Quyển EVT · Tiếng Việt

Chỉ mục mệnh đề

644 mệnh đề của Không gian vectơ tô pô, theo chương và mục. Chọn một loại, lọc theo từ, hoặc xếp những mệnh đề được trích dẫn nhiều nhất lên đầu.

Trích dẫn nhiều nhất trước

I. Các không gian vectơ tôpô trên một vành chia định giá

§ 1. Không gian vectơ tôpô

Định nghĩa 1 — Cho một vành chia tôpô K (GT, III, § 6.7) và một tập hợp E sao cho E có 1^∘ cấu trúc của một không gian vectơ trái trên K; 2^∘ một tôpô tương thích với cấu trúc nhóm cộng của E (… 077V
Ví dụ — 1) Nếu E là một không gian vectơ trái trên một vành chia tôpô rời rạc K, tôpô rời rạc trên E tương thích với cấu trúc không gian vectơ của E (điều này không đúng nếu K không rời… 077W
Mệnh đề 1 — Với mọi α ∈ K và mọi điểm b ∈ E, ánh xạ x ↦ α x + b từ E vào chính nó là liên tục. Hơn nữa, nếu α ≠ 0, ánh xạ này là một phép đồng phôi của E lên chính nó. 077X
Hệ quả — Nếu A là một tập hợp mở (tương ứng đóng) trong E, thì α A là mở (tương ứng đóng) trong E với mọi α ≠ 0 trong K. 077Y
Ví dụ Cho I là một tập hợp chỉ số tùy ý; người ta biết (GT, X, § 3.2) rằng một chuẩn |x| có thể được định nghĩa, trên tập hợp các ánh xạ bị chặn x = (ξᵢ) từ I vào K, B(I; K) (cũng được v… 077Z
Nhận xét Cho M là một không gian con vectơ đóng của một không gian vectơ tôpô Hausdorff E, không nhất thiết tồn tại một không gian con vectơ bù (đại số) của M đóng trong E (ngay cả khi E là… 0780
Nhận xét 1 Nếu B là một tập hợp tiền compact của K, thì với mọi lân cận V của 0 trong E, tồn tại một lân cận U của 0 trong E sao cho BU ⊂ V. Thật vậy, nếu W là một lân cận của 0 trong E sao c… 0781
Nhận xét 2 Từ 1) suy ra rằng, nếu B là một tập hợp tiền compact của K và H là một tập hợp tiền compact của E, thì ánh xạ (λ, x) ↦ λ x hạn chế trên B × H là liên tục đều. Thật vậy, nếu V là mộ… 0782
Định nghĩa 2 Một không gian có chuẩn đầy đủ trên một vành chia có giá trị không rời rạc được gọi là một không gian Banach. 0783
Ví dụ Nếu K là một vành chia có giá trị không rời rạc thì không gian B(I ; K) (I, p. 4, Ví dụ) là đầy đủ (GT, X, § 3.1, cor. 1). Điều này cũng đúng cho không gian ℓ_K¹(I) (I, p. 4, Ví dụ… 0784
Định nghĩa 3 Cho K là một vành chia có giá trị và E là một không gian vectơ trái trên K; ta nói rằng một tập con M của E là cân bằng nếu, với mọi x ∈ M và mọi λ ∈ K sao cho |λ| ≤ 1, ta có λ x ∈… 0785
Mệnh đề 2 Trong một không gian vectơ tôpô E trên một vành chia có giá trị K, bao đóng của một tập cân bằng M là một tập cân bằng. 0786
Mệnh đề 3 Cho K là một vành chia có giá trị compact địa phương và không rời rạc, và E là một không gian vectơ tôpô Hausdorff (tương ứng. một không gian vectơ tôpô) trên K. Với mọi tập hợp co… 0787
Định nghĩa 4 Cho K là một vành chia định giá không rời rạc và E là một không gian vectơ trái trên K với hai tập con A và B. Ta nói rằng A hấp thụ B nếu tồn tại α 0 sao cho λA ⊃ B với mọi λ ∈ K… 0788
Mệnh đề 4 Trong một không gian vectơ tôpô E trên một vành chia định giá không rời rạc K tồn tại một hệ cơ sở 𝔅 các lân cận đóng của 0 sao cho : (EV₁) Mọi tập hợp V ∈ 𝔅 đều cân bằng và hấp th… 0789
Nhận xét 1 Trong một không gian định chuẩn trên một vành chia định giá không rời rạc, tập hợp các quả cầu mở (tương ứng quả cầu đóng) có tâm 0 là một hệ cơ sở các lân cận của 0 thỏa mãn các đ… 078A
Nhận xét 2 Khi vành chia của các vô hướng K là trường \mathbf{R} hoặc trường \mathbf{C}, mọi cơ sở lọc \mathfrak{B} trên E chỉ thỏa mãn hai tiên đề (EVI) và (EVIII) là một hệ cơ sở các lân cậ… 078B
Nhận xét 3 Nếu K là một vành chia rời rạc, các điều kiện (EVT'I) và (EVT'III) đúng với mọi tôpô trên E. Lập luận như trong mệnh đề 4, ta dễ dàng thấy rằng nếu E là một không gian vectơ tôpô t… 078C
Mệnh đề 5 — Cho Eᵢ (1 ≤ i ≤ n) và F là các không gian vectơ tôpô trên một trường định giá không rời rạc K. Để một ánh xạ đa tuyến tính f từ ∏ᵢ₌₁ⁿ Eᵢ vào F liên tục trong không gian tích ∏ᵢ₌₁… 078D
Mệnh đề 6 Với cùng các giả thiết về Eᵢ (1 ≤ i ≤ n) và về F như trong mệnh đề 5, để một tập hợp E các ánh xạ đa tuyến tính của ∏ᵢ₌₁ⁿ Eᵢ vào F là đều liên tục thì chỉ cần tập hợp đó đều liên t… 078E
Mệnh đề 7 Cho (Eᵥ)_v ∈ I là một họ các không gian vectơ tôpô trên một vành chia tôpô K. Cho E là một không gian vectơ trên K và với mỗi v ∈ I, cho fᵥ là một ánh xạ tuyến tính của E vào Eᵥ. K… 078F
Bổ đề — Cho M và N là hai không gian vectơ, và g là một ánh xạ tuyến tính của M vào N. Nếu T₀ là một tôpô tương thích với cấu trúc không gian vectơ của N, thì ảnh ngược của T₀ qua g là t… 078G
Hệ quả 1 Một không gian vectơ tôpô G trên K. Để một tập hợp H các ánh xạ từ G vào E là liên tục đều, điều kiện cần và đủ là, với mọi i ∈ I, tập hợp fᵢ ∘ u trong đó u biến thiên trong H là l… 078H
Hệ quả 2 Nếu các không gian Eᵢ là Hausdorff, thì để T là Hausdorff, điều kiện cần và đủ là, với mọi x ≠ 0 trong E, tồn tại một chỉ số i ∈ I, sao cho fᵢ(x) ≠ 0. 078I
Hệ quả 3 Giả sử các Eᵢ đầy đủ và φ(E) đóng trong F = ∏_i ∈ I Eᵢ. Khi đó E là đầy đủ đối với tôpô T. 078J
Ví dụ — Cho D'(R) là không gian các phân phối trên R; với p là một số sao cho 1 ≤ p ≤ +∞, cho j : Lᵖ(R) → D'(R) là đơn ánh chính tắc, liên tục (khi Lᵖ(R) mang tôpô không gian định chuẩn… 078K
Hệ quả 4 Một không gian vectơ E trên một trường chia được tôpô K, và (Tᵢ)_i ∈ I là một họ các tôpô tương thích với cấu trúc không gian vectơ của E; khi đó cận trên T của các tôpô Tᵢ tương t… 078L

§ 2. Các đa tạp tuyến tính trong một không gian vectơ tôpô

Mệnh đề 1 — Trong một không gian vectơ tôpô E, bao đóng của một đa tạp tuyến tính là một đa tạp tuyến tính. 0790
Hệ quả — Trong một không gian vectơ tôpô E, mọi siêu phẳng hoặc là đóng hoặc là trù mật khắp nơi. 0791
Định nghĩa 1 — Một tập hợp A, trong một không gian vectơ tôpô E, là đầy nếu và chỉ nếu không gian con vectơ đóng sinh bởi A trùng với E (tức là tập các tổ hợp tuyến tính của các phần tử của A l… 0792
Ví dụ — 1) Trong không gian định chuẩn C(I; C) (trên trường C) của các hàm, liên tục trên I = 0, 1, nhận giá trị trong C, các phép hạn chế lên I của các hàm xⁿ \ (n ∈ N) tạo thành một tậ… 0793
Định nghĩa 2 — Một họ (aᵢ)_i ∈ I các điểm của một không gian vectơ tôpô E được gọi là độc lập tôpô nếu với mọi κ ∈ I, không gian con vectơ đóng sinh bởi các aᵢ, với i ≠ κ, không chứa a_κ. 0794
Ví dụ 3 Trong không gian chuẩn C(I; C) của các hàm liên tục được xác định trên I = 0, 1, các hạn chế lên I của các hàm e^2nπ i x (n ∈ Z) lập thành một họ độc lập tôpô. Nếu f(x) là tổ hợp t… 0795
Ví dụ 4 Trong không gian chuẩn C(I; C) của các hàm liên tục trên I = 0, 1, các hạn chế lên I của các hàm xⁿ (n ∈ N) lập thành một họ độc lập theo nghĩa đại số. Nhưng tồn tại một dãy đa thứ… 0796
Nhận xét 1 Họ các tập độc lập tôpô của một không gian vectơ tôpô không nhất thiết quy nạp đối với quan hệ bao hàm (I, p. 25, exerc. 2); do đó tình huống này khác với trường hợp của các tập độ… 0797
Nhận xét 2 Cho M là một không gian con vectơ đóng của E và (dotaᵢ)_i ∈ I là một họ độc lập tôpô trong không gian thương E/M. Nếu aᵢ là bất kỳ phần tử nào của lớp dotaᵢ, thì từ định nghĩa 2, v… 0798
Mệnh đề 2 Mọi không gian vectơ tôpô Hausdorff E có chiều 1 trên một vành chia có định giá không rời rạc K đều đẳng cấu với Kₛ; thực vậy, với mọi a ≠ 0 trong E, ánh xạ ξ ↦ ξ a của Kₛ lên E là… ↩ 1 0799
Hệ quả 1 Trong một không gian vectơ tôpô Hausdorff E, trên một vành chia có định giá không rời rạc K, mọi không gian con vectơ D có chiều 1 đều đẳng cấu với Kₛ. 079A
Hệ quả 2 Cho E là một không gian vectơ tôpô trên một vành chia có định giá không rời rạc. Mọi không gian con vectơ D (có chiều 1) là bổ sung đại số của một siêu phẳng thuần nhất đóng H cũng… 079B
Định lý 1 Cho E là một không gian vectơ tôpô trên một vành chia có định giá không rời rạc. Cho H là một siêu phẳng trong E được xác định bởi phương trình f(x) = α trong đó f là một dạng tuyế… 079C
Hệ quả Mọi dạng tuyến tính liên tục trên E không đồng nhất bằng 0 đều là một cấu xạ ngặt của E lên Kₛ. 079D
Nhận xét — Có những ví dụ về các không gian vectơ tôpô chuẩn tắc trên một vành chia có giá trị đầy đủ, không rời rạc, trong đó mọi dạng tuyến tính liên tục đều đồng nhất bằng không (I, p. 2… 079E
Định lý 2 Mỗi không gian vectơ tôpô Hausdorff E, có số chiều hữu hạn n, trên một vành chia có giá trị đầy đủ, không rời rạc K, đều đẳng cấu với Kₛⁿ; thật vậy, với mỗi cơ sở (eᵢ)_1 ≤ i ≤ n củ… 079F
Hệ quả 1 Trong một không gian vectơ tôpô Hausdorff E trên một vành chia có giá trị đầy đủ, không rời rạc K, mọi không gian con vectơ F có số chiều hữu hạn đều đóng trong E. Thật vậy, nếu F… 079G
Hệ quả 2 Cho K là một vành chia có giá trị đầy đủ, không rời rạc, và E là một không gian vectơ tôpô Hausdorff có số chiều hữu hạn trên K. Nếu F là bất kỳ không gian vectơ tôpô nào trên K, t… 079H
Hệ quả 3 Trong một không gian vectơ tôpô Hausdorff E, trên một vành chia có giá trị đầy đủ, không rời rạc, mọi tập độc lập hữu hạn đều độc lập về tôpô. 079I
Hệ quả 4 ========== 079J
Mệnh đề 3 Cho E là một không gian vectơ tôpô trên một vành chia có giá trị đầy đủ, không rời rạc K. Cho M là một không gian con vectơ đóng có đối chiều hữu hạn n trong E. Khi đó mọi không gi… 079K
Hệ quả Cho E và F là hai không gian vectơ tôpô trên một vành chia có giá trị đầy đủ không rời rạc. Nếu F là Hausdorff và có số chiều hữu hạn, thì mọi ánh xạ tuyến tính liên tục của E lên… 079L
Nhận xét — Các kết quả của các số 2, 3 không còn đúng khi K là rời rạc. Chẳng hạn, cho K₁ là một vành chia có giá trị không rời rạc và cho K là vành chia rời rạc thu được bằng cách trang bị… 079M
Định lý 3 Cho K là một vành chia có định giá đầy đủ không rời rạc. Nếu E là một không gian vectơ tôpô Hausdorff trên K, sao cho tồn tại một lân cận V của 0 trong E là tiền compact, thì E có… 079N
Bổ đề 1 — Mọi không gian vectơ tôpô compact E trên một vành chia có định giá không rời rạc chỉ là tập 0. 079O
Nhận xét Kết quả của đl. 3 không còn đúng nếu K là một vành chia rời rạc, như được chỉ ra bởi ví dụ của R (với tôpô thông thường) xét như một không gian vectơ tôpô trên trường rời rạc Q. 079P

§ 3. Các không gian vectơ tôpô khả metric hóa

Nhận xét Một trong những lớp quan trọng nhất của các không gian vectơ mêtric hoá được là các không gian định chuẩn (I, p. 3). Nhưng cần lưu ý rằng tồn tại các không gian vectơ mêtric hoá đư… 07A5
Định lý 1 (Banach) Cho E và F là hai không gian vectơ mêtric hoá được trên một vành chia định giá không rời rạc K, và cho u là một ánh xạ tuyến tính liên tục của E vào F. Giả sử rằng E là đầy đủ. Khi… 07A6
Bổ đề 1 Cho E và F là hai không gian vectơ tôpô trên một vành chia định giá không rời rạc K, và cho u là một ánh xạ tuyến tính liên tục của E vào F sao cho ảnh của E không là tập hợp hạng… 07A7
Bổ đề 2 Cho E và F là hai không gian mêtric, và giả sử thêm rằng E cũng đầy đủ. Cho u là một ánh xạ tuyến tính từ E vào F có tính chất sau: với mọi số r > 0, tồn tại một số ρ(r) > 0 sao ch… 07A8
Hệ quả 1 Nếu E và F là hai không gian vectơ mêtric hóa được đầy đủ trên một thể có giá trị không rời rạc, thì mọi ánh xạ tuyến tính liên tục song ánh của E lên F đều là một đẳng cấu. 07A9
Hệ quả 2 Cho E là một không gian vectơ trên một vành chia được định giá không rời rạc, và T₁ và T₂ là hai tôpô trên E tương thích với cấu trúc không gian vectơ của nó và đối với mỗi tôpô ấy… 07AA
Hệ quả 3 Cho E và F là hai không gian vectơ đầy đủ mêtric hóa được trên một vành chia được định giá không rời rạc. Để một ánh xạ tuyến tính liên tục u từ E vào F là một cấu xạ ngặt, điều ki… 07AB
Hệ quả 4 Cho E là một không gian vectơ đầy đủ mêtric hóa được trên một vành chia được định giá không rời rạc. Nếu M và N là hai không gian con vectơ đóng, là các phần bù (đại số) của nhau t… 07AC
Hệ quả 5 (Định lý đồ thị đóng) — Cho E và F là hai không gian vectơ mêtric hoá được đầy đủ trên một thể chia có giá trị không rời rạc. Để một ánh xạ tuyến tính u từ E vào F liên tục, điều kiện cần và đủ là đồ th… 07AD
Ví dụ — Cho E là một không gian con vectơ của không gian các hàm thực xác định trên I = [0, 1]; gọi | f | là một chuẩn trên E, theo đó E là đầy đủ, và sao cho tôpô của nó mịn hơn tôpô hộ… 07AE
Mệnh đề 1 Cho E, F là hai không gian vectơ tôpô trên một thể chia định chuẩn không rời rạc K. Giả sử rằng : 07AF

II. Các tập lồi và các không gian lồi địa phương

§ 1. Chuẩn nửa

Định nghĩa 1 Cho E là một không gian vectơ trái trên K. Một ánh xạ p của E vào R₊ = 0, + ∞ , được gọi là một chuẩn nửa trên E nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau : (SNI) Nếu x ∈ E và λ ∈ K thì p(λ… 07AP
Ví dụ 1 Một chuẩn trên E là một bán chuẩn p sao cho quan hệ p(x) = 0 kéo theo x = 0 (I, p. 3). 07AQ
Ví dụ 2 Đối với mọi dạng tuyến tính f trên E, hàm x ↦ |f(x)| là một bán chuẩn trên E. 07AR
Ví dụ 3 Nếu pᵢ (1 ≤ i ≤ n) là một tập hợp hữu hạn các bán chuẩn trên E, thì rõ ràng p'(x) = sup_1 ≤ i ≤ n pᵢ(x) và p''(x) = ∑ᵢ₌₁ⁿ αᵢ pᵢ(x) (trong đó các αᵢ là ≥ 0) đều là các bán chuẩn trê… 07AS
Mệnh đề 1 Cho E là một không gian vectơ tôpô trái trên K và p là một nửa-chuẩn trên E. Các điều kiện sau là tương đương : a) p liên tục trên E. b) p liên tục tại điểm 0. c) p liên tục đều. d… 07AT
Hệ quả Nếu p là một nửa chuẩn liên tục trên E và q là một nửa chuẩn sao cho q ≤ p, thì q liên tục trên E. 07AU
Nhận xét — 1) Tôpô được xác định bởi một tập hợp hữu hạn các nửa chuẩn pᵢ (1 ≤ i ≤ n) trên E, có thể được xác định bởi nửa chuẩn duy nhất p = sup_1 ≤ i ≤ n pᵢ. Nhưng một tôpô được xác định… 07AV
Ví dụ — Cho C^∞(R) là không gian vectơ trên R gồm các hàm nhận giá trị thực và khả vi vô hạn trên R. Với mọi hàm và mọi cặp số nguyên n ≥ 0, m ≥ 1, đặt 07AW
Mệnh đề 2 Trên một không gian vectơ E, cho T là tôpô được xác định bởi một tập hợp các nửa chuẩn Γ. 07AX
Mệnh đề 3 Mọi không gian vectơ tôpô Hausdorff E trên K, mà tôpô của nó được xác định bởi một tập hợp các nửa chuẩn, đều đẳng cấu với một không gian con của một tích các không gian Banach. 07AY
Mệnh đề 4 Cho Eᵢ (1 ≤ i ≤ n) và F là các không gian vectơ tôpô trên K; giả sử rằng, với mọi i, tôpô của Eᵢ được xác định bởi một tập có hướng các nửa chuẩn Γᵢ, và tôpô của F được xác định bở… 07AZ
Hệ quả — Tập hợp H là đồng liên tục khi và chỉ khi, với mọi nửa chuẩn q ∈ Γ, tồn tại một lân cận của 0 trong ∏ᵢ₌₁ⁿ Eᵢ, trong đó các hàm q ∘ u, với u ∈ H, được chặn đều. 07B0
Mệnh đề 5 — Cho E, F là hai không gian vectơ tôpô trên một thể có định giá không rời rạc K; giả sử rằng tôpô của E (tương ứng của F) được xác định bởi một tập hợp các nửa chuẩn Γ (tương ứng… 07B1
Hệ quả 1 — Giả sử rằng T, T' là hai tôpô trên một không gian vectơ E trên K được xác định, theo thứ tự, bởi hai tập hợp chuẩn nửa Γ và Γ'. T mịn hơn T' nếu, và chỉ nếu, với mọi chuẩn nửa q… 07B2
Hệ quả 2 — Giả sử rằng tôpô T của một không gian vectơ tôpô E trên K được xác định bởi một tập có hướng các nửa chuẩn Γ; với mỗi nửa chuẩn p ∈ Γ, gọi Eₚ là không gian thu được từ E khi dùng… 07B3

§ 2. Tập hợp lồi

Định nghĩa 1 — Một tập con A của một không gian affine E là lồi nếu, với mọi hai điểm x, y của A, đoạn đóng có các đầu mút x, y được chứa trong A. 07B4
Ví dụ 1 Mọi đa tạp affine tuyến tính của E (và đặc biệt là tập rỗng) đều lồi. 07B5
Ví dụ 2 Các tập hợp lồi không rỗng duy nhất trong R là các khoảng (GT, IV, § 2.4, mệnh đề. 1). 07B6
Ví dụ 3 Cho E là một không gian vectơ và |x| là một chuẩn trên E; quả cầu đơn vị B, được tạo bởi các điểm x 07B7
Nhận xét — Cho A là một tập con lồi của một không gian vectơ E; với mọi vô hướng α > 0 và β > 0 ta có α A + β A = (α + β) A. Nói cách khác, với mọi x ∈ A, y ∈ A, tồn tại z ∈ A sao cho (α +… 07B8
Mệnh đề 1 Cho (xᵢ) là một họ các điểm của một tập con lồi A; mọi trọng tâm ∑ᵢ λᵢ xᵢ của các xᵢ được lập bởi các trọng số dương λᵢ (sao cho ∑ᵢ λᵢ = 1 và λᵢ = 0 trừ hữu hạn chỉ số, xem A, II… 07B9
Mệnh đề 2 Cho E và F là hai không gian afin và f là một ánh xạ afin tuyến tính từ E vào F; khi đó ảnh của một tập con lồi của E qua f, và ảnh ngược của một tập con lồi của F qua f đều lồi. 07BA
Mệnh đề 3 Trong không gian afin E, cho H là một siêu phẳng được xác định bởi quan hệ g(x) = 0, trong đó g là một hàm afin không hằng trên E. Khi đó các nửa không gian được xác định bởi các q… 07BB
Mệnh đề 4 Các điểm của A, một tập con lồi của một không gian afin E, nằm nghiêm ngặt về cùng một phía của một siêu phẳng H khi và chỉ khi A không gặp H. 07BC
Mệnh đề 5 — Giao của mọi họ các tập con lồi của một không gian afin E là lồi. 07BD
Mệnh đề 6 — Cho (Eᵢ)_i ∈ I là một họ các không gian vectơ, và với mỗi i ∈ I, cho Aᵢ là một tập con không rỗng của Eᵢ. Khi đó tập A = ∏_i ∈ I Aᵢ là lồi trong E = ∏_i ∈ I Eᵢ, khi và chỉ khi, v… 07BE
Hệ quả — Trong không gian Rⁿ mọi hình hộp song song (GT, VI, § 1.3) đều là một tập con lồi. 07BF
Mệnh đề 7 — Cho A và B là hai tập con lồi của không gian vectơ E. Với mọi số thực α, β tập α A + β B (tập các điểm có dạng α x + β y, trong đó x biến thiên trong A, và y trong B) là lồi. 07BG
Định nghĩa 2 — Cho một tập con A của một không gian afin E, ta gọi giao của mọi tập lồi chứa A, là bao lồi của A, tức là (II, p. 9, mệnh đề 5) nó là tập lồi nhỏ nhất chứa A. 07BH
Mệnh đề 8 — Với mọi họ (Aᵢ)_i ∈ I các tập con lồi của một không gian afin E, bao lồi của ⋃_i ∈ I Aᵢ chính là tập các tổ hợp tuyến tính ∑_i ∈ I λᵢ xᵢ, trong đó xᵢ ∈ Aᵢ, λᵢ ≥ 0 với mọi i ∈ I (… 07BI
Hệ quả 1 Bao lồi của một tập con A của E trùng với tập các tổ hợp tuyến tính ∑ᵢ λᵢ xᵢ, trong đó (xᵢ) là bất kỳ một họ hữu hạn các điểm của A, các số λᵢ > 0, với mọi i và ∑ᵢ λᵢ = 1. 07BJ
Hệ quả 2 Cho f là một ánh xạ tuyến tính affine từ không gian affine E vào không gian affine F; với mỗi tập con A của E, bao lồi của f(A) là ảnh qua f của bao lồi của A. 07BK
Định nghĩa 3 Một tập con C của một không gian affine E là một nón có đỉnh x0 nếu C bất biến đối với mọi phép vị tự tâm x0 và tỉ số 0. 07BL
Mệnh đề 9 Một nón lồi nhọn C là thực sự khi và chỉ khi nón không nhọn C', là phần bù của 0 trong C, là lồi. 07BM
Mệnh đề 10 Một tập con C của E là một nón lồi khi và chỉ khi C + C ⊂ C và λ C ⊂ C với mọi λ > 0. 07BN
Hệ quả 1 Nếu C là một nón lồi không rỗng, không gian vectơ sinh bởi C là tập C - C (tập các điểm x - y khi x, y thay đổi trong C). 07BO
Hệ quả 2 Nếu C là một nón lồi nhọn, không gian con vectơ lớn nhất được chứa trong C là tập C ∩ (-C). 07BP
Mệnh đề 11 Cho (Cᵢ)_i ∈ I là một họ các nón lồi trong E; nón lồi sinh bởi hợp của các Cᵢ trùng với tập các điểm ∑_i ∈ J xᵢ, trong đó J là một tập con hữu hạn bất kỳ của I và xᵢ ∈ Cᵢ với mọi i… 07BQ
Hệ quả — Với mọi tập con A của E, nón lồi sinh bởi A, trùng với tập các tổ hợp tuyến tính ∑_i ∈ J λᵢ xᵢ, trong đó (xᵢ)_i ∈ J là bất kỳ một họ hữu hạn không rỗng các điểm của A, và trong đ… 07BR
Mệnh đề 12 — Nếu A là một tập lồi trong E, thì nón lồi sinh bởi A trùng với C = ⋃_λ > 0 λ A. ↩ 1 07BS
Nhận xét — 1) Với các giả thiết của Mệnh đề 12, nếu 0 ∉ A, thì nón C không nhọn, do đó C ∪ 0 là thực sự. 07BT
Ví dụ — Trên không gian E = Rᴬ của tất cả các hàm giá trị thực hữu hạn xác định trên A, quan hệ thứ tự được cho bởi « với mọi t ∈ A, x(t) leqslant y(t) » là tương thích với cấu trúc khôn… 07BU
Mệnh đề 13 — (i) Tập P, gồm các phần tử geqslant 0, của một không gian vectơ tiền thứ tự E, là một nón lồi nhọn. 07BV
Ví dụ \ Cho H là một không gian Hilbert thực; trong không gian vectơ L(H) của các tự đồng cấu liên tục của H, các tự đồng cấu Hermit dương tạo thành một nón lồi nhọn thực sự; do đó, nón… 07BW
Mệnh đề 14 Trong một không gian vectơ tôpô E, bao đóng của một tập lồi (tương ứng, của một nón lồi) là một tập lồi (tương ứng, một nón lồi có cùng đỉnh). 07BX
Định nghĩa 4 Với mọi tập A của một không gian vectơ tôpô E, giao của tất cả các tập lồi đóng chứa A được gọi là bao lồi đóng của A; đó là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa A. 07BY
Mệnh đề 15 — Cho Aᵢ (1 ≤ i ≤ n) là một số hữu hạn các tập lồi compact trong một không gian vectơ tôpô Hausdorff E. Khi đó bao lồi của hợp các Aᵢ là compact (và do đó cũng chính là bao lồi đón… 07BZ
Hệ quả 1 — Trong một không gian vectơ tôpô Hausdorff, bao lồi của một tập hữu hạn là compact. 07C0
Hệ quả 2 — Trong một không gian vectơ tôpô E, bao lồi của một tập hữu hạn là tiền compact. 07C1
Mệnh đề 16 — Cho A là một tập con lồi, có ít nhất một điểm trong x₀, của một không gian vectơ tôpô E. Với mọi điểm x ∈ overlineA, mọi điểm của đoạn mở có hai đầu mút x₀, x đều nằm trong phần… 07C2
Hệ quả 1 — Phần trong overset∘A của một tập hợp lồi overlineA, tự nó là một tập hợp lồi; nếu overset∘A không rỗng, thì nó trùng với phần trong của overlineA, và overlineA là một tập hợp lồi… 07C3
Hệ quả 2 — Phần trong dotC của một nón lồi C, tự nó là một nón lồi; nếu dotC không rỗng thì nó trùng với phần trong của overlineC, và overlineC là một nón lồi nhọn trùng với bao đóng của do… 07C4
Mệnh đề 17 — Trong một không gian vectơ tôpô E, cho A là một tập hợp có ít nhất một điểm trong, và sao cho tất cả các điểm của nó nằm cùng một phía của một siêu phẳng H. Khi đó H là đóng, các… 07C5
Hệ quả — Cho P là một nón lồi nhọn, có ít nhất một điểm trong, của không gian vectơ tôpô E. Khi đó mỗi dạng tuyến tính f không đồng nhất bằng không trên E, và dương đối với cấu trúc tiền… 07C6
Nhận xét Trong một không gian vectơ tôpô E, mọi tập hợp lồi C đều liên thông. Thật vậy, nếu a ∈ C, thì C là hợp của các đoạn có đầu mút a và đóng tại a; các đoạn này liên thông và kết quả s… 07C7
Ví dụ Không gian Rⁿ với tôpô thông thường của nó và cấu trúc thứ tự là tích của cấu trúc thứ tự của các thừa số của nó là một không gian vectơ tôpô có thứ tự. Mặt khác, với n ≥ 2, khi Rⁿ… 07C8
Mệnh đề 18 Trong một không gian vectơ tôpô có thứ tự E, cho H là một tập hợp có hướng bởi quan hệ ≤. Nếu bộ lọc tiết diện của H có một giới hạn trong E, thì giới hạn này là cận trên của H. 07C9
Định nghĩa 5 Cho X là một tập con lồi của không gian afin E. Một hàm hữu hạn nhận giá trị thực, được định nghĩa trên X, là lồi (resp. lồi chặt) nếu với bất kỳ hai điểm phân biệt x, y của X và b… 07CA
Ví dụ Nếu f là một hàm afin tuyến tính trên E, thì f và f² là các hàm lồi trên E; điều này hiển nhiên đối với f vì f(λ x + (1 - λ) y) = λ f(x) + (1 - λ) f(y); mặt khác, nếu α = f(x), β =… 07CB
Mệnh đề 19 Cho X là một tập hợp lồi của không gian afin E; và cho f là một hàm thực xác định trên X. Ký hiệu tập hợp các điểm (x, a) ∈ E × R sao cho x ∈ X và f(x) leqslant a (tương ứng x ∈ X… 07CC
Hệ quả Nếu f là lồi trên X, thì với mọi α ∈ R, tập hợp các x ∈ X sao cho f(x) leqslant α (tương ứng f(x) < α) là lồi. 07CD
Mệnh đề 20 Cho f là một hàm lồi, xác định trên một tập hợp lồi X của không gian affine E. Khi đó với mọi họ (xᵢ)_1 ≤ i ≤ p gồm p điểm của X và mọi họ (λᵢ)_1 ≤ i ≤ p gồm p số thực, tất cả ≥ 0… 07CE
Mệnh đề 21 Cho f là một hàm lồi, xác định trên tập hợp lồi mở khác rỗng X trong không gian vectơ tôpô E. Khi đó f liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn trên khi hạn chế trên một tập con mở khác… 07CF
Hệ quả Mọi hàm lồi f xác định trên một tập hợp lồi mở X trong Rⁿ đều liên tục trong X. 07CG
Mệnh đề 22 Cho A là một tập hợp lồi, chứa 0, trong không gian vectơ E. Với mọi x ∈ E, đặt 07CH
Mệnh đề 23 Cho E là một không gian vectơ tôpô. Nếu A là một tập hợp lồi mở chứa 0, thì p_A hữu hạn và liên tục, và A = W(p_A, 1). Nếu A là một tập hợp lồi đóng chứa 0, thì p_A nửa liên tục dư… 07CI

§ 3. Định lý hahn-banach (dạng giải tích)

Mệnh đề 1 — Cho E là một không gian vectơ tiền thứ tự và V là một không gian con vectơ của E sao cho mọi phần tử của E đều bị chặn trên bởi một phần tử của V. Với một dạng tuyến tính f trên… 07DQ
Hệ quả Trong một không gian vectơ tôpô E với một cấu trúc tiền thứ tự tương thích, cho P là tập hợp các phần tử ≥ 0 trong E. Cho V là một không gian con vectơ của E chứa ít nhất một điểm… 07DR
Định lý 1 (Hahn-Banach) Cho p là một hàm dưới tuyến tính trên một không gian vectơ E. Cho V là một không gian con vectơ của E và f là một dạng tuyến tính trên V sao cho, với mọi y ∈ V, ta có f(y) ≤ p(y)… 07DS
Hệ quả 1 — Cho p là một nửa chuẩn trên không gian vectơ E. Cho V là một không gian con vectơ của E và f là một dạng tuyến tính trên V sao cho |f(y)| ≤ p(y) với mọi y ∈ V. Khi đó tồn tại một… 07DT
Hệ quả 2 — Cho p là một nửa chuẩn trên không gian vectơ E. Với một điểm x₀ ∈ E đã cho, tồn tại một dạng tuyến tính f xác định trên E, sao cho f(x₀) = p(x₀) và |f(x)| ≤ p(x) với mọi x ∈ E. 07DU
Hệ quả 3 — Cho V là một không gian con vectơ của không gian chuẩn E và cho f là một dạng tuyến tính liên tục trên V; khi đó tồn tại một dạng tuyến tính liên tục h được xác định trên E mở rộ… 07DV

§ 4. Không gian lồi địa phương

Định nghĩa 1 — Một không gian vectơ tôpô là lồi địa phương (thực) nếu tồn tại một hệ lân cận cơ bản của 0 gồm các tập hợp lồi. 07E4
Mệnh đề 1 — Cho 𝔖 là một cơ sở lọc trên một không gian vectơ E được tạo thành từ các tập hợp hấp thụ, đối xứng và lồi. Khi đó tập hợp 𝔅 gồm các ảnh của các tập hợp thuộc 𝔖 qua các phép vị tự… 07E5
Hệ quả — Tôpô T của một không gian vectơ tôpô E được xác định bởi một tập hợp các nửa chuẩn (II, p. 3) khi và chỉ khi T là lồi địa phương. 07E6
Mệnh đề 2 — Cho f là một dạng tuyến tính liên tục xác định trên một không gian con vectơ M của một không gian lồi địa phương E; khi đó tồn tại một dạng tuyến tính liên tục h xác định trên E… 07E7
Nhận xét — Nếu g là một ánh xạ tuyến tính liên tục của M vào không gian tích Rᴵ, thì tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục h của E vào Rᴵ là một sự mở rộng của g; vì khi viết g = (gᵢ), tro… 07E8
Hệ quả 1 — Cho E là một không gian lồi địa phương. Nếu x₀ ∈ E không thuộc bao đóng của 0, thì tồn tại một dạng tuyến tính liên tục f xác định trên E sao cho f(x₀) ≠ 0. 07E9
Hệ quả 2 — Cho M là một không gian con vectơ hữu hạn chiều của E, một không gian Hausdorff lồi địa phương. Khi đó tồn tại một không gian con vectơ đóng N của E, là phần bù tôpô của M trong… 07EA
Mệnh đề 3 — Trong một không gian lồi địa phương E, bao lồi cân bằng của một tập tiền compact cũng là một tập tiền compact. 07EB
Hệ quả — Nếu, trong một không gian Hausdorff lồi địa phương E, một tập compact X được chứa trong một tập lồi đầy đủ (đầy đủ trong cấu trúc đều cảm sinh bởi cấu trúc của E) thì bao lồi đón… 07EC
Mệnh đề 4 Cho E là một không gian vectơ và cho (Eᵢ)_i ∈ I là một họ các không gian lồi địa phương. Với mỗi i ∈ I, cho fᵢ là một ánh xạ tuyến tính của E vào Eᵢ; khi đó tôpô T trên E, là tôpô… 07ED
Mệnh đề 5 Cho E là một không gian vectơ, và (F_α)_α ∈ A là một họ các không gian vectơ tôpô và với mỗi α ∈ A, cho g_α là một ánh xạ tuyến tính của F_α vào E. 07EE
Hệ quả 1 Với các ký hiệu của mệnh đề 5, cho H là một tập các ánh xạ tuyến tính từ E vào không gian lồi địa phương G. Giả sử E là tổng các không gian con g_α(F_α) của nó; khi đó H là đẳng li… 07EF
Hệ quả 2 Cho (J_λ)_λ ∈ L là một phân hoạch của tập hợp chỉ số A. Cho (G_α)_α ∈ A là một họ các không gian lồi địa phương và (F_λ)_λ ∈ L là một họ các không gian vectơ. Với mỗi λ ∈ L, cho h_… 07EG
Ví dụ — Cho X là một không gian địa phương compact và E = K(X; R) là không gian vectơ của các hàm thực liên tục xác định trên X có giá compact. Với mỗi tập con compact K của X, cho E_K l… 07EH
Nhận xét — Trong ví dụ cuối, tôpô cảm sinh bởi T trên E_K trùng với T_K, vì theo định nghĩa nó thô hơn T_K và, do T mịn hơn Tᵤ, tôpô cảm sinh bởi T trên E_K mịn hơn tôpô cảm sinh bởi Tᵤ, tứ… 07EI
Định nghĩa 2 Cho E là không gian vectơ là tổng trực tiếp (A, II, § 1.6) của họ các không gian lồi địa phương (Eᵢ)_i ∈ I. Với mỗi i ∈ I, gọi fᵢ là đơn ánh chính tắc của Eᵢ vào E. Ta gọi tổng trự… 07EJ
Ví dụ — Cho (aᵢ)_i ∈ I là một cơ sở của không gian vectơ E và xét tôpô chính tắc (I, p. 2, Ví dụ 5) trên mỗi đường thẳng Raᵢ; tổng trực tiếp của các tôpô này là tôpô lồi địa phương mịn n… 07EK
Mệnh đề 6 Một tôpô lồi địa phương T trên E là tổng trực tiếp của các tôpô của Eᵢ, khi và chỉ khi tính chất sau đây được thỏa mãn: một ánh xạ tuyến tính từ E vào một không gian lồi địa phương… 07EL
Hệ quả Với ký hiệu của mệnh đề 5, II, p. 27, giả sử rằng E là tổng của các g_α(F_α). Gọi F là tổng trực tiếp tôpô của họ (F_α)_α ∈ A, và gọi j_α : F_α → F là đơn ánh chính tắc; giả sử rằn… 07EM
Mệnh đề 7 Đơn ánh chính tắc j : E → ∏_i ∈ I Eᵢ là liên tục khi E mang tôpô tổng trực tiếp của các Eᵢ và ∏_i ∈ I Eᵢ mang tôpô tích. Khi I hữu hạn, ánh xạ này là một đẳng cấu của các không gia… 07EN
Mệnh đề 8 Cho N_ι là một không gian con của E_ι, với mọi ι ∈ I, 07EO
Hệ quả 1 Nếu N_ι đóng trong E_ι với mọi ι ∈ I, thì N = ∑_ι N_ι trong E là đóng. 07EP
Hệ quả 2 Nếu mỗi E_ι là Hausdorff, thì E cũng vậy và mỗi E_ι là đóng trong E. 07EQ
Bổ đề 1 — Cho 𝔉 là một bộ lọc Cauchy trên E (đối với T); khi đó tồn tại một số nguyên k sao cho với mọi N ∈ 𝔉 và mọi lân cận V của 0 trong E, không gian con Eₖ gặp N + V. 07ER
Mệnh đề 9 Giả sử tôpô cảm sinh trên Eₙ bởi Tₙ₊₁ là đồng nhất với Tₙ đối với mọi số nguyên n. Khi đó (i) Tôpô cảm sinh bởi T trên Eₙ là đồng nhất với Tₙ đối với mỗi n; nếu các Tₙ là Hausdorff… 07ES
Bổ đề 2 Cho V là một lân cận lồi của 0 trong M, một không gian con vectơ của một không gian lồi địa phương F. Khi đó tồn tại một lân cận lồi W của 0 trong F sao cho W ∩ M = V. Hơn nữa, nếu… 07ET
Nhận xét — 1) Giả sử rằng E là hợp của một họ tăng có hướng, không đếm được các không gian con (E_α)_α ∈ I, mỗi E_α mang một tôpô lồi địa phương T_α, sao cho, với E_α ⊂ E_β, tôpô cảm sinh t… 07EU
Mệnh đề 10 Cho E, F là hai không gian lồi địa phương. Giả sử rằng : ↩ 1 07EV
Hệ quả Với cùng các giả thiết trên E và F như trong mệnh đề 10 và giả sử E là Hausdorff, thì mọi ánh xạ toàn ánh liên tục v từ F vào E là một cấu xạ chặt. 07EW
Mệnh đề 11 Cho E là một không gian lồi địa phương có thể metr hóa. Tôpô của E có thể được xác định bởi một khoảng cách bất biến qua tịnh tiến, và sao cho các quả cầu mở là lồi. 07EX
Mệnh đề 12 Cho E và F là hai không gian Fréchet và u là một ánh xạ tuyến tính liên tục của E lên F. Khi đó tồn tại một tiết diện của u liên tục mặc dù không nhất thiết tuyến tính. 07EY
Hệ quả Nếu L là một tập compact trong F, thì tồn tại một tập compact K trong E sao cho u(K) = L. \ 07EZ
Nhận xét — 1) Hệ quả của mđ. 12 cũng có thể suy ra từ đl. 1 của I, p. 17 và mđ. 18 của GT, IX, § 2.10. 2) Ta giữ các ký hiệu của mđ. 12. Lấy p là một nửa chuẩn liên tục trên E; 07F0

§ 5. Phân ly các tập hợp lồi

Định lý 1 (Hahn-Banach) — Cho A là một tập hợp lồi mở không rỗng của không gian vectơ tôpô E và cho M là một đa tạp tuyến tính không rỗng không gặp A. Khi đó tồn tại một siêu phẳng đóng H chứa M và không… 07FI
Nhận xét 1 Khi 0 ∈ M, th. 1 có thể phát biểu như sau : tồn tại một dạng tuyến tính liên tục trong E, sao cho g(x) = 0 trong M và g(x) > 0 trong A (II, p. 8, mđ. 4). 07FJ
Nhận xét 2 Nếu áp dụng định lý 1 cho trường hợp E mang tôpô lồi địa phương thô nhất (II, p. 25, Ví dụ 2), và nếu, để cho đơn giản, ta giả sử rằng 0 ∈ A, thì ta thu được kết quả sau (bề ngoài… 07FK
Định nghĩa 1 — Hai tập hợp không rỗng A, B của một không gian vectơ tôpô thực E được gọi là được phân biệt bởi một siêu phẳng đóng H nếu A được chứa trong một trong hai nửa không gian đóng được… 07FL
Định nghĩa 2 — Hai tập hợp không rỗng A, B của một không gian vectơ tôpô thực được gọi là được phân biệt một cách chặt bởi siêu phẳng đóng H nếu A được chứa trong một trong hai nửa không gian m… 07FM
Mệnh đề 1 — Cho A là một tập hợp lồi mở không rỗng và cho B là một tập hợp lồi không rỗng trong một không gian vectơ tôpô thực E; nếu A không gặp B thì tồn tại một siêu phẳng đóng phân biệt… 07FN
Nhận xét — 1) Siêu phẳng H không gặp A (II, p. 15, prop. 1; nếu A và B là hai tập hợp không rỗng mở lồi không gặp nhau thì tồn tại một siêu phẳng đóng phân biệt A một cách chặt với B. 2) Tu… 07FO
Định nghĩa 3 — Với một tập con A của một không gian vectơ E, một siêu phẳng H được gọi là một siêu phẳng đỡ của A, nếu H chứa ít nhất một điểm của A và mọi điểm của A đều nằm về cùng một phía c… 07FP
Mệnh đề 2 — Cho A là một tập con compact không rỗng của một không gian vectơ tôpô E. Với mọi siêu phẳng đóng H trong E, tồn tại một siêu phẳng đỡ của A song song với H. 07FQ
Mệnh đề 3 — Trong một không gian vectơ tôpô E, cho A là một tập lồi đóng có phần trong không rỗng. Khi đó mọi siêu phẳng đỡ của A đều đóng và mọi điểm biên của A đều thuộc ít nhất một siêu p… 07FR
Mệnh đề 4 — Cho A là một tập hợp lồi đóng không rỗng trong một không gian lồi địa phương E và cho K là một tập hợp lồi compact không rỗng trong E, không giao nhau với A. Khi đó tồn tại một s… 07FS
Nhận xét Trong một không gian lồi địa phương Hausdorff E, cho A và B là hai tập hợp lồi đóng không rỗng rời nhau, nếu E hữu hạn chiều thì tồn tại một siêu phẳng đóng phân cách A khỏi (II, p… 07FT
Hệ quả 1 — Trong một không gian lồi địa phương, mọi tập hợp lồi đóng A là giao của các nửa không gian đóng chứa nó. 07FU
Hệ quả 2 — Trong một không gian lồi địa phương Hausdorff, mọi tập hợp lồi compact A là giao của các nửa không gian đóng chứa nó và được xác định bởi các siêu phẳng đỡ của A. 07FV
Hệ quả 3 — Trong một không gian lồi địa phương, bao đóng của mỗi đa tạp tuyến tính M là giao của các siêu phẳng đóng chứa M. 07FW
Hệ quả 4 Cho C là một tập hợp lồi đóng trong một không gian lồi địa phương E. Một tập con A của E được chứa trong C, khi, và chỉ khi, với mọi hàm affine liên tục nhận giá trị thực u trong E… 07FX
Hệ quả 5 Trong một không gian lồi địa phương E, bao đóng của mỗi nón lồi C có đỉnh 0 là giao của các nửa không gian đóng chứa C được xác định bởi các siêu phẳng đóng đi qua 0. 07FY
Bổ đề 1 — Nếu một nón A, có đỉnh 0, được chứa trong một nửa không gian mở được xác định bởi một siêu phẳng H, thì nó được chứa trong một nửa không gian đóng được xác định bởi một siêu phẳn… 07FZ
Mệnh đề 5 Cho X là một tập hợp lồi đóng trong một không gian lồi địa phương E. Khi đó mọi hàm lồi nửa liên tục dưới f được xác định trên X là bao trên của một họ các hàm là các phần hạn chế… ↩ 1 07G0
Nhận xét 1 Suy ra từ mệnh đề 5 rằng f là bao trên của một họ tăng có hướng các hàm là những hạn chế lên X của các hàm liên tục và lồi trên E. 07G1
Nhận xét 2 Giả sử thêm rằng X là một hình nón lồi đóng có đỉnh 0 và rằng f là thuần nhất dương. Khi đó f là bao trên của một họ các hàm là những hạn chế lên X của các dạng tuyến tính liên tục… 07G2
Nhận xét 3 Hạn chế lên X của một hàm afin liên tục trong E là một hàm afin trên X (tức là vừa lõm vừa lồi II, p. 17); nhưng có thể có những hàm afin liên tục trong một tập lồi compact X ⊂ E… 07G3
Mệnh đề 6 Cho f là một hàm afin nửa liên tục trên của một tập lồi compact X, thuộc không gian lồi địa phương Hausdorff E. Cho L là tập hợp các hạn chế lên X của các hàm afin liên tục trong E… 07G4
Hệ quả Cho f là một hàm afin liên tục trong X; khi đó tồn tại một dãy (hₙ) gồm các phần tử của L hội tụ đều đến f trong X. \ 07G5

§ 6. Tôpô yếu

Mệnh đề 1 Cho F, G là hai không gian vectơ thực và B là một dạng song tuyến tính trên F × G. Cho 07H0
Ví dụ — 1) Cho E là một không gian vectơ và cho E là đối ngẫu của nó. Dạng song tuyến tính chính tắc (x, x^*) ↦ ⟨ x, x^* ⟩ trên E × E^* (A, II, § 2.3) đặt E và E vào thế đối ngẫu phân ly… 07H1
Định nghĩa 1 — Bởi đối ngẫu của một không gian vectơ tôpô E, ta hiểu không gian con E' của E, đối ngẫu của không gian vectơ E, gồm các dạng tuyến tính liên tục trên E. 07H2
Nhận xét — 1) Khi E là một không gian vectơ tôpô, đối ngẫu E^* của không gian vectơ E sẽ được gọi là đối ngẫu đại số của E để tránh nhầm lẫn. Cũng chú ý rằng E^* là đối ngẫu của không gian… 07H3
Định nghĩa 2 — Cho F và G là hai không gian vectơ được đặt trong đối ngẫu bởi dạng song tuyến tính B. Tôpô thô nhất trên F làm cho mọi dạng tuyến tính B(., y): x ↦ B(x, y) liên tục, khi y chạy… 07H4
Mệnh đề 2 — Tôpô yếu σ(F, G) là Hausdorff khi và chỉ khi đối ngẫu giữa F và G là phân ly trên F. 07H5
Mệnh đề 3 — Cho F và G là hai không gian vectơ thực trong đối ngẫu. Mọi dạng tuyến tính trên F, liên tục đối với σ(F, G), đều có thể viết dưới dạng x ↦ ⟨ x, y ⟩ với một y ∈ G. Phần tử y ∈ G… 07H6
Hệ quả 1 — Một họ (aᵢ) các điểm của F là toàn phần đối với tôpô σ(F, G) khi và chỉ khi, với mọi y ≠ 0 trong G, tồn tại một chỉ số i sao cho ⟨ aᵢ, y ⟩ ≠ 0. 07H7
Hệ quả 2 — Một họ (aᵢ) các điểm của F là độc lập về tôpô đối với tôpô σ(F, G), khi và chỉ khi, với mọi chỉ số i, tồn tại một phần tử bᵢ ∈ G sao cho : ⟨ aᵢ, bᵢ ⟩ ≠ 0 và ⟨ a_κ, bᵢ ⟩ = 0 với m… 07H8
Hệ quả 3 — Cho G₁ và G₂ là hai không gian con vectơ của F^*, ngẫu đôi với F (đối với hạn chế của dạng song tuyến tính chính tắc). Khi đó σ(F, G₂) mịn hơn σ(F, G₁) khi và chỉ khi G₁ ⊂ G₂. 07H9
Hệ quả 4 — Cho G là một không gian con vectơ của đối ngẫu F^*, của không gian vectơ F. Khi đó F và G ở trong ngẫu đôi phân ly (đối với dạng song tuyến tính chính tắc) khi và chỉ khi G trù m… 07HA
Định nghĩa 2 Cho F và G là hai không gian vectơ (thực) ngẫu đôi với nhau. Với mọi tập hợp M của F, ta gọi tập cực của M là tập hợp các y ∈ G sao cho ⟨ x, y ⟩ ≥ -1 với mọi x ∈ M. (Đối với các kh… 07HB
Mệnh đề 4 (i) Với mọi tập hợp M của F, tập cực M^∘ là một tập hợp lồi chứa 0 và đóng trong G đối với tôpô σ(G, F). 07HC
Định lý 1 (định lý lưỡng cực) Cho F, G là hai không gian vectơ thực đối ngẫu với nhau. Với mọi tập con M của F, tập cực M^∘ ∘ trong F của tập cực M^∘ của M trong G là bao lồi đóng (đối với σ(F, G)) của M ∪ 0. 07HD
Hệ quả 1 Với mọi họ (M_α) các tập hợp lồi đóng của F (trong tôpô σ(F, G)), mỗi tập hợp đều chứa 0, tập hợp đối cực của giao M = ⋂ limits_α M_α là bao lồi đóng (đối với σ(G, F)) của hợp các… 07HE
Hệ quả 2 Với mọi không gian con vectơ M của F, không gian con M^∘∘ là bao đóng của M trong tôpô σ(F, G). 07HF
Nhận xét — Mọi lân cận của 0 trong G đối với tôpô σ(G, F) đều chứa một lân cận V được xác định bởi một số hữu hạn bất đẳng thức dạng |⟨ xᵢ, y ⟩| ≤ 1 (1 ≤ i ≤ n), trong đó các xᵢ là những đi… 07HG
Hệ quả 3 Cho T là tôpô của một không gian lồi địa phương E và E' là đối ngẫu của nó (II, p. 42, def. 1). 07HH
Mệnh đề 5 Cho u là một ánh xạ tuyến tính từ F vào F₁. Các tính chất sau là tương đương : 07HI
Nhận xét — Giả sử rằng đối ngẫu giữa F và G là phân biệt trên G và rằng đối ngẫu giữa F₁ và G₁ là phân biệt trên G₁. Nếu ta đồng nhất G và G₁ tương ứng với các không gian con của F^* và F₁^… 07HJ
Hệ quả Giả sử rằng đối ngẫu giữa F và G là phân biệt trên G. Nếu u là một ánh xạ tuyến tính từ F vào F₁, liên tục đối với σ(F, G) và σ(F₁, G₁), thì chuyển vị của nó là một ánh xạ tuyến tí… 07HK
Mệnh đề 6 Giả sử rằng đối ngẫu giữa F và G (tương ứng giữa F₁ và G₁) là phân biệt trên G (tương ứng trên F₁). Cho u là một ánh xạ tuyến tính từ F vào F₁, liên tục đối với σ(F, G) và σ(F₁, G₁… 07HL
Hệ quả 1 Với các ký hiệu của mệnh đề 6, quan hệ u(A) ⊂ A₁ kéo theo ᵗ u(A₁^∘) ⊂ A^∘; nếu thêm nữa A₁ là lồi, đóng (đối với σ(F₁, G₁)) và chứa gốc, thì hai quan hệ này là tương đương. 07HM
Hệ quả 2 Cho u là một ánh xạ tuyến tính từ F vào F₁ liên tục đối với σ(F, G) và σ(F₁, G₁). Khi đó ta có 07HN
Mệnh đề 7 — Cho M là một không gian con vectơ của F và N là một không gian con vectơ của G, trong đó F và G là hai không gian vectơ đối ngẫu với nhau. Giả sử rằng M và N trực giao với nhau (… 07HO
Nhận xét — Đối ngẫu giữa M và G/N (trong đó M và N là hai không gian con trực giao) là phân ly trên M khi và chỉ khi M ∩ G^∘ = 0; nó là phân ly trên G/N khi và chỉ khi N = M^∘. 07HP
Hệ quả 1 — Giả sử rằng đối ngẫu giữa F và G là phân ly trên F. Với một không gian con vectơ M của F, tôpô σ(G/M^∘, M) đồng nhất với tôpô thương của σ(G, F) theo M^∘, khi và chỉ khi M đóng đ… 07HQ
Hệ quả 2 — Nếu M có chiều hữu hạn n và đối ngẫu là phân ly trên F, thì M^∘ có đối chiều hữu hạn n trong G. Nếu M đóng đối với σ(F, G) và có đối chiều hữu hạn n và nếu đối ngẫu là phân ly tr… 07HR
Hệ quả 3 — Cho (F, G), (F1, G1) là hai cặp không gian ở trong đối ngẫu phân ly và cho u là một ánh xạ tuyến tính từ F vào F1, liên tục đối với σ(F, G) và σ(F₁, G₁). Khi đó u là một cấu xạ n… 07HS
Hệ quả 4 — Cho (F, G), (F1, G1) là hai cặp ở trong đối ngẫu phân ly, và cho u là một ánh xạ tuyến tính từ F vào F1 liên tục đối với σ(F, G) và σ(F₁, G₁). Khi đó u là toàn ánh, khi và chỉ kh… 07HT
Nhận xét — 1) Cho (F₁, G₁), (F₂, G₂), (F₃, G₃) là ba cặp không gian ở trong đối ngẫu phân ly và xét một dãy gồm hai ánh xạ tuyến tính 07HU
Mệnh đề 8 — Cho (Fᵢ, Gᵢ)_i ∈ I là một họ các cặp không gian đối ngẫu. Cho F = ∏_i ∈ I Fᵢ là không gian tích của các Fᵢ và G = ⨁_i ∈ I Gᵢ là tổng trực tiếp của các Gᵢ. Nếu, với mọi x = (xᵢ) ∈… 07HV
Nhận xét — Đối ngẫu giữa F và G là tách biệt trên F (tương ứng trên G) khi và chỉ khi với mọi i ∈ I, đối ngẫu giữa Fᵢ và Gᵢ là tách biệt trên Fᵢ (tương ứng trên Gᵢ). Nếu đối ngẫu giữa F và… 07HW
Hệ quả 1 — Cho F và G là hai không gian vectơ đối ngẫu tách biệt. Nếu không gian F (với σ(F, G)) là tổng tôpô trực tiếp của hai không gian con M, N thì không gian G (với σ(G, F)) là tổng tô… 07HX
Hệ quả 2 — Cho (eᵢ)_i ∈ J là một cơ sở của không gian vectơ F với đối ngẫu F^*, và cho u : R⁽ᴵ⁾ → F là một đẳng cấu (đại số) được xác định bởi cơ sở này. Khi đó ánh xạ chuyển vị ᵗ u : F^* →… 07HY
Mệnh đề 9 — Cho F, G là hai không gian vectơ đối ngẫu phân ly. Nếu hatF là không gian đầy đủ hóa của không gian F đối với tôpô σ(F, G) và nếu ta xét đơn ánh chính tắc j : F → G^*, trong đó G… 07HZ
Mệnh đề 10 Cho G là một không gian vectơ thực và F = G^* là đối ngẫu của nó với tôpô σ(G^*, G). 07I0
Bổ đề 1 Cho E là một không gian yếu Hausdorff và C là một nón thực sự có đỉnh 0 trong E, đầy đủ đối với cấu trúc đều cảm sinh bởi cấu trúc đều của E. Khi đó mọi dạng tuyến tính liên tục tr… 07I1
Mệnh đề 11 Cho E là một không gian yếu Hausdorff, và C là một nón lồi thực sự có đỉnh 0 trong E và đầy đủ đối với cấu trúc đều cảm sinh bởi cấu trúc đều của E. 07I2
Hệ quả 1 — Cho E là một không gian yếu Hausdorff và C là một nón lồi thực sự có đỉnh 0 trong E, đầy đủ đối với cấu trúc đều cảm sinh bởi cấu trúc đều của E. Khi đó ánh xạ (x, y) ↦ x + y từ… 07I3
Hệ quả 2 — Cho E là một không gian yếu Hausdorff, và C là một nón lồi thực sự có đỉnh 0 trong E, đầy đủ đối với cấu trúc đều cảm sinh bởi cấu trúc đều của E. 07I4

§ 7. Các điểm cực biên và các phần tử sinh cực biên

Định nghĩa 1 Cho A là một tập hợp lồi trong một không gian afin E. Khi đó ta nói rằng một điểm x ∈ A là một điểm cực biên của A nếu không tồn tại một đoạn thẳng mở nào được chứa trong A và chứa… 07IP
Ví dụ 1 Trong không gian Rⁿ, mọi điểm của mặt cầu Sₙ₋₁ đều là các điểm cực biên của quả cầu đóng Bₙ. Thật vậy, nếu ∑ᵢ yᵢ² ≤ 1,\ ∑ᵢ zᵢ² ≤ 1 và 0 < λ < 1, thì quan hệ λ² ∑ᵢ yᵢ² + (1 - λ)² ∑ᵢ… 07IQ
Ví dụ 2 Trong không gian chuẩn B(N) của các dãy số thực bị chặn (I, p. 4), các điểm cực biên của quả cầu đơn vị là các điểm x = (ξₙ) sao cho |ξₙ| = 1 với mọi n. Thật vậy, giả sử rằng ta có… 07IR
Ví dụ 3 Cho u : E → E' là một ánh xạ afin từ một không gian afin E vào một không gian afin E'; cho C ⊂ E,\ C' ⊂ E' là hai tập hợp lồi sao cho u(C) ⊂ C'. Nếu x' là một điểm cực biên của C'… 07IS
Mệnh đề 1 Cho B là tập hợp các điểm cực biên của A, trong đó A là một tập hợp lồi compắc không rỗng trong một không gian lồi địa phương Hausdorff E, và cho f là một hàm lồi xác định trên A v… 07IT
Hệ quả Cho A là một tập compact lồi trong một không gian lồi địa phương Hausdorff E. Khi đó mọi siêu phẳng tựa đóng H của A đều chứa ít nhất một điểm cực biên của A. 07IU
Định lý 1 (Krein-Milman) — Trong một không gian lồi địa phương Hausdorff E, mọi tập compact lồi A là bao lồi đóng của tập hợp các điểm cực biên của nó. 07IV
Mệnh đề 2 Cho x là một điểm cực biên của một tập compact lồi A trong một không gian Hausdorff lồi địa phương E. Khi đó với mọi lân cận mở V của x trong E, tồn tại một nửa không gian mở F tro… 07IW
Hệ quả — Trong một không gian lồi địa phương Hausdorff, cho K là một tập con compact của một tập compact lồi A. Khi đó các điều kiện sau là tương đương. 07IX
Nhận xét 1 Ngay cả khi không gian vectơ E là hữu hạn chiều thì tập hợp các điểm cực biên của một tập lồi compact cũng không nhất thiết đóng (II, p. 89, bài tập 11). 07IY
Nhận xét 2 Nếu K là một tập compact trong một không gian lồi địa phương Hausdorff không đầy đủ, và A, bao lồi đóng của K, không compact, thì có thể có những điểm cực biên của A không thuộc K… 07IZ
Nhận xét 3 Trong một không gian Banach E vô hạn chiều, có thể xảy ra trường hợp quả cầu đóng tâm 0 bán kính 1 không có điểm cực biên nào (II, p. 89, bài tập 14). 07J0
Nhận xét 4 Nếu A là một tập lồi compact trong một không gian lồi địa phương Hausdorff, thì có thể xảy ra trường hợp một điểm cực biên của A không thuộc bất kỳ siêu phẳng tựa nào của A (II, p… 07J1
Định nghĩa 2 Cho C là một nón lồi có đỉnh 0 trong một không gian vectơ E. Ta nói rằng một nửa đường thẳng D ⊂ C xuất phát từ 0 là một phần tử sinh cực biên của C, nếu mọi đoạn mở chứa trong C… 07J2
Nhận xét 1 Cho C là một nón lồi nhọn thực sự trong E, và xét trên E cấu trúc thứ tự mà đối với nó C là tập hợp các phần tử ≥ 0 (II, p. 12, mệnh đề 13); để một phần tử của E, chẳng hạn x 0, th… 07J3
Mệnh đề 3 Trong một không gian vectơ E, cho C là một nón lồi có đỉnh 0, và cho x₀ ≠ 0 là một điểm của C, và D là một nửa đường thẳng chứa trong C, xuất phát từ 0 và chứa x₀. Cho H là một siê… 07J4
Định nghĩa 3 Cho C là một tập lồi trong một không gian vectơ tôpô Hausdorff E. Một tập lồi compact không rỗng A của C được gọi là một mũ của C nếu phần bù C − A của A trong C là lồi. 07J5
Mệnh đề 4 — Cho C là một nón lồi nhọn có đỉnh 0 trong E, một không gian lồi địa phương Hausdorff. 07J6
Hệ quả 1 — Cho C là một nón lồi nhọn có đỉnh 0 trong E, một không gian lồi địa phương Hausdorff, và p là chuẩn Minkowski của A, một thiết diện của C. Khi đó các điểm cực biên của A là điểm… 07J7
Hệ quả 2 — Mọi điểm của C thuộc về một thiết diện của C cũng thuộc bao lồi đóng của hợp các tia sinh cực biên của C. 07J8
Mệnh đề 5 Cho C là một nón lồi thực sự có đỉnh 0 trong E, một không gian yếu Hausdorff; giả sử rằng C là đầy đủ đối với cấu trúc đều cảm sinh bởi cấu trúc đều của E, và rằng tồn tại một hệ c… 07J9
Nhận xét 2 Tồn tại các nón lồi thực sự đầy đủ yếu mà không có tia sinh cực biên nào (II, p. 92, bài tập 31). 07JA
Mệnh đề 6 Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff và K là một tập compact lồi trong E không chứa 0. Khi đó nón nhọn nhỏ nhất có đỉnh 0 chứa K là một nón lồi thực sự trong E và là mộ… 07JB
Ví dụ 1 Mọi nón lồi đóng thực sự trong E, một không gian vectơ có số chiều hữu hạn, đều có một đáy compắc. Thật vậy, theo II, p. 52, prop. 11, ta chỉ cần xét trường hợp E = Rⁿ và C = R₊ⁿ… 07JC
Ví dụ 2 Nếu X là một không gian compắc, thì nón M₊(X) các độ đo dương trên X, với tôpô vague, là một nón có đáy compắc (INT, III, 2nd ed., § 1, No. 9, cor. 3 of prop. 15). \ 07JD

§ 8. Các không gian phức lồi địa phương

Nhận xét — Với một không gian vectơ tôpô F trên R, không phải luôn luôn tồn tại một tự đẳng cấu u của F mà bình phương của nó là -1_F; chẳng hạn, không thể định nghĩa cấu trúc không gian ve… 07KJ
Định lý 1 (Hahn-Banach) — Cho V là một không gian con vectơ của E, trong đó E là một không gian vectơ phức, và cho f là một dạng tuyến tính (phức) trên V và p là một nửa chuẩn trên E sao cho |f(y)| ≤ p(y)… 07KK
Hệ quả 1 — Cho x₀ là một điểm của một không gian vectơ tôpô phức E và p là một nửa chuẩn liên tục trên E; khi đó tồn tại một dạng tuyến tính liên tục (phức) f được xác định trên E, sao cho… 07KL
Hệ quả 2 — Cho V là một không gian con vectơ của một không gian lồi địa phương phức E và f là một dạng tuyến tính phức xác định và liên tục trên V; khi đó tồn tại một dạng tuyến tính liên t… 07KM
Hệ quả 3 — Cho M là một không gian con vectơ hữu hạn chiều của một không gian lồi địa phương phức Hausdorff E. Khi đó tồn tại một không gian con vectơ đóng N của E là một phần bù tôpô của M… 07KN
Mệnh đề 1 — Cho A là một tập hợp lồi mở không rỗng trong một không gian vectơ tôpô phức E và M là một đa tạp tuyến tính phức không rỗng không giao với A. Khi đó tồn tại một siêu phẳng phức đ… 07KO
Hệ quả — Trong một không gian lồi địa phương phức E, mọi đa tạp tuyến tính phức đóng M là giao của các siêu phẳng phức đóng chứa nó. 07KP
Mệnh đề 2 Cho A là một tập hợp cân bằng lồi mở không rỗng của một không gian vectơ tôpô phức E, và B là một tập hợp lồi không rỗng không giao với A. Khi đó tồn tại một dạng tuyến tính phức l… 07KQ
Mệnh đề 3 Cho A là một tập hợp cân bằng, đóng, lồi trong một không gian lồi địa phương phức E và cho K là một tập hợp lồi compắc không rỗng trong E không giao với A. Khi đó tồn tại một dạng… 07KR
Định nghĩa 1 Cho F và G là hai không gian vectơ phức đối ngẫu với nhau. Với mọi tập con M của F, cực của M trong G, ký hiệu là M^∘, là tập hợp các y ∈ G sao cho Re(⟨ x, y ⟩) ≥ -1 với mọi x ∈ M. 07KS

III. Không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục

§ 1. Bornô học trong không gian vectơ tôpô

Định nghĩa 1 — Một bornôlôgi trên một tập hợp E là một tập con B của tập hợp tất cả các tập con của E thỏa mãn các điều kiện sau (cf. GT, X, § 1.2, Nhận xét 2). (B1) Mọi tập con của một tập hợp… 07KW
Ví dụ — Cho E là một không gian metric; tập hợp tất cả các tập con bị chặn của E (GT, IX, § 2, No. 2) là một bornôlôgi phủ trên E. Cho G là nhóm các đẳng cự của E; tập hợp tất cả các tập… 07KX
Định nghĩa 2 Cho E là một không gian vectơ. Một bornôlôgi B trên E được gọi là lồi nếu với mọi X ∈ B và t ∈ K, tập hợp đồng dạng tX và bao lồi cân bằng Γ(X) (II, p. 10) của X đều thuộc B. 07KY
Định nghĩa 3 Cho E là một không gian vectơ tôpô. Một tập con A của E được gọi là bị chặn nếu nó bị hấp thụ bởi mọi lân cận của 0 trong E (I, p. 7, def. 4). 07KZ
Nhận xét — 1) Nếu E là một không gian nửa chuẩn, các quả cầu tạo thành một hệ lân cận cơ bản bị chặn của 0 trong E. Đảo lại, nếu E là một không gian vectơ tôpô lồi địa phương, và nếu tồn tạ… 07L0
Định nghĩa 4 Cho E là một không gian lồi địa phương. Một bornology B trên E được gọi là thích nghi với E, nếu nó lồi, gồm các tập con bị chặn của E và nếu bao đóng của mọi tập hợp thuộc B cũng… 07L1
Mệnh đề 1 Cho E là một không gian lồi địa phương. Tập hợp các tập con bị chặn của E là một bornology thích nghi. 07L2
Định nghĩa 5 Cho E là một không gian lồi địa phương. Tập hợp tất cả các tập con bị chặn của E được gọi là bornology chính tắc của E. 07L3
Mệnh đề 2 Trong một không gian lồi địa phương E, mọi tập tiền compact đều bị chặn. Cho A là một tập con tiền compact của E, và V là một lân cận lồi cân bằng của 0. Tồn tại một dãy hữu hạn (a… 07L4
Hệ quả Trong một không gian lồi địa phương, tập hợp các điểm của một dãy Cauchy là bị chặn. Thực vậy, tập hợp này là tiền compact (GT, II, § 4, No. 2). 07L5
Nhận xét 5 — Nói chung các tập con bị chặn của một không gian lồi địa phương E không phải tất cả đều là tiền compact (ví dụ, nếu E là một không gian định chuẩn vô hạn chiều, quả cầu đơn vị củ… 07L6
Mệnh đề 3 — Cho A là một tập con của một không gian lồi địa phương E. Giả sử rằng A bị chặn; khi đó với mọi dãy (xn) các điểm của A và với mọi dãy (\lambdan) các vô hướng tiến tới 0, dãy (\l… 07L7
Hệ quả — Một tập con A của E bị chặn khi và chỉ khi mọi tập con đếm được của A đều bị chặn. 07L8
Mệnh đề 4 — Cho E và F là hai không gian lồi địa phương và f : E \to F là một ánh xạ liên tục. Giả sử rằng f(0) = 0 và tồn tại một số thực m \geq 0 sao cho f(\lambda x) = \lambda^m f(x) với… 07L9
Hệ quả 1 — Cho E và F là hai không gian lồi địa phương, và u : E \to F là một ánh xạ tuyến tính liên tục. Nếu A là một tập con bị chặn của E, thì u(A) bị chặn trong F. 07LA
Hệ quả 2 — Cho E = \prod{i \in I} Ei là tích của một họ các không gian lồi địa phương. Khi đó một tập con của E bị chặn khi và chỉ khi tất cả các phép chiếu của nó đều bị chặn. 07LB
Hệ quả 3 — Cho E là một không gian vectơ, (Fi){i \in I} là một họ các không gian lồi địa phương và fi là một ánh xạ tuyến tính từ E vào Fi (với i \in I). Giả sử E được trang bị tôpô thô nhấ… 07LC
Hệ quả 4 Cho Eᵢ (1 ≤ i ≤ n) và F là các không gian lồi địa phương, và f là một ánh xạ đa tuyến tính liên tục từ ∏ᵢ₌₁ⁿ Eᵢ vào F. Nếu Bᵢ là một tập con bị chặn của Eᵢ, với 1 ≤ i ≤ n, thì f(∏ᵢ… 07LD
Hệ quả 5 Cho E và F là hai không gian lồi địa phương và u : E → F là một ánh xạ đa thức liên tục. Nếu A là một tập con bị chặn của E, thì u(A) bị chặn. 07LE
Mệnh đề 5 Cho (Eᵢ)_i ∈ I là một họ các không gian lồi địa phương Hausdorff, và cho E là tổng trực tiếp tôpô của họ này (II, p. 29). Để một tập con B của E bị chặn, điều kiện cần và đủ là tồn… 07LF
Mệnh đề 6 Một E là một không gian lồi địa phương là giới hạn quy nạp ngặt của một dãy tăng (Eₙ) các không gian con vectơ đóng của E (II, p. 33). Một tập con B của E bị chặn khi và chỉ khi nó… 07LG
Mệnh đề 7 — Cho (Eₙ)_n ≥ 0 là một dãy các không gian lồi địa phương Hausdorff, và với mọi n, cho uₙ : Eₙ → Eₙ₊₁ là một ánh xạ tuyến tính đơn ánh và compact (nghĩa là tồn tại một lân cận của… 07LH
Bổ đề 1 Dưới giả thiết của mệnh đề 7, tôpô của E là tôpô mịn nhất mà đối với nó mọi ánh xạ vₙ : Eₙ → E đều liên tục. 07LI
Nhận xét 1 Với các ký hiệu trên, cho Fₙ là không gian vectơ sinh bởi Hₙ, với một chuẩn bằng gauge của Hₙ. Ta sẽ thấy (III, p. 8, cor.) rằng Fₙ là một không gian Banach. Đơn ánh từ Fₙ vào Eₙ₊₁… 07LJ
Nhận xét 2 Cho F là một không gian lồi địa phương, k một số nguyên ≥ 0 và f : Eᵏ → F một ánh xạ đa tuyến tính. Để f liên tục, điều kiện cần và đủ là hạn chế của f trên Eₙᵏ liên tục với mọi n… ↩ 2 07LK
Mệnh đề 8 Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff và cho A là một tập con đóng, cân bằng, bị chặn và lồi của E. Cho (xₙ) là một dãy Cauchy trong E_A. Khi đó dãy này hội tụ trong E_A… 07LL
Hệ quả — Nếu A là nửa đầy đủ (đặc biệt là đầy đủ) thì EA là một không gian Banach. Thật vậy, một dãy Cauchy trong EA cũng là một dãy Cauchy đối với tôpô của E và được chứa trong một tập đ… 07LM
Định nghĩa 6 — Một không gian lồi địa phương E được gọi là gần đầy đủ nếu mọi tập con đóng và bị chặn của E đều đầy đủ (đối với cấu trúc đều cảm sinh bởi cấu trúc đều của E). Một không gian lồi… 07LN
Mệnh đề 9 — (i) Một không gian con vectơ đóng của một không gian lồi địa phương gần đầy đủ là gần đầy đủ. (ii) Tích của các không gian lồi địa phương gần đầy đủ là gần đầy đủ. (iii) Tổng trự… 07LO
Mệnh đề 10 — Cho E là một không gian lồi địa phương, M là một không gian con vectơ của E sao cho mọi điểm của E đều thuộc bao đóng của một tập con bị chặn của M. Khi đó mọi ánh xạ tuyến tính… 07LP

§ 2. Các không gian bornological

Bổ đề 1 — Cho G là một không gian nửa chuẩn, p là nửa chuẩn của nó, và u là một ánh xạ tuyến tính từ G vào E. Các điều kiện sau là tương đương : 07M8
Mệnh đề 1 Các điều kiện sau là tương đương : (i) Mọi nửa chuẩn trên E bị chặn trên các tập con bị chặn của E đều liên tục. (i') Mọi tập con lồi cân bằng của E hấp thụ các tập con bị chặn của… 07M9
Định nghĩa 1 Một không gian lồi địa phương được gọi là bornological nếu nó thỏa mãn các điều kiện tương đương của mệnh đề 1. 07MA
Ví dụ — 1) Mọi không gian nửa chuẩn đều bornological. 2) Đặc biệt, mọi không gian lồi địa phương hữu hạn chiều đều bornological. 3) Do tính bắc cầu của các tôpô lồi địa phương cuối cùng… 07MB
Hệ quả Mọi không gian bornological Hausdorff và nửa đầy đủ đều là một giới hạn quy nạp của các không gian Banach. 07MC
Mệnh đề 2 Một không gian lồi địa phương khả mêtric là bornological. 07MD
Hệ quả — Mọi không gian Fréchet (II, p. 24) đều là giới hạn quy nạp của các không gian Banach. 07ME

§ 3. Các không gian ánh xạ tuyến tính liên tục

Nhận xét — 1) 𝔖-tôpô đồng nhất với 𝔖'-tôpô, trong đó 𝔖' ký hiệu bornology sinh bởi 𝔖 (III, p. 1). 07MJ
Mệnh đề 1 Cho E là một tập hợp, 𝔖 là một họ các tập con của E, F là một không gian vectơ tôpô và H là một không gian con vectơ của Fᴱ. Để 𝔖-tôpô tương thích với cấu trúc không gian vectơ của… 07MK
Hệ quả Cho E và F là hai không gian lồi địa phương, 𝔖 là một họ các tập con bị chặn của E, và L(E; F) là không gian vectơ các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. Khi đó 𝔖-tôpô tương th… 07ML
Ví dụ 1 Nếu 𝔖 là tập hợp tất cả các tập con hữu hạn của E, thì 𝔖-tôpô là tôpô của hội tụ đơn và không gian L_𝔖(E; F) cũng được ký hiệu là Lₛ(E; F). Một tập con bị chặn của Lₛ(E; F) được gọ… 07MM
Ví dụ 2 Nếu 𝔖 là tập hợp các tập con compac (resp. tiền compac, lồi compac), thì tôpô 𝔖 được gọi là tôpô của sự hội tụ compac (resp. tiền compac, lồi compac) và không gian L_𝔖(E; F) cũng đ… 07MN
Ví dụ 3 Nếu 𝔖 là tập hợp mọi tập con bị chặn của E, ta nói rằng tôpô 𝔖 là tôpô của sự hội tụ bị chặn và không gian L_𝔖(E; F) được ký hiệu bởi L_b(E; F). 07MO
Ví dụ 4 Khi F = K, không gian L(E; F) là đối ngẫu E' của E. Ta ký hiệu bởi E'_𝔖, E'ₛ v.v. không gian L_𝔖(E; K), Lₛ(E; K) v.v. Không gian E'ₛ (resp. E'_b) được gọi là đối ngẫu yếu (resp. đố… ↩ 1 07MP
Nhận xét — 3) Cho A là một tập con trù mật của quả cầu đơn vị của E. Xét tính liên tục của u, ta cũng có ↩ 1 07MQ
Mệnh đề 2 — Cho E và F là hai không gian lồi địa phương và cho 𝔖 là một tập hợp các tập con bị chặn của E. 07MR
Mệnh đề 3 — Cho E và F là hai không gian lồi địa phương, giả thiết F là Hausdorff, và cho 𝔖 là một họ các tập con bị chặn của E. Nếu hợp A của các tập hợp thuộc 𝔖 là toàn phần trong E, thì k… 07MS
Mệnh đề 4 Cho E, F là hai không gian lồi địa phương, và F là Hausdorff. Gán cho không gian Fᴱ của mọi ánh xạ từ E vào F tôpô hội tụ đơn giản. Khi đó 07MT
Hệ quả 1 — Để một tập con đẳng liên tục H của L(E; F) là tương đối compắc trong Lₛ(E; F) thì điều kiện cần và đủ là với mọi x ∈ E, tập H(x) gồm tất cả các u(x) khi u chạy trên H, là tương đ… 07MU
Hệ quả 2 — Mọi tập con đồng liên tục của đối ngẫu E' của E đều tương đối compắc đối với tôpô yếu σ(E', E) trên E' (III, p. 14, Ví dụ 4). 07MV
Hệ quả 3 — Trong đối ngẫu mạnh E'_b của một không gian nửa chuẩn E, mọi quả cầu đóng đều compắc đối với tôpô yếu σ(E', E). 07MW
Mệnh đề 5 — Cho E và F là hai không gian lồi địa phương và cho T là một tập con toàn phần của E. Các cấu trúc đều sau đây trùng nhau trên mọi tập con đồng liên tục H của L(E; F): 07MX
Ví dụ — 1) Cho μ là độ đo Lebesgue trên R, và cho E là không gian nửa chuẩn Lᵖ(μ) (1 ≤ p < ∞) (INT, IV). Với mọi hàm số f và mọi số thực h, gọi fₕ là hàm x ↦ f(x - h). Rõ ràng ánh xạ f ↦… 07MY
Hệ quả — Giả sử F là Hausdorff. Cho H là một tập con đồng liên tục của L(E; F). Nếu một bộ lọc Φ trên H hội tụ đơn giản tới một ánh xạ u₀ từ E vào F, thì u₀ là một ánh xạ tuyến tính liên… 07MZ
Mệnh đề 6 — Cho H là một tập con đồng liên tục của L(E; F). Nếu F khả mêtric và nếu tồn tại một tập toàn phần đếm được trong E, thì cấu trúc đều trên H của hội tụ đơn giản trong E là khả mêt… 07N0
Hệ quả 1 — Cho E là một không gian lồi địa phương khả mêtric, và F là một không gian định chuẩn. Giả sử E và F đều thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. Khi đó L(E; F) là hợp của một họ đếm đ… 07N1
Hệ quả 2 — Mọi quả cầu đóng trong đối ngẫu E' của một không gian định chuẩn thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất đều là một không gian compact mêtric đối với tôpô yếu σ(E', E), và đối với tôp… 07N2
Mệnh đề 7 — Cho M là một tập con của E'. Các điều kiện sau là tương đương : 07N3
Hệ quả 1 — Tôpô của E đồng nhất với tôpô hội tụ đều trên các tập con đẳng liên tục của E'. 07N4
Hệ quả 2 — Cho S là một họ các tập con bị chặn của E. Tôpô S trên L(E; F) là tôpô hội tụ đều trên các tập có dạng A × B ⊂ E × F', trong đó A thuộc S, và B thuộc họ các tập con đẳng liên tục… 07N5
Mệnh đề 8 — Cho H là một họ các ánh xạ tuyến tính từ E vào một không gian lồi địa phương F. Để H là đẳng liên tục, điều kiện cần và đủ là với mọi tập con đẳng liên tục X trong đối ngẫu F' củ… 07N6
Định lý 1 (Grothendieck) — Cho E là một không gian lồi địa phương, và cho \mathscr{S} là một bornology thích nghi và phủ trên E. Cho F \subset E^ là không gian các dạng tuyến tính trên E mà hạn chế của chú… 07N7
Bổ đề 1 Cho A là một tập con đóng lồi cân bằng của E và cho u là một dạng tuyến tính trên E mà hạn chế của nó lên A là liên tục. Khi đó với mọi \varepsilon 0, tồn tại một x' \in E' sao cho 07N8
Định lý 2 Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff và hatE là đầy đủ hóa của nó; ta đồng nhất E và hatE với các không gian con vectơ của E'^*. Khi đó để một phần tử f ∈ E'^* thuộc ha… 07N9
Hệ quả 1 (Banach) — Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff và đầy đủ. Để một dạng tuyến tính trên E' liên tục đối với tôpô yếu σ(E', E) (tức là xuất phát từ một phần tử của E), điều kiện đ… 07NA
Nhận xét — Giả sử thêm rằng tồn tại một tập hợp toàn phần đếm được trong E; khi đó mọi tập con đồng liên tục của E' đều khả mê đối với tôpô σ(E', E) (III, p. 18, mệnh đề 6); do đó để kiểm t… 07NB
Hệ quả 2 Cho (Eᵢ)_i ∈ I là một họ các không gian lồi địa phương Hausdorff và E là tổng trực tiếp tôpô của chúng. Khi đó ánh xạ chính tắc từ tổng trực tiếp của các hatEᵢ vào hatE là một đẳng… 07NC
Mệnh đề 9 Cho E và F là hai không gian lồi địa phương và S là một họ các tập con bị chặn của E. Khi đó mọi tập con đồng liên tục của L(E; F) đều bị chặn đối với S-tôpô. 07ND
Mệnh đề 10 Cho E là một không gian bornological (đặc biệt, một không gian lồi địa phương mêtric hóa được) và F là một không gian lồi địa phương. Mọi tập con H của L(E; F) bị chặn đối với tôpô… 07NE
Mệnh đề 11 Cho E và F là hai không gian lồi địa phương, S là một phủ của E gồm các tập con bị chặn. Nếu F là Hausdorff và gần đầy đủ (III, p. 8), thì mọi tập con đồng liên tục H của L(E; F) đ… 07NF
Nhận xét 1 — Cho M là một không gian con đều đầy đủ của L_S(E; F). Với mọi họ các tập con bị chặn S' ⊃ S của E, S'-tôpô mịn hơn S-tôpô trên L(E; F); mặt khác, tồn tại một hệ cơ bản các lân cậ… 07NG
Hệ quả Cho E và F là hai không gian lồi địa phương, H là một tập con đồng liên tục của L(E; F). Nếu F là Hausdorff và gần đầy đủ và nếu một bộ lọc Φ trên H hội tụ đơn tại mọi điểm của một… 07NH
Nhận xét 2 Cho (uₙ) là một dãy các ánh xạ tuyến tính liên tục từ một không gian Banach E vào một không gian Banach F; có thể xảy ra rằng (uₙ(x)) có giới hạn tại mọi điểm của một không gian co… 07NI
Mệnh đề 12 — Cho E là một không gian lồi địa phương bornological, F một không gian Hausdorff lồi địa phương đầy đủ và 𝔖 là một họ các tập hợp bị chặn của E chứa ảnh của mọi dãy hội tụ đến 0… 07NJ
Hệ quả 1 — Đối ngẫu mạnh của một không gian bornological là đầy đủ. 07NK
Hệ quả 2 — Cho E là một không gian nửa chuẩn, và F là một không gian Banach (tương ứng, Fréchet). Không gian L_b(E; F) là một không gian Banach (tương ứng, Fréchet). Đặc biệt, đối ngẫu của… 07NL

§ 4. Định lý banach-steinhaus

Mệnh đề 1 Cho T là một tập con của E. Các điều kiện sau là tương đương: 07NZ
Hệ quả Các điều kiện sau là tương đương: 07O0
Định nghĩa 1 Một tập T thỏa mãn các điều kiện tương đương của mệnh đề 1 được gọi là một thùng trong E. 07O1
Định nghĩa 2 Một không gian E được gọi là không gian thùng nếu nó thỏa mãn các điều kiện tương đương của hệ quả của mệnh đề 1. 07O2
Chú giải Trong đối ngẫu của một không gian thùng, lớp các tập đẳng liên tục, lớp các tập bị chặn mạnh, lớp các tập bị chặn yếu và lớp các tập tương đối compact đối với tôpô yếu đều trùng nh… 07O3
Mệnh đề 2 Mọi không gian lồi địa phương E là một không gian Baire (GT, IX, § 5, No. 3) đều là không gian thùng. 07O4
Hệ quả — Mọi không gian Fréchet (và đặc biệt, mọi không gian Banach) đều là không gian thùng. Điều này suy ra từ định lý Baire (GT, IX, § 5, No. 3, định lý 1). 07O5
Mệnh đề 3 — Cho (Fᵢ)_i ∈ I là một họ các không gian thùng, và với mọi i ∈ I, cho fᵢ là một ánh xạ tuyến tính từ Fᵢ vào một không gian vectơ E. Không gian E với tôpô lồi địa phương mịn nhất s… 07O6
Hệ quả 1 — Mọi không gian thương của một không gian thùng đều là không gian thùng. 07O7
Hệ quả 2 — Cho (Eᵢ)_i ∈ I là một họ các không gian lồi địa phương và cho E là tổng trực tiếp tôpô của họ này. Để E là không gian thùng, điều kiện cần và đủ là mỗi Eᵢ là không gian thùng. 07O8
Hệ quả 3 — Mọi giới hạn quy nạp của các không gian thùng đều là một không gian thùng. 07O9
Định lý 1 — Cho E là một không gian thùng, F là một không gian lồi địa phương. Mọi tập con bị chặn đơn giản H của L(E; F) đều đẳng liên tục. 07OA
Hệ quả 1 — Cho E và F là hai không gian Banach, H là một họ các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F; nếu, với mọi x ∈ E, ta có sup_u ∈ H |u(x)| < +∞, thì ta cũng có sup_u ∈ H |u| < +∞. 07OB
Hệ quả 2 — (Định lý Banach-Steinhaus). — Cho E là một không gian có đĩa, F là một không gian lồi địa phương Hausdorff, và (uₙ) là một dãy ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F, hội tụ đơn g… 07OC
Nhận xét 1 Tính chất được phát biểu bởi hệ quả 2 không kéo theo rằng E là có đĩa: sau này ta sẽ thấy đối ngẫu mạnh của một không gian Fréchet có tính chất này, trong khi không nhất thiết là c… 07OD
Nhận xét 2 Cho E và F là hai không gian Banach, và (uₙ) là một dãy ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F sao cho sup |uₙ| = + ∞. Khi đó tập hợp X gồm mọi x ∈ E sao cho sup |uₙ(x)| = + ∞ là tr… 07OE
Hệ quả 3 — Cho E là một không gian có đĩa, F là một không gian lồi địa phương Hausdorff và Φ là một lọc trên L(E; F) hội tụ đơn giản trong E đến một ánh xạ u từ E vào F. Nếu Φ chứa một tập… 07OF
Ví dụ — Cho E là không gian Banach (trên C) gồm các hàm phức liên tục có chu kỳ 1 trong R, với chuẩn |f| = supₓ |f(x)|. 07OG
Hệ quả 4 — Cho E và F là hai không gian lồi địa phương, 𝔖 là một phủ của E gồm các tập con bị chặn. Nếu E là barrelled và F Hausdorff và quasi-đầy đủ, thì không gian L_𝔖(E; F) là Hausdorff… 07OH
Hệ quả 5 — Đối ngẫu mạnh và đối ngẫu yếu của một không gian barrelled là quasi-đầy đủ. 07OI
Định lý 2 — Cho E là một không gian Hausdorff lồi địa phương, F là một không gian lồi địa phương và 𝔖 là một họ các tập con đóng, lồi, cân bằng, bị chặn và bán đầy đủ của E (III, p. 7). Mọi… 07OJ
Hệ quả 1 — Cho E là một không gian Hausdorff lồi địa phương, F là một không gian lồi địa phương, và 𝔖 là một họ các tập con bị chặn của E. Nếu E là bán đầy đủ, thì mọi tập con đơn giản bị c… 07OK
Hệ quả 2 — Mọi không gian bornological bán đầy đủ đều là barrelled. 07OL
Hệ quả 3 — Cho E là một không gian lồi địa phương. Mọi tập con của E bị chặn đối với σ(E, E') đều bị chặn. 07OM

§ 5. Các ánh xạ song tuyến tính nửa liên tục

Định nghĩa 1 Một ánh xạ song tuyến tính u từ E × F vào G được gọi là liên tục riêng nếu, với mọi x ∈ E, ánh xạ tuyến tính u(x, .) từ F vào G là liên tục, và với mọi y ∈ F, ánh xạ tuyến tính u(… 07P9
Mệnh đề 1 Để một ánh xạ song tuyến tính u từ E × F vào G là liên tục riêng, cần và đủ rằng với mọi y ∈ F, ánh xạ tuyến tính u(., y) từ E vào G là liên tục và ánh xạ tuyến tính y ↦ u(., y) từ… 07PA
Mệnh đề 2 Cho E, F và G là ba không gian lồi địa phương. Giả sử E và F là mêtric hóa được và E là một không gian đầy thùng. Cho H là một tập hợp các ánh xạ song tuyến tính liên tục riêng rẽ… 07PB
Hệ quả 1 — Cho E và F là hai không gian Fréchet, và G là một không gian lồi địa phương. Mọi ánh xạ song tuyến tính liên tục riêng rẽ từ E × F vào G đều liên tục. 07PC
Hệ quả 2 — Giả sử E và F là khả metrizable và E là đầy thùng. Khi đó φ là một đẳng cấu không gian vectơ tôpô từ B(E, F) lên L_b(E; F'_b). 07PD
Mệnh đề 3 — Cho E, F, G là ba không gian lồi địa phương, 𝔖 là một họ các tập con bị chặn của E. Cho u là một ánh xạ song tuyến tính liên tục riêng rẽ từ E × F vào G. Các tính chất sau là tươ… 07PE
Định nghĩa 2 — Cho u là một ánh xạ song tuyến tính từ E × F vào G. Ta nói u là 𝔖-hypocontinuous nếu u liên tục riêng rẽ và nếu nó thỏa một trong các điều kiện tương đương a), b), c) của mệnh đề… 07PF
Mệnh đề 4 Cho u là một ánh xạ song tuyến tính S-hypocontinuous từ E × F vào G. Với mọi tập M ∈ S, hạn chế của u lên M × F là liên tục, và u(M × Q) bị chặn trong G với mọi tập con bị chặn Q c… 07PG
Mệnh đề 5 Cho u là một ánh xạ song tuyến tính (S, T)-hypocontinuous từ E × F vào G. Với mọi cặp tập M ∈ S, N ∈ T, u liên tục đều trên M × N. 07PH
Mệnh đề 6 Nếu F là một không gian barrelled, thì mọi ánh xạ song tuyến tính liên tục riêng phần u từ E × F vào một không gian lồi địa phương G đều là S-hypocontinuous đối với mọi tập hợp S c… 07PI
Nhận xét — Giả sử tôpô của F là tôpô lồi địa phương mạnh nhất trên F sao cho các ánh xạ tuyến tính h_α : F_α → F liên tục (II, p. 27). Khi đó điều kiện c) của mệnh đề 3 (III, p. 30) cho thấ… 07PJ
Mệnh đề 7 Cho E, F, G là ba không gian lồi địa phương, G được giả sử Hausdorff; cho E₀ (tương ứng F₀ ) là một không gian con vectơ trù mật của E (tương ứng F). Cho u là một ánh xạ song tuyến… 07PK
Mệnh đề 8 Cho E, F, G là ba không gian lồi địa phương; giả sử G là Hausdorff và đầy đủ từng phần. Cho E₀ (tương ứng F₀) là một không gian con vectơ trù mật của E (tương ứng F), 𝔖₀ (tương ứng… 07PL
Mệnh đề 9 Cho R, S, T là ba không gian Hausdorff lồi địa phương. Giả sử rằng các không gian L(R; S), L(S; T), L(R; T) mỗi không gian được gán tôpô hội tụ đơn (resp. compact, bị chặn). Khi đó… 07PM
Hệ quả 1 Với mọi tập con đều liên tục H của L(S; T) ánh xạ (u, v) ↦ v ∘ u từ L(R; S) × H vào L(R; T) là liên tục. 07PN
Hệ quả 2 Giả sử S là barrelled. Nếu dãy (uₙ) tiến tới u trong L(R; S) và dãy (vₙ) tiến tới v trong L(S, T), thì dãy (vₙ ∘ uₙ) tiến tới v ∘ u trong L(R; T). 07PO

§ 6. Định lý đồ thị Borel

Định lý 1 — Cho E là một không gian lồi địa phương là giới hạn quy nạp của các không gian Banach, F là một không gian lồi địa phương Souslin, chẳng hạn một không gian Lusin (GT, IX, § 6, No… 07Q4
Nhận xét Nhắc lại (III, p. 12) rằng mọi không gian Hausdorff thuần đồng điều và nửa đầy đủ, chẳng hạn mọi không gian Fréchet, đều là giới hạn quy nạp của các không gian Banach. \ Điều này c… 07Q5
Mệnh đề 1 — Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff. Giả sử tồn tại một dãy (En){n \in \mathbf{N}} các không gian Fréchet thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất, và các ánh xạ tuyến tín… ↩ 1 07Q6
Ví dụ 1 Mọi không gian Fréchet thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất đều là một không gian polish, do đó là một không gian Lusin. Do đó, các không gian C(X) cũng vậy, trong đó X là địa phương… 07Q7
Định lý 2 — Cho E là một không gian lồi địa phương, là giới hạn quy nạp của một dãy tăng (Eₙ)_n ∈ N các không gian con của E, được trang bị các tôpô của các không gian Fréchet thỏa mãn tiên… 07Q8
Hệ quả — Với các giả thiết trên E như trong định lý 2, giả sử thêm rằng mọi tập con bị chặn của E đều compact tương đối. Khi đó đối ngẫu mạnh của E là một không gian Lusin. Đặc biệt, đối… 07Q9
Nhận xét — Cho E như trong định lý 2; cho F là một không gian lồi địa phương Hausdorff là hợp của các ảnh của một dãy các ánh xạ tuyến tính liên tục uₙ : Fₙ → F, trong đó mỗi Fₙ là một khôn… 07QA
Mệnh đề 2 — Cho E là một không gian Banach, F là một không gian lồi địa phương và u là một ánh xạ tuyến tính từ E vào F. Giả sử rằng với mọi tập con đóng B của F, mọi tập con compact X của E… 07QB

IV. Đối ngẫu trong các không gian vectơ tôpô

§ 1. Đối ngẫu

Định nghĩa 1 Một tôpô lồi địa phương T trên E được gọi là tương thích với đối ngẫu giữa E và F nếu d_B là một song ánh từ F lên đối ngẫu của không gian lồi địa phương thu được bằng cách gán tôp… 07QI
Mệnh đề 1 (i) Các tập con lồi đóng trong E là như nhau đối với mọi tôpô lồi địa phương trên E tương thích với đối ngẫu giữa E và F. (ii) Các tập con bị chặn của E là như nhau đối với mọi tôp… 07QJ
Định nghĩa 2 Cho E và F là hai không gian đối ngẫu nhau. Tôpô Mackey trên E, ký hiệu là τ(E, F), được định nghĩa là 𝔖-tôpô trên E, trong đó 𝔖 là họ tất cả các tập con của F mà ảnh của chúng tro… 07QK
Nhận xét 1 — Cho A là một tập con compact lồi của một không gian lồi địa phương Hausdorff G, và cho tildeA là bao lồi cân bằng đóng của A. Khi trường K là R, tập tildeA là bao lồi đóng của A… 07QL
Định lý 1 (Mackey) — Cho E và F là hai không gian đối ngẫu với nhau; giả sử rằng đối ngẫu là phân ly trên F. Để một tôpô lồi địa phương T trên E tương thích với đối ngẫu giữa E và F, điều kiện cần và… 07QM
Bổ đề 1 Không gian con F của E gồm tất cả các dạng tuyến tính trên E liên tục đối với τ(E, F). 07QN
Bổ đề 2 Cho T là một tôpô lồi địa phương trên E sao cho mọi dạng tuyến tính trên E liên tục đối với T đều thuộc F. Khi đó T thô hơn τ(E, F). 07QO
Hệ quả Cho p là một nửa chuẩn trên E. Các điều kiện sau là tương đương : 07QP
Nhận xét 2 Cho K là một tập con lồi của F, compact đối với tôpô yếu σ(F, E), và μ là một độ đo dương trên K. Đặt 07QQ
Ví dụ Cho G là một không gian lồi địa phương và G' là đối ngẫu của nó. Trên G', tôpô yếu σ(G', G) và tôpô hội tụ compact lồi (III, p. 14) là tương thích với đối ngẫu giữa G' và G. Nói ch… 07QR
Định nghĩa 3 Cho E và F là hai không gian vectơ đối ngẫu với nhau, và T là họ các tập con của F bị chặn đối với σ(F, E). Khi đó tôpô T trên F được ký hiệu là β(E, F). 07QS
Mệnh đề 2 Cho E là một không gian lồi địa phương, và cho A là một tập con lồi của E (chẳng hạn, một không gian con vectơ của E). Bao đóng của A là như nhau đối với tôpô ban đầu và đối với tô… 07QT
Nhận xét 1 Để một họ (xᵢ)_i ∈ I các phần tử của E là toàn phần (resp. độc lập về tôpô) đối với tôpô ban đầu, điều kiện cần và đủ là nó cũng như vậy đối với tôpô yếu hóa; điều này suy ra từ mệ… 07QU
Nhận xét 2 Cho T₁ và T₂ là hai tôpô lồi địa phương trên E, tương thích với đối ngẫu giữa E và E', với T₁ mịn hơn T₂. Khi đó mọi lân cận của 0 đối với T₁, vừa lồi vừa đóng đối với T₁, đều đóng… 07QV
Nhận xét 3 Giả sử E là Hausdorff (đối với tôpô ban đầu). Cho A là một tập con của E đóng và bị chặn đối với σ(E, E'), do đó cũng đóng và bị chặn đối với mọi tôpô tương thích với đối ngẫu giữa… ↩ 1 07QW
Mệnh đề 3 Giả sử E là Hausdorff, và E' là đối ngẫu của nó. Mọi tập con của E tiền compắc đối với tôpô ban đầu và compắc đối với σ(E, E'), đều compắc đối với tôpô ban đầu. 07QX
Nhận xét 4 Tôpô β(E, E') (IV, p. 4, định nghĩa 3) mịn hơn tôpô Mackey. Nếu β(E, E') phân biệt với τ(E, E'), thì nó không tương thích với đối ngẫu giữa E và E'. Không gian E là thùng nếu và ch… 07QY
Mệnh đề 4 Cho E là một không gian lồi địa phương. Tôpô Mackey trên E đồng nhất với tôpô ban đầu trong mỗi trường hợp sau : 07QZ
Mệnh đề 5 Cho u là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E₁ vào E₂. 07R0
Mệnh đề 6 Cho u là một ánh xạ tuyến tính từ E₁ vào E₂ liên tục đối với các tôpô yếu. Với i = 1, 2, ký hiệu 𝔖ᵢ là một họ các tập hợp bị chặn của Eᵢ. Điều kiện cần và đủ để ᵗ u là một ánh xạ l… 07R1
Hệ quả Cho u là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E₁ vào E₂. Khi đó ᵗ u là liên tục khi các đối ngẫu E'ᵢ được trang bị các tôpô sau: a) các tôpô yếu σ(E'ᵢ, Eᵢ); b) các tôpô mạnh β(E'ᵢ, Eᵢ… 07R2
Mệnh đề 7 — Cho u : E₁ → E₂ là một ánh xạ tuyến tính. Ta giả thiết rằng u liên tục đối với các tôpô yếu của E₁ và E₂. 07R3
Hệ quả — Giả sử E₁ là một không gian chuẩn. Cho u là một ánh xạ tuyến tính từ E₁ vào E₂. Các tính chất sau là tương đương: 07R4
Mệnh đề 8 — (i) Cho E là một không gian chuẩn, với đối ngẫu E'. Với mọi x ∈ E, ta có 07R5
Nhận xét 1 Công thức (3) là một trường hợp riêng của (4), tương ứng với ánh xạ tuyến tính λ ↦ λ x từ K vào E. 07R6
Nhận xét 2 Đặt B(x, y') = ⟨ u(x), y' ⟩ = ⟨ x, ᵗu(y') ⟩ với x ∈ E₁,\ y' ∈ E'₂. Chứng minh ở trên cho thấy B là một dạng song tuyến tính liên tục trên E₁ × E'₂, có chuẩn (GT, X, § 3, No. 2) bằn… 07R7
Hệ quả — Cho dotE là một không gian chuẩn thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. Tồn tại một tập con đếm được D của E' - 0 sao cho ta có 07R8
Mệnh đề 9 — (i) Để một tập con A của (E/M)' là đồng liên tục, điều kiện cần và đủ là π(A) là một tập con đồng liên tục của E'. 07R9
Mệnh đề 10 — (i) Để một tập con A của M' là đồng liên tục, điều kiện cần và đủ là nó là ảnh qua ᵗ i của một tập con đồng liên tục của E'. 07RA
Nhận xét — Ta biết (II, p. 48, mệnh đề 7, (ii)) rằng ι là một đẳng cấu không gian vectơ tôpô từ E'ₛ/M^∘ lên M'ₛ (đối ngẫu yếu). Đối với tôpô hội tụ compact lồi, mệnh đề 10 cho thấy rằng ι l… 07RB
Mệnh đề 11 — (i) Tôpô yếu trên E/M là tôpô thương của tôpô ấy trên E; tôpô yếu trên M được cảm sinh bởi tôpô của E. 07RC
Bổ đề 3 — (i) Với mọi i ∈ I, cho 𝔖ᵢ là một họ các tập con của Fᵢ, bị chặn đối với σ(Fᵢ, Eᵢ); đặt 𝔖 = ⋃_i ∈ I 𝔖ᵢ. Khi đó tôpô 𝔖 trên E là tích của các tôpô 𝔖ᵢ trên các Eᵢ. 07RD
Mệnh đề 12 Tôpô β(F, E) là tổng trực tiếp của các tôpô β(Fᵢ, Eᵢ). Tôpô β(E, F) là tích của các tôpô β(Eᵢ, Fᵢ). 07RE
Mệnh đề 13 Tôpô Mackey τ(F, E) là tổng trực tiếp của các tôpô Mackey τ(Fᵢ, Eᵢ). Tôpô τ(E, F) là tích của các tôpô τ(Eᵢ, Fᵢ). 07RF
Mệnh đề 14 (i) Ánh xạ θ là một đẳng cấu từ đối ngẫu mạnh (tương ứng yếu) của S = ⨁_i ∈ I Eᵢ lên tích của các đối ngẫu mạnh (tương ứng yếu) của các Eᵢ: 07RG
Mệnh đề 15 — (i) Ánh xạ φ là một đẳng cấu từ tổng trực tiếp tôpô của các đối ngẫu mạnh của các Eᵢ lên đối ngẫu mạnh của P = ∏_i ∈ I Eᵢ. 07RH
Hệ quả — Mọi tích của các không gian bị chặn đều là bị chặn. 07RI

§ 2. Song đối ngẫu thứ hai. Không gian phản xạ

Định nghĩa 1 — Cho E là một không gian lồi địa phương và E'_b là đối ngẫu mạnh của nó. Đối ngẫu của không gian lồi địa phương E'_b được gọi là song đối ngẫu thứ hai của E và được ký hiệu là E''… 07S8
Mệnh đề 1 — Hạt nhân của c_E : E → E'' là bao đóng của 0 trong E. Nếu E là Hausdorff, c_E là đơn ánh. 07S9
Mệnh đề 2 — Giả sử rằng không gian E là bornological hoặc barrelled. Tôpô ban đầu trên E là ảnh ngược qua c_E của tôpô mạnh trên E''. 07SA
Mệnh đề 3 — Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff. Để đối ngẫu mạnh E'_b của E là barrelled, điều kiện cần và đủ là mọi tập con của E'' bị chặn đối với σ(E'', E') đều được chứa tr… 07SB
Nhận xét Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff, E' là đối ngẫu của nó và E'' là đối ngẫu kép của nó. Ta có E ⊂ E'' ⊂ E'^*, trong đó E'^* là đối ngẫu đại số của E'. Nếu B là một t… 07SC
Định nghĩa 2 — Cho E là một không gian lồi địa phương. Ta nói rằng E là bán phản xạ nếu ánh xạ chính tắc c_E từ E vào E'' là song ánh. 07SD
Định lý 1 — Một không gian lồi địa phương Hausdorff là bán phản xạ khi và chỉ khi mọi tập con bị chặn của E đều tương đối compact đối với tôpô yếu σ(E, E'). Nếu E là bán phản xạ, đối ngẫu mạ… ↩ 1 07SE
Hệ quả — Cho E là một không gian lồi địa phương bán phản xạ. Mọi không gian con vectơ đóng M của E đều bán phản xạ; hơn nữa, tôpô mạnh trên E'/M^∘ (được xét như đối ngẫu của M) là tôpô th… 07SF
Nhận xét 1 Giả sử E là bán phản xạ. Mọi tập con của E lồi, đóng và bị chặn đối với tôpô ban đầu đều compact đối với tôpô σ(E, E') (IV, p. 1, mệnh đề 1). Mặt khác, mặt cầu đơn vị (với phương t… 07SG
Nhận xét 2 Theo nhận xét 3 của IV, p. 5, ta có thể phát biểu lại đ. lý 1 như sau: không gian Hausdorff E là bán phản xạ khi và chỉ khi nó gần đầy đủ đối với tôpô yếu của nó. Nếu nó là bán phả… 07SH
Nhận xét 3 Dưới các giả thiết của hệ quả trên, không gian E/M không nhất thiết là bán phản xạ (IV, p. 63, bài tập 10). 07SI
Định nghĩa 3 — Một không gian lồi địa phương E được gọi là phản xạ nếu ánh xạ chính tắc c_E từ E vào E'' là một đẳng cấu không gian vectơ tôpô từ E lên đối ngẫu mạnh của E'_b. 07SJ
Mệnh đề 4 — Đối ngẫu mạnh của một không gian phản xạ là phản xạ. 07SK
Định lý 2 — Điều kiện cần và đủ để một không gian lồi địa phương Hausdorff E là phản xạ là nó thùng và mọi tập con bị chặn của E đều tương đối compact đối với tôpô yếu σ(E, E'). 07SL
Nhận xét 1 Cho E là một không gian Hilbert thực vô hạn chiều. Gọi F là không gian E được trang bị tôpô yếu. Các không gian E và F có cùng đối ngẫu E', và E là một không gian Banach phản xạ (V… 07SM
Nhận xét 2 Cho E là một không gian phản xạ và M là một không gian con vectơ đóng của E. Có thể xảy ra rằng cả M lẫn E/M đều không là các không gian phản xạ (IV, p. 63, bài tập 10). \ Đối với… 07SN
Mệnh đề 5 — Cho E là một không gian chuẩn, E' là đối ngẫu của nó và E'' là song đối ngẫu của nó. Quả cầu đơn vị (đóng) trong E'' là bao đóng của quả cầu đơn vị B trong E đối với tôpô yếu σ(E… 07SO
Nhận xét — Một không gian Banach E là đóng trong song đối ngẫu E'' của nó đối với tôpô mạnh, nhưng lại trù mật đối với tôpô yếu (mệnh đề 5). 07SP
Mệnh đề 6 — Để một không gian chuẩn E là phản xạ, điều kiện cần và đủ là quả cầu đơn vị trong E compắc đối với tôpô yếu σ(E, E'). 07SQ
Mệnh đề 7 — Cho E là một không gian Banach phản xạ và M là một không gian con vectơ đóng của E. Khi đó M và E/M là các không gian Banach phản xạ. 07SR
Ví dụ — 1) Ký hiệu ℓ^∞(N) là không gian Banach của các dãy bị chặn x = (xₙ)_n ∈ N các vô hướng, với chuẩn 07SS
Định nghĩa 4 Một không gian lồi địa phương Hausdorff và thùng trong đó mọi tập con bị chặn đều compắc tương đối được gọi là một không gian Montel. 07ST
Ví dụ 1 Mọi không gian Hausdorff hữu hạn chiều đều là một không gian Montel. Một không gian chuẩn là một không gian Montel thì compắc địa phương, do đó hữu hạn chiều (I, p. 15, định lý 3). 07SU
Ví dụ 2 Với các ký hiệu và giả thiết của mệnh đề 7 ở III, p. 6, không gian E, là giới hạn quy nạp của các không gian Banach, là thùng (III, p. 25); hơn nữa, mọi tập con bị chặn của E đều c… 07SV
Ví dụ 3 Mọi giới hạn quy nạp ngặt E của một dãy (Eₙ) các không gian Montel (II, p. 33) sao cho Eₙ đóng trong Eₙ₊₁ với mọi n, đều là một không gian Montel; thật vậy, E là Hausdorff (II, p… ↩ 1 07SW
Ví dụ 4 Cho U là một tập mở trong Rⁿ và cho C^∞(U) là không gian Fréchet của các hàm khả vi vô hạn trên U (III, p. 9). Ta sẽ chứng minh rằng đây là một không gian Montel. Vì C^∞(U) là một… 07SX
Mệnh đề 8 Cho E là một không gian Montel và 𝔗 một bộ lọc trên E, hội tụ về một điểm x₀ trong E đối với tôpô yếu. Nếu 𝔗 có một cơ sở đếm được, hoặc chứa một tập bị chặn, thì 𝔗 cũng hội tụ về… 07SY
Mệnh đề 9 Đối ngẫu mạnh của một không gian Montel là một không gian Montel. 07SZ
Mệnh đề 10 Mọi không gian Montel khả mêtric đều thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. 07T0
Bổ đề 1 Giả sử không gian mêtric X không thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. Khi đó tồn tại một số thực ε > 0 và một tập con không đếm được A trong X sao cho d(x, y) ≥ ε với mọi x, y phân… 07T1
Bổ đề 2 Tồn tại một dãy (xₘ)_m ≥ 0 gồm các phần tử phân biệt của A, bị chặn trong E. 07T2
Hệ quả — Cho E là một không gian Montel mêtric hóa được. Khi đó tồn tại một tập hợp trù mật đếm được trong đối ngẫu mạnh của E. 07T3

§ 3. Đối ngẫu của một không gian fréchet

Mệnh đề 1 — Cho E là một không gian lồi địa phương. Các điều kiện sau là tương đương: 07TU
Định nghĩa 1 — Một không gian lồi địa phương E được gọi là nửa thùng nếu nó thỏa mãn các điều kiện tương đương của mệnh đề 1. 07TV
Mệnh đề 2 — Cho E là một không gian lồi địa phương mêtric hóa được và F là đối ngẫu mạnh của nó. Không gian F là đầy đủ, nửa thùng và thỏa mãn điều kiện sau: (DB) Tồn tại một dãy (Aₙ)_n ∈ N… 07TW
Hệ quả — Cho G là một không gian lồi địa phương Hausdorff, và cho (uₙ) là một dãy các ánh xạ tuyến tính từ F vào G, hội tụ đơn giản tới một ánh xạ u từ F vào G. Khi đó u liên tục, và dãy… 07TX
Mệnh đề 3 — Cho E là một không gian lồi địa phương mêtric hóa được, E'_b là đối ngẫu mạnh của nó và G là một không gian Fréchet. Không gian L_b(E'_b ; G) là một không gian Fréchet. 07TY
Hệ quả — Song đối ngẫu của một không gian lồi địa phương mêtric hóa được là một không gian Fréchet. 07TZ
Mệnh đề 4 — Cho E là một không gian Fréchet phản xạ. Đối ngẫu mạnh E'_b của E là giới hạn quy nạp của một dãy các không gian Banach. 07U0
Hệ quả Đối ngẫu mạnh của một không gian Fréchet phản xạ là bornological và barrelled. 07U1
Định lý 1 (Banach-Dieudonné) — Cho E là một không gian lồi địa phương khả mê hóa. Các tôpô sau trùng nhau trên đối ngẫu E' của E : 07U2
Hệ quả 1 Cho E là một không gian lồi địa phương khả mêtric. Mọi tập con tiền compắc của E đều được chứa trong bao lồi cân bằng đóng của tập hợp các điểm của một dãy hội tụ về 0. 07U3
Hệ quả 2 Cho E là một không gian Fréchet. Điều kiện cần và đủ để một tập con lồi A của đối ngẫu E' của E là đóng đối với σ(E', E) là A ∩ U^∘ đóng đối với σ(E', E) với mọi lân cận U của 0 tr… 07U4
Hệ quả 3 Cho E là một không gian Banach và M là một không gian con vectơ của đối ngẫu E' của E. Để M đóng đối với tôpô yếu σ(E', E), điều kiện cần và đủ là giao của nó với quả cầu đơn vị (đ… 07U5
Ví dụ — Cho H là một không gian Hilbert thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất; ký hiệu H_σ là không gian H được trang bị tôpô yếu hơn. Cho L¹(H) là không gian Banach các tự đồng cấu hạt nhâ… 07U6
Bổ đề 1 Cho E và F là hai không gian lồi địa phương mêtric, và u là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E'_b vào F. Khi đó tồn tại một lân cận U của 0 trong E'_b mà ảnh của nó dưới u bị chặn… 07U7
Định lý 2 Cho E₁ và E₂ là hai không gian Fréchet phản xạ, và G là một không gian Hausdorff lồi địa phương. Với i = 1, 2, gọi Fᵢ là đối ngẫu mạnh của Eᵢ. Khi đó mọi ánh xạ song tuyến tính liê… 07U8

§ 4. Các cấu xạ ngặt của các không gian fréchet

Mệnh đề 1 Cho E và F là hai không gian lồi địa phương và u là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. Để u là một cấu xạ ngặt, điều kiện cần và đủ là điều kiện sau được thỏa mãn: 07UR
Mệnh đề 2 Cho E và F là hai không gian lồi địa phương Hausdorff và u là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. Để u là một cấu xạ ngặt, điều kiện cần và đủ là chuyển vị của nó ᵗ u : F' →… 07US
Nhận xét — Với các ký hiệu của mệnh đề 2, tính chất b') cũng suy ra rằng u là một cấu xạ ngặt đối với các tôpô đã làm yếu đi (II, p. 49, hệ quả 3). 07UT
Mệnh đề 3 Cho E và F là hai không gian lồi địa phương, và u là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. Giả sử rằng E là Hausdorff và F có thể mêtric hóa được. Để u là một cấu xạ ngặt, điề… 07UU
Định lý 1 Cho E và F là hai không gian Fréchet và u là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. Các điều kiện sau là tương đương : 07UV
Bổ đề 1 Cho E và F là hai không gian Hausdorff lồi địa phương và đầy đủ giả, và u là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. Để ᵗ u là một cấu xạ ngặt từ F'_c vào E'_c, điều kiện cần và… 07UW
Hệ quả 1 Dưới giả thiết của định lý 1, các điều kiện sau là tương đương : (i) u là một cấu xạ đơn ánh ngặt ; (ii) ᵗ u là một cấu xạ toàn ánh ngặt đối với các tôpô yếu. (iii) ᵗ u là toàn ánh… 07UX
Hệ quả 2 Dưới giả thiết của đl. 1, các điều kiện sau là tương đương : (i) u là toàn ánh ; (ii) u là một cấu xạ toàn ánh ngặt ; (iii) ᵗ u là một cấu xạ đơn ánh ngặt đối với các tôpô yếu. 07UY
Hệ quả 3 — Dưới các giả thiết của đl. 1, tính chất sau kéo theo các tính chất a) đến g) : h) ᵗ u là một cấu xạ ngặt từ F'_b vào E'_b. Khi E và F đều là các không gian Banach, hoặc đều là cá… 07UZ
Hệ quả 4 — Giả sử E và F là các không gian Banach. Để ᵗ u là toàn ánh, điều kiện cần và đủ là tồn tại một số thực r > 0 sao cho | x | ≤ r. | u(x) | với mọi x ∈ E. Đây chỉ đơn giản là một sự… 07V0
Hệ quả 5 Cho E và F là hai không gian Fréchet và u là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. Các điều kiện sau là tương đương : a) u là một đẳng cấu từ E lên F. b) u là một đẳng cấu từ… 07V1
Mệnh đề 4 — Cho E và F là hai không gian Fréchet, và u là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. Các điều kiện sau là tương đương : 07V2
Hệ quả — Giả sử E và F là các không gian Banach. Các điều kiện sau là tương đương : (i) u là toàn ánh. (ii) Tồn tại một số thực r 0 sao cho |f| ≤ r.|ᵗu(f)| với mọi f ∈ F'. (iii) Với mọi y… 07V3

§ 5. Các tiêu chuẩn về tính compact

Mệnh đề 1 — Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff, và A là một tập con của E. Ký hiệu E_σ là không gian E với tôpô yếu hơn. a) Nếu mọi dãy vô hạn các điểm của A đều có một điểm gi… 07VR
Mệnh đề 2 Cho D là một tập con trù mật của X và A là một tập con của không gian Cₛ(X). Các điều kiện sau là tương đương : (i) A là compact tương đối trong Cₛ(X). (ii) Từ mọi dãy vô hạn các p… 07VS
Định lý 1 (Eberlein) — Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff và đầy đủ giả, T là một tôpô trên E tương thích với đối ngẫu giữa E và E' và A là một tập con của E. Để A tương đối compact đối v… 07VT
Định lý 2 (Šmulian) — Cho E là một không gian Fréchet và A là một tập con của E. Gọi E_σ là không gian E được trang bị tôpô yếu hơn. Các điều kiện sau là tương đương : 07VU
Bổ đề 1 — Cho F là một không gian Fréchet thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. Mọi tập con C của F compact đối với tôpô T cảm sinh bởi σ(F, F') đều khả mê đối với tôpô này. 07VV
Bổ đề 2 Cho X là một không gian compact. Nếu một dãy (fₙ)_n ∈ N bị chặn trong C(X) và hội tụ đơn điểm trên X tới một hàm liên tục f, thì μ(f) = lim_n → ∞ μ(fₙ) với mọi μ trong C(X)'. 07VW
Mệnh đề 3 Cho X là một không gian compact, và A là một tập con bị chặn của C(X). Để A compact tương đối đối với tôpô hội tụ đơn điểm, điều kiện cần và đủ là A compact tương đối đối với σ(C(X… 07VX
Hệ quả Cho S là một không gian tôpô và A là một tập con bị chặn của Cᵇ(S). Các điều kiện sau là tương đương : (i) A compact tương đối đối với σ(Cᵇ(S), Cᵇ(S')); (ii) nếu (fₙ)_n ∈ N là một… 07VY
Định lý 3 (Krein) Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff và gần đầy đủ, và cho T là một tôpô trên E tương thích với đối ngẫu giữa E và E'. Cho A là một tập con của E compact đối với T. Khi… 07VZ

App. 0. Fixed points of groups of affine transformations

Định lý 1 (Markoff-Kakutani) — Cho E là một không gian vectơ lồi địa phương Hausdorff trên trường R, và K là một tập con lồi compact không rỗng của E. Cho Γ là một tập hợp các phép biến đổi afin liên tục trên… 07WI
Hệ quả — Cho G là một nhóm giải được các phép biến đổi afin liên tục trên K. Khi đó tồn tại một điểm trong K bất biến dưới G. 07WJ
Định nghĩa 1 Một dạng tuyến tính dương μ trên không gian B(X; R), trong đó X là một không gian tôpô, và thỏa mãn |μ| = 1, được gọi là một trung bình trên X. 07WK
Bổ đề 1 Tập hợp K các trung bình trên X là tập con của quả cầu đơn vị của đối ngẫu của không gian Banach E = B(X; R) mà các phần tử là các dạng tuyến tính μ sao cho μ(1) = 1. Nó là một tập… 07WL
Mệnh đề 1 Cho X là một không gian tôpô và G là một nhóm giải được. Giả sử rằng G tác động lên X ở bên trái, sao cho với mọi g ∈ G, ánh xạ x ↦ g.x từ X vào X là liên tục. Khi đó tồn tại một t… 07WM
Hệ quả Cho G là một nhóm tôpô giải được. Khi đó tồn tại một trung bình trên G bất biến dưới các phép tịnh tiến trái và phải. 07WN
Bổ đề 2 Giả sử K chứa ít nhất hai điểm. Với mọi ε > 0, tồn tại một phân hoạch của K thành hai tập con không rỗng K₁ và K₂, có các tính chất sau: 07WO
Bổ đề 3 Cho G là một nhóm các phép biến đổi afin liên tục (đối với T) trên K. Giả sử rằng K không rỗng và rằng |gx - gy| = |x - y| với mọi x, y trong K và mọi g trong G. Khi đó tồn tại một… 07WP
Định lý 2 (Ryll-Nardzewski) — Cho E là một không gian định chuẩn và K một tập con lồi không rỗng của E, compact đối với tôpô yếu σ(E, E'). Cho G là một nhóm các phép biến đổi afin đẳng cự của K. Khi đó tồn tạ… 07WQ
Hệ quả — Cho E là một không gian Banach phản xạ, G một nhóm các tự đẳng cấu của không gian định chuẩn E, và K một tập con của E. Giả sử rằng K không rỗng, lồi, đóng, bị chặn và ổn định dư… 07WR

V. Các không gian Hilbert¹ (lý thuyết sơ cấp)

§ 1. Các không gian tiền Hilbert và các không gian Hilbert

Định nghĩa 1 Cho E là một không gian vectơ trên trường K. Một dạng Hermit (bên trái) trên E là một ánh xạ f từ E × E vào K thỏa mãn các điều kiện sau đây (với x₁, x₂, x, y₁, y₂, y trong E và λ… 07X0
Nhận xét — Ta nhận thấy rằng công thức (6) là đúng với mọi dạng nửa song tuyến tính trên E × E (nghĩa là, với mọi hàm f thỏa mãn (1) và (2), nhưng không nhất thiết thỏa mãn (3)). Nhận xét n… 07X1
Mệnh đề 1 Nếu f là một dạng Hermit trên E, và M là một không gian con vectơ của E sao cho f(x, x) = 0 với mọi x ∈ M, thì ta cũng có f(x, y) = 0 với mọi cặp điểm x, y trong M. 07X2
Định nghĩa 2 Cho E là một không gian vectơ trên trường K. Một dạng Hermit f trên E được gọi là dương nếu f(x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ E. 07X3
Mệnh đề 2 — Nếu f là một dạng Hermit dương, ta có 07X4
Hệ quả 1 — Nếu f là một dạng Hermit dương, tập N gồm mọi x \in E sao cho f(x, x) = 0 trùng với không gian con vectơ gồm mọi x \in E sao cho f(x, y) = 0 với mọi y \in E. 07X5
Hệ quả 2 — Để một dạng Hermit dương là phân ly, điều kiện cần và đủ là quan hệ x \neq 0 kéo theo f(x, x) 0. 07X6
Mệnh đề 3 — Cho f là một dạng Hermit dương trên E. Đặt 07X7
Nhận xét — 1) Giả sử f là dương và phân ly, và cho x, y là hai vectơ ≠ 0. Chứng minh của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho thấy rằng, nếu hai vế của (7) bằng nhau, thì tồn tại một vô hướng ξ… 07X8
Định nghĩa 3 Cho E là một không gian vectơ trên trường K. Một nửa chuẩn p trên E được gọi là tiền Hilbert nếu tồn tại một dạng Hermit dương f trên E sao cho p(x) = f(x, x)^1/2 với mọi x ∈ E. 07X9
Định nghĩa 4 Một không gian tiền Hilbert là một tập E với cấu trúc không gian vectơ trên K và với một dạng Hermit dương. Ta nói rằng E là một không gian tiền Hilbert thực (resp. phức) khi K là… 07XA
Ví dụ 1 Dạng (λ, μ) ↦ overlineλ μ xác định một cấu trúc tiền Hilbert trên K, được gọi là chính tắc. Khi K được xét như một không gian tiền Hilbert, ta sẽ luôn luôn hiểu, trừ khi có nói rõ… 07XB
Ví dụ 2 Cho I là một khoảng (bị chặn hay không) trong R, và cho E là tập các hàm điều hòa được (FVR, II, p. 4) xác định trên I với giá trị trong C, có hỗ compact. Hiển nhiên E là một không… 07XC
Ví dụ 3 Cho n geqslant 0 là một số nguyên. Ta định nghĩa một cấu trúc không gian tiền Hilbert trên không gian Kⁿ, bằng dạng Hermit 07XD
Ví dụ 4 Cho ℓ² (hay ℓ²(N)) là tập hợp các dãy x = (xₙ)_n ∈ N gồm các phần tử của K sao cho ∑ₙ₌₀^∞ |xₙ|² là hữu hạn. Có thể chứng minh rằng ℓ² là một không gian con vectơ của Kᴺ và định ngh… 07XE
Ví dụ 5 Cho E là một không gian tiền Hilbert thực, f là dạng song tuyến tính đối xứng tương ứng trên E. Cho E_(c) là phức hoá không gian vectơ của E; ta đồng nhất E với một tập con của E_(… 07XF
Định nghĩa 5 Một không gian Hilbert (hay không gian Hilbert) là một không gian tiền Hilbert Hausdorff và đầy đủ. Ta nói rằng một chuẩn trên một không gian vectơ E (trên K) là Hilbert nếu nó là… 07XG
Ví dụ 1 Các không gian tiền Hilbert được định nghĩa trong các ví dụ 1, 3, 4 của V, p. 4, là các không gian Hilbert. Mặt khác, không gian tiền Hilbert được định nghĩa trong ví dụ 2 không là… 07XH
Ví dụ 2 Cho X là một không gian tôpô Hausdorff và μ là một độ đo dương trên X. Cho L²(X, μ) là không gian gồm các lớp tương đương, theo μ, của mọi hàm khả tích bình phương theo μ trên X nh… 07XI
Ví dụ 3 Cho n geqslant 1 là một số nguyên và cho U là một tập mở trong Rⁿ. Cho μ là độ đo trên U cảm sinh bởi độ đo Lebesgue trên Rⁿ, và đặt H⁰ = L²(U, μ). Ký hiệu H¹ là không gian của mọi… 07XJ
Ví dụ 4 Cho X là một đa tạp vi phân thuộc lớp Cʳ (với r geqslant 1) thuần nhất có số chiều hữu hạn n. 07XK
Ví dụ 5 Cho D là đĩa mở có tâm 0 và bán kính 1 trong C. Không gian Hardy H²(D) gồm tất cả các hàm chỉnh hình f : D → C sao cho sup_0 < R < 1 ∫₀¹ |f(R · e(θ))|² dθ < + ∞ . Nếu f₁ và f₂ thuộ… 07XL
Mệnh đề 4 — Cho E là một không gian tiền Hilbert Hausdorff, hatE là phần bù đầy đủ chuẩn hóa của E(GT, IX, § 3, No. 3). Tích vô hướng (x, y) ↦ ⟨ x|y ⟩ được mở rộng bằng tính liên tục thành m… 07XM
Hệ quả — Cho V là một không gian vectơ trên K và f một dạng Hermit dương trên V. a) Tồn tại một không gian Hilbert E và một ánh xạ tuyến tính u : V → E sao cho f(x, y) = ⟨ u(x)|u(y) ⟩ với… 07XN
Ví dụ 7 Cho G là một nhóm (với phần tử đơn vị 1) và π một đồng cấu từ G vào nhóm các tự đẳng cấu của một không gian Hilbert phức E ; ta nói rằng π là một biểu diễn unita của G trong E. Lấy… 07XO
Mệnh đề 5 — Cho E là một không gian tiền Hilbert. Cho d là một số thực > 0, δ là một số thực thỏa mãn 0 leqslant δ leqslant d. Cho B và B' là các tập con của E được xác định bởi | x | < d, 07XP
Định lý 1 Cho E là một không gian tiền Hilbert, và H là một tập con lồi không rỗng của E sao cho H là một không gian con đều Hausdorff và đầy đủ của E. Với mọi x ∈ E, tồn tại một điểm duy nh… 07XQ
Hệ quả 1 Cho I là một tập hợp có hướng bởi một bộ lọc 𝔉 và (yᵢ)_i ∈ I là một họ các điểm của H. Cho x ∈ E. Giả sử rằng ta có lim_i, 𝔉 | x - yᵢ | = inf_z ∈ H | x - z | . Thì yᵢ hội tụ đến p_… 07XR
Hệ quả 2 Với mọi x, y trong E, ta có | p_H(x) - p_H(y) | ≤ | x - y | . Đặc biệt, ánh xạ p_H từ E vào H là liên tục. 07XS
Mệnh đề 6 Cho E là một không gian tiền Hilbert và cho Φ là một tập hợp không rỗng, có hướng, giảm của các tập con lồi, Hausdorff và đầy đủ không rỗng của E. Với mọi x ∈ E và mọi tập con H củ… 07XT
Mệnh đề 7 Cho E là một không gian tiền Hilbert Hausdorff và cho Ψ là một tập hợp không rỗng, có hướng, tăng của các tập con không rỗng, lồi, đầy đủ của E. Đặt A = ⋃_H ∈ Ψ H và giả sử bao đón… 07XU
Định lý 2 Cho E là một không gian tiền Hilbert và M là một không gian con vectơ của E, không gian này là Hausdorff và đầy đủ. Khi đó E là tổng trực tiếp tôpô của M và của M^∘ là không gian c… 07XV
Hệ quả Cho E là một không gian tiền Hilbert Hausdorff và M là một không gian con vectơ hữu hạn chiều của E. Khi đó E là tổng trực tiếp của M và M^∘. 07XW
Mệnh đề 8 — Cho E là một không gian Hilbert, M là một không gian con vectơ đóng của E, I là một tập hợp có thứ tự có hướng không rỗng và (Mᵢ)_i ∈ I là một họ các không gian con vectơ đóng củ… 07XX
Mệnh đề 9 — Cho E là một không gian Hilbert và M, N là hai không gian con vectơ đóng của E. 07XY
Nhận xét — Cho E là một không gian Hilbert và M, N là hai không gian con vectơ đóng của E. Quan hệ M ⊂ N tương đương với tính trực giao của M và N^∘, nghĩa là tương đương với quan hệ p_M p_… 07XZ
Định lý 3 Cho E là một không gian Hilbert. Với mỗi x ∈ E, gọi x^* là dạng tuyến tính liên tục y ↦ ⟨ x | y ⟩ trên E; ánh xạ x ↦ x^* là một ánh xạ song ánh, nửa tuyến tính (đối với tự đẳng cấu… 07Y0
Hệ quả 1 Để họ (xᵢ)_i ∈ I các điểm của một không gian Hilbert E là toàn phần, điều kiện cần và đủ là các hệ thức ⟨ xᵢ|y ⟩ = 0 với y ∈ E và với mọi chỉ số i ∈ I kéo theo y = 0. 07Y1
Hệ quả 2 Cho E và F là hai không gian Hilbert. Với u ∈ L(E; F), x ∈ E và y ∈ F, đặt 07Y2
Định lý 4 Trong một không gian Hilbert E, quả cầu đơn vị là compac yếu. 07Y3
Mệnh đề 10 Nếu, trong một không gian Hilbert E, một bộ lọc 𝔉 hội tụ yếu đến x₀, và nếu hơn nữa lim_𝔉 |x| = |x₀|, thì 𝔉 hội tụ đến x₀ theo tôpô ban đầu của E. 07Y4
Nhận xét — Nếu E là một không gian tiền Hilbert Hausdorff và hatE là không gian Hilbert đầy đủ hóa của E, ta biết (III, p. 16) rằng đối ngẫu E' của E có thể được đồng nhất với đối ngẫu của… 07Y5

§ 2. Các họ trực giao trong một không gian Hilbert

Mệnh đề 1 Cho (Eᵢ)_i ∈ I là một họ các không gian Hilbert, P là không gian vectơ tích ∏_i ∈ I Eᵢ và E là tập con của P gồm tất cả các họ x = (xᵢ)_i ∈ I sao cho ∑_i ∈ I |xᵢ|² là hữu hạn. 07Z7
Định nghĩa 1 Cho (Eᵢ)_i ∈ I là một họ các không gian Hilbert. Không gian Hilbert E được định nghĩa trong mệnh đề 1 được gọi là tổng Hilbert ngoài của họ (Eᵢ)_i ∈ I và được viết là ⨁_i ∈ I Eᵢ ho… 07Z8
Ví dụ — Cho E là một không gian Hilbert và I là một tập chỉ số. Ký hiệu ℓ²_E(I) là tổng Hilbert ngoài của họ (Eᵢ)_i ∈ I, trong đó Eᵢ = E với mọi i ∈ I. Nói cách khác, ℓ²_E(I) là không gi… 07Z9
Định nghĩa 2 Một không gian Hilbert E được gọi là tổng Hilbert của một họ (Eᵢ)_i ∈ I các không gian con vectơ đóng của E khi : 07ZA
Định lý 1 — Cho E là một không gian Hilbert là tổng Hilbert của một họ (Eᵢ)_i ∈ I các không gian con vectơ đóng của E. Tồn tại một đẳng cấu f và chỉ một, từ E lên tổng Hilbert ngoài ⨁_i ∈ I… 07ZB
Hệ quả 1 — Cho E là một không gian Hilbert, là tổng Hilbert của một họ (Eᵢ)_i ∈ I các không gian con vectơ đóng của E; với mọi i ∈ I, ký hiệu p_Eᵢ là phép chiếu trực giao (V, p. 13) từ E lê… 07ZC
Hệ quả 2 — Cho E là một không gian tiềnhilbert Hausdorff, (Eᵢ)_i ∈ I là một họ các không gian con vectơ đầy đủ của E sao cho, với mọi cặp chỉ số phân biệt i, k trong I, các không gian con E… 07ZD
Nhận xét Cho E là một không gian tiền Hilbert Hausdorff, (Vᵢ)_i ∈ I là một họ các không gian con vectơ của E sao cho với mọi cặp chỉ số phân biệt i, k, các không gian con Vᵢ và Vₖ trực giao… 07ZE
Mệnh đề 2 — Cho E là một không gian Hilbert và (V_λ)_λ ∈ L là một họ các không gian con vectơ đóng của E; với mọi λ ∈ L, cho (W_λ μ)_μ ∈ M_λ là một họ các không gian con vectơ đóng của V_λ s… 07ZF
Định nghĩa 3 Trong một không gian tiền Hilbert, một họ (eᵢ)_i∈ I các vectơ được gọi là trực giao nếu eᵢ và eₖ trực giao với nhau với mọi i ≠ k, và được gọi là trực chuẩn nếu thêm nữa |eᵢ| = 1 v… 07ZG
Mệnh đề 3 Trong một không gian tiền Hilbert Hausdorff E, mọi họ trực chuẩn đều độc lập về mặt tôpô. 07ZH
Mệnh đề 4 Cho E là một không gian tiền Hilbert Hausdorff, (eᵢ)_i∈ I là một họ trực chuẩn trong E, V là không gian con vectơ đóng của E sinh bởi các eᵢ. 07ZI
Mệnh đề 5 — Cho (eᵢ)_i ∈ I là một họ trực chuẩn trong một không gian tiền Hilbert Hausdorff E. Các tính chất sau là tương đương : a) họ (eᵢ) là toàn thể ; b) với mọi x ∈ E, họ ⟨ eᵢ | x ⟩ · e… 07ZJ
Định nghĩa 4 — Một họ trực chuẩn và đầy đủ trong một không gian tiền Hilbert Hausdorff E được gọi là một cơ sở trực chuẩn của E. 07ZK
Ví dụ Cho E là không gian của mọi hàm liên tục nhận giá trị phức trên R, sao cho f(x + n) = f(x) với x ∈ R và n ∈ Z. Ta gán cho E tích vô hướng được xác định bởi 07ZL
Định lý 2 Mọi tập trực chuẩn L trong một không gian hilbert E đều được chứa trong một cơ sở trực chuẩn B của E. 07ZM
Hệ quả 1 Trong mọi không gian Hilbert, tồn tại một cơ sở trực chuẩn. 07ZN
Hệ quả 2 Mọi không gian Hilbert đều đẳng cấu với một không gian ℓ²(I). 07ZO
Mệnh đề 6 Cho E là một không gian tiền Hilbert Hausdorff, và cho (aₙ)_n ∈ I (I là một khoảng của N có gốc 1) là một họ đếm được (hữu hạn hoặc không) độc lập các vectơ của E. Tồn tại một họ t… 07ZP
Hệ quả Trong mọi không gian tiền Hilbert Hausdorff E thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất, tồn tại một cơ sở trực chuẩn đếm được. 07ZQ
Ví dụ Cho I là khoảng (-1, 1) của R và E là không gian vectơ các hàm liên tục nhận giá trị thực trên I. Cho x ký hiệu đơn ánh chính tắc từ I vào R, xét như một phần tử của E. Theo định l… 07ZR
Mệnh đề 7 Trong một không gian Hilbert E, hai cơ sở trực chuẩn là tương đương lực lượng. 07ZS
Hệ quả 1 Cho hai cơ sở trực chuẩn trong một không gian Hilbert E, tồn tại một tự đẳng cấu của E biến cơ sở thứ nhất thành cơ sở thứ hai. 07ZT
Hệ quả 2 — Để cho các không gian Hilbert ℓ²(I) và ℓ²(J) đẳng cấu với nhau, điều kiện cần và đủ là I và J là hai tập có cùng lực lượng. 07ZU

§ 3. Tích tenxơ của các không gian Hilbert

Mệnh đề 1 — Dạng nửa tuyến tính Φ trên E₁ ⊗ E₂ là Hermit và dương, do đó gán cấu trúc của một không gian tiền Hilbert cho E₁ ⊗ E₂. Không gian này là Hausdorff nếu E₁ và E₂ là Hausdorff. 080B
Mệnh đề 2 Với i = 1, 2, cho Eᵢ và Fᵢ là hai không gian prehilbert Hausdorff và cho uᵢ ∈ L(Eᵢ; Fᵢ). Ánh xạ tuyến tính u₁ ⊗ u₂ từ E₁ ⊗₂ E₂ vào F₁ ⊗₂ F₂ là liên tục và ta có |u₁ ⊗ u₂| = |u₁| ·… 080C
Định nghĩa 1 Cho E₁, ..., Eₙ là các không gian hilbert. Phép hoàn thiện của không gian tiền hilbert Hausdorff E₁ hat⊗₂ ... hat⊗₂ Eₙ được gọi là tích tenxơ hilbert của các Eᵢ và được ký hiệu bởi… 080D
Nhận xét Cho E₁, ..., Eₙ là các không gian tiền hilbert Hausdorff, và hatE₁, ..., hatEₙ là các phần hoàn thiện tương ứng của chúng. Khi đó E₁ ⊗₂ ... ⊗₂ Eₙ là một không gian con tiền hilbert… 080E
Mệnh đề 3 Cho E₁, ..., Eₙ là các không gian hilbert. Giả sử rằng với 1 ≤ i ≤ n không gian Eᵢ là một tổng hilbert của một họ (E_i,α)_α ∈ A(i) các không gian con vectơ đóng. Khi đó E₁ ⊗₂ ... ⊗… 080F
Hệ quả 1 — Với 1 ≤ i ≤ n, cho (e_i,α)_α ∈ A(i) là một cơ sở trực chuẩn của Eᵢ. Khi đó họ các vectơ e_1,α₁ ⊗ … ⊗ e_n,αₙ khi (α₁, …, αₙ) chạy trên A(1) × ⋯ × A(n) là một cơ sở trực chuẩn của… 080G
Hệ quả 2 — Cho E₁ và E₂ là hai không gian Hilbert, và (eᵢ)_i ∈ I là một cơ sở trực chuẩn của E₁. Cho (yᵢ)_i ∈ I là một họ các phần tử của E₂, sao cho ∑_i ∈ I | yᵢ | ² < + ∞. Khi đó họ (eᵢ ⊗… 080H
Ví dụ 1 Theo Hệ quả 1, không gian ℓ²(I) hat⊗₂ ℓ²(J) đẳng cấu chính tắc với ℓ²(I × J), tích tenxơ x ⊗ y của x = (xᵢ)_i ∈ I và y = (yⱼ)_j ∈ J có thể được đồng nhất với họ (xᵢ yⱼ)_i ∈ I, j ∈… 080I
Ví dụ 2 Cho X là một không gian tôpô Hausdorff, và μ là một độ đo dương trên X. Cho E là một không gian Hilbert. Ta có thể đồng nhất L²(X, μ) hat⊗₂ E với L²_E(X, μ) một cách chính tắc : nế… 080J
Mệnh đề 4 Cho (eᵢ)_i ∈ I là một cơ sở trực chuẩn của không gian Hilbert E. Với mọi α trong N⁽ᴵ⁾, đặt 080K
Hệ quả — Giả sử rằng không gian hilbert E là tổng trực tiếp của các không gian con trực giao M và N. Đẳng cấu chính tắc g từ S(M) ⊗ S(N) lên S(E) (A, III, § 6, No. 6) mở rộng duy nhất thà… 080L
Ví dụ 1 Cho d ≥ 1 là một số nguyên và ω là một hàm dương trên Rᵈ, khả tích địa phương đối với độ đo Lebesgue μ. Cho E là không gian Hilbert L²(Rᵈ, ω.μ), và đặt S = S(E). Khi đó S có thể đư… 080M
Ví dụ 2 Cho X là một không gian tôpô Hausdorff, μ là một độ đo dương có chuẩn 1 trên X và E là một không gian con Hilbert của không gian Hilbert thực L²_R(X, μ). Ta nói rằng E là một không… 080N
Ví dụ — Với các ký hiệu của ví dụ 1 của V, p. 32, ta có thể đồng nhất không gian Hilbert hatΛ(E) với tập hợp tất cả các dãy (fₙ)_n ≥ 0 các hàm đo được sao cho số |f| được định nghĩa tron… 080O
Mệnh đề 5 Cho (eᵢ)_i ∈ I là một cơ sở trực chuẩn của không gian Hilbert E. Trang bị cho I một cấu trúc được sắp thứ tự toàn phần. Khi đó tập hợp tất cả các phần tử e_i₁ ∧ ... ∧ e_iₙ với i₁ <… 080P
Hệ quả Giả sử không gian Hilbert E là tổng trực tiếp của hai không gian con trực giao M và N. Đẳng cấu chính tắc g từ Λ(M) ⊗ Λ(N) lên Λ(E) (A, III, § 7, No. 7) mở rộng một cách duy nhất t… 080Q
Mệnh đề 6 Cho E là một không gian Hilbert. Ta có 080R
Hệ quả 1 a) Cho x₁, …, xₙ là các phần tử của không gian Hilbert E. Ta có 080S
Hệ quả 2 — Cho (aᵢⱼ)_1 ≤ i,j ≤ n là một ma trận Hermit, với các phần tử phức, và có định thức D. Giả sử rằng bất đẳng thức 080T
Hệ quả 3 (« các bất đẳng thức của Hadamard ») — Cho (aᵢⱼ)_1 ≤ i, j ≤ n là một ma trận có phần tử phức, và có định thức D. Đặt 080U

§ 4. Một số lớp các toán tử trong các không gian Hilbert

Mệnh đề 1 — Cho E và F là hai không gian Hilbert. Với mọi ánh xạ u ∈ L(E; F), tồn tại một ánh xạ duy nhất u^* ∈ L(F; E) sao cho 080X
Định nghĩa 1 — Cho E và F là hai không gian Hilbert. Với mọi ánh xạ tuyến tính liên tục u : E → F, ánh xạ tuyến tính liên tục từ F vào E được xác định bởi công thức (1) được gọi là ánh xạ liên… 080Y
Mệnh đề 2 Với mọi u ∈ L(E ; F), ta có 080Z
Nhận xét 1 Giả sử không gian Hilbert E không rút gọn về 0. Ta đồng nhất L(K;E) với E qua ánh xạ u ↦ u(1); nói cách khác, vectơ x của E được đồng nhất với ánh xạ λ ↦ λ.x từ K vào E. Khi đó liê… 0810
Mệnh đề 3 — Cho E và F là hai không gian Hilbert và u ∈ L(E;F). Các điều kiện sau là tương đương : 0811
Nhận xét 2 — Quan hệ u^*u = 1_E không đặc trưng cho tất cả các tự đẳng cấu của không gian Hilbert E. Ví dụ, cho E = ℓ²(N) và cho u được xác định bởi u(xₙ) = xₙ₋₁ với n ≥ 1 và u(x)₀ = 0. Ta có… 0812
Nhận xét 3 — Định nghĩa (1) của toán tử liên hợp u^* cũng có thể được viết là ⟨ y|u(x)⟩ = ⟨ u^*(y)|x⟩ , hoặc, theo V, p. 15, là ⟨ u(x), y^*⟩ = ⟨ x, (u^*(y))^*⟩ . Nhưng ta cũng có ⟨ u(x), y^*⟩… 0813
Định nghĩa 2 Cho E và F là hai không gian Hilbert và u ∈ L(E; F). Phần bù trực giao của hạt nhân của u trong E được gọi là không gian con ban đầu của u và bao đóng của ảnh của u trong F được gọ… 0814
Mệnh đề 4 (i) Không gian con ban đầu (tương ứng cuối) của u^* bằng không gian con cuối (tương ứng ban đầu) của u. 0815
Định nghĩa 3 Cho E và F là hai không gian Hilbert. Một ánh xạ u ∈ L(E; F) được gọi là đẳng cự từng phần nếu |u(x)| = |x| với mọi x thuộc không gian con ban đầu của u. 0816
Mệnh đề 5 Cho u ∈ L(E; F), gọi P là không gian con ban đầu và Q là không gian con cuối của nó. Gọi p (tương ứng q) là phép chiếu trực giao ban đầu (tương ứng cuối) của u. Giả sử rằng u là đẳ… 0817
Mệnh đề 6 Với mọi u ∈ L(E; F), các điều kiện sau đây là tương đương : 0818
Định nghĩa 4 Cho E là một không gian Hilbert và u ∈ L(E). Ta nói rằng u là chuẩn nếu nó giao hoán với tự liên hợp u^* của nó. 0819
Mệnh đề 7 Để u ∈ L(E) là chuẩn, điều kiện cần và đủ là |u(x)| = |u^*(x)| với mọi x ∈ E. ↩ 1 081A
Mệnh đề 8 Giả sử rằng u ∈ L(E) là chuẩn thường. Gọi N là hạt nhân của u và M là không gian trực giao của N trong E; gọi m và n là hai số nguyên dương sao cho m + n ≥ 1. Khi đó N là hạt nhân… 081B
Hệ quả Cho λ ∈ K. Các không gian con sau đây của E là bằng nhau : a) không gian con riêng của u ứng với λ; b) không gian con riêng của u^* ứng với overlineλ; 081C
Định nghĩa 5 Cho E là một không gian Hilbert và cho u ∈ L(E). Ta nói rằng u là Hermit nếu u^* = u. 081D
Mệnh đề 9 Với mọi tự đồng cấu Hermit u của E, ta có 081E
Mệnh đề 10 — Giả sử K là C. Cho u ∈ L(E). Khi đó tồn tại duy nhất một cặp (h₁, h₂) gồm các tự đồng cấu Hermit của E, sao cho u = h₁ + ih₂. Để u là chuẩn, cần và đủ rằng h₁ và h₂ giao hoán. 081F
Mệnh đề 11 — Cho p ∈ L(E). Để p là phép chiếu trực giao từ E lên một không gian con vectơ đóng của E, cần và đủ rằng p² = p = p^*. 081G
Định nghĩa 6 — Cho E là một không gian Hilbert và u ∈ L(E). Ta nói rằng u là dương, và viết u ≥ 0, nếu u là Hermit và nếu ⟨ x|u(x) ⟩ ≥ 0 với mọi x ∈ E. 081H
Mệnh đề 12 — Cho u là một phần tử Hermit (resp. dương) của L(E) và cho v là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào một không gian Hilbert F. Khi đó vuv^* là một phần tử Hermit (resp. dương)… 081I
Nhận xét 1 Với mọi u Hermit trong L(E), đặt m(u) = inf_|x|=1 ⟨ x|u(x)⟩, M(u) = sup_|x|=1 ⟨ x|u(x)⟩. Nếu E không chỉ là 0, thì m(u) và M(u) là hữu hạn; hơn nữa, M(u) là số thực nhỏ nhất λ sao… ↩ 1 081J
Nhận xét 2 Cho M và N là hai không gian con vectơ đóng của E, và p_M (resp. p_N) là phép chiếu trực giao từ E lên M (resp. N). Khi đó M ⊂ N khi và chỉ khi p_M ≤ p_N. Thật vậy, ta có p_M^* p_M… 081K
Mệnh đề 13 — Cho H(E) là tập hợp tất cả các tự đồng cấu Hermit liên tục của không gian Hilbert E. Cho F là một tập con không rỗng, có hướng tăng và bị chặn của H(E). 081L
Bổ đề 1 Có một đẳng cấu θ từ không gian vectơ F ⊗ E' lên không gian L_f(E; F) gồm tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục hạng hữu hạn từ E vào F, được đặc trưng bởi θ(b ⊗ a^*) = ba^* với a… 081M
Bổ đề 2 Cho (eᵢ)_i ∈ I là một cơ sở trực chuẩn của E. Khi đó 081N
Bổ đề 3 Cho u là một tự đồng cấu liên tục và dương của E, và F là tập hợp tất cả các phép chiếu trực giao hạng hữu hạn trên E. Khi đó với mọi cơ sở trực chuẩn (eᵢ)_i ∈ I của E, ta có (tron… 081O
Định nghĩa 7 Cho u là một tự đồng cấu liên tục và dương của không gian Hilbert E. Đặt Tr(u) = sup_p ∈ F τ(p u p) (cận trên trong overlineR₊), trong đó F là tập tất cả các phép chiếu trực giao c… 081P
Định nghĩa 8 — Cho E là một không gian Hilbert phức. Ta viết L¹(E) cho không gian con vectơ của L(E) sinh bởi mọi tự đồng cấu liên tục, dương của E có vết hữu hạn. 081Q
Mệnh đề 14 — Cho E₁, ..., Eₙ là các không gian Hilbert, E = E₁ hat⊗₂ ... hat⊗₂ Eₙ, và uᵢ là một tự đồng cấu liên tục của Eᵢ với 1 ≤ i ≤ n. Nếu u₁, ..., uₙ dương, thì u = u₁ hat⊗₂ ... hat⊗₂ uₙ… 081R
Nhận xét 2 — Cho E là một không gian Hilbert, là tổng Hilbert của một họ (Eᵢ)_i ∈ I các không gian con Hilbert. Cho u là một phần tử của L(E) sao cho u(Eᵢ) ⊂ Eᵢ với mọi i ∈ I; cho uᵢ là phần… 081S
Định nghĩa 9 Cho E và F là hai không gian Hilbert. Một ánh xạ tuyến tính liên tục u từ E vào F được gọi là một ánh xạ Hilbert-Schmidt nếu vết của tự đồng cấu dương u^*u của E là hữu hạn. Tập hợ… 081T
Định lý 1 Cho E và F là hai không gian hilbert. (i) Tập L²(E, F) là một không gian con vectơ của L(E; F) và u ↦ |u|₂ là một chuẩn hilbert (V, p. 6) trên L²(E; F). (ii) Đẳng cấu θ từ F ⊗ E' l… 081U
Ví dụ 1 Cho I và J là hai tập hợp. Theo chứng minh đã cho ở trên, để một ánh xạ u từ ℓ²(I) vào ℓ²(J) là một ánh xạ Hilbert-Schmidt, điều kiện cần và đủ là tồn tại một ma trận (aⱼᵢ) trong ℓ… 081V
Ví dụ 2 Cho X và Y là hai không gian tôpô Hausdorff, được trang bị lần lượt các độ đo dương μ và ν. Ta có thể chứng minh rằng các ánh xạ Hilbert-Schmidt từ L²(X) vào L²(Y) tương ứng song á… 081W
Nhận xét 1 Giả sử K = C. Cho u và v thuộc L²(E; F). Ta có quan hệ 4 u^* v = ∑_ε⁴ = 1 overlineε(u + ε v)^* (u + ε v), do đó u^* v thuộc L¹(E). Tích vô hướng trong không gian Hilbert L²(E; F) đ… 081X
Nhận xét 2 Giả sử K = R. Chúng tôi để bạn đọc kiểm tra rằng các công thức (40) và (41) vẫn đúng, và hãy chứng minh rằng L²(E; F) có thể được đồng nhất với không gian đối ngẫu của L²(F; E) nhờ… 081Y
Định lý 2 Cho E và F là hai không gian Hilbert và u là một ánh xạ Hilbert-Schmidt từ E vào F. Tồn tại một cơ sở trực chuẩn (eᵢ)_i ∈ I của E được u biến thành một họ trực giao trong F. 081Z
Bổ đề 4 Hàm Q : B → R liên tục. 0820
Bổ đề 5 Cho E₁ là một không gian con vectơ đóng của E, ổn định dưới u^*u. Nếu E₁ ≠ 0, thì tồn tại một vectơ có chuẩn 1 trong E₁ ∩ P. 0821
Hệ quả 1 — Cho v là một tự đồng cấu liên tục, dương có vết hữu hạn của không gian Hilbert E. Tồn tại một cơ sở trực chuẩn (eᵢ)_i ∈ I của E và một họ khả tổng các số thực dương (λᵢ)_i ∈ I sa… 0822
Hệ quả 2 Cho E là một không gian Hilbert. Khi đó L¹(E) ⊂ L²(E). 0823
Hệ quả 3 Cho v là một tự đồng cấu dương liên tục của không gian Hilbert E có vết hữu hạn. Tồn tại một tự đồng cấu Hilbert-Schmidt dương w của E sao cho v = w² và sao cho v giao hoán với w. 0824
Nhận xét — Với các ký hiệu của định lý 2, cho J là tập hợp tất cả các i \in I sao cho u(eᵢ) ≠ 0. Với mọi i \in J, đặt λᵢ = | u(eᵢ) | và fᵢ = λᵢ⁻¹ u(eᵢ). Khi đó (eᵢ)_i ∈ J (tương ứng (fᵢ)_i… 0825
Nhận xét — 1) Với mọi không gian con F của E, ký hiệu Q_F là hạn chế của Q lên F và H_F là hạn chế của H lên F. Ta có Tr(Q_F/H_F) ≤ Tr(Q/H) và Tr(Q/H) là cận trên của tập hợp tất cả các số… 0826
Mệnh đề 15 Giả sử tồn tại một cấu trúc không gian Hilbert thực trên E sao cho H(x) = |x|² với mọi x ∈ E. Để Tr(Q/H) hữu hạn, cần và đủ là tồn tại một tự đồng cấu liên tục và dương u của E có… 0827
Nhận xét 3 Cho E và F là hai không gian Hilbert và v là một ánh xạ tuyến tính, không nhất thiết liên tục, từ E vào F. Cho H(x) = |x|² và Q(x) = |v(x)|² với mọi x ∈ E. Suy ra từ mệnh đề 15 rằn… 0828
Nhận xét 4 Giả sử E là hữu hạn chiều. Khi dạng toàn phương H khả nghịch, mệnh đề 15 áp dụng. Cho (e₁, …, eₙ) là một cơ sở của E. Đặt qᵢⱼ = ⟨ eᵢ|eⱼ⟩_Q và hᵢⱼ = ⟨ eᵢ|eⱼ⟩_H và đưa vào các ma trậ… 0829