R
命题 12 — 令X（或X'）为T（或T'）的局部紧凑子空间。那么，T × T'的局部紧致子空间X × X'上导出的测度(μ ⊗ μ')_X × X'分别等于μ和μ'在X和X'上导出的测度乘积μ_X ⊗ μ'_X'。 097S

VI. 向量积分

§ 1. 。向量值函数的积分

定义 1 一个调用 f相对于μ的积分，并表示为 ∫ f dμ 或 ∫ f(t) dμ(t)，元素 of F'^* 定义为 ⟨ z', ∫ f dμ ⟩ = ∫ ⟨ z', f ⟩ dμ 对于所有人z' ∈ F'。 098E
例 — 设X为T的局部紧凑空间、t ↦ λₜ映射到X上的测度空间M(X)。说家庭t ↦ λₜ是μ充足意味着它由积极的措施组成，并且映射t ↦ λₜ对于拓扑σ(M(X), K(X))来说基本上是μ可积和μ可测量。\脚注{这是章 5 第一版中的“μ-足够”的定义（第 V 章，第 1 版，§3, No. 1，定义 1）。在第二版中，前面的章是翻译，项“μ-足够”定义是… 098F
注 1 如果 F 是有限维的，则 T 到 F 中的每个标量本质上可积的映射本质上都是可积的（Ch. V, §1, No. 3）。然而，在一般情况下，在紧凑的空间 T 上可忽略的标量函数甚至可能无法实现 μ 可测量（例 12）。 098G
注 2 很明显，f 的积分仅取决于 f 的类将 T 的映射空间模到 F 中，其标量局部 μ 可忽略不计。注局部可忽略的标量函数 g 不一定几乎无处不在零（例 12）。然而，当 F' 序列 (z'ₙ) 中存在对于拓扑 σ(F', F) 来说是密集的时，情况确实如此：因为，如果 Hₙ 是点 t ∈ T 的局部可忽略的集合，使得⟨ g(t), z'ₙ ⟩ ≠ 0，并 H… ↩ 3 098H
命题 1 — 如果 f 是 T 到 F 中的映射，并且本质上是 μ 可积，那么映射 u ∘ f 本质上是 μ 可积，并且 ∫ (u ∘ f) dμ = u ( ∫ f dμ ). 对于每个z' ∈ G'、⟨ z', u ∘ f ⟩ = ⟨ ᵗ u(z'), f ⟩、从而，第一个断言；第二个来自公式 ⟨ z', ∫ (u ∘ f) dμ ⟩ = ∫ ⟨ z', u ∘… ↩ 4 098I
命题 2 — 令 f 本质上是 T 到 F 的μ可积映射。对于μ可测量且有界的每个数值函数 g geqslant 0，T 到 F 的映射 t ↦ g(t)f(t)（表示为 gf 或 fg）本质上是标量μ-可积，f 本质上是 (g · μ)-可积，并且 ∫ f d(g · μ) = ∫ fg dμ. ↩ 2 098J
命题 3 — 令X为X积极措施的局部紧凑空间，t ↦ λₜ一个μ充分³族（第V, §3, No. 1，定义1），并令ν = ∫ λₜ dμ(t)。令f为X的映射变为F；假设 1^∘ f 是 ν 标量可积的； 2^∘ 存在一个局部 μ 可忽略的集合 N ⊂ T，这样，对于每个 t ∉ N，f 是标量 λₜ 可积且∫ f dλₜ ∈ F。那么，为 t ∉ N 定义的函数… ↩ 2 098K
命题 4 — 令T和T'为两个局部紧凑的空间，μ（分别为μ'）对T（分别为T'）的正测度，ν = μ ⊗ μ'乘积对X = T × T'的测度。令f为X到F的映射。假设： 1^∘ f 是 ν 标量可积； 2^∘ 存在一个局部可忽略的 μ 集合 N ⊂ T，这样，对于每个 t ∉ N，映射 t' ↦ f(t, t') 是μ' 标量可积的，并且∫ f(t, t') dμ'… ↩ 2 098L
命题 5 — 令 μ 为 T 上的有界正测度，S μ 可测量集合携带 μ（章节 V, §5, No. 7，定义 4），f μ 可积标量 () 函数与 F 中的值。令D为空间F'中f(S)的封闭凸包络，配备拓扑σ(F', F')。然后∫ f dμ ∈ μ(T)D。 ↩ 2 098M
推论 — 令 μ 为T、S μ 可测量集合的有界正测度，将 μ 和 T 的f 映射逐级放入F μ是可测的，并且使得f(S)包含在F的弱紧凸凸子集A中。那么f是μ可标量可积的，并且∫ f dμ ∈ μ(T)A ⊂ F。 ↩ 4 098N
命题 6 — 设 f 是一个本质上 μ 可积的标量函数，其中值位于 F 中，因此 ∫ f dμ ∈ F。对于F上的每个下半连续半范数q， ↩ 1 098O
命题 7 — 设 f 为 T 的映射到 F，基本上可标量 μ 可积，这样对于 T 的每个紧致子集 K，都包含 f(K) ↩ 1 098P
引理 1 F 的每个有界子集的F'^*（对于拓扑 σ(F'^*, F')）的闭包包含在双F''中。 ↩ 1 098Q
推论假设 F 是半自反的，并令 f 是 T 的 μ 可标量可积到 F 中的映射，使得对于 T 的每个紧凑子集 K，f(K) 是有界的。然后∫ f dμ属于到F. ↩ 1 098R
命题 8 设μ为T上的有界正测度，S a μ可测集合将T的μ、f a μ可测映射带入F，使得f(S)包含在F的完整、有界、平衡凸子集 B中。那么，f是标量 μ 可积且 ∫ f dμ ∈ μ(T)B ⊂ F. ↩ 9 098S
命题 9 设 U 是 T 的 μ 可标量可积到 F = Lₛ(G; H) 中的映射。在阶、∫ U dμ ∈ F中，满足以下两个条件是必要且充分的： ↩ 2 098T
推论 — 条件 b) 的第 9 条在以下两种情况下均得到满足： 098U
命题 10 — 令 U 为 T 的映射到 F = Lₛ(G; H)。在以下三种情况中，U本质上是μ可积且∫ U dμ ∈ Lₛ(G; H)： ↩ 1 098V
命题 11 每个具有性质 (GDF) 的 Hausdorff 局部凸空间 F 都是桶装的。 ↩ 2 098W
定理 1 (Gelfand-Dunford)—设 F 为 Hausdorff 局部凸空间，具有性质 (GDF)，F'ₛ 其弱对偶。对于 T 的每个映射 f 到 F'ₛ 本质上是 μ 可积的，∫ f dμ 属于到 F' 的积分。 ↩ 7 098X
引理 2 令f为T到F'ₛ的映射，这样对于每个z ∈ F，数值函数⟨ z, f ⟩属于到overlineLᵖ(μ)（1 ≤ p ≤ +∞）；令θ(z)为Lᵖ(μ)中的函数的类。那么z ↦ θ(z)就是F到Lᵖ(μ)的连续线性映射。 ↩ 1 098Y
推论 1 令Gᵢ(1 ≤ i ≤ n)为具有性质(GDF)的n豪斯多夫局部凸空间，并令F为∏ᵢ₌₁ⁿ Gᵢ上单独连续的多重线性形式的空间，配备逐点收敛的拓扑。对于 T 到 F 的每一个映射 f，本质上是 μ 可标量可积，则有 ∫ f dμ ∈ F。 ↩ 2 098Z
推论 2 设 G 为具有性质 (GDF) 的 Hausdorff 局部凸空间，H 为半自反空间，其强对偶 H_b' 具有性质 (GDF)（cf. App.，No. 2，Prop. 3）。设F为空间Lₛ(G; H)；对于T到F的每一个映射U，本质上是μ可积，∫ U dμ属于到F的积分。 0990
命题 12 如果 F 是可分离、可度量的局部凸空间，则 T 到 F 中的每个标量 μ 可测量映射 f 都是 μ 可测量。 ↩ 2 0991
命题 13 设 F 为可分离、可度量的局部凸空间 Fₙ 的局部凸空间，即序列的直极限，F 为 Fₙ 的并。令F'为F的对偶，配备拓扑σ(F', F)。然后，T 到 F' 中的每个标量 μ 可测量映射 f 都是 μ 可测量。 ↩ 6 0992
命题 14 设 T 为局部紧致空间，F 为准完备，Hausdorff 局部凸空间，f 为 T 到 F 的连续映射。如果具有紧支撑的 T 上的测度空间 C'(T) 配备有在紧致子集中一致收敛的拓扑 C(T)，则映射 λ ↦ ∫ f dλ 是 C'(T) 到 F 中的唯一连续线性映射 tildef，使得对于每个 t ∈ T 都有 tildef(εₜ) = f(t)。 ↩ 2 0993
注 — 1) 映射 t ↦ εₜ 是 T 到空间 C'(T) 的同胚；因为，如果L是C(T)和t₀ ∈ T的紧凑子集，则存在（GT，X, §2, No. 5，Th.2的Cor.3）t₀的邻域W，使得对于每个t ∈ W和每个|g(t) - g(t₀)| ≤ 1 函数g ∈ L，因此εₜ - ε_t₀ ∈ L^∘对应t ∈ W，这证明了t ↦ εₜ的连续性（cf.第… ↩ 1 0994
命题 15 令T为局部紧致空间，F为准完备的Hausdorff局部凸空间，f为T的连续映射进入F，使得f(T)有界。如果M¹(T)配备其Banach空间拓扑，则M¹(T)到F的线性映射λ ↦ ∫ f dλ是连续的。 0995
引理 3 设G, H是局部紧致空间T到L(G; H)的两个局部凸空间、U映射。以下条件是等效的： a) T × G到H的映射(t, x) ↦ U(t) · x是连续的。 b) 对于T的每个紧凑子集K，U(K)是等连续的，并且存在总共集合D ⊂ G，使得对于每个x ∈ D，映射t ↦ U(t) · x在T上连续。 ↩ 1 0996
命题 16 — 令 G, H 为两个 Hausdorff 局部凸空间，其中 H 假设为准完备。令U是T到L(G; H)的映射，使得(t, x) ↦ U(t) · x是T × G到H的连续映射。那么C'(T) × G到H的双线性映射(λ, x) ↦ U(λ) · x相对于C'(T)的等连续子集和G的紧子集来说是低连续的（这意味着C'(T)的线性映射λ ↦ U(λ)）到 F… ↩ 2 0997
命题 17 — 令 G、H 为两个 Hausdorff 局部凸空间，假设 H 是准完备的。令 U 为 T 的映射到 L(G; H) 中，使得 (t, x) ↦ U(t) · x 在 T × G 上连续，且 U(T) 等连续。然后，如果 M^1(T) 配备其 Banach 空间拓扑，则 M^1(T) × G 到 H 的双线性映射 (λ, x) ↦ U(λ) · x 是连续… ↩ 1 0998
命题 18 — 令 G1、G2、H1、H2 为四个 Hausdorff 局部凸空间，假设 H1 和 H2 是准完备的。设A : G1 → G2 和B : H1 → H2 为两个连续的线性映射。令 U1 : T → L(G1; H1), U2 : T → L(G2; H2) 为第 16 条命题（或第 17 条命题）的两个映射满足条件，并假设对于每个 t ∈ T，B ◦ U… 0999
注 1 假设 G 和 H 是 Banach 空间，并设 U 是 T 的映射到 L(G; H)，使得 (t, x) ↦ U(t) · x 在 T × G 上连续。注这意味着有限函数 t ↦ \U(t)\在 T 的每个紧凑子集和 T 上的下半连续上有界，是连续函数 t ↦ |U(t) · x| 的上包络线，因为 x 在 G 中越过球|x| ≤ 1。集合 h(t) =… 099A
注 2 假设G = H是准完备的，并且U满足第16条命题的假设。令M为空间C'(T)的稠密子集，对于弱拓扑σ(C'(T), C(T))，并令X为闭线性H 的子空间使得对于每个测量 λ ∈ M 都有 U(λ)(X) ⊂ X。然后还有U(t)(X) ⊂ X对于每个t ∈ T：实际上，对于每个x ∈ X和每个与X正交的x' ∈ H'，对于所有λ ∈ M来说假设⟨ U(λ)… 099B

§ 2. 。矢量测量

定义 1 设 F 是 R 上的 Hausdorff 局部凸空间。我们将 F 中的每个连续线性映射的空间 K(T) 称为 T 上的矢量测度，其中 F 中的值到 F 中。 09A3
例 — 1) K(T) 的恒等映射是 T 上的矢量测度，值位于 K(T) 中。 09A4
注 — 1) 为了使 K(T) 的线性映射 m 成为 F 中的向量测度，对于 T 的每个紧凑子集 K，像在单位球 |f| ≤ 1 的 K(T, K) 的 m 下，有界于 F 中是有界的。因此，F 中具有值的矢量测度的概念对于 F 上允许相同有界集合的所有 Hausdorff 局部凸拓扑是相同的，特别是对于与 F 和 F' 之间的对偶性兼容的所有拓扑（TVS，IV… 09A5
命题 1 令 m 为 T 上的矢量测度，F 中的值，f T 上的数值函数，本质上可积为 m。映射 z' ↦ ∫ f d(z' ∘ m)⁺ - ∫ f d(z' ∘ m)⁻ 是线性形式于 F'。 ↩ 4 09A6
定义 2 令 m 为 T 上的矢量测度，值为 F，f 为 T 上的数值函数，本质上可积为 m。称f相对于m的积分，并用m(f)或∫ f dm表示，或者又用定义的∫ f(t) dm(t)、元素表示F'^ 09A7
例 — 让我们将 K(T) 的 m 恒等映射代入其自身。由于 K(T) 的对偶是 T 上标量测量的空间 M(T)，因此函数 f ∈ L(m) 本质上是对每个标量测量 μ (cf. Exer. 1) 可积的那些，并且积分∫ f dm 线性形式 μ ↦ ∫ f dμ M(T)。一个不能对于每一个度量μ ∈ M(T)除非f = 0都有∫ f dμ = 0，就像在取μ… 09A8
命题 2 每个数值函数 f 本质上可积 m 本质上可积 u ∘ m、和 ∫ f d(u ∘ m) = u(∫ f dm)。 09A9
命题 3 如果像位于 m 的集合的 f ∈ K(T) 使得 sup_t ∈ T |f(t)| ≤ 1 在 F 中弱相对紧致，则 ∫ f dm ∈ F 对于每个有界数值函数 f 基本上可积分 m。 ↩ 8 09AA
推论 1 如果，对于 T 的每个紧致子集 K，像在 f ∈ H(T, K) 的集合的 m 之下，使得 sup_t ∈ T |f(t)| ≤ 1 在 F 中是弱相对紧致，则 ∫ f dm ∈ F 对于每个有界且具有紧支撑的函数 f ∈ L(m)，并且每函数 f ∈ L(m) ∫ f dm ∈ F''。 ↩ 1 09AB
推论 2 如果 F 是半自反的，则对于每个数值函数 f ∫ f dm ∈ F 本质上可积为 m。 ↩ 2 09AC
定义 3 令 m 为 T 上的向量测度，值为 F 中的向量测度。如果 q 是 F 上的下半连续半范数，并且存在正测度 μ 使得对于每个 z' ∈ A'_q 都有 |z' ∘ m| ≤ μ，则 m 被称为 q-可大化；当 z' 超过 A'_q（第 III, §2, No. 4，第 3 章）时，|z' ∘ m| 的上限值表示为 q(m)。有人说，如果对于F上的每个连续半范… ↩ 2 09AD
命题 4 设 (Fᵢ)_1 ≤ i ≤ n 为Hausdorff局部凸空间、F = ∏ᵢ₌₁ⁿ Fᵢ的有限族，它们的乘积、qᵢ (1 ≤ i ≤ n) Fᵢ上的下半连续半范数，和 q 半范数 F 由 q(x₁, …, xₙ) = ∑ᵢ₌₁ⁿ qᵢ(xᵢ) 定义。如果 mᵢ (1 ≤ i ≤ n) 是对 T 与值在 Fᵢ 即 qᵢ-可极大化的矢量测量，则测量 m =… 09AE
推论 — 如果空间 F 是有限维的，则 F 中具有值的每个向量测度 m 都是可大化的。在阶中，数值函数对于m本质上可积，它对于m本质上可积是必要且充分的（其中x表示F上的任何范数）。 ↩ 1 09AF
命题 5 — 设 q 为 F 上的下半连续半范数。设 m 为 q 可极大化测度，设 f 为函数，对于 m 本质上可积，且∫ f dm ∈ F。然后 ↩ 2 09AG
命题 6 — 令 F 为准完备、Hausdorff 局部凸空间，m 是 T 上的可大化测度，F 中包含值。如果 f 是对于所有测度 q(m) 本质上可积的数值函数（其中 q 超过 F 上连续半范数的集合），则 f 本质上对于 m 可积，并且∫ f dm ∈ F。 ↩ 2 09AH
引理 1 — 当L₀和K(T)配备由L¹((μ_ι)_ι ∈ I)诱发的拓扑时： a) L₀的每个元素都在K(T)的某个有界子集的闭包中； b) L¹((μ_ι)_ι ∈ I) 的每个元素都位于 L₀ 的某个有界子集的闭包中。 ↩ 1 09AI
定义 4 令 μ 为 T 上的正测度。T 上的矢量测度 m，F 中为值，如果存在 T 到 F 中的映射 f，则称其为具有基 μ 的测度，且可在局部标量 μ 可积，使得每函数 g ∈ K(T) m(g) = ∫ gf dμ。然后有人说f是m相对于μ的密度，有人写为m = f · μ。 ↩ 1 09AJ
命题 7 — 令 f 为映射对于 T 上的正测度 μ 可以在局部标量可积，这样，对于每一个函数 g ∈ K(T)，都有 ∫ gf dμ ∈ F。那么K(T)到F的映射g ↦ ∫ gf dμ是T上的矢量测度，基μ和密度f相对于μ。 09AK
命题 8 — 设μ为T的正测度，m为T的测度，值为F，基μ和密度f关于μ。令q为F的下半连续半范数。 ↩ 2 09AL
注假设A_q'中存在可数子集D，其对于σ(F', F)来说是稠密的；那么，函数 q ∘ f 始终是 μ 可测量的，因为 q(f(t)) = sup_z' ∈ D |⟨ z', f(t) ⟩|（第 IV, §5, No. 4 章，第 2 章的 Cor. 1）。然后，对于 T 的每个紧凑子集 K，∫_K^*(q ∘ f) dμ = sup_J ∫_K g_J d… 09AM
命题 9 — 令 F 为有限维 Banach 空间。 T 上的每个测度 m（F 中具有值）都是具有基 |m| 的测度。如果 m = f · |m|，则 |f(t)| = 1 局部几乎处处都是 |m|。为了使 m 具有基 μ，|m| 具有基 μ 是充分必要的，并且如果 m = g · μ 则|m| = |g| · μ。 ↩ 2 09AN
注如果z = ∑ᵢ₌₁ⁿ zᵢ eᵢ，则ψ(z₁, …, zₙ) = |z|是Rⁿ上的正齐次连续函数。设定μᵢ = e'ᵢ ∘ m = hᵢ · |m|，作者定义（第V, §5, No. 9）ψ(μ₁, …, μₙ) = ψ(h₁, …, hₙ) · |m| = |h| · |m| = |m|。 ↩ 1 09AO
例 — 让我们取 H(T) 的 m 恒等映射。说m是基μ的标量意味着T上的每个实测度都有基μ。特别是，点测度εₜ（t ∈ T）必须具有基μ，这要求每个t ∈ T都有μ(t) > 0，并且特别意味着T的每个紧凑子集都是可数的。 09AP
引理 2 Banach 空间 L^∞(T, μ) 的每个可分离子空间 G 都有提升性质。 ↩ 1 09AQ
定义 5 — 令 F 为 Hausdorff 局部凸空间，F'ₛ，其对偶配备拓扑σ(F', F)。我们将 T 的映射 f 的 L_F'ₛ^∞ 向量空间表示为 F'ₛ，使得 f 是标量 μ 可测量的，并且几乎在任何地方（对于μ）都在局部标量上等于 T 的映射为等连续F' 中的子集。我们用L_F'ₛ^∞表示L_F'ₛ^∞的空间除以T的局部μ-可忽略的映射与F'ₛ的标量局部… 09AR
引理 3 令 F 为 Hausdorff 局部凸空间、f 元素 L_F'ₛ^∞。对于每一个z ∈ F，都有⟨ z, f ⟩ ∈ L^∞，并且F到L^∞的线性映射z ↦ π(⟨ z, f ⟩)是连续的；此外，如果 F 是范数空间，则N_∞(⟨ z, f ⟩) ≤ |z| · sup_t ∈ T |f(t)|。 ↩ 1 09AS
引理 4 令 F 为 Hausdorff 局部凸空间、f 元素 L_F'ₛ^∞。对于每个数值函数 g ∈ overlineL¹，函数 gf 本质上是 μ 可积且∫ gf dμ ∈ F'。 ↩ 1 09AT
定理 1 — 令 F 为 Hausdorff 局部凸空间且包含可数稠密子集。对于每个函数f ∈ L_F'ₛ^∞和每个z ∈ F，令v_f(z) = π(⟨ z, f ⟩) ∈ L^∞；映射 f ↦ v_f 定义，通过求商，将L_F'^∞的线性双射放到空间L(F; L^∞)上，将F的连续线性映射连入L^∞。如果 F 是标准化的空间，则此双射是等距。 ↩ 5 09AU
推论 1 令F为豪斯多夫局部凸空间包含可数稠密子集。对于每个函数f ∈ L_F'^∞、每个z ∈ F和每个函数g ∈ L¹，让Φ_f(z, tildeg) = ∫ ⟨ z, f(t) ⟩ g(t) dμ(t)。映射 f ↦ Φ_f 定义，通过求商，将L_F'^∞的线性双射放到F × L¹上连续双线性形式的空间B(F, L¹)上。如果 F 是标准化的空间，则此双射是… ↩ 2 09AV
推论 2（邓福德-佩蒂斯定理） — 令 F 为 Hausdorff 局部凸空间包含可数稠密子集。对于每个函数f ∈ L_F'^∞和每个函数g ∈ L¹，让w_f(tildeg) = ∫ gf dμ ∈ F'（引理4）。映射 f ↦ w_f 定义，通过求商，将 L_Fₛ^∞ 的线性双射代入 L¹ 的线性映射 u 的空间 R(L¹, F') 代入F'，这样L¹的单位球在u下的像是F'的等连… ↩ 3 09AW
注 — 很明显，对于F'上的每个G拓扑，映射u ∈ R(L¹, F')都是连续的（G由有界子集覆盖F）。相反，如果还假设F是桶状，则L¹的每个连续线性映射进入F'，配备G拓扑变换单位球，L¹进入有界子集 F'，因此是等连续的（TVS，III, §4, No. 2，Th.1）。 09AX
推论 3 令 F 为 Hausdorff 局部凸空间包含可数稠密子集，m T 上的向量测度，值位于 F 的弱对偶 F' 中。如果像位于K(T)中的集合B、函数g的m下，使得μ(|g|) ≤ 1包含在F'的闭凸等连续子集H'中，则m 有基 μ，并且对于 μ 存在 m 的密度 f，使得 f(t) ∈ H' 对于所有 t ∈ T。 ↩ 2 09AY
推论 4 令 F 为可分离范数空间，m 为 T 的测度，其中值位于强对偶 F' 中，可对 F' 的范数进行可大化。那么 m 是基 |m| 的测度，如果 m = f · |m| 那么 |f(t)| = 1 几乎在所有地方都适用于 |m|。 ↩ 1 09AZ
命题 10 — 令 F 为可分离的 Banach 空间。对于每个函数f ∈ overlineL¹_F和每个函数g ∈ L_F'ₛ^∞，数值函数⟨ f, g ⟩ : t ↦ ⟨ f(t), g(t) ⟩本质上是μ可积的，并且 ↩ 2 09B0
命题 11 — 令 F, G, H 为三个Banach 空间、Φ 将 F × G 连续双线性映射到 H。让m成为T上的可主化矢量测度，其中值在G中。则存在一个且仅有一个连续的线性映射 I_Φ,m of overlineL¹_F(|m|) 进入 H 这样，对于每个 z ∈ F 和每个数字函数 h 可积为 |m|，一个有 I_Φ,m(hz) = Φ(z, ∫ h dm)… ↩ 1 09B1
推出如果 m 和 m' 是 T上的两个主要度量，其中值位于 G中，则 I_Φ,m+m' = I_Φ,m + I_Φ,m' 和 I_Φ,λ m = λ I_Φ,m 对于每个标量 λ。 ↩ 1 09B2
注 — 当m为形式bμ时，其中b ∈ G和μ是T的实测度， 09B3
定义 6 有人称复数测量为 T 复数向量空间 K_C(T)上的每个连续线性形式。\脚注{Cf.章。 III, §1, No. 3，防御。 2.} 09B4
命题 12 令 m 为 T、p 和 q 共轭指数的复测度（第 IV, §6, No. 4 章）。双线性形式 (f,g) ↦ ∫ fg dm 在乘积 L_Cᵖ(m) × L_C^q(m) 上定义且连续；不等式|∫ fg dm| ≤ Nₚ(f)N_q(g)成立，N_q(g)是从线性形式f ↦ ∫ fg dm通过商推导出L_Cᵖ(m)上的连续线性形式的范数。 ↩ 2 09B5
引理 5 令 m 为 T 上的复数测度，f 为 m 可积复数函数。然后∫ |f| d|m| = sup |∫ fh dm|，因为h在H_C(T)中运行超过函数的集合，使得|h(t)| ≤ 1对于所有t ∈ T。 ↩ 1 09B6
命题 13 — 令 m 为复数测度，且 μ = |m|。为了使 m 有界，μ 有界是必要且充分的，在这种情况下，|m| = |μ|。 09B7
推论 — 令 m 为有界复数测度。每个函数 f ∈ L_F^∞(m) 都是 m 可积的，并且 | ∫ f dm | ≤ N_∞(f)|m|。 09B8

§ 3. 。措施的分解

引理 1 如果 Y 是局部紧致空间且具有可数基、空间 H(Y) 包含以及可数稠密子集。更准确地说，H(Y)中存在函数≥ 0的可数子集S由……组成，这样，对于H(Y)的每个函数f ≥ 0，都存在函数fₙ ∈ S的序列 (n ≥ 0) 一致收敛于f，并且对于所有n ≥ 0 都是fₙ ≤ f₀。 ↩ 4 09C0
引理 2 如果 T 是具有可数基的局部紧致空间，则连续数值函数在无穷远处点趋于 0 的 Banach 空间 K(Y) 是可分离的。 ↩ 1 09C1
引理 3 — 令 T 和 X 为两个局部紧凑的空间，其中可数基、μ T 上的正测度，以及 t ↦ λₜ (t ∈ T) X 上的一系列正测度。如果映射 t ↦ λₜ 是 μ 标量可积（对于拓扑 σ(M(X), K(X))），则族 t ↦ λₜ 是 μ 充分的（§ 1，No. 1，例). ↩ 1 09C2
定理 1 设 T 和 B 为两个局部紧凑空间，具有可数基、μ T 的正测度，将 T 的 μ-固有映射（Ch. V, §6, No. 1，定义 1）转换为 B，以及 ν = p(μ) 像第 3 页下的 μ则 T 上存在一个 ν 充分族 (§ 1, No. 1, 例) b ↦ λ_b (b ∈ B)，具有以下性质： ↩ 3 09C3
定义 1 设 T 和 B 为两个局部紧凑空间，μ T 上的正测度，并且将 T 的 μ 可测映射放入 B 中。如果满足以下条件，B 上的正测度 ν 被称为 p 下 μ 的伪像测度： B 的子集 N 局部ν-可忽略，overlinep⁻¹(N)局部μ-可忽略是必要且充分的。 ↩ 2 09C4
例 — 1) 如果 p 是μ-固有且ν = p(μ)，则ν 是p 下μ 的伪像测度（第 V, §6, No. 2 章，第 2 条的 Cor.2）。 09C5
命题 1 — 令 T 为无穷大处可数的局部紧致空间，T 上的正测度μ，以及 T 的 μ 可测映射 p 为局部紧致空间 B。则在下存在μ 的伪像测度p. 09C6
定理 2 — 令 T 和 B 为两个局部紧致空间，具有可数基，μ T 上的正测度，p T 到 B 的 μ 可测映射，以及 ν p 下 μ 的伪像测度。那么 T 上存在一个ν-充分族b ↦ λ_b (b ∈ B)，具有以下性质： a) λ_b ≠ 0 为 b ∈ p(T)； b) 每b ∈ B，λ_b集中在集合overlinep⁻¹(b)；特别是，λ_b = 0代表b… ↩ 4 09C7
定义 2 令 T 和 B 为两个波兰局部紧空间。给定 T 上的正测度 μ，T 到 B 的 μ 可测映射 p，以及 p 下 μ 的伪像测度 ν，T 上正测度的每个 ν 充分族 b ↦ λ_b (b ∈ B) 具有以下属性Th 的 b) 和 c)。 2 称为 μ 相对于 ν 的分解。 09C8
注 — Th。第 1 章。 V, §3, No. 4表明（考虑到T和B具有可数基的事实），对于T上定义的每个函数f，其中值在overlineR或在Banach空间F和μ可积中，集合 b ∈ B使得f不是λ_b可积，ν可忽略不计，函数b ↦ ∫ f(t) dλ_b(t)，几乎到处都有定义，是ν可积，并且 09C9
定义 3 设 T 为局部紧致空间，μ T 上的正测度。如果存在 T 的紧致子集 K 的 μ 密集集合，则 T 中的等价关系 R 被认为是 μ 可测，其中关系 R_K 是豪斯多夫。 09CA
命题 2 令 T 为无穷大处可数的局部紧致空间，μ T 的正测度。 ↩ 7 09CB
命题 3 — 设 T 为波兰局部紧空间，μ T 上的正测度，T 中的 R 等价关系。以下属性是等效的： ↩ 1 09CC
注如果 R 是 T 中的 μ 可测等价关系，则 T 的紧凑子集的 R 饱和度不一定是 μ 可测（例 5）。 09CD
定理 3 — 令 T 为局部紧致空间，具有可数基、μ T 上的正测度，且 R 在 T 中为 μ 可测等价关系。那么，存在 T 的 μ 可测子集 S，与每个相交类相对于 R 而言，只有一个点（R 的“可测量截面”）。 ↩ 2 09CE
定理 4 设 T 为 T 上的波兰局部紧致空间，μ T 的正测度，R 为 T 中的 μ 可测量等价关系。设 B、B' 为 T 到 B 中的两个波兰局部紧致空间，p，p' 两个 μ 可测量映射，分别为 B'，使得 Rx, y 等于 p(x) = p(y) 和p'(x) = p'(y)。令ν, ν'分别为μ在p、p'下的伪像测度；令b ↦ λ_b, b' ↦ λ_b'分别… ↩ 1 09CF

App. 0. 附录

命题 1 对于双线性形式Φ ∈ B(E, F)到属于到B(E, F)，E中存在0邻域是充分必要的，其ˡ Φ下的像是F'的等连续子集。 ↩ 1 09CS
推论如果Φ是E × F上的连续双线性形式，则ˡ Φ是E的连续线性映射进入F的强对偶F'_b。此外，如果 E 和 F 被范化为空间，则 |ˡ Φ| = |Φ|。 09CT
命题 2 — 令 E 为向量空间，(F_α)_α ∈ A 具有性质 (GDF) 的局部紧凑空间族，对于每个α ∈ A，令 h_α 为 E 中 F_α 的线性映射。如果 E 配备有最精细的局部凸拓扑，则使得h_α连续，则 E 有性质 (GDF)。 ↩ 1 09CU
推论 — 具有性质 (GDF) 的局部凸空间的每个商空间都具有性质 (GDF)。 09CV
命题 3 — 自反 Fréchet 空间的强对偶有性质 (GDF)。 09CW
引理设 F 为 Fréchet 空间，F' 为强对偶，F'' 为对偶。如果F''的每个子集，以σ(F'', F')为界，都包含在F的有界子集的闭包（对于σ(F'', F')）中，则F'是Banach 空间的序列的直极限。 09CX

VII. 哈尔测量

§ 1. 。 HAAR 措施的构造

定义 1 让μ作为X的度量。 a) μ 如果 γ(s)μ = μ 对于每个 s ∈ G，则在 G 下被认为是不变的。 b) 如果对于每个 s ∈ G，γ(s)μ 与 μ 成比例，则μ 在G下被认为是相对不变的。 c) μ 如果 γ(s)μ 等价于 μ 对于每个 s ∈ G，则称G下是准不变的。 09CY
注 — 1) 假设 μ 不变。那么|μ|，R(μ)，I(μ)是不变的。如果μ是实数，则μ⁺和μ⁻是不变的。 2) 假设μ相对不变且非零的。对于每个s ∈ G，都存在一个唯一的复数χ(s)，使得 09CZ
引理 1 — 令X, Y, Z为三个拓扑空间，且Y局部紧致。令(x, y) ↦ xy为X × Y到Z的连续映射，其中X的定义映射x ↦ uₓ经关系uₓ(y) = xy到F(Y; Z)。设f是Z上的连续函数，R或Banach空间中的值，S是f的支持，μ是Y上的测度。假设对于每个x₀ ∈ X，X中存在x₀的邻域V，使得⋃_x ∈ V uₓ⁻¹(S)在Y中相对紧凑。然后：… ↩ 7 09D0
命题 1 — 假设 G 是局部紧致的。令μ为非零的在X上的相对不变测度。那么它的乘子χ就是G上的连续函数。 ↩ 3 09D1
定义 2 设 G 为局部紧致群。非零的 G 上左（或右）不变的正测度称为 G 上的左（或右）Haar 测度。 09D2
定理 1 在每个局部紧凑群上，都存在一个左（或右）哈尔测度，并且，直到常数因子，只存在一个。 ↩ 7 09D3
推出 — 每个左不变式（分别为右不变式）测量G与左（分别为右）哈尔测量成比例。 ↩ 1 09D4
例 — 1) 在加法群R，勒贝格测度dx是哈尔测度（第III, §1, No. 3，例）。 09D5
命题 2 — 让 G 成为局部紧凑的群，μ 左或右哈尔测量 G。对于 G 要离散， μ(e) > 0 是必要且充分的。为了G要紧凑，μ^*(G) < +∞是必要且充分的。 ↩ 6 09D6
定义 3 G上的函数Δ_G称为G的模（或模函数）。如果 Δ_G = 1、群 G 被称为幺模。 09D7
注 — 如果 φ 是 G 的同构到局部紧凑的群 G'，则Δ_G' ∘ φ = Δ_G。特别是： 1) 由于x ↦ x⁻¹是G的同构到相反的群G⁰，所以有Δ_G⁰ = Δ_G⁻¹。 2) 如果φ是G中的自同构，则Δ_G ∘ φ = Δ_G。 09D8
命题 3 如果 G 中存在内自同构下 e 不变量的紧邻域 V，则 G 是单模的。 ↩ 1 09D9
推出如果 G 是离散的、紧致的或可交换的，则 G 是幺模的。 09DA
定义 4 数 a > 0，因而 φ⁻¹(μ) = a μ 称为自同构 φ 的模，并表示为 mod_G φ 或简称为 mod φ。 09DB
命题 4 设 G 为局部紧致群、Γ 拓扑群，以及 Γ 的 γ ↦ u_γ 同态到 G 的自同构的群 G，使得 (γ, x) ↦ u_γ(x)是G中Γ × G的连续映射。那么，映射γ ↦ mod(u_γ)是R₊^*中Γ的连续表示。 ↩ 1 09DC
命题 5 — 让 (G_ι)_ι ∈ I 成为局部紧凑群的族。对于每个 ι ∈ I 让 μ_ι 成为 G_ι 上的左（或右）哈尔测度。假设存在 I 的有限子集 J 这样，对于每个 ι ∈ I - J，G_ι 是紧凑的并且 μ_ι(G_ι) = 1。然后乘积测量 ⨂_ι ∈ I μ_ι 是左（或右）Haar 测量 G = ∏_ι ∈ I G_ι。如果 x = (… 09DD
例 — 1) Rⁿ 的勒贝格测度是加法群 Rⁿ 的哈尔测度。 09DE
命题 6 对于每个 α ∈ A，令 μ_α 成为 G_α 的正测量。假设φ_βα(μ_α) = μ_β对于α ≥ β。那么，存在且仅有一个积极措施 μ 在 G 使得 φ_α(μ) = μ_α 对于所有 α ∈ A。 ↩ 2 09DF
定义 5 测量 μ 据说是 μ_α 的逆极限（或射影极限）。 09DG
命题 7 我们保留命题6的记号。如果每个 μ_α 是 G_α上的左（或右）Haar测度，则 μ 是 G上的左（或右）Haar测度。 09DH
命题 8 a) 让 μ 和 μ' 成为 G 的两个正测度，使得对于每个 α 和每个 C 的 K_α、μ(C) = μ'(C)。然后μ = μ'。 ↩ 1 09DI
例 — 令Qₚ为p-adic 域，Q对于p-adic绝对值|x|ₚ = p^-vₚ(x)的完成（GT，IX, §3, No. 2，例3）。 Qₚ中的元素称为p-adic 数。我们再次用|x|ₚ表示p进绝对值值到Qₚ的连续扩张。一个有 09DJ
命题 9 设 G 为局部紧致群，V G 的开子集，以及 μ 非零的 V 上的正测度，具有以下性质：如果 U 是 V 的开子集并且如果 s ∈ G使得sU ⊂ V，那么在U到sU的同胚x ↦ sx下，由μ在U上引起的测度μ_U的像是μ_sU。那么，G 上存在且仅剩一个 Haar 测度 α，诱导 μ V。 ↩ 2 09DK
推论设 G，G' 是两个局部紧致群，V（分别为 V'），G 的中性元素（分别为 G'）的开邻域，以及 φ G' 的局部同构，其中 G（GT，III, §1, No. 3，Def.2）定义在V'，这样φ(V') = V。令α'为G'上的左哈尔测度，α'_V，其限制至V'。那么φ(α'_V')是G上唯一的左哈尔测度α的限制到V。 ↩ 1 09DL
例 — 在 No. 2、例 3 中获得的T 的 Haar 测度可以通过 R 与 T 的局部同构从 R 上的勒贝格测度推导出来。 09DM
命题 10 令G为局部紧凑群，μ为G与乘子χ的相对左不变测度。如果χ₁是C^*中G的连续表示，则测度χ₁ · μ与乘子χ₁ χ相对左不变。 ↩ 2 09DN
推论 1 令μ为G的左哈尔测度。为了使G上的非零的测度ν相对左不变，它是形式a χ · μ是充分必要的，其中a ∈ C^*和χ是C^*中G的连续表示；那么它的乘子就是χ。 ↩ 4 09DO
推论 2 每个相对左不变的测度都是相对右不变的。 09DP
命题 11 设 G 为局部紧致群，μ G 上的左 Haar 测度。要使 G 上的测度 ν ≠ 0 保持拟不变，ν 等于 μ 是充分必要的。 ↩ 2 09DQ
定义 6 — 令 K 为局部紧致域⁽¹⁾。对于 a ∈ K^*，称为 a 的模，并用 mod_K(a) 或简称为 mod(a) 表示，自同构 x ↦ ax 加法群 K⁺ 基础 K 的模；一个集合 mod(0) = 0。 09DR
例 — 1) 设 K = R。如果s > 0则s · [0,1] = [0,s]；如果s < 0，s · [0,1] = [s,0]。因而 mod_R t = |t| 对于所有 t ∈ R。 09DS
命题 12 — 函数 mod 在 K 上连续，并且 mod(ab) = mod(a)mod(b) 对于所有 a, b 在 K 中。 ↩ 2 09DT
命题 13 — 对于每个 M > 0，让 V_M 成为 x ∈ K 的集合这样 mod(x) ≤ M。如果 K 是非离散的，则 V_M 形式是 K 中 0 的紧邻域的基本系统。 09DU
推论 — 非离散局部紧致域的拓扑承认可数基。 ↩ 3 09DV
命题 14 — 让 α 成为 K⁺ 上的哈尔测度。那么测量 β = (mod_K)⁻¹ · α 在 K^* 上是乘法群 K^* 上的左哈尔测量。 ↩ 2 09DW
推论 — Let f be a function defined on K^*, with values in overlineR or in a Banach space. 对于 f 为 β-可积，(mod_K)⁻¹ f为α可积是必要且充分的，在这种情况下 09DX
命题 15 — 假设 K 是可交换的。令 u 为向量空间 E = K^n 中的自同构。然后 ↩ 5 09DY
推论 1 — 令 K 为可交换局部紧域，K 上的 E 有限维向量空间，以及向量空间 E 的 u 自同态。然后 mod_E(u) = mod_K(det u)。 ↩ 3 09DZ
推论 2 — 令 E 为有限维 n 的实数向量空间，E 的 (e₁, e₂, …, eₙ) 基， x = ∑ᵢ₌₁ⁿ ξᵢ eᵢ ∈ E 的 P 集合使得 0 ≤ ξᵢ ≤ 1 对于所有 i，以及 μ 对加法群 E 的独特哈尔测度使得 μ(P) = 1。设x₁, …, xₙ为E的点，S为集合0, x₁, …, xₙ的E中的闭凸包络。写作xᵢ = ∑ⱼ₌₁ⁿ αᵢ… 09E0
命题 16 — 令α为加法群对A的哈尔测度。措施 ↩ 1 09E1
命题 17 — 假设 A 是域（局部紧凑）。对于每个 a ∈ A、mod_A(a) = mod_K N_A/K(a)。 ↩ 1 09E2
例 — 1) 取K = R，A = C。考虑到 Alg.，第 1 章。 VIII, §12，n° 2，道具。 4、对于所有z ∈ C，我们得到mod_C(z) = |z|²。 (2) 09E3

§ 2. 。空间除以群的商；同质空间

命题 1 设f是X上的连续实值函数，其支持S具有紧致交，每个紧致子集的饱和度为X。 ↩ 5 09EY
命题 2 映射 f ↦ f^χ 的 K(X) 进入 K^χ(X) 是线性的，并且像的 K(X) （或K₊(X)）是 K^χ(X) （或K₊^χ(X)）。 ↩ 6 09EZ
引理 1 — 让K成为X的紧凑子集，K₊(X)的u函数与u(x) > 0对于x ∈ K。让g ∈ K^χ(X)使得Supp g ⊂ KH。 a) 一个有 inf_x ∈ KH u¹(x) > 0。 b) 函数 h 等于 g/u¹ 在 KH，并且到 0 在 X - KH，属于到 K^χ(X)。 c) g = (uh)^χ。一个人有 u¹(x) > 0 对应 x ∈… ↩ 2 09F0
命题 3 让μ作为X的度量。以下条件等效： ↩ 3 09F1
注 1 — 我们将证明映射f ↦ fᵇ是K(X)到K(X/H)的严格态射（GT，III, §2, No. 8）。 09F2
命题 4 a) 令 λ 为X/H 的度量。 X 上存在且仅有一个测度 λ^# 使得 ∫_X/H fᵇ dλ = ∫_X f dλ^# 对于所有f ∈ K(X)。一个人拥有 δ(ξ)λ^# = Δ_H(ξ)λ^#，而所有ξ ∈ H。 ↩ 5 09F3
定义 1 根据命题 4 中的假设和记号，λ 称为 μ 除以 β 的商，并表示为 μ/β 或 μ/β。 09F4
注 2 — 令 E 为局部凸向量空间，令 m 为 X/H 上的向量测度，值在 E 中。K(X) 的映射 f ↦ m(fᵇ) 进入 E，则为 X 上的向量测度，值在 E 中，我们将再次表示为m^#。映射m ↦ m^#再次是L(K(X/H); E)的同构到L(K(X); E)的线性子空间A（当这些空间配备了逐点收敛的拓扑时）。此外，由于映射f ↦ fᵇ是严格满射态射，… 09F5
引理 2 设 f 为 X 上的函数，其中值位于拓扑空间中。 ↩ 1 09F6
命题 5 — 令 λ 为X/H 的正向测度。 ↩ 6 09F7
命题 6 — 令 λ 为X/H 的正测度。 ↩ 6 09F8
推论 1 — 设λ, λ'为X/H的两个积极措施。为了使λ'具有基λ，λ'^#具有基λ^#是充分必要的。为了使λ和λ'等价，λ^#和λ'^#等价是充分必要的。 ↩ 3 09F9
推论 2 — 令 λ 为 X/H 的正测度，f λ^# 可测数值函数 X。假设，对于每个ξ ∈ H，δ(ξ)f = f局部λ^#——几乎无处不在。那么，在X/H上存在λ可测量的函数g，使得f = g ∘ π局部λ^#-几乎无处不在。 ↩ 1 09FA
推论 3 — a) 设(λ_ι)_ι ∈ I为X/H上的实测度族。为了使族(λ_ι)在M(X/H)中上界，族(λ_ι^#)在M(X)中上界是必要且充分的，在这种情况下 ↩ 2 09FB
注 1 命题 6 a) 可以用说来表示，λ 是 π 下λ^# 的伪图像测度（第 VI, §3, No. 2 章，定义 1）。 09FC
注 2 假设 H 是紧凑并且 β 是标准化的。 X的每个紧致子集的饱和度都是紧致的。因此，如果f ∈ K(X/H)则f ∘ π ∈ K(X)；并且，对于 X/H 上的每一个正向措施 λ，命题 5 c) 给出 ↩ 1 09FD
注 3 科。命题 6 的 3 c）立即表明，在复杂测度的情况下，小节的结果仍然有效（涉及上积分的情况除外）。 09FE
注 4 令m为X/H上的向量测度，值在E中，并令q为E上的下半连续半范数。为了使 m 成为 q 可大化（Ch. VI, §2, No. 3，定义 3），m^# 是可大化的，在这种情况下是 q(m^#) = q(m)^#。这是从定义和 Cor 立即得出的结论。 3a）。 09FF
命题 7 假设 X/H 准紧致。令χ为R₊^*中H的连续表示。 ↩ 2 09FG
命题 8 假设 X/H 准紧致。 X上存在连续的函数h geqslant 0，其支持有紧致交，每个紧致子集的饱和度为X，且满足hᵇ = 1。对于这样的函数，对于X/H上的每一个连续的函数g，都有g = (h · (g ∘ π))ᵇ。 ↩ 5 09FH
注 1 特别地，令X为局部紧致空间，离散的群D在右侧连续且正确地运行；假设 X/D 是仿紧的。那么，X上存在连续的函数h geqslant 0，其支持度为紧致交，每个紧致子集的饱和度为X，并且使得∑_d ∈ D h(xd) = 1对于每个x ∈ X（所有项）和是零，除了有限的数）。 09FI
注 2 让我们保留第 8 条的假设和记号。映射 g ↦ h · (g ∘ π) 是 K(X/H) 到 K(X) 的连续映射，它是映射 f ↦ fᵇ 的右逆。因而，K(X/H)的每个有界（或紧凑）子集都是K(X)的有界（或紧凑）子集的像。由此，当这些空间配备有界（或紧凑）收敛的拓扑时，我们立即推断出映射 λ ↦ λ^# 又是 M(X/H) 的同构到 M(X) 的闭合线… 09FJ
命题 9 — 我们保留命题 8 的假设和记号。令 λ 为X/H 的正测度。 ↩ 3 09FK
推论 — 连续线性映射 f ↦ fᵇ of L¹(X, λ^#) 进入 L¹(X/H, λ) 由第 5 条定义是满射。 09FL
注 3 — 假设X/H仿紧，并让我们保留命题 9的记号。L¹(X/H, λ)的映射k ↦ h · (k ∘ π)进入L¹(X, λ^#)，则与(14)等距，并且是映射f ↦ fᵇ的右逆 L¹(X, λ^#) 到L¹(X/H, λ)。 09FM
引理 3 — 令 G 为局部紧致群，μ G 上的左 Haar 测度，ν 和 ν' G 上的两个非零的准不变测度。如果，对于每个 s ∈ G，γ(s)ν 相对于 ν 的密度和γ(s)ν'相对于ν'局部相等μ——几乎处处相等，则ν和ν'成比例。 ↩ 1 09FN
引理 4 令λ为G/H上的≠ 0测度，μ为G上的左哈尔测度。以下属性是等效的： a) λ 在 G 下是准不变的； b) 为了使G/H中的子集A局部λ可忽略不计，overlineπ⁻¹(A)局部μ可忽略不计是充分必要的； c) 测量λ^# 相当于μ。 ↩ 1 09FO
定理 1 令G为局部紧致群，H为G的闭子群。 09FP
引理 5 令μ为G的左哈尔测度，ρ为局部μ可积函数。对于 ρ · μ 为形式 λ^#，对于每个 ξ ∈ H，是充分必要的 09FQ
定理 2 令G为局部紧凑群，H为G的闭子群，μ为G的左哈尔测度，β为H的左哈尔测度。 ↩ 2 09FR
注 1 从 No. 3 的注 1 推断，G/H 上的非零的准不变测度正是 G 上 Haar 测度π 下的伪像。 09FS
注 2 如果G是李群，我们稍后会看到Th的函数ρ。 2 可以选择为无限可微。 09FT
引理 6 令λ为G/H的测度，χ为G在C^*中的连续表示。以下属性是等效的： a) λ 对 G/H 与乘子 χ 相对不变； b) λ^# 在 G 上相对不变，左乘子 χ； c) λ^# 为形式 a χ · μ (a ∈ C)。 ↩ 2 09FU
定理 3 令 G 为局部紧致群，H 为 G 的闭子群，μ（或 β）G 上的左 Haar 测度（或 H），χ G 在 C^* 中的连续表示。 ↩ 6 09FV
推论 1 为了在G下G/H非零的上存在相对不变的正测度，在R₊^*中存在G的连续表示延伸表示ξ ↦ Δ_H(ξ)/Δ_G(ξ)是充分必要的。 ↩ 1 09FW
推论 2 — 为了在 G 下存在G/H 非零的正测度不变量，Δ_G 重合与 Δ_H 在 H 上是充分必要的。 ↩ 1 09FX
推论 3 — 假设 H 是幺模的，并且G/H 非零的上存在有界正测度 ν 在 G 下相对不变。那么ν是不变的，G是幺模的。 ↩ 1 09FY
命题 10 — 令G为局部紧凑群，G'闭法线子群，G''群G/G'，G的π典范映射到G/G'，以及α, α', α'' 在 G, G', G'' 留下了哈尔措施。 ↩ 7 09FZ
命题 11 — 我们维持命题 10 的记号。令 u 为 G 的自同构，使得 u(G') = G'。令u'为u到G'的限制，并通过商从u推导出G''的u''自同构。然后 ↩ 2 09G0
推论 — 对于每个 x ∈ G， Δ_G(x) = Δ_G/G'(dotx) mod(iₓ), 其中dotx表示x中G/G'的典范像，和iₓ自同构s ↦ x⁻¹sxG'。 09G1
引理 7 令K为X/H'的紧致子集，且L为X的紧致子集。那么 ⋃_x ∈ L ωₓ⁻¹(K) 在 H/H'. 中是相对紧凑的 09G2
命题 12 — 根据上述记号， ↩ 1 09G3
推论 1 — a) 设 f 为 X/H' 上的函数，其中值在 Banach 空间或overlineR 中，可积为 μ/β'。存在X/H 的可忽略的(μ/β)子集 N，具有以下性质：如果x ∈ X使得π(x) ∉ N，则函数f ∘ ωₓ在H/H'上，即函数dotξ ↦ f(π'(xξ))，对于 β/β' 可积。整的∫_H/H' f(π'(xξ)) d(β/β')(dot… ↩ 1 09G4
推论 2 — 令 G 为 G 的局部紧致群、A 和 B 闭子群，使得 A ⊃ B。假设在关于B的左陪集的齐次空间G/B上，存在非零的正测度α，它在G下不变并且有界。 09G5
命题 13 — 假设在加法中 Z 是紧致的。令μ_G, μ_X, μ_Y为G、X、Y、Δ_G到Y的Λ限制的左哈尔测度。则μ_G到Ω的限制μ为，直到一个常数因子、μ_X ⊗ (Λ⁻¹ · μ_Y)的像在X × Y的映射(x, y) ↦ xy⁻¹到Ω（映射是正确的）。 ↩ 5 09G6
推论 — 令 f 为 Ω 上定义的函数，其中值在 Banach 空间或overlineR 中。为了使 f μ 可积，函数 (x, y) ↦ f(xy) Δ_G(y) Δ_Y(y)⁻¹ (μ_X ⊗ μ_Y) 可积是必要且充分的，在这种情况下 09G7
命题 14 — 假设命题13的条件成立，并且在加法中，Y是正规的。 ↩ 3 09G8
注当 G 是 X 乘 Y 的拓扑半直乘积（GT，III, §2, No. 10）时，命题 14 特别适用。在这种情况下，Z = e和Ω = G。由于x ∈ X,\ y ∈ Y的yx = xiₓ(y)，测量μ_G也是，直到常数因子，(mod\ iₓ)μ_X ⊗ μ_Y的像在映射(x, y) ↦ yx的X × Y下进入G。 09G9
定义 2 设F ⊂ X。有人说F是一个基本域（对于H），如果π到F的限制是F到X/H的双射（在其他字，F是代表系统）对于 H 定义的等价关系）。 09GA
引理 8 — 令 F 为基本域。对于每 x ∈ X， ∑_s ∈ H φ_Fs(x) = n(x). (24) ↩ 2 09GB
命题 15 假设X在无穷大处是可数的。令 μ 为 X 上的≥ 0 测度。令F为基本域，使得对于每个s ∈ H，Fs是μ可测的。设f是X上的μ可积函数，值在Banach空间或overlineR中。然后是的家人 ∫_Fs n(x)⁻¹ f(x) dμ(x) (s ∈ H) 是可求和的，并且 ∫_X f(x) dμ(x) = ∑_s ∈ H ∫_Fs n(x)⁻¹ f(x)… ↩ 1 09GC
定理 4 令X为无穷大可数的局部紧致空间，H为离散群，在X、X的π典范映射右侧连续且适当地运行到X/H，μ为H、β下X不变性的正测度H 的归一化 Haar 度量，且 λ = μ/β。令 F 为 μ 可测基本域。 ↩ 2 09GD
推论 — 我们维持 Th 的假设和记号。 4. 令F'为第二μ可测基本域。设 u 在 X 上为函数，值在 Banach 空间或overlineR 中，在 H 下不变。假设 u 在 F 上可 μ 可积。则 u 在 F' 上可 μ 可积，并且 09GE

§ 3. 。应用程序和例

命题 1 — 令 G 为 Aut(E) 的子群。以下三个属性是等效的： ↩ 2 09GS
引理 1 令F为希尔伯特空间，K为紧致群，K的s↦U(s)表示在L(F; F)的可逆元的群中，对于逐点收敛的拓扑连续。 F 上存在非简并正厄米特形式 φ 使得 09GT
注令Φ为E上的非简并正厄米特形式。酉群U(Φ)在Aut(E)中闭，因此是紧的（命题1）。命题1还表明，Aut(E)的每个紧致子群都包含在形式U(Φ)的子群中。如果现在 U(Φ) 包含在 Aut(E) 的紧致子群 K 中，则可以看出 E 上存在非简并正厄米特形式 Φ'，使得 U(Φ) ⊂ K ⊂ U(Φ')，并且很容易遵循 09GU
命题 2 设 X 为局部紧致空间，其中局部紧致群 H 通过 (x, ξ) ↦ xξ 连续正确地作用于右侧。假设 X/H 是仿紧的。令g为H在Rⁿ中的连续表示。那么在 Rⁿ 中存在一个连续的 X f 映射 f，使得对于所有 x ∈ X 和 ξ ∈ H 都有 f(xξ) = f(x) + g(ξ)。 ↩ 2 09GV
推论设 X 为局部紧致空间，其中有限维实数向量空间 V 在右侧连续正确地按 (x, v) ↦ xv 运算。设π是X的典范映射到B = X/V。假设 B 是仿紧的。 ↩ 1 09GW
注 — 令 E 为有限维实仿射空间，T 为紧致空间，μ T 上总质量 1 的度量，f 为 T 到 E 中的连续映射。如果选择 E 中的原点 a，则 E 将配备向量空间结构和积分 ∫_T f(t) dμ(t)因此有意义；它代表 E 的点 x，使得 09GX
引理 2 令G为紧致群，μ为G的归一化哈尔测度，E为有限维实仿射空间，A为E的仿射群，以及将G中的ρ同态转换为A。假设对于每个x ∈ E，G到E的映射s ↦ ρ(s)x是连续的。然后，对于每个 x ∈ E，点 ↩ 3 09GY
命题 3 令G为局部紧致群。令 H 为 G 的闭法线子群，与 Rⁿ 同构的，且 G/H 是紧致的。 ↩ 1 09GZ
命题 4 令 G 为局部紧致群，H 为 G 的闭法线子群，使得 K = G/H 是紧致的。然后R中H的每个连续表示u，使得对于所有ξ ∈ H和s ∈ G的u(sξ s⁻¹) = u(ξ)，可以扩展到R中G的连续表示。 ↩ 1 09H0
引理 3 设 G 是由 e 的紧邻域生成的拓扑群。令 H 为 G 的闭子群，使得齐次空间 G/H 是紧的。然后 H 由 H 中 e 的紧邻域生成。 09H1
引理 4 设G是连通拓扑群，D是G的完全不连通法线子群。则D包含在G的中心中。 09H2
命题 5 令 G 为连通拓扑群，允许离散法线子群 D，使得 K = G/D 是紧的，并且 K 的换位子子群在 K 中是稠密的。则 D 是有限的，G 是紧的。 09H3
例 1 一般线性群。 ↩ 3 09H4
引理 5 C^*中GL(n, K)的连续表示是形式X ↦ χ(det X)的映射，其中χ是C^*中K^*的连续表示。 ↩ 1 09H5
例 2 仿射群. 对于每个X ∈ GL(n, K)和每个x ∈ Kⁿ，令(X, x)为Kⁿ中的仿射线性映射ξ ↦ Xξ + x。 (X, x)的集合是Kⁿ的仿射群G（A，II, §9, No. 4）。翻译的集合T是G的闭法线子群，与Kⁿ自然同构；另一方面，GL(n, K)是G的闭子群，G是GL(n, K)和T = Kⁿ的半直接乘积。其中，G配备（局部紧凑）拓扑，其中… 09H6
例 3 严格的三角形群。 ↩ 1 09H7
引理 6 令 L 为全序有限集合。对于每个λ ∈ L，令V_λ为有限维中的自由模超过交换环k；对于L中的λ, μ，使得λ ≤ μ，令f_λ μ ∈ Homₖ(V_μ, V_λ)。然后线性映射 (v_λ)_λ ∈ L ↦ ( ∑_μ ≥ λ f_λ μ(v_μ) )_λ ∈ L, 从∏_λ ∈ L V_λ到∏_λ ∈ L V_λ，有行列式∏_λ ∈ L det f_λ… ↩ 2 09H8
例 4 — 大三角形群. ↩ 2 09H9
注群T(n, K)^*是GL(n, K)和Δ_T(n, K)^*((zᵢⱼ)) = ∏ᵢ₌₁ⁿ (mod zᵢᵢ)^2i-n-1的闭子群。我们在例1中看到了Δ_GL(n, K) = 1。如果n > 1，函数 Δ_T(n, K)^*/Δ_GL(n, K) 在T(n, K)^*不能上扩展到C^*中GL(n, K)的连续表示（因为这样的表示将在SL(n, K)上通过… 09HA
例 5 — 特殊三角形群. 让我们再次讨论例 4 开头的记号，并考虑子群G₁ = G ∩ SL(n, K)。这个子群是群D₁ = D ∩ SL(n, K)与T_J的拓扑半直接乘积。群 D₁ 具有与 SL(nᵣ, K) 同构的普通子群 A，即元素 diag(Zₖₖ) 的子群由……组成，Zₖₖ = 1 k < r。同态 φ : diag(Z₁₁, …, Zᵣᵣ) ↦… 09HB
例 6 — 特殊线性群. GL(n, K)的封闭子群T₁(n, K)和ᵗ(T(n, K)^*)有交e。因此，映射(M, N) ↦ M · N是T₁(n, K) × ᵗ(T(n, K)^*)的连续双射φ到GL(n, K)的子集Ω。 ↩ 1 09HC
引理 7 — a) 设 U = (uᵢⱼ) ∈ GL(n, K)。在阶U ∈ Ω中，det(uᵢⱼ)_k ≤ i, j ≤ n ≠ 0对于k = 2, 3, …, n是必要且充分的。 b) Ω 是 GL(n, K) 的开子集。 c) 映射 φ 是 T₁(n, K) × ᵗ(T(n, K)^*) 到 Ω 的同胚。 ↩ 2 09HD
引理 8 a) 设 U = (uᵢⱼ) ∈ SL(n, K)。在阶和U ∈ Ω'中，det(uᵢⱼ)_k ≤ i, j ≤ n ≠ 0对于k = 2, 3, …, n来说是充分必要的。 ↩ 1 09HE
命题 6 a) 群 SL(n, K) 是幺模的。 ↩ 1 09HF
引理 9 令ψ为K[X₁, …, Xᵣ]的多项式≠ 0。在空间 Kʳ 中，由 ψ(x₁, …, xᵣ) = 0 定义的集合 N 对于 Haar 度量可以忽略不计。 09HG
例 7 岩泽分解GL(n, K)。 09HH
引理 10 令 (f₁, f₂, …, fₙ) 为 E 的基。 a) E 存在一个且仅有一个正交基 (e₁, e₂, …, eₙ)，使得 fᵢ = e₁ αᵢ₁ + e₂ αᵢ₂ + ⋯ + eᵢ αᵢᵢ (i = 1, 2, …, n) 和 αᵢᵢ > 0 对于所有i。 b) 对于固定的Φ，eᵢ和αᵢⱼ持续依赖于(f₁, …, fₙ) ∈ Eⁿ。 ↩ 1 09HI
命题 7 令D₊^*为对角线矩阵与对角线元素> 0的群。映射 (U, D, T) ↦ UDT 是 U(n, K) × D₊^* × T₁(n, K) 到 GL(n, K) 的同胚。 09HJ
例 8 空间厄米特形式。 09HK

App. 1. 附录 I

引理 1 令X为局部紧空间，R为X中的开等价关系，使得商空间X/R为仿紧；令 π 为 X 的典范映射到 X/R。在 X 上存在连续实值函数 F ≥ 0，使得： 09HX
引理 2 设 G 为无穷大可数的局部紧致群，M a Baire 空间。假设G在M中连续且传递地进行左运算。对于每个x ∈ M，令Hₓ为G中x的稳定子，使得G的映射s ↦ sx到M定义上，通过商，得到连续的双射 G/Hₓ的φₓ到M上。那么φₓ是G/Hₓ到M的同胚（在其他字（GT，III, §2, No. 5）M是拓扑齐次空间）。 09HY

App. 2. 附录 II

引理 1 设 X, B 为空间的两个局部紧凑空间，X 的 π 映射进入 B，ν 为 B 上的正测度。设 b ↦ λb (b ∈ B) 为 X 上的正测度 ν 充分族，使得对于每个 b ∈ B，测度 λb 集中于overlineπ(b)。集合 μ = ∫ λ_b dν(b)，并假设映射 π 是 μ 可测的。 09HZ

VIII. 卷积和表示

§ 1. 。卷积

定义 1 令X₁, …, Xₙ局部紧致空间，μᵢ对Xᵢ（1 ≤ i ≤ n）的测度；设X为Xᵢ的乘积，μ为μᵢ。令 φ 为 X 的映射成为局部紧致空间 Y。有人说序列 (μᵢ) 是 φ 可卷积的，或者 μ₁, …, μₙ 是 φ 可卷积的，如果 φ是μ-正确的；在这种情况下，φ下μ的像ν = φ(μ)称为μᵢ对φ的卷积乘积，并表示为*_φ(μᵢ)_1 ≤ i ≤ n、… 09I0
例 — 1) 对于任何φ，测量ε_xᵢ（其中xᵢ ∈ Xᵢ代表1 ≤ i ≤ n）始终是可卷积的，并且具有与y = φ(x₁, x₂, …, xₙ)的卷积乘积ε_y。因而，如果每个μᵢ都有有限支撑，那么μᵢ是可卷积的并且μ₁ * ⋯ * μₙ有有限支撑。特别地，令 M 为幺半群¹，配备局部紧致拓扑；如果在M中取φ为合成的律，则M与有限支撑形式的测量，对于卷积，代… 09I1
引理 1 对于1 ≤ i ≤ n，令Xᵢ, Yᵢ为两个局部紧凑的空间，μᵢ为Xᵢ的测度，φᵢ为Xᵢ到Yᵢ的连续映射。将X的X = ∏ᵢ Xᵢ、Y = ∏ᵢ Yᵢ、μ = ⨂ᵢ μᵢ、φ映射代入Y，即φᵢ的乘积。如果对于每个 i，φ 是 μ 正值且 μᵢ ≠ 0，则 φᵢ 是 μᵢ 正值和 φ(μ) = ⨂ᵢ φᵢ(μᵢ)。 ↩ 1 09I2
引理 2 设 T、T'、T'' 为三个局部紧凑空间、μ T 上的度量、π 将 T 的 μ 可测量的映射放入 T'、π' 将 T' 的连续映射放入 T'' 以及 π'' = π' ∘ π。如果π''是μ-本征，则π是μ-本征，π'是π(μ)-本征，并且π''(μ) = π'(π(μ))。 ↩ 1 09I3
命题 1 令Xᵢⱼ (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ nᵢ)、Yᵢ (1 ≤ i ≤ m) 和Z 局部紧致空间；对于每个 i，令 φᵢ 为 Xᵢ = ∏ⱼ Xᵢⱼ 的映射到 Yᵢ；设φ为φᵢ、映射X = ∏ᵢ Xᵢ的乘积到Y = ∏ᵢ Yᵢ；令 ψ 为 Y 到 Z 的映射。 ↩ 2 09I4
推论 — 令 Xᵢ, X'ᵢ (1 ≤ i ≤ n), Y, Y' 局部紧致空间；设φ, φ'分别是X = ∏ᵢ Xᵢ的映射连续到Y和X' = ∏ᵢ X'ᵢ连续到Y'；设fᵢ是Xᵢ的连续映射到X'ᵢ（1 ≤ i ≤ n），g是Y的连续映射到Y'，这样φ' ∘ f = g ∘ φ，f是将X的映射转化为X'，即fᵢ的乘积。令μᵢ分别为Xᵢ、所有≠ 0给出的措施。那么下… ↩ 1 09I5
命题 2 — 令 X₁, …, Xₙ, Y 为局部紧致空间，μᵢ Xᵢ (1 ≤ i ≤ n) 的有界测度，μᵢ 的μ 乘积，φ μ 可测映射 ∏ᵢ₌₁ⁿ Xᵢ 变成Y。那么 μᵢ 是 φ 可卷积的，并且 | *ᵢ₌₁ⁿ μᵢ | ≤ ∏ᵢ₌₁ⁿ | μᵢ |. 如果 μᵢ 而且是正数，那么 | *ᵢ₌₁ⁿ μᵢ | = ∏ᵢ₌₁ⁿ | μᵢ |. 对于，μ'ᵢ =… ↩ 3 09I6
命题 3 — 令X₁, …, Xₙ, Y局部紧凑空间，φ将∏ᵢ₌₁ⁿ Xᵢ的连续映射变为Y。然后映射 (μ, …, μₙ) ↦ *_φ (μᵢ) ∏ᵢ₌₁ⁿ M¹(Xᵢ) 到 M¹(Y) 是连续多重线性映射。这是根据第 2 条命题以及No. 1 中的内容得出的。 09I7
命题 4 — 令X₁, …, Xₙ, Y局部紧凑空间，μᵢ右Xᵢ（1 ≤ i ≤ n）的测度，Sᵢ其支持，φ将∏ᵢ Xᵢ连续映射引入Y，使得φ到∏ᵢ Sᵢ中的限制是合适的。那么 μᵢ 是 φ 可卷积的。 ↩ 6 09I8
命题 5 令X₁, …, Xₙ, Y局部紧凑空间，μᵢ右Xᵢ（1 ≤ i ≤ n）、μ乘积的测量，μᵢ，φμ-适当的映射 ∏ᵢ Xᵢ转化为Y，以及Sᵢμᵢ的支持。 09I9
推论如果φ是连续的并且μᵢ有紧支撑，那么μᵢ是可卷积的并且*ᵢ μᵢ有紧支撑。 ↩ 2 09IA
命题 6 令X, Y, Z局部紧致空间，φ将X × Y的连续映射引入Z，并在X, Y上测量λ, μ。为了使 λ 和 μ φ 可卷积，X × Y 的映射 (x, y) ↦ ε_φ(x,y) = εₓ * ε_y 进入 M(Z) 对于拓扑 σ(M(Z), H(Z)) 是可标量(λ ⊗ μ)可积的，在这种情况下 ↩ 1 09IB
命题 7 令X，Y，Z局部紧致空间，φ将X × Y的连续映射引入Z，并且λ, μ测量X，Y。假设对于每个x ∈ X，εₓ和μ φ-可卷积。为了使λ和μ能够φ可卷积，X的映射x ↦ εₓ * |μ|进入M(Z)对于拓扑σ(M(Z), K(Z))可标量λ可积，其中案例λ * μ = ∫_X (εₓ * μ) dλ(x). ↩ 3 09IC

§ 2. 。线性表示群

定义 1 — (i) 如果对于每个s ∈ G，U(s)是E的连续自同态，并且如果对于每个x ∈ E，G到E的映射s ↦ U(s)x是连续的，则称U是单独连续的。 09IF
注 1 说U是单独连续意味着s ↦ U(s)是G的连续映射到E的连续自同态的空间L(E; E)，并配备了逐点收敛的拓扑。 ↩ 1 09IG
注 2 说U是连续的，相当于下面的三个条件的集合： ↩ 4 09IH
注 3 假设U是G在E中的连续线性表示。对于每个s ∈ G，让widehatU(s)是U(s)的连续扩张到E的完成widehatE。那么widehatU是widehatE、注2的满足条件a)和c)中G的线性表示，以及GT、X, §2, No. 2、命题4的条件b)。因此widehatU是widehatE中G的连续线性表示。 09II
注 4 当E是规范的空间时，如果每个s ∈ G都有|U(s)| = 1，则称U是等距的。为此，对于所有s ∈ G，|U(s)| ≤ 1就足够了，因为这样就有 1 = |1| ≤ |U(s)| · |U(s⁻¹)|, 从而 |U(s)| = |U(s⁻¹)| = 1 对于所有 s ∈ G。 09IJ
命题 1 — 如果 G 是局部紧致群并且 E 是桶状的，则 E 中 G 的每个单独连续的线性表示 U 都是连续的。 ↩ 3 09IK
引理 1 令 G 为 G 上的局部紧致群，ρ 为 G 上的下半连续有限数值函数 geqslant 0，使得 ρ(st) leqslant ρ(s)ρ(t) 对于所有 s,t ∈ G。那么 ρ 就在 G 的每个紧凑子集上有界。 09IL
引理 2 设 G 为赋范空间 E 中 G 的拓扑群，U 线性表示，A 为 E 的稠密子集。假设对于每个 s ∈ G，U(s) 是连续的，并且对于每个 x ∈ A，s ↦ U(s)x 是连续的将G的映射代入E。则G上的函数s ↦ g(s) = |U(s)|是下半连续且满足g(st) leqslant g(s)g(t)。 09IM
命题 2 令 G 为 G 在赋范空间 E 中的局部紧致群，U 线性表示。令 A 为 E 的稠密子集。假设对于每个 s ∈ G，U(s) 是连续的，并且对于每个 x ∈ A，s ↦ U(s)x 是连续的将 G 映射化为 E。则 U 是连续的。 ↩ 2 09IN
引理 3 令X为局部紧致空间，Y和Z拓扑为空间，φ为Z中X × Y的连续映射，以及Y为Z中的φₓ映射y ↦ φ(x,y)。空间C(Y), C(Z)具备紧凑收敛的拓扑，X × C(Z)到C(Y)的映射(x,f) ↦ f ∘ φₓ是连续的。 ↩ 2 09IO
命题 3 (i) 如果 U 是单独连续的，则当 E' 配备弱拓扑 σ(E', E) 时，ᵗU 是单独连续的。 (ii) 如果 G 是局部紧致的且 U 是连续的，则当 E' 配备紧致收敛的拓扑时，ᵗU 是连续的。 ↩ 1 09IP
命题 4 G在C(X)和K(X)中的线性表示γ_χ是连续的。 09IQ
命题 5 假设每个函数χ(s, ·)都是有界的。那么γ_χ离开overlineK(X)稳定，并且overlineK(X)中G的线性表示γ_χ是连续的。 09IR
命题 6 如果在K(X)（或C(X)）的紧凑子集中为M(X)（或C'(X)）配备均匀收敛的拓扑，则M(X)中的G的线性表示γ_χ （分别C'(X)）是连续的。 ↩ 1 09IS
命题 7 假设每个函数χ(s, ·)都是有界的。那么γ_χ离开稳定的M¹(X)，并且，如果M¹(X)在K(X)的紧子集中具备一致收敛的拓扑，则G的线性表示γ_χ在M¹(X)中是连续的。这些命题来自 Props。 3、4、5。 09IT
命题 8 L_Cᵖ(X, β)中G的线性表示γ_χ,p是连续且等距的。 ↩ 2 09IU
命题 9 假设每个函数 χ(s, ·) 都是有界的。那么γ_χ离开L_Cᵖ(X, β)稳定，L_Cᵖ(X, β)中G的线性表示γ_χ是连续的。 ↩ 3 09IV
引理 4 令T为T的局部紧凑空间、a点、M(T)的M子集以及𝔉M上的过滤器。假设： (i) 对于T、数|μ|(K)、对于μ ∈ M的每个紧凑子集K，都在上面有界； (ii) lim_μ,𝔉 |μ|(K) = 0 对于子集 K 或 T - a。 (iii) 在T中存在a的紧邻域V，使得lim_μ,𝔉 μ(V) = 1。 ↩ 2 09IW
推论 1 根据引理 4 中的假设，假设在加法中存在一个由 T 包含组成的紧凑子集 K₀，它是所有测度μ ∈ M 的支持。然后𝔉也在C'(T)中收敛到εₐ，并在C(T)中配备了拓扑的紧凑收敛。 ↩ 3 09IX
推论 2 如 Cor 中的假设。 1、令f为T的连续映射变为准完全局部凸空间E。然后 ↩ 1 09IY
推论 3 令G为局部紧致群，E为准完全局部凸空间，U为E中G的连续线性表示。令 β 为G、a 元素 G 和B 基的正测度，用于过滤a 的邻域，由紧凑邻域组成。对于每个V ∈ B，令f_V是G上的连续函数geqslant 0，并包含V中的支持，从而∫ f_V dβ = 1。然后，对于每 x ∈ E， ↩ 4 09IZ
命题 10 设G为局部紧致群，E为准完全局部凸空间，U为E中G的连续线性表示，β为G上有支持的正测度G。 09J0

§ 3. 。群上的测量卷积

命题 1 — 令 G 为局部紧致群，λ, μ, ν 在 G 上测量 ≠ 0。 ↩ 1 09JB
命题 2 (i) M^ρ(G) 中的任意两个元素都是可卷积的。 (ii) 对于卷积，对于范数| λ |，M^ρ(G)是完全规范的代数，承认εₑ为单位元元素。 (iii) C'(G) 是子代数 / M^ρ(G)。 09JC
命题 3 令 μ₁, …, μₙ 为 G 上的度量。如果除最多一个之外的所有 μᵢ 都具有紧支撑，则 μᵢ 是可卷积的。 09JD
命题 4 映射 (λ, μ) ↦ λ * μ (resp. (λ, μ) ↦ μ * λ), where λ ∈ C'(G), μ ∈ M(G), 定义 on M(G) 结构 of a left (resp. right) 模 over 代数 C'(G). 09JE
命题 5 令 λ 为 G 上的左（或右）Haar 测度，以及 μ ∈ M¹(G)。那么 μ 和 λ（分别为 λ 和 μ）是可卷积的，并且 μ * λ = μ(1)λ（分别为 λ * μ = μ(1)λ）。 ↩ 1 09JF
命题 6 令μ和ν为G上的两个可卷积测度。令χ为G在C^*中的连续表示。那么χ · μ和χ · ν是可卷积的并且(χ · μ) * (χ · ν) = χ · (μ * ν)。 ↩ 2 09JG
命题 7 设G和G'是两个局部紧的群，u是G在G'中的连续表示，并且μ₁, …, μₙ对G的测量，都是≠ 0。那么下面的断言是等价的： (i) u 对于所有 i 来说是 μᵢ-正确的，并且度量 u(|μᵢ|) 是可卷积的； (ii) μᵢ 是可卷积的，u 适用于 *ᵢ(|μᵢ|)。当这些条件满足后， ↩ 1 09JH
推论设 G 为 G 上的局部紧致群，μ₁, …, μₙ 的度量。为了使序列 (μᵢ)_1 ≤ i ≤ n 可卷积，序列 (checkμₙ₋ᵢ)_0 ≤ i ≤ n-1 是可卷积的充分必要，在这种情况下 09JI
命题 8 — 设μ为G的测度，ν为X的测度。 (i) 如果 μ 具有紧支持，则 μ 和 ν 是可卷积的。 (ii) 如果ν有紧支持，并且G在X中正确运行，那么μ和ν是可卷积的。这是从§1, No. 4 的第 4 号提案得出的。 ↩ 5 09JJ
命题 9 — 对于卷积，M¹(X) 是 M¹(G) 上的左模，而 M(X) 和 C'(X) 是 C'(G) 上的左模。这是从 Prop. 8 和 §1，Props. 8 得出的。 1、3 和 Cor。提案 5。 ↩ 1 09JK
命题 10 — 令μ为G的测度，ν为X、μ和ν的可卷积测度。假设在加法中存在X上的正测度β，使得对于每个s ∈ G，γ(s)ν有基β。那么μ * ν有基β。令 K 为 X 的 β 可忽略不计的紧致子集。那么对于每个s ∈ G，K 就是γ(s)|ν|，可以忽略不计。现在， |μ| * |ν| = ∫_G (εₛ * |ν|) d|μ|(s) （§1, No. 5，命题… ↩ 2 09JL
命题 11 — 令G为局部紧致群，E为准完全局部凸空间，U为G在E中的连续表示。 (i) 如果λ ∈ C'(G)，μ ∈ C'(G)，则U(λ * μ) = U(λ)U(μ)。 (ii) 假设E是Banach空间，并让ρ(s) = |U(s)|代表s ∈ G。如果λ ∈ M^ρ(G)，μ ∈ M^ρ(G)，则U(λ * μ) = U(λ)U(μ)。让λ, μ在C'(G… ↩ 1 09JM
命题 12 如果λ ∈ C'(G)和μ ∈ M(X)，那么 ↩ 2 09JN
推论 C'(G) × M(X)到M(X)的映射(λ, μ) ↦ λ * μ相对于C'(G)的等连续子集和M(X)的紧致子集是次连续的（C'(G)和M(X)配备紧致收敛的拓扑）分别为C(G)和H(X)）。 ↩ 1 09JO
注 — 1) 设 λ₀ ∈ C'(G)。 M(X)到M(X)的映射μ ↦ λ₀ * μ隐约是连续的。设 f ∈ H(X)。一个有 ↩ 2 09JP
命题 13 映射 (s, μ) ↦ γ(s)μ of G × M₊(X) 进入 M₊(X) 当集合 M₊(X) 右 X 的积极措施配备了模糊拓扑时，它是连续的。 ↩ 2 09JQ

§ 4. 。测量和函数的卷积

定义 1 如果μ和f · β是可卷积的，则μ和f相对于β来说是可卷积的。 μ * (f · β)相对于β的每个密度称为μ和f相对于β的卷积乘积，并表示为μ *_β f。 09K4
引理 1 令 μ 为G 的度量。那么χ是局部(μ ⊗ β)可积的，并且μ ⊗ β的像在G × X到G × X的同胚(s, x) ↦ (s, s⁻¹x)下是χ · (μ ⊗ β)。 ↩ 6 09K5
命题 1 令μ为G的测度，f为X的局部β可积复形函数。假设函数s ↦ f(s⁻¹x)χ(s⁻¹, x)本质上是μ可积的，除了x的值的局部β可忽略的集合，以及函数x ↦ ∫ |f(s⁻¹x)|χ(s⁻¹, x) d|μ|(s)，几乎在任何地方都定义为β，是局部β可积的。那么 μ 和 f 是可卷积的。 ↩ 2 09K6
命题 2 — 令 μ 为 G 上的测度，f 为 X 上的局部 β 可积复数函数。假设满足以下条件之一： (i) f 和 χ 连续； (ii) G 在 X 中正确运行，并且 f 是零，对紧集的可数并的补集； (iii) μ 由可数并紧集携带。如果μ和f是可卷积的，那么函数s ↦ f(s⁻¹x)χ(s⁻¹, x)本质上是μ可积的，除了x的值的局部β可忽略不计的集合，并且… ↩ 6 09K7
注当μ有界时，命题2的假设(iii)尤其得到满足。因为，对于每个 n > 0，都存在一个 G 的紧凑子集 Kₙ，使得 |μ|(G - Kₙ) ≤ 1/n （第 IV, §4, No. 7 章），μ 由 Kₙ 的并承载。更一般地，令ρ是G上的下半连续有限函数> 0，使得ρ(st) ≤ ρ(s)ρ(t)；如果满足μ ∈ M^ρ、假设(iii)；因为，ρ · μ是有… 09K8
命题 3 — 假设 χ 连续。让μ ∈ C'(G)，f ∈ C(X)。然后： (i) μ 和 f 相对于 β 是可卷积的。 (ii) No. 1 定义的公式 (3) 对于每个x ∈ X，一个卷积乘积μ *_β f是连续的，并且正是由连续表示定义的元素γ_χ(μ)f C(X)中的G中的γ_χ；此外，相对于C'(G)的等连续子集和C(X)的紧致子集，映射(μ, f) ↦… ↩ 3 09K9
命题 4 假设G在X内正确运行，并且χ是连续的。让 μ ∈ M(G) 和 f ∈ K(X). ↩ 2 09KA
注 1 — 根据命题 4 的假设，对于每个 f ∈ K(X)，当 M₊(G) 配备模糊拓扑时，M₊(G) 到C(X) 的映射 μ ↦ μ *^β f 是连续的。例如，令K为X的紧致子集，S为f的（紧致）支持；由于G在X、s ∈ G的集合中正常运行，因此存在x ∈ K和s⁻¹x ∈ S是G的紧凑子集L（GT，III, § 4, No. 5，Th.1）。令ε为数> 0… ↩ 2 09KB
命题 5 假设 χ 是连续的乘子并且每个函数 χ(s, ·) 有界。 (i) G上的函数s ↦ ρ(s) = sup_x ∈ X χ(s⁻¹, x)是下半连续> 0并且对于G中的所有s, t满足ρ(st) ≤ ρ(s)ρ(t)。 (ii) 设 μ ∈ M^ρ(G) 和 f ∈ L^∞(X, β)。1 则 μ 和 f 是可卷积的，并且 μ *^β f 几乎在任何地方都由… ↩ 3 09KC
命题 6 假设 χ 是连续的乘子并且每个函数 χ(s, ·) 有界。让ρ(s) = sup_x ∈ X χ(s⁻¹, x)。令 p 和 q 为两个共轭指数 (1 ≤ p < +∞)。设μ ∈ M^ρ^1/q(G)和f ∈ Lᵖ(X, β)²则： (i) μ 和 f 是可卷积的； (ii) 卷积乘积μ *^β f在局部β-几乎处处由公式(3)给出，并且局部β-几乎处处等… ↩ 4 09KD
推论根据第 6 号提案的假设，左模的映射 (μ, f) ↦ μ *^β f 定义于 Lᵖ(X, β) 结构超过 M^ρ^1/q(G) (1 ≤ p ≤ +∞)。 09KE
注 2 — 设 X 为局部紧致空间，其上局部紧致群 G 在右侧连续运行 (x, s) ↦ xs。令 β 为X 的正测度。令 χ 为 G × X 上的函数 > 0，对于 G × X 上的每个度量都可测量，这样对于每个 s ∈ G 都有 δ(s)β = χ(s, ·) · β。令f为X上的局部β可积函数，令μ为G的测度。如果f · β和μ可卷积（将X × G的映射(x… 09KF
命题 7 令f为X上的局部β可积函数，ν为X上的测度，μ为G上的测度。假设： (i) μ 和 f 是可卷积的，公式 (3) 的 No. 1 定义局部β 几乎处处都是卷积乘积 μ *_β f。 (ii) χ · checkμ 和 ν 是可卷积的。 (iii) 函数 g(s, x) = f(s⁻¹x)χ(s⁻¹) 是 (μ ⊗ ν)-可积。然后 f 本质上可积 (χ ·… ↩ 1 09KG
例 — 1) 根据第 3 条命题可以取 f ∈ C(X)、ν ∈ C'(X) 和 μ ∈ C'(G)，Cor. §1, No. 4 的第 5 号提案。公式(7)则意味着C'(X)的自同态ν ↦ (χ · checkμ) * ν是C(X)的自同态f ↦ μ * f的转置。 09KH
命题 8 设f和g是X上的两个局部β可积函数，并设μ ∈ M(G)。假设： 09KI
例 — 4) 可以取f ∈ C(X)、g ∈ K(X)和μ ∈ C'(G)（与ψ = 1一起）。 ↩ 1 09KJ
命题 9 让f, g位于L(G)中。假设函数s ↦ g(s⁻¹x)f(s)χ(s⁻¹)本质上是β可积的，除了x的值的局部β可忽略的集合，并且函数 ↩ 1 09KK
命题 10 让f, g位于L(G)中。假设这两个函数之一是连续的，或者是零在紧集的可数并的补集上。如果 f 和 g 是可卷积的，则函数 f * g 局部给出 β 几乎到处都是 09KL
命题 11 — 令 f, g 在 L(G) 中。假设函数f, g之一是连续的，并且函数f, g之一具有紧支撑。那么f和g是可卷积的。公式 (15) 定义对于所有连续的 x ∈ G 乘积 f * g。如果f ∈ K(G)和g ∈ K(G)，则f * g ∈ K(G)。 ↩ 1 09KM
命题 12 — 令 p 和 q 为两个共轭指数 (1 ≤ p ≤ +∞)。如果f χ^-1/q ∈ L¹(G, β)和g ∈ Lᵖ(G, β)，那么f和g是可卷积的，f * g局部等于β——在Lᵖ(G, β)中几乎处处等于函数，并且 |f * g|ₚ ≤ |f χ^-1/q|₁ |g|ₚ. 如果f ∈ Lᵖ(G, β)和g χ'^-1/q ∈ L¹(G, β)，那么f和… 09KN
命题 13 — 如果 f χ⁻¹ ∈ L¹(G, β) 和 g ∈ overlineK(G)，或者 f ∈ K(G) 和 g χ'⁻¹ ∈ L¹(G, β)，则 f 和 g 可卷积，并且 (15) 定义对于每个x ∈ G 乘积 f * g 属于至 K(G)。 09KO
命题 14 — 如果 f χ⁻¹ ∈ L¹(G, β) 和 g ∈ L^∞(G, β)，则对于每个 x ∈ G 乘积 f * g，公式 (15) 定义有界且对于G 的右均匀结构一致连续。 09KP
命题 15 — 令 p 和 q 为两个共轭指数 (1 < p < +∞)。假设 β 是左不变的。令f ∈ Lᵖ(G, β)，g ∈ L^q(G, checkβ)。那么f和g是可卷积的。公式 (15) 定义，对于每个 x ∈ G、乘积 f * g 属于到 K(G) 并且是这样的 |f * g|_∞ ≤ |f|ₚ |g|_q. ↩ 3 09KQ
推论 — 让 f ∈ L²(G, β)，g ∈ L²(G, β)。那么f和dotg是可卷积的。 f * dotg 属于到 overlineK(G) 的卷积之一及其在 e 处的值是 ∫_G f(s)g(s) dβ(s)。 ↩ 1 09KR
命题 16 — 令 U 为 Banach 空间 E 中 G 的连续表示。集合 ρ(s) = |U(s)| 对于所有 s ∈ G。对于每个f ∈ L^ρ(G, β)，集合U(f) = U(f · β)。那么f ↦ U(f)是E中代数L^ρ(G, β)的线性表示，因此|U(f)| ≤ |f|_ρ。 09KS
命题 17 — 令 G 为 G 的局部紧凑群，A 子集，可测量且对于 Haar 测度而言不可局部忽略。那么A · A⁻¹是e的邻域。 ↩ 3 09KT
推论 1 — 令 H 为可通过 Haar 测度 β 测量的 G 的子群。那么 H 要么是开路，要么是局部β-可忽略不计。 ↩ 1 09KU
推论 2 — 令 L 为乘法稳定的 G 的子集，并且其补集对于 Haar 测度 β 来说局部可忽略不计。然后L = G。 ↩ 1 09KV
命题 18 — 令 G 为局部紧凑群、Γ 集合，配备乘法 (u, v) ↦ uv 和 Hausdorff 拓扑，使得： 1) Γ的拓扑在平移下不变； 2) 乘法的限制对于Γ × Γ的每个紧凑子集是连续的。 ↩ 2 09KW
推论 1 令G为局部紧致群，β为G，E的Haar测度，E中G的Hausdorff桶状局部凸空间，U线性表示，这样，当L(E;E)配备了拓扑逐点收敛时，U(s) ∈ L(E;E)对于所有s ∈ G，β是可测量的。那么U就是连续的线性表示。 ↩ 1 09KX
推论 2 令G为局部紧凑群，β为G的哈尔测度，E为可分离的Banach空间，以及E中G的U线性表示，使得U(s) ∈ L(E;E) 对于所有s ∈ G。令(aₘ)为E中的总序列，并令(a'ₙ)为E的对偶E'的单位球B'中的密集序列，配备弱拓扑。假设G上的函数s ↦ ⟨ U(s)aₘ, a'ₙ ⟩是β可测的。那么U就是连续的线性表示。 ↩ 1 09KY
命题 19 — 令G为局部紧致群，β为G，B基上相对不变的正测度≠ 0，用于过滤G，由……组成中的e邻域的紧凑邻里。对于每个V ∈ B，令f_V是G上的连续函数≥ 0，并且支持包含在V中，使得∫ f_V dβ = 1。如果μ是G的测度，那么，在M(G)配备有H(G)紧致收敛的拓扑， ↩ 4 09KZ
注 1 因而，我们看到G上的每个测度都是极限的测度，对于每个哈尔测度来说，承认连续的密度（对于第19号提案中指出的拓扑和对于模糊的拓扑来说更不必说）。 09L0
注 2 如果G可度量，则B可取为序列(Vₙ)邻域。那么 μ 是具有连续密度的测度 (μ * f_Vₙ) · β 的序列的极限。若G为实李群，则f_Vₙ可视为无限可微；稍后我们将看到密度 μ * f_Vₙ 是无限可微的。 09L1
命题 20 — 我们保留命题 19 的假设和记号。令 p ∈ [1, +∞[ 和 g ∈ Lᵖ(G, β)。然后 09L2
注 3 根据第 15 号提案，函数 g * f_V、f_V * g 属于至 K(G)。 ↩ 1 09L3
推论 — 令 W 为 L¹(G, β) 的闭线性子空间。为了使W成为L¹(G, β)的左（或右）理想，W在G的左（或右）平移下保持不变是必要且充分的。 09L4
例我们取G = R。让我们定义函数Fₙ ∈ K(R) Fₙ(x) = (1 - x²)ⁿ if x ∈ [-1, 1] \\ Fₙ(x) = 0 if x ∉ [-1, 1]. 设Aₙ = ∫₋₁⁺¹ Fₙ(x) dx和Gₙ = Aₙ⁻¹ Fₙ。 §2, No. 7的措施Gₙ(x) dx满足条件，Cor.是直接的。引理 4 中的 1。令μ 为R 的测度，其支… 09L5

§ 5. 。空间关闭子群

引理 1 令α为≠ 0对G、S其支持度的正测度；以下两个条件是等价的： a) S 是 G 的闭子群，并且 α 在 S 上引起的测度是 S 上的右 Haar 测度。 b) 每 s ∈ S δ(s)α = α。此外，当满足这些条件时，t ∈ G的集合使得δ(t)α = α等于S。显然，a) 蕴涵 b)；相反，关系 b) 意味着对于每个 x ∈ S 都有 Sx = S；… ↩ 1 09LY
命题 1 集合Γ在空间M₊(G) - 0关闭，配备模糊拓扑。我们首先证明以下引理： ↩ 2 09LZ
引理 2 令X为局部紧致空间，对于每个测度α ∈ M₊(X) - 0，令S_α为α的支持。令 Φ 为 M₊(X) - 0 上的过滤器，模糊地收敛到度量 α₀ ≠ 0。那么，对于α₀支持的点s的每个邻域V，都存在集合M ∈ Φ，这样，对于每一个α ∈ M，都有V ∩ S_α ≠ ∅。因为，如果φ ∈ K₊(X)是函数，并且V包含支持，并且∫ φ(x) dα₀(x) >… ↩ 3 09M0
引理 3 令 E 为 Φ 过滤后的集合，并令 ξ ↦ α(ξ) 为 E 的映射进入Γ，相对于 Φ 模糊地收敛到度量 α₀ ≠ 0。另一方面，让ξ ↦ t_ξ是E到G的映射，这样每个ξ ∈ E都有t_ξ ∈ H_α(ξ)。如果s是映射ξ ↦ t_ξ相对于Φ的簇点，则δ(s)α₀ = α₀。 ↩ 1 09M1
命题 2 — 令φ为K₊(G)中的函数，使得φ(e) > 0。然后测量α ∈ Γ的集合Γ_φ使得∫ φ(x) dα(x) = 1对于模糊拓扑来说是紧凑的。 ↩ 4 09M2
命题 3 — 根据第 2 条假设，映射 α ↦ ( ⟨ φ, α ⟩, α/(⟨ φ, α ⟩) ) 是 Γ 到乘积空间 R₊^* × Γ_φ 的同胚。 ↩ 2 09M3
命题 4 — 让 Γ⁰ 成为集合的测度 α ∈ Γ 使得 H_α 是幺模的，并且对于每个 α ∈ Γ⁰ 集合 μ_α = μ / α；然后映射α ↦ | μ_α |ofΓ⁰进入overlineR对于模糊拓扑来说是下半连续。 ↩ 2 09M4
命题 5 令g为μ可积正数值函数，并令Γ⁰(g)为α ∈ Γ⁰测度的集合，使得∫^* g(xs) dα(s) ≥ 1对于所有x ∈ G。那么Γ⁰(g)到overlineR的映射α ↦ |μ_α|是模糊连续的。 ↩ 3 09M5
推论 1 — 令 K 为 G 的紧致子集，V G、c 实数 > 0 中 e 的对称紧邻邻域。映射α ↦ | μ_α |的限制到α ∈ Γ⁰的集合，使得G = KH_α和α(V) ≥ c是模糊连续的。 09M6
推论 2 设 A 是 G 的 μ 可积子集。 G 的离散子群 H 的归一化 Haar 测量的映射 α ↦ | μ_α | 到集合 N_A 的限制，使得 G = AH 是模糊连续的。 09M7
定理 1 设 G 为局部紧致群。 G 的闭子群的空间Σ是紧的。此外，它还具有以下特性： ↩ 3 09M8
命题 6 假设局部紧致群 G 由 e 的紧邻域生成。那么使得G/H_α紧的测度α ∈ Γ⁰的集合Γ_c⁰在Γ⁰中开，并且映射α ↦ | μ_α |的限制到Γ_c⁰是模糊连续的。 ↩ 1 09M9
命题 7 令N ⊂ Γ⁰为G的离散子群上的归一化哈尔测度的子空间，并且对于G中e的每个相对紧开邻域U，令N_U为由α形成的N的子集，使得H_α ∩ U = e。然后： a) N_U 是紧凑的。 b) N 形式中集合 N_U 的内部是 N 的覆盖，因为 U 运行在 G 中 e 的相对紧凑的开放邻域的集合上。 c) 为了使 N 的子集 M 在 N 中相对紧，必要且充分的是… ↩ 2 09MA
推论 — 子空间 N of Γ⁰ 局部紧凑。 ↩ 1 09MB
定理 2 — 让 G 成为以下群满足的局部紧致条件：（L）在G中存在e的邻域，即包含没有有限的子群G不减少到e。以下属性保持： (i) 集合 D 离散子群的 G 局部闭于 Σ （相当于说局部紧致）。 (ii) 对于一个封闭的子集 A of D 为了紧凑，存在一个邻域 U of e 在 G 使得 H ∩ U = e 对于每个子群 H ∈ A。 (iii) 如果在加法… 09MC
命题 8 N 到 D 的规范双射是同胚。 ↩ 2 09MD
引理 4 如果群G满足条件(L)，则Γ_d到R₊^*的映射α ↦ α(e)是模糊连续的。 09ME
命题 9 令 G 为局部紧致阿贝尔的群，由 e 的紧致邻域生成。为了使N_c的子集A在N_c中相对紧凑，满足以下两个条件是充分必要的： ↩ 1 09MF
推论令 G 为局部紧致阿贝尔的群，由 e 和满足条件 (L) 的 No. 4 的紧致邻域生成。 ↩ 2 09MG
例让我们采用 G = Rⁿ，对于μ，采用勒贝格测度； Cor 的所有假设。提案 9 的满足。使得G/H紧致的G的离散子群H正是秩n的离散子群（GT，VII, §1, No. 1，Th.1）；这样子群H是由Rⁿ的基(aᵢ)_1 ≤ i ≤ n生成的，并且 09MH

IX. Hausdorff 拓扑空间的测量

§ 1. 。拓扑空间上的预测量和测量

定义 1 — 令 T 为集合。我们将 T 上 F₊(T) 的任何映射 p 称为 overlineR₊ ，其具有以下属性： a) 如果 f 和 g 是 F₊ 的两个元素，使得 f ≤ g，则p(f) ≤ p(g)。 b) 如果 f 是 F₊ 的元素，并且 t 是数 ≥ 0，则p(tf) = tp(f)。 ↩ 7 09MO
命题 1 令 (p_α)_α ∈ A 为 T 上的产权负担族。和和家庭 (p_α) 的上封套（在 F₊(F₊(T)) 中）则为产权负担。 ↩ 2 09MP
定义 2 设 p 为集合 T 上的负担。有人说，如果 p(T) < +∞，则 p 是有界的。如果 T 是拓扑空间，则 p 被认为是局部有界的，前提是每个 x ∈ T 都承认有一个邻域 V，使得 p(V) < +∞。 ↩ 2 09MQ
引理 1 — 如果产权负担p集中在A ⊂ T，则每f ∈ F₊(T)就有p(f) = p(f φ_A)。 ↩ 1 09MR
定义 3 One calls premeasure on a topological space T every mapping w that associates, to every compact subset K of T, a measure w_K on K, and that has the following property: 09MS
定义 4 令 w 为 T 的正预测值。对于每个函数 f ∈ F₊(T)，我们应集合， ↩ 2 09MT
命题 2 a) 令 w 为正预测值。对于 T 的每个紧凑子集 K，w^bullet 在 K 上引起的负担 (w^bullet)_K 等于 (w_K)^bullet。对于每一个函数 f ∈ F₊(T)，一个人有关系 (w_K)^bullet(f_K) = w^bullet(f_φ_K) 并且 ↩ 15 09MU
推论 — 令v和w为T的两个正预测值，使得v^bullet(L) = w^bullet(L)对于T的每个紧凑子集L；然后v = w。特别是，关系v^bullet = w^bullet意味着v = w。 ↩ 6 09MV
定义 5 — 令 w 为拓扑空间 T 的预测值。如果负担 |w|^bullet 是局部有界（或有界）的，则可以说 w 是一种测度（或有界测度）（cf. No. 1，定义 2）。 ↩ 1 09MW
注 2 如果 T 是局部紧凑，则 T 上的每个预测值 w 都是一个测度。因为，每个x ∈ T都承认一个紧凑邻域K和|w|^*(K) = |w_K| < +∞，因此负担|w|^*是局部有界的。 09MX
注 3 对于 T 的每个 Borel 子集 A（特别是 A = T）和T 上的每个正措施μ，数 μ^*(A) 是契约措施μ^*(K) 的至高子集共 A。事实上，对于 A 的每一个紧凑子集 K，都有 μ^*(K) ≤ μ^*(A)；另一方面，如果𝔎是T的紧凑子集的集合，那么 ↩ 3 09MY
例 1 — 局部紧凑空间的措施。 09MZ
命题 3 令T为局部紧致空间，令μ为T的测度。用 W(μ) 映射表示，它与 T 的每个紧凑子集 K 相关联，导出测度 μ_K。那么W(μ)是T上的一项预测，一个有W(|μ|) = |W(μ)|，线性映射W : μ ↦ W(μ)是空间M(T; C)的双射到空间P(T; C)上的预测T。此外，如果μ为正，则μ^* = (W(μ))^*。 ↩ 2 09N0
例 2 — 在拓扑空间上提供紧凑支持的措施。 ↩ 5 09N1
引理 2 — 令T为拓扑空间，L为T的紧子集，λ为L的正测度。 T 上存在唯一的正测度 μ，这样，对于每一个函数 f ∈ F₊(T)， 09N2
注 — 1) 当 T 是局部紧致时，μ 是 λ 的像在 L 的单射下进入 T。我们将在 §2, No. 3，例中看到，当像度量被处理时，这种解释对于任意空间仍然有效。 2) 我们还将看到，例 2 中定义的测度是具有紧凑支持的 T 上的正测度（No. 6，注 2））。 09N3
定义 6 函数 f ∈ F₊（分别为子集 A of T）据说对于测量来说局部可忽略不计 μ if μ^*(f) = 0（分别为μ^*(A) = 0）。有人说 μ 集中在子集 A of T 如果 T − A 是局部 μ-可忽略。 09N4
注 — 1) 当 T 是局部紧的时，如此定义的概念重合具有通常的概念。 2）之后我们已经定义了可忽略集合，我们将看到局部可忽略的集合确实是那些其胚芽，在T的每点处，是可忽略的集合的胚芽（No. 9，第14号提案的Cor.2）。 3）如第 1 章所示。 IV和V，表达“局部几乎无处不在”将与“除了局部可忽略不计的集合”同义。 4）如果θ是一个复杂的测度，我们可以说… 09N5
例 — 令 L 为 T 的紧凑子集，λ L 上的测度，μ λ (No. 3, 例 2) 定义的 T 上的测度。公式 (3) 立即意味着函数 f ∈ F₊(T) 局部 μ 可以忽略不计，当且仅当 f_L 是 λ 可以忽略不计。 09N6
定义 7 函数 f 定义于 T，与值在拓扑空间 F（豪斯多夫或非豪斯多夫）据说对于测量 μ （或为 μ-可测量）如果，对于每个紧凑子集K的T，函数f_K是μ_K-可测量。 ↩ 1 09N7
例 — Let L be a compact subset of T, λ a measure on L, and μ the measure on T defined by λ (No. 3, Example 2). 当且仅当f_L是λ可测时，在T上定义的函数f是μ可测的。因为，这个条件显然是必要的。相反，如果满足，则存在L的划分到λ可忽略的集合N和紧集的… 09N8
命题 4 — 令 f 为 T 上 μ 的正函数和 (gₙ)_n ≥ 1 序列 - 可测量正函数。设定 g = ∑_n ≥ 1 gₙ，有 ↩ 3 09N9
推论 — 令 (Aₙ) 为成对不相交的可测量子集的序列，其中并 A。对于 T 的每个子集 B， ↩ 2 09NA
命题 5 a) 设 H 为函数 geqslant 0 的递增有向集合，它们在 T 的每个紧凑子集上都是下半连续的。然后 ↩ 5 09NB
推论 — a) 令(U_α)_α ∈ I为递增有向T的开子集族，其中并U。然后μ^bullet(U) = sup_α ∈ I μ^bullet(U_α)。 ↩ 3 09NC
定义 8 — 对T的措施μ的支持被定义为本地最大的的补充μ-可忽略T中的开放集合。 09ND
注 1 如果μ是一个复杂测度，μ的支持度定义为正测度|μ|的支持度；它又是本地μ的最大的的补充-可以忽略不计的开放集合。 09NE
注 2 让我们证明No. 3的例2中引入的措施是T中具有紧凑支持的措施。令μ为T的正测度，其支持度为紧集K，并令ν为μ_K定义的测度（在No. 3的意义上）。让f ∈ F₊(T)；那么 ↩ 1 09NF
命题 6 — 令 (λ_α)_α ∈ A 为递增 T 上的有向测度系列，并令 p = sup_α λ_α^bullet。对于家庭(λ_α)在M(T)中的上述界限，产权负担p在当地有界限是必要且充分的。然后，族(λ_α)在M(T)和λ^bullet = p中承认至高λ。对于每个紧集 K，测度 λ_K 是 M(K) 中测度 (λ_α)_K 的上乘。 ↩ 2 09NG
定义 9 设(μᵢ)_i ∈ I为T上的一系列测度。设A为I的有限子集的集合；对于每个α ∈ A让λ_α = ∑_i ∈ α μᵢ。如果族(λ_α)在M(T)中承认一个至上μ，则称族(μᵢ)是可和的，μ称为族(μᵢ)的和，并且写为μ = ∑_i ∈ I μᵢ。 ↩ 1 09NH
命题 7 对于家庭 (μᵢ)_i ∈ I 来说，和 μ 是可求和的，产权负担 p = ∑_i ∈ I μᵢ^bullet 是局部有界的，在这种情况下是 p = μ^bullet 是必要且充分的。对于 T 的每个紧凑子集 K，族 ((μᵢ)_K)_i ∈ I 可以在 M(K) 和 μ_K = ∑_i ∈ I (μᵢ)_K 中求和。 ↩ 8 09NI
命题 8 设 μ 为 T 上可求和族 (μᵢ)_i ∈ I 的和。在阶中，T 的映射 f 进入拓扑空间 F（无论是否豪斯多夫）为 μ 可测，f 是可测的μᵢ-可测量每个i ∈ I。 ↩ 4 09NJ
定义 10 我们称T为μ或μ压榨，T的成对不相交的紧凑子集的任何局部可数族(K_α)_α ∈ A，使得集合N = T - ⋃_α ∈ A K_α局部μ可忽略不计。 09NK
命题 9 a) 对于 μ，存在 T 的压榨 (K_α)_α ∈ A。 b) 令 (K_α)_α ∈ A 为 T 右 μ 的压榨。如果 μ_α 是由 μ_K_α (No. 3, 例 2) 定义的 T 测度，则族 (μ_α)_α ∈ A 是可求和的，其和等于 μ，并且，对于每个函数 f ∈ F₊(T)， ↩ 5 09NL
命题 10 — 如果 g 是拓扑空间 G 中的 μ 可测映射，其中值（豪斯多夫或非豪斯多夫），则存在 T 的 μ 压缩 (L_β)_β ∈ B，使得限制 g_L_β 对于所有情况都是连续的β ∈ B. ↩ 5 09NM
学院 — 令 (K_α)_α ∈ A 为 T 的压榨，并令 N = T - ⋃_α K_α。我们用T'表示通过将T'配备子空间K_α拓扑的和拓扑和N上的任何局部紧凑拓扑（明确提到的除非）获得的局部紧凑空间。相反，N将始终配备离散的拓扑）。对于每个α ∈ A，令i_α为K_α到T'的典范嵌入，并令μ'_α为T'上的度量，即i_α下μ_K_α的像。族 (μ'_α) 是… 09NN
命题 11 令 X 为 T 的 μ 可测量子集。存在X的紧凑子集的局部可数族(L_α)_α ∈ A，成对不相交的，使得X - ⋃_α ∈ A L_α在局部μ可以忽略不计。如果，在加法中，X是可测量的集合的序列(Xₙ)的并使得μ^bullet(Xₙ) < +∞，那么α ∈ A的集合B使得μ^bullet(L_α) ≠ 0是可数，并且X - ⋃_β ∈ B L_β在本地μ可… ↩ 2 09NO
定义 11 对于每个函数f ∈ F₊(T)，一个定义f的上积分（相对于测量μ）是有限或无限正数 09NP
命题 12 函数μ^*是T的负担。 ↩ 1 09NQ
推论函数f，与值在Banach空间或overlineR中，当且仅当f(t) = 0几乎无处不在时，可以忽略不计。 09NR
命题 13 对于T的每个子集A，μ^*(A)是开集合包含A的外部度量的下确界。 ↩ 2 09NS
定义 12 令 f 为 T 上定义的函数，其中值在 Banach 空间或overlineR 中。有人说，如果f是零对可积开集合的可数并的补集，则f针对测度μ进行调节，或μ调节。如果函数 φ_A 被审核，则 T 的子集 A 被认为被审核。如果函数 1 为 μ 缓和，则称措施 μ 已缓和。 09NT
注 1 在 Lindelöf 空间 T（TG、IX、附录 I，Def. 1）上，尤其是在 Souslin 空间（同上，Cor. of Prop. 1）上，每项措施都经过调节。因为，有限测度形式的开集合是T的覆盖，从中可以提取T的可数覆盖。 ↩ 1 09NU
注 2 但请注意，μ 的有限测度 Borel 集合的序列的存在，以及并 T，并不一定意味着并 T 的有限测度的开集合的序列的存在（在其他情况下）字，并不意味着μ已被审核）。参见艾克瑟。 8. 09NV
命题 14 让f ∈ F₊(T)。如果f是μ-调节的，则μ^*(f) = μ^bullet(f)；如果 f 不是 μ 调节的，则 μ^*(f) = +∞。 ↩ 3 09NW
推论 1 要使函数可以忽略不计，其局部可忽略且可调节是必要且充分的。 ↩ 2 09NX
推论 2 为了使函数f局部可忽略不计，每个x ∈ T拥有一个邻域V使得f φ_V可以忽略不计是充分必要的。 ↩ 1 09NY
推论 3 令f为T上定义的调节函数。存在成对不相交的紧集的序列(Kₙ)，以及可忽略的集合H，使得f = f φ_H + ∑ₙ f φ_Kₙ。 ↩ 2 09NZ
推论 4 如果μ和ν是T上的两个度量，使得μ^* = ν^*，则μ = ν。 09O0
推论 5 如果 μ 是 T 上的调节措施，则存在序列 (μₙ)_n ∈ N 具有紧凑支持的措施，使得 μ = ∑_n ∈ N μₙ。 ↩ 1 09O1
定义 13 — 让 p ∈ [1, +∞[；一个表示由 overlineLᵖ(T, μ) （分别 overlineL_Fᵖ(T, μ) 如果 F 是 Banach 空间）集合的映射 f T 到 overlineR （分别到 F）进行 μ 可测量，并且满足μ^bullet(|f|ᵖ) < +∞。一个表示由 Lᵖ(T, μ) (分别 L_Fᵖ(T, μ)) μ 集合-调… 09O2
命题 15 函数 f 的集合，其中值在 F 中，使得 Supp(f) 是紧致的，并且 f 到 Supp(f) 的限制是连续的，对于 1 ≤ p < +∞，在 overlineL_Fᵖ(μ) 和 L_Fᵖ(μ) 中是稠密的。 ↩ 1 09O3
命题 16 F 中存在且仅有一个连续的线性映射 f ↦ ∫ f dμ，空间 overlineL_F¹(μ)，具有以下性质：如果 f 为形式 t ↦ g(t)a，其中 a ∈ F，且 g 为正函数、有限、μ 可测且μ^*(g) < +∞，则∫ f dμ = μ^*(g) · a。 09O4

§ 2. 。运算关于措施

定义 1 令 X 为 T 的 μ 可测量子集。 μ : K ↦ μ_K的限制到X的紧凑子集的集合称为μ在子空间X上引发的测度，并用μ_X或μ|X表示。 ↩ 2 09OF
命题 1 令 X 为 T 的 μ 可测量子集。负担(μ_X)^bullet等于μ^bullet在X（§1, No. 1）上引起的负担(μ^bullet)_X。在其他字，每函数g ∈ F₊(X)对应(μ_X)^bullet(g) = μ^bullet(g⁰)。 ↩ 4 09OG
注 1 关系 (μ_X)^bullet = (μ^bullet)_X 允许毫无歧义地使用记号 μ_X^bullet；今后我们将这样做。前面§1, No. 2的命题1和命题2表明，迄今为止μ_K表示的措施，对于K紧凑来说，确实是Def意义上的诱导措施。 1. 类似地，如果T是局部紧的，并且如果X是T的局部紧的子空间，则上述第1章的命题1和命题1。 V, §7, No… 09OH
注 2 定义。 1可以扩展到μ是T的复测度的情况。为了在这种情况下证明预测值 μ_X 是一个测度，只需观察 |μ_K| = |μ|_K 对于 X (§1, No. 2) 的每个紧凑子集 K 即可。 09OI
定义 2 函数 f 在 T 上定义，值在 overlineR 或 Banach 空间中，如果 f 是 μ 可测的，并且每个点 x ∈ T 承认一个邻域 V，则称其为局部 μ 可积μ^bullet(|f|φ_V) < +∞. ↩ 1 09OJ
命题 2 如果 f 是正局部 μ 可积函数，则对于每个函数 g ∈ F₊(T)，有关系 ↩ 4 09OK
定义 3 设 f 为局部 μ 可积正函数。测度f · μ : K ↦ f_K · μ_K被称为密度f关于对μ的测度，或乘积对μ的测度函数f。形式 f · μ 的每个测度（其中 f 为正且局部 μ 可积）称为具有基 μ 的测度。 09OL
注 1 f · μ扩展的定义对于f是局部复数可积函数的情况；那么就有 |f · μ| = |f| · μ，这立即意味着 f · μ 是一种测度，而不仅仅是一个预测值。我们保留表达“使用基μ的度量”来指定如此定义的复杂度量。 09OM
注 2 Similarly, if θ is a complex measure, f is said to be locally θ-integrable if it is locally |θ|-integrable, and one defines the measure f · θ : K ↦ f_K · θ_K. 一个有|f · θ| = |f| · |θ… 09ON
命题 3 — 设 ν 为 T 上的测度。对于 ν 为形式 f · μ，其中 f 是局部 μ 可积正值函数，则每个 μ 可忽略不计的紧集是充分必要的ν-可以忽略不计。如果f'是第二个局部μ可积函数，使得ν = f' · μ，则f = f'局部μ-几乎无处不在。 ↩ 2 09OO
定义 4 设π为T的映射，形成拓扑空间X。有人说，如果π是μ可测的，并且如果X的每个点 x 承认一个邻域V使得μ^bullet(overlineπ(V)) < +∞，那么π是μ-适当的。 ↩ 1 09OP
注 1 当T和X局部紧致时，这个定义等价于Ch的。 V, §6, No. 1。 09OQ
注 2 T 到 X 的真连续映射（GT，I, §10, No. 1，定义 1）对于每个小节 μ 来说是 μ-真值。对于，设 x ∈ X；由于 overlineπ(x) 是紧致的（如上，No. 2，Th.1），集合 overlineπ(x) 有一个开邻域 H，使得 μ^bullet(H) < +∞。集合V = X - π(T - H)；由于π闭，V在X、包含x开，并… ↩ 1 09OR
注 3 如果μ有界，则T到X的每个μ可测映射都是μ-本征。 ↩ 3 09OS
注 4 如果 θ 是 T 上的复测度，如果 π 对于正测度 |θ| 是正确的，则 π 被认为是 θ-正确的。 09OT
命题 4 设π是T的μ真映射到拓扑空间X。在X上存在且仅有一个测度ν，使得ν^bullet等于像负担π(μ^bullet)（§1, No. 1），在其他字中，使得ν^bullet(g) = μ^bullet(g ∘ π)对于所有g ∈ F₊(X)。 ↩ 3 09OU
定义 5 如果π是T的μ-固有映射到拓扑空间X，X上的唯一测度ν，使得所有g ∈ F₊(X)的ν^bullet(g) = μ^bullet(g ∘ π)被称为像测度μ位于π之下，并表示为π(μ).。 09OV
例 — 令 K 为 T 的紧凑子空间，将 K 的 i 典范嵌入引入 T，以及 λ 对 K 的度量；因为 i 是连续的并且 λ 有界，所以 i 是 λ-固有的。 §1, No. 3的公式(3)表明“由λ定义的T上的测度”是像测度i(λ)。 09OW
命题 5 设 π 为 T 的 μ-固有映射，形成拓扑空间 X，并设 f 为 X 的映射，形成拓扑空间 F（是否为 Hausdorff）。为了使 f π(μ) 可测，f ∘ π μ 可测是充分必要的。 ↩ 4 09OX
推论 — 令X和Y为两个拓扑空间，π将T的μ-固有映射引入X，并将π'将X的π(μ)-固有映射引入Y. 映射 π'' = π' ∘ π 则为 μ 正值，以及 π''(μ) = π'(π(μ))（“措施像的传递性”）。 ↩ 1 09OY
命题 6 — 令π为T的μ-固有映射到拓扑空间X，并令B为X的π(μ)可测子集。集合 A = overlineπ⁻¹(B)，并用 A 到 B 的 π' 映射表示重合和 A 上的 π。集合 A 则μ 可测，π_A 和 π' 为μ_A-正确，并且 09OZ
命题 7 — 令 T 为拓扑空间 X 的子空间，并令 i 为 T 到 X 的单射。 ↩ 6 09P0
命题 8 设T和X为T到X的两个拓扑空间、π映射。 ↩ 9 09P1
引理 1 令U和V是两个紧凑的空间，h是U在V上的连续映射。 M₊(U)到M₊(V)的映射λ ↦ h(λ)则为满射。 09P2
注假设 π 是单射的。令θ为复测度，使得π为θ真值且为π(θ) = 0；然后θ = 0。事实上，通过将θ分为实数和虚数部分，我们可以将约化转化为θ是实数的情况。然后我们有π(θ⁺) = π(θ⁻)，因此有θ⁺ = θ⁻（命题8），最后是θ = 0。 09P3
命题 9 — 设 T 为 Souslin 空间 (GT, IX, §6, No. 2, Def. 2), X Hausdorff 空间, π T 到 X 上的连续映射，以及 ν 上的有界测度X。那么 T 上存在有界测度 μ 使得 π(μ) = ν。 ↩ 3 09P4
定义 6 式(3)定义的预测值ν称为λ和μ的乘积预测值，记作λ ⊗ μ。 09P5
命题 10 令ν为λ和μ的乘积预量度；对于每个函数 f ∈ F₊(S) 和每个函数 g ∈ F₊(T)， ↩ 3 09P6
推论 1 — 如果 λ 和 μ 是度量，则 ν 是一个度量。 ↩ 1 09P7
推论 2 — 如果 A 是 S 的子集对于 λ 局部可忽略不计，则 A × T 局部 ν 可忽略不计。 09P8
推论 3 — 假设λ（分别μ）是S（分别T）测度的可求和族(λ_α)_α ∈ A（分别(μ_β)_β ∈ B）的和。然后族 (λ_α ⊗ μ_β)_(α, β) ∈ A × B 可求和，其和为 λ ⊗ μ。 ↩ 1 09P9
引理 2 令f为S × T上的ν可测量正函数；对于T的每个紧凑子集L，令I_fᴸ为S上的函数s ↦ μ^bullet(fₛ φ_L)。那么函数I_fᴸ是λ可测的，并且 ↩ 2 09PA
命题 11 设f是定义在X = S × T上的下半连续函数geqslant 0。 ↩ 1 09PB
引理 3 — 令 X 为拓扑空间（或非豪斯多夫），f 定义于 X 的下半连续函数 geqslant 0；那么 f 是X上下半连续函数的递增序列(fₙ)_n ∈ N的极限，使得每个函数fₙ都是线性组合，具有正系数，特征函数开放集合. ↩ 1 09PC
推论 1 设f为X = S × T上定义的正数函数；那么 iint_X^* f(s,t) dν(s,t) ≥ ∫_S^* dλ(s) ∫_T^* f(s,t) dμ(t). ↩ 1 09PD
推论 2 — 令 f 为在 S × T 和 ν 上定义的数值函数，可忽略不计。那么函数fₛ : t ↦ f(s, t)是μ——对于λ来说可以忽略不计——几乎每一个s ∈ S。 ↩ 1 09PE
命题 12 — 令 f 为在 X = S × T 上定义的ν可测量正函数。假设 f 是 ν 调节的（分别是 μ 调节的）。然后： a) s ∈ S的集合N使得函数fₛ : t ↦ f(s, t)不是μ可测量，对于λ来说是可忽略的（或局部可忽略的）。 b) 映射 s ↦ ∫^bullet f(s, t) dμ(t) 是 λ 可测量的，并且 ↩ 1 09PF
注 — 令 (K_α)_α ∈ A 为 S 对 λ 的压榨，并令 M = S - ⋃_α ∈ A K_α；定义以类似的方式(L_β)_β ∈ B和N用于T上的措施μ。我们用S'表示局部紧致空间，即子空间K_α或S的和和离散空间M；空间 T' 的定义类似，我们集合 X' = S' × T'。局部紧凑空间X'是X的紧凑子空间族(K_α × L_β)_(α, β)… 09PG
命题 13 令X为拓扑空间，ν为X、p将X的ν-固有映射调整为拓扑空间T，并且μ = p(ν)。假设 X 的每个紧凑子空间都是可度量的。那么T到M₊(X)中存在映射t ↦ λₜ，具有以下性质： ↩ 2 09PH
引理 4 令X为拓扑空间，ν为X的测度，f将X的ν可测量映射转换为拓扑空间F（豪斯多夫或非豪斯多夫）。存在一个普遍可测量的映射 f'，即 X 到 F，局部等于 f ν——几乎在任何地方。 09PI
注 — 1) 如果X是一个苏斯林空间，那么X的每个紧凑子空间都是一个苏斯林空间，因此是可度量的（TG，IX，附录I，Prop.2） 3),⁽²⁾ 09PJ

§ 3. 。措施和加法集合函数

定理 1 — 令 T 为拓扑空间，且 K(T) 的 I 映射进入R₊。在阶中，T上存在一个测度μ使得I(K) = μ^bullet(K)对于所有K ∈ K(T)来说，I满足以下条件是充分必要的： ↩ 5 09PN
引理 1 假设 T 是紧的，并且集合 l = I(T)。每A ⊂ T，集合 09PO
注 1 The condition 4) may be replaced, in the statement of Theorem 1, by the following condition ('right-continuity'): 4') For every K ∈ K(T) and every ε > 0, there exists an open set U… 09PP
注 2 条件 2)和3)中的集合可以在定理 1的叙述中用以下条件代替：如果K和L是T的紧子集，那么 I(K ∪ L) + I(K ∩ L) = I(K) + I(L). 事实上，这个条件意味着2)和3)，另一方面 μ^*(K ∪ L) = μ^*(K ∩ L) = μ^*(K) + μ^*(L) 对于每个措施μ，凭借关系φ_K ∪ L + φ_K ∩ L = φ_… 09PQ
定义 1 令T为拓扑空间，令B(T)为T的Borel族；设I为B(T)的映射到overlineR₊。 a) I 被认为是可数可加的，如果对于 B(T) 的成对不相交的元素中的每个序列 (Aₙ)， I( ⋃ₙ Aₙ ) = ∑ₙ I(Aₙ). b) I 被称为内部常规，如果对于每个集合 A ∈ B(T)， I(A) = sup_K I(K), 其中 K 超过 A 的紧凑… 09PR
注 1 条件 a) 清楚地暗示I 是B(T)（按包含排序）到overlineR₊ 的递增映射。 09PS
注 2 假设I是可数可加的；令(Aₙ)_n ∈ N为Borel集合的递增序列，并令A = ⋃_n ∈ N Aₙ。集合D₀ = A₀，Dₙ = Aₙ - Aₙ₋₁成对不相交的，它们的并是A，我们有I(A) = ∑ₙ I(Dₙ) = lim_n → ∞ I(Aₙ)。类似地，如果(Bₙ)是Borel集合的递减序列，并且如果I(B₀) < +∞，则I(⋂ₙ Bₙ) = l… ↩ 1 09PT
注 3 令 (Aₙ) 为 T 的 Borel 集合的任意序列。如果 I 可数可加，则I(⋃ₙ Aₙ) ≤ ∑ₙ I(Aₙ)。通过前面的注，足以为有限序列建立这个不等式。一个立即约化到两个集合A₁和A₂的情况；但关系 (4) 意味着 09PU
注 4 如果I是可数加法且局部有界函数，则前面的注立即意味着对于每个紧集K ⊂ T都有I(K) < +∞。 09PV
注 5 可以证明，如果I是可加的，即有限序列满足(4)，并且如果I是内部正则，则I是可数可加的（例7）。读者还可以确定，Th 的证明中仅使用了可加性和内部正则性。 2 下面。 09PW
定理 2 — 令 T 为拓扑空间，并令 I 为在 B(T) 上定义的函数，值在 overlineR₊ 中。在阶中，T上存在一个测度μ，使得μ^*(A) = I(A)对于每一个A ∈ B(T)，I是可数可加的、局部有界的且内部正则是充分必要的。那么度量μ是唯一的。 ↩ 1 09PX
定义 2 设 T 为拓扑空间。有人说 T 是氡气（或强氡气）空间，如果 T 是 Hausdorff，并且如果在 T 的 Borel 族B(T) 上定义的每个函数，其中值在 overlineR₊，则可数加性且有界（或局部有界）是内部正则。 09PY
命题 1 每个 Lindelöf⁽¹⁾ 氡气空间是强氡气。 ↩ 1 09PZ
命题 2 — 令 X 为 X 的拓扑空间和 T 子空间。 ↩ 2 09Q0
推论 — 如果 X 是氡气空间，则 X 的每个 Borel 子集 T 都是氡气。 ↩ 1 09Q1
命题 3 — 每个 Souslin 空间（特别是每个波兰或 Lusin 空间）都有很强的氡气。 ↩ 2 09Q2
注 — 令 X 为 Lusin 空间（特别是任何波兰语空间），并且将 X 的双射连续映射置于（Lusin）正则空间 Y 上。人们知道（TG，IX, §6, No. 7，命题 14）映射 B ↦ f⁻¹(B) 是Y 的Borel 部落的双射到X 的Borel 部落。空间 X 和 Y 是 Lusin，因此是强氡气（命题 3）。紧接着，映射μ ↦ f(μ)是X上有… 09Q3

§ 4. 。逆极限措施

命题 1 — 令 X 和 Y 为两个拓扑空间，f 为 Y 中 X 的连续映射。设(K_α)_α ∈ A是X的紧子集的递减有向族，其中交 K。然后f(K) = ⋂_α ∈ A f(K_α)。 ↩ 3 09QM
命题 2 — 给定由I索引的拓扑空间的逆系(Tᵢ, pᵢⱼ)、拓扑空间T，以及连续映射pᵢ : T → Tᵢ的连贯且分离的族。然后： ↩ 2 09QN
定义 1 — 令 T = (Tᵢ, pᵢⱼ) 为由 I 索引的拓扑空间的逆系。我们将T上的测度称为(μᵢ)_i ∈ I的逆系（或子逆系统），其中μᵢ是所有i ∈ I在Tᵢ上的有界测度，并且其中μᵢ = pᵢⱼ(μⱼ)（或μᵢ ≥ pᵢⱼ(μⱼ)）对于i ≤ j。 ↩ 1 09QO
命题 3 给定由I索引的拓扑空间T = (Tᵢ, pᵢⱼ)的逆系，拓扑空间T，连续映射pᵢ : T → Tᵢ（对于i ∈ I）的相干且分离的族以及子逆系统(μᵢ)_i ∈ I T 的措施。对于 T、集合的每个紧凑型子集 K ↩ 3 09QP
定理 1（普罗霍罗夫） — 让T = (Tᵢ, pᵢⱼ)是拓扑空间的逆系，由I索引，T拓扑空间和(pᵢ)_i ∈ I连续映射pᵢ : T → Tᵢ的连贯且分离的族。最后，令 (μᵢ)_i ∈ I 为 T 上的措施的逆系。 ↩ 5 09QQ
注 — 设(μᵢ)_i ∈ I为空间T = (Tᵢ, pᵢⱼ)中逆系的措施的逆系。假设给定拓扑空间T'和连续映射p'ᵢ : T' → Tᵢ；假设家庭(p'ᵢ)_i ∈ I是连贯的，但不一定是分离的。如果普罗霍罗夫的条件（P）被家庭满足(p'ᵢ)_i ∈ I，存在一个措施μ'（不一定唯一）在T'使得p'ᵢ(μ') = μᵢ对于所有人i ∈ I。 09QR
定理 2 — 假设有向预序集合I有一个可数的共尾子集。令T = (Tᵢ, pᵢⱼ)为拓扑空间、T = lim_← Tᵢ和T的pᵢ典范映射到Tᵢ的逆系。那么T上的每逆系(μᵢ)_i ∈ I措施都承认逆极限。 ↩ 1 09QS

§ 5. 。完全正常的措施空间

引理设T是完全正则空间，K是T的紧子集，U是T包含K的开子集。 a) 存在 T 的开子集 U'，使得 K ⊂ U' ⊂ overlineU' ⊂ U。 b) 令 f 为在 K 上定义的连续函数，其中值位于I R 区间（分别在 C 中）。 T 上存在有界连续函数 f'，I 中有值（C），扩展 f 且 T - U 上有零。 09QV
命题 1 — 设 T 是完全正则的空间。 a) 令 μ 为 T 上的正测度，f 为 T 上定义的数值函数 ≥ 0 和下半连续（分别为上半连续，有限，具有紧支撑）。然后 ↩ 2 09QW
注 1 令f为正下半连续函数，并令J_f为μ可积开集合外部且以f为界的正有界连续函数零的集合。可以证明f是J_f和μ^*(f) = sup_g ∈ J_f μ(g)的上包络线。 09QX
注 2 如果测度 μ 有界，则公式 μ^*(f) = inf_g ∈ S_f μ(g) 显然对每个上半连续、正且有界的函数 f 有效。 09QY
命题 2 — 令 η 和 η' 为完全正则空间 T 上的两个复杂测度，使得 η(f) = η'(f) 对于每个函数 f ∈ Cᵇ(T) 可积为 |η| 和 |η'|。然后η = η'. ↩ 2 09QZ
命题 3 — 令 μ 为完全正则空间 T 的正测度，并令 p ∈ [1, +∞[。函数f ∈ Cᵇ(T)的空间H，其支撑包含在μ可积开集合中，在Lᵖ(μ)中密集。 ↩ 1 09R0
命题 4 — 在阶中，完全正则空间T上的有界复数测度θ为正，对于每个函数f ∈ C₊ᵇ(T)，θ(f) ≥ 0是必要且充分的。 ↩ 1 09R1
命题 5 — 令 T 为完全正则空间，且 I 为范数空间 Cᵇ(T; C) 上的连续复形线性形式。在阶中，T上存在有界复测度θ，使得θ(f) = I(f)对于所有f ∈ Cᵇ(T; C)，满足以下条件是必要且充分的： ↩ 2 09R2
推论 — 使用第 5 条中的记号，假设 T 上存在有界正测度 μ，使得 |I(f)| ≤ μ(|f|) 对于所有 f ∈ Cᵇ(T; C)；那么T上存在一个复杂测度θ，使得θ(f) = I(f)适用于所有f ∈ Cᵇ(T; C)。 09R3
定义 1 与前面的Cᵇ(T)和Mᵇ(T)之间的对偶性相关的Mᵇ(T)上的弱拓扑被称为Mᵇ(T)上紧收敛的拓扑（或紧拓扑）。 09R4
注 1 如果T是局部紧致的，则紧的拓扑比模糊拓扑在Mᵇ(T)上引起的拓扑要强于更细，并且这两种拓扑重合仅当T是紧致的时。因为，如果 T 不是紧致的，则映射 t ↦ εₜ 相对于 T 的相对紧致子集的补集过滤器模糊地收敛到 0，但不会紧密收敛到 0，因为函数 1 属于到 Cᵇ(T) （对于模糊收敛和紧收敛之间的关系，参见命题9）。 09R5
注 2 从命题 4 可以立即看出，M₊ᵇ(T) 在Mᵇ(T) 中是封闭的。 09R6
注 3 如果 T 是完全正则的，则 T 到 Mᵇ(T) 的映射 t ↦ εₜ 是同胚（GT，IX, §1, No. 5）。 ↩ 2 09R7
命题 6 — 设 T 是完全正则的空间。 ↩ 7 09R8
命题 7 — 设 T 是完全正则的空间。令 μ 为 T 上的有界正测度，并令 f 为 T 上的有界正函数，这样，当 f 不连续时，T 的点的集合局部μ 可忽略不计。那么M₊ᵇ(T)到R的映射λ ↦ λ^*(f)在点μ处连续。 09R9
命题 8 — 令 X 为完全正则空间，X 的 T 子空间，以及 T 的 i 典范嵌入为 X。用 W 集合表示 X 上集中于 T 的有界正测度，配备由 Mᵇ(X) 诱导的拓扑。那么M₊ᵇ(T)到Mᵇ(X)的映射μ ↦ i(μ)是M₊ᵇ(T)到W的同胚。 ↩ 5 09RA
命题 9 — 令 T 为局部紧凑空间，并令 𝔉 为 Mᵇ₊(T) 上的过滤器，模糊地收敛到有界测度 μ。为了使𝔉紧密收敛于μ，lim_λ λ(1) = μ(1)相对于𝔉是必要且充分的。 ↩ 3 09RB
命题 10 令T为波兰人空间；空间 M₊ᵇ(T) 则为紧身拓扑。 ↩ 1 09RC
推论 1 如果 T 是可数型的可度量空间，则对于紧拓扑，M₊ᵇ(T) 是可数型的可度量。 09RD
推论 2 如果 T 是完全正则的 Souslin (resp. Lusin) 空间，则空间 M₊ᵇ(T) 是 Souslin (resp. Lusin)。 09RE
定义 2 设T为拓扑空间，设H为Mᵇ(T)的子集；有人说 H 满足 Prokhorov 的条件 if a）sup_μ ∈ H |μ|(1) < +∞； b) 对于每个数 ε > 0，都存在一个 T 的紧凑子集 K_ε，使得 |μ|(T - K_ε) ≤ ε for every measure μ ∈ H. ↩ 1 09RF
命题 11 设T为完全正则空间，设H为满足普罗霍罗夫条件的Mᵇ(T)的子集；那么它在 Mᵇ(T) 中的闭包 overlineH 满足 Prokhorov 的条件。 ↩ 2 09RG
定理 1（普罗霍罗夫） — 令T为完全正则空间，令H为满足普罗霍罗夫条件的Mᵇ(T)的子集；那么对于紧拓扑，H 在 Mᵇ(T) 中相对紧凑。 ↩ 3 09RH
推论 — 令 T 为完全正则空间 X 的子空间，并令 H 为满足 Prokhorov 条件的 Mᵇ(T) 的子集。如果i表示T到X的典范嵌入，那么限制到Mᵇ(T)到Mᵇ(X)的映射μ ↦ i(μ)的H是H到像的同胚。 ↩ 1 09RI
定理 2 — 令 T 为局部紧致空间，或波兰式空间，并令 H 为 M₊ᵇ(T) 的相对紧致子集；那么 H 满足 Prokhorov 的条件。 ↩ 2 09RJ
命题 12 — 令 T 为完全正则空间，令 B 为规范空间 Cᵇ(T; C) 的单位球。令I为Cᵇ(T; C)上的线性形式。在阶中，T上存在有界复测度θ，使得I(f) = θ(f)对于所有f ∈ Cᵇ(T; C)，I到B的限制对于紧致收敛的拓扑是连续的充要充分。那么测度 θ 是唯一的。 ↩ 2 09RK
命题 13 — 设 T 为局部紧致空间，H 为范数空间 Cᵇ(T; C) 的有界子集。 M₊ᵇ(T) × H到C的映射(μ, f) ↦ μ(f)则连续，当M₊ᵇ(T)配备紧拓扑，且H与拓扑紧收敛。 ↩ 1 09RL
注设T是Mᵇ(T)的完全正则空间、M子集，满足普罗霍罗夫的条件、H和Cᵇ(T)的有界子集。与刚才的论证非常接近的一个论证可以用来证明，当M配备了紧收敛的拓扑和H配备了紧收敛的拓扑时，M × H到C的映射(λ, g) ↦ λ(g)是连续的。 09RM
推出设T是一个完全正则的空间，X是一个拓扑空间，f是一个在T × X上定义的复值函数，连续且有界。对于T上的每个有界测度μ，令F_μ为X上的函数，由F_μ(x) = ∫_T f(t, x) dμ(t)对所有x ∈ X定义。 ↩ 2 09RN
命题 14 对于M上的每个有界复测度μ，函数Lμ在X上是连续且有界的。如果M₊ᵇ(M)配备紧拓扑和Cᵇ(X; C)与紧收敛的拓扑，M₊ᵇ(M)到Cᵇ(X; C)的映射μ ↦ Lμ是连续的。 ↩ 1 09RO
定理 3 令 S 为 X 的完整子幺半群。 a) 如果μ和μ'是M上的两个有界复数测度，使得Lμ和Lμ'具有相同的限制到S ∩ X₀，则μ = μ'。 b) 令𝔉为M₊ᵇ(M)的过滤器，使得对于每个s ∈ S，Lλ(s)相对于𝔉有极限Φ(s) ∈ C。然后，过滤器𝔉模糊地收敛到有界正测度μ，以及所有s ∈ S ∩ X₀的Φ(s) = Lμ(s)。 c) 在b)的假设下… ↩ 5 09RP
推论 — 令S为X的完整子幺半群，使得S ∩ X₀包含1的闭包。令L为限制的Cᵇ(S; C)由……组成到S的子集措施λ ∈ M₊ᵇ(M)的拉普拉斯变换。 09RQ
命题 15 让 A 集合配备过滤器 𝔉。对于每个α ∈ A，令(u_α,n)_n ∈ N为正数的可和序列，并令Φ_α为由Φ_α(x) = ∑_n ∈ N u_α,n xⁿ在\mathbf{R}的区间]0, 1]上定义的函数。在阶中，存在正数的可和序列(uₙ)_n ∈ N使得 ↩ 2 09RR
命题 16 令A为集合，配备过滤器F。对于每个α ∈ A，令μ_α为R₊上的有界正测度，并令Φ_α为由Φ_α(p) = ∫₀^+∞ e⁻ᵖˣ dμ_α(x)在R₊上定义的函数。在阶中，映射α ↦ μ_α相对于F紧密收敛到有界正测度μ，Φ_α相对于F在R₊逐点收敛到函数Φ是充分必要的在点 0 处连续。在这种情况下，Φ(p) = ∫₀^+∞ e⁻ᵖˣ dμ(x) 对于所有… 09RS

§ 6. 。局部凸空间上的测度和测度

定义 1 设E为局部凸空间。在 E 的有限维商的逆系上，每逆系⁽¹⁾ 的测度（§ 4, No. 2，定义 1）对 E 调用 promeasure。 09S6
命题 1 设E为局部凸空间。映射λ ↦ widetildeλ是E上有界措施集合双射到E满足上的优惠措施(μ_V)_V ∈ F(E)集合以下条件： ↩ 1 09S7
命题 2 — 设 T 为可数集合，T 上实数函数的 E 向量空间，配备逐点收敛的拓扑。 E 上的每一个测度都是一个测度。 ↩ 3 09S8
命题 3 令E为局部凸空间。将E上的集合映射μ ↦ Fμ变为E'上的函数集合单射。 ↩ 4 09S9
注 — 当E是有限维时，E的每个特征标都是形式x ↦ e^i⟨ x, x' ⟩和x' ∈ E'（Théor.spect.，Ch.II, §1, No. 9，Prop.12的Cor.3）。在这种情况下，第 3 条命题是从唯一性定理进行傅里叶变换得出的（loc. cit.，§1, No. 6，第 6 条命题的 Cor.）。 09SA
引理 1 对于每整数 n geqslant 0， ↩ 2 09SB
引理 2 对于每个复数 y， ↩ 3 09SC
命题 4 设 E 为局部凸空间。对于 E' 上的每个正二次方形式 Q，在 E 上存在且仅有一个 Promeasure Γ_Q 使得 F Γ_Q = e^-Q/2。 Γ_Q的总质量等于1. ↩ 2 09SD
定义 2 设E为局部凸空间。对于 E' 上的每个正二次方形式 Q，傅里叶变换等于 e^-Q/2 的 E 上的测度称为 E 上方差为 Q 的高斯测度，并表示为 Γ_Q。如果 E' 上存在正二次方形式 Q 使得 μ = Γ_Q，则 E 上的测度 μ 被称为高斯分布。 ↩ 3 09SE
注 — 1) 令E为有限维向量空间，并令μ为质量1的E的正测度，使得E属于到L²(E, μ)上的每个线性形式。 One defines an element m of E and a positive quadratic form V on E' by the formulas ⟨ m, x' ⟩ = ∫_E ⟨ x, x' ⟩ dμ(x), V(x') = ∫… 09SF
命题 5 设E和E₁为两个局部凸空间，u为E到E₁的连续线性映射。令 Q 为 E' 上的正二次方程形式，Q₁ 为 E'₁ 上的正二次方程形式 Q ∘ ᵗ u。然后u(Γ_Q) = Γ_Q₁. ↩ 1 09SG
推出设 E 为局部凸空间，Q 为 E' 上的正二次方形式。对于每个x' ∈ E'，x'下的Γ_Q的像是R上的高斯测度，方差为Q(x')。 ↩ 1 09SH
命题 6 设 E 为局部凸空间，μ E 上的高斯测度，方差为 Q。对于每个整数 n ≥ 0 和每个 x' ∈ E'，都有关系 ↩ 6 09SI
命题 7 设 E 为局部凸空间，μ E 上的算度。假设 x'(μ) 是R 对于每个 x' ∈ E' 的高斯测度。那么 μ 是 E 上的高斯测度。 ↩ 1 09SJ
引理 3 对于 D 中的任意 t, t'， ∫_Ω | X( (t + t')/2 ) - (X(t) + X(t'))/2 |³ dm = frac1(8π)^1/2 |t - t'|^3/2. 注，(t + t')/2属于到D。人们知道（No. 6，例2）族(X(t))_t ∈ D是Ω的拓扑对偶Ω'的基；因此，在Ω' × Ω'上存在对称双线性形式widehatM，… ↩ 1 09SK
引理 4 — 对于每个整数 n geqslant 0， 09SL
引理 5 对于每一个度量μ ∈ D， ↩ 1 09SM
引理 6 让μ ∈ M¹。存在序列措施μₙ ∈ D，使得μ(f) = lim_n → ∞ μₙ(f) 对于所有f ∈ C 和W(μ) = lim_n → ∞ W(μₙ)。 09SN
注 — 对于 T 中包含的每个半开区间J = ]a, b]，让我们集合l(J) = b - a（J 的长度）并在C上用A_J线性形式f ↦ f(b) - f(a)表示。可以证明，维纳测度具有以下性质的特征： 09SO
命题 8 — 令 E 为局部凸空间，μ E 的比例，Φ 傅里叶变换为 μ。一个人存在不平等 ↩ 5 09SP
推论 — 为E'配备与其向量空间结构兼容的拓扑。为了使 Φ 连续，其实数部分 Re Φ 在原点处连续是充分必要的，在这种情况下 Φ 是一致连续的。 ↩ 1 09SQ
命题 9 — 如果 F 是桶状的，则 F' 上每个有界测度的傅里叶变换是 F 上均匀连续的函数。 ↩ 2 09SR
命题 10 — 在假设 Φ(0) - Re Φ ≤ ε + q 下，我们有 ↩ 2 09SS
定理 2（米洛斯） — 令 F 为局部凸空间，T F' 上的局部凸拓扑，介于 Tₛ 和 T_c 之间，以及μ F'_T 上的比例。假设对于 Sazonov 拓扑，μ 的傅里叶变换 Φ 在 F 上连续。那么 μ 是 F'_T 的度量。 ↩ 2 09ST
推论 — 令 F 为桶状核空间，T F' 上的局部凸拓扑，介于 Tₛ 和 T_c 之间，μ F'_T 上的算子，以及 Φ 傅里叶变换 μ。为了使 μ 成为一个测度，Φ 在 F 上连续是必要且充分的。 ↩ 1 09SU
注 — 令 F 为桶状空间和 T 拓扑上的局部凸拓扑，位于 F' Tₛ 和 T_c 中间。 T 的 F' 紧凑中的每个子集对于较粗糙的拓扑 Tₛ 都是紧凑的。相反，令 K 为 Tₛ 的 F' 紧凑型子集。由于F是桶形的，所以K是等连续的（TVS，III, §4, No. 2，Th.1）；但根据阿斯科利的定理，F'的每个等连续子集对于T_c都是相对紧的，对于T来说… 09SV
定理 3（普罗霍罗夫-萨佐诺夫） 设 E 为希尔伯特空间，Es 空间 E 配备弱化拓扑。设 μ 为 E 的配度，Φ 为傅里叶变换。以下条件是等效的： ↩ 4 09SW
推论 1 — 令E₁和E₂为两个希尔伯特空间，u为E₁的希尔伯特-施密特映射到E₂，以及μ为E₁的折算。假设μ的傅里叶变换Φ在E₁上连续。那么promeasure ν = u(μ)就是在E₂上配备弱拓扑的措施。 ↩ 4 09SX
推论 2 — 令Q为希尔伯特空间E上的核正二次形式。 E 上的高斯原测度 Γ_Q 以及方差 Q 是 Eₛ 上的测度。 ↩ 1 09SY
注 — 1) 令E为希尔伯特空间，Eₛ空间E配备弱拓扑，并将E的j恒等映射配备Eₛ。人们知道，E的集合的j定义双射到Eₛ的相应的集合。此外，如果E是可分的，则它是E上有界测度的集合的波兰语空间和j定义双射到Eₛ上有界测度的集合（§ 3, No. 3，注);可以证明（菲利普斯的定理）如果E不可分，则定理仍然成立。因而，定理 3 为E 上的赞成措施提供了判据作为一… 09SZ
定义 3 — 令 G 为群。如果不等式，则 G 上的复值函数 Φ 被称为正型 ↩ 2 09T0
命题 11 — 令 E 为有限维向量空间，μ E 的有界（正）测度，Φ 傅里叶变换为 μ。函数 Φ 是连续的，且型在 E' 上。 ↩ 2 09T1
定理 4 — 令 E 为局部凸空间。傅立叶变换是 E 上的算子的集合的双射到E' 上的正型的函数的集合，其中限制对于每个有限维子空间都是连续的。 ↩ 2 09T2
推论 — 令 F 为桶装核空间；为 F' 配备一个局部凸拓扑 T 中间的弱拓扑 σ(F', F) 和拓扑，在 F 的紧凸子集上均匀收敛。傅里叶变换是 F' 上有界（正）测度的集合的双射 F 上连续函数的集合正型。 09T3

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注 — 1) 对于E的每个子空间F，用Q至F的Q_F限制表示，并用H_F表示H。那么Tr(Q_F/H_F) ≤ Tr(Q/H)和Tr(Q/H)就是F ⊂ E有限维的数Tr(Q_F/H_F)的上界。 ↩ 1 09T5
命题 1 — 假设 E 是有限维的，H 是非简并的。 ↩ 3 09T6
命题 2 — 假设 E 是有限维的。存在基 (e₁, …, eₙ) E 和整数 m 且 0 ≤ m ≤ n 这样 09T7
注 3 — 假设 E 有限维且 H 非简并。令(e₁, …, eₙ)为E的基。集合q = ((eᵢ|eⱼ)_Q)_1 ≤ i,j ≤ n和h = ((eᵢ|eⱼ)_H)_1 ≤ i,j ≤ n。根据命题1中的记号，E的基(e₁, …, eₙ)的u的矩阵等于h⁻¹q、从而 ↩ 2 09T8
命题 3 假设u是连续的。令 (eᵢ)_i ∈ I 为 E₁ 的正交基，并且 (fⱼ)_j ∈ J 为 E₂ 的正交基。然后 ↩ 2 09T9