Quyển TG · Tiếng Việt

Chỉ mục mệnh đề

1159 mệnh đề của Tô pô đại cương, theo chương và mục. Chọn một loại, lọc theo từ, hoặc xếp những mệnh đề được trích dẫn nhiều nhất lên đầu.

Trích dẫn nhiều nhất trước

I. Các cấu trúc tôpô

§ 1. Các tập mở, lân cận, các tập đóng

Định nghĩa 1 Một cấu trúc tôpô (hay ngắn gọn hơn, một tôpô) trên một tập hợp X là một cấu trúc được cho bởi một tập hợp D gồm các tập con của X, có các tính chất sau (gọi là các tiên đề của cấu… 0AZ1
Định nghĩa 2 Một không gian tôpô là một tập hợp được trang bị một cấu trúc tôpô. 0AZ2
Định nghĩa 3 Một đồng phôi của một không gian tôpô X lên một không gian tôpô X' là một đẳng cấu của cấu trúc tôpô của X lên cấu trúc của X'; tức là, theo các định nghĩa chung, một song ánh của… 0AZ3
Ví dụ Nếu X và X' là hai không gian rời rạc, bất kỳ song ánh nào của X lên X' đều là một đồng phôi. 0AZ4
Định nghĩa 4 Cho X là một không gian tôpô và A là một tập con bất kỳ của X. Một lân cận của A là một tập con bất kỳ của X chứa một tập mở chứa A. Các lân cận của một tập con x gồm một điểm duy… ↩ 1 0AZ5
Mệnh đề 1 Một tập hợp là lân cận của mỗi điểm của nó khi và chỉ khi nó là mở. ↩ 6 0AZ6
Mệnh đề 2 Nếu với mỗi phần tử x của một tập X ta tương ứng một tập 𝔅(x) gồm các tập con của X sao cho các tính chất (VI), (V{II}), (V{III}) và (V{IV}) được thỏa mãn, thì tồn tại một cấu trúc… ↩ 1 0AZ7
Ví dụ We có thể định nghĩa một tôpô trên tập Q của các số hữu tỉ bằng cách lấy làm các tập mở mọi hợp của các khoảng mở bị chặn; tập các tập con này chắc chắn thỏa mãn (OI), và để thấy r… 0AZ8
Định nghĩa 5 Trong một không gian tôpô X, một hệ cơ bản các lân cận của một điểm x (tương ứng của một tập con A của X) là bất kỳ tập 𝔊 các lân cận của x (tương ứng của A) sao cho với mỗi lân cậ… ↩ 1 0AZ9
Định nghĩa 6 Một cơ sở của tôpô của một không gian tôpô X là bất kỳ tập 𝔅 nào gồm các tập con mở của X sao cho mọi tập con mở của X đều là hợp của các tập thuộc 𝔅. 0AZA
Mệnh đề 3 Nếu X là một không gian tôpô, thì để một tập 𝔅 gồm các tập con mở của X là một cơ sở của tôpô của X thì điều kiện cần và đủ là với mỗi x ∈ X tập các V ∈ 𝔅 sao cho x ∈ V là một hệ c… ↩ 2 0AZB
Ví dụ 1 Tôpô rời rạc có cơ sở là tập các tập con của X chỉ gồm một điểm. 0AZC
Ví dụ 2 Tập các khoảng mở bị chặn là, theo định nghĩa, một cơ sở của tôpô của đường thẳng hữu tỉ (no. 2). \ Tương tự, tập các khoảng mở bị chặn là một cơ sở của tôpô của đường thẳng thực… 0AZD
Định nghĩa 7 Trong một không gian tôpô X, các phần bù của các tập mở của X được gọi là các tập đóng. 0AZE
Định nghĩa 8 Một họ (Aᵢ)_i ∈ I các tập con của một không gian tôpô X được gọi là hữu hạn địa phương nếu với mỗi x ∈ X tồn tại một lân cận V của x sao cho V ∩ Aᵢ = ∅ với tất cả trừ một số hữu hạ… 0AZF
Mệnh đề 4 Hợp của một họ hữu hạn địa phương các tập con đóng của một không gian tôpô X là đóng trong X. ↩ 6 0AZG
Định nghĩa 9 Trong một không gian tôpô X, một điểm x được gọi là một điểm nội của một tập con A của X nếu A là một lân cận của x. Tập các điểm nội của A được gọi là nội của A và được ký hiệu bở… 0AZH
Nhận xét Nội của một tập không rỗng có thể rỗng; đây là trường hợp của một tập gồm một điểm duy nhất không mở, chẳng hạn trên đường thẳng hữu tỉ \ (hoặc đường thẳng thực) . 0AZI
Định nghĩa 10 Bao đóng của một tập con A của một không gian tôpô X là tập hợp tất cả các điểm x ∈ X sao cho mọi lân cận của x đều giao với A, và được ký hiệu bởi overlineA. ↩ 1 0AZJ
Mệnh đề 5 Cho A là một tập mở trong X; khi đó với mọi tập con B của X ta có ↩ 3 0AZK
Định nghĩa 11 Trong một không gian tôpô X, một điểm x được gọi là một điểm biên của một tập A nếu x thuộc bao đóng của A và thuộc bao đóng của overlineCA. Tập các điểm biên của A được gọi là biê… 0AZL
Định nghĩa 12 Một tập con A của một không gian tôpô X được gọi là trù mật trong X (hay đơn giản là trù mật, nếu không có mơ hồ về X) nếu overlineA = X, tức là nếu mọi tập mở không rỗng U của X đ… 0AZM
Ví dụ \ Chúng ta sẽ thấy ở Chương IV, § 1 rằng tập các số hữu tỉ và phần bù của nó trù mật trên đường thẳng thực. \ Trong một không gian rời rạc X, tập con trù mật duy nhất của X là chín… 0AZN
Mệnh đề 6 Nếu 𝔅 là một cơ sở của tôpô của một không gian tôpô X, thì tồn tại một tập trù mật D trong X sao cho Card(D) ≤ Card(𝔅). ↩ 1 0AZO

§ 2. Hàm liên tục

Định nghĩa 1 Một ánh xạ f từ một không gian tôpô X vào một không gian tôpô X' được gọi là liên tục tại một điểm x₀ ∈ X nếu, với mọi lân cận V' của f(x₀) trong X', tồn tại một lân cận V của x₀ t… ↩ 2 0AZY
Mệnh đề 1 Cho f là một ánh xạ từ một không gian tôpô X vào một không gian tôpô X'. Nếu f liên tục tại x, và nếu x nằm trong bao đóng của một tập con A của X, thì f(x) nằm trong bao đóng của… ↩ 1 0AZZ
Mệnh đề 2 Cho X, X', X'' là ba không gian tôpô; cho f là một ánh xạ từ X vào X', liên tục tại x ∈ X; cho g là một ánh xạ từ X' vào X'', liên tục tại f(x). Khi đó hợp thành h = g ∘ f : X → X'… ↩ 3 0B00
Định nghĩa 2 Một ánh xạ từ một không gian tôpô X vào một không gian tôpô X' được gọi là liên tục trên X (hoặc đơn giản là liên tục) nếu nó liên tục tại mọi điểm của X. 0B01
Ví dụ 1 Ánh xạ đồng nhất của một không gian tôpô X lên chính nó là liên tục. 0B02
Ví dụ 2 Một ánh xạ hằng từ một không gian tôpô vào một không gian tôpô là liên tục. 0B03
Ví dụ 3 Mọi ánh xạ từ một không gian rời rạc vào một không gian tôpô đều liên tục. 0B04
Định lý 1 Cho f là một ánh xạ từ một không gian tôpô X vào một không gian tôpô X'. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: ↩ 25 0B05
Nhận xét 1) Cho 𝔅 là một cơ sở (§ 1, no. 3) của tôpô của X'; khi đó để f : X → X' liên tục, điều kiện cần và đủ là overlinef⁻¹(U') mở trong X với mọi U' ∈ 𝔅. 0E95
Ví dụ Cho a là một số hữu tỉ bất kỳ. Ánh xạ x → a + x của đường thẳng hữu tỉ Q vào chính nó là liên tục trên Q, vì ảnh ngược theo ánh xạ này của một khoảng mở ]b, c[ là khoảng mở 0B06
Ví dụ \ Ánh xạ f : x → 1/(1 + x²) từ R vào chính nó là liên tục, nhưng f(R) là khoảng nửa mở ]0, 1], không mở cũng không đóng trong R. \ 0B07
Định lý 2 1) Nếu f : X → X' và g : X' → X'' là hai ánh xạ liên tục, thì g ∘ f : X → X'' là liên tục. ↩ 4 0B08
Nhận xét 1 Có thể có một song ánh liên tục của một không gian tôpô X lên một không gian tôpô X' mà không song liên tục: chẳng hạn, lấy X' là đường thẳng hữu tỉ Q, và X là tập hợp Q với tôpô r… ↩ 1 0B09
Nhận xét 2 Để kiểm tra rằng một song ánh liên tục f : X → X' là một đồng phôi, chỉ cần chứng minh rằng với mỗi x ∈ X và mỗi lân cận V của x, f(V) là một lân cận của f(x) trong X'. 0B0A
Nhận xét 3 Cho X là một không gian tôpô, và với mỗi x ∈ X gọi 𝔅(x) là tập hợp tất cả các lân cận của x. Cho x₀ là một điểm của X; với mỗi x ∈ X, định nghĩa một tập hợp 𝔅₀(x) gồm các tập hợp c… 0B0B
Định nghĩa 3 Cho hai tôpô 𝔗₁, 𝔗₂ trên cùng một tập hợp X, ta nói rằng 𝔗₁ mịn hơn 𝔗₂ (và 𝔗₂ thô hơn 𝔗₁) nếu, ký hiệu bởi Xᵢ tập hợp X được trang bị tôpô 𝔗ᵢ (i = 1, 2), ánh xạ đồng nhất X₁ → X₂ l… 0B0C
Mệnh đề 3 Cho hai tôpô 𝔗₁, 𝔗₂ trên một tập hợp X, các mệnh đề sau là tương đương: a) 𝔗₁ mịn hơn 𝔗₂. b) Với mỗi x ∈ X, mọi lân cận của x đối với 𝔗₂ đều là một lân cận của x đối với 𝔗₁. c) Với… ↩ 1 0B0D
Ví dụ \ Trong không gian Hilbert H gồm các dãy x = (xₙ) các số thực sao cho |x|² = ∑ₙ₌₀^∞ xₙ² < +∞, các lân cận của một điểm x₀ trong tôpô mạnh trên H là các tập hợp chứa một quả cầu mở… 0B0E
Nhận xét 1 Trong tập hợp có thứ tự của mọi tôpô trên một tập hợp X, tôpô mà các tập hợp mở duy nhất là ∅ và X là thô nhất, và tôpô rời rạc là mịn nhất. 0B0F
Nhận xét 2 Tôpô càng mịn thì càng có nhiều tập hợp mở, tập hợp đóng và lân cận; tôpô càng mịn thì bao đóng của một tập hợp càng nhỏ (tương ứng, phần trong của nó càng lớn); tôpô càng mịn thì… 0B0G
Nhận xét 3 Nếu f : X → X' là một ánh xạ liên tục, thì nó vẫn liên tục nếu tôpô của X được thay bằng một tôpô mịn hơn và tôpô của X' được thay bằng một tôpô thô hơn (no. 1, Định lý 2). Nói các… 0B0H
Mệnh đề 4 Cho X là một tập hợp, cho (Yᵢ)_i ∈ I là một họ các không gian tôpô, và với mỗi i ∈ I cho fᵢ là một ánh xạ từ X vào Yᵢ. Gọi S là tập hợp các tập con của X có dạng overlinefᵢ⁻¹(Uᵢ) (… ↩ 11 0B0I
Mệnh đề 5 Cho X là một tập hợp, (Zᵢ)_i ∈ I là một họ các không gian tôpô, (J_λ)_λ ∈ L là một phân hoạch của I và (Y_λ)_λ ∈ L là một họ các tập hợp được đánh chỉ số bởi L. Với mỗi λ ∈ L, cho… ↩ 2 0B0J
Ví dụ 1 Ảnh ngược của một tôpô. Cho X là một tập hợp, Y là một không gian tôpô, f là một ánh xạ từ X vào Y; tôpô thô nhất 𝔗 trên X sao cho f liên tục được gọi là ảnh ngược theo f của tôpô… ↩ 2 0B0K
Ví dụ 2 Cận trên bé nhất của một tập hợp các tôpô. Mọi họ (𝔗ᵢ)_i ∈ I các tôpô trên một tập hợp X đều có một cận trên bé nhất 𝔗 trong tập hợp có thứ tự của mọi tôpô trên X, tức là tồn tại m… ↩ 1 0B0L
Ví dụ 3 Tôpô tích. Cho (Xᵢ)_i ∈ I là một họ các không gian tôpô. Tôpô thô nhất trên tập tích X = ∏_i ∈ I Xᵢ mà đối với nó các phép chiế- ↩ 2 0B0M
Mệnh đề 6 Cho X là một tập hợp, cho (Yᵢ)_i ∈ I là một họ các không gian tôpô, và với mỗi i ∈ I cho fᵢ là một ánh xạ từ Yᵢ vào X. Gọi D là tập hợp các tập con U của X sao cho overlinefᵢ⁻¹(U)… ↩ 6 0B0N
Hệ quả Dưới các giả thiết của Mệnh đề 6, một tập con F của X là đóng trong tôpô 𝔗 khi và chỉ khi overlinefᵢ⁻¹(F) là đóng trong Yᵢ với mọi i ∈ I. 0B0O
Mệnh đề 7 Cho X là một tập hợp, (Zᵢ)_i ∈ I là một họ các không gian tôpô, (J_λ)_λ ∈ L là một phân hoạch của I, và (Y_λ)_λ ∈ L là một họ các tập hợp được đánh chỉ số bởi L. Hơn nữa, với mỗi λ… ↩ 1 0B0P
Mệnh đề 8 Cho X là một tập hợp, (X_λ)_λ ∈ L là một họ các tập hợp con của X. Giả sử mỗi X_λ được trang bị một tôpô 𝔗_λ sao cho, với mỗi cặp chỉ số (λ, μ): 1) X_λ ∩ X_μ là mở (tương ứng đóng)… ↩ 1 0B0Q
Mệnh đề 9 Giả sử các h_μ λ là các đồng phôi và mỗi A_λ μ là mở (tương ứng, đóng) trong X_λ; khi đó mỗi φ(X_λ) là mở (tương ứng, đóng) trong X/R và hạn chế của φ trên X_λ là một đồng phôi từ… 0B0R

§ 3. Không gian con; không gian thương

Định nghĩa 1 Cho A là một tập con của một không gian tôpô X. Tôpô cảm sinh trên A bởi tôpô của X là tôpô trong đó các tập mở là các giao với A của các tập mở của X. Tập hợp A với tôpô này được… ↩ 1 0B13
Ví dụ Tôpô cảm sinh trên tập hợp Z các số nguyên bởi tôpô của đường thẳng hữu tỉ là tôpô rời rạc, vì giao của Z với khoảng mở ]n - 1/2, n + 1/2[ là tập hợp n . 0B14
Mệnh đề 1 Nếu A và B là hai tập con của một không gian tôpô X, và B ⊂ A, thì bao đóng của B trong không gian con A là giao với A của bao đóng overlineB của B trong X. ↩ 1 0B15
Hệ quả Một tập con B của A là trù mật trong A khi và chỉ khi overlineB = overlineA trong X (tức là khi và chỉ khi A ⊂ overlineB). 0B16
Mệnh đề 2 Cho A là một tập con trù mật của một không gian tôpô X; khi đó, với mỗi x ∈ A và mỗi lân cận V của x đối với A, bao đóng overlineV của V trong X là một lân cận của x trong X. ↩ 1 0B17
Mệnh đề 3 Cho (Aᵢ)_i ∈ I là một họ các tập con của một không gian tôpô X, sao cho một trong các tính chất sau được thỏa mãn: a) Các phần trong của các Aᵢ phủ X. b) (Aᵢ)_i ∈ I là một phủ đóng… ↩ 6 0B18
Nhận xét Cho (Uᵢ)_i ∈ I là một phủ mở của một không gian tôpô X, và với mỗi i ∈ I cho 𝔅ᵢ là một cơ sở của tôpô của không gian con Uᵢ của X; khi đó hiển nhiên là 𝔅 = ⋃_i ∈ I 𝔅ᵢ là một cơ sở… 0B19
Mệnh đề 4 Cho (Aᵢ)_i ∈ I là một họ các tập con của một không gian tôpô X mà các phần trong của chúng phủ X, hoặc tạo thành một phủ đóng hữu hạn địa phương của X. Cho f là một ánh xạ từ X vào… 0B1A
Định nghĩa 2 Một tập con L của một không gian tôpô X được gọi là địa phương đóng tại một điểm x ∈ L nếu tồn tại một lân cận V của x trong X sao cho L ∩ V là một tập con đóng của không gian con… ↩ 1 0B1B
Nhận xét Cho F là một tập con của X sao cho với mỗi điểm x của X đều có một lân cận V của x sao cho V ∩ F đóng trong không gian con V; khi đó suy ra từ Mệnh đề 3 của no. 1 rằng F đóng trong… 0B1C
Mệnh đề 5 Đối với một tập con L của một không gian tôpô X, các tính chất sau là tương đương: ↩ 2 0B1D
Hệ quả Cho f : X → X' là một ánh xạ liên tục và L' là một tập con đóng địa phương của X'; khi đó f⁻¹(L') là đóng địa phương trong X. 0B1E
Định nghĩa 3 Cho X là một không gian tôpô, R là một quan hệ tương đương trên X. Không gian thương của X theo R là tập thương X/R được trang bị tôpô là thương của tôpô của X theo quan hệ R (§ 2… 0B1F
Mệnh đề 6 Cho X là một không gian tôpô, R là một quan hệ tương đương trên X, φ là ánh xạ chính tắc từ X lên X/R; khi đó một ánh xạ f từ X/R vào một không gian tôpô Y là liên tục khi và chỉ k… ↩ 6 0B1G
Ví dụ Xét quan hệ tương đương x ≡ y pmod1 trên đường thẳng thực R; không gian thương của R theo quan hệ này được gọi là xuyến một chiều và được ký hiệu bởi T. Lớp tương đương của một điể… 0B1H
Hệ quả Cho X, Y là hai không gian tôpô, R (tương ứng S) là một quan hệ tương đương trên X (tương ứng Y), và cho f : X → Y là một ánh xạ liên tục tương thích với các quan hệ tương đương R… ↩ 1 0B1I
Mệnh đề 7 (Tính bắc cầu của các không gian thương) Cho R và S là hai quan hệ tương đương trên một không gian tôpô X sao cho R kéo theo S, và gọi S/R là quan hệ tương đương thương trên không gian thương X/R (Lý thuyết tập hợp R, § 5… ↩ 2 0B1J
Mệnh đề 8 Cho f = ψ ∘ g ∘ φ là phân tích chính tắc của một ánh xạ liên tục f : X → Y, và gọi R là quan hệ tương đương f(x) = f(y). Khi đó ba điều kiện sau là tương đương: a) g là một đồng ph… ↩ 1 0B1K
Ví dụ Cho X là một không gian tôpô, (Xᵢ)_i ∈ I là một phủ của X, Y là tổng của các không gian con Xᵢ của X; khi đó có một phân hoạch (Yᵢ)_i ∈ I của Y thành các không gian con vừa mở vừa… 0B1L
Mệnh đề 9 Cho f : X → Y là một toàn ánh liên tục, và gọi R là quan hệ tương đương f(x) = f(y). Nếu tồn tại một tiết diện liên tục s : Y → X liên kết với f (Lý thuyết tập hợp, Chương II, § 3… 0B1M
Mệnh đề 10 Song ánh chính tắc h : A/R_A → f(A) là liên tục. Hơn nữa, ba mệnh đề sau là tương đương: ↩ 5 0B1N
Hệ quả 1 Nếu A là một tập con mở (tương ứng, đóng) của X bão hòa đối với R, thì ánh xạ chính tắc h : A/R_A → f(A) là một đồng phôi. 0B1O
Hệ quả 2 Nếu tồn tại một ánh xạ liên tục u : X → A sao cho u(x) đồng dư với x mod R với mọi x ∈ X, thì f(A) = X/R và ánh xạ chính tắc h : A/R_A → X/R là một đồng phôi. ↩ 1 0B1P
Ví dụ Gọi R là quan hệ tương đương x ≡ y pmod1 trên đường thẳng thực R (no. 4, Ví dụ) và gọi A là khoảng đóng [0, 1]; A chứa ít nhất một điểm của mỗi lớp tương đương mod R. Ánh xạ chính… 0B1Q

§ 4. Tích của các không gian tôpô

Định nghĩa 1 Cho một họ (Xᵢ)_i ∈ I các không gian tôpô, không gian tích của họ này là tập hợp tích X = ∏_i ∈ I Xᵢ được trang bị tôpô là tích của các tôpô của các Xᵢ (§ 2, no. 3, Ví dụ 3). Các k… 0B27
Ví dụ \ Tích Rⁿ của n không gian đồng nhất với đường thẳng thực R được gọi là không gian số thực n chiều; R² cũng được gọi là mặt phẳng thực (x. Chương VI, § 1). Tương tự, xuất phát từ đ… 0B28
Mệnh đề 1 Cho f = (fᵢ) là một ánh xạ từ một không gian tôpô Y vào một không gian tích X = ∏_i ∈ I Xᵢ. Khi đó f liên tục tại một điểm a ∈ Y nếu và chỉ nếu fᵢ liên tục tại a với mọi i ∈ I. ↩ 11 0B29
Hệ quả 1 Cho (Xᵢ)_i ∈ I, (Yᵢ)_i ∈ I là hai họ không gian tôpô có cùng tập chỉ số. Với mỗi i ∈ I, cho fᵢ là một ánh xạ từ Xᵢ vào Yᵢ. Để ánh xạ tích f : (xᵢ) → (fᵢ(xᵢ)) từ ∏_i ∈ I Xᵢ vào ∏_i… ↩ 5 0B2A
Hệ quả 2 Cho X, Y là hai không gian tôpô. Để một ánh xạ f : X → Y là liên tục, điều kiện cần và đủ là ánh xạ g : x → (x, f(x)) là một đồng phôi của X lên đồ thị G của f (được xét như một kh… ↩ 1 0B2B
Mệnh đề 2 (Tính kết hợp của các tích tôpô) Cho (Xᵢ)_i ∈ I là một họ các không gian tôpô, (Jₓ)_x ∈ K là một phân hoạch của tập hợp I, và với mỗi x ∈ K đặt X'ₓ = ∏_i ∈ Jₓ Xᵢ là tích của các không gian Xᵢ với i ∈ J_K. Khi đó á… ↩ 4 0B2C
Hệ quả Cho σ là một phép hoán vị của tập hợp I. Khi đó ánh xạ (xᵢ) → (x_σ(i)) là một đồng phôi của ∏_i ∈ I Xᵢ lên ∏_i ∈ I X_σ(i). 0B2D
Mệnh đề 3 Cho X là một tập hợp, (Yᵢ)_i ∈ I là một họ các không gian tôpô, và với mỗi i ∈ I cho fᵢ là một ánh xạ từ X vào Yᵢ. Gọi f là ánh xạ x → (fᵢ(x)) từ X vào Y = ∏_i ∈ I Yᵢ, và gọi 𝔗 là… ↩ 4 0B2E
Hệ quả Với mỗi i ∈ I gọi Aᵢ là một không gian con của Yᵢ. Khi đó tôpô cảm sinh trên A = ∏_i ∈ I Aᵢ bởi tôpô tích trên ∏_i ∈ I Yᵢ là tích của các tôpô của các không gian con Aᵢ. 0B2F
Mệnh đề 4 Cho X₁, X₂ là hai không gian tôpô; khi đó với mỗi a₁ ∈ X₁, ánh xạ x₂ → (a₁, x₂) là một đồng phôi của X₂ lên không gian con a₁ × X₂ của X₁ × X₂. ↩ 2 0B2G
Hệ quả Tiết diện A(x₁) của một tập hợp mở (tương ứng, đóng) A của tích X₁ × X₂ tại một điểm tùy ý x₁ ∈ X₁ (*) là mở (tương ứng, đóng) trong X₂. ↩ 2 0B2H
Mệnh đề 5 Phép chiếu của một tập hợp mở U của tích X₁ × X₂ lên một trong hai nhân tử là một tập hợp mở. ↩ 4 0B2I
Nhận xét 1 Phép chiếu của một tập con đóng của X₁ × X₂ lên một nhân tử không nhất thiết là đóng. Chẳng hạn, trong mặt phẳng hữu tỉ Q², hyperbol có phương trình là x₁ x₂ = 1 là một tập hợp đón… ↩ 1 0B2J
Mệnh đề 6 Cho X₁, X₂, Y là ba không gian tôpô, f là một ánh xạ từ không gian tích X₁ × X₂ vào Y. Nếu f liên tục tại điểm (a₁, a₂) thì ánh xạ bộ phận x₂ → f(a₁, x₂) từ X₂ vào Y liên tục tại đ… 0B2K
Nhận xét 2 Có thể xảy ra trường hợp mọi ánh xạ riêng phần được xác định bởi một ánh xạ f : X₁ × X₂ → Y đều liên tục mà f không liên tục trên X₁ × X₂ (xem Chương IX, § 5, Bài tập 23). \ Ví dụ… ↩ 1 0B2L
Mệnh đề 7 Trong một không gian tích ∏_i ∈ I Xᵢ, bao đóng của một tích các tập hợp ∏_i ∈ I Aᵢ cũng chính là tích ∏_i ∈ I overlineAᵢ của các bao đóng của chúng. ↩ 3 0B2M
Hệ quả Một tích ∏_i ∈ I Aᵢ của các tập hợp không rỗng là đóng trong không gian tích ∏_i ∈ I Xᵢ khi và chỉ khi Aᵢ là đóng trong Xᵢ với mỗi i ∈ I. ↩ 2 0B2N
Mệnh đề 8 Cho a = (aᵢ) là một điểm bất kỳ của một không gian tích X = ∏_i ∈ I Xᵢ; khi đó tập hợp D các điểm x ∈ X sao cho prᵢ x = aᵢ trừ ra với một số hữu hạn chỉ số i là trù mật trong X. ↩ 2 0B2O
Mệnh đề 9 Cho I là một tập có hướng và J là một tập con đồng cuối của I. Cho (X_α, f_αβ) là một hệ ngược các không gian tôpô được đánh chỉ số bởi I; đặt X = varprojlim X_α và gọi f_α : X → X… ↩ 4 0B2P
Hệ quả Cho A là một tập con của X và gọi A_α là f_α(A) với mỗi α ∈ I. Khi đó: ↩ 2 0B2Q
Ví dụ Cho I là một tập có hướng và (X_α)_α ∈ I là một họ các tập con của một tập hợp Y, sao cho X_α ⊃ X_β mỗi khi α ≤ β. Với mỗi α ∈ I cho 𝔗_α là một tôpô trên X_α sao cho 𝔗_β mịn hơn tô… 0B2R

§ 5. Ánh xạ mở và ánh xạ đóng

Định nghĩa 1 Cho X, X' là hai không gian tôpô. Một ánh xạ f : X → X' được gọi là mở (tương ứng, đóng) nếu ảnh qua f của mỗi tập mở (tương ứng, đóng) của X là mở (tương ứng, đóng) trong X'. ↩ 1 0B32
Ví dụ 1 Cho A là một không gian con của một không gian tôpô X. Khi đó đơn ánh chính tắc j : A → X là mở (tương ứng, đóng) nếu và chỉ nếu A là mở (tương ứng, đóng) trong X (§ 3, no. 1). 0B33
Ví dụ 2 Để một song ánh f từ một không gian tôpô X lên một không gian tôpô X' là một đồng phôi thì điều kiện cần và đủ là f liên tục và mở, hoặc liên tục và đóng. 0B34
Ví dụ 3 Cho f là một toàn ánh từ một tập hợp X lên một không gian tôpô X'; nếu ta trang bị cho X tôpô là ảnh ngược theo f của tôpô của X' (§ 2, no. 3, Ví dụ 1), thì f là liên tục, mở và đó… ↩ 1 0B35
Ví dụ 4 Trong một không gian tích X = ∏_i ∈ I Xᵢ, mỗi phép chiếu prᵢ : X → Xᵢ là một ánh xạ liên tục và mở, nhưng không nhất thiết là đóng (§ 4, no. 2, Mệnh đề 5). ↩ 1 0B36
Ví dụ 5 \ Một hàm chỉnh hình trên một tập con mở A của C là một ánh xạ mở từ A vào C. \ 0B37
Ví dụ 6 Cho X, X' là hai không gian tôpô và f là một song ánh liên tục, nhưng không song liên tục, từ X lên X'. Khi đó song ánh ngược g : X' → X là một ánh xạ mở và đóng từ X' lên X, nhưng… 0B38
Mệnh đề 1 Cho X, X', X'' là ba không gian tôpô, và cho f : X → X', \ g : X' → X'' là hai ánh xạ. Khi đó: ↩ 4 0B39
Mệnh đề 2 Cho X, Y là hai không gian tôpô, f là một ánh xạ từ X vào Y. Với mỗi tập con T của Y, ký hiệu f_T là ánh xạ từ f⁻¹(T) vào T trùng với f trên f⁻¹(T). ↩ 3 0B3A
Hệ quả Nếu (T(i))_i ∈ I là một họ các tập con của Y mà các phần trong của chúng phủ Y, hoặc là một phủ đóng hữu hạn địa phương của Y, nếu f : X → Y liên tục và nếu mỗi ánh xạ f_T(i) là mộ… 0B3B
Định nghĩa 2 Một quan hệ tương đương R trên một không gian tôpô X được gọi là mở (tương ứng, đóng) nếu ánh xạ chính tắc của X lên X/R là mở (tương ứng, đóng). 0B3C
Ví dụ 1 Cho X là một không gian tôpô, Γ là một nhóm các phép đồng phôi của X lên chính nó, và gọi R là quan hệ tương đương 0B3D
Ví dụ 2 Cho X là tổng của một họ (Xᵢ) các không gian con của X, và gọi X/R là không gian thu được bằng cách dán lại các Xᵢ dọc theo các tập con mở Aᵢₓ nhờ các song ánh hᵢₓ (§ 2, no. 5); và… ↩ 1 0B3E
Ví dụ 3 Với ký hiệu của Ví dụ 2, bây giờ giả sử rằng các Aᵢₓ là đóng và các h_x! là các đồng phôi; hơn nữa giả sử rằng với mỗi chỉ số i chỉ có một số hữu hạn chỉ số x sao cho Aᵢₓ ≠ ∅ (tức… ↩ 1 0B3F
Mệnh đề 3 Cho X, Y là hai không gian tôpô, cho f : X → Y là một ánh xạ liên tục, cho R là quan hệ tương đương f(x) = f(y) trên X, và cho X xrightarrowp X/R xrightarrowh f(X) xrightarrowi Y l… ↩ 4 0B3G
Mệnh đề 4 Cho R là một quan hệ tương đương mở (resp. đóng) trên một không gian tôpô X, và f là ánh xạ chính tắc X → X/R. Cho A là một tập con của X và giả sử rằng một trong hai điều kiện sau… ↩ 3 0B3H
Mệnh đề 5 Cho X, Y là hai không gian tôpô, f là một ánh xạ từ X vào Y, 𝔅 là một cơ sở của tôpô trên X. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: ↩ 6 0B3I
Mệnh đề 6 Cho R là một quan hệ tương đương trên một không gian tôpô X; khi đó ba điều kiện sau là tương đương: ↩ 1 0B3J
Mệnh đề 7 Cho R là một quan hệ tương đương mở trên một không gian tôpô X, và gọi φ : X → X/R là ánh xạ chính tắc. Nếu A là một tập con bất kỳ của X bão hòa đối với R, thì bao đóng (tương ứng… ↩ 1 0B3K
Mệnh đề 8 Cho (Xᵢ)_i ∈ I, (Yᵢ)_i ∈ I là hai họ không gian tôpô được đánh chỉ số bởi cùng một tập hợp I. Với mỗi i ∈ I cho fᵢ là một ánh xạ mở từ Xᵢ vào Yᵢ, và giả sử rằng fᵢ là toàn ánh với… ↩ 1 0B3L
Hệ quả Cho (Xᵢ)_i ∈ I là một họ các không gian tôpô, và với mỗi i ∈ I cho Rᵢ là một quan hệ tương đương trên Xᵢ, và cho fᵢ là ánh xạ chính tắc Xᵢ → Xᵢ/Rᵢ. Cho R là quan hệ tương đương tro… ↩ 4 0B3M
Mệnh đề 9 Cho X, X' là hai không gian tôpô. Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ f : X → X' là liên tục và đóng là f(Ā) = f(A) với mọi tập con A của X. ↩ 1 0B3N
Mệnh đề 10 Cho R là một quan hệ tương đương trên một không gian tôpô X. Khi đó R là đóng nếu và chỉ nếu mỗi lớp tương đương M mod R có một hệ cơ bản các lân cận bão hòa đối với R. ↩ 5 0B3O
Nhận xét Mệnh đề 10 kéo theo điều sau đây: nếu R là đóng và nếu φ ký hiệu ánh xạ chính tắc X → X/R, thì với mỗi x ∈ X và mỗi lân cận U của lớp tương đương của x trong X, φ(U) là một lân cận… 0B3P

§ 6. Bộ lọc

Định nghĩa 1 Một bộ lọc trên một tập hợp X là một tập hợp 𝔉 gồm các tập con của X có các tính chất sau: 0B3X
Định nghĩa 2 Cho hai lọc 𝔉, 𝔉' trên cùng một tập hợp X, ta nói 𝔉' mịn hơn 𝔉, hoặc 𝔉 thô hơn 𝔉', nếu 𝔉 ⊂ 𝔉. Nếu còn có 𝔉 ≠ 𝔉', thì ta nói 𝔉' mịn hơn thực sự 𝔉, hoặc 𝔉 thô hơn thực sự 𝔉'. 0B3Y
Mệnh đề 1 Một điều kiện cần và đủ để tồn tại một lọc trên X chứa một tập hợp 𝔊 các tập con của X là không có tập con hữu hạn nào của 𝔊 có giao rỗng. ↩ 7 0B3Z
Ví dụ Cho S là một tập hợp bất kỳ các tập con của một tập hợp X, và cho 𝔗 là tôpô trên X được sinh bởi S (S 2, no. 3, Ví dụ II). Vì tập hợp các giao hữu hạn của các tập hợp của S là một… 0B40
Hệ quả 1 Cho 𝔉 là một bộ lọc trên một tập hợp X, và A là một tập con của X. Khi đó tồn tại một bộ lọc 𝔉' mịn hơn 𝔉 và sao cho A ∈ 𝔉', khi và chỉ khi A giao với mọi tập hợp của 𝔉. ↩ 3 0B41
Hệ quả 2 Một tập hợp Φ các bộ lọc trên một tập hợp không rỗng X có một cận trên bé nhất trong tập hợp tất cả các bộ lọc trên X khi và chỉ khi, với mọi dãy hữu hạn (𝔉ᵢ)_1 ≤ i ≤ n các phần tử… ↩ 3 0B42
Hệ quả 3 Tập hợp có thứ tự của tất cả các bộ lọc trên một tập hợp không rỗng X là quy nạp. ↩ 1 0B43
Mệnh đề 2 Cho 𝔅 là một tập hợp các tập con của một tập hợp X. Khi đó tập hợp các tập con của X chứa một tập hợp của 𝔅 là một bộ lọc khi và chỉ khi 𝔅 có hai tính chất sau: (BI) Giao của hai t… 0B44
Định nghĩa 3 Một tập hợp 𝔅 các tập con của một tập hợp X thỏa mãn các tiên đề (BI) và (B{II}) được gọi là một cơ sở của bộ lọc mà nó sinh ra. Hai cơ sở bộ lọc được nói là tương đương nếu chúng… ↩ 1 0B45
Mệnh đề 3 Một tập con 𝔅 của một lọc 𝔉 trên X là một cơ sở của 𝔉 khi và chỉ khi mọi tập của 𝔉 chứa một tập của 𝔅. ↩ 5 0B46
Mệnh đề 4 Trên một tập X, một lọc 𝔉' với cơ sở 𝔅' mịn hơn một lọc 𝔉 với cơ sở 𝔅 khi và chỉ khi mọi tập của 𝔅 chứa một tập của 𝔅'. ↩ 2 0B47
Hệ quả Hai cơ sở lọc 𝔅, 𝔅' trên một tập X là tương đương khi và chỉ khi mọi tập của 𝔅 chứa một tập của 𝔅' và mọi tập của 𝔅' chứa một tập của 𝔅. ↩ 1 0B48
Định nghĩa 4 Một lọc siêu trên một tập hợp X là một lọc 𝔉 sao cho không có lọc nào trên X mịn hơn thực sự 𝔉 (nói cách khác, là một phần tử cực đại trong tập hợp có thứ tự của tất cả các lọc trê… 0B49
Định lý 1 Nếu 𝔉 là một lọc bất kỳ trên một tập hợp X, thì có một lọc siêu mịn hơn 𝔉. ↩ 3 0B4A
Mệnh đề 5 Cho 𝔉 là một lọc siêu trên một tập hợp X. Nếu A và B là hai tập con của X sao cho A ∪ B ∈ 𝔉, thì hoặc A ∈ 𝔉 hoặc B ∈ 𝔉. ↩ 5 0B4B
Hệ quả Nếu hợp của một dãy hữu hạn (Aᵢ)_1 ≤ i ≤ n các tập con của X thuộc một lọc siêu 𝔉, thì ít nhất một trong các Aᵢ thuộc 𝔉. ↩ 2 0B4C
Mệnh đề 6 Cho 𝔊 là một cơ sở phụ của một bộ lọc trên một tập hợp X. Nếu với mỗi tập con Y của X ta có hoặc là Y ∈ 𝔊 hoặc là complement Y ∈ 𝔊, thì 𝔊 là một siêu lọc trên X. ↩ 1 0B4D
Nhận xét Nếu X chứa ít nhất hai phần tử, thì có ít nhất hai siêu lọc phân biệt trên X, và do đó tập hợp có thứ tự của các bộ lọc trên X không có phần tử lớn nhất. 0B4E
Mệnh đề 7 Mọi bộ lọc 𝔉 trên một tập hợp X là giao của các siêu lọc mịn hơn 𝔉. ↩ 2 0B4F
Mệnh đề 8 Cho 𝔉 là một bộ lọc trên một tập hợp X và A là một tập con của X. Khi đó vết 𝔉_A của 𝔉 trên A là một bộ lọc khi và chỉ khi mỗi tập hợp của 𝔉 giao với A. ↩ 1 0B4G
Định nghĩa 5 Cho A là một tập con của một tập hợp X và 𝔉 là một lọc trên X. Nếu vết của 𝔉 trên A là một lọc trên A, thì lọc này được gọi là cảm sinh bởi 𝔉 trên A. 0B4H
Ví dụ Cho X là một không gian tôpô, A một tập con của X, x một điểm của X. Để vết trên A của lọc lân cận 𝔅 của x là một lọc trên A, điều kiện cần và đủ là mọi lân cận của x đều giao với… 0B4I
Mệnh đề 9 Một lọc cực đại U trên một tập hợp X cảm sinh một lọc trên một tập con A của X khi và chỉ khi A ∈ U; và nếu điều kiện này được thỏa mãn thì U_A là một lọc cực đại trên A. 0B4J
Mệnh đề 10 Nếu 𝔅 là một cơ sở lọc siêu lọc trên một tập hợp X và nếu f là một ánh xạ của X vào một tập hợp X', thì f(𝔅) là một cơ sở lọc siêu lọc trên X'. ↩ 2 0B4K
Định nghĩa 6 Một lọc 𝔉ᵢ trên mỗi tập hợp Xᵢ của một họ các tập hợp (Xᵢ)_i ∈ I được cho, tích của các lọc 𝔉ᵢ là lọc trên X = ∏_i ∈ I Xᵢ có một cơ sở là tập hợp các tập con của X có dạng ∏_i ∈ I… 0B4L
Định nghĩa 7 Cho (xₙ)_n ∈ N là một dãy vô hạn các phần tử của một tập hợp X. Bộ lọc sơ cấp liên kết với dãy (xₙ) là bộ lọc sinh bởi ảnh của bộ lọc Fréchet (no. 1) qua ánh xạ n → xₙ từ N vào X. 0B4M
Mệnh đề 11 Nếu một bộ lọc 𝔉 có một cơ sở đếm được, thì nó là giao của các bộ lọc sơ cấp mịn hơn 𝔉. ↩ 2 0B4N
Nhận xét Một bộ lọc thô hơn một bộ lọc có một cơ sở đếm được không nhất thiết phải có một cơ sở đếm được; ví dụ, nếu X là một tập hợp vô hạn không đếm được, thì bộ lọc gồm các phần bù của c… 0B4O
Nhận xét 1 Mọi ánh xạ f của một tập con M của X vào X', trong đó M thuộc về 𝔉, đều tương đương mod S với một ánh xạ f₁ của X vào X' (điều này biện minh cho thuật ngữ trên đây): chỉ cần mở rộn… 0B4P
Nhận xét 2 Các hàm đặc trưng φ_M và φ_N của hai tập con M và N của X có cùng một mầm đối với 𝔉 khi và chỉ khi M và N có cùng một mầm đối với 𝔉. 0B4Q

§ 7. Giới hạn

Định nghĩa 1 Cho X là một không gian tôpô và 𝔉 là một bộ lọc trên X. Một điểm x ∈ X được gọi là một điểm giới hạn (hoặc đơn giản là một giới hạn) của 𝔉, nếu 𝔉 mịn hơn bộ lọc lân cận 𝔅(x) của x… ↩ 1 0B5B
Mệnh đề 1 Một cơ sở lọc 𝔅 trên một không gian tôpô X hội tụ tới x khi và chỉ khi mọi tập hợp của một hệ cơ bản các lân cận của x đều chứa một tập hợp của 𝔅. 0B5C
Mệnh đề 2 Một bộ lọc 𝔉 trên một không gian tôpô X hội tụ đến một điểm x khi và chỉ khi mọi siêu bộ lọc mịn hơn 𝔉 đều hội tụ đến x. 0B5D
Định nghĩa 2 Trong một không gian tôpô X, một điểm x là một điểm tụ của một cơ sở lọc 𝔅 trên X nếu nó nằm trong bao đóng của mọi tập hợp thuộc 𝔅. 0B5E
Mệnh đề 3 Một điểm x là một điểm tụ của một cơ sở lọc B khi và chỉ khi mọi tập hợp của một hệ cơ bản các lân cận của x đều giao với mọi tập hợp của B. 0B5F
Mệnh đề 4 Một điểm x là một điểm tụ của một bộ lọc 𝔉 khi và chỉ khi tồn tại một bộ lọc mịn hơn 𝔉 và hội tụ đến x. ↩ 1 0B5G
Hệ quả Một siêu bộ lọc 𝔘 hội tụ đến một điểm x khi và chỉ khi x là một điểm tụ của 𝔘. ↩ 1 0B5H
Mệnh đề 5 Tập hợp các điểm tụ của một cơ sở bộ lọc trên một không gian tôpô X là đóng trong X. ↩ 1 0B5I
Mệnh đề 6 Cho 𝔅 là một cơ sở bộ lọc trên một tập con A của một không gian tôpô X. Khi đó mọi điểm tụ của 𝔅 trong X đều thuộc overlineA; và ngược lại mọi điểm của overlineA đều là một điểm gi… 0B5J
Nhận xét Một bộ lọc trên một không gian tôpô có thể không có điểm tụ nào (và a fortiori không có điểm giới hạn nào); ví dụ, trong một không gian rời rạc vô hạn thì bộ lọc các phần bù của cá… 0B5K
Định nghĩa 3 Cho f là một ánh xạ từ một tập hợp X vào một không gian tôpô Y, và cho 𝔉 là một bộ lọc trên X. Một điểm y ∈ Y được gọi là một điểm giới hạn (hoặc đơn giản là một giới hạn) (resp. đ… 0B5L
Mệnh đề 7 Một điểm y ∈ Y là một giới hạn của f đối với bộ lọc 𝔉 khi và chỉ khi, với mỗi lân cận V của y trong Y, tồn tại một tập hợp M ∈ 𝔉 sao cho f(M) ⊂ V (nghĩa là overlinef(V) ∈ 𝔉 với mỗi… ↩ 2 0B5M
Ví dụ 1 Một dãy các điểm (xₙ)_n ∈ N của một không gian tôpô là một ánh xạ n → xₙ từ N vào X. Trong giải tích người ta thường dùng các khái niệm điểm giới hạn và điểm tụ của một ánh xạ như… 0B5N
Ví dụ 2 Nói chung hơn, cho f là một ánh xạ từ một tập hợp có hướng A vào một không gian tôpô X. Nếu x ∈ X là một giới hạn (tương ứng, điểm tụ) của f đối với bộ lọc tiết diện của A thì nói… 0B5O
Mệnh đề 8 Cho f là một ánh xạ từ một tập hợp X vào một không gian tôpô Y; khi đó y ∈ Y là một điểm tụ của f đối với 𝔉 nếu và chỉ nếu tồn tại một bộ lọc 𝔊 trên X mịn hơn 𝔉 và sao cho y là một… 0B5P
Nhận xét Nếu y ∈ Y là một giới hạn (tương ứng, điểm tụ) của một ánh xạ f : X → Y đối với một bộ lọc 𝔉 trên X, thì y cũng là một giới hạn (tương ứng, điểm tụ) của mọi hàm g : X → Y có cùng m… 0B5Q
Mệnh đề 9 Một ánh xạ f từ một không gian tôpô X vào một không gian tôpô Y liên tục tại điểm a ∈ X khi và chỉ khi lim_i ∈ I f(x) = f(a). ↩ 6 0B5R
Hệ quả 1 Cho X, Y là hai không gian tôpô, f là một ánh xạ của X vào Y liên tục tại một điểm a ∈ X; khi đó, với mọi cơ sở lọc 𝔅 trên X hội tụ đến a, cơ sở lọc f(𝔅) hội tụ đến f(a). Ngược lại… ↩ 6 0B5S
Hệ quả 2 Nếu g là một ánh xạ từ một tập hợp Z vào một không gian tôpô X, có giới hạn a đối với một bộ lọc 𝔉 trên Z, thì nếu ánh xạ f : X → Y liên tục tại a, hợp thành f ∘ g có f(a) làm một… 0B5T
Mệnh đề 10 Cho X là một tập hợp, cho (Yᵢ)_i ∈ I là một họ các không gian tôpô, và với mỗi i ∈ I cho fᵢ là một ánh xạ từ X vào Yᵢ. Cho X được trang bị tôpô thô nhất 𝔗 sao cho các fᵢ là liên tụ… ↩ 3 0B5U
Hệ quả 1 Một bộ lọc 𝔉 trên một không gian tích X = ∏_i ∈ I Xᵢ hội tụ đến một điểm x khi và chỉ khi với mỗi i ∈ I cơ sở lọc prᵢ(𝔉) hội tụ đến prᵢ(x). ↩ 5 0B5V
Hệ quả 2 Cho f = (fᵢ) là một ánh xạ từ một tập hợp X vào một không gian tích Y = ∏_i ∈ I Yᵢ. Khi đó f có giới hạn y = (yᵢ) đối với một bộ lọc 𝔉 trên X nếu và chỉ nếu với mọi i ∈ I thì fᵢ có… 0B5W
Mệnh đề 11 Cho R là một quan hệ tương đương mở trên một không gian tôpô X và gọi φ là ánh xạ chính tắc X → X/R. Khi đó, với mỗi x ∈ X và mỗi cơ sở bộ lọc 𝔅' trên X/R hội tụ đến φ(x), tồn tại… ↩ 1 0B5X

§ 8. Không gian Hausdorff và không gian chính quy

Mệnh đề 1 Cho X là một không gian tôpô. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: ↩ 13 0B65
Định nghĩa 1 Một không gian tôpô thỏa mãn các điều kiện của Mệnh đề 1 được gọi là một không gian Hausdorff hay tách biệt; tôpô của một không gian như vậy được gọi là một tôpô Hausdorff. 0B66
Ví dụ Mọi không gian rời rạc đều là Hausdorff. Đường thẳng hữu tỉ Q là Hausdorff, vì nếu x, y là hai số hữu tỉ sao cho x < y thì tồn tại một số hữu tỉ z sao cho x < z < y, và các lân cận… 0B67
Mệnh đề 2 Cho f, g là hai ánh xạ liên tục từ một không gian tôpô X vào một không gian Hausdorff Y; khi đó tập hợp tất cả các x ∈ X sao cho f(x) = g(x) là đóng trong X. ↩ 16 0B68
Hệ quả 1 (Nguyên lý mở rộng các đồng nhất thức) Cho f, g là hai ánh xạ liên tục từ một không gian tôpô X vào một không gian Hausdorff Y. Nếu f(x) = g(x) tại mọi điểm của một tập con trù mật của X, thì f = g. ↩ 10 0B69
Hệ quả 2 Nếu f là một ánh xạ liên tục từ một không gian tôpô X vào một không gian Hausdorff Y, thì đồ thị của f là đóng trong X × Y. ↩ 4 0B6A
Mệnh đề 3 Cho (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n là một họ hữu hạn các điểm phân biệt của một không gian Hausdorff X; khi đó mỗi xᵢ có một lân cận Vᵢ trong X sao cho các Vᵢ (1 ≤ i ≤ n) đôi một rời nhau. 0B6B
Hệ quả Mọi không gian Hausdorff hữu hạn đều rời rạc. 0B6C
Mệnh đề 4 Mọi tập con hữu hạn của một không gian Hausdorff đều đóng. ↩ 1 0B6D
Mệnh đề 5 Cho X là một không gian tôpô và giả sử rằng với mỗi cặp điểm phân biệt x, y của X đều có một ánh xạ liên tục f từ X vào một không gian Hausdorff X' sao cho f(x) ≠ f(y). Khi đó X là… ↩ 5 0B6E
Hệ quả Mọi tôpô mịn hơn một tôpô Hausdorff đều là Hausdorff. 0B6F
Mệnh đề 6 Một không gian tôpô X là Hausdorff nếu mỗi điểm của X có một lân cận đóng là một không gian con Hausdorff của X. ↩ 2 0B6G
Mệnh đề 7 Mọi tích của các không gian Hausdorff đều là Hausdorff. Ngược lại, nếu một tích của các không gian khác rỗng là Hausdorff, thì mỗi nhân tử là một không gian Hausdorff. ↩ 5 0B6H
Hệ quả 1 Cho X là một tập hợp, cho (Yᵢ)_i ∈ I là một họ các không gian tôpô Hausdorff, và với mỗi i ∈ I cho fᵢ là một ánh xạ từ X vào Yᵢ. Trang bị cho X tôpô thô nhất 𝔗 sao cho các fᵢ đều l… 0B6I
Hệ quả 2 Cho (X_α, f_α β) là một hệ ngược các không gian tôpô. Nếu các X_α là Hausdorff, thì X = varprojlim X_α là Hausdorff và là một không gian con đóng của ∏_α X_α. ↩ 3 0B6J
Mệnh đề 8 Điều kiện cần để không gian thương X/R là Hausdorff là đồ thị C của R đóng trong X × X. Nếu quan hệ tương đương R là mở, thì điều kiện này cũng đủ. ↩ 7 0B6K
Mệnh đề 9 Nếu f là một ánh xạ liên tục từ một không gian tôpô X vào một không gian Hausdorff X', và nếu R là quan hệ tương đương f(x) = f(y), thì không gian thương X/R là Hausdorff. 0B6L
Mệnh đề 10 Nếu X là một không gian Hausdorff, và nếu X có một tiết diện liên tục s đối với quan hệ tương đương R, thì X/R là Hausdorff và s(X/R) đóng trong X. ↩ 1 0B6M
Mệnh đề 11 Các tính chất sau của một không gian tôpô X là tương đương: 0B6N
Định nghĩa 2 Một không gian tôpô được gọi là chính quy nếu nó là Hausdorff và thỏa mãn tiên đề (O{III}); khi đó tôpô của nó được gọi là chính quy. 0B6O
Mệnh đề 12 Mọi không gian con của một không gian chính quy đều chính quy. 0B6P
Mệnh đề 13 Nếu mọi điểm x của một không gian tôpô X đều có một lân cận đóng là một không gian con chính quy của X, thì X là chính quy. ↩ 2 0B6Q
Nhận xét 1 Có những ví dụ về các không gian không Hausdorff trong đó mọi điểm đều có một lân cận chính quy (Bài tập 7). 0B6R
Nhận xét 2 Có những không gian Hausdorff nhưng không chính quy (Bài tập 20). 0B6S
Nhận xét 3 Một tôpô mịn hơn một tôpô chính quy không nhất thiết là chính quy (Bài tập 20). 0B6T
Định lý 1 Cho X là một không gian tôpô, A là một tập con trù mật của X, f : A → Y là một ánh xạ từ A vào một không gian chính quy Y. Điều kiện cần và đủ để f mở rộng thành một ánh xạ liên tụ… ↩ 3 0B6U
Hệ quả Cho 𝔉₁ là một bộ lọc trên một tập hợp X₁, và 𝔉₂ là một bộ lọc trên một tập hợp X₂; cho 𝔉₁ × 𝔉₂ là bộ lọc tích (§ 6, no. 7) trên X = X₁ × X₂, và cho f là một ánh xạ từ X vào một khô… 0B6V
Mệnh đề 14 Cho X là một không gian chính quy, R là một quan hệ tương đương đóng trên X. Khi đó đồ thị C của R trong X × X là đóng. ↩ 2 0B6W
Hệ quả Trên một không gian chính quy, mọi quan hệ tương đương vừa mở vừa đóng đều là Hausdorff. 0B6X
Mệnh đề 15 Cho X là một không gian chính quy, F một tập con đóng của X, R là quan hệ tương đương trên X thu được bằng cách đồng nhất tất cả các điểm của F [nói cách khác, quan hệ tương đương… ↩ 2 0B6Y

§ 9. Các không gian compact và các không gian compact địa phương

Định nghĩa 1 Một không gian tôpô X được gọi là quasi-compact nếu nó thỏa mãn tiên đề sau: ↩ 1 0B7S
Ví dụ 1 Mọi không gian hữu hạn đều quasi-compact, và nói chung mọi không gian chỉ có một số hữu hạn các tập hợp mở đều quasi-compact. Một không gian hữu hạn là compact khi và chỉ khi nó rờ… 0B7T
Ví dụ 2 Cho X là một tập hợp, và trang bị cho X tôpô trong đó các tập đóng là X và tất cả các tập con hữu hạn của X [tập hợp các tập con này hiển nhiên thỏa mãn các tiên đề (O'₁) và (O'_II… ↩ 1 0B7U
Nhận xét Các không gian quasi-compact (không Hausdorff) chủ yếu có ích trong các ứng dụng của tôpô vào hình học đại số và hiếm khi xuất hiện trong các lý thuyết toán học khác, nơi mà ngược… 0B7V
Định lý 1 Cho 𝔉 là một bộ lọc trên một không gian quasi-compact X và cho A là tập hợp các điểm tụ của 𝔉. Khi đó mọi lân cận của A đều thuộc 𝔉. ↩ 3 0B7W
Hệ quả Để một bộ lọc trên một không gian compact hội tụ thì cần và đủ là nó có một điểm tụ duy nhất. ↩ 3 0B7X
Mệnh đề 1 Cho X là một không gian compact, x là một điểm của X. Để một cơ sở của bộ lọc B gồm các lân cận đóng của x là một hệ cơ bản các lân cận của x thì cần và đủ là giao của các tập của… ↩ 2 0B7Y
Hệ quả Mọi không gian compact đều chính quy. ↩ 1 0B7Z
Mệnh đề 2 Cho X là một không gian compact và cho A, B là hai tập con đóng rời nhau của X. Khi đó tồn tại hai tập mở U, V, sao cho U ∩ V = ∅ và A ⊂ U và B ⊂ V. ↩ 3 0B80
Định nghĩa 2 Một tập con A của một không gian tôpô X được gọi là một tập quasi-compact (resp. compact) nếu không gian con A là quasi-compact (resp. compact). 0B81
Ví dụ 1 Trong một không gian tôpô X, mọi tập con hữu hạn đều quasi-compact; tập rỗng và mọi tập hợp gồm một điểm đều compact. 0B82
Ví dụ 2 Trong một không gian tôpô X, cho (xₙ)_n ∈ N là một dãy vô hạn các điểm hội tụ đến một điểm a; khi đó tập A gồm các điểm xₙ (n ∈ N) và a là quasi-compact. Thật vậy, nếu (Uᵢ) là một… ↩ 1 0B83
Mệnh đề 3 Mọi tập con đóng của một không gian quasi-compact (resp. compact) đều quasi-compact (resp. compact). ↩ 6 0B84
Mệnh đề 4 Mọi tập con compact của một không gian Hausdorff đều đóng. ↩ 8 0B85
Hệ quả Trong một không gian compact X một tập con A là compact nếu và chỉ nếu nó đóng trong X. 0B86
Mệnh đề 5 Hợp của một họ hữu hạn các tập con quasi-compact của một không gian tôpô là quasi-compact. ↩ 3 0B87
Định nghĩa 3 Một tập con A của một không gian tôpô X được gọi là tương đối quasi-compact (resp. tương đối compact) trong X nếu A được chứa trong một tập con quasi-compact (resp. compact) của X. 0B88
Mệnh đề 6 Nếu X là một không gian Hausdorff, thì một tập con A của X là tương đối compact khi và chỉ khi overlineA là compact. 0B89
Mệnh đề 7 Nếu A là một tập con quasi-compact tương đối của một không gian tôpô X, thì mọi cơ sở lọc trên A đều có một điểm tụ trong X. \ ↩ 1 0B8A
Nhận xét Trong một không gian không Hausdorff, một tập compact không nhất thiết đóng, và bao đóng của nó không nhất thiết quasi-compact (Bài tập 5); giao của hai tập compact không nhất thiế… 0B8B
Định lý 2 Nếu f là một ánh xạ liên tục từ một không gian quasi-compact X vào một không gian tôpô X', thì tập f(X) là quasi-compact. ↩ 17 0B8C
Hệ quả 1 Cho f là một ánh xạ liên tục của một không gian tôpô X vào một không gian Hausdorff X'. Khi đó ảnh qua f của bất kỳ tập gần compact nào (tương ứng gần compact tương đối) trong X là… ↩ 9 0B8D
Hệ quả 2 Mọi ánh xạ liên tục f của một không gian gần compact X vào một không gian Hausdorff X' đều là ánh xạ đóng. Nếu thêm f là song ánh, thì f là một đồng phôi. ↩ 9 0B8E
Hệ quả 3 Một tôpô Hausdorff thô hơn tôpô của một không gian gần compact phải trùng với tôpô nói trên. ↩ 1 0B8F
Hệ quả 4 Cho X là một không gian tôpô và R là một quan hệ tương đương Hausdorff trên X. ↩ 2 0B8G
Định lý 3 (Tychonoff) Mọi tích của các không gian gần compact (tương ứng compact) đều là gần compact (tương ứng compact). Ngược lại, nếu một tích của các không gian không rỗng là gần compact (tương ứng… ↩ 6 0B8H
Hệ quả Để một tập con của một tích các không gian tôpô là gần compact tương đối thì điều kiện cần và đủ là mỗi ảnh chiếu của nó phải gần compact tương đối trong nhân tử tương ứng. 0B8I
Mệnh đề 8 Cho (X_α, f_αβ) là một hệ ngược các không gian compact được chỉ số bởi một tập có hướng I sao cho f_αα là ánh xạ đồng nhất với mỗi α ∈ I. Đặt X = varprojlim X_α là giới hạn ngược v… ↩ 4 0B8J
Hệ quả 1 Cho (X_α, f_αβ) là một hệ ngược các không gian tôpô được chỉ số bởi một tập có hướng, sao cho với mỗi cặp chỉ số α, β mà α ≤ β và với mỗi x_α ∈ X_α, overlinef_αβ⁻¹(x_α) là compact… ↩ 2 0B8K
Hệ quả 2 Cho (X_α, f_αβ) và (X'_α, f'_αβ) là hai hệ ngược các không gian tôpô được chỉ số bởi cùng một tập có hướng I, và cho (u_α) là một hệ ngược các ánh xạ u_α : X_α → X'_α. Đặt X = varp… ↩ 2 0B8L
Định nghĩa 4 Một không gian tôpô X được gọi là địa phương compact nếu nó là Hausdorff và nếu mỗi điểm của X đều có một lân cận compact. 0B8M
Mệnh đề 9 Mọi không gian địa phương compact đều chính quy. 0B8N
Hệ quả Trong một không gian địa phương compact, mỗi điểm đều có một hệ cơ bản các lân cận compact. 0B8O
Mệnh đề 10 Trong một không gian địa phương compact X, mọi tập compact K đều có một hệ cơ bản các lân cận compact. ↩ 5 0B8P
Mệnh đề 11 Cho X là một không gian địa phương compact và F là một tập con của X sao cho F \cap K là compact hễ khi nào K là một tập con compact của X. Khi đó F đóng trong X. 0B8Q
Mệnh đề 12 Trong một không gian Hausdorff X, mọi không gian con địa phương compact A đều đóng địa phương. ↩ 1 0B8R
Mệnh đề 13 Mọi không gian con đóng địa phương của một không gian địa phương compact X đều địa phương compact. ↩ 5 0B8S
Mệnh đề 14 a) Cho (Xᵢ)_i ∈ I là một họ các không gian địa phương compact sao cho Xᵢ compact đối với mọi chỉ số trừ một số hữu hạn. Khi đó không gian tích X = ∏_i ∈ I Xᵢ là địa phương compact. ↩ 1 0B8T
Định lý 4 (Alexandroff) ========== ↩ 8 0B8U
Định nghĩa 5 Một không gian địa phương compact X được gọi là σ-compact hay đếm được tại vô cùng nếu nó là một hợp đếm được của các tập con compact. 0B8V
Ví dụ 1 Một không gian rời rạc là σ-compact khi và chỉ khi nó đếm được. 0B8W
Ví dụ 2 \ Đường thẳng thực R là địa phương compact và σ-compact, vì nó là hợp của các đoạn compact [ -n, +n ] với n ∈ N. \ 0B8X
Nhận xét Một không gian Hausdorff có thể là hợp đếm được của các không gian con compact mà không phải là địa phương compact. \ Một ví dụ là không gian Hilbert với tôpô yếu, như chúng ta sẽ… 0B8Y
Mệnh đề 15 Nếu X là một không gian địa phương compact σ-compact, thì tồn tại một dãy (Uₙ) gồm các tập con mở tương đối compact của X phủ X, sao cho overlineUₙ ⊂ Uₙ₊₁ với mỗi n. ↩ 7 0B8Z
Hệ quả 1 Với ký hiệu của Mệnh đề 15, mọi tập con compact K của X đều được chứa trong một Uₙ nào đó. ↩ 3 0B90
Hệ quả 2 Cho X là một không gian địa phương compact và cho X' là không gian compact thu được bằng cách thêm vào X một điểm ở vô cùng ω (no. 8). Khi đó X là σ-compact khi và chỉ khi điểm ω c… ↩ 1 0B91
Định nghĩa 6 Một không gian tôpô được gọi là paracompact nếu nó là Hausdorff và thỏa mãn tiên đề sau: 0B92
Mệnh đề 16 Mọi không gian con đóng F của một không gian paracompact X đều là paracompact. ↩ 1 0B93
Mệnh đề 17 Tích của một không gian paracompact và một không gian compact là paracompact. ↩ 2 0B94
Mệnh đề 18 Tổng (§ 2, no. 4, Ví dụ 3) của một họ (Xᵢ)_i ∈ I các không gian paracompact là paracompact. ↩ 1 0B95
Định lý 5 À không gian compact địa phương X là paracompact khi và chỉ khi X là tổng của một họ các không gian compact σ-compact địa phương. ↩ 3 0B96
Hệ quả Cho X là một không gian compact địa phương paracompact. Khi đó mọi phủ mở ℜ của X đều có một tinh lọc mở hữu hạn địa phương ℜ' gồm các tập tương đối compact. Nếu X là σ-compact thì… 0B97

§ 10. Ánh xạ thực sự

Ví dụ Mọi ánh xạ hằng vào một không gian Hausdorff đều đóng. Nhưng nếu f là ánh xạ hằng Q → 0, thì f × ι_Q là ánh xạ (x, y) → (0, y) của Q² vào Q², do đó nó là phép chiếu thứ hai và khôn… 0BA1
Định nghĩa 1 Cho f là một ánh xạ của một không gian tôpô X vào một không gian tôpô Y. Ta nói f là thực sự nếu f liên tục và nếu ánh xạ f × ι_Z : X × Z → Y × Z là đóng, với mọi không gian tôpô Z… ↩ 1 0BA2
Mệnh đề 1 Mọi ánh xạ thực sự đều đóng. ↩ 7 0BA3
Mệnh đề 2 Cho f : X → Y là một đơn ánh liên tục. Khi đó ba mệnh đề sau là tương đương: a) f là thực sự. b) f là đóng. c) f là một đồng phôi của X lên một tập con đóng của Y. ↩ 9 0BA4
Mệnh đề 3 Cho f : X → Y là một ánh xạ liên tục. Nếu T là một tập con bất kỳ của Y, gọi f_T là ánh xạ overlinef⁻¹(T) → T trùng với f trên overlinef⁻¹(T). ↩ 8 0BA5
Mệnh đề 4 Cho I là một tập hợp hữu hạn và với mỗi i ∈ I cho fᵢ : Xᵢ → Yᵢ là một ánh xạ liên tục. Cho X = ∏_i ∈ I Xᵢ, \ Y = ∏_i ∈ I Yᵢ, và cho f : X → Y là ánh xạ tích (xᵢ) → (fᵢ(xᵢ)). Khi đó… ↩ 4 0BA6
Mệnh đề 5 Cho f : X → X' và g : X' → X'' là hai ánh xạ liên tục. a) Nếu f và g là thực sự, thì g ∘ f là thực sự. b) Nếu g ∘ f là thực sự và f là toàn ánh, thì g là thực sự. c) Nếu g ∘ f là t… ↩ 15 0BA7
Nhận xét Nếu X' không là Hausdorff thì có thể xảy ra rằng g ∘ f là thực sự còn f thì không; chẳng hạn, lấy X và X'' gồm một điểm và X' gồm hai điểm, với tôpô thô nhất. 0BA8
Hệ quả 1 Nếu f : X → Y là một ánh xạ thực sự, thì hạn chế của f lên một tập con đóng F của X là một ánh xạ thực sự của F vào Y. ↩ 1 0BA9
Hệ quả 2 Cho f : X → Y là một ánh xạ thực sự, trong đó X là Hausdorff. Khi đó không gian con f(X) của Y là Hausdorff. ↩ 2 0BAA
Hệ quả 3 Cho I là một tập hợp hữu hạn và với mỗi i ∈ I, cho fᵢ : X → Yᵢ là một ánh xạ thực sự. Nếu X là Hausdorff, thì ánh xạ x ↦ (fᵢ(x)) của X vào ∏_i ∈ I Yᵢ là thực sự. ↩ 2 0BAB
Hệ quả 4 Cho X và Y là hai không gian tôpô, f : X → Y là một ánh xạ liên tục, R là quan hệ tương đương f(x) = f(y) trên X, và X xrightarrowp X/R xrightarrowh f(X) xrightarrowi Y là phân tíc… ↩ 1 0BAC
Bổ đề 1 Cho X là một không gian tôpô sao cho ánh xạ hằng X → P là thực sự. Khi đó X là quasi-compact. ↩ 1 0BAD
Định lý 1 Cho f : X → Y là một ánh xạ liên tục. Bốn mệnh đề sau là tương đương: ↩ 19 0BAE
Bổ đề 2 Nếu (fᵢ)_i ∈ I là một họ các ánh xạ liên tục fᵢ : Xᵢ → Yᵢ, mỗi ánh xạ đều thỏa mãn điều kiện d) của Định lý 1, thì ánh xạ tích f : (xᵢ) → (fᵢ(xᵢ)) cũng thỏa mãn d). ↩ 1 0BAF
Hệ quả 1 Một không gian tôpô X là gần compact khi và chỉ khi ánh xạ X → P là thực sự. ↩ 4 0BAG
Hệ quả 2 Mọi ánh xạ liên tục f của một không gian gần compact X vào một không gian Hausdorff Y đều là thực sự. ↩ 2 0BAH
Hệ quả 3 Nếu (fᵢ) là một họ các ánh xạ thực sự, thì ánh xạ tích (xᵢ) → (fᵢ(xᵢ)) là thực sự. ↩ 2 0BAI
Hệ quả 4 Cho X là một không gian Hausdorff, và cho fᵢ : X → Yᵢ là một họ các ánh xạ thực sự. Khi đó ánh xạ f : x → (fᵢ(x)) từ X vào ∏ᵢ Yᵢ là thực sự. 0BAJ
Hệ quả 5 Nếu X là một không gian gần compact bất kỳ và Y là một không gian tôpô bất kỳ, thì phép chiếu pr₂ : X × Y → Y là thực sự. ↩ 7 0BAK
Ví dụ Cho X là một tập hợp, và cho f : X → X' là một ánh xạ từ X lên một không gian tôpô X'; trang bị cho X tôpô là ảnh ngược qua f của tôpô của X'. Khi đó f là thực sự, vì f là đóng (§… 0BAL
Nhận xét Khi Y là Hausdorff, điều kiện d) của Định lý 1 tương đương với điều kiện sau: 0BAM
Mệnh đề 6 Cho f : X → Y là một ánh xạ thực sự, và K là một tập con quasi-compact của Y. Khi đó overlinef⁻¹(K) là quasi-compact. ↩ 4 0BAN
Mệnh đề 7 Cho f là một ánh xạ liên tục từ một không gian Hausdorff X vào một không gian địa phương compact Y. Khi đó f là thực sự khi và chỉ khi ảnh ngược qua f của mọi tập con compact của Y… ↩ 3 0BAO
Hệ quả Cho X, X' là hai không gian địa phương compact, và cho Y (t.ư. Y') là không gian compact thu được bằng cách thêm một điểm ở vô cực ω (t.ư. ω') vào X (t.ư. X') (§ 9, no. 8). Khi đó… ↩ 2 0BAP
Mệnh đề 8 Cho X là một không gian compact, R một quan hệ tương đương trên X, C là đồ thị của R trong X × X, f là ánh xạ chính tắc X → X/R. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: ↩ 8 0BAQ
Mệnh đề 9 Cho X là một không gian địa phương compact, R là một quan hệ tương đương trên X, C là đồ thị của R trong X × X, f là ánh xạ chính tắc X → X/R; cho X' là không gian compact thu được… ↩ 2 0BAR
Hệ quả Một không gian Hausdorff X, một không gian tôpô Y, và một ánh xạ thực sự f : X → Y. Khi đó X compact (resp. compact địa phương) khi và chỉ khi f(X) compact (resp. compact địa phươn… 0BAS
Nhận xét Nếu X compact địa phương nhưng không compact, thì một quan hệ tương đương đóng R trên X không nhất thiết Hausdorff (Chương IX, § 4, Bài tập 14); và ngay cả khi R Hausdorff, X/R khô… 0BAT
Mệnh đề 10 Cho X là một không gian compact địa phương, R là một quan hệ tương đương mở Hausdorff trên X, và cho f : X \to X/R là ánh xạ chính tắc. Khi đó X/R compact địa phương, và nếu K' là… ↩ 1 0BAU

§ 11. Tính liên thông

Định nghĩa 1 Một không gian tôpô X được gọi là liên thông nếu nó không là hợp của hai tập mở rời nhau khác rỗng. 0BBG
Ví dụ 1 Ta sẽ thấy trong Chương IV, § 2, no. 5 rằng đường thẳng thực là liên thông, còn đường thẳng hữu tỉ thì không. \ 0BBH
Ví dụ 2 Một không gian rời rạc có nhiều hơn một điểm thì không liên thông. 0BBI
Định nghĩa 2 Một tập con A của một không gian tôpô X được gọi là một tập liên thông nếu không gian con A của X là liên thông. 0BBJ
Ví dụ Trong mọi không gian tôpô, tập rỗng và mọi tập hợp gồm một điểm duy nhất đều liên thông. Trong một không gian Hausdorff X, mọi tập hữu hạn gồm nhiều hơn một điểm đều không liên thô… 0BBK
Mệnh đề 1 Nếu A là một tập liên thông, thì mọi tập hợp B sao cho A ⊂ B ⊂ overlineA là liên thông. ↩ 6 0BBL
Mệnh đề 2 Hợp của một họ các tập liên thông có giao khác rỗng là liên thông. ↩ 4 0BBM
Hệ quả Cho (Aₙ)_n ≥ 0 là một dãy vô hạn các tập liên thông sao cho Aₙ₊₁ ∩ Aₙ ≠ ∅ với mọi n ≥ 0. Khi đó hợp ⋃ₙ₌₀^∞ Aₙ là liên thông. 0BBN
Mệnh đề 3 Cho A là một tập con của một không gian tôpô X. Nếu B là một tập con liên thông của X gặp cả A và complement A, thì B gặp biên của A. ↩ 2 0BBO
Hệ quả Trong một không gian liên thông X, mọi tập hợp không rỗng khác X đều có ít nhất một điểm biên. 0BBP
Mệnh đề 4 Cho A là một tập con liên thông của một không gian tôpô X, và cho f là một ánh xạ liên tục từ X vào một không gian tôpô X'. Khi đó f(A) là liên thông. ↩ 11 0BBQ
Mệnh đề 5 Để một không gian tôpô X không liên thông, điều kiện cần và đủ là tồn tại một ánh xạ liên tục toàn ánh từ X lên một không gian rời rạc chứa nhiều hơn một điểm. ↩ 1 0BBR
Mệnh đề 6 Mọi không gian thương của một không gian liên thông đều liên thông. ↩ 1 0BBS
Mệnh đề 7 Cho X là một không gian tôpô và R là một quan hệ tương đương trên X. Nếu không gian thương X/R liên thông, và nếu mỗi lớp tương đương mod R là liên thông, thì X liên thông. ↩ 1 0BBT
Mệnh đề 8 Mọi tích của các không gian liên thông đều liên thông. Ngược lại, nếu một tích của các không gian khác rỗng là liên thông, thì mỗi không gian nhân tử đều liên thông. ↩ 5 0BBU
Định nghĩa 3 Thành phần (hay thành phần liên thông) của một điểm của một không gian tôpô X là tập con liên thông lớn nhất của X chứa điểm này. Các thành phần của một tập con A của X là các thàn… ↩ 1 0BBV
Mệnh đề 9 Thành phần của mọi điểm trong một không gian tôpô X là một tập đóng. Quan hệ "y thuộc thành phần của x" là một quan hệ tương đương R x, y trên X, và các lớp tương đương chính là cá… ↩ 1 0BBW
Mệnh đề 10 Trong một không gian tích X = ∏_i ∈ J Xᵢ, thành phần của x = (xᵢ) trong X là tích của các thành phần của xᵢ trong các thừa số Xᵢ. 0BBX
Định nghĩa 4 Một không gian tôpô X được gọi là địa phương liên thông nếu mỗi điểm của X có một hệ cơ bản các lân cận liên thông. 0BBY
Mệnh đề 11 Điều kiện cần và đủ để một không gian X là địa phương liên thông là mỗi thành phần của một tập mở trong X đều mở trong X. ↩ 4 0BBZ
Hệ quả Cho U là một tập con mở của một không gian địa phương liên thông X, và cho V là một thành phần của U. Khi đó biên của V (xét tương đối với X) được chứa trong biên của U. 0BC0
Mệnh đề 12 Mọi không gian thương của một không gian địa phương liên thông đều địa phương liên thông. ↩ 2 0BC1
Mệnh đề 13 a) Cho (Xᵢ)_i ∈ I là một họ các không gian liên thông địa phương sao cho Xᵢ liên thông với mọi chỉ số i ∈ I trừ một số hữu hạn. Khi đó không gian tích X = ∏_i ∈ I Xᵢ là liên thông… ↩ 1 0BC2
Định lý 1 Cho X là một không gian tôpô thỏa mãn tiên đề (O_III) (nhưng không nhất thiết Hausdorff), và giả sử X liên thông và liên thông địa phương. Cho Y là một không gian tôpô mà tôpô của… ↩ 3 0BC3
Bổ đề 1 Nếu x là một điểm bất kỳ của X, thì tồn tại một cặp phân biệt (W, U) sao cho x ∈ W. ↩ 1 0BC4
Bổ đề 2 Nếu (W, U) là một cặp đặc biệt thì tập hợp tất cả các cặp đặc biệt (W', U') sao cho W' giao với W là đếm được. 0BC5
Hệ quả 1 Cho Y là một không gian chính quy có tôpô có một cơ sở đếm được (). Cho X là một không gian liên thông và liên thông địa phương, và cho p : X \to Y là một ánh xạ liên tục có tính c… ↩ 2 0BC6
Hệ quả 2 Cho X là địa phương compact, liên thông và liên thông địa phương, và giả sử mỗi điểm của X có một lân cận có một cơ sở đếm được. Cho Y là một không gian Hausdorff mà tôpô của nó có… 0BC7
Hệ quả 3 (Định lý Poincaré-Volterra) Cho Y là một không gian địa phương compact, địa phương liên thông mà tôpô của nó có một cơ sở đếm được. Cho X là một không gian Hausdorff liên thông, và cho p : X → Y là một ánh xạ… 0BC8

II. Cấu trúc đều

§ 1. Không gian uniform

Định nghĩa 1 Một cấu trúc uniform (hay uniformity) trên một tập hợp X là một cấu trúc được cho bởi một tập hợp 𝔘 các tập con của X × X thỏa mãn các tiên đề (F₁) và (F_II) của Chương I, § 6, no… 0BCY
Nhận xét 1 Để làm cho ngôn ngữ biểu đạt hơn, ta có thể sử dụng các biểu thức "x đủ gần với y" và "x và y gần nhau tùy ý" trong một số mệnh đề. Chẳng hạn, ta sẽ nói rằng một quan hệ 0BCZ
Nhận xét 2 Phép hội của các tiên đề (U{II}) và (U{III}) là tương đương (giả sử các tiên đề khác của các cấu trúc uniform) với tiên đề sau: 0BD0
Nhận xét 3 Nếu X không rỗng, thì tiên đề (UI) kéo theo rằng không có tập hợp nào của 𝔘 là rỗng, và do đó 𝔘 là một lọc trên X × X. Chỉ có một uniformity trên tập rỗng, đó là 𝔘 = ∅ . 0BD1
Định nghĩa 2 Một hệ cơ sở các lân cận của một uniformity là bất kỳ tập hợp 𝔅 các lân cận nào sao cho mọi lân cận đều chứa một tập hợp thuộc 𝔅. ↩ 1 0BD2
Mệnh đề 1 Cho X là một tập hợp được trang bị một cấu trúc đều U, và với mỗi x ∈ X ký hiệu 𝔅(x) là tập hợp các tập con V(x) của X (*), trong đó V chạy qua tập hợp các lân cận của U. Khi đó tồ… ↩ 1 0BD3
Định nghĩa 3 Tôpô được xác định trong Mệnh đề 1 được gọi là tôpô cảm sinh bởi cấu trúc đều 𝔘. 0BD4
Ví dụ 1 Tôpô cảm sinh bởi cấu trúc đều cộng tính trên tập hợp các số thực là tôpô của đường thẳng thực (Chương I, § 1, no. 2); tương tự, tôpô cảm sinh bởi cấu trúc đều cộng tính trên tập h… 0BD5
Ví dụ 2 Trên một tập hợp bất kỳ X, tôpô cảm sinh bởi cấu trúc đều rời rạc (no. 1, Ví dụ 2) là tôpô rời rạc. ↩ 2 0BD6
Mệnh đề 2 Cho X là một không gian đều. Với mọi lân cận đối xứng V của X và mọi tập con M của X × X, VMV là một lân cận của M trong không gian tích X × X, và bao đóng của M trong không gian n… ↩ 5 0BD7
Hệ quả 1 Nếu A là một tập con bất kỳ của X và V là một lân cận đối xứng bất kỳ của X, thì V(A) là một lân cận của A trong X, và ↩ 1 0BD8
Hệ quả 2 Các phần trong (tương ứng, các bao đóng của) các quan hệ lân cận của X trong X × X tạo thành một hệ các quan hệ lân cận cơ bản của X. ↩ 8 0BD9
Hệ quả 3 Mọi không gian đều thỏa mãn tiên đề (O_III). ↩ 2 0BDA
Mệnh đề 3 Một không gian đều X là Hausdorff khi và chỉ khi giao của tất cả các quan hệ lân cận của cấu trúc đều của nó là đường chéo Δ của X × X. Mọi không gian đều Hausdorff đều chính quy. ↩ 1 0BDB

§ 2. Các ánh xạ liên tục đều

Định nghĩa 1 Một ánh xạ f từ một không gian đều X vào một không gian đều X' được gọi là liên tục đều nếu, với mỗi entourage V' của X', tồn tại một entourage V của X sao cho quan hệ (x, y) ∈ V k… ↩ 3 0BDH
Ví dụ 1 Ánh xạ đồng nhất của một không gian đều vào chính nó là liên tục đều. 0BDI
Ví dụ 2 Một ánh xạ hằng từ một không gian đều vào một không gian đều là liên tục đều. 0BDJ
Ví dụ 3 Mọi ánh xạ từ một không gian đều rời rạc vào một không gian đều đều là liên tục đều. 0BDK
Mệnh đề 1 Mọi ánh xạ liên tục đều đều là liên tục. ↩ 1 0BDL
Mệnh đề 2 (a) Nếu f : X → X' và g : X' → X'' là hai ánh xạ liên tục đều, thì g ∘ f : X → X'' là liên tục đều. ↩ 4 0BDM
Định nghĩa 2 Nếu 𝔘₁ và 𝔘₂ là hai cấu trúc đều trên cùng một tập hợp X, thì nói rằng 𝔘₁ mịn hơn 𝔘₂ (và 𝔘₂ thô hơn 𝔘₁) nếu, ký hiệu bởi Xᵢ tập hợp X được trang bị cấu trúc đều 𝔘ᵢ (i = 1,2), thì á… 0BDN
Ví dụ Trong tập hợp có thứ tự các cấu trúc đều trên một tập hợp X, cấu trúc đều rời rạc là mịn nhất, và cấu trúc đều thô nhất là cấu trúc mà tập hợp các entourage chỉ gồm một phần tử duy… 0BDO
Mệnh đề 3 Nếu 𝔘₁ và 𝔘₂ là hai cấu trúc đều trên một tập hợp X, thì 𝔘₁ mịn hơn 𝔘₂ khi và chỉ khi mọi entourage của 𝔘₂ đều là một entourage của 𝔘₁. ↩ 1 0BDP
Hệ quả Cho 𝔘₁ và 𝔘₂ là hai cấu trúc đều trên một tập hợp X, và giả sử rằng 𝔘₁ mịn hơn 𝔘₂; khi đó tôpô cảm sinh bởi 𝔘₁ mịn hơn tôpô cảm sinh bởi 𝔘₂. 0BDQ
Nhận xét 1 Có thể xảy ra trường hợp một cấu trúc đều 𝔘₁ mịn hơn nghiêm ngặt một cấu trúc đều 𝔘₂ nhưng hai tôpô cảm sinh là đồng nhất. Ví dụ sau cho thấy điều đó: ↩ 3 0BDR
Nhận xét 2 Nếu f : X → X' là một ánh xạ liên tục đều, thì f vẫn liên tục đều nếu ta thay thế cấu trúc đều của X bằng một cấu trúc đều mịn hơn và cấu trúc đều của X' bằng một cấu trúc đều thô… 0BDS
Mệnh đề 4 Cho X là một tập hợp, cho (Yᵢ)_i ∈ I là một họ các không gian đều, và với mỗi i ∈ I cho fᵢ là một ánh xạ từ X vào Yᵢ. Với mỗi i ∈ I gọi gᵢ là fᵢ × fᵢ. Cho 𝔖 là tập hợp các tập con… ↩ 6 0BDT
Hệ quả Tôpô trên X được cảm sinh bởi cấu trúc đều thô nhất 𝔘 sao cho các fᵢ là liên tục đều cũng là tôpô thô nhất sao cho các fᵢ là liên tục. ↩ 2 0BDU
Mệnh đề 5 Cho X là một tập hợp, cho (Zᵢ)_i ∈ I là một họ các không gian đều, cho (J_λ)_λ ∈ L là một phân hoạch của I và cho (Y_λ)_λ ∈ L là một họ các tập hợp được đánh chỉ số bởi L. Với mỗi… ↩ 4 0BDV
Nhận xét Nếu f : X → Y là toàn ánh, thì các entourage của Y là các ảnh trực tiếp dưới g của các entourage của X. 0BDW
Định nghĩa 3 Cho A là một tập con của một không gian đều X. Cấu trúc đều trên A mà tập các lân cận đều của nó là vết trên A × A của tập các lân cận đều của X được gọi là cấu trúc đều cảm sinh t… 0BDX
Mệnh đề 6 Cho A là một tập con trù mật của một không gian đều X. Khi đó các bao đóng, trong X × X, của các lân cận đều của không gian con đều A tạo thành một hệ cơ bản các lân cận đều của X. ↩ 1 0BDY
Ví dụ Nếu varpi là một phân hoạch hữu hạn bất kỳ (Aᵢ)_1 ≤ i ≤ n của một tập hợp không rỗng X, thì tập hợp V_varpi = ⋃ᵢ (Aᵢ × Aᵢ) tự nó tạo thành một hệ cơ sở các entourage của một cấu tr… 0BDZ
Nhận xét Một họ (𝔘ᵢ) các cấu trúc đều trên X cũng có một cận dưới lớn nhất trong tập hợp có thứ tự của mọi cấu trúc đều trên X, cụ thể là cận trên nhỏ nhất của tập hợp mọi cấu trúc đều trên… 0BE0
Định nghĩa 4 Nếu (Xᵢ)_i ∈ I là một họ các không gian đều, thì không gian đều tích của họ này là tập hợp tích X = ∏_i ∈ I Xᵢ được trang bị cấu trúc đều thô nhất sao cho các phép chiếu prᵢ : X →… 0BE1
Mệnh đề 7 Cho f = (fᵢ) là một ánh xạ từ một không gian đều Y vào một không gian đều tích X = ∏_i ∈ I Xᵢ. Khi đó f liên tục đều khi và chỉ khi mỗi fᵢ đều liên tục đều. ↩ 2 0BE2
Hệ quả Cho (Xᵢ)_i ∈ I, (Yᵢ)_i ∈ I là hai họ không gian đều được đánh chỉ số bởi cùng một tập I. Với mỗi i ∈ I, cho fᵢ là một ánh xạ từ Xᵢ vào Yᵢ. Nếu mỗi fᵢ đều liên tục đều, thì ánh xạ t… 0BE3
Mệnh đề 8 Cho X là một tập hợp, cho (Yᵢ)_i ∈ I là một họ các không gian đều, và với mỗi i ∈ I cho fᵢ là một ánh xạ từ X vào Yᵢ. Gọi f là ánh xạ x → (fᵢ(x)) từ X vào Y = ∏_i ∈ I Yᵢ, và gọi U… ↩ 2 0BE4
Hệ quả Với mỗi i ∈ I, cho Aᵢ là một không gian con của Yᵢ. Khi đó cấu trúc đều cảm sinh trên A = ∏_i ∈ I Aᵢ bởi cấu trúc đều tích trên ∏_i ∈ I Yᵢ cũng chính là tích của các cấu trúc đều c… 0BE5
Mệnh đề 9 Cho f là một ánh xạ liên tục đều từ một không gian đều tích X₁ × X₂ vào một không gian đều Y; khi đó mọi ánh xạ riêng phần ↩ 1 0BE6
Mệnh đề 10 Cho I là một tập có hướng, cho (X_α, f_αβ) là một hệ ngược các không gian đều được đánh chỉ số bởi I, và cho J là một tập con đồng tận của I. Với mỗi α ∈ I, gọi f_α là ánh xạ chính… 0BE7

§ 3. Không gian đầy đủ

Định nghĩa 1 Nếu X là một không gian đều và nếu V là một lân cận của X, một tập hợp con A của X được nói là V-nhỏ nếu mọi cặp điểm của A đều V-gần nhau (nói cách khác, nếu A × A ⊂ V). 0BEE
Mệnh đề 1 Trong một không gian đều X, nếu hai tập hợp A và B là V-nhỏ và giao nhau, thì hợp A ∪ B của chúng là vecV-nhỏ. ↩ 1 0BEF
Định nghĩa 2 Một bộ lọc 𝔉 trên một không gian đều là một bộ lọc Cauchy nếu với mỗi lân cận V của X có một tập hợp con của X là V-nhỏ và thuộc 𝔉. 0BEG
Mệnh đề 2 Trên một không gian đều X, mọi bộ lọc hội tụ đều là một bộ lọc Cauchy. ↩ 1 0BEH
Mệnh đề 3 Cho f : X → X' là một ánh xạ liên tục đều. Khi đó ảnh của một cơ sở bộ lọc Cauchy trên X qua f là một cơ sở bộ lọc Cauchy trên X'. ↩ 3 0BEI
Mệnh đề 4 Cho X là một tập hợp, cho (Yᵢ)_i ∈ I là một họ các không gian đều, và với mỗi i ∈ I cho fᵢ là một ánh xạ từ X vào Yᵢ. Cho X mang cấu trúc đều cực tiểu U sao cho các fᵢ là liên tục… ↩ 5 0BEJ
Hệ quả 1 Nếu một lọ Cauchy trên một không gian đều X cảm sinh một lọ trên một tập con A của X, thì lọ này là một lọ Cauchy trên không gian con đều A. 0BEK
Hệ quả 2 Một cơ sở lọ 𝔅 trên một tích ∏_i ∈ I Xᵢ của các không gian đều là một cơ sở lọ Cauchy khi và chỉ khi, với mỗi i ∈ I, prᵢ(𝔅) là một cơ sở lọ Cauchy trên Xᵢ. ↩ 1 0BEL
Mệnh đề 5 Cho X là một không gian đều. Với mỗi bộ lọc Cauchy 𝔉 trên X, tồn tại một bộ lọc Cauchy cực tiểu duy nhất thô hơn 𝔉. Nếu 𝔅 là một cơ sở của 𝔉 và 𝔊 là một hệ cơ bản các lân cận đối x… ↩ 8 0BEM
Hệ quả 1 Với mỗi x ∈ X, bộ lọc lân cận 𝔅(x) của x trong X là một bộ lọc Cauchy cực tiểu. ↩ 1 0BEN
Hệ quả 2 Mọi điểm tụ x của một bộ lọc Cauchy 𝔉 đều là một điểm giới hạn của 𝔉. ↩ 5 0BEO
Hệ quả 3 Mọi bộ lọc Cauchy, thô hơn một bộ lọc hội tụ đến một điểm x, cũng hội tụ đến x. ↩ 2 0BEP
Hệ quả 4 Nếu 𝔉 là một bộ lọc Cauchy cực tiểu, thì mọi tập hợp của 𝔉 đều có một phần trong không rỗng cũng thuộc 𝔉 (nói cách khác, 𝔉 có một cơ sở gồm các tập mở). ↩ 2 0BEQ
Ví dụ 1 Xét dãy (uₙ) trên đường thẳng hữu tỉ Q được xác định bởi uₙ = ∑ₚ₌₀ⁿ 2^-p(p+1)/2. Nếu m > n ta có |uₘ - uₙ| ≤ 2^-n(n+3)/2 và do đó (uₙ) là một dãy Cauchy. Nhưng dãy này không có giớ… 0BER
Ví dụ 2 Cho X là một tập vô hạn, và xét tính đồng đều của các phân hoạch hữu hạn trên X (S 2, no. 2, Nhận xét 1). Mọi siêu lọc 𝔉 trên X là một 0BES
Định nghĩa 3 Một không gian đầy đủ là một không gian đều trong đó mọi bộ lọc Cauchy đều hội tụ. 0BET
Ví dụ Trên một không gian đều rời rạc X, một bộ lọc Cauchy là một siêu bộ lọc tầm thường (Chương I, § 6, no. 4), do đó hội tụ; vì vậy, X là đầy đủ. 0BEU
Mệnh đề 6 Cho 𝔉 là một bộ lọc trên một tập hợp X, và cho f là một ánh xạ từ X vào một không gian đều đầy đủ X'. Khi đó f có giới hạn đối với 𝔉 khi và chỉ khi ảnh của 𝔉 qua f là một cơ sở bộ… ↩ 1 0BEV
Mệnh đề 7 Cho 𝔘₁, 𝔘₂ là hai tôpô đều trên một tập hợp X, và cho 𝔗₁, 𝔗₂ là các tôpô được cảm sinh bởi các tôpô đều này tương ứng. Giả sử rằng 𝔘₁ mịn hơn 𝔘₂, và rằng có một hệ cơ sở các lân cậ… ↩ 2 0BEW
Hệ quả Trong các điều kiện của Mệnh đề 7, nếu U₂ là một tôpô đều của một không gian đầy đủ, thì U₁ cũng vậy. 0BEX
Mệnh đề 8 Mọi không gian con đóng của một không gian đầy đủ đều đầy đủ. Mọi không gian con đầy đủ của một không gian đều Hausdorff (đầy đủ hoặc không) đều đóng. ↩ 6 0BEY
Mệnh đề 9 Cho X là một không gian đều và cho A là một tập con trù mật của X sao cho mọi cơ sở lọc Cauchy trên A đều hội tụ trong X. Khi đó X là đầy đủ. ↩ 2 0BEZ
Mệnh đề 10 Mọi tích của các không gian đều đầy đủ đều là đầy đủ. Ngược lại, nếu một tích của các không gian đều không rỗng là đầy đủ, thì mỗi thừa số là một không gian đều đầy đủ. ↩ 5 0BF0
Hệ quả Cho (X_α, f_αβ) là một hệ ngược các không gian đều. Nếu các X_α là Hausdorff và đầy đủ, thì X = varprojlim X_α cũng vậy. ↩ 2 0BF1
Định lý 1 (Mittag-Leffler) Cho (X_α, f_αβ) là một hệ ngược các không gian đều Hausdorff đầy đủ, được chỉ số hóa bởi một tập có hướng I có một tập con đồng cuối đếm được; đồng thời, giả sử rằng, với mỗi α ∈ I… ↩ 3 0BF2
Hệ quả 1 Cho (X_α, f_α β) là một hệ ngược của các tập hợp được chỉ số hóa bởi một tập có hướng I có một tập con đồng cuối đếm được, và giả sử rằng các f_α β đều toàn ánh. Khi đó nếu X = var… ↩ 1 0BF3
Hệ quả 2 Cho I là một tập có hướng có một tập con đồng cuối đếm được. Cho (X_α, f_α β) và (X'_α, f'_α β) là hai hệ ngược của các tập hợp được chỉ số hóa bởi I, và với mỗi α ∈ I cho u_α : X_… 0BF4
Ví dụ Giả sử ta được cho trong C: (i) một dãy (aₙ) các điểm phân biệt sao cho dãy (|aₙ|) tăng và tiến tới +∞; (ii) với mỗi n, một hàm hữu tỉ z → Rₙ(z) được định nghĩa trên C - aₙ và có m… 0BF5
Mệnh đề 11 Cho A là một tập con trù mật của một không gian tôpô X, và cho f là một ánh xạ từ A vào một không gian đều Hausdorff đầy đủ X'. Khi đó f có thể được mở rộng bằng tính liên tục đến… ↩ 3 0BF6
Định lý 2 Cho f là một hàm được xác định trên một không gian con trù mật A của một không gian đều X, nhận giá trị trong một không gian đều Hausdorff đầy đủ X', và giả sử rằng f liên tục đều… ↩ 7 0BF7
Hệ quả Cho X₁, X₂ là hai không gian đều Hausdorff đầy đủ, và cho Y₁, Y₂ lần lượt là các không gian con trù mật của X₁, X₂. Khi đó mọi đẳng cấu f của Y₁ lên Y₂ đều kéo dài thành một đẳng c… ↩ 3 0BF8
Định lý 3 Cho X là một không gian đều. Khi đó tồn tại một không gian đều Hausdorff đầy đủ hatX và một ánh xạ liên tục đều i : X → hatX có tính chất sau: ↩ 6 0BF9
Định nghĩa 4 Không gian Hausdorff đầy đủ hatX được định nghĩa trong chứng minh của Định lý 3 được gọi là bù Hausdorff của X, và ánh xạ i : X → hatX được gọi là ánh xạ chính tắc của X vào bù Hau… 0BFA
Mệnh đề 12 (i) Không gian con i(X) trù mật trong hatX. (ii) Đồ thị của quan hệ tương đương i(x) = i(x') là giao của các lân cận của X. (iii) Cấu trúc đều của X là ảnh ngược qua i của cấu trúc… ↩ 5 0BFB
Hệ quả Nếu X là một không gian đều Hausdorff, thì ánh xạ chính tắc i : X → hatX là một đẳng cấu của X lên một không gian con trù mật của hatX. ↩ 2 0BFC
Nhận xét Nếu sự đồng nhất này được thực hiện, thì các bộ lọc Cauchy cực tiểu trên X chỉ là các vết trên X của các bộ lọc lân cận của các điểm của hatX; điều này suy ra từ chứng minh Định lý… 0BFD
Mệnh đề 13 Nếu Y là một không gian đều Hausdorff đầy đủ và X là một không gian con trù mật của Y, thì đơn ánh chính tắc X → Y mở rộng thành một đẳng cấu của hatX lên Y. 0BFE
Mệnh đề 14 Cho X là một không gian đều Hausdorff đầy đủ, 𝔘 là cấu trúc đều của nó, và cho Z là một không gian con trù mật của X. Nếu 𝔘' là một cấu trúc đều trên X thô hơn 𝔘 và cảm sinh trên Z… ↩ 1 0BFF
Mệnh đề 15 Cho X và X' là hai không gian đều. Với mỗi ánh xạ liên tục đều f : X → X' có một ánh xạ liên tục đều duy nhất hatf : hatX → hatX' sao cho biểu đồ ↩ 5 0BFG
Hệ quả Nếu f : X → X' và g : X' → X'' là hai ánh xạ liên tục đều và h = g ∘ f, thì hath = hatg ∘ hatf. 0BFH
Mệnh đề 16 Cho X là một không gian đều và i là ánh xạ chính tắc của X vào sự hoàn thành Hausdorff hatX. Với mỗi ánh xạ liên tục đều f của X vào một không gian đều Hausdorff Y, tồn tại một ánh… ↩ 2 0BFI
Định nghĩa 5 Không gian đều Hausdorff i(X) được định nghĩa trong chứng minh của Định lý 3 được gọi là không gian đều Hausdorff liên kết với X. 0BFJ
Hệ quả Cho X, Y là hai không gian đều và X', Y' là các không gian Hausdorff liên kết. Với mỗi ánh xạ liên tục đều f : X → Y tồn tại một ánh xạ liên tục đều duy nhất f' : X' → Y' sao cho b… ↩ 1 0BFK
Mệnh đề 17 Cho X là một không gian đều, i(X) là không gian Hausdorff liên kết của nó, và cho f là một ánh xạ của X lên một không gian đều Hausdorff X', sao cho cấu trúc đều của X là ảnh ngược… ↩ 1 0BFL
Nhận xét Cho R là quan hệ tương đương i(x) = i(x') trên X. Ta đã thấy (no. 7, Mệnh đề 12) rằng đồ thị C của R là giao của mọi lân cận của X. Hiển nhiên mọi tập mở (và do đó mọi tập đóng) tr… 0BFM
Mệnh đề 18 Cho X là một tập hợp, cho (Y_λ)_λ ∈ L là một họ các không gian đều, và với mỗi λ ∈ L cho f_λ là một ánh xạ của X vào Y_λ. Cho X mang cấu trúc đều thô nhất U sao cho mọi f_λ đều liê… ↩ 2 0BFN
Hệ quả 1 Cho X là một không gian đều và cho i là ánh xạ chính tắc của X vào phần hoàn thành Hausdorff hatX của nó; cho A là một không gian con của X và j : A → X là đơn ánh chính tắc. Khi đ… ↩ 3 0BFO
Hệ quả 2 Cho (Y_λ)_λ ∈ L là một họ các không gian đều. Khi đó phần hoàn thành Hausdorff của không gian tích ∏_λ ∈ L Y_λ đẳng cấu chính tắc với tích ∏_λ ∈ L hatY_λ. ↩ 1 0BFP

§ 4. Các quan hệ giữa các không gian đều và các không gian compact

Định nghĩa 1 Một cấu trúc đều trên một không gian tôpô X được gọi là tương thích với tôpô của X nếu tôpô sau trùng với tôpô do cấu trúc đều cảm sinh. 0BFX
Định lý 1 Trên một không gian compact X có đúng một cấu trúc đều tương thích với tôpô của X; các entourage của cấu trúc đều này là tất cả các lân cận của đường chéo Δ trong X × X. Hơn nữa, X… ↩ 8 0BFY
Nhận xét 1 Với mọi phủ mở hữu hạn R = (Uᵢ)_1 ≤ i ≤ n của X, tập hợp 0BFZ
Hệ quả 1 Mọi không gian con của một không gian compac đều có thể trang bị một cấu trúc đều. 0BG0
Hệ quả 2 Mọi không gian compact địa phương đều có thể trang bị một cấu trúc đều. ↩ 1 0BG1
Nhận xét 2 Có thể xảy ra rằng có nhiều cấu trúc đều phân biệt cùng tương thích với tôpô của một không gian compact địa phương. 0BG2
Định lý 2 Mọi ánh xạ liên tục f từ một không gian compac X vào một không gian đều X' đều liên tục đều. ↩ 5 0BG3
Hệ quả Cho A là một không gian con trù mật của một không gian compact X, và cho f là một ánh xạ từ A vào một không gian đều Hausdorff đầy đủ X'. Khi đó f có thể được mở rộng liên tục ra t… 0BG4
Định nghĩa 2 Một không gian đều X được gọi là tiền compact nếu hoàn thành Hausdorff hatX của nó là compact. Một tập con A của một không gian đều X được gọi là một tập con tiền compact nếu không… 0BG5
Ví dụ Trong mọi không gian đều X, tập hợp các điểm của một dãy Cauchy (xₙ) là tiền compắc. Vì các ảnh của các xₙ trong hatX lại tạo thành một dãy Cauchy, ta có thể giả sử rằng X là Hausd… 0BG6
Định lý 3 Một không gian đều X là tiền compact nếu và chỉ nếu, với mỗi lân cận V của X, tồn tại một phủ hữu hạn của X bởi các tập hợp V-nhỏ. ↩ 3 0BG7
Hệ quả Một không gian đều X là compact nếu và chỉ nếu nó là Hausdorff và đầy đủ và có thể được phủ bởi một số hữu hạn các tập V-nhỏ, trong đó V là một entourage bất kỳ của X. ↩ 1 0BG8
Nhận xét 1 Một không gian giả compact không Hausdorff không nhất thiết là đều hóa được, vì nó không cần thỏa mãn tiên đề (O_III) (xem Chương I, § 9, no. 2); chẳng hạn, phần lớn các không gian… 0BG9
Mệnh đề 1 Trong một không gian đều, mọi tập con của một tập tiền compact, mọi hợp hữu hạn của các tập tiền compact và bao đóng của mọi tập tiền compact đều là tiền compact. 0BGA
Nhận xét 2 Trong một không gian đều X, một tập hợp A tương đối compact là tiền compact, vì A được chứa trong một tập compact. Mặt khác, ngay cả khi X là Hausdorff, một tập hợp tiền compact kh… 0BGB
Mệnh đề 2 Cho f : X → Y là một ánh xạ liên tục đều. Nếu A là một tập con tiền compact bất kỳ của X, thì f(A) là một tập con tiền compact của Y. ↩ 4 0BGC
Mệnh đề 3 Cho X là một tập hợp, cho (Y_λ)_λ ∈ L là một họ các không gian đều, và với mỗi λ ∈ L cho f_λ là một ánh xạ của X vào Y_λ. Trang bị cho X cấu trúc đều thô nhất sao cho các f_λ là li… ↩ 5 0BGD
Mệnh đề 4 Trong một không gian đều X, cho A là một tập compact và B là một tập đóng sao cho A ∩ B = ∅. Khi đó tồn tại một lân cận đều V của X sao cho V(A) và V(B) không giao nhau. ↩ 5 0BGE
Hệ quả Cho A là một tập compact trong một không gian đều X; khi đó, khi V chạy qua tập các entourage của X, các tập V(A) tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của A. ↩ 2 0BGF
Định nghĩa 3 Cho V là một entourage đối xứng của một không gian đều X. Một dãy hữu hạn (xᵢ)_0 ≤ i ≤ n các điểm của X được gọi là một V-chain nếu xᵢ và xᵢ₊₁ là V-gần nhau với 0 ≤ i < n. Các điểm… 0BGG
Mệnh đề 5 Trong một không gian đều X, tập hợp A_x, v các điểm có thể được nối bằng một xích V tới một điểm đã cho x vừa mở vừa đóng trong X. ↩ 3 0BGH
Mệnh đề 6 Trong một không gian compact X, thành phần của x, tập hợp Aₓ, và giao của các lân cận của x vừa mở vừa đóng, cả ba đều trùng nhau. ↩ 8 0BGI
Hệ quả Cho X là một không gian địa phương compact và K là một thành phần compact của X. Khi đó các lân cận của K vừa mở vừa đóng tạo thành một hệ cơ sở lân cận của K. ↩ 4 0BGJ
Mệnh đề 7 Cho X là một không gian compact và R là quan hệ tương đương trên X mà các lớp là các thành phần của X. Khi đó không gian thương X/R là compact và hoàn toàn không liên thông. 0BGK

III. Nhóm tô pô

§ 1. Tôpô trên các nhóm

Định nghĩa 1 Một nhóm tôpô là một tập hợp G được trang bị một cấu trúc nhóm và một tôpô, đồng thời thỏa mãn hai tiên đề sau đây: 0BH8
Ví dụ 1 Tôpô rời rạc trên một nhóm G là tương thích với cấu trúc nhóm. Một nhóm tôpô mà tôpô của nó là rời rạc được gọi là một nhóm rời rạc. 0BH9
Ví dụ 2 Trong Chương IV, ta sẽ thấy rằng tôpô của đường thẳng hữu tỉ Q (tương ứng, đường thẳng thực R) là tương thích với cấu trúc nhóm cộng của Q (tương ứng, R). 0BHA
Ví dụ 3 Nếu G là một nhóm tôpô, thì tôpô của nó tương thích với cấu trúc của nhóm G⁰ là nhóm đối của G; G⁰, với tôpô này, được gọi là nhóm tôpô đối của G. 0BHB
Mệnh đề 1 Cho G là một nhóm và cho 𝔅 là một bộ lọc trên G thỏa mãn các tiên đề (GV₁), (GV_II) và (GV_III). Khi đó tồn tại duy nhất một tôpô trên G, tương thích với cấu trúc nhóm của G, mà đố… 0BHC
Nhận xét Nếu G giao hoán, ta có x . A . x⁻¹ = A với mọi tập con A của G và mọi x ∈ G, và do đó (GV{III}) [tương ứng, (GV'{III})] được thỏa mãn một cách tự động đối với mọi bộ lọc (tương ứng… 0BHD
Mệnh đề 2 Một nhóm tôpô G là Hausdorff khi và chỉ khi tập hợp e là đóng. ↩ 3 0BHE
Hệ quả Một nhóm tôpô G là Hausdorff khi và chỉ khi giao của các lân cận của e chỉ gồm điểm e. ↩ 1 0BHF
Ví dụ Định nghĩa một tôpô trên một nhóm bằng một tập hợp các nhóm con. Nếu 𝔅 là một cơ sở lọc trên một nhóm G, được tạo thành từ các nhóm con của G, thì thấy ngay lập tức rằng 𝔅 thỏa mãn… 0BHG
Định nghĩa 2 Nếu G và G' là hai nhóm tôpô, một đẳng cấu địa phương của G với G' là một đồng phôi f từ một lân cận V của phần tử đơn vị của G lên một lân cận V' của phần tử đơn vị của G' thỏa mã… ↩ 2 0BHH
Mệnh đề 3 Cho G và G' là hai nhóm tôpô, và cho f là một đồng phôi từ một lân cận V của phần tử đơn vị của G lên một lân cận V' của phần tử đơn vị của G', thỏa mãn điều kiện 1) của Định nghĩa… ↩ 2 0BHI

§ 2. Nhóm con, nhóm thương, đồng cấu nhóm, không gian thuần nhất, nhóm tích

Mệnh đề 1 Bao đóng overlineH của một nhóm con H của một nhóm tôpô G là một nhóm con của G. Nếu H là một nhóm con chuẩn của G, thì overlineH cũng vậy. ↩ 4 0BHS
Mệnh đề 2 Nếu G là một nhóm tôpô Hausdorff, thì bao đóng của một nhóm con giao hoán của G là một nhóm con giao hoán của G. 0BHT
Mệnh đề 3 Cho G là một nhóm tôpô Hausdorff và cho M là một tập con bất kỳ của G. Khi đó tập hợp M' gồm các phần tử của G giao hoán với mỗi phần tử của M là một nhóm con đóng của G. Đặc biệt… 0BHU
Mệnh đề 4 Cho G là một nhóm tôpô và cho H là một nhóm con của G địa phương đóng tại một điểm của H (Chương I, § 3, no. 3, Định nghĩa 2). Khi đó H là đóng trong G. ↩ 4 0BHV
Hệ quả Một nhóm con của một nhóm tôpô là mở khi và chỉ khi nó có một điểm trong. Mọi nhóm con mở đều đóng. ↩ 7 0BHW
Mệnh đề 5 Một nhóm con H của một nhóm tôpô G là rời rạc khi và chỉ khi H có một điểm cô lập. Mọi nhóm con rời rạc của một nhóm Hausdorff đều đóng. ↩ 1 0BHX
Nhận xét Cho H là một nhóm con bất kỳ của một nhóm tôpô G. Với mỗi x ∈ overlineH ta có x overlineH = x. overlineH = overlineH, vì phép tịnh tiến bởi x là một đồng phôi của G lên G. Nói cách… 0BHY
Mệnh đề 6 Một nhóm tôpô liên thông được sinh bởi mọi lân cận của phần tử đơn vị. ↩ 1 0BHZ
Mệnh đề 7 Trong một nhóm tôpô G, thành phần K của phần tử đơn vị e là một nhóm con chuẩn tắc đóng. Thành phần của bất kỳ điểm nào x ∈ G là lớp kề x.K = K.x. ↩ 1 0BI0
Mệnh đề 8 Cho H là một nhóm con trù mật của một nhóm tôpô G, và K là một nhóm con chuẩn tắc của H. Khi đó bao đóng overlineK của K trong G là một nhóm con chuẩn tắc của G. ↩ 3 0BI1
Mệnh đề 9 Cho H là một nhóm con trù mật của một nhóm tôpô G. Nếu H được sinh bởi mọi lân cận của phần tử đơn vị trong H, thì G được sinh bởi mọi lân cận của phần tử đơn vị trong G. ↩ 1 0BI2
Bổ đề 1 Nếu một nhóm tôpô G tác động liên tục trên một không gian tôpô X, thì với mỗi s ∈ G ánh xạ x → s.x là một đồng phôi của X lên X. ↩ 2 0BI3
Bổ đề 2 Nếu một nhóm tôpô G tác động liên tục trên một không gian tôpô X, thì quan hệ tương đương R xác định bởi G là mở. ↩ 10 0BI4
Ví dụ 1 Cho H là một nhóm con của nhóm tôpô G. H tác động liên tục lên G theo phép toán ngoài (s, x) → sx. H cũng tác động liên tục lên G theo phép toán ngoài (x, s) → sxs⁻¹. 0BI5
Ví dụ 2 \ Nếu K là một vành chia tôpô (§ 6, no. 7), nhóm nhân K^* tác động liên tục lên K theo phép toán ngoài (s, x) → sx. \ 0BI6
Ví dụ 3 Cho G là một nhóm tôpô, X là một không gian tôpô. Khi đó ánh xạ (s, x) → x từ G × X vào X là một phép toán ngoài của hợp thành trên X, và G tác động liên tục lên X đối với luật này… 0BI7
Nhận xét Thay vì nói rằng một nhóm tôpô G tác động liên tục lên một không gian tôpô X, người ta thường nói rằng G tác động liên tục bên trái lên X. Khi nhóm tôpô G⁰ đối của G tác động liên… 0BI8
Mệnh đề 10 Song ánh chính tắc của không gian con φ(A) của X/G lên không gian quỹ đạo A'/G là một phép đồng phôi. ↩ 1 0BI9
Mệnh đề 11 Nếu quan hệ tương đương S trên X là mở và tương thích với G, thì G tác động liên tục trên X/S. ↩ 2 0BIA
Nhận xét Cho G' là một nhóm tôpô khác tác động liên tục trên X, và giả sử rằng s.(s'x) = s'(s.x) với mọi s ∈ G, s' ∈ G' và x \in X. Khi đó quan hệ tương đương S xác định bởi G' tương thích… 0BIB
Mệnh đề 12 Nhóm G tác động liên tục trên mọi không gian thuần nhất G/H. ↩ 1 0BIC
Mệnh đề 13 Cho G là một nhóm tôpô và H là một nhóm con của G. Khi đó không gian thuần nhất G/H là Hausdorff khi và chỉ khi H đóng trong G. ↩ 3 0BID
Mệnh đề 14 Cho G là một nhóm tôpô và H là một nhóm con của G. Khi đó không gian thuần nhất G/H là rời rạc khi và chỉ khi H mở trong G. 0BIE
Mệnh đề 15 Cho X là một không gian tôpô trên đó một nhóm tôpô G tác động liên tục và bắc cầu. Để X là một không gian thuần nhất tôpô (đối với G), chỉ cần tồn tại một điểm x0 ∈ X sao cho ánh x… ↩ 1 0BIF
Mệnh đề 16 Cho G là một nhóm tôpô và H là một nhóm con chuẩn tắc của G. Khi đó thương theo H của tôpô của G tương thích với cấu trúc nhóm của G/H. 0BIG
Mệnh đề 17 Cho φ là ánh xạ chính tắc từ một nhóm tôpô G lên một nhóm thương G/H. Nếu 𝔅 là một hệ cơ bản các lân cận của e trong G, thì φ(𝔅) là một hệ cơ bản các lân cận của phần tử đơn vị φ(e… ↩ 3 0BIH
Mệnh đề 18 Cho G là một nhóm tôpô và cho H là một nhóm con chuẩn tắc của G. a) Nhóm thương G/H là Hausdorff khi và chỉ khi H đóng trong G. b) Nhóm thương G/H là rời rạc khi và chỉ khi H mở tr… ↩ 3 0BII
Mệnh đề 19 Nếu H là một nhóm con chuẩn tắc rời rạc của một nhóm tôpô G, thì G/H đẳng cấu địa phương với G. ↩ 3 0BIJ
Mệnh đề 20 Cho A là một nhóm con của một nhóm tôpô G, cho H là một nhóm con chuẩn tắc của G, và cho φ ký hiệu ánh xạ chính tắc của G lên G/H. Khi đó song ánh chính tắc từ φ(A) lên AH/H là một… ↩ 4 0BIK
Mệnh đề 21 Cho G là một nhóm tôpô, G₀ là một nhóm con trù mật của G, H₀ là một nhóm con chuẩn tắc của G₀, H là bao đóng của H₀ trong G và φ là ánh xạ chính tắc G → G/H. Khi đó song ánh chính… ↩ 1 0BIL
Mệnh đề 22 Cho G là một nhóm tôpô tác động liên tục lên một không gian tôpô X, và cho H là một nhóm con chuẩn tắc của G. Khi đó song ánh chính tắc từ X/G lên (X/H)/(G/H) là một đồng phôi. ↩ 2 0BIM
Hệ quả Cho G là một nhóm tôpô, H là một nhóm con chuẩn tắc của G, và K là một nhóm con chuẩn tắc của G chứa H. Khi đó song ánh chính tắc từ G/K lên (G/H)/(K/H) là một đẳng cấu của các nhó… ↩ 2 0BIN
Mệnh đề 23 Một đồng cấu f từ một nhóm tôpô G vào một nhóm tôpô G' là liên tục trên G khi và chỉ khi nó liên tục tại một điểm của G. 0BIO
Định nghĩa 1 Một đồng cấu liên tục của một nhóm tôpô G vào một nhóm tôpô G' được gọi là một cấu xạ ngặt của G vào G' nếu đồng cấu song ánh dotf của G/overlinef⁻¹(e') lên f(G), liên kết với f, l… ↩ 1 0BIP
Mệnh đề 24 Cho f là một đồng cấu liên tục của một nhóm tôpô G vào một nhóm tôpô G'. Khi đó ba mệnh đề sau là tương đương: a) f là một cấu xạ ngặt. b) Ảnh theo f của mọi tập hợp mở trong G là… ↩ 6 0BIQ
Nhận xét 1 Từ điều kiện b) của Mệnh đề 24 suy ra rằng mọi đồng cấu liên tục của một nhóm tôpô vào một nhóm rời rạc đều là một cấu xạ ngặt. ↩ 1 0BIR
Nhận xét 2 Cho f là một cấu xạ ngặt từ G vào G' và g là một cấu xạ ngặt từ G' vào G''. Nếu f toàn ánh hoặc nếu g đơn ánh, thì suy ra ngay lập tức từ Mệnh đề 24 rằng g ∘ f là một cấu xạ ngặt t… ↩ 1 0BIS
Nhận xét 3 Cho f là một đồng cấu liên tục từ một nhóm tôpô G vào một nhóm tôpô G', và cho H là một nhóm con chuẩn tắc của G. f cảm sinh một đồng cấu g từ nhóm G/H lên nhóm thương f(G)/f(H). Đ… ↩ 5 0BIT
Định nghĩa 2 Nhóm tôpô thu được bằng cách trang bị cho tập hợp tích 0BIU
Mệnh đề 25 Cho (Gᵢ)_i ∈ I là một họ các nhóm tôpô, và cho H là nhóm con chuẩn tắc của G = ∏_i ∈ I Gᵢ gồm mọi x = (xᵢ) sao cho các xᵢ bằng phần tử đơn vị eᵢ của Gᵢ trừ ra chỉ với một số hữu hạ… ↩ 2 0BIV
Hệ quả Cho (Gᵢ)_i ∈ I là một họ các nhóm tôpô, và với mỗi i ∈ I cho Hᵢ là một nhóm con chuẩn tắc của Gᵢ; gọi φᵢ là ánh xạ chính tắc từ Gᵢ lên Gᵢ/Hᵢ. Đặt G = ∏_i ∈ I Gᵢ, \ H = ∏_i ∈ I Hᵢ… ↩ 3 0BIX
Nhận xét Nếu G là một nhóm tôpô giao hoán, viết theo lối cộng, thì ánh xạ (x, y) → x + y từ G × G lên G là một cấu xạ ngặt. Thật vậy, vì (x + x') + (y + y') = (x + y) + (x' + y') nên nó là… 0BIY
Mệnh đề 27 Cho N và L là hai nhóm, e' và e'' là các phần tử đơn vị tương ứng của chúng. Giả sử rằng ta được cho một đồng cấu y → σ_y từ L vào nhóm Γ các tự đẳng cấu của N. Khi đó: ↩ 1 0BIZ
Hệ quả Đồng cấu h được xác định trong 2) của Mệnh đề 27 là đơn ánh khi và chỉ khi f và g là đơn ánh và f(N) ∩ g(L) = e; và h là toàn ánh khi và chỉ khi f(N)g(L) = G. 0BJ0
Mệnh đề 28 Cho L, N là hai nhóm tôpô, cho y → σ_y là một đồng cấu từ L vào nhóm các tự đẳng cấu Γ của cấu trúc nhóm (phi tôpô) của N; và giả sử rằng ánh xạ (x, y) → σ_y(x) từ N × L vào N là l… 0BJ1

§ 3. Các cấu trúc đều trên các nhóm

Định nghĩa 1 Cấu trúc đều phải (tương ứng, trái) trên một nhóm tôpô G là cấu trúc đều mà một hệ cơ bản các entourage của nó thu được bằng cách làm tương ứng với mỗi lân cận V của phần tử đơn vị… ↩ 1 0BJX
Mệnh đề 1 Các phép tịnh tiến trái và phải là những đẳng cấu của cấu trúc đều phải lên chính nó. 0BJY
Mệnh đề 2 Phép đối xứng x → x⁻¹ là một đẳng cấu của cấu trúc đều phải lên cấu trúc đều trái. ↩ 3 0BJZ
Mệnh đề 3 Mọi đồng cấu liên tục f từ một nhóm tôpô G vào một nhóm tôpô G' đều liên tục đều khi được xét như một ánh xạ từ G_d vào G'_d (hoặc từ Gₛ vào G'ₛ). ↩ 3 0BK0
Định nghĩa 2 Một nhóm tôpô được gọi là đầy đủ nếu các cấu trúc đều trái và phải của nó là các cấu trúc của những không gian đầy đủ. 0BK1
Mệnh đề 4 Nếu trong một nhóm tôpô G có một lân cận V của e đầy đủ đối với cấu trúc đều phải hoặc cấu trúc đều trái, thì G đầy đủ. ↩ 5 0BK2
Hệ quả 1 Một nhóm địa phương compact là đầy đủ. ↩ 2 0BK3
Hệ quả 2 Mọi nhóm con compact địa phương của một nhóm tôpô Hausdorff G đều đóng trong G. 0BK4
Mệnh đề 5 Cho G₁ là một nhóm tôpô, cho G₂ là một nhóm tôpô Hausdorff đầy đủ, và cho H₁ (tương ứng H₂) là một nhóm con trù mật của G₁ (tương ứng của G₂). Khi đó mọi đồng cấu liên tục u từ H₁… ↩ 7 0BK5
Nhận xét Nếu đồng cấu liên tục u là song ánh, thì nói chung không suy ra rằng baru là đơn ánh hoặc toàn ánh (x. Bài tập 12); nhưng xem no. 5, Mệnh đề 9. 0BK6
Mệnh đề 6 Cho 𝔉 và 𝔊 là hai bộ lọc Cauchy trên G_d. Khi đó ảnh của bộ lọc 𝔉 × 𝔊 qua ánh xạ (x, y) → xy là một cơ sở bộ lọc Cauchy trên G_d. 0BK7
Định lý 1 Một nhóm tôpô Hausdorff G đẳng cấu với một nhóm con trù mật của một nhóm đầy đủ hatG khi và chỉ khi ảnh, dưới đối xứng x → x⁻¹, của một bộ lọc Cauchy đối với cấu trúc đều phải của… ↩ 2 0BK8
Mệnh đề 7 Cho G là một nhóm tôpô Hausdorff có một phép hoàn thành hatG. Khi đó các bao đóng trong hatG của các lân cận của phần tử đơn vị trong G tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của phần… ↩ 2 0BK9
Mệnh đề 8 Cho G là một nhóm tôpô có một hoàn thành Hausdorff hatG'. Khi đó mọi đồng cấu liên tục u của G vào một nhóm Hausdorff đầy đủ H đều có thể được phân tích duy nhất thành u = v ∘ φ, t… ↩ 2 0BKA
Định lý 2 Cho G là một nhóm tôpô giao hoán. Khi đó các ánh xạ x⁻¹ và xy lần lượt liên tục đều trên G và G × G. Hơn nữa G có một hoàn chỉnh Hausdorff hatG, và hatG là giao hoán. ↩ 2 0BKB
Mệnh đề 9 Cho G là một nhóm giao hoán, và 𝔗₁, 𝔗₂ là hai tôpô Hausdorff tương thích với cấu trúc nhóm của G. Giả sử rằng 𝔗₁ mịn hơn 𝔗₂ và tồn tại một hệ cơ bản các lân cận của o đối với 𝔗₁ mà… ↩ 5 0BKC
Hệ quả 1 Dưới các giả thiết của Mệnh đề 9, nếu A là một tập con của G là một không gian con đầy đủ đối với cấu trúc đều U₂ tương ứng với 𝔗₂, thì A cũng là một không gian con đầy đủ đối với… ↩ 1 0BKD
Hệ quả 2 Cho G là một nhóm giao hoán và cho 𝔗₁, 𝔗₂ là hai tôpô tương thích với cấu trúc nhóm của G. Giả sử rằng 𝔗₁ mịn hơn 𝔗₂ và rằng tồn tại một hệ cơ bản 𝔅 các lân cận của O đối với 𝔗₁ mà… ↩ 1 0BKE

§ 4. Các nhóm tác động một cách thực sự lên một không gian tôpô; tính compact trong các nhóm tôpô và các không gian có toán tử

Định nghĩa 1 Cho G là một nhóm tôpô tác động liên tục trên một không gian tôpô X. Ta nói G tác động một cách thực sự trên X nếu ánh xạ ↩ 1 0BKR
Ví dụ 1 Cho H là một nhóm con đóng của một nhóm tôpô G. Nếu G tác động một cách thực sự trên X, thì H cũng vậy, vì H × X đóng trong G × X (Chương I, § 10, no. 1, Mệnh đề 5, Hệ quả 1). Chẳn… 0BKS
Ví dụ 2 Nếu G tác động một cách thực sự trên X, thì nó tác động một cách thực sự trên mọi không gian con X' của X là hợp của các quỹ đạo của các điểm của X (nói cách khác, X' là bão hòa đố… 0BKT
Mệnh đề 1 Cho G là một nhóm tôpô tác động liên tục trên một không gian tôpô X, và cho K là một tập con quasi-compact của G. Khi đó ánh xạ ρ : (s, x) → s.x của K × X vào X là thực sự. ↩ 7 0BKU
Hệ quả 1 Nếu A là một tập con đóng (resp. compact) của X, thì K.A đóng trong X (resp. compact nếu X Hausdorff). ↩ 9 0BKV
Hệ quả 2 Nếu K là một nhóm con quasi-compact của một nhóm tôpô G, thì quan hệ tương đương x⁻¹y ∈ K là đóng, và ánh xạ chính tắc φ : G → G/K là thực sự. ↩ 1 0BKW
Hệ quả 3 Cho K là một nhóm con chuẩn tắc quasi-compact của một nhóm tôpô G, và cho φ là ánh xạ chính tắc G → G/K. Khi đó, với mỗi nhóm con đóng A của G, song ánh chính tắc của A/A ∩ K lên φ… ↩ 2 0BKX
Mệnh đề 2 Cho K là một nhóm compact tác động liên tục trên một không gian Hausdorff X. Khi đó: ↩ 4 0BKY
Hệ quả 1 Theo các giả thiết của Mệnh đề 2, X compact (resp. địa phương compact) khi và chỉ khi X/K compact (resp. địa phương compact). ↩ 1 0BKZ
Hệ quả 2 Cho G là một nhóm tôpô Hausdorff và K là một nhóm con compact của G. Khi đó G compact (resp. địa phương compact) khi và chỉ khi G/K compact (resp. địa phương compact). ↩ 3 0BL0
Mệnh đề 3 Nếu một nhóm tôpô G tác động thực sự trên một không gian tôpô X, thì không gian quỹ đạo X/G là Hausdorff. Nếu thêm G là Hausdorff, thì X là Hausdorff. ↩ 4 0BL1
Mệnh đề 4 Cho G là một nhóm tôpô tác động thực sự trên một không gian tôpô X, và cho x là một điểm của X. Ký hiệu G.x là quỹ đạo của x, và ký hiệu Kₓ là nhóm ổn định của x. Khi đó: ↩ 6 0BL2
Nhận xét Mệnh đề 4 cho thấy rằng nếu một nhóm tôpô G tác động thực sự trên một không gian thuần nhất G/H, thì nhóm con H là giả compact (và do đó compact nếu G là Hausdorff). Có thể chứng m… 0BL3
Mệnh đề 5 Cho G (tương ứng. G') là một nhóm tôpô tác động liên tục trên một không gian tôpô X (tương ứng. X'). Cho φ là một đồng cấu liên tục từ G vào G' và ψ là một ánh xạ liên tục từ X vào… ↩ 2 0BL4
Định nghĩa 2 Cho G là một nhóm tác động trên một tập hợp X. Ta nói G tác động tự do trên X nếu nhóm ổn định của mọi phần tử của X là e, nói cách khác nếu các quan hệ s.x = x,\ s ∈ G,\ x ∈ X kéo… 0BL5
Ví dụ Cho G là một nhóm và H là một nhóm con của G. Khi đó H tác động tự do lên G bởi các phép tịnh tiến (trái hoặc phải). 0BL6
Mệnh đề 6 Cho G là một nhóm tôpô tác động liên tục trên một không gian tôpô X, và giả sử rằng G tác động tự do trên X. Khi đó G tác động đúng trên X khi và chỉ khi điều kiện sau đây được thỏ… 0BL7
Mệnh đề 7 Cho G là một nhóm địa phương compact tác động liên tục trên một không gian Hausdorff X. Khi đó G tác động riêng trên X khi và chỉ khi, với mỗi cặp điểm x, y của X, tồn tại một lân… ↩ 5 0BL8
Mệnh đề 8 Cho G là một nhóm rời rạc tác động riêng trên một không gian Hausdorff X. Cho x là một điểm của X và cho Kx là nhóm ổn định của x. Khi đó: ↩ 1 0BL9
Hệ quả Nếu giả sử thêm rằng Kₓ = e , thì điểm x có một lân cận mở U sao cho hạn chế lên U của ánh xạ chính tắc X → X/G là một đồng phôi của U lên một tập con mở của X/G. 0BLA
Mệnh đề 9 Cho G là một nhóm tôpô tác động liên tục trên một không gian địa phương compact X. Khi đó nếu X/G là Hausdorff thì nó địa phương compact. ↩ 3 0BLB
Mệnh đề 10 Cho G là một nhóm tôpô tác động liên tục trên một không gian địa phương compact X, và giả sử rằng X/G là Hausdorff. Gọi φ là ánh xạ chính tắc từ X lên X/G. Khi đó nếu K' là một tập… ↩ 3 0BLC
Mệnh đề 11 Cho G là một nhóm tôpô Hausdorff tác động riêng trên một không gian không rỗng X. Nếu X compact (resp. địa phương compact) thì G và X/G cũng vậy. ↩ 2 0BLD
Định lý 1 Cho G là một nhóm tôpô Hausdorff tác động liên tục trên một không gian tôpô X. Cho K là một tập compact của X và L là một tập đóng của X. Khi đó: a) Tập P(K, L) là đóng trong G. ↩ 5 0BLE
Nhận xét Rõ ràng, ta có P(K, L) ⊂ P(K ∪ L, K ∪ L); do đó để G tác động thực sự trên một không gian địa phương compact X, điều kiện đủ là, với mỗi tập compact K của X, tập P(K, K) tương đối… 0BLF
Ví dụ Cho X là một đa tạp giải tích phức, đẳng cấu giải tích với một tập con mở bị chặn của Cⁿ, và cho G là nhóm các tự đẳng cấu giải tích của X. Tôpô hội tụ compact tương thích với cấu… 0BLG
Mệnh đề 12 Cho G là một nhóm tôpô Hausdorff tác động liên tục trên một không gian tôpô X. Cho K là một tập con compact của X, và cho ρ_K là ánh xạ (s, x) → s.x từ G × K vào X. Khi đó: ↩ 2 0BLH
Hệ quả Cho G là một nhóm tôpô Hausdorff tác động một cách thực sự trên một không gian tôpô X. Nếu K là một tập con compact bất kỳ của X và nếu F là một tập con đóng bất kỳ của G, thì F.K… ↩ 1 0BLI
Mệnh đề 13 Cho G là một nhóm compact địa phương và cho H là một nhóm con đóng của G. Khi đó không gian thuần nhất G/H là compact địa phương và paracompact. ↩ 2 0BLJ
Mệnh đề 14 Trong một nhóm compact địa phương G, thành phần đơn vị C là giao của các nhóm con mở của G. ↩ 3 0BLK
Hệ quả 1 Nếu G là một nhóm compact địa phương hoàn toàn không liên thông, thì mọi lân cận của e trong G đều chứa một nhóm con mở của G. ↩ 3 0BLL
Hệ quả 2 Một nhóm compact địa phương là liên thông nếu nó được sinh bởi mỗi lân cận của phần tử đơn vị. 0BLM
Hệ quả 3 Cho G là một nhóm compact địa phương, cho H là một nhóm con đóng của G, và cho φ là ánh xạ chính tắc từ G lên G/H. Khi đó các thành phần liên thông của G/H là các bao đóng của các… ↩ 1 0BLN

§ 5. Tổng vô hạn trong các nhóm giao hoán

Định nghĩa 1 Cho (xᵢ)_i ∈ I là một họ các điểm của một nhóm giao hoán Hausdorff G; gọi 𝔉(I) là tập hợp các tập con hữu hạn của tập hợp chỉ số I, và với mỗi tập con hữu hạn J của I, gọi s_J là t… ↩ 3 0BMB
Nhận xét 1 Khi I là hữu hạn, Định nghĩa 1 quy về định nghĩa thông thường của tổng của một họ hữu hạn. Nói chung hơn, nếu I là tùy ý và xᵢ = 0 trừ khi chỉ số i thuộc về một tập con hữu hạn J c… 0BMC
Nhận xét 2 Định nghĩa của một họ khả tổng không liên quan đến bất kỳ thứ tự hóa nào của tập hợp chỉ số I, và vì vậy ta có thể nói rằng khái niệm tổng được định nghĩa như thế là giao hoán. Chí… 0BMD
Nhận xét 3 Định nghĩa 1 còn áp dụng, nói chung, cho mọi họ điểm trong một không gian tôpô Hausdorff X mà trên đó đã xác định một luật hợp thành kết hợp và giao hoán, được viết theo lối cộng… ↩ 2 0BME
Định lý 1 (tiêu chuẩn Cauchy) Trong một nhóm giao hoán Hausdorff G, để một họ (xᵢ)_i ∈ I là khả tổng thì cần rằng, với mỗi lân cận V của phần tử không trong G, tồn tại một tập con hữu hạn J₀ của I sao cho ∑_i ∈… ↩ 6 0BMF
Mệnh đề 1 Nếu họ (xᵢ) là khả tổng, thì mọi lân cận của o đều chứa tất cả các xᵢ trừ ra một họ con hữu hạn (nói cách khác, nếu I là vô hạn, thì ta có lim xᵢ = o đối với bộ lọc các phần bù của… ↩ 4 0BMG
Hệ quả Cho (xᵢ)_i ∈ I là một họ khả tổng trong một nhóm giao hoán mà phần tử đơn vị có một hệ cơ bản đếm được các lân cận. Khi đó tập hợp các chỉ số i sao cho xᵢ ≠ o là đếm được. ↩ 3 0BMH
Nhận xét Khi G được viết theo lối nhân, tiêu chuẩn Cauchy có dạng sau: để họ (xᵢ)_i ∈ I là khả nhân thì cần rằng, với mỗi lân cận V của phần tử đơn vị, tồn tại một tập con hữu hạn J₀ của I… 0BMI
Mệnh đề 2 Trong một nhóm đầy đủ G, mọi họ con của một họ khả tổng đều khả tổng. ↩ 1 0BMJ
Định lý 2 (Tính kết hợp của tổng) Cho (xᵢ)_i ∈ I là một họ khả tổng trong một nhóm đầy đủ G, và cho (I_λ)_λ ∈ L là một phân hoạch tùy ý của I. Nếu s_λ ký hiệu ∑_i ∈ I_λ xᵢ, thì họ (s_λ)_λ ∈ L là khả tổng và có cùng… ↩ 2 0BMK
Mệnh đề 3 Cho (xᵢ)_i ∈ I là một họ các điểm của một nhóm G, và cho (I_λ)_λ ∈ L là một phân hoạch hữu hạn của I. Nếu mỗi họ con (xᵢ)_i ∈ I_λ đều khả tổng, thì họ (xᵢ)_i ∈ I là khả tổng và côn… ↩ 2 0BML
Mệnh đề 4 Cho G = ∏_λ ∈ L G_λ là tích của một họ các nhóm giao hoán Hausdorff. Khi đó một họ (xᵢ)_i ∈ I các điểm của G là khả tổng nếu và chỉ nếu, với mỗi λ ∈ L, họ (pr_λ xᵢ)_i ∈ I là khả tổ… ↩ 2 0BMM
Mệnh đề 5 Cho f là một đồng cấu liên tục của một nhóm giao hoán G vào một nhóm giao hoán G'. Nếu (xᵢ) là một họ cộng được trong G, thì (f(xᵢ)) là một họ cộng được trong G', và ta có 0BMN
Mệnh đề 6 Cho (xᵢ), (yᵢ) là hai họ khả tổng, với cùng tập chỉ số, trong một nhóm G. Khi đó các họ (-xᵢ), (nxᵢ) (n ∈ Z), (xᵢ + yᵢ) đều khả tổng, và ta có ↩ 1 0BMO
Nhận xét Mệnh đề 4 và 5 lại áp dụng được cho trường hợp, đã được nhắc đến trước đó, của các họ khả tổng trong một không gian tôpô X có một luật hợp thành kết hợp và giao hoán; điều tương tự… 0BMP
Mệnh đề 7 Nếu các chuỗi được xác định bởi các dãy (xₙ) và (yₙ) hội tụ, thì các chuỗi được xác định bởi các dãy (-xₙ) và (xₙ + yₙ) cũng hội tụ, và ta có (7) ∑ₙ₌₀^∞ (-xₙ) = -∑ₙ₌₀^∞ xₙ, (8) ∑ₙ₌… ↩ 1 0BMQ
Hệ quả Nếu (xₙ), (yₙ) là hai dãy điểm của G sao cho xₙ = yₙ trừ một số hữu hạn chỉ số, và nếu chuỗi có số hạng tổng quát là xₙ hội tụ, thì chuỗi có số hạng tổng quát là yₙ cũng hội tụ. 0BMR
Mệnh đề 8 (Tính kết hợp hạn chế của chuỗi) Cho (kₙ) là một dãy tăng ngặt các số nguyên geqslant 0. Nếu chuỗi có số hạng tổng quát là xₙ hội tụ, và nếu đặt uₙ = ∑_p=kₙ₋₁^kₙ-1 xₚ, thì chuỗi có số hạng tổng quát là uₙ hội tụ… 0BMS
Định nghĩa 2 Một chuỗi được xác định bởi một dãy (xₙ) được gọi là hội tụ giao hoán nếu, với mỗi phép hoán vị σ của N, chuỗi được xác định bởi dãy (x_φ(n)) là hội tụ. 0BMT
Mệnh đề 9 Chuỗi được xác định bởi dãy (xₙ) là hội tụ giao hoán nếu và chỉ nếu dãy (xₙ) là khả tổng; và khi đó, với mỗi phép hoán vị σ của N, ta có ↩ 6 0BMU

§ 6. Nhóm tôpô với toán tử; vành tôpô, vành chia và trường

Mệnh đề 1 Nếu H là một nhóm con ổn định của một nhóm tôpô G với toán tử, thì bao đóng overlineH của H trong G là một nhóm con ổn định của G. ↩ 1 0BN2
Định nghĩa 1 Cho E là một nhóm tôpô giao hoán với các toán tử, và cho (Mᵢ)_1 ≤ i ≤ n là một họ hữu hạn các nhóm con ổn định của E, sao cho E là tổng trực tiếp của các Mᵢ. Khi đó E được gọi là t… 0BN3
Mệnh đề 2 Cho E là một nhóm tôpô giao hoán với các toán tử là tổng trực tiếp của các nhóm con ổn định Mᵢ (1 ≤ i ≤ n). Cho (pᵢ)_1 ≤ i ≤ n là họ các phép chiếu liên kết với phân tích E = ∑ᵢ₌₁ⁿ… ↩ 1 0BN4
Hệ quả Cho E là một nhóm tôpô giao hoán với các toán tử, và cho M là một nhóm con ổn định của E. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: ↩ 2 0BN5
Nhận xét 1 Để tránh nhầm lẫn, đôi khi ta sẽ nói rằng một nhóm con ổn định của E là một phần bù của M (theo nghĩa của cấu trúc nhóm với các toán tử, không có tôpô) là một phần bù đại số của M. 0BN6
Nhận xét 2 Nếu một nhóm tôpô giao hoán Hausdorff có toán tử là tổng trực tiếp tôpô của một họ (Mᵢ)_1 ≤ i ≤ n các nhóm con ổn định, thì mỗi nhóm con Mᵢ là đóng trong E, vì Mᵢ là tập hợp tất cả… 0BN7
Mệnh đề 3 Cho E, F là hai nhóm tôpô giao hoán có toán tử, và cho u là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. Để tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục v từ F vào E sao cho u ∘ v là ánh x… ↩ 1 0BN8
Mệnh đề 4 Cho E, F là hai nhóm tôpô giao hoán có toán tử, và cho u là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. Để tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục v từ F vào E sao cho v ∘ u là ánh x… 0BN9
Định nghĩa 2 Một vành tôpô là một tập hợp A mang một cấu trúc vành và một tôpô thỏa mãn các tiên đề sau: 0BNA
Ví dụ 1 Trên mọi vành A, tôpô rời rạc là tương thích với cấu trúc vành. Một vành tôpô có tôpô rời rạc được gọi là một vành rời rạc. 0BNB
Ví dụ 2 Ta sẽ thấy trong Chương IV rằng tôpô của đường thẳng hữu tỉ Q (tương ứng đường thẳng thực R) là tương thích với cấu trúc vành của Q (tương ứng R). 0BNC
Nhận xét Trong giải tích, ta khá thường gặp các vành thỏa mãn các tiên đề (ATI), (AT{II}) và (AT{III a}), nhưng không thỏa mãn (AT{III b}). Một ví dụ là vành các độ đo trên một nhóm compact… 0BND
Mệnh đề 5 Cho H là một vành con trù mật của một vành tôpô A, và cho K là một vành con (tương ứng, iđêan trái, iđêan phải, iđêan hai phía) của H. Khi đó bao đóng overlineK của K trong A là mộ… ↩ 2 0BNE
Định lý 1 Cho E, F, G là ba nhóm giao hoán Hausdorff đầy đủ; cho A là một nhóm con trù mật của E và cho B là một nhóm con trù mật của F. Nếu f là một ánh xạ song tuyến tính Z-liên tục Z () c… ↩ 2 0BNF
Mệnh đề 6 Một vành tôpô Hausdorff A là đẳng cấu với một vành con trù mật của một vành Hausdorff đầy đủ hatA, được xác định đến một đẳng cấu (và được gọi là phép hoàn thành của A). ↩ 2 0BNG
Định nghĩa 3 Cho một vành tôpô A với một phần tử đơn vị, một môđun trái tôpô A-môđun là một tập hợp E, cùng với: 0BNH
Ví dụ 1 Một không gian vectơ tôpô trên R (tương ứng C) là một môđun tôpô R (tương ứng C). 0BNI
Ví dụ 2 Cho A là một vành và cho 𝔅 là một cơ sở lọc trên A gồm các iđêan hai phía của A; cho E là một A-môđun trái. Nếu ta trang bị cho A tôpô (tương thích với cấu trúc vành của nó) mà 𝔅 l… 0BNJ
Nhận xét Cho một vành tôpô A, xét trên một A-môđun trái E, một tôpô tương thích với cấu trúc nhóm cộng của E. Theo đẳng thức λ x - λ₀ x₀ = (λ - λ₀)x₀ + λ₀(x - x₀) + (λ - λ₀)(x - x₀) tiên đề… 0BNK
Định nghĩa 4 Một vành chia tôpô là một tập hợp K mang một cấu trúc vành chia và một tôpô tương thích với cấu trúc vành của K, và thỏa mãn thêm tiên đề sau: ↩ 1 0BNL
Ví dụ 1 Trên mọi vành chia K, tôpô rời rạc là tương thích với cấu trúc vành chia. Một vành chia tôpô mà tôpô của nó là rời rạc được gọi là một vành chia rời rạc. 0BNM
Ví dụ 2 \ Tôpô của đường hữu tỉ Q (tương ứng đường thẳng thực R) là tương thích với cấu trúc trường của R (tương ứng R) (xem Chương IV, § 3). \ 0BNN
Mệnh đề 7 Phép đầy đủ hatK của một vành chia tôpô Hausdorff K là một vành chia tôpô khi và chỉ khi ảnh qua ánh xạ x → x⁻¹ của mọi lọc Cauchy (đối với cấu trúc cộng tính) không có điểm tụ tại… ↩ 2 0BNO
Mệnh đề 8 Nếu cấu trúc đều cộng tính của một trường tôpô K là một cấu trúc của một không gian Hausdorff đầy đủ, thì cấu trúc nhân trên K là một cấu trúc của một không gian đầy đủ. ↩ 3 0BNP

§ 7. Giới hạn ngược của các nhóm tôpô và vành

Mệnh đề 1 Giả sử rằng các X_α và các G_α thỏa mãn các giả thiết trên. ↩ 1 0BOG
Hệ quả 1 Nếu G_α compact và X_α Hausdorff, thì các kết luận của a) và b) đều đúng. ↩ 1 0BOH
Hệ quả 2 Nếu, với mỗi α ∈ I, nhóm G_α tác động bắc cầu trên không gian X_α, và nếu nhóm ổn định của mỗi điểm của X_α là một nhóm con compact của G_α, thì G tác động bắc cầu trên X và nhóm ổ… 0BOI
Hệ quả 3 Cho x = (x_α) ∈ X, và với mỗi α ∈ I đặt X'_α = G_α · x_α là quỹ đạo của x_α. Nếu α ≤ β, thì từ (i) và quan hệ g_αβ(x_β) = x_α suy ra g_αβ(X'_β) ⊂ X'_α, và do đó (X'_α) là một hệ ng… 0BOJ
Mệnh đề 2 Cho G là một nhóm tôpô và cho (H_α)_α ∈ I là một họ các nhóm con chuẩn tắc của G sao cho H_α ⊃ H_β bất cứ khi nào α ≤ β, và thỏa mãn điều kiện sau: ↩ 8 0BOK
Hệ quả 1 Nếu điều kiện (AP) được thỏa mãn và nếu thêm vào đó các nhóm (Hausdorff) G/H_α đầy đủ, thì nhóm G có một sự đầy đủ hóa Hausdorff có thể được đồng nhất với tildeG; và ánh xạ i : G →… ↩ 1 0BOL
Hệ quả 2 Cho G là một nhóm và cho (H_α) là một họ các nhóm con chuẩn tắc của G, có hướng đối với quan hệ H_α ⊃ H_β. Nếu ta trang bị cho G tôpô nhóm sao cho các H_α tạo thành một hệ cơ sở củ… 0BOM
Bổ đề 1 Dưới các giả thiết của Mệnh đề 2, nếu E là bất kỳ tập con đóng nào của G thì ta có E = ⋂_α E H_α. ↩ 1 0BON
Mệnh đề 3 Giả sử rằng G là Hausdorff và rằng các H_α là compact và thỏa mãn (AP). ↩ 3 0BOO
Mệnh đề 4 Giả sử G là Hausdorff, các H_α là compact và (AP) được thỏa mãn. Nếu C_α là thành phần liên thông đơn vị của G_α = G/H_α, thì thành phần liên thông đơn vị C của G có thể được đồng… ↩ 1 0BOP
Bổ đề 2 Cho G là một nhóm tôpô Hausdorff và cho H là một nhóm con chuẩn tắc compact của G, và φ là ánh xạ chính tắc G → G/H. Nếu C là thành phần liên thông của đơn vị của G, thì φ(C) là th… 0BOQ
Nhận xét Nếu nhóm con H_α là compact đối với một α ∈ I, thì H_β là compact với mọi β ≥ α, vì nó là một nhóm con đóng của H_α. Vì tập tất cả các β ∈ I sao cho β ≥ α là đồng cuối trong I, nên… 0BOR
Mệnh đề 5 ========== ↩ 3 0BOS
Hệ quả 1 Cho (G_α, f_α β) là một hệ ngược các nhóm tôpô thỏa mãn các giả thiết của Mệnh đề 5; cho (G'_α, f'_α β) là một hệ ngược các nhóm tôpô, và với mỗi α cho u_α : G_α → G'_α là một cấu… 0BOT
Hệ quả 2 Cho (G_α, f_α β) là một hệ ngược của các nhóm tôpô thỏa mãn các điều kiện của Mệnh đề 5, và cho G' là một nhóm tôpô trong đó có một lân cận V' của phần tử đơn vị e' không chứa nhóm… 0BOU

IV. Các số thực

§ 1. Định nghĩa các số thực

Định nghĩa 1 Đường thẳng hữu tỉ là không gian tôpô gồm tập hợp Q cùng với tôpô nhóm cộng mà trong đó các khoảng mở đối xứng ]-a, +a[ (a > 0) tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của 0. 0BP1
Định nghĩa 2 Gọi R là nhóm tôpô là hoàn thành của nhóm cộng Q của đường thẳng hữu tỉ. Các phần tử của R được gọi là các số thực; với tư cách là một không gian tôpô, R được gọi là đường thẳng th… 0BP2
Mệnh đề 1 Quan hệ y - x ∈ overlineQ₊ là một quan hệ thứ tự trên R, biến R thành một tập hợp có thứ tự tuyến tính; tương thích với cấu trúc nhóm cộng trên R, và cảm sinh thứ tự x ≤ y trên Q. 0BP3
Mệnh đề 2 Mọi khoảng đóng (tương ứng, mở) trong R đều là một tập hợp đóng (tương ứng, mở) trong R. ↩ 1 0BP4
Mệnh đề 3 Khi r chạy qua tập hợp các số hữu tỉ > 0, các khoảng sᵣ = [-r, +r] trong R tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của 0. ↩ 2 0BP5
Hệ quả Mọi điểm của đường thẳng thực đều có một hệ cơ sở đếm được các lân cận. ↩ 1 0BP6
Mệnh đề 4 Nếu (x, y) là một cặp bất kỳ các số thực sao cho x < y, thì có một số hữu tỉ r sao cho x < r < y. 0BP7
Mệnh đề 5 Cho I là một khoảng bất kỳ trong \mathbf{R}. Khi đó tôpô cảm sinh trên I bởi tôpô của \mathbf{R} được sinh bởi các khoảng mở của I (trong đó I được xem là có thứ tự tuyến tính bởi… ↩ 1 0BP8
Nhận xét Nếu A là một tập con trù mật của \mathbf{R}, tôpô của \mathbf{R} được sinh bởi các khoảng mở có các đầu mút thuộc A. Thật vậy, nếu 0BP9
Định nghĩa 3 Độ dài của một khoảng bị chặn với các đầu mút a và b (a \leq b) được định nghĩa là b - a. 0BPA

§ 2. Các tính chất tôpô cơ bản của đường thẳng thực

Định lý 1 Nếu x và y là hai số thực bất kỳ 0, thì tồn tại một số nguyên n > 0 sao cho y < nx. ↩ 3 0BPF
Nhận xét Một phép dựng tiên đề của lý thuyết số thực sẽ được trình bày trong Chương V, S 2, trong đó Định lý 1 xuất hiện như một tiên đề; để biết thêm chi tiết về tiên đề này, xem Ghi chú l… 0BPG
Định lý 2 (Borel-Lebesgue) Điều kiện cần và đủ để một tập con của đường thẳng thực R là compact là nó đóng và bị chặn. ↩ 4 0BPH
Hệ quả 1 Một tập con của đường thẳng thực R là compact tương đối nếu và chỉ nếu nó bị chặn. 0BPI
Hệ quả 2 Đường thẳng thực là một không gian compact địa phương và không compact. 0BPJ
Nhận xét Định lý 2 thường được gọi là "Định lý Heine-Borel"; xem các Ghi chú lịch sử của Chương II và IV. 0BPK
Định lý 3 Mọi tập con không rỗng của đường thẳng thực bị chặn trên (resp. bị chặn dưới) đều có một cận trên bé nhất (resp. cận dưới lớn nhất). ↩ 1 0BPL
Mệnh đề 1 Một tập con không rỗng A của R là một khoảng khi và chỉ khi, hễ a và b là hai điểm bất kỳ của A sao cho a < b, thì khoảng đóng [a, b] được chứa trong A. ↩ 3 0BPM
Định lý 4 Một tập con A của R là liên thông khi và chỉ khi A là một khoảng. ↩ 4 0BPN
Hệ quả 1 Đường thẳng thực là một không gian liên thông và địa phương liên thông. 0BPO
Hệ quả 2 Các tập con compact liên thông duy nhất của R là các khoảng đóng bị chặn. 0BPP
Mệnh đề 2 Mọi tập mở không rỗng trong R là hợp của một họ đếm được các khoảng mở đôi một rời nhau. ↩ 2 0BPQ
Ví dụ Hãy định nghĩa bằng quy nạp một họ đếm được (I_n,p) các khoảng mở đôi một rời nhau như sau: Số nguyên n nhận mọi giá trị geqslant 0, và với mỗi giá trị của n, p nhận các giá trị 1… 0BPR
Định lý 5 Cho I là một khoảng trong R. Khi đó một ánh xạ f từ I vào R là một đồng phôi của I lên f(I) khi và chỉ khi f đơn điệu nghiêm ngặt và liên tục trên I; và khi đó f(I) là một khoảng t… ↩ 4 0BPS
Nhận xét Phần đầu của chứng minh trước thực ra cho thấy rằng một ánh xạ liên tục đơn ánh từ I vào R là đơn điệu nghiêm ngặt; do phần thứ hai của chứng minh, vì thế suy ra rằng mọi ánh xạ li… 0BPT

§ 3. Trường số thực

Mệnh đề 1 Các hàm xy và 1/x, được định nghĩa tương ứng trên Q × Q và Q^*, có thể được mở rộng bằng tính liên tục lên R × R và R^* tương ứng, và xác định một cấu trúc trường trên R. Được tran… 0BQF
Mệnh đề 2 Nhóm nhân R^* của các số thực ≠ 0 là một nhóm tôpô đẳng cấu với tích của các nhóm con R₊^* và U₀, trong đó 0BQG

§ 4. Đường thẳng thực mở rộng

Mệnh đề 1 Mọi khoảng mở không rỗng của R đều đồng phôi với R. ↩ 4 0BQK
Nhận xét Để chứng minh rằng mọi khoảng mở bị chặn đều đồng phôi với nhau, chỉ cần nhận xét rằng, nếu a ≠ b và a' ≠ b', thì có một phép đồng phôi của R lên chính nó, có dạng x → ax + β (và c… 0BQL
Định nghĩa 1 Tập hợp overlineR được trang bị cấu trúc thứ tự và tôpô được định nghĩa ở trên được gọi là đường thẳng thực mở rộng. ↩ 1 0BQM
Mệnh đề 2 Mọi song ánh tôpô f từ R lên một khoảng ]a, b[ đều có thể được mở rộng thành một song ánh tôpô overlinef từ overlineR lên [a, b]. Nếu f là một hàm tăng, thì overlinef là một đẳng c… ↩ 2 0BQN
Mệnh đề 3 Đường thẳng thực mở rộng là compac. 0BQO
Mệnh đề 4 Mọi tập con không rỗng của overlineR đều có một cận trên bé nhất và một cận dưới lớn nhất. 0BQP
Mệnh đề 5 Một tập con A của overlineR là liên thông khi và chỉ khi A là một khoảng. ↩ 1 0BQQ
Hệ quả Đường thẳng thực mở rộng là một không gian liên thông, liên thông địa phương. 0BQR
Mệnh đề 6 Một ánh xạ f từ một khoảng I của overlineR vào overlineR là một đồng phôi từ I lên f(I) khi và chỉ khi f đơn điệu nghiêm ngặt và liên tục trên I; khi đó f(I) là một khoảng của over… 0BQS
Mệnh đề 7 Hàm x + y có thể được mở rộng bằng tính liên tục lên mỗi tập A' × A' và A'' × A'', theo các công thức ↩ 1 0BQT
Mệnh đề 8 Hàm xy có thể được mở rộng bằng tính liên tục lên tập overlineR^* × overlineR^* theo các công thức 0BQU

§ 5. Các hàm thực

Định nghĩa 1 Một ánh xạ của một tập hợp X vào đường thẳng thực được gọi là một hàm thực (hay hàm thực) xác định trên X. 0BR2
Mệnh đề 1 Cho f và g là hai hàm thực xác định trên một tập hợp X được lọc bởi một bộ lọc 𝔉. Nếu lim_𝔉 f và lim_𝔉 g tồn tại, và nếu, với mỗi tập con A ∈ 𝔉, tồn tại x ∈ A sao cho f(x) ≤ g(x)… ↩ 1 0BR3
Mệnh đề 2 Cho f và g là hai hàm thực xác định trên một tập hợp X được lọc bởi một bộ lọc 𝔉. Nếu lim_𝔉 f và lim_𝔉 g tồn tại, và nếu lim_𝔉 f > lim_𝔉 g, thì tồn tại một tập hợp A ∈ 𝔉 sao cho f(… 0BR4
Định lý 1 (Nguyên lý mở rộng các bất đẳng thức) Cho f và g là hai hàm số thực, xác định trên một tập hợp X được lọc bởi một bộ lọc 𝔉. Nếu lim_𝔉 f và lim_𝔉 g tồn tại, và nếu f ≤ g, thì lim_𝔉 f ≤ lim_𝔉 g. ↩ 6 0BR5
Nhận xét Nếu riêng ta có f(x) < g(x) với mọi x ∈ X (hoặc chỉ với mọi điểm của một tập hợp thuộc bộ lọc overlineR) thì theo Định lý 1, ta suy ra được rằng lim_𝔉 f ≤ lim_𝔉 g; nhưng không thể… 0BR6
Hệ quả Một hàm tăng (tương ứng, giảm) nhận giá trị thực, được xác định trên một tập con có hướng A của một tập hợp có thứ tự X, có một giới hạn hữu hạn đối với A khi và chỉ khi nó bị chặn… ↩ 1 0BR8
Mệnh đề 3 Mọi dãy đơn điệu các số thực đều có một giới hạn trong overlineR. Đặc biệt, mọi dãy tăng (tương ứng, giảm) gồm các số hữu hạn đều hội tụ đến một số thực hữu hạn nếu nó bị chặn trên… 0BR9
Định nghĩa 2 Cho f là một hàm xác định trên một tập con không rỗng A của overlineR, nhận giá trị trong một không gian tôpô X. Một giới hạn của f đối với bộ lọc 𝔉, nếu tồn tại, được gọi là giới… 0BRA
Mệnh đề 4 Nếu A là một tập con của overlineR và a ≠ -∞ là một điểm thuộc bao đóng của giao A ∩ [-∞, a[, thì mọi hàm thực đơn điệu f xác định trên A đều có một giới hạn bên trái f(a-) tại a… 0BRB
Định nghĩa 3 Cho f là một hàm thực xác định trên một tập hợp X, và A là một tập con không rỗng của X. Khi đó cận trên nhỏ nhất (tương ứng, cận dưới lớn nhất) của tập f(A) trong overlineR được g… 0BRC
Mệnh đề 5 Cho f là một hàm thực định nghĩa trên một tập hợp X. Trên tập hợp 𝔉(X) gồm mọi tập con hữu hạn của X, có hướng đối với quan hệ ⊂, hàm thực H → sup_x ∈ H f(x) là tăng, hàm thực H →… ↩ 2 0BRD
Mệnh đề 6 Cho f và g là hai hàm thực xác định trên X. Nếu f(x) ≤ g(x) tại mọi điểm x của một tập con không rỗng A của X, thì ta có 0BRE
Mệnh đề 7 Cho f là một hàm thực xác định trên X. Nếu A và B là hai tập con không rỗng của X sao cho A ⊂ B, thì ↩ 1 0BRF
Mệnh đề 8 Cho f là một hàm nhận giá trị thực được xác định trên X, và cho (Aᵢ)_i ∈ I là một họ không rỗng các tập con không rỗng của X; khi đó 0BRG
Mệnh đề 9 Cho f là một hàm thực-valued được xác định trên một tập hợp tích X₁ × X₂. Nếu A₁, A₂ lần lượt là các tập hợp con không rỗng bất kỳ của X₁, X₂, thì ↩ 2 0BRH
Định nghĩa 4 Cho (fᵢ)_i ∈ I là một họ các hàm thực xác định trên một tập hợp X. Hàm thực trên X mà giá trị tại mỗi điểm x ∈ X là sup_i ∈ I (fᵢ(x)) [tương ứng là inf_i ∈ I (fᵢ(x))] được gọi là b… 0BRI
Mệnh đề 10 Trong không gian tích overlineR^X, bao trên sup_i ∈ I fᵢ của một họ các hàm thực (fᵢ)_i ∈ I là giới hạn, đối với tập có hướng 𝔉(I) các tập con hữu hạn của I, của ánh xạ H → sup_i ∈… 0BRJ
Định nghĩa 5 Một họ (fᵢ)_i ∈ I các hàm nhận giá trị thực xác định trên một tập hợp X được gọi là bị chặn đều trên (resp. bị chặn đều dưới) trong X, nếu tồn tại một số hữu hạn a sao cho fᵢ(x) ≤… 0BRK
Định nghĩa 6 Giới hạn của hàm thực M → sup_x ∈ M f(x) đối với tập có hướng 𝔊 được gọi là giới hạn trên của f đối với bộ lọc 𝔊, và được ký hiệu là lim sup_𝔊 f, hoặc lim sup_x, 𝔊 f(x). 0BRL
Định lý 3 Giới hạn trên của một hàm giá trị thực f đối với một bộ lọc 𝔊 bằng giá trị giới hạn lớn nhất của f đối với 𝔊. 0BRM
Hệ quả 1 Để lim sup_𝔊 f = lim inf_𝔊 f, điều kiện cần và đủ là f có giới hạn đối với bộ lọc 𝔊, và khi đó lim_𝔊 f = lim sup_𝔊 f = lim inf_𝔊 f. Thật vậy, vì overlineR là compact, cơ sở bộ lọc… ↩ 1 0BRN
Hệ quả 2 Nếu ℌ là một bộ lọc mịn hơn 𝔊, thì ta có lim inf_𝔊 f ≤ lim inf_ℌ f ≤ lim sup_ℌ f ≤ lim sup_𝔊 f. Mọi điểm tụ của f đối với ℌ cũng là một điểm tụ của f đối với 𝔊 (Chương I, § 7, no… ↩ 1 0BRO
Hệ quả 3 Cho A là một tập hợp của bộ lọc 𝔊, 𝔊_A là bộ lọc cảm sinh trên A bởi 𝔊, và f_A là hạn chế của f lên A; khi đó lim sup_𝔊_A f_A = lim sup_𝔊 f. Mọi điểm tụ của cơ sở bộ lọc f(𝔊) đều l… ↩ 1 0BRP
Mệnh đề 11 Cho f và g là hai hàm số thực xác định trên một tập lọc X. Khi đó quan hệ f ≤ g kéo theo 0BRQ
Mệnh đề 12 Cho f và g là hai hàm thực được xác định trên một tập hợp X, và cho A là một tập con không rỗng của X. ↩ 1 0BRR
Hệ quả 1 Cho f là một hàm nhận giá trị thực xác định trên X, và cho k là một số thực. Khi đó (22) sup_x ∈ A (f(x) + k) = k + sup_x ∈ A f(x) miễn là cả hai vế đều xác định, và, nếu k ≥ 0, (2… 0BRS
Hệ quả 2 Cho f₁ và f₂ là hai hàm nhận giá trị thực xác định lần lượt trên các tập hợp X₁, X₂; khi đó nếu A₁, A₂ là các tập con không rỗng bất kỳ của X₁, X₂ tương ứng, ta có (24) sup_(x₁, x₂… 0BRT
Mệnh đề 13 Cho f và g là hai hàm số thực xác định trên một tập hợp lọc X. 0BRU
Hệ quả 1 Cho f và g là hai hàm thực xác định trên một tập hợp lọc X. Nếu lim g tồn tại, thì 0BRV
Hệ quả 2 Cho f và g là hai hàm thực nhận giá trị thực xác định trên một tập hợp được lọc X. Nếu lim f = +∞ và lim inf g > -∞ và f + g được xác định, thì lim (f + g) = +∞. Nếu lim f = +∞ và… 0BRW

§ 6. Các hàm thực liên tục và nửa liên tục

Định lý 1 (Weierstrass) Cho f là một hàm thực liên tục xác định trên một không gian quasi-compact rỗng khác X. Khi đó tồn tại ít nhất một điểm a ∈ X sao cho f(a) = sup_x ∈ X (f(x)), và ít nhất một điểm b… ↩ 5 0BSF
Hệ quả Nếu một hàm thực xác định trên một không gian quasi-compact rỗng khác X liên tục và hữu hạn trên X, thì nó bị chặn trong X. 0BSG
Định lý 2 (Bolzano) Cho f là một hàm thực liên tục xác định trên một không gian liên thông X. Nếu a và b là hai điểm bất kỳ của X, và nếu α là một số thực thuộc khoảng đóng có hai đầu mút là f(a) và f… ↩ 1 0BSH
Định nghĩa 1 Một hàm thực f, xác định trên một không gian tôpô X, được gọi là nửa liên tục dưới (tương ứng nửa liên tục trên) tại một điểm a ∈ X, nếu với mỗi h < f(a) [tương ứng với mỗi k > f(a… ↩ 1 0BSI
Ví dụ 1 Nếu f đạt cực tiểu tương đối tại một điểm a, nghĩa là nếu tồn tại một lân cận V của a sao cho, với mỗi x ∈ V, ta có f(a) ≤ f(x), thì f nửa liên tục dưới tại a. Đặc biệt, nếu f(a) =… 0BSJ
Ví dụ 2 Định nghĩa một hàm thực f trên R bằng cách đặt f(x) = 0 nếu x là vô tỉ, và f(x) = 1/q nếu x là hữu tỉ và bằng phân số bất khả quy p/q (q > 0). Với mỗi số nguyên n > 0, tập hợp các… 0BSK
Mệnh đề 1 Một hàm thực f trên một không gian tôpô X là nửa liên tục dưới khi và chỉ khi, với mỗi số thực hữu hạn k, overlinef([k, +∞]) [tập hợp mọi x ∈ X sao cho f(x) > k] là một tập hợp mở… ↩ 3 0BSL
Hệ quả Một tập con A của một không gian tôpô X là mở (resp. đóng) trong X khi và chỉ khi hàm đặc số () của nó φ_A là nửa liên tục dưới (resp. trên) trên X. ↩ 1 0BSM
Định lý 3 Cho f là một hàm nửa liên tục dưới trên một không gian quasi-compact không rỗng X. Khi đó có ít nhất một điểm a ∈ E sao cho f(a) = inf_x ∈ X f(x) (nói cách khác, f đạt cận dưới lớn… ↩ 1 0BSN
Hệ quả Cho f là một hàm nửa liên tục dưới trên một không gian quasi-compact không rỗng X. Nếu f(x) > -∞ với mọi x ∈ X, thì f bị chặn dưới trong X. 0BSO
Mệnh đề 2 Cho f và g là hai hàm số nhận giá trị thực, nửa liên tục dưới tại một điểm a ∈ X. Khi đó các hàm số inf(f, g) và sup(f, g) là nửa liên tục dưới tại a; f + g cũng vậy mỗi khi nó đượ… ↩ 1 0BSP
Định lý 4 Bao trên của một họ (fᵢ) các hàm nửa liên tục dưới tại một điểm a ∈ X là nửa liên tục dưới tại a. ↩ 2 0BSQ
Hệ quả Bao trên của một họ các hàm thực liên tục trên một không gian X là nửa liên tục dưới trên X. ↩ 1 0BSR
Mệnh đề 3 Một hàm thực f, xác định trên một không gian tôpô X, là nửa liên tục dưới tại một điểm a ∈ X khi và chỉ khi liminf_x → a f(x) = f(a) [hay, tương đương, khi và chỉ khi liminf_x → a… ↩ 1 0BSS
Mệnh đề 4 Cho f là một hàm nhận giá trị thực bất kỳ xác định trên một tập con trù mật A của một không gian tôpô X. Nếu, với mỗi x ∈ X, ta đặt g(x) = liminf_y → x, y ∈ A f(y), thì g là nửa li… 0BST

§ 7. Tổng và tích vô hạn của các số thực

Định lý 1 Một họ (xᵢ) các số thực hữu hạn geqslant 0 là khả tổng trong R khi và chỉ khi tập hợp các tổng riêng phần hữu hạn của họ bị chặn trên trong R. Khi đó, cận trên bé nhất của tập hợp… ↩ 5 0BT9
Nhận xét Cho (H_λ) là một họ các tập con hữu hạn của I sao cho, với mỗi tập con hữu hạn H của I, tồn tại một chỉ số λ sao cho H ⊂ H_λ; khi đó (xᵢ) là khả tổng nếu và chỉ nếu họ các s_H_λ bị… 0BTA
Ví dụ 1) Với mỗi số q sao cho 0 leqslant q < 1, dãy (qⁿ) ("cấp số nhân có công bội q") là khả tổng trong R, vì sₙ = frac1 - qⁿ⁺¹1 - q leqslant 1/(1 - q) tổng của dãy này là lim_n → ∞ sₙ… 0EAD
Định lý 2 (Nguyên lý so sánh) Cho (xᵢ)_i ∈ I và (yᵢ)_i ∈ I là hai họ các số thực hữu hạn ≥ 0, sao cho xᵢ ≤ yᵢ với mọi i. Nếu (yᵢ) là khả tổng trong R thì (xᵢ) cũng vậy, và ta có ∑ᵢ xᵢ ≤ ∑ᵢ yᵢ; nếu thêm nữa tồn… ↩ 2 0BTB
Ví dụ 1 Cho a là một số thực hữu hạn > 0, và xét dãy ( aⁿ/n! ); gọi n₀ là số nguyên nhỏ nhất sao cho a < n₀. Khi đó với mỗi n ≥ n₀ ta có aⁿ/n! ≤ fraca^n₀n₀! · ( a/n₀ )^n-n₀; vì q = a/n₀ <… 0BTC
Ví dụ 2 Cho (aₙ) là một dãy khả tổng gồm các số dương. Vì lim_n → ∞ aₙ = 0, nên tồn tại một số nguyên n₀ sao cho aₙ ≤ 1 mỗi khi n ≥ n₀. Do đó, với mỗi n ≥ n₀ ta có aₙ² ≤ aₙ, và vì thế dãy… 0BTD
Ví dụ 3 Cho a và b là hai số < 1; khi đó 1/(aᵐ + bⁿ) ≤ frac12(sqrta)ᵐ (sqrtb)ⁿ và do đó họ ( 1/(aᵐ + bⁿ) ) là khả tổng trong R. 0BTE
Hệ quả Cho (xᵢ)_i ∈ I là một họ khả tổng các số hữu hạn ≥ 0 trong R. Nếu H là một tập con tùy ý của I, ta có ∑_i ∈ H xᵢ ≤ ∑_i ∈ I xᵢ, và đẳng thức chỉ đúng nếu xᵢ = 0 với mọi i ∈ compleme… 0BTF
Định lý 3 Cho (xᵢ)_i ∈ I là một họ các số thực hữu hạn; khi đó các mệnh đề sau là tương đương: ↩ 2 0BTG
Mệnh đề 1 Nếu các họ (x_λ)_λ ∈ L và (y_μ)_μ ∈ M các số thực hữu hạn là khả tổng trong R, thì họ (x_λ y_μ)_(λ, μ) ∈ L × M cũng vậy và ta có ↩ 2 0BTH
Định lý 4 Họ (1 + uᵢ) là khả nhân trong R^* khi và chỉ khi họ (uᵢ) là khả tổng trong R. ↩ 7 0BTI
Bổ đề (i) Nếu (aᵢ)_1 ≤ i ≤ p là một dãy hữu hạn các số > 0, thì ∏ᵢ₌₁ᵖ (1 + aᵢ) ≥ 1 + ∑ᵢ₌₁ᵖ aᵢ. (ii) Nếu thêm nữa aᵢ < 1 với mọi i, thì ∏ᵢ₌₁ᵖ (1 - aᵢ) ≥ 1 - ∑ᵢ₌₁ᵖ aᵢ. 0BTJ
Mệnh đề 2 Mọi họ (xᵢ) gồm các số thực ≥ 0 đều khả tổng trong overlineR. ↩ 1 0BTK
Mệnh đề 3 Mọi họ (1 + uᵢ) [resp. (1 - uᵢ)] các số ≥ 1 (resp. ≥ 0 và ≤ 1) đều khả tích trong overlineR. 0BTL
Hệ quả Tích ∏ (1 + uᵢ) [resp. ∏ (1 - uᵢ)] của các số ≥ 1 (resp. > 0 và ≤ 1) bằng + ∞ (resp. 0) khi và chỉ khi ∑ uᵢ = + ∞. 0BTM
Nhận xét Định lý về tính kết hợp (Chương III, § 5, no. 3, Định lý 2) vẫn đúng khi thay G bằng overlineR và giả thiết rằng các xᵢ đều ≥ 0. Điều này hiển nhiên nếu ∑_i ∈ I xᵢ là hữu hạn. Ngượ… 0BTN
Định nghĩa 1 Một chuỗi các số thực hữu hạn được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi các giá trị tuyệt đối của các số hạng của nó hội tụ. 0BTO
Mệnh đề 4 Một chuỗi các số thực hữu hạn là hội tụ giao hoán nếu và chỉ nếu nó hội tụ tuyệt đối. 0BTP
Ví dụ Chuỗi phản xứng. Một chuỗi được xác định bởi một dãy (uₙ) các số thực hữu hạn được gọi là phản xứng nếu uₙ = (-1)ⁿ vₙ, trong đó vₙ ≥ 0 với mọi n. Hãy chỉ ra rằng một điều kiện đủ đ… 0BTQ
Định nghĩa 2 Một tích vô hạn có nhân tử tổng quát là 1 + uₙ được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu tích có nhân tử tổng quát là 1 + |uₙ| hội tụ. 0BTR
Mệnh đề 5 Một tích vô hạn các số thực hữu hạn là hội tụ giao hoán khi và chỉ khi nó hội tụ tuyệt đối. 0BTS
Ví dụ Nếu ta lấy u₂ₙ₋₁ = -1/n và u₂ₙ = 1/n với n ≥ 2, thì tích (1 + uₙ) không hội tụ tuyệt đối, vì chuỗi (uₙ) không hội tụ tuyệt đối; nhưng vì 0BTT

§ 8. Các khai triển thông thường của số thực; lũy thừa của r

Định nghĩa 1 Cho một số ε > 0, một số thực r được gọi là một xấp xỉ với sai số không quá ε của một số thực x, nếu |x - r| ≤ ε; r được gọi là một xấp xỉ thiếu nếu r ≤ x, xấp xỉ thừa nếu r ≥ x. 0BUG
Định lý 1 (Cantor) Tập hợp các số thực đẳng lực lượng với tập hợp tất cả các tập con của một tập vô hạn đếm được. ↩ 1 0BUH
Hệ quả Tập hợp các số thực có một lực lượng lớn hơn nghiêm ngặt lực lượng của một tập đếm được. 0BUI

V. Nhóm một tham số

§ 1. NHÓM CON VÀ NHÓM THƯƠNG CỦA $\mathbf{R}$

Mệnh đề 1 Mọi nhóm con đóng của nhóm cộng R, khác R và 0, đều là một nhóm rời rạc có dạng a.Z, với a > 0 (nói cách khác, nó gồm các bội nguyên của a). ↩ 2 0BV0
Mệnh đề 2 Các nhóm thương Hausdorff của R, khác 0, là các nhóm R/aZ (a geqslant 0). Nếu a và b đều > 0, tự đẳng cấu x → b/a x của R biến aZ thành bZ, và do đó (Chương III, § 2, no. 8, Nhận x… 0BV1
Mệnh đề 3 Mọi nhóm thương Hausdorff của R, khác R và 0, đều đẳng cấu với nhóm R/Z. ↩ 1 0BV2
Định nghĩa 1 Nhóm tôpô R/aZ (a > 0) được gọi là nhóm cộng của các số thực modulo a. Nhóm tôpô R/Z được ký hiệu bởi T. Xét như một không gian tôpô, T được gọi là xuyến một chiều (nói một cách lạ… 0BV3
Nhận xét 1 Quan hệ x ≡ y pmodaZ thường được viết x ≡ y pmoda, hoặc đơn giản là x ≡ y (a), và được đọc là "x và y đồng dư modulo a"; nó có nghĩa là x - y là một bội nguyên của a. Khi a là một… 0BV4
Nhận xét 2 Như ta sẽ thấy trong Chương VI, § 2, no. 4, không gian tôpô T đồng phôi với đường tròn x² + y² = 1 trong mặt phẳng số thực R²; không gian tích T² đồng phôi với một xuyến tròn xoay… 0BV5
Mệnh đề 4 Xuyến T đồng phôi với không gian thương của bất kỳ đoạn đóng nào của R có dạng [a, a+1] thu được bằng cách đồng nhất các đầu mút của đoạn này; nó compact, liên thông và liên thông… ↩ 1 0BV6
Nhận xét Chú ý rằng ánh xạ chính tắc φ của R lên T = R/Z, khi được hạn chế trên khoảng nửa mở [a, a+1[, là một ánh xạ song ánh liên tục của khoảng này lên T; ánh xạ nghịch đảo liên tục tại… 0BV7
Mệnh đề 5 Mọi đồng cấu liên tục f của nhóm tôpô R vào chính nó đều có dạng x → ax, với a ∈ R; nó là một tự đẳng cấu của R nếu a ≠ 0. ↩ 1 0BV8
Hệ quả Cho G là một nhóm tôpô đẳng cấu với R. Với mỗi a ∈ G có đúng một đồng cấu liên tục fₐ của R vào G sao cho fₐ(1) = a, và đồng cấu này là một đẳng cấu của R lên G nếu a không phải là… ↩ 1 0BV9
Mệnh đề 6 Nếu ta được cho một nhóm G và một tập con A của G sinh ra G, thì hiển nhiên hai đồng cấu f, g của G vào một nhóm G' trùng nhau nếu chúng nhận cùng một giá trị tại mọi điểm của A. N… ↩ 3 0BVA
Hệ quả Cho f là một đẳng cấu địa phương của R với một nhóm tôpô G. Khi đó tồn tại duy nhất một cấu xạ ngặt của R lên một nhóm con mở của G trùng với f tại mọi điểm của một lân cận nào đó… ↩ 1 0BVB
Mệnh đề 7 Mọi nhóm liên thông G mà đẳng cấu địa phương với R thì đẳng cấu với hoặc R hoặc T. ↩ 1 0BVC

§ 2. Đo lường các đại lượng

Mệnh đề 1 Cho E là một tập hợp có thứ tự tuyến tính với một phần tử nhỏ nhất ω; cho I là một tập con của E sao cho ω ∈ I và sao cho các quan hệ x ∈ I, y ≤ x kéo theo y ∈ I; cho (x, y) → xy l… ↩ 3 0BVG
Nhận xét 1 Các hệ thức x ∈ I, y ∈ I, xy ∈ I, yx ∈ I kéo theo f(xy) = f(x) + f(y) = f(yx), và do đó yx = xy vì f là tăng ngặt; nói cách khác, luật cảm sinh bởi luật hợp thành của E trên một kh… 0BVH
Nhận xét 2 Mọi ánh xạ g của I vào R₊ thỏa mãn cùng các điều kiện như f đều có dạng x → λ f(x) trong đó λ > 0. Thật vậy, nếu λ = g(a) > 0, các hệ thức zᵖ ≤ x ≤ zᵖ⁺¹, z^q ≤ a ≤ z^q+1 kéo theo… 0BVI
Mệnh đề 2 Nếu một tập hợp có thứ tự tuyến tính E và một tập con I của E thỏa mãn các tiên đề (GRI), (GR{II}), (GR{IIIa}) và (GR{IVa}), thì tồn tại một ánh xạ tăng ngặt f của I lên một khoảng… ↩ 2 0BVJ
Nhận xét Khi I = E, ảnh f(I) = f(E) là toàn bộ R₊, bởi vì nếu b > ω, thì bⁿ được xác định với mọi n, và do đó n · f(b) thuộc về f(E) với mọi n; điều này suy ra rằng f(E) không bị chặn trên… 0BVK

§ 3. ĐẶC TRƯNG HÓA TÔPÔ CỦA CÁC NHÓM $\mathbf{R}$ VÀ $\mathbf{T}$

Định lý 1 Một nhóm tôpô G trong đó tồn tại một lân cận của phần tử đơn vị đẳng cấu đồng phôi với một khoảng mở của R là địa phương đẳng cấu với R. ↩ 1 0BVN
Định lý 2 Một nhóm liên thông G trong đó tồn tại một lân cận của phần tử đơn vị đồng phôi với một khoảng mở của R là đẳng cấu với một trong hai nhóm R hoặc T. ↩ 3 0BVO
Nhận xét 1 Để quyết định xem một nhóm G thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2 có đẳng cấu với T hay với R, chỉ cần xem G có compact hay không. 0BVP
Nhận xét 2 Định lý 2 chỉ ra đặc biệt rằng mọi nhóm tôpô đồng phôi với nhóm R tất yếu là đẳng cấu với R. 0BVQ
Nhận xét 3 Đặc trưng hóa tôpô trước đó của các nhóm R và T liên quan đến không gian tôpô R như một tập hợp phụ trợ. Có thể đặc trưng hóa các cấu trúc nhóm tôpô của R và T bằng các tiên đề khô… 0BVR

§ 4. Hàm mũ và logarit

Định lý 1 Nhóm nhân R₊^* của các số thực > 0 là một nhóm tôpô đẳng cấu với nhóm cộng R của các số thực. ↩ 1 0BW0

VI. Các không gian số thực và các không gian xạ ảnh

§ 1. KHÔNG GIAN SỐ THỰC $\mathbf{R}^n$

Định nghĩa 1 Tích tôpô của n không gian đồng nhất với đường thẳng thực được gọi là không gian số thực n chiều, và được ký hiệu bởi Rⁿ. \ 0BW3
Nhận xét Không gian R⁰ gồm một điểm. 0BW4
Định nghĩa 2 Mọi tập con của Rⁿ là tích của n khoảng mở (tương ứng đóng) của R được gọi là một hộp mở (tương ứng đóng) trong Rⁿ. [Với n = 2 thì nó được gọi là một hình chữ nhật mở (tương ứng đó… 0BW5
Mệnh đề 1 Một tập con A của Rⁿ compact tương đối khi và chỉ khi nó bị chặn. 0BW6
Hệ quả Không gian Rⁿ là compact địa phương, nhưng không compact nếu n ≥ 1. 0BW7
Mệnh đề 2 Mọi đa tạp afin tuyến tính p-chiều trong Rⁿ đều là một tập con đóng của Rⁿ, và đồng phôi với Rᵖ. ↩ 1 0BW8
Mệnh đề 3 Cho f(x) = f(x₁, x₂, …, xₙ) là một đa thức với hệ số thực, không đồng nhất bằng không, xác định trên Rⁿ. Khi đó phần bù của tập overlinef(0) là trù mật trong Rⁿ. ↩ 1 0BW9
Hệ quả Phần bù của một tập tuyến tính afin có chiều p < n là trù mật trong Rⁿ. \ ↩ 1 0BWA
Mệnh đề 4 Trong Rⁿ (n ≥ 1) phần bù của mọi siêu phẳng có hai thành phần liên thông. 0BWB
Mệnh đề 5 Cho E, F, G là ba không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường R. Khi đó mọi ánh xạ song tuyến tính () f từ E × F vào G đều liên tục. 0BWC
Mệnh đề 6 Trong vành Mₙ(R), nhóm GLₙ(R) của các ma trận không suy biến là một tập con mở trù mật, và tôpô cảm sinh trên tập này tương thích với cấu trúc nhóm của nó. ↩ 2 0BWD

§ 2. Khoảng cách Euclid; các quả cầu và mặt cầu

Định nghĩa 1 Cho một điểm x₀ ∈ Rⁿ và một số thực r > 0, quả cầu Euclid mở (resp. đóng) có n chiều với tâm x₀ và bán kính r là tập hợp tất cả các điểm x ∈ Rⁿ sao cho d(x₀, x) < r [resp. d(x₀, x)… 0BWR
Mệnh đề 1 Mọi quả cầu mở (resp. đóng) của Rⁿ đều là một tập hợp mở (resp. compact). Bao đóng của một quả cầu mở là quả cầu đóng có cùng tâm và cùng bán kính; phần trong của một quả cầu đóng… 0BWS
Hệ quả Mọi mặt cầu Euclid đều là một tập compact và là biên của các quả cầu mở và đóng có cùng tâm và cùng bán kính. 0BWT
Mệnh đề 2 Mọi quả cầu mở n-chiều đều đồng phôi với Rⁿ. ↩ 1 0BWU
Mệnh đề 3 Không gian Rₙ^* đồng phôi với tích của Sₙ₋₁ và không gian R₊^* của các số thực > 0. ↩ 4 0BWV
Hệ quả 1 Mặt cầu Sₙ₋₁ đồng phôi với thương của Rₙ^* theo quan hệ tương đương mà các lớp là các tia mở có gốc o. 0BWW
Hệ quả 2 Không gian Rₙ^* đồng phôi với R × Sₙ₋₁. 0BWX
Nhận xét Những mệnh đề này không chỉ riêng đối với các quả cầu Euclid, mà còn có thể được mở rộng cho cả một lớp các lân cận compact của o trong Rⁿ (xem Bài tập 12). 0BWY
Mệnh đề 4 Nếu n > 1, hình cầu Euclid Sₙ₋₁ đồng phôi với không gian Rⁿ⁻¹ được làm compact bằng cách ghép thêm một "điểm ở vô cực"(Chương I, § 9, no. 8, Định lý 4). ↩ 4 0BWZ
Hệ quả 1 Hình cầu Sₙ đồng phôi với không gian thương của quả cầu Bₙ thu được bằng cách đồng nhất tất cả các điểm của hình cầu Sₙ₋₁. 0BX0
Hệ quả 2 Đường tròn S₁ đồng phôi với xuyến T. ↩ 1 0BX1
Mệnh đề 5 Nếu n > 1, hình cầu Euclid Sₙ₋₁ liên thông và liên thông địa phương, và mọi điểm của nó đều có một lân cận mở đồng phôi với Rⁿ⁻¹. ↩ 2 0BX2

§ 3. Các không gian xạ ảnh thực

Bổ đề 1 Nếu mọi tập hợp mở (tương ứng đóng) trong A bão hòa đối với R_A là vết trên A của một tập hợp mở (tương ứng đóng) trong E bão hòa đối với R, thì không gian thương A/R_A là đồng phô… ↩ 4 0BXG
Bổ đề 2 Nếu có một ánh xạ liên tục g của E lên A sao cho, với mọi x ∈ E, g(x) thuộc lớp tương đương của x, thì không gian thương A/RA là đồng phôi với E/R. ↩ 4 0BXH
Định nghĩa 1 Không gian xạ ảnh Pn(R) được trang bị tôpô thương của tôpô của R{n+1}^ bởi quan hệ tương đương Δn(R) được gọi là không gian xạ ảnh thực chiều n. 0BXI
Mệnh đề 1 Không gian xạ ảnh Pₙ là Hausdorff. ↩ 1 0BXJ
Mệnh đề 2 Không gian xạ ảnh Pₙ là compact và liên thông, và là đồng phôi với thương của mặt cầu Sₙ bởi quan hệ tương đương cảm sinh trên mặt cầu bởi Δₙ. ↩ 2 0BXK
Mệnh đề 3 Nếu n ≥ 0, không gian xạ ảnh Pₙ là đồng phôi với không gian thương của quả cầu Bₙ thu được bằng cách đồng nhất mỗi điểm của Sₙ₋₁ với điểm đối xứng diametrically của nó. ↩ 1 0BXL
Mệnh đề 4 Mỗi đa tạp tuyến tính xạ ảnh có p chiều trong một không gian xạ ảnh Pₙ đều đóng trong Pₙ và đồng phôi với Pₚ; nếu p < n thì phần bù của nó trù mật trong Pₙ. 0BXM
Mệnh đề 5 Trong một không gian xạ ảnh Pₙ (n ≥ 0), phần bù của một siêu phẳng xạ ảnh H đồng phôi với Rⁿ. ↩ 2 0BXN
Hệ quả Mọi điểm của Pₙ đều có một lân cận mở đồng phôi với Rⁿ. 0BXO
Định nghĩa 2 Không gian P_n,\ p, là thương của không gian tôpô L_n+1,\ p+1 bởi quan hệ tương đương Δ_n,\ p, được gọi là không gian các đa tạp tuyến tính xạ ảnh có số chiều p ≥ 0 trong không gia… ↩ 1 0BXP
Mệnh đề 6 Không gian P_n,\ p là Hausdorff. ↩ 2 0BXQ
Mệnh đề 7 Không gian P_n,p là compact. ↩ 1 0BXR
Mệnh đề 8 P_n,p liên thông và liên thông địa phương, và mọi điểm đều có một lân cận mở đồng phôi với R^(p+1)(n-p). ↩ 2 0BXS
Mệnh đề 9 Grassmannian G_n,p đồng phôi với không gian P_n,p. ↩ 2 0BXT

VII. Các nhóm cộng tính $\mathbf{R}^n$

§ 1. NHÓM CON VÀ NHÓM THƯƠNG CỦA $\mathbf{R}^n$

Mệnh đề 1 Cho G là một nhóm con rời rạc của Rⁿ có hạng p, cho (aᵢ)_1 ≤ i ≤ p là một hệ tự do gồm p điểm của G, và cho P là hình bình hành đóng với tâm o và các vectơ cơ sở aᵢ (Chương VI, § 1… ↩ 3 0BY4
Hệ quả Cho (aᵢ)_1 ≤ i ≤ p là một hệ tự do gồm p điểm của Rⁿ và cho b = ∑ᵢ₌₁ᵖ tᵢ aᵢ là một tổ hợp tuyến tính của các aᵢ, với các hệ số thực. Khi đó nhóm con G của Rⁿ sinh bởi p + 1 điểm a₁… 0BY5
Mệnh đề 2 (Kronecker) Cho θ₁, θ₂, …, θₙ là n số thực. Để với mỗi ε > 0, tồn tại một số nguyên q và n số nguyên pᵢ (1 ≤ i ≤ n) sao cho |qθᵢ - pᵢ| ≤ ε (1 ≤ i ≤ n), với vế trái của ít nhất một trong các bấ… ↩ 1 0BY6
Định lý 1 Mọi nhóm con rời rạc G của Rⁿ, có hạng bằng p, đều được sinh bởi một hệ tự do gồm p điểm. ↩ 4 0BY7
Mệnh đề 3 Mọi nhóm con đóng không rời rạc của Rⁿ đều chứa một đường thẳng đi qua o. ↩ 1 0BY8
Định lý 2 Cho (xₚ)_p ∈ N là một dãy vô hạn các điểm của G sao cho xₚ ≠ o và lim_p → ∞ xₚ = o; theo giả thiết, tồn tại một dãy như vậy. Cho P là một khối lập phương mở có tâm o, chứa các xₚ… ↩ 5 0BY9
Hệ quả 1 Có một cơ sở (aᵢ)_1 ≤ i ≤ n của Rⁿ, sao cho aᵢ ∈ G (1 ≤ i ≤ r), aᵢ ∈ V (1 ≤ i ≤ p) và sao cho G là tập hợp các điểm ∑ᵢ₌₁ᵖ tᵢ aᵢ + ∑_j=p+1ʳ nⱼ aⱼ, trong đó các tᵢ nhận mọi giá trị t… ↩ 2 0BYA
Hệ quả 2 Có một tự đẳng cấu của Rⁿ ánh xạ G lên nhóm G', đẳng cấu với Rᵖ × Zʳ⁻ᵖ, là tổng trực tiếp của không gian con vectơ sinh bởi e₁, e₂, …, eₚ và nhóm con cộng tính (rời rạc) sinh bởi e… 0BYB
Mệnh đề 4 Nhóm con G^* liên kết với một nhóm con G của Rⁿ là đóng, và ta có (overlineG)^* = G^*. 0BYC
Mệnh đề 5 Đối với mọi nhóm con đóng G của Rⁿ, r(G^*) = n - d(G) và d(G^*) = n - r(G). Ta áp dụng cùng lập luận cho G^*. Nhận thấy rằng cơ sở đối ngẫu với (a'ᵢ) là (aᵢ), ta thấy rằng: ↩ 1 0BYD
Mệnh đề 6 Đối với mọi nhóm con G của Rⁿ, ta có (G^*)^* = overlineG. ↩ 2 0BYE
Hệ quả Một điểm x nằm trong bao đóng của một nhóm con G của Rⁿ khi và chỉ khi (u|x) là một số nguyên đối với mọi u ∈ Rⁿ sao cho (u|y) là một số nguyên đối với mọi y ∈ G. 0BYF
Mệnh đề 7 (Kronecker) Cho aᵢ = (aᵢⱼ) (1 ≤ i ≤ m,\ 1 ≤ j ≤ n) là m điểm của Rⁿ và cho b = (bⱼ) (1 ≤ j ≤ n) là một điểm của Rⁿ. Để, với mỗi ε > 0, tồn tại m số nguyên gᵢ (1 ≤ i ≤ m) và n số nguyên pⱼ (1 ≤… 0BYG
Hệ quả 1 Để, với mỗi x = (xⱼ) (1 ≤ j ≤ n) và mỗi ε > 0, tồn tại m số nguyên qᵢ (1 ≤ i ≤ m) và n số nguyên pⱼ (1 ≤ j ≤ n) sao cho ↩ 1 0BYH
Hệ quả 2 Cho θ₁, θ₂, …, θₙ là n số thực. Để, cho trước bất kỳ n số thực x₁, x₂, …, xₙ và một số thực ε > 0, tồn tại một số nguyên q và n số nguyên pⱼ sao cho ↩ 3 0BYI
Mệnh đề 8 Nếu G₁, G₂ là hai nhóm con đóng bất kỳ của Rⁿ, ta có 0BYJ
Nhận xét Cho G₁, G₂ là hai mạng trong Rⁿ (no. 1) sao cho G₂ ⊂ G₁: khi đó (Mệnh đề 5) G₁^* và G₂^* là các mạng trong Rⁿ sao cho G₁^* ⊂ G₂^*. Ta đã thấy ở no. 1 rằng tồn tại một số nguyên m >… 0BYK
Mệnh đề 9 Mọi nhóm thương Hausdorff của Rⁿ đều đẳng cấu với một nhóm tích Rʰ × Tᵏ (0 ≤ h + k ≤ n). ↩ 1 0BYL
Mệnh đề 10 Nhóm tôpô Tⁿ là đẳng cấu địa phương với Rⁿ. 0BYM
Hệ quả Mọi nhóm con đóng của T, trừ chính T, là một nhóm cyclic hữu hạn. Mọi nhóm thương Hausdorff của T, trừ 0, đẳng cấu với T. 0BYN

§ 2. Các đồng cấu liên tục của $\mathbf{r}^n$ và các nhóm thương của nó

Mệnh đề 1 Mọi đồng cấu liên tục f của nhóm cộng Rᵐ vào nhóm cộng Rⁿ là một ánh xạ tuyến tính của Rᵐ vào Rⁿ. ↩ 1 0BZ3
Mệnh đề 2 Cho A là một hình hộp song song trong Rⁿ chứa o; và cho f là một ánh xạ liên tục của A vào một nhóm tôpô G (viết theo phép nhân) sao cho f(x + y) = f(x)f(y) với mỗi cặp điểm x, y s… ↩ 3 0BZ4
Hệ quả 1 Gọi V là một lân cận của o trong Rⁿ và gọi f là một ánh xạ liên tục của V vào một nhóm tôpô G sao cho ↩ 1 0BZ5
Hệ quả 2 Cho f là một đẳng cấu địa phương của Rⁿ với một nhóm tôpô G. Khi đó tồn tại một cấu xạ ngặt duy nhất của Rⁿ lên một nhóm con mở của G trùng với f tại mọi điểm của một lân cận nào đ… ↩ 1 0BZ6
Định lý 1 Mọi nhóm liên thông G đẳng cấu địa phương với Rⁿ đều đẳng cấu với một nhóm Rᵖ × Tⁿ⁻ᵖ (0 leqslant p leqslant n). ↩ 1 0BZ7
Mệnh đề 3 Mọi đồng cấu liên tục từ Rᵐ vào Tⁿ đều có dạng x → φ(u(x)), trong đó φ là đồng cấu chính tắc của Rⁿ lên Tⁿ (được đồng nhất với Rⁿ/Zⁿ) và u là một ánh xạ tuyến tính từ Rᵐ vào Rⁿ. ↩ 2 0BZ8
Nhận xét Lập luận tương tự chỉ ra, nói chung hơn, rằng nếu φ là một cấu xạ ngặt từ Rⁿ vào một nhóm G, mà hạn chế của nó trên một lân cận thích hợp của o là một đẳng cấu địa phương của Rⁿ vớ… 0BZ9
Mệnh đề 4 Nếu φ là đồng cấu chính tắc của R lên T, mọi đồng cấu liên tục từ R vào T đều có dạng x ↦ φ(ax) trong đó a ∈ R; và nó là một cấu xạ ngặt từ R lên T nếu a ≠ 0. ↩ 1 0BZA
Mệnh đề 5 Mọi đẳng cấu của nhóm tôpô Tⁿ lên một trong các nhóm con của nó là một tự đẳng cấu của Tⁿ thu được bằng cách chuyển qua thương từ một ánh xạ tuyến tính u của Rⁿ lên chính nó, ánh x… ↩ 3 0BZB
Mệnh đề 6 Các đẳng cấu duy nhất của nhóm tôpô T lên một trong các nhóm con của nó là ánh xạ đồng nhất và phép đối xứng x → -x. ↩ 3 0BZC

§ 3. CÁC TỔNG VÔ HẠN TRONG CÁC NHÓM $\mathbf{R}^n$

Mệnh đề 1 Một họ (xᵢ)_i ∈ I các điểm xᵢ = (x_i,k)_1 ≤ k ≤ n của Rⁿ là khả tổng khi và chỉ khi mỗi một trong n họ (x_i,k)_i ∈ I các số thực là khả tổng trong R. ↩ 2 0BZK
Định lý 1 Một họ (xᵢ)_i ∈ I các điểm của Rⁿ là khả tổng khi và chỉ khi họ (||xᵢ||) các chuẩn Euclid của các xᵢ là khả tổng trong R. ↩ 2 0BZL
Mệnh đề 2 Nếu (xᵢ)_i ∈ I là một họ hữu hạn bất kỳ các điểm trong Rⁿ, thì ↩ 3 0BZM
Hệ quả Một họ (xᵢ) các điểm của Rⁿ là khả tổng khi và chỉ khi tập hợp các tổng riêng hữu hạn của họ bị chặn trong Rⁿ. 0BZN
Mệnh đề 3 Cho (x_λ)_λ ∈ L là một họ khả tổng các điểm của Rᵐ, (y_μ)_μ ∈ M là một họ khả tổng các điểm của Rⁿ, và cho f là một ánh xạ song tuyến tính từ Rᵐ × Rⁿ vào Rᵖ. Khi đó họ (f(x_λ, y_μ)… 0BZO
Hệ quả 1 Nếu (a_λ)_λ ∈ L là một họ khả tổng các số thực và nếu (x_μ)_μ ∈ M là một họ khả tổng các điểm của Rⁿ, thì họ (a_λ x_μ)_(λ, μ) ∈ L × M là khả tổng và ta có 0BZP
Hệ quả 2 Nếu (x_λ)_λ ∈ L và (y_μ)_μ ∈ M là hai họ điểm khả tổng của Rⁿ, thì họ (x_λ | y_μ) (xem Chương VI, § 2, no. 2) là khả tổng trong R, và ta có 0BZQ
Định nghĩa 1 Một chuỗi các điểm của Rⁿ được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi các chuẩn Euclid của các số hạng của nó hội tụ. 0BZR
Mệnh đề 4 Một chuỗi các điểm của Rⁿ được gọi là hội tụ giao hoán khi và chỉ khi nó hội tụ tuyệt đối. 0BZS

VIII. Số phức

§ 1. Số phức, quaternion

Định nghĩa 1 Trường R[X]/(X² + 1) được gọi là trường các số phức và được ký hiệu là C. Ảnh chính tắc của X trong C được ký hiệu là i, do đó C thu được từ trường R bằng phép nối đại số nghiệm i… ↩ 1 0BZV
Định lý 1 (d'Alembert-Gauss). Trường C các số phức là đóng đại số. ↩ 2 0BZW
Nhận xét 1 Định lý 1 có thể được chứng minh mà không cần viện đến lý thuyết các trường có thứ tự, bằng cách sử dụng các tính chất của tôpô của trường C, sẽ được định nghĩa dưới đây (no. 2); x… 0BZX
Nhận xét 2 Vì C có bậc 2 trên R, suy ra rằng C, tới đẳng cấu, là mở rộng đại số duy nhất của R khác với chính R, và không có trường nào được chứa trong C chứa R, ngoài R và C. 0BZY
Mệnh đề 1 \Nhóm tôpô C^* đẳng cấu với tích của các nhóm tôpô R^* và U.\ ↩ 3 0BZZ
Mệnh đề 2 Nhóm nhân H^* gồm các quaternion khác không là một nhóm tôpô đẳng cấu với tích của các nhóm con R₊^* và S₃. 0C00
Nhận xét 1 Bằng cách sử dụng các hệ thức |x + y| = |x| + |y| và |xy| = |x|·|y| ta có thể chứng minh trực tiếp, như đối với trường các số phức trong no. 2, rằng tôpô của R⁴ tương thích với cấu… 0C01
Nhận xét 2 Từ những gì đã chứng minh, suy ra rằng các mặt cầu S₁ và Sₙ có thể mang một cấu trúc nhóm tương thích với tôpô của chúng. Sau này ta sẽ thấy rằng, với mỗi số nguyên n khác 1 và 3… 0C02
Nhận xét 3 Mỗi điểm của nhóm S₂ đều có một lân cận đồng phôi với R³ (chương VI, § 2, no. 4, Mệnh đề 5), nhưng S₄ không địa phương đẳng cấu với R³; vì nếu có thì nó sẽ Abel, do nó liên thông (… 0C03

§ 2. Đo góc, các hàm lượng giác

Định lý 1 Nhóm (nhân, tôpô U của các số phức có môđun bằng 1 đẳng cấu với nhóm (cộng, tôpô T của các số thực môđun 1. ↩ 2 0C09
Hệ quả Nhóm nhân C^* của các số phức khác không đẳng cấu với nhóm R × T (cf. § 1, no. 3, Mệnh đề 1). 0C0A
Nhận xét Sự đẳng cấu của các nhóm C^* và R × T kéo theo sự tồn tại các căn của mọi "phương trình nhị thức" zⁿ = a trong trường C. Dùng sự kiện này và tính tương thích địa phương của C, ta c… 0C0B
Nhận xét Ánh xạ x + iy → eˣe(y) là một cấu xạ ngặt của nhóm cộng C lên nhóm nhân C^*, và hạn chế của nó lên một lân cận thích hợp của 0 là một đẳng cấu địa phương của C với C^*. Do đó (Chươ… 0C0C
Nhận xét Ta có thể định nghĩa một đồng cấu của C^* lên 𝔄₀ bằng cách ánh xạ mỗi số phức z ≠ 0 vào chéo mà đường thẳng đi qua o và z tạo với trục thực. Rõ ràng đồng cấu này là hợp thành của φ… 0C0D

§ 3. Tổng và tích vô hạn của các số phức

Mệnh đề 1 Nếu (u_λ)_λ ∈ L và (v_μ)_μ ∈ M là hai họ khả tổng của các số phức, thì họ (u_λ v_μ)_(λ, μ) ∈ L × M khả tổng và ta có 0C0I
Mệnh đề 2 Một họ (zᵢ) các số phức zᵢ = rᵢ (cos θᵢ + i sin θᵢ) khả tích khi và chỉ khi họ (rᵢ) các giá trị tuyệt đối của các zᵢ khả tích trong R₊^* và họ (θᵢ) các biên độ của các zᵢ khả tổng… 0C0J
Định lý 1 Họ (1 + uᵢ)_i ∈ I khả tích trong C^* khi và chỉ khi họ (|uᵢ|) khả tổng trong R. ↩ 1 0C0K
Bổ đề 1 Với mỗi tập con hữu hạn J của I, đặt φ(J) = sup_L ⊂ J (p_L - 1). Khi đó với mỗi tập con L của J ta có 0C0L
Bổ đề 2 Nếu J là một tập con hữu hạn của I sao cho φ(J) < 1/4, thì 0C0M
Định nghĩa 1 Một tích vô hạn các số phức, có nhân tử tổng quát 1 + uₙ, được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu tích có nhân tử tổng quát 1 + |uₙ| hội tụ (hoặc tương đương, nếu chuỗi có số hạng tổng qu… 0C0N
Mệnh đề 3 Một tích vô hạn các số phức hội tụ giao hoán khi và chỉ khi nó hội tụ tuyệt đối. ↩ 1 0C0O
Nhận xét 1 Tích có nhân tử tổng quát |1 + uₙ| có thể hội tụ, và thực sự hội tụ tuyệt đối trong Rᵢ^*, mà không có sự hội tụ của tích có nhân tử tổng quát 1 + |uₙ| (xem Bài tập 4); dĩ nhiên, đi… 0C0P
Nhận xét 2 Như đã nhận xét đối với các tích của các nhân tử > 0, sự hội tụ của chuỗi có số hạng tổng quát uₙ không phải là điều kiện cần cũng không phải là điều kiện đủ cho sự hội tụ của tích… 0C0Q

§ 4. Không gian số phức và không gian xạ ảnh

Định nghĩa 1 Không gian xạ ảnh Pₙ(C), được trang bị tôpô là thương của tôpô của Cₙ₊₁^* bởi quan hệ tương đương Δₙ(C), được gọi là không gian xạ ảnh phức có n chiều. 0C0W
Định nghĩa 2 Không gian thương P_n,p(C) của không gian tôpô L_n+1,\ p+1(C) theo quan hệ tương đương Δ_n,p(C) được gọi là không gian của các đa tạp tuyến tính xạ ảnh có p geqslant 0 chiều trong… ↩ 1 0C0X
Nhận xét Phần lớn các tính chất chung của các không gian số thực và phức (tương ứng các không gian xạ ảnh) cũng đúng đối với các không gian số (tương ứng các không gian xạ ảnh) được định ng… 0C0Y

IX. Sử dụng các số thực trong tôpô đại cương

§ 1. Sinh một cấu trúc đều bởi một họ giả khoảng cách; các không gian khả cấu trúc đều

Ví dụ 1 Trên không gian số thực Rⁿ, khoảng cách Euclid (Chương VI, § 2, no. 1) là một giả khoảng cách. 0C17
Ví dụ 2 Nếu X là một tập hợp bất kỳ, thì hàm f xác định trên X × X bởi các điều kiện f(x, x) = 0 với mọi x ∈ X, f(x, y) = +∞ nếu x ≠ y là một giả khoảng cách trên X. ↩ 1 0C18
Ví dụ 3 Nếu X là một tập hợp bất kỳ và nếu g là một hàm nhận giá trị thực hữu hạn bất kỳ xác định trên X, thì hàm f xác định trên X × X bởi f(x, y) = |g(x) - g(y)| là một giả khoảng cách t… ↩ 1 0C19
Ví dụ 4 \ Cho X là tập hợp mọi ánh xạ liên tục từ khoảng [0, 1] của R vào R. Nếu với mỗi cặp phần tử x, y của X ta đặt f(x, y) = ∫₀¹ |x(t) - y(t)| dt, thì f là một giả khoảng cách trên X… 0C1A
Nhận xét 1) Ví dụ 2 ở trên cho thấy rằng một giả khoảng cách có thể nhận giá trị +∞ đối với một số cặp phần tử của X. 2) Nếu f là một giả khoảng cách trên X, nói chung ta có thể có f(x, y)… 0EBA
Định nghĩa 2 Cho một giả mêtric f trên một tập hợp X, cấu trúc đồng nhất được định nghĩa bởi f là cấu trúc đồng nhất trên X có một hệ cơ bản của các lân cận là họ các tập hợp overlinef⁻¹([0, a]… ↩ 2 0C1B
Nhận xét 1 Nếu (aₙ) là một dãy bất kỳ các số > 0 và dần tới 0, các U_aₙ tạo thành một hệ cơ bản của các lân cận của cấu trúc đồng nhất được định nghĩa bởi f. 0C1C
Nhận xét 2 Định nghĩa một cấu trúc đồng nhất bởi một giả mêtric f bao gồm việc lấy làm hệ cơ bản của các lân cận ảnh ngược qua f của lọc lân cận của 0 trong không gian con [0, +∞] của overlin… 0C1D
Định nghĩa 3 Nếu (fᵢ)_i ∈ I là một họ các giả mêtric trên một tập hợp X, thì cận trên nhỏ nhất của tập hợp các cấu trúc đều được xác định trên X bởi các giả mêtric fᵢ được gọi là cấu trúc đều đ… 0C1E
Mệnh đề 1 Cho X là một không gian đều Hausdorff mà cấu trúc đều U của nó được định nghĩa bởi một họ các giả khoảng cách hữu hạn (fᵢ), và gọi hatX là phần bù chỉnh của X. Khi đó các hàm fᵢ có… ↩ 2 0C1F
Định lý 1 Cho một cấu trúc đều U trên một tập hợp X, tồn tại một họ các giả metric trên X sao cho cấu trúc đều được xác định bởi họ này trùng với U. ↩ 2 0C1G
Mệnh đề 2 Nếu một cấu trúc đều U trên X có một hệ cơ bản đếm được các lân cận, thì tồn tại một giả metric f trên X sao cho U trùng với cấu trúc đều được xác định bởi f. ↩ 2 0C1H
Nhận xét Một cấu trúc đều U trên X được xác định bởi họ Φ gồm tất cả các giả mêtric trên X liên tục đều trên X × X. Rõ ràng cấu trúc đều được xác định bởi họ Φ là thô hơn U; ngược lại, Định… 0C1I
Định lý 2 Một không gian tôpô X là khả năng đồng đều hóa khi và chỉ khi nó thỏa mãn tiên đề sau: ↩ 4 0C1J
Định nghĩa 4 Một không gian tôpô được gọi là chính quy hoàn toàn nếu nó là khả năng đồng đều hóa và Hausdorff. 0C1K
Nhận xét Tiên đề (O{IV}) kéo theo (O{III}) (xem Chương I, § 8, no. 4), vì nếu V là một lân cận của x0 và nếu f là một hàm thực liên tục trên X nhận các giá trị trong [0, 1], sao cho f(x0) =… 0C1L
Mệnh đề 3 Một không gian tôpô X là chính quy hoàn toàn khi và chỉ khi nó đồng phôi với một không gian con của một không gian compact. ↩ 1 0C1M
Mệnh đề 4 Nếu một không gian tôpô X là chính quy hoàn toàn, nó đồng phôi với một không gian con của một hộp. ↩ 1 0C1N
Mệnh đề 5 Để mọi hàm nhận giá trị thực nửa liên tục dưới f (hữu hạn hoặc không) trên một không gian tôpô X đều là bao trên của các hàm liên tục nhận giá trị thực trên X (hữu hạn hoặc không)… ↩ 1 0C1O
Nhận xét Trong chứng minh trên, ta thấy rằng hàm g không nhận giá trị +1. Bằng phép chuyển cấu trúc suy ra rằng mọi hàm thực nửa liên tục dưới f trên không gian có thể nhất quán hóa X đều l… 0C1P

§ 2. Không gian mêtric và các không gian mêtric hóa

Định nghĩa 1 Một mêtric trên một tập hợp X là một giả mêtric hữu hạn d trên X sao cho quan hệ d(x, y) = 0 suy ra x = y. Một không gian mêtric là một tập hợp X được trang bị cấu trúc được xác đị… ↩ 1 0C2C
Ví dụ 1 Khoảng cách Euclid d(x, y) (Chương VI, § 2, no. 1) là một mêtric trên không gian số thực n-chiều Rⁿ; các hàm sau cũng vậy 0C2D
Ví dụ 2 Trên mọi tập hợp X, giả mêtric d, được xác định bởi các quan hệ d(x, x) = 0 và d(x, y) = 1 nếu x ≠ y, là một mêtric. Cấu trúc đều mà nó xác định trên X là cấu trúc đều rời rạc. 0C2E
Mệnh đề 1 Cho X là một không gian mêtric và d là mêtric của nó. Nếu hatX là mêtric hoàn chỉnh của X (đối với cấu trúc đều được xác định bởi d), thì hàm d có thể được mở rộng bằng tính liên t… ↩ 3 0C2F
Nhận xét Nếu d(x, A) = a, có thể xảy ra trường hợp không có điểm nào của A mà khoảng cách đến x bằng a. Tuy nhiên, tình huống này không bao giờ xảy ra nếu A compắc, vì khi đó định lý Weiers… 0C2G
Mệnh đề 2 Các mệnh đề d(x, A) = 0 và x ∈ overlineA là tương đương. ↩ 2 0C2H
Mệnh đề 3 Hàm d(x, A) là liên tục đều trên X. ↩ 3 0C2I
Nhận xét Ta có thể có d(A, B) = 0 đối với hai tập con A, B của X sao cho overlineA ∩ overlineB = ∅, với điều kiện rằng không tập con nào trong hai tập con là một điểm đơn. Ví dụ, trên đường… 0C2J
Mệnh đề 4 Độ dao động ω(x; f) của một hàm tùy ý f, được xác định trên một tập con X của một không gian tôpô Y và nhận giá trị trong một không gian mêtric X', là nửa liên tục trên trên overli… 0C2K
Mệnh đề 5 Một hàm f được xác định trên một tập con X của một không gian tôpô Y, nhận giá trị trong một không gian mêtric đầy đủ X'. Khi đó f có giới hạn tương đối với X tại một điểm x ∈ over… 0C2L
Định nghĩa 2 Một mêtric trên một tập hợp X được gọi là tương thích với một cấu trúc đồng đều U trên X nếu cấu trúc đồng đều được xác định bởi mêtric trùng với U. Một cấu trúc đồng đều trên một… 0C2M
Định lý 1 Một cấu trúc đồng đều là metric hóa được khi và chỉ khi nó Hausdorff và lọc các lân cận của cấu trúc đồng đều có một cơ sở đếm được. ↩ 8 0C2N
Hệ quả 1 Một cấu trúc đồng đều Hausdorff được xác định bởi một họ đếm được các giả mêtric là metric hóa được. 0C2O
Hệ quả 2 Mọi tích đếm được của các không gian đồng nhất mêtric hóa được đều mêtric hóa được. ↩ 5 0C2P
Định nghĩa 3 Một mêtric trên một tập X được gọi là tương thích với một tôpô T trên X nếu tôpô được xác định bởi mêtric này trùng với T. Một không gian tôpô được gọi là mêtric hóa được nếu tồn t… 0C2Q
Mệnh đề 6 Mỗi điểm của một không gian mêtric hóa được có một hệ cơ bản đếm được các lân cận. ↩ 1 0C2R
Mệnh đề 7 Trong một không gian mêtric hóa được, mỗi tập đóng là giao của một họ đếm được các tập mở, và mỗi tập mở là hợp của một họ đếm được các tập đóng. ↩ 2 0C2S
Nhận xét 1 Các điều kiện cần này không đủ (xem Bài tập 13). 0C2T
Nhận xét 2 Có những không gian trong đó mỗi điểm có một hệ cơ bản đếm được các lân cận nhưng trong đó tồn tại các tập đóng không phải là giao đếm được của các tập mở (Bài tập 15); các không g… 0C2U
Mệnh đề 8 Trong một không gian mêtric hóa được X, một điểm x nằm trong bao đóng của một tập con khác rỗng A của X khi và chỉ khi tồn tại một dãy các điểm của A hội tụ đến x. ↩ 1 0C2V
Mệnh đề 9 Một không gian metric X là đầy đủ khi và chỉ khi mọi dãy Cauchy trong X là hội tụ. ↩ 3 0C2W
Mệnh đề 10 Cho X là một không gian khả mêtric và cho f là một ánh xạ từ X vào một không gian tôpô X'. Khi đó f liên tục tại một điểm x ∈ X khi và chỉ khi, bất cứ khi nào (xₙ) là một dãy các đ… ↩ 1 0C2X
Mệnh đề 11 Cho X là một không gian khả mêtric và cho f là một hàm nửa liên tục dưới trên X nhận các giá trị của nó trong một khoảng đóng [a, b] của overlineR. Khi đó f là bao trên của một dãy… ↩ 1 0C2Y
Định nghĩa 4 Một không gian mêtric được gọi là kiểu đếm được (hoặc tách được) nếu tôpô của nó có một cơ sở đếm được. 0C2Z
Mệnh đề 12 Nếu X là một không gian tôpô mêtric, các mệnh đề sau là tương đương: ↩ 3 0C30
Mệnh đề 13 Cho X là một không gian tôpô có một cơ sở đếm được (Uₙ); khi đó với mỗi phủ mở (Vᵢ)_i ∈ I của X, tồn tại một tập con đếm được J của I sao cho (Vᵢ)_i ∈ J là một phủ của X. 0C31
Mệnh đề 14 Một không gian metric X là tiền compact khi và chỉ khi, với mỗi ε > 0, tồn tại một phủ hữu hạn của X bởi các tập hợp có đường kính ≤ ε. ↩ 2 0C32
Mệnh đề 15 Một không gian tôpô khả métric hóa X là compact khi và chỉ khi mọi dãy vô hạn các điểm của X đều có một điểm tụ trong X. ↩ 2 0C33
Hệ quả Một tập con A của một không gian tôpô khả métric hóa X là compact tương đối khi và chỉ khi mọi dãy vô hạn các điểm của A đều có một điểm tụ trong X. 0C34
Mệnh đề 16 Một không gian compact X là khả métric hóa khi và chỉ khi tôpô của nó có một cơ sở đếm được. ↩ 4 0C35
Hệ quả Cho X là một không gian compact địa phương và gọi X' là không gian compact thu được bằng cách thêm vào X một điểm ở vô cùng ω (Chương I, § 9, no. 8). Khi đó các mệnh đề sau là tươn… ↩ 1 0C36
Mệnh đề 17 Mọi không gian thương Hausdorff của một không gian compact có thể mêtric hóa được đều compact và có thể mêtric hóa được. 0C37
Mệnh đề 18 Cho X là một không gian metric đầy đủ, cho R là một quan hệ tương đương mở trên X sao cho X/R là Hausdorff, và cho φ : X → X/R là ánh xạ chính tắc. Khi đó nếu K là một tập con comp… 0C38

§ 3. Các nhóm có metric, các trường định giá, các không gian định chuẩn và các đại số

Mệnh đề 1 Các uniformity trái và phải của một nhóm tôpô G là có metric khi và chỉ khi G là Hausdorff và phần tử đơn vị e của G có một hệ cơ bản đếm được các lân cận. ↩ 1 0C3Y
Định nghĩa 1 Một metric d trên một nhóm G (viết theo phép nhân) được gọi là bất biến trái (resp. bất biến phải) nếu ta có 0C3Z
Mệnh đề 2 Uniformity trái (resp. phải) của một nhóm có metric G có thể được xác định bởi một metric bất biến trái (resp. bất biến phải) trên G. 0C40
Mệnh đề 3 Cho G là một nhóm Abel, được viết theo phép cộng, và cho x → |x| là một ánh xạ G → R thỏa mãn các điều kiện a), b) và c) ở trên. Khi đó hàm d(x, y) = |x - y| là một mêtric bất biến… ↩ 2 0C41
Mệnh đề 4 Nếu G là một nhóm mêtric hóa được, thì mọi nhóm thương Hausdorff G/H của G đều mêtric hóa được. Nếu G cũng đầy đủ, thì G/H đầy đủ (). ↩ 4 0C42
Hệ quả 1 Cho G là một nhóm tôpô mêtric đầy đủ, cho G0 là một nhóm con trù mật của G và cho H0 là một nhóm con chuẩn đóng của G0. Nếu H là bao đóng của H0 trong G, thì nhóm thương G0/H0 có m… ↩ 1 0C43
Hệ quả 2 Cho G, G' là hai nhóm tôpô Abel mêtric hóa được; cho u : G → G' là một cấu xạ ngặt có hạt nhân N và ảnh P. Khi đó hatu : hatG → hatG' là một cấu xạ ngặt có hạt nhân hatN và ảnh hat… ↩ 1 0C44
Hệ quả 3 Cho G, G', G'' là ba nhóm tôpô Abel mêtric hóa được và cho u : G → G' và v : G' → G'' là hai cấu xạ ngặt sao cho dãy G xrightarrowu G' xrightarrowv G'' là khớp [tức là, u(G) = over… 0C45
Nhận xét 1 Cho G là một nhóm tôpô không Hausdorff sao cho nhóm Hausdorff liên kết với G là mêtric hóa được; tương đương với việc phần tử đơn vị của G có một hệ cơ bản đếm được các lân cận tro… 0C46
Nhận xét 2 Cho d là một mêtric bất biến trái xác định tôpô của một nhóm mêtric hóa được G, và cho H là một nhóm con chuẩn đóng của G. Nếu dotx và doty là hai điểm tùy ý của G/H, xét khoảng cá… 0C47
Định nghĩa 2 Một giá trị tuyệt đối trên một vành chia K là một ánh xạ x → |x| của K vào R₊ thỏa mãn các điều kiện sau: ↩ 1 0C48
Định nghĩa 3 Một vành chia có giá trị là một vành chia K được trang bị cấu trúc được xác định bởi một giá trị tuyệt đối cho trước trên K. ↩ 1 0C49
Ví dụ 1 Cho K là một vành chia tùy ý. Với mỗi x ∈ K, đặt |x| = 1 nếu x ≠ 0, và |0| = 0. Ánh xạ x → |x| được xác định như vậy là một giá trị tuyệt đối trên K, được gọi là giá trị tuyệt đối… 0C4A
Ví dụ 2 Giá trị tuyệt đối của một số thực (Chương IV, § 1, no. 6) thỏa mãn các tiên đề (VMI), (VM{II}) và (VM{III}), và tôpô mà nó xác định trên trường R là tôpô của đường thẳng thực. Trên… 0C4B
Ví dụ 3 Trên một vành chia K, một định giá thực là một hàm v xác định trên K^* với các giá trị trong R thỏa mãn các điều kiện sau: a) nếu x ∈ K^* và y ∈ K^*, thì v(xy) = v(x) + v(y); b) nế… 0C4C
Nhận xét Nếu x là một nghiệm đơn vị trong một vành chia có định giá, thì |x| = 1, vì xⁿ = 1 suy ra |x|ⁿ = 1 và do đó |x| = 1. Đặc biệt, giá trị tuyệt đối duy nhất trên một trường hữu hạn là… 0C4D
Định nghĩa 4 Hai giá trị tuyệt đối trên một vành chia K được gọi là tương đương nếu chúng định nghĩa cùng một tôpô trên K. 0C4E
Mệnh đề 5 Hai giá trị tuyệt đối |x|₁, |x|₂ trên một vành chia K, không cái nào là giá trị tuyệt đối không đúng, là tương đương khi và chỉ khi quan hệ |x|₁ < 1 kéo theo |x|₂ < 1. Khi đó tồn t… ↩ 6 0C4F
Nhận xét Chứng minh của Mệnh đề 5 cho thấy rằng, nếu tôpô xác định bởi |x|₂ thô hơn tôpô xác định bởi |x|₁, và nếu |x|₁ không là không chính quy, thì |x|₁ và |x|₂ là tương đương, vì khi đó… ↩ 1 0C4G
Mệnh đề 6 Phần hoàn thành hatK của một vành chia K được trang bị một giá trị tuyệt đối |x| là một vành chia, và hàm |x| có thể được mở rộng bởi tính liên tục thành một giá trị tuyệt đối trên… ↩ 1 0C4H
Định nghĩa 5 Nếu E là một không gian vectơ (trái) trên một vành chia có giá trị không rời rạc K, một chuẩn trên E là một ánh xạ x → p(x) từ E vào R₊ thỏa mãn các tiên đề sau: 0C4I
Mệnh đề 7 Hai chuẩn p, q trên một không gian vectơ E là tương đương khi và chỉ khi tồn tại hai số a > 0, b > 0 sao cho ↩ 3 0C4J
Ví dụ Trong không gian Rⁿ, ba chuẩn sqrt∑ᵢ₌₁ⁿ xᵢ², sup_1 ≤ i ≤ n |xᵢ| và ∑ᵢ₌₁ⁿ |xᵢ| là tương đương, vì ta có (2) sup_1 ≤ i ≤ n |xᵢ| ≤ sqrt∑ᵢ₌₁ⁿ xᵢ² ≤ ∑ᵢ₌₁ⁿ |xᵢ| ≤ n . sup_1 ≤ i ≤ n |xᵢ|. 0C4K
Mệnh đề 8 Cho E là một không gian chuẩn trên một vành chia định giá không rời rạc, cho p là chuẩn trên E, và cho hatE là nhóm tôpô cộng tính là sự hoàn thành của nhóm cộng E. Khi đó hàm (t… ↩ 1 0C4L
Mệnh đề 9 Cho E là một không gian định chuẩn trên một vành chia có giá trị không rời rạc K, và cho H là một không gian con vectơ đóng của E. Nếu, với mỗi lớp dotx ∈ E/H, ta đặt ||dotx|| = in… ↩ 1 0C4M
Mệnh đề 10 Cho (Eᵢ)_1 ≤ i ≤ n là một họ hữu hạn các không gian định chuẩn trên một vành chia có giá trị không rời rạc K, và cho E = ∏ᵢ₌₁ⁿ Eᵢ là không gian vectơ tích. Nếu với mỗi x = (xᵢ) ∈ E… ↩ 2 0C4N
Định lý 1 Cho Eᵢ (1 ≤ i ≤ n) và F là các không gian có chuẩn trên một vành chia có giá trị không rời rạc K, và cho f là một ánh xạ đa tuyến tính từ ∏ᵢ₌₁ⁿ Eᵢ vào F. Khi đó f liên tục trên ∏ᵢ₌… ↩ 5 0C4O
Nhận xét Hai trong số các mệnh đề đã được chứng minh trước đó là hệ quả của định lý này: tính liên tục của hàm song tuyến tính tr, do quan hệ xr = t · x; và Mệnh đề 7, bằng cách áp dụng Địn… 0C4P
Định nghĩa 8 Trong một không gian chuẩn E, một họ (xᵢ) các điểm của E được gọi là khả tổng tuyệt đối nếu họ (||xᵢ||) các chuẩn của các xᵢ là khả tổng trong R. 0C4Q
Mệnh đề 11 Trong một không gian chuẩn đầy đủ E, mọi họ khả tổng tuyệt đối đều khả tổng. ↩ 3 0C4R
Hệ quả Trong một không gian chuẩn đầy đủ E, mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ giao hoán. 0C4S
Định nghĩa 9 Nếu A là một đại số trên một trường K có giá trị không rời rạc, một chuẩn p(x) trên A (A được xem như một không gian vectơ trên K) được gọi là tương thích với cấu trúc đại số của A… ↩ 2 0C4T
Ví dụ 1 Cho K là một vành chia định giá và cho K' là một trường con của tâm của K sao cho vết trên K' của giá trị tuyệt đối |x| của K không phải là giá trị tuyệt đối không đúng trên K'. Kh… 0C4U
Ví dụ 2 Cho K là một trường định giá không rời rạc và cho Mₙ(K) là vành các ma trận vuông cấp n trên K. Được xem như một không gian vectơ trên K, Mₙ(K) là đẳng cấu với K^n². Nếu với mỗi X… 0C4V
Ví dụ 3 Tập hợp B(X; K) gồm tất cả các hàm f trên một tập hợp X với các giá trị trong một trường định giá không rời rạc K, sao cho x → |f(x)| bị chặn trên X, là một đại số trên K; chuẩn |f… 0C4W
Mệnh đề 12 Nếu chuỗi có số hạng tổng quát là zⁿ hội tụ trong A, thì e - z là một phần tử khả nghịch của A và ta có (e - z)⁻¹ = ∑ₙ₌₀^∞ zⁿ. Ngược lại, nếu ||z|| < 1 và nếu e - z là một phần tử… 0C4X
Hệ quả Cho A là một đại số chuẩn đầy đủ. Khi đó với mỗi z ∈ A thỏa ||z|| < 1, e - z là một phần tử khả nghịch trong A. ↩ 2 0C4Y
Mệnh đề 13 Cho G là nhóm các phần tử khả nghịch của một đại số chuẩn đầy đủ A. Khi đó G là một tập mở của A; tôpô cảm sinh trên G bởi tôpô của A tương thích với cấu trúc nhóm của G; và G, đượ… ↩ 7 0C4Z
Mệnh đề 14 Trong một vành chia có giá trị đầy đủ, nhóm nhân của các phần tử khác 0 là một nhóm đầy đủ. 0C50
Nhận xét Mệnh đề 13 không nhất thiết đúng đối với một đại số chuẩn không đầy đủ. Chẳng hạn, trong đại số C(I; R) của tất cả các hàm liên tục thực giá trị hữu hạn trên I = [0, 1] [chuẩn là |… 0C51

§ 4. Không gian chính quy

Định nghĩa 1 Một không gian tôpô X được gọi là chính quy nếu nó là Hausdorff và thỏa mãn tiên đề sau: 0C5F
Định lý 1 (Urysohn) Tiên đề (Oᵥ) tương đương với điều sau: ↩ 2 0C5G
Mệnh đề 1 Một không gian compact là chuẩn tắc. 0C5H
Mệnh đề 2 Một không gian mêtric hóa được là chuẩn tắc. ↩ 4 0C5I
Nhận xét 1 Mệnh đề 2 cho một điều kiện cần khác cho tính mêtric hóa được; nhưng điều kiện này, ngay cả khi kết hợp với tất cả các điều kiện cần đã cho trong § 2, cũng không cho một tập hợp cá… 0C5J
Nhận xét 2 Có những ví dụ về các không gian chuẩn tắc không mêtric hóa được cũng không compact địa phương (xem § 5, Bài tập 16). 0C5K
Định lý 2 (Urysohn) Tiên đề (O_V) tương đương với tính chất sau: (O''_V) Cho một tập con đóng bất kỳ A của X và một hàm giá trị thực liên tục bất kỳ f (hữu hạn hoặc không) được xác định trên A, tồn tạ… ↩ 4 0C5L
Bổ đề 1 Cho u là một ánh xạ liên tục của A vào [ -i, +i ]; khi đó tồn tại một ánh xạ liên tục v của X vào [ -i/3, +i/3 ], sao cho |u(x) - v(x)| ≤ 2/3 với mọi x ∈ A. 0C5M
Hệ quả Nếu f là một hàm thực liên tục hữu hạn xác định trên A, thì tồn tại một hàm thực liên tục hữu hạn g xác định trên X, mở rộng f. 0C5N
Nhận xét Nếu X là một không gian chuẩn tắc và nếu A là một tập con đóng của X, cũng tồn tại một mở rộng liên tục của mọi ánh xạ liên tục f của A vào một khối lập phương K¹ (§ 1, no. 5) lên… 0C5O
Định lý 3 Cho (Aᵢ)_i ∈ I là một phủ mở hữu hạn địa phương của một tập đóng Y trong một không gian chuẩn tắc X. Khi đó tồn tại một phủ mở (Bᵢ)_i ∈ I của Y sao cho overlineBᵢ ⊂ Aᵢ với mọi i ∈… ↩ 5 0C5P
Nhận xét Chú ý rằng ta chỉ dùng thực tế là phủ (Aᵢ) là hữu hạn theo điểm, tức là mỗi điểm của X chỉ thuộc về một số hữu hạn các tập Aᵢ. 0C5Q
Định nghĩa 2 Cho X là một không gian tôpô và cho f là một hàm giá trị thực xác định trên X. Giá đỡ của f, ký hiệu bởi Supp(f), là tập đóng nhỏ nhất S trong X sao cho f(x) = 0 với mọi x ∉ S. 0C5R
Định nghĩa 3 Cho một họ (Aᵢ)_i ∈ I của các tập con của một không gian tôpô X, một họ (fᵢ)_i ∈ I của các hàm giá trị thực xác định trên X được gọi là phụ thuộc vào họ (Aᵢ)_i ∈ I nếu ta có Supp(f… 0C5S
Mệnh đề 3 Cho bất kỳ một phủ mở hữu hạn địa phương nào (Aᵢ)_i ∈ I của một không gian chuẩn tắc X, tồn tại một phân hoạch đơn vị liên tục (fᵢ)_i ∈ I trên X, phụ thuộc vào phủ (Aᵢ)_i ∈ I. 0C5T
Hệ quả Cho bất kỳ một phủ mở hữu hạn địa phương (Aᵢ) của một tập đóng F trong một không gian chuẩn tắc X, tồn tại một họ (fᵢ) các hàm liên tục nhận giá trị thực ≥ 0 trên X, phụ thuộc vào… 0C5U
Mệnh đề 4 Mọi không gian paracompact đều là chuẩn tắc. ↩ 1 0C5V
Bổ đề 2 Cho A, B là hai tập hợp con đóng rời nhau của một không gian paracompact X. Nếu với mỗi x ∈ A có một lân cận mở Vₓ của x và một lân cận mở Wₓ của B sao cho chúng không giao nhau, t… 0C5W
Hệ quả 1 Cho bất kỳ phủ mở (Aᵢ)_i ∈ I nào của một không gian paracompact X, tồn tại một phân hoạch đơn vị liên tục (fᵢ)_i ∈ I trên X, phụ thuộc vào phủ (Aᵢ). ↩ 3 0C5X
Hệ quả 2 Nếu F là một tập con đóng của một không gian paracompact X, thì mọi lân cận của F trong X đều chứa một lân cận đóng (và do đó paracompact) của F. 0C5Y
Định lý 4 Mọi không gian mêtric hóa đều paracompact. ↩ 2 0C5Z
Bổ đề 3 Cho R = (U_α)_α ∈ A là một phủ mở của một không gian mêtric hóa X. Khi đó có một dãy (Gₙ) của các họ hữu hạn địa phương gồm các tập con mở của X, sao cho S = ⋃ₙ Sₙ là một phủ mở củ… ↩ 2 0C60
Bổ đề 4 Cho (𝔖ₙ) là một dãy các họ hữu hạn địa phương của các tập mở trong một không gian tôpô X, sao cho 𝔖 = ⋃ₙ 𝔖ₙ là một phủ của X. Khi đó tồn tại một phủ hữu hạn địa phương (nhưng không… 0C61
Bổ đề 5 Cho X là một không gian chính quy sao cho, với mỗi phủ mở R của X, tồn tại một phủ (không nhất thiết mở) hữu hạn địa phương U của X tinh hơn R. Khi đó với mỗi phủ mở R của X tồn tạ… ↩ 1 0C62
Bổ đề 6 Cho X là một không gian Hausdorff sao cho, với mọi phủ mở ℜ của X, tồn tại một phủ đóng hữu hạn địa phương F của X mịn hơn ℜ. Khi đó X là paracompact. ↩ 2 0C63

§ 5. Không gian Baire

Định nghĩa 1 Một tập con A của một không gian tôpô X được gọi là không trù mật nếu bao đóng của nó không có điểm trong. 0C6Y
Ví dụ 1 Tập con rỗng của X là không trù mật. Trong một không gian Hausdorff X, một tập gồm một điểm duy nhất là không trù mật khi và chỉ khi điểm đó không cô lập trong X. Một tập con trù m… 0C6Z
Ví dụ 2 Biên của một tập mở hoặc một tập đóng luôn không trù mật. 0C70
Ví dụ 3 Trong không gian Rⁿ, mọi không gian con tuyến tính có chiều p < n đều là một tập không trù mật (Chương VI, § 1, no. 4, Mệnh đề 2). 0C71
Nhận xét Biên của một tập con tùy ý không nhất thiết phải không trù mật: chẳng hạn, nếu A và overlineCA đều là các tập trù mật, thì biên của A là toàn bộ không gian. 0C72
Mệnh đề 1 Hợp của một số hữu hạn các tập không trù mật là không trù mật. 0C73
Mệnh đề 2 Cho Y là một không gian con của một không gian tôpô X, và cho A là một tập con của Y. Nếu A không trù mật tương đối đối với Y, thì A không trù mật tương đối đối với X. Ngược lại, n… ↩ 1 0C74
Định nghĩa 2 Một tập con A của một không gian tôpô X được gọi là thưa nếu nó là hợp của một họ đếm được các tập hợp không trù mật nơi nào. ↩ 1 0C75
Định nghĩa 3 Một không gian tôpô X được gọi là một không gian Baire nếu nó thỏa mãn một trong hai điều kiện tương đương sau: 0C76
Mệnh đề 3 Mọi không gian con mở không rỗng Y của một không gian Baire X đều là một không gian Baire. ↩ 1 0C77
Mệnh đề 4 Nếu mọi điểm của một không gian tôpô X có một lân cận là một không gian Baire, thì X là một không gian Baire. ↩ 1 0C78
Mệnh đề 5 Trong một không gian Baire X, phần bù của một tập loại thứ nhất là một không gian Baire. 0C79
Định lý 1 (Baire) (i) Mọi không gian địa phương compact X đều là một không gian Baire. (ii) Mọi không gian tôpô X trên đó tồn tại một mêtric, tương thích với tôpô của X và xác định trên X cấu trúc c… ↩ 4 0C7A
Nhận xét Có những không gian Baire không thuộc một trong hai loại này, đặc biệt là những không gian Baire không vừa mêtric hóa được vừa không địa phương compact (Bài tập 16); cũng có những… 0C7B
Định lý 2 Cho X là một không gian Baire và (f_α) là một họ các hàm thực nửa liên tục dưới trên X sao cho, tại mọi điểm x của X, bao trên sup_α f_α(x) là hữu hạn. Khi đó mọi tập hợp mở không… ↩ 1 0C7C
Nhận xét Định lý có thể sai nếu ta không giả sử rằng X là một không gian Baire. Ví dụ nếu, với mỗi số hữu tỉ p/q (p, q là các số nguyên nguyên tố cùng nhau, q > 0) ta đặt f(p/q) = q, ta có… 0C7D

§ 6. Các không gian polish, các không gian souslin, các tập Borel

Định nghĩa 1 Một không gian tôpô X được gọi là Polish nếu nó mêtric hóa được kiểu đếm được (§ 2, no. 8) và nếu tồn tại một mêtric tương thích với tôpô của X, đối với mêtric đó X là đầy đủ. 0C88
Mệnh đề 1 a) Mọi không gian con đóng của một không gian Polish đều là Polish. b) Tích của một họ đếm được các không gian Polish là Polish. c) Tổng của một họ đếm được các không gian Polish l… ↩ 6 0C89
Mệnh đề 2 Mọi không gian con mở của một không gian Polish đều là Polish. 0C8A
Hệ quả Mọi không gian mêtric hóa được địa phương compact X đều là Polish. 0C8B
Mệnh đề 3 Cho X là một không gian tôpô Hausdorff. Khi đó giao của một dãy (Aₙ) các không gian con Polish của X là một không gian con Polish. ↩ 2 0C8C
Bổ đề 1 Cho (Aₙ) là một dãy các tập con của một không gian tôpô Hausdorff X. Khi đó hạn chế của ánh xạ đường chéo f : X → Xᴺ lên không gian con ⋂ₙ Aₙ của X là một đồng phôi của ⋂ₙ Aₙ vào m… ↩ 2 0C8D
Hệ quả Tập hợp các số vô tỉ, được trang bị tôpô cảm sinh bởi tôpô của đường thẳng thực R, là một không gian Polish. ↩ 1 0C8E
Định lý 1 Một không gian con Y của một không gian Polish X là Polish khi và chỉ khi Y là giao của một họ đếm được các tập mở trong X. ↩ 4 0C8F
Hệ quả 1 Một không gian X là Polish khi và chỉ khi nó đồng phôi với một giao đếm được của các tập mở trong lập phương I^N, trong đó I là khoảng [0, 1] của R. ↩ 2 0C8G
Hệ quả 2 Cho X và Y là hai không gian Polish và cho f : X → Y là một ánh xạ liên tục. Nếu Z là một không gian con Polish của Y, thì overlinef⁻¹(Z) là một không gian con Polish của X. 0C8H
Định nghĩa 2 Một không gian tôpô X được gọi là một không gian Souslin nếu nó mêtric hóa được và nếu tồn tại một không gian Polish P và một ánh xạ liên tục từ P lên X. Một tập con A của một khôn… ↩ 2 0C8I
Mệnh đề 4 Mọi không gian Souslin X đều có kiểu đếm được. 0C8J
Mệnh đề 5 Mọi không gian con đóng (resp. mở) của một không gian Souslin X đều là Souslin. ↩ 1 0C8K
Mệnh đề 6 Cho X là một không gian Souslin, cho Y là một không gian Hausdorff và cho f : X → Y là một ánh xạ liên tục. Khi đó ảnh ngược qua f của một không gian con Souslin A của Y là một khô… 0C8L
Mệnh đề 7 Tích và tổng của một họ đếm được các không gian Souslin là các không gian Souslin. 0C8M
Mệnh đề 8 Cho X là một không gian khả metric và cho (Aₙ) là một dãy các không gian con Souslin của X. Khi đó hợp và giao của các Aₙ là các không gian Souslin. ↩ 2 0C8N
Mệnh đề 9 Cho X là một không gian khả metric, và cho A là một không gian con Souslin tương đối compact của X. Khi đó tồn tại một không gian khả metric compact K, một dãy giảm (Bₙ) các tập co… ↩ 1 0C8O
Định nghĩa 3 Cho X là một tập hợp và cho 𝔏 là một tập các tập con của X. 𝔏 được gọi là một σ-đại số trên X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: 0C8P
Định nghĩa 4 Trong một không gian tôpô X, các phần tử của σ-đại số được sinh bởi tập hợp mọi tập con đóng của X được gọi là các tập Borel trong X. 0C8Q
Mệnh đề 10 Cho f là một ánh xạ liên tục từ một không gian tôpô X vào một không gian tôpô Y. Khi đó ảnh ngược qua f của mọi tập Borel trong Y là một tập Borel trong X. 0C8R
Mệnh đề 11 Trong một không gian Souslin X, mọi tập hợp Borel đều là một tập hợp Souslin. 0C8S
Hệ quả Cho f là một ánh xạ liên tục từ một không gian Souslin X vào một không gian mêtric Y. Nếu B là một tập hợp Borel bất kỳ trong X, thì f(B) là một tập hợp Souslin trong Y. 0C8T
Nhận xét 1 Ngay cả khi X và Y là các không gian Polish, nói chung không đúng rằng ảnh của một tập hợp Borel trong X qua một ánh xạ liên tục từ X vào Y là một tập hợp Borel trong Y (cf. Bài tậ… 0C8U
Nhận xét 2 Cho X là một không gian tôpô và cho Y là một tập con Borel của X. Khi đó các tập hợp Borel của không gian Y chính xác là các tập hợp Borel của X được chứa trong Y. Vì (i) các tập h… 0C8V
Định nghĩa 5 Một không gian tôpô được gọi là không chiều nếu nó là Hausdorff và nếu mọi điểm đều có một hệ cơ bản các lân cận vừa mở vừa đóng. ↩ 1 0C8W
Định nghĩa 6 Một không gian tôpô X là một không gian Lusin nếu nó là mêtric hóa được và nếu tồn tại một không gian Polish không chiều P và một ánh xạ song ánh liên tục của P lên X. ↩ 2 0C8X
Mệnh đề 12 Một không gian mêtric hóa được là một không gian Lusin nếu và chỉ nếu nó là ảnh của một không gian Polish dưới một ánh xạ song ánh liên tục. ↩ 1 0C8Y
Bổ đề 2 Nếu một không gian mêtric hóa được X sao cho tồn tại một phân hoạch đếm được (Aₙ) của X gồm các không gian con Lusin, thì X là một không gian Lusin. ↩ 1 0C8Z
Định nghĩa 7 Một sàng là một dãy C = (Cn, pn){n \geq 0} sao cho, với mỗi n, Cn là một tập hợp đếm được và pn là một toàn ánh của C{n+1} lên Cn. 0C90
Bổ đề 3 Mọi không gian mêtric X kiểu đếm được đều có một sự sàng lọc. Nếu thêm vào đó X không chiều, thì X có một sự sàng lọc ngặt. ↩ 2 0C91
Mệnh đề 13 Nếu X là một không gian Lusin (tương ứng, Souslin) bất kỳ, thì tồn tại một sieve C và một song ánh liên tục (tương ứng, toàn ánh liên tục) từ L(C) lên X. ↩ 4 0C92
Định lý 2 Cho X là một không gian mêtric. Nếu ta được cho một dãy (Xₙ) gồm các không gian con Souslin rời nhau từng đôi một của X, thì tồn tại một dãy (Bₙ) gồm các tập Borel rời nhau từng đô… ↩ 5 0C93
Bổ đề 4 Cho (Aₙ), (A'ₘ) là hai dãy các tập con của một không gian tôpô X. Giả sử rằng với mỗi cặp (Aₙ, A'ₘ) có một tập Borel Bₙₘ của X sao cho Bₙₘ ⊃ Aₙ và Bₙₘ ∩ A'ₘ = ∅. Khi đó tồn tại một… ↩ 1 0C94
Bổ đề 5 Cho X là một không gian Hausdorff và cho A, A' là hai không gian con Souslin rời nhau của X. Khi đó tồn tại một tập Borel B của X sao cho B ⊃ A và B ∩ A' = ∅. ↩ 1 0C95
Hệ quả Nếu một phân hoạch đếm được của một không gian khả métr hóa gồm các tập hợp Souslin, thì các tập hợp này là các tập hợp Borel. Đặc biệt, mọi tập hợp Souslin trong một không gian kh… 0C96
Định lý 3 Cho X là một không gian Lusin. Khi đó một không gian con của X là một không gian Lusin khi và chỉ khi nó là một tập hợp Borel. ↩ 2 0C97
Bổ đề 6 Trong một không gian Lusin X, mọi tập hợp Borel đều là một không gian con Lusin của X. 0C98
Bổ đề 7 Mọi không gian con Lusin A của một không gian khả métr hóa X đều là một tập hợp Borel trong X. 0C99
Hệ quả Nếu f là một ánh xạ đơn ánh liên tục của một không gian Lusin (hoặc, nói riêng, một không gian Polish) X vào một không gian khả métr hóa Y, thì f(X) là một tập hợp Borel trong Y. 0C9A
Định lý 4 Cho X là một không gian Polish và cho R là một quan hệ tương đương trên X, sao cho các lớp tương đương modulo R là đóng trong X và bao hòa (theo R) của mỗi tập hợp đóng trong X là… ↩ 2 0C9B
Nhận xét Đặc biệt, một quan hệ tương đương đóng R thỏa mãn các giả thiết của Định lý 4. Khi X là một không gian compact khả mêtric, Định lý 4 do đó áp dụng cho mọi quan hệ tương đương Hausd… 0C9C
Định nghĩa 8 Cho X là một không gian tôpô Hausdorff. Một capacity trên X là một ánh xạ f của tập P(X) gồm mọi tập con của X vào đường thẳng thực mở rộng overlineR, thỏa mãn các điều kiện sau: ↩ 1 0C9D
Ví dụ \ Cho μ là một độ đo dương trên một không gian địa phương compact X; khi đó độ đo ngoài tương ứng μ^* là một capacity trên X. Có thể chứng minh rằng trong không gian Euclid Rⁿ (n ≥… 0C9E
Định nghĩa 9 Cho f là một capacity trên X; một tập con A của X được gọi là khả dung (đối với f) nếu f(A) = supₖ f(K), trong đó K chạy qua tập các tập con compact của A. 0C9F
Mệnh đề 14 Cho K là một không gian compact và cho f là một dung lượng trên K. Nếu A là giao của một dãy giảm (Aₙ) các tập con của K, mỗi tập là một hợp đếm được của các tập đóng, thì A là dun… ↩ 1 0C9G
Định lý 5 Cho X là một không gian mêtric hóa được và cho Y là một không gian con Souslin tương đối compact của X. Khi đó Y là dung lượng được đối với mọi dung lượng f trên X. ↩ 1 0C9H
Mệnh đề 15 Cho φ là một ánh xạ liên tục của một không gian Hausdorff K vào một không gian Hausdorff X, và cho f là một dung lượng trên X. Nếu với mỗi tập con A của K ta đặt g(A) = f(φ(A)), th… ↩ 1 0C9I
Nhận xét \ Nếu μ là một độ đo dương trên một không gian địa phương compact metrizable X, thì mọi tập Souslin A của X đều là μ-đo được. Vì nếu K là bất kỳ tập con compact nào của X, K ∩ A là… 0C9J

App. 1. Espaces de Lindelöf

Định nghĩa 1 Người ta nói rằng một không gian tôpô X (không nhất thiết tách được) là một không gian Lindelöf nếu, từ mọi phủ mở của X, có thể trích ra một phủ đếm được của X. 0ED4
Mệnh đề 1 Cho X là một không gian tôpô. 0ED5
Hệ quả Mọi không gian Lindelöf con, và đặc biệt mọi không gian Polish hoặc Lusin, đều là một không gian Lindelöf. 0ED6
Mệnh đề 2 Mọi không gian Lindelöf chính quy đều là paracompact. 0ED7
Hệ quả Mọi không gian sublinian chính quy đều là paracompact (và đặc biệt là chuẩn tắc (IX, p. 49, mệnh đề 4) và a fortiori hoàn toàn chính quy). 0ED8
Mệnh đề 3 Một không gian tôpô X (không nhất thiết tách được). Các tính chất sau là tương đương: a) Mọi không gian con mở của X là một không gian Lindelöf. b) Mọi tập hợp các hàm nửa liên tục… 0ED9
Hệ quả 1 Cho X là một không gian souslin chính quy, H là một tập hợp các hàm số liên tục trên X, tách các điểm của X (IX, p. 9, định nghĩa 5). Khi đó tồn tại một tập con đếm được H' của H t… 0EDA
Hệ quả 2 Mọi không gian souslin compact đều mêtric hóa được. 0EDB

App. 2. Produits infinis dans les algèbres normées

Định nghĩa 1 Ta nói rằng dãy (xₙ)_n ≥ N là khả tích trong đại số định chuẩn A nếu ánh xạ J ↦ p_J có một giới hạn theo bộ lọc các thiết diện của tập hợp F(N) các tập con hữu hạn của N, được sắp… 0EDC
Nhận xét 1 Khi A là một đại số giao hoán, định nghĩa 1 trùng với định nghĩa đã được cho trong III, p. 37 (Nhận xét 3); nhưng khi A không giao hoán, cấu trúc cấp của tập các chỉ số N can thiệp… 0EDD
Nhận xét 2 Định nghĩa 1 tổng quát hóa ngay lập tức cho trường hợp một họ (xₙ)_n ∈ I mà tập các chỉ số I là một tập con của Z (được sắp thứ tự toàn phần bởi cấp cảm sinh bởi cấp của Z); ta để… 0EDE
Định lý 1 Cho (xₙ)_n ∈ N là một dãy các điểm của một đại số định chuẩn đầy đủ A. 0EDF
Nhận xét Khi (xₙ) nhân được và có một tích không khả nghịch, điều kiện của th. 1 không còn nhất thiết được thỏa mãn; ví dụ, nếu tất cả các xₙ bằng cùng một phần tử x sao cho | x | < 1, thì… 0EDG
Hệ quả 1 Nếu (xₙ) là một dãy nhân được mà tích của nó khả nghịch trong A, lim_n → ∞ xₙ = e. 0EDH
Hệ quả 2 Nếu (xₙ) là một dãy nhân được mà tích của nó là khả nghịch trong A, thì mọi dãy (x_nₖ)_k ∈ N trích ra từ (xₙ) ((nₖ) là một dãy tăng ngặt các số nguyên) là nhân được. 0EDI
Định lý 2 Cho A là một đại số chuẩn đầy đủ; nếu (uₙ) là một chuỗi hội tụ tuyệt đối các điểm của A, thì dãy (e + uₙ) là nhân được trong A; hơn nữa, nếu mọi phần tử e + uₙ đều khả nghịch trong… 0EDJ
Hệ quả Nếu chuỗi có số hạng tổng quát uₙ hội tụ tuyệt đối, và nếu không phần tử nào e + uₙ là một ước của 0 trong A, thì tích ∏_n ∈ N (e + uₙ) không là một ước của 0 trong A. 0EDK
Mệnh đề 1 Cho A là một đại số chuẩn có hạng hữu hạn trên R. Nếu (e + uₙ) là một dãy nhân được trong A, có tích là khả nghịch, thì chuỗi có số hạng tổng quát uₙ hội tụ tuyệt đối. 0EDL
Bổ đề 1 Với mọi tập con hữu hạn I của N, đặt φ(I) = sup_J ⊂ I |p_J - e|. Với mọi tập con J của I, ta có |p_J - e - s_J| ≤ φ(I) σ_J. Bổ đề là hiển nhiên nếu J là rỗng; ta hãy chứng minh nó… 0EDM
Bổ đề 2 Nếu I là một tập con hữu hạn của N sao cho φ(I) < 1/c, thì ta có σ_I ≤ (c φ(I))/(1 - c φ(I)). 0EDN
Mệnh đề 2 Cho (xₙ) là một dãy các điểm của một đại số chuẩn đầy đủ A. 0EDO
Hệ quả 1 Nếu tích vô hạn với nhân tử tổng quát xₙ hội tụ, và nếu ∏ₙ₌₀^∞ xₙ khả nghịch, lim_n → ∞ xₙ = e. 0EDP
Hệ quả 2 Nếu tích vô hạn với nhân tử tổng quát xₙ hội tụ, và nếu ∏ₙ₌₀^∞ xₙ khả nghịch, tích vô hạn với nhân tử tổng quát yₙ = xₙ₊ₕ (n ≥ 0) hội tụ. 0EDQ
Mệnh đề 3 Cho (kₙ) là một dãy tăng ngặt các số nguyên geqslant 0 (k₀ = 0) : nếu tích vô hạn với nhân tử tổng quát xₙ hội tụ, và nếu đặt uₙ = ∏_p=kₙ^kₙ₊₁-1 xₙ, thì tích vô hạn với nhân tử tổn… 0EDR

App. 0. Infinite products in normed algebras

Định nghĩa 1 Dãy (xₙ)_n ∈ N được gọi là khả nhân trong đại số chuẩn hóa A nếu ánh xạ J → p_J có một giới hạn đối với lọc các phần của tập 𝔉(N) gồm các tập con hữu hạn của N, được sắp theo quan… ↩ 3 0CA3
Nhận xét 1 Khi A là một đại số giao hoán, Định nghĩa 1 trùng với định nghĩa đã cho trong Chương III, § 5, no. 1, Nhận xét 3; nhưng khi A không giao hoán, cấu trúc thứ tự của tập chỉ số N là m… 0CA4
Nhận xét 2 Định nghĩa 1 có thể được mở rộng ngay lập tức sang trường hợp của một họ (xₙ)_n ∈ I mà tập chỉ số I là một tập con của Z (được sắp thứ tự tuyến tính theo thứ tự cảm sinh bởi thứ tự… 0CA5
Định lý 1 Cho (xₙ)_n ∈ N là một dãy các điểm trong một đại số chuẩn hóa đầy đủ A. a) Nếu (xₙ) khả nhân và nếu tích của nó là một phần tử khả nghịch của A, thì với mỗi ε > 0 tồn tại một tập c… ↩ 5 0CA6
Nhận xét Nếu (xₙ) là nhân được và tích của nó không phải là một phần tử khả nghịch, thì điều kiện của Định lý 1 không nhất thiết thỏa mãn: ví dụ, nếu mọi xₙ đều bằng cùng một phần tử x, với… 0CA7
Hệ quả 1 Nếu (xₙ) là một dãy nhân được có tích là một phần tử khả nghịch của A, thì lim_n → ∞ xₙ = e. 0CA8
Hệ quả 2 Nếu (xₙ) là một dãy nhân được có tích là một phần tử khả nghịch của A, thì mọi dãy con (x_nₖ)_k ∈ N của (xₙ) [(nₖ) là một dãy số nguyên tăng ngặt] đều nhân được. 0CA9
Định lý 2 Cho A là một đại số chuẩn đầy đủ. Nếu (uₙ) là một chuỗi hội tụ tuyệt đối của các phần tử của A, thì dãy (e + uₙ) nhân được trong A; và nếu mọi phần tử e + uₙ đều là phần tử khả ngh… ↩ 1 0CAA
Hệ quả Nếu chuỗi có số hạng tổng quát là uₙ hội tụ tuyệt đối, và nếu không một phần tử nào trong các phần tử e - uₙ là ước của không trong A, thì tích ∏_n ∈ N (e + uₙ) không là ước của kh… 0CAB
Mệnh đề 1 Cho A là một đại số chuẩn hạng hữu hạn trên R. Nếu (e + uₙ) là một dãy nhân được trong A, có tích là một phần tử khả nghịch của A, thì chuỗi có số hạng tổng quát là uₙ hội tụ tuyệt… ↩ 1 0CAC
Bổ đề 1 Với mỗi tập con hữu hạn I của N, đặt φ(I) = sup_J ⊂ I ||p_J - e||. Khi đó, với mỗi tập con J của I, ta có 0CAD
Bổ đề 2 Nếu I là một tập con hữu hạn của N sao cho φ(I) < 1/c, thì 0CAE
Mệnh đề 2 Cho (xₙ) là một dãy các điểm trong một đại số chuẩn đầy đủ A. ↩ 1 0CAF
Hệ quả 1 Nếu tích vô hạn với nhân tử tổng quát là xₙ hội tụ, và nếu ∏ₙ₌₀^∞ xₙ là một phần tử khả nghịch, thì lim_n → ∞ xₙ = e. 0CAG
Hệ quả 2 Nếu tích vô hạn với nhân tử tổng quát là xₙ hội tụ, và nếu ∏ₙ₌₀^∞ xₙ là một phần tử khả nghịch, thì tích vô hạn với nhân tử tổng quát yₙ = xₙ₊ₕ (n ≥ 0) hội tụ. 0CAH
Mệnh đề 3 Cho (kₙ) là một dãy tăng ngặt các số nguyên ≥ 0, sao cho k₀ = 0; nếu tích vô hạn với nhân tử tổng quát là xₙ hội tụ, và nếu ta đặt 0CAI

X. Các không gian hàm

§ 1. TÍNH ĐỒNG NHẤT CỦA SỰ HỘI TỤ $\mathscr{G}$

Định nghĩa 1 Cấu trúc đều trên tập hợp F(X; Y) có một hệ cơ sở các lân cận là tập hợp các tập con W(V), trong đó V chạy qua tập hợp các lân cận của Y, được gọi là cấu trúc đều của hội tụ đều. T… 0CAR
Định nghĩa 2 Cho X là một tập hợp, Y là một không gian đều, 𝔖 là một tập hợp các tập con của X. Cấu trúc đều của hội tụ đều trong các tập hợp của 𝔖, hay đơn giản là cấu trúc đều của hội tụ 𝔖, l… 0CAS
Nhận xét 1 Định nghĩa tổng quát của các lân cận của một đều đặn ban đầu (Chương II, § 2, no. 3, Mệnh đề 4) cho thấy rằng một hệ cơ sở của các lân cận của F_S(X; Y) có thể thu được như sau: vớ… ↩ 1 0CAT
Nhận xét 2 Tuy nhiên, đều đặn của sự hội tụ theo S không thay đổi khi thay thế S bởi tập hợp S' gồm tất cả các tập con của X được chứa trong các hợp hữu hạn của các tập hợp của S. Trong việc… ↩ 1 0CAU
Nhận xét 3 Tính đều của sự hội tụ S là ảnh ngược, theo ánh xạ u → (u|A)_A ∈ S của F(X; Y) vào ∏_A ∈ S Fᵤ(A; Y), của tính đều của không gian tích này (Chương II, § 2, no. 6, Mệnh đề 8). Nếu S… ↩ 1 0CAV
Mệnh đề 1 Nếu Y là Hausdorff và S là một phủ của X, thì không gian F_S(X; Y) là Hausdorff. ↩ 3 0CAW
Nhận xét 4 Cho H là một tập con của F(X; Y). Do lạm dụng ngôn ngữ, tính đều (tương ứng tôpô) cảm sinh trên H bởi tính đều (tương ứng tôpô) của sự hội tụ S trên F(X; Y) được gọi là tính đều (t… 0CAX
Nhận xét 5 Cho L là một tập hợp được lọc bởi một lọc 𝔖, và cho λ → u_λ là một ánh xạ của L vào F_S(X; Y) có giới hạn v đối với 𝔖; khi đó ta nói rằng, đối với lọc 𝔖, các ánh xạ u_λ của X vào Y… ↩ 1 0CAY
Nhận xét 6 Suy ra ngay từ Định nghĩa 1 và 2 rằng, với mọi x ∈ ⋃_A ∈ G A, ánh xạ u → u(x) của F_G(X; Y) vào Y là liên tục đều. Do đó, nói riêng, nếu overlineH ký hiệu bao đóng của một tập con… ↩ 8 0CAZ
Mệnh đề 2 Cho X₁, X₂ là hai tập hợp, cho Y là một không gian đều và cho Sᵢ là một tập hợp các tập con của Xᵢ (i = 1, 2) và S₁ × S₂ là tập hợp các tập con của X₁ × X₂ có dạng A₁ × A₂, trong đ… ↩ 1 0CB0
Mệnh đề 3 a) Cho X là một tập hợp; cho S là một tập hợp các tập con của X; cho Y, Y' là hai không gian đều; và cho f : Y → Y' là một ánh xạ liên tục đều. Khi đó ánh xạ u → f ∘ u từ F_S(X; Y)… 0CB1
Mệnh đề 4 Cho X, Y là hai tập hợp, cho (X_λ)_λ ∈ L là một họ các tập hợp và cho (Y_μ)_μ ∈ M là một họ các không gian đều. Với mỗi λ ∈ L, cho S_λ là một tập hợp các tập con của X_λ, cho g_λ l… ↩ 1 0CB2
Hệ quả Cho X là một tập hợp, cho (Yᵢ)_i ∈ I là một họ các không gian đều và cho S là một tập hợp các tập con của X. Nếu ta trang bị ∏_i ∈ I Yᵢ với cấu trúc đều tích, thì song ánh chính tắ… 0CB3
Mệnh đề 5 Cho Φ là một tập hợp, Y là một không gian đều và S là một tập hợp các tập con của X. Khi đó một lọc Φ trên F_S(X; Y) hội tụ đến u₀ khi và chỉ khi Φ là một lọc Cauchy đối với cấu tr… ↩ 3 0CB4
Hệ quả 1 Một không gian con H của F_S(X; Y) là đầy đủ khi và chỉ khi, với mỗi lọ Cauchy Φ trên H, tồn tại u₀ ∈ H sao cho Φ hội tụ điểm đến u₀ trong B = ⋃_A ∈ S A. ↩ 1 0CB5
Hệ quả 2 Cho S₁, S₂ là hai tập hợp các tập con của X, có hợp bằng nhau và sao cho S₁ ⊂ S₂, và cho H là một tập con của F(X; Y). Khi đó nếu H là đầy đủ đối với sự hội tụ S₁, thì nó là đầy đủ… ↩ 1 0CB6
Hệ quả 3 Cho H là một tập con của F(X; Y) sao cho, với mỗi x ∉ B = ⋃_A ∈ G A, bao đóng của H(x) trong Y là một không gian con đầy đủ của Y. Khi đó bao đóng overlineH của H trong F_G(X; Y) l… 0CB7
Định lý 1 Cho X là một tập hợp, cho G là một tập hợp các tập con của X, và cho Y là một không gian đều đầy đủ. Khi đó không gian đều F_G(X; Y) là đầy đủ. ↩ 2 0CB8
Mệnh đề 6 Cho X là một không gian tôpô, Y là một không gian đều và G là một tập hợp các tập con của X. Với mỗi A ∈ G và mỗi bao lân cận đóng V của Y, các vết trên C(X; Y) × C(X; Y) của W(A… ↩ 2 0CB9
Hệ quả Cho B là một tập con trù mật của X. Trên C(X; Y), cấu trúc hội tụ đều trùng với cấu trúc hội tụ đều trong B. ↩ 1 0CBA
Mệnh đề 7 Cho X là một không gian tôpô, cho 𝔖 là một tập hợp các tập con của X và cho Y là một không gian đều. Nếu Y là Hausdorff và nếu hợp B của các tập hợp của 𝔖 là trù mật trong X, thì C… 0CBB
Mệnh đề 8 Cho X là một tập hợp, 𝔗 là một bộ lọc trên X, và Y là một không gian đều. Khi đó tập H các ánh xạ u : X → Y sao cho u(𝔗) là một cơ sở Cauchy trên Y là đóng trong Fᵤ(X; Y). \ ↩ 3 0CBC
Hệ quả 1 Cho X là một không gian tôpô và Y là một không gian đều. Tập các ánh xạ của X vào Y liên tục tại một điểm x₀ ∈ X là đóng trong Fᵤ(X; U). \ ↩ 1 0CBD
Hệ quả 2 Cho X, L là hai tập hợp được lọc bởi các bộ lọc 𝔗, 𝔊 tương ứng, và Y là một không gian đều đầy đủ. Với mỗi λ ∈ L, cho u_λ là một ánh xạ của X vào Y. Giả sử rằng (i) họ (u_λ)_λ ∈ L… 0CBE
Định lý 2 Cho X là một không gian tôpô, Y là một không gian đều. Khi đó tập C(X; Y) gồm các ánh xạ liên tục từ X vào Y là một tập con đóng của không gian F(X; Y) được trang bị tôpô của sự hộ… ↩ 4 0CBF
Hệ quả 1 Nếu Y là một không gian đều đầy đủ, thì Cᵤ(X; Y) đầy đủ. 0CBG
Hệ quả 2 Cho X là một không gian tôpô, S là một tập con các tập con của X, và Y là một không gian đều. Kí hiệu tildeC_S(X; Y) là tập mọi ánh xạ từ X vào Y sao cho hạn chế của chúng trên từn… ↩ 2 0CBH
Hệ quả 3 Cho X là một không gian tôpô, hoặc mêtric hóa được hoặc cục bộ compact, và cho Y là một không gian đều. Khi đó C(X; Y) là đóng trong không gian đều F_c(X; Y); nếu thêm nữa Y là đầy… ↩ 1 0CBI
Nhận xét 1 Nói chung, tập C(X; Y) không đóng trong F(X; Y) đối với tôpô hội tụ điểm một: nói cách khác, một giới hạn điểm một của các hàm liên tục chưa chắc đã liên tục [Bài tập 5 a)]. 0CBJ
Nhận xét 2 Một bộ lọc trên C(X; Y) có thể hội tụ điểm một tới một hàm liên tục mà không hội tụ đều tới hàm này. ↩ 1 0CBK
Nhận xét 3 Nếu X là một không gian đều, một chứng minh tương tự như của Mệnh đề 8 cho thấy tập các ánh xạ liên tục đều từ X vào Y là đóng trong Fᵤ(X; Y). 0CBL
Nhận xét 4 Giả sử rằng không gian đều Y mang một luật hợp thành giao hoán và kết hợp, được viết theo phép cộng, sao cho ánh xạ (y, y') → y + y' là liên tục trên Y × Y. Khi đó, nếu (uₙ) là một… 0CBM
Mệnh đề 9 Cho X là một không gian tôpô, Y là một không gian đều. Khi đó ánh xạ (f, x) → f(x) từ Cᵤ(X; Y) × X vào Y là liên tục. ↩ 1 0CBN

§ 2. Các tập đều liên tục

Định nghĩa 1 Cho X là một không gian tôpô và Y là một không gian đều. Một tập con H của F(X; Y) được gọi là đều liên tục tại một điểm x₀ ∈ X nếu, với mỗi lân cận V của Y, tồn tại một lân cận U… 0CC0
Định nghĩa 2 Cho X và Y là hai không gian đều. Một tập con H của F(X; Y) được gọi là đều liên tục đều nếu, với mỗi lân cận V của Y, tồn tại một lân cận U của X sao cho ta có (f(x), f(x')) ∈ V b… 0CC1
Ví dụ 1 Cho X là một không gian tôpô (tương ứng, một không gian đều) và Y là một không gian đều. Mọi tập hữu hạn các ánh xạ liên tục (tương ứng, liên tục đều) từ X vào Y đều đều liên tục (… 0CC2
Ví dụ 2 Cho X, Y là hai không gian mêtric, d (tương ứng, d') là mêtric trên X (tương ứng, trên Y), và cho k, α là hai số thực 0. Khi đó tập tất cả các ánh xạ f : X → Y sao cho d'(f(x), f(x… 0CC3
Ví dụ 3 Cho G là một nhóm tôpô, cho Y là một không gian đều và cho f : G → Y là một ánh xạ liên tục đều [G được trang bị tính đều trái của nó (Chương III, § 3, no. 1)]. Với mỗi s ∈ G, cho… 0CC4
Mệnh đề 1 Cho T là một tập, cho S là một tập các tập con của T, cho Y là một không gian đều, X một không gian tôpô (tương ứng, đều), và cho f là một ánh xạ của T × X vào Y. Với mỗi A ∈ S, ch… ↩ 5 0CC5
Hệ quả 1 Cho X là một không gian tôpô (tương ứng không gian đều), Y là một không gian đều và H là một tập con của F(X; Y). Với mỗi x ∈ X, ký hiệu tildex là ánh xạ h → h(x) của H vào Y. Khi… ↩ 1 0CC6
Hệ quả 2 Cho X là một không gian compact, Y là một không gian đều. Khi đó mọi tập con liên tục đều của F(X; Y) đều là liên tục đều đồng nhất. ↩ 2 0CC7
Hệ quả 3 Cho T, X là các không gian tôpô, cho Y là một không gian đều và cho f là một ánh xạ của T × X vào Y. Khi đó f liên tục, miễn là các điều kiện sau được thỏa mãn: 0CC8
Hệ quả 4 Cho X là một không gian tôpô, Y là một không gian đều, H là một tập đẳng liên tục các ánh xạ của X vào Y. Nếu H được trang bị tôpô hội tụ từng điểm, thì ánh xạ (h, x) → h(x) của H… ↩ 1 0CC9
Hệ quả 5 Cho X là một không gian tôpô, cho Y, Z là hai không gian đều và cho H là một tập đẳng liên tục các ánh xạ của Y vào Z. Nếu H, C(X; Y) và C(X; Z) được trang bị tôpô hội tụ từng điểm… ↩ 1 0CCA
Mệnh đề 2 Cho T, X, Y là các không gian đều và cho f là một ánh xạ của T × X vào Y. Khi đó f liên tục đều khi và chỉ khi hai điều kiện sau được thỏa mãn: 0CCB
Hệ quả Cho X, Y là hai không gian đều và cho H là một tập con của F(X; Y). Khi đó H là đều liên tục đều khi và chỉ khi ánh xạ (h, x) → h(x) của H × X vào Y là đồng đều liên tục, với H đượ… 0CCC
Mệnh đề 3 Cho X là một không gian tôpô (resp. không gian đều), cho (Yᵢ)_i ∈ I là một họ các không gian đều, cho Y là một tập hợp, và với mỗi i ∈ I, cho fᵢ là một ánh xạ từ Y vào Yᵢ. Cho Y đư… ↩ 1 0CCD
Mệnh đề 4 Cho X, Y là hai không gian đều và cho H là một tập các ánh xạ đồng đều liên tục từ X vào Y. Cho hatX, hatY là các hoàn thiện Hausdorff tương ứng của X, Y, và ký hiệu tildeH là tập… ↩ 1 0CCE
Mệnh đề 5 Cho G, G' là hai nhóm tôpô được trang bị các cấu trúc đều trái của chúng, và cho H là một tập các đồng cấu từ G vào G'. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: a) H đều liên tục t… 0CCF
Mệnh đề 6 Cho X là một không gian tôpô (resp. không gian đều), cho Y là một không gian đều và cho H là một tập con của F(X; Y). Khi đó H là đồng liên tục tại một điểm x₀ ∈ X (resp. đồng liên… ↩ 2 0CCG
Định lý 1 Cho X là một không gian tôpô (resp. không gian đều), cho Y là một không gian đều và cho H là một tập con đồng liên tục (resp. đồng liên tục đều) của C(X; Y). Khi đó các cấu trúc đề… ↩ 2 0CCH
Hệ quả Theo các giả thiết của Định lý 1, bao đóng overlineH của H trong F(X; Y) đối với tôpô hội tụ từng điểm cũng chính là bao đóng của H trong C(X; Y) đối với tôpô hội tụ compact (tương… 0CCI
Định lý 2 (Ascoli) Cho X là một không gian tôpô (tương ứng không gian đều), cho S là một phủ của X, cho Y là một không gian đều và H là một tập các ánh xạ của X vào Y sao cho, với mỗi A ∈ S và mỗi u… ↩ 4 0CCJ
Hệ quả 1 Cho X là một không gian tôpô (tương ứng, không gian đều), cho Y là một không gian đều Hausdorff và cho H là một tập con đều liên tục (tương ứng, đều liên tục đồng đều) của C(X; Y)… ↩ 2 0CCK
Hệ quả 2 Cho X là một không gian tôpô (tương ứng, không gian đều), cho Y là một không gian đều Hausdorff đầy đủ và cho H là một tập con đều liên tục (tương ứng, đều liên tục đồng đều) của C… 0CCL
Hệ quả 3 Cho X là một không gian địa phương compact, Y là một không gian đều Hausdorff, H là một tập hợp con của C(X; Y). Khi đó H là tương đối compact trong C_c(X; Y) khi và chỉ khi H đều… ↩ 1 0CCM
Nhận xét Cho X là một không gian tôpô, Y là một không gian đều và S là một tập hợp các tập con của X. Khi đó trên mọi tập hợp con tiền compact H của F_S(X; Y), tính đều của sự hội tụ S trùn… 0CCN

§ 3. Các không gian hàm đặc biệt

Mệnh đề 1 Nếu Y là một không gian đều mêtric hóa được, thì cấu trúc đều của hội tụ đều trên F(X; Y) là mêtric hóa được. 0CD8
Hệ quả Cho X là một không gian tôpô và Y là một không gian đều mêtric hóa được. Giả sử rằng có một dãy (Kₙ) các tập con compắc của X sao cho mọi tập con compắc của X đều được chứa trong m… 0CD9
Mệnh đề 2 Cho X là một tập hợp và Y là một không gian mêtric. Tập hợp B(X; Y) các ánh xạ bị chặn vừa mở vừa đóng trong không gian Fᵤ(X; Y). ↩ 3 0CDA
Hệ quả 1 Cho X là một tập hợp và Y là một không gian metric. Khi đó B_S(X; Y) là đóng trong F_S(X; Y). Đặc biệt, nếu Y đầy đủ thì B_S(X; Y) đầy đủ đối với cấu trúc đều của sự hội tụ theo S. ↩ 2 0CDB
Hệ quả 2 Cho X là một không gian tôpô và Y là một không gian metric. Khi đó không gian tất cả các ánh xạ liên tục bị chặn từ X vào Y vừa mở vừa đóng trong Cᵤ(X; Y); nó đầy đủ nếu Y đầy đủ. 0CDC
Mệnh đề 3 Nếu không gian chuẩn Y đầy đủ, thì mọi chuỗi (uₙ) các ánh xạ bị chặn từ X vào Y hội tụ tuyệt đối trong không gian chuẩn B(X; Y) (nghĩa là thỏa mãn ∑ₙ₌₀^∞ ||uₙ|| < +∞; xem Chương IX… 0CDD
Nhận xét 1 Nếu ∑ₙ₌₀^∞ |uₙ| < +∞, thì ∑ₙ₌₀^∞ |uₙ(x)| ≤ ∑ₙ₌₀^∞ |uₙ| < +∞ với mọi x ∈ X; nói cách khác, với mỗi x ∈ X chuỗi có số hạng tổng quát uₙ(x) hội tụ tuyệt đối trong không gian Y. Điều đ… 0CDE
Mệnh đề 4 Cho Xᵢ (1 ≤ i ≤ n) và Y là các không gian vectơ định chuẩn trên một vành chia định giá không rời rạc K, và đặt X = ∏ᵢ₌₁ⁿ Xᵢ. Khi đó tập hợp tất cả ánh xạ đa tuyến tính từ X vào Y l… ↩ 2 0CDF
Mệnh đề 5 Dưới các giả thiết của Mệnh đề 4, tập hợp L(X₁, …, Xₙ; Y) các ánh xạ đa tuyến tính liên tục từ X vào Y là đóng trong F(X; Y) đối với tôpô hội tụ bị chặn; nó là đầy đủ đối với cấu t… 0CDG
Mệnh đề 6 Ánh xạ đa tuyến tính (u, x₁, …, xₙ) → u(x₁, …, xₙ) của không gian định chuẩn L(X₁, …, Xₙ; Y) × X₁ × ⋯ × Xₙ vào Y là liên tục. 0CDH
Mệnh đề 7 Cho X, Y, Z là ba không gian định chuẩn trên K. Ánh xạ chính tắc của không gian định chuẩn L(X, Y; Z) vào không gian các ánh xạ tuyến tính từ X vào L(Y; Z) gửi mỗi u ∈ L(X, Y; Z) t… 0CDI
Mệnh đề 8 Cho X, Y, Z là ba không gian định chuẩn trên K. Ánh xạ song tuyến tính (u, v) → v ∘ u của L(X; Y) × L(Y; Z) vào L(X; Z) là liên tục. 0CDJ
Nhận xét 2 Tập hợp L(Rᵐ; Rⁿ) các ánh xạ tuyến tính (tất nhiên là liên tục) từ Rᵐ vào Rⁿ có thể được đồng nhất với tập hợp M_n,m(R) các ma trận có n hàng và m cột với các hệ số trong R và do đ… 0CDK
Định lý 1 Cho X là một không gian compact. a) Nếu X là mêtric hóa được và nếu Y là một không gian đều mêtric hóa được bất kỳ có kiểu đếm được (Chương IX, § 2, no. 8), thì không gian mêtric h… ↩ 1 0CDL
Hệ quả Cho X là một không gian địa phương compact mà tôpô của nó thừa nhận một cơ sở đếm được, và cho Y là một không gian đều mêtric hóa được thuộc kiểu đếm được. 0CDM
Định lý 2 Cho X là một không gian tôpô, Y là một không gian đều. Với mỗi tập con compact K của X và mỗi tập con mở U của Y, ký hiệu T(K, U) là tập hợp tất cả các ánh xạ liên tục u : X → Y sa… ↩ 2 0CDN
Định nghĩa 1 Cho X, Y là hai không gian tôpô, không nhất thiết khả quy đồng đều. Với mỗi tập con compact K của X và mỗi tập con mở U của Y, gọi T(K, U) là tập hợp tất cả các u ∈ C(X; Y) sao cho… 0CDO
Ví dụ Cho I là khoảng [0, 1] trong R. Nếu Y là một không gian tôpô bất kỳ, không gian C_c(I; Y) được gọi là không gian các đường đi trong Y. Với mỗi y ∈ Y, không gian con Ω_y(Y) của C_c(… 0CDP
Nhận xét 1 Tương tự, tôpô cảm sinh trên C(X; Y) bởi tôpô tích trên Y^X = F(X; Y) được gọi là tôpô hội tụ điểm (Y không nhất thiết là khả tôpô đều); nó được sinh bởi các tập hợp có dạng T(x, U… 0CDQ
Nhận xét 2 Cho S là một cơ sở phụ của tôpô của Y, và cho K là một tập hợp các tập con compact của X có tính chất sau: ↩ 1 0CDR
Định lý 3 Cho X, Y, Z là ba không gian tôpô và cho f là một ánh xạ từ X × Y vào Z. Nếu f liên tục thì tildef: x → f(x, .) là một ánh xạ liên tục từ X vào C_c(Y; Z). Mệnh đề đảo lại đúng nếu… ↩ 5 0CDS
Hệ quả 1 Cho X là một không gian địa phương compact, Y một không gian tôpô, H một tập con của C(X; Y). Khi đó tôpô compact-mở trên H là tôpô thô nhất sao cho ánh xạ (u, x) → u(x) từ H × X v… ↩ 5 0CDT
Nhận xét 3 Cho X là một không gian địa phương compact và Y một không gian tôpô Hausdorff. Nếu T là một tôpô trên một tập con H của C(X; Y) sao cho ánh xạ (u, x) → u(x) liên tục trên H × X và… ↩ 2 0CDU
Hệ quả 2 Cho X, Y, Z là ba không gian tôpô sao cho X là Hausdorff và Y là compact địa phương. Khi đó hạn chế lên C(X × Y; Z) của song ánh chính tắc F(X × Y; Z) → F(X; F(Y; Z)) (Lý thuyết tậ… 0CDV
Mệnh đề 9 Cho X, Y, Z là ba không gian tôpô, Y là địa phương compact. Khi đó ánh xạ (u, v) → v ∘ u của C_c(X; Y) × C_c(Y; Z) vào C_c(X; Z) là liên tục. ↩ 2 0CDW
Mệnh đề 10 Cho X là một không gian đều và cho H là một tập hợp đồng liên tục của các phép đồng phôi từ X lên chính nó. Nếu H và H⁻¹ được trang bị tôpô của sự hội tụ điểm trong X, thì ánh xạ u… ↩ 1 0CDX
Hệ quả Cho X là một không gian đều và cho H là một nhóm các tự đồng phôi liên tục đều của X lên chính nó. Khi đó tôpô hội tụ điểm trong X là tương thích với cấu trúc nhóm của H. ↩ 1 0CDY
Mệnh đề 11 Cho X là một không gian compact và cho Γ là nhóm gồm tất cả các tự đồng phôi của X lên chính nó. Khi đó tôpô hội tụ đều trong X là tương thích với cấu trúc nhóm của Γ. ↩ 1 0CDZ
Mệnh đề 12 Trên nhóm Γ của mọi đồng phôi của một không gian compact địa phương X, tôpô T_β là tôpô thô nhất sao cho các ánh xạ u → u và u → u⁻¹ từ Γ vào C_c(X; X) là liên tục. ↩ 2 0CE0
Định lý 4 Cho G là một nhóm con của nhóm Γ gồm tất cả các đồng phôi của một không gian địa phương compact X. Giả sử rằng, trong không gian C_c(X; X), tồn tại một lân cận V của ánh xạ đồng nh… ↩ 2 0CE1
Hệ quả Cho G là một nhóm các tự đồng phôi của một không gian địa phương compact X. Nếu bao đóng overlineG của G trong C_c(X; X) là compact, thì overlineG là một nhóm các tự đồng phôi của… ↩ 1 0CE2

§ 4. Xấp xỉ các hàm giá trị thực liên tục

Hệ quả Cho (uₙ) là một dãy tăng (tương ứng giảm) các hàm thực liên tục trên X. Nếu bao trên (tương ứng bao dưới) f của dãy (uₙ) là hữu hạn và liên tục trên X, thì dãy (uₙ) hội tụ đều đến… 0CEW
Mệnh đề 2 Cho X là một không gian compact, và cho H là một tập hợp các hàm liên tục nhận giá trị thực trên X sao cho, với bất kỳ hai hàm u ∈ H, v ∈ H nào, các hàm sup(u, v) và inf(u, v) đều… ↩ 2 0CEX
Nhận xét Khi tập H thỏa mãn các điều kiện của Mệnh đề 2, nó là một dàn đối với thứ tự f ≤ g. Nhưng cần lưu ý rằng một tập con H của C có thể là một dàn đối với thứ tự này mà không nhất thiế… 0CEY
Hệ quả Giả sử rằng H được xác định sao cho, hễ u ∈ H và v ∈ H thì ta có sup(u, v) ∈ H và inf(u, v) ∈ H; đồng thời sao cho, cho trước bất kỳ hai điểm phân biệt x, y của X và bất kỳ hai số… ↩ 1 0CEZ
Định nghĩa 1 Nếu X là bất kỳ một tập hợp nào, một tập H các ánh xạ của X vào một tập Y được gọi là phân biệt các phần tử của một tập con A của X (hay là một tập phân biệt cho các phần tử của A)… 0CF0
Định lý 2 (Stone) Cho X là một không gian compact, và cho H là một không gian con vectơ của C(X; R) sao cho 1) các hàm hằng thuộc H; 2) nếu u ∈ H thì |u| ∈ H; 3) H phân biệt các điểm của X. Khi đó m… ↩ 2 0CF1
Định lý 3 (Weierstrass-Stone) Cho X là một không gian compact và cho H là một tập các hàm giá trị thực liên tục trên X phân biệt các điểm của X. Khi đó mọi hàm giá trị thực liên tục trên X đều có thể được xấp x… ↩ 5 0CF2
Bổ đề 1 Với mỗi số thực ε > 0 và mỗi khoảng compact I ⊂ R tồn tại một đa thức p(t) không có số hạng tự do sao cho |p(t) - |t|| ≤ ε với mọi t ∈ I. 0CF3
Bổ đề 2 Gọi (Pₙ) là dãy các đa thức không có số hạng hằng được xác định bởi (1) p₀(t) = 0, pₙ₊₁(t) = pₙ(t) + 1/2 (t - (pₙ(t))²), n ≥ 0. Trong khoảng [0, 1], dãy (pₙ) tăng và hội tụ đều đến… 0CF4
Mệnh đề 3 Gọi (Kᵢ)_i ∈ I là một họ các khoảng compact của R, K = ∏_i ∈ I Kᵢ là tích của chúng, và gọi X là một không gian con compact của K. Khi đó mọi hàm thực liên tục trên X đều có thể đư… 0CF5
Mệnh đề 4 Gọi X là một không gian compact, gọi A là một không gian con đóng của X, và gọi H là một tập hợp các hàm thực liên tục trên X phân biệt các điểm của C_A và sao cho A là giao của cá… ↩ 2 0CF6
Định lý 4 Cho (Xᵢ)_i ∈ I là một họ các không gian compact, và cho X = ∏_i ∈ I Xᵢ. Khi đó mọi hàm thực liên tục trên X đều có thể được xấp xỉ đều bởi các tổng của một số hữu hạn các hàm có dạ… 0CF7
Mệnh đề 5 Cho X là một không gian compact, Y là một không gian có chuẩn trên R và H là một tập con của C(X; R). Nếu mọi hàm liên tục nhận giá trị thực trên X đều có thể được xấp xỉ đều bởi c… 0CF8
Mệnh đề 6 Cho X là một không gian compact và cho H là một tập các hàm liên tục nhận giá trị thực trên X phân biệt các điểm của X. Khi đó mọi ánh xạ liên tục của X vào một không gian định chu… ↩ 1 0CF9
Mệnh đề 7 Cho X là một không gian compact và cho H là một tập các hàm liên tục nhận giá trị phức trên X phân biệt các điểm của X. Khi đó mọi ánh xạ liên tục của X vào một không gian định chu… ↩ 2 0CFA
Hệ quả 1 Nếu X là một tập con compact của không gian Cⁿ, thì mọi ánh xạ liên tục (z₁, z₂, …, zₙ) → f(z₁, z₂, …, zₙ) của X vào một không gian chuẩn Y trên trường C đều có thể được xấp xỉ đều… 0CFB
Hệ quả 2 Cho X là một không gian địa phương compact và cho C₀(X) là C-đại số chuẩn của các ánh xạ liên tục của X vào C tiến tới 0 ở vô cực. Cho A là một đại số con của C₀(X) phân biệt các đ… 0CFC
Mệnh đề 8 Cho P là tập của mọi ánh xạ liên tục tuần hoàn của Rᵐ vào C mà nhóm chu kỳ của chúng chứa Zᵐ. Khi đó mọi hàm thuộc P đều có thể được xấp xỉ đều trên Rᵐ bởi các tổ hợp tuyến tính, v… 0CFD