Livre A · Français

Index des énoncés

Les 3247 énoncés de Algèbre, par chapitre et paragraphe. Choisissez un type, filtrez par un mot, ou mettez les plus cités en tête.

Les plus cités d’abord

I. Structures algébriques

§ 1. Lois de composition ; associativité ; commutativité

Définition 1 Soit E un ensemble. On appelle loi de composition sur E une application f de E × E dans E. La valeur f(x, y) de f pour un couple (x, y) ∈ E × E s’appelle le composé de x et de y po… ↩ 1 055B
Exemple 1 Les applications (X, Y) ↦ X ∪ Y et (X, Y) ↦ X ∩ Y sont des lois de composition sur l’ensemble des parties d’un ensemble E. 055C
Exemple 2 Dans l’ensemble N des entiers naturels, l’addition, la multiplication, l’exponentiation sont des lois de composition (les composés de x ∈ N et de y ∈ N pour ces lois se notant resp… 0DDH
Exemple 3 Soit E un ensemble ; l’application (X, Y) ↦ X ∘ Y est une loi de composition sur l’ensemble des parties de E × E (E, II, p. 11, déf. 6) ; l’application (f, g) ↦ f ∘ g est une loi d… 0DDI
Exemple 4 Soit E un ensemble ordonné réticulé (E, III, p. 13) ; si on désigne par sup(x, y) la borne supérieure de l’ensemble {x, y}, l’application (x, y) ↦ sup(x, y) est une loi de composit… 0DDJ
Exemple 5 Soit (Eᵢ)_i ∈ I une famille de magmas. Notons τᵢ la loi de composition sur Eᵢ. L’application ((xᵢ), (yᵢ)) ↦ ((xᵢ τᵢ yᵢ)) est une loi de composition sur le produit E = ∏_i ∈ I Eᵢ, a… 0DDK
Définition 2 Soit E un magma. Notons τ sa loi de composition. La loi de composition (x, y) ↦ y top x sur E est dite opposée à la précédente. L’ensemble E, muni de cette loi, est appelé magma op… 055D
Définition 3 On appelle homomorphisme, ou morphisme, de E dans E′ une application f de E dans E′ telle que la relation (1) soit vérifiée pour tout couple (x, y) ∈ E × E; lorsque E = E', on dit… ↩ 1 055E
Définition 4 Soit (x_α)_α ∈ A une séquence d’éléments d’un magma E dont l’ensemble d’indices A est non vide. On appelle composé (pour la loi top) de la séquence (x_α)_α ∈ A, et on note ∏_α ∈ A… ↩ 1 055F
Remarque On notera qu’il y a un certain arbitraire dans la définition du composé d’une séquence; la récurrence que nous avons introduite procède « de droite à gauche ». Si on procédait « de… 055G
Définition 5 Une loi de composition (x, y) ↦ x τ y sur un ensemble E est dite associative si, quels que soient les éléments x, y, z de E, on a (x τ y) τ z = x τ (y τ z). Un magma dont la loi es… 055H
Exemple 1 L’addition et la multiplication des entiers naturels sont des lois de composition associatives sur N (E, III, p. 27, corollaire). 055I
Exemple 2 Les lois citées aux exemples 1), 3) et 4) de I, p. 1–2 sont associatives. 0DDL
Théorème 1 (Théorème d’associativité) Soit E un magma associatif dont la loi est notée τ. Soit A un ensemble fini non vide, totalement ordonné, réunion d’une séquence de parties non vides (Bᵢ)_i ∈ I telles que les rela… ↩ 5 055J
Définition 6 Une partie A d’un ensemble E est dite stable pour une loi de composition τ sur E si le composé de deux éléments de A appartient à A. L’application (x, y) ↦ x τ y de A × A dans A s’… 055K
Proposition 1 Soient E et F deux magmas, et f un homomorphisme de E dans F. ↩ 2 055L
Proposition 2 Soient E un magma associatif et X une partie de E. Soit X' l’ensemble des x₁ top x₂ top ⋯ top xₙ, où n geqslant 1 et où xᵢ ∈ X pour 1 leqslant i leqslant n. La partie stable engend… 055M
Exemple 1 Dans l’ensemble N des entiers naturels, la partie stable pour l’addition engendrée par {1} est l’ensemble des entiers geqslant 1; pour la multiplication, l’ensemble {1} est stable. 055N
Exemple 2 Etant donnée une loi top sur un ensemble E, pour qu’une partie h réduite à un seul élément soit stable pour la loi top, il faut et il suffit que h top h = h; on dit alors que h est… 0DDM
Exemple 3 Pour une loi associative top sur un ensemble E, la partie stable engendrée par un ensemble a réduit à un seul élément est l’ensemble des éléments topⁿ a, où n parcourt l’ensemble d… 0DDN
Définition 7 Soit E un magma dont la loi est notée top. On dit que deux éléments x et y de E commutent (ou sont permutables) si y top x = x top y. 055O
Définition 8 Une loi de composition sur un ensemble E est dite commutative si deux éléments quelconques de E commutent pour cette loi. Un magma dont la loi de composition est commutative est ap… 055P
Exemple 1 L’addition et la multiplication des entiers naturels sont des lois commutatives sur N (E, III, p. 27, corollaire). 055Q
Exemple 2 Dans un ensemble ordonné réticulé, les lois sup et inf sont commutatives; il en est ainsi, en particulier, des lois ∪ et ∩ entre parties d’un ensemble E. 0DDO
Exemple 3 Soit E un ensemble, de cardinal > 1. La loi (f, g) ↦ f ∘ g entre applications de E dans E n’est pas commutative, comme on le voit en prenant pour f et g des applications constantes… 0DDP
Exemple 4 Soit (x, y) ↦ x top y une loi commutative sur E; la loi (X, Y) ↦ X top Y entre parties de E est commutative. 0DDQ
Définition 9 Soient E un magma et X une partie de E. On appelle commutant de X dans E l’ensemble des éléments de E qui commutent avec chacun des éléments de X. ↩ 1 055R
Proposition 3 Soit E un magma associatif dont la loi est notée top. Si un élément x de E commute avec chacun des éléments y et z de E, il commute avec y top z. 055S
Corollaire Soit E un magma associatif. Le commutant d’une partie quelconque de E est une partie stable de E. ↩ 1 055T
Définition 10 On appelle centre d’un magma E le commutant de E. Un élément du centre de E est appelé élément central de E. 055U
Proposition 4 Soient E un magma associatif, X et Y deux parties de E. Si tout élément de X commute avec tout élément de Y, tout élément de la partie stable engendrée par X commute avec tout élém… 055V
Corollaire 1 Si x et y sont permutables pour la loi associative top, il en est de même de topᵐ x et topⁿ y, quels que soient les entiers m 0 et n 0; en particulier, topᵐ x et topⁿ x sont permut… 055W
Corollaire 2 Si tous les couples d’éléments d’une partie X sont permutables pour une loi associative top, la loi induite par top sur la partie stable engendrée par X est associative et commutat… ↩ 2 055X
Théorème 2 (théorème de commutativité) Soit top une loi de composition associative sur E; soit (x_α)_α ∈ A une famille finie non vide d’éléments de E, deux à deux permutables; soient B et C deux ensembles totalement ord… ↩ 2 055Y
Théorème 3 Soient top une loi associative sur E, (x_α)_α ∈ A une famille finie non vide d’éléments de E deux à deux permutables. Si A est réunion d’une famille de parties non vides (Bᵢ)_i ∈ I… ↩ 1 055Z
Proposition 5 Soient E et F des magmas dont les lois sont notées top, et soient f et g des homomorphismes de E dans F. Soit f top g l’application x ↦ f(x) top g(x) de E dans F. Si F est associat… ↩ 2 0560
Définition 11 Soit E un ensemble. On dit qu’une loi de composition top et une relation d’équivalence R dans E sont compatibles si les relations x ≡ x' (mod R) et y ≡ y' (mod R) (pour x, x', y, y… 0561
Proposition 6 Soient E et F deux magmas et f un homomorphisme de E dans F. Notons R x, y la relation f(x) = f(y) entre éléments x, y de E. Alors R est une relation d’équivalence dans E compatibl… 0562
Proposition 7 Soient E un magma et R une relation d’équivalence dans E compatible avec la loi de E. Pour qu’une relation d’équivalence S dans E/R soit compatible avec la loi quotient, il faut et… 0563
Proposition 8 Soient E un magma, A une partie stable de E et R une relation d’équivalence dans E, compatible avec la loi de E. Le saturé B de A pour R (E, II, p. 44) est une partie stable. Les r… 0564
Proposition 9 On conserve les notations précédentes. Soit f un homomorphisme de M dans un magma tel que f(u_α) = f(v_α) pour tout α ∈ I. Alors f est compatible avec R. ↩ 2 0565

§ 2. Élément neutre ; éléments simplifiables ; éléments inversibles

Définition 1 Pour une loi de composition top sur un ensemble E, un élément e de E est dit élément neutre si, pour tout x ∈ E, on a e top x = x top e = x. ↩ 1 056M
Définition 2 On appelle magma unifère un magma qui possède un élément neutre. Si E, E' sont des magmas unifères, on appelle homomorphisme (ou morphisme) unifère de E dans E' un homomorphisme du… 056N
Exemple 1 Dans l’ensemble N des entiers naturels, 0 est élément neutre pour l’addition et 1 est élément neutre pour la multiplication. Chacune de ces deux lois munit N d’une structure de mon… 056O
Exemple 2 Dans l’ensemble des parties d’un ensemble E, ∅ est élément neutre pour la loi ∪, E pour la loi ∩. Plus généralement, dans un ensemble ordonné réticulé, le plus petit élément, s’il… 0DDR
Exemple 3 L’ensemble N ne possède pas d’élément neutre pour la loi (x, y) ↦ xʸ. Pour la loi (X, Y) ↦ X ∘ Y entre parties de E × E, la diagonale Δ est l’élément neutre. Pour la loi (f, g) ↦ f… 0DDS
Exemple 4 Soient E un magma et R une relation d’équivalence sur E, compatible avec la loi de E (I, p. 11). Si e est élément neutre de E, l’image canonique de e dans E/R est élément neutre du… 0DDT
Définition 3 Soit E un magma unifère. On appelle composé de la famille vide d’éléments de E l’élément neutre de E. 056P
Définition 4 Etant donnée une loi de composition top sur un ensemble E, on appelle translation à gauche (resp. translation à droite) par un élément a ∈ E, l’application x ↦ a top x (resp. x ↦ x… 056Q
Proposition 1 Si la loi top est associative, on a, pour x ∈ E et y ∈ E, ↩ 2 056R
Définition 5 Un élément a d’un magma E est dit simplifiable (ou régulier) à gauche (resp. à droite) si la translation à gauche (resp. à droite) par a est injective. Un élément simplifiable à ga… ↩ 1 056S
Exemple 1 Tout entier naturel est simplifiable pour l’addition ; tout entier naturel ≠ 0 est simplifiable pour la multiplication. 056T
Exemple 2 Dans un ensemble ordonné réticulé, il ne peut y avoir d’autre élément simplifiable pour la loi sup que l’élément neutre (plus petit élément) s’il existe ; de même pour inf. En part… 0DDU
Proposition 2 L’ensemble des éléments simplifiables (resp. simplifiables à gauche, resp. simplifiables à droite) d’un magma associatif est un sous-magma. ↩ 2 056U
Définition 6 Soient E un magma unifère, τ sa loi de composition, e son élément neutre, x et x' deux éléments de E. On dit que x' est inverse à gauche (resp. inverse à droite, resp. inverse) de… ↩ 1 056V
Exemple 1 Un élément neutre est son propre inverse. 056W
Exemple 2 Dans l’ensemble des applications de E dans E, un élément f est inversible à gauche (resp. inversible à droite) si f est une injection (resp. surjection). Les inverses à gauche (res… 0DDV
Proposition 3 Soient E un monoïde et x un élément de E. ↩ 2 056X
Remarque Soient E un monoïde et x un élément de E. Si x est inversible à gauche, il est simplifiable à gauche; en effet, si x' est un inverse à gauche de x, on a γ_x' ∘ γₓ = γ_x' top x = γₑ… 056Y
Proposition 4 Soient E un monoïde, x et y deux éléments inversibles de E, d’inverses x' et y' respectivement. Alors y' top x' est inverse de x top y. ↩ 7 056Z
Corollaire 1 Soit E un monoïde; si chacun des éléments x_α d’une séquence (x_α)_α ∈ A d’éléments de E a un inverse x'_α, le composé ∏_α ∈ A x_α a pour inverse ∏_α ∈ A' x'_α, où A' est l’ensembl… ↩ 1 0570
Corollaire 2 Dans un monoïde, l’ensemble des éléments inversibles est stable. 0571
Proposition 5 Si, dans un monoïde, x et x' sont inverses, et si x commute avec y, alors x' commute avec y. ↩ 3 0572
Corollaire 1 Soient E un monoïde, X une partie de E et X' le commutant de X. L’inverse de tout élément inversible de X' appartient à X'. ↩ 1 0573
Corollaire 2 Dans un monoïde, l’inverse d’un élément central inversible est un élément central. 0574
Lemme 1 Dans E × S', la relation R mathbinR x, y que voici: « il existe a, b dans E et p, q, s dans S' tels que x = (a, p), y = (b, q), et aqs = bps » est une relation d’équivalence compat… ↩ 1 0575
Définition 7 Soient E un monoïde commutatif, S une partie de E et S' le sous-monoïde de E engendré par S. On note E_S et l’on appelle monoïde des fractions¹ de E associé à S (ou à dénominateurs… ↩ 1 0576
Proposition 6 Les notations sont celles de la déf. 7 et ε désigne l’homomorphisme canonique de E dans E_S. ↩ 4 0577
Théorème 1 Soient E un monoïde commutatif, S une partie de E, E_S le monoïde de fractions associé à S et ε : E → E_S l’homomorphisme canonique. Soit de plus f un homomorphisme de E dans un mo… ↩ 6 0578
Corollaire Soient E et F deux monoïdes commutatifs, S et T des parties de E et F respectivement, f un homomorphisme de E dans F tel que f(S) ⊂ T, et ε : E → E_S, η : F → F_T les homomorphisme… 0579
Remarque 1 Le th. 1 peut encore s’énoncer en disant que (E_S, ε) est solution du problème d’application universelle pour E, relativement aux monoïdes, aux homomorphismes de monoïdes, et aux h… 057A
Remarque 2 Pour l’existence d’une solution du problème d’application universelle ci-dessus, il est inutile de supposer le monoïde E commutatif, ainsi qu’il résulte de E, IV, p. 23 et p. 24 (c… 0DDW
Lemme 2 Soient E un monoïde et x un élément de E. ↩ 1 057B

§ 3. Actions

Définition 1 Soient Ω et E deux ensembles. On appelle action de Ω sur E une application de Ω dans l’ensemble Eᴱ des applications de E dans lui-même. 057T
Exemple 1 Soit E un magma associatif, noté multiplicativement. L’application qui, à un entier n strictement positif, fait correspondre l’application x ↦ xⁿ de E dans lui-même, est une action… 057U
Exemple 2 Soit E un magma, de loi notée top. L’application qui, à un élément x ∈ E, fait correspondre l’application A ↦ x top A de l’ensemble des parties de E dans lui-même, est une action d… 0DDX
Exemple 3 Soit E un ensemble. L’application identique de Eᴱ est une action de Eᴱ sur E, dite action canonique. La loi d’action correspondante est l’application (f, x) ↦ f(x) de Eᴱ × E dans E… 0DDY
Exemple 4 Soit (Ωᵢ)_i ∈ I une famille d’ensembles. Pour tout i ∈ I, soit fᵢ : Ωᵢ → Eᴱ une action de Ωᵢ sur E. Soit Ω la somme des Ωᵢ (E, II, p. 30). L’application f de Ω dans Eᴱ prolongeant… 0DDZ
Exemple 5 Etant données une action de Ω sur E de loi notée ⊥, une partie Ξ de Ω et une partie X de E, on désigne par Ξ ⊥ X l’ensemble des α ⊥ x pour α ∈ Ξ et x ∈ X; lorsque Ξ est réduite à u… 0DE0
Exemple 6 Soit α ↦ f_α une action de Ω sur E. Soit g une application de Ω' dans Ω. Alors l’application β ↦ f_g(β) est une action de Ω' sur E. 0DE1
Exemple 7 Soit f : E × E → E une loi de composition sur un ensemble E. L’application γ : x ↦ γₓ (resp. δ : x ↦ δₓ) (I, p. 14) qui, à un élément x ∈ E fait correspondre la translation à gauch… 0DE2
Définition 2 Une partie A d’un ensemble E est dite stable pour une action α ↦ f_α de Ω sur E si l’on a f_α(A) ⊂ A pour tout α ∈ Ω. Un élément x de E est dit invariant par un élément α de Ω si f… 057V
Remarque Soit E un magma, de loi notée τ. On prendra garde qu’une partie A de E stable pour l’action à gauche de E sur lui-même n’est pas nécessairement stable pour l’action à droite de E s… 057W
Exemple Prenons pour magma E l’ensemble N muni de la multiplication. L’ensemble 1 est stable pour la loi interne de N, mais la partie stable pour l’action de N sur lui-même engendrée par 1… 057X
Définition 3 Soient α ↦ f_α une action de Ω sur E, A une partie stable de E. L’application qui, à un élément α ∈ Ω, fait correspondre la restriction de f_α à A (considérée comme application de… 057Y
Définition 4 Soit α ↦ f_α une action d’un ensemble Ω sur un ensemble E. On dit qu’une relation d’équivalence R dans E est compatible avec l’action donnée si, quels que soient les éléments x et… 057Z
Définition 5 Soient E₁, …, Eₙ et F des ensembles et u une application de E₁ × … × Eₙ dans F. Soit i ∈ 1, n. Supposons Eᵢ et F munis de structures de magmas. On dit que u est distributive relati… ↩ 1 0580
Exemple Soient E un monoïde (resp. un groupe), noté multiplicativement. L’application (n, x) ↦ xⁿ de N × E (resp. Z × E) dans E est distributive par rapport à la première variable d’après… 0581
Proposition 1 Soient E₁, E₂, …, Eₙ et F des monoïdes commutatifs notés additivement et soit u une application de E₁ × … × Eₙ dans F, distributive par rapport à toutes les variables. Pour chaque… ↩ 2 0582
Remarque Si l’on a u(a₁, …, aᵢ₋₁, 0, aᵢ₊₁, …, aₙ) = 0 pour i ∈ 1, n et aⱼ ∈ Eⱼ (j ≠ i), alors la formule (2) reste valable pour des familles (xᵢ, λ)_λ ∈ Lᵢ à support fini. 0583
Définition 6 On dit qu’une action α ↦ f_α d’un ensemble Ω sur un magma E est distributive si, pour tout α ∈ Ω, l’application f_α est un endomorphisme du magma E. 0584
Définition 7 Soient top et ⊥ deux lois internes sur un ensemble E. On dit que la loi ⊥ est distributive par rapport à la loi top si l’on a 0585
Exemple 1 Dans l’ensemble P(E) des parties d’un ensemble E, chacune des lois internes ∩ et ∪ est distributive par rapport à elle-même et à l’autre. Cela résulte des formules du type beginali… 0586
Exemple 2 Dans Z (et plus généralement, dans tout ensemble totalement ordonné) chacune des lois sup et inf est distributive par rapport à l’autre et par rapport à elle-même. 0DE3
Exemple 3 Dans Z ( et plus généralement dans tout anneau ) la multiplication est distributive par rapport à l’addition. 0DE4
Exemple 4 Dans N, l’addition et la multiplication sont distributives par rapport aux lois sup et inf. 0DE5

§ 4. Groupes et groupes à opérateurs

Définition 1 On appelle groupe un ensemble muni d’une loi de composition associative, possédant un élément neutre et pour laquelle tout élément est inversible. 058H
Exemple Dans un monoïde quelconque E, l’ensemble des éléments inversibles, muni de la structure induite par celle de E, est un groupe. En particulier, l’ensemble des applications bijective… 058I
Définition 2 Soit Ω un ensemble. On appelle groupe à opérateurs dans Ω un groupe G muni d’une action de Ω dans G distributive par rapport à la loi de groupe. 058J
Exemple Dans un groupe commutatif G, noté multiplicativement, on a (xy)ⁿ = xⁿ yⁿ quel que soit n ∈ Z (I, p. 23); l’action n ↦ (x ↦ xⁿ) de Z dans G définit par suite, avec la loi du groupe… 058K
Définition 3 Soient G et G’ des groupes à opérateurs dans Ω. On appelle homomorphisme de groupes à opérateurs de G dans G’, un homomorphisme du groupe G dans le groupe G’ tel que l’on ait 058L
Définition 4 Soit G un groupe à opérateurs. On appelle sous-groupe stable de G une partie H de G possédant les propriétés suivantes : (i) e ∈ H; (ii) la relation « x ∈ H et y ∈ H » implique x ∈… 058M
Proposition 1 Soient G un groupe à opérateurs et H une partie de G stable pour les homothéties de G. Les conditions suivantes sont équivalentes : a) H est un sous-groupe stable de G. b) H n’est… ↩ 4 058N
Remarque 1 On prouve de même que la condition b) de l’énoncé équivaut à la condition c’) H ≠ ∅ et les relations x ∈ H et y ∈ H entraînent y⁻¹x ∈ H. 058O
Remarque 2 Pour tout sous-groupe H de G, on a les relations H.H = H et H⁻¹ = H. En effet, on a H.H ⊂ H et H⁻¹ ⊂ H d’après b). Comme e ∈ H, on a H.H ⊃ e.H = H, et le passage à l’inverse transf… 0DE6
Proposition 2 Soient X une partie non vide d’un groupe à opérateurs G et hatX la partie stable pour l’action de Ω dans G engendrée par X. Le sous-groupe stable engendré par X est la partie stabl… ↩ 1 058P
Corollaire 1 Soient G un groupe à opérateurs et X une partie de G stable pour l’action de Ω. Le sous-groupe engendré par X et le sous-groupe stable engendré par X coïncident. 058Q
Corollaire 2 Soient G un groupe et X une partie de G formée d’éléments deux à deux permutables. Le sous-groupe de G engendré par X est commutatif. ↩ 2 058R
Corollaire 3 Soient f : G → G' un homomorphisme de groupes à opérateurs et X une partie de G. L’image par f du sous-groupe stable de G engendré par X est le sous-groupe stable de G' engendré pa… ↩ 2 058S
Proposition 3 Soient G un groupe à opérateurs, P une partie de G, H un sous-groupe stable de G ne rencontrant pas P. L’ensemble des sous-groupes stables de G contenant H et ne rencontrant pas P… ↩ 1 058T
Théorème 1 Soit R une relation d’équivalence dans un groupe à opérateurs G; si R est compatible à gauche (resp. à droite) (I, p. 26) avec la loi de groupe de G, et compatible avec l’action de… ↩ 1 058U
Proposition 4 Soient H et K deux sous-groupes d’un groupe G, tels que H ⊂ K. On a (G:H) = (G:K)(K:H). ↩ 2 058V
Corollaire Si G est un groupe fini d’ordre g, H un sous-groupe de G d’ordre h, on a h.(G:H) = g (en particulier, l’ordre et l’indice de H sont des diviseurs de l’ordre de G). ↩ 2 058W
Définition 5 Soit G un groupe à opérateurs. Un sous-groupe stable H de G est appelé sous-groupe stable distingué (ou invariant ou normal) de G si l’on a xHx⁻¹ = H pour tout x ∈ G. ↩ 1 058X
Théorème 2 Soit G un groupe à opérateurs. Pour qu’une relation d’équivalence R sur G soit compatible avec la loi de groupe et l’action de Ω, il faut et il suffit qu’elle soit de la forme x⁻¹y… ↩ 1 058Y
Définition 6 Le quotient d’un groupe à opérateurs G par la relation d’équivalence définie par un sous-groupe stable distingué H de G, muni de la structure quotient, s’appelle le groupe à opérat… 058Z
Proposition 5 Soient f : G → G' un homomorphisme de groupes à opérateurs, H et H' des sous-groupes stables distingués de G et G' respectivement tels que f(H) ⊂ H'. L’application f est compatible… ↩ 3 0590
Remarque 1 Si A est une partie quelconque d’un groupe G, et H un sous-groupe distingué de G, on a AH = HA; cet ensemble est obtenu en saturant A pour la relation x ≡ y (mod. H). 0591
Remarque 2 Si H est un sous-groupe distingué d’indice fini de G, le groupe quotient G/H est un groupe fini d’ordre (G : H). 0DE7
Définition 7 Un groupe à opérateurs G est dit simple si G ≠ {e} et s’il n’existe aucun sous-groupe stable distingué de G autre que G et {e}. ↩ 4 0592
Proposition 6 Soient G un groupe à opérateurs, et G’ un magma muni d’une action de Ω, notée exponentiellement. Soit f : G → G’ un homomorphisme du magma G dans le magma G’ tel que, pour tout α ∈… ↩ 1 0593
Définition 8 Soit f : G → G’ un homomorphisme de groupes à opérateurs. L’image réciproque de l’élément neutre de G’ est appelée le noyau de f. 0594
Théorème 3 Soit f : G → G’ un homomorphisme de groupes à opérateurs. a) Ker(f) est un sous-groupe stable distingué de G ; b) Im(f) est un sous-groupe stable de G’ ; c) l’application f est com… ↩ 2 0595
Proposition 7 Soient G et H deux groupes à opérateurs, f un homomorphisme de G dans H et N le noyau de f. ↩ 3 0596
Corollaire 1 On suppose f surjectif. Soient 𝔖 (resp. 𝔖') l’ensemble des sous-groupes stables (resp. stables distingués) de G contenant N et ℌ (resp. ℌ') l’ensemble des sous-groupes stables (res… ↩ 2 0597
Corollaire 2 Soient f : G → H un homomorphisme des groupes à opérateurs, N le noyau de f, G' un sous-groupe stable de G et L un sous-groupe stable distingué de G'. Alors LN, L.(G' ∩ N) et f(L)… ↩ 1 0598
Corollaire 3 Soient f : G → H un homomorphisme de groupes à opérateurs, N son noyau, X une partie de G telle que f(X) engendre H, et Y une partie de N qui engendre N. Alors X ∪ Y engendre G. 0599
Remarque Avec les notations de la prop. 7 (I, p. 37), le fait que l’image réciproque d’un sous-groupe de H est un sous-groupe de G résulte du fait suivant: 059A
Proposition 8 Soient G un groupe à opérateurs, A et B deux sous-groupes stables de G. ↩ 1 059B
Théorème 4 Soient G un groupe à opérateurs et N un sous-groupe stable distingué de G. ↩ 15 059C
Définition 9 On appelle suite de composition d’un groupe à opérateurs G une suite finie (Gᵢ)_0 ≤ i ≤ n de sous-groupes stables de G, avec G₀ = G, Gₙ = e et telle que Gᵢ₊₁ soit un sous-groupe di… ↩ 1 059D
Théorème 5 (Schreier) Etant données deux suites de composition Σ₁, Σ₂ d’un groupe à opérateurs G, il existe deux suites de composition équivalentes Σ'₁, Σ'₂, plus fines respectivement que Σ₁ et Σ₂. ↩ 2 059E
Lemme 1 (Zassenhaus) Soient H et K deux sous-groupes stables d’un groupe à opérateurs G, H' et K' des sous-groupes stables distingués de H et K respectivement; alors H'.(H ∩ K') est un sous-groupe stab… 059F
Définition 10 On appelle suite de Jordan-Hölder d’un groupe à opérateurs G une suite de composition Σ strictement décroissante, telle qu’il n’existe aucune suite de composition strictement décro… 059G
Proposition 9 Pour qu’une suite de composition G soit une suite de Jordan-Hölder de G, il faut et il suffit que tous les quotients de la suite soient simples. ↩ 2 059H
Théorème 6 (Jordan-Hölder) Deux suites de Jordan-Hölder d’un groupe à opérateurs sont équivalentes. ↩ 6 059I
Corollaire Soit G un groupe à opérateurs dans lequel il existe une suite de Jordan-Hölder. Si Σ est une suite de composition strictement décroissante quelconque de G, il existe une suite de J… ↩ 2 059J
Remarque Un groupe à opérateurs ne possède pas toujours de suite de Jordan-Hölder; un exemple est fourni par le groupe additif Z des entiers rationnels : la suite (2ⁿ . Z)_n geqslant 0 est… 059K
Définition 11 Soit G un groupe à opérateurs; on appelle longueur de G la borne supérieure des entiers n tels qu’il existe une suite de composition de G strictement décroissante (Gᵢ)_0 leqslant i… ↩ 1 059L
Proposition 10 Soient G un groupe à opérateurs, H un sous-groupe stable distingué de G. La longueur de G est la somme des longueurs de H et de G/H. ↩ 1 059M
Corollaire Soient G un groupe à opérateurs et (Gᵢ)_0 ≤ i ≤ n une suite de composition de G. La longueur de G est la somme des longueurs des Gᵢ / Gᵢ₊₁ pour 0 ≤ i ≤ n - 1. 059N
Définition 12 Le groupe à opérateurs G = ∏_i ∈ I Gᵢ défini ci-dessus est appelé groupe à opérateurs produit des Gᵢ. Les applications prᵢ : G → Gᵢ sont appelées les homomorphismes de projection. 059O
Proposition 11 Soit (φᵢ : Hᵢ → Gᵢ)_i ∈ I une famille d’homomorphismes de groupes à opérateurs et posons Φ = ∏_i ∈ I φᵢ. 059P
Définition 13 Soient G un groupe à opérateurs et (Hᵢ)_i ∈ I une famille de sous-groupes stables distingués de G. Soit pᵢ : G → G/Hᵢ l’homomorphisme canonique. On dit que G est produit interne (o… 059Q
Proposition 12 Soit (φᵢ: Gᵢ → K)_i ∈ I une famille d’homomorphismes de groupes à opérateurs telle que, quels que soient i ∈ I et j ∈ I avec i ≠ j, x ∈ Gᵢ, y ∈ Gⱼ, les éléments φᵢ(x) et φⱼ(y) de K… ↩ 3 059R
Définition 14 Soient G un groupe à opérateurs et (Hᵢ)_i ∈ I une famille de sous-groupes stables de G. On dit que G est somme restreinte interne (ou somme restreinte) de la famille de sous-groupe… 059S
Proposition 13 Soient G un groupe à opérateurs et (Hᵢ)_i ∈ I une famille de sous-groupes stables de G telle que tout élément de Hᵢ soit permutable avec tout élément de Hⱼ pour j ≠ i. Pour que G s… 059T
Proposition 14 Soient G un groupe à opérateurs et (Hᵢ)_i ∈ I une famille finie de sous-groupes stables de G. Pour que G soit somme restreinte de la famille de sous groupes (Hᵢ), il faut et il suf… 059U
Proposition 15 Soient G un groupe à opérateurs et (Hᵢ)_1 ≤ i ≤ n une suite de sous-groupes stables distingués de G telle que ↩ 5 059V
Proposition 16 Soit a un entier > 0. Les entiers r tels que 0 ≤ r < a forment un système de représentants de la relation d’équivalence x ≡ y \ (mod. a) dans Z. ↩ 1 059W
Corollaire Soit a un entier > 0. Le groupe Z/aZ des entiers rationnels modulo a est un groupe d’ordre a. ↩ 1 059X
Proposition 17 Soit H un sous-groupe de Z. Il existe un entier a ≥ 0 et un seul tel que H = aZ. ↩ 2 059Y
Définition 15 On dit qu’un groupe est monogène s’il admet un système générateur réduit à un élément. Un groupe monogène fini est dit cyclique. ↩ 1 059Z
Proposition 18 Un groupe monogène fini d’ordre a est isomorphe à Z/aZ. Un groupe monogène infini est isomorphe à Z. ↩ 2 05A0
Proposition 19 Soit a un entier > 0. Soient H un sous-groupe de Z/aZ, b l’ordre de H et c son indice dans Z/aZ. On a a = bc, H = cZ/aZ, et H est isomorphe à Z/bZ. ↩ 3 05A1
Corollaire Tout sous-groupe d’un groupe monogène est monogène. 05A2
Définition 16 On dit qu’un entier p > 0 est premier si p ≠ 1 et s’il n’admet pas de diviseur > 1 autre que p. ↩ 2 05A3
Proposition 20 Un entier p > 0 est premier si et seulement si le groupe Z/pZ est un groupe simple. ↩ 1 05A4
Corollaire Tout groupe simple commutatif est cyclique d’ordre premier. ↩ 1 05A5
Remarque Un groupe fini G d’ordre premier est nécessairement cyclique. En effet, G n’admet pas d’autre sous-groupe que G et e, donc il est engendré par tout élément ≠ e. 05A6
Lemme 2 Soit a un entier > 0. En associant à toute suite de composition (Hᵢ)_0 ≤ i ≤ n du groupe Z/aZ la suite (sᵢ)_1 ≤ i ≤ n, où sᵢ est l’ordre de Hᵢ₋₁/Hᵢ, on obtient une application bije… ↩ 1 05A7
Théorème 7 (décomposition en facteurs premiers) Soit a un entier strictement positif. Il existe une famille (vₚ(a))_p ∈ 𝔓 d’entiers ≥ 0 et une seule telle que l’ensemble des p ∈ 𝔓 pour lesquels vₚ(a) ≠ 0 soit fini et que l’on ai… ↩ 2 05A8
Corollaire Soient a et b deux entiers > 0. On a vₚ(ab) = vₚ(a) + vₚ(b). Pour que a divise b il faut et il suffit que vₚ(a) ≤ vₚ(b) pour tout nombre premier p. 05A9
Proposition 21 Dans un groupe fini G d’ordre n, on a xⁿ = e pour tout x ∈ G. En effet, si p est l’ordre de x, on a n = pq, avec q entier, donc xⁿ = (xᵖ)^q = e. 05AA

§ 5. Groupes opérant sur un ensemble

Définition 1 Soient M un monoïde, de loi notée multiplicativement et d’élément neutre noté e, et E un ensemble. On dit qu’une action α ↦ f_α de M sur E est une opération à gauche (resp. à droit… 05B1
Exemple 1 Soit E un ensemble; l’action canonique de Eᴱ sur E (I, p. 24, Exemple 3) est une opération à gauche. 05B2
Exemple 2 Soit M un monoïde. L’action à gauche (resp. à droite) de M sur lui-même déduite de la loi de M (I, p. 24, Exemple 7) est une opération à gauche (resp. à droite) de M sur lui-même… 0DE8
Définition 2 Soient M un monoïde, E et E' des M-ensembles. On appelle homomorphisme de M-ensembles (ou M-morphisme, ou application compatible avec les opérations de M) une application f de E da… 05B3
Définition 3 Soient M un monoïde opérant sur un ensemble E, A et B des parties de E. On appelle transporteur (resp. transporteur strict) de A dans B l’ensemble des α ∈ M tels que α A ⊂ B (resp… 05B4
Proposition 1 Soient M un monoïde opérant sur un ensemble E et A une partie de E. a) Le stabilisateur, le stabilisateur strict et le fixateur de A sont des sous-monoïdes de M. b) Soit α un éléme… 05B5
Corollaire Soient G un groupe opérant sur un ensemble E, et A une partie de E. Le stabilisateur strict S et le fixateur F de A sont des sous-groupes de G, et F est un sous-groupe distingué de… 05B6
Proposition 2 Soit G un groupe opérant sur un ensemble E et, pour tout x ∈ E, soit Sₓ le stabilisateur de x. Pour tout α ∈ G, on a S_α x = α Sₓ α⁻¹. Si s ∈ Sₓ, on a α s α⁻¹(α x) = α s x = α x, d… ↩ 5 05B7
Proposition 3 Soit G un groupe. Pour tout élément x de G, l’application Int(x): y ↦ xyx⁻¹ de G dans lui-même est un automorphisme de G. L’application Int: x ↦ Int(x) de G dans Aut(G) est un homo… 05B8
Définition 4 Soient G un groupe et x ∈ G. L’automorphisme y ↦ xyx⁻¹ est appelé l’automorphisme intérieur de G défini par x, et est noté Int x. 05B9
Proposition 4 Soient G un groupe, H un sous-groupe caractéristique (resp. distingué) de G, K un sous-groupe caractéristique de H. Alors K est un sous-groupe caractéristique (resp. distingué) de… 05BA
Remarque 1 Le normalisateur (resp. le centralisateur) de A est le stabilisateur strict (resp. le fixateur) de A lorsqu’on fait opérer G sur lui-même par automorphismes intérieurs. En particul… 05BB
Remarque 2 L’ensemble des éléments b ∈ G tels que bAb⁻¹ ⊂ A est un sous-monoïde de G. Même lorsque A est un sous-groupe de G, cet ensemble n’est pas nécessairement un sous-groupe de G (I, p… 0DE9
Définition 5 Soient G un groupe, E un G-ensemble, et x ∈ E. On dit qu’un élément y ∈ E est conjugué à x par l’opération de G s’il existe un élément α ∈ G tel que y = α x. L’ensemble des élément… 05BC
Exemple 1 Soit G un groupe, et considérons l’opération de G sur lui-même par automorphismes intérieurs. Deux éléments de G conjugués pour cette opération sont dits conjugués par automorphism… 05BD
Exemple 2 \ Dans l’espace Rⁿ, l’orbite d’un point x pour l’opération du groupe orthogonal O(n, R) est la sphère euclidienne de rayon |x|_*. 0DEA
Définition 6 Soit G un groupe. On dit qu’une opération de G sur un ensemble E est transitive s’il existe un élément x ∈ E dont l’orbite soit E. Un G-ensemble E est dit homogène si l’opération d… 05BE
Exemple Si E est un G-ensemble, chaque orbite de E, munie de l’opération induite, est un ensemble homogène sous G. 0DEB
Proposition 5 Avec les notations ci-dessus, G/H est un G-ensemble homogène. L’application φ induit un isomorphisme de (N/H)^0 sur le groupe des automorphismes du G-ensemble G/H. ↩ 1 05BG
Remarque 1 Soient G un groupe, H un sous-groupe de G et φ : G → S_G/H l’opération de G sur G/H. Le noyau de φ est l’intersection des conjugués de H (I, p. 52, prop. 2). C’est aussi le plus gr… 05BH
Remarque 2 Soient G un groupe, H et K deux sous-groupes tels que H soit un sous-groupe distingué de K. Alors K/H opère à droite sur le G-ensemble G/H et l’application canonique de G/H sur G/K… 0DEC
Proposition 6 Soient G un groupe, E un G-ensemble homogène, a ∈ E, H le stabilisateur de a, K un sous-groupe de G contenu dans H. Il existe un et un seul G-morphisme f de G/K dans E tel que f(K)… ↩ 1 05BI
Théorème 1 Soit G un groupe. ↩ 2 05BJ
Exemple 1 Soit E un ensemble non vide. Le groupe S_E opère transitivement sur E. En effet, si x et y sont deux éléments de E, l’application τ : E → E, telle que τ(x) = y, τ(y) = x et τ(z) =… 05BF
Exemple 2 Soient E un ensemble à n éléments et (pᵢ)_i ∈ I une famille finie d’entiers 0 telle que ∑ᵢ pᵢ = n. Soit X l’ensemble des partitions (Fᵢ)_i ∈ I de E telles que Card(Fᵢ) = pᵢ pour to… ↩ 3 05BK
Exemple 3 \ Soit n un entier ≥ 1. Le groupe orthogonal O(n, R) opère transitivement sur la sphère unité Sₙ₋₁ de Rⁿ. Le stabilisateur du point (0, …, 0, 1) s’identifie au groupe orthogonal O(… 0DED
Définition 7 Soit G un groupe. On dit qu’une opération de G sur un ensemble E est simplement transitive s’il existe un élément x de E tel que l’application orbitale définie par x soit une bijec… ↩ 1 05BL
Exemple 1 Faisons opérer G sur lui-même par translations à gauche (resp. à droite). On définit ainsi sur l’ensemble G une structure de G-ensemble principal homogène à gauche (resp. à droite)… 05BM
Exemple 2 Soit E un ensemble homogène sous un groupe commutatif G. Si G opère fidèlement sur E, celui-ci est un G-ensemble principal homogène. 0DEE
Exemple 3 Soient E et F deux ensembles munis de structures de même espèce isomorphes, et soit Isom(E, F) l’ensemble des isomorphismes de E sur F (pour les structures données). Le groupe Aut(… 0DEF
Exemple 4 \ Un ensemble principal homogène sous le groups additif d’un espace vectoriel est appelé un espace affine (cf. II, p. 126). 0DEG
Définition 8 Soient E un ensemble fini, ζ ∈ 𝔖_E une permutation de E, barζ le sous-groupe de 𝔖_E engendré par ζ. On dit que ζ est un cycle si, pour l’opération de barζ sur E, il existe une orbi… 05BN
Lemme 1 Soit (ζᵢ)_i ∈ I une famille de cycles dont les supports Sᵢ sont deux à deux disjoints. Alors les ζᵢ sont deux à deux permutables. Posons σ = ∏_i ∈ I ζᵢ et soit barσ le sous-groupe… ↩ 1 05BO
Proposition 7 Soient E un ensemble fini et σ une permutation de E. Il existe un ensemble fini C de cycles et un seul, satisfaisant aux deux conditions suivantes: a) les supports des éléments de… ↩ 1 05BP
Définition 9 Un cycle d’ordre 2 est appelé une transposition. 05BQ
Proposition 8 Soit E un ensemble fini. Le groupe 𝔖_E est engendré par les transpositions. ↩ 3 05BR
Proposition 9 Soit n un entier geqslant 0. Le groupe 𝔖ₙ est engendré par la famille des transpositions (τ_i,i+1)_1 leqslant i leqslant n-1. ↩ 4 05BS
Lemme 2 On a p ≠ 0 et σ p = (-1)^v(σ) p pour σ ∈ 𝔖ₙ. ↩ 1 05BT
Théorème 2 Soit E un ensemble fini. Il existe un homomorphisme ε et un seul de 𝔖_E dans le groupe multiplicatif -1,+1 tel que ε(τ) = -1 pour toute transposition τ. ↩ 1 05BU
Définition 10 Avec les notations du théorème 2, le nombre ε(σ) (noté aussi ε_σ) est appelé la signature de la permutation σ. Le noyau de l’homomorphisme ε est appelé le groupe alterné de E. 05BV
Exemple Si σ est un cycle d’ordre d, on a ε(σ) = (-1)ᵈ⁻¹. En effet, le nombre d’inversions de la permutation (1, 2, 3, …, d) ↦ (d, 1, 2, …, d-1) est égal à d-1. 05BW

§ 6. Extensions, groupes résolubles, groupes nilpotents

Définition 1 Soient F et G deux groupes. Une extension de G par F est un triplet E = (E, i, p), où E est un groupe, i un homomorphisme injectif de F dans E et p un homomorphisme surjectif de E… 05CQ
Proposition 1 Soient E: F xrightarrowi E xrightarrowp G et E': F xrightarrowi' E' xrightarrowp' G des extensions de G par F. Si u: E → E' est un morphisme de E dans E', u est un isomorphisme de… ↩ 1 05CR
Proposition 2 Soit E: F xrightarrowi E xrightarrowp G une extension de G par F. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) E est une extension triviale ; (ii) E possède une rétraction r… 05CS
Définition 2 Soient F et G deux groupes, et τ un homomorphisme de G dans le groupe des automorphismes de F. Posons τ(g)(f) = ᵍ f pour g ∈ G et f ∈ F. On appelle produit semi-direct externe de G… ↩ 1 05CT
Proposition 3 Le produit semi-direct externe F ×_τ G est un groupe. Les applications i : F → F ×_τ G définie par i(f) = (f, e), p : F ×_τ G → G définie par p(f, g) = g, et s : G → F ×_τ G défini… ↩ 1 05CU
Proposition 4 Avec les notations ci-dessus, il existe un isomorphisme u de E_τ sur E' et un seul tel que u ∘ s = s'. ↩ 2 05CV
Remarque La définition de l’opération τ par la formule (2) fait intervenir l’extension E' et la section s'. Lorsque F est commutatif, l’opération τ ne dépend pas de s'. En effet, Int(s'(g))… 05CW
Corollaire Soient G un groupe, H et K deux sous-groupes de G tels que H soit distingué, H ∩ K = {e} et H.K = G. Soit τ l’opération de K sur H par automorphismes intérieurs de G. L’application… ↩ 1 05CX
Exemples 1) Soient G un groupe et E un G-ensemble principal homogène. Notons Γ le groupe des automorphismes de G. Soit A l’ensemble des permutations f de E possédant la propriété suivante… 05CY
Définition 3 Soient G un groupe, x et y deux éléments de G. On appelle commutateur de x et y l’élément x⁻¹y⁻¹xy de G. 05CZ
Proposition 5 Soient A, B, C trois sous-groupes de G. ↩ 1 05D0
Définition 4 Soit G un groupe. On appelle groupe dérivé de G le sous-groupe engendré par les commutateurs d’éléments de G. 05D1
Proposition 6 Soit f : G → G' un homomorphisme de groupes. On a ↩ 2 05D2
Corollaire 1 Le groupe dérivé d’un groupe G est un sous-groupe caractéristique de G. En particulier, c’est un sous-groupe distingué de G. 05D3
Corollaire 2 Soit G un groupe. Le groupe quotient G/D(G) est commutatif. Soit π : G → G/D(G) l’homomorphisme canonique. Tout homomorphisme f de G dans un groupe commutatif G' se met de façon un… ↩ 2 05D4
Corollaire 3 Soit H un sous-groupe de G. Les conditions suivantes sont équivalentes. (i) H ⊃ D(G); (ii) H est un sous-groupe distingué et G/H est commutatif. ↩ 3 05D5
Corollaire 4 Soient G un groupe et X une partie de G qui engendre G. Le groupe D(G) est le sous-groupe distingué de G engendré par les commutateurs d’éléments de X. ↩ 1 05D6
Remarque 1 Le cor. 2 peut encore s’énoncer en disant que G/D(G), muni de π, est solution du problème d’application universelle pour G, relativement aux groupes commutatifs et aux homomorphism… 05D7
Remarque 2 Sous les hypothèses du cor. 4, le sous-groupe engendré par les commutateurs d’éléments de X est contenu dans D(G), mais n’est pas en général égal à D(G) (cf. I, p. 137, exerc. 15c)… 0DEH
Exemple 1 Si G est un groupe simple non commutatif, on a D(G) = G. Par suite, tout homomorphisme de G dans un groupe commutatif est trivial. 05D8
Exemple 2 Le groupe dérivé du groupe symétrique 𝔖ₙ est le groupe alterné 𝔄ₙ. En effet, 𝔄ₙ est engendré par les produits de deux transpositions; si τ = τ_x,y et τ' = τ_x',y' sont deux transpo… 0DEI
Définition 5 Soit G un groupe. On appelle suite centrale descendante de G, la suite (Cⁿ(G))_n ≥ 1 de sous-groupes de G définie par récurrence par: ↩ 1 05D9
Définition 6 On dit qu’un groupe G est nilpotent s’il existe un entier n tel que Cⁿ⁺¹(G) = e. On appelle classe de nilpotence d’un groupe nilpotent G le plus petit entier n tel que Cⁿ⁺¹(G) = e. ↩ 1 05DA
Exemple 1 Un groupe est nilpotent de classe 0 (resp. ≤ 1) si et seulement s’il est réduit à l’élément neutre (resp. est commutatif). 05DB
Exemple 2 Pour tout anneau commutatif A et tout entier n ≥ 1, le groupe trigonal strict supérieur T₁(n, A) est nilpotent de classe ≤ n - 1 (et même de classe n - 1 si A ≠ 0). 0DEJ
Exemple 3 Soit G un groupe nilpotent de classe n. Tout sous-groupe (resp. tout groupe quotient) de G est nilpotent de classe ≤ n. En effet, si H est un sous-groupe de G, on a Cⁿ(H) ⊂ Cⁿ(G)… 0DEK
Exemple 4 Un produit fini de groupes nilpotents est nilpotent. 0DEL
Proposition 7 Soient G un groupe et n un entier. Les conditions suivantes sont équivalentes : a) G est nilpotent de classe ≤ n. b) Il existe une suite de sous-groupes de G : ↩ 4 05DC
Corollaire Une extension centrale d’un groupe nilpotent (par un groupe nécessairement commutatif) est nilpotent. 05DD
Proposition 8 Soit G un groupe nilpotent de classe ≤ n, et soit H un sous-groupe de G. Il existe une suite de sous-groupes G = H¹ ⊃ H² ⊃ … ⊃ Hⁿ⁺¹ = H, telle que Hᵏ⁺¹ soit distingué dans Hᵏ et Hᵏ… ↩ 1 05DE
Corollaire 1 Soient G un groupe nilpotent et H un sous-groupe de G. Si H est distinct de G, le normalisateur N_G(H) de H dans G est distinct de H. ↩ 1 05DF
Corollaire 2 Soient G un groupe nilpotent et H un sous-groupe de G. Si H est distinct de G, il existe un sous-groupe distingué N de G, contenant H, distinct de G, et tel que G/N soit commutatif… ↩ 1 05DG
Corollaire 3 Soient G un groupe nilpotent et H un sous-groupe de G. Si G = H.(G, G), on a G = H. ↩ 2 05DH
Corollaire 4 Soit f : G' → G un homomorphisme de groupes. Supposons que: a) G est nilpotent. b) L’homomorphisme f₁ : G'/(G', G') → G/(G, G), déduit de f par passage au quotient, est surjectif… 05DI
Proposition 9 Soit G un groupe nilpotent de classe ≤ n, et soit N un sous-groupe distingué de G. Il existe une suite de sous-groupes N = N¹ ⊃ N² ⊃ … ⊃ Nⁿ⁺¹ = e telle que (G, Nᵏ) ⊂ Nᵏ⁺¹ pour k =… ↩ 1 05DJ
Corollaire 1 Soient G un groupe nilpotent, Z le centre de G, et N un sous-groupe distingué de G. Si N ≠ e, on a N ∩ Z ≠ e. ↩ 1 05DK
Corollaire 2 Soit f un homomorphisme d’un groupe nilpotent G dans un groupe G'. Si la restriction de f au centre de G est injective, f est injectif. 05DL
Définition 7 Soit G un groupe. On appelle suite dérivée de G la suite (Dⁿ(G))_n ∈ N définie par récurrence par: D⁰(G) = G; Dⁿ⁺¹(G) = D(Dⁿ(G)) pour n ∈ N. On a D⁰(G) = C¹(G) = G,\ D¹(G) = C²(G)… 05DM
Définition 8 On dit qu’un groupe G est résoluble s’il existe un entier n tel que Dⁿ(G) = e. Si G est un groupe résoluble, le plus petit entier n tel que Dⁿ(G) = e est appelé la classe de résolv… 05DN
Exemple 1 Un groupe est résoluble de classe 0 (resp. ≤ 1) si et seulement s’il est réduit à e (resp. est commutatif). 05DO
Exemple 2 Tout groupe nilpotent de classe ≤ 2ⁿ - 1 est résoluble de classe ≤ n; cela résulte de la formule Dⁿ(G) ⊂ C^2ⁿ(G) démontrée plus haut. 0DEM
Exemple 3 Soit G un groupe résoluble de classe ≤ n. Tout sous-groupe (resp. groupe quotient) de G est résoluble de classe ≤ n (démonstration analogue à celle de I, p. 69, Exemple 3). 0DEN
Exemple 4 Si G est un groupe résoluble de classe p et F un groupe résoluble de classe q, toute extension E de G par F est un groupe résoluble de classe ≤ p + q. En effet, soit π : E → G la p… 0DEO
Exemple 5 Le groupe symétrique Sₙ est résoluble si et seulement si n < 5 (cf. I, p. 130, exerc. 10 et p. 131, exerc. 16). 0DEP
Exemple 6 Si A est un anneau commutatif, le groupe trigonal supérieur T(n, A) est résoluble mais non nilpotent en général. 0DEQ
Proposition 10 Soit G un groupe et soit n un entier. Les conditions suivantes sont équivalentes: ↩ 1 05DP
Corollaire Soient G un groupe fini et G = G⁰ ⊃ G¹ ⊃ … ⊃ Gⁿ = e une suite de Jordan-Hölder de G. Pour que G soit résoluble, il faut et il suffit que les quotients Gᵏ / Gᵏ⁺¹ soient cycliques d’… 05DQ
Définition 9 On appelle p-groupe un groupe fini dont l’ordre est une puissance de p. ↩ 1 05DR
Proposition 11 Soient E un ensemble fini et G un p-groupe opérant sur E. Notons Eᴳ l’ensemble des x ∈ E tels que gx = x pour tout g ∈ G (points fixes). On a Card(Eᴳ) ≡ Card(E) pmodp. En effet, E… ↩ 5 05DS
Corollaire Soit G un p-groupe. Si G n’est pas réduit à e, son centre n’est pas réduit à e. ↩ 3 05DT
Théorème 1 Soient G un p-groupe, pʳ son ordre. Il existe une suite de sous-groupes de G G = G¹ ⊃ G² ⊃ … ⊃ Gʳ⁺¹ = e, telle que (G, Gᵏ) ⊂ Gᵏ⁺¹, pour 1 ≤ k ≤ r, et que Gᵏ/Gᵏ⁺¹, pour 1 ≤ k ≤ r, s… ↩ 4 05DU
Corollaire Tout p-groupe est nilpotent. ↩ 1 05DV
Proposition 12 Soit G un p-groupe et soit H un sous-groupe de G distinct de G. Alors: a) Le normalisateur N_G(H) de H dans G est distinct de G. b) Il existe un sous-groupe distingué N de G, d’ind… ↩ 3 05DW
Corollaire Soit G un p-groupe. Tout sous-groupe d’indice p de G est distingué. 05DX
Définition 10 Soit G un groupe fini. On appelle p-sous-groupe de Sylow de G tout sous-groupe P de G vérifiant les deux conditions suivantes: a) P est un p-groupe; b) (G : P) n’est pas un multipl… 05DY
Exemples 1) Dans le groupe 𝔖ₚ, soit ζ un cycle d’ordre p. Le sous-groupe engendré par ζ est un p-sous-groupe de Sylow de 𝔖ₚ car p ne divise pas (p - 1)!. 2) Soit k un corps fini de caractér… 05DZ
Théorème 2 Tout groupe fini contient un p-sous-groupe de Sylow. ↩ 3 05E0
Lemme Soit n = pʳ m où m est un entier non multiple de p. On a binomnpʳ not≡ 0 pmodp. 05E1
Corollaire Si l’ordre de G est divisible par p, le groupe G contient un élément d’ordre p. 05E2
Remarque Pour tout nombre premier q divisant Card(G), soit P_q un q-sous-groupe de Sylow de G. Alors le sous-groupe H de G engendré par les P_q est d’ordre multiple de Card(P_q) pour chaque… 05E3
Théorème 3 Soit G un groupe fini. ↩ 2 05E4
Corollaire 1 Soit P un p-sous-groupe de Sylow de G, soit N son normalisateur dans G, et soit M un sous-groupe de G contenant N. Le normalisateur de M dans G est égal à M. ↩ 1 05E5
Corollaire 2 Soit f : G₁ → G₂ un homomorphisme de groupes finis. Pour tout p-sous-groupe de Sylow P₁ de G₁, il existe un p-sous-groupe de Sylow P₂ de G₂ tel que f(P₁) ⊂ P₂. 05E6
Corollaire 3 a) Soit H un sous-groupe de G. Pour tout p-sous-groupe de Sylow P de H, il existe un p-sous-groupe de Sylow Q de G tel que P = Q ∩ H. b) Réciproquement, si Q est un p-sous-groupe d… 05E7
Corollaire 4 Soit N un sous-groupe distingué de G. L’image dans G/N d’un p-sous-groupe de Sylow de G est un p-sous-groupe de Sylow de G/N, et tout p-sous-groupe de Sylow de G/N s’obtient de cet… 05E8
Théorème 4 Soit G un groupe fini. Les conditions suivantes sont équivalentes : a) G est nilpotent. b) G est un produit de p-groupes. c) Pour tout nombre premier p, il existe un p-sous-groupe… ↩ 6 05E9
Remarque 1 Soit G un groupe fini et soit p un nombre premier. D’après I, p. 75, th. 3, a), et I, p. 74, th. 2, les conditions suivantes sont équivalentes: (i) il existe un p-sous-groupe de Sy… 05EA
Remarque 2 Soit G un groupe fini nilpotent. Soit I l’ensemble des diviseurs premiers de Card G. D’après le th. 4 et la Remarque 1, on a G = ∏_p ∈ I Gₚ, où Gₚ est l’unique p-groupe de Sylow de… 0DER
Remarque 3 Appliqué aux groupes commutatifs, le th. 4 donne la décomposition en produit de composantes primaires des groupes finis commutatifs, qui sera étudiée d’un autre point de vue au cha… 0DES
Exemple Le groupe 𝔖₃ est d’ordre 6. Il contient un 3-sous-groupe de Sylow distingué d’ordre 3 : le groupe A₃. Il contient trois 2-sous-groupes de Sylow d’ordre 2 : les groupes e, τ, où τ e… 05EB

§ 7. Monoïdes libres, groupes libres

Proposition 1 Soit M un magma. Toute application f de X dans M se prolonge de manière unique en un morphisme de M(X) dans M. ↩ 2 05FH
Proposition 2 Soit u : X → Y une application. Si u est injective (resp. surjective, bijective), il en est de même de M(u). 05FI
Proposition 3 Soit M un monoïde. Toute application f de X dans M se prolonge de manière unique en un homomorphisme de Mo(X) dans M. ↩ 1 05FJ
Proposition 4 a) Pour tout i ∈ I, l’application φᵢ est un homomorphisme de Mᵢ dans M et l’on a φᵢ ∘ hᵢ = h pour tout i ∈ I. De plus, M est engendré par ⋃_i ∈ I φᵢ(Mᵢ). ↩ 3 05FK
Proposition 5 Sous l’hypothèse (A), tout élément x de M admet une décomposition réduite unique σ. Toute décomposition σ' ≠ σ de x satisfait à l(σ') > l(σ). ↩ 2 05FL
Lemme 1 Soient i₁, …, iₙ dans I et p_α dans P_i_α pour 1 ≤ α ≤ n. Pour tout a ∈ A, il existe a' ∈ A et une suite (p'_α)_1 ≤ α ≤ n avec p'_α ∈ P_i_α telle que φ_i₁(p₁) ⋯ φ_iₙ(pₙ)h(a) = h(a'… 05FM
Corollaire Sous l’hypothèse (A), les homomorphismes φᵢ et h sont injectifs. Pour i ≠ j dans I, on a φᵢ(Mᵢ) ∩ φⱼ(Mⱼ) = h(A). ↩ 1 05FN
Lemme 2 Soit M la somme monoïdale de la famille (Mₓ)_x ∈ X définie par Mₓ = N pour tout x ∈ X; on note φₓ l’homomorphisme canonique de Mₓ dans M. L’application x ↦ φₓ(1) de X dans M se pro… ↩ 1 05FO
Proposition 6 Soit w un élément de Mo(X). ↩ 2 05FP
Proposition 7 Soit g un élément du groupe libre F(X). Il existe un entier n ≥ 0, et une suite (x_α, m(α))_1 ≤ α ≤ n, déterminés de manière unique par les relations x_α ∈ X, x_α ≠ x_α+1 pour 1 ≤… ↩ 2 05FQ
Proposition 8 Soient G un groupe et f une application de X dans G. Il existe un homomorphisme tildef de F(X) dans G qui prolonge f, et un seul. ↩ 1 05FR
Exemple 1 Le groupe défini par la présentation ⟨ τ; τ^q = e ⟩ est cyclique d’ordre q. 05FS
Exemple 2 Le groupe défini par la présentation ⟨ x, y; xy = yx ⟩ est isomorphe à Z × Z. 0DET
Proposition 9 Soient G un groupe, t = (tᵢ)_i ∈ I une famille génératrice de G et r = (rⱼ)_j ∈ J une famille de relateurs de t. Les conditions suivantes sont équivalentes: 05FT
Proposition 10 Soient M un monoïde (resp. un groupe) commutatif et f une application de X dans M. Il existe un homomorphisme g de N^(X) (resp. Z^(X)) dans M, et un seul, tel que g(δₓ) = f(x) pour… ↩ 2 05FU
Remarque Soit M le monoïde multiplicatif des entiers strictement positifs, et soit 𝔓 l’ensemble des nombres premiers (I, p. 48, déf. 16). D’après la prop. 10 (I, p. 88), il existe un homomo… 05FV
Proposition 11 L’homomorphisme canonique ν de Mo(X) dans N^(X) est surjectif. Soient w = x₁ … xₙ et w' = x'₁ … x'ₘ deux éléments de Mo(X); pour qu’on ait ν(w) = ν(w'), il faut et il suffit que l’… ↩ 1 05FW
Remarque Soit S une partie de X. Rappelons que nous avons identifié M(S) à un sous-magma de M(X), Mo(S) à un sous-monoïde de Mo(X) et N^{(S)} à un sous-monoïde de N^{(X)}. On a 05FX

§ 8. Anneaux

Définition 1 On appelle anneau un ensemble A muni de deux lois de composition appelées respectivement addition et multiplication, satisfaisant aux axiomes suivants: 05H2
Proposition 1 Soient A un anneau commutatif et (x_λ)_λ ∈ L une famille finie d’éléments de A. Pour toute famille d’entiers positifs β = (β_λ)_λ ∈ L, posons |β| = ∑_λ ∈ L β_λ. On a ( ∑_λ ∈ L x_λ… 05H3
Corollaire 1 (formule du binôme) Soient x et y deux éléments d’un anneau commutatif A. On a : ↩ 2 05H4
Corollaire 2 Soient A un anneau commutatif, X un ensemble, u = (uₓ)_x ∈ X et v = (vₓ)_x ∈ X deux familles d’éléments de A. Notons u + v la famille (uₓ + vₓ)_x ∈ X. ↩ 2 05H5
Corollaire 3 Soient A un anneau, x et y des éléments nilpotents et permutables de A. Alors x + y est nilpotent. 0DEU
Proposition 2 Soient A un anneau, x₁, …, xₙ des éléments de A, et I = 1, 2, …, n. ↩ 4 05H6
Définition 2 Soient A et B deux anneaux. On appelle morphisme, ou homomorphisme, de A dans B toute application f de A dans B satisfaisant aux relations: 05H7
Exemple 1 Soit A un anneau. On voit immédiatement que l’application n ↦ n.1 de Z dans A est l’unique homomorphisme de Z dans A. En particulier, l’application identique de Z est l’unique endo… 05H8
Exemple 2 Soit a un élément inversible d’un anneau A. L’application x ↦ axa⁻¹ est un endomorphisme de A car on a a(x + y)a⁻¹ = axa⁻¹ + aya⁻¹, a(xy)a⁻¹ = (axa⁻¹)(aya⁻¹). Elle est bijective, c… 0DEV
Définition 3 Soit A un anneau. On appelle sous-anneau de A toute partie B de A qui est un sous-groupe de A pour l’addition, qui est stable pour la multiplication et contient l’unité de A. 05H9
Exemple 1 Tout sous-groupe du groupe additif Z qui contient 1 est égal à Z. Donc Z est le seul sous-anneau de Z. 05HA
Exemple 2 Soient A un anneau et (Aₜ)_t ∈ I une famille de sous-anneaux de A; il est immédiat que ⋂_t ∈ I Aₜ est un sous-anneau de A. En particulier, l’intersection de tous les sous-anneaux d… 0DEW
Exemple 3 Soit X une partie d’un anneau A. Le commutant de X dans A est un sous-anneau de A. En particulier, le centre de A est un sous-anneau de A. 0DEX
Exemple 4 Soit G un groupe commutatif à opérateurs; on note Ω l’ensemble d’opérateurs et α ↦ f_α l’action de Ω sur G. Soit E l’anneau des endomorphismes du groupe sans opérateurs G et F l’en… 0DEY
Définition 4 Soit A un anneau. On dit qu’une partie a de A est un idéal à gauche (resp. à droite) si a est un sous-groupe du groupe additif de A et si les relations a ∈ A, x ∈ a entraînent ax ∈… 05HB
Exemple 1 Soit A un anneau. L’ensemble A est un idéal bilatère de A; il en est de même de l’ensemble réduit à 0, qu’on appelle l’idéal nul et qu’on écrit parfois 0 ou (0) au lieu de {0}. 05HC
Exemple 2 Pour tout élément a de A, l’ensemble A.a des multiples à gauche de a est un idéal à gauche; de même l’ensemble a.A est un idéal à droite. Lorsque a est dans le centre de A, on a A… 0DEZ
Exemple 3 Soit M une partie de A. L’ensemble des éléments x ∈ A tels que xy = 0 pour tout y ∈ M est un idéal à gauche de A qu’on appelle l’annulateur à gauche de M. On définit de manière ana… 0DF0
Exemple 4 Toute intersection d’idéaux à gauche (resp. à droite, bilatères) de A est un idéal à gauche (resp. à droite, bilatère). Etant donnée une partie X de A, il existe donc un plus petit… 0DF1
Définition 5 Soit A un anneau. On dit, par abus de langage, qu’un idéal à gauche a est maximal s’il est un élément maximal de l’ensemble des idéaux à gauche distincts de A. Autrement dit, a est… 05HD
Théorème 1 (Krull) Soient A un anneau et a un idéal à gauche de A distinct de A. Il existe un idéal à gauche maximal m de A contenant a. Considérons A comme opérant dans le groupe additif A⁺ de A par… ↩ 2 05HE
Proposition 3 Soient A un anneau, (x_λ)_λ ∈ L une famille d’éléments de A, a (resp. b) l’ensemble des sommes ∑_λ ∈ L a_λ x_λ où (a_λ)_λ ∈ L est une famille à support fini d’éléments de A (resp… 05HF
Proposition 4 Soient A un anneau et (a_λ)_λ ∈ L une famille d’idéaux à gauche de A. L’idéal à gauche engendré par ⋃_λ ∈ L a_λ se compose des sommes ∑_λ ∈ L y_λ, où (y_λ)_λ ∈ L est une famille à… 05HG
Définition 6 Soient A un anneau et a un idéal bilatère de A. On appelle anneau quotient de A par a et l'on note A/a l'ensemble quotient de A par la relation d'équivalence x ≡ y (a), muni de l'a… 05HH
Théorème 2 Soient A un anneau et a un idéal bilatère de A. a) L'application canonique π de A sur A/a est un homomorphisme d'anneaux. b) Soient B un anneau et f un homomorphisme de A dans B. S… ↩ 8 05HI
Théorème 3 Soient A et B des anneaux, f un homomorphisme de A dans B. a) Le noyau a de f est un idéal bilatère de A. b) L'image B' = f(A) de f est un sous-anneau de B. c) Soient π : A → A/a e… ↩ 1 05HJ
Proposition 5 Soient A et A' deux anneaux, f un homomorphisme de A dans A', et a le noyau de f. a) Soit B' un sous-anneau de A'. Alors B = f⁻¹(B') est un sous-anneau de A contenant a. Si f est s… ↩ 1 05HK
Remarque Avec les notations précédentes, θ et η sont des isomorphismes d’ensembles ordonnés (Φ et Φ' étant ordonnés par inclusion). 05HL
Corollaire Soient A un anneau, a un idéal bilatère de A. 05HM
Proposition 6 Soient a, b₁, …, bₙ des idéaux bilatères de A. Si A = a + bᵢ pour tout i, on a A = a + b₁ b₂ … bₙ = a + (b₁ ∩ b₂ ∩ ⋯ ∩ bₙ). ↩ 4 05HN
Proposition 7 Soient b₁, …, bₙ des idéaux bilatères de A, tels que bᵢ + bⱼ = A pour i ≠ j. Alors b₁ ∩ b₂ ∩ ⋯ ∩ bₙ = ∑_σ ∈ Sₙ b_σ(1) b_σ(2) ⋯ b_σ(n). En particulier, si A est commutatif, b₁ ∩ b₂… ↩ 2 05HO
Proposition 8 Supposons I fini. Si b est un idéal à gauche ou à droite de A, b est somme directe des b ∩ ai. ↩ 3 05HP
Proposition 9 Soient A un anneau, b₁, …, bₙ des idéaux bilatères de A tels que bᵢ + bⱼ = A pour i ≠ j. L’homomorphisme canonique de A dans ∏ᵢ₌₁ⁿ (A/bᵢ) est surjectif, de noyau ⋂ᵢ₌₁ⁿ bᵢ = ∑_σ ∈ S… ↩ 5 05HQ
Définition 7 Soit A un anneau. On appelle décomposition directe de A une famille finie (bᵢ)_i ∈ I d’idéaux bilatères de A telle que l’homomorphisme canonique de A dans ∏_i ∈ I (A/bᵢ) soit un is… ↩ 1 05HR
Proposition 10 Soient A un anneau, A' son centre, (bᵢ)_i ∈ I une famille finie d’idéaux bilatères de A. Les conditions suivantes sont équivalentes: ↩ 3 05HS
Remarque Soit A un anneau. Soit (aᵢ)_i ∈ I une famille finie de sous-groupes du groupe additif A⁺ de A, telle que A⁺ soit somme directe des aᵢ. Supposons aᵢ aᵢ ⊂ aᵢ pour i ∈ I, et aᵢ aⱼ = 0… 05HT
Exemple Idéaux et anneaux quotients de Z Un idéal de Z est un sous-groupe additif de Z, donc de la forme n.Z avec n geqslant 0; réciproquement, pour tout entier n geqslant 0, l’ensemble n… 05HU
Proposition 11 Soient n₁, …, nᵣ des entiers geqslant 1, étrangers deux à deux, et n = n₁ … nᵣ. L’homomorphisme canonique de Z dans l’anneau produit ∏ᵢ₌₁ʳ (Z/nᵢZ) est surjectif, de noyau nZ, et dé… ↩ 1 05HV
Théorème 4 Soient A un anneau commutatif et S une partie de A. Soit A_S le monoïde des fractions de A (muni de la seule multiplication) à dénominateurs dans S (I, p. 17). Soit ε : A → A_S le… ↩ 1 05HW
Définition 8 L’anneau défini au th. 4 s’appelle l’anneau des fractions de A associé à S, ou à dénominateurs dans S, et se note A[S⁻¹]. 05HX
Théorème 5 Soient A un anneau commutatif, S une partie de A, B un anneau, f un homomorphisme de A dans B tel que tout élément de f(S) soit inversible. Il existe un homomorphisme barf de A[S⁻¹… ↩ 1 05HY

§ 9. Corps

Définition 1 On dit qu’un anneau K est un corps s’il n’est pas réduit à 0 et si tout élément non nul de K est inversible. 05IF
Exemple 1 Nous définirons au n° 4 le corps des nombres rationnels; on définira en Topologie Générale le corps des nombres réels (TG, IV, § 1, n° 3), celui des nombres complexes (TG, VIII, §… 05IG
Exemple 2 L’anneau Z/2Z est évidemment un corps. 0DF2
Proposition 1 Soit K un corps. Pour toute partie X de K, le commutant (I, p. 98, Exemple 3) X' de X est un sous-corps de K. 05IH
Corollaire Le centre d’un corps K est un sous-corps (commutatif) de K. 05II
Théorème 1 Soit A un anneau. Les conditions suivantes sont équivalentes: a) A est un corps; b) A est non réduit à 0, et les seuls idéaux à gauche de A sont 0 et A. ↩ 7 05IJ
Remarque On peut, dans le th. 1, remplacer les idéaux à gauche par les idéaux à droite. Au chap. VIII, § 5, no 2, nous étudierons des anneaux non nuls A qui n’ont aucun idéal bilatère disti… 05IK
Corollaire 1 Soient A un anneau et a un idéal bilatère de A. Pour que l’anneau A/a soit un corps, il faut et il suffit que a soit un idéal à gauche maximal de A. ↩ 3 05IL
Corollaire 2 Soit A un anneau commutatif non réduit à 0. Il existe un homomorphisme de A sur un corps commutatif. 05IM
Corollaire 3 Soit a un entier ≥ 0. Pour que l’anneau \mathbf{Z}/a\mathbf{Z} soit un corps, il faut et il suffit que a soit premier. 05IN
Théorème 2 Soient K un corps et A un anneau non réduit à 0. Si f est un homomorphisme de K dans A, alors le sous-anneau f(K) de A est un corps et f définit un isomorphisme de K sur f(K). ↩ 2 05IO
Définition 2 On dit qu’un anneau A est intégre (ou que A est un anneau d’intégrité) s’il est commutatif, non réduit à 0, et si le produit de deux éléments non nuls de A est non nul. 05IP
Proposition 2 Si A est un anneau intégre, l’anneau total des fractions K de A est un corps commutatif. 05IQ
Proposition 3 Soient B un anneau non réduit à 0, A un sous-anneau commutatif de B tel que tout élément non nul de A soit inversible dans B. 05IR
Proposition 4 Soient A un anneau commutatif, p un idéal de A. Les conditions suivantes sont équivalentes : a) l’anneau A/p est intègre ; b) A ≠ p, et, si x ∈ A - p et y ∈ A - p, on a xy ∈ A - p… ↩ 1 05IS
Définition 3 Dans un anneau commutatif A, on appelle idéal premier un idéal p vérifiant les conditions de la prop. 4. ↩ 2 05IT
Exemple 1 Soit A un anneau commutatif. Si m est un idéal maximal de A, m est premier; en effet, l’anneau A/m est un corps (I, p. 109, cor. 1). 05IU
Exemple 2 Si A est un anneau intègre, l’idéal 0 de A est premier (mais non maximal en général, comme le prouve l’exemple de l’anneau Z). 0DF3
Définition 4 On appelle corps des nombres rationnels, et l’on désigne par Q, le corps des fractions de l’anneau Z des entiers rationnels. Les éléments de Q sont appelés nombres rationnels. 05IV

§ 10. Limites projectives et inductives

Définition 1 On appelle système projectif de magmas relatif à l’ensemble d’indices I un système projectif d’ensembles (E_α, f_αβ) relatif à I, chaque E_α étant muni d’une structure de magma et… 05JH
Définition 2 On appelle système inductif de magmas relatif à l’ensemble d’indices I un système inductif d’ensembles (E_α, f_β α) relatif à I, chaque E_α étant muni d’une structure de magma et c… 05JI
Proposition 1 Il existe sur E une structure de magma et une seule pour laquelle les applications f_α : E_α → E sont des homomorphismes. Si les magmas E_α sont associatifs (resp. commutatifs), il… ↩ 1 05JJ
Proposition 2 Soit (E_α, f_β α) un système inductif de magmas et soient E sa limite inductive, f_α : E_α → E les homomorphismes canoniques. On suppose donnés un magma F et une famille d’homomorp… ↩ 1 05JK
Proposition 3 a) Si les A_α sont non nuls, A est non nul. b) Si les A_α sont intègres, A est intègre. c) Si les A_α sont des corps, A est un corps. 05JL

II. Algèbre linéaire

§ 1. Modules

Définition 1 Étant donné un anneau A, on appelle module à gauche sur A (ou A-module à gauche), un ensemble E muni d’une structure algébrique définie par la donnée: 1^∘ d’une loi de groupe commu… ↩ 1 05JO
Exemple 1 Soit φ un homomorphisme d’un anneau A dans un anneau B; l’application (a, x) ↦ φ(a)x (resp. (a, x) ↦ x φ(a)) de A × B dans B définit sur B une structure de A-module à gauche (resp… 05JP
Exemple 2 Sur un groupe commutatif G (noté additivement), la structure de groupe à opérateurs définie par la loi d’action (n, x) ↦ n.x (I, p. 24) est une structure de module sur l’anneau Z d… 05JR
Exemple 3 Soient E un groupe commutatif noté additivement, E l’anneau des endomorphismes de E (I, p. 96: on rappelle que le produit fg de deux endomorphismes est par définition l’endomorphis… 0DF4
Définition 2 On appelle espace vectoriel à gauche (resp. à droite) sur un corps K, un K-module à gauche (resp. à droite). 05JQ
Exemple 4 Un corps est à la fois espace vectoriel à gauche et à droite par rapport à un quelconque de ses sous-corps. 0DF5
Exemple 5 \ L’espace numérique à 3 dimensions R³ est un espace vectoriel par rapport au corps des nombres réels R, le produit tx d’un nombre réel t et d’un point x de coordonnées x₁, x₂, x₃… 0DF6
Définition 3 On dit qu’un élément x d’un A-module E est une combinaison linéaire, à coefficients dans A, d’une famille (aᵢ)_i ∈ I d’éléments de E, s’il existe une famille (λᵢ)_i ∈ I d’éléments… 05JS
Définition 4 Soient E et F deux modules (à gauche) par rapport au même anneau A. On appelle application linéaire (ou application A-linéaire, ou homomorphisme, ou A-homomorphisme) de E dans F to… ↩ 1 05JT
Remarque Lorsque E et F sont deux groupes commutatifs, considérés comme modules sur l’anneau Z (II, p. 3), tout homomorphisme u du groupe E (sans opérateur) dans le groupe F (sans opérateur… 05JU
Exemple 1 Soient E un A-module, a un élément de E; l’application λ ↦ λ a du A-module Aₛ dans E est une application linéaire θₐ, telle que θₐ(1) = a. 05JV
Exemple 2 \ Soient I un intervalle ouvert de la droite numérique R, E l’espace vectoriel des fonctions numériques dérivables dans I, F l’espace vectoriel de toutes les fonctions numériques d… 0DF7
Proposition 1 Soient E, F, G trois A-modules, u une application linéaire de E dans F, v une application linéaire de F dans G. Alors l’application composée v ∘ u est linéaire. ↩ 2 05JW
Proposition 2 Soient E, F deux A-modules. 1° Si u : E → F et v : F → E sont deux applications linéaires telles que v ∘ u soit l’application identique de E et u ∘ v l’application identique de F… 0DF8
Exemple 1 Dans un module quelconque E, l’ensemble réduit à 0 est un sous-module (sous-module nul, souvent noté 0 par abus de notation). 05JX
Exemple 2 Soit A un anneau. Les sous-modules de As (resp. Ad) ne sont autres que les idéaux à gauche (resp. idéaux à droite) de l’anneau A (I, p. 98). 0DF9
Exemple 3 Soient E un A-module, x un élément de E, a un idéal à gauche de A. L’ensemble des éléments α x, où α parcourt a, est un sous-module de E, qu’on note α x. 0DFA
Exemple 4 Dans un groupe commutatif G, considéré comme Z-module (II, p. 3), tout sous-groupe de G est aussi un sous-module. 0DFB
Exemple 5 \ Soit I un intervalle ouvert de la droite numérique R; l’ensemble C des fonctions numériques définies et continues dans I est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel Rᴵ de… 0DFC
Remarque Soient M un sous-module d’un A-module E, φ : E → E/M l’homomorphisme canonique. Pour qu’une application A-linéaire u : E → F soit de la forme v ∘ φ, où v est une application linéai… 05JY
Définition 5 Soient F, G, H trois A-modules; soit f un homomorphisme de F dans G et soit g un homomorphisme de G dans H. On dit que le couple (f, g) est une suite exacte si l’on a 05JZ
Proposition 3 a) Pour que ↩ 1 05K1
Remarque 2 Dire qu’on a une suite exacte 0 longrightarrow E xrightarrowf F xrightarrowg G longrightarrow 0 signifie que f est injectif, g surjectif et que la bijection canonique associée à g… ↩ 1 05K2
Remarque 3 Si on a une suite exacte à 4 termes E xrightarrowf F xrightarrowg G xrightarrowh H le conoyau de f est F/f(E) = F/\overline{g}^{-1}(0) et le noyau de h est g(F); la bijection canon… 05K3
Remarque 4 Considérons un couple d’homomorphismes de A-modules (15) E xrightarrowf F xrightarrowg G. Pour que le diagramme (15) soit une suite exacte, il faut et il suffit qu’il existe deux A… 0DFD
Proposition 4 Soit E = ∏_i ∈ I Eᵢ le produit d’une famille de A-modules (Eᵢ)_i ∈ I. Pour tout A-module F et toute famille d’applications linéaires fᵢ : F → Eᵢ, il existe une application f de F d… ↩ 2 05K4
Proposition 5 (i) Soient (Eᵢ)_i ∈ I, (Fᵢ)_i ∈ I deux familles de A-modules ayant même ensemble d’indices I; pour toute famille d’applications linéaires fᵢ : Eᵢ → Fᵢ (i ∈ I), l’application f : (x… ↩ 3 05K5
Corollaire Sous les conditions de la prop. 5, (i), on a ↩ 1 05K6
Proposition 6 Soient (Eᵢ)_i ∈ I une famille de A-modules, M un A-module, et pour tout i ∈ I, soit fᵢ : Eᵢ → M une application linéaire. Il existe alors une application linéaire g : ⨁_i ∈ I Eᵢ →… ↩ 11 05K7
Corollaire 1 Soient (Eᵢ)_i ∈ I, (F_λ)_λ ∈ L deux familles de A-modules. L’application Hom_A(⨁_i ∈ I Eᵢ, ∏_λ ∈ L F_λ) → ∏_(i, λ) ∈ I × L Hom_A(Eᵢ, F_λ) qui, à tout g ∈ Hom_A(⨁_i ∈ L Eᵢ, ∏_λ ∈ L… ↩ 8 05K8
Corollaire 2 Soient (Eᵢ)_i ∈ I une famille de A-modules, F un A-module, et pour chaque i ∈ I, soit fᵢ : Eᵢ → F une application linéaire. Pour que f = ∑_i ∈ I fᵢ soit un isomorphisme de E = ⨁_i… ↩ 3 05K9
Proposition 7 (i) Soient (Eᵢ)_i ∈ I, (Fᵢ)_i ∈ I deux familles de A-modules ayant même ensemble d’indices I; pour toute famille d’applications linéaires fᵢ : Eᵢ → Fᵢ (i ∈ I), la restriction à ⨁_i… ↩ 4 05KA
Corollaire 1 Sous les conditions de la prop. 7, (i), on a Ker(f) = ⨁_i ∈ I Ker(fᵢ), Im(f) = ⨁_i ∈ I Im(fᵢ) et on a des isomorphismes canoniques Coïm(f) → ⨁_i ∈ I Coïm(fᵢ), Coker(f) → ⨁_i ∈ I Co… ↩ 3 05KB
Corollaire 2 Soient (Eᵢ)_i ∈ I, (E'ᵢ)_i ∈ I, (F_λ)_λ ∈ L, (F'_λ)_λ ∈ L quatre familles de A-modules, et pour chaque i ∈ I (resp. chaque λ ∈ L) soit uᵢ : E'ᵢ → Eᵢ (resp. v_λ : F_λ → F'_λ) une ap… 05KC
Remarque Rappelons que la définition de la somme directe s’étend aussitôt à une famille (Eᵢ)_i ∈ I de groupes non nécessairement commutatifs, la notation multiplicative remplaçant bien ente… 05KD
Proposition 8 Si une famille (Mᵢ)_i ∈ I de sous-modules de E a une intersection réduite à 0, E est canoniquement isomorphe à un sous-module de ∏_i ∈ I (E/Mᵢ). 05KE
Proposition 9 Le sous-module engendré par une famille (aᵢ)_i ∈ I d’éléments d’un A-module E est l’ensemble des combinaisons linéaires de la famille (aᵢ). ↩ 4 05KF
Corollaire 1 Soient u : E → F une application linéaire, S une partie de E, M le sous-module de E engendré par S. Alors u(M) est le sous-module de F engendré par u(S). ↩ 1 05KG
Remarque Si l’on a u(x) = 0 pour tout x ∈ S, on a aussi u(x) = 0 pour tout x ∈ M. Nous nous référerons parfois à ce résultat sous le nom de « principe de prolongement des identités linéaire… 05KH
Corollaire 2 Le sous-module engendré par la réunion d’une famille (Mᵢ)_i ∈ I de sous-modules d’un module E, est identique à l’ensemble des sommes ∑_i ∈ I xᵢ, où (xᵢ)_i ∈ I parcourt l’ensemble d… ↩ 1 05KI
Corollaire 3 Si (M_λ)_λ ∈ L est une famille filtrante croissante de sous-modules d’un A-module E, la somme ∑_λ ∈ L M_λ est identique à la réunion ⋃_λ ∈ L M_λ. 05KJ
Corollaire 4 Soient 0 longrightarrow E longrightarrow F xrightarrowg G longrightarrow 0 une suite exacte de A-modules, S un système générateur de E, T un système générateur de G. Si T' est une… 05KK
Corollaire 5 Dans une suite exacte 0 → E → F → G → 0 de A-modules, si E et G sont de type fini, il en est de même de F. ↩ 1 05KL
Proposition 10 Soient M, N deux sous-modules d'un A-module E. On a alors deux suites exactes ↩ 3 05KM
Définition 6 On dit qu'un A-module E est somme directe d'une famille (Mᵢ)_i ∈ I de sous-modules de E si l'application canonique ⨁_i ∈ I Mᵢ → E (II, p. 12) est un isomorphisme. ↩ 1 05KN
Remarque 1 Soient (M_ι)_ι ∈ I, (N_ι)_ι ∈ I deux familles de sous-modules d’un module E, ayant même ensemble d’indices; supposons que E soit à la fois somme directe de la famille (M_ι) et de l… ↩ 2 05KO
Proposition 11 Soit (M_ι)_ι ∈ I une famille de sous-modules d’un A-module E. Les propriétés suivantes sont équivalentes: ↩ 1 05KP
Définition 7 On dit qu’un endomorphisme e d’un A-module E est un projecteur si e ∘ e = e (autrement dit, si e est un idempotent dans l’anneau End(E)). Dans End(E), on dit qu’une famille (e_λ)_λ… ↩ 1 05KQ
Proposition 12 Soit E un A-module. ↩ 4 05KR
Corollaire Pour tout projecteur e de E, E est somme directe de l’image M = e(E) et du noyau N = \overline{e}^{-1}(0) de e; pour tout x = x1 + x2 \in E avec x1 \in M et x2 \in N, on a x1 = e(x… ↩ 2 05KS
Définition 8 Dans un A-module E, on dit que deux sous-modules M₁, M₂ sont supplémentaires si E est somme directe de M₁ et M₂. 05KU
Proposition 13 Soient M₁, M₂ deux sous-modules supplémentaires dans un A-module E. La restriction à M₁ de l’application canonique E → E/M₂ est un isomorphisme de M₁ sur E/M₂. ↩ 3 05KV
Corollaire Si M₂ et M'₂ sont tous deux supplémentaires d’un même sous-module M₁ de E, l’ensemble des couples (x, x') ∈ M₂ × M'₂ tels que x - x' ∈ M₁ est le graphe d’un isomorphisme de M₂ sur… ↩ 2 05KW
Définition 9 On dit qu’un sous-module M d’un A-module E est facteur direct de E s’il possède un sous-module supplémentaire dans E. 05KX
Proposition 14 Pour qu’un sous-module M d’un module E soit facteur direct, il faut et il suffit qu’il existe un projecteur de E dont l’image soit M, ou un projecteur de E dont le noyau soit M. ↩ 3 05KY
Proposition 15 Étant donnée une suite exacte de A-modules ↩ 9 05KZ
Corollaire 1 Soit u : E → F une application linéaire. Pour qu’il existe une application linéaire v : F → E telle que u ◦ v = 1F (cas où on dit que u est inversible à droite et que v est inverse… ↩ 1 05L0
Corollaire 2 Soit u : E → F une application linéaire. Pour qu’il existe une application linéaire v : F → E telle que v ◦ u = 1E (cas où on dit que u est inversible à gauche et que v est inverse… ↩ 3 05L1
Remarque 1 Soient M, N deux sous-modules supplémentaires dans un A-module E, p, q les projecteurs de E sur M et N respectivement, correspondant à la décomposition de E en somme directe de M e… 05L2
Remarque 2 Si M, N sont deux sous-modules de E tels que M ∩ N soit facteur direct de M et de N, alors M ∩ N est aussi facteur direct de M + N: en effet, si P (resp. Q) est un supplémentaire d… 0DFE
Proposition 16 Soient M un A-module, N un sous-module de M; pour que M soit de longueur finie, il faut et il suffit que N et M/N le soient, et l’on a ↩ 6 05L3
Corollaire 1 Soit M un A-module de longueur finie; pour qu’un sous-module N de M soit égal à M, il faut et il suffit que long(N) = long(M). ↩ 1 05L4
Corollaire 2 Soit u : M → N un homomorphisme de A-modules. Si M ou N est de longueur finie, il en est de même de Im(u). Si M est de longueur finie, il en est de même de Ker(u) et l’on a ↩ 2 05L5
Corollaire 3 Soit (Mᵢ)_0 ≤ i ≤ n une famille finie de A-modules de longueur finie. S’il existe une suite exacte d’applications linéaires ↩ 5 05L6
Corollaire 4 Soient M et N deux sous-modules de longueur finie d’un A-module E; alors M + N est de longueur finie et l’on a 05L7
Corollaire 5 Soit M un A-module somme d’une famille finie (Nᵢ) de sous-modules de longueur finie. Alors M est de longueur finie et on a ↩ 2 05L8
Corollaire 6 Soient M et N deux sous-modules d’un A-module E tels que E/M et E/N soient des modules de longueur finie; alors E/(M ∩ N) est de longueur finie et l’on a 05L9
Corollaire 7 Soit (Mᵢ) une famille finie de sous-modules d’un A-module E, tels que les E/Mᵢ soient des modules de longueur finie. Alors E/(⋂ᵢ Mᵢ) est de longueur finie, et l’on a 05LA
Remarque A l’exception de II, p. 16, prop. 9, tous les résultats des n°s 2 à 10 sont valables pour les groupes commutatifs à opérateurs quelconques, les sous-modules (resp. les modules quot… 05LB
Proposition 17 Pour tout A-module E et toute application f : T → E il existe une application A-linéaire et une seule g : Aₛ⁽ᵀ⁾ → E telle que f = g ∘ φ. ↩ 5 05LC
Corollaire 1 Soient T, T' deux ensembles, g : T → T' une application. Il existe alors une application A-linéaire f : A⁽ᵀ⁾ → A^(T') et une seule rendant commutatif le diagramme 05LD
Corollaire 2 Pour qu’une famille (aₜ)_t ∈ T d’éléments d’un A-module E soit un système générateur de E, il faut et il suffit que l’application linéaire Aₛ⁽ᵀ⁾ → E déterminée par cette famille so… ↩ 4 05LE
Définition 10 On dit qu’une famille (aₜ)_t ∈ T d’éléments d’un A-module E est une famille libre (resp. est une base de E) si l’application linéaire Aₛ⁽ᵀ⁾ → E déterminée par cette famille est inj… ↩ 2 05LF
Corollaire 3 Soient E un A-module libre, (aₜ)_t ∈ T une base de E, F un A-module, (bₜ)_t ∈ T une famille d’éléments de F. Il existe une application linéaire f : E → F et une seule telle que l’o… ↩ 11 05LG
Proposition 18 Pour qu’une famille (aₜ)_t ∈ T d’éléments d’un module E soit libre, il faut et il suffit que toute sous-famille finie de (aₜ)_t ∈ T soit libre. 05LH
Proposition 19 Soit E un A-module, somme directe d’une famille (M_λ)_λ ∈ L de sous-modules. Si, pour chaque λ ∈ L, S_λ est une partie libre (resp. un ensemble générateur, une base) de M_λ, alors… 05LI
Remarque 2 Un module libre peut avoir des éléments ≠ 0 qui ne sont pas libres: par exemple, le A-module Aₛ est libre mais les diviseurs de zéro à droite dans A ne sont pas des éléments libres… 05LK
Remarque 3 Dans le groupe additif Z/(n) (n entier geqslant 2) considéré comme Z-module, aucun élément n’est libre, et a fortiori Z/(n) n’est pas un module libre. 05LN
Remarque 4 Il peut se faire que tout élément ≠ 0 d’un A-module soit libre, sans que ce module soit libre. Par exemple, le corps Q des nombres rationnels est un Z-module qui possède cette prop… 0DFF
Proposition 20 Tout A-module E est isomorphe à un module quotient d’un A-module libre. ↩ 4 05LL
Proposition 21 Toute suite exacte de A-modules ↩ 10 05LM
Définition 11 On appelle annulateur d’une partie S d’un A-module E l’ensemble des éléments α ∈ A tels que α x = 0 pour tout x ∈ S. ↩ 1 05LO
Définition 12 On dit qu’un module est monogène s’il est engendré par un seul élément. 05LP
Exemple 1 Tout groupe monogène étant commutatif (I, p. 47, prop. 18) est un Z-module monogène. 05LQ
Exemple 2 Si A est un anneau commutatif, les sous-modules monogènes du A-module A ne sont autres que les idéaux principaux (I, p. 99) de l’anneau A. 0DFG
Exemple 3 Tout A-module simple E est monogène, puisque le sous-module de E engendré par un élément ≠ 0 de E est nécessairement égal à E. 0DFH
Proposition 22 Soit A un anneau. Tout module quotient de Aₛ est monogène. Inversement, soient E un A-module monogène, c un générateur de E, et a son annulateur; l’application linéaire ξ ↦ ξ c déf… ↩ 2 05LR
Corollaire Tout sous-module d’un A-module monogène E est isomorphe à un module quotient b/a, où a et b sont deux idéaux à gauche de A tels que a ⊂ b. Tout module quotient d’un A-module monogè… 05LS
Proposition 23 Soit E un A-module, somme directe d’une famille infinie (Mᵢ)_i ∈ I de sous-modules non réduits à 0. Pour tout système générateur S de E, on a Card(S) geqslant Card(I). ↩ 2 05LT
Corollaire 1 Les hypothèses étant celles de la prop. 23, supposons que chaque Mᵢ soit monogène, et que E soit somme directe d’une seconde famille (N_λ)_λ ∈ L de sous-modules monogènes non rédui… 05LU
Corollaire 2 Si un module E admet une base infinie B, tout système générateur de E a un cardinal geqslant Card(B), et toute base de E est équipotente à B. ↩ 1 05LV
Proposition 24 Soient A, B deux anneaux, ρ : B → A un homomorphisme d’anneaux. 05LW
Proposition 25 Soient A, B deux anneaux, φ : B → A un homomorphisme d’anneaux, E un A-module. Soit (α_λ)_λ ∈ L un système générateur (resp. une famille libre d’éléments, une base) de A considéré… ↩ 11 05LX
Corollaire Si A est un B-module à gauche de type fini et E un A-module à gauche de type fini, ρ_*(E) est un B-module à gauche de type fini. 05LY
Remarque 1 Soient K un corps, A un sous-anneau de K ayant la propriété suivante: pour toute famille finie (ξᵢ)_1 ≤ i ≤ n d’éléments de K, il existe un γ ∈ A, non nul et tel que γ ξᵢ ∈ A pour… 05LZ
Remarque 2 Si l’homomorphisme d’anneaux ρ : B → A est surjectif, et si b est son noyau (de sorte que A s’identifie canoniquement à B/b), alors, pour tout A-module E, b est contenu dans l’annu… 0DFI
Exemple On a vu (II, p. 2) qu’une homothétie h_α : x ↦ α x dans un A-module E n’est pas nécessairement une application linéaire. Mais si α est inversible, h_α est une application semi-liné… 05M0
Définition 13 Soient (A_λ)_λ ∈ L, (B_μ)_μ ∈ M deux familles d’anneaux; on appelle ((A_λ), (B_μ))-multimodule (ou multimodule sur les familles d’anneaux (A_λ)_λ ∈ L, (B_μ)_μ ∈ M) un ensemble E mu… 05M1
Exemple 1 Sur un anneau A, les structures de module de Aₛ et A_d sont compatibles, et A peut donc être canoniquement considéré comme un (A, A)-bimodule. ↩ 2 05M2
Exemple 2 Un A-module à gauche E est canoniquement muni d’une structure de module à gauche sur l’anneau End_A(E), et sur E la structure de A-module et celle de End_A(E)-module sont compatibl… 0DFJ
Remarque 1 Soient F un A-module, C le centre de l’anneau A; comme les homothéties centrales permutent à toutes les homothéties, F est muni d’une structure de bimodule dont les anneaux d’opéra… ↩ 1 05M3
Remarque 2 Soit E un A-module à gauche; comme A est canoniquement muni d’une structure de (A, A)-bimodule, il en est de même de la somme directe A⁽ᵀ⁾ pour tout ensemble d’indices T; d’après c… 0DFK

§ 2. Modules d’applications linéaires. Dualité

Théorème 1 Soient A un anneau, E', E, E'' trois A-modules, u : E' → E, v : E → E'' deux homomorphismes. Pour que la suite ↩ 8 05MV
Corollaire Pour qu’une application A-linéaire u : E → F soit surjective (resp. bijective, resp. nulle), il faut et il suffit que, pour tout A-module G, l’application Hom(u, 1_G) : Hom(F, G) →… 05MW
Proposition 1 Si la suite exacte d’applications linéaires ↩ 1 05MX
Théorème 2 Soient A un anneau, F', F, F'' trois A-modules, u: F' \to F, v: F \to F'' deux homomorphismes. Pour que la suite ↩ 3 05MY
Corollaire Pour qu’une application A-linéaire u : E → F soit injective, il faut et il suffit que pour tout A-module G, l’application Hom(1_G, u) : Hom(G, E) → Hom(G, F) soit injective. 05N0
Proposition 2 Si la suite exacte 0 longrightarrow F' xrightarrowu F xrightarrowv F'' longrightarrow 0 est scindée (autrement dit, si u(F') est facteur direct de F), la suite 0 longrightarrow Hom… ↩ 1 05N1
Définition 1 On dit qu’un A-module P est projectif si, pour toute suite exacte F' → F → F'' d’applications A-linéaires, la suite Hom(P, F') → Hom(P, F) → Hom(P, F'') est exacte. ↩ 2 05N2
Proposition 3 Pour qu’un A-module P, somme directe d’une famille de sous-modules (Mᵢ), soit projectif, il faut et il suffit que chacun des Mᵢ soit projectif. En effet, pour tout homomorphisme u… ↩ 2 05N3
Corollaire Tout A-module libre est projectif. Il suffit en effet, en vertu de la prop. 3, de montrer que Aₛ est projectif, ce qui résulte aussitôt de la commutativité du diagramme (50) de II… 05N4
Proposition 4 Soit P un A-module. Les propriétés suivantes sont équivalentes: a) P est projectif. b) Pour toute suite exacte 0 → F' → F → F'' → 0 d’applications A-linéaires, la suite 0 → Hom(P… ↩ 18 05N5
Corollaire 1 Pour qu’un A-module soit projectif et de type fini, il faut et il suffit qu’il soit facteur direct d’un A-module libre ayant une base finie. ↩ 4 05N6
Corollaire 2 Soient C un anneau commutatif, E, F deux C-modules projectifs de type fini; alors HomC(E, F) est un C-module projectif de type fini. 05N7
Définition 2 Pour tout A-module à gauche E, le A-module à droite Hom_A(E, Aₛ) s’appelle le module dual de E (ou simplement le dual¹ de E) et ses éléments s’appellent les formes linéaires sur E. ↩ 1 05N8
Exemple \ Sur l’espace vectoriel (par rapport au corps R) des fonctions numériques continues dans un intervalle [a, b] de R, l’application x ↦ ∫ₐᵇ x(t)dt est une forme linéaire. 05N9
Proposition 5 Pour tout anneau A, l’application qui, à tout ξ ∈ A, fait correspondre la forme linéaire η ↦ η ξ sur Aₛ, est un isomorphisme de A_d sur le dual de Aₛ. ↩ 1 05NA
Définition 3 Soient E un A-module, E^* son dual; on dit qu’un élément x ∈ E et un élément x^* ∈ E^* sont orthogonaux si ⟨ x, x^* ⟩ = 0. 05NB
Définition 4 Étant donnée une partie M de E (resp. une partie M' de E), on appelle sous-module totalement orthogonal à M (resp. M') (ou simplement sous-module orthogonal à M (resp. M') si aucun… ↩ 1 05NC
Proposition 6 Soient M, N deux parties de E telles que M \subset N; si M' et N' sont les sous-modules de E orthogonaux à M et N respectivement, on a N' \subset M'. ↩ 1 05ND
Proposition 7 Soit (Mi) une famille de parties de E; le sous-module orthogonal à la réunion des Mi est l’intersection des sous-modules M'i respectivement orthogonaux aux Mi; ce sous-module est a… 05NE
Définition 5 Pour toute application linéaire u d’un A-module E dans un A-module F, on appelle transposée de u et on note ᵗ u l’application linéaire y^* ↦ y^* ∘ u du dual F de F dans le dual E d… ↩ 1 05NF
Remarque On déduit de (17) et (18) que si u est inversible à gauche (resp. à droite), t u est inversible à droite (resp. à gauche). 05NG
Proposition 8 Soient u : E → F une application A-linéaire, M un sous-module de E, M' l’orthogonal de M dans E^*; l’orthogonal de u(M) dans F^* est l’image réciproque t u⁻¹(M'). 05NH
Corollaire L’orthogonal de l’image u(E) dans F^* est le noyau t u⁻¹(0) de t u. ↩ 2 05NI
Définition 6 Étant donné un isomorphisme u d’un A-module E sur un A-module F, on appelle isomorphisme contragrédient de u et on note checku le transposé de l’isomorphisme réciproque de u (égal… ↩ 1 05NJ
Proposition 9 Soient E', E, E'' des A-modules, 05NK
Corollaire Soient M un sous-module d’un A-module E, φ : E → E/M l’homomorphisme canonique. Alors ᵗ φ est un isomorphisme du dual de E/M sur le sous-module M' de E^* orthogonal à M. ↩ 3 05NL
Proposition 10 Soit (Eᵢ)_i ∈ I une famille de A-modules, et pour tout i ∈ I, soit jᵢ : Eᵢ → E = ⨁_i ∈ I Eᵢ l’injection canonique. Alors l’application produit x^* ↦ (jᵢ(x^*)) est un isomorphisme d… ↩ 4 05NM
Corollaire Soient M, N deux sous-modules supplémentaires dans un A-module E, p : E → M, q : E → N les projecteurs correspondants; alors ᵗ p + ᵗ q : M^* ⊕ N^* → E^* est un isomorphisme, et ᵗ p… ↩ 2 05NN
Proposition 11 Le dual d’un module libre ayant une base de n éléments est un module libre ayant une base de n éléments. ↩ 1 05NO
Définition 7 Si E est un module libre ayant une base finie (eₜ), on appelle base duale de (eₜ) la base (eₜ^*) du dual E^* de E définie par les relations (23). 05NP
Corollaire Le dual d’un module projectif de type fini est un module projectif de type fini. 05NQ
Proposition 12 Soient E un A-module, (aₜ)_t ∈ T un système générateur de E. Les conditions suivantes sont équivalentes: ↩ 5 05NR
Proposition 13 Si E est un module libre (resp. un module libre ayant une base finie), l’application canonique c_E : E → E^** est injective (resp. bijective). 05NS
Corollaire 1 Soit E un A-module libre ayant une base finie; pour toute base (eₜ) de E, (c_E(eₜ)) est la base duale de la base (eₜ^*) de E^*, duale de (eₜ). 05NT
Corollaire 2 Si E est un A-module libre ayant une base finie, toute base finie de E^* est la base duale d’une base de E. 05NU
Corollaire 3 Soient E, F deux A-modules ayant chacun une base finie, E (resp. F) étant canoniquement identifié à son bidual E^** resp. F). Pour toute application linéaire u : E → F, on a alors… 05NV
Corollaire 4 Si P est un module projectif (resp. un module projectif de type fini) l’application canonique c_P : P → P^** est injective (resp. bijective). ↩ 5 05NW
Lemme 1 Soient M, N deux sous-modules supplémentaires dans un A-module E, i : M → E, j : N → E les injections canoniques. Alors le diagramme (28) 05NX
Proposition 14 Si x₀ est une solution de l’équation linéaire u(x) = y₀, l’ensemble des solutions de cette équation est égal à l’ensemble des éléments x₀ + z, où z parcourt l’ensemble des solution… ↩ 1 05NY
Proposition 15 Soit u une application linéaire d’un module E dans un module F. Si l’équation u(x) = y₀ a au moins une solution, y₀ est orthogonal au noyau de ᵗ u. ↩ 1 05NZ
Remarque 1 Soient E un A-module, (Fᵢ)_i ∈ I une famille de A-modules, et pour tout i ∈ I, soit uᵢ : E → Fᵢ une application linéaire. Tout système d’équations linéaires uᵢ(x) = yᵢ (i ∈ I) où l… 05O0
Remarque 2 Supposons que E admette une base (a_λ)_λ ∈ L; si on pose u(a_λ) = b_λ pour tout λ ∈ L, dire que x = ∑_λ ∈ L ξ_λ a_λ vérifie l’équation u(x) = y₀ équivaut à dire que la famille (de… 0DFL
Remarque 3 Une équation linéaire u(x) = y₀ est dite scalaire lorsque F = Aₛ, et par suite u est une forme linéaire sur E et y₀ un scalaire. Si E admet une base (a_λ)_λ ∈ L, il résulte de la R… 0DFM
Remarque 4 Un système linéaire (32) est encore appelé système d’équations linéaires scalaires à gauche lorsqu’il y a lieu d’éviter des confusions. Un système d’équations ∑_λ ∈ L α_λ l ξ_λ = η… 0DFN

§ 3. Produits tensoriels

Proposition 1 a) Soit g une application Z-linéaire de E ⊗_A F dans un Z-module G. L’application (x, y) ↦ f(x, y) = g(x ⊗ y) de E × F dans G est Z-bilinéaire et vérifie les conditions (1). ↩ 8 05OS
Corollaire 1 Soient H un Z-module, h : E × F → H une application Z-bilinéaire vérifiant les conditions (1) et telle que H soit engendré par h(E × F). Supposons que pour tout Z-module G et toute… ↩ 1 05OT
Corollaire 2 Désignons par E⁰ (resp. F⁰) le module E (resp. F) considéré comme module à gauche (resp. à droite) sur l’anneau opposé A⁰; il existe alors un isomorphisme σ : E ⊗_A F → F⁰ ⊗_A⁰ E⁰… ↩ 3 05OU
Remarque Le produit tensoriel de modules non réduits à 0 peut se réduire à 0 : par exemple, si l’on considère les deux Z-modules E = Z/2Z et F = Z/3Z, on a 2x = 0 et 3y = 0 quels que soient… 05OV
Proposition 2 Soient A, B deux anneaux, ρ : B → A un homomorphisme d’anneaux, E (resp. F) un A-module à droite (resp. à gauche). Il existe alors une application Z-linéaire et une seule φ : ρ_*(E… ↩ 1 05OW
Corollaire Soient 𝔍 un idéal bilatère de A, tel que 𝔍 soit contenu dans l’annulateur de E et dans l’annulateur de F, de sorte que E (resp. F) est canoniquement muni d’une structure de (A/𝔍)-m… ↩ 1 05OX
Proposition 3 Soit G un ((B'ᵢ), (B''ₕ); (C'ⱼ), (C''ₖ))-multimodule. ↩ 2 05OY
Scholie Un élément de E ⊗_A F s’écrit en général de plusieurs manières sous la forme ∑ᵢ (xᵢ ⊗ yᵢ), où xᵢ ∈ E et yᵢ ∈ F; mais pour définir une application linéaire g du multimodule E ⊗_A F… 05OZ
Proposition 4 Si E est un A-module à droite, l’application h : x ↦ x ⊗ 1 de E dans E ⊗_A (ₛA_d) est un isomorphisme de A-modules à droite, dont l’isomorphisme réciproque g est tel que g(x ⊗ λ) =… ↩ 16 05P0
Remarque 1 Soient A, B deux anneaux commutatifs, ρ : B → A un homomorphisme d’anneaux, E et F deux A-modules; alors l’application canonique (6) de II, p. 53 est une application B-linéaire 05P1
Remarque 2 Les considérations de ce n° peuvent se généraliser au cas suivant: soient E un A-module à droite, F un A-module à gauche, C un anneau commutatif, ρ : C → A un homomorphisme de C da… 0DFO
Remarque 3 Soient A un anneau intègre, K son corps des fractions. Si E et F sont deux K-espaces vectoriels, l’application canonique 0DFP
Proposition 5 Soient E, E', E'' des A-modules à droite, F un A-module à gauche, ↩ 8 05P2
Corollaire Soient F, F', F'' des A-modules à gauche, E un A-module à droite, ↩ 2 05P3
Remarque On notera qu’en général, si E' est un sous-module d’un A-module à droite E, j : E' → E l’injection canonique, l’application j ⊗ 1_F : E' ⊗ F → E ⊗ F n’est pas nécessairement inject… 05P4
Proposition 6 Si on a les deux suites exactes (14) et (16) (II, p. 58), l’homomorphisme v ⊗ t : E ⊗_A F → E'' ⊗_A F'' est surjectif et son noyau est égal à ↩ 4 05P5
Corollaire 1 Soient E' un sous-module d’un A-module à droite E, F' un sous-module d’un A-module à gauche F, Im(E' \otimesA F) et Im(E \otimesA F') les sous-\mathbf{Z}-modules de E \otimesA F, i… ↩ 2 05P6
Corollaire 2 Soient a un idéal à droite de A, F un A-module à gauche, aF le sous-\mathbf{Z}-module de F engendré par les éléments de la forme λ x, où λ ∈ a et x ∈ F. On a alors un isomorphisme… ↩ 1 05P7
Corollaire 3 Soient A un anneau commutatif, a un idéal de A, E et F deux A-modules, tels que a soit contenu dans l’annulateur de F. Alors les (A/a)-modules E \otimesA F et (E/aE) \otimes{A/a} F… ↩ 1 05P8
Corollaire 4 Soient a, b deux idéaux dans un anneau commutatif C; le C-module (C/a) \otimesC (C/b) est alors canoniquement isomorphe à C/(a + b). ↩ 1 05P9
Proposition 7 L’application canonique (23) est bijective. ↩ 15 05PA
Corollaire 1 Si le A-module à gauche F admet une base (b_μ)_μ ∈ M, tout élément de E ⊗_A F s’écrit d’une seule manière sous la forme ∑_μ (x_μ ⊗ b_μ), où x_μ ∈ E et la famille (x_μ) a un support… ↩ 9 05PB
Corollaire 2 Si E et F sont deux modules libres sur un anneau commutatif C, et si (a_λ) (resp. (b_μ)) est une base du C-module E (resp. F), alors (a_λ ⊗ b_μ) est une base du C-module E ⊗_C F. ↩ 9 05PC
Corollaire 3 Soient (E_λ)_λ ∈ L une famille de A-modules à droite, F un A-module à gauche libre (resp. libre et de type fini). Alors l’application canonique (22) ↩ 2 05PD
Corollaire 4 Soient A un anneau sans diviseur de zéro, E un A-module à droite libre, F un A-module à gauche libre. Alors la relation x ⊗ y = 0 dans E ⊗_A F entraîne x = 0 ou y = 0. ↩ 1 05PE
Corollaire 5 Soient E un A-module à droite, F un A-module à gauche, M un sous-module de E, N un sous-module de F. Si M est facteur direct de E et N facteur direct de F, l’homomorphisme canoniqu… ↩ 4 05PF
Corollaire 6 Soient P un A-module à gauche projectif, E, F deux A-modules à droite. Pour tout homomorphisme injectif u : E → F, l’homomorphisme ↩ 4 05PG
Corollaire 7 Soit C un anneau commutatif. Si E et F sont deux C-modules projectifs, E ⊗_C F est un C-module projectif. 05PH
Proposition 8 Soient A, B deux anneaux, E un A-module à droite, F un (A, B)-bimodule, G un B-module à gauche. Alors E ⊗_A F est un B-module à droite, F ⊗_B G un A-module à gauche, et il existe u… ↩ 6 05PJ
Remarque 1 Les considérations précédentes relatives au cas des modules sur un anneau commutatif se généralisent comme dans II, p. 57, Remarque 2 lorsqu’il s’agit d’un produit tensoriel E₁ ⊗_A… 05PK
Remarque 2 Soient A, B deux anneaux, E un A-module à droite, E' un A-module à gauche, F un B-module à droite, F' un B-module à gauche. Les applications Z-bilinéaires de (E ⊗_A E') × (F ⊗_B F'… 0DFQ

§ 4. Relations entre produits tensoriels et modules d'homomorphismes

Proposition 1 a) Soient E un (B, A)-bimodule, F un A-module à gauche, G un B-module à gauche. Pour toute application g ∈ Hom_B(E ⊗_A F, G), soit g' l’application de F dans Hom_B(E, G) définie pa… ↩ 4 05PP
Corollaire Si C est un anneau commutatif, E, F, G trois C-modules, alors les C-modules 0DFR
Proposition 2 (i) Lorsque F est un B-module projectif (resp. projectif de type fini), l’homomorphisme canonique (7) est injectif (resp. bijectif). ↩ 7 05PR
Lemme 1 Pour tout homomorphisme u : F → F', le diagramme ↩ 1 05PS
Lemme 2 Soient M, N deux sous-modules supplémentaires dans F, et soient i : M \to F, j : N \to F les injections canoniques. Le diagramme ↩ 1 05PT
Lemme 3 Sous les hypothèses du lemme 2, pour que ν_F soit injective (resp. surjective), il faut et il suffit que ν_M et ν_N le soient. 05PU
Lemme 4 Pour tout homomorphisme v : E → E', le diagramme 05PV
Lemme 5 Soient M et N deux sous-modules supplémentaires dans E, et soient p : E → M, q : E → N les projections canoniques. Le diagramme 05PW
Corollaire (i) Lorsque F est un module projectif (resp. projectif de type fini), l’homomorphisme canonique (11) est injectif (resp. bijectif). ↩ 3 05PX
Proposition 3 Soient C un anneau commutatif, E, F deux C-modules projectifs de type fini, u : E → F et v : F → E deux applications linéaires; on a alors Tr(v ∘ u) = Tr(u ∘ v). tag20 ↩ 3 05PY
Corollaire Si u₁, …, uₚ sont des endomorphismes de E, on a Tr(u₁ ∘ u₂ ∘ ⋯ ∘ uₚ) = Tr(uᵢ ∘ uᵢ₊₁ ∘ ⋯ ∘ uₚ ∘ u₁ ∘ ⋯ ∘ uᵢ₋₁) pour 1 ≤ i ≤ p (« invariance de la trace par permutation circulaire »)… 05PZ
Proposition 4 Lorsque l’un des couples (E₁, E₂), (E₁, F₁), (E₂, F₂) est formé de C-modules projectifs de type fini, l’homomorphisme canonique (21) est bijectif. ↩ 3 05Q0
Corollaire 1 Si l’un des modules E, F est projectif et de type fini, l’homomorphisme canonique (23) est bijectif. ↩ 2 05Q1
Corollaire 2 Soient E1, E2 deux C-modules projectifs de type fini, u1 un endomorphisme de E1, u2 un endomorphisme de E2; on a alors 05Q2
Remarque Si E, F, G sont trois C-modules quelconques, on vérifie aussitôt que le diagramme 05Q3

§ 5. Extension de l'anneau des scalaires

Proposition 1 Pour tout A-module à gauche E, l’application φ : x ↦ 1 ⊗ x de E dans le A-module ρ(ρ(E)) est A-linéaire, et l’ensemble φ(E) engendre le B-module ρ(E). En outre, pour tout B-module… ↩ 5 05QD
Remarque 1 La prop. 1 montre que le couple formé de E(B) et de φE est solution du problème d’application universelle (E, IV, p. 23), où Σ est l’espèce de structure de B-module à gauche (les m… ↩ 1 05QE
Remarque 2 Si E est un (A, (C'i); (D'j))-multimodule, F un (B, (C''h); (D''k))-multimodule, alors l’isomorphisme (2) est linéaire pour les structures de ((D'j), (C''h); (C'i), (D''k))-multimo… 0DFS
Remarque 3 Soient E un A-module à gauche, a un idéal bilatère de A, ρ : A → A/a l’homomorphisme canonique. Avec les notations de II, p. 60, cor. 2, le A-module E/aE est annulé par a, et est d… 0DFT
Corollaire Soient E, E’ deux A-modules à gauche; pour toute application A-linéaire u : E → E’, v = 1B ⊗ u est l’unique application B-linéaire rendant commutatif le diagramme 05QF
Proposition 2 Soient ρ : A → B, σ : B → C des homomorphismes d’anneaux. Pour tout A-module à gauche E, il existe un C-homomorphisme et un seul ↩ 9 05QG
Proposition 3 Soient A, B deux anneaux commutatifs, ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux, E, E' deux A-modules. Il existe un B-homomorphisme et un seul ↩ 3 05QH
Proposition 4 Soit E un A-module admettant une base (a_λ)_λ ∈ L; si φ : x ↦ 1 ⊗ x est l’application canonique de E dans ρ^*(E), alors (φ(a_λ))_λ ∈ L est une base de ρ^*(E). Si ρ est injectif, il… ↩ 9 05QI
Corollaire Pour tout A-module projectif E, le B-module ρ^*(E) est projectif. Si en outre ρ est injectif, l’application canonique de E dans ρ^*(E) est injective. ↩ 5 05QJ
Proposition 5 Soient E un A-module à gauche, F un B-module à gauche; les applications composées beginarraycccc ρ^*(E) & xrightarrowρ^*(φ_E) & ρ^*(ρ_*(ρ^*(E))) \\ & & xrightarrowψ_ρ^*(E) & ρ^*(E)… ↩ 1 05QK
Corollaire Les applications ρ^*(φ_E) et φ_ρ^*(F) sont injectives et identifient respectivement ρ^*(E) à un facteur direct de ρ^*(ρ_*(ρ^*(E))) et ρ_*(F) à un facteur direct de ρ_*(ρ^*(ρ_*(F)))… 05QL
Proposition 6 Soient E un A-module à gauche, F un B-module à droite. Il existe un Z-homomorphisme et un seul ρ_*(F) ⊗_A E → F ⊗_B ρ^*(E) ↩ 3 05QM
Proposition 7 Soient A un anneau commutatif, B un anneau, ρ : A → B un homomorphisme central, E, F deux A-modules. (i) Si B est un A-module projectif (resp. projectif de type fini), l’homomorphi… ↩ 1 05QN
Proposition 8 Si l’un des A-modules E, ρ_*(Bₛ) est projectif de type fini, l’homomorphisme v_E est bijectif. Cela résulte de ce qui précède et de II, p. 75, prop. 2. ↩ 4 05QO
Proposition 9 Soient B un anneau, A un sous-anneau de B, P un A-module à gauche projectif. Alors, si P_(B) est un B-module de type fini, P est lui-même un A-module de type fini. ↩ 1 05QP

§ 6. Limites projectives et limites inductives de modules

Proposition 1 Soient (E_α, f_α β), (E'_α, f'_α β), (E''_α, f''_α β) trois systèmes projectifs de A_α-modules, (u_α), (v_α) deux systèmes projectifs d’applications A_α-linéaires tels que les suit… ↩ 1 05QX
Remarque 1 La prop. 1 et sa démonstration sont valables pour des groupes quelconques, au changement de notation près. ↩ 1 05QY
Remarque 2 On notera que si l’on a des suites exactes 0 longrightarrow E'_α xrightarrowu_α E_α xrightarrowv_α E''_α longrightarrow 0 il n’en résulte pas nécessairement que la suite 0 longrigh… 0DFU
Proposition 2 Pour tout système projectif (E_α, f_α β) de A-modules et tout A-module F, l’application canonique u ↦ (f_α ∘ u) est un isomorphisme de Z-modules (2) l_F : Hom_A(F, lim_← E_α) → lim… ↩ 1 05QZ
Corollaire Pour tout homomorphisme v : F → F' de A-modules, les barv_α = Hom(v, 1_E_α) : Hom(F', E_α) → Hom(F, E_α) forment un système projectif d’applications Z-linéaires, et le diagramme (3… 05R0
Proposition 3 Soient (E_α, f_β α), (E'_α, f'_β α), (E''_α, f''_β α) trois systèmes inductifs de A_α-modules, (u_α), (v_α) deux systèmes inductifs d’applications A_α-linéaires tels que les suites 05R1
Proposition 4 Soient (E_α, f_β α) un système inductif de A_α-modules, E = lim E_α sa limite inductive, φ_α : A_α → A et f_α : E_α → E les applications canoniques pour tout α ∈ I. Si, pour tout α… ↩ 2 05R2
Proposition 5 Les hypothèses et notations étant celles de la prop. 4, on suppose que pour tout α ∈ I, E_α soit somme directe d’une famille (M^λ_α)_λ ∈ L de sous-modules (l’ensemble d’indices L é… ↩ 3 05R3
Corollaire Soit (P_α) un système inductif de parties des E_α, et soit P = lim P_α. Si pour tout α ∈ I, P_α est une partie libre (resp. une base) de E_α, alors P est une partie libre (resp. un… ↩ 1 05R4
Proposition 6 Pour tout système inductif (E_α, f_β α) de A-modules et tout A-module F, l’application canonique u ↦ (u ∘ f_α) est un isomorphisme de Z-modules 05R5
Corollaire 1 Pour tout homomorphisme v : F → F' de A-modules, les barv_α = Hom(1_E_α, v) : Hom(E_α, F) → Hom(E_α, F') forment un système projectif d’applications Z-linéaires, et le diagramme 05R6
Corollaire 2 Si (E_α, f_β α) est un système inductif de A-modules à gauche et E = lim_longrightarrow E_α, (E^*_α, t f_β α) est un système projectif de A-modules à droite, et lim_longleftarrow E… 05R7
Remarque Soient E un A-module, (M_α)_α ∈ I une famille croissante de sous-modules de E telle que E soit réunion des M_α; si j_β α : M_α → M_β (pour α ≤ β) et j_α : M_α → E sont les injectio… 05R8
Proposition 7 L’application Z-linéaire (7) est bijective. ↩ 8 05R9
Corollaire 1 Soit (E'_α, f'_β α) (resp. (F'_α, g'_β α)) un second système inductif de A_α-modules à droite (resp. à gauche); pour tout α ∈ I, soit u_α : E_α → E'_α (resp. v_α : F_α → F'_α) une… 05RA
Corollaire 2 Soit (E_α, f_β α) un système inductif de A_α-modules à droite et soit E'_α = E_α ⊗_A_α A le A-module obtenu par extension à A = lim → A_α de l’anneau des scalaires au moyen de l’ho… 05RB
Corollaire 3 Soient A un anneau, (E_α, f_βα) un système inductif de A-modules à droite, F un A-module à gauche. Alors les Z-modules varprojlim (E_α ⊗_A F) et (varprojlim E_α) ⊗_A F sont canoniq… 05RC
Corollaire 4 Soient M un A-module à droite, N un A module à gauche, (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n une famille d’éléments de M, (yᵢ)_1 ≤ i ≤ n une famille d’éléments de N, telles que ∑ᵢ (xᵢ ⊗ yᵢ) = 0 dans M ⊗_… ↩ 1 05RD

§ 7. Espaces vectoriels

Théorème 1 Tout espace vectoriel sur un corps K est un K-module libre. ↩ 5 05RI
Théorème 2 Étant donnés un système générateur S d’un espace vectoriel E sur un corps K, et une partie libre L de E contenue dans S, il existe une base B de E telle que L ⊂ B ⊂ S. ↩ 11 05RJ
Lemme 1 Soit (aᵢ)_i ∈ I une famille libre d’éléments de E; si b ∈ E n’appartient pas au sous-espace F engendré par (aᵢ), la partie de E formée des aᵢ et de b est libre. ↩ 1 05RK
Corollaire Pour une partie B d’un espace vectoriel E, les propriétés suivantes sont équivalentes: a) B est une base de E. b) B est une partie libre maximale de E. c) B est un système générate… ↩ 1 05RL
Exemple Étant donné un anneau A et un sous-corps K de A, A est un espace vectoriel (à droite ou à gauche) sur K, et admet donc une base; en particulier, tout surcorps d’un corps K possède… 05RM
Remarque Pour qu’une famille (aᵢ)_i ∈ I d’éléments d’un espace vectoriel E sur un corps K soit libre, il faut et il suffit que, pour tout κ ∈ I, a_κ n’appartienne pas au sous-espace de E en… 05RN
Théorème 3 Deux bases d’un même espace vectoriel E sur un corps K sont équipotentes. ↩ 2 05RO
Définition 1 On appelle dimension d’un espace vectoriel E sur un corps K et on note dim_K E ou [E: K] (ou simplement dim E) le cardinal d’une quelconque des bases de E. Si M est une partie de E… ↩ 1 05RP
Corollaire Pour toute partie M de E, le rang de M est au plus égal à dim E. 05RQ
Proposition 1 (i) Pour qu’un espace vectoriel à gauche sur K soit de dimension finie n, il faut et il suffit qu’il soit isomorphe à Kₛⁿ. ↩ 2 05RR
Proposition 2 Soit (Eₜ)_t ∈ I une famille d’espaces vectoriels sur K. On a ↩ 3 05RS
Proposition 3 Soient A un anneau, tel qu’il existe un homomorphisme ρ de A dans un corps D; alors, pour tout A-module libre E, deux bases quelconques de E sont équipotentes. ↩ 3 05RU
Corollaire Si A est un anneau commutatif ≠ 0, E un A-module libre, deux bases quelconques de E sont équipotentes. ↩ 2 05RV
Remarque 2 Lorsqu’un A-module libre E est tel que deux bases quelconques de E soient équipotentes, le cardinal d’une base quelconque de E sur A s’appelle encore la dimension ou le rang de E e… 05RW
Remarque 3 Soit A un anneau tel que deux bases quelconques d’un A-module libre soient équipotentes, et soit K un sous-corps de A, de sorte que A peut être considéré comme espace vectoriel à g… 0DFV
Remarque 4 Nous verrons au chapitre VIII des exemples d’anneaux vérifiant la conclusion de la prop. 3, mais non l’hypothèse. 0DFW
Proposition 4 Tout sous-espace F d’un espace vectoriel E est facteur direct de E, et on a ↩ 7 05RX
Corollaire 1 Si E, F, G sont des espaces vectoriels sur un corps K, toute suite exacte d’applications linéaires 0 → E → F → G → 0 est scindée. 05RY
Corollaire 2 Soit (Eᵢ)_0 ≤ i ≤ n une famille finie d’espaces vectoriels sur un corps K. S’il existe une suite exacte d’applications linéaires ↩ 3 05RZ
Corollaire 3 Si M et N sont deux sous-espaces d’un espace vectoriel E, on a dim(M + N) + dim(M ∩ N) = dim M + dim N. Il suffit d’appliquer le cor. 2 à la suite exacte 0 → M ∩ N → M ⊕ N → M + N… ↩ 1 05S0
Corollaire 4 Pour tout sous-espace F d’un espace vectoriel E, on a dim F ≤ dim E; si E est de dimension finie, la relation dim F = dim E est équivalente à F = E. La première assertion est évide… ↩ 4 05S1
Corollaire 5 Si un espace vectoriel E est somme d’une famille (Fᵢ) de sous-espaces vectoriels, on a dim E ≤ ∑ᵢ dim Fᵢ. Si en outre dim E est fini, les deux membres de (8) sont égaux si et seule… 05S2
Définition 2 Étant donné un espace vectoriel E, on appelle codimension (par rapport à E) d’un sous-espace F de E, et on note codim_E F, ou simplement codim F, la dimension de E/F (égale à celle… 05S3
Proposition 5 Soient F, F' deux sous-espaces d’un espace vectoriel E, tels que F ⊂ F'. On a alors codim_E F' ≤ codim_E F ≤ dim E. Si codim_E F est finie, la relation codim_E F' = codim_E F entra… 05S4
Proposition 6 Si M et N sont deux sous-espaces d’un espace vectoriel E, on a codim(M + N) + codim(M ∩ N) = codim M + codim N. (10) Il suffit d’appliquer le cor. 2 de II, p. 98 à la suite exacte… 05S5
Proposition 7 Si (Fᵢ) est une famille finie de sous-espaces d’un espace vectoriel E, on a codim(⋂ᵢ Fᵢ) leqslant ∑ᵢ codim Fᵢ. 05S6
Proposition 8 Dans un espace vectoriel E sur un corps K, tout sous-espace vectoriel F est l’intersection des hyperplans qui le contiennent. ↩ 1 05S7
Remarque La plupart des propriétés démontrées dans ce n° pour les sous-espaces d’un espace vectoriel ne subsistent plus pour les sous-modules d’un A-module libre dont la dimension (II, p. 9… 05S8
Définition 3 Soient E, F deux espaces vectoriels sur un corps K. Pour toute application linéaire u de E dans F, on appelle rang de u et on note rg(u) la dimension du sous-espace u(E) de F. ↩ 1 05S9
Proposition 9 Soient E, F deux espaces vectoriels sur un corps K, u : E → F une application linéaire. (i) On a \text{rg}(u) \leq \inf(\dim E, \dim F). (ii) Supposons E de dimension finie; pour q… ↩ 2 05SA
Corollaire Soient E un espace vectoriel de dimension finie n, u un endomorphisme de E. Les propriétés suivantes sont équivalentes: a) u est bijectif; b) u est injectif; c) u est surjectif; d)… ↩ 2 05SB
Théorème 4 La dimension du dual E^* d’un espace vectoriel E est au moins égale à la dimension de E. Pour que E^* soit de dimension finie, il faut et il suffit que E le soit, et on a alors dim… ↩ 2 05SC
Corollaire Pour un espace vectoriel E, les relations E = 0 et E^* = 0 sont équivalentes. ↩ 1 05SD
Théorème 5 Étant données deux suites exactes d’espaces vectoriels (sur un même corps K) et d’applications linéaires ↩ 1 05SE
Corollaire Pour toute suite exacte ↩ 4 05SF
Théorème 6 Pour tout espace vectoriel E sur un corps K, l’application canonique c_E : E → E^** (II, p. 46) est injective; pour qu’elle soit bijective, il faut et il suffit que E soit de dimen… ↩ 6 05SG
Proposition 10 Soient E, F deux espaces vectoriels sur un même corps K, u : E → F une application linéaire. ↩ 3 05SH
Théorème 7 Soient E un espace vectoriel sur un corps K, F un sous-espace de E, F' l’orthogonal de F dans E. ↩ 15 05SI
Remarque Un sous-espace G' de E de dimension infinie n’est pas nécessairement l’orthogonal d’un sous-espace de E, autrement dit, si F est l’orthogonal de G' dans E, l’orthogonal F' de F dan… 05SJ
Corollaire 1 Soit (xᵢ^*)_1 ≤ i ≤ p une suite finie de formes linéaires sur E, et soit F le sous-espace de E formé des x tels que ↩ 4 05SK
Corollaire 2 (i) Soit (xᵢ^*)_1 ≤ i ≤ p une suite finie de formes linéaires sur E. Pour que (xᵢ^*) soit un système libre, il faut et il suffit qu’il existe une suite (xᵢ)_1 ≤ i ≤ p d’éléments de… ↩ 4 05SL
Corollaire 3 Soient S un ensemble, V un sous-espace vectoriel du K-espace vectoriel à droite K_d^S des applications de S dans K. Pour que dim V ≥ p (où p est un entier), il faut et il suffit qu… 05SM
Corollaire 4 Soient E un espace vectoriel, M, N deux sous-espaces de E, de codimensions finies; si M', N' sont les orthogonaux de M et N dans E^*, l’orthogonal de M ∩ N dans E^* est M' + N'. 05SN
Corollaire 5 Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. Pour tout sous-espace F de E, de dimension p, l’orthogonal F’ de F dans E est de dimension n − p. Pour tout sous-espace G’ de E, de… 05SO
Proposition 11 Pour tout hyperplan H dans un espace vectoriel E, il existe une forme linéaire x0^ sur E telle que H = x0^{-1}(0). Étant donnée une telle forme x0^, pour qu’une forme linéaire x su… ↩ 1 05SP
Proposition 12 Soient E, F, deux espaces vectoriels sur un corps K, u : E → F une application linéaire. Pour que l’équation linéaire ↩ 1 05SQ
Définition 4 On appelle rang du système (21) la dimension du sous-espace de E^* engendré par la famille (xᵢ^*). 05SR
Proposition 13 Pour que le système (21) soit de rang fini r, il faut et il suffit que l’application linéaire u : x ↦ (⟨ x, xᵢ^* ⟩) de E dans Kₛᴵ soit de rang r. 05SS
Théorème 8 Soit ↩ 2 05ST
Remarque Lorsque le rang du système (21) est infini, la condition du th. 8 n’est plus suffisante. Par exemple, supposons que les xᵢ^* soient les formes coordonnées sur l’espace E = Kₛ⁽ᴵ⁾, I… 05SU
Corollaire 1 Un système d’équations linéaires scalaires dans un espace vectoriel, formé d’un nombre fini d’équations dont les premiers membres sont des formes linéairement indépendantes, admet… 05SV
Corollaire 2 Pour qu’un système homogène (22) d’équations à n inconnues, à coefficients dans un corps K, admette des solutions non banales formées d’éléments de K, il faut et il suffit que son… 05SW
Corollaire 3 Pour qu’un système linéaire (22) à coefficients et seconds membres dans un corps K, formé de n équations à n inconnues, ait une solution et une seule formée d’éléments de K, il fau… 05SX
Proposition 14 Étant donnés une suite exacte ↩ 9 05SY
Corollaire Soient K un corps, E un espace vectoriel à droite sur K, F un espace vectoriel à gauche sur K, (M_α)_α ∈ A une famille de sous-espaces vectoriels de E, (N_β)_β ∈ B une famille de s… ↩ 3 05SZ
Proposition 15 Si (E_λ)_λ ∈ L est une famille d’espaces vectoriels à droite sur un corps K, (F_μ)_μ ∈ M une famille d’espaces vectoriels à gauche sur K, l’application canonique ↩ 3 05T0
Corollaire Soit F un espace vectoriel à gauche sur K; pour tout ensemble X, l’espace vectoriel à gauche K_d^X ⊗_K F s’identifie au sous-espace de l’espace F^X de toutes les applications de X… 05T1
Proposition 16 (i) Soient K, L deux corps, E un espace vectoriel à gauche sur K, F un espace vectoriel à gauche sur L, G un (K, L)-bimodule. Alors le Z-homomorphisme canonique ν : Hom_K(E, G) ⊗_L… ↩ 5 05T2
Corollaire 1 Soient E et F deux espaces vectoriels à gauche sur un corps K; l’application canonique E^* ⊗_K F → Hom_K(E, F) 05T3
Corollaire 2 Soient E un espace vectoriel à droite, F un espace vectoriel à gauche sur un même corps K ; l’application canonique E ⊗_K F → Hom_K(E^*, F) (II, p. 78, formule (15)) est injective… 05T4
Remarque 1 Soient K un corps commutatif, E, F deux espaces vectoriels sur K, (a_λ) une base de E, (b_μ) une base de F; alors (a_λ ⊗ b_μ) est une base du K-espace vectoriel E ⊗_K F (II, p. 62… 05T5
Remarque 2 Soient K un corps commutatif, E₁, E₂, F₁, F₂ quatre espaces vectoriels sur K, u : E₁ → F₁, v : E₂ → F₂ deux applications linéaires; on a alors rg(u ⊗ v) = rg(u) · rg(v). En effet… 0DFX
Remarque 3 Sous les mêmes hypothèses que dans la Remarque 1, on a dim_K(Hom_K(E, F)) ≥ dim_K E · dim_K F. En effet, si E est isomorphe à K⁽ᴵ⁾, Hom(E, F) est isomorphe à (Hom(K, F))ᴵ (II, p. 1… 0DFY
Proposition 17 Soit u un élément de E ⊗_K F, M ⊂ E et N ⊂ F ses sous-espaces associés. Pour toute expression u = ∑ᵢ₌₁ˢ xᵢ ⊗ yᵢ de u, où xᵢ ∈ E et yᵢ ∈ F pour 1 ≤ i ≤ s, le sous-espace M (resp. N)… ↩ 2 05T6
Corollaire 1 Le rang de u est le plus petit entier s tel qu’il existe une expression u = ∑ᵢ₌₁ˢ xᵢ ⊗ yᵢ, où xᵢ ∈ E et yᵢ ∈ F pour 1 ≤ i ≤ s. Cela résulte aussitôt de la prop. 17 et de II, p. 97… 05T7
Corollaire 2 Soient K un corps commutatif, E, F deux espaces vectoriels sur K, L un surcorps commutatif de K. Soient u un élément de E ⊗_K F, M et N ses sous-espaces associés, u' l’image canoni… 05T8
Proposition 18 Soit ρ un homomorphisme d’un corps K dans un anneau A. Pour toute suite exacte de K-espaces vectoriels et d’applications K-linéaires 05T9
Corollaire Pour toute application K-linéaire f : E' → E, on a Im(f_(A)) = (Im(f))_(A), Ker(f_(A)) = (Ker(f))_(A), Coker(f_(A)) = (Coker(f))_(A), à des isomorphismes canoniques près. ↩ 3 05TA
Proposition 19 Soit ρ un homomorphisme injectif d’un corps K dans un anneau A. Pour tout espace vectoriel à gauche E sur K, l’application canonique φ : E → ρ^*(E) = A ⊗_K E est injective. En outr… ↩ 8 05TB
Corollaire Soit ρ un homomorphisme injectif d’un corps K dans un anneau A. Pour qu’une application K-linéaire f : E → F (où E et F sont deux espaces vectoriels sur K) soit injective (resp. su… 05TC
Proposition 20 Soit ρ un homomorphisme injectif d’un corps K dans un anneau A. Pour tout espace vectoriel à gauche E sur K, l’homomorphisme canonique de A-modules à droite υ : (E^*)_(A) → (E_(A))… 05TD
Proposition 21 Soient K un corps, L un surcorps de K. (i) Pour tout espace vectoriel E sur K, on a dim_L(E_(L)) = dim_K E. (ii) Pour toute application K-linéaire u : E → F, où E et F sont des esp… 05TE
Proposition 22 Soient K un corps commutatif, ρ : K → A un homomorphisme central injectif, E, F deux espaces vectoriels sur K. Alors l’homomorphisme canonique ω : A ⊗_K Hom(E, F) → Hom_A(E_(A), F_… 05TF
Proposition 23 Dans un module E sur un anneau intègre A, l’ensemble T des éléments non libres est un sous-module de E. ↩ 1 05TG
Remarque Soit E un module sur un anneau commutatif quelconque A. Si x est un élément non libre de E, tout élément du sous-module Ax est non libre. Par contre, si A contient des diviseurs de… 05TH
Définition 5 Dans un module E sur un anneau intègre A, on appelle sous-module de torsion de E le sous-module de E formé des éléments non libres (aussi appelés éléments de torsion de E). 05TI
Proposition 24 Soit A un anneau intègre. Pour tout A-module E, notons T(E) le sous-module de torsion de E. Soit f : E → E' une application A-linéaire, E et E' étant des A-modules. (i) On a f(T(E)… 05TJ
Corollaire 1 Pour tout A-module E, E/T(E) est sans torsion. 05TK
Corollaire 2 Pour toute suite exacte de A-modules et d’applications A-linéaires 05TL
Proposition 25 Soient A un anneau intègre, (Ei) une famille de A-modules; on a T(⨁ᵢ Eᵢ) = ⨁ᵢ T(Eᵢ). En effet, soit (xᵢ) un élément de ⨁ᵢ Eᵢ tel que xᵢ ∈ T(Eᵢ) pour tout i; alors chacun des xᵢ est… ↩ 1 05TM
Proposition 26 Soient A un anneau intègre, K son corps des fractions, E un A-module, E_(K) = K ⊗_A E l’espace vectoriel sur K obtenu par extension de l’anneau d’opérateurs; désignons par φ l’appl… ↩ 4 05TN
Remarque Soient α⁻¹φ(x), β⁻¹φ(y) deux éléments de E_(K), avec α ∈ A, β ∈ A, x ∈ E, y ∈ E, α β ≠ 0. Pour que α⁻¹φ(x) = β⁻¹φ(y) il faut et il suffit que β x - α y soit un élément de torsion d… 05TO
Corollaire 1 Si E est un A-module sans torsion, l’application canonique φ : E → E_(K) est injective. ↩ 1 05TP
Corollaire 2 Soit f une application A-linéaire de E dans un espace vectoriel F sur K; si l’on a Ker(f) ⊂ T(E), l’application K-linéaire barf associée à f est injective. ↩ 1 05TQ
Corollaire 3 Soient E un A-module, g une application A-linéaire de E dans un espace vectoriel F sur K, telle que g(E) engendre F et que Ker(g) ⊂ T(E). Alors l’application K-linéaire barg associ… ↩ 1 05TR
Corollaire 4 Tout A-module de type fini est de rang fini. 05TS
Proposition 27 Pour toute suite exacte ↩ 2 05TT
Corollaire 1 Si E' est un sous-module de E, E'_(K) s’identifie canoniquement à un sous-espace vectoriel de E_(K), et (E/E')_(K) à E_(K)/E'_(K). ↩ 1 05TU
Corollaire 2 Pour toute application A-linéaire f : E → F, on a Ker(f_(K)) = (Ker(f))_(K), Im(f_(K)) = (Im(f))_(K), Coker(f_(K)) = (Coker(f))_(K) à des isomorphismes canoniques près. En particul… ↩ 1 05TV
Corollaire 3 Soient E un A-module, (x_λ)_λ ∈ L une famille d’éléments de E. Pour que (x_λ) soit une famille libre, il faut et il suffit que dans le K-espace vectoriel E_(K), la famille (1 ⊗ x_λ… 05TW

§ 8. Restriction du corps des scalaires dans les espaces vectoriels

Proposition 1 Soient V un espace vectoriel à droite sur K, V' une partie de V qui soit un sous-espace vectoriel sur K'. Les conditions suivantes sont équivalentes ; a) L’application K-linéaire λ… ↩ 4 05V0
Définition 1 Soient V un espace vectoriel à droite sur un corps K et K' un sous-corps de K. On appelle K'-structure sur V tout sous-K'-espace vectoriel V' de V qui vérifie les conditions équiva… ↩ 3 05V1
Exemple Soit B une base de V sur K. Pour tout sous-corps K' de K, le sous-K'-espace vectoriel de V engendré par B admet B pour base sur K', donc est une 05V2
Définition 2 Soient V un espace vectoriel à droite sur K, muni d’une K'-structure V'. On dit qu’un vecteur de V est rationnel sur K' s’il appartient à V'. On dit qu’un sous-K-espace vectoriel W… ↩ 1 05V3
Proposition 2 Soient V un espace vectoriel à droite sur K, V' une K'-structure sur V. L’application W' \mapsto W'.K est une bijection de l’ensemble des sous-K'-espaces vectoriels de V' sur l’ens… ↩ 4 05V4
Corollaire 1 Toute somme et toute intersection de sous-K-espaces vectoriels de V, rationnels sur K', est un sous-espace rationnel sur K'. ↩ 1 05V5
Corollaire 2 Toute base de V sur K, rationnelle sur K', est une base de V' sur K'. 05V6
Définition 3 Soient V₁, V₂ deux espaces vectoriels à droite sur K, munis respectivement de K'-structures V'₁, V'₂. On dit qu’une application K-linéaire f : V₁ → V₂ est rationnelle sur K' si l’o… 05V7
Proposition 3 Soient V₁, V₂ deux espaces vectoriels à droite sur K, V'₁, V'₂ des K'-structures sur V₁, V₂ respectivement. On identifie canoniquement V₁ (resp. V₂) à V'₁ ⊗_K' K (resp. V'₂ ⊗_K' K)… ↩ 5 05V8
Corollaire 1 Avec les notations de la prop. 3, on a Im(f) = (Im(f'))_(K), Ker(f) = (Ker(f'))_(K), Coker(f) = (Coker(f'))_(K). En particulier, pour que f soit injective (resp. surjective, nulle)… ↩ 2 05V9
Corollaire 2 Soit f : V₁ → V₂ une application K-linéaire, rationnelle sur K'. Pour tout sous-K-espace vectoriel W₁ de V₁ (resp. W₂ de V₂) rationnel sur K', f(W₁) (resp. f(W₂)) est un sous-K-esp… ↩ 3 05VA
Proposition 4 Pour qu’une application K-linéaire f : V₁ → V₂ soit rationnelle sur K', il faut et il suffit que son graphe Γ soit rationnel sur K' pour la K'-structure produit de V₁ × V₂. ↩ 2 05VB
Proposition 5 Soient V un espace vectoriel à droite sur K, V' une K'-structure sur V, W un sous-K-espace vectoriel de V. Pour que W soit rationnel sur K', il faut et il suffit qu’il existe un en… ↩ 1 05VC
Proposition 6 (i) Étant donné un système d’équations linéaires homogènes ↩ 2 05VD
Proposition 7 (i) Soit V un K-espace vectoriel à droite muni d’une K'-structure V'. Pour tout vecteur x ∈ V (resp. tout sous-K-espace vectoriel W de V), l’ensemble des sous-corps L de K contenan… 05VE
Lemme 1 Soient V un K-espace vectoriel à droite muni d’une K'-structure V', W un sous-K-espace vectoriel de V. Il existe deux sous-K-espaces vectoriels W₁, W₂ de V, rationnels sur K', tels… ↩ 1 05VF
Théorème 1 Soient M une partie de End_K'(K), L = χ(M) le sous-corps de K commutant de M. 05VG

§ 9. Espaces affines et espaces projectifs

Définition 1 Étant donné un espace vectoriel à gauche (resp. à droite) T sur un corps K, on appelle espace affine attaché à T tout ensemble homogène E du groupe additif T (I, p. 56) tel que O s… 05VM
Remarque Les définitions de ce n°, et une partie des résultats qui suivent, s’étendent immédiatement au cas où, au lieu d’un espace vectoriel T, on considère un groupe commutatif à opérateu… 05VN
Proposition 1 Soient (xi){i \in I} une famille de points d’un espace affine E, et (\lambdai){i \in I} une famille d’éléments de K, de support fini, telle que ∑_i ∈ I λᵢ = 1 (resp. ∑_i ∈ I λᵢ = 0… 05VO
Définition 2 Étant donné un espace affine E, on dit qu’une partie V de E est une variété linéaire affine (ou simplement une variété linéaire ou un sous-espace affine de E) si, pour toute famill… 05VP
Proposition 2 Pour qu’une partie non vide V d’un espace affine E soit une variété linéaire, il faut et il suffit que V soit un sous-espace vectoriel pour la structure d’espace vectoriel de E obt… 05VQ
Proposition 3 Étant donnée une famille (aᵢ)_i ∈ I de points d’un espace affine E, l’ensemble V des barycentres ∑_i ∈ I λᵢ aᵢ \ ((λᵢ) de support fini, ∑_i ∈ I λᵢ = 1) est une variété linéaire de… 05VR
Proposition 4 Pour qu’une famille non vide (aᵢ)_i ∈ I de points d’un espace affine E soit affinement liée, il faut et il suffit qu’il existe une famille (λᵢ)_i ∈ I d’éléments non tous nuls de K… 05VS
Proposition 5 Pour qu’une famille non vide (aᵢ)_i ∈ I de points d’un espace affine E soit affinement libre, il faut et il suffit que, quel que soit l’indice κ ∈ I, a_κ n’appartienne pas à la var… 05VT
Définition 3 Étant donnés deux espaces affines E, E', attachés à deux espaces vectoriels, T, T' sur un même corps K, on dit qu’une application u de E dans E' est une application linéaire affine… 05VU
Proposition 6 Soit u une application affine de E dans E'. Il existe une application linéaire v et une seule de T dans T' telle que 05VV
Définition 4 Étant donné un espace vectoriel à gauche (resp. à droite) V sur un corps K, on appelle espace projectif à gauche (resp. à droite) déduit de V, et on note P(V), le quotient du compl… ↩ 1 05VW
Remarque Dans un espace projectif P(V) sur un corps K, soit H = P(W) un hyperplan. Il existe une application linéaire bijective f de V sur Kₛ × W telle que f(W) = W; soit g l’application pr… 05VX

§ 10. Matrices

Définition 1 Soient I, K, H trois ensembles; on appelle matrice de type (I, K) à éléments dans H (ou matrice de type (I, K) sur H) toute famille M = (m_ι κ)_(ι, κ) ∈ I × K d’éléments de H dont… 05WH
Définition 2 On appelle transposée d’une matrice M = (m_ι k)_(ι, k) ∈ I × K et on note ᵗ M la matrice (m'_k ι)_(k, ι) ∈ K × I sur H donnée par m'_k ι = m_ι k pour tout (ι, k) ∈ I × K. 05WI
Remarque Les formules précédentes s’étendent à une situation plus générale. De façon précise: 05WJ
Proposition 1 Soient A, B deux anneaux, M = (mᵢₖ)_(i, k) ∈ I × K et M' = (m'ᵢₖ)_(i, k) ∈ I × K deux matrices à ensembles d’indices finis, sur un (A, B)-bimodule G. Supposons que pour toute unité… ↩ 2 05WK
Définition 3 Dans chacun des deux cas précédents, on appelle matrice de u par rapport aux bases (eᵢ), (fₖ) la matrice M(u) = (uₖᵢ)_(k, i) ∈ K × I telle que uₖᵢ = fₖ^*(u(eᵢ)) ce qui s’écrit suiv… 05WL
Proposition 2 Supposons I et K finis. Pour tout élément x ∈ E, la matrice M(u(x)) par rapport à la base (fₖ) est donnée par la formule beginalign* (17 D) & M(u(x)) = M(u) · M(x) \\ (17 G) & ᵗM(u… ↩ 2 05WM
Corollaire Soient E, F, G trois modules à droite (resp. à gauche) sur un anneau A, (eᵢ)_i ∈ I, (fₖ)_k ∈ K, (gₗ)_l ∈ L des bases finies respectives de E, F, G, u : E → F, v : F → G deux applic… ↩ 1 05WN
Proposition 3 Soient E, F deux A-modules à droite (resp. à gauche), (eᵢ)_i ∈ I, (fₖ)_k ∈ K des bases finies de E et F respectivement. Pour toute application linéaire u de E dans F, soit M(u) la… ↩ 6 05WO
Remarque 2 Soient E et F deux A-modules à gauche ayant des bases (eᵢ)_i ∈ I et (fₖ)_k ∈ K respectivement. Pour toute application A-linéaire u : E → F, on a, d’après (14 G), u(eᵢ) = ∑ₖ uₖᵢ fₖ… 0DFZ
Remarque 3 Soient A, B deux anneaux commutatifs, σ : A → B un homomorphisme d’anneaux. Les notations étant celles de la prop. 3, (eᵢ ⊗ 1) et (fₖ ⊗ 1) sont des bases respectives de E_(B) = E ⊗… 0DG0
Remarque Soient A un anneau, σ un antiendomorphisme de A (II, p. 143); considérons les deux situations suivantes: (GD) E est un A-module à gauche, F un A-module à droite, u une application… 05WQ
Définition 4 On appelle matrice carrée une matrice dont les lignes et les colonnes ont même ensemble d’indices. 05WR
Remarque On aura soin de noter qu’une matrice dont les ensembles des indices de lignes et des indices de colonnes ont même cardinal, mais ne sont pas identiques, ne doit pas être considérée… ↩ 1 05WS
Proposition 4 Soit E un A-module à droite ayant une base finie (eᵢ)_1 ≤ i ≤ n de n éléments. Pour qu’une famille de n éléments e'ᵢ = ∑ⱼ₌₁ⁿ eⱼ aⱼᵢ (1 ≤ i ≤ n) soit une base de E, il faut et il su… ↩ 1 05WT
Proposition 5 Soient (ei), (e'i) deux bases de n éléments de E, P la matrice de passage de (ei) à (e'i). Si (ei^) et (e'i^) sont les bases duales respectives de (ei) et (e'i), la matrice de pass… ↩ 2 05WU
Proposition 6 Soient E et F deux A-modules à droite, (ei) et (e'i) deux bases de E ayant n éléments, (fj) et (f'j) deux bases de F ayant m éléments, P la matrice de passage de (ei) à (e'i), Q la… ↩ 2 05WV
Corollaire 1 Si u est un endomorphisme de E, M(u) et M'(u) ses matrices par rapport aux bases (ei) et (e'i) respectivement, on a (34 D) M'(u) = P⁻¹ M(u) P. ↩ 1 05WW
Corollaire 2 Si M(x) et M'(x) sont les matrices à une colonne d’un même élément x ∈ E par rapport aux bases (ei) et (e'i) respectivement, on a (35 D) M(x) = P . M'(x). C’est un cas particulier… 05WX
Remarque 1 Partons maintenant d’un A-module à gauche E ayant deux bases (ei), (e'i) de n éléments chacune; si on pose e'ᵢ = ∑ⱼ₌₁ⁿ aⱼᵢ eⱼ on dit encore que P = (aⱼᵢ) est la matrice de passage… 05WY
Remarque 2 Sous les hypothèses de II, p. 152, prop. 4, considérons un élément x^* ∈ E^*; comme la matrice de passage de (eᵢ^*) à (e_i'^*) est ᵗP⁻¹ (II, p, 153, prop. 5) on a, pour les matrice… 0DG1
Remarque 3 Soient A, B deux anneaux, σ : A → B un homomorphisme de A dans B, E un A-module à droite (resp. à gauche), (eᵢ), (eᵢ') deux bases de n éléments de E, F un B-module à droite (resp… 0DG2
Définition 5 On dit que deux matrices X, X' à m lignes et n colonnes sur un anneau A sont équivalentes s’il existe une matrice carrée inversible P d’ordre m et une matrice carrée inversible Q d… 05WZ
Définition 6 On dit que deux matrices carrées X, X' d’ordre n sur un anneau A sont semblables s’il existe une matrice carrée inversible P d’ordre n telle que ↩ 1 05X0
Remarque 1 Deux matrices carrées qui ne diffèrent que par l’ordre des lignes (ou l’ordre des colonnes) sont équivalentes, mais non semblables en général. On obtient une matrice semblable à un… 05X1
Remarque 2 Soient X et X' deux matrices carrées d’ordre n, qui s’écrivent sous forme de matrices diagonales de matrices carrées (II, p. 152, Exemple IV) : 0DG3
Proposition 7 Soit C un anneau commutatif, et pour toute matrice P ∈ Mₙ(C), soit f_P la forme linéaire X ↦ Tr(PX) sur Mₙ(C); l’application P ↦ f_P est une bijection C-linéaire de Mₙ(C) sur son d… ↩ 1 05X2
Proposition 8 Si g est une forme linéaire sur le C-module Mₙ(C) telle que g(XY) = g(YX) quelles que soient les matrices X, Y de Mₙ(C), il existe un scalaire c ∈ C et un seul tel que g(X) = c · T… 05X3
Définition 7 Étant donnée une matrice X à m lignes et n colonnes sur un corps K, on appelle rang de X par rapport à K, et on note rg(X), la dimension du sous-espace de K_dᵐ engendré par les n c… ↩ 2 05X4
Proposition 9 Si les éléments d’une matrice X à m lignes et n colonnes appartiennent à un sous-corps K₀ d’un corps K, le rang de X par rapport à K₀ est égal au rang de X par rapport à K. 05X5
Proposition 10 Le rang d’une matrice X sur un corps K est égal au rang de sa transposée ᵗ X sur le corps opposé Kᵒ. 05X6
Proposition 11 Soit X une matrice carrée d’ordre n sur un corps K. Les propriétés suivantes sont équivalentes: a) X est inversible dans Mₙ(K). b) X est inversible à droite dans Mₙ(K). ↩ 2 05X7
Proposition 12 Pour qu’un système de m équations linéaires à n inconnues ↩ 1 05X8
Proposition 13 Soient E, F deux espaces vectoriels sur un corps K, de dimensions finies. Si u : E → F est une application linéaire de rang r, il existe des bases de E et F telles que, par rapport… ↩ 3 05X9
Corollaire Pour que deux matrices sur un corps, de type (m, n), soient équivalentes, il faut et il suffit qu’elles aient même rang. 05XA
Lemme 1 Soit X = (ξᵢⱼ) une matrice de type (m, n) sur un anneau A. Supposons que m ≥ 2 et qu’il existe un élément ξᵢ₁ de la première colonne de X qui soit inversible dans A. Alors il exist… ↩ 2 05XB
Proposition 14 Soit X une matrice de type (m, n) sur un corps K. Si X est de rang r, il existe deux matrices carrées inversibles P ∈ Mₘ(K), Q ∈ Mₙ(K) telles que P (resp. Q) soit produit de matric… ↩ 2 05XC
Corollaire 1 Si X est une matrice carrée inversible d’ordre n sur un corps K, il existe trois matrices inversibles P, Q, D d’ordre n telles que X = PDQ, P et Q étant produits de matrices de la… ↩ 2 05XD
Corollaire 2 Pour tout corps K, le groupe de matrices inversibles GL(n, K) est engendré par les matrices de permutation (II, p. 151, Exemple 2), les matrices diagonales diag(a, 1, …, 1) (a ≠ 0… ↩ 1 05XE
Remarques 1) Au chap. III, on verra que si m = n = r et si K est commutatif, alors, pour tous les choix de P et Q satisfaisant aux conditions de la prop. 14, l’élément δᵣ est toujours le mêm… 05XF

§ 11. Modules et anneaux gradués

Définition 1 Étant donnés un groupe commutatif G noté additivement et un ensemble Δ, on appelle graduation de type Δ sur G une famille (G_λ)_λ ∈ Δ de sous-groupes de G, dont G est somme directe… ↩ 1 05XX
Exemple 1 Étant donnés un monoïde commutatif Δ quelconque (ayant un élément neutre 0) et un groupe commutatif quelconque G, on définit une graduation (G_λ)_λ ∈ Δ sur G en prenant G₀ = G et G… 05XY
Exemple 2 Soient Δ, Δ’ deux ensembles, ρ une application de Δ dans Δ’. Soit (G_λ)_λ ∈ Δ une graduation de type Δ sur un groupe commutatif G ; pour μ ∈ Δ', soit G'_μ la somme des G_λ tels que… 0DG4
Exemple 3 Si Δ = Δ₁ × Δ₂ est un produit de deux ensembles, on dit qu’une graduation de type Δ est une bigraduation de types Δ₁, Δ₂. Pour tout λ ∈ Δ₁, posons G'_λ = ⨁_μ ∈ Δ₂ G_λ μ, et pour to… 0DG5
Exemple 4 Soient Δ₀ un monoïde commutatif noté additivement, ayant un élément neutre noté 0 ; soit I un ensemble quelconque, et désignons par Δ₀⁽ᴵ⁾ = Δ le sous-monoïde du produit Δ₀ᴵ formé d… 0DG6
Définition 2 Étant donnés un anneau A et une graduation (A_λ) de type Δ sur le groupe additif A, on dit que cette graduation est compatible avec la structure d’anneau de A si l’on a 05XZ
Proposition 1 Si tout élément de Δ est simplifiable et si (A_λ) est une graduation de type Δ compatible avec la structure d’un anneau A, A₀ est un sous-anneau de A (et en particulier on a 1 ∈ A₀… ↩ 2 05Y0
Définition 3 Soient A un anneau gradué de type Δ, (A_λ) sa graduation, M un A-module à gauche (resp. à droite) ; on dit qu’une graduation (M_λ) de type Δ sur le groupe additif M est compatible… 05Y1
Exemple 1 Sur un anneau quelconque A, la graduation triviale de type Δ est compatible avec la structure d’anneau. Si A est gradué par la graduation triviale, pour qu’une graduation (M_λ) de… 05Y2
Exemple 2 Soient A un anneau gradué de type Δ, M un A-module gradué de type Δ, ρ un homomorphisme de Δ dans un monoïde commutatif Δ' dont l’élément neutre est noté 0. Alors A est un anneau g… ↩ 3 05Y5
Exemple 3 Soient A un anneau gradué de type Δ, M un A-module gradué de type Δ, λ₀ un élément de Δ; pour tout λ ∈ Δ, soit M'_λ = M_λ + λ₀, et soit M' le Z-module ⨁_λ ∈ Δ M'_λ. Comme A_λ M'_μ… 0DG7
Exemple 4 Soit B un anneau commutatif. L’anneau de polynômes B[X] à une indéterminée est gradué de type N par les sous-groupes BXⁿ (n geqslant 0) (cf. III, p. 25, et IV). 0DG8
Exemple 5 Soient B un anneau commutatif, E un B-module, Q une forme quadratique sur E, C(Q) l’algèbre de Clifford de Q (cf. IX, § 9). Les sous-B-modules C⁺(Q) et C⁻(Q) forment sur C(Q) une g… 0DG9
Définition 4 Soient A, A' deux anneaux gradués de même type Δ, (A_λ), (A'_λ) leurs graduations respectives. On dit qu’un homomorphisme d’anneaux h : A → A' est gradué si l’on a h(A_λ) ⊂ A'_λ po… ↩ 1 05Y4
Exemple 6 Si M est un A-module gradué, M(λ₀) un A-module gradué obtenu par décalage (II, p. 165, Exemple 3), l’application Z-linéaire de M(λ₀) dans M qui coïncide avec l’injection canonique… 0DGA
Exemple 7 Si a est un élément homogène de degré δ appartenant au centre de A, l’homothétie x ↦ ax d’un A-module gradué quelconque M est un homomorphisme gradué de degré δ. 0DGB
Proposition 2 Soient A un anneau gradué de type Δ, M un A-module gradué de type Δ, (M_λ) sa graduation, N un sous-A-module de M. Les propriétés suivantes sont équivalentes: ↩ 7 05Y6
Corollaire 1 Si N est un sous-module gradué de M et si (xᵢ) est un système générateur de N, les composantes homogènes des xᵢ forment un système générateur de N. ↩ 1 05Y7
Corollaire 2 Si N est un sous-module gradué de type fini de M, N admet un système générateur fini formé d’éléments homogènes. 05Y8
Proposition 3 Soient A un anneau gradué de type Δ, M et N deux A-modules gradués de type Δ, u : M → N un A-homomorphisme gradué de degré δ. Alors: (i) Im(u) est un sous-module gradué de N. ↩ 2 05Y9
Corollaire Soient A, B deux anneaux gradués de type Δ, u : A → B un homomorphisme gradué d’anneaux gradués. Alors Im(u) est un sous-anneau gradué de B, Ker(u) un idéal bilatère gradué de A, e… 05YA
Proposition 4 Soient A un anneau gradué de type Δ, M un A-module gradué de type Δ. (i) Toute somme et toute intersection de sous-modules gradués de M est un sous-module gradué. (ii) Si x est un… ↩ 1 05YB
Proposition 5 Soit A un anneau gradué de type Δ. Si tout élément de Δ est simplifiable, alors, pour tout élément homogène a ∈ A, le commutant de a dans A (I, p. 7) est un sous-anneau gradué de A… ↩ 1 05YD
Corollaire Si tout élément de Δ est simplifiable, le commutant d’un sous-anneau gradué B de A (et en particulier le centre de A) est un sous-anneau gradué de A. ↩ 1 05YE
Proposition 6 Soient Δ un groupe commutatif ordonné, A un anneau gradué de type Δ, (A_λ) sa graduation, M un A-module gradué de type Δ, (M_λ) sa graduation. Supposons que la relation A_λ ≠ 0 imp… ↩ 4 05YF
Corollaire 1 Les hypothèses sur Δ et A étant celles de la prop. 6, si M est un A-module gradué de type fini tel que 𝔍₀ M = M, on a M = 0. ↩ 2 05YG
Corollaire 2 Les hypothèses sur Δ et A étant celles de la prop. 6, soient M un A-module gradué de type fini, N un sous-module gradué de M tel que N + 𝔍₀ M = M; alors on a N = M. 05YH
Corollaire 3 Les hypothèses sur Δ et A étant celles de la prop. 6, soit u : M → N un homomorphisme gradué de A-modules à droite gradués, N étant supposé de type fini. Si l’homomorphisme ↩ 1 05YI
Remarque Il résulte de la démonstration du cor. 1 que les cor. 1 et 2 (resp. le cor. 3) sont encore valables lorsqu’au lieu de supposer que M (resp. N) est de type fini, on fait l’hypothèse… 05YJ
Proposition 7 Supposons que Δ = Z. Les hypothèses sur A et M étant celles de la prop. 6, on considère le A₀-module gradué N = M / J₀ M, et on suppose vérifiées les conditions suivantes: ↩ 4 05YK
Lemme 1 Pour qu’un groupe commutatif Δ soit tel qu’il existe sur Δ un ordre total compatible avec la structure de groupe de Δ, il faut et il suffit que Δ soit sans torsion. 05YL
Proposition 8 Soient Δ un groupe commutatif sans torsion, A un anneau gradué de type Δ. Si le produit dans A de deux éléments homogènes ≠ 0 est ≠ 0, l’anneau A n’a pas de diviseur de 0. ↩ 2 05YM
Remarque Lorsque A est muni de la graduation triviale (II, p. 163, Exemple 1), (M ⊗_A N)_λ est alors simplement la somme directe des sous-C-modules M_μ ⊗_A N_ν de M ⊗_A N tels que μ + ν = λ… 05YN
Remarque Si M et N sont des A-modules à gauche gradués, Homgr_A(M, N) est en général distinct de Hom_A(M, N). Toutefois ces deux ensembles sont égaux lorsque M est un A-module de type fini… 05YO

III. Algèbres tensorielles, algèbres extérieures, algèbres symétriques

§ 1. Algèbres

Définition 1 Soit A un anneau commutatif. On appelle algèbre sur A (ou A-algèbre, ou simplement algèbre lorsqu’aucune confusion n’est à craindre), un ensemble E muni d’une structure définie par… 05YR
Exemple 1 Tout anneau commutatif A peut être considéré comme une A-algèbre (associative et commutative). 05YS
Exemple 2 Soit E un pseudo-anneau (I, p. 93). La multiplication dans E et l’unique structure de \mathbf{Z}-module de E définissent sur E une structure de \mathbf{Z}-algèbre associative. 0DGC
Exemple 3 Soient F un ensemble, A un anneau commutatif. L’ensemble A^F de toutes les applications de F dans A, muni de la structure d’anneau produit (I, p. 103) et de la structure de A-modul… 0DGD
Exemple 4 Soit E une A-algèbre ; les lois internes (x, y) ↦ xy + yx et (x, y) ↦ xy - yx définissent (avec la structure de A-module de E) deux structures de A-algèbres sur E, qui ne sont pas… 0DGE
Définition 2 Etant données deux algèbres E, E′ sur un anneau commutatif A, on appelle homomorphisme de E dans E′ une application f : E → E' telle que: 1) f soit un homomorphisme de A-modules… ↩ 1 05YT
Proposition 1 Pour toute A-algèbre E, l’application canonique φ_E : x ↦ x ⊗ 1 de E dans E_(B) est un A-homomorphisme d’algèbres. En outre, pour toute B-algèbre F, et tout A-homomorphisme f : E →… ↩ 1 05YU
Corollaire Soient E, E' deux A-algèbres; pour tout A-homomorphisme d’algèbres u : E → E', u ⊗ 1_B est l’unique B-homomorphisme d’algèbres v : E ⊗_A B → E' ⊗_A B rendant commutatif le diagramm… 05YV

§ 2. Exemples d’algèbres

Proposition 1 Une algèbre quadratique E est associative et commutative. ↩ 1 05YX
Proposition 2 Soient E une A-algèbre quadratique, e son élément unité. Pour tout u ∈ E, soit T(u) la trace de l’endomorphisme mᵤ : x ↦ ux du A-module libre E (II, p. 78). Alors l’application s d… ↩ 1 05YY
Proposition 3 Soit E une A-algèbre quadratique de type (α, β). 05YZ
Définition 1 On appelle algèbre cayleyenne sur A un couple (E, s), où E est une algèbre sur A ayant un élément unité e, et s est un antiautomorphisme de E tel que l’on ait u + s(u) ∈ Ae et u.s(… ↩ 1 05Z0
Proposition 4 Soient E une A-algèbre, s et s' des antiautomorphismes de E tels que (E, s) et (E, s') soient des algèbres cayleyennes. Si E admet une base contenant l’élément unité e, on a s' = s… 05Z1
Proposition 5 (i) Le couple (F, t) est une algèbre cayleyenne sur A. (ii) Posons j = (0, e) de sorte que (x, y) = xe + yj pour x ∈ E, y ∈ E. La trace et la norme cayleyennes T_F et N_F de F sont… ↩ 3 05Z2
Exemples 1) Si l’on prend E = A (donc s = 1_A), l’algèbre F est une A-algèbre quadratique, de base (e, j) avec j² = γ e. 05Z3
Proposition 6 Soient S un magma, F une A-algèbre et f un homomorphisme de S dans F munie de sa seule structure multiplicative. Alors il existe un homomorphisme de A-algèbres barf : A^(S) → F et… ↩ 3 05Z4
Corollaire Soient S, S’ deux magmas, g : S → S’ un homomorphisme. Il existe alors un homomorphisme de A-algèbres u : A^(S) → A^(S') et un seul rendant commutatif le diagramme 05Z5
Exemple Soient V un A-module, S un monoïde qui opère à gauche dans V; cela signifie (I, p. 49) qu’on se donne une application (s, x) ↦ s.x de S dans V telle que s.(x + y) = s.x + s.y,\ s.(… 05Z6
Définition 2 Soit I un ensemble ; désignons par M(I) (resp. Mo(I), resp. N⁽ᴵ⁾) le magma libre (I, p. 77) (resp. le monoïde libre (I, p. 79), resp. le monoïde commutatif libre (I, p. 88)) constr… ↩ 3 05Z7
Proposition 7 Soient I un ensemble, F une algèbre (resp. une algèbre associative unifère, resp. une algèbre associative et commutative unifère) sur A. Pour toute application f : I → F, il existe… ↩ 6 05Z8
Remarque 1 Nous définirons plus loin un isomorphisme de LibasA(I) sur l’algèbre tensorielle du module libre A⁽ᴵ⁾ (III, p. 62) ainsi qu’un isomorphisme de LibascA(I) sur l’algèbre symétrique d… 05Z9
Remarque 2 Soit ρ un homomorphisme unifère de A dans un anneau commutatif B. Comme on l’a vu dans III, p. 20, on déduit de ρ un isomorphisme σ de LibB(I) (resp. LibasB(I), resp. LibascB(I)) s… 0DGF
Remarque 3 Soit J une partie de I; on sait que M(J) s’identifie à une partie stable du magma M(I), donc (III, p. 20) Lib_A(J) s’identifie canoniquement à une sous-algèbre de Lib_A(I), engendr… 0DGG
Remarque 4 À tout élément s de M(I) (resp. Mo(I), resp. N⁽ᴵ⁾) est associé sa longueur l(s), qui est un entier geqslant 1 (resp. geqslant 0) tel que l(ss') = l(s) + l(s') (I, p. 77, p. 79 et p… 0DGH
Exemple 1 Prenons H = 1, 2, 3; les algèbres qui admettent (X₁ X₂) X₃ - X₁ (X₂ X₃) comme relateur universel sont les algèbres associatives. Les algèbres qui admettent 05ZA
Exemple 2 Soit L’ l’algèbre universelle engendrée par I et soumise aux identités (uv)w - u(vw) = 0 pour toute famille de trois éléments de L’, et soit L” l’algèbre obtenue par adjonction à L… 0DGI
Exemple 3 Soit L' l’algèbre associative unifère universelle engendrée par I et soumise aux identités uv - vu = 0 pour toute famille de deux éléments de L'. On voit comme dans III, p. 24, Exe… 05ZB
Proposition 8 Soient A[(Xᵢ)_i ∈ I] une algèbre de polynômes, J une partie de I, K le complémentaire de J dans I. Si on pose A' = A[(Xⱼ)_j ∈ J] et si on note X'ₖ (k ∈ K) les indéterminées dans l’… ↩ 1 05ZC
Remarque Soient I et J deux ensembles, (Pⱼ)_j ∈ J une famille d’éléments de Z[(Xᵢ)_i ∈ I]; si Q est un élément de Z[(Yⱼ)_j ∈ J] tel que Q((Pⱼ)_j ∈ J) = 0, alors, pour toute famille (bᵢ)_i ∈… 05ZD

§ 3. Algèbres graduées

Définition 1 Soient Δ un monoïde commutatif, A un anneau commutatif gradué de type Δ (II, p. 164), (A_λ)_λ ∈ Δ sa graduation, E une A-algèbre. On dit qu’une graduation (E_λ)_λ ∈ Δ de type Δ sur… ↩ 1 0603
Remarque La définition 1 peut encore s’interpréter en disant que E est un A-module gradué et que l’application A-linéaire 0604
Exemple 1 Soit B un anneau gradué de type Δ; si on munit B de sa structure canonique de Z-algèbre (III, p. 2, Exemple 2), B est une A-algèbre graduée (Z étant muni de la graduation triviale)… 0605
Exemple 2 Soient A un anneau commutatif gradué de type Δ, M un A-module gradué de type Δ. Supposons que tous les éléments du monoïde Δ soient simplifiables, ce qui permet (II, p. 175) de déf… 0DGJ
Exemple 3 Algèbre d’un magma. Soient S un magma et soit φ : S → Δ un homomorphisme. Pour tout λ ∈ Δ, posons S_λ = φ⁻¹(λ); on a alors S_λ S_μ ⊂ S_λ + μ. Soient A un anneau commutatif gradué d… 0DGK
Proposition 1 Soient A un anneau commutatif gradué de type Δ, E une A-algèbre graduée de type Δ, S un ensemble d’éléments homogènes de E. Alors la sous-A-algèbre (resp. l’idéal à gauche, l’idéal… ↩ 1 0606

§ 4. Produits tensoriels d’algèbres

Définition 1 Etant donnée une famille finie (Eᵢ)_i ∈ I d’algèbres sur A, on appelle produit tensoriel de cette famille, et on note ⨂_i ∈ I Eᵢ (ou, lorsque I est l’intervalle [1, n] de N, E₁ ⊗_A… 0608
Proposition 1 Soient E, F deux A-algèbres, a (resp. b) un idéal bilatère de E (resp. F). Alors l’isomorphisme canonique de A-modules 0609
Corollaire 1 Soient E une A-algèbre, a un idéal de A. Alors le A-module aE est un idéal bilatère de E, et l’isomorphisme canonique de (A/a)-modules ↩ 1 060A
Corollaire 2 Si a, b sont deux idéaux de A, la A-algèbre (A/a) ⊗_A (A/b) est canoniquement isomorphe à A/(a + b). 060B
Corollaire 3 Soient E, F deux A-algèbres, a un idéal de A contenu dans l’annulateur de F. Alors la (A/a)-algèbre E ⊗_A F est canoniquement isomorphe à (E/aE) ⊗_A/a F. 060C
Proposition 2 Soient (E_λ)_λ ∈ L et (F_μ)_μ ∈ M deux familles de A-algèbres. L’application canonique (II, p. 61) 060D
Proposition 3 Soient A, B deux anneaux commutatifs, φ : A → B un homomorphisme d’anneaux, E, F deux A-algèbres. Alors l’isomorphisme canonique de B-modules ↩ 1 060E
Proposition 4 Soient A, B deux anneaux commutatifs, φ : A → B un homomorphisme d’anneaux, E une A-algèbre, F une B-algèbre. Alors l’isomorphisme canonique de A-modules 060F
Proposition 5 Soit (Eᵢ)_i ∈ I une famille finie de A-algèbres, et, pour chaque i ∈ I, soit eᵢ l’élément unité de Eᵢ. Pour chaque i ∈ I, soit uᵢ : Eᵢ → E = ⨂_k ∈ I Eₖ l’application A-linéaire déf… ↩ 7 060G
Corollaire Soient (Eᵢ)_i ∈ I, (Fᵢ)_i ∈ I deux familles finies de A-algèbres, et, pour tout i ∈ I, soit fᵢ : Eᵢ → Fᵢ un homomorphisme d’algèbres. Si uᵢ : Eᵢ → ⨂_j ∈ I Eⱼ, vᵢ : Fᵢ → ⨂_j ∈ I Fⱼ… 060H
Définition 2 Soit E une A-algèbre (unifère). On appelle E-module à gauche (resp. à droite) un module à gauche (resp. à droite) sur l’anneau sous-jacent à E. 060I
Définition 3 Soient E et F deux A-algèbres (unifères), M un ensemble muni d’une structure de E-module et d’une structure de F-module. On dit que M est un bimodule (à gauche) sur les algèbres E… ↩ 1 060J
Exemple 1 Soit B une A-algèbre; l’anneau B est canoniquement muni d’une structure de (B, B)-bimodule (II, p. 34, Exemple 1), et si e est l’élément unité de B, on a (α e)x = x(α e) = α x pour… 060K
Exemple 2 Soient E et F deux A-algèbres, e, e' leurs éléments unités respectifs, M un E-module, N un F-module; ces structures de module définissent sur M une structure de bimodule sur les an… 0DGL
Proposition 6 Soient E, F deux algèbres sur un corps commutatif K, non réduites à 0, C (resp. D) une sous-algèbre de E (resp. F), C' (resp. D') la commutante de C dans E (resp. de D dans F). Alo… ↩ 2 060L
Corollaire Si Z et Z' sont les centres respectifs de E et F, le centre de E ⊗_K F est Z ⊗_K Z'. ↩ 1 060M
Définition 4 Etant donnée une algèbre G sur un corps commutatif K, on dit que deux sous-algèbres E, F de G sont linéairement disjointes sur K si elles vérifient les conditions suivantes: 1° tou… 060N
Proposition 7 Soient G une algèbre sur un corps commutatif K, E et F deux sous-algèbres de G telles que tout élément de E commute à tout élément de F. Pour que E et F soient linéairement disjoin… ↩ 2 060O
Corollaire 1 Pour que l’homomorphisme canonique de E ⊗_K F dans G soit bijectif, il faut et il suffit qu’il existe une base de E sur K qui soit une base du F-module (à droite ou à gauche) G. 060P
Corollaire 2 Soient E, F deux sous-algèbres de G, de rang fini sur K, telles que tout élément de E commute à tout élément de F. Pour que E et F soient linéairement disjointes sur K, il faut et… 060Q
Définition 5 On appelle produit tensoriel de la famille de A-algèbres (Eᵢ)_i ∈ I la limite inductive E du système inductif (E_J, f_J',J). 060R
Proposition 8 (i) Les homomorphismes fᵢ : Eᵢ → E = ⨂_k ∈ I Eₖ sont tels que pour deux indices i, j tels que i ≠ j, fᵢ(xᵢ) et fⱼ(xⱼ) commutent dans E quels que soient xᵢ ∈ Eᵢ et xⱼ ∈ Eⱼ; en outre… ↩ 4 060S
Corollaire Soient (Eᵢ)_i ∈ I, (E'ᵢ)_i ∈ I deux familles de A-algèbres ayant même ensemble d’indices, et, pour tout i ∈ I, soit uᵢ : Eᵢ → E'ᵢ un homomorphisme d’algèbres. Il existe alors un ho… ↩ 2 060T
Proposition 9 Soit (Eᵢ)_i ∈ I une famille de A-algèbres, et pour chaque i ∈ I, soit B une base de Eᵢ telle que l’élément unité eᵢ appartienne à Bᵢ. Soit B l’ensemble des éléments de la forme ⨂_i… ↩ 1 060U
Lemme 1 Soient A un anneau commutatif, E une A-algèbre, (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n une suite finie d’éléments de E, (λᵢ)_1 ≤ i ≤ n une suite finie d’éléments de A, y un élément de E; supposons que l’o… ↩ 3 060V
Lemme 2 Soient A un anneau commutatif, E une A-algèbre, (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n et (yᵢ)_1 ≤ i ≤ n deux suites finies de n éléments de E; supposons que pour 1 ≤ j < i ≤ n, on ait xᵢ yⱼ = λᵢⱼ yⱼ xᵢ a… ↩ 1 060W
Lemme 3 Soient A un anneau commutatif, E une A-algèbre, (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n une suite finie d’éléments de E, et supposons que, pour tout couple (i, j) d’entiers tel que 1 ≤ j < i < n, on ait xᵢ… ↩ 3 060X
Définition 6 Soit (Δᵢ)_i ∈ I une famille finie de monoïdes commutatifs, notés additives ment. On appelle système de facteurs de commutation sur les Δᵢ, à valeurs dans un anneau commutatif A, un… ↩ 1 060Y
Exemple 1 Le système de facteurs de commutation trivial est formé des εᵢⱼ tels que εᵢⱼ(αᵢ, βⱼ) = 1 quels que soient i, j, αᵢ ∈ Δᵢ, βⱼ ∈ Δⱼ. 060Z
Exemple 2 Si on prend A = Z et Δᵢ = Z pour tout i ∈ I, on a un système de facteurs de commutation en prenant εᵢⱼ(αᵢ, βⱼ) = (-1)^αᵢ βⱼ. On notera que ce nombre ne dépend que des parités de αᵢ… 0DGM
Proposition 10 Soient A un anneau commutatif, (Δᵢ)_i ∈ I une famille finie de monoïdes commutatifs, notés additivement; pour chaque i ∈ I, soit Eᵢ une A-algèbre graduée de type Δᵢ. Enfin, soit (ε… ↩ 8 0610
Remarque 1 On retrouve le produit tensoriel d’algèbres défini dans III, p. 34 (muni en outre de la graduation produit tensoriel de celles de ses facteurs) lorsque l’on prend εᵢⱼ(αᵢ, βⱼ) = 1 q… 0611
Remarque 2 Supposons que tous les Δᵢ soient égaux à Z, et posons εᵢⱼ(αᵢ, βⱼ) = (-1)^αᵢ βⱼ; le ε-produit tensoriel ε ⨂_i ∈ I Eᵢ correspondant à ce système de facteurs de commutation est alors… ↩ 1 0614
Corollaire 1 Avec les notations de la prop. 10 (III, p. 48), supposons en outre que F soit une A-algèbre graduée de type Δ, et que chaque fᵢ soit un homomorphisme d’algèbres graduées relatif à… ↩ 1 0612
Corollaire 2 Soient (Eᵢ)_i ∈ I, (Fᵢ)_i ∈ I deux familles finies de A-algèbres, Eᵢ et Fᵢ étant graduées de type Δᵢ pour tout i ∈ I. Pour chaque i ∈ I, soit gᵢ : Eᵢ → Fᵢ un homomorphisme d’algèbr… 0613
Remarque Dans la démonstration de la prop. 10 (III, p. 47), on s’est servi d’une relation d’ordre total sur I pour définir une structure d’algèbre sur le produit tensoriel ⨂_i ∈ I Eᵢ des A-… 0DGN
Proposition 11 (« associativité » du $\varepsilon$-produit tensoriel) Avec les notations de la prop. 10 (III, p. 47), soit (J_λ)_λ ∈ L une partition de I, et posons Δ'_λ = ∏_i ∈ J_λ Δᵢ pour tout λ ∈ L. Soit E'_λ un ε-produit tensoriel gradué de type… ↩ 1 0615
Proposition 12 (« associativité » du $\varepsilon$-produit tensoriel d’algèbres graduées de mêmes types) Avec les notations de III, p. 47, prop. 10, supposons que tous les Δᵢ soient égaux à un même monoïde Δ₀; soit (J_λ)_λ ∈ L une partition de I. Avec les notations de la prop. 11 de I… 0616
Remarque 1 Soit I un ensemble infini d’indices, Δ₀ un monoïde commutatif; désignons par (Δᵢ)_i ∈ I la famille telle que Δᵢ = Δ₀ pour tout i, et supposons donnée, pour tout couple d’indices di… 0617
Remarque 2 Soient E une A-algèbre graduée de type Δ₀ (où Δ₀ est un monoïde commutatif), et ρ: A → B un homomorphisme d’anneaux; la graduation de ρ^*(E) (II, p. 174) est identique à la graduat… 0DGO
Définition 7 On dit qu’une A-algèbre graduée E de type Z est anticommutative si, quels que soient les éléments homogènes non nuls x, y de E, on a ↩ 3 0618
Remarque 1 Soit E⁺ la sous-algèbre graduée de E somme directe des E₂ₙ (n ∈ Z); il résulte de la déf. 7 que si E est anticommutative, E⁺ est une sous-algèbre contenue dans le centre de E (donc… 0619
Remarque 2 Supposons que 2 ne soit pas diviseur de 0 dans E; alors si E est anticommutative, E est alternée, car pour x ∈ E homogène et de degré impair, on a x² = -x² d’après (36), d’où 2x² =… 061E
Remarque 3 Nous étudierons en détail dans III, p. 76 à 90, des exemples importants d’algèbres alternées. 0DGP
Lemme 4 Soient E une algèbre graduée du type Z, S un ensemble d’éléments homogènes ≠ 0; l’ensemble F des éléments de E dont toutes les composantes homogènes x ≠ 0 satisfont à la relation (… ↩ 1 061A
Proposition 13 Soient E une A-algèbre graduée de type Z, S un système générateur de l’algèbre E formé d’éléments homogènes ≠ 0; pour que E soit anticommutative (resp. alternée), il faut et il suf… ↩ 1 061B
Proposition 14 Soient E et F deux A-algèbres graduées de type Z, toutes deux anticommutatives (resp. alternées). Alors le produit tensoriel gauche E mathop⊗limits_A F (III, p. 49) est (une algèbr… ↩ 3 061C
Corollaire Soit E une A-algèbre graduée de type Z, anticommutative (resp. alternée). Alors, pour tout homomorphisme d’anneaux ρ : A → B, la B-algèbre graduée ρ^*(E) (III, p. 53, Remarque 2) e… 061D
Remarque Soit E une A-algèbre graduée de type Z anticommutative. Alors l’application A-linéaire de E ⊗_A E dans E définie par la multiplication de E (III, p. 5) est un homomorphisme de la A… 0DGQ

§ 5. Algèbre tensorielle, tenseurs

Définition 1 Pour tout module M sur un anneau commutatif A, on appelle algèbre tensorielle de M, et on note T(M) ou Tens (M) (ou T_A(M)), l’algèbre ⨁_n ≥ 0 Tⁿ(M) munie de la multiplication défi… 061H
Proposition 1 Soient E une A-algèbre (unifère), f : M → E une application A-linéaire. Il existe un homomorphisme et un seul de A-algèbres g : T(M) → E tel que f = g ∘ φ. ↩ 5 061I
Remarque Supposons que E soit une A-algèbre graduée de type Z, de graduation (Eₙ), et supposons en outre que l’on ait f(M) ⊂ E₁. Alors il résulte de (2) que g(Tᵖ(M)) ⊂ Eₚ pour tout p ≥ 0, d… 061J
Proposition 2 Soient A un anneau commutatif, M et N deux A-modules, u : M → N une application A-linéaire. Il existe un homomorphisme de A-algèbres et un seul, u': T(M) → T(N), tel que le diagram… ↩ 1 061K
Proposition 3 Si u : M → N est une application A-linéaire surjective, l’homomorphisme T(u) : T(M) → T(N) est surjectif, et son noyau est l’idéal bilatère de T(M) engendré par le noyau P ⊂ M ⊂ T(… ↩ 2 061L
Proposition 4 Soient N et P deux sous-modules d’un A-module M, tels que leur somme N + P soit facteur direct dans M, et que leur intersection N ∩ P soit facteur direct dans N et dans P. Alors le… ↩ 5 061M
Remarque On notera en particulier que les hypothèses de la prop. 4 sont toujours vérifiées pour des sous-modules quelconques N, P de M, lorsque A est un corps (II, p. 98, prop. 4). En outre… 061N
Corollaire Soient K un corps commutatif, M un espace vectoriel sur K. Pour tout élément z ∈ T(M), il existe un plus petit sous-espace vectoriel N de M tel que z ∈ T(N), et N est de rang fini… ↩ 2 061O
Proposition 5 Soient A, B deux anneaux commutatifs, ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux, M un A-module. Le prolongement canonique ↩ 3 061P
Proposition 6 Le A-homomorphisme f' = varprojlim f'_α : varprojlim T_A_α(M_α) → T_A(M) est un isomorphisme d’algèbres graduées. ↩ 2 061Q
Théorème 1 Soient A un anneau commutatif, M un A-module libre, (e_λ)_λ ∈ L une base de M. Alors les éléments eₛ = e_λ₁ ⊗ e_λ₂ ⊗ ⋯ ⊗ e_λₙ, où s = (λ₁ …, λₙ) parcourt l’ensemble de toutes les s… ↩ 4 061R
Remarque Les résultats précédents peuvent également s’obtenir comme conséquence des propriétés universelles de l’algèbre associative libre et de l’algèbre tensorielle, compte tenu de (II, p… 061S
Corollaire Si M est un A-module projectif, T(M) est un A-module projectif. ↩ 2 061T
Proposition 7 Soient Δ un monoïde commutatif, M un A-module gradué de type Δ, (M_α)_α ∈ Δ sa graduation. Pour tout couple (α, n) ∈ Δ × N, soit T^α, n(M) la somme (directe) des sous-modules M_α₁… ↩ 3 061U

§ 6. Algèbre symétrique

Définition 1 Soient A un anneau commutatif, M un A-module. On appelle algèbre symétrique de M, et on note S(M) ou Sym(M) ou S_A(M), l’algèbre sur A quotient de l’algèbre tensorielle T(M) par l’… ↩ 1 0626
Proposition 1 L’algèbre S(M) est commutative. 0627
Proposition 2 Soient E une A-algèbre, f : M → E une application A-linéaire telle que f(x)f(y) = f(y)f(x) quels que soient x, y dans M. ↩ 3 0628
Remarque 1 Supposons que E soit une A-algèbre graduée de type Z, de graduation (Eₙ), et supposons en outre que l’application linéaire f (supposée vérifier (1)) soit telle que f(M) ⊂ E₁. Alors… 0629
Remarque 2 Tout élément de S(M) est somme de produits de la forme x₁ x₂ … xₙ, où les xᵢ appartiennent à M; on aura soin de ne pas confondre de tels produits pris dans S(M) et les produits ana… 0DGR
Remarque 3 Si n! . 1 est inversible dans A, le A-module Sⁿ(M) est engendré par les éléments de la forme xⁿ, où x ∈ M; cela résulte de la remarque précédente et de (I, p. 95, prop. 2). 0DGS
Proposition 3 Soient A un anneau commutatif, M et N deux A-modules, u : M → N une application A-linéaire. Il existe un homomorphisme de A-algèbres et un seul, u' : S(M) → S(N), tel que le diagra… ↩ 1 062A
Proposition 4 Si u : M → N est une application A-linéaire surjective, l’homomorphisme S(u) : S(M) → S(N) est surjectif, et son noyau est l’idéal de S(M) engendré par le noyau P ⊂ M ⊂ S(M) de u. ↩ 1 062B
Proposition 5 Soient N et P deux sous-modules d’un A-module M, tels que leur somme N + P soit facteur direct dans M, et que leur intersection N ∩ P soit facteur direct dans N et dans P. Alors le… 062C
Corollaire Soient K un corps commutatif, M un espace vectoriel sur K. Pour tout élément z ∈ S(M), il existe un plus petit sous-espace vectoriel N de M tel que z ∈ S(N), et N est de dimension… 062D
Proposition 6 Soient A un anneau commutatif, M et N deux A-modules. Si, à toute application A-linéaire g : Sⁿ(M) → N (n geqslant 1) on associe l’application n-linéaire (x₁, x₂, …, xₙ) ↦ g(x₁ x₂… 062E
Remarque Soit σ une permutation de 𝔖ₙ; comme l’application ↩ 1 062F
Proposition 7 Soient A, B deux anneaux commutatifs, ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux, M un A-module. Le prolongement canonique 062G
Proposition 8 Le A-homomorphisme f' = varprojlim f'_α : varprojlim S_A_α(M_α) → S_A(M) est un isomorphisme d’algèbres graduées. 062H
Proposition 9 L’homomorphisme canonique g (formule (10)) est un isomorphisme d’algèbres graduées (cf. III, p. 53, Remarque 1). ↩ 4 062I
Corollaire Le A-module Sⁿ(M) est l’image par l’isomorphisme (10) (III, p. 74) du sous-module de ⨂_λ ∈ L S(M_λ) somme directe des sous-modules S^ν(M) pour toutes les familles ν = (n_λ) ∈ N⁽ᴸ⁾… ↩ 1 062J
Théorème 1 Soient A un anneau commutatif, M un A-module libre ayant une base (e_λ)_λ ∈ L. Pour toute application α : L → N, de support fini, posons e^α = ∏_λ ∈ L e_λ^α(λ) (produit dans l’algè… ↩ 2 062K
Corollaire Si M est un A-module projectif, S(M) est un A-module projectif. 062L
Proposition 10 Soient Δ un monoïde commutatif à élément neutre, M un A-module gradué de type Δ, (M_α)_α ∈ Δ sa graduation. Pour tout couple (α, n) ∈ Δ × N, soit S^α, n(M) le sous-module de Sⁿ(M)… 062M

§ 7. Algèbre extérieure

Définition 1 Soient A un anneau commutatif, M un A-module. On appelle algèbre extérieure de M, et on note ∧(M) ou Alt(M) ou ∧_A(M), l’algèbre sur A quotient de l’algèbre tensorielle T(M) par l’… 062S
Proposition 1 Soient E une A-algèbre, f : M → E une application A-linéaire telle que (f(x))² = 0 quel que soit x ∈ M. Il existe un homomorphisme et un seul de A-algèbres g : ∧(M) → E tel que f =… ↩ 4 062T
Remarques 1) Supposons que E soit une A-algèbre graduée de type Z, de graduation (Eₙ), et supposons en outre que l’application linéaire f (supposée vérifier (1)) soit telle que f(M) ⊂ E₁. Al… 062U
Proposition 2 Soient A un anneau commutatif, M et N deux A-modules, u : M → N une application A-linéaire. Il existe un homomorphisme de A-algèbres et un seul, u'' : ∧(M) → ∧(N), tel que le diagr… ↩ 1 062V
Proposition 3 Si u : M → N est une application A-linéaire surjective, l’homomorphisme ∧(u) : ∧(M) → ∧(N) est surjectif, et son noyau est l’idéal bilatère de ∧(M) engendré par le noyau P ⊂ M ⊂ ∧(… ↩ 1 062W
Proposition 4 Soient N et P deux sous-modules d’un A-module M, tels que leur somme N + P soit facteur direct dans M, et que leur intersection N ∩ P soit facteur direct dans N et dans P. Alors le… 062X
Corollaire Soient K un corps commutatif, M un espace vectoriel sur K. Pour tout élément z ∈ ∧(M), il existe un plus petit sous-espace vectoriel N de M tel que z ∈ ∧(N), et N est de dimension… ↩ 2 062Y
Proposition 5 (i) Soit (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n une suite finie d’éléments du module M; pour toute permutation σ du groupe symétrique 𝔖ₙ, on a ↩ 6 062Z
Corollaire 1 Soient H, K deux parties complémentaires de l’intervalle [1, n] de N, et soient (iₕ)_1 ≤ h ≤ p, (jₖ)_1 ≤ k ≤ n-p les suites des éléments de H et de K respectivement, rangées dans l… ↩ 1 0630
Lemme 1 Si σ ∈ 𝔖ₙ est la permutation telle que σ(h) = iₕ pour 1 ≤ h ≤ p, σ(h) = jₕ₋ₚ pour p + 1 ≤ h ≤ n, on a ε_σ = (-1)^ν. 0631
Corollaire 2 L’algèbre graduée ∧(M) est alternée (III, p. 53). Il suffit en effet d’appliquer à ∧(M) la prop. 13 de III, p. 54, en prenant pour système générateur l’ensemble M et en utilisant l… ↩ 1 0632
Proposition 6 Si M est un A-module de type fini, ∧(M) est un A-module de type fini; de plus, si M admet un système générateur à n éléments, on a ∧ᵖ(M) = 0 pour p > n. Soit en effet (xᵢ)_1 ≤ i ≤… ↩ 5 0633
Proposition 7 Soient A un anneau commutatif, M et N deux A-modules. Si, à toute application A-linéaire g : ∧ⁿ(M) → N (n ≥ 2) on associe l’application n-linéaire (9) (x₁, x₂, …, xₙ) ↦ g(x₁ ∧ x₂ ∧… ↩ 6 0634
Corollaire 1 Pour toute application n-linéaire alternée g : Mⁿ → N, on a, pour toute permutation σ ∈ 𝔖ₙ, g(x_σ(1), x_σ(2), …, x_σ(n)) = ε_σ g(x₁, x₂, …, xₙ) quels que soient les xᵢ ∈ M; en outr… ↩ 1 0635
Corollaire 2 Soit (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n une suite de n éléments de M telle que x₁ ∧ x₂ ∧ ⋯ ∧ xₙ = 0; alors, pour toute application n-linéaire alternée g : Mⁿ → N, on a g(x₁, …, xₙ) = 0. 0636
Corollaire 3 Soit f : Mⁿ⁻¹ → A une forme (n-1)-linéaire alternée. Si (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n est une suite de n éléments de M telle que x₁ ∧ x₂ ∧ ⋯ ∧ xₙ = 0, on a ∑ᵢ₌₁ⁿ (-1)ⁱ f(x₁, …, hatxᵢ, …, xₙ)xᵢ =… 0637
Remarque On dit qu’un élément z de Tⁿ(M) est un tenseur antisymétrique (contravariant) d’ordre n si σ.z = ε_σ z pour tout permutation σ ∈ 𝔖ₙ (cf. III, p. 71, Remarque); ces éléments forment… 0638
Proposition 8 Soient A, B deux anneaux commutatifs, ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux, M un A-module. Le prolongement canonique 0639
Proposition 9 Le A-homomorphisme f'' = lim longrightarrow f_α'' : lim longrightarrow ∧_A_α(M_α) → ∧_A(M) est un isomorphisme d’algèbres graduées. 063A
Proposition 10 L’homomorphisme canonique g (formule (14)) est un isomorphisme d’algèbres graduées. Pour prouver que g est bijectif, on définit un homomorphisme d’algèbres graduées (15) h : ∧ (M)… ↩ 5 063B
Remarque Soit N = ⨁_λ ∈ L N_λ la somme directe d’une seconde famille de A-modules ayant L pour ensemble d’indices, et, pour tout λ ∈ L, soit v_λ : M_λ → N_λ une application A-linéaire, d’où… 063C
Corollaire Le A-module ∧ⁿ(M) est l’image par l’isomorphisme (14) (III, p. 84) du sous-module de g ⨂_λ ∈ L ∧ (M_λ) somme directe des sous-modules ∧^ν(M) pour toutes les familles ν = (n_λ) ∈ N⁽… ↩ 1 063D
Proposition 11 Soient Δ un monoïde commutatif à élément neutre, M un A-module gradué de type Δ, (M_α)_α ∈ Δ sa graduation. Pour tout couple (α, n) ∈ Δ × N, soit ∧^α, n(M) le sous-module de ∧ⁿ(M)… ↩ 1 063E
Théorème 1 Soit M un A-module ayant une base (e_λ)_λ ∈ L. Munissons L d’une structure d’ensemble totalement ordonné (E, III, p. 20, th. 1), et, pour toute partie finie J de L, posons ↩ 6 063F
Corollaire 1 Supposons que L = 1, m; alors la base (e_J)_J ∈ B(L) de ∧(M) a 2ᵐ éléments. Pour p > m, on a ∧ᵖ(M) = 0; ∧ᵐ(M) a une base formée d’un seul élément e_L; pour 0 ≤ p ≤ m, le nombre d’é… ↩ 3 063G
Corollaire 2 Si M est un A-module projectif, ∧(M) est un A-module projectif. ↩ 2 063H
Corollaire 3 Soient M un A-module projectif, (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n une suite finie d’éléments de M. Pour qu’il existe sur M une forme n-linéaire alternée f telle que f(x₁, x₂, …, xₙ) ≠ 0, il faut et i… ↩ 2 063I
Proposition 12 Soit M un A-module projectif. Pour que des éléments x₁, x₂, …, xₙ de M soient linéairement dépendants, il faut et il suffit qu’il existe λ ≠ 0 dans A tel que λ x₁ ∧ x₂ ∧ ⋯ ∧ xₙ = 0… ↩ 3 063J
Corollaire Soient M et N deux A-modules projectifs, et soit f : M → N une application A-linéaire. Si f est injective, alors ∧(f) : ∧(M) → ∧(N) est injective. ↩ 1 063K
Proposition 13 Soient M un A-module, N un sous-module facteur direct de M qui est libre de dimension p, u une base de ∧ᵖ(N). Pour qu’un élément x ∈ M appartienne à N, il faut et il suffit que u ∧… ↩ 3 063L
Théorème 2 Soit M un A-module ayant une base finie (eᵢ)_1 ≤ i ≤ n. Pour qu’une suite (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n de n éléments de M forme une base de M, il faut et il suffit que l’élément λ ∈ A tel que x₁… ↩ 1 063M

§ 8. Déterminants

Définition 1 On appelle déterminant d’un endomorphisme u d’un A-module libre M de dimension finie n (II, p. 98, corollaire et Remarque 1), et on note det u, le scalaire λ tel que ∧ⁿ(u) soit l’h… 0642
Proposition 1 (i) Si u et v sont deux endomorphismes d’un A-module libre M de dimension finie, on a det(u ∘ v) = (det u)(det v). (ii) On a det(1_M) = 1; pour tout automorphisme u de M, det u est… ↩ 1 0643
Proposition 2 Soient M un A-module libre ayant une base finie (eᵢ)_1 ≤ i ≤ n, v un endomorphisme de M. Pour toute suite (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n de n éléments de M, on a 0644
Théorème 1 Soit M un A-module libre de dimension finie, u un endomorphisme de M. Les conditions suivantes sont équivalentes: ↩ 5 0645
Proposition 3 Soit M un A-module libre de dimension finie. Pour tout endomorphisme u de M, les conditions suivantes sont équivalentes; ↩ 5 0646
Remarque Lorsque A est un corps, la condition e) du th. 2 est équivalente à la condition g) de la prop. 3 puisqu’elles signifient toutes deux que det u ≠ 0. Il y a donc dans ce cas équivale… 0647
Définition 2 Soient I un ensemble fini, A un anneau commutatif, X une matrice carrée de type (I, I) sur l’anneau A (II, p. 149). On appelle déterminant de X et on note det X le déterminant de l… 0648
Proposition 4 Pour n vecteurs x₁, …, xₙ de Aⁿ, notons X(x₁, …, xₙ) la matrice carrée d’ordre n dont la i-ème colonne est xᵢ, pour 1 ≤ i ≤ n. Alors l’application 0649
Exemple 1 Le déterminant de la matrice vide est égal à 1 ; le déterminant d’une matrice carrée d’ordre 1 est égal à l’unique élément de cette matrice. Pour une matrice d’ordre 2 064A
Proposition 5 Si X et Y sont deux matrices carrées sur un anneau commutatif A, ayant même ensemble fini d’indices, on a ↩ 1 064B
Corollaire Deux matrices carrées semblables ont des déterminants égaux. En effet, si P est une matrice carrée inversible, on a det(PXP⁻¹) = det X d’après (8) et (9). 064C
Proposition 6 Pour que les colonnes d’une matrice carrée X d’ordre fini soient linéairement indépendantes, il faut et il suffit que det X ne soit pas un diviseur de zéro dans A. Cela résulte de… ↩ 1 064D
Lemme 1 Soient A un anneau commutatif, M un A-module libre ayant une base (eⱼ)_j ∈ J, où l’ensemble d’indices J est totalement ordonné. Pour tout entier p ≤ Card(J), toute fonction p-linéa… 064E
Proposition 7 Soient I un ensemble fini, X = (ξⱼᵢ)_(j, i) ∈ I × I une matrice carrée de type (I, I) sur un anneau commutatif A. On a alors ↩ 1 064F
Proposition 8 Pour toute matrice carrée X sur un anneau commutatif, le déterminant de la matrice transposée tX est égal au déterminant de X. ↩ 4 064G
Corollaire 1 Pour n vecteurs x₁, …, xₙ de Aⁿ, notons Y(x₁, …, xₙ) la matrice carrée d’ordre n dont la i-ème ligne est xᵢ, pour 1 ≤ i ≤ n. Alors l’application ↩ 2 064H
Corollaire 2 Pour une matrice carrée X d’ordre fini sur un anneau commutatif A, les conditions suivantes sont équivalentes : (i) les lignes de X sont linéairement indépendantes ; (ii) les colon… 064I
Corollaire 3 Soient u un endomorphisme d’un A-module libre M de dimension finie, t u l’endomorphisme transposé du dual M^* (II, p. 42, déf. 5); on a ↩ 1 064J
Proposition 9 Soit M un A-module ayant une base (eᵢ)_i ∈ J (finie ou non) dont l’ensemble d’indices J est totalement ordonné. Pour tout entier p > 0, soit (e_H)_H ∈ Fₚ(J) la base correspondante… ↩ 2 064K
Proposition 10 Soient M et N deux A-modules libres de dimensions respectives m et n, u : M → N une application linéaire, X la matrice de u par rapport à une base (eᵢ)_1 ≤ i ≤ m de M et une base (… ↩ 3 064L
Proposition 11 Soit M un A-module libre de dimension finie n; pour tout endomorphisme u de M et tout couple d’éléments ξ, η de A, on a ↩ 2 064M
Corollaire Sous les mêmes hypothèses que dans la prop. 11, on a, pour l’endomorphisme ∧(u) du A-module ∧(M) 064N
Proposition 12 Pour toute matrice carrée inversible X de type (n, n), l’inverse de X est donnée par la formule X⁻¹ = (det X)⁻¹ · ᵗ Y où Y est la matrice des cofacteurs de X. 064O
Exemple 1 Déterminant de Vandermonde. Etant donnée une suite (ζᵢ)_1 ≤ i ≤ n de n éléments de A, on appelle déterminant de Vandermonde de cette suite le déterminant V(ζ₁, ζ₂, …, ζₙ) = beginvm… 064P
Exemple 2 Considérons une matrice carrée d’ordre n qui se présente sous forme d’une « matrice triangulaire supérieure de matrices » (II, p. 152, Exemple IV) 0DGT
Exemple 3 Soient M, M’ deux A-modules libres de dimensions respectives n, n', u un endomorphisme de M, u' un endomorphisme de M’. Alors on a 0DGU
Proposition 13 Pour qu’un système de n équations linéaires à n inconnues sur un anneau commutatif admette au moins une solution quels que soient les seconds membres, il faut et il suffit que le d… ↩ 1 064Q
Proposition 14 Pour qu’un système linéaire homogène de n équations à n inconnues sur un anneau commutatif admette une solution non nulle, il faut et il suffit que le déterminant de sa matrice soi… 064R
Proposition 15 Soit E un espace vectoriel sur un corps commutatif; pour que p vecteurs xᵢ ∈ E (1 ≤ i ≤ p) soient linéairement indépendants, il faut et il suffit que x₁ ∧ x₂ ∧ ⋯ ∧ xₚ ≠ 0. ↩ 3 064S
Corollaire Soit X une matrice de type (m, n) sur un corps commutatif. Le rang de X est égal au plus grand des entiers p tels qu’il existe au moins un mineur d’ordre p de X qui soit ≠ 0. ↩ 1 064T
Proposition 16 Soit L = (λᵢⱼ) la matrice (de type (m, n)) du système (41). Soit M la matrice de type (m, n+1) obtenue en bordant L par la (n+1)-ème colonne (ηᵢ) (II, p. 139). Soit p le rang de L… 064U
Proposition 17 Soit K un corps commutatif. Le groupe unimodulaire SL(n, K) est engendré par les matrices Bᵢⱼ(λ) pour i ≠ j et λ ∈ K. ↩ 4 064V
Corollaire Le groupe SL(n, K) est le groupe des commutateurs de GL(n, K), sauf dans le cas où n = 2 et où K est un corps à 2 éléments. ↩ 1 064W
Remarque 1 On a GL(2, F₂) = SL(2, F₂); c’est un groupe résoluble d’ordre 6, dont le groupe des commutateurs est d’indice 2 (II, p. 208, exerc. 14). 064X
Remarque 2 Avec les mêmes notations que ci-dessus, on prouve comme dans I, p. 61, prop. 9 que l’on a, pour i < j, j - i > 1, uᵢⱼ = u_j-1,ju_i,j-1u_j-1,i⁻¹; donc le groupe SL(n, K) est engendr… 0DGV
Proposition 18 La suite de A[X]-homomorphismes M[X] xrightarrowψ M[X] xrightarrowφ Mᵤ longrightarrow 0 est exacte. ↩ 2 064Y
Proposition 19 Pour qu’une application g de M dans M’ soit un A[X]-homomorphisme de Mᵤ dans M'ᵤ, il faut et il suffit que g soit un A-homomorphisme de M dans M' tel que g ∘ u = u' ∘ g. Lorsqu’il… ↩ 2 064Z
Définition 3 Soient M un A-module libre de dimension finie, u un endomorphisme de M. On appelle polynôme caractéristique de u et on note χᵤ(X) le déterminant de l’endomorphisme X - baru du A[X]… ↩ 1 0650
Proposition 20 (« théorème de Hamilton-Cayley ») Pour tout endomorphisme u d’un A-module libre de dimension finie, on a χᵤ(u) = 0. ↩ 2 0651

§ 9. Normes et traces

Définition 1 Soit M un A-module admettant une base finie en tant que K-module. Pour tout a ∈ A, soit a_M l’endomorphisme x ↦ ax du K-module M. La trace, le déterminant et le polynôme caractéris… 065S
Proposition 1 Soit M = M₀ ⊃ M₁ ⊃ … ⊃ Mᵣ = 0 une suite décroissante de sous-modules d’un A-module M, telle que chacun des K-modules Pᵢ = Mᵢ₋₁/Mᵢ (1 ≤ i ≤ r) admette une base finie. Alors le K-mod… ↩ 4 065T
Proposition 2 Soient A, A' deux K-algèbres, M un A-module et M' un A'-module. On suppose que M et M' sont des K-modules libres de dimensions respectives n et n', et on considère M ⊗_K M' comme u… ↩ 3 065U
Définition 2 Soit A une K-algèbre qui soit un K-module libre de dimension finie. Pour tout élément a ∈ A, on appelle trace (resp. norme,¹ resp. polynôme caractéristique) de a relativement à A e… ↩ 2 065V
Exemple 1 Soient A une algèbre quadratique sur K de type (\alpha, \beta), (e1, e2) une base de type (\alpha, \beta) (III, p. 12 et 13). Pour x = \xi e1 + \eta e2, on a Tr{A/K}(x) = 2\xi + \b… 065W
Exemple 2 Soit A une algèbre de quaternions sur K. Un calcul direct permet de vérifier que l’on a Tr{A/K}(x) = 2 T(x) et N{A/K}(x) = (N(x))^2, où T et N sont la trace et la norme cayleyennes… 0DGW
Exemple 3 Soit A = Mn(K), et rangeons la base canonique (E{ij}) de A (II, p. 142) dans l’ordre lexicographique. On voit alors aussitôt que pour toute matrice X = \sum{i,j} \xi{ij} E{ij}, la… 0DGX
Proposition 3 Soit A une K-algèbre admettant une base finie. Pour qu’un élément a \in A soit inversible, il faut et il suffit que sa norme N{A/K}(a) soit inversible dans K. ↩ 2 065X
Proposition 4 Soit A une K-algèbre admettant une base finie. Pour tout a \in A, on a 065Y
Proposition 5 Soient A une K-algèbre, m un idéal bilatère de A. On suppose que A0 = A/m est un K-module libre de dimension finie n, qu’il existe un entier r 0 tel que m^r = \{0\}, et que m^{i-1}… 065Z
Proposition 6 Soient A une K-algèbre commutative admettant une base finie sur K, V un A-module admettant une base finie sur A. Alors V admet une base finie sur K, et pour tout A-endomorphisme u… ↩ 3 0660
Lemme 1 Soient Xᵢⱼ (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n) n² indéterminées, X la matrice carrée (Xᵢⱼ) d’ordre n, D(X₁₁, …, Xₙₙ) ∈ Z[X₁₁, …, Xₙₙ] le déterminant det(X). Soient d’autre part A un anneau comm… 0661
Corollaire Soient A une K-algèbre commutative admettant une base finie sur K, B une A-algèbre admettant une base finie sur A. Alors B admet une base finie sur K, et pour tout b ∈ B, on a (« f… 0662
Remarque Supposons que l’homomorphisme λ ↦ λ . 1 de K dans A soit injectif, et identifions K à son image dans A; supposons que A admette une base finie (eᵢ)_1 ≤ i ≤ n en tant que K-module… 0663
Définition 3 Soit A une K-algèbre admettant une base finie de n éléments. On appelle discriminant d’une suite (x₁, …, xₙ) de n éléments de A, par rapport à K, et l’on note D_A/K(x₁, …, xₙ) le d… ↩ 1 0664
Exemple 1 Si A est une algèbre quadratique de type (α, β) sur K, on a (avec les notations de III, p. 12) Tr(e₁) = 2,\ Tr(e₂) = β,\ Tr(e₂²) = α Tr(e₁) + β Tr(e₂) = 2α + β², d’où D_A/K(e₁, e₂)… 0665
Exemple 2 Soit A = K[X]/K[X]P, où P(X) = X³ + pX + q, de sorte que si x est l’image de X dans A, 1, x, x² forment une base de A sur K et x³ = -px - q. On voit aussitôt que Tr(1) = 3,\ Tr(x)… 0DGY
Exemple 3 Soit A une algèbre de quaternions de type (α, β, γ) sur K, (1, i, j, k) une base de A de type (α, β, γ); compte tenu de III, p. 18, formule (30), on trouve aisément Tr(1) = 4,\ Tr(… 0DGZ
Exemple 4 Soit A = Mₙ(K), et considérons la base canonique (Eᵢⱼ)_1 ≤ i ≤ n,\ 1 ≤ j ≤ n de A sur K (II, p. 142). Il est immédiat que Tr_A/K(Eᵢⱼ) = 0 si j ≠ i et Tr_A/K(Eᵢᵢ) = n pour tout i; o… 0DH0

§ 10. Dérivations

Définition 1 Pour les données précédentes et pour un facteur de commutation ε sur Δ × Δ, on appelle ε-dérivation (ou (K, ε)-dérivation) de degré δ ∈ Δ de (A, A', A'') dans (B, B', B'') un tripl… ↩ 3 0667
Remarque 1 On peut définir la notion de dérivation pour des modules non gradués, en convenant de munir ces modules de la graduation triviale. 0668
Remarque 2 Tant qu’on ne considère que des ε-dérivations d’un degré donné δ, on peut se débarrasser du facteur de commutation ε par le procédé suivant: on modifie l’application bilinéaire λ₂… 0DH1
Exemple 1 Soit A la R-algèbre des applications dérivables de R dans R, et soit x₀ un point de R; on peut considérer R comme A-module pour la loi d’action (f, a) ↦ f(x₀)a. Alors l’application… ↩ 1 0669
Exemple 2 Soit X une variété différentielle de classe C^∞, et soit A la R-algèbre graduée des formes différentielles sur X, L’application qui à toute forme différentielle ω sur X associe sa… ↩ 1 066A
Exemple 3 Soit A une K-algèbre associative. Pour tout a ∈ A, l’application x ↦ ax - xa est une dérivation de l’algèbre A (cf. III, p. 124). 066B
Exemple 4 Soient M un K-module, A l’algèbre extérieure ∧(M^*), munie de sa graduation usuelle (III, p. 76). On verra dans III, p. 167 que, pour tout x ∈ M, le produit intérieur droit i(x) es… 066C
Exemple 5 Reprenons la situation générale de la déf. 1 de III, p. 117, et soient overlineK un second anneau commutatif, ρ : K → overlineK un homomorphisme d’anneaux; désignons par overlineA… 066D
Exemple 6 Soit A une K-algèbre graduée de type Z; on définit une K-application linéaire graduée de degré 0, d : A → A en prenant, pour xₙ ∈ Aₙ (n ∈ Z), d(xₙ) = nxₙ. Cette application est une… ↩ 1 066E
Proposition 1 Soient d₁, d₂ deux ε-dérivations de (A, A', A''), de degrés respectifs δ₁, δ₂. Alors le ε-crochet ↩ 1 066F
Corollaire Supposons Δ = Z. Alors: (i) Le carré d’une antidérivation est une dérivation. (ii) Le crochet de deux dérivations est une dérivation. (iii) Le crochet d’une antidérivation et d’une… 066G
Proposition 2 Avec les hypothèses et notations précédentes, considérons 2n indéterminées T₁, …, Tₙ, T'₁, …, T'ₙ, et pour tout polynôme F ∈ K[X₁, …, Xₙ], posons F(T) = F(T₁, …, Tₙ), F(T') = F(T'₁… ↩ 2 066H
Corollaire (formule de Leibniz) Soient dᵢ (1 leqslant i leqslant n) n dérivations de (A, A', A''), deux à deux permutables. Pour tout α = (α₁, …, αₙ) ∈ Nⁿ posons 066I
Proposition 3 Soit d : A → E une ε-dérivation de degré δ. Alors Ker(d) est une sous-algèbre graduée de A; si A admet un élément unité, il appartient à Ker(d). ↩ 3 066J
Corollaire Soient d₁ et d₂ deux ε-dérivations de A dans E, de même degré δ. Si d₁ et d₂ prennent les mêmes valeurs en chaque élément d’un système générateur de l’algèbre A, on a d₁ = d₂. ↩ 1 066K
Proposition 4 Soit d : A → E une ε-dérivation de degré δ. Supposons que A possède un élément unité 1, et soit x un élément homogène de A, ayant un inverse x⁻¹ dans A. Alors on a 066L
Proposition 5 Supposons que A soit un anneau commutatif intègre, et soit L son corps des fractions. Toute dérivation de A dans un espace vectoriel E sur L (considéré comme A-module) se prolonge… ↩ 2 066M
Proposition 6 Supposons que A soit une K-algèbre graduée associative unifère, E un (A, A)-bimodule gradué. Si d : A → E est une ε-dérivation de degré δ, on a, pour toute suite finie (xᵢ)_1 ≤ i ≤… ↩ 1 066N
Corollaire Supposons que A soit une algèbre associative unifère, commutative et ayant un élément unité, et E un A-module. Si d : A → E est une dérivation, on a, pour tout entier n geqslant 0, 066O
Proposition 7 Supposons que A soit une algèbre graduée associative unifère et E un (A, A)-bimodule gradué. Soit d : A → E une ε-dérivation de degré δ, et a un élément homogène de degré α de Z_ε… ↩ 1 066P
Proposition 8 Soit A une K-algèbre graduée. 066Q
Corollaire Soit A une algèbre graduée associative. Pour deux éléments homogènes a, b de A, on a 066R
Proposition 9 Soient A, B deux K-algèbres graduées, E un (A,A)-bimodule gradué, F un (B,B)-bimodule gradué; soient ρ : A → B un homomorphisme d’algèbres graduées, θ : E → F un A-homomorphisme de… ↩ 6 066S
Corollaire Soit S un système générateur de l’algèbre A. Pour que d'∘ρ = θ∘ d, il faut et il suffit que d'(ρ(x)) = θ(d(x)) pour tout x ∈ S. ↩ 1 066T
Proposition 10 Sous les conditions de la prop. 9, pour qu’une ε-dérivation d' : B → F soit A-linéaire pour les structures de A-module à gauche (resp. à droite) de B et de ρ_*(F), il faut et il su… ↩ 1 066U
Proposition 11 Sous les conditions précédentes, on a une suite exacte de K-homomorphismes 0 longrightarrow D_B(C,G) oversetulongrightarrow D_A(C,G) oversetvlongrightarrow D_A(B,G) où u est l’inje… ↩ 2 066V
Proposition 12 Pour qu’une application K-linéaire graduée f : A → E de degré δ soit une ε-dérivation, il faut et il suffit que l’application x ↦ (x, f(x)) de A dans A ⊕ E(δ) soit un homomorphisme… ↩ 1 066W
Proposition 13 Pour que l’algèbre A ⊕ E(δ) soit associative et unifère, il faut et il suffit que A soit associative et unifère et que les applications (a, x) ↦ a.x et (a, x) ↦ x.a définissent sur… ↩ 1 066X
Proposition 14 Soient A un anneau commutatif, M un A-module, B la A-algèbre T(M) (resp. S(M), resp. ∧(M)), E un (B,B)-bimodule. Soient d₀ : A → E une dérivation de l’anneau A dans le A-module E… ↩ 2 066Y
Corollaire Soit M un K-module gradué de type Δ; on munit les K-algèbres T(M), S(M) et ∧(M) des graduations correspondantes de type Δ' = Δ × Z (III, p. 62, prop. 7, III, p. 76, prop. 10 et III… ↩ 1 066Z
Proposition 15 Si M est un K-module libre de rang fini n, alors, pour tout endomorphisme s de M, la restriction à ∧ⁿ(M) de la dérivation Dₛ est l’homothétie de rapport Tr(s). 0670
Proposition 16 Soient A une K-algèbre commutative, Mᵢ (1 ≤ i ≤ n) et P des A-modules, H le A-module des applications A-multilinéaires de M₁ × M₂ × ⋯ × Mₙ dans P. On suppose donnée une K-dérivatio… ↩ 1 0671
Lemme 1 L’application δ_A : x ↦ x ⊗ 1 - 1 ⊗ x est une K-dérivation de A dans I, et I est engendré, en tant que A-module à gauche, par l’image de δ_A. ↩ 2 0673
Proposition 17 La dérivation δ_A possède la propriété universelle suivante: pour toute (A, A)-bimodule E et toute K-dérivation d : A → E, il existe un homomorphisme de (A, A)-bimodules f : I → E… ↩ 1 0674
Proposition 18 Soient A une K-algèbre commutative, 𝔍 l’idéal noyau de l’homomorphisme canonique surjectif m : A ⊗_K A → A, de sorte que A est isomorphe à (A ⊗_K A)/𝔍 et que 𝔍/𝔍² est canoniquement… ↩ 2 0675
Exemple Soit M un K-module; il résulte de la prop. 14 de III, p. 128 que pour tout S(M)-module E, l’application D ↦ D|_M définit un isomorphisme de S(M)-modules de D_K(S(M), E) sur Hom_K(M… 0676
Proposition 19 Soit 0677
Proposition 20 Supposons que l’on ait A' = A ⊗_K K', η': K' → A' et u: A → A' étant les homomorphismes canoniques. Alors l’application A'-linéaire ↩ 1 0678
Proposition 21 La suite d’applications B-linéaires ↩ 1 0679
Proposition 22 Soient 𝔍 un idéal de la K-algèbre commutative A, B = A/𝔍, et u : A → B l’homomorphisme canonique. La suite des applications B-linéaires ↩ 2 067A
Proposition 23 Soient A une K-algèbre intègre, B son corps des fractions, u : A → B l’injection canonique. Alors Ω₀(u) : Ω_K(A) ⊗_A B → Ω_K(B) est un isomorphisme. 067B

§ 11. Cogèbres, produits de formes multilinéaires, produits intérieurs et dualité

Définition 1 On appelle cogèbre sur A (ou A-cogèbre, ou simplement cogèbre si aucune confusion n’en résulte) un ensemble E muni d’une structure définie par les données suivantes: 1) une structu… 067H
Définition 2 Etant données deux cogèbres E, E', dont les coproduits sont notés respectivement c et c', on appelle morphisme de E dans E' une application A-linéaire u : E → E' telle que l’on ait ↩ 1 067I
Exemple 1 L’isomorphisme canonique A → A ⊗_A A (II, p. 56) définit sur A une structure de A-cogèbre. ↩ 1 067J
Exemple 2 Soient E une cogèbre, c son coproduit, σ l’automorphisme canonique du A-module E ⊗_A E tel que σ(x ⊗ y) = y ⊗ x pour x ∈ E,\ y ∈ E; l’application A-linéaire σ ∘ c définit sur E une… ↩ 1 067K
Exemple 3 Soit B une A-algèbre, et soit m : B ⊗_A B → B l’application A-linéaire définissant la multiplication dans B (III, p. 5). La transposée ᵗ m est donc une application A-linéaire du du… 0DH2
Exemple 4 Soient X un ensemble, A^(X) le A-module des combinaisons linéaires formelles des éléments de X à coefficients dans A (II p. 25), (eₓ)_x ∈ X la base canonique de A^(X). On définit u… 0DH3
Exemple 5 Soient M un A-module, T(M) l’algèbre tensorielle de M (III, p. 56); d’après (II, p. 71) il existe une application A-linéaire et une seule c du A-module T(M) dans le A-module T(M) ⊗… 0DH4
Exemple 6 Soient M un A-module, S(M) l’algèbre symétrique de M (III, p. 67); l’application diagonale Δ : x ↦ (x, x) de M dans M × M est une application A-linéaire, à laquelle correspond donc… 0DH5
Exemple 7 Soit M un A-module, et procédons pour l’algèbre extérieure ∧(M) de la même manière que pour S(M) dans l’Exemple 6; l’application diagonale Δ : M → M × M définit cette fois un homom… 0DH6
Exemple 8 Soient E, F deux A-cogèbres, c, c' leurs coproduits respectifs. Désignons par τ : (E ⊗_A E) ⊗_A (F ⊗_A F) → (E ⊗_A F) ⊗_A (E ⊗_A F) l’isomorphisme d’associativité tel que τ((x ⊗ x'… 0DH7
Exemple 9 Il est immédiat que les cogèbres T(M), S(M), et Λ(M) définies ci-dessus sont des cogèbres graduées. 0DH8
Exemple 1 Prenons pour E la cogèbre graduée T(M) (III, p. 139), et supposons N, N', N'' munis de la graduation triviale. Un homomorphisme gradué de degré -p de T(M) dans N (resp. N', N'') co… 067L
Exemple 2 Prenons pour E la cogèbre graduée S(M) (III, p. 139), en conservant les mêmes hypothèses sur N, N', N''. Un homomorphisme gradué de degré -p de S(M) dans N correspond alors à une a… ↩ 1 067O
Exemple 3 Prenons pour E la cogèbre graduée ∧(M) (III, p. 140). On déduit alors de la même manière, d’une application multilinéaire alternée u : Mᵖ → N et d’une application multilinéaire alt… ↩ 5 067Q
Remarque Supposons que les Eₚ soient des A-modules projectifs de type fini, de sorte que l’on peut identifier canoniquement les A-modules gradués (E ⊗_A E)^*gr et E^*gr ⊗_A E^*gr (II, p. 80… 067M
Proposition 1 Soit E une cogèbre sur A. Afin que, pour toute A-algèbre associative B, la A-algèbre Hom_A(E, B) soit associative, il faut et il suffit que le coproduit c : E → E ⊗_A E soit tel qu… ↩ 1 067N
Exemple 4 On vérifie aussitôt que la cogèbre A (III, p. 139, Exemple 1), la cogèbre A⁽ˣ⁾ (III, p. 139, Exemple 4) et la cogèbre T(M) (III, p. 139, Exemple 5) sont coassociatives. Si B est un… ↩ 3 067S
Proposition 2 Soit E une cogèbre sur A. Afin que, pour toute A-algèbre commutative B, la A-algèbre Hom_A(E, B) soit commutative, il faut et il suffit que le coproduit c : E → E ⊗_A E soit tel qu… ↩ 2 067P
Exemple 5 Il est immédiat que la cogèbre A (III, p. 139, Exemple 1) et la cogèbre A⁽ˣ⁾ (III, p. 139, Exemple 4) sont cocommutatives. Il résulte de la formule (5) de III, p. 140, que la cogèb… 0DH9
Proposition 3 Soit E une cogèbre sur A. Afin que, pour toute A-algèbre unifière B, la A-algèbre Hom_A(E, B) soit unifière, il faut et il suffit qu’il existe une forme linéaire γ sur E rendant co… ↩ 1 067R
Exemple 6 L’application identique est la coïunité de la cogèbre A ; sur la cogèbre A^(X) (III, p. 139, Exemple 4), la forme linéaire γ telle que γ(eₓ) = 1 pour tout x ∈ X est la coïunité. Su… 0DHA
Proposition 4 Soit E une cogèbre admettant une coïunité γ, et supposons qu’il existe dans E un élément e tel que γ(e) = 1; alors E est somme directe des sous-A-modules Ae et E_γ = Ker(γ), et l’o… ↩ 2 067T
Remarque Soient C une A-cogèbre coassociative et coünifère, B une A-algèbre associative unifère et M un B-module à gauche. L’application A-bilinéaire (b, m) ↦ bm de B × M dans M définit une… 067U
Proposition 5 (i) Soit E une cogèbre graduée admettant une coïunité γ; alors γ est une forme linéaire homogène de degré 0. ↩ 2 067V
Proposition 6 Soit E une cogèbre graduée sur A. Afin que, pour toute A-algèbre commutative B, munie de la graduation triviale, la A-algèbre graduée de type Z, Homgr_A(E, B) (III, p. 143) soit an… ↩ 1 067W
Exemple Il résulte aussitôt de la formule (8) de III, p. 140 que pour tout A-module M, la cogèbre graduée ∧(M) est anticommutative. 067X
Définition 3 On appelle bigèbre graduée (resp. bigèbre graduée gauche) sur un anneau A un ensemble E muni d’une structure de A-algèbre graduée de type N et d’une structure de ↩ 4 067Y
Exemple 1 Soit S un monoïde d’élément neutre u, de sorte que l’algèbre E = A^(S) du monoïde S sur A admet l’élément unité eᵤ (III, p. 19); on a vu d’autre part que E est muni canoniquement d… 067Z
Exemple 2 Soit M un A-module. Les structures de A-algèbre graduée (III, p. 67) et de A-cogèbre graduée (III, p. 139, Exemple 6) définies sur S(M) définissent sur cet ensemble une structure d… 0DHB
Exemple 3 Soit M un A-module. On voit comme dans l’Exemple 2) que sur ∧(M) les structures de A-algèbre graduée (III, p. 76) et de A-cogèbre graduée (III, p. 140, Exemple 7) définissent sur c… 0DHC
Remarque Si M est un A-module tel que M ⊗_A M ≠ 0, les structures de A-algèbre graduée (III, p. 56) et de A-cogèbre graduée (III, p. 139, Exemple 5) sur T(M) ne définissent pas une structur… 0680
Lemme 1 (i) Dans l’algèbre associative E^* = Hom_A(E, A), le produit de n éléments u₁, u₂, …, uₙ est donné par u₁ u₂ … uₙ = mₙ ∘ (u₁ ⊗ u₂ ⊗ ⋯ ⊗ uₙ) ∘ cₙ. (ii) Supposons en outre la cogèbre… 0681
Proposition 7 Soit M un A-module projectif de type fini. Alors les homomorphismes canoniques θ_T : T(M^*) → T(M)^*gr et θ_∧ : ∧(M^*) → (∧(M)^*gr)⁰ sont bijectifs. En outre le dual gradué ∧(M)^*g… ↩ 4 0682
Lemme 2 Soit ↩ 1 0683
Proposition 8 Supposons que l’anneau A soit une algèbre sur le corps Q des nombres rationnels ; alors, pour tout A-module projectif de type fini M, l’homomorphisme ↩ 2 0684
Remarque Soient M un A-module, ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux commutatifs. On a alors un diagramme d’homomorphismes de B-algèbres graduées 0685
Exemple On peut en particulier appliquer ce qui précède lorsque E est l’une des algèbres graduées T(M), S(M) ou ∧(M) pour un A-module M, et P un A-module (muni de la graduation triviale)… 0686
Exemple On peut en particulier appliquer ce qui précède lorsque E est l’une des cogèbres graduées T(M), S(M) ou ∧(M) pour un A-module M (III, p. 139–140, Exemples 5, 6 et 7). Pour explicit… 0687
Proposition 9 Soit E une bigèbre graduée (resp. une bigèbre graduée gauche). Pour tout élément x de degré 1 dans E, les produits intérieurs gauche et droit par x sont des dérivations (resp. des… ↩ 1 0688
Remarque 1 Soient E une bigèbre graduée sur A et N, N', N'' trois A-modules gradués. Soit m une application A-bilinéaire de N × N' dans N''; pour u ∈ HomgrA(E, N) et v ∈ HomgrA(E, N'), notons… 0689
Remarque 2 Le même raisonnement que dans la démonstration précédente prouve, plus généralement, que pour tout x ∈ E, si c(x) = ∑ⱼ x'ⱼ ⊗ x''ⱼ, on a, quels que soient u, v dans Egr, la « formul… 0DHD
Proposition 10 Soit E une bigèbre graduée (resp. une bigèbre graduée gauche). Pour tout élément f de degré 1 dans Egr, les produits intérieurs gauche et droit par f sont des dérivations (resp. de… 068A
Exemple Les prop. 9 et 10 s’appliquent en particulier à la bigèbre graduée S(M) et à la bigèbre graduée gauche ∧(M). Les produits intérieurs par des éléments de degré 1 de S(M) (resp. S(M)… 068B
Proposition 11 L’homomorphisme canonique θ_T : T(M^*) → T(M)^*gr (resp. θ_S : S(M^*) → S(M)^*gr, resp. θ_∧ : ∧(M^*) → ∧(M)^*gr) est un homomorphisme de T(M)-modules à droite (resp. de S(M)-module… ↩ 2 068C
Remarque La donnée de la base (eᵢ)_1 ≤ i ≤ n permet d’identifier l’algèbre S(M) à l’algèbre de polynômes A[X₁, …, Xₙ] (III, p. 75); la formule (75) montre que le produit intérieur par e^*α… 068D
Proposition 12 Soit M un A-module libre de dimension n; soit e ∈ ∧ⁿ(M) un élément formant une base de ∧ⁿ(M), et soit e^* l’élément de ∧ⁿ(M^*) tel que (-1)^n(n-1)/2 θ_∧(e^*) soit la base duale de… ↩ 2 068E
Proposition 13 Avec les hypothèses et notations de la prop. 11, on a, pour tout endomorphisme g du A-module M ↩ 2 068F
Corollaire Pour tout automorphisme g de E, on a ↩ 1 068G
Proposition 14 (i) L’orthogonal de M_z dans E^* est l’ensemble des x^* ∈ E^* tels que x^* ⊥ z = 0. 068H
Proposition 15 Soit E un espace vectoriel de dimension n, et soit e un élément ≠ 0 de ∧ᵖ(E) (formant donc une base de cet espace vectoriel). Soit φ : ∧(E) → ∧(E^*) l’isomorphisme d’espaces vector… ↩ 1 068I
Corollaire Si E est de dimension n, tout (n-1)-vecteur non nul sur E est pur. 068J
Proposition 16 Pour qu’un élément z ≠ 0 de ∧ᵖ(E) soit pur, il faut et il suffit que l’on ait, pour tout u^* ∈ ∧ᵖ⁻¹(E^*) 068K

App. 0. Algèbres alternatives. Octonions

Lemme 1 Quels que soient p, q, r, s dans l’algèbre F, on a a(pq, r, s) - a(p, qr, s) + a(p, q, rs) = a(p, q, r)s + pa(q, r, s). La vérification résulte aussitôt de la définition (1). 069A
Proposition 1 Pour une A-algèbre F, les conditions suivantes sont équivalentes: a) Pour tout couple d’éléments x, y de F, la sous-algèbre engendrée par x et y est associative. b) L’application t… ↩ 4 069B
Lemme 2 Soient E une A-algèbre telle que l’application trilinéaire (x, y, z) ↦ a(x, y, z) soit alternée, S un système générateur de E, U un sous-A-module de E contenant S et tel que sU ⊂ U… ↩ 1 069C
Lemme 3 Supposons l’application a alternée. Si H est une partie fortement associative de F, la sous-algèbre de F engendrée par H est fortement associative. Comme l’ensemble des parties for… ↩ 1 069D
Lemme 4 Supposons l’application a alternée. Alors, pour tout x ∈ F, la sous-algèbre de F engendrée par x est fortement associative. ↩ 1 069E
Lemme 5 Supposons l’application a alternée, et soient X, Y deux sous-algèbres fortement associatives de F. Alors la sous-algèbre E engendrée par X ∪ Y est associative. 069F
Définition 1 On dit qu’une A-algèbre F est alternative si elle satisfait aux condition équivalentes de la prop. 1. 069G
Proposition 2 Soient A un anneau, F une A-algèbre cayleyenne, e son élément unité, s : x ↦ barx sa conjugaison, N : F → A sa norme cayleyenne (III, p. 15). ↩ 2 069H
Proposition 3 Soient E une A-algèbre cayleyenne, γ un élément de A et F l’extension cayleyenne de E définie par γ et la conjugaison de E (III, p. 17, prop. 5). Pour que F soit alternative, il fa… ↩ 2 069I
Proposition 4 Soit F une algèbre d’octonions de type (−1, 0, −1, −1) sur A. Il existe un espace vectoriel V de dimension 3 sur le corps à deux éléments Z/2Z et une bijection λ ↦ e'_λ de V sur la… 069J
Remarque Comme bare'_λ = -e'_λ pour λ ≠ 0, on a e'²_λ = -e₀ pour λ ≠ 0, e'_μ e'_λ = -e'_λ e'_μ pour λ ≠ 0, μ ≠ 0 et μ ≠ λ. 069K

IV. Polynômes et fractions rationnelles

§ 1. Polynômes

Proposition 1 Soient u et v deux polynômes. 069O
Proposition 2 Soit a = (aᵢ)_i ∈ I une famille d’éléments de A et soit u ∈ A[X]. Soit v le polynôme obtenu par substitution de Xᵢ + aᵢ à Xᵢ pour tout i ∈ I. Le terme constant de v est égal à u(a)… ↩ 1 069P
Corollaire 1 Soit m l’idéal des polynômes u ∈ A[X] tels que u(a) = 0. Alors m est engendré par les polynômes Xᵢ - aᵢ (pour i ∈ I). ↩ 1 069Q
Corollaire 2 Soient X = (Xᵢ)_i ∈ I et Y = (Yᵢ)_i ∈ I deux familles d’indéterminées. L’ensemble D des polynômes u ∈ A[X, Y] tels que u(X, X) = 0 est l’idéal de A[X, Y] engendré par les polynômes… 069R
Proposition 3 Soient u ∈ A[X] et X.Z la famille (Xᵢ Z)_i ∈ I d’éléments de l’anneau de polynômes A[X][Z]. Le coefficient de Zᵏ dans u(X.Z) est la composante homogène de degré k de u, pour tout e… 069S
Corollaire Pour qu’un polynôme u ∈ A[X] soit homogène de degré k, il faut et il suffit que l’on ait : u(X.Z) = u(X).Zᵏ . 069T
Remarque Soit x ∈ A'. Soit f l’application u ↦ u(x) de A[X] dans A. Soit M un A-module. Considérons l’homomorphisme 1 ⊗ f de M[X] = M ⊗_A A[X] dans M ⊗_A A = M. Pour tout v ∈ M[X], on a (1… 069U
Proposition 4 Soient E une A-algèbre associative, commutative et unifère, x = (xᵢ)_i ∈ I une famille d’éléments de E, u un élément de A[(Xᵢ)_i ∈ I], et y = u(x). Pour toute dérivation D de E dan… ↩ 1 069V
Corollaire Soient f ∈ A[X₁, ..., Xₚ] et gᵢ ∈ A[Y₁, ..., Y_q] pour 1 ≤ i ≤ p. Posons h = f(g₁, ..., gₚ). Alors, pour 1 ≤ j ≤ q, on a 069W
Proposition 5 Quels que soient u ∈ A[X] et ν ∈ N⁽ᴵ⁾, on a ↩ 1 069X
Proposition 6 (« identité d’Euler ») Soit u ∈ A[X] un polynôme homogène de degré r. On a 069Y
Proposition 7 Soient f ∈ A[X] un polynôme non nul en une indéterminée, α son coefficient dominant. Si α est simplifiable dans A (en particulier si f est unitaire), on a, pour tout élément non nu… ↩ 4 069Z
Proposition 8 Si A est intègre, A[(Xᵢ)_i ∈ I] est intègre. ↩ 3 06A0
Corollaire 1 Si A est intègre, et si u, v sont des éléments de A[(Xᵢ)_i ∈ I], on a deg(uv) = deg u + deg v. ↩ 1 06A1
Corollaire 2 Si A est intègre, les éléments inversibles de A[(Xᵢ)_i ∈ I] sont les éléments inversibles de A. 06A2
Proposition 9 Soit u ∈ A[(Xᵢ)_i ∈ I]. Pour que u soit nilpotent dans l’anneau A[(Xᵢ)_i ∈ I], il faut et il suffit que tous ses coefficients soient nilpotents dans l’anneau A. 06A3
Remarque Soient u et v des éléments de A[(Xᵢ)_i ∈ I]. On suppose que A est intègre, que v est multiple non nul de u, et que v est homogène. Alors u est homogène. En effet, soit u' ∈ A[(Xᵢ)_… 06A4
Proposition 10 Soient f et g des éléments non nuls de A[X] de degrés respectifs m et n. Soient α₀ le coefficient dominant de f, et μ = sup(n - m + 1, 0). Il existe u, v ∈ A[X] tels que ↩ 1 06A5
Corollaire (« division euclidienne des polynômes ») Soient f un élément non nul de A[X] dont le coefficient dominant est inversible, et m = deg f. 06A6
Proposition 11 Soit K un corps commutatif. ↩ 1 06A7
Proposition 12 Soient K un corps commutatif et f, g deux éléments de K[X]. Pour tout polynôme d dans K[X], les propriétés suivantes sont équivalentes : ↩ 3 06A8
Définition 1 Avec les notations de la prop. 12, on dit que d est un plus grand commun diviseur (en abrégé pgcd) de f et g. On dit que f et g sont étrangers, ou premiers entre eux, ou que f est… 06A9
Corollaire 1 Soient d un pgcd de f et g, K' un corps commutatif contenant K comme sous-corps. Alors d est un pgcd de f et g considérés comme éléments de K'[X]. 06AA
Corollaire 2 Soit d un pgcd de f et g. (i) Si u ∈ K[X], du est un pgcd de fu et gu. (ii) Si v ∈ K[X] est un diviseur non nul de f et g, d|v est un pgcd de f/v et g/v. ↩ 2 06AB
Corollaire 3 Soit w un diviseur commun de f et g. Pour que w soit un pgcd de f et g, il faut et il suffit que f/w et g/w soient étrangers. 06AC
Corollaire 4 Soient f, g, h ∈ K[X]. Si f divise gh et est étranger à g, alors f divise h. 06AD
Corollaire 5 Soient f, g ∈ K[X]. Pour que f et g soient étrangers, il faut et il suffit que l’image canonique de g dans K[X]/(f) soit inversible. 06AE
Corollaire 6 Soient f, g₁, g₂, …, gₙ ∈ K[X]. Si f est étranger à g₁, g₂, …, gₙ, alors f est étranger à g₁ g₂ ⋯ gₙ. 06AF
Définition 2 Soit K un corps commutatif. On dit que f ∈ K[X] est irréductible si deg f ≥ 1, et si f n’est divisible par aucun polynôme g tel que 0 < deg g < deg f. 06AG
Proposition 13 Soit J l’ensemble des polynômes unitaires irréductibles de K[X]. Soient f un élément non nul de K[X], α son coefficient dominant. Il existe une famille (vₚ)_p ∈ J à support fini d’… 06AH

§ 2. Zéros des polynômes

Proposition 1 Soient f ∈ A[X] et α ∈ A. Le reste de la division de f par X - α est f(α). Pour que α soit racine de f, il faut et il suffit que X - α soit un diviseur de f dans A[X]. ↩ 2 06AO
Proposition 2 Soient f ∈ A[X], α ∈ A, et h un entier geqslant 0. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) f est divisible par (X - α)ʰ mais non par (X - α)ʰ⁺¹; (ii) il existe g ∈ A[X] te… ↩ 2 06AP
Proposition 3 Soient f un élément non nul de A[X], et α ∈ A. Il existe un entier h geqslant 0 et un seul qui satisfait aux conditions (i) et (ii) de la prop. 2. C’est évident sur la condition (i… 06AQ
Définition 1 Avec les notations précédentes, on dit que α est d’ordre h, ou de multiplicité h, relativement à f. ↩ 1 06AR
Remarque 1 Si f = 0, on convient de dire que α est d’ordre geqslant h relativement à f, quels que soient α ∈ A et l’entier h geqslant 0. Quels que soient f ∈ A[X] et α ∈ A, dire que α est d’o… 06AS
Remarque 2 Soit B un anneau commutatif contenant A comme sous-anneau. Soient f ∈ A[X] non nul et α ∈ A. L’ordre de α relativement à f est le même, que l’on considère f comme élément de B[X] o… 06AT
Proposition 4 Soient f et g des éléments non nuls de A[X]. Soit α ∈ A, et soient p et q les ordres de α relativement à f et g. ↩ 1 06AU
Proposition 5 Supposons A intègre. Soient f un élément non nul de A[X], α₁, …, αₚ des racines de f dans A deux à deux distinctes, d’ordres k₁, …, kₚ. On a ↩ 3 06AV
Théorème 1 Supposons A intègre. Soient f un élément non nul de A[X], n son degré. La somme des ordres de toutes les racines de f dans A est ≤ n. ↩ 2 06AW
Corollaire On suppose A intègre. Soient f, g ∈ A[X], de degrés ≤ n. S’il existe n + 1 éléments x₁, …, xₙ₊₁ de A, deux à deux distincts, tels que f(xᵢ) = g(xᵢ) pour 1 ≤ i ≤ n + 1, on a f = g. ↩ 1 06AX
Proposition 6 (formule d’interpolation de Lagrange) Soient K un corps commutatif, α₁, α₂, …, αₙ des éléments distincts de K, et β₁, β₂, …, βₙ des éléments de K. Pour i = 1, 2, …, n, posons ↩ 2 06AY
Corollaire Supposons A intègre. Soit f ∈ A[X], de degré < n, et soit K un sous-anneau de A qui est un corps. S’il existe n éléments α₁, …, αₙ de A, distincts, et tels que αᵢ ∈ K et f(αᵢ) ∈ K… 06AZ
Proposition 7 Soient f ∈ A[X], et α ∈ A une racine de f. Pour que α soit racine simple de f, il faut et il suffit que α ne soit pas racine de la dérivée Df de f. ↩ 3 06B0
Proposition 8 Soient f ∈ A[X], et α ∈ A. Supposons que α soit d’ordre k ≥ 1 relativement à f. Alors α est d’ordre ≥ k - 1 relativement à Df. Si k . 1 est simplifiable dans A, alors α est d’ordre… ↩ 2 06B1
Corollaire Soient f ∈ A[X], α ∈ A, et p un entier ≥ 0. On suppose que p!.1 est simplifiable dans A. Alors, pour que α soit racine d’ordre p de f, il faut et il suffit que α soit racine de f… 06B2
Proposition 9 On suppose A intègre. Soient I un ensemble, (Hᵢ)_i ∈ I une famille de parties infinies de A, et H = ∏_i ∈ I Hᵢ ⊂ Aᴵ. Soit f un élément non nul de A[(Xᵢ)_i ∈ I]. ↩ 3 06B3
Corollaire 1 On conserve les hypothèses et les notations de la prop. 9. Si I est non vide, H_f est infini. 06B4
Corollaire 2 On suppose que A est intègre et infini ou que A est une algèbre sur un corps infini. Pour tout f ∈ A[(Xᵢ)_i ∈ I], soit tildef : Aᴵ → A la fonction polynomiale définie par f (IV, p… ↩ 4 06B5
Théorème 2 (principe du prolongement des identités algébriques) Supposons A intègre et infini. Soient g₁, ..., gₘ, f des éléments de A[(Xᵢ)_i ∈ I]. On fait les hypothèses suivantes : ↩ 4 06B6
Scholie Soient A un anneau intègre et f ∈ A[(Xᵢ)_i ∈ I]. Le th. 2 fournit un moyen commode pour prouver que f = 0. Il suffit de considérer un anneau intègre infini E contenant A comme sous… 06B7

§ 3. Fractions rationnelles

Définition 1 Soient K un corps commutatif, I un ensemble. Le corps des fractions (I, p. 110) de l’anneau intègre K[(Xᵢ)_i ∈ I] se note K((Xᵢ)_i ∈ I) ou K(Xᵢ)_i ∈ I. Ses éléments s’appellent les… 06BL
Proposition 1 Soient r, s deux fractions rationnelles. (i) Si deg r ≠ deg s, on a r + s ≠ 0 et deg(r + s) = sup(deg r, deg s) . Si deg r = deg s, on a deg(r + s) ≤ deg r. (ii) On a deg(rs) = deg… 06BM
Proposition 2 Soient K un corps commutatif, E une K-algèbre associative unifère, x = (xᵢ)_i ∈ I une famille d’éléments de E deux à deux permutables. L’ensemble Sₓ⁻¹B des f ∈ K((Xᵢ)_i ∈ I) telles… ↩ 2 06BN
Corollaire Soient L un corps commutatif, K un sous-corps de L, x = (xᵢ)_i ∈ I une famille d’éléments de L, M l’ensemble des xᵢ, U l’ensemble des f ∈ K((Xᵢ)_i ∈ I) telles que x soit substituab… 0DHG
Proposition 3 Soit E une algèbre sur K, associative, commutative, unifère et non nulle. Soit f ∈ K((Xᵢ)_i ∈ I). Pour tout i ∈ I, soit gᵢ ∈ K((Yₗ)_l ∈ L). Soit y = (yₗ)_l ∈ L une famille d’élémen… 06BP
Proposition 4 Soient E une K-algèbre associative, commutative et unifère, x = (xᵢ)_i ∈ I une famille d’éléments de E, et f ∈ K((Xᵢ)_i ∈ I). On suppose que x est substituable dans f. Soit y = f(x… 06BQ

§ 4. Séries formelles

Lemme 1 Soient L un ensemble infini et (u_λ)_λ ∈ L une famille d’éléments de A[[I]]. Posons u_λ = ∑_ν α_λ,ν X^ν pour λ ∈ L. Les conditions suivantes sont équivalentes : 06BY
Remarque Supposons I fini. Pour tout entier n ≥ 0, soit bₙ l’ensemble des séries formelles u ∈ A[[I]] telles que ω(u) ≥ n. La suite (bₙ)_n ≥ 0 est un système fondamental de voisinages de 0… 06BZ
Proposition 1 Soient (u_λ)_λ ∈ L et (v_μ)_μ ∈ M deux familles sommables d’éléments de A[[I]]. Alors la famille (u_λ v_μ)_(λ, μ) ∈ L × M est sommable et l’on a ∑_(λ, μ) ∈ L × M u_λ v_μ = (∑_λ ∈ L… 06C0
Proposition 2 Soit (u_λ)_λ ∈ L une famille sommable d’éléments de A[[I]]. (i) La famille (1 + u_λ)_λ ∈ L est multipliable. (ii) Soit 𝔉 l’ensemble des parties finies de L. Pour M ∈ 𝔉, posons u_M… ↩ 2 06C1
Proposition 3 Soient u = ∑_ν α_ν X^ν ∈ A[[I]], et m un entier > 0. Pour tout n ∈ N, soit (α_ν,n)_ν ∈ N⁽ᴵ⁾ la famille des coefficients de uⁿ. Supposons que α₀ᵐ = 0. On a α_ν,n = 0 pour n ≥ |ν| +… ↩ 1 06C2
Corollaire Soit u ∈ A[[I]]. Pour que l’on ait lim_n → ∞ uⁿ = 0, il faut et il suffit que le terme constant de u soit nilpotent. Soit α₀ le terme constant de u. Le terme constant de uⁿ est α₀ⁿ… ↩ 1 06C3
Proposition 4 Soient I un ensemble, E une A-algèbre associative, commutative et unifière, linéairement topologisée, séparée et complète. (i) Soit φ un homomorphisme continu de A[[I]] dans E et s… ↩ 3 06C4
Proposition 5 Dans l’anneau A[[T]] des séries formelles en une indéterminée, le polynôme 1 - T est inversible, et l’on a (1 - T)⁻¹ = ∑ₙ₌₀^∞ Tⁿ. ↩ 3 06C5
Proposition 6 Soit u ∈ A[[I]]. Pour que u soit inversible dans A[[I]], il faut et il suffit que son terme constant soit inversible dans A. ↩ 3 06C6
Remarque Soit M l’ensemble des séries formelles de terme constant égal à 1. D’après la prop. 6, M est un groupe commutatif pour la multiplication ; le groupe multiplicatif de A[[I]] est pro… 06C7
Remarque 1 On dit souvent que Dᵢ u est la dérivée partielle de u par rapport à Xᵢ ; on emploie aussi les notations D_Xᵢ u, (∂ u)/(∂ Xᵢ) et u'_Xᵢ. Pour une seule indéterminée X, l’unique dériv… 0DHH
Remarque 2 La formule (9) montre que les endomorphismes Δᵖ du A-module A[[X]] commutent deux à deux. Il en est donc de même des endomorphismes Dᵢ. 0DHI
Remarque 3 Si u ∈ A[(Xᵢ)_i ∈ I] est un polynôme, les polynômes Δᵖ u et Dᵢ u définis dans IV, p. 6 et 7, coïncident avec les séries formelles désignées ici par le même symbole. 0DHJ
Proposition 7 Soit (yᵢ)_i ∈ I une famille d’éléments de E. Lorsque I est infini, on suppose que yᵢ tend vers 0 selon le filtre des complémentaires des parties finies de I. Il existe alors une un… ↩ 1 06C8
Corollaire 1 Soit Δ une dérivation continue de la A-algèbre E. Pour toute série formelle u ∈ A[[I]], la famille ((Dᵢu)(x).Δ xᵢ)_i ∈ I est sommable et l’on a (17) Δ(u(x)) = ∑_i ∈ I (Dᵢu)(x).Δ xᵢ… ↩ 3 06C9
Corollaire 2 La dérivation Dᵢ est l’unique dérivation continue de la A-algèbre A[[I]] telle que (18) Dᵢ(Xᵢ) = 1 , Dᵢ(Xⱼ) = 0 pour j ≠ i . 06CA
Corollaire 3 Soient f ∈ A[[X₁, ..., Xₚ]] et gᵢ ∈ A[[Y₁, ..., Y_q]] pour 1 ≤ i ≤ p. Supposons que, pour 1 ≤ i ≤ p, le terme constant de gᵢ soit nul. Posons h = f(g₁, ..., gₚ). Alors, pour 1 ≤ j… ↩ 1 06CB
Proposition 8 Soit X = (Xᵢ)_i ∈ I une famille finie d’indéterminées. 06CC
Proposition 9 Soient (u_λ)_λ ∈ L une famille sommable d’éléments sans terme constant de A[[I]] et D une dérivation continue de la A-algèbre A[[I]]. Posons f = ∏_λ ∈ L (1 + u_λ) (IV, p. 25, prop… 06CD
Lemme 2 Soit (gᵢ)_i ∈ I une famille d’éléments d’ordre geqslant 2 dans A[[I]]. Lorsque I est infini, on suppose que gᵢ tend vers 0 selon le filtre des complémentaires des parties finies de… ↩ 2 06CE
Proposition 10 Soit f ∈ AI. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 2 06CF
Corollaire Soient fᵢ(Y₁, Y₂, ..., Y_q, X₁, X₂, ..., Xₚ) (1 ≤ i ≤ q) q séries formelles sans terme constant dans A[[Y₁, ..., Y_q, X₁, ..., Xₚ]]. Si le terme constant de la série formelle D = d… 06CG
Proposition 11 Supposons A intègre. 06CH
Proposition 12 Tout élément non nul u de K((X)) s’écrit d’une seule manière sous la forme u = Xᵏ v, où k ∈ Z et où v est une série formelle en X d’ordre 0. ↩ 1 06CI
Proposition 13 Dans Q[[X, Y]], on a e^X+Y = e^X e^Y. ↩ 1 06CJ
Proposition 14 On a l(e(X)) = e(l(X)) = X. 06CK

§ 5. Tenseurs symétriques et applications polynomiales

Définition 1 Si G est d’indice fini dans H, on note Tr{H/G} l’application de M^G dans M^H définie par : 06CT
Proposition 1 (i) Soient m \in M^G et h \in H. Alors hm \in M^{hGh^{-1}} et ↩ 1 06CU
Proposition 2 (i) La A-algèbre TS(M) est associative, commutative et unifère. ↩ 2 06CV
Définition 2 Si x ∈ M, l’élément x ⊗ x ⊗ … ⊗ x de TSᵏ(M) se note γₖ(x). 06CW
Proposition 3 (i) Si x ∈ M, la puissance p-ième de x calculée dans TS(M) est égale à p! γₚ(x). (ii) Soient x₁, …, xₙ ∈ M. On a γₚ(x₁ + x₂ + ⋯ + xₙ) = ∑_p₁ + p₂ + ⋯ + pₙ = p γ_p₁(x₁) γ_p₂(x₂) … γ… ↩ 5 06CX
Remarque 1 Soit (xᵢ)_i ∈ I une famille d’éléments de M. Pour tout ν ∈ N⁽ᴵ⁾, posons 06CY
Remarque 2 Soit M l’ensemble des applications de [1, p] dans I. On définit une application ρ ↦ ρ^* de M dans N⁽ᴵ⁾ en posant ↩ 1 06CZ
Proposition 4 Supposons M libre, et soit (eᵢ)_i ∈ I une base de M. (i) Pour ν ∈ N⁽ᴵ⁾, soit e_ν = ∏_i ∈ I γ_νᵢ(eᵢ). Alors (e_ν)_ν ∈ N⁽ᴵ⁾ est une base du A-module TS(M). En particulier, l’algèbre… ↩ 5 06D0
Lemme 1 Soient H un groupe fini, U un A[H]-module à gauche. On suppose que le A-module U possède une base B stable pour les opérations de H dans U. Soit Ω = B/H. Pour tout ω ∈ Ω, soit u_ω… ↩ 1 06D1
Proposition 5 Soient M un A-module libre, k un entier geqslant 0, P le sous-A-module de TSᵏ(M) engendré par γₖ(M). On suppose A intègre et infini. Pour tout z ∈ TSᵏ(M), il existe α ∈ A - 0 tel q… ↩ 1 06D2
Proposition 6 Soit M un A-module somme directe d’une famille (M_λ)_λ ∈ L de sous-modules. Si chaque M_λ est un module libre, l’homomorphisme canonique de ⨂_λ ∈ L TS(M_λ) dans TS(M) est un isomor… ↩ 1 06D3
Proposition 7 Soient M un A-module, u l’application (x, y) ↦ x + y de M ⊕ M dans M, et f l’application composée ↩ 2 06D4
Proposition 8 Soit M un A-module libre. Pour ses structures d’algèbre et de cogèbre, TS(M) est une bigèbre graduée commutative et cocommutative. La coïunité est l’application A-linéaire ε : TS(M… 06D5
Proposition 9 Soient M et N des A-modules libres, u un A-homomorphisme de M dans N. Alors TS(u) est un homomorphisme de bigèbres. ↩ 1 06D6
Proposition 10 Soit M un A-module libre. Les éléments primitifs (III, p. 164) de la bigèbre TS(M) sont les éléments de M. ↩ 2 06D7
Proposition 11 Si M est libre, φ_M est un morphisme de bigèbres graduées. En utilisant la commutativité des diagrammes (13) et (14), on obtient le diagramme commutatif 06D8
Proposition 12 (i) Si u ∈ Sⁿ(M), on a ψ_M(φ_M(u)) = n!u. (ii) Si v ∈ TSⁿ(M), on a φ_M(ψ_M(v)) = n!v. Soient x₁, ..., xₙ ∈ M, et u le produit x₁ ... xₙ calculé dans S(M). Alors φ_M(u) est le produ… 06D9
Corollaire 1 Si A est une Q-algèbre, l’homomorphisme canonique de S(M) dans TS(M) est un isomorphisme d’algèbres. Si de plus M est libre, c’est un isomorphisme de bigèbres graduées. ↩ 2 06DA
Corollaire 2 Si A est une Q-algèbre, le module TSⁿ(M) est engendré par les puissances n-ièmes des éléments de M dans TS(M). Cela résulte du cor. 1 et de la propriété analogue de S(M) (III, p. 6… 06DB
Proposition 13 Soient M et N des A-modules, q un entier geqslant 0, f une application de M dans N. On suppose M libre. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) Il existe une application q… ↩ 5 06DC
Définition 3 Soient M et N des A-modules, q un entier geqslant 0. On suppose M libre. On note Pol_A^q(M, N) ou simplement Pol^q(M, N) l’ensemble des applications de M dans N vérifiant les condi… ↩ 1 06DD
Exemple 1 Les applications polynomiales homogènes de degré 1 de M dans N sont les applications A-linéaires de M dans N. 06DE
Exemple 2 Soient (Nᵢ)_i ∈ I une famille de A-modules, fᵢ une application de M dans Nᵢ, i ∈ I, et f : M → ∏_i ∈ I Nᵢ l’application de composantes fᵢ. Pour que f soit polynomiale homogène de d… 06DF
Exemple 3 Soient (Mⱼ)_j ∈ J une famille finie de A-modules libres et u : ∏_j ∈ J Mⱼ → N une application multilinéaire. Alors u est polynomiale de degré Card(J). 06DG
Exemple 4 Soient (Xᵢ)_i ∈ I une famille d’indéterminées, N un A-module, et u ∈ N[(Xᵢ)_i ∈ I] un polynôme homogène de degré q. L’application (xᵢ)_i ∈ I ↦ u((xᵢ)_i ∈ I) de A⁽ᴵ⁾ dans N est une… 06DH
Exemple 5 L’application (xᵢ)_i ∈ N ↦ x₀² + x₁² + ⋯ + xₙ² + ⋯ de A^(N) dans A est une application polynomiale homogène de degré 2. Si A = Z/2Z, elle coïncide avec la forme linéaire (xᵢ)_i ∈ N… 06DI
Exemple 6 Soit f ∈ Pol_A^q(M, N). Soient B un anneau commutatif, ρ un homomorphisme de B dans A, M' et N' les B-modules déduits de M et N grâce à ρ. Supposons M' libre. Alors f ∈ PolB^q(M'… 06DJ
Proposition 14 Soient M, N, P des A-modules, q et r des entiers ≥ 0. On suppose M et N libres. Soient f ∈ Pol^q(M, N), f' ∈ Pol^r(N, P). Alors f' ∘ f ∈ Pol^{qr}(M, P). 06DK
Proposition 15 Soient M un A-module libre, N un A-module, q un entier ≥ 0. On suppose que l’application y ↦ q !y est un automorphisme de N. Soit f ∈ Pol^q(M, N). Il existe une application q-linéa… ↩ 1 06DL
Proposition 16 Soient M un A-module libre, N un A-module, q un entier positif, u l’homomorphisme canonique de Hom(TS^q(M), N) dans Pol^q(M, N). ↩ 2 06DM
Corollaire Soient M un A-module libre, N un A-module, q un entier positif, h ∈ Pol^q(M, N), (ei){i∈I} une base de M. Dans les deux cas de la prop. 16, il existe une unique famille (u\nu){v∈\m… ↩ 1 06DN
Définition 4 Soient M et N deux A-modules. On suppose que M est libre. Soit Ap(M, N) le A-module des applications de M dans N. Le sous-module ∑_q≥0 Pol_A^q(M, N) de Ap(M, N) se note PolA(M, N)… ↩ 2 06DO
Proposition 17 Soient M un A-module libre et B une A-algèbre associative, commutative et unifière. Alors PolA(M, B) est une sous-B-algèbre de l’algèbre Ap(M, B). 06DP
Proposition 18 Soient M, N, P des A-modules. On suppose M et N libres. Soient f ∈ Pol(M, N), g ∈ Pol(N, P). Alors g ∘ f ∈ Pol(M, P). 06DQ
Lemme 2 Soient N un A-module, n un entier geqslant 0, et ↩ 1 06DR
Proposition 19 Soient M un A-module libre, N un A-module, G un sous-groupe additif infini de A. On suppose que les homothéties de N définies par les éléments non nuls de G sont injectives. Alors… ↩ 1 06DS
Corollaire On suppose A intègre infini. Soient M un A-module libre, N un A-module sans torsion. (i) On a Pol(M, N) = ⨁_q geqslant 0 Pol^q(M, N), et chaque Pol^q(M, N) s’identifie canoniquemen… ↩ 2 06DT
Proposition 20 Si le A-module M est libre de type fini, θ est un isomorphisme d’algèbres graduées. ↩ 1 06DU
Remarque 1 On voit de même que, si M est un A-module libre de type fini, l’algèbre graduée S(M)^*gr introduite en III, p. 150, s’identifie à TS(M^*). ↩ 1 06DV
Proposition 21 L’homomorphisme canonique de A-modules (IV, p. 52) 06DW
Remarque 2 L’homomorphisme composé λ_M = u ∘ θ : S(M^*) → Pol_A(M, A) est l’unique homomorphisme unifère d’algèbres induisant l’inclusion de M^* = Pol¹(M, A) dans Pol(M, A). Si M est libre de… ↩ 2 06DX
Remarque 3 Considérons le coproduit c_S : S(M^*) → S(M^* × M^*) (III, p. 139, Exemple 6). Quels que soient v ∈ S(M^*), x, y ∈ M, l’application polynomiale λ_M × M(c_S(v)) : M × M → A applique… 0DHK

§ 6. Fonctions symétriques

Théorème 1 Posons E = A[X₁, ..., Xₙ] et S = A[X₁, ..., Xₙ]^sym. ↩ 2 06EE
Proposition 1 Pour tout couple d’entiers positifs k, n, soit Sk^{(n)} le A-module formé des polynômes symétriques en X1, ..., Xn, homogènes de degré k. Si l’entier m satisfait à 0 ≤ k ≤ m ≤ n, l… 06EF
Exemple 3 D’après l’exemple 2 de IV, p. 60, et la prop. 1 ci-dessus, on a donc ∑ᵢ₌₁ⁿ Xᵢ³ = s_1,n³ - 3s_1,ns_2,n + 3s_3,n pour tout entier n ≥ 3. La commutativité du diagramme (10) donne par… 06EG
Remarque Soient n et k deux entiers positifs. On note Δ_k,n l’ensemble des éléments de longueur k dans Nⁿ; de plus, on munit Δ_k,n de la relation d’ordre, notée α ≤ β, induite par l’ordre l… 06EH
Exemple 4 D’après l’exemple 3 de IV, p. 61, on a 06EI
Proposition 2 Le corps des fractions rationnelles symétriques en X₁, …, Xₙ est le corps des fractions de l’anneau des polynômes symétriques en X₁, …, Xₙ. ↩ 2 06EJ
Corollaire Soient s₁, s₂, ..., sₙ les polynômes symétriques élémentaires en X₁, ..., Xₙ. Pour toute fraction rationnelle g ∈ K(S₁, S₂, ..., Sₙ), la suite (s₁, s₂, ..., sₙ) est substituable da… 06EK
Théorème 2 a) Si I est un ensemble fini à n éléments, φ₁ induit un isomorphisme bicontinu de A[[S₁, ..., Sₙ]] sur A[[X]]ˢʸᵐ. ↩ 1 06EL
Lemme 1 Soient J une partie finie de I, r un entier tel que Card J geqslant r, et f une série formelle symétrique homogène de degré r en les Xᵢ (i ∈ I). Soit overlinef la série formelle ob… ↩ 2 06EM
Lemme 2 Soit f une série formelle symétrique homogène de degré r en les Xᵢ (i ∈ I). Il existe un unique polynôme P ∈ B ∩ A[S], isobare de poids r, tel que f = ψ₁(P). ↩ 1 06EN
Lemme 3 Pour tout entier m geqslant 0, soit cₘ l’idéal de l’algèbre A[[X]]ˢʸᵐ formé des séries formelles symétriques d’ordre geqslant m. La suite (cₘ)_m geqslant 0 est un système fondament… 06EO
Lemme 4 (« Relations de Newton ») Pour tout entier d ≥ 1, on a 06EP
Remarque Avec les notations de la démonstration précédente, on a 06EQ
Proposition 3 a) Si I est un ensemble fini à n éléments et si n!.1 est inversible dans A, λ₁ induit un isomorphisme bicontinu de A[[P₁, ..., Pₙ]] sur A[[X]]ˢʸᵐ. ↩ 1 06ER
Corollaire Soient ξ₁, ..., ξₙ, η₁, ..., ηₙ des éléments de A. On suppose que A est intègre. 06ES
Proposition 4 Soient B un anneau commutatif, ρ un homomorphisme de A dans B, et ξ₁, …, ξₙ des éléments de B. On suppose que l’on a la relation ^ρ f(X) = ∏ᵢ₌₁ⁿ (X - ξᵢ) dans B[X]. Il existe alors… 06ET
Proposition 5 Dans l’algèbre de décomposition universelle E_f, la famille des monômes x₁^ν(1) … xₙ^ν(n), tels que 0 ≤ ν(i) < i pour 1 ≤ i ≤ n, est une base du A-module E_f. En particulier, E_f e… 06EU
Corollaire L’homomorphisme canonique de A dans l’algèbre de décomposition universelle du polynôme unitaire f ∈ A[X] est injectif. En effet, l’élément unité de E_f appartient à une base du A-m… ↩ 1 06EV
Proposition 6 Soit f ∈ A[X] un polynôme unitaire de degré n. Soit P un polynôme symétrique en X₁, …, Xₙ à coefficients dans A. Il existe un élément a de A, et un seul, possédant la propriété sui… 06EW
Exemple 1 Si P = sₖ, on a P^*(f) = (-1)ᵏ aₖ. 0DHL
Exemple 2 \ Soit g un polynôme dans A[X]; posons 0DHM
Exemple 3 Posons Δ(X₁, …, Xₙ) = ∏_i < j (Xᵢ - Xⱼ)². Alors Δ^*(f) n’est autre que le discriminant du polynôme unitaire f (IV, p. 77, formule (46)). 0DHN
Exemple 4 Posons P(X₁, …, Xₙ) = X₁ᵏ + ⋯ + Xₙᵏ; introduisons par ailleurs l’algèbre E = A[X]/(f) et notons x l’image de X dans E. Rappelons que le A-module E est libre, de base (1, x, …, xⁿ⁻¹… 0DHO
Définition 1 Avec les notations ci-dessus, le déterminant de la matrice M(f, g, p, q) s’appelle le résultant du couple (f, g) pour les degrés p et q, ou simplement le résultant de f et g si p =… 06EX
Exemple 1 Soient λ, μ dans A. On a les formules beginalign* res_p,0(f, λ) &= λᵖ, & res_0,q(μ, g) &= μ^q \\ res_p,1(f, λ) &= λᵖ tₚ, & res_1,q(μ, g) &= (-1)^q μ^q u_q, endalign* de démonstrati… 06EY
Exemple 2 Lorsque p = q = 1, on a res_1,1(t₁ X + t₀, u₁ X + u₀) = t₁ u₀ - t₀ u₁ . 06EZ
Remarque 1 La matrice M(g, f, q, p) se déduit de M(f, g, p, q) par pq transpositions de colonnes, d’où res_q,p(g, f) = (-1)^pq res_p,q(f, g) . 06F0
Remarque 2 Soit ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux. La définition 1 entraîne aussitôt la formule res_p,q(ρ f, ρ g) = ρ(res_p,q(f, g)) . 06F1
Remarque 3 Soient λ, μ dans A. On a res_p,q(λ f, μ g) = λ^q μᵖ res_p,q(f, g) . (28) ↩ 1 06F2
Remarque 4 Supposons qu’on ait p + q geqslant 1. D’après III, p. 99, formule (28), l’image de φ contient le polynôme constant res_p,q(f, g). Il existe donc un couple de polynômes (u, v), avec… 06F3
Remarque 5 Supposons p geqslant q. Soit h ∈ A[X] un polynôme de degré leqslant p - q. Montrons que l’on a res_p,q(f, g) = res_p,q(f + gh, g) . En effet, posons ω(u, v) = (u, uh + v) pour (u… 06F4
Proposition 7 Supposons f unitaire de degré p. Avec les notations précédentes, on a¹ 06F5
Corollaire 1 Soit f ∈ A[X] un polynôme unitaire. Pour tout polynôme g ∈ A[X], les conditions suivantes sont équivalentes : (i) res(f, g) est inversible dans A; (ii) il existe des polynômes u, v… ↩ 1 06F6
Corollaire 2 Supposons que A soit un corps. Soient f, g dans A[X]. Les conditions suivantes sont équivalentes lorsque f et g sont non nuls : (i) on a res(f, g) ≠ 0; (ii) les polynômes f et g so… 06F7
Corollaire 3 Pour tout λ ∈ A, on a 06F8
Proposition 8 Supposons f et g unitaires de degrés respectifs p et q. Avec les notations précédentes, le A-module F est libre de base (xⁱ yʲ)_0 ≤ i < p, 0 ≤ j < q, et l’on a ↩ 1 06F9
Proposition 9 Soient p₁ et q₁ des entiers positifs et f₁, g₁ des polynômes dans A[X] tels que deg f₁ ≤ p₁, deg g₁ ≤ q₁. On a ↩ 1 06FA
Lemme 5 Soit t un élément de A. Il existe un anneau commutatif C contenant A comme sous-anneau, un sous-anneau B de C contenant A, un élément τ de B, inversible dans C, et un homomorphisme… 06FB
Corollaire 1 (i) Soient λ, α₁, …, αₚ des éléments de A et supposons que l’on ait f(X) = λ(X - α₁) … (X - αₚ). On a ↩ 2 06FC
Corollaire 2 Pour tout entier r ≥ 0, on a 06FD
Exemple 3 Prouvons la formule 06FE
Définition 2 Soient f un polynôme unitaire de A[X] et m son degré. Notons E la A-algèbre A[X]/(f) et x l’image canonique de X dans E. On appelle discriminant de f, et l’on note dis(f), le discr… ↩ 1 06FF
Exemple 1 Si f est un polynôme unitaire de degré 0 ou 1, on a dis(f) = 1 d’après (45). 0DHP
Exemple 2 Soit f(X) = X² + α X + β un polynôme unitaire de degré 2. Les relations de Newton s’écrivent sous la forme (IV, p. 70) 0DHQ
Proposition 10 Soit m geqslant 1. Il existe un unique polynôme Δ ∈ Z[A₁, ..., Aₘ] avec la propriété suivante : quels que soient l’anneau commutatif A et le polynôme unitaire f = Xᵐ + ∑ᵢ₌₁ᵐ aᵢ Xᵐ⁻… 06FG
Proposition 11 Soit f dans A[X] de degré ≤ m. ↩ 2 06FH
Corollaire 1 Soit g ∈ A[X] et soit n un entier positif tel que deg g ≤ n. On a ↩ 1 06FI
Corollaire 2 Si a₀ est le coefficient de Xᵐ dans f, on a ↩ 1 06FJ
Corollaire 3 Supposons que A soit un corps. Soit f un polynôme non constant de A[X]. Pour que f et Df soient étrangers, il faut et il suffit que l’on ait dis(f) ≠ 0. Cela résulte de la prop. 11… 06FK
Remarque Une double application du cor. 2 ci-dessus montre que l’on a disₘ(f) = 0 pour tout polynôme f de degré ≤ m - 2. 06FL
Exemple 3 Soit m = 2. D’après l’exemple 2 (IV, p. 77), on a Δ(A₁, A₂) = A₁² - 4A₂, d’où tildeΔ(A₀, A₁, A₂) = A₁² - 4A₀A₂. Autrement dit, on a 06FM
Exemple 4 Considérons le polynôme 06FN

V. Corps commutatifs

§ 1. Corps premiers. Caractéristique

Définition 1 On dit qu’un corps est premier s’il est isomorphe, soit à Q, soit à l’un des corps Fₚ. 06G3
Théorème 1 Soit A un anneau ; on suppose qu’il existe un sous-corps de A. Alors A possède un unique sous-corps P qui soit un corps premier. De plus, P est contenu dans le centre de A et dans… ↩ 1 06G4
Corollaire 1 Soit K un corps. Il existe un unique sous-corps de K qui soit un corps premier. C’est le plus petit des sous-corps de K. 06G5
Corollaire 2 Pour qu’un corps soit premier, il faut et il suffit qu’il ne contienne aucun sous-corps distinct de lui-même. ↩ 1 06G6
Proposition 1 Soit A un anneau non réduit à 0. ↩ 1 06G7
Remarque 1 Soient A et A’ deux anneaux non réduits à 0. On suppose que la caractéristique de A est définie, et qu’il existe un homomorphisme u de A dans A’. L’image par u du sous-corps premie… ↩ 2 06G8
Remarque 2 La remarque 1 montre que si A est un anneau de caractéristique 0 (resp. p ≠ 0), il en est de même de tout anneau A’ contenant A comme sous-anneau, ou du quotient de A par un idéal… 06G9
Remarque 3 Soit A une algèbre non réduite à 0 sur un corps K. Comme l’application λ ↦ λ .1 de K dans A est un homomorphisme d’anneaux, la remarque 1 montre que la caractéristique de A est déf… 06GA
Remarque 4 Le corps Q étant infini, tout anneau de caractéristique 0 est infini ; par suite tout corps fini a une caractéristique non nulle. 06GB
Remarque 5 Soit A un anneau non réduit à 0, dont le groupe additif soit un Z-module sans torsion, et posons B = Q ⊗_Z A. L’application x ↦ 1 ⊗ x de A dans B est injective (II, p. 116), donc A… 06GC
Théorème 2 Soit A un anneau commutatif de caractéristique p. L’application a ↦ aᵖ est un endomorphisme de l’anneau A, c’est-à-dire qu’on a les relations ↩ 2 06GD
Lemme 1 Soient p un nombre premier et i un entier compris entre 1 et p - 1. Le coefficient binômial binompi est un entier divisible par p. 06GE
Proposition 2 Soient A un anneau commutatif de caractéristique p, K un sous-anneau de A, S une partie de A, et f un entier positif. a) On a K[S]^pᶠ = K^pᶠ[S^pᶠ], et si A est un corps, on a K(S)^… ↩ 1 06GF
Définition 2 On dit qu’un anneau A de caractéristique p ≠ 0 est parfait s’il est commutatif et si l’application a ↦ aᵖ est bijective. ↩ 1 06GG
Définition 3 Soit A un anneau commutatif de caractéristique p ≠ 0. On appelle clôture parfaite de A un couple (hatA, u) où hatA est un anneau parfait de caractéristique p et u un homomorphisme… 06GH
Théorème 3 Soit A un anneau commutatif de caractéristique p ≠ 0. Il existe une clôture parfaite (hatA, u) de A. De plus, le noyau de u est l’ensemble des éléments nilpotents de A, et pour tou… ↩ 1 06GI
Proposition 3 Soient B un anneau parfait de caractéristique p et A un sous-anneau de B. Posons A^p^-∞ = ⋃_f ≥ 0 A^p⁻ᶠ et notons j l’injection canonique de A dans A^p^-∞. Alors A^p^-∞ est le plus… ↩ 1 06GJ
Proposition 4 Soit K un corps d’exposant caractéristique q. Pour tout entier f \geqslant 0, l’application x \mapsto x^{q^f} est un isomorphisme de K sur un de ses sous-corps (noté K^{q^f}). ↩ 1 06GK
Définition 4 On dit qu’un corps K d’exposant caractéristique q est parfait si l’on a K^q = K. On dit que K est imparfait si l’on a K^q \neq K. 06GL
Proposition 5 Si K est un corps de caractéristique 0, ou fini, \ ou algébriquement clos , il est parfait. En particulier, tout corps premier est parfait. 06GM
Proposition 6 Soient K un anneau commutatif, A l’algèbre de polynômes K[Xi]{i \in I} et S l’ensemble des éléments F de A tels que dF = 0. a) Si K est un anneau de caractéristique 0, on a S = K… 06GN
Remarque On a encore S = K si le groupe additif de K est sans torsion ; cela résulte de la démonstration donnée ci-dessus ou de la remarque 5 de V, p. 3. 06GO
Corollaire Soient K un corps et F(X) un polynôme à coefficients dans K, dont la dérivée F'(X) soit nulle. 06GP

§ 2. Extensions

Définition 1 Soit K un corps. On appelle extension de K une K-algèbre dont l’anneau sous-jacent est un corps. On appelle sous-extension (ou sous-K-extension) de l’extension E une sous-K-algèbre… 06GV
Théorème 1 Soient E une extension de K et A une algèbre sur E. On a alors [A : K] = [A : E].[E : K]. En particulier, si F est une extension de E, on a ↩ 2 06GW
Corollaire 1 Soient K, E, F trois corps tels que K ⊂ E ⊂ F et que [F : K] soit fini. Les degrés [E : K] et [F : E] sont des diviseurs de [F : K]. 06GX
Corollaire 2 Soient K, E et F trois corps avec K ⊂ E ⊂ F. On suppose que [F : K] est fini. Alors, la relation [E : K] = [F : K] est équivalente à E = F et la relation [F : E] = [F : K] est équi… 06GY
Proposition 1 Soit A une algèbre de degré fini sur un corps K. Si un élément a ∈ A n’est pas diviseur de 0 à gauche (resp. à droite) dans A, il est inversible dans A. ↩ 3 06GZ
Corollaire Soit A une algèbre commutative de degré fini sur un corps K. Si l’anneau A est intègre, c’est un corps. ↩ 1 06H0
Proposition 2 Si M et N sont deux parties quelconques d’une extension d’un corps K, on a K(M ∪ N) = K(M)(N) = K(N)(M). 06H1
Remarque Soit P le sous-corps premier d’un corps E (V, p. 2) ; pour toute partie A de E, P(A) est le plus petit sous-corps de E contenant A. En particulier, si K est un sous-corps de E, on… 06H2
Proposition 3 Soit F un ensemble de sous-corps d’un corps E, filtrant pour la relation ⊂. La réunion L des corps de F est un corps. ↩ 2 06H3
Corollaire Soient E une extension d’un corps K, et A ⊂ E. Le corps K(A) est la réunion des corps K(F), où F parcourt l’ensemble des parties finies de A. ↩ 1 06H4
Définition 2 On dit qu’une extension E d’un corps K est de type fini si elle possède une famille génératrice finie. Elle est dite monogène s’il existe x dans E tel que E = K(x). ↩ 1 06H5
Proposition 4 Soient E, F deux extensions de K. 06H6
Remarque Si p et p' sont deux idéaux premiers distincts de E ⊗_K F, les extensions composées de E et F correspondantes (construites par le procédé de la démonstration précédente) ne sont pa… 06H7
Corollaire Il existe des extensions composées de E et F. ↩ 1 06H8
Scholie Soient K et E deux corps et u un homomorphisme de K dans E. Si K' est un surcorps de K, il existe un surcorps E' de E et un homomorphisme u' de K' dans E' qui prolonge u. 06H9
Proposition 5 Soient E et F deux extensions de K contenues dans Ω. ↩ 3 06HA
Proposition 6 Soient E et F deux extensions de K contenues dans Ω, A et B deux sous-algèbres de Ω sur K, telles que E soit le corps des fractions de A et F le corps des fractions de B. Pour que… ↩ 3 06HB
Proposition 7 Soient E et F deux extensions de K, contenues dans Ω. Si E et F sont linéairement disjointes sur K, toute sous-extension de E et toute sous-extension de F sont linéairement disjoin… ↩ 1 06HC
Proposition 8 Soient E, F, G trois extensions d’un corps K, contenues dans Ω, et telles que F ⊂ G. Pour que E et G soient linéairement disjointes sur K, il faut et il suffit que E et F soient li… 06HD

§ 3. Extensions algébriques

Théorème 1 Soient A une algèbre sur un corps K, x un élément de A algébrique sur K, n le degré et f le polynôme minimal de x sur K. ↩ 8 06HI
Corollaire 1 Soit A une algèbre sur un corps K. Pour qu’un élément x de A soit algébrique sur K, il faut et il suffit que la sous-algèbre K[x] de A engendrée par x soit de degré fini sur K. En… ↩ 2 06HJ
Corollaire 2 Soient E une extension de K, A une algèbre sur E et x un élément de A algébrique sur K. Alors x est algébrique sur E, le polynôme minimal de x sur E divise le polynôme minimal de x… 06HK
Remarque Soient E une extension d’un corps K et x un élément de E racine d’un polynôme unitaire irréductible f ∈ K[X]. Le th. 1, c) montre que f est le polynôme minimal de x sur K. 06HL
Exemple 1 Dans le corps des nombres complexes C, le nombre i est algébrique et de degré 2 sur le corps premier Q; en effet, si f(X) = X² + 1, on a f(i) = 0, et x² + 1 ≠ 0 pour tout x ∈ Q, do… 06HM
Exemple 2 Soient K un corps, F le corps K(X) des fractions rationnelles en une indéterminée sur K. Soit E le sous-corps K(X³) de F ; on a F = E(X), et X est algébrique sur E, puisqu’il est r… 06HN
Exemple 3 Dans le corps R des nombres réels, on peut montrer¹ que le nombre π est transcendant sur le corps premier Q. \ 06HO
Définition 1 On dit qu’une extension E d’un corps K est algébrique (sur K) si tout élément de E est algébrique sur K. Une extension E de K qui n’est pas algébrique est dite transcendante (sur K… 06HP
Proposition 1 Pour qu’une extension E de K soit algébrique, il faut et il suffit que toute sous-K-algèbre A de E soit un corps. 06HQ
Proposition 2 Si une extension E d’un corps K est de degré fini n, elle est algébrique, et le degré sur K de tout élément de E divise n. ↩ 4 06HR
Théorème 2 Soit E une extension de type fini de K, engendrée par des éléments a₁, ..., aₘ algébriques sur K ; alors E est une extension de degré fini de K. Si nᵢ est le degré de aᵢ sur K(a₁… ↩ 13 06HS
Corollaire 1 Soient E une extension de K et A une partie de E formée d’éléments algébriques sur K. Alors K(A) est algébrique sur K, et l’on a K[A] = K(A). ↩ 10 06HT
Corollaire 2 Soient L une extension de K, E et F deux sous-extensions de L. Si F est algébrique sur K, le sous-anneau K[E, F] de L engendré par E ∪ F est un corps, identique à E(F), et algébriq… ↩ 7 06HU
Remarque 1 Avec les notations du th. 2, E = K[a1, a2, ..., am], et par suite E est isomorphe à un quotient K[X1, X2, ..., Xm]/α ; comme E est un corps, α est un idéal maximal dans K[X1… 06HV
Remarque 2 Soit E une extension algébrique de K, de degré infini. D’après le th. 2, il existe une suite infinie (an){n \geq 1} d’éléments de E telle que an \notin K(a1, a2, ..., a{n-1}) ; le… ↩ 2 06HW
Proposition 3 Soient E et F deux surcorps d’un corps K tels que K ⊂ E ⊂ F. Pour que F soit algébrique sur K, il faut et il suffit que E soit algébrique sur K et F algébrique sur E. ↩ 3 06HX
Définition 2 On dit qu’un sous-corps K d’un corps E est algébriquement fermé dans E si tout élément de E, algébrique sur K, appartient à K. 06HY
Proposition 4 Soit E une extension d’un corps K ; l’ensemble L des éléments de E qui sont algébriques sur K est une sous-extension de E, algébriquement fermée dans E. 06HZ

§ 4. Extensions algébriquement closes

Proposition 1 Soit K un corps. Les propriétés suivantes sont équivalentes : (AC) Tout polynôme non constant de K[X] se décompose dans K[X] en un produit de polynômes de degré 1 (distincts ou non… 06ID
Définition 1 On dit qu’un corps K est algébriquement clos s’il possède les quatre propriétés (équivalentes) (AC), (AC'), (AC'') et (AC''''). ↩ 1 06IE
Proposition 2 Soient Ω un corps algébriquement clos et K un sous-corps de Ω. La fermeture algébrique overlineK de K dans Ω est un corps algébriquement clos. ↩ 1 06IF
Exemple 2 D’après la prop. 2, l’ensemble des nombres complexes algébriques sur Q (appelés souvent en abrégé nombres algébriques) est un corps algébriquement clos. \ 0DHT
Proposition 3 Tout corps algébriquement clos est infini. ↩ 1 06IG
Théorème 1 (Steinitz) Soient K un corps, E une extension algébrique de K et Ω une extension algébriquement close de K. Il existe un K-homomorphisme de E dans Ω. ↩ 4 06IH
Définition 2 Soient K un corps et (fᵢ)_i ∈ I une famille de polynômes non constants dans K[X]. On appelle extension de décomposition de (fᵢ)_i ∈ I toute extension E de K qui possède les proprié… ↩ 1 06II
Proposition 4 Soient K un corps et (fᵢ)_i∈ I une famille de polynômes non constants dans K[X]. Il existe une extension de décomposition pour la famille (fᵢ)_i∈ I. ↩ 4 06IJ
Proposition 5 Soient K un corps, (fᵢ)_i∈ I une famille de polynômes non constants dans K[X], E une extension de K, F et F' des sous-extensions de E qui sont chacune extension de décomposition de… ↩ 2 06IK
Corollaire Soient K un corps, (fᵢ)_i∈ I une famille de polynômes non constants dans K[X], et F, F' des extensions de décomposition de (fᵢ)_i∈ I. Il existe un K-isomorphisme de F sur F'. 06IL
Définition 3 Soit K un corps. On appelle clôture algébrique de K toute extension de K qui est algébrique et algébriquement close. 06IM
Exemple 1 Le corps C des nombres complexes est une clôture algébrique du corps R des nombres réels (TG, VIII, p. 1). \ ↩ 1 06IN
Exemple 2 Soient K un corps et Ω une extension algébriquement close de K. Soit overlineK la fermeture algébrique de K dans Ω. D’après V, p. 20, prop. 2, overlineK est une clôture algébrique… ↩ 2 06IO
Proposition 6 Soit Ω une extension d’un corps K. Pour que Ω soit une clôture algébrique de K, il faut et il suffit qu’elle soit algébrique et que tout polynôme non constant dans K[X] se décompos… ↩ 2 06IP
Remarque 1 Si Ω est algébrique sur K et si tout polynôme non constant de K[X] possède une racine dans Ω, alors Ω est une clôture algébrique de K (V, p. 151, exerc. 20). 06IQ
Proposition 7 Soit Ω une extension algébrique d’un corps K. 06IR
Théorème 2 (Steinitz) Soit K un corps. Il existe une clôture algébrique de K ; si Ω et Ω′ sont deux clôtures algébriques de K, il existe un K-isomorphisme de Ω sur Ω′. ↩ 9 06IS
Corollaire Soient K et K’ deux corps, Ω une clôture algébrique de K et Ω’ une clôture algébrique de K’. Pour tout isomorphisme u de K sur K’, il existe un isomorphisme v de Ω sur Ω’ prolongea… 06IT
Remarque 2 Avec les notations du corollaire précédent, il existe en général des K-automorphismes de Ω distincts de l’identité. Il n’y a donc pas en général unicité de l’isomorphisme v de Ω su… 06IU
Remarque 3 Soient K un corps et Ω une clôture algébrique de K. On peut donner la construction suivante d’une extension de décomposition pour une famille (fi){i\in I} de polynômes non constant… 06IV
Remarque 4 Soient K un corps fini et Ω une clôture algébrique de K. Alors Ω est infini (V, p. 20, prop. 3); comme toute extension de degré fini de K est un corps fini, Ω est une extension alg… 06IW

§ 5. Extensions radicielles

Définition 1 Soient K un corps et E une extension de K. On dit qu’un élément x de E est radiciel sur K s’il existe un entier m \geqslant 0 tel que x^{p^m} \in K ; le plus petit de ces entiers s… ↩ 1 06IZ
Proposition 1 Soient E une extension d’un corps K et x un élément radiciel de hauteur e sur K ; posons a = x^{p^e}. On a alors a \in K, et le polynôme minimal de x sur K est X^{p^e} - a. De plus… 06J0
Lemme 1 Soient K un corps et a un élément de K tel que a ∉ Kᵖ. Pour tout entier e geqslant 0, le polynôme f(X) = X^pᵉ - a est irréductible dans K[X]. 06J1
Définition 2 Soit E une extension d’un corps K. On dit que E est radicielle (sur K) si tout élément de E est radiciel sur K. S’il en est ainsi, on dit que E est de hauteur finie si l’ensemble d… 06J2
Proposition 2 Soit E une extension d’un corps K. Pour tout entier n geqslant 0, soit Eₙ l’ensemble des éléments de E qui sont radiciels de hauteur leqslant n sur K, et soit E_∞ l’ensemble des él… ↩ 3 06J3
Corollaire Si une extension E d’un corps K est engendrée par un ensemble d’éléments radiciels sur K, elle est radicielle sur K. 06J4
Proposition 3 Soient K un corps, E un surcorps de K radiciel sur K et u un homomorphisme de K dans un corps parfait F. Il existe un homomorphisme v de E dans F prolongeant u, et un seul. ↩ 1 06J5
Corollaire Pour qu’une extension E d’un corps K soit une clôture parfaite de K, il faut et il suffit que ce soit une extension radicielle de K et que le corps E soit parfait. 06J6
Proposition 4 Soit E une extension radicielle de degré fini d’un corps K. Alors [E : K] est une puissance de l’exposant caractéristique p de K. 06J7

§ 6. Algèbres étales

Théorème 1 Soient L une extension d’un corps K et A une algèbre sur K ; soit H l’ensemble des homomorphismes de K-algèbres de A dans L. Alors H est une partie libre de l’espace vectoriel Hom_… ↩ 5 06JB
Corollaire 1 Soient Γ un monoïde, L un corps et X l’ensemble des homomorphismes de Γ dans le monoïde multiplicatif de L. Alors X est une partie libre du L-espace vectoriel L^Γ des applications… 06JC
Corollaire 2 (Théorème de Dedekind) Soient E et L deux extensions de K. L’ensemble des K-homomorphismes de E dans L est libre sur L. Si E est de degré fini sur K, le nombre des K-homomorphismes de E dans L est au plu… ↩ 5 06JD
Théorème 2 Soient K un corps infini, L une extension de K et A une algèbre sur K. Soient u₁, ..., uₙ des K-homomorphismes d’algèbres distincts de A dans L et f un polynôme de L[X₁, ..., Xₙ]… 06JE
Définition 1 Soit A une algèbre sur K. On dit que A est diagonalisable s’il existe un entier n geqslant 0 tel que A soit isomorphe à l’algèbre produit Kⁿ. On dit que A est diagonalisée par une… ↩ 7 06JF
Proposition 1 Soit A une algèbre de degré fini n sur le corps K. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 4 06JG
Corollaire Soient L une extension de K et H l’ensemble des homomorphismes d’algèbres de A dans L. On a Card H ≤ [A : K], avec égalité si et seulement si A est diagonalisée par L. Si A est dia… ↩ 1 06JH
Proposition 2 Soient A une algèbre sur K et Ω une extension algébriquement close de K. Les assertions suivantes sont équivalentes : a) L’algèbre A est étale. b) Il existe une extension de degré… ↩ 6 06JI
Proposition 3 Soit A une algèbre étale sur K. Il n’existe qu’un nombre fini de sous-algèbres et d’idéaux de A. De plus, toute extension de K qui diagonalise A diagonalise toute sous-algèbre et t… ↩ 6 06JJ
Corollaire Soient A₁, ..., Aₘ des algèbres sur K, et A = A₁ × ⋯ × Aₘ. Pour que A soit étale, il faut et il suffit que A₁, ..., Aₘ soient étales. 06JK
Lemme 1 Soit Ω une clôture algébrique de K. On a h(L) ≤ h(Ω) pour toute extension L de K, avec égalité si L est algébriquement clos. 06JL
Proposition 4 Soit A une algèbre commutative de degré fini sur K. On a [A : K]ₛ ≤ [A : K], avec égalité si et seulement si A est étale. ↩ 5 06JM
Corollaire 1 Soient A et B deux algèbres commutatives sur K, de degrés finis non nuls. Pour que l’algèbre C = A ⊗_K B soit étale, il faut et il suffit que A et B soient étales. ↩ 3 06JN
Corollaire 2 Soit K' une extension de K. a) Pour qu’une K-algèbre A soit étale, il faut et il suffit que la K'-algèbre A_(K') soit étale. b) Soit A' une algèbre sur K', non réduite à 0. Pour qu… ↩ 6 06JO
Théorème 3 Soit A une algèbre commutative de degré fini sur K. Pour que A soit étale, il faut et il suffit que le module Ω_K(A) des K-différentielles de A soit réduit à 0. A) Soit L une clôtu… ↩ 1 06JP
Lemme 2 Soient A une algèbre commutative sur K et e un idempotent de A. On a de = 0 dans Ω_K(A). De la relation e = e², on déduit de = 2e.de; par multiplication par e, on en déduit e.de =… 06JQ
Lemme 3 Soit A une algèbre commutative de degré fini sur le corps algébriquement clos K, telle que Ω_K(A) = 0. On a m = m² pour tout idéal maximal m de A. L’algèbre A/m est une extension d… 06JR
Lemme 4 Soit A un anneau commutatif et soit a un idéal de type fini de A tel que a = a². Il existe un idempotent e de A tel que a = Ae. ↩ 1 06JS
Définition 2 Soit A un anneau commutatif. On dit que A est réduit si tout élément nilpotent (I, p. 93) de A est nul. ↩ 1 06JT
Proposition 5 Soit A une algèbre commutative de degré fini sur K. Pour que A soit réduite, il faut et il suffit qu’il existe des extensions L₁, …, Lₙ de degré fini de K telles que A soit K-isomo… ↩ 2 06JU
Théorème 4 Soit A une algèbre commutative de degré fini A sur K. Les assertions suivantes sont équivalentes : ↩ 4 06JV
Lemme 5 Soit B une algèbre réduite, de degré fini sur le corps parfait P. Alors B est étale. D’après la prop. 5, il existe des extensions L₁, ..., Lₙ de P telles que B soit isomorphe à l’a… 06JW
Corollaire Supposons K de caractéristique p ≠ 0. Pour que A soit étale, il faut et il suffit que l’on ait A = K[Aᵖ]. Pour toute base (aᵢ)_i ∈ I de A sur K, la famille (aᵢᵖ)_i ∈ I est alors un… 06JX

§ 7. Extensions algébriques séparables

Définition 1 Soit E une extension algébrique de K. On dit que E est séparable (sur K) si toute sous-extension F de E, de degré fini sur K, est une algèbre étale sur K (V, p. 28, déf. 1). ↩ 1 06K0
Proposition 1 Soit E une extension algébrique de K. Si E est séparable, toute sous-extension E' de E est séparable. Réciproquement, si toute sous-extension de degré fini de E est séparable, E es… 06K1
Proposition 2 Pour que le corps K soit parfait, il faut et il suffit que toute extension algébrique de K soit séparable. ↩ 3 06K2
Corollaire Toute extension algébrique d’un corps de caractéristique 0, ou d’un corps fini, est séparable. 06K3
Proposition 3 Soient f un polynôme non nul dans K[X] et Ω une extension algébriquement close de K. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 6 06K4
Définition 2 On dit qu’un polynôme f ∈ K[X] est séparable s’il est non nul et satisfait aux conditions équivalentes a), b), c), d) et e) de la prop. 3. 06K5
Remarque 1 Soient L une extension de K et f un polynôme non constant de K[X]. D’après la condition e) de la prop. 3 et V, p. 32, cor. 2, il revient au même de supposer que f est séparable qu’… ↩ 1 06K6
Remarque 2 Soit f ∈ K[X]; on sait (IV, p. 13, prop. 13) qu’il existe des polynômes irréductibles f₁, …, fₘ dans K[X] tels que f = f₁ … fₘ. Soit Ω une clôture algébrique de K ; comme un polynô… 0DHU
Proposition 4 Soit f un polynôme irréductible dans K[X]. Les conditions suivantes sont équivalentes : a) f est séparable. b) Il existe une extension L de K dans laquelle f a une racine simple. c… ↩ 3 06K7
Corollaire 1 Pour que le corps K soit parfait, il faut et il suffit que tout polynôme irréductible de K[X] soit séparable. ↩ 1 06K8
Corollaire 2 Soit f ∈ K[X] un polynôme non nul. Pour que f soit séparable, il faut et il suffit qu’il existe une extension L de K, qui soit un corps parfait et telle que f soit sans facteur mul… ↩ 1 06K9
Définition 3 Soit E une extension de K. On dit qu’un élément x de E, algébrique sur K, est séparable sur K si l’extension algébrique K(x) de K est séparable. 06KA
Proposition 5 Soient E une extension de K, x un élément de E algébrique sur K, et f le polynôme minimal de x sur K. Les conditions suivantes sont équivalentes : a) x est séparable sur K ; b) le… ↩ 4 06KB
Corollaire 1 Si un élément x de E est racine simple d’un polynôme g de K[X], il est séparable sur K. En effet, le polynôme minimal f de x sur K divise g dans K[X] (V, p. 15, th. 1), donc x est… ↩ 1 06KC
Corollaire 2 Si un élément x de E est algébrique et séparable sur K, il est algébrique et séparable sur toute extension K’ de K contenue dans E. Soit f le polynôme minimal de x sur K. Alors x e… ↩ 3 06KD
Corollaire 3 Supposons K de caractéristique p ≠ 0. Pour qu’un élément x de E appartienne à K, il faut et il suffit qu’il soit à la fois algébrique séparable et radiciel sur K. La condition énon… ↩ 1 06KE
Proposition 6 Soit E une extension de K. a) Si E est algébrique et séparable sur K, tout élément de E est algébrique et séparable sur K. b) Réciproquement, soit A un ensemble d’éléments de E alg… ↩ 7 06KF
Corollaire Pour qu’une extension algébrique E soit séparable sur K, il faut et il suffit que tout élément de E soit racine simple de son polynôme minimal sur K. Il suffit d’appliquer les prop… ↩ 1 06KG
Théorème 1 Soit E une extension de K. Les conditions suivantes sont équivalentes : a) E possède un élément primitif ; b) il n’existe qu’un nombre fini de sous-extensions de E. Ces conditions… ↩ 5 06KH
Proposition 7 Supposons K infini ; soit A une K-algèbre commutative ne possédant qu’un nombre fini de sous-algèbres (par exemple une K-algèbre étale, V, p. 29, prop. 3), et soit V un sous-espace… ↩ 2 06KI
Lemme 1 Soient A un K-espace vectoriel, V, A₁, ..., Aₙ des sous-espaces de A. Si Card(K) ≥ n, et si V n’est contenu dans aucun des Aᵢ, V n’est pas contenu dans A₁ ∪ ... ∪ Aₙ. 06KJ
Proposition 8 Soient E une extension de K et (Eᵢ)_i ∈ I une famille de sous-extensions de E telles que E = K(⋃_i ∈ I Eᵢ). Si chacune des extensions Eᵢ est algébrique et séparable sur K, il en es… ↩ 1 06KK
Proposition 9 Soient F une extension algébrique de K, et E une sous-extension de F. Pour que F soit séparable sur K, il faut et il suffit que F soit séparable sur E et E séparable sur K. ↩ 1 06KL
Proposition 10 Soient E et K’ deux sous-extensions d’une même extension de K et E’ = K’(E). On suppose E algébrique sur K, donc E’ algébrique sur K’ (V, p. 18, cor. 2). ↩ 3 06KM
Proposition 11 Supposons que K soit d’exposant caractéristique p et soit E une extension algébrique de K, engendrée par un ensemble S. Si E est séparable sur K, on a E = K(S^pⁿ) pour tout entier… ↩ 4 06KN
Corollaire 1 Toute extension algébrique d’un corps parfait est un corps parfait. Soient K un corps parfait d’exposant caractéristique p, et E une extension algébrique de K. Alors E est séparabl… ↩ 1 06KO
Corollaire 2 (MacLane) Soient overlineK une clôture algébrique de K et K^p^-∞ la clôture parfaite de K dans overlineK. Pour qu’une sous-extension E de overlineK soit séparable sur K, il faut et il suffit… ↩ 1 06KP
Remarque 1 Lorsque E est algébrique et de degré infini sur K, la condition E = K(Eᵖ) n’assure pas nécessairement que E soit séparable sur K. Par exemple, si K est imparfait et si E est une cl… 06KQ
Remarque 2 Soit E une extension algébrique séparable d’un corps K d’exposant caractéristique p. On a alors Eᵖ ∩ K = Kᵖ (cor. 2) ; par suite, si E est parfait, il en est de même de K. 0DHV
Proposition 12 Soient E une extension de K et Eₛ l’ensemble des éléments de E qui sont algébriques et séparables sur K. Alors Eₛ est la plus grande sous-extension de E qui soit algébrique et sépa… ↩ 4 06KR
Proposition 13 Soit E une extension algébrique de K, et soit Eₛ la fermeture algébrique séparable de K dans E. a) E est extension radicielle de Eₛ. b) Si F est une sous-extension de E, telle que… ↩ 6 06KS
Corollaire 1 Soient E et K' deux extensions de K, contenues dans une même extension de K. On suppose que E est algébrique sur K et l’on note Eₛ la fermeture algébrique séparable de K dans E. Al… ↩ 2 06KT
Corollaire 2 Si E est de degré fini sur K, on a Eₛ = ⋂_n geqslant 0 K(E^pⁿ). 06KU
Remarque Soient E une extension algébrique de K, et Eᵣ la fermeture radicielle de E dans K (V, p. 24). Alors Eᵣ est la plus grande sous-extension de E qui soit radicielle sur K (V, p. 24, p… 06KV
Définition 4 On dit qu’un corps K est séparablement clos si toute extension algébrique séparable de K est triviale. ↩ 1 06KW
Définition 5 Soit K un corps. On appelle clôture algébrique séparable, ou par abus de langage clôture séparable, de K toute extension E de K qui est algébrique et séparable sur K, et telle que… 06KX
Proposition 14 Soit Ω une extension algébriquement close de K. a) La fermeture algébrique séparable Ωₛ de K dans Ω est une clôture séparable de K. b) Si E et E' sont deux clôtures séparables de K… ↩ 1 06KY
Corollaire Soient E une extension séparablement close de K et F une extension algébrique séparable de K. Il existe un K-homomorphisme de F dans E. 06KZ
Remarque 1 Soient E et E' deux clôtures séparables de K. Si K n’est pas séparablement clos, il existe plusieurs K-isomorphismes de E sur E'. \ En effet, E est alors une extension galoisienne… 06L0
Remarque 2 \ Soit E une extension algébrique et séparable de K. Si toute extension algébrique et séparable de K est isomorphe à une sous-extension de E, alors E est une clôture séparable de K… ↩ 1 06L1
Proposition 15 Soit Eₛ la fermeture séparable de K dans E. On a [E : K]ₛ = [Eₛ : K]. ↩ 1 06L2
Proposition 16 Soient Ω une extension de K et E, F deux sous-extensions de Ω, de degré fini sur K. 06L3

§ 8. Normes et traces

Proposition 1 Soit A une algèbre commutative de degré fini sur K. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 2 06L9
Lemme 1 Soient V un espace vectoriel de dimension finie sur K, et B une forme bilinéaire sur V × V. Soient (v₁, ..., vₙ) une base de V sur K et Δ = det B(vᵢ, vⱼ). On a Δ ≠ 0 si et seulemen… ↩ 1 06LA
Lemme 2 Soient V un espace vectoriel de dimension finie sur K et u un endomorphisme nilpotent de V. On a Tr(u) = 0. 06LB
Corollaire Soit E une extension de degré fini de K. Pour que E soit séparable, il faut et il suffit qu’il existe a dans E tel que Tr_E/K(a) ≠ 0. ↩ 2 06LC
Proposition 2 Soient F une extension de degré fini de K et E une sous-extension de F. Pour tout x ∈ F, on a 06LD
Corollaire Posons m = [F : E]. Pour tout x ∈ E, on a ↩ 1 06LE
Proposition 3 Soient E une extension de degré fini n de K et x un élément de E, de degré d sur K. Notons f(X) = Xᵈ + ∑ᵢ₌₁ᵈ aᵢ Xᵈ⁻ⁱ le polynôme minimal de x sur K. On a ↩ 1 06LF
Lemme 3 Soient R un anneau commutatif, f(X) = Xᵈ + ∑ᵢ₌₁ᵈ aᵢ Xᵈ⁻ⁱ un polynôme unitaire de R[X], A la R-algèbre R[X]/(f), et x la classe de X dans A. On a alors Tr_A/R(x) = -a₁ et N_A/R(x) =… 06LG
Proposition 4 Soient p l’exposant caractéristique de K et E une extension de degré fini de K. Soient σ₁, ..., σₙ les K-homomorphismes distincts de E dans une clôture algébrique Ω de K, et soit p… ↩ 1 06LH

§ 9. Éléments conjugués et extensions quasi-galoisiennes

Proposition 1 Soient E une extension de K contenue dans Ω et u un K-homomorphisme de E dans Ω. a) Si u applique E dans E, u induit un K-automorphisme de E. b) Il existe un K-automorphisme v de Ω… ↩ 14 06LK
Définition 1 Soient E et F deux extensions de K contenues dans Ω. On dit que E et F sont conjuguées (dans Ω) s’il existe un K-automorphisme u de Ω tel que u(E) = F. On dit que deux éléments x e… 06LL
Proposition 2 Soient x et y deux éléments de Ω. Les conditions suivantes sont équivalentes : a) x et y sont conjugués sur K. b) Il existe un K-isomorphisme v de K(x) sur K(y) tel que v(x) = y. c… ↩ 1 06LM
Corollaire 1 Soit x un élément de Ω, de degré n sur K, et soit f le polynôme minimal de x sur K. Les conjugués de x sur K sont les racines de f dans Ω, et leur nombre est au plus égal à n. 06LN
Corollaire 2 Soit x un élément de Ω, de degré n sur K. Pour que x soit séparable sur K, il faut et il suffit qu’il ait n conjugués dans Ω ; s’il en est ainsi, tous les conjugués de x sur K sont… ↩ 1 06LO
Corollaire 3 Soit G le groupe des K-automorphismes de Ω. L’ensemble des invariants de G dans Ω est la fermeture radicielle de K dans Ω (V, p. 24). En d’autres termes, un élément x de Ω est radi… 06LP
Définition 2 Soit E une extension de K. On dit que E est quasi-galoisienne, ou normale (sur K), si elle est algébrique et si tout polynôme irréductible de K[X], ayant au moins une racine dans E… ↩ 1 06LQ
Proposition 3 Soit E une extension de K contenue dans Ω. Les conditions suivantes sont équivalentes : a) E est une extension quasi-galoisienne de K. b) Pour tout x ∈ E, les conjugués de x sur K… ↩ 3 06LR
Corollaire 1 Pour qu’une extension E de K contenue dans Ω soit quasi-galoisienne, il faut et il suffit qu’elle soit identique à toutes ses conjuguées sur K. ↩ 3 06LS
Corollaire 2 Soient E et F deux extensions algébriques de K telles que E ⊂ F. Si F est quasi-galoisienne sur K, elle est quasi-galoisienne sur E. 06LT
Corollaire 3 Soient N une extension quasi-galoisienne de K contenue dans Ω, et E une sous-extension de N. Soit u un K-homomorphisme de E dans Ω ; on a u(E) ⊂ N et il existe un K-automorphisme v… ↩ 1 06LU
Corollaire 4 Soient E' une extension de K, et E, K' deux sous-extensions de E'. On suppose que E est quasi-galoisienne sur K et que E' = K'(E). Alors E' est quasi-galoisienne sur K'. ↩ 1 06LV
Remarque 1 Soient F une extension de K et E une sous-extension de F ; on suppose que E est quasi-galoisienne sur K. Montrons que tout K-automorphisme u de F laisse invariant E. En effet, soie… ↩ 3 06LW
Remarque 2 Supposons que E soit une extension quasi-galoisienne de K et F une extension quasi-galoisienne de E ; il n’est pas toujours vrai que F soit quasi-galoisienne sur K (V, p. 146, exer… 06LX
Remarque 3 Soient E une extension algébrique de K et x, y deux éléments de E. S’il existe un K-automorphisme de E transformant x en y, alors x et y ont même polynôme minimal sur K et sont don… ↩ 1 06LY
Proposition 4 Soit (Ni){i \in I} une famille d’extensions quasi-galoisiennes de K contenues dans Ω. Soient N = \bigcap{i \in I} Ni et M = K(\bigcup{i \in I} Ni) ; les extensions N et M de K sont… ↩ 1 06LZ
Proposition 5 Soient E une extension de K contenue dans Ω et N l’extension quasi-galoisienne engendrée par E. Si A est une partie de Ω telle que E = K(A), on a N = K(B), où B est l’ensemble des… 06M0
Corollaire 1 Si E est une extension de degré fini de K, l’extension quasi-galoisienne N de K engendrée par E est de degré fini sur K. On a en effet E = K(A) où A est fini, donc l’ensemble B des… ↩ 1 06M1
Corollaire 2 Toute extension quasi-galoisienne N de K est réunion des sous-extensions quasi-galoisiennes de N, de degré fini sur K. Soit x ∈ N et soit Nₓ l’extension quasi-galoisienne de K enge… 06M2

§ 10. Extensions galoisiennes

Théorème 1 Soient N une extension algébrique de K et Γ le groupe des K-auto-morphismes de N. Les assertions suivantes sont équivalentes : a) Tout élément de N invariant par Γ appartient à l’i… ↩ 4 06MB
Définition 1 On dit qu’une extension N du corps K est galoisienne si elle est algébrique et si elle satisfait aux conditions équivalentes a), b) et c) du théorème 1. 06MC
Proposition 1 Soient N une extension de K, et (Nᵢ)_i ∈ I une famille non vide de sous-extensions de N. On pose E = ⋂_i ∈ I Nᵢ et F = K(⋃_i ∈ I Nᵢ). Si les extensions Nᵢ sont galoisiennes sur K i… ↩ 3 06MD
Proposition 2 Soient N une extension galoisienne de K et E une sous-extension de N, de degré fini sur K. Il existe une sous-extension F de N, contenant E, galoisienne et de degré fini sur K. ↩ 5 06ME
Définition 2 Soit N une extension galoisienne du corps K. On appelle groupe de Galois de N sur K, et l’on note Gal(N/K), le groupe des K-automorphismes de N. 06MF
Exemple 1 Supposons la caractéristique de K différente de 2, et soit N une extension quadratique de K. Si x ∈ N − K, on a N = K(x), et le polynôme minimal de x sur K est de la forme f(X) = X… ↩ 1 06MG
Exemple 2 \ Soit f = X³ + X² − 2X − 1 ∈ Q[X]. Le polynôme f est irréductible, car sinon il posséderait une racine x ∈ Q ; écrivant x = a/b, avec a, b ∈ Z, a et b étrangers, on aurait a(a² +… ↩ 1 06MH
Exemple 3 Supposons que K = Q et prenons f = X³ - 2. Utilisant la décomposition des entiers en produit de facteurs premiers (I, p. 49), on voit facilement que 2 n’est pas le cube d’un élémen… ↩ 1 06MI
Exemple 4 Supposons K de caractéristique p ≠ 0 et soient K(T) le corps des fractions rationnelles et U = Tᵖ - T. On pose E = K(U) et F = K(T). Le polynôme f(X) = Xᵖ - X - U de E[X] a les rac… 06MJ
Exemple 5 Soit F = K(X₁, ..., Xₙ) le corps des fractions rationnelles en n indéterminées X₁, ..., Xₙ à coefficients dans K. Posons sₖ = ∑_1 ≤ i₁ < ... < iₖ ≤ n X_i₁ ... X_iₖ pour 1 ≤ k ≤ n e… ↩ 4 06MK
Exemple 6 Supposons f unitaire de degré > 0 et K de caractéristique ≠ 2. Munissons A d’un ordre total noté ≤. Posons δ(f) = ∏_α < β (β - α), (α, β) ∈ A × A, et pour tout σ ∈ SA posons δσ(f)… 06ML
Proposition 3 L’homomorphisme de restriction de Gal(N/K) dans Gal(L/K) est surjectif. ↩ 2 06MM
Proposition 4 Soit N une extension galoisienne de K. Le groupe de Galois Γ = Gal(N/K) est compact et totalement discontinu. 06MN
Proposition 5 L’homomorphisme λ de Gal(N/K) dans lim_← Gal(Nᵢ/K) est un isomorphisme de groupes topologiques. 06MO
Proposition 6 a) Soit V un espace vectoriel sur N muni d’une K-structure. Pour qu’un vecteur x ∈ V soit rationnel sur K, il faut et il suffit qu’on ait u_σ(x) = x pour tout σ ∈ Γ. Pour qu’un sou… 06MP
Corollaire Soit V₀ un espace vectoriel sur K et soit W un sous-N-espace vectoriel de N ⊗_K V₀. On suppose que W est stable par les applications σ ⊗ Id_V₀ pour tout σ ∈ Γ. Soit W₀ l’ensemble d… ↩ 1 06MQ
Proposition 7 Soient V un espace vectoriel sur N, (u_σ)_σ ∈ Γ une famille d’applications de V dans V satisfaisant aux relations (1) à (4) et V₀ l’ensemble des x ∈ V tels que u_σ(x) = x pour tout… ↩ 4 06MR
Proposition 8 L’application N-linéaire ψ de N ⊗_K M dans V = ∏_σ ∈ Γ M^σ est injective, et elle est bijective si Γ est fini. ↩ 3 06MS
Corollaire Soit ψ l’application K-linéaire de N ⊗_K N dans l’espace vectoriel produit N^Γ telle que ψ(x ⊗ y)(σ) = σ(x)\ y pour x,\ y dans N et σ ∈ Γ. Alors ψ est injective et elle est bijecti… ↩ 3 06MT
Remarque 1 Soient F une extension de K et N une sous-extension de F. Soit Γ un groupe fini d’automorphismes de N, dont K soit le corps des invariants. La prop. 8 entraîne l’existence d’un iso… 06MU
Remarque 2 Les notations K, N et Γ ont la signification précédente. Pour tout entier n geqslant 1, soit Aₙ le produit tensoriel de n K-algèbres identiques à N; soit Bₙ l’ensemble des applicat… 06MV
Proposition 9 Soit (U_σ)_σ ∈ Γ une famille d’éléments de GL(n, N). Pour qu’il existe A dans GL(n, N) avec U_σ = A⁻¹ · σ(A) pour tout σ ∈ Γ, il faut et il suffit que l’on ait U_σ τ = U_σ · σ(U_τ)… ↩ 2 06MW
Corollaire 1 Soit (c_σ)_σ ∈ Γ une famille d’éléments non nuls de N. Pour qu’il existe a ≠ 0 dans N tel que c_σ = σ(a) · a⁻¹ pour tout σ ∈ Γ, il faut et il suffit qu’on ait c_σ τ = c_σ · σ(c_τ)… ↩ 2 06MX
Corollaire 2 Soit (a_σ)_σ ∈ Γ une famille d’éléments de N. Pour qu’il existe b dans N avec a_σ = σ(b) - b pour tout σ ∈ Γ, il faut et il suffit que l’on ait a_σ τ = a_σ + σ(a_τ) pour σ, τ dans… ↩ 2 06MY
Théorème 2 (Artin) Soient N un corps, Γ un groupe d’automorphismes de N et K le corps des invariants de Γ. Soit V un sous-K-espace vectoriel de N, de dimension finie sur K. Alors toute application K-… ↩ 1 06MZ
Théorème 3 Soient N un corps, Γ un groupe fini d’automorphismes de N et K le corps des invariants de Γ. Soit n le cardinal de Γ. a) On a [N : K] = n et N est une extension galoisienne de K, d… ↩ 7 06N0
Théorème 4 Soient N une extension galoisienne de K et Γ son groupe de Galois. Soit K l’ensemble des sous-extensions de N et soit G l’ensemble des sous-groupes fermés de Γ. Pour tout sous-grou… ↩ 2 06N1
Lemme 1 Soit E une sous-extension de N. Alors N est extension galoisienne de E, et Gal(N/E) est un sous-groupe fermé de Gal(N/K), avec la topologie induite. Soit x ∈ N; le polynôme minimal… ↩ 2 06N2
Lemme 2 Soit Δ un sous-groupe de Γ. Soit E le corps des invariants de Δ. Alors le groupe de Galois de N sur E est l’adhérence de Δ dans Γ. ↩ 1 06N3
Corollaire 1 Soient E et E' deux sous-corps de N contenant K ; on a E ⊂ E' si et seulement si l’on a g(E) ⊃ g(E'). Si Δ et Δ' sont deux sous-groupes fermés de Γ, on a Δ ⊂ Δ' si et seulement si… ↩ 3 06N4
Corollaire 2 Soit (Eᵢ)_i ∈ I une famille de sous-corps de N contenant K ; posons L = ⋂_i ∈ I Eᵢ et M = K(⋃_i ∈ I Eᵢ). Alors g(L) est le plus petit sous-groupe fermé de Γ contenant ⋃_i ∈ I g(Eᵢ)… ↩ 1 06N5
Corollaire 3 Pour i = 1, 2, soit Eᵢ un sous-corps de N contenant K et soit Δᵢ = g(Eᵢ). Pour tout σ ∈ Γ, les relations σ(E₁) = E₂ et σ Δ₁ σ⁻¹ = Δ₂ sont équivalentes. ↩ 2 06N6
Corollaire 4 Soit E un sous-corps de N contenant K et soit Δ = g(E). Pour que E soit galoisien sur K, il faut et il suffit que Δ soit un sous-groupe distingué de Γ. S’il en est ainsi, l’homomor… ↩ 5 06N7
Corollaire 5 Soit E un sous-corps de N contenant K. Pour que E soit de degré fini sur K, il faut et il suffit que g(E) soit ouvert dans Γ. S’il en est ainsi, l’indice (Γ : g(E)) est fini et éga… ↩ 2 06N8
Corollaire 6 Pour i = 1, 2, soient Eᵢ une sous-extension de N et Γᵢ le groupe de Galois de N sur Eᵢ. Les conditions suivantes sont équivalentes : a) Le groupe Γ est produit direct des sous-grou… ↩ 2 06N9
Remarque Avec les notations du cor. 6, supposons les conditions a) et b) remplies. Les homomorphismes de restriction φᵢ : Γ → Gal(Eᵢ/K) pour i = 1, 2 induisent des isomorphismes de groupes… 0DHW
Théorème 5 Soient N' une extension de K, engendrée par deux sous-extensions K' et N. On suppose que N est galoisienne sur K, de groupe de Galois Γ et que K' ∩ N = K. Alors l’extension N' de K… ↩ 5 06NB
Corollaire 1 Soit E' un sous-corps de N' contenant K'. Il existe un unique sous-corps E de N, contenant K et tel que E' = K'(E). On a E = E' ∩ N. 06NC
Corollaire 2 Soit N une extension galoisienne de K. On suppose que le groupe de Galois Γ de N sur K est produit direct de deux sous-groupes fermés Γ₁ et Γ₂, et l’on note Eᵢ le corps des invaria… 06ND
Remarque Soient K et K' deux corps et u un homomorphisme de K dans K'. Soit Kₛ (resp. K'ₛ) une clôture séparable (V, p. 44, prop. 14) de K (resp. K') et Π (resp. Π') le groupe de Galois de… 0DHX
Théorème 6 Soit N une extension galoisienne de degré fini sur K et soit Γ le groupe de Galois de N sur K. Il existe une base normale de N sur K. Autrement dit, le K^(Γ)-module N est libre de… ↩ 3 06NF
Proposition 10 Soit x ∈ N. Pour que x soit une base du K^(Γ)-module N, il faut et il suffit que det(σ τ(x))_σ, τ ∈ Γ soit non nul. 06NG
Proposition 11 Supposons K infini, et soit P : N → K une application polynômiale sur K non nulle. Il existe x ∈ N tel que P(x) ≠ 0 et que x soit une base de N sur K^(Γ). 06NH
Lemme 4 Soit M un A-module de torsion engendré par un nombre fini d’éléments x₁, …, xₕ. Il existe alors un élément x de M dont l’annulateur (II, p. 28) est égal à l’annulateur de M. ↩ 1 06NI
Lemme 5 Soit X un Γ-ensemble fini et soient x₁, …, xₙ des points de X tels que les orbites Γ x₁, …, Γ xₙ forment une partition de X. Pour 1 ≤ i ≤ n, soit Δᵢ le stabilisateur de xᵢ dans Γ… ↩ 1 06NJ
Proposition 12 Pour tout Γ-ensemble fini X, l’algèbre Θ(X) est étale sur K, de degré égal au cardinal de X. De plus, toute algèbre étale sur K est isomorphe à une algèbre de la forme Θ(X). ↩ 1 06NK
Remarque 1 On montre facilement que pour tout homomorphisme de K-algèbres φ de Θ(X) dans Kₛ, il existe un unique élément x de X tel que φ(f) = f(x) pour tout f ∈ Θ(X). 0DHY
Remarque 2 Soient X et Y deux Γ-ensembles finis. Soit 𝔉_Γ(X, Y) l’ensemble des applications u de X dans Y telles que u(σ x) = σ u(x) pour tout σ ∈ Γ et tout x ∈ X. Pour u ∈ 𝔉_Γ(X, Y), on défi… 0DHZ
Proposition 13 Soit N une extension quasi-galoisienne de K. On note Nᵣ le corps des invariants du groupe des K-automorphismes de N et Nₛ la fermeture algébrique séparable de K dans N (V, p. 42)… ↩ 2 06NM
Corollaire Soient p l’exposant caractéristique de K, overlineK une clôture algébrique de K, Kₛ la fermeture séparable de K dans overlineK et K^p^-∞ la clôture parfaite de K. Alors l’homomorph… 0DI0
Remarque Soit R (resp. S) une extension radicielle (resp. algébrique séparable) de K. Alors l’algèbre R ⊗_K S est un corps : en effet, R (resp. S) est isomorphe à une sous-extension de K^p^… 0DI1

§ 11. Extensions abéliennes

Définition 1 On dit qu’une extension E de K est abélienne si elle est galoisienne et si son groupe de Galois est commutatif. 06OC
Proposition 1 Soient E une extension galoisienne de K, et Γ son groupe de Galois. Soit Δ le groupe dérivé de Γ (I, p. 67, déf. 4) et soit F le corps des invariants de Δ. Pour qu’une sous-extensi… ↩ 1 06OD
Corollaire Soit E une extension de K, et soit (Eᵢ)_i ∈ I une famille de sous-extensions de E, telle que E = K(⋃_i ∈ I Eᵢ). On suppose que chacune des extensions Eᵢ est abélienne ; il en est a… 06OE
Définition 2 On dit qu’un élément ζ de K est une racine de l’unité s’il existe un entier n > 0 tel que ζⁿ = 1; pour tout entier n > 0 tel que ζⁿ = 1, on dit que ζ est racine n-ième de l’unité. 06OF
Théorème 1 Soit p l’exposant caractéristique de K et soit n > 0 un entier. Le groupe μₙ(K) des racines n-ièmes de l’unité dans K est cyclique et son ordre divise n. Lorsque K est algébriqueme… ↩ 4 06OG
Lemme 1 Soit G un sous-groupe fini de K^*, d’ordre m. Alors G est cyclique et l’on a G = μₘ(K). 06OH
Proposition 2 Supposons que K soit algébriquement clos, et soit p son exposant caractéristique. Il existe un isomorphisme de μ_∞(K) sur le groupe Q/Z[1/p]. ↩ 1 06OI
Remarque 1 Lorsque K est un corps algébriquement clos de caractéristique 0, le groupe μ_∞(K) est donc isomorphe (non canoniquement) à Q/Z. \ Lorsque K est le corps C des nombres complexes, on… 06OJ
Remarque 2 On peut prouver (cf. V, p. 156, exerc. 21) le résultat suivant : soient G et H deux groupes commutatifs dont tout élément est d’ordre fini. On suppose que, pour tout entier n ≥ 1… ↩ 1 06OK
Remarque 3 Pour tout nombre premier l, posons μ_l^∞(K) = ⋃_n ≥ 0 μ_lⁿ(K). Lorsque l est la caractéristique p de K, on a μ_p^∞(K) = 1 . On déduit de I, p. 76, théorème 4, que μ_∞(K) est somme… 06OL
Proposition 3 Soient k et n ≥ 1 deux entiers. Les assertions suivantes sont équivalentes : a) la classe de k modulo n est inversible dans l’anneau Z/nZ; b) la classe de k modulo n engendre le gr… ↩ 1 06OM
Corollaire 1 Soit G un groupe cyclique d’ordre n et soit d un diviseur de n. Le nombre des éléments d’ordre d de G est égal à φ(d). En particulier, φ(n) est le nombre des générateurs de G. Comm… ↩ 1 06ON
Corollaire 2 Pour tout entier n geqslant 1, on a 06OO
Proposition 4 Soit n geqslant 1 un entier ; on suppose qu’il existe n racines n-ièmes de l’unité dans K (ce qui a lieu par exemple si K est séparablement clos et n.1_K ≠ 0). Le nombre des racine… ↩ 2 06OP
Proposition 5 Pour tout entier n ≥ 1 premier à p, l’extension Rₙ(K) de K est abélienne de degré fini, son groupe de Galois est isomorphe à un sous-groupe de (Z/nZ)^* et son degré divise l’ordre… ↩ 1 06OQ
Lemme 2 Soient f, g et h des polynômes unitaires de Q[X] tels que f = gh. Si f est à coefficients entiers, il en est de même de g et h. ↩ 1 06OR
Remarque \ Pour tout entier n > 0, on définit μ(n) de la façon suivante : si n est divisible par le carré d’un nombre premier, on a μ(n) = 0; sinon, on a μ(n) = (-1)ʰ si n est le produit de… 06OS
Lemme 3 Les racines de Φₙ dans Kₛ sont les racines primitives n-ièmes de l’unité. ↩ 1 06OT
Proposition 6 Soit p l’exposant caractéristique de K et soit n ≥ 1 un entier premier à p. Pour que le polynôme Φₙ(X) soit irréductible dans K[X], il faut et il suffit que l’homomorphisme χₙ : Ga… ↩ 1 06OU
Théorème 2 (Gauss) — Soient overlineQ une clôture algébrique de Q et n ≥ 1 un entier. a) Le polynôme cyclotomique Φₙ(X) est irréductible dans Q[X]. b) Le degré de Rₙ(Q) sur Q est égal à φ(n). c) L’ho… 06OV
Définition 3 On dit qu’une extension E de K est cyclique, si elle est galoisienne et si son groupe de Galois est cyclique. 06OW
Exemple 1 Toute extension galoisienne de degré premier est cyclique, car tout groupe fini G d’ordre premier p est cyclique (en effet, tout élément x ≠ 1 de G est d’ordre p, donc engendre G). 0DI2
Exemple 2 Soit F(X) = X² + aX + b un polynôme irréductible dans K[X]. Le seul cas où F(X) n’est pas séparable est celui où K est de caractéristique 2 et a = 0. On écarte désormais ce cas ; s… 0DI3
Exemple 3 Soient F un corps et σ un automorphisme d’ordre fini n. Le corps E des invariants de σ est aussi le corps des invariants du groupe cyclique d’ordre n engendré par σ, et par suite (… 0DI4
Théorème 3 (Hilbert) Soit E une extension cyclique de K, et soit σ un générateur du groupe de Galois Γ de E sur K. a) Pour qu’un élément x ∈ E soit tel que N_E/K(x) = 1, il faut et il suffit qu’il exis… 06OX
Lemme 4 Soient Γ un groupe cyclique d’ordre n, σ un générateur de Γ et M un groupe commutatif sur lequel opère Γ de façon que γ.(m + m') = γ.m + γ.m' pour tous γ ∈ Γ, m, m' ∈ M. Soit Z l’e… 06OY
Proposition 7 Soient G un groupe commutatif annulé par n et H un sous-groupe de G. L’homomorphisme de restriction Hom(G, T) → Hom(H, T) est surjectif. ↩ 2 06OZ
Corollaire 1 Si G est un groupe commutatif annulé par n, et si G ≠ 1, alors Hom(G, T) ≠ 1. ↩ 1 06P0
Corollaire 2 Si G est un groupe commutatif fini annulé par n, les groupes G et Hom(G, T) ont même ordre. ↩ 1 06P1
Proposition 8 Supposons G et H commutatifs et annulés par n. Si s_f est bijectif et H fini, alors d_f est bijectif et l’on a Card(G) = Card(H). 06P2
Lemme 5 K(A^1/n) est une extension abélienne de K d’exposant divisant n. 06P3
Lemme 6 Soit L une extension galoisienne de K. Il existe une unique application (σ, a) ↦ ⟨ σ, a ⟩ de Gal(L/K) × ((Lⁿ ∩ K^*)/K^*n) dans μₙ(K) telle que pour tout σ ∈ Gal(L/K) et tout élémen… 06P4
Proposition 9 Pour toute extension galoisienne de degré fini L de K, l’homomorphisme kL est bijectif. ↩ 1 06P5
Corollaire Si L est une extension galoisienne de K, l’homomorphisme kL est injectif et son image est le groupe Hom_c(Gal(L/K), μₙ(K)) des homomorphismes continus du groupe topologique Gal(L/K… 06P6
Théorème 4 a) L’application H ↦ K(H^1/n) est une bijection croissante de l’ensemble des sous-groupes de K^* contenant K^*n sur l’ensemble des sous-extensions abéliennes d’exposant divisant n… 06P7
Exemple 1 Il existe une plus grande extension abélienne d’exposant divisant n de K contenue dans Ω; elle s’obtient en adjoignant à K les racines n-ièmes de tous ses éléments ; son groupe de… 06P8
Exemple 2 \ Prenons K = Q et n = 2. Alors Q^*/Q^*2 est un F₂-espace vectoriel admettant pour base la réunion de -1 et de l’ensemble des nombres premiers. La plus grande extension abélienne d… 06P9
Exemple 3 Soit L une extension cyclique de K de degré n ; alors le groupe (Lⁿ ∩ K^*)/K^*n est cyclique d’ordre n. Si a ∈ K^* est tel que la classe de a mod. K^*n est un générateur de ce grou… 06PA
Exemple 4 Inversement, soit a ∈ K^*, et soit r le plus petit entier 0 tel que aʳ ∈ K^*n; alors le sous-corps L de Ω engendré par les racines du polynôme Xⁿ - a est une extension cyclique de… ↩ 1 06PB
Remarque Soit a ∈ K^* et soit r le plus petit entier 0 tel que aʳ ∈ Kⁿ. Soit B l’ensemble des racines dans K du polynôme X^n/r - a; alors on a 06PC
Lemme 7 K(ρ⁻¹(A)) est une extension abélienne de K d’exposant divisant p. 06PD
Lemme 8 Soit L une extension galoisienne de K. Il existe une unique application (σ, a) ↦ [σ, a] de Gal(L/K) × ((ρ(L) ∩ K)/ρ(K)) dans Fₚ telle que, pour tout σ ∈ Gal(L/K) et tout élément x… 06PE
Proposition 10 Pour toute extension galoisienne de degré fini L de K, l’homomorphisme a_L est bijectif. 06PF
Corollaire Si L est une extension galoisienne de K, l’homomorphisme a_L est injectif et son image est le groupe Hom_c(Gal(L/K), Fₚ) des homomorphismes continus du groupe topologique Gal(L/K)… 06PG
Théorème 5 a) L’application A ↦ K(p⁻¹(A)) est une bijection de l’ensemble des sous-groupes de K contenant p(K) sur l’ensemble des sous-extensions abéliennes d’exposant divisant p de Ω. L’appl… 06PH
Exemple 1 Il existe une plus grande extension abélienne de K d’exposant divisant p contenue dans Ω; c’est K(p⁻¹(K)); son groupe de Galois s’identifie à Hom(K/p(K), Fₚ). 06PI
Exemple 2 Soit L une extension cyclique de K de degré p; alors le groupe (𝔭(L) ∩ K)/𝔭(K) est cyclique d’ordre p. Si a ∈ K est tel que la classe de a mod. 𝔭(K) est un générateur de ce groupe… 06PJ
Exemple 3 Inversement, si a ∈ K - 𝔭(K), alors le polynôme Xᵖ - X - a est irréductible et le sous-corps L de Ω engendré par ses racines est une extension cyclique de K de degré p. Si a ∈ 𝔭(K)… 06PK

§ 12. Corps finis $^1$

Proposition 1 Soit K un corps fini à q éléments. 06Q8
Proposition 2 Soit K un corps fini à q éléments. Le corps K est un corps de décomposition du polynôme X^q - X de Fₚ[X] et est l’ensemble des racines de ce polynôme. ↩ 2 06Q9
Corollaire Deux corps finis de même cardinal sont isomorphes. ↩ 1 06QA
Proposition 3 Soient K un corps fini à q éléments, Ω une extension algébriquement close de K, et m un entier geqslant 1. ↩ 2 06QB
Corollaire Soient K un corps fini et Ω une extension algébriquement close de K. La fermeture algébrique overlineK de K dans Ω se compose de 0 et des racines de l’unité et c’est une clôture al… 06QC
Proposition 4 Soient K un corps fini à q éléments et Kₘ une extension de degré fini m de K. 06QD
Proposition 5 Il existe un unique isomorphisme de groupes topologiques π_K : hatZ → Gal(overlineK/K) tel que π_K(1) = σ_q. 06QE
Proposition 6 L’image par φₙ de l’automorphisme de Frobenius σ_q est la classe de q mod. n. 06QF
Corollaire Le degré de Rₙ sur K est le plus petit entier f geqslant 1 tel que qᶠ ≡ 1 mod. n. Pour que le polynôme cyclotomique Φₙ soit irréductible sur K, il faut et il suffit que le groupe (… 06QG
Exemple 1 Le polynôme Φ₃(X) = X² + X + 1 est irréductible dans F_q[X] si et seulement si l’on a q ≡ 2 mod. 3. De même, Φ₄(X) = X² + 1 est irréductible dans F_q[X] si et seulement si q ≡ 3 mo… 06QH
Exemple 2 On a 5² ≡ 1 mod. 12, donc la classe de 5 modulo 12 n’engendre pas (Z/12Z)^*. Le polynôme Φ₁₂(X) = X⁴ - X² + 1 n’est donc pas irréductible dans F₅[X]; on a en fait 06QI

§ 13. EXTENSIONS RADICIELLES DE HAUTEUR $\leqslant 1$

Définition 1 Soient K un corps et L une extension radicielle de hauteur leqslant 1 de K. On dit qu’une famille (xᵢ)_i ∈ I d’éléments de L est p-libre sur K (resp. est une p-base de L sur K) si… 06QX
Proposition 1 Soient K un corps, L une extension radicielle de hauteur ≤ 1 de K et x = (xᵢ)_i ∈ I une famille d’éléments de L. Alors l’espace vectoriel K(xᵢ)_i ∈ I sur K est engendré par les pro… ↩ 6 06QY
Corollaire Soit L' une extension d’un corps K engendrée par deux sous-extensions linéairement disjointes K' et L. Supposons L radicielle de hauteur ≤ 1 sur K; alors L' est radicielle de haute… 06QZ
Remarque Soient K un corps, L une extension radicielle de hauteur ≤ 1 de K et (xᵢ)_i ∈ I une famille d’éléments de L. Soient A l’algèbre de polynômes K[(Xᵢ)_i ∈ I], a l’idéal de A engendré… 06R0
Proposition 2 Soient K un corps, L une extension radicielle de hauteur ≤ 1 de K et S une partie de L. Pour que S soit p-libre, il faut et il suffit que l’on ait K(T) ≠ K(S) pour toute partie T ≠… ↩ 1 06R1
Proposition 3 Soient K un corps, L une extension radicielle de hauteur ≤ 1 de K, et S, T deux parties de L. Les conditions suivantes sont équivalentes : 06R2
Corollaire Soient L une extension radicielle de hauteur ≤ 1 de K et M une sous-extension de L. Alors L est radicielle de hauteur ≤ 1 sur M et M est radicielle de hauteur ≤ 1 sur K. De plus, s… 06R3
Proposition 4 Soit x = (xᵢ)_i ∈ I une p-base de K. Pour tout entier n ≥ 1, la famille (x^α)_α ∈ Λ(n) est une base de K sur K^pⁿ. 06R4
Proposition 5 Soient K un corps et L une extension de K engendrée par un élément x tel que x ∉ K, xᵖ ∈ K. Soient V un espace vectoriel sur L et Δ une dérivation de K dans V, telle que Δ(xᵖ) = 0… ↩ 1 06R5
Corollaire 1 Soient K un corps, L une extension radicielle de hauteur ≤ 1 de K et V un espace vectoriel sur L. Toute dérivation Δ de K dans V nulle sur Lᵖ se prolonge en une dérivation de L dan… ↩ 3 06R6
Corollaire 2 Soient L une extension radicielle de hauteur ≤ 1 d’un corps K et E une sous-extension de L. Soit U le sous-espace de Ω_K(L) engendré par les différentielles des éléments de E. Alor… ↩ 3 06R7
Théorème 1 Soient L une extension radicielle de hauteur ≤ 1 d’un corps K et (xᵢ)_i ∈ I une famille d’éléments de L. ↩ 3 06R8
Corollaire Soit (xᵢ)_i ∈ I une p-base de L sur K. Soient V un espace vectoriel sur L, Δ une dérivation de K dans V nulle sur Lᵖ et (uᵢ)_i ∈ I une famille d’éléments de V. Il existe une dériva… 06R9
Théorème 2 Soit L une extension radicielle de hauteur ≤ 1 d’un corps K. ↩ 4 06RA
Corollaire Pour tout x ∈ L - K, il existe une p-base de L sur K contenant x. En effet, x est une partie p-libre de L sur K, et il suffit d’appliquer le th. 2, a). 06RB
Proposition 6 Soient K un corps (de caractéristique p) et L une extension de K. a) Soit x ∈ L. La différentielle d_L/K x est nulle si et seulement si x appartient à K(Lᵖ). b) On a Ω_K(L) = 0 si… ↩ 1 06RC
Théorème 3 (Jacobson) Les applications K ↦ g(K) et h ↦ I(h) sont des bijections de C sur L et L sur C respectivement, réciproques l’une de l’autre. Si K ∈ C et h ∈ L se correspondent, on a [E : K] = p^[… 06RD
Lemme 1 Soient L un corps, V un espace vectoriel sur L et u un endomorphisme de V tel que uᵖ = u. Pour tout i ∈ Fₚ, soit Vᵢ le noyau de u - i. On a alors V = ⨁_i ∈ Fₚ Vᵢ. Pour tout i ∈ Fₚ… ↩ 2 06RE
Lemme 2 Soit D une dérivation de E telle que Dᵖ = D et soit K le noyau de D. On suppose qu’il existe x non nul dans E tel que D(x) = x. Alors K est un sous-corps de E contenant Eᵖ et l’on… 06RF
Lemme 3 Soit h ∈ L, de dimension s sur E. Alors I(h) appartient à C et l’on a [E : I(h)] = pˢ. 06RG
Remarque 1 Les bijections réciproques K ↦ g(K) et h ↦ I(h) sont décroissantes ; par suite, h ↦ I(h) est un isomorphisme de l’ensemble ordonné 𝔖 sur l’ensemble ordonné opposé à 𝔖. On en déduit… 06RH
Remarque 2 On peut montrer que tout sous-espace de dimension finie de g, qui est stable par D ↦ D^p, est aussi stable par le crochet. 0DI5

§ 14. Extensions transcendantes

Définition 1 Soit E une extension d’un corps K ; on dit qu’une famille x = (xi){i∈I} d’éléments de E est algébriquement libre sur K si les monômes x^α = ∏{i∈I} xi^{αi} par rapport aux xi (pour… ↩ 1 06RO
Proposition 1 Pour qu’une famille (xᵢ)_i ∈ I d’éléments d’une extension E d’un corps K soit algébriquement libre sur K, il faut et il suffit que la relation f((xᵢ)) = 0, où f est un polynôme de… 06RP
Définition 2 Soit E une extension d’un corps K. Une famille (xᵢ)_i ∈ I d’éléments de E est appelée une base pure de E (sur K) si elle est algébriquement libre et si l’on a E = K(xᵢ)_i ∈ I. On d… 06RQ
Proposition 2 Soient E et E' deux corps et u un isomorphisme d’un sous-corps K de E sur un sous-corps K' de E'. Soit x = (xᵢ)_i ∈ I (resp. x' = (x'ᵢ)_i ∈ I) une famille d’éléments de E (resp. E'… ↩ 1 06RR
Corollaire Pour qu’une extension E d’un corps K soit pure, il faut et il suffit que E soit K-isomorphe à un corps de fractions rationnelles sur K. De manière précise, si la famille (xᵢ)_i ∈ I… 06RS
Remarque Il est clair que, dans une extension E de K, une famille algébriquement libre sur K est formée d’éléments linéairement indépendants sur K (donc deux à deux distincts); autrement di… 06RT
Proposition 3 Pour qu'une famille (xᵢ)_i ∈ I d'éléments d'une extension E d'un corps K soit algébriquement libre sur K, il faut et il suffit que toute sous-famille finie de (xᵢ)_i ∈ I soit algéb… ↩ 4 06RU
Proposition 4 Soient E une extension d'un corps K, S et T deux parties de E. Les propriétés suivantes sont équivalentes : a) S ∪ T est algébriquement libre sur K et S ∩ T = ∅. b) S est algébriqu… ↩ 4 06RV
Corollaire Soient E une extension d'un corps K et S une partie de E algébriquement libre sur K. Si x ∈ E est transcendant sur K(S), alors S ∪ x est algébriquement libre sur K. ↩ 2 06RW
Proposition 5 Soit E une extension d’un corps K. Pour qu’une partie S de E soit algébriquement libre sur K, il faut et il suffit que, pour tout x ∈ S, l’élément x soit transcendant sur le corps… ↩ 1 06RX
Proposition 6 Soient E une extension d’un corps K et X une partie de E algébriquement libre sur K. Si K' ⊂ E est une extension algébrique de K, alors X est algébriquement libre sur K'. ↩ 3 06RY
Définition 3 On dit qu’une partie B d’une extension E d’un corps K est une base de transcendance de E (sur K) si B est algébriquement libre sur K, et si E est algébrique sur K(B). 06RZ
Exemple Une base pure est une base de transcendance. En revanche, si E est une extension pure de K, une base de transcendance de E sur K n’est pas toujours une base pure de E. Par exemple… 06S0
Proposition 7 Soit E une extension d’un corps K. Toute base de transcendance de E est un élément maximal de l’ensemble (ordonné par inclusion) des parties de E algébriquement libres sur K. Inver… ↩ 2 06S1
Théorème 1 (Steinitz) Toute extension E d’un corps K admet une base de transcendance sur K. En d’autres termes, toute extension d’un corps K est une extension algébrique d’une extension pure de K. ↩ 3 06S2
Théorème 2 Soient E une extension d’un corps K, S une partie de E telle que E soit algébrique sur K(S), et T une partie de S, algébriquement libre sur K ; il existe alors une base de transcen… ↩ 5 06S3
Corollaire (« théorème d’échange ») Soient E une extension de K, S une partie de E telle que E soit algébrique sur K(S), T une partie de E algébriquement libre sur K ; il existe une partie S’ de S telle que T ∪ S’ so… 06S4
Théorème 3 Soit E une extension d’un corps K. Toutes les bases de transcendance de E sur K ont même cardinal. ↩ 1 06S5
Définition 4 Soit E une extension d’un corps K. Le cardinal de toute base de transcendance de E sur K est appelé le degré de transcendance de E sur K, et noté deg. trK E. 06S6
Corollaire 1 Soit S une partie de E telle que E soit algébrique sur K(S). On a Card(S) ≥ n; si le cardinal de S est égal à n, alors S est algébriquement libre sur K (donc est une base de transc… ↩ 2 06S7
Corollaire 2 Supposons que l’on ait E = K(x₁, ..., xₘ). Alors, on a m ≥ n; si de plus on a m = n, alors (x₁, ..., xₘ) est une base pure de E sur K, et E est alors une extension pure de K. 06S8
Corollaire 3 Toute partie de E algébriquement libre sur K a au plus n éléments, et si elle a exactement n éléments, c’est une base de transcendance de E sur K. 06S9
Théorème 4 Soient K, E et F trois corps tels que K ⊂ E ⊂ F. Si S est une base de transcendance de E sur K et T une base de transcendance de F sur E, alors S ∩ T est vide et S ∪ T est une base… 06SA
Corollaire Soient K, E et F trois corps tels que K ⊂ E ⊂ F. On a ↩ 1 06SB
Proposition 8 Soient Ω une extension algébriquement close d’un corps K, E et F deux sous-extensions de Ω, et u un K-isomorphisme de E sur F. Pour qu’il existe un K-automorphisme v de Ω prolongea… ↩ 1 06SC
Corollaire 1 Soient Ω une extension algébriquement close d’un corps K et E une sous-extension de Ω. Tout K-automorphisme de E se prolonge en un K-automorphisme de Ω. ↩ 1 06SD
Corollaire 2 Soient Ω une extension algébriquement close d’un corps K, E et F deux sous-extensions de Ω et u un K-isomorphisme de E sur F. Si le degré de transcendance de E sur K est fini (en p… ↩ 1 06SE
Proposition 9 Soient K un corps et Ω une extension algébriquement close de K. On suppose que Ω n’est pas algébrique sur K. Alors, l’ensemble des éléments de Ω transcendants sur K est infini. De… ↩ 1 06SF
Proposition 10 Soient K un corps, Ω une extension algébriquement close de K et G le groupe des K-automorphismes de Ω. Soit x ∈ Ω. ↩ 1 06SG
Définition 5 Soient L une extension d’un corps K, E et F deux sous-extensions de L. On dit que E et F sont algébriquement disjointes (sur K) ou que E est algébriquement disjointe de F sur K si… ↩ 1 06SH
Remarque 1 Si E est une sous-extension de L algébrique sur K, elle est algébriquement disjointe de toute sous-extension F de L. Pour qu’une extension de K soit algébrique, il faut et il suffi… 06SI
Remarque 2 Il se peut que E soit algébriquement disjointe de F sur K, mais non sur un sous-corps K₀ de K. \ Par exemple, C est algébriquement disjointe d’elle-même sur R mais non sur Q. \ 06SJ
Remarque 3 Il est clair que si E est algébriquement disjointe de F sur K, quand on considère E et F comme des sous-extensions de L, il en est de même si on les considère comme des sous-extens… 06SK
Proposition 11 Si E et F sont algébriquement disjointes sur K, alors E ∩ F est algébrique sur K. Cela résulte de la déf. 5. 06SL
Proposition 12 Soient L une extension d’un corps K, E et F des sous-extensions de L. Les conditions suivantes sont équivalentes : a) E et F sont algébriquement disjointes ; b) il existe une base… ↩ 4 06SM
Corollaire Supposons que E et F soient algébriquement disjointes sur K. Soient E' la fermeture algébrique de E dans L et F' celle de F (V, p. 19). Alors E' et F' sont algébriquement disjointe… 06SN
Proposition 13 Soient L une extension d'un corps K, et E, F deux sous-extensions de L. ↩ 1 06SO
Proposition 14 Soient L une extension d'un corps K, E et F deux sous-extensions de L et B une base de transcendance de E sur K. Pour que E et F soient algébriquement disjointes sur K, il faut et… ↩ 2 06SP
Corollaire 1 Si E et F sont linéairement disjointes, alors E est algébriquement disjointe de F sur K. Réciproquement, si E est une extension pure de K et si elle est algébriquement disjointe de… ↩ 1 06SQ
Corollaire 2 Toute extension pure de K est linéairement disjointe de toute extension algébrique de K ; en particulier, K est algébriquement fermé dans toute extension pure de K. ↩ 1 06SR
Définition 6 Soient L une extension d’un corps K, et (Eᵢ)_i ∈ I une famille de sous-extensions de L. On dit que la famille (Eᵢ)_i ∈ I est algébriquement libre si la condition suivante est vérif… 06SS
Remarque D’après la prop. 3 (V, p. 103), il suffit de vérifier la condition (AL) pour des parties Aᵢ finies. On en déduit le résultat suivant : si (Eᵢ)_i ∈ I est une famille algébriquement… 06ST
Proposition 15 Soit (Eᵢ)_i ∈ I une famille de sous-extensions d’une même extension L d’un corps K. Les conditions suivantes sont équivalentes : a) La famille (Eᵢ)_i ∈ I est algébriquement libre… ↩ 2 06SU
Proposition 16 Soit (Eᵢ)_i ∈ I une famille de sous-extensions d’une extension d’un corps K. Soit E le corps engendré par ⋃_i ∈ I Eᵢ. 06SV
Théorème 5 Soient (Eᵢ)_i ∈ I une famille d’extensions d’un corps K et Ω une extension algébriquement close de K. On suppose vérifiée l’inégalité ↩ 1 06SW
Corollaire 1 Soient E et Ω deux extensions d’un corps K. On suppose que Ω est algébriquement close, de degré de transcendance au moins égal à celui de E. Alors E est K-isomorphe à une sous-exte… ↩ 2 06SX
Corollaire 2 Soit Ω un corps algébriquement clos de degré de transcendance infini sur son sous-corps premier. Tout corps de même caractéristique que Ω est réunion filtrante croissante de corps… ↩ 1 06SY
Exemple Cela s’applique notamment en caractéristique 0 en prenant Ω = C (« principe de Lefschetz »). \ 0DI6
Proposition 17 Soient E une extension d’un corps K et B une base de transcendance de E sur K. Pour que E soit de type fini (V, p. 11, déf. 2) sur K, il faut et il suffit que B soit finie et que l… ↩ 1 06SZ
Corollaire 1 Supposons que E soit une extension de type fini de K, et notons K' la fermeture algébrique de K dans E (V, p. 19). Alors K' est de degré fini sur K. Soit B une base de transcendanc… ↩ 3 06T0
Corollaire 2 Un corps de type fini sur son sous-corps premier ne contient qu’un nombre fini de racines de l’unité. 06T1
Corollaire 3 Si E est une extension de type fini d’un corps K, toute sous-extension E’ de E est de type fini. 06T2

§ 15. Extensions séparables

Proposition 1 Soient A un anneau commutatif et x un élément de A. Pour que x soit nilpotent, il faut et il suffit que le polynôme 1 - xT soit inversible dans l’anneau A[T]. ↩ 1 06TN
Proposition 2 Soit A un anneau commutatif. L’ensemble des éléments nilpotents de A est un idéal de A égal à l’intersection de l’ensemble des idéaux premiers de A. ↩ 3 06TO
Corollaire Pour qu’un anneau commutatif soit réduit (V, p. 33, déf. 2), il faut et il suffit qu’il soit isomorphe à un sous-anneau d’un produit de corps. ↩ 2 06TP
Définition 1 Soit A une algèbre commutative sur un corps K. On dit que A est séparable sur K, ou que c’est une K-algèbre séparable, si l’anneau L ⊗_K A est réduit pour toute extension L de K. ↩ 4 06TQ
Exemple 1 Soit A une algèbre de polynômes K[Xᵢ]_i ∈ I. Pour toute extension L de K, l’anneau L ⊗_K A est isomorphe à L[Xᵢ]_i ∈ I (III, p. 22, remarque 2), donc est intègre (IV, p. 9, prop. 8… ↩ 1 0DI7
Exemple 2 Soit A une algèbre commutative de degré fini sur un corps K. Pour que A soit séparable, il faut et il suffit qu’elle soit étale (V, p. 34, th. 4). 0DI8
Exemple 3 Soit E une extension algébrique d’un corps K. Si L est une extension de K, l’anneau L ⊗_K E est réunion des sous-anneaux L ⊗_K F où F parcourt l’ensemble des sous-extensions de deg… 0DI9
Proposition 3 Soit K un corps. ↩ 2 06TR
Proposition 4 Soit A une algèbre séparable sur un corps K et soit B l’anneau total des fractions de A. Alors la K-algèbre B est séparable. ↩ 2 06TS
Proposition 5 Soient K un corps, A et B deux K-algèbres commutatives. Si A est réduite et B séparable, alors A ⊗_K B est réduite, ↩ 7 06TT
Corollaire 1 Soient K un corps, L une extension séparable de K et f un polynôme de K[X]. Si f est sans facteur multiple dans K[X], il est aussi sans facteur multiple dans L[X]. ↩ 1 06TU
Corollaire 2 Soient A et B deux K-algèbres commutatives. Si A et B sont séparables, il en est de même de A ⊗_K B. 06TV
Proposition 6 Toute extension pure d’un corps K est séparable. ↩ 2 06TW
Proposition 7 Soient E un corps, G un groupe d’automorphismes de E et K le sous-corps de E formé des invariants de G. Alors E est une extension séparable de K. 06TX
Proposition 8 Soit L une extension d’un corps K. Si L est séparable sur K, toute sous-extension de L est séparable sur K. Réciproquement, si toute sous-extension de type fini de L est séparable… ↩ 1 06TY
Proposition 9 Soient L une extension d’un corps K et M une L-algèbre commutative (par exemple, une extension de L). Si M est séparable sur L, et L séparable sur K, alors M est séparable sur K. ↩ 2 06TZ
Théorème 1 Soit K un corps de caractéristique 0. Toute K-algèbre réduite, et en particulier toute extension de K, est séparable sur K. ↩ 3 06U0
Théorème 2 Soient K un corps de caractéristique p ≠ 0, K^p^-∞ une clôture parfaite de K et A une K-algèbre commutative. Les propriétés suivantes sont équivalentes : ↩ 6 06U1
Corollaire 1 (MacLane) Soient K un corps d’exposant caractéristique p, Ω une extension parfaite de K et L une sous-extension de Ω. Les conditions suivantes sont équivalentes : a) L est séparable sur K. b… ↩ 5 06U2
Corollaire 2 Soient K un corps d’exposant caractéristique p, K^p^-∞ une clôture parfaite de K et L une extension séparable de K. Alors l’anneau L ⊗_K K^p^-∞ est un corps. Si L est de plus algéb… ↩ 1 06U3
Corollaire 3 Soient L une extension algébrique de K et M une L-algèbre commutative (par exemple une extension de L). Si M est séparable sur K, elle est séparable sur L. ↩ 1 06U4
Remarque On peut formuler le critère de MacLane sans faire intervenir d’extension de K autre que L. En effet, d’après la condition c) du cor. 1, L est séparable sur K si et seulement si L e… 06U5
Théorème 3 Soit K un corps parfait. a) Toute extension algébrique de K est un corps parfait. b) Toute extension de K est séparable. c) Pour qu’une K-algèbre soit séparable, il faut et il suff… ↩ 5 06U6
Théorème 4 Soient Ω une extension algébriquement close d’un corps K et L une sous-extension de Ω. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 1 06U7

§ 16. Critères différentiels de séparabilité

Proposition 1 On suppose que la famille x = (xᵢ)_i ∈ I engendre la K-algèbre A. Soient (mᵢ)_i ∈ I une famille d’éléments de M et (f_λ)_λ ∈ Λ une famille de polynômes engendrant l’idéal a des pol… ↩ 2 06UK
Proposition 2 Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 3 06UL
Proposition 3 Soient K un corps, L une extension pure de K et (xᵢ)_i ∈ I une base pure de L (V, p. 102, déf. 2). ↩ 3 06UM
Corollaire Soit P un sous-corps de K. L’application canonique α de Ω_P(K) ⊗_K L dans Ω_P(L) est injective, et la famille (d_L/P xᵢ)_i ∈ I est une base (sur L) d’un sous-espace de Ω_P(L) suppl… 06UN
Proposition 4 Soient K un corps, L une extension algébrique et séparable de K et V un espace vectoriel sur L. ↩ 7 06UO
Corollaire 1 On a Ω_K(L) = 0 si L est algébrique et séparable sur K. Le corollaire résulte de la prop. 4, a) car le L-espace vectoriel Ω_K(L) est engendré par l’image de la K-dérivation canoniq… ↩ 2 06UP
Corollaire 2 Si L est une extension algébrique et séparable d’un corps K, l’application canonique α : Ω_P(K) ⊗_K L → Ω_P(L) est un isomorphisme pour tout sous-corps P de K. L’application α est… 06UQ
Corollaire 3 Soient E une extension d’un corps K et D une dérivation de E dans E, appliquant K dans K. Si L est une sous-extension de E qui est algébrique et séparable sur K, on a D(L) ⊂ L. Soi… 06UR
Remarque 1 Nous démontrerons plus loin (V, p. 125, cor. 3 et p. 129, cor. 2) une réciproque au cor. 1 de la prop. 4. 06US
Remarque 2 Toute extension algébrique d’un corps premier est séparable (V, p. 36, cor.). Comme toute dérivation d’un corps premier est nulle, toute dérivation d’une extension algébrique d’un… 0DIA
Théorème 1 Soient K un corps de caractéristique 0, L une extension de K et V un espace vectoriel sur L. Soient Δ une dérivation de K dans V, (xᵢ)_i ∈ I une base de transcendance de L sur K et… ↩ 3 06UT
Corollaire 1 Toute dérivation de K dans V se prolonge en une dérivation de L dans V. ↩ 1 06UU
Corollaire 2 Soient E une sous-extension de L et U le sous-L-espace vectoriel de Ω_K(L) engendré par les différentielles des éléments de E. Pour qu’un élément x de L soit algébrique sur E, il f… ↩ 3 06UV
Corollaire 3 Pour qu’un élément x de L soit algébrique sur K, il faut et il suffit que l’on ait dx = 0 dans Ω_K(L). En particulier, pour que L soit une extension algébrique de K, il faut et il… 06UW
Corollaire 4 Soient K, L et M des corps de caractéristique 0 tels que K ⊂ L ⊂ M; l’application canonique α : Ω_K(L) ⊗_L M → Ω_K(M) est injective. 06UX
Théorème 2 Soient K un corps de caractéristique 0, L une extension de K et (xᵢ)_i ∈ I une famille d’éléments de L. 06UY
Corollaire On a [Ω_K(L) : L] = deg.tr_K L lorsque K est de caractéristique 0. 06UZ
Théorème 3 Soient K un corps et L une extension de K. Pour que L soit séparable sur K, il faut et il suffit que toute dérivation de K dans un L-espace vectoriel se prolonge en une dérivation… ↩ 2 06V0
Corollaire Si L est extension séparable de K, l’application canonique α_P : Ω_P(K) ⊗_K L → Ω_P(L) est injective pour tout sous-corps P de K. Réciproquement, s’il existe un sous-corps parfait… 06V1
Lemme 1 Soient U et V deux espaces vectoriels de dimension finie sur un corps L. Toute application linéaire f : U → V possède un indice égal à [V : L] - [U : L]. ↩ 1 06V2
Lemme 2 Soient f : U → V et g : V → W des applications L-linéaires. Si f et g possèdent un indice, il en est de même de g ∘ f et l’on a : ↩ 1 06V3
Théorème 4 Soient P un corps parfait, L une extension de P et K une sous-extension de L ; on suppose que L est une extension de type fini de K. Alors l’application L-linéaire canonique α : Ωₚ… ↩ 2 06V4
Corollaire 1 Soit L une extension de type fini d’un corps K, de degré de transcendance s. L’espace vectoriel Ω_K(L) est de dimension ≥ s sur L, et l’on a égalité si et seulement si L est sépara… ↩ 4 06V5
Corollaire 2 Soit L une extension de type fini d’un corps K. Pour que L soit algébrique et séparable sur K, il faut et il suffit que l’on ait Ω_K(L) = 0. ↩ 4 06V6
Corollaire 3 Soient K un corps de caractéristique p ≠ 0 et L une extension de type fini de K, de degré de transcendance s. Si [K : Kᵖ] est fini, il en en est de même de [L : Lᵖ] et l’on a [L… 06V7
Remarque 1 Soient K un corps de caractéristique p ≠ 0 et L une extension de K. On a Ω_K(L) = 0 si et seulement si l’on a L = K(Lᵖ) (V, p. 99, prop. 6). Par suite, si L est de type fini sur K… 06V8
Remarque 2 Soient K un corps, F₁, ..., Fₘ des polynômes de K[X₁, ..., Xₙ], et L une extension de K engendrée par des éléments x₁, ..., xₙ. On suppose que les polynômes F₁, ..., Fₘ engendrent… 06V9
Définition 1 Soit L une extension d’un corps K. On dit qu’une base de transcendance B de L sur K est séparante si l’extension algébrique L de K(B) est séparable. 06VA
Théorème 5 Soient K un corps, L une extension de K et (xᵢ)_i ∈ I une famille d’éléments de L. Si la famille (xᵢ)_i ∈ I est une base de transcendance séparante de L sur K, la famille (dxᵢ)_i ∈… ↩ 1 06VB
Corollaire Soit L une extension séparable de type fini de K, et soit S une partie de L telle que L = K(S). Il existe alors une base de transcendance séparante B de L sur K, contenue dans S. ↩ 1 06VC
Remarque Soit L une extension séparable de type fini d’un corps K de caractéristique p ≠ 0; il peut exister des bases de transcendance de L qui ne sont pas séparantes. Il suffit de noter qu… 06VD
Proposition 5 Soient L et M deux extensions d’un corps K, contenues dans une même extension et algébriquement disjointes sur K. Si M est séparable sur K, alors L(M) est séparable sur L. ↩ 2 06VE
Corollaire Si L et M sont des extensions séparables et algébriquement disjointes de K, le corps K(L ∪ M) est séparable sur K. 06VF

§ 17. Extensions régulières

Théorème 1 (Zariski) Soient K un corps, L une extension de K, K₁ la fermeture algébrique séparable de K dans L (V, p. 42), K₂ la fermeture algébrique de K dans L (V, p. 19) et (Xᵢ)_i ∈ I une famille d’… 06VP
Proposition 1 Soient Ω une extension d’un corps K et L, M deux sous-extensions de Ω algébriquement disjointes sur K. On suppose que la fermeture algébrique séparable de K dans L est égale à K ¹… 06VQ
Corollaire Soient L et M deux extensions d’un corps K. On suppose que la fermeture algébrique séparable de K dans L est égale à K. Alors l’ensemble 𝔭 des éléments nilpotents de L ⊗_K M est un… 06VR
Définition 1 Soit K un corps. On dit qu’une algèbre A sur K est absolument intègre si l’anneau L ⊗_K A est intègre pour toute extension L de K. 06VS
Proposition 2 Soient A et B deux algèbres sur un corps K. Si A est intègre et B absolument intègre, alors A ⊗_K B est intègre. ↩ 1 06VT
Proposition 3 Soit K un corps. ↩ 2 06VU
Définition 2 On dit qu’une extension d’un corps K est régulière si c’est une K-algèbre absolument intègre. ↩ 1 06VV
Proposition 4 Soient A une algèbre intègre sur un corps K, et E son corps des fractions. Soit L une extension de K; si l’anneau L ⊗_K A est intègre, il en est de même de L ⊗_K E. ↩ 1 06VW
Corollaire Pour que A soit absolument intègre, il faut et il suffit que son corps des fractions soit une extension régulière de K. 06VX
Proposition 5 Toute extension pure d’un corps K est régulière. 06VY
Proposition 6 Soit L une extension d’un corps K. Si L est régulière, toute sous-extension de L est régulière. Inversement si toute sous-extension de type fini de L est régulière, alors L est rég… 06VZ
Proposition 7 Soient L une extension d’un corps K et M une L-algèbre (par exemple une extension de L). Si L est régulière sur K et M absolument intègre sur L, alors M est absolument intègre sur… 06W0
Proposition 8 Soient L et M deux extensions d’un corps K. a) Si M est régulière sur K, le corps des fractions de l’anneau intègre L ⊗_K M est une extension régulière de L. b) Si L et M sont des… 06W1
Proposition 9 Soient K un corps, overlineK une clôture algébrique de K et L une extension de K. Les conditions suivantes sont équivalentes : a) L est séparable sur K et K est algébriquement ferm… ↩ 1 06W2
Corollaire 1 Soit A une algèbre sur le corps K. Pour que A soit absolument intègre, il faut et il suffit que l’anneau \overline{K} \otimesK A soit intègre. ↩ 1 06W3
Corollaire 2 Soit K un corps algébriquement clos. Toute K-algèbre intègre sur K est absolument intègre. En particulier, toute extension de K est régulière. ↩ 1 06W4
Corollaire 3 Soit K un corps algébriquement clos. Si A et B sont deux K-algèbres intègres, il en est de même de A \otimesK B. 06W5
Proposition 10 Soient L et M deux extensions d’un corps K et (E, u, v) une extension composée de L et de M (V, p. 11). On suppose que l’anneau L \otimesK M est intègre et que les sous-extensions… ↩ 2 06W6
Corollaire 1 Soient Ω une extension d’un corps K et L une sous-extension de Ω régulière sur K. Toute sous-extension M de Ω qui est algébriquement disjointe de L sur K en est linéairement disjoi… 06W7
Corollaire 2 Soient Ω une extension d’un corps K et L, M deux sous-extensions de Ω. On suppose que L est séparable sur K et que la fermeture séparable de K dans M est égale à K. Si L et M sont… 06W8

VI. Groupes et corps ordonnés

§ 1. Groupes ordonnés. Divisibilité

Définition 1 Sur un ensemble M, on dit qu’une structure de monoïde commutatif (notée additivement) et une structure d’ordre (notée ≤) sont compatibles si elles satisfont à l’axiome suivant : (M… 06WE
Exemple 1 Le groupe additif des entiers rationnels et celui des nombres rationnels sont des groupes ordonnés quand on les munit des structures d’ordre définies en I, p. 20 et 112. \ Il en es… 06WF
Exemple 2 \ Le groupe additif des fonctions numériques finies définies dans un ensemble E est un groupe ordonné pour la structure d’ordre définie par la relation « quel que soit x ∈ E, f(x)… 06WG
Proposition 1 (« addition des inégalités ») Dans un monoïde ordonné M, soient (xᵢ) et (yᵢ) (1 ≤ i ≤ n) deux suites de n éléments telles que, pour tout i, on ait xᵢ ≤ yᵢ; alors on a 06WH
Proposition 2 Dans un groupe ordonné G les relations x ≤ y et x + z ≤ y + z sont équivalentes. ↩ 1 06WI
Corollaire Dans un groupe ordonné G, les relations x ≤ y,\ 0 ≤ y - x,\ x - y ≤ 0 et -y ≤ -x sont équivalentes. 06WJ
Définition 2 Sur un ensemble M, on dit qu’une relation de préordre (notée leqslant) et une structure de monoïde commutatif (notée additivement) sont compatibles si elles satisfont à l’axiome su… 06WK
Proposition 3 Si P est une partie d’un groupe commutatif G, contenant 0 et telle que P + P ⊂ P, la relation y - x ∈ P est une relation de préordre compatible avec la structure de groupe de G. Po… ↩ 2 06WL
Définition 3 Dans un groupe ordonné G, on appelle élément positif (resp. négatif) tout élément x tel que 0 ≤ x (resp. x ≤ 0). 06WM
Exemple Dans le groupe additif Z × Z, soit P l’ensemble des éléments (x, y) satisfaisant à deux inégalités ax + by ≥ 0, cx + dy ≥ 0, où a, b, c, d sont des entiers ( ou des nombres réels )… 06WN
Remarque En vertu de la condition P + P ⊂ P, dans un groupe ordonné G, la relation x ≥ 0 implique nx ≥ 0 pour tout entier naturel n. Si, de plus, l’élément positif x du groupe G est d’ordre… 06WO
Proposition 4 Pour qu’un groupe ordonné G soit filtrant, il faut et il suffit qu’il soit engendré par ses éléments positifs, c’est-à-dire que tout élément de G soit différence de deux éléments p… 06WP
Proposition 5 Si (xᵢ) est une famille finie d’éléments d’un groupe filtrant G, il existe z ∈ G tel que xᵢ + z soit positif pour tout i. 06WQ
Remarque 1 La relation de divisibilité dans K dépend essentiellement de l’anneau A choisi. Si A = K, on obtient la relation « triviale » où x|y pour tout couple (x, y) d’éléments de K. Soit p… 06WR
Remarque 2 Nous étendrons parfois la définition de la relation x|y à un couple d’éléments de K (et non plus seulement de K), cette relation étant synonyme de « il existe z ∈ A tel que y = zx… 06WS
Remarque 1 Le cas le plus fréquent est celui où l’ensemble bien ordonné d’indices I est un intervalle fini {1, n} de N. 06WT
Remarque 2 L’ensemble des éléments positifs du produit lexicographique G se compose de 0 et des éléments dont la composante non nulle de plus petit indice est positive. 06WU
Proposition 6 Soient (x_α)_α ∈ A, (y_β)_β ∈ B deux familles d’éléments d’un groupe ordonné G, ayant chacune une borne supérieure. Alors la famille (x_α + y_β)_(α, β) ∈ A × B a une borne supérieu… 06WV
Proposition 7 Si x et y sont deux éléments d’un groupe ordonné G, et si l’un des éléments inf(x, y), sup(x, y) existe, il en est de même de l’autre, et l’on a x + y = inf(x, y) + sup(x, y). 06WW
Proposition 7 Si a, b ∈ K^*, et si d est un pgcd de a et b et m un ppcm de a et b, alors le produit dm est associé à ab. ↩ 1 06WX
Proposition 8 Soit P l’ensemble des éléments positifs d’un groupe ordonné G. Pour que G soit réticulé, il faut et il suffit que l’on ait G = P - P, et que de plus P, muni de l’ordre induit, sati… 06WY
Théorème 1 (théorème de décomposition) Soient (xᵢ)_1 ≤ i ≤ p et (yⱼ)_1 ≤ j ≤ q deux suites finies d’éléments positifs d’un groupe réticulé G telles que ∑ᵢ₌₁ᵖ xᵢ = ∑ⱼ₌₁^q yⱼ; il existe alors une suite double (zᵢⱼ)_1 ≤ i… ↩ 1 06WZ
Corollaire Soient y, x₁, x₂, ..., xₙ, n + 1 éléments positifs de G tels que y ≤ ∑ᵢ₌₁ⁿ xᵢ ; il existe alors n éléments positifs yᵢ (1 ≤ i ≤ n) tels que yᵢ ≤ xᵢ et y = ∑ᵢ₌₁ⁿ yᵢ. Il suffit d’app… 06X0
Définition 4 Dans un groupe réticulé G on appelle partie positive (resp. partie négative, valeur absolue) d’un élément x ∈ G, et on note x⁺ (resp. x⁻, |x|) l’élément sup(x, 0) (resp. sup(-x, 0)… 06X1
Proposition 9 a) Pour tout élément x d’un groupe réticulé G, on a x = x⁺ - x⁻ et inf(x⁺, x⁻) = 0. 06X2
Remarque On déduit de d) que |x| = 0 entraîne x = 0 (car x⁺ et x⁻ sont positifs); donc x ≠ 0 entraîne |x| > 0. 06X3
Proposition 9 Si le groupe P^* des idéaux principaux fractionnaires de K est réticulé, tout élément x de K^* peut être mis sous la forme x = uv⁻¹, où u et v sont des éléments de A tels que 1 = p… ↩ 2 06X4
Définition 5 Dans un groupe ordonné, deux éléments x et y sont dits étrangers si l’on a inf(x, y) = 0. 06X5
Proposition 10 Soient x, y, z trois éléments d’un groupe ordonné ; pour que x − z et y − z soient étrangers, il faut et il suffit que l’on ait z = inf(x, y). En effet les relations z = inf(x, y)… ↩ 1 06X6
Proposition 10 Soient a, b, c trois éléments de K tels que c ≠ 0 ; pour que les quotients ac−1 et bc−1 soient étrangers, il faut et il suffit que c soit un pgcd de a et de b. 0DIB
Proposition 11 Si (xi), (yj) sont deux familles finies d’éléments ≥ 0 d’un groupe réticulé, on a inf(∑ᵢ xᵢ, ∑ⱼ yⱼ) ≤ ∑_i,j inf(xᵢ, yⱼ). Raisonnant par récurrence sur le nombre d’éléments des fami… ↩ 1 06X7
Corollaire 1 Si x et y sont deux éléments étrangers et z un élément ≥ 0 d’un groupe réticulé, on a inf(x, z) = inf(x, y + z). ↩ 1 06X8
Corollaire 2 Dans un groupe réticulé, si x et y sont étrangers et si on a z ≥ 0 et x ≤ y + z, alors on a x ≤ z. 06X9
Corollaire 3 Dans un groupe réticulé, si x est étranger à y et z, il l’est aussi à y + z. ↩ 1 06XA
Corollaire 4 Si (xi){1 ≤ i ≤ n}, (yj){1 ≤ j ≤ m} sont deux familles finies d’éléments d’un groupe réticulé G telles que chacun des xi soit étranger à chacun des yj, alors x1 + ⋯ + xn est étrang… ↩ 2 06XB
Corollaire 5 Quel que soit l’entier n ≥ 0, on a (nx)^+ = nx^+ et (nx)^- = nx^- ; pour tout n ∈ \mathbf{Z}, on a nx = n.x. On a en effet nx = nx^+ − nx^- ; comme x^+ et x^- sont étrangers, il en… 06XC
Proposition 11 L’ensemble P^* étant supposé réticulé, soient (aᵢ), (bⱼ) deux familles finies d’éléments de A. Alors tout pgcd de ∏ᵢ aᵢ et de ∏ⱼ bⱼ divise le produit ∏_i,j pgcd(aᵢ, bⱼ). 06XD
Corollaire 1 Si a, b, c sont trois éléments de A tels que a soit étranger à b, tout pgcd de a et de c est aussi un pgcd de a et de bc. 06XE
Corollaire 2 (lemme d’Euclide) Soient a, b, c trois éléments de A. Si a est étranger à b et divise bc, il divise c. 06XF
Corollaire 3 Si x est étranger à y et z, il l’est à yz. 06XG
Corollaire 4 Si (xᵢ) et (yⱼ) sont deux familles finies d’éléments de A telles que chaque xᵢ soit étranger à chaque yⱼ, alors le produit des xᵢ est étranger au produit des yⱼ. ↩ 1 06XH
Corollaire 5 Si d est un pgcd de x et y, dⁿ est un pgcd de xⁿ et yⁿ pour tout entier positif n. En effet xd⁻¹ et yd⁻¹ sont étrangers (prop. 10 (DIV)), et il en est de même de xⁿ d⁻ⁿ et yⁿ d⁻ⁿ (… 06XI
Proposition 12 Soient xᵢ (1 ≤ i ≤ n) n éléments étrangers deux à deux dans un groupe réticulé. Alors 06XJ
Remarque La prop. 7 de VI, p. 10 montre aussi que, pour que x et y soient étrangers, il faut et il suffit que l’on ait x + y = sup(x, y). 06XK
Proposition 12 Soient aᵢ des éléments de A en nombre fini n et étrangers deux à deux ; alors le produit a₁ … aₙ est un ppcm de a₁, ..., aₙ. 06XL
Proposition 13 Dans un groupe réticulé G, soit (x_α) une famille admettant une borne inférieure (resp. supérieure), et soit z un élément quelconque de G; alors la famille (sup(z, x_α)) (resp. (in… ↩ 1 06XM
Corollaire Si, dans un groupe réticulé G, un élément z est étranger à chacun des éléments x_α d’une famille admettant une borne supérieure y, alors z est étranger à y. 06XN
Remarque En appliquant les formules de la prop. 13 à une famille de deux éléments (x, y), on obtient les formules suivantes qui expriment que, dans un groupe réticulé, chacune des lois de c… 06XO
Définition 6 On dit qu’un élément x d’un groupe ordonné G est extrémal si c’est un élément minimal de l’ensemble des éléments strictement positifs de G. 06XP
Exemples (DIV) 1) Un entier p > 0 est extrémal dans Z si et seulement s’il est premier (I, p. 48). 2) Un polynôme à une indéterminée sur un corps K est extrémal dans l’anneau K[X] si et seulement… 0EEO
Proposition 14 Pour qu’un élément x > 0 d’un groupe ordonné G soit extrémal, il suffit qu’il possède la propriété suivante : (P) Les relations x ≤ y + z,\ y ≥ 0,\ z ≥ 0 entraînent x ≤ y ou x ≤ z… 06XQ
Proposition 14 Pour qu’un élément p non nul de A soit extrémal, il suffit qu’il ne soit pas une unité, et qu’il ne puisse diviser un produit de deux éléments de A sans diviser l’un d’eux. Cette c… ↩ 2 06XR
Remarque On peut aussi exprimer la proposition 14 (DIV) comme suit : si p est un élément non nul de A tel que l’idéal (p) soit premier (I, p. 111, déf. 3), alors p est extrémal ; inversemen… 06XS
Proposition 15 Dans un groupe ordonné G, soit (pᵢ)_i ∈ I une famille d’éléments > 0 deux à deux distincts et vérifiant la propriété (P) (donc extrémaux). Alors l’application ↩ 1 06XT
Théorème 2 Soit G un groupe ordonné filtrant. Les propriétés suivantes sont équivalentes : a) G est isomorphe à un groupe ordonné de la forme Z⁽ᴵ⁾. b) G est réticulé et vérifie la condition s… ↩ 1 06XU

§ 2. Corps ordonnés

Définition 1 Étant donné un anneau commutatif A, on dit qu’une structure d’ordre sur A est compatible avec la structure d’anneau de A si elle est compatible avec la structure de groupe additif… 06YV
Exemple 1 Les anneaux Q et Z, ordonnés par l’ordre usuel, sont des anneaux ordonnés. 06YW
Exemple 2 Un produit d’anneaux ordonnés, muni de la structure d’ordre produit, est un anneau ordonné. En particulier, l’anneau Aᴱ des applications d’un ensemble E dans un anneau ordonné A es… 06YX
Exemple 3 Un sous-anneau d’un anneau ordonné, ordonné par l’ordre induit, est un anneau ordonné. 06YY
Exemple Sur Z il n’y a qu’une seule structure d’anneau totalement ordonné : en effet on a 1 > 0, d’où n > 0, par récurrence, pour tout entier naturel n ≠ 0. Il existe par contre sur Z des… 06YZ
Exemple Si, dans Z, on prend pour P l’ensemble des entiers positifs (au sens usuel) et pairs, on obtient une structure d’anneau non totalement ordonné. 06Z0
Proposition 1 Un anneau totalement ordonné est un Z-module sans torsion (II, p. 115). ↩ 1 06Z1
Définition 2 Un corps commutatif, muni d’une structure d’ordre total, est appelé un corps ordonné si sa structure d’ordre et sa structure d’anneau sont compatibles. 06Z2
Proposition 2 Soit A un anneau intègre totalement ordonné, et soit K son corps des fractions. Il existe sur K une structure d’ordre et une seule, induisant sur A la structure d’ordre donnée, et… ↩ 1 06Z3
Exemple Puisque Z n’admet qu’une seule structure d’anneau totalement ordonné (VI, p. 19, exemple), le corps Q n’admet qu’une seule structure d’ordre qui en fasse un corps ordonné ; cette s… 0DIC
Définition 3 Soit K un corps ordonné. Une extension ordonnée de K est un couple (E, u), où E est un corps ordonné et u un homomorphisme croissant de K dans E. 06Z5
Exemple 1 Tout corps ordonné K est extension ordonnée de Q. En effet, K, étant de caractéristique nulle, est extension de Q, et d’autre part Q ne peut être ordonné que d’une seule manière, c… 06Z4
Exemple 2 Soient K un corps ordonné, et K(X) le corps des fractions rationnelles en une indéterminée sur K. Définissons une structure d’ordre sur l’anneau de polynômes K[X] en prenant pour é… 0DID
Théorème 1 Pour qu’une extension E d’un corps ordonné K admette une structure d’extension ordonnée de K, il faut et il suffit qu’elle vérifie la condition suivante : ↩ 3 06Z7
Lemme Soient P ∈ M et x ∉ P; il existe alors P' ∈ M tel que P ⊂ P' et que -x ∈ P' 0DIE
Corollaire 1 (« Théorème d’Artin-Schreier ») Pour qu’il existe sur un corps commutatif E une structure d’ordre qui en fasse un corps ordonné, il faut et il suffit que la relation x₁² + ⋯ + xₙ² = 0 entraîne x₁ = ⋯ = xₙ = 0. 06Z9
Corollaire 2 Soit E une extension de K admettant une structure d’extension ordonnée de K. Pour qu’un élément x ∈ E soit positif pour toutes les structures d’extension ordonnée de K sur E, il fa… 06ZA
Proposition 3 Soient K un corps ordonné et f un polynôme irréductible sur K et changeant de signe entre a et b dans K. L’extension E = K[X]/(f) de K admet alors une structure d’extension ordonné… ↩ 2 06ZB
Remarque Il existe des polynômes irréductibles f sur un corps ordonné K qui ne changent pas de signe dans K, mais qui sont tels que K[X]/(f) admette une structure d’extension ordonnée de K… 0DIF
Proposition 4 Soient K un corps ordonné et f ∈ K[X]. Il existe un intervalle de K dans le complémentaire duquel f a même signe que son terme de plus haut degré. ↩ 1 06ZD
Corollaire 1 Toute extension de degré fini impair d’un corps ordonné admet une structure d’extension ordonnée. 06ZE
Corollaire 2 Si a est un élément positif d’un corps ordonné K, tout corps de décomposition E du polynôme X² - a admet une structure d’extension ordonnée de K. 06ZF
Remarque Lorsque le corps ordonné K contient les « racines carrées » d’un élément positif a de K (racines du polynôme X² - a), on réserve en général la notation sqrta à celle de ces racines… 0DIG
Définition 4 Un corps ordonné K est dit maximal si toute extension algébrique ordonnée de K est triviale. ↩ 1 06ZH
Exemple \ On verra plus tard (TG, VIII, p. 1) que le corps R des nombres réels est un corps ordonné maximal. \ 0DIH
Théorème 2 Tout corps ordonné K admet une extension algébrique ordonnée qui est un corps ordonné maximal. 06ZJ
Proposition 5 Soient K un corps ordonné maximal, et f un polynôme de K[X] changeant de signe entre deux éléments a et b de K (avec a < b). Alors f admet une racine x dans K, telle que a < x < b. 06ZK
Proposition 6 Tout élément positif d’un corps ordonné maximal K a une racine carrée dans K. Tout polynôme de degré impair de K[X] a au moins une racine dans K. 06ZL
Corollaire Sur un corps ordonné maximal K, il n’existe qu’une seule structure d’ordre compatible avec la structure de corps. 0DII
Théorème 3 (Euler-Lagrange) Soit K un corps ordonné. Les trois propriétés suivantes sont équivalentes : a) Le corps K(i) est algébriquement clos (i désignant une racine carrée de − 1). b) Le corps K est ordon… ↩ 1 06ZN
Proposition 7 Soit K un corps ordonné dans lequel tout élément positif est un carré. Alors tout élément de K(i) est un carré, et tout polynôme du second degré sur K(i) a une racine dans K(i). 06ZO
Proposition 8 Soient K un corps commutatif (de caractéristique quelconque) et K' un corps de décomposition du polynôme X² + 1 ∈ K[X] (V, p. 20). On suppose que : a) tout polynôme de K[X], de deg… 06ZP
Proposition 9 Si K est un corps ordonné maximal, les seuls polynômes irréductibles de K[X] sont les polynômes du premier degré, et les polynômes du second degré aX² + bX + c tels que b² - 4ac <… 06ZQ
Remarque La mise sous forme canonique des trinômes donne le résultat plus fort que voici : étant donné un corps ordonné K, pour que le polynôme aX² + bX + c ait un signe constant dans K, il… 0DIJ

VII. Modules sur les anneaux principaux

§ 1. Anneaux principaux

Définition 1 Un anneau principal est un anneau commutatif, intègre (I, p. 110) dont tout idéal est principal. 070X
Exemple L’anneau Z des entiers rationnels est principal (I, p. 47). Si K est un corps commutatif, l’anneau K[X] des polynômes à une indéterminée sur K est un anneau principal (IV, p. 11, p… 070Y
Proposition 1 Soient K le corps des fractions d’un anneau principal A, et (xᵢ)_i ∈ I une famille d’éléments de K admettant un dénominateur commun b ∈ K^* (c’est-à-dire que bxᵢ ∈ A pour tout i)… ↩ 4 070Z
Remarque La prop. 1 s’applique sans restriction à une famille quelconque (xᵢ) d’éléments de A (il suffit de prendre b = 1), et aussi à une famille finie (xᵢ) d’éléments de K (en effet, si x… 0710
Corollaire Soit (xᵢ) une famille quelconque d’éléments d’un sous-anneau principal A d’un anneau intègre B, et soit d un pgcd de la famille (xᵢ) dans A. Alors la famille (xᵢ) admet des pgcd da… 0711
Théorème 1 (« identité de Bezout ») Pour que les éléments xᵢ (i ∈ I) d’un anneau principal A soient étrangers dans leur ensemble, il faut et il suffit qu’il existe des éléments aᵢ (i ∈ I) de A, nuls sauf un nombre fi… ↩ 1 0712
Proposition 2 Soient a, b, d, m et p des éléments du corps des fractions K d’un anneau principal A. a) « d est un pgcd de a et b » équivaut à « (d) = (a) + (b) ». b) « m est un ppcm de a et b »… ↩ 2 0713
Proposition 3 Soient a, b, c des éléments du corps des fractions d’un anneau principal A, et soit d un pgcd de a et c; pour que la congruence ax ≡ b (mod. c) admette une solution x₀ ∈ A, il faut… 0714
Proposition 4 Soit (aᵢ)_1 ≤ i ≤ n une famille finie d’éléments deux à deux étrangers d’un anneau principal A. Alors l’homomorphisme canonique (I, p. 104) de A/(∏ᵢ₌₁ⁿ aᵢ) dans le produit ∏ᵢ₌₁ⁿ A/… ↩ 1 0715
Définition 2 Soit A un anneau intègre. On appelle système représentatif d’éléments extrémaux de A une famille (p_α) d’éléments extrémaux de A telle que tout élément extrémal de A soit associé à… ↩ 1 0716
Théorème 2 Soient A un anneau principal et (p_α) un système représentatif d’éléments extrémaux de A. Alors tout élément non nul x du corps des fractions de A s’écrit, et d’une seule manière… ↩ 3 0717
Lemme 1 Soit A un anneau tel que tout idéal à gauche de A soit de type fini. Alors tout ensemble non vide Φ d’idéaux à gauche de A, ordonné par inclusion, possède un élément maximal. 0718
Remarque La famille (u, (n_α)) est appelée la décomposition de x en facteurs extrémaux ; par abus de langage, on dit aussi que la formule (1) est la décomposition de x en facteurs extrémaux… 0719
Proposition 5 L’ensemble des nombres premiers est infini. ↩ 1 071A
Proposition 6 Pour tout corps K, l’ensemble des polynômes unitaires irréductibles de K[X] est infini. 071B

§ 2. Modules de torsion sur un anneau principal

Proposition 1 Le A-module M est somme directe de ses sous-modules Mᵢ. ↩ 2 0724
Remarque 1 Inversement, donnons-nous pour chaque i un A/bᵢ-module M'ᵢ, et considérons le A-module M somme directe des A-modules M'ᵢ; alors les sous-modules Mᵢ construits ci-dessus coïncident… 0725
Remarque 2 D’après la démonstration précédente, les projecteurs de M sur ses composants Mi sont des homothéties. 0726
Remarque 3 Pour que le A-module M soit monogène, il faut et il suffit que chacun des Mi le soit : si M = Am, alors Mi = Ai ei m ; inversement, si Mi = Ai mi, et si m = ∑_i ∈ I mᵢ, alors M = A… ↩ 1 0727
Remarque 4 Soient M et N deux A-modules, (Mi) et (Ni) leurs composants. Soit u ∈ HomA(M, N) une application A-linéaire de M dans N ; pour tout i et tout m ∈ Mi, on a u(m) ∈ Ni, d’où une appli… 0728
Définition 1 Soit π un élément extrémal d’un anneau principal A ; on dit qu’un A-module M est π-primaire si, pour tout x ∈ M, il existe un entier n ≥ 1 tel que π^n x = 0 (en d’autres termes, si… 0729
Lemme 1 Soit M un module sur un anneau principal A ; pour tout α ∈ A tel que α ≠ 0, soit α = ε ∏ᵢ₌₁ʳ πᵢⁿ⁽ⁱ⁾ une décomposition de α en facteurs extrémaux (VII, p. 3). ↩ 2 072A
Lemme 2 Soit M un module de torsion (II, p. 115) sur un anneau intègre A. Pour toute famille finie (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n d’éléments de M, il existe un élément γ ≠ 0 dans A tel que les xᵢ appartie… ↩ 2 072B
Théorème 1 Soit M un module de torsion sur un anneau principal A; pour tout élément extrémal π de A, soit M_π le sous-module de M formé des éléments annulés par une puissance de π. Si P est u… ↩ 4 072C
Corollaire 1 Tout sous-module N d’un module de torsion M est somme directe des sous-modules N ∩ M_π. ↩ 3 072D
Corollaire 2 Pour que le sous-module N du A-module de torsion M soit facteur direct, il faut et il suffit que N_π soit facteur direct dans M_π pour tout élément extrémal π de A. ↩ 2 072E
Corollaire 3 Soit N un sous-module du A-module de torsion M. Si, pour tout élément extrémal π de A, on a, soit N_π = 0, soit (M/N)_π = 0, alors N est facteur direct dans M. ↩ 1 072F
Corollaire 4 Soient A un anneau principal qui n’est pas un corps, et M un A-module. Alors M est semi-simple si et seulement s’il est de torsion et si M_π = M(π) pour tout élément extrémal π de… ↩ 1 072G
Remarque 1 Il est clair que l’annulateur de tout élément ≠ 0 d’un module π-primaire est de la forme Aπᵏ (k entier > 0), puisque c’est un idéal principal contenant une puissance de π. Soit x u… 072H
Proposition 2 Si M est un module de torsion de type fini sur un anneau principal A, les composants π-primaires de M sont nuls à l’exception d’un nombre fini d’entre eux, et les projections de M… ↩ 2 072I
Remarque 2 D’après VII, p. 7, remarque 3, un A-module de torsion de type fini est monogène si et seulement si chacun de ses composants π-primaires l’est. ↩ 1 072J
Remarque 3 Applications : I. Décomposition canonique des nombres rationnels et des fractions rationnelles à une indéterminée 0DIK
Théorème 2 Soient A un anneau principal, K son corps des fractions et P un système représentatif d’éléments extrémaux de A. Étant donné un élément x ∈ K, il existe une partie finie H de P, de… ↩ 2 072K
Remarque 4 Applications : II. Groupe multiplicatif des entiers inversibles modulo a 0DIL
Lemme 3 Soient x, y des entiers, k un entier geqslant 0, et p un nombre premier > 2. Si x ≡ 1 + py mod. p², on a x^pᵏ ≡ 1 + pᵏ⁺¹ y mod. pᵏ⁺². Si x ≡ 1 + 4y mod. 8, on a x^2ᵏ ≡ 1 + 2ᵏ⁺²y mo… ↩ 1 072L
Proposition 3 Soient p un nombre premier > 2 et n un entier > 0; le groupe U(pⁿ) est cyclique d’ordre pⁿ⁻¹; si n geqslant 2, pour que la classe modulo pⁿ d’un entier x congru à 1 mod. p soit un… ↩ 1 072M
Lemme 4 Soient A un anneau principal, et 0 → N → M → P → 0 une suite exacte de A-modules. Supposons qu’il existe a, b ∈ A, étrangers, tels que aN = 0, bP = 0. Alors la suite exacte est sci… ↩ 1 072N
Théorème 3 Si a = ∏ᵢ pᵢⁿ⁽ⁱ⁾ est la décomposition en facteurs premiers de l’entier a > 1, le groupe (Z/aZ)^* des éléments inversibles de l’anneau Z/aZ est isomorphe au produit des groupes (Z/p… 072O
Remarque Soient p un nombre premier > 2 et x un entier congru à 1 mod. p et non congru à 1 mod. p²; on a une suite exacte de groupes 0DIM

§ 3. Modules libres sur un anneau principal

Théorème 1 Soit A un anneau tel que tout idéal à gauche de A soit un A-module projectif (II, p. 39, déf. 1). Tout sous-module M d’un A-module à gauche libre L est somme directe de modules iso… ↩ 8 0735
Corollaire 1 Si tout idéal à gauche de A est projectif, tout sous-module d’un A-module à gauche projectif est projectif. 0736
Corollaire 2 Sur un anneau principal, tout sous-module d’un module libre est libre. ↩ 1 0737
Corollaire 3 Tout module projectif sur un anneau principal est libre. ↩ 1 0738
Remarque La démonstration du th. 1 montre que tout sous-module de A⁽ᴵ⁾ est isomorphe à une somme directe ⨁_i ∈ I aᵢ, où chaque aᵢ est un idéal de A. 0739
Proposition 1 Si L est un module libre de rang fini n sur un anneau principal A, tout sous-module M de L est un module libre de rang ≤ n. 0DIN
Lemme 1 Soient L un module sur un anneau commutatif A, ayant un système générateur de n éléments, et M un sous-module libre de L ; alors M est de rang ≤ n. 073A
Corollaire Soit E un module sur un anneau principal A, engendré par n éléments. Tout sous-module F de E admet un système générateur ayant au plus n éléments. 073B

§ 4. Modules de type fini sur un anneau principal

Proposition 1 Soit E un module sur un anneau commutatif A ; supposons que E soit somme directe de n modules monogènes A/αₖ (1 ≤ k ≤ n), les αₖ étant des idéaux de A ; alors, pour tout entier p >… ↩ 1 073N
Proposition 2 Soient A un anneau commutatif, et E un A-module somme directe de n modules monogènes A/aₖ, les aₖ étant tels que a₁ ⊂ a₂ ⊂ … ⊂ aₙ. Alors, pour 1 ≤ p ≤ n, aₚ est l’annulateur de big… ↩ 1 073O
Corollaire Les notations étant celles de la prop. 2 avec aₙ ≠ A, si E est aussi isomorphe à la somme directe de m modules monogènes A/a'ⱼ avec a'₁ ⊂ … ⊂ a'ₘ ≠ A, on a m = n et aₖ = a'ₖ pour 1… ↩ 2 073P
Lemme 1 Soient L un module libre sur un anneau principal A et x un élément de L. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) x est indivisible ; (ii) il existe une forme linéaire f su… 073Q
Remarque 1 Si x est un élément non nul de L et c un contenu de x, il existe un unique élément y de L tel que x = cy; on le note x/c; c’est un élément indivisible de L. 073R
Remarque 2 Le contenu c_L(x) est l’annulateur du module de torsion de L/Ax. 0DIO
Proposition 3 Soient L un module libre sur un anneau principal A et M un sous-module non nul de L. Soient x un élément de M tel que c_L(x) soit maximal parmi les contenus des éléments de M, c un… ↩ 1 073S
Théorème 1 Soient L un module libre sur un anneau principal A, et M un sous-module de rang fini n de L. Il existe alors une base B de L, n éléments eᵢ de B, et n éléments non nuls αᵢ de A (1… ↩ 12 073T
Corollaire Pour qu’un sous-module de rang fini M d’un module libre L sur un anneau principal A admette un supplémentaire, il faut et il suffit que L/M soit sans torsion. ↩ 1 073U
Remarque Il peut se faire qu’un sous-module M de rang infini d’un module libre L soit tel que L/M soit sans torsion, mais que M n’admette pas de supplémentaire dans L (VII, p. 58, exerc. 6… 073V
Définition 1 Les hypothèses et les notations étant celles du th. 1, les idéaux Aαᵢ de A sont appelés les facteurs invariants du sous-module M par rapport au module L. ↩ 2 073W
Théorème 2 Tout module de type fini E sur un anneau principal A est isomorphe à une somme directe de modules monogènes A/αₖ, en nombre fini m, où les αₖ sont des idéaux de A (dont certains pe… ↩ 7 073X
Corollaire 1 Tout module de type fini E sur un anneau principal est somme directe du sous-module de torsion de E et d’un module libre. ↩ 1 073Y
Corollaire 2 Sur un anneau principal, tout module sans torsion et de type fini est un module libre de rang fini. ↩ 3 073Z
Définition 2 Les hypothèses et les notations étant celles du th. 2, les idéaux αₖ sont appelés les facteurs invariants du module E. ↩ 1 0740
Proposition 4 Soient A un anneau principal, L un A-module libre de base finie (uⱼ) (1 ≤ j ≤ k), M un sous-module de L, (xᵢ) un système de générateurs de M, et Aαᵢ (1 ≤ i ≤ n) les facteurs invari… ↩ 4 0741
Proposition 5 Soient A un anneau principal, et f une application linéaire de rang r d’un A-module libre L de rang m dans un A-module libre L’ de rang n. Il existe alors des bases (ei) (1 \leq i… ↩ 3 0742
Corollaire 1 Soit X une matrice de rang r, à n lignes et m colonnes, sur un anneau principal A ; il existe alors une matrice X0 équivalente à X (II, p. 155) de la forme 0743
Corollaire 2 Pour que deux matrices X et X' à n lignes et m colonnes sur un anneau principal A soient équivalentes, il faut et il suffit qu’elles aient mêmes facteurs invariants. 0744
Proposition 6 Soient X une matrice de rang r sur un anneau principal A, et A αᵢ (1 ≤ i ≤ r) la suite de ses facteurs invariants. Alors α₁ est un pgcd des éléments de X; et le produit α₁ … α_q es… ↩ 1 0745
Théorème 3 Tout groupe commutatif G de type fini est somme directe de son sous-groupe de torsion F (sous-groupe des éléments d’ordre fini de G) et d’un groupe commutatif libre de rang fini p… ↩ 4 0746
Remarque Tandis que les ordres n₁, …, n_q des groupes cycliques dont F est la somme directe sont bien déterminés par la condition de divisibilité du th. 3, il n’en est pas ainsi de ces sous… 0747
Corollaire 1 Dans un groupe commutatif fini G, il existe un élément dont l’ordre est le ppcm des ordres de tous les éléments de G; cet ordre n₁ est le premier facteur invariant de G. ↩ 2 0748
Corollaire 2 Tout groupe commutatif fini G dont l’ordre n’est pas divisible par le carré d’un entier > 1 est cyclique. 0749
Corollaire 3 Soient L, M deux Z-modules libres de rang n, (eᵢ) une base de L, (fᵢ) une base de M (1 ≤ i ≤ n), u un homomorphisme de L dans M, U sa matrice par rapport aux bases (eᵢ) et (fᵢ). Po… ↩ 1 074A
Définition 3 Un module à gauche M sur un anneau A est dit décomposable s’il est somme directe d’une famille de sous-modules distincts de M et de 0, indécomposable dans le cas contraire. ↩ 1 074B
Lemme 2 Pour que le module A/a soit indécomposable, il faut et il suffit que a ≠ A, et qu’il n’existe pas de couple (b, c) d’idéaux de A, distincts de A et de a, et tels que A = b + c, a =… ↩ 1 074C
Proposition 7 Soient A un anneau commutatif, p un idéal premier de A (I, p. 111, déf. 3) et q un idéal de A contenu dans p. On suppose qu’il existe pour tout x ∈ p un entier n > 0 tel que xⁿ ∈ q… ↩ 1 074D
Proposition 8 Soient A un anneau principal et M un A-module de type fini. ↩ 3 074E
Proposition 9 Soient A un anneau principal, P un système représentatif d’éléments extrémaux de A et M un A-module de type fini. Il existe des entiers positifs m(0) et m(pⁿ), p ∈ P, n > 0, unique… ↩ 4 074F
Définition 4 Les notations étant celles de la prop. 9, les idéaux (pⁿ) (p ∈ P, n entier geqslant 1) tels que m(pⁿ) > 0 sont appelés les diviseurs élémentaires du module M, et les entiers m(pⁿ)… 074G
Remarque 1 Si M est un groupe commutatif fini, on décrit sa structure en écrivant successivement ses diviseurs élémentaires, chacun autant de fois que l’indique sa multiplicité. On dira, par… 074H
Remarque 2 Si un module de torsion de type fini M sur un anneau principal A est donné comme somme directe de modules monogènes isomorphes à des A/(aᵢ) (et en particulier lorsqu’on connaît les… 074I
Remarque 3 Pour le calcul des facteurs invariants d’un module de torsion dont on suppose connus les diviseurs élémentaires, on s’appuie encore sur le fait que, si les aᵢ sont des éléments de… ↩ 1 074J
Remarque 4 Un A-module est dit simple (I, p. 36) s’il est non nul et s’il ne possède pas d’autres sous-modules que lui-même et 0 ; il est alors nécessairement monogène, donc de type fini, et… ↩ 2 074K
Proposition 10 Si M est un A-module de longueur finie, D(M) est isomorphe (non canoniquement, en général) à M, et l’application canonique c_M : M → D(D(M)) est un isomorphisme. ↩ 4 074L
Corollaire Soient M, N deux A-modules de longueur finie, φ une application A-bilinéaire de M × N dans K/A, telle que : 1° la relation φ(x, y) = 0 pour tout y ∈ N entraîne x = 0; 2° la relatio… 074M
Proposition 11 Si M' xrightarrowu M xrightarrowv M'' est une suite exacte de A-modules de longueur finie, la suite D(M'') xrightarrowD(v) D(M) xrightarrowD(u) D(M') est exacte¹. ↩ 2 074N
Proposition 12 Soit M un A-module de longueur finie. Alors l’application qui, à tout sous-module N de M, fait correspondre N⁰, est une bijection de 𝔖(M) sur 𝔖(D(M)), et la bijection réciproque fa… ↩ 1 074O
Exemple 1 Pour A = Z, les Z-modules de longueur finie ne sont autres que les groupes commutatifs finis ; on a alors K = Q, donc K/A = Q/Z. Pour définir alors D(M), on prend parfois, au lieu… ↩ 1 074P
Exemple 2 Soit a un élément non nul de A. L’application x ↦ x/a de A dans K induit par passage au quotient un isomorphisme de A-modules de A/(a) sur le sous-module (K/A)(a) de K/A formé des… 074Q

§ 5. Endomorphismes des espaces vectoriels

Définition 1 Soient E un espace vectoriel sur un corps commutatif K, u un endomorphisme de E. On dit qu’un élément x de E est un vecteur propre de u s’il existe α ∈ K tel que u.x = α x; si x ≠… 075G
Proposition 1 Supposons E de dimension finie. Pour qu’un élément α ∈ K soit valeur propre de l’endomorphisme u, il faut et il suffit qu’il soit racine du polynôme caractéristique de u. 075H
Proposition 2 Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel E sur un corps commutatif K ; pour chaque scalaire α, soit V_α le sous-espace propre relatif à α. Les sous-espaces V_α sont stables po… ↩ 1 075I
Proposition 3 Soient E un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps commutatif K, et u un endomorphisme de E ; pour tout polynôme unitaire irréductible p(X), soit Mₚ le sous-espace vect… ↩ 2 075J
Remarque 1 Il est clair que le polynôme minimal de la restriction de u à Mₚ est la plus grande puissance de p qui divise le polynôme minimal de u. Par ailleurs, on a sₚ(u).x = x pour x ∈ Mₚ… 075K
Proposition 4 Soient E un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps commutatif K, et u un endomorphisme de E. Il existe n polynômes unitaires qᵢ(X) ∈ K[X] (1 ≤ i ≤ n) tels que qᵢ divise… ↩ 2 075L
Remarque 2 En vertu de la proposition précédente, il existe une base de E par rapport à laquelle la matrice U de u est de la forme 075M
Définition 2 Les notations étant celles de la prop. 4, les n polynômes unitaires qᵢ(X) (1 ≤ i ≤ n) sont appelés les invariants de similitude de l’endomorphisme u. 075N
Corollaire 1 Soient K un corps commutatif, E et E' deux espaces vectoriels de dimension finie sur K, u (resp. u') un endomorphisme de E (resp. E'). Pour que u et u' soient semblables (VII, p. 2… ↩ 1 075O
Corollaire 2 Soient u un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie sur un corps commutatif K, (q₁, …, qₙ) la famille des invariants de similitude de u, L une extension de K, E_(L… 075P
Corollaire 3 Soient U et V deux matrices carrées d’ordre n dont les éléments appartiennent à un corps commutatif K. S’il existe une matrice carrée inversible P, dont les éléments appartiennent… 075Q
Proposition 5 Soient E un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps commutatif K, u un endomorphisme de E, U sa matrice par rapport à une base quelconque de E. Pour tout entier m tel qu… ↩ 1 075R
Corollaire 1 Soient u un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps commutatif K, χᵤ(X) son polynôme caractéristique et qᵢ(X) (1 ≤ i ≤ n) ses invariants de similitude… ↩ 1 075S
Corollaire 2 Les notations étant celles du cor. 1, soit q(X) le polynôme minimal de u ; alors q(X) divise χᵤ(X) et χᵤ(X) divise q(X)ⁿ. En particulier le polynôme minimal et le polynôme caractér… ↩ 1 075T
Corollaire 3 Pour qu’un endomorphisme u soit nilpotent, il faut et il suffit que son polynôme caractéristique soit de la forme Xⁿ. ↩ 1 075U
Proposition 6 Soient E un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps commutatif K, et u un endomorphisme de E. Alors E est somme directe de sous-espaces Eₖ, stables pour u, monogènes pou… 075V
Proposition 7 Soient E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K, u un endomorphisme de E dont toutes les valeurs propres sont dans K. Pour toute valeur propre α de u, soi… ↩ 2 075W
Définition 3 Pour tout corps K, tout entier m geqslant 1 et tout α ∈ K, la matrice U_m,α est dite matrice de Jordan d’ordre m de valeur propre α. 075X
Proposition 8 Soient E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K, u un endomorphisme de E. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) les valeurs propres de u (dans… ↩ 1 075Y
Définition 4 On appelle trigonalisables les endomorphismes satisfaisant aux conditions (i), (ii), (iii) de la prop. 8. 075Z
Corollaire Soit U une matrice carrée sur un corps commutatif K telle que toutes les valeurs propres de U soient dans K ; il existe une matrice semblable à U et qui est un tableau diagonal de… ↩ 1 0760
Remarque 1 Il résulte de la prop. 6 de VII, p. 33, que, si U est semblable à un tableau diagonal de matrices de Jordan (Jk), le nombre des Jk de la forme U{m,\alpha} (pour m et α donnés) est… 0761
Remarque 2 Plus généralement, si U est semblable à un tableau diagonal de matrices de Jordan U{mi,\alphai} on calcule immédiatement les invariants de similitude de U par une méthode calquée s… 0DIP
Proposition 9 Si la matrice carrée U est semblable à un tableau diagonal de matrices de Jordan (U{mi,\alphai}), le polynôme minimal de U est le ppcm des (X − αi)^{mi}, le polynôme caractéristiqu… ↩ 1 0762
Corollaire Avec les notations de la prop. 7, la dimension du sous-espace M_α est la multiplicité de la valeur propre α comme racine du polynôme caractéristique de u. 0763
Proposition 10 Soient E un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps commutatif K, u un endomorphisme de E, et χᵤ(X) = ∏ᵢ₌₁ⁿ (X - αᵢ) une décomposition en facteurs linéaires de son polyn… ↩ 1 0764
Lemme 1 Si B et C sont des matrices triangulaires inférieures d’ordre n et de diagonales (βᵢ) et (γᵢ), les matrices B + C et BC sont triangulaires inférieures et ont pour diagonales (βᵢ +… 0765
Corollaire 1 Pour que q(u) soit inversible, il faut et il suffit que q soit étranger à χᵤ. ↩ 1 0766
Remarque 1 Être étranger à χᵤ équivaut à être étranger au polynôme minimal de u (VII, p. 33, cor. 2). 0767
Corollaire 2 Soit r ∈ K(X) une fraction rationnelle sur K. Pour que u soit substituable dans r (IV, p. 20) il faut et il suffit que chacune des valeurs propres αᵢ de u le soit. Lorsqu’il en est… ↩ 1 0768
Corollaire 3 Pour tout entier s ≥ 0, on a Tr(uˢ) = ∑ᵢ₌₁ⁿ αᵢˢ; cette formule est valable pour s < 0 pourvu que u soit inversible. ↩ 2 0769
Corollaire 4 Supposons le corps K de caractéristique nulle ; pour que l’endomorphisme u soit nilpotent, il faut et il suffit que l’on ait Tr(uˢ) = 0 pour 1 ≤ s ≤ n. 076A
Corollaire 5 Soit Y une indéterminée. Notons tildeu l’endomorphisme du K(Y)-espace vectoriel K(Y) ⊗_K E déduit de u par extension des scalaires de K au corps K(Y) des fractions rationnelles en… ↩ 1 076B
Corollaire 6 Supposons le corps K de caractéristique nulle. Dans l’anneau de séries formelles K[[T]], on a 076C
Remarque 2 D’après IV, p. 75, cor. 1 et la formule (8), on a, pour tout polynôme q ∈ K[X] 076D
Corollaire 7 On a det(Tr(uⁱ⁺ʲ)_0 ≤ i,j ≤ n-1) = dis(χᵤ). 076E
Proposition 11 Soient E (resp. E') un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K, u (resp. u') un endomorphisme de E (resp. E'). Soient 076F
Lemme 2 Soient B et C deux matrices triangulaires inférieures d’ordres respectifs m et n et de diagonales (βᵢ)_1 ≤ i ≤ m, (γⱼ)_1 ≤ j ≤ n. Identifions le produit lexicographique des ensembl… 076G
Définition 5 Soient E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K et 𝔉 un ensemble d’endomorphismes de E. On dit que 𝔉 est diagonal par rapport à une base (eᵢ) de E si les… 076H
Proposition 12 Soient E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K et u un endomorphisme de E. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) u est diagonalisable. (ii) E… ↩ 2 076I
Corollaire Si le polynôme caractéristique de u a toutes ses racines dans K, et si elles sont simples, u est diagonalisable. En effet le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique. 076J
Proposition 13 Soient E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K, 𝔉 un ensemble d’endomorphismes de E, et A la sous-algèbre de End_K(E) engendrée par 𝔉 et Id_E. Les condit… ↩ 4 076K
Lemme 3 Soient g et h deux endomorphismes permutables d’un espace vectoriel E. Tout sous-espace propre de g est stable pour h. En effet, si W_λ est le sous-espace propre de g relatif à la… 076L
Corollaire La somme et le composé de deux endomorphismes diagonalisables permutables de E sont diagonalisables. 076M
Définition 6 Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K. Un endomorphisme u de E est dit semi-simple si tout sous-espace de E stable pour u possède un supplémentair… 076N
Proposition 14 Pour qu’un endomorphisme u d’un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif soit semi-simple, il faut et il suffit que le polynôme minimal de u soit sans facteur mu… ↩ 4 076O
Corollaire Soient u un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K et L une extension de K. Si u_(L) est semi-simple, u est semi-simple. Si u est semi-sim… 076P
Proposition 15 Soient E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K, u un endomorphisme de E et q(X) son polynôme minimal. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) Po… ↩ 1 076Q
Définition 7 Un endomorphisme u satisfaisant aux conditions (i), (ii) et (iii) de la prop. 15 est dit absolument semi-simple. 076R
Corollaire Pour que u soit absolument semi-simple, il faut et il suffit qu’il existe une extension L de K, qui soit un corps parfait, et telle que u_(L) soit semi-simple. 076S
Proposition 16 Soient E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K, 𝔉 un ensemble d’endomorphismes de E, A la sous-algèbre de End_K(E) engendrée par 𝔉 et Id_E. Les condition… ↩ 1 076T
Corollaire La somme et le produit de deux endomorphismes permutables et absolument semi-simples sont absolument semi-simples. ↩ 1 076U
Remarque Supposons les conditions de la prop. 16 vérifiées et soit L une extension de K. D’après la prop. 13, l’ensemble 𝔉_(L) est diagonalisable si et seulement si l’algèbre L ⊗_K A est di… 076V
Définition 8 Soient E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif et u un endomorphisme de E. On appelle décomposition de Jordan de u un couple (uₛ, uₙ), où uₛ est un endomor… 076W
Théorème 1 Soient E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K et u un endomorphisme de E. Pour que u possède une décomposition de Jordan (uₛ, uₙ), il faut et il suffit… ↩ 1 076X
Lemme 4 Soient E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K et u un endomorphisme trigonalisable de E. Il existe un endomorphisme diagonalisable v de E, et un seul, q… ↩ 1 076Y
Corollaire 1 Supposons que u possède une décomposition de Jordan, et soit L une extension de K. Alors l’endomorphisme u_(L) de E_(L) possède une décomposition de Jordan, et l’on a (u_(L))ₛ = (u… 076Z
Corollaire 2 Supposons que u possède une décomposition de Jordan. Tout endomorphisme de E qui commute à u commute aussi à uₛ et uₙ. ↩ 1 0770
Corollaire 3 Soient u et v deux endomorphismes permutables de E possédant des décompositions de Jordan. a) Les endomorphismes u, v, uₛ, vₛ, uₙ, vₙ sont deux à deux permutables. b) Les endomorph… 0771
Corollaire 4 Supposons que u possède une décomposition de Jordan, et soit R un polynôme de K[X]. Alors l’endomorphisme R(u) possède une décomposition de Jordan et on a R(u)ₛ = R(uₛ). 0772
Remarque 1 On a det(uₛ) = det(u), Tr(uₛ) = Tr(u). ↩ 1 0773
Remarque 2 Pour que u soit trigonalisable, il faut et il suffit que u possède une décomposition de Jordan et que uₛ soit diagonalisable. Il existe alors une base de E par rapport à laquelle l… 0774
Remarque 3 On définit de façon analogue la notion de décomposition de Jordan pour une matrice carrée. Par exemple, pour la matrice de Jordan U_m,α, on a 0775
Remarque 4 Si u est semi-simple, mais non absolument semi-simple, il ne possède pas de décomposition de Jordan. 0776
Proposition 17 Soient E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif, et f un endomorphisme de E. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0777
Proposition 18 Soient E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K, E' un sous-espace de E et u un endomorphisme de E laissant E' stable. 0778
Proposition 19 Soient E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K, et 𝔉 un ensemble d’endomorphismes trigonalisables de E deux à deux permutables. Alors il existe une base… ↩ 1 0779

VIII. Modules et anneaux semi-simples

§ 1. Modules artiniens et modules noethériens

Définition 1 Soit A un anneau. On dit qu’un A-module M est artinien (resp. noethérien) s’il vérifie les conditions équivalentes suivantes : ↩ 1 0001
Exemple 1 Un espace vectoriel de dimension finie sur un corps est artinien et noethérien. 0002
Exemple 2 Soit M un A-module. S’il existe une famille infinie (Mᵢ)_i∈ I de sous-modules non nuls de M dont la somme est directe, M n’est ni artinien, ni noethérien : en effet, pour toute sui… ↩ 3 0003
Exemple 3 On verra plus loin que le Z-module Zest noethérien, mais non artinien (VIII, 0004
Exemple 4 Soient p un nombre premier et Mₚ le composant p-primaire du Z-module de torsion Q/Z(VII, p. 8). Tout sous-module de Mₚ est égal soit à Mₚ, soit à p⁻ⁿZ/Z pour un entier n∈ N(VII, p… 0005
Proposition 1 Pour qu’un A-module M soit de longueur finie (II, p. 21), il faut et il suffit qu’il soit à la fois artinien et noethérien. ↩ 5 0006
Proposition 2 Pour qu’un A-module M soit noethérien, il faut et il suffit que tout sous-module de M soit de type fini. ↩ 2 0007
Lemme 1 Soient M un A-module noethérien et E une partie de M. Il existe une partie finie F de E engendrant le même sous-module que E. 0008
Proposition 3 Soient M un A-module et N un sous-module de M. Pour que M soit artinien (resp. noethérien), il faut et il suffit que N et M/Nle soient. ↩ 5 0009
Lemme 2 Soient M un A-module, N, P et Q des sous-modules de M. On suppose que l’on a P⊂ Q, N∩ P = N∩ Qet N + P = N + Q. On a alors P = Q. ↩ 1 00QV
Corollaire Soient M un A-module et (Mᵢ)_i∈ I une famille finie de sous-modules de M. ↩ 1 000A
Exemple 5 Soit (Mᵢ)_i∈ I une famille finie de A-modules. Si les modules Mᵢ sont artiniens (resp. noethériens), il en est de même de leur somme directe ⨁_i∈ IMᵢ. ↩ 1 000B
Remarque Les définitions et résultats de ce numéro s’étendent aux groupes commutatifs à opérateurs quelconques en remplaçant dans les énoncés sous-modules par sous-groupes stables. 000C
Définition 2 On dit qu’un anneau A est artinien (resp. noethérien) à gauche si le A-module à gauche Aₛ est artinien (resp. noethérien). De même, on dit qu’un anneau A est artinien (resp. noethé… 000D
Exemple 1 Un corps est un anneau artinien et noethérien, à gauche et à droite. 000E
Exemple 2 Soient A un anneau et D un sous-anneau de A. On suppose que D est un corps et que A est un espace vectoriel à gauche de dimension finie sur D. Comme tout idéal à gauche de A est un… 000F
Exemple 3 Un anneau principal (VII, p. 1, déf. 1) est noethérien. Un anneau intègre A qui n’est pas un corps n’est pas un anneau artinien : pour tout élément a de A, non nul et non inversibl… ↩ 2 000G
Exemple 4 Soit M un A-module, somme directe d’une famille infinie (Mᵢ)_i∈ I de sous-modules non nuls. Soit E l’anneau des endomorphismes de M. Pour tout i∈ I, soit 𝔞ᵢ (resp. 𝔟ᵢ) l’ensemble d… 000H
Théorème 1 Soit A un anneau artinien à gauche. Le A-module Aₛ est de longueur finie. ↩ 7 00QW
Lemme 3 Soient A un anneau et n un entier naturel. Un A-module artinien M qui est somme d’une famille de sous-modules de longueur leqslant n est de longueur finie. ↩ 2 000I
Corollaire Tout anneau artinien à gauche est noethérien à gauche. 000J
Exemple 5 Les longueurs à gauche et à droite d’un corps sont égales à 1. 000K
Proposition 4 a) Soient A un anneau noethérien à gauche et M un A-module à gauche de type fini. Le module M est noethérien et tout sous-module de M est de type fini. ↩ 5 000L
Proposition 5 a) Soit A un anneau artinien (resp. noethérien) à gauche et soit φ : A→ Bun homomorphisme d’anneaux qui fasse de B un A-module à gauche de type fini. L’anneau B est artinien (resp… ↩ 4 000M
Corollaire Les idéaux premiers d’un anneau commutatif artinien sont ses idéaux maximaux. 000N
Définition 3 Soient A un anneau, M un A-module et E l’anneau des endomorphismes de M. On appelle contremodule de M le E-module à gauche ayant même groupe additif sous-jacent que M et pour loi d… ↩ 1 000O
Lemme 4 Soient M un A-module à gauche dont le contremodule est de type fini. Il existe un entier naturel m et une application A_M-linéaire injective de (A_M)ₛ dans Mᵐ. ↩ 3 000P
Proposition 6 Soit M un A-module à gauche artinien (resp. noethérien) dont le contremodule est de type fini. L’anneau A_M des homothéties de M est artinien (resp. noethérien) à gauche. ↩ 4 000Q
Corollaire Soit A un anneau commutatif. 000R
Remarque Soit A un anneau. Un A-module à gauche artinien M dont le contremodule est de type fini est de longueur finie : en effet, l’anneau A_M des homothéties de M est artinien à gauche (p… 000S
Proposition 7 Soient A,σ ,d comme ci-dessus. Il existe sur le groupe A[X] une unique structure d’anneau possédant les propriétés suivantes : 00QX
Remarque L’anneau A[X]_σ ,d possède la propriété universelle suivante : étant donnés un anneau A', un homomorphisme d’anneaux f: A→ A' et un élément x de A' tels que xf(a) =f(σ (a))x+f(d(a)… 000T
Théorème 2 Soit A un anneau noethérien à gauche et soient σ un automorphisme de A et d un endomorphisme du groupe additif de A satisfaisant la relation (1). L’anneau A[X]_σ ,d est noethérien… ↩ 1 000U
Corollaire 1 (Hilbert) Soit A un anneau commutatif et noethérien. Pour tout entier ngeqslant 0, l’algèbre de polynômes A[X₁, . . . ,Xₙ]est un anneau noethérien. ↩ 1 00RW
Corollaire 2 Soit A un anneau commutatif et noethérien. Une A-algèbre commutative engendrée par un nombre fini d’éléments est un anneau noethérien. ↩ 1 000V
Corollaire 3 Tout anneau commutatif est réunion d’une famille filtrante croissante de sous-anneaux noethériens. ↩ 1 000W

§ 2. Structure des modules de longueur finie

Proposition 1 Soit A un anneau non nul et soit 𝔯 l’ensemble des éléments non inversibles de A. Les propriétés suivantes sont équivalentes : ↩ 2 001P
Définition 1 On appelle anneau local un anneau non nul satisfaisant aux conditions équivalentes de la proposition 1. ↩ 2 001Q
Exemple 1 Tout corps est un anneau local. 001R
Exemple 2 Soit A un anneau non nul dans lequel tout élément est inversible ou nilpotent. Alors A est un anneau local. En effet, si a∈ A n’est pas inversible, il existe par hypothèse un entie… ↩ 1 001S
Exemple 3 Soient X une variété de classe Cʳ (VAR, R, 5.1.5) et x un point de X. Soit Oₓ l’anneau des germes en x de fonctions de classe Cʳ à valeurs dans le corps des scalaires K. Alors Oₓ e… 001T
Exemple 4 Soient A un anneau local commutatif et B = A[[Xᵢ]]_i∈ I une algèbre de séries formelles à coefficients dans A (III, p. 28). D’après la prop. 6 de IV, p. 28, l’anneau B est local et… ↩ 1 001U
Exemple 5 Soit p un nombre premier. Notons Z₍ₚ₎ le sous-anneau du corps Qdes nombres rationnels constitué par les fractions a/b avec a∈ Z,b∈ Zet b non divisible par p*(cf. AC, II, p. 79)*. A… ↩ 1 001V
Exemple 6 Soient K un corps commutatif de caractéristique p >0 et G un p-groupe (I, p. 72, déf. 9). L’algèbre K[G] du groupe G sur K (III, p. 19) est un anneau local ; son idéal maximal est… 001W
Proposition 2 a) Supposons que la suite (Nₚ)est stationnaire. Alors on a N_∞∩ I_∞= 0, la restriction de u à I_∞ est injective et u induit un endomorphisme nilpotent de N_∞. ↩ 3 001X
Remarque 1 Soit p un entier tel que Nₚ= Nₚ₊₁; la démonstration ci-dessus montre que N_∞∩ Iₚ= 0, et la restriction de u à Iₚ est injective. De même, soit q un entier tel que I_q= I_q+1; alors… 001Y
Remarque 2 Supposons que M soit somme directe de deux sous-modules N et I, stables par u, et que u induise un endomorphisme nilpotent u_N de N et un automorphisme de I. On a alors N_∞= N et I… 001Z
Remarque 3 L’hypothèse de l’assertion a) est vérifiée si le A-module M est noethérien, l’hypothèse de l’assertion b) est vérifiée si M est artinien ; d’après la prop. 1 de VIII, p. 2, l’hypot… ↩ 1 0020
Corollaire 1 Soit A un anneau et soit M un A-module. ↩ 3 0021
Corollaire 2 Dans un anneau noethérien à gauche, tout élément inversible à droite ou à gauche est inversible. 0022
Définition 2 On dit qu’un A-module M est indécomposable s’il n’est pas somme directe d’une famille de sous-modules distincts de 0 et de M. 0023
Exemple Supposons l’anneau A principal. Les A-modules de type fini indécomposables sont les A-modules isomorphes soit à A, soit à A/pⁿA, où p est un élément extrémal de A et n un entier >0… 0024
Proposition 3 Un A-module M noethérien ou artinien est somme directe d’une famille finie de sous-modules indécomposables. ↩ 1 0025
Définition 3 On dit qu’un module est primordial si l’anneau de ses endomorphismes est local. 0026
Proposition 4 a) Un module primordial est indécomposable. ↩ 4 0027
Définition 4 On dit qu’un module est semi-primordial s’il est somme directe d’une famille de sous-modules primordiaux. 0028
Exemple 1 Tout module simple est primordial (VIII, p. 41) ; tout module semi-simple est donc semi-primordial (VIII, p. 51, déf 1). 00SE
Exemple 2 Si A est un anneau noethérien à gauche, tout A-module injectif est semi-primordial (X, p. 21, prop. 14 et p. 22, th. 3, b)). 01L7
Théorème 1 (Azumaya) Soient A un anneau, L un A-module primordial et M un A-module semi-primordial. Il existe un unique cardinal, noté [M : L], possédant la propriété suivante : ↩ 5 00RX
Lemme 1 Soient M un A-module, M' un sous-module primordial de M et M'' un sous-module de M supplémentaire de M'. Soit u un endomorphisme de M. Alors u ou 1_M-u induit un isomorphisme de M'… ↩ 1 0029
Lemme 2 Soit M un A-module, somme directe d’une famille (Mᵢ)_i∈ I de sous-modules primordiaux, et soit u un endomorphisme de M. Posons v= 1_M-u et M_J=⨁_i∈ JMᵢ pour toute partie J de I. Al… ↩ 4 002A
Lemme 3 Soient M un A-module, somme directe d’une famille (Mᵢ)_i∈ I de sous-modules primordiaux, et p un projecteur non nul de M. Il existe un indice i∈ Itel que p induise un isomorphisme… ↩ 3 002B
Lemme 4 Soient M un A-module, somme directe d’une famille (Mᵢ)_i∈ I de sous-modules primordiaux, L un A-module primordial et N un sous-module facteur direct de M. On suppose que N est somm… ↩ 1 002C
Corollaire 1 Soient M et N des modules semi-primordiaux. Pour que M et N soient isomorphes, il faut et il suffit que l’on ait [M : L] = [N : L] pour tout module primordial L. ↩ 2 002D
Corollaire 2 Soit M un module semi-primordial. Soient (Mᵢ)_i∈ I et (M'ⱼ)_j∈ J des familles de sous-modules primordiaux de M telles que ↩ 1 00QY
Corollaire 3 Soient M, N et P des modules semi-primordiaux. On suppose que M⊕ Pest isomorphe à N⊕ P, et que [P : L] est fini pour tout module primordial L. Alors M et N sont isomorphes. 002E
Corollaire 4 Soient M et N des modules semi-primordiaux. On suppose qu’il existe un entier d >0tel que Mᵈ soit isomorphe à Nᵈ. Alors les modules M et N sont isomorphes. ↩ 1 002F
Corollaire 5 Soit M un module semi-primordial, somme directe d’une famille finie (Mᵢ)_i∈ I de sous-modules primordiaux. Pour toute partie J de I, notons M_J= ⨁_i∈ JMᵢ. Soit N un sous-module fac… ↩ 2 002G
Corollaire 6 Tout module projectif de type fini sur un anneau local est libre[^1]. ↩ 3 002H
Remarque Soient M et M' des A-modules semi-primordiaux. Il résulte aussitôt du lemme 4 de VIII, p. 31 que M' est isomorphe à un sous-module facteur direct de M si et seulement si l’on a [M'… 002I
Théorème 2 (Krull-Remak-Schmidt) Soient A un anneau et M un A-module de longueur finie. ↩ 5 00RY
Théorème 3 Soient K un corps commutatif, A une K-algèbre, M et N des A-modules de longueur finie. Soit K' une K-algèbre commutative non nulle telle que les A_(K')-modules M_(K') et N_(K') soi… ↩ 5 002J
Remarque Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie sur un corps commutatif K et soit K' une extension de K. Soient u un endomorphisme de E,v un endomorphisme de F,u_(K') et v… 002K

§ 3. Modules simples

Définition 1 Soit A un anneau. Un A-module M est dit simple s’il n’est pas nul et ne contient pas d’autre sous-module que 0 et M. ↩ 1 0035
Exemple 1 Pour que Aₛ soit un A-module simple, il faut et il suffit que A soit un corps (I, p. 109, th. 1). Les A-modules simples sont alors les espaces vectoriels de dimension 1 sur le corp… 0036
Exemple 2 Soit A un anneau principal (VII, p. 1, déf. 1) qui n’est pas un corps. Pour tout élément extrémal π de A, le A-module Aₛ/(π ) est simple, et tout A-module simple est isomorphe à un… 0037
Exemple 3 Soient K un corps, V un espace vectoriel à droite non nul sur le corps K et A un sous-anneau de l’anneau End_K(V) qui contient les endomorphismes de rang fini de V (par exemple A =… ↩ 2 0038
Proposition 1 Soit A un anneau. ↩ 4 00QZ
Corollaire 1 Si l’anneau A n’est pas réduit à 0, il existe des A-modules simples. 0039
Corollaire 2 Soient A un anneau local (VIII, p. 24, déf. 1) et 𝔯 son idéal maximal. Le A-module Aₛ/𝔯 est simple et tout A-module simple est isomorphe à Aₛ/𝔯. 003A
Remarque 1 Soient A un anneau commutatif, et 𝔪 un idéal de A. Alors 𝔪 est l’annulateur (II, p. 28, déf. 11) du A-module Aₛ/𝔪. Ainsi, si 𝔪 et 𝔪' sont des idéaux de A distincts, les A-modules A… ↩ 1 003B
Remarque 2 On peut donner un exemple d’anneau non commutatif A et de deux idéaux à gauche maximaux distincts 𝔪 et 𝔪' de A tels que les A-modules Aₛ/𝔪 et Aₛ/𝔪' soient isomorphes (VIII, p. 48… 003C
Proposition 2 Soient A un anneau, M et N deux A-modules et f un homomorphisme non nul de M dans N. ↩ 5 003D
Corollaire (Lemme de Schur) L’anneau des endomorphismes d’un module simple est un corps. ↩ 2 00RZ
Théorème 1 Soient K un corps commutatif algébriquement clos, A une K-algèbre et M un A-module simple. On suppose que la dimension de M comme espace vectoriel sur K est finie, ou plus générale… ↩ 16 003E
Lemme 1 Soient E un corps et K un sous-corps du centre de E, distinct de E. Si le corps K est algébriquement clos, on a [E : K]geqslant Card(K). ↩ 1 003F
Exemple Soit A une C-algèbre engendrée par une famille dénombrable d’éléments ; elle est de dimension dénombrable sur C. Soit M un A-module simple ; il est monogène, donc admet une base dé… 003G
Corollaire 1 Conservons les hypothèses du théorème 1, et supposons de plus l’algèbre A commutative. Alors M est de dimension 1 sur K. ↩ 1 003H
Corollaire 2 Soient K un corps commutatif, A une K-algèbre et M un A-module. On suppose que pour toute extension L de K, le A_(L)-module M_(L) est simple. Alors l’anneau des endomorphismes de M… 003I
Définition 2 Soient A un anneau et M un A-module. On appelle sous-module maximal de M un élément maximal, pour la relation d’inclusion, de l’ensemble des sous-modules de M distincts de M. ↩ 2 003J
Proposition 3 Soit M un A-module de type fini. Tout sous-module de M distinct de M est contenu dans un sous-module maximal. ↩ 3 003K
Corollaire 1 Soit M un A-module de type fini non nul. Il existe un idéal bilatère 𝔞 de A, annulateur d’un A-module simple, tel que 𝔞Msoit distinct de M. ↩ 1 003L
Corollaire 2 Soient A un anneau commutatif et B une A-algèbre. Soit M un B-module simple qui est un A-module de type fini et soit 𝔪 l’annulateur du A-module M. Alors 𝔪 est un idéal maximal de A… 003M
Proposition 4 Soit A un anneau possédant un idéal à gauche minimal 𝔞. Tout A-module simple et fidèle est isomorphe au A-module 𝔞. ↩ 2 003N
Proposition 5 Soient A un anneau artinien à gauche et M un A-module fidèle. ↩ 3 003O
Remarque La proposition 5 s’applique en particulier dans les deux cas suivants : 003P

§ 4. Modules semi-simples

Définition 1 On dit qu’un module est semi-simple s’il est somme directe d’une famille de modules simples[^1]. ↩ 1 0040
Exemple 1 Un module réduit à 0, un module simple, sont des modules semi-simples. 0041
Exemple 2 Si A est un corps, tout A-module est semi-simple d’après le th. 1 de II, p. 95. Cela montre qu’en général un module semi-simple se décompose de plusieurs manières comme somme direc… 0042
Exemple 3 Soit A un anneau principal et soit P un système représentatif d’éléments extrémaux de A (VII, p. 3). Soit M un A-module et, pour tout π ∈ P, soit M(π ) l’ensemble des x∈ M tels que… 0043
Théorème 1 Soit M un module somme (non nécessairement directe) d’une famille (Sᵢ)_i∈ I de sous-modules simples et soit N un sous-module de M. Il existe une partie J de I telle que M soit somm… ↩ 6 0044
Corollaire 1 Tout module somme d’une famille de modules simples est semi-simple. ↩ 1 0045
Corollaire 2 Pour qu’un module M soit semi-simple, il faut et il suffit que tout sous-module de M soit facteur direct. ↩ 8 0046
Corollaire 3 Soient M un module semi-simple et N un sous-module de M. Les modules N et M/Nsont semi-simples. Plus précisément, si M est somme directe d’une famille (Sᵢ)_i∈ I de modules simples… ↩ 6 0047
Corollaire 4 Soit M un module semi-simple. Pour que M soit simple, il faut et il suffit que l’anneau E des endomorphismes de M soit un corps. ↩ 1 0048
Remarque Soient K un corps commutatif algébriquement clos et A une K-algèbre. Soit M un A-module semi-simple qui est un espace vectoriel de dimension finie sur le corps K. Pour que M soit s… 0049
Remarque 1 Soient V et V' des B-modules. L’isomorphisme d’adjonction ↩ 1 004A
Remarque 2 Soit M un A-module à gauche. Les applications B-linéaires ↩ 1 004B
Remarque 3 Supposons que P soit de type fini en tant que A-module. Soit M la somme directe d’une famille (Mᵢ)_i ∈ I de A-modules. Les A-modules T(H(M)) et ⨁ᵢ T(H(Mᵢ)) sont canoniquement isomo… ↩ 1 004C
Proposition 1 Soit M un A-module. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 2 004D
Définition 2 On dit qu’un A-module M est isotypique de type S s’il satisfait aux conditions équivalentes de la prop. 1. On dit que M est isotypique s’il existe un A-module simple T tel que M so… 004E
Proposition 2 Si un module est somme de sous-modules isotypiques de type S, il est isotypique de type S. Les sous-modules et les modules quotients d’un module isotypique de type S sont isotypiqu… ↩ 5 004F
Remarque Tout module isotypique non nul de type S possède un module quotient et un sous-module isomorphes à S ; par conséquent, si M et M' sont des A-modules isotypiques non nuls de type S… 004G
Proposition 3 a) Soit M un A-module isotypique de type S. L’application A-linéaire α_M: S⊗_D Hom_A(S,M)→ Mcaractérisée par α_M(s⊗ f) =f(s) (VIII, p. 55) est bijective. ↩ 5 004H
Définition 3 Soit M un A-module isotypique de type S. Une description de M relative à S est un couple (V, α ), où V est un espace vectoriel à gauche sur le corps D et α : S⊗_DV→ Mun isomorphism… 004I
Théorème 2 Soient M un A-module isotypique de type S et (V, α )une description de M. Notons D_D(V)l’ensemble, ordonné par inclusion, des sous-D-espaces vectoriels de V et D_A(M)celui des sous… ↩ 4 004J
Remarque 1 Soit M un A-module isotypique de type S et (V, α ) une description de M. Alors M est de longueur finie si et seulement si V est de dimension finie et on a dans ce cas la relation ↩ 1 004K
Corollaire 1 Soit M un A-module isotypique de type S. Pour tout sous-A-module N de M, identifions Hom_A(S,N)au sous-D-espace vectoriel de Hom_A(S,M) formé des applications dont l’image est cont… 004L
Corollaire 2 Soient V un espace vectoriel à gauche sur D et F un ensemble d’endomorphismes de V. Pour qu’un sous-A-module de S⊗_DVsoit stable par tous les endomorphismes 1_S⊗ u, où u parcourt F… ↩ 6 004M
Théorème 3 Soient M et M' des A-modules isotypiques de type S. Soient (V, α) et (V', α') des descriptions de M et M' respectivement. Pour toute application D-linéaire f : V → V', Notons tilde… ↩ 3 004N
Remarque 2 Soit M un A-module isotypique de type S et soit (V, α) une description de M. Soit B un sous-anneau de l’anneau End_A(M)ᵒ. L’isomorphisme d’anneaux de End_D(V)ᵒ sur End_A(M)ᵒ munit… ↩ 1 004O
Corollaire Soient M, M' des A-modules isotypiques de type S. L’application u ↦ Hom(1_S, u) de Hom_A(M, M') dans Hom_D(Hom_A(S, M), Hom_A(S, M')) est un isomorphisme de groupes. Lorsque M est… 004P
Définition 4 Soient A un anneau, M un A-module et S un A-module simple. On appelle composant isotypique de type S de M, et l’on note M_S, la somme des sous-modules de M isomorphes à S. 004Q
Proposition 4 Soit A un anneau. Désignons par S l’ensemble des classes de A-modules simples. Soit M un A-module semi-simple. ↩ 6 004R
Corollaire Soit A un anneau et S l’ensemble des classes de A-modules simples. Soit M un A-module semi-simple et N un sous-module de M. Alors on a N =⨁_λ∈SN∩ M_λ et M/N =⨁_λ∈S(M_λ+ N)/N. 004S
Proposition 5 Soit A un anneau et soit S l’ensemble des classes de A-modules simples. Soient M et N des A-modules. ↩ 8 004T
Remarque Soient A et B des anneaux. Soit M un (A, B)-bimodule. Il résulte de la prop. 5 que les composants isotypiques du A-module M sont des sous-bimodules de M. Cela s’applique en particu… 004U
Exemple Examinons le cas où l’anneau A est commutatif. L’application qui envoie un idéal maximal 𝔪 sur cl(A/𝔪) est une bijection de l’ensemble des idéaux maximaux de A sur l’ensemble S des… 004V
Corollaire 1 Soient M un A-module semi-simple et N un sous-module de M. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 1 004W
Corollaire 2 Soit M un A-module. Les deux conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 2 00R0
Proposition 6 Conservons les notations ci-dessus et supposons le A-module M semi-simple. L’application u→ h(u)du D-espace vectoriel à droite Hom_A(M,S) dans le dual du D-espace vectoriel à gauch… ↩ 1 004X
Proposition 7 Soit M un A-module. L’application canonique α_M est injective. Pour tout λ ∈ S, l’image par α_M de S_λ⊗_D_λ Hom_A(S_λ,M)est le composant isotypique de M de type λ. L’image de α_M e… ↩ 1 004Y
Définition 5 Soit M un A-module semi-simple. Une description de M (relative à la famille (S_λ)_λ∈S)est un couple ((V_λ)_λ∈S, α ), où V_λ est un espace vectoriel à gauche sur le corps D_λ pour c… ↩ 2 004Z
Proposition 8 Soient M un A-module semi-simple et ((V_λ)_λ∈S, α )une description de M. ↩ 3 0050
Corollaire Soit M un A-module semi-simple. Pour tout sous-module N de M et tout élément λ de S, identifions Hom_A(S_λ,N)au sous-D_λ-espace vectoriel de Hom_A(S_λ,M)formé des applications dont… 0051
Proposition 9 Soient M et M' des A-modules semi-simples et soient ((V_λ)_λ∈S, α )et ((V'_λ)_λ∈S, α ')des descriptions de M et M' respectivement. Pour toute famille f= (f_λ)_λ∈S de ∏_λ∈S Hom_D_λ(… ↩ 2 0052
Corollaire Soient M un A-module semi-simple et M' un A-module. L’application u ↦ (Hom(1_S_λ, u))_λ ∈ I de Hom_A(M, M') dans ↩ 2 0053
Proposition 10 Soit M un A-module semi-simple. Soit (Mᵢ)_i ∈ I une famille de sous-modules simples dont M est somme directe. Les propriétés suivantes sont équivalentes : ↩ 4 0054
Proposition 11 Soit M un A-module semi-simple, somme directe d’une famille (Mᵢ)_i∈ I de sous-modules simples. Pour tout λ ∈ S, on note I(λ )l’ensemble des indices i∈ Itels que Mᵢ soit de classe λ… 0055

§ 5. Commutation

Définition 1 On dit que le A-module M est équilibré si l’on a A_M= A''_M. ↩ 1 005E
Proposition 1 Soit (Aᵢ)_i∈ I une famille d’anneaux et, pour tout i∈ I, soit Mᵢ un Aᵢ-module. Posons A =∏ Aᵢ, M =∏ Mᵢ et N =⨁ Mᵢ. Munissons M de la structure de A-module dont la loi d’action est… ↩ 3 005F
Proposition 2 Soit A un anneau et soit M un A-module. Soit I un ensemble. Alors le bicommutant du A-module M⁽ᴵ⁾ coïncide avec l’anneau des homothéties du A''_M-module M⁽ᴵ⁾. ↩ 2 005G
Définition 2 On dit qu’un A-module M est générateur si tout A-module N est engendré par les images des applications A-linéaires de M dans N. 005H
Théorème 1 Soit M un A-module à gauche. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 8 005I
Corollaire Un A-module générateur est fidèle. ↩ 1 00R1
Exemple 1 Le A-module Aₛ est générateur. 005J
Exemple 2 Tout A-module libre non nul est générateur. Plus généralement, tout module dont un quotient est générateur est lui-même générateur. ↩ 1 005K
Exemple 3 Soit M un A-module semi-simple, dont le contremodule est de type fini. Alors M est un A_M-module générateur. En effet, d’après le lemme 4 de VIII, p. 8, il existe un entier naturel… ↩ 1 005L
Exemple 4 Soit A un anneau principal et soit P un A-module de type fini. Il existe un entier ngeqslant 1 et une suite croissante d’idéaux (𝔞ᵢ)_1leqslant ileqslant n de A telle que P soit iso… ↩ 1 005M
Lemme 1 Soient A un anneau commutatif, M un A-module de type fini et Ann(M) son annulateur. Soit 𝔞 un idéal de A. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 4 005N
Proposition 3 Soit A un anneau commutatif. Tout A-module projectif de type fini et fidèle est générateur. Plus généralement, un A-module projectif P de type fini est un A_P-module générateur. ↩ 2 00R2
Lemme 2 Soient A un anneau et M un A-module projectif. Le A_M-module M est projectif. ↩ 1 005O
Théorème 2 Un module générateur est équilibré. ↩ 4 005P
Corollaire 1 Un module libre est équilibré. ↩ 4 005Q
Corollaire 2 Soit A un anneau et soit n un entier geqslant 0. Le centre de Mₙ(A) est formé des matrices scalaires à éléments dans le centre de A. Considérons Aⁿ comme un Mₙ(A)-module à gauche (… ↩ 3 00R3
Remarque Soit M un A-module. Si le A_M-module M est générateur, on a A_M= A''_M d’après le th. 2 appliqué au A_M-module M, de sorte que M est un A-module équilibré. 005R
Corollaire 3 Tout module projectif de type fini sur un anneau commutatif est équilibré. 005S
Corollaire 4 Tout module de type fini sur un anneau principal est équilibré. ↩ 1 005T
Corollaire 5 Soient K un corps commutatif, V un espace vectoriel de dimension finie sur K,u et v des endomorphismes de V. Les conditions suivantes sont équivalentes : 005U
Proposition 4 Un module semi-simple dont le contremodule est de type fini est équilibré. ↩ 2 005V
Corollaire 1 Soit (Sᵢ)_i∈ I une famille finie de A-modules simples deux à deux non isomorphes. Pour i∈ I, notons Dᵢ l’anneau opposé du corps des endomorphismes de Sᵢ. Supposons que, pour tout i… ↩ 4 005W
Corollaire 2 (Théorème de Burnside) Soit A une algèbre sur un corps commutatif algébriquement clos K, et soit S un A-module simple, de dimension finie comme espace vectoriel sur K. Alors l’application a→ a_S de A dan… 00S0
Remarque 1 La description canonique α_M du A-module M est un isomorphisme de (A, B)-bimodules à gauche. D’après VIII, p. 67, cor. de la prop. 9, l’application f→ (Hom(1_S_λ, f))_λ∈S_M de B da… ↩ 1 00R4
Proposition 5 a) Le contre-module de M est semi-simple. ↩ 4 005X
Remarque 2 Il résulte de la démonstration que l’application induite ↩ 1 00R5
Proposition 6 a) Considéré comme (A,Bᵒ)-bimodule, M est semi-simple. ↩ 3 005Y
Proposition 7 a) Pour tout élément c du bicommutant C de M et pour tout λ ∈ S_M, il existe un unique élément c_λ de End_D_λ(S_λ)tel que, pour tout φ ∈ Hom_A(S_λ,M)et tout s∈ S_λ, on ait cφ (s) =… ↩ 3 005Z
Remarque 3 Munissons S_λ, pour λ ∈ S_M, de la structure de C-module donnée par la proposition 7, a). Si l’on remplace A par B et B par C dans la proposition 5 (VIII, p. 80), on voit que, pour… 0060
Proposition 8 a) L’application z→ (z_S_λ)_λ∈S_M est un isomorphisme de Z sur le produit des corps Z_λ. ↩ 4 0061
Corollaire Supposons que A soit une algèbre sur un corps commutatif algébriquement clos K et que M soit un A-module semi-simple de dimension finie comme espace vectoriel sur K. Pour tout λ da… 0062
Théorème 3 (Jacobson) Soit M un A-module semi-simple et soit c un endomorphisme du groupe additif de M. Pour que c appartienne au bicommutant A''_M de M, il faut et il suffit qu’il satisfasse à la condi… ↩ 4 00S1
Lemme 3 Soit M un A-module semi-simple. Soit B le bicommutant du A-module M. Alors tout sous-A-module de M est un sous-B-module de M. 0063
Remarque Notons E l’anneau des endomorphismes du groupe additif de M. Munissons M de la topologie discrète ; l’anneau E se compose d’applications de M dans M et on peut le munir de la topol… 0064
Proposition 9 Soient L un corps et E un sous-anneau de End_Z(L)qui contient l’application γ ₐ:x→ ax pour tout a∈ L. Notons K l’ensemble des éléments a de L tels que u(xa) =u(x)a pour tout x dans… ↩ 1 0065
Corollaire Soit L un corps. Soit Γ un sous-groupe du groupe des automorphismes du corps L et soit K le corps des invariants de Γ. Soit V un sous-K-espace vectoriel à droite de L, de dimension… 0066
Remarque Lorsque le corps L est commutatif, ce corollaire se réduit au théorème d’Artin (V, p. 63). 0067

§ 6. Équivalence de Morita des modules et des algèbres

Proposition 1 Supposons que les applications b→ b_P de B dans End_A(P)et a→ a_P de A dans End_B(P)soient bijectives. Alors σ et widetildeσ sont des isomorphismes réciproques l’un de l’autre et l… ↩ 2 006R
Remarque 1 Supposons que l’application b→ b_P de B dans End_A(P) soit bijective. Alors ↩ 2 006S
Remarque 2 Sous les hypothèses de la prop. 1, le A-module P est équilibré ; comme les anneaux A_P et A'_P ont même centre (VIII, p. 73), il existe un isomorphisme φ du centre Z(A) de l’anneau… ↩ 1 006T
Proposition 2 Soient A et B des algèbres sur k et soit P un (A,B)ₖ-bimodule. On suppose que l’application b→ b_P de B dans End_A(P)est bijective. Les assertions suivantes sont équivalentes : ↩ 2 006U
Proposition 3 Soient A et B des algèbres sur k et P un (A,B)ₖ-bimodule. Les propriétés suivantes sont équivalentes : ↩ 2 006V
Proposition 4 Soient A et B des algèbres sur k et P un (A,B)ₖ-bimodule. On suppose que l’application b→ b_P de B dans End_A(P)est bijective. ↩ 2 006W
Corollaire 1 Le contremodule d’un module générateur est projectif de type fini. Le contremodule d’un module projectif de type fini est générateur. ↩ 1 006X
Corollaire 2 Soient A et B des k-algèbres et P un (A,B)ₖ-bimodule. Les propriétés suivantes sont équivalentes : ↩ 1 006Y
Définition 1 Soient A et B des k-algèbres et P un (A,B)ₖ-bimodule. On dit que P est inversible s’il existe un (B,A)ₖ-bimodule Q tel que P⊗_BQsoit isomorphe à ₛA_d et Q⊗_APà ₛB_d. Un tel bimodul… 006Z
Définition 2 On dit que des k-algèbres A et B sont équivalentes au sens de Morita s’il existe un (A,B)ₖ-bimodule inversible. On dit que des anneaux A et B sont équivalents au sens de Morita si… ↩ 1 0070
Lemme 1 Soient A et B des k-algèbres, P un (A, B)ₖ-bimodule inversible, M et N des B-modules et u : M → N une application B-linéaire. Si l’application 1_P ⊗ u : P ⊗_B M → P ⊗_B N est nulle… ↩ 3 0071
Théorème 1 Soient A et B des k-algèbres et P un (A, B)ₖ-bimodule. Notons P^* le (B, A)ₖ-bimodule Hom_A(P, Aₛ). Les assertions suivantes sont équivalentes : ↩ 14 0072
Corollaire 1 Soient A et B des k-algèbres équivalentes au sens de Morita et soit P un (A,B)ₖ-bimodule inversible. Il existe un isomorphisme φ du centre Z(A) de A sur le centre de B caractérisé… 0073
Corollaire 2 Soient A et B des k-algèbres équivalentes au sens de Morita et soit P un (A,B)ₖ-bimodule inversible. Tout (B,A)ₖ-bimodule inverse de P est isomorphe au dual P^* = Hom_A(P,A)de P. P… 0074
Remarque Sous les hypothèses du corollaire, soit q un élément de Q tel qu’on ait λ (p⊗ q) = 0 pour tout p∈ P. On a alors τ (q) = 0, c’est-à-dire q= 0. De même, si p est un élément de P tel… 0075
Exemple 1 Soient B une k-algèbre, n un entier geqslant 1 et A la k-algèbre Mₙ(B). Le B-module à droite P = Bⁿ_d est projectif, de type fini et générateur, et A s’identifie à l’algèbre des en… ↩ 3 0076
Exemple 2 Soient A une k-algèbre commutative et P un A-module. Considérons P 00SH
Théorème 2 (Morita) a) Soient V et W des B-modules à gauche. L’application g→ 1_P⊗ g est une bijection de Hom_B(V,W)sur Hom_A(P⊗_BV,P⊗_BW). La bijection réciproque associe à tout élément h de Hom_A(P⊗… ↩ 3 00S2
Proposition 5 Soit V un B-module à gauche. L’application W→ P⊗_BWest un isomorphisme de l’ensemble, ordonné par inclusion, des sous-B-modules de V sur l’ensemble, ordonné par inclusion, des sous… ↩ 1 0077
Exemple 1 Appliquons la proposition 5 de VIII, p. 99 au cas particulier V = Bₛ. ↩ 2 0078
Exemple 2 Notons B_A,B_B et B_P les ensembles ordonnés formés des idéaux bilatères de A, des idéaux bilatères de B, et des sous-(A,B)ₖ-bimodules de P respectivement. ↩ 1 0079
Proposition 6 Notons B_A,B_B les ensembles ordonnés formés des idéaux bilatères de A et des idéaux bilatères de B. ↩ 4 007A
Exemple 3 Soit V un B-module à gauche. Alors la correspondance précédente envoie l’annulateur du B-module V sur l’annulateur du A-module P⊗_BV. En effet, notons 𝔞 l’annulateur du A-module P⊗… ↩ 1 007B
Exemple 4 Pour tout idéal bilatère 𝔞 de A, notons Mₙ(𝔞) le sous-ensemble de Mₙ(A) formé des matrices à éléments dans 𝔞. C’est un idéal bilatère de Mₙ(A). On a Mₙ(𝔞)Aⁿ=𝔞ⁿ= Aⁿ𝔞. Il résulte de… 007C
Remarque Conservons les hypothèses et notations précédentes et supposons que le (B,A)ₖ-bimodule Q soit le dual P^* du A-module P et que les isomorphismes λ et θ soient les applications cano… 007D
Proposition 7 a) On a φ (0) = 0et φ (V) = M. ↩ 2 007E
Proposition 8 a) Soient V' et V'' des sous-modules de V tels que V'' contienne V'. Le B-module V''/V' est simple si et seulement si le A-module φ (V'')/φ (V')est simple. ↩ 2 007F
Lemme 2 Soient H et H' des sous-modules de V tels que H∩ H'= 0. Pour que les B-modules H et H' soient isomorphes, il faut et il suffit que les A-modules φ (H) et φ (H')soient isomorphes. ↩ 1 007G
Proposition 9 Soient S un sous-module simple de V et T le sous-module simple φ (S)de M. Si V_S désigne le composant isotypique de type S dans V et M_T le composant isotypique de type T dans M, o… ↩ 2 00R6
Proposition 10 a) Pour que le B-module V soit artinien, ou noethérien, ou indécomposable, ou simple, ou de type fini, il faut et il suffit qu’il en soit ainsi de M. ↩ 2 007H
Proposition 11 Soit ↩ 1 007I
Corollaire Soit f : V → W une application B-linéaire. Pour que f soit injective (resp. surjective), il faut et il suffit que 1_P ⊗ f le soit. 007J
Proposition 12 Soit V un B-module à gauche. Pour que le B-module V soit projectif (resp. générateur, resp. fidèle, *resp. injectif, resp. de présentation finie*), il faut et il suffit que le A-mo… 007K
Corollaire Pour que l’anneau A soit artinien à gauche (resp. noethérien à gauche) il faut et il suffit que l’anneau B le soit. 007L
Proposition 13 a) Si deux k-algèbres sont équivalentes au sens de Morita, leurs centres sont des k-algèbres isomorphes. ↩ 3 007M
Proposition 14 Soient A et B des k-algèbres. Pour que A et B soient équivalentes au sens de Morita, il faut et il suffit qu’il existe un entier ngeqslant 1et une matrice carrée e= (eᵢⱼ)dans Mₙ(B)… ↩ 1 007N
Lemme 3 Pour qu’un B-module à droite P soit projectif, de type fini et générateur, il faut et il suffit qu’il existe un entier ngeqslant 0et un idempotent e= (eᵢⱼ)dans Mₙ(B)satisfaisant au… 007O
Lemme 4 Soient V un B-module et E la k-algèbre des endomorphismes de V. Soit e un projecteur de V et P l’image de e. L’application qui à v∈ eEe associe l’endomorphisme x→ v(x)du B-module P… ↩ 2 007P
Exemple 1 Soient A une k-algèbre et e un idempotent de A tel que AeA = A. La k-algèbre eAe s’identifie à la k-algèbre des endomorphismes du sous-module eA_d de A_d (lemme 4). Comme AeA = A… 007Q
Exemple 2 Soit A une k-algèbre et ngeqslant 1 un entier. Identifions l’algèbre de matrices Mₙ(A) à l’algèbre des endomorphismes du A-module à droite Aⁿ_d. On a vu que A et Mₙ(A) sont équival… ↩ 4 007R
Exemple 3 Soient A un anneau principal et L un A-module libre de type fini non nul. Soit B l’anneau des endomorphismes de L ; alors L est un (A,B)_Z-bimodule inversible et les anneaux A et B… 007S

§ 7. Anneaux simples

Proposition 1 Soit A un anneau non nul. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 6 0081
Définition 1 On dit que l’anneau A est simple s’il satisfait aux conditions équivalentes (i), (ii) et (iii) de la proposition 1. Soit K un corps commutatif ; une K-algèbre est dite simple si so… ↩ 2 0082
Remarque 1 Rappelons que d’après le th. 1 de I, p. 109, les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 1 0083
Remarque 2 ☡ On dit parfois qu’un anneau A est quasi-simple s’il n’est pas réduit à 0 et si ses seuls idéaux bilatères sont 0 et A. On dit que A est primitif s’il possède un module simple et… ↩ 3 0084
Théorème 1 (Wedderburn) Pour qu’un anneau soit simple, il faut et il suffit qu’il soit isomorphe à un anneau de matrices Mᵣ(D), où rgeqslant 1est un entier et D un corps. ↩ 13 00S3
Lemme 1 Soient A un anneau simple, S un A-module à gauche simple et D l’anneau opposé du corps End_A(S). Alors S est un (A,D)-bimodule inversible. C’est aussi un espace vectoriel à droite… ↩ 5 0085
Lemme 2 Soient D un corps et V un espace vectoriel à droite de dimension finie rgeqslant 1sur le corps D. Alors V est un module simple sur l’anneau E = End_D(V)et son commutant est égal à… ↩ 6 00R7
Remarque 3 Soit A un anneau simple, soient S un A-module simple et D l’anneau opposé du corps End_A(S). Alors le A-module Aₛ est de longueur finie et dim_D(S) est égal à long(A). En effet, pa… 0086
Corollaire 1 a) Le centre d’un anneau simple est un corps. ↩ 6 0087
Corollaire 2 Soient r et r' des entiers strictement positifs et soient D et D' des corps. Pour que les anneaux Mᵣ(D)et M_r'(D')soient isomorphes, il faut et il suffit que l’on ait r=r' et que l… ↩ 2 0088
Corollaire 3 Soit K un corps commutatif et soit A une K-algèbre de degré fini dont l’anneau sous-jacent est simple. Il existe un entier r et une K-algèbre D de degré fini sur K qui est un corps… ↩ 2 0089
Remarque 4 Soit K un corps commutatif algébriquement clos et soit A une algèbre de degré fini sur K. L’algèbre A est simple si et seulement s’il existe un entier ngeqslant 1 tel que A soit is… ↩ 1 008A
Lemme 3 Soit A un anneau simple et soit S un A-module simple. Notons D le corps opposé du commutant de S. Tout A-module est isomorphe à un A-module de la forme S⊗_DV, où V est un espace ve… ↩ 2 008B
Proposition 2 Soient A un anneau simple et S un A-module simple. ↩ 5 008C
Corollaire Soit k un corps commutatif et soit A une k-algèbre simple de degré fini sur k. Tout A-module simple est de dimension finie sur k;pour que deux A-modules soient isomorphes, il faut… 008D
Proposition 3 Soit A un anneau simple. Pour qu’un A-module M soit libre, il faut et il suffit que sa longueur soit divisible par la longueur de A. S’il en est ainsi, toutes les bases de M ont le… ↩ 1 008E
Proposition 4 Soient A un anneau simple et M un A-module non nul. Notons B l’anneau des endomorphismes du A-module M, et considérons M comme un B-module à gauche. ↩ 3 008F
Proposition 5 Soit B un anneau, soit A un sous-anneau simple de B et soit S un A-module à gauche simple. Alors B est un A-module à gauche libre de dimension long_A(B⊗_AS). ↩ 3 008G
Définition 2 Soient B un anneau, A un sous-anneau simple de B. On appelle degré (à gauche) de B sur A, et l’on note [^1] [B : A]ₛ, la dimension du A-module à gauche libre B. ↩ 1 008H
Proposition 6 Soient C un anneau, B un sous-anneau simple de C, et A un sous-anneau simple de B. On a alors [C : A]ₛ= [C : B]ₛ[B : A]ₛ. ↩ 2 008I
Remarque 1 Supposons que A soit un sous-anneau simple d’un anneau simple B et que le degré à droite [B : A]_d soit fini. Soit C l’anneau des endomorphismes de B considéré comme A-module à dro… 008J
Remarque 2 Soit K un corps commutatif. Si A est une sous-algèbre simple d’une algèbre B, de degré fini sur K, le degré à gauche de B sur A satisfait à la relation [B : A]ₛ[A : K] = [B : K] d’… 008K
Proposition 7 a) L’application W→ 𝔞(W)est une bijection de l’ensemble des sous-espaces vectoriels de V sur l’ensemble des idéaux à gauche de A. 008L
Corollaire a) Les idéaux à gauche minimaux de A sont les idéaux 𝔞(H), où H est un hyperplan de V ; les idéaux à gauche maximaux de A sont les idéaux 𝔞(L), où L est une droite de V ; 008M

§ 8. Anneaux semi-simples

Théorème 1 (Wedderburn) Soit A un anneau. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 4 00S4
Définition 1 On dit que l’anneau A est semi-simple s’il satisfait aux conditions équivalentes (i) à (vi) du théorème 1. Une algèbre A sur un anneau commutatif k est une algèbre semi-simple si l… 0093
Proposition 1 Soit A un anneau semi-simple. Il existe une famille finie (𝔪ᵢ)_i∈ I d’idéaux à gauche minimaux de A telle que Aₛ=⊕_i∈ I𝔪ᵢ. Si (𝔪ᵢ)_i∈ I est une telle famille, tout A-module simple… ↩ 5 0094
Exemple Soient G un groupe fini et K un corps commutatif. *Nous verrons plus 0095
Remarque 1 Soit K un corps commutatif et soit A une algèbre semi-simple sur K. Alors il existe des K-algèbres D₁, . . . ,Dₛ qui sont des corps et des entiers r₁geqslant 1, . . . , rₛgeqslant… ↩ 1 0096
Remarque 2 Soit K un corps algébriquement clos et soit A une algèbre de degré fini sur K. Compte tenu de la remarque 4 de VIII, p. 118, pour que l’algèbre A soit semi-simple, il faut et il su… 0097
Proposition 2 a) Le centre d’un anneau semi-simple est semi-simple. ↩ 3 0098
Proposition 3 Soit A un anneau commutatif. Les propriétés suivantes sont équivalentes : ↩ 4 0099
Proposition 4 Soit A un anneau. Les propriétés suivantes sont équivalentes : ↩ 7 009A
Lemme 1 Soit A un anneau artinien à gauche et soit M un A-module simple, alors l’anneau A_M est simple. ↩ 2 009B
Proposition 5 Supposons l’anneau A semi-simple. Soit M un A-module à gauche. Le contremodule de M est de type fini et l’on a A_M= A''_M. ↩ 3 009C
Proposition 6 Soit M un A-module semi-simple de type fini. On note S_M son support (VIII, p. 62) et B l’anneau de ses endomorphismes. Pour tout λ ∈ S_M, on choisit un A-module simple S_λ de clas… ↩ 3 009D
Proposition 7 Soit A un anneau semi-simple. ↩ 1 009E
Proposition 8 a) Pour tout λ ∈ S, S_λ est un espace vectoriel à droite de dimension finie sur le corps D_λ. L’application a→ a_S_λ définit par passage au quotient un isomorphisme d’anneaux de A/… ↩ 4 009F
Exemple Soit K un corps commutatif algébriquement clos et soit A une algèbre semi-simple de degré fini sur K. Soit (Vᵢ)_i∈ I une famille de A-modules simples telle que tout A-module simple… 009G
Proposition 9 a) Ordonnons par inclusion l’ensemble 𝔓(S)des parties de S et l’ensemble B_A des idéaux bilatères de A. L’application Λ → 𝔞_Λ est un isomorphisme d’ensembles ordonnés de 𝔓(S)sur B_… ↩ 3 009H
Corollaire Soient (Aᵢ)_i∈ I une famille finie d’anneaux simples et f un isomorphisme de A sur ∏_i∈ IAᵢ. Pour tout i∈ I, il existe un unique élément φ (i)de S tel que le noyau de prᵢ∘ f soit 𝔟… 009I
Proposition 10 Notons Z le centre de A ; pour tout λ ∈ S, soit Z_λ le centre du corps D_λ. ↩ 1 009J
Corollaire Soit B un anneau. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 1 009K
Proposition 11 Soit λ ∈ S. Le composant isotypique 𝔞_λ de A est à la fois le composant isotypique de type S_λ de Aₛ et le composant isotypique de type S^*_λ de A_d. De plus, on a ↩ 2 009L
Scholie Soient A un anneau semi-simple et Z son centre. Il existe des bijections canoniques entre les ensembles suivants : 009M
Proposition 12 Soient M un module sur l’anneau semi-simple A et S_M⊂ S le support de M. Alors l’annulateur Ann(M) de M est l’idéal bilatère ∑_λ∈S-S_M𝔞_λ et l’idéal trace τ (M)de M est l’idéal bil… 009N
Corollaire Soit M un module sur l’anneau semi-simple A. Les propriétés suivantes sont équivalentes : 009O
Proposition 13 a) Pour qu’un idéal à gauche 𝔞 de A admette un supplémentaire dans Aₛ, il faut et il suffit qu’il existe un élément idempotent e de A tel que 𝔞= Ae. L’idéal 𝔞 se compose alors des… ↩ 1 009P
Remarque 1 Soit 𝔞 un idéal à gauche de A. D’après la démonstration ci-dessus et le corollaire de II, p. 19, l’application e→ A(1-e) définit une bijection de l’ensemble des éléments idempotent… 009Q
Remarque 2 Soient e et f des éléments idempotents de A. D’après la prop. 13 b), on a Ae= Af si et seulement si l’on a ef=e et f e=f. Par conséquent, si l’anneau A est commutatif, la relation… 009R
Proposition 14 Soit e un élément idempotent de A. ↩ 1 009S
Remarque 3 En appliquant les résultats précédents à l’anneau opposé de A, on voit en particulier qu’un A-module à droite monogène M est projectif si et seulement s’il existe un élément idempo… 00R8
Proposition 15 Supposons l’anneau A semi-simple. ↩ 2 009T
Remarque 4 Supposons l’anneau A semi-simple. Soit (eᵢ)_i∈ I une partition de 1, formée d’éléments idempotents non nuls du centre Z de A ; si Card(I) = Card(S), les eᵢ sont les idempotents ind… ↩ 1 009U

§ 9. Radical

Définition 1 Soit A un anneau. On appelle radical d’un A-module M le sous-module intersection des sous-modules maximaux de M (VIII, p. 44, déf. 2) ou, ce qui revient au même, l’ensemble des élé… ↩ 1 00A1
Exemple 1 Soit 𝔞 un idéal à gauche de A. Le radical du A-module Aₛ/𝔞 est égal à 𝔞'/𝔞 où 𝔞' est l’intersection des idéaux à gauche maximaux de A contenant 𝔞. En particulier, le radical du Z-m… ↩ 1 00A2
Exemple 2 Soit A un anneau principal qui n’est pas un corps et soit K son corps des fractions. Comme K-module, K est sans radical. Démontrons que le radical de K, considéré comme A-module, e… 00A3
Proposition 1 Soient M et N des A-modules et f un homomorphisme de M dans N. On a f(ℜ(M))⊂ ℜ(N), et l’on a même égalité si f est surjectif et que le noyau de f est contenu dans le radical de M. ↩ 3 00A4
Corollaire 1 Soient M un A-module et N un sous-module de M. ↩ 5 00A5
Corollaire 2 Soient (Mᵢ)_i∈ I une famille de A-modules, P son produit et S sa somme directe. On a ℜ(P)⊂ ∏_i∈ Iℜ(Mᵢ)et ℜ(S) =⨁_i∈ Iℜ(Mᵢ). ↩ 3 00A6
Proposition 2 Soit M un A-module de type fini. ↩ 4 00A7
Corollaire Soient M un A-module, (xᵢ)_i∈ I une famille génératrice de M et x un élément de M. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 1 00A8
Proposition 3 a) Un module semi-simple est sans radical. ↩ 5 00A9
Définition 2 On appelle radical de Jacobson (ou simplement radical) d’un anneau A, et l’on note ℜ(A), le radical du A-module Aₛ, c’est-à-dire l’intersection des idéaux à gauche maximaux de A. ↩ 1 00AA
Proposition 4 Pour qu’un anneau A soit semi-simple, il faut et il suffit qu’il soit artinien à gauche et sans radical. ↩ 4 00AB
Exemple 1 Si A est un anneau local, il possède un unique idéal à gauche maximal 𝔯, formé des éléments non inversibles de A (VIII, p. 23, prop. 1) ; donc 𝔯 est le radical de A. En particulier… ↩ 2 00AC
Exemple 2 ☡ Soient K un corps commutatif et E l’algèbre K[[Xᵢ]]_i∈ I des séries formelles par rapport aux indéterminées Xᵢ à coefficients dans K. D’après l’exemple précédent et l’exemple 4 d… ↩ 2 00AD
Exemple 3 Supposons que A soit un anneau principal et soit P un système représentatif d’éléments extrémaux (VII, p. 3). Si A est un corps, il est sans radical d’après l’exemple 1 ; si l’ense… ↩ 1 00AE
Proposition 5 a) Le radical d’un anneau A est l’intersection des annulateurs des A-modules simples, et aussi le plus petit des annulateurs des A-modules semi-simples. C’est en particulier un idé… ↩ 7 00AF
Théorème 1 (Jacobson) Le radical d’un anneau A se compose des éléments x∈ Atels que 1 +ax soit inversible à gauche (I, p. 15) pour tout a∈ A. C’est aussi le plus grand des idéaux bilatères 𝔞 tels que 1… ↩ 10 00S5
Corollaire 1 Le radical de A est égal au radical de l’anneau opposé Aᵒ, c’està-dire à l’intersection des idéaux à droite maximaux de A. ↩ 1 00AG
Corollaire 2 Pour qu’un élément de A soit inversible, il faut et il suffit que son image canonique dans l’anneau A/ℜ(A)soit inversible. ↩ 1 00AH
Corollaire 3 Le radical du produit d’une famille (Aᵢ)_i∈ I d’anneaux est le produit des ℜ(Aᵢ). ↩ 2 00AI
Corollaire 4 Pour que l’anneau A soit local, il faut et il suffit que l’anneau A/ℜ(A)soit un corps. Dans ce cas, ℜ(A)est l’ensemble des éléments non inversibles de A. ↩ 1 00AJ
Exemple 4 Soient K un anneau intègre, I un ensemble non vide et A l’anneau de polynômes K[Xᵢ]_i∈ I. Démontrons que l’anneau A est sans radical. Les seuls éléments inversibles de A sont ceux… 00AK
Exemple 5 Soit 𝔞 un idéal bilatère de A. La topologie sur A, compatible avec la structure d’anneau de A, pour laquelle les idéaux 𝔞ⁿ (pour ngeqslant 1) forment un système fondamental de vois… 00AL
Remarque 1 D’après le théorème 1, tout nilidéal à gauche d’un anneau A est ↩ 2 00AM
Remarque 2 Soit A un anneau commutatif. L’ensemble des éléments nilpotents de A est un idéal 𝔑(A) de A, qu’on appelle le nilradical de A ; c’est l’intersection des idéaux premiers de A (V, p… ↩ 1 00AN
Proposition 6 Pour tout A-module M, on a ℜ(A)M⊂ ℜ(M)et on a égalité si le A-module M est projectif. ↩ 6 00AO
Théorème 2 (« lemme de Nakayama ») Soient M un A-module et 𝔞 un idéal bilatère de A. Supposons satisfaite l’une des deux hypothèses suivantes : ↩ 5 00S6
Corollaire 1 Conservons les hypothèses du théorème 2. Soit (xᵢ)_i∈ I une famille d’éléments de M, et soit overlinexᵢ l’image canonique de xᵢ dans M/𝔞M. Si la famille (overlinexᵢ)_i∈ I engendre… ↩ 1 00R9
Corollaire 2 Conservons les hypothèses du théorème 2. Soient par ailleurs M' un A-module et u: M'→ Mun homomorphisme. Si l’homomorphisme overlineu de M'/𝔞M' dans M/𝔞Mdéduit de u par passage aux… ↩ 1 00AP
Lemme 1 Soit a un élément d’un anneau A tel que a-a² soit nilpotent. Il existe un polynôme P appartenant à X + (X-X²)Z[X]tel que P(a)soit idempotent dans A. ↩ 2 00AQ
Proposition 7 Soit 𝔞 un nilidéal bilatère de A et soit overlinee un élément idempotent de l’anneau A/𝔞. Il existe un élément idempotent e de A dont l’image canonique dans A/𝔞 est égale à overlin… ↩ 2 00AR
Corollaire 1 Soient M et P des A-modules et u une application A-linéaire surjective de P dans M. On suppose que P est projectif et qu’il existe un idéal bilatère nilpotent 𝔞 de A tel que le noy… ↩ 2 00AS
Corollaire 2 Soit A un anneau et soit 𝔞 un idéal bilatère nilpotent de A. Si P est un A-module projectif, alors P/𝔞Pest un module projectif sur A/𝔞 et pour que le A-module P soit indécomposable… ↩ 1 00AT
Définition 3 Soit A un anneau et soit M un A-module. On appelle couverture projective de M un couple (P, u), où P est un A-module projectif et u un homomorphisme surjectif de P dans M, tel que… 00AU
Remarque 1 Pour tout A-module projectif M, le couple (M,1_M) est une couverture projective de M. 00AV
Remarque 2 Supposons que (P, u) soit une couverture projective du A-module M. Soit (xᵢ)_i∈ I une famille d’éléments de P et soit P' le sous-module de P qu’elle engendre ; alors u(P') est enge… ↩ 2 00AW
Proposition 8 Soient M et M' des A-modules, (P, u)et (P', u')des couvertures projectives de M et M' respectivement et g: M→ M' une application A-linéaire. ↩ 2 00AX
Corollaire 1 Soit M un A-module. Soient (P, u)et (P', u')des couvertures projectives de M. Il existe un isomorphisme f de P sur P' tel que u=u'∘ f. ↩ 1 00AY
Corollaire 2 Soit (P, u)une couverture projective du A-module M. Si Q est un A-module projectif et g: Q→ Mune application linéaire surjective, il existe une application linéaire surjective f: Q… 00AZ
Proposition 9 Soient M un A-module et (P, u)une couverture projective de M. Notons 𝔯 le radical de l’anneau A. L’homomorphisme overlineu: P/𝔯P→ M/𝔯Mdéduit de u par passage aux quotients est un i… ↩ 3 00B0
Corollaire Pour qu’un A-module M possède une couverture projective, il faut que le A/𝔯-module M/𝔯Msoit projectif. 00B1
Remarque 3 Supposons que l’anneau A soit sans radical. D’après la prop. 9, (P, u) est une couverture projective d’un A-module M si et seulement si u est un isomorphisme. Ainsi seuls les A-mod… 00B2
Remarque 4 Supposons que tout A-module de type fini possède une couverture projective ; alors le quotient A' de A par son radical est semi-simple. En effet, tout module de type fini sur l’ann… 00B3
Proposition 10 Soient M un A-module, P un A-module projectif et u: P→ M une application linéaire. Soit 𝔞 un idéal bilatère de A . On suppose que l’application linéaire overlineu: P/𝔞P→ M/𝔞Mdéduit… ↩ 2 00B4
Corollaire 1 Soit P un A-module projectif. On suppose que P est de type fini ou que le radical 𝔯 de A est un idéal bilatère nilpotent. Notons u l’application canonique de P sur P/𝔯P. Alors (P… ↩ 1 00B5
Corollaire 2 Soient 𝔞 un idéal bilatère de A et M un A-module tel que le (A/𝔞)-module M/𝔞Msoit libre. Supposons satisfaite l’une des deux conditions suivantes : ↩ 2 00B6
Corollaire 3 Tout module de type fini sur un anneau local possède une couverture projective. 00B7
Remarque 5 Soient A un anneau local et 𝔯 son radical. Soient M un A-module de type fini, P un A-module projectif de type fini et u: P→ M un homomorphisme. D’après le cor. 6 de VIII, p. 33, le… 00B8
Proposition 11 Soient A un anneau et 𝔞 un idéal bilatère nilpotent de A. Soit M un A/𝔞-module projectif. Il existe un A-module projectif P et une application A-linéaire surjective u: P→ M, de noy… ↩ 2 00B9
Corollaire Soient P et P' des A-modules projectifs. Si les modules P/𝔞Pet P'/𝔞P' sont isomorphes, alors P et P' sont isomorphes. 00RA

§ 10. Modules sur un anneau artinien

Proposition 1 Soit A un anneau artinien à gauche. Le radical 𝔯 de A est le plus grand idéal bilatère nilpotent de A et l’anneau A/𝔯 est semi-simple. ↩ 11 00C5
Corollaire 1 Pour qu’un anneau soit semi-simple, il faut et il suffit qu’il soit artinien à gauche et ne possède aucun idéal bilatère nilpotent autre que 0. 00C6
Corollaire 2 Dans un anneau artinien à gauche A, le radical se compose des éléments x tels que ax soit nilpotent pour tout a dans A. ↩ 2 00C7
Proposition 2 Soit A un anneau artinien à gauche. Pour tout A-module M, les propriétés suivantes sont équivalentes : ↩ 4 00C8
Corollaire Soit A un anneau artinien à gauche. Pour tout A-module M, le radical de M est égal à 𝔯M. ↩ 1 00C9
Proposition 3 Soient A et B des anneaux et f un homomorphisme de A dans B, tel que B soit engendré par la réunion de f(A)et du commutant f(A)' de f(A)dans B. Soit M un B-module à gauche. On supp… ↩ 2 00CA
Corollaire Soient A un anneau commutatif et B une algèbre sur A. On suppose que l’anneau A est artinien ou que B est un A-module de type fini. On a alors ℜ(A)B⊂ ℜ(B). 00CB
Proposition 4 Tout module sur un anneau artinien à gauche possède une couverture projective. ↩ 3 00CC
Proposition 5 Soient A un anneau artinien à gauche et 𝔯 son radical. ↩ 2 00CD
Corollaire À toute classe P de A-modules projectifs, associons la classe φ (P) du module P/𝔯Psur l’anneau A/𝔯. Toute classe de modules (resp. de modules de type fini) sur l’anneau A/𝔯 est de… 00CE
Proposition 6 Soient A un anneau artinien à gauche et 𝔯 son radical. Soit P un A-module projectif. ↩ 1 00CF
Exemple Prenons P égal à Aₛ. Pour tout λ ∈ S, notons D_λ le corps opposé du commutant du A-module simple S_λ et m(λ ) la dimension de S_λ considéré comme espace vectoriel à droite sur le c… 00CG

§ 11. Groupes de Grothendieck

Définition 1 On dit que l’ensemble C de classes de A-modules est additif si tout module nul est de type C et que la somme directe de deux modules de type C est de type C. On dit que C est héréd… ↩ 1 00CS
Exemple 1 L’ensemble des classes des A-modules de longueur finie est héréditaire (II, p. 21, prop. 16). 00CT
Exemple 2 L’ensemble des classes de A-modules de type fini est additif. Si l’anneau A est noethérien, il est héréditaire (VIII, p. 3, prop. 3 et VIII, p. 7, prop. 4). 00CU
Exemple 3 L’ensemble des classes de A-modules projectifs de type fini est additif mais n’est pas héréditaire en général. 00CV
Définition 2 Soit φ une application de C dans un groupe commutatif G (noté additivement) ; posons φ (E) =φ(cl(E)) pour tout A-module E de type C. On dit que φ est une fonction additive de modul… 00CW
Exemple 4 Soit C l’ensemble des classes des A-modules de longueur finie. L’application long_A:C→ Zqui associe à toute classe de A-modules de longueur finie sa longueur, est une fonction addi… 00CX
Proposition 1 On suppose que C est héréditaire. Soient E et F des A-modules et u : E → F une application linéaire. a) Si E ou F est de type C, il en est de même de l’image de u. b) Si E est de t… ↩ 1 00CY
Corollaire Soit (Eᵢ)_0 ≤ i ≤ n une suite finie de modules de type C. S’il existe une suite exacte 00CZ
Proposition 2 Supposons que l’ensemble C soit héréditaire. Soit E un A-module et soient M et N des sous-modules de E. 00D0
Proposition 3 Supposons C héréditaire. Soient E un module de type C et (Eᵢ)_0leqslant ileqslant n une suite de composition de E (I, p. 39). Pour 1leqslant ileqslant n, le module Eᵢ₋₁/Eᵢ est de t… ↩ 2 00D1
Proposition 4 a) L’application E→ [E]_C de C dans K(C)est additive. ↩ 3 00D2
Exemple Soient A un anneau commutatif noethérien et Σ son spectre. Pour tout entier ngeqslant 0, notons C^geqslant n l’ensemble des classes de A-modules de type fini dont le support est de… 00D3
Proposition 5 Soient E et F des modules de type C. Pour que l’on ait l’égalité [E]_C= [F]_C, il faut et il suffit qu’il existe des suites exactes de modules de type C (E)0longrightarrow Llongrig… 00D4
Proposition 6 a) L’application E ↦ [E]'_C de C dans K'(C) est une fonction faiblement additive de modules. 00D5
Lemme 1 Soient E, E' et E'' des A-modules de longueur finie et ↩ 3 00D6
Proposition 7 Soit C un ensemble héréditaire de classes de modules tel que tout module de type C soit de longueur finie. Soit S l’ensemble des classes de modules simples appartenant à C. Alors l… ↩ 2 00D7
Corollaire Soient E et F des modules semi-simples de type C. Pour que E soit isomorphe à F, il faut et il suffit que l’on ait [E]_C= [F]_C dans K(C). ↩ 1 00D8
Remarque L’ensemble K(C)⁺ est le sous-monoïde de K(C) engendré par la famille ([S]_C)_S∈S. 00D9
Remarque 1 Soit SS(A) l’ensemble héréditaire des classes de A-modules semi-simples de longueur finie. D’après la prop. 7 de VIII, p. 186, le groupe de Grothendieck K(SS(A)) est un Z-module li… ↩ 1 00DA
Remarque 2 Soit K'(LF(A)) le groupe de Grothendieck de LF(A) pour les sommes directes (VIII, p. 184). Le théorème de Krull-Remak-Schmidt (VIII, p. 34) entraîne que K'(LF(A)) est un Z-module l… ↩ 2 00DB
Remarque 3 Soit E un A module de longueur finie. Il existe un A-module semi-simple de longueur finie E' tel que [E] = [E'] d’après c) et un tel module est défini à un isomorphisme près d’aprè… 00DC
Proposition 8 Soit A un anneau principal qui n’est pas un corps et soit L son corps des fractions. Il existe un isomorphisme φ : R(A)→ L^*/A^* tel que l’on ait ↩ 2 00DD
Remarque 4 Conservons les hypothèses et les notations de la prop. 8. Soient E un A-module de longueur finie et a₁A, . . . , aₙA ses facteurs invariants (VII, p.20). Comme E est isomorphe à ⨁ⁿ… 00DE
Remarque 5 Soit A un anneau de Dedekind qui n’est pas un corps (AC, VII, § 2, n^∘1). 00SI
Lemme 2 Soient M, M' des A-modules qui sont des espaces vectoriels de dimension finie sur K. Pour que les supports (VIII, p. 185) de M et M' soient disjoints, il faut et il suffit qu’il ex… ↩ 1 00DF
Théorème 1 L’homomorphisme u: R_K(A)→ R_L(A_(L))défini ci-dessus est injectif. Soit ξ un élément de R_K(A). Pour que ξ soit effectif il faut et il suffit que u(ξ )le soit. ↩ 6 00DG
Lemme 3 Soient S et T deux A-modules simples, de dimension finie sur K, non isomorphes. Les supports des A_(L)-modules S_(L) et T_(L) sont disjoints. 00DH
Proposition 9 Soient K un anneau commutatif, A une bigèbre sur K de coünité γ, et C un ensemble additif de classes de A-modules possédant les propriétés suivantes : ↩ 3 00DI
Remarque Sous les seules hypothèses (i) et (ii) de la prop. 9, le groupe de Grothendieck K'(C) pour les sommes directes (VIII, p. 184) possède une unique structure d’anneau dont la multipli… 00DJ
Corollaire Soit A une bigèbre de coünité γ sur un corps commutatif K. Il existe alors sur le groupe additif R_K(A)une unique structure d’anneau dont la multiplication satisfait à 00DK
Exemple 1 Soit K un corps commutatif. Soit G un groupe et soit K[G] l’algèbre du groupe G. Nous identifierons G à son image canonique dans K[G] (III, p. 19). ↩ 3 00DL
Exemple 2 Soient 𝔤 une algèbre de Lie sur un corps commutatif K, et U(𝔤) son algèbre 00DM
Proposition 10 Soit A un anneau commutatif et soit C un ensemble additif de classes de A-modules satisfaisant aux trois hypothèses suivantes : ↩ 1 00DN
Remarque Soit A un anneau semi-simple. Tout A-module est alors semi-simple et projectif (VIII, p. 134, prop. 4), d’où l’égalité 00DO
Exemple Si tout A-module projectif de type fini est libre, alors le rang définit un isomorphisme de K₀(A) sur Z. C’est en particulier le cas si A est un anneau principal (VII, p. 14, cor… 00DP
Proposition 11 a) La multiplicité [f_*(T) : S]du A-module simple S dans le A-module semi-simple f_*(T)est égale à la dimension de H considéré comme espace vectoriel à droite sur D. ↩ 1 00DQ
Corollaire (Réciprocité de Frobenius) Supposons que A et B soient des algèbres semi-simples de dimension finie sur un corps commutatif K et que f soit K-linéaire. Alors les K-espaces vectoriels S, T, D, E et H sont de… 00S7
Proposition 12 Soit B un anneau simple et soit A un sous-anneau simple de B. On suppose que B est un A-module à gauche de type fini. Soit M un B-module à gauche de type fini non nul. Posons A'= E… ↩ 2 00DR

§ 12. Produit tensoriel de modules semi-simples

Proposition 1 Soient M₁ un A₁-module et M₂ un A₂-module, tous deux non réduits à 0. Si le module M = M₁⊗ M₂ sur l’anneau A = A₁⊗ A₂ est simple (resp. isotypique, resp. semi-simple), le A₁-module… ↩ 2 00E6
Proposition 2 Soit S un module simple sur l’anneau A = A₁⊗ A₂ et de dimension finie sur K. Pour i∈ 1,2, il existe un Aᵢ-module simple Sᵢ tel que le Aᵢ-module S soit isotypique de type Sᵢ. Le A-m… ↩ 1 00E7
Théorème 1 Supposons le corps K algébriquement clos. ↩ 2 00E8
Remarque 1 L’assertion a) du th. 1 n’est plus vraie lorsque le corps K n’est pas supposé algébriquement clos. On peut donner des exemples (VIII, p. 221, exerc. 4) où Mᵢ est un Aᵢ-module simpl… 00E9
Remarque 2 Il existe un homomorphisme φ de R_K(A₁)⊗_ZR_K(A₂) dans R_K(A) caractérisé par la relation φ ([M₁]⊗ [M₂]) = [M₁⊗ M₂]. Cela se démontre comme la prop. 9 de VIII, p. 192. Si le corps… ↩ 1 00EA
Lemme 1 Soient M₁ et N₁ des A₁-modules et soient M₂ et N₂ des A₂-modules. On fait les hypothèses suivantes : ↩ 3 00RB
Théorème 2 Soient A₁ et A₂ des algèbres sur le corps commutatif K ; soit S₁ un A₁-module simple et soit S₂ un A₂-module simple. Soient D₁ et D₂ les commutants respectifs de S₁ et S₂. Posons M… ↩ 2 00EB
Corollaire 1 Le module S₁⊗ S₂ sur l’anneau A₁⊗ A₂ est semi-simple (resp. isotypique, resp. simple) si et seulement si l’anneau D = D₁⊗ D₂ est semi-simple (resp. simple, resp. un corps). En part… ↩ 2 00EC
Corollaire 2 On a ℜ_A(M) =ℜ(D)M. Pour que le A-module M soit sans radical, il faut et il suffit que l’anneau D soit sans radical. ↩ 2 00ED
Théorème 3 Soient Z₁ et Z₂ des algèbres commutatives semi-simples sur K. Le radical de l’anneau Z₁⊗ Z₂ est égal à l’ensemble des éléments nilpotents de cet anneau. ↩ 3 00EE
Proposition 3 On suppose que les algèbres A₁ et A₂ sont semi-simples, de centres respectifs Z₁ et Z₂. Posons Z = Z₁⊗ Z₂. ↩ 2 00EF
Corollaire Supposons que les algèbres A₁ et A₂ soient simples et que le centre Z₁ de A₁ soit réduit à K. Alors l’anneau A₁⊗ A₂ n’a pas d’idéal bilatère distinct de 0 et de lui-même. 00EG
Proposition 4 Pour i∈ 1,2, soient Aᵢ une K-algèbre, Mᵢ un Aᵢ-module semi-simple et Zᵢ le centre du commutant de Mᵢ. Posons A = A₁⊗ A₂, M = M₁⊗ M₂ et Z = Z₁⊗ Z₂. On a ℜ_A(M) =ℜ(Z)M. Si l’une des… ↩ 2 00EH
Lemme 2 Soient A₁ et A₂ des algèbres sur le corps commutatif K. Soient M₁ un A₁-module de dimension finie sur K et M₂ un A₂-module de longueur finie. Le A₁⊗ A₂-module M₁⊗ M₂ est de longueu… ↩ 1 00EI
Proposition 5 Soient A₁ et A₂ des algèbres sur le corps commutatif K. Soient M₁ un A₁-module semi-simple, de dimension finie sur K, et M₂ un A₂-module semi-simple. Pour i= 1,2, notons Dᵢ le comm… ↩ 3 00RC
Corollaire Si Z₁ ou Z₂ est une algèbre séparable sur le corps K (ce qui a lieu par exemple si K est parfait), le A-module M₁⊗ M₂ est semi-simple. 00EJ
Proposition 6 Soient A₁ et A₂ des K-algèbres non nulles. Si l’anneau A₁⊗ A₂ est simple (resp. semi-simple), alors les anneaux A₁ et A₂ sont simples (resp. semi-simples). ↩ 1 00EK
Proposition 7 Soient A₁ et A₂ des K-algèbres semi-simples, de centres respectifs Z₁ et Z₂. On suppose que A₁ est de degré fini sur K. Alors l’anneau A₁⊗ A₂ est artinien à gauche, ainsi que son c… ↩ 4 00EL
Corollaire 1 Soient A₁ et A₂ des K-algèbres semi-simples ; on suppose que A₁ est de dimension finie sur K. Supposons que le centre de A₁ ou celui de A₂ soit une algèbre séparable sur K, ce qui… ↩ 1 00EM
Corollaire 2 Soient A₁ et A₂ des K-algèbres simples ; on suppose que A₁ est de dimension finie sur K. Si le centre de A₁ ou celui de A₂ est égal à K, alors l’algèbre A₁⊗ A₂ est simple. C’est en… ↩ 8 00RD
Proposition 8 Soient A une K-algèbre, M un A-module et L une extension du corps K. Notons D le commutant de M et Z le centre de D. ↩ 5 00EN
Corollaire 1 a) Supposons que le A-module M soit semi-simple, que l’extension L de K soit séparable et que M ou L soit de dimension finie sur K. Alors le A_(L)-module M_(L) est semi-simple. ↩ 2 00EO
Corollaire 2 Soit L une extension du corps K. Notons Z le centre de la K-algèbre A. 00RE
Proposition 9 Soient A une K-algèbre et L une extension séparable de K. ↩ 1 00EP
Proposition 10 Soient A une K-algèbre et L une extension de K. Soit M un A-module. ↩ 1 00EQ
Corollaire Soit L une extension séparable de K. On a ℜ(A_(L)) =ℜ(A)_(L) si L est algébrique sur K ou si l’anneau A est artinien à gauche. 00ER

§ 13. Algèbres absolument semi-simples

Définition 1 Soient K un corps commutatif et A une K-algèbre. On dit qu’un A-module M est absolument semi-simple si le A_(L)-module M_(L) est semi-simple pour toute extension L de K. 00F9
Proposition 1 Soit K un corps commutatif et soit A une K-algèbre. ↩ 3 00FA
Proposition 2 Soient K un corps commutatif, A une K-algèbre et M un A-module de dimension finie sur K. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 1 00FB
Lemme 1 Soit D un corps et soit Z son centre. Notons p l’exposant caractéristique de Z. On suppose que pour tout élément a de D, il existe un entier mgeqslant 0tel que a^pᵐ appartienne à Z… ↩ 2 00FC
Proposition 3 Soit K un corps séparablement clos (V, p. 43, déf. 4) et soit D une algèbre de degré fini sur K qui est un corps. Alors D est commutative. ↩ 3 00FD
Corollaire Soient K un corps séparablement clos et A une algèbre semi-simple de degré fini sur K. Il existe alors un entier rgeqslant 0, des entiers strictement positifs n₁, . . . , nᵣ et des… 00FE
Définition 2 Soit K un corps commutatif. On dit qu’une K-algèbre A est absolument semi-simple si l’anneau A_(L) est semi-simple pour toute extension L de K. 00FF
Théorème 1 Soient K un corps commutatif et A une K-algèbre. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 5 00FG
Lemme 2 Soient L un corps algébriquement clos et D un corps contenant L dans son centre. Si D est distinct de L, il existe une extension L' de L telle que l’anneau D⊗_LL' ne soit pas artin… ↩ 1 00FH
Lemme 3 Soient A une K-algèbre absolument semi-simple et L une extension algébriquement close de K. Alors l’algèbre A_(L) est isomorphe à un produit d’un nombre fini d’algèbres de matrices… 00FI
Lemme 4 Soient A et B des algèbres sur le corps K, possédant des systèmes générateurs finis ; soit K' une extension de K. Si les K'-algèbres A_(K') et B_(K') sont isomorphes, il existe une… ↩ 1 00FJ
Corollaire 1 Soient K un corps commutatif, A₁ et A₂ des K-algèbres. On suppose que A₁ est absolument semi-simple. ↩ 3 00FK
Corollaire 2 Soit K un corps séparablement clos et soit A une K-algèbre absolument semi-simple. Il existe alors un entier rgeqslant 0et des entiers strictement positifs n₁, . . . , nᵣ tels que… 00FL
Exemple Pour qu’une K-algèbre commutative soit absolument semi-simple, il faut et il suffit qu’elle soit étale (V, p. 28, déf. 1) : cela résulte de la définition et de l’équivalence des co… 00FM
Proposition 4 Soient K un corps commutatif et A une K-algèbre. ↩ 1 00FN
Corollaire Soient K un corps commutatif, A₁ et A₂ des K-algèbres, M₁ un A₁-module absolument semi-simple, M₂ un A₂-module semi-simple. Alors M₁⊗_KM₂ est un module semi-simple sur l’anneau A₁⊗… 00RF
Proposition 5 Les propriétés suivantes sont équivalentes : ↩ 7 00FO
Remarque 1 Soit e=∑ʳᵢ₌₁aᵢ⊗ a'ᵢ un élément de B. Les conditions (ii) de la prop. 5 se traduisent par les formules ↩ 1 00FP
Remarque 2 Soit K un anneau commutatif, soit A une K-algèbre et soit M un A-module. Le groupe End_K(M) est muni d’une structure de (A, A)-bimodule définie par ↩ 1 00FQ
Théorème 2 Soient K un corps commutatif, A une K-algèbre. Les propriétés suivantes sont équivalentes : ↩ 3 00RG
Remarque 3 On sait (VIII, p. 230, cor. 1) que le produit tensoriel de deux algèbres absolument semi-simples sur un corps commutatif est absolument semi-simple. Par suite, si l’algèbre A est a… 00FR
Proposition 6 Soient K un anneau commutatif et A une K-algèbre. Soit e= ∑ʳᵢ₌₁aᵢ⊗ a'ᵢ un élément de B = A⊗_KAᵒ vérifiant les conditions (ii) de la prop. 5 de VIII, p. 232. Pour tout entier ngeqsl… ↩ 2 00FS
Remarque 1 Les morphismes ∂ₙ: Cⁿ(A,P)→ Cⁿ⁺¹(A,P) définissent 00SF
Lemme 5 On a la relation 00FT
Théorème 3 Soient K un anneau commutatif, A une K-algèbre et P un (A,A)-bimodule. On suppose que le (A⊗_KAᵒ)-module A est projectif. On a alors Hⁿ(A,P) = 0pour tout entier ngeqslant 1. ↩ 3 00FU
Corollaire Toute K-dérivation de A dans P est intérieure. 00FV
Remarque 2 Les hypothèses du th. 3 sont notamment vérifiées lorsque K est un corps et A une K-algèbre absolument semi-simple (VIII, p. 233, th. 2). 00FW
Remarque 3 Supposons que le K-module A soit projectif. Le théorème 3 peut aussi se 00FX
Proposition 7 Supposons que le (A⊗_KoverlineAᵒ)-module A soit projectif. ↩ 1 00FY
Corollaire 1 (théorème de Wedderburn) Soient K un corps commutatif, A une K-algèbre, 𝔯 le radical de A. On suppose que la K-algèbre A/𝔯 est absolument semi-simple. ↩ 3 00S8
Corollaire 2 Soit A une algèbre commutative de degré fini sur un corps parfait K et soit 𝔯 son radical. Il existe une unique sous-algèbre S de A telle que A = S⊕ 𝔯. De plus, S est isomorphe au… 00FZ
Remarque 1 L’hypothèse que A/𝔯 est absolument semi-simple est essentielle dans le cor. 1 (VIII, p. 242, exerc. 4). 00G0
Remarque 2 Supposons que A soit une algèbre artinienne sur le corps K. Si A est commutative, on peut montrer (VIII, p. 176, exerc. 9) que A est isomorphe à un produit d’algèbres A₁× ⋯ × Aₙ te… 00G1

§ 14. Algèbres centrales et simples

Définition 1 On dit qu’une algèbre A sur le corps K est centrale si l’application λ → λ 1est une bijection de K sur le centre de A. 00GE
Remarque 1 Soient A et B des K-algèbres. Si l’algèbre A⊗_KB est centrale et simple, il en est de même de A et B (III, p. 41, cor. de la prop. 6 et VIII, p. 217, prop. 6). Réciproquement, si l… ↩ 2 00GF
Remarque 2 Soit A une K-algèbre et soit L une extension du corps K. Si la L-algèbre A_(L) est centrale et simple, alors la K-algèbre A est centrale et simple. Réciproquement, si l’un des degr… ↩ 2 00GG
Remarque 3 Soient A et B des K-algèbres équivalentes au sens de Morita. L’algèbre A est centrale simple si et seulement s’il en est de même de B (VIII, p. 101, prop. 6, p. 106, cor. et p. 98… 00GH
Remarque 4 En particulier, si A est une K-algèbre centrale et simple et si ngeqslant 1, alors Mₙ(A) est une K-algèbre centrale et simple (VIII, p. 98, exemple 1). ↩ 1 00GI
Théorème 1 Soit A une K-algèbre de degré fini. Les propriétés suivantes sont équivalentes : ↩ 14 00GJ
Corollaire 1 Soit A une algèbre centrale, simple et de degré fini sur un corps séparablement clos K. Il existe un entier ngeqslant 1tel que A soit isomorphe à l’algèbre de matrices Mₙ(K). ↩ 1 00GK
Corollaire 2 Soit A une algèbre centrale, simple, et de degré fini sur K (par exemple, un corps de centre K et de degré fini sur K). Il existe un entier ngeqslant 1tel que [A : K] =n². 00GL
Remarque 5 Soit A une algèbre centrale, simple et de degré fini sur K, dont le degré réduit est un nombre premier ℓ. Alors A est un corps ou A est isomorphe à M_ℓ(K). En effet, A est isomorph… 00GM
Lemme 1 Soient f et g des homomorphismes de B dans A. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 3 00GN
Lemme 2 Supposons que B soit un anneau semi-simple et un module de type fini sur son centre Z. Soient M et N des (B,A)-bimodules. Supposons-les de longueur finie (ce qui a lieu en particul… ↩ 3 00GO
Remarque Il résulte de la démonstration du lemme 2 que M et N sont des (Z,A)-bimodules de longueur finie. Par conséquent, si B et A sont deux anneaux semi-simples qui sont des modules de ty… 00GP
Théorème 2 Soient B un anneau semi-simple et Z son centre ; on suppose que B est un Z-module de type fini. Soit A un anneau artinien à droite et soient f et g des homomorphismes d’anneaux de… ↩ 3 00GQ
Corollaire Soient A et B des algèbres sur le corps K. On suppose que B est centrale, simple et de degré fini et que A est artinienne à droite. Soient f et g des homomorphismes de K-algèbres d… 00GR
Théorème 3 (Skolem-Noether) Soient A et B des K-algèbres simples, Z(A) et Z(B) leurs centres. On suppose que l’algèbre B est de degré fini sur K, et que l’algèbre Z(A)⊗_KZ(B)est un corps (ce qui a lieu en par… ↩ 1 00S9
Corollaire 1 Soit A une algèbre centrale et simple sur K, et soit L une extension de degré fini de K. Si f et g sont des homomorphismes de K-algèbres de L dans A, il existe un automorphisme int… ↩ 1 00GS
Corollaire 2 Soit A une algèbre centrale et simple sur K et soit L une sous-algèbre de A qui est un corps. Tout homomorphisme de K-algèbre de L dans A se prolonge en un automorphisme intérieur… ↩ 1 00GT
Corollaire 3 Soit D un corps, de centre K, et de degré fini sur K. Tout élément de D est algébrique sur K. Soient x et y des éléments de D ; pour qu’il existe un élément a de D^* tel que y=axa⁻… 00GU
Proposition 1 Soit A une algèbre centrale, simple et de degré fini sur K. Soit B une K-algèbre, soient f et g des homomorphismes d’algèbres de B dans A. Les conditions suivantes sont équivalente… ↩ 2 00GV
Théorème 4 Soient A un anneau semi-simple, Z son centre et u un automorphisme de A. On suppose que A est un Z-module de type fini et que l’on a u(z) =z pour tout z dans Z. Alors u est un auto… ↩ 2 00GW
Exemple Le th. 4 s’applique dans les deux cas particuliers suivants : 00RH
Proposition 2 Soient L un anneau commutatif et V un L-module libre de dimension finie m. On suppose que tout L-module M tel que Mᵐ soit isomorphe à Lᵐ est isomorphe à L. Alors tout automorphisme… 00GX
Théorème 5 Soit A une K-algèbre centrale et simple et soit B une sous-algèbre de A, semi-simple et de degré fini sur K. ↩ 6 00GY
Théorème 6 Soient A une K-algèbre centrale et simple, B une sous-algèbre de degré fini de A et B' son commutant dans A. ↩ 2 00GZ
Corollaire Supposons que le corps K soit algébriquement clos et que A soit une algèbre simple et de degré fini sur K. Soit B une sous-algèbre simple de A et soit B' le commutant de B dans A… 00H0
Lemme 3 Soient A une K-algèbre et L une sous-algèbre de A. ↩ 6 00H1
Proposition 3 Soit A une K-algèbre centrale, simple et de degré fini et soit L une sous-algèbre commutative semi-simple de A. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 10 00H2
Corollaire Soit A une algèbre centrale, simple et de degré fini sur K et soit L une K-algèbre commutative semi-simple telle que [A : K] soit égal à [L : K]²;soient f et g des homomorphismes i… 00H3
Lemme 4 Soit A une algèbre centrale, simple et de degré fini sur K, distincte de K. Il existe une sous-algèbre étale (V, p. 28, déf. 1) de A, distincte de K. ↩ 1 00H4
Proposition 4 Soit A une algèbre centrale, simple et de degré fini sur K. Soit L une sous-algèbre de A et soit L' le commutant de L dans A. ↩ 2 00H5
Corollaire 1 Soit A une K-algèbre centrale, simple et de degré fini. Toute sous-algèbre semi-simple (resp. étale) commutative de A est contenue dans une sous-algèbre commutative maximale de A q… ↩ 2 00H6
Corollaire 2 Soit D un corps de centre K et de degré fini sur K. ↩ 6 00H7
Proposition 5 Soit A une algèbre centrale, simple et de degré fini sur K. Soit B une sous-algèbre semi-simple de A et soit B' le commutant de B. 00H8
Proposition 6 Soit L la sous-algèbre diagonalisable de End_D(V)associée à une décomposition en somme directe V =⊕_i∈ IVᵢ. ↩ 1 00H9
Proposition 7 Soit L une algèbre commutative de degré fini sur K. Les assertions suivantes sont équivalentes : ↩ 1 00HA
Théorème 7 Soient A une K-algèbre centrale, simple et de degré fini, et L une sous-algèbre de A. Les conditions suivantes sont équivalentes : 00HB

§ 15. Groupes de Brauer

Proposition 1 L’ensemble C_K, muni de la loi de composition donnée par (α , β )→ cl(α ⊗_Kβ ), est un monoïde commutatif. L’élément neutre de C_K est la classe ε de la K-algèbre K. De plus, si A… 00HV
Lemme 1 Soient A une K-algèbre de degré fini et D un corps de degré fini sur K. Pour que l’on ait [A] = [D] dans M_K, il faut et il suffit qu’il existe un entier ngeqslant 1 tel que A soit… ↩ 4 00HW
Proposition 2 L’ensemble Br(K) est l’ensemble des éléments inversibles de M_K, l’inverse d’un élément [A] de Br(K) étant [Aᵒ]. Par suite, la loi de composition du monoïde M_K munit Br(K) d’une s… 00HX
Définition 1 Le groupe commutatif Br(K) est appelé le groupe de Brauer du corps K. 00HY
Lemme 2 Soient I et J des ensembles finis, k un anneau commutatif, A et B des k-algèbres. Notons M_I(A)la k-algèbre des matrices carrées de type (I,I)à éléments dans A et définissons de ma… ↩ 1 00HZ
Proposition 3 Soient A et B des K-algèbres centrales, simples et de degré fini. Les propriétés suivantes sont équivalentes : ↩ 2 00I0
Corollaire Soient A et B des algèbres centrales, simples et de degré fini sur K. Pour que A et B soient isomorphes, il faut et il suffit qu’elles soient semblables et de même degré. 00I1
Proposition 4 Soit K_K l’ensemble des classes de K-algèbres centrales de degré fini qui sont des corps. L’application D→ [D]de K_K dans Br(K) est bijective. 00I2
Proposition 5 Soit A une K-algèbre centrale, simple et de degré fini et soit L une extension de degré fini de K. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 4 00I3
Lemme 3 Soit A une K-algèbre centrale, simple et de degré fini et soit L une extension de degré fini de K qui déploie A. Soit V un A_(L) module simple, si bien que le morphisme naturel φ… ↩ 2 00I4
Corollaire 1 Soient A une K-algèbre centrale, simple et de degré fini, et L une extension de degré fini de K. Supposons que [A : K] = [L : K]². Pour que L déploie A, il faut et il suffit que A… 00I5
Corollaire 2 Soient D un corps de centre K et de degré fini sur K, et L une extension de degré fini de K déployant D. Le degré réduit de D divise [L : K]. ↩ 2 00I6

§ 16. Autres descriptions du groupe de Brauer

Lemme 1 La relation 00I9
Exemple 1 Le produit semi-direct externe (F×_τG, i, p) (I, p. 64, prop. 3) est une τ-extension qu’on notera I_τ. On dira qu’une τ-extension est semi-triviale si elle est isomorphe à la τ-ext… 00IA
Exemple 2 Pour i∈ 1,2, on se donne un groupe Gᵢ, un groupe abélien Fᵢ et un homomorphisme de groupes τᵢ de Gᵢ dans le groupe des automorphismes de Fᵢ. On note τ₁× τ₂: G₁× G₂→ Aut(F₁× F₂) l’h… 00IB
Proposition 1 Le diagramme ↩ 1 00IC
Lemme 2 Soit F'₁ un groupe abélien et soient w : F'₁ → F et τ₁ : G' → Aut(F'₁) des homomorphismes de groupes tels que w(τ₁(g)(f)) = τ(u(g))(w(f)) ↩ 2 00ID
Corollaire 1 Soient E₁ et E₂ des τ-extensions de G par F et soit ψ un morphisme de τ-extensions de E₁ dans E₂. Notons φ₁ (resp. φ₂) l’homomorphisme canonique pour u^*(E₁) (resp. u^*(E₂)). Alors… ↩ 1 00IE
Corollaire 2 Soit u' : G'' → G' un homomorphisme de groupes et soit E une τ-extension de G par F. Posons τ'' = τ' ∘ u' et notons φ (resp. φ', φ'') l’homomorphisme canonique associé à la τ'-exte… ↩ 1 00IF
Exemple Soit H un sous-groupe de G et j : H → G l’injection canonique. Alors pour toute τ-extension E = (Γ, ι, π), la τ ∘ j-extension j^*(E) est isomorphe à (barπ¹(H), ι', π') où ι' : F →… 00RI
Proposition 2 Avec les notations qui précèdent, le diagramme ↩ 4 00IG
Lemme 3 Soit G'₁ un groupe et soient w : G → G'₁ et τ₁ : G'₁ → Aut(F') des homomorphismes de groupes tels que τ' = τ₁ ∘ w. Soit E'₁ = (Γ'₁, ι'₁, π'₁) une τ₁-extension de G'₁ par F' et soit… ↩ 1 00IH
Remarque Notons Σ l’espèce de structure de τ'-extension et définissons les α-applications comme les applications de Γ dans un groupe Γ' sous-jacent à une τ'-extension qui sont des homomorph… 00II
Corollaire 1 Soient E₁ et E₂ des τ-extensions de G par F et soit ψ un morphisme de τ-extensions de E₁ dans E₂. Notons φ₁ (resp. φ₂) l’homomorphisme canonique pour v_*(E₁) (resp. v_*(E₂)). Alors… ↩ 1 00IJ
Corollaire 2 On conserve les notations de la proposition. Soit F'' un groupe abélien et soient τ'' : G → Aut(F'') et v' : F' → F'' des homomorphismes de groupes tels que τ''(g).v'(f) = v'(τ'(g)… ↩ 1 00RJ
Exemple 1 Soit j : 1 → F l’injection canonique. L’extension semi-triviale I_τ est isomorphe à j_*((G, i, Id_G)) où i : e → G est l’injection canonique. Soit c : F → F l’homomorphisme constan… ↩ 1 00IK
Exemple 2 Soit E un sous-groupe de F stable pour l’action de G. Notons F' le quotient de F par E, v : F → F' l’homomorphisme canonique et τ' : G → Aut(F') l’action de G sur F' caractérisée p… 00IL
Proposition 3 Soient G et G' des groupes. Soient F et F' des groupes abéliens. Soient τ : G → Aut(F), τ' : G → Aut(F'), u : G' → G et v : F → F' des homomorphismes de groupes tels que τ'(g).v(f)… ↩ 1 00IM
Remarque Soient E₁ = (Γ₁, ι₁, π₁) et E₂ = (Γ₂, ι₂, π₂) des τ-extensions de G par F. Soit E₁ E₂ = (Γ, ι, π) le produit de ces extensions. Compte tenu de l’exemple de VIII, p. 284, la constru… 00IN
Proposition 4 Le produit des τ-extensions munit l’ensemble Ex_τ(G, F) d’une structure de groupe abélien. Son élément neutre est la classe de l’extension semi-triviale I_τ. L’inverse de la classe… 00IO
Proposition 5 a) Soient G et G' des groupes. Soit F un groupe abélien. Soient τ : G → Aut(F) et u : G' → G des homomorphismes de groupes. L’application u^* : Ex_τ(G, F) → Ex_τ ou(G', F) est un h… 00IP
Proposition 6 L’application c_σ est un élément du groupe Z²(G,F)et sa classe dans le groupe de cohomologie H²(G,F)ne dépend que de la classe de la τ-extension E. On l’appelle la classe de cohomo… 00IQ
Théorème 1 L’application Θ est un isomorphisme de groupes de Ex_τ(G,F)sur H²(G,F). 00IR
Remarque Soit G un groupe, soient F et F' des groupes abéliens, soit τ (resp. τ ') un homomorphisme de groupes de G dans le groupe des automorphismes de F (resp. F') et soit v: F→ F' un mor… 00RK
Proposition 7 Avec les notations qui précèdent, le diagramme 00IS
Lemme 4 Si c : H × H → F est un 2-cocycle de H à valeurs dans F, alors tildecₛ est un 2-cocycle de G à valeurs dans F. 00IT
Lemme 5 Si c est un 2-cobord, alors il en est de même de widetildecₛ. 00IU
Lemme 6 Soit c un 2-cocycle de H à valeurs dans F. L’image de widetildecₛ dans le groupe H²(G,F)ne dépend pas du choix de la section s. 00IV
Proposition 8 Soit H un sous-groupe d’indice fini de G. L’endomorphisme Corᴳ_H∘ Resᴳ_H du groupe H²(G,F)coïncide avec la multiplication par l’indice (G : H). ↩ 1 00IW
Lemme 7 a) Soit S une partie de G telle que tout élément de G s’écrive de manière unique sous la forme hs avec h∈ Het s∈ S. Alors l’application envoyant f sur (f(s))_s∈ S est un isomorphis… ↩ 3 00IX
Remarque 1 Soient G un groupe, H un sous-groupe de G et N un sous-groupe de H. Soit E une (K, N)-algèbre. Soit α un élément de F_H(G,F_N(H,E)). On a la relation 00IY
Lemme 8 a) Pour tout g∈ G, tout σ ∈ O et tout 𝔪∈ σ, ↩ 2 00RL
Lemme 9 Le morphime u est surjectif de noyau 𝔞_σ. L’application déduite de u par passage au quotient est un isomorphisme de (K,G)-algèbres de L_σ sur F_𝔪. ↩ 1 00IZ
Lemme 10 Soit L une (K,G)-algèbre qui est étale sur K. L’application ψ de L_(Ω ) dans F(H,Ω )caractérisée par la relation ↩ 1 00J0
Théorème 2 Soit G un groupe fini et soit L une K-algèbre commutative, de degré fini et réduite munie d’une action de G donnée par un homomorphisme injectif λ de G dans Aut_K(L). Alors, les co… ↩ 9 00J1
Remarque 2 Dans le théorème 2, on peut remplacer l’hypothèse que Ω est algébriquement clos par l’hypothèse que Ω est séparablement clos. En effet, si L est étale, l’image de tout homomorphism… 00J2
Remarque 3 Le théorème de la base normale (V, p. 70, th. 6) est un cas particulier de l’implication (i)⇒(iv) dans le théorème 2. 00J3
Définition 1 Soit G un groupe fini et soit L une algèbre commutative, non nulle, et de degré fini sur K, munie d’une structure de (K,G)-algèbre, l’action de G étant donnée par un homomorphisme… 00J4
Remarque 4 Supposons que L soit une extension de K munie d’une action λ de G. Alors L est une algèbre galoisienne sur K si et seulement si L est une extension galoisienne de K et λ un isomorp… 00J5
Remarque 5 Supposons que le groupe G soit commutatif. Si G opère fidèlement et transitivement sur un ensemble X, le stabilisateur de tout point de X est réduit à l’identité (car les stabilisa… 00J6
Remarque 6 D’après V, p. 72, lemme 5, V, p. 73, prop. 12 et VIII, p. 133, prop. 3, une algèbre galoisienne est commutative et semi-simple. ↩ 1 00J7
Exemple 1 Soit n un entier strictement positif, étranger à l’exposant caractéristique de K. On suppose que le groupe μₙ des racines n-èmes de l’unité dans K est d’ordre n. Pour tout diviseur… 00J8
Exemple 2 Supposons maintenant que le corps K soit de caractéristique pnot= 0. Soit c un élément de K. Le polynôme f= Xᵖ-X-c est étranger à sa dérivée f'=-1, l’algèbre L = K[X]/(f) est donc… 00J9
Proposition 9 Soit G un groupe fini, soit H un sous-groupe de G et soit E une algèbre galoisienne de groupe H sur le corps K. Alors la (K,G)-algèbre Coïndᴳ_H(E) déduite de E par coïnduction de H… 00JA
Proposition 10 Soit G un groupe fini. Soit L une algèbre galoisienne de groupe G sur le corps K et soit K' une extension de K. Alors la (K',G)-algèbre L_(K') est une algèbre galoisienne sur K'. ↩ 1 00JB
Proposition 11 Soient G₁ et G₂ des groupes. Soient L₁ et L₂ des algèbres galoisiennes sur K d’actions respectives λ₁: G₁→ Aut_K(L₁)et λ₂: G₂→ Aut_K(L₂). Posons L = L₁⊗_KL₂, G = G₁× G₂ et λ (g₁, g… ↩ 1 00JC
Lemme 11 Soient G₁ et G₂ des groupes et soient W₁ et W₂ des K-espaces vectoriels. On munit W₁ (resp. W₂)d’une action de G₁ (resp. G₂)donnée par un homomorphisme de groupes ρ₁: G₁→ Aut_K(W₁)… ↩ 1 00JD
Remarque ☡ Soit L une extension galoisienne de degré fini du corps K et soit G son groupe de Galois ; notons λ l’application identique de G. Alors L muni de λ est une algèbre galoisienne de… 00JE
Proposition 12 Soient B une K-algèbre, u': L→ Bun homomorphisme de K-algèbres et v': Γ → B^* un homomorphisme de groupes. On suppose vérifiées les relations ↩ 2 00JF
Remarque Soit σ : G→ Γ une section de l’application π. Posons ε_g=v(σ (g)) pour tout g de G et notons c_σ le 2-cocycle associé à σ (VIII, p. 291). En particulier 00JG
Proposition 13 Il existe un isomorphisme de K'-algèbres φ de A[E; L]_(K') dans A[E'; L'], et un seul, qui satisfasse aux relations 00JH
Théorème 3 Soit E= (Γ , ι , π )une τ-extension de G par L^*. L’algèbre A[E; L] est simple, centrale et de rang n² sur K. De plus, l’homomorphisme canonique u de L dans A[E; L]est un isomorphi… ↩ 1 00JI
Lemme 12 a) Il n’existe aucun idéal de L, autre que 0 et L, qui soit invariant par G. 00JJ
Théorème 4 Soit A une algèbre simple et centrale, de rang fini sur K et soit L une sous-algèbre commutative maximale de A. Alors il existe une τ-extension E de G par L^* telle que A soit isom… ↩ 1 00JK
Définition 2 Soit S l’ensemble des idéaux maximaux de L. On définit 00JL
Théorème 5 Il existe un isomorphisme de groupes 00JM
Remarque 1 Si L est une algèbre étale sur K et G le groupe des automorphismes de L, il n’est pas toujours vrai que l’algèbre A[E; L] soit simple et centrale (par exemple, on peut prendre L =… 00JN
Remarque 2 On peut calculer comme suit un 2-cocycle c associé à une algèbre A déployée par une extension galoisienne finie L de groupe G. Tout d’abord, il existe un K-homomorphisme φ : A → Mₘ… 00JO
Corollaire L’application Φ_L/K = Θ ∘ Ψ⁻¹ définit un isomorphisme de groupes de Br(L/K) sur H²(G, L^*). 00JP
Proposition 14 Le diagramme ↩ 1 00JQ
Théorème 6 Soit K un corps commutatif et soit A une algèbre centrale, simple et de degré fini sur K. Soit L une extension séparable de degré fini de K qui déploie l’algèbre A. Alors [L : K][A… ↩ 2 00JR
Corollaire 1 L’exposant d’une algèbre centrale simple et de degré fini sur un corps commutatif divise son indice. 00JS
Corollaire 2 Soit K un corps commutatif et soit A une algèbre centrale, simple et de degré fini sur K. Soit p un nombre premier. Si p divise l’indice de A, alors il divise l’exposant de A. ↩ 1 00JT
Corollaire 3 Soit K un corps parfait de caractéristique p et soit A une algèbre centrale et simple de degré fini sur K, alors p ne divise pas l’indice de A. ↩ 1 00JU
Remarque En considérant des produits tensoriels d’algèbres de quaternions, il est possible de construire des corps de centre K d’exposant 2 et d’indice arbitrairement grand (cf. VIII, p. 36… 00JV

§ 17. Normes et traces réduites

Proposition 1 Soient L un anneau commutatif, M un L-module libre de dimension finie mgeqslant 1et u un endomorphisme de M. Il existe un endomorphisme widetildeu de M, et un seul, satisfaisant à… ↩ 2 00KD
Lemme 1 Soit p un entier tel que 0leqslant pleqslant m. Pour tout w dans ∧ᵖ(M), soit hₚ(w)l’application linéaire w'→ w∧ w' de ∧ᵐ⁻ᵖ(M)dans ∧ᵐ(M). L’application linéaire hₚ:w→ hₚ(w)de ∧ᵖ(M)d… 00KE
Remarque 1 L’endomorphisme widetildeu de M coïncide avec celui que nous avons appelé le cotransposé de u en III, p. 99. 00KF
Remarque 2 Des formules (1), (2), (4) et (6), on déduit la relation χᵤ(u) = 0, d’où une autre démonstration du théorème de Hamilton-Cayley (III, p. 107). ↩ 1 00KG
Remarque 3 Comme l’application cᵣ de End(M) dans L est polynomiale homogène de degré r pour 0leqslant rleqslant m-1, il résulte de la formule (6) que l’application u→ widetildeu de End(M) dan… 00KH
Proposition 2 Soient a un élément de A et Pc(a; X)son polynôme caractéristique. Il existe un polynôme unitaire P dans K[X], et un seul, tel que l’on ait Pc(a; X) = P(X)ⁿ. 00KI
Lemme 2 Soient P et Q des polynômes unitaires de K[X] et s un entier strictement positif. Si l’on a Pˢ= Qˢ, on a P = Q. ↩ 5 00KJ
Définition 1 Soit a un élément de l’algèbre A. On appelle polynôme caractéristique réduit de a (relativement à A) l’unique polynôme unitaire de K[X], que l’on note Pcrd_A/K(a; X), qui satisfait… ↩ 1 00RM
Définition 2 On dit que Trd_A/K(a)est la trace réduite de a et Nrd_A/K(a)sa norme réduite (relativement à la K-algèbre A). ↩ 2 00KK
Proposition 3 Pour qu’un élément a de A soit inversible, il faut et il suffit que sa norme réduite soit non nulle. En particulier, A est un corps si et seulement si l’on a Nrd_A/K(a)not= 0pour t… ↩ 2 00KL
Remarque Soit L le corps K(X) des fractions rationnelles en une indéterminée X. Le polynôme caractéristique réduit d’un élément a de A n’est autre que la norme réduite de l’élément X⊗ 1-1⊗… 00KM
Exemple 1 D’après le th. 1 de VIII, p. 116, il existe un entier rgeqslant 1 et un corps D tels que A soit isomorphe à Mᵣ(D); soit d le degré réduit de D sur K ; on a r=n/d. Soit M un A-modul… 00RN
Exemple 2 Considérons le cas particulier où A est l’algèbre End_K(V) des endomorphismes d’un K-espace vectoriel V de dimension finie sur K. Prenant pour M le A-module simple V, on obtient le… ↩ 1 00RO
Proposition 4 Soient L une extension de K et a un élément de l’algèbre centrale et simple A. On a les relations ↩ 2 00KN
Corollaire 1 Soient L une extension de K, V un espace vectoriel de dimension n sur L et θ un homomorphisme de K-algèbres de A dans End_L(V). Pour tout élément a de A, on a ↩ 4 00KO
Corollaire 2 Soient a et a' des éléments de A et λ un élément de K. On a les relations 00KP
Corollaire 3 Soit Aᵒ l’algèbre opposée de A. Pour tout a dans A, on a 00RP
Proposition 5 Pour tout x dans A, soit tₓ la forme linéaire y→ Trd_A/K(xy) sur A. ↩ 2 00KQ
Corollaire Le sous-espace vectoriel de A engendré par les éléments de la forme xy-yx, où x et y parcourent A, est un hyperplan, noyau de la forme linéaire non nulle Trd_A/K. 00KR
Remarque D’après la formule (23) de VIII, p. 334, on a 00KS
Lemme 3 Soient L une extension de K, I un ensemble, T = (Tᵢ)_i∈ I une famille d’indéterminées. On a K(T)∩ L[T] = K[T]. ↩ 1 00KT
Proposition 6 Pour tout entier r tel que 0leqslant rleqslant n, l’application bᵣ de A dans K est polynomiale homogène de degré r. En particulier, la norme réduite est une application polynomiale… ↩ 2 00KU
Lemme 4 Soit u l’élément ∑_i∈ ITᵢ⊗ eᵢ de la K(T)-algèbre centrale et simple A_(K(T)). Soit P le polynôme caractéristique réduit de cet élément u. Alors P appartient à l’anneau K[T][X];cons… ↩ 1 00KV
Lemme 5 Pour toute extension K' de K et tout élément (tᵢ)_i∈ I de K'ᴵ, on a ↩ 1 00KW
Remarque Soit K' une K-algèbre commutative. Tout élément t de A_(K') s’écrit sous la forme ∑_i∈ Itᵢ⊗ eᵢ, avec (tᵢ)∈ K'ᴵ. Il ressort de la démonstration du lemme 5 que le polynôme caractéris… 00KX
Proposition 7 Soient L une sous-algèbre semi-simple commutative maximale de A et a un élément de L. On a ↩ 1 00KY
Corollaire Soit D un corps de centre K, et de degré fini sur K. Soient a un élément de K et L un sous-corps commutatif maximal de D contenant a. On a 00KZ
Proposition 8 Soit B une sous-algèbre simple de A. Notons L le centre de B et B' le commutant de B dans A. Alors B' est une algèbre centrale et simple sur le corps L ; notons r son degré réduit… ↩ 2 00L0
Lemme 6 Soient K' une algèbre commutative de degré fini d sur K et 00L1
Proposition 9 Soit V un espace vectoriel à droite sur le corps D, de dimension finie. Soit E l’algèbre End_D(V)sur le corps K ; elle est centrale, simple et de degré fini. Pour tout élément inve… 00L2
Remarque On a Nrd_E/K(u) = 0 si l’élément u de E n’est pas inversible (VIII, p. 334, prop. 3). 00L3

§ 18. Algèbres simples sur un corps fini

Théorème 1 (Chevalley-Warning) Soit K un corps commutatif fini, de caractéristique p. Soient n un entier geqslant 1et (fᵢ)_i∈ I une famille finie d’éléments non nuls de K[X₁, . . . ,Xₙ]. Notons Z l’ensemble des… ↩ 2 00SA
Lemme 1 Soient L un corps, G un groupe fini et χ un homomorphisme non trivial de G dans le groupe multiplicatif L^*. On a ∑_x∈ Gχ (x) = 0. ↩ 1 00LB
Lemme 2 Soit q le cardinal de K. Pour tout entier mgeqslant 0, posons Sₘ = ∑_x∈ Kxᵐ. On a Sₘ=-1si m est un multiple non nul de q-1et Sₘ= 0dans les autres cas. 00LC
Corollaire Soient V un espace vectoriel de dimension finie n sur K, I un ensemble fini, et pour chaque i∈ I, soit Fᵢ: V→ Kune application polynomiale homogène de degré dᵢ>0. Si l’on a ∑_i∈ Id… 00LD
Théorème 2 (Wedderburn) Tout corps fini est commutatif. ↩ 4 00SB
Corollaire 1 Tout anneau simple fini est isomorphe à un anneau de matrices Mₙ(L)où n est un entier strictement positif et L un corps commutatif fini. 00LE
Corollaire 2 Soit K un corps commutatif fini. Toute algèbre simple centrale sur K est isomorphe à une algèbre de matrices Mₙ(K)où n est un entier strictement positif. ↩ 2 00LF
Remarque 1 Voici une autre démonstration du théorème 2. Soit D un corps fini, soit K son centre et soit L un sous-corps commutatif maximal de D. Soit x un élément de D^*; il appartient à un s… 00LG
Remarque 2 Soit L un corps commutatif qui satisfait à la propriété suivante : ↩ 1 00LH
Remarque 3 Supposons que le corps K satisfasse à la condition suivante : 00LI

§ 19. Algèbres de quaternions

Proposition 1 Le polynôme caractéristique d’un élément q de F est égal à (X²-T_F(q)X + N_F(q))². ↩ 1 00LQ
Remarque 1 Supposons la caractéristique de K différente de 2 et posons i'= 2i-β. Alors (1, i') est une base de E sur K et l’on a i'²= 4α +β². Il en résulte que E est isomorphe à l’algèbre qua… ↩ 1 00LR
Remarque 2 L’algèbre de quaternions de type (α ,0, γ ) est isomorphe à l’algèbre de quaternions de type (γ ,0, α ) (III, p. 18). Elle est aussi isomorphe à l’algèbre de quaternions de type (α… ↩ 1 00LS
Remarque 3 Soit q un élément de F. Pour que q soit nilpotent, il faut et il suffit que son polynôme caractéristique soit égal à X⁴, c’est-à-dire que T_F(q) = N_F(q) = 0 et on a alors q²= 0. ↩ 2 00LT
Exemple L’algèbre de matrices M₂(K) est isomorphe à l’algèbre de quaternions de type (0,1,1). Considérons en effet l’algèbre quadratique E = K× K (de type (0,1)) et l’algèbre de quaternion… 00LU
Proposition 2 a) Supposons le corps K de caractéristique différente de 2. Si γ ou 4α +β² est non nul, le centre de F est égal à K ; sinon il est de dimension 2 et engendré par 1 et ij-ji. ↩ 3 00LV
Proposition 3 Soient α ,β ,γ des éléments de K et soit F une algèbre de quaternions de type (α , β , γ ). Notons T_F et N_F sa trace et sa norme cayleyennes. Les conditions suivantes sont équiva… 00LW
Proposition 4 Soit A une algèbre centrale et simple de degré 4 sur K. Notons p la caractéristique de K. ↩ 2 00LX
Corollaire 1 Soit A une K-algèbre centrale et simple, de degré fini >1, dont tout élément est algébrique de degré leqslant 2sur K. Alors A est isomorphe à une algèbre de quaternions sur K. ↩ 1 00LY
Corollaire 2 Soit (E, s)une algèbre cayleyenne sur K, telle que la K-algèbre E soit centrale, simple et de degré fini >1sur K. Alors E est isomorphe à une algèbre de quaternions sur K. 00LZ
Proposition 5 Les conditions suivantes sont équivalentes : 00M0
Remarque Supposons que l’algèbre de quaternions F soit un corps. Il résulte de l’égalité j²=γ que l’on a γ not= 0. D’après la prop. 2 de VIII, p. 355, le centre de F est égal à K, sauf si K… 00RQ
Théorème 1 Soit D une R-algèbre de degré fini qui est un corps. Alors D est isomorphe à R, C ou H. ↩ 1 00M1
Remarque 1 Soit O l’algèbre d’octonions de type (-1,0,-1,-1) sur R (III, p. 176). Soit D une algèbre cayleyenne alternative sur R telle que tout élément non nul de D ait un inverse. On peut d… ↩ 1 00M2
Remarque 2 Ce qui précède s’applique au corps Rdes nombres réels. Toute R-algèbre de 00M3
Remarque 3 Soit A une algèbre normée sur le corps R. Supposons que A soit un corps. Alors A est isomorphe à R, Cou H(« théorème de Gelfand-Mazur ») (cf. AC, p. 123, th. 1 et TS, I, §2, nᵒ5, c… 00M4

§ 20. Représentations linéaires des algèbres

Définition 1 Soit M un K-module. On appelle représentation linéaire de l’algèbre A dans M un K-homomorphisme π de A dans l’algèbre End_K(M). ↩ 1 00MD
Proposition 1 a) L’application φ induit une bijection de l’ensemble des idéaux à gauche (resp. à droite, resp. bilatères) de A, de codimension finie, sur l’ensemble des sous-A-modules à droite (… ↩ 1 00ME
Définition 2 On appelle dual restreint de la K-algèbre A, et l’on note Θ(A), la réunion dans A^* des orthogonaux des idéaux bilatères de codimension finie de A. ↩ 1 00MF
Remarque 1 Supposons que M soit de dimension finie sur K ; Soit (e₁, . . . , eₙ) une base de V et soit (e^*₁, . . . , e^*ₙ) sa base duale. Notons (πᵢⱼ(a)) la matrice de π (a) par rapport à la… 00MG
Remarque 2 Soit E un A-module et soit E' un sous-module de E. Par le cor. du th. 5 de II, p. 102, on a Θ_E'(A)⊂ Θ_E(A) et Θ_E/E'(A)⊂ Θ_E(A). ↩ 1 00MH
Lemme 1 L’application c''_E est bijective. Si E est de dimension finie, il en est de même de c'_E. 00MI
Proposition 2 Soit E un A-module à gauche. ↩ 4 00MJ
Remarque 3 Soit E un sous-A-module à gauche de A^*. Soit ε la forme linéaire y→ y(1) sur E. Pour tout x dans E, on a x=c_E(x, ε ), donc E est un sous-A-module de Θ_E(A). ↩ 1 00MK
Proposition 3 Soit (V, π )une représentation linéaire de dimension finie de l’algèbre A. Le noyau 𝔞 de π est un idéal bilatère de codimension finie de A, et Θ_π(A) est l’orthogonal de 𝔞 dans A^*… ↩ 1 00ML
Corollaire Le dual restreint Θ(A) de A est l’ensemble des coefficients des représentations linéaires de dimension finie de A. 00MM
Théorème 1 a) L’ensemble Θˢˢ(A)se compose des coefficients des représentations semi-simples de dimension finie de A. C’est un sous-(A,A)-bimodule de A^*. ↩ 3 00MN
Corollaire 1 Toute A-module simple de dimension finie sur K est isomorphe à un sous-A-module de Θ(A). 00MO
Corollaire 2 Si deux A-modules simples de dimension finie de A ont un même coefficient non nul, ils sont isomorphes. 00MP
Proposition 4 a) Il existe un homomorphisme de groupes λ_S de S⊗_DS^* dans Θ_S(A), caractérisé par ↩ 1 00MQ
Remarque Lorsque le corps K est algébriquement clos, on a D = K d’après le th. 1 de VIII, p. 43 et λ_S est un isomorphisme de (A, A)-bimodules de S⊗_KS^* sur Θ_S(A). 00MR
Proposition 5 Soit S un A-module simple de dimension finie sur K, soit D le corps opposé du commutant de S et soit Z le centre de D. Les conditions suivantes sont équivalentes : 00MS
Corollaire Si le corps K est parfait, les conditions (i) à (iii) sont satisfaites. 00MT
Proposition 6 Soit S₀ l’ensemble des classes de A-modules simples de dimension finie sur K, dont les traces ne sont pas nulles. La famille de formes linéaires (Tr_S)_S∈S₀ est libre sur K. ↩ 2 00MU
Remarque Soit S_K l’ensemble des classes de A-modules simples qui sont de dimension finie sur K. La prop. 6 résulte aussi du fait que la somme des Θ_S(A), pour S parcourant S_K, est directe… 00RR
Corollaire a) Supposons le corps K de caractéristique 0. Les homomorphismes θ et θ_K sont injectifs. Pour que deux A-modules, semi-simples et de dimension finie sur K, soient isomorphes, il f… ↩ 2 00MV
Théorème 2 Soit A une partie génératrice du K-espace vectoriel A. L’homomorphisme χ_A : R_K(A) → (1 + TK[[T]])^A défini par χ_A(x) = (χₐ(x))_a ∈ A est injectif. ↩ 1 00MW
Corollaire 1 Soient E et F des A-modules semi-simples de dimension finie sur K et soit A une partie génératrice du K-espace vectoriel A. Supposons que pour tout a∈ A, les polynômes caractéristi… ↩ 3 00MX
Corollaire 2 Soit A une algèbre centrale, simple et de degré fini sur K. Soit B une K-algèbre semi-simple, soient f, g des homomorphismes d’algèbres de B dans A et soit B une partie génératrice… 00MY
Proposition 7 Un sous-A-module à gauche de A^*, de dimension finie sur K est contenu dans Θ_C(A)si et seulement s’il est de type C. ↩ 1 00MZ
Corollaire Soit E un A-module de dimension finie sur K. Pour que E soit de type C, il faut et il suffit que Θ_E(A)soit contenu dans Θ_C(A). 00N0
Proposition 8 Sur l’espace vectoriel Θ(A), il existe une unique structure de cogèbre (III, p. 138) telle que l’application η : A → Θ(A)^* soit un homomorphisme de A dans l’algèbre duale (III, p… 00N1
Lemme 2 Soit c : Θ(A) → Θ(A) ⊗ Θ(A) une application K-linéaire. Pour que η soit un homomorphisme de A dans l’algèbre duale de la cogèbre (Θ(A), c), il faut et il suffit que le diagramme ↩ 1 00RS
Remarque 1 Soit (V, π) une représentation linéaire de dimension finie de l’algèbre A. Introduisons une base (e₁, …, eₙ) de V et la base duale (e₁^*, …, eₙ^*) de V^*. D’après la démonstration… 00N2
Définition 3 Soient C une cogèbre sur le corps K et c son coproduit. On appelle sous-cogèbre de C tout sous-espace vectoriel C₁ de C tel que c(C₁) soit contenu dans l’image canonique de C₁ ⊗_K… 00N3
Proposition 9 Soit Θ un sous-espace vectoriel de Θ(A). Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 1 00N4
Remarque 2 Soit Θ une sous-cogèbre de Θ(A). Munissons K de la topologie discrète et l’algèbre A de la topologie la moins fine rendant continues les applications f: A→ K pour f parcourant Θ (T… 00N5

§ 21. Représentations linéaires des groupes finis

Définition 1 Soit M un K-module. On appelle représentation linéaire de G dans M tout homomorphisme de groupes de G dans le groupe linéaire GL(M) (II, p. 5). 00NC
Proposition 1 On suppose que K est un corps commutatif. Soient π et π ' des représentations K-linéaires semi-simples de dimension finie de G. 00ND
Exemple 1 La représentation unité de G est la représentation (K, ε ) où ε (g) = Id_K pour tout g∈ G. Son caractère est la fonction constante de valeur 1. ↩ 1 00NE
Exemple 2 La représentation régulière (gauche) de G est la représentation γ de G dans K[G] définie par γ (g)(x) =gx pour g∈ G et x∈ K[G]. Elle correspond à la représentation régulière gauche… 00NF
Exemple 3 Étant donnée une représentation linéaire (M, π ) de G, la représentation contragrédiente ou duale π^∨ de π est la représentation de G dans le K-module dual de M définie par la rela… 00NG
Exemple 4 Soient (M, π ) et (M', π ') des représentations linéaires de G. On a défini dans l’exemple 1 de VIII, p. 193 une structure de K[G]-module sur M⊗_KM'. La représentation linéaire cor… 00NH
Exemple 5 Supposons que G soit le produit G'× G'' de deux groupes. L’application K-linéaire de K[G']⊗_KK[G''] dans K[G] qui envoie g'⊗ g'' sur (g', g'') pour g'∈ G' et g''∈ G'' est un isomor… ↩ 1 00NI
Exemple 6 Soit (V, π ) une représentation linéaire de G, tel que V soit un K-module libre de dimension finie. On définit une représentation ρ de G× G dans End_K(V) par la formule ↩ 1 00NJ
Théorème 1 On suppose que le groupe G est fini. Soit M un K[G]-module, soit N un sous-K[G]-module de M. On suppose que N est un facteur direct du K-module M et que G est inversible dans K. Al… ↩ 3 00NK
Corollaire 1 (Maschke) On suppose que le groupe G est fini et que K est un corps commutatif. L’algèbre K[G] est semi-simple si et seulement si l’élément G du corps K n’est pas nul. ↩ 2 00SC
Corollaire 2 On suppose que le groupe G est fini et que G est inversible dans K. Une suite exacte de K[G]-modules est scindée si et seulement si elle est scindée en tant que suite exacte de K-m… ↩ 1 00NL
Corollaire 3 On suppose que le groupe G est fini et que G est inversible dans K. Un K[G]-module est projectif si et seulement s’il est projectif en tant que K-module. 00NM
Corollaire 4 a) On suppose que le groupe G est fini et que K est un corps commutatif de caractéristique 0. Pour que deux représentations linéaires, de dimension finie, de G soient isomorphes, i… 00NN
Corollaire 5 Supposons que le groupe G est fini et que K est un corps commutatif dans lequel |G| not= 0. Soient π et π ' des représentations linéaires de dimension finie de G. Pour que π et π '… ↩ 1 00NO
Proposition 2 Soit H un sous-groupe de G et soit (M, σ )une représentation linéaire de H. L’homomorphisme canonique ι : Indᴳ_H(σ )→ Coïndᴳ_H(σ )est injectif. Si le sous-groupe H est d’indice fin… 00NP
Proposition 3 Soit H un sous-groupe d’indice fini de G. Soit (M, σ )une représentation linéaire de H. Supposons que M est un K-module libre de dimension finie. Notons (V, π )la représentation de… ↩ 1 00NQ
Remarque Soit (V, π ) une représentation linéaire de G. D’après le théorème de Maschke, le K[G]-module V est semi-simple. Pour tout λ ∈ widehatG, notons V^λ le composant isotypique de type… 00NR
Remarque Identifions l’algèbre End_K(V_λ) à l’algèbre de matrices M_d_λ(K) au moyen de la base (e_λ ,j) de V_λ. L’application overlineF⁻¹ est un isomorphisme de l’algèbre ∏_λM_d_λ(K) sur l’… 00NS
Proposition 4 (Relation d’orthogonalité des caractères) Pour λ et μ dans widehatG, on a ⟨ χ_λ, χ_μ⟩_G=δ_λ μ. ↩ 3 00SG
Corollaire Soient π et π ' des représentations linéaires de dimension finie de G. On a, dans le corps K, 00NT
Proposition 5 La famille (χ_λ)_λ∈widehatG est une base de l’espace vectoriel des fonctions centrales. Le nombre de classes de représentations linéaires simples de G est égal au nombre de classes… ↩ 4 00NU
Proposition 6 Soient f une fonction centrale sur G et u une fonction centrale sur H. On a ↩ 1 00NV
Proposition 7 Soit f une application de G dans K. Les assertions suivantes sont équivalentes : 00NW
Remarque Soit n le cardinal du groupe G et soit μₙ(K) le groupe des racines n-èmes de l’unité dans K. Pour tout g∈ G, on a gⁿ= 1; par suite, widehatG s’identifie au groupe Hom(G, μₙ(K)). Le… 00NX
Proposition 8 a) L’homomorphisme θ_G est un isomorphisme de K⊗_ZR_K(G) sur Z_K(G). ↩ 1 00NY
Proposition 9 Supposons le corps K de caractéristique nulle. Alors le degré de toute représentation simple de G divise le cardinal de G. ↩ 4 00NZ
Lemme Soit L une extension de Q. Soit A un sous-anneau de L. On suppose que A est un Z-module de type fini. On a A∩ Q = Z. 00O0
Proposition 10 Il existe une unique application φ_G de S_K(G)dans S_K'(G) telle que λ et φ_G(λ )soient apparentées par φ pour tout λ dans S_K(G). De plus, φ_G est bijective. ↩ 1 00O1
Remarque 1 Supposons que K' soit une extension de K et que l’isomorphisme φ soit l’application ξ → ξ .1, alors l’application φ_G est donnée par l’extension des scalaires de K à K'. 00O2
Corollaire 1 L’application φ_G est un isomorphisme d’anneaux de R_K(G) sur R_K'(G). Pour toute représentation π de dimension finie de G dans un K-espace vectoriel, on a φ_G([π]) = [π'], où π' e… 00O3
Corollaire 2 La dimension de toute représentation simple de G divise l’ordre de G. ↩ 2 00O4
Remarque 2 Supposons le groupe G commutatif. On a vu dans la remarque de VIII, p. 404 que I_K(G) s’identifie à l’ensemble Hom(G, μₙ(K)). De manière analogue, I_K'(G) s’identifie à Hom(G, μₙ(K… 00O5
Remarque 3 Soient π₁ et π₂ des représentations linéaires de G dans des espaces vectoriels de dimension finie sur K. Pour i = 1, 2, soit π'ᵢ une représentation apparentée à πᵢ par φ. On a 00O6
Remarque 4 Soit H un sous-groupe de G de cardinal m. L’isomorphisme φ induit par passage aux sous-ensembles un isomorphisme de μₘ(K) sur μₘ(K') et, par conséquent, un isomorphisme d’anneaux φ… 00O7
Remarque 5 Supposons que G soit le produit G' × G'' de deux groupes finis. On définit, comme dans l’exemple précédent des isomorphismes φ_G' et φ_G''. On a alors un diagramme commutatif 00O8
Proposition 11 Soit (M, π) une représentation linéaire de G, de dimension finie. a) Il existe sur M une forme hermitienne, positive, séparante et invariante par G. b) Supposons la représentation… 00O9

App. 1. Algèbres sans élément unité

Définition 1 Soient A une k-algèbre et 𝔞 un idéal à gauche de A. Un élément u de A tel que au-a appartienne à 𝔞 pour tout a∈ As’appelle une unité à droite modulo 𝔞. On dit que l’idéal 𝔞 est rég… 00P4
Proposition 1 Tout idéal à gauche (resp. à droite) de A, qui est régulier et distinct de A, est contenu dans un idéal à gauche (resp. à droite) maximal régulier. 00P5
Proposition 2 Soient A une k-algèbre commutative. Pour qu’un idéal 𝔞 de A soit maximal régulier, il faut et il suffit que le pseudo-anneau A/𝔞 (I, p. 93) soit un corps. 00P6
Exemple 1 Soit V un espace vectoriel de dimension infinie sur un corps commutatif K. Soit Endᶠ_K(V) la sous-K-algèbre de End_K(V) formée des endomorphismes de rang fini. Soit W un sous-espac… ↩ 1 00P7
Exemple 2 Soit T un espace localement compact et soit C₀(T) la C-algèbre commutative 00P8
Exemple 3 Soit L¹(R) l’algèbre de convolution du groupe localement compact R. Rappelons (INT, VIII, §4, nᵒ5) que L¹(R) est l’espace des classes de fonctions sur R intégrables pour la mesure… 00P9
Proposition 3 a) Soit widetilde𝔞 un idéal à gauche de widetildeA tel que widetildeA =widetilde𝔞+ A. On pose 𝔞=widetilde𝔞∩ A. Il existe un élément u de A tel que u-e appartienne à widetilde𝔞. Si… ↩ 2 00PA
Corollaire Les idéaux à gauche réguliers de A sont les idéaux de la forme A∩ widetilde𝔞, où widetilde𝔞 est un idéal à gauche de widetildeA tel que widetildeA =widetilde𝔞+ A. 00PB
Proposition 4 a) Soit 𝔞 un idéal à gauche maximal régulier de A. Il existe un unique idéal à gauche widetilde𝔞 de widetildeA tel que widetildeA =widetilde𝔞+ Aet 𝔞=widetilde𝔞∩ A. Cet idéal est ma… ↩ 1 00PC
Définition 2 On dit qu’un pseudomodule M sur A est simple si l’on a AM not= 0 et si 0 et M sont les seuls sous-pseudomodules de M. ↩ 1 00PD
Proposition 5 a) Soit 𝔪 un idéal à gauche maximal régulier de A. Alors le pseudomodule Aₛ/𝔪 est simple et il existe un élément non nul de Aₛ/𝔪 dont l’annulateur est 𝔪. ↩ 1 00PE
Définition 3 On appelle radical de la k-algèbre A, et on note Re (A), l’intersection des idéaux à gauche maximaux réguliers de A. 00RT
Exemple 1 Le radical de la k-algèbre Endᶠₖ(V) est réduit à 0 (VIII, p. 426, exemple 1).*Il en est de même pour les algèbres C₀(T) et L¹(R). 00PF
Exemple 2 Soit A un pseudo-anneau dans lequel tout élément est nilpotent. Le radical de A est égal à A, puisque A est le seul idéal à gauche régulier. 00PG
Proposition 6 Le radical de l’algèbre A est l’intersection des annulateurs des pseudomodules simples. C’est en particulier un idéal bilatère de A. 00PH
Proposition 7 Le radical de A est la trace sur A du radical de widetildeA;il est aussi égal au radical de l’algèbre opposée Aᵒ(c’est-à-dire à l’intersection des idéaux à droite maximaux régulier… ↩ 2 00PI
Remarque Soient x et y des éléments de A ; on dit que x est adverse à gauche de y, ou que y est adverse à droite de x, si, dans widetildeA,x-e est inverse à gauche de y-e, autrement dit si… 00PJ
Lemme 1 Soit M un A-pseudomodule à gauche semi-simple. Soit B le bicommutant du widetildeA-module M. Alors tout sous-A-pseudomodule de M est un sous-B-module de M. ↩ 1 00PK
Lemme 2 Soit M un A-pseudomodule à gauche semi-simple et soit x un élément de M. Il existe un élément a∈ Atel que ax=x. ↩ 1 00PL
Théorème 1 (Théorème de densité de Jacobson) Soit M un A-pseudomodule à gauche semi-simple. Soit b un élément du bicommutant du widetildeA-module M. Soit x₁, . . . , xₙ une partie finie de M. Alors il existe un élément a∈ A t… 00SD

App. 2. Déterminants sur un corps non commutatif

Proposition 1 Soient W un hyperplan de V et e un vecteur de V - W. Soit φ un élément de Ω(W). Il existe un élément ω de Ω(V), et un seul, tel que l’on ait (7) ω (w₁, . . . , wₙ₋₁, e) =φ (w₁… ↩ 2 00Q1
Corollaire 1 Soient (e₁, . . . , eₙ)une base de V et t un élément de D^*_ab. Il existe un élément ω de Ω(V), et un seul, tel que ω (e₁, . . . , eₙ) =t. ↩ 1 00Q2
Corollaire 2 Soient ω et ω ' deux éléments de Ω(V). il existe un unique élément t de D^*_ab tel que ω '=tω. ↩ 2 00Q3
Remarque Supposons le corps D commutatif. Par définition, B(V) est une partie de Vⁿ. Il est clair que la restriction à B(V) d’une forme n-linéaire alternée non nulle f: Vⁿ→ D appartient à Ω… 00Q4
Proposition 2 a) Soit u un automorphisme de V. Il existe un unique élément de D^*_ab noté det u et appelé le déterminant de u, tel que l’on ait ↩ 1 00Q5
Proposition 3 L’application det est l’unique homomorphisme de GLₙ(D) dans D^*_ab qui satisfait aux relations ↩ 3 00Q6
Exemple 1 Les colonnes de la matrice Bᵢⱼ(λ ) sont ε₁, . . . , εⱼ+εᵢλ , εᵢ₊₁, . . . , εₙ. Compte tenu de la formule (5) de VIII, p. 438, on a ↩ 2 00Q7
Exemple 2 Soit σ une permutation de l’intervalle [1, n] de N, de signature ε (σ ). Soit M (σ ) la matrice de la permutation σ (II, p. 151). Les colonnes de la matrice M (σ ) sont ε_σ(1)… ↩ 1 00Q8
Exemple 3 Supposons ngeqslant 1. Pour toute matrice diagonale inversible de la forme Δ = diag(d₁, . . . , dₙ), on a ΔBᵢⱼ(λ )Δ⁻¹= Bᵢⱼ(dᵢλ d⁻¹ⱼ). Soit A un élément de GLₙ(D). D’après le cor. 1… ↩ 2 00Q9
Exemple 4 Soit D' un corps et soit u un homomorphisme de D dans D'. Par passage aux quotients, u définit un homomorphisme de groupes u_ab de D^*_ab dans D^'*_ab. Soit uₙ l’homomorphisme de G… 00QA
Exemple 5 On a GL₁(D) = D^* et la prop. 3 montre que l’on a det(a) =π (a) pour a dans GL₁(D). 00QB
Exemple 6 Supposons que l’on ait n= 2. Soit A = beginpmatrix a & b \\ c & d endpmatrix un élément de GL₂(D). Les éléments a et c de D ne sont pas tous deux nuls. Nous allons expliciter le dé… ↩ 1 00QC
Exemple 7 Soit Dᵒ le corps opposé de D. L’application A→ᵗAde Mₙ(D) dans Mₙ(Dᵒ) satisfait à ᵗ(AB) =ᵗBᵗA. Pour toute matrice A dans GLₙ(D), la matrice transposée ᵗAest donc inversible dans Mₙ(… ↩ 1 00QD
Remarque 1 Soit V un espace vectoriel à droite sur le corps D, de dimension finie n. Considérons l’espace dual V^*= Hom_D(V,D) comme un espace vectoriel à droite sur le corps Dᵒ opposé de D… 00QE
Remarque 2 Les résultats des numéros 1 à 4 se généralisent au cas où D est un anneau local (VIII, p. 448, exerc. 2). 00QF
Théorème 1 Supposons ngeqslant 2. ↩ 1 00QG
Remarque Si D est un corps à 2 éléments, alors GL₂(D) est égal à SL₂(D) et c’est un groupe d’ordre 6 dont le groupe dérivé est d’ordre 3. Si D est un corps à 3 éléments, le groupe SL₂(D) es… 00QH
Corollaire Soit V un espace vectoriel à droite sur le corps D, de dimension finie ngeqslant 2. 00RU

App. 3. Le théorème des zéros de Hilbert

Théorème 1 Soient A un anneau intègre, K son corps des fractions et L une K-algèbre commutative. Supposons que la A-algèbre L soit engendrée par un nombre fini d’éléments et que L soit un cor… ↩ 1 00QM
Corollaire 1 Soient K un corps commutatif, A une K-algèbre commutative engendrée par un nombre fini d’éléments et 𝔪 un idéal maximal de A. ↩ 2 00RV
Corollaire 2 Soient K un corps commutatif, n un entier naturel, (Pᵢ)_i∈ I une famille d’éléments de K[X₁, . . . ,Xₙ]et Ω une extension algébriquement close de K. Les conditions suivantes sont é… 00QN

App. 4. Trace d’un endomorphisme de rang fini

Lemme 1 Supposons que le A-module F soit projectif. L’homomorphisme de groupes θ est injectif et son image est Homᶠ_A(E,F). ↩ 1 00QO
Proposition 1 Soit E un A-module libre. Soit (eᵢ)_i∈ I une base de E et soit (e^*ᵢ)_i∈ I sa base duale. Soit u∈ Endᶠ_A(E). La famille (⟨ u(eᵢ), e^*ᵢ⟩ )_i∈ I est à support fini et sa somme est ég… 00QP
Proposition 2 Soient E,Fdes A-modules projectifs. Soient u∈ Homᶠ_A(E,F) et v∈ Hom_A(F,E). On a la relation 00QQ
Corollaire Soit E un A-module projectif, soit u un élément de Endᶠ_A(E)et soit F un sous-A-module projectif de E contenant Im u;notons u_F l’endomorphisme de F induit par u. On a ↩ 1 00QR
Proposition 3 Soit E un A-module projectif. 00QS

IX. Formes sesquilinéaires et formes quadratiques

§ 1. Formes sesquilinéaires

Définition 1 On dit qu’une application Φ du produit E × F dans G est bilinéaire si elle satisfait aux conditions suivantes : 0DIQ
Définition 2 Etant donnée une application bilinéaire Φ de E × F dans G, l’application d_Φ de F dans L_A(E, G) (resp. l’application s_Φ de E dans L_B(F, G)) caractérisée par (5) est appelée l’ap… 0DIR
Définition 3 Une application bilinéaire Φ de E × F dans G est dite dégénérée à droite (resp. à gauche) s’il existe un élément non nul y₀ de F (resp. x₀ de E) tel que Φ(x, y₀) = 0 pour tout x ∈… 0DIS
Définition 4 On dit qu’une application Φ de E × F dans G est sesquilinéaire à droite pour J si elle satisfait aux conditions (1), (2), (3) (déf. 1, n° 1) ainsi qu’à (7) Φ(x, by) = Φ(x, y) · bᴶ… 0DIT
Définition 5 Soient B un anneau, F un B-module à gauche (resp. à droite) et J un antiautomorphisme de B. On désigne par Fᴶ le B-module à droite (resp. à gauche) ayant même groupe additif sous-j… 0DIU
Remarque Soient A et B deux anneaux, J₁ un antiautomorphisme de A, M un A-module à droite, N un B-module à droite et G un (A, B)-bimodule. On dit qu’une application Φ de M × N dans G est se… 0DIV
Définition 6 Deux éléments x ∈ E et y ∈ F sont dits orthogonaux par rapport à Φ si Φ(x, y) = 0. Deux parties E' ⊂ E et F' ⊂ F sont dites orthogonales si, quels que soient x ∈ E' et y ∈ F', x et… 0DIW
Proposition 1 Soient E un A-module à gauche et F un B-module à droite ; posons E' = A' ⊗_A E et F' = F ⊗_B B'. Pour toute application bilinéaire Φ de E × F dans G, il existe une application bili… 0DIX
Proposition 2 Supposons que B et B' soient munis d’anti-automorphismes J et I tels que 0DIY
Proposition 3 Les hypothèses et notations étant celles de la prop. 1 (resp. prop. 2) supposons de plus que A, B, A', B' soient des corps et que les applications α et β de A' ⊗A G et G ⊗B B' dans… 0DIZ
Corollaire Les hypothèses et notations étant celles de la prop. 3, pour que Φ' soit non dégénérée, il faut et il suffit que Φ soit non dégénérée. 0DJ0
Remarque Supposons que A, B, A' et B' soient des corps. Alors, pour les bimodules G' définis dans les trois exemples ci-dessus, les applications α et β sont injectives, comme il résulte aus… 0DJ1
Proposition 4 Supposons que A soit un corps, et soit Φ une forme bilinéaire (resp. sesquilinéaire pour J) sur E × F; pour que E/F⁰ soit de dimension finie, il faut et il suffit que F/E⁰ soit de… 0DJ2
Corollaire 1 On suppose que A est un corps et que Φ est non dégénérée. Pour qu’un sous-espace M de E soit de dimension finie, il faut et il suffit que M⁰ soit de codimension finie dans F, et on… 0DJ3
Corollaire 2 Les hypothèses étant celles du cor. 1, soient M, N deux sous-espaces de E; on a alors (M + N)⁰ = M⁰ ∩ N⁰; si de plus M et N sont de dimension finie, on a (M ∩ N)⁰ = M⁰ + N⁰. 0DJ4
Définition 7 Soient A un corps (resp. un corps muni d’un antiautomorphisme J), E un espace vectoriel à gauche sur A, F un espace vectoriel à droite (resp. à gauche) sur A, et Φ une forme biliné… 0DJ5
Proposition 5 Les hypothèses et notations étant celles de la déf. 7, les applications linéaires s_Φ et d_Φ associées à Φ ont même rang, et ce rang est égal au rang de la forme Φ. 0DJ6
Proposition 6 Les hypothèses et notations étant celles de la déf. 7, supposons de plus que E et F aient même dimension finie. Alors les conditions suivantes sont équivalentes : a) d_Φ est inject… 0DJ7
Corollaire Les hypothèses et notations étant celles de la déf. 7, on suppose de plus que E est de dimension finie et que Φ est non dégénérée. Alors on a dim E = dim F et, pour toute base (eᵢ)… 0DJ8
Remarque Soient A un anneau muni d’un antiautomorphisme J, M et N des A-modules à droite, et Φ une forme sesquilinéaire à gauche pour J sur M × N (no 2, Remarque) ; elle vérifie donc l’égal… 0DJ9
Définition 8 Soit Φ une forme bilinéaire sur E × F dont les applications associées s et d sont bijectives. La forme bilinéaire hatΦ sur F^* × E^* définie par (27) s’appelle la forme inverse de… 0DJA
Définition 9 Soit Φ une forme sesquilinéaire à droite pour J sur E × F, dont les applications associées s et d sont bijectives. La forme sesquilinéaire à gauche widehatΦ pour J sur F^* × E^* s’… 0DJB
Définition 10 Les hypothèses et notations étant comme précédemment, on dit que l’homomorphisme u^* de F'₁ dans F vérifiant (30) est l’adjoint à gauche de u, et que F'₁ est le sous-module de défi… 0DJC
Remarque Si l’adjoint à gauche u^* de u : E → E' est partout défini, et si s_Φ' et d_Φ' sont injectives, la formule (30) montre que u est l’adjoinat à droite de u^*. 0DJD
Proposition 7 Avec les mêmes notations que précédemment, on suppose que d_Φ est bijective. Alors tout homomorphisme u de E dans E' admet un adjoint à gauche partout défini, et l’on a u^* = (d_Φ)… 0DJE
Remarque Lorsque s_Φ est bijective, tout homomorphisme ν de F dans F' admet un adjoint à droite partout défini, et on a 0DJF
Proposition 8 Avec les mêmes notations que précédemment, on suppose que s_Φ et d_Φ sont bijectives. Soient u et ν des isomorphismes de E sur E' et de F sur F' respectivement. Alors, pour que Φ s… 0DJG
Corollaire Soient A un anneau muni d’un antiautomorphisme J, E un A-module à gauche, Φ une forme sesquilinéaire pour J sur E × E dont les applications associées sont bijectives, et u un autom… 0DJH
Remarque Sous les hypothèses du cor. de la prop. 8, supposons de plus que A soit un corps et que E soit de dimension finie sur A. Soient ω un endomorphisme de E, ω1 et ω2 ses adjoints à dro… 0DJI
Définition 11 Etant donnés des A-modules Eᵢ, Fᵢ (i = 1, …, m) et, pour chaque i, une forme sesquilinéaire Φᵢ pour J sur Eᵢ × Fᵢ, la forme sesquilinéaire Φ pour J sur (⨂ᵢ Eᵢ) × (⨂ᵢ Fᵢ) caractéris… 0DJJ
Proposition 9 Soient A un corps commutatif muni d’un automorphisme J, Eᵢ, Fᵢ des espaces vectoriels de dimension finie sur A, et Φᵢ une forme sesquilinéaire pour J sur Eᵢ × Fᵢ (1 leqslant i leqs… 0DJK
Définition 12 Etant donnés deux A-modules E, F et une forme Φ sesquilinéaire pour J sur E × F, la forme Φ₍ₘ₎ sesquilinéaire pour J sur (∧ᵐ E) × (∧ᵐ F) caractérisée par (37) s’appelle l’extension… 0DJL
Proposition 10 Soient A un corps commutatif muni d’un automorphisme J, E et F deux espaces vectoriels de dimension finie sur A, et Φ une forme sesquilinéaire pour J sur E × F. Si Φ est non dégéné… 0DJM
Remarque Soient E un A-module libre, et θ l’isomorphisme canonique de bigwedgeᵐ E sur le sous-module des tenseurs antisymétrisés d’ordre m (chap. III, § 5, n° 6, prop. 6). Soient Φ une form… 0DJN
Remarque 1 Lorsque A est commutatif, (45 G) se ramène à (45 D), et (45 DG) à (45 GD), au moyen de la formule ᵗ(M'M'') = ᵗM'' · ᵗM' (cf. (42)), où les deux membres sont ici calculés dans A. 0DJO
Remarque 2 Soient E, F, G trois modules à gauche ayant des bases finies, et u : E → F,\ v : F → G des applications A-linéaires. Il résulte de (45 G) que l’on a ᵗM(v ∘ u) = ᵗM(u) · ᵗM(v). 0DJP
Remarque 3 Lorsque A est un corps, les applications linéaires s et d ont même rang. Nous voyons ici que leurs matrices M(s) et M(d) ont même rang ; en effet, une matrice sur A et sa transposé… 0DJQ
Remarque 4 Si M et N sont des A-modules à droite ayant des bases finies (mᵢ) et (nₖ), Φ une forme sesquilinéaire à gauche pour J sur M × N (n° 6, Remarque), s et d ses applications associées… 0DJR
Remarque 5 Donner un exemple de forme bilinéaire Φ définie sur un produit E × F de deux espaces vectoriels, telle que d_Φ soit bijective, s_Φ injective mais non bijective (prendre E de dimens… 0DJS
Remarque 6 Soient A un anneau muni d’un antiautomorphisme J, E un A-module à gauche, G un (A, A)-bimodule et Φ une application de E × E dans G, sesquilinéaire à droite pour J. Démontrer l’ide… 0DJT
Remarque 7 Soient K un corps commutatif de caractéristique 2, A une extension quadratique séparable de K; on a A = K(θ), où θ est racine d’un polynôme irréductible X² + X + β de K[X] et le K-… 0DJU
Remarque 8 Soient A un corps, E un espace vectoriel sur A, Φ une forme sesquilinéaire sur E, u un endomorphisme de E. 0DJV
Remarque 9 Soient E, E₁ deux A-modules, Φ (resp. Φ₁) une forme sesquilinéaire sur E (resp. E₁). On suppose que Φ₁ est non dégénérée et qu’il existe un élément α ∈ A et une bijection u de E su… 0DJW
Remarque 10 Soient A un corps, E₁, E₂ deux espaces vectoriels non réduits à 0 sur A, Φ₁ (resp. Φ₂) une forme sesquilinéaire non dégénérée sur E₁ (resp. E₂) pour un antiautomorphisme J₁ (resp… 0DJX
Remarque 11 Soient A un corps, E, F deux espaces vectoriels à gauche sur A, Φ une forme sesquilinéaire non dégénérée sur E × F pour un antiautomorphisme J de A. 0DJY
Remarque 12 Soient E, E' deux espaces vectoriels à gauche sur des corps A, A' respectivement, de dimension geqslant 3; soit 𝔉(E) (resp. 𝔉(E')) l’ensemble réticulé (pour la relation d’inclusion… 0DJZ

§ 2. Discriminant d'une forme sesquilinéaire

Définition 1 Etant donnée une forme Φ sesquilinéaire pour J sur E et un système S = (x₁, …, xₙ) de n éléments de E, on appelle discriminant de Φ par rapport à ce système, et on note D_Φ(x₁, …… 0DK0
Exemple Soit B une algèbre sur l’anneau A, telle que B soit un A-module libre de dimension finie n. Alors l’application (x, y) → Tr_B/A(xy) (chap. VIII, § 12, no 2) est une forme bilinéair… 0DK1
Remarque Soient (e₁, …, eₙ) une base de B sur A, et 0DK2
Proposition 1 Soient Φ une forme sesquilinéaire pour J sur E, (tildex₁, …, xₙ) un système de n éléments de E, et (aᵢⱼ)_(i,j = 1, …, n) une famille de n² éléments de A; posons yᵢ = ∑ᵢ₌₁ⁿ aⱼᵢxᵢ. O… 0DK3
Exemple Soient B une algèbre sur A qui soit un A-module libre de dimension finie n, (x₁, …, xₙ) une base de B sur A, et m un idéal de A. Si l’on note h l’homomorphisme canonique de B sur B… 0DK4
Proposition 2 On suppose que A est intègre. Soient Φ une forme sesquilinéaire pour J sur E et (e₁, …, eₙ) une base de E, telles que D_Φ(e₁, e₂, …, eₙ) ≠ 0. 0DK5
Proposition 3 Soient Φ une forme sesquilinéaire pour J sur E, et S une base de E. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0DK6
Proposition 4 On suppose A intègre. Soit S une base de E. Une condition nécessaire et suffisante pour qu’une forme sesquilinéaire Φ sur E soit non dégénérée est que l’on ait D_Φ(S) ≠ 0. 0DK7
Proposition 5 Soient A un corps, B une algèbre commutative de dimension finie n sur A, et S une base de B. Pour que B soit séparable (chap. VIII, § 7, no 5, déf. 1) il faut et il suffit que l’on… 0DK8
Remarque Supposons que B soit un surcorps de A. Soient S = (x₁, …, xₙ) une base de B, et (s₁, …, sₙ) les A-isomorphismes de B dans la clôture algébrique A' de A (chaque sⱼ étant répété [B… 0DK9
Proposition 6 Soient Φ une forme A-bilinéaire sur E, et K un sous-anneau de A tel que A soit un K-module libre de dimension finie q. Si (eᵢ)_i=1,…,n est une base de E sur A et (aⱼ)_j=1,…,q une b… 0DKA
Corollaire (« Formule de transitivité des discriminants ») Soient K un anneau commutatif, A une algèbre commutative admettant une base finie (aⱼ)_j=1,…,q sur K, et E une algèbre sur A admettant une base finie (eᵢ)_i=1,…,n. Alors (aⱼ eᵢ) es… 0DKB

§ 3. Formes hermitiennes et formes quadratiques

Définition 1 Soit ε un élément du centre de A. Une forme sesquilinéaire Φ sur E telle que l’on ait Φ(x, y) = ε overlineΦ(y, x) quel que soient x et y dans E s’appelle une forme ε-hermitienne. U… 0DKC
Remarque 1 Si Φ est une forme ε-hermitienne sur E, on a Φ(x, y) = ε overlineΦ(x, y) overlineε quels que soient x, y dans E. Donc, si Φ prend des valeurs inversibles, on a ε overlineε = 1. 0DKD
Remarque 2 S’il existe un élément inversible i du centre de A tel que overlinei = i ε, alors, pour que Φ soit ε-hermitienne, il faut et il suffit que i Φ soit hermitienne. 0DKE
Proposition 1 Soit Φ₁ (resp. Φ₂) une forme K-bilinéaire sur E₀ × E'₀, invariante par j et j'. L’application qui à Φ₁ (resp. Φ₂) fait correspondre l’application Φ de E × E' dans A définie par 0DKF
Remarque 1 Les formules (7) et (8) montrent que, si x ∈ E, pour que l’on ait Φ(x, x') = 0 pour tout x' ∈ E', il faut et il suffit que Φ₁(x, x') = 0 (resp. Φ₂(x, x') = 0) pour tout x' ∈ E'. 0DKG
Remarque 2 L’adjoint d’un endomorphisme u de E par rapport à Φ (§ 1, n° 8) est le même que l’adjoint de u (considéré comme endomorphisme de E₀) par rapport à Φ₁ (resp. Φ₂). 0DKH
Définition 2 On suppose l’anneau A commutatif. On dit qu’une application Q de E dans A est une forme quadratique sur E si 1) l’on a Q(α x) = α² Q(x) pour α ∈ A et x ∈ E; 2) l’application Φ : (x… 0DKI
Proposition 2 Supposons que A soit commutatif et que E admette une base (eᵢ)_i ∈ I. Alors, pour toute forme quadratique Q sur E, il existe une forme bilinéaire f sur E × E telle que Q(x) = f(x… 0DKJ
Proposition 3 Soit h un homomorphisme de A dans un anneau commutatif A'. Pour toute forme quadratique Q sur le A-module E, il existe une forme quadratique Q' et une seule sur le A'-module A' ⊗_A… 0DKK

§ 4. Sous-espaces totalement isotropes. Théorème de Witt

Définition 1 Etant donné un module E sur l’anneau A, un élément x de E est dit isotrope si Φ(x, x) = 0. Un sous-module F de E est dit 1) isotrope s’il existe un élément x ≠ 0 de F orthogonal à… 0DKL
Proposition 1 On suppose que A est un corps. Soit F un sous-espace non isotrope de dimension finie de E ; alors E est somme directe de F et de F⁰. 0DKM
Corollaire Si F est un sous-espace de dimension finie de E, et si Φ est non dégénérée, les conditions suivantes sont équivalentes : 0DKN
Définition 2 Soit Q une forme quadratique sur E. Un élément x de E est dit singulier (relativement à Q) si Q(x) = 0. Un sous-module F de E est dit : 1) singulier s’il existe un élément x ≠ 0 de… 0DKO
Lemme 1 Soit Φ une forme ε-hermitienne vérifiant (T) (resp. la forme bilinéaire associée à une forme quadratique Q) sur E, et soit F un sous-espace totalement isotrope (resp. totalement si… 0DKP
Proposition 2 Soit Φ une forme ε-hermitienne non dégénérée vérifiant (T) (resp. la forme bilinéaire associée à une forme quadratique non dégénérée Q), et soit F un sous-espace totalement isotrop… 0DKQ
Corollaire 1 Si F est un sous-espace totalement isotrope (resp. totalement singulier) de dimension r, il existe un sous-espace totalement isotrope (resp. totalement singulier) F' de dimension r… 0DKR
Corollaire 2 Deux formes ε-hermitiennes neutres sur des espaces de même dimension sur A sont équivalentes. 0DKS
Remarque Dans les conditions du corollaire 1, E est somme directe de F + F' et de l’orthogonal de F + F'. On a donc une décomposition de Witt de E. D’après la prop. 2, a), il existe des bas… 0DKT
Proposition 3 Soit Φ une forme ε-hermitienne non dégénérée vérifiant (T) (resp. la forme bilinéaire associée à une forme quadratique non dégénérée Q). Soient F₁ et F₂ deux sous-espaces totalemen… 0DKU
Corollaire 1 Les hypothèses étant celles de la prop. 3, deux sous-espaces totalement isotropes (resp. totalement singuliers) maximaux de dimensions finies ont même dimension. Pour tout sous-esp… 0DKV
Corollaire 2 Soit Q une forme quadratique non dégénérée sur un espace vectoriel E de dimension finie n sur un corps algébriquement clos A ; il existe alors une base (ei){1 \leq i \leq n} de E t… 0DKW
Définition 3 On suppose que E est de dimension finie et que Φ est une forme ε-hermitienne non dégénérée vérifiant (T) (resp. la forme bilinéaire associée à une forme quadratique non dégénérée Q… 0DKX
Proposition 4 Soit Q une forme quadratique non dégénérée sur E telle qu’il existe un vecteur x ≠ 0 de E tel que Q(x) = 0. Pour tout élément a de A, il existe alors y ∈ E tel que Q(y) = a. 0DKY
Théorème 1 (Witt) Soient E et E' deux espaces vectoriels de dimensions finies, munis respectivement de deux formes ε-hermitiennes non dégénérées Φ et Φ' vérifiant la condition (T) du no 2 (resp. de… 0DKZ
Corollaire 1 Soient, pour i = 1, 2, Ei un espace vectoriel de dimension finie, Φi une forme ε-hermitienne non dégénérée sur Ei vérifiant (T) (resp. Qi une forme quadratique non dégénérée sur Ei… 0DL0
Corollaire 2 Les hypothèses étant celles du th. 1, le groupe des automorphismes métriques de E permuté transitiivement les sous-espaces totalement isotropes (resp. totalement singuliers) de dim… 0DL1
Corollaire 3 Soit Q une forme quadratique non dégénérée sur un espace vectoriel E de dimension finie sur un corps algébriquement clos A. Le groupe des automorphismes métriques de E permuté tran… 0DL2

§ 5. Propriétés spéciales aux formes bilinéaires alternées

Théorème 1 Soient A un anneau (commutatif) principal, E un A-module libre de dimension finie n et Φ une forme bilinéaire alternée sur E. Alors il existe une base (eᵢ)_1 ≤ i ≤ n de E et un ent… 0DL3
Corollaire 1 Soient A un corps commutatif, E un espace vectoriel de dimension finie n sur A, et Φ une forme bilinéaire alternée sur E. Il existe alors une base (eᵢ)_1 ≤ i ≤ n de E et un entier… 0DL4
Remarque On notera que ce corollaire est aussi une conséquence immédiate de la prop. 3 du § 4, n° 2 et de son cor. 1, car avec les notations de cette proposition, on a nécessairement H = 0… 0DL5
Corollaire 2 Soient A un corps commutatif, E un espace vectoriel de dimension finie n sur A. Pour tout bivecteur z ∈ bigwedge² E, il existe une base (eᵢ)_1 ≤ i ≤ n de E telle que 0DL6
Corollaire 3 Soient A un corps commutatif, R une matrice carrée alternée sur A. Le rang de R est un nombre pair 2r, et il existe une matrice inversible P sur A telle que 0DL7
Remarque Si A est un anneau commutatif quelconque et R une matrice carrée alternée d’ordre impair n sur A, on a det R = 0. Ceci résulte du cor. 3 lorsque A est un corps. Une démonstration d… 0DL8
Définition 1 Etant donnée une matrice alternée R = (αᵢⱼ) (i, j = 1, …, 2m) d’ordre pair 2m sur un anneau commutatif quelconque A, on appelle pfaffien de R, et on note Pf(R), l’élément P((αₕₖ))… 0DL9
Exemple Supposons : 0DLA
Proposition 1 Soient R une matrice alternée d’ordre pair 2m sur un anneau commutatif A, et P une matrice carrée d’ordre 2m sur A. On a 0DLB
Proposition 2 Pour toute matrice alternée R d’ordre pair 2m sur un anneau commutatif A, on a det R = (Pf(R))². En effet, comme les deux membres de (8) sont des polynômes à coefficients entiers p… 0DLC
Proposition 3 Le déterminant d’une matrice symplectique est égal à 1. 0DLD

§ 6. Propriétés spéciales aux formes hermitiennes

Définition 1 Soit Φ une forme hermitienne sur E. Une base (eᵢ) de E est dite orthogonale pour Φ si deux éléments quelconques de cette base sont orthogonaux pour Φ. 0DLE
Lemme 1 On suppose que A est un corps et Φ une forme hermitienne ≠ 0 sur E. Si tous les vecteurs de E sont isotropes, A est un corps commutatif de caractéristique 2, l’antiautomorphisme J… 0DLF
Théorème 1 Supposons que A soit un corps et E un espace vectoriel de dimension finie n sur A. Alors, pour toute forme hermitienne Φ sur E, E admet une base orthogonale, sauf si les conditions… 0DLG
Corollaire 1 Les notations étant celles du th. 1, on suppose de plus que (C) n’est pas vérifiée, que Φ est non dégénérée et que, pour tout x ∈ E, il existe ρ ∈ A tel que Φ(x, x) = ρ barρ. Alors… 0DLH
Remarque La dernière hypothèse du corollaire est vérifiée lorsque J est l’identité, et que tout élément de A est le carré d’un élément de A (par exemple lorsque A est algébriquement clos). 0DLI
Corollaire 2 Soient A un corps et R une matrice hermitienne d’ordre n et de rang r sur A. Alors, sauf si la condition suivante est vérifiée : 0DLJ
Proposition 1 On suppose que A est un corps commutatif. Soient Φ une forme hermitienne sur E, et (xₙ) (n = 1, 2, …) une suite (finie ou infinie) de vecteurs linéairement indépendants de E telle… 0DLK
Proposition 2 Soient Φ une forme hermitienne sur E, et (eᵢ) (i = 1, …, n) une base orthogonale (resp. orthonormale) de E pour Φ. Alors, pour tout p geqslant 0, la base de ⨂ᵖ E formée des e_i₁ ⊗… 0DLL
Proposition 3 Supposons que A soit un corps commutatif et que E soit de dimension finie > 0. Soit Φ une forme hermitienne non dégénérée sur E. L’application u → det u est un homomorphisme du gro… 0DLM
Lemme 2 Pour qu’un endomorphisme u de E soit tel que u² = 1, il faut et il suffit que 1/2(1 - u) soit un projecteur dans E; alors u est la différence des deux projecteurs 1/2(1 + u) et 1/2… 0DLN
Proposition 4 Soit u ∈ GL(E) une involution. Les propriétés suivantes sont équivalentes : a) u appartient au groupe unitaire associé à Φ ; b) les sous-modules U^+ = 1/2(1 + u)(E) et U^- = 1/2(1… 0DLO
Corollaire 1 On suppose que A est un corps et que E est de dimension finie. L’application u → 1/2(1 + u)(E) est une bijection de l’ensemble des involutions u appartenant au groupe unitaire asso… 0DLP
Corollaire 2 On suppose que A est un corps et que E est de dimension finie. Pour qu’un projecteur ν dans E soit tel que ν(E) et ν(0) soient orthogonaux (et par suite non isotropes), il faut et… 0DLQ
Proposition 5 On suppose l’espace vectoriel E de dimension finie n. Le groupe orthogonal O(Q) associé à Q est alors engendré par les symétries par rapport aux hyperplans non isotropes de E. 0DLR
Définition 2 Soient A un corps, L un espace affine sur A et T l’espace des translations de L (chap. II, 2e éd., App. II). Si T est muni d’une forme hermitienne Φ non dégénérée, on dit que L est… 0DLS
Définition 3 Soient L un espace hermitien sur un corps A, T l’espace des translations de L. On appelle déplacement (resp. similitude) de L toute bijection affine u de L sur L telle que l’applic… 0DLT
Proposition 6 Soit L un espace hermitien de dimension finie sur A, dont la forme métrique soit d’indice 0. Toute similitude u de L, de multiplicateur μ ≠ 1, admet alors un point fixe et un seul. 0DLU

§ 7. Formes hermitiennes et corps ordonnés

Définition 1 Une forme hermitienne Φ sur E est dite positive (resp. négative) si Φ(x, x) geqslant 0 (resp. Φ(x, x) leqslant 0) pour tout x ∈ E. 0DLV
Proposition 1 Supposons E de dimension finie, et A = K ou A = K(i). Si Φ est une forme hermitienne positive non dégénérée sur E, alors les extensions de Φ à ⨂ᵖ E et ∧ᵖ E (p > 0), ainsi que la fo… 0DLW
Proposition 2 Soit Φ une forme hermitienne positive sur E. Pour x, y dans E, on a Φ(x, y) overlineΦ(x, y) leqslant Φ(x, x) Φ(y, y). 0DLX
Corollaire L’ensemble des vecteurs isotropes de E est le sous-espace E⁰ orthogonal de E pour Φ. Pour que Φ soit non dégénérée, il faut et il suffit que l’on ait Φ(x, x) > 0 pour tout x ≠ 0. 0DLY
Proposition 3 Supposons E de dimension finie et A commutatif (A = K ou A = K(i)). Soient Φ une forme hermitienne sur E, X sa matrice par rapport à une base (xⱼ) (j = 1, …, n) de E ; pour toute p… 0DLZ
Remarque Il résulte de l’existence de bases orthonormales que deux formes hermitiennes positives non dégénérées sur deux espaces vectoriels de même dimension finie sont équivalentes (§ 1, n… 0DM0
Théorème 1 (« loi d’inertie ») Supposons que A satisfasse aux hypothèses du début de ce paragraphe, et que E soit de dimension finie n. Soit Φ une forme hermitienne sur E. Alors : 0DM1
Définition 2 Avec les notations du th. 1, le couple (s, t) s’appelle la signature de Φ. 0DM2
Remarque 1 Lorsque J est l’identité, on retrouve la notion d’adjoint d’un homomorphisme définie au § 1, no 8. 0DM3
Remarque 2 Supposons toujours A = K ou A = K(i). Soit Eᴶ le A-module à droite défini au § 1, no 2, déf. 5. La forme Φ est une forme bilinéaire sur E × Eᴶ, Φᴶ est une forme bilinéaire sur Eᴶ ×… 0DM4
Théorème 2 Soit S un ensemble d’endomorphismes de E (resp. d’applications semi-linéaires de E dans E lorsque A = K ou A = K(i)) stable pour l’application u → u. Alors, si V est un sous-espace… 0DM5
Corollaire 1 On suppose que A = K ou que A = K(i). Soit B une sous-algèbre de L_A(E), stable pour l’application u → u. Alors E est un B-module semi-simple, et est somme directe de sous-modules… 0DM6
Corollaire 2 Les hypothèses et notations étant celles du cor. 1, on suppose de plus que l’algèbre B est commutative. Alors tous ses éléments sont des endomorphismes (normaux) semi-simples de E… 0DM7
Proposition 4 Soit u un endomorphisme normal de E. Lorsque A est égal à K(i) ou au corps des quaternions sur K, il existe une base orthonormale (pour Φ) de E formée de vecteurs propres de u. Lor… 0DM8
Remarque Il résulte du th. 2 que les sous-espaces propres relatifs à deux valeurs propres distinctes de u sont orthogonaux. 0DM9
Proposition 5 Soit u un endomorphisme hermitien de E. Les valeurs propres de u appartiennent à K, et il existe une base orthonormale de E formée de vecteurs propres de u. 0DMA
Proposition 6 a) Soit Ψ une forme hermitienne (resp. bilinéaire symétrique si A = K ou A = K(i)) sur E. Il existe une base de E qui est orthonormale pour Φ et orthogonale pour Ψ. 0DMB
Remarque 3 On suppose que A = K ou A = K(i) et que E est de dimension finie. Soient Φ₁, Φ₂ deux formes hermitiennes positives sur E, et soient V = (αᵢⱼ), W = (βᵢⱼ) les matrices de ces formes… 0DMC
Remarque 4 On suppose que A = K ou A = K(i). Soit R une matrice hermitienne d’ordre n sur A; on dit que R a pour signature (s, t) si la forme hermitienne sur Aⁿ ayant R pour matrice par rappo… 0DMD
Remarque 5 On suppose que A = K ou A = K(i); soient R, S deux matrices hermitiennes sur A, de signatures (s, t) et (s', t') respectivement (exerc. 4); montrer que la matrice R ⊗ S est une mat… 0DME
Remarque 6 Soient K un corps ordonné maximal, L une algèbre simple de rang fini sur K. Si (s, t) est la signature de la forme bilinéaire symétrique (x, y) → Tr_L/K(xy) sur L, montrer que l’on… 0DMF
Remarque 7 On suppose que A satisfait aux conditions du début du § 7 et que E est de dimension finie n. Soit Φ une forme hermitienne positive non dégénérée sur E. a) Montrer que toute similit… 0DMG
Remarque 8 On suppose A = K; soit L un espace hermitien de dimension finie sur A, dont la forme métrique est positive non dégénérée. Soient M, N deux parties de L, u une bijection de M sur N… 0DMH
Remarque 9 On suppose remplies les conditions du n° 3, et en outre que A est le corps des quaternions sur K. Soit u un endomorphisme normal de E. Montrer que E est somme directe de sous-espac… 0DMI
Remarque 10 On suppose remplies les conditions du n° 3, et en outre que A est égal à K(i) ou au corps des quaternions sur K. Soit u un endomorphisme normal de E. 0DMJ
Remarque 11 On suppose remplies les conditions du n° 3, et en outre que A = K. Soit u un endomorphisme normal de E. 0DMK
Remarque 12 On suppose remplies les conditions du n° 3, et en outre que A est égal à K(i) ou au corps des quaternions sur K. Montrer que pour tout endomorphisme u de E, il existe une base orth… 0DML
Remarque 13 Soient A un corps vérifiant les conditions du début du § 7, E, F deux espaces vectoriels de dimension finie sur A, Φ (resp. Ψ) une forme hermitienne positive non dégénérée sur E (r… 0DMM
Remarque 14 On suppose remplies les conditions du no 3. Soient u un endomorphisme de E, h₁, h₂ les deux endomorphismes hermitiens positifs de E, tels que l’on ait h₁² = u^*u, h₂² = uu^* (exerc… 0DMN
Remarque 15 On suppose remplies les conditions du no 3. Montrer que toute matrice hermitienne positive H sur A peut s’écrire sous la forme LL^*, où L = (λᵢⱼ) n’a que des zéros au-dessous de sa… 0DMO
Remarque 16 On suppose remplies les conditions du no 3 et en outre que A = K(i). Soit u un endomorphisme de E. 0DMP
Remarque 17 On suppose remplies les conditions du n° 3 ; pour tout ξ ∈ A, on désigne par |ξ| l’élément ρ geqslant 0 de K tel que ρ² = ξ overlineξ (valeur absolue de ξ). Pour toute matrice carr… 0DMQ
Remarque 18 On suppose remplies les conditions du n° 3. 0DMR
Remarque 19 On suppose remplies les conditions du n° 3. Soit M une matrice carrée d’ordre n sur A; montrer que pour toute sous-matrice carrée N de M (obtenue en supprimant dans M un certain no… 0DMS
Remarque 20 On suppose remplies les conditions du n° 3 et en outre que A est égal à K ou à K(i). Appliquer les résultats des exerc. 17 à 19 à l’extension de Φ aux p-èmes puissances extérieures… 0DMT
Remarque 21 On suppose remplies les conditions du no 3. Soit u un endomorphisme hermitien de E et soit ∏ᵢ₌₁ⁿ (X-λᵢ) la décomposition en facteurs linéaires de son polynôme caractéristique ; on… 0DMU
Remarque 22 On suppose remplies les conditions du no 3, et en outre que A est égal à K(i) ou au corps des quaternions sur K. Soient u, v deux endomorphismes normaux de E; soit (Eᵢ)_1 leqslant… 0DMV
Remarque 23 On suppose remplies les conditions du no 3. Soient u et v deux endomorphismes de E. 0DMW
Remarque 24 On suppose remplies les conditions du n° 3. Soit Γ un groupe d’automorphismes de E tel que tout u ∈ Γ soit normal. Montrer qu’il existe une décomposition de E en somme directe de s… 0DMX
Remarque 25 On suppose que A = K (corps ordonné maximal). Soit L un espace euclidien de dimension n sur A, dont la forme métrique est positive non dégénérée. 0DMY
Remarque 26 a) Soient K un corps commutatif, S une partie de K telle que K soit un corps S-ordonnable maximal (chap. VI, § 2, exerc. 8). Soient f un polynôme de K[X], L son corps des racines… 0DMZ
Remarque 27 Soient K un corps ordonné maximal, E un espace vectoriel de dimension n sur K, Φ une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur E, de signature (s, t) distincte de (n, 0) et de… 0DN0

§ 8. Types de formes quadratiques

Proposition 1 Soient Q et Q' deux formes quadratiques sur A, non dégénérées et de dimensions finies. Pour que Q et Q' soient équivalentes, il faut et il suffit qu’elles aient même dimension et m… 0DN1
Proposition 2 La relation « il existe une forme quadratique Q sur A, non dégénérée et de dimension finie, telle que X = θ(Q) » est collectivisante en X (Ens., chap. II, § 1, n° 4). 0DN2
Proposition 3 Soit Q une forme quadratique non dégénérée et de dimension finie sur un espace vectoriel V sur A. Notons – Q la forme quadratique sur V définie par (-Q)(x) = -Q(x) (x ∈ V). Alors l… 0DN3
Définition 1 L’ensemble des types de formes quadratiques non dégénérées et de dimensions finies sur A, muni de l’addition définie par (2), s’appelle le groupe des types de formes quadratiques… 0DN4
Remarques 1) Toute forme quadratique Q non dégénérée et de dimension finie dont le type est nul (c’est-à-dire telle que θ(Q) = T₀ avec les notations ci-dessus) est une forme neutre. Il exist… 0EEP
Proposition 4 Soit Q une forme quadratique non dégénérée sur un espace vectoriel E de dimension finie sur A. Supposons A de caractéristique ≠ 2, et soit (x₁, …, xₙ) une base orthogonale de V. No… 0DN5
Corollaire Les hypothèses et notations étant celles de la prop. 3, les éléments a.T₁ (a ∈ A^*) forment un ensemble de générateurs du groupe des types de formes quadratiques sur A. 0DN6
Proposition 5 On suppose que A est un corps ordonné maximal. Soient Q une forme quadratique non dégénérée de dimension finie sur A, et (s, t) sa signature (§ 7, no 2, déf. 2). Alors le type de Q… 0DN7
Remarque 1 Il est clair que, si a est un élément de A^*, on a 0DN8
Remarque 2 Puisque A est de caractéristique ≠ 2, tout élément T de 𝔅 se met sous la forme ∑ᵢ₌₁ⁿ aᵢ . T₁ où aᵢ ∈ A^* (no 2, prop. 4). On a 0DN9
Remarque 3 Supposons que A soit un corps ordonné maximal. Alors l’anneau 𝔅 est isomorphe à Z (prop. 5), l’entier correspondant au type d’une forme de signature (s,\ t) étant s - t (ibid.). Co… 0DNA

§ 9. Algèbres de Clifford

Définition 1 On appelle algèbre de Clifford de Q et on note C(Q) l’algèbre quotient de l’algèbre tensorielle T(E) du module E par l’idéal bilatère (noté I(Q)) engendré par les éléments de la fo… 0DNB
Exemple Si E admet une base composée d’un seul élément e, T(E) est isomorphe à l’algèbre de polynômes A[X], et C(Q) est une extension quadratique de A, ayant pour base (1,\ u), où u est l’… 0DNC
Proposition 1 Soit f une application linéaire de E dans une algèbre D sur A telle que f(x)² = Q(x).1 pour tout x ∈ E. Il existe un homomorphisme barf et un seul de C(Q) dans D tel que f = barf ∘… 0DND
Proposition 2 Soient A' un anneau commutatif, φ un homomorphisme de A dans A', Q’ la forme quadratique sur E' = A' ⊗_A E déduite de Q par extension des scalaires (§ 3, no 4, prop. 3). Il existe… 0DNE
Lemme 1 Soit f un élément du dual E^* de E. Il existe une application linéaire i_f et une seule de T(E) dans elle-même telle que i_f(1) = 0 tag4 i_f ∘ eₓ + eₓ ∘ i_f = f(x).I tag5 pour tout… 0DNF
Lemme 2 Il existe une application linéaire λ_F et une seule de T(E) dans elle-même telle que 0DNG
Lemme 3 Soient F et G deux formes bilinéaires sur E. On a λ_F ∘ λ_G = λ_F+G. Pour toute forme bilinéaire F sur E, λ_F est une bijection de T(E) sur elle-même. 0DNH
Proposition 3 Soient Q et Q' deux formes quadratiques et F une forme bilinéaire sur E telles que Q'(x) = Q(x) + F(x, x) pour tout x ∈ E. L’application λ_F applique l’idéal I(Q') sur l’idéal I(Q)… 0DNI
Lemme 4 Si la forme quadratique Q est nulle, C(Q) n’est autre que l’algèbre extérieure de E. 0DNJ
Théorème 1 Supposons que le A-module E admette une base (xᵢ)_i ∈ L, l’ensemble d’indices L étant muni d’une structure d’ordre total. Pour toute partie finie H de L, posons x_H = ρ(x_h₁) ρ(x_h… 0DNK
Corollaire 1 Si E est un module libre de dimension n, C(Q) est un module libre de dimension 2ⁿ; de plus, si n > 0, C⁺ et C⁻ sont des modules libres de dimension 2ⁿ⁻¹. 0DNL
Corollaire 2 Si E est un module libre, l’application canonique ρ de E dans C(Q) et l’application a → a.1 de A dans C(Q) sont injectives. 0DNM
Corollaire 3 Supposons que E soit somme directe de deux sous-modules libres E₁ et E₂. Soient Qᵢ la restriction de Q à Eᵢ et pᵢ l’application canonique de C(Qᵢ) dans C(Q) (i = 1, 2). Alors l’app… 0DNN
Corollaire 4 Les hypothèses et notations étant celles du cor. 3, supposons de plus que E₁ et E₂ soient orthogonaux, et transportons à C(Q₁) ⊗ C(Q₂), au moyen de la bijection p, la structure d’a… 0DNO
Théorème 2 Supposons que la dimension de E soit un nombre pair m = 2r et que Q soit neutre (§ 4, n° 2). Alors l’algèbre C(Q) est séparable (chap. VIII, § 7, n° 5, déf. 1) et est isomorphe à l… 0DNP
Corollaire Si m est pair, mais Q d’indice quelconque, l’algèbre C(Q) est une algèbre centrale simple de dimension 2ᵐ. De plus, si m > 0, la sous-algèbre C⁺(Q) est séparable, et son centre Z e… 0DNQ
Remarque 1 Comme l’algèbre C(Q) est simple, elle n’a qu’une seule classe de représentations irréductibles ; on les appelle les représentations spinorielles ; quand on fixe son attention sur u… 0DNR
Remarque 2 Supposons A de caractéristique ≠ 2, et soit (x₁, …, xₘ) (m = 2r) une base orthogonale de E. Posons z = 2ʳ x₁ … xₘ ∈ C(Q); comme xᵢ xⱼ + xⱼ xᵢ = 0 pour i ≠ j, on a zxⱼ = -xⱼ z, ce q… 0DNS
Théorème 3 Supposons que la dimension de E soit un nombre impair m = 2r + 1 (donc que A soit de caractéristique ≠ 2). 0DNT
Remarque Le discriminant D de Φ par rapport à la base (xⱼ)_(j=0,…,2r) est égal à 2²ʳ⁺¹ Q(x₀) … Q(x₂ᵣ). Par suite Z est engendré par 1 et par l’élément impair z' = 2ʳ⁺¹ z tel que z'² = (-1)ʳ… 0DNU
Définition 2 On appelle groupe de Clifford de Q (resp. groupe de Clifford spécial de Q), le groupe multiplicatif des éléments inversibles s de C(Q) (resp. C⁺(Q)) tels que sEs⁻¹ = E. 0DNV
Théorème 4 Posons, pour s ∈ G et x ∈ E, φ(s).x = sx s⁻¹. 0DNW
Lemme 5 Tout élément s de G est de la forme zs', où z est un élément inversible de Z et s' appartient à G ∩ C⁺(Q) ou à G ∩ C⁻(Q); le sous-groupe G⁺ est d’indice 2 dans G lorsque E ≠ 0. 0DNX
Proposition 4 Soit β l’antiautomorphisme principal de C(Q) (n° 1). Pour tout s ∈ G⁺, β(s)s est un scalaire. L’application N : s → β(s)s est un homomorphisme de G⁺ dans le groupe multiplicatif A^… 0DNY

§ 10. Angles

Proposition 1 Soit A(Φ) la sous-algèbre de L_A(E) engendrée par les similitudes directes de E. 0DNZ
Remarque 1 Soit ν la similitude de matrice beginpmatrix 0 & δ \\ 1 & 0 endpmatrix par rapport à (e₁, e₂); la similitude ω introduite dans la démonstration de la prop. 1 est égale à -α₁ ν; on… 0DO0
Remarque 2 Les similitudes directes u = a + b ν (a, b dans Λ, b ≠ 0) dont le carré est une homothétie sont les homothéties et les multiples scalaires b ν de ν, puisque (a + b ν)² = (a² + δ b²… 0DO1
Remarque 3 On vérifie aisément que, pour x, y dans E et u ∈ Λ(Φ), on a Φ(u(x), y) = Φ(x, overlineu(y)). Ainsi l’endomorphisme adjoint d’une similitude directe u est la similitude directe over… 0DO2
Remarque 4 Comme toute similitude inverse de E est le produit d’une similitude directe et de la symétrie par rapport à Ae₁, les matrices n° 1 0DO3
Corollaire 1 Le groupe S⁺ des similitudes directes est commutatif. Quels que soient les vecteurs non isotropes x, y de E, il existe une similitude directe u et une seule telle que y = u(x). 0DO4
Corollaire 2 Le groupe O⁺ des rotations est commutatif. Quels que soient les vecteurs x, y de E tels que Φ(x, x) = Φ(y, y) ≠ 0, il existe une rotation u et une seule telle que y = u(x). 0DO5
Corollaire 3 Le groupe S⁺/H est commutatif. Il opère sur l’ensemble des droites non isotropes de E. Quelles que soient les droites non isotropes D, D' de E, il existe un élément φ et un seul de… 0DO6
Proposition 2 Le noyau de l’homomorphisme canonique de O⁺ dans S⁺/H est 1, -1. 0DO7
Proposition 3 L’homomorphisme u → u/overlineu = u² / N(u) de S⁺ dans lui-même admet H pour noyau, et définit, par passage au quotient, un isomorphisme de S⁺/H sur O⁺. 0DO8
Corollaire Notons i : O⁺ → S⁺/H et d : S⁺/H → O⁺ les homomorphismes définis dans les prop. 2 et 3, et écrivons additive- ment les groupes abéliens O⁺ et S⁺/H; on a d(i(θ)) = 2θ pour θ ∈ O⁺ et… 0DO9
Remarque Lorsque –1 appartient à la classe mod. (A^*)² en question, on choisit en général ω de telle sorte que ω² = -1, ce qui le détermine au signe près. Lorsque cette classe contient 1 ma… 0DOA
Proposition 4 a) Lorsque ω² = δ n’est pas un carré dans A (c’est-à-dire lorsque E ne contient pas de droite isotrope), l’application t de S⁺/H dans tildeA est une bijection. 0DOB
Proposition 5 Notons O⁺ additivement. Pour tout couple d’éléments θ, θ' de O⁺ on a 0DOC
Proposition 6 Soit d l’isomorphisme de S⁺/H sur O⁺ défini dans la prop. 3. Pour tout élément φ de S⁺/H tel que t = t(φ) soit fini, on a 0DOD
Corollaire Pour tout élément θ de O⁺ tel que t(θ) soit fini, on a 0DOE
Remarque Les formules (6) restent vraies pour t = ∞ à condition de remplacer les fonctions rationnelles qui figurent au second membre par leurs prolongements canoniques au corps projectif t… 0DOF
Proposition 7 Supposons que A soit un corps ordonné maximal et que Φ soit une forme positive (§ 7). Alors les homomorphismes canoniques de O⁺ dans S⁺/H⁺ et de O⁺/ 1, -1 dans S⁺/H sont bijectifs… 0DOG
Corollaire Etant données deux demi-droites D, D' d’origine 0, il existe une rotation v et une seule telle que v(D) = D'. 0DOH
Proposition 8 On suppose que A est un corps ordonné maximal, et que la forme Φ est positive. Soient D₁, D₂, D'₁, D'₂ quatre droites (resp. demi-droites) d’origine 0 de E. Pour que les angles (wi… 0DOI
Remarque 1 L’ensemble L des droites (resp. demi-droites) d’origine 0 de E est un espace homogène du groupe abélien S⁺/H (resp. O⁺) tel que l’élément neutre soit le seul opérateur laissant inv… 0DOJ
Remarque 2 Dans la définition du groupe des angles de droites, on peut, au lieu du groupe S⁺/H, utiliser le groupe O⁺/ -1, 1 qui lui est canoniquement isomorphe (prop. 7). L’homomorphisme can… 0DOK
Proposition 9 On suppose que le corps A est ordonné maximal, et que Φ est une forme positive. Pour tout entier n > 1, le nombre des éléments θ du groupe 𝔄₀ des angles de droites (resp. 𝔄 des ang… 0DOL
Corollaire L’angle droit (resp. plat) est le seul élément d’ordre 2 du groupe 𝔄₀ (resp. 𝔄). 0DOM
Lemme 1 Soit u une similitude directe de E; tous les bivecteurs de la forme x ∧ u(x) appartiennent à la même demi-droite fermée de overset2∧ E. 0DON
Proposition 10 On suppose que le corps A est ordonné maximal, que le plan E est orienté, et que la forme Φ est positive. Pour tout couple de vecteurs non nuls x, y de E on a 0DOO
Remarque 3 Étant données deux droites (resp. demi-droites) D, D' d’un plan affine L attaché à E, on appelle angle de D et D', et on note (widehatD, D'), l’angle que font leurs directions dans… 0DOP
Remarque 4 Soient F un espace vectoriel de dimension quelconque sur le corps ordonné maximal A, et Ψ une forme bilinéaire symétrique positive non dégénérée sur F. Étant donnés deux vecteurs x… 0DOQ
Proposition 11 Soient E un plan orienté sur un corps ordonné A, D₀ une demi-droite de E, et G l’ensemble des demi-droites de E distinctes de D₀. La relation 0DOR
Corollaire Soient D₁ et D₂ deux demi-droites distinctes de E. Pour toute demi-droite D₀ de E telle que la suite D₀, D₁, D₂ soit directe, l’ensemble des demi-droites D de E telles que D₁ < D <… 0DOS
Proposition 12 Soient A un corps ordonné maximal, E un plan orienté sur A, D₀ une demi-droite de E et G l’ensemble des demi-droites de E distinctes de D₀. Les ensembles totalement ordonnés A et G… 0DOT

X. Algèbre homologique

§ 1. Compléments d’algèbre linéaire

Proposition 1 Considérons un diagramme commutatif de A-modules 0DOU
Lemme 1 Considérons un diagramme commutatif de A-modules 0DOV
Proposition 2 Supposons que dans le diagramme commutatif (4), les suites (u, v) et (u', v') soient exactes. Alors : (i) On a v₁ ∘ u₁ = 0; si u' est injectif, la suite (u₁, v₁) est exacte. (ii) O… 0DOW
Corollaire 1 Supposons que le diagramme (4) soit commutatif et ait ses lignes exactes. Alors : 0DOX
Corollaire 2 Supposons que le diagramme (4) soit commutatif et ait ses lignes exactes. Dans ces conditions : 0DOY
Définition 1 On dit que le A-module E est plat, si pour toute suite exacte de A-modules à droite et d’homomorphismes 0DOZ
Proposition 3 Pour que le A-module E soit plat, il faut et il suffit que, pour tout A-homomorphisme injectif u : M' → M de A-modules à droite, l’application u ⊗ 1 : M' ⊗_A E → M ⊗_A E soit injec… 0DP0
Proposition 4 (i) Soient (Eᵢ)_i ∈ I une famille de A-modules, E = ⨁_i ∈ I Eᵢ leur somme directe. Pour que le A-module E soit plat, il faut et il suffit que chacun des Eᵢ le soit. 0DP1
Exemple 1 Il est clair que Aₛ est un A-module plat; il résulte alors de la prop. 4 (i) que tout A-module libre, et plus généralement tout A-module projectif, est plat (voir aussi II, p. 63… 0DP2
Exemple 2 D’après la prop. 4 (ii), tout A-module qui est limite inductive d’un système inductif filtrant de A-modules libres est plat. Nous démontrerons une réciproque au no 6. 0DP3
Exemple 3 Si A est semi-simple, tout A-module est projectif (VIII, § 5, no 1, prop. 1) donc plat. 0DP4
Exemple 4 \ Si A est un anneau local artinien (non nécessairement commutatif), un A-module est plat si et seulement s’il est libre (AC II, § 3, no 2, cor. 2 de la prop. 5). \ 0DP5
Exemple 5 Si A est intègre, le corps des fractions K de A est un A-module plat (II, p. 118, prop. 27). 0DP6
Exemple 6 \ En AC II et III, nous étudierons deux exemples importants de A-modules plats lorsque A est commutatif : les anneaux de fractions S⁻¹ A, et lorsque A est nœthérien, les séparés co… 0DP7
Exemple 7 Soit a ∈ A tel que l’application a_A : x ↦ ax de A dans A soit injective (« a n’est pas diviseur à gauche de 0 »). Si E est un A-module plat, alors l’homothétie a_E est injective… 0DP8
Exemple 8 Soient B un anneau et ρ : A → B un homomorphisme. Si E est un A-module plat, le B-module E_(B) = B ⊗_A E est plat. Soit en effet u : N' → N un homomorphisme injectif de B-modules à… 0DP9
Exemple 9 Supposons que A = K[X, Y], où K est un corps. Alors l’idéal maximal m engendré par X et Y est un A-module sans torsion, mais non plat. Considérons en effet l’anneau B = A/(Y), qui… 0DPA
Exemple 10 Supposons A commutatif. Soit B l’algèbre A[X₁, ..., Xₙ]/(P), où P est un polynôme non nul. Pour tout idéal premier p de A, notons κ(p) le corps des fractions de l’anneau intègre A/… 0DPB
Exemple 11 \ Soient S et X deux espaces analytiques complexes et f : X → S un morphisme. On dit que f est plat en un point x de X si O_X,x, considéré comme O_S,f(x)-module au moyen de l’homom… 0DPC
Proposition 5 (i) Tout module admettant une présentation finie est de type fini. (ii) Si A est un anneau noethérien à gauche, tout A-module de type fini admet une présentation finie. (iii) Tout… 0DPD
Proposition 6 Soient A un anneau, E un A-module de présentation finie. Pour toute suite exacte 0DPE
Proposition 7 Soit M un A-module. Il existe un ensemble ordonné I filtrant à droite et un système inductif de A-modules de présentation finie (M\alpha, \varphi{\beta\alpha}) relatif à I tel que… 0DPF
Proposition 8 a) Si le A-module E est de type fini (resp. de présentation finie), l’homomorphisme canonique (16) est injectif (resp. bijectif). 0DPG
Corollaire Tout module plat et de présentation finie est projectif. 0DPH
Lemme 2 Soient I un ensemble ordonné filtrant à droite, (E_α, φ_βα) un système inductif d’ensembles relatif à I, E sa limite inductive et φ_α : E_α → E, α ∈ I, les applications canoniques… 0DPI
Théorème 1 (D. Lazard) Pour tout A-module E, les conditions suivantes sont équivalentes : (i) E est plat. (ii) Pour tout A-module P de présentation finie, l’homomorphisme canonique Hom_A(P, A) ⊗_A E → Ho… 0DPJ
Corollaire Supposons A commutatif. Pour tout A-module plat E, les A-modules T(E), S(E), Λ(E), T^n(E), S^n(E), Λ^n(E) sont plats. 0DPK
Remarque Considérant dans (ii) une présentation finie As^J \xrightarrow{c} As^I \to P \to 0, on obtient la condition (ii’) encore équivalente aux précédentes : 0DPL
Définition 2 On dit que le A-module E est injectif si, pour toute suite exacte de A-modules et d’homomorphismes 0DPM
Lemme 3 Pour que le A-module E soit injectif, il faut et il suffit que, pour toute application A-linéaire injective u : M' → M, l’application 0DPN
Remarque Soient E un A-module injectif, u : M' → M et f : M' → E des homomorphismes de A-modules. Si Keru⊂Kerf, il existe un homomorphisme g : M → E tel que g∘ u=f. Cela résulte en effet de… 0DPO
Proposition 9 Soient (Eᵢ)_i∈ I une famille de A-modules, E=∏_i∈ IEᵢ leur produit. Pour que le A-module E soit injectif, il faut et il suffit que chacun des Eᵢ le soit. 0DPP
Proposition 10 Soit E un A-module. Pour que E soit injectif, il faut et il suffit que, pour tout idéal a de A et tout A-homomorphisme f : a→ E, il existe e∈ E tel que 0DPQ
Corollaire 1 Si l’anneau A est nœthérien à gauche, tout module somme directe de A-modules injectifs est injectif. 0DPR
Remarque Si tout A-module somme directe de A-modules injectifs est injectif, l’anneau A est nœthérien à gauche (X, p. 170, exercice 21). 0DPS
Corollaire 2 Supposons A intègre. a) Tout A-module injectif est divisible. b) Tout A-module sans torsion (II, p. 115) et divisible est injectif. c) Si A est principal, tout A-module divisible e… 0DPT
Exemple 1 Si A est intègre, le corps des fractions K de A est un A-module injectif. Si A est principal, K/A est un A-module injectif. 0DPU
Exemple 2 Par exemple, les Z-modules Q et Q/Z sont injectifs. 0DPV
Exemple 3 Soit A un anneau principal et soit a un élément non nul de A. Alors A/aA est un A/aA-module injectif (X, p. 170, exercice 20). 0DPW
Proposition 11 Soient B un anneau, F un B-module et P un (B, A)-bimodule. Si F est un B-module injectif et P un A-module plat, Hom_B(P, F) est un A-module injectif. 0DPX
Définition 3 On dit que le A-module E est cogénérateur si, pour tout A-module M et tout élément non nul x de M, il existe un A-homomorphisme u : M → E tel que u(x) ≠ 0. 0DPY
Proposition 12 Soit E un A-module injectif. Pour que E soit cogénérateur, il faut et il suffit que Hom_A(S, E) ≠ 0 pour tout A-module simple S. 0DPZ
Exemple Le Z-module injectif Q/Z (X, p. 18, exemple 2) est cogénérateur. En effet, tout Z-module simple est isomorphe à un module Z/pZ, p≠ 0, et Hom_Z(Z/pZ,Q/Z) est non nul (il contient pa… 0DQ0
Proposition 13 Soient B un anneau, F un B-module injectif cogénérateur, P un (B,A)-bimodule. Supposons P plat sur A et tel que P⊗_A S≠ 0 pour tout A-module simple S ( c’est-à-dire fidèlement plat… 0DQ1
Corollaire 1 Le A-module E_A=Hom_Z(A,Q/Z) est injectif et cogénérateur. 0DQ2
Corollaire 2 Le A-module I⁰(M) est injectif et le A-homomorphisme e_M:M→ I⁰(M) est injectif. 0DQ3
Corollaire 3 Tout A-module est isomorphe à un sous-module d’un A-module injectif. 0DQ4
Corollaire 4 Pour que le A-module E soit injectif, il faut et il suffit que tout A-homomorphisme injectif f:E→ F possède une rétraction A-linéaire. 0DQ5
Définition 4 Soit M un A-module. Une enveloppe injective de M est un couple (I,i), où I est un A-module injectif et i:M→ I un homomorphisme possédant la propriété suivante : 0DQ6
Exemple 1 Supposons A intègre et M sans torsion. Soient K le corps des fractions de A et i : M → K ⊗A M l’homomorphisme canonique. Alors (K ⊗A M, i) est une enveloppe injective de M (II, p… 0DQ7
Théorème 2 Soit M un A-module. a) M possède des enveloppes injectives. b) Si (I, i) et (J, j) sont deux enveloppes injectives de M, il existe un isomorphisme f : I → J tel que f ∘ i = j. 0DQ8
Remarque 1 Soient (I, i) une enveloppe injective de M et j : M → J un homomorphisme injectif de M dans un A-module injectif J. D’après la démonstration ci-dessus, il existe un homomorphisme i… 0DQ9
Remarque 2 Soit (I, i) une enveloppe injective de M. Identifions M au sous-module i(M) de I. Pour tout sous-module N de M, il existe un sous-module injectif de I qui est une enveloppe injecti… 0DQA
Proposition 14 Soit I un A-module injectif non nul. Les conditions suivantes sont équivalentes: (i) I est indécomposable (VII, § 4, no 8, déf. 3); (ii) 0 n’est pas intersection de deux sous-modul… 0DQB
Corollaire 1 La relation « I est une classe de A-modules injectifs indécomposables » est collectivisante. 0DQC
Corollaire 2 Soient M un A-module, I une enveloppe injective de M. Pour que I soit indécomposable, il faut et il suffit que 0 ne soit pas intersection de deux sous-modules non nuls de M. 0DQD
Exemple 2 Si A est commutatif et nœthérien, les A-modules injectifs indécomposables sont exactement les enveloppes injectives des modules A/p où p est un idéal premier (X, p. 171, exercice 2… 0DQE
Lemme 4 Soient M un A-module nœthérien non nul, I une enveloppe injective de M. Alors I possède un sous-module injectif indécomposable. 0DQF
Théorème 3 Soit I un A-module injectif. 0DQG

§ 2. Complexes de A-modules

Définition 1 Un complexe différentiel de A-modules est un couple (C,d) formé d’un A-module gradué C et d’un endomorphisme d:C→ C gradué de degré descendant -1 et tel que d∘ d=0. 0DRD
Exemple Si C est à différentielle nulle, on a Z(C) = C, B(C) = 0 et H(C) s’identifie canoniquement à C. 0DRE
Définition 2 Soient (C, d) et (C', d') deux complexes. Un morphisme ¹ de (C, d) dans (C', d') est un A-homomorphisme gradué u de degré 0 de C dans C' tel que d' ∘ u = u ∘ d . 0DRF
Définition 3 Soient (C, d) et (C', d') deux complexes. Un homologisme (ou quasi-isomorphisme) de (C, d) dans (C', d') est un morphisme u de (C, d) dans (C', d') tel que H(u) soit bijectif. 0DRG
Proposition 1 Pour toute famille de complexes (Cᵢ)_i ∈ I, les homomorphismes canoniques ⨁_i ∈ I H(Cᵢ) → H(⨁_i ∈ I Cᵢ), H(∏_i ∈ I Cᵢ) → ∏_i ∈ I H(Cᵢ) sont bijectifs. 0DRH
Lemme 1 L’image φ(Γ) de Γ dans H(C'') × H(C') est le graphe d’un A-homomorphisme gradué de degré -1 de H(C'') dans H(C'). 0DRI
Théorème 1 La suite illimitée d’homomorphismes de A-modules 0DRJ
Corollaire 1 Si deux des complexes C, C', C'' sont d’homologie nulle, le troisième l’est aussi. Pour que u (resp. v) soit un homomorphisme, il faut et il suffit que C'' (resp. C') soit d’homolo… 0DRK
Corollaire 2 Soit u un morphisme de complexes. Si Ker u et Coker u sont d’homologie nulle, alors u est un homologisme. 0DRL
Proposition 2 Considérons un diagramme commutatif de complexes à lignes exactes 0DRM
Exemple Soit C un complexe. Considérons la suite exacte canonique 0DRN
Exemple Considérons le produit de sphères S₂ × S₂ et l’espace projectif complexe P₂(C). Soit b ∈ S₂, on définit une décomposition cellulaire (Yₙ) de Y = S₂ × S₂ en posant 0DRO
Définition 4 Soient (C, d) et (C', d') deux complexes, f et g deux morphismes de C dans C'. On appelle homotopie reliant f à g tout A-homomorphisme gradué s de degré 1 de C dans C' tel que g -… 0DRP
Proposition 3 Si f et g sont deux morphismes homotopes de C dans C', alors H(f) = H(g). Soit s une homotopie reliant f à g. On a (g - f)(Z(C)) = (d' ∘ s + s ∘ d)(Z(C)) = (d' ∘ s)(Z(C)) ⊂ B(C')… 0DRQ
Corollaire Un morphisme homotope à un homologisme est un homologisme. 0DRR
Proposition 4 Soient C, C', D, D' quatre complexes, f : C → C', g : C → C', u : D → C, v : C' → D' quatre morphismes. Si s est une homotopie reliant f à g, alors v ∘ s ∘ u est une homotopie reli… 0DRS
Corollaire Soient C, C', C'' trois complexes, f et g deux morphismes de C dans C', f₁ et g₁ deux morphismes de C' dans C''. Si s et s₁ sont des homotopies reliant f à g et f₁ à g₁ respectivem… 0DRT
Définition 5 Un morphisme de complexes f : C → C' est appelé un homotopisme s’il existe un morphisme f' : C' → C tel que f' ∘ f et f ∘ f' soient homotopes à 1_C et 1_C' respectivement. Il est c… 0DRU
Proposition 5 Un homotopisme est un homologisme ; un morphisme composé d’homotopismes est un homotopisme. Un morphisme homotope à un homotopisme est un homotopisme. Soient f : C → C' et f₁ : C'… 0DRV
Corollaire Soient C, C', D, D' quatre complexes, f : C → C' un morphisme, u : D → C et v : C' → D' des homotopismes. Pour que v ∘ f ∘ u soit un homotopisme (resp. un homologisme), il faut et… 0DRW
Exemple Soient u : M → N et v : N → P des homomorphismes de A-modules tels que v ∘ u = 0 ; soit C le complexe tel que C₂ = M, C₁ = N, C₀ = P, Cᵢ = 0 pour i ≠ 0, 1, 2, d₂ = u, d₁ = v, dᵢ =… 0DRX
Proposition 6 Soit (C, d) un complexe. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) il existe un homotopisme de (C, d) sur (H(C), 0) ; (ii) il existe un A-endomorphisme s de C, gradué de deg… 0DRY
Définition 6 Un complexe C est dit scindé s’il satisfait aux conditions équivalentes de la prop. 6. 0DRZ
Exemple 1 Un complexe à différentielle nulle est scindé. 0DS0
Exemple 2 Les complexes homotopes à zéro sont les complexes scindés d’homologie nulle, i.e. les complexes C tels que H(C)=0 et que Z(C) soit facteur direct dans C. 0DS1
Exemple 3 Soient f:M→ N un homomorphisme de A-modules et C le complexe tel que C₁=M, C₀=N, Cᵢ=0 pour i≠0,1, d₁=f, dᵢ=0 pour i≠1. Alors C est scindé si et seulement si Kerf est facteur direct… 0DS2
Exemple 4 Le complexe C est scindé dès que B(C) et H(C) sont projectifs (resp. dès que Bₙ(C) et Hₙ(C) sont injectifs pour chaque n). En effet, d’après les suites exactes (Iₙ) à (IVₙ) du n° 1… 0DS3
Exemple 5 En particulier, si A est principal, un complexe libre C est scindé si et seulement si H(C) est libre (c’est-à-dire Hₙ(C) libre pour tout n∈Z). 0DS4
Remarque a) Supposons que la suite exacte canonique de A-modules gradués 0DS5
Lemme 2 (Cyl (u), overlineD) et (Con (u), D) sont des complexes de A-modules. 0DS6
Définition 7 Les complexes Cyl (u) et Con (u) sont appelés respectivement le cylindre et le cône du morphisme u. 0DS7
Exemple Soit u : M → N un homomorphisme de A-modules ; alors les seules composantes homogènes non nulles de Cyl (u) et Con (u) sont Cyl₁ (u) = M , Cyl₀ (u) = M ⊕ N , Con₁ (u) = M , Con₀ (u… 0DS8
Proposition 7 a) Les applications tildeu, α, β, π, tildeπ, δ sont des morphismes de complexes : on a u = β ∘ tildeu, π = tildeπ ∘ α, β ∘ α = 1_C. 0DS9
Corollaire Pour tout morphisme de complexes u : C' → C, il existe un morphisme injectif de complexes tildeu : C' → C₁ et un homotopisme β : C₁ → C tel que u = β ∘ tildeu. 0DSA
Lemme 3 a) L’homomorphisme de liaison ∂ₙ₊₁(π, δ) : Hₙ(C') → Hₙ(C) relatif à la suite exacte (7) est égal à -Hₙ(u). 0DSB
Proposition 8 On a la suite exacte illimitée (8) ⋯ longrightarrow Hₙ(C') xrightarrowHₙ(u) Hₙ(C) xrightarrowHₙ(π) Hₙ(Con (u)) xrightarrowHₙ(δ) Hₙ₋₁(C') longrightarrow ⋯ . 0DSC
Corollaire Pour que u soit un homologisme, il faut et il suffit que Con (u) soit d’homologie nulle. 0DSD
Remarque Considérons le diagramme 0DSE
Proposition 9 Les applications β et φ sont des homologismes de complexes. Pour β, cela résulte de la prop. 7, c). On a beginalign* φ ∘ D(y', x) &= φ(-d'y', dx - u(y')) = v(dx - u(y')) \\ &= v(dx… 0DSF
Remarque L’homologisme β est un homotopisme, mais φ n’est pas en général un homotopisme (cf. X, p. 173, exercice 8). 0DSG
Corollaire Le diagramme de A-modules gradués 0DSH
Exemple 1 Si A est un corps, on peut prendre pour C l’ensemble des classes d’espaces vectoriels de dimension finie et pour φ l’isomorphisme de K( C) sur Z défini par φ([M])=dim(M). 0DSI
Exemple 2 On peut prendre pour C l’ensemble des classes de modules de longueur finie et pour φ : K(C) → Z l’homomorphisme défini par φ([M]) = long_A(M). 0DSJ
Définition 8 Soient M un A-module gradué borné de type C et (Mₙ) sa graduation. On appelle φ-caractéristique de M et on note χ_φ(M) ou simplement χ(M) l’élément ∑ (-1)ⁿ φ([Mₙ]) de G. Cette défi… 0DSK
Exemple 3 Si M est borné de type C, il en est de même de M(p) pour tout p ∈ Z, et on a χ(M(p)) = (-1)ᵖ χ(M). 0DSL
Exemple 4 Soit 0 → M' → M → M'' → 0 une suite exacte de A-modules gradués et d’homomorphismes gradués de degré 0. Si M, M’ et M'' sont bornés de type C, on a χ(M) = χ(M') + χ(M''). Si M et M… 0DSM
Exemple 5 Soit u : C' → C un morphisme de complexes bornés de type C. Alors Con (u) est borné de type C, et on a : χ(Con(u)) = χ(C) - χ(C'). 0DSN
Exemple 6 On peut prendre pour G le groupe K(C) lui-même, et pour φ l’identité ; on note dans ce cas χ_C(M) l’élément χ_φ(M) = ∑ (-1)ⁿ[Mₙ] de K(C). 0DSO
Remarque On appelle polynôme de Poincaré de M relativement à φ l’élément P_M(t) = ∑ φ([Mₙ]) tⁿ ∈ G ⊗ Z[t, t⁻¹]. On a P_M(1) = φ([M]) et P_M(-1) = χ(M). 0DSP
Lemme 4 Soit C un complexe borné de type C. Si H(C) = 0, on a χ(C) = 0. Cela résulte de VIII, § 6, no 1, cor. de la prop. 1. 0DSQ
Proposition 10 Soient C et C’ deux complexes bornés de type C. S’il existe un homologisme u : C' → C, on a χ(C) = χ(C'). En effet, Con (u) est borné de type C et on a χ(Con(u)) = χ(C) - χ(C'); d’… 0DSR
Proposition 11 Soit C un complexe borné de type C. a) Si C est stable, H(C) est de type C. b) Si H(C) est de type C, il en est de même de B(C) et de Z(C), et on a χ(H(C)) = χ(C). 0DSS
Corollaire Si C est stable et C borné de type C, le module gradué H(C) est borné de type C et on a χ(H(C)) = χ(C). 0DST
Proposition 12 Soit 0 → C' → C → C'' → 0 une suite exacte de complexes. 0DSU
Lemme 5 Soit M → N → P → Q → R une suite exacte de A-modules. Si C est stable, et si M, N, Q et R sont de type C, le module P est de type C. Posons N' = Coker(M → N) et Q' = Ker(Q → R). Le… 0DSV
Corollaire Supposons C stable, et soit u : C' → C un morphisme de complexes tels que H(C) et H(C') soient bornés de type C. Alors H(Con(u)) est borné de type C, et on a χ(H(Con(u))) = χ(H(C))… 0DSW
Remarque Soient E un complexe, h : E → C et h' : E → C' des homotopismes avec C et C' bornés de type C. On a alors χ(C) = χ(C'). En effet, si h₁ est un inverse de h à homotopie près, h' ∘ h… 0DSX
Proposition 13 Il existe une unique k-antidérivation d : Ω_A/k → Ω_A/k de degré 1, de carré nul, qui prolonge la dérivation d⁰ : A → Ω¹_A/k. 0DSY
Exemple 1 Prenons pour A l’anneau k[X₁, ..., Xₙ]. Alors Ω_A/k¹ est un A-module libre de base dX₁, ..., dXₙ (III, p. 134, exemple). Par conséquent, si pour toute partie I = i₁, ..., iₚ de 1… 0DSZ
Exemple 2 Supposons que k = C et A = C [X₁, ..., Xₙ]/(P₁, ..., Pᵣ), où les Pᵢ sont des polynômes en X₁, ..., Xₙ, tels que l’ensemble des points de Cⁿ où tous les Pᵢ s’annulent soit une sous-… 0DT0
Proposition 14 (i) Il existe une unique application k-linéaire ∇ du Ω_A/k-module à droite M ⊗_A Ω_A/k dans lui-même, graduée de degré 1, qui prolonge ∇⁰ en degré 0 et satisfait à l’identité : 0DT1

§ 3. Résolutions

Lemme 1 Considérons un diagramme de A-modules et d’homomorphismes 0DTO
Lemme 2 Si dans le diagramme commutatif de A-modules et d’homomorphismes 0DTP
Proposition 1 Soient (P, d_P) et (E, d_E) deux complexes de A-modules et r un entier. 0DTQ
Définition 1 Soit M un A-module. Une résolution gauche de M est un couple (P,p) où P est un complexe nul à droite et p:P→ M est un homomorphisme. Une résolution droite de M est un couple (e,E)… 0DTR
Proposition 2 Soient P un complexe nul à droite et p:P→ M un morphisme. Pour que (P,p) soit une résolution gauche de M, il faut et il suffit que la suite 0DTS
Définition 2 Une résolution projective (resp. libre, resp. plate) du A-module M est une résolution gauche (P,p) de M telle que le complexe P soit projectif (resp. libre, resp. plat) (X, p. 25)… 0DTT
Exemple 1 Supposons que l’anneau A soit principal ; soient M un A-module et (xᵢ)_i∈ I une famille génératrice de M. Notons L₀ le module libre A⁽ᴵ⁾, (eᵢ) sa base canonique et définissons p:L₀… 0DTU
Exemple 2 Supposons A commutatif ; soient E un A-module et u un endomorphisme de E. Notons Eᵤ le A[X]-module obtenu en munissant E de la structure définie par 0DTV
Exemple 3 Si A est principal, la suite exacte 0DTW
Proposition 3 Soient f : M' → M un homomorphisme de A-modules, p' : P' → M' un morphisme dans M' d’un complexe nul à droite et projectif P', et p : P → M une résolution gauche de M. Il existe un… 0DTX
Corollaire Soient (P, p) et (P', p') deux résolutions projectives de M. Il existe un homotopisme et un seul à homotopie près α : P' → P tel que p ∘ α = p'. 0DTY
Corollaire Soient (e, E) et (e', E') deux résolutions injectives de N ; il existe un homotopisme α : E → E' et un seul à homotopie près tel que α ∘ e = e'. 0DTZ
Proposition 4 L(f) : L(M) → L(N) est un morphisme de complexes de A-modules ; on a p_M ∘ L(f) = f ∘ p_N. 0DU0
Remarque Si f, g ∈ Hom_A(M, N), on n’a pas L(f + g) = L(f) + L(g). Cependant ces deux morphismes sont homotopes d’après X, p. 49, prop. 3. 0DU1
Proposition 5 I(f) : I(M) → I(N) est un morphisme de complexes de A-modules ; on a I(f) ◦ eM = eN ◦ f. Cela se démontre de manière analogue à la prop. 4. 0DU2
Remarque Si f, g ∈ Hom_A(M, N), on n’a pas I(f + g) = I(f) + I(g). Cependant, ces deux morphismes sont homotopes d’après X, p. 49, prop. 3 bis. 0DU3
Proposition 6 Lorsque A est noethérien à gauche, tout A-module de type fini M possède une résolution libre p : L → M telle que Lₙ soit de type fini pour tout entier n. Plus généralement : 0DU4
Proposition 7 Soit C un A-complexe et soit a ∈ Z tel que Hₙ(C) = 0 pour n < a. a) Il existe un A-complexe libre L tel que Lₙ = 0 pour n < a et un homologisme f : L → C. 0DU5
Lemme 3 Soient C un complexe et r∈ Z. Il existe un complexe C' et un homomorphisme f:C'→ C tels que fₙ:C'ₙ→ Cₙ soit un isomorphisme pour n<r et que C'ᵣ soit un A-module libre. Si A est noe… 0DU6
Proposition 8 Soient M un A-module, P et P' deux résolutions projectives minimales de M et f:P→ P' un morphisme de résolutions. Alors f est un isomorphisme. En particulier, deux résolutions proj… 0DU7
Corollaire Soient M un A-module, P et P' deux résolutions projectives de M ; on suppose que P est minimale. Soient f:P→ P' et g:P'→ P deux morphismes de résolutions. Alors f est injectif, g e… 0DU8
Proposition 9 Soient M un A-module et (P,p) une résolution projective de M. Notons r le radical de A. On suppose, ou bien que Pₙ est un A-module de type fini pour tout n, ou bien que r est nilpo… 0DU9
Proposition 10 Supposons que A soit un anneau local nœthérien à gauche, et soit M un A-module de type fini. Alors M possède une résolution minimale (P, p) ; pour tout n geqslant 0, Pₙ est un modu… 0DUA
Proposition 11 Si M est un A-module gradué borné inférieurement (resp. si M est un A-module gradué de type fini et si A est nœthérien à gauche), il existe une suite exacte illimitée à gauche de A… 0DUB
Proposition 12 L’application overlineε_M : B(A, M) → M est un homotopisme de complexes de k-modules. En particulier, le complexe B(A, M) est scindé sur k, et (B(A, M), overlineε_M) est une résolu… 0DUC
Définition 3 La résolution gauche (B(A, M), overlineε_M) de M s’appelle la résolution standard du A-module M. 0DUD
Théorème 1 Soient C₀ et C deux ensembles additifs et exacts à gauche de classe de A-modules tels que C₀ ⊂ C et que tout A-module de type C possède une résolution gauche bornée de type C₀. Alo… 0DUE
Lemme 4 Soient f : M' → M un homomorphisme de A-modules de type C, et p : P → M une résolution gauche de P bornée de type C₀. Il existe une résolution gauche p' : P' → M' bornée de type C₀… 0DUF
Lemme 5 Considérons un diagramme commutatif 0DUG

§ 4. Produits de torsion

Remarque 1 Lorsque C' est réduit à C'₀=M, alors (C⊗_A C')ₙ=Cₙ⊗_A M et D=d⊗ 1_M; par exemple C⊗_A Aₛ s’identifie naturellement à C. De même, lorsque C est réduit à C₀=P, alors (C⊗_A C')ₙ=P⊗_A… 0DV2
Remarque 2 Pour tout entier r, on a (C⊗_A C')(r)=C(r)⊗_A C', mais (C⊗_A C')(r) et C⊗_A C'(r) n’ont pas en général la même différentielle. 0DV3
Proposition 1 Si les complexes C et C' sont nuls à droite, C ⊗_A C' est nul à droite et l’application k-linéaire canonique γ_0,0(C, C') : H₀(C) ⊗_A H₀(C') → H₀(C ⊗_A C') est bijective. 0DV4
Proposition 2 L’application σ(C, C') : C ⊗_A C' → C'^∘ ⊗_A C^∘ est un isomorphisme de complexes de k-modules, dont l’isomorphisme réciproque est σ(C'^∘, C^∘). 0DV5
Remarque 3 On peut définir le produit tensoriel d’une famille finie de complexes sans munir l’ensemble d’indices d’un ordre total (X, p. 185, exercice 3). 0DV6
Remarque 4 Supposons que chaque C⁽ⁱ⁾ soit muni d’une structure d’algèbre graduée compatible avec sa graduation et telle que les d⁽ⁱ⁾ soient des antidérivations (III, p. 117). Munissons alors… 0DV7
Proposition 3 Soient C,\ C₁ deux complexes de A-modules à droite, C',\ C'₁ deux complexes de A-modules à gauche, et u : C → C₁,\ v : C → C₁,\ u' : C' → C'₁,\ v' : C' → C'₁ des morphismes de comp… 0DV8
Corollaire 1 Soit C' un complexe scindé de A-modules à gauche tel que H(C') soit plat. Pour tout complexe C de A-modules à droite, l’application canonique 0DV9
Corollaire 2 Soit N un A-module à gauche plat. Pour tout complexe C de A-modules à droite, les homomorphismes canoniques 0DVA
Corollaire 3 Soit C' un complexe de A-modules à gauche tel que B(C') et H(C') soient projectifs. Pour tout complexe C de A-modules à droite, l’application γ(C,C') est bijective. 0DVB
Remarque 1 En utilisant les isomorphismes de commutation, on déduit des corollaires 1, 2 et 3 les énoncés analogues obtenus en échangeant les rôles des deux arguments des produits tensoriels. 0DVC
Remarque 2 Nous verrons ci-dessous (X, p. 79, cor. 4) que la conclusion du cor. 1 est également vraie lorsqu’on suppose C' et H(C') plats et C' borné à droite. 0DVD
Lemme 1 Soient C un complexe de A-modules à droite et E un complexe de A-modules à gauche. On suppose que H(C)=0 et que E est plat et borné à droite. Alors H(C⊗_A E)=0. 0DVE
Lemme 2 Si u:C→ C' est un morphisme de complexes de A-modules à droite et E un complexe de A-modules à gauche, alors les complexes Con(u)⊗_A E et Con(u⊗ 1_E) sont isomorphes. 0DVF
Proposition 4 Soient u:C→ C' un homologisme de complexes de A-modules à droite et E un complexe de A-modules à gauche, plat et borné à droite. Alors 0DVG
Remarque En utilisant les isomorphismes de commutation, on déduit des énoncés précédents les énoncés analogues obtenus en échangeant les rôles des deux arguments des produits tensoriels. 0DVH
Définition 1 Soit M un A-module à droite et N un A-module à gauche. On appelle produit de torsion de M et N le k-module gradué 0DVI
Remarque 1 Nous verrons ci-dessous (X, p. 107, prop. 6) des propriétés de finitude des modules Torᴬ(M, N). Par exemple, si A est commutatif noethérien et si M et N sont des A-modules de type… 0DVJ
Remarque 2 Le morphisme de complexes p_M ⊗ p_N : L(M) ⊗_A L(N) → M ⊗_A N induit sur l’homologie de degré 0 l’isomorphisme 0DVK
Proposition 5 Les k-homomorphismes 0DVL
Corollaire Si M ou N est plat, Torᵢᴬ(M, N) = 0 pour i geqslant 0. 0DVM
Remarque 3 Si g : N → N' est un homomorphisme de A-modules à gauche, alors 0DVN
Proposition 6 L’application (f, g) ↦ Torᴬ(f, g) : 0DVO
Corollaire Soit λ ∈ k. Si λ annule M ou N, il annule Torᴬ(M, N). En effet, λ . 1_Tor(M, N) = Tor(λ . 1_M, 1_N) = Tor(1_M, λ . 1_N). 0DVP
Proposition 7 Soient I et J deux ensembles, (M_α)_α ∈ I une famille de A-modules à droite, (N_β)_β ∈ J une famille de A-modules à gauche. L’homomorphisme 0DVQ
Proposition 8 Soient I (resp. J) un ensemble préordonné filtrant à droite, ((M_α, u_α', α) (resp. ((N_β, v_β', β))) un système inductif de A-modules à droite (resp. gauche) relatif à I (resp. J)… 0DVR
Corollaire Soient I un ensemble préordonné filtrant à droite, (Mᵢ, uⱼᵢ) (resp. (Nᵢ, vⱼᵢ)) un système inductif de A-modules à droite (resp. à gauche) relatif à I. L’homomorphisme de k-modules… 0DVS
Définition 2 On appelle homomorphisme de liaison des produits de torsion, relatif au module M et à la suite exacte E, l’homomorphisme composé 0DVT
Théorème 1 La suite illimitée à gauche d’homomorphismes de k-modules 0DVU
Corollaire 1 Si Tor₁ᴬ(M, N'') = 0, la suite 0DVV
Corollaire 2 Soient 0 → C' xrightarrowu C xrightarrowv C'' → 0 une suite exacte de complexes de A-modules à gauche et E un complexe de A-modules à droite. Si C'' ou E est plat, la suite 0DVW
Exemple Soit a un idéal de A. La suite exacte 0DVX
Proposition 9 Soient f : M → M₁ un homomorphisme de A-modules à droite et 0DVY
Proposition 10 Notons ( F^∘) la suite exacte de A-modules à gauche 0DVZ
Théorème 2 Soit E un A-module à droite. Les conditions suivantes sont équi- valentes : 0DW0
Corollaire 1 Soit 0 → E' → E → E'' → 0 une suite exacte de A-modules à droite. Supposons que E'' soit plat. Alors pour que E soit plat, il faut et il suffit que E' soit plat. 0DW1
Corollaire 2 Soit 0longrightarrow Eₙlongrightarrow Eₙ₋₁longrightarrow⋯longrightarrow E₁longrightarrow0 une suite exacte de A-modules à droite. Si Eᵢ est plat pour i=1,…,n-1, alors Eₙ est plat. 0DW2
Théorème 3 Supposons les A-modules B(C) et Z(C) plats. Il existe un unique homomorphisme de k-modules gradués, de degré -1, 0DW3
Lemme 3 L’homomorphisme de liaison H(B ⊗_A C') → H(Z ⊗_A C') associé à la suite exacte (12) est égal à H(i ⊗ 1). 0DW4
Corollaire 1 Si B(C) et Z(C) sont plats, on a pour tout A-module à gauche N et tout entier n une suite exacte 0DW5
Corollaire 2 Supposons B(C) et B(C') projectifs et Z(C) plat. Alors les suites de k-modules (11) et (13) sont exactes et scindées. Cela résulte du théorème et du lemme suivant : 0DW6
Lemme 4 Si B(C) et B(C') sont projectifs, alors l’homomorphisme canonique γ(C, C') : H(C) ⊗_A H(C') → H(C ⊗_A C') possède une rétraction k-linéaire. En effet d’après X, p. 65, remarque b)… 0DW7
Corollaire 3 (formule des coefficients universels) Supposons l’anneau A principal. Si les complexes C et C' sont libres, les suites de A-modules (11) sont exactes et scindées ; si le complexe C est libre, les suites de A-modules (1… 0DW8
Corollaire 4 (« formule de Künneth ») Supposons C borné à droite, C et H(C) plats ; alors l’homomorphisme canonique 0DW9
Corollaire 5 Soit u : C \to C' un homologisme de complexes de A-modules à droite, plats et bornés à droite. Pour tout complexe E de A-modules à gauche, le morphisme u ⊗ 1_E : C ⊗_A E → C' ⊗_A E… 0DWA
Proposition 11 Supposons A noethérien à gauche, et soit C un complexe borné et plat de A-modules à gauche tel que H(C) soit un A-module de type fini. Soient a et b deux entiers tels que a \leq b… 0DWB

§ 5. Modules d’extensions

Proposition 1 Si C est nul à droite et C' nul à gauche, alors HomgrA (C, C') est nul à gauche, et l’application k-linéaire canonique 0DWL
Proposition 2 a) Soient C' xrightarrowu C xrightarrowv C'' une suite exacte de A-complexes, P complexe projectif, E un complexe injectif (X, p. 25). Alors les suites 0DWM
Proposition 3 Soient C, tildeC, C', tildeC' quatre A-complexes, u : tildeC → C, v : tildeC → C, u' : C' → tildeC' et v' : C' → tildeC' quatre morphismes de complexes. 0DWN
Corollaire 1 Si C est scindé et H(C) projectif (resp. si C' est scindé et Hₙ(C') injectif pour chaque n), alors l’homomorphisme canonique 0DWO
Corollaire 2 Supposons B(C) et H(C) projectifs (resp. Bₙ(C') et Hₙ(C') injectifs pour chaque n). Alors λ(C, C') est bijectif. 0DWP
Corollaire 3 Soit M un A-module projectif (resp. injectif). Pour tout complexe C de A-modules et tout entier n, l’homomorphisme canonique 0DWQ
Lemme 1 a) Si C ou C' est borné à droite, si C est projectif et si H(C') = 0, alors H(Homgr_A(C, C')) = 0. b) Si C ou C' est borné à gauche, si C' est injectif et si H(C) = 0, alors H(Homg… 0DWR
Proposition 4 Soient u : C' → C un homologisme de complexes, P un complexe projectif, E un complexe injectif. 0DWS
Définition 1 Soient M et N deux A-modules. On appelle module d’extensions de N par M, le k-module gradué 0DWT
Remarque 1 Nous verrons ci-dessous (X, p. 107, prop. 6) des propriétés de finitude des modules Extⁿ_A(M,N). Par exemple si A est commutatif noethérien, et si M et N sont des A-modules de type… 0DWU
Remarque 2 Le morphisme de complexes 0DWV
Proposition 5 Les k-homomorphismes beginaligned &φ_M(N) : H(Homgr_A(L(M), N)) → Ext_A(M, N) \\ &et overlineφ_N(M) : H(Homgr_A(M, I(N))) → Ext_A(M, N) sont bijectifs. endaligned 0DWW
Corollaire Si M est projectif (resp. si N est injectif), on a Ext_Aⁱ(M, N) = 0 pour i > 0. En effet, Homgr_A(1, e_N) : Hom_A(M, N) → Homgr_A(M, I(N)) (resp. Homgr_A(p_M, 1) : Hom_A(M, N) → Ho… 0DWX
Proposition 6 L’application (f,g)↦ Ext_A(f,g) : 0DWY
Corollaire Soit λ∈ k. Si λ annule M ou N, il annule Ext_A(M,N). En effet λ 1_Ext(M,N)=Ext(λ 1_M,1_N)=Ext(1_M,λ 1_N). 0DWZ
Proposition 7 Soient I et J deux ensembles, (M_α)_α∈ I et (N_β)_β∈ J deux familles de A-modules ; l’homomorphisme 0DX0
Remarque 5 Soient P^∘ et Q^∘ deux A-modules à droite. On définit Ext_A(P,Q) par 0DX1
Définition 2 On appelle homomorphisme de liaison des modules d’extensions relatif au module M et à la suite exacte E l’homomorphisme composé 0DX2
Théorème 1 La suite illimitée à droite d’homomorphismes de k-modules 0DX3
Corollaire Si Ext_A¹(M, N') = 0, la suite 0DX4
Proposition 8 Soient f : M₁ → M un homomorphisme de A-modules et 0DX5
Définition 3 On appelle homomorphisme de liaison des modules d’extensions relatif à la suite exacte (F) et au module N, l’homomorphisme composé δ(F, N) : overlineφ_N(M'') ∘ ∂(F_N) ∘ overlineφ_N… 0DX6
Théorème 2 La suite illimitée à droite d’homomorphismes de k-modules 0 longrightarrow Hom_A(M'', N) xrightarrowHom(s, 1) Hom_A(M, N) xrightarrowHom(r, 1) Hom_A(M', N) xrightarrowδ⁰(F, N) Ext_… 0DX7
Corollaire Si Ext_A¹(M'', N) = 0, la suite 0DX8
Proposition 9 Soient g : N → N₁ un homomorphisme de A-modules et 0DX9
Proposition 10 Soit M un A-module. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0DXA
Proposition 11 Soit N un A-module. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0DXB
Théorème 3 Supposons les A-modules B(C) et Z(C) projectifs. Il existe, pour chaque n, un unique homomorphisme de k-modules 0DXC
Remarque On peut démontrer un énoncé analogue, en supposant Bn(C') et C'/Bn(C') injectifs pour chaque n. 0DXD
Lemme 2 L’homomorphisme de liaison 0DXE
Corollaire 1 Supposons B(C) et Z(C) projectifs et B^n(C') injectif pour chaque n. Alors les suites exactes (11) sont scindées. Cela résulte du théorème et du lemme suivant : 0DXF
Lemme 3 Si B(C) est projectif et Bn(C') injectif pour chaque n, l’homomorphisme canonique λ(C, C') : H(Homgr_A(C, C')) → Homgr_A(H(C), H(C')) possède une section k linéaire. 0DXG
Corollaire 2 Si B(C) et Z(C) sont projectifs, on a, pour tout A-module N et tout entier n, une suite exacte scindée : 0DXH
Corollaire 3 (« formule des coefficients universels ») Supposons A principal et C libre. On a pour tout A-module N et tout entier n une suite exacte scindée (13). En effet B(C) et Z(C) sont libres comme sous-modules du module libre C (… 0DXI
Corollaire 4 Si C est borné à droite et si C et H(C) sont projectifs, alors 0DXJ
Proposition 12 Les homomorphismes (14), (15), (16) sont des morphismes de complexes. 0DXK

§ 6. Utilisation de résolutions non canoniques

Théorème 1 a) Si l’une des résolutions R ou S est plate, alors ψ(S, R) est un isomorphisme de k-modules gradués. 0DXT
Corollaire Si R est une résolution plate de M, l’homomorphisme 0DXU
Remarque Le diagramme de k-modules 0DXV
Proposition 1 Si a₁, b₁, c₁ sont des homologismes, ψ'(S₁, R₁) et φ'(R₁, E₁) sont les bijections réciproques des bijections ψ(S₁, R₁) et φ(R₁, E₁) respectivement. 0DXW
Exemple 1 Soit a un élément de A tel que l'application φ : x ↦ xa de A dans lui-même soit injective (« a n'est pas diviseur de zéro à droite »). En utilisant la résolution 0DXX
Exemple 2 Supposons A intègre ; soient K le corps des fractions de A et M un A-module. En utilisant la résolution plate 0DXY
Exemple 3 Supposons que A soit un anneau local noethérien, notons m son idéal maximal, et posons κ = A/m. Soient M un A-module de type fini et P une résolution projective minimale de M (X, p… 0DXZ
Proposition 2 Les deux diagrammes suivants sont commutatifs : 0DY0
Remarque Considérons de même des diagrammes commutatifs de morphismes de complexes 0DY1
Proposition 3 a) Soient P un A-module, b : S → P une résolution gauche de P; supposons que la suite de complexes de k-modules 0DY2
Remarque 1 Utilisant les isomorphismes de commutation, on déduit de a) l’énoncé analogue obtenu en échangeant les rôles des deux arguments du produit tensoriel. 0DY3
Remarque 2 Avec les notations de a), supposons soit S plat, soit R, R', R'' plats ; alors d’une part la suite (3) est exacte (X, p. 72, cor. 2) et on peut appliquer la prop. 3 ; d’autre part… 0DY4
Remarque 3 Avec les notations de b), supposons soit E injectif, soit R, R', R'' projectifs ; alors d’une part la suite (4) est exacte (X, p. 83, prop. 2) et on peut appliquer la prop. 3 ; d’a… 0DY5
Proposition 4 Soient M un A-module à gauche, a : R → M une résolution gauche de M telle que la suite 0DY6
Remarque 4 Si R est projectif ou si E, E', E'' sont injectifs, la suite (7) est exacte (λ, p. 83, prop. 2); de plus, φ(R, E'') est bijectif (th. 1); donc 0DY7
Remarque 5 Nous laissons au lecteur le soin d’énoncer et de démontrer les propositions analogues aux prop. 3 et 4 et relatives aux homomorphismes ψ₁ et φ₁. 0DY8
Proposition 5 Si A est nœthérien à gauche et si M est un A-module de type fini, l’homomorphisme canonique (8) est bijectif. 0DY9
Proposition 6 Soient B un anneau et N un (A, B)-bimodule, qui est un B-module nœthérien (resp. de longueur finie). 0DYA
Corollaire Soient ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux commutatifs noethériens, M un A-module de type fini, N un B-module. Si N est un B-module de type fini (resp. de longueur finie), il en e… 0DYB
Proposition 7 a) Si le A-module Q est plat, l’homomorphisme (9) est bijectif. b) Si le A-module Q est projectif de type fini, l’homomorphisme (10) est bijectif. 0DYC
Proposition 8 a) Si N est plat sur A et sur B, l’homomorphisme (11) est bijectif. 0DYD
Proposition 9 Si B est plat sur A, l'homomorphisme (13) est bijectif. En effet ψ'(L(E) ⊗_A B, B ⊗_A L(F)) est bijectif (X, p. 102, prop. 1) et γ est bijectif (X, p. 66, cor. 2). 0DYE
Proposition 10 L’homomorphisme (14) est bijectif dans les cas suivants : a) B est un A-module projectif de type fini ; b) B est un A-module plat, A est noethérien, et E est un A-module de type fi… 0DYF
Définition 1 Soient M un Z⁽ᴳ⁾-module à gauche (resp. à droite), n un entier geqslant 0. Le groupe Ext_Z⁽ᴳ⁾ⁿ(Z, M) (resp. Torₙ^Z⁽ᴳ⁾(M, Z)) est noté Hⁿ(G, M) (resp. Hₙ(G, M)) et appelé n-ième gro… 0DYG
Exemple 1 Il résulte directement de la définition que H⁰(G, M) est isomorphe au sous-module des éléments de M invariants sous l’action de G, et H₀(G, M) au module quotient de M par le sous-m… 0DYH
Exemple 2 Il résulte de ce qui précède que H¹(G, M) est isomorphe au Z-module Z¹(G, M)/B¹(G, M), où Z¹(G, M) est le Z-module des applications f de G dans M vérifiant : 0DYI
Exemple 3 De même H²(G,M) est isomorphe au Z-module Z²(G,M)/B²(G,M), où Z²(G,M) est le Z-module des applications f de G× G dans M, vérifiant : 0DYJ
Exemple 4 Soit M un Z-module, que l’on considère comme un Z⁽ᴳ⁾-module à droite en faisant opérer G trivialement. Le groupe H₁(G,M) est isomorphe au quotient de M⊗_ZZ⁽ᴳ⁾ par le sous-Z-module… 0DYK
Lemme 1 Soit M un Z-module ; notons Mᴳ le groupe Hom_Z(Z⁽ᴳ⁾, M) muni de sa structure naturelle de Z⁽ᴳ⁾-module à gauche. Alors : 0DYL
Proposition 11 Soit L une extension galoisienne de degré fini d’un corps commutatif K, de groupe de Galois G. a) On a Hⁱ(G, L) = 0 pour i geqslant 1. b) On a H¹(G, L^*) = 0. c) Le groupe H²(G, L^… 0DYM

§ 7. Produit de composition

Exemple 1 Si u ∈ Hom_A(N, P), v ∈ Hom_A(M, N), u ∘ v est le composé de u et de v. 0DZG
Exemple 2 Si u ∈ Hom_A(N, P), v ∈ Ext_A(M, N), alors 0DZH
Exemple 3 Soient M, N, M', N' quatre A-modules à gauche. Si u ∈ Ext_A(M, N), f ∈ Hom_A(M', M), g ∈ Hom_A(N, N'), alors 0DZI
Proposition 1 Soient (C,d) et (C',d') deux complexes de A-modules à gauche et n,p,q trois entiers tels que p ≥ q. Pour p ≥ i ≥ q-1, soit fᵢ:Cᵢlongrightarrow C'_i+n+1 un homomorphisme de A-module… 0DZJ
Proposition 2 On a a, b ∈ Zⁿ(Homgr_A(L(M), I(N))). De plus, les classes overlinea et overlineb de a et b dans Hⁿ(Homgr_A(L(M), I(N))) = Ext_Aⁿ(M, N) ne dépendent que de la suite exacte (4) et so… 0DZK
Définition 1 On appelle classe associée à la suite exacte (4) l’élément θ de Ext_Aⁿ(M, N) défini par θ = (-1)^n(n+1)/2 overlinea = (-1)^n(n+1)/2 overlineb. 0DZL
Remarque 1 Soit (P, p) une résolution projective de M. D’après X, p. 49. prop. 3, il existe un diagramme commutatif 0DZM
Remarque 2 Lorsque n = 0, la suite exacte (4) s’écrit 0 → N xrightarrowf M → 0, et la classe associée est f⁻¹ ∈ Hom_A(M, N) = Ext⁰_A(M, N). 0DZN
Proposition 3 Soient 0DZO
Corollaire 1 Considérons un diagramme commutatif à lignes exactes 0DZP
Corollaire 2 Soient 0DZQ
Corollaire 3 Soient 0 → N xrightarrowfₙ₋₁ Rₙ xrightarrowfₙ ⋯ → R₁ xrightarrowf₁ M → 0 une suite exacte, θ sa classe dans Ext_Aⁿ(M, N), u : M' → M et v : N → N' deux homomorphismes de A-modules. 0DZR
Remarque Soit θ ∈ Extⁿ_A(M, N), resp. θ' ∈ Extⁿ_A(M', N'), la classe d’une suite exacte 0DZS
Théorème 1 Soient n un entier geqslant 1, M et N deux A-modules. 0DZT
Remarque 1 Si l’anneau A est nœthérien, et si les A-modules M et N sont de type fini, il résulte de la démonstration de a) que tout élément de Ext_Aⁿ(M, N) est la classe associée à une suite… 0DZU
Corollaire Soit 0 → N xrightarrowf R xrightarrowg M → 0 et 0 → N xrightarrowf' R' xrightarrowg' M → 0 deux suites exactes, θ et θ' les classes associées dans Ext¹(M, N). Pour que θ = θ', il f… 0DZV
Remarque 2 Le théorème 1 donne une description de Ext_Aⁿ(M, N) comme ensemble de classes d’équivalence de suites exactes ; il est facile de décrire la loi de groupe qu’on obtient sur cet ense… 0DZW
Proposition 5 Soient 0DZX
Corollaire 1 a) L’homomorphisme de liaison Hom_A(M'', M'') → Ext_A¹(M'', M') envoie 1_M'' sur θ. b) L’homomorphisme de liaison Hom_A(M', M') → Ext_A¹(M'', M') envoie 1_M' sur -θ. 0DZY
Corollaire 2 Considérons deux suites exactes de A-modules à gauche 0DZZ
Corollaire 3 Si θ∈Ext_Aⁿ(M,N) est la classe de la suite exacte (S), on a 0E00
Corollaire 4 Si chaque module Rᵢ,\ i = 1, ..., n, est injectif (resp. projectif), l’application α ↦ θ ∘ α (resp. α ↦ α ∘ θ) de Ext_Aᵐ(P, M) dans Ext_Aᵐ⁺ⁿ(P, N) (resp. de Ext_Aᵐ(N, P) dans Ext_A… 0E01
Remarque Les définitions et propositions des n°s 3 à 6 s’appliquent aux A-modules à droite, considérés comme modules à gauche sur l’anneau A^∘ opposé à A. 0E02
Remarque 1 Si on utilise les isomorphismes ψ de X, p. 69, on peut aussi définir le produit de composition par le diagramme commutatif 0E03
Remarque 2 On peut aussi utiliser les résolutions l(P) et l(Q). 0E04
Proposition 6 Soient K, M, N des A-modules à gauche, P, Q, R des A-modules à droite, α ∈ Ext_Aⁿ(P, Q), β ∈ Ext_Aᵖ(Q, R), λ ∈ Ext_Aʳ(K, M), μ ∈ Ext_Aˢ(M, N), γ ∈ Torₘᴬ(P, K). Alors (13) (β ∘ α) ∘… 0E05
Proposition 7 a) Soient 0E06
Corollaire 1 Soient 0 → P' → P → P'' → 0 une suite exacte de A-modules à droite, 0 → M' → M → M'' → 0 une suite exacte de A-modules à gauche. Alors les homomorphismes composés d’homomorphismes… 0E07
Corollaire 2 Si θ ∈ Ext_Aⁿ(M, N) est la classe associée à la suite exacte (S), on a hat∂ₘ(P, S)(α) = θ ∘ α pour tout α ∈ Torₘᴬ(P, M). 0E08
Corollaire 3 Si tous les modules Rᵢ, i = 1, ..., n, sont plats, l’application α ↦ θ ∘ α de Torₘ₊ₙᴬ(P, M) dans Torₘᴬ(P, N) est bijective pour tout A-module à droite P et tout entier m > 0. 0E09
Corollaire 4 Si θ₁ ∈ Ext_Aⁿ(P, Q) est la classe associée à la suite exacte (S₁), on a ∂ᵐ(S₁, M)(α) = θ₁ ∘ α pour tout α ∈ Torₘᴬ(P, M). 0E0A
Proposition 8 a) Le diagramme suivant, où h_θ(α) = θ ∘ α, est commutatif 0E0B
Remarque Par les isomorphismes de commutation, on déduit de a) un énoncé analogue dans le cas d’une suite exacte (16) de A-modules à droite. 0E0C
Proposition 9 Le diagramme suivant, où γ_θ(α) = θ ∘ α, est commutatif : 0E0D

§ 8. Dimension homologique

Définition 1 Soit M un A-module. On appelle dimension projective de M, et on note dp_A(M) la borne inférieure dans overlineZ des longueurs des résolutions projectives de M (X, p. 48). 0E0P
Lemme 1 Si dp_A(M) < n < +∞, on a Ext_Aⁿ(M, N) = 0 pour tout A-module N et Torₙᴬ(P, M) = 0 pour tout A-module à droite P. Cela résulte aussitôt du fait que M possède une résolution project… 0E0Q
Proposition 1 Soient M un A-module et n un entier ≥ 0. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) dp_A(M) ≤ n (i.e. (déf. 1), M possède une résolution projective de longueur ≤ n); (ii) Ext… 0E0R
Corollaire 1 Soit (Mᵢ)_i ∈ E une famille de A-modules. On a dp_A ( ⨁_i ∈ E Mᵢ ) = sup_i ∈ E dp_A(Mᵢ) . Cela résulte de l'équivalence des conditions (i) et (iii) de la prop. 1. et de la prop. 7… 0E0S
Corollaire 2 Soit 0 → M' → M → M'' → 0 une suite exacte de A-modules. 0E0T
Example Soit a un élément de A qui n’est ni inversible, ni diviseur de zéro à droite. Alors dp_A(A/Aa)=1. 0E0U
Proposition 2 Supposons A noethérien à gauche. Soient M un A-module de type fini et n un entier ≥0. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0E0V
Corollaire Supposons A noethérien à gauche et soit C₀ (resp. C) l’ensemble des classes des A-modules projectifs de type fini (resp. des A-modules de dimension projective finie et de type fini… 0E0W
Proposition 3 a) Si dp_A(M) leqslant n, l’homomorphisme canonique (3) est injectif. b) Si dp_A(M) leqslant n, si A est noethérien à gauche et si M est de type fini, l’homomorphisme canonique (3)… 0E0X
Définition 2 On appelle dimension homologique de A et on note dh(A) la borne supérieure dans Z de l’ensemble des entiers n pour lesquels il existe deux A-modules M et N tels que Ext_Aⁿ(M,N)≠ 0. 0E0Y
Proposition 4 Soit n un entier ≥ 0. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0E0Z
Remarque 1 Si dh(A) ≤ n < +∞, on a Torₙ₊₁ᴬ(P, M) = 0 pour tout A-module M et tout A-module à droite P, puisque dp_A(M) ≤ n (cf. lemme 1). 0E10
Remarque 2 Pour que dh(A) soit finie, il faut et il suffit que dp_A(M) soit finie pour tout A-module M non nul. Cela résulte en effet de ce qui précède et de X, p. 135, cor. 1. 0E11
Corollaire Supposons A noethérien à gauche et soit n un entier > 0. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0E12
Remarque D’après l’équivalence de (i) et (iii), on a dh(A) = dh(A^∘) si A est noethérien à droite et à gauche. Cette égalité n’est pas satisfaite en général (X, p. 204, exercice 20). 0E13
Proposition 5 Supposons A noethérien à gauche et de dimension homologique finie et soit C₀ (resp. C) l’ensemble des classes de A-modules projectifs de type fini (resp. des A-modules de type fini… 0E14
Proposition 6 Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) tout A-module est projectif, (ii) tout A-module est injectif, (iii) tout idéal de A est un module injectif, (iv) dh(A) ≤ 0, (v) A e… 0E15
Proposition 7 Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) dh(A) ≤ 1, (ii) tout sous-module d’un module projectif est projectif, (ii’) tout idéal de A est projectif, (iii) tout quotient d’un… 0E16
Exemple Si A est principal, alors dh(A)≤1. 0E17
Remarque Si A est (commutatif) intègre, les conditions précédentes équivalent aussi aux suivantes : 0E18
Corollaire Soient A un anneau de dimension homologique ≤ 1, C un complexe de A-modules projectifs, widetilde C un complexe de A-modules à droite projectifs, C′ un complexe de A-modules inject… 0E19
Lemme 2 Soient ρ : A→ A' un homomorphisme d’anneaux, M un A-module, M′ un A′-module. Si le A-module A'_d est plat, on a dp_A(A'⊗_A M)≤dp_A(M). Si le A-module A'ₛ est projectif, on a dp_A(M… 0E1A
Lemme 3 Supposons A commutatif et soit M un A[X]-module. a) On a dp_A(M) ≤ dp_A[X](M) ≤ dp_A(M) + 1. b) Si l’homothétie X_M est injective, on a dp_A(M/XM) ≤ dp_A[X](M). c) Si XM = 0, on a… 0E1B
Théorème 1 Supposons A commutatif. Alors 0E1C
Corollaire 1 Supposons A commutatif. On a 0E1D
Corollaire 2 Soit K un corps commutatif (resp. un anneau principal ou de Dedekind qui n’est pas un corps). Alors dh(K[X₁, ..., Xₙ]) est égal à n (resp. n + 1). Cela résulte de ce que dh(K) = 0… 0E1E
Lemme 4 Soit M un A-module gradué borné inférieurement (X, p. 56). Si A₀ ⊗_A M = 0, alors M = 0. 0E1F
Lemme 5 Soit M un A-module gradué borné inférieurement, et soit s : A ⊗_A₀ M/J₀ M → M un A-homomorphisme gradué tel que 1 ⊗_A s : A₀ ⊗_A (A ⊗_A₀ M/J₀ M) → A₀ ⊗_A M soit l’isomorphisme cano… 0E1G
Proposition 8 Soit M un A-module gradué borné inférieurement. 0E1H
Corollaire 1 Soit M un A-module gradué de type fini. Si le A₀-module M/J₀M est projectif (resp. gradué libre, resp. plat) et si Tor₁ᴬ(A₀,M)=0, alors le A-module M est projectif (resp. gradué li… 0E1I
Corollaire 2 Supposons que tout A₀-module projectif soit libre (resp. que A soit noethérien et que tout A₀-module projectif de type fini soit libre). Soit M un A-module gradué borné inférieurem… 0E1J
Corollaire 3 (Théorème des syzygies de Hilbert) Supposons que A₀ soit un corps commutatif et que A soit engendré comme A₀-algèbre par n éléments homogènes de degrés > 0 algébriquement indépendants. Pour tout A-module gradué M bo… 0E1K
Remarque Le cor. 2 s’applique également aux cas suivants : a) A₀ est principal et A = A₀[X₁, ..., Xₙ₋₁]; b) A₀ est noethérien local régulier de dimension r et A = A₀[X₁, ..., Xₙ, r]. 0E1L
Corollaire 4 Supposons A₀ semi-simple. Soient M un A-module gradué borné inférieurement et n un entier ≥ 0. Pour que dp_A(M) ≤ n, il faut et il suffit que Torₙ₊₁ᴬ(A₀, M) = 0. Si dp_A(M) ≤ n, al… 0E1M
Corollaire 5 Supposons l’anneau A₀ semi-simple. Si Torₙ₊₁ᴬ(A₀, A₀) = 0, on a dp_A(M) ≤ n pour tout A-module gradué borné inférieurement. 0E1N

§ 9. Complexes de Koszul

Définition 1 Le complexe (Λ(L), dᵤ) se note Kᴬ(u) ou K(u). 0E2G
Lemme 1 Si le complexe C est nul à droite (resp. à gauche), alors Kᴬ(u, C) (resp. K^*_A(u, c)) est nul à droite (resp. à gauche), et γ₀ (resp. λ⁰) est bijectif. 0E2H
Proposition 1 Soit x ∈ L; notons Rₓ : y ↦ x ∧ y la multiplication à gauche par x dans l’algèbre Λ(L). Alors dᵤ ∘ Rₓ + Rₓ ∘ dᵤ = u(x) · 1_Λ(L) = u(x)_Λ(L). 0E2I
Corollaire 1 Si u est surjectif, K(u) est homotope à zéro (X, p. 34) ainsi que Kᴬ(u, C) et K_A^*(u, C) pour tout complexe C. 0E2J
Corollaire 2 Soient C un complexe, Ann (C) son annulateur. Alors q + Ann(C) annule Hᴬ(u, C) et H_A^*(u, C). 0E2K
Proposition 2 Soit (Lᵢ)_i ∈ I une famille de A-modules, où l’ensemble I est fini et totalement ordonné. Soient u une forme linéaire sur ⨁_i ∈ I Lᵢ, uᵢ sa restriction à Lᵢ. 0E2L
Remarques 1) \ Ce qui précède reste valable lorsque L est projectif de rang n. \ 0EEQ
Proposition 3 Si le A-module L est plat, les suites (Eₙ) ci-dessus sont exactes pour n > 0. 0E2M
Remarque 1 Nous verrons ci-dessous (X, p. 158, exemple) une autre démonstration de la partie c) ci-dessus. 0E2N
Remarque 2 Si A est une Q-algèbre, la conclusion de la prop. 3 reste vraie sans hypothèse sur L (cf. X, p. 206, exercice 1). 0E2O
Remarque 3 Soient G un groupe et ρ : G → GL(L) une représentation linéaire de G dans un A-module plat L. Alors les (Eₙ) sont des suites exactes de représentations linéaires. Supposons L proje… 0E2P
Lemme 2 Si le k-module L₀ est libre de base (eᵢ)_i ∈ I, les applications k-linéaires g et h sont bijectives. Cela résulte de III, p. 79, th. 1. 0E2Q
Remarque Inversement, soient B une k-algèbre, L un B-module libre de base (eᵢ)_i ∈ I, et M un B-module. La donnée d’une forme linéaire u : L → B équivaut à celle d’une famille x = (xᵢ)_i ∈… 0E2R
Exemple Prenons M = k[T₁, ..., Tₙ]; le complexe de Koszul K (∂/∂ T, M) associé à la suite d’endomorphismes (∂/∂ T₁, ..., ∂/∂ Tₙ) s’identifie au complexe de de Rham de k[x₁, ..., xₙ] sur k… 0E2S
Lemme 3 Soit K un complexe tel que Kᵢ = 0 pour i ≠ 0, 1, et soient C un complexe et p un entier. 0E2T
Proposition 4 Pour tout complexe C, on a des suites exactes . 0E2U
Corollaire 1 Pour que Hₚ(x,C)=0, il faut et il suffit que l’homothétie de rapport x dans Hₚ(C) soit surjective et que l’homothétie de rapport x dans Hₚ₋₁(C) soit injective. 0E2V
Corollaire 2 Soient x=(x₁,…,xₙ) une suite d’éléments de A, M un A-module, x' la suite (x₁,…,xₙ₋₁). On a des suites exactes 0E2W
Corollaire 3 Pour que Hᵢ(x,M) soit nul pour tout i>0, il faut et il suffit que l’homothétie de rapport xₙ dans Hᵢ(x',M) soit bijective pour i>0, et que l’homothétie de rapport xₙ dans M/(x')M s… 0E2X
Définition 2 La famille x est dite complètement sécante pour M si on a Hᵢ(x,M)=0 pour i>0. 0E2Y
Proposition 5 Soit x=(x₁,…,xₙ) une suite d’éléments de A. Si pour i=1,…,n, l’homothétie de rapport xᵢ dans le A-module M/(x₁M+⋯+xᵢ₋₁M) est injective, la suite x est complètement sécante pour M. 0E2Z
Exemple Soit k un anneau; prenons A = k[X₁, ..., Xₙ] et x = (X₁, ..., Xₙ). La suite x est A-régulière et la proposition redonne l’acyclicité en degrés > 0 du complexe Sₖ(kⁿ) ⊗ₖ Λₖ(kⁿ) (cf… 0E30
Proposition 6 a) Si ∑_i ∈ I xᵢ A = A, la famille (xᵢ)_i ∈ I est complètement sécante pour M. b) Soit x = (x₁, ..., xₙ) une suite d’éléments de A. Soit (aᵢⱼ) ∈ GLₙ(A); posons yᵢ = ∑ⱼ aᵢⱼ xⱼ. Si l… 0E31
Remarque 1 L’assertion analogue à c) pour les suites régulières est vraie (X, p. 207, exercice 5). 0E32
Proposition 7 a) Soit N un A-module plat. Si la famille x est complètement sécante pour M, elle l’est pour M ⊗_A N. 0E33
Remarque 2 Les assertions analogues à a) et b) pour les suites régulières sont immédiates. 0E34
Remarque 3 Si la famille x est complètement secante pour A, le complexe K.(x, A) définit une résolution libre du A-module A/x, avec x = ∑_i ∈ I xᵢ A; on a donc pour tout entier i geqslant 0 e… 0E35
Remarque 4 On dit que la suite x = (x₁, ..., xₙ) est M-corégulière si (notant (xᵢ)_M l’homothétie de rapport xᵢ dans M) l’homothétie de rapport xᵢ dans le module 0E36
Théorème 1 Considérons les conditions suivantes : (i) La suite x est M-régulière (X, p. 158). (ii) La suite x est complètement sécante pour M (X, p. 157, déf. 2). (iii) On a H₁(x, M) = 0. (iv… 0E37
Corollaire 1 Si A est noethérien, si le A-module M est de type fini et si les xᵢ appartiennent au radical de A, les conditions (i) à (v) du théorème sont équivalentes. En effet, sur chacun des… 0E38
Corollaire 2 Supposons que A soit un anneau gradué à degrés positifs, M un A-module gradué borné inférieurement, et les xᵢ des éléments homogènes de degré 0 de A. Alors les conditions (i) à (v)… 0E39
Corollaire 3 Supposons que les modules M/(x₁M+⋯+xᵢ₋₁M) soient séparés pour la topologie 𝔵-adique (1≤ i≤ n) ; soit p un entier compris entre 1 et n. Pour que la suite 𝔵 soit complètement sécante… 0E3A
Remarque Soit 𝔵=(x₁,…,xₙ) une suite d’éléments de A telle que H₁(𝔵,A)=0 ; alors le noyau de l’homomorphisme surjectif u:Aⁿ→𝔵 tel que u(∑ aᵢ eᵢ)=∑ aᵢ xᵢ est engendré par les éléments Xⱼ eᵢ-X… 0E3B
Lemme 4 Soit A₀ l’anneau Z[T₁,…,Tₙ], et soit u:A₀[X₁,…,Xₙ]→ A₀[U] l’homomorphisme de A₀-algèbres tel que u(Xᵢ)=TᵢU. Le noyau de u est l’idéal 𝔡₀ de A₀[X₁,…,Xₙ] engendré par les éléments (T… 0E3C
Proposition 8 Supposons la suite x régulière pour M. L’élément de Ext_Aⁿ(M/(x)M, M) associé à la suite exacte (23) est (-1)^n(n+1)/2 θₓ. Pour i = 0, 1, …, n, définissons une application A-linéai… 0E3D
Corollaire Supposons de plus les modules M/(x₁ M + ⋯ + xᵢ₋₁ M) séparés pour la topologie (x)-adique, et soit (aᵢⱼ) ∈ GLₙ(A). Posons yᵢ = ∑ⱼ aᵢⱼ xⱼ et y = (y₁, …, yₙ) . Alors la suite y est ré… 0E3E
Proposition 9 Supposons la suite x régulière pour M. Si N est un A-module tel que (x)N = 0, on a Ext_Aⁱ(N, M) = 0 pour i < n, et l’application α ↦ θₓ ∘ α de HomA (N, M/(x) M) dans Ext^nA (N, M)… 0E3F