Quyển INT · Tiếng Việt

Chỉ mục mệnh đề

1155 mệnh đề của Tích phân, theo chương và mục. Chọn một loại, lọc theo từ, hoặc xếp những mệnh đề được trích dẫn nhiều nhất lên đầu.

Trích dẫn nhiều nhất trước

II. Không gian Riesz

§ 1. Các không gian riesz và các không gian có thứ tự dàn đầy đủ

Định nghĩa 1 Một không gian vectơ có thứ tự được gọi là một không gian Riesz (hay không gian vectơ có thứ tự dàn)¹ nếu cấu trúc thứ tự của nó là một thứ tự dàn (nghĩa là, nếu mọi cặp phần tử x… 08JO
Ví dụ Không gian Rᴬ của mọi hàm thực xác định trên một tập hợp bất kỳ A là một không gian Riesz (đối với quan hệ thứ tự ⟨ x(t) ≤ y(t) với mọi t ∈ A ⟩); vì, mọi cặp hàm thực x, y xác định… 08JP
Định nghĩa 2 Một không gian Riesz E được gọi là được sắp dàn đầy đủ nếu mọi tập con khác rỗng của E bị chặn trên đều có một supremum trong E. 08JQ
Ví dụ — 1) Nếu A là một tập hợp bất kỳ, không gian Rᴬ các hàm thực xác định trên A là được sắp dàn đầy đủ, supremum trong Rᴬ của một họ bị chặn trên là bao trên của nó (GT, IV, §5, No. 5… 08JR
Mệnh đề 1 Để một không gian vectơ có thứ tự E được sắp thứ tự dàn đầy đủ, điều kiện cần và đủ là E là một không gian Riesz và thỏa mãn một trong hai điều kiện sau đây: ↩ 1 08JS
Mệnh đề 2 — Cho E là một không gian Riesz được trang bị một tôpô Hausdorff tương thích với cấu trúc không gian vectơ có thứ tự của nó (TVS, II, §2, No. 7). Nếu, với mọi tập H ⊂ E bị chặn trê… 08JT
Mệnh đề 3 Cho (E_ι)_ι ∈ I là một họ các không gian vectơ có thứ tự. Điều kiện cần và đủ để không gian tích E = ∏_ι ∈ I E_ι là một không gian Riesz (tương ứng, một không gian được sắp thứ tự… ↩ 1 08JU
Định nghĩa 3 Cho E là một không gian vectơ có thứ tự, V và W là hai không gian con tuyến tính bù nhau của E. Người ta nói rằng E là tổng trực tiếp có thứ tự của V và W nếu ánh xạ chính tắc (x… 08JV
Mệnh đề 4 Để một không gian vectơ có thứ tự E là tổng trực tiếp có thứ tự của hai không gian con tuyến tính bù nhau V, W, điều kiện cần và đủ là các quan hệ x ∈ V, y ∈ W, x + y ≥ 0 kéo theo… ↩ 1 08JW
Định nghĩa 4 Trong một không gian dàn có thứ tự đầy đủ E, một không gian con tuyến tính B của E được gọi là một dải nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: 1) các quan hệ x ∈ B, y ∈ E và |y| ≤ |x| k… ↩ 1 08JX
Ví dụ Trong không gian Rᴬ các hàm thực xác định trên một tập hợp A, tập hợp các hàm bằng không tại mọi điểm của một tập con M của A là một dải. 08JY
Nhận xét Trong không gian Rᴬ, không gian con B(A) các hàm thực bị chặn trên A thỏa mãn điều kiện 1) của Định nghĩa 4; hơn nữa, với mọi tập con X của B(A) bị chặn trên trong B(A), bao trên c… 08JZ
Mệnh đề 5 — Cho E là một không gian có thứ tự dàn đầy đủ, A là một tập con không rỗng của E gồm các phần tử geqslant 0, sao cho: 1) A + A ⊂ A, và 2) các quan hệ x ∈ A,\ 0 leqslant y leqslant… ↩ 3 08K0
Định lý 1 (F. Riesz) — Cho A là một tập con của một không gian có thứ tự dàn đầy đủ E. Tập A' gồm các phần tử rời với mọi phần tử của A là một dải; dải A'' gồm các phần tử rời với mọi phần tử của A' là… ↩ 6 08K1
Mệnh đề 6 — Cho E là một không gian dàn đầy đủ, M là một tập con của E, và B là dải sinh bởi M. Gọi M₁ là tập hợp các phần tử geqslant 0 của E mà mỗi phần tử đều leqslant một phần tử nào đó… ↩ 1 08K2
Hệ quả — Cho a là một phần tử của một không gian có thứ tự dàn đầy đủ E, Bₐ là dải sinh bởi a, B'ₐ là dải các phần tử rời với a. Với mọi phần tử x geqslant 0 của E, thành phần của x trong… ↩ 2 08K3

§ 2. Các dạng tuyến tính trên một không gian riesz

Định nghĩa 1 Cho một không gian vectơ có thứ tự E, một dạng tuyến tính L trên E được gọi là dương nếu L(x) ≥ 0 với mọi x ≥ 0 trong E. ↩ 2 08KI
Ví dụ 1 Cho A là một tập hợp bất kỳ, E là một không gian con tuyến tính của không gian Rᴬ gồm tất cả các hàm giá trị thực xác định trên A. Với mọi phần tử a ∈ A, ánh xạ x ↦ x(a) là một dạn… ↩ 1 08KJ
Ví dụ 2 Cho I = [a, b] là một khoảng compact của R, E là không gian Riesz được tạo bởi các hàm giá trị thực điều hòa trên I (FRV, II, §1, No. 3); ánh xạ x ↦ ∫ₐᵇ x(t) dt là một dạng tuyến t… 08KK
Ví dụ 3 Cho F là một tập hợp bất kỳ, U là một siêu lọc trên F (GT, I, §6, No. 4), E là không gian Riesz B(F) của các hàm giá trị thực bị chặn trên F. Với mọi x ∈ E, lim_U x(t) tồn tại, bởi… 08KL
Mệnh đề 1 Cho E là một không gian vectơ có thứ tự, L là một ánh xạ của E vào R sao cho L(x + y) = L(x) + L(y) và sao cho quan hệ x ≥ 0 kéo theo L(x) ≥ 0; khi đó L(λ x) = λ L(x) với mọi vô hư… ↩ 1 08KM
Mệnh đề 2 Cho E là một không gian vectơ thực, C là một nón lồi có đỉnh 0 trong E sao cho E = C - C, và x ↦ M(x) là một ánh xạ từ C vào R sao cho M(λ x + μ y) = λ M(x) + μ M(y) với mọi x ∈ C… ↩ 4 08KN
Mệnh đề 3 Cho E là một không gian vectơ có hướng có thứ tự, P là tập hợp các phần tử geqslant 0 của E, và x ↦ M(x) là một ánh xạ của P vào R, với các giá trị geqslant 0, sao cho M(x + y) = M… ↩ 3 08KO
Định nghĩa 2 Cho một không gian Riesz E, một dạng tuyến tính L trên E được gọi là bị chặn tương đối nếu, với mọi x geqslant 0 trong E, L bị chặn trên tập hợp các y ∈ E sao cho |y| leqslant x. 08KP
Định lý 1 1° Điều kiện cần và đủ để một dạng tuyến tính L trên một không gian Riesz E bị chặn tương đối là nó là hiệu của hai dạng tuyến tính dương. ↩ 3 08KQ
Bổ đề — Cho E là một không gian vectơ có thứ tự có hướng, E^* là đối ngẫu của nó, được sắp thứ tự bằng cách lấy các dạng tuyến tính dương làm các phần tử dương. Cho (u_α) là một họ tăng… 08KR
Mệnh đề 4 — Để hai dạng tuyến tính dương L, M trên một không gian Riesz E xa lạ nhau trong không gian Ω, điều kiện cần và đủ là, với mọi số ε > 0 và mọi x ≥ 0 trong E, tồn tại hai phần tử y… ↩ 2 08KS
Mệnh đề 5 — Cho L là một dạng tuyến tính dương trên một không gian Riesz E. Để một dạng tuyến tính dương M trên E thuộc dải sinh bởi L trong Ω, điều kiện cần và đủ là, với mọi x ≥ 0 trong E… ↩ 2 08KT
Ví dụ Cho E là một không gian Riesz được trang bị một tôpô lồi địa phương tương thích với cấu trúc không gian vectơ có thứ tự của nó (TVS, II, §2, No. 7). Gọi E' là đối ngẫu tôpô của E… 08KU

III. Các độ đo trên các không gian compact địa phương

§ 1. Các độ đo trên một không gian compact địa phương

Định nghĩa 1 — Cho X là một không gian tôpô, E là hoặc overlineR hoặc một không gian vectơ trên R, và f là một ánh xạ từ X vào E. Tập đóng nhỏ nhất S trong X sao cho f(x) = 0 trên X - S (nói cá… 08L4
Mệnh đề 1 Cho X là một không gian compact địa phương, E là một không gian Hausdorff lồi địa phương. ↩ 3 08L5
Mệnh đề 2 — Cho X là một không gian địa phương compact, E là một không gian lồi địa phương Hausdorff. ↩ 4 08L6
Hệ quả Cho X là một không gian paracompact, địa phương compact; nếu E là một không gian lồi địa phương quasi-đầy đủ, thì không gian K(X; E) là quasi-đầy đủ. 08L7
Bổ đề 1 Cho X là một không gian địa phương compact, K là một tập con compact của X, và (Vₖ)_1 ≤ k ≤ n là một phủ hữu hạn của K bởi các tập mở của X. Khi đó, tồn tại n ánh xạ liên tục fₖ từ… ↩ 19 08L8
Bổ đề 2 Cho X là một không gian địa phương compact, K là một tập con compact của X, E là một không gian lồi địa phương, q là một nửa chuẩn liên tục trên E, và Φ là một tập hợp đồng liên tụ… ↩ 2 08L9
Mệnh đề 3 — Cho X là một không gian compact địa phương, X' là không gian compact thu được bằng cách thêm vào X một điểm ở vô cực ω (GT, I, §9, No. 8, ↩ 4 08LA
Mệnh đề 4 — Cho X là một không gian compact địa phương, E là một không gian lồi địa phương; khi đó, không gian K(X;E) là trù mật trong C(X;E) đối với tôpô hội tụ compact. ↩ 1 08LB
Mệnh đề 5 — Cho X là một không gian compact địa phương, E là một không gian lồi địa phương thực (tương ứng phức). Với mỗi tập con compact K của X, không gian vectơ K(X,K;R) ⊗_R E (tương ứng… ↩ 3 08LC
Định nghĩa 2 — Một dạng tuyến tính liên tục trên K(X; C), X một không gian compact địa phương, được gọi là một độ đo (hay độ đo phức) trên X. ↩ 3 08LD
Mệnh đề 6 — Cho X là một không gian compact địa phương, (K_α) là một họ các tập con compact của X mà các phần trong overset∘K_α lập thành một phủ mở của X. Đối với một dạng tuyến tính μ trên… ↩ 3 08LE
Mệnh đề 7 Với mọi tập hợp S các tập con bị chặn của K(X;C) là một phủ của K(X;C), không gian M_S(X;C) là Hausdorff và gần đầy đủ. 08LF
Nhận xét Việc cho một độ đo μ trên một không gian địa phương compắc X xác định trên X (cùng với tôpô của X) một cấu trúc S. Cho X₁ là một tập hợp thứ hai, φ là một ánh xạ song ánh từ X lên… 08LG
Ví dụ Độ đo Lebesgue trên R là bất biến dưới mọi phép tịnh tiến của nhóm cộng R. Thật vậy, với mọi hàm f ∈ K(R; C) và mọi số thực a, ta có 08LH
Định lý 1 Mọi dạng tuyến tính dương trên không gian Riesz K(X; R) đều là một độ đo thực (dương) trên X. ↩ 7 08LI
Định lý 2 Mọi độ đo thực trên một không gian địa phương compắc X đều là hiệu của hai độ đo dương. ↩ 2 08LJ
Định lý 3 Không gian M(X; R) các độ đo thực trên một không gian địa phương compắc X là một dàn đầy đủ. 08LK
Mệnh đề 8 Nếu μ là một độ đo trên X thì, với mọi hàm h ∈ C(X; C), 08LL
Mệnh đề 9 Cho V là một không gian con tuyến tính của K(X; R) có tính chất sau: (P) Với mọi tập con compact K của X, tồn tại một hàm f ∈ V sao cho f ≥ 0 và f(x) > 0 với mọi x ∈ K. Trong các đ… ↩ 3 08LM
Định nghĩa 3 Một độ đo trên một không gian compact địa phương X được gọi là bị chặn nếu nó liên tục trên K(X; C) đối với tôpô hội tụ đều. ↩ 1 08LN
Ví dụ — 1) Độ đo εₐ được xác định bởi một khối lượng đơn vị tại một điểm a ∈ X là bị chặn, và |εₐ| = 1. 08LO
Mệnh đề 10 — Đối với mọi độ đo μ trên X, ↩ 1 08LP
Hệ quả 1 — Đối với mọi độ đo μ trên X, các chuẩn của μ và |μ| bằng nhau; μ bị chặn khi và chỉ khi |μ| bị chặn. ↩ 2 08LQ
Hệ quả 2 — Đối với mọi độ đo μ trên một không gian compact X, 08LR
Hệ quả 3 — Đối với mọi độ đo thực μ trên một không gian địa phương compact X, 08LS
Mệnh đề 11 — Nếu μ và ν là hai độ đo dương trên X, thì | μ + ν | = | μ | + | ν |. ↩ 1 08LT
Hệ quả 1 — Nếu μ và ν là hai độ đo dương trên X sao cho μ ≤ ν, thì | μ | ≤ | ν |; đặc biệt, nếu ν bị chặn thì μ cũng vậy. Thật vậy, | ν | = | μ | + | ν - μ |. 08LU
Hệ quả 2 — Với mọi độ đo thực μ trên X, 08LV
Mệnh đề 12 — Nếu μ là một độ đo bị chặn trên X và nếu g là một ánh xạ liên tục bị chặn từ X vào C, thì độ đo g · μ bị chặn và | g · μ | ≤ | g | · | μ |. ↩ 1 08LW
Mệnh đề 13 Cho X là một không gian compact địa phương và, với mọi x ∈ X, ký hiệu εₓ là độ đo Dirac tại điểm x. Ánh xạ x ↦ εₓ là một đồng phôi từ X lên một không gian con của không gian M(X; C… ↩ 5 08LX
Mệnh đề 14 Trong không gian M(X; C) các độ đo trên một không gian địa phương compact X, nón M₊(X) các độ đo dương là đầy đủ đối với cấu trúc đều suy ra từ tôpô vague (do đó đóng theo tôpô vag… ↩ 1 08LY
Hệ quả Nếu A và B là hai tập con đóng theo tôpô vague của M₊(X), thì A + B đóng theo tôpô vague trong M₊(X) (do đó cũng đóng trong M(X; C)). 08LZ
Mệnh đề 15 — Cho H là một tập con của M(X; C). Các tính chất sau là tương đương: ↩ 6 08M0
Hệ quả 1 — Cho ν là một độ đo dương trên X; tập hợp các độ đo μ sao cho |μ| ≤ ν là compact theo tôpô mờ. 08M1
Hệ quả 2 — Tập hợp các độ đo μ sao cho |μ| ≤ a (a là một số hữu hạn bất kỳ > 0) là compact theo tôpô mờ. ↩ 6 08M2
Hệ quả 3 — Nếu X compact, tập hợp các độ đo dương μ trên X sao cho |μ| = 1 là compact theo tôpô mờ. ↩ 1 08M3
Hệ quả 4 — Trong không gian M(X; C), ánh xạ μ ↦ |μ| là nửa liên tục dưới đối với tôpô mờ. ↩ 1 08M4
Mệnh đề 16 — Cho K là một tập con compact của X, H là một tập con bị chặn đối với tôpô mờ của M(X; C); khi đó, dạng song tuyến tính (f, μ) ↦ ⟨ f, μ ⟩ là liên tục trên K(X, K; C) × H khi K(X… 08M5
Mệnh đề 17 Trên không gian M(X; C), xét các tôpô sau: T₁: tôpô của hội tụ từng điểm trên một tập con toàn phần T của K(X; C); T₂: tôpô mờ; T₃: tôpô của hội tụ compact chặt; T₄: tôpô của hội t… ↩ 4 08M6
Mệnh đề 18 Trên nón M₊(X), các tôpô cảm sinh bởi các tôpô sau đây trùng nhau: T₁: tôpô của sự hội tụ từng điểm trong một không gian con tuyến tính V của K(X; C) trù mật trong K(X; C) và thỏa… ↩ 1 08M7
Hệ quả — Nếu X là paracompact thì các tôpô cảm sinh trên M₊(X) bởi tôpô mờ và tôpô hội tụ compáct là trùng nhau. 08M8

§ 2. Giá của một độ đo

Mệnh đề 1 Cho (Y_α)_α ∈ A là một phủ mở của X và giả sử trên mỗi không gian con Y_α, đã cho một độ đo μ_α, sao cho với mọi cặp (α, β), các hạn chế của μ_α và μ_β trên Y_α ∩ Y_β là đồng nhất… ↩ 2 08MR
Hệ quả (Nguyên lý địa phương hóa) — Cho μ và ν là hai độ đo trên X, và cho (Y_α) là một họ các tập mở của X sao cho, với mọi α, các hạn chế trên Y_α của μ và ν là bằng nhau; khi đó các hạn chế của μ và ν trên Y = ⋃… ↩ 2 08MS
Định nghĩa 1 Nếu μ là một độ đo trên một không gian địa phương compact X, người ta định nghĩa giá đỡ của μ, ký hiệu là Supp(μ), là tập hợp đóng bù với tập hợp lớn nhất trong các tập hợp mở của… 08MT
Ví dụ — 1) Để một độ đo trên X là không, điều kiện cần và đủ là giá mang của nó rỗng. 2) Giá mang của độ đo Lebesgue trên R là toàn bộ đường thẳng R; vì nó khác rỗng và bất biến dưới mọi… 08MU
Mệnh đề 2 Giá của một độ đo μ trùng với giá của độ đo |μ|; nếu μ là thực, thì giá của nó là hợp của các giá của các độ đo μ⁺ và μ⁻. ↩ 1 08MV
Mệnh đề 3 Nếu μ và ν là hai độ đo trên một không gian compact địa phương X sao cho |μ| ≤ |ν|, thì Supp(μ) ⊂ Supp(ν). 08MW
Mệnh đề 4 Giá của tổng của hai độ đo được chứa trong hợp các giá của chúng. 08MX
Mệnh đề 5 Giá của hạn chế của một độ đo μ lên một tập mở U là vết trên U của giá của μ. ↩ 1 08MY
Mệnh đề 6 Tập hợp các độ đo trên một không gian compact địa phương X, mà giá của chúng được chứa trong một tập đóng F, là một không gian con tuyến tính đóng theo tôpô mờ của M(X; C). ↩ 3 08MZ
Mệnh đề 7 — Nếu Φ là một bộ lọc trên M(X; C) sao cho giá của μ lùi ra vô hạn dọc theo Φ, thì μ hội tụ mơ hồ đến 0 theo Φ. ↩ 1 08N0
Mệnh đề 8 — Cho μ là một độ đo trên một không gian compact địa phương X. Với mọi hàm f ∈ K(X; C) bằng không trên Supp(μ), ta có μ(f) = 0. ↩ 5 08N1
Hệ quả 1 — Nếu hai hàm f, g trong K(X; C) bằng nhau trên Supp(μ), thì μ(f) = μ(g). ↩ 1 08N2
Hệ quả 2 — Cho μ là một độ đo dương trên X; nếu f ∈ K(X; C) sao cho f(x) ≥ 0 trên Supp(μ), thì μ(f) ≥ 0. ↩ 4 08N3
Hệ quả 3 — Giả sử μ là một độ đo bị chặn trên X; nếu f ∈ K(X; C) sao cho |f(x)| ≤ a trên Supp(μ), thì |μ(f)| ≤ a |μ|. ↩ 2 08N4
Mệnh đề 9 — Cho μ là một độ đo dương trên X; nếu f là một hàm trong K₊(X) sao cho μ(f) = 0, thì f bằng không trên Supp(μ). ↩ 1 08N5
Mệnh đề 10 — Cho μ là một độ đo trên một không gian compact địa phương X; với mọi hàm g ∈ C(X; C), giá của độ đo g · μ là bao đóng T của tập hợp các điểm x ∈ Supp(μ) sao cho g(x) ≠ 0. ↩ 1 08N6
Hệ quả — Để độ đo g · μ bằng không, điều kiện cần và đủ là g bằng không trên giá của μ. 08N7
Mệnh đề 11 — Mọi độ đo có giá compact đều bị chặn. ↩ 2 08N8
Mệnh đề 12 — Cho aᵢ (1 ≤ i ≤ n) là các điểm phân biệt trong một không gian compact địa phương X. Mọi độ đo trên X mà giá của nó được chứa trong tập hợp các aᵢ đều là một tổ hợp tuyến tính của… ↩ 1 08N9
Định lý 1 — Mọi độ đo μ trên một không gian địa phương compact X đều thuộc bao đóng mờ của không gian vectơ V gồm các độ đo có giá là một tập hữu hạn và được chứa trong Supp(μ). ↩ 3 08NA
Hệ quả 1 — Mọi độ đo bị chặn μ trên X đều thuộc bao đóng mờ của tập lồi A gồm các độ đo có giá hữu hạn và được chứa trong giá của μ, và có chuẩn ≤ | μ |. Hơn nữa, nếu ν hội tụ mờ đến μ tron… ↩ 2 08NB
Hệ quả 2 — Mọi độ đo bị chặn μ trên X đều thuộc bao đóng mờ của tập các độ đo có giá hữu hạn và được chứa trong giá của μ và có chuẩn bằng | μ |. ↩ 1 08NC
Hệ quả 3 Mọi độ đo dương bị chặn μ trên X đều thuộc bao đóng mơ hồ của tập lồi các độ đo dương có giá mang hữu hạn và được chứa trong giá mang của μ và có chuẩn bằng | μ |. ↩ 1 08ND
Hệ quả 4 Trong không gian M(X; C), tập các độ đo điểm là toàn phần đối với tôpô hội tụ compact chặt (§1, No. 10). ↩ 1 08NE
Mệnh đề 13 Cho μ là một độ đo trên một không gian địa phương compact X. Để một điểm x₀ thuộc Supp(μ), điều kiện cần và đủ là độ đo điểm ε_x₀ nằm trong bao đóng mơ hồ của tập các độ đo g · μ… ↩ 2 08NF
Hệ quả Cho μ là một độ đo trên X. Để một độ đo ν trên X thuộc bao đóng mờ của tập các độ đo g · μ, trong đó g chạy qua K(X; C), điều kiện cần và đủ là Supp(ν) ⊂ Supp(μ). 08NG
Mệnh đề 14 Để một độ đo μ trên một không gian compact địa phương X là một độ đo rời rạc (§ 1, No. 3, Ví dụ I), điều kiện cần và đủ là Supp(μ) là một không gian con đóng rời rạc của X. 08NH

§ 3. Tích phân của các hàm liên tục nhận giá trị vectơ

Định nghĩa 1 Với mọi hàm f ∈ widetildeK(X;E), ta gọi là tích phân của f đối với μ, và ký hiệu bởi ∫ f dμ hoặc ∫ f(x) dμ(x), hoặc ∫ f μ, hoặc ∫ f(x)μ(x), phần tử của E'^* được xác định bởi ↩ 1 08NN
Ví dụ — 1) Giả sử rằng E là hữu hạn chiều trên C và Hausdorff, để nếu (eᵢ)_1 ≤ i ≤ n là một cơ sở của E thì ánh xạ ↩ 1 08NO
Nhận xét 1 Nếu E là một không gian lồi địa phương và N là bao đóng của 0 trong E, để E₁ = E/N là không gian lồi địa phương Hausdorff liên kết với E, thì ta biết rằng các đối ngẫu E' và E'₁ là… 08NP
Nhận xét 2 Cho E là một không gian lồi địa phương trên C, và gọi E₀ là không gian lồi địa phương trên R nằm dưới E; ta biết rằng ánh xạ z' ↦ Re z' mà với mọi dạng tuyến tính liên tục (phức) z… 08NQ
Mệnh đề 1 — Ánh xạ ↩ 1 08NR
Mệnh đề 2 — Cho u là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào một không gian lồi địa phương F; với mọi hàm f ∈ widetildeK(X;E), hàm u ∘ f thuộc widetildeK(X;F) và ↩ 2 08NS
Mệnh đề 3 — Với mọi hàm g ∈ C(X;C) và mọi hàm f ∈ widetildeK(X;E), hàm gf thuộc widetildeK(X;E) và ↩ 1 08NT
Mệnh đề 4 — Cho μ là một độ đo dương trên X, S là giá của nó, và f là một hàm trong widetildeK(X;E). Giả sử E là Hausdorff, và trang bị cho không gian E'^* tôpô yếu σ(E'^*, E'). ↩ 3 08NU
Hệ quả Cho μ là một độ đo dương trên X, f là một ánh xạ thuộc K(X;E), và D là bao lồi đóng của f(X) trong E'. Tồn tại một số a > 0 sao cho ∫ f dμ ∈ a · D. ↩ 2 08NV
Mệnh đề 5 Giả sử rằng không gian X là compact, và cho f là một ánh xạ liên tục từ X vào một không gian lồi địa phương Hausdorff E. Bao lồi đóng của f(X) trong E' (đối với σ(E', E')) bằng tập… ↩ 3 08NW
Mệnh đề 6 Với mọi ánh xạ liên tục có giá compact f từ X vào một không gian lồi địa phương Hausdorff E, mọi nửa chuẩn liên tục q trên E và mọi độ đo μ trên X sao cho ∫ f dμ ∈ E, ↩ 2 08NX
Mệnh đề 7 Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff, và f ∈ K(X; E). Nếu f(X) được chứa trong một tập con lồi đầy đủ A của E, thì ∫ f dμ ∈ E. ↩ 8 08NY
Hệ quả 1 — Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff; với mọi hàm f ∈ K(X; E), ∫ f dμ thuộc hoàn thành widehatE của E. ↩ 2 08NZ
Hệ quả 2 — Nếu E là một không gian lồi địa phương Hausdorff quasi-đầy đủ, thì ∫ f dμ ∈ E với mọi hàm f ∈ K(X; E). ↩ 8 08O0
Mệnh đề 8 — Giả sử E là Hausdorff; gọi μ là một độ đo trên X. Ánh xạ f ↦ ∫ f dμ từ K(X;E) vào widehatE (No. 3, Hệ quả 1 của Mệnh đề 7) là ánh xạ tuyến tính liên tục duy nhất Φ sao cho Φ(g ·… ↩ 1 08O1
Mệnh đề 9 — Giả sử E là Hausdorff; gọi f là một ánh xạ liên tục từ X vào E có giá compắc. Khi không gian M(X;C) được trang bị tôpô hội tụ compắc chặt (§1, No. 10), ánh xạ μ ↦ ∫ f dμ từ M(X;C… ↩ 2 08O2
Hệ quả — Với các giả thiết và ký hiệu như trong Mệnh đề 9, hạn chế của ánh xạ μ ↦ ∫ f dμ trên tập M₊(X) các độ đo dương, hoặc trên một tập con B bị chặn mơ hồ của M(X; C), là liên tục mơ… 08O3

§ 4. Tích của các độ đo

Định lý 1 — Cho X và Y là hai không gian địa phương compact, λ là một độ đo trên X, μ là một độ đo trên Y; tồn tại một và chỉ một độ đo ν trên X × Y sao cho, với mọi hàm g ∈ K(X; C) và mọi h… ↩ 19 08O8
Bổ đề 1— Cho X và Y là hai không gian địa phương compact, K (tương ứng L) là một tập con compact của X (tương ứng của Y). 08O9
Bổ đề 2 Với các ký hiệu như trong Bổ đề 1, với mọi hàm f ∈ K(X × Y, K × L; C) hàm ↩ 3 08OA
Định nghĩa 1 Cho hai độ đo λ, μ được định nghĩa, tương ứng, trên hai không gian compact địa phương X, Y, tích độ đo của λ với μ được định nghĩa là độ đo duy nhất ν trên X × Y thỏa mãn quan hệ (… 08OB
Định lý 2 Cho λ, μ là hai độ đo được định nghĩa, tương ứng, trên hai không gian compact địa phương X, Y. Với mọi hàm f trong K(X × Y; C), tích phân của f đối với tích độ đo ν của λ với μ có… ↩ 3 08OC
Ví dụ 1 Độ đo tích của các độ đo Dirac εₓ (x ∈ X) và ε_y (y ∈ Y) là độ đo Dirac ε_(x, y). 08OD
Ví dụ 2 Lấy X = Y = R, và λ và μ là độ đo Lebesgue trên R (§1, No. 3); tích của chúng được gọi là độ đo Lebesgue trên R²; tích phân của một hàm f ∈ K(R²; C) đối với độ đo này được ký hiệu… 08OE
Nhận xét Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff, và cho f là một ánh xạ thuộc K(X × Y; E) sao cho f(X × Y) được chứa trong một tập con lồi đầy đủ C của E. Khi đó, với mọi y ∈ Y, t… 08OF
Mệnh đề 1 Cho λ là một độ đo trên X, μ là một độ đo trên Y; nếu g ∈ C(X; C),\ h ∈ C(Y; C), thì (g · λ) ⊗ (h · μ) = (g ⊗ h) · (λ ⊗ μ). 08OG
Mệnh đề 2 Giá của tích λ ⊗ μ bằng tích của giá của λ và giá của μ. ↩ 1 08OH
Mệnh đề 3 Cho λ ∈ M(X; C),\ μ ∈ M(Y; C). Khi đó ↩ 9 08OI
Hệ quả — Cho λ ∈ M(X; R), \ μ ∈ M(Y; R). Khi đó 08OJ
Mệnh đề 4 — Cho λ ∈ M(X; C), \ μ ∈ M(Y; C). Khi đó ↩ 2 08OK
Mệnh đề 5 Với mọi độ đo λ₀ ∈ M(X; C), ánh xạ μ ↦ λ₀ ⊗ μ từ M(Y; C) vào M(X × Y; C) là liên tục mơ hồ. 08OL
Mệnh đề 6 Nếu M(X; C) , \ M(Y; C) và M(X × Y; C) được trang bị tôpô hội tụ chặt trên compáct (§ 1, No. 10), thì ánh xạ song tuyến tính (λ, μ) ↦ λ ⊗ μ từ M(X; C) × M(Y; C) vào M(X × Y; C) là… 08OM
Mệnh đề 7 ('tính kết hợp của tích các độ đo') — Cho (Iₖ)_1 ≤ k ≤ r là một phân hoạch của khoảng [1, n] của N; khi đó ⨂ₖ₌₁ʳ ( ⨂_i ∈ Iₖ μᵢ ) = ⨂ᵢ₌₁ⁿ μᵢ 08ON
Định nghĩa 2 Một họ (μ_α)_α ∈ I, trong đó, với mọi α ∈ I, μ_α là một độ đo trên X_α, được gọi là một hệ ngược các độ đo nếu, mỗi khi α ≤ β, μ_α = (p_αβ)_*(μ_β). Một độ đo μ trên X = lim_← X_α đ… 08OO
Mệnh đề 8 (i) Nếu một hệ ngược (μ_α) các độ đo trên các X_α có một giới hạn ngược, thì giới hạn đó là duy nhất. (ii) Nếu một hệ ngược (μ_α) có một giới hạn ngược, thì họ các chuẩn (|μ_α|) bị… ↩ 2 08OP
Bổ đề 3 — Cho F là tập các hàm f ∈ C(X; C) có tính chất sau: tồn tại một α ∈ I và một hàm f_α ∈ C(X_α; C) sao cho f = f_α ∘ p_α. Khi đó F là một không gian con tuyến tính trù mật của C(X… ↩ 1 08OQ
Ví dụ — Cho (X_λ)_λ ∈ L là một họ các không gian compact; đặt X = ∏_λ ∈ L X_λ và, với mọi tập con hữu hạn J của L, đặt X_J = ∏_λ ∈ J X_λ; ký hiệu bởi pr_J : X → X_J và pr_J, K : X_K → X_… 08OR
Mệnh đề 9 Giả sử rằng tất cả các độ đo μ_λ đều dương và rằng họ (μ_λ(1))_λ ∈ L là khả nhân trong R₊ (với tích có thể bằng 0). Khi đó tồn tại một và chỉ một độ đo μ trên X sao cho, với mọi tậ… ↩ 2 08OS
Hệ quả Giả sử rằng các điều kiện của Mệnh đề 9 được thỏa mãn, và gọi (L_ρ)_ρ ∈ R là một phân hoạch của L. Khi đó mỗi họ độ đo (μ_λ)_λ ∈ L_ρ đều thừa nhận một độ đo tích, họ các độ đo tích… 08OT

IV. Mở rộng một độ đo. Các không gian $L^p$

§ 1. Tích phân trên của một hàm dương

Bổ đề — Mọi hàm f ∈ I₊ đều là bao trên của tập hợp (có hướng đối với quan hệ ≤) của mọi hàm g ∈ K₊ sao cho g ≤ f. 08P2
Định nghĩa 1 Cho một độ đo dương μ trên X, người ta gọi tích phân trên của một hàm f ∈ J₊ (đối với μ) là số dương (hữu hạn hoặc bằng +∞) ↩ 5 08P3
Ví dụ — Cho X là một không gian rời rạc, μ là một độ đo dương trên X, và đặt α(x) = μ(φ_x) với mọi x ∈ X. Khi đó mọi hàm số trị số f xác định trên X đều liên tục; đối với một hàm như vậy… 08P4
Mệnh đề 1 Với mọi số thực hữu hạn α > 0 và mọi hàm f ∈ J₊, μ^*(α f) = α μ^*(f). ↩ 4 08P5
Mệnh đề 2 Trên tập hợp J₊, hàm μ^* là tăng. Các chứng minh suy ra ngay lập tức từ Định nghĩa 1. ↩ 1 08P6
Định lý 1 Cho H là một tập hợp khác rỗng các hàm trong J₊, có hướng đối với quan hệ ≤. Với mọi độ đo dương μ trên X, μ^*( sup_g ∈ H g ) = sup_g ∈ H μ^*(g) = lim_g ∈ H μ^*(g). ↩ 12 08P7
Định lý 2 Nếu f₁ và f₂ là hai hàm thuộc I₊ thì ↩ 4 08P8
Mệnh đề 3 — Với mọi họ (f_ι)_ι ∈ I các hàm trong J₊, 08P9
Mệnh đề 4 — Cho f là một hàm trong J₊. Ánh xạ μ ↦ μ^*(f) của tập hợp M₊(X) các độ đo dương trên X, vào đường thẳng thực mở rộng overlineR, là nửa liên tục dưới đối với tôpô mơ hồ trên M₊(X)… ↩ 2 08PA
Định nghĩa 2 — Cho một độ đo dương μ trên X, với mọi tập hợp mở G ⊂ X tích phân trên μ^*(φ_G) được gọi là độ đo ngoài của G và được ký hiệu là μ^*(G). ↩ 1 08PB
Mệnh đề 5 — Độ đo ngoài của một tập hợp mở compact tương đối G là hữu hạn. ↩ 1 08PC
Mệnh đề 6 — Nếu G₁ và G₂ là hai tập hợp mở sao cho G₁ ⊂ G₂, thì μ(G₁) ≤ μ(G₂). Thật vậy, quan hệ G₁ ⊂ G₂ tương đương với φG₁ ≤ φG₂. ↩ 1 08PD
Mệnh đề 7 — Cho 𝔅 là một tập hợp các tập con mở của X có hướng đối với quan hệ ⊂; khi đó ↩ 4 08PE
Mệnh đề 8 — Cho (Gι){ι \in I} là một họ bất kỳ các tập hợp mở; khi đó ↩ 2 08PF
Ví dụ — Cho X = \mathbf{R} và cho μ là độ đo Lebesgue trên \mathbf{R} (Ch. III, §1, No. 3); chúng ta sẽ xác định ngoại độ đo của một khoảng mở G = ]a, b[ (−∞ ≤ a < b ≤ +∞). Trước hết giả… 08PG
Mệnh đề 9 Đối với độ đo Lebesgue trên R, độ đo ngoài của một tập mở trong R bằng tổng các độ dài của các thành phần liên thông của nó. ↩ 2 08PH
Định nghĩa 3 Cho μ là một độ đo dương trên X; với mọi hàm số f ≥ 0 (hữu hạn hoặc không) xác định trên X, số dương ↩ 4 08PI
Ví dụ — Nếu X là một không gian rời rạc, μ là một độ đo dương trên X, và nếu đặt α(x) = μ(φ_x), thì μ^*(f) = ∑_x ∈ X α(x) f(x) với mọi hàm số f ≥ 0 xác định trên X, vì một hàm như vậy là… 08PJ
Mệnh đề 10 — Nếu f và g là hai hàm số geqslant 0 xác định trên X sao cho f leqslant g, thì μ^*(f) leqslant μ^*(g). 08PK
Mệnh đề 11 — Với mọi số thực hữu hạn α > 0 và mọi hàm số f geqslant 0 xác định trên X, ↩ 1 08PL
Mệnh đề 12 — Nếu f₁ và f₂ là hai hàm số trị số geqslant 0 xác định trên X, thì ↩ 1 08PM
Định lý 3 — Với mọi dãy tăng (fₙ) các hàm số geqslant 0 xác định trên X, ↩ 8 08PN
Hệ quả — Cho 𝔉 là một tập hợp các hàm số ≥ 0, có hướng đối với quan hệ ≤, sao cho tồn tại một tập con đồng tận đếm được 𝔊 của 𝔉 (S, III, §1, No. 7); khi đó ↩ 1 08PO
Nhận xét — 1) Quan hệ (11) không nhất thiết đúng khi 𝔉 là một tập có hướng không đếm được các hàm ≥ 0 không nửa liên tục dưới. Chẳng hạn, lấy X = R, μ là độ đo Lebesgue trên R, và xét tập c… ↩ 2 08PP
Mệnh đề 13 Với mọi dãy (fₙ) các hàm số geqslant 0 xác định trên X, ↩ 2 08PQ
Mệnh đề 14 (bổ đề Fatou) — Với mọi dãy (fₙ) các hàm số geqslant 0, 08PR
Hệ quả Cho (fₙ) là một dãy các hàm số geqslant 0 sao cho, với mọi x ∈ X, lim_n → ∞ fₙ(x) = +∞. Nếu μ không phải là độ đo không, thì lim_n → ∞ μ^*(fₙ) = +∞. 08PS
Mệnh đề 15 Với mọi vô hướng α > 0 và mọi cặp độ đo dương μ, ν trên X, ↩ 3 08PT
Định nghĩa 4 Cho μ là một độ đo dương trên X; với mọi tập con A của X, tích phân trên μ^*(φ_A) được gọi là độ đo ngoài của A (đối với độ đo μ) và được ký hiệu là μ^*(A). 08PU
Mệnh đề 16 Nếu A và B là hai tập con của X sao cho A ⊂ B, thì μ^*(A) ≤ μ^*(B). 08PV
Hệ quả Mọi tập compact tương đối trong X đều có độ đo ngoài hữu hạn. 08PW
Mệnh đề 17 — Nếu (Aₙ) là một dãy tăng các tập con của X, thì μ^*(⋃ₙ Aₙ) = supₙ μ^*(Aₙ). 08PX
Mệnh đề 18 — Với mọi dãy (Aₙ) các tập con của X, ↩ 2 08PY
Mệnh đề 19 — Với mọi tập con A của X, μ^*(A) là cận dưới đúng của các độ đo ngoài của những tập mở chứa A. ↩ 3 08PZ

§ 2. Các hàm và tập hợp không đáng kể

Định nghĩa 1 — Cho một độ đo μ trên một không gian địa phương compact X, một hàm số f ≥ 0 (hữu hạn hoặc không) xác định trên X được gọi là không đáng kể đối với độ đo μ nếu |μ|^*(f) = 0. ↩ 1 08Q8
Mệnh đề 1 — Nếu f là một hàm không đáng kể ≥ 0, thì mọi hàm số g sao cho 0 ≤ g ≤ α f (α là một vô hướng > 0) đều là không đáng kể. Thật vậy, 0 ≤ |μ|^*(g) ≤ α |μ|^*(f) = 0. 08Q9
Mệnh đề 2 — Tổng và bao trên của một dãy (fₙ) các hàm không đáng kể ≥ 0 là không đáng kể. ↩ 1 08QA
Mệnh đề 3 Đối với một hàm nửa liên tục dưới f ≥ 0 trên X, để là không đáng kể, điều kiện cần và đủ là f bằng không trên giá của μ. ↩ 1 08QB
Định nghĩa 2 Cho một độ đo μ trên một không gian địa phương compact X, một tập con A của X được gọi là không đáng kể đối với độ đo μ nếu |μ|^*(A) = 0. 08QC
Mệnh đề 4 Mọi tập con của một tập hợp không đáng kể đều không đáng kể; mọi hợp đếm được của các tập hợp không đáng kể đều không đáng kể. ↩ 1 08QD
Ví dụ — Cho μ là độ đo Lebesgue trên R. Mọi tập hợp x₀ thu gọn thành một điểm đều không đáng kể (xem § 1, No. 3, Nhận xét 1). Suy ra rằng mọi tập con đếm được của R đều không đáng kể đối… 08QE
Mệnh đề 5 Phần bù của giá S của μ là tập hợp mở không đáng kể lớn nhất trong X. ↩ 4 08QF
Định lý 1 — Để một hàm số (hữu hạn hoặc không) f geqslant 0 xác định trên X là không đáng kể, điều kiện cần và đủ là f(x) = 0 hầu khắp nơi. ↩ 4 08QG
Mệnh đề 6 — Nếu f và g là hai hàm geqslant 0 (hữu hạn hoặc không) xác định trên X sao cho f(x) = g(x) hầu khắp nơi, thì |μ|^*(f) = |μ|^*(g). ↩ 5 08QH
Mệnh đề 7 — Nếu f là một hàm geqslant 0 xác định trên X sao cho |μ|^*(f) < +∞, thì f(x) là hữu hạn hầu khắp nơi. ↩ 2 08QI
Mệnh đề 8 Cho (Fₙ) là một họ đếm được (hữu hạn hoặc vô hạn) các tập hợp. Với mọi chỉ số n, cho fₙ, gₙ là hai ánh xạ tương đương của X vào Fₙ; khi đó, tồn tại một tập không đáng kể H sao cho… ↩ 1 08QJ
Hệ quả Nếu φ là một ánh xạ của ∏ₙ Fₙ vào một tập G, thì các ánh xạ φ((fₙ)) và φ((gₙ)) của X vào G là tương đương. 08QK
Mệnh đề 9 — Cho f và g là hai ánh xạ liên tục từ X vào một không gian tôpô Hausdorff F; để f và g tương đương, điều kiện cần và đủ là f(x) = g(x) tại mọi điểm của giá đỡ của μ. ↩ 1 08QL
Mệnh đề 10 — Cho F là một không gian lồi địa phương Hausdorff trên R sao cho trong không gian đối ngẫu F' của F tồn tại một dãy (a'ₙ) trù mật đối với tôpô yếu σ(F', F) (TVS, II, §6, No. 2). Đ… 08QM

§ 3. Các không gian l$^p$

Mệnh đề 1 — Với mọi số thực p geqslant 1 và mọi cặp hàm dương f, g (hữu hạn hoặc không) xác định trên X, ↩ 1 08QN
Định nghĩa 1 Cho X là một không gian địa phương compact, μ là một độ đo trên X. Với mọi ánh xạ f của X vào một không gian Banach F, và với mọi số p sao cho 1 ≤ p < +∞, ta ký hiệu Nₚ(f, μ), hoặc… ↩ 1 08QO
Mệnh đề 2 Giả sử f và g là hai ánh xạ từ X vào F, và α là một vô hướng bất kỳ ≠ 0, khi đó, với 1 ≤ p < +∞, ↩ 1 08QP
Định lý 1 (định lý lồi đếm được) — Cho (fₙ) là một dãy các hàm ≥ 0 (hữu hạn hoặc không) xác định trên X. Với 1 ≤ p < +∞, ↩ 2 08QQ
Mệnh đề 3 Nếu f và g là hai ánh xạ tương đương từ X vào một không gian Banach F, thì Nₚ(f - g) = 0 với 1 ≤ p < +∞; ngược lại, nếu Nₚ(f - g) = 0 với một giá trị p ≥ 1 thì f và g tương đương. ↩ 2 08QR
Nhận xét — Cho F là một không gian Banach trên trường C các số phức; khi đó, với mọi hàm f ∈ F_Fᵖ và mọi số phức α, α f thuộc về F_Fᵖ và Nₚ(α f) = |α| Nₚ(f); nói cách khác, F_Fᵖ cũng là một… 08QS
Mệnh đề 4 Cho B là một cơ sở lọc trên F_Fᵖ. Giả sử tồn tại một tập compact K ⊂ X sao cho, với mọi tập hợp M ∈ B, tất cả các ánh xạ f ∈ M đều có giá được chứa trong K. Dưới các điều kiện này… ↩ 4 08QT
Mệnh đề 5 Không gian lồi địa phương F_Fᵖ là đầy đủ. ↩ 3 08QU
Mệnh đề 6 Cho (fₙ) là một dãy các hàm trong F_Fᵖ sao cho ∑ₙ₌₁^∞ Nₚ(fₙ) < +∞. Với các điều kiện này, chuỗi có số hạng tổng quát fₙ(x) ∈ F là hội tụ tuyệt đối hầu khắp nơi trong X. Đặt f(x) =… ↩ 4 08QV
Định nghĩa 2 Cho một không gian compact địa phương X, một độ đo μ trên X, và một không gian Banach F, ta ký hiệu bởi L_Fᵖ(X, μ) (hoặc đơn giản là L_Fᵖ(μ), hoặc L_Fᵖ) bao đóng, trong không gian… ↩ 4 08QW
Nhận xét 1 Như đã được chỉ ra (§2, No. 5), các hàm khả tích theo lũy thừa p với giá trị trong F nói chung không tạo thành một không gian vectơ. 08QX
Nhận xét 2 Nói chung, không gian F_Fᵖ phân biệt với không gian con của nó L_Fᵖ (§4, Exer. 8). 08QY
Mệnh đề 7 Để một hàm f thuộc L_Fᵖ, điều kiện cần và đủ là, với mọi ε > 0, tồn tại một hàm liên tục g có giá compact sao cho Nₚ(f - g) ≤ ε. ↩ 3 08QZ
Mệnh đề 8 Cho f là một hàm số (hữu hạn hoặc không) được xác định hầu khắp nơi; nếu, với mọi ε > 0, tồn tại hai hàm khả tích theo lũy thừa p g, h sao cho g ≤ f ≤ h hầu khắp nơi và Nₚ(h - g) ≤… ↩ 2 08R0
Định lý 2 Không gian L_Fᵖ là đầy đủ; không gian L_Fᵖ là một không gian Banach. ↩ 1 08R1
Định lý 3 Cho (fₙ) là một dãy Cauchy trong không gian L_Fᵖ; tồn tại một dãy con (f_nₖ) của (fₙ) có các tính chất sau: 1° chuỗi với số hạng tổng quát Nₚ(f_nₖ₊₁ - f_nₖ) là hội tụ; 2° chuỗi với… ↩ 8 08R2
Hệ quả 1 — Nếu một dãy Cauchy (fₙ) trong không gian L_Fᵖ là sao cho dãy (fₙ(x)) hội tụ hầu khắp nơi đến f(x), thì f là khả tích theo lũy thừa p và dãy (fₙ) hội tụ theo trung bình cấp p đến… ↩ 2 08R3
Hệ quả 2 — Cho E là một tập con trù mật của L_Fᵖ. Đối với mọi hàm f ∈ L_Fᵖ, tồn tại một dãy (gₙ) gồm các hàm trong E có các tính chất sau: 08R4
Nhận xét 2 Một dãy Cauchy (fₙ) trong L_Fᵖ có thể sao cho dãy (fₙ(x)) không hội tụ tại bất kỳ điểm nào của X (Bài tập 1). 08R5
Nhận xét 3 Nếu f thuộc về L_Fᵖ, không phải lúc nào cũng có thể tìm được một dãy (fₙ) gồm các hàm liên tục có giá compact sao cho dãy (fₙ(x)) hội tụ mọi nơi trong X đến một hàm bằng f(x) hầu k… 08R6
Định lý 4 — Cho F và G là hai không gian Banach, u là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ F vào G. Đối với mọi hàm f ∈ L_Fᵖ, hàm hợp thành u ∘ f thuộc L_Gᵖ. ↩ 2 08R7
Hệ quả 1 — Cho a' là một dạng tuyến tính liên tục trên F; nếu f ∈ L_Fᵖ, hàm số x ↦ ⟨ f(x), a' ⟩ (ký hiệu là ⟨ f, a' ⟩) thuộc Lᵖ. 08R8
Hệ quả 2 — Cho n điểm aₖ của F (1 ≤ k ≤ n), và n hàm số fₖ (1 ≤ k ≤ n) thuộc Lᵖ, hàm f = ∑ₖ₌₁ⁿ aₖ fₖ thuộc L_Fᵖ. 08R9
Mệnh đề 9 — Cho F là một không gian vectơ n-chiều trên R, và cho (eₖ)_1 ≤ k ≤ n là một cơ sở của F. Để một hàm f = ∑ₖ₌₁ⁿ eₖ fₖ thuộc L_Fᵖ, điều kiện cần và đủ là mỗi hàm số fₖ thuộc Lᵖ. 08RA
Mệnh đề 10 — Trong không gian L_Fᵖ, không gian con tuyến tính tạo bởi các tổ hợp tuyến tính (hữu hạn) ∑ₖ aₖ fₖ, trong đó aₖ ∈ F và các fₖ là các hàm số liên tục có giá compact, là trù mật (đố… ↩ 2 08RB
Mệnh đề 11 — Nếu một hàm f thuộc L_Fᵖ, thì hàm |f| thuộc Lᵖ, và ánh xạ f ↦ |f| từ L_Fᵖ vào Lᵖ là liên tục đều (đối với tôpô của sự hội tụ trung bình cấp p). ↩ 6 08RC
Mệnh đề 12 — Để một hàm số f thuộc Lᵖ, điều kiện cần và đủ là mỗi một trong các hàm f⁺ và f⁻ thuộc Lᵖ. 08RD
Hệ quả — Bao trên (tương ứng bao dưới) của một họ hữu hạn các hàm trong Lᵖ thuộc Lᵖ. ↩ 3 08RE
Mệnh đề 13 Trong không gian Riesz Lᵖ, được trang bị tôpô xác định bởi chuẩn | tildef |ₚ, ánh xạ tildef ↦ | tildef | là liên tục đều, và tập hợp các phần tử tildef ≥ 0 là đóng. 08RF
Mệnh đề 14 Cho H là một tập con của không gian Riesz Lᵖ, gồm các lớp ≥ 0 và có hướng đối với quan hệ ≤. Để H có một cận trên đúng trong Lᵖ, điều kiện cần và đủ là ↩ 4 08RG
Bổ đề Nếu f và g là hai hàm trong Lᵖ sao cho 0 ≤ f ≤ g, thì 08RH
Hệ quả 1 Nếu tildeg là supremum của H trong Lᵖ, thì 08RI
Hệ quả 2 Không gian Riesz Lᵖ là có thứ tự dàn đầy đủ. 08RJ
Định lý 5 Cho (fₙ) là một dãy tăng các hàm geqslant 0 trong Lᵖ. Để bao trên f của dãy này khả tích theo lũy thừa p, điều kiện cần và đủ là supₙ Nₚ(fₙ) < +∞. Khi đó dãy (fₙ) hội tụ theo trung… ↩ 3 08RK
Hệ quả 1 Cho (fₙ) là một dãy giảm các hàm geqslant 0 trong Lᵖ; khi đó, bao dưới f của dãy thuộc về Lᵖ, dãy (fₙ) hội tụ theo trung bình cấp p đến f, và ↩ 1 08RL
Hệ quả 2 Cho (fₙ) là một dãy các hàm trong Lᵖ. Để bao trên f của dãy (fₙ) là khả tích theo lũy thừa p, điều kiện cần và đủ là tồn tại một hàm g geqslant 0 sao cho ∫^* gᵖ d|μ| < +∞ và fₙ leq… ↩ 2 08RM
Hệ quả 3 — Cho A là một tập hợp đếm được, 𝔉 là một lọc trên A có một cơ sở đếm được, (f_α)_α ∈ A là một họ các hàm ≥ 0 trong Lᵖ. Giả sử rằng tồn tại một hàm g ≥ 0 sao cho Nₚ(g) < +∞ và f_α… ↩ 1 08RN
Định lý 6 (Lebesgue) — Cho F là một không gian Banach, (fₙ) là một dãy các hàm trong L_Fᵖ sao cho: 1^∘ dãy (fₙ(x)) hội tụ hầu khắp nơi đến một giới hạn f(x) ∈ F; 2^∘ tồn tại một hàm số g ≥ 0 sao cho ∫^… ↩ 4 08RO
Hệ quả — Cho A là một tập hợp các chỉ số, được lọc bởi một bộ lọc 𝔉 có một cơ sở đếm được. Nếu (f_α)_α ∈ A là một họ các hàm trong L_Fᵖ mà, đối với bộ lọc 𝔉, hội tụ từng điểm hầu khắp nơi… ↩ 2 08RP
Nhận xét 1 Định lý 6 không còn đúng nếu giả thiết |fₙ| ≤ g (với Nₚ(g) < +∞) được thay bằng giả thiết yếu hơn supₙ Nₚ(fₙ) < +∞. Chẳng hạn, giả sử μ là độ đo Lebesgue trên R; định nghĩa các hàm… 08RQ
Nhận xét 2 Hệ quả của Định lý 6 không còn đúng nếu không giả sử rằng bộ lọc 𝔉 có một cơ sở đếm được (xem §1, No. 3, Nhận xét 1 sau Hệ quả của Định lý 3). 08RR
Định lý 7 — Cho p và q là hai số thực sao cho 1 ≤ p < +∞, 1 ≤ q < +∞. Nếu một hàm f thuộc L_Fᵖ thì hàm |f|^(p/q)-1 · f thuộc L_F^q, và đảo lại. 08RS
Hệ quả 1 — Để một hàm f thuộc L_Fᵖ, điều kiện cần và đủ là hàm |f|ᵖ⁻¹ · f thuộc L_F¹. ↩ 1 08RT
Hệ quả 2 — Để một hàm số dương f thuộc Lᵖ, điều kiện cần và đủ là fᵖ thuộc L¹. 08RU

§ 4. Các hàm khả tích và các tập hợp

Định nghĩa 1 Các hàm thuộc L_F¹(X, μ) được gọi là khả tích đối với độ đo μ (hoặc, một lần nữa, được gọi là μ-khả tích). Nguyên (đối với μ) của hàm khả tích f theo định nghĩa là giá trị tại f củ… 08RY
Ví dụ — Cho X là một không gian rời rạc, μ là một độ đo trên X, và đặt α(x) = μ(φ_x) đối với mọi x ∈ X. Khi đó các hàm trong F_F¹ là khả tích, nói cách khác L_F¹ = F_F¹; hơn nữa, đối với… 08RZ
Mệnh đề 1 Với mọi hàm số dương khả tích theo μ f, ↩ 3 08S0
Hệ quả 1 Với mọi hàm khả tích f ∈ L¹_F, |f| là khả tích và 08S1
Hệ quả 2 Với mọi hàm f ∈ Lᵖ_F, hàm số |f|ᵖ là khả tích và 08S2
Mệnh đề 2 — Với mọi hàm khả tích f, ↩ 1 08S3
Định lý 1 — Cho F và G là hai không gian Banach, u là một ánh xạ tuyến tính liên tục của F vào G. Với mọi hàm khả tích f nhận giá trị trong F, u ∘ f là khả tích và ↩ 5 08S4
Hệ quả 1 — Cho a' là một dạng tuyến tính liên tục trên F. Nếu f là một hàm khả tích với giá trị trong F, thì hàm số vô hướng ⟨ f, a' ⟩ là khả tích và ↩ 1 08S5
Hệ quả 2 — Nếu các aₖ (1 ≤ k ≤ n) là các vectơ trong F và các fₖ (1 ≤ k ≤ n) là các hàm số vô hướng khả tích, thì hàm f = ∑ₖ₌₁ⁿ aₖ fₖ là khả tích và 08S6
Mệnh đề 3 — Cho B là một cơ sở lọc trên L_F¹. Giả sử tồn tại một tập compact K ⊂ X sao cho, với mọi tập M ∈ B, mọi hàm f ∈ M đều có giá trong K. Trong những điều kiện này, nếu B hội tụ đều t… ↩ 2 08S7
Mệnh đề 4 — Cho (fₙ) là một dãy tăng (tương ứng giảm) các hàm số vô hướng khả tích. Để hàm bao trên (tương ứng bao dưới) f của dãy khả tích, cần và đủ rằng supₙ ∫ fₙ d|μ| < +∞ (tương ứng inf… ↩ 7 08S8
Định lý 2 ========== ↩ 6 08S9
Hệ quả 1 — Cho Ω là một không gian tôpô, t₀ là một điểm của Ω thừa nhận một hệ cơ bản đếm được các lân cận, f là một ánh xạ của X × Ω vào F có các tính chất sau: a) với mọi t ∈ Ω, hàm số x… ↩ 1 08SA
Hệ quả 2 — Cho (fₙ) là một dãy các hàm khả tích sao cho chuỗi có số hạng tổng quát fₙ(x) hội tụ hầu khắp nơi; nếu tồn tại một hàm số g geqslant 0 sao cho ∫^* g d|μ| < +∞ và sao cho, với mọi… ↩ 1 08SB
Mệnh đề 5 — Để một hàm số f geqslant 0 (hữu hạn hoặc không), nửa liên tục dưới trên X, khả tích, điều kiện cần và đủ là ∫^* f d|μ| < +∞. ↩ 3 08SC
Hệ quả 1 — Để một hàm số hữu hạn f geqslant 0, nửa liên tục trên X, khả tích, điều kiện cần và đủ là ∫^* f d|μ| < +∞. ↩ 5 08SD
Hệ quả 2 — Cho H là một tập khác rỗng, có hướng đối với quan hệ leqslant (resp. geqslant), gồm các hàm số trị số nửa liên tục dưới (resp. nửa liên tục trên) và khả tích; nếu ↩ 5 08SE
Hệ quả 3 — Cho f là một hàm số thực bị chặn, nửa liên tục trên trên X và có giá compact. Khi đó, ánh xạ μ ↦ ∫ f dμ là nửa liên tục trên trên M₊(X) đối với tôpô vague. ↩ 1 08SF
Định lý 3 — Để một hàm số thực f ≥ 0 là khả tích, điều kiện cần và đủ là, với mọi ε > 0, tồn tại một hàm nửa liên tục trên g ≥ 0, nhận giá trị hữu hạn và có giá compact, và một hàm khả tích… ↩ 3 08SG
Hệ quả — Với mọi hàm khả tích (tương ứng khả tích và ≥ 0) f, tồn tại một dãy tăng (gₙ) gồm các hàm nửa liên tục trên khả tích (tương ứng khả tích, có giá trị hữu hạn ≥ 0, và có giá compac… ↩ 1 08SH
Ví dụ Đối với mọi độ đo dương μ trên R, mọi hàm bậc thang có giá compact đều khả tích theo μ; vì hàm đặc trưng của một khoảng mở (resp. đóng) là nửa liên tục dưới (resp. nửa liên tục trê… 08SI
Nhận xét 1 Cho f là một hàm chỉnh trên R khả tích đối với độ đo Lebesgue μ; khi đó |f| cũng khả tích (No. 2, Hệ quả 1 của Mệnh đề 1), và, đặt Iₙ = [-n, n], |f| là bao trên của dãy tăng các hà… 08SJ
Nhận xét 2 Áp dụng cho độ đo Lebesgue và cho các hàm chỉnh, Mệnh đề 3 của No. 3 cho lại định lý về chuyển qua giới hạn đối với các tích phân của các hàm chỉnh trên một khoảng compact (FRV, II… 08SK
Định nghĩa 2 Một tập con A của một không gian compact địa phương X được gọi là khả tích đối với một độ đo μ trên X (hay là μ-khả tích) nếu hàm đặc trưng φ_A của A là khả tích. Số hữu hạn μ(A) =… 08SL
Mệnh đề 6 Hợp của một họ hữu hạn (Aᵢ)_1 ≤ i ≤ n gồm các tập khả tích là khả tích, và 08SM
Mệnh đề 7 1° Nếu A và B là hai tập khả tích sao cho B ⊂ A, thì tập C = A - B khả tích và ↩ 2 08SN
Hệ quả Nếu (Aₙ) là một dãy giảm các tập khả tích, thì μ(⋂ₙ Aₙ) = lim_n → ∞ μ(Aₙ). ↩ 4 08SO
Mệnh đề 8 Cho (Aₙ) là một dãy tăng các tập khả tích; để hợp A = ⋃ₙ Aₙ khả tích, điều kiện cần và đủ là supₙ |μ|(Aₙ) < +∞, trong trường hợp đó, ↩ 1 08SP
Hệ quả Cho (Aₙ) là một dãy các tập khả tích sao cho ∑ₙ₌₁^∞ |μ|(Aₙ) < +∞; hợp A = ⋃ₙ Aₙ khả tích, và ↩ 2 08SQ
Mệnh đề 9 — Cho (Aₙ) là một dãy các tập khả tích từng đôi một rời nhau sao cho ∑ₙ₌₁^∞ |μ|(Aₙ) < +∞; khi đó 08SR
Mệnh đề 10 — Để một tập A mở (tương ứng, đóng) trong X khả tích, điều kiện cần và đủ là |μ|^*(A) < +∞. ↩ 3 08SS
Hệ quả 1 — Mọi tập compact đều khả tích; mọi tập mở tương đối compact đều khả tích. 08ST
Hệ quả 2 — Với mọi độ đo dương μ trên X, A ↦ μ^*(A) là một dung lượng trên X (xem GT, IX, §6, No. 9, Ví dụ). 08SU
Ví dụ Đối với độ đo Lebesgue μ trên R, từ Mệnh đề 10 suy ra rằng mọi khoảng mở bị chặn [a, b[ đều khả tích và có độ đo b - a (\§1, No. 2, Mệnh đề 9). Vì mọi tập chỉ gồm một điểm đều là t… 08SV
Mệnh đề 11 — Cho G là một tập hợp, có hướng theo quan hệ ⊂, gồm các tập hợp mở khả tích trong X; để A = ⋃_G ∈ G G là khả tích, cần và đủ rằng sup_G ∈ G |μ|(G) < +∞, trong trường hợp đó μ(A) =… ↩ 1 08SW
Hệ quả — Cho 𝔉 là một tập hợp, có hướng theo quan hệ ⊃, gồm các tập hợp đóng khả tích trong X; khi đó tập hợp đóng B = ⋂_H ∈ 𝔉 H là khả tích, và ta có μ(B) = lim_𝔉 μ(H) và |μ|(B) = inf_H… 08SX
Định lý 4 — Để một tập hợp A là khả tích, cần và đủ rằng, với mọi ε > 0, tồn tại một tập hợp mở khả tích G và một tập compact K, sao cho K ⊂ A ⊂ G và |μ|(G - K) = |μ|(G) - |μ|(K) ≤ ε. ↩ 10 08SY
Hệ quả 1 — Để một tập A khả tích, cần và đủ là, với mọi ε > 0, tồn tại một tập compact K ⊂ A sao cho |μ|^*(A - K) ≤ ε. Khi đó |μ|(A) là cận trên đúng của tập các độ đo |μ|(K) của các tập co… ↩ 1 08SZ
Hệ quả 2 — Với mọi tập khả tích A, tồn tại: ↩ 3 08T0
Hệ quả 3 — Mọi tập có độ đo ngoài hữu hạn đều được chứa trong hợp của một tập không đáng kể và một họ đếm được các tập compact rời nhau từng đôi một sao cho tổng các độ đo của chúng là hữu… ↩ 2 08T1
Hệ quả 4 — Với mọi tập mở U trong X, |μ|^*(U) là cận trên đúng của các độ đo |μ|(K) của các tập compact K ⊂ U. ↩ 2 08T2
Mệnh đề 12 — Đối với một độ đo μ trên một không gian compact địa phương X để là bị chặn (Ch. III, §1, No. 8), điều kiện cần và đủ là X là một tập khả tích đối với μ (hay, điều tương đương là… ↩ 3 08T3
Mệnh đề 13 — Cho μ là một độ đo bị chặn trên X. Cho B là một cơ sở lọc trên L_Fᵖ có các tính chất sau: 1^∘ tồn tại một tập M ∈ B sao cho các hàm f ∈ M bị chặn đều trên X; 2^∘ B hội tụ đều trê… 08T4
Hệ quả — Đối với một độ đo bị chặn μ trên X, mọi ánh xạ liên tục bị chặn f của X vào F đều thuộc vào từng L_Fᵖ (1 ≤ p < +∞). 08T5
Mệnh đề 14 — Cho X là một không gian địa phương compact, F là một không gian Banach không bằng 0; trang bị cho không gian C(X; F) gồm tất cả các ánh xạ liên tục từ X vào F tôpô của sự hội tụ… ↩ 1 08T6
Mệnh đề 15 — Cho X là một không gian địa phương compact và, với mọi x ∈ X, cho εₓ là độ đo Dirac tại điểm x. Ánh xạ x ↦ εₓ của X vào C'(X; C) liên tục đối với tôpô của sự hội tụ compact trên… ↩ 2 08T7
Mệnh đề 16 — Cho K là một tập con compact của X, L là không gian vectơ của các độ đo μ trên X có giá nằm trong K. Trên L, các tôpô cảm sinh bởi tôpô T của sự hội tụ compact trên C'(X; C) và t… ↩ 1 08T8
Hệ quả 1 — Với mọi tập con compact K của X và mọi số a > 0, tập B gồm các độ đo μ trên X sao cho Supp(μ) ⊂ K và | μ | ≤ a là một tập con đều liên tục của C'(X; C) và compact đối với tôpô T… 08T9
Hệ quả 2 — Mọi độ đo có giá compact (resp. mọi độ đo dương có giá compact) μ đều nằm trong bao đóng của C'(X; C), đối với tôpô T của sự hội tụ compact, của tập các độ đo (resp. 08TA
Định nghĩa 3 Một tập hợp khác rỗng Φ gồm các tập con của một tập hợp A được gọi là một clan nếu tồn tại một đại số A (trên R) gồm các hàm giá trị thực xác định trên A, sao cho các quan hệ M ∈ Φ… 08TB
Ví dụ Nếu μ là một độ đo trên một không gian compact địa phương X thì các tổ hợp tuyến tính, với hệ số thực, của các hàm đặc trưng của các tập hợp khả tích lập thành một đại số A, vì, vớ… 08TC
Mệnh đề 17 Để một tập hợp khác rỗng Φ gồm các tập con của một tập hợp A là một clan, cần và đủ là nó thỏa mãn điều kiện sau: ↩ 1 08TD
Bổ đề Cho Φ là một tập hợp khác rỗng các tập con của A thỏa mãn tiên đề (CL). Cho một họ hữu hạn (Mᵢ)_1 ≤ i ≤ n các tập hợp trong Φ, tồn tại một 08TE
Định nghĩa 4 Cho một họ Φ các tập con của một tập A, và một không gian Banach F, người ta gọi hàm bậc thang² trên các tập của Φ (hay hàm bậc thang Φ), nhận giá trị trong F, mọi hàm có dạng ∑ᵢ a… ↩ 3 08TF
Nhận xét — Dễ thấy rằng Định nghĩa 4 tương đương với phát biểu sau đây: một hàm bậc thang Φ với giá trị trong F là một hàm f chỉ nhận một số hữu hạn giá trị và sao cho, với mọi a ≠ 0 trong… 08TG
Định nghĩa 5 — Một hàm nhận giá trị thực λ xác định trên một họ Φ gồm các tập con của một tập hợp A được gọi là cộng tính nếu, với mọi cặp M, N của các tập rời nhau thuộc Φ, λ(M ∪ N) = λ(M) + λ… ↩ 1 08TH
Mệnh đề 18 — Cho λ là một hàm tập hợp cộng tính xác định trên một họ Φ. Tồn tại một và chỉ một dạng tuyến tính (cũng ký hiệu λ) trên không gian vectơ E(Φ) của các hàm bậc thang Φ nhận giá trị… ↩ 1 08TI
Mệnh đề 19 — Cho X là một không gian địa phương compact, Φ một họ các tập con của X, chứa tập hợp các tập con compact của X. Với mọi ánh xạ liên tục f từ X vào một không gian Banach F (tức là… ↩ 3 08TJ
Hệ quả 1 Cho μ là một độ đo trên X; không gian E_F(Φ) trù mật trong mỗi không gian của các không gian L_Fᵖ (1 ≤ p < +∞). ↩ 2 08TK
Hệ quả 2 Với mọi tập con đóng S của X, mọi hàm f ∈ K(X, S; C) là giới hạn đều của các tổ hợp tuyến tính ∑ᵢ λᵢ φ_Kᵢ, trong đó các λᵢ thuộc C và các Kᵢ là các tập con compact của S. ↩ 1 08TL
Hệ quả 3 Nếu μ và ν là hai độ đo trên X sao cho μ(K) = ν(K) với mọi tập con compact K của X, thì μ = ν. ↩ 2 08TM
Định lý 5 Cho Φ là một tập các tập con của một không gian X địa phương compact, thỏa mãn (PCI) và (PC{II}), và cho α là một hàm nhận giá trị thực, xác định trên Φ, thỏa mãn các điều kiện (PM… ↩ 2 08TN
Hệ quả — Cho X là một không gian địa phương compact với một cơ sở đếm được, Ψ là tập các tập Borel của X, β là một ánh xạ của Ψ vào [0, +∞] thỏa mãn các điều kiện sau: 08TO

§ 5. Hàm và tập hợp đo được

Định nghĩa 1 Cho X là một không gian địa phương compact, μ là một độ đo trên X. Một ánh xạ f từ X vào một không gian tôpô F được gọi là đo được đối với độ đo μ (hoặc là μ-đo được) nếu, với mọi… ↩ 2 08UC
Mệnh đề 1 Để một ánh xạ f từ X vào F là đo được, điều kiện cần và đủ là, với mọi tập hợp compact K ⊂ X và mọi số ε > 0, tồn tại một tập hợp compact K₁ ⊂ K sao cho |μ|(K - K₁) ≤ ε và hạn chế… ↩ 2 08UD
Mệnh đề 2 Cho (Fₙ) là một dãy các không gian tôpô và, với mỗi n, cho fₙ là một ánh xạ đo được của X vào Fₙ. Với mọi tập compact K ⊂ X và mọi ε > 0, tồn tại một tập compact K₀ ⊂ K sao cho |μ|… ↩ 4 08UE
Định nghĩa 2 Một tập con A của X được gọi là đo được nếu hàm đặc số φ_A của nó là đo được. 08UF
Mệnh đề 3 Để một tập A là đo được, điều kiện cần và đủ là, với mọi tập compact K, A ∩ K là khả tích. ↩ 3 08UG
Hệ quả 1 Các tập mở và các tập đóng là đo được. 08UH
Hệ quả 2 — Nếu X là khả mêtric, thì mọi tập con Souslin A của X (GT, IX, §6, No. 2) đều là μ-đo được đối với mọi độ đo μ trên X. ↩ 2 08UI
Mệnh đề 4 (Nguyên lý địa phương hóa) — Cho f là một ánh xạ của X vào một không gian tôpô F. Giả sử rằng với mọi x ∈ X, tồn tại một lân cận khả tích Vₓ của x và một ánh xạ đo được gₓ của X vào F sao cho f(y) = gₓ(y) hầ… ↩ 3 08UJ
Định nghĩa 3 — Một tập hợp A ⊂ X được gọi là không đáng kể địa phương (đối với độ đo μ) nếu, với mọi x ∈ X, tồn tại một lân cận V của x sao cho V ∩ A là không đáng kể. 08UK
Mệnh đề 5 — Để một tập A là không đáng kể địa phương, điều kiện cần và đủ là, với mọi tập compact K, A ∩ K là không đáng kể. ↩ 4 08UL
Hệ quả 1 — Để một tập A là không đáng kể, điều kiện cần và đủ là nó không đáng kể địa phương và có độ đo ngoài hữu hạn. 08UM
Hệ quả 2 — Mọi tập mở không đáng kể địa phương đều không đáng kể (và do đó được chứa trong phần bù của giá của μ). ↩ 2 08UN
Hệ quả 3 — Trong một không gian compact địa phương X đếm được ở vô cực, mọi tập không đáng kể địa phương đều không đáng kể. 08UO
Hệ quả 4 — Cho f là một ánh xạ từ X vào một không gian tôpô F. Nếu tập N các điểm gián đoạn của f là không đáng kể địa phương, thì f là đo được. ↩ 1 08UP
Mệnh đề 6 Cho f là một ánh xạ đo được từ X vào một không gian tôpô F. Mọi ánh xạ từ X vào F bằng với f địa phương hầu khắp mọi nơi đều đo được. ↩ 1 08UQ
Định lý 1 Cho X là một không gian compact địa phương, μ một độ đo trên X, (Fₙ) một dãy các không gian tôpô, F = ∏ₙ Fₙ là tích của chúng. Với mỗi chỉ số n, cho fₙ là một ánh xạ đo được từ X v… ↩ 26 08UR
Nhận xét — 1) Định lý không mở rộng được cho một tích \emph{tùy ý} các không gian tôpô (Exer. 1). 2) Nếu f là một ánh xạ liên tục từ X vào chính nó, và g là một ánh xạ đo được từ X vào F, t… 08US
Hệ quả 1 Bao trên và bao dưới của một số hữu hạn các hàm số đo được (hữu hạn hay không) là đo được. Thật vậy, sup(u, v) và inf(u, v) liên tục trên overlineR × overlineR. ↩ 2 08UT
Hệ quả 2 Để một hàm số f (hữu hạn hay không) là đo được, điều kiện cần và đủ là f⁺ và f⁻ đo được. Điều kiện là cần theo Hệ quả 1; nó là đủ vì ảnh A của X trong overlineR × overlineR dưới án… 08UU
Hệ quả 3 — Nếu f và g là hai ánh xạ đo được từ X vào một không gian vectơ tôpô F, thì f + g và αf là đo được (α là một vô hướng tùy ý). ↩ 1 08UV
Hệ quả 4 — Cho F là một không gian vectơ chiều n trên R và (eₖ)_1 ≤ k ≤ n là một cơ sở của F. Để một hàm f = ∑ₖ₌₁ⁿ eₖ fₖ là đo được, điều kiện cần và đủ là mỗi hàm số fₖ đều đo được. 08UW
Hệ quả 5 — Cho F, G, H là ba không gian vectơ tôpô, và cho (u, v) \to [u \cdot v] là một ánh xạ song tuyến tính liên tục từ F \times G vào H. Nếu f là một ánh xạ đo được từ X vào F, và g là… ↩ 4 08UX
Hệ quả 6 — Nếu f là một ánh xạ đo được từ X vào một không gian định chuẩn F, thì hàm số f là đo được. ↩ 1 08UY
Định lý 2 (Egoroff) — Cho X là một không gian compact địa phương, μ một độ đo trên X, A một tập hợp đếm được, 𝔉 một bộ lọc trên A có một cơ sở đếm được, và (f_α)_α ∈ A một họ các ánh xạ đo được từ X v… ↩ 8 08UZ
Hệ quả 1 — Cho (fₙ) là một dãy các hàm số (hữu hạn hoặc không). Nếu các fₙ đo được, thì các hàm supₙ fₙ, infₙ fₙ, limsup_n → ∞ fₙ và liminf_n → ∞ fₙ đều đo được. ↩ 3 08V0
Hệ quả 2 — Các tập hợp đo được trong X lập thành một bộ lạc (GT, IX, §6, No. 3). ↩ 3 08V1
Hệ quả 3 Các tập Borel trong X (GT, IX, §6, No. 3, Định nghĩa 4) đều μ-đo được đối với mọi độ đo μ trên X. ↩ 1 08V2
Định lý 3 Để một ánh xạ f từ X vào một không gian khả mêtric F là đo được, điều kiện cần và đủ là, với mọi tập compact K ⊂ X, tồn tại một dãy (gₙ) các hàm thang đo được, nhận giá trị trong F… ↩ 5 08V3
Hệ quả 1 Cho f là một ánh xạ đo được từ X vào một không gian Banach F; với mọi tập compact K ⊂ X, tồn tại một dãy (gₙ) các hàm bậc thang đo được, có giá đỡ được chứa trong K, sao cho |gₙ(x)… ↩ 1 08V4
Hệ quả 2 Cho X là một không gian địa phương compact đếm được ở vô cực. Nếu f là một ánh xạ đo được từ X vào một không gian khả mêtric F, thì tồn tại một dãy (gₙ) các hàm bậc thang đo được… 08V5
Mệnh đề 7 Cho f là một ánh xạ đo được từ X vào một không gian tôpô F; ảnh ngược theo f của mọi tập đóng (tương ứng, mở) trong F đều đo được. ↩ 10 08V6
Định lý 4 — Cho F là một không gian khả mêtric hóa và d là một mêtric trên F tương thích với tôpô. Để một ánh xạ f từ X vào F là đo được, điều kiện cần và đủ là nó thỏa mãn hai điều kiện sau… ↩ 8 08V7
Nhận xét 1 Chỉ riêng điều kiện a) không đủ để f đo được (Bài tập 7). 08V8
Nhận xét 2 Nếu tôpô của F có một cơ sở đếm được thì điều kiện b) của Định lý 4 tự động được thỏa mãn đối với mọi ánh xạ từ X vào F. Hơn nữa, chứng minh cho thấy rằng chỉ cần giả thiết các ảnh… 08V9
Nhận xét 3 Giả thiết a) có thể được thay bằng điều kiện rằng ảnh ngược qua f của mọi quả cầu mở của F đều đo được. 08VA
Mệnh đề 8 — Cho D là một tập con đếm được trù mật của R. Để một hàm số f (hữu hạn hoặc không) là đo được, điều kiện đủ (và cần) là với mọi a ∈ D, tập hợp các x ∈ X sao cho f(x) ≥ a là đo đượ… 08VB
Hệ quả — Mọi hàm nửa liên tục dưới (ứng với nửa liên tục trên) đều đo được. ↩ 3 08VC
Mệnh đề 9 — Nếu F là một không gian compact khả mêtric, thì mọi ánh xạ đo được f từ X vào F đều là giới hạn đều (trên toàn bộ X) của một dãy các hàm bậc thang đo được. 08VD
Mệnh đề 10 — Cho F là một không gian Banach tách được, F' là đối ngẫu của nó, và (a'ₙ) là một dãy trù mật yếu trong quả cầu đơn vị của F' (TVS, III, § 3, No. 4, Hệ quả 2 của Mệnh đề 6).¹ Để m… ↩ 5 08VE
Hệ quả 1 Cho F là một không gian Banach. Để một ánh xạ f từ X vào F là đo được, điều kiện cần và đủ là nó thỏa mãn hai điều kiện sau: 08VF
Hệ quả 2 Cho F là một không gian lồi địa phương vừa khả mêtric vừa tách được, và gọi F' là đối ngẫu của nó. Để một ánh xạ f từ X vào F là đo được, điều kiện cần và đủ là với mọi a' ∈ F', hà… 08VG
Mệnh đề 11 Cho F là một không gian lồi địa phương là giới hạn trực tiếp của một dãy các không gian lồi địa phương khả mêtric tách được Fₙ, F là hợp của các Fₙ. Cho F' là đối ngẫu của F, được… 08VH
Định lý 5 — Để một ánh xạ f từ X vào một không gian Banach F là khả tích lũy thừa bậc p (1 ≤ p < +∞), điều kiện cần và đủ là f đo được và Nₚ(f) là hữu hạn. ↩ 18 08VI
Bổ đề 1 Cho g là một hàm nhận giá trị trong F, sao cho Np(g) < +\infty (nói cách khác, một hàm trong F_Fᵖ). Tập hợp A các điểm x \in X sao cho g(x) \neq 0 được chứa trong hợp của một tập k… ↩ 2 08VJ
Hệ quả 1 Để một tập hợp là khả tích, điều kiện cần và đủ là nó đo được và có độ đo ngoài hữu hạn. 08VK
Hệ quả 2 Cho (Fₙ) là một dãy các không gian tôpô; với mọi chỉ số n, gọi fₙ là một ánh xạ đo được từ X vào Fₙ và đặt f(x) = (fₙ(x)) ∈ F = ∏ₙ Fₙ; sau cùng, gọi u là một ánh xạ liên tục từ f(X… 08VL
Hệ quả 3 Với mọi hàm khả tích f và mọi tập hợp đo được A, hàm f φ_A là khả tích. ↩ 1 08VM
Hệ quả 4 Với mọi dãy (fₙ) các hàm đo được geqslant 0 trên X, ↩ 2 08VN
Hệ quả 5 Với mọi dãy (Aₙ) gồm các tập hợp đo được rời nhau từng đôi một, 08VO
Định nghĩa 4 — Cho Y là một không gian con compact địa phương của một không gian compact địa phương X, ta gọi độ đo cảm sinh trên Y bởi một độ đo μ trên X, và ký hiệu là μ_Y hoặc μ|Y, là độ đo… ↩ 2 08VP
Ví dụ — Cho μ là độ đo Lebesgue trên R, I là bất kỳ khoảng nào trong R; I là một không gian con compact địa phương của R, và độ đo cảm sinh bởi μ trên I là dạng tuyến tính 08VQ
Bổ đề 2 — Cho μ là một độ đo dương trên X, và cho K là một tập con compact của X. ↩ 3 08VR
Bổ đề 3 Cho Y là một không gian con địa phương compact của X; với mọi độ đo μ trên X, |μ_Y| = |μ|_Y. ↩ 5 08VS
Mệnh đề 12 — Cho μ là một độ đo trên một không gian compact địa phương X, A là một tập con μ-đo được của X, và K là một tập hợp các tập con compact của A thỏa mãn các điều kiện sau: (PLI) Mọi… ↩ 8 08VT
Định nghĩa 6 — Cho A là một tập con μ-đo được của X. Một tập hợp K các tập con compac của A được gọi là μ-trù mật trong A nếu nó thỏa mãn các điều kiện (PLI), (PLII), a), b), c), d) của Mệnh đề… ↩ 1 08VU
Nhận xét — Giả sử rằng A là hợp của một dãy (Lₙ) các tập compact và một tập hợp μ-không đáng kể (resp. địa phương μ-không đáng kể), và gọi K là một tập hợp các tập con compact μ-trù mật tro… 08VV
Mệnh đề 13 Cho A là một tập con μ-đo được của X, K là một tập hợp các tập con compact μ-trù mật trong A. Gọi ℌ là một tập hợp các tập con compact của A thỏa mãn (PL_I) và (PL_II) và sao cho… ↩ 2 08VW
Định nghĩa 7 Một tập hợp 𝔄 các tập con của một không gian tôpô T được gọi là đếm được địa phương nếu, với mọi t ∈ T, tồn tại một lân cận V của t sao cho tập hợp các A ∈ 𝔄 cắt V là đếm được. 08VX
Mệnh đề 14 Cho X là một không gian compact địa phương, μ là một độ đo trên X, A là một tập con μ-đo được của X, và K là một tập hợp các tập con compact của A mà μ-trù mật trong A. Tồn tại một… ↩ 6 08VY
Mệnh đề 15 Cho X là một không gian compact địa phương, μ một độ đo trên X, A một tập con μ-đo được của X, và f một ánh xạ từ A vào một không gian tôpô F. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 14 08VZ
Định nghĩa 8 Cho X là một không gian compact địa phương, μ là một độ đo trên X, và A là một tập con μ-đo được của X. Một ánh xạ f từ A vào một không gian tôpô F được gọi là μ-đo được nếu nó thỏ… ↩ 1 08W0
Hệ quả 1 Cho X là một không gian compact địa phương, μ là một độ đo trên X, A là một tập con μ-đo được của X, và f là một ánh xạ μ-đo được từ A vào một không gian tôpô F. Cho K là một tập h… 08W1
Hệ quả 2 Cho K là một không gian con compact của X; để một ánh xạ f từ K vào một không gian tôpô F là μ-đo được, điều cần và đủ là nó μ_K-đo được. 08W2
Mệnh đề 16 Cho 𝔄 là một tập hợp đếm được địa phương các tập con μ-đo được của X và đặt B = ⋃_A ∈ 𝔄 A. Để một ánh xạ f từ B vào một không gian tôpô F là μ-đo được, điều cần và đủ là hạn chế củ… ↩ 5 08W3
Định nghĩa 9 Cấu trúc đều trên S(A, μ; F) mà trong đó các W(V, B, δ) tạo thành một hệ cơ bản các lân cận đều được gọi là cấu trúc đều của sự hội tụ theo độ đo trong A.. 08W4
Mệnh đề 17 — Cho (A_λ)_λ ∈ L là một họ đếm được địa phương các tập con μ-đo được của A, rời nhau từng đôi một và sao cho A - ⋃_λ ∈ L A_λ là μ-không đáng kể địa phương. Nếu, với mọi lớp f ∈ S(… ↩ 2 08W5
Mệnh đề 18 — Nếu F khả mêtric, và A là hợp của một tập hợp địa phương μ-không đáng kể và một dãy (Aₙ) các tập hợp μ-khả tích, thì không gian S(A, μ; F) là khả mêtric. ↩ 1 08W6
Bổ đề 4 — Cho F là một không gian đều khả mêtric, và cho B ⊂ A là một hợp đếm được của các tập hợp μ-khả tích. Khi đó, với mọi dãy Cauchy (fₙ) trong S(A, μ; F), tồn tại một dãy con (f_nₖ)… ↩ 2 08W7
Mệnh đề 19 Nếu không gian đều F là mêtrizable và đầy đủ, thì không gian đều S(A, μ; F) là đầy đủ. 08W8
Hệ quả — Cho F là một không gian đều có thể mêtric hóa. 08W9
Mệnh đề 20 — Cho F là một không gian Banach, được trang bị cấu trúc đều xác định bởi chuẩn của nó. ↩ 1 08WA
Nhận xét — 1) Không gian vectơ tôpô S(X, μ; F) không nhất thiết lồi địa phương (Bài tập 24). 2) Tôpô cảm sinh trên tập hợp các f sao cho Nₚ(f) ≤ 1 bởi tôpô hội tụ theo độ đo có thể thực sự… 08WB
Định nghĩa 10 Cho X là một không gian địa phương compact, μ là một độ đo trên X, F là một không gian Banach, và p ∈ [1, +∞[. Một tập con H của L_Fᵖ(X, μ) được gọi là đồng khả tích cấp p (đối với… ↩ 1 08WC
Nhận xét — Giả sử μ bị chặn. Với mọi a > 0, tập hợp các ánh xạ đo được từ X vào F sao cho |f(x)| ≤ a hầu khắp nơi là đồng khả tích cấp p, và điều này đúng với mọi p ∈ [1, +∞[. 08WD
Mệnh đề 21 Cho H là một tập con của L_Fᵖ(X, μ) đồng khả tích cấp p. Trên H, cấu trúc đều của hội tụ theo độ đo bằng cấu trúc đều cảm sinh bởi cấu trúc đều của L_Fᵖ(X, μ). ↩ 1 08WE
Bổ đề 5 Cho X là một không gian địa phương compact, μ là một độ đo dương bị chặn trên X, F là một không gian Banach, và f là một hàm bị chặn trên X nhận giá trị trong F. Các điều kiện sau… ↩ 1 08WF
Mệnh đề 22 — Cho F là một không gian Banach, X một không gian compact địa phương, E tập hợp các độ đo dương bị chặn trên X, μ một phần tử của E, và B một cơ sở lọc trên E. Giả sử rằng B hội t… ↩ 2 08WG
Nhận xét Các điều kiện (i) và (ii) của Mệnh đề 22 được thỏa mãn nếu f liên tục và bị chặn. 08WH
Ví dụ Lấy X là không gian compact U gồm các số phức có giá trị tuyệt đối bằng 1. Đặt μ(f) = ∫₀¹ f(e^2iπ t) dt với mọi f ∈ H(U), ta định nghĩa được một độ đo dương có khối lượng 1 trên U… 08WI

§ 6. Các bất đẳng thức lồi

Định lý 1 — Cho X là một không gian compact địa phương, μ là một độ đo dương trên X, F là một không gian Banach thực, D là một tập lồi đóng trong F, và f là một hàm trên X sao cho f(X) ⊂ D… ↩ 2 08XD
Hệ quả — Nếu độ đo dương μ có khối lượng toàn phần bằng 1 và nếu f khả tích, thì ∫ f dμ thuộc bao lồi đóng của f(X) trong F. 08XE
Định nghĩa 1 — Cho X là một không gian compact địa phương, μ là một độ đo trên X. Cho một hàm số số học f (hữu hạn hoặc không), được xác định địa phương hầu khắp nơi trong X, ta gọi là cực đại… 08XF
Mệnh đề 1 (Bất đẳng thức của giá trị trung bình) — Cho f là một hàm số thực đo được bị chặn theo độ đo. Với mọi hàm số thực khả tích g geqslant 0, hàm fg (được xác định hầu khắp nơi) là khả tích và ↩ 4 08XG
Định nghĩa 2 Với mọi ánh xạ f của X vào một không gian Banach F, đặt N_∞(f) = M_∞(|f|); f được gọi là bị chặn theo độ đo (đối với độ đo μ) nếu N_∞(f) là hữu hạn. Tập hợp các ánh xạ của X vào F… ↩ 1 08XH
Mệnh đề 2 Không gian L_F^∞ là đầy đủ; không gian L_F^∞ là một không gian Banach. ↩ 1 08XI
Nhận xét — 1) Mọi hàm liên tục bị chặn f trên X với các giá trị trong F đều thuộc L_F^∞, và 08XJ
Định lý 2 (Bất đẳng thức Hölder) — Cho f và g là hai hàm số có giá trị số hữu hạn hầu khắp nơi và sao cho f bằng hầu khắp nơi một hàm thuộc Lᵖ và g bằng hầu khắp nơi một hàm thuộc L^q. Khi đó, hàm fg (được xác địn… ↩ 3 08XK
Hệ quả 1 — Cho F, G, H là ba không gian Banach, và cho (u, v) ↦ Φ(u, v) là một ánh xạ song tuyến tính liên tục của F × G vào H sao cho |Φ(u, v)| ≤ |u| · |v|. Nếu f ∈ L_Fᵖ và g ∈ L_G^q, thì… ↩ 2 08XL
Hệ quả 2 — Cho F là một không gian Banach thực (tương ứng phức), F' là đối ngẫu mạnh của nó (TVS, III, § 3, No. 1), và cho (z, z') ↦ ⟨ z, z' ⟩ là dạng song tuyến tính chính tắc trên F × F'… ↩ 1 08XM
Hệ quả 3 — Cho μ là một độ đo dương trên X, F là một không gian Hilbert thực (tương ứng phức). Trên không gian L_F², dạng đối xứng (tương ứng Hermit) 08XN
Hệ quả 4 — Cho F là một không gian Banach, f là một hàm trong L_Fᵖ, và g là một hàm số thuộc L^q; khi đó, hàm fg là khả tích và ↩ 1 08XO
Hệ quả 5 — Cho f₁, f₂, …, fₙ là n hàm khả tích dương, và cho α₁, α₂, …, αₙ là n số > 0 sao cho ∑ᵢ₌₁ⁿ αᵢ = 1; dưới các điều kiện này, hàm f₁^α₁ f₂^α₂ ⋯ fₙ^αₙ là khả tích và 08XP
Mệnh đề 3 — Cho μ là một độ đo dương trên X, F là một không gian Banach thực hoặc phức, F' là đối ngẫu mạnh của nó, và (z, z') ↦ ⟨ z, z' ⟩ là dạng song tuyến tính chính tắc trên F × F'. ↩ 1 08XQ
Nhận xét — 1) Cho E là một không gian con tuyến tính trù mật của L_F'^q; khi đó công thức (9) đúng khi g chạy trên giao của E với tập hợp B gồm các hàm trong L_F'^q sao cho N_q(g) ≤ 1. Thật… 08XR
Hệ quả — Cho μ là một độ đo dương trên X, F là một không gian Banach, F' là đối ngẫu mạnh của nó, và g là một hàm bất kỳ trong L^q_F'. Khi đó, dạng tuyến tính trên Lᵖ_F, suy ra từ dạng tu… ↩ 1 08XS
Mệnh đề 4 — Cho f là một hàm đo được với các giá trị trong một không gian Banach F; tập hợp I các số p, sao cho 1 ≤ p ≤ +∞ và Nₚ(f) là hữu hạn, hoặc là rỗng hoặc là một khoảng của overlineR… ↩ 8 08XT
Hệ quả — Nếu r, s, p là ba số sao cho ↩ 2 08XU
Mệnh đề 5 — Cho μ là một độ đo bị chặn, và cho f là một hàm μ-đo được với các giá trị trong một không gian Banach F. Tập hợp I các số p sao cho 1 ≤ p ≤ +∞ và Nₚ(f) là hữu hạn, hoặc là rỗng h… ↩ 1 08XV
Hệ quả — Nếu độ đo μ bị chặn, quan hệ r < s kéo theo L_Fˢ ⊂ L_Fʳ; hơn nữa, tôpô của sự hội tụ theo trung bình cấp s mịn hơn tôpô của sự hội tụ theo trung bình cấp r (trên L_Fˢ). 08XW
Mệnh đề 6 — Cho X là một không gian rời rạc, μ là độ đo trên X được xác định bằng cách đặt khối lượng +1 tại mỗi điểm của X. Nếu f là một ánh xạ từ X vào không gian Banach F, tập hợp I các s… 08XX
Hệ quả — Nếu X là rời rạc và độ đo μ được xác định bởi một khối lượng +1 tại mỗi điểm của X, thì quan hệ r < s kéo theo L_Fʳ ⊂ L_Fˢ; hơn nữa, tôpô của sự hội tụ theo trung bình cấp r mịn… 08XY

§ 7. Trọng tâm

Định nghĩa 1 Cho K là một tập con compắc của một không gian lồi địa phương Hausdorff E. Với mọi độ đo dương μ trên K có tổng khối lượng bằng 1, vectơ b_μ = ∫ x dμ(x) (thuộc E'^*) được gọi là tr… 08YJ
Ví dụ — Cho μ là một độ đo rời rạc trên K, dương và có tổng khối lượng bằng 1; khi đó nó có dạng μ = ∑ᵢ₌₁ⁿ λᵢ ε_xᵢ, trong đó xᵢ ∈ K, và các λᵢ là những số thực sao cho λᵢ ≥ 0 với mọi i v… 08YK
Mệnh đề 1 Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff, K là một tập con compắc của E, và C là bao lồi đóng của K trong E. Khi đó tập C gồm các điểm của E là trọng tâm của ít nhất một độ… ↩ 4 08YL
Hệ quả Nếu bao lồi đóng C của K trong E là compắc, thì trọng tâm của mọi độ đo dương có tổng khối lượng 1 trên K đều thuộc E. ↩ 1 08YM
Nhận xét Hệ quả của Mệnh đề 1 áp dụng được đặc biệt khi K lồi hoặc khi E là gần đầy đủ. 08YN
Mệnh đề 2 — Cho K là một tập con compắc lồi của một không gian lồi địa phương Hausdorff E, μ là một độ đo dương có tổng khối lượng 1 trên K, b_μ là trọng tâm của nó. Với mọi hàm số lồi f ≥ 0… ↩ 2 08YO
Hệ quả — Với mọi hàm số lồi g trên K bị chặn và nửa liên tục dưới, g(b_μ) ≤ ∫ g dμ. ↩ 2 08YP
Mệnh đề 3 — Cho K là một tập con compắc lồi của một không gian lồi địa phương Hausdorff E, x là một điểm của K. Mọi độ đo μ trên K, dương, có tổng khối lượng 1, và nhận x làm trọng tâm, đều… ↩ 1 08YQ
Hệ quả — Cho K' là một tập con compắc của K sao cho K là bao lồi đóng của K'. Để x ∈ K' là một điểm cực biên của K, điều kiện cần và đủ là εₓ là độ đo dương duy nhất trên K', có khối lượn… ↩ 1 08YR
Định lý 1 (Choquet) — Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff trên R, K là một tập con lồi compắc khả mêtric của E, và M là tập hợp các điểm cực biên của K. Tập hợp M là giao của một họ đếm đ… ↩ 5 08YS
Bổ đề 1 — Cho overlineu là bao dưới của các hàm afin tuyến tính liên tục trên E mà ≥ u trên K. Khi đó S là tập hợp các điểm (a, b) ∈ E × R sao cho a ∈ K và u(a) ≤ b ≤ overlineu(a). ↩ 1 08YT
Bổ đề 2 Nếu u là chặt lồi trên K, thì u(x) < overlineu(x) với mọi điểm không cực biên x của K. 08YU
Bổ đề 3 Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff trên R, và K là một tập con lồi compac khả mêtric của E. Khi đó tồn tại một hàm số thực chặt lồi trên K. 08YV
Hệ quả Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff trên R, C là một nón lồi thực sự trong E có đỉnh 0, đầy đủ và mêtric hóa được đối với cấu trúc đều cảm sinh bởi cấu trúc đều yếu hó… 08YW
Mệnh đề 4 (i) Bao lồi đóng C của i_H(X) trong H' (đối với tôpô yếu σ(H', H)) là compắc. ↩ 2 08YX
Mệnh đề 5 Mọi hàm h ∈ H đều đạt tới cận trên đúng của nó tại ít nhất một điểm H-cực biên. ↩ 4 08YY
Mệnh đề 6 Với mọi điểm x ∈ X, các tính chất sau là tương đương: ↩ 1 08YZ
Mệnh đề 7 Cho F là một tập con đóng của X. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 2 08Z0
Mệnh đề 8 Giả sử X là khả mêtric. Khi đó tập hợp Ch_H(X) các điểm H-cực biên của X là giao của một họ đếm được các tập mở trong X, và với mọi x ∈ X, tồn tại một độ đo dương μ có tổng khối lư… 08Z1
Ví dụ — Lấy X là quả cầu đơn vị |x| ≤ 1 trong R³, và gọi H là một không gian vectơ các hàm liên tục trên X, chứa các hạn chế lên X của các hàm afin tuyến tính trên R³ và thỏa mãn nguyên… 08Z2
Mệnh đề 9 Với mọi hàm f ∈ H, Ch_H(X) giao với tập hợp các điểm mà tại đó |f| đạt tới chặn trên đúng của nó. ↩ 3 08Z3
Mệnh đề 10 Cho F là một tập con đóng của X. Các tính chất sau là tương đương: a) F chứa checkS_H(X). b) Với mọi hàm f ∈ H, F giao với tập hợp các điểm của X tại đó |f| đạt tới cận trên của nó… 08Z4
Nhận xét Nếu f là một hàm thực liên tục, một điểm tại đó |f| đạt tới cận trên của nó là một điểm tại đó một trong hai hàm f, -f đạt tới cận trên của nó. Đối với một không gian vectơ H các h… 08Z5
Bổ đề 4 Cho X là một không gian compact, H là một không gian con tuyến tính đóng của không gian Banach C(X; C) (tương ứng C(X; R)). Cho a là một điểm của X có một hệ cơ bản đếm được các lâ… ↩ 1 08Z6
Định lý 2 (E. Bishop) — Cho X là một không gian compact, A là một đại số con đóng của đại số Banach phức C(X; C). Giả sử rằng A chứa các hằng số và phân biệt các điểm của X. Cho a là một điểm của X; các… ↩ 1 08Z7
Hệ quả — Giả sử thêm rằng X mêtric hóa được. Khi đó các tính chất sau là tương đương: 08Z8
Ví dụ — Cho X₁ là tập hợp các điểm (z₁, z₂) ∈ C² sao cho |z₁|² + |z₂|² ≤ 1 (quả cầu đơn vị trong R⁴) và cho A₁' là tập hợp các hạn chế lên X₁ của các hàm chỉnh hình, nhận giá trị trong C… 08Z9
Bổ đề 5 Giả sử rằng C là yếu đầy đủ. Cho A là tập hợp các hạn chế lên C của các dạng tuyến tính liên tục trên E. Cho (f_λ)_λ ∈ Λ là một họ hữu hạn các phần tử của A, và f = sup(f_λ). Với m… ↩ 2 08ZA
Bổ đề 6 Ta giữ nguyên các giả thiết và ký hiệu của Bổ đề 5, và giả sử các f_λ là dương. Hàm overlinef là thuần nhất dương, lõm và nửa liên tục trên trong C. Nó là afin nếu C có thứ tự dàn. ↩ 1 08ZB
Định lý 3 (Choquet) Cho E là một không gian lồi địa phương yếu Hausdorff, C là một nón lồi thực sự đầy đủ yếu có đỉnh 0 trong E, G là hợp của các đường sinh cực biên của C, K là một tập con lồi compắc… ↩ 1 08ZC
Hệ quả Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff, C là một nón lồi thực sự có đỉnh 0 trong E, thừa nhận một đáy compắc M, và gọi G là hợp của các đường sinh cực biên của C. Cho x ∈… 08ZD

V. Tích phân của các độ đo

§ 1. Tích phân trên cốt yếu

Định nghĩa 1 Với mọi hàm f ∈ F₊(T), ta gọi tích phân trên cốt yếu của f đối với μ, và ký hiệu là μ^bullet(f), là supremum, hữu hạn hoặc không, của tập hợp các số μ^*(f φ_K), trong đó K chạy trê… ↩ 1 08ZO
Mệnh đề 1 a) Nếu f và g là hai hàm số ≥ 0 bằng nhau hầu khắp nơi địa phương, thì μ^bullet(f) = μ^bullet(g). b) Nếu f và g là hai hàm số ≥ 0 sao cho f ≤ g, thì μ^bullet(f) ≤ μ^bullet(g). c) N… ↩ 4 08ZP
Mệnh đề 2 Cho f, g, h là ba phần tử của F₊; nếu g và h đo được, thì ↩ 2 08ZQ
Hệ quả Cho f là một hàm ≥ 0, (gₙ) là một dãy các hàm đo được ≥ 0; khi đó ∫^bullet f ( ∑ₙ gₙ ) dμ = ∑ₙ ( ∫^bullet f gₙ dμ ). ↩ 1 08ZR
Mệnh đề 3 Với mọi số hữu hạn α ≥ 0 và mọi cặp độ đo μ, ν trên T, ↩ 2 08ZS
Mệnh đề 4 — Với mọi hàm số f geqslant 0 nửa liên tục dưới trên T, μ^bullet(f) = μ^*(f). ↩ 5 08ZT
Mệnh đề 5 — Cho A là một tập con của T; các tính chất sau là tương đương: a) Tập hợp A được chứa trong hợp của một dãy các tập mở μ-nguyên. b) Tập hợp A được chứa trong hợp của một dãy các t… ↩ 4 08ZU
Định nghĩa 2 — Một tập con của T được gọi là μ-điều hòa nếu nó thỏa mãn các điều kiện tương đương của Mệnh đề 5. Một hàm xác định trên T, có giá trị trong một không gian vectơ hoặc trong overli… 08ZV
Nhận xét — 1) Nếu θ là một độ đo phức trên T, ta nói rằng một hàm f là θ-điều hòa (tương ứng rằng θ là điều hòa) nếu f là |θ|-điều hòa (tương ứng nếu |θ| là điều hòa). 2) Mọi độ đo bị chặn… 08ZW
Mệnh đề 6 — Cho f là một hàm số dương xác định trên T là μ-đo được và μ-điều hòa. Khi đó tồn tại một dãy (hₙ)_n ∈ N các phần tử của F₊(T), có tổng bằng f, có các tính chất sau: ↩ 3 08ZX
Mệnh đề 7 — Cho f là một phần tử của F₊(T). 1) Nếu hàm f không μ-điều hòa, thì μ^*(f) = +∞. 2) Nếu hàm f là μ-điều hòa, thì μ^*(f) = μ^*(f). 3) Nếu μ^*(f) < +∞ thì tồn tại một tập con μ-điều… ↩ 5 08ZY
Hệ quả 1 Để f là không đáng kể, điều kiện cần và đủ là nó không đáng kể địa phương và bị điều hòa. ↩ 2 08ZZ
Hệ quả 2 Nếu μ là một độ đo bị điều hòa (đặc biệt nếu μ bị chặn, hoặc nếu T là đếm được tại vô hạn), thì μ^* = μ^bullet. ↩ 1 0900
Mệnh đề 8 a) Cho H là một tập hợp các hàm ≥ 0, nửa liên tục dưới, có hướng đối với quan hệ ≤; khi đó 0901
Bổ đề Cho g và g' là hai ánh xạ μ-bị điều hòa với các giá trị trong F; nếu g và g' bằng địa phương hầu khắp nơi với cùng một hàm f, thì g = g' hầu khắp nơi. 0902
Mệnh đề 9 Đối với một ánh xạ f của T vào F thuộc overlineF_Fᵖ (tương ứng thuộc overlineL_Fᵖ), điều kiện cần và đủ là (tương ứng rằng f đo được và rằng) ↩ 5 0903
Hệ quả Để f thuộc L_Fᵖ, điều kiện cần và đủ là f thuộc overlineL_Fᵖ và là điều hòa. ↩ 4 0904
Định nghĩa 3 Các phần tử của overlineL_F¹ được gọi là các hàm khả tích thiết yếu với giá trị trong F. Khi hợp thành ánh xạ tildef ↦ μ(f) của L_F¹ vào F với ánh xạ chính tắc của overlineL_F¹ lên… ↩ 1 0905
Mệnh đề 10 Cho 𝔎 là một tập hợp trù mật theo μ của các tập con compact của T. ↩ 3 0906
Mệnh đề 11 — Cho (λ_α)_α ∈ A là một họ các độ đo dương trên T, có hướng theo quan hệ ≤ và có supremum λ trong M(T). Khi đó, với mọi hàm số f ≥ 0, ↩ 8 0907
Hệ quả 1 Để một tập con N của T là địa phương λ-không đáng kể, điều kiện cần và đủ là N địa phương λ_α-không đáng kể với mọi α ∈ A. ↩ 1 0908
Hệ quả 2 Để một ánh xạ g từ T vào một không gian tôpô G là λ-đo được, điều kiện cần và đủ là nó λ_α-đo được với mọi α ∈ A. ↩ 2 0909

§ 2. Các họ khả tổng của các độ đo dương

Nhận xét 1 Ngay lập tức thấy rằng, khi họ (λ_α)_α ∈ A khả tổng, tổng của nó là cận trên đúng trong M₊(X) của các tổng riêng hữu hạn ∑_α ∈ J λ_α, trong đó J chạy qua tập hợp các tập con hữu hạ… ↩ 1 090G
Nhận xét 2 Cho (θ_α)_α ∈ A là một họ các độ đo phức trên X; họ (θ_α) được gọi là khả tổng nếu họ (|θ_α|) của các độ đo dương khả tổng; điều này chưa đủ để họ (θ_α) khả tổng trong không gian v… ↩ 1 090H
Mệnh đề 1 — Cho f là một hàm số lượng dương xác định trên X. Khi đó ν^bullet(f) = ∑_α ∈ A λ_α^bullet(f). ↩ 7 090I
Hệ quả 1 — Với mọi tập con compact (tương ứng mở và tương đối compact) M của X, ν(M) = ∑_α ∈ A λ_α(M). 090J
Hệ quả 2 — Để một tập con N của X là địa phương ν-không đáng kể, cần và đủ rằng, với mọi α ∈ A, N là địa phương λ_α-không đáng kể. ↩ 2 090K
Hệ quả 3 — Với mọi hàm f ∈ F₊(X), ν^*(f) ≥ ∑_α ∈ A λ_α^*(f). 090L
Mệnh đề 2 — Cho f là một ánh xạ từ X vào một không gian tôpô G. Để f là ν-đo được, cần và đủ là f là λ_α-đo được với mọi α ∈ A. ↩ 6 090M
Mệnh đề 3 — Để một ánh xạ f từ X vào một không gian Banach F là khả tích thiết yếu theo ν, cần và đủ là f khả tích thiết yếu theo λ_α với mọi α ∈ A và ↩ 4 090N
Hệ quả 1 — Giả sử rằng f là ν-khả tích; khi đó f là λ_α-khả tích với mọi α ∈ A, và công thức (6) đúng. Ngược lại, nếu tập hợp A là hữu hạn và f là λ_α-khả tích với mọi α ∈ A, thì hàm f là ν… ↩ 1 090O
Hệ quả 2 — Cho θ là một độ đo phức trên X; đặt θ₁ = (Re θ)⁺, θ₂ = (Re θ)⁻, θ₃ = (Im θ)⁺, θ₄ = (Im θ)⁻. Để một ánh xạ f của X vào một không gian tôpô G (tương ứng vào một không gian Banach F… 090P
Mệnh đề 4 — Cho μ là một độ đo dương trên một không gian compact địa phương T, và cho 𝔎 là một tập trù mật theo μ gồm các tập con compact của T. Tồn tại một họ khả tổng (μ_α)_α ∈ A gồm các đ… ↩ 12 090Q
Nhận xét Một độ đo dương có thể là tổng của một dãy các độ đo có giá đỡ compact, mà không điều độ (xem Bài tập 4 a) của § 1). 090R

§ 3. Tích phân của các đo dương

Ví dụ 1 Giả sử rằng T là một không gian rời rạc, và μ là độ đo trên T được xác định bằng cách đặt một khối lượng +1 tại mỗi điểm của T (Ch. III, §1, No. 3). Cho h là một hàm geqslant 0 xác… 090W
Ví dụ 2 Ánh xạ t ↦ εₜ của T vào M₊(T) là liên tục yếu, khả tích cốt yếu μ vô hướng đối với mọi độ đo dương μ trên T, và ta có ∫ εₜ dμ(t) = μ. 090X
Mệnh đề 1 Giả sử rằng μ là cận trên của một họ có hướng tăng (μᵢ)_i ∈ I các độ đo dương trên T; để Λ : t ↦ λₜ là khả tích cốt yếu μ vô hướng, điều kiện cần và đủ là Λ khả tích cốt yếu μᵢ vô… ↩ 1 090Y
Hệ quả — Giả sử rằng μ là tổng của một họ khả tổng (μ_α)_α ∈ A các độ đo dương trên T; để cho Λ : t ↦ λₜ là khả tích vô hướng thiết yếu μ, điều kiện cần và đủ là Λ khả tích vô hướng thiết… ↩ 5 090Z
Định nghĩa 1 — Cho X là một không gian compact địa phương, Λ : t ↦ λₜ là một ánh xạ khả tích vô hướng thiết yếu μ từ T vào M₊(X), và ν là tích phân của Λ. ↩ 6 0910
Mệnh đề 2 — Cho Λ : t ↦ λₜ là một ánh xạ khả tích vô hướng thiết yếu μ từ T vào M₊(X), và cho ν = ∫ λₜ dμ(t). ↩ 8 0911
Bổ đề Cho X là một không gian compact địa phương có một cơ sở đếm được. Khi đó, tồn tại trong K(X) một tập con đếm được S có tính chất sau: với mọi hàm f ∈ K(X), tồn tại một dãy (fₙ) các… 0912
Mệnh đề 3 — Gọi f là một hàm số geqslant 0 xác định trên X. a) Các bất đẳng thức sau đúng: ↩ 6 0913
Hệ quả 1 — Cho f là một hàm ≥ 0 xác định trên X, và cho H là tập hợp các t ∈ T sao cho f không λₜ-bỏ qua được. a) Nếu f ν-bỏ qua được, thì H là địa phương μ-bỏ qua được. b) Nếu f là ν-bỏ qu… ↩ 4 0914
Hệ quả 2 — Cho f là một hàm ≥ 0 xác định trên X, ν-đo được và ν-điều hòa. Tập hợp các t ∈ T sao cho f không λₜ-điều hòa được khi đó là địa phương μ-bỏ qua được (và thậm chí μ-bỏ qua được nế… ↩ 1 0915
Mệnh đề 4 — Cho f là một hàm ν-đo được xác định trên X, với các giá trị trong một không gian tôpô G, và cho M là tập hợp các t ∈ T sao cho f không λₜ-đo được. a) Giả sử rằng f là hằng trên p… ↩ 4 0916
Mệnh đề 5 Cho f là một hàm số dương ν-đo được xác định trên X, và cho N là tập hợp các t ∈ T sao cho f không đồng thời λₜ-đo được và λₜ-điều hòa. ↩ 9 0917
Hệ quả — Cho f là một hàm xác định trên X, nhận giá trị trong một không gian Banach F hoặc trong overlineR, là ν-đo được và ν-bị chặn. Để f là ν-nguyên, điều kiện cần và đủ là 0918
Định lý 1 — Cho f là một hàm nhận giá trị trong một không gian Banach F hoặc trong overlineR, và cho H là tập hợp các t ∈ T sao cho f không λₜ-nguyên. ↩ 10 0919
Nhận xét Cho Λ : t ↦ λₜ là một ánh xạ μ-thích hợp của T vào M₊(X). Nếu một ánh xạ Λ' : t ↦ λ'ₜ của T vào M₊(X) bằng Λ địa phương μ-hầu khắp nơi, thì suy ra ngay từ các định nghĩa rằng Λ' cũ… 091A
Định nghĩa 2 Một ánh xạ f của T vào một không gian tôpô F được gọi là đo được phổ quát nếu nó là μ-đo được đối với mọi độ đo dương μ trên T. 091B
Mệnh đề 6 Một ánh xạ f của T vào một không gian tôpô F là đo được phổ quát khi và chỉ khi f là đo được đối với mọi độ đo dương trên T có giá compact. ↩ 1 091C
Mệnh đề 7 Cho μ là một độ đo dương trên T, và cho f là một ánh xạ μ-đo được của T vào một không gian tôpô F. Khi đó tồn tại một ánh xạ đo được phổ quát f' của T vào F sao cho f = f' địa phươ… ↩ 3 091D
Định nghĩa 3 Cho X là một không gian compact địa phương, và cho Λ : t ↦ λₜ là một ánh xạ của T vào M₊(X). Ánh xạ Λ được gọi là một khuếch tán của T trong X nếu Λ là thích hợp đối với mọi độ đo… 091E
Mệnh đề 8 — Để một ánh xạ Λ : t ↦ λₜ của T vào M₊(X) là một phép khuếch tán, điều kiện cần và đủ là các điều kiện sau được thỏa mãn: 1) Với mọi hàm nửa liên tục dưới f geqslant 0 xác định tr… ↩ 1 091F
Mệnh đề 9 — Cho Λ : t ↦ λₜ là một ánh xạ từ T vào M₊(X), sao cho hàm t ↦ λₜ(g) là khả đo được phổ dụng và bị chặn địa phương trên T với mọi g ∈ K₊(X). Có thể khẳng định rằng Λ là một phép kh… 091G
Mệnh đề 10 Hãy cho f, g là hai hàm dương đo được theo mọi độ đo trên X, cho a là một số ≥ 0, và cho μ và ν là hai độ đo dương trên T. Khi đó: 091H
Mệnh đề 11 Để một độ đo dương μ trên T thuộc miền của Λ, điều kiện cần và đủ là Λ khả tích cốt yếu theo vô hướng đối với μ. \ 091I
Hệ quả 1 — Nếu Λ là một diffusion bị chặn, thì mọi độ đo dương bị chặn μ đều thuộc miền xác định của Λ, và | μ Λ | ≤ | μ | | Λ |. 091J
Hệ quả 2 — Giả sử μ là tổng của một họ khả tổng (μ_α)_α ∈ A gồm các độ đo dương thuộc miền xác định của Λ. Để μ thuộc miền xác định của Λ, điều kiện cần và đủ là họ các độ đo μ_α Λ khả tổng… 091K
Mệnh đề 12 — Cho μ là một độ đo dương trên T thuộc miền xác định của Λ, và cho f là một hàm khả đo lường theo mọi nghĩa ≥ 0 được xác định trên X. Nếu f là moderated đối với độ đo μ Λ, hoặc nế… 091L
Hệ quả — Nếu X là đếm được ở vô cực, hoặc nếu các độ đo λₜ bị chặn, thì hàm Λ f là khả đo lường theo mọi nghĩa trên T với mọi hàm khả đo lường theo mọi nghĩa f ≥ 0 được xác định trên X, v… ↩ 1 091M
Mệnh đề 13 — Cho T, X, Y là ba không gian compact địa phương, Λ : t ↦ λₜ một diffusion bị chặn của T trong X, và H : x ↦ ηₓ một diffusion bị chặn của X trong Y. Khi đó ánh xạ t ↦ λₜ H là một… ↩ 2 091N
Định nghĩa 4 Với các ký hiệu như ở Mệnh đề 13, khuếch tán Λ H được gọi là khuếch tán hợp thành (hay phép hợp thành) của các khuếch tán bị chặn H và Λ. \ 091O
Ví dụ Cho u là một ánh xạ đo được phổ quát của T vào X, và v là một ánh xạ đo được phổ quát của X vào Y; theo Mệnh đề 2 b), ta định nghĩa các khuếch tán Λ và H bởi các công thức 091P

§ 4. Tích phân các phép đo điểm dương

Định nghĩa 1 Cho μ là một phép đo dương trên T. Cặp (π, g) được gọi là μ-thích nghi nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: 1° Các hàm π và g là μ-đo được. 2° Với mọi hàm f ∈ K(X), ánh xạ t ↦ f(π(… 0921
Mệnh đề 1 Nếu cặp (π, g) là μ-thích nghi, thì ánh xạ Λ : t ↦ λₜ = g(t)ε_π(t) từ T vào M₊(X) là μ-khả tích phân một cách bản chất theo vô hướng, μ-đo được theo nghĩa mơ hồ và μ-thích đáng. Ng… ↩ 1 0922
Bổ đề Cho T và X là hai không gian tôpô, π là một ánh xạ liên tục thực sự (GT, I, §10, No. 1, Def. 1) từ T vào X. Cho g là một hàm số nửa liên tục dưới xác định trên T. Với mọi x ∈ X, gọ… 0923
Định lý 1 Cho (π, g) là một cặp thích nghi với μ, và cho ν = ∫ g(t)ε_π(t) dμ(t). Với mọi hàm số thực f ≥ 0 xác định trên X, (1) ∫^bullet f(x) dν(x) = ∫^bullet f(π(t))g(t) dμ(t). ↩ 4 0924
Hệ quả — Để một tập con N của X là không đáng kể địa phương đối với ν, điều kiện cần và đủ là giao của π⁻¹(N) với tập hợp các điểm t ∈ T sao cho g(t) > 0 là không đáng kể địa phương đối v… ↩ 1 0925
Mệnh đề 2 — Cho π là một ánh xạ liên tục thực sự (GT, I, §10, No. 1) từ T vào X, và cho g là một hàm số liên tục, hữu hạn trên T sao cho g(t) > 0 với mọi t ∈ T. Khi đó cặp (π, g) là μ-thích… ↩ 5 0926
Mệnh đề 3 — Cho (π, g) là một cặp μ-thích nghi, và cho ↩ 7 0927
Nhận xét Nếu f là một ánh xạ từ X vào một không gian Banach F, thì cũng như nói rằng hạn chế của f ∘ π lên S là μ-đo được hoặc nói rằng hàm (f ∘ π)g (được xác định trên T) là μ-đo được, vì… 0928
Định lý 2 Cho (π, g) là một cặp μ-thích nghi, và đặt ν = ∫ g(t) ε_π(t) dμ(t). Cho f là một hàm xác định trên X, nhận giá trị trong một không gian Banach F hoặc trong overlineR. Để f khả tích… ↩ 11 0929
Nhận xét — Cho (π, g) là một cặp μ-thích nghi, π' là một ánh xạ từ T vào X, và g' là một hàm số hữu hạn ≥ 0 xác định trên T, sao cho π' (tương ứng g') bằng π (tương ứng g) địa phương hầu kh… 092A

§ 5. Độ đo được xác định bởi các mật độ số

Mệnh đề 1 Cho g là một hàm được định nghĩa địa phương hầu khắp nơi trong T (đối với độ đo dương μ), với giá trị trong một không gian Banach F (resp. in overlineR). Các tính chất sau là tương… ↩ 2 092D
Định nghĩa 1 Một hàm g, được định nghĩa địa phương hầu khắp nơi trong T (đối với độ đo dương μ), với giá trị trong một không gian Banach F (resp. in overlineR), được gọi là khả tích địa phương… 092E
Định nghĩa 2 Cho θ là một phép đo phức, và cho u là một hàm phức (hay một hàm nhận giá trị trong overlineR) được xác định địa phương θ-hầu khắp nơi và địa phương θ-khả tích. Phép đo phức f ↦ ∫… ↩ 1 092F
Mệnh đề 2 Cho θ là một phép đo phức, và u là một hàm phức địa phương θ-khả tích; khi đó ↩ 13 092G
Bổ đề 1 — Cho θ là một phép đo phức, và cho f là một phần tử của overlineL¹_C(T, θ). Khi đó ↩ 1 092H
Hệ quả Cho g₁ và g₂ là hai hàm số thực địa phương μ-tích phân; khi đó ↩ 4 092I
Mệnh đề 3 Với mọi hàm số trị số f geqslant 0 xác định trên T, ↩ 10 092J
Hệ quả 1 Để một hàm số f, với giá trị trong một không gian Banach hoặc trong overlineR, là không đáng kể địa phương đối với độ đo u · θ, cần và đủ rằng u f là không đáng kể địa phương đối v… ↩ 3 092K
Hệ quả 2 Cho u₁ và u₂ là hai hàm phức khả tích địa phương theo θ. Để u₁ · θ = u₂ · θ, cần và đủ rằng u₁ và u₂ bằng nhau hầu khắp nơi địa phương. ↩ 10 092L
Hệ quả 3 Cho u là một hàm phức khả tích địa phương đối với độ đo dương μ. Để u · μ là một độ đo dương, cần và đủ rằng u(t) geqslant 0 hầu khắp nơi địa phương. ↩ 3 092M
Mệnh đề 4 Để một ánh xạ f của T vào một không gian tôpô G là đo được đối với độ đo u · θ, cần và đủ rằng hạn chế của f, trên tập θ-đo được S của các t sao cho u(t) ≠ 0, là θ-đo được. ↩ 2 092N
Hệ quả Cho f là một hàm số xác định trên T, với giá trị trong một không gian Banach F hoặc trong overlineR. Để f là (u · θ)-đo được, cần và đủ rằng u f là θ-đo được. ↩ 2 092O
Định lý 1 Cho f là một hàm xác định trên T, với giá trị trong một không gian Banach F hoặc trong overlineR. Để f khả tích hầu khắp nơi đối với độ đo η = u · θ, cần và đủ rằng uf khả tích hầu… ↩ 10 092P
Hệ quả Để độ đo u · θ bị chặn, cần và đủ rằng u khả tích hầu khắp nơi theo θ. ↩ 2 092Q
Ví dụ Cho A là một tập con của T; để φ_A khả tích địa phương theo μ, cần và đủ rằng A là μ-đo được. Giả sử điều kiện đó được thỏa mãn, đặt ν = φ_A · μ; với mọi hàm số f ≥ 0 xác định trên… 092R
Mệnh đề 5 một biểu thức cũng được ký hiệu bởi ∫_A f dμ. Chú ý rằng nếu hai ánh xạ từ T vào G (tương ứng F, overlineR) trùng nhau trên A, thì để một trong hai ánh xạ ấy là ν-đo được (tương ứn… ↩ 1 092S
Hệ quả — Giả sử rằng μ là tổng của một họ (μ_α)_α ∈ A các độ đo trên T. Để một hàm số trị dương g xác định trên T địa phương khả tích theo μ, cần và đủ rằng g địa phương khả tích theo μ_α… 092T
Mệnh đề 6 — Cho (g_α)_α ∈ A là một họ đếm được địa phương các hàm số trị dương địa phương khả tích theo μ xác định trên T. Để hàm g = ∑_α ∈ A g_α địa phương khả tích theo μ, cần và đủ rằng h… ↩ 2 092U
Hệ quả — Cho (g_α) là một dãy các hàm số thực khả tích địa phương theo μ, sao cho dãy các độ đo gₙ · μ là tăng. Để dãy này có một cận trên trong không gian vectơ có thứ tự M(T) của các độ… ↩ 1 092V
Mệnh đề 7 — Cho X là một không gian compact địa phương đếm được ở vô cùng, và cho t ↦ λₜ là một ánh xạ μ-thích hợp của T vào M₊(X). ↩ 1 092W
Mệnh đề 8 Cho θ là một độ đo phức trên T, g₁ là một hàm phức khả tích địa phương theo θ, θ₁ là độ đo g₁ · θ. Để một hàm phức g₂ xác định trên T khả tích địa phương theo θ₁, cần và đủ rằng g₂… ↩ 8 092X
Định lý 2 (Lebesgue–Nikodym) — Cho μ và ν là hai độ đo dương trên T. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 20 092Y
Bổ đề 2 — Cho α là một độ đo dương bị chặn trên T, và β là một độ đo thực trên T sao cho |β| ≤ M α, trong đó M là một hằng số dương. Khi đó, tồn tại một hàm thực u, khả tích theo α, sao ch… ↩ 1 092Z
Bổ đề 3 — Giả sử độ đo dương ν sao cho mọi tập compact μ-không đáng kể đều ν-không đáng kể. Gọi 𝔎 là tập hợp các tập compact K của T có tính chất sau: 0930
Hệ quả 1 — Cho N là một tập các độ đo dương có cơ sở μ, có supremum ν trong M(T); khi đó ν là một độ đo có cơ sở μ. ↩ 1 0931
Hệ quả 2 — Cho ν là một độ đo thực trên T. Để ν thuộc vào dải được sinh bởi μ trong không gian có thứ tự theo dàn đầy đủ M(T) (Ch. II, §1, No. 5), điều kiện cần và đủ là ν là một độ đo có c… ↩ 3 0932
Hệ quả 3 — Cho θ là một độ đo phức; tồn tại một hàm đo được phổ quát v, với |v| = 1, sao cho θ = v · |θ|, |θ| = overlinev · θ. ↩ 8 0933
Nhận xét 1 Giả sử rằng λ là một độ đo dương, rằng v là một hàm đo được theo λ sao cho |v| = 1 địa phương λ-hầu khắp nơi (điều này suy ra rằng v là địa phương λ-khả tích), và rằng θ = v · λ. M… 0934
Nhận xét 2 Nếu |θ| ≤ a μ, trong đó μ là một độ đo dương và a là một số ≥ 0, thì θ là một độ đo có cơ sở μ. 0935
Hệ quả 4 — Cho ρ và θ là hai độ đo phức. Để tồn tại một hàm địa phương θ-khả tích u sao cho ρ = u · θ, điều kiện cần và đủ là mọi tập compact θ-không đáng kể đều là ρ-không đáng kể. 0936
Hệ quả 5 — Cho μ và ν là hai độ đo dương trên T. Các điều kiện 1), 2), 3) của Định lý 2 cũng tương đương với các điều kiện sau: 0937
Chú giải Với mọi dotf ∈ L¹_loc(T, μ; R), đặt φ(dotf) = f · μ, trong đó f ∈ dotf; ánh xạ φ là tuyến tính, tăng và đơn ánh (Hệ quả 2 của Mệnh đề 3), và ảnh của nó trong M(T) là dải B được sin… 0938
Mệnh đề 9 Cho θ là một độ đo phức bị chặn; để θ là một độ đo dương, điều kiện cần và đủ là | θ | = θ(1).. ↩ 2 0939
Mệnh đề 10 Cho μ và ν là hai độ đo dương trên T. Các điều kiện sau là tương đương: a) Các tập hợp không đáng kể địa phương là như nhau đối với μ và ν. b) Các dải do μ và ν sinh ra trong M(T)… ↩ 3 093A
Định nghĩa 3 Hai độ đo phức θ, θ' trên một không gian compact địa phương T được gọi là tương đương nếu các độ đo |θ| và |θ'| thỏa mãn các điều kiện a), b), c) của Mệnh đề 10. ↩ 1 093B
Nhận xét — Nếu μ và ν là hai độ đo dương tương đương thì các hàm khả đo được xác định trên T, nhận giá trị trong bất kỳ không gian tôpô nào G, là giống nhau đối với μ và ν, như suy ra ngay… 093C
Mệnh đề 11 Cho μ là một độ đo dương trên T. Nếu T đếm được ở vô cực, thì tồn tại một hàm liên tục h sao cho h(t) > 0 với mọi t ∈ T và sao cho độ đo ν = h · μ (tương đương với μ) bị chặn. ↩ 5 093D
Mệnh đề 12 Cho (μₙ) là một dãy các độ đo dương bị chặn trên T; tồn tại một độ đo dương bị chặn μ trên T sao cho quan hệ μ^*(N) = 0 tương đương với «μₙ^*(N) = 0 với mọi n»; mỗi độ đo μₙ có cơ… 093E
Định nghĩa 4 Người ta nói rằng một độ đo phức θ trên T được tập trung trên một tập con M của T, hay rằng M mang θ, nếu CM là địa phương không đáng kể đối với θ. ↩ 2 093F
Mệnh đề 13 Để hai độ đo phức ρ và σ trên T xa lạ với nhau, điều kiện cần và đủ là tồn tại trong T hai tập rời nhau R và S sao cho ρ được tập trung trên R và σ trên S; R và S có thể được chọn… ↩ 2 093G
Hệ quả 1 Với mọi độ đo thực ν trên T, tồn tại hai tập hợp rời nhau M, N mang ν⁺ và ν⁻, tương ứng. 093H
Hệ quả 2 — Cho ρ và σ là hai độ đo phức rời nhau, và cho ρ' và σ' là hai độ đo phức có mật độ tương ứng đối với ρ và σ; khi đó ρ' và σ' rời nhau. ↩ 1 093I
Hệ quả 3 — Cho ρ và σ là hai độ đo phức rời nhau; khi đó |ρ + σ| = |ρ| + |σ|. ↩ 1 093J
Định lý 3 (Lebesgue) — Mỗi độ đo phức θ trên T có thể được viết theo một và chỉ một cách dưới dạng θ = g · μ + θ', trong đó g là địa phương μ-khả tích và θ' là một độ đo rời nhau với μ. Khi đó |θ| = |g… ↩ 2 093K
Hệ quả — Tồn tại một phép chiếu p của không gian M_C(T) lên không gian L¹_loc(T, μ; C), có hạt nhân overlinep⁻¹(0) là tập hợp các độ đo phức ngoại lai đối với μ, sao cho 093L
Định lý 4 — Cho p và q là hai số mũ liên hợp sao cho 1 ≤ p < +∞. Mỗi dạng tuyến tính liên tục trên Lᵖ(T, μ) đều có dạng f ↦ ∫ fg dμ, trong đó g là một hàm trong L^q(T, μ) mà lớp của nó trong… ↩ 4 093M
Hệ quả — Với mọi số p sao cho 1 < p < +∞, không gian Banach Lᵖ(T, μ) là phản xạ. 093N
Mệnh đề 14 — Để cho một dạng tuyến tính dương θ trên L^∞ có dạng f ↦ ∫ f g dμ, với g ∈ L¹, thì cần và đủ rằng, với mọi họ có hướng tăng (f_α)_α ∈ A các hàm dương trong L^∞ mà tập hợp các lớp… ↩ 2 093O
Bổ đề 4 1° Cho f là một hàm nửa liên tục dưới và bị chặn, không âm trên T. Khi đó lớp dotf của nó trong L^∞ là cận trên đúng của tập các lớp dotφ, trong đó φ chạy qua tập các hàm trong K(T… 093P
Định nghĩa 5 Một độ đo θ trên T được gọi là phân tán nếu |θ|(t) = 0 với mọi t ∈ T. 093Q
Ví dụ — Độ đo Lebesgue trên R là phân tán (Ch. IV, §1, No. 3, Nhận xét 1). 093R
Mệnh đề 15 Mọi độ đo phức σ trên T đều có thể viết một cách duy nhất dưới dạng ρ + θ, trong đó ρ là một độ đo nguyên tử và θ là một độ đo phân tán; khi đó ta có |σ| = |ρ| + |θ|.. ↩ 3 093S

§ 6. Ảnh của một độ đo

Mệnh đề 1 Cho π là một ánh xạ μ-đo được của T vào một không gian compact địa phương X. Hai tính chất sau là tương đương: ↩ 3 094O
Định nghĩa 1 Cho μ là một độ đo dương trên một không gian địa phương compact T. Một ánh xạ π của T vào một không gian địa phương compact X được gọi là μ-thực sự (hay thực sự đối với độ đo μ) nế… ↩ 2 094P
Nhận xét — 1) Nếu μ là bị chặn (đặc biệt, nếu μ có giá compact) thì mọi ánh xạ μ-đo được từ T vào X đều là μ-thực sự (Ch. IV, § 5, No. 3, Th. 1 và No. 6, Th. 5). ↩ 1 094Q
Mệnh đề 2 — Đối với mọi hàm số f geqslant 0 xác định trên X, ∫^bullet f(x) dν(x) = ∫^bullet f(π(t)) dμ(t). (2) ↩ 3 094R
Hệ quả 1 — Đối với mọi tập con A của X, ν^bullet(A) = μ^bullet(π⁻¹(A)). ↩ 1 094S
Hệ quả 2 — Để một tập con A của X là không đáng kể địa phương đối với ν, điều kiện cần và đủ là π⁻¹(A) là không đáng kể địa phương đối với μ. ↩ 6 094T
Hệ quả 3 — Nếu độ đo μ tập trung trên một tập hợp M, thì π(μ) tập trung trên π(M). ↩ 5 094U
Hệ quả 4 — Cho S là giá của μ. Nếu π liên tục, thì giá của π(μ) là π(S). 094V
Mệnh đề 3 — Để một ánh xạ f của X vào một không gian tôpô G là ν-đo được, điều kiện cần và đủ là f ∘ π là μ-đo được. ↩ 6 094W
Hệ quả — Để một tập con A của X là ν-đo được, điều kiện cần và đủ là π⁻¹(A) là μ-đo được. ↩ 1 094X
Định lý 1 — Cho f là một hàm xác định trên X với các giá trị trong overlineR hoặc trong một không gian Banach F. Để f là khả tích ν-theo nghĩa bản chất, điều kiện cần và đủ là f ∘ π là khả t… ↩ 9 094Y
Hệ quả — Để một tập con A của X là ν-khả tích theo nghĩa bản chất, điều kiện cần và đủ là π⁻¹(A) là μ-khả tích theo nghĩa bản chất, trong trường hợp đó ν(A) = μ(π⁻¹(A)). ↩ 1 094Z
Mệnh đề 4 — Cho T, T', T'' là ba không gian compact địa phương, μ là một độ đo dương trên T, π là một ánh xạ μ-đo được của T vào T', π' là một ánh xạ của T' vào T'', và π'' = π' ∘ π. ↩ 5 0950
Hệ quả Cho T và T' là hai không gian compact địa phương, μ là một độ đo dương trên T, π là một ánh xạ song ánh của T lên T', và π⁻¹ là ánh xạ nghịch đảo. Giả sử rằng π là μ-thực sự, và đặ… 0951
Mệnh đề 5 Cho T và X là hai không gian compact địa phương, μ là một độ đo dương trên T, π là một ánh xạ μ-thực sự của T vào X, g là một hàm số hữu hạn geqslant 0, xác định trên X và sao cho… ↩ 1 0952
Mệnh đề 6 — Cho T và X là hai không gian compact địa phương, (λ_α)_α ∈ A là một họ các độ đo dương trên T, có hướng theo quan hệ ≤, nhận một cận trên đúng μ trong M(T). Để một ánh xạ π của T… 0953
Hệ quả 1 — Cho (μ_α)_α ∈ A là một họ tổng được của các độ đo dương trên T, sao cho μ = ∑_α ∈ A μ_α; để một ánh xạ π từ T vào một không gian compact địa phương X là μ-thực sự, điều kiện cần… ↩ 1 0954
Hệ quả 2 — Cho T và X là hai không gian compact địa phương, (λᵢ)_1 ≤ i ≤ n là một dãy hữu hạn các độ đo dương trên T, và đặt μ = ∑ᵢ₌₁ⁿ λᵢ. Để một ánh xạ π từ T vào X là μ-thực sự, điều kiện… ↩ 2 0955
Định nghĩa 2 Cho θ là một độ đo phức trên một không gian compact địa phương T. Một ánh xạ π từ T vào một không gian compact địa phương X được gọi là θ-thực sự nếu nó là |θ|-thực sự. Khi đó độ đ… 0956
Mệnh đề 7 Cho θ là một độ đo phức trên T, π là một ánh xạ θ-thực sự từ T vào một không gian compact địa phương X, ν là độ đo ảnh π(θ). ↩ 2 0957
Mệnh đề 8 Giả sử g là μ-khả tích. Nếu J ký hiệu khoảng mở trong R có hai đầu mút G(a+) và G(b-), thì ảnh theo G của độ đo g · μ là độ đo φ_J · ν nếu G(a+) ≤ G(b-) và là độ đo -φ_J · ν nếu G(… ↩ 2 0958
Hệ quả Nếu một hàm f xác định trên G(I), có giá trị trong overlineR hoặc trong một không gian Banach, sao cho hàm t ↦ f(G(t))g(t) là khả tích trên I đối với độ đo Lebesgue, thì f là khả t… 0959
Mệnh đề 9 Giả sử g ≥ 0 và μ-khả tích địa phương. Khi đó, ảnh qua G của độ đo dương g · μ là độ đo Lebesgue trên G(I). Đối với một hàm f, xác định trên G(I), nhận giá trị trong overlineR hoặc… 095A
Mệnh đề 10 Với các ký hiệu trên, giả sử rằng π là ν-đo được. Gọi g là hàm t ↦ λₜ^*(1) trên T. Để π là ν-thực sự, điều kiện cần và đủ là g nguyên địa phương theo μ, trong trường hợp đó ↩ 3 095B
Hệ quả 1 — Giả sử rằng π là ν-đo được. ↩ 4 095C
Hệ quả 2 Giả sử rằng π là ν-thực sự; cho f là một ánh xạ xác định trên T, có các giá trị trong một không gian Banach hoặc trong overlineR. Để f ∘ π là thiết yếu ν-khả tích, điều kiện cần và… 095D
Ví dụ — Cho X và T là hai không gian compact địa phương, và cho π là một phép đồng phôi địa phương của X vào T. Nói cách khác (GT, I, §11, Bài tập 25), ta giả sử rằng mỗi điểm x ∈ X có m… 095E
Bổ đề — a) Cho f là một phần tử của K₊(X); hàm t ↦ λₜ(f) là dương, nửa liên tục trên, có giá compact, và hạn chế của nó trên π(X) là liên tục. 095F
Mệnh đề 11 Cho π là một đồng phôi địa phương của một không gian compact địa phương X vào một không gian compact địa phương T, và cho μ là một độ đo dương trên T. Cho n là hàm số liên kết với… 095G

§ 7. Tích phân đối với một độ đo cảm sinh

Mệnh đề 1 — Đối với mọi hàm số g geqslant 0 xác định trên X, ↩ 7 0963
Hệ quả 1 — Đối với mọi tập con B của X, μ_X^bullet(B) = μ^bullet(B); để B là μ_X-không đáng kể địa phương, điều kiện cần và đủ là B là μ-không đáng kể địa phương. 0964
Hệ quả 2 — Cho M là một tập con của T. Nếu μ tập trung trên M, thì μ_X tập trung trên M ∩ X. ↩ 1 0965
Hệ quả 3 — Để độ đo μ_X bằng không, điều kiện cần và đủ là X là μ-không đáng kể địa phương. 0966
Nhận xét — Nếu S là giá của μ, thì S ∩ X (đóng trong X) chứa giá của μ_X theo Hệ quả 2, nhưng có thể phân biệt với nó. Ví dụ, nếu μ là một độ đo khuếch tán và X là một không gian con thu gọ… 0967
Mệnh đề 2 — Để một ánh xạ g của X vào một không gian tôpô là μ_X-đo được, điều kiện cần và đủ là g là μ-đo được trong X (§5, No. 3, Ví dụ). ↩ 1 0968
Hệ quả — Để một tập con B của X là μ_X-đo được, điều kiện cần và đủ là B là μ-đo được. 0969
Định lý 1 — Cho g là một hàm xác định trên X, với các giá trị trong overlineR hoặc trong một không gian Banach. Để g là μ_X-nguyên cốt yếu, điều kiện cần và đủ là g là μ-nguyên cốt yếu trong… ↩ 6 096A
Hệ quả 1 Để một tập con B của X là μ_X-nguyên cốt yếu, điều kiện cần và đủ là nó là μ-nguyên cốt yếu, trong trường hợp đó μ_X(B) = μ(B). 096B
Hệ quả 2 Cho g là một hàm phức xác định trên T và μ-nguyên địa phương; hạn chế g_X của g lên X khi đó là μ_X-nguyên địa phương, và ↩ 1 096C
Hệ quả 3 Cho θ là một độ đo phức trên T; khi đó ↩ 2 096D
Nhận xét — a) Hệ quả 3 đã được chứng minh bằng một phương pháp khác (Ch. IV, § 5, No. 7, Bổ đề 3). b) Theo Hệ quả 3, các hệ quả 1,2,3 của Mệnh đề 1, Mệnh đề 2, Định lý 1 và các hệ quả 1,2 c… 096E
Chú giải — Với mọi hàm f (tương ứng g) xác định trên X (tương ứng T) với các giá trị trong không gian Banach F hoặc trong overlineR, ký hiệu ζ(f) (tương ứng ρ(g)) là mở rộng bằng 0 của f lê… 096F
Mệnh đề 3 — Cho X là một không gian con địa phương compact của T, và λ là một độ đo phức trên X. Các tính chất sau là tương đương: a) đơn ánh chính tắc i : X → T là λ-thực sự; b) với mọi tập… ↩ 2 096G
Hệ quả 1 — Nếu X đóng, thì mọi độ đo phức λ trên X đều được cảm sinh bởi một độ đo trên T. 096H
Hệ quả 2 — Cho θ là một độ đo phức trên T, π là một ánh xạ θ-thực sự của T vào một không gian địa phương compact Y, và πX là hạn chế của nó lên X. Khi đó πX là θX-thực sự, và πX(θX) = π(φX… 096I
Mệnh đề 4 — Cho X và Y là hai không gian con địa phương compact của T sao cho Y ⊂ X. Nếu θ là một độ đo phức trên T, thì độ đo (θX)Y được cảm sinh bởi θX trên Y bằng θY ('tính bắc cầu của cá… ↩ 2 096J
Mệnh đề 5 — Cho (λ_α)_α ∈ A là một họ có hướng tăng của các độ đo dương trên T, có một cận trên đúng λ, và cho X là một không gian con địa phương compact của T. Khi đó họ các độ đo cảm sinh… 096K
Hệ quả — Cho (μᵢ)_i ∈ I là một họ tổng được của các độ đo dương trên T, với tổng μ. Khi đó họ các độ đo cảm sinh μᵢ|X là tổng được, và 096L
Mệnh đề 6 — Cho Λ : t ↦ λₜ là một ánh xạ μ-thích hợp của T vào M₊(X), trong đó X là một không gian địa phương compact đếm được ở vô cực, và cho Y là một không gian con địa phương compact của… 096M

§ 8. Tích của các độ đo

Bổ đề 1 Với mọi hàm số f geqslant 0 xác định trên X, ↩ 4 096Y
Bổ đề 2 Cho f là một ánh xạ từ X vào một không gian tôpô. Để f là λ'ₜ-đo được, điều kiện cần và đủ là fₜ là μ'-đo được. Đây là một hệ quả của Mệnh đề 3 của §6, No. 2. 096Z
Bổ đề 3 Cho f là một hàm xác định trên X, nhận giá trị trong overlineR hoặc trong một không gian Banach. Để f là λ'ₜ-khả tích, điều kiện cần và đủ là fₜ là μ'-khả tích, và khi đó 0970
Nhận xét Bổ đề 1,2,3 có thể được chứng minh rất đơn giản mà không cần dùng đến các kết quả của §§4 và 6, bằng một lập luận trực tiếp. Chẳng hạn, quan hệ (2) là hiển nhiên theo định nghĩa nế… 0971
Mệnh đề 1 — Cho (μ_α)_α ∈ A (tương ứng (μ'_β)_β ∈ B) là một họ các độ đo dương tổng được trên T (tương ứng trên T'), với tổng được ký hiệu bởi μ (tương ứng bởi μ'). Khi đó họ (μ_α ⊗ μ'_β)_(α… ↩ 1 0972
Mệnh đề 2 — Cho f là một hàm ν-đo được xác định trên T × T', với các giá trị trong một không gian tôpô G, và cho M là tập hợp các t ∈ T sao cho ánh xạ t' ↦ f(t, t') không μ'-đo được. ↩ 4 0973
Hệ quả — Cho A là một tập con ν-đo được của T × T', và cho M là tập hợp các t ∈ T sao cho tiết diện A(t) của A tại t không μ'-đo được. 0974
Mệnh đề 3 — Cho f là một ánh xạ từ T vào một không gian tôpô F. Nếu f là μ-đo được, thì ánh xạ (t, t') ↦ f(t) là ν-đo được. Ngược lại, nếu μ' ≠ 0, và nếu ánh xạ này là ν-đo được, thì hàm f l… ↩ 3 0975
Hệ quả 1 — Cho F, F' và G là ba không gian tôpô, và cho u là một ánh xạ liên tục từ F × F' vào G. Cho f (resp. f') là một hàm xác định trên T (resp. T'), nhận giá trị trong F (resp. F') và… ↩ 4 0976
Hệ quả 2 — Nếu A ⊂ T và A' ⊂ T' là đo được (lần lượt đối với μ và μ'), thì A × A' đo được đối với μ ⊗ μ'. Điều này suy ra ngay lập tức từ Hệ quả 1. 0977
Hệ quả 3 — Xét hai hàm số dương (resp. nhận giá trị phức) f xác định trên T và f' xác định trên T'. Nếu các hàm này lần lượt đo được đối với μ và μ', thì hàm ↩ 1 0978
Mệnh đề 4 — Cho A là một tập con của T. Nếu A là địa phương μ-không đáng kể, thì A × T' là địa phương ν-không đáng kể. Ngược lại, nếu A × T' là địa phương ν-không đáng kể và nếu μ' ≠ 0, thì… ↩ 6 0979
Hệ quả — Nếu độ đo μ (resp. μ') tập trung trên M (resp. M'), thì μ ⊗ μ' tập trung trên M × M'. 097A
Mệnh đề 5 — Cho f là một hàm số geqslant 0, nửa liên tục dưới trên T × T'. Khi đó, hàm ↩ 2 097B
Hệ quả 1 — Cho f (resp. f') là một hàm nửa liên tục dưới geqslant 0 được xác định trên T (resp. T'); hàm f ⊗ f' : (t, t') ↦ f(t)f'(t') khi đó là nửa liên tục dưới trên T × T', và ↩ 1 097C
Hệ quả 2 — Cho A là một tập con μ-vừa phải của T, và A' là một tập con μ'-vừa phải của T'; khi đó A × A' là ν-vừa phải trong T × T'. ↩ 3 097D
Hệ quả 3 — Cho A là một tập con μ-không đáng kể của T, và cho B' là một tập con μ'-vừa phải của T'; khi đó A × B' là ν-không đáng kể. 097E
Mệnh đề 6 — Cho f là một hàm số geqslant 0 xác định trên T × T'. Khi đó ↩ 3 097F
Mệnh đề 7 — Cho f là một hàm số dương ν-đo được xác định trên T × T'. ↩ 6 097G
Hệ quả 1 — Cho H là một tập con của T × T', và cho A là tập hợp các t ∈ T sao cho tiết diện H(t) của H tại t không μ'-không đáng kể. ↩ 1 097H
Hệ quả 2 — Nếu một tập hợp A ⊂ T × T' là ν-khả tích, thì tiết diện A(t) của A tại t là μ′-khả tích với hầu khắp mọi t ∈ T, hàm t ↦ μ'(A(t)) là μ-khả tích, và ↩ 2 097I
Mệnh đề 8 — Với mỗi cặp hàm số f ≥ 0, f' ≥ 0 xác định lần lượt trên T và T', ta có ↩ 4 097J
Hệ quả 1 Với các ký hiệu như trong Mệnh đề 8, 097K
Hệ quả 2 Cho f và f' là hai hàm nhận giá trị trong C hoặc trong overlineR, được xác định tương ứng trên T và T', và khả tích cốt yếu (tương ứng, khả tích) đối với các độ đo μ và μ', tương ứ… ↩ 3 097L
Định lý 1 (Lebesgue–Fubini) — Cho f là một hàm được xác định trên T × T', nhận giá trị trong một không gian Banach hoặc trong overlineR; gọi N là tập hợp các t ∈ T sao cho hàm t' ↦ f(t,t') không μ'-khả tích. ↩ 3 097M
Chú giải — Cho f là một hàm được xác định trên T × T', nhận giá trị trong overlineR hoặc trong một không gian Banach, là ν-đo được và ν-vừa phải. Đối với ba tích phân 097N
Nhận xét — 1) Khi độ đo μ' không ôn hòa, có thể xảy ra trường hợp f là khả tích thiết yếu theo ν và hàm t' ↦ f(t, t') lại không khả tích thiết yếu theo μ' với bất kỳ giá trị nào của t ∈ T (… 097O
Mệnh đề 9 Cho F, F' và G là ba không gian Banach, và cho (x, y) ↦ [x · y] là một ánh xạ song tuyến tính liên tục từ F × F' vào G. Cho f (tương ứng f') là một hàm xác định trên T (tương ứng T… 097P
Mệnh đề 10 — Cho g (resp. g') là một hàm phức (hoặc một hàm nhận giá trị trong overlineR) xác định trên T (resp. T'). a) Nếu g (resp. g') khả tích địa phương đối với μ (resp. μ'), thì hàm g ⊗… ↩ 2 097Q
Mệnh đề 11 Cho π (resp. π') là một ánh xạ từ T (resp. T') vào một không gian compact địa phương T₁ (resp. T'₁). ↩ 2 097R
Mệnh đề 12 — Cho X (tương ứng X') là một không gian con compact địa phương của T (tương ứng của T'). Khi đó độ đo cảm sinh (μ ⊗ μ')_X × X' trên không gian con compact địa phương X × X' của T… 097S

VI. Tích phân vectơ

§ 1. Tích phân của các hàm nhận giá trị trong không gian vectơ

Định nghĩa 1 Ta gọi tích phân của f đối với μ, và ký hiệu bởi ∫ f dμ hoặc ∫ f(t) dμ(t), là phần tử của F'^* được xác định bởi ⟨ z', ∫ f dμ ⟩ = ∫ ⟨ z', f ⟩ dμ với mọi z' ∈ F'. 098E
Ví dụ — Cho X là một không gian địa phương compact, t ↦ λₜ là một ánh xạ của T vào không gian M(X) các độ đo trên X. Nói rằng họ t ↦ λₜ là μ-thích hợp có nghĩa là nó gồm các độ đo dương… 098F
Nhận xét 1 Nếu F là hữu hạn chiều, thì mọi ánh xạ khả tích vô hướng theo nghĩa hầu khắp của T vào F đều khả tích theo nghĩa hầu khắp (Ch. V, §1, No. 3). Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát… 098G
Nhận xét 2 Rõ ràng là tích phân của f chỉ phụ thuộc vào lớp của f theo modulo không gian các ánh xạ của T vào F mà vô hướng-địa phương μ-không đáng kể. Chú ý rằng một hàm vô hướng-địa phương… ↩ 3 098H
Mệnh đề 1 — Nếu f là một ánh xạ của T vào F khả tích vô hướng theo nghĩa hầu khắp đối với μ, thì ánh xạ u ∘ f khả tích vô hướng theo nghĩa hầu khắp đối với μ và ∫ (u ∘ f) dμ = u ( ∫ f dμ )… ↩ 4 098I
Mệnh đề 2 — Cho f là một ánh xạ của T vào F khả tích vô hướng theo nghĩa hầu khắp đối với μ. Với mọi hàm số g geqslant 0 μ-đo được và bị chặn, ánh xạ t ↦ g(t)f(t) (ký hiệu là gf hoặc fg) của… ↩ 2 098J
Mệnh đề 3 — Cho X là một không gian địa phương compact, t ↦ λₜ là một họ μ-thích hợp³ (Ch. V, §3, No. 1, Định nghĩa 1) các độ đo dương trên X, và đặt ν = ∫ λₜ dμ(t). Cho f là một ánh xạ từ X… ↩ 2 098K
Mệnh đề 4 — Cho T và T' là hai không gian địa phương compact, μ (ứng với μ') là một độ đo dương trên T (ứng với T'), ν = μ ⊗ μ' là tích độ đo trên X = T × T'. Cho f là một ánh xạ từ X vào F… ↩ 2 098L
Mệnh đề 5 — Cho μ là một độ đo dương bị chặn trên T, S là một tập μ-đo được mang μ (Ch. V, §5, No. 7, Định nghĩa 4), f là một hàm khả tích vô hướng theo μ () nhận giá trị trong F. Gọi D là b… ↩ 2 098M
Hệ quả — Cho μ là một độ đo dương bị chặn trên T, S là một tập μ-đo được mang μ, và f là một ánh xạ từ T vào F, đo được vô hướng theo μ và sao cho f(S) được chứa trong một tập con lồi com… ↩ 4 098N
Mệnh đề 6 — Cho f là một hàm hầu khắp khả tích vô hướng theo μ nhận giá trị trong F, sao cho ∫ f dμ ∈ F. Với mọi nửa chuẩn nửa liên tục dưới q trên F, ↩ 1 098O
Mệnh đề 7 — Cho f là một ánh xạ từ T vào F, cốt yếu μ-khả tích theo từng vô hướng, sao cho với mọi tập con compact K của T, f(K) được chứa ↩ 1 098P
Bổ đề 1 Bao đóng trong F'^* (đối với tôpô σ(F'^*, F')) của mọi tập con bị chặn của F được chứa trong đối ngẫu kép F''. ↩ 1 098Q
Hệ quả Giả sử F là nửa phản xạ, và cho f là một ánh xạ từ T vào F cốt yếu μ-khả tích theo từng vô hướng sao cho, với mọi tập con compact K của T, f(K) bị chặn. Khi đó ∫ f dμ thuộc F. ↩ 1 098R
Mệnh đề 8 Cho μ là một độ đo dương bị chặn trên T, S là một tập μ-đo được mang μ, f là một ánh xạ μ-đo được từ T vào F, sao cho f(S) được chứa trong một tập con đầy đủ, bị chặn, cân bằng, lồ… ↩ 9 098S
Mệnh đề 9 Cho U là một ánh xạ vô hướng hầu khắp μ-khả tích từ T vào F = Lₛ(G; H). Để ∫ U dμ ∈ F, điều kiện cần và đủ là hai điều kiện sau được thỏa mãn: ↩ 2 098T
Hệ quả — Điều kiện b) của Mệnh đề 9 được thỏa mãn trong mỗi một trong hai trường hợp sau: 098U
Mệnh đề 10 — Cho U là một ánh xạ của T vào F = Lₛ(G; H). Trong mỗi một trong ba trường hợp sau, U khả tích theo vô hướng một cách hầu khắp theo μ và ∫ U dμ ∈ Lₛ(G; H): ↩ 1 098V
Mệnh đề 11 Mọi không gian lồi địa phương Hausdorff F có tính chất (GDF) đều là một không gian thùng. ↩ 2 098W
Định lý 1 (Gelfand–Dunford)—Cho F là một không gian lồi địa phương Hausdorff có tính chất (GDF), F'ₛ là đối ngẫu yếu của nó. Với mọi ánh xạ f từ T vào F'ₛ khả tích thiết yếu theo vô hướng đố… ↩ 7 098X
Bổ đề 2 Cho f là một ánh xạ từ T vào F'ₛ, sao cho với mọi z ∈ F, hàm số ⟨ z, f ⟩ thuộc overlineLᵖ(μ) (1 ≤ p ≤ +∞); gọi θ(z) là lớp của hàm này trong Lᵖ(μ). Khi đó z ↦ θ(z) là một ánh xạ tu… ↩ 1 098Y
Hệ quả 1 Cho Gᵢ (1 ≤ i ≤ n) là n không gian lồi địa phương Hausdorff có tính chất (GDF), và gọi F là không gian các dạng đa tuyến tính liên tục riêng rẽ trên ∏ᵢ₌₁ⁿ Gᵢ, được trang bị tôpô hộ… ↩ 2 098Z
Hệ quả 2 Cho G là một không gian lồi địa phương Hausdorff có tính chất (GDF), và H là một không gian nửa phản xạ mà đối ngẫu mạnh H_b' của nó có tính chất (GDF) (xem Phụ lục, No. 2, Mệnh đề… 0990
Mệnh đề 12 Nếu F là một không gian lồi địa phương tách được, mêtric hóa được, thì mọi ánh xạ f từ T vào F đo được theo vô hướng đối với μ đều là đo được đối với μ. ↩ 2 0991
Mệnh đề 13 Cho F là một không gian lồi địa phương là giới hạn trực tiếp của một dãy các không gian lồi địa phương tách được, mêtric hóa được Fₙ, F là hợp của các Fₙ. Gọi F' là đối ngẫu của F… ↩ 6 0992
Mệnh đề 14 Cho T là một không gian địa phương compact, F là một không gian lồi địa phương Hausdorff tựa đầy đủ, và f là một ánh xạ liên tục từ T vào F. Nếu không gian C'(T) các độ đo trên T c… ↩ 2 0993
Nhận xét — 1) Ánh xạ t ↦ εₜ là một đồng phôi của T vào không gian C'(T); thật vậy, nếu L là một tập con compắc của C(T), và t₀ ∈ T, thì tồn tại (GT, X, §2, No. 5, Cor. 3 of Th. 2) một lân c… ↩ 1 0994
Mệnh đề 15 Cho T là một không gian compact địa phương, F là một không gian Hausdorff lồi địa phương quasi-đầy đủ, và f là một ánh xạ liên tục từ T vào F sao cho f(T) bị chặn. Nếu M¹(T) được t… 0995
Bổ đề 3 Cho G, H là hai không gian lồi địa phương, U là một ánh xạ từ một không gian compact địa phương T vào L(G; H). Các điều kiện sau là tương đương: a) Ánh xạ (t, x) ↦ U(t) · x từ T ×… ↩ 1 0996
Mệnh đề 16 — Cho G, H là hai không gian lồi địa phương Hausdorff, với H được giả sử là gần đầy đủ. Cho U là một ánh xạ từ T vào L(G; H) sao cho (t, x) ↦ U(t) · x là một ánh xạ liên tục từ T ×… ↩ 2 0997
Mệnh đề 17 — Cho G, H là hai không gian Hausdorff lồi địa phương, với H được giả thiết là gần đầy đủ. Cho U là một ánh xạ từ T vào L(G; H) sao cho (t, x) ↦ U(t) · x liên tục trên T × G, và U(… ↩ 1 0998
Mệnh đề 18 — Cho G1, G2, H1, H2 là bốn không gian Hausdorff lồi địa phương, với H1 và H2 được giả thiết là gần đầy đủ. Cho A : G1 → G2 và B : H1 → H2 là hai ánh xạ tuyến tính liên tục. Cho U1… 0999
Nhận xét 1 Giả sử rằng G và H là các không gian Banach, và cho U là một ánh xạ từ T vào L(G; H) sao cho (t, x) ↦ U(t) · x liên tục trên T × G. Chú ý rằng điều này kéo theo hàm hữu hạn t ↦ \U(… 099A
Nhận xét 2 Giả sử rằng G = H là gần đầy đủ và rằng U thỏa mãn các giả thiết của Mệnh đề 16. Cho M là một tập con trù mật của không gian C'(T) đối với tôpô yếu σ(C'(T), C(T)), và cho X là một… 099B

§ 2. Các độ đo vectơ

Định nghĩa 1 Cho F là một không gian lồi địa phương Hausdorff trên R. Ta gọi là độ đo vectơ trên T với giá trị trong F mọi ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian K(T) vào F. 09A3
Ví dụ — 1) Ánh xạ đồng nhất của K(T) là một độ đo vectơ trên T với giá trị trong K(T). 09A4
Nhận xét — 1) Để một ánh xạ tuyến tính m từ K(T) vào F là một độ đo vectơ, điều kiện cần và đủ là, với mọi tập con compắc K của T, ảnh qua m của quả cầu đơn vị |f| ≤ 1 của K(T, K) là bị chặ… 09A5
Mệnh đề 1 Cho m là một độ đo vectơ trên T với giá trị trong F, f là một hàm số trên T khả tích thiết yếu đối với m. Ánh xạ z' ↦ ∫ f d(z' ∘ m)⁺ - ∫ f d(z' ∘ m)⁻ là một dạng tuyến tính trên F'… ↩ 4 09A6
Định nghĩa 2 Cho m là một độ đo vectơ trên T với giá trị trong F, f là một hàm số trên T khả tích thiết yếu đối với m. Ta gọi phần tử của F'^* được xác định bởi 09A7
Ví dụ — Hãy lấy m là ánh xạ đồng nhất của K(T) lên chính nó. Vì đối ngẫu của K(T) là không gian M(T) các độ đo vô hướng trên T, nên các hàm f ∈ L(m) là những hàm khả tích theo nghĩa thiế… 09A8
Mệnh đề 2 Mọi hàm số f khả tích theo nghĩa thiết yếu đối với m đều khả tích theo nghĩa thiết yếu đối với u ∘ m, và ∫ f d(u ∘ m) = u(∫ f dm). 09A9
Mệnh đề 3 Nếu ảnh qua m của tập hợp các f ∈ K(T) sao cho sup_t ∈ T |f(t)| ≤ 1 là tương đối compắc yếu trong F, thì ∫ f dm ∈ F đối với mọi hàm số bị chặn khả tích theo nghĩa thiết yếu đối với… ↩ 8 09AA
Hệ quả 1 Nếu, với mọi tập con compắc K của T, ảnh dưới m của tập các f ∈ H(T, K) sao cho sup_t ∈ T |f(t)| ≤ 1 là tương đối compắc yếu trong F, thì ∫ f dm ∈ F với mọi hàm f ∈ L(m) bị chặn và… ↩ 1 09AB
Hệ quả 2 Nếu F là nửa phản xạ, thì ∫ f dm ∈ F với mọi hàm số f khả tích theo nghĩa thiết yếu đối với m. ↩ 2 09AC
Định nghĩa 3 Cho m là một độ đo vectơ trên T nhận giá trị trong F. Nếu q là một nửa chuẩn nửa liên tục dưới trên F, ta nói rằng m là q-có thể bị chặn trên nếu tồn tại một độ đo dương μ sao cho… ↩ 2 09AD
Mệnh đề 4 Cho (Fᵢ)_1 ≤ i ≤ n là một họ hữu hạn các không gian lồi địa phương Hausdorff, F = ∏ᵢ₌₁ⁿ Fᵢ là tích của chúng, qᵢ (1 ≤ i ≤ n) là một nửa chuẩn bán liên tục dưới trên Fᵢ, và q là nửa… 09AE
Hệ quả — Nếu không gian F là hữu hạn chiều, thì mọi độ đo vectơ m nhận giá trị trong F đều là khả trội. Để một hàm số thực khả tích thực chất đối với m, cần và đủ là nó khả tích thực chất… ↩ 1 09AF
Mệnh đề 5 — Cho q là một nửa chuẩn bán liên tục dưới trên F. Cho m là một độ đo q-khả trội, và cho f là một hàm số khả tích thực chất đối với m và sao cho ∫ f dm ∈ F. Khi đó ↩ 2 09AG
Mệnh đề 6 — Cho F là một không gian lồi địa phương Hausdorff gần đầy đủ, m là một độ đo khả trội trên T nhận giá trị trong F. Nếu f là một hàm số thực khả tích thực chất đối với mọi độ đo q(… ↩ 2 09AH
Bổ đề 1 — Khi L₀ và K(T) được trang bị tôpô cảm sinh bởi tôpô của L¹((μ_ι)_ι ∈ I): a) mỗi phần tử của L₀ thuộc bao đóng của một tập con bị chặn nào đó của K(T); b) mỗi phần tử của L¹((μ_ι)… ↩ 1 09AI
Định nghĩa 4 Cho μ là một độ đo dương trên T. Một độ đo vectơ m trên T, với giá trị trong F, được gọi là một độ đo có cơ sở μ nếu tồn tại một ánh xạ f của T vào F, khả tích địa phương theo vô h… ↩ 1 09AJ
Mệnh đề 7 — Cho f là một ánh xạ khả tích địa phương theo vô hướng đối với một độ đo dương μ trên T, sao cho, với mọi hàm g ∈ K(T), ta có ∫ gf dμ ∈ F. Khi đó ánh xạ g ↦ ∫ gf dμ của K(T) vào F… 09AK
Mệnh đề 8 — Cho μ là một độ đo dương trên T, m là một độ đo trên T nhận giá trị trong F, với cơ sở μ và mật độ f đối với μ. Cho q là một nửa chuẩn nửa liên tục dưới trên F. ↩ 2 09AL
Nhận xét Giả sử tồn tại trong A_q' một tập con đếm được D trù mật đối với σ(F', F); khi đó, hàm q ∘ f luôn luôn μ-đo được, vì q(f(t)) = sup_z' ∈ D |⟨ z', f(t) ⟩| (Ch. IV, §5, No. 4, Cor. 1… 09AM
Mệnh đề 9 — Cho F là một không gian Banach hữu hạn chiều. Mọi độ đo m trên T nhận giá trị trong F đều là một độ đo có cơ sở |m|. Nếu m = f · |m|, thì |f(t)| = 1 địa phương hầu khắp nơi đối v… ↩ 2 09AN
Nhận xét Nếu z = ∑ᵢ₌₁ⁿ zᵢ eᵢ thì ψ(z₁, …, zₙ) = |z| là một hàm liên tục thuần nhất dương trên Rⁿ. Đặt μᵢ = e'ᵢ ∘ m = hᵢ · |m|, theo định nghĩa (Ch. V, §5, No. 9) ψ(μ₁, …, μₙ) = ψ(h₁, …, hₙ)… ↩ 1 09AO
Ví dụ — Ta hãy lấy m là ánh xạ đồng nhất của H(T). Nói rằng m có cơ sở μ theo nghĩa vô hướng có nghĩa là mọi độ đo thực trên T đều có cơ sở μ. Đặc biệt, độ đo điểm εₜ (t ∈ T) phải có cơ… 09AP
Bổ đề 2 Mọi không gian con tách được G của không gian Banach L^∞(T, μ) đều có tính chất nâng. ↩ 1 09AQ
Định nghĩa 5 — Cho F là một không gian lồi địa phương Hausdorff, F'ₛ là đối ngẫu của nó được trang bị tôpô σ(F', F). Ta ký hiệu bởi L_F'ₛ^∞ không gian vectơ các ánh xạ f từ T vào F'ₛ, sao cho f… 09AR
Bổ đề 3 Cho F là một không gian lồi địa phương Hausdorff, f là một phần tử của L_F'ₛ^∞. Với mọi z ∈ F, ta có ⟨ z, f ⟩ ∈ L^∞, và ánh xạ tuyến tính z ↦ π(⟨ z, f ⟩) từ F vào L^∞ là liên tục… ↩ 1 09AS
Bổ đề 4 Cho F là một không gian lồi địa phương Hausdorff, f là một phần tử của L_F'ₛ^∞. Với mọi hàm số g ∈ overlineL¹, hàm gf khả tích thiết yếu vô hướng theo μ và ∫ gf dμ ∈ F'. ↩ 1 09AT
Định lý 1 — Cho F là một không gian lồi địa phương Hausdorff chứa một tập con trù mật đếm được. Với mọi hàm f ∈ L_F'ₛ^∞ và mọi z ∈ F, đặt v_f(z) = π(⟨ z, f ⟩) ∈ L^∞; ánh xạ f ↦ v_f xác định… ↩ 5 09AU
Hệ quả 1 Cho F là một không gian lồi địa phương Hausdorff chứa một tập con trù mật đếm được. Với mọi hàm f ∈ L_F'^∞, mọi z ∈ F và mọi hàm g ∈ L¹, đặt Φ_f(z, tildeg) = ∫ ⟨ z, f(t) ⟩ g(t) dμ(… ↩ 2 09AV
Hệ quả 2 (định lý Dunford–Pettis) — Cho F là một không gian lồi địa phương Hausdorff chứa một tập con trù mật đếm được. Với mọi hàm f ∈ L_F'^∞ và mọi hàm g ∈ L¹, đặt w_f(tildeg) = ∫ gf dμ ∈ F' (Bổ đề 4). Ánh xạ f ↦… ↩ 3 09AW
Nhận xét — Hiển nhiên các ánh xạ u ∈ R(L¹, F') là liên tục đối với mọi G-tôpô trên F' (G là một phủ của F bởi các tập con bị chặn). Ngược lại, nếu hơn nữa giả thiết F là thùng, thì mọi ánh… 09AX
Hệ quả 3 Cho F là một không gian lồi địa phương Hausdorff chứa một tập con trù mật đếm được, m là một độ đo vectơ trên T với giá trị trong đối ngẫu yếu F' của F. Nếu ảnh qua m của tập B gồm… ↩ 2 09AY
Hệ quả 4 Cho F là một không gian chuẩn tách được, và m là một độ đo trên T với giá trị trong đối ngẫu mạnh F', bị chặn trên bởi chuẩn của F'. Khi đó m là một độ đo với cơ sở |m|, và nếu m =… ↩ 1 09AZ
Proposition 10 — Cho F là một không gian Banach tách được. Với mọi hàm f ∈ overlineL¹_F và mọi hàm g ∈ L_F'ₛ^∞, hàm số ⟨ f, g ⟩ : t ↦ ⟨ f(t), g(t) ⟩ khả tích μ theo nghĩa thiết yếu, và ↩ 2 09B0
Mệnh đề 11 — Cho F, G, H là ba không gian Banach, Φ là một ánh xạ song tuyến tính liên tục từ F × G vào H. Cho m là một độ đo vectơ khả trội trên T, nhận giá trị trong G. Khi đó tồn tại một v… ↩ 1 09B1
Hệ quả Nếu m và m' là hai độ đo khả chặn trên T, nhận giá trị trong G, thì I_Φ,m+m' = I_Φ,m + I_Φ,m' và I_Φ,λ m = λ I_Φ,m với mọi vô hướng λ. ↩ 1 09B2
Nhận xét — Khi m có dạng bμ, trong đó b ∈ G và μ là một độ đo thực trên T, 09B3
Định nghĩa 6 Người ta gọi độ đo phức trên T mọi dạng tuyến tính liên tục trên không gian vectơ phức K_C(T).\footnote{Xem Ch. III, §1, No. 3, Định nghĩa 2.} 09B4
Mệnh đề 12 Cho m là một độ đo phức trên T, p và q là các số mũ liên hợp (Ch. IV, §6, No. 4). Dạng song tuyến tính (f,g) ↦ ∫ fg dm được xác định và liên tục trên tích L_Cᵖ(m) × L_C^q(m); bất đ… ↩ 2 09B5
Bổ đề 5 Cho m là một độ đo phức trên T, f là một hàm phức m-khả tích. Khi đó ∫ |f| d|m| = sup |∫ fh dm|, khi h chạy qua tập hợp các hàm thuộc H_C(T) sao cho |h(t)| ≤ 1 với mọi t ∈ T. ↩ 1 09B6
Mệnh đề 13 — Cho m là một độ đo phức, và μ = |m|. Điều kiện cần và đủ để m bị chặn là μ bị chặn; trong trường hợp đó |m| = |μ|. 09B7
Hệ quả — Cho m là một độ đo phức bị chặn. Khi đó mọi hàm f ∈ L_F^∞(m) đều m-khả tích, và | ∫ f dm | ≤ N_∞(f)|m|. 09B8

§ 3. Phân rã của các đo lường

Bổ đề 1 Nếu Y là một không gian compact địa phương có một cơ sở đếm được, không gian H(Y) chứa một tập con trù mật đếm được. Chính xác hơn, tồn tại trong H(Y) một tập con đếm được S gồm cá… ↩ 4 09C0
Bổ đề 2 Nếu T là một không gian compact địa phương với một cơ sở đếm được, thì không gian Banach K(Y) gồm các hàm số liên tục tiến về 0 tại điểm vô hạn là tách được. ↩ 1 09C1
Bổ đề 3 — Cho T và X là hai không gian compact địa phương có các cơ sở đếm được, μ là một đo lường dương trên T, và t ↦ λₜ (t ∈ T) là một họ các đo lường dương trên X. Nếu ánh xạ t ↦ λₜ là… ↩ 1 09C2
Định lý 1 Cho T và B là hai không gian compact địa phương có các cơ sở đếm được, μ là một độ đo dương trên T, p là một ánh xạ μ-thực sự (Ch. V, §6, No. 1, Định nghĩa 1) của T vào B, và ν = p… ↩ 3 09C3
Định nghĩa 1 Cho T và B là hai không gian compact địa phương, μ là một độ đo dương trên T, và p là một ánh xạ μ-khả đo được của T vào B. Một độ đo dương ν trên B được gọi là một độ đo ảnh giả c… ↩ 2 09C4
Ví dụ — 1) Nếu p là μ-thực sự và ν = p(μ), thì ν là một độ đo ảnh giả của μ dưới p (Ch. V, §6, No. 2, Hệ quả 2 của Mệnh đề 2). 09C5
Mệnh đề 1 — Cho T là một không gian compact địa phương đếm được ở vô cùng, μ là một độ đo dương trên T, và p là một ánh xạ μ-khả đo được của T vào một không gian compact địa phương B. Khi đó… 09C6
Định lý 2 ========== ↩ 4 09C7
Định nghĩa 2 Cho T và B là hai không gian Polish địa phương compact. Cho một độ đo dương μ trên T, một ánh xạ đo được theo μ p của T vào B, và một độ đo ảnh giả ν của μ theo p, mỗi họ ν-thích h… 09C8
Nhận xét — Đl. 1 của Ch. V, §3, No. 4 chỉ ra (có tính đến sự kiện rằng T và B có các cơ sở đếm được) rằng với mọi hàm f xác định trên T, có giá trị trong overlineR hoặc trong một không gian… 09C9
Định nghĩa 3 Cho T là một không gian địa phương compact, μ một độ đo dương trên T. Một quan hệ tương đương R trong T được gọi là μ-đo được nếu tồn tại một tập hợp μ-trù mật các tập con compact… 09CA
Mệnh đề 2 Cho T là một không gian địa phương compact đếm được tại vô hạn, μ là một độ đo dương trên T. ↩ 7 09CB
Mệnh đề 3 — Cho T là một không gian địa phương compact Polish, μ là một độ đo dương trên T, và R là một quan hệ tương đương trong T. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 1 09CC
Nhận xét Nếu R là một quan hệ tương đương μ-đo được trong T, thì sự bão hòa đối với R của một tập con compact của T không nhất thiết μ-đo được (Bài tập 5). 09CD
Định lý 3 — Cho T là một không gian compact địa phương có một cơ sở đếm được, μ là một độ đo dương trên T, và R là một quan hệ tương đương μ-đo được trong T. Khi đó, tồn tại một tập hợp con… ↩ 2 09CE
Định lý 4 Cho T là một không gian Polish địa phương compact, μ là một độ đo dương trên T, và R là một quan hệ tương đương μ-đo được trong T. Cho B, B' là hai không gian Polish địa phương com… ↩ 1 09CF

App. 0. Complements on topological vector spaces

Mệnh đề 1 Để một dạng song tuyến tính Φ ∈ B(E, F) thuộc B(E, F), điều cần và đủ là tồn tại một lân cận của 0 trong E mà ảnh của nó qua ˡ Φ là một tập con đều liên tục của F'. ↩ 1 09CS
Hệ quả Nếu Φ là một dạng song tuyến tính liên tục trên E × F, thì ˡ Φ là một ánh xạ tuyến tính liên tục của E vào đối ngẫu mạnh F'_b của F. Nếu, hơn nữa, E và F là các không gian chuẩn, t… 09CT
Mệnh đề 2 — Cho E là một không gian vectơ, (F_α)_α ∈ A là một họ các không gian địa phương compact có tính chất (GDF), và với mỗi α ∈ A cho h_α là một ánh xạ tuyến tính của F_α vào E. Nếu E… ↩ 1 09CU
Hệ quả — Mọi không gian thương của một không gian lồi địa phương có tính chất (GDF) đều có tính chất (GDF). 09CV
Mệnh đề 3 — Đối ngẫu mạnh của một không gian Fréchet phản xạ có tính chất (GDF). 09CW
Bổ đề Cho F là một không gian Fréchet, F' là đối ngẫu mạnh của nó, F'' là đối ngẫu kép của nó. Nếu mọi tập con của F'', bị chặn đối với σ(F'', F'), đều được chứa trong bao đóng (theo σ(F… 09CX

VII. Độ đo Haar

§ 1. Xây dựng một độ đo Haar

Định nghĩa 1 Cho μ là một độ đo trên X. a) μ được gọi là bất biến dưới G nếu γ(s)μ = μ với mọi s ∈ G. b) μ được gọi là tương đối bất biến dưới G nếu γ(s)μ tỉ lệ với μ với mọi s ∈ G. c) μ được g… 09CY
Nhận xét — 1) Giả sử μ bất biến. Khi đó |μ|, R(μ), I(μ) đều bất biến. Nếu μ thực, thì μ⁺ và μ⁻ đều bất biến. 2) Giả sử μ tương đối bất biến và khác không. Với mọi s ∈ G, tồn tại duy nhất mộ… 09CZ
Bổ đề 1 — Cho X, Y, Z là ba không gian tôpô, với Y địa phương compact. Cho (x, y) ↦ xy là một ánh xạ liên tục của X × Y vào Z, xác định một ánh xạ x ↦ uₓ của X vào F(Y; Z) bởi quan hệ uₓ(y… ↩ 7 09D0
Mệnh đề 1 — Giả sử rằng G là địa phương compact. Cho μ là một độ đo bất biến tương đối khác không trên X. Khi đó nhân tử χ của nó là một hàm liên tục trên G. ↩ 3 09D1
Định nghĩa 2 Cho G là một nhóm địa phương compact. Một độ đo dương khác không trên G mà bất biến trái (resp. phải) được gọi là một độ đo Haar trái (resp. phải) trên G. 09D2
Định lý 1 Trên mọi nhóm địa phương compact, tồn tại một độ đo Haar trái (resp. phải), và, cho đến một thừa số hằng, chỉ có một. ↩ 7 09D3
Hệ quả — Mọi độ đo bất biến trái (resp. bất biến phải) trên G đều tỉ lệ với một độ đo Haar trái (resp. phải). ↩ 1 09D4
Ví dụ — 1) Trên nhóm cộng R, độ đo Lebesgue dx là một độ đo Haar (Ch. III, §1, No. 3, Ví dụ). 09D5
Mệnh đề 2 — Cho G là một nhóm địa phương compact, μ là một độ đo Haar trái hoặc phải trên G. Để G rời rạc, điều kiện cần và đủ là μ(e) > 0. Để G compact, điều kiện cần và đủ là μ^*(G) < +∞. ↩ 6 09D6
Định nghĩa 3 Hàm Δ_G trên G được gọi là môđun (hay hàm môđun) của G. Nếu Δ_G = 1, thì nhóm G được gọi là đơn môđula. 09D7
Nhận xét — Nếu φ là một đẳng cấu của G lên một nhóm địa phương compact G', thì Δ_G' ∘ φ = Δ_G. Đặc biệt: 1) Vì x ↦ x⁻¹ là một đẳng cấu của G lên nhóm đối G⁰, ta có Δ_G⁰ = Δ_G⁻¹. 2) Nếu φ là… 09D8
Mệnh đề 3 Nếu trong G tồn tại một lân cận compact V của e bất biến dưới các tự đẳng cấu trong, thì G là đơn môđula. ↩ 1 09D9
Hệ quả Nếu G là rời rạc, hoặc compact, hoặc giao hoán, thì G là đơn môđula. 09DA
Định nghĩa 4 Số a > 0 sao cho φ⁻¹(μ) = a μ được gọi là môđun của tự đẳng cấu φ và được ký hiệu mod_G φ hoặc đơn giản là mod φ. \ 09DB
Mệnh đề 4 Cho G là một nhóm địa phương compact, Γ là một nhóm tôpô, và γ ↦ u_γ là một đồng cấu từ Γ vào nhóm G các tự đẳng cấu của G, sao cho (γ, x) ↦ u_γ(x) là một ánh xạ liên tục từ Γ × G… ↩ 1 09DC
Mệnh đề 5 — Cho (G_ι)_ι ∈ I là một họ các nhóm địa phương compact. Với mọi ι ∈ I gọi μ_ι là một độ đo Haar trái (resp. phải) trên G_ι. Giả sử tồn tại một tập con hữu hạn J của I sao cho, với… 09DD
Ví dụ — 1) Độ đo Lebesgue trên Rⁿ là một độ đo Haar của nhóm cộng Rⁿ. 09DE
Mệnh đề 6 Với mọi α ∈ A, hãy cho μ_α là một độ đo dương trên G_α. Giả sử rằng φ_βα(μ_α) = μ_β khi α ≥ β. Khi đó, tồn tại một và chỉ một độ đo dương μ trên G sao cho φ_α(μ) = μ_α với mọi α ∈… ↩ 2 09DF
Định nghĩa 5 Độ đo μ được gọi là giới hạn ngược (hoặc giới hạn xạ ảnh) của các μ_α. 09DG
Mệnh đề 7 Ta giữ các ký hiệu của Mệnh đề 6. Nếu mỗi μ_α là một độ đo Haar trái (resp. phải) trên G_α, thì μ là một độ đo Haar trái (resp. phải) trên G. 09DH
Mệnh đề 8 a) Cho μ và μ' là hai độ đo dương trên G sao cho, với mọi α và với mọi lớp ghép C của K_α, μ(C) = μ'(C). Khi đó μ = μ'. ↩ 1 09DI
Ví dụ — Cho Qₚ là trường p-adic, tức là sự hoàn thành của Q theo giá trị tuyệt đối p-adic |x|ₚ = p^-vₚ(x) (GT, IX, §3, No. 2, Ví dụ 3). Các phần tử của Qₚ được gọi là các số p-adic. Ta k… 09DJ
Mệnh đề 9 Cho G là một nhóm địa phương compact, V là một tập con mở của G, và μ là một độ đo dương khác không trên V thỏa mãn tính chất sau: nếu U là một tập con mở của V và nếu s \in G sao… ↩ 2 09DK
Hệ quả Cho G, G' là hai nhóm compact địa phương, V (tương ứng V') là một lân cận mở của phần tử trung hòa của G (tương ứng G'), và φ là một đẳng cấu địa phương của G' với G (GT, III, §1… ↩ 1 09DL
Ví dụ — Độ đo Haar trên T thu được ở No. 2, Ví dụ 3 có thể được suy ra từ độ đo Lebesgue trên R nhờ một đẳng cấu địa phương của R với T. 09DM
Mệnh đề 10 Cho G là một nhóm địa phương compact, μ là một độ đo trái bất biến tương đối trên G với nhân tử χ. Nếu χ₁ là một biểu diễn liên tục của G trong C^*, thì độ đo χ₁ · μ là trái bất bi… ↩ 2 09DN
Hệ quả 1 Cho μ là một độ đo Haar trái trên G. Để một độ đo không bằng không ν trên G là bất biến tương đối trái, điều kiện cần và đủ là nó có dạng a χ · μ, trong đó a ∈ C^* và χ là một biểu… ↩ 4 09DO
Hệ quả 2 Mọi độ đo bất biến tương đối trái đều là bất biến tương đối phải. 09DP
Mệnh đề 11 Cho G là một nhóm địa phương compact, μ là một độ đo Haar trái trên G. Để một độ đo ν ≠ 0 trên G là nửa bất biến trái, điều kiện cần và đủ là ν tương đương với μ. \ ↩ 2 09DQ
Định nghĩa 6 — Cho K là một trường địa phương compact^{(1)}. Với a ∈ K^*, người ta gọi môđun của a, và ký hiệu bằng mod_K(a) hoặc đơn giản mod(a), là môđun của tự đẳng cấu x ↦ ax của nhóm cộng… 09DR
Ví dụ — 1) Cho K = R. Nếu s > 0 thì s · [0,1] = [0,s]; nếu s < 0, s · [0,1] = [s,0]. Do đó mod_R t = |t| với mọi t ∈ R. 09DS
Mệnh đề 12 — Hàm mod liên tục trên K, và mod(ab) = mod(a)mod(b) với mọi a, b trong K. ↩ 2 09DT
Mệnh đề 13 — Với mọi M > 0, cho V_M là tập hợp các x ∈ K sao cho mod(x) ≤ M. Nếu K không rời rạc, thì V_M lập thành một hệ cơ bản các lân cận compact của 0 trong K. 09DU
Hệ quả — Tôpô của một trường compact địa phương không rời rạc có một cơ sở đếm được. ↩ 3 09DV
Mệnh đề 14 — Cho α là một độ đo Haar trên K⁺. Khi đó độ đo β = (mod_K)⁻¹ · α trên K^* là một độ đo Haar trái trên nhóm nhân K^*. ↩ 2 09DW
Hệ quả — Cho f là một hàm xác định trên K^*, với giá trị trong overlineR hoặc trong một không gian Banach. Để f là β-khả tích, điều kiện cần và đủ là (mod_K)⁻¹ f là α-khả tích, trong trườ… 09DX
Mệnh đề 15 — Giả sử K giao hoán. Cho u là một tự đẳng cấu của không gian vectơ E = K^n. Khi đó ↩ 5 09DY
Hệ quả 1 — Cho K là một trường compact địa phương giao hoán, E là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên K, và u là một tự đồng cấu của không gian vectơ E. Khi đó mod_E(u) = mod_K(det u). ↩ 3 09DZ
Hệ quả 2 — Cho E là một không gian vectơ thực có số chiều hữu hạn n, (e₁, e₂, …, eₙ) là một cơ sở của E, P là tập hợp các x = ∑ᵢ₌₁ⁿ ξᵢ eᵢ ∈ E sao cho 0 ≤ ξᵢ ≤ 1 với mọi i, và μ là độ đo Haa… 09E0
Mệnh đề 16 — Cho α là một độ đo Haar của nhóm cộng của A. Các độ đo ↩ 1 09E1
Mệnh đề 17 — Giả sử A là một trường (compact địa phương). Với mọi a ∈ A, mod_A(a) = mod_K N_A/K(a). ↩ 1 09E2
Ví dụ — 1) Lấy K = R, A = C. Xét đến Alg., chương VIII, §12, n° 2, mệnh đề 4, ta thu được mod_C(z) = |z|² với mọi z ∈ C. (2) 09E3

§ 2. Thương của một không gian theo một nhóm; các không gian thuần nhất

Mệnh đề 1 Cho f là một hàm liên tục nhận giá trị thực trên X mà giá đỡ S của nó có giao compact với phần bão hòa của mọi tập con compact của X. ↩ 5 09EY
Mệnh đề 2 Ánh xạ f ↦ f^χ từ K(X) vào K^χ(X) là tuyến tính, và ảnh của K(X) (resp. K₊(X)) là K^χ(X) (resp. K₊^χ(X)). ↩ 6 09EZ
Bổ đề 1 — Cho K là một tập con compact của X, u là một hàm của K₊(X) với u(x) > 0 với x ∈ K. Cho g ∈ K^χ(X) sao cho Supp g ⊂ KH. a) Ta có inf_x ∈ KH u¹(x) > 0. b) Hàm h bằng g/u¹ trên KH… ↩ 2 09F0
Mệnh đề 3 Cho μ là một độ đo trên X. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 3 09F1
Nhận xét 1 — Ta sẽ chứng minh rằng ánh xạ f ↦ fᵇ là một cấu xạ ngặt (GT, III, §2, No. 8) từ K(X) lên K(X/H). 09F2
Mệnh đề 4 a) Cho λ là một độ đo trên X/H. Tồn tại một và chỉ một độ đo λ^# trên X sao cho ∫_X/H fᵇ dλ = ∫_X f dλ^# đối với mọi f ∈ K(X). Ta có δ(ξ)λ^# = Δ_H(ξ)λ^# với mọi ξ ∈ H. ↩ 5 09F3
Định nghĩa 1 Với các giả thiết và ký hiệu như trong Mệnh đề 4, λ được gọi là thương của μ theo β và được ký hiệu bởi μ/β hoặc μ/β. 09F4
Nhận xét 2 — Cho E là một không gian vectơ lồi địa phương và cho m là một độ đo vectơ trên X/H với giá trị trong E. Khi đó ánh xạ f ↦ m(fᵇ) từ K(X) vào E là một độ đo vectơ trên X, với giá tr… 09F5
Bổ đề 2 Cho f là một hàm trên X, nhận giá trị trong một không gian tôpô. ↩ 1 09F6
Mệnh đề 5 — Cho λ là một độ đo dương trên X/H. ↩ 6 09F7
Mệnh đề 6 — Cho λ là một độ đo dương trên X/H. ↩ 6 09F8
Hệ quả 1 — Cho λ, λ' là hai độ đo dương trên X/H. Để λ' có cơ sở λ, cần và đủ rằng λ'^# có cơ sở λ^#. Để λ và λ' tương đương, cần và đủ rằng λ^# và λ'^# tương đương. ↩ 3 09F9
Hệ quả 2 — Cho λ là một độ đo dương trên X/H, và f là một hàm số trị số đo được theo λ^# trên X. Giả sử rằng, với mọi ξ ∈ H, δ(ξ)f = f địa phương λ^#-hầu khắp nơi. Khi đó, tồn tại một hàm λ… ↩ 1 09FA
Hệ quả 3 — a) Cho (λ_ι)_ι ∈ I là một họ các độ đo thực trên X/H. Để họ (λ_ι) bị chặn trên trong M(X/H), điều kiện cần và đủ là họ (λ_ι^#) bị chặn trên trong M(X), trong trường hợp đó ↩ 2 09FB
Nhận xét 1 Mệnh đề 6 a) có thể phát biểu bằng cách nói rằng λ là một độ đo ảnh giả của λ^# theo π (Ch. VI, §3, No. 2, Định nghĩa 1). 09FC
Nhận xét 2 Giả sử H là compact và β được chuẩn hóa. Phần bão hòa của mọi tập con compact của X là compact. Do đó, nếu f ∈ K(X/H) thì f ∘ π ∈ K(X); và, với mọi độ đo dương λ trên X/H, Mệnh đề… ↩ 1 09FD
Nhận xét 3 Hệ quả 3 c) của Mệnh đề 6 cho thấy ngay rằng các kết quả của tiểu mục này vẫn đúng trong trường hợp các độ đo phức (trừ những kết quả liên quan đến tích phân trên). 09FE
Nhận xét 4 Cho m là một độ đo vectơ trên X/H nhận giá trị trong E, và cho q là một nửa chuẩn nửa liên tục dưới trên E. Để m là q-trội được (Ch. VI, §2, No. 3, Định nghĩa 3), điều kiện cần và… 09FF
Mệnh đề 7 Giả sử X/H paracompact. Cho χ là một biểu diễn liên tục của H trong R₊^*. ↩ 2 09FG
Mệnh đề 8 Giả sử X/H paracompact. Tồn tại trên X một hàm liên tục h geqslant 0, có hỗ trợ có giao compact với bao hòa của mọi tập con compact của X, và sao cho hᵇ = 1. Với một hàm như vậy, t… ↩ 5 09FH
Nhận xét 1 Đặc biệt, cho X là một không gian địa phương compact trên đó một nhóm rời rạc D tác động liên tục và đúng đắn bên phải; giả sử X/D là paracompact. Khi đó, tồn tại một hàm liên tục… 09FI
Nhận xét 2 Ta giữ các giả thiết và ký hiệu của Mệnh đề 8. Ánh xạ g ↦ h · (g ∘ π) là một ánh xạ liên tục của K(X/H) vào K(X), là một nghịch đảo phải của ánh xạ f ↦ fᵇ. Do đó, mọi tập con bị ch… 09FJ
Mệnh đề 9 — Ta giữ các giả thiết và ký hiệu của Mệnh đề 8. Cho λ là một độ đo dương trên X/H. ↩ 3 09FK
Hệ quả — Ánh xạ tuyến tính liên tục f ↦ fᵇ từ L¹(X, λ^#) vào L¹(X/H, λ) được xác định bởi Mệnh đề 5 là toàn ánh. 09FL
Nhận xét 3 — Giả sử X/H paracompact, và ta giữ các ký hiệu của Mệnh đề 9. Khi đó ánh xạ k ↦ h · (k ∘ π) từ L¹(X/H, λ) vào L¹(X, λ^#) là đẳng cự theo (14) và là một nghịch đảo phải của ánh xạ… 09FM
Bổ đề 3 — Cho G là một nhóm compact địa phương, μ là một độ đo Haar trái trên G, ν và ν' là hai độ đo quasi-bất biến khác không trên G. Nếu, với mọi s ∈ G, các mật độ của γ(s)ν đối với ν v… ↩ 1 09FN
Bổ đề 4 Cho λ là một độ đo ≠ 0 trên G/H, và μ là một độ đo Haar trái trên G. Các tính chất sau là tương đương: a) λ là gần bất biến dưới G; b) để một tập con A của G/H là địa phương λ-khôn… ↩ 1 09FO
Định lý 1 Cho G là một nhóm địa phương compact, H là một nhóm con đóng của G. 09FP
Bổ đề 5 Cho μ là một độ đo Haar trái trên G, và ρ là một hàm khả tích địa phương theo μ. Để ρ · μ có dạng λ^#, điều kiện cần và đủ là, với mọi ξ ∈ H, 09FQ
Định lý 2 Cho G là một nhóm địa phương compact, H là một nhóm con đóng của G, μ là một độ đo Haar trái trên G, và β là một độ đo Haar trái trên H. ↩ 2 09FR
Nhận xét 1 Từ Nhận xét 1 của No. 3 suy ra rằng các độ đo gần bất biến khác không trên G/H chẳng qua là các ảnh giả dưới π của một độ đo Haar trên G. 09FS
Nhận xét 2 Nếu G là một nhóm Lie, ta sẽ thấy sau này rằng hàm ρ của Định lý 2 có thể được chọn là khả vi vô hạn. 09FT
Bổ đề 6 Cho λ là một độ đo trên G/H, χ là một biểu diễn liên tục của G trong C^*. Các tính chất sau là tương đương: a) λ là bất biến tương đối trên G/H với nhân tử χ; b) λ^# là bất biến tư… ↩ 2 09FU
Định lý 3 Cho G là một nhóm địa phương compact, H là một nhóm con đóng của G, μ (tương ứng β) là một độ đo Haar trái trên G (tương ứng H), χ là một biểu diễn liên tục của G trong C^*. ↩ 6 09FV
Hệ quả 1 Để trên G/H tồn tại một độ đo dương khác không bất biến tương đối dưới G, điều kiện cần và đủ là tồn tại một biểu diễn liên tục của G trong R₊^* mở rộng biểu diễn ξ ↦ Δ_H(ξ)/Δ_G(ξ)… ↩ 1 09FW
Hệ quả 2 — Để trên G/H tồn tại một độ đo dương khác không bất biến dưới G, điều kiện cần và đủ là Δ_G trùng nhau với Δ_H trên H. ↩ 1 09FX
Hệ quả 3 — Giả sử rằng H đơn môđula và rằng trên G/H tồn tại một độ đo dương bị chặn khác không ν bất biến tương đối dưới G. Khi đó ν bất biến, và G đơn môđula. ↩ 1 09FY
Mệnh đề 10 — Cho G là một nhóm compact địa phương, G' một nhóm con chuẩn đóng, G'' là nhóm G/G', π là ánh xạ chính tắc của G lên G/G', và α, α', α'' là các độ đo Haar trái trên G, G', G''. ↩ 7 09FZ
Mệnh đề 11 — Ta giữ các ký hiệu của Mệnh đề 10. Cho u là một tự đẳng cấu của G sao cho u(G') = G'. Ký hiệu u' là hạn chế của u lên G', và u'' là tự đẳng cấu của G'' suy ra từ u bằng cách đi q… ↩ 2 09G0
Hệ quả — Với mọi x ∈ G, Δ_G(x) = Δ_G/G'(dotx) mod(iₓ), trong đó dotx ký hiệu ảnh chính tắc của x trong G/G', và iₓ là tự đẳng cấu s ↦ x⁻¹sx của G'. 09G1
Bổ đề 7 Cho K là một tập con compact của X/H', và L là một tập con compact của X. Khi đó ⋃_x ∈ L ωₓ⁻¹(K) là tương đối compact trong H/H'. 09G2
Mệnh đề 12 — Với các ký hiệu trên, ↩ 1 09G3
Hệ quả 1 — a) Cho f là một hàm trên X/H', với giá trị trong một không gian Banach hoặc trong overlineR, khả tích đối với μ/β'. Tồn tại một tập con N không đáng kể theo (μ/β) của X/H có tính… ↩ 1 09G4
Hệ quả 2 — Cho G là một nhóm compact địa phương, A và B là các nhóm con đóng của G sao cho A ⊃ B. Giả sử rằng tồn tại, trên không gian thuần nhất G/B của các lớp ghép trái theo B, một độ đo… 09G5
Mệnh đề 13 — Giả sử thêm rằng Z là compact. Cho μ_G, μ_X, μ_Y là các độ đo Haar trái trên G, X, Y, và Λ là sự hạn chế của Δ_G lên Y. Khi đó sự hạn chế μ của μ_G lên Ω là, đến một thừa số hằng… ↩ 5 09G6
Hệ quả — Cho f là một hàm xác định trên Ω, nhận giá trị trong một không gian Banach hoặc trong overlineR. Để f khả tích theo μ, cần và đủ rằng hàm (x, y) ↦ f(xy) Δ_G(y) Δ_Y(y)⁻¹ khả tích… 09G7
Mệnh đề 14 — Giả sử các điều kiện của Mệnh đề 13 được thỏa mãn và, ngoài ra, Y là chuẩn tắc. ↩ 3 09G8
Nhận xét Mệnh đề 14 áp dụng, đặc biệt, khi G là tích nửa trực tiếp tôpô của X bởi Y (GT, III, §2, No. 10). Trong trường hợp này, Z = e và Ω = G. Vì yx = xiₓ(y) với x ∈ X,\ y ∈ Y, độ đo μ_G… 09G9
Định nghĩa 2 Cho F ⊂ X. Ta nói rằng F là một miền cơ bản (cho H) nếu hạn chế của π lên F là một song ánh của F lên X/H (nói cách khác, F là một hệ đại diện cho quan hệ tương đương do H xác định… 09GA
Bổ đề 8 — Cho F là một miền cơ bản. Với mọi x ∈ X, ∑_s ∈ H φ_Fs(x) = n(x). (24) ↩ 2 09GB
Mệnh đề 15 Giả sử rằng X đếm được ở vô cực. Cho μ là một độ đo ≥ 0 trên X. Cho F là một miền cơ bản sao cho Fs là μ-đo được với mọi s ∈ H. Cho f là một hàm khả tích theo μ trên X, với giá trị… ↩ 1 09GC
Định lý 4 Cho X là một không gian compact địa phương đếm được ở vô cực, H là một nhóm rời rạc tác động liên tục và đúng trên X ở phía phải, π là ánh xạ chính tắc của X lên X/H, μ là một độ đ… ↩ 2 09GD
Hệ quả Chúng ta giữ các giả thiết và ký hiệu của Định lý 4. Cho F' là một miền cơ sở thứ hai đo được theo μ. Cho u là một hàm trên X, nhận giá trị trong một không gian Banach hoặc trong o… 09GE

§ 3. Ứng dụng và ví dụ

Mệnh đề 1 — Cho G là một nhóm con của Aut(E). Ba tính chất sau đây là tương đương: ↩ 2 09GS
Bổ đề 1 Cho F là một không gian Hilbert, K là một nhóm compact, và s ↦ U(s) là một biểu diễn của K trong nhóm các phần tử khả nghịch của L(F; F), liên tục đối với tôpô hội tụ từng điểm. Tồ… 09GT
Nhận xét Cho Φ là một dạng Hermit dương không suy biến trên E. Nhóm unita U(Φ) là đóng trong Aut(E), do đó là compact (Mệnh đề 1). Mệnh đề 1 cũng chỉ ra rằng mọi nhóm con compact của Aut(E)… 09GU
Mệnh đề 2 Cho X là một không gian compact địa phương trong đó một nhóm compact địa phương H tác động bên phải, liên tục và đúng, bởi (x, ξ) ↦ xξ. Giả sử rằng X/H là paracompact. Cho g là một… ↩ 2 09GV
Hệ quả Cho X là một không gian compact địa phương trong đó một không gian vectơ thực hữu hạn chiều V tác động bên phải, liên tục và đúng, bởi (x, v) ↦ xv. Cho π là ánh xạ chính tắc của X… ↩ 1 09GW
Nhận xét — Cho E là một không gian affine thực hữu hạn chiều, T là một không gian compact, μ là một độ đo trên T có khối lượng toàn phần 1, và f là một ánh xạ liên tục từ T vào E. Nếu một g… 09GX
Bổ đề 2 Cho G là một nhóm compact, μ là độ đo Haar chuẩn hóa của G, E là một không gian affine thực hữu hạn chiều, A là nhóm affine của E, và ρ là một đồng cấu từ G vào A. Giả sử rằng, với… ↩ 3 09GY
Mệnh đề 3 Cho G là một nhóm compact địa phương. Cho H là một nhóm con chuẩn đóng của G, đẳng cấu với Rⁿ và sao cho G/H là compact. ↩ 1 09GZ
Mệnh đề 4 Cho G là một nhóm compact địa phương và H là một nhóm con chuẩn đóng của G sao cho K = G/H là compact. Khi đó mọi biểu diễn liên tục u của H trong R, sao cho u(sξ s⁻¹) = u(ξ) với m… ↩ 1 09H0
Bổ đề 3 Cho G là một nhóm tôpô được sinh bởi một lân cận compact của e. Cho H là một nhóm con đóng của G sao cho không gian thuần nhất G/H là compact. Khi đó H được sinh bởi một lân cận co… 09H1
Bổ đề 4 Cho G là một nhóm tôpô liên thông, D là một nhóm con chuẩn rời rạc của G. Khi đó D được chứa trong tâm của G. 09H2
Mệnh đề 5 Cho G là một nhóm tôpô liên thông thừa nhận một nhóm con chuẩn rời rạc D sao cho K = G/D là compact, và sao cho nhóm con giao hoán tử của K là trù mật trong K. Khi đó D là hữu hạn… 09H3
Ví dụ 1 Nhóm tuyến tính tổng quát. ↩ 3 09H4
Bổ đề 5 Các biểu diễn liên tục của GL(n, K) trong C^* là các ánh xạ có dạng X ↦ χ(det X), trong đó χ là một biểu diễn liên tục của K^* trong C^*. ↩ 1 09H5
Ví dụ 2 Nhóm affine. Với mọi X ∈ GL(n, K) và mọi x ∈ Kⁿ, đặt (X, x) là ánh xạ tuyến tính affine ξ ↦ Xξ + x trong Kⁿ. Tập hợp các (X, x) là nhóm affine G của Kⁿ (A, II, §9, No. 4). Tập hợp… 09H6
Ví dụ 3 Nhóm tam giác ngặt. ↩ 1 09H7
Bổ đề 6 Cho L là một tập hợp hữu hạn được sắp thứ tự toàn phần. Với mỗi λ ∈ L, cho V_λ là một môđun tự do có số chiều hữu hạn trên một vành giao hoán k; với λ, μ trong L sao cho λ ≤ μ, cho… ↩ 2 09H8
Ví dụ 4 — Nhóm tam giác lớn. ↩ 2 09H9
Nhận xét Nhóm T(n, K)^* là một nhóm con đóng của GL(n, K), và Δ_T(n, K)^*((zᵢⱼ)) = ∏ᵢ₌₁ⁿ (mod zᵢᵢ)^2i-n-1. Ta đã thấy trong Ví dụ 1 rằng Δ_GL(n, K) = 1. Nếu n > 1, hàm Δ_T(n, K)^*/Δ_GL(n, K… 09HA
Ví dụ 5 — Nhóm tam giác đặc biệt. Ta xét lại các ký hiệu ở đầu Ví dụ 4, và xét nhóm con G₁ = G ∩ SL(n, K). Nhóm con này là tích nửa trực tiếp tôpô của nhóm D₁ = D ∩ SL(n, K) với T_J. Nhóm… 09HB
Ví dụ 6 — Nhóm tuyến tính đặc biệt. Các nhóm con đóng T₁(n, K) và ᵗ(T(n, K)^*) của GL(n, K) có giao e. Do đó ánh xạ (M, N) ↦ M · N là một song ánh liên tục φ của T₁(n, K) × ᵗ(T(n, K)^*) lê… ↩ 1 09HC
Bổ đề 7 — a) Cho U = (uᵢⱼ) ∈ GL(n, K). Để U ∈ Ω, điều kiện cần và đủ là det(uᵢⱼ)_k ≤ i, j ≤ n ≠ 0 với k = 2, 3, …, n là đúng. b) Ω là một tập con mở của GL(n, K). c) Ánh xạ φ là một đồng p… ↩ 2 09HD
Bổ đề 8 a) Cho U = (uᵢⱼ) ∈ SL(n, K). Để U ∈ Ω', điều kiện cần và đủ là det(uᵢⱼ)_k ≤ i, j ≤ n ≠ 0 với k = 2, 3, …, n. ↩ 1 09HE
Mệnh đề 6 a) Nhóm SL(n, K) là đơn môđula. ↩ 1 09HF
Bổ đề 9 Cho ψ là một đa thức ≠ 0 của K[X₁, …, Xᵣ]. Trong không gian Kʳ, tập hợp N được xác định bởi ψ(x₁, …, xᵣ) = 0 là không đáng kể đối với độ đo Haar. 09HG
Ví dụ 7 Phân tích Iwasawa của GL(n, K). 09HH
Bổ đề 10 Cho (f₁, f₂, …, fₙ) là một cơ sở của E. a) Tồn tại duy nhất một cơ sở trực chuẩn (e₁, e₂, …, eₙ) của E sao cho fᵢ = e₁ αᵢ₁ + e₂ αᵢ₂ + ⋯ + eᵢ αᵢᵢ (i = 1, 2, …, n) với αᵢᵢ > 0 với mọ… ↩ 1 09HI
Mệnh đề 7 Cho D₊^* là nhóm các ma trận đường chéo có các phần tử đường chéo > 0. Ánh xạ (U, D, T) ↦ UDT là một phép đồng phôi từ U(n, K) × D₊^* × T₁(n, K) lên GL(n, K). 09HJ
Ví dụ 8 Không gian các dạng Hermit. 09HK

App. 1.

Bổ đề 1 Cho X là một không gian compact địa phương, R là một quan hệ tương đương mở trong X, sao cho không gian thương X/R là paracompact; gọi π là ánh xạ chính tắc của X lên X/R. Tồn tại… 09HX
Bổ đề 2 Cho G là một nhóm compact địa phương đếm được tại vô cực, M là một không gian Baire. Giả sử rằng G tác động trái liên tục và bắc cầu trên M. Với mọi x ∈ M, gọi Hₓ là nhóm ổn định c… 09HY

App. 2.

Bổ đề 1 Cho X, B là hai không gian địa phương compact, π là một ánh xạ từ X vào B, ν là một độ đo dương trên B. Cho b ↦ λb (b ∈ B) là một họ ν-thích hợp các độ đo dương trên X sao cho, với… 09HZ

VIII. Phép chập và các biểu diễn

§ 1. Phép chập

Định nghĩa 1 Cho X₁, …, Xₙ là các không gian compact địa phương, μᵢ là một độ đo trên Xᵢ (1 ≤ i ≤ n); đặt X là tích của các Xᵢ, μ là tích của các μᵢ. Cho φ là một ánh xạ từ X vào một không gian… 09I0
Ví dụ — 1) Với mọi φ, các độ đo ε_xᵢ, trong đó xᵢ ∈ Xᵢ với 1 ≤ i ≤ n, luôn luôn khả chập và có tích chập là ε_y, với y = φ(x₁, x₂, …, xₙ). Do đó, nếu mỗi μᵢ đều có giá hữu hạn, thì các μ… 09I1
Bổ đề 1 Với 1 ≤ i ≤ n, gọi Xᵢ, Yᵢ là hai không gian compact địa phương, μᵢ là một độ đo trên Xᵢ, và φᵢ là một ánh xạ liên tục từ Xᵢ vào Yᵢ. Đặt X = ∏ᵢ Xᵢ, Y = ∏ᵢ Yᵢ, μ = ⨂ᵢ μᵢ, và φ là ánh… ↩ 1 09I2
Bổ đề 2 Giả sử T, T', T'' là ba không gian địa phương compact, μ là một độ đo trên T, π là một ánh xạ μ-đo được từ T vào T', π' là một ánh xạ liên tục từ T' vào T'', và π'' = π' ∘ π. Nếu π… ↩ 1 09I3
Mệnh đề 1 Cho Xᵢⱼ (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ nᵢ), Yᵢ (1 ≤ i ≤ m), và Z là các không gian compact địa phương; với mỗi i, gọi φᵢ là một ánh xạ từ Xᵢ = ∏ⱼ Xᵢⱼ vào Yᵢ; gọi φ là tích của các φᵢ, ánh xạ… ↩ 2 09I4
Hệ quả — Cho Xᵢ, X'ᵢ (1 ≤ i ≤ n), Y, Y' là các không gian compact địa phương; cho φ, φ' là các ánh xạ liên tục từ X = ∏ᵢ Xᵢ vào Y và từ X' = ∏ᵢ X'ᵢ vào Y', tương ứng; cho fᵢ là các ánh xạ… ↩ 1 09I5
Mệnh đề 2 — Cho X₁, …, Xₙ, Y là các không gian địa phương compact, μᵢ là một độ đo bị chặn trên Xᵢ (1 ≤ i ≤ n), μ là tích của các μᵢ, φ là một ánh xạ μ-đo được từ ∏ᵢ₌₁ⁿ Xᵢ vào Y. Khi đó các… ↩ 3 09I6
Mệnh đề 3 — Cho X₁, …, Xₙ, Y là các không gian compact địa phương, φ là một ánh xạ liên tục từ ∏ᵢ₌₁ⁿ Xᵢ vào Y. Khi đó ánh xạ (μ, …, μₙ) ↦ *_φ (μᵢ) từ ∏ᵢ₌₁ⁿ M¹(Xᵢ) vào M¹(Y) là một ánh xạ đa… 09I7
Mệnh đề 4 — Cho X₁, …, Xₙ, Y là các không gian compact địa phương, μᵢ là một độ đo trên Xᵢ (1 ≤ i ≤ n), Sᵢ là giá của nó, và φ là một ánh xạ liên tục từ ∏ᵢ Xᵢ vào Y sao cho hạn chế của φ trê… ↩ 6 09I8
Mệnh đề 5 Cho X₁, …, Xₙ, Y là các không gian compact địa phương, μᵢ là một độ đo trên Xᵢ (1 ≤ i ≤ n), μ là tích của các μᵢ, φ là một ánh xạ μ-thực sự của ∏ᵢ Xᵢ vào Y, và Sᵢ là giá của μᵢ. 09I9
Hệ quả Nếu φ liên tục và các μᵢ có giá compact, thì các μᵢ khả tích chập được và *ᵢ μᵢ có giá compact. ↩ 2 09IA
Mệnh đề 6 Cho X, Y, Z là các không gian địa phương compact, φ là một ánh xạ liên tục từ X × Y vào Z, và λ, μ là các độ đo trên X, Y. Để λ và μ là φ-khả chập, điều kiện cần và đủ là ánh xạ (x… ↩ 1 09IB
Mệnh đề 7 Cho X, Y, Z là các không gian compact địa phương, φ là một ánh xạ liên tục từ X × Y vào Z, và λ, μ là các độ đo trên X, Y. Giả sử rằng với mọi x ∈ X, εₓ và μ là khả chập theo φ. Để… ↩ 3 09IC

§ 2. Các biểu diễn tuyến tính của nhóm

Định nghĩa 1 — (i) U được gọi là liên tục riêng nếu, với mọi s ∈ G, U(s) là một tự đồng cấu liên tục của E, và nếu, với mọi x ∈ E, ánh xạ s ↦ U(s)x của G vào E là liên tục. 09IF
Nhận xét 1 Nói rằng U liên tục riêng có nghĩa là s ↦ U(s) là một ánh xạ liên tục của G vào không gian L(E; E) các tự đồng cấu liên tục của E, được trang bị tôpô hội tụ điểm. ↩ 1 09IG
Nhận xét 2 Nói rằng U liên tục tương đương với tập hợp ba điều kiện sau: ↩ 4 09IH
Nhận xét 3 Giả sử U là một biểu diễn tuyến tính liên tục của G trong E. Với mỗi s ∈ G, gọi widehatU(s) là mở rộng liên tục của U(s) lên phần hoàn thành widehatE của E. Khi đó widehatU là một… 09II
Nhận xét 4 Khi E là một không gian định chuẩn, người ta nói U là đẳng cự nếu |U(s)| = 1 với mọi s ∈ G. Để được như vậy, chỉ cần có |U(s)| ≤ 1 với mọi s ∈ G, vì khi đó ta có 1 = |1| ≤ |U(s)| ·… 09IJ
Mệnh đề 1 — Nếu G là một nhóm địa phương compact và E là tròn hóa, thì mọi biểu diễn tuyến tính riêng liên tục U của G trong E đều liên tục. ↩ 3 09IK
Bổ đề 1 Cho G là một nhóm địa phương compact, ρ là một hàm số hữu hạn nửa liên tục dưới geqslant 0 trên G sao cho ρ(st) leqslant ρ(s)ρ(t) với mọi s,t ∈ G. Khi đó ρ bị chặn trên trên mọi tậ… 09IL
Bổ đề 2 Cho G là một nhóm tôpô, U là một biểu diễn tuyến tính của G trong một không gian định chuẩn E, và A là một tập con trù mật của E. Giả sử rằng với mọi s ∈ G, U(s) là liên tục, và rằ… 09IM
Mệnh đề 2 Cho G là một nhóm địa phương compact, U là một biểu diễn tuyến tính của G trong một không gian định chuẩn E. Gọi A là một tập con trù mật của E. Giả sử rằng với mọi s ∈ G, U(s) là… ↩ 2 09IN
Bổ đề 3 Cho X là một không gian compact địa phương, Y và Z là các không gian tôpô, φ là một ánh xạ liên tục từ X × Y vào Z, và φₓ là ánh xạ y ↦ φ(x,y) từ Y vào Z. Các không gian C(Y), C(Z)… ↩ 2 09IO
Mệnh đề 3 (i) Nếu U là liên tục riêng, thì ᵗU là liên tục riêng khi E' được trang bị tôpô yếu σ(E', E). (ii) Nếu G là compact địa phương và U là liên tục, thì ᵗU là liên tục khi E' được tran… ↩ 1 09IP
Mệnh đề 4 Các biểu diễn tuyến tính γ_χ của G trong C(X) và K(X) là liên tục. 09IQ
Mệnh đề 5 Giả sử rằng mỗi hàm χ(s, ·) là bị chặn. Khi đó γ_χ giữ ổn định overlineK(X), và biểu diễn tuyến tính γ_χ của G trong overlineK(X) là liên tục. 09IR
Mệnh đề 6 Nếu trang bị cho M(X) (tương ứng C'(X)) tôpô của sự hội tụ đều trên các tập compact của K(X) (tương ứng C(X)), thì biểu diễn tuyến tính γ_χ của G trong M(X) (tương ứng C'(X)) là li… ↩ 1 09IS
Mệnh đề 7 Giả sử rằng mỗi hàm χ(s, ·) là bị chặn. Khi đó γ_χ giữ ổn định M¹(X) và, nếu M¹(X) được trang bị tôpô của sự hội tụ đều trên các tập compact của K(X), thì biểu diễn tuyến tính γ_χ… 09IT
Mệnh đề 8 Biểu diễn tuyến tính γ_χ,p của G trong L_Cᵖ(X, β) là liên tục và đẳng cự. ↩ 2 09IU
Mệnh đề 9 Giả sử rằng mỗi hàm χ(s, ·) đều bị chặn. Khi đó γ_χ để L_Cᵖ(X, β) ổn định, và biểu diễn tuyến tính γ_χ của G trong L_Cᵖ(X, β) là liên tục. ↩ 3 09IV
Bổ đề 4 Cho T là một không gian compact địa phương, a là một điểm của T, M là một tập con của M(T), và 𝔉 là một bộ lọc trên M. Giả sử rằng: (i) với mọi tập con compact K của T, các số |μ|(… ↩ 2 09IW
Hệ quả 1 Với các giả thiết như trong Bổ đề 4, giả sử thêm rằng tồn tại một tập con compact K₀ của T chứa các giá của mọi độ đo μ ∈ M. Khi đó 𝔉 cũng hội tụ tới εₐ trong C'(T) được trang bị t… ↩ 3 09IX
Hệ quả 2 Với các giả thiết như trong Hệ quả 1, cho f là một ánh xạ liên tục từ T vào một không gian lồi địa phương tựa-đầy đủ E. Khi đó ↩ 1 09IY
Hệ quả 3 Cho G là một nhóm địa phương compắc, E một không gian lồi địa phương tựa-đầy đủ, và U một biểu diễn tuyến tính liên tục của G trong E. Cho β là một độ đo dương trên G, a một phần t… ↩ 4 09IZ
Mệnh đề 10 Cho G là một nhóm địa phương compắc, E một không gian lồi địa phương tựa-đầy đủ, U một biểu diễn tuyến tính liên tục của G trong E, và β một độ đo dương trên G có giá là G. 09J0

§ 3. Tích chập của các độ đo trên nhóm

Mệnh đề 1 — Cho G là một nhóm compact địa phương, λ, μ, ν là các độ đo ≠ 0 trên G. ↩ 1 09JB
Mệnh đề 2 (i) Hai phần tử bất kỳ của M^ρ(G) đều có thể chập được. (ii) Đối với phép chập, và đối với chuẩn | λ |, M^ρ(G) là một đại số chuẩn đầy đủ, nhận εₑ làm phần tử đơn vị. (iii) C'(G) l… 09JC
Mệnh đề 3 Cho μ₁, …, μₙ là các độ đo trên G. Nếu mọi μᵢ, trừ nhiều nhất một, đều có giá compắc, thì các μᵢ là khả chập. 09JD
Mệnh đề 4 Ánh xạ (λ, μ) ↦ λ * μ (tương ứng, (λ, μ) ↦ μ * λ), trong đó λ ∈ C'(G), μ ∈ M(G), xác định trên M(G) cấu trúc của một môđun trái (tương ứng, phải) trên đại số C'(G). 09JE
Mệnh đề 5 Cho λ là một độ đo Haar trái (tương ứng, phải) trên G, và μ ∈ M¹(G). Khi đó μ và λ (tương ứng, λ và μ) chập được, và μ * λ = μ(1)λ (tương ứng, λ * μ = μ(1)λ). ↩ 1 09JF
Mệnh đề 6 Cho μ và ν là hai độ đo khả tích chập trên G. Cho χ là một biểu diễn liên tục của G trong C^*. Khi đó χ · μ và χ · ν là khả tích chập và (χ · μ) * (χ · ν) = χ · (μ * ν). ↩ 2 09JG
Mệnh đề 7 Cho G và G' là hai nhóm compact địa phương, u là một biểu diễn liên tục của G trong G', và μ₁, …, μₙ là các độ đo trên G, tất cả đều ≠ 0. Khi đó các khẳng định sau là tương đương… ↩ 1 09JH
Hệ quả Cho G là một nhóm compact địa phương, μ₁, …, μₙ là các độ đo trên G. Để dãy (μᵢ)_1 ≤ i ≤ n chập được, điều kiện cần và đủ là dãy (checkμₙ₋ᵢ)_0 ≤ i ≤ n-1 cũng vậy, trong trường hợp… 09JI
Mệnh đề 8 — Cho μ là một độ đo trên G, ν là một độ đo trên X. (i) Nếu μ có giá compact, thì μ và ν chập được. (ii) Nếu ν có giá compact, và nếu G tác động một cách đúng lên X, thì μ và ν chậ… ↩ 5 09JJ
Mệnh đề 9 — Đối với phép chập, M¹(X) là một môđun trái trên M¹(G), còn M(X) và C'(X) là những môđun trái trên C'(G). Điều này suy ra từ Mệnh đề 8, và từ §1, các Mệnh đề 1, 3 và Hệ quả của Mệ… ↩ 1 09JK
Mệnh đề 10 — Cho μ là một độ đo trên G, ν là một độ đo trên X, μ và ν có thể chập được. Giả sử thêm rằng tồn tại một độ đo dương β trên X sao cho γ(s)ν có cơ sở β với mọi s ∈ G. Khi đó μ * ν… ↩ 2 09JL
Mệnh đề 11 — Cho G là một nhóm compact địa phương, E là một không gian lồi địa phương tựa-đầy đủ, U là một biểu diễn liên tục của G trong E. (i) Nếu λ ∈ C'(G), μ ∈ C'(G), thì U(λ * μ) = U(λ)U… ↩ 1 09JM
Mệnh đề 12 Nếu λ ∈ C'(G) và μ ∈ M(X), thì ↩ 2 09JN
Hệ quả Ánh xạ (λ, μ) ↦ λ * μ từ C'(G) × M(X) vào M(X) là hypoliên tục đối với các tập con đồng liên tục của C'(G) và các tập con compact của M(X) (C'(G) và M(X) lần lượt được trang bị tôp… ↩ 1 09JO
Nhận xét — 1) Cho λ₀ ∈ C'(G). Ánh xạ μ ↦ λ₀ * μ từ M(X) vào M(X) là liên tục theo nghĩa mơ hồ. Thật vậy, cho f ∈ H(X). Ta có ↩ 2 09JP
Mệnh đề 13 Ánh xạ (s, μ) ↦ γ(s)μ từ G × M₊(X) vào M₊(X) là liên tục khi tập hợp M₊(X) các độ đo dương trên X được trang bị tôpô mờ. ↩ 2 09JQ

§ 4. Tích chập của các độ đo và các hàm

Định nghĩa 1 Nếu μ và f · β chập được, thì nói rằng μ và f chập được đối với β. Mọi mật độ của μ * (f · β) đối với β được gọi là một tích chập của μ và f đối với β và được ký hiệu là μ *_β f. 09K4
Bổ đề 1 Cho μ là một độ đo trên G. Khi đó χ là địa phương (μ ⊗ β)-khả tích, và ảnh của μ ⊗ β dưới phép đồng phôi (s, x) ↦ (s, s⁻¹x) từ G × X lên G × X là χ · (μ ⊗ β). ↩ 6 09K5
Mệnh đề 1 Cho μ là một độ đo trên G, f là một hàm phức địa phương β-khả tích trên X. Giả sử rằng hàm s ↦ f(s⁻¹x)χ(s⁻¹, x) là khả tích thiết yếu theo μ trừ ra trên một tập các giá trị của x k… ↩ 2 09K6
Mệnh đề 2 — Cho μ là một độ đo trên G, f là một hàm phức địa phương β-khả tích trên X. Giả sử rằng một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: (i) f và χ liên tục; (ii) G tác động một cách đú… ↩ 6 09K7
Nhận xét Giả thiết (iii) của Mệnh đề 2 đặc biệt được thỏa mãn khi μ bị chặn. Thật vậy, với mọi n > 0, khi đó tồn tại một tập con compact Kₙ của G sao cho |μ|(G - Kₙ) ≤ 1/n (Ch. IV, §4, No… 09K8
Mệnh đề 3 — Giả sử χ liên tục. Cho μ ∈ C'(G), f ∈ C(X). Khi đó: (i) μ và f có thể lấy tích chập đối với β. (ii) Công thức (3) của No. 1 xác định, với mọi x ∈ X, một tích chập μ *_β f liên tụ… ↩ 3 09K9
Mệnh đề 4 Giả sử rằng G tác động đúng trong X và rằng χ là liên tục. Cho μ ∈ M(G) và f ∈ K(X). ↩ 2 09KA
Nhận xét 1 — Dưới các giả thiết của Mệnh đề 4, ánh xạ μ ↦ μ *^β f của M₊(G) vào C(X) là liên tục khi M₊(G) được trang bị tôpô mơ hồ, với mọi f ∈ K(X). Thật vậy, cho K là một tập compact con c… ↩ 2 09KB
Mệnh đề 5 Giả sử χ là một nhân tử liên tục và mỗi hàm χ(s, ·) bị chặn. (i) Hàm s ↦ ρ(s) = sup_x ∈ X χ(s⁻¹, x) trên G là nửa liên tục dưới > 0 và thỏa mãn ρ(st) ≤ ρ(s)ρ(t) với mọi s, t thuộc… ↩ 3 09KC
Mệnh đề 6 Giả sử χ là một nhân tử liên tục và mỗi hàm χ(s, ·) bị chặn. Đặt ρ(s) = sup_x ∈ X χ(s⁻¹, x). Cho p và q là hai số mũ liên hợp (1 ≤ p < +∞). Cho μ ∈ M^ρ^1/q(G) và f ∈ Lᵖ(X, β)² Khi… ↩ 4 09KD
Hệ quả Dưới các giả thiết của Mệnh đề 6, ánh xạ (μ, f) ↦ μ *^β f xác định trên Lᵖ(X, β) cấu trúc của một môđun trái trên M^ρ^1/q(G) (1 ≤ p ≤ +∞). 09KE
Nhận xét 2 — Cho X là một không gian compact địa phương trên đó một nhóm compact địa phương G tác động liên tục bên phải bởi (x, s) ↦ xs. Cho β là một độ đo dương trên X. Cho χ là một hàm > 0… 09KF
Mệnh đề 7 Cho f là một hàm khả tích β-địa phương trên X, ν là một độ đo trên X, và μ là một độ đo trên G. Giả sử rằng: (i) μ và f là tích chập được với nhau và công thức (3) của No. 1 xác đị… ↩ 1 09KG
Ví dụ — 1) Có thể lấy f ∈ C(X), ν ∈ C'(X) và μ ∈ C'(G) theo Mệnh đề 3, và Hệ quả của Mệnh đề 5 của §1, No. 4. Công thức (7) khi đó có nghĩa là tự đồng cấu ν ↦ (χ · checkμ) * ν của C'(X)… 09KH
Mệnh đề 8 Cho f và g là hai hàm địa phương β-khả tích vành trên X và cho μ ∈ M(G). Giả sử rằng: 09KI
Ví dụ — 4) Có thể lấy f ∈ C(X), g ∈ K(X) và μ ∈ C'(G) (với ψ = 1). ↩ 1 09KJ
Mệnh đề 9 Cho f, g thuộc L(G). Giả sử rằng hàm s ↦ g(s⁻¹x)f(s)χ(s⁻¹) là khả tích β theo nghĩa thiết yếu ngoại trừ một tập hợp địa phương β-không đáng kể các giá trị của x, và rằng hàm ↩ 1 09KK
Mệnh đề 10 Cho f, g thuộc L(G). Giả sử rằng một trong hai hàm này là liên tục hoặc bằng không trên phần bù của một hợp đếm được các tập hợp compact. Nếu f và g có thể lấy tích chập, thì hàm f… 09KL
Mệnh đề 11 — Cho f, g thuộc L(G). Giả sử một trong hai hàm f, g là liên tục, và một trong hai hàm f, g có giá compact. Khi đó f và g chập được với nhau. Công thức (15) xác định với mọi x ∈ G… ↩ 1 09KM
Mệnh đề 12 — Cho p và q là hai số mũ liên hợp (1 ≤ p ≤ +∞). Nếu f χ^-1/q ∈ L¹(G, β) và g ∈ Lᵖ(G, β), thì f và g chập được với nhau, f * g bằng địa phương β-hầu khắp nơi với một hàm thuộc Lᵖ(G… 09KN
Mệnh đề 13 — Nếu f χ⁻¹ ∈ L¹(G, β) và g ∈ overlineK(G), hoặc nếu f ∈ K(G) và g χ'⁻¹ ∈ L¹(G, β), thì f và g chập được với nhau, và (15) xác định với mọi x ∈ G một tích f * g thuộc K(G). 09KO
Mệnh đề 14 — Nếu f χ⁻¹ ∈ L¹(G, β) và g ∈ L^∞(G, β), thì công thức (15) xác định với mọi x ∈ G một tích f * g bị chặn và liên tục đều đối với cấu trúc đều phải của G. 09KP
Mệnh đề 15 — Cho p và q là hai số mũ liên hợp (1 < p < +∞). Giả sử rằng β là bất biến trái. Cho f ∈ Lᵖ(G, β), g ∈ L^q(G, checkβ). Khi đó f và g chập được với nhau. Công thức (15) xác định, vớ… ↩ 3 09KQ
Hệ quả — Cho f ∈ L²(G, β), g ∈ L²(G, β). Khi đó f và dotg chập được với nhau. Một trong các tích chập f * dotg thuộc overlineK(G) và giá trị của nó tại e là ∫_G f(s)g(s) dβ(s). ↩ 1 09KR
Mệnh đề 16 — Cho U là một biểu diễn liên tục của G trong một không gian Banach E. Đặt ρ(s) = |U(s)| với mọi s ∈ G. Với mọi f ∈ L^ρ(G, β), đặt U(f) = U(f · β). Khi đó f ↦ U(f) là một biểu diễn… 09KS
Mệnh đề 17 — Cho G là một nhóm địa phương compact, A là một tập con của G, đo được và không địa phương không đáng kể đối với một độ đo Haar. Khi đó A · A⁻¹ là một lân cận của e. ↩ 3 09KT
Hệ quả 1 — Cho H là một nhóm con của G đo được đối với một độ đo Haar β. Khi đó H hoặc mở, hoặc địa phương β-không đáng kể. ↩ 1 09KU
Hệ quả 2 — Cho L là một tập con của G ổn định đối với phép nhân và có phần bù địa phương không đáng kể đối với một độ đo Haar β. Khi đó L = G. ↩ 1 09KV
Mệnh đề 18 — Cho G là một nhóm địa phương compact, Γ là một tập hợp được trang bị một phép nhân (u, v) ↦ uv và một tôpô Hausdorff sao cho: 1) tôpô của Γ là bất biến đối với các phép tịnh tiến… ↩ 2 09KW
Hệ quả 1 Cho G là một nhóm địa phương compắc, β là một độ đo Haar trên G, E là một không gian lồi địa phương thùng Hausdorff, U là một biểu diễn tuyến tính của G trong E, sao cho U(s) ∈ L(E… ↩ 1 09KX
Hệ quả 2 Cho G là một nhóm compact địa phương, β là một độ đo Haar trên G, E là một không gian Banach tách được, và U là một biểu diễn tuyến tính của G trong E sao cho U(s) ∈ L(E;E) với mọi… ↩ 1 09KY
Mệnh đề 19 — Cho G là một nhóm địa phương compắc, β là một độ đo dương tương đối bất biến ≠ 0 trên G, B là một cơ sở của bộ lọc các lân cận của e trong G, gồm các lân cận compắc. Với mỗi V ∈… ↩ 4 09KZ
Nhận xét 1 Như vậy ta thấy rằng mọi độ đo trên G đều là giới hạn của các độ đo thừa nhận một mật độ liên tục đối với mọi độ đo Haar (đối với tôpô được chỉ ra trong Mệnh đề 19 và a fortiori đố… 09L0
Nhận xét 2 Nếu G khả mêtric hóa được, thì có thể lấy B là một dãy (Vₙ) các lân cận. Khi đó μ là giới hạn của dãy các độ đo (μ * f_Vₙ) · β có mật độ liên tục. Nếu G là một nhóm Lie thực, thì c… 09L1
Mệnh đề 20 — Giữ nguyên các giả thiết và ký hiệu của Mệnh đề 19. Cho p ∈ [1, +∞[ và g ∈ Lᵖ(G, β). Khi đó 09L2
Nhận xét 3 Theo Mệnh đề 15, các hàm g * f_V, f_V * g thuộc K(G). ↩ 1 09L3
Hệ quả — Cho W là một không gian con tuyến tính đóng của L¹(G, β). Để W là một iđêan trái (tương ứng, phải) của L¹(G, β), điều kiện cần và đủ là W bất biến đối với các phép tịnh tiến trái… 09L4
Ví dụ Ta lấy G = R. Hãy định nghĩa một hàm Fₙ ∈ K(R) bởi Fₙ(x) = (1 - x²)ⁿ nếu x ∈ [-1, 1] \\ Fₙ(x) = 0 nếu x ∉ [-1, 1]. Đặt Aₙ = ∫₋₁⁺¹ Fₙ(x) dx, và Gₙ = Aₙ⁻¹ Fₙ. Ngay lập tức thấy rằng… 09L5

§ 5. Không gian các nhóm con đóng

Bổ đề 1 Cho α là một độ đo dương ≠ 0 trên G, S là giá đỡ của nó; hai điều kiện sau tương đương: a) S là một nhóm con đóng của G và độ đo cảm sinh bởi α trên S là một độ đo Haar phải trên S… ↩ 1 09LY
Mệnh đề 1 Tập hợp Γ là đóng trong không gian M₊(G) - 0 với tôpô mơ hồ. Trước hết ta chứng minh các bổ đề sau: ↩ 2 09LZ
Bổ đề 2 Cho X là một không gian địa phương compact và với mọi độ đo α ∈ M₊(X) - 0, ký hiệu S_α là giá đỡ của α. Cho Φ là một bộ lọc trên M₊(X) - 0 hội tụ mơ hồ đến một độ đo α₀ ≠ 0. Khi đó… ↩ 3 09M0
Bổ đề 3 Cho E là một tập được lọc bởi một bộ lọc Φ, và cho ξ ↦ α(ξ) là một ánh xạ từ E vào Γ hội tụ mơ hồ đối với Φ tới một độ đo α₀ ≠ 0. Mặt khác, cho ξ ↦ t_ξ là một ánh xạ từ E vào G sao… ↩ 1 09M1
Mệnh đề 2 — Cho φ là một hàm trong K₊(G) sao cho φ(e) > 0. Khi đó tập Γ_φ các độ đo α ∈ Γ sao cho ∫ φ(x) dα(x) = 1 là compact theo tôpô mơ hồ. ↩ 4 09M2
Mệnh đề 3 — Dưới các giả thiết của Mệnh đề 2, ánh xạ α ↦ ( ⟨ φ, α ⟩, α/(⟨ φ, α ⟩) ) là một đồng phôi từ Γ lên không gian tích R₊^* × Γ_φ. ↩ 2 09M3
Mệnh đề 4 — Cho Γ⁰ là tập các độ đo α ∈ Γ sao cho H_α là đơn môđula, và với mọi α ∈ Γ⁰ đặt μ_α = μ / α; khi đó ánh xạ α ↦ | μ_α | từ Γ⁰ vào overlineR là nửa liên tục dưới đối với tôpô mơ hồ. ↩ 2 09M4
Mệnh đề 5 Cho g là một hàm số dương khả tích theo μ và cho Γ⁰(g) là tập các độ đo α ∈ Γ⁰ sao cho ∫^* g(xs) dα(s) ≥ 1 với mọi x ∈ G. Khi đó ánh xạ α ↦ |μ_α| của Γ⁰(g) vào overlineR là liên tụ… ↩ 3 09M5
Hệ quả 1 — Cho K là một tập con compact của G, V là một lân cận compact đối xứng của e trong G, c là một số thực > 0. Hạn chế của ánh xạ α ↦ | μ_α | lên tập các α ∈ Γ⁰ sao cho G = KH_α và α… 09M6
Hệ quả 2 Cho A là một tập con μ-khả tích của G. Sự hạn chế của ánh xạ α ↦ | μ_α | lên tập N_A của các độ đo Haar chuẩn hóa của các nhóm con rời rạc H của G sao cho G = AH, là liên tục mơ hồ… 09M7
Định lý 1 Cho G là một nhóm địa phương compact. Không gian Σ của các nhóm con đóng của G là compact. Hơn nữa, ta có các tính chất sau: ↩ 3 09M8
Mệnh đề 6 Giả sử rằng nhóm địa phương compact G được sinh bởi một lân cận compact của e. Khi đó tập Γ_c⁰ của các độ đo α ∈ Γ⁰ sao cho G/H_α là compact là mở trong Γ⁰, và sự hạn chế lên Γ_c⁰… ↩ 1 09M9
Mệnh đề 7 Cho N ⊂ Γ⁰ là không gian con gồm các độ đo Haar chuẩn hóa trên các nhóm con rời rạc của G, và với mọi lân cận mở tương đối compact U của e trong G, cho N_U là tập con của N gồm các… ↩ 2 09MA
Hệ quả — Không gian con N của Γ⁰ là compact địa phương. ↩ 1 09MB
Định lý 2 — Cho G là một nhóm compact địa phương thỏa mãn điều kiện sau: (L) Tồn tại một lân cận của e trong G chứa không có nhóm con hữu hạn nào của G không thu gọn về e. Các tính chất sau… 09MC
Mệnh đề 8 Song ánh chính tắc của N lên D là một đồng phôi. ↩ 2 09MD
Bổ đề 4 Nếu nhóm G thỏa mãn điều kiện (L), thì ánh xạ α ↦ α(e) của Γ_d vào R₊^* là liên tục mơ hồ. 09ME
Mệnh đề 9 Cho G là một nhóm Abel địa phương compact, được sinh bởi một lân cận compact của e. Để một tập con A của N_c là tương đối compact trong N_c, điều kiện cần và đủ là nó thỏa mãn hai… ↩ 1 09MF
Hệ quả Cho G là một nhóm Abel địa phương compact, được sinh bởi một lân cận compact của e và thỏa mãn điều kiện (L) của No. 4. ↩ 2 09MG
Ví dụ Ta lấy G = Rⁿ và lấy μ là độ đo Lebesgue; mọi giả thiết của Hệ quả của Mệnh đề 9 đều được thỏa mãn. Các nhóm con rời rạc H của G sao cho G/H là compact chẳng gì khác ngoài các nhóm… 09MH

IX. Các độ đo trên các không gian tôpô Hausdorff

§ 1. Độ đo sơ bộ và các độ đo trên một không gian tôpô

Định nghĩa 1 — Cho T là một tập hợp. Người ta gọi một định lượng trên T bất kỳ ánh xạ p của F₊(T) vào overlineR₊ thỏa các tính chất sau: a) Nếu f và g là hai phần tử của F₊ sao cho f ≤ g, thì p… ↩ 7 09MO
Mệnh đề 1 Cho (p_α)_α ∈ A là một họ các định lượng trên T. Khi đó tổng và bao trên của họ (p_α) (trong F₊(F₊(T))) là các định lượng. ↩ 2 09MP
Định nghĩa 2 Cho p là một định lượng trên một tập hợp T. Người ta nói rằng p là bị chặn nếu p(T) < +∞. Nếu T là một không gian tôpô, p được gọi là địa phương bị chặn nếu mọi x ∈ T đều có một lâ… ↩ 2 09MQ
Bổ đề 1 — Nếu định lượng p tập trung trên A ⊂ T, thì p(f) = p(f φ_A) với mọi f ∈ F₊(T). ↩ 1 09MR
Định nghĩa 3 Một ánh xạ trên một không gian tôpô T được gọi là tiền độ đo nếu nó gán cho mỗi tập con compact K của T một độ đo w_K trên K, và có tính chất sau đây: 09MS
Định nghĩa 4 Cho w là một tiền độ đo dương trên T. Ta sẽ đặt, với mọi hàm f ∈ F₊(T), ↩ 2 09MT
Mệnh đề 2 a) Cho w là một tiền độ đo dương. Với mọi tập con compact K của T, tải (w^bullet)_K cảm sinh bởi w^bullet trên K bằng (w_K)^bullet. Với mọi hàm f ∈ F₊(T), ta có các hệ thức (w_K)^b… ↩ 15 09MU
Hệ quả — Cho v và w là hai tiền độ đo dương trên T, sao cho v^bullet(L) = w^bullet(L) với mọi tập compact L của T; khi đó v = w. Nói riêng, quan hệ v^bullet = w^bullet suy ra v = w. ↩ 6 09MV
Định nghĩa 5 — Cho w là một tiền độ đo trên một không gian tôpô T. Người ta nói rằng w là một độ đo (tương ứng, một độ đo bị chặn) nếu độ đo |w|^bullet là địa phương bị chặn (tương ứng, bị chặn… ↩ 1 09MW
Nhận xét 2 Nếu T là địa phương compact, thì mọi tiền độ đo w trên T đều là một độ đo. Thật vậy, mỗi x ∈ T nhận được một lân cận compact K, và |w|^*(K) = |w_K| < +∞, nên gánh nặng |w|^* là bị… 09MX
Nhận xét 3 Với mọi tập con Borel A của T (đặc biệt với A = T) và mọi độ đo dương μ trên T, số μ^*(A) là cận trên đúng của các độ đo μ^*(K) với K chạy trên các tập con compact của A. Thật vậy… ↩ 3 09MY
Ví dụ 1 — Độ đo trên một không gian địa phương compact. 09MZ
Mệnh đề 3 Cho T là một không gian địa phương compact, và cho μ là một độ đo trên T. Kí hiệu W(μ) là ánh xạ gán cho mỗi tập con compact K của T độ đo cảm sinh μ_K. Khi đó W(μ) là một tiền độ… ↩ 2 09N0
Ví dụ 2 — Các độ đo có giá đỡ compact trên một không gian tôpô. ↩ 5 09N1
Bổ đề 2 — Cho T là một không gian tôpô, L là một tập con compact của T, và λ là một độ đo dương trên L. Tồn tại duy nhất một độ đo dương μ trên T sao cho, với mọi hàm f ∈ F₊(T), 09N2
Nhận xét — 1) Khi T là địa phương compact, μ là ảnh của λ qua đơn ánh của L vào T. Chúng ta sẽ thấy ở §2, No. 3, Ví dụ, khi các độ đo ảnh đã được xét, rằng cách hiểu này vẫn đúng cho các kh… 09N3
Định nghĩa 6 Một hàm f ∈ F₊ (hoặc một tập con A của T) được gọi là không đáng kể địa phương đối với độ đo μ nếu μ^*(f) = 0 (hoặc μ^*(A) = 0). Người ta nói rằng μ tập trung trên một tập con A củ… 09N4
Nhận xét — 1) Các khái niệm như trên, khi T là địa phương compact, trùng với các khái niệm thông thường. 2) Sau khi chúng ta đã định nghĩa các tập hợp không đáng kể, ta sẽ thấy rằng các tập… 09N5
Ví dụ — Cho L là một tập con compact của T, λ là một độ đo trên L, và μ là độ đo trên T được xác định bởi λ (No. 3, Ví dụ 2). Công thức (3) suy ra ngay rằng một hàm f ∈ F₊(T) là không đá… 09N6
Định nghĩa 7 Một hàm f được xác định trên T, có giá trị trong một không gian tôpô F (Hausdorff hay không) được gọi là đo được đối với độ đo μ (hoặc là μ-đo được) nếu, với mọi tập con compact K… ↩ 1 09N7
Ví dụ — Cho L là một tập con compact của T, λ là một độ đo trên L, và μ là độ đo trên T được xác định bởi λ (No. 3, Ví dụ 2). Một hàm f xác định trên T là μ-đo được khi và chỉ khi f_L là… 09N8
Mệnh đề 4 — Cho f là một hàm dương và (gₙ)_n ≥ 1 là một dãy các hàm dương μ-đo được trên T. Đặt g = ∑_n ≥ 1 gₙ, ta có ↩ 3 09N9
Hệ quả — Cho (Aₙ) là một dãy các tập con đo được rời nhau từng đôi một, có hợp là A. Với mọi tập con B của T, ↩ 2 09NA
Mệnh đề 5 a) Cho H là một tập có hướng tăng các hàm geqslant 0 nửa liên tục dưới trên mọi tập con compact của T. Khi đó ↩ 5 09NB
Hệ quả — a) Cho (U_α)_α ∈ I là một họ có hướng tăng các tập con mở của T, với hợp U. Khi đó μ^bullet(U) = sup_α ∈ I μ^bullet(U_α). ↩ 3 09NC
Định nghĩa 8 — Giá của một số đo μ trên T được định nghĩa là phần bù của tập mở lớn nhất không đáng kể địa phương theo μ trong T. 09ND
Nhận xét 1 Nếu μ là một số đo phức, giá của μ được định nghĩa là giá của số đo dương |μ|; nó lại là phần bù của tập mở lớn nhất không đáng kể địa phương theo μ. 09NE
Nhận xét 2 Hãy chứng minh rằng các số đo được đưa vào trong Ví dụ 2 của No. 3 là các số đo có giá compact trong T. Cho μ là một số đo dương trên T có giá là một tập compact K, và cho ν là số… ↩ 1 09NF
Mệnh đề 6 — Cho (λ_α)_α ∈ A là một họ tăng có hướng các độ đo trên T, và đặt p = sup_α λ_α^bullet. Để họ (λ_α) bị chặn trên trong M(T), điều kiện cần và đủ là bao p địa phương bị chặn. Khi đ… ↩ 2 09NG
Định nghĩa 9 Cho (μᵢ)_i ∈ I là một họ các độ đo trên T. Cho A là tập các tập con hữu hạn của I; với mọi α ∈ A đặt λ_α = ∑_i ∈ α μᵢ. Nếu họ (λ_α) có một cận trên đúng μ trong M(T), thì họ (μᵢ) đ… ↩ 1 09NH
Mệnh đề 7 Để họ (μᵢ)_i ∈ I cộng được, với tổng μ, điều kiện cần và đủ là bao p = ∑_i ∈ I μᵢ^bullet địa phương bị chặn, trong trường hợp đó p = μ^bullet. Với mọi tập con compact K của T, họ (… ↩ 8 09NI
Mệnh đề 8 Cho μ là tổng của một họ cộng được (μᵢ)_i ∈ I các độ đo trên T. Để một ánh xạ f từ T vào một không gian tôpô F (Hausdorff hay không) là μ-đo được, điều kiện cần và đủ là f là μᵢ-đo… ↩ 4 09NJ
Định nghĩa 10 Người ta gọi một phép nghiền của T đối với μ, hay một μ-phép nghiền, bất kỳ họ đếm được địa phương (K_α)_α ∈ A gồm các tập con compact rời nhau từng đôi một của T sao cho tập N = T… 09NK
Mệnh đề 9 a) Tồn tại một phân hoạch (K_α)_α ∈ A của T đối với μ. b) Cho (K_α)_α ∈ A là một phân hoạch của T đối với μ. Nếu μ_α là độ đo trên T được xác định bởi μ_K_α (No. 3, Ví dụ 2), thì h… ↩ 5 09NL
Mệnh đề 10 — Nếu g là một ánh xạ μ-đo được nhận giá trị trong một không gian tôpô G (Hausdorff hay không), thì tồn tại một μ-phân hoạch (L_β)_β ∈ B của T sao cho các hạn chế g_L_β đều liên tụ… ↩ 5 09NM
Chú giải — Cho (K_α)_α ∈ A là một phân hoạch của T, và đặt N = T - ⋃_α K_α. Ký hiệu T' là không gian địa phương compact thu được bằng cách trang bị cho T' tôpô tổng của các tôpô của các khô… 09NN
Mệnh đề 11 Cho X là một tập con μ-đo được của T. Tồn tại một họ địa phương đếm được (L_α)_α ∈ A gồm các tập con compact của X, từng đôi một rời nhau, sao cho X - ⋃_α ∈ A L_α là địa phương μ-k… ↩ 2 09NO
Định nghĩa 11 Với mọi hàm f ∈ F₊(T), người ta định nghĩa tích phân trên của f (đối với độ đo μ) là số dương hữu hạn hoặc vô hạn 09NP
Mệnh đề 12 Hàm μ^* là một gánh nặng trên T. ↩ 1 09NQ
Hệ quả Một hàm f, với giá trị trong một không gian Banach hoặc trong overlineR, là không đáng kể khi và chỉ khi f(t) = 0 hầu khắp nơi. 09NR
Mệnh đề 13 Với mọi tập con A của T, μ^*(A) là cận dưới đúng của các độ đo ngoài của các tập mở chứa A. ↩ 2 09NS
Định nghĩa 12 Cho f là một hàm được định nghĩa trên T, với giá trị trong một không gian Banach hoặc trong overlineR. Người ta nói rằng f là điều độ đối với độ đo μ, hay μ-điều độ, nếu f bằng khô… 09NT
Nhận xét 1 Trên một không gian Lindelöf T (TG, IX, Phụ lục I, Định nghĩa 1),¹ và đặc biệt trên một không gian Souslin (ở đó, hệ quả của Mệnh đề 1), mọi độ đo đều điều độ. Thật vậy, các tập mở… ↩ 1 09NU
Nhận xét 2 Tuy nhiên, hãy lưu ý rằng sự tồn tại của một dãy các tập Borel có độ đo hữu hạn đối với μ, có hợp là T, không nhất thiết suy ra sự tồn tại của một dãy các tập mở có độ đo hữu hạn c… 09NV
Mệnh đề 14 Cho f ∈ F₊(T). Nếu f là μ-điều độ, thì μ^*(f) = μ^bullet(f); nếu f không μ-điều độ, thì μ^*(f) = +∞. ↩ 3 09NW
Hệ quả 1 Để một hàm không đáng kể, cần và đủ là nó địa phương không đáng kể và điều tiết. ↩ 2 09NX
Hệ quả 2 Để một hàm f địa phương không đáng kể, cần và đủ là mọi x ∈ T đều có một lân cận V sao cho f φ_V không đáng kể. ↩ 1 09NY
Hệ quả 3 Cho f là một hàm điều tiết xác định trên T. Tồn tại một dãy (Kₙ) các tập compact từng đôi một rời nhau, và một tập H không đáng kể, sao cho f = f φ_H + ∑ₙ f φ_Kₙ. ↩ 2 09NZ
Hệ quả 4 Nếu μ và ν là hai độ đo trên T sao cho μ^* = ν^*, thì μ = ν. 09O0
Hệ quả 5 Nếu μ là một độ đo được điều hòa trên T, thì tồn tại một dãy (μₙ)_n ∈ N các độ đo có giá đỡ compact sao cho μ = ∑_n ∈ N μₙ. ↩ 1 09O1
Định nghĩa 13 — Cho p ∈ [1, +∞[; người ta ký hiệu bởi overlineLᵖ(T, μ) (tương ứng overlineL_Fᵖ(T, μ) nếu F là một không gian Banach) tập hợp các ánh xạ f từ T vào overlineR (tương ứng vào F) sao… 09O2
Mệnh đề 15 Tập các hàm f nhận giá trị trong F, sao cho Supp(f) là compact và sao cho hạn chế của f lên Supp(f) là liên tục, trù mật trong overlineL_Fᵖ(μ) và trong L_Fᵖ(μ), với 1 ≤ p < +∞. ↩ 1 09O3
Mệnh đề 16 Tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục f ↦ ∫ f dμ, từ không gian overlineL_F¹(μ) vào F, có tính chất sau: Nếu f có dạng t ↦ g(t)a, với a ∈ F, và g là một hàm dương, hữu hạ… 09O4

§ 2. Các phép toán trên các độ đo

Định nghĩa 1 Cho X là một tập con μ-đo được của T. Hạn chế của μ : K ↦ μ_K lên tập hợp các tập con compact của X được gọi là độ đo cảm sinh bởi μ trên không gian con X, và được ký hiệu bởi μ_X… ↩ 2 09OF
Mệnh đề 1 Cho X là một tập con μ-đo được của T. Bao hàm (μ_X)^bullet bằng với bao hàm (μ^bullet)_X cảm sinh bởi μ^bullet trên X (§1, No. 1). Nói cách khác, (μ_X)^bullet(g) = μ^bullet(g⁰) với… ↩ 4 09OG
Nhận xét 1 Quan hệ (μ_X)^bullet = (μ^bullet)_X cho phép sử dụng ký hiệu μ_X^bullet mà không có sự nhập nhằng; từ nay về sau ta sẽ làm như vậy. Prop. 1 và Prop. 2 trước đó của §1, No. 2 chỉ ra… 09OH
Nhận xét 2 Định nghĩa 1 có thể được mở rộng đến trường hợp μ là một độ đo phức trên T. Để chỉ ra trong trường hợp này rằng tiền độ đo μ_X là một độ đo, chỉ cần nhận xét rằng |μ_K| = |μ|_K đối… 09OI
Định nghĩa 2 Một hàm f xác định trên T, có giá trị trong overlineR hoặc trong một không gian Banach, được gọi là khả tích μ địa phương nếu f là μ-đo được và mọi điểm x ∈ T đều có một lân cận V… ↩ 1 09OJ
Mệnh đề 2 Nếu f là một hàm dương khả tích μ địa phương, thì, với mọi hàm g ∈ F₊(T), ta có quan hệ ↩ 4 09OK
Định nghĩa 3 Cho f là một hàm dương khả tích μ địa phương. Độ đo f · μ : K ↦ f_K · μ_K được gọi là độ đo với mật độ f đối với μ, hoặc là độ đo tích của μ bởi hàm f. Mọi độ đo có dạng f · μ, tro… 09OL
Nhận xét 1 Định nghĩa của f · μ mở rộng sang trường hợp f là một hàm phức khả tích địa phương; khi đó ta có |f · μ| = |f| · μ, điều này kéo theo ngay rằng f · μ là một độ đo, không chỉ là một… 09OM
Nhận xét 2 Tương tự, nếu θ là một độ đo phức, f được gọi là khả tích θ địa phương nếu nó khả tích |θ| địa phương, và người ta định nghĩa độ đo f · θ : K ↦ f_K · θ_K. Ta có |f · θ| = |f| · |θ|… 09ON
Mệnh đề 3 — Cho ν là một độ đo trên T. Để ν có dạng f · μ, trong đó f là một hàm dương khả tích địa phương theo μ, thì điều kiện cần và đủ là mọi tập compact không đáng kể theo μ đều không đ… ↩ 2 09OO
Định nghĩa 4 Cho π là một ánh xạ từ T vào một không gian tôpô X. Ta nói rằng π là μ-thực sự nếu π là μ-đo được, và nếu mỗi điểm x của X thừa nhận một lân cận V sao cho μ^bullet(overlineπ(V)) <… ↩ 1 09OP
Nhận xét 1 Khi T và X là compact địa phương, định nghĩa này tương đương với định nghĩa trong Ch. V, §6, No. 1. 09OQ
Nhận xét 2 Một ánh xạ liên tục thực sự (GT, I, §10, No. 1, Def. 1) từ T vào X là μ-thực sự đối với mọi độ đo μ. Thật vậy, cho x ∈ X; vì overlineπ(x) là compact (loc. cit., No. 2, Th. 1), tập… ↩ 1 09OR
Nhận xét 3 Nếu μ bị chặn, mọi ánh xạ μ-đo được từ T vào X là μ-thực sự. ↩ 3 09OS
Nhận xét 4 Nếu θ là một độ đo phức trên T, π được gọi là θ-thực sự nếu π là thực sự đối với độ đo dương |θ|. 09OT
Mệnh đề 4 Cho π là một ánh xạ μ-thực sự từ T vào một không gian tôpô X. Tồn tại một và chỉ một độ đo ν trên X sao cho ν^bullet bằng ảnh của π(μ^bullet) (§1, No. 1), nói cách khác, sao cho ν^… ↩ 3 09OU
Định nghĩa 5 Nếu π là một ánh xạ μ-thực sự từ T vào một không gian tôpô X, thì độ đo duy nhất ν trên X sao cho ν^bullet(g) = μ^bullet(g ∘ π) với mọi g ∈ F₊(X) được gọi là độ đo ảnh của μ qua π… 09OV
Ví dụ — Cho K là một không gian con compact của T, i là đơn ánh chính tắc của K vào T, và λ là một độ đo trên K; vì i là liên tục và λ bị chặn, i là λ-thực sự. Công thức (3) của §1, No… 09OW
Mệnh đề 5 Cho π là một ánh xạ μ-thực sự của T vào một không gian tôpô X, và cho f là một ánh xạ của X vào một không gian tôpô F (Hausdorff hoặc không). Để f là π(μ)-đo được, điều kiện cần và… ↩ 4 09OX
Hệ quả — Cho X và Y là hai không gian tôpô, π là một ánh xạ μ-thực sự của T vào X, và π' là một ánh xạ π(μ)-thực sự của X vào Y. Ánh xạ π'' = π' ∘ π khi đó là μ-thực sự, và π''(μ) = π'(π(… ↩ 1 09OY
Mệnh đề 6 — Cho π là một ánh xạ μ-thực sự của T vào một không gian tôpô X, và cho B là một tập con π(μ)-đo được của X. Đặt A = overlineπ⁻¹(B), và ký hiệu π' là ánh xạ của A vào B trùng với π… 09OZ
Mệnh đề 7 — Cho T là một không gian con của một không gian tôpô X, và cho i là đơn ánh của T vào X. ↩ 6 09P0
Mệnh đề 8 Cho T và X là hai không gian tôpô, π là một ánh xạ từ T vào X. ↩ 9 09P1
Bổ đề 1 Cho U và V là hai không gian compact, h là một ánh xạ liên tục từ U lên V. Khi đó ánh xạ λ ↦ h(λ) từ M₊(U) vào M₊(V) là toàn ánh. 09P2
Nhận xét Giả sử rằng π là đơn ánh. Gọi θ là một độ đo phức sao cho π là θ-thực sự và π(θ) = 0; khi đó θ = 0. Thật vậy, bằng cách tách θ thành các phần thực và ảo của nó, ta có thể rút gọn v… 09P3
Mệnh đề 9 — Cho T là một không gian Souslin (GT, IX, §6, No. 2, Định nghĩa 2), X là một không gian Hausdorff, π là một ánh xạ liên tục từ T lên X, và ν là một độ đo bị chặn trên X. Khi đó tồ… ↩ 3 09P4
Định nghĩa 6 ν tiền độ đo được định nghĩa bởi (3) được gọi là tiền độ đo tích của λ và μ, và được ký hiệu là λ ⊗ μ. 09P5
Mệnh đề 10 Cho ν là tiền độ đo tích của λ và μ; với mọi hàm f ∈ F₊(S) và mọi hàm g ∈ F₊(T), ↩ 3 09P6
Hệ quả 1 — Nếu λ và μ là các độ đo, thì ν là một độ đo. ↩ 1 09P7
Hệ quả 2 — Nếu A là một tập con của S không đáng kể địa phương đối với λ, thì A × T là không đáng kể địa phương đối với ν. 09P8
Hệ quả 3 — Giả sử rằng λ (tương ứng μ) là tổng của một họ cộng được (λ_α)_α ∈ A (tương ứng (μ_β)_β ∈ B) các độ đo trên S (tương ứng T). Khi đó họ (λ_α ⊗ μ_β)_(α, β) ∈ A × B là cộng được, và… ↩ 1 09P9
Bổ đề 2 Cho f là một hàm dương khả đo được theo ν trên S × T; với mọi tập con compact L của T, ký hiệu I_fᴸ là hàm s ↦ μ^bullet(fₛ φ_L) trên S. Khi đó hàm I_fᴸ là λ-có thể đo được, và ↩ 2 09PA
Mệnh đề 11 Cho f là một hàm nửa liên tục dưới geqslant 0 được xác định trên X = S × T. ↩ 1 09PB
Bổ đề 3 — Cho X là một không gian tôpô (Hausdorff hay không), f là một hàm nửa liên tục dưới geqslant 0 được xác định trên X; khi đó f là giới hạn của một dãy tăng (fₙ)_n ∈ N các hàm nửa l… ↩ 1 09PC
Hệ quả 1 Cho f là một hàm số dương xác định trên X = S × T; khi đó iint_X^* f(s,t) dν(s,t) ≥ ∫_S^* dλ(s) ∫_T^* f(s,t) dμ(t). ↩ 1 09PD
Hệ quả 2 — Cho f là một hàm số xác định trên S × T và ν-không đáng kể. Khi đó hàm fₛ : t ↦ f(s, t) là μ-không đáng kể với λ-hầu khắp mọi s ∈ S. ↩ 1 09PE
Mệnh đề 12 — Cho f là một hàm dương ν-đo được trên X = S × T. Giả sử rằng f là ν-điều độ (tương ứng rằng μ là điều độ). Khi đó: a) Tập N gồm các s ∈ S sao cho hàm fₛ : t ↦ f(s, t) không μ-đo… ↩ 1 09PF
Nhận xét — Cho (K_α)_α ∈ A là một phép co của S đối với λ và đặt M = S - ⋃_α ∈ A K_α; định nghĩa một cách tương tự (L_β)_β ∈ B và N đối với độ đo μ trên T. Ta ký hiệu bởi S' không gian comp… 09PG
Mệnh đề 13 Cho X là một không gian tôpô, ν là một độ đo điều hòa trên X, p là một ánh xạ ν-thực sự của X vào một không gian tôpô T, và μ = p(ν). Giả sử rằng mọi không gian con compact của X đ… ↩ 2 09PH
Bổ đề 4 Cho X là một không gian tôpô, ν là một độ đo trên X, và f là một ánh xạ ν-đo được của X vào một không gian tôpô F (Hausdorff hoặc không). Tồn tại một ánh xạ f' đo được phổ quát của… 09PI
Nhận xét — 1) Nếu X là một không gian Souslin, thì mọi không gian con compact của X đều là một không gian Souslin, do đó là mêtric hóa được (TG, IX, Phụ lục I, Hệ quả 2 của Mệnh đề 3),⁽²⁾ 09PJ

§ 3. Các đo và các hàm tập hợp cộng tính

Định lý 1 — Cho T là một không gian tôpô, và I là một ánh xạ từ K(T) vào R₊. Để tồn tại một đo μ trên T sao cho I(K) = μ^bullet(K) với mọi K ∈ K(T), điều kiện cần và đủ là I thỏa mãn các điề… ↩ 5 09PN
Bổ đề 1 Giả sử T compact, và đặt l = I(T). Với mọi A ⊂ T, đặt 09PO
Nhận xét 1 Điều kiện 4) có thể được thay thế, trong phát biểu của Định lý 1, bởi điều kiện sau đây ('liên tục phải'): 4') Với mọi K ∈ K(T) và mọi ε > 0, tồn tại một tập mở U chứa K, sao cho I… 09PP
Nhận xét 2 Tập các điều kiện 2) và 3) có thể được thay thế, trong phát biểu của Định lý 1, bởi điều kiện sau đây: Nếu K và L là các tập con compact của T, thì I(K ∪ L) + I(K ∩ L) = I(K) + I(L… 09PQ
Định nghĩa 1 Cho T là một không gian tôpô, và cho B(T) là họ Borel của T; cho I là một ánh xạ của B(T) vào overlineR₊. a) I được gọi là cộng tính đếm được nếu, với mọi dãy (Aₙ) gồm các phần tử… 09PR
Nhận xét 1 Điều kiện a) rõ ràng kéo theo rằng I là một ánh xạ tăng từ B(T) (có thứ tự bởi quan hệ bao hàm) vào overlineR₊. 09PS
Nhận xét 2 Giả sử rằng I là cộng tính đếm được; cho (Aₙ)_n ∈ N là một dãy tăng các tập Borel, và cho A = ⋃_n ∈ N Aₙ. Các tập D₀ = A₀, Dₙ = Aₙ - Aₙ₋₁ là từng đôi một rời nhau, và hợp của chúng… ↩ 1 09PT
Nhận xét 3 Cho (Aₙ) là một dãy bất kỳ các tập hợp Borel của T. Nếu I là cộng tính đếm được, thì I(⋃ₙ Aₙ) ≤ ∑ₙ I(Aₙ). Theo nhận xét trước, chỉ cần thiết lập bất đẳng thức này cho một dãy hữu h… 09PU
Nhận xét 4 Nếu I là một hàm cộng tính đếm được và địa phương bị chặn, nhận xét trước suy ra ngay rằng I(K) < +∞ với mọi tập compact K ⊂ T. 09PV
Nhận xét 5 Ta có thể chỉ ra rằng nếu I là cộng tính, nghĩa là thỏa mãn (4) đối với các dãy hữu hạn, và nếu I là nội chính quy, thì I là cộng tính đếm được (Exer. 7). Người đọc cũng có thể xác… 09PW
Định lý 2 — Cho T là một không gian tôpô, và cho I là một hàm xác định trên B(T), với các giá trị trong overlineR₊. Để tồn tại một độ đo μ trên T sao cho μ^*(A) = I(A) với mọi A ∈ B(T), điều… ↩ 1 09PX
Định nghĩa 2 Một không gian tôpô T. Ta nói rằng T là một không gian Radon (tương ứng. Radon mạnh) nếu T là Hausdorff và nếu mọi hàm xác định trên họ Borel B(T) của T, với các giá trị trong over… 09PY
Mệnh đề 1 Mọi không gian Radon Lindelöf⁽¹⁾ đều là Radon mạnh. ↩ 1 09PZ
Mệnh đề 2 — Cho X là một không gian tôpô và T là một không gian con của X. ↩ 2 09Q0
Hệ quả — Nếu X là một không gian Radon, thì mọi tập con Borel T của X đều là Radon. ↩ 1 09Q1
Mệnh đề 3 — Mọi không gian Souslin (đặc biệt, mọi không gian Polish hoặc Lusin) đều là Radon mạnh. ↩ 2 09Q2
Nhận xét — Cho X là một không gian Lusin (đặc biệt, mọi không gian Polish), và f là một ánh xạ liên tục song ánh từ X lên một không gian chính quy (Lusin) Y. Ta biết (TG, IX, §6, No. 7, Mện… 09Q3

§ 4. Giới hạn nghịch đảo của các độ đo

Mệnh đề 1 — Cho X và Y là hai không gian tôpô và f là một ánh xạ liên tục từ X vào Y. Cho (K_α)_α ∈ A là một họ có hướng giảm các tập con compắc của X, với giao là K. Khi đó f(K) = ⋂_α ∈ A f… ↩ 3 09QM
Mệnh đề 2 — Cho một hệ ngược (Tᵢ, pᵢⱼ) các không gian tôpô được đánh chỉ số bởi I, một không gian tôpô T, và một họ kết hợp và phân biệt các ánh xạ liên tục pᵢ : T → Tᵢ. Khi đó: ↩ 2 09QN
Định nghĩa 1 — Cho T = (Tᵢ, pᵢⱼ) là một hệ ngược các không gian tôpô được chỉ số hóa bởi I. Người ta gọi một hệ ngược (tương ứng, một hệ con ngược) các độ đo trên T là một họ (μᵢ)_i ∈ I, trong… ↩ 1 09QO
Mệnh đề 3 Cho một hệ ngược các không gian tôpô T = (Tᵢ, pᵢⱼ) được đánh chỉ số bởi I, một không gian tôpô T, một họ kết hợp và tách biệt các ánh xạ liên tục pᵢ : T → Tᵢ (với i ∈ I) và một hệ… ↩ 3 09QP
Định lý 1 (Prokhorov) — Cho T = (Tᵢ, pᵢⱼ) là một hệ ngược các không gian tôpô được đánh chỉ số bởi I, T là một không gian tôpô và (pᵢ)_i ∈ I là một họ tương thích và phân biệt các ánh xạ liên tục pᵢ : T… ↩ 5 09QQ
Nhận xét — Cho (μᵢ)_i ∈ I là một hệ ngược các độ đo trên hệ ngược các không gian T = (Tᵢ, pᵢⱼ). Giả sử đã cho một không gian tôpô T' và các ánh xạ liên tục p'ᵢ : T' → Tᵢ; giả sử rằng họ (p'… 09QR
Định lý 2 — Giả sử tập tiền thứ tự có hướng I có một tập con đồng cuối đếm được. Cho T = (Tᵢ, pᵢⱼ) là một hệ ngược các không gian tôpô, T = lim_← Tᵢ và pᵢ là ánh xạ chính tắc từ T vào Tᵢ. Kh… ↩ 1 09QS

§ 5. Độ đo trên các không gian hoàn toàn chính quy

Bổ đề Cho T là một không gian hoàn toàn chính quy, K là một tập con compact của T, và U là một tập con mở của T chứa K. a) Tồn tại một tập con mở U' của T sao cho K ⊂ U' ⊂ overlineU' ⊂ U… 09QV
Mệnh đề 1 — Cho T là một không gian hoàn toàn chính quy. a) Cho μ là một độ đo dương trên T, và f là một hàm số ≥ 0 xác định trên T và nửa liên tục dưới (resp. nửa liên tục trên, hữu hạn, có… ↩ 2 09QW
Nhận xét 1 Cho f là một hàm nửa liên tục dưới dương, và cho J_f là tập hợp các hàm liên tục bị chặn dương bằng không ngoài một tập mở khả tích theo μ và bị chặn trên bởi f. Có thể chứng minh… 09QX
Nhận xét 2 Nếu độ đo μ bị chặn, công thức μ^*(f) = inf_g ∈ S_f μ(g) hiển nhiên đúng với mọi hàm f nửa liên tục trên, dương và bị chặn. 09QY
Mệnh đề 2 — Cho η và η' là hai độ đo phức trên một không gian hoàn toàn chính quy T, sao cho η(f) = η'(f) với mọi hàm f ∈ Cᵇ(T) khả tích đối với |η| và |η'|. Khi đó η = η'. \ ↩ 2 09QZ
Mệnh đề 3 — Cho μ là một độ đo dương trên một không gian hoàn toàn chính quy T, và cho p ∈ [1, +∞[. Không gian H gồm các hàm f ∈ Cᵇ(T), có giá đỡ được chứa trong một tập mở khả tích theo μ… ↩ 1 09R0
Mệnh đề 4 — Để một độ đo phức bị chặn θ trên một không gian hoàn toàn chính quy T là dương, cần và đủ rằng θ(f) ≥ 0 với mọi hàm f ∈ C₊ᵇ(T). ↩ 1 09R1
Mệnh đề 5 — Cho T là một không gian hoàn toàn chính quy, và I là một dạng tuyến tính phức liên tục trên không gian chuẩn Cᵇ(T; C). Để tồn tại một độ đo phức bị chặn θ trên T sao cho θ(f) = I… ↩ 2 09R2
Hệ quả — Với các ký hiệu như trong Mệnh đề 5, giả sử tồn tại một độ đo dương bị chặn μ trên T sao cho |I(f)| ≤ μ(|f|) với mọi f ∈ Cᵇ(T; C); khi đó tồn tại một độ đo phức θ trên T sao cho… 09R3
Định nghĩa 1 Tôpô yếu trên Mᵇ(T), được liên kết với tính đối ngẫu nói trên giữa Cᵇ(T) và Mᵇ(T), được gọi là tôpô của sự hội tụ chặt (hay tôpô chặt) trên Mᵇ(T). \ 09R4
Nhận xét 1 Nếu T là địa phương compact, tôpô chặt mịn hơn tôpô cảm sinh trên Mᵇ(T) bởi tôpô vague, và hai tôpô này chỉ trùng nhau khi T là compact. Thật vậy, nếu T không compact, ánh xạ t ↦ ε… 09R5
Nhận xét 2 Suy ra ngay lập tức từ Mệnh đề 4 rằng M₊ᵇ(T) là đóng trong Mᵇ(T). 09R6
Nhận xét 3 Nếu T hoàn toàn chính quy, thì ánh xạ t ↦ εₜ của T vào Mᵇ(T) là một đồng phôi (GT, IX, §1, No. 5). ↩ 2 09R7
Mệnh đề 6 — Cho T là một không gian hoàn toàn chính quy. ↩ 7 09R8
Mệnh đề 7 — Cho T là một không gian hoàn toàn chính quy. Cho μ là một độ đo dương bị chặn trên T, và cho f là một hàm dương bị chặn trên T, sao cho tập hợp các điểm của T tại đó f không liên… 09R9
Mệnh đề 8 — Cho X là một không gian hoàn toàn chính quy, T là một không gian con của X, và i là đơn ánh chính tắc của T vào X. Ký hiệu W là tập hợp các độ đo dương bị chặn trên X tập trung t… ↩ 5 09RA
Mệnh đề 9 — Cho T là một không gian địa phương compact, và cho 𝔉 là một bộ lọc trên Mᵇ₊(T) hội tụ mơ hồ về một độ đo bị chặn μ. Để 𝔉 hội tụ chặt về μ, điều kiện cần và đủ là lim_λ λ(1) = μ(1… ↩ 3 09RB
Mệnh đề 10 Cho T là một không gian Polish; khi đó không gian M₊ᵇ(T) là Polish đối với tôpô chặt. ↩ 1 09RC
Hệ quả 1 Nếu T là một không gian mêtrizable kiểu đếm được, thì M₊ᵇ(T) là mêtrizable kiểu đếm được đối với tôpô chặt. 09RD
Hệ quả 2 Nếu T là một không gian Souslin (tương ứng Lusin) chính quy hoàn toàn, thì không gian M₊ᵇ(T) là Souslin (tương ứng Lusin). 09RE
Định nghĩa 2 Cho T là một không gian tôpô, và cho H là một tập con của Mᵇ(T); người ta nói rằng H thỏa mãn điều kiện Prokhorov nếu a) sup_μ ∈ H |μ|(1) < +∞; b) với mọi số ε > 0, tồn tại một tập… ↩ 1 09RF
Mệnh đề 11 Cho T là một không gian chính quy hoàn toàn, và cho H là một tập con của Mᵇ(T) thỏa mãn điều kiện Prokhorov; khi đó bao đóng overlineH của nó trong Mᵇ(T) cũng thỏa mãn điều kiện Pr… ↩ 2 09RG
Định lý 1 (Prokhorov) — Cho T là một không gian chính quy hoàn toàn, và cho H là một tập con của Mᵇ(T) thỏa mãn điều kiện Prokhorov; khi đó H tương đối compact trong Mᵇ(T) đối với tôpô chặt. ↩ 3 09RH
Hệ quả ========== ↩ 1 09RI
Định lý 2 — Cho T là một không gian địa phương compact, hoặc một không gian Polish, và cho H là một tập con tương đối compact của M₊ᵇ(T); khi đó H thỏa mãn điều kiện của Prokhorov. ↩ 2 09RJ
Mệnh đề 12 — Cho T là một không gian hoàn toàn chính quy, và cho B là quả cầu đơn vị của không gian định chuẩn Cᵇ(T; C). Cho I là một dạng tuyến tính trên Cᵇ(T; C). Để tồn tại một độ đo phức… ↩ 2 09RK
Mệnh đề 13 — Cho T là một không gian compact địa phương, và H là một tập con bị chặn của không gian định chuẩn Cᵇ(T; C). Ánh xạ (μ, f) ↦ μ(f) của M₊ᵇ(T) × H vào C khi đó liên tục, khi M₊ᵇ(T)… ↩ 1 09RL
Nhận xét Cho T là một không gian chính quy hoàn toàn, M là một tập con của Mᵇ(T) thỏa mãn điều kiện Prokhorov, H là một tập con bị chặn của Cᵇ(T). Một lập luận rất gần với lập luận vừa nêu… 09RM
Hệ quả Cho T là một không gian hoàn toàn chính quy, X là một không gian tôpô, và f là một hàm nhận giá trị phức xác định trên T × X, liên tục và bị chặn. Với mọi độ đo bị chặn μ trên T, k… ↩ 2 09RN
Mệnh đề 14 Với mọi độ đo phức bị chặn μ trên M, hàm Lμ trên X là liên tục và bị chặn. Nếu M₊ᵇ(M) được trang bị tôpô chặt và Cᵇ(X; C) được trang bị tôpô của sự hội tụ compact, thì ánh xạ μ ↦ L… ↩ 1 09RO
Định lý 3 Cho S là một monoid con đầy đủ của X. a) Nếu μ và μ' là hai độ đo phức bị chặn trên M, sao cho Lμ và Lμ' có cùng hạn chế trên S ∩ X₀, thì μ = μ'. b) Cho 𝔉 là một bộ lọc trên M₊ᵇ(M)… ↩ 5 09RP
Hệ quả — Cho S là một monoid con đầy đủ của X, sao cho bao đóng của S ∩ X₀ chứa 1. Gọi L là tập con của Cᵇ(S; C) gồm các hạn chế lên S của các biến đổi Laplace của các độ đo λ ∈ M₊ᵇ(M). 09RQ
Mệnh đề 15 Cho A là một tập hợp được trang bị một bộ lọc 𝔉. Với mọi α ∈ A, cho (u_α,n)_n ∈ N là một dãy khả tổng các số dương, và cho Φ_α là hàm xác định trên khoảng ]0, 1] của \mathbf{R} bởi… ↩ 2 09RR
Mệnh đề 16 Cho A là một tập hợp được trang bị một bộ lọc F. Với mọi α ∈ A, cho μ_α là một độ đo dương bị chặn trên R₊, và cho Φ_α là hàm xác định trên R₊ bởi Φ_α(p) = ∫₀^+∞ e⁻ᵖˣ dμ_α(x). Để á… 09RS

§ 6. Promeasure và độ đo trên một không gian lồi địa phương

Định nghĩa 1 Cho E là một không gian lồi địa phương. Ta gọi promeasure trên E là mọi hệ ngược⁽¹⁾ các độ đo (§ 4, No. 2, Def. 1) trên hệ ngược các thương hữu hạn chiều của E. 09S6
Mệnh đề 1 Cho E là một không gian lồi địa phương. Ánh xạ λ ↦ widetildeλ là một song ánh từ tập hợp các độ đo bị chặn trên E lên tập hợp các prođộ đo (μ_V)_V ∈ F(E) trên E thỏa mãn điều kiện… ↩ 1 09S7
Mệnh đề 2 — Cho T là một tập hợp đếm được, và E là không gian vectơ các hàm thực trên T, được trang bị tôpô của sự hội tụ điểm một. Mọi prođộ đo trên E đều là một độ đo. ↩ 3 09S8
Mệnh đề 3 Cho E là một không gian lồi địa phương. Ánh xạ μ ↦ Fμ từ tập hợp các độ đo tiền trên E vào tập hợp các hàm trên E' là đơn ánh. ↩ 4 09S9
Nhận xét — Khi E hữu hạn chiều, mọi đặc trưng của E đều có dạng x ↦ e^i⟨ x, x' ⟩ với x' ∈ E' (Théor. spect., Ch. II, §1, No. 9, Hệ quả 3 của Mệnh đề 12). Trong trường hợp này, Mệnh đề 3 suy… 09SA
Bổ đề 1 Với mọi số nguyên n geqslant 0, ↩ 2 09SB
Bổ đề 2 Với mọi số phức y, ↩ 3 09SC
Mệnh đề 4 Cho E là một không gian lồi địa phương. Với mọi dạng toàn phương dương Q trên E', tồn tại một và chỉ một promeasure Γ_Q trên E sao cho F Γ_Q = e^-Q/2. Khối lượng toàn phần của Γ_Q… ↩ 2 09SD
Định nghĩa 2 Cho E là một không gian vectơ tôpô lồi. Với mọi dạng bậc hai dương Q trên E', tiền đo trên E có biến đổi Fourier bằng e^-Q/2 được gọi là tiền đo Gauss trên E với phương sai Q, và đ… ↩ 3 09SE
Nhận xét — 1) Cho E là một không gian vectơ hữu hạn chiều, và cho μ là một độ đo dương trên E có khối lượng 1, sao cho mọi dạng tuyến tính trên E đều thuộc L²(E, μ). Người ta xác định một p… 09SF
Mệnh đề 5 Cho E và E₁ là hai không gian lồi địa phương, và u là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào E₁. Cho Q là một dạng toàn phương dương trên E', và Q₁ là dạng toàn phương dương Q ∘ ᵗ… ↩ 1 09SG
Hệ quả Cho E là một không gian lồi địa phương và Q là một dạng toàn phương dương trên E'. Với mọi x' ∈ E', ảnh của Γ_Q dưới x' là độ đo Gauss trên R có phương sai Q(x'). ↩ 1 09SH
Mệnh đề 6 Cho E là một không gian lồi địa phương, và μ là một độ đo Gauss trên E, có phương sai Q. Với mọi số nguyên n ≥ 0 và mọi x' ∈ E', ta có các hệ thức ↩ 6 09SI
Mệnh đề 7 Cho E là một không gian lồi địa phương và μ là một tiền độ đo trên E. Giả sử rằng x'(μ) là một độ đo Gauss trên R với mọi x' ∈ E'. Khi đó μ là một tiền độ đo Gauss trên E. ↩ 1 09SJ
Bổ đề 3 Với mọi t, t' thuộc D, ∫_Ω | X( (t + t')/2 ) - (X(t) + X(t'))/2 |³ dm = frac1(8π)^1/2 |t - t'|^3/2. Chú ý rằng (t + t')/2 thuộc D. Ta biết (No. 6, Ví dụ 2) rằng họ (X(t))_t ∈ D là… ↩ 1 09SK
Bổ đề 4 — Với mọi số nguyên n geqslant 0, 09SL
Bổ đề 5 Với mọi độ đo μ ∈ D, ↩ 1 09SM
Bổ đề 6 Cho μ ∈ M¹. Tồn tại một dãy các độ đo μₙ ∈ D sao cho μ(f) = lim_n → ∞ μₙ(f) với mọi f ∈ C và W(μ) = lim_n → ∞ W(μₙ). 09SN
Nhận xét — Với mọi khoảng nửa mở J = ]a, b] được chứa trong T, ta đặt l(J) = b - a (độ dài của J) và ký hiệu A_J là dạng tuyến tính f ↦ f(b) - f(a) trên C. Có thể chứng minh rằng độ đo Wien… 09SO
Mệnh đề 8 — Cho E là một không gian lồi địa phương, μ là một tiền độ đo trên E, và Φ là biến đổi Fourier của μ. Ta có các bất đẳng thức ↩ 5 09SP
Hệ quả — Trang bị cho E' một tôpô tương thích với cấu trúc không gian vectơ của nó. Để Φ liên tục, điều kiện cần và đủ là phần thực Re Φ của nó liên tục tại gốc, khi đó Φ liên tục đều. ↩ 1 09SQ
Mệnh đề 9 — Nếu F là barreled, thì biến đổi Fourier của mọi độ đo bị chặn trên F' là một hàm liên tục đều trên F. ↩ 2 09SR
Mệnh đề 10 — Dưới giả thiết Φ(0) - Re Φ ≤ ε + q, ta có ↩ 2 09SS
Định lý 2 (Minlos) — Cho F là một không gian lồi địa phương, T là một tôpô lồi địa phương trên F' nằm giữa Tₛ và T_c, và μ là một tiền độ đo trên F'_T. Giả sử biến đổi Fourier Φ của μ liên tục trên F… ↩ 2 09ST
Hệ quả — Cho F là một không gian barreled hạt nhân, T là một tôpô lồi địa phương trên F' trung gian giữa Tₛ và T_c, μ là một tiền độ đo trên F'_T, và Φ là biến đổi Fourier của μ. Để μ là… ↩ 1 09SU
Nhận xét — Cho F là một không gian barreled và T là một tôpô lồi địa phương trên F' trung gian giữa Tₛ và T_c. Mọi tập con của F' compact đối với T đều compact đối với tôpô yếu hơn Tₛ. Ngượ… 09SV
Định lý 3 (Prokhorov–Sazonov) Cho E là một không gian Hilbert và Es là không gian E được trang bị tôpô yếu hơn. Cho μ là một tiền độ đo trên E, và Φ là biến đổi Fourier của nó. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 4 09SW
Hệ quả 1 — Cho E₁ và E₂ là hai không gian Hilbert, u là một ánh xạ Hilbert–Schmidt từ E₁ vào E₂, và μ là một promeasure trên E₁. Giả sử rằng biến đổi Fourier Φ của μ liên tục trên E₁. Khi đ… ↩ 4 09SX
Hệ quả 2 — Cho Q là một dạng toàn phương dương hạch trên không gian Hilbert E. Promeasure Gauss Γ_Q trên E có phương sai Q là một độ đo trên Eₛ. ↩ 1 09SY
Nhận xét — 1) Cho E là một không gian Hilbert, Eₛ là không gian E được trang bị tôpô yếu, và j là ánh xạ đồng nhất của E vào Eₛ. Người ta biết rằng j xác định một song ánh từ tập hợp các ti… 09SZ
Định nghĩa 3 — Cho G là một nhóm. Một hàm nhận giá trị phức Φ trên G được gọi là có kiểu dương nếu bất đẳng thức ↩ 2 09T0
Mệnh đề 11 — Cho E là một không gian vectơ hữu hạn chiều, μ là một độ đo bị chặn (dương) trên E, và Φ là biến đổi Fourier của μ. Hàm Φ là liên tục và có kiểu dương trên E'. ↩ 2 09T1
Định lý 4 — Cho E là một không gian lồi địa phương. Phép biến đổi Fourier là một song ánh từ tập hợp các tiền độ đo trên E lên tập hợp các hàm kiểu dương trên E' mà hạn chế của chúng trên mọ… ↩ 2 09T2
Hệ quả — Cho F là một không gian hạt nhân lồi địa phương đầy; trang bị cho F' một tôpô lồi địa phương T nằm giữa tôpô yếu σ(F', F) và tôpô hội tụ đều trên các tập con compact lồi của F. P… 09T3

App. 0. Complements on Hilbert spaces

Nhận xét — 1) Với mọi không gian con F của E, ký hiệu Q_F là hạn chế của Q trên F, và H_F là hạn chế của H. Khi đó Tr(Q_F/H_F) ≤ Tr(Q/H) và Tr(Q/H) là cận trên đúng của các số Tr(Q_F/H_F) v… ↩ 1 09T5
Mệnh đề 1 — Giả sử rằng E hữu hạn chiều và H không suy biến. ↩ 3 09T6
Mệnh đề 2 — Giả sử rằng E là hữu hạn chiều. Tồn tại một cơ sở (e₁, …, eₙ) của E và một số nguyên m với 0 ≤ m ≤ n sao cho 09T7
Nhận xét 3 — Giả sử E hữu hạn chiều và H không suy biến. Cho (e₁, …, eₙ) là một cơ sở của E. Đặt q = ((eᵢ|eⱼ)_Q)_1 ≤ i,j ≤ n và h = ((eᵢ|eⱼ)_H)_1 ≤ i,j ≤ n. Với các ký hiệu như trong Mệnh đề… ↩ 2 09T8
Mệnh đề 3 Giả sử u liên tục. Cho (eᵢ)_i ∈ I là một cơ sở trực chuẩn của E₁ và (fⱼ)_j ∈ J là một cơ sở trực chuẩn của E₂. Khi đó ↩ 2 09T9