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命题索引

一般拓扑的 1136 个命题，按章和节排列。选择一种类型，按词筛选，或把被引用最多的排在前面。

引用最多的在前

I. 拓扑结构

§ 1. 营业集合、邻域、休息集合

定义 1 拓扑结构（或更简单地说，拓扑）在集合X是结构由集合D的子集的X，具有以下属性（称为公理拓扑结构)： 0AZ1
定义 2 拓扑空间是集合赋予拓扑结构。 0AZ2
定义 3 拓扑空间X到拓扑空间X'的同胚是X的拓扑结构到X'的拓扑同构；也就是说，根据一般X的定义双射到X'，其中X的开子集的变换集合进入X'的开子集的集合。 0AZ3
例如果X和X'是两个离散的空间，则X到X'的任何双射都是同胚。 0AZ4
定义 4 令X为拓扑空间和AX的任意子集。 A的邻域是X的任意子集，其中包含是开集合包含A。单个点的子集 x 由……组成中的邻域也称为点x中的邻域。 ↩ 1 0AZ5
命题 1 当且仅当它打开时，集合是其每个点的邻域。 ↩ 6 0AZ6
命题 2 如果对于集合X的每个元素x，存在X的子集的对应集合𝔅(x)，使得属性(VI)，(V{II})， (V{III}) 和 (V{IV}) 满足，则X上存在唯一的拓扑结构，使得对于每个x ∈ X，𝔅(x)是x的邻域的集合拓扑. ↩ 1 0AZ7
例我们可以将有理数的集合Q上的定义拓扑取为开集合所有有界开区间并；其中子集中的集合当然满足(OI)，并且只要看它满足(OII)就足够了注，如果两个开区间]a, b[和]c, d[中的交不为空，则它是区间]α, β[，其中α = sup(a, c)和β = inf(b, d)。通过将x的邻域的每个x ∈ Q集合𝔅(x)定义为子集包含的集合，我们得到相同的拓扑一个… 0AZ8
定义 5 在拓扑空间X中，点x的邻域的基本系统（分别是X的子集A）是以下任意集合𝔊 x（或A）的邻域，使得对于x（或A）的每个邻域V，有邻域W ∈ 𝔊，使得W ⊂ V。 ↩ 1 0AZ9
定义 6 一个拓扑空间X的拓扑基是X的开子集的任何集合𝔅使得X的每个开子集是集合的并属于至𝔅。 0AZA
命题 3 如果X是拓扑空间，则对于X的开子集的集合𝔅为X的拓扑的基来说，对于每个x ∈ X集合是充分必要的V ∈ 𝔅使得x ∈ V是x的邻域的基本系统。 ↩ 2 0AZB
例 1 离散的拓扑具有基集合、子集、X，由单个点组成。 0AZC
例 2 有界开区间的集合是有理线(no. 2)的拓扑的定义基。 \ 同样，有界开区间的集合是实直线的拓扑的基。 \ 0AZD
定义 7 在拓扑空间X中，X的开集合的补集称为闭集合。 0AZE
定义 8 拓扑空间X的子集的族(Aᵢ)_i ∈ I被认为是局部有限的，如果对于每个x ∈ X，有x的邻域V，使得除了有限的数之外的所有V ∩ Aᵢ = ∅ 指标i ∈ I。如果由 S 的恒等式映射定义的子集族是局部有限的，则 X 的子集的集合 S 被认为是局部有限的。 0AZF
命题 4 拓扑空间X的局部有限闭族子集的并在X中闭合。 ↩ 6 0AZG
定义 9 在拓扑空间X中，如果A是x的邻域，则点x被认为是子集A于X的内部点。 A的内部点的集合称为A的内部，记为dotA。 0AZH
注非空集合的内部可以为空；对于未开的单个点的集合由……组成，对于有理线\（或实直线）上的例，情况就是这种情况。 0AZI
定义 10 拓扑空间 X 的子集 A 的闭包是所有点 x ∈ X的集合使得 x的每个邻域满足 A，并且是用overlineA表示。 ↩ 1 0AZJ
命题 5 设A为X中的开集合；然后对于每个子集 B of X 我们有 ↩ 3 0AZK
定义 11 在拓扑空间X中，如果x位于A的闭包和overlineCA的闭包中，则点x被称为集合A的边界点。 A的边界点的集合称为A的边界。 0AZL
定义 12 如果overlineA = X，即如果每个非空开集合，则拓扑空间X的子集A被认为在X是稠密的（或者简单地稠密，如果X没有歧义） X中的U满足A。 0AZM
例 \ 我们将在章IV, § 1中看到有理数的集合及其补集在实直线上稠密。 \ 在离散空间 X 中，X 的唯一稠密子集是 X 本身。另一方面，X的每个非空子集都密集在X上的拓扑，其中唯一的开集合是∅和X。 0AZN
命题 6 如果𝔅是拓扑空间X的拓扑的基，则在X中存在稠密的集合D使得Card(D) ≤ Card(𝔅)。 ↩ 1 0AZO

§ 2. 连续函数

定义 1 拓扑空间 X 到拓扑空间 X' 的映射 f 被认为在点 x₀ ∈ X 处连续，如果给定 f(x₀) 的任何邻域 V' X'，X中有x₀的邻域V，使得关系x ∈ V隐含f(x) ∈ V'。 ↩ 2 0AZY
命题 1 设f是拓扑空间X到拓扑空间X'的映射。如果f在x连续，且x位于X的子集A的闭包内，则f(x)位于f(A)的闭包内。 ↩ 1 0AZZ
命题 2 令X, X', X''为三个拓扑空间；设f为X的映射入X'，在x ∈ X连续；设g为X'的映射入X''，在f(x)连续。那么合成h = g ∘ f : X → X''在x处连续。 ↩ 3 0B00
定义 2 如果拓扑空间X到拓扑空间X'的映射在X上连续（或者只是连续），如果它在X的每个点连续。 0B01
例 1 拓扑空间X自身的恒等映射是连续的。 0B02
例 2 拓扑空间到拓扑空间的常数映射是连续的。 0B03
例 3 离散空间到拓扑空间的每个映射都是连续的。 0B04
定理 1 设f是拓扑空间X到拓扑空间X'的映射。那么下面的叙述是等价的： ↩ 25 0B05
注 1) 设𝔅为X'的拓扑中的基(§ 1, no. 3)；那么要使f : X → X'连续，对于每一个U' ∈ 𝔅，overlinef⁻¹(U')在X中开路是充分必要的。 0E95
例令 a 为任何有理数数。有理线Q自身的映射x → a + x在Q上连续，因为逆像在开区间的映射下]b, c[是开区间 0B06
例 \ R的映射f : x → 1/(1 + x²)自身是连续的，但f(R)是半开区间]0, 1]，在R中既不开也不闭。 \ 0B07
定理 2 1) 如果f : X → X'和g : X' → X''是两个连续的映射，则g ∘ f : X → X''是连续的。 ↩ 4 0B08
注 1 拓扑空间 X 的连续双射可以在非双连续的拓扑空间 X' 上存在：对于例，取 X' 为有理线 Q，X 为集合 Q 与离散拓扑；那么恒等式映射 X → X' 是连续的，但不是同胚。 ↩ 1 0B09
注 2 要验证连续双射 f : X → X' 是同胚，只需证明对于 x 的每个 x ∈ X 和每个邻域 V，f(V) 是 X' 中f(x) 的邻域。 0B0A
注 3 令X为拓扑空间，对于每个x ∈ X，令𝔅(x)为x的所有邻域的集合。设x₀为X的点；对于X的子集的每个x ∈ X，定义集合𝔅₀(x)如下：𝔅₀(x₀) = 𝔅(x₀)，如果x ≠ x₀则𝔅₀(x)将是所有子集的集合 X 其中包含 x。 It is immediately verified (§ 1, no. 2, Proposition 2) that t… 0B0B
定义 3 给定相同集合X上的两个拓扑𝔗₁, 𝔗₂，我们说𝔗₁比𝔗₂更更细（并且𝔗₂比𝔗₁更粗糙）如果用Xᵢ集合表示X 与拓扑 𝔗ᵢ (i = 1, 2)，恒等映射 X₁ → X₂ 是连续的。如果在加法𝔗₁ ≠ 𝔗₂中，我们说𝔗₁严格地更细比𝔗₂（并且𝔗₂严格地比𝔗₁更粗糙）。 0B0C
命题 3 给定集合 X 上的两个拓扑 𝔗₁, 𝔗₂，以下叙述是等效的： a) 𝔗₁ 比 𝔗₂ 更细。 b) 对于每个x ∈ X，𝔗₂的x的每个邻域是𝔗₁的x的邻域。 c) 对于X的每个子集A，拓扑𝔗₁中A的闭包包含在拓扑𝔗₂中A的闭包中。 d) X 中每一个子集在 𝔗₂ 关闭，在 𝔗₁ 关闭。 e) 在𝔗₂开放的X中的每个子集在𝔗₁开放。 ↩ 1 0B0D
例 \ 在希尔伯特空间 H 由……组成序列 x = (xₙ) 实数这样 |x|² = ∑ₙ₌₀^∞ xₙ² < +∞, H上的强拓扑中的点x₀中的邻域是集合，其中包含以x₀为中心的开球|x - x₀| < α； H上的弱拓扑中的x₀的邻域是由形式sup_1 ≤ i ≤ n |(x - x₀|aᵢ)| ≤ 1的关系定义的集合包含集合，其中aᵢ是H 中的点和 (x|… 0B0E
注 1 在集合X、拓扑上所有拓扑的有序集合中，其中唯一开放的集合是∅，X最粗，离散的拓扑最细。 0B0F
注 2 更细拓扑，较开集合，闭门集合和邻域；更细拓扑，集合的封闭（或内部）较小（或较大）；更细拓扑，密度较小的集合。 0B0G
注 3 如果 f : X → X' 是连续的映射，则如果 X 的拓扑被更细拓扑替换，并且 X' 的拓扑被更粗糙的拓扑替换（no. 1，定理2)。在X的其他字、更细拓扑和X'较粗的拓扑中，X到X'有更连续的映射。 0B0H
命题 4 令X为集合，令(Yᵢ)_i ∈ I为空间的拓扑族，对于每个i ∈ I，令fᵢ为X到Yᵢ的映射。 Let S be the set of subsets of X of the form overlinefᵢ⁻¹(Uᵢ) (i ∈ I, Uᵢ open in Yᵢ), and let 𝔅 be the set of finite intersections o… ↩ 11 0B0I
命题 5 令X为集合，(Zᵢ)_i ∈ I为空间的拓扑族，I的(J_λ)_λ ∈ L划分，以及(Y_λ)_λ ∈ L由L索引的集合族。同样对于每个λ ∈ L，让h_λ是X到Y_λ的映射；对于每个λ ∈ L和每个i ∈ J_λ，让g_iλ为Y_λ的映射放入Zᵢ，并放入fᵢ = g_iλ ∘ h_λ。如果每个 Y_λ 都带有映射 g_iλ (i ∈ J_λ) 连续的最粗糙… ↩ 2 0B0J
例 1 逆像共拓扑。令X为集合，Y为X的拓扑空间，f映射到Y； f连续的X上最粗的拓扑𝔗称为Y的拓扑的f下的逆像。从命题 4 和公式得出并和交的逆像 [集合理论，R，§ 4，公式 (34) 和 (46)]，开（或闭）集合在拓扑 𝔗 是 Y 的f 集合下的逆像；因而，对于每个x ∈ X，集合f⁻¹(W)，其中W穿过f(x)的基本系统的邻域在Y，形式基本系统的邻域拓扑𝔗… ↩ 2 0B0K
例 2 集合拓扑中至少上界。集合 X上的拓扑族(𝔗ᵢ)_i ∈ I在X上所有拓扑的有序集合中至少有上界𝔗，即X上存在拓扑，这是所有拓扑中最粗的X 比每个 𝔗ᵢ 更细。为了看到这一点，我们可以使用应用命题 4，将Yᵢ视为集合X，其中拓扑𝔗ᵢ，以及fᵢ作为恒等式映射X → Yᵢ； 𝔗 是最粗糙的拓扑，其中所有映射 fᵢ 都是连续的。 ↩ 1 0B0L
例 3 乘积拓扑。设(Xᵢ)_i ∈ I是拓扑空间的族。乘积集合 X = ∏_i ∈ I Xᵢ 上的最粗拓扑（其中投影 prᵢ : X → Xᵢ 是连续的映射）称为Xᵢ 拓扑的乘积；我们将更详细地研究它 ↩ 2 0B0M
命题 6 令X为集合，让(Yᵢ)_i ∈ I为空间的拓扑族，对于每个i ∈ I，令fᵢ为Yᵢ到X的映射。令D为子集U或X的集合，使得对于每个i ∈ I，overlinefᵢ⁻¹(U)在Yᵢ中开；那么D就是X上拓扑𝔗中X开子集集合，对于家庭(fᵢ)来说就是X最后的结构（集合理论，章 IV, § 2, no. 5），特别是𝔗是X上最好的拓扑，其中映射fᵢ是连续的。在其他… ↩ 6 0B0N
推论在命题 6 的假设下，X 的子集 F 在拓扑 𝔗 中闭合，当且仅当对于每个i ∈ I，overlinefᵢ⁻¹(F) 在Yᵢ 中闭合。 0B0O
命题 7 令X为集合，(Zᵢ)_i ∈ I为空间的拓扑族，I的(J_λ)_λ ∈ L划分，以及(Y_λ)_λ ∈ L由L索引的集合族。另外，对于每个λ ∈ L，令h_λ为Y_λ到X的映射；对于每个λ ∈ L和每个i ∈ J_λ，让g_λ i为Zᵢ的映射放入Y_λ，并放入fᵢ = h_λ ∘ g_λ i。如果每个 Y_λ 都包含最细的拓扑，其中映射 g_λ i (i ∈… ↩ 1 0B0P
命题 8 令X为集合，(X_λ)_λ ∈ L是子集和X的一个家族。假设每个X_λ携带拓扑𝔗_λ，这样，对于指标(λ, μ)的每个对： 1) X_λ ∩ X_μ 在每个拓扑 𝔗_λ, 𝔗_μ 中都是开路（或闭路）。 2) 由𝔗_λ和𝔗_μ重合在X_λ ∩ X_μ上导出的拓扑。令𝔗为X上最好的拓扑，其中单射j_λ : X_λ → X是连续的。然后，对于每个λ ∈ L，X_… ↩ 1 0B0Q
命题 9 假设 h_μ λ 是同胚，并且每个 A_λ μ 都是开（或闭）在 X_λ中；则每个 φ(X_λ) 都是开（或闭）在 X/R 和限制 of φ 到 X_λ 是 X_λ 到子空间 φ(X_λ) 的同态X/R。 0B0R

§ 3. 子空间；商空间

定义 1 设A为拓扑空间X的子集。 X的拓扑在A上诱导拓扑是其中集合的开交和X的开集合的A。集合A与此拓扑称为X的子空间。 ↩ 1 0B13
例有理线拓扑在有理整数的集合Z上诱导拓扑是离散拓扑，对于Z的交，开区间]n - 1/2, n + 1/2[是集合 n 。 0B14
命题 1 如果A和B是拓扑空间X的两个子集和B ⊂ A，则子空间A中的B闭包是交和A闭包X 中的B overlineB。 ↩ 1 0B15
推论 A的子集B在A中是稠密的当且仅当overlineB = overlineA在X中（即当且仅当A ⊂ overlineB）。 0B16
命题 2 设A为拓扑空间X的稠密子集；那么对于x相对于A的每个x ∈ A和每个邻域V，X中V的闭包overlineV是X中x的邻域。 ↩ 1 0B17
命题 3 令(Aᵢ)_i ∈ I为拓扑空间X的子集族，使得以下性质成立之一： a) Aᵢ 盖X 的内部。 b) (Aᵢ)_i ∈ I 是X (§ 1, no. 5) 的局部有限闭覆盖。 ↩ 6 0B18
注令(Uᵢ)_i ∈ I为拓扑空间X的开放覆盖，对于每个i ∈ I，令𝔅ᵢ为子空间Uᵢ的拓扑的基，X；那么很明显𝔅 = ⋃_i ∈ I 𝔅ᵢ是X的拓扑的基。 0B19
命题 4 设 (Aᵢ)_i ∈ I 是拓扑空间 X 其内部覆盖 X的子集族，或者是 X的局部有限封闭覆盖。让f成为X的映射进入拓扑空间X'。如果 f 中的限制对每个子空间 Aᵢ 是连续的，则 f 是连续的。 0B1A
定义 2 子集 L 拓扑空间 X 据说在点 x ∈ L 如果存在邻域 V of x in X 使得L ∩ V是子空间V的闭子集。 L 据说在 X 局部闭合如果它在每个 x ∈ L 局部闭合。 ↩ 1 0B1B
注令 F 为 X 的子集，使得对于每个点 x of X 有邻域 V of x 使得 V ∩ F 闭于子空间V；然后从命题 3 of no. 1 得出 F 在 X 结束。另一方面，下面的命题5表明，一般情况下，存在局部封闭的集合，而在X中并未封闭。 0B1C
命题 5 对于子集 L 拓扑空间 X，以下属性是等效的： ↩ 2 0B1D
推论设f : X → X'为连续映射，L'为X'的局部闭子集；那么f⁻¹(L')在X中局部闭。 0B1E
定义 3 设X为空间，R等价关系在X上。 X 与 R 的商空间是商集 X/R 与拓扑的商，即 X 拓扑与关系 R 的商 (§ 2, no. 4, 例 1)。 0B1F
命题 6 设X为X的X、φ典范映射到X/R的拓扑空间、R等价关系；那么X/R的映射f到拓扑空间Y是连续的当且仅当f ∘ φ在X上连续。 ↩ 6 0B1G
例考虑实直线R上的等价关系x ≡ y pmod1；关系与R 的商空间称为一维环面，并用T 表示。点 x ∈ R的等价类由所有点x + n组成，其中n贯穿有理数整数的集合Z。到命题 6，T上的连续函数和R上的连续函数之间存在一对一的对应，它们是周期为1的周期性。我们将在章中回到这个重要的例 V, § 1. 0B1H
推论设X, Y为X（或Y）上的两个拓扑空间、R（或S）等价关系，并令f : X → Y为连续的映射，与等价关系R和S（集合理论R，§ 5, no. 8）；那么由f（集合理论R，§ 5, no. 8）诱导的映射g : X/R → Y/S是连续的。 ↩ 1 0B1I
命题 7（空间的商传递性） 令R和S为拓扑空间X上的两个等价关系，使得R蕴含S，并令S/R为商上等价关系的商空间X/R（集合理论R，§ 5, no. 9）。那么规范的双射 (X/R)/(S/R) → X/S 是同胚。 ↩ 2 0B1J
命题 8 令f = ψ ∘ g ∘ φ为连续映射f : X → Y的规范分解，并令R表示等价关系 f(x) = f(y). 那么下面三个条件是等价的： a) g 是 X/R 到 f(X) 的同胚。 b) 相对于R饱和的每个开路集合的f下的像是子空间f(X)中的开路集合。 c) 每个相对于R饱和的闭集合在f下的像是子空间f(X)中的闭集合。 ↩ 1 0B1K
例令X为拓扑空间，(Xᵢ)_i ∈ I覆盖X，Y和于子空间Xᵢ于X；那么Y有划分(Yᵢ)_i ∈ I进入子空间，它们都是开闭的，并且对于每个i ∈ I都有一个同胚fᵢ : Yᵢ → Xᵢ。令f : Y → X为每个i ∈ I在Yᵢ上与fᵢ一致的连续映射，并令R为等价关系f(x) = f(y)；因此，商空间 Y/R 是通过“粘贴”Yᵢ (§ 2, no. 5)… 0B1L
命题 9 令f : X → Y为连续射影，令R表示等价关系f(x) = f(y)。如果存在与f关联的连续截面s : Y → X（集合理论，章II, § 3, no. 8，定义11），则与f关联的映射g : X/R → Y是同胚，并且s 是 Y 到 X 的子空间 s(Y) 的同胚。 0B1M
命题 10 规范双射 h : A/R_A → f(A) 是连续的。此外，以下三个叙述是等价的： ↩ 5 0B1N
推论 1 如果 A 是 X 的开（或闭）子集，且相对于 R 饱和，则典范映射 h : A/R_A → f(A) 是同胚。 0B1O
推论 2 如果存在连续的映射u : X → A，使得u(x)对于每个x ∈ X与x mod R全等，则f(A) = X/R和典范映射h : A/R_A → X/R是同胚。 ↩ 1 0B1P
例令R表示实直线R（no. 4，例）上的等价关系x ≡ y pmod1，并令A表示闭区间[0, 1]；每个等价类 mod R 中的包含至少有一个点。A/R_A 的典范映射到环面 T 上是同胚；因为如果 F 在 A 中闭（因此在 R 中），在阶中要使 F 相对于关系 R 饱和，我们必须取闭集合 F + n（对于所有 n ∈ Z）的并，这显然是形式一个局部有限族，… 0B1Q

§ 4. 拓扑乘积空间

定义 1 给定拓扑空间的族(Xᵢ)_i ∈ I，该族的乘积空间是乘积集合X = ∏_i ∈ I Xᵢ，拓扑是Xᵢ拓扑的乘积（§ 2, no. 3，例3）。空间 Xᵢ (i ∈ I) 称为 X 的因子。 0B27
例 \ n 空间乘积 Rⁿ 与实直线 R 相同，称为 n 维数实数空间； R²也称为实平面（cf.章VI, § 1）。同样，从有理线Q开始，我们定义n维数Qⁿ的有理数空间（n = 2的有理平面）。 0B28
命题 1 Let f = (fᵢ) be a mapping of a topological space Y into a product space X = ∏_i ∈ I Xᵢ. 那么f在点a ∈ Y连续当且仅当fᵢ对于每个i ∈ I在a连续。 ↩ 11 0B29
推论 1 令(Xᵢ)_i ∈ I, (Yᵢ)_i ∈ I为拓扑空间的两个族，且集合与指标相同。对于每个i ∈ I，令fᵢ为Xᵢ到Yᵢ的映射。在阶中乘积映射 f : (xᵢ) → (fᵢ(xᵢ)) ∏_i ∈ I Xᵢ into ∏_i ∈ I Yᵢ 应在点 a = (aᵢ) 连续对于每个 i ∈ I，fᵢ 在 aᵢ 连续是必要且充分的。 ↩ 5 0B2A
推论 2 令X, Y为两个拓扑空间。在阶中，映射f : X → Y应该是连续的，映射g : x → (x, f(x))是X同胚到f的图G（视为子空间）是充分必要的乘积空间X × Y）。 ↩ 1 0B2B
命题 2（拓扑乘积的结合性） 令(Xᵢ)_i ∈ I为集合I的拓扑空间、(Jₓ)_x ∈ K划分族，对于每个x ∈ K令X'ₓ = ∏_i ∈ Jₓ Xᵢ为空间Xᵢ的乘积 i ∈ J_K。那么典范映射共乘积空间 ∏_i ∈ I Xᵢ onto the product space ∏_x ∈ K X'ₓ 是同胚。 ↩ 4 0B2C
推论设σ为集合I中的置换。那么映射 (xᵢ) → (x_σ(i)) 是的同胚 ∏_i ∈ I Xᵢ onto ∏_i ∈ I X_σ(i). 0B2D
命题 3 令X为集合，(Yᵢ)_i ∈ I为空间的拓扑族，对于每个i ∈ I，令fᵢ为X到Yᵢ的映射。令f为X到Y = ∏_i ∈ I Yᵢ的映射x → (fᵢ(x))，并令𝔗为X上最粗糙的拓扑，其中映射fᵢ是连续的。那么 𝔗 是逆像在拓扑的f 下，f(X) 由乘积拓扑在Y 诱发。 ↩ 4 0B2E
推论对于每个i ∈ I，令Aᵢ为Yᵢ的子空间。那么乘积拓扑在∏_i ∈ I Yᵢ上在A = ∏_i ∈ I Aᵢ上诱导拓扑是子空间Aᵢ拓扑的乘积。 0B2F
命题 4 设X₁, X₂为两个拓扑空间；那么对于每个a₁ ∈ X₁，映射x₂ → (a₁, x₂)是X₂到X₁ × X₂的子空间a₁ × X₂的同胚。 ↩ 2 0B2G
推论截面 A(x₁) 开（或闭）集合 A 或乘积 X₁ × X₂ 在任意点 x₁ ∈ X₁ (*) 在 X₂ 开（或闭）。 ↩ 2 0B2H
命题 5 乘积X₁ × X₂的开集合U到因子的投影是开集合。 ↩ 4 0B2I
注 1 关闭的投影 X₁ × X₂ 的子集到因子不需要关闭。对于例来说，在有理平面Q²中，方程为x₁ x₂ = 1的双曲线是一个闭的集合，但它的投影都等于Q中点 0的补集，这不是一个闭的集合。 ↩ 1 0B2J
命题 6 设X₁, X₂, Y为乘积空间X₁ × X₂到Y的三个拓扑空间、f映射。如果f在点(a₁, a₂)连续，则X₂到Y的部分映射x₂ → f(a₁, x₂)在点a₂连续。 0B2K
注 2 由映射 f : X₁ × X₂ → Y 确定的所有部分映射可能是连续的，而不是 f 在 X₁ × X₂ 上连续（cf. 章 IX, § 5、习题 23）。 \ 对于例，如果f是实平面R²到R的映射，定义为 f(x, y) = xy/(x² + y²) if (x, y) ≠ (0, 0) 和f(0, 0) = 0，则所有部分映射都是连续的；但f在(0, 0)… ↩ 1 0B2L
命题 7 在乘积空间∏_i ∈ I Xᵢ中，集合∏_i ∈ I Aᵢ的乘积的关闭与乘积∏_i ∈ I overlineAᵢ的关闭相同。 ↩ 3 0B2M
推论乘积 ∏_i ∈ I Aᵢ 非空集合在乘积空间 ∏_i ∈ I Xᵢ 当且仅当 Aᵢ 在 Xᵢ 对于每个 i ∈ I 时封闭。 ↩ 2 0B2N
命题 8 令a = (aᵢ)为乘积空间X = ∏_i ∈ I Xᵢ中的任意点；然后点 x ∈ X 的集合 D 这样 prᵢ x = aᵢ 除了指标 i 的有限数是稠密的 X。 ↩ 2 0B2O
命题 9 令I为有向集合，并且J是I的并列子集。令(X_α, f_αβ)为由I索引的拓扑空间的逆系；设 X = varprojlim X_α 并设 f_α : X → X_α 为典范映射。那么集合f⁻¹_α(U_α)的族，其中α贯穿J，U_α贯穿X_α的拓扑的基𝔅_α，对于每个α ∈ J，是基拓扑共 X。 ↩ 4 0B2P
推论令A为X的子集，并让A_α代表每个α ∈ I的f_α(A)。然后： ↩ 2 0B2Q
例令I为有向集合，而(X_α)_α ∈ I为子集和集合Y的族，这样只要α ≤ β就有X_α ⊃ X_β。对于每个α ∈ I，令𝔗_α在X_α上为拓扑，使得每当α ≤ β时，𝔗_β比更细大于拓扑，由𝔗_α在X_β上感应。如果我们将α ≤ β的f_αβ视为典范嵌入X_β → X_α，那么lim X_α可以用X_α的交 X规范地识别，其中拓扑是最小的𝔗_α 在 X… 0B2R

§ 5. 开放映射关闭映射

定义 1 令X, X'为两个拓扑空间。如果每个打开（或关闭）的f下的像打开（或关闭）映射f : X → X'打开（或关闭）X的集合在X'打开（或关闭）。 ↩ 1 0B32
例 1 设A为拓扑空间X的子空间。那么典范嵌入 j : A → X 是开（或闭）的，当且仅当 A 在 X (§ 3, no. 1) 中是开（或闭）的。 0B33
例 2 对于拓扑空间X到拓扑空间X'的双射f成为同胚，f是连续且开，或连续且闭是必要且充分的。 0B34
例 3 令f为集合X到拓扑空间X'的满射；如果我们给出X拓扑，即X'的拓扑的f下的逆像（§ 2, no. 3，例1），那么f是连续的、开闭的。 ↩ 1 0B35
例 4 在乘积空间 X = ∏_i ∈ I Xᵢ, 每个投影prᵢ : X → Xᵢ都是一个连续的开映射，但不一定是闭的（§ 4, no. 2，命题5）。 ↩ 1 0B36
例 5 \ C 的开子集 A 上的全纯函数是A 的开映射到C。 \ 0B37
例 6 设X, X'是两个拓扑空间和f，X的连续但不是双连续的双射到X'。那么逆双射g : X' → X是X'到X的开闭映射，但不连续。 0B38
命题 1 令X, X', X''为三个拓扑空间，令f : X → X', \ g : X' → X''为两个映射。然后： ↩ 4 0B39
命题 2 设X, Y为X到Y的两个拓扑空间、f映射。对于Y的每个子集T，让f_T表示f⁻¹(T)的映射进入T，这与f⁻¹(T)上的f一致。 ↩ 3 0B3A
推论设(T(i))_i ∈ I是Y的子集族，其内部覆盖Y，或者是Y的局部有限封闭覆盖。如果f : X → Y是连续的，并且每个f_T(i)是f⁻¹(T(i))到T(i)的同态，那么f是X到Y的同态。 0B3B
定义 2 如果 X 到 X/R 上的典范映射是开路（或闭路），则等价关系 R 在拓扑空间 X 上被称为开路（或闭路）。 0B3C
例 1 令 X 为拓扑空间，Γ X 的同胚群到自身，并令 R 为等价关系 0B3D
例 2 Let X be the sum of a family (Xᵢ) of subspaces of X, and let X/R be the space obtained by pasting together the Xᵢ along open subsets Aᵢₓ by means of bijections hᵢₓ (§ 2, no. 5); an… ↩ 1 0B3E
例 3 当记号为例 2 时，现在假设 Aᵢₓ 是闭集且 h_x! 是同胚；进一步假设对于每个指标 i，只有指标 x 的有限数，使得Aᵢₓ ≠ ∅（即每个Xᵢ“卡”到仅Xₓ的有限数）。则关系 R 闭合。因为如果F是X的任意闭子集，则F的饱和度是集合h_x!(F ∩ Aᵢₓ) ⊂ Aᵢₓ的并；假设意味着这个族是局部有限的，h_x!(F ∩ Aᵢₓ)在Aᵢₓ中是封闭的，… ↩ 1 0B3F
命题 3 令X，Y为两个拓扑空间，令f : X → Y为连续映射，令R为X上的等价关系f(x) = f(y)，令X xrightarrowp X/R xrightarrowh f(X) xrightarrowi Y为f的规范分解。那么下面三个叙述是等价的： ↩ 4 0B3G
命题 4 令 R 为拓扑空间 X 上的开（或闭）等价关系，且 f 典范映射 X → X/R。令A为X的子集，并假设满足以下两个条件之一： ↩ 3 0B3H
命题 5 设X, Y为X拓扑Y, 𝔅基为空间、Xf映射。那么下面的叙述是等价的： ↩ 6 0B3I
命题 6 在拓扑空间X上设R为等价关系；那么以下三个条件是等价的： ↩ 1 0B3J
命题 7 令R为拓扑空间X上的开等价关系，并令φ : X → X/R为典范映射。如果A是X的任何子集，并且相对于R饱和，则X/R中φ(A)的闭合（分别是内部）是φ(overlineA)（分别是φ(overset∘A)）。 ↩ 1 0B3K
命题 8 令(Xᵢ)_i ∈ I, (Yᵢ)_i ∈ I是拓扑空间的两个族，由相同的集合I索引。 For each i ∈ I let fᵢ be an open mapping of Xᵢ into Yᵢ, and suppose that fᵢ is surjective for all but a finite number of indices. 那么∏_i… ↩ 1 0B3L
推论令(Xᵢ)_i ∈ I为拓扑空间族，对于每个i ∈ I，令Rᵢ为Xᵢ上的等价关系，并令fᵢ为典范映射Xᵢ → Xᵢ/Rᵢ。设X = ∏_i ∈ I Xᵢ中的R为等价关系 ↩ 4 0B3M
命题 9 设X、X'为两个拓扑空间。对于映射 f : X → X' 连续且封闭的充分必要条件是，对于 X 的每个子集 A，f(Ā) = f(A)。 ↩ 1 0B3N
命题 10 令 R 为拓扑空间 X 上的等价关系。那么 R 是闭合的，当且仅当每个等价类 M mod R 拥有邻域的基系统，并且相对于 R 是饱和的。 ↩ 5 0B3O
注命题 10 意味着以下内容：如果 R 是闭集，且 φ 表示典范映射 X → X/R，则对于X 中 x 的每个 x ∈ X 以及等价类的每个邻域 U，φ(U) 为X/R 中 φ(x) 的邻域。需要注意的是，这个叙述绝不意味着对于x的每一个邻域V，φ(V)就是φ(x)的邻域；在其他字 (no. 3, 命题 5) 中，封闭的等价关系不一定是开放的 (习题 2)。相… 0B3P

§ 6. 过滤器

定义 1 对集合 X 进行过滤是 X 的子集的集合 𝔉，其具有以下属性： 0B3X
定义 2 给定相同集合 X 上的两个滤波器 𝔉, 𝔉'，𝔉' 被认为是更细比 𝔉，或者 𝔉 比 𝔉' 更粗糙，如果 𝔉 ⊂ 𝔉'。如果也是 𝔉 ≠ 𝔉'，则 𝔉' 被称为严格比 𝔉 更细，或 𝔉 严格比 𝔉' 更粗糙。 0B3Y
命题 1 X的子集、X、包含、集合、𝔊上应存在过滤器的充分充分条件是，𝔊的有限子集不存在空的交。 ↩ 7 0B3Z
例令S为集合X的子集中的任意集合，并令𝔗为S生成的X上的拓扑（S2，no. 3，例II）。由于S的集合有限交集合是𝔗的基，因此从上面的命题1的证明和S1的命题3得出， no. 3，对于𝔗的x的每个x ∈ X邻域过滤器是由S的集合的集合𝔊(x)生成，其中包含x。 0B40
推论 1 令𝔉为集合X的过滤器，以及A子集为X的过滤器。然后有一个过滤器𝔉'，它比更细大于𝔉，并且使得A ∈ 𝔉'，当且仅当A满足𝔉的所有集合。 ↩ 3 0B41
推论 2 非空集X上的所有过滤器中的集合Φ在X上的所有过滤器的集合中至少有上界当且仅当，对于Φ的元素的所有有限序列(𝔉ᵢ)_1 ≤ i ≤ n且所有 Aᵢ ∈ 𝔉ᵢ (1 ≤ i ≤ n), 交 A₁ ∩ ⋯ ∩ Aₙ 不为空。 ↩ 3 0B42
推论 3 非空集合 X 上所有滤波器的有序集合是归纳性的。 ↩ 1 0B43
命题 2 设𝔅为集合X的子集集合。那么X的子集的集合，其中𝔅的包含集合是过滤器当且仅当𝔅具有以下两个属性： (BI)𝔅𝔅包含集合两个集合交。 (B{II})𝔅不为空，X的空子集不在𝔅中。 0B44
定义 3 满足公理(BI)和(B{II})的集合X子集集合𝔅被称为滤波器生成的基。如果两个过滤器基生成相同的过滤器，则称它们是等效的。 ↩ 1 0B45
命题 3 X上的过滤器𝔉的子集𝔅是𝔉的基当且仅当𝔉包含集合的𝔅的每个集合。 ↩ 5 0B46
命题 4 在集合X上，具有基𝔅'的过滤器𝔉'比具有基𝔅的过滤器𝔉更细当且仅当𝔅包含的每个集合集合共𝔅'。 ↩ 2 0B47
推论集合 X 上的两个滤波器基 𝔅, 𝔅' 等效当且仅当𝔅 包含集合 𝔅' 的每个集合以及𝔅' 包含的每个集合集合共𝔅。 ↩ 1 0B48
定义 4 An ultrafilter on a set X is a filter 𝔉 such that there is no filter on X which is strictly finer than 𝔉 (in other words, a maximal element in the ordered set of all filters on X). 0B49
定理 1 如果𝔉是集合X上的任意滤波器，则存在比𝔉超滤器更细。 ↩ 3 0B4A
命题 5 令𝔉为集合X上的超滤器。如果A和B是X的两个子集，使得A ∪ B ∈ 𝔉，则A ∈ 𝔉或B ∈ 𝔉。 ↩ 5 0B4B
推论如果将并或有限序列(Aᵢ)_1 ≤ i ≤ n将子集或X属于连接至超滤器𝔉，则Aᵢ属于至𝔉中的至少一个。 ↩ 2 0B4C
命题 6 让𝔊成为集合X上的过滤器的子基。如果对于 X的每个子集 Y 我们有 Y ∈ 𝔊 或 complement Y ∈ 𝔊，那么 𝔊 是 X上的超滤器。 ↩ 1 0B4D
注如果X包含至少有两个元素，则X上至少有两个不同的超滤器，因此X上的有序过滤器集合没有最大元素。 0B4E
命题 7 每个过滤器 𝔉 在集合 X 超滤器更细中的交比 𝔉。 ↩ 2 0B4F
命题 8 让𝔉成为集合X和A子集的过滤器X。那么当且仅当 𝔉 的每个集合满足 A时，跟踪 𝔉_A of 𝔉 在 A 是一个过滤器。 ↩ 1 0B4G
定义 5 令A为集合X的子集和𝔉X上的过滤器。如果𝔉在A上的迹是A上的滤波器，则称该滤波器是由A上的𝔉诱导的。 0B4H
例令X为空间、X的A子集、X的x点。在阶中，x的邻域滤波器𝔅在A上的迹应该是A上的滤波器，x的每个邻域满足A是充分必要的，即x位于在A（§ 1, no. 6，定义10）的闭包中。 0B4I
命题 9 集合 X 诱导上的超滤U X 子集 A 上的过滤器当且仅当A ∈ U；如果满足这个条件，那么U_A就是A上的超级过滤器。 0B4J
命题 10 如果𝔅是集合X上的超滤器基，并且如果f是集合X'中X的映射，则f(𝔅)是超滤器基 X'. ↩ 2 0B4K
定义 6 Given a filter 𝔉ᵢ on each set Xᵢ of a family of sets (Xᵢ)_i ∈ I, the product of the filters 𝔉ᵢ is the filter on X = ∏_i ∈ I Xᵢ which has as a base the set of subsets of X of the fo… 0B4L
定义 7 令(xₙ)_n ∈ N为集合X的元素的无限序列。与序列 (xₙ) 关联的基本滤波器是由 Fréchet 滤波器 (no. 1) 的像通过 N 的映射 n → xₙ 生成X 的滤波器。 0B4M
命题 11 如果过滤器𝔉有可数的基，则它是基本过滤器中更细比𝔉的交。 ↩ 2 0B4N
注比具有可数基的过滤器“更粗糙”的过滤器不需要拥有可数基；对于例，如果X是不可数的无限集合，则X的有限子集的补集的过滤器由……组成没有可数的基（否则X的有限子集的集合）是可数的，与假设相反）；然而，这个过滤器比与无限序列的不同元素或 X 相关联的每个基本过滤器都要粗糙。 0B4O
注 1 将X的子集M的每个映射f化为X'，其中M属于到𝔉，相当于S对映射f₁的mod X 变为 X'（这证明了上述术语）：扩展 f 到 X 就足够了，例如通过在 X - M 上给它一个常数值。 0B4P
注 2 两个子集M的特征函数φ_M和φ_N以及X的N相对于𝔉具有相同的胚芽当且仅当M和N相对于𝔉具有相同的胚芽。 0B4Q

§ 7. Limits

定义 1 令X为拓扑空间，𝔉为X上的过滤器。点x ∈ X据说是𝔉的极限点（或简称极限），如果𝔉是更细比邻域过滤x的𝔅(x)； 𝔉 也被称为收敛（或将收敛）到 x。点 x 据说是滤波器基 𝔅 在 X上的极限，并且 𝔅 据说收敛到 x，如果滤波器的基是 𝔅 收敛到 x。 ↩ 1 0B5B
命题 1 A filter base 𝔅 on a topological space X converges to x if and only if every set of a fundamental system of neighbourhoods of x contains a set of 𝔅. 0B5C
命题 2 过滤器 𝔉 在拓扑空间 X 收敛到点 x 当且仅当每个更细比 𝔉 收敛到 x。 0B5D
定义 2 在拓扑空间 X中，点 x 是过滤器基 𝔅 在 X 上的集群点，如果它位于 𝔅的所有集合的闭包中。 0B5E
命题 3 点 x 是滤波器基 B 的簇点当且仅当 x 的邻域的基本系统的每个集合满足 B 的每个集合。 0B5F
命题 4 点 x 是过滤器 𝔉 的簇点当且仅当存在一个比 𝔉 收敛到 x 的过滤器更细。 ↩ 1 0B5G
推出当且仅当 x 是 𝔘 的簇点时，ultrafilter 𝔘 收敛于点 x。 ↩ 1 0B5H
命题 5 拓扑空间X上过滤器基的集群点的集合在X中闭合。 ↩ 1 0B5I
命题 6 令𝔅为拓扑空间X的子集A上的过滤器基。然后X属于到overlineA中𝔅的每个簇点；相反，overlineA 的每个点都是 A 上滤波器的极限点。 0B5J
注拓扑空间上的过滤器不需要有集群点（并且更不必说没有极限点）；对于例，在无限离散空间中，有限子集的补集过滤器没有簇点。空间，其中每个过滤器都有一个簇点在数学中发挥着重要作用，我们将在§ 9中研究它们。 0B5K
定义 3 设f为集合X的映射到拓扑空间Y，并令𝔉为X上的过滤器。如果 y 是极限点（分别是簇），则相对于过滤器 𝔉，点 y ∈ Y 被认为是 f 的极限点（或简称为极限）（分别是簇点）过滤器基f(𝔉)的点）。 0B5L
命题 7 点y ∈ Y相对于过滤器𝔉是f的极限当且仅当，对于Y中y的每个邻域V，存在集合M ∈ 𝔉使得f(M) ⊂ V（即 overlinef(V) ∈ 𝔉 对应邻域 V / y）。点y ∈ Y是f相对于𝔉的集群点当且仅当对于y的每个邻域V且每个M ∈ 𝔉有点x ∈ M这样 f(x) ∈ V. ↩ 2 0B5M
例 1 一个拓扑空间的点(xₙ)_n ∈ N序列是N映射n → xₙ到X。在数学分析中，经常使用极限点的概念和映射的集群点相对于N上的Fréchet过滤器（§ 6, no. 1）；如果相对于 Fréchet 滤波器，y 是 n → xₙ 的极限，则y 被称为序列 (xₙ) 极限因为 n 趋于无穷大，我们写为 lim_n → ∞ xₙ = y。相对于 Fréch… 0B5N
例 2 更一般地，令f是有向集合A到拓扑空间X的映射。如果相对于A的截面过滤器，x ∈ X是f的极限（分别是簇点），则x被称为极限（分别是簇点） f 相对于有向集合 A，我们写为x = lim_z ∈ A f(z)。 0B5O
命题 8 令f为集合X的映射变成拓扑空间Y；那么y ∈ Y是f相对于𝔉的集群点当且仅当X上有一个过滤器𝔊，它比𝔉更细并且y是f的极限关于𝔊. 0B5P
注如果相对于X上的过滤器𝔉，y ∈ Y是映射f : X → Y的极限（分别是簇点），则y也是每个的极限（分别是簇点）函数 g : X → Y 与 f 相对于 𝔉 (§ 6, no. 9) 具有相同的胚芽；相对于𝔉，y据说是极限（分别是簇点）胚芽tildef的f。 0B5Q
命题 9 映射 f 拓扑空间 X 到拓扑空间 Y 在点 a ∈ X 当且仅当 lim_i ∈ I f(x) = f(a)。 ↩ 6 0B5R
推论 1 设 X, Y 为 X 的两个拓扑空间、f 映射进入 Y ，在点 a ∈ X连续；然后，对于每个过滤器基 𝔅 在 X 上收敛到 a，过滤器基 f(𝔅) 收敛到 f(a)。相反，如果对于每个超滤器 𝔘 在 X 收敛到 a，超滤器基 f(𝔘) 收敛到 f(a)，则 f 在 a 处连续。 ↩ 6 0B5S
推论 2 设g为集合Z的映射，形成拓扑空间X，其相对于Z上的过滤器𝔉有极限a；那么如果映射 f : X → Y 在 a 处连续，则合成 f ∘ g 的 f(a) 相对于 𝔉 为极限点。 0B5T
命题 10 令X为集合，令(Yᵢ)_i ∈ I为空间的拓扑族，对于每个i ∈ I，令fᵢ为X到Yᵢ的映射。让 X 被赋予最粗糙的拓扑 𝔗，其中 fᵢ 是连续的。那么，对于X上的滤波器𝔉收敛到a ∈ X的必要且充分的条件是，对于每个i ∈ I，滤波器基fᵢ(𝔉)应该收敛到Yᵢ中的fᵢ(a)。 ↩ 3 0B5U
推论 1 乘积空间 X = ∏_i ∈ I Xᵢ 上的滤波器 𝔉 收敛到点 x 当且仅当对于每个 i ∈ I，滤波器基 prᵢ(𝔉) 收敛到 prᵢ(x)。 ↩ 5 0B5V
推论 2 令f = (fᵢ)为集合X的映射变成乘积空间Y = ∏_i ∈ I Yᵢ。那么f相对于X上的过滤器𝔉具有极限y = (yᵢ)当且仅当对于每个i ∈ Ifᵢ相对于𝔉具有极限yᵢ。 0B5W
命题 11 令R为拓扑空间X上的开等价关系，并令φ为典范映射X → X/R。然后，对于每个x ∈ X和X/R上的每个过滤器基𝔅'收敛到φ(x)，X上有一个过滤器基𝔅收敛到x并且φ(𝔅)是等价的到𝔅'。 ↩ 1 0B5X

§ 8. 豪斯多夫空间和常规空间

命题 1 设X为拓扑空间。那么下面的叙述是等价的： ↩ 13 0B65
定义 1 命题 1 的拓扑空间满足条件称为 Hausdorff 或分离空间；这样的空间中的拓扑据说是豪斯多夫拓扑。 0B66
例任何离散空间都是 Hausdorff。有理线Q是Hausdorff，因为如果x, y是两个有理数数，使得x < y，则存在有理数z，使得x < z < y和邻域]←, z[等于x与 y 的 ]z, →[ 不相交。 0B67
命题 2 令f, g为拓扑空间X的两个连续的映射变为豪斯多夫空间Y；那么所有x ∈ X中的集合使得f(x) = g(x)在X中闭合。 ↩ 16 0B68
推论 1（原理 / 扩张恒等式） 设f, g是拓扑空间X到Hausdorff空间Y的两个连续的映射。如果 f(x) = g(x) 是 X 的密集子集的点，则 f = g。 ↩ 10 0B69
推论 2 如果f是拓扑空间X到Hausdorff空间Y的连续映射，则f的图在X × Y中闭合。 ↩ 4 0B6A
命题 3 令 (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n 为 Hausdorff 空间 X 的不同点的有限族；那么每个xᵢ在X中有邻域Vᵢ，这样Vᵢ（1 ≤ i ≤ n）就互为不相交的。 0B6B
推论每个有限 Hausdorff 空间都是离散的。 0B6C
命题 4 Hausdorff 空间的每个有限子集都关闭。 ↩ 1 0B6D
命题 5 令X为拓扑空间，并假设对于X的不同点x, y的每个对，存在X的连续映射f进入Hausdorff 空间X'使得f(x) ≠ f(y)。那么 X 就是 Hausdorff。 ↩ 5 0B6E
推论每个拓扑比 Hausdorff 拓扑更细都是 Hausdorff。 0B6F
命题 6 如果拓扑空间X的每个点都有一个闭邻域，它是X的豪斯多夫子空间，则X是豪斯多夫。 ↩ 2 0B6G
命题 7 Hausdorff 空间的每个乘积都是 Hausdorff。相反，如果非空空间的乘积是 Hausdorff，则每个因子都是 Hausdorff 空间。 ↩ 5 0B6H
推论 1 令X为集合，令(Yᵢ)_i ∈ I为Hausdorff拓扑族空间，对于每个i ∈ I，令fᵢ为X到Yᵢ的映射。让X携带最粗糙的拓扑𝔗，其中fᵢ是连续的。那么，对于X成为豪斯多夫的必要且充分的条件是，对于X的不同点x, y的每个对，对于某些指标i ∈ I，我们有fᵢ(x) ≠ fᵢ(y)。 0B6I
推论 2 设(X_α, f_α β)为拓扑空间的逆系。如果 X_α 是 Hausdorff，则 X = varprojlim X_α 是 Hausdorff，并且是 ∏_α X_α 的闭子空间。 ↩ 3 0B6J
命题 8 商空间 X/R 成为 Hausdorff 的必要条件是条件 R 的图 C 在 X × X 中闭合。如果等价关系R打开，这个条件也足够了。 ↩ 7 0B6K
命题 9 如果f是拓扑空间X到Hausdorff空间X'的连续映射，并且R是等价关系f(x) = f(y)，则商空间 X/R 是豪斯多夫。 0B6L
命题 10 如果 X 是 Hausdorff 空间，并且如果 X 对于等价关系 R 具有连续的截面 s，则 X/R 是 Hausdorff 并且 s(X/R) 是闭的X. ↩ 1 0B6M
命题 11 拓扑空间 X 的以下属性是等效的： 0B6N
定义 2 如果拓扑空间是 Hausdorff 并且满足公理 (O{III})，则称其为正则；那么它的拓扑就被称为是规则的。 0B6O
命题 12 常规空间中的每一个子空间都是常规的。 0B6P
命题 13 如果拓扑空间X的每个点x都有一个闭邻域，并且它是X的正则子空间，则X是正则的。 ↩ 2 0B6Q
注 1 存在非 Hausdorff 空间的例，其中每个点都有一个正则邻域 (习题 7)。 0B6R
注 2 有空间是 Hausdorff 但不是正则 (习题 20)。 0B6S
注 3 比常规拓扑更细的拓扑不必是常规的 (习题 20)。 0B6T
定理 1 设X是拓扑空间，A是X的稠密子集，f：A→Y映射将A变成正则空间Y。对于f到扩展到连续映射的充分必要条件 overlinef : X → Y 是，对于每个 x ∈ X，当 y 趋于 x 而保持在 A 中时，f(y) 趋向于 Y 中的极限。则 f 到 X 的连续扩张 overlinef 是唯一的。 ↩ 3 0B6U
推论设𝔉₁为集合X₁上的过滤器，𝔉₂为集合X₂上的过滤器；令𝔉₁ × 𝔉₂为乘积在X = X₁ × X₂上过滤（§ 6, no. 7），并令f为X的映射转换为常规空间Y。假设 a) lim_𝔉₁ × 𝔉₂ f 存在。 0B6V
命题 14 让X成为常规空间，R于X关闭等价关系。然后 C 的 R 在 X × X 中的图形是闭合的。 ↩ 2 0B6W
推论在常规空间上，每个打开和关闭的等价关系都是 Hausdorff。 0B6X
命题 15 Let X be a regular space, F a closed subset of X, R the equivalence relation on X obtained by identifying all the points of F [in other words, the equivalence relation whose equiva… ↩ 2 0B6Y

§ 9. 紧凑空间和局部紧凑空间

定义 1 拓扑空间 X 如果满足以下公理，则称其为拟紧的： ↩ 1 0B7S
例 1 每个有限空间都是拟紧的，更一般地，每个空间其中只有有限个数的开集合都是准紧的。有限空间是紧致的，当且仅当它是离散的，因为有限 Hausdorff 空间是离散的（§ 8，no. 1，命题 3 的推论）。相反，每个紧离散空间都是有限的，因为单个点的空间集合由……组成是开路；因此空间由(C''')有限。 0B7T
例 2 设X为集合，并给出X拓扑，其中闭集合为X，并且X的所有有限子集[子集的这个集合显然满足公理§ 1、no. 4的(O'₁)和(O'_II)]。这样定义的拓扑空间是准紧。因为如果(Fᵢ)_i ∈ I是X的闭族子集且交为空，那么F_α对于某些α ∈ I是有限的。令 aₖ (1 ≤ k ≤ n) 为 F_α 中的元素；那么通过假设，对于每个指标k，有指标iₖ ∈ I… ↩ 1 0B7U
注拟紧（非豪斯多夫）空间主要用于拓扑在代数几何中的应用，很少在其他数学理论中出现，相反紧空间发挥着重要作用。 0B7V
定理 1 设 𝔉 为准紧致空间 X 上的滤波器，并让 A 为 𝔉的集群点的集合。然后每邻域A属于到𝔉。 ↩ 3 0B7W
推论为了使紧凑空间上的滤波器收敛，它具有单个集群点是必要且充分的。 ↩ 3 0B7X
命题 1 令 X 为 X 的紧凑空间、x 点。在阶中，由x的闭邻域形成的滤波器基B应该是x的邻域的基本系统，B的集合的交仅由x组成是充分必要的。 ↩ 2 0B7Y
推论每个紧凑空间都是正则。 ↩ 1 0B7Z
命题 2 令X为紧致空间，并令A、B为X的两个不相交的闭子集。则存在两个开集合 U、V，使得U ∩ V = ∅ 且A ⊂ U 和B ⊂ V。 ↩ 3 0B80
定义 2 如果子空间 A 是拟紧致（或紧致），则拓扑空间 X 的子集 A 被称为拟紧致（或紧致）集合。 0B81
例 1 在拓扑空间X中，每个有限子集都是拟紧的；空集和点中的每一个集合由……组成都是紧致的。 0B82
例 2 在拓扑空间X中，令(xₙ)_n ∈ N为点的无限序列，收敛于点a；那么点xₙ(n ∈ N)和a的集合A由……组成是拟紧的。因为如果(Uᵢ)是A被X的开集合覆盖，那么a ∈ Uₓ对于一些指标x。 Uₓ是a的邻域，因此只有指标nₖ的有限数使得x_nₖ ∉ Uₓ。对于每个指标k，令iₖ为指标，使得x_nₖ ∈ U_iₖ；那么Uₓ和U_iₖ形式是A的有限开覆盖。 ↩ 1 0B83
命题 3 拟紧致（或紧）的每个闭子集空间都是拟紧（或紧）。 ↩ 6 0B84
命题 4 Hausdorff 空间的每个紧凑子集都是封闭的。 ↩ 8 0B85
推论在紧致空间 X 子集 A 是紧致当且仅当它闭于 X。 0B86
命题 5 拓扑空间的有限拟紧族子集的并是拟紧的。 ↩ 3 0B87
定义 3 子集 A 拓扑空间 X 据说是相对拟紧（分别为相对紧）在 X 如果 A 包含在准紧（分别为紧）子集中X。 0B88
命题 6 如果X是豪斯多夫空间，X的子集A是相对紧的当且仅当overlineA是紧的。 0B89
命题 7 如果A是拓扑空间X的相对准紧子集，则A上的每个过滤器基在X中都有一个簇点。 ↩ 1 0B8A
注在非 Hausdorff 空间中，紧集不需要闭集，并且它的闭包不需要是拟紧的 (习题 5)；两个紧集中的交不必是拟紧的 (习题 5)；两个紧集的并不必是紧凑的 (习题 5)。 0B8B
定理 2 如果f是拟紧空间X到拓扑空间X'的连续映射，则集合f(X)是拟紧的。 ↩ 17 0B8C
推论 1 设f是拓扑空间X到豪斯多夫空间X'的连续映射。那么 X 中任意拟紧（或相对准紧）集合 f 下的像是 X' 中的紧（或相对紧）集合。 ↩ 9 0B8D
推论 2 准紧空间 X 到 Hausdorff 空间 X' 的每个连续映射 f 都是闭集。如果 f 也是双射，那么 f 是同胚。 ↩ 9 0B8E
推论 3 Hausdorff 拓扑比准紧凑空间的拓扑更粗糙，必须与后者重合。 ↩ 1 0B8F
推论 4 设X为拓扑空间，R为X上的豪斯多夫等价关系。 ↩ 2 0B8G
定理 3（吉洪诺夫） 准紧致（或紧致）空间的每个乘积都是准紧致（或紧致）。相反，如果非空空间的乘积是准紧致（或紧致），则每个因子都是拟紧致（或紧致）。 ↩ 6 0B8H
推论为了使拓扑空间的乘积的子集相对拟紧，其每个投影在相应的因子中相对拟紧是必要且充分的。 0B8I
命题 8 令(X_α, f_αβ)为由有向集合I索引的紧凑空间的逆系，使得对于每个α ∈ I，f_αα为恒等映射。令 X = varprojlim X_α 为逆极限且 f_α : X → X_α 典范映射 (§ 4, no. 4)。然后 a) X 是紧凑的，对于每个 α ∈ I 我们有 f_α(X) = ⋂_β ≥ α f_αβ(X_β). b) 如果 X_α 都非空… ↩ 4 0B8J
推论 1 令 (X_α, f_αβ) 为由有向集合索引的拓扑空间的逆系，使得对于指标α, β的每个对对于其中α ≤ β以及对于每个x_α ∈ X_α， overlinef_αβ⁻¹(x_α) 紧凑。则方程 (1) 有效，并且 overlinef_α⁻¹(x_α) 对于每个指标 α 和每个 x_α ∈ X_α 都是紧凑的。 ↩ 2 0B8K
推论 2 设(X_α, f_αβ)和(X'_α, f'_αβ)为由相同有向集合I索引的拓扑空间的两个逆系，并让(u_α)为映射的逆系 u_α : X_α → X'_α。让X = varprojlim X_α，X' = varprojlim X'_α，u = varprojlim u_α。然后： a) 如果 x' = (x'_α) ∈ X' 使得 overlineu… ↩ 2 0B8L
定义 4 拓扑空间X如果是豪斯多夫且X的每个点都有一个紧邻域，则称其为局部紧致。 0B8M
命题 9 每个局部紧凑空间都是正则的。 0B8N
推论在局部紧致空间中，每个点都有紧致邻域的基本系统。 0B8O
命题 10 在局部紧致空间X中，每个紧集K都有紧致邻域的基本系统。 ↩ 5 0B8P
命题 11 令X为X的局部紧致空间和F子集，使得只要K是X的紧致子集，F \cap K就是紧致的。那么 F 在 X 中闭合。 0B8Q
命题 12 在 Hausdorff 空间 X 中，每个局部紧致子空间 A 都是局部闭的。 ↩ 1 0B8R
命题 13 局部紧致空间X的每个局部闭子空间都是局部紧致的。 ↩ 5 0B8S
命题 14 a) 令 (Xᵢ)_i ∈ I 为局部紧致空间族，使得 Xᵢ 对于除了指标的有限数以外的所有成员都是紧致的。那么乘积空间 X = ∏_i ∈ I Xᵢ 是局部紧致的。 ↩ 1 0B8T
定理 4（亚历山德罗夫） 如果X是任意局部紧致空间，则存在紧致空间X'和X的同态f到X'中点的补集。此外，如果X'₁是另一个紧空间，使得X的同态f₁到X'₁中点的补集，那么X'到X'₁有唯一的同态g这样 f₁ = g ∘ f. ↩ 8 0B8U
定义 5 局部紧致空间 X 被称为 σ 紧致或无穷大可数，如果它是紧致子集的可数并。 0B8V
例 1 离散空间是 σ 紧的当且仅当它是可数的。 0B8W
例 2 \ 实直线 R 是局部紧致和 σ-紧致，因为它是 n ∈ N 的紧致区间 [ -n, +n ] 的并。 \ 0B8X
注 Hausdorff 空间可以是紧致子空间的可数并，而不是局部紧致。 \ 例是希尔伯特空间与弱拓扑，我们将在后面的卷中展示。 0B8Y
命题 15 如果X是局部紧致σ紧致空间，则X的相对紧致开子集有序列(Uₙ)覆盖X，使得每个overlineUₙ ⊂ Uₙ₊₁ n。 ↩ 7 0B8Z
推论 1 对于命题 15 的记号，X 的每个紧凑型子集 K 都包含在一些Uₙ 中。 ↩ 3 0B90
推论 2 令X为局部紧致空间，并令X'为通过在无穷远ω与X（no. 8）处邻接点而获得的紧致空间。那么X是σ紧的当且仅当点ω在X'中具有邻域的可数基本系统。 ↩ 1 0B91
定义 6 如果拓扑空间是 Hausdorff 并且满足以下公理，则称其为仿紧： 0B92
命题 16 准紧致空间 X 的每个闭子空间 F 都是准紧致。 ↩ 1 0B93
命题 17 副紧致空间和紧致空间的乘积是副紧致。 ↩ 2 0B94
命题 18 和 (§ 2, no. 4, 例 3) 一个家族的 (Xᵢ)_i ∈ I 超紧致空间是超紧致。 ↩ 1 0B95
定理 5 局部紧致空间 X 是仿紧致当且仅当 X 是局部紧致σ-紧致空间族中的和。 ↩ 3 0B96
推论令 X 为局部紧致准紧致空间。那么X的每个开覆盖ℜ都有一个由相对紧集组成的局部有限开细化ℜ'。如果 X 是 σ-紧，那么 ℜ' 可以被认为是可数的。 0B97

§ 10. 正确映射

例 Hausdorff 空间中的每个常数映射都是闭的。但它f是常数映射Q → 0，那么f × ι_Q就是Q²入Q²的映射(x, y) → (0, y)，所以是第二个投影，不是闭的（§ 4, no. 2，注） 1）。 0BA1
定义 1 设f是拓扑空间X到拓扑空间Y的映射。对于每个拓扑空间 Z，如果 f 是连续的且映射 f × ι_Z : X × Z → Y × Z 是闭集，则 f 被认为是正确的。 ↩ 1 0BA2
命题 1 每个正确的映射都是关闭的。 ↩ 7 0BA3
命题 2 令f : X → Y为连续的单射。那么下面三个叙述是等价的： a) f 是正确的。 b) f 关闭。 c) f 是 X 到 Y 的闭子集的同胚。 ↩ 9 0BA4
命题 3 令f : X → Y为连续的映射。如果T是Y中的任何子集，则让f_T表示映射overlinef⁻¹(T) → T，它与overlinef⁻¹(T)上的f一致。 a) 如果 f 合适，则 f_T 也合适。 b) 设(T(i))_i ∈ I是Y的子集族，其内部覆盖Y，或者是Y的局部有限封闭覆盖；那么如果映射 f_T(i) 中的每一个都是正确的，那么 f 也是正确… ↩ 8 0BA5
命题 4 令I为有限集合，对于每个i ∈ I，令fᵢ : Xᵢ → Yᵢ为连续映射。令 X = ∏_i ∈ I Xᵢ, \ Y = ∏_i ∈ I Yᵢ, 并令 f : X → Y 为乘积映射 (xᵢ) → (fᵢ(xᵢ))。然后： a) 如果 fᵢ 中的每一个都是正确的，那么 f 都是正确的。 b) 如果f是正确的并且Xᵢ非空，那么每个fᵢ都是正确的。 ↩ 4 0BA6
命题 5 令f : X → X'和g : X' → X''为两个连续的映射。 a) 如果f和g是正确的，那么g ∘ f是正确的。 b) 如果 g ∘ f 是真且 f 是满射，则 g 是真。 c) 如果 g ∘ f 是正确的并且 g 是单射的，那么 f 是正确的。 d) 如果 g ∘ f 是正确的且 X' 是 Hausdorff，则 f 是正确的。 ↩ 15 0BA7
注如果 X' 不是 Hausdorff，则可能发生 g ∘ f 是正确的而 f 不是；对于例，取X和X''由一个点组成，X'由两个点组成，其中拓扑最粗。 0BA8
推论 1 如果f : X → Y是真映射，则f的限制到X的闭子集F是F到Y的真映射。 ↩ 1 0BA9
推论 2 令f : X → Y为真映射，其中X为Hausdorff。那么 Y 的子空间 f(X) 就是 Hausdorff。 ↩ 2 0BAA
推论 3 令I为有限集合，对于每个i ∈ I，令fᵢ : X → Yᵢ为真映射。如果 X 是 Hausdorff，则 X 的映射 x ↦ (fᵢ(x)) 到 ∏_i ∈ I Yᵢ 是正确的。 ↩ 2 0BAB
推论 4 令X和Y为两个拓扑空间，f : X → Y在X上连续的映射，R等价关系f(x) = f(y)，并且 X xrightarrowp X/R xrightarrowh f(X) xrightarrowi Y f 的规范分解。那么，要使 f 正确，p 正确，h 同胚，f(X) Y 的闭子集是必要且充分的。 ↩ 1 0BAC
引理 1 设X为拓扑空间，使得常数映射X → P是正确的。那么 X 是拟紧的。 ↩ 1 0BAD
定理 1 令f : X → Y为连续的映射。那么下面四个叙述是等价的： ↩ 19 0BAE
引理 2 如果 (fᵢ)_i ∈ I 是一系列连续的映射 fᵢ : Xᵢ → Yᵢ，每个都满足定理 1 的条件 d)，则乘积映射 f : (xᵢ) → (fᵢ(xᵢ)) 也满足d)。 ↩ 1 0BAF
推论 1 拓扑空间 X 是准紧当且仅当映射 X → P 是适当的。 ↩ 4 0BAG
推论 2 准紧凑空间 X 的每个连续映射 f 到 Hausdorff 空间 Y 都是合适的。 ↩ 2 0BAH
推论 3 如果 (fᵢ) 是真映射的族，则乘积映射 (xᵢ) → (fᵢ(xᵢ)) 是真。 ↩ 2 0BAI
推论 4 让X成为豪斯多夫空间，让fᵢ : X → Yᵢ成为正规映射的家庭。那么映射 f : x → (fᵢ(x)) of X 进入 ∏ᵢ Yᵢ 是正确的。 0BAJ
推论 5 如果 X 是任何拟紧空间并且 Y 是任何拓扑空间，则投影 pr₂ : X × Y → Y 是正确的。 ↩ 7 0BAK
例令X为集合，并令f : X → X'为X的映射到拓扑空间X'；将X与逆像拓扑在X'的拓扑的f下。那么f是正确的，因为f是闭合的（§ 5, no. 1，例3）并且X'的点的逆像是X的子空间，其拓扑是最粗拓扑，因此是准紧的。 0BAL
注当Y为Hausdorff时，定理1的条件d)等价于： 0BAM
命题 6 设f : X → Y为真映射，令K为Y的拟紧子集，则overlinef⁻¹(K)为拟紧。 ↩ 4 0BAN
命题 7 设 f 是 Hausdorff 空间 X 到局部紧致空间 Y 的连续映射。则 f 是正确的当且仅当 Y 的每个紧致子集的 f 下的逆像都是紧致的。此外，如果 f 是正确的，则 X 是局部紧致的。 ↩ 3 0BAO
推论令X、X'为两个局部紧致空间，并令Y（分别为Y'）为通过在无穷大ω（分别为ω'）与X（分别为X'）邻接点而获得的紧致空间。（§ 9, no. 8）。那么连续的映射 f : X → X' 是正确的当且仅当它的扩张 overlinef : Y → Y' ，使得 overlinef(ω) = ω' 是连续的。 ↩ 2 0BAP
命题 8 设X是X、C上R在X × X、f典范映射X → X/R上的紧致空间、R等价关系。那么下面的条件是等价的： ↩ 8 0BAQ
命题 9 设X为X、C上R在X × X、f典范映射X → X/R上的局部紧凑空间、R等价关系；令X'为在无穷大ω与X邻接点所获得的紧空间，并令R'为图为C' = C ∪ (ω, ω)的X'上的等价关系。那么下面的条件是等价的： ↩ 2 0BAR
推论令X为豪斯多夫空间，Y为拓扑空间，f : X → Y为真映射。那么对于X是紧致的（或局部紧致），f(X)是紧致的（或局部紧致）是必要且充分的，并且Y是紧致的（或局部紧致）是充分的。 0BAS
注如果 X 是局部紧致但不是紧致的，则 X 上的闭等价关系 R 不必是 Hausdorff (章 IX, § 4, 习题 14)；即使 R 是 Hausdorff，X/R 也不必是局部紧致的 (习题 17)。但是，我们有以下标准： 0BAT
命题 10 令X为局部紧致空间，R为X上的开豪斯多夫等价关系，令f : X \to X/R为典范映射。那么 X/R 是局部紧致的，并且如果 K' 是 X/R 的任意紧致子集，则存在 X 的紧致子集 K，使得 f(K) = K'。 ↩ 1 0BAU

§ 11. 连通性

定义 1 如果拓扑空间X不是两个不相交的非空开集合中的并，则称其是连通的。 0BBG
例 1 我们将在章IV, § 2, no. 5中看到实直线是连通的，而有理线则不是。 \ 0BBH
例 2 具有多个点的离散空间未连接。 0BBI
定义 2 如果 X 的子空间 A 是连通的，则拓扑空间 X 的子集 A 被称为连通的集合。 0BBJ
例在任何拓扑中空间、空集以及单个点的每个集合由……组成都是相连的。在 Hausdorff 空间 X 中，超过 1 个点的每个有限集合由……组成均不相连，更一般地，X 的每个子集具有多个点并且至少有一个孤立的点未连接。 0BBK
命题 1 如果A是一个连通的集合，那么每个集合B使得A ⊂ B ⊂ overlineA是连通的。 ↩ 6 0BBL
命题 2 集合的并交非空是相连的。 ↩ 4 0BBM
推论让(Aₙ)_n ≥ 0是连接的集合的无限序列，使得Aₙ₊₁ ∩ Aₙ ≠ ∅对于所有n ≥ 0。然后并⋃ₙ₌₀^∞ Aₙ已连接。 0BBN
命题 3 设A为拓扑空间X的子集。如果B是X的连通子集，并且满足A和complement A，则B满足A的边界。 ↩ 2 0BBO
推论在连通的空间X中，除了X本身之外的每个非空集合都至少有一个边界点。 0BBP
命题 4 令A为拓扑空间X的连通子集，并令f为X到拓扑空间X'的连续映射。然后f(A)已连接。 ↩ 11 0BBQ
命题 5 要使拓扑空间 X 不连通，存在 X 的满射连续映射到离散空间包含多个点上是必要且充分的。 ↩ 1 0BBR
命题 6 连通的空间的每个商空间都是连通的。 ↩ 1 0BBS
命题 7 令X为空间和R等价关系在X上。如果商空间 X/R 相连，并且每个等价类 mod R 相连，则 X 相连。 ↩ 1 0BBT
命题 8 连接的空间中的每个乘积都是相连的。相反，如果非空空间中的乘积是连通的，则因子中的每一个都是连通的。 ↩ 5 0BBU
定义 3 拓扑空间X的点的分量（或连通分量）是最大的连接到X的子集，其中包含这个点。 X的子集A的分量是A的点的分量，相对于X的子空间A。 ↩ 1 0BBV
命题 9 拓扑空间X中任何点的分量都是闭集合。关系“y 属于到x的分量”是X上的等价关系R x, y ，等价类是X的分量。商空间 X/R 完全不相连。 ↩ 1 0BBW
命题 10 在乘积空间X = ∏_i ∈ J Xᵢ中，X中x = (xᵢ)的分量是因子Xᵢ中xᵢ的分量的乘积。 0BBX
定义 4 如果 X 的每个点都具有连通的邻域的基本系统，则称拓扑空间 X 是局部连通的。 0BBY
命题 11 空间 X本地连接的必要且充分的条件是X中开放的集合的每个组件在X中开放。 ↩ 4 0BBZ
推论令U为本地连接的空间X的开放子集，并令V为U的组件。那么V的边界（相对于X）包含在U的边界中。 0BC0
命题 12 局部连通的空间的每个商空间都是局部连通的。 ↩ 2 0BC1
命题 13 a) 令 (Xᵢ)_i ∈ I 为一系列局部连接的空间，使得 Xᵢ 与除指标 i ∈ I 的有限数之外的所有元素相连。那么乘积空间X = ∏_i ∈ I Xᵢ是本地连接的。 ↩ 1 0BC2
定理 1 设X是拓扑空间满足公理(O_III)（但不一定是豪斯多夫），并假设X是连通的且是局部连通的。令Y为拓扑空间，其拓扑具有可数基，并令p : X → Y为连续映射，使得对于每个y ∈ Y，overlinep⁻¹(y)是离散的子空间 X。最后让 𝔅 为子集的 X 的集合，其内部覆盖X，这样： (i)p的限制对于每个V ∈ 𝔅是V到Y的闭映射。 (ii) 每个 V… ↩ 3 0BC3
引理 1 如果x是X中的任何点，有一个杰出的对(W, U)使得x ∈ W。 ↩ 1 0BC4
引理 2 如果(W, U)是一个杰出的对，那么所有杰出的对(W', U')中的集合使得W'满足W是可数的。 0BC5
推出 1 令 Y 为正则空间，其拓扑具有可数基 ()。令 X 为连通且局部连通的空间，并令 p : X \to Y 为连续映射，并具有以下性质：对于 X 中的每个 x \，在 X 中存在 x 的闭邻域 V，使得p 的限制到 V 是 V 到 Y 的闭子空间的同胚。那么 X 是正则，X 的拓扑具有可数基。 ↩ 2 0BC6
推论 2 令X局部紧致、连通且局部连通，并假设X的每个点都有邻域，邻域有可数的基。令 Y 为 Hausdorff 空间，其拓扑具有可数基，并令 p : X → Y 为连续映射，使得对于每个 y ∈ Y，overlinep⁻¹(y) 为离散子空间 X。那么X的拓扑有一个可数的基。 0BC7
推论 3（庞加莱-沃尔泰拉定理） 令Y为局部紧致、局部连通的空间，其拓扑有可数基。令X为连通豪斯多夫空间，并令p : X → Y为连续映射，其具有以下性质：对于每个x ∈ X，存在x的开邻域U X使得p到U的限制是U到Y的开子空间的同胚。那么X是局部紧致且局部连通的，X的拓扑有一个可数的基。 0BC8

II. 制服结构

§ 1. 制服空间

定义 1 均匀结构（或均匀性）在集合X是结构由集合𝔘的子集X × X满足公理(F₁)和 (F_II) of 章 I, § 6, no. 1 并且还满足以下公理： 0BCY
注 1 为了使语言更具表现力，我们可以在某些叙述中使用表达式“x足够接近y”和“x和y尽可能接近”。对于例，我们可以说关系 0BCZ
注 2 公理 (U{II}) 和 (U{III}) 的合取等价于以下公理（假设一致结构的其他公理）： 0BD0
注 3 如果X不为空，则公理（UI）意味着𝔘中没有集合为空，因此𝔘是X × X上的过滤器。空集上只有一种一致性，即𝔘 = ∅ 。 0BD1
定义 2 均匀性的基本随从系统是任何随从集合𝔅，使得每个随从包含集合属于到𝔅。 ↩ 1 0BD2
命题 1 令X为集合赋予统一的结构U，并且对于每个x ∈ X令𝔅(x)为子集V(x)的集合或X (*)，其中V贯穿U随行人员集合。然后X上有一个唯一的拓扑，这样，对于每个x ∈ X，𝔅(x)是拓扑中x的邻域过滤器。 ↩ 1 0BD3
定义 3 命题 1 中定义的拓扑称为拓扑，由统一结构 𝔘 诱发。 0BD4
例 1 由实数的集合上的加性均匀性引起的拓扑是实直线的拓扑（章I, § 1, no. 2）；类似地，由有理数的集合上的加性均匀性引起的拓扑是有理线的拓扑。 0BD5
例 2 在任意集合 X、拓扑上，由离散均匀性 (no. 1、例 2) 引起的离散拓扑。 ↩ 2 0BD6
命题 2 令X为制服空间。对于X的每个对称随行V和X × X的每个子集M，VMV是乘积空间X × X中M的邻域，并且闭包空间中的M由公式给出 ↩ 5 0BD7
推论 1 如果A是X的任意子集且V是X的任意对称周边，则V(A)是X中A的邻域，并且 ↩ 1 0BD8
推论 2 X随行人员在X × X形式的内部装饰（或关闭），以及X随行人员的基本系统。 ↩ 8 0BD9
推论 3 每件制服空间满足公理(O_III)。 ↩ 2 0BDA
命题 3 制服空间X是Hausdorff当且仅当其制服结构的所有随从中的交是X × X的对角线Δ。每件 Hausdorff 制服空间都是常规的。 ↩ 1 0BDB

§ 2. 均匀连续函数

定义 1 将制服空间 X 到制服空间 X' 的映射 f 称为均匀连续，如果对于 X' 的每个随行人员 V'，存在 X 的随行人员 V，使得关系 (x, y) ∈ V 意味着(f(x), f(y)) ∈ V'。 ↩ 3 0BDH
例 1 均匀连续的空间的恒等映射是均匀连续的。 0BDI
例 2 均匀连续的空间到均匀空间的常数映射是均匀连续的。 0BDJ
例 3 离散均匀空间到均匀空间的每个映射都是均匀连续的。 0BDK
命题 1 每个一致连续映射都是连续的。 ↩ 1 0BDL
命题 2 (a) 如果f : X → X'和g : X' → X''是两个一致连续的映射，则g ∘ f : X → X''是一致连续的。 ↩ 4 0BDM
定义 2 如果𝔘₁和𝔘₂是同一个集合X上的两个均匀结构，则𝔘₁被称为更细比𝔘₂（并且𝔘₂比𝔘₁更粗糙）如果，用 Xᵢ 集合 X 表示，且一致结构 𝔘ᵢ (i = 1,2)，恒等映射 X₁ → X₂ 是一致连续的。 0BDN
例在集合X上有序的集合均匀度中，离散均匀度最好，最粗的均匀度是集合随行体由单个元素X × X组成。 0BDO
命题 3 如果 𝔘₁ 和 𝔘₂ 是集合 X 上的两个一致，则当且仅当 𝔘₂ 的每个随行人员都是 𝔘₁ 的随行人员时，𝔘₁ 比 𝔘₂ 更细。 ↩ 1 0BDP
推论设𝔘₁和𝔘₂为集合X上的两个一致度，并假设𝔘₁比𝔘₂为更细；那么𝔘₁诱发的拓扑比𝔘₂诱发的拓扑为更细。 0BDQ
注 1 可能会出现均匀性 𝔘₁ 比均匀性 𝔘₂ 严格为更细，但两个导出的拓扑是相同的。下面的例展示了这一点： ↩ 3 0BDR
注 2 如果 f : X → X' 是均匀连续的映射，那么如果我们通过更细均匀性对 X 进行替换的均匀性，并通过更粗略的均匀性（no. 1、命题 2）对 X' 进行均匀连续处理，则 f 保持均匀连续。在其他字、更细中，X的均匀度和X'的均匀度越粗糙，X到X'的映射越均匀连续。 0BDS
命题 4 令X为集合，令(Yᵢ)_i ∈ I为统一空间的族，对于每个i ∈ I，令fᵢ为X到Yᵢ的映射。对于每个i ∈ I，让gᵢ表示fᵢ × fᵢ。令𝔖为形式overlinegᵢ(Vᵢ)X × X子集集合，其中i ∈ I和Vᵢ为Yᵢ的随从，并令𝔅为集合全部有限交 ↩ 6 0BDT
推论 X上的拓扑由最粗糙均匀性𝔘引起，其中fᵢ均匀连续，也是最粗糙拓扑，其中fᵢ连续。 ↩ 2 0BDU
命题 5 令X为集合，令(Zᵢ)_i ∈ I为制服空间的族，令(J_λ)_λ ∈ L为I的划分，令(Y_λ)_λ ∈ L为由L索引的集合族。对于每个λ ∈ L，令h_λ为X到Y_λ的映射；对于每个λ ∈ L和每个i ∈ J_λ，让g_iλ是Y_λ的映射到Zᵢ；让fᵢ = g_iλ ∘ h_λ。让每个Y_λ携带最粗糙的均匀结构，其中映射g_iλ（i ∈ J_λ）是均匀连… ↩ 4 0BDV
注如果f : X → Y是满射，则Y的随从是X的随从的g下的直接像。 0BDW
定义 3 令A为均匀空间X的子集。 A上的均匀性，其周围的集合是X的周围的集合在A × A上的迹，称为X的均匀性在A上引起的均匀性。 0BDX
命题 6 令 A 为均匀空间 X 的密集子集。然后，在X × X，制服子空间A形式的随行人员关闭，这是X随行人员的基本系统。 ↩ 1 0BDY
例如果varpi是非空集合X的任何有限划分(Aᵢ)_1 ≤ i ≤ n，则集合V_varpi = ⋃ᵢ (Aᵢ × Aᵢ)本身就构成X上均匀性𝔘_varpi的基本随从系统（§ 1, no. 1，例2); X (no. 2, 注 1) 上的有限划分的均匀性是均匀性 𝔘_varpi 中最小的上界。 0BDZ
注 X上的均匀度族(𝔘ᵢ)在X上所有均匀度的有序集合中也有下确界，即X上所有均匀度的集合中最小的上界，它们比每个𝔘ᵢ更粗糙（例如存在均匀性，因为 X 上的所有均匀性中的集合至少有元素）。但是（假设X不为空）这种一致性的随行过滤器不一定是𝔘ᵢ的随行过滤器的交，因为后者过滤器不需要满足公理(U_III)（习题4）。 0BE0
定义 4 如果(Xᵢ)_i ∈ I 是一个制服空间的家族，那么这个家族的乘积制服空间就是乘积集合 X = ∏_i ∈ I Xᵢ 具有最粗的均匀度，投影 prᵢ : X → Xᵢ 是均匀连续的。这个均匀度被称为 Xᵢ的均匀度的乘积，和均匀度空间 Xᵢ 被称为 X的因子。 0BE1
命题 7 让f = (fᵢ)成为制服空间Y的映射变成乘积制服空间X = ∏_i ∈ I Xᵢ。则 f 一致连续当且仅当每个 fᵢ 一致连续。 ↩ 2 0BE2
推论令 (Xᵢ)_i ∈ I, (Yᵢ)_i ∈ I 为制服空间的两个系列，由相同的集合 I索引。对于每个i ∈ I，让fᵢ成为Xᵢ的映射进入Yᵢ。如果 fᵢ 中的每一个都是均匀连续的，那么乘积映射 f : (xᵢ) → (fᵢ(xᵢ)). 相反，如果 Xᵢ 非空且 f 一致连续，则每个 fᵢ 一致连续。 0BE3
命题 8 令X为集合，让(Yᵢ)_i ∈ I为制服空间的族，对于每个i ∈ I，让fᵢ为X到Yᵢ的映射。令f为X到Y = ∏_i ∈ I Yᵢ的映射x → (fᵢ(x))，并令U为X上的最粗糙均匀度，其中fᵢ是均匀连续的。那么 U 是逆像在 f(X) 上由乘积均匀性在 Y 上引起的均匀性的 f 下。 ↩ 2 0BE4
推论对于每个i ∈ I，令Aᵢ为Yᵢ的子空间。那么∏_i ∈ I Yᵢ上的乘积均匀度在A = ∏_i ∈ I Aᵢ上引起的均匀度与子空间Aᵢ均匀度的乘积相同。 0BE5
命题 9 令f为乘积均匀连续空间X₁ × X₂到均匀空间Y的均匀连续映射；然后每个部分映射 ↩ 1 0BE6
命题 10 令I为有向集合，令(X_α, f_αβ)为由I索引的均匀空间的逆系，并令J为I的共尾子集。对于每个α ∈ I，令f_α为X = varprojlim X_α到X_α的典范映射，并令g_α表示f_α × f_α。那么集合overlineg_α⁻¹(V_α)的家庭，其中α贯穿J，并且对于每个α ∈ J，V_α贯穿X_α随行人员的基本系统，是随行人员的基本系统 X… 0BE7

§ 3. 完成空间

定义 1 如果X是制服空间且V是X的随从，则X的子集A被称为V-小，如果A的点的每个对都是V-关闭（在其他字，如果A × A ⊂ V）。 0BEE
命题 1 在统一的空间X中，如果两个集合A和B是V小并且相交，那么它们的并A ∪ B是vecV小。 ↩ 1 0BEF
定义 2 制服空间X上的过滤器𝔉是柯西过滤器，如果对于X的每个随行人员V，X有子集，V小，属于到𝔉。 0BEG
命题 2 在统一的空间X上，每个收敛滤波器都是柯西滤波器。 ↩ 1 0BEH
命题 3 令f : X → X'为均匀连续的映射。那么X上的柯西滤波器基的f下的像是X'上的柯西滤波器基。 ↩ 3 0BEI
命题 4 令X为集合，令(Yᵢ)_i ∈ I为制服空间的族，对于每个i ∈ I，让fᵢ为X到Yᵢ的映射。令 X 具有最粗糙的均匀性 U，其中 fᵢ 是均匀连续的。那么在阶中，X上的滤波器基𝔅应该是柯西滤波器基，对于每个i ∈ I，fᵢ(𝔅)应该是Yᵢ上的柯西滤波器基是必要且充分的。 ↩ 5 0BEJ
推论 1 如果在均匀空间X诱导上的柯西滤波器在X的子集A上的滤波器，则该滤波器是在均匀子空间A上的柯西滤波器。 0BEK
推论 2 均匀空间的乘积∏_i ∈ I Xᵢ上的滤波器基𝔅是柯西滤波器基当且仅当，对于每个i ∈ I，prᵢ(𝔅)是柯西滤波器基 Xᵢ. ↩ 1 0BEL
命题 5 令X为制服空间。对于X上的每个柯西滤波器𝔉，都有一个比𝔉更粗糙的独特的最小柯西滤波器𝔉₀。如果𝔅是𝔉的基且𝔊是X的对称周边的基本系统，则集合V(M)(M ∈ 𝔅, V ∈ 𝔊)形式基 𝔉₀。 ↩ 8 0BEM
推论 1 对于每个x ∈ X，X中x的邻域滤波器𝔅(x)是最小柯西滤波器。 ↩ 1 0BEN
推论 2 柯西滤波器 𝔉 的每个簇点 x 是 𝔉的极限点。 ↩ 5 0BEO
推论 3 每个柯西滤波器比收敛到点 x 的滤波器更粗糙，也收敛到 x。 ↩ 2 0BEP
推论 4 如果 𝔉 是最小柯西滤波器，则 𝔉 的每个集合都有一个非空内部，其中也有属于到 𝔉 （在其他字、𝔉有基由……组成）打开集合)。 ↩ 2 0BEQ
例 1 考虑uₙ = ∑ₚ₌₀ⁿ 2^-p(p+1)/2定义的有理线Q上的序列(uₙ)。如果 m > n 我们有 |uₘ - uₙ| ≤ 2^-n(n+3)/2 因此(uₙ)是柯西序列。但是这个序列在Q里没有极限；因为如果有理数数 a/b 是 (uₙ) 的极限，那么根据 (1) 我们应该有所有 n |a/b - hₙ/2^n(n+1)/2| ≤ 1/2^n(n+3)… 0BER
例 2 令X为无限集合，并考虑有限划分在X（S2，no. 2，注1）上的均匀性。 X 上的每个超滤 𝔉 都是一个 0BES
定义 3 完整的空间是一个均匀的空间，其中每个柯西滤波器都收敛。 0BET
例在“离散”均匀空间 X 上，柯西滤波器是一个平凡的超滤波器（章 I, § 6, no. 4），因此是收敛的；因而，X是完整的。 0BEU
命题 6 令𝔉为集合X的过滤器，并令f为X的映射成为完整的统一空间X'。那么f相对于𝔉有极限当且仅当f下𝔉的像是柯西滤波器基。 ↩ 1 0BEV
命题 7 令𝔘₁, 𝔘₂为集合X上的两个均匀性，并令𝔗₁, 𝔗₂分别为由这些均匀性引起的拓扑。假设𝔘₁比𝔘₂是更细，并且𝔘₁有一个基本的系统随行人员，这些随行人员在拓扑𝔗₂ × 𝔗₂的X × X关闭。那么X上的滤波器𝔉收敛于拓扑𝔗₁当且仅当它是均匀性𝔘₁中的柯西滤波器并且收敛于拓扑𝔗₂。 ↩ 2 0BEW
推出在命题7的条件中，如果U₂是完整的空间的一致，那么U₁也是。 0BEX
命题 8 完整的空间的每个闭合的子空间都是完整的。 Hausdorff 制服空间的每个完整子空间（完整或不完整）都是封闭的。 ↩ 6 0BEY
命题 9 令X为均匀空间，并令A为X的密集子集，使得A上的每个柯西滤波器基收敛于X。那么X就完成了。 ↩ 2 0BEZ
命题 10 完整制服空间的每一个乘积都是完整的。反之，如果非空制服空间的乘积是完整的，那么每个因子都是完整的制服空间。 ↩ 5 0BF0
推论设(X_α, f_αβ)为均匀空间的逆系。如果X_α是豪斯多夫且完备，那么X = varprojlim X_α也是。 ↩ 2 0BF1
定理 1（米塔格-莱弗勒） 令 (X_α, f_αβ) 为完整Hausdorff制服空间的逆系，由有向集合 I 索引，其具有可数的共尾子集；还假设，对于每个 α ∈ I，X_α 都有可数的基本随行人员系统 ()。最后，假设对于每个 α ∈ I 有指标 β ≥ α 满足以下条件： ↩ 3 0BF2
推出 1 令 (X_α, f_α β) 为由有向集合 I 索引的集合的逆系，其具有可数共尾子集，并假设 f_α β 是满射的。那么如果X = varprojlim X_α，典范映射f_α : X → X_α对于每个α ∈ I都是满射。 ↩ 1 0BF3
推出 2 设 I 为有向集合，它有一个可数的共尾子集。设 (X_α, f_α β) 和 (X'_α, f'_α β) 为集合中的两个逆系，由 I索引，并且对于每个 α ∈ I 让 u_α : X_α → X'_α 为映射，使得 u_α 形式逆系共映射。让u = varprojlim u_α。设x = (x'_α)为的元素 0BF4
例假设我们在 C 中给出： (i) 序列 (aₙ) 不同的点使得序列 (|aₙ|) 是递增并且趋于 +∞； (ii) 对于每个n，在C - aₙ中定义一个有理函数z → Rₙ(z)，并且在aₙ处有一个极点； (iii) 递增序列 (Bₙ) 以 0 为中心的开盘，其并为 C，并且没有一个 aₖ 位于任何盘 Bₙ 的边界上。对于每个n，令B'ₙ表示overline… 0BF5
命题 11 令A为拓扑空间X的稠密子集，并令f为A的映射，形成完整的豪斯多夫均匀空间X'。那么f可以通过连续性扩展到X当且仅当，对于f下的每个x ∈ X，像在邻域滤波器的A上的轨迹X中的x是柯西滤波器基 X'。 ↩ 3 0BF6
定理 2 令 f 为函数，定义在一致空间 X 的稠密子空间 A 上，将其值取为完整的 Hausdorff 一致空间 X'，并假设 f 一致连续A。那么f可以通过连续性扩展到整个X，且扩展后的函数overlinef一致连续。 ↩ 7 0BF7
推论设X₁, X₂为两个完整的豪斯多夫均匀空间，并令Y₁, Y₂分别为X₁, X₂的稠密子空间。然后每Y₁的同构f到Y₂扩展到X₁的同构到X₂。 ↩ 3 0BF8
定理 3 令X为制服空间。那么存在一个完整的豪斯多夫均匀空间hatX和一个均匀连续的映射i : X → hatX，具有以下性质： ↩ 6 0BF9
定义 4 完成Hausdorff一致空间hatX定义在定理3的证明称为X的Hausdorff完成，和映射i : X → hatX称为X的典范映射成它的豪斯多夫完成。 0BFA
命题 12 (i) The subspace i(X) is dense in hatX. (ii) The graph of the equivalence relation i(x) = i(x') is the intersection of the entourages of X. (iii) The uniform structure of X is the… ↩ 5 0BFB
推论如果 X 是豪斯多夫均匀空间，则典范映射 i : X → hatX 是 X 的同构到 hatX 的密集子空间。 ↩ 2 0BFC
注如果这样识别，X上的最小柯西滤波器就是hatX的点的邻域滤波器在X上的迹；这是从定理 3 的证明得出的。 0BFD
命题 13 如果Y是完整的豪斯多夫均匀空间和XY的稠密子空间，则典范嵌入X → Y扩展到同构hatX到Y上。 0BFE
命题 14 令X为完整的豪斯多夫均匀空间，𝔘其均匀性，并令Z为X的稠密子空间。如果 𝔘' 是 X 上的均匀性，比 𝔘 更粗糙，并且诱导与 Z 上的 𝔘 具有相同的均匀性，则 𝔘 = 𝔘'。 ↩ 1 0BFF
命题 15 令X和X'为两个统一的空间。对于每个均匀连续映射f : X → X'，都有一个唯一的均匀连续映射hatf : hatX → hatX'，使得图表 ↩ 5 0BFG
推论如果f : X → X'和g : X' → X''是两个均匀连续的映射和h = g ∘ f，则hath = hatg ∘ hatf。 0BFH
命题 16 令X为X的一致空间和i典范映射进入其Hausdorff完成hatX。对于 X 的每个均匀连续映射 f 到 Hausdorff 均匀空间 Y，有一个唯一的均匀连续映射 h : i(X) → Y，使得 f = h ∘ i。 ↩ 2 0BFI
定义 5 在定理 3 的证明中定义的豪斯多夫制服空间 i(X) 称为与 X 关联的豪斯多夫制服空间。 0BFJ
推论令 X, Y 为两个一致的空间和 X', Y' 伴随的 Hausdorff 空间。对于每个均匀连续映射f : X → Y，都有一个唯一的均匀连续映射f' : X' → Y'，其中图表 ↩ 1 0BFK
命题 17 令X为均匀空间，i(X)其关联的豪斯多夫空间，并令f为X的映射到豪斯多夫均匀空间X'，这样的均匀性X在X'均匀度的f下是逆像。然后映射g : i(X) → X'使得f = g ∘ i是同构。 ↩ 1 0BFL
注令 R 为 X 上的等价关系 i(x) = i(x')。我们已经看到（no. 7，命题12），R的图C是X所有随从的交。很明显，X中的每个开集合（因此也是每个闭集合）相对于R来说是“饱和”的；考虑到拓扑的逆像的定义，我们结论空间 X/R 到i(X) 的商双射由i 引出的规范双射是一个同胚。因此，与X相关的豪斯多夫空间可以被识别为qua拓扑空间与X/R。典范… 0BFM
命题 18 令X为集合，让(Y_λ)_λ ∈ L为制服空间的族，对于每个λ ∈ L，让f_λ为X到Y_λ的映射。让X带有最粗糙的均匀性U，这使得所有f_λ均匀连续。那么X的Hausdorff完成hatX的均匀性是最粗糙的，其中所有映射hatf_λ : hatX → hatY_λ（λ ∈ L）（no. 7，命题15）都是一致连续的。此外，如果j_λ是Y_λ的典范映射进入h… ↩ 2 0BFN
推论 1 令X为均匀空间，并令i为X的典范映射进入其Hausdorff完成hatX；设A为X和j : A → X典范嵌入的子空间。那么hatj : hatA → hatX是hatA的同构到hatX中i(A)的闭包上。 ↩ 3 0BFO
推论 2 令(Y_λ)_λ ∈ L为制服空间的家族。那么乘积空间 ∏_λ ∈ L Y_λ 的 Hausdorff 补全与乘积 ∏_λ ∈ L hatY_λ 自然同构。 ↩ 1 0BFP

§ 4. 关系介于均匀空间和紧凑空间之间

定义 1 拓扑上的均匀性空间X据说与X的拓扑兼容，如果后者由均匀性引起重合与拓扑。 0BFX
定理 1 在紧凑的空间 X 上，恰好有一个与 X 的拓扑兼容的一致性；这种均匀性的周边都是X × X对角的Δ的邻域。而且，赋予这种均匀性的X就是完整的制服空间。 ↩ 8 0BFY
注 1 对于每个有限的开放覆盖 R = (Uᵢ)_1 ≤ i ≤ n of X, 集合 0BFZ
推论 1 紧致空间的每个子空间都是可均匀化的。 0BG0
推论 2 每个局部紧凑空间都是可统一的。 ↩ 1 0BG1
注 2 可能存在与局部紧凑空间的拓扑兼容的几种不同的一致性。 0BG2
定理 2 将紧致空间 X 变为均匀空间 X' 的每个连续映射 f 都是均匀连续的。 ↩ 5 0BG3
推论令A为紧凑空间X的稠密子空间，并令f为A的映射，形成完整的豪斯多夫均匀空间X'。那么f可以通过连续性扩展到整个X当且仅当f一致连续。 0BG4
定义 2 如果一致的空间 X 是预紧的，如果它的 Hausdorff 完备的hatX 是紧的。如果 X 的制服子空间 A 是预紧的，则制服空间 X 的子集 A 被称为预紧子集。 0BG5
例在任何制服空间X中，柯西序列(xₙ)的点的集合是预紧的。由于hatX中xₙ的像再次形式是柯西序列，我们可以假设X是Hausdorff；点 xₙ 集合的hatX 中的闭包则由点 xₙ 和 lim_n → ∞ xₙ 组成，因此是紧凑的 (章 I, § 9, no. 3, 例 2)。 0BG6
定理 3 统一的空间X是预紧的当且仅当对于X的每个随行人员V，X被V小集合有限覆盖。 ↩ 3 0BG7
推论一致的空间X是紧的当且仅当它是豪斯多夫且完整的并且可以被V-小集合的有限数覆盖，其中V是X的任何随行。 ↩ 1 0BG8
注 1 非豪斯多夫拟紧空间不一定是可一致的，因为它不需要满足公理 (O_III) (cf. 章 I, § 9, no. 2)；对于例，代数几何中出现的大多数非豪斯多夫拟紧空间不存在满足公理(O_III)（cf.习题2）。 0BG9
命题 1 在统一空间中，预紧式集合的每个子集，预紧式集合的每个有限并以及每个预紧式集合的闭包都是预紧式。 0BGA
注 2 在统一的空间X中，相对紧凑集合A是预紧凑，因为A包含在紧集中。另一方面，即使X是Hausdorff，X中的预紧集不需要相对紧，如X本身是预紧但不紧的情况所示。 0BGB
命题 2 令f : X → Y为均匀连续的映射。如果 A 是 X 的任何预紧式子集，则 f(A) 是 Y 的预紧式子集。 ↩ 4 0BGC
命题 3 令X为集合，令(Y_λ)_λ ∈ L为制服空间的族，对于每个λ ∈ L，让f_λ为X到Y_λ的映射。令 X 具有最粗糙的均匀性，使得 f_λ 均匀连续。那么 X 的子集 A 是预紧的，当且仅当对于每个 λ ∈ L，f_λ(A) 是 Y_λ 的预紧子集。 ↩ 5 0BGD
命题 4 在统一的空间X中，令A为紧集，并且B是一个封闭的集合，使得A ∩ B = ∅。然后存在 X 的随行人员 V，使得 V(A) 和 V(B) 不相交。 ↩ 5 0BGE
推论令A为紧集，穿着制服空间X；那么当V穿过X随行人员的集合时，集合V(A)形式A的邻域的基本系统。 ↩ 2 0BGF
定义 3 令V为制服空间X的对称随行人员。如果xᵢ和xᵢ₊₁对于0 ≤ i < n来说是V闭，则X的点有限序列(xᵢ)_0 ≤ i ≤ n被称为V链。点 x₀ 和 xₙ 被称为 V 链的末端，据说它们由 V 链连接。 0BGG
命题 5 在统一的空间X、点的集合A_x, v中，可以通过V链连接到给定的点x，在X中既开又闭。 ↩ 3 0BGH
命题 6 在紧凑的空间X中，x、集合Aₓ和x的邻域的交都是开闭的，这三个部分都是相同的。 ↩ 8 0BGI
推论设 X 为局部紧致空间，令 K 为 X 的紧致分量。那么 K 的邻域既开又闭形式 K 的邻域的基本系统。 ↩ 4 0BGJ
命题 7 令X为紧致空间，令R为X上的等价关系，其中类是X的分量。那么商空间 X/R 是紧致的并且完全不连通。 0BGK

III. 拓扑群

§ 1. 群上的拓扑

定义 1 拓扑群是集合G，它带有群结构和拓扑并且满足以下两个公理： 0BH8
例 1 群 G 上的离散拓扑与群结构兼容。拓扑是离散的拓扑群称为离散群。 0BH9
例 2 \ 在章IV中，我们将看到有理线Q（或实直线R）的拓扑与Q（或R）的加法群结构兼容。 0BHA
例 3 如果G是拓扑群，则其拓扑与群G⁰的结构兼容，与G相反； G⁰，加上拓扑，据说是与 G 相反的拓扑群。 0BHB
命题 1 让 G 成为群，让 𝔅 成为 G 满足公理 (GV₁)、(GV_II) 和 (GV_III)的过滤器。然后在 G上有一个独特的拓扑，与 G的群结构兼容，其中 𝔅 是单位元素 e的邻域过滤器。对于任何点 a ∈ G 的此拓扑邻域过滤器与两个过滤器中的每个过滤器相同 a.𝔅 和 𝔅.a。 0BHC
注如果G是可交换的，对于G的每个子集A和每个x ∈ G，我们都有x . A . x⁻¹ = A，因此（GV{III}）[resp。 (GV'{III})] 自动满足G上的每个过滤器（分别是过滤器基）。另一方面，如果 G 不是阿贝尔的，则 (GV{III}) 不是 (GV{I}) 和 (GV{II}) 的推论 [参见习题 5]。 0BHD
命题 2 拓扑群 G 是 Hausdorff 当且仅当集合 e 闭合。 ↩ 3 0BHE
推论拓扑群 G 是 Hausdorff 当且仅当 e 的邻域交仅由点 e 组成。 ↩ 1 0BHF
例 Definition of a topology on a group by means of a set of subgroups. If 𝔅 is a filter base on a group G, formed of subgroups of G, then it is immediately seen that 𝔅 satisfies axiom… 0BHG
定义 2 如果 G 和 G' 是两个拓扑群， G 的局部同构与 G' 是同态 f of 邻域 V 单位元素 of G 到邻域 V' of 单位元素 of G' 满足以下条件： ↩ 2 0BHH
命题 3 设G和G'为两个拓扑群，设f为G的单位元素的邻域V到G'的单位元素的邻域V'的同态，满足定义2的条件1)，则f为G 与 G' 的局部同构的扩张。 ↩ 2 0BHI

§ 2. 子群、商群、同态、均质空间、乘积群

命题 1 拓扑群G的子群H的闭包overlineH是G的子群。如果H是G的普通子群，那么overlineH也是。 ↩ 4 0BHS
命题 2 如果G是豪斯多夫拓扑群，则G的交换性子群的闭包是G的交换性子群。 0BHT
命题 3 令G为Hausdorff拓扑群，并令M为G的任意子集。那么与M的每个元素可交换的G的元素的集合M'是G的闭子群。特别是，G的中心在G关闭。 0BHU
命题 4 令G为拓扑群，并令H为G的子群，其在H的点之一局部闭合（章I, § 3, no. 3，定义2）。然后H在G关闭。 ↩ 4 0BHV
推论拓扑群的子群是开放的当且仅当它具有内部点。每个打开的子群都关闭。 ↩ 7 0BHW
命题 5 拓扑群G的子群H是离散的当且仅当H有一个孤立的点。 Hausdorff 群的每个离散子群都是闭集。 ↩ 1 0BHX
注令H为拓扑群G的任意子群。对于每个x ∈ overlineH，我们有x overlineH = x。 overlineH = overlineH，因为x的翻译是G到G的同胚。在其他字中，对于每个x ∈ overlineH，xH在overlineH中是密集。由此可见，如果 H 不闭，则 overlineH ∩ CH 在 overlineH 中是“稠密”的。 0BHY
命题 6 连通拓扑群由单位元素的每个邻域生成。 ↩ 1 0BHZ
命题 7 在拓扑群G中，单位元素e的分量K是闭法线子群。任何点 x ∈ G 的分量都是陪集 x.K = K.x。 ↩ 1 0BI0
命题 8 令H为拓扑群G的稠密子群，并令K为H的正规子群。那么G中K的闭包overlineK就是G的普通子群。 ↩ 3 0BI1
命题 9 令H为拓扑群G的稠密子群。如果H是由H中单位元素的每个邻域生成的，则G是由G中单位元素的每个邻域生成的。 ↩ 1 0BI2
引理 1 如果拓扑群 G 在拓扑空间 X 上连续运行，则对于每个 s ∈ G 映射 x → s.x 是 X 的同态X。 ↩ 2 0BI3
引理 2 如果拓扑群 G 在拓扑空间 X 上连续运行，则等价关系 R 由 G 定义为开。 ↩ 10 0BI4
例 1 令 H 为拓扑群 G 的子群。 H于G持续运行至外法则(s, x) → sx。 H 也在G 外法则 (x, s) → sxs⁻¹ 持续运行。 0BI5
例 2 \ 如果K是拓扑划分环（§ 6，no. 7），则乘法群K^*在K上连续运行外法则(s, x) → sx。 \ 0BI6
例 3 令G为拓扑群，X为拓扑空间。那么G × X到X的映射(s, x) → x就是X上的合成外法则，G相对于这个律继续在X上运行； G 据说可以在 X 上简单地操作。 0BI7
注与拓扑群G在拓扑空间X上连续运行的说不同，人们常说G在X上在左侧连续运行。当与G相反的拓扑群G⁰在X上连续运行时，我们说G在X上在右侧连续运行。说X有一个合成(s, x) → s.x的连续外法则，其中G作为集合运算符，这样s.(t.x) = (ts).x和e.x = x，这也是同样的道理。这样的律经常写在右边：(s, x) → x.s（从而术语），然后我们就… 0BI8
命题 10 子空间 φ(A) X/G 到轨道空间 A'/G 的规范双射是同胚。 ↩ 1 0BI9
命题 11 如果X上的等价关系S开放并兼容G，则G将在X/S上持续运行。 ↩ 2 0BIA
注令G'为另一个拓扑群在X上连续运行，并假设s.(s'x) = s'(s.x)对于所有s ∈ G, s' ∈ G'和X中的x \。那么由 G' 定义的等价关系 S 与 G 相容的，并且由于 S 是开路（引理 2），因此 G 会连续运行在 X/G' 上。类似地，G' 在 X/G 上连续运行。在这种情况下，X 上的两个群 G 和 G' 中的两个运算被称为可交换。 0BIB
命题 12 群 G 在每个齐次空间 G/H 上连续运行。 ↩ 1 0BIC
命题 13 设 G 为拓扑群，并设 H 为 G 的子群。则齐次空间 G/H 是豪斯多夫当且仅当 H 在 G 中闭。 ↩ 3 0BID
命题 14 设 G 为拓扑群，并设 H 为 G 的子群。则齐次空间 G/H 是离散的当且仅当 H 在 G 中开集。 0BIE
命题 15 令X为拓扑空间，拓扑群G在其上连续且传递地运行。对于 X 是拓扑齐次空间（相对于 G），对于某些点 x0 ∈ X 映射 s → s.x0 变换 G 中 e 的每个邻域到 x0 中 x0 的邻域就足够了X。 ↩ 1 0BIF
命题 16 设G是拓扑群，H是G的正规子群。则G的拓扑与H的商与G/H的群结构兼容。 0BIG
命题 17 Let φ be the canonical mapping of a topological group G onto a quotient group G/H. If 𝔅 is a fundamental system of neighbourhoods of e in G, then φ(𝔅) is a fundamental system of ne… ↩ 3 0BIH
命题 18 令G为拓扑群，令H为G的正规子群。 a) 商群 G/H 是 Hausdorff 当且仅当 H 在 G 内闭。 b) 商群 G/H 是离散的当且仅当 H 在 G 中开路。 ↩ 3 0BII
命题 19 如果 H 是拓扑群 G 的离散法线子群，则 G/H 与 G 局部同构。 ↩ 3 0BIJ
命题 20 令A为拓扑群G的子群，令H为G的正规子群，并令φ表示G的典范映射到G/H。那么φ(A)到AH/H的规范双射就是拓扑群的同构。 ↩ 4 0BIK
命题 21 令G为拓扑群，G₀为G的稠密子群，H₀为G₀的正常子群，H为G中H₀的闭包，并且φ典范映射G → G/H。那么规范的双射G₀/H₀ → φ(G₀)就是拓扑群G₀/H₀的同构到G/H的稠密子群。 ↩ 1 0BIL
命题 22 设G是在拓扑空间X上连续运行的拓扑群，并令H是G的正规子群。那么X/G到(X/H)/(G/H)的规范双射是同胚。 ↩ 2 0BIM
推论设G是拓扑群，H是G的法线子群，K是G的法线子群，其中包含H。那么G/K到(G/H)/(K/H)的规范双射就是拓扑的同构群. ↩ 2 0BIN
命题 23 拓扑群 G 的同态 f 转换为拓扑群 G' 在 G 上连续当且仅当它在 G 的一个点处连续。 0BIO
定义 1 拓扑群G到拓扑群G'的连续同态被认为是G到G'的严格态射，如果G/overlinef⁻¹(e')的双射同态dotf到f(G)，与f相关，是拓扑群的同构（在其他字，如果dotf是双连续的）。 ↩ 1 0BIP
命题 24 设f是拓扑群G到拓扑群G'的连续同态。那么下面三个叙述是等价的： a) f 是严格的态射。 b) G中每个开路集合的f下的像是f(G)中的开路集合。 c) G中单位元素每邻域f下像是G'中单位元素邻域。 ↩ 6 0BIQ
注 1 从命题 24 的条件 b) 可以得出，拓扑群到离散群的每个连续同态都是严格的态射。 ↩ 1 0BIR
注 2 令f是G到G'的严格态射，并让g是G'到G''的严格态射。如果 f 是满射或者 g 是单射，则从命题 24 立即得出 g ∘ f 是 G 到 G'' 的严格态射。但如果前面两个条件都不满足，即使f是单射且g满射（习题 19），这个结论也不一定有效。 ↩ 1 0BIS
注 3 令 f 为拓扑群 G 到拓扑群 G' 的连续同态，并令 H 为 G 的正规子群。f 诱导同态 g 群 G/H 到商群 f(G)/f(H)。这个同态g是连续的。 Moreover, if f is a strict morphism of G into G', then g is a strict morphism of G/H onto f(G)/f(H)… ↩ 5 0BIT
定义 2 通过给出乘积集合获得拓扑群 0BIU
命题 25 令(Gᵢ)_i ∈ I为群的拓扑族，并令H为所有x = (xᵢ)的G = ∏_i ∈ I Gᵢ由……组成的正规子群，使得xᵢ等于单位元素eᵢ Gᵢ 除了有限的数指标。那么子群H在G中是稠密的。 ↩ 2 0BIV
命题 26 X/G 到 ∏_i ∈ I (Xᵢ/Gᵢ) 规范地与 (φᵢ) 相关的双射是同胚。因为由于 φᵢ 是满射且开的，因而 φ = (φᵢ) 是开映射 (章) I, , no. 3, 命题 8 的推论) 0BIW
推论让 (Gᵢ)_i ∈ I 成为拓扑群的族，并且对于每个 i ∈ I 让 Hᵢ 成为 Gᵢ的正规子群；让φᵢ表示Gᵢ的典范映射到Gᵢ/Hᵢ。让G = ∏_i ∈ I Gᵢ, \ H = ∏_i ∈ I Hᵢ。则 G/H 到 ∏_i ∈ I (Gᵢ/Hᵢ) 与连续同态 (xᵢ) → (φᵢ(xᵢ)) 相关的双射同态是拓扑群的同构。 ↩ 3 0BIX
注如果 G 是一个可交换的拓扑群，加法书写，那么 G × G 到 G 的映射 (x, y) → x + y 是一个严格的态射。因为从(x + x') + (y + y') = (x + y) + (x' + y')开始，它是G × G到G的同态；也是连续的，在该映射下，G × G原点的邻域V × V的像是G原点的邻域V + V。 0BIY
命题 27 令N和L分别为两个群、e'和e''，它们各自的单位元素。假设我们将L的同态y → σ_y赋予N的自同构群Γ。然后： ↩ 1 0BIZ
推论命题 27 的 2) 中定义的同态 h 是单射的当且仅当 f 和 g 是单射且f(N) ∩ g(L) = e； h 是满射当且仅当 f(N)g(L) = G。 0BJ0
命题 28 设L、N为两个拓扑群，设y → σ_y为N的(非拓扑)群结构的自同构Γ群L同态；并假设N × L到N中的映射(x, y) → σ_y(x)是连续的。然后： 0BJ1

§ 3. 制服结构群

定义 1 拓扑群 G 上的右（左）均匀性是通过对单位元素 e、集合的每个邻域 V 进行对应获得基本系统周边的均匀性V_d（分别Vₛ）对(x, y)，使得yx⁻¹ ∈ V（分别x⁻¹y ∈ V）。 ↩ 1 0BJX
命题 1 左平移和右平移是右均匀性自身的同构。 0BJY
命题 2 对称性 x → x⁻¹ 右侧均匀度与左侧均匀度的同构。 ↩ 3 0BJZ
命题 3 拓扑群 G 到拓扑群 G' 的每个连续同态 f 在被视为映射 of G_d 到 G'_d （或 of）时是一致连续的Gₛ变成G'ₛ）。 ↩ 3 0BK0
定义 2 如果拓扑群的左右均匀性是完整空间的结构，则称拓扑群是完整的。 0BK1
命题 4 如果在拓扑群 G 中，e 中存在邻域 V 且其右均匀性或左均匀性是完整的，则 G 是完整的。 ↩ 5 0BK2
推论 1 局部紧凑群已完成。 ↩ 2 0BK3
推论 2 Hausdorff 拓扑群 G 的每个局部紧致子群都在 G 中闭合。 0BK4
命题 5 令G₁为拓扑群，让G₂为完整的Hausdorff拓扑群，并令H₁（或H₂）为G₁（或G₂）的稠密子群。那么H₁到H₂的每一个连续同态u都可以唯一地扩展到G₁到G₂的连续同态baru。此外，如果G₁是豪斯多夫且完备，并且如果u是H₁到H₂的同构，那么baru是G₁到G₂的同构。 ↩ 7 0BK5
注如果连续同态 u 是双射的，则一般不得出 baru 是单射或满射 (cf. 习题 12)；但请参阅no. 5、命题 9。 0BK6
命题 6 令𝔉和𝔊为G_d上的两个柯西滤波器。那么映射(x, y) → xy下的滤波器𝔉 × 𝔊的像就是G_d上的柯西滤波器基。 0BK7
定理 1 豪斯多夫拓扑群G同构于完整群hatG的稠密子群当且仅当像，在对称性x → x⁻¹下，关于柯西滤波器的正确均匀性G 是关于这种均匀性的柯西滤波器。完整的群hatG（称为G的完成）是唯一的（最多同构）。 ↩ 2 0BK8
命题 7 令 G 为 Hausdorff 拓扑群，其完成性为 hatG。然后是G形式中的hatG、邻域、单位元素的闭包，以及hatG中的邻域、单位元素的基本系统。 ↩ 2 0BK9
命题 8 令G为拓扑群，具有豪斯多夫完成hatG'。然后，G的每个连续同态u转化为完全Hausdorff群H都可以唯一分解为u = v ∘ φ，其中v是hatG'的连续同态分解为H并且φ 将G 典范映射放入hatG'（将G' 典范嵌入合成放入hatG' 和G 典范同态 ψ 放入G/N = G'). ↩ 2 0BKA
定理 2 令 G 为交换拓扑群。那么函数x⁻¹和xy分别在G和G × G上均匀连续。此外，G承认Hausdorff完成hatG，并且hatG是可交换的。 ↩ 2 0BKB
命题 9 令G为可交换的群，并令𝔗₁, 𝔗₂为与G的群结构兼容的两个豪斯多夫拓扑。假设 𝔗₁ 比 𝔗₂ 更更细，并且𝔗₁ 存在o 的邻域基本系统，对于 𝔗₂ 是封闭的。令G₁, G₂分别为G相对于拓扑𝔗₁, 𝔗₂的补全，令f : G₁ → G₂为G的连续同态，其中扩展恒等映射（no. 3，命题5）。那么 f 是单射的。 ↩ 5 0BKC
推论 1 在命题 9的假设下，如果A是G的子集，对于U₂相应的到𝔗₂的均匀性来说是完全的子空间，那么A对于均匀性来说也是完全的子空间 U₁相应的至𝔗₁。 ↩ 1 0BKD
推论 2 令G为可交换的群，并令𝔗₁, 𝔗₂为与G的群结构兼容的两个拓扑。假设 𝔗₁ 比 𝔗₂ 更细，并且存在 O 的邻域的基本系统 𝔅 关于 𝔗₁ 的均匀性 U₂ 相应的是完整的𝔗₂。那么G相对于均匀性U₁相应的到𝔗₁来说是完整的。 ↩ 1 0BKE

§ 4. 群在拓扑空间上正常运行；拓扑群和空间与运算符的紧凑性

定义 1 令G为在拓扑空间X上连续运行的拓扑群。如果映射则 G 据说可以在 X 上正常运行 ↩ 1 0BKR
例 1 令 H 为拓扑群 G 的闭子群。如果 G 在 X 上正确运行，那么 H 也能正确运行，因为 H × X 在 G × X 中是封闭的（章 I, § 10, no. 1，命题 5，推论 1）。如果对于例我们取X = G，G通过左平移对自身进行操作，那么映射G × X → X × X是同胚，因此是正确的；因此 H 通过左平移在 G 上正确运行。 0BKS
例 2 如果G在X上正确运行，那么它在X的每个子空间X'上正确运行，即X的点的轨道的并（在其他字，X'相对于饱和）等价关系由 G) 定义。对于G × X中X' × X'的逆像是G × X'，我们可以得到章I, § 10, no. 1的应用命题 3。 0BKT
命题 1 设G是在拓扑空间X上连续运行的拓扑群，设K是G的拟紧子集。则K × X的映射ρ : (s, x) → s.x入X是正确的。 ↩ 7 0BKU
推论 1 如果 A 是 X 的闭（或紧）子集，则 K.A 在 X 中是闭的（如果 X 是 Hausdorff，则又是紧）。 ↩ 9 0BKV
推论 2 如果 K 是拓扑群 G 的拟紧子群，则等价关系 x⁻¹y ∈ K 是闭集，典范映射 φ : G → G/K 是正确的。 ↩ 1 0BKW
推论 3 令 K 为拓扑群 G 的准紧法线子群，并令 φ 为典范映射 G → G/K。那么对于 G 的每个闭子群 A，A/A ∩ K 在 φ(A) 上的规范双射是拓扑群的同构。 ↩ 2 0BKX
命题 2 令 K 为在 Hausdorff 空间 X 上连续运行的紧致群。然后： ↩ 4 0BKY
推论 1 在命题 2 的假设下，X 是紧致的（或局部紧致）当且仅当 X/K 是紧致的（或局部紧致）。 ↩ 1 0BKZ
推论 2 令 G 为豪斯多夫拓扑群，并令 K 为 G 的紧子群。则 G 是紧的（或局部紧的）当且仅当 G/K 是紧的（或局部紧的）。 ↩ 3 0BL0
命题 3 如果拓扑群 G 在拓扑空间 X 上正确运行，则轨道空间 X/G 是 Hausdorff。如果也 G 是豪斯多夫，则 X 是豪斯多夫。 ↩ 4 0BL1
命题 4 设 G 为拓扑群，在拓扑空间 X上正常运行，并让 x 为 X的点。令G.x表示x的轨道，并令Kₓ表示x的稳定子。然后： ↩ 6 0BL2
注命题 4 表明，如果拓扑群 G 在齐次空间 G/H 上正确运行，则子群 H 是拟紧的（因此如果 G 是 Hausdorff，则也是紧的）。可以证明，这也是 G 在 G/H（习题 3）上正常运行的充分条件。 0BL3
命题 5 令 G （分别 G'）成为在拓扑空间 X （分别 X'）上连续运行的拓扑群。令 φ 为G到G'的连续同态，并让ψ为X到X'的连续映射，与φ（§ 2, no. 4）相容的。然后： ↩ 2 0BL4
定义 2 令G为群在集合X上运行。如果X的每个元素的稳定子是e，则G可以在X上自由运行，在其他字中，如果关系s.x = x,\ s ∈ G,\ x ∈ X暗示s = e。 0BL5
例令G为群，令H为G的子群。然后H通过（左或右）平移在G上自由操作。 0BL6
命题 6 令G为在拓扑空间X上连续运行的拓扑群，并假设G在X上自由运行。那么当且仅当满足以下条件时，G才能在X上正常运行： 0BL7
命题 7 令 G 为局部紧凑的群，在 Hausdorff 空间 X 上连续运行。那么G在X上正确运行当且仅当对于X的点x, y的每个对，存在x的邻域Vₓ和邻域V_y y使得所有s ∈ G中的集合K，其中s.Vₓ ∩ V_y ≠ ∅在G中相对紧凑。 ↩ 5 0BL8
命题 8 设 G 是在 Hausdorff 空间 X 上正常运行的离散群。令 x 为 X 的点，令 Kx 为 x 的稳定子。然后： ↩ 1 0BL9
推论如果我们假设在加法中Kₓ = e ，则点x有一个开邻域U，使得典范映射X → X/G的限制到U是U到开的同胚子集共 X/G。 0BLA
命题 9 令G为拓扑群，在局部紧凑的空间X上连续运行。那么如果 X/G 是 Hausdorff，那么它是局部紧的。 ↩ 3 0BLB
命题 10 令G为在局部紧凑空间X上连续运行的拓扑群，并假设X/G为Hausdorff。设φ是X到X/G的典范映射。那么如果 K' 是 X/G 的任何紧致子集，则存在 X 的紧致子集 K，使得 φ(K) = K'。 ↩ 3 0BLC
命题 11 令G为在非空空间X上正常运行的豪斯多夫拓扑群。如果 X 是紧致的（或局部紧致），那么 G 和 X/G 也是紧致的。 ↩ 2 0BLD
定理 1 令G为豪斯多夫拓扑群，它在拓扑空间X上连续运行。令K为X的紧子集，并令L为X的闭子集。然后： a) 集合 P(K, L) G 关闭。 ↩ 5 0BLE
注显然，我们有 P(K, L) ⊂ P(K ∪ L, K ∪ L)；因此，要使G在局部紧致空间X上正确运行，对于X的每个紧致子集K，集合P(K, K)在G中相对紧致就足够了。特别是，离散群 G 在局部紧致空间 X 上正确运行当且仅当，对于 X 的每个紧致子集 K，集合 s ∈ G 使得s.K ∩ K ≠ ∅ 是有限。 0BLF
例令X为复解析流形，解析同构于Cⁿ的有界开子集，并令G为X的解析自同构的群。紧致收敛的拓扑与G的群结构兼容，可以证明G在X上可以正常运行。特别是，G的每个离散子群都可以在X上正常运行。 0BLG
命题 12 令 G 为 Hausdorff 拓扑群，它在拓扑空间 X 上连续运行。令K为X的紧致子集，并令ρ_K为G × K的映射(s, x) → s.x到X。然后： ↩ 2 0BLH
推论令 G 为在拓扑空间 X 上正确运行的豪斯多夫拓扑群。如果 K 是 X 的任何紧致子集，并且如果 F 是 G 的任何闭子集，则 F.K 在 X 中是闭的。 ↩ 1 0BLI
命题 13 令 G 为局部紧致群，并令 H 为 G 的闭子群。则齐次空间 G/H 为局部紧致和拟紧致。 ↩ 2 0BLJ
命题 14 在局部紧凑群G中，恒等分量C是G的开子群的交。 ↩ 3 0BLK
推论 1 如果G是完全断开的局部紧凑群，则G包含中e的每个邻域是G的开子群。 ↩ 3 0BLL
推论 2 如果由单位元素的每个邻域生成，则局部紧凑群是连通的。 0BLM
推论 3 令G为局部紧致群，令H为G的闭子群，令φ为G到G/H的典范映射。那么G/H的分量就是G的分量在φ下的像的闭包。 ↩ 1 0BLN

§ 5. 可交换的无限和群

定义 1 设(xᵢ)_i ∈ I是Hausdorff交换律群G的点族；令𝔉(I)为指标集合I有限子集集合，并且对于I的每个有限子集J，令s_J为其中的和 xᵢ使得i ∈ J。如果映射J → s_J对于关系⊂定向的集合𝔉(I)的截面过滤器Φ有极限，则称族(xᵢ)_i ∈ I是可求和的；然后，这个极限被称为(xᵢ)_i ∈ I家族的和，并用∑_i ∈ I xᵢ表示（或者简… ↩ 3 0BMB
注 1 当I是有限时，定义1约化到有限族的和的普通定义。更一般地，如果 I 是任意的，并且 xᵢ = 0 除外，当指标 i 属于到 I 的有限子集 J 时，则和 ∑_i ∈ I xᵢ 等于∑_i ∈ J xᵢ。 0BMC
注 2 可求和族的定义不涉及指标集合I的任何排序，因此我们可以说如此定义的和的概念是可交换的。更准确地说，我们有以下性质：令(xᵢ)_i ∈ I为可求和族，并令φ为指标集合K到集合I的双射映射；那么如果我们放入 yₓ = x_φ(x)，则族 (yₓ)_x ∈ K 是可求和的并且具有与 (xᵢ) 相同的和。因为如果s = ∑_i ∈ I xᵢ，并且如果每个有限子集J包… 0BMD
注 3 更一般地，定义 1 适用于 Hausdorff 拓扑空间 X 中的点的每个族，其上已定义了合成的结合和交换律，可加法书写；因为它没有利用拓扑群的公理。 ↩ 2 0BME
定理 1（柯西准则） 在 Hausdorff 交换律群 G 中，在阶中，一个家庭 (xᵢ)_i ∈ I 应该是可求和的，对于每个邻域 V 原点在 G，有有限子集 J₀ of I 使得 ∑_i ∈ K xᵢ ∈ V 对于所有有限子集 K of I 不满足 J₀。如果 G 完整，则这个必要的条件也足够了。 ↩ 6 0BMF
命题 1 如果族 (xᵢ) 是可求和的，那么 o 包含的每个邻域所有 xᵢ 除了有限子族（在其他字中，如果I是无限的，我们对于补集过滤器有lim xᵢ = o 有限子集I）。 ↩ 4 0BMG
推论设 (xᵢ)_i ∈ I 是可交换群中的可求族，其单位元素具有邻域的可数基数系统。那么指标 i 的集合使得 xᵢ ≠ o 是可数的。 ↩ 3 0BMH
注当 G 被写成乘法时，柯西准则采用以下形式：为了使族 (xᵢ)_i ∈ I 可乘，必须对于单位元素的每个邻域 V，都应该存在 I 的有限子集 J₀，使得对于每个I的有限子集 K 不满足J₀，有∏_i ∈ K xᵢ ∈ V；只要 G 是完备的，这个条件就足够了。我们推断，如果I是无限的并且(xᵢ)是可乘的，那么lim xᵢ = 1相对于I的有限子集的补集过滤… 0BMI
命题 2 在完整的群 G 中，可求和族的每个子族都是可求和的。 ↩ 1 0BMJ
定理 2（结合性 / 和） 令(xᵢ)_i ∈ I为完整群G中的可求族，并令(I_λ)_λ ∈ L为I中的任意划分。如果 s_λ 表示 ∑_i ∈ I_λ xᵢ，则族 (s_λ)_λ ∈ L 可求和，并且与族 (xᵢ)_i ∈ I 具有相同的和。 ↩ 2 0BMK
命题 3 令(xᵢ)_i ∈ I为群G的点族，令(I_λ)_λ ∈ L为I的有限划分。如果每个子族 (xᵢ)_i ∈ I_λ 可求和，则族 (xᵢ)_i ∈ I 可求和，并且公式 (1) 有效。 ↩ 2 0BML
命题 4 令 G = ∏_λ ∈ L G_λ 为 Hausdorff 交换族群的乘积。那么G的点的族(xᵢ)_i ∈ I是可求和的当且仅当对于每个λ ∈ L，族(pr_λ xᵢ)_i ∈ I是可求和的；如果s_λ是这个家族的和，那么s = (s_λ)就是(xᵢ)家族的和。 ↩ 2 0BMM
命题 5 令 f 为交换律群 G 到交换律群 G' 的连续同态。如果(xᵢ)是G中的可求和族，则(f(xᵢ))是G'中的可求和族，并且我们有 0BMN
命题 6 令 (xᵢ), (yᵢ) 为两个可求和族，在群 G 中具有相同的指标集合。那么族 (-xᵢ), (nxᵢ) (n ∈ Z), (xᵢ + yᵢ) 是可求和的，我们有 ↩ 1 0BMO
注命题 4 和 5 再次适用于前面提到的拓扑空间 X 中的可求和族的情况，其具有合成的结合律和交换律律；如果我们假设在加法中x + y在X × X上连续，则同样适用于命题 3和公式 (6)。 0BMP
命题 7 如果由序列 (xₙ) 和 (yₙ) 定义的级数收敛，那么由序列 (-xₙ) 和 (xₙ + yₙ)定义的级数也收敛，我们有 (7) ∑ₙ₌₀^∞ (-xₙ) = -∑ₙ₌₀^∞ xₙ, (8) ∑ₙ₌₀^∞ (xₙ + yₙ) = ∑ₙ₌₀^∞ xₙ + ∑ₙ₌₀^∞ yₙ. 这是-x在G上的连续性和x + y在G × G上的连续性的明显推论。 ↩ 1 0BMQ
推论如果(xₙ), (yₙ)是G的点的两个序列，使得xₙ = yₙ除了指标的有限数，并且如果级数其一般项是xₙ 收敛，那么级数也收敛，其通式项是yₙ。 0BMR
命题 8（限制结合性 / 级数） 设(kₙ)为严格递增的序列/整数geqslant 0。如果级数的一般项是 xₙ 收敛，并且如果我们放入 uₙ = ∑_p=kₙ₋₁^kₙ-1 xₚ，那么级数的一般项是 uₙ 收敛，我们有 ∑ₙ₌₀^∞ uₙ = ∑ₙ₌₀^∞ xₙ。 0BMS
定义 2 由序列 (xₙ) 定义的级数被认为是可交换收敛的，如果对于 N的每个置换 σ ，由序列 (x_φ(n)) 定义的级数是收敛的。 0BMT
命题 9 由序列 (xₙ) 定义的级数可交换收敛当且仅当序列 (xₙ) 可求和；然后，对于每个置换 σ of N，我们有 ↩ 6 0BMU

§ 6. 拓扑群与运算符；拓扑环，划分环和域

命题 1 如果H是带有运算符的拓扑群G的稳定子群，则G中H的闭包overlineH是G的稳定子群。 ↩ 1 0BN2
定义 1 令E为带有运算符的交换拓扑群，并令(Mᵢ)_1 ≤ i ≤ n为E的稳定子群的有限族，使得E是Mᵢ的直和。那么 E 被称为 Mᵢ 的拓扑直和，如果乘积群 ∏ᵢ₌₁ⁿ Mᵢ 到 E 的典范映射 (xᵢ) → ∑ᵢ₌₁ⁿ xᵢ 是同胚（因此拓扑的同构群与运算符）。 0BN3
命题 2 令 E 为具有算子的交换拓扑群，其为稳定子群 Mᵢ (1 ≤ i ≤ n) 的直和。令(pᵢ)_1 ≤ i ≤ n为与分解E = ∑ᵢ₌₁ⁿ Mᵢ相关的投影算子族。那么E是Mᵢ的拓扑直和当且仅当pᵢ是连续的。 ↩ 1 0BN4
推论令E为带有算子的交换拓扑群，并令M为E的稳定子群。那么下面的条件是等价的： ↩ 2 0BN5
注 1 为了避免混淆，我们将有时说，E的稳定子群是M的补集（在带有运算符的群的结构的意义上，没有拓扑）是M的代数补集。 0BN6
注 2 如果带有运算符的Hausdorff交换拓扑群是稳定子群族(Mᵢ)_1 ≤ i ≤ n的拓扑直和，则每个子群Mᵢ在E中闭，因为Mᵢ是所有集合 x ∈ E使得pᵢ(x) = x（章I, § 8, no. 1，命题2）。 0BN7
命题 3 令E, F为两个带算子的可交换拓扑群，并令u为E到F的连续线性映射。在阶中，应该存在F到E的连续线性映射v，使得u ∘ v是F的恒等映射（在这种情况下，u被认为是右可逆的，v是据说是u的右逆）u是E到F的严格态射（§ 2, no. 8）并且overlineu(0)在E中有一个拓扑补集是必要且充分的。 ↩ 1 0BN8
命题 4 设E，F是两个带有运算符的交换拓扑群，并设u是E到F的连续线性映射。在阶中，应该存在F到E的连续线性映射v，使得v ∘ u是E到其自身的恒等映射（在这种情况下，u被称为左）可逆且 v 被认为是 u 的左逆）u 是 E 到 u(E) 上的（拓扑）同构是必要且充分的，并且 u(E) 在 F 中有一个拓扑补。 0BN9
定义 2 拓扑环是集合A，它携带环结构和拓扑满足以下公理： 0BNA
例 1 在任何环 A 上，离散拓扑与环结构兼容。拓扑是离散的拓扑环称为离散环。 0BNB
例 2 我们将在章IV中看到，有理线Q（或实直线R）的拓扑与Q（或R）的环结构兼容。 0BNC
注在数学分析中，人们经常遇到环，其中满足公理 (ATI)、(AT{II}) 和 (AT{III a})，但不满足 (AT{III b})。例是紧凑群上的环度量，其中乘法是卷积，拓扑是模糊拓扑。 0BND
命题 5 设H为拓扑环A的稠密子环，并令K为H的子环（分别为左理想、右理想、两侧理想）。那么A中K的闭包overlineK就是A的子环（分别为左理想、右理想、两侧理想）。 ↩ 2 0BNE
定理 1 设E、F、G为三个完全Hausdorff交换律群；设 A 为 E 的稠密子群，设 B 为 F 的稠密子群。如果 f 是 A × B 的 Z 连续 Z 双线性 () 映射到 G，则 f 可以通过连续性扩展到连续 Z 双线性将E × F的映射转化为G。 ↩ 2 0BNF
命题 6 Hausdorff 拓扑环 A 同构于完整 Hausdorff 环 hatA 的稠密子环，确定到同构（称为 A 的完备的）。 ↩ 2 0BNG
定义 3 给定拓扑环 A 与单位元素，拓扑左 A-模为集合 E，与一起： 0BNH
例 1 R（或C）上的拓扑向量空间是拓扑R（或C）模。 0BNI
例 2 令A为环，令𝔅为A的两侧理想的A由……组成上的滤波器基；设E为左A模块。如果我们给出A拓扑（与其环结构兼容），其中𝔅是0（no. 3，例3）的邻域的基本系统，并且E拓扑（与其加法群结构兼容）其中集合aE，因为a贯穿𝔅，形式是0的邻域的基本系统（§ 1， no. 2，例），立即验证E是拓扑A模块。 0BNJ
注给定拓扑环A，考虑在左侧A-模块E、拓扑与E的加法群结构兼容。凭借身份 λ x - λ₀ x₀ = (λ - λ₀)x₀ + λ₀(x - x₀) + (λ - λ₀)(x - x₀) 公理 (MT) 等价于以下三个公理的合取：（MT_I'）。对于每个 x₀ ∈ E，映射 λ → λ x₀ 在点 λ = 0 处连续。（MT_II'）。对于每个 λ₀… 0BNK
定义 4 拓扑划分环是集合 K 携带划分环结构和拓扑与 K的环结构兼容，和加法中的满足以下公理： ↩ 1 0BNL
例 1 在任何除法环 K 上，离散拓扑与除法环结构兼容。拓扑是离散的拓扑除法环称为离散除法环。 0BNM
例 2 \ 有理线 Q（分别为实直线 R）的拓扑与 R（分别为 R）的域结构兼容（参见章 IV, § 3）。 \ 0BNN
命题 7 Hausdorff 拓扑划分的完成 hatK 环 K 是拓扑划分环当且仅当每个柯西滤波器（相对于加法结构）的映射 x → x⁻¹ 下的像（在 0 处不具有簇点）是柯西滤波器（相对于添加剂结构）。 ↩ 2 0BNO
命题 8 如果拓扑域 K 的加性均匀性结构是完整 Hausdorff 空间的结构，则 K 上的乘法结构是完整空间的结构。 ↩ 3 0BNP

§ 7. 拓扑群和环的逆极限

命题 1 假设X_α和G_α满足上述假设。 ↩ 1 0BOG
推论 1 如果G_α是紧致的且X_α豪斯多夫，则a)和b)的结论有效。 ↩ 1 0BOH
推论 2 如果，对于每个α ∈ I，群G_α在空间X_α上传递操作，并且如果X_α的每个点的稳定子是G_α的紧凑子群，则G在X和稳定子上进行传递操作，X的每个点是G的紧凑子群。 0BOI
推论 3 假设G_α是Hausdorff。对于每个α ∈ I，令K_α是G_α的紧凑子群，这样每当α ≤ β时就有f_α β (K_β) ⊂ K_α。那么，如果齐次空间 G/K 到 varprojlim G_α / K_α 的 K = varprojlim K_α、典范映射 h 是同胚。 0BOJ
命题 2 令G为拓扑群，并令(H_α)_α ∈ I为G的正常子群族，使得每当α ≤ β时H_α ⊃ H_β，并且其中满足以下条件： ↩ 8 0BOK
推论 1 如果满足条件 (AP) 并且在加法中 (Hausdorff) 群 G/H_α 是完备的，则群 G 具有 Hausdorff 完备性，可以用 tildeG 来识别；然后映射 i : G → tildeG 被识别为典范映射 (§ 3, no. 3, 命题 5)。 ↩ 1 0BOL
推论 2 令G为群，并令(H_α)为G的正常子群家庭，针对关系H_α ⊃ H_β。如果我们赋予 G 群拓扑 H_α 形式单位元素 e 的基本系统邻域，则 Hausdorff 群与G与G₁ = G / ( ⋂_α H_α )同构的； G₁已完成hatG₁ = tildeG；以及 hatG = hatG₁ 的典范映射 G₁ → tildeG = varprojlim G/… 0BOM
引理 1 在命题 2 的假设下，如果E 是G 的任何闭子集，我们有 E = ⋂_α E H_α。 ↩ 1 0BON
命题 3 假设 G 是 Hausdorff，且 H_α 是紧致的且满足 (AP)。 ↩ 3 0BOO
命题 4 假设G是Hausdorff，H_α是紧的并且满足(AP)。如果C_α是G_α = G/H_α的恒等分量，那么G的恒等分量C可以用varprojlim C_α来标识，我们有f_α(C) = C_α。 ↩ 1 0BOP
引理 2 令G为豪斯多夫拓扑群，并令H为G的紧致法线子群，以及φ典范映射G → G/H。如果C是G的恒等分量，则φ(C)是G' = G/H的恒等分量。 0BOQ
注如果子群 H_α 对于某些 α ∈ I 是紧致的，那么 H_β 对于所有 β ≥ α 也是紧致的，因为它是 H_α 的闭子群。由于所有β ∈ I中的集合使得β ≥ α在I中是共尾的，因此在群G的研究中，我们是否假设H_α之一是紧致的或者所有H_α都是紧致的，本质上没有区别。 0BOR
命题 5 设 (G_α, f_αβ) 为豪斯多夫拓扑群的逆系，使得 f_αβ 是满射严格态射和紧凑核。然后对于G = varprojlim G_α的每个α ∈ I典范映射f_α into G_α 是一个严格满射态射，其核是紧的。 ↩ 3 0BOS
推论 1 设 (G_α, f_α β) 为拓扑群的逆系，满足命题 5的假设；让 (G'_α, f'_α β) 成为拓扑群的逆系，并且对于每个 α 让 u_α : G_α → G'_α 成为具有紧凑核的满射严格态射，使得 u_α 从逆系映射。那么u = varprojlim u_α是G = varprojlim G_α到G' = varprojlim G'_α的严格态射… 0BOT
推论 2 设 (G_α, f_α β) 为拓扑群的逆系，满足命题 5的条件，并令 G' 为拓扑群，其中有邻域 V' 单位元素 e' 其中包含除 e' 之外，G' 中没有子群。那么如果v : G → G'是任何连续的同态，则存在指标α ∈ I和连续的同态v_α : G_α → G'使得v = v_α ∘ f_α。 0BOU

IV. 实数

§ 1. 定义 / 实数

定义 1 有理线是集合Q和加法群拓扑的拓扑空间由……组成，其中对称开区间]-a, +a[(a > 0)形式是基本系统邻域 0。 0BP1
定义 2 让R表示拓扑群，它是有理线加法群Q的完成。 R中的元素称为实数；作为拓扑空间，R称为实直线；作为拓扑群，R被称为实直线的加法群。 0BP2
命题 1 关系 y - x ∈ overlineQ₊ 是R 的排序，使得R 成为线性排序的集合；与R上的加法群结构兼容，以及Q上的诱导排序x ≤ y。 0BP3
命题 2 R 中的每个闭（或开）区间都是 R 中的闭（或开）集合。 ↩ 1 0BP4
命题 3 由于r贯穿有理数> 0的集合，R形式中的区间sᵣ = [-r, +r]是邻域的基本系统为0。 ↩ 2 0BP5
推论实直线的每个点都有一个邻域的可数基数系统。 ↩ 1 0BP6
命题 4 如果 (x, y) 是实数中的任意对，并且 x < y，则存在有理数数 r，使得 x < r < y。 0BP7
命题 5 设I为\mathbf{R}中的任意区间。然后由I的开区间生成\mathbf{R}的拓扑在I上诱导的拓扑（其中I被认为是按关系 x \leq y线性排序）。 ↩ 1 0BP8
注如果 A 是 \mathbf{R} 的稠密子集，则 \mathbf{R} 的拓扑由其端点属于到 A 的开区间生成。 0BP9
定义 3 具有端点 a 和 b (a \leq b) 的有界区间的长度定义为 b - a。 0BPA

§ 2. 实直线的基本拓扑特性

定理 1 如果 x 和 y 是任意两个实数 0，则存在整数 n > 0 使得 y < nx。 ↩ 3 0BPF
注实数理论的公理构造可在章V、S2中找到，其中定理1作为公理出现；有关此公理的更多详细信息，请参阅历史注记至章 IV。 0BPG
定理 2（波雷尔-勒贝格） 为了使实直线 R 的子集变得紧致，它是封闭且有界的是必要且充分的。 ↩ 4 0BPH
推论 1 实直线 R 的子集是相对紧的当且仅当它是有界的。 0BPI
推论 2 实直线是局部紧致的空间并且不是紧致的。 0BPJ
注定理 2 通常被称为“Heine-Borel 定理”；请参阅历史注记至章、II和IV。 0BPK
定理 3 实直线的每个非空子集其上界（或下界）都至少有上界（或下确界）。 ↩ 1 0BPL
命题 1 R的非空子集A是一个区间当且仅当a和b是A的任意两个点，使得a < b，闭区间[a, b]包含在A。 ↩ 3 0BPM
定理 4 当且仅当A是一个区间时，R的子集A是连通的。 ↩ 4 0BPN
推论 1 实直线是已连接且本地连接的空间。 0BPO
推论 2 只有R的紧连通子集才是有界闭区间。 0BPP
命题 2 R中的每个非空开集合都是并互为不相交的开区间的可数族。 ↩ 2 0BPQ
例让我们定义乘归纳一个互为不相交的开区间的可数族(I_n,p)如下：整数n取所有值geqslant 0，并且对于n中的每个值，p取值1, 2, 3, …, 2ⁿ。所有区间 I_n,p 都包含在 A = [0, 1], 我们取I_0,1 = ]1/3, 2/3[（]0, 1[的“中间三分之一”）。现在假设2ᵐ⁺¹ - 1间隔I_n,p已经为0 ≤ n ≤ m定… 0BPR
定理 5 令I为R中的一个区间。则I的映射 f进入R是I到f(I)的同胚当且仅当f在I上严格单调且连续；那么 f(I) 就是 R 中的一个区间。 ↩ 4 0BPS
注前面的证明的第一个部分实际上表明I到R的连续单射映射是严格单调的；因此，从证明的第二个部分开始，间隔 I 进入 R 的每个连续单射映射 f 都是 I 到 f(I) 的同胚。 0BPT

§ 3. 实数的域

命题 1 分别在Q × Q和Q^*上定义的函数xy和1/x，可以通过连续性分别扩展到R × R和R^*，以及R上的定义域结构。有了这个结构，R就被称为实数的域。 0BQF
命题 2 实数≠ 0的乘法群R^*是群拓扑同构于其子群R₊^*和U₀的乘积，其中 0BQG

§ 4. 扩展实直线

命题 1 R 的所有非空开区间都同胚于 R。 ↩ 4 0BQK
注为了表明所有有界开区间彼此同胚，注就足够了，如果a ≠ b和a' ≠ b'，则存在R自身的同胚，形式x → ax + β（并且只有一个）其中映射 a 到 a' 和 b 到 b'，因此映射端点为 a, b 的开（半开、闭）区间到端点为 a', b' 的开（半开、闭）区间；读者可以通过计算α和β轻松验证这一点。 0BQL
定义 1 集合 overlineR 赋予上面定义的阶结构和拓扑称为扩展实直线。 ↩ 1 0BQM
命题 2 每个同态 f of R 到一个区间 ]a, b[ 都可以扩展到同态 overlinef of overlineR 到 [a, b]。如果f是递增函数，那么overlinef是overlineR的阶同构到[a, b]。 ↩ 2 0BQN
命题 3 扩展的实直线是紧凑的。 0BQO
命题 4 overlineR 中的每个非空子集至少有上界和下确界。 0BQP
命题 5 当且仅当A是一个区间时，overlineR的子集A是连通的。 ↩ 1 0BQQ
推论扩展实直线是一个连接的、本地连接的空间。 0BQR
命题 6 overlineR到overlineR的区间I的映射f是I到f(I)的同胚当且仅当f在I上严格单调且连续；那么f(I)就是overlineR的区间。 0BQS
命题 7 函数x + y可以根据公式通过连续性扩展到集合A' × A'和A'' × A'' ↩ 1 0BQT
命题 8 函数 xy 可以根据公式连续性扩展到集合overlineR^* × overlineR^ 0BQU

§ 5. 实值函数

定义 1 集合 X到实直线的映射称为定义在X上的实值函数（或实数函数）。 0BR2
命题 1 令f和g为在集合X上定义的两个实值函数，并通过过滤器𝔉过滤。如果lim_𝔉 f和lim_𝔉 g存在，并且对于每个子集A ∈ 𝔉，存在x ∈ A使得f(x) ≤ g(x)，那么我们有lim_𝔉 f ≤ lim_𝔉 g。 ↩ 1 0BR3
命题 2 令f和g为在集合X上定义的两个实值函数，并通过过滤器𝔉过滤。如果lim_𝔉 f和lim_𝔉 g存在，并且如果lim_𝔉 f > lim_𝔉 g，则存在集合A ∈ 𝔉，使得f(x) > g(x)对于所有x ∈ A。 0BR4
定理 1（扩张不等式中的原理） 令f和g为两个实值函数，定义在由过滤器𝔉过滤的集合X上。如果lim_𝔉 f和lim_𝔉 g存在，并且如果f ≤ g，则lim_𝔉 f ≤ lim_𝔉 g。 ↩ 6 0BR5
注特别是，如果我们对所有x ∈ X（或仅对过滤器overlineR的集合的所有点）都有f(x) < g(x)，我们可以通过定理1推断出lim_𝔉 f ≤ lim_𝔉 g；但我们不能推断强不等式lim_𝔉 f < lim_𝔉 g。对于例，如果我们将 X 设为自然数的集合 N（经 Fréchet 过滤器过滤），并且如果 f(n) = 0 和 g(n) = 1/n… 0BR6
定理 2（单调极限的定理） 令 X 为有序集合，令 A 为 X () 的有向子集。 A 上定义的每个单调实值函数 f 相对于 A 都有极限 (章 I, , no. 3);如果 f 为递增（分别为递减），则该极限等于集合 f(A) ⊂ overlineR 中的最小上界（分别为下确界） ↩ 6 0BR7
推论递增（或递减）实值函数，定义在有序集合X的有向子集A上，相对于A具有有限的极限当且仅当它在上界（或下界）时A。 ↩ 1 0BR8
命题 3 实数的每个单调序列在overlineR 中都有极限。特别是，有限数的每个递增（或递减）序列，如果其上界（或下界），则收敛到有限的实数，否则收敛到+∞（或-∞）。对于例，正整数的序列收敛于+∞。 0BR9
定义 2 设 f 为函数，定义在 overlineR 的非空子集 A 上，值位于拓扑空间 X 中。 f 相对于过滤器 𝔉 的极限（如果存在）称为 f 的极限，位于点 a 左侧，相对于 A，并表示为 lim_x → a,\ x < a,\ x ∈ A f(x), 或 f(a-)，如果 X 是 Hausdorff。 0BRA
命题 4 在交A ∩ [-∞, a[的闭包中，令A为overlineR的子集，并令a ≠ -∞为点。如果 f 是 A 上定义的单调实值函数，则 f 在 a 左侧相对于 A 具有极限 f(a-)。 0BRB
定义 3 设f为定义在集合X上的实值函数，并设A为X的非空子集。那么overlineR中集合f(A)的最小上界（或下确界）称为A中f的最小上界（或下确界），记为 sup_x ∈ A f(x) [resp. inf_x ∈ A f(x) ]. 0BRC
命题 5 令f为定义在集合X上的实值函数。在X的所有有限子集中的集合𝔉(X)上，相对于关系⊂，实值函数H → sup_x ∈ H f(x)为递增，实值函数 H → inf_x ∈ H f(x) 是递减，我们有 ↩ 2 0BRD
命题 6 令f和g为X上定义的两个实值函数。如果f(x) ≤ g(x)位于X的非空子集A的每个点x，那么我们有 0BRE
命题 7 令f为定义在X上的实值函数。如果A和B是X的两个非空子集，使得A ⊂ B，那么 ↩ 1 0BRF
命题 8 设f为X上定义的实值函数，并令(Aᵢ)_i ∈ I为X的非空子集的非空族；那么 0BRG
命题 9 令f为定义在乘积集合X₁ × X₂上的实值函数。如果A₁, A₂分别是X₁, X₂的任何非空子集，则 ↩ 2 0BRH
定义 4 设(fᵢ)_i ∈ I是在集合X上定义的实值函数族。 X 上的实值函数，其值在每个点 x ∈ X 处为 sup_i ∈ I (fᵢ(x)) [resp]。 inf_i ∈ I (fᵢ(x))]称为(fᵢ)族的上（或下）信封，并用sup_i ∈ I fᵢ或supᵢ fᵢ（或inf_i ∈ I fᵢ或infᵢ fᵢ）表示。 0BRI
命题 10 在乘积空间overlineR^X实值函数(fᵢ)_i ∈ I族的上包络线sup_i ∈ I fᵢ是极限，相对于有限子集的有向集合𝔉(I) I，映射H → sup_i ∈ H fᵢ[其中映射每个有限子集H共I到有限子族(fᵢ)_i ∈ H的上包络]。 0BRJ
定义 5 在集合 X 上定义的实值函数的族 (fᵢ)_i ∈ I 据说在 X 中均匀上界（或下界均匀），如果存在有限数 a 使得 fᵢ(x) ≤ a [或。 fᵢ(x) ≥ a] 对于所有 x ∈ X 和所有 i ∈ I。如果族 (fᵢ) 在 X 的上方和下方均匀有界，则称其在 X 中均匀有界。 0BRK
定义 6 The limit of the real-valued function M → sup_x ∈ M f(x) with respect to the directed set 𝔊 is called the upper limit of f with respect to the filter 𝔊, and is denoted by lim sup_𝔊… 0BRL
定理 3 相对于过滤器𝔊的实值函数f的上部极限等于相对于𝔊的f的最大的簇值。 0BRM
推论 1 在阶、lim sup_𝔊 f = lim inf_𝔊 f中，f相对于过滤器𝔊具有极限是充分必要的，然后 lim_𝔊 f = lim sup_𝔊 f = lim inf_𝔊 f. 因为由于overlineR是紧凑的，所以当且仅当过滤器基f(𝔊)只有一个簇点时，它才具有极限点（章I, § 9, no. 1，定理1的推论）。 ↩ 1 0BRN
推论 2 如果ℌ是更细比𝔊的过滤器，我们有 lim inf_𝔊 f ≤ lim inf_ℌ f ≤ lim sup_ℌ f ≤ lim sup_𝔊 f. 对于f相对于ℌ的每个集群点也是f相对于𝔊的集群点（章I, § 7, no. 3）。特别是，如果 lim_𝔊 f 存在，那么 lim inf_𝔊 f ≤ lim_𝔊 f ≤ lim sup_𝔊 f. ↩ 1 0BRO
推论 3 令A为滤波器𝔊的集合，令𝔊_A为𝔊在A上诱导的滤波器，令f_A为f至A的限制；那么 lim sup_𝔊_A f_A = lim sup_𝔊 f. 对于过滤器基f(𝔊)的每个集群点都是过滤器基f_A(𝔊_A)的集群点，反之亦然。 ↩ 1 0BRP
命题 11 令f和g是在过滤后的集合X上定义的两个实值函数。那么关系 f ≤ g 意味着 0BRQ
命题 12 令f和g为集合X上定义的两个实值函数，并令A为X的非空子集。 ↩ 1 0BRR
推论 1 令f为定义在X上的实值函数，并令k为实数。然后 (22) sup_x ∈ A (f(x) + k) = k + sup_x ∈ A f(x) 只要双方都被定义，并且，如果 k ≥ 0, (23) sup_x ∈ A (kf(x)) = k · sup_x ∈ A f(x) 每当双方都被定义时。 0BRS
推论 2 设f₁和f₂分别为定义在集合和X₁, X₂上的两个实值函数；那么如果 A₁, A₂ 分别是 X₁, X₂ 的任何非空子集，我们有 (24) sup_(x₁, x₂) ∈ A₁ × A₂ (f₁(x₁) + f₂(x₂)) = sup_x₁ ∈ A₁ f₁(x₁) + sup_x₂ ∈ A₂ f₂(x₂) 0BRT
命题 13 让f和g是在过滤后的集合X上定义的两个实值函数。 0BRU
推论 1 令f和g是在过滤后的集合X上定义的两个实值函数。如果 lim g 存在，则 0BRV
推论 2 令f和g是在过滤后的集合X上定义的两个实值函数。如果定义了lim f = +∞、lim inf g > -∞和f + g，则lim (f + g) = +∞。如果定义了lim f = +∞、lim inf g > 0和fg，则lim fg = +∞。 0BRW

§ 6. 连续和半连续实值函数

定理 1（威尔斯特拉斯） 令f为定义在非空准紧空间X上的连续实值函数。那么至少有一个点a ∈ X使得f(a) = sup_x ∈ X (f(x))，并且至少有一个点b ∈ X使得f(b) = inf_x ∈ X f(x)。因为 f(X) 是紧致的 (章 I, § 9, no. 4, 定理 2)，因此在 overlineR 中闭合；因此 f(X) 包含它的界限。 ↩ 5 0BSF
推论如果在非空准紧空间 X 上定义的实值函数在 X 上是连续且有限的，则它在 X 内有界。 0BSG
定理 2（博尔扎诺） 令 f 为定义在连接的空间 X 上的连续实值函数。如果a和b是X中的任意两个点，并且如果α是实数属于到端点为f(a)和f(b)的闭区间，则至少有一个点x ∈ X使得f(x) = α。 ↩ 1 0BSH
定义 1 实值函数f，定义在拓扑空间X上，据说是下半连续（或上半连续）在点a ∈ X，如果对于每个h < f(a)[或。每个k > f(a)]都有邻域V/a，这样h < f(x)[分别。 k > f(x)] 每个 x ∈ V。 ↩ 1 0BSI
例 1 如果f在点a有一个相对最小值，也就是说，如果a有邻域V，这样，对于每个x ∈ V，我们有f(a) ≤ f(x)，那么f是下半连续的a。特别是，如果f(a) = -∞，则f在a处是下半连续的。 0BSJ
例 2 定义 R 上的实值函数 f，如果 x 是无理数，则放入 f(x) = 0；如果 x 是有理数且等于不可约分数 p/q，则放入 f(x) = 1/q （q > 0）。对于每个整数n > 0，有理数p/q的集合使得q < n是封闭的，并且其点是孤立的；因此，对于每个无理数x，邻域V为x，使得f(y) ≤ 1/n对于所有y ∈ V，这表明f在x连续；另一方面，f… 0BSK
命题 1 拓扑空间 X 上的实值函数 f 是下半连续当且仅当，对于每个有限实数 k，overlinef([k, +∞]) [所有 x ∈ X 的集合使得f(x) > k] 是X 中的开集合 [或者，等效地，overlinef([-∞, k]) 是X 中的闭集合]。 ↩ 3 0BSL
推论拓扑空间X的子集A在X中是开（或闭）当且仅当其特征函数（）φ_A在X上是下（或上）半连续。 ↩ 1 0BSM
定理 3 令f为非空准紧空间X上的下半连续函数。那么至少有一个点a ∈ E使得f(a) = inf_x ∈ X f(x)（在其他字中，f在X中达到其下确界）。 ↩ 1 0BSN
推论令f为非空准紧空间X上的下半连续函数。如果 f(x) > -∞ 对于所有 x ∈ X，则 f 的边界在 X 内。 0BSO
命题 2 令f和g为两个实值函数，在点a ∈ X处下半连续。那么函数inf(f, g)和sup(f, g)在a处是下半连续；每当定义f + g时，它也是如此；如果定义f和g是≥ 0并且乘积fg，fg也是如此。 ↩ 1 0BSP
定理 4 函数的族(fᵢ)的上包络线在点a ∈ X处是下半连续，在a处是下半连续。 ↩ 2 0BSQ
推论空间 X 上的连续实值族函数的上包络线在 X 上是下半连续的。 ↩ 1 0BSR
命题 3 实值函数 f，在拓扑空间X上定义，当且仅当liminf_x → a f(x) = f(a)时在点a ∈ X处是下半连续的[或者，等效地，当且仅当liminf_x → a f(x) ≥ f(a)]。 ↩ 1 0BSS
命题 4 设 f 是在拓扑空间 X 的稠密子集 A 上定义的任意实值函数。如果对于每个 x ∈ X，我们放置 g(x) = liminf_y → x, y ∈ A f(y)，则 g 在 X 上是下半连续的。 0BST

§ 7. 实数的无限和和乘积

定理 1 族 (xᵢ) 有限实数 geqslant 0 可求和于 R 当且仅当族的部分有限和的集合上界于 R。如果是这样，这个集合中最小的上界就是家庭的和(xᵢ)。 ↩ 5 0BT9
注令(H_λ)为I的有限子集的族，使得对于I的每个有限子集H，有指标λ使得H ⊂ H_λ；那么 (xᵢ) 是可求和的当且仅当 s_H_λ 的族在 R 中上界。特别地，令(xₙ)为有限实数geqslant 0的序列，并且对于每个整数n令sₙ = ∑ₚ₌₀ⁿ xₚ；那么序列 (xₙ) 在 R 中可求和当且仅当，对于严格递增的整数 (nₖ) 的一个序列，部分序列 (… 0BTA
例 1) 对于每个数q，使得0 leqslant q < 1、序列(qⁿ)（“比率q的几何级数”）可在R中求和，因为 sₙ = frac1 - qⁿ⁺¹1 - q leqslant 1/(1 - q) 这个序列中的和是lim_n → ∞ sₙ = 1/(1 - q)。 0EAD
定理 2（比较的原理） 让(xᵢ)_i ∈ I和(yᵢ)_i ∈ I成为有限实数≥ 0的两个族，使得xᵢ ≤ yᵢ对于所有i。如果 (yᵢ) 可求和于 R 那么也可以 (xᵢ)，我们有 ∑ᵢ xᵢ ≤ ∑ᵢ yᵢ；如果在加法中有指标x使得xₓ < yₓ，那么∑ᵢ xᵢ < ∑ᵢ yᵢ。 ↩ 2 0BTB
例 1 令a为有限实数> 0，并考虑序列( aⁿ/n! )；令n₀为最小的整数，使得a < n₀。那么对于每个 n ≥ n₀ 我们有 aⁿ/n! ≤ fraca^n₀n₀! · ( a/n₀ )^n-n₀; 由于 q = a/n₀ < 1、序列 (q^n-n₀) 是可求和的，因此序列 ( aⁿ/n! ) 也是可求和的。 0BTC
例 2 令 (aₙ) 为正数的可和序列。自从 lim_n → ∞ aₙ = 0, 存在整数n₀，只要n ≥ n₀就有aₙ ≤ 1。因而，对于每个 n ≥ n₀，我们有 aₙ² ≤ aₙ，因此序列 (aₙ²) 可在 R 中求和。每个整数 p > 1 的序列 (aₙᵖ) 也是如此。 0BTD
例 3 设a和b为两个数< 1；那么 1/(aᵐ + bⁿ) ≤ frac12(sqrta)ᵐ (sqrtb)ⁿ 因而，族 ( 1/(aᵐ + bⁿ) ) 可在 R 中求和。 0BTE
推论设 (xᵢ)_i ∈ I 为有限数 ≥ 0 在 R 中的可求和族。如果H是I中的任何子集，我们有 ∑_i ∈ H xᵢ ≤ ∑_i ∈ I xᵢ, 并且等式仅在xᵢ = 0对于所有i ∈ complement H成立。 0BTF
定理 3 设 (xᵢ)_i ∈ I 为有限族实数；那么下面的叙述是等价的： ↩ 2 0BTG
命题 1 如果有限实数的族 (x_λ)_λ ∈ L 和 (y_μ)_μ ∈ M 可在 R 中求和，那么族 (x_λ y_μ)_(λ, μ) ∈ L × M 也是如此，我们有 ↩ 2 0BTH
定理 4 家庭 (1 + uᵢ) 可乘于 R^* 当且仅当家庭 (uᵢ) 可求和于 R。 ↩ 7 0BTI
引理（一） 如果(aᵢ)_1 ≤ i ≤ p是数> 0中的有限序列，那么 ∏ᵢ₌₁ᵖ (1 + aᵢ) ≥ 1 + ∑ᵢ₌₁ᵖ aᵢ. (ii) 如果也 aᵢ < 1 对于每个 i，那么 ∏ᵢ₌₁ᵖ (1 - aᵢ) ≥ 1 - ∑ᵢ₌₁ᵖ aᵢ. 0BTJ
命题 2 每个家庭 (xᵢ) 实数 ≥ 0 可在 overlineR 中求和。 ↩ 1 0BTK
命题 3 每个家庭(1 + uᵢ) [分别。数 ≥ 1（分别为≥ 0和≤ 1）的(1 - uᵢ)]可与overlineR相乘。 0BTL
推论乘积 ∏ (1 + uᵢ) [分别。数 ≥ 1（分别为 > 0 和 ≤ 1）的 ∏ (1 - uᵢ)] 等于 + ∞（分别为 0）当且仅当 ∑ uᵢ = + ∞。 0BTM
注当 G 被 overlineR 替换并且假设 xᵢ 为 ≥ 0 时，结合性的定理（章 III, § 5, no. 3，定理 2）仍然有效。如果 ∑_i ∈ I xᵢ 是有限的，这很清楚。相反，假设∑_i ∈ I xᵢ = + ∞。那么对于每个有限的a > 0，都有I的有限子集 H，使得∑_i ∈ H xᵢ ≥ a。令 K 为 L 的有限子集，使得 H ⊂ ⋃… 0BTN
定义 1 如果项的绝对值的级数收敛，则有限实数的级数被称为绝对收敛。 0BTO
命题 4 有限实数的级数是可交换收敛的当且仅当它绝对收敛。 0BTP
例交错的级数。由有限实数的序列(uₙ)定义的级数称为交错的如果uₙ = (-1)ⁿ vₙ，其中vₙ ≥ 0对于所有n。让我们证明，对于此类级数的收敛来说，足够条件是序列 (vₙ) 减少并具有 0 作为其极限。对于如果 sₙ 表示 ∑ₚ₌₀ⁿ uₚ, 假设 (vₙ) 是递减意味着 s₂ₙ₊₁ ≤ s₂ₙ₊₃ ≤ s₂ₙ₊₂ ≤ s₂ₙ 对于所有n ≥ 0。… 0BTQ
定义 2 如果一般因子为1 + |uₙ|的乘积收敛，则称其广义因子为1 + uₙ的无穷乘积绝对收敛。 0BTR
命题 5 有限实数的无限乘积可交换收敛当且仅当它绝对收敛。 0BTS
例如果我们对n ≥ 2取u₂ₙ₋₁ = -1/n和u₂ₙ = 1/n，则乘积(1 + uₙ)不是绝对收敛的，因为级数(uₙ)不是绝对收敛的；但自从 0BTT

§ 8. 通常展开的实数； R 的幂

定义 1 Given a number ε > 0, a real number r is said to be an approximation to within ε to a real number x, if |x - r| ≤ ε; r is said to be an approximation by defect if r ≤ x, by excess… 0BUG
定理 1（康托尔） 实数中的集合等价于可数无限集合中所有子集中的集合。 ↩ 1 0BUH
推论实数的集合的基数严格大于可数集合的基数。 0BUI

V. 单参数群

§ 1. 子群和商群的 $\mathbf{R}$

命题 1 加法群 R的每个闭子群，除了R和0之外，都是形式a.Z的离散群，其中a > 0（在其他字中，它由整数组成）倍数 / a）。 ↩ 2 0BV0
命题 2 R 的 Hausdorff 商群，除了 0，为群 R/aZ (a geqslant 0)。如果 a 和 b 是 > 0、自同构 x → b/a x 的 R 变换 aZ 进入 bZ，因此 (章 III, § 2, no. 8, 注 3) 商群 R/aZ 和 R/bZ 同构的；其他字： 0BV1
命题 3 R 的每个 Hausdorff 商群，除了 R 和 0，同构于群 R/Z。 ↩ 1 0BV2
定义 1 拓扑群 R/aZ (a > 0) 称为实数模 a 的加法群。拓扑群 R/Z 表示为 T。作为拓扑空间， T 被称为一维环面（滥用语言，拓扑群T也被称为一维环面）。 0BV3
注 1 关系 x ≡ y pmodaZ 通常写为 x ≡ y pmoda，或简单地 x ≡ y (a)，读作“x 和 y 模 a 全等”；这意味着 x - y 是 a 的整数倍数。当 a 为整数时，关系在 Z 上诱导，由此关系精确同余模 a；这证明了记号。 0BV4
注 2 \ 正如我们将在章 VI, § 2, no. 4 中看到的，拓扑空间 T 同胚于圆 x² + y² = 1 在实数平面 R²；乘积空间 T² 同胚于环面旋转在 R³ (章 VII, § 1, 习题 15)。这就是名字的由来“一维环面”对于T（在章VII, § 1，我们称之为Tⁿn维环面）。 0BV5
命题 4 环面 T 与任何闭区间 R 与形式 [a, a+1] 的商空间同构，通过识别该区间的端点获得；它结构紧凑、互联且本地连接。 ↩ 1 0BV6
注注，R到T = R/Z的典范映射φ，受限于半开区间[a, a+1[，是该区间到T的连续双射映射；逆映射在T的每点处连续，除了φ(a)之外，但在φ(a)处不连续。我们将有时认同空间T以区间[a, a+1[赋予拓扑，即逆像低于T的拓扑的φ（章） I, § 1, no. 3);这个拓扑当然和R的拓扑在[a, a+1[上诱发的不一样。 0BV7
命题 5 拓扑群 R 自身的每个连续同态 f 都有形式 x → ax，其中 a ∈ R；如果a ≠ 0的话，就是R的自同构。 ↩ 1 0BV8
推论设G是群同构于R。对于每个a ∈ G，R中恰好有一个连续的同态fₐ进入G，使得fₐ(1) = a，而这个同态是R的同构到G，如果a不是 G 的零元素。 ↩ 1 0BV9
命题 6 令I为R的一个区间，其中包含o和至少一个其他点；让f是I的连续映射到拓扑群G（乘法写），使得f(x+y) = f(x)f(y)对于点(x, y)的每个对使得x ∈ I, y ∈ I和x + y ∈ I。然后存在R到G的唯一连续同态，其中扩展f.。 ↩ 3 0BVA
推论设 f 是 R 的局部同构，具有拓扑群 G。那么，R 的唯一严格态射到 G 的开放子群，其中重合与 f 的某些邻域的点 0. ↩ 1 0BVB
命题 7 每个与 R 局部同构的连通群 G 也与 R 或 T 同构。 ↩ 1 0BVC

§ 2. 幅度测量

命题 1 令 E 为线性有序集合且最小的元素 ω；令 I 为 E 的子集，使得 ω ε I 且关系 x ε I，y ≤ x 意味着 y ε I；设 (x, y) → xy 为 E 上合成的律，定义为 x ∈ I 和 y I。那么，如果满足公理(GRI)、(GR{II})、(GR{III})和(GR{IV})，则存在I的严格递增的映射f到集合R+ 实数 ≥ 0，使得 ↩ 3 0BVG
注 1 关系 x ∈ I, y ∈ I, xy ∈ I, yx ∈ I 表示 f(xy) = f(x) + f(y) = f(yx), 因此 yx = xy 因为 f 是严格递增的；在其他字中，律由E的合成的律在适当选择的间隔[0, b]上（例如，使得b² ≤ a）是可交换的。 0BVH
注 2 I的每个映射g进入R₊，满足与f相同的条件，是形式x → λ f(x)，其中λ > 0。因为如果 λ = g(a) > 0, 关系 zᵖ ≤ x ≤ zᵖ⁺¹, z^q ≤ a ≤ z^q+1 意味着假设, pg(z) ≤ g(x) ≤ (p+1)g(z), qg(z) ≤ g(a) ≤ (q+1)g(z), 从而 λ ((x : z))/((q : z)… 0BVI
命题 2 如果E 满足公理 (GRI), (GR{II}), (GR{IIIa}) 和 (GR{IVa}) 的线性有序集合 E 和子集 I，则存在将I的严格递增的映射f转移到R区间，以0作为其左端点，使得每当x, y和xy属于时f(ω) = 0和f(xy) = f(x) + f(y)到I. ↩ 2 0BVJ
注当I = E、像f(I) = f(E)是R₊的整体时，如果b > ω，那么bⁿ是对所有n定义的，因此n · f(b)属于到f(E)对于所有n；这意味着f(E)不受上面的限制，因为f(b) > 0。 0BVK

§ 3. 群 $\mathbf{R}$ 和 $\mathbf{T}$ 的拓扑刻画

定理 1 拓扑群 G 其中存在单位元素的邻域同胚于 R 局部同构于 R。 ↩ 1 0BVN
定理 2 连接群 G 其中存在单位元素的邻域同构于 R的开区间同构于 R 或 T。 ↩ 3 0BVO
注 1 要判断满足定理 2 的条件的群G是否同构于T或R，只需看G是否是紧的即可。 0BVP
注 2 定理 2 特别表明，每个与群R同构的的拓扑群必然与R同构的。 0BVQ
注 3 前面的群R和T的拓扑刻画涉及拓扑空间R作为辅助集合。可以通过不涉及任何辅助集合的公理来表征R和T的拓扑群结构（参见习题4和5）。 0BVR

§ 4. 指数和对数

定理 1 乘法群 R₊^* of 实数 > 0 是群同构于加法群 R of 实数。 ↩ 1 0BW0

VI. 实数空间和射影空间

§ 1. REAL NUMBER SPACE $\mathbf{R}^n$

定义 1 n 空间的拓扑乘积与实直线相同，称为n 维数的实数空间，记为Rⁿ。 0BW3
注空间 R⁰ 由单个点组成。 0BW4
定义 2 Rⁿ的任何子集是R的n个开（或闭）区间的乘积，称为Rⁿ中的开（或闭）盒子。 [对于 n = 2，它被称为开放（或闭合）矩形。] 0BW5
命题 1 Rⁿ 的子集 A 是相对紧的当且仅当它是有界的。 0BW6
推论空间 Rⁿ 是局部紧致的，但如果 n ≥ 1 则不是紧致的。 0BW7
命题 2 Rⁿ中的每个p维线性仿射簇都是Rⁿ的闭子集，与Rᵖ同胚。 ↩ 1 0BW8
命题 3 令 f(x) = f(x₁, x₂, …, xₙ) 为具有实数系数的多项式，与在 Rⁿ 上定义的零不同。那么集合 overlinef(0) 的补集在 Rⁿ 中是稠密的。 ↩ 1 0BW9
推论维数 p < n 的仿射线性簇的补集在 Rⁿ 中是稠密的。 ↩ 1 0BWA
命题 4 在 Rⁿ (n ≥ 1) 中，每个超平面的补集都有两个连通分量。 0BWB
命题 5 令E, F, G是有限维向量空间除域R的三倍。那么 E × F 到 G 的每个双线性映射 () f 都是连续的。 0BWC
命题 6 在环Mₙ(R)中，非奇异矩阵的群GLₙ(R)是稠密开子集，在此集合上归纳出拓扑与其群结构兼容。 ↩ 2 0BWD

§ 2. 欧氏距离；球体和球体

定义 1 给定点 x₀ ∈ Rⁿ 和实数 r > 0，n 维数的开（或闭）欧氏球，其中心 x₀ 和半径 r 为集合所有点x ∈ Rⁿ使得d(x₀, x) < r[分别。 d(x₀, x) ≤ r]； n - 1 维数的欧氏球体，其中中心 x₀，半径为 r，是所有 x ∈ Rⁿ 的集合，使得 d(x₀, x) = r。 0BWR
命题 1 Rⁿ 的每个开（或闭）球都是开（或紧）集合。开球的闭合是具有相同中心和相同半径的闭球；闭球的内部是具有相同中心和相同半径的开球。 0BWS
推出每个欧氏球体的紧集是具有相同中心和相同半径的开球和闭球的边界。 0BWT
命题 2 每个n维开球都同胚于Rⁿ。 ↩ 1 0BWU
命题 3 空间Rₙ^*同胚于Sₙ₋₁的乘积和实数> 0的空间R₊^*。 ↩ 4 0BWV
推论 1 球体 Sₙ₋₁ 与 Rₙ^* 与等价关系的商同胚，其中类是原点 o 的开射线。 0BWW
推论 2 空间 Rₙ^* 同构于 R × Sₙ₋₁。 0BWX
注这些命题并不是欧氏球所特有的，而是可以扩展到Rⁿ中o的紧凑型邻域的整个类别（参见习题12）。 0BWY
命题 4 如果 n > 1、欧氏球体 Sₙ₋₁ 同胚于空间 Rⁿ⁻¹，通过邻接“无穷远处的点”而变得紧致（章 I, § 9, no. 8、定理 4）。 ↩ 4 0BWZ
推论 1 球体Sₙ同胚于通过识别球体Sₙ₋₁的所有点而获得的球Bₙ的商空间。 0BX0
推论 2 圆S₁同胚于环面T。 ↩ 1 0BX1
命题 5 如果n > 1、欧氏球体Sₙ₋₁是连通且局部连通的，并且它的每一个点都有一个与Rⁿ⁻¹同胚的开邻域。 ↩ 2 0BX2

§ 3. 真实投影空间

引理 1 如果A中相对于R_A饱和的每个开（或闭）集合是E中相对于R饱和的开（或闭）集合在A上的迹，则商空间 A/R_A 同态于 E/R 的子空间 f(A)。特别是如果 A 在 E 中开或闭并且相对于 R 饱和。 ↩ 4 0BXG
引理 2 如果有一个连续的映射 g of E 到 A 使得，对于所有 x ∈ E，g(x) 属于到等价类 of x，那么商空间 A/RA 同胚于 E/R。 ↩ 4 0BXH
定义 1 射影空间 Pn(R) 赋予 R{n+1}^ 的拓扑商拓扑通过等价关系 Δn(R) 称为 n 维数的实射影空间。 0BXI
命题 1 射影空间 Pₙ 是豪斯多夫。 ↩ 1 0BXJ
命题 2 射影空间 Pₙ 是紧致连通的，并且同胚于球体 Sₙ 与等价关系在球面上由 Δₙ 引出的商。 ↩ 2 0BXK
命题 3 如果n ≥ 0，射影空间Pₙ同胚于球Bₙ的商空间，通过识别Sₙ₋₁的每个点与其相反的点而获得。 ↩ 1 0BXL
命题 4 射影空间 Pₙ 中的 p 维数的每个射影线性簇在 Pₙ 中闭集并且同胚于 Pₚ；如果 p < n 其补集在 Pₙ 中是稠密的。 0BXM
命题 5 在射影空间 Pₙ (n ≥ 0) 中，射影超平面 H 同态于 Rⁿ。 ↩ 2 0BXN
推论 Pₙ 的每个点都有一个开邻域同构于 Rⁿ。 0BXO
定义 2 空间P_n,\ p，即拓扑空间L_n+1,\ p+1除以等价关系Δ_n,\ p的商，在实射影中称为p ≥ 0维数的射影线性簇的空间空间Pₙ. ↩ 1 0BXP
命题 6 空间 P_n,\ p 是豪斯多夫。 ↩ 2 0BXQ
命题 7 空间P_n,p紧凑。 ↩ 1 0BXR
命题 8 P_n,p 是连通且局部连通的，并且每个点都有一个开邻域同构于 R^(p+1)(n-p)。 ↩ 2 0BXS
命题 9 格拉斯曼 G_n,p 同胚于空间 P_n,p。 ↩ 2 0BXT

VII. 加法群$\mathbf{R}^n$

§ 1. 子群和商群 $\mathbf{R}^n$

命题 1 令G为秩p的Rⁿ的离散子群，令(aᵢ)_1 ≤ i ≤ p为G的p点的自由系统，令P为闭集具有中心 o 和基向量 aᵢ (章 VI, § 1, no. 3) 的平行曲面。那么集合G ∩ P是有限的，生成G，G的每个点都是有理数系数的aᵢ的线性组合。 ↩ 3 0BY4
推论设(aᵢ)_1 ≤ i ≤ p是p点的免费系统和Rⁿ，并让 b = ∑ᵢ₌₁ᵖ tᵢ aᵢ 为 aᵢ 的线性组合，具有实数系数。那么由 p + 1 点 a₁, a₂, …, aₚ 和 b 生成的 Rⁿ 的子群 G 是离散的当且仅当数 tᵢ 是有理数。 0BY5
命题 2（克罗内克） 设θ₁, θ₂, …, θₙ为n实数。在阶中，对于每个ε > 0，都存在整数q和n整数 pᵢ (1 ≤ i ≤ n) 这样 |qθᵢ - pᵢ| ≤ ε (1 ≤ i ≤ n), 如果这些不等式中至少有一个的左边不消失，则 θᵢ 中至少有一个是无理数是必要且充分的。 ↩ 1 0BY6
定理 1 Rⁿ、秩等于p的每个离散子群G，均由p点的自由系统生成。 ↩ 4 0BY7
命题 3 Rⁿ 包含的每个非离散闭子群都有一条线经过穿过 o。 ↩ 1 0BY8
定理 2 设 G 为 Rⁿ、秩 r (0 ≤ r ≤ n) 的闭子群。那么G中包含最大的向量子空间 V；对于每个与 V 互补的向量子空间 W，W ∩ G 是离散的，G 是 V 和 W ∩ G 的直和。 ↩ 5 0BY9
推论 1 Rⁿ 存在基 (aᵢ)_1 ≤ i ≤ n，使得 aᵢ ∈ G (1 ≤ i ≤ r), aᵢ ∈ V (1 ≤ i ≤ p) 使得G是点∑ᵢ₌₁ᵖ tᵢ aᵢ + ∑_j=p+1ʳ nⱼ aⱼ的集合，其中tᵢ取所有实值，nⱼ取所有整数值。 ↩ 2 0BYA
推论 2 存在Rⁿ的自同构，其中映射G到群G'，与Rᵖ × Zʳ⁻ᵖ同构的，它是由e₁, e₂, …, eₚ和（离散）加法生成的向量子空间的直和子群由eₚ₊₁, eₚ₊₂, …, eᵣ 生成。 0BYB
命题 4 与Rⁿ的子群G关联的子群G^*已关闭，我们有(overlineG)^* = G^*。 0BYC
命题 5 对于每个闭合的子群 G of Rⁿ， r(G^*) = n - d(G) and d(G^*) = n - r(G). 让我们将相同的推理应用到G^*。注意到基对偶(a'ᵢ) 是(aᵢ)，我们看到： ↩ 1 0BYD
命题 6 对于每个子群 G of Rⁿ，我们有 (G^*)^* = overlineG。 ↩ 2 0BYE
推论点 x 位于子群 G of Rⁿ 当且仅当 (u|x) 对于所有都为整数 u ∈ Rⁿ 使得 (u|y) 对于所有都为整数 y ∈ G。 0BYF
命题 7（克罗内克） 设 aᵢ = (aᵢⱼ) (1 ≤ i ≤ m,\ 1 ≤ j ≤ n) 为 m 点为 Rⁿ 并令 b = (bⱼ) (1 ≤ j ≤ n) 为点为 Rⁿ。在阶中，对于每个 ε > 0，存在 m 整数 gᵢ (1 ≤ i ≤ m) 和 n 整数 pⱼ (1 ≤ j ≤ n) 这样 |q₁ a₁ⱼ + q₂ a₂ⱼ + ⋯ + qₘ aₘⱼ - pⱼ - b… 0BYG
推论 1 在阶中，对于每个x = (xⱼ)(1 ≤ j ≤ n)和每个ε > 0，存在m整数qᵢ(1 ≤ i ≤ m)和n整数 pⱼ (1 ≤ j ≤ n) 这样 ↩ 1 0BYH
推论 2 令θ₁, θ₂, …, θₙ为n实数。在阶中，给定任何n实数x₁, x₂, …, xₙ和实数ε > 0，应该存在整数q和n整数pⱼ这样 ↩ 3 0BYI
命题 8 如果G₁, G₂是Rⁿ的任何闭子群，我们有 0BYJ
注设G₁, G₂是Rⁿ(no. 1)中的两个格子，使得G₂ ⊂ G₁：则(命题5)G₁^*和G₂^*是Rⁿ中的格子，使得G₁^* ⊂ G₂^*。我们在no. 1中看到，存在整数m > 0使得m G₁ ⊂ G₂； 0BYK
命题 9 Rⁿ 的每个 Hausdorff 商群都同构于乘积群 Rʰ × Tᵏ (0 ≤ h + k ≤ n)。 ↩ 1 0BYL
命题 10 拓扑群 Tⁿ 局部同构于 Rⁿ。 0BYM
推论 T 的每个闭子群，除了 T 本身，都是有限循环群。 T 的每个 Hausdorff 商群，除了 0，同构于 T。 0BYN

§ 2. $\mathbf{R}^n$ 的连续同态及其商群

命题 1 每个连续同态 f 的加法群 Rᵐ 到加法群 Rⁿ 是线性映射的 Rᵐ 到 Rⁿ。 ↩ 1 0BZ3
命题 2 设 A 是 Rⁿ 其中包含 o的平行光；并让 f 成为 A 的连续映射转换为拓扑群 G （乘法书写）使得 f(x + y) = f(x)f(y) 对于点 x, y的每个对这样x ∈ A,\ y ∈ A和x + y ∈ A。则存在 Rⁿ 到 G 其中扩展 f的唯一连续同态。 ↩ 3 0BZ4
推论 1 令V为Rⁿ中o的邻域，并令f为V的连续映射，形成拓扑群G，使得 ↩ 1 0BZ5
推论 2 令f是Rⁿ的局部同构，具有拓扑群G。 Then there exists a unique strict morphism of Rⁿ onto an open subgroup of G which agrees with f at all the points of some neighbourhood of o. ↩ 1 0BZ6
定理 1 每个与 Rⁿ 局部同构的连通的群 G 也同构于群 Rᵖ × Tⁿ⁻ᵖ (0 leqslant p leqslant n)。 ↩ 1 0BZ7
命题 3 Rᵐ到Tⁿ的每个连续同态都是形式x → φ(u(x))，其中φ是Rⁿ到Tⁿ的典范同态（用Rⁿ/Zⁿ标识），u是将 Rᵐ 的线性映射转换为 Rⁿ。 ↩ 2 0BZ8
注更一般地，相同的论点表明，如果 φ 是 Rⁿ 到群 G 的严格态射，其限制到 o 的合适邻域是 Rⁿ 与 G 的局部同构，则每个连续Rⁿ到G的同态等于形式x ↦ φ(u(x))，其中u是Rᵐ到Rⁿ的线性映射。 0BZ9
命题 4 如果φ是R的典范同态到T，R到T的每个连续同态都是形式x ↦ φ(ax)，其中a ∈ R；如果 a ≠ 0，则严格将 R 态射放到 T。 ↩ 1 0BZA
命题 5 拓扑群Tⁿ到其中一个子群的每个同构都是Tⁿ的自同构，这是通过经过与Rⁿ的线性映射u对自身的商获得的，仅限于Zⁿ，是 Zⁿ 的自同构。 ↩ 3 0BZB
命题 6 拓扑群 T 中只有同构到其子群之一上是恒等映射和对称性 x → -x。 ↩ 3 0BZC

§ 3. 无限和群 $\mathbf{R}^n$

命题 1 family (xᵢ)_i ∈ I of 点 xᵢ = (x_i,k)_1 ≤ k ≤ n of Rⁿ 可求和当且仅当每个 n families (x_i,k)_i ∈ I of 实数可在 R 中求和。 ↩ 2 0BZK
定理 1 Rⁿ 的点的 (xᵢ)_i ∈ I 可求和当且仅当 xᵢ 的欧氏范数的 (||xᵢ||) 可在 R 中求和。 ↩ 2 0BZL
命题 2 如果 (xᵢ)_i ∈ I 是 Rⁿ 中点的任意有限族，则 ↩ 3 0BZM
推论族 (xᵢ) 的点的 Rⁿ 可求和当且仅当族的有限部分和的集合有界于 Rⁿ。 0BZN
命题 3 Let (x_λ)_λ ∈ L be a summable family of points of Rᵐ, (y_μ)_μ ∈ M a summable family of points of Rⁿ, and let f be a bilinear mapping of Rᵐ × Rⁿ into Rᵖ. 然后家庭 (f(x_λ, y_μ))_(λ, μ) ∈… 0BZO
推论 1 如果 (a_λ)_λ ∈ L 是实数的可求和族，并且如果 (x_μ)_μ ∈ M 是 Rⁿ的点的可求和族，那么该族 (a_λ x_μ)_(λ, μ) ∈ L × M 是可求和的，我们有 0BZP
推论 2 如果 (x_λ)_λ ∈ L 和 (y_μ)_μ ∈ M 是 Rⁿ的点的两个可求和族，则族 (x_λ | y_μ) (cf. 章 VI, § 2, no. 2) 可求和于 R，我们有 0BZQ
定义 1 Rⁿ 的点级数如果其项的欧氏范数级数收敛，则称其绝对收敛。 0BZR
命题 4 点的 Rⁿ 级数交换收敛当且仅当绝对收敛。 0BZS

VIII. 复数

§ 1. 复数，四元数

定义 1 域 R[X]/(X² + 1) 称为复数的域，记为C。 X 中 C 的典范像表示为 i，因此 C 由域 R 通过根 i 的代数伴随获得多项式 X² + 1。 C 的元素称为复数。 ↩ 1 0BZV
定理 1 （达朗贝尔-高斯）。域 C 复数是代数闭。 ↩ 2 0BZW
注 1 利用域C的拓扑性质，可以在不援引有序域理论的情况下证明定理1，其定义如下（no. 2）；请参阅§ 2、习题 2 以及级数的部分，专门用于代数拓扑，其中达朗贝尔-高斯的定理将显示为映射的次数结果的推论。 0BZX
注 2 由于 C 的次数 2 大于 R，因此C 是同构以内的 R 除了 R 本身以外的唯一代数扩张，并且 C 中不包含域，其中包含 R，R 和 C 除外。 0BZY
命题 1 拓扑群C^*同构于拓扑群R^*和U的乘积。 ↩ 3 0BZZ
命题 2 The multiplicative group H^* of non-zero quaternions is a topological group isomorphic to the product of its subgroups R₊^* and S₃. 0C00
注 1 利用关系|x + y| = |x| + |y|和|xy| = |x|·|y|，可以直接证明，就像no. 2中复数的域一样，R⁴的拓扑与H的环结构相容（cf.）章IX, § 3, no. 2）。 0C01
注 2 经证明，球体S₁和Sₙ可以携带与其拓扑兼容的群结构。稍后我们将看到，对于除了1和3之外的每个整数n，Sₙ上不存在与Sₙ的拓扑兼容的群结构。 0C02
注 3 群 S₂ 中的每个点都有邻域同构于 R³ (章 VI, § 2, no. 4, 命题 5)，但 S₄ 不局部同构于 R³；因为如果是的话，它会是阿贝尔的，因为它是连接的（章VII, § 2, no. 2，定理1），但事实并非如此，因为i和j属于到S₃和ij ≠ ji（cf.）章V, § 3）。 0C03

§ 2. 角度测量，三角测量函数

定理 1 绝对值 1 的复数的乘法拓扑群 U 同构于实数 mod 1 的加法拓扑群 T。 ↩ 2 0C09
推论非零复数的乘法群 C^* 同构于群 R × T (cf. § 1, no. 3, 命题 1)。 0C0A
注群 C^*和R × T的同构意味着域C中每个“二项式方程”zⁿ = a都存在根。利用这个事实和C的局部兼容性，我们可以获得达朗贝尔高斯的定理的另一个证明（习题2）。 0C0B
注映射x + iy → eˣe(y)是加法群C到乘法群C^*的严格态射，其限制到合适的邻域0是C的局部同构，其中C^*。因而，(章VII, § 2, no. 3)C到C^*的每个严格态射都是形式x + iy → e^α x + β ye(γ x + δ y)，其中α, β, γ, δ是任何实数使得α δ - β γ ≠ 0。稍后我们将看到，只有其中一个同态，用… 0C0C
注我们可以将 C^* 的定义同态乘以映射到 𝔄₀，每个复数 z ≠ 0 到叉积，即通过 o 和 z 的直线与实轴的关系。显然，这个同态是φ的合成和C^*的同态z → Am (z)到𝔄；因此，它是拓扑群C^*到拓扑群𝔄₀的严格态射，并且相关联的双射同态是商群C^*/R^*的同构 𝔄₀。 0C0D

§ 3. 复数的无限和和乘积

命题 1 如果 (u_λ)_λ ∈ L 和 (v_μ)_μ ∈ M 是复数的两个可求和族，则族 (u_λ v_μ)_(λ, μ) ∈ L × M 可求和，我们有 0C0I
命题 2 复数 zᵢ = rᵢ (cos θᵢ + i sin θᵢ) 的族 (zᵢ) 可乘当且仅当 zᵢ 的绝对值的族 (rᵢ) 可乘于 R₊^* 且 zᵢ 的振幅族 (θᵢ) 是可按群角度 𝔄 求和。 0C0J
定理 1 族 (1 + uᵢ)_i ∈ I 可乘于 C^* 当且仅当族 (|uᵢ|) 可求和于 R。 ↩ 1 0C0K
引理 1 对于每个有限子集 J of I，令 φ(J) = sup_L ⊂ J (p_L - 1)。然后对于每个子集 L of J 我们有 0C0L
引理 2 如果J是I的有限子集使得φ(J) < 1/4，那么 0C0M
定义 1 复数的无限乘积，与一般因子 1 + uₙ，如果乘积与一般因子 1 + |uₙ| 收敛（或等价地，如果级数与一般项，则称其绝对收敛） |uₙ| 收敛）。 0C0N
命题 3 复数的无穷大乘积可交换收敛当且仅当它绝对收敛。 ↩ 1 0C0O
注 1 乘积与一般因子|1 + uₙ|可以收敛，并且确实在Rᵢ^*绝对收敛，而乘积不与一般因子1 + |uₙ|收敛（见习题4）；当然，如果所有uₙ都是真实的并且从某个指标开始> 0，就会发生这种不能。 0C0P
注 2 正如已经针对因子> 0的乘积所述，级数与一般项uₙ的收敛对于乘积与一般因子1 + uₙ的收敛既不是必要的也不是充分的。 0C0Q

§ 4. 复数空间和投影空间

定义 1 射影空间 Pₙ(C)，赋予拓扑，即 Cₙ₊₁^* 与等价关系 Δₙ(C) 的商，称为复射影空间于 n 维数。 0C0W
定义 2 拓扑空间 L_n+1,\ p+1(C) 与等价关系 Δ_n,p(C) 的商空间 P_n,p(C) 在射影空间中被称为 p geqslant 0 维数的射影线性簇的空间 Pₙ(C)。 ↩ 1 0C0X
注大多数属性公共的到实数和复数空间（或射影空间）也适用于数空间（或射影空间），以与四元数 H 的除法环相同的方式定义；事实上，它们能够对许多其他拓扑域进行扩张和环除法（cf.习题2和6）。 0C0Y

IX. 实数的一般用途拓扑

§ 1. 伪测量学家族的均匀性的产生；统一空间

例 1 在实数空间 Rⁿ，欧氏距离 (章 VI, § 2, no. 1) 是伪测量。 0C17
例 2 如果X是任何集合，则对于所有x ∈ X, f(x, y) = +∞，X × X上的条件f(x, x) = 0定义函数 f，如果x ≠ y是X上的伪度量。 ↩ 1 0C18
例 3 如果 X 是任意集合并且 g 是在 X 上定义的任意有限实值函数，则由 f(x, y) = |g(x) - g(y)| 在 X × X 上定义的函数 f 是 X 上的伪度量。 ↩ 1 0C19
例 4 \ 令X为R区间[0, 1]的所有连续映射到R的集合。如果对于元素 x, y X 中的每个对，我们将 f(x, y) = ∫₀¹ |x(t) - y(t)| dt, 那么 f 是 X 上的伪度量。 \ 0C1A
定义 2 给定集合 X 上的伪度量 f，f 定义的均匀性是 X 上的均匀性，它以集合 overlinef⁻¹([0, a]) 的随行族为基础系统，其中 a 贯穿所有的集合实数> 0。 ↩ 2 0C1B
注 1 如果(aₙ)是数> 0中的任意序列且趋于0，则U_aₙ形式是由f定义的均匀性的基本系统。 0C1C
注 2 The definition of a uniformity by a pseudometric f consists in taking as a fundamental system of entourages the inverse image under f of the neighbourhood filter of 0 in the subspa… 0C1D
定义 3 如果(fᵢ)_i ∈ I是集合X上的伪度量族，则伪度量fᵢ在X上定义的均匀性中集合中最小的上界称为由(fᵢ)族定义的均匀性。 0C1E
命题 1 设X为豪斯多夫均匀空间，其均匀性U由一系列有限伪度量(fᵢ)定义，并让hatX为X的完成。那么函数fᵢ可以通过连续性扩展到hatX × hatX；扩展的函数barfᵢ是hatX × hatX上的有限伪度量，(fᵢ)定义族是hatX的均匀性。 ↩ 2 0C1F
定理 1 给定集合 X 上的均匀性 U，X 上存在一系列伪度量，使得该族定义的均匀性与 U 相同。 ↩ 2 0C1G
命题 2 如果X上的均匀性U具有可数的随行基数系统，则X上存在伪度量f，使得U与f定义的均匀性相同。 ↩ 2 0C1H
注 X上的均匀性U由X上所有伪度量的族Φ定义，这些伪度量在X × X上一致连续。显然，Φ族定义的均匀性比U更粗糙；相反，定理 1 表明存在Φ 的子族，其定义均匀度U，因此Φ 定义的均匀度比U 更细。 0C1I
定理 2 拓扑空间 X 可统一当且仅当它满足以下公理： ↩ 4 0C1J
定义 4 如果拓扑空间是可均匀化且 Hausdorff 的，则称它是完全正则的。 0C1K
注公理 (O{IV}) 意味着 (O{III}) (cf. 章 I, § 8, no. 4)，因为如果 V 是 x0 的邻域，并且如果 f 是 X 上的连续实值函数，且值在[0, 1]中，使得对于所有x \in \overline{V}，f(x0) = 0, f(x) = 1，则集合 \overline{f}([0, 1/2]) 是V中包含的x0的闭邻域。特别… 0C1L
命题 3 拓扑空间X是完全正则的当且仅当它与紧致空间的子空间同胚。 ↩ 1 0C1M
命题 4 如果拓扑空间X是完全正则的，则它与立方体的子空间同胚。 ↩ 1 0C1N
命题 5 在阶中，拓扑空间X上的每个下半连续实值函数f（有限或非有限）应该是X（有限或非有限）上的连续实值函数的上包络，其中≤ f，这是充分必要的X 可统一。 ↩ 1 0C1O
注在上面的证明中，我们看到函数g并不需要值+1。通过传递结构，可得出可均匀化空间X上的每个下半连续实值函数f是X上连续实值函数g ≤ f的上包络不采用值 +∞。 0C1P

§ 2. 公制空间和可计量空间

定义 1 集合 X 是一个有限伪度量 d 在 X 使得关系 d(x, y) = 0 暗示 x = y。度量空间是集合 X 赋予由给定度量定义的结构 X。 ↩ 1 0C2C
例 1 欧氏距离d(x, y) (章 VI, § 2, no. 1) 是实n维数空间 Rⁿ的度量；函数也是如此 0C2D
例 2 在任何集合X上，伪度量d（由关系d(x, x) = 0和d(x, y) = 1（如果x ≠ y）定义）是一个度量。定义在 X 上的均匀度是离散均匀度。 0C2E
命题 1 令X为空间的度量，并令d为其度量。如果hatX是X的完备性（相对于d定义的均匀性），函数d可以通过连续性扩展到hatX × hatX；扩展的函数overlined是hatX的度量，hatX重合与度量overlined定义的一致性。 ↩ 3 0C2F
注如果d(x, A) = a，则可能不存在到x的距离等于a的A的点。然而，如果 A 是紧的，这种情况就永远不会出现，因为此时 Weierstrass 的定理 (章 IV, § 6, no. 1, 定理 1) 显示存在y ∈ A使得d(x, A) = d(x, y)。 0C2G
命题 2 叙述 d(x, A) = 0 和 x ∈ overlineA 等价。 ↩ 2 0C2H
命题 3 函数 d(x, A) 在 X 上均匀连续。 ↩ 3 0C2I
注我们可以用 X 的两个子集 A, B 得到 d(A, B) = 0，从而得到 overlineA ∩ overlineB = ∅，前提是子集都不由单个点组成。例、实直线R、整数> 0集合和序列(n + 1/2ⁿ)_n ≥ 1点集合两个不相交的关闭集合，其距离部分为零。 0C2J
命题 4 任意函数f的振荡ω(x; f)，定义在拓扑空间Y的子集X上，并以度量空间X'取其值，是上半连续的overlineX. 0C2K
命题 5 令f为函数，定义在拓扑空间Y的子集X上，将其值作为完整度量空间X'。那么f在点x ∈ overlineX相对于X有极限当且仅当f在x的振荡是零。 0C2L
定义 2 如果度量重合和 U 定义的均匀性，则集合 X 上的度量据说与 X 上的均匀性 U 相容的。如果 X 上存在与该均匀性兼容的度量，则称集合 X 上的均匀性是可度量的。如果均匀性空间的均匀性是可度量的，则称其是可度量的。 0C2M
定理 1 均匀性是可度量的当且仅当它是豪斯多夫并且均匀性的随从过滤器具有可数的基。 ↩ 8 0C2N
推论 1 由可数伪测量族定义的豪斯多夫均匀性是可度量的。 0C2O
推论 2 可计量制服空间的每个可数乘积都是可计量的。 ↩ 5 0C2P
定义 3 如果拓扑由该度量重合和 T 定义，则集合 X 上的度量据说与 X 上的拓扑 T 相容的。如果 X 上存在与 X 的拓扑兼容的度量，则称拓扑空间是可度量的。 0C2Q
命题 6 可度量空间的每个点都有一个可数基数系统邻域。 ↩ 1 0C2R
命题 7 在可度量空间中，每个闭集合都是可数开集合族的交，每个开集合都是可数闭集合族的并。 ↩ 2 0C2S
注 1 这些必要的条件是不够的（cf.习题13）。 0C2T
注 2 存在空间，其中每个点都有邻域的可数基本系统，但其中存在闭集合，其不可数开集合的交（习题15）；这样的空间是不可度量的。 0C2U
命题 8 在可度量的空间 X 中，点 x 位于非空子集 A of X 当且仅当存在序列 of 点 of A 其中收敛于x。 ↩ 1 0C2V
命题 9 度量空间 X 当且仅当 X 中的每个柯西序列收敛时才是完备的。 ↩ 3 0C2W
命题 10 让 X 成为可度量的空间，并让 f 成为 X 的映射成为拓扑空间 X'。那么 f 在点 x ∈ X 当且仅当 (xₙ) 是 X 的点的序列，收敛到 x，序列 (f(xₙ)) 收敛到 f(x) 在 X'。 ↩ 1 0C2X
命题 11 令X为可度量的空间，并令f为X上的下半连续函数，其值位于overlineR的闭区间[a, b]中。那么f是X上连续函数的递增序列的上包络线，在[a, b]中取值。 ↩ 1 0C2Y
定义 4 如果拓扑具有可数基，则可度量的空间被称为可数型（或可分离）。 0C2Z
命题 12 如果X是可度量拓扑空间，则以下叙述等价： ↩ 3 0C30
命题 13 设X为拓扑空间，其中有可数基(Uₙ)；那么对于X的每个开覆盖(Vᵢ)_i ∈ I，都存在I的可数子集 J，使得(Vᵢ)_i ∈ J是X的覆盖。 0C31
命题 14 度量空间 X 是预紧的，当且仅当对于每个 ε > 0，直径为 ≤ ε 的集合有限覆盖 X。 ↩ 2 0C32
命题 15 可度量拓扑空间X是紧的当且仅当X的点的每个无限序列在X中都有一个簇点。 ↩ 2 0C33
推论可度量拓扑空间X的子集A是相对紧凑的当且仅当A的点的每个无限序列在X中都有一个簇点。 0C34
命题 16 紧凑空间 X 是可度量的当且仅当其拓扑具有可数基。 ↩ 4 0C35
推论令X为局部紧致空间，并令X'为通过在无穷大ω至X处邻接点而获得的紧致空间（章I, § 9, no. 8）。那么下面的叙述是等价的： ↩ 1 0C36
命题 17 紧致可度量空间的每个豪斯多夫商空间都是紧致且可度量的。 0C37
命题 18 令X为完整度量空间，令R为X上的开等价关系，使得X/R为Hausdorff，并令φ : X → X/R为典范映射。那么如果K是X/R的任何紧致子集，则存在X的紧致子集K'使得φ(K') = K。 0C38

§ 3. 可度量群、有价值域、规范空间和代数

命题 1 当且仅当 G 是 Hausdorff 并且 G 的单位元素 e 具有可数基波系统为邻域时，拓扑群 G 的左右均匀性可度量。 ↩ 1 0C3Y
定义 1 度量 d 在群 G （乘法书写）据说是左不变（或右不变）如果我们有 0C3Z
命题 2 左（或右）可度量群 G的均匀性可以通过左不变量（或右不变量）G上的度量来定义。 0C40
命题 3 令G为阿贝尔的群，相加写成，x → |x|为映射G → R，满足上述条件a)、b)和c)。那么函数d(x, y) = |x - y|是G上的不变度量； G上的定义与G上的群结构兼容，拓扑T，d定义的均匀性与G赋予拓扑得到的拓扑群的均匀性相同T. ↩ 2 0C41
命题 4 如果 G 是可度量的群，则 G 的每个 Hausdorff 商群 G/H 都是可度量的。如果 G 也完整，则 G/H 完整 ()。 ↩ 4 0C42
推论 1 令 G 为完全可度量群，令 G0 为 G 的密集子群，令 H0 为 G0 的闭法线子群。如果 H 是 G 中 H0 的闭包，则商群 G0/H0 与 G/H 具有完全同构。 ↩ 1 0C43
推论 2 令G, G'为两个可度量的阿贝尔的拓扑群；让 u : G → G' 成为严格的态射，其中核 N 和像 P。那么 hatu : hatG → hatG' 是严格的态射，其中包含核 hatN 和像 hatP。 ↩ 1 0C44
推论 3 令G, G', G''为三个可度量的阿贝尔的拓扑群，并让u : G → G'和v : G' → G''为两个严格的态射，使得序列G xrightarrowu G' xrightarrowv G''是精确的[即u(G) = overlinev(0)]。那么序列 hatG xrightarrowhatu hatG' xrightarrowhatv hatG''… 0C45
注 1 令 G 为非 Hausdorff 拓扑群，使得与 G 相关的 Hausdorff 群是可度量的；等价地，使得G的单位元素在G中具有邻域的可数基波系统。命题4的证明无需修改即可应用于这种情况，H是G的任意法线子群，并表明Hausdorff与 G/H 相关的群是可度量的，并且只要 G 是完备的，G/H 就是完备的群（一般不是 Hausdorff）。 0C46
注 2 设 d 为左不变度量，其中群 G 的定义拓扑，并令 H 为 G 的闭法线子群。如果 dotx 和 doty 是 G/H 的任意两个点，请考虑距离两个闭合的d(dotx, doty)在G中子集dotx, doty（§ 2, no. 2）；我们将看到，这个函数是G/H上的左不变度量，而定义拓扑是这个商群。 0C47
定义 2 除法环 K 上的绝对值是 K 到 R₊ 的映射 x → |x|，满足以下条件： ↩ 1 0C48
定义 3 有值除法环是除法环 K 赋予由给定绝对值值在 K 定义的结构。 ↩ 1 0C49
例 1 设K为任意除法环。对于每个x ∈ K，如果x ≠ 0，则放入|x| = 1，并且|0| = 0。映射x → |x|如此定义是K上的绝对值，称为不正确绝对值。当且仅当 |x| 是不正确的绝对值值时，由绝对值值 |x| 在除法环 K 上定义的拓扑才是离散。这个条件显然已经足够了；反之，如果K的拓扑是离散的，则|x|不能取除1以外的值α > 0；因为如果我们有… 0C4A
例 2 实数 (章 IV, § 1, no. 6) 的绝对值值满足公理 (VMI)、(VM{II}) 和 (VM{III})，且拓扑定义在域上R 是拓扑 / 实直线。在复数的域C（用R²标识）[分别。四元数的除法环 H（用 R⁴ 标识）] 欧氏范数又是值和域 C 的绝对除法定义拓扑（分别为除法环H)（章VIII, § 1，第 2 和第 4 号）。 0C4B
例 3 在除法环 K 上，实际估值是在 K^* 上定义的函数 v，R 中的值满足以下条件： a) 如果 x ∈ K^* 和 y ∈ K^*，则v(xy) = v(x) + v(y)； b) 如果在加法x + y ≠ 0，则v(x + y) ≥ inf(v(x), v(y))。如果a是任何实数> 1，那么我们可以通过将|x| = a^-v(x)代替x ≠ 0和|0|… 0C4C
注如果在定值除法环中，x是单位元的根，则|x| = 1，因为xⁿ = 1意味着|x|ⁿ = 1，因此意味着|x| = 1。特别是，有限域上唯一的绝对值是不正确的绝对值，因为这样的域的每个元素≠ 0都是单位元的根。 0C4D
定义 4 除法环 K 上的两个绝对值被认为是等价的，如果它们定义与K 上的拓扑相同。 0C4E
命题 5 除法环 K 上的两个绝对值值 |x|₁, |x|₂，两者都不是不正确的绝对值值，当且仅当关系 |x|₁ < 1 蕴含 |x|₂ < 1 时，它们是等价的。则存在实数 ρ > 0，使得 |x|₂ = |x|₁^ρ 对于所有 x ∈ K。 ↩ 6 0C4F
注命题 5 的证明表明，如果|x|₂定义的拓扑比|x|₁定义的粗，且|x|₁不不当，则|x|₁和|x|₂等价，对于关系 |x|₂ < 1则意味着|x|₂ < 1。因此，K上的两个绝对值定义的拓扑（两者都不是不恰当的）不能具有可比性，但并不完全相同。 ↩ 1 0C4G
命题 6 除法环 K 的完成 hatK 具有绝对值值 |x| 是除法环，并且函数 |x| 可以通过连续性扩展到绝对值值 hatK，其中定义拓扑hatK。 ↩ 1 0C4H
定义 5 如果 E 是非离散值除法环 K 上的（左）向量空间，则 E 上的范数是 E 到 R₊ 的映射 x → p(x)，满足以下公理： 0C4I
命题 7 向量空间 E 上的两个范数 p, q 等价当且仅当存在两个数 a > 0, b > 0 使得 ↩ 3 0C4J
例在空间Rⁿ，三个范数 sqrt∑ᵢ₌₁ⁿ xᵢ², sup_1 ≤ i ≤ n |xᵢ| and ∑ᵢ₌₁ⁿ |xᵢ| 是等价的，因为我们有 (2) sup_1 ≤ i ≤ n |xᵢ| ≤ sqrt∑ᵢ₌₁ⁿ xᵢ² ≤ ∑ᵢ₌₁ⁿ |xᵢ| ≤ n . sup_1 ≤ i ≤ n |xᵢ|. 0C4K
命题 8 令E为非离散值除法环上的赋范空间，令p为E上的范数，并令hatE为加法拓扑群，即加法群的完成E。那么函数(t, x) → tx可以在hatK上通过连续性扩展到hatE向量空间结构上的hatK × hatE和定义；范数p可以通过连续性扩展到hatE上的范数barp，其中hatE的定义拓扑。 ↩ 1 0C4L
命题 9 令E为非离散值除法环K上的规范空间，并令H为E的闭向量子空间。如果，对于每个类dotx ∈ E/H，我们将||dotx|| = inf_x ∈ dotx ||x||、函数||dotx||是范数放在向量空间E/H上，并且由此定义的拓扑是范数的商H 拓扑 E。 ↩ 1 0C4M
命题 10 令(Eᵢ)_1 ≤ i ≤ n为非离散值除法环K上的范数空间的有限族，并令E = ∏ᵢ₌₁ⁿ Eᵢ为乘积向量空间。如果对于每个x = (xᵢ) ∈ E，我们放置||x|| = sup_1 ≤ i ≤ n ||xᵢ||，那么函数||x||是E上的范数，拓扑它在E上的定义是乘积的拓扑结构Eᵢ。 ↩ 2 0C4N
定理 1 让Eᵢ (1 ≤ i ≤ n)和F在非离散值除法环K上标准化空间，并让f是∏ᵢ₌₁ⁿ Eᵢ到F的多线性映射。那么 f 在 ∏ᵢ₌₁ⁿ Eᵢ 上连续当且仅当存在实数 a > 0 这样，对于所有 xᵢ ∈ Eᵢ \ (1 ≤ i ≤ n)，我们有 ↩ 5 0C4O
注先前证明的命题中的两个是定理的推论：凭借关系xr = t · x，双线性函数tr的连续性；和命题7，由E的应用定理1到恒等映射，视为空间E的线性映射，赋予范数p到空间 E 赋予范数 q（反之亦然）。 0C4P
定义 8 在规范的空间 E 中，如果 xᵢ 的范数的族 (||xᵢ||) 在 R 中可求和，则 E 的点的族 (xᵢ) 被认为是绝对可和的。 0C4Q
命题 11 在完全赋范空间 E 中，每个绝对可和族都是可和的。 ↩ 3 0C4R
推论在完全范数空间 E 中，每个绝对收敛级数都是交换收敛。 0C4S
定义 9 如果 A 在非离散值域 K 上为代数，则 A 上的范数 p(x)（A 被视为 K 上的向量空间）被认为与 A 的代数结构兼容，如果拓扑定义与环结构兼容A. 代数在 K 上，赋予由范数定义的结构与代数结构兼容，称为规范代数。 ↩ 2 0C4T
例 1 令K为有值除法环，并令K'为K的中心的子域，使得K的绝对值值|x|在K'上的迹不是不正确的绝对值K'值。那么K，其中|x|为范数，是K'上的规范代数。 0C4U
例 2 令K为非离散值域，并令Mₙ(K)为阶n的方阵与K的环。视为向量空间超过K，Mₙ(K)与K^n²同构的。如果对于每个X = (xᵢⱼ) ∈ Mₙ(K)我们定义|X| = sup_i,j |xᵢⱼ|，那么|X|是Mₙ(K)上的范数，并且由此范数定义的拓扑是K^n²上的乘积拓扑（命题10）；由此可见（由于超过 K 的任何数变量中多项式的连续性）该范数与Mₙ(K)… 0C4V
例 3 集合 X 上所有函数 f 的集合 B(X; K) 以及值位于非离散值域 K，使得 x → |f(x)| 的边界为X，代数超过K；范数|f| = sup_x ∈ X |f(x)|与B(X; K)的环结构兼容，因为我们有|fg| ≤ |f|·|g|（cf.章X, § 1）。 0C4W
命题 12 如果级数其通项为zⁿ收敛于A，则e - z是A的单位，我们有 (e - z)⁻¹ = ∑ₙ₌₀^∞ zⁿ. 相反，如果||z|| < 1且e - z在A中为单位，则一般项为zⁿ的级数是收敛的，并且公式(7)有效。 0C4X
推论设 A 为完全范数代数。然后对于每个z ∈ A，使得||z|| < 1，e - z在A中是单位。 ↩ 2 0C4Y
命题 13 设G是完全赋范代数 A的单位的群，则G是A的开子集； A 的拓扑在 G 上诱导的拓扑与 G 的群结构兼容；而G，被赋予了这个拓扑，是一个完整的群（相对于它的两个均匀性中的每一个）。 ↩ 7 0C4Z
命题 14 在全值除法环中，非零元素的乘法群是全值群。 0C50
注对于非完全规范的代数来说，命题 13 不一定成立。对于例，I = [0, 1]上所有有限连续实值函数的代数C(I; R)中[范数为||x|| = sup_t ∈ I |x(t)|]，t中所有多项式的子代数P （仅限于I）不完整；如果 x(t) 是任何非常数多项式，则当 ε 任意小时，1 + ε x 任意接近 P 的单位元素 1，但 1 + ε x 不是单位… 0C51

§ 4. 正常空间

定义 1 如果拓扑空间X是豪斯多夫且满足以下公理，则称其为正规： 0C5F
定理 1（尤里索恩） 公理(Oᵥ)等价于： ↩ 2 0C5G
命题 1 紧凑空间是正常的。 0C5H
命题 2 可测量空间是正常的。 ↩ 4 0C5I
注 1 命题 2 给出另一个必要条件的可度量性；但是这个条件，即使在合取中，在§ 2中给出了所有必要的条件，也没有为集合提供足够的条件以实现可度量性（cf.习题6和§ 5，习题10）。 0C5J
注 2 正常空间存在例，它们既不可度量，也不可局部紧致（参见§ 5、习题 16）。 0C5K
定理 2（尤里索恩） Axiom (O_V) 等价于以下性质： (O''_V) 给定任何闭子集 A of X 和任何连续实值函数 f （有限或非有限）定义于 A，存在f的扩张 g到整个空间X，这是X到overlineR的连续映射。 ↩ 4 0C5L
引理 1 设u为A到[ -i, +i ]的连续映射；那么X到[ -i/3, +i/3 ]有一个连续的映射v，这样|u(x) - v(x)| ≤ 2/3对于所有x ∈ A。 0C5M
推论如果f是定义在A上的有限连续实值函数，则存在定义在X上的有限连续实值函数g，即扩展f。 0C5N
注如果X是正常的空间并且A是X的闭子集，则A的每个连续映射f也存在一个连续的扩张到X到立方体 K¹（§ 1, no. 5）；因为我们有f = (fᵢ)_i ∈ I, fᵢ是A的连续映射进入R的紧致区间K；由于存在连续的映射gᵢ : X → K，其中扩展fᵢ，映射g = (gᵢ)是f到X的连续扩张。 0C5O
定理 3 令 (Aᵢ)_i ∈ I 为正常空间 X 中闭集合 Y 的局部有限开覆盖。然后有一个 Y 的开覆盖(Bᵢ)_i ∈ I，使得每个 i ∈ I 都有 overlineBᵢ ⊂ Aᵢ。 ↩ 5 0C5P
注注，我们仅使用覆盖(Aᵢ)是点有限的事实，即X属于的每个点到集合Aᵢ的有限数。 0C5Q
定义 2 令X为拓扑空间，并令f为在X上定义的实值函数。 f的支持度用Supp(f)表示，在X中最小的闭集合S，使得f(x) = 0对于所有x ∉ S。 0C5R
定义 3 给定一个拓扑空间 X的族(Aᵢ)_i ∈ I的子集，族(fᵢ)_i ∈ I定义在X上的实值函数据说从属于该族(Aᵢ)_i ∈ I如果我们有 Supp(fᵢ) ⊂ Aᵢ 每个指标 i ∈ I。 0C5S
命题 3 给定任何局部有限开覆盖 (Aᵢ)_i ∈ I 正常的空间 X，存在单位元 (fᵢ)_i ∈ I 在 X上的连续划分，从属于覆盖 (Aᵢ)_i ∈ I。 0C5T
推论给定任何局部有限开覆盖 (Aᵢ) 闭合集合 F 在正常空间 X，存在一个族 (fᵢ) 连续实值函数 ≥ 0 在 X，从属到覆盖物(Aᵢ)_i ∈ I并且使得∑_i ∈ I fᵢ(x) = 1对于所有x ∈ F和∑_i ∈ I fᵢ(x) ≤ 1对于所有x ∈ X。 0C5U
命题 4 每个副紧致空间都是正常的。 ↩ 1 0C5V
引理 2 令 A, B 为仿紧紧凑空间 X 的两个不相交的闭子集。 If for each x ∈ A there is an open neighbourhood Vₓ of x and an open neighbourhood Wₓ of B which do not intersect, then there exists an open neighbourh… 0C5W
推论 1 给定副紧致空间X的任何开放覆盖(Aᵢ)_i ∈ I，x上存在单位元(fᵢ)_i ∈ I的连续划分，从属于覆盖(Aᵢ)。 ↩ 3 0C5X
推论 2 如果 F 是仿紧致空间 X 的闭子集，则 X 包含中 F 的每个邻域都是 F 的闭（因此是仿紧致）邻域。 0C5Y
定理 4 每个可度量的空间都是仿紧的。 ↩ 2 0C5Z
引理 3 令 R = (U_α)_α ∈ A 为可测量的空间 X 的开覆盖。然后存在X的开子集的局部有限族序列(Gₙ)，这样S = ⋃ₙ Sₙ是X的开覆盖，它细化了R。 ↩ 2 0C60
引理 4 令 (𝔖ₙ) 为拓扑空间 X 中开集合局部有限族的序列，这样 𝔖 = ⋃ₙ 𝔖ₙ 覆盖 X。然后存在一个局部有限（但不一定是开放的）覆盖B的X它细化了𝔖。 0C61
引理 5 让 X 成为一个正则空间，使得对于每个开覆盖 R of X，存在一个（不一定是开放的）局部有限覆盖 U of X 精炼 R。然后，对于每个开覆盖 R of X 存在一个局部有限的闭覆盖 𝔉 of X 其细化 R。 ↩ 1 0C62
引理 6 令 X 为 Hausdorff 空间，这样，给定 X 的任何开覆盖 ℜ，都存在 X 的局部有限闭覆盖 F，它细化了 ℜ。那么 X 是仿紧的。 ↩ 2 0C63

§ 5. 巴伊尔空间

定义 1 如果拓扑空间X的子集A闭包没有内部点，则据说它是无处稠密的。 0C6Y
例 1 X 的空子集没有任何地方稠密。在 Hausdorff 空间 X 中，单个点的集合由……组成不是稠密的，当且仅当点在 X 中不是孤立的。稠密的子集永远不会无处稠密 (除非 X = ∅)。 0C6Z
例 2 开放或封闭集合的边界总是不密集的。 0C70
例 3 在空间Rⁿ中，维数p < n的每个线性子空间都是无处稠密集合（章VI, § 1, no. 4，命题2）。 0C71
注任意子集的边界不必是无处稠密的：对于例，如果A和overlineCA都是稠密的集合，则A的边界是整个空间。 0C72
命题 1 The union of a finite number of nowhere dense sets is nowhere dense. 0C73
命题 2 设Y为拓扑空间X的子空间，并令A为Y的子集。如果 A 相对于 Y 不稠密，那么 A 相对于 X 也不稠密。相反，如果 Y 在 X 中开，且 A 相对于 X 不稠密，则 A 相对于 Y 不稠密。 ↩ 1 0C74
定义 2 子集 A 拓扑空间 X 如果它是无处稠密的可数族并，则据说是贫乏的集合。 ↩ 1 0C75
定义 3 拓扑空间 X 如果满足以下两个等价条件中的一个或另一个，则称为贝尔空间： 0C76
命题 3 Baire 空间 X 的每个非空开子空间 Y 都是Baire 空间。 ↩ 1 0C77
命题 4 如果拓扑空间X的每个点都有邻域，即Baire空间，则X是Baire空间。 ↩ 1 0C78
命题 5 在 Baire 空间 X 中，微薄的集合的补码是 Baire 空间。 0C79
定理 1（贝尔） (i) 每个局部紧凑空间X都是Baire空间。 (ii) 每个拓扑空间X存在一个度量，与X的拓扑兼容并且定义在完整的X结构上公制空间，是贝尔空间。 ↩ 4 0C7A
注存在 Baire 空间，而属于既不属于这两个类别，特别是 Baire 空间，它既不可度量，也不局部紧凑 (习题 16)；还有可度量的 Baire 空间，它们没有与其拓扑 (习题 14) 兼容的完整度量空间结构。 0C7B
定理 2 令X为贝尔空间，并让(f_α)为X上的下半连续实值族函数，这样，在X的每个点x，上包络sup_α f_α(x)是有限的。然后，X包含中的每个非空开集合都是一个非空开集合，族(f_α)统一有界于其上。 ↩ 1 0C7C
注如果我们不假设 X 是 Baire 空间，定理可能是假的。对于例，如果对于每个有理数数p/q（p, q互质整数，q > 0）我们放置f(p/q) = q，我们在有理数线Q上有一个下半连续函数f在每个点 (cf. 章 IV, § 6, no. 2) 处都是有限的；但Q中不存在非空开集合，f在其上有界。 0C7D

§ 6. 抛光空间、苏兰空间、波雷尔集合

定义 1 拓扑空间 X 如果它是可数的型 (§ 2, no. 8) 并且如果有一个度量，与 X的拓扑兼容，就其而言 X 是完整的，则称其为波兰式。 0C88
命题 1 a) 波兰语空间的每个闭合子空间都是波兰语。 b) 波兰可数家族的乘积空间是波兰人。 c) 波兰可数家族的和空间是波兰人。 ↩ 6 0C89
命题 2 波兰语空间的每个空位子空间都是波兰语。 0C8A
推论每个局部紧凑、可度量的空间 X 都是波兰语。 0C8B
命题 3 令 X 为 Hausdorff 拓扑空间。那么X波兰语子空间序列(Aₙ)交就是波兰语子空间。 ↩ 2 0C8C
引理 1 令(Aₙ)为豪斯多夫拓扑空间X的子集的序列。那么X的对角线映射f : X → Xᴺ到子空间⋂ₙ Aₙ的限制是⋂ₙ Aₙ同胚到∏ₙ Aₙ的闭子空间。 ↩ 2 0C8D
推论非理性数的集合，由于实直线R而被赋予了拓扑，是波兰语空间。 ↩ 1 0C8E
定理 1 子空间 Y 波兰人空间 X 是波兰人当且仅当 Y 是 X中可数开集合族的交。 ↩ 4 0C8F
推论 1 空间 X 是波兰式当且仅当它同胚于立方体 I^N 中开集合的可数交，其中 I 是间隔 [0, 1] 属于 R。 ↩ 2 0C8G
推论 2 令 X 和 Y 为两个波兰语空间，并令 f : X → Y 为连续的映射。如果 Z 是 Y 的波兰语子空间，则 overlinef⁻¹(Z) 是 X 的波兰语子空间。 0C8H
定义 2 拓扑空间 X 如果可度量并且存在波兰语空间 P 和 P 在 X上的连续映射，则称其为苏斯林空间。子集 A 拓扑空间 X 称为苏斯林集合如果子空间 A 是苏斯林空间。 ↩ 2 0C8I
命题 4 每个 Souslin 空间 X 都是可数的型。 0C8J
命题 5 Souslin 空间 X 的每个关闭（或打开）子空间都是 Souslin。 ↩ 1 0C8K
命题 6 令X为Souslin空间，令Y为Hausdorff空间，令f : X → Y为连续映射。那么Y的苏斯林子空间A在f下的逆像是X的苏斯林子空间。 0C8L
命题 7 苏斯林空间家族的乘积和和是苏斯林空间。 0C8M
命题 8 令X为可度量的空间，并令(Aₙ)为X的苏斯林子空间的序列。那么Aₙ的并和交就是Souslin 空间。 ↩ 2 0C8N
命题 9 令X为可度量的空间，并令A为X的相对紧凑的苏斯林子空间。那么存在 K 的空间 K、子集的紧凑可度量空间 K、递减序列 (Bₙ)，其中每一个都是紧集的可数并，以及连续的映射 f : K → X，使得 A = f(⋂ₙ Bₙ)。 ↩ 1 0C8O
定义 3 令X为集合，令𝔏为X的子集集合。如果满足以下条件，则称𝔏是X上的σ代数： 0C8P
定义 4 在拓扑空间X中，X的所有闭子集的集合生成的σ代数的元素在X中称为Borel集合。 0C8Q
命题 10 令f是拓扑空间X到拓扑空间Y的连续映射。那么Y中的每个Borel集合在f下的逆像是X中的一个Borel集合。 0C8R
命题 11 在 Souslin 空间 X 中，每个 Borel 集合都是 Souslin 集合。 0C8S
推论令 f 为苏斯林空间 X 到可度量空间 Y 的连续映射。如果B是X中的任何Borel集合，则f(B)是Y中的Souslin集合。 0C8T
注 1 即使X和Y是波兰语空间，一般情况下，X中的Borel集合的像在X到Y的连续映射下也不是Borel 集合 in Y（cf. 习题 6；以及 no. 7、定理 3 推论）。 0C8U
注 2 令X为拓扑空间，并令Y为X的Borel子集。那么空间Y的Borel集合正好是Y中包含的X的Borel集合。对于 (i) X 中的 Borel 集合包含在 Y 形式 Y 上的σ-代数，其中包含 Y 中的闭集合，因此包含 Y 的所有 Borel 集合； (ii) X的子集A使得A ∩ Y是Y形式的Borel集合X上的σ代数，其中包含所有闭X 的集合，因此包含 X… 0C8V
定义 5 如果拓扑空间是 Hausdorff 并且每个点都有一个邻域的基本系统（既开又闭），则称它是零维的。 ↩ 1 0C8W
定义 6 拓扑空间 X 是 Lusin 空间，如果它是可度量的并且存在零维波兰语空间 P 和 P 到 X 的连续双射映射。 ↩ 2 0C8X
命题 12 可度量的空间是Lusin空间当且仅当它是连续双射映射下的波兰语空间的像。 ↩ 1 0C8Y
引理 2 如果一个可度量的空间X使得存在由Lusin子空间组成的X的可数划分(Aₙ)，则X是一个Lusin空间。 ↩ 1 0C8Z
定义 7 筛子是序列 C = (Cn, pn){n \geq 0} 这样，对于每个 n，Cn 是可数集合，pn 是 C{n+1} 到 Cn 的满射。 0C90
引理 3 可数型的每个度量空间X都具有筛选。如果 X 也是零维的，则 X 具有严格的筛选。 ↩ 2 0C91
命题 13 如果 X 是任何 Lusin（或 Souslin）空间，则存在筛子 C 和 L(C) 到 X 的连续双射（或满射）。 ↩ 4 0C92
定理 2 令 X 为可度量的空间。如果我们给定X的互不相交的Souslin子空间的序列(Xₙ)，那么X中存在互不相交的Borel集合的序列(Bₙ)，这样每个 n Xₙ ⊂ Bₙ。 ↩ 5 0C93
引理 4 令(Aₙ), (A'ₘ)为拓扑空间X的子集中的两个序列。假设对于每个对(Aₙ, A'ₘ)，都有一个X的Borel集合Bₙₘ，使得Bₙₘ ⊃ Aₙ和Bₙₘ ∩ A'ₘ = ∅。然后存在X的Borel集合B，其包含⋃ₙ Aₙ且不满足⋃ₘ A'ₘ。 ↩ 1 0C94
引理 5 令X为Hausdorff空间，并令A、A'为X的两个不相交的Souslin子空间。然后存在 X 的 Borel 集合 B，使得 B ⊃ A 和 B ∩ A' = ∅。 ↩ 1 0C95
推论如果可度量空间的可数划分由Souslin 集合构成，那么这些集合就是Borel 集合。特别是，可度量空间中的每个 Souslin 集合（其补集是 Souslin 集合）都是 Borel 集合。 0C96
定理 3 令X为Lusin空间。那么 X 的子空间是 Lusin 空间当且仅当它是 Borel 集合。 ↩ 2 0C97
引理 6 在 Lusin 空间 X 中，每个 Borel 集合都是 X 的 Lusin 子空间。 0C98
引理 7 可测量的空间 X 的每个 Lusin 子空间 A 都是 X 中的 Borel 集合。 0C99
推论如果 f 是 Lusin 空间（或者，特别是波兰语空间）X 到可度量空间 Y 的连续内射映射，则 f(X) 是 Y 中的 Borel 集合。 0C9A
定理 4 令X为波兰空间，令R为X上的等价关系，使得等价类 mod R在X中闭合，并且X中每个闭合集合的饱和度（相对于R）是Borel集合。然后，X 中存在一个 Borel 集合，它恰好满足一个点中的每个等价类。 ↩ 2 0C9B
注特别是，闭等价关系 R 满足定理 4 的假设。当 X 是紧致可度量空间时，定理 4 因此适用于任何 Hausdorff 等价关系 R，因为 Hausdorff 等价关系位于紧致上空间已关闭（章I, § 10, no. 4、命题8）。 0C9C
定义 8 令 X 为 Hausdorff 拓扑空间。 X 上的容量为 X 的所有子集的集合 \mathscr{P}(X) 的映射 f 进入扩展实直线 \overline{\mathbf{R}}、满足以下条件： ↩ 1 0C9D
例 \ 令 \mu 为局部紧致空间 X 的正测度；那么相应的外测度 \mu^ 就是 X 上的容量。可以证明，在欧氏空间 \mathbf{R}^n (n \geq 3) 中，“牛顿外容量”是定义 8 意义上的容量。 0C9E
定义 9 令 f 为 X 上的容量；如果 f(A) = supₖ f(K)，则X 的子集 A 被认为是有能力的（相对于 f），其中 K 穿过 A 的紧致子集的集合。 0C9F
命题 14 令 K 为紧致空间，令 f 为 K 上的容量。 If A is the intersection of a decreasing sequence (Aₙ) of subsets of K, each of which is a countable union of closed sets, then A is capacitable. ↩ 1 0C9G
定理 5 令X为可度量的空间，并令Y为X的相对紧凑的苏斯林子空间。那么 Y 对于 X 上的每个容量 f 都是有容量的。 ↩ 1 0C9H
命题 15 令 φ 为 Hausdorff 空间 K 到 Hausdorff 空间 X 的连续映射，并令 f 为 X 上的容量。如果对于 K 的每个子集 A，我们放置 g(A) = f(φ(A))，则 g 是 K 上的容量；此外，如果 A 对于 g 有能力，则 φ(A) 对于 f 有能力。 ↩ 1 0C9I
注 \ 如果μ是局部紧凑可度量空间X的正测度，则X的每个Souslin子集A都是μ可测的。因为如果K是X的任何紧致子集，则K ∩ A是一个相对紧致的苏斯林集合，因此对于μ^*是可积的，因而μ可积。注 X 中 Souslin 集合的补集，虽然一般不是 Souslin 集合，但是 μ 可测。 0C9J

App. 0. 附录

定义 1 序列 (xₙ)_n ∈ N 据说在范数代数 A 如果映射 J → p_J 相对于集合的截面的过滤器有极限 𝔉(N) 共有限子集共 N，按关系 ⊂ 排序；这个极限称为序列(xₙ)_n ∈ N的乘积，并记为∏_n ∈ N xₙ（或简称为∏ₙ xₙ）；这个乘积的xₙ被称为因子。 ↩ 3 0CA3
注 1 当A为交换代数时，定义1与章III, § 5, no. 1、注3相同；但当 A 不可交换时，指标集合 N 的阶结构本质上参与定义 1。如果 σ 是任意置换 N，我们不能一般断言，如果序列(xn)是可乘的，则序列(x_σ(n))是可乘的；如果两个序列都是可乘的，那么它们的乘积通常会不同。 0CA4
注 2 定义 1 可以立即推广到族 (xn){n \in I} 的情况，其指标集合 I 是 \mathbf{Z} 的子集（由阶线性排序） \mathbf{Z})。我们将扩展留给读者，在这种情况下，结果如下（cf.习题1和2）。 0CA5
定理 1 令 (xn){n \in \mathbf{N}} 为完全范数代数 A 中点的序列。 a) 如果 (xn) 是可乘的，且其乘积是 A 的单位，则对于每个ε > 0，存在 \mathbf{N} 的有限子集 J0，这样，对于 \mathbf{N} 的每个不满足 J0 的有限子集 L，我们有|e - p_L| ≤ ε。 b) 相反，如果序列 (xn) 满足条件，则它… ↩ 5 0CA6
注如果(xₙ)是可乘的且乘积不是单位，定理1的条件不一定满足：对于例，如果所有xₙ都等于相同的元素x，其中|x| < 1，序列(xₙ)是可乘的，其乘积为0，对于N的每个非空有限子集H，我们有|p_H| ≤ |x| < 1 ≤ |e|。 0CA7
推出 1 如果(xₙ)是一个可乘的序列，其乘积是A的单位，则lim_n → ∞ xₙ = e。 0CA8
推论 2 如果 (xₙ) 是一个可乘的序列，其乘积是 A的单位，则每个子序列 (x_nₖ)_k ∈ N of (xₙ) [(nₖ)是严格递增的序列 of 整数] 可乘。 0CA9
定理 2 让A成为一个完全规范的代数。如果(uₙ)是A的元素的绝对收敛级数，则序列(e + uₙ)可乘于A；如果所有元素 e + uₙ 都是单位在 A，那么也是 ∏_n ∈ N (e + uₙ)。 ↩ 1 0CAA
推论如果级数的通项为uₙ是绝对收敛的，并且如果在A中元素e - uₙ都不为零因子，则乘积∏_n ∈ N (e + uₙ)在零因子中不是零因子 A. 0CAB
命题 1 令A为有限秩超过R的标准化代数。如果(e + uₙ)是A中的可乘序列，其乘积是A的单位，则级数其一般项是uₙ是绝对收敛的。 ↩ 1 0CAC
引理 1 对于N中的每个有限子集I，令φ(I) = sup_J ⊂ I ||p_J - e||。 Then for each 子集 J of I we have 0CAD
引理 2 如果I是N的有限子集使得φ(I) < 1/c，那么 0CAE
命题 2 令 (xₙ) 成为完整规范的代数 A中点的序列。 ↩ 1 0CAF
推论 1 如果无限乘积与一般因子 xₙ 收敛，并且如果 ∏ₙ₌₀^∞ xₙ 是单位，则 lim_n → ∞ xₙ = e。 0CAG
推论 2 如果无穷大乘积与一般因子 xₙ 收敛，并且如果 ∏ₙ₌₀^∞ xₙ 是单位，则无穷大乘积与一般因子 yₙ = xₙ₊ₕ (n ≥ 0) 收敛。 0CAH
命题 3 设(kₙ)为整数≥ 0的严格递增的序列，使得k₀ = 0；如果无限乘积与一般因子 xₙ 收敛，并且如果我们把 0CAI

X. 函数空间

§ 1. $\mathscr{G}$收敛的均匀性

定义 1 uniformity on 集合 F(X; Y) which has as a fundamental 系统 of entourages 集合 of 子集 W(V), where V runs through 集合 of entourages of Y, is called the uniformity of uniform convergence. 拓扑它… 0CAR
定义 2 Let X be a set, Y a uniform space, 𝔖 a set of subsets of X. 𝔖的集合均匀收敛的均匀性，或者简称为𝔖收敛的均匀性，是F(X; Y)上的最粗均匀性，它使得F(X, Y)的均匀连续限制映射u → u|A变成均匀的空间 Fᵤ(A; Y)，其中A穿过𝔖。赋予F(X; Y)均匀性𝔖收敛性，得到均匀空间记为F_… 0CAS
注 1 初始均匀性（章 II, § 2, no. 3，命题 4）的一般定义表明，F_S(X; Y) 的基本系统可以如下获得：对于基本的每个 A ∈ S 和每个V随行人员 Y B 系统，令 W(A, V) 为 X 映射 (u, v) 所有对到Y 的集合，使得每个(u(x), v(x)) ∈ V x ∈ A；由于A贯穿S且V贯穿B，集合 W(A, V)形式的有限交是F… ↩ 1 0CAT
注 2 然而，S收敛的均匀性不会因X的所有子集的替换S、集合S'而改变，这些子集包含在S的集合的有限并中。因此，在研究S收敛性时，我们可能总是将自己限制在集合S满足以下两个条件的情况： ↩ 1 0CAU
注 3 S收敛的均匀度是逆像，在F(X; Y)的映射u → (u|A)_A ∈ S下进入∏_A ∈ S Fᵤ(A; Y)，这个乘积空间的均匀度（章II, § 2, no. 6，命题） 8).如果S是X的覆盖，则此映射是内射，因此F_S(X; Y)同构于∏_A ∈ S Fᵤ(A; Y)的一致子空间，即映射的像。 ↩ 1 0CAV
命题 1 如果 Y 是Hausdorff，并且 S 是 X的覆盖，则空间 F_S(X; Y) 是Hausdorff。 ↩ 3 0CAW
注 4 设H为F(X; Y)的子集。通过滥用语言，由S在F(X; Y)上收敛的均匀性（分别拓扑）在H上引起的均匀性（分别拓扑）被称为S在集合上收敛的均匀性（分别拓扑） H。 0CAX
注 5 令L经过滤器𝔖过滤为集合，并令λ → u_λ为L的映射进入F_S(X; Y)，相对于𝔖有极限v；那么我们说，相对于过滤器 𝔖，映射 u_λ of X 进入 Y 均匀收敛到 v [或者族 (u_λ) 均匀收敛到 v] 在每个集合S。如果L = N和𝔖是Fréchet滤波器，我们在这个叙述中省略𝔖的提及。 ↩ 1 0CAY
注 6 紧接着从定义 1 和 2 可以得出，对于x ∈ ⋃_A ∈ G A，F_G(X; Y) 到Y 的映射 u → u(x) 是均匀连续。因此，特别是，如果overlineH表示子集H对F_G(X; Y)的闭包，则对于所有x ∈ ⋃_A ∈ G A我们有overlineH(x) ⊂ overlineH(x)（章I, § 2, no. 1，定理1）。 ↩ 8 0CAZ
命题 2 令X₁, X₂为两个集合，令Y为统一的空间，令Sᵢ为Xᵢ(i = 1, 2)子集集合及S₁ × S₂集合形式 A₁ × A₂ X₁ × X₂ 子集，其中 Aᵢ ∈ Sᵢ, i = 1, 2。然后是规范的双射 F(X₁ × X₂; Y) → F(X₁; F(X₂; Y)) （集合理论，R，§ 4, no. 14）是均匀空间的同构 F_S₁ × S₂(X₁ ×… ↩ 1 0CB0
命题 3 a) 设X为集合；设S为X子集集合；令Y, Y'为两个统一的空间；令f : Y → Y'为均匀连续的映射。那么F_S(X; Y)入F_S(X; Y')的映射u → f ∘ u是均匀连续的。 0CB1
命题 4 令X, Y为两个集合，令(X_λ)_λ ∈ L为集合的家族，并令(Y_μ)_μ ∈ M为制服空间的家族。对于每个λ ∈ L，令S_λ为X_λ的子集集合，令g_λ为X_λ的映射到X，并令S为集合 X 中的子集，即集合 g_λ(S_λ) 中的并。对于每个μ ∈ M，令f_μ是Y到Y_μ的映射，并赋予Y最粗糙的均匀性，使得f_μ均匀连续。那么S-收敛于F(X; Y… ↩ 1 0CB2
推论令X为集合，令(Yᵢ)_i ∈ I为制服空间家族，令S为X子集集合。如果我们赋予 ∏_i ∈ I Yᵢ 乘积均匀性，则均匀空间 F_S(X, ∏_i ∈ I Yᵢ) 到乘积均匀空间 ∏_i ∈ I F_S(X; Yᵢ) 的规范双射（集合理论，R，§ 4, no. 13）为同构。 0CB3
命题 5 令Φ为集合，Y统一为空间，以及X的子集为S集合。然后，F_S(X; Y)上的滤波器Φ收敛到u₀当且仅当Φ关于S收敛的均匀性是柯西滤波器，并且逐点收敛到B = ⋃_A ∈ S A中的u₀。 ↩ 3 0CB4
推论 1 F_S(X; Y)的子空间H是完备的，当且仅当对于H上的每个柯西滤波器Φ，存在u₀ ∈ H使得Φ逐点收敛到B = ⋃_A ∈ S A中的u₀。 ↩ 1 0CB5
推论 2 令S₁, S₂为X的子集中的两个集合，其并相同且满足S₁ ⊂ S₂，并令H为F(X; Y)的子集。那么如果H对于S₁收敛是完备的，那么它对于S₂收敛也是完备的。 ↩ 1 0CB6
推论 3 令 H 为 F(X; Y) 的子集，这样对于每个 x ∉ B = ⋃_A ∈ G A, Y中H(x)的闭包是Y的完整子空间。那么F_G(X; Y)中H的闭包overlineH就是一个完整的子空间。 0CB7
定理 1 令X为集合，令G为X的子集集合，令Y为完整的制服空间。这样制服空间F_G(X; Y)就完成了 ↩ 2 0CB8
命题 6 令X为拓扑空间，Y为均匀的空间，以及X的子集的G集合。对于A ∈ G和Y的每个封闭随行人员V，W(A, V)和W(overlineA, V)在C(X; Y) × C(X; Y)上的痕迹是相同的。 ↩ 2 0CB9
推论设 B 为 X 的稠密子集。在C(X; Y)上，一致收敛的结构与B中一致收敛的结构相同。 ↩ 1 0CBA
命题 7 令X为拓扑空间，令𝔖为X的子集的集合，并令Y为均匀空间。如果 Y 是 Hausdorff，并且如果 𝔖 的集合的并 B 在 X 中稠密，则 C_𝔖(X; Y) 是 Hausdorff。 0CBB
命题 8 令X为集合，𝔗为X的过滤器，并令Y为统一的空间。然后映射u : X → Y的集合H使得u(𝔗)是Y上的柯西滤波器基在Fᵤ(X; Y)中闭合。 ↩ 3 0CBC
推论 1 设X为拓扑空间，Y为均匀空间。 X的映射到Y的集合在点连续x₀ ∈ X在Fᵤ(X; U)封闭。 ↩ 1 0CBD
推论 2 设X、L分别为经过过滤器𝔗, 𝔊过滤后的两个集合，并令Y为完整的均匀空间。对于每个λ ∈ L，令u_λ为Y中X的映射。假设(i)族(u_λ)_λ ∈ L在X（相对于滤波器𝔊）均匀收敛到映射v : X → Y； (ii) 对于每个 λ ∈ L，u_λ 相对于过滤器 𝔗 具有极限 y_λ。在这些条件下，v相对于𝔗有极限，并且v相对于𝔗的每个极限是家族(y_λ)_… 0CBE
定理 2 令X为拓扑空间，Y为均匀空间。那么X的连续映射到Y的集合C(X; Y)就是空间F(X; Y)的闭子集，且拓扑具有一致收敛性。 ↩ 4 0CBF
推论 1 如果Y是完整的制服空间，则Cᵤ(X; Y)是完整的。 0CBG
推论 2 令X为拓扑空间，S集合为X的子集，Y为均匀空间。令tildeC_S(X; Y)表示X的所有映射到Y的集合，其中限制到S的每个集合是连续的。 Then tildeC_S(X; Y) is a closed subspace of the uniform space F_S(X; Y) and is complete if Y is complete. ↩ 2 0CBH
推论 3 令X为拓扑空间，其可度量或局部紧凑，并令Y为均匀空间。那么C(X; Y)在均匀空间F_c(X; Y)中闭合；如果加法 Y 已完成，则制服空间 C_c(X; Y) 已完成。 ↩ 1 0CBI
注 1 一般来说，集合C(X; Y)在F(X; Y)相对于拓扑的逐点收敛并不封闭：在其他字中，连续函数的逐点极限不一定是连续的[习题 5 a)]。 0CBJ
注 2 C(X; Y) 上的滤波器可以逐点收敛到连续函数，而不均匀收敛到这个函数。 ↩ 1 0CBK
注 3 如果X是均匀的空间，则证明类似于命题8，表明X的“均匀连续”映射到Y的集合在Fᵤ(X; Y)中是“闭集”。 0CBL
注 4 假设一致的空间 Y 带有合成的交换律和结合律律（加法书写），使得映射 (y, y') → y + y' 在 Y × Y 上连续。那么，如果(uₙ)是X的连续映射到Y的序列，那么级数其一般项是uₙ一致收敛在X，和级数在 X 上连续。 0CBM
命题 9 令X为拓扑空间，Y为均匀空间。那么Cᵤ(X; Y) × X到Y的映射(f, x) → f(x)是连续的。 ↩ 1 0CBN

§ 2. 等连续集合

定义 1 设X为拓扑空间，Y为均匀空间。 F(X; Y) 的子集 H 被认为在点 x₀ ∈ X 处等连续，如果对于 Y 的每个随行人员 V，X 中存在 x₀ 的邻域 U，使得 (f(x₀), f(x)) ∈ V 适用于所有 x ∈ U 和所有 f ∈ H。如果 H 在 X 的每点等连续，则称 H 是等连续的。 0CC0
定义 2 令X和Y为两个一致的空间。 F(X; Y) 的子集 H 被认为是一致等连续的，如果对于 Y 的每个周边V，存在一个 X 的周边 U，使得每当 (x, x') ∈ U 和 f ∈ H 时我们都有 (f(x), f(x')) ∈ V。 0CC1
例 1 令X为拓扑空间（分别为均匀空间），Y为均匀空间。 X 到 Y 中的连续（或一致连续）映射的每个有限集合都是等连续的（或一致等连续）。 0CC2
例 2 令 X、Y 为两个度量空间，d（分别为 d'）为 X（分别为 Y）上的度量，并令 k、α 为两个实数 0。则所有映射 f : X → Y 中的集合使得 d'(f(x), f(x')) ≤ k(d(x, x'))^α 对于点 x, x' X 中的每个对，是一致等连续的。对于例，X到Y的子集的所有等距（章IX, § 2, no. 2）的集合一致等连续。 0CC3
例 3 设 G 为拓扑群，令 Y 为一致空间，并令 f : G → Y 为一致连续映射 [G 被赋予左一致性 (章 III, § 3, no. 1)]。对于每个s ∈ G，令fₛ为G到Y的映射x → f(sx)。则映射fₛ (s ∈ G)的集合一致等连续，因为关系x⁻¹x' ∈ V等价于(sx)⁻¹(sx') ∈ V。 0CC4
命题 1 设T为集合，令S为T的子集集合，令Y为均匀空间，X拓扑（或均匀）空间，并令f为T × X的映射 Y。对于每个A ∈ S，令H_A ⊂ F(X; Y)为所有映射x → f(t, x)的集合，因为t贯穿A。那么 X 到 F_S(T; Y) 的映射 x → f(., x) 在点 x₀ ∈ X 连续（或一致连续）当且仅当集合 H_A 在 x₀ 等连续（或一致等连续）… ↩ 5 0CC5
推论 1 令X为拓扑（或均匀）空间，Y为均匀空间，H子集为F(X; Y)。对于每个 x ∈ X，令 tildex 表示 H 中的映射 h → h(x) 到Y。那么 H 在 x₀ 处等连续（或一致等连续）当且仅当 X 的映射 x → tildex 进入一致空间 Fᵤ(H; Y) 在 x₀ 连续（或一致连续）。 ↩ 1 0CC6
推论 2 令X为紧凑空间，Y为均匀空间。那么 F(X; Y) 的每个等连续子集都是一致等连续的。 ↩ 2 0CC7
推论 3 设T，X为拓扑空间，设Y为均匀空间，设f为T × X到Y的映射。则f是连续的，前提是满足以下条件： 0CC8
推论 4 设X为拓扑空间，Y为均匀空间，H为X的映射到Y的等连续集合。若H赋予点向收敛的拓扑，则映射 Y 中的 H × X 的 (h, x) → h(x) 是连续的。 ↩ 1 0CC9
推论 5 设X为拓扑空间，设Y、Z为两个一致空间，设H为Y的映射到Z的等连续集合。如果H、C(X; Y)和C(X; Z)被赋予逐点收敛的拓扑，则H × C(X; Y)到C(X; Z)的映射(u, v) → u ∘ v是连续的。 ↩ 1 0CCA
命题 2 令 T、X、Y 一致空间，令 f 为 T × X 到 Y 的映射。则 f 一致连续当且仅当满足以下两个条件： 0CCB
推论令X，Y为两个一致的空间，并令H为F(X; Y)的子集。则 H 是一致等连续的，当且仅当 H × X 到 Y 中的映射 (h, x) → h(x) 是一致连续的，H 具有一致收敛的一致性。 0CCC
命题 3 令X为拓扑（或制服）空间，令(Yᵢ)_i ∈ I为制服空间的族，令Y为集合，对于每个i ∈ I，令fᵢ为映射 Y 变为Yᵢ。令 Y 具有最粗糙的均匀性，使得所有 fᵢ 均匀连续。为了使 F(X; Y) 的子集 H 等连续（或一致等连续），对于每个 i ∈ I，映射 u → fᵢ ∘ u 下的 H 的像是等连续（或一致等连续）是必要且充分的等连续）子集 / F… ↩ 1 0CCD
命题 4 令X, Y为两个均匀的空间，并令H为X均匀连续的映射到Y的集合。令hatX, hatY分别为X, Y的Hausdorff完成，并让tildeH表示映射hatu : hatX → hatY的集合，因为u贯穿H（章II, § 3, no. 7，命题） 15）。那么 H 是一致等连续的当且仅当 tildeH 是一致等连续的。 ↩ 1 0CCE
命题 5 令G, G'为两个具有左均匀性的拓扑群，并令H为G的同态到G'的集合。那么下面的条件是等价的： a) H 在 G 的单位元素 e 处等连续， b) H 等连续， c) H 一致等连续。 0CCF
命题 6 令X为拓扑（或均匀）空间，令Y为均匀空间，并令H为F(X; Y)的子集。那么 H 在点 x₀ ∈ X 等连续（或一致等连续）当且仅当 Fₛ(X; Y) 中 H 的闭包 overlineH 在 x₀ 等连续（或一致等连续）。 ↩ 2 0CCG
定理 1 令X为拓扑（或均匀）空间，令Y为均匀空间，并令H为C(X; Y)的等连续（或均匀等连续）子集。那么 H 上的以下均匀性是相同的：紧致（或预紧致）收敛的均匀性、点状收敛的均匀性以及 X 密集子集 D 中的点状收敛的均匀性。 ↩ 2 0CCH
推论在定理 1 的假设下，F(X; Y)中H相对于拓扑逐点收敛的闭包overlineH与C(X; Y)中H相对于紧致（或预紧致）拓扑的闭包相同收敛。 0CCI
定理 2（阿斯科利） 令X为拓扑（或均匀）空间，令S为X的覆盖，令Y为均匀空间和X的映射的H集合 Y使得对于每个A ∈ S和每个u ∈ H，u到A的限制是连续的（分别是均匀连续的）。然后，为了使H相对于S收敛的均匀性是预紧的，在所有情况下都是必要的，并且如果集合A ∈ S是紧的（分别是预紧的），则满足以下条件也是充分的： ↩ 4 0CCJ
推论 1 令X为拓扑（或一致）空间，令Y为豪斯多夫一致空间，并令H为C(X; Y)的等连续（或一致等连续）子集。假设对于每个x ∈ X，H(x) 在Y 中相对紧凑。那么 H 相对于拓扑的紧凑（或预紧致）收敛而言，在 C(X; Y) 中是相对紧凑的。 ↩ 2 0CCK
推论 2 令X为拓扑（或均匀）空间，令Y为完整的豪斯多夫均匀空间，并令H为C(X; Y)的等连续（或均匀等连续）子集。假设对于所有x ∈ D，H(x) 在Y 中相对紧凑，其中D 是X 的稠密子集。那么 H 在 C(X; Y) 中相对于拓扑的紧致（或预紧致）收敛是相对紧致的。 0CCL
推论 3 令 X 为局部紧致空间，Y 为 C(X; Y) 的 Hausdorff 均匀空间，H 子集。那么 H 在 C_c(X; Y) 中相对紧，当且仅当 H 等连续，并且对于所有 x ∈ X，H(x) 在 Y 中相对紧。 ↩ 1 0CCM
注令X为拓扑空间，Y为均匀空间，S为X的子集集合。然后，在 F_S(X; Y) 的每个预紧子集 H 上，S 收敛的均匀性与 B = ⋃_A ∈ S A 中逐点收敛的均匀性相同。我们可以将约化转化为B = X和Y是Hausdorff且完备的情况；因为如果j为典范嵌入B → X且i典范映射Y → hatY，则S在F(X; Y)上收敛的均匀性是S在F(B… 0CCN

§ 3. 特别函数空间

命题 1 如果Y是可度量的均匀性空间，则F(X; Y)上的一致收敛的均匀性是可度量的。 0CD8
推论令X为拓扑空间，并令Y为可度量均匀空间。假设X的紧凑子集有序列(Kₙ)，使得X的每个紧凑子集都包含在某个Kₙ中。那么F(X; Y)上的紧收敛的均匀性是可度量的。 0CD9
命题 2 令X为集合，并且Y为度量空间。有界映射的集合 B(X; Y) 在空间 Fᵤ(X; Y) 中既开又闭。 ↩ 3 0CDA
推论 1 令X为集合，且Y为度量空间。然后B_S(X; Y)在F_S(X; Y)闭合。特别是，如果 Y 是完备的，则 B_S(X; Y) 相对于 S 收敛的一致性是完备的。 ↩ 2 0CDB
推论 2 设X为拓扑空间，Y为度量空间。则X到Y的所有有界连续映射的空间在Cᵤ(X; Y)中既开又闭；如果 Y 完整，则它完整。 0CDC
命题 3 如果赋范空间 Y 是完整的，则 X 有界映射的每个级数 (uₙ) 都绝对收敛于赋范空间 B(X; Y)（即，∑ₙ₌₀^∞ ||uₙ|| < +∞；cf.）章 IX, § 3, no. 6) 一致收敛于X。 0CDD
注 1 如果∑ₙ₌₀^∞ |uₙ| < +∞，则∑ₙ₌₀^∞ |uₙ(x)| ≤ ∑ₙ₌₀^∞ |uₙ| < +∞ 对于每个x ∈ X；在其他字中，对于每个x ∈ X级数与一般项uₙ(x)绝对收敛于空间Y。逆命题是假的。为了避免所有混淆，我们将有时说级数与一般项uₙ通常收敛，这意味着级数与一般项|uₙ|收敛。级数可以一致收敛于X，无需常收敛；情况就是如此，对于例… 0CDE
命题 4 让Xᵢ (1 ≤ i ≤ n) 和Y 在非离散值除法环 K 上标准化向量空间，并让X = ∏ᵢ₌₁ⁿ Xᵢ。那么X到Y的所有多重线性映射的集合在空间Fₛ(X; Y)中闭合。 ↩ 2 0CDF
命题 5 在命题 4 的假设下，X到Y的连续多线性映射的集合L(X₁, …, Xₙ; Y)相对于有界收敛的拓扑在F(X; Y)处闭合；如果 Y 是完备的，那么它就有界收敛的一致性而言是完备的。 0CDG
命题 6 多线性映射 (u, x₁, …, xₙ) → u(x₁, …, xₙ) 规范的空间 L(X₁, …, Xₙ; Y) × X₁ × ⋯ × Xₙ 到 Y 是连续的。 0CDH
命题 7 让X, Y, Z成为三范数空间超过K。 The canonical mapping of the normed space L(X, Y; Z) into the space of linear mappings of X into L(Y; Z) which sends each u ∈ L(X, Y; Z) to the mapping x → u(x… 0CDI
命题 8 令X, Y, Z为空间除以K的三范数。 L(X; Y) × L(Y; Z) 到 L(X; Z) 的双线性映射 (u, v) → v ∘ u 是连续的。 0CDJ
注 2 The set L(Rᵐ; Rⁿ) of linear (necessarily continuous) mappings of Rᵐ into Rⁿ can be identified with the set M_n,m(R) of matrices with n rows and m columns with coefficients in R and… 0CDK
定理 1 设 X 为紧致空间。 a) 如果X是可度量的，并且如果Y是可数的型（章IX, § 2, no. 8）的任何可度量的统一空间，则X的连续的映射的可度量的空间Cᵤ(X; Y)化为Y，赋予拓扑一致收敛性，是可数的型。 b) 相反，如果可度量的空间 Cᵤ(X; R) 是可数的型，则 X 是可度量的。 ↩ 1 0CDL
推论令X为局部紧致空间，其拓扑承认可数基，并令Y为可数型的可度量均匀空间。 0CDM
定理 2 设X为拓扑空间，Y为均匀空间。对于 X 的每个紧致子集 K 和 Y 的每个开子集 U，让 T(K, U) 表示所有连续映射 u : X → Y 的集合，使得 u(K) ⊂ U。然后 C(X; Y) 上的集合 T(K, U) 生成拓扑紧凑收敛。 ↩ 2 0CDN
定义 1 令X, Y为两个拓扑空间，不一定可统一。对于X的每个紧致子集K和Y的每个开子集U，令T(K, U)为所有u ∈ C(X; Y)的集合，使得u(K) ⊂ U。由集合 T(K, U)生成的C(X; Y)上的拓扑称为紧致收敛的拓扑或紧致开拓扑；我们用C_c(X; Y)表示通过赋予C(X; Y)以拓扑获得的拓扑空间。 0CDO
例设I为R中的区间[0, 1]。如果Y是任何拓扑空间，则空间C_c(I; Y)称为Y中路径的空间。对于路径u的C_c(I; Y)由……组成的每个y ∈ Y、子空间Ω_y(Y)，使得u(0) = u(1) = y称为循环空间（在Y中）在点y。 0CDP
注 1 同样，由Y^X = F(X; Y)上的乘积拓扑在C(X; Y)上诱导的拓扑被称为逐点收敛的拓扑（Y不一定是可一致的）；它是由形式T(x, U)的集合生成的，因为x穿过X，U穿过Y的所有开子集的集合，因此它比紧凑开拓扑更粗糙。我们推断，如果 Y 是 Hausdorff，空间 C_c(X; Y) 是 Hausdorff（章 I, § 8, no. 1，命题 5，… 0CDQ
注 2 令S为Y的拓扑的子底，并令K为X的紧凑子集的集合，其中性质如下： ↩ 1 0CDR
定理 3 令X, Y, Z为三个拓扑空间，令f为X × Y到Z的映射。如果f是连续的，那么tildef: x → f(x, .)是X到C_c(Y; Z)的连续映射。如果 Y 是局部紧凑的，则逆命题为真。 ↩ 5 0CDS
推论 1 令X为空间的局部紧致空间，Y为C(X; Y)的拓扑空间，H子集。那么H上的紧开拓扑是最粗糙的，其中H × X到Y的映射(u, x) → u(x)是连续的。 ↩ 5 0CDT
注 3 令X为局部紧致空间，Y为豪斯多夫拓扑空间。如果T在C(X; Y)的子集H上是拓扑，使得映射(u, x) → u(x)在H × X上连续，并且如果H相对于T是紧凑，则T 是紧凑开放式拓扑。因为根据推论 1，它比后者更细，并且由于紧开拓扑是 Hausdorff，因此两种拓扑是相同的。注，如果加法Y是完全正则，那么H对于与Y的拓扑兼容的每个均匀性都是等连续的（§… ↩ 2 0CDU
推论 2 令X, Y, Z为三个拓扑空间，使得X是豪斯多夫且Y是局部紧致的。那么规范双射 F(X × Y; Z) → F(X; F(Y; Z))（集合理论，R，§ 4, no. 14）的限制到C(X × Y; Z)是C_c(X × Y; Z)到C_c(X; C_c(Y; Z))的同胚。 0CDV
命题 9 令X, Y, Z为三个拓扑空间，Y为局部紧致。那么C_c(X; Y) × C_c(Y; Z)到C_c(X; Z)的映射(u, v) → v ∘ u是连续的。 ↩ 2 0CDW
命题 10 令X为一致的空间，并令H为X自身同胚的等连续集合。如果H和H⁻¹赋予X逐点收敛的拓扑，则H⁻¹的映射u → u⁻¹在H上是连续的。 ↩ 1 0CDX
推论令X为一致的空间，并令H为X自身同胚的等连续群。那么X中逐点收敛的拓扑与H中的群结构兼容。 ↩ 1 0CDY
命题 11 令X为紧空间，令Γ为X自身同胚的群。那么X中一致收敛的拓扑与Γ中的群结构兼容。 ↩ 1 0CDZ
命题 12 在局部紧致空间X的所有同胚的群Γ上，拓扑T_β是最粗糙的，其中映射u → u和u → u⁻¹入Γ C_c(X; X) 是连续的。 ↩ 2 0CE0
定理 4 令G为局部紧致空间X的所有同胚中群Γ的子群。假设在空间C_c(X; X)中，存在恒等映射e的邻域V，使得V ∩ G = H在G中对称，在C_c(X; X)中相对紧。那么Γ中G相对于拓扑T_β的闭包overlineG是由T_β引发的关于拓扑的局部紧致群；在overlineG上导出的这个拓扑与紧致收敛的拓扑相同，C_c(X; X)中H的闭包overlineH相对… ↩ 2 0CE1
推论设G为局部紧致空间X的同胚的群。如果C_c(X; X)中G的闭包overlineG是紧的，则overlineG是X同胚的群，紧收敛的拓扑与overlineG的群结构兼容，因此是紧拓扑群. ↩ 1 0CE2

§ 4. 连续实值函数的近似值

推论令(uₙ)为X上连续实值函数的递增（分别为递减）序列。如果序列 (uₙ) 的上（或下）包络线 f 在 X 上是有限且连续的，则序列 (uₙ) 在 X 中均匀收敛到 f。 0CEW
命题 2 令X为紧致空间，并令H为X上连续实值函数的集合，使得给定任意两个函数u ∈ H, v ∈ H、函数sup(u, v)和inf(u, v)为在H。那么 X 上的连续实值函数 f 可以通过函数属于统一逼近到 H 当且仅当，对于每个实数 ε > 0 和每个对 x, y X的点，有函数u_x, y ∈ H使得|f(x) - u_x, y(x)| < ε和|f(y)… ↩ 2 0CEX
注当集合H满足条件或命题2时，它是相对于排序f ≤ g的格子。但应该注意的是，C的子集H可以是关于这种排序的格子，而不一定是两个函数u, v中H中最小的上界（或下确界） H 与C 中的最小上界（分别为下确界）相同。 \ 例由 R 到 R 的紧凑区间的凸映射提供。 \ 0CEY
推论假设H是这样的，每当u ∈ H和v ∈ H时，我们就有sup(u, v) ∈ H和inf(u, v) ∈ H；并且是这样的，给定X的任何两个不同的点x, y和任何两个实数α, β，存在函数g ∈ H使得g(x) = α和g(y) = β。那么X上的每个连续实值函数都可以由函数属于统一逼近到H。 ↩ 1 0CEZ
定义 1 如果X是任何集合，X的映射的集合H到集合Y被认为是分离X的子集A的元素（或者是分离集合 A 的元素) 如果给定 A 的任何两个不同的元素 x, y，则有函数 f ∈ H 使得 f(x) ≠ f(y)。 0CF0
定理 2（石头） 令X为紧致空间，并令H为C(X; R)的向量子空间，使得1)常数函数属于为H； 2) 如果u ∈ H，则|u| ∈ H； 3) H 分隔点和 X。那么X上的每个连续实值函数都可以用H的函数统一逼近。 ↩ 2 0CF1
定理 3（威尔斯特拉斯石） 令X为紧致空间，并令H为X上连续实值函数的集合，它将点与X分开。那么X上的每一个连续实值函数都可以用H的函数中的多项式（带有实数系数）统一逼近。 ↩ 5 0CF2
引理 1 对于每个实数ε > 0和每个紧凑间隔I ⊂ R，都存在一个多项式p(t)，没有常数项，使得|p(t) - |t|| ≤ ε对于所有t ∈ I。 0CF3
引理 2 令 (Pₙ) 为没有常数项定义的多项式的序列 (1) p₀(t) = 0, pₙ₊₁(t) = pₙ(t) + 1/2 (t - (pₙ(t))²), n ≥ 0. 在区间[0, 1]序列(pₙ)是递增并且一致收敛到sqrtt。 0CF4
命题 3 设 (Kᵢ)_i ∈ I 为 R、K = ∏_i ∈ I Kᵢ 其乘积的紧致区间族，并令X 为 K的紧致子空间。那么 X 上的每一个连续实值函数都可以用坐标 xᵢ = prᵢ x 上的多项式统一逼近。 0CF5
命题 4 设 X 为紧空间，让 A 为 X的闭子空间，并令 H 为集合在 X 上的连续实值函数将其分开 C_A 的点并且使得 A 是集合 overlineu⁻¹(0) 的交作为 u 贯穿 H。则 X 上的每个连续实值函数即 A 上的零可以通过 H的函数中没有常数项的多项式统一逼近。 ↩ 2 0CF6
定理 4 设 (Xᵢ)_i ∈ I 为紧空间族，并令 X = ∏_i ∈ I Xᵢ. 那么X上的每个连续实值函数都可以由形式的函数的有限数的和统一近似 (xᵢ) → ∏_α ∈ J u_α(x_α), 其中J是I的（任意）有限子集，u_α是每个α ∈ J在X_α上的连续实值函数。 0CF7
命题 5 令 X 为紧致空间，Y R 和 H 子集的规范空间 C(X; R)。如果X上的每个连续实值函数都可以用H的函数统一近似，那么X到Y的每个连续映射f可以用线性组合统一近似H 的函数，系数为Y。 0CF8
命题 6 令X为紧致空间，令H为X上的连续实值函数的集合，它分隔X的点。然后，X的每个连续映射到R上的标准化空间Y都可以通过H的函数中的多项式统一近似，系数在Y中。 ↩ 1 0CF9
命题 7 令X为紧致空间，令H为X上的连续复值函数的集合，它分隔点与X。那么X的每个连续映射到C上的规范空间Y都可以通过函数f ∈ H及其共轭overlinef中的多项式统一近似，系数为Y。 ↩ 2 0CFA
推论 1 如果X是空间Cⁿ的紧凑子集，则X的每个连续映射(z₁, z₂, …, zₙ) → f(z₁, z₂, …, zₙ)到域C上的规范空间Y可以统一近似为zₖ 和 overlinezₖ 中的多项式，系数在 Y 中。 0CFB
推论 2 令X为局部紧致空间，并令C₀(X)为X到C的连续映射的规范C代数，其在无穷大趋于0。令A为C₀(X)的子代数，它将点与X分开，并且使得(i)每当f ∈ A时就有overlinef ∈ A，(ii)对于每个x ∈ X，有一个f ∈ A使得f(x) ≠ 0。那么A在C₀(X)中是稠密的。 0CFC
命题 8 令P为Rᵐ到C的所有周期连续映射的集合，其周期为包含Zᵐ的群。那么每个函数属于到 P 都可以在 Rᵐ 中用线性组合统一近似，用复系数，函数或形式 0CFD