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命题索引

拓扑向量空间的 644 个命题，按章和节排列。选择一种类型，按词筛选，或把被引用最多的排在前面。

引用最多的在前

I. 有价值除法环上的拓扑向量空间

§ 1. 。拓扑向量空间

定义 1 — 给定拓扑划分环 K (GT, III, § 6.7) 和集合 E 使得 E 有 K 上的左向量空间 1^∘ 结构； 2^∘ 拓扑与 E (GT, III, § 1.1) 的加法群结构和加法中的满足兼容以下公理： (EVT) 映射 (λ, x) ↦ λ x of K × E 在 E 是连续的，则 E 被称为左拓扑向量空间在（或在）K上。 077V
例 — 1) 如果E在离散拓扑划分环K上是左向量空间，则E上的离散拓扑与E的向量空间结构兼容（如果K则情况并非如此）是非离散的，且 E 不是单个点 0)。 2) 令A为拓扑环（GT，III, § 6.3），并令K为A的子环，这也是环的除法，使得拓扑由A在K上诱发与K的除法环结构兼容；那么A的拓扑与K上的左向量空间结构兼容。 3) 令K为任意拓扑划分环，且I为任意… 077W
命题 1 — 对于所有 α ∈ K 和每个点 b ∈ E，E 的映射 x ↦ α x + b 本身是连续的。此外，如果α ≠ 0，则这个映射是E自身的同胚。 077X
推论 — 如果 A 在 E 中是开（或闭）集合，则对于 K 中的每个 α ≠ 0，α A 在 E 中是开（或闭）。 077Y
例令I为指标的任意一个集合；已知（GT，X, § 3.2）范数|x|可以在K，B(I; K)（也写为B_K(I)或ℓ_K^∞(I)）中的I有界映射x = (ξᵢ)的集合上定义， |x| = sup_i ∈ I |ξᵢ|。当I是拓扑空间时，K中I的有界连续映射的集合是空间B(I; K)的闭子空间（GT，X, § 3.1，cor.2）。 B(I; K)的另一个子空… 077Z
注给定 Hausdorff 拓扑向量空间 E 的封闭向量子空间 M，不一定存在 E 中封闭的 M 的（代数）互补向量子空间（即使 E 是范数空间；cf. IV， p. 55，执行 16 (c))；更不必说 E 中不一定存在 M 的拓扑补集（cf. I，p. 26，练习 8）。然而，我们将在§ 2中看到，当K是非离散值除法环时，则E的每个闭子空间M，与有限余维… 0780
注 1 如果 B 是 K 的预压缩集合，则对于 E 中每个 0 的邻域 V，E 中存在 0 的邻域 U，使得 BU ⊂ V。对于，如果 W 是 E 中 0 的邻域，则 W + W ⊂ V；那么从 (EVT_III) 中，K 中存在 0 的邻域 T₀ 和 E 中 0 的邻域 U₀，使得 T₀U₀ ⊂ W。由于 B 是预紧的，因此存在有限多个点 λᵢ ∈ B (1 ≤… 0781
注 2 从 1) 可以得出，如果 B 是 K 的预紧集合并且 H 是 E 的预紧集合，则映射 (λ, x) ↦ λ x 限制为 B × H 是一致连续的。例如，如果 E 中 V 为 0 的邻域，则 K 中存在 0 的邻域 T，E 中存在 0 的 U，使得 TH + BU ⊂ V。由于我们可以写出λ x - λ' x' = (λ - λ') x + λ'(x - x'… 0782
定义 2 非离散值除法环上的完全赋范空间称为 Banach 空间。 0783
例如果 K 是非离散值除法环，则空间 B(I ; K) (I, p. 4, 例) 是完整的 (GT, X, § 3.1, cor. 1)。对于空间 ℓ_K¹(I) (I, p. 4, 例) 和范数 |x|₁ = ∑_i ∈ I |ξᵢ| 也是如此：对于，如果 xₙ 是这个空间和 xₙ = (ξ_mᵢ)_i ∈ I 中的柯西序列，那么对于所有i ∈ I 0784
定义 3 令K为环和E左向量空间除以K；我们说E的子集M是平衡的，如果对于所有x ∈ M和所有λ ∈ K使得|λ| ≤ 1，λ x ∈ M为真（或者在其他字如果λ M ⊂ M当|λ| ≤ 1). 0785
命题 2 在有值除法环K上的拓扑向量空间E中，平衡集合M的闭包是平衡集合。 0786
命题 3 令 K 为局部紧致非离散除法环，E 为 K 上的 Hausdorff 拓扑向量空间（或拓扑向量空间）。对于 E 中的每个紧致（或预紧致）集合 H，H 的平衡包络是紧致的（或预紧致）。 0787
定义 4 设 K 为非离散值除法环，E 为 K 上的左向量空间，具有两个子集 A 和 B。如果存在 α 0，则对于每个 λ ∈ K 且 λ，我们说 A 吸收 B，使得 λA ⊃ B ≥ α（或等效地，如果 μB ⊂ A，μ ≠ 0 且 μ ≤ α⁻1）。如果 E 的集合 A 吸收单个点的每集合由……组成，则称为吸收剂。 0788
命题 4 在非离散值除法环 K 上的拓扑向量空间 E 中，存在 0 的闭邻域的基本系统 𝔅，使得： (EV₁) 每个集合 V ∈ 𝔅 都是平衡且吸收性的。 (EV2) 对于 K 中的每个 V ε 𝔅 且 λ ≠ 0，我们有 λV ε 𝔅（𝔅 在非零比率的相似性下的不变性）。 (EV₃) 对于每个 V ∈ 𝔅，存在 W ∈ 𝔅 使得 W + W ⊂ V。 0789
注 1 在具有中心 0 的开球（分别为闭球）的非离散值划分环集合的规范空间中，中心 0 是 0 的邻域的基本系统，其中满足条件 (EVI)、(EVII) 和(EVIII)。 078A
注 2 当标量 K 的除法环为域 \mathbf{R} 或域 \mathbf{C} 时，E 上仅满足两个公理 (EVI) 和 (EVIII) 的每个过滤器基 \mathfrak{B} 都是基本系统 0的邻域的拓扑与E的向量空间结构兼容。事实上，我们只需要证明，在这些条件中，对于K中的每个λ ≠ 0和每个V ∈ 𝔅，都存在W ∈ 𝔅使得λ W ⊂ V。现在从 (EVI… 078B
注 3 如果 K 是离散除法环，则条件 (EVT'I) 和 (EVT'III) 对于 E 上的任何拓扑均成立。由图4可知，如果E是K上的拓扑向量空间，则E满足条件(EVII)和(EVIII)中存在𝔅，即0的闭邻域的基本系统。相反，如果向量空间 E 上的 K 上的过滤器基 𝔅 使得 0 属于到 𝔅 和 (EVII)、(EVIII) 的所有集合为真，则 𝔅 是邻域的基本… 078C
命题 5 — 令 Eᵢ (1 ≤ i ≤ n) 和 F 在非离散值域 K 上是拓扑向量空间。在阶中，F 中 ∏ᵢ₌₁ⁿ Eᵢ 的多线性映射 f 应在乘积空间 ∏ᵢ₌₁ⁿ Eᵢ 中连续，足以使其连续于(0, 0, ..., 0)。 078D
命题 6 对 Eᵢ (1 ≤ i ≤ n) 和 F 的假设与道具中相同。 5、在F中∏ᵢ₌₁ⁿ Eᵢ的多线性映射集合E在阶中等连续，集合在(0, 0, ..., 0)等连续就足够了。 078E
命题 7 设 (Eᵥ)_v ∈ I 是拓扑划分环 K 上的拓扑向量空间族。令E为K上的向量空间，对于每个v ∈ I，令fᵥ为Eᵥ中E的线性映射。那么E上最粗的拓扑使得每个函数fᵥ连续，拓扑T与E的向量空间结构兼容。进一步地，如果对于每个x ∈ E，φ(x)表示乘积空间F = ∏_v ∈ I Eᵥ的点(fᵥ(x))，则拓扑T是拓扑的逆像子空间 φ(E) 共 F 线性映射… 078F
引理 — 令M和N为两个向量空间，以及N中M的g线性映射。如果 T₀ 与拓扑兼容 N 的向量空间结构，则 T₀ 的逆像 g 与 M 的向量空间结构兼容。 078G
推论 1 设G是K上的拓扑向量空间。在阶中，E中G的映射的集合H是等连续的，对于所有i ∈ I，当u在H中变化时，集合fᵢ ∘ u应该是等连续的。 078H
推论 2 如果空间Eᵢ是Hausdorff，那么在阶中T是Hausdorff，对于E中的每个x ≠ 0，应该存在指标i ∈ I，使得fᵢ(x) ≠ 0是充分必要的。 078I
推论 3 假设Eᵢ已完成，φ(E)于F = ∏_i ∈ I Eᵢ关闭。那么 E 在拓扑 T 中完成。 078J
例 — 令 D'(R) 为 R 上的分布的空间；对于p数使得1 ≤ p ≤ +∞，令j : Lᵖ(R) → D'(R)为典范嵌入，它是连续的（当Lᵖ(R)携带其范数空间拓扑和D'(R)强拓扑）。对于每个分布f ∈ D'(R)，用D(f)表示f的导数；回想一下，f ↦ D(f)是D'(R)的连续自同态。然后令 E 为 Lᵖ(R) 中的向量子空间，其中 f ∈ Lᵖ… 078K
推论 4 设E为拓扑划分环K上的向量空间，并令(Tᵢ)_i ∈ I为与E的向量空间结构兼容的拓扑族；那么拓扑Tᵢ的上界T与E的向量空间结构兼容。 078L

§ 2. 。拓扑中的线性簇向量空间

命题 1 — 在拓扑向量空间E中，线性簇的闭包是线性簇。 0790
推论 — 在拓扑向量空间E中，每个超平面要么是闭的，要么是处处稠密的。 0791
定义 1 — 集合 A，在拓扑向量空间 E 中，当且仅当由 A 重合与 E 生成的闭向量子空间（即线性组合的集合）是总的元素的A 处处密集）。 0792
例 — 1) 在函数的标准化空间C(I; C)（在域C上），在I = 0, 1上连续，值在C、限制到函数的I xⁿ \ (n ∈ N) 形式总共集合，由 Weierstrass-Stone 定理制作（GT，X, § 4.2，第 3 个）。同样，函数 e^2nπ ix \ (n ∈ Z) 形式中的限制至 I 总共集合（GT，X, § 4.4，第 8 条），在 C(… 0793
定义 2 — 拓扑向量空间E的点的族(aᵢ)_i ∈ I被称为拓扑独立，如果对于任何κ ∈ I，由aᵢ和i ≠ κ生成的闭合向量子空间不包含 a_κ. 0794
例 3 在I = 0, 1、限制到I（函数e^2nπ i x（n ∈ Z）形式）定义的连续函数的规范空间C(I; C)中，一个拓扑独立族。如果 f(x) 是线性组合 ∑_k ≠ n cₖ e^2kπ i x（其中几乎所有 cₖ 都是零），那么 ∫₀¹ |e^2nπ i x - f(x)|² dx = 1 + ∑_k ≠ n |cₖ|² ≥ 1 并且，更不必说，平均… 0795
例 4 在函数的规范空间C(I; C)中，在I = 0, 1、限制到I（函数xⁿ（n ∈ N）形式）上连续，是一个代数独立族。但多项式(pₙ)存在序列使得pₙ(x²)在I（GT，X, § 4.2，引理2）中一致收敛到x，这表明x属于到闭向量子空间 / C(I; C) 由函数 x²ⁿ (n ∈ N) 生成。 0796
注 1 拓扑向量空间的拓扑独立集合族不一定是归纳，对于包含关系（I，p. 25，练习2）；因此，这种情况与代数独立集合的情况不同。此外，E 中不一定存在最大拓扑独立子集（I，p. 25，练习 4），因此不一定存在“完全”且拓扑独立的子集。 0797
注 2 设 M 是 E 的闭向量子空间，并且 (dotaᵢ)_i ∈ I 是商空间 E/M 中的拓扑独立族。如果 aᵢ 是类 dotaᵢ 中的任意元素，则来自 def。 2，并且E在E/M上的典范映射是连续的，因此族(aᵢ)_i ∈ I是拓扑独立的。但是注如果 N 是由 aᵢ 生成的封闭向量子空间，则可能发生 M ∩ N ≠ 0 (I, p. 25, exerc… 0798
命题 2 每个 Hausdorff 拓扑向量空间 E of 维数 1 在非离散值除法环 K 同构于 Kₛ；事实上，对于每个 a ≠ 0 在 E 中，映射 ξ ↦ ξ a 的 Kₛ 在 E 上是同构（在其他字中， Kₛ 在 E 上的每个线性映射是同构）。 ↩ 1 0799
推论 1 在 Hausdorff 拓扑向量空间 E 中，在非离散值除法环 K 上，维数 1 的每个向量子空间 D 与 Kₛ 同构的。 079A
推论 2 令 E 为非离散值除法环上的拓扑向量空间。每个向量子空间 D（维数 1）是闭齐次超平面 H 的代数补，也是 H 的拓扑补。 079B
定理 1 令 E 为非离散值除法环上的拓扑向量空间。令 H 为由方程 f(x) = α 定义的 E 中的超平面，其中 f 为线性形式，但不等于零。那么当且仅当 f 连续时 H 在 E 中是闭的。 079C
推论 E 上的每个连续线性形式与零不同，都是 E 在 Kₛ 上的严格态射。 079D
注 — 在完整的非离散值除法环上有例的规范拓扑向量空间，其中每个连续的线性形式都相同零（I，p. 25，练习4）；因此，在这样的空间中，每个超平面处处都是稠密的（I，p. 11，推论）。 079E
定理 2 有限维 n 的每个豪斯多夫拓扑向量空间 E，在完全非离散值除法环 K 上，与 Kₛⁿ 同构的；事实上，对于 K 上的 E 的每个基 (eᵢ)_1 ≤ i ≤ n，线性映射 (ξᵢ) ↦ ∑ᵢ₌₁ⁿ ξᵢ eᵢ 是 E 上的 Kₛⁿ 同构的。 079F
推论 1 在完整的非离散值除法环K上的豪斯多夫拓扑向量空间E中，有限维的每个向量子空间F在E中闭合。对于，如果F 是维数 n 那么它与 Kₛⁿ 同构的；因此它是完整的，因此在E（GT，II, § 3.4，提案8）中关闭。 079G
推论 2 令K为完全非离散值除法环，E为有限维在K上的豪斯多夫拓扑向量空间。如果F是K上的任何拓扑向量空间，则F中E的每个线性映射都是连续的。 079H
推论 3 在 Hausdorff 拓扑向量空间 E 中，在完全非离散值除法环上，每个有限独立集合都是拓扑独立的。 079I
推论 4 令 E 为完整非离散值除法环上的拓扑向量空间。如果M是E的闭向量子空间，F是有限维的E的向量子空间，则子空间M + F闭E. 将典范同态与E 的商空间 E/M 写成φ（必然是Hausdorff）。那么子空间M + F与overlineφ⁻¹(φ(F))相同。现在φ(F)在E/M中是有限维，因此（cor.1）φ(F)在E/M中闭合，并且在推论中，overlin… 079J
命题 3 令 E 为完整非离散值除法环 K 上的拓扑向量空间。设M是E中有限余维n的闭向量子空间。那么E中M的代数补，每个子空间N也是拓扑补。 079K
推论令E和F是完整非离散值除法环上的两个拓扑向量空间。如果 F 是 Hausdorff 且属于有限维，则 E 在 F 上的每个连续线性映射都是严格的态射。 079L
注 — 当 K 为离散时，第 2、3 个结果不再有效。对于例，令K₁为非离散值除法环，而K为通过在K₁上赋予K₁不正确绝对值值而获得的离散除法环。那么K₁是维数1在K上的拓扑向量空间，但它与Kₛ不同构。然而，我们可以证明，即使 K 是离散的，第 2、3 项的结果也是有效的，只要我们考虑拓扑向量空间，性质的基本系统为平衡邻域为 0（即邻域） V使得K.V =… 079M
定理 3 令K为完全非离散值除法环。如果E是K上的豪斯多夫拓扑向量空间，即E中0的一些邻域V是预紧的，则E是有限维。如果E ≠ 0，则K和E都是局部紧致的。 079N
引理 1 — 任何紧拓扑向量空间E在非离散值除法环上，只是集合0。 079O
注结果。如果 K 是离散除法环，如 R 的例所示（通常为拓扑），则 3 不再成立，被视为离散域 Q 上的拓扑向量空间。 079P

§ 3. 。可度量拓扑向量空间

注可度量向量空间中最重要的类之一是标准化的空间 (I, p. 3)。但必须注意，存在可度量向量空间，其拓扑不能由范数定义（I, § 3，执行1）；稍后我们会学习重要的例。 07A5
定理 1（巴纳赫） 令 E 和 F 为非离散值除法环 K 上的两个可度量向量空间，并令 u 为 F 中 E 的连续线性映射。假设 E 是完备的。那么下面的条件是等价的： (i) u 是严格的满射态射。 (ii) F 是完备的且 u 是满射的。 (iii) u 的像在 F 中并不微不足道 (GT, IX, § 5.2)。 (iv) 对于 E 中每个 0 的邻域 V，集合 over… 07A6
引理 1 令 E 和 F 为非离散值除法环 K 上的两个拓扑向量空间，并令 u 为 F 中 E 的连续线性映射，使得 E 的像并不微薄。那么，对于 E 中每个 0 的邻域 V，集合 overlineu(V) 都是 F 中 0 的邻域。 07A7
引理 2 设E和F是两个度量空间，并假设E也是完备的。令u为F中E的线性映射，具有以下性质：无论数r > 0，都存在数ρ(r) > 0，这样，对于所有x ∈ E，我们有 07A8
推论 1 如果 E 和 F 是非离散值除法环上的两个完全可度量向量空间，则 E 在 F 上的每个双射连续线性映射都是同构。 07A9
推论 2 令 E 为非离散值除法环上的向量空间，令 T₁ 和 T₂ 为 E 上与其向量空间结构兼容的两个拓扑，并且对于每个拓扑，E 都是可度量且完备的。然后，如果 T₁ 和 T₂ 具有可比性，则它们是相同的。 07AA
推论 3 设 E 和 F 是非离散值除法环上的两个完整可度量向量空间。在阶中，F中E的连续线性映射u应该是严格的态射，u(E)在F中闭是充分必要的。 07AB
推论 4 令 E 为非离散值除法环上的完整可度量向量空间。如果 M 和 N 是两个闭向量子空间，即 E 中的（代数）补集，则 E 是 M 和 N 的直接拓扑和。 07AC
推论5（封闭图定理） — 令 E 和 F 是非离散值除法环上的两个完整可度量向量空间。在阶中，F 中 E 的线性映射 u 是连续的，则其图在乘积空间 E × F 中是闭合的充要条件。 07AD
例 — 令 E 为 I = [0, 1] 上定义的实值函数的空间向量子空间；令E上的| f |为范数，在此情况下E是完全的，并且其拓扑是更细，而不是简单收敛的拓扑。进一步假设函数的 E 包含集合 C^∞(I) 在 I 上无限可微；我们将证明存在整数k ≥ 0，使得所有函数的E包含集合Cᵏ(I)在I中具有连续的第k导数。 07AE
命题 1 设 E、F 是非离散值除法环 K 上的两个拓扑向量空间。我们假设： 07AF

II. 凸集合和局部凸空间

§ 1. 。半规范

定义 1 令 E 为左向量空间超过 K。 R₊ = 0, + ∞ 中 E 的映射 p，如果满足以下公理，则称为 E 上的半范数： (SNI) 如果x ∈ E和λ ∈ K则p(λ x) = |λ| p(x)。 (SNII) 如果 x ∈ E 和 y ∈ E 那么 p(x + y) ≤ p(x) + p(y)。 07AP
例 1 E 上的范数是半范数 p，因此关系 p(x) = 0 意味着 x = 0 (I, p. 3)。 07AQ
例 2 对于 E 上的每个线性形式 f，函数 x ↦ |f(x)| 是 E 上的半范数。 07AR
例 3 如果 pᵢ (1 ≤ i ≤ n) 是 E 上半范数的有限集合，则显然 p'(x) = sup_1 ≤ i ≤ n pᵢ(x) 和 p''(x) = ∑ᵢ₌₁ⁿ αᵢ pᵢ(x)（其中 αᵢ 是 ≥ 0）都是 E 上的半范数。 07AS
命题 1 设 E 为 K 上的左拓扑向量空间，并令 p 为 E 上的半范数。以下条件是等价的： a) p 在 E 中连续。 b) p 在点 0 处连续。 c) p 是一致连续的。 d) 对于每个实数 α > 0、集合 W(p, α)，其中 x ∈ E 的 p(x) < α 在 E 中打开。 e) 存在实数α > 0，使得W(p, α)在E中为0的邻域。 f) 对于每个… 07AT
推论如果 p 是 E 上的连续半范数，q 是满足 q ≤ p 的半范数，则 q 在 E 上连续。 07AU
注 — 1) 拓扑由 E 上半范数 pᵢ (1 ≤ i ≤ n) 的有限集合定义，可以由单个半范数 p = sup_1 ≤ i ≤ n pᵢ 定义。但拓扑由半范数不能的无限集合定义，通常由单个半范数定义（III，p. 37，练习2）。 07AV
例 — 令 C^∞(R) 为向量空间超过 R 的实值函数，其在 R 中无限可微。对于函数和整数n ≥ 0、m ≥ 1的每个对，将 07AW
命题 2 在向量空间 E，令 T 由半范数 Γ 的集合定义为拓扑。 07AX
命题 3 每个豪斯多夫拓扑向量空间 E 超过 K，其拓扑由半范数集合定义，同构于Banach 空间的乘积子空间。 07AY
命题 4 设 Eᵢ (1 ≤ i ≤ n) 和 F 拓扑向量空间超过 K；我们假设，对于每个 i， Eᵢ 的拓扑由半范数 Γᵢ的有向集合定义，并且 F 的拓扑由半范数的集合定义 Γ。然后集合 H，of ∏ᵢ₌₁ⁿ Eᵢ 的多线性映射在 F 中是等连续的当且仅当，对于每个半范数 q ∈ Γ 和每个指标 i，存在一个半范数 pᵢ ∈ Γᵢ，并且数a > 0，这样对于… 07AZ
推论 — 集合 H 是等连续的，当且仅当对于每个半范数 q ∈ Γ，∏ᵢ₌₁ⁿ Eᵢ 中存在 0 的邻域，其中函数 q ∘ u，对于 u ∈ H，是一致有界的。 07B0
命题 5 — 令 E、F 为非离散值除法环 K 上的两个拓扑向量空间；假设 E（或 F）的拓扑由半范数 Γ（或 Γ'）的集合定义。设 H 为 F 中 E 的线性映射的集合。以下条件是等效的： a) H 是等连续的。 07B1
推论 1 — 假设T, T'是K上向量空间E上的两个拓扑，分别由半范数Γ和Γ'的两个集合定义。 T比更细比T'当且仅当，对于每个半范数q ∈ Γ'，存在半范数属于到Γ和数a > 0的有限族(pᵢ)_1 ≤ i ≤ n，使得对于所有x ∈ E，我们有q(x) ≤ a · sup_1 ≤ i ≤ n pᵢ(x)。 07B2
推论 2 — 假设K上的拓扑向量空间E的拓扑T由半范数Γ的有向集合定义；对于每个半范数p ∈ Γ，让Eₚ是使用p定义的拓扑从E获得的空间。 E上的线性形式的集合E'连续T是集合E'ₚ的并，其中E'ₚ是连续线性形式的集合 Eₚ（p ∈ Γ）。 07B3

§ 2. 。凸面集合

定义 1 — 仿射空间 E 的子集 A 是凸的，如果对于 A 的每两个点 x, y，以点 x, y 结尾的闭线段包含在 A 中。 07B4
例 1 E（特别是空集）的每个线性仿射簇都是凸的。 07B5
例 2 R 中唯一的非空凸集合是区间（GT，IV, § 2.4，道具 1）。 07B6
例 3 令 E 为向量空间，并且在 E 上|x| 范数；单位球B，由点x组成 07B7
注 — 设A为向量空间E的凸子集；对于任何标量 α > 0 和 β > 0，我们有 α A + β A = (α + β) A。在其他字中，对于任何x ∈ A, y ∈ A，存在z ∈ A使得(α + β) z = α x + β y；事实上，这个关系可以写成z = α/(α + β) x + β/(α + β) y，并且我们有α/(α + β) > 0, β/… 07B8
命题 1 设(xᵢ)为凸子集A的点族； xᵢ的每个重心∑ᵢ λᵢ xᵢ由正质量λᵢ形成（例如∑ᵢ λᵢ = 1和λᵢ = 0，除了有限多个指标、cf. A、II, § 9.3）属于到A。 07B9
命题 2 设E和F为两个仿射空间，f为E在F的仿射线性映射；那么f下E的凸子集的像，以及f下F的凸子集的逆像都是凸的。 07BA
命题 3 在仿射空间E中，令H为由关系g(x) = 0定义的超平面，其中g是E上的非常数仿射函数。那么由关系 g(x) ≥ 0, g(x) ≤ 0, g(x) > 0, g(x) < 0 定义的半空间是凸的。 07BB
命题 4 当且仅当A不满足H时，A的点、仿射空间E的凸子集严格位于超平面H的同一侧。 07BC
命题 5 — 交任何凸族子集仿射空间 E 是凸。 07BD
命题 6 — 让 (Eᵢ)_i ∈ I 成为向量空间的一个家族，并且对于每个 i ∈ I，让 Aᵢ 成为 Eᵢ的非空子集。则集合 A = ∏_i ∈ I Aᵢ 在 E = ∏_i ∈ I Eᵢ 中凸，当且仅当，对于所有 i ∈ I，集合 Aᵢ 在 Eᵢ 中凸。 07BE
推论 — 在空间 Rⁿ 每个平行四面体 (GT, VI, § 1.3) 是凸子集。 07BF
命题 7 — 设 A 和 B 为向量空间 E的两个凸子集。对于任何实数 α, β 集合 α A + β B (形式点集合) α x + β y，其中 x 在 A 中变化，且 y 在 B) 中是凸。 07BG
定义 2 — 给定仿射空间 E 的子集 A ，我们称所有凸集合包含 A 的交，A 的凸包络，也就是说（II，p. 9，道具 5）它是最小的凸集合包含 A. 07BH
命题 8 — 对于任何族 (Aᵢ)_i ∈ I 仿射空间 E 的凸子集 E， ⋃_i ∈ I Aᵢ 的凸包络恰好是线性组合 ∑_i ∈ I λᵢ xᵢ 的集合，其中 xᵢ ∈ Aᵢ, λᵢ ≥ 0 对于所有 i ∈ I（λᵢ = 0 除了有限多个指标）和 ∑_i ∈ I λᵢ = 1。 07BI
推论 1 E 的子集 A 的凸包络与线性组合 ∑ᵢ λᵢ xᵢ 的集合相同，其中 (xᵢ) 是 A 的点、数 λᵢ > 0, for all i 和 ∑ᵢ λᵢ = 1 的任何有限族。 07BJ
推论 2 设 f 为仿射空间 F 中仿射空间 E 的仿射线性映射；对于 E 的每个子集 A，f(A) 的凸包络线是 A 的凸包络线 f 下的像。 07BK
定义 3 仿射空间的子集 C 如果 C 对于中心 x0 的所有同位性且比率 0 都是不变的，则 E 是顶点为 x0 的圆锥体。 07BL
命题 9 当且仅当非尖锥C'（C中0的补集）是凸的时，尖凸锥C才是正确的。 07BM
命题 10 E 的子集 C 是凸锥当且仅当 C + C ⊂ C 和 λ C ⊂ C 对于所有 λ > 0。 07BN
推论 1 如果C是非空凸锥体，C生成的向量空间是集合C - C（点x - y的集合，其中x，y在C中变化）。 07BO
推论 2 若C为尖凸锥体，则C包含的最大的向量子空间为集合C ∩ (-C)。 07BP
命题 11 令(Cᵢ)_i ∈ I为E中的凸锥族； Cᵢ的并生成的凸锥与点∑_i ∈ J xᵢ的集合相同，其中J是所有i ∈ J的I和xᵢ ∈ Cᵢ中的任何有限子集。 07BQ
推论 — 对于 E 的任何子集 A，由 A 生成的凸锥体与线性组合 ∑_i ∈ J λᵢ xᵢ 的集合相同，其中 (xᵢ)_i ∈ J 是 A 的点的任何有限非空族，并且其中 λᵢ > 0 对于所有 i ∈ J。 07BR
命题 12 — 如果A是E中的凸集合，则A生成的凸锥体与C = ⋃_λ > 0 λ A相同。 ↩ 1 07BS
注 — 1）根据道具的假设。 12、如果0 ∉ A，则圆锥体C是非尖的，因此C ∪ 0是正确的。 07BT
例 — 在 A 上定义的所有有限实值函数的空间E = Rᴬ上，阶的关系由«对于所有t ∈ A，x(t) leqslant y(t)»给出，与E的向量空间结构兼容。 07BU
命题 13 — (i) 集合 P，元素 geqslant 0，预先订购的向量空间 E，是尖凸锥。 07BV
例 \ 设 H 为真正的希尔伯特空间； H的连续自同态的向量空间L(H)中，正厄米特自同态形式为正尖凸锥；因此，这个圆锥体定义阶结构与L(H)的向量空间结构兼容，其中关系A leqslant B意味着B - A是正厄米特自同态。 \ 07BW
命题 14 在拓扑向量空间 E 中，凸集合（分别是凸锥体）的闭包是凸集合（分别是具有相同顶点的凸锥体）。 07BX
定义 4 对于拓扑向量空间 E 的任意集合 A，所有闭凸集合包含 A 的交称为 A 的凸闭包络；是最小的凸闭集合包含A。 07BY
命题 15 — 令 Aᵢ (1 ≤ i ≤ n) 为 Hausdorff 拓扑向量空间 E 中紧致凸集合的有限数。则 Aᵢ 的并的凸包络是紧致的（因此，与此的凸闭包络相同）并）。 07BZ
推论 1 — 在 Hausdorff 拓扑向量空间中，有限集合的凸包络是紧致的。 07C0
推论 2 — 在拓扑向量空间 E 中，有限集合的凸包络是预紧的。 07C1
命题 16 — 令 A 为拓扑向量空间 E 的凸子集，至少有一个内部点 x₀。对于任意点 x ∈ overlineA，末端为点 x₀, x 的开段的每个点位于在 A 的内部。 07C2
推论 1 — 凸集合 overlineA 的内部 overset∘A 本身就是凸集合；如果overset∘A不为空，则重合具有overlineA的内部，并且overlineA是集合，重合具有overset∘A的闭包。 07C3
推论 2 — 内部 dotC 凸锥体 C，本身是凸锥体；如果 dotC 不为空，那么它的重合与 overlineC、和 overlineC 的内部是一个尖凸圆锥体，重合与 dotC闭合。 07C4
命题 17 — 在拓扑向量空间 E 中，令 A 为集合，且至少有一个内部点，并且其所有点位于超平面 H 的同一侧。然后 H 闭合， A 的内部点严格位于 H 的同一侧，和簇 A 的点位于 H 的同一侧。特别是开（或闭）一半空间由闭超平面确定。 07C5
推论 — 设 P 为拓扑向量空间 E 的尖凸锥体，至少有一个内部点。然后每个线性形式 f 与 E上的零不相同，并且对于由 P (II, p. 13)定义的预序结构为正，必然是连续的。此外，如果 x 位于 P then f(x) > 0 的内部，并且如果 x 是 P then f(x) geqslant 0的簇点。 07C6
注在拓扑向量空间 E 中，每个凸集合 C 都是相连的。事实上，如果a ∈ C，则C是段的并，结尾为点a，并在a处闭合；这些是相连的，结果来自 GT, I, § 11.1, prop。 2. 07C7
例空间Rⁿ及其通常的拓扑和阶结构即阶乘积其因子结构是有序拓扑向量空间。另一方面，对于n ≥ 2，当Rⁿ携带字典顺序的阶（S，III, § 2.6）时，通常的拓扑与Rⁿ的有序向量空间结构不兼容。 07C8
命题 18 在有序拓扑向量空间 E 中，令 H 为关系 ≤ 所指向的集合。如果H的截面滤波器在E中有极限，那么这个极限就是H的上界。 07C9
定义 5 设 X 为仿射空间 E 的凸子集。如果对于 X 的任何两个不同的点 x, y 和任意一个，在 X 上定义的实值有限函数是凸的（或严格凸的）实数λ, 0 < λ < 1，我们有： 07CA
例如果 f 是 E 上的仿射线性函数，则 f 和 f² 在 E 上是凸函数；这对于 f 来说是显而易见的，因为 f(λ x + (1 - λ) y) = λ f(x) + (1 - λ) f(y); 另一方面，如果α = f(x), β = f(y)，那么； λ α² + (1 - λ) β² - (λ α + (1 - λ) β)² = λ(1 - λ) (… 07CB
命题 19 令X为仿射空间E的凸集合；并令 f 为在 X 上定义的实值函数。将点 (x, a) ∈ E × R 中的集合表示为 F（分别为 F'），其中 x ∈ X 和 f(x) leqslant a（分别为 x ∈ X 和 f(x) < a）。那么下面的条件是等价的： 07CC
推论如果 f 在 X 中是凸的，则对于所有 α ∈ R、x ∈ X 的集合，使得 f(x) leqslant α（或 f(x) < α）是凸的。 07CD
命题 20 令 f 为凸函数，在仿射空间 E 的凸集合 X 上定义。然后对于p点的X的每个家庭(xᵢ)_1 ≤ i ≤ p和p实数的每个家庭(λᵢ)_1 ≤ i ≤ p，所有≥ 0，这样∑ᵢ₌₁ᵖ λᵢ = 1，我们有： 07CE
命题 21 令 f 为凸函数，定义在拓扑向量空间 E 中的非空开凸集合 X 上。那么f是连续的当且仅当当限制于X的某个非空开子集U时，它在上面有界。 07CF
推论在Rⁿ中的开凸集合X上定义的每个凸函数f在X中都是连续的。 07CG
命题 22 设 A 为凸集合、包含 0，位于向量空间 E 中。对于所有 x ∈ E，输入 07CH
命题 23 设 E 为拓扑向量空间。如果 A 是开凸集合，其中包含 0，则 p_A 是有限且连续的，A = W(p_A, 1)。如果 A 是闭凸集合包含 0，则 p_A 是下半连续且 A = V(p_A, 1)。 07CI

§ 3. 。哈恩-巴纳赫定理（分析形式）

命题 1 — 令 E 为预定的向量空间，V 为 E 的向量子空间，使得 E 的每个元素都以 V 的元素为界。给定 V 上的线性形式 f 对于 V 的预序向量空间结构为正（由 E 引起），则存在 E 上正线性形式的非空集合 S_f，每个集合都是 f 的扩张。如果 h ∈ S_f 则 a ∈ E 的值 h(a) 位于区间 [α', α''] 内，其中 07DQ
推论在具有兼容的预序结构的拓扑向量空间E中，令P为E中元素≥ 0的集合。设V为E包含的向量子空间，P的至少一个内部点x₀。那么V上的每个正线性形式都可以扩展到E上的正线性形式。 07DR
定理 1（哈恩-巴纳赫） 设p是向量空间E上的次线性函数。令V为E和f线性形式在V上的向量子空间，这样，对于所有y ∈ V，我们有f(y) ≤ p(y)。那么E上存在线性形式h，即f的扩张，并且h(x) ≤ p(x)对应x ∈ E。 07DS
推论 1 — 设 p 为向量空间 E 的半范数。令V为E和f线性形式在V上的向量子空间，使得|f(y)| ≤ p(y)对于所有y ∈ V。那么在E上存在定义的线性形式h，它是f的扩张，并且|h(x)| ≤ p(x)对于x ∈ E。 07DT
推论 2 — 设p为向量空间E的半范数。给定点x₀ ∈ E，存在在E上定义的线性形式f，使得f(x₀) = p(x₀)和|f(x)| ≤ p(x)适用于所有x ∈ E。 07DU
推论 3 — 令V为范数空间E的向量子空间，并令f为V上的连续线性形式；则存在在 E 上定义的连续线性形式 h，其中扩展 f 且具有相同的范数 (GT, X, § 3.2)。 07DV

§ 4. 。局部凸空间

定义 1 — 如果存在 0 的邻域的基本系统是凸集合，则拓扑向量空间是局部凸（实数）。 07E4
命题 1 — 令𝔖为由集合形成的向量空间E上的过滤器基，具有吸收性、对称且凸面。则 𝔖 集合变换集合 𝔅 通过比率 > 0 的同位性是 0 的邻域的基本系统对于局部凸拓扑 E. 07E5
推论 — 拓扑向量空间 E 的拓扑 T，由半范数的集合定义 (II, p. 3) 当且仅当 T 是局部凸的。 07E6
命题 2 — 令 f 为在向量子空间 M 上定义的连续线性形式，且局部凸空间 E；则存在在 E 上定义的连续线性形式 h，并且是 f 的扩张。 07E7
注 — 如果g是M在乘积空间Rᴵ中的连续线性映射，则Rᴵ中存在E的连续线性映射h，即g的扩张；对于写g = (gᵢ)，其中gᵢ是在M上定义的连续线性形式，对于每个i ∈ I，gᵢ有扩张hᵢ，这样hᵢ是E上的连续线性形式。连续线性映射 h = (hᵢ) 具有所需的属性。 07E8
推论 1 — 令 E 为局部凸空间。如果x₀ ∈ E不在0的闭包中，则存在在E上用f(x₀) ≠ 0定义的连续线性形式 f。 07E9
推论 2 — 令 M 为 E 的有限维向量子空间，局部凸 Hausdorff 空间。则存在E的闭向量子空间N，它是E中M的拓扑补。 07EA
命题 3 — 在局部凸空间 E 中，预紧集的平衡凸包络本身就是预紧集。 07EB
推论 — 如果在局部凸 Hausdorff 空间 E 中，紧集 X 包含在完全凸集合中（完全在由 E 引起的均匀结构中），则 X 的凸闭包络是紧的。 07EC
命题 4 设 E 为向量空间，并令 (Eᵢ)_i ∈ I 为局部凸空间族。对于每个i ∈ I，令fᵢ为Eᵢ中E的线性映射；那么 E 上的拓扑 T 是使每个映射 fᵢ 连续的最粗糙的，是局部凸的拓扑。 07ED
命题 5 设E为向量空间，(F_α)_α ∈ A为向量空间的拓扑族，对于每个α ∈ A，令g_α为E中F_α的线性映射。 07EE
推论 1 带有记号的支柱。 5、令H为局部凸空间G中E的线性映射的集合。假设E为其子空间g_α(F_α)的和；则 H 对于 T 等连续，当且仅当对于每个 α、集合 f ∘ g_α，其中 f 在 H 中变化，在 F_α 中等连续。 07EF
推论 2 令(J_λ)_λ ∈ L为指标集合A的划分。令(G_α)_α ∈ A为局部凸空间族，(F_λ)_λ ∈ L为向量空间族。对于每个λ ∈ L，令h_λ为向量空间E中F_λ的线性映射；对于每个λ ∈ L和α ∈ J_λ，令g_λ α为F_λ中G_α的线性映射。写f_α = h_λ ∘ g_λ α。假设每个F_λ都带有最细的局部凸拓扑，使得g_λ α（α ∈ J_… 07EG
例 — 令 X 为有限连续实值函数的局部紧致空间和 E = K(X; R) 向量空间，在 X 上定义，具有紧致支持。对于 X 的每个紧凑子集 K，令 E_K 为由函数 f ∈ E 构成的 E 的向量子空间，这些x ∉ K ⇒ f(x) = 0 是这样的。用E_K上诱导的T_K拓扑和X上均匀收敛的Tᵤ拓扑表示。拓扑T_K的电感极限T比Tᵤ小更细；我们可以证明，如果… 07EH
注 — In the last example, the topology induced by T on E_K is identical with T_K, since by definition it is coarser than T_K and, since T is finer than Tᵤ, the topology induced by T o… 07EI
定义 2 设 E 为向量空间，即直和 (A, II, § 1.6) 属于局部凸空间 (Eᵢ)_i ∈ I族。对于每个i ∈ I，让fᵢ成为E中Eᵢ的典范嵌入。通过族的拓扑直和 (Eᵢ) 我们的意思是空间 E 具有最精细的局部凸拓扑，这使得每个 fᵢ 连续（这个拓扑被称为拓扑的直和） Eᵢ）。 07EJ
例 — 令(aᵢ)_i ∈ I为向量空间E的基，并考虑每行Raᵢ上的规范拓扑（I，p. 2，例5）；这些拓扑中的直和是E（II，p. 26）上最好的局部凸拓扑；事实上，如果V是E中的吸水、对称、凸集合，则Vᵢ = V ∩ Raᵢ是Raᵢ和V中0的邻域，显然包含凸包络Γ((Vᵢ))。 07EK
命题 6 局部凸拓扑 T 在 E 是 Eᵢ的拓扑的直和，当且仅当，以下性质成立：线性映射 of E 在局部凸中空间 G （或半范数 p 在 E）是连续的，当且仅当对于每个 i ∈ I，映射 g ∘ fᵢ （或p ∘ fᵢ）在中连续Eᵢ。 07EL
推论带有记号的支柱。 5、II、p. 27，假设E是g_α(F_α)的和。设 F 为族 (F_α)_α ∈ A的拓扑直和，并让 j_α : F_α → F 为典范嵌入；假设g : F → E是线性映射使得g ∘ j_α = g_α对于所有α ∈ A。如果 N 是 g的核，则规范的双射 F/N → E 与 g 关联，是 F/N 上的拓扑同构 E 与拓扑 T。 07EM
命题 7 典范嵌入 j : E → ∏_i ∈ I Eᵢ 在 E 携带 Eᵢ 和 ∏_i ∈ I Eᵢ 携带乘积拓扑的直和拓扑时连续。当 I 有限时，这个映射是拓扑向量空间的同构。 07EN
命题 8 对于每个ι ∈ I，令N_ι为E_ι的子空间， 07EO
推论 1 如果每ι ∈ I在E_ι关闭N_ι，则N = ∑_ι N_ι在E关闭。 07EP
推论 2 如果每个E_ι都是Hausdorff，那么E也是Hausdorff，并且每个E_ι在E中闭合。 07EQ
引理 1 — 令𝔉为E上的柯西滤波器（对于T）；那么存在整数k，这样对于所有N ∈ 𝔉以及E中0的每一个邻域V，子空间Eₖ都满足N + V。 07ER
命题 9 假设对于每个整数n，Tₙ₊₁在Eₙ上诱导的拓扑与Tₙ相同。然后 (i) T在Eₙ上引起的拓扑与每个n的Tₙ相同；如果 Tₙ 是 Hausdorff，则 T 是 Hausdorff。 (ii) 如果对于每个n，Eₙ 在Eₙ₊₁（对于Tₙ₊₁）闭合，那么对于每个n，Eₙ 在E（使用T）闭合。 (iii) 如果每个 Eₙ 都是完整的（使用 Tₙ），那么 E 使用… 07ES
引理 2 令V为局部凸空间F的M、向量子空间中0的凸邻域。那么在 F 中存在 0 的凸邻域 W，使得 W ∩ M = V。此外，如果 M 在 F 中闭合，则对于每个点 x₀ ∈ complement M，F 中存在 0 的凸邻域 W₀，使得 W₀ ∩ M = V 和 x₀ ∉ W₀。 07ET
注 — 1) 假设E是递增定向的并，子空间(E_α)_α ∈ I的不可枚举族，每个E_α都有一个局部凸拓扑T_α，这样，对于E_α ⊂ E_β， T_β 在E_α 上诱发的拓扑与T_α 相同。可能的情况是，拓扑T在每个E_α上诱导的拓扑等于T_α，并且E_α是Hausdorff且完整的，但E对于T不完整（INT，III，第二版，§ 1，练习 2)。 07EU
命题 10 设E、F为两个局部凸空间。假设： ↩ 1 07EV
推论对 E 和 F 的假设与命题中相同。 10 并假设 E 是 Hausdorff，则 E 中 F 的每个连续满射映射 v 都是严格的态射。 07EW
命题 11 令 E 为可测量的局部凸空间。 E 的拓扑可以通过平移下不变的距离来定义，并且开球是凸的。 07EX
命题 12 设E和F是两个Fréchet空间和u，F上E的连续线性映射。那么存在u的截面是连续的虽然不一定是线性的。 07EY
推论如果F中L是紧集，则E中存在紧集K，使得u(K) = L。 07EZ
注 — 1) 命题的推论。也可以从 th 推出 12。 1 个 I、p. 17 和道具。 GT 18，IX, § 2.10。 2）我们保留道具的记号。 12. 令p为E的连续半范数； 07F0

§ 5. 。凸面分离集合

定理 1（哈恩-巴纳赫） — 设 A 为拓扑向量空间 E 的开凸非空集，并令 M 为不满足 A 的非空线性簇。则存在闭超平面 H，其中包含 M 且不满足 A。 07FI
注 1 当0 ∈ M时，th。 1 可以表述如下：E 中存在连续的线性形式，使得 g(x) = 0 in M 和 g(x) > 0 in A（II，p. 8，命题 4）。 07FJ
注 2 如果我们应用定理 1 到 E 带有最好的局部凸拓扑 (II, p. 25, 例 2)，并且如果为了简单起见，我们假设 0 ∈ A，那么我们得到以下结果（表面上不涉及拓扑) : 如果A是实向量空间E中的吸收性凸集合，并且如果M是不满足A的非空线性簇，则存在超平面H包含于 M 且A 位于H 的一侧。此结果不适用于每个凸集合 A（II、p. 65、练习 5）。 07FK
定义 1 — 真实拓扑向量空间 E 的两个非空集合 A, B 被认为由闭超平面 H if A 包含在由 H 和确定的闭半空间之一中B 包含在另一个封闭的半空间中。 07FL
定义 2 — 实拓扑向量空间的两个非空集合 A, B 被认为是被闭超平面 H 如果 A 包含在由 H确定的开半空间之一中，并且 B 包含在另一个中打开半空间。 07FM
命题 1 — 设 A 为实拓扑向量空间 E中的开非空凸集合，并让 B 为非空凸集合；如果A不满足B则存在一个封闭的超平面将A与B分开。 07FN
注 — 1) 超平面 H 不满足 A (II, p. 15, 命题 1; 如果 A 和 B 是两个凸非空开集合不满足则存在闭超平面将 A 严格与 B 分开。 2) 然而，当B不开时，即使E是有限维，即使overlineA不满足overlineB，也不一定存在将A与B严格分开的闭超平面。（II，p. 78，练习 12）。 07FO
定义 3 — 对于向量空间 E的子集 A ，超平面 H 被称为 A的支撑超平面，如果 H 包含至少有一个点 A 和 A 的所有点位于 H 的同一侧。 07FP
命题 2 — 让 A 成为拓扑向量空间 E的非空紧致子集。对于每个闭合的超平面 H 在 E，存在 A 平行于 H的支持超平面。 07FQ
命题 3 — 在拓扑向量空间 E 中，令 A 为闭凸集合，且具有非空内部。然后A的每个支撑超平面都被关闭，并且A属于的每个边界点到A的至少一个支撑超平面。 07FR
命题 4 — 令A为局部凸空间E中的闭非空凸集合，并令K为E中的紧致非空凸集合，且不满足A。那么存在一个封闭的超平面H，它将A与K严格分开。 07FS
注 In a Hausdorff locally convex space E, let A and B be two closed non-empty convex sets that are disjoint, if E is finite dimensional then there exists a closed hyperplane that sepa… 07FT
推论 1 — 在局部凸空间中，每个闭凸集合A是其包含的闭半空间的交。 07FU
推论 2 — 在 Hausdorff 局部凸空间中，每个紧凸集合 A 都是闭半空间的交，其中包含是由 A 的支持超平面确定的。 07FV
推论 3 — 在局部凸空间中，每个线性簇 M 的闭包是包含 M 的闭包超平面的交。 07FW
推论 4 设C为局部凸空间E中的闭凸集合。 E的子集A包含在C中，当且仅当，对于E中的每个实值连续仿射函数u，使得u(x) geqslant 0对于C中的所有x，我们有u(y) geqslant 0 适用于 A 中的所有 y。 07FX
推论 5 在局部凸空间E中，顶点0的每个凸锥C的闭包是由经过0的闭超平面确定的闭半空间包含C的交。 07FY
引理 1 — 如果顶点为 0 的圆锥体 A 包含在由超平面 H 确定的开半空间中，则它包含在由超平面 H₀ 确定的闭半空间中，该闭半空间与 H 平行并穿过 0。 07FZ
命题 5 设X为局部凸空间E中的闭凸集合。那么X中定义的每个下半连续凸函数f都是E中连续仿射线性函数的限制到X的函数族的上包络线。 ↩ 1 07G0
注 1 它来自道具。 5. f是函数的有向递增族的上包络线，它是函数的限制到X，在E中是连续且凸的。 07G1
注 2 进一步假设 X 是一个顶点为 0 的封闭凸锥体，并且 f 是正齐次。那么f是函数族的上层信封，它是E中连续线性形式的限制到X。例如，令(u_α)为E中的连续仿射线性函数族，其中限制至X以f作为其上包络线。放入u_α = v_α + λ_α，其中λ_α ∈ R，并且v_α是E中的连续线性形式。我们有λ_α = u_α(0) ≤ f(0) = 0。另一方面，如果… 07G2
注 3 E中连续仿射函数的限制到X是函数，即X中的仿射（即凹凸II、p. 17）；但也有可能在紧凸集合X ⊂ E中存在连续仿射函数，而不是连续仿射函数inE（II，p. 78，exerc）的限制到X。 II，c))。然而： 07G3
命题 6 令 f 为 Hausdorff 局部凸空间 E 的紧凸集合 X 中的上半连续仿射函数。令L为E中连续仿射函数的限制至X的集合； h ∈ L的集合L'，使得所有x ∈ X的h(x) > f(x)，然后是递减定向，并且其下包络线等于f。 07G4
推论令f为X中的连续仿射函数；则存在L的元素的序列(hₙ)在X中均匀收敛到f。 07G5

§ 6. 。弱拓扑

命题 1 设F、G为F × G上的两个实数向量空间和B双线性形式。让 07H0
例 — 1) 令 E 为向量空间，并令 E 为其对偶。 E × E^* (A, II, § 2.3) 上的规范双线性形式 (x, x^*) ↦ ⟨ x, x^* ⟩ 将 E 和 E 置于分离对偶性中：因为 (D{II}) 为真，因为关系 x^* ≠ 0 的定义，另一方面我们知道，对于E中的所有x ≠ 0，存在线性形式x^* ∈ E^*使得⟨ x, x^* ⟩ ≠… 07H1
定义 1 — 所谓拓扑向量空间 E 的对偶，是指 E 的子空间 E'，向量空间 E 的对偶，由 E 上的连续线性形式形成。 07H2
注 — 1) 当E是拓扑向量空间时，向量空间E的对偶E^*将被称为E的代数对偶以避免混淆。我们注还知道E^*是拓扑向量空间的对偶，通过给E提供最佳局部凸拓扑（II，p. 25，例2）。 2) 拓扑向量空间的对偶E'本身并不携带拓扑，除非，这是明确说明的。 3) 如果 F 和 G ⊂ F^* 通过规范双线性形式分离对偶性，那么 F 和 G₁ 也是如此，对于 F^*… 07H3
定义 2 — 设 F 和 G 是通过双线性形式 B 进行对偶的两个向量空间。F 上使所有线性形式 B(., y): x ↦ B(x, y) 连续的最粗糙拓扑，其中 y 在 G 中变化，称为 F 上的弱拓扑，由 F 和 G 之间的对偶性定义，我们将其表示为σ(F, G). 07H4
命题 2 — 弱拓扑 σ(F, G) 是 Hausdorff 当且仅当 F 和 G 之间的对偶性在 F 中分离。 07H5
命题 3 — 设 F 和 G 是对偶中的两个实数向量空间。每个线性形式在F上，对于σ(F, G)是连续的，可以写成x ↦ ⟨ x, y ⟩对于某些y ∈ G。元素 y ∈ G 当对偶性在 G 中分离时是唯一的。 07H6
推论 1 — 家庭 (aᵢ) 的点的 F 总计为拓扑 σ(F, G) 当且仅当，对于每个 y ≠ 0 在 G，存在指标 i 这样 ⟨ aᵢ, y ⟩ ≠ 0。 07H7
推论 2 — 族 (aᵢ) 的点的 F 对于拓扑 σ(F, G)，当且仅当，对于每个指标 i，存在元素 bᵢ ∈ G 这样：⟨ aᵢ, bᵢ ⟩ ≠ 0 和 ⟨ a_κ, bᵢ ⟩ = 0 所有 κ ≠ i。 07H8
推论 3 — 让 G₁ 和 G₂ 成为 F^*的两个向量子空间，与 F 对偶（对于规范双线性形式的限制）。那么σ(F, G₂)更细比σ(F, G₁)当且仅当G₁ ⊂ G₂。 07H9
推论 4 — 令 G 为对偶 F^* 的向量子空间，向量空间 F。然后 F 和 G 处于分离对偶性（对于规范双线性形式）当且仅当 G 密集于 F^* 于拓扑 σ(F^*, F)。 07HA
定义 2 设 F 和 G 为对偶性中的两个（实数）向量空间。对于 F 的每个集合 M，我们将其称为 M 的极坐标，即 y ∈ G 的集合，其中 ⟨ x, y ⟩ ≥ -1 对于所有 x ∈ M。（对于复杂的向量空间、cf.、II、p. 64。） 07HB
命题 4 (i) 对于 F 的任何集合 M，极集合 M^∘ 是包含 0 的凸集合，并且在 G 中对于拓扑 σ(G, F) 是封闭的。 07HC
定理 1（双相定理） 设F，G为对偶性中的两个实数向量空间。对于 F 的每个子集 M，G 中 M 的极坐标集合 M^∘ 的 F 中的极坐标集合 M^∘ ∘ 是 M ∪ 0 的封闭凸包络（对于 σ(F, G)）。 07HD
推论 1 对于任何族 (M_α) 的闭凸集合的 F （在拓扑 σ(F, G)），每个包含 0，交 M = ⋂ limits_α M_α 的极坐标集合是凸闭包络（对于 σ(G, F)）并的 M_α^∘。 07HE
推论 2 对于 F的每个向量子空间 M ，子空间 M^∘∘ 是拓扑 σ(F, G)中 M 的闭包。 07HF
注 — 拓扑 σ(G, F) 包含邻域 V 中G中的每个邻域由形式|⟨ xᵢ, y ⟩| ≤ 1 (1 ≤ i ≤ n) 的有限不等式数定义，其中xᵢ是F中的任意点。如果A是xᵢ的集合的对称凸包络，那么V就是G中A的极集合 A^∘。我们可以说，F（或其凸包络）中的有限对称集合（或其凸包络）形式中的G极坐标是G中0的邻域的基本系统对于σ(G, F)。如果对偶… 07HG
推论 3 设 T 为局部凸空间 E 的拓扑，并让 E' 为其对偶（II，p. 42，默认为1）。 07HH
命题 5 令u为F₁中F的线性映射。以下属性是等效的： 07HI
注 — 假设 F 和 G 之间的对偶性在 G 中分离，并且 F₁ 和 G₁ 之间的对偶性在 G₁ 中分离。如果我们认同 G 和G₁ 以及子空间分别为F^* 和F₁^*，则条件 a) 和b) 等价于ᵗ u(G₁) ⊂ G； v 是 u (A, II, § 2.5) 的转置 ᵗ u 到 G₁ 的限制。 07HJ
推论假设F和G之间的对偶性在G中分离。如果u是F₁中F的线性映射，即对于σ(F, G)和σ(F₁, G₁)连续，则其转置是G中G₁的线性映射，对于σ(G₁, F₁)连续， σ(G, F)。此外，如果F₁和G₁之间的对偶性在F₁中分离，则ᵗ(ᵗ u) = u。 07HK
命题 6 假设F和G（分别是F₁和G₁）之间的对偶性在G（分别是F₁）中分离。令u为F₁中F的线性映射，对于σ(F, G)和σ(F₁, G₁)连续。令F中的A为集合，F₁中的A₁集合；然后： 07HL
推出 1 带有记号的支柱。 6、关系u(A) ⊂ A₁暗示ᵗ u(A₁^∘) ⊂ A^∘；如果进一步 A₁ 是凸的、封闭的（对于 σ(F₁, G₁)）且包含原点，则这两个关系是等价的。 07HM
推出 2 令u为F₁中F的线性映射，对于σ(F, G)和σ(F₁, G₁)连续。那么我们有 07HN
命题 7 — 令M为F的向量子空间，以及G的N向量子空间，其中F和G是对偶中的两个向量空间。假设M和N是正交的（相当于说、N ⊂ M^∘或M ⊂ N^∘）。向量空间 M 和 G/N 则通过双线性形式 (x, doty) ↦ ⟨ x, doty ⟩ 成为对偶。 07HO
注 — M 和 G/N 之间的对偶性（其中 M 和 N 是两个正交子空间）在 M 中分离，当且仅当 M ∩ G^∘ = 0；当且仅当 N = M^∘ 时，它在 G/N 中分离。 07HP
推论 1 — 假设 F 和 G 之间的对偶性在 F 中分离。对于 F 拓扑 σ(G/M^∘, M) 的向量子空间 M 与 σ(G, F) 的商拓扑除以M^∘，当且仅当 M 对于拓扑是闭集σ(F, G)。 07HQ
推论 2 — 如果 M 为有限维 n 并且对偶性在 F 中分离，则 M^∘ 在 G 中具有余维 n。如果 M 对于 σ(F, G) 且为有限余维 n 是闭的，并且如果对偶性在 G 中分离，则 M^∘ 为维数 n。 07HR
推论 3 — 令 (F, G), (F1, G1) 为分离对偶中空间的两个对，令 u 为 F1 中 F 的线性映射，对于 σ(F, G) 和 σ(F₁, G₁) 连续。那么 u 是 F1 中 F 的严格态射，当且仅当，Im(ᵗ u) 是 G 中σ(G, F) 的闭子空间。 07HS
推论 4 — 令 (F, G), (F1, G1) 为分离对偶中的两个对，并令 u 为 F1 中 F 的线性映射，对于 σ(F, G) 和 σ(F₁, G₁) 连续。那么u是满射的，当且仅当，ᵗ u是G₁的同构（与拓扑σ(G₁, F₁)）在ᵗ u(G₁)上，并且由σ(G, F)诱导拓扑。 07HT
注 — 1) 在分离对偶性时，令(F₁, G₁), (F₂, G₂), (F₃, G₃)为空间中的三个对，并考虑两个线性映射中的序列 07HU
命题 8 — 设(Fᵢ, Gᵢ)_i ∈ I是空间的对偶性的对族。设F = ∏_i ∈ I Fᵢ为Fᵢ的乘积空间，G = ⨁_i ∈ I Gᵢ为Gᵢ的直和。如果，对于所有 x = (xᵢ) ∈ F 和所有 y = (yᵢ) ∈ G，我们写 ⟨ x, y ⟩ = ∑_i ∈ I ⟨ xᵢ, yᵢ ⟩（和只有有限多个非零项），那么拓扑 σ(F, G)（相对于双线性形式 (… 07HV
注 — F 和 G 之间的对偶性在 F 中分离（分别在 G 中）当且仅当对于所有 i ∈ I，Fᵢ 和 Gᵢ 之间的对偶性在 Fᵢ 中分离（分别在 Gᵢ 中）。如果F和G之间的对偶性在F（分别G）中分离，那么，在F（分别G）中，子空间与一Gᵢ（分别Fᵢ）正交，规范地用G（或F）的子空间来识别是F_κ的乘积的子空间，其中κ ≠ i（或G_κ的直和，使得κ ≠ i）… 07HW
推论 1 — 令 F 和 G 为分离对偶性中的两个向量空间。如果空间 F（与σ(F, G)）是两个子空间 M、N 的直接拓扑和，则空间 G（与σ(G, F)）是分别与M 和N 正交的子空间 M^∘, N^∘ 的直接拓扑和。 07HX
推论 2 — 令 (eᵢ)_i ∈ J 为向量空间 F 与对偶 F^* 的基，并令 u : R⁽ᴵ⁾ → F 为由此基定义的（代数）同构。那么当F^*携带拓扑σ(F^*, F)和Rᴵ乘积拓扑时，转置的映射ᵗ u : F^* → Rᴵ是拓扑同构。 07HY
命题 9 — 令 F, G 为分离对偶性中的两个向量空间。如果hatF是拓扑σ(F, G)的空间F的完成，并且如果我们考虑典范嵌入j : F → G^*，其中G^*有拓扑σ(G^*, G)，那么j的连续扩张hatj : hatF → G^*是拓扑向量空间的同构。 07HZ
命题 10 令G为实数向量空间，F = G^*与拓扑σ(G^*, G)对偶。 07I0
引理 1 令E为Hausdorff弱空间，C为E中顶点为0的真圆锥，这对于由E诱导的一致结构来说是完整的。 E 中的每个连续线性形式是 E 中两个连续线性形式之间的差，且C 中为正数。 07I1
命题 11 令E为Hausdorff弱空间，C为E中顶点为0的真凸锥，并且在由E诱导的一致结构中是完全的。 07I2
推论 1 — 令 E 为 Hausdorff 弱空间和 C E 中顶点 0 的真凸锥，对于 E 的一致结构是完全的。则 C 中 C × C 的映射 (x, y) ↦ x + y 是正确的。 07I3
推论 2 — 令 E 为 Hausdorff 弱空间，以及 C 一个在 E 中顶点为 0 的真凸锥，对于由 E 导出的均匀结构是完整的。 07I4

§ 7. 。极端点和极端生成元

定义 1 令 A 为仿射空间 E 中的凸集合。如果不存在包含在A和包含x中的开段，则我们说点x ∈ A是A的极值点。 07IP
例 1 在空间Rⁿ中，球体Sₙ₋₁的所有点都是闭球Bₙ的极值点。对于，如果∑ᵢ yᵢ² ≤ 1,\ ∑ᵢ zᵢ² ≤ 1和0 < λ < 1，关系 λ² ∑ᵢ yᵢ² + (1 - λ)² ∑ᵢ zᵢ² + 2λ(1 - λ) ∑ᵢ yᵢ zᵢ = 1 = (λ + (1 - λ))² 仅当 ∑ᵢ yᵢ² = ∑ᵢ zᵢ² = ∑ᵢ yᵢ zᵢ = 1. 但这意味着… 07IQ
例 2 在实数（I，p. 4）有界序列的规范空间B(N)中，单位球的极值点为点x = (ξₙ)，使得|ξₙ| = 1为全部n。例如，假设我们对所有 n 有 |ξₙ| ≤ 1，对一个指标 p 有 |ξₚ| < 1。然后我们可以写 x = (1 + ξₚ)/2 y + (1 - ξₚ)/2 z 其中 y（分别为 z）为点，其所有坐标都等于 x 的坐标且具有相同的指标，除… 07IR
例 3 设u : E → E'是仿射空间E'中仿射空间E的仿射映射；设C ⊂ E,\ C' ⊂ E'是两个凸集合，使得u(C) ⊂ C'。如果x'是C'的极值点并且x是u⁻¹(x') ∩ C的极值点，则x是C的极值点，正如它从def得出的那样。 1. 07IS
命题 1 令B为A的极值点的集合，Hausdorff局部凸空间E中的非空紧致凸集合，并让f为A及上定义的凸函数半连续。然后f在A中在B的点（至少）之一处达到上界。 07IT
推论设 A 为 Hausdorff 局部凸空间 E 中的紧凸集合。则包含的每个闭支撑超平面 H 至少有一个 A 的极值点。 07IU
定理 1（克赖因-米尔曼） — 在 Hausdorff 局部凸空间 E 中，每个紧凸集合 A 都是其极值点的集合的闭凸包络。 07IV
命题 2 令 x 为 Hausdorff 局部凸空间 E 中紧凸凸集合 A 的极值点。那么对于 E 中 x 的每个开邻域 V，在 E 中存在一个开半空间 F，使得 x ∈ F ∩ A ⊂ V ∩ A（在其他情况下）字，开半空间包含 x，形式 A 中 x 的邻域的基本系统）的迹。 07IW
推论 — 在 Hausdorff 局部凸空间中，令 K 为紧凸凸集合 A 的紧子集。则以下条件是等价的。 07IX
注 1 即使向量空间 E 是紧凸集合的极值点的有限维集合，也不一定是封闭的（II，p. 89，练习11）。 07IY
注 2 如果在非完全Hausdorff局部凸空间中K为紧集，并且A，K的闭凸包络不是紧的，则A的极值点不属于到K（II，p. 87，练习2）。 07IZ
注 3 在无限维数的 Banach 空间 E 中，中心 0 且半径为 1 的闭球可能不具有任何极值点（II，p. 89，练习 14）。 07J0
注 4 如果 A 是 Hausdorff 局部凸空间中的紧凸集合，则可能会发生 A 的极值点不属于到 A 的任何支持超平面（II，p. 78，执行 11）。定理 1 (II, p. 56) 的证明表明，在任何情况下，A 都是 A 的极值点集合的凸闭包络，其中属于到支撑超平面。 07J1
定义 2 设C是向量空间E中顶点0的凸锥。如果C中包含的每个开线段，而不是包含0并且与D相交的每个开线段都包含在D中，则称从0开始的半线D⊂C是C的极值生成元。 07J2
注 1 令C为E中的尖真凸锥，并考虑E阶结构，其中C为元素≥0的集合（II，p. 12，命题13）；在阶中，E的元素，假设x 0，属于到C的极值生成元，必要且充分的是，每个元素y≥0，以x为界，是形式λx，其中0≤λ≤ 1：事实上，说 y 上界为 x 意味着 x = y + y'，其中 y' ∈ C, 从而结论如下。 07J3
命题 3 在向量空间 E 中，令 C 为顶点为 0 的凸圆锥，令 x₀ ≠ 0 为 C 的点，D 为C 中包含的、源自 0 和包含 x₀ 的半直线。令 H 为超平面包含 x₀，而不是经过到 0。则 D 是 C 的极值生成元当且仅当 x₀ 是 H ∩ C 的极值点。 07J4
定义 3 令 C 为 Hausdorff 拓扑向量空间 E 中的凸集合。如果 C 中 A 的补集 C − A 是凸的，C 的紧凸非空集 A 称为 C 的上限。 07J5
命题 4 — 令 C 为 E 中顶点为 0 的尖凸锥体，Hausdorff 局部凸空间。 07J6
推论 1 — 令 C 为 E 中顶点 0 的尖凸锥体，Hausdorff 局部凸空间，令 p 为 A 的规范，C 的上限。 A 的极值点为点 0，并且点 x 位于 C 的极值生成元上，使得 p(x) = 1。 07J7
推论 2 — C 的每个点，属于到C 的上限，也属于到C 极值生成元的凸封闭包络线并。 07J8
命题 5 令 C 为 E 中顶点为 0 的真凸锥，Hausdorff 弱空间；假设C对于由E的一致结构而言是完备的，并且在C中存在0的邻域的可枚举基本系统。那么C就是它的上限的并，并且是它的极值生成元的并的封闭凸包络线。 07J9
注 2 存在弱完全且无极值生成元 (II, p. 92, 练习 31) 的真凸锥。 07JA
命题 6 设 E 为 Hausdorff 局部凸空间，K 为 E 中的凸紧集，且不为包含 0。则顶点 0 的最小的尖锥 C，其中包含 K 为 E 中的真凸锥，并且是局部紧且完备的子空间共 E；此外，E中存在一个闭超平面H，它不包含包含0，并且H满足C中包含的所有起始于0的半线，并且H ∩ C是紧致的。此外，如果D是由H确定的半空间包含0，即具有这些属性的闭超平面，则C… 07JB
例 1 E、向量空间、有限维中的每一个真闭凸锥，都有一个紧凑的底部。事实上，通过II，p. 52，道具。 11 我们只需要考虑E = Rⁿ和C = R₊ⁿ的情况。如果(eᵢ)_1 ≤ i ≤ n是Rⁿ的典范基，显然，作为eᵢ（1 ≤ i ≤ n）的凸包络的紧凑凸集合是R₊ⁿ的紧凑底。 07JC
例 2 \ 如果 X 是紧凑的空间，则 X 上正测量的圆锥体 M₊(X) 以及模糊的拓扑，是一个具有紧凑底部的圆锥体（INT，III，第二版，§ 1, No. 9，第 15 条第 3 条）。 \ 07JD

§ 8. 。复局部凸空间

注 — 给定一个在 R 上的拓扑向量空间 F，并不总是存在自同构 u 的 F，其平方是 -1_F；对于例，定义向量空间结构相对于向量空间上的C不可能超过有限奇数维数的R。 07KJ
定理 1（哈恩-巴纳赫） — 令 V 为 E 的向量子空间，复数向量空间，并令 f 为 V 上的（复数）线性形式，p 为 E 上的半范数，使得 |f(y)| ≤ p(y) 对于所有 y ∈ V。那么在扩展 f 的 E 上存在线性形式 f₁，并且对于所有 x ∈ E 都有 |f₁(x)| ≤ p(x)。 07KK
推论 1 — 设 x₀ 为复拓扑向量空间 E 的点，p 为 E 中的连续半范数；那么在 E 中存在定义的连续（复数）线性形式 f，使得所有x ∈ E都有f(x₀) = p(x₀)和|f(x)| ≤ p(x)。 07KL
推论 2 — 设 V 为复数局部凸空间 E 的向量子空间，f 为在 V 中定义且连续的（复数）线性形式；则存在定义在 E 中且扩展 f 的连续线性形式 f₁。如果 E 被赋范，则存在形式 f₁ 也满足 |f₁| = |f|。 07KM
推论 3 — 设 M 为局部凸 Hausdorff 复数空间 E 的有限维向量子空间。则存在 E 的闭向量子空间 N，它是 E 中 M 的拓扑补集。 07KN
命题 1 — 设 A 是复拓扑向量空间 E 中的开非空凸集合，M 是不满足 A 的非空（复）线性簇。则存在一个闭复形超平面 H，包含 M 且不满足 A。 07KO
推论 — 在局部凸复数空间 E 中，每个闭复数线性簇 M 都是闭复数超平面的交，其中包含它。 07KP
命题 2 设A为复杂拓扑向量空间E的非空平衡开凸集合，B为不满足A的非空凸集合。那么E和数α > 0上存在连续复形线性形式f，使得A中有|f(x)| < α，B中有|f(y)| ≥ α。 07KQ
命题 3 令A为复杂局部凸空间E中的平衡、封闭、凸集合，并令K为E中不满足A的非空紧凑凸集合。那么在E和数α > 0上存在连续复形线性形式f，使得A中有|f(x)| < α，K中有|f(y)| > α。 07KR
定义 1 设F和G是对偶的两个复数向量空间。对于 F 的任何子集 M，G 中M 的极坐标（用 M^∘ 表示）是 y ∈ G 的集合，这样对于所有 x ∈ M 来说，Re(⟨ x, y ⟩) ≥ -1。 07KS

III. 连续线性映射的空间

§ 1. 。拓扑中的出生学向量空间

定义 1 — A bornology on a set E is a subset B of the set of all subsets of E satisfying the following conditions (cf. GT, X, § 1.2, Remark 2). (B1) Every subset of a set of B belongs to B… 07KW
例 — 令 E 为度量空间； E (GT, IX, § 2, No. 2) 的所有有界子集的集合是 E 上的覆盖出生学。设 G 为 E 等距的群； G 的所有子集 M 的集合，使得对于每个 x ∈ E，集合 M.x 是 E 的有界子集，是 G 上的覆盖出生学。 07KX
定义 2 设E为向量空间。 E 上的出生学 B 被认为是凸的，如果对于每个 X ∈ B 和 t ∈ K，有拟似集合 tX 和 X 的凸平衡包络线 Γ(X) (II, p. 10) 属于至 B。 07KY
定义 3 设E为拓扑向量空间。如果 E 的子集 A 被 E 中 0 的每个邻域吸收（I，p. 7，def. 4）。 07KZ
注 — 1) 如果E是半范数空间，则球形式是E中0的有界邻域的基本系统。相反，如果E是局部凸拓扑向量空间，并且如果E中存在0有界邻域，则该邻域包含是凸平衡邻域W，并且规范为那么W是定义拓扑的E的半范数。 07L0
定义 4 设E为局部凸空间。 E上的出生学B据说适用于E，如果它是凸的，则由E的有界子集组成，并且如果B属于到B的每个集合闭包。 07L1
命题 1 设E为局部凸空间。 E 的有界子集的集合是适应的出生学。 07L2
定义 5 设E为局部凸空间。 E的所有有界子集的集合被称为E的规范出生学。 07L3
命题 2 在局部凸空间 E 中，每个预紧式集合都是有界的。令A为E的预紧子集，V为0的凸平衡邻域。存在 A 的点中的有限序列 (aᵢ)_1 ≤ i ≤ n 使得 A ⊂ ⋃_1 ≤ i ≤ n (aᵢ + V). 由于 B = a₁, ..., aₙ 有界，因此存在标量 λ 使得 0 < λ < 1 和 λ B ⊂ V；我们有 λ A ⊂ λ B + λ V ⊂ V… 07L4
推论在局部凸空间中，柯西序列的点的集合是有界的。事实上，这个集合是预紧的（GT，II, § 4, No. 2）。 07L5
注 5 — 一般来说，局部凸空间 E 的有界子集并不都是预紧的（对于例，如果 E 是一个无限维范数空间，则其单位球不是紧的（I、p. 15、th. 3））。然而，如果E是弱空间（II，p. 42）：对于与E相关的豪斯多夫拓扑向量空间，则同构于乘积K^l的子空间，其有界子集是预紧的（cf. III，p. 4，cor.2）。对于其他例，请参阅IV、p. 18。 07L6
命题 3 — 设 A 为局部凸空间 E 的子集。假设 A 有界；那么对于 A 的点的每一个序列 (xn) 以及每一个序列 (\lambdan) 趋向于 0 的标量，序列 (\lambdan xn) 趋于 0。反之，如果存在序列 (\lambdan) 个非零标量，使得对于每一个序列 A 的点 (xn)，序列 (\lambdan xn) 有界，则 A 有界。 07L7
推论 — E 的子集 A 是有界的当且仅当 A 的每个可数子集都是有界的。 07L8
命题 4 — 令 E 和 F 为两个局部凸空间且 f : E \to F 为连续映射。假设 f(0) = 0 并且存在实数 m \geq 0 使得对于每个 lambda 0 都有 f(\lambda x) = \lambda^m f(x)。然后，如果 A 是 E 的有界子集，则 f(A) 在 F 中有界。 07L9
推论 1 — 令 E 和 F 为两个局部凸空间，且 u : E \to F 为连续线性映射。如果 A 是 E 的有界子集，则 u(A) 在 F 中有界。 07LA
推论 2 — 令 E = \prod{i \in I} Ei 为局部凸空间族的乘积。那么 E 的子集是有界的当且仅当其所有投影都是有界的。 07LB
推论 3 — 令 E 为向量空间，(Fi){i \in I} 是从 E 到 Fi 的局部凸空间和 fi 线性映射族（对于 i \in I）。假设 E 被分配最粗糙的拓扑（局部凸），其中所有 fi 都是连续的（II，p. 26）。那么，对于 E 的子集 A 有界，对于所有 i \in I，fi(A) 在 Fi 中有界是必要且充分的。 07LC
推论 4 令Eᵢ (1 ≤ i ≤ n) 和F 为局部凸空间，且f 为从∏ᵢ₌₁ⁿ Eᵢ 到F 的连续多重线性映射。如果Bᵢ是Eᵢ的有界子集，对于1 ≤ i ≤ n，则f(∏ᵢ₌₁ⁿ Bᵢ)有界于F。 07LD
推论 5 设E和F为两个局部凸空间，u : E → F为连续多项式映射。如果 A 是 E 的有界子集，则 u(A) 是有界的。 07LE
命题 5 令(Eᵢ)_i ∈ I为Hausdorff局部凸空间族，并令E为该族的拓扑直和（II，p. 29）。在E的子集B有界的阶中，存在I的有限子集J使得prᵢ(B)对于i ∈ J在Eᵢ有界是充分必要的并且prᵢ(B) ⊂ 0 对于所有i ∉ J。 07LF
命题 6 令E为局部凸空间，它是E的闭向量子空间（II，p. 33）的递增序列(Eₙ)的严格归纳极限。 E的子集B是有界的当且仅当它包含在子空间Eₙ之一中，并且在这个子空间中是有界的。 07LG
命题 7 — 令 (Eₙ)_n ≥ 0 为 Hausdorff 局部凸空间的序列，并且对于每个 n，令 uₙ : Eₙ → Eₙ₊₁ 为紧的单射线性映射（即，Eₙ 中存在 0 的邻域，其uₙ下的像相对紧凑；这意味着uₙ是连续的）。令E为系统(Eₙ, uₙ)（II，p. 29）的归纳极限，并令vₙ为从Eₙ到E的典范映射。那么局部凸空间 E 就是 Hausdorff。此外… 07LH
引理 1 在支柱的假设下。 7、E中的拓扑是最精细的拓扑，其中所有映射vₙ : Eₙ → E都是连续的。 07LI
注 1 有了上面的记号，让Fₙ是Hₙ生成的向量空间，范数等于Hₙ的规格。我们将看到（III，p. 8，cor.）Fₙ是Banach空间。从Fₙ到Eₙ₊₁的单射是紧凑的，因此更不必说也是从Fₙ到Fₙ₊₁的单射wₙ。此外，E是Banach空间的归纳法系统(Fₙ, wₙ)的归纳法极限。例如，E 中凸平衡邻域 V 为 0，使得 V ∩ Eₙ 吸收所有 n ≥ 1 的 Hₙ₋… 07LJ
注 2 令 F 为局部凸空间，k 整数 ≥ 0，f : Eᵏ → F 为多线性映射。为了使f连续，f到Eₙᵏ中的限制对于每个n连续是必要且充分的。我们立即验证Eᵏ对于线性映射vₙ × ⋯ × vₙ : Eₙ × ⋯ × Eₙ → E × ⋯ × E族具有最终的局部凸拓扑（II，p. 28，cor.2和p. 30，道具7），并且uₙ × ⋯ × uₙ是紧单射线性映射从… ↩ 2 07LK
命题 8 令E为Hausdorff局部凸空间，并令A为E的封闭、平衡、有界且凸子集。设(xₙ)为E_A中的柯西序列。那么这个序列收敛于E_A当且仅当它收敛于E。 07LL
推论 — 如果 A 是半完备的（特别是完备的），则 EA 是 Banach 空间。事实上，EA 中的柯西序列也是 E 的拓扑的柯西序列，并且包含在与 A 相似的集合中，因此收敛于 E。 07LM
定义 6 — 如果 E 的每个闭有界子集都是完备的，则称局部凸空间 E 是准完备的（对于由 E 导出的一致结构）。完全局部凸空间是准完备的，但逆命题并不总是正确的。对于例，如果 E 是无限维 Hilbert 空间，或者更一般地说，是无限维自反 Banach 空间，则带有弱化拓扑的 E 是准完备但不完备（II，p. 51，道具 9）。准完备空间是半完备的，因为每个… 07LN
命题 9 — (i) 准完备局部凸空间的闭向量子空间是准完备的。 (ii) 准完全局部凸空间的乘积是准完全的。 (iii) 拟完备局部凸空间的拓扑直和是准完备的。 (iv) 局部凸空间，闭拟完备子空间的序列的严格归纳极限是准完备的。断言 (i) 源自注 2 (III, p. 2), (ii) 源自 III, p. 4，cor。 2，（iii）来自道具。 5 (II… 07LO
命题 10 — 令 E 为 E 的局部凸空间，M 向量子空间，使得 E 的每个点都位于 M 的有界子集的闭包内。则从 M 开始的每个连续线性映射 f 变为 Hausdorff 拟完全局部凸空间 F 唯一扩展到从 E 到 F 的连续线性映射。假设意味着 M 在 E 中是稠密的，因此 f 扩展唯一地从 E 到 F 的完成hatF 的连续线性映射 hatf（GT，III… 07LP

§ 2. 。生育学空间

引理 1 — 设 G 为半范数空间，p 为半范数，u 线性映射从 G 变为 E。以下条件是等价的： 07M8
命题 1 以下条件是等效的： (i) E 上的每个半范数以 E 的有界子集为界是连续的。 (i') E 的每个凸平衡子集吸收 E 的有界子集 (I, p. 7, def. 4) 是 E 中 0 的邻域。 (ii) E 是半范数空间 E_A 的归纳极限，其中 A 的范围超过 E 的闭、凸、平衡且有界子集的有向递增集合。 (ii') 存在半范数空间的族(Eᵢ)_i ∈ I… 07M9
定义 1 如果满足等价的 prop 条件，则局部凸空间被认为是天生的。 1. 07MA
例 — 1) 每个半范数空间都是天生的。 2) 特别地，每个有限维局部凸空间都是天生的。 3）考虑到最终局部凸拓扑的传递性（II，p. 28，cor.2），我们立即从条件（ii'）推断出，如果（Ei）{i \in I}是局部凸出生学空间族，并且如果E被分配为最好的局部凸拓扑对于其中线性映射 ui : Ei \to E (对于 i \in I) 是连续的，则 E… 07MB
推论每个 Hausdorff 和半完全出生学空间都是 Banach 空间的归纳极限。 07MC
命题 2 局部凸可度量空间是天生的。 07MD
推论 — 每个 Fréchet 空间 (II, p. 24) 是 Banach 空间的归纳极限。 07ME

§ 3. 。连续空间线性映射

注 — 1) 𝔖-拓扑与𝔖'-拓扑相同，其中𝔖'表示𝔖（III，p. 1）生成的出生学。 07MJ
命题 1 设 E 为集合，𝔖 E 的子集系列，F 为拓扑向量空间，H 向量子空间 Fᴱ。在阶中，𝔖-拓扑与H的向量空间结构兼容，对于每个u ∈ H和每个M ∈ 𝔖，u(M)在F中有界是充分必要的。此外，如果 F 是局部凸的，则 H 上的 𝔖-拓扑是局部凸的。 07MK
推论设E和F是两个局部凸空间，𝔖E的有界子集族，以及从E到F的连续线性映射的L(E; F)向量空间。则𝔖-拓扑与向量空间结构兼容L(E; F) 并且是局部凸的。 07ML
例 1 如果𝔖是E的所有有限子集中的集合，则𝔖拓扑是简单收敛的拓扑，并且空间L_𝔖(E; F)也由Lₛ(E; F)表示。 Lₛ(E; F) 有界子集称为 L(E; F) 简单有界子集。 07MM
例 2 如果𝔖是compact（分别是预紧、紧凸）子集的集合，则𝔖拓扑称为compact（分别是预紧、紧凸）收敛的拓扑，并且空间L_𝔖(E; F)也是由L_c(E; F)（分别为L_pc(E; F)、L_cc(E; F)）表示。（参见 IV、p. 48、练习 7。） 07MN
例 3 如果𝔖是E的所有有界子集的集合，我们说𝔖拓扑是有界收敛的拓扑，并且空间L_𝔖(E; F)由L_b(E; F)表示。 07MO
例 4 当F = K、空间L(E; F)是E的对偶E'时。我们用E'_𝔖、E'ₛ等表示。空间L_𝔖(E; K)、Lₛ(E; K)等空间 E'ₛ（或E'_b）称为E 的弱对偶（或强对偶）。E'ₛ（或E'_b）的有界子集被称为弱（或强）有界。我们观察到E'上的弱拓扑不是别人，正是σ(E', E)（II，p. 42）。 ↩ 1 07MP
注 — 3) 设 A 为 E 的单位稠密子集球。鉴于u的连续性，我们也有 ↩ 1 07MQ
命题 2 — 令 E 和 F 为两个局部凸空间，并令 𝔖 为 E 的有界子集的集合。 07MR
命题 3 — 令 E 和 F 为两个局部凸空间，F 假设为 Hausdorff，并令 𝔖 为 E 的有界子集族。如果 𝔖 的集合的并 A 在 E 中总计，则空间 L_𝔖(E; F) 为 Hausdorff。 07MS
命题 4 设E、F为两个局部凸空间，F为Hausdorff。令从E到F的所有映射中的空间Fᴱ被分配为简单收敛的拓扑。然后 07MT
推论 1 — 对于 L(E; F) 的等连续子集 H 在 Lₛ(E; F) 中相对紧致，对于所有 x ∈ E、所有 u(x) 的集合 H(x)，当 u 范围超过 H 时，在 F 中相对紧致是必要和充分的。 07MU
推论 2 — E 的对偶 E' 的每个等连续子集对于 E' 上的弱拓扑 σ(E', E) 来说是相对紧的（III、p. 14、例 4）。 07MV
推出 3 — 在半规范空间 E 的强对偶 E'_b 中，每个闭球对于弱拓扑 σ(E', E) 来说都是紧凑的。 07MW
命题 5 — 令 E 和 F 为两个局部凸空间，并令 T 为 E 的总子集。在 L(E; F) 的每个等连续子集 H 上，以下一致结构重合： 07MX
例 — 1) 令μ为R的勒贝格测度，令E为半范数空间Lᵖ(μ) (1 ≤ p < ∞) (INT, IV)。对于每个数字函数f和每个实数h，令fₕ为函数x ↦ f(x - h)。显然映射 f ↦ fₕ 定义从 E 到自身的线性等距。如果 f 是连续的并且具有紧支撑，则 fₕ 均匀收敛于 f，因此也是阶 p 的均值，因为 h 趋于 0。由于具有紧支撑的所有连续函数… 07MY
推论 — 假设 F 是豪斯多夫。设 H 是 L(E; F) 的等连续子集。如果 H 上的滤波器 Φ 从 E 到 F 简单地收敛到映射 u₀，则 u₀ 是从 E 到 F 的连续线性映射，并且 Φ 在 E 的每个预紧子集上均匀收敛到 u₀。 07MZ
命题 6 — 令 H 为 L(E; F) 的等连续子集。如果F是可度量的，并且E中存在可数总集合，则E中简单收敛的H上的一致结构是可度量的。如果在加法中，F中存在可数总集合，则H中存在可数处处稠密集合（对于E的紧子集一致收敛的拓扑）。 07N0
推论 1 — 令 E 为局部凸可度量空间，F 为标准化空间。假设 E 和 F 都是满足可数性第一公理。那么L(E; F)是等连续子集的可数族的并，并且L(E; F)中存在可数集合，对于E的预紧子集一致收敛的拓扑来说是稠密的。 07N1
推论 2 — 第一个可数公理赋范空间满足的对偶E'中的每个闭球，对于弱拓扑σ(E', E)来说都是一个紧凑可度量空间，并且对于这个拓扑，在E'中存在一个可数稠密子集。 07N2
命题 7 — 令 M 为子集 / E'。以下条件是等效的： 07N3
推论 1 — E 的拓扑与 E' 的等连续子集一致收敛的拓扑相同。 07N4
推论 2 — 令S为E的有界子集族。L(E; F)上的S拓扑是拓扑一致收敛于形式A × B ⊂ E × F'的集合，其中A在S中，B属于在族中F' 等连续子集。 07N5
命题 8 — 设 H 是从 E 到局部凸空间 F 的线性映射族。要使 H 等连续，对于 F 的对偶 F' 中的每个等连续子集 X，线性形式 f \circ u 的集合，对于 f \in X 和 u \in H，是必要且充分的等连续。 07N6
定理 1（格罗腾迪克） — 令 E 为局部凸空间，令 \mathscr{S} 为 E 上的适应和覆盖出生学。令 F \子集 E^ 为 E 上那些线性形式的空间，其限制到每个集合属于到 \mathscr{S} 是连续的。如果 F 被分配为 \mathscr{S} 拓扑，则典范嵌入从 E'\mathscr{S} 到 F 扩展到同构从 E'\mathscr{S} 的补全 \hat{E}'… 07N7
引理 1 设 A 为 E 的闭凸平衡子集，令 u 为 E 上的线性形式，其限制到 A 是连续的。那么对于每个 \varepsilon 0，存在一个 x' \in E' 使得 07N8
定理 2 设 E 为局部凸 Hausdorff 空间且 hatE 为它的完备集；我们认同E和hatE以及向量子空间和E'^*。那么对于元素f ∈ E'^*到属于到hatE，f的限制到E'的每个等连续子集对于拓扑σ(E', E)是连续的。 07N9
推论 1（巴纳赫） — 令 E 为 Hausdorff 且完全局部凸空间。在阶中，E'上的线性形式对于弱拓扑σ(E', E)是连续的（即从E的元素产生），其限制对于每个等连续的子集就足够了E' 对于 σ(E', E) 是连续的。 07NA
注 — 假设在加法中，E中存在可数总数集合；那么 E' 的每个等连续子集都可度量为拓扑 σ(E', E)（III，p. 18，道具 6）；因此，要验证E'上的线性形式u是弱连续的，只需验证E'中每个等连续的序列(x'ₙ)（对于σ(E', E)收敛到0），我们就有lim_n → ∞ u(x'ₙ) = 0。 07NB
推论 2 令(Eᵢ)_i ∈ I为Hausdorff局部凸空间族，并令E为其拓扑直和。那么从hatEᵢ的直和到hatE的典范映射就是同构。特别是，当且仅当所有 Eᵢ 都完整时，E 才完整。 07NC
命题 9 设E和F是两个局部凸空间和S，E的有界子集族。那么L(E; F)的每个等连续子集对于S拓扑都是有界的。 07ND
命题 10 设 E 为出生学空间（特别是可度量的局部凸空间），F 为局部凸空间。以有界收敛的拓扑为界的L(E; F)的每个子集 H 是等连续的。 07NE
命题 11 设E和F是两个局部凸空间，S有界子集的E由……组成的覆盖。如果 F 是 Hausdorff 且准完备 (III, p. 8)，则L(E; F) 的每个等连续子集 H（对于 S 拓扑是闭集）是 L_S(E; F) 的完全一致子空间。 07NF
注 1 — 令 M 为 L_S(E; F) 的完整一致子空间。对于E的有界子集S' ⊃ S的每个集合，S'拓扑比L(E; F)上的S拓扑更细；另一方面，对于S'拓扑，存在系统为0的邻域，对于简单收敛的拓扑是封闭的（III，p. 13，注2），并且对于更不必说 S-拓扑。我们结论（GT，III, § 3, No. 5，cor.1）M对于S'拓扑来说是完整的。 07NG
推论令 E 和 F 为两个局部凸空间，H 为 L(E; F) 的等连续子集。如果 F 是 Hausdorff 且准完备，并且 H 上的滤波器 Φ 简单地收敛于 E 的总子集 T 的点，则存在从 E 到 F 的连续线性映射 u，使得 Φ 在 E 的每个预紧子集上均匀收敛到 u。 07NH
注 2 令 (uₙ) 为从 Banach 空间 E 到 Banach 空间 F 的连续线性映射的序列；可能会发生，(uₙ(x)) 在 E 的处处密集向量子空间 T 的每个点处都有极限，而序列 (uₙ) 不受范数空间 L(E; F) 的限制。对于例，取E为R上所有连续数值函数的空间，在无穷大处趋向于零，且范数|f| = sup_x ∈ R |f(x)|，令T为具有紧支… 07NI
命题 12 — 令 E 为出生学局部凸空间，F 为完全局部凸 Hausdorff 空间和 𝔖 一个由 E 包含像组成的有界子集族，其中每个序列收敛于 0。然后空间 L_𝔖(E; F) 已完成。 07NJ
推论 1 — 出生学空间的强对偶已完成。 07NK
推论 2 — 令 E 为半范数空间，F 为 Banach（分别为 Fréchet）空间。空间 L_b(E; F) 是 Banach（或 Fréchet）空间。特别是，半范数空间的对偶是 Banach 空间。 07NL

§ 4. 。巴纳赫-斯坦豪斯定理

命题 1 令 T 为 E 的子集。以下条件是等效的： 07NZ
推论以下条件是等价的： 07O0
定义 1 集合 T 满足相当于 prop 的条件。 1 据说是 E 中的一个桶。 07O1
定义 2 如果空间 E 满足 prop 推论的等价条件，则称 E 为桶状。 1. 07O2
学院在桶状空间的对偶中，等连续集合的类、强有界集合的类、弱有界集合的类以及弱拓扑的相对紧集的类都是相同的。如果 E 是 Hausdorff 且桶状的，并且如果 E'b 是其强对偶，则 0 的邻域极坐标位于另一个规范出生学的空间形式基之一中，以及空间形式之一中的有界子集极坐标基为其他空间的0的邻域的过滤器。 07O3
命题 2 每个局部凸空间 E（即 Baire 空间 (GT, IX, § 5, No. 3)）都是桶状的。 07O4
推论 — 每个 Fréchet 空间（特别是每个 Banach 空间）都是桶装的。这源自 Baire 的定理（GT，IX, § 5, No. 3，第 1）。 07O5
命题 3 — 令(Fᵢ)_i ∈ I为桶状空间族，对于每个i ∈ I，令fᵢ为从Fᵢ到向量空间E的线性映射。空间E具有最细的局部凸拓扑，其中fᵢ是连续的（II、p. 27、道具 5），是桶装空间。 07O6
推论 1 — 桶装空间的每个商空间都是桶装。 07O7
推论 2 — 令(Eᵢ)_i ∈ I为局部凸空间族，并令E为该族的拓扑直和。为了使 E 被桶装，每个 Eᵢ 被桶装是必要且充分的。 07O8
推论 3 — 桶装空间的每个感应极限都是桶装空间。 07O9
定理 1 — 令 E 为桶状空间，F 为局部凸空间。 L(E; F) 的每个简单有界子集 H 都是等连续的。 07OA
推论 1 — 设E和F是两个Banach空间，H是从E到F的连续线性映射族；如果对于所有 x ∈ E，我们有 sup_u ∈ H |u(x)| < +∞，那么我们也有 sup_u ∈ H |u| < +∞。 07OB
推论 2 —（巴纳赫-斯坦豪斯定理）。 — 令 E 为桶状空间，F 为局部凸 Hausdorff 空间，并令 (uₙ) 为从 E 到 F 的连续线性映射的序列，它简单地收敛到从 E 到 F 的映射 u。然后 u ∈ L(E; F) 和 (uₙ) 在每个点上均匀地收敛到 u E 的预紧子集。 07OC
注 1 性质用cor表示。 2并不意味着E是桶装的：我们稍后会看到Fréchet 空间的强对偶拥有这个性质，但不一定是桶装的（IV，p. 23，对应于道具2和p. 58，执行。 07OD
注 2 设E和F是两个Banach空间，以及从E到F的连续线性映射的(uₙ)序列，使得sup |uₙ| = + ∞。那么所有x ∈ E的集合X使得sup |uₙ(x)| = + ∞在E中是稠密的并且是E中开集合的序列的交。对于，令Xₖ表示所有x ∈ E的集合使得sup |uₙ(x)| > k（对于 k 整数 > 0）。每个Xₖ都是开放的，X是Xₖ的交。由于 E 是… 07OE
推论 3 — 令 E 为桶状空间，F 为局部凸 Hausdorff 空间，Φ L(E; F) 上的滤波器，它简单地收敛于 E 到映射 u，从 E 到 F。如果 Φ 包含为 L(E; F) 的简单有界子集，或者如果Φ有一个可数基，那么u是从E到F的连续线性映射，并且Φ在E的每个预紧子集上一致收敛到u。 07OF
例 — 令 E 为连续复形函数的 Banach 空间（超过 C）由……组成，其中 R 具有周期 1，且范数 |f| = supₓ |f(x)|。 07OG
推论 4 — 令 E 和 F 为两个局部凸空间，𝔖 有界子集的 E 由……组成的覆盖。如果 E 是桶装的且 F 是 Hausdorff 且准完备的，则空间 L_𝔖(E; F) 是 Hausdorff 且准完备。 07OH
推论 5 — 桶装空间的强对偶和弱对偶是准完整的。 07OI
定理 2 — 设 E 为局部凸 Hausdorff 空间，F 为局部凸空间和 𝔖 E 的闭、凸、平衡、有界和半完备子集族（III，p. 7）。 L(E; F) 的每个简单有界子集 H 都针对 𝔖 拓扑有界。 07OJ
推论 1 — 设 E 为局部凸 Hausdorff 空间，F 为局部凸空间，𝔖 E 的有界子集系列。如果 E 是半完备的，则 L(E; F) 的每个简单有界子集都有界𝔖-拓扑。 07OK
推论 2 — 每一个半完整的出生空间都是桶装的。 07OL
推论 3 — 令 E 为局部凸空间。 E 的每个子集的边界为 σ(E, E') 都是有界的。 07OM

§ 5. 。次连续双线性映射

定义 1 如果对于所有 x ∈ E、线性映射 u(x, .) 从 F 到 G 是连续的，并且对于所有 y ∈ F、线性映射，则称从 E × F 到 G 的双线性映射 u 是单独连续的u(., y)从E到G是连续的。 07P9
命题 1 对于从E × F到G的双线性映射u是单独连续的，对于所有y ∈ F，线性映射u(., y)从E到G是连续的并且线性映射是必要和充分的y ↦ u(., y)从F到Lₛ(E; G)是连续的。 07PA
命题 2 设E、F和G为三个局部凸空间。假设 E 和 F 是可度量的并且 E 是桶形的。令 H 为从 E × F 到 G 的单独连续双线性映射的集合。假设对于从 F 到 G 的映射 u(x, .) 的每个x ∈ E、集合，其中 u 穿过 H，是等连续的。那么 H 是等连续的。 07PB
推论 1 — 令 E 和 F 为两个 Fréchet 空间，G 为局部凸空间。从 E × F 到 G 的每个单独连续双线性映射都是连续的。 07PC
推论 2 — 假设 E 和 F 是可度量的并且 E 是桶状的。那么φ是从B(E, F)到L_b(E; F'_b)的拓扑向量空间同构。 07PD
命题 3 — 令 E、F、G 为三个局部凸空间、𝔖 E 的有界子集族。令 u 为从 E × F 到 G 的单独连续双线性映射。以下属性是等效的： 07PE
定义 2 — 设 u 是从 E × F 到 G 的双线性映射。如果 u 单独连续并且它验证了 prop 的等价条件 a)、b)、c) 之一，则我们说 u 是 𝔖 次连续的。 3. 07PF
命题 4 设u是从E × F到G的S-次连续双线性映射。对于每个集合 M ∈ S，u 到 M × F 的限制是连续的，并且对于 F 的每个有界子集 Q，u(M × Q) 都以 G为界。 07PG
命题 5 设u是从E × F到G的(S, T)-次连续双线性映射。对于集合M ∈ S、N ∈ T、u的每个对在M × N上均匀连续。 07PH
命题 6 如果F是桶状空间，则对于有界子集的每个集合S，从E × F到局部凸空间G的每个单独连续双线性映射u都是S低连续的E. 07PI
注 — 假设 F 的拓扑是 F 上最精细的局部凸拓扑，其中线性映射 h_α : F_α → F 是连续的（II，p. 27）。然后是 prop 的条件 c)。 3 (III,p. 30)表明，如果E和G是局部凸的，则双线性映射u : E × F → G是S-次连续当且仅当每个双线性映射 07PJ
命题 7 设 E, F, G 为三个局部凸空间，G 假设为Hausdorff；令 E₀ （或F₀）为 E （或F）的稠密向量子空间。令u为从E × F到G的单独连续双线性映射。 07PK
命题 8 设 E, F, G 为三个局部凸空间；假设 G 是豪斯多夫且准完备。 Let E₀ (resp. F₀) be a dense vector subspace of E (resp. F), 𝔖₀ (resp. 𝔗₀) a family of bounded subsets of E₀ (resp. F₀) such that every point of… 07PL
命题 9 设R, S, T为三个局部凸Hausdorff空间。假设空间 L(R; S), L(S; T), L(R; T) 各自分配了拓扑的简单（分别为紧凑、有界）收敛。然后双线性映射 (u, v) ↦ v ∘ u 从 L(R; S) × L(S; T) 到 L(R; T) 是 (𝔖, 𝔗)-次连续，其中 𝔗 是 L(S; T)、和 𝔖 族的等连续子集族有限（或紧… 07PM
推论 1 对于 L(S; T) 映射 (u, v) ↦ v ∘ u 从 L(R; S) × H 到 L(R; T) 的每个等连续子集 H 都是连续的。 07PN
推论 2 假设S是桶装的。如果序列 (uₙ) 倾向于 u in L(R; S) 和序列 (vₙ) 倾向于 v in L(S, T)，则序列 (vₙ ∘ uₙ) 倾向于 v ∘ u in L(R; T)。 07PO

§ 6. 。 Borel 的图表定理

定理 1 — 令 E 为局部凸空间，它是 Banach 空间的归纳极限，F 为 Souslin 局部凸空间，对于例 a Lusin 空间（GT、IX, § 6, No. 2 和 No. 4），以及 u 线性映射从 E 到 F。 u 是 E × F 的 Borel 子集，则 u 是连续的。 07Q4
注回想一下 (III, p. 12)，每个同调 Hausdorff 和半完备空间，对于例每个 Fréchet 空间，都是 Banach 空间的归纳极限。 \ 对于自反 Fréchet 空间的强对偶也是如此（IV，p. 23，道具 4）。 \ 07Q5
命题 1 — 令 E 为 Hausdorff 局部凸空间。假设存在 Fréchet 空间满足可数性第一公理序列 (En){n \in \mathbf{N}}，且连续线性映射 un : En → E 使得 E = \bigcup{n \in \mathbf{N}} un(En)。那么 E 是 Lusin 空间。 ↩ 1 07Q6
例 1 每个 Fréchet 空间满足可数性的第一公理都是波兰语空间，因此是 Lusin 空间。因而，空间C(X)也是如此，其中X是局部紧致的并且具有可数基（C(X)的拓扑是紧致收敛，cf.GT，X, § 3, No. 3，推论和§ 1, No. 6，相关3）； \ 空间 C₀^∞(U)，其中 U 是 Rⁿ (III, p. 9) 的开子集和 H(U)，其中 U 是… 07Q7
定理 2 — 令 E 为局部凸空间，它是 E 的递增序列 (Eₙ)_n ∈ N 的子空间的归纳极限，赋予可数性第一公理 Fréchet 空间满足的拓扑。假设E的每个紧致子集都包含在其中一个Eₙ中，并且在这个空间中是紧致的。设 F 为 Fréchet 空间满足，可数性第一公理。那么空间 L_c(E; F) 就是 Lusin 空间。 07Q8
推论 — 关于 E 的假设与 th 中一样。 2、假设，在加法中，E的每个有界子集都是相对紧的。那么 E 的强对偶是 Lusin 空间。特别是，Fréchet 空间满足的强对偶可数性第一公理，也是 Montel 空间，是 Lusin 空间。 07Q9
注 — 设 E 与 th 相同。 2；设 F 为 Hausdorff 局部凸空间，即连续线性映射 uₙ : Fₙ → F 序列像并，其中每个 Fₙ 是 Fréchet 空间满足第一个公理可数性；那么 L_c(E ; F) 就是 Lusin 空间。正如在道具中一样。 1、我们首先将约化考虑到每个uₙ都是单射的情况；然后，如第证明所示。 2、我们可以假设E是Fréc… 07QA
命题 2 — 设 E 为 Banach 空间，F 为从 E 到 F 的局部凸空间，u 线性映射。假设对于 F 的每个闭子集 B，E 的每个紧致子集 X 以及每个测度 μ X、交 X ∩ u⁻¹(B) 是 μ 可测量的。那么 u 是连续的。 07QB

IV. 拓扑对偶性向量空间

§ 1. 。二元性

定义 1 如果 d_B 是双射从 F 到通过将拓扑 T 分配给 E 获得的局部凸空间的对偶，则 E 上的局部凸拓扑 T 被认为与 E 和 F 之间的对偶性兼容。 07QI
命题 1 (i) E 中的闭凸子集对于 E 上的所有局部凸拓扑都是相同的，并且与 E 和 F 之间的对偶性兼容。 (ii) E 的有界子集对于 E 上的所有局部凸拓扑都是相同的，并且与 E 和 F 之间的对偶性兼容。 07QJ
定义 2 设E和F是对偶性中的两个空间。 E 上的 Mackey 拓扑，由 τ(E, F) 表示，被定义为 E 上的 𝔖 拓扑，其中 𝔖 是 F 的所有子集的族，其中 E^* 中的像（d_B 下）对于 σ(E^*, E) 是凸的、平衡的和紧致的。 07QK
注 1 — 设 A 为 Hausdorff 局部凸空间 G 的紧凸子集，tildeA 为 A 的闭凸平衡包络。当域 K 为 R 时，集合 tildeA 为A ∪ (-A) 的闭凸包络；当K为C时，集合tildeA包含在2A ∪ (-2A) ∪ (2iA) ∪ (-2iA)的闭凸包络内。因而（II，p. 14，命题 15），tildeA 是紧致的。 07QL
定理 1（麦基） — 设 E 和 F 为对偶性中的两个空间；假设对偶性在 F 中分离。在阶中，E 上的局部凸拓扑 T 与 E 和 F 之间的对偶性兼容，T 比拓扑 σ(E, F) 更细且比 Mackey 拓扑 τ(E, F) 更粗糙是充分必要的。 07QM
引理 1 E 的子空间 F 由 E 上的所有线性形式组成，这些线性形式对于τ(E, F) 是连续的。 07QN
引理 2 令T为E上的局部凸拓扑，使得E上的每个线性形式对于T属于到F都是连续的。那么T比τ(E, F)更粗糙。 07QO
推出设 p 为 E 上的半范数。以下条件是等价的： 07QP
注 2 设 K 是 F 的凸子集，对于弱拓扑 σ(F, E) 是紧致的，μ 是 K 的正测度。 Put 07QQ
例设 G 是局部凸空间，G' 是其对偶。在 G' 上，凸紧收敛的弱拓扑 σ(G', G) 和拓扑 (III, p. 14) 与 G' 和 G 之间的对偶性相容。一般来说，G' 上紧致收敛的强拓扑和拓扑与 G' 和 G 之间的对偶性不相容。然而回想一下，当 G 是 Hausdorff 时且 G' 重合上的紧致收敛的准完备性拓扑与凸紧致收敛 (III, p. 8… 07QR
定义 3 设E和F是对偶性中的两个向量空间，并且T是F的子集族，其边界为σ(F, E)。那么 F 上的 T 拓扑表示为 β(E, F)。 07QS
命题 2 设 E 为局部凸空间，并设 A 为 E 的凸子集（对于 E 的例、向量子空间）。 A 的闭包对于 E 的初始拓扑和弱化的拓扑是相同的。 07QT
注 1 对于 E 的元素的族 (xᵢ)_i ∈ I 对于初始拓扑而言是完全的（即拓扑独立），对于弱化的拓扑来说也是充分的；这是从道具得出的。 2. 因此我们可以应用II、p. 43中的判据。 07QU
注 2 令T₁和T₂是E上的两个局部凸拓扑，与E和E'之间的对偶性兼容，T₁是更细比T₂。然后 T₁ 的每个邻域为 0，对于 T₁ 来说是凸且封闭的，通过 prop，对于 T₂ 来说也是封闭的。 1 个IV、p. 1。因而（GT，II, § 3, No. 3，推论）E 的每个子集对于T₂来说是完整的，对于T₁也是如此。 07QV
注 3 假设 E 是 Hausdorff（对于初始拓扑）。设 A 为 E 的子集，它对于 σ(E, E') 是闭集且有界的，因此对于每个拓扑也与 E 和 E' 之间的对偶性兼容。由于 A 对于 σ(E, E') (III、p. 3、注 5) 是预紧的，因此假设 A 对于 σ(E, E') 是紧，则相当于 A 对于 σ(E, E') 是完全。 ↩ 1 07QW
命题 3 假设 E 是 Hausdorff，E' 是它的对偶。 E 的每个子集对于初始拓扑是预紧的，对于 σ(E, E') 是紧的，对于初始拓扑是紧的。 07QX
注 4 拓扑 β(E, E')（IV、p. 4，定义 3）比 Mackey 拓扑更细。如果β(E, E')与τ(E, E')不同，则它与E和E'之间的对偶性不兼容。当且仅当初始拓扑等于 β(E, E')（III，p. 24）时，空间 E 才被桶装。 07QY
命题 4 设 E 为局部凸空间。在以下每种情况下，E 上的 Mackey 拓扑与初始拓扑相同： 07QZ
命题 5 令u为从E₁到E₂的连续线性映射。 07R0
命题 6 令u为从E₁到E₂的线性映射，这对于弱化拓扑是连续的。对于i = 1, 2，令𝔖ᵢ是Eᵢ的有界子集族。在阶中，ᵗ u是从(E'₂)_𝔖₂到(E'₁)_𝔖₁的连续映射，对于每一个集合A ∈ 𝔖₁，在𝔖₂和实数中存在集合A₁, ..., Aₙ是充分必要的λ > 0使得λ · u(A)包含在A₁ ∪ ... ∪ Aₙ\脚注{在其他字中，u(𝔖₁)包含在最小的适应的… 07R1
推论令u为从E₁到E₂的连续线性映射。当对偶 E'ᵢ 被分配以下拓扑时，ᵗ u 是连续的： a) 弱拓扑σ(E'ᵢ, Eᵢ); b) 强拓扑β(E'ᵢ, Eᵢ); c) 麦基拓扑τ(E'ᵢ, Eᵢ); d) 预紧收敛的拓扑。此外，如果 E₂ 是 Hausdorff，则当对偶 E'ᵢ 被赋值时，ᵗ u 是连续的： e) 紧致收敛拓扑（分别为紧凸）。 07R2
命题 7 — 令 u : E₁ → E₂ 为线性映射。我们假设u对于E₁和E₂的弱化拓扑是连续的。 07R3
推论 — 假设 E₁ 是一个标准化的空间。令u为从E₁到E₂的线性映射。以下属性是等效的： 07R4
命题 8 — (i) 令 E 为范数空间，具有对偶 E'。对于每x ∈ E，我们有 07R5
注 1 公式 (3) 是 (4) 的特例，从 K 到 E 的相应的到线性映射 λ ↦ λ x。 07R6
注 2 将 B(x, y') = ⟨ u(x), y' ⟩ = ⟨ x, ᵗu(y') ⟩ 替换为 x ∈ E₁,\ y' ∈ E'₂。上面的证明表明B是E₁ × E'₂上的连续双线性形式，其中范数（GT，X, § 3, No. 2）等于|u|。 07R7
推论 — 令 dotE 为规范的空间满足第一个可数性公理。存在 E' - 0 的可数子集 D，这样我们有 07R8
命题 9 — (i) 为了使 (E/M)' 的子集 A 等连续， π(A) 是 E' 的等连续子集是充分必要的。 07R9
命题 10 — (i) 为了使M'的子集A等连续，只要像位于E'的等连续子集的ᵗ i之下即可。 07RA
注 — 我们知道（II，p. 48，命题 7，(ii)）ι 是从 E'ₛ/M^∘ 到M'ₛ 的拓扑向量空间同构（弱对偶）。对于拓扑的紧致凸收敛，支柱。图10显示，当E是Hausdorff并且M在E闭合时，从E'_cc/M^∘到M'_cc，ι是同构。对于强拓扑，ι是从E'_b/M^∘到M'_b连续的映射；如果 E 是 Banach 空间 \ 或者如果 E 是半反身… 07RB
命题 11 — (i) 在 E/M 上削弱拓扑是在 E 上的商；在 M 上减弱拓扑由 E 引起。 07RC
引理 3 — (i) 对于每个i ∈ I，令𝔖ᵢ是Fᵢ的子集族，其边界为σ(Fᵢ, Eᵢ)；把𝔖 = ⋃_i ∈ I 𝔖ᵢ。那么E上的𝔖拓扑就是Eᵢ上𝔖ᵢ拓扑的乘积。 07RD
命题 12 拓扑β(F, E)是拓扑β(Fᵢ, Eᵢ)的直和。拓扑 β(E, F) 是拓扑β(Eᵢ, Fᵢ) 的乘积。 07RE
命题 13 Mackey 拓扑 τ(F, E) 是 Mackey 拓扑 τ(Fᵢ, Eᵢ) 中的直和。拓扑 τ(E, F) 是拓扑 τ(Eᵢ, Fᵢ) 的乘积。 07RF
命题 14 (i) 映射θ是同构从S = ⨁_i ∈ I Eᵢ的强（或弱）对偶到Eᵢ的强（或弱）对偶的乘积： 07RG
命题 15 — (i) 映射 φ 是同构，从Eᵢ 强对偶的拓扑直和到P = ∏_i ∈ I Eᵢ 的强对偶。 07RH
推论 — 每乘积桶装空间都是桶装。 07RI

§ 2. 。双向。反射空间

定义 1 — 令 E 为局部凸空间，E'_b 为其强对偶。局部凸空间 E'_b 的对偶称为 E 的对偶，记为 E''。 07S8
命题 1 — c_E : E → E'' 的核是 E 中 0 的闭包。如果 E 是 Hausdorff，则 c_E 是单射。 07S9
命题 2 — 假设空间 E 是天生的或桶装的。 E上的初始拓扑是E''上强拓扑的c_E下的逆像。 07SA
命题 3 — 令 E 为局部凸 Hausdorff 空间。在阶中，E的强对偶E'_b被桶装，有必要且充分的是E''的每个子集（其边界为σ(E'', E')）包含在σ(E'', E')的边界子集的闭包中E。 07SB
注令 E 为局部凸 Hausdorff 空间，E' 为对偶，E'' 为对偶。我们有E ⊂ E'' ⊂ E'^*，其中E'^*是E'的代数对偶。如果B是E的有界子集，则赋予σ(E'^*, E')的E'^*中的闭包overlineB包含在E''中：因为B在E'中的极U = B^∘为E'_b中有0的邻域，我们有overlineB ⊂ U^∘ ⊂ E''。 07SC
定义 2 — 设 E 为局部凸空间。如果从E到E''的典范映射c_E是双射的，我们说E是半自反的。 07SD
定理 1 — 局部凸 Hausdorff 空间是半自反的，当且仅当 E 的每个有界子集对于弱化的拓扑 σ(E, E') 来说相对紧凑。如果 E 是半自反的，则 E 的强对偶 E'_b 是桶状的。 ↩ 1 07SE
推论 — 令 E 为局部凸半自反空间。 E 的每个闭向量子空间 M 都是半自反的；此外，E'/M^∘（视为M的对偶）上的强拓扑是E'上的强拓扑的商。 07SF
注 1 假设 E 是半自反的。 E 的每个子集对于初始拓扑是凸的、封闭的且有界的，对于拓扑 σ(E, E') 是紧凑的（IV，p. 1，道具 1）。另一方面，无限维希尔伯特空间 E 的单位球体（使用方程 |x| = 1）对于初始拓扑是封闭且有界的，但对于弱化的拓扑不是封闭的，即使 E 是半自反的。 \ 07SG
注 2 通过IV、p. 5的注 3，我们可以重新表述th。 1 如下： Hausdorff 空间 E 是半自反的当且仅当它对于其弱化的拓扑是准完备的。如果它是半自反的，那么它对于它的初始拓扑 (IV, p. 5, 注 2) 是准完备的。 07SH
注 3 在上述推论的假设下，空间 E/M 不一定是半自反的（IV，p. 63，练习 10）。 07SI
定义 3 — 如果从 E 到 E'' 的典范映射 c_E 是从 E 到 E'_b 的强对偶的拓扑向量空间同构，则称局部凸空间 E 是自反的。 07SJ
命题 4 — 自反空间的强对偶是自反的。 07SK
定理 2 — 在阶中，局部凸 Hausdorff 空间 E 是自反的，它是桶形的，并且 E 的每个有界子集对于弱化的拓扑 σ(E, E') 来说是相对紧凑的。 07SL
注 1 令 E 为无限维实希尔伯特空间。令 F 表示空间 E，赋予弱化的拓扑。空间 E 和 F 具有相同的对偶 E'，且 E 是自反 Banach 空间 (V, p. 17)。因而，F 是半自反。 07SM
注 2 设E是自反空间，M是E的闭向量子空间。可能会发生M和E/M都不是自反空间（IV，p. 63，练习10）。 \ 对于标准化空间的情况，请参阅 prop. 7 个IV、p. 17。 \ 07SN
命题 5 — 令 E 为范数空间，E' 为对偶，E'' 为对偶。 E'' 中的（闭合）单位球是 E 中单位球 B 的闭合，对于弱拓扑 σ(E'', E')。 07SO
注 — 对于强拓扑，Banach 空间 E 在其双 E'' 中闭合，但对于弱拓扑来说是稠密的（命题 5）。 07SP
命题 6 — 在阶中，范式空间 E 是自反的，对于弱化的拓扑 σ(E, E')，E 中的单位球是紧凑的是必要且充分的。 07SQ
命题 7 — 设 E 是自反 Banach 空间，M 是 E 的闭向量子空间。则 M 和 E/M 是自反 Banach 空间。 07SR
例 — 1) 让 ℓ^∞(N) 表示标量有界序列 x = (xₙ)_n ∈ N 的 Banach 空间，其中范数 07SS
定义 4 局部凸 Hausdorff 和桶状空间，其中每个有界子集相对紧凑，称为 Montel 空间。 07ST
例 1 每个有限维 Hausdorff 空间都是 Montel 空间。规范化的空间是 Montel 空间，它是局部紧致的，因此是有限维的（I，p. 15，第 3 个）。 07SU
例 2 具有记号和假设的支柱。 III、p. 6、空间 E 中的 7 个，是 Banach 空间的感应极限，被装桶（III、p. 25）；此外，E 的每个有界子集都是相对紧凑的（III，p. 6，道具 7）。在其他字中，E是Montel空间。特别是，Gevrey 空间（III，p. 10）是Montel 空间。 \ 这对于函数细菌的空间 H(K) 由……组成在Cⁿ（… 07SV
例 3 Montel 空间 (II, p. 33) 的序列 (Eₙ) 的每个严格归纳极限 E，使得对于所有 n，Eₙ 在 Eₙ₊₁ 中闭合，是 Montel 空间；事实上，E 是 Hausdorff（II，p. 32，第 9 (i) 条），桶状（III，p. 25，cor.3），并且 E 的每个有界子集都包含在Eₙ（III，p. 5，命题 6) 因此在 Eₙ 中相对… ↩ 1 07SW
例 4 \ 令U为Rⁿ中的开集合，并令C^∞(U)为U上无限可微函数的Fréchet空间（III，p. 9）。我们将证明这是一个 Montel 空间。由于 C^∞(U) 是 Fréchet 空间，因此它是桶装的（III、p. 25，推论）。设 B 为 C^∞(U) 的有界子集，并令 K 为 U 的紧凑子集。对于每个 α ∈ Nⁿ，令 H_α, K 为限制的集合到函数… 07SX
命题 8 设 E 为 Montel 空间和 𝔗 E 上的滤波器，对于弱化的拓扑，其收敛到 E 中的点 x₀。如果 𝔗 是可数基，或包含是有界集合，则 𝔗 也会收敛到 x₀，以获得初始拓扑。 07SY
命题 9 Montel 空间的强对偶是 Montel 空间。 07SZ
命题 10 每个可度量的 Montel 空间满足可数性第一公理。 07T0
引理 1 假设度量空间 X 不是满足可数性第一公理。那么X中存在实数ε > 0和不可数子集A，使得d(x, y) ≥ ε对于A中所有不同的x, y。 07T1
引理 2 A 存在不同的元素序列 (xₘ)_m ≥ 0 由……组成，其有界于 E。 07T2
推论 — 令 E 为可度量的 Montel 空间。那么E的强对偶中存在可数稠密集合。 07T3

§ 3. 。双弗雷切特空间

命题 1 — 令 E 为局部凸空间。以下条件是等效的： 07TU
定义 1 — 如果局部凸空间 E 满足等价的 prop 条件，则称其为半桶状。 1. 07TV
命题 2 — 设 E 为局部凸可度量空间，F 为强对偶。空间 F 是完整的、半桶状的并且满足以下条件： (DB) 存在 F 的有界子集的序列 (Aₙ)_n ∈ N，使得 F 的每个有界子集都包含在 Aₙ 之一中。 07TW
推论 — 令 G 为 Hausdorff 局部凸空间，并令 (uₙ) 为从 F 到 G 的线性映射的序列，从 F 到 G 简单收敛到映射 u。然后 u 是连续的，序列 (uₙ) 在每个预紧上均匀收敛到 u F 的子集。 07TX
命题 3 — 令 E 为局部凸可度量空间，E'_b 其强对偶，G 为 Fréchet 空间。空间 L_b(E'_b ; G) 是 Fréchet 空间。 07TY
推论 — 局部凸可度量空间的双对偶是 Fréchet 空间。 07TZ
命题 4 — 令 E 为自反 Fréchet 空间。 E 的强对偶 E'_b 是 Banach 空间序列的归纳极限。 07U0
推论反身 Fréchet 空间的强对偶是天生的和桶装的。 07U1
定理 1（巴拿赫-迪厄多内） — 令 E 为局部凸可度量空间。以下拓扑重合在 E 的对偶 E' 上： 07U2
推出 1 令 E 为局部凸可度量空间。 E的每个预紧式子集都包含在序列的点的集合收敛于0的封闭凸平衡包络中。 07U3
推出 2 令 E 为 Fréchet 空间。在阶中，E的对偶E'的凸子集A对于σ(E', E)封闭，对于每个邻域U，A ∩ U^∘对于σ(E', E)封闭是必要且充分的0 在 E. 07U4
推出 3 令E为E的对偶E'的Banach空间和M向量子空间。在阶中，M对弱拓扑σ(E', E)关闭，其交与E'中的单位球（关闭）对σ(E', E)关闭是必要和充分的。 07U5
例 — 令 H 为希尔伯特空间满足可数性第一公理；让 H_σ 表示空间 H，并将弱化的拓扑分配给它。令L¹(H)为H的核自同态的Banach空间（V，p. 51，以及TS，V）； L¹(H)中的范数由|u|₁ = Tr((u^*u)^1/2)定义。我们通过将L¹(H)上的线性形式φᵤ : v ↦ Tr(uv)与每个u ∈ L(H)相关联，将可以确定L(H)与Ba… 07U6
引理 1 设E和F是两个局部凸可度量空间，u是从E'_b到F的连续线性映射。则E'_b中存在0的邻域U，其u下的像有界于F。 07U7
定理 2 令 E₁ 和 E₂ 为两个自反 Fréchet 空间，G 为局部凸 Hausdorff 空间。对于i = 1, 2，令Fᵢ为Eᵢ的强对偶。那么每个单独连续的双线性映射u : F₁ × F₂ → G都是连续的。 07U8

§ 4. 。严格 FRÉCHET 态射空间

命题 1 设E和F是两个局部凸空间，u是从E到F的连续线性映射。在阶中，u是严格的态射，满足以下条件是充分必要的： 07UR
命题 2 设E和F是两个Hausdorff局部凸空间，u是从E到F的连续线性映射。在阶中，u是严格的态射，其转置ᵗ u : F' → E'满足以下条件是充分必要的： 07US
注 — 具有记号的支柱。 2, 性质 b') 也意味着 u 是弱化拓扑的严格态射 (II, p. 49, cor. 3)。 07UT
命题 3 设E和F是两个局部凸空间，u是从E到F的连续线性映射。我们假设E是Hausdorff并且F是可度量的。为了让你成为严格的态射，ᵗ u的像在E'对弱拓扑σ(E', E)关闭是必要且充分的。 07UU
定理 1 设E和F是两个Fréchet 空间，u是从E到F的连续线性映射。以下条件是等价的： 07UV
引理 1 设 E 和 F 为两个 Hausdorff 局部凸准完备空间，u 为从 E 到 F 的连续线性映射。为了使 ᵗ u 成为从 F'_c 到 E'_c 的严格态射，像是充分必要的u 的u(E)是封闭的，并且u(E)的每个紧凑子集是E的紧凑子集的u下的像。 07UW
推论 1 第假设以下。 1、以下条件等价： (i) u 是严格单射态射； (ii) ᵗ u 是弱拓扑的严格满射态射。 (iii) ᵗ u 是满射。 07UX
推论 2 第假设以下。 1、以下条件是等价的： (i) u 是满射； (ii) u 是严格的满射态射； (iii) ᵗ u 是弱拓扑的严格内射态射。 07UY
推论 3 — 根据 th 的假设。 1、下面的性质隐含了a)到g)的性质： h) ᵗ u 是从 F'_b 到 E'_b 的严格态射。当 E 和 F 均为 Banach 空间或均为 Montel 空间时，性质 h) 等价于 th 的性质 a) 至 g)。 1. 假设ᵗ u是从F'_b到E'_b的严格态射。我们将证明ᵗ u的像H在E'_b是封闭的，由此cor的第一个断言… 07UZ
推论 4 — 假设 E 和 F 是 Banach 空间。对于ᵗ u是满射，存在实数r > 0使得| x | ≤ r. | u(x) |对于所有x ∈ E是必要且充分的。这只是cor的条件(i)和(iii)的等价的重新表述。 1. 07V0
推论 5 — 令 E 和 F 为两个 Fréchet 空间，u 为从 E 到 F 的连续线性映射。以下条件是等价的： a) u 是从 E 到 F 的同构。 b) 对于弱化拓扑，从 E 到 F，u 是同构。 c) 对于弱拓扑，ᵗ u 是从F' 到E' 的同构。 d) 对于强拓扑，ᵗ u 是从F' 到E' 的同构。 e) 从F'_c到E'_c，ᵗ u是同构。由于同构正是… 07V1
命题 4 — 令 E 和 F 为两个 Fréchet 空间，u 为从 E 到 F 的连续线性映射。以下条件是等价的： 07V2
推论 — 假设 E 和 F 是 Banach 空间。以下条件是等效的： (i) u 是满射的。 (ii) 存在实数 r 0，使得|f| ≤ r.|ᵗu(f)| 对于所有f ∈ F'。 (iii) 对于所有 y ∈ F，我们有 sup_substackf ∈ F' \\ |f ∘ u| ≤ 1 |f(y)| < + ∞。 07V3

§ 5. 。紧凑性判据

命题 1 — 令 E 为 Hausdorff 局部凸空间，且 E 的 A 子集。令 E_σ 表示带有弱化拓扑的空间 E。 a) 如果 A 的点的每个无限序列在 E 中都有极限点，则 A 在 E 中是预紧的。 b) 在阶中，A在E中相对紧，其在E中预紧且在E_σ中相对紧是充分必要的。 07VR
命题 2 设 D 为 X 的稠密子集，A 子集空间 Cₛ(X)。以下条件是等效的： (i) 在 Cₛ(X) 中相对紧凑。 (ii) 从A的元素的每个无限序列，我们可以提取收敛于Cₛ(X)的序列。 (iii) A 的元素的每个无限序列在 Cₛ(X) 中都有极限点。 (iv) 设(fₙ)_n ∈ N为A的函数属于的序列和D的点的(xₘ)_m ∈ N序列。如果迭代极限 07VS
定理 1（埃伯莱因） — 设 E 为 Hausdorff 且 E 上的拟完全局部凸空间、T 拓扑，这与 E 和 E' 之间的对偶性以及 E 的 A 子集兼容。为了使 A 对于 T 相对紧，必要且充分的是 A 的点的每个无限序列有E 中的极限点代表 T。 07VT
定理 2 (Šmulian) — 令 E 为 E 的 Fréchet 空间和 A 子集。令 E_σ 表示赋予弱化拓扑的空间 E。以下条件是等效的： 07VU
引理 1 — 设 F 是 Fréchet 空间满足可数性第一公理。 F 的每个子集 C 对于σ(F, F') 引起的拓扑 T 是紧致的，对于这个拓扑都是可度量的。 07VV
引理 2 设 X 为紧致空间。如果序列 (fₙ)_n ∈ N 有界于 C(X) 并简单地在 X 上收敛到连续的函数 f，则对于 C(X)' 中的每个 μ 都有 μ(f) = lim_n → ∞ μ(fₙ)。 07VW
命题 3 令X为紧致空间，并令A为C(X)的有界子集。为了使 A 对于简单收敛的拓扑相对紧凑，它对于 σ(C(X), C(X)') 相对紧凑是充分必要的。 07VX
推论设 S 为拓扑空间，A 为 Cᵇ(S) 有界子集。以下条件是等价的： (i) A 对于 σ(Cᵇ(S), Cᵇ(S')) 是相对紧凑的； (ii) 如果(fₙ)_n ∈ N是A的元素的序列并且(xₘ)_m ∈ N是S的点的序列，使得迭代的极限 γ = lim_m → ∞ lim_n → ∞ fₙ(xₘ), δ = lim_n → ∞ lim_m → ∞ fₙ… 07VY
定理 3（克林） 令 E 为 Hausdorff 且拟完全局部凸空间，并令 T 为 E 上的拓扑，与 E 和 E' 之间的对偶性兼容。设 A 为 E 的子集，它对于 T 是紧致的。那么 A 的闭凸平衡包络线 C 对于 T 是紧致的。 07VZ

App. 0. 附录

定理 1（马尔科夫-角谷） — 令 E 为在域 R 上的 Hausdorff 局部凸向量空间，K 为 E 的非空紧凸子集。令 Γ 为 K 上连续仿射变换的集合，成对可置换。那么 K 中存在点 a，使得 u(a) = a 对于所有 u ∈ Γ。 07WI
推论 — 令 G 为 K 上连续仿射变换的可解群。则 K 中存在点，其在 G 下不变。 07WJ
定义 1 空间 B(X; R)上的正线性形式μ，其中X是拓扑空间，其中|μ| = 1称为X上的均值。 07WK
引理 1 X 上的平均值集合 K 是 Banach 空间 E = B(X; R) 的对偶的单位球的子集，其元素是线性形式 μ，使得μ(1) = 1。它是 E' 的子集，对于 σ(E', E) 是凸且紧的。 07WL
命题 1 设X为拓扑空间，G为可解群。我们假设G对左侧的X进行运算，这样对于所有g ∈ G，从X到X的映射x ↦ g.x都是连续的。那么 X 上存在一个均值，该均值在 G 下不变。 07WM
推论设G为可解拓扑群。那么 G 上存在一个均值，它在左平移和右平移下保持不变。 07WN
引理 2 假设K包含至少有两个点。对于每个ε > 0，存在K的划分分为两个非空子集K₁和K₂，具有以下性质： 07WO
引理 3 设 G 为 K 上连续（对于 T）仿射变换的群。假设 K 非空，并且对于 K 中的所有 x、y 和 G 中的所有 g 都有 |gx - gy| = |x - y|。则 K 中存在点，它在 G 下是不变的。 07WP
定理 2（里尔-纳尔泽夫斯基） — 令 E 为赋范空间，K 为 E 的非空凸子集，对于弱化的拓扑 σ(E, E') 是紧致的。设G为K的等距仿射变换的群，则K中存在点，其在G下不变。 07WQ
推论 — 设 E 为自反 Banach 空间，赋模空间 E 的自同构的 G 群，以及 E 的 K 子集。假设 K 在 G 下非空、凸、闭、有界且稳定。则 K 中存在点，其在 G 下不变。 07WR

V. 希尔伯特空间¹（初等理论）

§ 1. 。前希尔伯特空间和希尔伯特空间

定义 1 设 E 在域 K 上为向量空间。E 上的厄米特形式（左侧）是映射 f，从 E × E 到 K 满足以下条件（对于 E 中的 x₁, x₂, x, y₁, y₂, y 和 K 中的 λ, μ）： 07X0
注 — 我们观察到，公式 (6) 对于 E × E 上的每个 sesquilinear 形式都有效（也就是说，对于每个函数 f 满足 (1) 和 (2)，但不一定是 (3)）。这个注表明，当K = C时，一个倍半线性形式f使得f(x, x)对于所有x ∈ E都是真实的厄米特：关系（6）然后给出overlinef(y, x) = f(x, y)，因为我们有每当 ε… 07X1
命题 1 如果f是E上的厄米特形式，并且E的M向量子空间，使得f(x, x) = 0对于所有x ∈ M，那么我们也有f(x, y) = 0 M 中的点 x, y 每对。 07X2
定义 2 令 E 为向量空间超过域 K。如果 f(x, x) ≥ 0 对于所有 x ∈ E，则 E 上的厄米特形式 f 被认为是正数。 07X3
命题 2 — 如果 f 是正数厄米特形式，我们有 07X4
推论 1 — 如果 f 是 E 中所有 x \in 的正数厄米特形式、集合 N，则 f(x, x) = 0 重合，且 E 中所有 x \in 的向量子空间，使得 E 中所有 y f(x, y) = 0。 07X5
推论 2 — 对于正厄米特形式来说，关系 x \neq 0 意味着 f(x, x) 0 是必要且充分的。 07X6
命题 3 — 令 f 为 E 上的正厄米特形式。Put 07X7
注 — 1) 假设 f 为正且可分离，令 x, y 为两个向量 ≠ 0。 Cauchy-Schwarz 不等式的证明表明，如果(7)的两个成员相等，则存在标量ξ使得f(x + ξ y, x + ξ y) = 0，因此x + ξ y = 0，在其他字，x和y是线性相关的；逆命题是直接的。不等式 (8) 的证明表明，仅当 x 和 y 线性相关时，等式 p(x +… 07X8
定义 3 令 E 为向量空间超过域 K。如果 E 上存在正的厄米特形式 f，使得 p(x) = f(x, x)^1/2 对于所有 x ∈ E 来说，E 上的半范数 p 被称为前希尔伯特式。 07X9
定义 4 前希尔伯特空间为集合E，结构为向量空间超过K，并且厄米特形式为正。当K是R（或K是C）时，我们说E是实数（或复数）前希尔伯特空间。 07XA
例 1 形式 (λ, μ) ↦ overlineλ μ 定义 K 上的前希尔伯特结构，据说是规范。当K被认为是前希尔伯特空间时，我们总是意味着除非，否则提到它有这个结构。 07XB
例 2 令I为R中的一个区间（有界或无界），并令E为函数（FVR，II，p. 4）在I上定义的集合，其中值在C，具有紧凑的支撑。显然，E比C弱于向量空间；设 f 为倍半线性形式 (x, y) ↦ ∫₁¹ overlinex(t)\ y(t)\ dt；直接的f是E上的正厄米特形式，因此定义在空间上是前希尔伯特结构。 07XC
例 3 设n geqslant 0为整数。我们定义前希尔伯特空间结构在空间Kⁿ，通过厄米特形式 07XD
例 4 令ℓ²（或ℓ²(N)）为K的序列x = (xₙ)_n ∈ N或元素的集合，使得∑ₙ₌₀^∞ |xₙ|²是有限的。通过厄米特形式 (x, y) ↦ ∑ₙ₌₀^∞ overlinexₙ yₙ，可以证明ℓ²是Kᴺ的向量子空间，定义是ℓ²上的前希尔伯特空间结构（cf.V、p. 18）。 07XE
例 5 令 E 为真正的前希尔伯特空间，f 相应的在E 上对称双线性形式。令E_(c)为E的向量空间复化；我们将认同E和E_(c)的子集乘以映射x ↦ 1 ⊗ x，这样E_(c)的每个元素都可以唯一地写成x₁ + ix₂和x₁, x₂ E。映射 f 扩展 E_(c) 上的厄米特形式 f_(c) 独有；我们有， 07XF
定义 5 希尔伯特空间（或希尔伯特空间）是前希尔伯特空间，它是Hausdorff且完整的。如果向量空间 E（在 K 上）上的范数是前希尔伯特式的，并且赋范的空间 E 是完备的，我们就说它是希尔伯特式的。 07XG
例 1 V、p. 4 的例 1、3、4 中定义的前希尔伯特空间是希尔伯特空间。另一方面，例 2 中定义的前希尔伯特空间既不是豪斯多夫，也不完整。希尔伯特空间的复化是希尔伯特空间。 07XH
例 2 \ 令X为豪斯多夫拓扑空间，并令μ为X的正测度。令L²(X, μ)为等价类的空间由……组成，对于μ，X上的所有平方μ可积函数与C中的值可积函数。这是一个复希尔伯特空间，其标量乘积由下式给出 07XI
例 3 \ 令 n geqslant 1 为整数，并令 U 为 Rⁿ 中的开集合。令 μ 为由 Rⁿ 上的勒贝格测度导出的 U 测度，并放入 H⁰ = L²(U, μ)。让 H¹ 表示所有函数 f ∈ H⁰ 中的空间以及以下性质；对于 1 leqslant i leqslant n，存在函数 gᵢ ∈ H^∘ 使得 07XJ
例 4 \ 设X是类Cʳ（与r geqslant 1）的纯有限维n的微分变体。 07XK
例 5 \ 设 D 为 C 中中心 0、半径为 1 的开圆盘。 Hardy 空间 H²(D) 由所有全纯函数 f : D → C 组成，其中 sup_0 < R < 1 ∫₀¹ |f(R · e(θ))|² dθ < + ∞ . 如果 f₁ 和 f₂ 属于到 H²(D)，极限 ⟨ f₁ | f₂ ⟩ = lim_R → 1 ∫₀¹ overlinef₁(R · e(… 07XL
命题 4 — 令 E 为 Hausdorff prehilbertian 空间、hatE E(GT、IX, § 3, No. 3) 的规范空间完成。标量乘积 (x, y) ↦ ⟨ x|y ⟩ 扩展通过连续性到正值并在 hatE 上分离厄米特形式，和定义希尔伯特空间结构在 hatE。 07XM
推论 — 令 V 在 K 上为向量空间，且 f 在 V 上为正厄米特形式。 a) 对于 V 中的 x、y，存在希尔伯特空间 E 和线性映射 u : V → E 使得 f(x, y) = ⟨ u(x)|u(y) ⟩ ，并且使得 u(V) 在 E 中稠密。 b) 如果两个对 (Eᵢ, uᵢ) 满足条件类似于a)，则存在唯一的同构 φ 从希尔伯特空间 E₁ 到希尔伯特空… 07XN
例 7 令 G 为群（其中单位元 1）和 π 同态，从 G 到复数希尔伯特空间 E 的自同构的群；我们说 π 是 E 中 G 的酉表示。令 a ∈ E ；我们把 07XO
命题 5 — 设 E 为前希尔伯特空间。令d为实数> 0，δ实数，使得0 leqslant δ leqslant d。令B和B'为由| x | < d定义的E中的子集， 07XP
定理 1 设 E 为前希尔伯特空间，H 为 E 的非空凸子集，使得 H 为 Hausdorff 且 E 的完全一致子空间。对于每个 x ∈ E，H 中存在唯一的点 p_H(x)，使得 |x - p_H(x)| = inf_y ∈ H |x - y|。 H 的元素 p_H(x) 也是 H 满足关系的唯一元素 a Re ⟨ x - a | y - a ⟩ ≤ 0 对于所… 07XQ
推论 1 令I为由过滤器𝔉引导的集合，并令(yᵢ)_i ∈ I为H的点族。让x ∈ E。假设我们有 lim_i, 𝔉 | x - yᵢ | = inf_z ∈ H | x - z | . 然后相对于过滤器𝔉，yᵢ趋向于p_H(x)。 07XR
推论 2 对于E中的每个x, y，我们有 | p_H(x) - p_H(y) | ≤ | x - y | . 特别是，映射p_H从E到H是连续的。 07XS
命题 6 令E为前希尔伯特空间，并令Φ为非空Hausdorff的非空有向递减集合和E的完全凸子集。对于E的每个x ∈ E和每个子集H，放入d(x, H) = inf_z ∈ H | x - z |。在阶中，集合H属于到Φ的交M非空，E中存在x₀使得sup_H ∈ Φ d(x₀, H)有限是充分必要的。对于每 x ∈ E 我们有 p_M(x) = lim_H ∈ Φ p… 07XT
命题 7 设 E 为 Hausdorff prehilbertian 空间，并令 Ψ 为 E 的非空、凸、完备子集的非空有向递增集合。放置 A = ⋃_H ∈ Ψ H 并假设 A 的闭包 N 是完备的。那么 N 是凸的，我们有 p_N(x) = lim_H ∈ Ψ p_H(x) for all x ∈ E. 07XU
定理 2 设 E 为 E 的前希尔伯特空间和 M 向量子空间，这是 Hausdorff 且完备的。那么 E 是 M 和与 M 正交的 M^∘ 子空间的拓扑直和。从 E 到 M 与分解 E = M ⊕ M^∘ 关联的投影算子是 th 中定义的从 E 到 M 的投影 p_M。 1（V，p. 10）。 07XV
推论设 E 为豪斯多夫预希尔伯特空间，M 为 E 的有限维向量子空间。则 E 为 M 和 M^∘ 的直和。 07XW
命题 8 — 令 E 为希尔伯特空间，M 为 E 的闭向量子空间，I 为非空有序有向集合，(Mᵢ)_i ∈ I E 的闭向量子空间系列。我们假设映射 i ↦ Mᵢ是递增，M是⋃_i ∈ I Mᵢ的闭包，或者映射i ↦ Mᵢ是递减，并且M = ⋂_i ∈ I Mᵢ。然后对所有 x ∈ E 进行p_M(x) = lim_i ∈ I p_Mᵢ(x)。 07XX
命题 9 — 令 E 为希尔伯特空间，M、N 为 E 的两个闭向量子空间。 07XY
注 — 令 E 为希尔伯特空间和M, N E 的两个闭向量子空间。关系 M ⊂ N 等价于 M 和 N^∘ 的正交性，即通过 prop 与关系 p_M p_N^∘ = 0 正交。 9、c)。因为我们有 p_N^∘ = 1 - p_N，所以结论关系 M ⊂ N 和 p_M = p_M p_N 是等价的（《三个垂直线定理》，cf. 图 3）。 07XZ
定理 3 令 E 为希尔伯特空间。对于每个x ∈ E，令x^*为E上的连续线性形式y ↦ ⟨ x | y ⟩；映射 x ↦ x^* 是一个双射半线性（对于自同构 ξ ↦ barξ）映射，从 E 到其对偶 E'，以及从赋范空间 E 到赋范的等距空间E'. 07Y0
推论 1 在阶中，希尔伯特空间E的点的家庭(xᵢ)_i ∈ I是完整的，对于y ∈ E和所有指标i ∈ I来说，关系⟨ xᵢ|y ⟩ = 0是充分必要的y = 0. 07Y1
推论 2 令 E 和 F 为两个希尔伯特空间。对于 u ∈ L(E; F)、x ∈ E 和 y ∈ F，输入 07Y2
定理 4 在希尔伯特空间 E 中，单位球是弱紧致的。 07Y3
命题 10 如果在希尔伯空间 E 中，滤波器 𝔉 弱收敛到 x₀，而且如果lim_𝔉 |x| = |x₀|，则对于 E 的初始拓扑，𝔉 收敛到 x₀。 07Y4
注 — 如果 E 是 Hausdorff prehilbertian 空间且hatE E 的希尔伯特空间补全，我们知道 (III, p. 16) E 的对偶 E' 可以与 hatE 的对偶识别；然后从 th 得出。 3 (V, p. 15) E 上的每个连续线性形式都可以以独特的方式写为 x ↦ ⟨ a|x ⟩，其中 a ∈ hatE。 07Y5

§ 2. 。希尔伯特矩阵中的正交族空间

命题 1 令 (Eᵢ)_i ∈ I 为所有族 x = (xᵢ)_i ∈ I 的希尔伯特空间、P 乘积向量空间 ∏_i ∈ I Eᵢ 和 P 由……组成的 E 子集，使得 ∑_i ∈ I |xᵢ|² 是有限的。 07Z7
定义 1 让(Eᵢ)_i ∈ I成为希尔伯特空间的家族。希尔伯特空间 E 在道具中定义。 1 被称为族 (Eᵢ)_i ∈ I 的外部希尔伯特和，写为 ⨁_i ∈ I Eᵢ 或 ⨁_i ∈ I Eᵢ^1。 07Z8
例 — 令 E 为空间和 I 集合 of 指标的希尔伯特空间。令ℓ²_E(I)表示族(Eᵢ)_i ∈ I的外部希尔伯特和，其中Eᵢ = E代表所有i ∈ I。在其他字中，ℓ²_E(I)是E的元素的所有族x = (xᵢ)_i ∈ I的空间，使得∑_i ∈ I |xᵢ|² < +∞，赋予标量乘积⟨ x|y ⟩ = ∑_i ∈ I ⟨ xᵢ|yᵢ ⟩（平方的可求和族空… 07Z9
定义 2 希尔伯特空间 E 被认为是一个族 (Eᵢ)_i ∈ I 的希尔伯特和 E 的封闭向量子空间，当 : 07ZA
定理 1 — 令 E 为希尔伯特空间，它是 E 的封闭向量子空间的族 (Eᵢ)_i ∈ I 的希尔伯特和。从 E 到外部希尔伯特和，存在同构 f，并且只有一个。 (Eᵢ)族的⨁_i ∈ I Eᵢ = F，使得对于所有i ∈ I，f到E的限制是从Eᵢ到F的典范映射fᵢ。 07ZB
推论 1 — 令 E 为希尔伯特空间，它是 E 的闭向量子空间族(Eᵢ)_i ∈ I 的希尔伯特和；对于所有i ∈ I，令p_Eᵢ为从E到Eᵢ的正射投影（V，p. 13）。 07ZC
推论 2 — 令 E 为 Hausdorff prehilbertian 空间, (Eᵢ)_i ∈ I E 的完整向量子空间族，使得对于 I, 子空间中不同指标 i, k 的每个对 Eᵢ 和 Eₖ 正交。令V为由Eᵢ的并生成的E的闭向量子空间。对于每个 i ∈ I，令 p_Eᵢ 为从 E 到 Eᵢ 的正射投影。让x ∈ E。 07ZD
注令 E 为 Hausdorff prehilbertian 空间，(Vᵢ)_i ∈ I E 的向量子空间族，使得对于不同指标 i, k、子空间 Vᵢ 和 Vₖ 的每个对都是正交的。 Then, for every k ∈ I, the intersection of Vₖ and of the closed vector subspace Wₖ genera… 07ZE
命题 2 — 令 E 为希尔伯特空间且 (V_λ)_λ ∈ L E 的闭向量子空间族；对于每个λ ∈ L，令(W_λ μ)_μ ∈ M_λ是V_λ的闭族向量子空间，使得V_λ是该族的并生成的闭族向量子空间。在阶中，E是族(W_λ μ)_λ ∈ L, μ ∈ M_λ的希尔伯特和，E是族(V_λ)_λ ∈ L的希尔伯特和是充分必要的，并且对于每个λ ∈ L，V_λ是族和的… 07ZF
定义 3 在前希尔伯特空间中，如果 ei 和 ek 对于所有 i ≠ k 都是正交的，则向量的族 (ei){i∈I} 被称为正交，并且如果对于所有 i ∈ I 在加法 |eᵢ| = 1 中，则被称为正交。 07ZG
命题 3 在 Hausdorff prehilbertian 空间 E 中，每个正交族在拓扑上都是独立的。 07ZH
命题 4 令 E 为豪斯多夫前希尔伯特空间，(ei){i∈I}为 E 中的正交族，V 由 ei 生成的 E 的闭向量子空间。 07ZI
命题 5 — 令 (eᵢ)_i ∈ I 为 Hausdorff prehilbertian 空间 E 中的正交族。以下属性是等效的： a) 家庭总人数(eᵢ)； b) 对于每个x ∈ E，族⟨ eᵢ | x ⟩ · eᵢ在E中可求和，并且我们有x = ∑_i ∈ I ⟨ eᵢ | x ⟩ · eᵢ； c) 对于每 x ∈ E， 07ZJ
定义 4 — Hausdorff prehilbertian 空间 E 中的正交和全族称为 E 的正交基。 07ZK
例令 E 为 R 上所有复值连续函数的空间，使得 x ∈ R 和 n ∈ Z 为 f(x + n) = f(x)。我们将标量乘积分配给 E，定义为 07ZL
定理 2 对于希尔伯特空间 E 中的每个正交集合 L，都存在 E 包含 L 的正交基 B。 07ZM
推论 1 在每个希尔伯特空间中，都存在一个正交基。 07ZN
推论 2 每个希尔伯特空间同构于空间ℓ²(I)。 07ZO
命题 6 设 E 为 Hausdorff prehilbertian 空间，并令 (aₙ)_n ∈ I（I N 的间隔，原点为 1）为 E 的向量可数（有限或非）独立族。在 E 中存在一个正交规范族 (eₙ)_n ∈ I，且只有一个，具有以下性质：属性： 07ZP
推论在每个 Hausdorff prehilbertian 空间 E 满足可数性第一公理中，都存在可数正交基。 07ZQ
例令I为I上实值连续函数的R和E向量空间的区间(-1, 1)。令x表示从I到R的典范嵌入，视为E的元素。根据Stone-Weierstrass，定理序列(xⁿ)_n ∈ N是均匀收敛GT的拓扑在E中的总和， X, § 4, No. 2）。将 E 视为实数 Hausdorff prehilbertian 空间，其中标量乘积由下式给出 ⟨ f | g ⟩ = ∫… 07ZR
命题 7 在希尔伯特空间 E 中，两个正交基是等价的。 07ZS
推论 1 给定希尔伯特空间 E 中的两个正交基，存在 E 的自同构将第一个基转换为第二个。 07ZT
推论 2 — 在阶希尔伯空间 ℓ²(I) 和 ℓ²(J) 同构中，I 和 J 等价是充分必要的。 07ZU

§ 3. 。张量积希尔伯特空间

命题 1 — E₁ ⊗ E₂ 上的倍半线性形式 Φ 为厄米特并且为正，因此将前希尔伯特空间的结构分配给 E₁ ⊗ E₂。如果 E₁ 和 E₂ 是 Hausdorff，则该空间是 Hausdorff。 080B
命题 2 对于i = 1, 2，令Eᵢ和Fᵢ为两个Hausdorff prehilbertian空间，并令uᵢ ∈ L(Eᵢ; Fᵢ)。线性映射 u₁ ⊗ u₂ 从 E₁ ⊗₂ E₂ 到 F₁ ⊗₂ F₂ 是连续的，我们有 |u₁ ⊗ u₂| = |u₁| · |u₂|. 080C
定义 1 令 E₁, ..., Eₙ 为希尔伯特空间。豪斯多夫前希尔伯特空间 E₁ hat⊗₂ ... hat⊗₂ Eₙ的完成被称为Eᵢ的希尔伯特张量积，并用E₁ hat⊗₂ ... hat⊗₂ Eₙ（或hat⊗_2 atop 1 ≤ i ≤ n Eᵢ）表示。 080D
注令 E₁, ..., Eₙ 为豪斯多夫前希尔伯特空间，hatE₁, ..., hatEₙ 为它们各自的完成。那么E₁ ⊗₂ ... ⊗₂ Eₙ是hatE₁ ⊗₂ ... ⊗₂ hatEₙ的前希尔伯特子空间。由于映射(x₁, ..., xₙ) ↦ x₁ ⊗ ... ⊗ xₙ从hatE₁ × ... × hatEₙ到hatE₁ ⊗₂ ... ⊗₂ hatEₙ是连… 080E
命题 3 令 E₁, ..., Eₙ 为希尔伯特空间。假设1 ≤ i ≤ n空间Eᵢ是封闭向量子空间的族(E_i,α)_α ∈ A(i)的希尔伯特和。那么E₁ ⊗₂ ... ⊗₂ Eₙ是子空间E_1,α₁ hat⊗₂ ... hat⊗₂ E_n,αₙ族的希尔伯特和，(α₁, ..., αₙ)范围超过A(1) × ... × A(n)。 080F
推论 1 — 对于 1 ≤ i ≤ n，令 (e_i,α)_α ∈ A(i) 为 Eᵢ 的正交基。那么当(α₁, …, αₙ)范围超过A(1) × ⋯ × A(n)时，向量e_1,α₁ ⊗ … ⊗ e_n,αₙ族是E₁ hat⊗₂ … hat⊗₂ Eₙ的正交基。 080G
推论 2 — 令 E₁ 和 E₂ 为两个希尔伯特空间，且 (eᵢ)_i ∈ I 为 E₁ 的正交基。令(yᵢ)_i ∈ I是E₂的元素的族，使得∑_i ∈ I | yᵢ | ² < + ∞。那么族(eᵢ ⊗ yᵢ)_i ∈ I可在E₁ hat⊗₂ E₂中求和；此外，E₁ ⊗ E₂的每个元素都可以用∑_i ∈ I | yᵢ | ² < + ∞唯一地写成形式∑_i ∈ I… 080H
例 1 由科。 1、空间ℓ²(I) hat⊗₂ ℓ²(J)与ℓ²(I × J)自然同构，x = (xᵢ)_i ∈ I和y = (yⱼ)_j ∈ J的张量积x ⊗ y可以与(xᵢ yⱼ)_i ∈ I, j ∈ J族识别。同样，通过cor。 2、ℓ²(I) hat⊗₂ E可以与ℓ²_E(I)等价，这样在希尔伯特空间E中，每一个y就有(xᵢ)_i ∈ I ⊗ y = (x… 080I
例 2 \ 令X为Hausdorff拓扑空间，且μ为X的正测度。令 E 为希尔伯特空间。我们以规范的方式将可以确定L²(X, μ) hat⊗₂ E与L²_E(X, μ)进行计算：如果f是X上平方可积标量函数f的类，并且如果a 属于到 E，则 f ⊗ a 是函数 x ↦ f(x).a 中的类，值位于 E 中。 080J
命题 4 令 (eᵢ)_i ∈ I 为希尔伯特空间 E 的正交基。对于N⁽ᴵ⁾中的每个α，输入 080K
推论 — Suppose that the hilbertian 空间 E is 直和 of the orthogonal 子空间 M and N. 典范同构 g from S(M) ⊗ S(N) onto S(E) (A, III, § 6, No. 6) 扩展 uniquely to a hilbertian 空间从hatS(M) hat⊗₂ hatS(N)到… 080L
例 1 令d ≥ 1为整数，ω为Rᵈ上的正函数，可相对于勒贝格测度μ局部可积。令E为希尔伯特空间L²(Rᵈ, ω.μ)，并令S = S(E)。然后S可以用所有序列f = (fₙ)_n ≥ 0中的空间来识别，其中每个fₙ是(Rᵈ)ⁿ上的函数，可以相对于勒贝格测度μ ⊗ ... ⊗ μ（n）进行测量因子）和(Rᵈ)ⁿ中n因子的置换下的不变，并且是这样的 080M
例 2 令X为豪斯多夫拓扑空间，μ为X上范数1的正测度，E为真实希尔伯特空间L²_R(X, μ)的希尔伯特子空间。如果满足以下等效的条件，我们就说 E 是高斯空间： 080N
例 — 用V、p. 32的例 1 记号，我们可测量所有序列(fₙ)_n ≥ 0的可以确定希尔伯空间hatΛ(E)和集合函数，其中（22）中定义的数|f|是有限的，并且其中每个函数fₙ是反对称，即满足关系 080O
命题 5 让 (eᵢ)_i ∈ I 成为希尔伯特空间 E 的正交基。赋予 I 具有全序结构。那么所有元素 e_i₁ ∧ ... ∧ e_iₙ 对于 i₁ < ... < iₙ 的集合是 hatΛⁿ(E) 的正交基。 080P
推论假设希尔伯特空间 E 是两个正交子空间 M 和 N的直和。典范同构 g 从 Λ(M) ⊗ Λ(N) 到 Λ(E) (A, III, § 7, No. 7) 扩展以独特的方式实现希尔伯特空间同构从hatΛ(M) hat⊗₂ hatΛ(N)到hatΛ(E)。 080Q
命题 6 设 E 为希尔伯特空间。我们有 080R
推论 1 a) 设 x₁, …, xₙ 为希尔伯特空间 E 的元素。我们有 080S
推论 2 — 设 (aᵢⱼ)_1 ≤ i,j ≤ n 为厄米特矩阵，复数为元素，行列式为 D。假设不等式 080T
推论 3（《哈达玛不等式》） — 设 (aᵢⱼ)_1 ≤ i, j ≤ n 为矩阵，且具有复数元素，且行列式为 D。 080U

§ 4. 。一些类希尔伯特空间运算符

命题 1 — 令 E 和 F 为两个希尔伯特空间。对于每个映射 u ∈ L(E; F)，都存在唯一映射 u^* ∈ L(F; E) 使得 080X
定义 1 — 令 E 和 F 为两个希尔伯特空间。对于每个连续线性映射u : E → F，由公式(1)定义的从F到E的连续线性映射称为u的伴随，记为u^*。 080Y
命题 2 对于每u ∈ L(E ; F)，我们有 080Z
注 1 假设希尔伯特空间 E 不约化到 0。我们认同 L(K;E) 与 E 映射 u ↦ u(1)；在其他字中，E的向量 x从K到E用映射λ ↦ λ.x标识。那么x的伴随物是由x^*(y) = ⟨ x|y ⟩给出的映射x^*:E → K。在其他字中，x ↦ x^* 是从 E 到其对偶 (V, p. 15) 的规范半线性映射。 0810
命题 3 — 令 E 和 F 为两个希尔伯特空间和 u ∈ L(E;F)。以下条件是等效的： 0811
注 2 — 关系 u^*u = 1_E 并不能表征希尔伯特空间 E 的所有自同构。对于例，对于n ≥ 1和u(x)₀ = 0，让E = ℓ²(N)和u由u(xₙ) = xₙ₋₁定义。对于所有 x ∈ E，我们有 |u(x)| = |x|，即 u^*u = 1_E，但 u 不是满射的。 0812
注 3 — 伴随u^*的定义 (1) 也可以写成 ⟨ y|u(x)⟩ = ⟨ u^*(y)|x⟩ , 或者，通过V，p. 15，作为 ⟨ u(x), y^*⟩ = ⟨ x, (u^*(y))^*⟩ . 但我们也有⟨ u(x), y^*⟩ = ⟨ x, ᵗ u(y^*)⟩，因此我们可以表达项中转置的伴随， (u^*(y))^* = ᵗ u(y^*) . 0813
定义 2 令E和F为两个希尔伯特空间和u ∈ L(E; F)。 E中u的核正交被称为u的初始子空间，F中u的像的闭包称为u的最终子空间。从E（或F）到u的初始（或最终）子空间的正射投影称为u的初始（或最终）正射投影。 0814
命题 4 (i) u^*的初始（或最终）子空间等于u的最终（或初始）子空间。 0815
定义 3 令E和F为两个希尔伯特空间。如果 |u(x)| = |x| 对于所有 x 属于到 u 的初始子空间，映射 u ∈ L(E; F) 被认为是部分等距的。 0816
命题 5 设u ∈ L(E; F)，P为其初始子空间，Q为最终子空间。让p（或q）表示u的初始（或最终）正射投影。假设 u 是部分等轴测的。 0817
命题 6 对于每个u ∈ L(E; F)，以下条件是等效的： 0818
定义 4 令E为希尔伯特空间和u ∈ L(E)。 We say that u is normal if it commutes with its adjoint u^*. 0819
命题 7 为了使u ∈ L(E)正常，|u(x)| = |u^*(x)|对于所有x ∈ E是必要且充分的。 ↩ 1 081A
命题 8 假设u ∈ L(E)是正常的。令N为u的核和M在E中N的正交；令m和n是两个正整数，使得m + n ≥ 1。 Then N is the kernel of uᵐ(u^*)ⁿ and M is both the initial and the final subspace of uᵐ(u^*)ⁿ. 特别地，M既是u和u^*的初始和最终子空间，并且在u和u^… 081B
推论让λ ∈ K。以下子空间与 E 相等： a) u相对于λ的特征值子空间； b) u^*相对于overlineλ的特征值子空间； 081C
定义 5 设 E 为希尔伯特空间，并设u ∈ L(E)。我们说如果 u^* = u，你就是厄米特。 081D
命题 9 对于 E 的每个厄米特自同态 u，我们有 081E
命题 10 — 假设 K 为 C。让u ∈ L(E)。那么E的厄米特自同态存在唯一的对(h₁, h₂)，使得u = h₁ + ih₂。 u正常的阶中，h₁与h₂通勤是充分必要的。 081F
命题 11 — 让p ∈ L(E)。在阶中，p 是从 E 到 E 的闭向量子空间的正射投影，p² = p = p^* 是充分必要的。 081G
定义 6 — 令 E 为希尔伯特空间和 u ∈ L(E)。我们说 u 是正数，如果 u 是厄米特并且对于所有 x ∈ E 都是 ⟨ x|u(x) ⟩ ≥ 0，则写为 u ≥ 0。 081H
命题 12 — 令 u 为 L(E) 的厄米特（分别为正）元素，并令 v 为从 E 到希尔伯特空间 F 的连续线性映射。则 vuv^* 为厄米特（分别为正）元素 L(F)。 081I
注 1 对于L(E)中的每个厄米特u，放入m(u) = inf_|x|=1 ⟨ x|u(x)⟩，M(u) = sup_|x|=1 ⟨ x|u(x)⟩。如果E不只是0，m(u)和M(u)是有限的；此外，M(u)是最小的实数λ使得u ≤ λ · 1_E和m(u)最大的实数μ使得u ≥ μ · 1_E。显然我们有m(-u) = -M(u)和M(-u) = -m(u)。很明… ↩ 1 081J
注 2 令M和N为E的两个闭向量子空间，以及p_M（或p_N）从E到M（或N）的正射投影仪。那么M ⊂ N当且仅当p_M ≤ p_N。因为，我们有 p_M^* p_M = p_M，因此 |p_M(x)|² = ⟨ p_M(x)|p_M(x)⟩ = ⟨ x|p_M^* p_M(x)⟩ = ⟨ x|p_M(x)⟩ 对于所有x ∈ E。因此，关系 p_M ≤ p_N 相当… 081K
命题 13 — 令 H(E) 为希尔伯特空间 E 的所有连续厄米特自同态的集合。令F为非空、有向递增且H(E)有界子集。 081L
引理 1 从E到F的所有有限秩连续线性映射中，存在从向量空间F ⊗ E'到空间L_f(E; F)的同构θ，其特征为a ∈ E, b ∈ F为θ(b ⊗ a^*) = ba^*。 081M
引理 2 令 (eᵢ)_i ∈ I 为 E 的正交基。那么 081N
引理 3 令 u 为 E 的连续且正的自同态，以及 E 上所有有限秩正射投影的 F 集合。那么对于 E 的每个正交法线基 (eᵢ)_i ∈ I，我们有（在 R₊ 中）等式 081O
定义 7 设 u 为希尔伯特空间 E 的连续正自同态。设 Tr(u) = sup_p ∈ F τ(p u p) （overlineR₊中的上界），其中F是E上所有有限秩正射投影仪的集合。我们说Tr(u)是u的迹。 081P
定义 8 — 令 E 为复希尔伯特空间。 We write L¹(E) for the vector subspace of L(E) generated by all continuous, positive endomorphisms of E with finite trace. 081Q
命题 14 — 令E₁, ..., Eₙ为希尔伯特空间、E = E₁ hat⊗₂ ... hat⊗₂ Eₙ和uᵢ，对于1 ≤ i ≤ n，Eᵢ的连续自同态。如果 u₁, ..., uₙ 为正，则 u = u₁ hat⊗₂ ... hat⊗₂ uₙ 也为正，并且 081R
注 2 — 令E为希尔伯特空间，它是希尔伯特子空间的族(Eᵢ)_i ∈ I的希尔伯特和。令u为L(E)的元素，使得u(Eᵢ) ⊂ Eᵢ对于所有i ∈ I；令uᵢ为L(Eᵢ)的元素，其中重合与u在Eᵢ上。那么当u为正时Tr(u) = ∑_i ∈ I Tr(uᵢ)，或者属于到L¹(E)；这个关系源自V的公式(25)，p. 50应用于E的正交基，它是每个Eᵢ的正交基的并。 081S
定义 9 令E和F为两个希尔伯特空间。如果 E 的正自同态 u^*u 的迹是有限的，则从 E 到 F 的连续线性映射 u 称为 Hilbert-Schmidt 映射。从 E 到 F 的所有 Hilbert-Schmidt 映射的集合表示为 L²(E, F)。 081T
定理 1 设 E 和 F 为两个希尔伯特空间。 (i) 集合L²(E, F)是L(E; F)的向量子空间，u ↦ |u|₂是希尔伯范数（V，p. 6）在L²(E; F)上。 (ii) 同构θ从F ⊗ E'到L_f(E; F)，其特征在于从F ⊗₂ E'到L²(E; F)的θ(y ⊗ x^*) = yx^*扩展到同构hatθ。特别是，L_f(E; F)在L²(E; F)… 081U
例 1 令I和J为两个集合。由上面给出的证明，在阶中，从ℓ²(I)到ℓ²(J)的映射u是希尔伯特-施密特映射，在ℓ²(J × I)中存在矩阵(aⱼᵢ)是充分必要的，使得u(ξ)ⱼ = ∑_i ∈ I aⱼᵢ ξᵢ适用于ℓ²(I)中的所有ξ = (ξᵢ)。 081V
例 2 \ 令X和Y为两个Hausdorff拓扑空间，分别赋予正测度μ和ν。 We can show that the Hilbert-Schmidt mappings from L²(X) into L²(Y) correspond bijectively to classes of square integrable functions on Y × X; to… 081W
注 1 假设K = C。设u和v在L²(E; F)中。我们有关系 4 u^* v = ∑_ε⁴ = 1 overlineε(u + ε v)^* (u + ε v), 因此u^* v属于到L¹(E)。希尔伯特空间 L²(E; F) 中的标量乘积由下式给出 ⟨ u | v ⟩ = Tr(u^* v) 从L²(E; F)上的公式定义厄米特形式开始，我们得到⟨ u | u… 081X
注 2 假设K = R。我们留给读者验证公式（40）和（41）再次有效，并证明L²(E; F)可以通过双线性形式(u, v) ↦ Tr(uv)与L²(F; E)的对偶进行识别。 081Y
定理 2 设E和F是两个希尔伯特空间，u是从E到F的希尔伯特-施密特映射。存在E的正交基(eᵢ)_i ∈ I，它被u变换成F中的正交族。 081Z
引理 4 函数Q : B → R是连续的。 0820
引理 5 设E₁为E的闭向量子空间，在u^*u下稳定。如果E₁ ≠ 0，则E₁ ∩ P中存在范数 1 的向量。 0821
推论 1 — 令 v 为连续正数自同态，具有希尔伯特空间 E 的有限迹。存在 E 的正交基 (eᵢ)_i ∈ I 和正实数 (λᵢ)_i ∈ I 的可求和族，使得对于所有 i ∈ I 都有 v(eᵢ) = λᵢ eᵢ。 0822
推论 2 设 E 为希尔伯特空间。然后L¹(E) ⊂ L²(E). 0823
推论 3 令 v 为具有有限迹的希尔伯特空间 E 的连续正自同态。 E 存在正 Hilbert-Schmidt 自同态 w，使得 v = w² 并且 v 与 w 交换。 0824
注 — 与记号的。 2、令J为所有i ∈ I中的集合，使得u(eᵢ) ≠ 0。对于所有i ∈ J，令λᵢ = | u(eᵢ) |和fᵢ = λᵢ⁻¹ u(eᵢ)。那么(eᵢ)_i ∈ J（或(fᵢ)_i ∈ J）是u的初始（或最终）子空间的正交基，我们对所有i ∈ J有u(eᵢ) = λᵢ fᵢ，并且∑_i ∈ J λᵢ² = | u |₂²是有限的。 0825
注 — 1) 对于 E 的每个子空间 F，令 Q_F 表示 Q 到 F 的限制和 H 的 H_F。我们有 Tr(Q_F/H_F) ≤ Tr(Q/H) 和 Tr(Q/H) 是所有数的集合的上界 Tr(Q_F/H_F)，其中F涵盖E的所有有限维向量子空间族。 0826
命题 15 假设E上存在真正的希尔伯特空间结构，使得H(x) = |x|²对于所有x ∈ E。为了使Tr(Q/H)是有限的，存在一个连续且正的E的自同态u且具有有限迹是充分必要的，使得Q(x) = ⟨ x|u(x)⟩对于所有x ∈ E；这个自同态 u 是独一无二的，我们有 0827
注 3 令E和F是两个希尔伯特空间和v，从E到F是线性的，不一定是连续的映射。让H(x) = |x|²和Q(x) = |v(x)|²代表所有x ∈ E。它来自道具。 15 v 是 Hilbert-Schmidt 映射当且仅当 Tr(Q/H) 是有限的，然后Tr(Q/H) = |v|₂²。 0828
注 4 假设 E 是有限维的。当二次形式 H 可逆时，道具。 15 适用。令(e₁, …, eₙ)为E的基。把qᵢⱼ = ⟨ eᵢ|eⱼ⟩_Q和hᵢⱼ = ⟨ eᵢ|eⱼ⟩_H引入矩阵q = (qᵢⱼ)和h = (hᵢⱼ)。令 u 为 E 的自同态，使得 Q(x) = ⟨ x|u(x)⟩_H 对于所有 x ∈ E。我们有 0829