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Index des énoncés

Les 1206 énoncés de Topologie générale, par chapitre et paragraphe. Choisissez un type, filtrez par un mot, ou mettez les plus cités en tête.

Les plus cités d’abord

I. Structures topologiques

§ 1. Ensembles ouverts; voisinages; ensembles fermés

Définition 1 On appelle structure topologique (ou plus brièvement topologie) sur un ensemble X une structure constituée par la donnée d’un ensemble O de parties de X possédant les propriétés su… 0AZ1
Définition 2 On appelle espace topologique un ensemble muni d’une structure topologique. 0AZ2
Définition 3 On appelle homéomorphisme d’un espace topologique X sur un espace topologique X' un isomorphisme de la structure topologique de X sur celle de X'; c’est-à-dire, conformément aux dé… 0AZ3
Exemple Si X et X' sont deux espaces discrets, toute bijection de X sur X' est un homéomorphisme. 0AZ4
Définition 4 Dans un espace topologique X, on appelle voisinage d’une partie A de X tout ensemble qui contient un ensemble ouvert contenant A. Les voisinages d’une partie x réduite à un seul po… ↩ 1 0AZ5
Proposition 1 Pour qu’un ensemble soit un voisinage de chacun de ses points, il faut et il suffit qu’il soit ouvert. ↩ 6 0AZ6
Proposition 2 Si, à chaque élément x d’un ensemble X, on fait correspondre un ensemble 𝔙(x) de parties de X de sorte que les propriétés (VI), (V{II}), (V{III}) et (V{IV}) soient vérifiées, il ex… ↩ 1 0AZ7
Exemple On définit une topologie sur l’ensemble Q des nombres rationnels en prenant pour ensembles ouverts de cette topologie les réunions d’intervalles ouverts bornés; en effet, l’ensembl… 0AZ8
Définition 5 Dans un espace topologique X, on appelle système fondamental de voisinages d’un point x (resp. d’une partie A de X) tout ensemble 𝔊 de voisinages de x (resp. A) tel que pour tout v… ↩ 1 0AZ9
Définition 6 On appelle base de la topologie d’un espace topologique X tout ensemble 𝔅 de parties ouvertes de X tel que tout ensemble ouvert de X soit réunion d’ensembles appartenant à 𝔅. 0AZA
Proposition 3 Dans un espace topologique, pour qu’un ensemble 𝔅 de parties ouvertes de X soit une base de la topologie de X, il faut et il suffit que pour tout x ∈ X, l’ensemble des V ∈ 𝔅 tels q… ↩ 2 0AZB
Exemple 1 La topologie discrète a pour base l’ensemble des parties réduites à un seul élément. 0AZC
Exemple 2 L’ensemble des intervalles ouverts bornés est par définition une base de la topologie de la droite rationnelle (I, p. 4). L’ensemble des intervalles ouverts bornés est de même une… 0AZD
Définition 7 Dans un espace topologique X, on appelle ensembles fermés les complémentaires des ensembles ouverts de X. 0AZE
Définition 8 On dit qu’une famille (Aᵢ)_i ∈ I de parties d’un espace topologique X est localement finie si, pour tout x ∈ X, il existe un voisinage V de x tel que V ∩ Aᵢ = ∅ sauf pour un nombre… 0AZF
Proposition 4 La réunion d'une famille localement finie de parties fermées d'un espace topologique X est fermée dans X. ↩ 6 0AZG
Définition 9 Dans un espace topologique X, on dit qu'un point x est intérieur à une partie A de X lorsque A est un voisinage de x. L'ensemble des points intérieurs à A s'appelle l'intérieur de… 0AZH
Remarque L'intérieur d'un ensemble non vide peut être vide; c'est le cas pour un ensemble réduit à un seul point lorsqu'il n'est pas ouvert, par exemple dans la droite rationnelle (ou la dr… 0AZI
Définition 10 Dans un espace topologique X, on dit qu’un point x est adhérent à un ensemble A lorsque tout voisinage de x rencontre A. L’ensemble des points adhérents à A s’appelle adhérence de… ↩ 1 0AZJ
Proposition 5 Soit A un ensemble ouvert dans X; pour toute partie B de X, on a ↩ 3 0AZK
Définition 11 Dans un espace topologique X, un point x est dit point frontière d’un ensemble A, s’il est à la fois adhérent à A et à overlineCA; l’ensemble des points frontières de A s’appelle f… 0AZL
Définition 12 On dit qu’une partie A d’un espace topologique X est dense dans X (ou encore est partout dense, lorsqu’il n’en résulte pas de confusion sur X) si overlineA = X, autrement dit si po… 0AZM
Exemple On verra dans IV, p. 3 que l’ensemble des nombres rationnels et son complémentaire sont partout denses dans la droite numérique. \ Dans un espace discret X, il n’existe pas d’ensem… 0AZN
Proposition 6 Si 𝔅 est une base de la topologie d’un espace topologique X, il existe dans X un ensemble partout dense D tel que Card(D) leqslant Card(𝔅). ↩ 1 0AZO

§ 2. Fonctions continues

Définition 1 On dit qu’une application f d’un espace topologique X dans un espace topologique X' est continue en un point x₀ ∈ X si, quel que soit le voisinage V' de f(x₀) dans X', il existe un… ↩ 2 0AZY
Proposition 1 Soit f une application d’un espace topologique X dans un espace topologique X'. Si f est continue au point x, et si x est adhérent à une partie A de X, alors f(x) est adhérent à f(… ↩ 1 0AZZ
Proposition 2 Soient X, X', X'' trois espaces topologiques, f une application de X dans X' continue au point x ∈ X, g une application de X' dans X'' continue au point f(x). Alors l’application c… ↩ 3 0B00
Définition 2 On dit qu’une application d’un espace topologique X dans un espace topologique X' est continue dans X (ou simplement qu’elle est continue) si elle est continue en tout point de X. 0B01
Exemple 1 L’application identique d’un espace topologique X sur lui-même est continue. 0B02
Exemple 2 Une application constante d’un espace topologique dans un espace topologique est continue. 0B03
Exemple 3 Toute application d’un espace discret dans un espace topologique est continue. 0B04
Théorème 1 Soit f une application d’un espace topologique X dans un espace topologique X'; les propriétés suivantes sont équivalentes: a) f est continue dans X; b) pour tout partie A de X, f(… ↩ 25 0B05
Remarque 1 Soit 𝔅 une base (I, p. 5) de la topologie de X'; pour que f : X → X' soit continue, il faut et il suffit que f⁻¹(U') soit un ensemble ouvert dans X pour tout U' ∈ 𝔅. ↩ 1 0B09
Exemple Soit a un nombre rationnel quelconque; l’application x ↦ a + x de la droite rationnelle Q dans elle-même est continue dans Q, car l’image réciproque par cette application d’un inte… 0B06
Remarque 2 L’image directe d’un ensemble ouvert (resp. fermé) de X par une application continue f : X → X' n’est pas nécessairement un ensemble ouvert (resp. fermé) dans X' (cf. I, p. 30). 0B0A
Exemple L’application f : x ↦ 1/(1 + x²) de R dans lui-même est continue, mais f(R) est l’intervalle semi-ouvert ]0, 1], qui n’est ni ouvert ni fermé dans R. 0B07
Théorème 2 1° Si f : X → X' et g : X' → X'' sont deux applications continues, alors g ∘ f : X → X'' est continue. ↩ 4 0B08
Remarque 3 Il peut exister une bijection continue d’un espace topologique X sur un espace topologique X' qui ne soit pas bicontinue; on en a un exemple en prenant pour X' la droite rationnell… 0B0B
Remarque 4 Pour vérifier qu’une bijection continue f : X → X' est un homéomorphisme, il suffit de prouver que pour tout x ∈ X et tout voisinage V de x, f(V) est un voisinage de f(x) dans X'. 0E95
Remarque 5 Soient X un espace topologique, et pour tout x ∈ X, soit 𝔙(x) l’ensemble des voisinages de x. Soit x₀ un point de X; pour tout x ∈ X, définissons un ensemble 𝔙₀(x) de parties de X… 0E96
Définition 3 Étant données deux topologies T₁, T₂ sur un même ensemble X, on dit que T₁ est plus fine que T₂ (et que T₂ est moins fine que T₁) si, en désignant par Xᵢ l’ensemble X muni de la to… 0B0C
Proposition 3 Étant données deux topologies T₁, T₂ sur un ensemble X, les propositions suivantes sont équivalentes: a) T₁ est plus fine que T₂. b) Pour tout x ∈ X, tout voisinage de x pour T₂ es… ↩ 1 0B0D
Exemple Dans l’espace de Hilbert H des suites x = (xₙ) de nombres réels tels que |x|² = ∑ₙ₌₀^∞ xₙ² < +∞, les voisinages d’un point x₀ pour la topologie forte sur H sont les ensembles conte… 0B0E
Remarque 1 Dans l’ensemble ordonné des topologies sur un ensemble X, la topologie dont les seuls ensembles ouverts sont ∅ et X est la topologie la moins fine et la topologie discrète est la t… 0B0F
Remarque 2 D’une manière plus imagée, plus une topologie est fine, plus il y a d’ensembles ouverts, d’ensembles fermés, de voisinages; l’adhérence (resp. l’intérieur) d’un ensemble est d’auta… 0B0G
Remarque 3 Si f : X → X' est une application continue, elle reste continue lorsqu’on remplace la topologie de X par une topologie plus fine et la topologie de X’ par une topologie moins fine… 0B0H
Proposition 4 Soient X un ensemble, (Yᵢ)_i ∈ I une famille d’espaces topologiques, et pour chaque i ∈ I, soit fᵢ une application de X dans Yᵢ. Soit S l’ensemble des parties de X de la forme fᵢ⁻¹… ↩ 11 0B0I
Proposition 5 Soient X un ensemble, (Zᵢ)_i ∈ I une famille d’espaces topologiques, (J_λ)_λ ∈ L une partition de I et (Y_λ)_λ ∈ L une famille d’ensembles ayant L pour ensembles d’indices. Enfin… ↩ 2 0B0J
Exemple I : Image réciproque d’une topologie. — Soient X un ensemble, Y un espace topologique, f une application de X dans Y; la topologie la moins fine T sur X rendant continue f est appe… ↩ 2 0B0K
Proposition 6 Soient X un ensemble, (Yᵢ)_i ∈ I une famille d’espaces topologiques, et pour chaque i ∈ I, soit fᵢ une application de Yᵢ dans X. Soit O l’ensemble des parties U de X telles que, po… ↩ 6 0B0N
Corollaire Sous les hypothèses de la prop. 6, pour qu’une partie F de X soit fermée pour T, il faut et il suffit que pour tout i ∈ I, fᵢ⁻¹(F) soit fermé dans Yᵢ. 0B0O
Proposition 7 Soient X un ensemble, (Zᵢ)_i ∈ I une famille d’espaces topologiques, (J_λ)_λ ∈ L une partition de I et (Y_λ)_λ ∈ L une famille d’ensembles ayant L pour ensemble d’indices. Enfin, p… ↩ 1 0B0P
Exemple I: Topologie quotient. — Soient X un espace topologique, R une relation d’équivalence sur X, Y = X/R l’ensemble quotient de X par cette relation, φ : X → Y l’application canonique… 0E97
Proposition 8 Soient X un ensemble, (X_λ)_λ ∈ L une famille de parties de X. Supposons chaque X_λ munie d’une topologie T_λ telle que, pour tout couple (λ, μ) d’indices: 1° X_λ ∩ X_μ soit ouvert… ↩ 1 0B0Q
Proposition 9 Supposons que les h_λμ soient des homéomorphismes et que chaque A_λμ soit ouvert (resp. fermé) dans X_λ; alors chaque φ(X_λ) est ouvert (resp. fermé) dans X/R et la restriction de… 0B0R

§ 3. Sous-espaces; espaces quotients

Définition 1 Soit A une partie d’un espace topologique X. On appelle topologie induite sur A par la topologie de X la topologie dont les ensembles ouverts sont les traces sur A des ensembles ou… ↩ 1 0B13
Exemple Sur l’ensemble Z des entiers rationnels, la topologie induite par celle de la droite rationnelle est la topologie discrète, car la trace sur Z de l’intervalle ouvert ]n-1/2,n+1/2[… 0B14
Proposition 1 Si A et B sont deux parties d’un espace topologique X telles que B ⊂ A, l’adhérence de B par rapport au sous-espace A est la trace sur A de l’adhérence overlineB de B par rapport à… ↩ 1 0B15
Corollaire Pour qu’une partie B de A soit dense par rapport à A, il faut et il suffit que overlineB = overlineA dans X (ou, ce qui revient au même, que A ⊂ overlineB). 0B16
Proposition 2 Soit A une partie partout dense d’un espace topologique X ; pour tout x ∈ A et tout voisinage V de x par rapport à A, l’adhérence overlineV de V dans X est un voisinage de x par ra… ↩ 1 0B17
Proposition 3 Soit (Aᵢ)_i ∈ I une famille de parties d’un espace topologique X, ayant l’une des propriétés suivantes : a) les intérieurs des Aᵢ forment un recouvrement de X ; b) (Aᵢ)_i ∈ I est u… ↩ 6 0B18
Remarque Soit (Uₜ)_t ∈ I un recouvrement ouvert d’un espace topologique X, et pour tout t ∈ I, soit 𝔅ₜ une base de la topologie de sous-espace Uₜ de X; il est clair que 𝔅 = ⋃_t ∈ I 𝔅ₜ est u… 0B19
Proposition 4 Soit (Aₜ)_t ∈ I une famille de parties d’un espace topologique X, dont les intérieurs forment un recouvrement ouvert de X, ou qui est un recouvrement fermé localement fini de X. So… 0B1A
Définition 2 On dit qu’une partie L d’un espace topologique X est localement fermée en un point x ∈ L s’il existe un voisinage V de x dans X tel que L ∩ V soit une partie fermée du sous-espace… ↩ 1 0B1B
Remarque Soit F une partie de X telle que pour tout point x de X, il y ait un voisinage V de x dans X tel que V ∩ F soit fermé dans le sous-espace V; il résulte alors de la prop. 3 de I, p… 0B1C
Proposition 5 Soit L une partie d’un espace topologique X. Les conditions suivantes sont équivalentes: a) L est localement fermée; b) L est une partie ouverte du sous-espace overlineL, adhérence… ↩ 2 0B1D
Corollaire Soit f : X → X' une application continue; pour toute partie localement fermée L' de X', overlinef⁻¹(L') est localement fermée dans X. Cela résulte aussitôt de la prop. 5 ci-dessus… 0B1E
Définition 3 Soient X un espace topologique, R une relation d’équivalence dans X. On appelle espace quotient de X par R l’ensemble quotient X/R, muni de la topologie quotient de la topologie de… 0B1F
Proposition 6 Soient X un espace topologique, R une relation d’équivalence dans X, φ l’application canonique de X sur X/R; pour qu’une application f de X/R dans un espace topologique Y soit cont… ↩ 6 0B1G
Exemple Considérons, sur la droite numérique R, la relation d’équivalence x ≡ y (mod. 1); l’espace quotient de R par cette relation est appelé tore à une dimension et se désigne par T. La… 0B1H
Corollaire Soient X, Y, deux espaces topologiques, R (resp. S) une relation d’équivalence dans X (resp. Y), f : X → Y une application continue compatible avec les relations d’équivalence R et… ↩ 1 0B1I
Proposition 7 (transitivité des espaces quotients) Soient R et S deux relations d’équivalence dans un espace topologique X, telles que R entraîne S, et soit S/R la relation d’équivalence quotient dans l’espace quotient X/R (E, II… ↩ 2 0B1J
Proposition 8 Soient f = ψ ∘ g ∘ φ la décomposition canonique d’une application continue f : X → Y, R la relation d’équivalence f(x) = f(y). Les trois conditions suivantes sont équivalentes: a)… ↩ 1 0B1K
Exemple Soient X un espace topologique, (Xₜ)_t ∈ I un recouvrement de X, Y l’espace somme des sous-espaces Xₜ de X; il y a donc une partition (Yₜ)_t ∈ I de Y en sous-espaces à la fois ouve… 0B1L
Proposition 9 Soient f : X → Y une application continue surjective, R la relation d’équivalence f(x) = f(y). S’il existe une section continue s : Y → X associée à f (E, II, p. 18, déf. 11), l’ap… 0B1M
Proposition 10 La bijection canonique h : A/RA → f(A) est continue. En outre, les trois propriétés suivantes sont équivalentes: ↩ 5 0B1N
Corollaire 1 Si A est un ensemble saturé pour R et ouvert (resp. fermé) dans X, l’application canonique h : A/RA → f(A) est un homéomorphisme. 0B1O
Corollaire 2 S’il existe une application continue u : X → A telle que, pour tout x ∈ X, u(x) soit congru à x mod. R, alors f(A) = X/R et l’application canonique h : A/RA → X/R est un homéomorph… ↩ 1 0B1P
Exemple Désignons par R la relation d’équivalence x ≡ y (mod. 1) dans la droite numérique R (I, p. 21, Exemple), par A l’intervalle fermé [0, 1]; A contient un point au moins de toute clas… 0B1Q

§ 4. Produit d’espaces topologiques

Définition 1 Étant donnée une famille (Xᵢ)_i ∈ I d’espaces topologiques, on appelle espace produit de cette famille l’ensemble produit X = ∏_i ∈ I Xᵢ muni de la topologie produit des topologies… 0B27
Exemple Le produit Rⁿ de n espaces identiques à la droite numérique R est appelé espace numérique à n dimensions; R² est aussi appelé plan numérique (cf. VI, § 1, n° 1). On définit de même… 0B28
Proposition 1 Soit f = (fᵢ) une application d’un espace topologique Y dans un espace produit X = ∏_i ∈ I Xᵢ. Pour que f soit continue en un point a ∈ Y, il faut et il suffit que, pour tout i ∈ I… ↩ 11 0B29
Corollaire 1 Soient (Xᵢ)_i ∈ I, (Yᵢ)_i ∈ I deux familles d’espaces topologiques ayant même ensemble d’indices. Pour tout i ∈ I, soit fᵢ une application de Xᵢ dans Yᵢ. Pour que l’application pro… ↩ 5 0B2A
Corollaire 2 Soient X, Y deux espaces topologiques. Pour qu’une application f : X → Y soit continue, il faut et il suffit que l’application g : x ↦ (x, f(x)) soit un homéomorphisme de X sur le… ↩ 1 0B2B
Proposition 2 (associativité des produits topologiques) Soient (Xᵢ)_i ∈ I une famille d’espaces topologiques, (J_κ)_κ ∈ K une partition de l’ensemble I, et, pour tout κ ∈ K, soit X'_κ = ∏_i ∈ J_κ Xᵢ le produit des espaces Xᵢ pour i ∈ J_… ↩ 4 0B2C
Corollaire Soit σ une permutation de l’ensemble I. L’application (xᵢ) ↦ (x_σ(i)) est un homéomorphisme de ∏_i ∈ I Xᵢ sur ∏_i ∈ I X_σ(i). 0B2D
Proposition 3 Soient X un ensemble, (Yᵢ)_i ∈ I une famille d’espaces topologiques, et pour chaque i ∈ I, soit fᵢ une application de X dans Yᵢ. Soit f l’application x ↦ (fᵢ(x)) de X dans Y = ∏_i… ↩ 4 0B2E
Corollaire Pour tout i ∈ I, soit Aᵢ un sous-espace de Yᵢ. La topologie induite sur A = ∏_i ∈ I Aᵢ par la topologie produit sur ∏_i ∈ I Yᵢ est la topologie produit des topologies des sous-espa… 0B2F
Proposition 4 Soient X₁, X₂ deux espaces topologiques; pour tout a₁ ∈ X₁, l’application x₂ ↦ (a₁, x₂) est un homéomorphisme de X₂ sur le sous-espace a₁ × X₂ de X₁ × X₂. ↩ 2 0B2G
Corollaire La coupe A(x₁) d’un ensemble ouvert (resp. fermé) A du produit X₁ × X₂, suivant un point quelconque x₁ ∈ X₁, est un ensemble ouvert (resp. fermé) dans X₂. ↩ 2 0B2H
Proposition 5 La projection sur un espace facteur d’un ensemble ouvert U du produit X₁ × X₂ est un ensemble ouvert. ↩ 4 0B2I
Remarque 1 La projection sur un espace facteur d’une partie fermée d’un espace produit X₁ × X₂ peut fort bien ne pas être un ensemble fermé. Par exemple, dans le plan rationnel Q², l’hyperbol… ↩ 1 0B2J
Proposition 6 Soient X₁, X₂, Y trois espaces topologiques, f une application de l’espace produit X₁ × X₂ dans Y. Si f est continue au point (a₁, a₂), l’application partielle x₂ ↦ f(a₁, x₂) de X₂… 0B2K
Remarque 2 Il se peut que toutes les applications partielles déterminées par une application f : X₁ × X₂ → Y soient continues sans que f soit continue dans X₁ × X₂ (cf. IX, § 5, exerc. 21 et… ↩ 1 0B2L
Proposition 7 Dans un espace produit ∏_i ∈ I Xᵢ, l’adhérence d’un produit d’ensembles ∏_i ∈ I Aᵢ est identique au produit ∏_i ∈ I overlineAᵢ de leurs adhérences. ↩ 3 0B2M
Corollaire Pour qu’un produit ∏ᵢ Aᵢ d’ensembles non vides soit fermé dans l’espace ∏ᵢ Xᵢ, il faut et il suffit que, pour tout i, Aᵢ soit fermé dans Xᵢ. ↩ 2 0B2N
Proposition 8 Soit a = (aᵢ) un point d’un espace produit X = ∏_i ∈ I Xᵢ; l’ensemble D des points x ∈ X tels que prᵢ x = aᵢ sauf pour un nombre fini d’indices i, est partout dense dans X. ↩ 2 0B2O
Proposition 9 Soit I un ensemble préordonné filtrant à droite. Soient (X_α, f_α β) un système projectif d’espaces topologiques ayant I pour ensemble d’indices, X = lim_← X_α, J une partie cofina… ↩ 4 0B2P
Corollaire Supposons I filtrant. Soit A une partie de X = lim_← X_α, et pour tout α ∈ I, posons A_α = f_α(A). Alors: (i) Les A_α (resp. les overlineA_α) forment un système projectif de partie… ↩ 2 0B2Q
Exemple Soit (X_α)_α ∈ I une famille filtrante (pour ⊇) de parties d’un ensemble Y, et pour chaque α ∈ I, soit T_α une topologie sur X_α, telle que pour α ≤ β, T_β soit plus fine que la to… 0B2R

§ 5. Applications ouvertes et applications fermées

Définition 1 Soient X, X' deux espaces topologiques. On dit qu'une application f : X → X' est ouverte (resp. fermée) si l'image par f de toute partie ouverte (resp. fermée) de X est ouverte (re… ↩ 1 0B32
Exemple 1 Soit A un sous-espace d'un espace topologique X; pour que l'injection canonique j : A → X soit ouverte (resp. fermée), il faut et il suffit que A soit ouvert (resp. fermé) dans X (… 0B33
Exemple 2 Pour qu'une bijection f d'un espace topologique X sur un espace topologique X' soit un homéomorphisme, il faut et il suffit que f soit continue et ouverte, ou continue et fermée. 0B34
Exemple 3 Soit f une surjection d'un ensemble X dans un espace topologique X'; si on munit X de la topologie image réciproque de celle de X' par f (I, p. 13, Exemple I), f est une applicatio… ↩ 1 0B35
Exemple 4 Dans un espace produit X = ∏_i ∈ I Xᵢ, toute projection prᵢ : X → Xᵢ est une application continue ouverte, mais non nécessairement fermée (I, p. 26, prop. 5). ↩ 1 0B36
Exemple 5 Une fonction holomorphe non constante f, définie dans une partie ouverte connexe A de C, est une application ouverte de A dans C. 0B37
Exemple 6 Soient X, X' deux espaces topologiques, f une bijection continue de X sur X', qui n'est pas bicontinue; alors la bijection réciproque g : X' → X est une application ouverte et ferm… 0B38
Proposition 1 Soient X, X', X'' trois espaces topologiques, f : X → X', g : X' → X'' deux applications. Alors : a) Si f et g sont ouvertes (resp. fermées), g ∘ f est ouverte (resp. fermée). b) S… ↩ 4 0B39
Proposition 2 Soient X, Y deux espaces topologiques, f une application de X dans Y. ↩ 3 0B3A
Corollaire Soit (T(ι))_ι ∈ I une famille de parties de Y dont les intérieurs forment un recouvrement de Y, ou qui est un recouvrement fermé localement fini de Y. Si f : X → Y est continue et… 0B3B
Définition 2 On dit qu’une relation d’équivalence R dans un espace topologique X est ouverte (resp. fermée) si l’application canonique de X sur X/R est ouverte (resp. fermée). 0B3C
Exemple 1 Soient X un espace topologique, Γ un groupe d’homéomorphismes de X sur lui-même, R la relation d’équivalence 0B3D
Exemple 2 Soit X un espace somme d’une famille (X_ι) de sous-espaces de X, et soit X/R l’espace obtenu par recollement des X_ι le long d’ensembles ouverts A_ι k au moyen de bijections h_kℓ (… ↩ 1 0B3E
Exemple 3 Avec les notations de l’Exemple 2), supposons maintenant que les A_tκ soient fermés et que les h_kℓ soient des homéomorphismes; en outre, nous supposerons que, pour tout indice t… ↩ 1 0B3F
Proposition 3 Soient X, Y deux espaces topologiques, f : X → Y une application continue, R la relation d’équivalence f(x) = f(y) dans X, X xrightarrowp X/R xrightarrowh f(X) xrightarrowi Y la dé… ↩ 4 0B3G
Proposition 4 Soient R une relation d’équivalence ouverte (resp. fermée) dans un espace topologique X, f l’application canonique X → X/R, A une partie de X. Supposons que l’une des deux conditio… ↩ 3 0B3H
Proposition 5 Soient X, Y deux espaces topologiques, f une application de X dans Y, 𝔅 une base de la topologie de X. Les propriétés suivantes sont équivalentes: a) f est une application ouverte… ↩ 6 0B3I
Proposition 6 Soit R une relation d’équivalence dans un espace topologique X. Les trois conditions suivantes sont équivalentes: a) La relation R est ouverte. b) L’intérieur de tout ensemble satu… ↩ 1 0B3J
Proposition 7 Soient R une relation d’équivalence dans un espace topologique X, φ l’application canonique X → X/R. Si R est ouverte: (i) Pour tout ensemble A ⊂ X saturé pour R, l’adhérence (resp… ↩ 1 0B3K
Corollaire Les notations étant celles de la prop. 7, si la relation R est ouverte, alors, pour qu’une partie Z de X/R soit localement fermée, il faut et il suffit que φ⁻¹(Z) soit localement f… ↩ 4 0B3M
Proposition 8 Soient (Xᵢ)_i ∈ I, (Yᵢ)_i ∈ I deux familles d’espaces topologiques ayant même ensemble d’indices. Pour tout i ∈ I, soit fᵢ une application ouverte de Xᵢ dans Yᵢ, et supposons que f… ↩ 1 0B3L
Corollaire Soit (Xᵢ)_i ∈ I une famille d’espaces topologiques, et pour chaque i ∈ I, soient Rᵢ une relation d’équivalence dans Xᵢ, fᵢ l’application canonique Xᵢ → Xᵢ/Rᵢ. Soit R la relation d’… 0E99
Proposition 9 Soient X, X' deux espaces topologiques. Pour qu’une application f : X → X' soit continue et fermée, il faut et il suffit que f(overlineA) = overlinef(A) pour toute partie A de X. ↩ 1 0B3N
Proposition 10 Soit R une relation d’équivalence dans un espace topologique X. Pour que R soit fermée, il faut et il suffit que toute classe d’équivalence M suivant R admette un système fondament… ↩ 5 0B3O
Remarque La prop. 10 entraîne la propriété suivante: Si R est fermée, en désignant par φ l’application canonique X → X/R, pour tout x ∈ X et tout voisinage U de la classe d’équivalence de x… 0B3P

§ 6. Filtres

Définition 1 On appelle filtre sur un ensemble X un ensemble 𝔉 de parties de X qui possède les propriétés suivantes: 0B3X
Définition 2 Étant donnés deux filtres 𝔉, 𝔉' sur un même ensemble X, on dit que 𝔉' est plus fin que 𝔉, ou que 𝔉 est moins fin que 𝔉', si 𝔉 ⊂ 𝔉'. Si de plus 𝔉 ≠ 𝔉', on dit que 𝔉' est strictement… 0B3Y
Proposition 1 Pour qu’il existe un filtre sur X contenant un ensemble 𝔊 de parties de X, il faut et il suffit qu’aucune des intersections finies d’ensembles de 𝔊 ne soit vide. ↩ 7 0B3Z
Exemple Soit 𝔊 un ensemble quelconque de parties d’un ensemble X, et considérons la topologie T sur X engendrée par 𝔊 (I, p. 13, Exemple II). Comme l’ensemble des intersections finies d’en… 0B40
Corollaire 1 Soient 𝔉 un filtre sur un ensemble X, A une partie de X. Pour qu’il existe un filtre 𝔉' plus fin que 𝔉 et tel que A ∈ 𝔉' il faut et il suffit que A rencontre tous les ensembles de… ↩ 3 0B41
Corollaire 2 Pour qu’un ensemble Φ de filtres sur un ensemble non vide X admette une borne supérieure dans l’ensemble de tous les filtres sur X, il faut et il suffit que pour toute suite finie… ↩ 3 0B42
Corollaire 3 L’ensemble ordonné des filtres sur un ensemble non vide X est inductif. ↩ 1 0B43
Proposition 2 Étant donné un ensemble de parties 𝔅 d’un ensemble X, pour que l’ensemble des parties de X contenant un ensemble de 𝔅 soit un filtre, il faut et il suffit que 𝔅 possède les deux pr… 0B44
Définition 3 On dit qu’un ensemble de parties 𝔅 d’un ensemble X qui satisfait aux axiomes (B_I) et (B_II) est une base du filtre qu’il engendre. On dit que deux bases de filtre sont équivalente… ↩ 1 0B45
Proposition 3 Pour qu’une partie 𝔅 d’un filtre 𝔉 sur X soit une base de 𝔉, il faut et il suffit que tout ensemble de 𝔉 contienne un ensemble de 𝔅. ↩ 5 0B46
Proposition 4 Sur un ensemble X, pour qu’un filtre 𝔉' de base 𝔅' soit plus fin qu’un filtre 𝔉 de base 𝔅, il faut et il suffit que tout ensemble de 𝔅 contienne un ensemble de 𝔅'. ↩ 2 0B47
Corollaire Pour que deux bases de filtre 𝔅, 𝔅' sur un ensemble X soient équivalentes, il faut et il suffit que tout ensemble de 𝔅 contienne un ensemble de 𝔅' et que tout ensemble de 𝔅' contie… ↩ 1 0B48
Définition 4 On appelle ultrafiltre sur un ensemble X un filtre tel qu’il n’existe aucun filtre strictement plus fin que lui (en d’autres termes, un élément maximal de l’ensemble ordonné des fi… 0B49
Théorème 1 Pour tout filtre 𝔉 sur un ensemble X, il existe un ultrafiltre plus fin que 𝔉. ↩ 3 0B4A
Proposition 5 Soit 𝔉 un ultrafiltre sur un ensemble X. Si A et B sont deux parties de X telles que A ∪ B ∈ 𝔉, on a A ∈ 𝔉 ou B ∈ 𝔉. ↩ 5 0B4B
Corollaire Si la réunion d’une suite finie (Aᵢ)_1 ≤ i ≤ n de parties de X appartient à un ultrafiltre 𝔉, l’un au moins des Aᵢ appartient à 𝔉. ↩ 2 0B4C
Proposition 6 Soit 𝔊 un système générateur d’un filtre sur un ensemble X; si, pour toute partie Y de X, on a Y ∈ 𝔊 ou complement Y ∈ 𝔊, 𝔊 est un ultrafiltre sur X. ↩ 1 0B4D
Remarque Si X est un ensemble contenant au moins deux éléments, il y a au moins deux ultrafiltres distincts sur X, donc l’ensemble ordonné des filtres sur X n’a pas de plus grand élément. 0B4E
Proposition 7 Tout filtre 𝔉 sur un ensemble X est l’intersection des ultrafiltres plus fins qui lui. ↩ 2 0B4F
Proposition 8 Soient 𝔉 un filtre sur un ensemble X, A une partie de X. Pour que la trace 𝔉_A de 𝔉 sur A soit un filtre sur A, il faut et il suffit que tout ensemble de 𝔉 rencontre A. ↩ 1 0B4G
Définition 5 Si la trace, sur une partie A d’un ensemble X, d’un filtre 𝔉 sur X, est un filtre sur A, on dit que ce filtre est induit par 𝔉 sur A. 0B4H
Exemple Soient X un espace topologique, A une partie de X, x un point de X; pour que la trace sur A du filtre des voisinages de x soit un filtre sur A, il faut et il suffit que tout voisin… 0B4I
Proposition 9 Pour qu’un ultrafiltre 𝔘 sur un ensemble X induise un filtre sur une partie A de X, il faut et il suffit que A ∈ 𝔘; si cette condition est remplie, 𝔘_A est un ultrafiltre sur A. 0B4J
Proposition 10 Si 𝔅 est une base d’ultrafiltre sur un ensemble X, f une application de X dans X', f(𝔅) est une base d’ultrafiltre sur X'. ↩ 2 0B4K
Définition 6 Étant donné un filtre 𝔉ᵢ sur chacun des ensembles Xᵢ d’une famille (Xᵢ)_i ∈ I on appelle produit des filtres 𝔉ᵢ et on note ∏_i ∈ I 𝔉ᵢ (si aucune confusion n’en résulte) le filtre s… 0B4L
Définition 7 Soit (xₙ)_n ∈ N une suite infinie d’éléments d’un ensemble X; on appelle filtre élémentaire associé à la suite (xₙ) le filtre engendré par l’image du filtre de Fréchet (I, p. 36) p… 0B4M
Proposition 11 Si un filtre 𝔉 possède une base dénombrable, il est le filtre intersection des filtres élémentaires plus fins que 𝔉. ↩ 2 0B4N
Remarque Un filtre moins fin qu’un filtre à base dénombrable peut fort bien ne pas posséder de base dénombrable; par exemple, si X est un ensemble infini non dénombrable, le filtre des comp… 0B4O
Remarque 1 Toute application f d’une partie M ∈ 𝔉 de X dans X' est équivalente mod. S à une application f₁ de X dans X' (ce qui justifie la terminologie précédente): il suffit en effet de pro… 0B4P
Remarque 2 Pour que les fonctions caractéristiques φ_M et φ_N de deux parties M, N de X aient même germe suivant 𝔉, il faut et il suffit que les parties M et N aient même germe suivant 𝔉. 0B4Q

§ 7. Limites

Définition 1 Soient X un espace topologique, 𝔉 un filtre sur X. On dit qu’un point x ∈ X est point limite (ou simplement limite) de 𝔉, si 𝔉 est plus fin que le filtre 𝔙(x) des voisinages de x… ↩ 1 0B5B
Proposition 1 Pour qu’une base de filtre 𝔅 sur un espace topologique X converge vers x ∈ X, il faut et il suffit que tout ensemble d’un système fondamental de voisinages de x contienne un ensemb… 0B5C
Proposition 2 Pour qu’un filtre 𝔉 sur un espace topologique X converge vers un point x, il faut et il suffit que tout ultrafiltre plus fin que 𝔉 converge vers x. 0B5D
Définition 2 Dans un espace topologique X, on dit qu’un point x est adhérent à une base de filtre 𝔅 sur X, s’il est adhérent à tous les ensembles de 𝔅. 0B5E
Proposition 3 Pour qu’un point x soit adhérent à une base de filtre 𝔅, il faut et il suffit que tout ensemble d’un système fondamental de voisinages de x rencontre chacun des ensembles de 𝔅. 0B5F
Proposition 4 Pour qu’un point x soit adhérent à un filtre 𝔉, il faut et il suffit qu’il existe un filtre plus fin que 𝔉 et qui converge vers x. ↩ 1 0B5G
Corollaire Pour qu’un ultrafiltre 𝔘 soit convergent vers un point x, il faut et il suffit que x soit adhérent à 𝔘. ↩ 1 0B5H
Proposition 5 L’ensemble des points adhérents à une base de filtre sur un espace topologique X est fermé dans X. ↩ 1 0B5I
Proposition 6 Soit 𝔅 une base de filtre sur une partie A d’un espace topologique X. Tout point adhérent à 𝔅 dans X appartient à overlineA. Inversement, tout point de overlineA est limite dans X… 0B5J
Remarque Un filtre sur un espace topologique n’a pas nécessairement de point adhérent (ni a fortiori de point limite) : par exemple, sur un espace discret infini, le filtre des complémentai… 0B5K
Définition 3 Soit f une application d’un ensemble X dans un espace topologique Y, et soit 𝔉 un filtre sur X; on dit qu’un point y ∈ Y est valeur limite (ou simplement limite) de f suivant le fi… 0B5L
Proposition 7 Pour que y ∈ Y soit limite de f suivant le filtre 𝔉, il faut et il suffit que, pour tout voisinage V de y dans Y, il existe un ensemble M ∈ 𝔉 tel que f(M) ⊂ V (ou encore, que overs… ↩ 2 0B5M
Exemple 1 Une suite de points (xₙ)_n ∈ N d’un espace topologique X est une application n ↦ xₙ de N dans X. On a souvent à considérer, en Analyse, la notion de valeur limite ou de valeur d’ad… 0B5N
Exemple 2 Plus généralement, soit f une application d’un ensemble filtrant A dans un espace topologique X. Si x ∈ X est valeur limite (resp. valeur d’adhérence) de f suivant le filtre des se… 0B5O
Proposition 8 Soit f une application d’un ensemble X dans un espace topologique Y; pour que y ∈ Y soit valeur d’adhérence de f suivant 𝔉, il faut et il suffit qu’il existe sur X un filtre 𝔊 plus… 0B5P
Remarque Si y ∈ Y est limite (resp. valeur d’adhérence) d’une application f : X → Y suivant un filtre 𝔉 sur X, y est aussi limite (resp. valeur d’adhérence) de toute fonction g : X → Y ayan… 0B5Q
Proposition 9 Pour qu’une application f d’un espace topologique X dans un espace topologique Y soit continue en un point a ∈ X, il faut et il suffit que lim_x → a f(x) = f(a). ↩ 6 0B5R
Corollaire 1 Soient X, Y deux espaces topologiques, f une application de X dans Y. Supposons f continue en un point a ∈ X; alors, pour toute base de filtre B sur X qui converge vers a, la base… 0E9A
Corollaire 2 Soit g une application d’un ensemble Z dans un espace topologique X, admettant une limite a suivant un filtre 𝔉 sur Z; si l’application f : X → Y est continue au point a, la foncti… 0E9B
Proposition 10 Soient X un ensemble, (Yᵢ)_i ∈ I une famille d’espaces topologiques, et pour chaque i ∈ I, soit fᵢ une application de X dans Yᵢ. On munit X de la topologie T la moins fine rendant… ↩ 3 0B5U
Corollaire 1 Pour qu’un filtre 𝔉 sur un espace produit X = ∏_i ∈ I Xᵢ converge vers un point x, il faut et il suffit que, pour tout i ∈ I, la base de filtre prᵢ(𝔉) converge vers prᵢ x. ↩ 5 0B5V
Corollaire 2 Soit f = (fᵢ) une application d’un ensemble X dans un espace produit Y = ∏_i ∈ I Yᵢ. Pour que f ait une limite y = (yᵢ) suivant un filtre 𝔉 sur X, il faut et il suffit que, pour to… 0B5W
Proposition 11 Soient R une relation d’équivalence ouverte dans un espace topologique X, φ l’application canonique X → X/R. Pour tout x ∈ X et toute base de filtre 𝔅' sur X/R qui converge vers φ(… ↩ 1 0B5X

§ 8. Espaces séparés et espaces réguliers

Proposition 1 Soit X un espace topologique. Les propositions suivantes sont équivalentes: ↩ 13 0B65
Définition 1 On dit qu’un espace topologique X qui vérifie les conditions de la prop. 1 est un espace séparé (ou un espace de Hausdorff); la topologie d’un tel espace est dite séparée (ou de Ha… 0B66
Exemple Tout espace discret est séparé. La droite rationnelle Q est séparée, car si x, y sont deux nombres rationnels tels que x < y, et z un nombre rationnel tel que x < z < y, les voisin… 0B67
Proposition 2 Soient f, g deux applications continues d’un espace topologique X dans un espace séparé Y; alors l’ensemble des x ∈ X tels que f(x) = g(x) est fermé dans X. En effet, cet ensemble… ↩ 16 0B68
Corollaire 1 (Principe de prolongement des identités) Soient f, g deux applications continues d’un espace topologique X dans un espace séparé Y. Si f(x) = g(x) en tous les points d’une partie partout dense de X, on a f = g. ↩ 10 0B69
Corollaire 2 Si f est une application continue d’un espace topologique X dans un espace séparé Y, le graphe de f est fermé dans X × Y. En effet, ce graphe est l’ensemble des points (x, y) ∈ X ×… ↩ 4 0B6A
Proposition 3 Dans un espace séparé X, soit (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n une famille finie de points distincts; il existe alors pour chaque indice i un voisinage Vᵢ de xᵢ dans X tel que les Vᵢ (1 ≤ i ≤ n) soi… 0B6B
Corollaire Tout espace fini séparé est discret. 0B6C
Proposition 4 Dans un espace séparé, tout ensemble fini est fermé. ↩ 1 0B6D
Proposition 5 Si, pour tout couple de points distincts x, y d’un espace topologique X, il existe une application continue f de X dans un espace séparé X' telle que f(x) ≠ f(y), alors X est sépar… ↩ 5 0B6E
Corollaire Toute topologie plus fine qu’une topologie séparée est séparée. 0B6F
Proposition 6 Si, dans un espace topologique X, tout point possède un voisinage fermé qui soit un sous-espace séparé de X, X est séparé. ↩ 2 0B6G
Proposition 7 Tout produit d’espaces séparés est séparé. Réciproquement, si un produit d’espaces non vides est séparé, chacun des espaces facteurs est séparé. ↩ 5 0B6H
Corollaire 1 Soient X un ensemble, (Yᵢ)_i ∈ I une famille d’espaces topologiques séparés, et pour chaque i ∈ I, soit fi une application de X dans Yi. On munit X de la topologie T la moins fine… 0B6I
Corollaire 2 Soit (X_α, f_αβ) un système projectif d’espaces topologiques. Si les X_α sont séparés, X = lim_← X_α est séparé et est un sous-espace fermé de ∏_α X_α. ↩ 3 0B6J
Proposition 8 Pour qu’un espace quotient X/R soit séparé, il est nécessaire que le graphe C de R soit fermé dans X × X. Cette condition est suffisante lorsque la relation R est ouverte. ↩ 7 0B6K
Proposition 9 Si f est une application continue d’un espace topologique X dans un espace séparé X', et R la relation d’équivalence f(x) = f(y), l’espace quotient X/R est séparé. 0B6L
Proposition 10 Si X est un espace séparé, et s’il existe une section continue s de X pour la relation R, X/R est séparé et s(X/R) est fermé dans X. ↩ 1 0B6M
Proposition 11 Dans un espace topologique X, les propriétés suivantes sont équivalentes : 0B6N
Définition 2 On dit qu’un espace topologique est régulier s’il est séparé et vérifie l’axiome (O{III}) ; sa topologie est alors dite régulière. 0B6O
Proposition 12 Tout sous-espace d’un espace régulier est régulier. 0B6P
Proposition 13 Si, dans un espace topologique X, tout point possède un voisinage fermé qui soit un sous-espace régulier de X, X est régulier. ↩ 2 0B6Q
Remarque 1 On peut donner des exemples d’espaces non séparés, dont tout point admet un voisinage régulier (I, p. 101, exerc. 7). 0B6R
Remarque 2 On peut donner des exemples d’espaces séparés non réguliers (I, p. 103, exerc. 20). 0B6S
Remarque 3 Une topologie plus fine qu’une topologie régulière n’est pas nécessairement régulière (I, p. 103, exerc. 20). 0B6T
Théorème 1 Soient X un espace topologique, A une partie partout dense de X, f : A → Y une application de A dans un espace régulier Y. Pour qu’il existe une application continue tildef : X → Y… ↩ 3 0B6U
Corollaire Soit 𝔉₁ × 𝔉₂ le filtre produit (I, p. 42), sur un ensemble X = X₁ × X₂, d’un filtre 𝔉₁ sur X₁ et d’un filtre 𝔉₂ sur X₂. Soit f une application de X dans un espace régulier Y. On su… 0B6V
Proposition 14 Soient X un espace régulier, R une relation d’équivalence fermée dans X; alors le graphe C de R dans X × X est fermé. ↩ 2 0B6W
Corollaire Dans un espace régulier, toute relation d’équivalence à la fois ouverte et fermée est séparée. 0B6X
Proposition 15 Soient X un espace régulier, F une partie fermée non vide de X, R la relation d’équivalence obtenue en identifiant entre eux tous les points de F (autrement dit, la relation d’équi… ↩ 2 0B6Y

§ 9. Espaces compacts et espaces localement compacts

Définition 1 On dit qu’un espace topologique X est quasi-compact s’il vérifie l’axiome suivant: (C) Tout filtre sur X possède au moins un point adhérent. On dit qu’un espace topologique est com… ↩ 1 0B7S
Exemple 1 Tout espace fini est quasi-compact et plus généralement tout espace dans lequel il n’y a qu’un nombre fini d’ensembles ouverts est quasi-compact; pour qu’un espace fini soit compac… 0B7T
Exemple 2 Soit X un ensemble; munissons X de la topologie pour laquelle les parties fermées sont X et les parties finies de X (cet ensemble de parties vérifiant de façon évidente les axiomes… ↩ 1 0B7U
Remarque Les espaces quasi-compacts non séparés sont surtout utiles dans les applications de la Topologie à la Géométrie algébrique, mais n’interviennent guère dans les autres théories math… 0B7V
Théorème 1 Soit 𝔉 un filtre sur un espace quasi-compact X, et soit A l’ensemble des points adhérents à 𝔉. Tout voisinage de A appartient alors à 𝔉. ↩ 3 0B7W
Corollaire Pour qu’un filtre sur un espace compact soit convergent il faut et il suffit qu’il ait un seul point adhérent. ↩ 3 0B7X
Proposition 1 Soient X un espace compact, x un point de X. Pour qu’une base de filtre 𝔅 formée de voisinages fermés de x soit un système fondamental de voisinages de x, il faut et il suffit que… ↩ 2 0B7Y
Corollaire Tout espace compact est régulier. En effet, il résulte de l’axiome (Hi) (I, p. 52, prop. 1) que la base de filtre formée de tous les voisinages fermés d’un point quelconque de l’es… ↩ 1 0B7Z
Définition 2 On dit qu’une partie A d’un espace topologique X est un ensemble quasi-compact (resp. compact) si le sous-espace A est quasi-compact (resp. compact). 0B81
Exemple 1 Dans un espace topologique X, tout ensemble fini est quasi-compact; l’ensemble vide et tout ensemble réduit à un point sont compacts. 0B82
Exemple 2 Dans un espace topologique X, soit (xₙ)_n ∈ N une suite infinie de points qui converge vers un point a. L’ensemble A formé des xₙ (n ∈ N) et de a est quasi-compact. En effet, si (U… ↩ 1 0B83
Proposition 2 Dans un espace quasi-compact (resp. compact), tout ensemble fermé est quasi-compact (resp. compact). ↩ 3 0B80
Proposition 3 Soient X un espace séparé, A et B deux parties compactes de X sans point commun. Alors il existe un voisinage V de A et un voisinage W de B qui ne se rencontrent pas. ↩ 6 0B84
Proposition 4 Dans un espace séparé, tout ensemble compact est fermé. ↩ 8 0B85
Corollaire Dans un espace compact X, pour qu’un ensemble A soit compact, il faut et il suffit qu’il soit fermé dans X. 0B86
Proposition 5 Dans un espace topologique, la réunion d’une famille finie d’ensembles quasi-compacts est un ensemble quasi-compact. ↩ 3 0B87
Définition 3 On dit qu’une partie A d’un espace topologique X est relativement quasi-compacte (resp. relativement compacte) dans X si A est contenue dans une partie quasi-compacte (resp. compac… 0B88
Proposition 6 Dans un espace séparé X, pour qu’un ensemble A soit relativement compact, il faut et il suffit que A soit compact. 0B89
Proposition 7 Si A est un ensemble relativement quasi-compact dans un espace topologique X, toute base de filtre sur A possède au moins un point adhérent dans X. ↩ 1 0B8A
Remarque Dans un espace non séparé, un ensemble compact n’est pas nécessairement fermé, et son adhérence n’est pas nécessairement quasi-compacte (I, p. 105, exerc. 5); l’intersection de deu… 0B8B
Théorème 2 Si f est une application continue d’un espace quasi-compact X dans un espace topologique X', l’ensemble f(X) est quasi-compact. ↩ 17 0B8C
Corollaire 1 Soit f une application continue d’un espace topologique X dans un espace séparé X'; l’image par f de tout ensemble quasi-compact (resp. relativement quasi-compact) dans X est un en… ↩ 9 0B8D
Corollaire 2 Toute application continue f d’un espace quasi-compact X dans un espace séparé X' est fermée; si en outre f est bijective, f est un homéomorphisme. Cela résulte aussitôt du cor. 1… ↩ 9 0B8E
Corollaire 3 Une topologie séparée moins fine qu’une topologie d’espace quasi-compact lui est nécessairement identique. ↩ 1 0B8F
Corollaire 4 Soient X un espace topologique, R une relation d’équivalence séparée dans X. a) S’il existe dans X un ensemble quasi-compact K tel que toute classe d’équivalence suivant R rencontr… ↩ 2 0B8G
Théorème 3 (Tychonoff) Tout produit d’espaces quasi-compacts (resp. compacts) est quasi-compact (resp. compact). Réciproquement, si un produit d’espaces non vides est quasi-compact (resp. compact), chacu… ↩ 6 0B8H
Corollaire Pour qu’une partie d’un produit d’espaces topologiques soit relativement quasi-compacte, il faut et il suffit que chacune de ses projections soit relativement quasi-compacte dans l… 0B8I
Proposition 8 Soient (X_α, f_αβ) un système projectif d’espaces compacts relatif à un ensemble d’indices filtrant I, tel que f_αα soit l’application identique pour tout α ∈ I, X = lim_← X_α sa l… ↩ 4 0B8J
Corollaire 1 Soit (X_α, f_αβ) un système projectif d’espaces topologiques relatif à un ensemble d’indices filtrant, tel que, pour tout couple d’indices α, β tels que α ≤ β, et pour tout x_α ∈ X… ↩ 2 0B8K
Corollaire 2 Soient (X_α, f_αβ), (X'_α, f'_αβ) deux systèmes projectifs d’espaces topologiques relatifs au même ensemble d’indices filtrant I, et soit (u_α) un système projectif d’applications… ↩ 2 0B8L
Définition 4 On dit qu’un espace topologique X est localement compact s’il est séparé et si tout point de X possède un voisinage compact. 0B8M
Proposition 9 Tout espace localement compact est régulier. 0B8N
Corollaire Dans un espace localement compact, tout point admet un système fondamental de voisinages compacts. 0B8O
Proposition 10 Dans un espace localement compact X, tout ensemble compact K admet un système fondamental de voisinages compacts. ↩ 5 0B8P
Proposition 11 Dans un espace localement compact X, soit F un ensemble tel que pour toute partie compacte K de X, F ∩ K soit compact; alors F est fermé dans X. Compte tenu de la prop. 4 de I, p… 0B8Q
Proposition 12 Dans un espace séparé X, tout sous-espace localement compact A est localement fermé. En effet, pour tout x ∈ A, il y a par hypothèse un voisinage V de x dans X tel que V ∩ A soit c… ↩ 1 0B8R
Proposition 13 Dans un espace localement compact X, tout sous-espace localement fermé est localement compact. En effet, supposons A localement fermé dans X; pour tout x ∈ A il existe un voisinage… ↩ 5 0B8S
Proposition 14 a) Soit (Xₜ)_t ∈ I une famille d’espaces localement compacts, telle que Xₜ soit compact sauf pour un nombre fini d’indices. Alors l’espace produit X = ∏_t ∈ I Xₜ est localement com… ↩ 1 0B8T
Théorème 4 (Alexandroff) Pour tout espace localement compact X, il existe un espace compact X' et un homéomorphisme f de X sur le complémentaire d’un point de X'. En outre, si X'₁ est un second espace comp… ↩ 8 0B8U
Exemple Si on applique le th. d’Aleksandroff au plan numérique R², on obtient un espace compact, dont on peut définir comme suit un homéomorphisme sur la sphère S₂ d’équation x₁² + x₂² + x… 0E9C
Définition 5 On dit qu’un espace localement compact X est dénombrable à l’infini s’il est réunion dénombrable d’ensembles compacts. 0B8V
Exemple 1 Pour qu’un espace discret soit dénombrable à l’infini, il faut et il suffit qu’il soit dénombrable. 0B8W
Exemple 2 La droite numérique R est un espace localement compact dénombrable à l’infini, car elle est réunion des intervalles compacts {−n, +n} pour n ∈ N. 0B8X
Remarque Un espace topologique séparé peut être réunion dénombrable de sous-espaces compacts sans être localement compact. Il en est ainsi par exemple de l’espace de Hilbert muni de la topo… 0B8Y
Proposition 15 Si X est un espace localement compact dénombrable à l’infini, il existe une suite (Un) d’ensembles ouverts relativement compacts dans X, formant un recouvrement de X et tels que ov… ↩ 7 0B8Z
Corollaire 1 Avec les notations de la prop. 15, pour toute partie compacte K de X, il existe un entier n tel que K ⊂ Un. ↩ 3 0B90
Corollaire 2 Soient X un espace localement compact, X' l’espace compact obtenu en adjoignant à X un point à l’infini ω (I, p. 68). Pour que X soit dénombrable à l’infini, il faut et il suffit q… ↩ 1 0B91
Définition 6 Un espace topologique X est dit paracompact s’il est séparé, et s’il vérifie l’axiome suivant: (PC) Pour tout recouvrement ouvert R de X, il existe un recouvrement ouvert localemen… 0B92
Proposition 16 Dans un espace paracompact X, tout sous-espace fermé F est paracompact. ↩ 1 0B93
Proposition 17 Le produit d’un espace paracompact et d’un espace compact est paracompact. ↩ 2 0B94
Proposition 18 Un espace X somme (I, p. 15, Exemple III) d’une famille (X_ι)_ι ∈ I d’espaces paracompacts est paracompact. ↩ 1 0B95
Théorème 5 Pour qu’un espace localement compact X soit paracompact il, faut et il suffit qu’il soit somme d’une famille d’espaces localement compacts dénombrables à l’infini. ↩ 3 0B96
Corollaire Soit X un espace localement compact et paracompact; pour tout recouvrement ouvert R de X, il existe un recouvrement ouvert localement fini R' de X plus fin que R et formé d’ensembl… 0B97

§ 10. Applications propres

Exemple Toute application constante dans un espace séparé est fermée. Mais si f est l’application constante Q → 0, f × Id_Q est l’application (x, y) ↦ (0, y) de Q² dans Q², qui s’identifie… 0BA1
Définition 1 Soit f une application d’un espace topologique X dans un espace topologique Y. On dit que f est propre si f est continue et si, pour tout espace topologique Z, l’application f × Id… ↩ 1 0BA2
Proposition 1 Toute application propre est fermée. ↩ 7 0BA3
Proposition 2 Soit f : X → Y une application continue injective. Les trois propriétés suivantes sont équivalentes: a) f est propre. b) f est fermée. c) f est un homéomorphisme de X sur une parti… ↩ 9 0BA4
Proposition 3 Soit f : X → Y une application continue; pour toute partie T de Y, désignons par f_T l’application de f⁻¹(T) dans T qui coïncide avec f dans f⁻¹(T). a) Si f est propre, f_T est pro… ↩ 8 0BA5
Proposition 4 Soit I un ensemble fini, et pour tout i ∈ I, soit fᵢ : Xᵢ → Yᵢ une application continue. Posons X = ∏ᵢ Xᵢ, Y = ∏ᵢ Yᵢ, et soit f : X → Y l’application produit (xᵢ) ↦ (fᵢ(xᵢ)) des fᵢ… ↩ 4 0BA6
Proposition 5 Soient f : X → X' et g : X' → X'' deux applications continues. Alors: a) Si f et g sont propres, g ∘ f est propre. b) Si g ∘ f est propre et si f est surjective, g est propre. c) S… ↩ 15 0BA7
Remarque Si X' n’est pas séparé, il peut se faire que g ∘ f soit propre sans que f le soit: il suffit de prendre pour X et X'' (resp. X') des ensembles à un (resp. deux) éléments et de muni… 0BA8
Corollaire 1 Si f : X → Y est une application propre, la restriction de f à une partie fermée F de X est une application propre de F dans Y. ↩ 1 0BA9
Corollaire 2 Soit f : X → Y une application propre. Si X est séparé, le sous-espace f(X) de Y est séparé. ↩ 2 0BAA
Corollaire 3 Soit I un ensemble fini, et pour tout i ∈ I, soit fᵢ : X → Yᵢ une application propre. Si X est séparé, l’application x ↦ (fᵢ(x)) de X dans ∏ᵢ Yᵢ est propre. ↩ 2 0BAB
Corollaire 4 Soient X, Y deux espaces topologiques, f : X → Y une application continue, R la relation d’équivalence f(x) = f(y) dans X, X xrightarrowp X/R xrightarrowh f(X) xrightarrowi Y la dé… ↩ 1 0BAC
Lemme 1 Soit X un espace topologique tel que l’application constante X → P soit propre. Alors X est quasi-compact. ↩ 1 0BAD
Théorème 1 Soit f : X → Y une application continue. Les quatre propriétés suivantes sont équivalentes: ↩ 19 0BAE
Lemme 2 Si (fᵢ)_i ∈ I est une famille d’applications continues fᵢ : Xᵢ → Yᵢ dont chacune vérifie la condition d), alors l’application produit f : (xᵢ) ↦ (fᵢ(xᵢ)) vérifie aussi la condition… ↩ 1 0BAF
Corollaire 1 Pour qu’un espace topologique X soit quasi-compact, il faut et il suffit que l’application X → P soit propre. ↩ 4 0BAG
Corollaire 2 Toute application continue f d’un espace quasi-compact X dans un espace séparé Y est propre. ↩ 2 0BAH
Corollaire 3 Si (fᵢ) est une famille d’applications propres, l’application produit (xᵢ) ↦ (fᵢ(xᵢ)) est propre. ↩ 2 0BAI
Corollaire 4 Soit X un espace séparé. Pour toute famille d’applications propres fᵢ : X → Yᵢ, l’application x ↦ (fᵢ(x)) de X dans ∏ᵢ Yᵢ est propre. 0BAJ
Corollaire 5 Pour tout espace quasi-compact X et tout espace topologique Y, la projection pr₂ : X × Y → Y est propre. ↩ 7 0BAK
Exemple Soient X un ensemble, f : X → X' une application surjective de X dans un espace topologique X'; on munit X de la topologie image réciproque de celle de X' par f. Alors f est propre… 0BAL
Remarque Lorsque Y est séparé, la condition d) du th. 1 est équivalente à: 0BAM
Proposition 6 Soit f : X → Y une application propre, et soit K une partie quasi-compacte de Y. Alors l’ensemble f⁻¹(K) est quasi-compact. ↩ 4 0BAN
Proposition 7 Soit f une application continue d’un espace séparé X dans un espace localement compact Y. Pour que f soit propre, il faut et il suffit que pour toute partie compacte K de Y, f⁻¹(K)… ↩ 3 0BAO
Corollaire Soient X, X' deux espaces localement compacts, Y, Y' les espaces compacts obtenus en adjoignant à X, X' respectivement des points à l’infini ω, ω' (I, p. 68). Pour qu’une applicati… ↩ 2 0BAP
Proposition 8 Soient X un espace compact, R une relation d’équivalence dans X, C son graphe dans X × X, f l’application canonique X → X/R. Les conditions suivantes sont équivalentes: a) C est fe… ↩ 8 0BAQ
Proposition 9 Soient X un espace localement compact, R une relation d’équivalence dans X, C son graphe dans X × X, f l’application canonique X → X/R; soit X' l’espace compact obtenu en adjoignan… ↩ 2 0BAR
Corollaire Soient X un espace séparé, Y un espace topologique, f : X → Y une application propre. Pour que X soit compact (resp. localement compact), il faut et il suffit que f(X) soit compact… 0BAS
Remarque Si X est localement compact et non compact, une relation d’équivalence fermée R dans X peut être non séparée (IX, §4, exerc. 8); et même si elle est séparée, X/R n’est pas nécessai… 0BAT
Proposition 10 Soient X un espace localement compact, R une relation d’équivalence ouverte et séparée dans X, f l’application canonique X → X/R. Alors X/R est localement compact, et pour toute pa… ↩ 1 0BAU

§ 11. Connexion

Définition 1 On dit qu’un espace topologique X est connexe s’il n’est pas réunion de deux ensembles ouverts non vides disjoints. 0BBG
Exemple 1 On verra dans IV, p. 8 que la droite numérique est connexe, et la droite rationnelle non connexe. 0BBH
Exemple 2 Un espace discret contenant plus d’un point n’est pas connexe. 0BBI
Définition 2 On dit qu’une partie A d’un espace topologique X est un ensemble connexe, si le sous-espace A de X est connexe. 0BBJ
Exemple Dans un espace topologique, l’ensemble vide et tout ensemble réduit à un point sont connexes; dans un espace séparé, tout ensemble fini comprenant plus d’un point, et plus générale… 0BBK
Proposition 1 Si A est un ensemble connexe, tout ensemble B tel que A ⊂ B ⊂ overlineA est connexe. ↩ 6 0BBL
Proposition 2 La réunion d’une famille d’ensembles connexes, dont l’intersection n’est pas vide, est un ensemble connexe. ↩ 4 0BBM
Corollaire Soit (Aₙ)_n ≥ 0 une suite infinie d’ensembles connexes tels que Aₙ₋₁ ∩ Aₙ ≠ ∅ pour tout n ≥ 0; alors la réunion ⋃ₙ₌₀^∞ Aₙ est connexe. 0BBN
Proposition 3 Soit A une partie d’un espace topologique X. Si B est une partie connexe de X qui rencontre à la fois A et overlineA, B rencontre la frontière de A. ↩ 2 0BBO
Corollaire Dans un espace connexe X, tout ensemble non vide et distinct de X a au moins un point frontière. 0BBP
Proposition 4 Soient A une partie connexe d’un espace topologique X, f une application continue de X dans un espace topologique X’ ; alors f(A) est connexe. ↩ 11 0BBQ
Proposition 5 Pour qu’un espace topologique X soit non connexe, il faut et il suffit qu’il existe une application continue surjective de X dans un espace discret contenant plus d’un point. ↩ 1 0BBR
Proposition 6 Tout espace quotient d’un espace connexe est connexe. ↩ 1 0BBS
Proposition 7 Soient X un espace topologique, R une relation d’équivalence dans X. Si l’espace quotient X/R est connexe, et si chaque classe d’équivalence suivant R est connexe, alors X est conn… ↩ 1 0BBT
Proposition 8 Tout produit d’espaces connexes est connexe. Réciproquement, si un produit d’espaces non vides est connexe, chacun des espaces facteurs est connexe. ↩ 5 0BBU
Définition 3 On appelle composante connexe d’un point d’un espace X la plus grande partie connexe de X contenant ce point. On appelle composantes connexes d’une partie A de X les composantes co… ↩ 1 0BBV
Proposition 9 Dans un espace topologique X, la composante connexe d’un point quelconque est un ensemble fermé. La relation « y appartient à la composante connexe de x » est une relation d’équiva… ↩ 1 0BBW
Proposition 10 Dans un espace produit X = ∏_t ∈ I Xₜ, la composante connexe d’un point x = (xₜ) est le produit des composantes connexes des points xₜ dans les espaces facteurs Xₜ. 0BBX
Définition 4 On dit qu’un espace topologique X est localement connexe si tout point de X possède un système fondamental de voisinages connexes. 0BBY
Proposition 11 Pour qu’un espace X soit localement connexe, il faut et il suffit que toute composante connexe d’un ensemble ouvert dans X soit un ensemble ouvert dans X. ↩ 4 0BBZ
Corollaire Soient U un ensemble ouvert dans un espace localement connexe X, V une composante connexe de U ; la frontière de V (relativement à X) est alors contenue dans la frontière de U. 0BC0
Proposition 12 Tout espace quotient d’un espace localement connexe est localement connexe. ↩ 2 0BC1
Proposition 13 a) Soit (Xᵢ)_i ∈ I une famille d’espaces localement connexes, telle que Xᵢ soit connexe sauf pour un nombre fini d’indices. Alors l’espace produit X = ∏_i ∈ I Xᵢ est localement con… ↩ 1 0BC2
Théorème 1 Soit X un espace topologique satisfaisant à l’axiome (O_III) (mais non nécessairement séparé), connexe et localement connexe. Soit Y un espace topologique dont la topologie admet u… ↩ 3 0BC3
Lemme 1 Pour tout point x ∈ X, il existe un couple distingué (W, U) tel que x ∈ W. ↩ 1 0BC4
Lemme 2 Étant donné un couple distingué (W, U), l’ensemble des couples distingués (W', U') tels que W ∩ W' ≠ ∅ est dénombrable. 0BC5
Corollaire 1 Soit Y un espace régulier dont la topologie possède une base dénombrable.¹ Soit X un espace connexe et localement connexe, et soit p : X → Y une application continue ayant la propr… ↩ 2 0BC6
Corollaire 2 Soit X un espace localement compact, connexe et localement connexe, dont chaque point admet un voisinage ayant une base dénombrable. Soit Y un espace séparé, dont la topologie adme… 0BC7
Corollaire 3 (théorème de Poincaré–Volterra) Soit Y un espace localement compact, localement connexe et dont la topologie admet une base dénombrable. Soit X un espace séparé et connexe, et soit p : X → Y une application conti… 0BC8

II. Structures uniformes

§ 1. Espaces uniformes

Définition 1 On appelle structure uniforme sur un ensemble X une structure constituée par la donnée d’un ensemble 𝔘 de parties de X × X qui satisfait aux axiomes (F_I) et (F_II) de I, p. 36, et… 0BCY
Remarque 1 Pour rendre le langage plus imagé, on pourra employer les expressions « x et y sont assez voisins » et « x et y sont aussi voisins qu’on veut » dans certains énoncés. Par exemple… 0BCZ
Remarque 2 La conjonction des axiomes (U{II}) et (U{III}) est (compte tenu des autres axiomes des structures uniformes) équivalente à l’axiome: 0BD0
Remarque 3 Si X est non vide, l’axiome (UI) entraîne qu’aucun ensemble de 𝔘 n’est vide, donc que 𝔘 est un filtre sur X × X. Sur l’ensemble vide, il n’y a qu’une seule structure uniforme, ayan… 0BD1
Définition 2 On appelle système fondamental d’entourages d’une structure uniforme tout ensemble 𝔅 d’entourages tel que tout entourage contienne un ensemble appartenant à 𝔅. ↩ 1 0BD2
Proposition 1 Soit X un ensemble muni d’une structure uniforme 𝔘. Pour tout x ∈ X, soit 𝔙(x) l’ensemble des parties V(x) de X, où V parcourt l’ensemble des entourages de 𝔘; il existe sur X une t… ↩ 1 0BD3
Définition 3 On dit que la topologie définie dans la prop. 1 est la topologie déduite de la structure uniforme 𝔘. 0BD4
Exemple 1 La topologie déduite de la structure uniforme additive sur l’ensemble des nombres réels est la topologie de la droite numérique (I, p. 4); de même, la topologie déduite de la struc… 0BD5
Exemple 2 Sur un ensemble quelconque X, la topologie déduite de la structure uniforme discrète (II, p. 3, Exemple 2) est la topologie discrète. ↩ 2 0BD6
Proposition 2 Soit X un espace uniforme. Pour tout entourage symétrique V de X et toute partie M de X × X, VMV est un voisinage de M dans l’espace topologique produit X × X, et l’adhérence de M… ↩ 5 0BD7
Corollaire 1 Pour toute partie A de X et tout entourage symétrique V de X, V(A) est un voisinage de A dans X, et l’on a ↩ 1 0BD8
Corollaire 2 Les intérieurs (resp. les adhérences) dans X × X des entourages de X forment un système fondamental d’entourages de X. ↩ 8 0BD9
Corollaire 3 Tout espace uniforme vérifie l’axiome (O_III). ↩ 2 0BDA
Proposition 3 Pour qu’un espace uniforme X soit séparé, il faut et il suffit que l’intersection des entourages de sa structure uniforme soit la diagonale Δ de X × X. Tout espace uniforme séparé… ↩ 1 0BDB

§ 2. Fonctions uniformément continues

Définition 1 On dit qu’une application f d’un espace uniforme X dans un espace uniforme X' est uniformément continue si, pour tout entourage V' de X', il existe un entourage V de X tel que la r… ↩ 3 0BDH
Exemple 1 L’application identique d’un espace uniforme sur lui-même est uniformément continue. 0BDI
Exemple 2 Une application constante d’un espace uniforme dans un espace uniforme est uniformément continue. 0BDJ
Exemple 3 Toute application d’un espace uniforme discret dans un espace uniforme est uniformément continue. 0BDK
Proposition 1 Toute application uniformément continue est continue. ↩ 1 0BDL
Proposition 2 1° Si f : X → X' et g : X' → X'' sont deux applications uniformément continues, alors g ∘ f : X → X'' est uniformément continue. 2° Pour qu’une bijection f d’un espace uniforme X s… ↩ 4 0BDM
Définition 2 Étant données deux structures uniformes 𝔘₁, 𝔘₂ sur un même ensemble X, on dit que 𝔘₁ est plus fine que 𝔘₂ (et que 𝔘₂ est moins fine que 𝔘₁) si, en désignant par Xᵢ l’ensemble X mun… 0BDN
Exemple Dans l’ensemble ordonné des structures uniformes sur un ensemble X, la structure uniforme discrète est la structure uniforme la plus fine, et la structure uniforme la moins fine es… 0BDO
Proposition 3 Étant données deux structures uniformes 𝔘₁, 𝔘₂ sur un ensemble X, pour que 𝔘₁ soit plus fine que 𝔘₂, il faut et il suffit que tout entourage de 𝔘₂ soit un entourage de 𝔘₁. ↩ 1 0BDP
Corollaire Sur un ensemble X, soit 𝔘₁ une structure uniforme plus fine qu’une structure uniforme 𝔘₂; alors la topologie déduite de 𝔘₁ est plus fine que la topologie déduite de 𝔘₂. 0BDQ
Remarque 1 Il peut se faire qu’une structure uniforme 𝔘₁ soit strictement plus fine qu’une structure uniforme 𝔘₂, mais que les topologies déduites de ces deux structures uniformes soient iden… ↩ 3 0BDR
Remarque 2 Si f : X → X' est une application uniformément continue, elle reste uniformément continue lorsqu’on remplace la structure uniforme de X par une structure uniforme plus fine et cell… 0BDS
Proposition 4 Soient X un ensemble, (Yᵢ)_i ∈ I une famille d’espaces uniformes, et pour chaque i ∈ I, soit fᵢ une application de X dans Yᵢ; pour tout i ∈ I, on pose gᵢ = fᵢ × fᵢ. ↩ 6 0BDT
Corollaire La topologie sur X déduite de la structure uniforme la moins fine rendant uniformément continues les fᵢ est la topologie la moins fine rendant continues les fᵢ. ↩ 2 0BDU
Proposition 5 Soient X un ensemble, (Zᵢ)_i ∈ I une famille d’espaces uniformes, (J_λ)_λ ∈ L une partition de I et (Y_λ)_λ ∈ L une famille d’ensembles ayant L pour ensemble d’indices. Enfin, pour… ↩ 4 0BDV
Remarque Si f : X → Y est surjective, les entourages de Y sont alors les images directes par g des entourages de X. 0BDW
Définition 3 Soit A une partie d’un espace uniforme X. On appelle structure uniforme induite sur A par la structure uniforme de X la structure uniforme dont l’ensemble des entourages est la tra… 0BDX
Proposition 6 Soit A une partie partout dense d’un espace uniforme X; les adhérences, dans X × X, des entourages du sous-espace uniforme A, forment un système fondamental d’entourages de X. ↩ 1 0BDY
Exemple Pour toute partition finie varpi = (Aᵢ)_1 ≤ i ≤ n d’un ensemble non vide X, l’ensemble V_varpi = ⋃ᵢ (Aᵢ × Aᵢ) constitue à lui seul un système fondamental d’entourages d’une structu… 0BDZ
Remarque Une famille (𝔘ᵢ) de structures uniformes sur X admet aussi une borne inférieure dans l’ensemble de toutes les structures uniformes sur X, savoir la borne supérieure des structures… 0BE0
Définition 4 Étant donnée une famille (Xᵢ)_i ∈ I d’espaces uniformes, on appelle espace uniforme produit de cette famille l’ensemble produit X = ∏_i ∈ I Xᵢ muni de la structure uniforme la moin… 0BE1
Proposition 7 Soit f = (fᵢ) une application d’un espace uniforme Y dans un espace uniforme produit X = ∏_i ∈ I Xᵢ. Pour que f soit uniformément continue, il faut et il suffit que, pour tout i ∈… ↩ 2 0BE2
Corollaire Soient (Xᵢ)_i ∈ I, (Yᵢ)_i ∈ I deux familles d’espaces uniformes ayant même ensemble d’indices. Pour tout i ∈ I, soit fᵢ une application de Xᵢ dans Yᵢ. Si chacune des fᵢ est uniform… 0BE3
Proposition 8 Soient X un ensemble, (Yᵢ)_i ∈ I une famille d’espaces uniformes, et pour chaque i ∈ I, soit fᵢ une application de X dans Yᵢ. Soit f l’application x ↦ (fᵢ(x)) de X dans Y = ∏_i ∈ I… ↩ 2 0BE4
Corollaire Pour tout i ∈ I, soit Aᵢ un sous-espace de Yᵢ. La structure uniforme induite sur A = ∏_i ∈ I Aᵢ par la structure uniforme produit sur ∏_i ∈ I Yᵢ est la structure uniforme produit d… 0BE5
Proposition 9 Soit f une application uniformément continue d’un espace uniforme produit X₁ × X₂ dans un espace uniforme Y; toute application partielle x₂ ↦ f(x₁, x₂) de X₂ dans Y est alors unifo… ↩ 1 0BE6
Proposition 10 Soient I un ensemble préordonné filtrant, (X_α, f_α β) un système projectif d’espaces uniformes ayant I pour ensemble d’indices, J une partie cofinale de I. Pour tout α ∈ I, soit f… 0BE7

§ 3. Espaces complets

Définition 1 Étant donné un espace uniforme X, et un entourage V de X, on dit qu’une partie A de X est un ensemble petit d’ordre V lorsque deux quelconques des points de A sont voisins d’ordre… 0BEE
Proposition 1 Dans un espace uniforme X, si deux ensembles A et B sont petits d’ordre V et se rencontrent, leur réunion A ∪ B est un ensemble petit d’ordre overlineV². ↩ 1 0BEF
Définition 2 On dit qu’un filtre 𝔉 sur un espace uniforme X est un filtre de Cauchy si, pour tout entourage V de X, il existe un ensemble petit d’ordre V et appartenant à 𝔉. 0BEG
Proposition 2 Sur un espace uniforme X, tout filtre convergent est un filtre de Cauchy. ↩ 1 0BEH
Proposition 3 Soit f : X → X' une application uniformément continue. L’image par f d’une base de filtre de Cauchy sur X est une base de filtre de Cauchy sur X'. ↩ 3 0BEI
Proposition 4 Soient X un ensemble, (Y_ι)_ι ∈ I une famille d’espaces uniformes, et pour chaque ι ∈ I, soit f_ι une application de X dans Y_ι. On munit X de la structure uniforme 𝔘 la moins fine… ↩ 5 0BEJ
Corollaire 1 Si un filtre de Cauchy sur un espace uniforme X induit un filtre sur une partie A de X, ce filtre est un filtre de Cauchy sur le sous-espace uniforme A. 0BEK
Corollaire 2 Pour qu’une base de filtre 𝔅 sur un produit ∏_i ∈ I Xᵢ d’espaces uniformes soit une base de filtre de Cauchy, il faut et il suffit que, pour tout i ∈ I, prᵢ(𝔅) soit une base de fil… ↩ 1 0BEL
Proposition 5 Soit X un espace uniforme. Pour tout filtre de Cauchy 𝔉 sur X, il existe un et un seul filtre de Cauchy minimal 𝔉₀ moins fin que 𝔉; si 𝔅 est une base de 𝔉, 𝔊 un système fondamental… ↩ 8 0BEM
Corollaire 1 Pour tout x ∈ X, le filtre 𝔅(x) des voisinages de x dans X est un filtre de Cauchy minimal. ↩ 1 0BEN
Corollaire 2 Tout point x adhérent à un filtre de Cauchy 𝔉 est point limite de 𝔉. ↩ 5 0BEO
Corollaire 3 Toute filtre de Cauchy moins fin qu’un filtre convergent vers un point x converge aussi vers x. ↩ 2 0BEP
Corollaire 4 Si 𝔉 est un filtre de Cauchy minimal, tout ensemble de 𝔉 a un intérieur non vide, qui appartient à 𝔉 (en d’autres termes il existe une base de 𝔉 formée d’ensembles ouverts). ↩ 2 0BEQ
Exemple 1 Considérons, sur la droite rationnelle Q, la suite (uₙ) définie par uₙ = ∑ₚ₌₀ⁿ 2^-p(p+1)/2; si m > n, on a |uₘ - uₙ| ≤ 2^-n(n+3)/2 donc (uₙ) est une suite de Cauchy. Mais cette sui… 0BER
Exemple 2 Soit X un ensemble infini, et considérons sur X la structure uniforme des partitions finies (II, p. 7, Remarque 1); tout ultrafiltre 𝔉 sur X est un filtre de Cauchy pour cette stru… 0BES
Définition 3 On appelle espace complet un espace uniforme tel que tout filtre de Cauchy sur cet espace soit convergent. 0BET
Exemple Sur un espace uniforme discret X, un filtre de Cauchy est un ultrafiltre trivial (I, p. 39), donc convergent, et par suite X est complet. 0BEU
Proposition 6 Soit 𝔉 un filtre sur un ensemble X, et soit f une application de X dans un espace uniforme complet X'; pour que f admette une limite suivant 𝔉, il faut et il suffit que l’image de… ↩ 1 0BEV
Proposition 7 Soient 𝔘₁, 𝔘₂ deux structures uniformes sur un ensemble X, T₁, T₂ les topologies déduites respectivement de ces structures uniformes. On suppose que 𝔘₁ est plus fine que 𝔘₂, et en… ↩ 2 0BEW
Corollaire On suppose vérifiées les hypothèses de la prop. 7. Si en outre 𝔘₂ est une structure uniforme d’espace complet, il en est de même de 𝔘₁. 0BEX
Proposition 8 Tout sous-espace fermé d’un espace complet est complet; tout sous-espace complet d’un espace uniforme séparé (complet ou non) est fermé. ↩ 6 0BEY
Proposition 9 Soient X un espace uniforme, A une partie partout dense de X telle que toute base de filtre de Cauchy sur A soit convergente dans X; dans ces conditions, X est complet. ↩ 2 0BEZ
Proposition 10 Tout produit d’espaces uniformes complets est complet. Réciproquement, si un produit d’espaces uniformes non vides est complet, chacun des espaces uniformes facteurs est complet. ↩ 5 0BF0
Corollaire Soit (X_α, f_αβ) un système projectif d’espaces uniformes. Si les X_α sont séparés et complets, il en est de même de X = lim_← X_α. ↩ 2 0BF1
Théorème 1 (Mittag-Leffler) Soit (X_α, f_αβ) un système projectif d’espaces uniformes séparés et complets, relatif à un ensemble d’indices préordonné filtrant I qui admet un sous-ensemble cofinal dénombrable… ↩ 3 0BF2
Corollaire 1 Soit (X_α, f_αβ) un système projectif d’ensembles tel que I soit filtrant et admette un sous-ensemble cofinal dénombrable, et que les f_αβ soient surjectives; si X = lim_← X_α, l’a… 0E9N
Corollaire 2 Soit I un ensemble préordonné filtrant ayant un ensemble cofinal dénombrable. Soient (X_α, f_αβ), (X'_α, f'_αβ) deux systèmes projectifs d’ensembles relatifs à I, et pour tout α ∈… 0E9O
Exemple Supposons donnés, dans C: 1° une suite (aₙ) de points distincts tels que la suite (|aₙ|) soit croissante et tende vers +∞; 2° pour chaque n, une fonction rationnelle z ↦ Rₙ(z) défi… 0BF5
Proposition 11 Soient A une partie partout dense d’un espace topologique X, et f une application de A dans un espace uniforme séparé et complet X'. Pour que f puisse être prolongée par continuité… ↩ 3 0BF6
Théorème 2 Soit f une fonction définie dans un sous-espace partout dense A d’un espace uniforme X, prenant ses valeurs dans un espace uniforme séparé et complet X', et uniformément continue d… ↩ 7 0BF7
Corollaire Soient X₁, X₂ deux espaces uniformes séparés et complets, Y₁, Y₂ des sous-espaces partout denses de X₁, X₂ respectivement. Tout isomorphisme f de Y₁ sur Y₂ se prolonge en un isomor… ↩ 3 0BF8
Théorème 3 Soit X un espace uniforme. Il existe un espace uniforme séparé et complet hatX, et une application uniformément continue i : X → hatX, ayant la propriété suivante: ↩ 6 0BF9
Définition 4 On dit que l’espace uniforme séparé et complet hatX défini dans la démonstration du th. 3 est l’espace séparé complété de X et que l’application i : X → hatX est l’application cano… 0BFA
Proposition 12 1° Le sous-espace i(X) est dense dans hatX. 2° Le graphe de la relation d’équivalence i(x) = i(x') est l’intersection des entourages de X. 3° La structure uniforme de X est l’image… ↩ 5 0BFB
Corollaire Si X est un espace uniforme séparé, l’application canonique i : X → hatX est un isomorphisme de X sur un sous-espace partout dense de hatX. ↩ 2 0BFC
Remarque Lorsqu’on fait cette identification, les filtres de Cauchy minimaux de X ne sont autres que les traces sur X des filtres de voisinages des points de hatX, comme il résulte de la dé… 0BFD
Proposition 13 Si Y est un espace séparé et complet, X un sous-espace partout dense de Y, l’injection canonique X → Y se prolonge en un isomorphisme de hatX sur Y. 0BFE
Proposition 14 Soient X un espace uniforme séparé et complet, 𝔘 sa structure uniforme, Z un sous-espace partout dense dans X. Si 𝔘' est une structure uniforme sur X, moins fine que 𝔘 et induisant… ↩ 1 0BFF
Proposition 15 Soient X, X' deux espaces uniformes; pour toute application uniformément continue f : X → X', il existe une application uniformément continue et une seule hatf : hatX → hatX' renda… ↩ 5 0BFG
Corollaire Soient f : X → X' et g : X' → X'' deux applications uniformément continues; si h = g ∘ f, on a hath = hatg ∘ hatf. Cela résulte aussitôt de la propriété d’unicité de la prop. 15. 0BFH
Proposition 16 Soient X un espace uniforme, i l’application canonique de X dans son séparé complété hatX. Pour toute application uniformément continue f de X dans un espace uniforme séparé Y, il… ↩ 2 0BFI
Définition 5 On dit que l’espace uniforme séparé i(X) défini dans la démonstration du th. 3 (II, p. 21) est l’espace uniforme séparé associé à X. 0BFJ
Corollaire Soient X, Y deux espaces uniformes, X', Y' les espaces séparés associés; pour toute application uniformément continue f : X → Y, il existe une application uniformément continue et… ↩ 1 0BFK
Proposition 17 Soient X un espace uniforme, i(X) son espace séparé associé, f une application de X sur un espace uniforme séparé X', telle que la structure uniforme de X soit l’image réciproque p… ↩ 1 0BFL
Remarque Soit R la relation d’équivalence i(x) = i(x') dans X; on a vu (II, p. 23, prop. 12) que son graphe C est l’intersection des entourages de X. Il est clair que tout ensemble ouvert (… 0BFM
Proposition 18 Soient X un ensemble, (Y_λ)_λ ∈ L une famille d’espaces uniformes, et pour chaque λ ∈ L, soit f_λ une application de X dans Y_λ; on munit X de la structure uniforme la moins fine 𝔘… ↩ 2 0BFN
Corollaire 1 Soient X un espace uniforme, i l’application canonique de X dans son séparé complété hatX; si A est un sous-espace de X, j : A → X l’injection canonique, alors hatj : hatA → hatX e… ↩ 3 0BFO
Corollaire 2 Soit (Y_λ)_λ ∈ L une famille d’espaces uniformes. Le séparé complété de l’espace produit ∏_λ ∈ L Y_λ est canoniquement isomorphe au produit ∏_λ ∈ L hatY_λ. ↩ 1 0BFP

§ 4. Relations entre espaces uniformes et espaces compacts

Définition 1 On dit qu’une structure uniforme sur un espace topologique X est compatible avec la structure de X si cette dernière est identique à la topologie déduite de la structure uniforme c… 0BFX
Théorème 1 Sur un espace compact X, il existe une structure uniforme et une seule compatible avec la topologie de X; l’ensemble des entourages de cette structure est identique à l’ensemble de… ↩ 8 0BFY
Remarque 1 Pour tout recouvrement ouvert fini ℜ = (Uᵢ)_1 ≤ i ≤ n de X, V_ℜ = ⋃ᵢ₌₁ⁿ (Uᵢ × Uᵢ) est un voisinage de Δ dans X × X; ces ensembles forment un système fondamental de voisinages de Δ… 0BFZ
Corollaire 1 Tout sous-espace d’un espace compact est uniformisable. 0BG0
Corollaire 2 Tout espace localement compact est uniformisable. ↩ 1 0BG1
Remarque 2 On notera qu’il peut exister plusieurs structures uniformes distinctes compatibles avec la topologie d’un espace localement compact. 0BG2
Théorème 2 Toute application continue f d’un espace compact X dans un espace uniforme X' est uniformément continue. ↩ 5 0BG3
Corollaire Soient A un sous-espace partout dense d’un espace compact X, f une application de A dans un espace uniforme séparé et complet X'; pour que f puisse être prolongée par continuité à… 0BG4
Définition 2 On dit qu’un espace uniforme X est précompact si son séparé complété hatX est compact. On dit qu’une partie A d’un espace uniforme X est un ensemble précompact si le sous-espace un… 0BG5
Exemple Dans tout espace uniforme X, l’ensemble des points d’une suite de Cauchy (xₙ) est précompact: en effet, comme les images des xₙ dans hatX forment encore une suite de Cauchy, on peu… 0BG6
Théorème 3 Pour qu’un espace uniforme X soit précompact, il faut et il suffit que, pour tout entourage V de X, il existe un recouvrement fini de X dont tous les ensembles sont petits d’ordre… ↩ 3 0BG7
Corollaire Pour qu’un espace uniforme X soit compact, il faut et il suffit qu’il soit séparé et complet, et que pour tout entourage V de X, il existe un recouvrement fini de X par des ensembl… ↩ 1 0BG8
Remarque 1 Un espace quasi-compact non séparé n’est pas nécessairement uniformisable, puisqu’il ne vérifie pas nécessairement l’axiome (O_III) (cf. I, p. 61); par exemple la plupart des espac… 0BG9
Proposition 1 Dans un espace uniforme, toute partie d’un ensemble précompact, toute réunion finie d’ensembles précompacts, toute adhérence d’ensemble précompact, est un ensemble précompact. 0BGA
Remarque 2 Dans un espace uniforme X, un ensemble relativement compact A est précompact, puisque A est contenu dans un ensemble compact. Par contre, même si X est séparé, un ensemble précompa… 0BGB
Proposition 2 Soit f : X → Y une application uniformément continue. Pour toute partie précompacte A de X, f(A) est une partie précompacte de Y. ↩ 4 0BGC
Proposition 3 Soient X un ensemble, (Y_λ)_λ ∈ L une famille d’espaces uniformes, et pour chaque λ ∈ L, soit f_λ une application de X dans Y_λ; on munit X de la structure uniforme la moins fine r… ↩ 5 0BGD
Proposition 4 Dans un espace uniforme X, soient A un ensemble compact, B un ensemble fermé tels que A ∩ B = ∅. Il existe alors un entourage V de X tel que V(A) ∩ V(B) = ∅. ↩ 5 0BGE
Corollaire Soit A un ensemble compact dans un espace uniforme X; lorsque V parcourt l’ensemble des entourages de X, les ensembles V(A) forment un système fondamental de voisinages de A. ↩ 2 0BGF
Définition 3 Dans un espace uniforme X, soit V un entourage symétrique; on dit qu’une suite finie (xᵢ)_0 ≤ i ≤ n de points de X est une V-chaîne si, pour tout indice i tel que 0 ≤ i < n, xᵢ et… 0BGG
Proposition 5 Dans un espace uniforme X, l’ensemble A_x,v des points qui peuvent être joints à un point donné x par une V-chaîne, est à la fois ouvert et fermé. ↩ 3 0BGH
Proposition 6 Dans un espace compact X, la composante connexe d’un point x, l’ensemble Aₓ et l’intersection des voisinages de x à la fois ouverts et fermés sont identiques. ↩ 8 0BGI
Corollaire Soient X un espace localement compact, K une composante connexe compacte de X. Alors les voisinages à la fois ouverts et fermés de K forment un système fondamental de voisinages de… ↩ 4 0BGJ
Proposition 7 Soient X un espace compact, R la relation d’équivalence dans X dont les classes sont les composantes connexes de X. L’espace quotient X/R est compact et totalement discontinu. 0BGK

III. Groupes topologiques

§ 1. Topologies de groupes

Définition 1 On appelle groupe topologique un ensemble G muni d’une structure de groupe et d’une topologie satisfaisant aux deux axiomes suivants : (GTI) L’application (x, y) ↦ xy de G × G dans… 0BH8
Exemple 1 Sur un groupe G, la topologie discrète est compatible avec la structure du groupe ; un groupe topologique dont la topologie est discrète est appelé groupe discret. De même, la topo… 0BH9
Exemple 2 Au chap. IV, on verra que la topologie de la droite rationnelle Q (resp. de la droite numérique R) est compatible avec la structure de groupe additif de Q (resp. R). 0BHA
Exemple 3 Si G est un groupe topologique, sa topologie est compatible avec la structure du groupe G⁰ opposé à G (A, I, p. 2g) ; on dit que G⁰, muni de cette topologie, est le groupe topologi… 0BHB
Proposition 1 Soient G un groupe, et 𝔙 un filtre sur G satisfaisant aux axiomes (GVI), (GV{II}) et (GV{III}). Il existe une topologie et une seule compatible avec la structure de groupe de G, et… 0BHC
Remarque Lorsque G est commutatif, on a x.A.x⁻¹ = A pour toute partie A et tout élément x de G; la condition (GV_III) (resp. (GV'_III)) est automatiquement vérifiée pour tout filtre (resp… 0BHD
Proposition 2 Pour qu’un groupe topologique G soit séparé, il faut et il suffit que l’ensemble {e} soit fermé. ↩ 3 0BHE
Corollaire Pour qu’un groupe topologique G soit séparé, il faut et il suffit que l’intersection des voisinages de e se réduise au point e. ↩ 1 0BHF
Exemple Définition d’une topologie de groupe par un ensemble de sous-groupes. 0BHG
Définition 2 Étant donnés deux groupes topologiques G, G', on appelle isomorphisme local de G à G' un homéomorphisme f d’un voisinage V de l’élément neutre de G sur un voisinage V' de l’élément… ↩ 2 0BHH
Proposition 3 Soient G et G' deux groupes topologiques, et f un homéomorphisme d’un voisinage V de l’élément neutre de G sur un voisinage V' de l’élément neutre de G', satisfaisant à la conditio… ↩ 2 0BHI

§ 2. Sous-groupes; groupes quotients; homomorphismes; espaces homogènes; groupes produits

Proposition 1 L’adhérence overlineH d’un sous-groupe H d’un groupe topologique G est un sous-groupe de G. Si H est un sous-groupe distingué, overlineH est aussi un sous-groupe distingué. ↩ 4 0BHS
Proposition 2 Dans un groupe séparé G, l’adhérence d’un sous-groupe commutatif H est un sous-groupe commutatif. 0BHT
Proposition 3 Dans un groupe séparé G, l’ensemble M’ des éléments permutables aux éléments d’une partie quelconque M de G est un sous-groupe fermé. En particulier, le centre de G est fermé dans… 0BHU
Proposition 4 Dans un groupe topologique G, tout sous-groupe H localement fermé en un point (I, p. 20, déf. 2) est fermé. ↩ 4 0BHV
Corollaire Dans un groupe topologique, pour qu’un sous-groupe soit ouvert, il faut et il suffit qu’il ait un point intérieur. Tout sous-groupe ouvert est fermé. ↩ 7 0BHW
Proposition 5 Dans un groupe topologique G, pour qu’un sous-groupe H soit discret, il faut et il suffit qu’il ait un point isolé. Tout sous-groupe discret d’un groupe séparé est fermé. ↩ 1 0BHX
Remarque Soit H un sous-groupe quelconque d’un groupe topologique G. Pour tout x ∈ overlineH, on a xoverlineH = x.overlineH = overlineH, puisque les translations sont des homéomorphismes de… 0BHY
Proposition 6 Tout groupe connexe est engendré par chacun des voisinages de l’élément neutre. ↩ 1 0BHZ
Proposition 7 Soient G un groupe topologique, M une partie de G contenant l’élément neutre e, H le sous-groupe de G engendré par M. Si M est connexe, H est connexe. ↩ 1 0BI0
Corollaire Le groupe des commutateurs d’un groupe topologique connexe est connexe. 0E9S
Proposition 8 Dans un groupe topologique G, la composante connexe K de l’élément neutre e est un sous-groupe distingué fermé; la composante connexe d’un point x est la classe x.K = K.x. ↩ 3 0BI1
Proposition 9 (i) Soit H un sous-groupe partout dense d’un groupe topologique G; si K est un sous-groupe distingué de H, l’adhérence overlineK de K dans G est un sous-groupe distingué de G. ↩ 1 0BI2
Lemme 1 Si un groupe topologique G opère continûment dans un espace topologique E, alors, pour tout s ∈ G, l’application x ↦ s.x est un homéomorphisme de E sur lui-même. ↩ 2 0BI3
Lemme 2 Si un groupe topologique G opère continûment dans un espace topologique E, la relation d’équivalence R définie par G est ouverte. ↩ 10 0BI4
Exemple 1 Soit H un sous-groupe d’un groupe topologique G; H opère continûment dans G par la loi externe (s, x) ↦ sx. Il opère aussi continûment dans G par la loi externe (s, x) ↦ sxs⁻¹. 0BI5
Exemple 2 Si K est un corps topologique (III, p. 54), le groupe multiplicatif K^* opère continûment dans K par la loi externe (s, x) ↦ sx. 0BI6
Exemple 3 Soient G un groupe topologique, E un espace topologique; l’application (s, x) ↦ x de G × E dans E est une loi externe sur E et G opère continûment dans E pour cette loi; on dit alo… 0BI7
Remarque Au lieu de dire qu’un groupe topologique G opère continûment dans un espace topologique E, on dit aussi parfois que G opère continûment à gauche dans E. Lorsque le groupe topologiq… 0BI8
Proposition 10 La bijection canonique du sous-espace φ(A) de E/G sur l’espace des orbites A’/G est un homéomorphisme. ↩ 1 0BI9
Proposition 11 Si la relation d’équivalence S dans E est ouverte et compatible avec G, G opère continûment dans E/S. ↩ 2 0BIA
Remarque Soit G’ un second groupe topologique opérant continûment dans E, et supposons que l’on ait s.(s’.x) = s’.(s.x) quels que soient s ∈ G, s’ ∈ G’, x ∈ E; alors la relation d’équivalen… 0BIB
Proposition 12 Le groupe G opère continûment dans tout espace homogène G/H. ↩ 1 0BIC
Proposition 13 Soient G un groupe topologique, H un sous-groupe de G. Pour que l’espace homogène G/H soit séparé, il faut et il suffit que H soit fermé dans G. ↩ 3 0BID
Proposition 14 Soient G un groupe topologique, H un sous-groupe de G. Pour que l’espace homogène G/H soit discret, il faut et il suffit que H soit ouvert dans G. 0BIE
Proposition 15 Pour qu’un espace topologique E, dans lequel un groupe topologique G opère continûment et transitivement, soit un espace homogène topologique (relativement à G), il suffit que, pou… ↩ 1 0BIF
Proposition 16 Soient G un groupe topologique, H un sous-groupe distingué de G. La topologie quotient de celle de G par H est compatible avec la structure de groupe de G/H. 0BIG
Proposition 17 Soit φ l’application canonique d’un groupe topologique G sur un groupe quotient G/H. Si 𝔙 est un système fondamental de voisinages de e dans G, φ(𝔙) est un système fondamental de v… ↩ 3 0BIH
Proposition 18 Soient G un groupe topologique, H un sous-groupe distingué de G. a) Pour que le groupe quotient G/H soit séparé, il faut et il suffit que H soit fermé dans G. b) Pour que le groupe… ↩ 3 0BII
Proposition 19 Si H est un sous-groupe distingué discret d’un groupe topologique G, G/H est localement isomorphe (III, p. 6) à G. ↩ 3 0BIJ
Proposition 20 Soient A un sous-groupe d’un groupe topologique G, H un sous-groupe distingué de G, φ l’application canonique de G sur G/H. La bijection canonique de φ(A) sur AH/H est un isomorphi… ↩ 4 0BIK
Proposition 21 Soient G un groupe topologique, G0 un sous-groupe partout dense, H0 un sous-groupe distingué fermé de G0, H son adhérence dans G, φ l’application canonique G → G/H; la bijection ca… ↩ 1 0BIL
Proposition 22 Soient G un groupe topologique opérant continûment dans un espace topologique E, H un sous-groupe distingué de G. La bijection canonique de E/G sur (E/H)/(G/H) est un homéomorphism… ↩ 2 0BIM
Corollaire Soient G un groupe topologique, H un sous-groupe distingué de G, K un sous-groupe distingué de G contenant H; la bijection canonique de G/K sur (G/H)/(K/H) est un isomorphisme de g… ↩ 2 0BIN
Proposition 23 Pour qu’un homomorphisme f d’un groupe topologique G dans un groupe topologique G' soit continu dans G, il faut et il suffit qu’il soit continu en un point. 0BIO
Définition 1 On dit qu’un homomorphisme continu f d’un groupe topologique G dans un groupe topologique G' est un morphisme strict de G dans G', si l’homomorphisme bijectif dotf de G/overlinef(e… ↩ 1 0BIP
Proposition 24 Soit f un homomorphisme continu d’un groupe topologique G dans un groupe topologique G'; les trois propositions suivantes sont équivalentes: a) f est un morphisme strict; b) l’imag… ↩ 6 0BIQ
Remarque 1 D’après la condition b) de la prop. 24, tout homomorphisme continu d’un groupe topologique dans un groupe discret est un morphisme strict. ↩ 1 0BIR
Remarque 2 Soient f un morphisme strict de G dans G', g un morphisme strict de G' dans G"; si f est surjectif, ou si g est injectif, il résulte aussitôt de la prop. 24 que g ∘ f est un morphi… ↩ 1 0BIS
Remarque 3 Soit f un homomorphisme continu d’un groupe topologique G dans un groupe topologique G', et soit H un sous-groupe distingué de G; par passage aux quotients, on déduit de f un homom… ↩ 5 0BIT
Définition 2 On dit que le groupe topologique obtenu en munissant l’ensemble produit G = ∏_i ∈ I Gᵢ de la structure de groupe produit des structures de groupe des Gᵢ, et de la topologie produit… 0BIU
Proposition 25 Soit (Gᵢ)_i ∈ I une famille de groupes topologiques, et soit H le sous- groupe distingué de G = ∏_i ∈ I Gᵢ formé des x = (xᵢ) tels que les xᵢ soient égaux à l’élément neutre eᵢ de… ↩ 2 0BIV
Proposition 26 La bijection de E/G sur ∏_i ∈ I (Eᵢ / Gᵢ) canoniquement associée à (φᵢ) est un homéomorphisme. 0BIW
Corollaire Soit (Gᵢ)_i ∈ I une famille de groupes topologiques, et pour chaque i ∈ I, soit Hᵢ un sous-groupe distingué de Gᵢ; on désigne par φᵢ l’application canonique de Gᵢ sur Gᵢ / Hᵢ. Poso… ↩ 3 0BIX
Remarque Si G est un groupe topologique commutatif noté additivement, l’application (x, y) ↦ x + y de G × G sur G est un morphisme strict; c’est en effet un homomorphisme de G × G sur G, pu… 0BIY
Proposition 27 Soient L, N deux groupes topologiques, y ↦ σ_y un homomorphisme de L dans le groupe des automorphismes Γ de la structure de groupe (non topologique) de N. On suppose que l’applicat… ↩ 1 0BIZ

§ 3. Structures uniformes de groupes

Définition 1 On appelle structure uniforme droite (resp. gauche) sur un groupe topologique G, la structure uniforme dont un système fondamental d’entourages est obtenu en faisant correspondre à… ↩ 1 0BJX
Proposition 1 Les translations à droite et à gauche sont des isomorphismes de la structure uniforme droite sur elle-même. 0BJY
Proposition 2 La symétrie x ↦ x⁻¹ est un isomorphisme de la structure uniforme droite sur la structure uniforme gauche. ↩ 3 0BJZ
Proposition 3 Tout homomorphisme continu f d’un groupe topologique G dans un groupe topologique G' est uniformément continu lorsqu’on le considère comme une application de Gd dans G'd (ou de Gs… ↩ 3 0BK0
Définition 2 On dit qu’un groupe topologique est complet si sa structure uniforme droite et sa structure uniforme gauche sont des structures d’espace complet. 0BK1
Proposition 4 Si, dans un groupe topologique G, il existe un voisinage V de e qui est complet pour la structure uniforme droite ou la structure uniforme gauche, G est complet. ↩ 5 0BK2
Corollaire 1 Un groupe localement compact est complet. ↩ 2 0BK3
Corollaire 2 Tout sous-groupe localement compact d’un groupe topologique séparé G est fermé dans G. 0BK4
Proposition 5 Soient G1 un groupe topologique, G2 un groupe topologique séparé et complet, H1 (resp. H2) un sous-groupe partout dense de G1 (resp. G2). Tout homomorphisme continu u de H1 dans H2… ↩ 7 0BK5
Remarque Lorsque l’homomorphisme continu u est bijectif, il n’en résulte pas en général que baru soit injectif ni surjectif (cf. III, p. 73, exerc. 12); voir toutefois III, p. 26, prop. 10. 0BK6
Proposition 6 Soient 𝔉 et 𝔊 deux filtres-de Cauchy sur G_d; l’image, par l’application (x, y) ↦ xy, du filtre 𝔉 × 𝔊, est une base de filtre de Cauchy sur G_d. 0BK7
Théorème 1 Pour qu’un groupe topologique séparé G soit isomorphe à un sous-groupe partout dense d’un groupe complet hatG, il faut et il suffit que l’image, par la symétrie x ↦ x⁻¹, d’un filtr… ↩ 2 0BK8
Proposition 7 Soit G un groupe topologique séparé admettant un groupe complété hatG. Les adhérences, dans hatG, des voisinages de l’élément neutre dans G, forment un système fondamental de voisi… ↩ 2 0BK9
Proposition 8 Soient G un groupe admettant un groupe séparé complété hatG'. Tout homomorphisme continu u de G dans un groupe séparé complet H se factorise d’une seule manière en u = v ∘ φ, où v… ↩ 2 0BKA
Corollaire Soient G₁, G₂ deux groupes topologiques admettant des groupes séparés complétés hatG₁, hatG₂ respectivement. Pour tout homomorphisme continu f : G₁ → G₂, il existe un homomorphisme… 0E9T
Proposition 9 Soit G un groupe topologique séparé. S’il existe un voisinage V₀ de l’élément neutre tel que l’application x ↦ x⁻¹ de V₀ dans G soit uniformément continue pour la structure uniform… ↩ 5 0BKC
Théorème 2 Soit G un groupe topologique commutatif; les fonctions x⁻¹ et xy sont uniformément continues dans G et G × G respectivement; en outre G admet un groupe séparé complété hatG, qui es… ↩ 2 0BKB
Proposition 10 Soient G un groupe commutatif, T₁, T₂ deux topologies séparées compatibles avec la structure de groupe de G; on suppose que T₁ est plus fine que T₂ et qu’il existe un système fonda… 0E9U
Corollaire 1 Sous les hypothèses de la prop. 10, si A est une partie de G qui est un sous-espace complet pour la structure uniforme 𝔘₂ correspondant à T₂, A est aussi un sous-espace complet pou… 0E9V
Corollaire 2 Soient G un groupe commutatif, T₁, T₂ deux topologies séparées compatibles avec la structure de groupe de G. On suppose que T₁ est plus fine que T₂ et qu’il existe un système fonda… 0E9W

§ 4. Groupes opérant proprement dans un espace topologique. Compacité dans les groupes topologiques et les espaces à opérateurs

Définition 1 Soit G un groupe topologique opérant continûment dans un espace topologique E. On dit que G opère proprement dans E si l’application θ : (s, x) ↦ (x, s.x) de G × E dans E × E est p… ↩ 1 0BKR
Exemple 1 Soit H un sous-groupe fermé d’un groupe topologique G. Si G opère proprement dans E, il en est de même de H, puisque H × E est fermé dans G × E (I, p. 74, cor. 1). Si l’on prend pa… 0BKS
Exemple 2 Si G opère proprement dans E, il opère proprement dans tout sous-espace E' de E réunion d’orbites de points de E (autrement dit, saturé pour la relation d’équivalence définie par G… 0BKT
Proposition 1 Soient G un groupe topologique opérant continûment dans un espace topologique E, K une partie quasi-compacte de G. L’application ρ : (s, x) ↦ s.x de K × E dans E est propre. ↩ 7 0BKU
Corollaire 1 Si A est une partie fermée (resp. compacte) de E, alors K.A est fermé dans E (resp. compact si E est séparé). En particulier, si F est une partie fermée et K une partie quasi-compa… ↩ 9 0BKV
Corollaire 2 Si K est un sous-groupe quasi-compact d’un groupe topologique G, la relation d’équivalence x⁻¹y ∈ K est fermée, et l’application canonique φ : G → G/K est propre. ↩ 1 0BKW
Corollaire 3 Soient K un sous-groupe distingué quasi-compact d’un groupe topologique G, φ l’application canonique G → G/K. Pour tout sous-groupe fermé A de G, la bijection canonique de A/(A ∩ K… ↩ 2 0BKX
Proposition 2 Soit K un groupe compact opérant continûment dans un espace séparé E. Alors: ↩ 4 0BKY
Corollaire 1 Les hypothèses étant celles de la prop. 2, pour que E soit compact (resp. localement compact), il faut et il suffit que E/K le soit. Cela résulte de ce que l’application canonique… ↩ 1 0BKZ
Corollaire 2 Soient G un groupe topologique séparé, K un sous-groupe compact de G. Pour que G soit compact (resp. localement compact) il faut et il suffit que G/K soit compact (resp. localement… ↩ 3 0BL0
Proposition 3 Si un groupe topologique G opère proprement dans un espace topologique E, l’espace des orbites E/G est séparé. Si de plus G est séparé, alors E est séparé. Soit C ⊂ E × E le graphe… ↩ 4 0BL1
Proposition 4 Soit G un groupe topologique opérant proprement dans un espace topologique E, et soit x un point de E. Désignons par G.x l’orbite de x, par Kx le stabilisateur de x. Alors: a) L’ap… ↩ 6 0BL2
Proposition 5 Soit G (resp. G’) un groupe topologique opérant continûment dans un espace topologique E (resp. E'). Soient φ un homomorphisme continu de G dans G', ψ une application continue de E… ↩ 2 0BL4
Corollaire Soient G un groupe topologique, K un sous-groupe de G. Pour que G opère proprement dans G/K, il faut et il suffit que K soit quasi-compact. 0E9X
Définition 2 Soit G un groupe opérant dans un ensemble E. On dit que G opère librement dans E si le stabilisateur de tout point de E est réduit à e, autrement dit si les relations s.x = x, x ∈… 0BL5
Exemple Soit G un groupe et soit H un sous-groupe de G. Le groupe H opère librement par translations (à droite ou à gauche) dans G. 0BL6
Proposition 6 Soit G un groupe topologique opérant continûment dans un espace topologique E. On suppose que G opère librement dans E. Alors, pour que G opère proprement, il faut et il suffit que… 0BL7
Proposition 7 Soit G un groupe localement compact opérant continûment dans un espace séparé E. Pour que G opère proprement, il faut et il suffit que, pour tout couple de points x, y de E, il exi… ↩ 5 0BL8
Proposition 8 Soit G un groupe discret opérant proprement dans un espace séparé E. Soit x un point de E et soit Kₓ le stabilisateur de x. ↩ 1 0BL9
Corollaire Si l’on suppose en outre que Kₓ = e , le point x possède un voisinage ouvert U tel que U ∩ s · U = ∅ pour tout s ≠ e dans G, et que la restriction à U de l’application canonique E… 0BLA
Proposition 9 Soit G un groupe topologique opérant continûment dans un espace localement compact E. Si E/G est séparé, il est localement compact. ↩ 3 0BLB
Proposition 10 Soit G un groupe topologique opérant continûment dans un espace localement compact E, et supposons E/G séparé; soit φ l’application canonique de E sur E/G. Pour toute partie compac… ↩ 3 0BLC
Proposition 11 Soit G un groupe topologique séparé opérant proprement dans un espace non vide E. Si E est compact (resp. localement compact), il en est de même de G et de E/G. ↩ 2 0BLD
Théorème 1 Soit G un groupe topologique séparé, opérant continûment dans un espace topologique E. Soient K une partie compacte de E, L une partie fermée de E. Alors: a) L’ensemble P(K, L) est… ↩ 5 0BLE
Remarque On a évidemment P(K, L) ⊂ P(K ∪ L, K ∪ L); donc, pour que G opère proprement dans un espace localement compact E, il suffit que pour toute partie compacte K de E, l’ensemble P(K, K… 0BLF
Exemple Soit X une variété analytique complexe, analytiquement isomorphe à une partie ouverte bornée de Cⁿ, et soit G le groupe des automorphismes analytiques de X; la topologie de la conv… 0BLG
Proposition 12 Soit G un groupe topologique séparé opérant continûment dans un espace topologique E. Soit K une partie compacte de E, et soit ρ_K l’application (s, x) ↦ s.x de G × K dans E. Alors… ↩ 2 0BLH
Corollaire Soit G un groupe topologique séparé opérant proprement dans un espace topologique E. Pour toute partie compacte K de E et toute partie fermée F de G, F.K est une partie fermée de E… ↩ 1 0BLI
Proposition 13 Soient G un groupe localement compact, H un sous-groupe fermé de G. L’espace homogène G/H est localement compact et paracompact. Comme G/H est séparé (III, p. 12, prop. 13), il est… ↩ 2 0BLJ
Proposition 14 Dans un groupe localement compact G, la composante neutre C est l’intersection des sous-groupes ouverts de G. Comme C est un sous-groupe distingué fermé de G (III, p. 8, prop. 8)… ↩ 3 0BLK
Corollaire 1 Si G est un groupe localement compact totalement discontinu, tout voisinage de e dans G contient un sous-groupe ouvert de G. ↩ 3 0BLL
Corollaire 2 Un groupe localement compact qui est engendré par chacun des voisinages de l’élément neutre est connexe. 0BLM
Corollaire 3 Soient G un groupe localement compact, H un sous-groupe fermé de G, φ l’application canonique de G sur G/H. Les composantes connexes de G/H sont les adhérences des images par φ des… ↩ 1 0BLN

§ 5. Sommes infinies dans les groupes commutatifs

Définition 1 Soit (xᵢ)_i ∈ I une famille de points d’un groupe commutatif séparé G; soit 𝔉(I) l’ensemble des parties finies de l’ensemble d’indices I; pour tout partie-finie J de I, soit s_J la… ↩ 3 0BMB
Remarque 1 Lorsque I est fini, la déf. 1 redonne la définition ordinaire de la somme d’une famille finie. Plus généralement, si I est quelconque, et si xᵢ = 0 sauf pour les indices i apparten… 0BMC
Remarque 2 La définition d’une famille sommable ne fait intervenir aucune relation d’ordre sur l’ensemble d’indices I; on peut donc dire que la notion de somme ainsi définie est commutative… 0BMD
Remarque 3 La déf. 1, ainsi que les conventions et remarques qui la suivent, s’appliquent, plus généralement, à toute famille de points d’un espace topologique séparé E, muni d’une loi de mon… ↩ 2 0BME
Théorème 1 (critère de Cauchy) Dans un groupe commutatif séparé G, pour qu’une famille (xᵢ)_i ∈ I soit sommable, il faut que, pour tout voisinage V de l’origine, il existe une partie finie J₀ de I telle que, pou… ↩ 6 0BMF
Proposition 1 Si la famille (xᵢ) est sommable, tout voisinage de 0 contient tous les xᵢ, à l’exception d’une sous-famille finie (en d’autres termes, si I est infini, on a lim xᵢ = 0 suivant le f… ↩ 4 0BMG
Corollaire 1 Soit (xᵢ)_i ∈ I une famille sommable dans un groupe commutatif dont l’élément neutre admet un système fondamental dénombrable de voisinages; l’ensemble des indices i tels que xᵢ ≠… 0EA0
Corollaire 2 Soit G un groupe topologique commutatif séparé et complet, tel qu’un système fondamental de voisinages de 0 soit formé de sous-groupes de G (cf. III, p. 5, Exemple); pour qu’une fa… 0EA1
Remarque Lorsque G est noté multiplicativement, le critère de Cauchy s’exprime de la manière suivante: pour que la famille (xᵢ)_i ∈ I soit multipliable, il faut que, pour tout voisinage V d… 0BMI
Proposition 2 Dans un groupe complet G, toute sous-famille d’une famille sommable est sommable. ↩ 1 0BMJ
Théorème 2 (associativité de la somme) Soit (xᵢ)_i ∈ I une famille sommable dans un groupe complet G, et soit (I_λ)_λ ∈ L une partition quelconque de I; si on pose s_λ = ∑_i ∈ I_λ xᵢ, la famille (s_λ)_λ ∈ L est sommable… ↩ 2 0BMK
Proposition 3 Soit (xᵢ)_i ∈ I une famille de points d’un groupe G, et (I_λ)_λ ∈ L une partition finie de I; si chacune des sous-familles (xᵢ)_i ∈ I_λ est sommable, la famille (xᵢ)_i ∈ I est somm… ↩ 2 0BML
Proposition 4 Soit G = ∏_λ ∈ L G_λ un produit d’une famille de groupes commutatifs séparés. Pour qu’une famille (xᵢ)_i ∈ I de points de G soit sommable, il faut et il suffit que, pour tout λ ∈ L… ↩ 2 0BMM
Proposition 5 Soit f un homomorphisme continu d’un groupe commutatif G dans un groupe commutatif G'. Si (xᵢ) est une famille sommable dans G, (f(xᵢ)) est une famille sommable dans G', et on a 0BMN
Proposition 6 Soient (xᵢ), (yᵢ) deux familles sommables dans un groupe G, correspondant au même ensemble d’indices ; les familles (-xᵢ), (nxᵢ) (n ∈ Z), (xᵢ + yᵢ) sont sommables, et on a ↩ 1 0BMO
Remarque Les prop. 4 et 5 s’appliquent encore au cas, signalé plus haut, des familles sommables dans un espace topologique E muni d’une loi de monoïde commutatif il en est de même de la pro… 0BMP
Proposition 7 Si les séries définies par les suites (xₙ) et (yₙ) sont convergentes, il en est de même des séries définies par les suites (-xₙ) et (xₙ + yₙ), et on a ↩ 1 0BMQ
Corollaire Si (xₙ), (yₙ) sont deux suites de points de G telles que xₙ = yₙ sauf pour un nombre fini d’indices, et si la série de terme général xₙ converge, il en est de même de la série de t… 0BMR
Proposition 8 (associativité restreinte des séries) Soit (kₙ) une suite strictement croissante d’entiers ≥ 0 avec k₀ = 0; si la série de terme général xₙ converge, et si on pose 0BMS
Définition 2 On dit qu’une série définie par une suite (xₙ) est commutativement convergente si, pour toute permutation σ de N, la série définie par la suite (x_σ(n)) est convergente. 0BMT
Proposition 9 Pour que la série définie par la suite (xₙ) soit commutativement convergente, il faut et il suffit que la suite (xₙ) soit sommable; pour toute permutation σ de N, on a alors ↩ 6 0BMU
Remarque Soit G un groupe topologique séparé et complet, tel qu’un système fondamental de voisinages de 0 soit formé de sous-groupes de G (cf. III, p. 5, Exemple); alors, pour toute suite (… 0EA2

§ 6. Groupes topologiques à opérateurs ; anneaux topologiques ; corps topologiques

Proposition 1 Si H est un sous-groupe stable d’un groupe topologique à opérateurs G, l’adhérence overlineH de H dans G est un sous-groupe stable de G. ↩ 1 0BN2
Définition 1 Soit E un groupe topologique commutatif à opérateurs et soit (Mᵢ)_1 ≤ i ≤ n une famille finie de sous-groupes stables de E, telle que E soit somme directe des Mᵢ. On dit que E est… 0BN3
Proposition 2 Soit E un groupe topologique commutatif à opérateurs somme directe des sous-groupes stables Mᵢ (1 ≤ i ≤ n); soit (pᵢ)_1 ≤ i ≤ n la famille de projecteurs associée à la décompositio… ↩ 1 0BN4
Corollaire Soient E un groupe topologique commutatif à opérateurs, M un sous-groupe stable de E. Les conditions suivantes sont équivalentes: a) M admet dans E un supplémentaire topologique. b… ↩ 2 0BN5
Remarque 1 Pour éviter toute confusion, on dit parfois qu’un sous-groupe stable de E supplémentaire de M (au sens de la structure de groupe à opérateurs sans topologie) est un supplémentaire… 0BN6
Remarque 2 Lorsqu’un groupe topologique commutatif à opérateurs séparé E est somme directe topologique d’une famille (Mᵢ)_1 ≤ i ≤ n de sous-groupes stables, chacun des sous-groupes Mᵢ est fer… 0BN7
Proposition 3 Soient E, F deux groupes topologiques commutatifs à opérateurs, u une application linéaire continue de E dans F. Pour qu’il existe une application linéaire continue v de F dans E t… ↩ 1 0BN8
Proposition 4 Soient E, F deux groupes topologiques commutatifs à opérateurs, u une application linéaire continue de E dans F. Pour qu’il existe une application linéaire continue v de F dans E t… 0BN9
Définition 2 On appelle anneau topologique un ensemble A muni d’une structure d’anneau et d’une topologie satisfaisant aux axiomes suivants: 0BNA
Exemple 1 Sur un anneau A, la topologie discrète est compatible avec la structure d’anneau; un anneau topologique dont la topologie est discrète est dit anneau discret. 0BNB
Exemple 2 On verra dans IV, p. 10 (resp. p. 11) que la topologie de la droite rationnelle Q (resp. de la droite numérique R) est compatible avec la structure d’anneau de Q (resp. R). 0BNC
Remarque On rencontre assez souvent en Analyse des anneaux vérifiant les axiomes (AT_I), (AT_II) et (AT_IIIa), mais non (AT_IIIb). Un exemple est l’anneau des mesures sur un groupe compact… 0BND
Proposition 5 Soit H un sous-anneau partout dense d’un anneau topologique A, et K un sous-anneau (resp. idéal à gauche, idéal à droite, idéal bilatère) de H. L’adhérence overlineK de K dans A es… ↩ 2 0BNE
Théorème 1 Soient E, F, G trois groupes commutatifs séparés et complets, A un sous-groupe partout dense de E, B un sous-groupe partout dense de F. Si f est une application ↩ 2 0BNF
Proposition 6 Un anneau topologique séparé A est isomorphe à un sous-anneau partout ↩ 2 0BNG
Définition 3 Étant donné un anneau topologique A, on appelle module topologique à gauche sur A un ensemble E, muni : 0BNH
Exemple 1 Un espace vectoriel topologique sur R (resp. C) est un module topologique sur R (resp. C) (cf. EVT, I, §1, n° 1). 0BNI
Exemple 2 Soient A un anneau, 𝔅 une base de filtre sur A formée d’idéaux bilatères de A, E un A-module à gauche. Si on munit A de la topologie (compatible avec sa structure d’anneau) pour la… 0BNJ
Remarque Étant donné un anneau topologique A, considérons sur un A-module à gauche E une topologie compatible avec la structure de groupe additif de E. En vertu de l’identité 0BNK
Définition 4 On appelle corps topologique un ensemble K muni d’une structure de corps et d’une topologie compatible avec la structure d’anneau de K, et satisfaisant en outre à l’axiome suivant: ↩ 1 0BNL
Exemple 1 Sur un corps K, la topologie discrète est compatible avec la structure de corps; un corps topologique dont la topologie est discrète est dit corps discret. 0BNM
Exemple 2 La topologie de la droite rationnelle Q (resp. de la droite numérique R) est compatible avec la structure de corps de Q (resp. R; voir IV, p. 10, resp. p. 11). 0BNN
Proposition 7 Pour que l’anneau complété hatK d’un corps topologique séparé K soit un corps topologique, il faut et il suffit que l’image, par l’application x ↦ x⁻¹, de tout filtre de Cauchy (po… ↩ 2 0BNO
Proposition 8 Si la structure uniforme additive d’un corps topologique commutatif K est une structure d’espace séparé et complet, la structure multiplicative sur K^* est une structure d’espace c… ↩ 3 0BNP

§ 7. Limites projectives de groupes et d’anneaux topologiques

Proposition 1 Les E_α et G_α étant supposés vérifier les hypothèses précédentes: ↩ 1 0BOG
Corollaire 1 Si les G_α sont compacts et les E_α séparés, les conclusions de a) et de b) sont valables. ↩ 1 0BOH
Corollaire 2 Si, pour tout α ∈ I, le groupe G_α opère transitivement dans l’espace E_α, et si le stabilisateur de tout point de E_α est un sous-groupe compact de G_α, alors G opère transitiveme… 0BOI
Corollaire 3 On suppose les G_α séparés. Pour tout α ∈ I, soit K_α un sous-groupe compact de G_α et supposons que l’on ait f_α β(K_β) ⊂ K_α pour α ≤ β. Alors, si K = lim_← K_α, l’application ca… 0BOJ
Proposition 2 Soient G un groupe topologique, (H_α)_α ∈ I une famille filtrante décroissante de sous-groupes distingués de G vérifiant la condition suivante : ↩ 8 0BOK
Corollaire 1 Si la condition (AP) est vérifiée et si en outre les groupes (séparés) G/H_α sont complets, le groupe G admet un groupe séparé complété, qui s’identifie à tildeG, l’application i… ↩ 1 0BOL
Corollaire 2 Soient G un groupe, (H_α) une famille filtrante décroissante de sous-groupes distingués de G. Si l’on munit G de la topologie de groupe pour laquelle les H_α forment un système fon… 0BOM
Corollaire 3 Soient G un groupe, G₀ un sous-groupe de G, (H_α) une famille filtrante décroissante de sous-groupes distingués de G₀. On suppose que les H_α forment un système fondamental de vois… 0EA6
Lemme 1 Sous les hypothèses de la prop. 2 (III, p. 60), pour toute partie fermée E de G, on a E = ⋂_α EH_α. ↩ 1 0BON
Proposition 3 On suppose G séparé, les Hα compacts et vérifiant (AP). ↩ 3 0BOO
Proposition 4 On suppose G séparé, les Hα compacts et vérifiant (AP). Si Cα est la composante neutre de Gα = G/Hα, la composante neutre C de G s’identifie à lim ← Cα et on a fα(C) = Cα. ↩ 1 0BOP
Lemme 2 Soient G un groupe topologique séparé, H un sous-groupe distingué compact de G, φ l’application canonique G → G/H. Si C est la composante neutre de G, φ(C) est la composante neutre… 0BOQ
Remarque Si le sous-groupe H_α est compact pour un α ∈ I, alors H_β est compact pour β ≥ α, puisque c’est un sous-groupe fermé de H_α. Comme l’ensemble des β ∈ I tels que β ≥ α est cofinal… 0EA7
Proposition 5 Soit (G_α, f_αβ) un système projectif de groupes topologiques séparés, tel que les f_αβ soient des morphismes stricts surjectifs, de noyaux compacts. Alors, pour tout α ∈ I, l’appl… ↩ 3 0BOS
Corollaire 1 Soient (G_α, f_βα) un système projectif de groupes topologiques vérifiant les hypothèses de la prop. 5, (G'_α, f'_αβ) un système projectif de groupes topologiques, et pour chaque α… 0BOT
Corollaire 2 Soit (G_α, f_αβ) un système projectif de groupes topologiques vérifiant les conditions de la prop. 5, et soit G' un groupe topologique dans lequel il existe un voisinage V' de l’él… 0BOU

IV. Nombres réels

§ 1. Définition des nombres réels

Définition 1 On appelle droite rationnelle l’espace topologique obtenu en munissant l’ensemble Q de la topologie de groupe dont un système fondamental de voisinages de 0 est formé par les inter… 0BP1
Définition 2 On désigne par R le groupe topologique complété du groupe additif Q de la droite rationnelle. Les éléments de R sont appelés nombres réels; en tant qu’espace topologique, R est app… 0BP2
Proposition 1 La relation y - x ∈ overlineQ₊ est une relation d’ordre dans R, qui fait de R un ensemble totalement ordonné, est compatible avec la structure de groupe additif de R, et induit sur… 0BP3
Proposition 2 Tout intervalle fermé (resp. ouvert) de R, est un ensemble fermé (resp. ouvert) dans R. ↩ 1 0BP4
Proposition 3 Lorsque r parcourt l’ensemble des nombres rationnels > 0, les intervalles Sᵣ = (-r, +r) de R forment un système fondamental de voisinages de 0. ↩ 2 0BP5
Corollaire Tout point de la droite numérique possède un système fondamental dénombrable de voisinages. ↩ 1 0BP6
Proposition 4 Pour tout couple (x, y) de nombres réels tels que x < y, il existe un nombre rationnel r tel que x < r < y. 0BP7
Proposition 5 Soit I un intervalle quelconque de R. La topologie induite sur I par celle de R est engendrée par l’ensemble des intervalles ouverts de I (I étant considéré comme ensemble totaleme… ↩ 1 0BP8
Remarque Si A est une partie partout dense de R, la topologie de R est encore engendrée par l’ensemble des intervalles ouverts dont les extrémités appartiennent à A. En effet, si ]x - a, x… 0BP9
Définition 3 On appelle longueur d’un intervalle borné d’origine a et d’extrémité b, le nombre réel positif b - a. 0BPA

§ 2. Propriétés topologiques fondamentales de la droite numérique

Théorème 1 Quels que soient les nombres réels x > 0 et y > 0, il existe un entier n > 0 tel que y < nx. ↩ 3 0BPF
Remarque On trouvera dans V, § 2 une construction axiomatique de la théorie des nombres réels dans laquelle l’énoncé ci-dessus figure en tant qu’axiome; pour plus de détails sur cet axiome… 0BPG
Théorème 2 (Borel–Lebesgue) Pour qu’une partie de la droite numérique R soit compacte, il faut et il suffit qu’elle soit fermée et bornée. ↩ 4 0BPH
Corollaire 1 Pour qu’une partie de la droite numérique R soit relativement compacte, il faut et il suffit qu’elle soit bornée. 0EA8
Corollaire 2 La droite numérique est un espace localement compact et non compact. 0EA9
Remarque Le th. 2 est souvent cité sous le nom de « théorème de Heine–Borel »; voir les Notes historiques des chap. II et IV. 0BPK
Théorème 3 Toute partie majorée (resp. minorée) et non vide de la droite numérique a une borne supérieure (resp. inférieure). ↩ 1 0BPL
Proposition 1 Pour qu’une partie non vide A de R soit un intervalle, il faut et il suffit que, quels que soient les points a, b de A tels que a < b, l’intervalle fermé [a, b] soit contenu dans A… ↩ 3 0BPM
Théorème 4 Pour qu’une partie A de R soit connexe, il faut et il suffit que A soit un intervalle. ↩ 4 0BPN
Corollaire 1 La droite numérique est un espace connexe et localement connexe. 0BPO
Corollaire 2 Les seules parties compactes et connexes de R sont les intervalles fermés bornés. 0BPP
Proposition 2 Tout ensemble ouvert non vide dans R est la réunion d’une famille dénombrable d’intervalles ouverts, sans point commun deux à deux. ↩ 2 0BPQ
Exemple Définissons par récurrence, une famille dénombrable (I_n,p) d’intervalles ouverts, deux à deux sans point commun, de la manière suivante: 0BPR
Théorème 5 Soit I un intervalle de R; pour qu’une application f de I dans R soit un homéomorphisme de I sur f(I), il faut et il suffit que f soit strictement monotone et continue dans I; f(I)… ↩ 4 0BPS
Remarque La première partie de la démonstration précédente établit en fait qu’une application continue et injective de I dans R est strictement monotone; d’après la seconde partie, on voit… 0BPT

§ 3. Le corps des nombres réels

Proposition 1 Les fonctions xy et 1/x, définies respectivement dans Q × Q et Q^*, se prolongent par continuité à R × R et R^* respectivement, et définissent sur R une structure de corps topologi… 0BQF
Proposition 2 Le groupe multiplicatif R^* des nombres réels ≠ 0 est un groupe topologique isomorphe au produit de ses sous-groupes R₊^* et U₀ = -1, +1. 0BQG

§ 4. La droite numérique achevée

Proposition 1 Tous les intervalles ouverts non vides de R sont homéomorphes à la droite R. ↩ 4 0BQK
Remarque Pour démontrer que tous les intervalles ouverts bornés sont homéomorphes entre eux, il suffirait de remarquer que, pour a ≠ b, a' ≠ b', il existe un homéomorphisme de R sur lui-mêm… 0BQL
Définition 1 On appelle droite numérique achevée l’ensemble overlineR muni de la structure d’ordre et de la topologie ainsi définies. ↩ 1 0BQM
Proposition 2 Tout homéomorphisme f de R sur un intervalle ]a, b[ se prolonge en un homéomorphisme tildef de overlineR sur [a, b]; si f est une fonction croissante, tildef est un isomorphisme de… ↩ 2 0BQN
Proposition 3 La droite numérique achevée est compacte. 0BQO
Proposition 4 Toute partie non vide de overlineR possède une borne supérieure et une borne inférieure. 0BQP
Proposition 5 Pour qu’une partie A de overlineR soit connexe, il faut et il suffit que A soit un intervalle. ↩ 1 0BQQ
Corollaire La droite numérique achevée est un espace connexe et localement connexe. 0BQR
Proposition 6 Pour qu’une application f dans overlineR d’un intervalle I de overlineR soit un homéomorphisme de I sur f(I), il faut et il suffit que f soit strictement monotone et continue dans… 0BQS
Proposition 7 La fonction x + y peut être prolongée par continuité à chacun des ensembles A' × A', A'' × A'', suivant les formules ↩ 1 0BQT
Proposition 8 La fonction xy peut être prolongée par continuité à l’ensemble overlineR^* × overlineR^*, suivant les formules 0BQU

§ 5. Fonctions numériques

Définition 1 Les applications d’un ensemble E dans la droite numérique sont appelées fonctions numériques (ou fonctions réelles) définies dans E. 0BR2
Proposition 1 Soient f et g deux fonctions numériques, définies dans un ensemble E, filtré par un filtre 𝔉. Si lim_𝔉 f et lim_𝔉 g existent, et si, pour toute partie A ∈ 𝔉, il existe x ∈ A tel qu… ↩ 1 0BR3
Proposition 2 Soient f et g deux fonctions numériques, définies dans un ensemble E, filtré par un filtre 𝔉. Si lim_𝔉 f et lim_𝔉 g existent, et si lim_𝔉 f > lim_𝔉 g, il existe un ensemble A ∈ 𝔉 t… 0BR4
Théorème 1 (principe de prolongement des inégalités) Soient f, g deux fonctions numériques, définies dans un ensemble E, filtré par un filtre 𝔉. Si lim_𝔉 f et lim_𝔉 g existent, et si f ≤ g, on a aussi lim_𝔉 f ≤ lim_𝔉 g. ↩ 6 0BR5
Remarque Si on a en particulier f(x) < g(x) pour tout x ∈ E (ou seulement pour tous les points d’un ensemble du filtre 𝔉), on peut en conclure, d’après le th. 1, que lim_𝔉 f ≤ lim_𝔉 g; mais… 0BR6
Théorème 2 (théorème de la limite monotone) Soient E un ensemble ordonné, A une partie de E filtrante à droite.\footnote{Cet énoncé suppose implicitement que la relation d’ordre dans E est notée x ≤ y. Si cette relation est… ↩ 6 0BR7
Corollaire Pour qu’une fonction numérique croissante (resp. décroissante), définie dans une partie filtrante A d’un ensemble ordonné E, ait une limite finie suivant A, il faut et il suffit qu… ↩ 1 0BR8
Proposition 3 Toute suite monotone de nombres réels a une limite dans overlineR. 0BR9
Définition 2 Soit f une fonction définie dans la partie A de overlineR, à valeurs dans un espace topologique E. Une limite de f suivant le filtre 𝔉, si elle existe, s’appelle limite à gauche de… 0BRA
Proposition 4 Soient A une partie de overlineR, a ≠ -∞ un point adhérent à l’intersection A ∩ (-∞, a[; si f est une fonction numérique monotone définie dans A, elle a une limite à gauche f(a-) a… 0BRB
Définition 3 Soit f une fonction numérique définie dans un ensemble E; on appelle borne supérieure (resp. borne inférieure) de f dans une partie non vide A de E, et on note sup_x ∈ A f(x) (resp… 0BRC
Proposition 5 Soit f une fonction numérique définie dans un ensemble E. Dans l’ensemble 𝔉(E) des parties finies de E, ordonné filtrant pour la relation ⊂, la fonction numérique H ↦ sup_x ∈ H f(x… ↩ 2 0BRD
Proposition 6 Soient f et g deux fonctions numériques définies dans E. Si f(x) ≤ g(x) en tout point d’une partie non vide A de E, on a 0BRE
Proposition 7 Soit f une fonction numérique définie dans E; si A et B sont deux parties non vides de E telles que A ⊂ B, on a ↩ 1 0BRF
Proposition 8 Soient f une fonction numérique définie dans E, et (Aᵢ)_i ∈ I une famille de parties non vides de E; on a 0BRG
Proposition 9 Soit f une fonction numérique définie dans un ensemble produit E₁ × E₂. Quelles que soient les parties non vides A₁ de E₁, A₂ de E₂, on a ↩ 2 0BRH
Définition 4 Soit (fᵢ)_i ∈ I une famille de fonctions numériques, définies dans un ensemble E. On appelle enveloppe supérieure (resp. enveloppe inférieure) de la famille (fᵢ), et on note sup_i… 0BRI
Proposition 10 Dans l’espace produit overlineRᴱ, l’enveloppe supérieure supᵢ fᵢ d’une famille de fonctions numériques (fᵢ)_i ∈ I est la limite, suivant l’ensemble filtrant 𝔉(I) des parties finies… 0BRJ
Définition 5 Une famille (fᵢ)_i ∈ I de fonctions numériques, définies dans un ensemble E, est dite uniformément majorée (resp. uniformément minorée) dans E, s’il existe un nombre fini a tel que… 0BRK
Définition 6 On appelle limite supérieure de f suivant le filtre 𝔊, et on note lim.sup_𝔊 f, ou lim.sup_x,𝔊 f(x), la limite de la fonction numérique X ↦ sup_x ∈ X f(x) suivant l’ensemble filtran… 0BRL
Théorème 3 La limite supérieure d’une fonction numérique f suivant un filtre 𝔊 est égale à la plus grande valeur d’adhérence de f suivant 𝔊. En effet, soit b une valeur d’adhérence de f suiva… 0BRM
Corollaire 1 Pour que lim.sup_𝔊 f = lim.inf_𝔊 f, il faut et il suffit que f ait une limite suivant le filtre 𝔊; on a alors lim_𝔊 f = lim.sup_𝔊 f = lim.inf_𝔊 f. En effet, comme overlineR est com… ↩ 1 0BRN
Corollaire 2 Si ℌ est un filtre plus fin que 𝔊, on a lim.inf_𝔊 f ≤ lim.inf_ℌ f ≤ lim.sup_ℌ f ≤ lim.sup_𝔊 f. En effet, toute valeur d’adhérence de f suivant ℌ est aussi valeur d’adhérence de f s… ↩ 1 0BRO
Corollaire 3 Soit A un ensemble du filtre 𝔊 et soient 𝔊_A le filtre induit sur A par 𝔊, f_A la restriction de f à A; on a limsup_𝔊_A f_A = limsup_𝔊 f. En effet, tout point adhérent à la base de… ↩ 1 0BRP
Proposition 11 Soient f et g deux fonctions numériques définies dans un ensemble filtré E. La relation f ≤ g entraîne begincases limsup f ≤ limsup g \\ liminf f ≤ liminf g. endcases (14) C’est un… 0BRQ
Proposition 12 Soient f et g deux fonctions numériques définies dans un ensemble E, et A une partie non vide de E. ↩ 1 0BRR
Corollaire 1 Soient f une fonction numérique définie dans E, et k un nombre réel. On a sup_x ∈ A (f(x) + k) = k + sup_x ∈ A f(x) lorsque les deux membres sont définis, et, pour k geqslant 0, 0BRS
Corollaire 2 Soient f₁ et f₂ deux fonctions numériques définies respectivement dans des ensembles E₁ et E₂; quelles que soient les parties non vides A₁ ⊂ E₁, A₂ ⊂ E₂, on a sup_(x₁, x₂) ∈ A₁ × A… 0BRT
Proposition 13 Soient f et g deux fonctions numériques définies dans un ensemble filtré E. 0BRU
Corollaire 1 Soient f et g deux fonctions numériques définies dans un ensemble filtré E. Si lim g existe, on a (33) lim . sup (f + g) = lim . sup f + lim g lorsque les deux membres sont définis… 0BRV
Corollaire 2 Soient f et g deux fonctions numériques définies dans un ensemble filtré E. Si lim f = +∞, lim . inf g > -∞, et si f + g est définie, on a lim (f + g) = +∞. Si lim f = +∞, lim . in… 0BRW

§ 6. Fonctions numériques continues et fonctions numériques semi-continues

Théorème 1 (Weierstrass) Soit f une fonction numérique définie et continue dans un espace quasi-compact non vide E. Il existe au moins un point a ∈ E tel que f(a) = sup_x ∈ E f(x), et au moins un point b ∈… ↩ 5 0BSF
Corollaire Si une fonction numérique f, définie dans un espace quasi-compact non vide E, est continue et finie dans E, elle est bornée dans E. 0BSG
Théorème 2 (Bolzano) Soit f une fonction numérique définie et continue dans un espace connexe E. Si a et b sont deux points quelconques de E, et α un nombre réel appartenant à l’intervalle fermé de bor… ↩ 1 0BSH
Définition 1 Une fonction numérique f, définie dans un espace topologique E, est dite semi-continue inférieurement (resp. semi-continue supérieurement) en un point a ∈ E, si quel que soit h < f… ↩ 1 0BSI
Exemple 1 Si en un point a, f admet un minimum relatif, c’est-à-dire s’il existe un voisinage V de a tel que, pour tout x ∈ V, f(a) ≤ f(x), f est semi-continue inférieurement au point a. En… 0BSJ
Exemple 2 Définissons une fonction numérique f dans R, en posant f(x) = 0 si x est irrationnel, f(x) = 1/q si x est rationnel et égal à la fraction irréductible p/q (q > 0). Pour tout n enti… 0BSK
Proposition 1 Pour qu’une fonction numérique f soit semi-continue inférieurement dans un espace topologique E, il faut et il suffit que, pour tout nombre fini k, overlinef([k, +∞]) (ensemble des… ↩ 3 0BSL
Corollaire Pour qu’une partie A d’un espace topologique E soit un ensemble ouvert (resp. fermé) dans E, il faut et il suffit que sa fonction caractéristique¹ φ_A soit semi-continue inférieure… ↩ 1 0BSM
Théorème 3 Soit f une fonction semi-continue inférieurement dans un espace quasi-compact non vide E ; il existe au moins un point a ∈ E tel que f(a) = inf_x ∈ E f(x) (autrement dit, f atteint… ↩ 1 0BSN
Corollaire Soit f une fonction semi-continue inférieurement dans un espace quasi-compact non vide E ; si f(x) > -∞ pour tout x ∈ E, f est minorée dans E. 0BSO
Proposition 2 Soient f et g deux fonctions numériques semi-continues inférieurement en un point a ∈ E. Les fonctions inf(f, g) et sup(f, g) sont semi-continues inférieurement au point a. Il en e… ↩ 1 0BSP
Théorème 4 L’enveloppe supérieure d’une famille (fᵢ) de fonctions semi-continues inférieurement en un point a ∈ E, est semi-continue inférieurement au point a. ↩ 2 0BSQ
Corollaire L’enveloppe supérieure d’une famille de fonctions numériques continues dans un espace E est semi-continue inférieurement dans E. ↩ 1 0BSR
Proposition 3 Soient E un espace topologique, f une fonction numérique ≥ 0 définie dans E et semi-continue inférieurement; alors f est limite d’une suite croissante (fₙ)_n ≥ 1 de fonctions semi-… ↩ 1 0BSS
Proposition 4 Pour qu’une fonction numérique f, définie dans un espace topologique E, soit semi-continue inférieurement en un point a ∈ E, il faut et il suffit que liminf_x → a f(x) = f(a) (ou… 0BST
Proposition 5 Soit f une fonction numérique quelconque, définie dans une partie partout dense A d’un espace topologique E; si, pour tout x ∈ E, on pose g(x) = liminf_y → x, y ∈ A f(y), g est sem… 0EAB

§ 7. Sommes et produits infinis de nombres réels

Théorème 1 Pour qu’une famille (xᵢ) de nombres réels finis geqslant 0 soit sommable dans R, il faut et il suffit que l’ensemble des sommes partielles finies de cette famille soit majoré dans… ↩ 5 0BT9
Remarque Soit (H_λ) une famille de parties finies de I telle que, pour toute partie finie H de I, il existe un indice λ tel que H ⊂ H_λ; pour que (xᵢ) soit sommable, il faut et il suffit év… 0BTA
Exemple 1 Pour tout nombre q tel que 0 leqslant q < 1, la suite (qⁿ) (« progression géométrique de raison q ») est sommable dans R, car sₙ = frac1 - qⁿ⁺¹1 - q leqslant 1/(1 - q); la somme de… 0BTC
Exemple 2 Soient a et b deux nombres tels que 0 leqslant a < 1,\ 0 leqslant b < 1; la famille (aᵐ bⁿ)_(m,n) ∈ N × N est sommable dans R. En effet, toute partie finie de N × N est contenue da… 0BTD
Exemple 3 Pour tout entier p > 1, la suite (n⁻ᵖ) (n > 0) est sommable, car on a s_2ⁿ+1 - s_2ⁿ = ∑ₖ₌₁^2ⁿ (2ⁿ + k)⁻ᵖ < 2ⁿ · (2ⁿ)⁻ᵖ d’où, en ajoutant membre à membre ces inégalités s_2ⁿ < frac1… 0BTE
Exemple 4 La suite (1/n) (n > 0) n’est pas sommable dans R, car on a s_2ⁿ+1 - s_2ⁿ = ∑ₖ₌₁^2ⁿ 1/(2ⁿ + k) > frac2ⁿ2ⁿ⁺¹ = 1/2 d’où, en ajoutant membre à membre s_2ⁿ > n/2 et le critère du th. 1… 0EAD
Exemple 5 Soit (Iₙ) une suite d’intervalles ouverts non vides, sans point commun deux à deux, contenus dans un intervalle de longueur finie l; la somme des longueurs d’un nombre fini d’inter… 0EAE
Théorème 2 (principe de comparaison) Soient (xᵢ)_i ∈ I et (yᵢ)_i ∈ I deux familles de nombres finis ≥ 0, telles que xᵢ ≤ yᵢ quel que soit i. Si (yᵢ) est sommable dans R, il en est de même de (xᵢ) et on a ∑ᵢ xᵢ ≤ ∑ᵢ yᵢ… ↩ 2 0BTB
Exemple 6 Considérons, pour un nombre réel fini a > 0, la suite ( aⁿ/n! ); soit n₀ le plus petit entier tel que a < n₀. Pour tout n ≥ n₀, on a aⁿ/n! ≤ fraca^n₀n₀! ( a/n₀ )^n-n₀ 0EAF
Exemple 7 Soit (aₙ) une suite sommable de nombres positifs; comme lim_n → ∞ aₙ = 0, il existe un entier n₀ tel que, pour n ≥ n₀, aₙ ≤ 1; par suite, pour tout n ≥ n₀, aₙ² ≤ aₙ, ce qui montre… 0EAG
Exemple 8 Soient a et b deux nombres tels que a > 1, b > 1; on a 0EAH
Corollaire Soit (xᵢ)_i ∈ I une famille sommable dans R de nombres finis ≥ 0; pour toute partie H de I, on a 0BTF
Théorème 3 Soit (xᵢ)_i ∈ I une famille de nombres réels finis. Les propriétés suivantes sont équivalentes: ↩ 2 0BTG
Proposition 1 Si les familles (x_λ)_λ ∈ L et (y_μ)_μ ∈ M de nombres réels finis sont sommables dans R, il en est de même de la famille (x_λ y_μ)_(λ, μ) ∈ L × M et on a ↩ 2 0BTH
Théorème 4 Pour que la famille (1 + uᵢ) soit multipliable dans R^*, il faut et il suffit que la famille (uᵢ) soit sommable dans R. ↩ 7 0BTI
Lemme 1° Si (aᵢ)_1 ≤ i ≤ p est une suite finie de nombres > 0, 0BTJ
Proposition 2 Toute famille (xᵢ) de nombres réels positifs est sommable dans overlineR. ↩ 1 0BTK
Proposition 3 Toute famille (1 + uᵢ) (resp. (1 - uᵢ)) de nombres ≥ 1 (resp. ≥ 0 et ≤ 1) est multipliable dans overlineR. 0BTL
Corollaire Pour que le produit ∏ᵢ (1 + uᵢ) (resp. ∏ᵢ (1 - uᵢ)) de nombres ≥ 1 (resp. strictement positifs et ≤ 1) soit égal à +∞ (resp. à 0), il faut et il suffit que ∑ᵢ uᵢ = +∞. 0BTM
Remarque Le théorème d’associativité (III, p. 39, th. 2) est encore valable quand on remplace G par overlineR et qu’on suppose les xᵢ ≥ 0. En effet, cela est évident si ∑_i ∈ I xᵢ est fini… 0BTN
Définition 1 Une série de nombres réels finis est dite absolument convergente si la série des valeurs absolues de ses termes est convergente. 0BTO
Proposition 4 Pour qu’une série de nombres réels finis soit commutativement convergente, il faut et il suffit qu’elle soit absolument convergente. 0BTP
Exemple Séries alternées. — Une série définie par une suite (uₙ) de nombres réels finis, est dite alternée si uₙ = (-1)ⁿ vₙ, avec vₙ ≥ 0 quel que soit n. Montrons qu’une condition suffisan… 0BTQ
Définition 2 Un produit infini de facteur général 1 + uₙ est dit absolument convergent si le produit de facteur général 1 + |uₙ| est convergent. 0BTR
Proposition 5 Pour qu’un produit infini de nombres réels finis soit commutativement convergent, il faut et il suffit qu’il soit absolument convergent. 0BTS
Exemple Si on prend, pour n ≥ 2, u₂ₙ₋₁ = -1/n, u₂ₙ = 1/n, le produit (1 + uₙ) n’est pas absolument convergent, puisque la série (uₙ) n’est pas absolument convergente; mais, comme 0BTT

§ 8. Développements usuels des nombres réels

Définition 1 Étant donné un nombre ε > 0, on dit qu’un nombre réel r est valeur approchée à ε près d’un nombre réel x, si |x - r| ≤ ε; r est dit valeur approchée par défaut si r ≤ x, par excès… 0BUG
Théorème 1 (Cantor) L’ensemble des nombres réels est équipotent à l’ensemble des parties d’un ensemble infini dénombrable. ↩ 1 0BUH
Corollaire L’ensemble des nombres réels a une puissance strictement supérieure à celle d’un ensemble dénombrable. 0BUI

V. Groupes à un paramètre

§ 1. Sous-groupes et groupes quotients de R

Proposition 1 Tout sous-groupe fermé du groupe additif R, distinct de R et de 0, est un groupe discret de la forme a.Z, où a > 0 (autrement dit, est formé des multiples entiers de a). ↩ 2 0BV0
Proposition 2 Les groupes quotients séparés de R, non réduits à l’élément neutre, sont les groupes R/aZ (a ≥ 0). 0BV1
Proposition 3 Tout groupe quotient séparé de R, distinct de R et non réduit à l’élément neutre, est isomorphe au groupe R/Z. ↩ 1 0BV2
Définition 1 Le groupe topologique R/aZ (a > 0) est appelé groupe additif des nombres réels modulo a. On désigne par T le groupe topologique R/Z; en tant qu’espace topologique, T est appelé tor… 0BV3
Remarque 1 La relation x ≡ y (mod. aZ) s’écrit plus souvent x ≡ y (mod. a) ou simplement x ≡ y (a), et se lit « x et y sont congrus modulo a »; elle signifie donc que x - y est un multiple en… 0BV4
Remarque 2 Comme nous le verrons dans VI, p. 12, l’espace topologique T est homéomorphe au cercle x² + y² = 1 du plan numérique R²; le produit T² est homéomorphe à un tore de révolution dans… 0BV5
Proposition 4 Le tore T est un espace homéomorphe à l’espace quotient d’un intervalle fermé quelconque [a, a + 1] de R, obtenu en identifiant les extrémités de cet intervalle; il est compact, co… ↩ 1 0BV6
Remarque On observera que l’application canonique φ de R sur T = R/Z, restreinte à l’intervalle semi-ouvert [a, a + 1[, est une application bijective et continue de cet intervalle sur T; so… 0BV7
Proposition 5 Tout homomorphisme continu f du groupe topologique R dans lui-même est de la forme x ↦ ax, où a ∈ R; c’est un automorphisme du groupe topologique R si a ≠ 0. ↩ 1 0BV8
Corollaire Soit G un groupe topologique isomorphe à R; pour tout a ∈ G, il existe un homomorphisme continu et un seul fₐ de R dans G, tel que fₐ(1) = a; cet homomorphisme est un isomorphisme… ↩ 1 0BV9
Proposition 6 Soit I un intervalle de R, contenant 0 et non réduit à ce point; soit f une application continue de I dans un groupe topologique G (noté multiplicativement), telle que f(x + y) = f… ↩ 3 0BVA
Corollaire Soit f un isomorphisme local de R à un groupe topologique G; il existe un morphisme strict et un seul de R sur un sous-groupe ouvert de G, qui coïncide avec f en tous les points d’… ↩ 1 0BVB
Proposition 7 Tout groupe topologique connexe G, localement isomorphe à R, est isomorphe à R ou à T. ↩ 1 0BVC

§ 2. Mesure des grandeurs

Proposition 1 Soit E un ensemble totalement ordonné, possédant un plus petit élément ω ; soit I une partie de E, telle que ω ∈ I, et que les relations x ∈ I, y ≤ x entraînent y ∈ I ; soit (x, y)… ↩ 3 0BVG
Remarque 1 Les relations x ∈ I, y ∈ I, xy ∈ I, yx ∈ I entraînent 0BVH
Remarque 2 Toute application g de I dans R₊, satisfaisant aux mêmes conditions que f, est de la forme x ↦ λf(x) où λ 0. En effet, soit λ = g(a) 0; les relations z^p ≤ x ≤ z^{p+1}, z^q ≤ a ≤ z… 0BVI
Proposition 2 Si un ensemble totalement ordonné E et une partie I satisfont aux axiomes (GRI), (GR{II}), (GR{IIIa}) et (GR{IVa}), il existe une application strictement croissante f de I sur un i… ↩ 2 0BVJ
Remarque Lorsque I = E, l’image f(I) = f(E) est R₊ tout entier, car pour un b > ω, bⁿ est défini pour tout n, donc n.f(b) appartient à f(E) quel que soit n, ce qui entraîne que f(E) n’est p… 0BVK

§ 3. Caractérisation topologique des groupes R et T

Théorème 1 Un groupe topologique G, dans lequel il existe un voisinage ouvert de l’élément neutre homéomorphe à un intervalle ouvert de R, est localement isomorphe à R. ↩ 1 0BVN
Théorème 2 Un groupe connexe G, dans lequel il existe un voisinage ouvert de l’élément neutre homéomorphe à un intervalle ouvert de R, est isomorphe à R ou à T. ↩ 3 0BVO
Remarque 1 Pour décider si un groupe G, qui remplit les conditions du th. 2, est isomorphe à T ou isomorphe à R, il suffit de voir si G est compact ou ne l’est pas. 0BVP
Remarque 2 Le th. 2 montre en particulier que tout groupe topologique homéomorphe au groupe R lui est nécessairement isomorphe. 0BVQ
Remarque 3 La caractérisation topologique précédente des groupes R et T fait intervenir l’espace topologique R comme ensemble auxiliaire. Il est possible de caractériser les structures de gro… 0BVR

§ 4. Exponentielles et logarithmes

Théorème 1 Le groupe multiplicatif R₊^* des nombres réels > 0 est un groupe topologique isomorphe au groupe additif R des nombres réels. ↩ 1 0BW0

VI. Espaces numériques et espaces projectifs

§ 1. L’espace numérique $\mathbf{R}^n$

Définition 1 On appelle espace numérique à n dimensions ou de dimension n (plan numérique lorsque n = 2), et on note Rⁿ, l’espace topologique produit de n espaces identiques à la droite numériq… 0BW3
Remarque L’espace R⁰ est réduit à un point. 0BW4
Définition 2 On appelle pavé ouvert (resp. pavé fermé) de Rⁿ toute partie de Rⁿ qui est le produit de n intervalles ouverts (resp. de n intervalles fermés) de R. 0BW5
Proposition 1 Pour qu’une partie A de Rⁿ soit relativement compacte, il faut et il suffit qu’elle soit bornée. 0BW6
Corollaire L’espace Rⁿ est localement compact, et, pour n ≥ 1, non compact. 0BW7
Proposition 2 Soit f : Rⁿ → R une fonction polynomiale. L’application f est continue. Si f n’est pas identiquement nulle, le complémentaire de l’ensemble f⁻¹(0) est un ouvert dense de Rⁿ. ↩ 1 0BW8
Proposition 3 Toute variété linéaire affine non vide de dimension p de Rⁿ est un ensemble fermé dans Rⁿ, homéomorphe à Rᵖ. ↩ 1 0BW9
Proposition 4 Dans Rⁿ, le complémentaire d’une variété linéaire affine V de dimension p < n est un ouvert dense. Si p < n - 1, il est connexe. Si p = n - 1, il a deux composantes connexes, homéo… 0BWB
Proposition 5 Soient E, F, G trois espaces vectoriels de dimensions finies sur le corps R; toute application bilinéaire¹ f de E × F dans G est continue. 0BWC
Proposition 6 Dans l’anneau Mₙ(R), le groupe GLₙ(R) des matrices inversibles est un ensemble ouvert dense, et la topologie induite sur cet ensemble est compatible avec sa structure de groupe. ↩ 2 0BWD

§ 2. Distance euclidienne ; boules et sphères

Définition 1 Étant donnés un point x₀ ∈ Rⁿ, et un nombre r > 0, on appelle boule euclidienne ouverte (resp. fermée) à n dimensions de centre x₀ et de rayon r, l’ensemble des points x ∈ Rⁿ tels… 0BWR
Proposition 1 Toute boule ouverte (resp. fermée) de Rⁿ est un ensemble ouvert (resp. compact). L’adhérence d’une boule ouverte est la boule fermée de même centre et de même rayon ; l’intérieur d… 0BWS
Corollaire Toute sphère euclidienne est un ensemble compact, frontière de la boule ouverte et de la boule fermée de même centre et de même rayon. 0BWT
Proposition 2 Toute boule ouverte à n dimensions est homéomorphe à Rⁿ. ↩ 1 0BWU
Proposition 3 L’application (t, z) ↦ tz est un homéomorphisme de R^* × Sₙ₋₁ sur Rₙ^*. ↩ 4 0BWV
Corollaire 1 La sphère Sₙ₋₁ est homéomorphe à l’espace quotient de Rₙ^* par la relation d’équivalence dont les classes sont les demi-droites ouvertes d’origine 0. 0BWW
Corollaire 2 L’espace Rₙ^* est homéomorphe à R × Sₙ₋₁. 0BWX
Remarque Les propositions précédentes ne sont pas particulières aux boules euclidiennes, mais peuvent s’étendre à toute une catégorie de voisinages compacts de 0 dans Rⁿ (voir VI, p. 24, ex… 0BWY
Proposition 4 Pour n ≥ 1, le complémentaire d’un point dans la sphère euclidienne S{n-1} est homéomorphe à l’espace numérique R^{n-1}. ↩ 4 0BWZ
Corollaire 1 Pour n ≥ 1, la sphère S{n-1} est homéomorphe à l’espace compact obtenu par adjonction à R^{n-1} d’un « point à l’infini » (I, p. 68). 0BX0
Corollaire 2 Pour n 1, la sphère euclidienne S{n-1} est un espace connexe et localement connexe dont tout point admet un voisinage ouvert homéomorphe à R^{n-1}. ↩ 1 0BX1
Corollaire 3 Pour n geqslant 1, la sphère Sₙ est homéomorphe à l’espace quotient de la boule Bₙ, obtenu en identifiant tous les points de la sphère Sₙ₋₁. 0EAJ
Corollaire 4 Le cercle S₁ est homéomorphe au tore T. 0EAK

§ 3. Espaces projectifs réels

Lemme 1 Si tout ensemble ouvert (resp. fermé) dans A et saturé pour R_A est la trace sur A d’un ensemble ouvert (resp. fermé) dans E et saturé pour R, l’espace quotient A/R_A est homéomorp… ↩ 4 0BXG
Lemme 2 S’il existe une application continue g de E sur A, telle que, pour tout x ∈ E, g(x) appartienne à la classe d’équivalence de x, l’espace A/R_A est homéomorphe à E/R. ↩ 4 0BXH
Définition 1 On appelle espace projectif réel à n dimensions l’espace projectif Pₙ(R) muni de la topologie quotient de celle de Rₙ₊₁^* par la relation d’équivalence Δₙ(R). 0BXI
Proposition 1 L’espace projectif Pₙ est séparé. ↩ 1 0BXJ
Proposition 2 L’espace projectif Pₙ est un espace compact et connexe, homéomorphe à l’espace quotient de la sphère Sₙ par la relation d’équivalence induite sur cette sphère par Δₙ. ↩ 2 0BXK
Proposition 3 Pour n geqslant 0, l’espace projectif Pₙ est homéomorphe à l’espace quotient de la boule Bₙ obtenu en identifiant chaque point de Sₙ₋₁ à son opposé. ↩ 1 0BXL
Proposition 4 Toute variété linéaire projective à p dimensions de l’espace projectif Pₙ est un ensemble fermé dans Pₙ, homéomorphe à Pₚ; si p < n, son complémentaire est dense dans Pₙ. 0BXM
Proposition 5 Dans l’espace projectif Pₙ (pour n geqslant 0), le complémentaire d’un hyperplan projectif H est homéomorphe à Rⁿ. ↩ 2 0BXN
Corollaire Tout point de Pₙ possède un voisinage ouvert homéomorphe à Rⁿ. 0BXO
Définition 2 On appelle espace des variétés linéaires projectives à p ≥ 0 dimensions de l’espace projectif réel Pₙ, l’espace P_n, p quotient de l’espace topologique L_n+1, p+1 par la relation d… ↩ 1 0BXP
Proposition 6 Soit V une variété linéaire projective de dimension n - p - 1 de Pₙ; la partie U_V de P_n, p formée des éléments dont l’intersection avec V est vide, est un ouvert dense de P_n, p… ↩ 2 0BXQ
Corollaire L’espace P_n,p est un espace connexe et localement connexe, dont tout point possède un voisinage homéomorphe à R^(p+1)(n-p). 0EAM
Proposition 7 L’espace P_n,p est compact. ↩ 1 0BXR
Proposition 8 La grassmannienne G_n+1,p+1 est homéomorphe à l’espace P_n,p. ↩ 2 0BXS

VII. LES GROUPES ADDITIFS $\mathbf{R}^n$

§ 1. Sous-groupes et groupes quotients de $\mathbf{R}^n$

Proposition 1 Soient G un sous-groupe discret de Rⁿ, de rang p, (aᵢ)_1 ≤ i ≤ p un système libre de p points de G, P le parallélétope fermé de centre 0, construit sur les vecteurs aᵢ (VI, p. 3)… ↩ 3 0BY4
Corollaire Soient (aᵢ)_1 ≤ i ≤ p un système libre de p points de Rⁿ et b = ∑ᵢ₌₁ᵖ tᵢ aᵢ une combinaison linéaire à coefficients réels des aᵢ. Pour que le sous-groupe G de Rⁿ engendré par les p… 0BY5
Proposition 2 (Kronecker) Soient θ₁, θ₂, …, θₙ des nombres réels. Les conditions suivantes sont équivalentes: a) pour tout ε > 0, il existe un entier q et n entiers pᵢ (1 ≤ i ≤ n) tels que |q θᵢ - pᵢ| ≤ ε p… ↩ 1 0BY6
Théorème 1 Tout sous-groupe discret G de Rⁿ, de rang égal à p, est engendré par un système libre de p points. ↩ 4 0BY7
Proposition 3 Tout sous-groupe fermé non discret de Rⁿ contient une droite passant par 0. ↩ 1 0BY8
Théorème 2 Soit G un sous-groupe fermé de Rⁿ, de rang r (0 ≤ r ≤ n); il existe un plus grand sous-espace vectoriel V contenu dans G; pour tout espace vectoriel W supplémentaire de V, W ∩ G es… ↩ 5 0BY9
Corollaire 1 Il existe une base (aᵢ)_1 ≤ i ≤ n de Rⁿ, telle que aᵢ ∈ G pour 1 ≤ i ≤ r, aᵢ ∈ V pour 1 ≤ i ≤ p, et que G soit identique à l’ensemble des points ∑ᵢ₌₁ᵖ tᵢ aᵢ + ∑_j=p+1ʳ nⱼ aⱼ, où le… ↩ 2 0BYA
Corollaire 2 Il existe un automorphisme de Rⁿ qui applique G sur le groupe G', isomorphe à Rᵖ × Zʳ⁻ᵖ, somme directe du sous-espace vectoriel engendré par e₁, e₂, …, eₚ et du sous-groupe additif… 0BYB
Proposition 4 Le sous-groupe G^* associé à un sous-groupe G de Rⁿ est fermé, et on a (overlineG)^* = G^*. 0BYC
Proposition 5 Pour tout sous-groupe fermé G de Rⁿ, on a r(G^*) = n - d(G), et d(G^*) = n - r(G). ↩ 1 0BYD
Proposition 6 Pour tout sous-groupe G de Rⁿ, on a (G^*)^* = overlineG. ↩ 2 0BYE
Corollaire Pour qu’un point x soit adhérent à un sous-groupe G de Rⁿ, il faut et il suffit que (u | x) soit entier pour tout u ∈ Rⁿ tel que (u | y) soit entier pour tout y ∈ G. 0BYF
Proposition 7 (Kronecker) — Soient aᵢ = (aⱼᵢ) (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) m points de Rⁿ, b = (bⱼ) (1 ≤ j ≤ n) un point de Rⁿ. Afin que, pour tout ε > 0, il existe m entiers qᵢ (1 ≤ i ≤ m) et n entiers pⱼ (1 ≤ j… 0BYG
Corollaire 1 Afin que, pour tout x = (xⱼ) (1 ≤ j ≤ n) et tout ε > 0, il existe m entiers qᵢ (1 ≤ i ≤ m) et n entiers pⱼ (1 ≤ j ≤ n) tels que |q₁ a₁ⱼ + q₂ a₂ⱼ + ⋯ + qₘ aₘⱼ - pⱼ - xⱼ| ≤ ε pour 1… 0EAO
Corollaire 2 Soient θ₁, θ₂, …, θₙ n nombres réels. Afin que, quels que soient les n nombres réels x₁, x₂, …, xₙ et le nombre ε > 0, il existe un entier q et n entiers pⱼ tels que |q θⱼ - pⱼ - x… 0EAP
Proposition 8 Quels que soient les sous-groupes fermés G₁, G₂ de Rⁿ, on a (G₁ + G₂)^* = G₁^* ∩ G₂^*, et (G₁ ∩ G₂)^* = overlineG₁^* + G₂^*. 0BYJ
Remarque Soient G₁, G₂ deux réseaux de Rⁿ (n° 1) tels que G₂ ⊂ G₁; alors (VII, p. 7, prop. 5) G₁^* et G₂^* sont des réseaux de Rⁿ tels que G₁^* ⊂ G₂^*. On a vu (VII, p. 2, prop. 1) qu’il ex… 0BYK
Proposition 9 Tout groupe quotient séparé de Rⁿ est isomorphe à un groupe produit Rʰ × Tᵏ (0 ≤ h + k ≤ n). ↩ 1 0BYL
Proposition 10 Le groupe topologique Tⁿ est localement isomorphe à Rⁿ. En effet, Tⁿ = (R/Z)ⁿ est isomorphe à Rⁿ/Zⁿ (III, p. 18, corollaire) et Zⁿ est un sous-groupe discret de Rⁿ d’où la conclusi… 0BYM
Proposition 11 Tout sous-groupe fermé de T, distinct de T, est un groupe cyclique fini. Pour tout entier n > 0, T contient un sous-groupe d’ordre n et un seul, qui est l’ensemble des éléments de… 0EAQ
Proposition 12 Soient T un groupe topologique isomorphe à Tⁿ et G un sous-groupe fermé de T. Il existe un isomorphisme de groupes topologiques f de T sur Tⁿ et des sous-groupes fermés G₁, …, Gₙ d… 0EAR
Remarque Il résulte notamment des prop. 11 et 12 qu’un sous-groupe fermé G de Tⁿ est le produit direct de sa composante neutre G⁰, qui est isomorphe à un groupe Tʰ (0 ≤ h ≤ n), et d’un sous… 0EAS
Définition 1 On dit qu’une fonction f, définie dans Rⁿ, et prenant ses valeurs dans un ensemble quelconque E, est périodique s’il existe un point a ≠ 0 de Rⁿ tel que 0EAT

§ 2. Homomorphismes continus de $\mathbf{R}^n$ et de ses groupes quotients

Proposition 1 Tout homomorphisme continu f du groupe additif Rᵐ dans le groupe additif Rⁿ est une application linéaire de Rᵐ dans Rⁿ. ↩ 1 0BZ3
Proposition 2 Soit A un parallélétope de Rⁿ tel que 0 ∈ A; soit f une application continue de A dans un groupe topologique G (noté multiplicativement), telle que f(x + y) = f(x)f(y) pour tout co… ↩ 3 0BZ4
Corollaire 1 Soient V un voisinage de 0 dans Rⁿ, f une application continue de V dans un groupe topologique G, telle que f(x + y) = f(x)f(y) pour tout couple de points x, y tels que x ∈ V, y ∈… ↩ 1 0BZ5
Corollaire 2 Soit f un isomorphisme local de Rⁿ à un groupe topologique G; il existe un morphisme strict et un seul de Rⁿ sur un sous-groupe ouvert de G, qui coïncide avec f en tous les points… ↩ 1 0BZ6
Corollaire 3 Lorsque n ≠ m, Rⁿ et Rᵐ ne sont pas localement isomorphes. 0EAX
Théorème 1 Soit G un groupe topologique connexe, localement isomorphe à Rⁿ; il est commutatif. Soit K l’adhérence dans G du sous-groupe de torsion de G (A, II, p. 115). Alors K est le plus gr… ↩ 1 0BZ7
Corollaire Tout groupe connexe G, localement isomorphe à Rⁿ, est isomorphe à un groupe Rᵖ × Tⁿ⁻ᵖ (0 ≤ p ≤ n). 0EAY
Proposition 3 Tout homomorphisme continu de Rᵐ dans Tⁿ est de la forme x ↦ φ(u(x)), où φ est l’homomorphisme canonique de Rⁿ sur Tⁿ (identifié à Rⁿ/Zⁿ), et u une application linéaire de Rᵐ dans… ↩ 2 0BZ8
Remarque Le même raisonnement montre, plus généralement, que si φ est un morphisme strict de Rⁿ dans un groupe G, dont la restriction à un voisinage convenable de 0 est un isomorphisme loca… 0BZ9
Proposition 4 Si φ est l’homomorphisme canonique de R sur T, tout homomorphisme continu de R dans T est de la forme x ↦ φ(ax) où a ∈ R; c’est un morphisme strict de R sur T si a ≠ 0. ↩ 1 0BZA
Proposition 5 Tout isomorphisme du groupe topologique Tⁿ sur un de ses sous-groupes est un automorphisme de Tⁿ, qui s’obtient par passage aux quotients à partir d’une application linéaire u de R… ↩ 3 0BZB
Proposition 6 Les seuls isomorphismes du groupe topologique T sur un de ses sous-groupes sont l’application identique et la symétrie x ↦ -x. ↩ 3 0BZC

§ 3. Sommes infinies dans les groupes $\mathbf{R}^n$

Proposition 1 Pour qu’une famille (xᵢ)_i ∈ I de points xᵢ = (x_i,k)_1 ≤ k ≤ n de Rⁿ soit sommable, il faut et il suffit que chacune des n familles (x_i,k)_i ∈ I de nombres réels soit sommable da… ↩ 2 0BZK
Théorème 1 Pour qu’une famille (xᵢ)_i ∈ I de points de Rⁿ soit sommable, il faut et il suffit que la famille (|xᵢ|) des normes euclidiennes des xᵢ soit sommable dans R. ↩ 2 0BZL
Proposition 2 Pour toute famille finie (xᵢ)_i ∈ I de points de Rⁿ, on a ↩ 3 0BZM
Corollaire Pour qu’une famille (xₜ) de points de Rⁿ soit sommable, il faut et il suffit que l’ensemble des sommes partielles finies de cette famille soit borné dans Rⁿ. D’après le th. 1 (VII… 0BZN
Proposition 3 Soient (x_λ)_λ ∈ L une famille sommable de points de Rᵐ, (y_μ)_μ ∈ M une famille sommable de points de Rⁿ, f une application bilinéaire de Rᵐ × Rⁿ dans Rᵖ. La famille (f(x_λ, y_μ))… 0BZO
Corollaire 1 Si (a_λ)_λ ∈ L est une famille sommable de nombres réels, (x_μ)_μ ∈ M une famille sommable de points de Rⁿ, la famille (a_λ x_μ)_(λ, μ) ∈ L × M est sommable, et l’on a ∑_(λ, μ) ∈ L… 0BZP
Corollaire 2 Si (x_λ)_λ ∈ L et (y_μ)_μ ∈ M sont deux familles sommables de points de Rⁿ, la famille (x_λ | y_μ) (cf. VI, p. 8) est sommable dans R, et l’on a ∑_(λ, μ) ∈ L × M (x_λ | y_μ) = ( ∑_… 0BZQ
Définition 1 Une série de points de Rⁿ est dite absolument convergente si la série des normes euclidiennes de ses termes est convergente. 0BZR
Proposition 4 Pour qu’une série de points de Rⁿ, soit commutativement convergente, il faut et il suffit qu’elle soit absolument convergente. 0BZS

VIII. Nombres complexes

§ 1. Nombres complexes; quaternions

Définition 1 On appelle corps des nombres complexes, et on désigne par C, le corps (commutatif) R[X]/(X² + 1); on désigne par i l’image canonique de X dans C, de sorte que C est obtenu par adjo… ↩ 1 0BZV
Théorème 1 (théorème de d’Alembert-Gauss) Le corps C des nombres complexes est algébriquement clos. ↩ 2 0BZW
Remarque 1 On peut démontrer le th. I sans utiliser la théorie des corps ordonnés, en se servant des propriétés de la topologie du corps C, qui va être définie ci-dessous (VIII, p. 3): voir V… 0BZX
Remarque 2 Comme C est de degré 2 par rapport à R, on voit que C est, à isomorphisme près, la seule extension algébrique de R distincte de R, et qu’il n’existe pas de corps contenu dans C et… 0BZY
Proposition 1 Le groupe topologique C^* est le produit direct de ses sous-groupes R₊^* et U. ↩ 3 0BZZ
Proposition 2 Le groupe topologique H^* des quaternions ≠ 0 est le produit direct de ses sous-groupes R₊^* et S₃. 0C00
Proposition 3 L’application qui associe à chaque q ∈ S₃ l’endomorphisme x ↦ xq⁻¹ = xoverlineq du C-espace vectoriel H est un isomorphisme du groupe S₃ sur le groupe spécial unitaire SU(N). 0EAZ
Proposition 4 L’application qui associe à chaque q ∈ S₃ l’endomorphisme x ↦ qxq⁻¹ = q x barq de l’espace H₀ des quaternions purs est un homomorphisme surjectif du groupe S₃ sur le groupe spécial… 0EB0
Corollaire L’application qui associe à chaque (q, q') ∈ S₃ × S₃ l’endomorphisme x ↦ qxq'⁻¹ = qxbarq' du R-espace vectoriel H est un homomorphisme surjectif du groupe produit S₃ × S₃ sur le gr… 0EB1
Remarque 1 A l’aide des relations | x + y | ≤ | x | + | y | et | xy | = | x | . | y |, on peut démontrer directement, comme plus haut pour le corps des nombres complexes, que la topologie de… 0C01
Remarque 2 Sur les sphères S₀, S₁ et S₃, il existe, d’après ce qui précède, une structure de groupe compatible avec leur topologie. Inversement, on peut montrer que tout groupe topologique ho… 0C02
Remarque 3 Tout point du groupe S₃ possède un voisinage homéomorphe à R³ (VI, p. 11, cor. 2), mais S₃ n’est pas localement isomorphe au groupe R³, sans quoi, étant connexe, il serait commutat… 0C03
Remarque 4 Si l’on munit les groupes SU(N), SO(N₀) et SO(N) des topologies induites par celle du groupe linéaire GL(4, R), et les groupes S₃/1, -1 et (S₃ × S₃)/(1, 1), (-1, -1) des topologies… 0EB2

§ 2. Mesure des angles; fonctions trigonométriques

Théorème 1 Le groupe topologique (multiplicatif) U des nombres complexes de valeur absolue 1 est isomorphe au groupe topologique (additif) T des nombres réels modulo 1. ↩ 2 0C09
Corollaire Le groupe multiplicatif C^* des nombres complexes ≠ 0 est isomorphe au groupe R × T (cf. VIII, p. 4, prop. 1). 0C0A
Remarque L’isomorphie des groupes C^* et R × T entraîne l’existence des racines de toute « équation binôme » zⁿ = a dans le corps C; en s’appuyant sur cette propriété (et sur la compacité l… 0C0B
Remarque L’application x + iy ↦ eˣ e(y) est un morphisme strict du groupe additif C sur le groupe multiplicatif C^*, et sa restriction à un voisinage convenable de 0 est un isomorphisme loc… 0C0C
Remarque On définit un homomorphisme de C^* sur 𝔄₀ en faisant correspondre à tout nombre complexe z ≠ 0 l’angle que fait la droite passant par 0 et z avec l’axe réel; il est clair que cet h… 0C0D

§ 3. Sommes et produits infinis de nombres complexes

Proposition 1 Si (u_λ)_λ ∈ L et (v_μ)_μ ∈ M sont deux familles sommables de nombres complexes, la famille (u_λ v_μ)_(λ, μ) ∈ L × M est sommable, et l’on a 0C0I
Proposition 2 Pour qu’une famille (zᵢ) de nombres complexes 0C0J
Théorème 1 Pour qu’une famille (1 + uᵢ)_i ∈ I soit multipliable dans C^*, il faut et il suffit que la famille (|uᵢ|) soit sommable dans R. ↩ 1 0C0K
Lemme 1 Pour toute partie finie J de I, soit φ(J) = sup_L ⊂ J |p_L - 1|. Pour toute partie L de J, on a |p_L - 1 - s_L| ≤ φ(J) σ_L. Le lemme est évident si L est vide; démontrons-le par ré… 0C0L
Lemme 2 Si J est une partie finie de I telle que φ(J) < 1/4, on a |σ_J| ≤ 4φ(J)/(1 - 4φ(J)). En effet, comme σ_L ≤ σ_J pour toute partie L de J, on a, d’après (2), |s_L| ≤ φ(J)σ_J + |p_L -… 0C0M
Définition 1 Un produit infini de nombres complexes, de facteur général 1 + uₙ, est dit absolument convergent, si le produit de facteur général 1 + |uₙ| est convergent (ou, ce qui revient au mê… 0C0N
Proposition 3 Pour qu’un produit infini de nombres complexes soit commutativement convergent, il faut et il suffit qu’il soit absolument convergent. ↩ 1 0C0O
Remarque 1 Le produit de facteur général |1 + uₙ| peut être convergent, et même absolument convergent dans R₊^*, sans que le produit de facteur général 1 + |uₙ| le soit (voir VIII, p. 26, exe… 0C0P
Remarque 2 Comme on l’a déjà signalé pour les produits de facteurs > 0, la convergence de la série de terme général uₙ n’est ni nécessaire ni suffisante pour assurer la convergence du produit… 0C0Q

§ 4. Espaces numériques et espaces projectifs complexes

Définition 1 On appelle espace projectif complexe à n dimensions l’espace projectif Pₙ(C) muni de la topologie quotient de celle de Cₙ₊₁^* par la relation d’équivalence Δₙ(C). 0C0W
Définition 2 On appelle espace des variétés linéaires projectives à p geqslant 0 dimensions de l’espace projectif Pₙ(C), l’espace P_n,p(C) quotient de l’espace topologique L_n+1,p+1(C) par la r… ↩ 1 0C0X
Remarque La plupart des propriétés communes aux espaces numériques (ou projectifs) réels et complexes sont encore exactes pour les espaces numériques (resp. projectifs) définis de manière a… 0C0Y
Proposition 1 L’application f de Σₙ(C) dans P(C[X]ₙ) définie ci-dessus est un homéomorphisme. 0EB4
Corollaire L’espace projectif complexe à n dimensions est homéomorphe à la puissance symétrique n-ième de la droite projective complexe. 0EB5
Proposition 2 Soit A une partie ouverte (resp. fermée) de P₁(C). La fonction numérique P ↦ v_A(P) est semi-continue inférieurement (resp. supérieurement) en tout point de C[X]ₙ - 0 (IV, p. 28). 0EB6
Corollaire 1 Soient U une partie ouverte de P₁(C), F sa frontière. L’ensemble des polynômes P ∈ C[X]ₙ - 0 tels que v_F(P) = 0 est ouvert, et la fonction v_U est localement constante dans cet ou… 0EB7
Corollaire 2 Soient U et F comme dans le corollaire 1, et soit V l’ouvert de C[X]ₙ - 0 formé des polynômes P tels que v_F(P) = 0, v_U(P) = 1. À chaque P ∈ V associons son unique racine dans U… 0EB8

IX. Utilisation des nombres réels en topologie générale

§ 1. Génération d’une structure uniforme par une famille d’écarts. Espaces uniformisables

Définition 1 Étant donné un ensemble X, on appelle écart sur X toute application f de X × X dans l’intervalle [0, +∞) de la droite achevée overlineR, satisfaisant aux conditions suivantes : 0EB9
Exemple 1 Sur l’espace numérique Rⁿ, la distance euclidienne (VI, p. 7) est un écart. 0C17
Exemple 2 Étant donné un ensemble quelconque X, la fonction f définie sur X × X par les conditions : f(x, x) = 0 pour tout x ∈ X, f(x, y) = +∞ si x ≠ y, est un écart sur X. ↩ 1 0C18
Exemple 3 Étant donnée une fonction numérique finie g définie dans un ensemble quelconque X, la fonction f définie dans X × X par f(x, y) = |g(x) - g(y)| est un écart sur X. ↩ 1 0C19
Exemple 4 Soit X l’ensemble des applications continues de l’intervalle [0, 1] de R dans R. Si, pour tout couple d’éléments x, y de X, on pose f(x, y) = ∫₀¹ |x(t) - y(t)| dt, f est un écart s… 0C1A
Remarque 1 L’exemple 2 ci-dessus montre qu’un écart peut prendre la valeur +∞ pour certains couples d’éléments de X. 0EBA
Remarque 2 Si f est un écart sur X, on peut en général avoir f(x, y) = 0 pour des couples (x, y) tels que x ≠ y; c’est ce que montre l’exemple 3 ci-dessus (cf. IX, p. 1). 0EBB
Définition 2 Étant donné un écart f sur un ensemble X, on appelle structure uniforme définie par f la structure uniforme sur X ayant pour système fondamental d’entourages la famille des ensembl… ↩ 2 0C1B
Remarque 1 Pour toute suite (aₙ) de nombres > 0 tendant vers 0, les U_aₙ forment un système fondamental d’entourages de la structure uniforme définie par f. 0C1C
Remarque 2 La définition d’une structure uniforme par un écart f revient à prendre comme système fondamental d’entourages de cette structure, l’image réciproque par f du filtre des voisinages… 0C1D
Définition 3 Étant donnée une famille (fᵢ)_i ∈ I d’écarts sur un ensemble X, on appelle structure uniforme définie par la famille (fᵢ) sur l’ensemble X, la borne supérieure de l’ensemble des st… 0C1E
Proposition 1 Soit X un espace uniforme séparé, dont la structure uniforme U est définie par une famille d’écarts finis (fᵢ); soit hatX le complété de X. Les fonctions fᵢ se prolongent par conti… ↩ 2 0C1F
Théorème 1 Étant donnée une structure uniforme U sur un ensemble X, il existe une famille d’écarts sur X telle que la structure uniforme définie par cette famille soit identique à U. ↩ 2 0C1G
Proposition 2 Si une structure uniforme U sur X possède un système fondamental dénombrable d’entourages, il existe un écart f sur X tel que U soit identique à la structure uniforme définie par f… ↩ 2 0C1H
Remarque Une structure uniforme U sur X est définie par la famille Φ de tous les écarts sur X qui sont uniformément continus dans X × X. En effet, il est clair que la structure uniforme déf… 0C1I
Théorème 2 Pour qu’un espace topologique X soit uniformisable, il faut et il suffit qu’il vérifie l’axiome suivant: (OIV) Quels que soient le point x₀ ∈ X et le voisinage V de x₀, il existe u… ↩ 4 0C1J
Définition 4 On dit qu’un espace topologique est complètement régulier s’il est uniformisable et séparé. 0C1K
Remarque L’axiome (O{IV}) entraîne (O{III}) (cf. I, p. 56, car si V est un voisinage de x₀, et f une fonction numérique continue dans X, à valeurs dans (0, 1), telle que f(x₀) = 0, f(x) = 1… 0C1L
Proposition 3 Pour qu’un espace topologique X soit complètement régulier, il faut et il suffit qu’il soit homéomorphe à un sous-espace d’un espace compact. ↩ 1 0C1M
Proposition 4 Si un espace topologique X est complètement régulier, il est homéomorphe à un sous-espace d’un cube. ↩ 1 0C1N
Définition 5 Étant donné un ensemble X, on dit qu’un ensemble H d’applications de X dans un ensemble Y sépare les éléments d’une partie A de X (ou est un ensemble séparant pour les éléments de… 0EBC
Proposition 5 Soient X un espace compact, H un ensemble de fonctions numériques continues dans X et séparant les points de X. Pour toute partie finie K de H et tout réel ε > 0, soit U_K,ε l’ense… ↩ 1 0C1O
Proposition 6 Soit X un espace topologique; il existe un espace compact Z et une application continue f : X → Z ayant la propriété suivante: pour toute application continue g de X dans un espace… 0EBD
Corollaire Pour que f soit injective, il faut et il suffit que l’ensemble des applications continues de X dans I = (0, 1) sépare les points de X. Pour que f soit un homéomorphisme de X sur f(… 0EBE
Proposition 7 Pour que toute fonction numérique f (finie ou non) semi-continue inférieurement dans un espace topologique X, soit l’enveloppe supérieure des fonctions numériques (finies ou non) c… 0EBF
Remarque Dans la démonstration précédente, on voit que la fonction g ne prend pas la valeur +1. Par transport de structure, on en déduit que toute fonction numérique f, semi-continue inféri… 0EBG

§ 2. Espaces métriques ; espaces métrisables

Définition 1 On appelle distance sur un ensemble X un écart fini d sur X tel que la relation d(x, y) = 0 entraîne x = y. On appelle espace métrique un ensemble X muni de la structure définie pa… ↩ 1 0C2C
Exemple 1 La distance euclidienne d(x, y) (VI, p. 7) est une distance sur l’espace numérique Rⁿ; il en est de même des fonctions sup_1 ≤ i ≤ n |xᵢ - yᵢ|, et ∑ᵢ₌₁ⁿ |xᵢ - yᵢ| Toutes ces distan… 0C2D
Exemple 2 Sur un ensemble quelconque X, l’écart d défini par les relations d(x, x) = 0, d(x, y) = 1 pour x ≠ y, est une distance ; la structure uniforme qu’elle définit sur X est la structur… 0C2E
Proposition 1 Soient X un espace métrique, d la distance sur X. Si hatX est le complété de X (pour la structure uniforme définie par d), la fonction d se prolonge par continuité à hatX × hatX; l… ↩ 3 0C2F
Remarque Si d(x, A) = a, il se peut qu’il n’existe aucun point de A dont la distance à x soit égale à a. Toutefois, cette circonstance ne peut se présenter si A est compact, car alors, en v… 0C2G
Proposition 2 Les propriétés d(x, A) = 0 et x ∈ overlineA sont équivalentes. ↩ 2 0C2H
Proposition 3 La fonction x ↦ d(x, A) est uniformément continue dans X. ↩ 3 0C2I
Remarque On peut avoir d(A, B) = 0 pour deux parties A, B de X telles que overlineA ∪ overlineB = ∅, lorsqu’aucune de ces deux parties n’est réduite à un point. Par exemple, sur la droite n… 0C2J
Proposition 4 L’oscillation ω(x; f) d’une fonction quelconque f définie dans une partie X d’un espace topologique Z, et prenant ses valeurs dans un espace métrique Y', est une fonction semi-cont… 0C2K
Proposition 5 Soit f une fonction définie dans une partie X d’un espace topologique Z, prenant ses valeurs dans un espace métrique complet Y'; pour qu’en un point x ∈ overlineX, f ait une limite… 0C2L
Définition 2 On dit qu’une distance sur un ensemble X est compatible avec une structure uniforme U sur X si la structure uniforme définie par cette distance est identique à U. 0C2M
Théorème 1 Pour qu’une structure uniforme soit métrisable, il faut et il suffit qu’elle soit séparée et que le filtre des entourages de cette structure ait une base dénombrable. ↩ 8 0C2N
Corollaire 1 Une structure uniforme séparée définie par une famille dénombrable d’écart est métrisable. 0C2O
Corollaire 2 Tout produit dénombrable d’espaces uniformes métrisables est métrisable. ↩ 5 0C2P
Définition 3 On dit qu’une distance sur un ensemble X est compatible avec une topologie T sur X si la topologie définie par cette distance est identique à T. On dit qu’un espace topologique X e… 0C2Q
Proposition 6 Tout point d’un espace métrisable possède un système fondamental dénombrable de voisinages. ↩ 1 0C2R
Proposition 7 Dans un espace métrisable, tout ensemble fermé est intersection d’une famille dénombrable d’ensembles ouverts; tout ensemble ouvert est réunion d’une famille dénombrable d’ensemble… ↩ 2 0C2S
Remarque 1 Les conditions nécessaires qui précèdent ne sont pas suffisantes (cf. IX, p. 92, exerc. 12). 0C2T
Remarque 2 On peut donner des exemples d’espaces où tout point a un système fondamental dénombrable de voisinages, mais où il existe des ensembles fermés qui ne sont pas des intersections dén… 0C2U
Proposition 8 Dans un espace métrisable E, pour qu’un point x soit adhérent à une partie non vide A de E, il faut et il suffit qu’il existe une suite de points de A qui converge vers x. ↩ 1 0C2V
Proposition 9 Pour qu’un espace métrique X soit complet, il faut et il suffit que toute suite de Cauchy dans X soit convergente. ↩ 3 0C2W
Proposition 10 Soient X un espace métrisable, f une application de X dans un espace topologique Y. Pour que f soit continue en un point a ∈ X, il faut et il suffit que pour toute suite (xₙ) de po… ↩ 1 0C2X
Proposition 11 Soient X un espace métrisable, f une fonction geqslant 0, semi-continue inférieurement dans X. Alors f est l’enveloppe supérieure d’une suite croissante de fonctions continues et f… ↩ 1 0C2Y
Définition 4 On dit qu’un espace métrisable est de type dénombrable si sa topologie admet une base dénombrable. 0C2Z
Proposition 12 Pour un espace topologique métrisable X, les propositions suivantes sont équivalentes : a) X est de type dénombrable ; ↩ 3 0C30
Corollaire (i) Tout sous-espace d’un espace métrisable de type dénombrable est métrisable de type dénombrable. (ii) Toute somme (resp. tout produit) d’une famille dénombrable d’espaces métris… 0EBK
Proposition 13 Soit X un espace topologique admettant une base dénombrable (Uₙ); pour tout recouvrement ouvert (Vᵢ)_i ∈ I de X il existe une partie dénombrable J de I telle que (Vᵢ)_i ∈ J soit un… 0C31
Proposition 14 Pour qu’un espace métrique X soit précompact, il faut et il suffit que, pour tout ε > 0, il existe un recouvrement fini de X dont tous les ensembles aient un diamètre ≤ ε. ↩ 2 0C32
Proposition 15 Pour qu’un espace topologique métrisable X soit compact, il faut et il suffit que toute suite infinie de points de X ait une valeur d’adhérence dans X. ↩ 2 0C33
Corollaire Pour qu’une partie A d’un espace topologique métrisable X soit relativement compacte, il faut et il suffit que toute suite infinie de points de A ait une valeur d’adhérence dans X. 0C34
Proposition 16 Pour qu’un espace compact X soit métrisable, il faut et il suffit que sa topologie admette une base dénombrable. ↩ 4 0C35
Corollaire Soient X un espace localement compact, X' l’espace compact obtenu par adjonction à X d’un point à l’infini ω (I, p. 68). Les propositions suivantes sont équivalentes: ↩ 1 0C36
Proposition 17 Tout espace quotient séparé d’un espace compact métrisable est un espace compact métrisable. 0C37
Proposition 18 Soient X un espace métrique complet, R une relation d’équivalence ouverte dans X, telle que X/R soit séparé, φ l’application canonique de X sur X/R. Pour toute partie compacte K de… 0C38

§ 3. Groupes métrisables ; corps valués ; espaces et algèbres normés

Proposition 1 Pour que les structures uniformes droite et gauche d’un groupe topologique G soient métrisables, il faut et il suffit que G soit séparé et que l’élément neutre e de G possède un sy… ↩ 1 0C3Y
Définition 1 Sur un groupe G, noté multiplicativement, on dit qu’une distance d est invariante à gauche (resp. invariante à droite) si, quels que soient x, y, z dans G, on a d(zx, zy) = d(x, y)… 0C3Z
Proposition 2 La structure uniforme gauche (resp. droite) d’un groupe métrisable G peut être définie par une distance invariante à gauche (resp. à droite). 0C40
Proposition 3 Soient G un groupe commutatif noté additivement, x ↦ |x| une application de G dans R₊ satisfaisant aux conditions a), b), c) précédentes. La fonction d(x, y) = |x - y| est une dist… ↩ 2 0C41
Proposition 4 Si G est un groupe métrisable, tout groupe quotient séparé G/H de G est métrisable; si en outre G est complet, G/H est complet.¹ ↩ 4 0C42
Corollaire Soient G un groupe métrisable complet, G₀ un sous-groupe partout dense dans G, H₀ un sous-groupe distingué fermé de G₀; si H est l’adhérence de H₀ dans G, le groupe quotient G₀/H₀… 0EBQ
Proposition 5 Soit X xrightarrowf Y xrightarrowg Z une suite exacte de morphismes stricts (III, p. 16) de groupes topologiques (A, II, p. 10, Remarque 5). Supposons que X, Y, Z admettent des gro… ↩ 6 0C4F
Lemme 1 Soient X un groupe topologique admettant un groupe séparé complété métrisable, N un sous-groupe distingué de X, Y = X/N, f : X → Y le morphisme canonique. Alors hatf : hatX → hatY… 0EBR
Corollaire Soient X, Y deux groupes commutatifs métrisables, u un morphisme strict de X dans Y, N son noyau, P son image. Alors hatu est un morphisme strict de hatX dans hatY, de noyau hatN =… 0EBS
Remarque Soit d une distance invariante à gauche définissant la topologie d’un groupe métrisable G; soit H un sous-groupe distingué fermé de G. Pour deux points quelconques dotx, doty de G/… 0C46
Définition 2 On appelle valeur absolue sur un corps K une application x ↦ |x| de K dans R₊, satisfaisant aux conditions suivantes : ↩ 1 0C48
Définition 3 On appelle corps valué un corps K muni de la structure définie par la donnée d’une valeur absolue sur K. ↩ 1 0C49
Exemple 1 Soit K un corps quelconque; pour tout x ∈ K, posons |x| = 1 si x ≠ 0, et |0| = 0; l’application x ↦ |x| ainsi définie est une valeur absolue sur K, dite valeur absolue impropre. Po… 0C4A
Exemple 2 La valeur absolue d’un nombre réel (IV, p. 5) vérifie les axiomes (VM₁), (VM₂), (VM₃) et définit sur le corps R la topologie de la droite numérique. Sur le corps C des nombres comp… 0C4B
Exemple 3 Sur un corps K, une valuation réelle est une fonction v, définie dans K^*, à valeurs dans R, satisfaisant aux conditions suivantes: a) pour x ∈ K^*,\ y ∈ K^*, v(xy) = v(x) + v(y)… 0C4C
Remarque Si, dans un corps valué, x est racine de l’unité, on a |x| = 1, car si xⁿ = 1 pour un entier n > 0, on en tire |x|ⁿ = 1 d’où |x| = 1. En particulier, la seule valeur absolue sur un… 0C4D
Définition 4 On dit que deux valeurs absolues sur un corps K sont équivalentes si elles définissent la même topologie sur K. 0C4E
Remarque La démonstration de la prop. 6 (IX, p. 29) prouve que, si la topologie définie sur K par |x|₂ est moins fine que celle définie par |x|₁, et si |x|₁ n’est pas impropre, |x|₁ et |x|₂… ↩ 1 0C4G
Proposition 7 L’anneau complété hatK d’un corps K valué par une valeur absolue |x| est un corps, et la fonction |x| se prolonge par continuité en une valeur absolue sur hatK, qui définit la topo… ↩ 3 0C4J
Définition 5 Étant donné un espace vectoriel E (à gauche par exemple) sur un corps valué non discret K, on appelle norme sur E une application x ↦ p(x) de E dans R₊, satisfaisant aux axiomes su… 0C4I
Définition 6 On appelle espace normé sur un corps valué non discret K un espace vectoriel E sur le corps K, muni de la structure définie par la donnée d’une norme sur E. 0EBT
Exemple 1 Sur un corps valué non discret K, considéré comme espace vectoriel (à gauche ou à droite) par rapport à lui-même, la valeur absolue |x| est une norme. 0C4K
Exemple 2 L’expression | x | = sqrt∑ᵢ₌₁ⁿ xᵢ², que nous avons appelée norme euclidienne sur l’espace Rⁿ (VI, p. 7) est évidemment une norme au sens de la déf. 5 (IX, p. 31). 0EBU
Exemple 3 Soit B(E) l’ensemble des fonctions f définies dans un ensemble E, prenant leurs valeurs dans un corps valué non discret K, et telles que la fonction numérique x ↦ |f(x)| soit borné… 0EBV
Exemple 4 Sur l’espace vectoriel C(I) des fonctions continues numériques (finies) définies dans l’intervalle I = [0, 1], la fonction p(x) = ∫₀¹ |x(t)|\ dt est une norme. 0EBW
Exemple 5 Lorsque K est un corps valué non discret ultramétrique (IX, p. 29), on appelle ultranorme sur un espace vectoriel E sur K, une norme sur E vérifiant l’inégalité (qui entraîne (NOII… 0EBX
Définition 7 On dit que deux normes sur un espace vectoriel E (sur un corps valué non discret K) sont équivalentes si elles définissent la même topologie sur E. 0EBY
Proposition 8 Pour que deux normes p, q sur un espace vectoriel E soient équivalentes, il faut et il suffit qu’il existe deux nombres a > 0, b > 0 tels que, pour tout x ∈ E, on ait ↩ 1 0C4L
Exemple Dans l’espace Rⁿ, les trois normes sqrt∑ᵢ₌₁ⁿ xᵢ², sup_1 ≤ i ≤ n |xᵢ| et ∑ᵢ₌₁ⁿ |xᵢ| sont équivalentes, car on a 0EBZ
Proposition 9 Soient E un espace normé sur un corps valué non discret K, p la norme sur E, hatE le groupe topologique additif complété du groupe additif E. La fonction (t, x) ↦ t x se prolonge p… ↩ 1 0C4M
Proposition 10 Soient E une espace normé sur un corps valué non discret K, H un sous-espace vectoriel fermé de E. Si, pour toute classe dotx ∈ E/H, on pose | dotx | = inf_x ∈ dotx |x|, la fonctio… ↩ 2 0C4N
Proposition 11 Soit (Eᵢ)_1 ≤ i ≤ n une famille finie d’espaces normés sur un corps valué non discret K; si, dans l’espace vectoriel produit E = ∏ᵢ₌₁ⁿ Eᵢ, on pose, pour tout x = (xᵢ), |x| = sup_1… ↩ 3 0C4R
Théorème 1 Soient Eᵢ (1 ≤ i ≤ n) et F des espaces normés sur un corps valué non discret K, et f une application multilinéaire de ∏ᵢ₌₁ⁿ Eᵢ dans F. Pour que f soit continue dans ∏ᵢ₌₁ⁿ Eᵢ, il fa… ↩ 5 0C4O
Remarque Ce théorème entraîne deux propositions démontrées plus haut: d’une part, la continuité de la fonction bilinéaire t x (IX, p. 31), en vertu de la relation | t x | = |t| · | x |; d’a… 0C4P
Corollaire 1 Pour que f soit continue dans ∏ᵢ₌₁ⁿ Eᵢ, il faut et il suffit que f soit bornée dans toute partie bornée de ∏ᵢ₌₁ⁿ Eᵢ. 0EC0
Corollaire 2 Soient E, F deux espaces normés sur un corps valué non discret K. Pour qu’une application linéaire surjective u de E dans F soit un homéomorphisme, il faut et il suffit qu’il exist… 0EC1
Définition 8 Dans un espace normé E, on dit qu’une famille (xᵢ) de points de E est absolument sommable, si la famille (|xᵢ|) des normes des xᵢ est sommable dans R. 0C4Q
Proposition 12 Dans un espace normé complet E, toute famille absolument sommable est sommable. 0C4X
Corollaire 1 Dans un espace normé complet E, toute série absolument convergente est commutativement convergente. 0EC2
Corollaire 2 Si dans un espace normé E toute série absolument convergente est convergente, alors E est complet. 0EC3
Définition 9 Étant donnée une algèbre A sur un corps valué commutatif non discret K, on dit qu’une norme |x| sur A (A étant considéré comme K-espace vectoriel) est compatible avec la structure… ↩ 2 0C4T
Exemple 1 Soient K un corps valué, K' un sous-corps du centre de K tel que la trace sur K' de la valeur absolue |x| de K ne soit pas la valeur absolue impropre sur K'; K, muni de la norme |x… 0C4U
Exemple 2 Soient K un corps commutatif valué non discret, Mₙ(K) l’anneau des matrices carrées d’ordre n sur K; on sait que, en tant qu’espace vectoriel sur K, Mₙ(K) est isomorphe à K^n²; si… 0C4V
Exemple 3 L’ensemble B(E) des fonctions f définies dans un ensemble E, prenant leurs valeurs dans un corps valué commutatif non discret K, et telles que x ↦ |f(x)| soit bornée dans E, est un… 0C4W
Proposition 13 Si, dans A, la série de terme général zⁿ est convergente, e - z est inversible, et on a ↩ 7 0C4Z
Corollaire Soit A une algèbre normée complète; pour tout z ∈ A tel que |z| < 1, e - z est inversible dans A. ↩ 2 0C4Y
Proposition 14 Soit G le groupe des éléments inversibles d’une algèbre normée complète A. Alors G est un ensemble ouvert dans A; la topologie induite sur G par celle de A est compatible avec la s… 0C50
Proposition 15 Dans un corps valué complet, le groupe multiplicatif des éléments ≠ 0 est un groupe complet. 0EC4
Remarque La prop. 14 est inexacte dans une algèbre normée non complète. Par exemple, dans l’algèbre C(I) des fonctions numériques finies et continues dans I = [0, 1] (la norme étant | x | =… 0C51

§ 4. Espaces normaux

Définition 1 On dit qu’un espace topologique X est normal s’il est séparé et s’il vérifie l’axiome suivant: 0C5F
Théorème 1 (Urysohn) — L’axiome (Oᵥ) est équivalent au suivant: (O'ᵥ) Quels que soient les ensembles fermés sans point commun A et B dans X, il existe deux ensembles ouverts sans point commun U et V te… ↩ 2 0C5G
Proposition 1 Un espace compact est normal. En effet, un tel espace vérifie l’axiome (O'_V), d’après la prop. 3 de I, p. 61. 0C5H
Proposition 2 Un espace métrisable est normal. Soient X un espace métrisable, d une distance compatible avec la topologie de X, A et B deux ensembles fermés sans point commun dans X; comme les f… ↩ 4 0C5I
Remarque 1 La prop. 2 donne une nouvelle condition nécessaire pour qu’un espace topologique soit métrisable; mais cette condition, même jointe à toutes les conditions nécessaires données au §… 0C5J
Remarque 2 On peut donner des exemples d’espaces normaux qui ne sont ni métrisables ni localement compacts (voir IX, p. 113, exerc. 15). 0C5K
Théorème 2 (Urysohn) L’axiome (OV) est équivalent à la propriété suivante: (O''V) Quels que soient l’ensemble A fermé dans X, et la fonction numérique (finie ou non) f, définie et continue dans A, il e… ↩ 4 0C5L
Lemme 1 Soit u une application continue de A dans (−1, +1); il existe une application continue v de X dans (−\frac{1}{3}, +\frac{1}{3}), telle que u(x) − v(x) ≤ \frac{2}{3} pour tout x ∈ A… 0C5M
Corollaire Si f est une fonction numérique finie, définie et continue dans A, il existe une fonction numérique finie g, définie et continue dans X, qui prolonge f. 0C5N
Remarque Si X est un espace normal, A une partie fermée de X, il existe aussi un prolongement, continu dans X, de toute application continue f de A dans un cube 0C5O
Définition 2 Soient X un espace topologique, f une fonction numérique définie dans X. On appelle support de f et on note Supp(f) le plus petit ensemble fermé S dans X, tel que f(x) = 0 dans C S… 0C5R
Définition 3 Etant donnée une famille (Aᵢ)_i ∈ I de parties d’un espace topologique X, on dit qu’une famille (fᵢ)_i ∈ I de fonctions numériques définies dans X est subordonnée (resp. faiblement… 0C5S
Définition 4 On appelle partition continue de l’unité sur un espace topologique X toute famille (fᵢ)_i ∈ I de fonctions numériques geqslant 0, continues dans X, telle que, pour tout x ∈ X, la f… 0EC5
Proposition 3 Soient X un espace topologique, (Uᵢ)_i ∈ I un recouvrement ouvert de X, (fᵢ)_i ∈ I une partition continue de l’unité sur X faiblement subordonnée à (Uᵢ)_i ∈ I. Alors il existe sur… 0C5T
Lemme 2 Pour tout x ∈ X et tout nombre a > 0, il existe un voisinage V de x et une partie finie J de I tels que, pour tout y ∈ V et tout i ∈ I - J, on ait fᵢ(y) < a. 0C5W
Lemme 3 La fonction sup_i ∈ I fᵢ est continue dans X. ↩ 2 0C60
Théorème 3 Soit X un espace normal. Pour tout recouvrement ouvert localement fini (Aᵢ)_i ∈ I de X, il existe sur X une partition continue de l’unité (fᵢ)_i ∈ I subordonnée au recouvrement (Aᵢ… ↩ 5 0C5P
Corollaire 1 Sous les hypothèses du th. 3, il existe un recouvrement ouvert (Bᵢ)_i ∈ I de X tel que Bᵢ ⊂ Aᵢ pour tout i ∈ I. 0EC6
Corollaire 2 Quel que soit le recouvrement ouvert localement fini (Aᵢ)_i ∈ I d’un ensemble fermé F dans un espace normal X, il existe une famille (fᵢ)_i ∈ I de fonctions numériques ≥ 0, définie… 0EC7
Proposition 4 Tout espace paracompact est normal. ↩ 1 0C5V
Lemme 4 Soient A, B deux parties fermées sans point commun d’un espace paracompact X. Si, pour tout x ∈ A, il existe un voisinage ouvert Vx de x et un voisinage Wx de B sans point commun… 0C61
Corollaire 1 Pour tout recouvrement ouvert (Ai){i∈I} d’un espace paracompact X, il existe une partition continue de l’unité (fi){i∈I} sur X, subordonnée au recouvrement (Ai). 0EC8
Corollaire 2 Si F est une partie fermée d’un espace paracompact X, tout voisinage de F dans X contient un voisinage fermé (donc paracompact) de F. Cela résulte de I, p. 69, prop. 16, de IX, p… 0EC9
Proposition 5 Soient X un espace localement compact, R une relation d’équivalence ouverte dans X, telle que l’espace quotient X/R soit paracompact (cf. III, p. 35, prop. 13); soit π l’applicatio… 0ECA
Théorème 4 Tout espace métrisable est paracompact. ↩ 2 0C5Z
Proposition 6 Soient X un espace métrisable, (Uᵢ)_i ∈ I un recouvrement ouvert de X. Il existe une partition continue de l’unité faiblement subordonnée à (Uᵢ)_i ∈ I. 0ECB

§ 5. Espaces de Baire

Définition 1 On dit qu’une partie A d’un espace topologique X est rare si son adhérence n’a pas de point intérieur. 0C6Y
Exemple 1 La partie vide de X est un ensemble rare. Dans un espace séparé, pour qu’un ensemble réduit à un point soit rare, il faut et il suffit que ce point ne soit pas isolé dans X. Un ens… 0C6Z
Exemple 2 La frontière d’un ensemble fermé, ou d’un ensemble ouvert, est toujours un ensemble rare. 0C70
Exemple 3 Dans l’espace numérique Rⁿ, toute variété linéaire affine de dimension p < n est un ensemble rare (VI, p. 4, prop. 2). 0C71
Remarque La frontière d’un ensemble quelconque n’est pas nécessairement un ensemble rare; par exemple, si A et complement A sont tous deux partout denses, la frontière de A est identique à… 0C72
Proposition 1 La réunion d’une famille localement finie d’ensembles rares est un ensemble rare. 0C73
Proposition 2 Soient Y un sous-espace de X, et A une partie de Y; si A est rare relativement à Y, A est rare relativement à X. Inversement, si Y est ouvert dans X, et si A est rare relativement… ↩ 1 0C74
Définition 2 On dit qu’une partie A d’un espace topologique X est maigre si elle est réunion d’une famille dénombrable d’ensembles rares. ↩ 1 0C75
Définition 3 On dit qu’un espace topologique X est un espace de Baire si l’une des deux conditions suivantes (qui sont équivalentes) est remplie : (EB) Toute intersection dénombrable d’ensemble… 0C76
Proposition 3 Tout sous-espace ouvert Y d’un espace de Baire X est un espace de Baire. ↩ 1 0C77
Proposition 4 Si tout point d’un espace topologique X possède un voisinage qui est un espace de Baire, X est un espace de Baire. ↩ 1 0C78
Proposition 5 Dans un espace de Baire X, le complémentaire d’un ensemble maigre est un espace de Baire. 0C79
Théorème 1 (Baire) 1° Tout espace localement compact X est un espace de Baire. 2° Tout espace topologique X sur lequel existe une distance, compatible avec la topologie de X, et définissant sur X une… ↩ 4 0C7A
Remarque Il y a des espaces de Baire qui ne rentrent dans aucune des deux catégories précédentes, en particulier des espaces de Baire qui ne sont ni métrisables, ni localement compacts (IX… 0C7B
Proposition 6 Soient G un groupe localement compact dénombrable à l’infini, M un espace de Baire séparé. Supposons que G opère à gauche continûment et transitivement dans M. Pour tout x \in M, s… 0ECI
Corollaire Soient G un groupe localement compact dénombrable à l’infini, G’ un groupe topologique séparé dont l’espace sous-jacent est un espace de Baire, f : G \to G’ un homomorphisme contin… 0ECJ
Théorème 2 Soit X un espace de Baire, et soit (f\alpha) une famille de fonctions numériques semi-continues inférieurement dans X, telles qu’en tout point x \in X, l’enveloppe supérieure \sup\… ↩ 1 0C7C
Remarque La conclusion du théorème peut être inexacte lorsqu’on ne suppose pas que X soit un espace de Baire. Par exemple, si pour tout nombre rationnel irréductible p/q, on pose f(p/q) = q… 0C7D

§ 6. Espaces polonais ; espaces sousliniens ; ensembles boréliens

Définition 1 On dit qu’un espace topologique X est polonais s’il est métrisable de type dénombrable (IX, p. 18), et s’il existe une distance compatible avec la topologie de X, pour laquelle X s… 0C88
Proposition 1 a) Tout sous-espace fermé d’un espace polonais est polonais. b) Le produit d’une famille dénombrable d’espaces polonais est polonais. c) La somme d’une famille dénombrable d’espace… ↩ 6 0C89
Proposition 2 Tout sous-espace ouvert d’un espace polonais est polonais. 0C8A
Corollaire Tout espace X localement compact, métrisable et dénombrable à l’infini, est polonais. 0C8B
Proposition 3 Soit X un espace topologique séparé; l’intersection d’une suite (Aₙ) de sous-espaces polonais de X est un sous-espace polonais. ↩ 2 0C8C
Lemme 1 Soit (Aₙ) une suite de parties de l’espace topologique séparé X; la restriction au sous-espace ⋂ₙ Aₙ de X de l’application diagonale f : X → Xᴺ est un homéomorphisme de ⋂ₙ Aₙ sur u… ↩ 2 0C8D
Corollaire L’espace des nombres irrationnels, muni de la topologie induite par celle de la droite numérique R, est polonais. ↩ 1 0C8E
Théorème 1 Pour qu’un sous-espace Y d’un espace polonais X soit polonais, il faut et il suffit que Y soit intersection d’une famille dénombrable d’ensembles ouverts dans X. ↩ 4 0C8F
Corollaire 1 Pour qu’un espace X soit polonais, il faut et il suffit que X soit homéomorphe à une intersection dénombrable d’ensembles ouverts du cube Iᴺ (où I désigne l’intervalle [0, 1] de R)… ↩ 2 0C8G
Corollaire 2 Soient X et Y deux espaces polonais, f une application continue de X dans Y. Pour tout sous-espace polonais Z de Y, f⁻¹(Z) est un sous-espace polonais de X 0C8H
Définition 2 On dit qu’un espace topologique X est un espace de Souslin, ou espace souslinien, s’il est séparé et s’il existe un espace polonais P et une application continue de P sur X. On dit… ↩ 2 0C8I
Remarque Il est clair que tout espace polonais est souslinien, et que l’image d’un espace souslinien X par une application continue de X dans un espace séparé Y est un espace souslinien. 0ECL
Proposition 4 Dans tout espace souslinien X, il existe un ensemble dénombrable dense. 0C8J
Proposition 5 Tout sous-espace fermé (resp. ouvert) d’un espace souslinien X est souslinien. ↩ 1 0C8K
Proposition 6 Soient X un espace souslinien, Y un espace séparé, f une application continue de X dans Y. L’image réciproque par f d’un sous-espace souslinien A de Y est un sous-espace souslinien… 0C8L
Proposition 7 Le produit et la somme d’une famille dénombrable d’espaces sousliniens sont des espaces sousliniens. 0C8M
Proposition 8 Soient X un espace séparé, (Aₙ) une suite de sous-espaces sousliniens de X. Alors la réunion et l’intersection des Aₙ sont des sous-espaces sousliniens. ↩ 2 0C8N
Définition 3 Soient A un ensemble, Σ un ensemble de parties de A. On dit que Σ est une tribu sur A si les conditions suivantes sont satisfaites: a) le complémentaire de tout ensemble de Σ appar… 0C8P
Définition 4 On appelle tribu borélienne sur un espace topologique X la tribu engendrée par l’ensemble des parties ouvertes de X; les ensembles de cette tribu sont appelés ensembles boréliens d… 0C8Q
Définition 5 Etant donnés deux espaces topologiques X, Y, on dit qu’une application f : X → Y est borélienne si, pour tout ensemble borélien B de Y, f⁻¹(B) est un ensemble borélien dans X. ↩ 1 0C8W
Proposition 9 Soient X, Y deux espaces topologiques, F une partie de 𝔓(Y) engendrant la tribu borélienne de Y. Pour qu’une application f : X → Y soit borélienne, il faut et il suffit que f⁻¹(F)… ↩ 1 0C8O
Corollaire 1 Toute application continue est borélienne. 0ECM
Corollaire 2 Soient (Xₙ) une suite d’espaces topologiques, X = ∏ₙ Xₙ leur produit. Si, pour chaque n, Aₙ est une partie borélienne de Xₙ, alors ∏ₙ Aₙ est une partie borélienne de X. 0ECN
Remarque Soint Y un espace topologique, X un sous-espace de Y; alors la tribu borélienne de X est l’ensemble des parties de la forme B ∩ X, où B parcourt la tribu borélienne de Y. En effet… 0C8U
Proposition 10 Dans un espace souslinien X, tout ensemble borélien est souslinien. 0C8R
Corollaire Soit f une application continue d’un espace souslinien X dans un espace séparé Y. Pour tout sous-ensemble borélien B de X, f(B) est souslinien. 0C8T
Remarque --- 2) Même lorsque X et Y sont polonais, il n’est pas vrai, en général, que l’image d’un ensemble borélien de X par une application continue de X dans Y soit un ensemble borélien… 0C8V
Définition 6 On dit qu’un espace topologique est éparpillé s’il est séparé et si tout point possède un système fondamental de voisinages à la fois ouverts et fermés. ↩ 2 0C8X
Définition 7 On dit qu’un espace topologique X est un espace de Lusin, ou un espace lusinien, s’il est séparé et s’il existe un espace polonais éparpillé P et une application continue bijective… 0C90
Proposition 11 Pour qu’un espace soit lusinien, il faut et il suffit qu’il existe un espace polonais P et une bijection continue de P sur X. 0C8S
Lemme 2 Si un espace séparé X est tel qu’il existe une partition dénombrable (An) de X formée de sous-espaces lusiniens, alors X est lusinien. ↩ 1 0C8Z
Corollaire Toute limite projective dénombrable (I, p. 28) d’espaces lusiniens est un espace lusinien. 0ECO
Définition 8 On appelle crible une suite C = (Cₙ, pₙ)_n ≥ 0 telle que, pour tout n, Cₙ soit un ensemble dénombrable et pₙ une surjection de Cₙ₊₁ sur Cₙ. ↩ 1 0C9D
Lemme 3 Tout espace métrique de type dénombrable X possède un criblage. Si de plus X est éparpillé, X possède un criblage strict. ↩ 2 0C91
Proposition 12 Pour tout espace lusinien (resp. souslinien) X, il existe un crible C et une bijection (resp. surjection) continue de L(C) sur X. ↩ 1 0C8Y
Théorème 2 Soit X un espace séparé. Étant donnée une suite (Xₙ) de sous-espaces sousliniens de X, deux à deux disjoints, il existe une suite (Bₙ) d’ensembles boréliens de X, deux à deux disjo… ↩ 5 0C93
Lemme 4 Soient (Aₙ), (A'ₘ) deux suites de parties d’un espace topologique X. Supposons que, pour tout couple (Aₙ, A'ₘ), il existe un ensemble borélien Bₙₘ de X tel que Bₙₘ ⊃ Aₙ et Bₙₘ ∩ A'… ↩ 1 0C94
Lemme 5 Soient X un espace séparé, A, A' deux sous-espaces sousliniens de X sans point commun. Il existe alors un ensemble borélien B de X tel que B ⊃ A et B ∩ A' = ∅. ↩ 1 0C95
Corollaire 1 Si une partition dénombrable d’un espace séparé est formée d’ensembles sousliniens, ces ensembles sont boréliens. En particulier, dans un espace séparé, tout ensemble souslinien do… 0ECP
Corollaire 2 Soient E et F deux espaces sousliniens et f : E → F une application continue surjective. Pour qu’un sous-ensemble B de F soit borélien, il faut et il suffit que f⁻¹(B) soit borélie… 0ECQ
Théorème 3 Soit X un espace lusinien régulier. Pour qu’un sous-espace de X soit lusinien, il faut et il suffit qu’il soit borélien dans X. ↩ 2 0C97
Lemme 6 Dans un espace lusinien X, tout ensemble borélien est un sous-espace lusinien de X. 0C98
Lemme 7 Tout sous-espace lusinien A d’un espace régulier X est un ensemble borélien dans X. 0C99
Corollaire Soit (Aₙ) une suite de sous-espaces lusiniens d’un espace topologique séparé E. La réunion des Aₙ est un sous-espace lusinien de E. 0C9A
Proposition 13 Soit (Xₙ)_n ∈ N une suite d’espaces lusiniens réguliers, X = ∏ₙ Xₙ leur produit. Alors la tribu borélienne sur X est engendrée par les ensembles de la forme ∏ₙ Aₙ, où Aₙ est boréli… ↩ 4 0C92
Corollaire Soient Y un espace topologique, (Xₙ)_n ∈ N une suite d’espaces lusiniens réguliers, et pour tout n, soit fₙ : Y → Xₙ une application borélienne. Alors l’application f = (fₙ) : Y →… 0ECR
Proposition 14 Soient X, Y des espaces lusiniens, Y étant de plus supposé régulier. Si f est une application borélienne injective de X dans Y, alors, pour tout ensemble borélien A dans X, f(A) es… ↩ 1 0C9G
Théorème 4 Soient G et H deux groupes topologiques séparés et u un homomorphisme de groupes de G dans H. On suppose que G est un espace de Baire et que le graphe Γ de u est un sous-espace sou… ↩ 2 0C9B
Lemme 8 Toute partie borélienne d’un espace topologique E est approchable. 0ECS
Remarque On peut montrer que toute partie souslinienne d’un espace séparé E est approchable (exerc. 14). 0C9C
Lemme 9 Soit G un groupe topologique et soit B une partie borélienne non maigre de G. Si G est un espace de Baire, BB⁻¹ est un voisinage de e. 0ECT
Théorème 5 Soient X un espace polonais, R une relation d’équivalence dans X; supposons que les classes d’équivalence suivant R soient fermées dans X, et que le saturé pour R de tout ensemble… ↩ 1 0C9H
Corollaire 1 La conclusion du th. 5 est encore valable lorsque le saturé pour R de tout ensemble fermé est borélien. 0ECU
Corollaire 2 Soit G un groupe topologique dont l’espace sous-jacent est polonais. Pour tout sous-groupe fermé H de G, il existe un ensemble borélien dans G qui rencontre toute classe à gauche x… 0ECV
Remarque 1 Dans l’énoncé du th. 5, on peut remplacer la tribu borélienne par une tribu quelconque contenant les ensembles ouverts de X; la démonstration est inchangée. 0C9J
Remarque 2 Lorsque X est un espace compact métrisable, le cor. 1 du th. 5 s’applique à toute relation d’équivalence séparée R dans X, puisqu’on sait qu’une telle relation est fermée (I, p. 63… 0ECW
Définition 9 Soit X un espace topologique séparé. On appelle capacité sur X une application f de l’ensemble des parties 𝔓(X) dans la droite numérique achevée overlineR, qui satisfait aux condit… 0C9F
Exemple Soit μ une mesure positive sur un espace séparé X; la mesure extérieure μ^* et la mesure extérieure essentielle μ^* sont alors des capacités continues à droite sur X (voir INT, IX… 0ECX
Remarque Soit f une capacité continue à droite sur X, et soit (Kₙ) une suite décroissante de parties compactes de X; si K = ⋂ₙ Kₙ, tout ouvert U contenant K contient les Kₙ à partir d’un ce… 0ECY
Définition 10 Soit f une capacité sur X; on dit qu’une partie A de X est capacitable (pour f) si f(A) = sup_K f(K), où K parcourt l’ensemble des parties compactes de A. 0ECZ
Théorème 6 Soient X un espace séparé, f une capacité continue à droite sur X. Tout sous-espace souslinien Y de X est alors capacitable pour f. 0ED0
Proposition 15 Soient X un espace séparé, f une capacité sur X (non nécessairement continue à droite), Y un sous-espace souslinien de X. Alors Y est capacitable pour f lorsque l’une des hypothèse… ↩ 1 0C9I

App. 1. Espaces de Lindelöf

Définition 1 On dit qu’un espace topologique X (non nécessairement séparé) est un espace de Lindelöf si, de tout recouvrement ouvert de X, on peut extraire un recouvrement dénombrable de X. 0ED4
Proposition 1 Soit X un espace topologique. 0ED5
Corollaire Tout espace souslinien, et en particulier tout espace polonais ou lusinien, est un espace de Lindelöf. 0ED6
Proposition 2 Tout espace de Lindelöf régulier est paracompact. 0ED7
Corollaire Tout espace souslinien régulier est paracompact (et en particulier normal (IX, p. 49, prop. 4) et a fortiori complètement régulier). 0ED8
Proposition 3 Soit X un espace topologique (non nécessairement séparé). Les propriétés suivantes sont équivalentes: a) Tout sous-espace ouvert de X est un espace de Lindelöf. b) Tout ensemble de… 0ED9
Corollaire 1 Soient X un espace souslinien régulier, H un ensemble de fonctions numériques continues dans X, qui sépare les points de X (IX, p. 9, déf. 5). Il existe alors une partie dénombrabl… 0EDA
Corollaire 2 Tout espace compact souslinien est métrisable. 0EDB

App. 2. Produits infinis dans les algèbres normées

Définition 1 On dit que la suite (xₙ)_n ≥ N est multipliable dans l’algèbre normée A si l’application J ↦ p_J a une limite suivant le filtre des sections de l’ensemble F(N) des parties finies d… 0EDC
Remarque 1 Lorsque A est une algèbre commutative, la déf. 1 est identique à celle qui a été donnée dans III, p. 37 (Remarque 3); mais lorsque A n’est pas commutative, la structure d’ordre de… 0EDD
Remarque 2 La déf. 1 se généralise immédiatement au cas d’une famille (xₙ)_n ∈ I dont l’ensemble d’indices I est une partie de Z (totalement ordonnée par l’ordre induit par celui de Z) ; nous… 0EDE
Théorème 1 Soit (xₙ)_n ∈ N une suite de points d’une algèbre normée complète A. 0EDF
Remarque Lorsque (xₙ) est multipliable et a un produit non inversible, la condition du th. 1 n’est plus nécessairement vérifiée; par exemple, si tous les xₙ sont égaux à un même élément x t… 0EDG
Corollaire 1 Si (xₙ) est une suite multipliable dont le produit est inversible dans A, lim_n → ∞ xₙ = e. 0EDH
Corollaire 2 Si (xₙ) est une suite multipliable dont le produit est inversible dans A, toute suite (x_nₖ)_k ∈ N extraite de (xₙ) ((nₖ) étant une suite strictement croissante d’entiers) est mult… 0EDI
Théorème 2 Soit A une algèbre normée complète; si (uₙ) est une série absolument convergente de points de A, la suite (e + uₙ) est multipliable dans A; en outre, si tous les éléments e + uₙ so… 0EDJ
Corollaire Si la série de terme générale uₙ est absolument convergente, et si aucun des éléments e + uₙ n’est diviseur de 0 dans A, le produit ∏_n ∈ N (e + uₙ) n’est pas diviseur de 0 dans A. 0EDK
Proposition 1 Soit A une algèbre normée de rang fini sur R. Si (e + uₙ) est une suite multipliable dans A, dont le produit est inversible, la série de terme générale uₙ est absolument convergent… 0EDL
Lemme 1 Pour toute partie finie I de N, soit φ(I) = sup_J ⊂ I |p_J - e|. Pour toute partie J de I, on a |p_J - e - s_J| ≤ φ(I) σ_J. Le lemme est évident si J est vide; démontrons-le par ré… 0EDM
Lemme 2 Si I est une partie finie de N telle que φ(I) < 1/c, on a σ_I ≤ (c φ(I))/(1 - c φ(I)). 0EDN
Proposition 2 Soit (xₙ) une suite de points d’une algèbre normée complète A. 0EDO
Corollaire 1 Si le produit infini de facteur général xₙ est convergent, et si ∏ₙ₌₀^∞ xₙ est inversible, lim_n → ∞ xₙ = e. 0EDP
Corollaire 2 Si le produit infini de facteur général xₙ est convergent, et si ∏ₙ₌₀^∞ xₙ est inversible, le produit infini de facteur général yₙ = xₙ₊ₕ (n ≥ 0) est convergent. 0EDQ
Proposition 3 Soit (kₙ) une suite strictement croissante d’entiers geqslant 0 (k₀ = 0) : si le produit infini de facteur général xₙ converge, et si on pose uₙ = ∏_p=kₙ^kₙ₊₁-1 xₙ, le produit infi… 0EDR

X. Espaces fonctionnels

§ 1. La structure uniforme de la S-convergence

Définition 1 On dit que la structure uniforme sur l’ensemble F(X; Y) ayant pour système fondamental d’entourages l’ensemble des W(V), où V parcourt l’ensemble des entourages de Y, est la struct… 0CAR
Définition 2 Soient X un ensemble, Y un espace uniforme, 𝔖 un ensemble de parties de X. On appelle structure uniforme de la convergence uniforme dans les ensembles de 𝔖, ou simplement structure… 0CAS
Remarque 1 La définition générale des entourages d’une structure uniforme initiale (II, p. 8, prop. 4) montre qu’on obtient un système fondamental d’entourages de F_𝔖(X; Y) de la façon suivan… ↩ 1 0CAT
Remarque 2 Toutefois, on ne change pas la structure uniforme de la 𝔖-convergence en remplaçant 𝔖 par l’ensemble 𝔖' des parties de X dont chacune est contenue dans la réunion d’un nombre fini… ↩ 1 0CAU
Remarque 3 La structure uniforme de la 𝔖-convergence est l’image réciproque, par l’application u ↦ (u | A)_A ∈ 𝔖 de F(X; Y) dans ∏_A ∈ 𝔖 Fᵤ(A; Y), de la structure uniforme de cet espace produ… ↩ 1 0CAV
Proposition 1 Si Y est séparé et si 𝔖 est un recouvrement de X, l’espace F_𝔖(X; Y) est séparé. ↩ 3 0CAW
Remarque 4 Soit H une partie de F(X; Y); par abus de langage, on appelle structure uniforme (resp. topologie) de la 𝔖-convergence sur l’ensemble H, la structure uniforme (resp. la topologie)… 0CAX
Remarque 5 Si λ ↦ u_λ est une application, dans F_𝔖(X; Y), d’un ensemble L filtré par un filtre 𝔖, et si cette application admet une limite suivant 𝔖, on dit encore que, suivant le filtre 𝔖… ↩ 1 0CAY
Remarque 6 Les déf. 1 et 2 (X, p. 2) entraînent aussitôt que pour tout x ∈ ⋃_A ∈ 𝔖 A, l’application u ↦ u(x) de F_𝔖(X; Y) dans Y est uniformément continue. Il en résulte en particulier que, s… ↩ 8 0CAZ
Proposition 2 Soient X₁, X₂ deux ensembles, Y un espace uniforme, 𝔖ᵢ un ensemble de parties de Xᵢ (i = 1, 2), 𝔖₁ × 𝔖₂ l’ensemble des parties de la forme A₁ × A₂ de X₁ × X₂, avec Aᵢ ∈ 𝔖ᵢ, i = 1… ↩ 1 0CB0
Proposition 3 a) Soient X un ensemble, 𝔖 un ensemble de parties de X, Y, Y' deux espaces uniformes, f : Y → Y' une application uniformément continue. Alors l’application u ↦ f ∘ u de F_𝔖(X; Y) d… 0CB1
Proposition 4 Soient X, Y deux ensembles, (X_λ)_λ ∈ L une famille d’ensembles, (Y_μ)_μ ∈ M une famille d’espaces uniformes. Pour tout λ ∈ L, soit 𝔖_λ un ensemble de parties de X_λ, soit g_λ une… ↩ 1 0CB2
Corollaire 1 Soient X un ensemble, (Yᵢ)_i ∈ I une famille d’espaces uniformes, S un ensemble de parties de X. Si on munit ∏_i ∈ I Yᵢ de la structure uniforme produit, la bijection canonique de… 0EE0
Corollaire 2 Soient X un ensemble, S un ensemble de parties de X et G un groupe topologique. Supposons que les structures uniformes droite et gauche (III, p. 19) de G soient identiques. Alors l… 0EE1
Remarque 1 L’hypothèse du corollaire est satisfaite si G est commutatif ou compact. 0EE2
Remarque 2 Pour tout partie A ∈ S et tout voisinage V de e dans G, notons L₀(A, V) l’ensemble des u ∈ F(X, G) tels que u(A) ⊂ V. Sous l’hypothèse du cor. 2, il résulte des définitions que, po… 0EE3
Proposition 5 Soient X un ensemble, Y un espace uniforme, S un ensemble de parties de X. Pour qu’un filtre Φ sur F_S(X; Y) converge vers u₀, il faut et il suffit que Φ soit un filtre de Cauchy p… ↩ 3 0CB4
Corollaire 1 Pour qu’un sous-espace H de F_𝔖(X; Y) soit complet, il faut et il suffit que, pour tout filtre de Cauchy Φ sur H, il existe u₀ ∈ H tel que Φ converge simplement vers u₀ dans B = ⋃_… ↩ 1 0CB5
Corollaire 2 Soient 𝔖₁, 𝔖₂ deux ensembles de parties de X ayant même réunion et tels que 𝔖₁ ⊂ 𝔖₂, et soit H une partie de F(X; Y); si H est complet pour la 𝔖₁-convergence, il est complet pour l… ↩ 1 0CB6
Corollaire 3 Soit H une partie de F(X; Y) telle que, pour tout x ∈ B = ⋃_A ∈ 𝔖 A, l’adhérence de H(x) dans Y soit un sous-espace complet. Alors l’adhérence overlineH de H dans F_𝔖(X; Y) est un… 0CB7
Théorème 1 Soient X un ensemble, 𝔖 un ensemble de parties de X, Y un espace uniforme complet; alors l’espace uniforme F_𝔖(X; Y) est complet. ↩ 2 0CB8
Proposition 6 Soient X un espace topologique, Y un espace uniforme, 𝔖 un ensemble de parties de X. Pour tout A ∈ 𝔖 et tout entourage fermé V de Y, les traces sur C(X; Y) × C(X; Y) de W(A, V) et… ↩ 2 0CB9
Corollaire Soit B une partie partout dense de X; sur C(X; Y), la structure de la convergence uniforme est identique à la structure de la convergence uniforme dans B. ↩ 1 0CBA
Proposition 7 Soient X un espace topologique, 𝔖 un ensemble de parties de X, Y un espace uniforme. Si Y est séparé et si la réunion B des ensembles de 𝔖 est dense dans X, alors C_𝔖(X; Y) est sép… 0CBB
Proposition 8 Soient X un ensemble, F un filtre sur X, Y un espace uniforme. L’ensemble H des applications u : X → Y telles que u(F) soit une base de filtre de Cauchy sur Y est fermé dans Fᵤ(X… ↩ 3 0CBC
Corollaire 1 Soient X un espace topologique, Y un espace uniforme. L’ensemble des applications de X dans Y, continues en un point x₀ ∈ X, est fermé dans Fᵤ(X; Y). ↩ 1 0CBD
Corollaire 2 Soient X, L deux ensembles filtrés par des filtres F, 𝔖 respectivement, et soit Y un espace uniforme complet. Pour tout λ ∈ L, soit u_λ une application de X dans Y. On suppose que… 0CBE
Théorème 2 Soient X un espace topologique, Y un espace uniforme. Alors l’ensemble C(X; Y) des applications continues de X dans Y est une partie fermée de F(X; Y) muni de la topologie de la co… ↩ 4 0CBF
Corollaire 1 Si Y est un espace uniforme complet, Cᵤ(X; Y) est complet. 0CBG
Corollaire 2 Soient X un espace topologique, 𝔖 un ensemble de parties de X, Y un espace uniforme ; on désigne par tildeC_𝔖(X; Y) l’ensemble des applications de X dans Y dont la restriction à to… ↩ 2 0CBH
Corollaire 3 Soient X un espace topologique métrisable ou localement compact, Y un espace uniforme. Alors C(X; Y) est fermé dans l’espace F_c(X; Y); si en outre Y est complet, l’espace uniforme… ↩ 1 0CBI
Remarque 1 En général, l’ensemble C(X; Y) n’est pas fermé dans F(X; Y) muni de la topologie de la convergence simple; en d’autres termes, une limite simple de fonctions continues n’est pas né… 0CBJ
Remarque 2 Un filtre sur C(X; Y) peut converger simplement vers une fonction continue sans converger uniformément vers cette fonction. ↩ 1 0CBK
Remarque 3 Si X est un espace uniforme, un raisonnement tout à fait analogue à celui de X, p. 8, prop. 8 montre que l’ensemble des applications uniformément continues de X dans Y est fermé da… 0CBL
Remarque 4 Supposons que l’espace uniforme Y soit muni d’une loi de composition associative et commutative, notée additivement, et telle que l’application (y, y') ↦ y + y' soit continue dans… 0CBM
Proposition 9 Soient X un espace topologique, Y un espace uniforme. Alors l’application (f, x) ↦ f(x) de Cᵤ(X; Y) × X dans Y est continue. ↩ 1 0CBN

§ 2. Ensembles équicontinus

Définition 1 Soient X un espace topologique, Y un espace uniforme. On dit qu’une partie H de F(X; Y) est équicontinue en un point x₀ ∈ X si, pour tout entourage V de Y, il existe un voisinage U… 0CC0
Définition 2 Soient X et Y deux espaces uniformes. On dit qu’une partie H de F(X; Y) est uniformément équicontinue si, pour tout entourage V de Y, il existe un entourage U de X tel que les rela… 0CC1
Exemple 1 Soient X un espace topologique (resp. un espace uniforme), Y un espace uniforme. Tout ensemble fini d’applications continues (resp. uniformément continues) de X dans Y est équicont… 0CC2
Exemple 2 Soient X, Y deux espaces métriques, d (resp. d') la distance sur X (resp. Y), k et α deux nombres 0. L’ensemble des applications f de X dans Y telles que, pour tout couple (x, x')… 0CC3
Exemple 3 Soient G un groupe topologique, Y un espace uniforme, f une application uniformément continue de G dans Y, quand G est muni de sa structure uniforme gauche (III, p. 19). Pour tout… 0CC4
Proposition 1 Soient T un ensemble, S un ensemble de parties de T, Y un espace uniforme, X un espace topologique (resp. un espace uniforme), et f une application de T × X dans Y. Pour tout A ∈ S… ↩ 5 0CC5
Corollaire 1 Soient X un espace topologique (resp. un espace uniforme), Y un espace uniforme, H une partie de F(X; Y). Pour tout x ∈ X, désignons par tildex l’application h ↦ h(x) de H dans Y… ↩ 1 0CC6
Corollaire 2 Soient X un espace compact, Y un espace uniforme. Toute partie équicontinue de F(X; Y) est uniformément équicontinue. ↩ 2 0CC7
Corollaire 3 Soient T et X des espaces topologiques, Y un espace uniforme, f une application de T × X dans Y. Pour que f soit continue, il suffit que les conditions suivantes soient remplies: 0CC8
Corollaire 4 Soient X un espace topologique, Y un espace uniforme, H un ensemble équicontinu d’applications de X dans Y. Si H est muni de la topologie de la convergence simple, l’application (h… ↩ 1 0CC9
Corollaire 5 Soient X un espace topologique, Y, Z deux espaces uniformes, H un ensemble équicontinu d’applications de Y dans Z. Si on munit H, C(X; Y) et C(X; Z) de la topologie de la convergen… ↩ 1 0CCA
Proposition 2 Soient T, X, Y des espaces uniformes, f une application de T × X dans Y. Pour que f soit uniformément continue, il faut et il suffit que les deux conditions suivantes soient rempli… 0CCB
Corollaire Soient X, Y deux espaces uniformes, H une partie de F(X; Y). Pour que H soit uniformément équicontinue, il faut et il suffit que l’application (h, x) ↦ h(x) de H × X dans Y soit un… 0CCC
Proposition 3 Soient X un espace topologique (resp. uniforme), (Yᵢ)_i ∈ I une famille d’espaces uniformes, Y un ensemble, et pour chaque i ∈ I, soit fᵢ une application de Y dans Yᵢ. On munit Y d… ↩ 1 0CCD
Proposition 4 Soient X, Y deux espaces uniformes, H un ensemble d’applications uniformément continues de X dans Y. Soient hatX et hatY les séparés complétés respectifs de X et Y, et désignons pa… ↩ 1 0CCE
Proposition 5 Soient G, G' deux groupes topologiques, munis de leur structure uniforme gauche, et soit H un ensemble d’homomorphismes de G dans G'. Les conditions suivantes sont équivalentes: 0CCF
Proposition 6 Soient X un espace topologique (resp. uniforme), Y un espace uniforme, H une partie de F(X; Y). Pour que H soit équicontinue en un point x₀ ∈ X (resp. ↩ 2 0CCG
Théorème 1 Soient X un espace topologique (resp. uniforme), Y un espace uniforme, H une partie équicontinue (resp. uniformément équicontinue) de C(X; Y). Alors, sur H, les structures uniforme… ↩ 2 0CCH
Corollaire Sous les hypothèses du th. 1, l’adhérence overlineH de H dans l’espace F(X; Y) muni de la topologie de la convergence simple est identique à l’adhérence de H dans C(X; Y) muni de l… 0CCI
Théorème 2 (Ascoli) Soient X un espace topologique (resp. uniforme), 𝔖 un recouvrement de X, Y un espace uniforme, H un ensemble d’applications de X dans Y; on suppose que pour tout A ∈ 𝔖, la restrict… ↩ 4 0CCJ
Corollaire 1 Soient X un espace topologique (resp. uniforme), Y un espace uniforme séparé, H une partie équicontinue (resp. uniformément équicontinue) de C(X; Y). Supposons H(x) relativement co… 0EE4
Corollaire 2 Soient X un espace topologique (resp. uniforme), Y un espace uniforme séparé et complet, H une partie équicontinue (resp. uniformément équicontinue) de C(X; Y). On suppose que H(x)… 0EE5
Corollaire 3 Soient X un espace localement compact, Y un espace uniforme séparé, H une partie de C(X; Y). Pour que H soit relativement compact dans C_c(X; Y), il faut et il suffit que H soit éq… 0EE6
Remarque Soient X un espace topologique, Y un espace uniforme, S un ensemble de parties de X. Alors sur toute partie précompacte H de F_S(X; Y), la structure uniforme de la S-convergence es… 0CCN

§ 3. Espaces fonctionnels spéciaux

Proposition 1 Si Y est un espace uniforme métrisable, la structure uniforme de la convergence uniforme sur F(X; Y) est métrisable. 0CD8
Corollaire Soient X un espace topologique, Y un espace uniforme métrisable; on suppose qu’il existe une suite (Kₙ) de parties compactes de X telle que toute partie compacte de X soit contenue… 0CD9
Proposition 2 Soient X un ensemble, Y un espace métrique. Dans l’espace Fᵤ(X; Y), l’ensemble B(X; Y) des applications bornées est à la fois ouvert et fermé. ↩ 3 0CDA
Corollaire 1 Soient X un ensemble, Y un espace métrique, 𝔖 un ensemble de parties de X. Alors l’ensemble B_𝔖(X; Y) des applications de X dans Y transformant tout A ∈ 𝔖 en une partie bornée de Y… ↩ 2 0CDB
Corollaire 2 Soient X un espace topologique, Y un espace métrique. Alors l’espace des applications continues bornées de X dans Y est à fois ouvert et fermé dans l’espace Cᵤ(X; Y); il est comple… 0CDC
Proposition 3 Si l’espace normé Y est complet, toute série (uₙ) d’applications bornées de X dans Y, qui est absolument convergente dans l’espace normé B(X; Y) (c’est-à-dire telle que ∑ₙ₌₀^∞ |uₙ|… 0CDD
Remarque 1 Si ∑ₙ₌₀^∞ |uₙ| < +∞, on a pour tout x ∈ X, ∑ₙ₌₀^∞ |uₙ(x)| ≤ ∑ₙ₌₀^∞ |uₙ| < +∞; autrement dit, chacune des séries de terme général uₙ(x) (x ∈ X) est absolument convergente dans l’esp… 0CDE
Proposition 4 Soient Xᵢ (1 ≤ i ≤ n) et Y des espaces vectoriels normés sur un corps valué non discret K, et soit X = ∏ᵢ₌₁ⁿ Xᵢ. L’ensemble de toutes les applications multilinéaires de X dans Y es… ↩ 2 0CDF
Proposition 5 Sous les hypothèses de la prop. 4, l’ensemble L(X₁, …, Xₙ; Y) des applications multilinéaires continues de X dans Y est fermé dans F(X; Y) muni de la topologie de la convergence bo… 0CDG
Proposition 6 L’application multilinéaire (u, x₁, …, xₙ) → u(x₁, …, xₙ) de l’espace normé L(X₁, …, Xₙ; Y) × X₁ × ⋯ × Xₙ dans Y est continue. 0CDH
Proposition 7 Soient X, Y, Z trois espaces normés sur K. L’application canonique de l’espace normé L(X, Y; Z) dans l’espace des applications linéaires de X dans L(Y; Z) qui, à tout u ∈ L(X, Y; Z… 0CDI
Proposition 8 Soient X, Y, Z trois espaces normés sur K. L’application bilinéaire (u, v) ↦ v ∘ u de L(X; Y) × L(Y; Z) dans L(X; Z) est continue. 0CDJ
Remarque 2 L’ensemble L(Rᵐ; Rⁿ) des applications linéaires (nécessairement continues) de Rᵐ dans Rⁿ peut être identifié à l’ensemble M_n,m(R) des matrices à n lignes et m colonnes sur R, donc… 0CDK
Théorème 1 Soit X un espace compact. ↩ 1 0CDL
Corollaire Soient X un espace localement compact dont la topologie admet une base dénombrable, Y un espace uniforme métrisable de type dénombrable. 0CDM
Théorème 2 Soient X un espace topologique, Y un espace uniforme. Pour tout couple (K, U) formé d’une partie compacte K de X et d’une partie ouverte U de Y, soit T(K, U) l’ensemble des applica… ↩ 2 0CDN
Définition 1 Soient X, Y deux espaces topologiques (non nécessairement uniformisables). Pour tout couple (K, U) formé d’une partie compacte K de X et d’une partie ouverte 0CDO
Exemple Soit I l’intervalle [0, 1] dans R; pour tout espace topologique Y, l’espace C_c(I; Y) est appelé l’espace des chemins dans Y; pour tout y ∈ Y, le sous-espace Ω_y(Y) de C_c(I; Y) fo… 0CDP
Remarque 1 On dit de même que la topologie induite sur C(X; Y) par la topologie produit sur Y^X = F(X; Y) est la topologie de la convergence simple (Y n’étant pas nécessairement uniformisable… 0CDQ
Remarque 2 Soient 𝔖 un système générateur de la topologie de Y, ℜ un ensemble de parties compactes de X ayant la propriété suivante: (R) Pour toute partie compacte L de X et tout voisinage V… ↩ 1 0CDR
Théorème 3 Soient X, Y, Z trois espaces topologiques, f une application de X × Y dans Z. Si f est continue, tildef: x ↦ f(x,.) est une application continue de X dans C_c(Y; Z). La réciproque… ↩ 5 0CDS
Corollaire 1 Soient X un espace localement compact, Y un espace topologique, H une partie de C(X; Y). Alors, sur H, la topologie de la convergence compacte est la moins fine pour laquelle l’app… ↩ 5 0CDT
Remarque 3 Soient X un espace localement compact, Y un espace topologique séparé. Si T est une topologie sur une partie H de C(X; Y) telle que l’application (u, x) ↦ u(x) soit continue dans H… ↩ 2 0CDU
Corollaire 2 Soient X, Y, Z trois espaces topologiques, X étant supposé séparé et Y localement compact. Alors, la restriction à C(X × Y; Z) de la bijection canonique F(X × Y; Z) → F(X; F(Y; Z))… 0CDV
Proposition 9 Soient X, Y, Z trois espaces topologiques, Y étant localement compact. Alors l’application (u, v) ↦ v ∘ u de C_c(X; Y) × C_c(Y; Z) dans C_c(X; Z) est continue. ↩ 2 0CDW
Proposition 10 Soient X un espace uniforme, H un ensemble équicontinu d’homéomorphismes de X sur lui-même. Si on munit H et H⁻¹ de la topologie de la convergence simple dans X, l’application u ↦… ↩ 1 0CDX
Corollaire Soient X un espace uniforme, H un groupe équicontinu d’homéomorphismes de X sur lui-même. Alors la topologie de la convergence simple dans X est compatible (III, p. 1) avec la stru… ↩ 1 0CDY
Proposition 11 Soient X un espace compact, Γ le groupe de tous les homéomorphismes de X sur lui-même. Alors la topologie de la convergence uniforme dans X est compatible (III, p. 1) avec la struc… ↩ 1 0CDZ
Proposition 12 Sur le groupe Γ des homéomorphismes d’un espace localement compact X, la topologie T_β est la moins fine rendant continues les deux applications u ↦ u et u ↦ u⁻¹ de Γ dans l’espace… ↩ 2 0CE0
Théorème 4 Soit G un sous-groupe du groupe Γ des homéomorphismes d’un espace localement compact X. Supposons qu’il existe, dans l’espace C_c(X; X), un voisinage V de l’application identique e… ↩ 2 0CE1
Corollaire Soit G un groupe d’homéomorphismes d’un espace localement compact X. Si l’adhérence overlineG de G dans C_c(X; X) est compacte, overlineG est un groupe d’homéomorphismes de X, et l… ↩ 1 0CE2

§ 4. Approximation des fonctions continues numériques

Proposition 1 Soient X un espace compact, H un ensemble de fonctions continues numériques définies dans X. Soit f une fonction numérique continue dans X, et telle que, 0EE9
Théorème 1 (Dini) Soient X un espace compact, H un ensemble filtrant pour la relation ≤ (resp. ≥) de fonctions numériques continues dans X. Si l’enveloppe supérieure (resp. inférieure) f de H est fi… 0EEA
Corollaire Soit (uₙ) une suite croissante (resp. décroissante) de fonctions numériques continues dans X. Si l’enveloppe supérieure (resp. inférieure) f de la suite (uₙ) est finie et continue… 0CEW
Proposition 2 Soient X un espace compact, H un ensemble de fonctions continues numériques définies dans X, tel que, pour deux fonctions quelconques u ∈ H, v ∈ H, les fonctions sup(u, v) et inf(u… ↩ 2 0CEX
Remarque Lorsque l’ensemble H satisfait aux conditions de l’énoncé, il est réticulé pour la relation d’ordre f ≤ g. Mais on notera qu’un sous-ensemble H de C peut être réticulé pour cette r… 0CEY
Corollaire On suppose que H soit tel que, pour deux fonctions quelconques u ∈ H, v ∈ H, les fonctions sup(u, v) et inf(u, v) appartiennent à H, et en outre que, pour tout couple de points dis… ↩ 1 0CEZ
Théorème 2 (Stone) Soient X un espace compact, H un sous-espace vectoriel de C(X, R) tel que: 1° les fonctions constantes appartiennent à H; 2° la relation u ∈ H entraîne |u| ∈ H; 3° H sépare les poi… ↩ 2 0CF1
Théorème 3 (Weierstrass-Stone) Soient X un espace compact, H un ensemble de fonctions numériques continues dans X, séparant les points de X. Alors toute fonction numérique continue dans X peut être approchée uni… ↩ 5 0CF2
Lemme 1 Pour tout nombre ε > 0 et tout intervalle compact I ⊂ R, il existe un polynôme p(t) sans terme constant tel que |p(t) - |t|| ≤ ε dans I. 0CF3
Lemme 2 Soit (pₙ) la suite des polynômes sans terme constant définie par récurrence sur n par les conditions p₀(t) = 0, et pₙ₊₁(t) = pₙ(t) + 1/2(t - (pₙ(t))²) pour n ≥ 0; dans l’intervalle… 0CF4
Proposition 3 Soient (Kᵢ)_i ∈ I une famille d’intervalles compacts de R, K = ∏_i ∈ I Kᵢ l’espace produit de ces intervalles, X un sous-espace compact de K. Toute fonction numérique continue dans… 0CF5
Proposition 4 Soient X un espace compact, A une partie fermée de X, H un ensemble de fonctions numériques continues dans X, séparant les points de C A, et tel que A soit l’intersection des ensem… ↩ 2 0CF6
Théorème 4 Soient (Xᵢ)_i ∈ I une famille d’espaces compacts, X = ∏_i ∈ I Xᵢ leur produit. Toute fonction numérique continue dans X peut être approchée uniformément par des sommes d’un nombre… 0CF7
Proposition 5 Soient X un espace compact, Y un espace normé sur R, H une partie de C(X; R). Si toute fonction numérique continue dans X peut être approchée uniformément par des fonctions de H, t… 0CF8
Proposition 6 Soient X un espace compact, H un ensemble de fonctions numériques continues dans X, séparant les points de X. Dans ces conditions, toute application continue de X dans un espace no… ↩ 1 0CF9
Corollaire 1 Si X est une partie compacte de l’espace Cⁿ, toute application continue (z₁, z₂, …, zₙ) ↦ f(z₁, z₂, …, zₙ) de X dans un espace normé Y sur le corps C peut être approchée uniforméme… 0EEB
Corollaire 2 Soient X un espace localement compact, C₀(X) l’algèbre normée sur C des applications continues de X dans C, tendant vers 0 à l’infini. Soit A une sous-algèbre de C₀(X), séparant le… 0EEC
Proposition 8 Soit P l’ensemble des applications continues périodiques de Rᵐ dans C dont le groupe des périodes contient Zᵐ. Toute fonction appartenant à P peut être approchée uniformément, dans… 0CFD