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Index des énoncés

Les 674 énoncés de Espaces vectoriels topologiques, par chapitre et paragraphe. Choisissez un type, filtrez par un mot, ou mettez les plus cités en tête.

Les plus cités d’abord

I. Espaces vectoriels topologiques sur un corps valué

§ 1. Espaces vectoriels topologiques

Définition 1 Étant donné un corps topologique K (TG, III, p. 54), on appelle espace vectoriel topologique à gauche sur K un ensemble E, muni : 1° d’une structure d’espace vectoriel à gauche sur… 077V
Exemple 1 Si E est un espace vectoriel à gauche sur un corps topologique discret K, la topologie discrète sur E est compatible avec la structure d’espace vectoriel de E (il n’en est pas de m… 077W
Exemple 2 Soit A un anneau topologique (TG, III, p. 48) et soit K un sous-anneau de A qui est un corps, et tel que la topologie induite sur K par celle de A soit compatible avec la structure… 0E4C
Exemple 3 Soient K un corps topologique quelconque, I un ensemble quelconque. Sur l’espace vectoriel produit Kₛᴵ (A, II, p. 10), la topologie produit est compatible avec la structure d’espac… 0E4D
Exemple 4 Soit X un espace topologique ; sur l’ensemble E = C(X ; R) des fonctions numériques finies continues dans X, la topologie de la convergence compacte (TG, X, p. 4) est compatible av… 0E4E
Exemple 5 Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps topologique K ; il existe donc un isomorphisme u : Kₛⁿ → E de K-espaces vectoriels, et en outre, si v est un second iso… 0E4F
Proposition 1 Pour tout α ∈ K et tout point b ∈ E, l’application x ↦ α x + b de E dans lui-même est continue. En outre, si α ≠ 0, cette application est un homéomorphisme de E sur lui-même. 077X
Corollaire Si A est un ensemble ouvert (resp. fermé) dans E, α A est ouvert (resp. fermé) dans E pour tout α ≠ 0 dans K. 077Y
Exemple Soit I un ensemble d’indices quelconque ; on sait (TG, X, p. 21) que sur l’ensemble B(I; K) des applications bornées x = (ξⱼ) de I dans K (qu’on note aussi B_K(I) ou ℓ_K^∞(I)), on… 077Z
Remarque Étant donné un sous-espace vectoriel fermé M d’un espace vectoriel topologique séparé E, il n’existe pas nécessairement de sous-espace vectoriel supplémentaire (algébrique) de M qu… 0780
Remarque 1 Si B est une partie précompacte de K, alors, pour tout voisinage V de 0 dans E, il y a un voisinage U de 0 dans E tel que BU ⊂ V. En effet, soit W un voisinage de 0 dans E tel que… 0781
Remarque 2 On déduit de 1) que, si B est une partie précompacte de K et H une partie précompacte de E, alors la restriction à B × H de l’application (λ, x ↦ λ x) est uniformément continue. En… 0782
Définition 2 On appelle espace de Banach un espace normé complet sur un corps valué non discret. 0783
Exemple Lorsque K est un corps valué non discret et complet, l’espace B(I; K) (I, p. 4, Exemple) est complet (TG, X, p. 21, cor. 1). Il en est de même de l’espace ℓ_K¹(I) (I, p. 4, Exemple… 0784
Définition 3 Soient K un corps valué, E un espace vectoriel à gauche sur K; on dit qu’une partie M de E est équilibrée si, pour tout x ∈ M et tout λ ∈ K tel que |λ| ≤ 1, on a λ x ∈ M (ou, en d’… 0785
Proposition 2 Dans un espace vectoriel topologique E sur un corps valué K, l’adhérence d’un ensemble équilibré M est un ensemble équilibré. 0786
Proposition 3 Soit K un corps valué localement compact et non discret, et soit E un espace vectoriel topologique séparé (resp. un espace vectoriel topologique) sur K. Pour toute partie compacte… 0787
Définition 4 Soient K un corps valué non discret, E un espace vectoriel à gauche sur K, A et B deux parties de E. On dit que A absorbe B s’il existe α > 0 tel que l’on ait λ A ⊃ B pour |λ| ≥ α… 0788
Proposition 4 Dans un espace vectoriel topologique E sur un corps valué non discret K, il existe un système fondamental B de voisinages fermés de 0, tel que : (EV₁) Tout ensemble V ∈ B est équil… 0789
Remarque 1 Dans un espace normé sur un corps valué non discret, l’ensemble des boules ouvertes (resp. des boules fermées) de centre 0 est un système fondamental de voisinages de 0 qui satisfa… 078A
Remarque 2 Lorsque le corps K des scalaires est le corps R ou le corps C, toute base de filtre B sur E qui satisfait aux deux seuls axiomes (EV₁) et (EV₃) est un système fondamental de voisin… 078B
Remarque 3 Si K est un corps discret, les conditions (EVT₁') et (EVT₃') sont vérifiées pour une topologie quelconque sur E. En raisonnant comme dans la prop. 4, on voit aisément que si E est… 078C
Proposition 5 Soient Eᵢ (1 ≤ i ≤ n) et F des espaces vectoriels topologiques sur un corps valué commutatif et non discret K. Pour qu’une application multilinéaire f de ∏ᵢ₌₁ⁿ Eᵢ dans F soit conti… 078D
Proposition 6 Les hypothèses sur Eᵢ (1 ≤ i ≤ n) et F étant celles de la prop. 5, pour qu’un ensemble E d’applications multilinéaires de ∏ᵢ₌₁ⁿ Eᵢ dans F soit équicontinu, il suffit qu’il soit équ… 078E
Proposition 7 Soit (Eᵢ)_i ∈ I une famille d’espaces vectoriels topologiques sur un corps topologique K. Soit E un espace vectoriel sur K, et pour chaque i ∈ I, soit fᵢ une application linéaire d… 078F
Lemme Soient M et N deux espaces vectoriels, g une application linéaire de M dans N. Si T₀ est une topologie compatible avec la structure d’espace vectoriel de N, l’image réciproque de T… 078G
Corollaire 1 Soit G un espace vectoriel topologique sur K. Pour qu’un ensemble H d’applications de G dans E soit équicontinu, il faut et il suffit que, pour tout i ∈ I, l’ensemble des fᵢ ∘ u, o… 078H
Corollaire 2 Les espaces Eᵢ étant supposés séparés, pour que la topologie T soit séparée, il faut et il suffit que, pour tout x ≠ 0 dans E, il existe un indice i ∈ I tel que fᵢ(x) ≠ 0. En effet… 078I
Corollaire 3 Supposons les Eᵢ complets et φ(E) fermé dans F = ∏_i ∈ I Eᵢ. Alors E est complet pour la topologie T. En effet, le sous-espace φ(E) de F est alors complet (TG, II, p. 16, prop. 8 e… 078J
Exemple Soient D'(R) l’espace des distributions sur R, p un nombre tel que 1 ≤ p ≤ +∞, j : Lᵖ(R) → D'(R) l’injection canonique, qui est continue (lorsque Lᵖ(R) est muni de sa topologie d’e… 078K
Corollaire 4 Soit E un espace vectoriel sur un corps topologique K, et soit (Tᵢ)_i ∈ I une famille de topologies compatibles avec la structure d’espace vectoriel de E ; alors la borne supérieur… 078L

§ 2. Variétés linéaires dans un espace vectoriel topologique

Proposition 1 Dans un espace vectoriel topologique E, l’adhérence d’une variété linéaire est une variété linéaire. 0790
Corollaire Dans un espace vectoriel topologique E, tout hyperplan est fermé ou partout dense. 0791
Définition 1 Dans un espace vectoriel topologique E, on dit qu’un ensemble A est total si le sous-espace vectoriel fermé engendré par A est identique à E (ou, en d’autres termes, si l’ensemble… 0792
Exemple 1 Dans l’espace normé C(I ; C) (sur le corps C) des fonctions continues dans I = 0, 1, à valeurs dans C, les restrictions à I des monômes xⁿ (n ∈ N) forment un ensemble total, en ver… 0793
Exemple 2 Tout ensemble absorbant dans un espace vectoriel topologique E sur un corps valué non discret (et en particulier tout voisinage de 0 dans E) est un ensemble total puisqu’il engendr… 0E4G
Définition 2 Dans un espace vectoriel topologique E, on dit qu’une famille (a_ι)_ι ∈ I de points de E est topologiquement libre si, quel que soit κ ∈ I, le sous-espace vectoriel fermé engendré… 0794
Exemple 3 Dans l’espace normé C(I ; C) des fonctions continues dans I = 0, 1, les restrictions à I des fonctions e^2nπ ix (n ∈ Z) forment une famille topologiquement libre. En effet, pour to… 0795
Exemple 4 Dans l’espace normé C(I ; C) des fonctions continues dans I = 0, 1, les restrictions à I des monômes xⁿ (n ∈ N) forment une famille libre au sens algébrique. Mais il existe une sui… 0796
Remarque 1 Contrairement à ce qui se passe en Algèbre pour les parties libres d’un espace vectoriel, l’ensemble des parties topologiquement libres d’un espace vectoriel topologique E n’est pa… 0797
Remarque 2 Soient M un sous-espace vectoriel fermé de E, et (dotaᵢ)_i ∈ I une famille topologiquement libre dans l’espace quotient E/M. Si aᵢ est un élément quelconque de la classe dotaᵢ, la… 0798
Proposition 2 Tout espace vectoriel topologique séparé E de dimension 1 sur un corps valué non discret K est isomorphe à Kₛ; de façon précise, pour tout a ≠ 0 dans E, l’application ξ ↦ ξ a de Kₛ… ↩ 1 0799
Corollaire 1 Dans un espace vectoriel topologique séparé E sur un corps valué non discret K, tout sous-espace vectoriel D de dimension 1 est isomorphe à Kₛ. 079A
Corollaire 2 Soit E un espace vectoriel topologique sur un corps valué non discret. Tout sous-espace vectoriel D (de dimension 1) supplémentaire algébrique d’un hyperplan homogène fermé H est s… 079B
Théorème 1 Soit E un espace vectoriel topologique sur un corps valué non discret. Soit H un hyperplan dans E, défini par une équation f(x) = α, où f est une forme linéaire non identiquement n… 079C
Corollaire Toute forme linéaire continue et non nulle sur E est un morphisme strict de E sur Kₛ. 079D
Remarque On peut donner des exemples d’espaces vectoriels topologiques normés sur un corps valué non discret et complet, dans lesquels toute forme linéaire continue est identiquement nulle… 079E
Théorème 2 Tout espace vectoriel topologique séparé E de dimension finie n sur un corps valué complet et non discret K, est isomorphe à Kₛⁿ; de façon précise, pour toute base (eᵢ)_1 ≤ i ≤ n d… 079F
Corollaire 1 Dans un espace vectoriel topologique séparé E sur un corps valué complet et non discret K, tout sous-espace vectoriel F de dimension finie est fermé dans E. 079G
Corollaire 2 Soient K un corps valué complet et non discret, E un espace vectoriel topologique séparé de dimension finie sur K, F un espace vectoriel topologique quelconque sur K ; toute applic… 079H
Corollaire 3 Dans un espace vectoriel topologique séparé E sur un corps valué complet et non discret, toute partie libre finie est topologiquement libre. 079I
Corollaire 4 Soit E un espace vectoriel topologique sur un corps valué complet non discret. Soient M un sous-espace vectoriel fermé de E, F un sous-espace vectoriel de dimension finie de E ; le… 079J
Proposition 3 Soit E un espace vectoriel topologique sur un corps valué complet et non discret K. Soit M un sous-espace vectoriel fermé de codimension finie n dans E. Tout sous-espace N suppléme… 079K
Corollaire Soient E et F deux espaces vectoriels topologiques sur un corps valué complet et non discret. Si F est séparé et de dimension finie, toute application linéaire continue de E sur F… 079L
Remarque Les résultats des nos 2 et 3 ne sont plus valables lorsque K est discret. Par exemple, soit K₁ un corps valué non discret, et soit K le corps discret obtenu en munissant K₁ de la v… 079M
Théorème 3 Soit K un corps valué complet non discret. Un espace vectoriel topologique séparé E sur K qui admet un voisinage de 0 précompact V est de dimension finie. Si E n’est pas réduit à 0… 079N
Lemme 1 Tout espace vectoriel topologique compact E sur un corps valué non discret est réduit à 0. 079O
Remarque La conclusion du th. 3 ne subsiste plus lorsque K est un corps discret, comme le montre l’exemple de R (muni de la topologie usuelle) considéré comme espace vectoriel topologique s… 079P

§ 3. Espaces vectoriels topologiques métrisables

Remarque Les espaces normés forment l’une des classes d’espaces vectoriels métrisables les plus importantes (I, p. 3). Mais il faut noter qu’il existe des espaces vectoriels métrisables don… 07A5
Théorème 1 (Banach) Soient E et F deux espaces vectoriels métrisables sur un corps valué non discret K, et u une application linéaire continue de E dans F. Supposons que E soit complet. Alors les cond… 07A6
Lemme 1 Soient E et F deux espaces vectoriels topologiques sur un corps valué non discret K, et soit u une application linéaire continue de E dans F dont l’image n’est pas maigre. Pour tou… 07A7
Lemme 2 Soient E et F deux espaces métriques, E étant en outre supposé complet. Soit u une application continue de E dans F, ayant la propriété suivante : quel que soit le nombre r > 0, il… 07A8
Corollaire 1 Si E et F sont deux espaces vectoriels métrisables et complets sur un corps valué non discret, toute application linéaire continue et bijective u de E sur F est un isomorphisme. 07A9
Corollaire 2 Soient E un espace vectoriel sur un corps valué non discret, T₁ et T₂ deux topologies sur E compatibles avec sa structure d'espace vectoriel et pour chacune desquelles E est métris… 07AA
Corollaire 3 Soient E et F deux espaces vectoriels métrisables et complets sur un corps valué non discret. Pour qu'une application linéaire continue u de E dans F soit un morphisme strict, il f… 07AB
Corollaire 4 Soit E un espace vectoriel métrisable et complet sur un corps valué non discret. Si M et N sont deux sous-espaces vectoriels fermés supplémentaires (algébriques) dans E, E est somm… 07AC
Corollaire 5 (théorème du graphe fermé) Soient E et F deux espaces vectoriels métrisables et complets sur un corps valué non discret. Pour qu'une application linéaire u de E dans F soit continue, il faut et il suffit que… 07AD
Exemple Soit E un sous-espace vectoriel de l’espace des fonctions numériques définies dans I = {0, 1}; soit \f\ une norme sur E telle que E, muni de cette norme, soit complet, et que sa to… 07AE
Proposition 1 Soient E, F deux espaces vectoriels topologiques sur un corps valué non discret K. On suppose que : 07AF

II. Ensembles convexes et espaces localement convexes

§ 1. Semi-normes

Définition 1 Soit E un espace vectoriel à gauche sur K. On appelle semi-norme sur E une application p de E dans R₊ = [0, +∞[, vérifiant les axiomes suivants : (SN₁) Quels que soient x ∈ E et λ… 07AP
Exemple 1 Une norme sur E est une semi-norme p telle que la relation p(x) = 0 entraîne x = 0 (I, p. 3). 07AQ
Exemple 2 Pour toute forme linéaire f sur E, la fonction x ↦ |f(x)| est une semi-norme sur E. 07AR
Exemple 3 Soient pᵢ (1 ≤ i ≤ n) des semi-normes en nombre fini sur E; il est immédiat que p'(x) = sup_1 ≤ i ≤ n pᵢ(x) et p''(x) = ∑ᵢ₌₁ⁿ αᵢ pᵢ(x) (où les αᵢ sont ≥ 0) sont encore des semi-nor… 07AS
Proposition 1 Soient E un espace vectoriel topologique à gauche sur K, p une semi-norme sur E. Les conditions suivantes sont équivalentes : 07AT
Corollaire Si p est une semi-norme continue dans E et q une semi-norme sur E telle que q ≤ p, alors q est continue dans E. 07AU
Remarque 1 La topologie définie par un ensemble fini de semi-normes pᵢ sur E (1 ≤ i ≤ n) peut être définie par la seule semi-norme p = sup_1 ≤ i ≤ n pᵢ. Par contre une topologie définie par u… 07AV
Remarque 2 Soit (T_ι)_ι ∈ I une famille de topologies sur un espace vectoriel E sur K, dont chacune est définie par un ensemble Γ_ι de semi-normes. Alors la topologie définie par l’ensemble d… 0E4H
Remarque 3 La relation « il existe λ > 0 tel que p ≤ λ q » entre deux semi-normes p, q sur E est une relation de préordre. Si Γ₀ est un ensemble de semi-normes filtrant croissant pour cette r… 0E4I
Remarque 4 Même si K = R, la topologie d’un espace vectoriel topologique sur K ne peut pas toujours être définie par un ensemble de semi-normes (cf. II, p. 26). 0E4J
Exemple Soit C^∞(R) l’espace vectoriel sur R des fonctions numériques indéfiniment dérivables dans R. Pour toute fonction f ∈ C^∞(R) et tout couple d’entiers n ≥ 0, m ≥ 1, posons : 07AW
Proposition 2 Soient Γ un ensemble de semi-normes sur un espace vectoriel E, T la topologie sur E définie par Γ. 07AX
Proposition 3 Tout espace vectoriel topologique séparé E sur K, dont la topologie est définie par un ensemble de semi-normes, est isomorphe à un sous-espace d’un produit d’espaces de Banach. 07AY
Proposition 4 Soient Eᵢ (1 ≤ i ≤ n) et F des espaces vectoriels topologiques sur K; on suppose que pour tout i, la topologie de Eᵢ est définie par un ensemble filtrant de semi-normes Γᵢ et que l… 07AZ
Corollaire Pour que H soit équicontinu, il faut et il suffit que, pour toute semi-norme q ∈ Γ, il existe un voisinage de 0 dans ∏ᵢ₌₁ⁿ Eᵢ dans lequel les fonctions q ∘ u, pour u ∈ H, soient un… 07B0
Proposition 5 Soient E, F deux espaces vectoriels topologiques sur un corps valué non discret K; on suppose que la topologie de E (resp. F) est définie par un ensemble Γ (resp. Γ') de semi-norme… 07B1
Corollaire 1 Soient E un espace vectoriel sur K, T, T' deux topologies sur E définies respectivement par deux ensembles Γ, Γ' de semi-normes. Pour que T soit plus fine que T', il faut et il suf… 07B2
Corollaire 2 Soit E un espace vectoriel topologique sur K, dont la topologie T est définie par un ensemble filtrant Γ de semi-normes; pour toute semi-norme p ∈ Γ, soit Eₚ l’espace obtenu en mun… 07B3

§ 2. Ensembles convexes

Définition 1 Dans un espace affine E, on dit qu’un ensemble A est convexe si, quels que soient les points x, y de A, le segment fermé d’extrémités x et y est contenu dans A. 07B4
Exemple 1 Toute variété linéaire affine de E (et en particulier l’ensemble vide) est convexe. 07B5
Exemple 2 Les seules parties convexes non vides de R sont les intervalles (TG, IV, p. 7, prop. 1). 07B6
Exemple 3 Soient E un espace vectoriel et |x| une norme sur E ; la boule unité B, formée des points x tels que |x| ≤ 1, est convexe, car les relations |x| ≤ 1, |y| ≤ 1 entraînent, pour 0 ≤ λ… 07B7
Remarque Soit A un ensemble convexe dans un espace vectoriel E ; quels que soient les scalaires α > 0 et β > 0, on a α A + β A = (α + β) A . En d’autres termes, quels que soient x ∈ A et y… 07B8
Proposition 1 Soit (xᵢ) une famille de points d’un ensemble convexe A ; tout barycentre ∑ᵢ λᵢ xᵢ des xᵢ affectés de masses positives λᵢ (telles que ∑ᵢ λᵢ = 1 et λᵢ = 0 sauf pour un nombre fini d… 07B9
Proposition 2 Soient E et F deux espaces affines, f une application linéaire affine de E dans F ; l’image par f de toute partie convexe de E et l’image réciproque par f de toute partie convexe d… 07BA
Proposition 3 Soient E un espace affine, H un hyperplan défini par la relation g(x) = 0, où g est une fonction affine non constante sur E. Les demi-espaces définis par l’une des relations g(x) g… 07BB
Proposition 4 Soit H un hyperplan dans un espace affine E. Pour que les points d’une partie convexe A de E soient strictement d’un même côté de H, il faut et il suffit que A ne rencontre pas H. 07BC
Proposition 5 L’intersection d’une famille quelconque de parties convexes d’un espace affine E est convexe. 07BD
Proposition 6 Soit (Eᵢ)_i ∈ I une famille d’espaces vectoriels, et pour chaque i ∈ I, soit Aᵢ une partie non vide de Eᵢ. Pour que l’ensemble A = ∏_i ∈ I Aᵢ soit convexe dans E = ∏_i ∈ I Eᵢ, il f… 07BE
Corollaire Dans l’espace Rⁿ, tout parallélétope (TG, VI, p. 3) est un ensemble convexe. 07BF
Proposition 7 Soient E un espace vectoriel, A et B deux parties convexes de E. Quels que soient les nombres réels α et β, l’ensemble αA + βB (ensemble des αx + βy, où x parcourt A et y parcourt… 07BG
Définition 2 Étant donnée une partie quelconque A d’un espace affine E, on appelle enveloppe convexe de A l’intersection des ensembles convexes contenant A, c’est-à-dire (II, p. 9, prop. 5) le… 07BH
Proposition 8 Soit (Ai){i∈I} une famille de parties convexes d’un espace affine E ; l’enveloppe convexe de ⋃_i∈ I Aᵢ est identique à l’ensemble des combinaisons linéaires ∑_i∈ I λᵢ xᵢ, où xᵢ ∈ A… 07BI
Corollaire 1 L’enveloppe convexe d’une partie A de E est identique à l’ensemble des combinaisons linéaires ∑ᵢ λᵢ xᵢ, où (xᵢ) est une famille finie quelconque de points de A, λᵢ > 0 pour tout i… 07BJ
Corollaire 2 Soient E et F deux espaces affines, f une application linéaire affine de E dans F ; pour toute partie A de E, l’enveloppe convexe de f(A) est l’image par f de l’enveloppe convexe d… 07BK
Définition 3 On dit qu’une partie C d’un espace affine E est un cône de sommet x0 si C est stable pour toutes les homothéties de centre x0 et de rapport 0. 07BL
Proposition 9 Pour qu’un cône convexe pointé C soit saillant, il faut et il suffit que le cône épointé C’, complémentaire de 0 par rapport à C, soit convexe. 07BM
Proposition 10 Pour qu’un ensemble C ⊂ E soit un cône convexe, il faut et il suffit que l’on ait C + C ⊂ C et λ C ⊂ C pour tout λ > 0. 07BN
Corollaire 1 Si C est un cône convexe non vide, le sous-espace vectoriel engendré par C est l’ensemble C - C (ensemble des x - y, où x et y parcourent C). 07BO
Corollaire 2 Si C est un cône convexe pointé, le plus grand sous-espace vectoriel contenu dans C est l’ensemble C ∩ (-C). 07BP
Proposition 11 Soit (Cᵢ)_i ∈ I une famille de cônes convexes dans E; le cône convexe engendré par la réunion des Cᵢ est identique à l’ensemble des sommes ∑_i ∈ J xᵢ, où J est une partie finie non… 07BQ
Corollaire Soit A une partie de E; le cône convexe engendré par A est identique à l’ensemble des combinaisons linéaires ∑_i ∈ J λᵢ xᵢ, où (xᵢ)_i ∈ J est une famille finie non vide quelconque… 07BR
Proposition 12 Soit A une partie convexe de E. Le cône convexe engendré par A est identique à C = ⋃_λ > 0 λ A. ↩ 1 07BS
Remarque 1 Avec les hypothèses de la prop. 12, si 0 ∉ A, le cône C est épointé, donc C ∪ 0 est saillant. 07BT
Remarque 2 Soit A un ensemble convexe quelconque dans E; considérons, dans l’espace F = E × R, l’ensemble convexe A₁ = A × 1 et le cône convexe C de sommet 0 engendré par A₁. La prop. 12 prou… 0E4K
Exemple Sur l’espace vectoriel E = Rᴬ de toutes les fonctions numériques finies définies dans un ensemble A, la relation d’ordre « quel que soit t ∈ A, x(t) ≤ y(t) » est compatible avec la… 07BU
Proposition 13 (i) Si E est un espace vectoriel préordonné, l’ensemble P des éléments ≥ 0 de E est un cône convexe pointé. 07BV
Exemple \ Soit H un espace hilbertien réel ; dans l’espace vectoriel L(H) des endomorphismes continus de H, les endomorphismes hermitiens positifs forment un cône convexe pointé saillant… 07BW
Proposition 14 Dans un espace vectoriel topologique E, l’adhérence d’un ensemble convexe (resp. d’un cône convexe) est un ensemble convexe (resp. un cône convexe de même sommet). 07BX
Définition 4 Étant donnée une partie quelconque A d’un espace vectoriel topologique E, on appelle enveloppe fermée convexe de A l’intersection des ensembles fermés convexes contenant A, c’est-à… 07BY
Proposition 15 Dans un espace vectoriel topologique séparé E, soient Aᵢ (1 ≤ i ≤ n) un nombre fini d’ensembles convexes compacts. Alors l’enveloppe convexe de la réunion des Aᵢ est compacte (donc… 07BZ
Corollaire 1 Dans un espace vectoriel topologique séparé E, l’enveloppe convexe d’un ensemble fini est compacte. 07C0
Corollaire 2 Dans un espace vectoriel topologique E, l’enveloppe convexe d’un ensemble fini A est précompacte. 07C1
Proposition 16 Dans un espace vectoriel topologique E, soit A un ensemble convexe ayant au moins un point intérieur x₀. Si x ∈ overlineA, tout point du segment ouvert d’extrémités x₀ et x est poi… 07C2
Corollaire 1 L’intérieur overset∘A d’un ensemble convexe A est un ensemble convexe ; si overset∘A n’est pas vide, il est identique à l’intérieur de overlineA, et overlineA est un ensemble conve… 07C3
Corollaire 2 L’intérieur dotC d’un cône convexe est un cône convexe ; si dotC n’est pas vide, il est identique à l’intérieur de overlineC, et overlineC est un cône convexe pointé identique à l’… 07C4
Proposition 17 Dans un espace vectoriel topologique E, soit A un ensemble admettant au moins un point intérieur, et dont tous les points sont situés d’un même côté d’un hyperplan H. Alors H est f… 07C5
Corollaire Soient E un espace vectoriel topologique, P un cône convexe pointé dans E, avant au moins un point intérieur. Alors toute forme linéaire f ≠ 0 sur E, positive pour la structure de… 07C6
Remarque Dans un espace vectoriel topologique E, tout ensemble convexe C est connexe. En effet, si a ∈ C, C est réunion de segments fermés d’extrémité a, qui sont connexes ; la conclusion r… 07C7
Exemple L’espace Rⁿ, muni de sa topologie usuelle et de la structure d’ordre produit des structures d’ordre de ses facteurs, est un espace vectoriel topologique ordonné. Par contre, pour n… 07C8
Proposition 18 Dans un espace vectoriel topologique ordonné E, soit H un ensemble filtrant pour la relation leqslant. Si le filtre des sections de H admet une limite dans E, cette limite est la b… 07C9
Définition 5 Soient E un espace affine, X une partie convexe de E. On dit qu’une fonction numérique finie, définie dans X, est convexe (resp. strictement convexe) si, quels que soient x, y dist… 07CA
Exemple Pour toute fonction linéaire affine f sur E, f et f² sont des fonctions convexes dans E; c’est évident pour f, puisque 07CB
Proposition 19 Soient E un espace affine, X une partie convexe de E; soient f une fonction numérique finie définie dans X, F (resp. F') l’ensemble des points (x, a) ∈ E × R tels que x ∈ X et f(x)… 07CC
Corollaire Si f est convexe dans X, alors, pour tout α ∈ R, l’ensemble des x ∈ X tels que f(x) ≤ α (resp. f(x) < α) est convexe. 07CD
Proposition 20 Soit f une fonction convexe dans une partie convexe X d’un espace affine E. Pour toute famille finie (xᵢ)_1 ≤ i ≤ p de p points de X, et toute famille (λᵢ)_1 ≤ i ≤ p de p nombres r… 07CE
Proposition 21 Soient E un espace vectoriel topologique, X une partie convexe ouverte non vide de E, f une fonction convexe définie dans X. Pour que f soit continue, il faut et il suffit qu’il ex… 07CF
Corollaire Toute fonction convexe f définie dans une partie convexe ouverte X de Rⁿ est continue dans X. 07CG
Proposition 22 Soient E un espace vectoriel, A un ensemble convexe dans E, contenant 0. Pour tout x ∈ E, posons 07CH
Proposition 23 Soit E un espace vectoriel topologique. Si A est un ensemble convexe ouvert contenant 0, p_A est finie et continue et A = W(p_A, 1). Si A est un ensemble convexe fermé contenant 0… 07CI

§ 3. Le théorème de Hahn-Banach (forme analytique)

Proposition 1 Soient E un espace vectoriel préordonné, V un sous-espace vectoriel de E tel que tout élément de E soit majoré par un élément de V. Pour toute forme linéaire f sur V, positive pour… 07DQ
Corollaire Soient E un espace vectoriel topologique muni d’une structure de préordre compatible avec sa structure d’espace vectoriel, P l’ensemble des éléments ≥ 0 de E. Soit V un sous-espace… 07DR
Théorème 1 (Hahn-Banach) Soient E un espace vectoriel, p une fonction sous-linéaire dans E. Soit V un sous-espace vectoriel de E, et soit f une forme linéaire sur V telle que, pour tout y ∈ V, on ait f(y)… 07DS
Corollaire 1 Soient p une semi-norme sur un espace vectoriel E, V un sous-espace vectoriel de E, f une forme linéaire sur V telle que |f(y)| ≤ p(y) pour tout y ∈ V. Alors il existe une forme li… 0E4L
Corollaire 2 Soient E un espace vectoriel, x₀ un point de E, p une semi-norme sur E; il existe une forme linéaire f définie dans E, telle que f(x₀) = p(x₀) et que |f(x)| ≤ p(x) pour tout x ∈ E. 0E4M
Corollaire 3 Soient E un espace normé, V un sous-espace vectoriel de E, f une forme linéaire continue dans V ; il existe une forme linéaire continue h définie dans E, prolongeant f, et de même… 0E4N

§ 4. Espaces localement convexes

Définition 1 On dit qu’un espace vectoriel topologique est localement convexe (réel) s’il existe un système fondamental de voisinages de 0 formé d’ensembles convexes. 07E4
Proposition 1 Soient E un espace vectoriel, 𝔖 une base de filtre sur E formée de parties convexes, symétriques et absorbantes. Alors l’ensemble 𝔅 des transformés des ensembles de 𝔖 par les homot… 07E5
Corollaire Pour que la topologie T d’un espace vectoriel topologique E soit définie par un ensemble de semi-normes (II, p. 3), il faut et il suffit que T soit localement convexe. 07E6
Proposition 2 Soient E un espace localement convexe, M un sous-espace vectoriel de E, f une forme linéaire définie et continue dans M ; il existe alors une forme linéaire continue h définie dans… 07E7
Remarque Si g est une application linéaire continue de M dans un espace produit Rˡ, il existe une application linéaire continue h de E dans Rˡ qui prolonge g : en effet, on peut écrire g =… 07E8
Corollaire 1 Soit E un espace localement convexe. Pour tout point x₀ non adhérent à 0 dans E, il existe une forme linéaire continue f définie dans E et telle que f(x₀) ≠ 0. 07E9
Corollaire 2 Soient E un espace localement convexe séparé, M un sous-espace vectoriel de E de dimension finie. Il existe alors un sous-espace vectoriel fermé N de E, supplémentaire topologique… 07EA
Proposition 3 Dans un espace localement convexe E, l’enveloppe convexe équilibrée d’un ensemble précompact est un ensemble précompact. 07EB
Corollaire Dans un espace localement convexe séparé E, si un ensemble compact est contenu dans un ensemble convexe complet (pour la structure uniforme induite par celle de E), alors son envel… 07EC
Proposition 4 Soient E un espace vectoriel, (Eᵢ)_i∈ I une famille d’espaces localement convexes, et pour chaque i ∈ I, soit fᵢ une application linéaire de E dans Eᵢ; alors la topologie T sur E d… 07ED
Proposition 5 Soient E un espace vectoriel, (F_α)_α ∈ A une famille d’espaces vectoriels topologiques, et, pour tout α ∈ A, soit g_α une application linéaire de F_α dans E. 07EE
Corollaire 1 Avec les notations de la prop. 5, soit H un ensemble d’applications linéaires de E dans un espace localement convexe G. Supposons que E soit somme des sous-espaces g_α(F_α) ; alors… 07EF
Corollaire 2 Soient E un espace vectoriel, (G_α)_α ∈ A une famille d’espaces localement convexes, (J_λ)_λ ∈ L une partition de A, et (F_λ)_λ ∈ L une famille d’espaces vectoriels. 07EG
Exemple Soient X un espace localement compact, E = K(X; R) l’espace vectoriel des fonctions numériques finies f continues dans X à support compact. Pour toute partie compacte K de X, soit… 07EH
Remarque Dans ce dernier exemple, la topologie induite par T sur E_K est identique à T_K, car elle est par définition moins fine que T_K, et comme par ailleurs T est plus fine que Tᵤ, la to… 07EI
Définition 2 Soit (Eᵢ)_i ∈ I une famille d’espaces localement convexes, et soit E l’espace vectoriel somme directe de la famille (Eᵢ) (A, II, p. 12). Pour tout i ∈ I, soit fᵢ l’injection canoni… 07EJ
Exemple Soient E un espace vectoriel, (aᵢ)_i ∈ I une base de E, et considérons sur chaque droite Raᵢ la topologie canonique (I, p. 2, Exemple 5) ; la topologie somme directe de ces topolog… 07EK
Proposition 6 Pour qu’une topologie localement convexe T sur E soit somme directe des topologies des Eᵢ, il faut et il suffit qu’elle possède la propriété suivante : pour qu’une application liné… 07EL
Corollaire Les notations étant celles de la prop. 5 de II, p. 29, supposons que E soit somme des g_α(F_α). Soient F l’espace somme directe topologique de la famille (F_α)_α ∈ A, j_α : F_α → F… 07EM
Proposition 7 L’injection canonique j : E → ∏_i ∈ I Eᵢ est continue lorsqu’on munit E de la topologie somme directe des topologies des Eᵢ et ∏_i ∈ I Eᵢ de la topologie produit. Lorsque I est fin… 07EN
Proposition 8 Pour tout i ∈ I, soit Nᵢ un sous-espace de Eᵢ. (i) La topologie induite sur N = ∑ᵢ Nᵢ par la topologie somme directe T sur E est identique à la somme directe des topologies des Nᵢ… 07EO
Corollaire 1 Si, pour tout i ∈ I, Nᵢ est fermé dans Eᵢ, alors N = ∑ Nᵢ est fermé dans E. 07EP
Corollaire 2 Si chacun des Eᵢ est séparé, il en est de même de E, et chacun des Eᵢ est fermé dans E. 07EQ
Lemme 1 Soit 𝔉 un filtre de Cauchy sur E (pour T) ; il existe un entier k tel que, pour tout N ∈ 𝔉 et tout voisinage V de 0 dans E, Eₖ rencontre N + V. 07ER
Proposition 9 Supposons que, pour chaque entier n, la topologie induite sur Eₙ par Tₙ₊₁ soit identique à Tₙ. Dans ces conditions : (i) Pour tout n, la topologie induite par T sur Eₙ est identiqu… 07ES
Lemme 2 Soient F un espace localement convexe, M un sous-espace vectoriel de F, V un voisinage convexe de 0 dans M. Il existe alors un voisinage convexe W de 0 dans F tel que W ∩ M = V. En… 07ET
Remarque 1 Supposons que E soit réunion d’une famille filtrante croissante non dénombrable de sous-espaces (E_α)_α ∈ I, chaque E_α étant muni d’une topologie localement convexe T_α telle que… 07EU
Remarque 2 Soit F un espace localement convexe, réunion d’une suite croissante (Fₙ) de sous-espaces vectoriels, et pour chaque indice n, soit Tₙ la topologie induite sur Fₙ par la topologie T… 0E4O
Remarque 3 Supposons que E soit limite inductive stricte de la suite (Eₙ); si F est un sous-espace vectoriel fermé de E (pour T), il peut se faire que la limite inductive stricte des topologi… 0E4P
Proposition 10 Soient E, F deux espaces localement convexes. On suppose que : ↩ 1 07EV
Corollaire Les hypothèses sur E et F étant les mêmes que dans la prop. 10, et E étant supposé séparé, toute application continue surjective v de F dans E est un morphisme strict. 07EW
Proposition 11 Soit E un espace localement convexe métrisable. Il existe dans E une distance invariante par translation, définissant la topologie de E, et pour laquelle les boules ouvertes soient… 07EX
Proposition 12 Soient E et F des espaces de Fréchet et u une application linéaire continue de E sur F. Il existe une section continue, non nécessairement linéaire, de u. 07EY
Corollaire Si L est une partie compacte de F, il existe une partie compacte K de E telle que u(K) = L. Il suffit de poser K = s(L), où s est une section continue de u. 07EZ
Remarque 1 Le corollaire de la prop. 12 peut aussi se déduire du th. 1 de I, p. 17 et de la prop. 18 de TG, IX, p. 22. 07F0
Remarque 2 Conservons les notations de la prop. 12. Soit p une semi-norme continue sur E ; pour tout y ∈ F, posons q(y) = inf_u(x) = y p(x), de sorte que q est une semi-norme continue sur F (… 0E4Q

§ 5. Séparation des ensembles convexes

Théorème 1 (Hahn-Banach) Soient E un espace vectoriel topologique, A un ensemble ouvert convexe non vide dans E, M une variété linéaire non vide ne rencontrant pas A. Il existe alors un hyperplan fermé H c… 07FI
Remarque 1 Lorsque 0 ∈ M, le th. 1 peut encore s’énoncer de la façon suivante : il existe une forme linéaire g continue dans E, telle que g(x) = 0 dans M et g(x) > 0 dans A (II, p. 9, prop. 4… 07FJ
Remarque 2 Si l’on applique le th. 1 au cas où E est muni de la topologie localement convexe la plus fine (II, p. 27, Exemple 2), et si pour simplifier on suppose que 0 ∈ A, on obtient le rés… 07FK
Définition 1 Deux parties non vides A, B d’un espace vectoriel topologique réel E sont dites séparées par un hyperplan fermé H, si A est contenu dans un des demi-espaces fermés déterminés par H… 07FL
Définition 2 Deux parties non vides A, B d’un espace vectoriel topologique réel E sont dites strictement séparées par un hyperplan fermé H, si A est contenu dans un des demi-espaces ouverts dét… 07FM
Proposition 1 Dans un espace vectoriel topologique réel E, soient A un ensemble ouvert convexe non vide, et B un ensemble convexe non vide ne rencontrant pas A ; il existe alors un hyperplan fer… 07FN
Remarque 1 L’hyperplan H ne rencontre pas A (II, p. 16, prop. 17) ; si A et B sont deux ensembles convexes ouverts non vides sans point commun, il existe donc un hyperplan fermé qui sépare st… 07FO
Remarque 2 Par contre, lorsque B n’est pas ouvert, il n’existe pas nécessairement d’hyperplan fermé séparant strictement A et B, même si E est de dimension finie, et si overlineA et overlineB… 0E4R
Définition 3 Dans un espace vectoriel E, on appelle hyperplan d’appui d’une partie A de E, un hyperplan H contenant au moins un point de A et tel que tous les points de A soient d’un même côté… 07FP
Proposition 2 Soient E un espace vectoriel topologique, A un ensemble compact non vide dans E. Pour tout hyperplan fermé H dans E, il existe un hyperplan d’appui de A parallèle à H. 07FQ
Proposition 3 Dans un espace vectoriel topologique E, soit A un ensemble convexe fermé d’intérieur non vide. Tout hyperplan d’appui de A est fermé, et tout point frontière de A appartient à un h… 07FR
Proposition 4 Soient E un espace localement convexe, A un ensemble convexe fermé non vide dans E, K un ensemble convexe compact non vide dans E, ne rencontrant pas A. Il existe alors un hyperpla… 07FS
Remarque Si A et B sont deux ensembles convexes fermés non vides sans point commun dans un espace localement convexe séparé E, il existe un hyperplan fermé qui les sépare lorsque E est de d… 07FT
Corollaire 1 Dans un espace localement convexe, tout ensemble convexe fermé A est l’intersection des demi-espaces fermés qui le contiennent. 07FU
Corollaire 2 Dans un espace localement convexe séparé, tout ensemble convexe compact A est l’intersection des demi-espaces fermés qui le contiennent et qui sont déterminés par les hyperplans d’… 07FV
Corollaire 3 Dans un espace localement convexe, l’adhérence de toute variété linéaire M est l’intersection des hyperplans fermés qui contiennent M. 07FW
Corollaire 4 Soit C un ensemble convexe fermé dans un espace localement convexe E. Pour qu’une partie A de E soit contenue dans C, il faut et il suffit que, pour toute fonction numérique affine… 07FX
Corollaire 5 Dans un espace localement convexe E, l’adhérence de tout cône convexe C de sommet 0 est l’intersection de demi-espaces fermés contenant C déterminés par des hyperplans fermés passa… 07FY
Lemme 1 Si un cône A de sommet 0 est contenu dans un demi-espace ouvert déterminé par un hyperplan H, il est contenu dans un demi-espace fermé déterminé par l’hyperplan H₀ parallèle à H et… 07FZ
Proposition 5 Soient X un ensemble convexe fermé dans un espace localement convexe. Alors toute fonction convexe semi-continue inférieurement f dans X est l’enveloppe supérieure d’une famille de… ↩ 1 07G0
Remarque 1 Il résulte de la prop. 5 que f est l’enveloppe supérieure d’une famille filtrante croissante de fonctions qui sont des restrictions à X de fonctions convexes continues dans E. 07G1
Remarque 2 Supposons de plus que X soit un cône (convexe fermé) de sommet 0 et que f soit positivement homogène. Alors f est l’enveloppe supérieure d’une famille de fonctions qui sont des res… 07G2
Remarque 3 La restriction à X d’une fonction affine continue dans E est une fonction affine (i.e. à la fois concave et convexe (II, p. 18)) dans X ; mais il peut exister des fonctions continu… 07G3
Proposition 6 Soient E un espace localement convexe séparé, X un ensemble convexe compact dans E, f une fonction affine semi-continue supérieurement dans X. Soit L l’ensemble des restrictions à… 07G4
Corollaire Soit f une fonction affine continue dans X ; il existe alors une suite (hₙ) d’éléments de L qui converge uniformément vers f dans X. 07G5

§ 6. Topologies faibles

Proposition 1 Soient F, G deux espaces vectoriels réels, B une forme bilinéaire sur F × G. Soient 07H0
Exemple 1 Soient E un espace vectoriel, E son dual. La forme bilinéaire canonique (x, x) ↦ ⟨x, x⟩ sur E × E (A, II, p. 41) met E et E en dualité séparante : en effet, (D₂) est vérifiée par d… 07H1
Exemple 2 Lorsque E est un espace vectoriel de dimension infinie, E’ un sous-espace vectoriel de E, la dualité entre E et E’ définie par la restriction à E × E’ de la forme bilinéaire canoni… 0E4S
Définition 1 On appelle dual d’un espace vectoriel topologique E le sous-espace E' du dual E de l’espace vectoriel E, constitué par les formes linéaires continues sur E. 07H2
Remarque 1 Lorsque E est un espace vectoriel topologique, le dual E de l’espace vectoriel E sera parfois appelé le dual algébrique de E pour éviter des confusions. On notera d’ailleurs que E… 07H3
Remarque 2 Le dual E' d’un espace vectoriel topologique n’est pas lui-même muni d’une topologie, à moins que cela n’ait été expressément mentionné. 0E4T
Remarque 3 Si F et G ⊂ F^* sont en dualité séparante pour la forme bilinéaire canonique, il en est de même de F et G₁ pour tout sous-espace G₁ de F^* tel que G ⊂ G₁. 0E4U
Définition 2 Soient F, G deux espaces vectoriels mis en dualité par une forme bilinéaire B. On appelle topologie faible sur F définie par la dualité entre F et G, et l’on note σ(F, G), la topol… 07H4
Proposition 2 Pour que la topologie faible σ(F, G) soit séparée, il faut et il suffit que la dualité entre F et G soit séparante en F. C’est un cas particulier de II, p. 4, prop. 2. 07H5
Proposition 3 Soient F, G deux espaces vectoriels réels en dualité. Toute forme linéaire sur F, continue pour σ(F, G), peut s’écrire x ↦ ⟨ x, y ⟩ pour un y ∈ G. L’élément y ∈ G est unique lorsqu… 07H6
Corollaire 1 Pour qu’une famille (aᵢ) de points de F soit totale pour la topologie σ(F, G), il faut et il suffit que, pour tout y ≠ 0 dans G, il existe un indice i tel que ⟨ aᵢ, y ⟩ ≠ 0. Cela e… 07H7
Corollaire 2 Pour qu’une famille (aᵢ) de points de F soit topologiquement libre pour la topologie σ(F, G), il faut et il suffit que, pour tout indice i, il existe un élément bᵢ ∈ G tel que l’on… 07H8
Corollaire 3 Soient G₁, G₂ deux sous-espaces vectoriels de F^*, en dualité avec F (pour la restriction de la forme bilinéaire canonique). Pour que σ(F, G₂) soit plus fine que σ(F, G₁), il faut… 07H9
Corollaire 4 Soient F un espace vectoriel, G un sous-espace vectoriel du dual F. Pour que F et G soient en dualité séparante (pour la forme bilinéaire canonique), il faut et il suffit que G soi… 07HA
Définition 2 Soient F et G deux espaces vectoriels (réels) en dualité. Pour toute partie M de F, on appelle polaire de M dans G l’ensemble des y ∈ G tels que l’on ait ⟨ x, y ⟩ ≥ -1 pour tout x… 07HB
Proposition 4 (i) Pour toute partie M de F, l’ensemble polaire M^∘ contient 0 et c’est un ensemble convexe, fermé dans G pour la topologie σ(G, F). 07HC
Théorème 1 (Théorème des bipolaires) Soient F, G deux espaces vectoriels réels en dualité. Pour toute partie M de F, l’ensemble polaire M^∘∘ dans F de l’ensemble polaire M^∘ de M dans G est l’enveloppe fermée convexe… 07HD
Corollaire 1 Pour toute famille (M_α) de parties de F, convexes, fermées (pour σ(F, G)) et contenant 0, l’ensemble polaire de l’intersection M = ⋂_α M_α est l’enveloppe fermée convexe (pour σ(G… 07HE
Corollaire 2 Pour tout sous-espace vectoriel M de F, le sous-espace M^∘∘ est l’adhérence de M pour la topologie σ(F, G). 07HF
Remarque Tout voisinage de 0 dans G pour σ(G, F) contient un voisinage V défini par un nombre fini d’inégalités de la forme |⟨ xᵢ, y ⟩| ≤ 1 (1 ≤ i ≤ n), où les xᵢ sont des points arbitraire… 07HG
Corollaire 3 Soient E un espace localement convexe, T sa topologie, E' son dual (II, p. 45, déf. 1). 07HH
Proposition 5 Soit u une application linéaire de F dans F₁. Les propriétés suivantes sont équivalentes : 07HI
Remarque Supposons la dualité entre F et G séparante en G et la dualité entre F₁ et G₁ séparante en G₁. Si on identifie G et G₁ à des sous-espaces de F^* et F₁^* respectivement, les conditi… 07HJ
Corollaire Supposons la dualité entre F et G séparante en G. Si u est une application linéaire de F dans F₁, continue pour σ(F, G) et σ(F₁, G₁), sa transposée est une application linéaire de… 07HK
Proposition 6 On suppose que la dualité entre F et G (resp. F₁ et G₁) est séparante en G (resp. F₁). Soit u une application linéaire de F dans F₁, continue pour σ(F, G) et σ(F₁, G₁). Soient A un… 07HL
Corollaire 1 Avec les notations de la prop. 6, la relation u(A) ⊂ A₁ entraîne 'u(A₁^∘) ⊂ A^∘; si en outre A₁ est convexe, fermée (pour σ(F₁, G₁)) et contient l’origine, ces deux relations sont… 07HM
Corollaire 2 Soit u une application linéaire de F dans F1, continue pour σ(F, G) et σ(F1, G1). On a alors : 07HN
Proposition 7 Soient F, G deux espaces vectoriels en dualité, M un sous-espace vectoriel de F, N un sous-espace vectoriel de G, tels que M et N soient orthogonaux (ce qui équivaut à dire que N ⊂… 07HO
Remarque Pour que la dualité entre M et G/N (où M et N sont deux sous-espaces orthogonaux) soit séparante en M, il faut et il suffit que M ∩ G^∘ = 0; pour qu’elle soit séparante en G/N, il… 0E4V
Corollaire 1 Supposons que la dualité entre F et G soit séparante en F. Pour qu’un sous-espace vectoriel M de F soit tel que σ(G/M^∘, M) soit identique à la topologie quotient par M^∘ de la top… 07HQ
Corollaire 2 Si M est de dimension finie n et la dualité séparante en F, M^∘ est de codimension n dans G. Si M est fermé pour σ(F, G) et de codimension finie n dans F et la dualité séparante en… 07HR
Corollaire 3 Soient (F, G), (F₁, G₁) deux couples d’espaces en dualité séparante, u une application linéaire de F dans F₁, continue pour σ(F, G) et σ(F₁, G₁). Pour que u soit un morphisme stric… 07HS
Corollaire 4 Soient (F, G), (F₁, G₁) deux couples d’espaces en dualité séparante, u une application linéaire de F dans F1, continue pour σ(F, G) et σ(F1, G1). Pour que u soit surjective, il fau… 07HT
Remarque 1 Soient (F₁, G₁), (F₂, G₂), (F₃, G₃) trois couples d’espaces en dualité séparante et considérons une suite de deux applications linéaires 07HP
Remarque 2 On se gardera de croire que lorsque u est un morphisme strict de F dans F₁, tᵘ soit nécessairement un morphisme strict de G₁ dans G; autrement dit, u peut être un morphisme strict… 07HU
Proposition 8 Soit (Fᵢ, Gᵢ)_i ∈ I une famille de couples d’espaces vectoriels en dualité. Soient F = ∏_i ∈ I Fᵢ l’espace produit des Fᵢ, G = ⨁_i ∈ I Gᵢ l’espace somme directe des Gᵢ. Si, pour to… 07HV
Remarque Pour que la dualité entre F et G soit séparante en F (resp. en G), il faut et il suffit que, pour tout i ∈ I, la dualité entre Fᵢ et Gᵢ soit séparante en Fᵢ (resp. Gᵢ). Si la duali… 07HW
Corollaire 1 Soient F et G deux espaces vectoriels en dualité séparante. Si l’espace F (muni de σ(F, G)) est somme directe topologique de deux sous-espaces M, N, l’espace G (muni de σ(G, F)) es… 07HX
Corollaire 2 Soient F un espace vectoriel, F^* son dual, (eᵢ)_i ∈ I une base de F, u : R⁽ᴵ⁾ → F l’isomorphisme (algébrique) défini par cette base. Alors l’application transposée 'u : F^* → Rᴵ e… 07HY
Proposition 9 Soient F, G deux espaces vectoriels en dualité séparante. Si hatF est le complété de l’espace F pour la topologie σ(F, G), et si l’on considère l’injection canonique j : F → G^*, o… 07HZ
Proposition 10 Soient G un espace vectoriel réel, F = G^* son dual muni de la topologie σ(G^*, G). 07I0
Lemme 1 Soient E un espace faible séparé, C un cône convexe saillant de sommet 0 dans E, complet pour la structure uniforme induite par celle de E. Toute forme linéaire continue dans E est… 07I1
Proposition 11 Soient E un espace faible séparé, C un cône convexe saillant de sommet 0 dans E, complet pour la structure uniforme induite par celle de E. Il existe un ensemble I et une applicati… 07I2
Corollaire 1 Soient E un espace faible séparé, C un cône convexe saillant de sommet 0 dans E, complet pour la structure uniforme induite par celle de E. L’application (x, y) ↦ x + y de C × C da… 07I3
Corollaire 2 Soient E un espace faible séparé, C un cône convexe saillant de sommet 0 dans E, complet pour la structure uniforme induite par celle de E. (i) Pour tout point a de E, l’intersecti… 07I4

§ 7. Points extrémaux et génératrices extrémales

Définition 1 Soit A un ensemble convexe dans un espace affine E. On dit qu’un point x ∈ A est point extrémal de A s’il n’existe aucun segment ouvert contenu dans A et contenant x. 07IP
Exemple 1 Dans l’espace Rⁿ, tous les points de la sphère Sₙ₋₁ sont des points extrémaux de la boule fermée Bₙ. En effet, si ∑ᵢ yᵢ² ≤ 1,\ ∑ᵢ zᵢ² ≤ 1 et 0 < λ < 1, la relation λ² ∑ᵢ yᵢ² + (1 -… 07IQ
Exemple 2 Dans l’espace normé B(N) des suites bornées de nombres réels (I, p. 4) les points extrémaux de la boule unité sont les points x = (ξₙ) tels que |ξₙ| = 1 pour tout n. En effet, supp… 07IR
Exemple 3 Soit u : E → E' une application affine d’un espace affine E dans un espace affine E'; soient C ⊂ E, C' ⊂ E' deux ensembles convexes tels que u(C) ⊂ C'. Si x' est un point extrémal… 07IS
Proposition 1 Soient E un espace localement convexe séparé, A un ensemble convexe compact non vide dans E, B l’ensemble des points extrémaux de A, f une fonction convexe définie dans A et semi-c… 07IT
Corollaire Soient E un espace localement convexe séparé, A un ensemble convexe compact dans E. Tout hyperplan d’appui fermé H de A contient au moins un point extrémal de A. 07IU
Théorème 1 (Krein-Milman) Dans un espace localement convexe séparé E, tout ensemble convexe compact A est l’enveloppe fermée convexe de l’ensemble de ses points extrémaux. 07IV
Proposition 2 Soient A un ensemble convexe compact dans un espace localement convexe séparé E, x un point extrémal de A. Pour tout voisinage ouvert V de x dans E, il existe un demi-espace ouvert… 07IW
Corollaire Dans un espace localement convexe séparé, soient A un ensemble convexe compact, K une partie compacte de A. Les conditions suivantes sont équivalentes : 07IX
Remarque 1 Même dans un espace vectoriel E de dimension finie, l’ensemble des points extrémaux d’un ensemble convexe compact n’est pas nécessairement fermé (II, p. 94, exerc. 11). 07IY
Remarque 2 Dans un espace localement convexe séparé non complet, si K est un ensemble compact dont l’enveloppe fermée convexe A ne soit pas compacte, il peut y avoir des points extrémaux de A… 07IZ
Remarque 3 Dans un espace de Banach E de dimension infinie, il peut se faire que la boule fermée de centre 0 et de rayon 1 ne possède aucun point extrémal (II, p. 94, exerc. 14). 07J0
Remarque 4 Si A est un ensemble convexe compact dans un espace localement convexe séparé, il peut se faire qu’un point extrémal de A n’appartienne à aucun hyperplan d’appui de A (II, p. 83, e… 07J1
Définition 2 Dans un espace vectoriel E, soit C un cône convexe de sommet 0. On dit qu’une demi-droite D ⊂ C d’origine 0 est une génératrice extrémale de C si tout segment ouvert contenu dans C… 07J2
Remarque 1 Soit C un cône convexe pointé saillant dans E, et considérons sur E la structure d’ordre pour laquelle C est l’ensemble des éléments geqslant 0 (II, p. 13, prop. 13); pour qu’un él… 07J3
Proposition 3 Dans un espace vectoriel E, soient C un cône convexe de sommet 0, x₀ ≠ 0 un point de C, D une demi-droite contenue dans C, d’origine 0 et contenant x₀, H un hyperplan contenant x₀… 07J4
Définition 3 Soit C un ensemble convexe dans un espace vectoriel topologique séparé E. On appelle chapeau de C toute partie convexe compacte non vide A de C telle que le complémentaire C - A de… 07J5
Proposition 4 Soient E un espace localement convexe séparé, C un cône convexe pointé de sommet 0 dans E. 07J6
Corollaire 1 Soient E un espace localement convexe séparé, C un cône convexe pointé de sommet 0 dans E, A un chapeau de C, p la jauge de A. Les points extrémaux de A sont alors : le point 0, et… 07J7
Corollaire 2 Tout point de C qui appartient à un chapeau de C appartient à l’enveloppe fermée convexe de la réunion des génératrices extrémales de C. 07J8
Proposition 5 Soient E un espace faible séparé, C un cône convexe saillant de sommet 0 dans E ; on suppose que C est complet pour la structure uniforme induite par celle de E, et que 0 admet un… 07J9
Remarque 2 Il existe des cônes convexes saillants faiblement complets qui n’ont aucune génératrice extrémale (II, p. 97, exerc. 31). 07JA
Proposition 6 Soient E un espace localement convexe séparé, K un ensemble convexe compact dans E, ne contenant pas 0. Alors le plus petit cône pointé C de sommet 0 contenant K est un cône convex… 07JB
Exemple 1 Dans un espace vectoriel de dimension finie E, tout cône convexe fermé saillant a une semelle compacte. En effet, en vertu de II, p. 56, prop. 11, on peut se borner au cas où E = R… 07JC
Exemple 2 \ Si X est un espace compact, le cône M₊(X) des mesures positives sur X, muni de la topologie vague, est un cône à semelle compacte (INT, III, 2e éd., § 1, no 9, cor. 3 de la prop… 07JD

§ 8. Espaces localement convexes complexes

Remarque Étant donné un espace vectoriel topologique F sur R, il n’existe pas toujours d’automorphisme u de F de carré -1_F : par exemple, on ne peut pas définir de structure d’espace vecto… 07KJ
Théorème 1 (Hahn-Banach) Soient p une semi-norme sur un espace vectoriel complexe E, V un sous-espace vectoriel de E, f une forme linéaire (complexe) sur V telle que |f(y)| ≤ p(y) pour tout y ∈ V. Alors il… 07KK
Corollaire 1 Soient E un espace vectoriel topologique complexe, x₀ un point de E, p une semi-norme continue dans E; il existe une forme linéaire continue (complexe) f définie dans E, telle que… 07KL
Corollaire 2 Soient E un espace localement convexe complexe, V un sous-espace vectoriel de E, f une forme linéaire (complexe) définie et continue dans V; il existe alors une forme linéaire cont… 07KM
Corollaire 3 Soient E un espace localement convexe complexe séparé, M un sous-espace vectoriel de E de dimension finie. Il existe alors un sous-espace vectoriel fermé N de E, supplémentaire top… 07KN
Proposition 1 Soient E un espace vectoriel topologique complexe, A un ensemble ouvert convexe non vide dans E, M une variété linéaire (complexe) non vide ne rencontrant pas A. Il existe alors un… 07KO
Corollaire Dans un espace localement convexe complexe E, toute variété linéaire complexe fermée M est l’intersection des hyperplans complexes fermés qui la contiennent. 07KP
Proposition 2 Soient E un espace vectoriel topologique complexe, A un ensemble ouvert convexe équilibré non vide, B un ensemble convexe non vide ne rencontrant pas A. Il existe alors une forme l… 07KQ
Proposition 3 Soient E un espace localement convexe complexe, A un ensemble fermé convexe équilibré dans E, K un ensemble convexe compact non vide dans E, ne rencontrant pas A. Il existe alors u… 07KR
Définition 1 Soient F et G deux espaces vectoriels complexes en dualité. Pour toute partie M de F, on appelle polaire de M dans G et on note M^∘ l’ensemble des y ∈ G tels que l’on ait Re(⟨ x, y… 07KS

III. Espaces d’applications linéaires continues

§ 1. Bornologie dans un espace vectoriel topologique

Définition 1 On appelle bornologie sur un ensemble E une partie B de l’ensemble des parties de E satisfaisant aux conditions suivantes (cf. TG, X, p. 3, Remarque 2) : (B1) Toute partie d’un ens… 07KW
Exemple Soit E un espace métrique ; l’ensemble des parties bornées de E (TG, IX, p. 14) est une bornologie couvrante sur E. Soit G le groupe des isométries de E ; l’ensemble des parties M… 07KX
Définition 2 Soit E un espace vectoriel. On dit qu’une bornologie B sur E est convexe si, quels que soient X ∈ B et t ∈ K, l’homothétique tX et l’enveloppe convexe équilibrée Γ(X) (II, p. 10) d… 07KY
Définition 3 Soit E un espace vectoriel topologique. On dit qu’une partie A de E est bornée si elle est absorbée par tout voisinage de 0 dans E (I, p. 7, déf. 4). 07KZ
Remarque 1 Si E est un espace semi-normé, les boules forment un système fondamental de voisinages bornés de 0 dans E. Inversement, si E est un espace vectoriel topologique localement convexe… 07L0
Remarque 2 Soit M un sous-espace vectoriel de E, muni de la topologie induite. Pour qu’une partie de M soit bornée dans M, il faut et il suffit qu’elle soit bornée dans E. 0E4W
Remarque 3 Soit N l’intersection des voisinages de 0 dans E, de sorte que tildeE = E/N est l’espace vectoriel séparé associé à E. Alors N est bornée; si π : E → tildeE est l’homomorphisme can… 0E4X
Remarque 4 Si E est un espace localement convexe séparé, pour tout x ≠ 0 dans E, il existe une semi-norme continue p telle que p(x) ≠ 0; cette semi-norme n’est pas bornée sur la demi-droite r… 0E4Y
Définition 4 Soit E un espace localement convexe. On dit qu’une bornologie B sur E est adaptée à E si elle est convexe, composée de parties bornées de E, et si l’adhérence de tout ensemble de B… 07L1
Proposition 1 Soit E un espace localement convexe. L’ensemble des parties bornées de E est une bornologie adaptée. 07L2
Définition 5 Soit E un espace localement convexe. On appelle bornologie canonique de E l’ensemble des parties bornées de E. 07L3
Proposition 2 Dans un espace localement convexe E, tout ensemble précompact est borné. 07L4
Corollaire Dans un espace localement convexe, l’ensemble des points d’une suite de Cauchy est borné. 07L5
Remarque 5 En général, les parties bornées d’un espace localement convexe E ne sont pas toutes précompactes (par exemple, si E est un espace normé de dimension infinie, sa boule unité n’est p… 07L6
Proposition 3 Soit A une partie d’un espace localement convexe E. Si A est bornée, pour toute suite (xₙ) de points de A et toute suite (λₙ) de scalaires tendant vers 0, la suite (λₙ xₙ) tend ver… 07L7
Corollaire Pour qu’une partie A de E soit bornée, il faut et il suffit que toute partie dénombrable de A le soit. 07L8
Proposition 4 Soient E et F deux espaces localement convexes, et f : E → F une application continue. On suppose que f(0) = 0 et qu’il existe un nombre réel m ≥ 0 tel que f(λ x) = λᵐ f(x) pour to… 07L9
Corollaire 1 Soient E et F deux espaces localement convexes, et u : E → F une application linéaire continue. Si A est une partie bornée de E, u(A) est bornée dans F. 07LA
Corollaire 2 Soit E = ∏_i ∈ I Eᵢ le produit d’une famille d’espaces localement convexes. Pour qu’une partie de E soit bornée, il faut et il suffit que toutes ses projections le soient. 07LB
Corollaire 3 Soient E un espace vectoriel, (Fᵢ)_i ∈ I une famille d’espaces localement convexes et fᵢ une application linéaire de E dans Fᵢ (pour i ∈ I). Munissons E de la topologie (localement… 07LC
Corollaire 4 Soient Eᵢ (1 ≤ i ≤ n) et F des espaces localement convexes, et f une application multilinéaire continue de ∏ᵢ₌₁ⁿ Eᵢ dans F. Si Bᵢ est une partie bornée de Eᵢ pour 1 ≤ i ≤ n, alors… 07LD
Corollaire 5 Soient E et F deux espaces localement convexes, et u : E → F une application polynomiale continue. Si A est une partie bornée de E, u(A) est bornée. 07LE
Proposition 5 Soit (Eᵢ)_i ∈ I une famille d’espaces localement convexes séparés, et soit E la somme directe topologique de cette famille (II, p. 32). Pour qu’une partie B de E soit bornée, il fa… 07LF
Proposition 6 Soit E un espace localement convexe limite inductive stricte d’une suite croissante (Eₙ) de sous-espaces vectoriels fermés de E (II, p. 36). Pour qu’une partie B de E soit bornée… 07LG
Proposition 7 Soit (Eₙ)_n ≥ 0 une suite d’espaces localement convexes séparés, et pour chaque n, soit uₙ : Eₙ → Eₙ₊₁ une application linéaire injective compacte (i.e. telle qu’il existe un voisi… 07LH
Lemme 1 Sous les hypothèses de la prop. 7, la topologie de E est la plus fine rendant continues les applications vₙ : Eₙ → E. 07LI
Remarque 1 Avec les notations ci-dessus, soit Fₙ l’espace vectoriel engendré par Hₙ, muni de la norme égale à la jauge de Hₙ. Nous verrons (III, p. 8, cor.) que Fₙ est un espace de Banach ; l… 07LJ
Remarque 2 Soient F un espace localement convexe, k un entier ≥ 0 et f : Eᵏ → F une application multilinéaire. Pour que f soit continue, il faut et il suffit que la restriction de f à Eₙᵏ soi… ↩ 2 07LK
Proposition 8 Soit E un espace localement convexe séparé et soit A une partie convexe, équilibrée, bornée et fermée de E. Soit (xₙ) une suite de Cauchy de E_A. Pour qu’elle converge dans E_A, il… 07LL
Corollaire Si A est semi-complète (en particulier, complète), alors E_A est un espace de Banach. En effet, une suite de Cauchy de E_A est aussi une suite de Cauchy pour la topologie de E et e… 07LM
Définition 6 On dit qu’un espace localement convexe E est quasi-complet si toute partie bornée et fermée de E est complète (pour la structure uniforme induite par celle de E). 07LN
Proposition 9 (i) Un sous-espace vectoriel fermé d’un espace localement convexe quasi-complet est quasi-complet. (ii) Un produit d’espaces localement convexes quasi-complets est quasi-complet. (… 07LO
Proposition 10 Soient E un espace localement convexe, M un sous-espace vectoriel de E tel que tout point de E soit adhérent à une partie bornée de M. Alors toute application linéaire continue f d… 07LP

§ 2. Espaces bornologiques

Lemme 1 Soient G un espace semi-normé, p sa semi-norme, et soit u une application linéaire de G dans E. Les conditions suivantes sont équivalentes : 07M8
Proposition 1 Les conditions suivantes sont équivalentes : 07M9
Définition 1 On dit qu’un espace localement convexe est bornologique s’il satisfait aux conditions équivalentes de la prop. 1. 07MA
Exemple 1 Tout espace semi-normé est bornologique. 0E4Z
Exemple 2 En particulier, tout espace localement convexe de dimension finie est bornologique. 0E50
Exemple 3 Compte tenu de la transitivité des topologies localement convexes finales (II, p. 30, cor. 2), on déduit aussitôt de la condition (ii bis) que si (Ei){i \in I} est une famille d’es… 0E51
Corollaire Tout espace bornologique séparé et semi-complet est limite inductive d’espaces de Banach. 07MC
Proposition 2 Un espace localement convexe métrisable est bornologique. 07MD
Corollaire Tout espace de Fréchet (II, p. 26) est limite inductive d’espaces de Banach. 07ME

§ 3. Espaces d’applications linéaires continues

Remarque 1 La 𝔖-topologie est identique à la 𝔖'-topologie, où 𝔖' désigne la bornologie engendrée par 𝔖 (III, p. 1). 07MJ
Remarque 2 Soit M ∈ 𝔖 et soit V un voisinage de 0 dans F; notons T(M, V) l’ensemble des f ∈ Fᴱ telles que f(x) ∈ V pour tout x ∈ M. Si 𝔖 est stable par réunion finie, les ensembles T(M, V) fo… ↩ 1 07MQ
Proposition 1 Soient E un ensemble, 𝔖 un ensemble de parties de E, F un espace vectoriel topologique, H un sous-espace vectoriel de Fᴱ. Pour que la 𝔖-topologie soit compatible avec la structure… 07MK
Corollaire Soient E et F deux espaces localement convexes, 𝔖 un ensemble de parties bornées de E, L(E; F) l’espace vectoriel des applications linéaires continues de E dans F. La 𝔖-topologie e… 07ML
Exemple 1 S est l’ensemble des parties finies de E ; la S-topologie est alors la topologie de la convergence simple et l’espace L_S(E ; F) est aussi noté Lₛ(E ; F). Une partie bornée de Lₛ(E… 07MM
Exemple 2 S est l’ensemble des parties compactes (resp. précompactes, convexes compactes). La S-topologie est alors appelée la topologie de la convergence compacte (resp. précompacte, convex… 07MN
Exemple 3 Si S est l’ensemble de toutes les parties bornées de E, on dit que la S-topologie est la topologie de la convergence bornée, et l’espace L_S(E ; F) est noté L_b(E ; F). 07MO
Exemple 4 Lorsque F = K, l’espace L(E ; F) est le dual E' de E. On note alors E'_S, E'ₛ, etc. l’espace L_S(E ; K), Lₛ(E ; K), etc. L’espace E'ₛ (resp. E'_b) est appelé le dual faible (resp… ↩ 1 07MP
Remarque 3 Soit A une partie dense de la boule unité de E. Vu la continuité de u, on a aussi 0E52
Remarque 4 La formule (2) montre que l’application u ↦ r(u) est semi-continue inférieurement sur Lₛ(E; F). 0E53
Proposition 2 Soient E et F deux espaces localement convexes, et soit 𝔖 un ensemble de parties bornées de E. 07MR
Proposition 3 Soient E et F deux espaces localement convexes, F étant supposé séparé, et soit 𝔖 un ensemble de parties bornées de E. Si la réunion A des ensembles de 𝔖 est totale dans E, l’espac… 07MS
Proposition 4 Soient E, F deux espaces localement convexes, F étant supposé séparé. Munissons l’espace Fᴱ de toutes les applications de E dans F de la topologie de la convergence simple. 07MT
Corollaire 1 Pour qu’une partie équicontinue H de L(E; F) soit relativement compacte dans Lₛ(E; F), il faut et il suffit que, pour tout x ∈ E, l’ensemble H(x) des u(x), où u parcourt H, soit re… 07MU
Corollaire 2 Toute partie équicontinue du dual E' de E est relativement compacte pour la topologie faible σ(E', E) de E' (III, p. 14, Exemple 4). 07MV
Corollaire 3 Dans le dual fort E'_b d’un espace semi-normé E, toute boule fermée est compacte pour la topologie faible σ(E', E). 07MW
Proposition 5 Soient E et F deux espaces localement convexes et soit T une partie totale de E. Sur toute partie équicontinue H de L(E; F), les structures uniformes suivantes coïncident : 07MX
Exemple 1 Soit μ la mesure de Lebesgue sur R et soit E l’espace semi-normé Lᵖ(μ) (1 ≤ p < ∞) (INT, IV). Pour toute fonction numérique f et tout nombre réel h, notons fₕ la fonction x ↦ f(x -… 07MY
Exemple 2 Soit E l’espace des fonctions numériques continues dans R, muni de la topologie de la convergence compacte. Soit K un compact de R et soit (μₙ) une suite de mesures sur R à support… 0E54
Corollaire Supposons F séparé. Soit H une partie équicontinue de L(E; F). Si un filtre Φ sur H converge simplement vers une application u₀ de E dans F, u₀ est une application linéaire continu… 07MZ
Proposition 6 Soit H une partie équicontinue de L(E; F). Si F est métrisable et s’il existe un ensemble dénombrable total dans E, la structure uniforme sur H de la convergence simple dans E est… 07N0
Corollaire 1 Soient E un espace localement convexe métrisable de type dénombrable et F un espace normé de type dénombrable. Alors L(E; F) est réunion d’une famille dénombrable de parties équico… 07N1
Corollaire 2 Dans le dual E' d’un espace normé de type dénombrable, toute boule fermée est un espace compact métrisable pour la topologie faible σ(E', E) et il existe dans E' un ensemble dénomb… 07N2
Proposition 7 Soit M une partie de E'. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) M est équicontinue ; (ii) M est contenue dans le polaire d’un voisinage de 0 dans E ; (iii) le polaire de… 07N3
Corollaire 1 La topologie de E est identique à la topologie de la convergence uniforme dans les parties équicontinues de E'. 07N4
Corollaire 2 Soit 𝔖 un ensemble de parties bornées de E. La 𝔖-topologie sur L(E; F) est la topologie de la convergence uniforme dans les ensembles de la forme A × B ⊂ E × F', où A décrit 𝔖 et B… 07N5
Proposition 8 Soit H un ensemble d’applications linéaires de E dans un espace localement convexe F. Pour que H soit équicontinu, il faut et il suffit que, pour toute partie équicontinue X du dua… 07N6
Théorème 1 (Grothendieck) Soit E un espace localement convexe, et soit 𝔖 une bornologie adaptée et couvrante sur E. Soit F ⊂ E^* l’espace des formes linéaires sur E dont la restriction à tout ensemble appar… 07N7
Lemme 1 Soit A une partie convexe, équilibrée et fermée de E, et soit u une forme linéaire sur E dont la restriction à A est continue. Pour tout ε > 0, il existe x' ∈ E' tel que |u(x) - ⟨… 07N8
Théorème 2 Soit E un espace localement convexe séparé, et soit hatE son complété ; on identifie E et hatE à des sous-espaces vectoriels de E'^*. Pour qu’un élément f ∈ E'^* appartienne à hatE… 07N9
Corollaire 1 (Banach) — Soit E un espace localement convexe séparé et complet. Pour qu’une forme linéaire sur E' soit continue pour la topologie faible σ(E', E) (c’est-à-dire provienne d’un élément de E… 07NA
Remarque Supposons de plus qu’il existe dans E un ensemble total dénombrable ; alors toute partie équicontinue de E' est métrisable pour la topologie σ(E', E) (III, p. 18, prop. 6) ; pour v… 07NB
Corollaire 2 Soit (Eᵢ)_i ∈ I une famille d’espaces localement convexes séparés et soit E leur somme directe topologique. L’application canonique de la somme directe des hatEᵢ dans hatE est un i… 07NC
Proposition 9 Soient E et F deux espaces localement convexes et soit S un ensemble de parties bornées de E. Toute partie équicontinue de L(E ; F) est bornée pour la S-topologie. 07ND
Proposition 10 Soit E un espace bornologique (en particulier, un espace localement convexe métrisable), et soit F un espace localement convexe. Toute partie H de L(E ; F) qui est bornée pour la t… 07NE
Proposition 11 Soient E et F deux espaces localement convexes, S un recouvrement de E formé de parties bornées. Si F est séparé et quasi-complet (III, p. 8), toute partie équicontinue H de L(E… 07NF
Remarque 1 Soit M un sous-espace uniforme complet de L_𝔖(E; F). Pour tout ensemble de parties bornées 𝔖' ⊃ 𝔖 de E, la 𝔖'-topologie est plus fine que la 𝔖-topologie sur L(E; F); d’autre part… 07NG
Corollaire Soient E et F deux espaces localement convexes, H une partie équicontinue de L(E; F). Si F est séparé et quasi-complet, et si un filtre Φ sur H converge simplement en tous les poin… 07NH
Remarque 2 Soit (uₙ) une suite d’applications linéaires continues d’un espace de Banach E dans un espace de Banach F; il peut se faire que (uₙ(x)) ait une limite en tout point d’un sous-espac… 07NI
Proposition 12 Soient E un espace localement convexe bornologique, F un espace localement convexe séparé et complet et 𝔖 un ensemble de parties bornées de E, contenant l’image de toute suite conv… 07NJ
Corollaire 1 Le dual fort d’un espace bornologique est complet. 07NK
Corollaire 2 Soit E un espace semi-normé et soit F un espace de Banach (resp. de Fréchet). L’espace L_b(E; F) est un espace de Banach (resp. de Fréchet). En particulier, le dual d’un espace sem… 07NL

§ 4. Le théorème de Banach-Steinhaus

Proposition 1 Soit T une partie de E. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) T est convexe, équilibré, fermé et absorbant. (ii) T est le polaire d’un ensemble M convexe, équilibré et f… 07NZ
Corollaire Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) toute partie faiblement bornée de E’ est équicontinue ; (ii) tout ensemble convexe, équilibré, fermé et absorbant dans E est un voi… 07O0
Définition 1 On appelle tonneau dans E tout ensemble T satisfaisant aux conditions équivalentes de la prop. 1. 07O1
Définition 2 On dit que l’espace E est tonnelé s’il satisfait aux conditions équivalentes du corollaire de la prop. 1. 07O2
Scholie Dans le dual d’un espace tonnelé, il y a identité entre ensembles équicontinus, ensembles fortement bornés, ensembles faiblement bornés et ensembles relativement compacts pour la t… 07O3
Proposition 2 Tout espace localement convexe E qui est un espace de Baire (TG, IX, p. 54) est tonnelé. 07O4
Corollaire Tout espace de Fréchet (et en particulier tout espace de Banach) est tonnelé. 07O5
Proposition 3 Soit (Fᵢ)_i ∈ I une famille d’espaces tonnelés, et pour chaque i ∈ I, soit fᵢ une application linéaire de Fᵢ dans un espace vectoriel E. L’espace E, muni de la topologie localement… 07O6
Corollaire 1 Tout espace quotient d’un espace tonnelé est tonnelé. 07O7
Corollaire 2 Soit (Eᵢ)_i ∈ I une famille d’espaces localement convexes, et soit E la somme directe topologique de cette famille. Pour que E soit tonnelé, il faut et il suffit que chacun des Eᵢ… 07O8
Corollaire 3 Toute limite inductive d’espaces tonnelés est un espace tonnelé. 07O9
Théorème 1 Soient E un espace tonnelé, F un espace localement convexe. Toute partie simplement bornée H de L(E; F) est équicontinue. 07OA
Corollaire 1 Soient E et F des espaces de Banach, H un ensemble d’applications linéaires continues de E dans F; si, pour tout x ∈ E, on a sup_u ∈ H |u(x)| < +∞, on a aussi sup_u ∈ H |u| < +∞. 07OB
Corollaire 2 (théorème de Banach-Steinhaus) Soient E un espace tonnelé, F un espace localement convexe séparé et (uₙ) une suite d’applications linéaires continues de E dans F, convergeant simplement vers une application u de… 07OC
Remarque 1 La propriété exprimée par le cor. 2 n’entraîne pas que E soit tonnelé : nous verrons plus loin que le dual fort d’un espace de Fréchet la possède, bien que n’étant pas nécessaireme… 07OD
Remarque 2 Soient E et F deux espaces de Banach et soit (uₙ) une suite d’applications linéaires continues de E dans F telle que sup |uₙ| = +∞. L’ensemble X des x ∈ E tels que sup |uₙ(x)| = +∞… 07OE
Corollaire 3 Soient E un espace tonnelé, F un espace localement convexe séparé, Φ un filtre sur L(E; F) qui converge simplement dans E vers une application u de E dans F. Si Φ contient une part… 07OF
Exemple Soit E l’espace de Banach (sur C) formé des fonctions complexes continues et de période 1 dans R, avec la norme |f| = supₓ |f(x)|. 07OG
Corollaire 4 Soient E et F deux espaces localement convexes, 𝔖 un recouvrement de E formé de parties bornées. Si E est tonnelé et si F est séparé et quasi-complet, l’espace L_𝔖(E ; F) est sépar… 07OH
Corollaire 5 Le dual fort et le dual faible d’un espace tonnelé sont quasi-complets. 07OI
Théorème 2 Soient E un espace localement convexe séparé, F un espace localement convexe, 𝔖 l’ensemble des parties de E convexes, équilibrées, bornées, fermées et semi-complètes (III, p. 7). T… 07OJ
Corollaire 1 Soient E un espace localement convexe séparé, F un espace localement convexe, et 𝔖 un ensemble de parties bornées de E. Si E est semi-complet, toute partie simplement bornée de L(E… 07OK
Corollaire 2 Tout espace bornologique semi-complet est tonnelé. 07OL
Corollaire 3 Soit E un espace localement convexe. Toute partie de E bornée pour σ(E, E') est bornée. 07OM

§ 5. Applications bilinéaires hypocontinues

Définition 1 On dit qu’une application bilinéaire u de E × F dans G est séparément continue si, pour tout x ∈ E, l’application linéaire u(x, .) de F dans G est continue et, pour tout y ∈ F, l’a… 07P9
Proposition 1 Pour qu’une application bilinéaire u de E × F dans G soit séparément continue, il faut et il suffit que, pour tout y ∈ F, l’application linéaire u(., y) de E dans G soit continue… 07PA
Proposition 2 Soient E, F et G trois espaces localement convexes. On suppose E et F métrisables, et E tonnelé. Soit H un ensemble d’applications bilinéaires séparément continues de E × F dans G… 07PB
Corollaire 1 Soient E et F deux espaces de Fréchet, et G un espace localement convexe. Toute application bilinéaire séparément continue de E × F dans G est continue. 07PC
Corollaire 2 Supposons que E et F soient métrisables et que E soit tonnelé. Alors φ est un isomorphisme d’espaces vectoriels topologiques de B(E, F) sur L_b(E; F'_b). 07PD
Proposition 3 Soient E, F, G trois espaces localement convexes, S un ensemble de parties bornées de E. Soit u une application bilinéaire séparément continue de E × F dans G. Les propriétés suiva… 07PE
Définition 2 Soit u une application bilinéaire de E × F dans G. On dit que u est S-hypocontinue si u est séparément continue et si elle vérifie l’une des conditions équivalentes a), b), c) de l… 07PF
Proposition 4 Soit u une application bilinéaire S-hypocontinue de E × F dans G. Pour tout ensemble M ∈ S, la restriction de u à M × F est continue, et u(M × Q) est bornée dans G pour toute parti… 07PG
Proposition 5 Soit u une application bilinéaire (S, T)-hypocontinue de E × F dans G. Pour tout couple d’ensembles M ∈ S, N ∈ T, u est uniformément continue dans M × N. 07PH
Proposition 6 Si F est un espace tonnelé, toute application bilinéaire séparément continue u de E × F dans un espace localement convexe G est S-hypocontinue pour tout ensemble S de parties borné… 07PI
Remarque Supposons que la topologie de F soit la plus fine des topologies localement convexes sur F rendant continues des applications linéaires h_α : F_α → F (II, p. 29). Alors, la conditi… 07PJ
Proposition 7 Soient E, F, G trois espaces localement convexes, G étant supposé séparé ; soit E₀ (resp. F₀) un sous-espace vectoriel dense de E (resp. F). Soit u une application bilinéaire sépar… 07PK
Proposition 8 Soient E, F, G trois espaces localement convexes, G étant supposé séparé et quasi-complet. Soit E0 (resp. F0) un sous-espace vectoriel dense de E (resp. F), S₀ (resp. T₀) un ensemb… 07PL
Proposition 9 Soient R, S, T trois espaces localement convexes séparés. On suppose les espaces L(R; S), L(S; T), L(R; T) munis tous trois de la topologie de la convergence simple (resp. compacte… 07PM
Corollaire 1 Pour toute partie équicontinue H de L(S; T), l’application (u, v) ↦ v ∘ u de L(R; S) × H dans L(R; T) est continue. Cela résulte aussitôt des prop. 9 (III, p. 33) et 4 (III, p. 31)… 07PN
Corollaire 2 On suppose S tonnelé. Si la suite (uₙ) tend vers u dans L(R; S) et la suite (vₙ) vers v dans L(S; T), la suite (vₙ ∘ uₙ) tend vers v ∘ u dans L(R; T). En effet, la suite (vₙ) étant… 07PO

§ 6. Le théorème du graphe borélien

Théorème 1 Soient E un espace localement convexe limite inductive d’espaces de Banach, F un espace localement convexe souslinien, par exemple lusinien (TG, IX, p. 59 et p. 62), et u une appli… 07Q4
Remarque Rappelons (III, p. 12) que tout espace bornologique séparé et semi-complet, par exemple tout espace de Fréchet, est limite inductive d’espaces de Banach. \ Il en est de même du dua… 07Q5
Proposition 1 Soit E un espace localement convexe séparé. On suppose qu’il existe une suite (Eₙ)_n ∈ N d’espaces de Fréchet de type dénombrable, et des applications linéaires continues uₙ : Eₙ →… ↩ 1 07Q6
Exemple 1 Tout espace de Fréchet de type dénombrable est polonais, donc lusinien. Sont par suite lusiniens les espaces C(X) où X est localement compact à base dénombrable (la topologie de C(… 07Q7
Théorème 2 Soit E un espace localement convexe, limite inductive d’une suite croissante (Eₙ)_n ∈ N de sous-espaces de E, munis de topologies d’espaces de Fréchet de type dénombrable. On suppo… 07Q8
Corollaire Les hypothèses sur E étant celles du th. 2, supposons de plus que toute partie bornée de E soit relativement compacte. Alors le dual fort de E est lusinien. En particulier, le dual… 07Q9
Remarque Soit E comme dans le th. 2 ; soit F un espace localement convexe séparé, réunion des images d’une suite d’applications linéaires continues uₙ : Fₙ → F, où chaque Fₙ est un espace d… 07QA
Proposition 2 Soient E un espace de Banach, F un espace localement convexe et u une application linéaire de E dans F. On suppose que, pour toute partie fermée B de F, tout compact X de E et tout… 07QB

IV. La dualité dans les espaces vectoriels topologiques

§ 1. Dualité

Définition 1 On dit qu’une topologie localement convexe T sur E est compatible avec la dualité entre E et F si d_B est une bijection de F sur le dual de l’espace localement convexe obtenu en mu… 07QI
Proposition 1 (i) Les parties convexes fermées dans E sont les mêmes pour toutes les topologies localement convexes sur E compatibles avec la dualité entre E et F. 07QJ
Définition 2 Soient E et F deux espaces en dualité. On appelle topologie de Mackey sur E, et l’on note τ(E, F), la S-topologie sur E, où S est l’ensemble des parties de F dont l’image dans E^*… 07QK
Théorème 1 (Mackey) Soient E et F deux espaces en dualité ; on suppose la dualité séparante en F. Pour qu’une topologie localement convexe T sur E soit compatible avec la dualité entre E et F, il faut… 07QM
Lemme 2 Soit T une topologie localement convexe sur E telle que toute forme linéaire sur E continue pour T appartienne à F. Alors T est moins fine que τ(E, F). 07QO
Corollaire Soit p une semi-norme sur E. Les conditions suivantes sont équivalentes : 07QP
Remarque 2 \ Soient K une partie convexe de F compacte pour la topologie faible σ(F, E) et μ une mesure positive sur K. Posons 07QQ
Exemple Soient G un espace localement convexe et G' son dual. Sur G', la topologie faible σ(G', G) et la topologie de la convergence convexe compacte (III, p. 14) sont compatibles avec la… 07QR
Définition 3 Soient E et F deux espaces vectoriels en dualité. On note β(E, F) la S-topologie, où S est l’ensemble des parties de F qui sont bornées pour σ(F, E). 07QS
Remarque 3 Notons E_σ l’espace E muni de la topologie σ(E, F). Les tonneaux (III, p. 24) dans E_σ sont les parties de E qui sont convexes, équilibrées, fermées pour σ(E, F) et absorbantes. Ce… 0E55
Remarque 4 Soit T une topologie sur E compatible avec la dualité entre E et F. D’après la prop. 1, (ii) de IV, p. 1, la topologie β(F, E) sur F n’est autre que la topologie forte sur F identi… 0E56
Remarque 5 La topologie β(E, F) sur E est plus fine que τ(E, F). Elle n’est pas en général compatible avec la dualité entre E et F (cf. cependant § 2). En particulier, une partie de E bornée… 0E57
Proposition 2 Soit E un espace localement convexe, et soit A une partie convexe de E (par exemple, un sous-espace vectoriel de E). L’adhérence de A est la même pour la topologie initiale et pour… 07QT
Remarque 1 Pour qu’une famille (xᵢ)_i∈ I d’éléments de E soit totale (resp. topologiquement libre) pour la topologie initiale, il faut et il suffit qu’elle le soit pour la topologie affaiblie… 07QU
Remarque 2 Soient T₁ et T₂ deux topologies localement convexes sur E, compatibles avec la dualité entre E et E', T₁ étant plus fine que T₂. Alors tout voisinage de 0 pour T₁ qui est convexe e… 07QV
Remarque 3 Supposons E séparé (pour la topologie initiale). Soit A une partie de E, bornée et fermée pour σ(E, E'), donc aussi pour toute topologie compatible avec la dualité entre E et E'. C… ↩ 1 07QW
Proposition 3 Supposons E séparé, et soit E' son dual. Toute partie de E qui est précompacte pour la topologie initiale, et compacte pour σ(E, E'), est compacte pour la topologie initiale. 07QX
Remarque 4 La topologie β(E, E') (IV, p. 4, déf. 3) est plus fine que la topologie de Mackey. Si β(E, E') est distincte de τ(E, E'), elle n’est pas compatible avec la dualité entre E et E'. L… 07QY
Proposition 4 Soit E un espace localement convexe. La topologie de Mackey sur E est identique à la topologie initiale dans chacun des cas suivants : a) E est tonnelé ; b) E est bornologique ; c)… 07QZ
Proposition 5 Soit u une application linéaire continue de E₁ dans E₂. 07R0
Proposition 6 Soit u une application linéaire de E₁ dans E₂, continue pour les topologies affaiblies. Pour i = 1, 2, soit Sᵢ un ensemble de parties bornées de Eᵢ. Pour que ᵗ u soit une applicati… 07R1
Corollaire Soit u une application linéaire continue de E₁ dans E₂. Alors ᵗ u est continue lorsqu’on munit les duals E'ᵢ des topologies suivantes : a) les topologies faibles σ(E'ᵢ, Eᵢ); b) les… 07R2
Proposition 7 Soit u : E₁ → E₂ une application linéaire. On suppose que u est continue pour les topologies affaiblies de E₁ et E₂. 07R3
Corollaire Supposons que E₁ soit un espace normé. Soit u une application linéaire de E₁ dans E₂. Les propriétés suivantes sont équivalentes: 07R4
Proposition 8 (i) Soit E un espace normé, de dual E'. Pour tout x ∈ E, on a |x| = sup_x' ∈ E', |x'| ≤ 1 |⟨ x, x' ⟩|. (ii) Soient E₁ et E₂ deux espaces normés et u une application linéaire contin… 07R5
Remarque 1 La formule (3) est le cas particulier de (4) correspondant à l’application linéaire λ ↦ λ x de K dans E. 07R6
Remarque 2 Posons B(x, y') = ⟨ u(x), y' ⟩ = ⟨ x, 'u(y') ⟩ pour x ∈ E₁,\ y' ∈ E'₂. La démonstration précédente montre que B est une forme bilinéaire continue sur E₁ × E'₂, de norme (TG, X, p… 07R7
Corollaire Soit E un espace normé de type dénombrable. Il existe une partie dénombrable D de E' - 0 telle que l’on ait 07R8
Proposition 9 (i) Pour qu’une partie A de (E/M)' soit équicontinue, il faut et il suffit que π(A) soit une partie équicontinue de E'. (ii) Soient 𝔖 un ensemble de parties bornées de E, et 𝔖₁ l’e… 07R9
Proposition 10 (i) Pour qu’une partie A de M’ soit équicontinue, il faut et il suffit qu’elle soit l’image par 'i d’une partie équicontinue de E’. 07RA
Remarque On sait (II, p. 51, prop. 7, (ii)) que i est un isomorphisme d’espaces vectoriels topologiques de E'ₛ/M^∘ sur M'ₛ (duals faibles). En ce qui concerne la topologie de la convergence… 07RB
Proposition 11 (i) La topologie affaiblie sur E/M est quotient de celle de E; la topologie affaiblie sur M est induite par celle de E. (ii) La topologie de Mackey sur E/M est quotient de celle de… 07RC
Lemme 3 (i) Pour tout i ∈ I, soit Sᵢ un ensemble de parties de Fᵢ, bornées pour σ(Fᵢ, Eᵢ); posons S = ⋃_i ∈ I Sᵢ. Alors la S-topologie sur E est produit des Sᵢ-topologies sur les Eᵢ. 07RD
Proposition 12 La topologie β(F, E) est somme directe des topologies β(Fᵢ, Eᵢ). La topologie β(E, F) est produit des topologies β(Eᵢ, Fᵢ). 07RE
Proposition 13 La topologie de Mackey τ(F, E) est somme directe des topologies de Mackey τ(Fᵢ, Eᵢ). La topologie τ(E, F) est produit des topologies τ(Eᵢ, Fᵢ). 07RF
Proposition 14 (i) L’application θ est un isomorphisme du dual fort (resp. faible) de S = ⨁_i ∈ I Eᵢ sur le produit des duals forts (resp. faibles) des Eᵢ. (ii) Pour qu’une partie A de S' soit éq… 07RG
Proposition 15 (i) L’application φ est un isomorphisme de la somme directe topologique des duals forts des Eᵢ sur le dual fort de P = ∏_i ∈ I Eᵢ. (ii) Pour qu’une partie A de P' soit équicontinue… 07RH
Corollaire Tout produit d’espaces tonnelés est tonnelé. 07RI

§ 2. Bidual. Espaces réflexifs

Définition 1 Soient E un espace localement convexe et E'_b son dual fort. On appelle bidual de E, et l’on note E'', le dual de l’espace localement convexe E'_b. 07S8
Proposition 1 Le noyau de c_E : E → E'' est l’adhérence de 0 dans E. Si E est séparé, c_E est injective. 07S9
Proposition 2 Supposons l’espace E bornologique ou tonnelé. La topologie initiale sur E est image réciproque par c_E de la topologie forte sur E''. 07SA
Proposition 3 Soit E un espace localement convexe séparé. Pour que le dual fort E'_b de E soit tonnelé, il faut et il suffit que toute partie de E'' bornée pour σ(E'', E') soit contenue dans l’a… 07SB
Remarque Soient E un espace localement convexe séparé, E' son dual et E'' son bidual. On a E ⊂ E'' ⊂ E'^*, où E'^* est le dual algébrique de E'. Si B est une partie bornée de E, son adhéren… 07SC
Définition 2 Soit E un espace localement convexe. On dit que E est semi-réflexif si l’application canonique c_E de E dans E'' est bijective. 07SD
Théorème 1 Un espace localement convexe séparé E est semi-réflexif si et seulement si toute partie bornée de E est relativement compacte pour la topologie affaiblie σ(E, E'). Si E est semi-ré… ↩ 1 07SE
Corollaire Soit E un espace localement convexe semi-réflexif. Tout sous-espace vectoriel fermé M de E est semi-réflexif; de plus, la topologie forte sur E'/M^∘ (considéré comme dual de M) est… 07SF
Remarque 1 Supposons E semi-réflexif. Toute partie de E qui est convexe, bornée et fermée pour la topologie initiale est compacte pour la topologie σ(E, E') (IV, p. 1, prop. 1). \ Par contre… 07SG
Remarque 2 D’après la remarque 3 de IV, p. 5, on peut reformuler comme suit le th. 1 : l’espace séparé E est semi-réflexif si et seulement s’il est quasi-complet pour sa topologie affaiblie… 07SH
Remarque 3 Sous les hypothèses du corollaire ci-dessus, l’espace E/M n’est pas nécessairement semi-réflexif (IV, p. 64, exerc. 10). 07SI
Définition 3 On dit qu’un espace localement convexe E est réflexif si l’application canonique c_E de E dans E'' est un isomorphisme d’espaces vectoriels topologiques de E sur le dual fort de E'… 07SJ
Proposition 4 Le dual fort d’un espace réflexif est réflexif. Cela résulte aussitôt de la déf. 3. 07SK
Théorème 2 Pour qu’un espace localement convexe séparé E soit réflexif, il faut et il suffit qu’il soit tonnelé et que toute partie bornée de E soit relativement compacte pour la topologie af… 07SL
Remarque 1 Soit E un espace hilbertien réel de dimension infinie. Notons F l’espace E muni de la topologie affaiblie. Les espaces E et F ont même dual E', et E est un espace de Banach réflexi… 07SM
Remarque 2 Soient E un espace réflexif et M un sous-espace vectoriel fermé de E. Il se peut que ni M, ni E/M, ne soient des espaces réflexifs (IV, p. 64, exerc. 10). \ Pour le cas des espaces… 07SN
Proposition 5 Soient E un espace normé, E' son dual et E'' son bidual. La boule unité (fermée) dans E'' est l’adhérence pour la topologie faible σ(E'', E') de la boule unité B dans E. 07SO
Remarque Un espace de Banach E est fermé dans son bidual E'' pour la topologie forte, mais dense pour la topologie faible (prop. 5). 07SP
Proposition 6 Pour qu’un espace normé E soit réflexif, il faut et il suffit que la boule unité dans E soit compacte pour la topologie affaiblie σ(E, E'). 07SQ
Proposition 7 Soient E un espace de Banach réflexif et M un sous-espace vectoriel fermé de E. Alors M et E/M sont des espaces de Banach réflexifs. 07SR
Exemple 1 On note ℓ^∞(N) l’espace de Banach des suites bornées x = (xₙ)_n ∈ N de scalaires, avec la norme 07SS
Exemple 2 \ Tout espace hilbertien est un espace de Banach réflexif (V, p.16). 0E58
Exemple 3 \ Soient X un espace topologique séparé et μ une mesure complexe sur X. Pour tout nombre réel p > 1, l’espace de Banach Lᵖ(X, μ) est réflexif, et son dual s’identifie à L^q(X, μ) a… 0E59
Définition 4 On appelle espace de Montel un espace localement convexe, tonnelé et séparé dans lequel toute partie bornée est relativement compacte. 07ST
Exemple 1 Tout espace séparé de dimension finie est un espace de Montel. Un espace normé qui est un espace de Montel est localement compact, donc de dimension finie (I, p. 15, th. 3). 07SU
Exemple 2 Reprenons les hypothèses et notations de la prop. 7 de III, p. 6. L’espace E est tonnelé comme limite inductive d’espaces de Banach (III, p. 25); de plus, toute partie bornée de E… 07SV
Exemple 3 Toute limite inductive stricte E d’une suite (Eₙ) d’espaces de Montel (II, p. 36) telle que Eₙ soit fermé dans Eₙ₊₁ pour tout n, est un espace de Montel ; en effet, E est séparé (I… ↩ 1 07SW
Exemple 4 \ Soit U un ouvert de Rⁿ et soit C^∞(U) l’espace de Fréchet des fonctions indéfiniment dérivables sur U (III, p. 9). Démontrons que c’est un espace de Montel. Comme C^∞(U) est un e… 07SX
Proposition 8 Soit E un espace de Montel et soit 𝔉 un filtre sur E, qui converge vers un point x₀ de E pour la topologie affaiblie. Si 𝔉 est à base dénombrable, ou contient un ensemble borné, al… 07SY
Proposition 9 Le dual fort d’un espace de Montel est un espace de Montel. 07SZ
Proposition 10 Tout espace de Montel métrisable est de type dénombrable. 07T0
Lemme 1 Supposons que l’espace métrique X ne soit pas de type dénombrable. Il existe alors un nombre réel ε > 0 et une partie non dénombrable A de X tels que l’on ait d(x, y) ≥ ε pour x, y… 07T1
Lemme 2 Il existe une suite (xₘ)_m ≥ 0 bornée dans E, et formée d’éléments de A deux à deux distincts. 07T2
Corollaire Soit E un espace de Montel métrisable. Dans le dual fort de E, il existe un ensemble dénombrable dense. 07T3

§ 3. Dual d’un espace de Fréchet

Proposition 1 Soit E un espace localement convexe. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) Soit U une partie de E, qui absorbe toute partie bornée de E, et qui est intersection d’une su… 07TU
Définition 1 On dit qu’un espace localement convexe E est semi-tonnelé s’il satisfait aux conditions équivalentes de la prop. 1. 07TV
Proposition 2 Soient E un espace localement convexe métrisable et F son dual fort. L’espace F est complet, semi-tonnelé et satisfait à la condition suivante : 07TW
Corollaire Soit G un espace localement convexe séparé, et soit (uₙ) une suite d’applications linéaires de F dans G, convergeant simplement vers une application u de F dans G. Alors u est cont… 07TX
Proposition 3 Soient E un espace localement convexe métrisable, E'_b son dual fort et G un espace de Fréchet. L’espace L_b(E'_b; G) est un espace de Fréchet. 07TY
Corollaire Le bidual d’un espace localement convexe métrisable est un espace de Fréchet. 07TZ
Proposition 4 Soit E un espace de Fréchet réflexif. Le dual fort E'_b de E est limite inductive d’une suite d’espaces de Banach. 07U0
Corollaire Le dual fort d’un espace de Fréchet réflexif est bornologique et tonnelé. 07U1
Théorème 1 (Banach-Dieudonné) Soit E un espace localement convexe métrisable. Sur le dual E' de E, les topologies suivantes coïncident : a) la topologie T_𝔑 de la 𝔑-convergence, où 𝔑 est l’ensemble des parties… 07U2
Corollaire 1 Soit E un espace localement convexe métrisable. Toute partie précompacte de E est contenue dans l’enveloppe fermée convexe équilibrée de l’ensemble des points d’une suite convergea… 07U3
Corollaire 2 Soit E un espace de Fréchet. Pour qu’une partie convexe A du dual E’ de E soit fermée pour σ(E', E), il faut et il suffit que A ∩ U^∘ soit fermé pour σ(E', E) quel que soit le vois… 07U4
Corollaire 3 Soient E un espace de Banach et M un sous-espace vectoriel du dual E’ de E. Pour que M soit fermé pour la topologie faible σ(E', E), il faut et il suffit que son intersection avec… 07U5
Exemple Soit H un espace hilbertien de type dénombrable; on note H_σ l’espace H muni de la topologie affaiblie. Soit L¹(H) l’espace de Banach des endomorphismes nucléaires de H (V, p. 50… 07U6
Lemme 1 Soient E et F deux espaces localement convexes métrisables, et u une application linéaire continue de E'_b dans F. Il existe un voisinage U de 0 dans E'_b dont l’image par u est bo… 07U7
Théorème 2 Soient E₁ et E₂ deux espaces de Fréchet réflexifs, et G un espace localement convexe séparé. Pour i = 1, 2, soit Fᵢ le dual fort de Eᵢ. Alors toute application bilinéaire séparémen… 07U8

§ 4. Morphismes stricts d’espaces de Fréchet

Proposition 1 Soient E et F deux espaces localement convexes et u une application linéaire continue de E dans F. Pour que u soit un morphisme strict, il faut et il suffit que la condition suivan… 07UR
Proposition 2 Soient E et F des espaces localement convexes séparés et u une application linéaire continue de E dans F. Pour que u soit un morphisme strict, il faut et il suffit que sa transposé… 07US
Remarque Avec les notations de la prop. 2, la propriété a) signifie encore que u est un morphisme strict pour les topologies affaiblies (II, p. 52, cor. 3). 07UT
Proposition 3 Soient E et F deux espaces localement convexes et u une application linéaire continue de E dans F. On suppose E séparé et F métrisable. Pour que u soit un morphisme strict, il faut… 07UU
Théorème 1 Soient E et F deux espaces de Fréchet et u une application linéaire continue de E dans F. Les conditions suivantes sont équivalentes : 07UV
Lemme 1 Soient E et F deux espaces localement convexes séparés quasi-complets et u une application linéaire continue de E dans F. Pour que 'u soit un morphisme strict de F'_c dans E'_c, il… 07UW
Corollaire 1 Sous les hypothèses du th. 1, les conditions suivantes sont équivalentes : (i) u est un morphisme strict injectif ; (ii) ᵗ u est un morphisme strict surjectif pour les topologies f… 07UX
Corollaire 2 Sous les hypothèses du th. 1, les conditions suivantes sont équivalentes : (i) u est surjectif ; (ii) u est un morphisme strict surjectif ; (iii) ᵗ u est un morphisme strict inject… 07UY
Corollaire 3 Sous les hypothèses du th. 1, les propriétés a) à g) sont entraînées par la suivante : h) ᵗ u est un morphisme strict de F'_b dans E'_b. Lorsque E et F sont tous deux des espaces d… 07UZ
Corollaire 4 Supposons que E et F soient des espaces de Banach. Pour que 'u soit surjective, il faut et il suffit qu’il existe un nombre réel r 0 tel que |x| ≤ r · |u(x)| pour tout x ∈ E. 07V0
Corollaire 5 Soient E et F des espaces de Fréchet et u une application linéaire continue de E dans F. Les conditions suivantes sont équivalentes : 07V1
Proposition 4 Soient E et F deux espaces de Fréchet, et u une application linéaire continue de E dans F. Les conditions suivantes sont équivalentes : 07V2
Corollaire Supposons que E et F soient des espaces de Banach. Les conditions suivantes sont équivalentes : 07V3

§ 5. Critères de compacité

Proposition 1 Soient E un espace localement convexe séparé et A une partie de E. On note E_σ l’espace E muni de la topologie affaiblie. 07VR
Proposition 2 Soient D une partie dense de X et A une partie de l’espace Cₛ(X). Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) A est relativement compacte dans Cₛ(X). (ii) De toute suite infin… 07VS
Théorème 1 (Eberlein) Soient E un espace localement convexe séparé et quasi-complet, T une topologie sur E compatible avec la dualité entre E et E', et A une partie de E. Pour que A soit relativement co… 07VT
Théorème 2 (Šmulian) Soient E un espace de Fréchet et A une partie de E. On note E_σ l’espace E muni de la topologie affaiblie. Les conditions suivantes sont équivalentes : 07VU
Lemme 1 Soit F un espace de Fréchet de type dénombrable. Toute partie C de F qui est compacte pour la topologie T induite par σ(F, F') est métrisable pour cette topologie. 07VV
Lemme 2 Soit X un espace compact. Si une suite (fₙ)_n ∈ N est bornée dans C(X) et converge simplement sur X vers une fonction continue f, on a μ(f) = lim_n → ∞ μ(fₙ) pour tout μ dans C(X)'… 07VW
Proposition 3 Soit X un espace compact, et soit A une partie bornée de C(X). Pour que A soit relativement compacte pour la topologie de la convergence simple, il faut et il suffit qu’elle soit r… 07VX
Corollaire Soient S un espace topologique et A une partie bornée de Cᵇ(S). Les conditions suivantes sont équivalentes : 07VY
Théorème 3 (Krein) Soit E un espace localement convexe séparé et quasi-complet, et soit T une topologie sur E compatible avec la dualité entre E et E'. Soit A une partie de E compacte pour T. Alors l… 07VZ

App. 0. Points fixes des groupes de transformations affines

Théorème 1 (Markoff-Kakutani) Soient E un espace vectoriel localement convexe séparé sur le corps R, et K une partie convexe, compacte et non vide de E. Soit Γ un ensemble de transformations affines dans K, con… 07WI
Corollaire Soit G un groupe résoluble de transformations affines continues dans K. Il existe un point de K invariant par G. 07WJ
Définition 1 On appelle moyenne sur l’espace topologique X une forme linéaire positive μ sur l’espace B(X; R) telle que μ(1) = 1. 07WK
Lemme 1 L’ensemble K des moyennes sur X est la partie de la boule unité du dual de l’espace de Banach E = B(X; R) dont les éléments sont les formes linéaires μ telles que μ(1) = 1. C’est u… 07WL
Proposition 1 Soient X un espace topologique et G un groupe résoluble. On suppose que G opère à gauche sur X, de sorte que, pour tout g ∈ G, l’application x ↦ g.x de X dans X soit continue. Il e… 07WM
Corollaire Soit G un groupe topologique résoluble. Il existe sur G une moyenne invariante par les translations à gauche et à droite. 07WN
Lemme 2 On suppose que K contient au moins deux points. Pour tout ε > 0, il existe une partition de K en deux sous-ensembles non vides K₁ et K₂, ayant les propriétés suivantes : 07WO
Lemme 3 Soit G un groupe de transformations affines continues (pour T) dans K. On suppose que K est non vide et qu’on a |gx - gy| = |x - y| pour x, y dans K et g dans G. Il existe un point… 07WP
Théorème 2 (Ryll-Nardzewski) Soient E un espace normé et K une partie convexe non vide de E, compacte pour la topologie affaiblie σ(E, E'). Soit G un groupe de transformations affines isométriques de K. Il exi… 07WQ
Corollaire Soient E un espace de Banach réflexif, G un groupe d’automorphismes de l’espace normé E, et K une partie de E. On suppose que K est convexe, fermée, non vide, bornée, et stable par… 07WR

V. Espaces hilbertiens (théorie élémentaire)

§ 1. Espaces préhilbertiens et espaces hilbertiens

Définition 1 Soit E un espace vectoriel sur le corps K. On appelle forme hermitienne (à gauche) sur E toute application f de E × E dans K satisfaisant aux conditions suivantes (pour x₁, x₂, x… 07X0
Remarque On notera que la formule (6) est valable pour toute forme sesquilinéaire sur E × E (c’est-à-dire toute fonction f satisfaisant à (1) et (2), mais non nécessairement à (3)). Cette r… 07X1
Proposition 1 Si f est une forme hermitienne sur E, et M un sous-espace vectoriel de E tel que f(x, x) = 0 pour tout x ∈ M, on a aussi f(x, y) = 0 pour tout couple de points x, y de M. 07X2
Définition 2 Soit E un espace vectoriel sur le corps K. On dit qu’une forme hermitienne f sur E est positive si l’on a f(x, x) ≥ 0 pour tout x ∈ E. 07X3
Proposition 2 Si f est une forme hermitienne positive, on a 07X4
Corollaire 1 Si f est une forme hermitienne positive, l’ensemble N des x ∈ E tels que f(x, x) = 0 est identique au sous-espace vectoriel des x ∈ E tels que f(x, y) = 0 pour tout y ∈ E. 07X5
Corollaire 2 Pour qu’une forme hermitienne positive f soit séparante, il faut et il suffit que la relation x ≠ 0 entraîne f(x, x) > 0. 07X6
Proposition 3 Soit f une forme hermitienne positive sur E. Posons 07X7
Remarque 1 Supposons f positive et séparante, et soient x, y deux vecteurs ≠ 0. La démonstration de l’inégalité de Cauchy-Schwarz montre que, si les deux membres de (7) sont égaux, il existe… 07X8
Remarque 2 Soit f une forme hermitienne positive sur E, et munissons E de la semi-norme x ↦ f(x, x)^1/2; si hatf est la forme hermitienne positive séparante associée à f, définie sur E/N, l’e… 0E5A
Définition 3 Soit E un espace vectoriel sur le corps K. On dit qu’une semi-norme p sur E est préhilbertienne s’il existe une forme hermitienne positive f sur E telle que p(x) = f(x, x)^1/2 pour… 07X9
Définition 4 On appelle espace préhilbertien un ensemble E muni d’une structure d’espace vectoriel sur K et d’une forme hermitienne positive. On dit que E est un espace préhilbertien réel (resp… 07XA
Exemple 1 La forme (λ, μ) ↦ overlineλ μ définit sur K une structure d’espace préhilbertien, dite canonique. Lorsque K est considéré comme espace préhilbertien, il s’agit toujours, sauf menti… 07XB
Exemple 2 Soit I un intervalle (borné ou non) de R, et soit E l’ensemble des fonctions réglées (FVR, II, p. 4) définies dans I, à valeurs dans C et à support compact. Il est clair que E est… 07XC
Exemple 3 Soit n geqslant 0 un entier. Sur l’espace Kⁿ, on définit une structure d’espace préhilbertien, au moyen de la forme hermitienne 07XD
Exemple 4 \ Soit ℓ² (ou ℓ²(N)) l’ensemble des suites x = (xₙ)_n ∈ N d’éléments de K telles que ∑ₙ₌₀^∞ |xₙ|² soit fini. On montre que ℓ² est un sous-espace vectoriel de Kᴺ et l’on définit une… 07XE
Exemple 5 Soient E un espace préhilbertien réel, f la forme bilinéaire symétrique correspondante sur E. Soit E_(c) l’espace vectoriel complexifié de E; on identifie E à un sous-ensemble de E… 07XF
Définition 5 On appelle espace hilbertien (ou espace de Hilbert) un espace préhilbertien séparé et complet. On dit qu’une norme sur un espace vectoriel E (sur K) est hilbertienne si elle est pr… 07XG
Exemple 1 Les espaces préhilbertiens définis dans les exemples 1, 3, 4 de V, p. 4, sont des espaces hilbertiens. Par contre, l’espace préhilbertien E défini dans l’exemple 2 n’est ni séparé… 07XH
Exemple 2 \ Soit X un espace topologique séparé et soit μ une mesure positive sur X. Notons L²(X, μ) l’espace formé des classes d’équivalence pour μ des fonctions de carré μ-intégrable sur X… 07XI
Exemple 3 \ Soit n ≥ 1 un entier et soit U un ouvert de Rⁿ. On note μ la mesure sur U induite par la mesure de Lebesgue sur Rⁿ, et l’on pose H⁰ = L²(U, μ). On note H¹ l’espace des fonctions… 07XJ
Exemple 4 \ Soit X une variété différentielle de classe Cʳ (avec r geqslant 1), pure de dimension finie n. Soit L le complémentaire, dans le fibré vectoriel Λⁿ T(X), de l’image de la section… 07XK
Exemple 5 \ Soit D le disque ouvert de centre 0 et rayon 1 dans C. L’espace de Hardy H²(D) se compose des fonctions holomorphes f : D → C pour lesquelles on a sup_0 < R < 1 ∫₀¹ |f(R · e(θ))|… 07XL
Proposition 4 Soient E un espace préhilbertien séparé, hatE l’espace normé complété de E (TG, IX, p. 33). Le produit scalaire (x, y) ↦ ⟨ x|y ⟩ se prolonge par continuité en une forme hermitienne… 07XM
Corollaire Soient V un espace vectoriel sur K et f une forme hermitienne positive sur V. 07XN
Exemple 7 Soient G un groupe (d’élément unité noté 1) et π un homomorphisme de G dans le groupe des automorphismes d’un espace hilbertien complexe E ; on dit encore que π est une représentat… 07XO
Proposition 5 Soit E un espace préhilbertien. Soient d un nombre réel 0, δ un nombre réel tel que 0 ≤ δ < d. Soient B et B' les parties de E définies par \x\ < d, \x\ ≤ d + δ respectivement, et… 07XP
Théorème 1 Soient E un espace préhilbertien, H une partie convexe non vide de E telle que H soit un sous-espace uniforme séparé et complet de E. Pour tout x ∈ E, il existe un point p_H(x) de… 07XQ
Corollaire 1 Soient I un ensemble filtré par un filtre 𝔉 et (yᵢ)_i ∈ I une famille de points de H. Soit x ∈ E. On suppose que l’on a 07XR
Corollaire 2 Quels que soient x, y dans E, on a 07XS
Proposition 6 Soit E un espace préhilbertien et soit Φ un ensemble non vide, filtrant décroissant de parties convexes non vides, séparées et complètes de E. Pour tout x ∈ E et toute partie H de… 07XT
Proposition 7 Soit E un espace préhilbertien séparé et soit Ψ un ensemble non vide, filtrant croissant de parties convexes, complètes et non vides de E. Posons A = ⋃_H ∈ Ψ H et supposons que l’a… 07XU
Théorème 2 Soient E un espace préhilbertien et M un sous-espace vectoriel de E, qui est séparé et complet. Alors E est somme directe topologique de M et du sous-espace M^∘ orthogonal de M. Le… 07XV
Corollaire Soient E un espace préhilbertien séparé et M un sous-espace vectoriel de dimension finie de E. Alors E est somme directe de M et de M^∘. 07XW
Proposition 8 Soient E un espace hilbertien, M un sous-espace vectoriel fermé de E, I un ensemble ordonné filtrant non vide et (Mᵢ)_i ∈ I une famille de sous-espaces vectoriels fermés de E. On s… 07XX
Proposition 9 Soient E un espace hilbertien et M, N deux sous-espaces vectoriels fermés de E. 07XY
Remarque Soient E un espace hilbertien et M, N deux sous-espaces vectoriels fermés de E. La relation M ⊂ N équivaut à l’orthogonalité de M et N^∘, c’est-à-dire à la relation p_M p_N^∘ = 0 d… 07XZ
Théorème 3 Soit E un espace hilbertien. Pour tout x ∈ E, soit x^* la forme linéaire continue y ↦ ⟨ x | y ⟩ sur E ; l’application x ↦ x^* est une application semi-linéaire (pour l’automorphism… 07Y0
Corollaire 1 Pour qu’une famille (xᵢ)_i ∈ I de points d’un espace hilbertien E soit totale, il faut et il suffit que pour y ∈ E, les relations ⟨ xᵢ|y⟩ = 0 pour tout indice i ∈ I entraînent y =… 07Y1
Corollaire 2 Soient E et F deux espaces hilbertiens. Pour u ∈ L(E; F), x ∈ E et y ∈ F, posons 07Y2
Théorème 4 Dans un espace hilbertien E, la boule unité est faiblement compacte. 07Y3
Proposition 10 Si, dans un espace hilbertien E, un filtre F converge faiblement vers x₀, et si en outre lim_F |x| = |x₀|, alors F converge vers x₀ pour la topologie initiale de E. 07Y4
Remarque Si E est un espace préhilbertien séparé et hatE l’espace hilbertien complété de E, on sait (III, p. 16) que le dual E′ de E s’identifie au dual de hatE; il résulte du th. 3 (V, p… 07Y5

§ 2. Familles orthogonales dans un espace hilbertien

Proposition 1 Soient (Eᵢ)_i ∈ I une famille d’espaces hilbertiens, P l’espace vectoriel produit ∏_i ∈ I Eᵢ, et E la partie de P formée des familles x = (xᵢ)_i ∈ I telles que ∑_i ∈ I |xᵢ|² soit f… 07Z7
Définition 1 Soit (Eᵢ)_i ∈ I une famille d’espaces hilbertiens. L’espace hilbertien E défini dans la prop. 1 s’appelle la somme hilbertienne externe de la famille (Eᵢ)_i ∈ I et se note ⨁_i ∈ I… 07Z8
Exemple Soient E un espace hilbertien et I un ensemble d’indices. On désigne par ℓ²_E(I) la somme hilbertienne externe de la famille (Eᵢ)_i ∈ I où Eᵢ = E pour tout i ∈ I. Autrement dit, ℓ²… 07Z9
Définition 2 On dit qu’un espace hilbertien E est somme hilbertienne d’une famille (Eᵢ)_i ∈ I de sous-espaces vectoriels fermés de E, lorsque : 1) pour deux indices distincts i, k dans I, les s… 07ZA
Théorème 1 Soit E un espace hilbertien somme hilbertienne d'une famille (Eᵢ)_i∈ I de sous-espaces vectoriels fermés de E. Il existe un isomorphisme f et un seul de E sur la somme hilbertienne… 07ZB
Corollaire 1 Soit E un espace hilbertien, somme hilbertienne d'une famille (Eᵢ)_i∈ I de sous-espaces vectoriels fermés de E ; pour tout i ∈ I, soit p_Eᵢ l'orthoprojecteur (V, p. 13) de E sur Eᵢ… 07ZC
Corollaire 2 Soient E un espace préhilbertien séparé, (Eᵢ)_i ∈ I une famille de sous-espaces vectoriels complets de E tels que, pour tout couple d’indices distincts i, k dans I, les sous-espace… 07ZD
Remarque Soient E un espace préhilbertien séparé, (Vᵢ)_i ∈ I une famille de sous-espaces vectoriels de E tels que, pour tout couple d’indices distincts i, k, les sous-espaces Vᵢ et Vₖ soien… 07ZE
Proposition 2 Soient E un espace hilbertien et (V_λ)_λ ∈ L une famille de sous-espaces vectoriels fermés de E ; pour chaque λ ∈ L, soit (W_λ μ)_μ ∈ M_λ une famille de sous-espaces vectoriels fer… 07ZF
Définition 3 Dans un espace préhilbertien E, on dit qu'une famille (eᵢ)_i ∈ I de vecteurs est orthogonale si eᵢ et eₖ sont orthogonaux pour i ≠ k et orthonormale si l'on a de plus |eᵢ| = 1 pour… 07ZG
Proposition 3 Dans un espace préhilbertien séparé E, toute famille orthonormale est topologiquement libre. 07ZH
Proposition 4 Soient E un espace préhilbertien séparé, (eᵢ)_i ∈ I une famille orthonormale dans E, V le sous-espace vectoriel fermé de E engendré par les eᵢ. 07ZI
Proposition 5 Soit (eᵢ)_i ∈ I une famille orthonormale dans un espace préhilbertien séparé E. Les propriétés suivantes sont équivalentes : a) la famille (eᵢ) est totale ; b) pour tout x ∈ E, la… 07ZJ
Définition 4 On appelle base orthonormale d’un espace préhilbertien séparé E une famille orthonormale et totale dans E. 07ZK
Exemple Soit E l’espace des fonctions continues sur R, à valeurs complexes, telles que f(x + n) = f(x) pour x ∈ R et n ∈ Z. On munit E du produit scalaire défini par ⟨ f | g ⟩ = ∫₀¹ overli… 07ZL
Théorème 2 Pour tout ensemble orthonormal L dans un espace hilbertien E, il existe une base orthonormale B de E contenant L. 07ZM
Corollaire 1 Dans tout espace hilbertien, il existe une base orthonormale. 07ZN
Corollaire 2 Tout espace hilbertien est isomorphe à un espace ℓ²(I). 07ZO
Proposition 6 Soit E un espace préhilbertien séparé, et soit (aₙ)_n ∈ I (I intervalle de N d’origine 1) une famille libre dénombrable (finie ou non) de vecteurs de E. Il existe une famille ortho… 07ZP
Corollaire Dans tout espace préhilbertien séparé E de type dénombrable, il existe une base orthonormale dénombrable. 07ZQ
Exemple Soient I l’intervalle [-1, 1] de R et E l’espace vectoriel des fonctions continues sur I à valeurs réelles. On note x l’injection canonique de I dans R, considérée comme élément de… 07ZR
Proposition 7 Dans un espace hilbertien E, deux bases orthonormales sont équipotentes. 07ZS
Corollaire 1 Étant données deux bases orthonormales dans un espace hilbertien E, il existe un automorphisme de E transformant la première base en la seconde. 07ZT
Corollaire 2 Pour que les espaces hilbertiens ℓ²(I) et ℓ²(J) soient isomorphes, il faut et il suffit que I et J soient équipotents. 07ZU

§ 3. Produit tensoriel d’espaces hilbertiens

Proposition 1 La forme sesquilinéaire Φ sur E₁ ⊗ E₂ est hermitienne et positive, donc munit E₁ ⊗ E₂ d’une structure d’espace préhilbertien. Cet espace est séparé si E₁ et E₂ le sont. 080B
Proposition 2 Pour i = 1, 2, soient Eᵢ et Fᵢ deux espaces préhilbertiens séparés et uᵢ ∈ L(Eᵢ; Fᵢ). L’application linéaire u₁ ⊗ u₂ de E₁ ⊗₂ E₂ dans F₁ ⊗₂ F₂ est continue et l’on a 080C
Définition 1 Soient E₁, ..., Eₙ des espaces hilbertiens. On appelle produit tensoriel hilbertien des Eᵢ, et l’on note E₁ hat⊗₂ ... hat⊗₂ Eₙ (ou hat⊗_1 ≤ i ≤ n Eᵢ) le complété de l’espace préhil… 080D
Remarque Soient E₁, ..., Eₙ des espaces préhilbertiens séparés, et hatE₁, ..., hatEₙ leurs complétés respectifs. Alors E₁ ⊗₂ ... ⊗₂ Eₙ est un sous-espace préhilbertien de hatE₁ ⊗₂ ... ⊗₂ ha… 080E
Proposition 3 Soient E₁, …, Eₙ des espaces hilbertiens. On suppose que pour 1 ≤ i ≤ n, l’espace Eᵢ est somme hilbertienne d’une famille (E_i,α)_α ∈ A(i) de sous-espaces vectoriels fermés. Alors… 080F
Corollaire 1 Pour 1 ≤ i ≤ n, soit (e_i,α)_α ∈ A(i) une base orthonormale de Eᵢ. Alors la famille des vecteurs e_1,α₁ ⊗ … ⊗ e_n,αₙ pour (α₁, …, αₙ) parcourant A(1) × ⋯ × A(n), est une base ortho… 080G
Corollaire 2 Soient E₁ et E₂ deux espaces hilbertiens, et (eᵢ)_i ∈ I une base orthonormale de E₁. Soit (yᵢ)_i ∈ I une famille d’éléments de E₂ telle que ∑_i ∈ I | yᵢ |² < + ∞. Alors la famille… 080H
Exemple 1 D’après le cor. 1, l’espace ℓ²(I) hat⊗₂ ℓ²(J) est canoniquement isomorphe à ℓ²(I × J), le produit tensoriel x ⊗ y de x = (xᵢ)_i ∈ I et y = (yⱼ)_j ∈ J s’identifiant à la famille (xᵢ… 080I
Exemple 2 \ Soient X un espace topologique séparé, et μ une mesure positive sur X. Soit E un espace hilbertien. On peut identifier canoniquement L²(X, μ) hat⊗₂ E à L²_E(X, μ) : dotf est la c… 080J
Proposition 4 Soit (eᵢ)_i∈ I une base orthonormale de l’espace hilbertien E. Pour tout α dans N⁽ᴵ⁾, posons 080K
Corollaire Supposons que l’espace hilbertien E soit somme directe des sous-espaces orthogonaux M et N. L’isomorphisme canonique g de S(M) ⊗ S(N) sur S(E) (A, III, p. 73) se prolonge de manièr… 080L
Exemple 1 Soient d ≥ 1 un entier et ω une fonction positive sur Rᵈ localement intégrable par rapport à la mesure de Lebesgue μ. Soit E l’espace hilbertien L²(Rᵈ, ω . μ ), et soit S = S(E). A… 080M
Exemple 2 \ Soient X un espace topologique séparé, μ une mesure positive de norme 1 sur X et E un sous-espace hilbertien de l’espace hilbertien réel L²_R(X, μ). On dit que E est un espace ga… 080N
Exemple \ Reprenons les notations de l’exemple 1 de V, p. 32. On peut alors identifier l’espace hilbertien hatΛ(E) à l’ensemble des suites (fₙ)_n ≥ 0 de fonctions mesurables qui rendent fi… 080O
Proposition 5 Soit (eᵢ)_i ∈ I une base orthonormale de l’espace hilbertien E. Munissons I d’une structure d’ordre total. Alors l’ensemble des éléments e_i₁ ∧ … ∧ e_iₙ pour i₁ < ⋯ < iₙ est une ba… 080P
Corollaire Supposons que l’espace hilbertien E soit somme directe des sous-espaces orthogonaux M et N. L’isomorphisme canonique g de Λ(M) ⊗ Λ(N) sur Λ(E) (A, III, p. 84) se prolonge de manièr… 080Q
Proposition 6 Soit E un espace hilbertien. On a (34) | x ∧ u | ≤ | x | · | u | pour x ∈ E et u ∈ hatΛ(E). 080R
Corollaire 1 a) Soient x₁, …, xₙ des éléments de l’espace hilbertien E. On a (35) | x₁ ∧ … ∧ xₙ | ≤ | x₁ | … | xₙ |, l’égalité ne pouvant avoir lieu que si l’un des xᵢ est nul, ou la suite (x₁… 080S
Corollaire 2 Soit (aᵢⱼ)_1 ≤ i,j ≤ n une matrice hermitienne, à éléments complexes, de déterminant D. On suppose que l’on a l’inégalité 080T
Corollaire 3 (« Inégalités de Hadamard ») Soit (aᵢⱼ)_1 leqslant i,j leqslant n une matrice à éléments complexes, de déterminant D. Posons cᵢ = (∑ⱼ₌₁ⁿ |aᵢⱼ|²)^1/2 pour 1 leqslant i leqslant n , et m = sup_i,j |aᵢⱼ|. On a al… 080U

§ 4. Quelques classes d’opérateurs dans les espaces hilbertiens

Proposition 1 Soient E et F deux espaces hilbertiens. Pour toute application u ∈ L(E; F), il existe une unique application u^* ∈ L(F; E) telle que l'on ait (1) ⟨ u(x)|y ⟩_F = ⟨ x|u^*(y) ⟩_E 080X
Définition 1 Soient E et F deux espaces hilbertiens. Pour toute application linéaire continue u : E → F, on appelle adjoint de u et l’on note u^* l’application linéaire continue de F dans E car… 080Y
Proposition 2 Pour tout u ∈ L(E ; F), on a 080Z
Remarque 1 Supposons l’espace hilbertien E non réduit à 0. Identifions L(K ; E) à E par l’application u ↦ u(1); autrement dit, le vecteur x de E est identifié à l’application λ ↦ λ.x de K dan… 0810
Proposition 3 Soient E et F deux espaces hilbertiens et u ∈ L(E; F). Les conditions suivantes sont équivalentes : 0811
Remarque 2 La relation u^*u = 1_E ne caractérise pas les automorphismes de l’espace hilbertien E. Par exemple, soit E = ℓ²(N) et soit u défini par u(x)ₙ = xₙ₋₁ pour n geqslant 1 et u(x)₀ = 0… 0812
Remarque 3 La définition (1) de l’adjoint u^* s’écrit encore ⟨ y|u(x)⟩ = ⟨ u^*(y)|x⟩, ou, d’après V, p. 15, 0813
Définition 2 Soient E et F deux espaces hilbertiens et u ∈ L(E ; F). On appelle sous-espace initial de u l'orthogonal du noyau de u dans E et sous-espace final de u l'adhérence de l'image de u… 0814
Proposition 4 (i) Le sous-espace initial (resp. final) de u^* est égal au sous-espace final (resp. initial) de u. 0815
Définition 3 Soient E et F deux espaces hilbertiens. On dit qu'une application u ∈ L(E ; F) est partiellement isométrique si l'on a |u(x)| = |x| pour tout x appartenant au sous-espace initial d… 0816
Proposition 5 Soit u ∈ L(E ; F) de sous-espace initial P et de sous-espace final Q. On note p (resp. q) l'orthoprojecteur initial (resp. final) de u. Supposons u partiellement isométrique. 0817
Proposition 6 Pour tout u ∈ L(E; F), les conditions suivantes sont équivalentes : 0818
Définition 4 Soient E un espace hilbertien et u ∈ L(E). On dit que u est normal s’il commute à son adjoint u^*. 0819
Proposition 7 Pour que u ∈ L(E) soit normal, il faut et il suffit que l’on ait |u(x)| = |u^*(x)| pour tout x ∈ E. ↩ 1 081A
Proposition 8 Supposons que u ∈ L(E) soit normal. Soient N le noyau de u et M l’orthogonal de N dans E; soient m et n deux entiers positifs tels que m + n geqslant 1. Alors N est le noyau de uᵐ(… 081B
Corollaire Soit λ ∈ K. Les sous-espaces suivants de E sont égaux : 081C
Définition 5 Soient E un espace hilbertien et u ∈ L(E). On dit que u est hermitien si l’on a u^* = u. 081D
Proposition 9 Pour tout endomorphisme hermitien u de E, on a 081E
Proposition 10 On suppose K = C. Soit u ∈ L(E). Il existe alors un couple (h₁, h₂) d'endomorphismes hermitiens de E, et un seul, tel que u = h₁ + ih₂. Pour que u soit normal, il faut et il suffit… 081F
Proposition 11 Soit p ∈ L(E). Pour que p soit l'orthoprojecteur de E sur un sous-espace vectoriel fermé de E, il faut et il suffit que l'on ait p² = p = p^*. 081G
Définition 6 Soient E un espace hilbertien et u ∈ L(E). On dit que u est positif, ce que l'on note u geqslant 0, si u est hermitien et si l'on a ⟨ x|u(x) ⟩ geqslant 0 pour tout x ∈ E. 081H
Proposition 12 Soit u un élément hermitien (resp. positif) de L(E) et soit v une application linéaire continue de E dans un espace hilbertien F. Alors vuv^* est un élément hermitien (resp. positi… 081I
Remarque 1 Pour tout u hermitien dans L(E), posons m(u) = inf_|x|=1 ⟨ x|u(x) ⟩, M(u) = sup_|x|=1 ⟨ x|u(x) ⟩. Si E n'est pas réduit à 0, m(u) et M(u) sont finis ; de plus, M(u) est le plus pet… ↩ 1 081J
Remarque 2 Soient M et N deux sous-espaces vectoriels fermés de E, et p_M (resp. p_N) l’orthoprojecteur de E sur M (resp. N). On a M ⊂ N si et seulement si p_M ≤ p_N. En effet, on a p_M^* p_M… 081K
Proposition 13 Soit H(E) l’ensemble des endomorphismes continus hermitiens de l’espace hilbertien E. Soit F une partie non vide, filtrante croissante et majorée de H(E). 081L
Lemme 1 Il existe un isomorphisme θ de l’espace vectoriel F ⊗ E' sur l’espace L_f(E; F) des applications linéaires continues de rang fini de E dans F, caractérisé par θ(b ⊗ a^*) = ba^* pou… 081M
Lemme 2 Soit (eᵢ)_i ∈ I une base orthonormale de E. On a 081N
Lemme 3 Soient u un endomorphisme continu et positif de E, et F l’ensemble des orthoprojecteurs de rang fini dans E. Pour toute base orthonormale (eᵢ)_i ∈ I de E, on a (dans overlineR₊) l’… 081O
Définition 7 Soit u un endomorphisme continu et positif de l’espace hilbertien E. On pose 081P
Définition 8 Soit E un espace hilbertien complexe. On note L¹(E) le sous-espace vectoriel de L(E) engendré par l’ensemble des endomorphismes continus, positifs et de trace finie de E. 081Q
Proposition 14 Soient E₁, …, Eₙ des espaces hilbertiens, E = E₁ hat⊗₂ ⋯ hat⊗₂ Eₙ, et uᵢ un endomorphisme continu de Eᵢ pour 1 ≤ i ≤ n. Si u₁, …, uₙ sont positifs, il en est de même de u = u₁ hat⊗… 081R
Remarque 2 Soit E un espace hilbertien, somme hilbertienne d’une famille (Eᵢ)_i ∈ I de sous-espaces hilbertiens. Soit u un élément de L(E) tel que u(Eᵢ) ⊂ Eᵢ pour tout i ∈ I; soit uᵢ l’élémen… 081S
Définition 9 Soient E et F deux espaces hilbertiens. On appelle application de Hilbert-Schmidt de E dans F toute application linéaire continue u : E → F telle que la trace de l’endomorphisme po… 081T
Théorème 1 Soient E et F deux espaces hilbertiens. 081U
Exemple 1 Soient I et J deux ensembles. D'après la démonstration ci-dessus, pour qu'une application u de ℓ²(I) dans ℓ²(J) soit de Hilbert-Schmidt, il faut et il suffit qu'il existe une matri… 081V
Exemple 2 \ Soient X et Y deux espaces topologiques séparés, munis respectivement de mesures positives μ et ν. On peut montrer que les applications de Hilbert-Schmidt de L²(X) dans L²(Y) cor… 081W
Remarque 1 Supposons K = C. Soient u et v dans L²(E; F). On a la relation 4u^*v = ∑_ε⁴ = 1 overlineε(u + ε v)^*(u + ε v), donc u^*v appartient à L¹(E). Le produit scalaire dans l'espace hilbe… 081X
Remarque 2 Supposons K = R. On laisse au lecteur le soin de vérifier que les formules (40) et (41) sont encore valables, et de montrer que L²(E ; F) s’identifie au dual de L²(F ; E) au moyen… 081Y
Théorème 2 Soient E et F deux espaces hilbertiens et u une application de Hilbert-Schmidt de E dans F. Il existe une base orthonormale (eᵢ)_i ∈ I de E transformée par u en une famille orthogo… 081Z
Lemme 4 La fonction Q : B → R est continue. 0820
Lemme 5 Soit E₁ un sous-espace vectoriel fermé de E, stable par u^*u. Si E₁ ≠ 0, il existe dans E₁ ∩ P un vecteur de norme 1. 0821
Corollaire 1 Soit v un endomorphisme continu, positif et de trace finie de l’espace hilbertien E. Il existe une base orthonormale (eᵢ)_i∈ I de E et une famille sommable de nombres réels positif… 0822
Corollaire 2 Soit E un espace hilbertien. On a L¹(E) ⊂ L²(E). 0823
Corollaire 3 Soit v un endomorphisme continu, positif et de trace finie de l’espace hilbertien E. Il existe un endomorphisme de Hilbert-Schmidt positif w de E tel que v = w² et que v commute à… 0824
Remarque Avec les notations du th. 2, soit J l’ensemble des i ∈ I tels que u(eᵢ) ≠ 0. Pour tout i ∈ J, posons hatλᵢ = |u(eᵢ)| et fᵢ = hatλᵢ⁻¹ u(eᵢ). Alors (eᵢ)_i∈ J (resp. (fᵢ)_i∈ J) est un… 0825
Remarque 1 Pour tout sous-espace F de E, notons Q_F la restriction de Q à F et H_F celle de H. On a Tr(Q_F/H_F) ≤ Tr(Q/H) et Tr(Q/H) est la borne supérieure de l’ensemble des nombres Tr(Q_F/H… 0826
Remarque 2 Soient E₁ un espace vectoriel réel, Q₁ et H₁ deux formes quadratiques positives sur E₁ et π : E → E₁ une application linéaire surjective. Si Q = Q₁ ∘ π et H = H₁ ∘ π, on a Tr(Q/H)… 0E5B
Proposition 15 On suppose qu’il existe une structure d’espace hilbertien réel sur E telle que H(x) = |x|² pour tout x ∈ E. Pour que Tr(Q/H) soit fini, il faut et il suffit qu’il existe un endomor… 0827
Remarque 3 Soient E et F deux espaces hilbertiens et v une application linéaire, non nécessairement continue, de E dans F. Posons H(x) = \x\^2 et Q(x) = \v(x)\^2 pour tout x \in E. Il résulte… 0828
Remarque 4 Supposons E de dimension finie. Lorsque la forme quadratique H est inversible, la prop. 15 s’applique. Soit (e1, ..., en) une base de E. Posons q{ij} = \langle ei ej \rangleQ et h{… 0829