Quyển A · Tiếng Việt

Chỉ mục mệnh đề

3085 mệnh đề của Đại số, theo chương và mục. Chọn một loại, lọc theo từ, hoặc xếp những mệnh đề được trích dẫn nhiều nhất lên đầu.

Trích dẫn nhiều nhất trước

I. Các cấu trúc đại số

§ 1. Các luật hợp thành; tính kết hợp; tính giao hoán

Định nghĩa 1 Cho E là một tập hợp. Một ánh xạ f của E × E vào E được gọi là một luật hợp thành trên E. Giá trị f(x, y) của f đối với một cặp có thứ tự (x, y) ∈ E × E được gọi là hợp thành của x… ↩ 1 055B
Ví dụ (1) Các ánh xạ (X, Y) ↦ X ∪ Y và (X, Y) ↦ X ∩ Y là các luật hợp thành trên tập hợp các tập con của một tập hợp E. 055C
Định nghĩa 2 Cho E là một magma và τ biểu thị luật hợp thành của nó. Luật hợp thành (x, y) ↦ y τ x trên E được gọi là luật đối của luật trên. Tập hợp E với luật này được gọi là magma đối của E. 055D
Định nghĩa 3 Một ánh xạ f của E vào E' sao cho hệ thức (1) đúng với mọi cặp có thứ tự (x, y) ∈ E × E được gọi là một đồng cấu, hoặc cấu xạ, của E vào E'; nếu E = E', f được gọi là một tự đồng c… ↩ 1 055E
Định nghĩa 4 Cho (x_α)_α ∈ A là một dãy có thứ tự các phần tử của một magma E mà tập chỉ số A không rỗng. Hợp thành (theo luật T) của dãy có thứ tự (x_α)_α ∈ A, được ký hiệu bởi ∏_α ∈ A x_α, là… ↩ 1 055F
Nhận xét Chú ý rằng có một mức độ tùy ý nào đó trong định nghĩa hợp thành của một dãy có thứ tự; phép quy nạp mà ta đưa vào tiến hành "từ phải sang trái". Nếu ta tiến hành "từ trái sang phả… 055G
Định nghĩa 5 Một luật hợp thành (x, y) ↦ x top y trên một tập E được gọi là kết hợp nếu, với mọi phần tử x, y, z trong E, (x top y) top z = x top (y top z). Một magma có luật kết hợp được gọi l… 055H
Ví dụ (1) Phép cộng và phép nhân các số tự nhiên là các luật hợp thành kết hợp trên N (Lý thuyết tập hợp, III, § 3, no. 3, Hệ quả của Mệnh đề 5) (2) Các luật được nêu trong các Ví dụ (1)… 055I
Định lý 1 (Định lý kết hợp) Cho E là một magma kết hợp có luật được ký hiệu bởi top. Cho A là một tập hữu hạn không rỗng được sắp thứ tự toàn phần, là hợp của một dãy có thứ tự các tập con không rỗng (Bᵢ)_i ∈… ↩ 5 055J
Định nghĩa 6 Một tập con A của một tập hợp E được gọi là ổn định đối với luật hợp thành T trên E nếu hợp thành của hai phần tử của A thuộc về A. Ánh xạ (x, y) ↦ x T y từ A × A vào A khi đó được… 055K
Mệnh đề 1 Cho E và F là hai magma và f là một đồng cấu của E vào F. (i) Ảnh theo f của một tập con ổn định của E là một tập con ổn định của F. (ii) Ảnh ngược theo f của một tập con ổn định F… ↩ 2 055L
Mệnh đề 2 Cho E là một magma kết hợp và X là một tập con của E. Gọi X' là tập hợp các x₁ top x₂ top ⋯ top xₙ, trong đó n ≥ 1 và xᵢ ∈ X với 1 ≤ i ≤ n. Tập con ổn định sinh bởi X bằng X'. 055M
Ví dụ (1) Trong tập N các số tự nhiên, tập con ổn định đối với phép cộng sinh bởi {1} là tập hợp các số nguyên ≥ 1; đối với phép nhân tập hợp {1} là ổn định. 055N
Định nghĩa 7 Cho E là một magma có luật được ký hiệu bởi top. Hai phần tử x và y của E được gọi là giao hoán (hoặc hoán đổi được) nếu y top x = x top y. 055O
Định nghĩa 8 Một luật hợp thành trên một tập hợp E được gọi là giao hoán nếu hai phần tử bất kỳ của E giao hoán theo luật này. Một magma có luật hợp thành giao hoán được gọi là một magma giao h… 055P
Ví dụ (1) Phép cộng và phép nhân các số tự nhiên là các luật giao hoán trên N (Lý thuyết tập hợp, III, § 3, no. 3, Hệ quả của Mệnh đề 5). 055Q
Định nghĩa 9 Cho E là một magma và X là một tập con của E. Tập hợp các phần tử của E giao hoán với mỗi phần tử của X được gọi là tập trung hóa của X. ↩ 1 055R
Mệnh đề 3 Cho E là một magma kết hợp có luật được ký hiệu bởi top. Nếu một phần tử x của E giao hoán với mỗi phần tử y và z của E, thì nó giao hoán với y top z. 055S
Hệ quả Cho E là một magma kết hợp. Tập trung hóa của bất kỳ tập con nào của E là một tập con ổn định của E. ↩ 1 055T
Định nghĩa 10 Tập trung hóa của một magma E được gọi là tâm của E. Một phần tử của tâm của E được gọi là một phần tử trung tâm của E. 055U
Mệnh đề 4 Cho E là một magma kết hợp, X và Y là hai tập con của E. Nếu mọi phần tử của X giao hoán với mọi phần tử của Y thì mọi phần tử của tập con ổn định sinh bởi X giao hoán với mọi phần… 055V
Hệ quả 1 Nếu x và y hoán vị được dưới luật kết hợp top thì topᵐ x và topⁿ y cũng hoán vị được với mọi số nguyên m > 0 và n > 0; đặc biệt topᵐ x và topⁿ x hoán vị được với mọi x và mọi số ng… 055W
Hệ quả 2 Nếu mọi cặp các phần tử của một tập con X đều hoán vị được dưới một luật kết hợp T, thì luật cảm sinh bởi T trên tập con ổn định sinh bởi X là kết hợp và giao hoán. ↩ 2 055X
Định lý 2 (Định lý giao hoán) Cho T là một luật hợp thành kết hợp trên E; cho (x_α)_α ∈ A là một họ hữu hạn khác rỗng các phần tử của E từng đôi một hoán vị được; cho B và C là hai tập hợp được sắp thứ tự toàn… ↩ 2 055Y
Định lý 3 Cho T là một luật kết hợp trên E và (x_α)_α ∈ A là một họ hữu hạn khác rỗng các phần tử của E từng đôi một hoán vị được. Nếu A là hợp của các tập con khác rỗng (Bᵢ)_i ∈ I từng đôi… ↩ 1 055Z
Mệnh đề 5 Cho E và F là các magma có các luật được ký hiệu bởi T và cho f và g là các đồng cấu từ E vào F. Gọi f T g là ánh xạ x ↦ f(x) T g(x) từ E vào F. Nếu F kết hợp và giao hoán, thì f T… ↩ 2 0560
Định nghĩa 11 Cho E là một tập hợp. Một luật hợp thành T và một quan hệ tương đương R trên E được gọi là tương thích nếu các quan hệ x ≡ x' (mod R) và y ≡ y' (mod R) (với x, x', y, y' ∈ E) kéo t… 0561
Mệnh đề 6 Cho E và F là hai magma và f là một đồng cấu từ E vào F. Gọi R[x, y] là quan hệ f(x) = f(y) giữa các phần tử x, y của E. Khi đó R là một quan hệ tương đương trên E tương thích với… 0562
Mệnh đề 7 Cho E là một magma và R là một quan hệ tương đương trên E tương thích với luật trên E. Để một quan hệ tương đương S trên E/R tương thích với luật thương, điều kiện cần và đủ là S c… 0563
Mệnh đề 8 Cho E là một magma, A là một tập con ổn định của E và R là một quan hệ tương đương trên E tương thích với luật trên E. Bao đóng B của A đối với R (Lý thuyết Tập 0564
Mệnh đề 9 Giữ nguyên ký hiệu trên, cho f là một đồng cấu từ M vào một magma sao cho f(u_α) = f(v_α) với mọi α ∈ I. Khi đó f tương thích với R. ↩ 2 0565

§ 2. Phần tử đơn vị; các phần tử giản ước được; các phần tử khả nghịch

Định nghĩa 1 Đối với một luật hợp thành top trên một tập hợp E một phần tử e của E được gọi là một phần tử đơn vị nếu, với mọi x ∈ E, e top x = x top e = x. ↩ 1 056M
Định nghĩa 2 Một magma có một phần tử đơn vị được gọi là một magma có đơn vị. Nếu E, E' là các magma có đơn vị, một đồng cấu của magma E vào magma E' biến phần tử đơn vị của E thành phần tử đơn… 056N
Ví dụ (1) Trong tập hợp N các số tự nhiên, 0 là một phần tử đơn vị đối với phép cộng và 1 là một phần tử đơn vị đối với phép nhân. Mỗi một trong hai luật này cho N một cấu trúc monođ gia… 056O
Định nghĩa 3 Cho E là một magma có đơn vị. Phần tử đơn vị của E được gọi là hợp thành của họ rỗng các phần tử của E. 056P
Định nghĩa 4 Cho một luật hợp thành top trên một tập hợp E, ánh xạ x ↦ a top x (tương ứng x ↦ x top a) từ E vào chính nó được gọi là phép chuyển trái (tương ứng phép chuyển phải) bởi một phần t… 056Q
Mệnh đề 1 Nếu luật T là kết hợp, thì với mọi x ∈ E và y ∈ E ↩ 2 056R
Định nghĩa 5 Một phần tử a của một magma E được gọi là giản ước được trái (tương ứng phải) (hoặc chính quy) nếu phép chuyển trái (tương ứng phải) bởi a là đơn ánh. Một phần tử giản ước được trá… ↩ 1 056S
Ví dụ (1) Mọi số tự nhiên đều giản ước được theo phép cộng; mọi số tự nhiên ≠ 0 đều giản ước được theo phép nhân. 056T
Mệnh đề 2 Tập hợp các phần tử giản ước được (tương ứng trái giản ước được, tương ứng phải giản ước được) của một magma kết hợp là một magma con. ↩ 2 056U
Định nghĩa 6 Cho E là một magma có đơn vị, T là luật hợp thành của nó, e là phần tử đơn vị của nó và x và x' là hai phần tử của E. x' được gọi là một nghịch đảo trái (tương ứng nghịch đảo phải… ↩ 1 056V
Ví dụ (1) Một phần tử đơn vị là nghịch đảo của chính nó. 056W
Mệnh đề 3 Cho E là một monoid và x là một phần tử của E. ↩ 2 056X
Nhận xét Cho E là một monoid và x là một phần tử của E. Nếu x khả nghịch trái thì nó giản ước trái được; vì, nếu x' là một nghịch đảo trái của x, thì 056Y
Mệnh đề 4 Cho E là một monoid và x và y là các phần tử khả nghịch của E với các nghịch đảo lần lượt là x' và y'. Khi đó y' top x' là nghịch đảo của x top y. ↩ 7 056Z
Hệ quả 1 Cho E là một monoid; nếu mỗi phần tử x_α của một dãy có thứ tự (x_α)_α ∈ A gồm các phần tử của E có một nghịch đảo x'_α, thì hợp thành ∏_α ∈ A x_α có nghịch đảo ∏_α ∈ A' x'_α, tron… ↩ 1 0570
Hệ quả 2 Trong một monoid, tập hợp các phần tử khả nghịch là ổn định. 0571
Mệnh đề 5 Nếu trong một monoid x và x' là các nghịch đảo và x giao hoán với y, thì x' cũng vậy. ↩ 3 0572
Hệ quả 1 Cho E là một monoid, X là một tập con của E và X' là bộ giao hoán hóa của X. Nghịch đảo của mọi phần tử khả nghịch của X' thuộc X'. ↩ 1 0573
Hệ quả 2 Trong một monoid, nghịch đảo của một phần tử khả nghịch trung tâm là một phần tử trung tâm. 0574
Bổ đề 1 Trong E × S', quan hệ RRx, yR được xác định bởi: ↩ 1 0575
Định nghĩa 7 Cho E là một monoid giao hoán, S là một tập con của E và S' là monoid con của E sinh bởi S. Monoid thương (E × S')/R, trong đó quan hệ tương đương R được mô tả như trong Bổ đề 1, đ… ↩ 1 0576
Mệnh đề 6 Ký hiệu là ký hiệu của Định nghĩa 7 và ε biểu thị đồng cấu chính tắc của E vào E_S. (i) Cho a và b thuộc E; để có ε(a) = ε(b), điều kiện cần và đủ là tồn tại s ∈ S' sao cho sa = sb… ↩ 4 0577
Định lý 1 Cho E là một nửa nhóm giao hoán, S là một tập con của E, E_S là nửa nhóm các phân thức liên kết với S và ε : E → E_S là đồng cấu chính tắc. Ngoài ra, cho f là một đồng cấu từ E vào… ↩ 6 0578
Hệ quả Cho E và F là hai nửa nhóm giao hoán, S và T lần lượt là các tập con của E và F, f là một đồng cấu từ E vào F sao cho f(S) ⊂ T và ε : E → E_S, η : F → F_T là các đồng cấu chính tắc… 0579
Bổ đề 2 Cho E là một monoid và x là một phần tử của E. (i) Tồn tại một đồng cấu duy nhất f từ N vào E với f(1) = x và f(n) = n/1 x với mọi n ∈ N. (ii) Nếu x khả nghịch, tồn tại một đồng cấ… ↩ 1 057B

§ 3. Các tác động

Định nghĩa 1 Cho Ω và E là hai tập hợp. Một ánh xạ của Ω vào tập hợp Eᴱ các ánh xạ của E vào chính nó được gọi là một tác động của Ω trên E. 057T
Ví dụ (1) Cho E là một nửa magma kết hợp được viết theo phép nhân. Ánh xạ liên kết với một số nguyên dương ngặt n ánh xạ x ↦ xⁿ của E vào chính nó là một tác động của N^* trên E. Nếu E l… 057U
Định nghĩa 2 Một tập con A của một tập hợp E được gọi là ổn định dưới một tác động α ↦ f_α của Ω trên E nếu f_α(A) ⊂ A với mọi α ∈ Ω. Một phần tử x của E được gọi là bất biến dưới một phần tử α… 057V
Nhận xét Cho E là một magma với luật được ký hiệu bởi τ. Cần lưu ý rằng một tập con A của E ổn định dưới tác động trái của E trên chính nó không nhất thiết ổn định dưới tác động phải của E… 057W
Ví dụ Lấy magma E là tập N với phép nhân. Tập 1 là ổn định đối với luật nội tại của N, nhưng tập con ổn định đối với tác động của N trên chính nó sinh bởi 1 là toàn bộ N. 057X
Định nghĩa 3 Cho α ↦ f_α là một tác động của Ω trên E và A là một tập con ổn định của E. Ánh xạ gắn với một phần tử α ∈ Ω hạn chế của f_α lên A (được xem như một ánh xạ từ A vào chính nó) là mộ… 057Y
Định nghĩa 4 Cho α ↦ f_α là một tác động của một tập hợp Ω trên một tập hợp E. Một quan hệ tương đương R trên E được gọi là tương thích với tác động đã cho nếu, với mọi phần tử x và y của E sao… 057Z
Định nghĩa 5 Cho E₁, …, Eₙ và F là các tập hợp và u là một ánh xạ từ E₁ × ⋯ × Eₙ vào F. Cho i ∈ 1, n. Giả sử Eᵢ và F được cho các cấu trúc của magma. u được gọi là phân phối đối với biến chỉ số… ↩ 1 0580
Ví dụ Cho E là một monôit (tương ứng nhóm) được viết theo phép nhân. Ánh xạ (n, x) ↦ xⁿ từ N × E (tương ứng Z × E) vào E là phân phối đối với biến thứ nhất bởi đẳng thức xᵐ⁺ⁿ = xᵐ xⁿ (vớ… 0581
Mệnh đề 1 Cho E₁, E₂, …, Eₙ và F là các nửa nhóm giao hoán được viết cộng tính và cho u là một ánh xạ từ E₁ × ⋯ × Eₙ vào F, có tính phân phối đối với tất cả các biến. Với i = 1, 2, …, n, cho… ↩ 2 0582
Nhận xét Nếu u(a₁, …, aᵢ₋₁, 0, aᵢ₊₁, …, aₙ) = 0 với i = 1, 2, …, n và aⱼ ∈ Eⱼ (j ≠ i), thì công thức (2) vẫn đúng cho các họ (xᵢ, λ)_λ ∈ Lᵢ có giá hữu hạn. 0583
Định nghĩa 6 Một tác động α ↦ f_α của một tập hợp Ω trên một magma E được gọi là phân phối nếu, với mọi α ∈ Ω, ánh xạ f_α là một tự đồng cấu của magma E. 0584
Định nghĩa 7 Cho T và ⊥ là hai luật nội tại trên một tập hợp E. Luật ⊥ được gọi là phân phối được đối với luật T nếu 0585
Ví dụ (1) Trong tập hợp P(E) các tập con của một tập hợp E, mỗi luật nội tại ∩ và ∪ đều phân phối được đối với chính nó và đối với luật kia. Điều này suy ra từ các công thức dạng 0586

§ 4. Nhóm và nhóm có toán tử

Định nghĩa 1 Một tập hợp với một luật hợp thành kết hợp, có phần tử đơn vị và trong đó mọi phần tử đều khả nghịch, được gọi là một nhóm. 058H
Ví dụ Trong mọi monoid E, tập hợp các phần tử khả nghịch với cấu trúc cảm sinh từ cấu trúc trên E là một nhóm. Đặc biệt, tập hợp các ánh xạ song ánh của một tập hợp F lên chính nó (hay t… 058I
Định nghĩa 2 Cho Ω là một tập hợp. Một nhóm G cùng với một tác động của Ω trên G có tính phân phối đối với luật nhóm, được gọi là một nhóm có toán tử trong Ω. 058J
Ví dụ Trong một nhóm giao hoán G, viết theo lối nhân, ta có (xy)ⁿ=xⁿyⁿ với mọi n∈Z (§ 2, no. 8, equation (1)); do đó tác động n↦(x↦ xⁿ) của Z trên G xác định, cùng với luật nhóm, cấu trú… 058K
Định nghĩa 3 Cho G và G' là các nhóm có toán tử trong Ω. Một đồng cấu của các nhóm có toán tử từ G vào G' là một đồng cấu của nhóm G vào nhóm G' sao cho 058L
Định nghĩa 4 Cho G là một nhóm có toán tử. Một nhóm con ổn định của G là một tập con H của G có các tính chất sau: 058M
Mệnh đề 1 Cho G là một nhóm có toán tử và H là một tập con của G ổn định đối với các phép vị tự của G. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 4 058N
Nhận xét (1) Tương tự cũng có thể chứng minh rằng điều kiện (b) là tương đương với điều kiện (c') H ≠ ∅ và các quan hệ x ∈ H và y ∈ H kéo theo y⁻¹x ∈ H. (2) Với mọi nhóm con H của G có các… 058O
Mệnh đề 2 Cho X là một tập con khác rỗng của một nhóm với các toán tử G và hatX là tập con ổn định đối với tác động của Ω trên G sinh bởi X. Nhóm con ổn định sinh bởi X là tập con ổn định đố… ↩ 1 058P
Hệ quả 1 Cho G là một nhóm với các toán tử và X là một tập con của G ổn định đối với tác động của Ω. Nhóm con sinh bởi X và nhóm con ổn định sinh bởi X là trùng nhau. 058Q
Hệ quả 2 Cho G là một nhóm và X là một tập con của G gồm các phần tử từng đôi một giao hoán được. Nhóm con của G sinh bởi X là giao hoán. ↩ 2 058R
Hệ quả 3 Cho f : G → G' là một đồng cấu của các nhóm với các toán tử và X là một tập con của G. Ảnh qua f của nhóm con ổn định của G sinh bởi X là nhóm con ổn định của G' sinh bởi f(X). ↩ 2 058S
Mệnh đề 3 Cho G là một nhóm với các toán tử, P là một tập con của G và H là một nhóm con ổn định của G không giao với P. Tập hợp các nhóm con ổn định của G chứa H và không giao với P có một… ↩ 1 058T
Định lý 1 Cho R là một quan hệ tương đương trên một nhóm với các toán tử G; nếu R tương thích trái (resp. phải) (§ 3, no. 3) với luật nhóm trên G và tương thích với tác động của Ω, thì lớp t… ↩ 1 058U
Mệnh đề 4 Cho H và K là hai nhóm con của một nhóm G sao cho H ⊂ K. Khi đó (G:H) = (G:K)(K:H). ↩ 2 058V
Hệ quả Nếu G là một nhóm hữu hạn có cấp g và H là một nhóm con của G có cấp h, thì h · (G:H) = g (đặc biệt, cấp và chỉ số của H là các ước của cấp của G). ↩ 2 058W
Định nghĩa 5 Một nhóm G có tác tử. Một nhóm con ổn định H của G được gọi là một nhóm con ổn định chuẩn (hoặc bất biến) của G nếu xHx⁻¹ = H với mọi x ∈ G. ↩ 1 058X
Định lý 2 Cho G là một nhóm có toán tử. Để một quan hệ tương đương R trên G tương thích với luật nhóm và tác động của Ω, điều kiện cần và đủ là nó có dạng x⁻¹y ∈ H, trong đó H là một nhóm co… ↩ 1 058Y
Định nghĩa 6 Thương của một nhóm có toán tử G theo quan hệ tương đương được xác định bởi một nhóm con chuẩn của G, với cấu trúc thương, được gọi là nhóm thương có toán tử của G theo H và được k… 058Z
Mệnh đề 5 Cho f : G → G' là một đồng cấu của các nhóm có toán tử, và H và H' là các nhóm con chuẩn ổn định của G và G' tương ứng sao cho f(H) ⊂ H'. Ánh xạ f tương thích với các quan hệ tương… ↩ 3 0590
Nhận xét (1) Nếu A là một tập con bất kỳ của một nhóm G và H là một nhóm con chuẩn của G, thì AH = HA; tập hợp này thu được bằng cách bão hòa A đối với quan hệ x ≡ y pmodH. 0591
Định nghĩa 7 Một nhóm với các toán tử G được gọi là đơn nếu G ≠ e và không tồn tại nhóm con ổn định chuẩn tắc nào của G ngoài G và e. ↩ 4 0592
Mệnh đề 6 Cho G là một nhóm với các toán tử và G' là một magma có một tác động bởi Ω, được viết theo lũy thừa. Cho f : G → G' là một đồng cấu từ magma G vào magma G' sao cho, với mọi α ∈ Ω v… ↩ 1 0593
Định nghĩa 8 Cho f : G → G' là một đồng cấu của các nhóm có toán tử. Ảnh ngược của phần tử đơn vị của G' được gọi là hạt nhân của f. 0594
Định lý 3 Cho f : G → G' là một đồng cấu của các nhóm có toán tử. (a) Ker(f) là một nhóm con chuẩn ổn định của G; (b) Im(f) là một nhóm con ổn định của G'; (c) ánh xạ f tương thích với quan… ↩ 2 0595
Mệnh đề 7 Cho G và H là hai nhóm có toán tử, f là một đồng cấu của G vào H và N là hạt nhân của f. (a) Cho H' là một nhóm con ổn định của H. Ảnh ngược G' = f⁻¹(H') là một nhóm con ổn định củ… ↩ 3 0596
Hệ quả 1 Giả sử rằng f là toàn ánh. Gọi G (tương ứng G') là tập hợp các nhóm con ổn định (tương ứng ổn định chuẩn) của G chứa N và ℌ (tương ứng ℌ') là tập hợp các nhóm con ổn định (tương ứn… ↩ 2 0597
Hệ quả 2 Cho f : G → H là một đồng cấu của các nhóm có toán tử, N là hạt nhân của f, G' là một nhóm con ổn định của G và L là một nhóm con ổn định chuẩn của G'. Khi đó LN, L.(G' ∩ N) và f(L… ↩ 1 0598
Hệ quả 3 Cho f:G→ H là một đồng cấu của các nhóm có toán tử, N là hạt nhân của nó, X là một tập con của G sao cho f(X) sinh ra H và Y là một tập con của N sinh ra N. Khi đó X∪ Y sinh ra N. 0599
Nhận xét Theo ký hiệu của Mệnh đề 7, sự kiện rằng ảnh ngược của một nhóm con của H là một nhóm con của G suy ra từ sự kiện tổng quát hơn sau đây. 059A
Mệnh đề 8 Cho G là một nhóm với các toán tử và A và B là hai nhóm con ổn định của G. Giả sử rằng các quan hệ a∈ A và b∈ B kéo theo aba⁻¹∈ B^* (nói cách khác, A chuẩn hóa B)^*. Khi đó AB=BA l… ↩ 1 059B
Định lý 4 Cho G là một nhóm có toán tử và N là một nhóm con ổn định chuẩn tắc của G. ↩ 15 059C
Định nghĩa 9 Một chuỗi hợp thành của một nhóm có toán tử G là một dãy hữu hạn (Gᵢ)_0 ≤ i ≤ n các nhóm con ổn định của G, với G₀ = G và Gₙ = e, sao cho Gᵢ₊₁ là một nhóm con chuẩn tắc của Gᵢ với… ↩ 1 059D
Định lý 5 (Schreier) Cho hai chuỗi hợp thành Σ₁, Σ₂ của một nhóm có toán tử G. Khi đó tồn tại hai chuỗi hợp thành tương đương Σ'₁, Σ'₂, lần lượt mịn hơn Σ₁ và Σ₂. ↩ 2 059E
Bổ đề 1 (Zassenhaus) Cho H và K là hai nhóm con ổn định của một nhóm có toán tử G, và H' và K' lần lượt là các nhóm con ổn định chuẩn tắc của H và K; khi đó H'.(H \cap K') là một nhóm con ổn định chuẩn… 059F
Định nghĩa 10 Một chuỗi Jordan-Hölder của một nhóm có toán tử G là một chuỗi phân tích giảm nghiêm ngặt \Sigma sao cho không tồn tại chuỗi phân tích giảm nghiêm ngặt nào khác \Sigma và mịn hơn \… 059G
Mệnh đề 9 Điều kiện cần và đủ để một chuỗi phân tích của G là một chuỗi Jordan-Hölder là mọi thương của chuỗi đều đơn. ↩ 2 059H
Định lý 6 (Jordan-Hölder) Hai chuỗi Jordan-Hölder của một nhóm có toán tử là tương đương. ↩ 6 059I
Hệ quả Cho G là một nhóm có toán tử trong đó tồn tại một chuỗi Jordan-Hölder. Nếu Σ là một chuỗi hợp thành giảm nghiêm ngặt bất kỳ của G, thì tồn tại một chuỗi Jordan-Hölder mịn hơn Σ. ↩ 2 059J
Nhận xét Một nhóm với các toán tử không phải lúc nào cũng có một chuỗi Jordan-Hölder; một ví dụ được cho bởi nhóm cộng Z của các số nguyên: dãy (2ⁿ · Z)_n ≥ 0 là một dãy vô hạn giảm nghiêm… 059K
Định nghĩa 11 Cho G là một nhóm với các toán tử; độ dài của G là cận trên của các số nguyên n sao cho tồn tại một chuỗi hợp thành giảm nghiêm ngặt của G (Gᵢ)_0≤ i≤ n. ↩ 1 059L
Mệnh đề 10 Cho G là một nhóm với các toán tử và H là một nhóm con chuẩn ổn định của G. Độ dài của G là tổng các độ dài của H và G/H. ↩ 1 059M
Hệ quả Cho G là một nhóm với các toán tử và (Gᵢ)_0≤ i≤ n là một chuỗi hợp thành của G. Độ dài của G là tổng các độ dài của các Gᵢ/Gᵢ₊₁, 0≤ i≤ n-1. 059N
Định nghĩa 12 Nhóm có tác tử G = ∏_i ∈ I Gᵢ được xác định ở trên là nhóm tích có tác tử của các Gᵢ. Các ánh xạ prᵢ : G → Gᵢ được gọi là các đồng cấu chiếu. 059O
Mệnh đề 11 Cho (φᵢ : Hᵢ → Gᵢ)_i ∈ I là một họ các đồng cấu của các nhóm có tác tử và cho Φ = ∏_i ∈ I φᵢ. Khi đó: 059P
Định nghĩa 13 Cho G là một nhóm có toán tử và (Hᵢ)_i ∈ I là một họ các nhóm con ổn định chuẩn tắc của G. Cho pᵢ : G → G / Hᵢ là đồng cấu chính tắc. G được gọi là tích nội tại (hay tích) của họ c… 059Q
Mệnh đề 12 Cho (φᵢ: Gᵢ → K)_i ∈ I là một họ các đồng cấu của các nhóm có toán tử sao cho, với mọi i ∈ I và j ∈ I với i ≠ j, x ∈ Gᵢ, y ∈ Gⱼ, các phần tử φᵢ(x) và φⱼ(y) của K giao hoán; tồn tại… ↩ 3 059R
Định nghĩa 14 Cho G là một nhóm với toán tử và (Hᵢ)_i ∈ I là một họ các nhóm con ổn định của G. Ta gọi G là tổng hạn chế trong (hoặc tổng hạn chế) của họ các nhóm con (Hᵢ) nếu mọi phần tử của Hᵢ… 059S
Mệnh đề 13 Cho G là một nhóm với toán tử và (Hᵢ)_i ∈ I là một họ các nhóm con ổn định của G sao cho mọi phần tử của Hᵢ đều hoán vị được với mọi phần tử của Hⱼ khi j ≠ i. Để G là tổng hạn chế… 059T
Mệnh đề 14 Cho G là một nhóm với toán tử và (Hᵢ)_i ∈ I là một họ hữu hạn các nhóm con ổn định của G. Để G là tổng hạn chế của họ các nhóm con (Hᵢ), điều kiện cần và đủ là mỗi Hᵢ đều là chuẩn… 059U
Mệnh đề 15 Cho G là một nhóm với toán tử và (Hᵢ)_1 ≤ i ≤ n là một dãy các nhóm con chuẩn tắc ổn định của G sao cho (H₁ H₂ … Hᵢ) ∩ Hᵢ₊₁ = e với 1 ≤ i ≤ n-1, thì tập hợp H₁ H₂ … Hₙ là một nhóm… ↩ 5 059V
Mệnh đề 16 Cho a là một số nguyên > 0. Các số nguyên r sao cho 0 leqslant r < a tạo thành một hệ đại diện của quan hệ tương đương x ≡ y pmoda trên Z. ↩ 1 059W
Hệ quả Cho a là một số nguyên > 0. Nhóm Z/aZ của các số nguyên hữu tỉ modulo a là một nhóm có cấp a. ↩ 1 059X
Mệnh đề 17 Cho H là một nhóm con của Z. Tồn tại duy nhất một số nguyên a geqslant 0 sao cho H = aZ. ↩ 2 059Y
Định nghĩa 15 Một nhóm được gọi là đơn sinh nếu nó thừa nhận một hệ các phần tử sinh gồm một phần tử duy nhất. Một nhóm đơn sinh hữu hạn được gọi là cyclic. ↩ 1 059Z
Mệnh đề 18 Một nhóm đơn sinh hữu hạn cấp a đẳng cấu với Z/aZ. Một nhóm đơn sinh vô hạn đẳng cấu với Z. ↩ 2 05A0
Mệnh đề 19 Cho a là một số nguyên 0. Cho H là một nhóm con của Z/aZ, b là cấp của H và c là chỉ số của nó trong Z/aZ. Khi đó a = bc, H = cZ/aZ và H đẳng cấu với Z/bZ. ↩ 3 05A1
Hệ quả Mọi nhóm con của một nhóm đơn sinh đều đơn sinh. 05A2
Định nghĩa 16 Một số nguyên p > 0 được gọi là nguyên tố nếu p ≠ 1 và nó không nhận ước nào 1 ngoài p. ↩ 2 05A3
Mệnh đề 20 Một số nguyên p > 0 là nguyên tố khi và chỉ khi nhóm Z/pZ là một nhóm đơn. ↩ 1 05A4
Hệ quả Mọi nhóm đơn giao hoán đều là cyclic cấp nguyên tố. ↩ 1 05A5
Nhận xét Một nhóm hữu hạn G có cấp nguyên tố tất yếu là cyclic. G không có nhóm con nào ngoài G và e và do đó nó được sinh bởi mọi phần tử ≠ e. 05A6
Bổ đề 2 Cho a là một số nguyên > 0. Khi gán cho mỗi chuỗi hợp thành (Hᵢ)_0 ≤ i ≤ n của nhóm Z/aZ dãy (sᵢ)_1 ≤ i ≤ n, trong đó sᵢ là cấp của Hᵢ₋₁/Hᵢ, ta thu được một sự tương ứng một-một gi… ↩ 1 05A7
Định lý 7 (phân tích thành các thừa số nguyên tố) Cho a là một số nguyên dương ngặt. Tồn tại một và chỉ một họ (vₚ(a))_p ∈ 𝔓 các số nguyên > 0 sao cho tập hợp các p ∈ 𝔓 với vₚ(a) ≠ 0 là hữu hạn và ↩ 2 05A8
Hệ quả Cho a và b là hai số nguyên > 0. Khi đó vₚ(ab) = vₚ(a) + vₚ(b). Để a chia hết b, điều kiện cần và đủ là vₚ(a) ≤ vₚ(b) với mọi số nguyên tố p. 05A9
Mệnh đề 21 Trong một nhóm hữu hạn G có cấp n, xⁿ = e với mọi x ∈ G. 05AA

§ 5. Các nhóm tác động trên một tập hợp

Định nghĩa 1 Cho M là một đơn vị, với luật được viết theo phép nhân và phần tử đơn vị được ký hiệu bởi e, và E là một tập hợp. Một tác động α ↦ f_α của M trên E được gọi là tác động trái (resp… 05B1
Ví dụ (1) Cho E là một tập hợp; tác động chính tắc của Eᴱ trên E (§ 3, no. 1, Ví dụ 3) là một tác động trái. 05B2
Định nghĩa 2 Cho M là một đơn vị và E và E' là các M-tập hợp. Một ánh xạ f của E vào E' sao cho, với mọi x ∈ E và mọi α ∈ M, f(α.x) = α.f(x) được gọi là một đồng cấu M-tập hợp (hay một M-cấu xạ… 05B3
Định nghĩa 3 Cho M là một monoid tác động trên một tập hợp E và A và B là các tập con của E. Tập hợp các α ∈ M sao cho α A ⊂ B (tương ứng, α A = B) được gọi là tập chuyển của A vào B (tương ứng… 05B4
Mệnh đề 1 Cho M là một monoid tác động trên một tập hợp E và A là một tập con của E. (a) Nhóm ổn định, nhóm ổn định ngặt và tập cố định của A là các monoid con của M. (b) Cho α là một phần t… 05B5
Hệ quả Cho G là một nhóm tác động trên một tập hợp E và A là một tập con của E. Nhóm ổn định ngặt S và tập cố định F của A là các nhóm con của G và F là một nhóm con chuẩn tắc của S. 05B6
Mệnh đề 2 Cho G là một nhóm tác động trên một tập hợp E và, với mọi x ∈ E, cho Sₓ là nhóm ổn định của x. Với mọi α ∈ G, S_α x = α Sₓ α⁻¹. ↩ 5 05B7
Mệnh đề 3 Cho G là một nhóm. Với mọi phần tử x của G, ánh xạ Int(x): y ↦ xyx⁻¹ từ G vào chính nó là một tự đẳng cấu của G. Ánh xạ Int: x ↦ Int(x) từ G vào Aut(G) là một đồng cấu nhóm, có hạt… 05B8
Định nghĩa 4 Cho G là một nhóm và x ∈ G. Tự đẳng cấu y ↦ xyx⁻¹ được gọi là tự đẳng cấu trong của G xác định bởi x và được ký hiệu là Int x. 05B9
Mệnh đề 4 Cho G là một nhóm, H là một nhóm con bất biến (tương ứng, chuẩn) của G và K là một nhóm con bất biến của H. Khi đó K là một nhóm con bất biến (tương ứng, chuẩn) của G. 05BA
Nhận xét (1) Nhóm chuẩn hóa (tương ứng, nhóm trung tâm hóa) của A là nhóm ổn định ngặt (tương ứng, nhóm cố định) của A khi G tác động lên chính nó bởi các tự đẳng cấu trong. Đặc biệt nhóm t… 05BB
Định nghĩa 5 Cho G là một nhóm, E là một G-tập hợp và x ∈ G. Một phần tử y ∈ E được gọi là liên hợp với x dưới tác động của G nếu tồn tại một phần tử α ∈ G sao cho y = α x. Tập hợp các phần tử… 05BC
Ví dụ (1) Cho G là một nhóm và xét tác động của G lên chính nó bởi các tự đẳng cấu trong. Hai phần tử của G liên hợp dưới tác động này được gọi là liên hợp dưới các tự đẳng cấu trong hoặ… 05BD
Định nghĩa 6 Cho G là một nhóm. Một tác động của G trên một tập hợp E được gọi là bắc cầu nếu tồn tại một phần tử x ∈ E có quỹ đạo là E. Một G-tập hợp E được gọi là thuần nhất nếu tác động của… 05BE
Ví dụ Nếu E là một G-tập hợp, mỗi quỹ đạo của E, với tác động cảm sinh, là một tập hợp thuần nhất dưới tác động của G. 05BF
Mệnh đề 5 Với các ký hiệu trên, G/H là một G-tập hợp thuần nhất. Ánh xạ φ cảm sinh một đẳng cấu từ (N/H)⁰ lên nhóm các tự đẳng cấu của G-tập hợp G/H. ↩ 1 05BG
Nhận xét (1) Cho G là một nhóm, H là một nhóm con của G và φ : G → S_G/H là đồng cấu tương ứng với phép toán của G trên G/H. Hạt nhân của φ là giao của các liên hợp của H (no. 2, Mệnh đề 2)… 05BH
Mệnh đề 6 Cho G là một nhóm, E là một G-tập hợp thuần nhất, a ∈ E, H là nhóm ổn định của a và K là một nhóm con của G được chứa trong H. Tồn tại duy nhất một G-cấu xạ f từ G/K vào E sao cho… ↩ 1 05BI
Định lý 1 Cho G là một nhóm. (a) Mọi G-tập hợp thuần nhất đều đẳng cấu với một G-tập hợp thuần nhất có dạng G/H, trong đó H là một nhóm con của G. (b) Cho H và H' là hai nhóm con của G. Các… ↩ 2 05BJ
Ví dụ (1) Cho E là một tập hợp khác rỗng. Nhóm S_E tác động bắc cầu trên E. Nếu x và y là hai phần tử của E, ánh xạ τ : E → E sao cho τ(x) = y, τ(y) = x và τ(z) = z với z ≠ x, y, là một… ↩ 3 05BK
Định nghĩa 7 Cho G là một nhóm. Một phép toán của G trên một tập E được gọi là đơn tác nếu tồn tại một phần tử x của E sao cho ánh xạ quỹ đạo xác định bởi x là một song ánh. Một tập E, cùng với… ↩ 1 05BL
Ví dụ (1) Cho G tác động trên chính nó bằng phép tịnh tiến trái (tương ứng phải). Khi đó một cấu trúc tập G chính thuần nhất trái (tương ứng phải) được xác định trên G, đôi khi được ký h… 05BM
Định nghĩa 8 Cho E là một tập hợp hữu hạn, ζ ∈ 𝔖_E là một phép hoán vị của E và barζ là nhóm con của 𝔖_E sinh bởi ζ. ζ được gọi là một chu trình nếu, dưới phép toán của barζ trên E, tồn tại một… 05BN
Bổ đề 1 Cho (ζᵢ)_i ∈ I là một họ các chu trình có các giá từng đôi một rời nhau. Khi đó các ζᵢ từng đôi một khả hoán. Đặt σ = ∏_i ∈ I ζᵢ và barσ là nhóm con sinh bởi σ. Khi đó σ(x) = ζᵢ(x)… ↩ 1 05BO
Mệnh đề 7 Cho E là một tập hợp hữu hạn và σ là một phép hoán vị của E. Tồn tại duy nhất một tập hợp hữu hạn C gồm các chu trình thỏa mãn hai điều kiện sau: ↩ 1 05BP
Định nghĩa 9 Một chu trình có cấp 2 được gọi là một phép chuyển vị. 05BQ
Mệnh đề 8 Một tập hợp hữu hạn E. Nhóm 𝔖_E được sinh bởi các phép chuyển vị. ↩ 3 05BR
Mệnh đề 9 Cho n là một số nguyên ≥ 0. Nhóm 𝔖ₙ được sinh bởi các phép chuyển trí (τ_i, i+1)_1 ≤ i ≤ n-1. ↩ 4 05BS
Bổ đề 2 p ≠ 0 và σ p = (-1)^ν(σ) với σ ∈ 𝔖ₙ. ↩ 1 05BT
Định lý 2 Một tập hợp hữu hạn E có một và chỉ một đồng cấu ε từ 𝔖ₙ vào nhóm nhân -1, +1 sao cho ε(τ) = -1 với mọi phép chuyển vị τ. ↩ 1 05BU
Định nghĩa 10 Theo ký hiệu của Định lý 2, số ε(σ) (cũng được ký hiệu là ε_σ) được gọi là dấu của phép hoán vị σ. Hạt nhân của đồng cấu ε được gọi là nhóm phản xứng của E. 05BV
Ví dụ Nếu σ là một chu trình có cấp d, thì ε(σ) = (-1)ᵈ⁻¹. Số nghịch thế của phép hoán vị (1, 2, 3, …, d) ↦ (d, 1, 2, …, d-1) bằng d-1. 05BW

§ 6. Mở rộng, nhóm giải được, nhóm lũy linh

Định nghĩa 1 Cho F và G là hai nhóm. Một mở rộng của G bởi F là một bộ ba E = (E, i, p), trong đó E là một nhóm, i là một đơn cấu của F vào E và p là một đồng cấu toàn ánh của E lên G sao cho I… 05CQ
Mệnh đề 1 Cho E: F xrightarrowi E xrightarrowp G và E': F xrightarrowi' E' xrightarrowp' G là các mở rộng của G bởi F. Nếu u: E → E' là một cấu xạ từ E vào E', thì u là một đẳng cấu từ E lên… ↩ 1 05CR
Mệnh đề 2 Cho E: F xrightarrowi E xrightarrowp G là một mở rộng của G bởi F. Các điều kiện sau là tương đương: 05CS
Định nghĩa 2 Cho F và G là hai nhóm và τ là một đồng cấu của G vào nhóm tự đẳng cấu của F. Viết τ(g)(f) = gf với g ∈ G và f ∈ F. Tập hợp F × G với luật hợp thành ↩ 1 05CT
Mệnh đề 3 Tích nửa trực tiếp ngoài F ×_τ G là một nhóm. Các ánh xạ i: F → F ×_τ G xác định bởi i(f) = (f, e), p: F ×_τ G → G xác định bởi p(f, g) = g, và s: G → F ×_τ G xác định bởi s(g) = (… ↩ 1 05CU
Mệnh đề 4 Với các ký hiệu trên, tồn tại một và chỉ một đẳng cấu u của E_τ lên E' sao cho u ∘ s = s'. ↩ 2 05CV
Nhận xét Định nghĩa của phép toán τ bởi công thức (2) phụ thuộc vào mở rộng E' và tiết diện s'. Khi F giao hoán, phép toán τ không phụ thuộc vào s'. Vì Int(s'(g)) | i'(F) khi đó chỉ phụ thu… 05CW
Hệ quả Cho G là một nhóm và H và K là hai nhóm con của G sao cho H là chuẩn tắc, H ∩ K = e và H.K = G. Cho τ là phép toán của K trên H bởi các tự đẳng cấu nội của G. Ánh xạ (h, k) ↦ hk là… ↩ 1 05CX
Ví dụ (1) Cho G là một nhóm và E là một G-tập hợp chính thuần nhất; ký hiệu Γ là nhóm tự đẳng cấu của G. Cho A là tập hợp các phép hoán vị f của E có tính chất sau: Tồn tại γ ∈ Γ sao cho… 05CY
Định nghĩa 3 Cho G là một nhóm và x và y là hai phần tử của G. Phần tử x⁻¹y⁻¹xy của G được gọi là giao hoán tử của x và y. 05CZ
Mệnh đề 5 Cho A, B, C là ba nhóm con của G. ↩ 1 05D0
Định nghĩa 4 Cho G là một nhóm. Nhóm con sinh bởi các giao hoán tử của các phần tử của G được gọi là nhóm dẫn xuất của G. 05D1
Mệnh đề 6 Cho f : G → G' là một đồng cấu nhóm. Khi đó f(D(G)) ⊂ D(G'). Nếu f là toàn ánh, thì đồng cấu từ D(G) vào D(G') là hạn chế của f là toàn ánh. ↩ 2 05D2
Hệ quả 1 Nhóm dẫn xuất của một nhóm G là một nhóm con đặc số của G. Đặc biệt nó là một nhóm con chuẩn tắc của G. 05D3
Hệ quả 2 Cho G là một nhóm. Nhóm thương G/D(G) là giao hoán. Cho π : G → G/D(G) là đồng cấu chính tắc. Mọi đồng cấu f từ G vào một nhóm giao hoán G' đều có thể được biểu diễn duy nhất dưới… ↩ 2 05D4
Hệ quả 3 Cho H là một nhóm con của G. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 3 05D5
Hệ quả 4 Cho G là một nhóm và X là một tập con của G sinh ra G. Nhóm D(G) là nhóm con chuẩn tắc của G sinh bởi các giao hoán tử của các phần tử của X. ↩ 1 05D6
Nhận xét (1) Hệ quả 2 cũng có thể được phát biểu bằng cách nói rằng G/D(G), cùng với π, là một nghiệm của bài toán ánh xạ phổ quát đối với G, tương đối với các nhóm giao hoán và các đồng cấ… 05D7
Ví dụ (1) Nếu G là một nhóm đơn không giao hoán, thì D(G) = G. Do đó mọi đồng cấu của G vào một nhóm giao hoán đều là tầm thường. 05D8
Định nghĩa 5 Cho G là một nhóm. Chuỗi trung tâm giảm của G là dãy (Cⁿ(G))_n ≥ 1 các nhóm con của G được định nghĩa quy nạp bởi: C¹(G) = G, Cⁿ⁺¹(G) = (G, Cⁿ(G)). ↩ 1 05D9
Định nghĩa 6 Một nhóm G được gọi là lũy linh nếu tồn tại một số nguyên n sao cho Cⁿ⁺¹(G) = e. Số nguyên nhỏ nhất n sao cho Cⁿ⁺¹(G) = e được gọi là lớp lũy linh của một nhóm lũy linh G. ↩ 1 05DA
Ví dụ (1) Một nhóm là lũy linh lớp 0 (tương ứng, ≤ 1) khi và chỉ khi nó chỉ gồm phần tử đơn vị (tương ứng, là giao hoán). 05DB
Mệnh đề 7 Cho G là một nhóm và n là một số nguyên. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 4 05DC
Hệ quả Một mở rộng trung tâm của một nhóm lũy linh (bởi một nhóm tất yếu giao hoán) là lũy linh. 05DD
Mệnh đề 8 Cho G là một nhóm lũy linh cấp ≤ n và H là một nhóm con của G. Tồn tại một dãy các nhóm con ↩ 1 05DE
Hệ quả 1 Cho G là một nhóm lũy linh và H là một nhóm con của G. Nếu H khác G, thì chuẩn hóa tử N_G(H) của H trong G khác H. ↩ 1 05DF
Hệ quả 2 Cho G là một nhóm lũy linh và H là một nhóm con của G. Nếu H khác G, thì tồn tại một nhóm con chuẩn tắc N của G, chứa H, khác G và sao cho G/N là giao hoán. ↩ 1 05DG
Hệ quả 3 Cho G là một nhóm lũy linh và H là một nhóm con của G. Nếu G = H.(G, G), thì G = H. ↩ 2 05DH
Hệ quả 4 Cho f: G' → G là một đồng cấu nhóm. Giả sử rằng (a) G là lũy linh. (b) Đồng cấu f₁: G'/(G', G') → G/(G, G), dẫn xuất từ f bằng cách chuyển qua các thương, là toàn ánh. Khi đó f là… 05DI
Mệnh đề 9 Cho G là một nhóm lũy linh có lớp ≤ n và N là một nhóm con chuẩn tắc của G. Tồn tại một chuỗi các nhóm con ↩ 1 05DJ
Hệ quả 1 Cho G là một nhóm lũy linh, Z là tâm của G và N là một nhóm con chuẩn tắc của G. Nếu N ≠ {e}, thì N ∩ Z ≠ {e}. ↩ 1 05DK
Hệ quả 2 Cho f là một đồng cấu từ một nhóm lũy linh G vào một nhóm G'. Nếu hạn chế của f lên tâm của G là đơn ánh, thì f là đơn ánh. 05DL
Định nghĩa 7 Cho G là một nhóm. Chuỗi dẫn xuất của G là chuỗi (Dⁿ(G))_n ∈ N được định nghĩa bằng quy nạp như sau: 05DM
Định nghĩa 8 Một nhóm G được gọi là giải được nếu tồn tại một số nguyên n sao cho Dⁿ(G) = e. Nếu G là một nhóm giải được, thì số nguyên nhỏ nhất n sao cho Dⁿ(G) = e được gọi là lớp giải được củ… 05DN
Ví dụ (1) Một nhóm giải được lớp 0 (tương ứng, ≤ 1) nếu và chỉ nếu nó rút về e (tương ứng, là giao hoán). 05DO
Mệnh đề 10 Cho G là một nhóm và n là một số nguyên. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 1 05DP
Hệ quả Cho G là một nhóm hữu hạn và G = G⁰ ⊃ G¹ ⊃ … ⊃ Gⁿ = e một chuỗi Jordan-Hölder của G. Để G giải được, điều kiện cần và đủ là các thương Gᵏ/Gᵏ⁺¹ là cyclic cấp nguyên tố. 05DQ
Định nghĩa 9 Một nhóm hữu hạn có cấp là một lũy thừa của p được gọi là một nhóm p. ↩ 1 05DR
Mệnh đề 11 Cho E là một tập hợp hữu hạn và G là một nhóm p tác động lên E. Gọi Eᴳ là tập hợp các x ∈ E sao cho gx = x với mọi g ∈ G (các điểm bất động). Khi đó Card(Eᴳ) ≡ Card(E) pmodp. ↩ 5 05DS
Hệ quả Cho G là một nhóm p. Nếu G không thu về e, thì tâm của nó không thu về e. ↩ 3 05DT
Định lý 1 Cho G là một nhóm p và pʳ là cấp của nó. Tồn tại một dãy các nhóm con của G ↩ 4 05DU
Hệ quả Mọi p-nhóm đều lũy linh. ↩ 1 05DV
Mệnh đề 12 Cho G là một p-nhóm và H là một nhóm con của G phân biệt với G. Khi đó: ↩ 3 05DW
Hệ quả Cho G là một p-nhóm. Mọi nhóm con của G có chỉ số p đều là chuẩn tắc. 05DX
Định nghĩa 10 Cho G là một nhóm hữu hạn. Một nhóm con Sylow p của G là bất kỳ nhóm con P nào của G thỏa mãn hai điều kiện sau: 05DY
Ví dụ (1) Trong nhóm 𝔖ₚ, gọi ζ là một chu trình cấp p. Nhóm con sinh bởi ζ là một nhóm con Sylow p của 𝔖ₚ vì p không chia hết (p - 1)!. (2) Cho k là một trường hữu hạn có đặc số p và n l… 05DZ
Định lý 2 Mọi nhóm hữu hạn đều chứa một nhóm con Sylow p. ↩ 3 05E0
Bổ đề Cho n = pʳ m, trong đó m là một số nguyên không là bội của p. Khi đó binomnpʳ not≡ 0 pmodp. 05E1
Hệ quả Nếu cấp của G chia được cho p, thì nhóm G chứa một phần tử có cấp p. 05E2
Nhận xét Với mọi số nguyên tố q chia Card(G), cho Pq là một nhóm con Sylow q của G. Khi đó nhóm con H của G sinh bởi các Pq có cấp là một bội của Card(Pq) với mỗi q và có cấp là một ước của… 05E3
Định lý 3 Cho G là một nhóm hữu hạn. (a) Các nhóm con Sylow p của G liên hợp với nhau. Số lượng của chúng đồng dư với 1 mod. p. (b) Mọi nhóm con của G là một p-nhóm đều được chứa trong một n… ↩ 2 05E4
Hệ quả 1 Cho P là một nhóm con Sylow p của G, cho N là chuẩn hóa tử của nó trong G và cho M là một nhóm con của G chứa N. Chuẩn hóa tử của M trong G bằng M. ↩ 1 05E5
Hệ quả 2 Cho f : G₁ → G₂ là một đồng cấu của các nhóm hữu hạn. Với mọi nhóm con Sylow p P₁ của G₁ đều tồn tại một nhóm con Sylow p P₂ của G₂ sao cho f(P₁) ⊂ P₂. 05E6
Hệ quả 3 (a) Cho H là một nhóm con của G. Với mọi nhóm con Sylow p P của H đều tồn tại một nhóm con Sylow p Q của G sao cho P = Q ∩ H. 05E7
Hệ quả 4 Cho N là một nhóm con chuẩn tắc của G. Ảnh trong G/N của một nhóm con Sylow p của G là một nhóm con Sylow p của G/N, và mọi nhóm con Sylow p của G/N đều thu được theo cách này. 05E8
Định lý 4 Cho G là một nhóm hữu hạn. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 6 05E9
Nhận xét (1) Cho G là một nhóm hữu hạn và p là một số nguyên tố. Theo no. 6, Định lý 3 (a) và no. 6, Định lý 2, các điều kiện sau là tương đương: (i) tồn tại một nhóm con Sylow p chuẩn tắc… 05EA
Ví dụ Nhóm 𝔖₃ có cấp 6. Nó chứa một nhóm con Sylow 3 chuẩn tắc có cấp 3: nhóm A₃. Nó chứa ba nhóm con Sylow 2 có cấp 2: các nhóm e, τ, trong đó τ là một phép hoán vị đổi chỗ. Do đó nhóm… 05EB

§ 7. Monoid tự do, nhóm tự do

Mệnh đề 1 Cho M là một magma. Mọi ánh xạ f từ X vào M đều có thể được mở rộng theo một cách duy nhất thành một cấu xạ từ M(X) vào M. ↩ 2 05FH
Mệnh đề 2 Cho u : X → Y là một ánh xạ. Nếu u là đơn ánh (resp. toàn ánh, song ánh), thì M(u) cũng vậy. 05FI
Mệnh đề 3 Cho M là một monoid. Mọi ánh xạ f từ X vào M đều mở rộng duy nhất thành một đồng cấu từ Mo(X) vào M. ↩ 1 05FJ
Mệnh đề 4 (a) Với mọi i ∈ I, ánh xạ φᵢ là một đồng cấu của Mᵢ vào M và φᵢ ∘ hᵢ = h với mọi i ∈ I. Hơn nữa, M được sinh bởi ⋃_i ∈ I φᵢ(Mᵢ). ↩ 3 05FK
Mệnh đề 5 Dưới giả thiết (A), mọi phần tử x của M đều có một phân tích thu gọn duy nhất σ. Mọi phân tích σ' ≠ σ của x đều thỏa mãn l(σ') > l(σ). ↩ 2 05FL
Bổ đề 1 Cho i₁, …, iₙ thuộc I và p_α thuộc P_i_α với 1 ≤ α ≤ n. Với mọi a ∈ A tồn tại a' ∈ A và một dãy (p'_α)_1 ≤ α ≤ n với p'_α ∈ P_i_α sao cho φ_i₁(p₁) … φ_iₙ(pₙ)h(a) = h(a')φ_i₁(p'₁) …… 05FM
Hệ quả Theo giả thiết (A) các đồng cấu φᵢ và h là đơn ánh. Với i ≠ j trong I, φᵢ(Mᵢ) ∩ φⱼ(Mⱼ) = h(A). ↩ 1 05FN
Bổ đề 2 Cho M là tổng monoid của họ (Mₓ)_x ∈ X được xác định bởi Mₓ = N với mọi x ∈ X và cho φₓ ký hiệu đồng cấu chính tắc của Mₓ vào M. Ánh xạ x ↦ φₓ(1) của X vào M kéo dài thành một đẳng… ↩ 1 05FO
Mệnh đề 6 Cho w là một phần tử của Mo(X). (a) Tồn tại một số nguyên n ≥ 0, các phần tử x_α của X và các số nguyên m(α) > 0 (với ↩ 2 05FP
Mệnh đề 7 Cho g là một phần tử của nhóm tự do F(X). Tồn tại một số nguyên n ≥ 0 và một dãy (x_α, m(α))_1 ≤ α ≤ n được xác định duy nhất bởi các hệ thức x_α ∈ X, x_α ≠ x_α+1 với 1 ≤ α < n, m(… ↩ 2 05FQ
Mệnh đề 8 Cho G là một nhóm và f là một ánh xạ của X vào G. Tồn tại một và chỉ một đồng cấu barf của F(X) vào G mở rộng f. ↩ 1 05FR
Ví dụ (1) Nhóm được xác định bởi trình bày ⟨ τ; τ^q = e ⟩ là nhóm cyclic có cấp q. 05FS
Mệnh đề 9 Cho G là một nhóm, t = (tᵢ)_i ∈ I là một họ phần tử sinh của G và r = (rⱼ)_j ∈ J là một họ các quan hệ của t. Các điều kiện sau là tương đương: 05FT
Mệnh đề 10 Cho M là một monoïde giao hoán (tương ứng, nhóm) và f một ánh xạ từ X vào M. Tồn tại một và chỉ một đồng cấu từ N^(X) (tương ứng, Z^(X)) vào M sao cho g(δₓ) = f(x) với mọi x ∈ X. N… ↩ 2 05FU
Nhận xét Cho M là monoid nhân của các số nguyên dương ngặt và cho 𝔓 là tập các số nguyên tố (§ 4, no. 10, Định nghĩa 15). Theo Mệnh đề 10 tồn tại một đồng cấu u của N^(𝔓) vào M được đặc trư… 05FV
Mệnh đề 11 Đồng cấu chính tắc ν của Mo(X) vào N^(X) là toàn ánh. Cho w = x₁ … xₙ và w' = x'₁ … x'ₘ là hai phần tử của Mo(X); để ν(w) = ν(w'), điều kiện cần và đủ là m = n và tồn tại một phép… ↩ 1 05FW
Nhận xét Cho S là một tập con của X. Nhắc lại rằng ta đã đồng nhất M(S) với một magma con của M(X), Mo(S) với một monoid con của Mo(X) và N^(S) với một monoid con của N^(X). Khi đó M(S) = λ… 05FX

§ 8. Vành

Định nghĩa 1 Một vành là một tập hợp A với hai luật hợp thành lần lượt được gọi là phép cộng và phép nhân, thỏa mãn các tiên đề sau: 05H2
Mệnh đề 1 Cho A là một vành giao hoán và (x_λ)_λ ∈ L là một họ hữu hạn các phần tử của A. Với mỗi họ các số nguyên dương β = (β_λ)_λ ∈ L, đặt |β| = ∑_λ ∈ L β_λ. Khi đó ( ∑_λ ∈ L x_λ )ⁿ = ∑_|… 05H3
Hệ quả 1 (công thức nhị thức) Cho x và y là hai phần tử của một vành giao hoán A. Khi đó: ↩ 2 05H4
Hệ quả 2 Cho A là một vành giao hoán, X là một tập hợp, u = (uₓ)_x ∈ X và v = (vₓ)_x ∈ X là hai họ phần tử của A. Ký hiệu u + v là họ (uₓ + vₓ)_x ∈ X. Với mọi λ ∈ N^(X) ta viết λ! = ∏_x ∈ X… ↩ 2 05H5
Mệnh đề 2 Cho A là một vành, x₁, …, xₙ là các phần tử của A và I = 1, 2, …, n. Với H ⊂ I, ta viết x_H = ∑_i ∈ H xᵢ. Khi đó ↩ 4 05H6
Định nghĩa 2 Cho A và B là hai vành. Một cấu xạ, hay đồng cấu, từ A vào B là một ánh xạ f từ A vào B thỏa mãn các quan hệ: 05H7
Ví dụ (1) Cho A là một vành. Ta thấy ngay lập tức rằng ánh xạ n ↦ n · 1 từ Z vào A là đồng cấu duy nhất từ Z vào A. Đặc biệt, ánh xạ đồng nhất của Z là tự đồng cấu duy nhất của vành Z. 05H8
Định nghĩa 3 Cho A là một vành. Một vành con của A là một tập con B của A là một nhóm con của A đối với phép cộng, ổn định đối với phép nhân và chứa phần tử khả nghịch của A. 05H9
Ví dụ (1) Mọi nhóm con của nhóm cộng Z chứa 1 đều bằng Z. Do đó Z là vành con duy nhất của Z. 05HA
Định nghĩa 4 Cho A là một vành. Một tập con a của A được gọi là một iđêan trái (tương ứng phải) nếu nó là một nhóm con của nhóm cộng của A và các quan hệ a ∈ A, x ∈ a kéo theo ax ∈ a (tương ứng… 05HB
Ví dụ (1) Cho A là một vành. Tập hợp A là một iđêan hai phía của A; tập hợp gồm 0 cũng vậy, và nó được gọi là iđêan không và đôi khi được ký hiệu bởi 0 hoặc (0) thay cho 0. 05HC
Định nghĩa 5 Cho A là một vành. Theo lối nói không chặt, một iđêan trái a được gọi là cực đại nếu nó là một phần tử cực đại của tập hợp các iđêan trái khác với A. \ 05HD
Định lý 1 (Krull) Cho A là một vành và a là một iđêan trái của A khác với A. Tồn tại một iđêan cực đại m của A chứa a. \ ↩ 2 05HE
Mệnh đề 3 Cho A là một vành, (x_λ)_λ ∈ L là một họ các phần tử của A và a (tương ứng b) là tập hợp các tổng ∑_λ ∈ L a_λ x_λ trong đó (a_λ)_λ ∈ L là một họ có giá hữu hạn các phần tử của A (t… 05HF
Mệnh đề 4 Cho A là một vành và (a_λ)_λ ∈ L là một họ các iđêan trái của A. Iđêan trái sinh bởi ⋃_λ ∈ L a_λ gồm các tổng ∑_λ ∈ L y_λ trong đó (y_λ)_λ ∈ L là một họ có giá hữu hạn sao cho y_λ… 05HG
Định nghĩa 6 Cho A là một vành và a là một iđêan hai phía của A. Vành thương của A theo a, ký hiệu là A/a, là tập thương của A theo quan hệ tương đương x ≡ y(a), với phép cộng và phép nhân là c… 05HH
Định lý 2 Cho A là một vành và a là một iđêan hai phía của A. (a) Ánh xạ chính tắc π của A lên A/a là một đồng cấu vành. (b) Cho B là một vành và f là một đồng cấu từ A vào B. Nếu f(a) = 0… ↩ 8 05HI
Định lý 3 Cho A và B là các vành và f là một đồng cấu từ A vào B. (a) Hạt nhân a của f là một iđêan hai phía của B. (b) Ảnh B' = f(B) của f là một vành con của B. (c) Cho π : A → A/a và i… ↩ 1 05HJ
Mệnh đề 5 Cho A và A' là hai vành, f là một đồng cấu từ A vào A' và a là hạt nhân của f. (a) Cho B' là một vành con của A'. Khi đó B = f⁻¹(B') là một vành con của A chứa a. Nếu f là toàn ánh… ↩ 1 05HK
Nhận xét Trong ký hiệu trên, θ và η là các đẳng cấu tập hợp có thứ tự (Φ và Φ' được sắp thứ tự theo bao hàm). 05HL
Hệ quả Cho A là một vành và a là một iđêan hai phía của A. (a) Mọi iđêan trái (tương ứng phải, hai phía) của A/a đều viết được duy nhất dưới dạng b/a, trong đó b là một iđêan trái (tương… 05HM
Mệnh đề 6 Cho a, b₁, …, bₙ là các iđêan hai phía của A. Nếu A = a + bᵢ với mọi i, thì A = a + b₁ b₂ … bₙ = a + (b₁ ∩ b₂ ∩ ⋯ ∩ bₙ). ↩ 4 05HN
Mệnh đề 7 Cho b₁, …, bₙ là các iđêan hai phía của A sao cho bᵢ + bⱼ = A với i ≠ j. Khi đó b₁ ∩ b₂ ∩ ⋯ ∩ bₙ = ∑_σ ∈ Sₙ b_σ(1) b_σ(2) ⋯ b_σ(n). Đặc biệt, nếu A giao hoán, b₁ ∩ b₂ ∩ ⋯ ∩ bₙ = b₁… ↩ 2 05HO
Mệnh đề 8 Giả sử I hữu hạn. Nếu b là một iđêan trái hoặc phải của A, thì b là tổng trực tiếp của các b ∩ aᵢ. ↩ 3 05HP
Mệnh đề 9 Cho A là một vành và (b₁, …, bₙ) là các i-đê-an hai phía của A sao cho bᵢ + bⱼ = A với i ≠ j. Đồng cấu chính tắc của A vào ∏ᵢ₌₁ⁿ (A/bᵢ) là toàn ánh với hạt nhân ⋂ᵢ₌₁ⁿ bᵢ = ∑_σ ∈ Sₙ… ↩ 5 05HQ
Định nghĩa 7 Cho A là một vành. Một họ hữu hạn (bᵢ)_i ∈ I các i-đê-an hai phía của A sao cho đồng cấu chính tắc của A vào ∏_i ∈ I (A/bᵢ) là một đẳng cấu được gọi là một phân tích trực tiếp của… ↩ 1 05HR
Mệnh đề 10 Cho A là một vành, A' là tâm của nó và (bᵢ)_i ∈ I là một họ hữu hạn các i-đê-an hai phía của A. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 3 05HS
Nhận xét Cho A là một vành. Cho (aᵢ)_i ∈ I là một họ hữu hạn các nhóm con của nhóm cộng A⁺ của A sao cho A⁺ là tổng trực tiếp của các aᵢ. Giả sử aᵢ aᵢ ⊂ ai với i ∈ I và aᵢ aⱼ = 0 với i ≠ j… 05HT
Ví dụ Các iđêan và các vành thương của Z 05HU
Mệnh đề 11 Cho n₁, …, n_d là các số nguyên geqslant 1 nguyên tố cùng nhau từng đôi một và n = n₁ … nᵣ. Đồng cấu chính tắc của Z vào vành tích ∏ᵢ₌₁ʳ Z/nᵢZ là toàn ánh có hạt nhân nZ và xác địn… ↩ 1 05HV
Định lý 4 Cho A là một vành giao hoán và S là một tập con của A. Cho A_S là monoid các phân thức của A (chỉ được trang bị phép nhân) với các mẫu số trong S (§ 2, no. 4). Cho ε : A → A_S là c… ↩ 1 05HW
Định nghĩa 8 Vành được định nghĩa trong Định lý 4 được gọi là vành phân thức liên kết với S, hoặc với các mẫu số trong S, và được ký hiệu bởi A[S⁻¹]. 05HX
Định lý 5 Cho A là một vành giao hoán, S là một tập con của A, B là một vành và f là một đồng cấu của A vào B sao cho mọi phần tử của f(S) đều khả nghịch. Tồn tại một và chỉ một barf từ A[S⁻… ↩ 1 05HY

§ 9. Trường

Định nghĩa 1 Một vành K được gọi là một trường nếu nó không chỉ gồm 0 và mọi phần tử khác không của K đều khả nghịch. 05IF
Ví dụ (1) Trong no. 4, chúng ta sẽ định nghĩa trường các số hữu tỉ; trong Tôpô đại cương, trường các số thực sẽ được định nghĩa (Tôpô đại cương, IV, § 1, no. 3), cũng như trường các số p… 05IG
Mệnh đề 1 Cho K là một trường. Với mọi tập con X của K, bộ tâm hóa (§ 8, no. 5, Ví dụ 3) X' của X là một trường con của K. 05IH
Hệ quả Tâm của một trường K là một trường con (giao hoán) của K. 05II
Định lý 1 Cho A là một vành. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 7 05IJ
Nhận xét Trong Định lý 1, có thể thay các iđêan trái bằng các iđêan phải. Trong Chương VIII, § 5, no. 2, ta sẽ nghiên cứu các vành khác không A không có iđêan hai phía nào khác 0 và A; các… 05IK
Hệ quả 1 Cho A là một vành và a là một iđêan hai phía của A. Để vành A/a là một trường, điều kiện cần và đủ là a là một iđêan trái cực đại của A. ↩ 3 05IL
Hệ quả 2 Cho A là một vành giao hoán khác 0. Tồn tại một đồng cấu của A lên một trường giao hoán. 05IM
Hệ quả 3 Cho a là một số nguyên geqslant 0. Để vành Z/aZ là một trường, điều kiện cần và đủ là a là nguyên tố. 05IN
Định lý 2 Cho K là một trường và A là một vành khác không. Nếu f là một đồng cấu từ K vào A, thì vành con f(K) của A là một trường và f xác định một đẳng cấu của K lên f(K). ↩ 2 05IO
Định nghĩa 2 Một vành A được gọi là miền nguyên (hay miền toàn vẹn) nếu nó giao hoán, khác không, và tích của hai phần tử khác không của A là khác không. 05IP
Mệnh đề 2 Nếu A là một miền nguyên, vành phân thức toàn phần K của A là một vành giao hoán. 05IQ
Mệnh đề 3 Cho B là một vành khác không và A là một vành con giao hoán của B sao cho mọi phần tử khác không của A đều khả nghịch trong B. (a) A là một miền nguyên. (b) Cho A' là trường phân t… 05IR
Mệnh đề 4 Cho A là một vành giao hoán và 𝔭 là một iđêan của A. Các điều kiện sau là tương đương: (a) vành A/𝔭 là một miền nguyên; (b) A ≠ 𝔭 và, nếu x ∈ A - 𝔭 và y ∈ A - 𝔭, thì xy ∈ A - 𝔭. (c… ↩ 1 05IS
Định nghĩa 3 Trong một vành giao hoán A, một iđêan p thỏa mãn các điều kiện của Mệnh đề 4 được gọi là một iđêan nguyên tố. ↩ 2 05IT
Ví dụ (1) Cho A là một vành giao hoán. Nếu m là một iđêan cực đại của A, thì m là nguyên tố; vành A/m là một trường (no. 1, Hệ quả 1 của Định lý 1). 05IU
Định nghĩa 4 Trường phân thức của vành Z các số nguyên hữu tỉ được gọi là trường các số hữu tỉ và được ký hiệu bởi Q. Các phần tử của Q được gọi là các số hữu tỉ. 05IV

§ 10. Giới hạn ngược và giới hạn trực tiếp

Định nghĩa 1 Một hệ ngược của các magma đối với tập chỉ số I là một hệ ngược của các tập hợp (E_α, f_αβ) đối với I, mỗi E_α có một cấu trúc magma và mỗi f_αβ là một đồng cấu magma. 05JH
Định nghĩa 2 Một hệ trực tiếp của các magma đối với tập chỉ số I là một hệ trực tiếp của các tập hợp (E_α, f_βα) đối với I, mỗi E_α có một cấu trúc magma và mỗi f_βα là một đồng cấu magma. 05JI
Mệnh đề 1 Trên E tồn tại duy nhất một cấu trúc magma sao cho các ánh xạ f_α : E_α → E là các đồng cấu. Nếu các magma E_α là kết hợp (tương ứng giao hoán), thì E cũng vậy. Nếu các magma E_α v… ↩ 1 05JJ
Mệnh đề 2 Cho (E_α, f_β α) là một hệ trực tiếp của các magma và cho E là giới hạn trực tiếp của nó với f_α : E_α → E là các đồng cấu chính tắc. Giả sử một magma F và các đồng cấu u_α : E_α →… ↩ 1 05JK
Mệnh đề 3 (a) Nếu các A_α khác không, thì A khác không. (b) Nếu các A_α là các miền nguyên, thì A là một miền nguyên. (c) Nếu các A_α là các trường, thì A là một trường. 05JL

II. Đại số tuyến tính

§ 1. Môđun

Định nghĩa 1 Cho một vành A, một môđun trái trên A (hay A-môđun trái) là một tập hợp E được trang bị một cấu trúc đại số xác định bởi việc cho: ↩ 1 05JO
Ví dụ (1) Cho φ là một đồng cấu của một vành A vào một vành B; ánh xạ (a, x) ↦ φ(a)x (tương ứng, (a, x) ↦ xφ(a)) từ A × B vào B xác định trên B một cấu trúc A-môđun trái (tương ứng, phải… 05JP
Định nghĩa 2 Một không gian vectơ trái (resp. phải) trên một trường K là một K-môđun trái (resp. phải). 05JQ
Ví dụ (4) Một trường vừa là một không gian vectơ trái vừa là một không gian vectơ phải đối với bất kỳ trường con nào của nó. 05JR
Định nghĩa 3 Một phần tử x của một A-môđun E được gọi là một tổ hợp tuyến tính với các hệ số trong A của một họ (aᵢ)_i ∈ I các phần tử của E nếu tồn tại một họ (λᵢ)_i ∈ I các phần tử của A, có… 05JS
Định nghĩa 4 Cho E và F là hai môđun trái đối với cùng một vành A. Một ánh xạ tuyến tính (hay ánh xạ A-tuyến tính, hay đồng cấu, hay A-đồng cấu) từ E vào F là một ánh xạ u : E → F sao cho: ↩ 1 05JT
Nhận xét Khi E và F là hai nhóm giao hoán được xem như các môđun trên vành Z (no. 1), mọi đồng cấu u của nhóm E (không có toán tử) vào nhóm F (không có toán tử) cũng là một ánh xạ tuyến tín… 05JU
Ví dụ (1) Cho E là một A-môđun và a là một phần tử của E; ánh xạ λ ↦ λ a từ A-môđun Aₛ vào E là một ánh xạ tuyến tính θₐ sao cho θₐ(1) = a. (2) Cho I là một khoảng mở của đường thẳng thự… 05JV
Mệnh đề 1 Cho E, F, G là ba A-môđun, u là một ánh xạ tuyến tính từ E vào F và v là một ánh xạ tuyến tính từ F vào G. Khi đó ánh xạ hợp thành v ∘ u là tuyến tính. ↩ 2 05JW
Ví dụ (1) Trong mọi môđun E, tập hợp chỉ gồm 0 là một môđun con (môđun con không, thường được ký hiệu bởi 0, do lạm dụng ký hiệu). (2) Cho A là một vành. Các môđun con của Aₛ (tương ứng… 05JX
Nhận xét Cho M là một môđun con của một A-môđun E và φ : E → E/M là đồng cấu chính tắc. Để một ánh xạ A-tuyến tính u : E → F có dạng v ∘ φ, trong đó v là một ánh xạ tuyến tính từ E/M vào F… 05JY
Định nghĩa 5 Cho F, G, H là ba A-môđun; cho f là một đồng cấu từ F vào G và g là một đồng cấu từ G vào H. Cặp có thứ tự (f, g) được gọi là một dãy khớp nếu 05JZ
Nhận xét (1) Nếu cặp có thứ tự (f, g) là một dãy khớp, thì g ∘ f = 0; nhưng dĩ nhiên tính chất này không đặc trưng các dãy khớp, vì nó chỉ có nghĩa là ảnh của f được chứa trong hạt nhân của… 05K0
Mệnh đề 3 (a) Để 0 longrightarrow E xrightarrowf F là một dãy khớp, điều kiện cần và đủ là f đơn ánh. ↩ 1 05K1
Nhận xét (2) Nói rằng có một dãy khớp ↩ 1 05K2
Nhận xét (5) Định nghĩa về dãy khớp mở rộng ngay lập tức cho các nhóm không nhất thiết giao hoán; trong trường hợp này dĩ nhiên dùng ký hiệu nhân với 0 được thay bởi 1 trong các công thức (… 05K3
Mệnh đề 4 Cho E = ∏_i ∈ I Eᵢ là tích của một họ các A-môđun (Eᵢ)_i ∈ I. Với mọi A-môđun F và mọi họ các ánh xạ tuyến tính fᵢ : F → Eᵢ tồn tại một và chỉ một ánh xạ f từ F vào E sao cho prᵢ ∘… ↩ 2 05K4
Mệnh đề 5 (i) Cho (Eᵢ)_i ∈ I, (Fᵢ)_i ∈ I là hai họ A-môđun có cùng tập hợp chỉ số I; với mọi họ các ánh xạ tuyến tính fᵢ : Eᵢ → Fᵢ (i ∈ I), ánh xạ f : (xᵢ) → (fᵢ(xᵢ)) từ ∏ᵢ Eᵢ vào ∏ᵢ Fᵢ (đôi… ↩ 3 05K5
Hệ quả Trong các điều kiện của Mệnh đề 5, (i), ↩ 1 05K6
Mệnh đề 6 Cho (Eᵢ)_i ∈ I là một họ các A-môđun, M là một A-môđun và, với mọi i ∈ I, cho fᵢ : Eᵢ → M là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó tồn tại một và chỉ một ánh xạ tuyến tính g : ⨁_i ∈ I Eᵢ →… ↩ 11 05K7
Hệ quả 1 Cho (Eᵢ)_i ∈ I, (F_λ)_λ ∈ L là hai họ A-môđun. Ánh xạ Hom_A ( ⨁_i ∈ I Eᵢ, ∏_λ ∈ L F_λ ) → ∏_(i, λ) ∈ I × L Hom_A(Eᵢ, F_λ) ghép với mỗi g ∈ Hom_A ( ⨁_i ∈ I Eᵢ, ∏_λ ∈ L F_λ ) họ (pr_… ↩ 8 05K8
Hệ quả 2 Cho (Eᵢ)_i ∈ I là một họ A-môđun, F là một A-môđun và, với mỗi i ∈ I, cho fᵢ : Eᵢ → F là một ánh xạ tuyến tính. Để f = ∑_i ∈ I fᵢ là một đẳng cấu từ E = ⨁_i ∈ I Eᵢ lên F, điều kiện… ↩ 3 05K9
Mệnh đề 7 (i) Cho (Eᵢ)_i ∈ I, (Fᵢ)_i ∈ I là hai họ A-môđun có cùng tập hợp chỉ số I; với mọi họ các ánh xạ tuyến tính fᵢ : Eᵢ → Fᵢ (i ∈ I), hạn chế lên ⨁_i ∈ I Eᵢ của ánh xạ tuyến tính (xᵢ)… ↩ 4 05KA
Hệ quả 1 Trong các điều kiện của Mệnh đề 7, (i), Ker(f) = ⨁_i ∈ I Ker(fᵢ), Im(f) = ⨁_i ∈ I Im(fᵢ) và có các đẳng cấu chính tắc Coim(f) → ⨁_i ∈ I Coim(fᵢ), Coker(f) → ⨁_i ∈ I Coker(fᵢ) được… ↩ 3 05KB
Hệ quả 2 Cho (Eᵢ)_i ∈ I, (E'ᵢ)_i ∈ I, (F_λ)_λ ∈ L, (F'_λ)_λ ∈ L là bốn họ các A-môđun và, với mỗi i ∈ I (resp. mỗi λ ∈ L), uᵢ : E'ᵢ → Eᵢ (resp. v_λ : F_λ → F'_λ) là một ánh xạ tuyến tính. K… 05KC
Nhận xét Nhắc lại rằng định nghĩa tổng trực tiếp mở rộng ngay lập tức đến một họ (Eᵢ)_i ∈ I các nhóm không nhất thiết giao hoán, ký hiệu nhân đương nhiên thay thế ký hiệu cộng; khi đó ta nó… 05KD
Mệnh đề 8 Nếu một họ (Mᵢ)_i ∈ I các môđun con của E có giao rút về 0 thì E đẳng cấu chính tắc với một môđun con của ∏_i ∈ I (E / Mᵢ). 05KE
Mệnh đề 9 Môđun con sinh bởi một họ (aᵢ)_i ∈ I các phần tử của một A-môđun E là tập hợp các tổ hợp tuyến tính của họ (aᵢ). ↩ 4 05KF
Hệ quả 1 Cho u : E → F là một ánh xạ tuyến tính, S là một tập con của E và M là môđun con của E được sinh bởi S. Khi đó u(M) là môđun con của F được sinh bởi u(S). ↩ 1 05KG
Nhận xét Nếu u(x) = 0 với mọi x ∈ S, thì cũng có u(x) = 0 với mọi x ∈ M. Đôi khi chúng tôi sẽ gọi kết quả này là "nguyên lý mở rộng các đẳng thức tuyến tính" hoặc "nguyên lý mở rộng bởi tín… 05KH
Hệ quả 2 Môđun con sinh bởi hợp của một họ (Mᵢ)_i ∈ I các môđun con của một môđun E trùng với tập hợp các tổng ∑_i ∈ I xᵢ, trong đó (xᵢ)_i ∈ I chạy qua tập hợp các họ phần tử của E có giá h… ↩ 1 05KI
Hệ quả 3 Nếu (M_λ)_λ ∈ L là một họ phải có hướng các môđun con của một A-môđun E, thì tổng ∑_λ ∈ L M_λ trùng với hợp ⋃_λ ∈ L M_λ. 05KJ
Hệ quả 4 Cho 0 → E xrightarrowf F xrightarrowg G → 0 là một dãy khớp các A-môđun, S là một hệ sinh của E, T là một hệ sinh của G. Nếu T' là một tập con của F sao cho g(T') = T, thì T' \cup… 05KK
Hệ quả 5 Trong một dãy khớp 0 → E → F → G → 0 các A-môđun, nếu E và G sinh hữu hạn thì F cũng sinh hữu hạn. ↩ 1 05KL
Mệnh đề 10 Cho M, N là hai môđun con của một A-môđun E. Khi đó có hai dãy khớp ↩ 3 05KM
Định nghĩa 6 Một A-môđun E được gọi là tổng trực tiếp của một họ (M_ι)_ι ∈ I các môđun con của E nếu ánh xạ chính tắc ⨁_ι ∈ I M_ι → E (no. 6) là một đẳng cấu. ↩ 1 05KN
Nhận xét (1) Cho (M_ι)_ι ∈ I, (N_ι)_ι ∈ I là hai họ môđun con của một môđun E, với cùng tập hợp chỉ số; giả sử rằng E vừa là tổng trực tiếp của họ (M_ι) vừa của họ (N_ι) và rằng N_ι ⊂ M_ι v… ↩ 2 05KO
Mệnh đề 11 Cho (M_ι)_ι ∈ I là một họ các môđun con của một A-môđun E. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 1 05KP
Định nghĩa 7 Một tự đồng cấu e của một A-môđun E được gọi là một phép chiếu nếu e ∘ e = e (nói cách khác, nếu e là một phần tử lũy đẳng trong vành End(E)). Trong End(E) một họ (e_λ)_λ ∈ L các p… ↩ 1 05KQ
Mệnh đề 12 Cho E là một A-môđun. ↩ 4 05KR
Hệ quả Với mọi phép chiếu e của E, E là tổng trực tiếp của ảnh M = e(E) và hạt nhân N = e⁻¹(0) của e; với mọi x = x₁ + x₂ ∈ E với x₁ ∈ M và x₂ ∈ N, x₁ = e(x); 1 − e là một phép chiếu của… ↩ 2 05KS
Nhận xét (2) Cho E, F là hai A-môđun sao cho E là tổng trực tiếp của một họ hữu hạn (Mᵢ)_1 ≤ i ≤ m các môđun con và F là tổng trực tiếp của một họ hữu hạn (Nⱼ)_1 ≤ j ≤ n các môđun con. Khi… 05KT
Định nghĩa 8 Trong một A-môđun E, hai môđun con M₁, M₂ được gọi là bổ sung nhau nếu E là tổng trực tiếp của M₁ và M₂. 05KU
Mệnh đề 13 Cho M₁, M₂ là hai môđun con bổ sung nhau trong một A-môđun E. Hạn chế lên M₁ của ánh xạ chính tắc E → E/M₂ là một đẳng cấu từ M₁ lên E/M₂. ↩ 3 05KV
Hệ quả Nếu M₂ và M₂' là hai phần bù của cùng một môđun con M₁ của E, thì tập hợp các cặp có thứ tự (x, x') ∈ M₂ × M₂' sao cho x - x' ∈ M₁ là đồ thị của một đẳng cấu từ M₂ lên M₂'. ↩ 2 05KW
Định nghĩa 9 Một môđun con M của một A-môđun E được gọi là một nhân tử trực tiếp của E nếu nó có một môđun con bổ sung trong E. 05KX
Mệnh đề 14 Điều kiện cần và đủ để một môđun con M của một môđun E là một nhân tử trực tiếp là tồn tại một phép chiếu của E có ảnh là M hoặc một phép chiếu của E có hạt nhân là M. ↩ 3 05KY
Mệnh đề 15 Cho một dãy khớp các A-môđun (33) 0 longrightarrow E xrightarrowf F xrightarrowg G longrightarrow 0 các mệnh đề sau là tương đương: (a) Môđun con f(E) của F là một nhân tử trực tiế… ↩ 9 05KZ
Hệ quả 1 Cho u : E → F là một ánh xạ tuyến tính. Để tồn tại một ánh xạ tuyến tính v : F → E sao cho u ∘ v = 1_F (trường hợp trong đó người ta nói rằng u khả nghịch phải và v được gọi là ngh… ↩ 1 05L0
Hệ quả 2 Cho u : E → F là một ánh xạ tuyến tính. Để tồn tại một ánh xạ tuyến tính v : F → E sao cho v ∘ u = 1_E (trường hợp khi đó nói rằng u khả nghịch trái và v được gọi là nghịch đảo trá… ↩ 3 05L1
Nhận xét (1) Cho M, N là hai môđun con bù nhau trong một A-môđun E, p, q là các phép chiếu của E lên M và N tương ứng với phân tích của E thành tổng trực tiếp của M và N. Ta biết (no. 6, Hệ… 05L2
Mệnh đề 16 Cho M là một A-môđun và N là một môđun con của M; để M có độ dài hữu hạn, điều kiện cần và đủ là N và M/N cũng vậy, và khi đó long(N) + long(M/N) = long(M). Chứng minh đã được cho… ↩ 6 05L3
Hệ quả 1 Cho M là một A-môđun có độ dài hữu hạn; để một môđun con N của M bằng M, điều kiện cần và đủ là long(N) = long(M). ↩ 1 05L4
Hệ quả 2 Cho u : M → N là một đồng cấu A-môđun. Nếu M hoặc N có độ dài hữu hạn, thì Im(u) cũng vậy. Nếu M có độ dài hữu hạn, thì Ker(u) cũng vậy và long(Im(u)) + long(Ker(u)) = long(M). Nếu… ↩ 2 05L5
Hệ quả 3 Cho (Mᵢ)_0 ≤ i ≤ n là một họ hữu hạn các A-môđun có độ dài hữu hạn. Nếu tồn tại một dãy khớp các ánh xạ tuyến tính 0 longrightarrow M₀ xrightarrowu₀ M₁ xrightarrowu₁ M₂ longrightar… ↩ 5 05L6
Hệ quả 4 Cho M và N là hai môđun con có độ dài hữu hạn của một A-môđun E; khi đó M + N có độ dài hữu hạn và long(M + N) + long(M ∩ N) = long(M) + long(N). Chỉ cần áp dụng Hệ quả 3 cho dãy k… 05L7
Hệ quả 5 Cho M là một A-môđun là tổng của một họ (Nᵢ) các môđun con có độ dài hữu hạn. Khi đó M có độ dài hữu hạn và long(M) ≤ ∑ᵢ long(Nᵢ). ↩ 2 05L8
Hệ quả 6 Cho M và N là hai môđun con của một A-môđun E sao cho E/M và E/N là các môđun có độ dài hữu hạn; khi đó E/(M \cap N) có độ dài hữu hạn và 05L9
Hệ quả 7 Cho (Mᵢ) là một họ hữu hạn các môđun con của một A-môđun E sao cho các E/Mᵢ là các môđun có độ dài hữu hạn. Khi đó E/(⋂ᵢ Mᵢ) có độ dài hữu hạn và 05LA
Nhận xét Trừ no. 7, Mệnh đề 9, mọi kết quả của các số 2 đến 10 đều đúng cho các nhóm giao hoán với toán tử tùy ý, trong các mệnh đề môđun con (tương ứng, môđun thương) được thay bằng các nh… 05LB
Mệnh đề 17 Với mọi A-môđun E và mọi ánh xạ f : T → E, tồn tại một và chỉ một ánh xạ A-tuyến tính g : Aₛ⁽ᵀ⁾ → E sao cho f = g ∘ φ. ↩ 5 05LC
Hệ quả 1 Cho T, T' là hai tập hợp, g : T → T' là một ánh xạ. Khi đó tồn tại một và chỉ một ánh xạ A-tuyến tính f : A⁽ᵀ⁾ → A^(T') làm cho biểu đồ beginarrayccc T & oversetglongrightarrow & T… 05LD
Hệ quả 2 Để một họ (aₜ)_t ∈ T các phần tử của một A-môđun E là một hệ sinh của E, điều kiện cần và đủ là ánh xạ tuyến tính Aₛ⁽ᵀ⁾ → E được xác định bởi họ này là toàn ánh. ↩ 4 05LE
Định nghĩa 10 Một họ (aₜ)_t ∈ T các phần tử của một A-môđun E được gọi là một họ tự do (tương ứng, một cơ sở của E) nếu ánh xạ tuyến tính Aₛ⁽ᵀ⁾ → E được xác định bởi họ này là đơn ánh (tương ứng… ↩ 2 05LF
Hệ quả 3 Cho E là một A-môđun tự do, (aₜ)_t ∈ T là một cơ sở của E, F là một A-môđun và (bₜ)_t ∈ T là một họ các phần tử của F. Tồn tại một và chỉ một ánh xạ tuyến tính f : E → F sao cho f(… ↩ 11 05LG
Mệnh đề 18 Để một họ (aₜ)_t ∈ T của một môđun E là tự do, điều kiện cần và đủ là mọi họ con hữu hạn của (aₜ)_t ∈ T đều tự do. 05LH
Mệnh đề 19 Cho E là một A-môđun, là tổng trực tiếp của một họ (M_λ)_λ ∈ L các môđun con. Nếu, với mỗi λ ∈ L, S_λ là một tập con tự do (tương ứng, tập sinh, cơ sở) của M_λ, thì S = ⋃_λ ∈ L S_λ… 05LI
Nhận xét (1) Theo Định nghĩa 10, nếu A ≠ 0 và (aₗ)_l ∈ I là một họ tự do, thì không phần tử nào a_κ có thể bằng một tổ hợp tuyến tính của các aₗ có chỉ số l ≠ κ. Nhưng ngược lại, một họ (aₗ… ↩ 1 05LJ
Nhận xét (2) Một môđun tự do có thể có những phần tử ≠ 0 mà không tự do: chẳng hạn, A-môđun Aₛ là tự do nhưng các ước phải của không trong A không phải là các phần tử tự do của Aₛ. 05LK
Mệnh đề 20 Mọi A-môđun E đều đẳng cấu với một môđun thương của một A-môđun tự do. ↩ 4 05LL
Mệnh đề 21 Mọi dãy khớp của các A-môđun ↩ 10 05LM
Nhận xét (5) Cho (aᵢ)_1 ≤ i ≤ n là một cơ sở của một A-môđun E và cho (bᵢ)_1 ≤ i ≤ n là một họ các phần tử của E được cho bởi các quan hệ 05LN
Định nghĩa 11 Linh hóa tử của một tập con S của một A-môđun E là tập hợp các phần tử α ∈ A sao cho α x = 0 với mọi x ∈ S. ↩ 1 05LO
Định nghĩa 12 Một môđun được gọi là đơn sinh nếu nó được sinh bởi một phần tử duy nhất. 05LP
Ví dụ (1) Mọi nhóm đơn sinh, vì là giao hoán (I, § 4, no. 10, Mệnh đề 18), đều là một Z-môđun đơn sinh. (2) Nếu A là một vành giao hoán, thì các môđun con đơn sinh của A-môđun A chính là… 05LQ
Mệnh đề 22 Cho A là một vành. Mọi môđun thương của Aₛ đều đơn sinh. Ngược lại, cho E là một A-môđun đơn sinh, c là một phần tử sinh của E và a là linh hóa tử của nó; ánh xạ tuyến tính ξ ↦ ξ c… ↩ 2 05LR
Hệ quả Mọi môđun con của một A-môđun đơn sinh E đều đẳng cấu với một môđun thương b/a trong đó a và b là hai iđêan trái của A sao cho a ⊂ b. Mọi môđun thương của một môđun đơn sinh đều là… 05LS
Mệnh đề 23 Cho E là một A-môđun, là tổng trực tiếp của một họ vô hạn (Mi){i \in I} các môđun con khác không. Với mọi hệ sinh S của E, Card(S) \geq Card(I). ↩ 2 05LT
Hệ quả 1 Trong các giả thiết của Mệnh đề 23, giả sử rằng mỗi Mi là đơn sinh và E là tổng trực tiếp của một họ thứ hai (N\lambda){\lambda \in L} các môđun con đơn sinh khác không. Khi đó Car… 05LU
Hệ quả 2 Nếu một môđun E thừa nhận một cơ sở vô hạn B, thì mọi hệ sinh của E đều có lực lượng \geq Card(B) và mọi cơ sở của E đều cùng lực lượng với B. ↩ 1 05LV
Mệnh đề 24 Cho A, B là hai vành và ρ : B → A là một đồng cấu vành. 05LW
Mệnh đề 25 Cho A, B là hai vành, ρ : B → A là một đồng cấu vành và E là một A-môđun. Cho (α_λ)_λ ∈ L là một hệ sinh (tương ứng, họ tự do các phần tử, cơ sở) của A khi xét như một B-môđun trái… ↩ 11 05LX
Hệ quả Nếu A là một B-môđun trái sinh hữu hạn và E là một A-môđun trái sinh hữu hạn, thì ρ_*(E) là một A-môđun trái sinh hữu hạn. 05LY
Nhận xét (1) Cho K là một trường và A là một vành con của K có tính chất sau: với mọi họ hữu hạn (ξᵢ)_1 ≤ i ≤ n các phần tử của K, tồn tại một γ ∈ A khác không sao cho γ ξᵢ ∈ A với 1 ≤ i ≤… 05LZ
Ví dụ Ta đã thấy (no. 1) rằng một phép vị tự h_α : x ↦ α x trên một A-môđun E không nhất thiết là một ánh xạ tuyến tính. Nhưng nếu α là khả nghịch thì h_α là một ánh xạ nửa tuyến tính (h… 05M0
Định nghĩa 13 Cho (A_λ)_λ ∈ L,\ (B_μ)_μ ∈ M là hai họ vành; một ((A_λ),\ (B_μ))-đa môđun (hay đa môđun trên các họ vành (A_λ)_λ ∈ L,\ (B_μ)_μ ∈ M) là một tập hợp E được trang bị, với mỗi λ ∈ L… 05M1
Ví dụ (1) Trên một vành A, các cấu trúc môđun của Aₛ và A_d là tương thích và do đó A có thể được xem một cách chính tắc như một (A, A)-song môđun. ↩ 2 05M2
Nhận xét (1) Cho F là một A-môđun và C là tâm của vành A; vì các vị tự trung tâm giao hoán với mọi vị tự, F có một cấu trúc song môđun mà các vành toán tử trái là A và C. Nếu E là một A-môđ… ↩ 1 05M3

§ 2. Môđun các ánh xạ tuyến tính. Đối ngẫu

Định lý 1 Cho A là một vành, E', E, E'' là ba A-môđun và u : E' \to E, v : E \to E'' là hai đồng cấu. Để dãy ↩ 8 05MV
Hệ quả Để một ánh xạ A-tuyến tính u : E → F là toàn ánh (tương ứng song ánh, tương ứng không), điều kiện cần và đủ là, với mọi A-môđun G, ánh xạ Hom(u, 1_G) : Hom(F, G) → Hom(E, G) là đơn… 05MW
Mệnh đề 1 Nếu dãy khớp các ánh xạ tuyến tính ↩ 1 05MX
Định lý 2 Cho A là một vành, F', F, F'' là ba A-môđun và u: F' → F, v: F → F'' là hai đồng cấu. Để dãy ↩ 3 05MY
Nhận xét (1) Định lý 2 cho phép ta, với mọi môđun con F' của F, đồng nhất Hom(E, F') với một môđun con-Z của Hom(E, F). Khi sự đồng nhất này được thực hiện, thì, với mọi họ (M_λ) các môđun… 05MZ
Hệ quả Để một ánh xạ A-tuyến tính u : E → F là đơn ánh, điều kiện cần và đủ là, với mọi A-môđun G, ánh xạ Hom(1_G, u) : Hom(G, E) → Hom(G, F) là đơn ánh. 05N0
Mệnh đề 2 Nếu dãy khớp ↩ 1 05N1
Định nghĩa 1 Một A-môđun P được gọi là xạ ảnh nếu, với mọi dãy khớp F' → F → F'' của các ánh xạ A-tuyến tính, dãy ↩ 2 05N2
Mệnh đề 3 Để tổng trực tiếp của một họ các môđun con (Mᵢ) của một A-môđun P là xạ ảnh, điều kiện cần và đủ là mỗi Mᵢ đều xạ ảnh. ↩ 2 05N3
Hệ quả Mọi A-môđun tự do đều xạ ảnh. 05N4
Mệnh đề 4 Cho P là một A-môđun. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 18 05N5
Hệ quả 1 Để một A-môđun là xạ ảnh và sinh hữu hạn, điều kiện cần và đủ là nó là một nhân tử trực tiếp của một A-môđun tự do có một cơ sở hữu hạn. ↩ 4 05N6
Hệ quả 2 Cho C là một vành giao hoán và E, F là hai C-môđun xạ ảnh hữu hạn sinh; khi đó Hom_C(E, F) là một C-môđun xạ ảnh hữu hạn sinh. 05N7
Định nghĩa 2 Với mọi A-môđun phải E, A-môđun phải Hom_A(E, Aₛ) được gọi là môđun đối ngẫu của E (hay đơn giản là đối ngẫu† của E) và các phần tử của nó được gọi là các dạng tuyến tính trên E. ↩ 1 05N8
Ví dụ Trên không gian vectơ (đối với trường R) các hàm liên tục nhận giá trị thực trên một khoảng [a, b] của R, ánh xạ x ↦ ∫ₐᵇ x(t) dt là một dạng tuyến tính. 05N9
Mệnh đề 5 Với mọi vành A, ánh xạ gắn với mỗi ξ ∈ A dạng tuyến tính η ↦ η ξ trên Aₛ là một đẳng cấu từ A_d lên đối ngẫu của Aₛ. ↩ 1 05NA
Định nghĩa 3 Cho E là một A-môđun và E là đối ngẫu của nó; một phần tử x ∈ E và một phần tử x ∈ E được gọi là trực giao nếu ⟨x, x⟩ = 0. 05NB
Định nghĩa 4 Cho một tập con M của E (resp. một tập con M' của E), tập hợp các x ∈ E (resp. tập hợp các x ∈ E) trực giao với M (resp. M') được gọi là môđun con trực giao hoàn toàn với M (resp… ↩ 1 05NC
Mệnh đề 6 Cho M, N là hai tập con của E sao cho M ⊂ N; nếu M' và N' là các môđun con của E trực giao tương ứng với M và N, thì N' ⊂ M'. ↩ 1 05ND
Mệnh đề 7 Cho (Mi) là một họ các tập con của E; môđun con trực giao với hợp của các Mi là giao của các môđun con M'i trực giao tương ứng với các Mi; môđun con này cũng là môđun con trực giao… 05NE
Định nghĩa 5 Với mọi ánh xạ tuyến tính u từ một A-môđun E vào một A-môđun F, ánh xạ tuyến tính y ↦ y ∘ u từ đối ngẫu F của F vào đối ngẫu E của E được gọi là chuyển vị của u và được ký hiệu bởi… ↩ 1 05NF
Nhận xét Từ (17) và (18) suy ra rằng nếu u khả nghịch trái (resp. phải), thì ᵗ u khả nghịch phải (resp. trái). 05NG
Mệnh đề 8 Cho u : E → F là một ánh xạ A-tuyến tính, M là một môđun con của E và M' là trực giao của M trong E^*; trực giao của u(M) trong F^* là ảnh ngược ᵗ u⁻¹(M'). 05NH
Hệ quả Trực giao của ảnh u(E) trong F^* là hạt nhân ᵗ u⁻¹(0) của ᵗ u. ↩ 2 05NI
Định nghĩa 6 Cho một đẳng cấu u của một A-môđun E lên một A-môđun F, chuyển vị của đẳng cấu nghịch đảo của u (bằng đẳng cấu nghịch đảo của chuyển vị của u) được gọi là đẳng cấu phản biến của u… ↩ 1 05NJ
Mệnh đề 9 Cho E', E, E'' là các A-môđun và 05NK
Hệ quả Cho M là một môđun con của một A-môđun E và φ : E → E/M là đồng cấu chính tắc. Khi đó ᵗ φ là một đẳng cấu của đối ngẫu của E/M lên môđun con M' của E^* trực giao với M. ↩ 3 05NL
Mệnh đề 10 Cho (Eᵢ)_i ∈ I là một họ A-môđun và với mọi i ∈ I cho jᵢ : Eᵢ → E = ⨁_i ∈ I Eᵢ là đơn ánh chính tắc. Khi đó ánh xạ tích x^* ↦ (ᵗ jᵢ(x^*)) ↩ 4 05NM
Hệ quả Cho M, N là hai môđun con bù nhau trong một A-môđun E và p : E → M, q : E → N là các phép chiếu tương ứng; khi đó ᵗp + ᵗq : M^* ⊕ N^* → E^* là một đẳng cấu và ᵗp (ứng với ᵗq) là mộ… ↩ 2 05NN
Mệnh đề 11 Đối ngẫu của một môđun tự do có một cơ sở gồm n phần tử là một môđun tự do có một cơ sở gồm n phần tử. ↩ 1 05NO
Định nghĩa 7 Nếu E là một môđun tự do với một cơ sở hữu hạn (eₜ), thì cơ sở (eₜ^*) của đối ngẫu E của E được xác định bởi các hệ thức (23) được gọi là cơ sở đối ngẫu của (eₜ). 05NP
Hệ quả Đối ngẫu của một môđun xạ ảnh hữu hạn sinh là một môđun xạ ảnh hữu hạn sinh. 05NQ
Mệnh đề 12 Cho E là một A-môđun và (aₜ)_t ∈ T một hệ sinh của E. Các điều kiện sau là tương đương: (a) E là một A-môđun xạ ảnh. (b) Tồn tại một họ (aₜ^*)_t ∈ T các dạng tuyến tính trên E sao… ↩ 5 05NR
Mệnh đề 13 Nếu E là một môđun tự do (tương ứng, một môđun tự do với một cơ sở hữu hạn), thì ánh xạ chính tắc c_E : E → E^** là đơn ánh (tương ứng, song ánh). 05NS
Hệ quả 1 Cho E là một A-môđun tự do với một cơ sở hữu hạn; với mọi cơ sở (eₜ) của E, (c_E(eₜ)) là cơ sở đối ngẫu của cơ sở (eₜ^*) của E^* đối ngẫu với (eₜ). 05NT
Hệ quả 2 Nếu E là một A-môđun tự do với một cơ sở hữu hạn, mọi cơ sở hữu hạn của E là cơ sở đối ngẫu của một cơ sở của E. 05NU
Hệ quả 3 Cho E, F là hai A-môđun mỗi môđun đều có một cơ sở hữu hạn, E (tương ứng, F) được đồng nhất một cách chính tắc với song đối ngẫu của nó E (tương ứng, F). Khi đó, với mọi ánh xạ tuy… 05NV
Hệ quả 4 Nếu P là một môđun xạ ảnh (tương ứng, một môđun xạ ảnh hữu hạn sinh) thì ánh xạ chính tắc c_P : P → P** là đơn ánh (tương ứng, song ánh). ↩ 5 05NW
Bổ đề 1 Cho M, N là hai môđun con bù nhau trong một A-môđun E và i : M → E, j : N → E là các đơn ánh chính tắc. Khi đó biểu đồ 05NX
Mệnh đề 14 Nếu x₀ là một nghiệm của phương trình tuyến tính u(x) = y₀, tập hợp các nghiệm của phương trình này bằng tập hợp các phần tử x₀ + z, trong đó z chạy qua tập hợp các nghiệm của phươ… ↩ 1 05NY
Mệnh đề 15 Cho u là một ánh xạ tuyến tính từ một môđun E vào một môđun F. Nếu phương trình u(x) = y₀ có ít nhất một nghiệm, thì y₀ trực giao với hạt nhân của ᵗ u. ↩ 1 05NZ
Nhận xét (1) Cho E là một A-môđun, (Fᵢ)_i ∈ I là một họ các A-môđun và với mọi i ∈ I cho uᵢ : E → Fᵢ là một ánh xạ tuyến tính. Mọi hệ phương trình tuyến tính uᵢ(x) = yᵢ (i ∈ I) trong đó các… 05O0

§ 3. Tích tenxơ

Định nghĩa 1 Tích tenxơ của A-môđun phải E và A-môđun trái F, ký hiệu là E ⊗_A F hoặc E ⊗_A F (hoặc đơn giản là E ⊗ F nếu không sợ nhầm lẫn) là thương Z-môđun C/D (thương của Z-môđun C gồm các… ↩ 3 05OR
Mệnh đề 1 (a) Cho g là một ánh xạ Z-tuyến tính từ E ⊗_A F vào một Z-môđun G. Ánh xạ (x, y) ↦ f(x, y) = g(x ⊗ y) từ E × F vào G là Z-song tuyến tính và thỏa mãn các điều kiện (1). ↩ 8 05OS
Hệ quả 1 Cho H là một Z-môđun và h : E × F → H là một ánh xạ Z-song tuyến tính thỏa mãn các điều kiện (1) và sao cho H được sinh bởi h(E × F). Giả sử rằng với mọi Z-môđun G và mọi ánh xạ Z-… ↩ 1 05OT
Hệ quả 2 Cho E⁰ (resp. F⁰) ký hiệu môđun E (resp. F) được xét như một môđun trái (resp. phải) trên vành đối A⁰; khi đó tồn tại một và chỉ một Z-môđun đẳng cấu σ : E ⊗_A F → F⁰ ⊗_A⁰ E⁰ sao c… ↩ 3 05OU
Nhận xét Tích tenxơ của các môđun khác không có thể bằng không: ví dụ, lấy hai Z-môđun E = Z/2Z và F = Z/3Z, ta có 2x = 0 và 3y = 0 với mọi x ∈ E và y ∈ F; do đó, trong E ⊗_Z F, x ⊗ y = 3(x… 05OV
Mệnh đề 2 Cho A, B là hai vành, ρ : B → A là một đồng cấu vành và E (resp. F) là một A-môđun phải (resp. trái). Khi đó tồn tại một và chỉ một ánh xạ tuyến tính Z (6) φ : ρ_*(E) ⊗_B ρ_*(F) →… ↩ 1 05OW
Hệ quả Cho 𝔍 là một iđêan hai phía của A sao cho 𝔍 được chứa trong linh hóa tử của E và trong linh hóa tử của F, để E (tương ứng, F) có một cấu trúc môđun trái (tương ứng, phải) chính tắc… ↩ 1 05OX
Mệnh đề 3 Cho G là một đa môđun ((B'ᵢ), (B''ₕ); (C'ⱼ), (C''ₖ)). ↩ 2 05OY
Chú giải Một phần tử của E ⊗_A F nói chung có thể được viết theo nhiều cách dưới dạng ∑ᵢ (xᵢ ⊗ yᵢ), trong đó xᵢ ∈ E và yᵢ ∈ F; nhưng để định nghĩa một ánh xạ tuyến tính g của đa môđun E ⊗_A… 05OZ
Mệnh đề 4 Nếu E là một A-môđun phải, thì ánh xạ h : x ↦ x ⊗ 1 từ E vào E ⊗_A (sA_d) là một đẳng cấu A-môđun phải, mà đẳng cấu nghịch đảo g của nó thỏa mãn g(x ⊗ λ) = xλ với x ∈ E, λ ∈ A. ↩ 16 05P0
Nhận xét (1) Cho A, B là hai vành giao hoán, ρ : B → A là một đồng cấu vành và E và F là hai A-môđun; khi đó ánh xạ chính tắc (6) của no. 3 là một ánh xạ B-tuyến tính 05P1
Mệnh đề 5 Cho E, E', E'' là các A-môđun phải, F là một A-môđun trái và ↩ 8 05P2
Hệ quả Cho F, F', F'' là các A-môđun trái, E là một A-môđun phải và beginarrayccccc F' & xrightarrows & F & xrightarrowt & F'' longrightarrow 0 endarray (16) là một dãy khớp các ánh xạ tu… ↩ 2 05P3
Nhận xét Chú ý rằng nói chung, nếu E' là một môđun con của một A-môđun phải E và j : E' \to E là đơn ánh chính tắc, thì ánh xạ chính tắc j ⊗ 1_F : E' ⊗ F → E ⊗ F không nhất thiết là đơn ánh… 05P4
Mệnh đề 6 Cho hai dãy khớp (14) và (16), đồng cấu v \otimes t : E \otimesA F \to E'' \otimesA F'' là toàn ánh và hạt nhân của nó bằng Im(u ⊗ 1_F) + Im(l_E ⊗ s) ↩ 4 05P5
Hệ quả 1 Cho E' là một môđun con của một A-môđun phải E, F' là một môđun con của một A-môđun trái F và Im(E' ⊗_A F) và Im(E ⊗_A F') là các Z-môđun con của E ⊗_A F, là các ảnh tương ứng của… ↩ 2 05P6
Hệ quả 2 Cho a là một iđêan phải của A, F là một A-môđun trái và aF là Z-môđun con của F sinh bởi các phần tử dạng λ x, trong đó λ ∈ a và x ∈ F. Khi đó có một đẳng cấu Z-môđun chính tắc ↩ 1 05P7
Hệ quả 3 Cho A là một vành giao hoán, a là một iđêan của A và E và F là hai A-môđun sao cho a được chứa trong linh hóa tử của F. Khi đó các (A/a)-môđun E ⊗_A F và (E/aE) ⊗_A/a F đẳng cấu ch… ↩ 1 05P8
Hệ quả 4 Cho a, b là hai iđêan trong một vành giao hoán C; khi đó C-môđun (C/a) ⊗_C (C/b) đẳng cấu chính tắc với C(a + b). ↩ 1 05P9
Mệnh đề 7 Ánh xạ chính tắc (23) là song ánh. ↩ 15 05PA
Hệ quả 1 Nếu A-môđun trái F thừa nhận một cơ sở (b_μ)_μ ∈ M, thì mọi phần tử của E ⊗_A F có thể được viết duy nhất dưới dạng ∑_μ (x_μ ⊗ b_μ), trong đó x_μ ∈ E và họ (x_μ) có giá hữu hạn. Z-… ↩ 9 05PB
Hệ quả 2 Nếu E và F là hai môđun tự do trên một vành giao hoán C và (aλ) (resp. (bμ)) là một cơ sở của C-môđun E (resp. F), thì (aλ ⊗ bμ) là một cơ sở của C-môđun E ⊗C F. ↩ 9 05PC
Hệ quả 3 Cho (Eλ){λ ∈ L} là một họ các A-môđun phải và F là một A-môđun trái tự do (resp. tự do sinh hữu hạn). Khi đó ánh xạ chính tắc (22) ↩ 2 05PD
Hệ quả 4 Cho A là một vành không có ước của không, E là một A-môđun phải tự do và F là một A-môđun trái tự do. Khi đó quan hệ x ⊗ y = 0 trong E ⊗_A F kéo theo x = 0 hoặc y = 0. ↩ 1 05PE
Hệ quả 5 Cho E là một A-môđun phải, F là một A-môđun trái, M là một môđun con của E và N là một môđun con của F. Nếu M là một nhân tử trực tiếp của E và N là một nhân tử trực tiếp của F, th… ↩ 4 05PF
Hệ quả 6 Cho P là một A-môđun trái xạ ảnh và E, F là hai A-môđun phải. Với mọi đơn cấu u : E → F, đồng cấu u ⊗ 1_P : E ⊗_A P → F ⊗_A P là đơn ánh. ↩ 4 05PG
Hệ quả 7 Cho C là một vành giao hoán. Nếu E và F là hai C-môđun xạ ảnh, thì E ⊗_C F là một C-môđun xạ ảnh. 05PH
Nhận xét 2 Dưới các giả thiết của Mệnh đề 7, cho E'_λ là một môđun con của E_λ, F'_μ là một môđun con của F_μ và đặt E' = ⨁_λ ∈ L E'_λ, F' = ⨁_μ ∈ M F'_μ. Gọi Im(E' ⊗_A F') (resp. Im(E'λ ⊗A F… 05PI
Mệnh đề 8 Cho A, B là hai vành, E một A-môđun phải, F một song môđun (A, B) và G một B-môđun trái. Khi đó E ⊗A F là một B-môđun phải, F ⊗B G là một A-môđun trái và tồn tại một và chỉ một ánh… ↩ 6 05PJ
Nhận xét (1) Các nhận xét ở trên liên quan đến trường hợp các môđun trên một vành giao hoán được tổng quát hóa như trong no. 5, Nhận xét 2 khi có một tích tenxơ E₁ ⊗_A₁ E₂ ⊗ ⋯ ⊗_Aₙ₋₁ Eₙ tro… 05PK

§ 4. Các quan hệ giữa các tích tenxơ và các môđun đồng cấu

Mệnh đề 1 (a) Cho E là một (B, A)-song môđun, F là một A-môđun trái và G là một B-môđun trái. Với mọi ánh xạ g ∈ Hom_B(E ⊗_A F, G), gọi g' là ánh xạ từ F vào Hom_B(E, G) được xác định bởi (g… ↩ 4 05PP
Hệ quả Nếu C là một vành giao hoán và E, F, G là ba C-môđun, thì các C-môđun Hom_C(E ⊗_C F, G), Hom_C(E, Hom_C(F, G)), Hom_C(F, Hom_C(E, G)), L₂(E, F; G) đều đẳng cấu chính tắc. ↩ 1 05PQ
Mệnh đề 2 (i) Khi F là một xạ ảnh (resp. xạ ảnh sinh hữu hạn) B-môđun, thì đồng cấu chính tắc (7) là đơn ánh (resp. song ánh). ↩ 7 05PR
Bổ đề 1 Với mọi đồng cấu u : F → F', biểu đồ ↩ 1 05PS
Bổ đề 2 Cho M, N là hai môđun con bù nhau trong F và i : M → F, j : N → F là các phép nhúng chính tắc. Biểu đồ ↩ 1 05PT
Bổ đề 3 Với các giả thiết của Bổ đề 2, để ν_F là đơn ánh (resp. toàn ánh), điều kiện cần và đủ là ν_M và ν_N cũng có tính chất đó. 05PU
Bổ đề 4 Với mọi đồng cấu v : E → E', biểu đồ 05PV
Bổ đề 5 Cho M và N là hai môđun con bù nhau trong E và p : E → M, q : E → N là các phép chiếu chính tắc. Biểu đồ 05PW
Hệ quả (i) Khi F là một môđun xạ ảnh (resp. môđun xạ ảnh sinh hữu hạn) thì đồng cấu chính tắc (11) là đơn ánh (resp. song ánh). (ii) Khi E là một môđun xạ ảnh sinh hữu hạn, thì đồng cấu c… ↩ 3 05PX
Mệnh đề 3 Cho C là một vành giao hoán, E, F là hai C-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn và u : E → F cùng v : F → E là hai ánh xạ tuyến tính; khi đó ↩ 3 05PY
Hệ quả Nếu u₁, …, uₚ là các tự đồng cấu của E, thì 05PZ
Mệnh đề 4 Khi một trong các cặp có thứ tự (E₁, E₂), (E₁, F₁), (E₂, F₂) gồm các C-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn, đồng cấu chính tắc (21) là song ánh. ↩ 3 05Q0
Hệ quả 1 Nếu một trong các môđun E, F là xạ ảnh và sinh hữu hạn, thì đồng cấu chính tắc (23) là song ánh. ↩ 2 05Q1
Hệ quả 2 Cho E₁, E₂ là hai C-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn, u₁ là một tự đồng cấu của E₁ và u₂ là một tự đồng cấu của E₂; khi đó 05Q2
Nhận xét Nếu E, F, G là bất kỳ ba C-môđun nào, thì ngay lập tức kiểm tra được rằng biểu đồ 05Q3

§ 5. Mở rộng vành vô hướng

Mệnh đề 1 Với mọi A-môđun trái E, ánh xạ φ : x ↦ 1 ⊗ x từ E vào A-môđun ρ_*(ρ^*(E)) là tuyến tính trên A và tập hợp φ(E) sinh ra B-môđun ρ^*(E). Hơn nữa, với mọi B-môđun trái F và mọi ánh xạ… ↩ 5 05QD
Nhận xét (1) Mệnh đề 1 cho thấy rằng cặp có thứ tự gồm E_(B) và φ_E là một nghiệm của bài toán ánh xạ phổ quát (Lý thuyết tập hợp, IV, § 3, no. 1), trong đó Σ là loài các cấu trúc B-môđun t… ↩ 1 05QE
Hệ quả Cho E, E' là hai A-môđun trái; với mọi ánh xạ A-tuyến tính u : E → E', v = l_B ⊗ u là ánh xạ B-tuyến tính duy nhất làm cho biểu đồ 05QF
Mệnh đề 2 Cho ρ : A → B,\ σ : B → C là các đồng cấu vành. Với mọi A-môđun trái E, tồn tại một và chỉ một C-đồng cấu ↩ 9 05QG
Mệnh đề 3 Cho A, B là hai vành giao hoán, ρ : A → B là một đồng cấu vành và E, E' là hai A-môđun. Tồn tại một và chỉ một B-đồng cấu ↩ 3 05QH
Mệnh đề 4 Cho E là một A-môđun có một cơ sở (a_λ)_λ ∈ L; nếu φ : x ↦ 1 ⊗ x là ánh xạ chính tắc của E vào ρ^*(E), thì (φ(a_λ))_λ ∈ L là một cơ sở của ρ^*(E). Nếu ρ là đơn ánh, thì φ cũng vậy. ↩ 9 05QI
Hệ quả Với mọi A-môđun xạ ảnh E, B-môđun ρ^*(E) là xạ ảnh. Nếu hơn nữa ρ là đơn ánh, thì ánh xạ chính tắc của E vào ρ^*(E) là đơn ánh. ↩ 5 05QJ
Mệnh đề 5 Cho E là một A-môđun trái và F là một B-môđun trái; các ánh xạ hợp thành ↩ 1 05QK
Hệ quả Các ánh xạ ρ^*(φ_E) và φ_ρ_*(F)^* là đơn ánh và lần lượt đồng nhất ρ^*(E) với một nhân tử trực tiếp của ρ^*(ρ_*(ρ^*(E))) và ρ_*(F) với một nhân tử trực tiếp của ρ_*(ρ^*(ρ_*(F))). 05QL
Mệnh đề 6 Cho E là một A-môđun trái và F là một B-môđun phải. Tồn tại một và chỉ một Z-đồng cấu ↩ 3 05QM
Proposition 7 Cho A là một vành giao hoán, B là một vành, ρ : A → B là một đồng cấu trung tâm và E, F là hai A-môđun. ↩ 1 05QN
Mệnh đề 8 Nếu một trong các A-môđun E, ρ_* (Bₛ) là xạ ảnh và hữu hạn sinh, thì đồng cấu v_E là song ánh. ↩ 4 05QO
Mệnh đề 9 Cho B là một vành, A là một vành con của B và P là một A-môđun trái xạ ảnh. Khi đó, nếu P_(B) là một B-môđun sinh hữu hạn, thì P tự nó là một A-môđun sinh hữu hạn. ↩ 1 05QP

§ 6. Giới hạn ngược và trực tiếp của các môđun

Mệnh đề 1 Cho (E_α, f_αβ),\ (E'_α, f'_αβ),\ (E''_α, f''_αβ) là ba hệ ngược các môđun A_α và (u_α),\ (v_α) là hai hệ ngược các ánh xạ tuyến tính A_α sao cho các dãy ↩ 1 05QX
Nhận xét (1) Mệnh đề 1 và chứng minh của nó đúng với các nhóm tùy ý, ngoại trừ thay đổi ký hiệu. ↩ 1 05QY
Mệnh đề 2 Với mọi hệ ngược (E_α, f_α β) của các môđun A-và mọi môđun A-môđun F, ánh xạ chính tắc u ↦ (f_α ∘ u) là một đẳng cấu môđun Z ↩ 1 05QZ
Hệ quả Với mọi đồng cấu môđun A v: F → F', ánh xạ 05R0
Mệnh đề 3 Cho (E_α, f_β α), (E'_α, f'_β α), (E''_α, f''_β α) là ba hệ trực tiếp của các A_α-môđun và (u_α), (v_α) là hai hệ trực tiếp của các ánh xạ A_α-tuyến tính sao cho các dãy 05R1
Mệnh đề 4 Cho (E_α, f_β α) là một hệ trực tiếp của các A_α-môđun, E = lim → E_α là giới hạn trực tiếp của nó và φ_α : A_α → A và f_α : E_α → E là các ánh xạ chính tắc với mọi α ∈ I. Nếu, với… ↩ 2 05R2
Mệnh đề 5 Với các giả thiết và ký hiệu của Mệnh đề 4, giả sử rằng với mọi α ∈ I, E_α là tổng trực tiếp của một họ (M^λ_α)_α ∈ L gồm các môđun con (tập chỉ số L độc lập với α) và rằng f_β α(M… ↩ 3 05R3
Hệ quả Cho (P_α) là một hệ trực tiếp của các tập con của E_α và đặt P = lim overrightarrowP_α. Nếu, với mọi α ∈ I, P_α là một tập con tự do (resp. cơ sở) của E_α, thì P là một tập con tự… ↩ 1 05R4
Mệnh đề 6 Với mọi hệ trực tiếp (E_α, f_β α) của các A-môđun và mọi A-môđun F, ánh xạ chính tắc u ↦ (u ∘ f_α) là một đẳng cấu Z-môđun d_F : Hom_A(lim overrightarrowE_α, F) → lim ← Hom_A(E_α… 05R5
Hệ quả 1 Với mọi A-đồng cấu môđun v : F → F', các barv_α = Hom(1_E_α, v) : Hom(E_α, F) → Hom(E_α, F') 05R6
Hệ quả 2 Nếu (E_α, f_β α) là một hệ trực tiếp các A-môđun trái và E = lim longrightarrow E_α, (E_α^*, t f_β α) là một hệ ngược các A-môđun phải và lim ← E_α^* đẳng cấu chính tắc với E^*. 05R7
Nhận xét Cho E là một A-môđun và (M_α)_α ∈ I một họ tăng các môđun con của E sao cho E là hợp của các M_α; nếu j_β α: M_α → M_β (với α ≤ β) và j_α: M_α → E là các ánh xạ nhúng chính tắc, th… 05R8
Mệnh đề 7 Ánh xạ tuyến tính trên Z (7) là song ánh. ↩ 8 05R9
Hệ quả 1 Cho (E'_α, f'_β α) (resp. (F'_α, g'_α β)) là một hệ trực tiếp khác của các môđun phải (resp. trái) A_α; với mọi α ∈ I, cho u_α : E_α → E'_α (resp. v_α : F_α → F'_α) là một A_α-ánh… 05RA
Hệ quả 2 Cho (E_α, f_βα) là một hệ trực tiếp các môđun phải A_αvà cho E'_α = E_α ⊗_A_α A là môđun A thu được bằng cách mở rộng vành vô hướng lên A = lim A_α nhờ đồng cấu chính tắc ρ_α : A_α… 05RB
Hệ quả 3 Cho A là một vành, (E_α, f_βα) là một hệ trực tiếp các A-môđun phải và F là một A-môđun trái. Khi đó các Z-môđun lim (E_α ⊗_A F) và (lim E_α) ⊗_A F đẳng cấu một cách chính tắc. 05RC
Hệ quả 4 Cho M là một A-môđun phải, N là một A-môđun trái, (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n là một họ các phần tử của M, (yᵢ)_1 ≤ i ≤ n là một họ các phần tử của N, sao cho ∑ᵢ (xᵢ ⊗ yᵢ) = 0 trong M ⊗_A N. Kh… ↩ 1 05RD

§ 7. Không gian vectơ

Định lý 1 Mọi không gian vectơ trên một trường K đều là một K-môđun tự do. ↩ 5 05RI
Định lý 2 Cho một hệ sinh S của một không gian vectơ E trên một trường K và một tập con tự do L của E được chứa trong S, khi đó tồn tại một cơ sở B của E sao cho L ⊂ B ⊂ S. ↩ 11 05RJ
Bổ đề 1 Cho (ai){i \in I} là một họ tự do các phần tử của E; nếu b \in E không thuộc không gian con F sinh bởi (ai), thì tập con của E gồm các ai và b là tự do. ↩ 1 05RK
Hệ quả Với một tập con B của một không gian vectơ E, các tính chất sau là tương đương: (a) B là một cơ sở của E. (b) B là một tập con tự do cực đại của E. (c) B là một hệ sinh cực tiểu củ… ↩ 1 05RL
Ví dụ Cho một vành A và một trường con K của A, thì A là một không gian vectơ (phải hoặc trái) trên K và do đó có một cơ sở; đặc biệt, mọi trường mở rộng của một trường K đều có một cơ s… 05RM
Nhận xét Để một họ (aᵢ)_i ∈ I các phần tử của một không gian vectơ E trên một trường K là tự do, điều kiện cần và đủ là, với mọi κ ∈ I, a_κ không thuộc bất kỳ không gian con nào của E sinh… 05RN
Định lý 3 Hai cơ sở của cùng một không gian vectơ E trên một trường K là đẳng lực. ↩ 2 05RO
Định nghĩa 1 Chiều của một không gian vectơ E trên một trường K, ký hiệu là dim_K E hoặc [E:K] (hoặc đơn giản là dim E) là lực lượng của bất kỳ cơ sở nào của E. Nếu M là một tập con của E, thì… ↩ 1 05RP
Hệ quả Với mọi tập con M của E, hạng của M không vượt quá dim E. 05RQ
Mệnh đề 1 (i) Để một không gian vectơ trái trên K có số chiều hữu hạn n, điều kiện cần và đủ là nó đẳng cấu với Ks^n. ↩ 2 05RR
Mệnh đề 2 Cho (Et){t \in I} là một họ các không gian vectơ trên K. Khi đó ↩ 3 05RS
Nhận xét (1) Có thể cho các ví dụ về những môđun có hai cơ sở hữu hạn không có cùng số phần tử (§ 1, Bài tập 16(c)). Tuy nhiên: ↩ 1 05RT
Mệnh đề 3 Một vành A sao cho tồn tại một đồng cấu ρ từ A vào một trường D; khi đó đối với mọi A-môđun tự do E, mọi cơ sở của E đều có cùng lực lượng. ↩ 3 05RU
Hệ quả Nếu A là một vành giao hoán ≠ 0 và E là một A-môđun tự do, thì mọi cơ sở của E đều có cùng lực lượng. ↩ 2 05RV
Nhận xét (2) Khi một A-môđun tự do E sao cho mọi cơ sở của E đều có cùng lực lượng, thì lực lượng của một cơ sở tùy ý của E trên A cũng được gọi là chiều hoặc hạng của E và được ký hiệu là… 05RW
Mệnh đề 4 Mọi không gian con F của một không gian vectơ E đều là một nhân tử trực tiếp của E và ↩ 7 05RX
Hệ quả 1 Nếu E, F, G là các không gian vectơ trên một trường K, thì mọi dãy khớp của các ánh xạ tuyến tính 0 → E → F → G → 0 đều tách. 05RY
Hệ quả 2 Cho (Eᵢ)_0 ≤ i ≤ n là một họ hữu hạn các không gian vectơ trên một trường K. Nếu tồn tại một dãy khớp của các ánh xạ tuyến tính ↩ 3 05RZ
Hệ quả 3 Nếu M và N là hai không gian con của một không gian vectơ E, thì ↩ 1 05S0
Hệ quả 4 Với mọi không gian con F của một không gian vectơ E, dim F ≤ dim E; nếu E hữu hạn chiều, quan hệ dim F = dim E tương đương với F = E. ↩ 4 05S1
Hệ quả 5 Nếu một không gian vectơ E là tổng của một họ (Fᵢ) các không gian con vectơ, thì 05S2
Định nghĩa 2 Cho một không gian vectơ E, đối chiều (đối với E) của một không gian con F của E, ký hiệu bởi codim_E F, hoặc đơn giản là codim F, là chiều của E/F (bằng chiều của bất kỳ phần bù n… 05S3
Mệnh đề 5 Cho F, F' là hai không gian con của một không gian vectơ E, sao cho F ⊂ F'. Khi đó codim_E F' ≤ codim_E F ≤ dim E. Nếu codim_E F là hữu hạn, thì quan hệ codim_E F' = codim_E F kéo… 05S4
Mệnh đề 6 Nếu M và N là hai không gian con của một không gian vectơ E, thì codim(M + N) + codim(M ∩ N) = codim M + codim N. (10) Chỉ cần áp dụng Hệ quả 2 của Mệnh đề 4 cho dãy khớp 0 → E/(M… 05S5
Mệnh đề 7 Nếu (Fᵢ) là một họ hữu hạn các không gian con của một không gian vectơ E, thì codim(⋂ᵢ Fᵢ) ≤ ∑ᵢ codim Fᵢ. Nếu F = ⋂ᵢ Fᵢ, thì E/F đẳng cấu với một không gian con của tổng trực tiếp… 05S6
Mệnh đề 8 Trong một không gian vectơ E trên một trường K, mọi không gian con vectơ F đều là giao của các siêu phẳng chứa nó. ↩ 1 05S7
Nhận xét Phần lớn các tính chất được chứng minh trong số này đối với các không gian con của một không gian vectơ không còn đúng đối với các môđun con của một môđun tự do mà chiều của nó (§… 05S8
Định nghĩa 3 Cho E, F là hai không gian vectơ trên một trường K. Với mọi ánh xạ tuyến tính u từ E vào F, chiều của không gian con u(E) của F được gọi là hạng của u và được ký hiệu bởi rg(u). ↩ 1 05S9
Mệnh đề 9 Cho E, F là hai không gian vectơ trên một trường K và u : E → F là một ánh xạ tuyến tính. (i) rg(u) ≤ inf(dim E, dim F). (ii) Giả sử rằng E hữu hạn chiều; để có rg(u) = dim E, điều… ↩ 2 05SA
Hệ quả Cho E là một không gian vectơ có chiều hữu hạn n và u là một tự đồng cấu của E. Các tính chất sau là tương đương: (a) u là song ánh; (b) u là đơn ánh; (c) u là toàn ánh; (d) u khả… ↩ 2 05SB
Định lý 4 Chiều của đối ngẫu E^* của một không gian vectơ E ít nhất bằng chiều của E. Điều kiện cần và đủ để E^* hữu hạn chiều là E cũng như vậy, và khi đó dim E^* = dim E. ↩ 2 05SC
Hệ quả Với một không gian vectơ E, các quan hệ E = 0 và E^* = 0 là tương đương. ↩ 1 05SD
Định lý 5 Cho hai dãy khớp của các không gian vectơ (trên cùng một trường K) và các ánh xạ tuyến tính beginalign* 0 &→ E' → E → E'' → 0 \\ 0 &→ F' → F → F'' → 0 endalign* và hai không gian v… ↩ 1 05SE
Hệ quả Với mọi dãy khớp 0 longrightarrow E' xrightarrowu E xrightarrowv E'' longrightarrow 0 của các không gian vectơ trên cùng một trường K và các ánh xạ tuyến tính, dãy 0 longrightarrow… ↩ 4 05SF
Định lý 6 Với mọi không gian vectơ E trên một trường K, ánh xạ chính tắc c_E : E → E^** (§ 2, no. 7) là đơn ánh; để nó là song ánh, điều kiện cần và đủ là E hữu hạn chiều. ↩ 6 05SG
Mệnh đề 10 Cho E, F là hai không gian vectơ trên cùng một trường K và u : E \to F là một ánh xạ tuyến tính. ↩ 3 05SH
Định lý 7 Cho E là một không gian vectơ trên một trường K, F là một không gian con của E và F' là trực giao của F trong E. ↩ 15 05SI
Nhận xét Một không gian con vô hạn chiều G' của E không nhất thiết là trực giao của một không gian con của E; nói cách khác, nếu F là trực giao của G' trong E, thì trực giao F' của F trong… 05SJ
Hệ quả 1 Cho (xᵢ^*)_1 ≤ i ≤ p là một dãy hữu hạn các dạng tuyến tính trên E và gọi F là không gian con của E gồm các x sao cho ↩ 4 05SK
Hệ quả 2 (i) Cho (xᵢ^*)_1 ≤ i ≤ p là một dãy hữu hạn các dạng tuyến tính trên E. Để (xᵢ^*) là một hệ tự do, điều kiện cần và đủ là tồn tại một dãy (xᵢ)_1 ≤ i ≤ p các phần tử của E sao cho ⟨… ↩ 4 05SL
Hệ quả 3 Cho S là một tập hợp và V là một không gian con vectơ của không gian vectơ phải trên K K_d^S gồm các ánh xạ từ S vào K. Để có dim V ≥ p (trong đó p là một số nguyên), điều kiện cần… 05SM
Hệ quả 4 Cho E là một không gian vectơ và M, N là hai không gian con của E có đối chiều hữu hạn; nếu M', N' là các trực giao của M và N trong E, trực giao của M ∩ N trong E là M' + N'. 05SN
Hệ quả 5 Cho E là một không gian vectơ có số chiều hữu hạn n. Với mọi không gian con F của E có chiều p, trực giao F' của F trong E có chiều n − p. Với mọi không gian con G' của E có chiều… 05SO
Mệnh đề 11 Với mọi siêu phẳng H trong một không gian vectơ E, tồn tại một dạng tuyến tính x₀^* trên E sao cho H = x₀^*-1(0). Với một dạng x₀^* như vậy, để một dạng tuyến tính x^* trên E thỏa… ↩ 1 05SP
Mệnh đề 12 Cho E, F là hai không gian vectơ trên một trường K và u : E → F là một ánh xạ tuyến tính. Để phương trình tuyến tính ↩ 1 05SQ
Định nghĩa 4 Chiều của không gian con của E^* được sinh bởi họ (xᵢ^*) được gọi là hạng của hệ (21). 05SR
Mệnh đề 13 Để hệ (21) có hạng hữu hạn r, điều kiện cần và đủ là ánh xạ tuyến tính u : x ↦ (⟨ x, xᵢ^* ⟩) từ E vào Kₛᴵ có hạng r. 05SS
Định lý 8 Cho ↩ 2 05ST
Nhận xét Khi hạng của hệ (21) là vô hạn, điều kiện của Định lý 8 không còn đủ nữa. Chẳng hạn, giả sử các xᵢ^* là các dạng tọa độ trên không gian E = Kₛ⁽ᴵ⁾, với I là vô hạn (§ 2, no. 6); vì… 05SU
Hệ quả 1 Một hệ phương trình tuyến tính vô hướng trong một không gian vectơ, gồm một số hữu hạn phương trình mà các vế trái là các dạng độc lập tuyến tính, luôn có nghiệm. 05SV
Hệ quả 2 Để một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (22) với n ẩn số, có các hệ số trong một trường K, có các nghiệm không tầm thường gồm các phần tử của K, điều kiện cần và đủ là hạng củ… 05SW
Hệ quả 3 Để một hệ tuyến tính (22) có các hệ số và các vế phải trong một trường K, gồm n phương trình với n ẩn số, có một và chỉ một nghiệm gồm các phần tử của K, điều kiện cần và đủ là hệ… 05SX
Mệnh đề 14 Cho một dãy khớp ↩ 9 05SY
Hệ quả Cho K là một trường, E là một không gian vectơ phải trên K, F là một không gian vectơ trái trên K, (M_α)_α ∈ A là một họ các không gian con vectơ của E và (N_β)_β ∈ B là một họ các… ↩ 3 05SZ
Mệnh đề 15 Nếu (E_λ)_λ ∈ L là một họ các không gian vectơ phải trên một trường K và (F_μ)_μ ∈ M là một họ các không gian vectơ trái trên K, thì ánh xạ chính tắc ( ∏_λ ∈ L E_λ ) ⊗_K ( ∏_μ ∈ M… ↩ 3 05T0
Hệ quả Cho F là một không gian vectơ trái trên K; với mọi tập hợp X, không gian vectơ trái K_d^X ⊗_K F được đồng nhất với không gian con của không gian F^X gồm tất cả các ánh xạ từ X vào… 05T1
Mệnh đề 16 (i) Cho K, L là hai trường, E là một không gian vectơ trái trên K, F là một không gian vectơ trái trên L và G là một song môđun (K, L). Khi đó Z-đồng cấu chính tắc ↩ 5 05T2
Hệ quả 1 Cho E và F là hai không gian vectơ trên một trường K; ánh xạ chính tắc 05T3
Hệ quả 2 Cho E là một không gian vectơ phải và F là một không gian vectơ trái trên cùng trường K; ánh xạ chính tắc 05T4
Nhận xét (1) Cho K là một trường giao hoán, E, F là hai không gian vectơ trên K, (a_λ) là một cơ sở của E và (b_μ) là một cơ sở của F; khi đó (a_λ ⊗ b_μ) là một cơ sở của không gian vectơ K… 05T5
Mệnh đề 17 Cho u là một phần tử của E ⊗_K F và M ⊂ E và N ⊂ F là các không gian con liên kết với nó. Với mọi biểu thức u = ∑ᵢ₌₁ˢ xᵢ ⊗ yᵢ của u, trong đó xᵢ ∈ E và yᵢ ∈ F với 1 ≤ i ≤ s, không… ↩ 2 05T6
Hệ quả 1 Hạng của u là số nguyên nhỏ nhất s sao cho tồn tại một biểu thức u = ∑ᵢ₌₁ˢ xᵢ ⊗ yᵢ, trong đó xᵢ ∈ E và yᵢ ∈ F với 1 ≤ i ≤ s. 05T7
Hệ quả 2 Cho K là một trường giao hoán, E, F là hai không gian vectơ trên K và L là một trường mở rộng giao hoán của K. Cho u là một phần tử của E ⊗_K F, M và N là các không gian con liên k… 05T8
Mệnh đề 18 Cho φ là một đồng cấu từ một trường K vào một vành A. Với mọi dãy khớp các không gian vectơ trên K và các ánh xạ K-tuyến tính 05T9
Hệ quả Với mọi ánh xạ K-tuyến tính f : E' → E, Im(f_(A)) = (Im(f))_(A), Ker(f_(A)) = (Ker(f))_(A), Coker(f_(A)) = (Coker(f))_(A), lên đến các đẳng cấu chính tắc. ↩ 3 05TA
Mệnh đề 19 Cho φ là một đơn cấu từ một trường K vào một vành A. Với mọi không gian vectơ trái E trên K, ánh xạ chính tắc φ : E → φ^*(E) = A ⊗_K E là đơn ánh. Hơn nữa, với mọi không gian con v… ↩ 8 05TB
Hệ quả Cho φ là một đơn cấu từ một trường K vào một vành A. Để một ánh xạ K-tuyến tính f : E → F (trong đó E và F là hai không gian vectơ trên K) là đơn ánh (resp. toàn ánh, không), điều… 05TC
Mệnh đề 20 Cho ρ là một đồng cấu từ một trường K vào một vành A. Với mọi không gian vectơ trái E trên K, đồng cấu môđun phải-A chính tắc 05TD
Mệnh đề 21 Cho K là một trường và L là một trường mở rộng của K. 05TE
Mệnh đề 22 Cho K là một trường giao hoán, ρ : K → A là một đồng cấu trung tâm đơn ánh và E, F là hai không gian vectơ trên K. Khi đó đồng cấu chính tắc 05TF
Mệnh đề 23 Trong một môđun E trên một miền nguyên A, tập hợp T các phần tử không tự do là một môđun con của E. ↩ 1 05TG
Nhận xét Cho E là một môđun trên một vành giao hoán bất kỳ A. Nếu x là một phần tử không tự do của E, mọi phần tử của môđun con Ax đều không tự do. Mặt khác, nếu A chứa các ước số của 0, tổ… 05TH
Định nghĩa 5 Trong một môđun E trên một miền nguyên A, môđun con xoắn của E là môđun con của E gồm các phần tử không tự do (cũng gọi là các phần tử xoắn của E). 05TI
Mệnh đề 24 Cho A là một miền nguyên. Với mọi A-môđun E, ký hiệu T(E) là môđun con xoắn của E. Cho f : E → E' là một ánh xạ tuyến tính A, trong đó E và E' là các A-môđun. 05TJ
Hệ quả 1 Với mọi A-môđun E, E/T(E) là không xoắn. 05TK
Hệ quả 2 Với mọi dãy khớp các A-môđun và các ánh xạ A-tuyến tính 05TL
Mệnh đề 25 Cho A là một miền nguyên và (Eᵢ) là một họ các A-môđun; khi đó ↩ 1 05TM
Mệnh đề 26 Cho A là một miền nguyên, K là trường phân thức của nó, E là một A-môđun và E_(K) = K ⊗_A E là không gian vectơ trên K thu được bằng cách mở rộng vành các toán tử; kí hiệu φ là ánh… ↩ 4 05TN
Nhận xét Cho α^{-1}φ(x), β^{-1}φ(y) là hai phần tử của E{(K)}, với α ∈ A, β ∈ A, x ∈ E, y ∈ E, αβ ≠ 0. Để có α^{-1}φ(x) = β^{-1}φ(y), điều kiện cần và đủ là βx − αy là một phần tử xoắn của… 05TO
Hệ quả 1 Nếu E là một A-môđun không xoắn, thì ánh xạ chính tắc φ : E → E{(K)} là đơn ánh. ↩ 1 05TP
Hệ quả 2 Cho f là một ánh xạ A-tuyến tính từ E vào một không gian vectơ F trên K; nếu Ker(f) ⊂ T(E), thì ánh xạ K-tuyến tính vecf liên kết với f là đơn ánh. ↩ 1 05TQ
Hệ quả 3 Cho E là một A-môđun và g là một ánh xạ A-tuyến tính từ E vào một không gian vectơ F trên K sao cho g(E) sinh ra F và Ker(g) ⊂ T(E). Khi đó ánh xạ K-tuyến tính barg liên kết với g… ↩ 1 05TR
Hệ quả 4 Mọi A-môđun hữu hạn sinh đều có hạng hữu hạn. 05TS
Mệnh đề 27 Với mọi dãy khớp ↩ 2 05TT
Hệ quả 1 Nếu E' là một môđun con của E, thì E'_(K) được đồng nhất một cách chính tắc với một không gian con vectơ của E_(K) và (E/E')_(K) với E_(K)/E'_(K). ↩ 1 05TU
Hệ quả 2 Với mọi ánh xạ A-tuyến tính f : E → F, ta có Ker(f_(K)) = (Ker(f))_(K), Im(f_(K)) = (Im(f))_(K), Coker(f_(K)) = (Coker(f))_(K) sai khác bởi các đẳng cấu chính tắc. Đặc biệt, để f_(… ↩ 1 05TV
Hệ quả 3 Cho E là một A-môđun và (x_λ)_λ ∈ L một họ các phần tử của E. Để (x_λ) là một họ tự do, điều kiện cần và đủ là trong không gian K-vectơ E_(K) họ (1 ⊗ x_λ) là tự do. 05TW

§ 8. Hạn chế trường vô hướng trong không gian vectơ

Mệnh đề 1 Cho V là một không gian vectơ phải trên K và V' là một tập con của V là một không gian con vectơ trên K'. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 4 05V0
Định nghĩa 1 Cho V là một không gian vectơ phải trên một trường K và K' là một trường con của K. Mọi không gian con vectơ trên K' V' của V thỏa mãn các điều kiện tương đương của Mệnh đề 1 được… ↩ 3 05V1
Ví dụ Cho B là một cơ sở của V trên K. Với mọi trường con K' của K, không gian con vectơ trên K' của V được sinh bởi B nhận B làm một cơ sở trên K' và do đó là một cấu trúc K' trên V. Ví… 05V2
Định nghĩa 2 Cho V là một không gian vectơ phải trên K, với một cấu trúc K' V'. Một vectơ của V được gọi là hữu tỉ trên K' nếu nó thuộc V'. Một không gian con vectơ trên K W của V được gọi là h… ↩ 1 05V3
Mệnh đề 2 Cho V là một không gian vectơ phải trên K và V' là một cấu trúc K' trên V. Ánh xạ W' \mapsto W'.K là một song ánh từ tập hợp các không gian con vectơ trên K' của V' lên tập hợp các… ↩ 4 05V4
Hệ quả 1 Mọi tổng và mọi giao của các không gian con vectơ trên K của V mà hữu tỉ trên K' đều là một không gian con hữu tỉ trên K'. ↩ 1 05V5
Hệ quả 2 Mọi cơ sở của V trên K hữu tỉ trên K' đều là một cơ sở của V' trên K'. 05V6
Định nghĩa 3 Cho V₁, V₂ là hai không gian vectơ phải trên K với các cấu trúc K' tương ứng là V'₁, V'₂. Một ánh xạ tuyến tính trên K f : V₁ → V₂ được gọi là hữu tỉ trên K' nếu f(V'₁) ⊂ V'₂. 05V7
Mệnh đề 3 Cho V₁, V₂ là hai không gian vectơ phải trên K và V'₁, V'₂ là các cấu trúc K' trên V₁, V₂ tương ứng. V₁ (resp. V₂) được đồng nhất một cách chính tắc với V'₁ ⊗_K' K (resp. V'₂ ⊗_K'… ↩ 5 05V8
Hệ quả 1 Theo ký hiệu của Mệnh đề 3, Im(f) = (Im(f'))_(K), Ker(f') = (Ker(f'))_(K), Coker(f) = (Coker(f'))_(K). Đặc biệt, để f là đơn ánh (tương ứng, toàn ánh, không), điều kiện cần và đủ l… ↩ 2 05V9
Hệ quả 2 Cho f : V₁ → V₂ là một ánh xạ K-tuyến tính hữu tỉ trên K'. Với mọi không gian con vectơ-K W₁ của V₁ (tương ứng W₂ của V₂) hữu tỉ trên K', f(W₁) (tương ứng f⁻¹(W₂)) là một không gia… ↩ 3 05VA
Mệnh đề 4 Để một ánh xạ K-tuyến tính f : V₁ → V₂ là hữu tỉ trên K', điều kiện cần và đủ là đồ thị Γ của nó là hữu tỉ trên K' đối với cấu trúc tích K' trên V₁ × V₂. ↩ 2 05VB
Mệnh đề 5 Cho V là một không gian vectơ phải trên K, V' là một cấu trúc K' trên V và W là một không gian con vectơ trên K của V. Để W hữu tỉ trên K', điều kiện cần và đủ là tồn tại một tập H… ↩ 1 05VC
Mệnh đề 6 (i) Cho một hệ các phương trình tuyến tính thuần nhất ↩ 2 05VD
Mệnh đề 7 (i) Cho V là một không gian vectơ phải trên K với một cấu trúc K' V'. Với mọi vectơ x ∈ V (tương ứng, mọi không gian con vectơ-K W của V), tập hợp các trường con L của K chứa K' và… 05VE
Bổ đề 1 Cho V là một không gian vectơ phải trên K với một cấu trúc K' V' và W là một không gian con vectơ-K của V. Tồn tại hai không gian con vectơ-K W₁, W₂ của V, hữu tỉ trên K', sao cho… ↩ 1 05VF
Định lý 1 Cho M là một tập con của End_K'(K) và L = χ(M) là trường con của K là bộ tập trung hóa của M. 05VG

§ 9. Không gian afin và không gian xạ ảnh

Định nghĩa 1 Cho một không gian vectơ trái (tương ứng phải) T trên một trường K, một không gian afin gắn với T là mọi không gian thuần nhất E của nhóm cộng T (I, § 5, no. 5) sao cho 0 là toán t… 05VM
Nhận xét Các định nghĩa của số này và một số kết quả tiếp theo được mở rộng ngay lập tức cho trường hợp trong đó, thay vì một không gian vectơ T, ta xét một nhóm giao hoán có toán tử tùy ý… 05VN
Mệnh đề 1 Cho (xᵢ)_i ∈ I là một họ các điểm trong một không gian afin E và (λᵢ)_i ∈ L là một họ các phần tử của K có giá hữu hạn sao cho ∑_i ∈ I λᵢ = 1 (tương ứng ∑_i ∈ I λᵢ = 0). Nếu a là m… 05VO
Định nghĩa 2 Cho một không gian afin E, một tập con V của E được gọi là một đa tạp tuyến tính afin (hay đơn giản là một đa tạp tuyến tính hoặc một tập con afin của E) nếu, với mọi họ (xᵢ)_i ∈ I… 05VP
Mệnh đề 2 Để một tập con khác rỗng V của một không gian afin E là một đa tạp tuyến tính, điều kiện cần và đủ là V là một không gian con vectơ đối với cấu trúc không gian vectơ trên E nhận đư… 05VQ
Mệnh đề 3 Cho một họ (aᵢ)_i ∈ I các điểm của một không gian afin E, tập hợp V các trọng tâm ∑_i ∈ I λᵢ aᵢ ((\lambdai) có giá hữu hạn, ∑_i ∈ I λᵢ = 1) là một đa tạp tuyến tính của E. 05VR
Mệnh đề 4 Để một họ khác rỗng (aᵢ)_i ∈ I các điểm trong một không gian afin E là liên hệ afin, điều kiện cần và đủ là tồn tại một họ (λᵢ)_i ∈ I các phần tử không đồng thời bằng không trong K… 05VS
Mệnh đề 5 Để một họ không rỗng (aᵢ)_i ∈ I các điểm của một không gian afin E là afin tự do, điều kiện cần và đủ là, với mọi chỉ số κ ∈ I, a_κ không thuộc đa tạp tuyến tính sinh bởi các aᵢ có… 05VT
Định nghĩa 3 Cho hai không gian afin E, E' gắn với hai không gian vectơ T, T' trên cùng trường K, một ánh xạ u từ E vào E' được gọi là một ánh xạ tuyến tính afin (hay một ánh xạ afin) nếu, với… 05VU
Mệnh đề 6 Cho u là một ánh xạ afin từ E vào E'. Tồn tại một và chỉ một ánh xạ tuyến tính v từ T vào T' sao cho 05VV
Định nghĩa 4 Cho một không gian vectơ trái (resp. phải) V trên một trường K, không gian xạ ảnh trái (resp. phải) dẫn xuất từ V, ký hiệu bởi P(V), là thương của phần bù V - 0 của 0 trong V theo… ↩ 1 05VW
Nhận xét Trong một không gian xạ ảnh P(V) trên một trường K, cho H = P(W) là một siêu phẳng. Tồn tại một ánh xạ tuyến tính song ánh f của V lên Kₛ × W sao cho f(W) = W; gọi g là ánh xạ xạ ả… 05VX

§ 10. Ma trận

Định nghĩa 1 Cho I, K, H là ba tập hợp; một ma trận kiểu (I, K) với các phần tử trong H (hoặc một ma trận kiểu (I, K) trên H) là một họ bất kỳ M = (m_iκ)_(i, κ) ∈ I × K gồm các phần tử của H mà… 05WH
Định nghĩa 2 Ma trận chuyển vị của một ma trận M = (m_ι κ)_(ι, κ) ∈ I × K, ký hiệu bởi ᵗM, là ma trận (m'_κ ι)_(κ, ι) ∈ K × I trên H xác định bởi m'_κ ι = m_ι κ với mọi (ι, κ) ∈ K × L. 05WI
Nhận xét Các công thức trên mở rộng được cho một tình huống tổng quát hơn. Cụ thể: 05WJ
Mệnh đề 1 Cho A, B là hai vành và M = (mᵢₖ)_(i,k) ∈ I × K và M' = (m'ᵢₖ)_(i,k) ∈ I × K là hai ma trận với các tập chỉ số hữu hạn trên một (A, B)-song môđun G. Giả sử rằng đối với mọi đơn vị… ↩ 2 05WK
Định nghĩa 3 Trong mỗi một trong hai trường hợp trên, ma trận của u đối với các cơ sở (eᵢ), (fₖ) là ma trận M(u) = (uₖᵢ)_(k, i) ∈ K × I sao cho 05WL
Mệnh đề 2 Giả sử I và K là hữu hạn. Với mọi phần tử x ∈ E, ma trận M(u(x)) đối với cơ sở (fₖ) được cho bởi công thức ↩ 2 05WM
Hệ quả Cho E, F, G là ba môđun phải (resp. trái) trên một vành A, (eᵢ)_i ∈ I, (fₖ)_k ∈ K, (gₗ)_l ∈ L các cơ sở hữu hạn tương ứng của E, F, G, u : E → F, v : F → G là hai ánh xạ tuyến tính… ↩ 1 05WN
Mệnh đề 3 Cho E, F là hai A-môđun phải (tương ứng trái) và (eᵢ)_i ∈ I, (fₖ)_k ∈ K là các cơ sở hữu hạn của E và F tương ứng. Với mọi ánh xạ tuyến tính u từ E vào F, gọi M(u) là ma trận của u… ↩ 6 05WO
Nhận xét (2) Cho E và F là hai A-môđun trái với các cơ sở (eᵢ)_i ∈ I và (fₖ)_k ∈ K tương ứng. Với mọi ánh xạ A-tuyến tính u : E → F, theo (14 G), u(eᵢ) = ∑ₖ uₖᵢ fₖ; các hệ thức này cũng có… 05WP
Nhận xét Cho A là một vành và σ là một phản tự đồng cấu của A (no. 3); xét hai tình huống sau: 05WQ
Định nghĩa 4 Một ma trận mà các hàng và các cột có cùng tập hợp chỉ số được gọi là ma trận vuông. 05WR
Nhận xét Cần lưu ý rằng một ma trận mà các tập hợp chỉ số của các hàng và các cột có cùng lực lượng nhưng không đồng nhất, thì không được xem là một ma trận vuông; đặc biệt, tích của hai ma… ↩ 1 05WS
Mệnh đề 4 Cho E là một A-môđun phải có cơ sở hữu hạn (eᵢ)_1 ≤ i ≤ n gồm n phần tử. Để một họ gồm n phần tử e'ᵢ = ∑ⱼ₌₁ⁿ eⱼ aⱼᵢ (1 ≤ i ≤ n) là một cơ sở của E, điều kiện cần và đủ là ma trận b… ↩ 1 05WT
Mệnh đề 5 Cho (eᵢ), (e'ᵢ) là hai cơ sở gồm n phần tử của E và P là ma trận chuyển từ (eᵢ) sang (e'ᵢ). Nếu (eᵢ^*) và (e'ᵢ^*) là các cơ sở đối ngẫu tương ứng của (eᵢ) và (e'ᵢ), thì ma trận chu… ↩ 2 05WU
Mệnh đề 6 Cho E và F là hai A-môđun phải, (eᵢ) và (e'ᵢ) là hai cơ sở của E gồm n phần tử, (fⱼ) và (f'ⱼ) là hai cơ sở của F gồm m phần tử, P là ma trận chuyển từ (eᵢ) sang (e'ᵢ) và Q là ma tr… ↩ 2 05WV
Hệ quả 1 Nếu u là một tự đồng cấu của E và M(u) và M'(u) là các ma trận của nó đối với các cơ sở (eᵢ) và (e'ᵢ) tương ứng, thì ↩ 1 05WW
Hệ quả 2 Nếu M(x) và M'(x) là các ma trận một cột của cùng phần tử x ∈ E đối với các cơ sở (eᵢ) và (e'ᵢ) tương ứng, thì 05WX
Nhận xét (1) Bây giờ ta bắt đầu với một A-môđun trái E có hai cơ sở (eᵢ), (e'ᵢ), mỗi cơ sở có n phần tử; nếu ta viết e'ᵢ = ∑ⱼ₌₁ⁿ aⱼᵢ eᵢ, thì P = (aⱼᵢ) cũng được gọi là ma trận chuyển qua từ… 05WY
Định nghĩa 5 Hai ma trận X, X' có m hàng và n cột trên một vành được gọi là tương đương nếu tồn tại một ma trận bình phương khả nghịch P cấp m và một ma trận bình phương khả nghịch Q cấp n sao… 05WZ
Định nghĩa 6 Hai ma trận vuông X, X' cấp n trên một vành A được gọi là đồng dạng nếu tồn tại một ma trận vuông khả nghịch P cấp n sao cho ↩ 1 05X0
Nhận xét (1) Hai ma trận vuông chỉ khác nhau ở thứ tự các hàng của chúng (hoặc thứ tự các cột của chúng) thì tương đương, nhưng nói chung không đồng dạng. Một ma trận đồng dạng với một ma t… 05X1
Mệnh đề 7 Cho C là một vành giao hoán và với mỗi ma trận P ∈ Mₙ(C), ký hiệu f_P là dạng tuyến tính X ↦ Tr(PX) trên Mₙ(C); ánh xạ P ↦ f_P là một song ánh C-tuyến tính từ Mₙ(C) lên đối ngẫu củ… ↩ 1 05X2
Mệnh đề 8 Nếu g là một dạng tuyến tính trên C-môđun Mₙ(C) sao cho g(XY) = g(YX) với mọi ma trận X, Y trong Mₙ(C), thì tồn tại một và chỉ một vô hướng c ∈ C sao cho g(X) = c · Tr(X) với mọi m… 05X3
Định nghĩa 7 Cho một ma trận X có m hàng và n cột trên một trường K, chiều của không gian con của K_dᵐ sinh bởi n cột của X được gọi là hạng của X đối với K và được ký hiệu là rg(X). ↩ 2 05X4
Mệnh đề 9 Nếu các phần tử của một ma trận X có m hàng và n cột thuộc một trường con K₀ của một trường K, thì hạng của X đối với K₀ bằng hạng của X đối với K. 05X5
Mệnh đề 10 Hạng của một ma trận X trên một trường K bằng hạng của ma trận chuyển vị của nó ᵗ X trên trường đối K⁰. 05X6
Mệnh đề 11 Cho X là một ma trận vuông cấp n trên một trường K. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 2 05X7
Mệnh đề 12 Để một hệ gồm m phương trình tuyến tính với n ẩn ↩ 1 05X8
Mệnh đề 13 Cho E, F là hai không gian vectơ hữu hạn chiều trên một trường K. Nếu u : E → F là một ánh xạ tuyến tính có hạng r, thì tồn tại các cơ sở của E và F sao cho, đối với các cơ sở ấy, ↩ 3 05X9
Hệ quả Điều kiện cần và đủ để hai ma trận trên một trường, cùng kiểu (m, n), tương đương với nhau là chúng có cùng hạng. 05XA
Bổ đề 1 Cho X = (ξᵢⱼ) là một ma trận kiểu (m, n) trên một vành A. Giả sử rằng m geqslant 2 và tồn tại một phần tử ξᵢ₁ trong cột thứ nhất của X khả nghịch trong A. Khi đó tồn tại hai ma trậ… ↩ 2 05XB
Mệnh đề 14 Cho X là một ma trận kiểu (m, n) trên một trường K. Nếu X có hạng r, thì tồn tại hai ma trận vuông khả nghịch P ∈ Mₘ(K), Q ∈ Mₙ(K) sao cho P (tương ứng Q) là một tích của các ma tr… ↩ 2 05XC
Hệ quả 1 Nếu X là một ma trận vuông khả nghịch cấp n trên một trường K, thì tồn tại ba ma trận khả nghịch P, Q, D cấp n sao cho X = PDQ, trong đó P và Q là các tích của các ma trận có dạng… ↩ 2 05XD
Hệ quả 2 Với mọi trường K, nhóm các ma trận khả nghịch GL(n, K) được sinh bởi các ma trận hoán vị (no. 7, Ví dụ 2), các ma trận đường chéo diag(a, 1, …, 1) (a ≠ 0 trong K) và các ma trận B₁… ↩ 1 05XE
Nhận xét (1) Trong Chương III, ta sẽ thấy rằng, nếu m = n = r và K là giao hoán, thì với mọi cách chọn P và Q thỏa mãn các điều kiện của Mệnh đề 14, phần tử δᵣ luôn luôn như nhau và bằng đị… 05XF

§ 11. Môđun và vành phân bậc

Định nghĩa 1 Cho một nhóm giao hoán G được viết theo phép cộng và một tập hợp Δ, một phân bậc kiểu Δ trên G là một họ (G_λ)_λ ∈ Δ các nhóm con của G, mà G là tổng trực tiếp của chúng. Tập hợp G… ↩ 1 05XX
Ví dụ (1) Cho một nửa nhóm giao hoán bất kỳ Δ (với phần tử đơn vị 0) và một nhóm giao hoán G, một phân bậc (G_λ)_λ ∈ Δ được xác định trên G bằng cách lấy G₀ = G và G_λ = 0 với λ ≠ 0; phâ… 05XY
Định nghĩa 2 Một vành A và một phân bậc (A_λ) kiểu Δ trên nhóm cộng A, phân bậc này được nói là tương thích với cấu trúc vành trên A nếu 05XZ
Mệnh đề 1 Nếu mọi phần tử của Δ là giản ước được và (A_λ) là một phân bậc kiểu Δ tương thích với cấu trúc của một vành A, A₀ là một vành con của A (và đặc biệt 1 ∈ A₀). ↩ 2 05Y0
Định nghĩa 3 Cho A là một vành phân bậc kiểu Δ, (A_λ) là phân bậc của nó và M là một A-môđun trái (resp. phải); một phân bậc (M_λ) kiểu λ trên nhóm cộng M là tương thích với cấu trúc A-môđun tr… 05Y1
Ví dụ (1) Trên mọi vành A, phân bậc tầm thường kiểu Δ là tương thích với cấu trúc vành. Nếu A được phân bậc bởi phân bậc tầm thường, để một phân bậc (M_λ) kiểu Δ trên một A-môđun M là tư… 05Y2
Nhận xét (1) Các phép phân bậc thường được sử dụng nhất là kiểu Z hoặc kiểu Zⁿ; khi ta nói về các môđun và vành phân bậc (tương ứng phân bậc kép, phân bậc ba, v.v.) mà không nói đến kiểu, t… 05Y3
Định nghĩa 4 Cho A, A' là hai vành phân bậc cùng kiểu Δ và (A_λ), (A'_λ) là các phép phân bậc tương ứng của chúng. Một đồng cấu vành h : A → A' được gọi là phân bậc nếu h(A_λ) ⊂ A'_λ với mọi λ… ↩ 1 05Y4
Ví dụ (6) Nếu M là một A-môđun phân bậc và M(λ₀) là một A-môđun phân bậc thu được bằng cách dịch chuyển (no. 2, Ví dụ 3), ánh xạ tuyến tính theo Z từ M(λ₀) vào M trùng với đơn ánh chính… ↩ 3 05Y5
Mệnh đề 2 Cho A là một vành phân bậc kiểu Δ, M là một A-môđun phân bậc kiểu Δ, (M_λ) là phân bậc của nó và N là một môđun con A của M. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 7 05Y6
Hệ quả 1 Nếu N là một môđun con phân bậc của M và (xᵢ) là một hệ sinh của N, các thành phần thuần nhất của các xᵢ tạo thành một hệ sinh của N. ↩ 1 05Y7
Hệ quả 2 Nếu N là một môđun con sinh hữu hạn của M, N thừa nhận một hệ sinh hữu hạn gồm các phần tử thuần nhất. 05Y8
Mệnh đề 3 Cho A là một vành phân bậc kiểu Δ, M, N là hai A-môđun phân bậc kiểu Δ và u: M \to N là một đồng cấu A phân bậc có bậc δ. Khi đó: (i) Im(u) là một môđun con phân bậc của N. (ii) Nế… ↩ 2 05Y9
Hệ quả Cho A, B là hai vành phân bậc kiểu Δ và u: A \to B là một đồng cấu phân bậc của các vành phân bậc. Khi đó Im(u) là một môđun con phân bậc của B, Ker(u) là một iđêan hai phía phân b… 05YA
Mệnh đề 4 Cho A là một vành phân bậc kiểu Δ và M là một A-môđun phân bậc kiểu Δ. (i) Mọi tổng và mọi giao của các môđun con phân bậc của M là một môđun con phân bậc. (ii) Nếu x là một phần t… ↩ 1 05YB
Nhận xét 2 Cho M là một A-môđun phân bậc và E là một môđun con của M; suy ra từ Mệnh đề 4(i) rằng tồn tại một môđun con phân bậc lớn nhất N' của M được chứa trong E và một môđun con phân bậc… 05YC
Mệnh đề 5 Cho A là một vành phân bậc kiểu Δ. Nếu mọi phần tử của Δ đều giản ước được, thì, với mọi phần tử thuần nhất a ∈ A, bộ giao hoán của a trong A (I, § 1, no. 5) là một vành con phân b… ↩ 1 05YD
Hệ quả Nếu mọi phần tử của Δ đều giản ước được, bộ giao hoán của vành con phân bậc B của A (và đặc biệt là tâm của A) là một vành con phân bậc của A. ↩ 1 05YE
Mệnh đề 6 Cho Δ là một nhóm giao hoán có thứ tự, A là một vành phân bậc kiểu Δ, (A_λ) là phân bậc của nó, M là một môđun A phân bậc kiểu Δ và (M_λ) là phân bậc của nó. Giả sử rằng quan hệ A_… ↩ 4 05YF
Hệ quả 1 Với các giả thiết trên Δ và A của Mệnh đề 6, nếu M là một A-môđun phân bậc sinh hữu hạn sao cho ℑ₀ M = M, thì M = 0. ↩ 2 05YG
Hệ quả 2 Với các giả thiết trên Δ và A của Mệnh đề 6, cho M là một A-môđun phân bậc sinh hữu hạn và N là một môđun con phân bậc của M sao cho N + 𝔍₀ M = M; khi đó N = M. 05YH
Hệ quả 3 Với các giả thiết trên Δ và A của Mệnh đề 6, cho u : M → N là một đồng cấu phân bậc của các A-môđun phải phân bậc A, trong đó N được giả thiết là sinh hữu hạn. Nếu đồng cấu ↩ 1 05YI
Nhận xét Từ chứng minh của Hệ quả 1 suy ra rằng Hệ quả 1 và 2 (tương ứng Hệ quả 3) vẫn đúng khi, thay vì giả sử rằng M (tương ứng N) là sinh hữu hạn, đưa ra giả thiết sau: tồn tại một tập c… 05YJ
Mệnh đề 7 Giả sử rằng Δ = Z. Với các giả thiết về A và M của Mệnh đề 6, xét môđun A₀-phân bậc N = M/𝔍₀ M và giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn: (i) mỗi N_λ được xét như một A₀-môđun đều… ↩ 4 05YK
Bổ đề 1 Đối với một nhóm giao hoán Δ, để tồn tại trên Δ một thứ tự toàn phần tương thích với cấu trúc nhóm của Δ, điều kiện cần và đủ là Δ không xoắn. 05YL
Mệnh đề 8 Cho Δ là một nhóm giao hoán không xoắn và A là một vành phân bậc kiểu Δ. Nếu tích trong A của hai phần tử thuần nhất ≠ 0 là ≠ 0, thì vành A không có ước của 0. ↩ 2 05YM
Nhận xét Khi A có phép phân bậc tầm thường (no. 1, Ví dụ 1), khi đó (M ⊗_A N)_λ đơn giản là tổng trực tiếp của các Y-môđun con M_μ ⊗_A N_ν của M ⊗_A N sao cho μ + ν = λ. 05YN
Nhận xét Nếu M và N là các A-môđun trái phân bậc, Homgr_A(M, N) nói chung phân biệt với Hom_A(M, N). Tuy nhiên hai tập hợp này bằng nhau khi M là một A-môđun sinh hữu hạn. Vì khi đó M được… 05YO

III. Đại số tenxơ, Đại số ngoài, Đại số đối xứng

§ 1. Đại số

Định nghĩa 1 Cho A là một vành giao hoán. Một đại số trên A (hay một A-đại số, hoặc đơn giản là một đại số, khi không sợ nhầm lẫn) là một tập hợp E với một cấu trúc được xác định bằng cách cho… 05YR
Ví dụ (1) Mọi vành giao hoán A đều có thể được xem như một A-đại số (kết hợp và giao hoán). (2) Cho E là một vành giả (I, § 8, no. 1). Phép nhân trên E và cấu trúc Z-môđun duy nhất trên… 05YS
Định nghĩa 2 Cho hai đại số E, E' trên một vành giao hoán A, một đồng cấu của E vào E' là một ánh xạ f : E → E' sao cho (1) f là một đồng cấu A-môđun; (2) f(xy) = f(x)f(y) với mọi x ∈ E và y ∈… ↩ 1 05YT
Mệnh đề 1 Với mọi đại số trên A E, ánh xạ chính tắc φ_E : x ↦ x ⊗ 1 từ E vào E_(B) là một đồng cấu đại số trên A. Hơn nữa, với mọi đại số trên B F và mọi đồng cấu A-đại số f : E → F, tồn tại… ↩ 1 05YU
Hệ quả Cho E, E' là hai đại số trên A; với mọi đồng cấu đại số trên A u : E → E', u ⊗ 1_B là đồng cấu đại số trên B duy nhất v : E ⊗_A B → E' ⊗_A B làm cho biểu đồ giao hoán 05YV

§ 2. Ví dụ về các đại số

Mệnh đề 1 Một đại số bậc hai E là kết hợp và giao hoán. ↩ 1 05YX
Mệnh đề 2 Cho E là một đại số bậc hai trên A và e là phần tử đơn vị của nó. Với mọi u ∈ E, gọi T(u) là vết của tự đồng cấu mᵤ : x ↦ ux của A-môđun tự do E (II, § 4, no. 3). Khi đó ánh xạ s x… ↩ 1 05YY
Mệnh đề 3 Cho E là một đại số trên A bậc hai kiểu (α, β). 05YZ
Định nghĩa 1 Một đại số Cayley trên A là một cặp có thứ tự (E, s), trong đó E là một đại số trên A có phần tử đơn vị e và s là một phản tự đẳng cấu của E sao cho ↩ 1 05Z0
Mệnh đề 4 Cho E là một A-đại số và s và s' là các phản tự đẳng cấu của E sao cho (E, s) và (E, s') là các đại số Cayley. Nếu E thừa nhận một cơ sở chứa phần tử đơn vị e, thì s' = s. 05Z1
Mệnh đề 5 (i) Cặp có thứ tự (F, t) là một đại số Cayley trên A. ↩ 3 05Z2
Ví dụ (1) Nếu ta lấy E = A (và do đó s = 1_A), thì đại số F là một đại số bậc hai trên A với cơ sở (e, j) trong đó j² = γ e. 05Z3
Mệnh đề 6 Cho S là một magma, F một A-đại số và f một đồng cấu của ↩ 3 05Z4
Hệ quả Cho S, S' là hai magma và g: S → S' một đồng cấu. Khi đó tồn tại một và chỉ một đồng cấu A-đại số u: A^(S) → A^(S') làm cho biểu đồ 05Z5
Ví dụ Cho V là một A-môđun và S một monoid tác động lên V ở bên trái; điều này có nghĩa (I, § 5, no. 1) là cho trước một ánh xạ (s, x) ↦ s.x của S vào V sao cho s.(x + y) = s.x + s.y, s… 05Z6
Định nghĩa 2 Cho I là một tập hợp; gọi M(I) (resp. Mo(I), resp. N⁽ᴵ⁾) là magma tự do (resp. monoid tự do, resp. monoid giao hoán tự do) dẫn xuất từ I. Đại số của M(I) (resp. Mo(I), resp. N⁽ᴵ⁾)… ↩ 3 05Z7
Mệnh đề 7 Cho I là một tập hợp và F là một đại số (resp. đại số kết hợp có đơn vị, resp. đại số kết hợp giao hoán có đơn vị) trên A. Với mọi ánh xạ f : I → F, tồn tại một và chỉ một đồng cấu… ↩ 6 05Z8
Nhận xét (1) Về sau ta sẽ định nghĩa một đẳng cấu từ LibasA(I) lên đại số tenxơ của môđun tự do A⁽ᴵ⁾ (§ 5, no. 5) và cả một đẳng cấu từ LibascA(I) lên đại số đối xứng của A⁽ᴵ⁾ (§ 6, no. 6). 05Z9
Ví dụ (1) Lấy H = 1, 2, 3; các đại số thừa nhận (X₁ X₂) X₃ - X₁ (X₂ X₃) làm hệ thức phổ quát là các đại số kết hợp. Các đại số thừa nhận X₁ X₂ - X₂ X₁ làm hệ thức phổ quát là các đại số… 05ZA
Ví dụ 3 Cho L' là đại số kết hợp có đơn vị phổ quát sinh bởi I và thỏa các đồng nhất thức uv - vu = 0 với mọi họ gồm hai phần tử của L'. Ta thấy, như trong Ví dụ 2, rằng L' đẳng cấu chính… 05ZB
Mệnh đề 8 Cho A[(Xᵢ)_i ∈ I] là một đại số đa thức, J là một tập con của I và K là phần bù của J trong I. Viết A' = A[(Xⱼ)_j ∈ J] và ký hiệu bởi X'ₖ (k ∈ K) các ẩn trong đại số đa thức Libasc… ↩ 1 05ZC
Nhận xét Cho I và J là hai tập hợp và (Pj){j \in J} là một họ các phần tử của Z[(Xᵢ)_i ∈ I]; nếu Q là một phần tử của Z[(Xⱼ)_j ∈ J] sao cho Q((Pⱼ)_j ∈ J) = 0, thì, với mọi họ (bᵢ)_i ∈ I các… 05ZD

§ 3. Đại số phân bậc

Định nghĩa 1 Cho Δ là một monoïde giao hoán, A là một vành phân bậc kiểu Δ (II, § 11, no. 2), (A_λ)_λ ∈ Δ là phân bậc của nó và E là một đại số trên A. Một phân bậc (E_λ)_λ ∈ Δ kiểu Δ trên nhóm… ↩ 1 0603
Nhận xét Định nghĩa 1 cũng có thể được diễn giải bằng cách nói rằng E là một A-môđun phân bậc và rằng ánh xạ tuyến tính trên A 0604
Ví dụ (1) Cho B là một vành phân bậc kiểu Δ; nếu B được trang bị cấu trúc đại số Z chính tắc của nó (§ 1, no. 1, Ví dụ 2), thì B là một đại số A phân bậc (Z được trang bị phép phân bậc t… 0605
Mệnh đề 1 Cho A là một vành giao hoán phân bậc kiểu Δ, E một đại số trên A phân bậc kiểu Δ và S một tập hợp các phần tử thuần nhất của E. Khi đó đại số con trên A (resp. iđêan trái, iđêan ph… ↩ 1 0606

§ 4. Tích tenxơ của các đại số

Định nghĩa 1 Cho một họ (Eᵢ)_i ∈ I các đại số trên A, tích tenxơ của họ này, ký hiệu bởi ⨂_i ∈ I Eᵢ (hoặc, khi I là khoảng 1, n của N, E₁ ⊗_A E₂ ⊗ ⋯ ⊗_A Eₙ, hoặc đơn giản là E₁ ⊗ E₂ ⊗ ⋯ ⊗ Eₙ) l… 0608
Mệnh đề 1 Cho E, F là hai A-đại số và a (resp. b) là một iđêan hai phía của E (resp. F). Khi đó đẳng cấu A-môđun chính tắc 0609
Hệ quả 1 Cho E là một A-đại số và a là một iđêan của A. Khi đó A-môđun aE là một iđêan hai phía của E và đẳng cấu (A/a)-môđun chính tắc ↩ 1 060A
Hệ quả 2 Nếu a, b là hai iđêan của A, thì (A/a) ⊗_A (A/b) đẳng cấu chính tắc với A/(a + b). 060B
Hệ quả 3 Cho E, F là hai A-đại số và a là một iđêan của A được chứa trong linh hóa tử của F. Khi đó (A/a)-đại số E ⊗_A F đẳng cấu chính tắc với (E/aE) ⊗_A/a F. 060C
Mệnh đề 2 Cho (E_λ)_λ ∈ L và (F_μ)_μ ∈ M là hai họ A-đại số. Ánh xạ chính tắc (II, § 3, no. 7) 060D
Mệnh đề 3 Cho A, B là hai vành giao hoán, φ : A → B là một đồng cấu vành và E, F là hai A-đại số. Khi đó đẳng cấu B-môđun chính tắc ↩ 1 060E
Mệnh đề 4 Cho A, B là hai vành giao hoán, ρ : A → B là một đồng cấu vành, E là một A-đại số và F là một B-đại số. Khi đó đẳng cấu A-môđun chính tắc 060F
Mệnh đề 5 Cho (Eᵢ)_i ∈ I là một họ hữu hạn các đại số A và, với mỗi i ∈ I, ký hiệu eᵢ là phần tử đơn vị của Eᵢ. Với mỗi i ∈ I, ký hiệu uᵢ : Eᵢ → E = ⨂_i ∈ I Eᵢ là ánh xạ tuyến tính A được xá… ↩ 7 060G
Hệ quả Cho (Eᵢ)_i ∈ I, (Fᵢ)_i ∈ I là hai họ hữu hạn các đại số trên A và, với mọi i ∈ I, cho fᵢ : Eᵢ → Fᵢ là một đồng cấu đại số. Nếu uᵢ : Eᵢ → ⨂_j ∈ I Eⱼ, vᵢ : Fᵢ → ⨂_j ∈ I Fⱼ là các đồn… 060H
Định nghĩa 2 Cho E là một đại số trên A (có đơn vị). Một E-môđun trái (tương ứng, phải) là một môđun trái (tương ứng, phải) trên vành nền của E. 060I
Định nghĩa 3 Cho E và F là hai đại số trên A (có đơn vị) và M là một tập hợp được trang bị một cấu trúc E-môđun và một cấu trúc F-môđun. M được gọi là một song môđun (trái) trên các đại số E và… ↩ 1 060J
Ví dụ (1) Cho B là một đại số trên A; vành B có một cách chính tắc một cấu trúc (B, B)-song môđun (II, § 1, no. 14, Ví dụ 1) và, nếu e là phần tử đơn vị của B, thì (α e)x = x(α e) = α x… 060K
Mệnh đề 6 Cho E, F là hai đại số khác không trên một trường giao hoán, K, C (tương ứng D) là một đại số con của E (tương ứng của F) và C' (tương ứng D') là tập trung hóa tử của C trong E (tư… ↩ 2 060L
Hệ quả Nếu Z và Z' là các tâm tương ứng của E và F, thì tâm của E \otimesK F là Z \otimesK Z'. ↩ 1 060M
Định nghĩa 4 Cho một đại số G trên một trường giao hoán K, hai đại số con E, F của G được gọi là độc lập tuyến tính trên K nếu chúng thỏa mãn các điều kiện sau: (1) mọi phần tử của E đều giao h… 060N
Mệnh đề 7 Cho G là một đại số trên một trường giao hoán K và E, F là hai đại số con của G sao cho mọi phần tử của E đều giao hoán với mọi phần tử của F. Để E và F độc lập tuyến tính trên K… ↩ 2 060O
Hệ quả 1 Để đồng cấu chính tắc của E ⊗_K F vào G là song ánh, điều kiện cần và đủ là tồn tại một cơ sở của E trên K đồng thời là một cơ sở của F-môđun G (phải hoặc trái). 060P
Hệ quả 2 Cho E, F là hai đại số con của G, có hạng hữu hạn trên K và sao cho mọi phần tử của E đều giao hoán với mọi phần tử của F. Để E và F độc lập tuyến tính trên K, điều kiện cần và đủ… 060Q
Định nghĩa 5 Giới hạn trực tiếp E của hệ trực tiếp (E_J, f_J'J) được gọi là tích tenxơ của họ các A-đại số (Eᵢ)_i ∈ I. 060R
Mệnh đề 8 (i) Các đồng cấu fᵢ : Eᵢ → E = ⨂_k ∈ I Eₖ có tính chất sau: với hai chỉ số i, j sao cho i ≠ j, fᵢ(xᵢ) và fⱼ(xⱼ) giao hoán trong E với mọi xᵢ ∈ Eᵢ và xⱼ ∈ Eⱼ; hơn nữa, E được sinh b… ↩ 4 060S
Hệ quả Cho (Eᵢ)_i ∈ I,\ (E'ᵢ)_i ∈ I là hai họ A-đại số có cùng tập hợp chỉ số và, với mọi i ∈ I, cho uᵢ : Eᵢ → E'ᵢ là một đồng cấu đại số. Khi đó tồn tại một và chỉ một đồng cấu đại số tr… ↩ 2 060T
Mệnh đề 9 Cho (Eᵢ)_i ∈ I là một họ các A-đại số và với mỗi i ∈ I cho Bᵢ là một cơ sở của Eᵢ sao cho phần tử đơn vị eᵢ thuộc về Bᵢ. Gọi B là tập hợp các phần tử có dạng ⨂_i ∈ I xᵢ, trong đó (… ↩ 1 060U
Bổ đề 1 Cho A là một vành giao hoán, E là một A-đại số, (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n là một dãy hữu hạn các phần tử của E, (λᵢ)_1 ≤ i ≤ n là một dãy hữu hạn các phần tử của A và y là một phần tử của E… ↩ 3 060V
Bổ đề 2 Cho A là một vành giao hoán, E là một A-đại số và (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n và (yᵢ)_1 ≤ i ≤ n là hai dãy hữu hạn gồm n phần tử của E; giả sử rằng với 1 ≤ j ≤ i ≤ n, xᵢ yⱼ = λᵢⱼ yⱼ xᵢ với λᵢⱼ… ↩ 1 060W
Bổ đề 3 Cho A là một vành giao hoán, E là một A-đại số, (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n là một dãy hữu hạn các phần tử của E và giả sử rằng, với mọi cặp có thứ tự (i, j) của các số nguyên sao cho 1 ≤ j < i… ↩ 3 060X
Định nghĩa 6 Cho (Δᵢ)_i ∈ I là một họ hữu hạn các monoid giao hoán viết theo phép cộng. Một hệ các nhân tử giao hoán trên các Δᵢ với giá trị trong một vành giao hoán A là một hệ các ánh xạ εᵢⱼ… ↩ 1 060Y
Ví dụ (1) Hệ các nhân tử giao hoán tầm thường là hệ gồm các εᵢⱼ sao cho εᵢⱼ(αᵢ, βⱼ) = 1 với mọi i, j, αᵢ ∈ Δᵢ, βⱼ ∈ Δⱼ. 060Z
Mệnh đề 10 Cho A là một vành giao hoán và (Δᵢ)_i ∈ I là một họ hữu hạn các monoid giao hoán viết theo phép cộng; với mỗi i ∈ I, cho Eᵢ là một A-đại số phân bậc kiểu Δᵢ. Sau hết, cho (εᵢⱼ) là… ↩ 8 0610
Nhận xét (1) Ta thu được tích tenxơ các đại số được định nghĩa ở no. 1 (hơn nữa với phân bậc là tích tenxơ của các phân bậc của các thừa số của nó) bằng cách lấy εᵢⱼ(αᵢ, βⱼ) = 1 với mọi i… 0611
Hệ quả 1 Theo ký hiệu của Mệnh đề 10, giả sử thêm rằng F là một đại số trên A phân bậc kiểu Δ và mỗi fᵢ là một đồng cấu đại số phân bậc đối với φᵢ : Δᵢ → Δ; khi đó f = ε ⨂ᵢ fᵢ là một đồng c… ↩ 1 0612
Hệ quả 2 Cho (Eᵢ)_i ∈ I, (Fᵢ)_i ∈ I là hai họ hữu hạn các A-đại số, với Eᵢ và Fᵢ đều phân bậc kiểu Δᵢ với mọi i ∈ I. Với mỗi i ∈ I, cho gᵢ : Eᵢ → Fᵢ là một đồng cấu đại số phân bậc kiểu Δᵢ… 0613
Nhận xét Trong chứng minh của Mệnh đề 10, một thứ tự toàn phần trên I đã được dùng để định nghĩa một cấu trúc đại số trên tích tenxơ ⨂_i ∈ I Eᵢ của các A-môđun ↩ 1 0614
Mệnh đề 11 ("tính kết hợp" của tenxơ ε-tích). Theo ký hiệu của Mệnh đề 10, giả sử (J_λ)_λ ∈ L là một phân hoạch của I và đặt Δ'_λ = ∏_i ∈ J_λ Δᵢ với mọi λ ∈ L. Giả sử E'_λ là một tenxơ ε-tích… ↩ 1 0615
Mệnh đề 12 ("tính kết hợp" của ε-tích tenxơ của các đại số phân bậc cùng kiểu). Với ký hiệu của Mệnh đề 10 của no. 7, giả sử rằng tất cả các Δᵢ đều bằng cùng một monoide Δ₀; gọi (J_λ)_λ ∈ L l… 0616
Nhận xét (1) Cho I là một tập chỉ số vô hạn và Δ₀ là một monoid giao hoán; ký hiệu (Δᵢ)_i ∈ I là họ sao cho Δᵢ = Δ₀ với mọi i và giả sử rằng với mọi cặp có thứ tự các chỉ số phân biệt (i, j… 0617
Định nghĩa 7 Một A-đại số phân bậc E kiểu Z được gọi là phản giao hoán nếu với mọi phần tử thuần nhất khác không x, y của E ↩ 3 0618
Nhận xét (1) Cho E⁺ là đại số con phân bậc của E bằng tổng trực tiếp của các E₂ₙ (n ∈ Z); từ Định nghĩa 7 suy ra rằng nếu E phản giao hoán thì E⁺ là một đại số con được chứa trong tâm của E… 0619
Bổ đề 4 Cho E là một đại số phân bậc kiểu Z và S là một tập hợp các phần tử thuần nhất ≠ 0; tập F gồm các phần tử của E mà mọi thành phần thuần nhất x ≠ 0 đều thỏa mãn quan hệ (36) với mọi… ↩ 1 061A
Mệnh đề 13 Cho E là một đại số trên A phân bậc kiểu Z và S là một hệ sinh của đại số E gồm các phần tử thuần nhất ≠ 0; để E là phản giao hoán (tương ứng, phản xứng), điều kiện cần và đủ là (3… ↩ 1 061B
Mệnh đề 14 Cho E và F là hai đại số trên A phân bậc kiểu Z, cả hai đều phản giao hoán (tương ứng, phản xứng). Khi đó tích tenxơ xiên Eᵍ ⊗_A F (no. 7) là một đại số phản giao hoán (tương ứng… ↩ 3 061C
Hệ quả Cho E là một đại số trên A phân bậc kiểu Z phản giao hoán (tương ứng, phản xứng). Khi đó với mọi đồng cấu vành ρ : A → B, đại số trên B phân bậc ρ^*(E) (no. 8, Nhận xét 2) là phản… 061D
Nhận xét Cho E là một đại số trên A phân bậc phản giao hoán kiểu Z. Khi đó ánh xạ A-tuyến tính từ E ⊗_A E vào E được xác định bởi phép nhân của E (§ 1, no. 3) là một đồng cấu từ đại số trên… 061E

§ 5. Đại số tenxơ, tenxơ

Định nghĩa 1 Với mọi môđun M trên một vành giao hoán A, đại số tenxơ của M, ký hiệu là T(M), hoặc Tens(M), hoặc T_A(M), là đại số ⨁_n ≥ 0 Tⁿ(M) với phép nhân được định nghĩa trong (1). Đơn ánh… 061H
Mệnh đề 1 Cho E là một đại số A (có đơn vị) và f : M → E là một ánh xạ A-tuyến tính. Tồn tại duy nhất một đồng cấu đại số A g : T(M) → E sao cho f = g ∘ φ. ↩ 5 061I
Nhận xét Giả sử E là một đại số trên A phân bậc kiểu Z, với phép phân bậc (Eₙ), và cũng giả sử rằng f(M) ⊂ E₁. Khi đó từ (2) suy ra g(Tᵖ(M)) ⊂ Eₚ với mọi p ≥ 0 và do đó g là một đồng cấu đạ… 061J
Mệnh đề 2 Cho A là một vành giao hoán, M và N là hai A-môđun và u : M → N ↩ 1 061K
Mệnh đề 3 Nếu u : M → N là một ánh xạ A-tuyến tính toàn ánh, đồng cấu T(u) : T(M) → T(N) là toàn ánh và hạt nhân của nó là iđêan hai phía của T(M) sinh bởi hạt nhân P ⊂ M ⊂ T(M) của u. ↩ 2 061L
Mệnh đề 4 Cho N và P là hai môđun con của một môđun A-môđun M sao cho tổng của chúng N + P là một nhân tử trực tiếp trong M và giao của chúng N ∩ P là một nhân tử trực tiếp trong N và trong… ↩ 5 061M
Nhận xét Đặc biệt lưu ý rằng các giả thiết của Mệnh đề 4 luôn đúng đối với các môđun con tùy ý N, P của M khi A là một trường (II, § 7, no. 3, Mệnh đề 4). Hơn nữa, nếu N ⊂ P và N ≠ P, thì T… 061N
Hệ quả Cho K là một trường giao hoán và M là một không gian vectơ trên K. Với mọi phần tử z ∈ T(M), tồn tại một không gian vectơ N nhỏ nhất của M sao cho z ∈ T(N) và N có hạng hữu hạn trê… ↩ 2 061O
Mệnh đề 5 Cho A, B là hai vành giao hoán, ρ : A → B là một đồng cấu vành và M là một A-môđun. Phần mở rộng chính tắc ↩ 3 061P
Mệnh đề 6 Đồng cấu A f' = lim → f'_α : lim → T_Aα(M_α) → T_A(M) là một đẳng cấu đại số phân bậc. ↩ 2 061Q
Định lý 1 Cho A là một vành giao hoán, M là một môđun A tự do và (e_λ)_λ ∈ L là một cơ sở của M. Khi đó các phần tử eₛ = e_λ₁ ⊗ e_λ₂ ⊗ ⋯ ⊗ e_λₙ, trong đó s = (λ₁, …, λₙ) chạy qua tập hợp tất… ↩ 4 061R
Nhận xét Các kết quả trên cũng có thể thu được như một hệ quả của các tính chất phổ quát của đại số kết hợp tự do của đại số tenxơ, bằng cách sử dụng II, § 3, no. 7, Hệ quả 2 của Mệnh đề 7. 061S
Hệ quả Nếu M là một môđun A xạ ảnh, thì T(M) là một môđun A xạ ảnh. ↩ 2 061T
Mệnh đề 7 Cho Δ là một nửa nhóm giao hoán, M là một A-môđun phân bậc kiểu Δ và (M_α)_α ∈ Δ là sự phân bậc của nó. Với mọi cặp có thứ tự (α, n) ∈ Δ × N, đặt T^α, n(M) là tổng (trực tiếp) của… ↩ 3 061U
Nhận xét 2 Cho (e_λ)_λ ∈ L, (bare_λ)_λ ∈ L là hai cơ sở của M và P là ma trận chuyển từ (e_λ) sang (bare_λ). Theo những gì đã thấy trong Ví dụ 1, phần tử của P xuất hiện trong hàng có chỉ số… 061V

§ 6. Đại số đối xứng

Định nghĩa 1 Cho A là một vành giao hoán và M một A-môđun. Đại số đối xứng của M, ký hiệu là S(M), hoặc Sym(M), hoặc SA(M), là đại số thương trên A của đại số tenxơ T(M) bởi iđêan hai phía 𝔍' (… ↩ 1 0626
Mệnh đề 1 Đại số S(M) là giao hoán. 0627
Mệnh đề 2 Cho E là một đại số trên A và f : M → E một ánh xạ A-tuyến tính sao cho (1) f(x)f(y) = f(y)f(x) với mọi x, y trong M. Tồn tại một và chỉ một đồng cấu đại số trên A g : S(M) → E sao… ↩ 3 0628
Nhận xét (1) Giả sử rằng E là một A-đại số phân bậc kiểu Z, với phân bậc (Eₙ), và giả sử thêm rằng ánh xạ tuyến tính f (được giả thiết là thỏa mãn (1)) sao cho (2) f(M) ⊂ E₁. Khi đó quan hệ… 0629
Mệnh đề 3 Cho A là một vành giao hoán, M và N là hai A-môđun và u : M → N là một ánh xạ A-tuyến tính. Tồn tại một và chỉ một đồng cấu đại số A u' : S(M) → S(N) sao cho biểu đồ ↩ 1 062A
Mệnh đề 4 Nếu u: M → N là một ánh xạ A-tuyến tính toàn ánh, thì đồng cấu S(u): S(M) → S(N) là toàn ánh và hạt nhân của nó là iđêan của S(M) được sinh bởi hạt nhân P ⊂ M ⊂ S(M) của u. ↩ 1 062B
Mệnh đề 5 Cho N và P là hai môđun con của một A-môđun M sao cho tổng của chúng N + P là một nhân tử trực tiếp trong M và giao của chúng N ∩ P là một nhân tử trực tiếp trong N và trong P. Khi… 062C
Hệ quả Cho K là một trường giao hoán và M một không gian vectơ trên K. Với mọi phần tử z ∈ S(M) tồn tại một không gian vectơ con nhỏ nhất N của M sao cho z ∈ S(N) và N là hữu hạn chiều. 062D
Mệnh đề 6 Cho A là một vành giao hoán và M và N là hai A-môđun. Nếu với mỗi ánh xạ A-tuyến tính g : Sⁿ(M) → N (n geqslant 1) ta gắn ánh xạ n-tuyến tính 062E
Nhận xét Cho σ là một phép hoán vị trong 𝔖ₙ; vì ánh xạ ↩ 1 062F
Mệnh đề 7 Cho A, B là hai vành giao hoán, ρ : A → B một đồng cấu vành và M một A-môđun. Mở rộng chính tắc 062G
Mệnh đề 8 A-đồng cấu f' = lim → f'_α : lim → S_A_α(M_α) → S_A(M) là một đẳng cấu đại số phân bậc. 062H
Mệnh đề 9 Đồng cấu chính tắc g (công thức (10)) là một đẳng cấu đại số phân bậc (xem § 4, no. 8, Nhận xét 1). ↩ 4 062I
Hệ quả A-môđun Sⁿ(M) là ảnh qua đẳng cấu (10) của môđun con của ⨂_λ ∈ L S(M_λ) là tổng trực tiếp của các môđun con S^ν(M) ứng với mọi họ ν = (n_λ) ∈ N⁽ᴸ⁾ sao cho ∑_λ ∈ L n_λ = n; nếu J là… ↩ 1 062J
Định lý 1 Cho A là một vành giao hoán và M một A-môđun tự do với cơ sở (e_λ)_λ ∈ L. Với mọi ánh xạ α : L → N có giá hữu hạn, ta viết ↩ 2 062K
Hệ quả Nếu M là một A-môđun xạ ảnh, thì S(M) là một A-môđun xạ ảnh. 062L
Mệnh đề 10 Cho Δ là một monoit giao hoán, M là một A-môđun phân bậc kiểu Δ và (M_α)_α ∈ Δ là phân bậc của nó. Với mọi cặp có thứ tự (α, n) ∈ Δ × N, gọi S^α, n(M) là môđun con của Sⁿ(M) bằng t… 062M

§ 7. Đại số ngoài

Định nghĩa 1 Cho A là một vành giao hoán và M là một A-môđun. Đại số ngoài của M, ký hiệu bởi bigwedge(M) hoặc Alt(M) hoặc bigwedge_A(M), là đại số trên A bằng thương của đại số tenxơ T(M) theo… 062S
Mệnh đề 1 Cho E là một A-đại số và f : M → E là một ánh xạ A-tuyến tính sao cho (f(x))² = 0 với mọi x ∈ M. Tồn tại duy nhất một đồng cấu đại số A g : bigwedge(M) → E sao cho f = g ∘ φ''. ↩ 4 062T
Nhận xét (1) Giả sử E là một đại số trên A phân bậc kiểu Z, có phân bậc (Eₙ), và giả sử thêm rằng ánh xạ tuyến tính f (được giả thiết thỏa mãn (1)) sao cho f(M) ⊂ E₁. Khi đó quan hệ g(x₁ x₂… 062U
Mệnh đề 2 Cho A là một vành giao hoán, M và N là hai A-môđun và u : M → N là một ánh xạ A-tuyến tính. Tồn tại một và chỉ một đồng cấu đại số trên A u'' : bigwedge(M) → bigwedge(N) để cho biể… ↩ 1 062V
Mệnh đề 3 Nếu u: M → N là một ánh xạ A-tuyến tính toàn ánh, thì đồng cấu Λ(u): Λ(M) → Λ(N) là toàn ánh và hạt nhân của nó là iđêan hai phía của Λ(M) sinh bởi hạt nhân P ⊂ M ⊂ Λ(M) của u. ↩ 1 062W
Mệnh đề 4 Cho N và P là hai môđun con của một A-môđun M sao cho tổng của chúng N + P là một nhân tử trực tiếp trong M và giao của chúng N ∩ P là một nhân tử trực tiếp trong N và trong P. Khi… 062X
Hệ quả Cho K là một trường giao hoán và M là một không gian vectơ trên K. Với mọi phần tử z ∈ Λ(M), tồn tại một không gian con vectơ nhỏ nhất N của M sao cho z ∈ Λ(N) và N là hữu hạn chiề… ↩ 2 062Y
Mệnh đề 5 (i) Cho (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n là một dãy hữu hạn các phần tử của môđun M; với mọi phép hoán vị σ trong nhóm đối xứng Sₙ, ↩ 6 062Z
Hệ quả 1 Cho H, K là hai tập hợp con bù nhau của khoảng [1, n] của N và cho (iₕ)_1 ≤ h ≤ p, (jₖ)_1 ≤ k ≤ n-p là các dãy phần tử của H và K tương ứng, được sắp theo thứ tự tăng; ta viết ↩ 1 0630
Bổ đề 1 Nếu σ ∈ Sₙ là phép hoán vị sao cho σ(h) = iₕ với 1 ≤ h ≤ p, σ(h) = jₙ₋ₚ với p + 1 ≤ h ≤ n, thì ε_σ = (-1)^ν. 0631
Hệ quả 2 Đại số phân bậc bigwedge(M) là phản xứng (§ 4, no. 9). ↩ 1 0632
Mệnh đề 6 Nếu M là một A-môđun hữu hạn sinh, thì bigwedge(M) là một A-môđun hữu hạn sinh; hơn nữa, nếu M thừa nhận một hệ sinh gồm n phần tử, thì bigwedgeᵖ(M) = 0 với p > n. ↩ 5 0633
Mệnh đề 7 Cho A là một vành giao hoán và M và N là hai A-môđun. Nếu với mỗi ánh xạ A-tuyến tính g : bigwedgeⁿ(M) → N (n ≥ 2) ta liên kết ánh xạ n-tuyến tính (x₁, x₂, …, xₙ) ↦ g(x₁ ∧ x₂ ∧ ⋯ ∧… ↩ 6 0634
Hệ quả 1 Với mọi ánh xạ n-tuyến tính phản xứng g : Mⁿ → N, với mọi phép hoán vị σ ∈ 𝔖ₙ, g(x_σ(1), x_σ(2), …, x_σ(n)) = ε_σ · g(x₁, x₂, …, xₙ) với mọi xᵢ ∈ M; hơn nữa nếu xᵢ = xⱼ với hai chỉ… ↩ 1 0635
Hệ quả 2 Cho (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n là một dãy gồm n phần tử của M sao cho x₁ ∧ x₂ ∧ ⋯ ∧ xₙ = 0; khi đó, với mọi ánh xạ n-tuyến tính phản xứng g : Mⁿ → N, g(x₁, …, xₙ) = 0. 0636
Hệ quả 3 Cho f : Mⁿ⁻¹ → A là một dạng (n-1)-tuyến tính phản xứng. Nếu (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n là một dãy gồm n phần tử của M sao cho x₁ ∧ x₂ ∧ ⋯ ∧ xₙ = 0, thì ∑ᵢ₌₁ⁿ (-1)ⁱ f(x₁, …, hatxᵢ, …, xₙ) · xᵢ… 0637
Nhận xét Một phần tử z của Tⁿ(M) được gọi là một tenxơ phản đối xứng bậc n (phản biến) nếu σ.z = ε_σ z với mọi phép hoán vị σ ∈ Sₙ (x. § 6, no. 3, Nhận xét); các phần tử ấy tạo thành một A-… 0638
Mệnh đề 8 Cho A, B là hai vành giao hoán, ρ : A → B là một đồng cấu vành và M là một A-môđun. Mở rộng chính tắc 0639
Mệnh đề 9 Đồng cấu A f'' = varprojlim f''_α : varprojlim Λ_A_α(M_α) → Λ_A(M) là một đẳng cấu đại số phân bậc. 063A
Mệnh đề 10 Đồng cấu chính tắc g (công thức (14)) là một đẳng cấu đại số phân bậc. ↩ 5 063B
Nhận xét Cho N = ⨁_λ ∈ L N_λ là tổng trực tiếp của một họ khác các A-môđun với L làm tập hợp chỉ số và, với mọi λ ∈ L, cho v_λ : M_λ → N_λ là một ánh xạ A-tuyến tính, do đó có một ánh xạ A-… 063C
Hệ quả A-môđun bigwedgeⁿ(M) là ảnh qua đẳng cấu (14) của môđun con của ⨂_λ ∈ L bigwedge(M_λ) là tổng trực tiếp của các môđun con bigwedge^ν(M) với mọi họ ν = (n_λ) ∈ N⁽ᴸ⁾ sao cho ∑_λ ∈ L… ↩ 1 063D
Mệnh đề 11 Cho Δ là một monoïde giao hoán, M là một A-môđun phân bậc kiểu Δ và (M_α)_α ∈ Δ phân bậc của nó. Với mọi cặp có thứ tự (α, n) ∈ Δ × N, đặt bigwedge^α,n(M) là môđun con của bigwedge… ↩ 1 063E
Định lý 1 Cho M là một A-môđun có một cơ sở (e_λ)_λ ∈ L. Giả sử L được trang bị cấu trúc của một tập hợp sắp thứ tự toàn phần (Lý thuyết tập hợp, III, § 2, no. 3, Định lý 1) và với mọi tập c… ↩ 6 063F
Hệ quả 1 Giả sử rằng L = 1, m; khi đó cơ sở (e_J)_J ∈ P(L) của bigwedge(M) có 2ᵐ phần tử. Với p > m, bigwedgeᵖ(M) = 0; bigwedgeᵐ(M) có một cơ sở gồm một phần tử duy nhất e_L; với 0 ≤ p ≤ m… ↩ 3 063G
Hệ quả 2 Nếu M là một A-môđun xạ ảnh, bigwedge(M) là một A-môđun xạ ảnh. ↩ 2 063H
Hệ quả 3 Cho M là một A-môđun xạ ảnh và (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n một dãy hữu hạn các phần tử của M. Để tồn tại trên M một dạng phản xứng n-tuyến tính f sao cho f(x₁, x₂, …, xₙ) ≠ 0, điều kiện cần và… ↩ 2 063I
Mệnh đề 12 Cho M là một A-môđun xạ ảnh. Để các phần tử x₁, x₂, …, xₙ của M phụ thuộc tuyến tính, điều kiện cần và đủ là tồn tại λ ≠ 0 trong A sao cho λ x₁ ∧ x₂ ∧ ⋯ ∧ xₙ = 0. ↩ 3 063J
Hệ quả Cho M và N là hai A-môđun xạ ảnh và f : M → N là một ánh xạ A-tuyến tính. Nếu f là đơn ánh, thì Λ(f) : Λ(M) → Λ(N) cũng là đơn ánh. ↩ 1 063K
Mệnh đề 13 Cho M là một A-môđun, N là một môđun con hạng tử trực tiếp của M tự do có chiều p và u là một cơ sở của Λᵖ(N). Để một phần tử x ∈ M thuộc N, điều kiện cần và đủ là u ∧ x = 0. ↩ 3 063L
Định lý 2 Cho M là một A-môđun có một cơ sở hữu hạn (eᵢ)_1 ≤ i ≤ n. Để một dãy (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n gồm n phần tử của M lập thành một cơ sở của M, điều kiện cần và đủ là phần tử λ ∈ A sao cho ↩ 1 063M

§ 8. Định thức

Định nghĩa 1 Định thức của một tự đồng cấu u của một A-môđun tự do M có số chiều hữu hạn n (II, § 7, no. 2, Hệ quả của Mệnh đề 3 và Nhận xét 1), được ký hiệu bởi det u, là vô hướng λ sao cho bi… 0642
Mệnh đề 1 (i) Nếu u và v là hai tự đồng cấu của một A-môđun tự do có số chiều hữu hạn M, thì ↩ 1 0643
Mệnh đề 2 Cho M là một A-môđun tự do với một cơ sở hữu hạn (eᵢ)_1 ≤ i ≤ n và v là một tự đồng cấu của M. Với mọi dãy (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n gồm n phần tử của M, 0644
Định lý 1 Cho M là một A-môđun tự do hữu hạn chiều và u là một tự đồng cấu của M. Các điều kiện sau là tương đương: (a) u là song ánh; (b) u khả nghịch phải (II, § 1, no. 9, Hệ quả 1 của Mện… ↩ 5 0645
Mệnh đề 3 Cho M là một A-môđun tự do hữu hạn chiều. Với mọi tự đồng cấu u của M, các điều kiện sau là tương đương: (f) u là đơn ánh; (g) det u không là một ước của không trong A. ↩ 5 0646
Nhận xét Khi A là một trường, điều kiện (e) của Định lý 2 tương đương với điều kiện (g) của Mệnh đề 3, vì cả hai đều có nghĩa là det u ≠ 0. Do đó trong trường hợp này tất cả các điều kiện c… 0647
Định nghĩa 2 Cho I là một tập hợp hữu hạn, A là một vành giao hoán và X là một ma trận bình phương kiểu (I, I) trên vành A (II, § 10, no. 7). Định thức của tự đồng cấu u của A-môđun Aᴵ, mà ma t… 0648
Mệnh đề 4 Với n vectơ x₁, …, xₙ của Aⁿ, ký hiệu X(x₁, …, xₙ) là ma trận bình phương cấp n mà cột thứ i của nó là xᵢ với 1 ≤ i ≤ n. Khi đó ánh xạ (x₁, …, xₙ) ↦ det(X(x₁, …, xₙ)) của (Aⁿ)ⁿ vào… 0649
Ví dụ (1) Định thức của ma trận rỗng bằng 1; định thức của một ma trận vuông cấp 1 bằng phần tử duy nhất của ma trận này. Đối với một ma trận cấp 2 064A
Mệnh đề 5 Nếu X và Y là hai ma trận vuông trên một vành giao hoán A với cùng một tập chỉ số hữu hạn, thì ↩ 1 064B
Hệ quả Hai ma trận vuông đồng dạng có các định thức bằng nhau. 064C
Mệnh đề 6 Để các cột của một ma trận vuông X có cấp hữu hạn độc lập tuyến tính, điều kiện cần và đủ là det X không là một ước của không trong A. ↩ 1 064D
Bổ đề 1 Cho A là một vành giao hoán và M là một A-môđun tự do với một cơ sở (eⱼ)_j ∈ J, trong đó tập chỉ số J được sắp thứ tự toàn phần. Với mọi số nguyên p ≤ Card(J), mọi hàm p-tuyến tính… 064E
Mệnh đề 7 Cho I là một tập hữu hạn và X = (ξⱼᵢ)_(j, i) ∈ I × I là một ma trận vuông kiểu (I, I) trên một vành giao hoán A. Khi đó ↩ 1 064F
Mệnh đề 8 Đối với mọi ma trận bình phương X trên một vành giao hoán, định thức của ma trận chuyển vị ᵗ X bằng định thức của X. ↩ 4 064G
Hệ quả 1 Cho n vectơ x₁, …, xₙ của Aⁿ, ký hiệu Y(x₁, …, xₙ) là ma trận bình phương cấp n mà hàng thứ i là xᵢ, với 1 ≤ i ≤ n. Khi đó ánh xạ (x₁, …, xₙ) ↦ det(Y(x₁, …, xₙ)) từ (Aⁿ)ⁿ vào A là… ↩ 2 064H
Hệ quả 2 Đối với một ma trận bình phương X cấp hữu hạn trên một vành giao hoán A, các điều kiện sau là tương đương: (i) các hàng của X độc lập tuyến tính; (ii) các cột của X độc lập tuyến t… 064I
Hệ quả 3 Cho u là một tự đồng cấu của một A-môđun tự do hữu hạn chiều M và ᵗ u là tự đồng cấu chuyển vị của môđun đối ngẫu M^* (II, § 2, no. 5, Định nghĩa 5); khi đó det(ᵗ u) = det(u). Nếu… ↩ 1 064J
Mệnh đề 9 Cho M là một A-môđun với một cơ sở (eᵢ)_i ∈ J (hữu hạn hoặc không) mà tập hợp chỉ số J được sắp thứ tự toàn phần. Với mỗi số nguyên p > 0, cho (e_H)_H ∈ 𝔖ₚ(J) là cơ sở tương ứng củ… ↩ 2 064K
Mệnh đề 10 Cho M và N là hai A-môđun tự do có các số chiều tương ứng là m và n, u : M → N là một ánh xạ tuyến tính và X là ma trận của u đối với một cơ sở (eᵢ)_1 ≤ i ≤ m của M và một cơ sở (f… ↩ 3 064L
Mệnh đề 11 Cho M là một A-môđun tự do có số chiều hữu hạn n; với mọi tự đồng cấu u của M và mọi cặp có thứ tự ξ, η của các phần tử của A, ↩ 2 064M
Hệ quả Với cùng các giả thiết như trong Mệnh đề 11, đối với tự đồng cấu bigwedge(u) của A-môđun bigwedge(M) 064N
Mệnh đề 12 Với mọi ma trận vuông khả nghịch X kiểu (n, n), nghịch đảo của X được cho bởi công thức 064O
Ví dụ (1) Định thức Vandermonde. Cho một dãy (ζᵢ)_1 ≤ i ≤ n gồm n phần tử của A, định thức Vandermonde của dãy này là định thức 064P
Mệnh đề 13 Đối với một hệ gồm n phương trình tuyến tính với n ẩn trên một vành giao hoán, để hệ có ít nhất một nghiệm bất kể các vế phải, điều kiện cần và đủ là định thức của ma trận của hệ k… ↩ 1 064Q
Mệnh đề 14 Đối với một hệ tuyến tính thuần nhất gồm n phương trình với n ẩn trên một vành giao hoán để có một nghiệm khác không, điều kiện cần và đủ là định thức của ma trận của nó là một ước… 064R
Mệnh đề 15 Cho E là một không gian vectơ trên một trường giao hoán; đối với p vectơ xᵢ ∈ E (1 ≤ i ≤ p) độc lập tuyến tính khi và chỉ khi x₁ ∧ x₂ ∧ ⋯ ∧ xₚ ≠ 0. ↩ 3 064S
Hệ quả Cho X là một ma trận kiểu (m, n) trên một trường giao hoán. Hạng của X bằng số nguyên lớn nhất p sao cho tồn tại ít nhất một minor của X cấp p khác 0. ↩ 1 064T
Mệnh đề 16 Cho L = (λᵢⱼ) là ma trận (kiểu (m, n)) của hệ (41). Cho M là ma trận kiểu (m, n+1) thu được bằng cách thêm vào L cột thứ (n+1) (ηᵢ) (II, § 10, no. 1). Cho p là hạng của L (tính bằn… 064U
Mệnh đề 17 Một trường giao hoán K có nhóm đơn môđula SL(n, K) được sinh bởi các ma trận Bᵢⱼ(λ) với i ≠ j và λ ∈ K. ↩ 4 064V
Hệ quả Nhóm SL(n, K) là nhóm các giao hoán tử của GL(n, K), ngoại trừ trường hợp n = 2 và K là một trường có 2 phần tử. ↩ 1 064W
Nhận xét (1) GL(2, F₂) = SL(2, F₂); đây là một nhóm giải được có cấp 6, nhóm giao hoán tử của nó có chỉ số 2 (II, § 10, Bài tập 14). 064X
Mệnh đề 18 Dãy các đồng cấu A[X] M[X] xrightarrowψ M[X] xrightarrowφ Mᵤ longrightarrow 0 là khớp. ↩ 2 064Y
Mệnh đề 19 Một ánh xạ g từ M vào M' là một đồng cấu A[X] của Mu vào M'u khi và chỉ khi g là một đồng cấu A của M vào M' sao cho g ∘ u = u' ∘ g. Khi điều này xảy ra, nếu barg là đồng cấu A[X]… ↩ 2 064Z
Định nghĩa 3 Cho M là một A-môđun tự do hữu hạn chiều và u là một tự đồng cấu của M. Định thức của tự đồng cấu X - baru của A[X]-môđun tự do M[X] được gọi là đa thức đặc trưng của u và được ký… ↩ 1 0650
Mệnh đề 20 ("định lý Cayley–Hamilton") Với mọi tự đồng cấu u của một A-môđun tự do hữu hạn chiều, χᵤ(u) = 0. ↩ 2 0651

§ 9. Chuẩn và vết

Định nghĩa 1 Cho M là một A-môđun có một cơ sở hữu hạn như một K-môđun. Với mọi a ∈ A, gọi a_M là tự đồng cấu x ↦ ax của K-môđun M. Vết, định thức và đa thức đặc trưng của a_M lần lượt được gọi… 065S
Mệnh đề 1 Cho M = M₀ ⊃ M₁ ⊃ … ⊃ Mᵣ = 0 là một dãy giảm các môđun con của một A-môđun M sao cho mỗi K-môđun Pᵢ = Mᵢ₋₁/Mᵢ (1 ≤ i ≤ r) đều có một cơ sở hữu hạn. Khi đó K-môđun M có một cơ sở hữ… ↩ 4 065T
Mệnh đề 2 Cho A, A' là hai K-đại số, M là một A-môđun và M' là một A'-môđun. Giả sử rằng M và M' là các K-môđun tự do có các chiều tương ứng là n và n' và xét M ⊗_K M' như một (A ⊗_K A')-môđ… ↩ 3 065U
Định nghĩa 2 Cho A là một K-đại số là một K-môđun tự do hữu hạn chiều. Với mọi phần tử a ∈ A, vết (tương ứng là chuẩn,\footnote{† Khái niệm này không nên bị nhầm lẫn với khái niệm chuẩn trong m… ↩ 2 065V
Ví dụ (1) Cho A là một đại số bậc hai trên K kiểu (α, β) và (e₁, e₂) một cơ sở kiểu (α, β) (§ 2, no. 3). Với x = ξ e₁ + η e₂, Tr_A/K(x) = 2ξ + β η và N_A/K(x) = ξ² + β ξ η - α η²; do đó… 065W
Mệnh đề 3 Cho A là một đại số trên K thừa nhận một cơ sở hữu hạn. Để một phần tử a ∈ A khả nghịch thì điều kiện cần và đủ là N_A/K(a) của nó khả nghịch trong K. ↩ 2 065X
Mệnh đề 4 Cho A là một đại số trên K có một cơ sở hữu hạn. Với mọi a ∈ A, Pc_A/K(a; a) = 0. 065Y
Mệnh đề 5 Cho A là một đại số trên K và m một iđêan hai phía của A. Giả sử rằng A₀ = A/m là một K-môđun tự do có số chiều hữu hạn n, rằng tồn tại một số nguyên r > 0 sao cho mʳ = 0 và rằng m… 065Z
Mệnh đề 6 Cho A là một K-đại số giao hoán có một cơ sở hữu hạn trên K và V là một A-môđun có một cơ sở hữu hạn trên A. Khi đó V có một cơ sở hữu hạn trên K và với mọi A-tự đồng cấu u của V… ↩ 3 0660
Bổ đề 1 Cho Xᵢⱼ (1 ≤ i ≤ n,\ 1 ≤ j ≤ n) là n² bất định, X là ma trận bình phương (Xᵢⱼ) cấp n và D(X₁₁, …, Xₙₙ) ∈ Z[X₁₁, …, Xₙₙ] là định thức det(X). Mặt khác cho A là một vành giao hoán, M… 0661
Hệ quả Cho A là một đại số giao hoán trên K có một cơ sở hữu hạn trên K và B là một đại số trên A có một cơ sở hữu hạn trên A. Khi đó B có một cơ sở hữu hạn trên K, và, với mọi b ∈ B ("cá… 0662
Nhận xét Giả sử rằng đồng cấu λ ↦ λ . 1 của K vào A là đơn ánh và đồng nhất K với ảnh của nó trong A; giả sử rằng A có một cơ sở hữu hạn (eᵢ)_1 ≤ i ≤ n như một K-môđun. Cho s là một tự đẳng… 0663
Định nghĩa 3 Cho A là một đại số trên K có một cơ sở hữu hạn gồm n phần tử. Biệt thức của một dãy (x₁, …, xₙ) gồm n phần tử của A, đối với K, ký hiệu là D_A/K(x₁, …, xₙ), là biệt thức của ma tr… ↩ 1 0664
Ví dụ (1) Nếu A là một đại số bậc hai kiểu (α, β) trên K, thì (theo ký hiệu của § 2, no. 3) Tr(e₁) = 2, Tr(e₂) = β, 0665

§ 10. Đạo hàm

Định nghĩa 1 Với các dữ kiện trên và một nhân tử giao hoán ε trên Δ × Δ, một ε-đạo hàm (hay đạo hàm (K, ε)) bậc δ ∈ Δ từ (A, A', A'') vào (B, B', B'') là một bộ ba ánh xạ K-tuyến tính phân bậc… ↩ 3 0667
Nhận xét (1) Khái niệm đạo hàm có thể được định nghĩa cho các môđun không phân bậc bằng cách quy ước cho các môđun này phân bậc tầm thường. 0668
Ví dụ 1 Cho A là một đại số trên R các ánh xạ khả vi từ R vào R và x₀ là một điểm của R; R có thể được xét như một A-môđun với phép toán ngoài (f, a) ↦ f(x₀)a. Khi đó ánh xạ f ↦ Df(x₀) là… ↩ 1 0669
Ví dụ 2 Cho X là một đa tạp khả vi lớp C^∞ và A là đại số trên R phân bậc các dạng vi phân trên X. Ánh xạ gán cho mỗi dạng vi phân ω trên X vi phân ngoài dω của nó là một phản đạo hàm bậc… ↩ 1 066A
Ví dụ 3 Cho A là một đại số trên K kết hợp. Với mọi a ∈ A, ánh xạ x ↦ ax - xa là một đạo hàm của đại số A (xem no. 6). 066B
Ví dụ 4 Cho M là một K-môđun và A là đại số ngoài bigwedge(M^*) với phân bậc thông thường của nó (§ 7, no. 1). Sẽ thấy ở § 11, no. 9 rằng, với mọi x ∈ M, tích trong bên phải i(x) là một ph… 066C
Ví dụ 5 Trở lại tình huống tổng quát của Định nghĩa 1 ở no. 2, cho overlineK là một vành giao hoán khác và ρ : K → overlineK là một đồng cấu vành; ký hiệu overlineA, overlineA', overlineA'… 066D
Ví dụ 6 Cho A là một đại số K phân bậc kiểu Z; một ánh xạ K-tuyến tính phân bậc bậc 0, d : A → A, được định nghĩa bằng cách đặt, với xₙ ∈ Aₙ (n ∈ Z), d(xₙ) = nxₙ. Ánh xạ này là một đạo hàm… ↩ 1 066E
Mệnh đề 1 Cho d₁, d₂ là hai ε-đạo hàm của (A, A', A'') có các bậc tương ứng δ₁, δ₂. Khi đó ngoặc ε [d₁, d₂]_ε = d₁ ∘ d₂ - ε_δ₁, δ₂ d₂ ∘ d₁ là một ε-đạo hàm bậc δ₁ + δ₂. Hơn nữa, nếu d là một… ↩ 1 066F
Hệ quả Giả sử rằng Δ = Z. Khi đó: (i) Bình phương của một phản đạo hàm là một đạo hàm. (ii) Ngoặc của hai đạo hàm là một đạo hàm. (iii) Ngoặc của một phản đạo hàm và một đạo hàm bậc chẵn… 066G
Mệnh đề 2 Với các giả thiết và ký hiệu trên đây, xét 2n ẩn số T₁, …, Tₙ, T'₁, …, T'ₙ và với mọi đa thức F ∈ K[X₁, …, Xₙ] viết F(T) = F(T₁, …, Tₙ), F(T') = F(T'₁, …, T'ₙ) và F(T + T') = F(T₁… ↩ 2 066H
Hệ quả (công thức Leibniz) Cho dᵢ (1 ≤ i ≤ n) là n đạo hàm của (A, A', A'') hoán vị được với nhau. Với mọi α = (α₁, …, αₙ) ∈ Nⁿ, ta viết 066I
Mệnh đề 3 Cho d : A → E là một ε-đạo hàm bậc δ. Khi đó Ker(d) là một đại số con phân bậc của A; nếu A có một phần tử đơn vị, thì phần tử ấy thuộc Ker(d). ↩ 3 066J
Hệ quả Cho d₁ và d₂ là hai ε-đạo hàm từ A đến E cùng bậc δ. Nếu d₁ và d₂ nhận cùng giá trị tại mỗi phần tử của một hệ sinh của đại số A, thì d₁ = d₂. ↩ 1 066K
Mệnh đề 4 Cho d : A → E là một ε-đạo hàm bậc δ. Giả sử rằng A có một phần tử đơn vị 1 và cho x là một phần tử thuần nhất của A có một nghịch đảo x⁻¹ trong A. Khi đó 066L
Mệnh đề 5 Giả sử rằng A là một miền nguyên và L là trường phân thức của nó. Mọi đạo hàm của A vào một không gian vectơ E trên L (được coi như một A-môđun) đều có thể được mở rộng duy nhất th… ↩ 2 066M
Mệnh đề 6 Giả sử rằng A là một K-đại số phân bậc kết hợp có đơn vị và E là một song môđun phân bậc (A, A). Nếu d : A → E là một ε-đạo hàm bậc δ, thì với mọi dãy hữu hạn (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n gồm cá… ↩ 1 066N
Hệ quả Giả sử rằng A là một đại số giao hoán kết hợp có đơn vị và E là một A-môđun. Nếu d : A → E là một đạo hàm, thì, với mọi số nguyên n ≥ 0, d(xⁿ) = nxⁿ⁻¹(dx) với mọi x ∈ A. Chỉ cần ch… 066O
Mệnh đề 7 Giả sử rằng A là một đại số phân bậc kết hợp có đơn vị và E là một song môđun phân bậc (A, A). Cho d : A → E là một ε-đạo hàm bậc δ và a là một phần tử thuần nhất của Z_ε có bậc α… ↩ 1 066P
Mệnh đề 8 Cho A là một đại số trên K phân bậc. 066Q
Hệ quả Cho A là một đại số phân bậc kết hợp. Với hai phần tử thuần nhất a, b của A, [ad_ε(a), ad_ε(b)]_ε = ad_ε([a, b]_ε). (25) 066R
Mệnh đề 9 Cho A, B là hai K-đại số phân bậc, E là một (A, A)-song môđun và F là một (B, B)-song môđun phân bậc; giả sử ρ : A → B là một đồng cấu đại số phân bậc và θ : E → F là một A-đồng cấ… ↩ 6 066S
Hệ quả Cho S là một hệ sinh của đại số A. Để có d' ∘ ρ = θ ∘ d, điều kiện cần và đủ là d'(ρ(x)) = θ(d(x)) với mọi x ∈ S. ↩ 1 066T
Mệnh đề 10 Trong các điều kiện của Mệnh đề 9, để một ε-đạo hàm d' : B → F là A-tuyến tính đối với các cấu trúc A-môđun trái (tương ứng phải) trên B và ρ^*(F), điều kiện cần và đủ là d' bằng k… ↩ 1 066U
Mệnh đề 11 Trong các điều kiện trên, có một dãy khớp các K-đồng cấu 0 → D_B(C, G) xrightarrowu D_A(C, G) xrightarrowv D_A(B, G) trong đó u là đơn ánh chính tắc và v là đồng cấu d ↦ d ∘ σ (Mện… ↩ 2 066V
Mệnh đề 12 Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ K-tuyến tính phân bậc f : A → E bậc δ là một ε-đạo hàm là ánh xạ x ↦ (x, f(x)) từ A vào A ⊕ E(δ) là một đồng cấu đại số trên K phân bậc. ↩ 1 066W
Mệnh đề 13 Điều kiện cần và đủ để đại số A ⊕ E(δ) là kết hợp và có đơn vị là A kết hợp và có đơn vị, và các ánh xạ (a, x) ↦ a.x và (a, x) ↦ x.a xác định trên E một cấu trúc song môđun (A, A)… ↩ 1 066X
Mệnh đề 14 Cho A là một vành giao hoán, M là một A-môđun, B là A-đại số T(M) (resp. S(M), resp. Λ(M)) và E là một (B, B)-song môđun. Cho d₀ : A → E là một đạo hàm của vành A vào A-môđun E và… ↩ 2 066Y
Hệ quả Cho M là một K-môđun phân bậc kiểu Δ; các K-đại số T(M), S(M) và bigwedge(M) được cho các phân bậc tương ứng kiểu Δ' = Δ × Z (§ 5, no. 5, Proposition 7, § 6, no. 6, Proposition 10… ↩ 1 066Z
Mệnh đề 15 Nếu M là một K-môđun tự do hạng hữu hạn n, thì với mọi tự đồng cấu s của M, hạn chế của đạo hàm Dₛ lên Λⁿ(M) là phép vị tự có tỷ số Tr(s). 0670
Mệnh đề 16 Cho A là một K-đại số giao hoán, Mᵢ (1 ≤ i ≤ n) và P là các A-môđun và H là A-môđun các ánh xạ A-đa tuyến tính của M₁ × M₂ × ⋯ × Mₙ vào P. Giả sử cho một K-đạo hàm d₀ : A → A của đ… ↩ 1 0671
Ví dụ (3) Áp dụng Mệnh đề 16 cho trường hợp n = 1, M₁ = M, P = A, khi đó H = M^*, đối ngẫu của M, và thấy rằng từ một K-đạo hàm (d₀, d, d') của (A, M, M) suy ra một K-đạo hàm (d₀, d^*, d… ↩ 1 0672
Bổ đề 1 Ánh xạ δ_A : x ↦ x ⊗ 1 - 1 ⊗ x là một đạo hàm K của A vào I và I được sinh, như một A-môđun trái, bởi ảnh của δ_A. ↩ 2 0673
Mệnh đề 17 Đạo hàm δ_A có tính chất phổ quát sau: với mọi song môđun (A, A) E và mọi đạo hàm K d : A → E, tồn tại một và chỉ một đồng cấu song môđun (A, A) f : I → E sao cho d = f ∘ δ_A. ↩ 1 0674
Mệnh đề 18 Cho A là một K-đại số giao hoán và 𝔍 là iđêan bằng hạt nhân của đồng cấu chính tắc toàn ánh m : A ⊗_K A → A, sao cho A đẳng cấu với (A ⊗_K A)/𝔍 và 𝔍/𝔍² một cách chính tắc có cấu tr… ↩ 2 0675
Ví dụ Cho M là một K-môđun; từ Mệnh đề 14 của no. 9 suy ra rằng với mọi S(M)-môđun E, ánh xạ D ↦ D M xác định một đẳng cấu S(M)-môđun từ DK(S(M), E) lên HomK(M, E); mặt khác, vì E là một… 0676
Mệnh đề 19 Cho 0677
Mệnh đề 20 Giả sử rằng A' = A ⊗_K K', với η': K' → A' và u: A → A' là các đồng cấu chính tắc. Khi đó ánh xạ A'-tuyến tính ↩ 1 0678
Mệnh đề 21 Dãy các ánh xạ B-tuyến tính ↩ 1 0679
Mệnh đề 22 Cho 𝔍 là một iđêan của đại số giao hoán trên K A, B = A/𝔍 và u : A → B là đồng cấu chính tắc. Khi đó dãy các ánh xạ B-tuyến tính ↩ 2 067A
Mệnh đề 23 Cho A là một đại số nguyên trên K, B là trường các phân thức của nó và u: A → B là đơn ánh chính tắc. Khi đó Ω0(u): ΩK(A) ⊗A B → ΩK(B) là một đẳng cấu. 067B

§ 11. Đối đại số, tích của các dạng đa tuyến tính, tích vô hướng và đối ngẫu

Định nghĩa 1 Một đối đại số trên A (hay A-đối đại số, hoặc đơn giản là đối đại số nếu không thể có sự lẫn lộn) là một tập hợp E với một cấu trúc được xác định bởi việc cho các dữ liệu sau: (1)… 067H
Định nghĩa 2 Cho hai đối đại số E, E', mà các đồng tích của chúng lần lượt được ký hiệu bởi c và c', một cấu xạ từ E vào E' là một ánh xạ A-tuyến tính u: E → E' sao cho (1) (u ⊗ u) ∘ c = c' ∘ u… ↩ 1 067I
Ví dụ (1) Đẳng cấu chính tắc A → A ⊗_A A (II, § 3, no. 5) xác định một cấu trúc A-đối đại số trên A. ↩ 1 067J
Ví dụ (9) Ngay lập tức thấy rằng các đối đại số T(M), S(M) và Λ(M) được định nghĩa ở trên là các đối đại số phân bậc. ↩ 1 067K
Ví dụ (1) Lấy E là đối đại số phân bậc T(M) (no. 1) và giả sử rằng N, N', N'' có phân bậc tầm thường. Khi đó một đồng cấu phân bậc bậc -p từ T(M) vào N (tương ứng N', N'') tương ứng với… 067L
Nhận xét Giả sử các Eₚ là các A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn, sao cho các A-môđun phân bậc (E ⊗_A E)^*gr và E^*gr ⊗_A E^*gr có thể được đồng nhất một cách chính tắc (II, § 4, no. 4, Hệ quả 1 c… 067M
Mệnh đề 1 Cho E là một đối đại số trên A. Điều kiện cần và đủ để, với mọi A-đại số kết hợp B, A-đại số Hom_A(E, B) là kết hợp, là đồng tích c : E → E ⊗_A E sao cho biểu đồ ↩ 1 067N
Ví dụ (4) Ta kiểm tra ngay lập tức được rằng đối đại số A (no. 1, Ví dụ (1)), đối đại số A^(X) (no. 1, Ví dụ 4) và đối đại số T(M) (no. 1, Ví dụ 5) đều là đối kết hợp. Nếu B là một đại s… ↩ 1 067O
Mệnh đề 2 Cho E là một đối đại số trên A. Để với mọi đại số trên A giao hoán B, đại số trên A Hom_A(E, B) là giao hoán, điều kiện cần và đủ là đồng tích c : E → E ⊗_A E sao cho biểu đồ ↩ 2 067P
Ví dụ (5) Ngay lập tức thấy rằng đối đại số A (no. 1, Ví dụ 1) và đối đại số A^(X) (II, § 11, no. 1, Ví dụ 4) là đối giao hoán. Từ công thức (5) của no. 1 suy ra đối đại số S(M) là đối g… ↩ 5 067Q
Mệnh đề 3 Cho E là một đối đại số trên A. Điều kiện cần và đủ để, với mọi A-đại số có đơn vị B, A-đại số Hom_A(E, B) có đơn vị là tồn tại một dạng tuyến tính γ trên E làm cho các biểu đồ sau… ↩ 1 067R
Ví dụ (6) Ánh xạ đồng nhất là đồng đơn vị của đối đại số A; trên đối đại số A^(X) (no. 1, Ví dụ 4) dạng tuyến tính γ sao cho γ(eₓ) = 1 với mọi x ∈ X là đồng đơn vị. Trên đối đại số T(M)… ↩ 3 067S
Mệnh đề 4 Cho E là một đối đại số thừa nhận một đồng đơn vị γ và giả sử rằng tồn tại trong E một phần tử e sao cho γ(e) = 1; khi đó E là tổng trực tiếp của các môđun con trên A Ae và E_γ = K… ↩ 2 067T
Nhận xét Cho C là một đối đại số trên A có đồng đơn vị và kết hợp, B là một đại số trên A có đơn vị và kết hợp, và M là một B-môđun trái. Ánh xạ A-song tuyến tính (b, m) ↦ bm từ B × M vào M… 067U
Mệnh đề 5 (i) Cho E là một đối đại số phân bậc thừa nhận một đồng đơn vị γ; khi đó γ là một dạng tuyến tính thuần nhất bậc 0. ↩ 2 067V
Mệnh đề 6 Cho E là một đối đại số phân bậc trên A. Điều kiện cần và đủ để, với mọi A-đại số giao hoán B, với phân bậc tầm thường, A-đại số phân bậc kiểu Z Homgr_A(E, B) (no. 2) là phản giao… ↩ 1 067W
Ví dụ Suy ra ngay lập tức từ công thức (8) của no. 1 rằng với mọi A-môđun M, đối đại số phân bậc bigwedge(M) là phản đối giao hoán. 067X
Định nghĩa 3 Một song đại số phân bậc (tương ứng, phản song đại số phân bậc) trên một vành A là một tập hợp E được trang bị một cấu trúc A-đại số phân bậc kiểu N và một cấu trúc A-đối đại số ph… ↩ 4 067Y
Ví dụ (1) Cho S là một monoit với phần tử đơn vị u, sao cho đại số E = A^(S) của monoit S trên A có phần tử đơn vị eᵤ (§ 2, no. 6); mặt khác người ta đã thấy rằng E có một cách chính tắc… 067Z
Nhận xét Nếu M là một A-môđun sao cho M ⊗_A M ≠ 0, thì các cấu trúc A-đại số phân bậc (§ 5, no. 1) và A-đối đại số phân bậc (no. 1, Ví dụ 5) trên T(M) không xác định một cấu trúc song đại s… 0680
Bổ đề 1 (i) Trong đại số kết hợp E^* = Hom_A(E, A), tích của n phần tử u₁, u₂, …, uₙ bậc 1 được cho bởi u₁ u₂ … uₙ = mₙ ∘ (u₁ ⊗ u₂ ⊗ ⋯ ⊗ uₙ) ∘ cₙ. (ii) Giả sử thêm rằng đối đại số E là phâ… 0681
Mệnh đề 7 Cho M là một A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn. Khi đó các đồng cấu chính tắc θ_T : T(M^*) → T(M)^*gr và θ_Λ : bigwedge(M^*) → (bigwedge(M)^*gr)⁰ là song ánh. Hơn nữa, đối ngẫu phân bậc… ↩ 4 0682
Bổ đề 2 Cho ↩ 1 0683
Mệnh đề 8 Giả sử rằng vành A là một đại số trên trường Q các số hữu tỉ; khi đó, với mọi A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn M, đồng cấu ↩ 2 0684
Nhận xét Cho M là một A-môđun và ρ : A → B một đồng cấu vành giao hoán. Khi đó có một biểu đồ giao hoán các đồng cấu đại số trên B phân bậc 0685
Ví dụ Đặc biệt, điều trên có thể được áp dụng khi E là một trong các đại số phân bậc T(M), S(M) hoặc bigwedge(M) đối với một A-môđun M và P là một A-môđun (với phân bậc tầm thường). Để t… 0686
Ví dụ Đặc biệt, điều trên có thể được áp dụng khi E là một trong các đối đại số phân bậc T(M), S(M) hoặc Λ(M) của một A-môđun M (no. 1, Ví dụ 5, 6 và 7). Để xác định tường minh các cấu t… 0687
Mệnh đề 9 Cho E là một song đại số phân bậc (resp. song đại số phân bậc xiên). Với mọi phần tử x bậc 1 trong E, các tích nội trái và phải theo x là các đạo hàm (resp. phản đạo hàm) (§ 10, no… ↩ 1 0688
Nhận xét (1) Cho E là một song đại số phân bậc trên A và N, N', N'' là ba A-môđun phân bậc. Cho m là một ánh xạ A-song tuyến tính từ N × N' vào N''; với u ∈ Homgr_A(E, N) và v ∈ Homgr_A(E… 0689
Mệnh đề 10 Cho E là một song đại số phân bậc (tương ứng, song đại số phân bậc xiên). Với mọi phần tử f bậc 1 của E^*gr, các tích nội trái và phải là những đạo hàm (tương ứng, phản đạo hàm) củ… 068A
Ví dụ Các Mệnh đề 9 và 10 áp dụng đặc biệt cho đại số kép phân bậc S(M) và đại số kép phân bậc xiên Λ(M). Các tích nội bởi các phần tử bậc 1 trong S(M) (resp. S(M)^*gr) là những đạo hàm… 068B
Mệnh đề 11 Đồng cấu chính tắc θ_T : T(M^*) → T(M)^*gr (resp. θ_S : S(M) → S(M)^*gr, resp. θ_Λ : Λ(M^*) → Λ(M)^*gr) là một đồng cấu T(M)-môđun phải (resp. S(M)-môđun phải, resp. Λ(M)-môđun trá… ↩ 2 068C
Nhận xét Việc cho cơ sở (eᵢ)_1 ≤ i ≤ n cho phép ta đồng nhất đại số S(M) với đại số đa thức A[X₁, …, Xₙ] (§ 6, no. 6); công thức (75) cho thấy rằng tích nội bởi e^*α chỉ là toán tử vi phân… 068D
Mệnh đề 12 Cho M là một A-môđun tự do có chiều n; cho e ∈ ∧ⁿ(M) là một phần tử tạo thành một cơ sở của ∧ⁿ(M) và cho e^* là phần tử của ∧ⁿ(M^*) sao cho (-1)^n(n-1)/2 θ_∧(e^*) là cơ sở đối ngẫu… ↩ 2 068E
Mệnh đề 13 Dưới các giả thiết và ký hiệu của Mệnh đề 11, với mọi tự đồng cấu g của A-môđun M. ↩ 2 068F
Hệ quả Với mọi tự đẳng cấu g của E, (80) Λ^(tg⁻¹) = (det g)⁻¹φ ∘ (Λ(g)) ∘ φ⁻¹. ↩ 1 068G
Mệnh đề 14 (i) Trực giao của M_z trong E^* là tập hợp các x^* ∈ E^* sao cho x^* ⊥ z = 0. 068H
Mệnh đề 15 Cho E là một không gian vectơ chiều n và cho e là một phần tử ≠ 0 của ∧ⁿ(E) (do đó lập thành một cơ sở của không gian vectơ này). Gọi φ : ∧(E) → ∧(E^*) là đẳng cấu không gian vectơ… ↩ 1 068I
Hệ quả Nếu E có chiều n, mọi (n-1)-vectơ khác không của E đều là thuần. 068J
Mệnh đề 16 Để một phần tử z ≠ 0 của bigwedgeᵖ(E) là thuần, điều kiện cần và đủ là, với mọi u^* ∈ bigwedgeᵖ⁻¹(E^*), 068K

App. 0. Alternative algebras. Octonions

Bổ đề 1 Với mọi p, q, r, s trong đại số F, 069A
Mệnh đề 1 Đối với một đại số trên A F, các điều kiện sau là tương đương: (a) Với mọi cặp có thứ tự các phần tử x, y của F, đại số con sinh bởi x và y là kết hợp. (b) Ánh xạ tuyến tính theo b… ↩ 4 069B
Bổ đề 2 Cho E là một đại số trên A sao cho ánh xạ tuyến tính theo ba biến (x, y, z) ↦ a(x, y, z) là phản xứng, S là một hệ sinh của E và U là một môđun con trên A của E chứa S và sao cho s… ↩ 1 069C
Bổ đề 3 Giả sử ánh xạ a là phản xứng. Nếu H là một tập con kết hợp mạnh của F, thì đại số con của F sinh bởi H là kết hợp mạnh. ↩ 1 069D
Bổ đề 4 Giả sử ánh xạ a là phản xứng. Khi đó, với mọi x ∈ F, đại số con của F sinh bởi x là kết hợp mạnh. ↩ 1 069E
Bổ đề 5 Giả sử ánh xạ a là phản xứng và cho X, Y là hai đại số con kết hợp mạnh của F. Khi đó đại số con của E sinh bởi X ∪ Y là kết hợp. 069F
Định nghĩa 1 Một đại số F được gọi là thay thế nếu nó thỏa mãn các điều kiện tương đương của Mệnh đề 1. 069G
Mệnh đề 2 Cho A là một vành, F là một đại số Cayley trên A, e là phần tử đơn vị của nó, s : x ↦ overlinex là phép liên hợp của nó và N : F → A là chuẩn Cayley của nó (§ 3, no. 4). ↩ 2 069H
Mệnh đề 3 Cho E là một đại số Cayley trên A, γ là một phần tử của A và F là mở rộng Cayley của E xác định bởi γ và phép liên hợp của E (§ 2, no. 5, Mệnh đề 5). Để F là thay thế, điều kiện cầ… ↩ 2 069I
Mệnh đề 4 Cho F là một đại số octonion kiểu (-1, 0, -1, -1) trên A. Tồn tại một không gian vectơ V chiều 3 trên trường hai phần tử Z/2Z và một song ánh λ ↦ e'_λ từ V lên cơ sở (eᵢ)_0 ≤ i ≤ 7… 069J
Nhận xét Vì bare'_λ = -e'_λ với λ ≠ 0, 069K

IV. Đa thức và phân thức hữu tỉ

§ 1. Đa thức

Mệnh đề 1 Cho u và v là hai đa thức. 069O
Mệnh đề 2 Cho a = (aᵢ)_i ∈ I là một họ các phần tử của A và cho u ∈ A[X]. Nếu v là đa thức thu được bằng cách thay Xᵢ + aᵢ vào chỗ Xᵢ với mỗi i ∈ I, thì số hạng hằng của v bằng u(a). ↩ 1 069P
Hệ quả 1 Cho m là iđêan các đa thức u ∈ A[X] sao cho u(a) = 0. Khi đó m được sinh bởi các đa thức Xᵢ - aᵢ (với i ∈ I). ↩ 1 069Q
Hệ quả 2 Cho X = (Xᵢ)_i ∈ I và Y = (Yᵢ)_i ∈ I là hai họ bất định. Tập hợp các đa thức u ∈ A[X,Y] sao cho u(X,X) = 0 là iđêan của A[X,Y] sinh bởi các đa thức Xᵢ - Yᵢ (với i ∈ I). 069R
Mệnh đề 3 Cho u ∈ A[X] và gọi X.Z là họ (XᵢZ)_i ∈ I các phần tử của vành đa thức A[X][Z]. Hệ số của Zᵏ trong u(X.Z) là thành phần thuần nhất bậc k của u, với mọi số nguyên dương k. 069S
Hệ quả Để một đa thức u ∈ A[X] là thuần nhất bậc k thì điều kiện cần và đủ là : 069T
Nhận xét — Cho x ∈ Aᴵ và gọi f là ánh xạ u ↦ u(x) từ A[X] vào A. Với một A-môđun M cho trước, ta xét đồng cấu 1 ⊗ f từ M[X] = M ⊗_A A[X] vào M ⊗_A A = M. Với mỗi v ∈ M[X] ta có (1 ⊗ f)(v) =… 069U
Mệnh đề 4 Cho E là một A-đại số kết hợp, giao hoán và có đơn vị, x = (xᵢ)_i ∈ I một họ các phần tử của E, u một phần tử của A[(Xᵢ)_i ∈ I] và y = u(x). Khi đó với mọi đạo hàm D từ E vào một E… ↩ 1 069V
Hệ quả — Cho f ∈ A[X₁, ..., Xₚ] và gᵢ ∈ A[Y₁, ..., Y_q] với 1 ≤ i ≤ p, và đặt h = f(g₁, ..., gₚ), khi đó với 1 ≤ j ≤ q ta có 069W
Mệnh đề 5 — Với mọi u ∈ A[X] và ν ∈ N⁽ᴵ⁾ ta có ↩ 1 069X
Mệnh đề 6 (*« đồng nhất thức Euler »*) — Cho u ∈ A[X] là một đa thức thuần nhất bậc r ; ta có 069Y
Mệnh đề 7 — Cho f ∈ A[X] là một đa thức khác không theo một bất định và a là hệ số đầu của nó. Nếu a giản ước được trong A (đặc biệt nếu f đơn nhất) thì với mọi phần tử khác không g của A[X]… ↩ 4 069Z
Mệnh đề 8 — Nếu A là một miền nguyên, thì A[(Xᵢ)_i ∈ I] cũng là một miền nguyên. ↩ 3 06A0
Hệ quả 1 — Nếu A là một miền nguyên, và u, v là các phần tử của A[(Xᵢ)_i ∈ I], thì deg(uv) = deg u + deg v. ↩ 1 06A1
Hệ quả 2 — Nếu A là một miền nguyên, thì các phần tử khả nghịch của A[(Xᵢ)_i ∈ I] là các phần tử khả nghịch của A. 06A2
Mệnh đề 9 — Cho u ∈ A[(Xᵢ)_i ∈ I]; khi đó điều kiện cần và đủ để u lũy linh trong vành A[(Xᵢ)_i ∈ I] là mọi hệ số của nó đều lũy linh trong vành A. 06A3
Nhận xét Cho u và v là các phần tử của A[(Xᵢ)ᵢ ∈ ,], và giả sử rằng A là một miền nguyên, v là một bội khác không của u và v thuần nhất; khi đó u cũng thuần nhất. Thật vậy, cho u' ∈ A[(Xᵢ)ᵢ… 06A4
Mệnh đề 10 Mọi f và g là các phần tử khác không của A[X] có bậc lần lượt là m và n. Gọi α₀ là hệ số cao nhất của f và μ = sup(n - m + 1, 0). Tồn tại u, v ∈ A[X] sao cho α₀^μ g = uf + v, deg v… ↩ 1 06A5
Hệ quả (« Phép chia Euclid các đa thức ») — Cho f là một phần tử khác không của A[X] mà hệ số đầu khả nghịch và m = deg f. (i) Với mọi g ∈ A[X] tồn tại u,\ v ∈ A[X] sao cho g = uf + v , deg v < m . Hơn nữa, các điều kiện n… 06A6
Mệnh đề 11 — Cho K là một trường giao hoán. (i) Với mọi iđêan khác không a của K[X] tồn tại chính xác một đa thức đơn khởi f trong K[X] sao cho a = (f ). (ii) Cho f₁ và f₂ thuộc K[X]; để có (… ↩ 1 06A7
Mệnh đề 12 Cho K là một trường giao hoán và f, g là hai phần tử của K[X]. Với mọi đa thức d trong K[X] các tính chất sau đây là tương đương: ↩ 3 06A8
Định nghĩa 1 Với ký hiệu của Mệnh đề 12, ta nói rằng d là một ước chung lớn nhất (viết tắt là gcd) của f và g. Ta nói rằng f và g nguyên tố cùng nhau hoặc rằng f nguyên tố với g nếu 1 là một gc… 06A9
Hệ quả 1 Cho d là một ước chung lớn nhất của f và g và K' là một trường giao hoán chứa K như trường con. Khi đó d là một ước chung lớn nhất của f và g khi xét chúng như các phần tử của K'[X… 06AA
Hệ quả 2 — Cho d là một ước chung lớn nhất của f và g. (i) Nếu u ∈ K[X], thì du là một ước chung lớn nhất của fu và gu. (ii) Nếu v ∈ K[X] là một ước (≠ 0) của f và g, thì d/v là một ước chu… ↩ 2 06AB
Hệ quả 3 — Cho w là một nhân tử chung của f và g. Để w là một ước chung lớn nhất của f và g, điều kiện cần và đủ là f/w và g/w nguyên tố cùng nhau. Điều này suy ra từ Hệ quả 2. 06AC
Hệ quả 4 — Cho f, g, h ∈ K[X]. Nếu f chia hết gh và nguyên tố cùng nhau với g, thì f chia hết h. Vì f chia hết gh và fh, nên f chia hết mọi ước chung lớn nhất của gh và fh, đặc biệt là h (H… 06AD
Hệ quả 5 — Cho f, g ∈ K[X]. Để f và g nguyên tố cùng nhau, điều kiện cần và đủ là ảnh chính tắc của g trong K[X]/(f) là khả nghịch. Vì điều kiện này có nghĩa là tồn tại u, v ∈ K[X] sao cho… 06AE
Hệ quả 6 — Cho f, g₁, g₂, ..., gₙ ∈ K[X]. Nếu f nguyên tố cùng nhau với g₁, g₂, ..., gₙ, thì f nguyên tố cùng nhau với g₁g₂...gₙ. 06AF
Định nghĩa 2 — Cho K là một trường giao hoán. Ta nói rằng f ∈ K[X] là bất khả quy nếu deg f ≥ 1 và f không chia hết cho bất kỳ đa thức g nào sao cho 0 < deg g < deg f. Nói như vậy cũng tương đư… 06AG
Mệnh đề 13 — Cho I là tập các đa thức đơn nhất bất khả quy trong K[X]. Cho f là một phần tử khác không của K[X] và a là hệ số cao nhất của nó; khi đó tồn tại chính xác một họ các số nguyên dư… 06AH

§ 2. Các nghiệm không của đa thức

Mệnh đề 1 — Cho f ∈ A[X] và α ∈ A. Số dư của phép chia f cho X - α là f(α). Để α là một nghiệm của f thì điều kiện cần và đủ là X - α là một ước của f trong A[X]. ↩ 2 06AO
Mệnh đề 2 — Cho f ∈ A[X], a ∈ A, và cho h là một số nguyên ≥ 0. Các điều kiện sau là tương đương: (i) f chia hết cho (X - α)ʰ nhưng không chia hết cho (X - α)ʰ⁻¹; (ii) tồn tại g ∈ A[X] sao c… ↩ 2 06AP
Mệnh đề 3 — Cho f là một phần tử khác không của A[X] và a ∈ A. Tồn tại duy nhất một số nguyên h ≥ 0 thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) của Mệnh đề 2. Điều này hiển nhiên đối với điều kiện (i… 06AQ
Định nghĩa 1 — Với ký hiệu trên, ta nói rằng a có cấp h, hay bội số h đối với f. Nếu h > 0 ta cũng nói rằng a là một nghiệm cấp h hay bội số h của f. Một nghiệm cấp 1 được gọi là một nghiệm đơn… ↩ 1 06AR
Nhận xét 1 Nếu f = 0 ta quy ước nói rằng a có cấp ≥ h đối với f, với mọi a ∈ A và số nguyên h ≥ 0. Với mọi f ∈ A[X] và a ∈ A, nói rằng a có cấp ≥ h đối với f có nghĩa là (X - α)ʰ chia hết f. 06AS
Nhận xét 2 Cho B là một vành giao hoán chứa A như vành con. Cho f ∈ A[X] là khác không và a ∈ A. Cấp của a đối với f là như nhau, dù ta xét f như một phần tử của B[X] hay như một phần tử của… 06AT
Mệnh đề 4 — Cho f và g là các phần tử khác không của A[X]. Cho a ∈ A, và gọi các bậc của a đối với f và g lần lượt là p và q. (i) Bậc của a đối với f + g là ≥ inf(p, q). Nó bằng inf(p, q) nế… ↩ 1 06AU
Mệnh đề 5 Giả sử rằng A là một miền nguyên. Cho f là một phần tử khác không của A[X], và α₁, …, αₚ là các nghiệm phân biệt từng đôi một của f trong A, có các cấp k₁, …, kᵣ. Ta có ↩ 3 06AV
Định lý 1 Cho A là một miền nguyên. Với một phần tử khác không f của A[X], bậc n, thì tổng các cấp của mọi nghiệm của nó trong A là ≤ n. ↩ 2 06AW
Hệ quả Giả sử A là một miền nguyên và cho f, g ∈ A[X], bậc ≤ n. Nếu tồn tại n + 1 phần tử x₁, …, xₙ₊₁ của A từng đôi một phân biệt sao cho f(xᵢ) = g(xᵢ) với 1 ≤ i ≤ n + 1, thì f = g. ↩ 1 06AX
Mệnh đề 6 (công thức nội suy Lagrange) — Cho K là một trường giao hoán, α₁, α₂, …, a, là các phần tử phân biệt của K và β₁, β₂, …, βₙ là các phần tử bất kỳ của K. Với i = 1, 2, …, n ta đặt ↩ 2 06AY
Hệ quả — Giả sử rằng A là một miền nguyên. Cho f ∈ A[X], có bậc < n, và cho K là một vành con của A đồng thời là một trường. Nếu tồn tại n phần tử phân biệt α₁, …, aₙ của A sao cho αᵢ ∈ K… 06AZ
Mệnh đề 7 — Cho f ∈ A[X] và cho a ∈ A là một nghiệm của f: Để a là một nghiệm đơn của f thì điều kiện cần và đủ là a không là một nghiệm của đạo hàm Df của f. ↩ 3 06B0
Mệnh đề 8 — Cho f ∈ A[X] và a ∈ A, và giả sử rằng a có cấp k ≥ 1 đối với f: Khi đó a có cấp ≥ k - 1 đối với Df. Nếu k . 1 giản ước được trong A, thì a có cấp k - 1 đối với Df. ↩ 2 06B1
Hệ quả — Cho f ∈ A[X], a ∈ A và p là một số nguyên ≥ 0; hơn nữa, giả sử rằng p! . 1 là giản ước được trong A. Khi đó, để a là một nghiệm cấp p của f, điều kiện cần và đủ là a là một nghiệ… 06B2
Mệnh đề 9 — Giả sử rằng A là một miền nguyên. Cho I là một tập hợp, (Hᵢ)_i ∈ I là một họ các tập con vô hạn của A và H = ∏_i ∈ I Hᵢ ⊂ A'. Nếu f là một phần tử khác không của A[(Xᵢ)_i ∈ I], v… ↩ 3 06B3
Hệ quả 1 — Ta giữ giả thiết và ký hiệu của Mệnh đề 9. Nếu l không rỗng, thì H_f là vô hạn. 06B4
Hệ quả 2 — Giả sử rằng A là một miền nguyên vô hạn hoặc rằng A là một đại số trên một trường vô hạn. Với mọi f ∈ A[(Xᵢ)_i ∈ I], gọi tildef: Aᴵ → A là hàm đa thức được xác định bởi f (IV, p… ↩ 4 06B5
Định lý 2 (Nguyên lý mở rộng các đồng nhất thức đại số) — Giả sử A là một miền nguyên vô hạn. Cho g₁, …, gₘ, f là các phần tử của A[(Xᵢ)_i ∈ I] và giả sử các giả thiết sau đây được thỏa mãn: ↩ 4 06B6
Chú giải — Cho A là một miền nguyên và f ∈ A[(Xᵢ)_i ∈ I]. Định lý 2 cung cấp một phương tiện thuận tiện để chứng minh rằng f = 0. Chỉ cần xét một miền nguyên vô hạn E chứa A như vành con; n… 06B7

§ 3. Phân thức hữu tỉ

Định nghĩa 1 Cho K là một trường giao hoán và I một tập hợp. Trường phân thức (I, p. 116) của miền nguyên K[(Xᵢ)_i ∈ I] được ký hiệu là K((Xᵢ)_i ∈ I) hoặc K(Xᵢ)_i ∈ I. Các phần tử của nó được g… 06BL
Mệnh đề 1 — Cho r, s là hai phân thức hữu tỉ. 06BM
Mệnh đề 2 Cho K là một trường giao hoán, E là một K-đại số kết hợp có đơn vị và x = (xᵢ)_i ∈ I là một họ các phần tử của E hoán vị từng đôi một. Tập Sₓ⁻¹B các f ∈ K((Xᵢ)_i ∈ I) sao cho có th… ↩ 2 06BN
Hệ quả Cho L là một trường giao hoán, K là một trường con của L, x = (xᵢ)_i ∈ I là một họ các phần tử của L, M là tập gồm các xᵢ, U là tập tất cả các f ∈ K((Xᵢ)_i ∈ I) sao cho có thể thế… 06BO
Mệnh đề 3 — Cho E là một đại số trên K, kết hợp, giao hoán, có đơn vị và khác không. Cho f \in K((Xi){i \in I}) và với mỗi i \in I, cho gᵢ ∈ K((Yₗ)_l ∈ L). Với một họ y = (yl){l \in L} các p… 06BP
Mệnh đề 4 — Cho E là một K-đại số kết hợp, giao hoán và có đơn vị, x = (xᵢ)_i, I một họ các phần tử của E và f ∈ K((Xᵢ)_i, I). Giả sử rằng có thể thế x vào trong f và y = f(x). (i) Với mọi đ… 06BQ

§ 4. Chuỗi lũy thừa hình thức

Bổ đề 1 Cho L là một tập vô hạn và (u_λ)_λ ∈ L một họ các phần tử của A[[I]], và đặt u_λ = ∑ α_λ,v Xᵛ với λ ∈ L. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (i) Họ (u_λ)_λ ∈ L là khả tổng (Ge… 06BY
Nhận xét — Giả sử rằng I là hữu hạn. Với mỗi số nguyên n ≥ 0 gọi bₙ là tập hợp các chuỗi lũy thừa hình thức u ∈ A[[I]] sao cho ω(u) ≥ n. Dãy (bₙ)_n ≥ 0 là một hệ cơ bản các lân cận của 0 tr… 06BZ
Mệnh đề 1 Cho (u_λ)_λ ∈ L và (v_μ)_μ ∈ J là hai họ khả tổng các phần tử của A[[I]]. Khi đó họ (u_λ v_μ)_(λ, μ) ∈ J × M là khả tổng và ta có 06C0
Mệnh đề 2 Cho (u_λ)_λ là một họ khả tổng các phần tử của A[[I]]. (i) Họ (1 + u_λ)_λ là khả nhân. (ii) Gọi 𝔗 là tập hợp tất cả các tập con hữu hạn của L. Với mọi M ∈ S đặt u_M = ∏_λ ∈ M u_λ… ↩ 2 06C1
Mệnh đề 3 Cho u = ∑ a_ν X^ν ∈ A[[I]] và m là một số nguyên > 0. Với mọi n ∈ N gọi (α_ν, n)_ν ∈ N⁽ᴵ⁾ là họ các hệ số của uⁿ. Nếu α₀ᵐ = 0, thì α_ν, n = 0 với n ≥ |ν| + m. ↩ 1 06C2
Hệ quả — Cho u ∈ A[[I]]; khi đó điều kiện cần và đủ để có lim_n → ∞ uⁿ = 0 là số hạng hằng của u phải lũy linh. ↩ 1 06C3
Mệnh đề 4 — Cho I là một tập hợp và E là một A-đại số kết hợp, giao hoán, có đơn vị, tách biệt, đầy đủ, tôpô tuyến tính. ↩ 3 06C4
Mệnh đề 5 — Trong vành A[[T]] các chuỗi lũy thừa hình thức theo một bất định, đa thức 1 - T là khả nghịch, và ta có (1 - T)⁻¹ = ∑ₙ₌₀ᵐ Tⁿ. ↩ 3 06C5
Mệnh đề 6 — Cho u ∈ A[[I]]; khi đó để u khả nghịch trong A[[T]] thì điều kiện cần và đủ là số hạng hằng của nó khả nghịch trong A. ↩ 3 06C6
Nhận xét — Gọi A là tập hợp tất cả các chuỗi lũy thừa hình thức có số hạng hằng bằng 1. Theo Mệnh đề 6, M là một nhóm giao hoán đối với phép nhân; vì vậy nhóm nhân của A[[I]] là tích trực t… 06C7
Nhận xét 1) Ta thường nói rằng Dᵢ u là đạo hàm riêng của u theo X, ; ta cũng dùng ký hiệu D_xᵢ u, (∂ u)/(∂ xᵢ) và u'_xᵢ. Đối với một bất định duy nhất X, đạo hàm riêng duy nhất Du (cũng viế… 0DHH
Mệnh đề 7 — Cho (yᵢ)_i ∈ I, là một họ các phần tử của E. Khi I là vô hạn, ta giả sử rằng yᵢ tiến tới 0 theo bộ lọc các phần bù của các tập con hữu hạn của I. Khi đó tồn tại một A-đạo hàm liê… ↩ 1 06C8
Hệ quả 1 — Cho A là một đạo hàm liên tục của A-đại số E. Với mọi chuỗi lũy thừa hình thức u ∈ A[[I]] họ ((Dᵢu)(x) · Δ xᵢ)_i ∈ I là khả tổng và ta có ↩ 3 06C9
Hệ quả 2 — Đạo hàm Dᵢ là đạo hàm liên tục duy nhất của A-đại số A[[I]] sao cho 06CA
Hệ quả 3 — Cho f ∈ A[[X₁, ..., Xₛ]] và gᵢ ∈ A[[Y₁, ..., Y_q]] với 1 ≤ i ≤ p. Giả sử rằng với 1 ≤ i ≤ p số hạng hằng của gᵢ bằng không, và đặt h = f(g₁, ..., gₚ). Khi đó với 1 ≤ j ≤ q ta có ↩ 1 06CB
Mệnh đề 8 — Cho X = (Xᵢ)ᵢ, là một họ hữu hạn các bất định. (i) Mọi đạo hàm của vành các chuỗi lũy thừa hình thức A[[X]] đều liên tục. (ii) Mọi đạo hàm của vành đa thức A[X] vào vành các chuỗ… 06CC
Mệnh đề 9 — Cho (u_λ)_λ ∈ L là một họ khả tổng gồm các phần tử của A[[I]] không có số hạng hằng và D là một đạo hàm liên tục của A-đại số A[[I]]. Nếu f = ∏_λ ∈ L (1 + u_λ) (IV, p. 27, Prop… 06CD
Bổ đề 2 Cho (gᵢ)ᵢ là một họ các phần tử cấp ≥ 2 trong A[[I]]. Khi I là vô hạn, giả sử rằng gᵢ tiến đến 0 theo bộ lọc các phần bù của các tập con hữu hạn của I. Tồn tại một và chỉ một tự đẳ… ↩ 2 06CE
Mệnh đề 10 — Cho f ∈ AI; khi đó các điều kiện sau là tương đương : (i) f khả nghịch trong AI đối với luật ∘; (ii) T_f khả nghịch trong vành End(A⁽ᴵ⁾). ↩ 2 06CF
Hệ quả — Cho fᵢ(Y₁, Y₂, …, Y_q, X₁, X₂, …, Xₚ) (1 ≤ i ≤ q) là q chuỗi lũy thừa hình thức không có số hạng hằng trong A[[Y₁, …, Y_q, X₁, …, Xₚ]]. Nếu số hạng hằng của chuỗi lũy thừa hình t… 06CG
Mệnh đề 11 — Giả sử rằng A là một miền nguyên. 06CH
Mệnh đề 12 — Mọi phần tử khác không u của K((X)) đều có thể viết một cách duy nhất dưới dạng u = Xᵏ v, trong đó k ∈ Z và v là một chuỗi lũy thừa hình thức theo X có cấp 0. ↩ 1 06CI
Mệnh đề 13 — Trong Q[[X, Y]] ta có e^X+Y = e^X e^Y. ↩ 1 06CJ
Mệnh đề 14 — Ta có l(e(X)) = e(l(X)) = X. 06CK

§ 5. Tenxơ đối xứng và các ánh xạ đa thức

Định nghĩa 1 — Nếu G là nhóm con có chỉ số hữu hạn trong H, ta ký hiệu Tr_H/G là ánh xạ từ Mᴳ vào Mᴴ được xác định bởi 06CT
Mệnh đề 1 — (i) Cho m ∈ Mᴳ và h ∈ H. Khi đó hm ∈ M^hGh⁻¹ và ↩ 1 06CU
Mệnh đề 2 — (i) Đại số trên A TS(M) là kết hợp, giao hoán và có đơn vị. ↩ 2 06CV
Định nghĩa 2 Nếu x ∈ M, phần tử x ⊗ x ⊗ … ⊗ x của TSᵏ(M) được ký hiệu là γₖ(x). 06CW
Mệnh đề 3 (i) Nếu x ∈ M, lũy thừa bậc p của x, tính trong TS(M), bằng p! γₚ(x). (ii) Cho x₁, …, xₙ ∈ M; khi đó γₚ(x₁ + x₂ + ⋯ + xₙ) = ∑_p₁ + p₂ + ⋯ + pₙ = p γ_p₁(x₁) γ_p₂(x₂) … γ_pₙ(xₙ) . (i… ↩ 5 06CX
Nhận xét 1 Cho (xᵢ)_i ∈ I là một họ các phần tử của M. Với mỗi ν ∈ N⁽ᴵ⁾ đặt x_ν = ∏_i ∈ I γ_νᵢ(xᵢ). Nếu (λᵢ) ∈ A⁽¹⁾ và p ∈ N, thì theo Mệnh đề 3 (ii), ta có γₚ ( ∑_i ∈ I λᵢ xᵢ ) = ∑_ν ∈ N⁽ᴵ⁾… 06CY
Nhận xét 2 Cho M là tập hợp các ánh xạ từ (1, p) vào I. Ta định nghĩa một ánh xạ ρ ↦ ρ^* từ M vào N⁽ᴵ⁾ bằng cách đặt ρ^*(i) = Card ρ⁻¹(i) ↩ 1 06CZ
Mệnh đề 4 — Cho M là tự do và (eᵢ)_i ∈ I là một cơ sở của M. ↩ 5 06D0
Bổ đề 1 Cho H là một nhóm hữu hạn và U là một A[H]-môđun trái. Giả sử A-môđun U có một cơ sở B ổn định dưới các phép toán của H trong U, và đặt Ω = B/H. Với mỗi w ∈ Ω, đặt u_w = ∑_b ∈ w b… ↩ 1 06D1
Mệnh đề 5 — Cho M là một A-môđun tự do, k một số nguyên ≥ 0, P A-môđun con của TSᵏ(M) được sinh bởi γₖ(M). Giả sử A là một miền nguyên vô hạn. Khi đó với mỗi z ∈ TSᵏ(M) tồn tại a ∈ A - 0 sao… ↩ 1 06D2
Mệnh đề 6 — Cho M là một A-môđun là tổng trực tiếp của một họ (M_λ)_λ các môđun con. Nếu mỗi M_λ là một môđun tự do, thì đồng cấu chính tắc từ ⊗_λ ∈ L TS(M_λ) vào TS(M) là một đẳng cấu. ↩ 1 06D3
Mệnh đề 7 Cho M là một A-môđun, u là ánh xạ (x, y) ↦ x + y của M ⊕ M vào M và f là ánh xạ hợp ↩ 2 06D4
Mệnh đề 8 — Cho M là một A-môđun tự do, khi đó với các cấu trúc đại số và đối đại số của nó, TS (M) là một song đại số phân bậc giao hoán và đối giao hoán. Đồng đơn vị là ánh xạ A-tuyến tính… 06D5
Mệnh đề 9 — Cho M và N là các A-môđun tự do và u là một A-đồng cấu từ M vào N; khi đó TS(u) là một đồng cấu song đại số. ↩ 1 06D6
Mệnh đề 10 — Cho M là một A-môđun tự do, khi đó các phần tử nguyên thủy (III, p. 602) của song đại số TS(M) là các phần tử của M. ↩ 2 06D7
Mệnh đề 11 — Nếu M là tự do, thì φ_M là một cấu xạ của các song đại số phân bậc. 06D8
Mệnh đề 12 — (i) Nếu u ∈ Sⁿ(M), thì ψ_M(φ_M(u)) = n!u. 06D9
Hệ quả 1 — Nếu A là một Q-đại số, thì đồng cấu chính tắc từ S(M) vào TS(M) là một đẳng cấu đại số. Hơn nữa, nếu M là tự do, thì đó là một đẳng cấu của các song đại số phân bậc. ↩ 2 06DA
Hệ quả 2 — Nếu A là một Q-đại số thì môđun TSⁿ(M) được sinh bởi các lũy thừa bậc n của các phần tử của M trong TS(M). Điều này suy ra từ Hệ quả 1 và tính chất tương ứng của S(M) (III, p. 49… 06DB
Mệnh đề 13 — Cho M và N là các A-môđun, q là một số nguyên geqslant 0, và f là một ánh xạ từ M vào N. Giả sử rằng M là tự do, khi đó các điều kiện sau là tương đương: (i) Tồn tại một ánh xạ q… ↩ 5 06DC
Định nghĩa 3 — Cho M và N là các A-môđun và q là một số nguyên ≥ 0. Giả sử rằng M là tự do, và ký hiệu bởi Pol_A^q(M, N) hoặc đơn giản là Pol^q(M, N) tập hợp các ánh xạ từ M vào N thỏa mãn các… ↩ 1 06DD
Ví dụ 1 Các ánh xạ đa thức thuần nhất bậc 1 từ M vào N là các ánh xạ A-tuyến tính từ M vào N. 06DE
Ví dụ 2 Cho (Nᵢ)_i ∈ I là một họ các A-môđun, fᵢ là một ánh xạ từ M vào Nᵢ, i ∈ I, và f : M → ∏_i ∈ I Nᵢ là ánh xạ có các thành phần là fᵢ. Để f là một ánh xạ đa thức thuần nhất bậc q thì… 06DF
Ví dụ 3 Cho (Mⱼ)_j ∈ J là một họ hữu hạn các A-môđun tự do và u : ∏_j ∈ J Mⱼ → N là một ánh xạ đa tuyến tính; khi đó u là đa thức bậc Card(J). 06DG
Ví dụ 4 Cho (Xᵢ)_i ∈ I là một họ các ẩn, N là một A-môđun và u ∈ N[(Xᵢ)_i ∈ I] là một đa thức thuần nhất bậc q. Ánh xạ (xᵢ)_i ∈ I ↦ u((xᵢ)_i ∈ I) từ A⁽ᴵ⁾ vào N là một ánh xạ đa thức thuần… 06DH
Ví dụ 5 Ánh xạ (xᵢ)_i ∈ N ↦ x₀² + x₁² + … + xₙ² + … từ A⁽ᴺ⁾ vào A là một ánh xạ đa thức thuần nhất bậc 2. Nếu A = 2/22, nó trùng với ánh xạ tuyến tính (xᵢ)_i ∈ I ↦ x₀ + x₁ + … + xₙ + … 06DI
Ví dụ 6 Cho f ∈ Pol_A^q(M, N), cho B là một vành giao hoán, ρ là một đồng cấu từ B vào A và M' và N' là các B-môđun dẫn xuất từ M và N bằng ρ. Giả sử rằng M' là tự do; khi đó f ∈ Pol_B^q(M… 06DJ
Mệnh đề 14 — Cho M, N, P là các A-môđun, q và r là các số nguyên geqslant 0, và giả sử rằng M và N tự do. Nếu f ∈ Pol^q(M, N), f' ∈ Polʳ(N, P), thì f' ∘ f ∈ Pol^qr(M, P). 06DK
Mệnh đề 15 — Cho M là một A-môđun tự do, N là một A-môđun và q là một số nguyên geqslant 0. Ta giả sử rằng ánh xạ y ↦ q!y là một tự đẳng cấu của N. Cho f ∈ Pol^q(M, N), khi đó tồn tại một và… ↩ 1 06DL
Mệnh đề 16 — Cho M là một A-môđun tự do, N là một A-môđun, q là một số nguyên dương và u là đồng cấu chính tắc từ Hom (TS^q(M), N) vào Pol^Y(M, N). ↩ 2 06DM
Hệ quả — Cho M là một A-môđun tự do, N là một A-môđun, q là một số nguyên dương, h ∈ Pol^q(M, N) và (eᵢ)ᵢ, một cơ sở của M. Trong hai trường hợp của Mệnh đề 16, tồn tại một họ duy nhất (u… ↩ 1 06DN
Định nghĩa 4 — Cho M và N là các A-môđun và giả sử rằng M là tự do. Ký hiệu ánh xạ(M, N) là A-môđun của mọi ánh xạ từ M vào N. Môđun con ∑_q > 0 Pol_A^q(M, N) của ánh xạ(M, N) được ký hiệu là P… ↩ 2 06DO
Mệnh đề 17 — Cho M là một A-môđun tự do và B là một A-đại số kết hợp, giao hoán và có đơn vị. Khi đó Pol_A(M, B) là một đại số con trên B của đại số Map(M, B). 06DP
Mệnh đề 18 — Cho M, N, P là các A-môđun, và giả sử rằng M và N là tự do. Nếu f ∈ Pol(M, N), g ∈ Pol(N, P), thì g ∘ f ∈ Pol(M, P). 06DQ
Bổ đề 2 — Cho N là một A-môđun, n là một số nguyên ≥ 0 và ↩ 1 06DR
Mệnh đề 19 — Cho M là một A-môđun tự do, N là một A-môđun, G là một nhóm con cộng tính vô hạn của A, và giả sử rằng các phép vị tự của N xác định bởi các phần tử khác không của G là đơn ánh… ↩ 1 06DS
Hệ quả — Giả sử rằng A là một miền nguyên vô hạn; cho M là một A-môđun tự do và N là một A-môđun không xoắn. ↩ 2 06DT
Mệnh đề 20 — Nếu A-môđun M là tự do và sinh hữu hạn, thì 0 là một đẳng cấu của các đại số phân bậc. ↩ 1 06DU
Nhận xét 1 — Theo cùng một cách, ta thấy rằng nếu M là một A-môđun tự do sinh hữu hạn, thì đại số phân bậc S(M)^*gr được định nghĩa trong III, p. 593 có thể được đồng nhất với TS(M^*). ↩ 1 06DV
Mệnh đề 21 — Đồng cấu chính tắc của các A-môđun (IV, p. 55) 06DW
Nhận xét — 2) Đồng cấu hợp thành A, = u ∘ 0 : S(M^*) → Pol_A(M, A) là đồng cấu có đơn vị duy nhất của các đại số cảm sinh phép nhúng của ↩ 2 06DX

§ 6. Hàm đối xứng

Định lý 1 — Ta đặt E = A[X₁, …, Xₙ] và S = A[X₁, …, Xₙ]^sym. ↩ 2 06EE
Mệnh đề 1 Mọi cặp số nguyên dương k, n, cho Sₖ⁽ⁿ⁾ là A-môđun gồm tất cả các đa thức đối xứng theo X₁, …, Xₙ, thuần nhất có bậc k. Nếu số nguyên m thỏa mãn 0 ≤ k ≤ m ≤ n, thì ánh xạ f ↦ f (X₁… 06EF
Ví dụ 3 Theo ví dụ 2 của IV, p. 64 và Mệnh đề 1 ở trên, ta có ∑ᵢ₌₁ⁿ Xᵢ³ = s_1,n³ - 3s_1,ns_2,n + 3s_3,n với mọi số nguyên n ≥ 3. Tính giao hoán của biểu đồ (10) hơn nữa cho các công thức X… 06EG
Nhận xét — Cho n và k là hai số nguyên dương. Ta ký hiệu bởi Δ_k,n tập hợp các phần tử có độ dài k trong Nⁿ và hơn nữa trang bị cho A, , với quan hệ thứ tự, viết a ≤ β, cảm sinh bởi quan hệ… 06EH
Ví dụ 4 Theo Ví dụ 3 của IV, p. 65, ta có 06EI
Mệnh đề 2 — Trường các phân thức hữu tỉ đối xứng theo X₁, …, Xₙ là trường các phân thức của vành các đa thức đối xứng theo X₁, …, Xₙ. ↩ 2 06EJ
Hệ quả — Cho s₁, s₂, …, sₙ là các đa thức đối xứng sơ cấp theo X₁, …, Xₙ. Với mọi phân thức hữu tỉ g ∈ K(S₁, S₂, …, Sₙ) dãy (s₁, s₂, …, sₙ) có thể được thế vào g và ánh xạ g ↦ g(s₁, s₂, …… 06EK
Định lý 2 a) Nếu I là một tập hợp hữu hạn gồm n phần tử, thì φ_I cảm sinh một đẳng cấu bicontinuous của A[[S₁, …, Sₙ]] lên A[[X]]^sym. ↩ 1 06EL
Bổ đề 1 Cho J là một tập con hữu hạn của I, r là một số nguyên sao cho Card J ≥ r và f là một chuỗi lũy thừa hình thức đối xứng thuần nhất có bậc r theo các Xᵢ (i ∈ I). Cho barf là chuỗi l… ↩ 2 06EM
Bổ đề 2 Cho f là một chuỗi lũy thừa hình thức đối xứng có bậc r theo các Xᵢ (i ∈ I). Tồn tại một đa thức duy nhất P ∈ B ∩ A[S], đẳng trọng số trọng số r, sao cho f = ψ₁(P). ↩ 1 06EN
Bổ đề 3 Với mọi số nguyên m ≥ 0, gọi cₘ là iđêan của đại số A[[X]]ˢʸᵐ gồm tất cả các chuỗi lũy thừa hình thức đối xứng có cấp ≥ m. Dãy (cₘ)_m ≥ 0 là một hệ cơ bản các lân cận của 0 trong A… 06EO
Bổ đề 4 (« các quan hệ của Newton ») — Với mọi số nguyên d ≥ 1 ta có 06EP
Nhận xét — Với ký hiệu của chứng minh trên, ta có 06EQ
Mệnh đề 3 — a) Nếu I là một tập hợp hữu hạn có n phần tử và n! · 1 khả nghịch trong A, thì λ_I cảm sinh một đẳng cấu song liên tục từ A[[P₁, …, Pₙ]] lên A[[X]]^sym. b) Nếu I là vô hạn và A l… ↩ 1 06ER
Hệ quả — Cho ξ₁, …, ξₙ, η₁, …, ηₙ là các phần tử của A và giả sử rằng A là một miền nguyên. 06ES
Mệnh đề 4 Cho B là một vành giao hoán, ρ là một đồng cấu của A vào B và ξ₁, ..., 5, là các phần tử của B. Giả sử rằng quan hệ ^ρ f(X) = ∏ᵢ₌₁ⁿ (X - ξᵢ) đúng trong B[X]. Khi đó tồn tại một và… 06ET
Mệnh đề 5 Trong đại số phân tích phổ quát E_f họ các đơn thức x₁^ν(1) ... xₙ^ν(n) sao cho 0 ≤ ν(i) < i với 1 ≤ i ≤ n là một cơ sở của A-môđun E_f. Đặc biệt E_f là một A-môđun tự do hạng n!. 06EU
Hệ quả — Đồng cấu chính tắc của A vào đại số phân tích phổ quát của đa thức đơn khởi f ∈ A[X] là đơn ánh. ↩ 1 06EV
Mệnh đề 6 — Cho f ∈ A[X] là một đa thức đơn khởi bậc n, và cho P là một đa thức đối xứng theo X₁, ..., Xₙ với các hệ số trong A. Khi đó tồn tại chính xác một phần tử a của A có tính chất sau… 06EW
Ví dụ 1) Nếu P = sₖ, thì P^*(f) = (-1)ᵏ aₖ. \ 2) Cho g là một đa thức trong A[X] và đặt P(X₁, ..., Xₙ) = g(X₁) ... g(Xₙ) . Khi đó P^*(f) chính là kết thức res(f, g), theo Hệ quả 1 của IV… 0DHL
Định nghĩa 1 Với ký hiệu ở trên, định thức của ma trận M(f, g, p, q) được gọi là kết thức của cặp (f, g) đối với các bậc p và q, hoặc đơn giản là kết thức của f và g nếu p = deg f và q = deg g. 06EX
Ví dụ 1 Cho Λ, μ trong Λ, ta có các công thức res_p,0(f, λ) = λᵖ, res_0,q(μ, g) = μ^q res_p,1(f, λ) = λᵖ tₚ, res_1,q(μ, g) = (-1)^q μ^q u_q, mà chứng minh là ngay lập tức. 06EY
Ví dụ 2 Khi p = q = 1, ta có res_1,1(t₁ X + t₀, u₁ X + u₀) = t₁ u₀ - t₀ u₁ 06EZ
Nhận xét 1 Ma trận M(g, f, q, p) thu được từ M(f, g, p, q) bằng pq phép hoán vị cột, do đó res_q,p(g, f) = (-1)^pq res_p,q(f, g) 06F0
Nhận xét 2 Cho ρ : A → B là một đồng cấu vành. Định nghĩa / kéo theo trực tiếp công thức res_p,q(ρ f, ρ g) = ρ(res_p,q(f, g)) . 06F1
Nhận xét 3 Cho λ, μ trong A, ta có res_p,q(λ f, μ g) = λ^q μᵖ res_p,q(f, g) . (28) ↩ 1 06F2
Nhận xét 4 Giả sử rằng p + q ≥ 1. Theo III, p. 532, công thức (28), ảnh của φ chứa đa thức hằng res_p,q(f, g). Do đó tồn tại một cặp đa thức (u, v), với u ∈ S_q, v ∈ Sₚ sao cho res_p,q(f, g)… 06F3
Nhận xét 5 Giả sử rằng p ≥ q, và cho h ∈ A[X] là một đa thức bậc ≤ p - q. Ta sẽ chứng minh rằng res_p,q(f, g) = res_p,q(f + gh, g) . (29) Thật vậy, nếu ta viết ω(u, v) = (u, uh + v) với (u, v… 06F4
Mệnh đề 7 — Giả sử rằng f là đơn nhất bậc p; với các ký hiệu ở trên ta có¹ res_p,q(f, g) = N_E/A(g(x)) . (30) 06F5
Hệ quả 1 — Cho f ∈ A[X] là một đa thức đơn khởi; với mọi đa thức g ∈ A[X] các điều kiện sau là tương đương: (i) res(f, g) khả nghịch trong A; (ii) tồn tại các đa thức u, v trong A[X] sao ch… ↩ 1 06F6
Hệ quả 2 — Giả sử rằng A là một trường và cho f, g ∈ A[X], khi đó các điều kiện sau là tương đương khi f, g khác không: (i) res(f, g) ≠ 0; (ii) các đa thức f và g nguyên tố cùng nhau trong… 06F7
Hệ quả 3 — Với mọi λ ∈ A ta có res_p,1(f, λ - X) = f(λ), res_1,q(X - λ, g) = g(λ). Khi f(X) = X - λ, đại số E bằng A và ta có x = A; công thức thứ hai (32) khi đó suy ra từ Mệnh đề 7 (IV, p… 06F8
Mệnh đề 8 — Giả sử rằng f và g lần lượt là đơn nhất với bậc p và q. Với ký hiệu trên, A-môđun F là tự do với cơ sở (xⁱ yʲ)_0 ≤ i < p,\ 0 ≤ j < q và ta có ↩ 1 06F9
Mệnh đề 9 — Cho p₁ và q₁ là các số nguyên dương và f₁, g₁ là các đa thức trong A[X] sao cho deg f₁ ≤ p₁, deg g₁ ≤ q₁; khi đó ta có ↩ 1 06FA
Bổ đề 5 Cho t là một phần tử của A. Tồn tại một vành giao hoán C chứa A như một vành con, một vành con B của C chứa A, một phần tử τ của B khả nghịch trong C và một đồng cấu vành p : B → A… 06FB
Hệ quả 1 — (i) Cho λ, α₁, …, αₚ là các phần tử của A và giả sử rằng f(X) = λ (X - α₁) … (X - αₚ). Ta có res_p,q(f, g) = λ^q g(α₁) … g(αₚ) . (ii) Cho μ, β₁, …, β_q là các phần tử của A và gi… ↩ 2 06FC
Hệ quả 2 — Với mọi số nguyên r ≥ 0 ta có res_p,q+r(f, g) = tₚʳ · res_p,q(f, g) . Lưu ý Ví dụ 1 (IV, p. 76), ta chỉ cần lấy q₁ = r, g₁ = 1 trong (35). 06FD
Ví dụ 3 Hãy chứng minh công thức res_2,2(aX² + bX + c, a'X² + b'X + c') = (ac' - ca')² + (bc' - cb')(ba' - ab') 06FE
Định nghĩa 2 Cho f là một đa thức đơn khởi của A[X] bậc m, và ký hiệu bởi E đại số A[X]/(f) và bởi x ảnh chính tắc của X trong E. Ta định nghĩa biệt thức của f, ký hiệu dis(f), là biệt thức D_E… ↩ 1 06FF
Mệnh đề 10 Cho m ≥ 1. Tồn tại một đa thức duy nhất A ∈ Z[A₁, …, Aₘ] có tính chất sau: với mọi vành giao hoán A và mọi đa thức đơn nhất f = Xᵐ + ∑ᵢ₌₁ᵐ aᵢ Xᵐ⁻ⁱ trong A[X] ta có dis(f) = Δ(a₁, …… 06FG
Mệnh đề 11 — Cho f trong A[X] có bậc ≤ m. ↩ 2 06FH
Hệ quả 1 — Cho g ∈ A[X] và n là một số nguyên dương sao cho deg g ≤ n. Ta có ↩ 1 06FI
Hệ quả 2 — Nếu a₀ là hệ số của Xᵐ trong f, ta có ↩ 1 06FJ
Hệ quả 3 — Cho A là một trường, và f là một đa thức không hằng trong A[X]. Để f và Df nguyên tố cùng nhau, điều kiện cần và đủ là dis(f) ≠ 0. Điều này suy ra từ Mệnh đề 11, (iii) và Hệ quả… 06FK
Nhận xét Việc áp dụng hai lần Hệ quả 2 ở trên cho thấy rằng ta có disₘ(f) = 0 đối với mọi đa thức f bậc ≤ m - 2. 06FL
Ví dụ 3 Cho m = 2. Theo Ví dụ 2 (IV, p. 81) ta có Δ(A₁, A₂) = A₁² - 4A₂, do đó tildeΔ(A₀, A₁, A₂) = A₁² - 4A₀A₂. Nói cách khác, ta có dis₂(a₀X² + a₁X + a₂) = a₁² - 4a₀a₂ . 06FM
Ví dụ 4 Xét đa thức F = A₀X³ + 3A₁X² + 3A₂X + A, có các hệ số trong Q[A₀, A₁, A₂, A₃]. Ta có DF = 3(A₀X² + 2A₁X + A₂) , F - 1/3X · DF = A₁X² + 2A₂X + A₃ . Theo các công thức (54) (IV, p. 8… 06FN

V. Các trường giao hoán

§ 1. Trường nguyên tố. Đặc số

Định nghĩa 1 Một trường được gọi là nguyên tố nếu nó đẳng cấu hoặc với Q hoặc với một trong các trường Fₚ. 06G3
Định lý 1 — Cho A là một vành ; giả sử rằng tồn tại một trường con của A. Khi đó A có một trường con duy nhất P là một trường nguyên tố. Hơn nữa, P được chứa trong tâm của A và trong mọi trư… ↩ 1 06G4
Hệ quả 1 — Cho K là một trường. Tồn tại một trường con duy nhất của K là một trường nguyên tố, và đây là trường con nhỏ nhất của K. 06G5
Hệ quả 2 — Để một trường là nguyên tố, điều kiện cần và đủ là nó không chứa trường con nào khác ngoài chính nó. ↩ 1 06G6
Mệnh đề 1 — Cho A là một vành không rút gọn về 0. a) Để A có đặc số 0, điều kiện cần và đủ là ánh xạ x ↦ n · x từ A vào chính nó phải là song ánh, với mọi số nguyên n ≠ ↩ 1 06G7
Nhận xét 1 Cho A và A' là hai vành không suy biến về 0. Giả sử đặc số của A được xác định và có một đồng cấu u của A vào A'. Ảnh qua u của trường con nguyên tố của A là một trường con P' của… ↩ 2 06G8
Nhận xét 2 Nhận xét 1 chỉ ra rằng nếu A là một vành có đặc số 0 (tương ứng p ≠ 0), điều tương tự cũng đúng đối với mọi vành A' chứa A như vành con, hoặc đối với mọi thương của A bởi một iđêan… 06G9
Nhận xét 3 Cho A là một đại số khác không trên một trường K. Vì ánh xạ λ ↦ λ · 1 từ K vào A là một đồng cấu vành, Nhận xét 1 cho thấy đặc số của A được xác định và bằng đặc số của K. 06GA
Nhận xét 4 Vì trường Q là vô hạn, mọi vành có đặc số 0 đều vô hạn; suy ra mọi trường hữu hạn đều có đặc số khác không. 06GB
Nhận xét 5 Cho A là một vành khác không, có nhóm cộng là một Z-môđun không xoắn, và đặt B = Q ⊗_Z A. Ánh xạ x ↦ 1 ⊗ x từ A vào B là đơn ánh (II, p. 314), do đó A đẳng cấu với một vành con của… 06GC
Định lý 2 — Cho A là một vành giao hoán có đặc số p. Ánh xạ a ↦ aᵖ là một tự đồng cấu của vành A, nghĩa là ta có các quan hệ ↩ 2 06GD
Bổ đề 1 Cho p là một số nguyên tố và i là một số nguyên trong khoảng từ 1 đến p - 1, khi đó hệ số nhị thức binompi là một số nguyên chia hết cho p. 06GE
Mệnh đề 2 — Cho A là một vành giao hoán có đặc số p, K là một vành con của A, S là một tập con của A và f là một số nguyên dương. ↩ 1 06GF
Định nghĩa 2 — Một vành A có đặc số p ≠ 0 được gọi là hoàn hảo nếu nó giao hoán và ánh xạ a ↦ aᵖ là song ánh. ↩ 1 06GG
Định nghĩa 3 — Cho A là một vành giao hoán có đặc số p ≠ 0. Ta gọi bao đóng hoàn hảo của A là một cặp (A, u) trong đó A là một vành hoàn hảo có đặc số p và u là một đồng cấu của A vào A thỏa mã… 06GH
Định lý 3 — Cho A là một vành giao hoán có đặc số p ≠ 0. Tồn tại một bao hoàn hảo (A, u) của A. Hơn nữa, hạt nhân của u là tập hợp tất cả các phần tử lũy linh của A và với mỗi x ∈ A tồn tại… ↩ 1 06GI
Mệnh đề 3 — Cho B là một vành hoàn hảo có đặc số p và A là một vành con của B. Viết A^p^-∞ = ⋃_f ≥ 0 A^p⁻ᶠ và ký hiệu j là đơn ánh chính tắc của A trong A^p^-∞. Khi đó A^p^-∞ là vành con hoà… ↩ 1 06GJ
Mệnh đề 4 — Cho K là một trường có số mũ đặc số q. Với mọi số nguyên f ≥ 0 ánh xạ x ↦ x^qᶠ là một đẳng cấu của K lên một trong các trường con của nó (được ký hiệu bởi K^qᶠ). Điều này suy ra… ↩ 1 06GK
Định nghĩa 4 — Một trường K có số mũ đặc số q được gọi là hoàn hảo nếu ta có K^q = K. Khi K^q ≠ K, K được gọi là không hoàn hảo. Theo định nghĩa này, một trường là hoàn hảo nếu nó có đặc số 0… 06GL
Mệnh đề 5 — Nếu K là một trường có đặc số 0, hoặc hữu hạn, \ hoặc đóng đại số \, thì nó hoàn hảo. Đặc biệt mọi trường nguyên tố đều hoàn hảo. Giả sử rằng K có đặc số p ≠ 0. Nếu K hữu hạn, th… 06GM
Mệnh đề 6 — Cho K là một vành giao hoán, A là đại số đa thức K[Xᵢ]_i ∈ I, và S là tập hợp các phần tử F của A sao cho dF = 0. \ 06GN
Nhận xét — Ta vẫn có S = K khi nhóm cộng của K không xoắn; điều này suy ra từ chứng minh trên hoặc từ Nhận xét 5 của V, p. 3. 06GO
Hệ quả — Cho K là một trường và F(X) là một đa thức có hệ số trong K, có đạo hàm F'(X) bằng 0. a) Nếu K có đặc số 0, thì F ∈ K. b) Nếu K có đặc số p ≠ 0, tồn tại một đa thức G(X) sao cho… 06GP

§ 2. Mở rộng

Định nghĩa 1 — Cho K là một trường. Bởi một mở rộng của K ta hiểu là một đại số trên K mà vành nền là một trường. Bởi một mở rộng con (hay mở rộng con trên K) của mở rộng E ta hiểu là một đại s… 06GV
Định lý 1 Cho E là một mở rộng của K và A là một đại số trên E. Khi đó ta có [A : K] = [A : E] · [E : K]. Đặc biệt, nếu F là một mở rộng của E, ta có ↩ 2 06GW
Hệ quả 1 Cho K, E, F là ba trường sao cho K ⊂ E ⊂ F và [F : K] là hữu hạn. Khi đó các bậc [E : K] và [F : E] là các ước của [F : K]. 06GX
Hệ quả 2 Cho K, E và F là ba trường sao cho K ⊂ E ⊂ F. Giả sử rằng [F : K] là hữu hạn, khi đó quan hệ [E : K] = [F : K] là tương đương với E = F và quan hệ [F : E] = [F : K] là tương đương… 06GY
Mệnh đề 1 Cho A là một đại số có bậc hữu hạn trên một trường K. Nếu một phần tử a ∈ A không là một ước không trái (tương ứng phải) trong A, thì nó khả nghịch trong A. ↩ 3 06GZ
Hệ quả Nếu A là một đại số giao hoán bậc hữu hạn trên một trường K. Nếu A là một miền nguyên, thì nó là một trường. ↩ 1 06H0
Mệnh đề 2 — Nếu M và N là hai tập con bất kỳ của một mở rộng của một trường K, thì K(M ∪ N) = K(M)(N) = K(N)(M). 06H1
Nhận xét — Cho P là trường con nguyên tố của một trường E (V, p. 2); với mọi tập con A của E, P(A) là trường con nhỏ nhất của E chứa A. Đặc biệt nếu K là một trường con của E, ta có P(K ∪ A… 06H2
Mệnh đề 3 — Cho F là một tập hợp các trường con của một trường E, có hướng đối với quan hệ ⊂. Hợp L của các trường của F là một trường. ↩ 2 06H3
Hệ quả — Cho E là một mở rộng của một trường K và A ⊂ E. Trường K(A) là hợp của các trường K(F), trong đó F chạy qua tập hợp mọi tập con hữu hạn của A. ↩ 1 06H4
Định nghĩa 2 — Một mở rộng E của một trường K được gọi là sinh hữu hạn nếu nó có một họ sinh hữu hạn. Nó được gọi là đơn sinh nếu tồn tại x trong E sao cho E = K(x). ↩ 1 06H5
Mệnh đề 4 — Cho E, F là hai mở rộng của K. 06H6
Nhận xét — Nếu p và p' là hai iđêan nguyên tố phân biệt của E ⊗_K F, thì các mở rộng hợp thành tương ứng của E và F (được xây dựng theo thủ tục của chứng minh trên) không đẳng cấu. Tuy nhiê… 06H7
Hệ quả Tồn tại các mở rộng hợp thành của E và F. ↩ 1 06H8
Chú giải Cho K và E là hai trường và u là một đồng cấu từ K vào E. Nếu K' là một trường chứa K như trường con, thì tồn tại một trường E' chứa E như trường con và một đồng cấu u' từ K' vào E… 06H9
Mệnh đề 5 Cho E và F là hai mở rộng của K chứa trong Ω. ↩ 3 06HA
Mệnh đề 6 Cho E và F là hai mở rộng của K được chứa trong Ω, và A và B là hai đại số con của Ω trên K sao cho E là trường phân thức của A và F là trường phân thức của B. Khi đó điều kiện cần… ↩ 3 06HB
Mệnh đề 7 — Cho E và F là hai mở rộng của K được chứa trong Ω; nếu E và F rời nhau tuyến tính trên K, thì mọi mở rộng con của E và mọi mở rộng con của F đều rời nhau tuyến tính trên K. Ngược… ↩ 1 06HC
Mệnh đề 8 — Cho E, F, G là ba mở rộng của một trường K được chứa trong Ω, sao cho F ⊂ G. Điều kiện cần và đủ để E và G rời nhau tuyến tính trên K là E và F rời nhau tuyến tính trên K và E(F)… 06HD

§ 3. Mở rộng đại số

Định lý 1 — Cho A là một đại số trên một trường K, x là một phần tử của A đại số trên K, n là bậc và f là đa thức tối tiểu của x trên K. ↩ 8 06HI
Hệ quả 1 — Cho A là một đại số trên một trường K. Để một phần tử x của A là đại số trên K thì điều kiện cần và đủ là đại số con K[x] của A sinh bởi x có bậc hữu hạn trên K. Đặc biệt, nếu A… ↩ 2 06HJ
Hệ quả 2 — Cho E là một mở rộng của K, A là một đại số trên E và x là một phần tử của A đại số trên K. Khi đó x là đại số trên E, đa thức tối tiểu của x trên E chia hết đa thức tối tiểu của… 06HK
Nhận xét Cho E là một mở rộng của một trường K và x là một phần tử của E là nghiệm của một đa thức bất khả quy đơn nhất f ∈ K[X]. Đl. 1, c) khi đó cho thấy rằng f là đa thức tối tiểu của x… 06HL
Ví dụ 1 Trong trường số phức C, số i là đại số có bậc 2 trên trường nguyên tố Q; vì nếu f(X) = X² + 1, thì f(i) = 0, và x² + 1 ≠ 0 với mọi x ∈ Q, do đó i ∉ Q. Trường Q(i) do đó là một mở r… 06HM
Ví dụ 2 Cho K là một trường và F là trường K(X) các hàm hữu tỉ theo một bất định trên K. Cho E là trường con K(X³) của F; ta có F = E(X) và X là đại số trên E, vì nó là một nghiệm của đa t… 06HN
Ví dụ 3 Trong trường R của các số thực, có thể chứng minh ¹ rằng số π là siêu việt trên trường nguyên tố Q. \ 06HO
Định nghĩa 1 — Một mở rộng E của một trường K được gọi là đại số (trên K) nếu mọi phần tử của E đều đại số trên K. Một mở rộng E của K không đại số được gọi là siêu việt (trên K). 06HP
Mệnh đề 1 — Để một mở rộng E của K là đại số thì điều kiện cần và đủ là mọi đại số con trên K A của E đều là một trường. 06HQ
Mệnh đề 2 — Nếu một mở rộng E của K có bậc hữu hạn n, thì nó là đại số và bậc trên K của mỗi phần tử của E chia hết n. ↩ 4 06HR
Định lý 2 — Cho E là một mở rộng sinh hữu hạn của K, được sinh bởi các phần tử a₁, ..., aₘ, là các phần tử đại số trên K; khi đó E là một mở rộng có bậc hữu hạn của K. Nếu bậc của aᵢ trên K(… ↩ 13 06HS
Hệ quả 1 — Cho E là một mở rộng của K và A là một tập con của E gồm các phần tử đại số trên K. Khi đó K(A) là đại số trên K và ta có K[A] = K(A). ↩ 10 06HT
Hệ quả 2 — Cho L là một mở rộng của K và E, F là các mở rộng con của L. Nếu F là đại số trên K, vành con K[E, F] của L được sinh bởi E ∪ F là một trường trùng với E(F) và đại số trên E. ↩ 7 06HU
Nhận xét 1 Với ký hiệu của Định lý 2, E = K[a₁, a₂, ..., aₙ] và do đó E đẳng cấu với một thương K[X₁, X₂, ..., Xₘ]/𝔞; vì E là một trường, a là một iđêan cực đại trong K[X₁, ..., Xₘ]. 06HV
Nhận xét 2 Cho E là một mở rộng đại số của K, có bậc vô hạn. Theo Định lý 2 tồn tại một dãy vô hạn (aᵢ), gồm các phần tử của E sao cho aᵢ ∉ K(a₁, a₂, ..., aᵢ₋₁); Định lý 2 còn cho thấy bậc củ… ↩ 2 06HW
Mệnh đề 3 — Cho E và F là hai trường mở rộng của một trường K sao cho K ⊂ E ⊂ F. Để F là đại số trên K, điều kiện cần và đủ là E đại số trên K và F đại số trên E. ↩ 3 06HX
Định nghĩa 2 — Một trường con K của một trường E được gọi là đóng đại số tương đối trong E nếu mọi phần tử của E đại số trên K đều thuộc K. 06HY
Mệnh đề 4 — Cho E là một mở rộng của một trường K; tập hợp L gồm các phần tử của E đại số trên K tạo thành một mở rộng con của E đóng đại số tương đối trong E. 06HZ

§ 4. Các mở rộng đóng đại số

Mệnh đề 1 — Cho K là một trường; khi đó các tính chất sau là tương đương: (AC) Mọi đa thức không hằng của K[X] đều tách trong K[X] thành một tích các đa thức bậc 1 (phân biệt hoặc không). (A… 06ID
Định nghĩa 1 Một trường K được gọi là đóng đại số nếu nó có các tính chất (tương đương) (AC), (AC'), (AC), (AC). ↩ 1 06IE
Mệnh đề 2 Cho Ω là một trường đóng đại số và K là một trường con của Ω. Khi đó bao đóng đại số tương đối barK của K trong Ω là một trường đóng đại số. ↩ 1 06IF
Mệnh đề 3 Mọi trường đóng đại số đều vô hạn. ↩ 1 06IG
Định lý 1 (Steinitz) Cho K là một trường, E là một mở rộng đại số của K và Ω là một mở rộng đóng đại số của K; khi đó tồn tại một K-đồng cấu từ E vào R. ↩ 4 06IH
Định nghĩa 2 Cho K là một trường và (fᵢ)_i ∈ I là một họ các đa thức không hằng trong K[X]. Bởi một mở rộng tách của (fᵢ)ᵢ, ta hiểu một mở rộng E của K có các tính chất sau : ↩ 1 06II
Nhận xét 1) Với mỗi i ∈ I cho cᵢ là một phần tử khác không của K và cho f'ᵢ = cᵢ fᵢ. Khi đó rõ ràng mọi mở rộng tách của họ (fᵢ)ᵢ, cũng là một mở rộng tách của họ (f'ᵢ)_i ∈ I và ngược lại… ↩ 1 0EEN
Mệnh đề 4 Cho K là một trường và (fᵢ)_i ∈ I là một họ các đa thức không hằng trong K[X]; khi đó tồn tại một mở rộng tách đối với họ (fᵢ)_i ∈ I. ↩ 4 06IJ
Mệnh đề 5 — Cho K là một trường, (fᵢ)_i ∈ I là một họ các đa thức không hằng trong K[X], E là một mở rộng của K, và F, F' là các mở rộng con của E mà mỗi mở rộng đều là một mở rộng tách của… ↩ 2 06IK
Hệ quả — Cho K là một trường, (fᵢ)_i ∈ I, là một họ các đa thức không hằng trong K[X] và F, F' là các mở rộng tách của (fᵢ)_i ∈ I. Khi đó tồn tại một K-đẳng cấu của F lên F. 06IL
Định nghĩa 3 — Cho K là một trường. Ta hiểu một bao đóng đại số của K là bất kỳ mở rộng nào của K vừa đại số vừa đóng đại số. 06IM
Ví dụ 1 Trường C các số phức là một bao đóng đại số của trường R các số thực (Gen. Top., VIII, p. 100) \ ↩ 1 06IN
Ví dụ 2 Cho K là một trường và Ω là một mở rộng đóng đại số của K. Nếu overlineK là bao đóng đại số tương đối của K trong Ω, thì theo V, p. 20, Mệnh đề 2, K là một bao đóng đại số của K. \… ↩ 2 06IO
Mệnh đề 6 — Cho Ω là một mở rộng của một trường K. Để Ω là một bao đóng đại số của K, điều kiện cần và đủ là nó phải đại số và mọi đa thức không hằng trong K[X] đều phải tách trong Ω[X] thàn… ↩ 2 06IP
Nhận xét 1 Nếu Ω đại số trên K và nếu mọi đa thức không hằng của K[X] đều có một nghiệm trong Ω thì Ω là một bao đóng đại số của K (V, p. 156, Ex. 20). 06IQ
Mệnh đề 7 — Cho Ω là một mở rộng đại số của một trường K. a) Nếu Ω đóng đại số, thì mọi mở rộng đại số của K đều đẳng cấu với một mở rộng con của R. b) Ngược lại, giả sử rằng mọi mở rộng đại… 06IR
Định lý 2 (Steinitz) — Cho K là một trường; khi đó tồn tại một bao đóng đại số của K. Nếu Ω và Ω' là hai bao đóng đại số của K, thì tồn tại một K-đẳng cấu từ Ω lên Ω'. ↩ 9 06IS
Hệ quả — Cho K và K' là hai trường, Ω là một bao đóng đại số của K và Ω' là một bao đóng đại số của K'. Với mọi đẳng cấu u từ K lên K', tồn tại một đẳng cấu v từ Ω lên Ω' mở rộng u. 06IT
Nhận xét 2 Theo ký hiệu của Hệ quả đứng trước, nói chung tồn tại các K-tự đẳng cấu của Ω phân biệt với đồng nhất. Vì thế nói chung không có tính duy nhất đối với đẳng cấu v từ Ω lên Ω' mở rộn… 06IU
Nhận xét 3 Cho K là một trường và Ω là một bao đóng đại số của K. Khi đó có thể cho phép dựng sau đây của một mở rộng tách đối với một họ (fᵢ)_i ∈ I các đa thức không hằng trong K[X]: gọi Rᵢ… 06IV
Nhận xét 4 Cho K là một trường hữu hạn và Ω là một bao đóng đại số của K. Khi đó Ω là vô hạn (V, p. 20, Prop. 3); vì mọi mở rộng bậc hữu hạn của K đều là một trường hữu hạn, nên Ω là một mở r… 06IW

§ 5. p-CĂN

Định nghĩa 1 Một phần tử x của một mở rộng E của trường K được gọi là p-căn trên K nếu tồn tại một số nguyên m ≥ 0 sao cho x^pᵐ ∈ K; số nguyên nhỏ nhất trong các số nguyên này được gọi là chiều… ↩ 1 06IZ
Mệnh đề 1 Nếu E là một mở rộng của trường K và x là một phần tử p-căn có chiều cao e trên K; đặt a = x^pᵉ. Khi đó a ∈ K và đa thức tối tiểu của x trên K là X^pᵉ - a: Hơn nữa ta có [K(x):K] =… 06J0
Bổ đề 1 Cho K là một trường và a là một phần tử của K sao cho a ∉ Kᵖ. Khi đó, với mọi số nguyên e ≥ 0, đa thức f(X) = X^pᵉ - a là bất khả quy trong K[X]. 06J1
Định nghĩa 2 Cho E là một mở rộng của trường K. Ta nói rằng E là p-căn ¹ (trên K) nếu mọi phần tử của E đều p-căn trên K. Khi đó, E được gọi là có chiều cao hữu hạn nếu tập hợp các chiều cao củ… 06J2
Mệnh đề 2 Cho E là một mở rộng của trường K. Với mỗi số nguyên n ≥ 0, gọi Eₙ là tập hợp các phần tử của E là p-căn có chiều cao ≤ n trên K, và gọi Eᵣ là tập hợp tất cả các phần tử của E là p… ↩ 3 06J3
Hệ quả Nếu một mở rộng E của trường K được sinh bởi một tập hợp các phần tử p-căn trên K, thì nó là p-căn trên K. 06J4
Mệnh đề 3 — Cho K là một trường, E là một trường mở rộng của K, p-căn trên K và u là một đồng cấu từ K vào một trường hoàn hảo F. Khi đó tồn tại một đồng cấu duy nhất v từ E vào F mở rộng u. ↩ 1 06J5
Hệ quả — Để một mở rộng E của một trường K là một bao đóng hoàn hảo của K thì điều kiện cần và đủ là E phải là một mở rộng p-căn của K và trường E phải hoàn hảo. 06J6
Mệnh đề 4 — Cho E là một mở rộng p-căn có bậc hữu hạn của một trường K. Khi đó [E : K] là một lũy thừa của số mũ đặc số p của K. 06J7

§ 6. Đại số étale

Định lý 1 — Cho L là một mở rộng của một trường K và A là một đại số trên K; gọi H là tập hợp tất cả các đồng cấu K-đại số từ A vào L. Khi đó H là một tập con tự do của không gian vectơ Hom_… ↩ 5 06JB
Hệ quả 1 — Cho Γ là một nửa nhóm, L là một trường và X là một tập hợp các đồng cấu từ Γ vào nửa nhóm nhân của L. Khi đó X là một tập con tự do của không gian L-vectơ L^Γ gồm các ánh xạ từ Γ… 06JC
Hệ quả 2 (Định lý Dedekind) Cho E và L là hai mở rộng của K. Tập hợp các K-đồng cấu từ E vào L là tự do trên L. Nếu E có bậc hữu hạn trên K, số các K-đồng cấu từ E vào L nhiều nhất bằng [E : K]. ↩ 5 06JD
Định lý 2 — Cho K là một trường vô hạn, L là một mở rộng của K và A là một đại số trên K. Cho u₁, …, uₙ là các đồng cấu K-đại số phân biệt từ A vào L và f là một đa thức trong L[X₁, …, Xₙ]… 06JE
Định nghĩa 1 — Cho A là một đại số trên K; khi đó ta nói A là chéo hóa được nếu tồn tại một số nguyên n ≥ 0 sao cho A đẳng cấu với đại số tích Kⁿ. Ta nói A được chéo hóa bởi một mở rộng L của K… ↩ 7 06JF
Mệnh đề 1 Cho A là một đại số bậc hữu hạn n trên trường K ; khi đó các điều kiện sau là tương đương : a) Đại số A là chéo hóa được. b) Tồn tại một cơ sở (e₁, …, eₙ) của A sao cho eᵢ² = eᵢ và… ↩ 4 06JG
Hệ quả Cho L là một mở rộng của K và H là tập các đồng cấu đại số của A vào L. Ta có Card H ≤ [A : K], với đẳng thức khi và chỉ khi A được L chéo hóa. Nếu A được L chéo hóa, thì H là một… ↩ 1 06JH
Mệnh đề 2 — Cho A là một đại số trên K và Ω là một mở rộng đóng đại số của K. Các mệnh đề sau là tương đương: ↩ 6 06JI
Mệnh đề 3 — Cho A là một đại số etale trên K. Chỉ có hữu hạn số đại số con và iđêan của A. Hơn nữa, mọi mở rộng của K chéo hóa A cũng chéo hóa mọi đại số con và mọi đại số thương của A; đặc… ↩ 6 06JJ
Hệ quả — Cho A₁, …, Aᵣ là các đại số trên K và A = A₁ × ⋯ × Aᵣ. Để A là étale thì cần và đủ rằng A₁, …, Aᵣ là étale. 06JK
Bổ đề 1 — Cho Ω là một bao đóng đại số của K; khi đó ta có h(L) ≤ h(Ω) đối với mọi mở rộng L của K, với đẳng thức khi L là đóng đại số. 06JL
Mệnh đề 4 — Cho A là một đại số giao hoán bậc hữu hạn trên K; khi đó [A: K], ≤ [A: K] với dấu bằng khi và chỉ khi A là étale. ↩ 5 06JM
Hệ quả 1 — Cho A, B là hai đại số giao hoán trên K, có bậc hữu hạn khác 0. Khi đó, để đại số C = A ⊗_K B là étale thì cần và đủ rằng A và B là étale. ↩ 3 06JN
Hệ quả 2 — Cho K' là một mở rộng của K. ↩ 6 06JO
Định lý 3 — Cho A là một đại số giao hoán có bậc hữu hạn trên K. Để A là étale thì cần và đủ rằng môđun Ω_K(A) của các vi phân trên K của A phải bằng 0. ↩ 1 06JP
Bổ đề 2 Cho A là một đại số giao hoán trên K và e là một lũy đẳng của A; khi đó ta có de = 0 trong Ω_K(A). 06JQ
Bổ đề 3 Cho A là một đại số giao hoán bậc hữu hạn trên trường đóng đại số K, sao cho Ω_K(A) = 0. Khi đó ta có m = m² với mọi iđêan cực đại m của A. 06JR
Bổ đề 4 Đại số A/m là một mở rộng bậc hữu hạn của trường đóng đại số K, do đó [A/m : K] = 1. Vì thế với mỗi a ∈ A tồn tại một vô hướng duy nhất λ sao cho a - λ · 1 ∈ m; kí hiệu D(a) là lớp… ↩ 1 06JS
Định nghĩa 2 — Cho A là một vành giao hoán; khi đó A được gọi là reduced nếu mọi phần tử lũy linh (I, p. 98) của A đều là không. ↩ 1 06JT
Mệnh đề 5 — Cho A là một đại số giao hoán có bậc hữu hạn trên K. Để A là reduced thì điều kiện cần và đủ là tồn tại các mở rộng L₁, …, Lₛ có bậc hữu hạn trên K sao cho A K-đẳng cấu với L₁ ×… ↩ 2 06JU
Định lý 4 — Cho A là một đại số giao hoán có bậc hữu hạn trên K. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: a) Đại số A là etale. b) Với mọi mở rộng L của K, vành L ⊗_K A là reduced. c) Tồn tại… ↩ 4 06JV
Bổ đề 5 Cho B là một đại số reduced có bậc hữu hạn trên một trường hoàn hảo P; khi đó B là etale. 06JW
Hệ quả — Giả sử rằng K có đặc số p ≠ 0. Để A là etale thì điều kiện cần và đủ là A = K[Aᵖ]. Với mọi cơ sở (aᵢ)ᵢ, của A trên K, họ (aᵢᵖ)ᵢ khi đó là một cơ sở của A trên K. 06JX

§ 7. Mở rộng đại số tách được

Định nghĩa 1 — Cho E là một mở rộng đại số của K; khi đó E được gọi là tách được (trên K) nếu mọi mở rộng con F của E có bậc hữu hạn trên K đều là một đại số etale trên K (V, p. 28, Định nghĩa… ↩ 1 06K0
Mệnh đề 1 — Cho E là một mở rộng đại số của K. Nếu E là tách được, thì mọi mở rộng con E' của E đều tách được. Ngược lại, nếu mọi mở rộng con bậc hữu hạn của E đều tách được thì E tách được. 06K1
Mệnh đề 2 — Để một trường K là hoàn hảo thì điều kiện cần và đủ là mọi mở rộng đại số của K đều tách được. ↩ 3 06K2
Hệ quả — Mọi mở rộng đại số của một trường có đặc số 0, hoặc của một trường hữu hạn, đều tách được. Điều này suy ra từ V, p. 7, Mệnh đề 5. 06K3
Mệnh đề 3 — Cho f là một đa thức khác không trong K[X] và cho Ω là một mở rộng đóng đại số của K. Các điều kiện sau là tương đương: a) Đa thức f nguyên tố cùng nhau với đạo hàm f' của nó tro… ↩ 6 06K4
Định nghĩa 2 — Một đa thức f ∈ K[X] được gọi là tách được nếu nó khác không và thỏa mãn các điều kiện tương đương a), b), c), d) và e) của Mệnh đề 3. 06K5
Nhận xét — 1) Cho L là một mở rộng của K và f là một đa thức không hằng trong K[X]. Theo e) của Mệnh đề 3 và V, p. 32, Hệ quả 2, việc giả thiết f là tách được, dù được xét như phần tử của K… ↩ 1 06K6
Mệnh đề 4 — Cho f là một đa thức bất khả quy trong K[X]. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: ↩ 3 06K7
Hệ quả 1 — Để trường K là hoàn hảo thì điều kiện cần và đủ là mọi đa thức bất khả quy của K[X] đều tách được. ↩ 1 06K8
Hệ quả 2 — Cho f ∈ K[X] là một đa thức khác không. Để f tách được thì điều kiện cần và đủ là tồn tại một mở rộng L của K là một trường hoàn hảo sao cho f không có nhân tử lặp trong L[X]. ↩ 1 06K9
Định nghĩa 3 — Cho E là một mở rộng của K. Một phần tử x của E, đại số trên K, được gọi là tách được trên K nếu mở rộng đại số K(x) của K là tách được. 06KA
Mệnh đề 5 — Cho E là một mở rộng của K, x một phần tử của E đại số trên K và f là đa thức tối tiểu của x trên K. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: a) x tách được trên K; b) đa thức f… ↩ 4 06KB
Hệ quả 1 — Nếu một phần tử x của E là một nghiệm đơn của một đa thức g của K[X], thì nó tách được trên K. Thật vậy, đa thức tối tiểu f của x trên K chia g trong K[X] (V, p. 16, Định lý 1)… ↩ 1 06KC
Hệ quả 2 — Nếu một phần tử x của E là đại số và tách được trên K, thì nó đại số và tách được trên mọi mở rộng K' của K được chứa trong E. Cho f là đa thức tối tiểu của x trên K. Khi đó x là… ↩ 3 06KD
Hệ quả 3 — Giả sử rằng K có đặc số p ≠ 0. Để một phần tử x của E thuộc K thì điều kiện cần và đủ là nó vừa đại số tách được vừa p-căn trên K. Điều kiện đã nêu rõ ràng là cần thiết. Ngược lạ… ↩ 1 06KE
Mệnh đề 6 — Cho E là một mở rộng của K. a) Nếu E là đại số và tách được trên K, thì mọi phần tử của E đều là đại số và tách được trên K. b) Ngược lại, cho A là một tập hợp các phần tử của E… ↩ 7 06KF
Hệ quả — Để một mở rộng đại số E tách được trên K thì điều kiện cần và đủ là mọi phần tử của E đều là một nghiệm đơn của đa thức tối tiểu của nó trên K. Chỉ cần áp dụng các Mệnh đề 5 và 6… ↩ 1 06KG
Định lý 1 — Cho E là một mở rộng của K. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: a) E có một phần tử nguyên thủy; b) chỉ tồn tại một số hữu hạn các mở rộng con của E. Các điều kiện này được… ↩ 5 06KH
Mệnh đề 7 — Giả sử rằng K là vô hạn; cho A là một K-đại số giao hoán chỉ có một số hữu hạn các đại số con (chẳng hạn một K-đại số etale, V, p. 30, Mệnh đề 3) và cho V là một không gian con v… ↩ 2 06KI
Bổ đề 1 Cho A là một không gian vectơ K, V, A₁, …, Aₙ là các không gian con của A. Nếu Card(K) ≥ n và nếu V không được chứa trong bất kỳ Aᵢ nào, thì V không được chứa trong A₁ ∪ … ∪ Aₙ. 06KJ
Mệnh đề 8 — Cho E là một mở rộng của K và (Eᵢ)_i ∈ I là một họ các mở rộng con của E sao cho E = K ( ⋃_i ∈ I Eᵢ ). Nếu mỗi mở rộng Eᵢ đều là đại số và tách được trên K, thì E cũng vậy. ↩ 1 06KK
Mệnh đề 9 — Cho F là một mở rộng đại số của K và E là một mở rộng con của F. Để F tách được trên K thì điều kiện cần và đủ là F tách được trên E và E tách được trên K. ↩ 1 06KL
Mệnh đề 10 — Cho E và K' là hai mở rộng con của cùng một mở rộng của K và đặt E' = K'(E). Giả sử rằng E là đại số trên K, do đó E' là đại số trên K' (V, p. 18, Hệ quả 2). ↩ 3 06KM
Mệnh đề 11 — Giả sử rằng K có số mũ đặc số p, và cho E là một mở rộng đại số của K, được sinh bởi một tập hợp S. Nếu E tách được trên K, thì E = K(S^pⁿ) với mọi số nguyên n ≥ 0; ngược lại nếu… ↩ 4 06KN
Hệ quả 1 — Mọi mở rộng đại số của một trường hoàn hảo đều là một trường hoàn hảo. ↩ 1 06KO
Hệ quả 2 (Mac Lane) — Cho K là một bao đóng đại số của K và K^p^-∞ là bao đóng hoàn hảo của K trong overlineK. Để một mở rộng con E của overlineK tách được trên K thì điều kiện cần và đủ là nó rời nha… ↩ 1 06KP
Nhận xét — 1) Khi E đại số và có bậc vô hạn trên K, điều kiện E = K(Eᵖ) không phải lúc nào cũng bảo đảm rằng E tách được trên K. Chẳng hạn, nếu K không hoàn hảo và E là một bao đóng hoàn hả… 06KQ
Mệnh đề 12 — Cho E là một mở rộng của K và Eₛ, tập hợp các phần tử của E đại số và tách được trên K. Khi đó Eₛ, là mở rộng con lớn nhất của E vừa đại số vừa tách được trên K. ↩ 4 06KR
Mệnh đề 13 — Cho E là một mở rộng đại số của K và cho E,, là bao đóng đại số tách được tương đối của K trong E. a) E là một mở rộng căn p của E,. b) Nếu F là một mở rộng con của E sao cho E l… ↩ 6 06KS
Hệ quả 1 — Cho E và K' là hai mở rộng của K được chứa trong cùng một mở rộng của K. Giả sử rằng E đại số trên K và ký hiệu E, là bao đóng đại số tách được tương đối của K trong E. Khi đó K'… ↩ 2 06KT
Hệ quả 2 — Nếu E có bậc hữu hạn trên K, thì Eₛ = ⋂_n ≥ 0 K(E^pⁿ). 06KU
Nhận xét Cho E là một mở rộng đại số của K và E, là bao đóng căn p tương đối của E trong K (V, p. 25). Khi đó E, là mở rộng con lớn nhất của E căn p trên K (V, p. 25, Mệnh đề 2). Tuy nhiên… 06KV
Định nghĩa 4 — Một trường K được gọi là đóng tách được nếu mọi mở rộng đại số tách được của K đều tầm thường. ↩ 1 06KW
Định nghĩa 5 — Cho K là một trường. Bởi một bao đóng đại số tách được, hoặc (do lạm dụng ngôn ngữ) bao đóng tách được của K, ta hiểu là mọi mở rộng E của K vừa đại số vừa tách được trên K, và s… 06KX
Mệnh đề 14 — Cho Ω là một mở rộng đóng đại số của K. ↩ 1 06KY
Hệ quả — Cho E là một mở rộng đóng tách được của K và F là một mở rộng đại số tách được của K ; khi đó tồn tại một K-đồng cấu của F vào E. 06KZ
Nhận xét 1 Cho E và E' là hai bao đóng tách được của K. Nếu K không đóng tách được, tồn tại nhiều K-đẳng cấu của E lên E'. \ Thật vậy, khi đó E là một mở rộng Galois không tầm thường của K, v… 06L0
Nhận xét 2 \ Cho E là một mở rộng đại số và tách được của K. Nếu mọi mở rộng đại số và tách được của K đều đẳng cấu với một mở rộng con của E, thì E là một bao đóng tách được của K. Thật vậy… ↩ 1 06L1
Mệnh đề 15 Cho E, là bao đóng tách được tương đối của K trong E; khi đó [E : K]ₛ = [Eₛ : K]. ↩ 1 06L2
Mệnh đề 16 Cho Ω là một mở rộng của K và E, F là hai mở rộng con của Ω, bậc hữu hạn trên K. 06L3

§ 8. Chuẩn và vết

Mệnh đề 1 — Cho A là một đại số giao hoán bậc hữu hạn trên K. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: a) Đại số A là étale. b) Tồn tại một cơ sở của A có biệt thức khác không. c) Với mỗi x… ↩ 2 06L9
Bổ đề 1 Cho V là một không gian vectơ số chiều hữu hạn trên K và B một dạng song tuyến tính trên V x V. Cho (v₁, …, vₙ) là một cơ sở của V trên K và Δ = det B(vᵢ, vⱼ). Khi đó Δ ≠ 0 khi và… ↩ 1 06LA
Bổ đề 2 Cho V là một không gian vectơ số chiều hữu hạn trên K và u một tự đồng cấu lũy linh của V, khi đó Tr(u) = 0. 06LB
Hệ quả — Cho E là một mở rộng bậc hữu hạn của K. Để E tách được thì điều kiện cần và đủ là tồn tại a trong E sao cho Tr_E/K(a) ≠ 0. ↩ 2 06LC
Mệnh đề 2 — Cho F là một mở rộng bậc hữu hạn của K và E một mở rộng con của F. Khi đó với mọi x ∈ F ta có Tr_F/K(x) = Tr_E/K(Tr_F/E(x)) \\ N_F/K(x) = N_E/K(N_F/E(x)) . 06LD
Hệ quả — Đặt m = [F : E]; khi đó với mọi x ∈ E ta có Tr_F/K(x) = m · Tr_E/K(x) \\ N_F/K(x) = N_E/K(x)ᵐ . ↩ 1 06LE
Mệnh đề 3 — Cho E là một mở rộng bậc hữu hạn n của K và x là một phần tử của E, bậc d trên K. Viết f(X) = Xᵈ + ∑ᵢ₌₁ᵈ aᵢ Xᵈ⁻ⁱ là đa thức tối tiểu của X trên K. Khi đó ta có Tr_E/K(x) = - n/d… ↩ 1 06LF
Bổ đề 3 Cho R là một vành giao hoán, f(X) = Xᵈ + ∑ᵢ₌₁ᵈ aᵢ Xᵈ⁻ⁱ là một đa thức đơn khởi của R[X], A là đại số trên R R[X]/(f) và x là lớp thặng dư của X trong A. Khi đó Tr_A/R(x) = -a₁ và N… 06LG
Mệnh đề 4 Cho p là số mũ đặc số của K và E là một mở rộng bậc hữu hạn của K. Cho σ₁, …, σₙ là các K-đồng cấu phân biệt của E vào một bao đóng đại số Ω của K, và đặt pᵉ = [E:K]ᵢ. Với mỗi x ∈… ↩ 1 06LH

§ 9. Các phần tử liên hợp và các mở rộng tựa-galois

Mệnh đề 1 — Cho E là một mở rộng của K được chứa trong Ω và u là một K-đồng cấu từ E vào Ω. ↩ 14 06LK
Định nghĩa 1 — Cho E và F là hai mở rộng của K được chứa trong Ω. Ta nói rằng E và F là liên hợp (trong Ω) nếu tồn tại một K-tự đẳng cấu u của Ω sao cho u(E) = F. Hai phần tử x và y của Ω được… 06LL
Mệnh đề 2 — Cho x và y là hai phần tử của Ω. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: ↩ 1 06LM
Hệ quả 1 — Cho x là một phần tử của Ω có bậc n trên K, và cho f là đa thức tối tiểu của x trên K. Các phần tử liên hợp của x trên K là các nghiệm của f trong Ω và số của chúng không lớn hơn… 06LN
Hệ quả 2 — Cho x là một phần tử của Ω có bậc n trên K. Để x tách được trên K thì điều kiện cần và đủ là x phải có n phần tử liên hợp trong Ω; khi đó, mọi phần tử liên hợp của x trên K đều t… ↩ 1 06LO
Hệ quả 3 — Cho f là đa thức tối tiểu của x trên K; các nghiệm của nó là các liên hợp của x trên K, và mỗi nghiệm ấy nhận f làm đa thức tối tiểu trên K. Bây giờ x tách được trên K khi và chỉ… 06LP
Định nghĩa 2 — Cho E là một mở rộng của K. Khi đó E được gọi là quasi-Galois hay chuẩn tắc (trên K), nếu nó là đại số và nếu mọi đa thức bất khả quy của K[X] có ít nhất một nghiệm trong E, đều… ↩ 1 06LQ
Mệnh đề 3 — Cho E là một mở rộng của K được chứa trong Ω. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: a) E là một mở rộng quasi-Galois của K. b) Với mỗi x ∈ E các phần tử liên hợp của x trên K… ↩ 3 06LR
Hệ quả 1 — Để một mở rộng E của K được chứa trong Ω là quasi-Galois thì cần và đủ là nó đồng nhất với mọi liên hợp của nó trên K. ↩ 3 06LS
Hệ quả 2 — Cho E và F là hai mở rộng của K sao cho E ⊂ F. Nếu F là quasi-Galois trên K, thì nó là quasi-Galois trên E. 06LT
Hệ quả 3 — Cho N là một mở rộng quasi-Galois của K được chứa trong Ω, và E là một mở rộng con của N. Cho u là một đồng cấu K của E vào Ω; khi đó u(E) ⊂ N và tồn tại một K-tự đẳng cấu v của… ↩ 1 06LU
Hệ quả 4 — Cho E' là một mở rộng của K và E, K' là hai mở rộng con của E'. Giả sử rằng E là quasi-Galois trên K và E' = K'(E); khi đó E' là quasi-Galois trên K'. ↩ 1 06LV
Nhận xét 1 Cho F là một mở rộng của K và E là một mở rộng trung gian của F, và giả sử rằng E là quasi-Galois trên K. Ta hãy chứng minh rằng mọi K-tự đẳng cấu u của F đều để E bất biến. Thật v… ↩ 3 06LW
Nhận xét 2 Giả sử rằng E là một mở rộng quasi-Galois của K và F là một mở rộng quasi-Galois của E; không phải lúc nào F cũng quasi-Galois trên K (V, p. 153, Bài tập 1). Lý do là như sau: cho… 06LX
Nhận xét 3 Cho E là một mở rộng đại số của K và x, y là hai phần tử của E. Nếu tồn tại một K-tự đẳng cấu của E ánh xạ x vào y thì x và y có cùng đa thức tối tiểu trên K và do đó liên hợp trên… ↩ 1 06LY
Mệnh đề 4 — Cho (Nᵢ)_i ∈ I là một họ các mở rộng quasi-Galois của K được chứa trong Ω. Cho N = ⋂_i ∈ I Nᵢ và M = K( ⋃_i ∈ I Nᵢ ); khi đó các mở rộng N và M của K là quasi-Galois. ↩ 1 06LZ
Mệnh đề 5 — Cho E là một mở rộng của K được chứa trong Ω và N là mở rộng quasi-Galois được sinh bởi E. Nếu A là một tập con của Ω sao cho E = K(A) thì N = K(B), trong đó B là tập hợp các phầ… 06M0
Hệ quả 1 — Nếu E là một mở rộng bậc hữu hạn của K, thì mở rộng quasi-Galois N của K được sinh bởi E có bậc hữu hạn trên K. Thật vậy, ta có E = K(A) trong đó A là hữu hạn, do đó tập B gồm cá… ↩ 1 06M1
Hệ quả 2 — Mọi mở rộng quasi-Galois N của K đều là hợp của các mở rộng con quasi-Galois của N có bậc hữu hạn trên K. Lấy x ∈ N và đặt Nₓ là mở rộng quasi-Galois của K được sinh bởi x. Vì K(… 06M2

§ 10. Các mở rộng Galois

Định lý 1 — Cho N là một mở rộng đại số của K và Γ là nhóm các tự đẳng cấu của N giữ K bất biến. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: a) Mọi phần tử của N bất biến dưới Γ đều thuộc ảnh của… ↩ 4 06MB
Định nghĩa 1 — Một mở rộng N của K được gọi là Galois nếu nó đại số và thỏa mãn các điều kiện tương đương a), b), c) của Định lý 1. 06MC
Mệnh đề 1 — Cho N là một mở rộng của K và (Nᵢ)_i ∈ I, một họ khác rỗng các mở rộng con của N. Đặt E = ∩_i ∈ I Nᵢ và F = K ( ⋃_i ∈ I Nᵢ ). Nếu tất cả các mở rộng N, đều là Galois trên K thì đ… ↩ 3 06MD
Mệnh đề 2 — Cho N là một mở rộng Galois của K và E là một mở rộng con của N, có bậc hữu hạn trên K. Tồn tại một mở rộng con F của N chứa E, Galois và có bậc hữu hạn trên K. ↩ 5 06ME
Định nghĩa 2 Cho N là một mở rộng Galois của trường K. Nhóm gồm tất cả các tự đẳng cấu của N giữ K bất biến sẽ được gọi là nhóm Galois của N trên K và ký hiệu là Gal(N/K). 06MF
Ví dụ 1 Giả sử đặc số của K khác 2 và cho N là một mở rộng bậc hai của K. Nếu x ∈ N − K, thì ta có N = K(x) và đa thức tối tiểu của x trên K có dạng f(X) = X² − aX + b, với a, b ∈ K. Do đó… ↩ 1 06MG
Ví dụ 2 Cho f = X³ + X² − 2X − 1 ∈ Q[X]. Đa thức f bất khả quy, vì nếu không, nó có một nghiệm x ∈ Q; viết x = a/b với a, b ∈ Z, a và b nguyên tố cùng nhau, ta phải có a(a² + ab − 2b²) = b… ↩ 1 06MH
Ví dụ 3 Giả sử rằng K = Q và lấy f = X³ - 2. Dùng phân tích các số nguyên thành tích các nhân tử nguyên tố (I, p. 51), ta dễ dàng thấy rằng 2 không phải là lập phương của một phần tử của Q… ↩ 1 06MI
Ví dụ 4 Giả sử K có đặc số p ≠ 0 và cho K(T) là trường các phân thức hữu tỉ và U = Tᵖ - T. Đặt E = K[U] và F = K[T], khi đó đa thức f(X) = Xᵖ - X - U của E[X] có các nghiệm T, T+1, ..., T+… 06MJ
Ví dụ 5 Cho F = K(X₁, ..., Xₙ) là trường các phân thức hữu tỉ theo n bất định X₁, ..., Xₙ với các hệ số trong K. Đặt sₖ = ∑_1 ≤ i₁ < ... < iₖ ≤ n X_i₁ ... X_iₖ với 1 ≤ k ≤ n và E = K(s₁… ↩ 4 06MK
Ví dụ 6 Giả sử rằng f là đơn thức với bậc 0 và K có đặc số ≠ 2. Định nghĩa trên A một thứ tự toàn phần, ký hiệu bởi ≤, và đặt δ(f) = ∏_α < β (β - a), (α, β) ∈ A × A, và với mỗi σ ∈ 𝔖_A đặt… 06ML
Mệnh đề 3 — Đồng cấu hạn chế của Gal(N/K) vào Gal(L/K) là toàn ánh. ↩ 2 06MM
Mệnh đề 4 — Cho N là một mở rộng Galois của K. Khi đó nhóm Galois Γ = Gal(N/K) là compact và hoàn toàn không liên thông. 06MN
Mệnh đề 5 — Đồng cấu λ của Gal(N/K) vào varprojlim Gal(Nᵢ/K) là một đẳng cấu của các nhóm tôpô. 06MO
Mệnh đề 6 — a) Cho V là một không gian vectơ trên N có một K-cấu trúc. Đối với một vectơ x ∈ V để hữu tỉ trên K là điều kiện cần và đủ rằng u_σ(x) = x với mọi σ ∈ Γ. Đối với một không gian c… 06MP
Hệ quả — Cho V₀ là một không gian vectơ trên K và cho W là một không gian con-N vectơ của N ⊗_K V₀. Giả sử rằng W ổn định dưới các ánh xạ σ ⊗ Id_V₀ với mọi σ ∈ Γ. Gọi W₀ là tập hợp các x… ↩ 1 06MQ
Mệnh đề 7 — Cho V là một không gian vectơ trên N, (u_σ)_σ, r là một họ các ánh xạ của V vào chính nó thỏa mãn (1) đến (4) và V₀ là tập hợp các x ∈ V sao cho u_σ(x) = x với mọi σ ∈ Γ. ↩ 4 06MR
Mệnh đề 8 — Ánh xạ N-tuyến tính ψ từ N ⊗_K M vào V = ∏_σ ∈ Γ M^σ là đơn ánh, và là song ánh nếu Γ hữu hạn. ↩ 3 06MS
Hệ quả — Cho ψ là ánh xạ K-tuyến tính từ N ⊗_K N vào không gian vectơ tích N^Γ sao cho ψ(x ⊗ y) (a) = σ(x) y với x, y thuộc N và σ ∈ Γ. Khi đó ψ là đơn ánh và là song ánh khi Γ hữu hạn. ↩ 3 06MT
Nhận xét 1 Cho F là một mở rộng của K và N là một mở rộng con của F, và cho Γ là một nhóm hữu hạn các tự đẳng cấu của N, mà K là trường bất biến. Mệnh đề 8 suy ra sự tồn tại của một đẳng cấu… 06MU
Nhận xét 2 Ký hiệu K, N và Γ có cùng ý nghĩa như trước. Với mỗi số nguyên n geqslant 1, cho Aₙ là tích tenxơ của n K-đại số đồng nhất với N; cho Bₙ là tập hợp các ánh xạ từ Γⁿ⁻¹ vào N. Bằng q… 06MV
Mệnh đề 9 — Cho (U_σ)_σ ∈ Γ là một họ các phần tử của GL(n, N). Để tồn tại A trong GL(n, N) sao cho U_σ = A⁻¹ a(A) với mọi σ ∈ Γ là điều kiện cần và đủ để U_σ τ = U_σ · σ(U_τ) với σ, τ trong… ↩ 2 06MW
Hệ quả 1 Cho (c_σ)_σ ∈ Γ, , , là một họ các phần tử khác không của N. Để tồn tại a ≠ 0 trong N sao cho c, = σ(a) · a' với mọi a ∈ Γ là điều kiện cần và đủ để c_σ τ = c_σ · σ(c_τ) với σ, τ t… ↩ 2 06MX
Hệ quả 2 Cho (c_σ)_σ ∈ Γ, Γ là một họ các phần tử của N. Để b tồn tại trong N sao cho a, = σ(b) - b với mọi a ∈ Γ, điều kiện cần và đủ là a, = a, + σ(a_τ) với a, τ thuộc Γ. ↩ 2 06MY
Định lý 2 (Artin) — Cho N là một trường, Γ là một nhóm các tự đẳng cấu của N và K là trường các bất biến của Γ. Cho V là một không gian vectơ con trên K của N có số chiều hữu hạn trên K. Khi đó mọi… ↩ 1 06MZ
Định lý 3 — Cho N là một trường, Γ là một nhóm hữu hạn các tự đẳng cấu của N và K là trường các bất biến của Γ. Gọi n là lực lượng của Γ. a) Ta có [N : K] = n và N là một mở rộng Galois của… ↩ 7 06N0
Định lý 4 — Cho N là một mở rộng Galois của K và Γ là nhóm Galois của nó. Gọi K là tập hợp các mở rộng con của N và G là tập hợp các nhóm con đóng của Γ. Với mỗi nhóm con A ∈ G, ta ký hiệu k… ↩ 2 06N1
Bổ đề 1 Cho E là một mở rộng con của N. Khi đó N là một mở rộng Galois của E và Gal(N/E) là một nhóm con đóng của Gal(N/K) với tôpô cảm sinh. ↩ 2 06N2
Bổ đề 2 Cho A là một nhóm con của Γ. Gọi E là trường các bất biến của A; khi đó nhóm Galois của N trên E là bao đóng của A trong Γ. ↩ 1 06N3
Hệ quả 1 Cho E và E' là hai trường con của N chứa K; khi đó E ⊂ E' nếu và chỉ nếu g(E) ⊃ g(E'). Nếu A và A' là hai nhóm con đóng của Γ, thì A ⊂ A' nếu và chỉ nếu k(Δ) ⊃ k(Δ'). ↩ 3 06N4
Hệ quả 2 Cho (Eᵢ)_i ∈ I là một họ các trường con của N chứa K; đặt L = ⋂_i ∈ I Eᵢ và M = K( ⋃_i ∈ I Eᵢ ). Khi đó g(L) là nhóm con đóng nhỏ nhất chứa U_i ∈ I g(Eᵢ) và ta có g(M) = ⋂_i ∈ I g(… ↩ 1 06N5
Hệ quả 3 Cho i = 1, 2, đặt Eᵢ là một trường con của N chứa K và cho Δᵢ = g(Eᵢ). Với mọi σ ∈ Γ các quan hệ σ(E₁) = E₂ và σ Δ₁ σ⁻¹ = Δ₂ là tương đương. ↩ 2 06N6
Hệ quả 4 Cho E là một trường con của N chứa K và cho A = g(E). Để E là Galois trên K thì điều kiện cần và đủ là A phải là một nhóm con chuẩn tắc của Γ. Khi điều này xảy ra, đồng cấu hạn chế… ↩ 5 06N7
Hệ quả 5 Cho E là một trường con của N chứa K. Để E có bậc hữu hạn trên K thì cần và đủ là g(E) mở trong Γ. Khi đó, chỉ số (Γ : g(E)) là hữu hạn và bằng [E : K]. ↩ 2 06N8
Hệ quả 6 — Với i = 1, 2 cho Eᵢ là một phần mở rộng con của N và Γᵢ là nhóm Galois của N trên Eᵢ. Các điều kiện sau là tương đương: a) Nhóm Γ là tích trực tiếp của các nhóm con Γ₁ và Γ₂. b)… ↩ 2 06N9
Nhận xét Với ký hiệu của Hệ quả 6, giả sử các điều kiện a) và b) được thỏa mãn. Các đồng cấu hạn chế φᵢ : Γ → Gal(Eᵢ/K) với i = 1, 2 cảm sinh các đẳng cấu nhóm tôpô Ψ₁ : Γ₂ → Gal(E₁/K) , Ψ₂… 06NA
Định lý 5 Cho N' là một mở rộng của K được sinh bởi hai mở rộng con K' và N. Giả sử rằng N là Galois trên K, với nhóm Galois Γ và rằng K' ∩ N = K. Khi đó mở rộng N' của K' là Galois và đồng… ↩ 5 06NB
Hệ quả 1 Cho E' là một trường con của N' chứa K'. Tồn tại duy nhất một trường con E của N chứa K và sao cho E' = K'(E). Ta có E = E' ∩ N. 06NC
Hệ quả 2 Cho N là một mở rộng Galois của K. Giả sử nhóm Galois Γ của N trên K là tích trực tiếp của hai nhóm con đóng Γ₁ và Γ₂ và ký hiệu Eᵢ là trường các bất biến của Γᵢ với i = 1, 2. Khi… 06ND
Nhận xét Cho K và K' là hai trường và u là một đồng cấu của K vào K'. Cho Kₛ (resp. K'ₛ) là một bao đóng tách được (V, p. 45, Prop. 14) của K (resp. K') và Π (resp. Π') là nhóm Galois của K… 06NE
Định lý 6 Cho N là một mở rộng Galois có bậc hữu hạn trên K và cho Γ là nhóm Galois của N trên K. Khi đó tồn tại một cơ sở chuẩn của N trên K; nói cách khác, môđun K^(Γ) của N là tự do hạng… ↩ 3 06NF
Mệnh đề 10 Cho x ∈ N, khi đó để x lập thành một cơ sở của K^(Γ)-môđun N thì cần và đủ là det(σ τ(x))_σ, τ ∈ Γ ≠ 0. 06NG
Mệnh đề 11 — Giả sử K là vô hạn và cho P : N → K là một ánh xạ đa thức không đồng nhất bằng 0 trên K. Tồn tại x ∈ N sao cho P(x) ≠ 0 và {x} là một cơ sở của N trên K^(Γ). 06NH
Bổ đề 4 Cho M là một A-môđun xoắn được sinh bởi một số hữu hạn phần tử x₁, ..., xₕ; khi đó tồn tại một phần tử x của M mà linh hóa tử (II, p. 219) của nó bằng linh hóa tử của M. ↩ 1 06NI
Bổ đề 5 Cho X là một Γ-tập hợp hữu hạn và cho x₁, …, xₙ là các điểm của X sao cho các quỹ đạo Γ x₁, …, Γ xₙ tạo thành một phân hoạch của X. Với 1 ≤ i ≤ n cho Δᵢ là nhóm ổn định của xᵢ tron… ↩ 1 06NJ
Mệnh đề 12 — Với mọi Γ-tập hợp hữu hạn X đại số Θ(X) là êtan trên K, có bậc bằng lực lượng của X. Hơn nữa, mọi đại số êtan trên K đều đẳng cấu với một đại số có dạng Θ(X). ↩ 1 06NK
Nhận xét a) Dễ dàng chứng minh rằng với mọi đồng cấu đại số trên K φ từ Θ(X) vào K, tồn tại một phần tử duy nhất x của X sao cho φ(f) = f(x) với mọi f ∈ Θ(X). 06NL
Mệnh đề 13 — Cho N là một mở rộng quasi-Galois của K. Ký hiệu Nᵣ là trường bất biến của nhóm tất cả các K-tự đẳng cấu của N và ký hiệu Nₛ là bao đóng đại số tách được tương đối của K trong N… ↩ 2 06NM
Hệ quả — Cho p là số mũ đặc số của K, overlineK là một bao đóng đại số của K, Kₛ, là bao đóng tách được tương đối của K trong overlineK và K^p^-∞ là bao đóng hoàn hảo của K. Khi đó đồng c… 06NN
Nhận xét Cho R (tương ứng S) là một mở rộng p-căn (tương ứng đại số tách được) của K. Khi đó đại số R ⊗_K S là một trường : vì R (tương ứng S) đẳng cấu với một mở rộng con của K^p^∞ (tương… 06NO

§ 11. Các mở rộng Abel

Định nghĩa 1 — Một mở rộng E của K được gọi là Abel nếu nó là Galois và nhóm Galois của nó là giao hoán. 06OC
Mệnh đề 1 — Cho E là một mở rộng Galois của K và Γ nhóm Galois của nó. Gọi A là nhóm dẫn xuất của Γ (I, p. 10, Định nghĩa 4) và F là trường bất biến của A. Để một mở rộng con L của E là Abel… ↩ 1 06OD
Hệ quả — Cho E là một mở rộng của K và cho (Eᵢ)_i ∈ I là một họ các mở rộng con của E sao cho E = K ( ⋃_i ∈ I Eᵢ ). Giả sử rằng mỗi mở rộng Eᵢ là Abel, thì E cũng vậy. 06OE
Định nghĩa 2 Một phần tử ζ của K được gọi là một nghiệm của đơn vị nếu tồn tại một số nguyên n > 0 sao cho ζⁿ = 1; với mọi số nguyên n > 0 sao cho ζⁿ = 1, ζ được gọi là một nghiệm bậc n của đơn… 06OF
Định lý 1 Gọi p là số mũ đặc số của K và gọi n > 0 là một số nguyên. Khi đó nhóm μₙ(K) các nghiệm đơn vị bậc n trong K là cyclic và cấp của nó chia hết n; khi K đóng đại số và n nguyên tố cù… ↩ 4 06OG
Bổ đề 1 Gọi G là một nhóm con hữu hạn của K^* có cấp m; khi đó G là cyclic và ta có G = μₘ(K). 06OH
Mệnh đề 2 — Gọi K là một trường đóng đại số và gọi p là số mũ đặc số của nó. Tồn tại một đẳng cấu từ μ∞(K) lên nhóm Q/Z[1/p]. ↩ 1 06OI
Nhận xét 1 Khi K là một trường đóng đại số có đặc số 0, nhóm μ∞(K) vì thế đẳng cấu (không một cách chính tắc) với Q/Z. Khi K là trường C các số phức, ta có thể viết ra một đẳng cấu như thế mộ… 06OJ
Nhận xét 2 Có thể chứng minh kết quả sau (x. V, p. 165, Ex. 21): gọi G và H là hai nhóm giao hoán mà mọi phần tử đều có cấp hữu hạn. Giả sử rằng với mọi số nguyên n ≥ 1, phương trình nx = 0 c… ↩ 1 06OK
Nhận xét 3 Với mọi số nguyên tố l đặt μ{l∞}(K) = U μ{ln}(K). Khi l là đặc số p của K, ta có μ{p∞}(K) = {1}. Từ I, p. 80, Định lý 4, ta suy ra rằng μ∞(K) là tổng trực tiếp của các nhóm con μ{l… 06OL
Mệnh đề 3 Gọi k và n ≥ 1 là hai số nguyên. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: ↩ 1 06OM
Hệ quả 1 Cho G là một nhóm cyclic cấp n và cho d là một ước của n. Khi đó số phần tử cấp d trong G bằng φ(d). Đặc biệt, φ(n) là số các phần tử sinh của G. ↩ 1 06ON
Hệ quả 2 Với mọi số nguyên n ≥ 1, ta có ∑_d | n φ(d) = n, trong đó số nguyên d chạy qua tập hợp các ước 0 của n ^1. 06OO
Mệnh đề 4 — Cho n ≥ 1 là một số nguyên; giả sử rằng tồn tại n nghiệm đơn vị bậc n trong K (điều này đúng chẳng hạn nếu K đóng tách được và n . 1, ≠ 0). Khi đó số nghiệm đơn vị nguyên thủy bậ… ↩ 2 06OP
Mệnh đề 5 — Với mọi số nguyên n ≥ 1 nguyên tố cùng nhau với p thì mở rộng Rₙ(K) của K là Abel có bậc hữu hạn, nhóm Galois của nó đẳng cấu với một nhóm con của (Z/nZ)^* và bậc của nó chia cấp… ↩ 1 06OQ
Bổ đề 2 Cho f, g và h là các đa thức đơn khởi trong Q[X] sao cho f = gh. Nếu f có các hệ số nguyên thì g và h cũng vậy. ↩ 1 06OR
Nhận xét \ Với mọi số nguyên n > 0 một hàm μ(n) được định nghĩa như sau: nếu n chia hết cho bình phương của một số nguyên tố, ta đặt μ(n) = 0, nếu không thì μ(n) = (-1)ʰ nếu n là tích của h… 06OS
Bổ đề 3 Các nghiệm của Φₙ trong Kₛ là các căn nguyên thủy bậc n của đơn vị. ↩ 1 06OT
Proposition 6 — Cho p là số mũ đặc số của K và cho n ≥ 1 là một số nguyên nguyên tố cùng nhau với p. Để đa thức Φₙ(X) là bất khả quy trong K[X], điều kiện cần và đủ là đồng cấu χₙ : Gal(Kₛ/K) →… ↩ 1 06OU
Định lý 2 (Gauss) — Cho Q là một bao đóng đại số của Q và cho n ≥ 1 là một số nguyên. 06OV
Định nghĩa 3 — Một mở rộng E của K được gọi là cyclic nếu nó là Galois và nhóm Galois của nó là cyclic. 06OW
Ví dụ 1) Mọi mở rộng Galois bậc nguyên tố đều là cyclic, vì mọi nhóm hữu hạn G có cấp nguyên tố p đều là cyclic (vì mọi phần tử x ≠ 1 của G đều có cấp p, nên sinh ra G). 0DI2
Định lý 3 (*Hilbert*) — Cho E là một mở rộng cyclic của K và gọi a là một phần tử sinh của nhóm Galois Γ của E trên K. 06OX
Bổ đề 4 Cho Γ là một nhóm cyclic cấp n, σ là một phần tử sinh của Γ và M là một nhóm giao hoán trên đó Γ tác động theo quy tắc γ . (m + m') = γ . m + γ . m' với mọi γ ∈ Γ và m, m' ∈ M. Gọi… 06OY
Mệnh đề 7 — Cho G là một nhóm giao hoán bị triệt tiêu bởi n và H là một nhóm con của G. Khi đó đồng cấu hạn chế Hom(G, T) → Hom(H, T) là toàn ánh. ↩ 2 06OZ
Hệ quả 1 — Nếu G là một nhóm giao hoán bị triệt tiêu bởi n, và G ≠ 1, thì Hom(G, T) ≠ 1. ↩ 1 06P0
Hệ quả 2 — Nếu G là một nhóm giao hoán hữu hạn bị triệt tiêu bởi n, thì các nhóm G và Hom(G, T) có cùng cấp. ↩ 1 06P1
Mệnh đề 8 — Giả sử rằng G và H giao hoán và bị triệt tiêu bởi n. Nếu sf là song ánh và H là hữu hạn, thì df là song ánh và ta có Card(G) = Card(H). 06P2
Bổ đề 5 — K(A^1/n) là một mở rộng Abel của K có số mũ chia n. 06P3
Bổ đề 6 — Cho L là một mở rộng Galois của K. Tồn tại một ánh xạ duy nhất (σ, a) ↦ ⟨ σ, a ⟩ từ Gal(L/K) × ((Lⁿ ∩ K^*)/K^*n) vào μₙ(K) sao cho với mọi σ ∈ Gal(L/K) và mọi phần tử 0 ∈ L^* sao… 06P4
Mệnh đề 9 Với mọi mở rộng Galois bậc hữu hạn L của K, đồng cấu k_L là song ánh. ↩ 1 06P5
Hệ quả Nếu L là một mở rộng Galois của K, thì đồng cấu k_L là đơn ánh và ảnh của nó là nhóm Hom_c(Gal(L/K), μₙ(K)) các đồng cấu liên tục từ nhóm tôpô Gal(L/K) vào nhóm rời rạc μₙ(K). 06P6
Định lý 4 a) Ánh xạ H ↦ K(H^1/n) là một song ánh bảo toàn bao hàm từ tập hợp các nhóm con của K^* chứa K^*n lên tập hợp các mở rộng con Abel của Ω có số mũ chia hết cho n. Ánh xạ nghịch đảo… 06P7
Ví dụ 1 Tồn tại một mở rộng Abel lớn nhất có số mũ chia hết cho n của K, được chứa trong Ω; nó thu được bằng cách kề thêm vào K các căn bậc n của mọi phần tử của nó; nhóm Galois của nó có… 06P8
Ví dụ 2 Lấy K = Q và n = 2. Khi đó Q^*/Q^*2 là một không gian vectơ trên F₂ có một cơ sở là hợp của -1 và tập hợp mọi số nguyên tố. Vì vậy mở rộng Abel lớn nhất có số mũ 2 của Q chứa trong… 06P9
Ví dụ 3 Cho L là một mở rộng cyclic của K bậc n; khi đó nhóm (Lⁿ ∩ K^*)/K^*n là cyclic cấp n. Nếu a ∈ K^* sao cho lớp thặng dư của a mod K^*n là một phần tử sinh của nhóm này, thì L là K-đ… 06PA
Ví dụ 4 Ngược lại, cho a ∈ K^* và cho r là số nguyên nhỏ nhất > 0 sao cho a' ∈ K^*n; khi đó trường con L của Ω sinh bởi các nghiệm của đa thức Xⁿ - a là một mở rộng cyclic của K bậc r. Đặc… ↩ 1 06PB
Nhận xét Cho a ∈ K^* và cho r là số nguyên nhỏ nhất > 0 sao cho a' ∈ Kⁿ. Gọi B là tập hợp các nghiệm trong K của đa thức X^n/r - a; khi đó ta có 06PC
Bổ đề 7 K(φ⁻¹(A)) là một mở rộng Abel của K với số mũ chia hết cho p. 06PD
Bổ đề 8 Cho L là một mở rộng Galois của K. Tồn tại một ánh xạ duy nhất (σ, a) ↦ [a, a') từ Gal(L/K) × ((φ(L) ∩ K)/φ(K)) vào Fₚ sao cho với mọi σ ∈ Gal(L/K) và mọi phần tử x ∈ L sao cho φ(x… 06PE
Mệnh đề 10 Với mọi mở rộng Galois L bậc hữu hạn của K, đồng cấu a_L là song ánh. 06PF
Hệ quả Nếu L là một mở rộng Galois của K, đồng cấu a_L là đơn ánh và ảnh của nó là nhóm Hom_c(Gal(L/K), Fₚ) các đồng cấu liên tục của nhóm tôpô Gal(L/K) vào nhóm rời rạc Fₚ. 06PG
Định lý 5 a) Ánh xạ A ↦ K(P⁻¹(A)) là một song ánh từ tập hợp các nhóm con của K chứa P(K) lên tập hợp các mở rộng con Abel có số mũ chia hết cho p trong Ω. Ánh xạ nghịch đảo là L ↦ P(L) ∩ K… 06PH
Ví dụ 1 Tồn tại một mở rộng Abel lớn nhất của K có số mũ chia hết cho p, chứa trong \Omega; đó là K(B^1(K)), nhóm Galois của nó có thể được đồng nhất với Horn(K/\mathfrak{p}(K),\mathbf{F}p… 06PI
Ví dụ 2 Cho L là một mở rộng cyclic của K có bậc p; khi đó nhóm (\mathfrak{p}(L) \cap K)/\mathfrak{p}(K) là cyclic cấp p. Nếu a \in K sao cho lớp thặng dư của a mod \mathfrak{p}(K) là một… 06PJ
Ví dụ 3 Ngược lại, nếu a \in K - \mathfrak{p}(K), thì đa thức X^p - X - a là bất khả quy và trường con L của \Omega sinh bởi các nghiệm của nó là một mở rộng cyclic của K có bậc p. Nếu a \… 06PK

§ 12. Trường hữu hạn

Mệnh đề 1 — Cho K là một trường hữu hạn có q phần tử. 06Q8
Mệnh đề 2 — Cho K là một trường hữu hạn có q phần tử. Trường K là một trường phân rã của đa thức X^q - X của \mathbf{F}p[X] và nó là tập hợp tất cả các nghiệm của đa thức này. ↩ 2 06Q9
Hệ quả — Hai trường hữu hạn có cùng lực lượng thì đẳng cấu. ↩ 1 06QA
Mệnh đề 3 — Cho K là một trường hữu hạn có q phần tử, Ω là một mở rộng đóng đại số của K và m là một số nguyên geqslant 1. a) Tồn tại duy nhất một mở rộng con Kₘ của Ω có bậc m trên K. b) Tr… ↩ 2 06QB
Hệ quả — Cho K là một trường hữu hạn và Ω là một mở rộng đóng đại số của K. Bao đóng đại số tương đối overlineK của K trong Ω gồm có () và các căn của đơn vị và là một bao đóng đại số của… 06QC
Mệnh đề 4 — Cho K là một trường hữu hạn có q phần tử và Kₘ là một mở rộng bậc hữu hạn m của K. 06QD
Mệnh đề 5 — Tồn tại một đẳng cấu duy nhất của các nhóm tôpô π_K : Z → Gal(barK/K) sao cho π_K(1) = σ_q. 06QE
Mệnh đề 6 — Ảnh qua φₙ của tự đẳng cấu Frobenius σ_q là lớp thặng dư của q mod n. 06QF
Hệ quả — Bậc của Rₙ trên K là số nguyên nhỏ nhất f ≥ 1 sao cho qᶠ ≡ 1 pmodn. Để đa thức cyclotomic Φₙ là bất khả quy trên K thì điều kiện cần và đủ là nhóm (Z/nZ)^* phải được sinh bởi lớp… 06QG
Ví dụ 1 Đa thức Φ₃(X) = X² + X + 1 là bất khả quy trong F_q[X] khi và chỉ khi q ≡ 2 pmod3. Tương tự, Φ₄(X) = X² + 1 là bất khả quy trong F_q[X] khi và chỉ khi q ≡ 3 pmod4 và đối với Φ₅ = X… 06QH
Ví dụ 2 Ta có 5² ≡ 1 pmod12, do đó lớp thặng dư của 5 (mod 12) không sinh (Z/12Z)^*. Vì vậy đa thức Φ₁₂(X) = X⁴ - X² + 1 không bất khả quy trong F₅[X]; thực ra ta có Φ₅(X) = (X² + 2X - 1)(… 06QI

§ 13. Các mở rộng $p$-căn có chiều cao $\leq 1$

Định nghĩa 1 Cho K là một trường và L là một mở rộng căn-bậc-p có chiều cao ≤ 1 của K. Một họ (xᵢ)_i ∈ I các phần tử của L được gọi là p-tự do trên K (resp. một p-cơ sở của L trên K) nếu xᵢ ∉ K… 06QX
Mệnh đề 1 Cho K là một trường, L là một mở rộng căn p có chiều cao ≤ 1 của K và x = (xᵢ)_i ∈ I là một họ các phần tử của L. Khi đó không gian vectơ K(xᵢ)_i ∈ I trên K được sinh bởi các tích… ↩ 6 06QY
Hệ quả — Cho L' là một mở rộng của một trường K, được sinh bởi hai mở rộng con K' và L rời nhau tuyến tính. Giả sử rằng L là p-căn cấp ≤ 1 trên K; khi đó L' là p-căn cấp ≤ 1 trên K'. Hơn… 06QZ
Nhận xét Cho K là một trường, L là một mở rộng căn p có chiều cao ≤ 1 của K và (xᵢ)ᵢ, một họ các phần tử của L. Cho A là đại số đa thức K[(Xᵢ)_i ∈ I], a là iđêan của A sinh bởi các đa thức… 06R0
Mệnh đề 2 — Cho K là một trường, L là một mở rộng căn p có chiều cao ≤ 1 của K và S là một tập con của L. Điều kiện cần và đủ để S là p-tự do là K(T) ≠ K(S) với mọi tập con T ≠ S của S. ↩ 1 06R1
Mệnh đề 3 — Cho K là một trường, L là một mở rộng căn p có chiều cao ≤ 1 của K, và S, T là hai tập con của L. Các điều kiện sau là tương đương: a) Tập con S là p-tự do trên K và T là p-tự do… 06R2
Hệ quả — Cho L là một mở rộng căn p có chiều cao ≤ 1 của K và M là một mở rộng con của L. Khi đó L là căn p có chiều cao ≤ 1 trên M và M là căn p có chiều cao ≤ 1 trên K. Hơn nữa, nếu B l… 06R3
Mệnh đề 4 — Cho x = (xᵢ)_i ∈ I là một p-cơ sở của K. Với mọi số nguyên n ≥ 1, họ (xᵘ)_u ∈ Λ(n) là một cơ sở của K trên K^pⁿ. 06R4
Mệnh đề 5 Cho K là một trường và L là một mở rộng của K sinh bởi một phần tử x sao cho x ∉ K,\ xᵖ ∈ K. Gọi V là một không gian vectơ trên L và A là một đạo hàm của K vào V sao cho Δ(xᵖ) = 0… ↩ 1 06R5
Hệ quả 1 Cho K là một trường, L là một mở rộng căn bậc p có chiều cao ≤ 1 của K và V là một không gian vectơ trên L. Mọi đạo hàm A của K vào V triệt tiêu trên Lᵖ đều mở rộng được thành một… ↩ 3 06R6
Hệ quả 2 —Cho L là một mở rộng p-căn có chiều cao ≤ l của một trường K và E là một mở rộng con của L. Gọi U là không gian con của ΩK(L) được sinh bởi các vi phân của các phần tử của E. Khi… ↩ 3 06R7
Định lý 1 —Cho L là một mở rộng p-căn có chiều cao ≤ l của một trường K và (ai){i ∈ I}, một họ các phần tử của L. ↩ 3 06R8
Hệ quả —Cho (xi){i ∈ I} là một p-cơ sở của L trên K. Cho V là một không gian vectơ trên L, A một đạo hàm của K vào V triệt tiêu trên L^p và (ui){i ∈ I} là một họ các phần tử của V. Khi đó… 06R9
Định lý 2 — Cho L là một mở rộng căn p có chiều cao ≤ 1 của một trường K. a) Tồn tại các cơ sở p của L trên K. Chính xác hơn, nếu S là một tập con p-tự do của L trên K và T là một tập con củ… ↩ 4 06RA
Hệ quả — Với mỗi x ∈ L - K, tồn tại một cơ sở p của L trên K chứa X. 06RB
Mệnh đề 6 — Cho K là một trường (có đặc số p) và L là một mở rộng của K. a) Cho x ∈ L; vi phân d_L/Kx triệt tiêu khi và chỉ khi x thuộc K(Lᵖ). b) Ω_K(L) = 0 khi và chỉ khi L = K(Lᵖ). c) Giả… ↩ 1 06RC
Định lý 3 (Jacobson) — Các ánh xạ K ↦ g(K) và l ↦ I(h) lần lượt là các song ánh của C lên L và của L lên C, nghịch đảo của nhau. Nếu K ∈ C và h ∈ L tương ứng với nhau, thì [E : K] = p^[h : E]. 06RD
Bổ đề 1 — Cho L là một trường, V là một không gian vectơ trên L và u là một tự đồng cấu của V sao cho uᵖ = u. Với mỗi i ∈ Fₚ, gọi Vᵢ là hạt nhân của u - i. Khi đó ta có ↩ 2 06RE
Bổ đề 2 Cho D là một đạo hàm của E sao cho Dᵖ = D và gọi K là hạt nhân của D. Giả sử rằng tồn tại một phần tử x khác không trong E sao cho D(x) = x. Khi đó K là một trường con của E chứa E… 06RF
Bổ đề 3 Cho 𝔥 ∈ L có chiều s trên E. Khi đó I(𝔥) thuộc C và ta có [E : I(𝔥)] = pˢ. 06RG
Nhận xét — 1) Các song ánh nghịch đảo lẫn nhau K ↦ g(K) và 𝔥 ↦ I(𝔥) làm đảo quan hệ bao hàm; do đó 𝔥 ↦ I(𝔥) là một đẳng cấu từ tập hợp có thứ tự L lên tập hợp có thứ tự đối của C. Vì thế ta… 06RH

§ 14. Mở rộng siêu việt

Định nghĩa 1 Một mở rộng E của một trường K; một họ x = (xᵢ)_i ∈ I các phần tử của E được gọi là đại số tự do trên K nếu các đơn thức xᵃ = ∏_i ∈ I xᵢ^aᵢ đối với các xᵢ (với a = (αᵢ)_i ∈ I, tron… ↩ 1 06RO
Mệnh đề 1 Để một họ (xᵢ)_i ∈ I các phần tử của một mở rộng E của một trường K là đại số tự do trên K, điều kiện cần và đủ là quan hệ f((xᵢ)) = 0, trong đó f là một đa thức trong K[Xᵢ]_i ∈ I… 06RP
Định nghĩa 2 Một mở rộng E của một trường K. Một họ (xᵢ)_i ∈ I các phần tử của E được gọi là một cơ sở thuần túy của E (trên K) nếu nó là đại số tự do và E = K(xᵢ)_i ∈ I. Mở rộng E của K cũng đ… 06RQ
Mệnh đề 2 Cho E và E' là hai trường và u là một đẳng cấu của một trường con K của E lên một trường con K' của E'. Cho x = (xᵢ)_i ∈ I (tương ứng x' = (x'ᵢ)_i ∈ I) là một họ các phần tử của E… ↩ 1 06RR
Hệ quả — Để một mở rộng E của một trường K là thuần túy, điều kiện cần và đủ là E K-đẳng cấu với một trường các phân thức hữu tỉ trên K. Chính xác hơn, nếu họ (xᵢ)_i ∈ I là một cơ sở thuầ… 06RS
Nhận xét Rõ ràng là trong một mở rộng E của K, một họ đại số tự do trên K gồm các phần tử độc lập tuyến tính trên K (do đó từng đôi một phân biệt); nói cách khác, nó cũng là một họ tự do đố… 06RT
Mệnh đề 3 — Để một họ (xᵢ)_i ∈ I, các phần tử của một mở rộng E của một trường K, là đại số tự do trên K, điều kiện cần và đủ là mọi họ con hữu hạn của (xᵢ)_i ∈ I đều là đại số tự do trên K. ↩ 4 06RU
Mệnh đề 4 — Cho E là một mở rộng của một trường K và S và T là hai tập con của E. Khi đó các tính chất sau là tương đương: a) S ∪ T tự do đại số trên K và S ∩ T = ∅. ↩ 4 06RV
Hệ quả — Cho E là một mở rộng của một trường K và S là một tập con của E đại số tự do trên K. Nếu x \in E là siêu việt trên K(S), thì S U {x} là đại số tự do trên K. ↩ 2 06RW
Mệnh đề 5 — Cho E là một mở rộng của trường K. Để một tập con S của E là đại số tự do trên K, điều kiện cần và đủ là với mỗi x \in S, phần tử x là siêu việt trên trường K(S - {x}). ↩ 1 06RX
Mệnh đề 6 — Cho E là một mở rộng của một trường K và X là một tập con của E đại số tự do trên K. Nếu K' \subset E là một mở rộng đại số của K thì X là đại số tự do trên K'. ↩ 3 06RY
Định nghĩa 3 Một tập con B của một mở rộng E của một trường K được gọi là một cơ sở siêu việt của E (trên K) nếu B là đại số tự do trên K và E là đại số trên K(B). 06RZ
Ví dụ — Một cơ sở thuần túy là một cơ sở siêu việt. Mặt khác, nếu E là một mở rộng thuần túy của K, thì một cơ sở siêu việt của E trên K không phải luôn luôn là một cơ sở thuần túy của E… 06S0
Mệnh đề 7 Cho E là một mở rộng của một trường K. Mọi cơ sở siêu việt của E là một phần tử cực đại của tập hợp (được sắp thứ tự bởi quan hệ bao hàm) các tập con của E đại số tự do trên K. Ngư… ↩ 2 06S1
Định lý 1 (Steinitz) — Mọi mở rộng E của một trường K đều thừa nhận một cơ sở siêu việt trên K. Nói cách khác, mọi mở rộng của một trường K đều là một mở rộng đại số của một mở rộng thuần túy của K. ↩ 3 06S2
Định lý 2 Cho E là một mở rộng của trường K, S một tập con của E sao cho E đại số trên K(S) và T một tập con của S, đại số tự do trên K; khi đó tồn tại một cơ sở siêu việt B của E trên K sao… ↩ 5 06S3
Hệ quả (« Định lý trao đổi ») — Cho E là một mở rộng của K, S một tập con của E sao cho E đại số trên K(S), T một tập con của E đại số tự do trên K; khi đó tồn tại một tập con S' của S sao cho T ∪ S' là một cơ… 06S4
Định lý 3 — Cho E là một mở rộng của một trường K. Mọi cơ sở siêu việt của E trên K đều có cùng lực lượng. ↩ 1 06S5
Định nghĩa 4 — Cho E là một mở rộng của một trường K. Lực lượng của mọi cơ sở siêu việt của E trên K được gọi là bậc siêu việt của E trên K và được viết là tr. degK E. 06S6
Hệ quả 1 — Cho S là một tập con của E sao cho E đại số trên K(S). Khi đó Card(S) ≥ n; nếu lực lượng của S bằng n, thì S đại số tự do trên K (do đó khi ấy nó là một cơ sở siêu việt của E trê… ↩ 2 06S7
Hệ quả 2 — Giả sử rằng E = K(x1, ..., xm), khi đó m ≥ n; hơn nữa nếu m = n, thì (x1, ..., xm) là một cơ sở thuần túy của E trên K, và khi đó E là một mở rộng thuần túy của K. 06S8
Hệ quả 3 — Mọi tập con của E đại số tự do trên K đều có nhiều nhất n phần tử, và nếu nó có đúng n phần tử, thì nó là một cơ sở siêu việt của E trên K. 06S9
Định lý 4 — Cho K, E và F là ba trường sao cho K ⊂ E ⊂ F. Nếu S là một cơ sở siêu việt của E trên K và T là một cơ sở siêu việt của F trên E, thì S ∩ T rỗng và S ∪ T là một cơ sở siêu việt c… 06SA
Hệ quả — Cho K, E và F là ba trường sao cho K ⊂ E ⊂ F. Khi đó ta có tr. deg_K F = tr. deg_K E + tr. deg_E F ↩ 1 06SB
Mệnh đề 8 — Cho Ω là một mở rộng đóng đại số của một trường K, E và F là hai mở rộng con của Ω và u là một K-đẳng cấu từ E lên F. Để tồn tại một K-tự đẳng cấu v của O kéo dài u, điều kiện cầ… ↩ 1 06SC
Hệ quả 1 — Cho O là một mở rộng đóng đại số của một trường K và E là một mở rộng con của Ω. Mọi K-tự đẳng cấu của E đều mở rộng thành một K-tự đẳng cấu của Ω. ↩ 1 06SD
Hệ quả 2 — Cho Ω là một mở rộng đóng đại số của một trường K, E và F là hai mở rộng con của Ω và u là một K-đẳng cấu của E lên F. Nếu bậc siêu việt của E trên K là hữu hạn (đặc biệt nếu E l… ↩ 1 06SE
Mệnh đề 9 — Cho K là một trường và Ω là một mở rộng đóng đại số của K. Giả sử rằng Ω không đại số trên K; khi đó tập hợp các phần tử của Ω siêu việt trên K là vô hạn. Hơn nữa, nếu x và y là… ↩ 1 06SF
Mệnh đề 10 — Cho K là một trường, Ω là một mở rộng đóng đại số của K và G là nhóm các K-tự đẳng cấu của Ω. Cho x ∈ Ω. ↩ 1 06SG
Định nghĩa 5 — Cho L là một mở rộng của một trường K, và E và F là hai mở rộng con của L. Khi đó E và F được gọi là rời nhau đại số (trên K) và E được gọi là rời nhau đại số với F trên K, nếu v… ↩ 1 06SH
Nhận xét 1 Nếu E là một mở rộng con của L đại số trên K, thì nó rời nhau đại số với mọi mở rộng con F của L. Điều kiện cần và đủ để một mở rộng của K là đại số là nó rời nhau đại số với chính… 06SI
Nhận xét 2 Có thể xảy ra trường hợp E rời nhau về mặt đại số với F trên K, nhưng không rời nhau về mặt đại số trên một trường con K_| của K. \ Chẳng hạn C rời nhau về mặt đại số với chính nó… 06SJ
Nhận xét 3 Hiển nhiên là nếu E rời nhau về mặt đại số với F trên K, khi E và F được xét như các mở rộng con của L, thì điều đó vẫn đúng khi chúng được xét như các mở rộng con của K(E ∪ F), và… 06SK
Mệnh đề 11 — Nếu E và F rời nhau về mặt đại số trên K thì E ∩ F là đại số trên K. 06SL
Mệnh đề 12 — Cho L là một mở rộng của một trường K và E, F là các mở rộng con của L. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: ↩ 4 06SM
Hệ quả — Cho E và F rời nhau về mặt đại số trên K. Gọi E' là bao đóng đại số tương đối của E trong L và F' là bao đóng đại số tương đối của F (V, p. 19). Khi đó E' và F' rời nhau về mặt đ… 06SN
Mệnh đề 13 — Cho L là một mở rộng của một trường K và E, F là hai mở rộng con của L. ↩ 1 06SO
Mệnh đề 14 — Cho L là một mở rộng của một trường K, E và F là hai mở rộng con của L và B là một cơ sở siêu việt của E trên K. Điều kiện cần và đủ để E và F rời nhau về mặt đại số trên K là K(… ↩ 2 06SP
Hệ quả 1 — Nếu E và F rời nhau tuyến tính, thì E rời nhau về mặt đại số với F trên K. Ngược lại, nếu E là một mở rộng thuần của K và rời nhau về mặt đại số với F trên K, thì E và F rời nhau… ↩ 1 06SQ
Hệ quả 2 — Mọi mở rộng thuần của K đều rời nhau tuyến tính với mọi mở rộng đại số của K; đặc biệt, K đóng đại số tương đối trong mọi mở rộng thuần của K. ↩ 1 06SR
Định nghĩa 6 — Cho L là một mở rộng của một trường K và (Eᵢ)_i ∈ I là một họ các mở rộng con của L. Họ (Eᵢ)_i ∈ I được gọi là độc lập đại số nếu điều kiện sau được thỏa mãn: 06SS
Nhận xét Theo Mệnh đề 3 (V, p. 107), chỉ cần kiểm tra điều kiện (AF) đối với các tập con hữu hạn Aᵢ. Như vậy ta thu được kết quả sau: nếu (Eᵢ)_i ∈ I là một họ tự do đại số, thì điều đó vẫn… 06ST
Mệnh đề 15 — Cho (Eᵢ)_i ∈ I là một họ các mở rộng con của một mở rộng đã cho L của một trường K. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: ↩ 2 06SU
Mệnh đề 16 — Cho (Ei){i \in I} là một họ các mở rộng con của một mở rộng của một trường K, và gọi E là trường sinh bởi ⋃_i ∈ I Eᵢ. 06SV
Định lý 5 — Cho (Ei){i \in I}, là một họ các mở rộng của một trường K và \Omega một mở rộng đóng đại số của K. Giả sử rằng bất đẳng thức ↩ 1 06SW
Hệ quả 1 — Cho E và R là hai mở rộng của một trường K. Giả sử rằng Ω đóng đại số, có bậc siêu việt ít nhất bằng bậc siêu việt của E. Khi đó E là K-đẳng cấu với một mở rộng con của R. ↩ 2 06SX
Hệ quả 2 — Cho R là một trường đóng đại số có bậc siêu việt vô hạn trên trường con nguyên tố của nó. Khi đó mọi trường có cùng đặc số với Ω đều là hợp có hướng tăng của các trường đẳng cấu… ↩ 1 06SY
Mệnh đề 17 — Cho E là một mở rộng của một trường K và B là một cơ sở siêu việt của E trên K. Để E sinh hữu hạn trên K (V, p. 11, Định nghĩa 2) thì điều kiện cần và đủ là B hữu hạn và bậc [E… ↩ 1 06SZ
Hệ quả 1 — Giả sử rằng E là một mở rộng sinh hữu hạn của K, và gọi K' là bao đóng đại số tương đối của K trong E (V, p. 19). Khi đó K' có bậc hữu hạn trên K. ↩ 3 06T0
Hệ quả 2 — Một trường sinh hữu hạn trên trường con nguyên tố của nó chỉ chứa hữu hạn nhiều căn của đơn vị. 06T1
Hệ quả 3 — Nếu E là một mở rộng sinh hữu hạn của một trường K, thì mọi mở rộng con E' của E đều sinh hữu hạn. 06T2

§ 15. Mở rộng tách được

Mệnh đề 1 — Cho A là một vành giao hoán và x là một phần tử của A. Để x là lũy linh thì điều kiện cần và đủ là 1 - xT khả nghịch trong vành A[T]. ↩ 1 06TN
Mệnh đề 2 — Cho A là một vành giao hoán. Tập hợp các phần tử lũy linh của A là một iđêan của A, bằng giao của tập hợp mọi iđêan nguyên tố của A. ↩ 3 06TO
Hệ quả — Để một vành giao hoán là rút gọn (V, p. 34, Định nghĩa 2) thì điều kiện cần và đủ là nó đẳng cấu với một vành con của một tích các trường. ↩ 2 06TP
Định nghĩa 1 Cho A là một đại số giao hoán trên một trường K. Khi đó A được gọi là tách được trên K, hay cũng là một K-đại số tách được nếu vành L ⊗_K A là rút gọn đối với mọi mở rộng L của K. ↩ 4 06TQ
Ví dụ 1) Cho A là một đại số đa thức K[Xᵢ]_i ∈ I. Với mọi mở rộng L của K, vành L ⊗_K A đẳng cấu với L[Xᵢ]_i ∈ I (III, p. 449, Nhận xét 2) và do đó là một miền nguyên (IV, p. 9, Mệnh đề… ↩ 1 0DI7
Mệnh đề 3 Cho K là một trường. ↩ 2 06TR
Mệnh đề 4 — Cho A là một đại số tách được trên một trường K và cho B là vành phân thức toàn phần của A; khi đó K-đại số B là tách được. ↩ 2 06TS
Mệnh đề 5 — Cho K là một trường và A, B là các K-đại số giao hoán. Nếu A là rút gọn và B tách được thì A ⊗_K B là rút gọn. ↩ 7 06TT
Hệ quả 1 — Cho K là một trường, L là một mở rộng tách được của K và f là một đa thức trong K[X]. Nếu f không có nhân tử bội trong K[X], thì nó cũng không có nhân tử bội trong L[X]. ↩ 1 06TU
Hệ quả 2 — Cho A và B là hai đại số giao hoán trên K. Nếu A và B tách được, thì A ⊗K B cũng vậy. 06TV
Mệnh đề 6 — Mọi mở rộng thuần của một trường K đều tách được. Điều này suy ra ngay từ Ví dụ 1 (V, p. 119) và Mệnh đề 4 (V, p. 120). ↩ 2 06TW
Mệnh đề 7 — Cho E là một trường, G là một nhóm các tự đẳng cấu của E và K là trường con của E gồm các phần tử bất biến của G. Khi đó E là một mở rộng tách được của K. 06TX
Mệnh đề 8 — Cho L là một mở rộng của một trường K. Nếu L tách được trên K, thì mọi mở rộng con của L đều tách được trên K. Ngược lại, nếu mọi mở rộng con sinh hữu hạn của L đều tách được trê… ↩ 1 06TY
Mệnh đề 9 — Cho L là một mở rộng của một trường K và M là một đại số giao hoán trên L (chẳng hạn, một mở rộng của L). Nếu M tách được trên L và L tách được trên K, thì M tách được trên K. ↩ 2 06TZ
Định lý 1 — Cho K là một trường có đặc số 0. Mọi đại số trên K rút gọn, và đặc biệt mọi mở rộng của K, đều tách được trên K. ↩ 3 06U0
Định lý 2 — Cho K là một trường có đặc số p ≠ 0, K^p^-∞ là một bao đóng hoàn hảo của K và A là một đại số giao hoán trên K. Các tính chất sau là tương đương: a) A là tách được. b) Tồn tại mộ… ↩ 6 06U1
Hệ quả 1 (Mac Lane) — Cho K là một trường có số mũ đặc số p, Ω là một mở rộng hoàn hảo của K và L là một mở rộng con của Ω. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: ↩ 5 06U2
Hệ quả 2 — Cho K là một trường có đặc số mũ p, K^p^-∞ là một bao đóng hoàn hảo của K và L là một mở rộng tách được của K. Khi đó vành L ⊗_K K^p^-∞ là một trường. Hơn nữa, nếu L là đại số tr… ↩ 1 06U3
Hệ quả 3 — Cho L là một mở rộng đại số của K và M là một đại số trên L giao hoán (chẳng hạn một mở rộng của L). Nếu M tách được trên K, thì nó tách được trên L. ↩ 1 06U4
Nhận xét — Tiêu chuẩn của Mac Lane có thể được phát biểu mà không đưa vào bất kỳ mở rộng nào của K ngoài L. Thật vậy, theo c) của Hệ quả 1, L tách được trên K khi và chỉ khi L và Kᴾ rời nha… 06U5
Định lý 3 — Cho K là một trường hoàn hảo. a) Mọi mở rộng đại số của K đều là một trường hoàn hảo. b) Mọi mở rộng của K đều tách được. c) Điều kiện cần và đủ để một đại số trên K là tách được… ↩ 5 06U6
Định lý 4 — Cho Ω là một mở rộng đóng đại số của một trường K và L là một mở rộng con của Ω. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: a) L tách được trên K. b) Giao của các hạt nhân của các… ↩ 1 06U7

§ 16. Các tiêu chuẩn vi phân của tính tách được

Mệnh đề 1 — Giả sử họ x = (xᵢ)_i ∈ I, sinh đại số trên K A. Cho (mᵢ)_i ∈ I, là một họ các phần tử của M và (f_λ)_λ, một họ các đa thức sinh iđêan a gồm mọi đa thức f ∈ K[Xᵢ]_i ∈ I sao cho f(… ↩ 2 06UK
Mệnh đề 2 — Các điều kiện sau là tương đương: a) Ánh xạ α là đơn ánh. b) Mọi đạo hàm K của L vào M đều mở rộng được thành một đạo hàm K của M vào M. c) Mọi đạo hàm K của L vào một không gian… ↩ 3 06UL
Mệnh đề 3 — Cho K là một trường, L là một mở rộng thuần của K và (xᵢ)_i ∈ I là một cơ sở thuần của L (V, p. 106, Định nghĩa 2). ↩ 3 06UM
Hệ quả — Cho P là một trường con của K. Ánh xạ chính tắc α của Ω_P(K) ⊗_K L vào Ω_P(L) là đơn ánh và họ (d_L/P xᵢ)_i ∈ I, là một cơ sở (trên L) của một không gian con của Ω_P(L) bổ sung c… 06UN
Mệnh đề 4 — Cho K là một trường, L là một mở rộng đại số tách được của K và V là một không gian vectơ trên L. ↩ 7 06UO
Hệ quả 1 — Ta có Ω_K(L) = 0 nếu L là đại số và tách được trên K. ↩ 2 06UP
Hệ quả 2 — Nếu L là một mở rộng đại số và tách được của một trường K, ánh xạ chính tắc α : Ω_P(K) ⊗_K L → Ω_P(L) là một đẳng cấu với mọi trường con P của K. 06UQ
Hệ quả 3 — Cho E là một mở rộng của một trường K và D là một đạo hàm của E vào E, ánh xạ K vào K. Nếu L là một mở rộng con của E đại số và tách được trên K, thì D(L) ⊂ L. 06UR
Nhận xét — 1) Sau này (V, p. 131, Hệ quả 3 và p. 135, Hệ quả 2) ta sẽ chứng minh đảo lại của Hệ quả 1 của Mđ. 4. 06US
Định lý 1 — Cho K là một trường có đặc số 0, L là một mở rộng của K và V là một không gian vectơ trên L. Gọi A là một đạo hàm của K vào V, (xᵢ)_i ∈ I, là một cơ sở siêu việt của L trên K và… ↩ 3 06UT
Hệ quả 1 — Mọi đạo hàm của K vào V đều mở rộng thành một đạo hàm của L vào V ↩ 1 06UU
Hệ quả 2 — Cho E là một mở rộng con của L và U là không gian con-vectơ trên L của Ω_K(L) được sinh bởi các vi phân của các phần tử của E. Đối với một phần tử x, điều kiện x đại số trên E là… ↩ 3 06UV
Hệ quả 3 — Đối với một phần tử x của L, để x đại số trên K là điều kiện cần và đủ để dx = 0 trong Ω_K(L). Đặc biệt, để L là một mở rộng đại số của K là điều kiện cần và đủ để Ω_K(L) = 0. Đi… 06UW
Hệ quả 4 — Cho K, L và M là các trường có đặc số 0 sao cho K ⊂ L ⊂ M: khi đó ánh xạ chính tắc a : Ω_K(L) ⊗_L M → Ω_K(M) là đơn ánh. Điều này suy ra ngay lập tức từ Hệ quả 1 và V, p. 128, Mệ… 06UX
Định lý 2 — Cho K là một trường có đặc số 0, L một mở rộng của K và (xᵢ)_i ∈ I, một họ các phần tử của L. a) Để (xᵢ)_i ∈ I là tự do đại số trên K là điều kiện cần và đủ để các vi phân dxᵢ (v… 06UY
Hệ quả — Ta có [Ω_K(L) : L] = tr · deg_K L khi K có đặc số 0. 06UZ
Định lý 3 — Cho K là một trường và L là một mở rộng của K. Để L tách được trên K thì điều kiện cần và đủ là mọi đạo hàm của K vào một không gian L-vectơ đều phải mở rộng được thành một đạo h… ↩ 2 06V0
Hệ quả — Nếu L là một mở rộng tách được của K, ánh xạ chính tắc αₚ : Ωₚ(K) ⊗_K L → Ωₚ(L) là đơn ánh với mọi trường con P của K. Ngược lại, nếu tồn tại một trường con hoàn hảo P của K (chẳ… 06V1
Bổ đề 1 — Cho U và V là hai không gian vectơ có chiều hữu hạn trên một trường L. Mọi ánh xạ tuyến tính f : U → V đều có một chỉ số bằng [V : L] - [U : L]. ↩ 1 06V2
Bổ đề 2 Cho f : U → V và g : V → W là hai ánh xạ L-tuyến tính. Nếu f và g mỗi ánh xạ đều có một chỉ số, thì điều tương tự cũng đúng với g ∘ f và ta có ↩ 1 06V3
Định lý 4 Cho P là một trường hoàn hảo, L là một mở rộng của P và K là một mở rộng con của L; ta giả sử rằng L là một mở rộng sinh hữu hạn của K. Khi đó ánh xạ L-tuyến tính chính tắc a : Ωₚ(… ↩ 2 06V4
Hệ quả 1 — Cho L là một mở rộng sinh hữu hạn của một trường K có bậc siêu việt s. Không gian vectơ Ω_K(L) có chiều ≥ s trên L, với đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi L tách được trên K. ↩ 4 06V5
Hệ quả 2 — Cho L là một mở rộng sinh hữu hạn của một trường K. Để L đại số và tách được trên K thì điều kiện cần và đủ là Ω_K(L) = 0. Điều này suy ra ngay lập tức từ Hệ quả 1. ↩ 4 06V6
Hệ quả 3 — Cho K là một trường có đặc số p ≠ 0 và L là một mở rộng sinh hữu hạn của K có bậc siêu việt s. Nếu [K : Kᵖ] là hữu hạn, điều tương tự cũng đúng với [L : Lᵖ] và ta có [L : Lᵖ] = p… 06V7
Nhận xét 1 Cho K là một trường có đặc số p ≠ 0 và L là một mở rộng của K. Ta có Ω_K(L) = 0 khi và chỉ khi L = K(Lᵖ) (V, p. 103, Mệnh đề 6). Vì vậy nếu L là sinh hữu hạn trên K, thì nó là một… 06V8
Nhận xét 2 Cho K là một trường, F₁, …, Fₘ là các đa thức trong K[X₁, …, Xₙ] và L là một mở rộng của K sinh bởi các phần tử x₁, …, xₙ. Giả sử rằng các đa thức F₁, …, Fₘ sinh iđêan của K[X₁, …… 06V9
Định nghĩa 1 Một cơ sở siêu việt B của một mở rộng L của một trường K được gọi là tách được nếu mở rộng đại số L của K(B) là tách được. 06VA
Định lý 5 Một cơ sở K là một trường, L là một mở rộng của K và (xᵢ)_i ∈ I, là một họ các phần tử của L. Nếu họ (xᵢ)_i ∈ I, là một cơ sở siêu việt tách được của L trên K, thì họ (dxᵢ)_i ∈ I… ↩ 1 06VB
Hệ quả Cho L là một mở rộng tách được sinh hữu hạn của K và cho S là một tập con của L sao cho L = K(S). Khi đó tồn tại một cơ sở siêu việt tách được B của L trên K, được chứa trong S. ↩ 1 06VC
Nhận xét — Cho L là một mở rộng tách được sinh hữu hạn của một trường K có đặc số p ≠ 0; có thể tồn tại các cơ sở siêu việt của L không tách được. Chỉ cần nhận thấy rằng Xᵖ là một cơ sở siê… 06VD
Mệnh đề 5 — Cho L và M là hai mở rộng của một trường K được chứa trong một mở rộng đã cho và rời nhau đại số trên K. Nếu M tách được trên K, thì L(M) tách được trên L. ↩ 2 06VE
Hệ quả — Nếu L và M là các mở rộng tách được, rời nhau về mặt đại số trên K, thì trường K(L ∪ M) là tách được trên K. 06VF

§ 17. Các mở rộng chính quy

Định lý 1 (Zariski) — Cho K là một trường, L là một mở rộng của K, K₁ là bao đóng đại số tách được tương đối của K trong L (V, p. 44), K₂ là bao đóng đại số tương đối của K trong L (V, p. 19) và (Xᵢ)_… 06VP
Mệnh đề 1 — Cho Ω là một mở rộng của một trường K và cho L, M là hai mở rộng con của Ω rời nhau về mặt đại số trên K. Giả sử bao đóng đại số tách được tương đối của K trong L bằng K^1. Gọi φ… 06VQ
Hệ quả Cho L và M là hai mở rộng của một trường K. Giả sử bao đóng đại số tách được tương đối của K trong L bằng K. Khi đó tập hợp p các phần tử lũy linh của L ⊗_K M là một iđêan nguyên t… 06VR
Định nghĩa 1 Cho K là một trường. Một đại số A trên K được gọi là chính quy nếu L ⊗_K A là một miền nguyên với mọi mở rộng L của K. 06VS
Mệnh đề 2 — Cho A và B là hai đại số trên một trường K. Nếu A là một miền nguyên và B là chính quy thì A ⊗_K B là một miền nguyên. ↩ 1 06VT
Mệnh đề 3 — Cho K là một trường. a) Mọi đại số con của một K-đại số chính quy tự nó cũng chính quy. b) Tích tenxơ của hai K-đại số chính quy lại chính quy. c) Cho A là một K-đại số và K' là… ↩ 2 06VU
Định nghĩa 2 — Một mở rộng của một trường K được gọi là chính quy nếu nó chính quy như một K-đại số. ↩ 1 06VV
Mệnh đề 4 — Cho A là một đại số trên trường K là một miền nguyên, và E là trường phân thức của nó. Cho L là một mở rộng của K; nếu vành L ⊗_K A là một miền nguyên thì điều tương tự cũng đúng… ↩ 1 06VW
Hệ quả — Để A là một K-đại số chính quy thì điều kiện cần và đủ là trường phân thức của nó là một mở rộng chính quy của K. 06VX
Mệnh đề 5 — Mọi mở rộng thuần của một trường K đều là chính quy. 06VY
Mệnh đề 6 — Cho L là một mở rộng của một trường K. Nếu L là chính quy, thì mọi mở rộng con của L đều chính quy. Ngược lại, nếu mọi mở rộng con sinh hữu hạn của L đều chính quy, thì L là chín… 06VZ
Mệnh đề 7 — Cho L là một mở rộng của một trường K và M là một đại số trên L (ví dụ, một mở rộng của L). Nếu L là chính quy trên K và M là một đại số trên L chính quy, thì M là chính quy như… 06W0
Mệnh đề 8 — Cho L và M là hai mở rộng của một trường K. 06W1
Mệnh đề 9 — Cho K là một trường, overlineK là một bao đóng đại số của K và L là một mở rộng của K. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: ↩ 1 06W2
Hệ quả 1 — Để A là một đại số chính quy trên một trường K thì điều kiện cần và đủ là vành barK ⊗_K A là một miền nguyên. ↩ 1 06W3
Hệ quả 2 — Cho K là một trường đóng đại số. Mọi đại số trên K là một miền nguyên đều là một đại số trên K chính quy. Đặc biệt, mọi mở rộng của K đều là chính quy. ↩ 1 06W4
Hệ quả 3 — Cho K là một trường đóng đại số. Nếu A và B là hai đại số trên K là những miền nguyên, thì A ⊗_K B cũng vậy. 06W5
Mệnh đề 10 — Cho L và M là hai mở rộng của một trường K và (E, u, v) là một mở rộng hợp thành của L và M (V, p. 12). Giả sử rằng vành L ⊗_K M là một miền nguyên và các mở rộng con u(L) và v(M… ↩ 2 06W6
Hệ quả 1 Cho Ω là một mở rộng của một trường K và L là một mở rộng con của Ω chính quy trên K. Mọi mở rộng con M của Ω rời nhau về mặt đại số với L trên K đều rời nhau tuyến tính. 06W7
Hệ quả 2 Cho Ω là một mở rộng của một trường K và L, M là hai mở rộng con của Ω. Giả sử rằng L tách được trên K và bao đóng tách được tương đối của K trong M bằng K. Nếu L và M rời nhau đại… 06W8

VI. Nhóm và trường có thứ tự

§ 1. Nhóm có thứ tự. Tính chia hết

Định nghĩa 1 — Một cấu trúc monoid giao hoán (viết theo lối cộng) và một thứ tự (viết ≤) trên một tập hợp M được gọi là tương thích nếu chúng thỏa mãn tiên đề sau: 06WE
Ví dụ 1 Nhóm cộng của các số nguyên, và nhóm cộng của các số hữu tỉ, là những nhóm có thứ tự đối với thứ tự được định nghĩa trong I, pp. 21 và 117. Điều tương tự cũng đúng đối với nhóm cộn… 06WF
Ví dụ 2 Nhóm cộng của các hàm số số trị hữu hạn xác định trên một tập hợp E là một nhóm có thứ tự đối với thứ tự « f(x) ≤ g(x) với mọi x ∈ E », viết là f ≤ g. Quan hệ này nói rằng đồ thị c… 06WG
Mệnh đề 1 (« cộng các bất đẳng thức ») — Trong một monoid có thứ tự M, cho (xᵢ) và (yᵢ) (1 ≤ i ≤ n) là hai dãy gồm n phần tử sao cho xᵢ ≤ yᵢ với mọi i; khi đó ta có 06WH
Mệnh đề 2 Trong một nhóm có thứ tự G các quan hệ x ≤ y và x + z ≤ y + z là tương đương. ↩ 1 06WI
Hệ quả — Trong một nhóm có thứ tự G, các quan hệ x ≤ y, 0 ≤ y - x, x - y ≤ 0 và -y ≤ -x là tương đương. 06WJ
Định nghĩa 2 — Một quan hệ tiền thứ tự (ký hiệu ≤) và một cấu trúc monoit giao hoán (viết theo lối cộng) trên một tập hợp M được gọi là tương thích nếu chúng thỏa mãn tiên đề sau: 06WK
Mệnh đề 3 — Nếu P là một tập con của một nhóm Abel G, chứa 0 và sao cho P + P ⊂ P, thì quan hệ y - x ∈ P là một quan hệ tiền thứ tự tương thích với cấu trúc nhóm của G. Để quan hệ này làm ch… ↩ 2 06WL
Định nghĩa 3 Trong một nhóm có thứ tự G, mọi phần tử x sao cho 0 ≤ x (tương ứng x ≤ 0) được gọi là một phần tử dương (tương ứng âm). 06WM
Ví dụ — Trong nhóm cộng Z × Z, lấy P là tập hợp các phần tử (x, y) thỏa mãn hai bất đẳng thức ax + by ≥ 0 và cx + dy ≥ 0, trong đó a, b, c, d là các số nguyên ( hoặc số thực ) sao cho ad… 06WN
Nhận xét — Do điều kiện P + P ⊂ P, quan hệ x ≥ 0 trong một nhóm có thứ tự suy ra rằng nx ≥ 0 với mọi số tự nhiên n. Nếu thêm nữa phần tử dương x của G có cấp hữu hạn n, thì -x = (n-1)x là d… 06WO
Mệnh đề 4 Điều kiện cần và đủ để một nhóm có thứ tự G là lọc là nó được sinh bởi các phần tử dương của nó, nghĩa là mọi phần tử đều là hiệu của hai phần tử dương. 06WP
Mệnh đề 5 — Nếu (xᵢ) là một họ hữu hạn các phần tử của một nhóm lọc G, thì tồn tại z ∈ G sao cho xᵢ + z là dương với mọi i. 06WQ
Nhận xét 1 Quan hệ chia hết trong K^* phụ thuộc một cách cốt yếu vào vành riêng biệt A. Nếu A = K thì ta thu được quan hệ « tầm thường », theo đó x | y với mọi cặp (x, y) các phần tử của K^*… 06WR
Nhận xét 2 Đôi khi chúng ta sẽ mở rộng định nghĩa của quan hệ x | y cho các cặp phần tử của K (thay vì chỉ của K^*), quan hệ này được hiểu là « tồn tại z ∈ A sao cho y = zx »; do đó ta sẽ có… 06WS
Nhận xét 1 Trong những trường hợp thông dụng nhất, tập chỉ số được sắp tốt I sẽ là một khoảng hữu hạn (1, n) trong N. 06WT
Nhận xét 2 Tập hợp các phần tử dương của tích từ điển G gồm 0 và những phần tử khác không mà thành phần khác không có chỉ số nhỏ nhất là dương. 06WU
Mệnh đề 6 — Cho (xᵢ)_i ∈ A, (y_β)_β ∈ B là hai họ các phần tử của một nhóm có thứ tự G, mỗi họ đều có một cận trên đúng. Khi đó họ (x_α + y_β)_(α, β) ∈ A × B có một cận trên đúng, và sup_(α… 06WV
Mệnh đề 7 — Nếu x và y là hai phần tử của một nhóm có thứ tự G, và nếu một trong hai phần tử inf(x, y), sup(x, y) tồn tại, thì phần tử kia cũng tồn tại, và x + y = inf(x, y) - sup(x, y). 06WW
Mệnh đề 7 — Nếu a, b ∈ K^*, và nếu d là một gcd của a và b, còn m là một lcm của a và b, thì tích dm liên kết với ab. ↩ 1 06WX
Mệnh đề 8 — Cho P là tập hợp các phần tử dương của một nhóm có thứ tự G. Để G có thứ tự dàn, điều kiện cần và đủ là G = P - P, và thêm nữa P, được trang bị thứ tự cảm sinh, thỏa mãn một tron… 06WY
Định lý 1 (định lý phân tích) — Cho (xᵢ)_1 ≤ i ≤ p và (yⱼ)_1 ≤ j ≤ q là hai dãy hữu hạn các phần tử dương của một nhóm có thứ tự dàn G sao cho ∑ᵢ₌₁ᵖ xᵢ = ∑ⱼ₌₁^q yⱼ ; khi đó tồn tại một dãy kép (zᵢⱼ)_1 ≤ i ≤ p… ↩ 1 06WZ
Hệ quả — Cho y, x₁, x₂, …, xₙ là n + 1 phần tử dương của G sao cho y ≤ ∑ᵢ₌₁ⁿ xᵢ; khi đó tồn tại n phần tử dương yᵢ (1 ≤ i ≤ n) sao cho yᵢ ≤ xᵢ và y = ∑ᵢ₌₁ⁿ yᵢ. 06X0
Định nghĩa 4 — Trong một nhóm có thứ tự dàn G, phần dương (tương ứng, phần âm, giá trị tuyệt đối) của một phần tử x ∈ G là phần tử sup(x, 0) (tương ứng. sup(-x, 0), sup(x, -x)), được ký hiệu là… 06X1
Mệnh đề 9 — a) Với mỗi phần tử x của một nhóm có thứ tự dàn G ta có x = x⁺ - x⁻ và inf(x⁺, x⁻) = 0. 06X2
Nhận xét Ta suy ra từ d) rằng |x| = 0 kéo theo x = 0 (vì x⁺ và x⁻ là dương); như vậy x ≠ 0 kéo theo |x| > 0. 06X3
Mệnh đề 9 — Nếu nhóm P^* các iđêan phân thức chính của K được sắp thứ tự như một dàn, thì mọi phần tử x của K^* có thể viết dưới dạng x = uv⁻¹, trong đó u và v là các phần tử của A sao cho 1… ↩ 2 06X4
Định nghĩa 5 — Trong một nhóm có thứ tự, hai phần tử x và y được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu inf(x, y) = 0. 06X5
Mệnh đề 10 Cho x, y và z là ba phần tử của một nhóm có thứ tự ; để x – z và y – z nguyên tố cùng nhau thì điều kiện cần và đủ là z = inf (x, y). ↩ 1 06X6
Mệnh đề 11 Nếu (xᵢ), (yⱼ) là hai họ hữu hạn các phần tử dương của một nhóm có thứ tự dàn, thì ↩ 1 06X7
Hệ quả 1 Nếu x và y là hai phần tử nguyên tố cùng nhau, và z là một phần tử dương, của một nhóm có thứ tự dàn, thì inf(x, z) = inf(x, y + z). ↩ 1 06X8
Hệ quả 2 — Trong một nhóm có thứ tự dàn, nếu x và y nguyên tố cùng nhau và nếu z ≥ 0 và x ≤ y + z, thì x ≤ z. 06X9
Hệ quả 3 — Trong một nhóm có thứ tự dàn, nếu x nguyên tố cùng nhau với y và với z, thì nó cũng nguyên tố cùng nhau với y + z. ↩ 1 06XA
Hệ quả 4 — Nếu (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n và (yⱼ)_1 ≤ j ≤ m là hai họ hữu hạn các phần tử của một nhóm có thứ tự dàn G, sao cho mỗi xᵢ nguyên tố cùng nhau với mỗi yⱼ, thì x₁ + … + xₙ nguyên tố cùng nha… ↩ 2 06XB
Hệ quả 5 — Với mọi số nguyên n ≥ 0 ta có (nx)⁺ = nx⁺ và (nx)⁻ = nx⁻; với mọi n ∈ Z ta có |nx| = |n| · |x|. Thật vậy nx = nx⁺ - nx⁻; vì x⁺ và x nguyên tố cùng nhau, nên nx⁺ và nx⁻ cũng vậy n… 06XC
Mệnh đề 11 — Giả sử tập hợp P^* là một dàn, và cho (aᵢ), (bⱼ) là hai họ hữu hạn các phần tử của A. Khi đó mọi ước chung lớn nhất của ∏ᵢ aᵢ và ∏ⱼ bⱼ đều chia tích ∏_i,j gcd(aᵢ, bⱼ). 06XD
Hệ quả 1 — Nếu a, b, c là ba phần tử của A sao cho a nguyên tố cùng nhau với b, thì mọi ước chung lớn nhất của a và c cũng là một ước chung lớn nhất của a và bc. 06XE
Hệ quả 2 (Bổ đề Euclid) — Cho a, b, c là ba phần tử của A. Nếu a nguyên tố cùng nhau với b và chia bc, thì nó chia c. 06XF
Hệ quả 3 — Nếu x nguyên tố cùng nhau với y và với z, thì nó nguyên tố cùng nhau với yz. 06XG
Hệ quả 4 — Nếu (xᵢ) và (yⱼ) là hai họ hữu hạn các phần tử của A sao cho mỗi xᵢ nguyên tố cùng nhau với mỗi yⱼ, thì tích của các xᵢ nguyên tố cùng nhau với tích của các yⱼ. ↩ 1 06XH
Hệ quả 5 — Nếu d là một ước chung lớn nhất của x và y, thì dⁿ là một ước chung lớn nhất của xⁿ và yⁿ với mọi số nguyên dương n. Thật vậy xd¹ và yd¹ nguyên tố cùng nhau (Mệnh đề 10 (DIV)), v… 06XI
Mệnh đề 12 — Cho xᵢ (1 ≤ i ≤ n) là n phần tử nguyên tố cùng nhau từng đôi một trong một nhóm có thứ tự dàn. Khi đó sup(x₁, …, xₙ) = x₁ + ⋯ + xₙ . 06XJ
Nhận xét Mệnh đề 7 của VI, p. 10 cũng cho thấy rằng điều kiện cần và đủ để x và y nguyên tố cùng nhau là x + y = sup(x, y). 06XK
Mệnh đề 12 — Cho aᵢ là một số hữu hạn n phần tử nguyên tố cùng nhau từng đôi một của A; khi đó tích a₁ … aₙ là một bội chung nhỏ nhất của a₁, …, aₙ. 06XL
Mệnh đề 13 — Trong một nhóm có thứ tự dàn G, cho (x_α) là một họ có cận dưới đúng (tương ứng cận trên đúng), và cho z là một phần tử tùy ý của G; khi đó họ (sup(z, x_α)) (tương ứng (inf(z, x_… ↩ 1 06XM
Hệ quả — Nếu một phần tử z của một nhóm có thứ tự dàn G nguyên tố cùng nhau với mỗi phần tử x_α của một họ có cận dưới đúng y, thì z nguyên tố cùng nhau với y. 06XN
Nhận xét Áp dụng các công thức của Mệnh đề 13 cho một họ gồm hai phần tử (x, y), ta thu được các công thức sau, diễn tả sự kiện rằng mỗi luật hợp thành sup, inf trong một nhóm có thứ tự dàn… 06XO
Định nghĩa 6 — Một phần tử x của một nhóm có thứ tự G được gọi là bất khả quy nếu nó là một phần tử cực tiểu trong tập hợp các phần tử dương ngặt của G. 06XP
Ví dụ (DIV) 1) Một số nguyên p > 0 là bất khả quy trong Z khi và chỉ khi nó là nguyên tố (I, p. 50). 0EEO
Mệnh đề 14 — Để một phần tử x > 0 của một nhóm có thứ tự G là bất khả quy, điều kiện đủ là nó thỏa mãn tính chất sau: 06XQ
Mệnh đề 14 — Để một phần tử khác không p của A là bất khả quy, điều kiện đủ là nó không phải là một phần tử khả nghịch, và nó không thể chia hết một tích của hai phần tử của A mà không chia h… ↩ 2 06XR
Nhận xét Mệnh đề 14 (DIV) cũng có thể được phát biểu như sau: nếu p là một phần tử khác không của A sao cho iđêan (p) là nguyên tố (I, p. 117, Định nghĩa 3) thì p là bất khả quy; ngược lại… 06XS
Mệnh đề 15 — Trong một nhóm có thứ tự G, xét (pᵢ)_i ∈ I là một họ các phần tử dương phân biệt từng đôi một của G thỏa mãn điều kiện (P) (và do đó là bất khả quy). Khi đó ánh xạ ↩ 1 06XT
Định lý 2 — Cho G là một nhóm lọc. Khi đó các tính chất sau là tương đương: a) G đẳng cấu với một nhóm có thứ tự dạng Z⁽ᴵ⁾. b) G có thứ tự dàn và thỏa mãn điều kiện sau: (MIN) Mọi tập khác r… ↩ 1 06XU

§ 2. Trường có thứ tự

Định nghĩa 1 — Cho một vành giao hoán A, ta nói rằng một thứ tự trên A tương thích với cấu trúc vành của A nếu nó tương thích với cấu trúc nhóm cộng của A, và nếu nó thỏa mãn tiên đề sau : (OR)… 06YV
Ví dụ 1 Các vành Q và Z, với các thứ tự thông thường, là những vành có thứ tự. 06YW
Ví dụ 2 Một tích của các vành có thứ tự, được trang bị thứ tự tích, là một vành có thứ tự. Đặc biệt, vành Aᴱ các ánh xạ từ một tập hợp E vào một vành có thứ tự A là một vành có thứ tự. 06YX
Ví dụ 3 Một vành con của một vành có thứ tự, với thứ tự cảm sinh, là một vành có thứ tự. 06YY
Ví dụ Chỉ có một cấu trúc vành được sắp thứ tự toàn phần trên Z: thật vậy 1 > 0, do đó n > 0 với mọi số tự nhiên n ≠ 0, theo quy nạp. Trái lại, tồn tại những cấu trúc vành có thứ tự trên… 06YZ
Ví dụ Trong Z, nếu ta lấy P là tập hợp các số nguyên chẵn dương (theo nghĩa thông thường), ta được một vành không được sắp thứ tự toàn phần. 06Z0
Mệnh đề 1 — Một vành được sắp thứ tự toàn phần là không xoắn như một Z-môđun (II, p. 313). ↩ 1 06Z1
Định nghĩa 2 — Một trường giao hoán, được trang bị một thứ tự toàn phần, được gọi là một trường có thứ tự nếu thứ tự của nó và cấu trúc vành của nó là tương thích. 06Z2
Ví dụ 1) Trường Q các số hữu tỉ là một trường có thứ tự. 2) Một trường con của một trường có thứ tự, với thứ tự cảm sinh, là một trường có thứ tự. 3) \ Trường số thực là một trường có th… 0DID
Mệnh đề 2 — Cho A là một miền nguyên được sắp thứ tự toàn phần, và gọi K là trường phân thức của nó. Khi đó tồn tại một và chỉ một thứ tự trên K hạn chế thành thứ tự đã cho trên A và làm cho… ↩ 1 06Z3
Ví dụ — Vì Z chỉ thừa nhận một cấu trúc vành được sắp thứ tự toàn phần duy nhất (VI, p. 19, ví dụ), nên trường Q chỉ thừa nhận một thứ tự duy nhất làm cho nó thành một trường có thứ tự… 06Z4
Định nghĩa 3 Cho K là một trường có thứ tự. Một mở rộng có thứ tự của K là một cặp (E, u), trong đó E là một trường có thứ tự và u là một đồng cấu tăng từ K vào E. 06Z5
Ví dụ — 1) Mọi trường có thứ tự K đều là một mở rộng có thứ tự của Q. Thật vậy, K là một mở rộng của Q, vì nó có đặc số không, và mặt khác Q chỉ có thể được sắp thứ tự theo một cách duy… 06Z6
Định lý 1 Một điều kiện cần và đủ để một mở rộng E của K thừa nhận cấu trúc của một mở rộng có thứ tự của K là điều kiện sau đây: (OE) Quan hệ p₁ x₁² + … + pₙ xₙ² = 0 kéo theo p₁ x₁ = … = pₙ… ↩ 3 06Z7
Bổ đề — Cho P ∈ M và x ∉ P; khi đó tồn tại P' ∈ M sao cho P ⊂ P' và -x ∈ P'. 06Z8
Hệ quả 1 (*« Định lý Artin-Schreier »*) — Một điều kiện cần và đủ để tồn tại một thứ tự trên một trường giao hoán E làm cho nó thành một trường có thứ tự, là quan hệ x₁² + … + xₙ² = 0 kéo theo x₁ = … = xₙ = 0. 06Z9
Hệ quả 2 Cho E là một mở rộng của K thừa nhận cấu trúc của một mở rộng có thứ tự của K. Để một phần tử x ∈ E là dương đối với mọi cấu trúc như vậy trên E, điều kiện cần và đủ là x có dạng ∑… 06ZA
Mệnh đề 3 Cho K là một trường có thứ tự và f là một đa thức bất khả quy trên K đổi dấu giữa a và b trong K. Khi đó mở rộng E = K[X]/(f) của K thừa nhận cấu trúc của một mở rộng có thứ tự. ↩ 2 06ZB
Nhận xét Tồn tại các đa thức bất khả quy f trên một trường có thứ tự K không đổi dấu trong K, nhưng sao cho K[X]/(f) thừa nhận cấu trúc của một mở rộng có thứ tự của K (x. VI, p. 43, Bài tậ… 06ZC
Mệnh đề 4 — Cho K là một trường có thứ tự và cho f ∈ K[X]. Tồn tại một khoảng trong K, ở phần bù của nó, f nhận cùng dấu với số hạng bậc cao nhất của nó. ↩ 1 06ZD
Hệ quả 1 — Mọi mở rộng của một trường có thứ tự có bậc hữu hạn lẻ đều thừa nhận cấu trúc của một mở rộng có thứ tự. 06ZE
Hệ quả 2 — Nếu a là một phần tử dương của một trường có thứ tự K, thì mọi trường phân rã E của đa thức X² - a đều thừa nhận cấu trúc của một mở rộng có thứ tự của K. 06ZF
Nhận xét Khi trường có thứ tự K chứa các « căn bậc hai » của một phần tử dương a của K (các nghiệm của đa thức X² - a) thì ký hiệu sqrta nói chung được dành cho căn bậc hai dương. Nếu K khô… 06ZG
Định nghĩa 4 — Một trường có thứ tự K là cực đại nếu mọi mở rộng đại số có thứ tự của K đều là tầm thường. ↩ 1 06ZH
Ví dụ Ta sẽ thấy về sau (Gen. Top., VIII, p. 1) rằng trường R các số thực là một trường có thứ tự cực đại. 06ZI
Định lý 2 — Mọi trường có thứ tự K đều thừa nhận một mở rộng đại số có thứ tự là một trường có thứ tự cực đại. 06ZJ
Mệnh đề 5 — Cho K là một trường có thứ tự cực đại, và cho f là một đa thức trong K[X] đổi dấu giữa hai phần tử a và b của K (với a < b). Khi đó f có một nghiệm x trong K sao cho a < x < b. 06ZK
Mệnh đề 6 — Mọi phần tử dương của một trường có thứ tự cực đại K đều có một căn bậc hai trong K. Mọi đa thức bậc lẻ trong K[X] đều có ít nhất một nghiệm trong K. 06ZL
Hệ quả — Trên một trường có thứ tự cực đại K chỉ tồn tại một thứ tự tương thích với cấu trúc trường. 06ZM
Định lý 3 (Euler-Lagrange) — Cho K là một trường có thứ tự. Khi đó ba tính chất sau là tương đương: a) Trường K(i) là đóng đại số (trong đó i chỉ một căn bậc hai của -1). b) Trường có thứ tự K là cực đại. c)… ↩ 1 06ZN
Mệnh đề 7 — Cho K là một trường có thứ tự trong đó mọi phần tử dương là một bình phương. Khi đó mọi phần tử của K(i) là một bình phương, và mọi đa thức bậc 2 trên K(i) đều có một nghiệm tron… 06ZO
Mệnh đề 8 — Cho K là một trường giao hoán (có đặc số tùy ý) và cho K' là một trường phân rã của đa thức X² + 1 ∈ K[X] (V, p. 21). Giả sử: a) mọi đa thức trong K[X] có bậc lẻ đều có một nghiệ… 06ZP
Mệnh đề 9 — Nếu K là một trường có thứ tự cực đại, thì các đa thức bất khả quy duy nhất trong K[X] là các đa thức bậc nhất, và các đa thức bậc hai aX² + bX + c sao cho b² - 4ac < 0. 06ZQ
Nhận xét — Việc chuyển về dạng tam thức chính tắc cho kết quả mạnh hơn này: điều kiện cần và đủ để đa thức aX² + bX + c trên một trường có thứ tự K đã cho có dấu không đổi trong K là b² - 4… 06ZR

VII. Môđun trên các iđêan chính

§ 1. Miền iđêan chính

Định nghĩa 1 Một miền iđêan chính là một miền nguyên (I, p. 116) trong đó mọi iđêan đều là chính. 070X
Ví dụ Vành Z của các số nguyên hữu tỉ là một miền iđêan chính (I, p. 111). Nếu K là một trường giao hoán, thì vành đa thức K[X] theo một bất định trên K là một miền iđêan chính (IV, p. 1… 070Y
Mệnh đề 1 Cho K là trường các phân thức của một miền iđêan chính A, và cho (xᵢ)_i ∈ I là một họ các phần tử của K có một mẫu số chung b ∈ K^* (nói cách khác bxᵢ ∈ A với mọi i). Khi đó: ↩ 4 070Z
Nhận xét Mệnh đề 1 áp dụng không có hạn chế nào cho một họ tùy ý (xᵢ) các phần tử của A (lấy b = 1), và cũng cho mọi họ hữu hạn (xᵢ) các phần tử của K (nếu xᵢ = cᵢ bᵢ với cᵢ ∈ A và bᵢ ∈ A… 0710
Hệ quả — Cho (xᵢ) là một họ tùy ý các phần tử của một miền iđêan chính A được chứa như một vành con trong một miền nguyên B, và cho d là một ước chung lớn nhất của họ (xᵢ) trong A. Khi đó… 0711
Định lý 1 (« đồng nhất thức Bezout ») — Các phần tử xᵢ \ (i ∈ I) của một miền iđêan chính A là nguyên tố cùng nhau theo tập khi và chỉ khi tồn tại các phần tử aᵢ \ (i ∈ I) của A, tất cả trừ một số hữu hạn trong chúng l… ↩ 1 0712
Mệnh đề 2 — Cho a, b, d, m và p là các phần tử của trường phân thức K của một miền iđêan chính A. a) « d là một ước chung lớn nhất của a và b » tương đương với « (d) = (a) + (b) ». b) « m là… ↩ 2 0713
Mệnh đề 3 Cho a, b, c là các phần tử của trường phân thức của một miền iđêan chính A, và cho d là một ước chung lớn nhất của a và c; khi đó đồng dư thức ax ≡ b pmodc có một nghiệm x₀ ∈ A khi… 0714
Mệnh đề 4 Cho (aᵢ), i ≤ n là một họ hữu hạn các phần tử từng đôi một nguyên tố cùng nhau của miền iđêan chính A. Khi đó đồng cấu chính tắc (I, p. 110) từ A / ( ∏ᵣ₌₁ⁿ aᵣ ) vào tích ∏ᵣ₌₁ⁿ A/(a… ↩ 1 0715
Định nghĩa 2 Cho A là một miền nguyên. Một hệ đại diện của các phần tử bất khả quy của A là một họ (p_α) gồm các phần tử bất khả quy của A sao cho mỗi phần tử bất khả quy của A là phần tử liên… ↩ 1 0716
Định lý 2 — Cho A là một miền iđêan chính và cho (p_α) là một hệ đại diện của các phần tử bất khả quy của A. Khi đó mọi phần tử khác không x của trường phân thức của A có thể được biểu diễn… ↩ 3 0717
Bổ đề 1 Cho A là một vành sao cho mọi iđêan trái của A đều sinh hữu hạn. Khi đó mọi tập hợp khác rỗng Φ các iđêan trái của A, có thứ tự bởi quan hệ bao hàm, đều có một phần tử cực đại. 0718
Nhận xét Họ (u, (n_α)) được gọi là phân tích của x thành các thừa số bất khả quy; do lạm dụng ngôn ngữ, ta cũng nói rằng công thức (1) là phân tích của x thành các thừa số bất khả quy. Nếu… 0719
Mệnh đề 5 — Tập hợp các số nguyên tố là vô hạn. ↩ 1 071A
Mệnh đề 6 Với mọi trường K, tập hợp các đa thức bất khả quy đơn khởi trong K[X] là vô hạn. 071B

§ 2. Các môđun xoắn trên một miền iđêan chính

Mệnh đề 1 Môđun A-môđun M là tổng trực tiếp của các môđun con Mᵢ. ↩ 2 0724
Nhận xét 1 Ngược lại, cho M'ᵢ là một (A/bᵢ)-môđun với mỗi i, và xét A-môđun M, là tổng trực tiếp của các A-môđun M'ᵢ; khi đó các môđun con Mᵢ được xây dựng ở trên trùng với các M'ᵢ (chỉ cần l… 0725
Nhận xét 2 Theo chứng minh trên, các phép chiếu của M lên các thành phần Mᵢ là các phép vị tự. 0726
Nhận xét 3 A-môđun M là đơn sinh khi và chỉ khi mỗi Mᵢ là đơn sinh: nếu M = Am, thì Mᵢ = Aᵢ eᵢ m; ngược lại nếu Mᵢ = Aᵢ mᵢ và m = ∑_i ∈ I mᵢ, thì M = Am; quả vậy, nếu n ∈ M chiếu xuống aᵢ mᵢ… ↩ 1 0727
Nhận xét 4 Cho M và N là hai A-môđun, với các thành phần (Mᵢ) và (Nᵢ). Cho u ∈ Hom_A(M, N) là một ánh xạ A-tuyến tính từ M đến N; khi đó với mọi i và với mọi m ∈ Mᵢ ta có u(m) ∈ Nᵢ, nên u cảm… 0728
Định nghĩa 1 Cho π là một phần tử bất khả quy của một miền iđêan chính A; một A-môđun M được gọi là rr-nguyên sơ nếu, với mọi x ∈ M, tồn tại một số nguyên n ≥ 1 sao cho πⁿ x = 0 (nói cách khác… 0729
Bổ đề 1 Cho M là một môđun trên một miền iđêan chính A; với mọi a ∈ A sao cho a ≠ 0, cho α = ε ∑ᵢ₌₁ʳ πᵢⁿ⁽ⁱ⁾ là một phân tích của α thành các nhân tử bất khả quy (VII, p. 4). Môđun con N =… ↩ 2 072A
Bổ đề 2 Cho M là một môđun xoắn (II, p. 313) trên một miền nguyên A. Với mọi họ hữu hạn (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n các phần tử của M, tồn tại một phần tử γ ≠ 0 trong A sao cho mọi xᵢ đều thuộc M(γ). T… ↩ 2 072B
Định lý 1 Cho M là một môđun xoắn trên một miền iđêan chính A; với mỗi phần tử bất khả quy π của A, cho M_π là môđun con của M gồm các phần tử bị triệt tiêu bởi một lũy thừa nào đó của π. Nế… ↩ 4 072C
Hệ quả 1 — Mọi môđun con N của một môđun xoắn M đều là tổng trực tiếp của các môđun con N ∩ M_π. Điều này suy ra từ sự kiện rằng N ∩ M_π là thành phần π-nguyên sơ N_π của N. ↩ 3 072D
Hệ quả 2 — Môđun con N của môđun xoắn A-môđun M là một nhân tử trực tiếp khi và chỉ khi N_π là một nhân tử trực tiếp của M_π, với mọi phần tử bất khả quy π của A. Thật vậy, nếu N và N' là h… ↩ 2 072E
Hệ quả 3 — Cho N là một môđun con của môđun xoắn A-môđun M. Nếu, với mọi phần tử bất khả quy π của A, hoặc N_π = 0 hoặc (M/N)_π = 0, thì N là một nhân tử trực tiếp của M. ↩ 1 072F
Hệ quả 4 — Cho A là một miền iđêan chính không phải là một trường, và cho M là một A-môđun. Khi đó M là nửa đơn khi và chỉ khi M là một môđun xoắn và M_π = M(π) với mọi phần tử bất khả quy… ↩ 1 072G
Nhận xét 1 — Rõ ràng linh hóa tử của mọi phần tử khác 0 của một môđun nguyên sơ τ có dạng Aπᵏ (k > 0 là một số nguyên), vì nó là một iđêan chính chứa một lũy thừa của τ. Cho x là một phần tử… 072H
Mệnh đề 2 — Nếu M là một môđun xoắn sinh hữu hạn trên một miền iđêan chính A, thì các thành phần nguyên sơ n của M bằng không, trừ ra một số hữu hạn, và các phép chiếu của M lên các thành ph… ↩ 2 072I
Nhận xét 2 — Theo VII, p. 7, Nhận xét 3, một A-môđun xoắn sinh hữu hạn là cyclic khi và chỉ khi mỗi thành phần nguyên sơ π của nó là cyclic. ↩ 1 072J
Định lý 2 Cho A là một miền iđêan chính, cho K là trường các phân số của nó và cho P là một hệ đại diện của các phần tử bất khả quy của A. Với một phần tử x ∈ K, tồn tại một tập con hữu hạn… ↩ 2 072K
Bổ đề 3 Cho x, y, k là các số nguyên với k ≥ 0, và cho p > 2 là một số nguyên tố. Nếu x ≡ 1 + py mod p² thì x^pᵏ ≡ 1 + pᵏ⁺¹y mod pᵏ⁺². Nếu x ≡ 1 + 4y mod 8 thì x^2ᵏ ≡ 1 + 2ᵏ⁺²y mod 2ᵏ⁺³. ↩ 1 072L
Mệnh đề 3 Cho p > 2 là một số nguyên tố và cho n > 0 là một số nguyên; khi đó nhóm U(pⁿ) là cyclic cấp pⁿ⁻¹; nếu n ≥ 2 thì lớp thặng dư mod pⁿ của một số nguyên x đồng dư với 1 mod p là một… ↩ 1 072M
Bổ đề 4 Cho A là một miền iđêan chính và cho 0 → N → M → P → 0 là một dãy khớp các A-môđun. Giả sử tồn tại các phần tử nguyên tố cùng nhau a, b ∈ A sao cho aN = 0 và bP = 0. Khi đó dãy khớ… ↩ 1 072N
Định lý 3 Nếu a = ∏ pᵢⁿ⁽ⁱ⁾ là phân tích thành thừa số nguyên tố của số nguyên a > 1, thì nhóm (Z/aZ)^* gồm các phần tử khả nghịch của vành Z/aZ đẳng cấu với tích của các nhóm (Z/pᵢⁿ⁽ⁱ⁾Z)^*… 072O
Nhận xét Cho p > 2 là một số nguyên tố và cho x là một số nguyên đồng dư với 1 mod p và không đồng dư với 1 mod p²; có một dãy khớp 072P

§ 3. Môđun tự do trên một miền iđêan chính

Định lý 1 — Cho A là một vành sao cho mọi iđêan trái của A đều xạ ảnh (II, p. 231, Định nghĩa 1) như một A-môđun. Khi đó mọi môđun con M của một A-môđun trái tự do L là một tổng trực tiếp củ… ↩ 8 0735
Hệ quả 1 — Nếu mọi iđêan trái của A đều xạ ảnh, thì mọi môđun con của một A-môđun trái xạ ảnh đều xạ ảnh. 0736
Hệ quả 2 — Mọi môđun con của một môđun tự do trên một miền iđêan chính đều tự do. Điều này suy ra ngay lập tức từ Định lý 1, vì mọi iđêan của một miền iđêan chính đều tự do. ↩ 1 0737
Hệ quả 3 — Mọi môđun xạ ảnh trên một miền iđêan chính đều tự do. ↩ 1 0738
Nhận xét Chứng minh của Định lý 1 cho thấy rằng mọi môđun con của A⁽ᴵ⁾ đều đẳng cấu với một tổng trực tiếp ⨁ aᵢ, trong đó mỗi aᵢ là một iđêan của A. 0739
Bổ đề 1 — Cho L là một môđun trên một vành giao hoán A, sinh bởi n phần tử, và cho M là một môđun con tự do của L; khi đó M có hạng ≤ n. Trước hết giả sử L là tự do. Gọi i là đơn ánh chính… 073A
Hệ quả — Cho E là một môđun trên một miền iđêan chính A, sinh bởi n phần tử. Khi đó mọi môđun con F của E đều có thể sinh bởi nhiều nhất n phần tử. Thật vậy tồn tại một đồng cấu f từ Aⁿ l… 073B

§ 4. Môđun hữu hạn sinh trên một miền iđêan chính

Mệnh đề 1 — Cho E là một môđun trên một vành giao hoán A; giả sử E là tổng trực tiếp của n môđun cyclic Λ/𝔞ₖ (1 ≤ k ≤ n), trong đó các 𝔞ₖ là các iđêan của A; ↩ 1 073N
Mệnh đề 2 — Cho A là một vành giao hoán, và cho E là tổng trực tiếp của n môđun cyclic A / aₖ, trong đó các aₖ thỏa mãn a₁ ⊂ a₂ ⊂ … ⊂ aₙ. Khi đó, với 1 ≤ p ≤ n, iđêan aₚ là linh hóa tử của b… ↩ 1 073O
Hệ quả — Theo ký hiệu của Mệnh đề 2, nếu aₙ ≠ A, và nếu E cũng đẳng cấu với tổng trực tiếp của m môđun cyclic A / a'ⱼ với a'₁ ⊂ a'₂ ⊂ … ⊂ a'ₘ ≠ A, thì m = n và aₖ = a'ₖ với 1 ≤ k ≤ n (tín… ↩ 2 073P
Bổ đề 1 Cho L là một môđun tự do trên một miền iđêan chính A và cho x là một phần tử của L. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: 073Q
Nhận xét — 1) Nếu x là một phần tử khác không của L và c là một nội dung của x, thì tồn tại một phần tử duy nhất y của L sao cho x = cy ; ký hiệu phần tử này là x/c ; khi đó x/c là một phần… 073R
Mệnh đề 3 Cho L là một môđun tự do trên một miền iđêan chính A và cho M là một môđun con khác không của L. Cho x là một phần tử của M sao cho c_L(x) là cực đại trong số các nội dung của các… ↩ 1 073S
Định lý 1 — Cho L là một môđun tự do trên miền iđêan chính A, và cho M là một môđun con của L có hạng hữu hạn n. Khi đó tồn tại một cơ sở B của L, n phần tử eᵢ của B, và n phần tử khác không… ↩ 12 073T
Hệ quả — Một môđun con M hạng hữu hạn trong một môđun tự do L trên một miền iđêan chính A có một phần bù trong L khi và chỉ khi L/M không xoắn. ↩ 1 073U
Nhận xét Có thể xảy ra trường hợp một môđun con M hạng vô hạn trong một môđun tự do L lại có tính chất là L/M không xoắn, nhưng M không có phần bù nào trong L (VII, p. 60, Bài tập 6, b)). 073V
Định nghĩa 1 — Theo ký hiệu và các giả thiết của Định lý 1, các iđêan Aαᵢ của A được gọi là các bất biến nhân tử của môđun con M đối với môđun L. ↩ 2 073W
Định lý 2 — Mọi môđun hữu hạn sinh E trên một miền iđêan chính A đều đẳng cấu với một tổng trực tiếp của một số hữu hạn m môđun cyclic A/aₖ, trong đó các aₖ là các iđêan của A (một số có thể… ↩ 7 073X
Hệ quả 1 — Mọi môđun hữu hạn sinh E trên một miền iđêan chính đều là tổng trực tiếp của môđun con xoắn của E và một môđun tự do. ↩ 1 073Y
Hệ quả 2 — Mọi môđun không xoắn hữu hạn sinh trên một miền iđêan chính đều là tự do có hạng hữu hạn. Điều này suy ra ngay lập tức từ Hệ quả 1. ↩ 3 073Z
Định nghĩa 2 — Theo ký hiệu và các giả thiết của Th. 2, các iđêan aₖ được gọi là các nhân tử bất biến của môđun E. Như trong Định nghĩa 1 (VII, p. 19), khi A = Z hoặc A = K[X], phần tử sinh chí… ↩ 1 0740
Mệnh đề 4 — Cho A là một miền iđêan chính, L là một A-môđun tự do với cơ sở hữu hạn (uⱼ) (1 ≤ j ≤ k), M là một môđun con của L, (xᵢ) là một hệ sinh của M và A αᵢ (1 ≤ i ≤ n) là các bất biến… ↩ 4 0741
Mệnh đề 5 Cho A là một miền iđêan chính, và f là một ánh xạ tuyến tính hạng r từ một A-môđun tự do L hạng m vào một A-môđun tự do L' hạng n. Khi đó tồn tại các cơ sở (eᵢ) (1 ≤ i ≤ m) của L v… ↩ 3 0742
Hệ quả 1 — Cho X là một ma trận hạng r, với n hàng và m cột, trên một miền iđêan chính A; khi đó tồn tại một ma trận X₀ tương đương với X (II, p. 354) có dạng 0743
Hệ quả 2 — Hai ma trận X và X' có n hàng và m cột trên một miền iđêan chính A là tương đương khi và chỉ khi chúng có cùng các nhân tử bất biến. 0744
Mệnh đề 6 — Cho X là một ma trận hạng r trên một miền iđêan chính A, và cho A αᵢ (1 ≤ i ≤ r) là dãy các nhân tử bất biến của nó. Khi đó α₁ là một ước chung lớn nhất của các phần tử của X; và… ↩ 1 0745
Định lý 3 — Mọi nhóm Abel sinh hữu hạn G là tổng trực tiếp của nhóm con xoắn F của nó (nhóm con các phần tử có cấp hữu hạn trong G) và một nhóm Abel tự do hạng hữu hạn p (đẳng cấu với Zᵖ). N… ↩ 4 0746
Nhận xét Trong khi các cấp n₁, …, n_q của các nhóm cyclic mà F là tổng trực tiếp của chúng được xác định rõ bởi điều kiện chia hết của Định lý 3, thì điều đó không đúng đối với chính các nh… 0747
Hệ quả 1 — Trong một nhóm Abel hữu hạn G, tồn tại một phần tử mà cấp của nó là bội chung nhỏ nhất của mọi cấp của các phần tử của G; cấp này n là nhân tử bất biến thứ nhất của G. ↩ 2 0748
Hệ quả 2 — Mọi nhóm Abel hữu hạn G mà cấp không chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên nào > 1 đều là cyclic. Hãy giữ ký hiệu của Định lý 3. Khi đó p = 0 vì G là hữu hạn, và q ≤ 1, v… 0749
Hệ quả 3 — Cho L và M là hai Z-môđun tự do hạng n, cho (eᵢ) là một cơ sở của L và (fᵢ) là một cơ sở của M (1 ≤ i ≤ n), cho u là một đồng cấu từ L vào M, và cho U là ma trận của nó đối với c… ↩ 1 074A
Định nghĩa 3 — Một môđun trái M trên một vành A được gọi là phân tích được nếu nó là tổng trực tiếp của một họ các môđun con thực sự khác không. Nếu không thì nó được gọi là không phân tích đượ… ↩ 1 074B
Bổ đề 2 — Môđun A/𝔞 là không phân tích được khi và chỉ khi 𝔞 ≠ A và không có cặp (b, c) iđêan nào của A, khác A và 𝔞, sao cho A = b + c và b ∩ c = 𝔞. ↩ 1 074C
Mệnh đề 7 — Cho A là một vành giao hoán, cho 𝔭 là một iđêan nguyên tố của A (I, p. 117, Định nghĩa 3), và cho q là một iđêan của A được chứa trong 𝔭. Giả sử rằng với mọi x ∈ 𝔭 tồn tại một số… ↩ 1 074D
Mệnh đề 8 — Cho A là một miền iđêan chính và M là một A-môđun sinh hữu hạn. ↩ 3 074E
Mệnh đề 9 — Cho A là một miền iđêan chính, cho P là một hệ các đại diện của các phần tử bất khả quy của A và cho M là một A-môđun sinh hữu hạn. Khi đó tồn tại các số nguyên dương m(0) và m(p… ↩ 4 074F
Định nghĩa 4 — Theo ký hiệu của Mệnh đề 9, các iđêan (pⁿ) (p ∈ P, n ≥ 1 là một số nguyên) sao cho m(pⁿ) > 0 được gọi là các ước sơ cấp của môđun M, và các số nguyên m(pⁿ) được gọi là các bội số… 074G
Nhận xét 1 Nếu M là một nhóm Abel hữu hạn, thì cấu trúc của nó có thể được mô tả bằng cách viết ra các ước sơ cấp của nó, mỗi ước được lặp lại nhiều lần bằng bội số của nó. Chẳng hạn, ta sẽ n… 074H
Nhận xét 2 Nếu một môđun xoắn hữu hạn sinh M trên một miền iđêan chính A được cho dưới dạng tổng trực tiếp của các môđun cyclic đẳng cấu với A/(aᵢ) (đặc biệt nếu các nhân tử bất biến của M đã… 074I
Nhận xét 3 Để tính các nhân tử bất biến của một môđun xoắn khi đã biết các ước số sơ cấp của nó, ta lại dựa vào sự kiện rằng, nếu các aᵢ là các phần tử nguyên tố cùng nhau từng đôi một của A… ↩ 1 074J
Nhận xét 4 Một A-môđun được gọi là đơn (I, p. 37) nếu nó khác không và không có môđun con nào khác ngoài chính nó và 0; khi đó nó tất yếu là cyclic, do đó sinh hữu hạn, và không phân tích đượ… ↩ 2 074K
Mệnh đề 10 — Nếu M là một A-môđun có độ dài hữu hạn, thì D(M) (nói chung không một cách tự nhiên) đẳng cấu với M, và ánh xạ chính tắc c_M : M → D(D(M)) là một đẳng cấu. Dùng VII, p. 19, Đl. 2… ↩ 4 074L
Hệ quả — Cho M, N là hai A-môđun có độ dài hữu hạn, và cho φ là một ánh xạ song tuyến tính từ M × N vào K/A, sao cho : 1) quan hệ φ(x, y) = 0 với mọi y ∈ N kéo theo x = 0 ; và 2) quan hệ… 074M
Mệnh đề 11 — Nếu M' xrightarrowu M xrightarrowv M'' là một dãy khớp các A-môđun có độ dài hữu hạn, thì dãy D(M'') xrightarrowD(v) D(M) xrightarrowD(u) D(M') là khớp [^1]. ↩ 2 074N
Mệnh đề 12 Cho M là một A-môđun có độ dài hữu hạn. Khi đó ánh xạ biến mỗi môđun con N của M thành N⁰ là một song ánh từ 𝔖(M) lên 𝔖(D(M)), và song ánh ngược biến mỗi môđun con N' của D(M) thàn… ↩ 1 074O
Ví dụ 1 Với A = Z, các Z-môđun có độ dài hữu hạn chính xác là các nhóm Abel hữu hạn; khi đó K = Q, nên K/A = Q/Z. Khi đó để định nghĩa D(M), đôi khi thay cho Q/Z, ta lấy một Z-môđun đẳng c… ↩ 1 074P
Ví dụ 2 Cho a là một phần tử khác không của A. Ánh xạ x ↦ x/a từ A vào K cảm sinh một đẳng cấu của các môđun thương từ A/(a) lên môđun con (K/A)(a) của K/A gồm các phần tử bị triệt tiêu bở… 074Q

§ 5. Tự đồng cấu của các không gian vectơ

Định nghĩa 1 Cho E là một không gian vectơ trên một trường giao hoán K, và u là một tự đồng cấu của E. Một phần tử x của E được gọi là một vectơ riêng của u nếu tồn tại a ∈ K sao cho u . x = α… 075G
Mệnh đề 1 Giả sử E là hữu hạn chiều. Khi đó một phần tử a của K là một trị riêng của tự đồng cấu u khi và chỉ khi nó là một nghiệm của đa thức đặc trưng của u. 075H
Mệnh đề 2 Cho u là một tự đồng cấu của một không gian vectơ E trên một trường giao hoán K; với mỗi vô hướng a, gọi Vₐ là không gian riêng tương ứng với a. Khi đó các không gian con Vₐ đóng đ… ↩ 1 075I
Mệnh đề 3 Cho E là một không gian vectơ có số chiều hữu hạn n trên một trường giao hoán K, và cho u là một tự đồng cấu của E; với mỗi đa thức đơn khởi bất khả quy p(X), cho Mₚ là không gian… ↩ 2 075J
Nhận xét 1 Rõ ràng đa thức tối tiểu của hạn chế của u lên Mₚ là lũy thừa lớn nhất của p chia hết đa thức tối tiểu của u. Hơn nữa ta có sₚ(u) · x = x với x ∈ Mₚ, từ đó suy ra ngay lập tức rằng… 075K
Mệnh đề 4 — Cho E là một không gian vectơ hữu hạn chiều n trên một trường giao hoán K, và cho u là một tự đồng cấu của E. Khi đó tồn tại n đa thức monic qᵢ(X) ∈ K[X] (1 ≤ i ≤ n) sao cho qᵢ c… ↩ 2 075L
Nhận xét 2 Theo mệnh đề trên, tồn tại một cơ sở của E sao cho đối với cơ sở đó, ma trận U của u có dạng 075M
Định nghĩa 2 — Với ký hiệu của Mệnh đề 4, n đa thức monic qᵢ(X) (1 ≤ i ≤ n) được gọi là các bất biến đồng dạng của tự đồng cấu u. 075N
Hệ quả 1 — Cho K là một trường, cho E và E' là hai không gian vectơ hữu hạn chiều trên K, và cho u (tương ứng u') là một tự đồng cấu của E (tương ứng E'). Khi đó u và u' đồng dạng (VII, tr… ↩ 1 075O
Hệ quả 2 — Cho u là một tự đồng cấu của một không gian vectơ hữu hạn chiều E trên một trường K, cho (q₁, …, qₙ) là họ các bất biến đồng dạng của u, cho L là một mở rộng của K, cho E_(L) = L… 075P
Hệ quả 3 — Cho U và V là hai ma trận vuông cấp n với các hệ số trong một trường giao hoán K. Nếu tồn tại một ma trận vuông khả nghịch P trên một mở rộng K' nào đó của K sao cho V = P⁻¹UP, t… 075Q
Mệnh đề 5 — Cho E là một không gian vectơ có số chiều hữu hạn n trên một trường giao hoán K, cho u là một tự đồng cấu của E, và cho U là ma trận của nó đối với một cơ sở nào đó của E. Khi đó… ↩ 1 075R
Hệ quả 1 — Cho u là một tự đồng cấu của một không gian vectơ có số chiều hữu hạn n trên một trường giao hoán K, với đa thức đặc trưng χᵤ(X) và các bất biến tương tự qᵢ(X) (1 ≤ i ≤ n). Khi đ… ↩ 1 075S
Hệ quả 2 — Với ký hiệu của Hệ quả 1, cho q(X) là đa thức tối tiểu của u; khi đó q(X) chia hết χᵤ(X) và χᵤ(X) chia hết q(X)ⁿ. Đặc biệt đa thức tối tiểu và đa thức đặc trưng của u có cùng các… ↩ 1 075T
Hệ quả 3 — Một tự đồng cấu u là lũy linh khi và chỉ khi đa thức đặc trưng của nó có dạng Xⁿ. ↩ 1 075U
Mệnh đề 6 — Cho E là một không gian vectơ có số chiều hữu hạn n trên một trường giao hoán K, và cho u là một tự đồng cấu của E. Khi đó E là tổng trực tiếp của các không gian con Eₖ, đóng dướ… 075V
Mệnh đề 7 — Cho E là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên một trường giao hoán K, và cho u là một tự đồng cấu của E mà tất cả các trị riêng của nó đều thuộc K. Với mỗi trị riêng a của u… ↩ 2 075W
Định nghĩa 3 Với mọi trường K, mọi số nguyên m ≥ 1, và mọi a ∈ K, ma trận U_m,α được gọi là ma trận Jordan cấp m và trị riêng a. 075X
Mệnh đề 8 Cho E là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên một trường giao hoán K, và cho u là một tự đồng cấu của E. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: ↩ 1 075Y
Định nghĩa 4 Một tự đồng cấu thỏa mãn các điều kiện (i), (ii) và (iii) của Mệnh đề 8 được gọi là tam giác hóa được. 075Z
Hệ quả Cho U là một ma trận bình phương trên một trường giao hoán K sao cho tất cả các trị riêng của U đều nằm trong K; khi đó tồn tại một ma trận tương tự với U là một khối đường chéo củ… ↩ 1 0760
Nhận xét — 1) Từ Mệnh đề 6 của VII, p. 34, suy ra rằng, nếu U tương tự với một khối đường chéo của các ma trận Jordan (Jₖ), thì số các Jₖ có dạng U_m,α (với m và α đã cho) được xác định duy… 0761
Mệnh đề 9 — Nếu ma trận vuông U tương tự với một khối chéo của các ma trận Jordan (U_mᵢ, αᵢ), thì đa thức tối tiểu của U là bội chung nhỏ nhất của các (X - αᵢ)^mᵢ, và đa thức đặc trưng là tí… ↩ 1 0762
Hệ quả — Trong ký hiệu của Mệnh đề 7, chiều của không gian con M_α là bội số của trị riêng α như một nghiệm của đa thức đặc trưng của u. 0763
Mệnh đề 10 — Cho E là một không gian vectơ có số chiều hữu hạn n trên một trường giao hoán K, cho u là một tự đồng cấu của E, và cho χᵤ(X) = ∏ᵢ₌₁ⁿ (X - αᵢ) là một phân tích thành các thừa số… ↩ 1 0764
Bổ đề 1 Nếu B và C là các ma trận tam giác dưới cấp n với các đường chéo (βᵢ) và (γᵢ), thì các ma trận B + C và BC là các ma trận tam giác dưới với các đường chéo (βᵢ + γᵢ) và (βᵢ γᵢ). 0765
Hệ quả 1 Để q(u) khả nghịch, điều kiện cần và đủ là q nguyên tố cùng nhau với χᵤ. ↩ 1 0766
Nhận xét 1 — Một đa thức nguyên tố cùng nhau với χᵤ khi và chỉ khi nó nguyên tố cùng nhau với đa thức tối tiểu của u (VII, p. 33, Hệ quả 2). 0767
Hệ quả 2 Cho r ∈ K(X) là một hàm hữu tỉ trên K. Khi đó u thế được (IV, p. 21) trong r khi và chỉ khi mỗi trị riêng của nó là thế được. Trong trường hợp này các công thức sau đúng: ↩ 1 0768
Hệ quả 3 Với mỗi số nguyên s ≥ 0 ta có Tr(uˢ) = ∑ᵢ₌₁ⁿ αᵢˢ. Công thức này cũng đúng với s < 0 miễn là u khả nghịch. ↩ 2 0769
Hệ quả 4 — Giả sử trường K có đặc số không; khi đó tự đồng cấu u là lũy linh khi và chỉ khi Tr(uˢ) = 0 với 1 ≤ s ≤ n. 076A
Hệ quả 5 — Cho Y là một bất định và gọi tildeu là tự đồng cấu của không gian vectơ K(Y)-vectơ K(Y) ⊗_K E cảm sinh từ u bởi mở rộng vô hướng từ K đến trường K(Y) của các hàm hữu tỉ theo Y vớ… ↩ 1 076B
Hệ quả 6 — Giả sử trường K có đặc số không. Khi đó, trong vành K[[T]] của các chuỗi lũy thừa hình thức, ta có 076C
Nhận xét 2 — Theo IV, p. 80, Hệ quả 1 và công thức (8), ta có, với mỗi đa thức q ∈ K[X], rằng 076D
Hệ quả 7 Ta có det(Tr(uⁱ⁺ʲ)_0 ≤ i,j ≤ n) = dis(χᵤ). 076E
Mệnh đề 11 Cho E (tương ứng E') là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên một trường giao hoán K và cho u (tương ứng u') là một tự đồng cấu của E (tương ứng E'). Cho 076F
Bổ đề 2 Cho B và C là hai ma trận tam giác dưới có cấp lần lượt là m và n, với các đường chéo (βᵢ)_1 ≤ i ≤ n và (γⱼ)_1 ≤ j ≤ n. Đồng nhất tích từ điển của các tập hợp có thứ tự 1, 2, …, m… 076G
Định nghĩa 5 — Cho E là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên một trường giao hoán K và cho 𝔉 là một tập hợp các tự đồng cấu của E. Khi đó 𝔉 được gọi là chéo đối với một cơ sở (eᵢ) của E nếu… 076H
Mệnh đề 12 — Cho E là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên một trường giao hoán K, và cho u là một tự đồng cấu của E. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: ↩ 2 076I
Hệ quả — Nếu tất cả các nghiệm của đa thức đặc trưng của u đều thuộc K, và chúng đều đơn, thì u chéo hóa được. 076J
Mệnh đề 13 — Cho E là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên một trường giao hoán K, cho S là một tập hợp các tự đồng cấu của E, và cho A là đại số con của End_K(E) sinh bởi S và Id_E. Khi đ… ↩ 4 076K
Bổ đề 3 Cho g và h là hai tự đồng cấu giao hoán của một không gian vectơ E. Khi đó mỗi không gian riêng của g được đóng dưới h. 076L
Hệ quả — Tổng và hợp thành của hai tự đồng cấu chéo hóa được giao hoán của E là chéo hóa được. 076M
Định nghĩa 6 — Cho E là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên một trường giao hoán K. Khi đó một tự đồng cấu u của E được gọi là nửa đơn nếu mọi không gian con của E được đóng dưới u đều có m… 076N
Mệnh đề 14 — Một tự đồng cấu u của một không gian vectơ hữu hạn chiều trên một trường giao hoán là nửa đơn khi và chỉ khi đa thức tối tiểu của u không có nhân tử bội. ↩ 4 076O
Hệ quả — Cho u là một tự đồng cấu của một không gian vectơ hữu hạn chiều trên một trường giao hoán K, và cho L là một mở rộng của K. Nếu u_(L) là nửa đơn thì u là nửa đơn. Nếu u là nửa đơ… 076P
Mệnh đề 15 — Cho E là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên một trường giao hoán K, cho u là một tự đồng cấu của E và cho q(X) là đa thức tối tiểu của nó. Khi đó các điều kiện sau là tương… ↩ 1 076Q
Định nghĩa 7 — Một tự đồng cấu u thỏa mãn các điều kiện (i), (ii) và (iii) của Mệnh đề 15 được gọi là nửa đơn tuyệt đối. 076R
Hệ quả — Điều kiện cần và đủ để u là nửa đơn tuyệt đối là tồn tại một mở rộng L của K sao cho L là hoàn hảo và u_(L) là nửa đơn. 076S
Mệnh đề 16 — Cho E là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên một trường giao hoán K, cho 𝔉 là một tập hợp các tự đồng cấu của E và cho A là đại số con của End_K(E) sinh bởi 𝔉 và Id. Khi đó c… ↩ 1 076T
Hệ quả Tổng và tích của hai tự đồng cấu nửa đơn tuyệt đối giao hoán với nhau là nửa đơn tuyệt đối. ↩ 1 076U
Nhận xét — Giả sử các điều kiện của Mệnh đề 16 được thỏa mãn và lấy L là một mở rộng của K. Theo Mệnh đề 13, tập hợp 𝔉_(L) chéo hóa được khi và chỉ khi đại số L ⊗_K A chéo hóa được. Suy ra… 076V
Định nghĩa 8 Cho E là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên một trường giao hoán và cho u là một tự đồng cấu của E. Khi đó một phân tích Jordan của u là một cặp (uₛ, uₙ), trong đó uₛ là một t… 076W
Định lý 1 Cho E là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên một trường giao hoán K và cho u là một tự đồng cấu của E. Khi đó u có một phân tích Jordan (uₛ, uₙ) khi và chỉ khi các trị riêng củ… ↩ 1 076X
Bổ đề 4 Cho E là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên một trường giao hoán K và cho u là một tự đồng cấu tam giác hóa được của E. Khi đó tồn tại duy nhất một tự đồng cấu chéo hóa được v… ↩ 1 076Y
Hệ quả 1 Giả sử u có một phân tích Jordan, và cho L là một mở rộng của K. Khi đó u_(L) có một phân tích Jordan, với (u_(L))ₛ = (uₛ)_(L) và (u_(L))ₙ = (uₙ)_(L). 076Z
Hệ quả 2 Giả sử u có một phân tích Jordan. Khi đó mọi tự đồng cấu của E giao hoán với u cũng giao hoán với uₛ và uₙ. ↩ 1 0770
Hệ quả 3 Cho u và v là hai tự đồng cấu giao hoán với nhau của E có các phân tích Jordan. a) Các tự đồng cấu u, v, uₛ, vₛ, uₙ, vₙ, v, đều giao hoán với nhau. b) Các tự đồng cấu u + v và uv c… 0771
Hệ quả 4 Giả sử u có một phân tích Jordan, và cho R là một đa thức trong K[X]. Khi đó tự đồng cấu R(u) có một phân tích Jordan với R(u)ₛ = R(uₛ). 0772
Nhận xét 1 Ta có det(uₛ) = det(u) và Tr(uₛ) = Tr(u). ↩ 1 0773
Nhận xét 2 Một điều kiện cần và đủ để u tam giác hóa được là u có một phân tích Jordan với uₛ chéo hóa được. Khi đó tồn tại một cơ sở của E sao cho ma trận của u đối với cơ sở đó là tam giác… 0774
Nhận xét 3 Khái niệm phân tích Jordan đối với một ma trận vuông có thể được định nghĩa theo cách tương tự. Chẳng hạn, đối với ma trận Jordan U_m,α ta có (U_m,α)ₛ = α · Iₘ , (U_m,α)ₙ = U_m,0 . 0775
Nhận xét 4 Nếu u là nửa đơn nhưng không tuyệt đối nửa đơn, thì nó không có phân tích Jordan. 0776
Mệnh đề 17 — Cho E là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên một trường giao hoán, và cho f là một tự đồng cấu của E. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (i) f có một phân tích Jordan v… 0777
Mệnh đề 18 — Cho E là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên một trường giao hoán K, cho u là một tự đồng cấu của E và cho E' là một không gian con của E đóng đối với u. Cho u' (tương ứng u'… 0778
Mệnh đề 19 — Cho E là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên một trường giao hoán K, và cho S là một tập hợp các tự đồng cấu tam giác hoá được giao hoán của E. Khi đó tồn tại một cơ sở của E… ↩ 1 0779

VIII. Các môđun và vành nửa đơn

§ 1. Môđun Artin và môđun Noether

Định nghĩa 1 Cho A là một vành. Ta gọi một A-môđun M là Artin (tương ứng, Noether) nếu nó thỏa mãn các điều kiện tương đương sau: ↩ 1 0001
Ví dụ 1 Một không gian vectơ hữu hạn chiều trên một trường là Artin và Noether. 0002
Ví dụ 2 Cho M là một A-môđun. Nếu tồn tại một họ vô hạn (Mᵢ)_i∈ I các môđun con khác không của M có tổng trực tiếp, thì M không là Artin cũng không là Noether: thật vậy, với mọi dãy vô hạn… ↩ 3 0003
Ví dụ 3 Sau đây ta sẽ thấy rằng Z-môđun Z là Noether nhưng không 0004
Ví dụ 4 Cho p là một số nguyên tố và Mₚ là thành phần nguyên sơ-p của môđun Z xoắn Q/Z (VII, §2, No. 2, p. 7). Mọi môđun con của Mₚ đều bằng hoặc Mₚ hoặc p⁻ⁿZ/Z với một số nguyên n∈ N (VII… 0005
Mệnh đề 1 Một A-môđun M có độ dài hữu hạn (II, §1, No. 10, p. 212) khi và chỉ khi nó vừa Artin vừa Noether. ↩ 5 0006
Mệnh đề 2 Một A-môđun M là Noether khi và chỉ khi mọi môđun con của M đều sinh hữu hạn. ↩ 2 0007
Bổ đề 1 Cho M là một A-môđun Noether và E là một tập con của M. Tồn tại một tập con hữu hạn F của E sinh cùng môđun con với E. 0008
Mệnh đề 3 Cho M là một A-môđun và N là một môđun con của M. Khi đó M là Artin (tương ứng Noether) khi và chỉ khi N và M/N là. ↩ 5 0009
Bổ đề 2 Cho M là một A-môđun và N, P, Q là các môđun con của M. Giả sử ta có P⊂ Q, N∩ P = N∩ Q, và N + P = N + Q. Khi đó ta có P = Q. ↩ 1 00QV
Hệ quả Cho M là một A-môđun và (Mᵢ)_i∈ I là một họ hữu hạn các môđun con của M. ↩ 1 000A
Ví dụ 5 Cho (Mᵢ)_i∈ I là một họ hữu hạn các A-môđun. Nếu các môđun Mᵢ là Artin (resp. Noether), thì tổng trực tiếp của chúng ⨁_i∈ IMᵢ cũng vậy. ↩ 1 000B
Nhận xét Các định nghĩa và kết quả của tiểu mục này mở rộng cho các nhóm Abel tùy ý có toán tử bằng cách thay thế các môđun con trong các mệnh đề bằng các nhóm con ổn định. 000C
Định nghĩa 2 Một vành A được gọi là Artin trái (tương ứng, Noether trái) nếu A-môđun trái Aₛ là Artin (tương ứng, Noether). Tương tự, một vành A được gọi là Artin phải (tương ứng, Noether phải)… 000D
Ví dụ 1 Một trường là một vành vừa Artin vừa Noether cả bên trái lẫn bên phải. 000E
Ví dụ 2 Cho A là một vành và D là một vành con của A. Giả sử rằng D là một trường và A là một không gian vectơ trái hữu hạn chiều trên D. Khi đó vành A là Artin trái và Noether trái vì mọi… 000F
Ví dụ 3 Một miền iđêan chính (VII, §1, No. 1, p. 1, Định nghĩa 1) là Noether. Một miền nguyên A không phải là một trường thì không là một vành Artin: với mọi phần tử khác không không khả n… ↩ 2 000G
Ví dụ 4 Cho M là một A-môđun là tổng trực tiếp của một họ vô hạn (Mᵢ)_i∈ I các môđun con khác không. Gọi E là vành tự đồng cấu của M. Với mọi i∈ I, gọi 𝔞ᵢ (tương ứng, 𝔟ᵢ) là tập hợp các ph… 000H
Định lý 1 Cho A là một vành Artin trái. A-môđun Aₛ có độ dài hữu hạn. ↩ 7 00QW
Bổ đề 3 Cho A là một vành và n là một số tự nhiên. Một A-môđun Artin M là tổng của một họ các môđun con có độ dài leqslant n thì có độ dài hữu hạn. ↩ 2 000I
Hệ quả Mọi vành Artin trái đều là Noether trái. 000J
Ví dụ 5 Độ dài trái và độ dài phải của một trường đều bằng 1. 000K
Mệnh đề 4 a) Cho A là một vành Noether trái và M một A-môđun trái sinh hữu hạn. Môđun M là Noether, và mọi môđun con của M đều sinh hữu hạn. ↩ 5 000L
Mệnh đề 5 a) Cho A là một vành Artin trái (tương ứng, Noether trái), và cho φ : A→ B là một đồng cấu vành biến B thành một A-môđun trái sinh hữu hạn. Vành B là Artin trái (tương ứng, Noether… ↩ 4 000M
Hệ quả Các iđêan nguyên tố của một vành giao hoán Artin là các iđêan cực đại của nó. 000N
Định nghĩa 3 Cho A là một vành, M là một A-môđun, và E = End_A(M) là vành các tự đồng cấu của M. Môđun đối của M là E-môđun trái có cùng nhóm cộng nền với M và phép toán ngoài (c, x)↦ c(x). ↩ 1 000O
Bổ đề 4 Cho M là một A-môđun trái có môđun đối sinh hữu hạn. Tồn tại một số tự nhiên m và một ánh xạ tuyến tính A_M đơn ánh từ (A_M)ₛ vào Mᵐ. ↩ 3 000P
Mệnh đề 6 Cho M là một A-môđun trái Artin (resp. Noether) có môđun đối sinh hữu hạn. Vành các vị tự A_M của M là Artin trái (resp. Noether trái). ↩ 4 000Q
Hệ quả Cho A là một vành giao hoán. 000R
Nhận xét Cho A là một vành. Một A-môđun trái Artin M có môđun đối sinh hữu hạn thì có độ dài hữu hạn: thật vậy, vành các phép vị tự A_M của M là Artin trái (Mệnh đề 6), và M là một môđun Ar… 000S
Mệnh đề 7 Cho A,σ ,d như trên. Tồn tại một cấu trúc vành duy nhất trên nhóm A[X] có các tính chất sau: 00QX
Nhận xét Vành A[X]_σ ,d có tính chất phổ quát sau đây: cho một vành A', một đồng cấu vành f: A→ A', và một phần tử x của A' sao cho xf(a) =f(σ (a))x+f(d(a)) với mọi a∈ A, thì tồn tại một đồ… 000T
Định lý 2 Cho A là một vành Noether trái, và cho σ là một tự đẳng cấu của A còn d là một tự đồng cấu của nhóm cộng của A thỏa mãn quan hệ (1). Vành A[X]_σ ,d là Noether trái. ↩ 1 000U
Hệ quả 1 (Hilbert) Cho A là một vành giao hoán Noether. Với mọi số nguyên ngeqslant 0, đại số đa thức A[X₁, . . . ,Xₙ] là một vành Noether. ↩ 1 00RW
Hệ quả 2 Cho A là một vành giao hoán Noether. Một A-đại số giao hoán sinh bởi hữu hạn phần tử là một vành Noether. ↩ 1 000V
Hệ quả 3 Mọi vành giao hoán đều là hợp của một họ có hướng phải các vành con Noether. ↩ 1 000W

§ 2. Cấu trúc của các môđun có độ dài hữu hạn

Mệnh đề 1 Cho A là một vành khác không, và 𝔯 là tập hợp các phần tử không khả nghịch của A. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 2 001P
Định nghĩa 1 Một vành địa phương là một vành khác không có các tính chất tương đương của Mệnh đề 1. ↩ 2 001Q
Ví dụ 1 Mọi trường đều là một vành địa phương. 001R
Ví dụ 2 Cho A là một vành khác không trong đó mọi phần tử đều khả nghịch hoặc lũy linh. Khi đó A là một vành địa phương. Thật vậy, nếu a∈ A không khả nghịch, thì theo giả thiết, tồn tại mộ… ↩ 1 001S
Ví dụ 3 Cho X là một đa tạp Cʳ (VAR, R, 5.1.5) và x là một điểm của X. Gọi Oₓ là vành các mầm tại x của các hàm Cʳ nhận giá trị trong trường vô hướng K. Khi đó Oₓ là một vành địa phương gi… 001T
Ví dụ 4 Cho A là một vành địa phương giao hoán và B = A[[Xᵢ]]_i∈ I là một đại số các chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số trong A (III, §2, No. 11, p. 456). Theo Mệnh đề 6 của IV, §4, No. 4… ↩ 1 001U
Ví dụ 5 Cho p là một số nguyên tố. Ta ký hiệu bởi Z₍ₚ₎ vành con của trường Q của các số hữu tỉ gồm các phân thức a/b với a∈ Z,b∈ Z, và b không chia hết cho p*(xem Comm. Alg., II, §2, No. 1… ↩ 1 001V
Ví dụ 6 Cho K là một trường giao hoán có đặc số p >0 và G là một p-nhóm (I, §6, No. 5, p. 76, Định nghĩa 9). Đại số K[G] của nhóm G trên K (III, §2, No. 6, p. 446) là một vành địa phương… 001W
Mệnh đề 2 a) Giả sử dãy (Nₚ) là dừng. Khi đó ta có N_∞∩ I_∞= 0, hạn chế của u trên I_∞ là đơn ánh, và u cảm sinh một tự đồng cấu lũy linh của N_∞. ↩ 3 001X
Nhận xét 1 Cho p là một số nguyên sao cho Nₚ= Nₚ₊₁; chứng minh đã cho ở trên chỉ ra rằng N_∞∩ Iₚ= 0, và hạn chế của u lên Iₚ là đơn ánh. Tương tự, cho q là một số nguyên sao cho I_q= I_q+1; k… 001Y
Nhận xét 2 Giả sử rằng M là tổng trực tiếp của hai môđun con N và I ổn định dưới u và rằng u cảm sinh một tự đồng cấu lũy linh u_N của N và một tự đẳng cấu của I. Khi đó ta có N_∞= N và I_∞=… 001Z
Nhận xét 3 Giả thiết của mệnh đề a) được thỏa mãn nếu A-môđun M là Noether; giả thiết của mệnh đề b) được thỏa mãn nếu M là Artin; theo Mệnh đề 1 của VIII, p. 2, giả thiết của mệnh đề c) được… ↩ 1 0020
Hệ quả 1 Cho A là một vành, và cho M là một A-môđun. ↩ 3 0021
Hệ quả 2 Trong một vành Noether trái, mọi phần tử khả nghịch trái hoặc phải đều khả nghịch. 0022
Định nghĩa 2 Một A-môđun M được gọi là không phân tích được nếu nó không phải là tổng trực tiếp của một họ các môđun con phân biệt với 0 và M. 0023
Ví dụ Giả sử rằng vành A là một miền iđêan chính. Các A-môđun sinh hữu hạn không phân tích được là các A-môđun đẳng cấu với hoặc A, hoặc A/pⁿA, trong đó p là một phần tử bất khả quy của… 0024
Mệnh đề 3 Một A-môđun M Noether hoặc Artin là tổng trực tiếp của một họ hữu hạn các môđun con không phân tích được. ↩ 1 0025
Định nghĩa 3 Một môđun được gọi là nguyên thủy[^1] nếu vành tự đồng cấu của nó là địa phương. 0026
Mệnh đề 4 a) Một môđun nguyên thủy là không phân tích được. ↩ 4 0027
Định nghĩa 4 Một môđun được gọi là nửa nguyên thủy nếu nó là tổng trực tiếp của một họ các môđun con nguyên thủy. 0028
Ví dụ 1 Mọi môđun đơn đều là nguyên thủy (VIII, p. 45); do đó mọi môđun nửa đơn đều là nửa nguyên thủy (VIII, p. 55, Định nghĩa 1). 00SE
Ví dụ 2 Nếu A là một vành Noether trái, thì mọi A-môđun đơn ánh đều nửa nguyên thủy (X, §1, nᵒ9, p. 21, mệnh đề 14 và X, §1, nᵒ10, p. 22, định lý 3, b)). 01L7
Định lý 1 (Azumaya) Cho A là một vành, L một A-môđun nguyên thủy, và M một A-môđun nửa nguyên thủy. Tồn tại một lực lượng duy nhất, ký hiệu là [M : L], có tính chất sau: ↩ 5 00RX
Bổ đề 1 Cho M là một A-môđun, M' một môđun con nguyên thủy của M, và M'' một môđun con của M bổ sung với M'. Cho u là một tự đồng cấu của M. Khi đó u hoặc 1_M-u cảm sinh một đẳng cấu từ M'… ↩ 1 0029
Bổ đề 2 Cho M là một A-môđun là tổng trực tiếp của một họ (Mᵢ)_i∈ I các môđun con nguyên thủy, và cho u là một tự đồng cấu của M. Đặt v= 1_M-u và M_J=⨁_i∈ JMᵢ với mọi tập con J của I. Khi… ↩ 4 002A
Bổ đề 3 Cho M là một A-môđun là tổng trực tiếp của một họ (Mᵢ)_i∈ I các môđun con nguyên thủy, và cho p là một phép chiếu khác không của M. Tồn tại một chỉ số i∈ I sao cho p cảm sinh một đ… ↩ 3 002B
Bổ đề 4 Cho M là một A-môđun là tổng trực tiếp của một họ (Mᵢ)_i∈ I các môđun con nguyên thủy, cho L là một A-môđun nguyên thủy, và cho N là một môđun con hạng tử trực tiếp của M. Giả sử r… ↩ 1 002C
Hệ quả 1 Cho M và N là các môđun nửa nguyên thủy. Khi đó M và N đẳng cấu nếu và chỉ nếu ta có [M : L] = [N : L] đối với mọi môđun nguyên thủy L. ↩ 2 002D
Hệ quả 2 Cho M là một môđun nửa nguyên thủy. Cho (Mᵢ)_i∈ I và (M'ⱼ)_j∈ J là các họ các môđun con nguyên thủy của M sao cho ↩ 1 00QY
Hệ quả 3 Cho M, N, và P là các môđun nửa nguyên thủy. Giả sử rằng M⊕ P đẳng cấu với N⊕ P và [P : L] là hữu hạn với mọi môđun nguyên thủy L. Khi đó M và N đẳng cấu. 002E
Hệ quả 4 Cho M và N là các môđun nửa nguyên thủy. Giả sử rằng tồn tại một số nguyên d >0 sao cho Mᵈ đẳng cấu với Nᵈ. Khi đó các môđun M và N đẳng cấu. ↩ 1 002F
Hệ quả 5 Cho M là một môđun nửa nguyên thủy là tổng trực tiếp của một họ hữu hạn (Mᵢ)_i∈ I các môđun con nguyên thủy. Với mọi tập con J của I, đặt M_J=⨁_i∈ JMᵢ. Cho N là một môđun con hạng… ↩ 2 002G
Hệ quả 6 Mọi môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên một vành địa phương đều tự do.[^2] ↩ 3 002H
Nhận xét Cho M và M' là các A-môđun nửa nguyên thủy. Từ Bổ đề 4 của VIII, p. 33 ngay lập tức suy ra rằng M' đẳng cấu với một môđun con hạng tử trực tiếp của M khi và chỉ khi ta có [M': L]le… 002I
Định lý 2 (Krull–Remak–Schmidt) Cho A là một vành và M là một A-môđun có độ dài hữu hạn. ↩ 5 00RY
Định lý 3 Cho K là một trường giao hoán, A là một đại số trên K, và M và N là các môđun có độ dài hữu hạn. Cho K' là một đại số giao hoán trên K khác không sao cho các A_(K')-môđun M_(K') và… ↩ 5 002J
Nhận xét Cho E và F là hai không gian vectơ hữu hạn chiều trên một trường giao hoán K, và cho K' là một mở rộng của K. Cho u là một tự đồng cấu của E và v là một tự đồng cấu của F, và cho u… 002K

§ 3. Môđun đơn

Định nghĩa 1 Cho A là một vành. Một A-môđun M được gọi là đơn nếu nó khác không và không có môđun con nào phân biệt với 0 và M. ↩ 1 0035
Ví dụ 1 Môđun Aₛ là một A-môđun đơn khi và chỉ khi A là một trường (I, §9, No. 1, p. 115, Định lý 1). Khi đó các A-môđun đơn là các không gian vectơ chiều 1 trên trường A. 0036
Ví dụ 2 Cho A là một miền iđêan chính (VII, §1, No. 1, p. 1, Định nghĩa 1) không phải là một trường. Với mọi phần tử bất khả quy π của A, A-môđun Aₛ/(π ) là đơn, và mọi A-môđun đơn đều đẳn… 0037
Ví dụ 3 Cho K là một trường, V là một không gian vectơ phải khác không trên trường K, và A là một vành con của vành End_K(V) chứa các nội cấu của V có hạng hữu hạn (chẳng hạn, A = End_K(V)… ↩ 2 0038
Mệnh đề 1 Cho A là một vành. ↩ 4 00QZ
Hệ quả 1 Nếu vành A không thu về 0, thì tồn tại các A-môđun đơn. 0039
Hệ quả 2 Cho A là một vành địa phương (VIII, p. 26, Định nghĩa 1) và 𝔯 là iđêan cực đại của nó. A-môđun Aₛ/𝔯 là đơn, và mọi A-môđun đơn đều đẳng cấu với Aₛ/𝔯. 003A
Nhận xét 1 Cho A là một vành giao hoán và 𝔪 là một iđêan của A. Khi đó 𝔪 là linh hóa tử (II, §1, No. 12, p. 219, Định nghĩa 11) của A-môđun Aₛ/𝔪. Do đó, nếu 𝔪 và 𝔪' là các iđêan phân biệt của… ↩ 1 003B
Nhận xét 2 Ta có thể cho một ví dụ về một vành không giao hoán A và hai iđêan trái cực đại phân biệt 𝔪 và 𝔪' của A sao cho các A-môđun Aₛ/𝔪 và Aₛ/𝔪' là đẳng cấu (VIII, p. 52, Bài tập 3). 003C
Mệnh đề 2 Cho A là một vành, M và N là hai A-môđun, và f là một đồng cấu khác không từ M đến N. ↩ 5 003D
Hệ quả (Bổ đề Schur) Vành các tự đồng cấu của một môđun đơn là một trường. ↩ 2 00RZ
Định lý 1 Cho K là một trường giao hoán đóng đại số, A là một đại số trên K, và M là một A-môđun đơn. Giả sử rằng chiều của M như một không gian vectơ trên K là hữu hạn hoặc, nói chung hơn… ↩ 16 003E
Bổ đề 1 Cho E là một trường và K là một trường con của tâm của E, không bằng E. Nếu trường K đóng đại số, thì ta có [E : K]geqslant Card(K). ↩ 1 003F
Ví dụ Cho A là một C-đại số sinh bởi một họ đếm được các phần tử; nó có chiều đếm được trên C. Cho M là một A-môđun đơn; nó là đơn sinh, nên có một cơ sở đếm được trên C. Vì trường C khô… 003G
Hệ quả 1 Giữ các giả thiết của Định lý 1, và giả sử thêm rằng đại số A là giao hoán. Khi đó M có chiều bằng 1 trên K. ↩ 1 003H
Hệ quả 2 Cho K là một trường giao hoán, A là một đại số trên K, và M là một A-môđun. Giả sử rằng với mọi mở rộng L của K, A_(L)-môđun M_(L) là đơn. Khi đó vành tự đồng cấu của M gồm các phé… 003I
Định nghĩa 2 Cho A là một vành và M là một A-môđun. Một môđun con cực đại của M là một phần tử cực đại, đối với quan hệ bao hàm, của tập hợp các môđun con thực sự của M. ↩ 2 003J
Mệnh đề 3 Cho M là một A-môđun hữu hạn sinh. Mọi môđun con thực sự của M đều được chứa trong một môđun con cực đại. ↩ 3 003K
Hệ quả 1 Cho M là một A-môđun khác không hữu hạn sinh. Tồn tại một iđêan hai phía 𝔞 của A, là linh hóa tử của một A-môđun đơn, sao cho 𝔞M khác M. ↩ 1 003L
Hệ quả 2 Cho A là một vành giao hoán và B là một đại số trên A. Cho M là một B-môđun đơn đồng thời là một A-môđun hữu hạn sinh, và gọi 𝔪 là linh hóa tử của A-môđun M. Khi đó 𝔪 là một iđêan… 003M
Mệnh đề 4 Cho A là một vành có một iđêan trái tối tiểu 𝔞. Mọi A-môđun đơn trung thành đều đẳng cấu với A-môđun 𝔞. ↩ 2 003N
Mệnh đề 5 Cho A là một vành Artin trái và M là một A-môđun trung thành. ↩ 3 003O
Nhận xét Mệnh đề 5 áp dụng, đặc biệt, cho hai trường hợp sau: 003P

§ 4. Môđun nửa đơn

Định nghĩa 1 Một môđun được gọi là nửa đơn nếu nó là tổng trực tiếp của một họ môđun đơn.[^1]. ↩ 1 0040
Ví dụ 1 Một môđun thu về 0 và một môđun đơn là những môđun nửa đơn. 0041
Ví dụ 2 Nếu A là một trường, thì mọi A-môđun đều nửa đơn theo Định lý 1 của II, §7, No. 1, p. 292. Điều này cho thấy rằng, nói chung, một môđun nửa đơn phân tích được theo nhiều cách thành… 0042
Ví dụ 3 Cho A là một miền iđêan chính, và cho P là một hệ đại diện gồm các phần tử bất khả quy của A (VII, §1, No. 3, p. 3). Cho M là một A-môđun, và, với mọi π ∈ P, gọi M(π ) là tập hợp c… 0043
Định lý 1 Cho M là một môđun là tổng (không nhất thiết trực tiếp) của một họ (Sᵢ)_i∈ I các môđun con đơn, và cho N là một môđun con của M. Tồn tại một tập con J của I sao cho M là tổng trực… ↩ 6 0044
Hệ quả 1 Mọi môđun là tổng của một họ các môđun đơn đều là nửa đơn. ↩ 1 0045
Hệ quả 2 Một môđun M là nửa đơn khi và chỉ khi mọi môđun con của M đều là một nhân tử trực tiếp. ↩ 8 0046
Hệ quả 3 Cho M là một môđun nửa đơn và N là một môđun con của M. Các môđun N và M/N đều là nửa đơn. Chính xác hơn, nếu M là tổng trực tiếp của một họ (Sᵢ)_i∈ I các môđun đơn, thì tồn tại mộ… ↩ 6 0047
Hệ quả 4 Cho M là một môđun nửa đơn. Khi đó M là đơn khi và chỉ khi vành tự đồng cấu E của M là một trường. ↩ 1 0048
Nhận xét Cho K là một trường giao hoán đóng đại số và A là một đại số trên K. Cho M là một A-môđun nửa đơn đồng thời là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường K. Khi đó M là đơn khi… 0049
Nhận xét 1 Cho V và V' là các B-môđun. Đẳng cấu liên hợp ↩ 1 004A
Nhận xét 2 Cho M là một A-môđun trái. Các ánh xạ B-tuyến tính ↩ 1 004B
Nhận xét 3 Giả sử rằng P sinh hữu hạn như một A-môđun. Gọi M là tổng trực tiếp của một họ (Mᵢ)_i∈ I các A-môđun. Các A-môđun T(H(M)) và ⨁ᵢT(H(Mᵢ)) đẳng cấu chính tắc. Khi ta đồng nhất chúng… ↩ 1 004C
Mệnh đề 1 Cho M là một A-môđun. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 2 004D
Định nghĩa 2 Một A-môđun M là đẳng kiểu kiểu S nếu nó có các tính chất tương đương của Mệnh đề 1. Môđun M được gọi là đẳng kiểu nếu tồn tại một A-môđun đơn T sao cho M là đẳng kiểu kiểu T. 004E
Mệnh đề 2 Nếu một môđun là tổng của các môđun con đẳng kiểu kiểu S, thì nó là đẳng kiểu kiểu S. Các môđun con và các môđun thương của một môđun đẳng kiểu kiểu S đều là đẳng kiểu kiểu S. ↩ 5 004F
Nhận xét Mọi môđun đẳng kiểu khác không kiểu S đều có một môđun thương và một môđun con đẳng cấu với S; do đó, nếu M và M' là các A-môđun đẳng kiểu khác không kiểu S, thì nhóm Hom_A(M,M') k… 004G
Mệnh đề 3 a) Cho M là một A-môđun đẳng kiểu kiểu S. Ánh xạ A-tuyến tính α_M: S⊗_DHom_A(S,M)→ M được xác định bởi α_M(s⊗ f) =f(s) (VIII, p. 59) là song ánh. ↩ 5 004H
Định nghĩa 3 Cho M là một A-môđun đẳng kiểu thuộc kiểu S. Một mô tả của M đối với S là một cặp (V, α ), trong đó V là một không gian vectơ trái trên trường D và α : S⊗_DV→ M là một đẳng cấu các… 004I
Định lý 2 Cho M là một A-môđun đẳng kiểu kiểu S và (V, α ) là một mô tả của M. Ký hiệu bởi D_D(V) tập hợp các không gian con D-tuyến tính của V, được sắp thứ tự bởi quan hệ bao hàm, và bởi D… ↩ 4 004J
Nhận xét 1 Cho M là một A-môđun đẳng kiểu kiểu S và (V, α ) một mô tả của M. Khi đó M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi V là hữu hạn chiều, và trong trường hợp này, ta có quan hệ ↩ 1 004K
Hệ quả 1 Cho M là một A-môđun đẳng kiểu thuộc kiểu S. Với mọi A-môđun con N của M, đồng nhất Hom_A(S,N) với không gian con tuyến tính của Hom_A(S,M) gồm các ánh xạ có ảnh được chứa trong N. 004L
Hệ quả 2 Cho V là một không gian vectơ trái trên D và F là một tập hợp các tự đồng cấu của V. Một A-môđun con của S⊗_DV ổn định đối với mọi tự đồng cấu 1_S⊗ u, trong đó u chạy qua F, khi và… ↩ 6 004M
Định lý 3 Cho M và M' là các A-môđun đẳng kiểu kiểu S. Gọi (V, α ) và (V', α ') lần lượt là các mô tả của M và M'. Với mọi ánh xạ D-tuyến tính f: V→ V', ký hiệu bởi widetildef: M→ M' ánh xạ… ↩ 3 004N
Nhận xét 2 Cho M là một A-môđun đẳng kiểu kiểu S, và cho (V, α ) là một mô tả của M. Cho B là một vành con của vành End_A(M)ᵒ. Đẳng cấu vành từ End_D(V)ᵒ tới End_A(M)ᵒ trang bị cho V cấu trúc… ↩ 1 004O
Hệ quả Cho M và M' là các A-môđun đẳng kiểu thuộc kiểu S. Ánh xạ u↦ Hom(1_S, u) từ Hom_A(M,M') vào Hom_D(Hom_A(S,M), Hom_A(S,M')) là một đẳng cấu nhóm. Khi M bằng M', đó là một đẳng cấu v… 004P
Định nghĩa 4 Cho A là một vành, M là một A-môđun, và S là một A-môđun đơn. Thành phần đẳng kiểu thuộc kiểu S của M, ký hiệu bởi M_S, là tổng của các môđun con của M đẳng cấu với S. 004Q
Mệnh đề 4 Cho A là một vành. Ký hiệu tập hợp các lớp của các A-môđun đơn là S. Cho M là một A-môđun nửa đơn. ↩ 6 004R
Hệ quả Cho A là một vành và S là tập hợp các lớp của các A-môđun đơn. Cho M là một A-môđun nửa đơn và N là một môđun con của M. Khi đó ta có N =⨁_λ∈SN∩ M_λ và M/N =⨁_λ∈S(M_λ+ N)/N. 004S
Mệnh đề 5 Cho A là một vành, và S là tập hợp các lớp của các A-môđun đơn. Cho M và N là các A-môđun. ↩ 8 004T
Nhận xét Cho A và B là các vành. Cho M là một song môđun (A, B). Suy ra từ Mệnh đề 5 rằng các thành phần đẳng kiểu của A-môđun M là các song môđun con của M. Điều này đúng, đặc biệt, khi M… 004U
Ví dụ Xét trường hợp vành A là giao hoán. Ánh xạ gửi một iđêan cực đại 𝔪 lên cl(A/𝔪) là một song ánh từ tập hợp các iđêan cực đại của A tới tập hợp S các lớp của các A-môđun đơn (VIII, p… 004V
Hệ quả 1 Cho M là một A-môđun nửa đơn và N là một môđun con của M. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 1 004W
Hệ quả 2 Cho M là một A-môđun. Hai điều kiện sau tương đương: ↩ 2 00R0
Mệnh đề 6 Giữ ký hiệu ở trên, và giả sử rằng A-môđun M là nửa đơn. Ánh xạ u↦ h(u) từ không gian vectơ phải trên D Hom_A(M,S) vào đối ngẫu của không gian vectơ trái trên D Hom_A(S,M) là D-tuy… ↩ 1 004X
Mệnh đề 7 Cho M là một A-môđun. Ánh xạ chính tắc α_M là đơn ánh. Với mọi λ ∈ S, ảnh qua α_M của S_λ⊗_D_λ Hom_A(S_λ,M) là thành phần đẳng kiểu của M thuộc kiểu λ. Ảnh của α_M là đế của M. A-m… ↩ 1 004Y
Định nghĩa 5 Cho M là một A-môđun nửa đơn. Một mô tả của M (đối với họ (S_λ)_λ∈S) là một cặp ((V_λ)_λ∈S, α ), trong đó V_λ là một không gian vectơ trái trên trường D_λ với mỗi λ ∈ S và α :⨁_λ∈S… ↩ 2 004Z
Mệnh đề 8 Cho M là một A-môđun nửa đơn và ((V_λ)_λ∈S, α ) là một mô tả của M. ↩ 3 0050
Hệ quả Cho M là một A-môđun nửa đơn. Với mọi môđun con N của M và mọi phần tử λ của S, đồng nhất Hom_A(S_λ,N) với không gian con D_λ-tuyến tính của Hom_A(S_λ,M) gồm các ánh xạ có ảnh được… 0051
Mệnh đề 9 Cho M và M' là các A-môđun nửa đơn, và xét các mô tả ((V_λ)_λ∈S, α ) và ((V'_λ)_λ∈S, α ') của M và M', tương ứng. Với mọi họ f= (f_λ)_λ∈S trong ∏_λ∈S Hom_D_λ(V_λ,V_λ'), tồn tại một… ↩ 2 0052
Hệ quả Cho M là một A-môđun nửa đơn và M' là một A-môđun. Ánh xạ u↦ (Hom(1_S_λ, u))_λ∈S từ Hom_A(M,M') đến ↩ 2 0053
Mệnh đề 10 Cho M là một A-môđun nửa đơn. Cho (Mᵢ)_i∈ I là một họ các môđun con đơn có tổng trực tiếp là M. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 4 0054
Mệnh đề 11 Cho M là một A-môđun nửa đơn là tổng trực tiếp của một họ (Mᵢ)_i∈ I các môđun con đơn. Với mọi λ ∈ S, ta ký hiệu bởi I(λ ) tập hợp các chỉ số i∈ I sao cho Mᵢ thuộc lớp λ. Lực lượng… 0055

§ 5. Giao hoán

Định nghĩa 1 A-môđun M là cân bằng nếu ta có A_M= A''_M. ↩ 1 005E
Mệnh đề 1 Cho (Aᵢ)_i∈ I là một họ các vành, và với mọi i∈ I, cho Mᵢ là một Aᵢ-môđun. Đặt A =∏ Aᵢ,M =∏ Mᵢ, và N =⨁ Mᵢ. Trang bị cho M cấu trúc của một A-môđun với luật tác động ((aᵢ),(xᵢ))↦ (… ↩ 3 005F
Mệnh đề 2 Cho A là một vành, và M là một A-môđun. Cho I là một tập hợp. Khi đó đối giao hoán tử kép của A-môđun M⁽ᴵ⁾ trùng với vành các vị tự của A''_M-môđun M⁽ᴵ⁾. ↩ 2 005G
Định nghĩa 2 Một A-môđun M được gọi là sinh nếu mọi A-môđun N đều được sinh bởi các ảnh của các ánh xạ A-tuyến tính từ M vào N. 005H
Định lý 1 Cho M là một A-môđun trái. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 8 005I
Hệ quả Một A-môđun sinh là trung thành. ↩ 1 00R1
Ví dụ 1 A-môđun Aₛ là sinh. 005J
Ví dụ 2 Mọi A-môđun tự do khác không đều là sinh. Nói chung, mọi môđun có một thương sinh thì bản thân nó cũng là sinh. ↩ 1 005K
Ví dụ 3 Cho M là một A-môđun nửa đơn mà môđun đối của nó sinh hữu hạn. Khi đó M là một A_M-môđun sinh. Thật vậy, theo Bổ đề 4 của VIII, p. 8, tồn tại một số tự nhiên m sao cho (A_M)ₛ đẳng… ↩ 1 005L
Ví dụ 4 Cho A là một miền iđêan chính, và cho P là một A-môđun hữu hạn sinh. Tồn tại một số nguyên ngeqslant 1 và một dãy tăng các iđêan (𝔞ᵢ)_1leqslant ileqslant n của A sao cho P đẳng cấu… ↩ 1 005M
Bổ đề 1 Cho A là một vành giao hoán, M một A-môđun hữu hạn sinh, và Ann(M) là linh hóa tử của nó. Cho 𝔞 là một iđêan của A. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 4 005N
Mệnh đề 3 Cho A là một vành giao hoán. Mọi A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn và trung thành đều là sinh. Nói chung hơn, một A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn P là một A_P-môđun sinh. ↩ 2 00R2
Bổ đề 2 Cho A là một vành và M là một A-môđun xạ ảnh. A_M-môđun M là xạ ảnh. ↩ 1 005O
Định lý 2 Một môđun sinh là cân bằng. ↩ 4 005P
Hệ quả 1 Một môđun tự do là cân bằng. ↩ 4 005Q
Hệ quả 2 Cho A là một vành, và cho n là một số nguyên geqslant 0. Tâm của Mₙ(A) gồm các ma trận vô hướng có các phần tử thuộc tâm của A. Ta xem Aⁿ như một Mₙ(A)-môđun trái (II, §10, No. 7… ↩ 3 00R3
Nhận xét Cho M là một A-môđun. Nếu A_M-môđun M là sinh, thì ta có A_M= A''_M theo Định lý 2 áp dụng cho A_M-môđun M, do đó M là một A-môđun cân bằng. 005R
Hệ quả 3 Mọi môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên một vành giao hoán đều cân bằng. 005S
Hệ quả 4 Mọi môđun hữu hạn sinh trên một miền iđêan chính đều cân bằng. ↩ 1 005T
Hệ quả 5 Cho K là một trường giao hoán, V là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên K, và u và v là các tự đồng cấu của V. Các tính chất sau là tương đương: 005U
Mệnh đề 4 Một môđun nửa đơn có môđun đối hữu hạn sinh thì cân bằng. ↩ 2 005V
Hệ quả 1 Cho (Sᵢ)_i∈ I là một họ hữu hạn các A-môđun đơn đôi một không đẳng cấu. Với i∈ I, ký hiệu Dᵢ là vành đối của trường các nội cấu của Sᵢ. Giả sử rằng với mọi i∈ I, không gian vectơ D… ↩ 4 005W
Hệ quả 2 (định lý Burnside) Cho A là một đại số trên một trường giao hoán đóng đại số K, và S là một A-môđun đơn hữu hạn chiều như một không gian vectơ trên K. Khi đó ánh xạ a↦ a_S từ A vào End_K(S) là toàn á… 00S0
Nhận xét 1 Mô tả chính tắc α_M của A-môđun M là một đẳng cấu của các song môđun trái (A, B). Theo hệ quả của Mệnh đề 9, VIII, p. 71, ánh xạ f↦ (Hom(1_S_λ, f))_λ∈S_M từ B vào ∏_λ∈S_M End_D_λ(V… ↩ 1 00R4
Mệnh đề 5 a) Môđun đối của M là nửa đơn. ↩ 4 005X
Nhận xét 2 Suy ra từ chứng minh rằng ánh xạ ↩ 1 00R5
Mệnh đề 6 a) Khi được xem như một song môđun (A,Bᵒ), M là nửa đơn. ↩ 3 005Y
Mệnh đề 7 a) Với mọi phần tử c của đối giao hoán tử kép C của M và mọi λ ∈ S_M, tồn tại một phần tử duy nhất c_λ của End_D_λ(S_λ) sao cho với mọi φ ∈ Hom_A(S_λ,M) và mọi s∈ S_λ, ta có cφ (s)… ↩ 3 005Z
Nhận xét 3 Trang bị cho S_λ, với λ ∈ S_M, cấu trúc C-môđun được cho bởi Mệnh đề 7, a). Nếu ta thay thế A bằng B và B bằng C trong Mệnh đề 5 (VIII, p. 85), thì ta thấy rằng với mọi λ ∈ S_M, C-… 0060
Mệnh đề 8 a) Ánh xạ z↦ (z_S_λ)_λ∈S_M là một đẳng cấu từ Z lên tích của các trường Z_λ. ↩ 4 0061
Hệ quả Giả sử A là một đại số trên một trường giao hoán đóng đại số K và M là một A-môđun nửa đơn hữu hạn chiều như một không gian vectơ trên K. Với mọi λ trong S_M, ký hiệu bởi e_λ phép… 0062
Định lý 3 (Jacobson) Cho M là một A-môđun nửa đơn, và cho c là một tự đồng cấu của nhóm cộng M. Khi đó c thuộc đối giao hoán tử kép A''_M của M khi và chỉ khi nó thỏa mãn điều kiện sau: ↩ 4 00S1
Bổ đề 3 Cho M là một A-môđun nửa đơn. Cho B là đối giao hoán tử kép của A-môđun M. Khi đó mọi A-môđun con của M đều là một B-môđun con của M. 0063
Nhận xét Ký hiệu vành các tự đồng cấu của nhóm cộng của M bởi E. Trang bị cho M tôpô rời rạc; vành E gồm các ánh xạ từ M vào M, và ta có thể trang bị cho nó tôpô cảm sinh bởi tôpô tích trên… 0064
Mệnh đề 9 Cho L là một trường và E là một vành con của End_Z(L) chứa ánh xạ γ ₐ:x↦ ax với mọi a∈ L. Ký hiệu bởi K tập hợp các phần tử a của L sao cho u(xa) =u(x)a với mọi x trong L và mọi u… ↩ 1 0065
Hệ quả Cho L là một trường. Cho Γ là một nhóm con của nhóm tự đẳng cấu của trường L, và cho K là trường các bất biến của Γ. Cho V là một không gian con K-tuyến tính phải của L có số chiều… 0066
Nhận xét Khi trường L giao hoán, hệ quả này quy về định lý của Artin (V, §10, No. 6, p. 65). 0067

§ 6. Tương đương Morita của các môđun và các đại số

Mệnh đề 1 Giả sử rằng các ánh xạ b↦ b_P từ B vào End_A(P) và a↦ a_P từ A vào End_B(P) là song ánh. Khi đó σ và widetildeσ là các đẳng cấu nghịch đảo của nhau, và ta có các hệ thức ↩ 2 006R
Nhận xét 1 Giả sử rằng ánh xạ b↦ b_P từ B vào End_A(P) là song ánh. Khi đó ↩ 2 006S
Nhận xét 2 Dưới các giả thiết của Mệnh đề 1, A-môđun P là cân bằng; vì các vành A_P và A'_P có cùng tâm (VIII, p. 77), tồn tại một đẳng cấu φ từ tâm Z(A) của vành A lên tâm Z(B) của vành B, đ… ↩ 1 006T
Mệnh đề 2 Cho A và B là các đại số trên k, và cho P là một song môđun (A,B)ₖ. Giả sử rằng ánh xạ b↦ b_P từ B tới End_A(P) là song ánh. Các mệnh đề sau là tương đương: ↩ 2 006U
Mệnh đề 3 Cho A và B là các đại số trên k và P là một (A,B)ₖ-song môđun. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 2 006V
Mệnh đề 4 Cho A và B là các k-đại số và P là một song môđun (A,B)ₖ. Giả sử rằng ánh xạ b↦ b_P từ B đến End_A(P) là song ánh. ↩ 2 006W
Hệ quả 1 Môđun đối của một môđun sinh là xạ ảnh và sinh hữu hạn. Môđun đối của một môđun xạ ảnh hữu hạn sinh là sinh. ↩ 1 006X
Hệ quả 2 Cho A và B là các k-đại số và P là một (A,B)ₖ-song môđun. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 1 006Y
Định nghĩa 1 Cho A và B là các k-đại số và P là một (A,B)ₖ-song môđun. Ta nói rằng P là khả nghịch nếu tồn tại một (B,A)ₖ-song môđun Q sao cho P⊗_BQ đẳng cấu với ₛA_d và Q⊗_AP đẳng cấu với ₛB_d… 006Z
Định nghĩa 2 Hai k-đại số A và B được gọi là tương đương Morita nếu tồn tại một song môđun (A,B)ₖ khả nghịch. Các vành A và B được gọi là tương đương Morita nếu các Z-đại số A và B là tương đươ… ↩ 1 0070
Bổ đề 1 — Cho A và B là các k-đại số, P là một song môđun (A, B)ₖ khả nghịch, M và N là các B-môđun, và u : M → N là một ánh xạ B-tuyến tính. Nếu ánh xạ 1_P ⊗ u : P ⊗_B M → P ⊗_B N bằng kh… ↩ 3 0071
Định lý 1 Cho A và B là các đại số trên K và P là một song môđun (A, B)ₖ. Ký hiệu song môđun (B, A)ₖ Hom_A(P, Aₛ) bởi P^*. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 14 0072
Hệ quả 1 Cho A và B là các k-đại số tương đương Morita, và cho P là một (A,B)ₖ-song môđun khả nghịch. Tồn tại một đẳng cấu φ từ tâm Z(A) của A đến tâm của B được xác định bởi quan hệ φ (z)_… ↩ 3 077O
Hệ quả 2 Cho A và B là các k-đại số tương đương Morita, và cho P là một (A,B)ₖ-song môđun khả nghịch. Mọi nghịch đảo (B,A)ₖ-song môđun của P đều đẳng cấu với đối ngẫu P^*= Hom_A(P,A) của P… 077P
Nhận xét Dưới các giả thiết của hệ quả, cho q là một phần tử của Q sao cho ta có λ (p⊗ q) = 0 với mọi p∈ P. Khi đó ta có τ (q) = 0, nghĩa là, q= 0. Tương tự, nếu p là một phần tử của P sao… 0075
Ví dụ 1 Cho B là một k-đại số, n là một số nguyên geqslant 1, và A là k-đại số Mₙ(B). B-môđun phải P = Bⁿ_d là xạ ảnh, sinh hữu hạn, và sinh, và A có thể được đồng nhất với đại số tự đồng… ↩ 3 0076
Ví dụ 2 Cho A là một k-đại số giao hoán và P là một A-môđun. Ta xem P như một (A,A)ₖ-song môđun mà hai luật tác động của nó bằng nhau. Nếu (A,A)ₖ-song môđun P là khả nghịch, thì A-môđun P… 00SH
Định lý 2 (Morita) a) Cho V và W là các B-môđun trái. Ánh xạ g↦ 1_P⊗ g là một song ánh từ Hom_B(V,W) đến Hom_A(P⊗_BV,P⊗_BW). Song ánh ngược gửi một phần tử h của Hom_A(P⊗_BV,P⊗_BW) lên phần tử θ_W∘ (… ↩ 3 00S2
Mệnh đề 5 Cho V là một B-môđun trái. Ánh xạ W↦ P⊗_BW là một đẳng cấu từ tập hợp các B-môđun con của V, có thứ tự bởi quan hệ bao hàm, lên tập hợp các A-môđun con của P⊗_BV, có thứ tự bởi qua… ↩ 1 0077
Ví dụ 1 Hãy áp dụng Mệnh đề 5 của VIII, p. 104, cho trường hợp riêng V = Bₛ. ↩ 2 0078
Ví dụ 2 Ký hiệu bởi B_A,B_B, và B_P các tập hợp các iđêan hai phía của A, các iđêan hai phía của B, và các môđun con song (A,B)ₖ của P, tương ứng. ↩ 1 0079
Mệnh đề 6 Ký hiệu bởi B_A và B_B các tập hợp iđêan hai phía của A và các iđêan hai phía của B. ↩ 4 007A
Ví dụ 3 Cho V là một B-môđun trái. Khi đó sự tương ứng đã cho ở trên gửi linh hóa tử của B-môđun V tới linh hóa tử của A-môđun P⊗_BV. Thật vậy, ký hiệu linh hóa tử của A-môđun P⊗_BV là 𝔞 v… ↩ 1 007B
Ví dụ 4 Với mọi iđêan hai phía 𝔞 của A, ký hiệu tập con của Mₙ(A) gồm các ma trận có các phần tử thuộc 𝔞 bởi Mₙ(𝔞). Đó là một iđêan hai phía của Mₙ(A). Ta có Mₙ(𝔞)Aⁿ=𝔞ⁿ= Aⁿ𝔞. Suy ra từ Mện… 007C
Nhận xét Ta giữ các giả thiết và ký hiệu ở trên và giả sử rằng song môđun (B,A)ₖ Q là đối ngẫu P^* của A-môđun P và các đẳng cấu λ và θ là các ánh xạ chính tắc Λ : P⊗_BP^*→ₛA_d và Θ : P^*⊗_… 007D
Mệnh đề 7 a) Ta có φ (0) = 0 và φ (V) = M. ↩ 2 007E
Mệnh đề 8 a) Cho V' và V'' là các môđun con của V sao cho V'' chứa V'. B-môđun V''/V' là đơn khi và chỉ khi A-môđun φ (V'')/φ (V') là đơn. ↩ 2 007F
Bổ đề 2 Cho H và H' là các môđun con của V sao cho H∩ H'= 0. Các B-môđun H và H' đẳng cấu khi và chỉ khi các A-môđun φ (H) và φ (H') đẳng cấu. ↩ 1 007G
Mệnh đề 9 Cho S là một môđun con đơn của V và T là môđun con đơn φ (S) của M. Nếu V_S ký hiệu thành phần đẳng kiểu của V thuộc kiểu S và M_T thành phần đẳng kiểu của M thuộc kiểu T, thì ta c… ↩ 2 00R6
Mệnh đề 10 a) B-môđun V là Artin (resp. Noether, không phân tích được, đơn, sinh hữu hạn) khi và chỉ khi M cũng vậy. ↩ 2 007H
Mệnh đề 11 Cho ↩ 1 007I
Hệ quả Cho f: V→ W là một ánh xạ B-tuyến tính. Khi đó f là đơn ánh (resp. toàn ánh) nếu và chỉ nếu 1_P⊗ f là như vậy. 007J
Mệnh đề 12 Cho V là một B-môđun trái. B-môđun V là xạ ảnh (resp. sinh, trung thành, *đơn ánh, hữu hạn trình bày ) nếu và chỉ nếu A-môđun 007K
Hệ quả Vành A là Artin trái (tương ứng, Noether trái) khi và chỉ khi vành B là như vậy. 007L
Mệnh đề 13 a) Nếu hai k-đại số tương đương Morita, thì tâm của chúng là các k-đại số đẳng cấu. ↩ 3 007M
Mệnh đề 14 Cho A và B là các k-đại số. Khi đó A và B tương đương Morita nếu và chỉ nếu tồn tại một số nguyên ngeqslant 1 và một ma trận bình phương e= (eᵢⱼ) trong Mₙ(B) thỏa mãn các điều kiện… ↩ 1 007N
Bổ đề 3 Một B-môđun phải P là xạ ảnh, sinh hữu hạn, và sinh nếu và chỉ nếu tồn tại một số nguyên ngeqslant 0 và một phần tử lũy đẳng e= (eᵢⱼ) trong Mₙ(B) có các tính chất sau: 007O
Bổ đề 4 Cho V là một B-môđun và E là k-đại số các tự đồng cấu của V. Cho e là một phép chiếu của V và P là ảnh của e. Ánh xạ gửi v∈ eEe tới tự đồng cấu x↦ v(x) của B-môđun P là một đẳng cấ… ↩ 2 007P
Ví dụ 1 Cho A là một k-đại số và e là một phần tử lũy đẳng trong A sao cho AeA = A. k-đại số eAe có thể được đồng nhất với k-đại số các tự đồng cấu của môđun con eA_d của A_d (Bổ đề 4). Vì… 007Q
Ví dụ 2 Cho A là một k-đại số và ngeqslant 1 là một số nguyên. Ta đồng nhất đại số ma trận Mₙ(A) với đại số tự đồng cấu của A-môđun phải Aⁿ_d. Ta đã thấy rằng A và Mₙ(A) tương đương Morita… ↩ 4 007R
Ví dụ 3 Cho A là một miền iđêan chính và L là một A-môđun tự do, sinh hữu hạn, khác không. Gọi B là vành tự đồng cấu của L; khi đó L là một song môđun (A,B)_Z khả nghịch, và các vành A và… 007S

§ 7. Vành đơn

Mệnh đề 1 Cho A là một vành khác không. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 6 0081
Định nghĩa 1 Ta nói rằng một vành A là đơn nếu nó thỏa mãn các điều kiện tương đương (i), (ii) và (iii) của Mệnh đề 1. Cho K là một trường giao hoán; một đại số trên K được gọi là đơn nếu vành… ↩ 2 0082
Nhận xét 1 Nhắc lại rằng theo Định lý 1 của II, §9, No. 1, p. 115, các tính chất sau là tương đương: ↩ 1 0083
Nhận xét 2 Đôi khi ta nói rằng một vành A là gần đơn nếu nó không bị thu về 0 và nếu các iđêan hai phía duy nhất của nó là 0 và A. Ta nói rằng A là nguyên thủy nếu nó thừa nhận một môđun đơn… ↩ 3 0084
Định lý 1 (Wedderburn) Một vành là đơn khi và chỉ khi nó đẳng cấu với một vành ma trận Mᵣ(D), trong đó rgeqslant 1 là một số nguyên và D là một trường. ↩ 13 00S3
Bổ đề 1 Cho A là một vành đơn, S một A-môđun trái đơn, và D là vành đối của trường End_A(S). Khi đó S là một song môđun (A,D) khả nghịch. Nó cũng là một không gian vectơ phải hữu hạn chiều… ↩ 5 0085
Bổ đề 2 Cho D là một trường và V là một không gian vectơ phải trên D có số chiều hữu hạn rgeqslant 1. Khi đó V là một môđun đơn trên vành E = End_D(V), và hoán tập của nó bằng D_V. Vành E… ↩ 6 00R7
Nhận xét 3 Cho A là một vành đơn, S là một A-môđun đơn, và D là vành đối của trường End_A(S). Khi đó A-môđun Aₛ có độ dài hữu hạn, và dim_D(S) bằng long(A). Thật vậy, theo Bổ đề 1, vành A đẳn… 0086
Hệ quả 1 a) Tâm của một vành đơn là một trường. ↩ 6 0087
Hệ quả 2 Cho r và r' là các số nguyên dương ngặt, và cho D và D' là các trường. Các vành Mᵣ(D) và M_r'(D') đẳng cấu khi và chỉ khi ta có r=r' và các trường D và D' đẳng cấu. ↩ 2 0088
Hệ quả 3 Cho K là một trường giao hoán, và cho A là một đại số trên K bậc hữu hạn có vành nền đơn. Tồn tại một số nguyên r và một đại số trên K D có bậc hữu hạn trên K, là một trường, sao c… ↩ 2 0089
Nhận xét 4 Cho K là một trường giao hoán đóng đại số, và cho A là một đại số bậc hữu hạn trên K. Đại số A là đơn khi và chỉ khi tồn tại một số nguyên ngeqslant 1 sao cho A đẳng cấu với Mₙ(K)… ↩ 1 008A
Bổ đề 3 Cho A là một vành đơn, và cho S là một A-môđun đơn. Ký hiệu trường đối của hoán tập của S là D. Mọi A-môđun đều đẳng cấu với một A-môđun có dạng S⊗_DV, trong đó V là một không gian… ↩ 2 008B
Mệnh đề 2 Cho A là một vành đơn và S là một A-môđun đơn. ↩ 5 008C
Hệ quả Cho k là một trường giao hoán, và A là một k-đại số đơn có bậc hữu hạn trên k. Mọi A-môđun đơn đều hữu hạn chiều trên k. Hai A-môđun là đẳng cấu nếu và chỉ nếu các số chiều của chú… 008D
Mệnh đề 3 Cho A là một vành đơn. Một A-môđun M là tự do nếu và chỉ nếu độ dài của nó chia được cho độ dài của A. Nếu điều đó đúng, thì mọi cơ sở của M đều có cùng một lực lượng, được ký hiệu… ↩ 1 008E
Mệnh đề 4 Cho A là một vành đơn và M là một A-môđun khác không. Ký hiệu vành tự đồng cấu của A-môđun M bởi B, và xem M như một B-môđun trái. ↩ 3 008F
Mệnh đề 5 Cho B là một vành, A là một vành con đơn của B, và S là một A-môđun trái đơn. Khi đó B là một A-môđun trái tự do có chiều long_A(B⊗_AS). ↩ 3 008G
Định nghĩa 2 Cho B là một vành và A là một vành con đơn của B. Chiều của A-môđun trái tự do B được gọi là bậc (trái) của B trên A và được ký hiệu bởi[^1] [B : A]ₛ. ↩ 1 008H
Mệnh đề 6 Cho C là một vành, B là một vành con đơn của C, và A là một vành con đơn của B. Khi đó ta có [C : A]ₛ= [C : B]ₛ[B : A]ₛ. ↩ 2 008I
Nhận xét 1 Giả sử A là một vành con đơn của một vành đơn B và bậc phải [B : A]_d là hữu hạn. Gọi C là vành các tự đồng cấu của B được xem như một A-môđun phải; đó là một vành đơn theo Mệnh đề… 008J
Nhận xét 2 Cho K là một trường giao hoán. Nếu A là một đại số con đơn của một đại số B bậc hữu hạn trên K, thì bậc trái của B trên A thỏa mãn hệ thức [B : A]ₛ[A : K] = [B : K] theo Mệnh đề 6… 008K
Mệnh đề 7 a) Ánh xạ W↦ 𝔞(W) là một song ánh từ tập hợp các không gian con tuyến tính của V lên tập hợp các iđêan trái của A. 008L
Hệ quả a) Các iđêan trái cực tiểu của A là các iđêan 𝔞(H), trong đó H là một siêu phẳng trong V. Các iđêan trái cực đại của A là các iđêan 𝔞(L), trong đó L là một đường thẳng trong V. 008M

§ 8. Vành nửa đơn

Định lý 1 (Wedderburn) Cho A là một vành. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 4 00S4
Định nghĩa 1 Ta nói rằng một vành A là nửa đơn nếu nó có các tính chất tương đương (i) đến (vi) của Định lý 1. Một đại số A trên một vành giao hoán k là một đại số nửa đơn nếu vành nền của A là… 0093
Mệnh đề 1 Cho A là một vành nửa đơn. Tồn tại một họ hữu hạn (𝔪ᵢ)_i∈ I các iđêan trái cực tiểu của A sao cho Aₛ=⊕_i∈ I𝔪ᵢ. Nếu (𝔪ᵢ)_i∈ I là một họ như vậy, thì mọi A-môđun đơn đều đẳng cấu với… ↩ 5 0094
Ví dụ Cho G là một nhóm hữu hạn và K là một trường giao hoán. *Ta sẽ thấy về sau (VIII, p. 401, Hệ quả 1) rằng đại số K[G] của nhóm G trên trường K là một vành nửa đơn khi và chỉ khi số… 0095
Nhận xét 1 Cho K là một trường giao hoán, và cho A là một đại số nửa đơn trên K. Khi đó tồn tại các đại số trên K D₁, . . . ,Dₛ là các trường và các số nguyên r₁geqslant 1, . . . , rₛgeqslant… ↩ 1 0096
Nhận xét 2 Cho K là một trường đóng đại số, và cho A là một đại số bậc hữu hạn trên K. Theo Nhận xét 4 của VIII, p. 122, đại số A là nửa đơn khi và chỉ khi tồn tại các số nguyên n₁geqslant 1… 0097
Mệnh đề 2 a) Tâm của một vành nửa đơn là nửa đơn. ↩ 3 0098
Mệnh đề 3 Cho A là một vành giao hoán. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 4 0099
Mệnh đề 4 Cho A là một vành. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 7 009A
Bổ đề 1 Cho A là một vành Artin trái, và gọi M là một A-môđun đơn. Khi đó vành A_M là đơn. ↩ 2 009B
Mệnh đề 5 Giả sử vành A là nửa đơn. Cho M là một A-môđun trái. Môđun đối của M là sinh hữu hạn, và ta có A_M= A''_M. ↩ 3 009C
Mệnh đề 6 Cho M là một A-môđun nửa đơn sinh hữu hạn. Ký hiệu giá của nó (VIII, p. 66) là S_M và vành tự đồng cấu của nó là B. Với mọi λ ∈ S_M, chọn một A-môđun đơn S_λ thuộc lớp λ, và ký hiệ… ↩ 3 009D
Mệnh đề 7 Cho A là một vành nửa đơn. ↩ 1 009E
Mệnh đề 8 a) Với mọi λ ∈ S,S_λ là một không gian vectơ phải hữu hạn chiều trên trường D_λ. Khi chuyển qua thương, ánh xạ a↦ a_S_λ xác định một đẳng cấu vành từ A/𝔟_λ lên End_D_λ(S_λ). ↩ 4 009F
Ví dụ Cho K là một trường giao hoán đóng đại số, và cho A là một đại số nửa đơn bậc hữu hạn trên K. Cho (Vᵢ)_i∈ I là một họ các A-môđun đơn sao cho mọi A-môđun đơn đều đẳng cấu với một V… 009G
Mệnh đề 9 a) Sắp thứ tự tập hợp 𝔓(S) các tập con của S và tập hợp B_A các iđêan hai phía của A theo bao hàm. Ánh xạ Λ ↦ 𝔞_Λ là một đẳng cấu của các tập hợp có thứ tự từ 𝔓(S) đến B_A. ↩ 3 009H
Hệ quả Cho (Aᵢ)_i∈ I là một họ hữu hạn các vành đơn và f là một đẳng cấu từ A lên ∏_i∈ IAᵢ. Với mọi i∈ I, tồn tại một phần tử duy nhất φ (i) của S sao cho hạt nhân của prᵢ∘ f là 𝔟_φ(i). Á… 009I
Mệnh đề 10 Ký hiệu tâm của A là Z. Với λ ∈ S, gọi Z_λ là tâm của trường D_λ. ↩ 1 009J
Hệ quả Cho B là một vành. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 1 009K
Mệnh đề 11 Cho λ ∈ S. Thành phần đẳng kiểu 𝔞_λ của A vừa là thành phần đẳng kiểu của Aₛ thuộc kiểu S_λ vừa là thành phần đẳng kiểu của A_d thuộc kiểu S^*_λ. Hơn nữa, ta có ↩ 2 009L
Chú giải Cho A là một vành nửa đơn và Z là tâm của nó. Có những song ánh chính tắc giữa các tập hợp sau đây: 009M
Mệnh đề 12 Cho M là một môđun trên vành nửa đơn A và S_M⊂ S là giá của M. Khi đó linh hóa tử Ann(M) của M là iđêan hai phía ∑_λ∈S-S_M𝔞_λ, và iđêan vết τ (M) của M là iđêan hai phía ∑_λ∈S_M𝔞_λ… 009N
Hệ quả Cho M là một môđun trên vành nửa đơn A. Các tính chất sau là tương đương: 009O
Mệnh đề 13 a) Một iđêan trái 𝔞 của A có một phần bù trong Aₛ nếu và chỉ nếu tồn tại một phần tử lũy đẳng e trong A sao cho 𝔞= Ae. Khi đó iđêan 𝔞 gồm các phần tử x của A sao cho x=xe. ↩ 1 009P
Nhận xét 1 Cho 𝔞 là một iđêan trái của A. Theo chứng minh ở trên và hệ quả của Mệnh đề 12 của II, §1, No. 8, p. 209, ánh xạ e↦ A(1-e) xác định một song ánh từ tập hợp các phần tử lũy đẳng e t… 009Q
Nhận xét 2 Cho e và f là các phần tử lũy đẳng trong A. Theo Mệnh đề 13, b), ta có Ae= Af khi và chỉ khi ef=e và f e=f. Do đó, nếu vành A là giao hoán, thì quan hệ Ae= Af tương đương với e=f… 009R
Mệnh đề 14 Cho e là một phần tử lũy đẳng trong A. ↩ 1 009S
Nhận xét 3 Áp dụng các kết quả trước đó cho vành đối của A, ta thấy, đặc biệt, rằng một A-môđun phải đơn sinh M là xạ ảnh khi và chỉ khi tồn tại một lũy đẳng e trong A sao cho M đẳng cấu với… 00R8
Mệnh đề 15 Giả sử rằng vành A là nửa đơn. ↩ 2 009T
Nhận xét 4 Giả sử rằng vành A là nửa đơn. Cho (eᵢ)_i∈ I là một phân hoạch của 1 gồm các phần tử lũy đẳng khác không trong tâm Z của A. Nếu Card(I) = Card(S), thì các eᵢ là các phần tử lũy đẳn… ↩ 1 009U

§ 9. Căn

Định nghĩa 1 Cho A là một vành. Căn của một A-môđun M là môđun con được định nghĩa như là giao của các môđun con cực đại của M (VIII, p. 48, Định nghĩa 2) hoặc, tương đương, là tập hợp các phần… ↩ 1 00A1
Ví dụ 1 Cho 𝔞 là một iđêan trái của A. Căn của A-môđun Aₛ/𝔞 bằng 𝔞'/𝔞, trong đó 𝔞' là giao của các iđêan trái cực đại của A chứa 𝔞. Đặc biệt, căn của Z-môđun Z thu về 0, và căn của Z-môđun… ↩ 1 00A2
Ví dụ 2 Cho A là một miền iđêan chính không phải là một trường, và K là trường phân thức của nó. Với tư cách là một K-môđun, K không có căn. Hãy chứng minh rằng căn của K, được xem như một… 00A3
Mệnh đề 1 Cho M và N là các A-môđun và f là một đồng cấu từ M đến N. Ta có f(ℜ(M))⊂ ℜ(N), và thậm chí còn có đẳng thức nếu f là toàn ánh và hạt nhân của f được chứa trong căn của M. ↩ 3 00A4
Hệ quả 1 Cho M là một A-môđun và N là một môđun con của M. ↩ 5 00A5
Hệ quả 2 Cho (Mᵢ)_i∈ I là một họ các A-môđun, P là tích của nó, và S là tổng trực tiếp của nó. Ta có ℜ(P)⊂ ∏_i∈ Iℜ(Mᵢ) và ℜ(S) =⨁_i∈ Iℜ(Mᵢ). ↩ 3 00A6
Mệnh đề 2 Cho M là một A-môđun hữu hạn sinh. ↩ 4 00A7
Hệ quả Cho M là một A-môđun, (xᵢ)_i∈ I một họ sinh của M, và x một phần tử của M. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 1 00A8
Mệnh đề 3 a) Một môđun nửa đơn không có căn. ↩ 5 00A9
Định nghĩa 2 Căn Jacobson (hay đơn giản là căn) của một vành A, ký hiệu là ℜ(A), là căn của A-môđun Aₛ, tức là giao của các iđêan trái cực đại của A. ↩ 1 00AA
Mệnh đề 4 Một vành A là nửa đơn khi và chỉ khi nó là Artin trái và không có căn. ↩ 4 00AB
Ví dụ 1 Nếu A là một vành địa phương, thì nó có một iđêan trái cực đại duy nhất 𝔯, gồm các phần tử không khả nghịch của A (VIII, p. 25, Mệnh đề 1); do đó 𝔯 là căn của A. Đặc biệt, một trườ… ↩ 2 00AC
Ví dụ 2 Cho K là một trường giao hoán và E là đại số K[[Xᵢ]]_i∈ I của các chuỗi lũy thừa hình thức theo các biến Xᵢ với hệ số trong K. Theo ví dụ trước và Ví dụ 4 của VIII, p. 26, căn của… ↩ 2 00AD
Ví dụ 3 Giả sử rằng A là một miền iđêan chính, và cho P là một hệ đại diện gồm các phần tử bất khả quy (VII, §1, No. 3, p. 3). Nếu A là một trường, thì nó không có căn theo Ví dụ 1. Nếu tậ… ↩ 1 00AE
Mệnh đề 5 a) Căn của một vành A là giao của các linh hóa tử của các A-môđun đơn; nó cũng là linh hóa tử nhỏ nhất của một A-môđun nửa đơn. Đặc biệt, nó là một iđêan hai phía của A. Nếu A khôn… ↩ 7 00AF
Định lý 1 (Jacobson) Căn của một vành A gồm các phần tử x∈ A sao cho 1 +ax là khả nghịch trái (I, §2, No. 3, p. 15) với mọi a∈ A. Nó cũng là iđêan hai phía lớn nhất 𝔞 sao cho 1 +x là khả nghịch với mọi… ↩ 10 00S5
Hệ quả 1 Căn của A bằng căn của vành đối Aᵒ, nghĩa là bằng giao của các iđêan phải cực đại của A. ↩ 1 00AG
Hệ quả 2 Một phần tử của A là khả nghịch khi và chỉ khi ảnh chính tắc của nó trong vành A/ℜ(A) là khả nghịch. ↩ 1 00AH
Hệ quả 3 Căn của tích của một họ các vành (Aᵢ)_i∈ I là tích của các ℜ(Aᵢ). ↩ 2 00AI
Hệ quả 4 Vành A là địa phương nếu và chỉ nếu vành A/ℜ(A) là một trường. Nếu đúng như vậy, thì ℜ(A) là tập hợp các phần tử không khả nghịch của A. ↩ 1 00AJ
Ví dụ 4 Cho K là một miền nguyên, I một tập hợp khác rỗng, và A là vành đa thức K[Xᵢ]_i∈ I. Ta sẽ chứng minh rằng vành A không có căn. Các phần tử khả nghịch duy nhất của A là các phần tử… 00AK
Ví dụ 5 Cho 𝔞 là một iđêan hai phía của A. Tôpô 𝔞-adic trên A là tôpô, tương thích với cấu trúc vành của A, sao cho các iđêan 𝔞ⁿ (với ngeqslant 1) tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của 0… 00AL
Nhận xét 1 Theo Định lý 1, mọi iđêan nil trái của một vành A đều được chứa trong ↩ 2 00AM
Nhận xét 2 Cho A là một vành giao hoán. Tập hợp các phần tử lũy linh a của A là một iđêan 𝔑(A) của A, được gọi là căn lũy linh của A; nó là giao của các iđêan nguyên tố của A (V, §15, No. 1… ↩ 1 00AN
Mệnh đề 6 Với mọi A-môđun M, ta có ℜ(A)M⊂ ℜ(M). Ta có đẳng thức nếu A-môđun M là xạ ảnh. ↩ 6 00AO
Định lý 2 (“Bổ đề Nakayama”) Cho M là một A-môđun và 𝔞 là một iđêan hai phía của A. Giả sử rằng một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: ↩ 5 00S6
Hệ quả 1 Ta giữ nguyên các giả thiết của Định lý 2. Cho (xᵢ)_i∈ I là một họ các phần tử của M, và cho overlinexᵢ là ảnh chính tắc của xᵢ trong M/𝔞M. Nếu họ (overlinexᵢ)_i∈ I sinh (A/𝔞)-môđu… ↩ 1 00R9
Hệ quả 2 Ta giữ các giả thiết của Định lý 2. Ngoài ra, cho M' là một A-môđun và u: M'→ M là một đồng cấu. Nếu đồng cấu overlineu từ M'/𝔞M' đến M/𝔞M suy ra từ u bằng cách chuyển qua các thươ… ↩ 1 00AP
Bổ đề 1 Cho a là một phần tử của một vành A sao cho a-a² là lũy linh. Tồn tại một đa thức P trong X + (X-X²)Z[X] sao cho P(a) là lũy đẳng trong A. ↩ 2 00AQ
Mệnh đề 7 Cho 𝔞 là một iđêan lũy linh hai phía của A, và cho overlinee là một phần tử lũy đẳng trong vành A/𝔞. Tồn tại một phần tử lũy đẳng e trong A mà ảnh chính tắc của nó trong A/𝔞 bằng o… ↩ 2 00AR
Hệ quả 1 Cho M và P là các A-môđun và u là một ánh xạ A-tuyến tính toàn ánh từ P lên M. Giả sử rằng P là xạ ảnh và tồn tại một iđêan hai phía lũy linh 𝔞 của A sao cho hạt nhân N của u được… ↩ 2 00AS
Hệ quả 2 Cho A là một vành, và cho 𝔞 là một iđêan hai phía lũy linh của A. Nếu P là một A-môđun xạ ảnh, thì P/𝔞P là một môđun xạ ảnh trên A/𝔞, và A-môđun P không phân tích được khi và chỉ k… ↩ 1 00AT
Định nghĩa 3 Cho A là một vành, và M là một A-môđun. Một bao xạ ảnh của M là một cặp (P, u), trong đó P là một A-môđun xạ ảnh và u là một đồng cấu toàn ánh từ P đến M sao cho ta có u(P')not= M… 00AU
Nhận xét 1 Với mọi A-môđun xạ ảnh M, cặp (M,1_M) là một bao xạ ảnh của M. 00AV
Nhận xét 2 Giả sử rằng (P, u) là một bao xạ ảnh của A-môđun M. Cho (xᵢ)_i∈ I là một họ các phần tử của P, và gọi P' là môđun con của P do họ đó sinh; khi đó u(P') được sinh bởi họ (u(xᵢ))_i∈… ↩ 2 00AW
Mệnh đề 8 Cho M và M' là các A-môđun, (P, u) và (P', u') lần lượt là các bao xạ ảnh của M và M', và g: M→ M' là một ánh xạ A-tuyến tính. ↩ 2 00AX
Hệ quả 1 Cho M là một A-môđun. Cho (P, u) và (P', u') là các bao xạ ảnh của M. Tồn tại một đẳng cấu f từ P lên P' sao cho u=u'∘ f. ↩ 1 00AY
Hệ quả 2 Cho (P, u) là một bao xạ ảnh của A-môđun M. Nếu Q là một A-môđun xạ ảnh và g: Q→ M là một ánh xạ tuyến tính toàn ánh, thì tồn tại một ánh xạ tuyến tính toàn ánh f: Q→ P sao cho g=u… 00AZ
Mệnh đề 9 Cho M là một A-môđun và (P, u) là một bao xạ ảnh của M. Ký hiệu căn của vành A là 𝔯. Đồng cấu overlineu: P/𝔯P→ M/𝔯M suy ra từ u bằng cách chuyển qua các thương là một đẳng cấu. ↩ 3 00B0
Hệ quả Nếu một A-môđun M có một phủ xạ ảnh, thì A/𝔯-môđun M/𝔯M là xạ ảnh. 00B1
Nhận xét 3 Giả sử vành A không có căn. Theo Mệnh đề 9, (P, u) là một bao xạ ảnh của một A-môđun M khi và chỉ khi u là một đẳng cấu. Do đó, các bao xạ ảnh chỉ có thể tồn tại đối với các A-môđu… 00B2
Nhận xét 4 Giả sử mọi A-môđun hữu hạn sinh đều có một bao xạ ảnh; khi đó thương A' của A theo căn của nó là nửa đơn. Thật vậy, mọi môđun hữu hạn sinh trên vành A' đều xạ ảnh theo hệ quả. Đặc… 00B3
Mệnh đề 10 Cho M là một A-môđun, P là một A-môđun xạ ảnh, và u: P→ M là một ánh xạ tuyến tính. Cho 𝔞 là một iđêan hai phía của A. Giả sử ánh xạ tuyến tính overlineu: P/𝔞P→ M/𝔞M suy ra từ u bằ… ↩ 2 00B4
Hệ quả 1 Cho P là một A-môđun xạ ảnh. Giả sử rằng P sinh hữu hạn hoặc căn 𝔯 của A là một iđêan hai phía lũy linh. Ký hiệu ánh xạ chính tắc từ P đến P/𝔯P là u. Khi đó (P, u) là một bao xạ ản… ↩ 1 00B5
Hệ quả 2 Cho 𝔞 là một iđêan hai phía của A và M là một A-môđun sao cho (A/𝔞)-môđun M/𝔞M là tự do. Giả sử rằng một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: ↩ 2 00B6
Hệ quả 3 Mọi môđun hữu hạn sinh trên một vành địa phương đều có một bao xạ ảnh. 00B7
Nhận xét 5 Cho A là một vành địa phương và 𝔯 là căn của nó. Cho M là một A-môđun hữu hạn sinh, P là một A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn, và u: P→ M là một đồng cấu. Theo Hệ quả 6 của VIII, p. 36… 00B8
Mệnh đề 11 Cho A là một vành và 𝔞 là một iđêan hai phía lũy linh của A. Cho M là một A/𝔞-môđun xạ ảnh. Tồn tại một A-môđun xạ ảnh P và một ánh xạ A-tuyến tính toàn ánh u: P→ M có hạt nhân là… ↩ 2 00B9
Hệ quả Cho P và P' là các A-môđun xạ ảnh. Nếu các môđun P/𝔞P và P'/𝔞P' là đẳng cấu, thì P và P' là đẳng cấu. 00RA

§ 10. Môđun trên một vành Artin

Mệnh đề 1 Cho A là một vành Artin trái. Căn 𝔯 của A là iđêan hai phía lũy linh lớn nhất của A, và vành A/𝔯 là nửa đơn. ↩ 11 00C5
Hệ quả 1 Một vành là nửa đơn khi và chỉ khi nó là Artin trái và không có iđêan hai phía lũy linh nào khác 0. 00C6
Hệ quả 2 Trong một vành Artin trái A, căn gồm các phần tử x sao cho ax lũy linh với mọi a trong A. ↩ 2 00C7
Mệnh đề 2 Cho A là một vành Artin trái. Với mọi A-môđun M, các tính chất sau là tương đương: ↩ 4 00C8
Hệ quả Cho A là một vành Artin trái. Với mọi A-môđun M, căn của M bằng 𝔯M. ↩ 1 00C9
Mệnh đề 3 Cho A và B là các vành và f là một đồng cấu từ A vào B sao cho B được sinh bởi hợp của f(A) và hoán tập f(A)' của f(A) trong B. Cho M là một B-môđun trái. Giả sử rằng hoặc vành A l… ↩ 2 00CA
Hệ quả Cho A là một vành giao hoán và B là một đại số trên A. Giả sử rằng hoặc vành A là Artin hoặc B là một A-môđun hữu hạn sinh. Khi đó ta có ℜ(A)B⊂ ℜ(B). 00CB
Mệnh đề 4 Mọi môđun trên một vành Artin trái đều có một bao xạ ảnh. ↩ 3 00CC
Mệnh đề 5 Cho A là một vành Artin trái và 𝔯 là căn của nó. ↩ 2 00CD
Hệ quả Với mỗi lớp P của các A-môđun xạ ảnh, gán lớp φ (P) của môđun P/𝔯P trên vành A/𝔯. Mọi lớp môđun (tương ứng, lớp môđun sinh hữu hạn) trên vành A/𝔯 đều có dạng φ (P) với một lớp P du… 00CE
Mệnh đề 6 Cho A là một vành Artin trái và 𝔯 là căn của nó. Cho P là một A-môđun xạ ảnh. ↩ 1 00CF
Ví dụ Lấy P bằng Aₛ. Với λ ∈ S, ký hiệu trường đối của hoán tập của A-môđun đơn S_λ bởi D_λ và chiều của S_λ khi được xem như một không gian vectơ phải trên trường D_λ bởi m(λ ). Ta biết… 00CG

§ 11. Các nhóm grothendieck

Định nghĩa 1 Ta nói rằng tập hợp C các lớp của A-môđun là cộng tính nếu mọi môđun không đều là kiểu C và tổng trực tiếp của hai môđun có kiểu C cũng có kiểu C. Ta nói rằng C là di truyền nếu nó… ↩ 1 00CS
Ví dụ 1 Tập hợp các lớp của các A-môđun có độ dài hữu hạn là di truyền (II, §1, No. 10, p. 212, Mệnh đề 16). 00CT
Ví dụ 2 Tập hợp các lớp của các A-môđun sinh hữu hạn là cộng tính. Nếu vành A là Noether, thì tập hợp này là di truyền (VIII, p. 3, Mệnh đề 3 và VIII, p. 7, Mệnh đề 4). 00CU
Ví dụ 3 Tập hợp các lớp của các A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn là cộng tính nhưng nói chung không di truyền. 00CV
Định nghĩa 2 Cho φ là một ánh xạ từ C vào một nhóm Abel G (viết theo phép cộng); đặt φ (E) =φ(cl(E)) với mọi A-môđun E có kiểu C. Ta nói rằng φ là một hàm cộng tính của môđun (resp. một hàm cộn… 00CW
Ví dụ 4 Cho C là tập hợp các lớp của các A-môđun có độ dài hữu hạn. Ánh xạ long_A : C → Z gửi một lớp của các A-môđun có độ dài hữu hạn vào độ dài của nó là một hàm cộng tính của môđun (II… 00CX
Mệnh đề 1 Giả sử C là di truyền. Cho E và F là các A-môđun và u : E → F là một ánh xạ tuyến tính. a) Nếu E hoặc F có kiểu C, thì ảnh của u cũng vậy. b) Nếu E có kiểu C, thì hạt nhân của u cũ… ↩ 1 00CY
Hệ quả Cho (Eᵢ)_0 ≤ i ≤ n là một dãy hữu hạn các môđun có kiểu C. Nếu tồn tại một dãy khớp 00CZ
Mệnh đề 2 Giả sử tập hợp C là di truyền. Cho E là một A-môđun, và cho M và N là các môđun con của E. 00D0
Mệnh đề 3 Giả sử C là di truyền. Cho E là một môđun có kiểu C và (Eᵢ)_0leqslant ileqslant n là một chuỗi hợp thành của E (I, §4, No. 7, p. 41). Với 1leqslant ileqslant n, môđun Eᵢ₋₁/Eᵢ có ki… ↩ 2 00D1
Mệnh đề 4 a) Ánh xạ E↦ [E]_C từ C vào K(C) là cộng tính. ↩ 3 00D2
Ví dụ Cho A là một vành Noether giao hoán, và cho Σ là phổ của nó. Với mọi số nguyên ngeqslant 0, ký hiệu C^geqslant n là tập hợp các lớp của các A-môđun sinh hữu hạn có giá với đối chiề… 00D3
Mệnh đề 5 Cho E và F là các môđun có kiểu C. Đẳng thức [E]_C= [F]_C đúng khi và chỉ khi tồn tại các dãy khớp của các môđun có kiểu C 00D4
Mệnh đề 6 a) Ánh xạ E↦ [E]'_C từ C vào K'(C) là một hàm cộng tính yếu của các môđun. 00D5
Bổ đề 1 Cho E, E', và E'' là các A-môđun có độ dài hữu hạn và ↩ 3 00D6
Mệnh đề 7 Cho C là một tập hợp di truyền các lớp môđun sao cho mọi môđun kiểu C đều có độ dài hữu hạn. Cho S là tập hợp các lớp của các môđun đơn thuộc C. Khi đó họ ([S]_C)_S∈S là một cơ sở… ↩ 2 00D7
Hệ quả Cho E và F là các môđun nửa đơn thuộc kiểu C. Môđun E đẳng cấu với F khi và chỉ khi ta có [E]_C= [F]_C trong K(C). ↩ 1 00D8
Nhận xét Tập hợp K(C)⁺ là monoid con của K(C) sinh bởi họ ([S]_C)_S∈S. 00D9
Nhận xét 1 Cho SS(A) là tập hợp di truyền của các lớp các A-môđun nửa đơn có độ dài hữu hạn. Theo Mệnh đề 7 của VIII, p. 190, nhóm Grothendieck K(SS(A)) là một Z-môđun tự do mà các phần tử [S… ↩ 1 00DA
Nhận xét 2 Cho K'(LF(A)) là nhóm Grothendieck của LF(A) đối với các tổng trực tiếp (VIII, p. 188). Định lý Krull–Remak–Schmidt (VIII, p. 37) kéo theo rằng K'(LF(A)) là một Z-môđun tự do với c… ↩ 2 00DB
Nhận xét 3 Cho E là một A-môđun có độ dài hữu hạn. Theo c), tồn tại một A-môđun nửa đơn E' có độ dài hữu hạn sao cho [E] = [E'], và theo b), một môđun như vậy được xác định sai khác một đẳng… 00DC
Mệnh đề 8 Cho A là một miền iđêan chính không phải là một trường, và cho L là trường phân thức của nó. Tồn tại một đẳng cấu φ : R(A)→ L^*/A^* sao cho ta có ↩ 2 00DD
Nhận xét 4 Ta giữ các giả thiết và ký hiệu của Mệnh đề 8. Cho E là một A-môđun có độ dài hữu hạn, và cho a₁A, . . . , aₙA là các nhân tử bất biến của nó (VII, §4, No. 5, p. 20). Vì E đẳng cấu… 00DE
Nhận xét 5 Cho A là một vành Dedekind không phải là một trường (Comm. Alg., VIII, §2, No. 1). Bằng lập luận như trong Mệnh đề 8, ta có thể chứng minh sự tồn tại của một đẳng cấu φ từ R(A) đến… 00SI
Bổ đề 2 Cho M và M' là các A-môđun hữu hạn chiều trên K. Các giá đỡ (VIII, p. 190) của M và M' rời nhau khi và chỉ khi tồn tại một a∈ A sao cho a_M= 0_M và a_M'= 1_M'. ↩ 1 00DF
Định lý 1 Đồng cấu u: R_K(A)→ R_L(A_(L)) được xác định ở trên là đơn ánh. Cho ξ là một phần tử của R_K(A). Khi đó ξ là hiệu dụng khi và chỉ khi u(ξ ) là hiệu dụng. ↩ 6 00DG
Bổ đề 3 Cho S và T là hai A-môđun đơn không đẳng cấu hữu hạn chiều trên K. Các giá của các A_(L)-môđun S_(L) và T_(L) là rời nhau. 00DH
Mệnh đề 9 Cho K là một vành giao hoán, A là một bigebra trên K với đồng đơn vị γ, và C là một tập hợp cộng tính các lớp A-môđun có các tính chất sau: ↩ 3 00DI
Nhận xét Chỉ với các giả thiết (i) và (ii) của Mệnh đề 9, nhóm Grothendieck K'(C) đối với các tổng trực tiếp (VIII, p. 188) có một cấu trúc vành duy nhất sao cho phép nhân của nó thỏa mãn [… 00DJ
Hệ quả Cho A là một đại số hai cấu với đồng đơn vị γ trên một trường giao hoán K. Khi đó tồn tại một cấu trúc vành duy nhất trên nhóm cộng R_K(A) sao cho phép nhân của nó thỏa mãn 00DK
Ví dụ 1 Cho K là một trường giao hoán. Cho G là một nhóm, và cho K[G] là đại số của nhóm G. Ta đồng nhất G với ảnh chính tắc của nó trong K[G] (III, §2, No. 6, p. 446). ↩ 3 00DL
Ví dụ 2 Cho 𝔤 là một đại số Lie trên một trường giao hoán K và U(𝔤) là đại số bao của nó; ta đồng nhất 𝔤 với ảnh chính tắc của nó trong U(𝔤) (Lie, I, §2, No. 7, p. 39, Hệ quả 2). Ta trang… 00DM
Mệnh đề 10 Cho A là một vành giao hoán, và cho C là một tập hợp cộng tính các lớp của A-môđun thỏa mãn ba điều kiện sau: ↩ 1 00DN
Nhận xét Cho A là một vành nửa đơn. Khi đó mọi A-môđun đều nửa đơn và xạ ảnh (VIII, p. 138, Mệnh đề 4); do đó ta có đẳng thức 00DO
Ví dụ Nếu mọi A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn đều tự do, thì hạng xác định một đẳng cấu từ K₀(A) vào Z. Điều này, đặc biệt, đúng khi A là một miền iđêan chính (VII, §1, No. 3, p. 15, Hệ quả… 00DP
Mệnh đề 11 a) Bội số [f_*(T) : S] của A-môđun đơn S trong A-môđun nửa đơn f_*(T) bằng số chiều của H được xem như một không gian vectơ phải trên D. ↩ 1 00DQ
Hệ quả (luật tương hỗ Frobenius) Giả sử rằng A và B là các đại số nửa đơn hữu hạn chiều trên một trường giao hoán K và rằng f là K-tuyến tính. Khi đó các không gian vectơ trên K S, T, D, E và H đều hữu hạn chiều… 00S7
Mệnh đề 12 Cho B là một vành đơn và A là một vành con đơn của B. Giả sử rằng B là một A-môđun trái hữu hạn sinh. Cho M là một B-môđun trái hữu hạn sinh khác không. Đặt A'= End_A(M) và B'= End… ↩ 2 00DR

§ 12. Tích tenxơ của các môđun nửa đơn

Mệnh đề 1 Cho M₁ là một A₁-môđun và M₂ là một A₂-môđun, cả hai đều không rút về 0. Nếu môđun M = M₁⊗ M₂ trên vành A = A₁⊗ A₂ là đơn (resp. đẳng kiểu, nửa đơn), thì A₁-môđun M₁ và A₂-môđun M₂… ↩ 2 00E6
Mệnh đề 2 Cho S là một môđun đơn trên vành A = A₁⊗ A₂, hữu hạn chiều trên K. Với i∈ 1,2, tồn tại một Aᵢ-môđun đơn Sᵢ sao cho Aᵢ-môđun S là đẳng kiểu thuộc kiểu Sᵢ. A-môđun S đẳng cấu với một… ↩ 1 00E7
Định lý 1 Giả sử rằng trường K đóng đại số. ↩ 2 00E8
Nhận xét 1 Mệnh đề a) của Định lý 1 không còn đúng nữa khi không giả thiết trường K là đóng đại số. Ta có thể cho các ví dụ (VIII, p. 225, Bài tập 4) trong đó Mᵢ là một Aᵢ-môđun đơn hữu hạn c… 00E9
Nhận xét 2 Tồn tại một đồng cấu φ từ R_K(A₁)⊗_ZR_K(A₂) vào R_K(A) được đặc trưng bởi quan hệ φ ([M₁]⊗ [M₂]) = [M₁⊗ M₂]. Điều này có thể được chứng minh theo cùng cách như Mệnh đề 9 của VIII… ↩ 1 00EA
Bổ đề 1 Cho M₁ và N₁ là các A₁-môđun, và cho M₂ và N₂ là các A₂-môđun. Ta đưa ra các giả thiết sau: ↩ 3 00RB
Định lý 2 Cho A₁ và A₂ là các đại số trên trường giao hoán K; cho S₁ là một A₁-môđun đơn và S₂ là một A₂-môđun đơn. Cho D₁ và D₂ là các hoán tập tương ứng của S₁ và S₂. Đặt M = S₁⊗ S₂,A = A₁… ↩ 2 00EB
Hệ quả 1 Môđun S₁⊗ S₂ trên vành A₁⊗ A₂ là nửa đơn (tương ứng, đẳng kiểu, đơn) khi và chỉ khi vành D = D₁⊗ D₂ là nửa đơn (tương ứng, đơn, một trường). Đặc biệt, S₁⊗ S₂ là đơn nếu hoán tập củ… ↩ 2 00EC
Hệ quả 2 Ta có ℜ_A(M) =ℜ(D)M. A-môđun M không có căn khi và chỉ khi vành D không có căn. ↩ 2 00ED
Định lý 3 Cho Z₁ và Z₂ là các đại số giao hoán nửa đơn trên K. Căn của vành Z₁⊗ Z₂ bằng tập hợp các phần tử lũy linh của nó. ↩ 3 00EE
Mệnh đề 3 Giả sử các đại số A₁ và A₂ là nửa đơn, với các tâm tương ứng Z₁ và Z₂. Đặt Z = Z₁⊗ Z₂. ↩ 2 00EF
Hệ quả Giả sử rằng các đại số A₁ và A₂ là đơn và tâm Z₁ của A₁ thu về K. Khi đó vành A₁⊗ A₂ không có iđêan hai phía nào khác ngoài 0 và chính nó. 00EG
Mệnh đề 4 Với i∈ 1,2, cho Aᵢ là một đại số trên K, Mᵢ là một Aᵢ-môđun nửa đơn, và Zᵢ là tâm của hoán tập của Mᵢ. Đặt A = A₁⊗ A₂, M = M₁⊗ M₂, và Z = Z₁⊗ Z₂. Ta có ℜ_A(M) =ℜ(Z)M. Nếu một trong… ↩ 2 00EH
Bổ đề 2 Cho A₁ và A₂ là các đại số trên trường giao hoán K. Cho M₁ là một A₁-môđun hữu hạn chiều trên K và M₂ là một A₂-môđun có độ dài hữu hạn. Khi đó A₁⊗ A₂-môđun M₁⊗ M₂ có độ dài hữu hạ… ↩ 1 00EI
Mệnh đề 5 Cho A₁ và A₂ là các đại số trên trường giao hoán K. Cho M₁ là một A₁-môđun nửa đơn hữu hạn chiều trên K và M₂ là một A₂-môđun nửa đơn. Với i∈ 1,2, ký hiệu hoán tập của Aᵢ-môđun Mᵢ… ↩ 3 00RC
Hệ quả Nếu Z₁ hoặc Z₂ là một đại số tách được trên trường K (chẳng hạn như khi K là hoàn hảo), thì A-môđun M₁⊗ M₂ là nửa đơn. 00EJ
Mệnh đề 6 Cho A₁ và A₂ là các K-đại số khác không. Nếu vành A₁⊗ A₂ là đơn (tương ứng, nửa đơn), thì các vành A₁ và A₂ là đơn (tương ứng, nửa đơn). ↩ 1 00EK
Mệnh đề 7 Cho A₁ và A₂ là các K-đại số nửa đơn, với các tâm tương ứng Z₁ và Z₂. Giả sử rằng A₁ có bậc hữu hạn trên K. Khi đó vành A₁⊗ A₂ là Artin trái, cũng như tâm của nó Z₁⊗ Z₂. Vành A₁⊗ A… ↩ 4 00EL
Hệ quả 1 Cho A₁ và A₂ là các K-đại số nửa đơn; giả sử rằng A₁ hữu hạn chiều trên K. Giả sử rằng tâm của A₁ hoặc A₂ là một đại số tách được trên K; chẳng hạn, đó là trường hợp khi K hoàn hảo… ↩ 1 00EM
Hệ quả 2 Cho A₁ và A₂ là các K-đại số đơn; giả sử rằng A₁ hữu hạn chiều trên K. Nếu tâm của A₁ hoặc A₂ bằng K, thì đại số A₁⊗ A₂ là đơn. Đặc biệt, đây là trường hợp khi K đóng đại số. ↩ 8 00RD
Mệnh đề 8 Cho A là một đại số trên K, M là một A-môđun, và L là một mở rộng của trường K. Ký hiệu hoán tập của M là D và tâm của D là Z. ↩ 5 00EN
Hệ quả 1 a) Giả sử rằng A-môđun M là nửa đơn, rằng mở rộng L của K là tách được, và rằng M hoặc L là hữu hạn chiều trên K. Khi đó A-môđun A_(L) M_(L) là nửa đơn. ↩ 2 00EO
Hệ quả 2 Cho L là một mở rộng của trường K. Ký hiệu tâm của đại số trên K A là Z. 00RE
Mệnh đề 9 Cho A là một đại số trên K và L là một mở rộng tách được của K. ↩ 1 00EP
Mệnh đề 10 Cho A là một đại số trên K và L là một mở rộng của K. Cho M là một A-môđun. ↩ 1 00EQ
Hệ quả Cho L là một mở rộng tách được của K. Ta có ℜ(A_(L)) = ℜ(A)_(L) nếu L đại số trên K hoặc nếu vành A là Artin trái. 00ER

§ 13. Đại số nửa đơn tuyệt đối

Định nghĩa 1 Cho K là một trường giao hoán và A là một đại số trên K. Ta gọi một A-môđun M là nửa đơn tuyệt đối nếu A_(L)-môđun M_(L) là nửa đơn đối với mọi mở rộng L của K. 00F9
Mệnh đề 1 Cho K là một trường giao hoán và A là một đại số trên K. ↩ 3 00FA
Mệnh đề 2 Cho K là một trường giao hoán, A là một đại số trên K, và M là một A-môđun hữu hạn chiều trên K. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 1 00FB
Bổ đề 1 Cho D là một trường và Z là tâm của nó. Ký hiệu đặc số mũ của Z là p. Giả sử rằng với mọi phần tử a của D, tồn tại một số nguyên mgeqslant 0 sao cho a^pᵐ thuộc về Z. Khi đó trường… ↩ 2 00FC
Mệnh đề 3 Cho K là một trường đóng khả ly (V, §7, No. 8, p. 45, Định nghĩa 4), và cho D là một đại số bậc hữu hạn trên K mà là một trường. Khi đó D là giao hoán. ↩ 3 00FD
Hệ quả Cho K là một trường đóng khả ly và A là một đại số nửa đơn bậc hữu hạn trên K. Khi đó tồn tại một số nguyên rgeqslant 0, các số nguyên dương ngặt n₁, . . . , nᵣ, và các mở rộng K₁… 00FE
Định nghĩa 2 Cho K là một trường giao hoán. Ta nói rằng một K-đại số A là nửa đơn tuyệt đối nếu vành A_(L) là nửa đơn với mọi mở rộng L của K. 00FF
Định lý 1 Cho K là một trường giao hoán và A là một K-đại số. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 5 00FG
Bổ đề 2 Cho L là một trường đóng đại số và D là một trường chứa L trong tâm của nó. Nếu D phân biệt với L, thì tồn tại một mở rộng L' của L sao cho vành D⊗_LL' không là Artin trái. ↩ 1 00FH
Bổ đề 3 Cho A là một đại số trên K nửa đơn tuyệt đối và L là một mở rộng đóng đại số của K. Khi đó đại số A_(L) đẳng cấu với một tích của hữu hạn đại số ma trận trên L. 00FI
Bổ đề 4 Cho A và B là các đại số trên trường K có các tập sinh hữu hạn, và cho K' là một mở rộng của K. Nếu các K'-đại số A_(K') và B_(K') đẳng cấu, thì tồn tại một mở rộng con L của K', s… ↩ 1 00FJ
Hệ quả 1 Cho K là một trường giao hoán, và cho A₁ và A₂ là các K-đại số. Giả sử rằng A₁ là nửa đơn tuyệt đối. ↩ 3 00FK
Hệ quả 2 Cho K là một trường đóng tách được, và cho A là một đại số trên K nửa đơn tuyệt đối. Khi đó tồn tại một số nguyên rgeqslant 0 và các số nguyên dương ngặt n₁, . . . , nᵣ sao cho đại… 00FL
Ví dụ Một đại số giao hoán trên K là nửa đơn tuyệt đối khi và chỉ khi nó là étale: điều này suy ra từ định nghĩa (V, §6, No. 3, p. 28, Định nghĩa 1) và từ tính tương đương của các tính c… 00FM
Mệnh đề 4 Cho K là một trường giao hoán và A là một đại số trên K. ↩ 1 00FN
Hệ quả Cho K là một trường giao hoán, cho A₁ và A₂ là các K-đại số, và cho M₁ là một A₁-môđun nửa đơn tuyệt đối còn M₂ là một A₂-môđun nửa đơn. Khi đó M₁⊗_KM₂ là một môđun nửa đơn trên và… 00RF
Mệnh đề 5 Các tính chất sau là tương đương: ↩ 7 00FO
Nhận xét 1 Cho e=∑ʳᵢ₌₁aᵢ⊗ a'ᵢ là một phần tử của B. Các điều kiện trong mục (ii) của Mệnh đề 5 được chuyển thành các công thức ↩ 1 00FP
Nhận xét 2 Cho K là một trường giao hoán, A là một đại số trên K, và M là một A-môđun. Nhóm End_K(M) được trang bị một cấu trúc song môđun (A, A) được xác định bởi ↩ 1 00FQ
Định lý 2 Cho K là một trường giao hoán và A là một đại số trên K. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 3 00RG
Nhận xét 3 Ta biết (VIII, p. 234, Hệ quả 1) rằng tích tenxơ của hai đại số nửa đơn tuyệt đối trên một trường giao hoán là nửa đơn tuyệt đối. Do đó, nếu đại số A là nửa đơn tuyệt đối, thì đại… 00FR
Mệnh đề 6 Cho K là một vành giao hoán và A là một K-đại số. Cho e=∑ʳᵢ₌₁aᵢ⊗ a'ᵢ là một phần tử của B = A⊗_KAᵒ thỏa mãn các điều kiện trong mục (ii) của Mệnh đề 5 của VIII, p. 236. Với mọi số… ↩ 2 00FS
Nhận xét 1 Các đồng cấu ∂ⁿ: Cⁿ(A,P)→ Cⁿ⁺¹(A,P) xác định một phức (C(A,P), ∂ ) của các K-môđun (X, §2, nᵒ1, p. 24). Do đó ánh xạ γₙ xác định một đồng luân từ phức này vào chính nó nối 0 với Id… 00SF
Bổ đề 5 Ta có quan hệ 00FT
Định lý 3 Cho K là một vành giao hoán, A là một đại số trên K, và P là một (A,A)-song môđun. Giả sử rằng (A⊗_KAᵒ)-môđun A là xạ ảnh. Khi đó ta có Hⁿ(A,P) = 0 với mọi số nguyên ngeqslant 1. ↩ 3 00FU
Hệ quả Mọi K-đạo hàm từ A vào P đều là nội. 00FV
Nhận xét 2 Các giả thiết của Định lý 3, đặc biệt, được thỏa mãn khi K là một trường và A là một đại số trên K nửa đơn tuyệt đối (VIII, p. 238, Định lý 2). 00FW
Nhận xét 3 Giả sử K-môđun A là xạ ảnh. Định lý 3 cũng có thể được chứng minh như sau. Phức (⨁_ngeqslant 0Bₙ, d) và đồng cấu ε : B₀→ A xác định một phân giải xạ ảnh của B-môđun A; do đó, với m… 00FX
Mệnh đề 7 Giả sử rằng (A⊗_KoverlineAᵒ)-môđun overlineA là xạ ảnh. ↩ 1 00FY
Hệ quả 1 (định lý của Wedderburn) Cho K là một trường giao hoán, A là một K-đại số, và 𝔯 là căn của A. Giả sử rằng K-đại số A/𝔯 là nửa đơn tuyệt đối. ↩ 3 00S8
Hệ quả 2 Cho A là một đại số giao hoán bậc hữu hạn trên một trường hoàn hảo K, và cho 𝔯 là căn của nó. Tồn tại một đại số con duy nhất S của A sao cho A = S⊕ 𝔯. Hơn nữa, S đẳng cấu với một… 00FZ
Nhận xét 1 Giả thiết rằng A/𝔯 là nửa đơn tuyệt đối là cốt yếu trong Hệ quả 1 (VIII, p. 246, Bài tập 4). 00G0
Nhận xét 2 Giả sử rằng A là một đại số Artin trên trường K. Nếu A giao hoán, thì ta có thể chứng minh (VIII, p. 180, Bài tập 9) rằng A đẳng cấu với một tích các đại số A₁× ⋯ × Aₙ sao cho Aᵢ/ℜ… 00G1

§ 14. Các đại số đơn tâm

Định nghĩa 1 Ta nói rằng một đại số A trên trường K là trung tâm nếu ánh xạ λ ↦ λ 1 là một song ánh từ K lên tâm của A. 00GE
Nhận xét 1 Cho A và B là các đại số trên K. Nếu A⊗_KB là một đại số đơn tâm, thì A và B cũng vậy (III, §4, No. 4, p. 468, Hệ quả của Mệnh đề 6 và VIII, p. 221, Mệnh đề 6). Ngược lại, nếu A và… ↩ 2 00GF
Nhận xét 2 Cho A là một đại số trên K và L là một mở rộng của trường K. Nếu đại số trên L A_(L) là đơn tâm, thì đại số trên K A là đơn tâm. Ngược lại, nếu một trong hai bậc [A : K] và [L : K]… ↩ 2 00GG
Nhận xét 3 Cho A và B là các đại số trên K tương đương Morita. Đại số A là đơn tâm khi và chỉ khi B là đơn tâm (VIII, p. 105, Mệnh đề 6; p. 111, Hệ quả; và p. 102, Hệ quả 1). 00GH
Nhận xét 4 Đặc biệt, nếu A là một đại số đơn tâm trên K và ngeqslant 1, thì Mₙ(A) là một đại số đơn tâm trên K (VIII, p. 102, Ví dụ 1). ↩ 1 00GI
Định lý 1 Cho A là một đại số trên K bậc hữu hạn. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 14 00GJ
Hệ quả 1 Cho A là một đại số đơn tâm bậc hữu hạn trên một trường đóng tách được K. Tồn tại một số nguyên ngeqslant 1 sao cho A đẳng cấu với đại số ma trận Mₙ(K). ↩ 1 00GK
Hệ quả 2 Cho A là một đại số đơn tâm bậc hữu hạn trên K (chẳng hạn, một trường bậc hữu hạn trên K có tâm là K). Tồn tại một số nguyên ngeqslant 1 sao cho [A : K] =n². 00GL
Nhận xét 5 Cho A là một đại số đơn tâm bậc hữu hạn trên K mà bậc thu gọn là một số nguyên tố ℓ. Khi đó hoặc A là một trường, hoặc A đẳng cấu với M_ℓ(K). Thật vậy, A đẳng cấu với một đại số dạ… 00GM
Bổ đề 1 Cho f và g là các đồng cấu từ B vào A. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 3 00GN
Bổ đề 2 Giả sử rằng B là một vành nửa đơn là một môđun hữu hạn sinh trên tâm Z của nó. Cho M và N là các song môđun (B,A). Giả sử rằng chúng có độ dài hữu hạn (điều này, đặc biệt, đúng khi… ↩ 3 00GO
Nhận xét Từ chứng minh của Bổ đề 2 suy ra rằng M và N là các (Z,A)-song môđun có độ dài hữu hạn. Do đó, nếu B và A là hai vành nửa đơn là các môđun sinh hữu hạn trên các tâm tương ứng Z(B)… 00GP
Định lý 2 Cho B là một vành nửa đơn và Z là tâm của nó; giả sử rằng B là một Z-môđun sinh hữu hạn. Cho A là một vành Artin phải, và f và g là các đồng cấu vành từ B vào A; ký hiệu f_Z và g_Z… ↩ 3 00GQ
Hệ quả Cho A và B là các đại số trên trường K. Giả sử rằng B là đơn tâm và có bậc hữu hạn, và rằng A là Artin phải. Cho f và g là các đồng cấu đại số trên K từ B vào A. Tồn tại một tự đẳn… 00GR
Định lý 3 (Skolem–Noether) Cho A và B là các đại số đơn trên K và Z(A) và Z(B) là các tâm của chúng. Giả sử rằng đại số B có bậc hữu hạn trên K và rằng đại số Z(A)⊗_KZ(B) là một trường (điều này, đặc biệt, x… ↩ 1 00S9
Hệ quả 1 Cho A là một đại số đơn tâm trên K, và L là một mở rộng của K có bậc hữu hạn. Nếu f và g là các đồng cấu đại số trên K từ L vào A, thì tồn tại một tự đẳng cấu trong θ của A sao cho… ↩ 1 00GS
Hệ quả 2 Cho A là một đại số đơn tâm trên K, và L là một đại số con của A là một trường. Mọi đồng cấu đại số trên K từ L vào A đều mở rộng thành một tự đẳng cấu trong của A. ↩ 1 00GT
Hệ quả 3 Cho D là một trường có bậc hữu hạn trên K và có tâm là K. Mọi phần tử của D đều đại số trên K. Cho x và y là các phần tử của D; tồn tại một phần tử a của D^* sao cho y=axa⁻¹ khi và… 00GU
Mệnh đề 1 Cho A là một đại số đơn tâm bậc hữu hạn trên K. Cho B là một đại số trên K, và cho f và g là các đồng cấu đại số từ B vào A. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 2 00GV
Định lý 4 Cho A là một vành nửa đơn, Z là tâm của nó, và u là một tự đẳng cấu của A. Giả sử rằng A là một Z-môđun sinh hữu hạn và ta có u(z) =z với mọi z trong Z. Khi đó u là một tự đẳng cấu… ↩ 2 00GW
Ví dụ Định lý 4 áp dụng được trong hai trường hợp riêng sau đây: 00RH
Mệnh đề 2 Cho L là một vành giao hoán và V là một L-môđun tự do có chiều m. Giả sử rằng mọi L-môđun M sao cho Mᵐ đẳng cấu với Lᵐ đều đẳng cấu với L. Khi đó mọi tự đẳng cấu của đại số trên L… 00GX
Định lý 5 Cho A là một đại số đơn tâm trên K, và B là một đại số con nửa đơn của A có bậc hữu hạn trên K. ↩ 6 00GY
Định lý 6 Cho A là một đại số đơn tâm trên K, B là một đại số con của A có bậc hữu hạn, và B' là hoán tập của nó trong A. ↩ 2 00GZ
Hệ quả Giả sử trường K là đóng đại số và A là một đại số đơn bậc hữu hạn trên K. Cho B là một đại số con đơn của A, và gọi B' là hoán tập của B trong A. Khi đó B' là một đại số đơn trên K… 00H0
Bổ đề 3 Cho A là một đại số trên K và L là một đại số con của A. ↩ 6 00H1
Mệnh đề 3 Cho A là một đại số đơn tâm trên K có bậc hữu hạn, và L là một đại số con giao hoán nửa đơn của A. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 10 00H2
Hệ quả Cho A là một đại số đơn tâm bậc hữu hạn trên K, và cho L là một đại số giao hoán trên K nửa đơn sao cho [A : K] bằng [L : K]². Cho f và g là các đồng cấu đơn ánh từ L vào A. Tồn tạ… 00H3
Bổ đề 4 Cho A là một đại số đơn tâm bậc hữu hạn trên K, khác K. Tồn tại một đại số con étale (V, §6, No. 3, p. 28, Định nghĩa 1) của A khác K. ↩ 1 00H4
Mệnh đề 4 Cho A là một đại số đơn tâm bậc hữu hạn trên K. Gọi L là một đại số con của A, và gọi L' là hoán tập của L trong A. ↩ 2 00H5
Hệ quả 1 Cho A là một đại số đơn tâm trên K bậc hữu hạn. Mọi đại số con giao hoán nửa đơn (tương ứng, étale) của A đều được chứa trong một đại số con giao hoán cực đại của A mà nửa đơn (tươ… ↩ 2 00H6
Hệ quả 2 Cho D là một trường bậc hữu hạn trên K có tâm là K. ↩ 6 00H7
Mệnh đề 5 Cho A là một đại số đơn tâm bậc hữu hạn trên K. Cho B là một đại số con nửa đơn của A, và gọi B' là hoán tập của B. 00H8
Mệnh đề 6 Cho L là đại số con chéo hóa được của End_D(V) liên kết với một phân tích thành tổng trực tiếp V =⊕_i∈ IVᵢ. ↩ 1 00H9
Mệnh đề 7 Cho L là một đại số giao hoán bậc hữu hạn trên K. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 1 00HA
Định lý 7 Cho A là một đại số đơn tâm trên K có bậc hữu hạn và L là một đại số con của A. Các tính chất sau là tương đương: 00HB

§ 15. Nhóm brauer

Mệnh đề 1 Tập hợp C_K, được trang bị luật hợp thành cho bởi (α , β )↦ cl(α ⊗_Kβ ), là một monoid giao hoán. Phần tử đơn vị của C_K là lớp ε của K-đại số K. Hơn nữa, nếu A và B là các K-đại s… 00HV
Bổ đề 1 Cho A là một K-đại số có bậc hữu hạn và D là một trường có bậc hữu hạn trên K. Ta có [A] = [D] trong M_K khi và chỉ khi tồn tại một số nguyên ngeqslant 1 sao cho A đẳng cấu với Mₙ(… ↩ 4 00HW
Mệnh đề 2 Tập hợp Br(K) là tập hợp các phần tử khả nghịch của M_K, trong đó nghịch đảo của một phần tử [A] của Br(K) là [Aᵒ]. Do đó, luật hợp thành trên monoide M_K trang bị cho Br(K) cấu tr… 00HX
Định nghĩa 1 Nhóm Abel Br(K) được gọi là nhóm Brauer của trường K. 00HY
Bổ đề 2 Cho I và J là các tập hợp hữu hạn, k là một vành giao hoán, và A và B là các đại số trên k. Ký hiệu bởi M_I(A) đại số trên k của các ma trận vuông kiểu (I,I) với các phần tử thuộc… ↩ 1 00HZ
Mệnh đề 3 Cho A và B là các đại số trên K đơn tâm bậc hữu hạn. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 2 00I0
Hệ quả Cho A và B là các đại số đơn tâm bậc hữu hạn trên K. Khi đó A và B đẳng cấu khi và chỉ khi chúng tương tự và có cùng bậc. 00I1
Mệnh đề 4 Cho K_K là tập hợp các lớp của các đại số trên K trung tâm bậc hữu hạn là các trường. Ánh xạ D↦ [D] từ K_K vào Br(K) là song ánh. 00I2
Mệnh đề 5 Cho A là một đại số đơn tâm trên K có bậc hữu hạn, và cho L là một mở rộng của K có bậc hữu hạn. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 4 00I3
Bổ đề 3 Cho A là một đại số đơn tâm trên K bậc hữu hạn, và cho L là một mở rộng của K bậc hữu hạn là một trường phân rã của A. Gọi V là một A_(L)-môđun đơn, sao cho cấu xạ tự nhiên φ : A_(… ↩ 2 00I4
Hệ quả 1 Cho A là một đại số đơn tâm trên K có bậc hữu hạn, và L là một mở rộng của K có bậc hữu hạn. Giả sử [A : K] = [L : K]². Khi đó L là một trường phân rã của A khi và chỉ khi A chứa m… 00I5
Hệ quả 2 Cho D là một trường có bậc hữu hạn trên K với tâm là K, và L là một mở rộng của K có bậc hữu hạn, là một trường phân rã của D. Bậc rút gọn của D chia hết cho [L : K]. ↩ 2 00I6

§ 16. Các mô tả khác của nhóm brauer

Bổ đề 1 Quan hệ 00I9
Ví dụ 1 Tích nửa trực tiếp ngoài (F×_τG, i, p) (I, §6, No. 1, p. 66, Mệnh đề 3) là một τ-mở rộng; ta ký hiệu nó bởi I_τ. Ta nói rằng một τ-mở rộng là nửa tầm thường nếu nó đẳng cấu với τ-m… 00IA
Ví dụ 2 Với i∈ 1,2, lấy một nhóm Gᵢ, một nhóm Abel Fᵢ, và một đồng cấu nhóm τᵢ từ Gᵢ đến nhóm tự đẳng cấu của Fᵢ. Ta ký hiệu bởi τ₁× τ₂: G₁× G₂→ Aut(F₁× F₂) đồng cấu được xác định bởi 00IB
Mệnh đề 1 Biểu đồ sau giao hoán: ↩ 1 00IC
Bổ đề 2 Cho F'₁ là một nhóm Abel, và cho w: F'₁→ F và τ₁: G'→ Aut(F'₁) là các đồng cấu nhóm sao cho ↩ 2 00ID
Hệ quả 1 Cho E₁ và E₂ là các mở rộng τ của G bởi F, và cho ψ là một cấu xạ của các mở rộng τ từ E₁ đến E₂. Ký hiệu bởi φ₁(resp. φ₂) đồng cấu chính tắc của u^*(E₁) (resp. u^*(E₂)). Khi đó tồ… ↩ 1 00IE
Hệ quả 2 Cho u': G''→ G' là một đồng cấu nhóm, và cho E là một mở rộng τ của G bởi F. Đặt τ ''=τ '∘ u', và ký hiệu φ (resp. φ ',φ '') là đồng cấu chính tắc liên kết với mở rộng τ ' u^*(E) (… ↩ 1 00IF
Ví dụ Cho H là một nhóm con của G và j: H→ G là đơn ánh chính tắc. Khi đó với mọi mở rộng τ E= (Γ , ι , π ), mở rộng τ ∘ j j^*(E) là đẳng cấu với (overset-1π(H), ι ', π '), trong đó ι '… 00RI
Mệnh đề 2 Trong ký hiệu ở trên, biểu đồ sau giao hoán: ↩ 4 00IG
Bổ đề 3 Cho G'₁ là một nhóm, và cho w: G→ G'₁ và τ₁: G'₁→ Aut(F') là các đồng cấu nhóm sao cho τ '=τ₁∘ w. Cho E₁'= (Γ '₁, ι '₁, π '₁) là một mở rộng τ₁ của G'₁ bởi F', và cho φ₁: Γ → Γ '₁… ↩ 1 00IH
Nhận xét Ký hiệu bởi Σ loài cấu trúc của các mở rộng τ ', và định nghĩa các ánh xạ α là các ánh xạ từ Γ đến một nhóm Γ ' nằm dưới một mở rộng τ ', là các đồng cấu nhóm và làm cho biểu đồ sa… 00II
Hệ quả 1 Cho E₁ và E₂ là các mở rộng τ của G bởi F, và cho ψ là một cấu xạ của các mở rộng τ từ E₁ đến E₂. Ký hiệu φ₁(resp. φ₂) là đồng cấu chính tắc của v_*(E₁) (resp. v_*(E₂)). Khi đó tồn… ↩ 1 00IJ
Hệ quả 2 Ta giữ ký hiệu của mệnh đề. Cho F'' là một nhóm Abel, và cho τ '': G→ Aut(F'') và v': F'→ F'' là các đồng cấu nhóm sao cho ↩ 1 00RJ
Ví dụ 1 Cho j:1 → F là đơn ánh chính tắc. Mở rộng nửa tầm thường I_τ là đẳng cấu với j_*((G, i, Id_G)), trong đó i:e → G là đơn ánh chính tắc. Cho c: F→ F là đồng cấu hằng f↦ 1, và cho E l… ↩ 1 00IK
Ví dụ 2 Cho E là một nhóm con của F ổn định dưới tác động của G. Kí hiệu F' là thương của F theo E, v: F→ F' là đồng cấu chính tắc, và τ ': G→ Aut(F') là tác động của G lên F' được xác địn… 00IL
Mệnh đề 3 Cho G và G' là các nhóm, và cho F và F' là các nhóm Abel. Cho τ : G→ Aut(F),τ ': G→ Aut(F'),u: G'→ G, và v: F→ F' là các đồng cấu nhóm sao cho ↩ 1 00IM
Nhận xét Cho E₁= (Γ₁, ι₁, π₁) và E₂= (Γ₂, ι₂, π₂) là các mở rộng τ của G bởi F. Gọi E₁E₂= (Γ , ι , π ) là tích của các mở rộng này. Theo ví dụ ở VIII, p. 289, phép dựng cho một đồng cấu nhó… 00IN
Mệnh đề 4 Tích của các mở rộng τ trang bị cho tập hợp Ex_τ(G,F) cấu trúc của một nhóm Abel. Phần tử đơn vị của nó là lớp của mở rộng nửa tầm thường I_τ. Phần tử nghịch đảo của lớp của một mở… 00IO
Mệnh đề 5 a) Cho G và G' là các nhóm, và cho F là một nhóm Abel. Cho τ : G→ Aut(F) và u: G'→ G là các đồng cấu nhóm. Ánh xạ u^*: Ex_τ(G,F)→ Ex_τ∘ u(G',F) là một đồng cấu nhóm. 00IP
Mệnh đề 6 Ánh xạ c_σ là một phần tử của nhóm Z²(G,F), và lớp của nó trong nhóm đối đồng điều H²(G,F) chỉ phụ thuộc vào lớp của mở rộng τ E. 00IQ
Định lý 1 Ánh xạ Θ là một đẳng cấu nhóm từ Ex_τ(G,F) đến H²(G,F). 00IR
Nhận xét Cho G là một nhóm, cho F và F' là các nhóm Abel, cho τ (resp. τ ') là một đồng cấu nhóm từ G đến nhóm tự đẳng cấu của F (resp. F'), và cho v: F→ F' là một đồng cấu nhóm sao cho 00RK
Mệnh đề 7 Theo ký hiệu ở trên, biểu đồ sau giao hoán: 00IS
Bổ đề 4 Nếu c: H× H→ F là một 2-cocycle của H với các giá trị trong F, thì widetildecₛ là một 2-cocycle của G với các giá trị trong F. 00IT
Bổ đề 5 Nếu c là một 2-đối biên, thì widetildecₛ cũng vậy. 00IU
Bổ đề 6 Cho c là một 2-đối chu trình của H nhận giá trị trong F. Ảnh của widetildecₛ trong nhóm H²(G,F) không phụ thuộc vào lựa chọn của tiết diện s. 00IV
Mệnh đề 8 Cho H là một nhóm con của G có chỉ số hữu hạn. Tự đồng cấu Corᴳ_H∘ Resᴳ_H của nhóm H²(G,F) trùng với phép nhân bởi chỉ số (G : H). ↩ 1 00IW
Bổ đề 7 a) Cho S là một tập con của G sao cho mọi phần tử của G có thể được viết duy nhất dưới dạng hs với h∈ H và s∈ S. Khi đó ánh xạ gửi f đến (f(s))_s∈ S là một đẳng cấu từ đại số K Coi… ↩ 3 00IX
Nhận xét 1 Cho G là một nhóm, H một nhóm con của G, và N một nhóm con của H. Cho E là một đại số (K, N). Cho α là một phần tử của F_H(G,F_N(H,E)). Ta có quan hệ 00IY
Bổ đề 8 a) Với mọi g∈ G,σ ∈ O, và 𝔪∈ σ, ta có ↩ 2 00RL
Bổ đề 9 Đồng cấu u là toàn ánh với hạt nhân 𝔞_σ. Ánh xạ suy ra từ u bằng cách chuyển qua thương là một đẳng cấu của các đại số (K,G) từ L_σ đến F_𝔪. ↩ 1 00IZ
Bổ đề 10 Cho L là một đại số (K,G) étale trên K. Ánh xạ ψ từ L_(Ω ) đến F(H,Ω ) được đặc trưng bởi quan hệ ↩ 1 00J0
Định lý 2 Cho G là một nhóm hữu hạn, và cho L là một đại số giao hoán trên K có bậc hữu hạn được trang bị một tác động của G cho bởi một đồng cấu đơn ánh λ từ G đến Aut_K(L). Khi đó các tính… ↩ 9 00J1
Nhận xét 2 Trong Định lý 2, ta có thể thay giả thiết Ω đóng đại số bằng giả thiết Ω đóng tách được. Thật vậy, nếu L là étale, thì ảnh của mọi đồng cấu đại số trên K từ L vào Ω là một mở rộng… 00J2
Nhận xét 3 Định lý cơ sở chuẩn (V, §10, No. 9, p. 73, Định lý 6) là một trường hợp riêng của hàm ý (i)⇒(iv) trong Định lý 2. 00J3
Định nghĩa 1 Cho G là một nhóm hữu hạn, và L là một đại số giao hoán khác không có bậc hữu hạn trên K được trang bị cấu trúc của một (K,G)-đại số, trong đó tác động của G được cho bởi một đồng… 00J4
Nhận xét 4 Giả sử L là một mở rộng của K được trang bị một tác động λ của G. Khi đó L là một đại số Galois trên K khi và chỉ khi L là một mở rộng Galois của K và λ là một đẳng cấu từ G lên nh… 00J5
Nhận xét 5 Giả sử nhóm G là Abel. Nếu G tác động trung thành và bắc cầu trên một tập hợp X, thì nhóm ổn định của mọi điểm của X được rút gọn thành phần tử đơn vị (vì các nhóm ổn định của các… 00J6
Nhận xét 6 Theo V, §10, No. 1, p. 75, Bổ đề 5; V, §10, No. 1, p. 76, Mệnh đề 12; và VIII, p. 137, Mệnh đề 3, một đại số Galois là giao hoán và nửa đơn. ↩ 1 00J7
Ví dụ 1 Cho n là một số nguyên dương dương ngặt, nguyên tố cùng nhau với số mũ đặc số của K. Giả sử nhóm μₙ gồm các căn đơn vị thứ n trong K có cấp n. Khi đó với mọi ước d của n, nhóm μ_d… 00J8
Ví dụ 2 Bây giờ giả sử rằng trường K có đặc số pnot= 0. Cho c là một phần tử của K. Đa thức f= Xᵖ-X-c nguyên tố cùng nhau với đạo hàm f'=-1 của nó, nên đại số L = K[X]/(f) là étale (V, §7… 00J9
Mệnh đề 9 Cho G là một nhóm hữu hạn, H là một nhóm con của G, và E là một đại số Galois trên trường K với nhóm H. Khi đó đại số (K,G) Coindᴳ_H(E) thu được từ E bằng đồng quy nạp từ H đến G l… 00JA
Mệnh đề 10 Cho G là một nhóm hữu hạn. Cho L là một đại số Galois trên trường K với nhóm G, và cho K' là một mở rộng của K. Khi đó (K',G)-đại số L_(K') là một đại số Galois trên K'. ↩ 1 00JB
Mệnh đề 11 Cho G₁ và G₂ là các nhóm. Cho L₁ và L₂ là các đại số Galois trên K với các tác động tương ứng λ₁: G₁→ Aut_K(L₁) và λ₂: G₂→ Aut_K(L₂). Đặt L = L₁⊗_KL₂,G = G₁× G₂, và λ (g₁, g₂) =λ₁(… ↩ 1 00JC
Bổ đề 11 Cho G₁ và G₂ là các nhóm, và cho W₁ và W₂ là các K-không gian vectơ. Ta trang bị cho W₁(resp. W₂) một tác động của G₁(resp. G₂) được cho bởi một đồng cấu nhóm ρ₁: G₁→ Aut_K(W₁) (re… ↩ 1 00JD
Nhận xét Cho L là một mở rộng Galois của trường K có bậc hữu hạn, và cho G là nhóm Galois của nó; ta ký hiệu ánh xạ đồng nhất trên G bởi λ. Khi đó L được trang bị λ là một đại số Galois trê… 00JE
Mệnh đề 12 Cho B là một K-đại số, u': L→ B là một đồng cấu đại số trên K, và v': Γ → B^* là một đồng cấu nhóm. Ta giả sử các hệ thức sau được thỏa mãn ↩ 2 00JF
Nhận xét Cho σ : G→ Γ là một tiết diện của ánh xạ π. Đặt ε_g=v(σ (g)) với mọi g thuộc G, và ký hiệu c_σ là 2-cocycle liên kết với σ (VIII, p. 296). Đặc biệt, ta có 00JG
Mệnh đề 13 Tồn tại duy nhất một đẳng cấu của các K'-đại số φ từ A[E; L]_(K') vào A[E'; L'] thỏa mãn các hệ thức 00JH
Định lý 3 Cho E= (Γ , ι , π ) là một mở rộng τ của G bởi L^*. Đại số A[E; L] là đơn tâm và có bậc n² trên K. Hơn nữa, đồng cấu chính tắc u từ L vào A[E; L] là một đẳng cấu từ L vào một đại s… ↩ 1 00JI
Bổ đề 12 a) Không tồn tại iđêan nào của L, ngoài 0 và L, bất biến dưới G. 00JJ
Định lý 4 Cho A là một đại số đơn tâm bậc hữu hạn trên K, và cho L là một đại số con giao hoán cực đại của A. Khi đó tồn tại một τ-mở rộng E của G bởi L^* sao cho A đẳng cấu với A[E; L]. ↩ 1 00JK
Định nghĩa 2 Cho S là tập hợp các iđêan cực đại của L. Ta định nghĩa 00JL
Định lý 5 Tồn tại một đẳng cấu nhóm 00JM
Nhận xét 1 Nếu L là một đại số étale trên K và G là nhóm tự đẳng cấu của L, thì không phải lúc nào đại số A[E; L] cũng là đơn tâm (chẳng hạn, ta có thể lấy L = Kⁿ và G =𝔖ₙ). 00JN
Nhận xét 2 Ta có thể tính một 2-cocycle c liên kết với một đại số A được tách bởi một mở rộng Galois hữu hạn L với nhóm G như sau. Trước hết, tồn tại một đồng cấu K φ : A→ Mₘ(L), trong đó [A… 00JO
Hệ quả Ánh xạ Φ_L/K= Θ ∘ Ψ⁻¹ xác định một đẳng cấu nhóm từ Br(L/K) vào H²(G,L^*). 00JP
Mệnh đề 14 Biểu đồ sau giao hoán: ↩ 1 00JQ
Định lý 6 Cho K là một trường giao hoán, và cho A là một đại số đơn tâm A có bậc hữu hạn trên K. Cho L là một mở rộng tách được của K có bậc hữu hạn, là một trường phân rã của đại số A. Khi… ↩ 2 00JR
Hệ quả 1 Số mũ của một đại số đơn tâm có bậc hữu hạn trên một trường giao hoán chia hết chỉ số của nó. 00JS
Hệ quả 2 Cho K là một trường giao hoán, và cho A là một đại số đơn tâm có bậc hữu hạn trên K. Cho p là một số nguyên tố. Nếu p chia hết chỉ số của A, thì nó chia hết số mũ của A. ↩ 1 00JT
Hệ quả 3 Cho p là một số nguyên tố và K là một trường hoàn hảo có đặc số p. Cho A là một đại số đơn tâm có bậc hữu hạn trên K. Khi đó p không chia hết cho chỉ số của A. ↩ 1 00JU
Nhận xét Bằng cách xét các tích tenxơ của các đại số quaternion, có thể xây dựng các trường có tâm K, số mũ 2 và chỉ số lớn tùy ý (xem VIII, p. 371, Bài tập 7 và 8). 00JV

§ 17. Các chuẩn và vết rút gọn

Mệnh đề 1 Cho L là một vành giao hoán, M là một L-môđun tự do có hạng hữu hạn m geqslant 1, và u là một tự đồng cấu của M. Tồn tại một tự đồng cấu duy nhất tildeu của M thỏa mãn quan hệ ↩ 2 00KD
Bổ đề 1 Cho p là một số nguyên sao cho 0 leqslant p leqslant m. Với mọi w thuộc ∧ᵖ(M), gọi hₚ(w) là ánh xạ tuyến tính w' ↦ w ∧ w' từ ∧ᵐ⁻ᵖ(M) vào ∧ᵐ(M). Ánh xạ tuyến tính hₚ : w ↦ hₚ(w) từ… 00KE
Nhận xét 1 Tự đồng cấu widetildeu của M trùng với cái mà chúng tôi đã gọi là đối chuyển vị của u trong III, §8, No. 6, p. 532. 00KF
Nhận xét 2 Từ các công thức (1), (2), (4), và (6), ta suy ra quan hệ χᵤ(u) = 0 và do đó có một chứng minh khác của định lý Cayley–Hamilton (III, §8, No. 11, p. 541). ↩ 1 00KG
Nhận xét 3 Vì ánh xạ cᵣ từ End(M) vào L là một ánh xạ đa thức thuần nhất bậc r với 0leqslant rleqslant m-1, suy ra từ công thức (6) rằng ánh xạ u↦ widetildeu từ End(M) vào End(M) là một ánh x… 00KH
Mệnh đề 2 Cho a là một phần tử của A và Pc(a; X) là đa thức đặc trưng của nó. Tồn tại một đa thức đơn khởi duy nhất P trong K[X] sao cho ta có Pc(a; X) = P(X)ⁿ. 00KI
Bổ đề 2 Cho P và Q là các đa thức đơn khởi trong K[X] và s là một số nguyên dương. Nếu Pˢ= Qˢ, thì ta có P = Q. ↩ 5 00KJ
Định nghĩa 1 Cho a là một phần tử của đại số A. Đa thức đặc trưng rút gọn của a (đối với A) là đa thức đơn khởi duy nhất trong K[X], ký hiệu là Pcrd_A/K(a; X), thỏa mãn quan hệ ↩ 1 00RM
Định nghĩa 2 Ta gọi Trd_A/K(a) là vết rút gọn của A và Nrd_A/K(a) là chuẩn rút gọn của nó (đối với đại số trên K A). ↩ 2 00KK
Mệnh đề 3 Một phần tử a của A là khả nghịch khi và chỉ khi chuẩn rút gọn của nó khác không. Đặc biệt, A là một trường khi và chỉ khi ta có Nrd_A/K(a)not= 0 với mọi phần tử khác không a của A… ↩ 2 00KL
Nhận xét Cho L là trường K(X) các phân thức hữu tỉ theo một biến X. Đa thức đặc trưng rút gọn của một phần tử a của A đơn giản là chuẩn rút gọn của phần tử X⊗ 1-1⊗ a của đại số trên L A_(L)… 00KM
Ví dụ 1 Theo Định lý 1 của VIII, p. 120, tồn tại một số nguyên rgeqslant 1 và một trường D sao cho A đẳng cấu với Mᵣ(D). Đặt d là bậc thu gọn của D trên K; ta có r=n/d. Cho M là một A-môđu… 00RN
Ví dụ 2 Xét trường hợp riêng khi A là đại số End_K(V) các tự đồng cấu của một không gian vectơ hữu hạn chiều V trên K. Lấy M là A-môđun đơn V, ta thu được các hệ thức ↩ 1 00RO
Mệnh đề 4 Cho L là một mở rộng của K và a là một phần tử của đại số đơn tâm A. Ta có các hệ thức ↩ 2 00KN
Hệ quả 1 Cho L là một mở rộng của K. Cho V là một không gian vectơ chiều n trên L và θ là một đồng cấu đại số trên K từ A vào End_L(V). Với mọi phần tử a của A, ta có ↩ 4 00KO
Hệ quả 2 Cho a và a' là các phần tử của A và λ là một phần tử của K. Ta có các hệ thức 00KP
Hệ quả 3 Cho Aᵒ là đại số đối của A. Với mọi a trong A, ta có 00RP
Mệnh đề 5 Với mọi x trong A, đặt tₓ là dạng tuyến tính y↦ Trd_A/K(xy) trên A. ↩ 2 00KQ
Hệ quả Không gian con tuyến tính của A sinh bởi các phần tử dạng xy-yx, trong đó x và y chạy qua A, là một siêu phẳng, hạt nhân của dạng tuyến tính khác không Trd_A/K. 00KR
Nhận xét Theo công thức (23) của VIII, p. 340, ta có 00KS
Bổ đề 3 Cho L là một mở rộng của K, và cho I là một tập hợp và T= (Tᵢ)_i∈ I là một họ các biến. Ta có K(T)∩ L[T] = K[T]. ↩ 1 00KT
Mệnh đề 6 Với mọi số nguyên r sao cho 0leqslant rleqslant n, ánh xạ bᵣ từ A vào K là một ánh xạ đa thức thuần nhất bậc r. Đặc biệt, chuẩn rút gọn là một ánh xạ đa thức thuần nhất bậc n từ A… ↩ 2 00KU
Bổ đề 4 Cho u là phần tử ∑_i∈ ITᵢ⊗ eᵢ của đại số đơn tâm trên K(T) A_(K(T)). Gọi P là đa thức đặc trưng rút gọn của u. Khi đó P thuộc vành K[T][X]; được xem như một phần tử của vành K[T,X]… ↩ 1 00KV
Bổ đề 5 Với mọi mở rộng K' của K và mọi phần tử (tᵢ)_i∈ I của K'ᴵ, ta có ↩ 1 00KW
Nhận xét Cho K' là một đại số giao hoán trên K. Mọi phần tử t của A_(K') có thể viết thành ∑_i∈ Itᵢ⊗ eᵢ, trong đó (tᵢ)∈ K'ᴵ. Từ chứng minh của Bổ đề 5 suy ra rằng đa thức đặc trưng Pc_A_(K'… 00KX
Mệnh đề 7 Cho L là một đại số con nửa đơn giao hoán cực đại của A và a là một phần tử của L. Ta có ↩ 1 00KY
Hệ quả Cho D là một trường bậc hữu hạn trên K có tâm là K. Cho a là một phần tử của K và L là một trường con giao hoán cực đại của D chứa a. Ta có 00KZ
Mệnh đề 8 Cho B là một đại số con đơn của A. Ký hiệu tâm của B là L và hoán tập của B trong A là B'. Khi đó B' là một đại số đơn tâm trên trường L; ta ký hiệu bậc thu gọn của nó là r. Với mọ… ↩ 2 00L0
Bổ đề 6 Cho K' là một đại số giao hoán bậc hữu hạn d trên K và 00L1
Mệnh đề 9 Cho V là một không gian vectơ phải hữu hạn chiều trên trường D. Cho E là đại số End_D(V) trên trường K; nó là đơn tâm và có bậc hữu hạn. Với mọi phần tử khả nghịch u của E, ta có 00L2
Nhận xét Ta có Nrd_E/K(u) = 0 nếu phần tử u của E không khả nghịch (VIII, p. 340, Mệnh đề 3). 00L3

§ 18. Đại số đơn trên một trường hữu hạn

Định lý 1 (Chevalley–Warning) Cho K là một trường giao hoán hữu hạn có đặc số p. Cho n là một số nguyên geqslant 1 và (fᵢ)_i∈ I là một họ hữu hạn các phần tử khác không của K[X₁, . . . ,Xₙ]. Ký hiệu bởi Z tập h… ↩ 2 00SA
Bổ đề 1 Cho L là một trường, G là một nhóm hữu hạn, và χ là một đồng cấu không tầm thường từ G vào nhóm nhân L^*. Ta có ∑_x∈ Gχ (x) = 0. ↩ 1 00LB
Bổ đề 2 Gọi q là lực lượng của K. Với mọi số nguyên mgeqslant 0, đặt Sₘ= ∑_x∈ Kxᵐ. Ta có Sₘ=-1 nếu m là một bội khác không của q-1 và Sₘ= 0 trong mọi trường hợp khác. 00LC
Hệ quả Cho V là một không gian vectơ có số chiều hữu hạn n trên K và I là một tập hợp hữu hạn, và với mỗi i ∈ I, cho Fᵢ : V → K là một ánh xạ đa thức thuần nhất có bậc dᵢ > 0. Nếu ta có ∑… 00LD
Định lý 2 (Wedderburn) Mọi trường hữu hạn đều giao hoán. ↩ 4 00SB
Hệ quả 1 Mọi vành đơn hữu hạn đều đẳng cấu với một vành ma trận Mₙ(L), trong đó n là một số nguyên dương ngặt và L là một trường giao hoán hữu hạn. 00LE
Hệ quả 2 Cho K là một trường giao hoán hữu hạn. Mọi đại số đơn trung tâm trên K đều đẳng cấu với một đại số ma trận Mₙ(K), trong đó n là một số nguyên dương ngặt. ↩ 2 00LF
Nhận xét 1 Đây là một chứng minh khác của Định lý 2. Cho D là một trường hữu hạn, K là tâm của nó, và L là một trường con giao hoán cực đại của D. Cho x là một phần tử của D^*. Nó thuộc về mộ… 00LG
Nhận xét 2 Cho L là một trường giao hoán có tính chất sau: (C₁) Cho V là một không gian vectơ có số chiều hữu hạn n trên trường L, và cho d sao cho 0< d < n. Với mọi ánh xạ đa thức thuần nhất… ↩ 1 00LH
Nhận xét 3 Giả sử rằng trường K thỏa mãn điều kiện sau: 00LI

§ 19. Đại số quaternion

Mệnh đề 1 Đa thức đặc trưng của một phần tử q của F bằng (X²-T_F(q)X + N_F(q))². ↩ 1 00LQ
Nhận xét 1 Giả sử đặc số của K khác 2, và đặt i'= 2i-β. Khi đó (1, i') là một cơ sở của E trên K, và ta có i'²= 4α +β². Suy ra E đẳng cấu với đại số bậc hai kiểu (4α +β²,0) và F đẳng cấu với… ↩ 1 00LR
Nhận xét 2 Đại số quaternion kiểu (α ,0, γ ) đẳng cấu với đại số quaternion kiểu (γ ,0, α ) (III, §2, No. 5, p. 445). Nó cũng đẳng cấu với đại số quaternion kiểu (α a²,0, γ c²) với mọi cặp (a… ↩ 1 00LS
Nhận xét 3 Cho q là một phần tử của F. Khi đó q là lũy linh khi và chỉ khi đa thức đặc trưng của nó bằng X⁴, tức là T_F(q) = N_F(q) = 0; khi đó ta có q²= 0. ↩ 2 00LT
Ví dụ Đại số ma trận M₂(K) đẳng cấu với đại số quaternion kiểu (0,1,1). Thật vậy, xét đại số bậc hai E = K× K (kiểu (0,1)) và đại số quaternion F = E + Ej, là mở rộng Cayley của E xác đị… 00LU
Mệnh đề 2 a) Giả sử rằng trường K có đặc số khác 2. Nếu γ hoặc 4α +β² là khác không, thì tâm của F bằng K; ngược lại, nó có chiều 2 và được sinh bởi 1 và ij-ji. ↩ 3 00LV
Mệnh đề 3 Cho α ,β ,γ là các phần tử của K, và cho f là một đại số quaternion kiểu (α , β , γ ). Ký hiệu vết Cayley và chuẩn Cayley của nó lần lượt là T_F và N_F. Các tính chất sau là tương… 00LW
Mệnh đề 4 Cho A là một đại số đơn tâm có bậc 4 trên K. Kí hiệu đặc số của K là p. ↩ 2 00LX
Hệ quả 1 Cho A là một K-đại số đơn tâm có bậc hữu hạn >1 mà mọi phần tử của nó đều đại số có bậc leqslant 2 trên K. Khi đó A đẳng cấu với một đại số quaternion trên K. ↩ 1 00LY
Hệ quả 2 Cho (E, s) là một đại số Cayley trên K sao cho đại số trên K E là đơn tâm có bậc hữu hạn >1 trên K. Khi đó E đẳng cấu với một đại số quaternion trên K. 00LZ
Mệnh đề 5 Các tính chất sau là tương đương: 00M0
Nhận xét Giả sử rằng đại số quaternion F là một trường. Từ đẳng thức j²=γ suy ra rằng ta có γ not= 0. Theo Mệnh đề 2 của VIII, p. 363, tâm của F bằng K trừ khi K có đặc số 2 và β bằng không… 00RQ
Định lý 1 Cho D là một đại số trên R có bậc hữu hạn và là một trường. Khi đó D đẳng cấu với R, C, hoặc H. ↩ 1 00M1
Nhận xét 1 Cho O là đại số octonion kiểu (-1,0,-1,-1) trên R (III, Phụ lục, No. 3, p. 615). Cho D là một đại số thay thế Cayley trên R sao cho mọi phần tử khác không của D đều có nghịch đảo… ↩ 1 00M2
Nhận xét 2 Điều trên áp dụng cho trường R các số thực. Mọi R-đại số có bậc hữu hạn là một trường đều đẳng cấu với R,C, hoặc H. 00M3
Nhận xét 3 Cho A là một đại số có chuẩn trên trường R. Giả sử rằng A là một trường. Khi đó A đẳng cấu với R,C, hoặc H (“định lý Gelfand–Mazur”) (cf. Comm. Alg., VI, §6, No. 4, p. 407, Định lý… 00M4

§ 20. Biểu diễn tuyến tính của đại số

Định nghĩa 1 Cho M là một K-môđun. Một biểu diễn tuyến tính của đại số A trong M là một đồng cấu K từ A vào đại số End_K(M). ↩ 1 00MD
Mệnh đề 1 a) Ánh xạ φ cảm sinh một song ánh từ tập hợp các iđêan trái (tương ứng phải, hai phía) của A có đối chiều hữu hạn đến tập hợp các môđun con phải A (tương ứng các môđun con trái A… ↩ 1 00ME
Mệnh đề 2 Đối ngẫu hạn chế ↩ 1 00MF
Nhận xét 1 Giả sử M hữu hạn chiều trên K. Cho (e₁, . . . , eₙ) là một cơ sở của V, và cho (e^*₁, . . . , e^*ₙ) là cơ sở đối ngẫu của nó. Ký hiệu (πᵢⱼ(a)) là ma trận của π (a) theo cơ sở (e₁… 00MG
Nhận xét 2 Cho E là một A-môđun, và cho E' là một môđun con của E. Theo hệ quả của Định lý 5 của II, §7, No. 5, p. 299, ta có Θ_E'(A)⊂ Θ_E(A) và Θ_E/E'(A)⊂ Θ_E(A). ↩ 1 00MH
Bổ đề 1 Ánh xạ c''_E là song ánh. Nếu E hữu hạn chiều, thì c'_E cũng vậy. 00MI
Mệnh đề 2 Cho E là một A-môđun trái. ↩ 4 00MJ
Nhận xét 3 Cho E là một A-môđun con trái của A^*. Gọi ε là dạng tuyến tính y↦ y(1) trên E. Với mọi x trong E, ta có x=c_E(x, ε ), nên E là một A-môđun con của Θ_E(A). ↩ 1 00MK
Mệnh đề 3 Cho (V, π ) là một biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của đại số A. Hạt nhân 𝔞 của π là một iđêan hai phía của A có đối chiều hữu hạn, và Θ_π(A) là trực giao của 𝔞 trong A^*. Chuyể… ↩ 1 00ML
Hệ quả Đối ngẫu hạn chế Θ(A) của A là tập hợp các hệ số của các biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của A. 00MM
Định lý 1 a) Tập Θˢˢ(A) gồm các hệ số của các biểu diễn nửa đơn hữu hạn chiều của A. Nó là một (A,A)-môđun con song của A^*. ↩ 3 00MN
Hệ quả 1 Mọi A-môđun đơn có số chiều hữu hạn trên K đều đẳng cấu với một A-môđun con của Θ(A). 00MO
Hệ quả 2 Nếu hai A-môđun đơn có số chiều hữu hạn trên K có một hệ số chung khác không, thì chúng đẳng cấu. 00MP
Mệnh đề 4 a) Tồn tại một đồng cấu nhóm λ_S từ S⊗_DS^* đến Θ_S(A), được đặc trưng bởi ↩ 1 00MQ
Nhận xét Khi trường K đóng đại số, ta có D = K theo Định lý 1 của VIII, p. 47, và λ_S là một đẳng cấu của (A, A)-bimodules từ S⊗_KS^* đến Θ_S(A). 00MR
Mệnh đề 5 Cho S là một A-môđun đơn có số chiều hữu hạn trên K, cho D là trường đối của hoán tập của S, và cho Z là tâm của D. Các tính chất sau là tương đương: 00MS
Hệ quả Nếu trường K hoàn hảo, thì các tính chất (i) đến (iii) đều đúng. 00MT
Mệnh đề 6 Cho S₀ là tập hợp các lớp của các A-môđun đơn hữu hạn chiều trên K có vết khác không. Họ các dạng tuyến tính (Tr_S)_S∈S₀ là tự do trên K. ↩ 2 00MU
Nhận xét Cho S_K là tập các lớp của các A-môđun đơn có số chiều hữu hạn trên K. Mệnh đề 6 cũng suy ra từ sự kiện rằng tổng của các Θ_S(A), với S chạy qua S_K, là trực tiếp. 00RR
Hệ quả a) Giả sử trường K có đặc số 0. Các đồng cấu θ và θ_K là đơn ánh. Hai A-môđun nửa đơn có số chiều hữu hạn trên K là đẳng cấu khi và chỉ khi các ký tự của chúng bằng nhau. ↩ 2 00MV
Định lý 2 Cho A là một tập con sinh của không gian vectơ trên K A. Đồng cấu χ_A: R_K(A)→ (1 + TK[[T]])^A được xác định bởi quan hệ χ_A(x) = (χₐ(x))_a∈A là đơn ánh. ↩ 1 00MW
Hệ quả 1 Cho E và F là các A-môđun nửa đơn có chiều hữu hạn trên K, và cho A là một tập con sinh của không gian vectơ trên K A. Giả sử rằng với mọi a ∈ A, các đa thức đặc trưng của các tự đ… ↩ 3 00MX
Hệ quả 2 Cho A là một đại số đơn tâm có bậc hữu hạn trên K. Cho B là một K-đại số nửa đơn, cho f và g là các đồng cấu đại số từ B đến A, và cho B là một tập con sinh của không gian vectơ tr… 00MY
Mệnh đề 7 Một A-môđun con trái của A^* có số chiều hữu hạn trên K được chứa trong Θ_C(A) khi và chỉ khi nó có kiểu C. ↩ 1 00MZ
Hệ quả Cho E là một A-môđun có số chiều hữu hạn trên K. Khi đó E có kiểu C khi và chỉ khi Θ_E(A) được chứa trong Θ_C(A). 00N0
Mệnh đề 8 Trên không gian vectơ Θ(A), tồn tại một cấu trúc cođại số duy nhất (III, §11, No. 1, p. 574) sao cho ánh xạ η : A→ Θ (A)^* là một đồng cấu từ A đến đại số đối ngẫu (III, §11, No. 2… 00N1
Bổ đề 2 Cho c : Θ(A) → Θ(A) ⊗ Θ(A) là một ánh xạ K-tuyến tính. Khi đó η là một đồng cấu từ A đến đại số đối ngẫu của cấu trúc cođại số (Θ(A), c) khi và chỉ khi biểu đồ sau giao hoán: ↩ 1 00RS
Nhận xét 1 Cho (V, π) là một biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của đại số A. Hãy đưa vào một cơ sở (e₁, …, eₙ) của V và cơ sở đối ngẫu (e₁^*, …, eₙ^*) của V^*. Theo chứng minh của Bổ đề 2, t… 00N2
Định nghĩa 3 Cho C là một đối đại số trên trường K và c là đồng tích của nó. Một đối đại số con của C là bất kỳ không gian con tuyến tính C₁ của C sao cho c(C₁) được chứa trong ảnh chính tắc củ… 00N3
Mệnh đề 9 Cho Θ là một không gian con tuyến tính của Θ(A). Các tính chất sau là tương đương: ↩ 1 00N4
Nhận xét 2 Cho Θ là một đối đại số con của Θ(A). Ta trang bị cho K tôpô rời rạc và đại số A tôpô thô nhất sao cho các ánh xạ f: A→ K với f chạy qua Θ là liên tục (Gen. Top., I, §2, No. 2, p… 00N5

§ 21. Biểu diễn tuyến tính của các nhóm hữu hạn

Định nghĩa 1 Cho M là một K-môđun. Một biểu diễn tuyến tính của G trong M là một đồng cấu nhóm từ G vào nhóm tuyến tính GL(M) (II, §1, No. 2, p. 195). 00NC
Mệnh đề 1 Giả sử rằng K là một trường giao hoán. Cho π và π ' là các biểu diễn K-tuyến tính nửa đơn hữu hạn chiều của G. 00ND
Ví dụ 1 Biểu diễn đơn vị hay tầm thường của G là biểu diễn (K, ε ), trong đó ε (g) = Id_K với mọi g∈ G. Đặc trưng của nó là hàm hằng có giá trị 1. ↩ 1 00NE
Ví dụ 2 Biểu diễn chính quy (trái) của G là biểu diễn γ của G trong K[G] được định nghĩa bởi γ (g)(x) =gx với g∈ G và x∈ K[G]. Nó tương ứng với biểu diễn chính quy trái của đại số K[G] (VI… 00NF
Ví dụ 3 Cho một biểu diễn tuyến tính (M, π ) của G, biểu diễn đối ngẫu hay đối ngẫu π^∨ của π là biểu diễn của G trong K-môđun đối ngẫu với M được định nghĩa bởi quan hệ π^∨(g) =ᵗπ (g⁻¹) v… 00NG
Ví dụ 4 Cho (M, π ) và (M', π ') là các biểu diễn tuyến tính của G. Trong Ví dụ 1 của VIII, p. 198, ta đã định nghĩa một cấu trúc K[G]-môđun trên M⊗_KM'. Biểu diễn tuyến tính tương ứng đượ… 00NH
Ví dụ 5 Giả sử G là tích G' × G'' của hai nhóm. Ánh xạ K-tuyến tính từ K[G'] ⊗_K K[G''] vào K[G] gửi g' ⊗ g'' vào (g', g'') với g' ∈ G' và g'' ∈ G'' là một đẳng cấu đại số. Cho (M', π') là… ↩ 1 00NI
Ví dụ 6 Cho (V, π) là một biểu diễn tuyến tính của G sao cho V là một K-môđun tự do hữu hạn chiều. Ta định nghĩa một biểu diễn ρ của G × G trong End_K(V) bởi công thức ρ(g, g')(u) = π(g')… ↩ 1 00NJ
Định lý 1 Giả sử nhóm G là hữu hạn. Cho M là một K[G]-môđun, và cho N là một K[G]-môđun con của M. Giả sử N là một nhân tử trực tiếp của K-môđun M và |G| là khả nghịch trong K. Khi đó N là m… ↩ 3 00NK
Hệ quả 1 (Maschke) Giả sử nhóm G là hữu hạn và K là một trường giao hoán. Đại số K[G] là nửa đơn khi và chỉ khi phần tử |G| của trường K là khác không. ↩ 2 00SC
Hệ quả 2 Giả sử nhóm G là hữu hạn và |G| là khả nghịch trong K. Một dãy khớp của các môđun K[G] tách khi và chỉ khi nó tách như một dãy khớp của các môđun K. ↩ 1 00NL
Hệ quả 3 Giả sử nhóm G là hữu hạn và |G| là khả nghịch trong K. Một môđun K[G] là xạ ảnh khi và chỉ khi nó là xạ ảnh như một môđun K. 00NM
Hệ quả 4 a) Giả sử nhóm G là hữu hạn và K là một trường giao hoán có đặc số 0. Hai biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của G là đẳng cấu khi và chỉ khi chúng có cùng đặc trưng. 00NN
Hệ quả 5 Giả sử nhóm G là hữu hạn và K là một trường giao hoán trong đó |G| not= 0. Cho π và π ' là các biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của G. Khi đó π và π ' đẳng cấu khi và chỉ khi với… ↩ 1 00NO
Mệnh đề 2 Cho H là một nhóm con của G, và cho (M, σ ) là một biểu diễn tuyến tính của H. Đồng cấu chính tắc ι : Indᴳ_H(σ )→ Coindᴳ_H(σ ) là đơn ánh. Nếu nhóm con H có chỉ số hữu hạn trong G… 00NP
Mệnh đề 3 Cho H là một nhóm con của G có chỉ số hữu hạn. Cho (M, σ ) là một biểu diễn tuyến tính của H. Giả sử rằng M là một K-môđun tự do hữu hạn chiều. Ký hiệu (V, π ) là biểu diễn của G c… ↩ 1 00NQ
Nhận xét Cho (V, π ) là một biểu diễn tuyến tính của G. Theo định lý Maschke, K[G]-môđun V là nửa đơn. Với mọi λ ∈ widehatG, ký hiệu V^λ là thành phần đẳng kiểu kiểu λ của K[G]-môđun V; ta… 00NR
Nhận xét Chúng ta đồng nhất đại số End_K(V_λ) với đại số ma trận M_d_λ(K) qua cơ sở (e_λ ,j) của V_λ. Ánh xạ F⁻¹ là một đẳng cấu từ đại số ∏_λM_d_λ(K) đến đại số K[G]. Với μ∈ widehatG, ký h… 00NS
Mệnh đề 4 (Quan hệ trực giao đối với các ký tự) Với λ và μ trong widehatG, ta có ⟨ χ_λ, χ_μ⟩_G=δ_λ μ. ↩ 3 00SG
Hệ quả Cho π và π ' là các biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của G. Trong trường K, ta có 00NT
Mệnh đề 5 Họ (χ_λ)_λ∈widehatG là một cơ sở của không gian vectơ các hàm trung tâm. Số các lớp của các biểu diễn tuyến tính đơn của G bằng số các lớp liên hợp của G. ↩ 4 00NU
Mệnh đề 6 Cho f là một hàm trung tâm trên G và u là một hàm trung tâm trên H. Ta có ↩ 1 00NV
Mệnh đề 7 Cho f là một ánh xạ từ G vào K. Các khẳng định sau là tương đương: 00NW
Nhận xét Cho n là lực lượng của nhóm G, và μₙ(K) là nhóm các căn bậc n của đơn vị trong K. Với mọi g∈ G, ta có gⁿ= 1; do đó, widehatG có thể được đồng nhất với nhóm Hom(G, μₙ(K)). Nhóm μₙ(K… 00NX
Mệnh đề 8 a) Đồng cấu θ_G là một đẳng cấu từ K⊗_ZR_K(G) vào Z_K(G). ↩ 1 00NY
Mệnh đề 9 Giả sử rằng trường K có đặc số không. Khi đó bậc của mọi biểu diễn đơn của G chia hết lực lượng của G. ↩ 4 00NZ
Bổ đề Cho L là một mở rộng của Q. Cho A là một vành con của L. Giả sử rằng A là một Z-môđun sinh hữu hạn. Ta có A∩ Q=Z. 00O0
Mệnh đề 10 Tồn tại một ánh xạ duy nhất φ_G từ S_K(G) đến S_K'(G) sao cho λ và φ_G(λ ) liên quan qua φ đối với mọi λ trong S_K(G). Hơn nữa, φ_G là song ánh. ↩ 1 00O1
Nhận xét 1 Giả sử rằng K' là một mở rộng của K và đẳng cấu φ là ánh xạ ξ ↦ ξ · 1; khi đó ánh xạ φ_G được cho bởi phép mở rộng vô hướng từ K đến K'. 00O2
Hệ quả 1 Ánh xạ φ_G là một đẳng cấu vành từ R_K(G) đến R_K'(G). Với mọi biểu diễn hữu hạn chiều π của G trong một không gian vectơ trên K, ta có φ_G([π]) = [π'], trong đó π' là một biểu diễ… 00O3
Hệ quả 2 Chiều của mỗi biểu diễn đơn của G đều chia hết cấp của G. ↩ 2 00O4
Nhận xét 2 Giả sử rằng nhóm G là Abel. Ta đã thấy trong nhận xét của VIII, p. 414 rằng I_K(G) có thể được đồng nhất với tập hợp Hom(G, μₙ(K)). Tương tự, I_K'(G) có thể được đồng nhất với Hom(… 00O5
Nhận xét 3 Cho π₁ và π₂ là các biểu diễn tuyến tính của G trong các không gian vectơ hữu hạn chiều trên K. Với i = 1, 2, gọi πᵢ' là một biểu diễn liên quan với πᵢ thông qua φ. Ta có dim_K Hom… 00O6
Nhận xét 4 Cho H là một nhóm con của G có lực lượng m. Đẳng cấu φ hạn chế thành một đẳng cấu từ μₘ(K) đến μₘ(K') và, do đó, thành một đẳng cấu vành φ_H từ R_K(H) đến R_K'(H). Các biểu đồ sau… 00O7
Nhận xét 5 Giả sử rằng G là tích G'× G'' của hai nhóm hữu hạn. Ta định nghĩa các đẳng cấu φ_G' và φ_G'' như trong ví dụ trước. 00O8
Mệnh đề 11 Cho (M, π ) là một biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của G. 00O9

App. 1. Đại số không có phần tử khả nghịch

Định nghĩa 1 Cho A là một k-đại số và 𝔞 là một iđêan trái của A. Một phần tử u của A sao cho au-a thuộc 𝔞 với mọi a∈ A được gọi là một đơn vị phải modulo 𝔞. Ta nói rằng iđêan 𝔞 là chính quy nếu… 00P4
Mệnh đề 1 Mọi iđêan trái (tương ứng phải) thực sự chính quy của A đều được chứa trong một iđêan trái (tương ứng phải) cực đại chính quy. 00P5
Mệnh đề 2 Cho A là một k-đại số giao hoán. Một iđêan 𝔞 của A là một iđêan cực đại chính quy nếu và chỉ nếu giả vành A/𝔞 (I, §8, No. 1, p. 98) là một trường. 00P6
Ví dụ 1 Cho V là một không gian vectơ vô hạn chiều trên một trường giao hoán K. Gọi Endᶠ_K(V) là đại số con trên K của End_K(V) gồm các tự đồng cấu có hạng hữu hạn. Cho W là một không gian… ↩ 1 00P7
Ví dụ 2 Cho T là một không gian compact địa phương, và gọi C₀(T) là C-đại số giao hoán của các ánh xạ liên tục từ T vào C mà tiến tới 0 ở vô cực (Gen. Top., X, §4, No. 4, p. 316); nó có đơ… 00P8
Ví dụ 3 Cho L¹(R) là đại số chập của nhóm compact địa phương R. Nhắc lại (xem Int., VIII, §4, No. 5, p. 38) rằng L¹(R) là không gian các lớp hàm trên R khả tích đối với độ đo Lebesgue. Tíc… 00P9
Mệnh đề 3 a) Cho widetilde𝔞 là một iđêan trái của widetildeA sao cho widetildeA =widetilde𝔞+ A. Ta đặt 𝔞=widetilde𝔞∩ A. Tồn tại một phần tử u của A sao cho u-e thuộc widetilde𝔞. Nếu u là một… ↩ 2 00PA
Hệ quả Các iđêan chính quy trái của A là các iđêan có dạng A∩ widetilde𝔞, trong đó widetilde𝔞 là một iđêan trái của widetildeA sao cho widetildeA =widetilde𝔞+ A. 00PB
Mệnh đề 4 a) Cho 𝔞 là một iđêan trái cực đại chính quy của A. Tồn tại một iđêan trái duy nhất widetilde𝔞 của widetildeA sao cho widetildeA =widetilde𝔞+ A và 𝔞=widetilde𝔞∩ A. Iđêan này là cực… ↩ 1 00PC
Định nghĩa 2 Ta nói rằng một giả môđun M trên A là đơn nếu ta có AM not= 0 và nếu 0 và M là hai môđun giả con duy nhất của M. ↩ 1 00PD
Mệnh đề 5 a) Cho 𝔪 là một iđêan trái cực đại chính quy của A. Khi đó giả môđun Aₛ/𝔪 là đơn, và tồn tại một phần tử khác không của Aₛ/𝔪 có linh hóa tử là 𝔪. ↩ 1 00PE
Định nghĩa 3 Căn của k-đại số A, ký hiệu là Re (A), là giao của các iđêan trái cực đại chính quy của A. 00RT
Ví dụ 1 Căn của k-đại số Endᶠₖ(V) thu về 0 (VIII, p. 436, Ví dụ 1).* Điều tương tự cũng đúng với các đại số C₀(T) và L¹(R). 00PF
Ví dụ 2 Cho A là một giả vành trong đó mọi phần tử đều lũy linh. Căn của A bằng A vì A là iđêan trái chính quy duy nhất. 00PG
Mệnh đề 6 Căn của đại số A là giao của các linh hóa tử của các giả môđun đơn. Đặc biệt, nó là một iđêan hai phía của A. 00PH
Mệnh đề 7 Căn của A là vết trên A của căn của widetildeA; nó cũng bằng căn của đại số đối Aᵒ(nghĩa là, bằng giao của các iđêan phải cực đại chính quy của A). Nếu vành k không có căn, thì căn… ↩ 2 00PI
Nhận xét Cho x và y là các phần tử của A; ta nói rằng x là một đối nghịch trái của y, hoặc rằng y là một đối nghịch phải của x, nếu, trong widetildeA,x-e là một nghịch đảo trái của y-e, ngh… 00PJ
Bổ đề 1 Cho M là một môđun giả trái A nửa đơn. Cho B là đối giao hoán tử kép của widetildeA-môđun M. Khi đó mọi môđun giả con A của M đều là một B-môđun con của M. ↩ 1 00PK
Bổ đề 2 Cho M là một môđun giả trái A nửa đơn, và cho x là một phần tử của M. Tồn tại một phần tử a∈ A sao cho ax=x. ↩ 1 00PL
Định lý 1 (định lý mật độ của Jacobson) Cho M là một giả môđun A trái nửa đơn. Cho b là một phần tử của đối giao hoán tử kép của widetildeA-môđun M. Cho F =x₁, . . . , xₙ là một tập con hữu hạn của M. Khi đó tồn tại một… 00SD

App. 2. Định thức trên một trường không giao hoán

Mệnh đề 1 Cho W là một siêu phẳng trong V và e là một vectơ trong V- W. Cho φ là một phần tử của Ω(W). Tồn tại một phần tử duy nhất ω của Ω(V) sao cho ↩ 2 00Q1
Hệ quả 1 Cho (e₁, . . . , eₙ) là một cơ sở của V và t là một phần tử của D^*_ab. Tồn tại một phần tử duy nhất ω của Ω(V) sao cho ω (e₁, . . . , eₙ) =t. ↩ 1 00Q2
Hệ quả 2 Cho ω và ω ' là hai phần tử của Ω(V). Tồn tại một phần tử duy nhất t của D^*_ab sao cho ω '=tω. ↩ 2 00Q3
Nhận xét Giả sử rằng trường D là giao hoán. Theo định nghĩa, B(V) là một tập con của Vⁿ. Hiển nhiên là hạn chế lên B(V) của một dạng n-tuyến tính phản xứng khác không f: Vⁿ→ D thuộc Ω(V). H… 00Q4
Mệnh đề 2 a) Cho u là một tự đẳng cấu của V. Tồn tại một phần tử duy nhất của D^*_ab, được ký hiệu là det u và được gọi là định thức của u, sao cho ta có ↩ 1 00Q5
Mệnh đề 3 Ánh xạ det là đồng cấu duy nhất từ GLₙ(D) vào D^*_ab thỏa mãn các hệ thức ↩ 3 00Q6
Ví dụ 1 Các cột của ma trận Bᵢⱼ(λ ) là ε₁, . . . , εⱼ εᵢλ , εᵢ₊₁, . . . , εₙ. Theo công thức (5) của VIII, p. 448, ta có ↩ 2 00Q7
Ví dụ 2 Cho σ là một phép hoán vị của khoảng [1, n] trong N, có dấu ε (σ ). Gọi M(σ ) là ma trận của phép hoán vị σ (II, §10, No. 7, p. 351). Các cột của ma trận M(σ ) là ε_σ(1), . . . , ε… ↩ 1 00Q8
Ví dụ 3 Giả sử ngeqslant 1. Với mọi ma trận đường chéo khả nghịch có dạng Δ = diag(d₁, . . . , dₙ), ta có ΔBᵢⱼ(λ)Δ⁻¹=Bᵢⱼ(dᵢλ d⁻¹ⱼ). Cho A là một phần tử của GLₙ(D). Theo Hệ quả 1 của II, §… ↩ 2 00Q9
Ví dụ 4 Cho D' là một trường, và cho u là một đồng cấu từ D đến D'. Khi chuyển qua các thương, u xác định một đồng cấu nhóm u_ab từ D^*_ab đến D^'*_ab. Gọi uₙ là đồng cấu từ GLₙ(D) đến GLₙ… 00QA
Ví dụ 5 Ta có GL₁(D) = D^*, và Mệnh đề 3 cho thấy rằng ta có det(a) =π (a) với a trong GL₁(D). 00QB
Ví dụ 6 Giả sử n= 2. Cho A = beginpmatrix a & b \\ c & d endpmatrix là một phần tử của GL₂(D). Hai phần tử a và c của D không đồng thời bằng không. Chúng ta sẽ cho định thức của A một cách… ↩ 1 00QC
Ví dụ 7 Cho Dᵒ là trường đối của D. Ánh xạ A↦ᵗA từ Mₙ(D) vào Mₙ(Dᵒ) thỏa mãn ᵗ(AB) =ᵗBᵗA. Do đó, với mọi ma trận A trong GLₙ(D), ma trận chuyển vị ᵗA là khả nghịch trong Mₙ(Dᵒ), nhưng khôn… ↩ 1 00QD
Nhận xét 1 Cho V là một không gian vectơ phải trên trường D, có số chiều hữu hạn n. Ta xem không gian đối ngẫu V^*= Hom_D(V,D) như một không gian vectơ phải trên trường đối Dᵒ của D. Cho u là… 00QE
Nhận xét 2 Các kết quả của các Tiểu mục 1 đến 4 khái quát hóa được cho trường hợp D là một vành địa phương (VIII, p. 459, Bài tập 2). 00QF
Định lý 1 Giả sử ngeqslant 2. ↩ 1 00QG
Nhận xét Nếu D là một trường có hai phần tử, thì GL₂(D) bằng SL₂(D), và đó là một nhóm có cấp 6 mà nhóm dẫn xuất của nó có cấp 3. Nếu D là một trường có ba phần tử, thì nhóm SL₂(D) có cấp 2… 00QH
Hệ quả Cho V là một không gian vectơ phải trên trường D, có số chiều hữu hạn ngeqslant 2. 00RU

App. 3. Định lý không điểm của Hilbert

Định lý 1 Cho A là một miền nguyên, K là trường các phân thức của nó, và L là một đại số giao hoán trên K. Giả sử đại số trên A là L được sinh bởi hữu hạn phần tử và L là một trường. ↩ 1 00QM
Hệ quả 1 Cho K là một trường giao hoán, A là một đại số giao hoán trên K được sinh bởi hữu hạn phần tử, và 𝔪 là một iđêan cực đại của A. ↩ 2 00RV
Hệ quả 2 Cho K là một trường giao hoán, n là một số tự nhiên, (Pᵢ)_i∈ I là một họ các phần tử của K[X₁, . . . ,Xₙ], và Ω là một mở rộng đóng đại số của K. Các điều kiện sau là tương đương: 00QN

App. 4. Vết của một tự đồng cấu hạng hữu hạn

Bổ đề 1 Giả sử rằng A-môđun F là xạ ảnh. Đồng cấu nhóm θ là đơn ánh, và ảnh của nó là Homᶠ_A(E,F). ↩ 1 00QO
Mệnh đề 1 Cho E là một A-môđun tự do. Cho (eᵢ)_i∈ I là một cơ sở của E, và cho (e^*ᵢ)_i∈ I là cơ sở đối ngẫu của nó. Cho u∈ Endᶠ_A(E). Họ (⟨ u(eᵢ), e^*ᵢ⟩ )_i∈ I có giá hữu hạn, và tổng của n… 00QP
Mệnh đề 2 Cho E, F là các A-môđun xạ ảnh. Cho u∈ Homᶠ_A(E,F) và v∈ Hom_A(F,E). Ta có quan hệ 00QQ
Hệ quả Cho E là một A-môđun xạ ảnh, u là một phần tử của Endᶠ_A(E), và F là một A-môđun con xạ ảnh của E chứa Im u. Ký hiệu bởi u_F tự đồng cấu của F cảm sinh bởi u. Ta có ↩ 1 00QR
Mệnh đề 3 Cho E là một A-môđun xạ ảnh. 00QS

IX. Các dạng sesquilinear và các dạng toàn phương

§ 1. Dạng toàn phương sesqui

Định nghĩa 1 Một ánh xạ Φ của tích E × F vào G được gọi là song tuyến tính nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: 0DIQ
Định nghĩa 2 Cho một ánh xạ song tuyến tính Φ từ E × F vào G, ánh xạ d_Φ từ F vào L_A(E, G) (resp. ánh xạ s_Φ từ E vào L_B(F, G)) được đặc trưng bởi (5) được gọi là ánh xạ tuyến tính liên kết b… 0DIR
Định nghĩa 3 Một ánh xạ song tuyến tính Φ của E × F vào G được gọi là suy biến bên phải (tương ứng bên trái) nếu tồn tại một phần tử khác không y₀ của F (tương ứng x₀ của E) sao cho Φ(x, y₀) =… 0DIS
Định nghĩa 4 Ta nói rằng một ánh xạ Φ của E × F vào G là nửa song tuyến tính phải đối với J nếu nó thỏa mãn các điều kiện (1), (2), (3) (đn. 1, No. 1) cũng như (7) Φ(x, by) = Φ(x, y) · bᴶ với m… 0DIT
Định nghĩa 5 Cho B là một vành, F là một B-môđun trái (tương ứng phải) và J là một phản tự đẳng cấu của B. Ta ký hiệu Fᴶ là B-môđun phải (tương ứng trái) có cùng nhóm cộng nền với F và trong đó… 0DIU
Nhận xét Cho A và B là hai vành, J₁ là một phản tự đẳng cấu của A, M là một A-môđun phải, N là một B-môđun phải và G là một (A, B)-song môđun. Người ta nói rằng một ánh xạ Φ từ M × N vào G… 0DIV
Định nghĩa 6 Hai phần tử x ∈ E và y ∈ F được gọi là trực giao đối với Φ nếu Φ(x, y) = 0. Hai tập con E' ⊂ E và F' ⊂ F được gọi là trực giao nếu, với mọi x ∈ E' và y ∈ F', x và y là trực giao. T… 0DIW
Mệnh đề 1 Cho E là một A-môđun trái và F là một B-môđun phải; đặt E' = A' ⊗_A E và F' = F ⊗_B B'. Với mọi ánh xạ song tuyến tính Φ từ E × F vào G, tồn tại duy nhất một ánh xạ song tuyến tính… 0DIX
Mệnh đề 2 Giả sử rằng B và B' được trang bị các phản tự đẳng cấu J và I sao cho 0DIY
Mệnh đề 3 Các giả thiết và ký hiệu là những điều của mệnh đề 1 (tương ứng mệnh đề 2), giả sử thêm rằng A, B, A', B' là các trường và rằng các ánh xạ α và β của A' ⊗_A G và G ⊗_B B' vào G' đư… 0DIZ
Hệ quả Các giả thiết và ký hiệu là những cái của Mệnh đề 3, để Φ' không suy biến, điều kiện cần và đủ là Φ không suy biến. 0DJ0
Nhận xét Giả sử rằng A, B, A' và B' là các trường. Khi đó, đối với các song môđun G' được định nghĩa trong ba ví dụ trên, các ánh xạ α và β là đơn ánh, như suy ra ngay lập tức từ Chap. III… 0DJ1
Mệnh đề 4 Giả sử rằng A là một trường, và cho Φ là một dạng song tuyến tính (tương ứng dạng nửa song tuyến tính đối với J) trên E × F; để E/F⁰ có số chiều hữu hạn, điều kiện cần và đủ là F/E… 0DJ2
Hệ quả 1 Giả sử rằng A là một trường và rằng Φ không suy biến. Để một không gian con M của E có số chiều hữu hạn, điều kiện cần và đủ là M⁰ có đối chiều hữu hạn trong F, và khi đó ta có cod… 0DJ3
Hệ quả 2 Các giả thiết là các giả thiết của hệ quả 1, cho M, N là hai không gian con của E; khi đó ta có (M + N)⁰ = M⁰ ∩ N⁰; nếu hơn nữa M và N có số chiều hữu hạn, ta có (M ∩ N)⁰ = M⁰ + N⁰… 0DJ4
Định nghĩa 7 Cho A là một trường (tương ứng, một trường được trang bị một phản tự đẳng cấu J), E là một không gian vectơ trái trên A, F là một không gian vectơ phải (tương ứng, trái) trên A, và… 0DJ5
Mệnh đề 5 Các giả thiết và ký hiệu là các giả thiết và ký hiệu của định nghĩa 7, các ánh xạ tuyến tính s_Φ và d_Φ liên kết với Φ có cùng hạng, và hạng này bằng hạng của dạng Φ. 0DJ6
Mệnh đề 6 Các giả thiết và ký hiệu là các giả thiết và ký hiệu của định nghĩa 7, giả sử thêm rằng E và F có cùng số chiều hữu hạn. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: a) d_Φ là đơn ánh… 0DJ7
Hệ quả Các giả thiết và ký hiệu là những giả thiết và ký hiệu của Định nghĩa 7, ta giả sử thêm rằng E có số chiều hữu hạn và Φ không suy biến. Khi đó ta có dim E = dim F và, với mọi cơ sở… 0DJ8
Nhận xét Cho A là một vành được trang bị một tự đẳng cấu ngược J, M và N là các A-môđun phải, và Φ là một dạng nửa song tuyến tính trái đối với J trên M × N (No. 2, Nhận xét); do đó nó thỏa… 0DJ9
Định nghĩa 8 Cho Φ là một dạng song tuyến tính trên E × F mà các ánh xạ liên kết s và d là song ánh. Dạng song tuyến tính hatΦ trên F^* × E^* được định nghĩa bởi (27) được gọi là dạng nghịch đả… 0DJA
Định nghĩa 9 Cho Φ là một dạng sesquilinear phải đối với J trên E × F, có các ánh xạ liên kết s và d là song ánh. Dạng sesquilinear trái widehatΦ đối với J trên F^* × E^* được gọi là dạng nghịc… 0DJB
Định nghĩa 10 Với các giả thiết và ký hiệu như trước, ta nói rằng đồng cấu u^* từ F'₁ vào F thỏa mãn (30) là liên hợp trái của u, và rằng F'₁ là môđun con xác định của u^*. 0DJC
Nhận xét Nếu liên hợp trái u^* của u : E → E' được xác định khắp nơi, và nếu s_Φ' và d_Φ' là đơn ánh, công thức (30) chỉ ra rằng u là liên hợp phải của u^*. 0DJD
Mệnh đề 7 Với cùng các ký hiệu như trước, giả sử rằng d_Φ là song ánh. Khi đó mọi đồng cấu u của E vào E' đều thừa nhận một ánh xạ liên hợp trái xác định khắp nơi, và ta có u^* = (d_Φ)⁻¹ ∘ ᵗ… 0DJE
Nhận xét Khi s_Φ là song ánh, mọi đồng cấu ν của F vào F' đều thừa nhận một ánh xạ liên hợp phải xác định khắp nơi, và ta có 0DJF
Mệnh đề 8 Với cùng các ký hiệu như trước, giả sử rằng s_Φ và d_Φ là song ánh. Cho u và ν lần lượt là các đẳng cấu của E lên E' và của F lên F'. Khi đó, để Φ là ảnh ngược của Φ' đối với u và… 0DJG
Hệ quả Cho A là một vành được trang bị một tự đẳng cấu phản J, E là một A-môđun trái, Φ là một dạng nửa song tuyến tính đối với J trên E × E mà các ánh xạ liên kết của nó là song ánh, và… 0DJH
Nhận xét Dưới các giả thiết của hệ quả của mệnh đề 8, giả sử thêm rằng A là một trường và E có số chiều hữu hạn trên A. Cho ω là một tự đồng cấu của E, ω1 và ω2 là các ánh xạ liên hợp phải… 0DJI
Định nghĩa 11 Cho các A-môđun Eᵢ, Fᵢ (i = 1, …, m) và, với mỗi i, một dạng nửa song tuyến tính Φᵢ đối với J trên Eᵢ × Fᵢ, dạng nửa song tuyến tính Φ đối với J trên (⨂ᵢ Eᵢ) × (⨂ᵢ Fᵢ) được đặc trư… 0DJJ
Mệnh đề 9 Cho A là một trường giao hoán được trang bị một tự đẳng cấu J, Eᵢ, Fᵢ là các không gian vectơ hữu hạn chiều trên A, và Φᵢ là một dạng sesquilinear đối với J trên Eᵢ × Fᵢ (1 leqslan… 0DJK
Định nghĩa 12 Cho hai A-môđun E, F và một dạng Φ sesquilinear đối với J trên E × F, dạng Φ₍ₘ₎ sesquilinear đối với J trên (∧ᵐ E) × (∧ᵐ F) được đặc trưng bởi (37) được gọi là mở rộng của Φ tới cá… 0DJL
Mệnh đề 10 Cho A là một trường giao hoán được trang bị một tự đẳng cấu J, E và F là hai không gian vectơ hữu hạn chiều trên A, và Φ là một dạng sesquilinear đối với J trên E × F. Nếu Φ không… 0DJM
Nhận xét Cho E là một A-môđun tự do, và cho θ là đẳng cấu chính tắc của bigwedgeᵐ E lên môđun con gồm các tenxơ phản đối xứng hóa cấp m (Chương III, § 5, No. 6, Mệnh đề 6). Cho Φ là một dạn… 0DJN
Nhận xét 1 Khi A là giao hoán, (45 G) thu gọn về (45 D), và (45 DG) về (45 GD), nhờ công thức ᵗ(M'M'') = ᵗM'' · ᵗM' (xem (42)), trong đó hai vế ở đây được tính trong A. 2) Cho E, F, G là ba m… 0DJO
Nhận xét 2 Khi A là một trường, các ánh xạ tuyến tính s và d có cùng hạng. Ta thấy ở đây rằng các ma trận M(s) và M(d) của chúng có cùng hạng; thật vậy, một ma trận trên A và ma trận chuyển v… 0DJP
Nhận xét 3 Nếu M và N là các môđun phải A có các cơ sở hữu hạn (mᵢ) và (nₖ), Φ là một dạng sesqui tuyến tính trái đối với J trên M × N (No. 6, Nhận xét), s và d là các ánh xạ liên kết của nó… 0DJQ
Nhận xét 4 Cho một ví dụ về một dạng song tuyến tính Φ xác định trên một tích E × F của hai không gian vectơ, sao cho d_Φ là song ánh, s_Φ đơn ánh nhưng không song ánh (lấy E có chiều vô hạn… 0DJR
Nhận xét 5 Cho A là một vành được trang bị một phản tự đẳng cấu J, E là một A-môđun trái, G là một (A, A)-song môđun và Φ là một ánh xạ từ E × E vào G, nửa song tuyến phải đối với J. Chứng mi… 0DJS
Nhận xét 6 Cho K là một trường giao hoán có đặc số 2, A là một mở rộng bậc hai tách được của K; ta có A = K(θ), trong đó θ là nghiệm của một đa thức bất khả quy X² + X + β của K[X] và tự đẳng… 0DJT
Nhận xét 7 Cho A là một trường, E là một không gian vectơ trên A, Φ là một dạng nửa song tuyến trên E, u là một tự đồng cấu của E. 0DJU
Nhận xét 8 Cho E, E₁ là hai A-môđun, Φ (tương ứng Φ₁) là một dạng sesquilinear trên E (tương ứng E₁). Giả sử rằng Φ₁ không suy biến và tồn tại một phần tử α ∈ A cùng một song ánh u của E lên… 0DJV
Nhận xét 9 Cho A là một trường, E₁, E₂ là hai không gian vectơ khác 0 trên A, Φ₁ (tương ứng Φ₂) là một dạng sesquilinear không suy biến trên E₁ (tương ứng E₂) đối với một phản tự đẳng cấu J₁… 0DJW
Nhận xét 10 Cho A là một trường, E, F là hai không gian vectơ trái trên A, Φ là một dạng sesquilinear không suy biến trên E × F đối với một tự đẳng cấu phản của A. 0DJX
Nhận xét 11 Cho E, E' là hai không gian vectơ trái trên các trường A, A' tương ứng, có chiều geqslant 3; cho 𝔉(E) (tương ứng 𝔉(E') là tập hợp có thứ tự dàn (theo quan hệ bao hàm) tạo bởi các k… 0DJY

§ 2. Biệt thức của một dạng sesquilinear

Định nghĩa 1 Cho một dạng sesquilinear Φ đối với J trên E và một hệ S = (x₁, …, xₙ) gồm n phần tử của E, biệt thức của Φ đối với hệ này được gọi là, và được ký hiệu bởi D_Φ(x₁, …, xₙ) hoặc D_Φ(… 0DK0
Ví dụ Cho B là một đại số trên vành A, sao cho B là một A-môđun tự do có số chiều hữu hạn n. Khi đó ánh xạ (x, y) → Tr_B/A(xy) (Chương VIII, § 12, no 2) là một dạng song tuyến tính trên… 0DK1
Nhận xét Cho (e₁, …, eₙ) là một cơ sở của B trên A, và 0DK2
Mệnh đề 1 Cho Φ là một dạng sesquilinear đối với J trên E, (tildex₁, …, xₙ) một hệ gồm n phần tử của E, và (aᵢⱼ)_(i,j = 1, …, n) một họ gồm n² phần tử của A; đặt yᵢ = ∑ᵢ₌₁ⁿ aⱼᵢxᵢ. Khi đó ta… 0DK3
Ví dụ Cho B là một đại số trên A đồng thời là một A-môđun tự do có số chiều hữu hạn n, (x₁, …, xₙ) là một cơ sở của B trên A, và m là một iđêan của A. Nếu h ký hiệu đồng cấu chính tắc củ… 0DK4
Mệnh đề 2 Giả sử rằng A là một miền nguyên. Cho Φ là một dạng sesquilinear đối với J trên E và (e₁, …, eₙ) là một cơ sở của E, sao cho D_Φ(e₁, e₂, …, eₙ) ≠ 0. 0DK5
Mệnh đề 3 Cho Φ là một dạng sesquilinear theo J trên E, và cho S là một cơ sở của E. Các điều kiện sau là tương đương: 0DK6
Mệnh đề 4 Giả sử rằng A là nguyên. Cho S là một cơ sở của E. Điều kiện cần và đủ để một dạng sesquilinear Φ trên E không suy biến là D_Φ(S) ≠ 0. 0DK7
Mệnh đề 5 Cho A là một trường, B là một đại số giao hoán có số chiều hữu hạn n trên A, và S là một cơ sở của B. Để B tách được (chap. VIII, § 7, No. 5, định nghĩa 1), điều kiện cần và đủ là… 0DK8
Nhận xét Giả sử rằng B là một mở rộng trường của A. Cho S = (x₁, …, xₙ) là một cơ sở của B, và (s₁, …, sₙ) là các A-đẳng cấu của B vào bao đóng đại số A' của A (mỗi sⱼ được lặp lại [B : A]ᵢ… 0DK9
Mệnh đề 6 Cho Φ là một dạng song tuyến tính A-trên E, và K là một vành con của A sao cho A là một K-môđun tự do có chiều hữu hạn q. Nếu (eᵢ)_i=1,…,n là một cơ sở của E trên A và (aⱼ)_j=1,…,q… 0DKA
Hệ quả (« Công thức bắc cầu cho các định thức biệt thức ») Cho K là một vành giao hoán, A là một đại số giao hoán có một cơ sở hữu hạn (aⱼ)_j=1,…,q trên K, và E là một đại số trên A có một cơ sở hữu hạn (eᵢ)_i=1,…,n. Khi đó (aⱼ eᵢ) là một… 0DKB

§ 3. Các dạng Hermit và các dạng toàn phương

Định nghĩa 1 Cho ε là một phần tử của tâm của A. Một dạng nửa song tuyến tính Φ trên E sao cho ta có Φ(x, y) = ε overlineΦ(y, x) với mọi x và y trong E được gọi là một dạng ε-Hermit. Một dạng 1… 0DKC
Nhận xét 1 Nếu Φ là một dạng ε-Hermit trên E, ta có Φ(x, y) = ε overlineΦ(x, y) overlineε với mọi x, y trong E. Do đó, nếu Φ nhận các giá trị khả nghịch, ta có ε overlineε = 1. 2) Nếu tồn tại… 0DKD
Mệnh đề 1 Cho Φ₁ (tương ứng Φ₂) là một dạng song tuyến tính trên K trên E₀ × E'₀, bất biến dưới j và j'. Ánh xạ liên kết với Φ₁ (tương ứng Φ₂) ánh xạ Φ từ E × E' vào A được xác định bởi 0DKF
Nhận xét 1 Các công thức (7) và (8) cho thấy rằng, nếu x ∈ E, để có Φ(x, x') = 0 với mọi x' ∈ E', điều kiện cần và đủ là Φ₁(x, x') = 0 (tương ứng Φ₂(x, x') = 0) với mọi x' ∈ E'. 2) Liên hợp c… 0DKG
Định nghĩa 2 Giả sử rằng vành A là giao hoán. Ta nói rằng một ánh xạ Q từ E vào A là một dạng toàn phương trên E nếu 1) Q(α x) = α² Q(x) với α ∈ A và x ∈ E; 2) ánh xạ Φ : (x, y) → Q(x + y) - Q(… 0DKI
Mệnh đề 2 Giả sử A là giao hoán và E thừa nhận một cơ sở (eᵢ)_i ∈ I. Khi đó, với mọi dạng toàn phương Q trên E, tồn tại một dạng song tuyến tính f trên E × E sao cho Q(x) = f(x, x) với mọi x… 0DKJ
Mệnh đề 3 Cho h là một đồng cấu của A vào một vành giao hoán A'. Với mọi dạng toàn phương Q trên A-môđun E, tồn tại một và chỉ một dạng toàn phương Q' trên A'-môđun A' ⊗_A E (chương III, in… 0DKK

§ 4. Các không gian con hoàn toàn đẳng hướng. Định lý Witt

Định nghĩa 1 Cho một môđun E trên vành A, một phần tử x của E được gọi là đẳng hướng nếu Φ(x, x) = 0. Một môđun con F của E được gọi là 1) đẳng hướng nếu tồn tại một phần tử x ≠ 0 của F trực gi… 0DKL
Mệnh đề 1 Giả sử A là một trường. Cho F là một không gian con hữu hạn chiều không đẳng hướng của E; khi đó E là tổng trực tiếp của F và F⁰. 0DKM
Hệ quả Nếu F là một không gian con hữu hạn chiều của E, và nếu Φ là không suy biến, thì các điều kiện sau là tương đương: 0DKN
Định nghĩa 2 Cho Q là một dạng toàn phương trên E. Một phần tử x của E được gọi là kì dị (đối với Q) nếu Q(x) = 0. Một môđun con F của E được gọi là: 1) kì dị nếu tồn tại một phần tử x ≠ 0 của… 0DKO
Bổ đề 1 Cho Φ là một dạng ε-Hermit thỏa mãn (T) (tương ứng dạng song tuyến tính liên kết với một dạng toàn phương Q) trên E, và cho F là một không gian con hoàn toàn đẳng hướng (tương ứng… 0DKP
Mệnh đề 2 Cho Φ là một dạng ε-Hermite không suy biến thỏa mãn (T) (tương ứng dạng song tuyến tính gắn với một dạng toàn phương không suy biến Q), và F là một không gian con hoàn toàn đẳng hư… 0DKQ
Hệ quả 1 Nếu F là một không gian con hoàn toàn đẳng hướng (tương ứng, hoàn toàn kỳ dị) có chiều r, thì tồn tại một không gian con hoàn toàn đẳng hướng (tương ứng, hoàn toàn kỳ dị) F' có chi… 0DKR
Hệ quả 2 Hai dạng ε-Hermit trung hòa trên các không gian có cùng chiều trên A là tương đương. 0DKS
Nhận xét Trong các điều kiện của Hệ quả 1, E là tổng trực tiếp của F + F' và trực giao của F + F'. Do đó ta có một phân tích Witt của E. Theo mệnh đề 2, a), tồn tại các cơ sở của F và F’ sa… 0DKT
Mệnh đề 3 Cho Φ là một dạng ε-Hermit không suy biến thỏa mãn (T) (tương ứng, dạng song tuyến tính liên kết với một dạng toàn phương không suy biến Q). Gọi F₁ và F₂ là hai không gian con cực… 0DKU
Hệ quả 1 Dưới các giả thiết của Mệnh đề 3, hai không gian con hoàn toàn đẳng hướng cực đại (tương ứng hoàn toàn kỳ dị cực đại) hữu hạn chiều có cùng chiều. Với mọi không gian con hoàn toàn… 0DKV
Hệ quả 2 Cho Q là một dạng toàn phương không suy biến trên một không gian vectơ E hữu hạn chiều n trên một trường đóng đại số A; khi đó tồn tại một cơ sở (ei){1 \leq i \leq n} của E sao cho 0DKW
Định nghĩa 3 Giả sử rằng E là hữu hạn chiều và Φ là một dạng ε-Hermit không suy biến thỏa mãn (T) (tương ứng dạng song tuyến tính liên kết với một dạng toàn phương không suy biến Q). Ta gọi chỉ… 0DKX
Mệnh đề 4 Cho một dạng toàn phương không suy biến Q trên E sao cho tồn tại một vectơ x ≠ 0 của E sao cho Q(x) = 0, thì với mọi phần tử a của A, tồn tại y ∈ E sao cho Q(y) = a. 0DKY
Định lý 1 (Witt) Cho E và E' là hai không gian vectơ có số chiều hữu hạn, được trang bị tương ứng với hai dạng ε-Hermit không suy biến Φ và Φ' thỏa mãn điều kiện (T) của No. 2 (tương ứng với hai dạ… 0DKZ
Hệ quả 1 Cho, với i = 1, 2, Eᵢ là một không gian vectơ hữu hạn chiều, Φᵢ là một dạng ε-Hermit không suy biến trên Eᵢ thỏa mãn (T) (tương ứng Qᵢ là một dạng toàn phương không suy biến trên E… 0DL0
Hệ quả 2 Với các giả thiết của Định lý 1, nhóm các tự đẳng cấu metric của E tác động bắc cầu trên các không gian con hoàn toàn đẳng hướng (tương ứng hoàn toàn kỳ dị) có chiều cho trước của… 0DL1
Hệ quả 3 Cho Q là một dạng toàn phương không suy biến trên một không gian vectơ hữu hạn chiều E trên một trường đóng đại số A. Nhóm các tự đẳng cấu metric của E tác động bắc cầu trên các kh… 0DL2

§ 5. Các tính chất đặc biệt của các dạng song tuyến tính phản xứng

Định lý 1 Cho A là một vành chính (giao hoán), E là một A-môđun tự do có số chiều hữu hạn n và Φ là một dạng song tuyến tính phản xứng trên E. Khi đó tồn tại một cơ sở (eᵢ)_1 ≤ i ≤ n của E v… 0DL3
Hệ quả 1 Cho A là một trường giao hoán, E là một không gian vectơ hữu hạn chiều chiều n trên A, và Φ là một dạng song tuyến tính phản xứng trên E. Khi đó tồn tại một cơ sở (eᵢ)_1 ≤ i ≤ n củ… 0DL4
Nhận xét Cần chú ý rằng hệ quả này cũng là một hệ quả ngay lập tức của Mệnh đề 3 của § 4, No. 2 và của Hệ quả 1 của nó, bởi vì với ký hiệu của mệnh đề này, tất yếu có H = 0 vì Φ là phản xứn… 0DL5
Hệ quả 2 Cho A là một trường giao hoán, E là một không gian vectơ hữu hạn chiều chiều n trên A. Với mọi bivectơ z ∈ bigwedge² E, tồn tại một cơ sở (eᵢ)_1 ≤ i ≤ n của E sao cho 0DL6
Hệ quả 3 Cho A là một trường giao hoán, R là một ma trận vuông phản xứng trên A. Hạng của R là một số chẵn 2r, và tồn tại một ma trận khả nghịch P trên A sao cho 0DL7
Nhận xét Nếu A là một vành giao hoán bất kỳ và R là một ma trận vuông phản xứng cấp lẻ n trên A, ta có det R = 0. Điều này suy ra từ Hệ quả 3 khi A là một trường. Một chứng minh trực tiếp t… 0DL8
Định nghĩa 1 Cho một ma trận phản xứng R = (αᵢⱼ) (i, j = 1, …, 2m) cấp chẵn 2m trên một vành giao hoán tùy ý A, pfaffian của R, ký hiệu là Pf(R), là phần tử P((αₕₖ)) của A, trong đó 1 ≤ h < k ≤… 0DL9
Ví dụ Giả sử: 0DLA
Mệnh đề 1 Cho R là một ma trận phản xứng cấp chẵn 2m trên một vành giao hoán A, và cho P là một ma trận bình phương cấp 2m trên A. Ta có 0DLB
Mệnh đề 2 Với mọi ma trận phản xứng R cấp chẵn 2m trên một vành giao hoán A, ta có det R = (Pf(R))². Thật vậy, vì hai vế của (8) là những đa thức với hệ số nguyên theo các phần tử của R, ngu… 0DLC
Mệnh đề 3 Định thức của một ma trận symplectic bằng 1. 0DLD

§ 6. Các tính chất đặc biệt của các dạng Hermit

Định nghĩa 1 Cho Φ là một dạng Hermit trên E. Một cơ sở (eᵢ) của E được gọi là trực giao đối với Φ nếu hai phần tử bất kỳ của cơ sở này là trực giao đối với Φ. 0DLE
Bổ đề 1 Giả sử rằng A là một trường và Φ là một dạng Hermit ≠ 0 trên E. Nếu mọi vectơ của E đều đẳng hướng, A là một trường giao hoán có đặc số 2, phản tự đẳng cấu J là đồng nhất và Φ là p… 0DLF
Định lý 1 Giả sử rằng A là một trường và E là một không gian vectơ hữu hạn chiều có chiều n trên A. Khi đó, với mọi dạng Hermit Φ trên E, E có một cơ sở trực giao, trừ khi đồng thời thỏa mãn… 0DLG
Hệ quả 1 Các ký hiệu là những ký hiệu của định lý 1, giả sử thêm rằng (C) không thỏa mãn, rằng Φ không suy biến và rằng, với mọi x ∈ E, tồn tại ρ ∈ A sao cho Φ(x, x) = ρ barρ. Khi đó E có m… 0DLH
Nhận xét Giả thiết cuối cùng của hệ quả được thỏa mãn khi J là đồng nhất, và mọi phần tử của A là bình phương của một phần tử của A (chẳng hạn khi A đóng đại số). 0DLI
Hệ quả 2 Cho A là một trường và R là một ma trận Hermit cấp n và hạng r trên A. Khi điều kiện sau đây không được thỏa mãn: 0DLJ
Mệnh đề 1 Giả sử A là một trường giao hoán. Cho Φ là một dạng Hermit trên E, và cho (xₙ) (n = 1, 2, …) là một dãy (hữu hạn hoặc vô hạn) các vectơ độc lập tuyến tính của E sao cho, với mọi n… 0DLK
Mệnh đề 2 Cho Φ là một dạng Hermit trên E, và cho (eᵢ) (i = 1, …, n) là một cơ sở trực giao (tương ứng, trực chuẩn) của E đối với Φ. Khi đó, với mọi p geqslant 0, cơ sở của ⨂ᵖ E được tạo bởi… 0DLL
Mệnh đề 3 Giả sử rằng A là một trường giao hoán và rằng E có số chiều hữu hạn > 0. Cho Φ là một dạng Hermit không suy biến trên E. Ánh xạ u → det u là một đồng cấu của nhóm unita U(Φ) liên k… 0DLM
Bổ đề 2 Để một tự đồng cấu u của E thỏa mãn u² = 1, điều kiện cần và đủ là 1/2(1 - u) là một phép chiếu trong E; khi đó u là hiệu của hai phép chiếu 1/2(1 + u) và 1/2(1 - u). 0DLN
Mệnh đề 4 Cho u ∈ GL(E) là một phép đối hợp. Các tính chất sau là tương đương: a) u thuộc nhóm unita liên kết với Φ ; b) các môđun con U^+ = 1/2(1 + u)(E) và U^- = 1/2(1 - u)(E) là trực giao… 0DLO
Hệ quả 1 Giả sử rằng A là một trường và rằng E là hữu hạn chiều. Ánh xạ u → 1/2(1 + u)(E) là một song ánh từ tập hợp các phép đối hợp u thuộc nhóm unita liên kết với Φ lên tập hợp các không… 0DLP
Hệ quả 2 Giả sử rằng A là một trường và rằng E là hữu hạn chiều. Để một phép chiếu ν trong E có tính chất rằng ν(E) và ν(0) trực giao (và do đó không đẳng hướng), điều kiện cần và đủ là ν =… 0DLQ
Mệnh đề 5 Giả sử không gian vectơ E có số chiều hữu hạn n. Nhóm trực giao O(Q) liên kết với Q khi đó được sinh bởi các phép đối xứng đối với các siêu phẳng không đẳng hướng của E. 0DLR
Định nghĩa 2 Cho A là một trường, L là một không gian affine trên A và T là không gian các phép tịnh tiến của L (Chương II, ấn bản thứ 2, Phụ lục II). Nếu T được trang bị một dạng Hermit không… 0DLS
Định nghĩa 3 Cho L là một không gian Hermit trên một trường A, T là không gian các phép tịnh tiến của L. Một phép dịch chuyển (tương ứng phép đồng dạng) của L là một song ánh affine u của L lên… 0DLT
Mệnh đề 6 Cho L là một không gian Hermit hữu hạn chiều trên A, có dạng metric có chỉ số 0. Mọi phép vị tự u của L, với nhân tử μ ≠ 1, khi đó nhận đúng một điểm bất động. 0DLU

§ 7. Các dạng Hermit và các trường có thứ tự

Định nghĩa 1 Một dạng Hermit Φ trên E được gọi là dương (tương ứng âm) nếu Φ(x, x) geqslant 0 (tương ứng Φ(x, x) leqslant 0) với mọi x ∈ E. 0DLV
Mệnh đề 1 Giả sử E là hữu hạn chiều, và A = K hoặc A = K(i). Nếu Φ là một dạng Hermit dương không suy biến trên E, thì các mở rộng của Φ lên ⨂ᵖ E và ∧ᵖ E (p > 0), cũng như dạng nghịch đảo củ… 0DLW
Mệnh đề 2 Cho Φ là một dạng Hermit dương trên E. Với x, y thuộc E, ta có Φ(x, y) overlineΦ(x, y) leqslant Φ(x, x) Φ(y, y). 0DLX
Hệ quả Tập hợp các vectơ đẳng hướng của E là không gian con trực giao E⁰ của E đối với Φ. Để Φ không suy biến, điều kiện cần và đủ là Φ(x, x) > 0 với mọi x ≠ 0. 0DLY
Mệnh đề 3 Giả sử E hữu hạn chiều và A giao hoán (A = K hoặc A = K(i)). Gọi Φ là một dạng Hermit trên E, X là ma trận của nó đối với một cơ sở (xⱼ) (j = 1, …, n) của E; với mọi tập hợp con H… 0DLZ
Nhận xét Từ sự tồn tại của các cơ sở trực chuẩn suy ra rằng hai dạng Hermit dương không suy biến trên hai không gian vectơ có cùng số chiều hữu hạn là tương đương (§ 1, no 6). Khi đó, cho L… 0DM0
Định lý 1 (« luật quán tính ») Giả sử rằng A thỏa mãn các giả thiết ở đầu đoạn này, và rằng E có số chiều hữu hạn n. Cho Φ là một dạng Hermit trên E. Khi đó: 0DM1
Định nghĩa 2 Với các ký hiệu của Định lý 1, cặp (s, t) được gọi là chữ ký của Φ. 0DM2
Nhận xét 1 Khi J là ánh xạ đồng nhất, ta thu được lại khái niệm tự đồng cấu liên hợp của một đồng cấu được định nghĩa trong § 1, No. 8. 0DM3
Nhận xét 2 Giả sử vẫn rằng A = K hoặc A = K(i). Gọi Eᴶ là A-môđun phải được định nghĩa trong § 1, No. 2, Định nghĩa 5. Dạng Φ là một dạng song tuyến tính trên E × Eᴶ, Φᴶ là một dạng song tuyế… 0DM4
Định lý 2 Cho S là một tập hợp các tự đồng cấu của E (tương ứng, các ánh xạ nửa tuyến tính từ E vào E khi A = K hoặc A = K(i)) ổn định đối với ánh xạ u → u. Khi đó, nếu V là một không gian c… 0DM5
Hệ quả 1 Giả sử rằng A = K hoặc rằng A = K(i). Cho B là một đại số con của L_A(E), ổn định dưới ánh xạ u → u. Khi đó E là một B-môđun nửa đơn, và là tổng trực tiếp của các môđun con đơn trự… 0DM6
Hệ quả 2 Các giả thiết và ký hiệu là những thứ của hệ quả 1, giả sử thêm rằng đại số B là giao hoán. Khi đó mọi phần tử của nó là các tự đồng cấu nửa đơn (chuẩn) của E. Khi A = K (tương ứng… 0DM7
Mệnh đề 4 Cho u là một tự đồng cấu chuẩn của E. Khi A bằng K(i) hoặc trường quaternion trên K, tồn tại một cơ sở trực chuẩn (đối với Φ) của E được tạo bởi các vectơ riêng của u. Khi A = K, u… 0DM8
Nhận xét Suy ra từ định lý 2 rằng các không gian riêng tương ứng với hai trị riêng phân biệt của u là trực giao. 0DM9
Mệnh đề 5 Cho u là một tự đồng cấu Hermit của E. Các trị riêng của u thuộc K, và tồn tại một cơ sở trực chuẩn của E được tạo bởi các vectơ riêng của u. 0DMA
Mệnh đề 6 a) Cho Ψ là một dạng Hermit (tương ứng, dạng song tuyến tính đối xứng nếu A = K hoặc A = K(i)) trên E. Tồn tại một cơ sở của E trực chuẩn đối với Φ và trực giao đối với Ψ. 0DMB
Nhận xét 3 Giả sử rằng A = K hoặc A = K(i) và rằng E là hữu hạn chiều. Cho Φ₁, Φ₂ là hai dạng Hermit dương trên E, và cho V = (αᵢⱼ), W = (βᵢⱼ) là các ma trận của các dạng này đối với cùng một… 0DMC
Nhận xét 4 Giả sử rằng A = K hoặc A = K(i). Cho R là một ma trận Hermit cấp n trên A; người ta nói rằng R có chữ ký (s, t) nếu dạng Hermit trên Aⁿ có R làm ma trận đối với cơ sở chính tắc, có… 0DMD
Nhận xét 5 Giả sử rằng A = K hoặc A = K(i); cho R, S là hai ma trận Hermit trên A, có các chữ ký (s, t) và (s', t') tương ứng (bài tập 4); chứng minh rằng ma trận R ⊗ S là một ma trận Hermit… 0DME
Nhận xét 6 Cho K là một trường có thứ tự cực đại, L là một đại số đơn có hạng hữu hạn trên K. Nếu (s, t) là chỉ số của dạng song tuyến tính đối xứng (x, y) → Tr_L/K(xy) trên L, bây giờ chứng… 0DMF
Nhận xét 7 Ta giả sử rằng A thỏa mãn các điều kiện ở đầu § 7 và rằng E có số chiều hữu hạn n. Gọi Φ là một dạng Hermit không suy biến dương trên E. a) Bây giờ chứng minh rằng mọi phép đồng dạ… 0DMG
Nhận xét 8 Ta giả sử A = K; cho L là một không gian Hermit hữu hạn chiều trên A, có dạng mêtric dương không suy biến. Cho M, N là hai phần của L, u là một song ánh từ M lên N sao cho e(u(a)… 0DMH
Nhận xét 9 Giả sử các điều kiện của n° 3 được thỏa mãn, và thêm vào đó A là trường quaternion trên K. Cho u là một tự đồng cấu chuẩn của E. Chứng minh rằng E là tổng trực tiếp của các không g… 0DMI
Nhận xét 10 Giả sử các điều kiện của n° 3 được thỏa mãn, và thêm vào đó A bằng K(i) hoặc trường quaternion trên K. Cho u là một tự đồng cấu chuẩn của E. 0DMJ
Nhận xét 11 Giả sử các điều kiện của n° 3 được thỏa mãn, và thêm vào đó A = K. Cho u là một tự đồng cấu chuẩn của E. 0DMK
Nhận xét 12 Giả sử các điều kiện của n° 3 được thỏa mãn, và thêm vào đó A bằng K(i) hoặc trường quaternion trên K. Chứng minh rằng với mọi tự đồng cấu u của E, tồn tại một cơ sở trực chuẩn của… 0DML
Nhận xét 13 Cho A là một trường thỏa mãn các điều kiện ở đầu § 7, E, F là hai không gian vectơ hữu hạn chiều trên A, Φ (tương ứng Ψ) là một dạng Hermit dương không suy biến trên E (tương ứng F… 0DMM
Nhận xét 14 Giả sử các điều kiện của no 3 được thỏa mãn. Cho u là một tự đồng cấu của E, h₁, h₂ là hai tự đồng cấu Hermit dương của E, sao cho h₁² = u^*u, h₂² = uu^* (bài tập 13 và 10 d)). 0DMN
Nhận xét 15 Giả sử các điều kiện của No. 3 được thỏa mãn. Chứng minh rằng mọi ma trận Hermit dương H trên A có thể được viết dưới dạng LL^*, trong đó L = (λᵢⱼ) chỉ có các số 0 bên dưới đường c… 0DMO
Nhận xét 16 Giả sử các điều kiện của No. 3 được thỏa mãn và thêm vào đó A = K(i). Cho u là một tự đồng cấu của E. 0DMP
Nhận xét 17 Giả sử các điều kiện của No. 3 được thỏa mãn; với mọi ξ ∈ A, ký hiệu |ξ| là phần tử ρ geqslant 0 của K sao cho ρ² = ξ overlineξ (giá trị tuyệt đối của ξ). Với mọi ma trận vuông M =… 0DMQ
Nhận xét 18 Các điều kiện của No. 3 được giả sử thỏa mãn. 0DMR
Nhận xét 19 Giả sử các điều kiện của No. 3 được thỏa mãn. Cho M là một ma trận vuông cấp n trên A; bây giờ chứng minh rằng đối với mọi ma trận con vuông N của M (thu được bằng cách xóa trong M… 0DMS
Nhận xét 20 Giả sử các điều kiện của No. 3 được thỏa mãn và thêm vào đó A bằng K hoặc K(i). Áp dụng các kết quả của các Bài tập 17 đến 19 cho mở rộng của Φ tới các lũy thừa ngoài thứ p (§ 1, N… 0DMT
Nhận xét 21 Giả sử các điều kiện của No. 3 được thỏa mãn. Cho u là một tự đồng cấu Hermit của E và cho ∏ᵢ₌₁ⁿ (X-λᵢ) là phân tích thành các nhân tử tuyến tính của đa thức đặc trưng của nó; giả… 0DMU
Nhận xét 22 Giả sử các điều kiện của No. 3 được thỏa mãn, và ngoài ra A bằng K(i) hoặc bằng trường các quaternion trên K. Cho u, v là hai tự đồng cấu chuẩn của E; gọi (Eᵢ)_1 leqslant i leqslan… 0DMV
Nhận xét 23 Giả sử các điều kiện của No. 3 được thỏa mãn. Cho u và v là hai tự đồng cấu của E. 0DMW
Nhận xét 24 Giả sử rằng các điều kiện của No. 3 được thỏa mãn. Cho Γ là một nhóm các tự đẳng cấu của E sao cho mọi u ∈ Γ đều là chuẩn. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một phân tích của E thành… 0DMX
Nhận xét 25 Giả sử rằng A = K (trường có thứ tự cực đại). Cho L là một không gian Euclid có chiều n trên A, có dạng mêtric dương không suy biến. 0DMY
Nhận xét 26 a) Cho K là một trường giao hoán, S là một tập con của K sao cho K là một trường có thứ tự cực đại S (chương VI, § 2, bài tập 8). Cho f là một đa thức của K[X], L là trường các ngh… 0DMZ
Nhận xét 27 Cho K là một trường có thứ tự cực đại, E là một không gian vectơ chiều n trên K, Φ là một dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến trên E, có chỉ số (s, t) phân biệt với (n, 0)… 0DN0

§ 8. Các kiểu của dạng toàn phương

Mệnh đề 1 Cho Q và Q' là hai dạng toàn phương trên A, không suy biến và hữu hạn chiều. Để Q và Q' tương đương, điều kiện cần và đủ là chúng có cùng chiều và cùng kiểu. 0DN1
Mệnh đề 2 Quan hệ « tồn tại một dạng toàn phương Q trên A, không suy biến và hữu hạn chiều, sao cho X = θ(Q) » là xác định tập theo X (Ens., chap. II, § 1, n° 4). 0DN2
Mệnh đề 3 Cho Q là một dạng toàn phương không suy biến, hữu hạn chiều trên một không gian vectơ V trên A. Ký hiệu bởi – Q dạng toàn phương trên V được xác định bởi (-Q)(x) = -Q(x) (x ∈ V). K… 0DN3
Định nghĩa 1 Tập hợp các kiểu của các dạng toàn phương không suy biến, hữu hạn chiều trên A, được trang bị phép cộng định nghĩa bởi (2), được gọi là nhóm các kiểu của dạng toàn phương, hay nhóm… 0DN4
Nhận xét 1) Mọi dạng toàn phương không suy biến Q hữu hạn chiều có kiểu bằng không (nghĩa là sao cho θ(Q) = T₀ theo ký hiệu trên) là một dạng trung hòa. Thật vậy, tồn tại các dạng trung hòa… 0EEP
Mệnh đề 4 Cho Q là một dạng toàn phương không suy biến trên một không gian vectơ hữu hạn chiều E trên A. Giả sử rằng A có đặc số ≠ 2, và cho (x₁, …, xₙ) là một cơ sở trực giao của V. Gọi T₁… 0DN5
Hệ quả Với các giả thiết và ký hiệu như trong mệnh đề 3, các phần tử a.T₁ (a ∈ A^*) tạo thành một hệ sinh của nhóm các kiểu của các dạng toàn phương trên A. 0DN6
Mệnh đề 5 Ta giả sử rằng A là một trường có thứ tự cực đại. Cho Q là một dạng toàn phương không suy biến có số chiều hữu hạn trên A, và (s, t) là dấu hiệu của nó (§ 7, no 2, đn. 2). Khi đó k… 0DN7
Nhận xét 1 Rõ ràng là, nếu a là một phần tử của A^*, ta có 0DN8
Nhận xét 2 Vì A có đặc số ≠ 2, mọi phần tử T của 𝔅 đều có thể viết dưới dạng ∑ᵢ₌₁ⁿ aᵢ . T₁ với aᵢ ∈ A^* (No. 2, mệnh đề 4). Ta có 0DN9
Nhận xét 3 Giả sử rằng A là một trường có thứ tự cực đại. Khi đó vành 𝔅 đẳng cấu với Z (mệnh đề 5), số nguyên tương ứng với kiểu của một dạng có chữ ký (s,\ t) là s - t (ibid.). Vì tích tenxơ… 0DNA

§ 9. Đại số Clifford

Định nghĩa 1 Đại số Clifford của Q, ký hiệu bởi C(Q), là đại số thương của đại số tenxơ T(E) của môđun E theo iđêan hai phía (ký hiệu bởi I(Q)) sinh bởi các phần tử có dạng x ⊗ x - Q(x)· 1 (x ∈… 0DNB
Ví dụ Nếu E thừa nhận một cơ sở gồm một phần tử duy nhất e, thì T(E) đẳng cấu với đại số đa thức A[X], và C(Q) là một mở rộng bậc hai của A, có cơ sở là (1,\ u), trong đó u là phần tử u… 0DNC
Mệnh đề 1 Cho f là một ánh xạ tuyến tính từ E vào một đại số D trên A sao cho f(x)² = Q(x).1 với mọi x ∈ E. Tồn tại một và chỉ một đồng cấu barf từ C(Q) vào D sao cho f = barf ∘ ρ_Q. 0DND
Mệnh đề 2 Cho A' là một vành giao hoán, φ là một đồng cấu từ A vào A', Q’ là dạng toàn phương trên E' = A' ⊗_A E suy ra từ Q bởi mở rộng các vô hướng (§ 3, no 4, mệnh đề 3). Tồn tại một và c… 0DNE
Bổ đề 1 Cho f là một phần tử của đối ngẫu E^* của E. Tồn tại một và chỉ một ánh xạ tuyến tính i_f từ T(E) vào chính nó sao cho i_f(1) = 0 tag4 i_f ∘ eₓ + eₓ ∘ i_f = f(x).I tag5 với mọi x ∈… 0DNF
Bổ đề 2 Tồn tại một và chỉ một ánh xạ tuyến tính λ_F từ T(E) vào chính nó sao cho 0DNG
Bổ đề 3 Cho F và G là hai dạng song tuyến tính trên E. Ta có λ_F ∘ λ_G = λ_F+G. Với mọi dạng song tuyến tính F trên E, λ_F là một song ánh của T(E) lên chính nó. 0DNH
Mệnh đề 3 Cho Q và Q' là hai dạng toàn phương và F là một dạng song tuyến tính trên E sao cho Q'(x) = Q(x) + F(x, x) với mọi x ∈ E. Ánh xạ λ_F biến iđêan I(Q') thành iđêan I(Q), và xác định… 0DNI
Bổ đề 4 Nếu dạng toàn phương Q bằng không, thì C(Q) không là gì khác ngoài đại số ngoài của E. 0DNJ
Định lý 1 Giả sử rằng A-môđun E thừa nhận một cơ sở (xᵢ)_i ∈ L, tập hợp chỉ số L được trang bị một thứ tự toàn phần. Với mọi tập con hữu hạn H của L, đặt x_H = ρ(x_h₁) ρ(x_h₂) … ρ(x_h_q), tr… 0DNK
Hệ quả 1 Nếu E là một môđun tự do chiều n, thì C(Q) là một môđun tự do chiều 2ⁿ; hơn nữa, nếu n > 0, thì C⁺ và C⁻ là các môđun tự do chiều 2ⁿ⁻¹. 0DNL
Hệ quả 2 Nếu E là một môđun tự do, thì ánh xạ chính tắc ρ từ E vào C(Q) và ánh xạ a → a.1 từ A vào C(Q) đều là đơn ánh. 0DNM
Hệ quả 3 Giả sử rằng E là tổng trực tiếp của hai môđun con tự do E₁ và E₂. Gọi Qᵢ là hạn chế của Q lên Eᵢ và pᵢ là ánh xạ chính tắc từ C(Qᵢ) vào C(Q) (i = 1, 2). Khi đó ánh xạ tuyến tính p… 0DNN
Hệ quả 4 Các giả thiết và ký hiệu vẫn như trong Hệ quả 3, giả sử thêm rằng E₁ và E₂ trực giao, và chuyển cấu trúc đại số của C(Q) lên C(Q₁) ⊗ C(Q₂) nhờ song ánh p. Nếu aᵢ và bᵢ là các phần… 0DNO
Định lý 2 Giả sử rằng chiều của E là một số chẵn m = 2r và rằng Q là trung tính (§ 4, no. 2). Khi đó đại số C(Q) là tách được (chương VIII, § 7, no. 5, định nghĩa 1) và đẳng cấu với đại số c… 0DNP
Hệ quả Nếu m chẵn, nhưng Q có chỉ số tùy ý, thì đại số C(Q) là một đại số đơn tâm có chiều 2ᵐ. Hơn nữa, nếu m > 0, đại số con C⁺(Q) là tách được, và tâm Z của nó có chiều 2 trên A. Khi Z… 0DNQ
Nhận xét 1 Vì đại số C(Q) là đơn, nó chỉ có một lớp các biểu diễn bất khả quy; chúng được gọi là các biểu diễn spinor; khi ta cố định sự chú ý vào một biểu diễn trong số đó, chẳng hạn τ, thì… 0DNR
Nhận xét 2 Giả sử rằng A có đặc số ≠ 2, và gọi (x₁, …, xₘ) (m = 2r) là một cơ sở trực giao của E. Đặt z = 2ʳ x₁ … xₘ ∈ C(Q); vì xᵢ xⱼ + xⱼ xᵢ = 0 với i ≠ j, ta có zxⱼ = -xⱼ z, kéo theo z thuộ… 0DNS
Định lý 3 Giả sử rằng chiều của E là một số lẻ m = 2r + 1 (và do đó A có đặc số ≠ 2). 0DNT
Nhận xét Biệt thức D của Φ đối với cơ sở (xⱼ)_(j=0,…,2r) bằng 2²ʳ⁺¹ Q(x₀) … Q(x₂ᵣ). Do đó Z được sinh bởi 1 và bởi phần tử lẻ z' = 2ʳ⁺¹ z sao cho z'² = (-1)ʳ 2D. Vì vậy đại số C(Q) là đơn k… 0DNU
Định nghĩa 2 Nhóm Clifford của Q (tương ứng, nhóm Clifford đặc biệt của Q) được gọi là nhóm nhân của các phần tử khả nghịch s của C(Q) (tương ứng, C⁺(Q)) sao cho sEs⁻¹ = E. 0DNV
Định lý 4 Đặt, với s ∈ G và x ∈ E, φ(s).x = sx s⁻¹. 0DNW
Bổ đề 5 Mọi phần tử s của G đều có dạng zs', trong đó z là một phần tử khả nghịch của Z và s' thuộc G ∩ C⁺(Q) hoặc thuộc G ∩ C⁻(Q); nhóm con G⁺ có chỉ số 2 trong G khi E ≠ 0. 0DNX
Mệnh đề 4 Cho β là phản tự đẳng cấu chính của C(Q) (n° 1). Với mọi s ∈ G⁺, β(s)s là một vô hướng. Ánh xạ N : s → β(s)s là một đồng cấu từ G⁺ vào nhóm nhân A^* của các phần tử khác không của… 0DNY

§ 10. Góc

Mệnh đề 1 Gọi A(Φ) là đại số con của L_A(E) được sinh bởi các phép vị tự trực tiếp của E. 0DNZ
Nhận xét 1 Gọi ν là phép đồng dạng có ma trận beginpmatrix 0 & δ \\ 1 & 0 endpmatrix đối với (e₁, e₂); phép đồng dạng ω được đưa vào trong chứng minh của Mệnh đề 1 bằng -α₁ ν; ta có ν² = δ. N… 0DO0
Nhận xét 2 Các phép đồng dạng trực tiếp u = a + b ν (a, b in Λ, b ≠ 0) có bình phương là một phép vị tự là các phép vị tự và các bội vô hướng b ν của ν, vì (a + b ν)² = (a² + δ b²) + 2ab ν. C… 0DO1
Nhận xét 3 Dễ dàng kiểm tra rằng, với x, y in E và u ∈ Λ(Φ), ta có Φ(u(x), y) = Φ(x, overlineu(y)). Do đó, tự đồng cấu liên hợp của một phép đồng dạng trực tiếp u là phép đồng dạng trực tiếp… 0DO2
Nhận xét 4 Vì mọi phép đồng dạng nghịch của E là tích của một phép đồng dạng trực tiếp và phép đối xứng đối với Ae₁, nên các ma trận No. 1 0DO3
Hệ quả 1 Nhóm S⁺ của các phép đồng dạng trực tiếp là giao hoán. Với mọi các vectơ không đẳng hướng x, y của E, tồn tại một và chỉ một phép đồng dạng trực tiếp u sao cho y = u(x). 0DO4
Hệ quả 2 Nhóm O⁺ của các phép quay là giao hoán. Với mọi các vectơ x, y của E sao cho Φ(x, x) = Φ(y, y) ≠ 0, tồn tại một và chỉ một phép quay u sao cho y = u(x). 0DO5
Hệ quả 3 Nhóm S⁺/H là giao hoán. Nó tác động lên tập hợp các đường thẳng không đẳng hướng của E. Với mọi các đường thẳng không đẳng hướng D, D' của E, tồn tại duy nhất một phần tử φ của S⁺/… 0DO6
Mệnh đề 2 Hạt nhân của đồng cấu chính tắc của O⁺ vào S⁺/H là 1, -1. 0DO7
Mệnh đề 3 Đồng cấu u → u/overlineu = u² / N(u) của S⁺ vào chính nó có H làm hạt nhân, và xác định, bằng cách chuyển qua thương, một đẳng cấu của S⁺/H lên O⁺. 0DO8
Hệ quả Ký hiệu i : O⁺ → S⁺/H và d : S⁺/H → O⁺ là các đồng cấu được xác định trong các Mệnh đề 2 và 3, và viết các nhóm Abel O⁺ và S⁺/H theo phép cộng; khi đó d(i(θ)) = 2θ cho θ ∈ O⁺ và i(… 0DO9
Nhận xét Khi –1 thuộc lớp mod. (A^*)² đang xét, nói chung người ta chọn ω sao cho ω² = -1, điều này xác định nó tới dấu. Khi lớp này chứa 1 nhưng không chứa –1, nói chung người ta chọn ω sa… 0DOA
Mệnh đề 4 a) Khi ω² = δ không là một bình phương trong A (nghĩa là khi E không chứa bất kỳ phải đẳng hướng nào), ánh xạ t từ S⁺/H vào tildeA là một song ánh. 0DOB
Mệnh đề 5 Ta viết O⁺ theo lối cộng. Với mọi cặp phần tử θ, θ' của O⁺, ta có 0DOC
Mệnh đề 6 Gọi d là đẳng cấu từ S⁺/H lên O⁺ được định nghĩa trong Mệnh đề 3. Với mọi phần tử φ của S⁺/H sao cho t = t(φ) là hữu hạn, ta có 0DOD
Hệ quả Với mọi phần tử θ của O⁺ sao cho t(θ) là hữu hạn, ta có 0DOE
Nhận xét Các công thức (6) vẫn đúng với t = ∞ miễn là ta thay các hàm hữu tỉ xuất hiện ở vế phải bằng các mở rộng chính tắc của chúng lên trường xạ ảnh tildeA (Chương II, ấn bản thứ 2, Phụ… 0DOF
Mệnh đề 7 Giả sử rằng A là một trường có thứ tự cực đại và Φ là một dạng dương (§ 7). Khi đó các đồng cấu chính tắc từ O⁺ vào S⁺/H⁺ và từ O⁺/ 1, -1 vào S⁺/H là song ánh, và S⁺ đẳng cấu với O… 0DOG
Hệ quả Cho hai nửa đường thẳng D, D' gốc 0, tồn tại một và chỉ một phép quay v sao cho v(D) = D'. 0DOH
Mệnh đề 8 Giả sử rằng A là một trường có thứ tự cực đại, và rằng dạng Φ là dương. Cho D₁, D₂, D'₁, D'₂ là bốn đường thẳng (tương ứng nửa đường thẳng) gốc 0 của E. Điều kiện cần và đủ để các… 0DOI
Nhận xét 1 Tập hợp L các đường thẳng (tương ứng nửa đường thẳng) gốc 0 của E là một không gian thuần nhất đối với nhóm Abel S⁺/H (tương ứng O⁺) sao cho phần tử đơn vị là toán tử duy nhất để b… 0DOJ
Nhận xét 2 Trong định nghĩa của nhóm các góc của các đường thẳng, ta có thể, thay vì dùng nhóm S⁺/H, dùng nhóm O⁺/ -1, 1 đẳng cấu chính tắc với nó (Mệnh đề 7). Đồng cấu chính tắc của O⁺ lên O… 0DOK
Mệnh đề 9 Giả sử trường A có thứ tự cực đại, và Φ là một dạng dương. Với mọi số nguyên n > 1, số các phần tử θ của nhóm 𝔄₀ các góc của các đường thẳng (tương ứng 𝔄 các góc của các nửa đường… 0DOL
Hệ quả Góc phải (tương ứng góc phẳng) là phần tử cấp 2 duy nhất của nhóm 𝔄₀ (tương ứng 𝔄). 0DOM
Bổ đề 1 Cho u là một phép đồng dạng trực tiếp của E; tất cả các song vectơ có dạng x ∧ u(x) đều thuộc cùng một nửa đường thẳng đóng của overset2∧ E. 0DON
Mệnh đề 10 Giả sử rằng trường A là có thứ tự cực đại, rằng mặt phẳng E được định hướng, và rằng dạng Φ là dương. Với mọi cặp vectơ khác không x, y của E, ta có 0DOO
Nhận xét 3 Cho hai đường thẳng (tương ứng, tia) D, D' của một mặt phẳng afin L gắn với E, góc của D và D' được định nghĩa là, và được ký hiệu bởi (widehatD, D'), góc tạo bởi các phương của ch… 0DOP
Nhận xét 4 Cho F là một không gian vectơ có chiều tùy ý trên trường có thứ tự cực đại A, và cho Ψ là một dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến dương trên F. Cho hai vectơ độc lập tuyến… 0DOQ
Mệnh đề 11 Cho E là một mặt phẳng có định hướng trên một trường có thứ tự A, D₀ là một nửa đường thẳng của E, và G là tập hợp các nửa đường thẳng của E phân biệt với D₀. Quan hệ 0DOR
Hệ quả Cho D₁ và D₂ là hai nửa đường thẳng phân biệt của E. Với mọi nửa đường thẳng D₀ của E sao cho dãy D₀, D₁, D₂ là trực tiếp, tập hợp các nửa đường thẳng D của E sao cho D₁ < D < D₂ (… 0DOS
Mệnh đề 12 Cho A là một trường có thứ tự cực đại, E là một mặt phẳng có định hướng trên A, D₀ là một nửa đường thẳng của E, và G là tập hợp các nửa đường thẳng của E phân biệt với D₀. Các tập… 0DOT

X. Đại số đồng điều

§ 1. Bổ sung đại số tuyến tính

Mệnh đề 1 Xét một biểu đồ giao hoán các A-môđun 0DOU
Bổ đề 1 Xét một biểu đồ giao hoán các A-môđun 0DOV
Mệnh đề 2 Giả sử rằng trong biểu đồ giao hoán (4), các dãy (u, v) và (u', v') là khớp. Khi đó: (i) Ta có v₁ ∘ u₁ = 0; nếu u' là đơn ánh, dãy (u₁, v₁) là khớp. (ii) Ta có v₂ ∘ u₂ = 0; nếu v l… 0DOW
Hệ quả 1 Giả sử rằng biểu đồ (4) là giao hoán và có các hàng khớp. Khi đó: 0DOX
Hệ quả 2 Giả sử rằng biểu đồ (4) là giao hoán và có các hàng khớp. Trong các điều kiện đó: 0DOY
Định nghĩa 1 Người ta nói rằng a-môđun E là phẳng nếu, với mọi dãy khớp các a-môđun phải và các đồng cấu 0DOZ
Mệnh đề 3 Để a-môđun E là phẳng, điều kiện cần và đủ là với mọi A-đồng cấu đơn ánh u : M' → M của các A-môđun phải, ánh xạ u ⊗ 1 : M' ⊗_A E → M ⊗_A E là đơn ánh. 0DP0
Mệnh đề 4 (i) Cho (Eᵢ)_i ∈ I là một họ các a-môđun, E = ⨁_i ∈ I Eᵢ là tổng trực tiếp của chúng. Để a-môđun E là phẳng, điều kiện cần và đủ là mỗi Eᵢ đều như vậy. 0DP1
Ví dụ 1 Hiển nhiên Aₛ là một A-môđun phẳng; do đó từ mệnh đề 4 (i) suy ra rằng mọi A-môđun tự do, và nói chung hơn mọi A-môđun xạ ảnh, đều phẳng (xem thêm II, p. 63, hệ quả 6). 0DP2
Ví dụ 2 Theo mệnh đề 4 (ii), mọi A-môđun là giới hạn quy nạp của một hệ quy nạp lọc gồm các A-môđun tự do đều phẳng. Ta sẽ chứng minh mệnh đề đảo lại ở No. 6. 0DP3
Ví dụ 3 Nếu A là nửa đơn, mọi A-môđun đều xạ ảnh (VIII, § 5, No. 1, mệnh đề 1), do đó phẳng. 0DP4
Ví dụ 4 \ Nếu A là một vành địa phương Artin (không nhất thiết giao hoán), một A-môđun là phẳng khi và chỉ khi nó là tự do (AC II, § 3, No. 2, hệ quả 2 của mệnh đề 5). \ 0DP5
Ví dụ 5 Nếu A là nguyên, trường phân thức K của A là một A-môđun phẳng (II, p. 118, mệnh đề 27). 0DP6
Ví dụ 6 Trong AC II và III, chúng tôi sẽ nghiên cứu hai ví dụ quan trọng về A-môđun phẳng khi A giao hoán: các vành phân thức S⁻¹ A, và, khi A là Noether, các hoàn thành tách biệt của A đố… 0DP7
Ví dụ 7 Cho a ∈ A sao cho ánh xạ a_A : x ↦ ax từ A vào A là đơn ánh (“a không là ước trái của 0”). Nếu E là một A-môđun phẳng, thì phép vị tự a_E là đơn ánh, vì nó được đồng nhất với a_A ⊗… 0DP8
Ví dụ 8 Cho B là một vành và ρ : A → B một đồng cấu. Nếu E là một A-môđun phẳng, thì B-môđun E_(B) = B ⊗_A E là phẳng. Thật vậy, cho u : N' → N là một đơn cấu của các B-môđun phải; khi đó… 0DP9
Ví dụ 9 Giả sử rằng A = K[X, Y], trong đó K là một trường. Khi đó iđêan cực đại m sinh bởi X và Y là một A-môđun không xoắn, nhưng không phẳng. Thật vậy, xét vành B = A/(Y), vành này đẳng… 0DPA
Ví dụ 10 Giả sử A giao hoán. Cho B là đại số A[X₁, ..., Xₙ]/(P), trong đó P là một đa thức khác không. Với mọi iđêan nguyên tố p của A, ký hiệu κ(p) là trường phân thức của vành nguyên A/p… 0DPB
Ví dụ 11 \ Cho S và X là hai không gian giải tích phức và cho f : X → S là một cấu xạ. Ta nói rằng f là phẳng tại một điểm x của X nếu O_X,x, được xét như O_S,f(x)-môđun nhờ đồng cấu f^*… 0DPC
Mệnh đề 5 (i) Mọi môđun thừa nhận một trình bày hữu hạn đều sinh hữu hạn. (ii) Nếu A là một vành Noether trái thì mọi A-môđun hữu hạn sinh đều thừa nhận một trình bày hữu hạn. (iii) Mọi môđu… 0DPD
Mệnh đề 6 Cho A là một vành, E là một A-môđun hữu hạn trình bày. Với mọi dãy khớp 0DPE
Mệnh đề 7 Cho M là một A-môđun. Tồn tại một tập hợp có thứ tự I quy nạp sang phải và một hệ quy nạp các A-môđun hữu hạn trình bày (M_α, φ_βα) đối với I sao cho M đẳng cấu với lim_α M_α. Nếu… 0DPF
Mệnh đề 8 a) Nếu A-môđun E là kiểu hữu hạn (resp. có trình bày hữu hạn), thì đồng cấu chính tắc (16) là đơn ánh (resp. song ánh). 0DPG
Hệ quả Mọi môđun phẳng có trình bày hữu hạn đều là xạ ảnh. 0DPH
Bổ đề 2 Cho I là một tập hợp có thứ tự lọc phải, (E_α, φ_βα) một hệ quy nạp các tập hợp đối với I, E là giới hạn quy nạp của nó và φ_α : E_α → E, α ∈ I, các ánh xạ chính tắc. Cho f : I → I… 0DPI
Định lý 1 (D. Lazard) Với mọi A-môđun E, các điều kiện sau là tương đương: (i) E là phẳng. (ii) Với mọi A-môđun P có trình bày hữu hạn, đồng cấu chính tắc Hom_A(P, A) ⊗_A E → Hom_A(P, E) là toàn ánh. (i… 0DPJ
Hệ quả Giả sử A giao hoán. Với mọi A-môđun phẳng E, các A-môđun T(E), S(E), Λ(E), T^n(E), S^n(E), Λ^n(E) đều phẳng. 0DPK
Nhận xét Xét trong (ii) một trình bày hữu hạn As^J \xrightarrow{c} As^I \to P \to 0, ta thu được điều kiện (ii’) vẫn tương đương với các điều kiện trước: 0DPL
Định nghĩa 2 Ta nói rằng A-môđun E là nội xạ nếu, với mọi dãy khớp các A-môđun và các đồng cấu 0DPM
Bổ đề 3 Để A-môđun E là nội xạ, điều kiện cần và đủ là, với mọi ánh xạ A-tuyến tính đơn ánh u : M' → M, ánh xạ 0DPN
Nhận xét Cho E là một A-môđun đơn ánh, u : M' → M và f : M' → E là các đồng cấu của A-môđun. Nếu Keru⊂Kerf, tồn tại một đồng cấu g : M → E sao cho g∘ u=f. Điều này thực vậy suy ra từ điều n… 0DPO
Mệnh đề 9 Cho (Eᵢ)_i∈ I là một họ các A-môđun, E=∏_i∈ IEᵢ là tích của chúng. Để A-môđun E là đơn ánh, điều kiện cần và đủ là mỗi Eᵢ đều như vậy. 0DPP
Mệnh đề 10 Cho E là một A-môđun. Để E là đơn ánh, điều kiện cần và đủ là với mọi iđêan a của A và mọi A-đồng cấu f : a→ E, tồn tại e∈ E sao cho 0DPQ
Hệ quả 1 Nếu vành A là Noether trái, mọi tổng trực tiếp của các A-môđun đơn ánh đều là đơn ánh. 0DPR
Nhận xét Nếu mọi tổng trực tiếp của các A-môđun đơn ánh đều là đơn ánh, thì vành A là Noether trái (X, p. 170, bài tập 21). 0DPS
Hệ quả 2 Giả sử A là nguyên. a) Mọi A-môđun đơn ánh đều chia được. b) Mọi A-môđun không xoắn (II, p. 115) và chia được đều đơn ánh. c) Nếu A là chính, mọi A-môđun chia được đều đơn ánh. 0DPT
Ví dụ 1 Nếu A là nguyên, trường phân thức K của A là một A-môđun nội xạ. Nếu A là chính, K/A là một A-môđun nội xạ. 2) Chẳng hạn, các Z-môđun Q và Q/Z là nội xạ. 3) Cho A là một miền iđêan… 0DPU
Mệnh đề 11 Nếu B là một vành, F là một B-môđun và P là một song môđun (B, A). Nếu F là một B-môđun nội xạ và P là một A-môđun phẳng, thì Hom_B(P, F) là một A-môđun nội xạ. 0DPX
Định nghĩa 3 Người ta nói rằng A-môđun E là một đối sinh nếu, với mọi A-môđun M và mọi phần tử khác không x của M, tồn tại một A-đồng cấu u : M → E sao cho u(x) ≠ 0. 0DPY
Mệnh đề 12 Cho E là một A-môđun nội xạ. Để E là một đối sinh, điều kiện cần và đủ là Hom_A(S, E) ≠ 0 đối với mọi A-môđun đơn S. 0DPZ
Ví dụ Z-môđun đơn ánh Q/Z (X, p. 18, ví dụ 2) là một đối sinh. Thật vậy, mọi môđun đơn của Z-môđun đều đẳng cấu với một môđun Z/pZ, p≠ 0, và Hom_Z(Z/pZ,Q/Z) là khác không (chẳng hạn nó c… 0DQ0
Mệnh đề 13 Cho B là một vành, F là một B-môđun đơn ánh đối sinh, P là một (B,A)-song môđun. Giả sử rằng P là phẳng trên A và sao cho P⊗_A S≠ 0 đối với mọi A-môđun đơn S ( nghĩa là, phẳng trun… 0DQ1
Hệ quả 1 A-môđun E_A=Hom_Z(A,Q/Z) là đơn ánh và là một đối sinh. 0DQ2
Hệ quả 2 A-môđun I⁰(M) là đơn ánh và A-đồng cấu e_M:M→ I⁰(M) là đơn ánh. 0DQ3
Hệ quả 3 Mọi A-môđun đều đẳng cấu với một môđun con của một A-môđun đơn ánh. 0DQ4
Hệ quả 4 Để A-môđun E là đơn ánh, điều kiện cần và đủ là mọi A-đồng cấu đơn ánh f:E→ F đều có một phép co rút A-tuyến tính. 0DQ5
Định nghĩa 4 Cho M là một A-môđun. Một bao nội xạ của M là một cặp (I,i), trong đó I là một A-môđun nội xạ và i:M→ I là một đồng cấu có tính chất sau đây: 0DQ6
Ví dụ 1 Giả sử rằng A nguyên và M không xoắn. Gọi K là trường các phân thức của A và gọi i : M → K ⊗A M là đồng cấu chính tắc. Khi đó (K ⊗A M, i) là một bao nội xạ của M (II, p. 116, mệnh… 0DQ7
Định lý 2 Cho M là một A-môđun. a) M có các bao nội xạ. b) Nếu (I, i) và (J, j) là hai bao nội xạ của M, thì tồn tại một đẳng cấu f : I → J sao cho f ∘ i = j. 0DQ8
Nhận xét 1 Gọi (I, i) là một bao nội xạ của M và j : M → J là một đồng cấu đơn cấu từ M vào một A-môđun nội xạ J. Theo chứng minh ở trên, tồn tại một đồng cấu đơn cấu f : I → J sao cho f ∘ i… 0DQ9
Nhận xét 2 Gọi (I, i) là một bao nội xạ của M. Đồng nhất M với môđun con i(M) của I. Với mọi môđun con N của M, tồn tại một môđun con nội xạ của I là một bao nội xạ của N (áp dụng Nhận xét 1… 0DQA
Mệnh đề 14 Cho I là một A-môđun nội xạ khác không. Các điều kiện sau là tương đương: (i) I không phân tích được (VII, § 4, no 8, def. 3); (ii) 0 không là giao của hai môđun con khác không của… 0DQB
Hệ quả 1 Quan hệ “I là một lớp các A-môđun nội xạ không phân tích được” là xác định tập. 0DQC
Hệ quả 2 Cho M là một A-môđun, I là một bao nội xạ của M. Để I không phân tích được, điều kiện cần và đủ là 0 không là giao của hai môđun con khác không của M. 0DQD
Ví dụ 2 Nếu A giao hoán và Noether, thì các A-môđun nội xạ không phân tích được chính là các bao nội xạ của các môđun A/p, trong đó p là một iđêan nguyên tố (X, p. 171, bài tập 27). 0DQE
Bổ đề 4 Cho M là một A-môđun Noether khác không, I là một bao nội xạ của M. Khi đó I có một môđun con nội xạ không phân tích được. 0DQF
Định lý 3 Cho I là một A-môđun nội xạ. 0DQG

§ 2. Phức của a-môđun

Định nghĩa 1 Một phức vi phân của các A-môđun là một cặp (C,d) tạo bởi một A-môđun phân bậc C và một tự đồng cấu d:C→ C phân bậc bậc giảm dần -1 và sao cho d∘ d=0. 0DRD
Ví dụ Nếu C có vi phân bằng không, ta có Z(C) = C, B(C) = 0 và H(C) được đồng nhất một cách chính tắc với C. 0DRE
Định nghĩa 2 Cho (C, d) và (C', d') là hai phức. Một cấu xạ ¹ từ (C, d) đến (C', d') là một đồng cấu phân bậc A bậc 0 từ C đến C' sao cho d' ∘ u = u ∘ d . 0DRF
Định nghĩa 3 Cho (C, d) và (C', d') là hai phức. Một đẳng cấu đồng điều (hay giả đẳng cấu) từ (C, d) đến (C', d') là một cấu xạ u từ (C, d) đến (C', d') sao cho H(u) là song ánh. 0DRG
Mệnh đề 1 Với mọi họ các phức (Cᵢ)_i ∈ I, các đồng cấu chính tắc ⨁_i ∈ I H(Cᵢ) → H(⨁_i ∈ I Cᵢ), H(∏_i ∈ I Cᵢ) → ∏_i ∈ I H(Cᵢ) đều là song ánh. 0DRH
Bổ đề 1 Ảnh φ(Γ) của Γ trong H(C'') × H(C') là đồ thị của một A-đồng cấu phân bậc bậc -1 từ H(C'') vào H(C'). 0DRI
Định lý 1 Dãy vô hạn các đồng cấu của các A-môđun 0DRJ
Hệ quả 1 Nếu hai trong các phức C, C', C'' có đồng điều bằng không, thì phức thứ ba cũng vậy. Để u (tương ứng. v) là một đồng cấu, điều kiện cần và đủ là C'' (tương ứng. C') có đồng điều bằ… 0DRK
Hệ quả 2 Cho u là một cấu xạ của các phức. Nếu Ker u và Coker u có đồng điều bằng không, thì u là một đồng cấu trên đồng điều. 0DRL
Mệnh đề 2 Xét một biểu đồ giao hoán các phức với các hàng khớp 0DRM
Ví dụ Cho C là một phức. Xét dãy khớp chính tắc 0DRN
Ví dụ Xét tích các mặt cầu S₂ × S₂ và không gian xạ ảnh phức P₂(C). Cho b ∈ S₂, ta định nghĩa một phân tích tế bào (Yₙ) của Y = S₂ × S₂ bằng cách đặt 0DRO
Định nghĩa 4 Cho (C, d) và (C', d') là hai phức, f và g là hai cấu xạ từ C đến C'. Một đồng luân nối f với g là mọi A-đồng cấu phân bậc s bậc 1 từ C đến C' sao cho g - f = d' ∘ s + s ∘ d. Ta nó… 0DRP
Mệnh đề 3 Nếu f và g là hai cấu xạ đồng luân từ C vào C', thì H(f) = H(g). Gọi s là một đồng luân nối f với g. Ta có (g - f)(Z(C)) = (d' ∘ s + s ∘ d)(Z(C)) = (d' ∘ s)(Z(C)) ⊂ B(C') , do đó H… 0DRQ
Hệ quả Một cấu xạ đồng luân với một đẳng cấu đồng điều là một đẳng cấu đồng điều. 0DRR
Mệnh đề 4 Cho C, C', D, D' là bốn phức, f : C → C', g : C → C', u : D → C, v : C' → D' là bốn cấu xạ. Nếu s là một đồng luân nối f với g, thì v ∘ s ∘ u là một đồng luân nối v ∘ f ∘ u với v ∘… 0DRS
Hệ quả Cho C, C', C'' là ba phức, f và g là hai cấu xạ từ C vào C', f₁ và g₁ là hai cấu xạ từ C' vào C''. Nếu s và s₁ là các đồng luân nối f với g và f₁ với g₁ tương ứng, thì s₁ ∘ f + g₁… 0DRT
Định nghĩa 5 Một cấu xạ của các phức f : C → C' được gọi là một đồng luân tương đương nếu tồn tại một cấu xạ f' : C' → C sao cho f' ∘ f và f ∘ f' đồng luân với 1_C và 1_C' tương ứng. 0DRU
Mệnh đề 5 Một đồng luân tương đương là một đồng điều tương đương; một cấu xạ là hợp thành của các đồng luân tương đương là một đồng luân tương đương. Một cấu xạ đồng luân với một đồng luân t… 0DRV
Hệ quả Cho C, C', D, D' là bốn phức, f : C → C' là một cấu xạ, u : D → C và v : C' → D' là các tương đương đồng luân. Để v ∘ f ∘ u là một tương đương đồng luân (tương ứng, một đẳng cấu đồ… 0DRW
Ví dụ Cho u : M → N và v : N → P là các đồng cấu của các A-môđun sao cho v ∘ u = 0; gọi C là phức sao cho C₂ = M, C₁ = N, C₀ = P, Cᵢ = 0 với i ≠ 0, 1, 2, d₂ = u, d₁ = v, dᵢ = 0 với i ≠ 1… 0DRX
Mệnh đề 6 Cho (C, d) là một phức. Các điều kiện sau là tương đương: (i) tồn tại một tương đương đồng luân từ (C, d) đến (H(C), 0); (ii) tồn tại một tự đồng cấu A-môđun s của C, phân bậc bậc… 0DRY
Định nghĩa 6 Một phức C được gọi là tách nếu nó thỏa mãn các điều kiện tương đương của Mệnh đề 6. 0DRZ
Ví dụ 1 Một phức có vi phân không là tách. 0DS0
Ví dụ 2 Các phức đồng luân với không là các phức tách có đồng điều không, nghĩa là các phức C sao cho H(C)=0 và Z(C) là một nhân tử trực tiếp của C. 0DS1
Ví dụ 3 Cho f:M→ N là một đồng cấu của các A-môđun và C là phức sao cho C₁=M, C₀=N, Cᵢ=0 với i≠0,1, d₁=f, dᵢ=0 với i≠1. Khi đó C là tách khi và chỉ khi Kerf là một nhân tử trực tiếp của M… 0DS2
Ví dụ 4 Phức C là tách ngay khi B(C) và H(C) là xạ ảnh (tương ứng, ngay khi Bₙ(C) và Hₙ(C) là đơn ánh với mỗi n). Thật vậy, theo các dãy khớp (Iₙ) đến (IVₙ) của No. 1, khi đó Z(C) là một n… 0DS3
Ví dụ 5 Đặc biệt, nếu A là chính, một phức tự do C là tách khi và chỉ khi H(C) là tự do (nghĩa là Hₙ(C) tự do với mọi n∈Z). 0DS4
Nhận xét a) Giả sử dãy khớp chính tắc của các A-môđun phân bậc 0DS5
Bổ đề 2 (Cyl (u), overlineD) và (Con (u), D) là các phức của A-môđun. 0DS6
Định nghĩa 7 Các phức Cyl (u) và Con (u) được gọi tương ứng là trụ và nón của cấu xạ u. 0DS7
Ví dụ Cho u : M → N là một đồng cấu của các A-môđun; khi đó các thành phần thuần nhất khác không duy nhất của Cyl (u) và Con (u) là Cyl₁ (u) = M , Cyl₀ (u) = M ⊕ N , Con₁ (u) = M , Con₀… 0DS8
Mệnh đề 7 a) Các ánh xạ tildeu, α, β, π, tildeπ, δ là các cấu xạ phức : ta có u = β ∘ tildeu, π = tildeπ ∘ α, β ∘ α = 1_C. 0DS9
Hệ quả Với mọi cấu xạ phức u : C' → C, tồn tại một cấu xạ đơn cấu của các phức tildeu : C' → C₁ và một homotopisme β : C₁ → C sao cho u = β ∘ tildeu. 0DSA
Bổ đề 3 a) Đồng cấu liên kết ∂ₙ₊₁(π, δ) : Hₙ(C') → Hₙ(C) ứng với dãy khớp (7) bằng -Hₙ(u). 0DSB
Mệnh đề 8 Ta có dãy khớp vô hạn (8) ⋯ longrightarrow Hₙ(C') xrightarrowHₙ(u) Hₙ(C) xrightarrowHₙ(π) Hₙ(Con (u)) xrightarrowHₙ(δ) Hₙ₋₁(C') longrightarrow ⋯ . 0DSC
Hệ quả Để u là một homologisme, điều kiện cần và đủ là Con (u) có đồng điều bằng không. 0DSD
Nhận xét Xét biểu đồ 0DSE
Mệnh đề 9 Các ánh xạ β và φ là các homologisme của các phức. Đối với β, điều này suy ra từ mệnh đề 7, c). Ta có beginalign* φ ∘ D(y', x) &= φ(-d'y', dx - u(y')) = v(dx - u(y')) \\ &= v(dx) =… 0DSF
Nhận xét Homologisme β là một homotopisme, nhưng nói chung φ không phải là một homotopisme (cf. X, p. 173, bài tập 8). 0DSG
Hệ quả Biểu đồ các A-môđun phân bậc 0DSH
Ví dụ 1 Nếu A là một trường, ta có thể lấy C là tập hợp các lớp của các không gian vectơ hữu hạn chiều và φ là đẳng cấu từ K( C) lên Z được xác định bởi φ([M]) = dim(M). 0DSI
Ví dụ 2 Ta có thể lấy C là tập hợp các lớp của các môđun có độ dài hữu hạn và φ: K( C) → Z là đồng cấu được xác định bởi φ([M]) = long_A(M). 0DSJ
Định nghĩa 8 Cho M là một A-môđun phân bậc bị chặn thuộc kiểu C và (Mₙ) là phân bậc của nó. Ta gọi đặc số-φ của M, và ký hiệu nó bởi χ_φ(M) hoặc đơn giản là χ(M), là phần tử ∑ (-1)ⁿ φ([Mₙ]) của… 0DSK
Ví dụ 3 Nếu M bị chặn và thuộc kiểu C, thì tương tự cũng đúng đối với M(p) với mọi p ∈ Z, và ta có χ(M(p)) = (-1)ᵖ χ(M). 0DSL
Nhận xét Người ta gọi đa thức Poincaré của M đối với φ là phần tử P_M(t) = ∑ φ([Mₙ]) tⁿ ∈ G ⊗ Z[t, t⁻¹]. Ta có P_M(1) = φ([M]) và P_M(-1) = χ(M). 0DSP
Bổ đề 4 Cho C là một phức bị chặn kiểu C. Nếu H(C) = 0, thì ta có χ(C) = 0. Điều này suy ra từ VIII, § 6, No. 1, hệ quả của Mệnh đề 1. 0DSQ
Mệnh đề 10 Cho C và C' là hai phức bị chặn kiểu C. Nếu tồn tại một cấu xạ đồng điều u : C' → C, thì ta có χ(C) = χ(C'). Thật vậy, Con (u) bị chặn kiểu C và ta có χ(Con(u)) = χ(C) - χ(C'); mặt… 0DSR
Mệnh đề 11 Cho C là một phức bị chặn kiểu C. a) Nếu C ổn định, thì H(C) là kiểu C. b) Nếu H(C) là kiểu C, thì tương tự cũng vậy đối với B(C) và Z(C), và ta có χ(H(C)) = χ(C). 0DSS
Hệ quả Nếu C ổn định và C bị chặn kiểu C, thì môđun phân bậc H(C) bị chặn kiểu C và ta có χ(H(C)) = χ(C). 0DST
Mệnh đề 12 Cho 0 → C' → C → C'' → 0 là một dãy khớp các phức. 0DSU
Bổ đề 5 Cho M → N → P → Q → R là một dãy khớp các A-môđun. Nếu C ổn định, và nếu M, N, Q và R thuộc kiểu C, thì môđun P thuộc kiểu C. Đặt N' = Coker(M → N) và Q' = Ker(Q → R). Các môđun N'… 0DSV
Hệ quả Giả sử C ổn định, và cho u : C' → C là một cấu xạ các phức sao cho H(C) và H(C') bị chặn kiểu C. Khi đó H(Con(u)) bị chặn kiểu C, và ta có χ(H(Con(u))) = χ(H(C)) - χ(H(C')) . 0DSW
Nhận xét Cho E là một phức, h : E → C và h' : E → C' là các tương đương đồng luân với C và C' bị chặn kiểu C. Khi đó χ(C) = χ(C'). Thật vậy, nếu h₁ là một nghịch đảo của h với sai khác đồng… 0DSX
Mệnh đề 13 Tồn tại duy nhất một phản đạo hàm k d : Ω_A/k → Ω_A/k bậc 1, bình phương bằng không, mở rộng đạo hàm d⁰ : A → Ω¹_A/k. 0DSY
Ví dụ 1 Lấy A là vành k[X₁, ..., Xₙ]. Khi đó Ω_A/k¹ là một A-môđun tự do với cơ sở dX₁, ..., dXₙ (III, p. 134, ví dụ). Do đó, nếu, với mọi tập con I = i₁, ..., iₚ của 1, n , ta đặt dX_I =… 0DSZ
Ví dụ 2 Giả sử k = C và A = C [X₁, ..., Xₙ]/(P₁, ..., Pᵣ), trong đó các Pᵢ là các đa thức theo X₁, ..., Xₙ, sao cho tập hợp các điểm của Cⁿ tại đó mọi Pᵢ đều triệt tiêu là một tập con đại… 0DT0
Mệnh đề 14 (i) Tồn tại một ánh xạ k-tuyến tính duy nhất ∇ từ Ω_A/k-môđun phải M ⊗_A Ω_A/k vào chính nó, phân bậc bậc 1, mở rộng ∇⁰ ở bậc 0 và thỏa mãn đẳng thức : 0DT1

§ 3. Phân giải

Bổ đề 1 Xét một biểu đồ các A-môđun và các đồng cấu 0DTO
Bổ đề 2 Nếu trong biểu đồ giao hoán các A-môđun và các đồng cấu 0DTP
Mệnh đề 1 Cho (P, d_P) và (E, d_E) là hai phức các A-môđun và r là một số nguyên. 0DTQ
Định nghĩa 1 Cho M là một A-môđun. Một phân giải trái của M là một cặp (P,p) trong đó P là một phức bằng không ở bên phải và p:P→ M là một đồng cấu. Một phân giải phải của M là một cặp (e,E) tr… 0DTR
Mệnh đề 2 Cho P là một phức bằng không ở bên phải và p:P→ M là một cấu xạ. Để (P,p) là một phân giải trái của M, điều kiện cần và đủ là dãy 0DTS
Định nghĩa 2 Một phân giải xạ ảnh (tương ứng, tự do, tương ứng, phẳng) của A-môđun M là một phân giải trái (P,p) của M sao cho phức P là xạ ảnh (tương ứng, tự do, tương ứng, phẳng) (X, p. 25)… 0DTT
Ví dụ 1 Giả sử rằng vành A là chính; cho M là một A-môđun và (xᵢ)_i∈ I là một họ sinh của M. Ký hiệu L₀ là môđun tự do A⁽ᴵ⁾, (eᵢ) là cơ sở chính tắc của nó, và định nghĩa p:L₀→ M bởi p(eᵢ)… 0DTU
Ví dụ 2 Giả sử A giao hoán; cho E là một A-môđun và u là một tự đồng cấu của E. Ký hiệu bởi Eᵤ môđun A[X] thu được bằng cách trang bị cho E cấu trúc được định nghĩa bởi 0DTV
Ví dụ 3 Nếu A là chính, dãy khớp 0DTW
Mệnh đề 3 Cho f : M' → M là một đồng cấu của các A-môđun, p' : P' → M' là một cấu xạ vào M' của một phức triệt tiêu ở bên phải và xạ ảnh P', và p : P → M là một phân giải trái của M. Tồn tại… 0DTX
Hệ quả Cho (P, p) và (P', p') là hai phân giải xạ ảnh của M. Tồn tại một cấu xạ, và chỉ một đến đồng luân, α : P' → P sao cho p ∘ α = p'. 0DTY
Hệ quả Cho (e, E) và (e', E') là hai phân giải đơn ánh của N; tồn tại một cấu xạ α : E → E' và chỉ một đến đồng luân sao cho α ∘ e = e'. 0DTZ
Mệnh đề 4 L(f) : L(M) → L(N) là một cấu xạ của các phức A-môđun; ta có p_M ∘ L(f) = f ∘ p_N. 0DU0
Nhận xét Nếu f, g ∈ Hom_A(M, N), ta không có L(f + g) = L(f) + L(g). Tuy nhiên hai cấu xạ này là đồng luân theo X, p. 49, mệnh đề 3. 0DU1
Mệnh đề 5 I(f) : I(M) → I(N) là một cấu xạ của các phức các A-môđun; ta có I(f) ◦ eM = eN ◦ f. Điều này được chứng minh theo một cách tương tự như Mệnh đề 4. 0DU2
Nhận xét Nếu f, g ∈ Hom_A(M, N), thì không có I(f + g) = I(f) + I(g). Tuy nhiên, hai cấu xạ này là đồng luân theo X, p. 49, mệnh đề 3 bis. 0DU3
Mệnh đề 6 Khi A là Noether trái, mọi A-môđun M sinh hữu hạn đều có một phân giải tự do p : L → M sao cho Lₙ sinh hữu hạn với mọi số nguyên n. Nói chung hơn: 0DU4
Mệnh đề 7 Cho C là một A-phức và a ∈ Z sao cho Hₙ(C) = 0 với n < a. a) Tồn tại một A-phức tự do L sao cho Lₙ = 0 với n < a và một đồng cấu đồng điều f : L → C. 0DU5
Bổ đề 3 Cho C là một phức và cho r∈ Z. Tồn tại một phức C' và một đồng cấu f:C'→ C sao cho fₙ:C'ₙ→ Cₙ là một đẳng cấu với n<r và sao cho C'ᵣ là một A-môđun tự do. Nếu A là Noether và các A… 0DU6
Proposition 8 Cho M là một A-môđun, P và P' là hai phân giải xạ ảnh cực tiểu của M, và f:P→ P' là một cấu xạ của các phân giải. Khi đó f là một đẳng cấu. Đặc biệt, hai phân giải xạ ảnh cực tiểu… 0DU7
Hệ quả Cho M là một A-môđun, P và P' là hai phân giải xạ ảnh của M; giả sử rằng P là cực tiểu. Cho f:P→ P' và g:P'→ P là hai cấu xạ của các phân giải. Khi đó f là đơn ánh, g là toàn ánh… 0DU8
Mệnh đề 9 Cho M là một A-môđun và (P,p) là một phân giải xạ ảnh của M. Ký hiệu r là căn của A. Giả sử hoặc Pₙ là một A-môđun hữu hạn sinh với mọi n, hoặc r là lũy linh. Khi đó điều kiện cần… 0DU9
Mệnh đề 10 Giả sử rằng A là một vành địa phương Noether trái, và cho M là một A-môđun hữu hạn sinh. Khi đó M có một phân giải cực tiểu (P, p); với mọi n geqslant 0, Pₙ là một môđun tự do sinh… 0DUA
Proposition 11 Nếu M là một A-môđun phân bậc bị chặn dưới (tương ứng nếu M là một A-môđun phân bậc kiểu hữu hạn và nếu A là Noether trái), thì tồn tại một dãy khớp các A-môđun phân bậc không bị c… 0DUB
Mệnh đề 12 Ánh xạ overlineε_M : B(A, M) → M là một đồng luân cấu của các phức k-môđun. Đặc biệt, phức B(A, M) tách trên k, và (B(A, M), overlineε_M) là một phân giải trái của A-môđun M. 0DUC
Định nghĩa 3 Phân giải trái (B(A, M), overlineε_M) của M được gọi là phân giải tiêu chuẩn của A-môđun M. 0DUD
Định lý 1 Cho C₀ và C là hai lớp các tập hợp môđun A cộng tính và khớp trái sao cho C₀ ⊂ C và mọi A-môđun thuộc kiểu C đều có một phân giải trái hữu hạn thuộc kiểu C₀. Khi đó đồng cấu α : K(… 0DUE
Bổ đề 4 Cho f : M' → M là một đồng cấu của các A-môđun thuộc kiểu C, và p : P → M là một phân giải trái hữu hạn của P thuộc kiểu C₀. Tồn tại một phân giải trái hữu hạn p' : P' → M' thuộc k… 0DUF
Bổ đề 5 Xét một biểu đồ giao hoán 0DUG

§ 4. Tích xoắn

Nhận xét 1 Khi C' thu gọn thành C'₀=M, thì (C⊗_A C')ₙ=Cₙ⊗_A M và D=d⊗ 1_M; ví dụ C⊗_A Aₛ được đồng nhất một cách tự nhiên với C. Tương tự, khi C thu gọn thành C₀=P, thì (C⊗_A C')ₙ=P⊗_A C'ₙ và… 0DV2
Nhận xét 2 Với mọi số nguyên r, ta có (C⊗_A C')(r)=C(r)⊗_A C', nhưng nói chung (C⊗_A C')(r) và C⊗_A C'(r) không có cùng vi phân. 0DV3
Mệnh đề 1 Nếu các phức C và C' bằng không ở bên phải, thì C ⊗_A C' bằng không ở bên phải và ánh xạ tuyến tính trên k chính tắc γ_0,0(C, C') : H₀(C) ⊗_A H₀(C') → H₀(C ⊗_A C') là song ánh. 0DV4
Mệnh đề 2 Ánh xạ σ(C, C') : C ⊗_A C' → C'^∘ ⊗_A C^∘ là một đẳng cấu của các phức của k-môđun, mà đẳng cấu ngược là σ(C'^∘, C^∘). 0DV5
Nhận xét 3 Có thể định nghĩa tích tenxơ của một họ hữu hạn các phức mà không trang bị cho tập hợp chỉ số một thứ tự toàn phần (X, p. 185, Bài tập 3). 0DV6
Nhận xét 4 Giả sử mỗi C⁽ⁱ⁾ được trang bị một cấu trúc đại số phân bậc tương thích với cấu trúc phân bậc của nó và sao cho các d⁽ⁱ⁾ là các phản đạo hàm (III, p. 117). Khi đó ta trang bị ⨂_i ∈… 0DV7
Mệnh đề 3 Cho C,\ C₁ là hai phức của các A-môđun phải, C',\ C'₁ là hai phức của các A-môđun trái, và u : C → C₁,\ v : C → C₁,\ u' : C' → C'₁,\ v' : C' → C'₁ là các xạ của các phức. 0DV8
Hệ quả 1 Cho C' là một phức tách của các A-môđun trái sao cho H(C') là phẳng. Với mọi phức C của các A-môđun phải, ánh xạ chính tắc 0DV9
Hệ quả 2 Cho N là một A-môđun trái phẳng. Với mọi phức C của các A-môđun phải, các đồng cấu chính tắc 0DVA
Hệ quả 3 Cho C' là một phức của các A-môđun trái sao cho B(C') và H(C') là xạ ảnh. Với mọi phức C của các A-môđun phải, ánh xạ γ(C,C') là song ánh. 0DVB
Nhận xét 1 Sử dụng các đẳng cấu giao hoán, từ các hệ quả 1, 2 và 3 ta suy ra các mệnh đề tương tự thu được bằng cách hoán đổi vai trò của hai đối số của các tích tenxơ. 0DVC
Nhận xét 2 Ta sẽ thấy dưới đây (X, p. 79, Hệ quả 4) rằng kết luận của Hệ quả 1 cũng đúng khi giả sử C' và H(C') phẳng và C' bị chặn về phía phải. 0DVD
Bổ đề 1 Cho C là một phức của các A-môđun phải và E là một phức của các A-môđun trái. Ta giả sử rằng H(C)=0 và rằng E là phẳng và bị chặn về phía phải. Khi đó H(C⊗_A E)=0. 0DVE
Bổ đề 2 Nếu u:C→ C' là một cấu xạ của các phức của A-môđun phải và E là một phức của các A-môđun trái, thì các phức Con(u)⊗_A E và Con(u⊗ 1_E) là đẳng cấu. 0DVF
Mệnh đề 4 Cho u:C→ C' là một đẳng cấu đồng điều của các phức của A-môđun phải và E là một phức của các A-môđun trái, phẳng và bị chặn về phía phải. Khi đó 0DVG
Nhận xét Sử dụng các đẳng cấu giao hoán, từ các mệnh đề trước đó ta suy ra các mệnh đề tương tự thu được bằng cách hoán đổi vai trò của hai đối số của các tích tenxơ. 0DVH
Định nghĩa 1 Cho M là một A-môđun phải và N là một A-môđun trái. Ta gọi tích xoắn của M và N là môđun k phân bậc 0DVI
Nhận xét 1 Ta sẽ thấy dưới đây (X, p. 107, Mệnh đề 6) các tính chất hữu hạn của các môđun Torᴬ(M, N). Chẳng hạn, nếu A là giao hoán Noether và nếu M và N là các A-môđun kiểu hữu hạn, thì mọi… 0DVJ
Nhận xét 2 Cấu xạ phức p_M ⊗ p_N : L(M) ⊗_A L(N) → M ⊗_A N cảm sinh trên đồng điều bậc 0 đẳng cấu 0DVK
Mệnh đề 5 Các đồng cấu k 0DVL
Hệ quả Nếu M hoặc N là phẳng, Torᵢᴬ(M, N) = 0 với i geqslant 0. 0DVM
Nhận xét 3 Nếu g : N → N' là một đồng cấu của các môđun trái A, thì 0DVN
Mệnh đề 6 Ánh xạ (f, g) ↦ Torᴬ(f, g) : 0DVO
Hệ quả Cho λ ∈ k. Nếu λ triệt tiêu M hoặc N, thì nó triệt tiêu Torᴬ(M, N). 0DVP
Mệnh đề 7 Cho I và J là hai tập hợp, (M_α)_α ∈ I là một họ các môđun phải A, (N_β)_β ∈ J là một họ các môđun trái A. Đồng cấu 0DVQ
Mệnh đề 8 Cho I (resp. J) là một tập tiền thứ tự lọc phải, ((M_α, u_α', α) (resp. ((N_β, v_β', β))) là một hệ quy nạp các môđun phải A (resp. trái) tương ứng với I (resp. J). Đồng cấu của cá… 0DVR
Hệ quả Cho I là một tập tiền thứ tự lọc phải, (Mᵢ, uⱼᵢ) (resp. (Nᵢ, vⱼᵢ)) là một hệ quy nạp các môđun phải A (resp. trái) tương ứng với I. Đồng cấu của các môđun k phân bậc 0DVS
Định nghĩa 2 Đồng cấu liên kết của các tích xoắn, tương ứng với môđun M và dãy khớp E, là đồng cấu hợp thành 0DVT
Định lý 1 Dãy vô hạn về bên trái của các k-đồng cấu môđun 0DVU
Hệ quả 1 Nếu Tor₁ᴬ(M, N'') = 0, dãy 0DVV
Hệ quả 2 Cho 0 → C' xrightarrowu C xrightarrowv C'' → 0 là một dãy khớp của các phức các A-môđun trái, và cho E là một phức các A-môđun phải. Nếu C'' hoặc E là phẳng, dãy 0DVW
Ví dụ Cho a là một iđêan của A. Dãy khớp 0DVX
Mệnh đề 9 Cho f : M → M₁ là một đồng cấu của các A-môđun phải và 0DVY
Mệnh đề 10 Ta ký hiệu bởi ( F^∘) dãy khớp của các A-môđun trái 0DVZ
Định lý 2 Cho E là một A-môđun phải. Các điều kiện sau là tương đương : 0DW0
Hệ quả 1 Cho 0 → E' → E → E'' → 0 là một dãy khớp của các A-môđun phải. Giả sử rằng E'' là phẳng. Khi đó E phẳng khi và chỉ khi E' phẳng. 0DW1
Hệ quả 2 Cho 0longrightarrow Eₙlongrightarrow Eₙ₋₁longrightarrow⋯longrightarrow E₁longrightarrow0 là một dãy khớp của các A-môđun phải. Nếu Eᵢ là phẳng đối với i=1,…,n-1, thì Eₙ là phẳng. 0DW2
Bổ đề 3 Đồng cấu nối H(B ⊗_A C') → H(Z ⊗_A C') liên kết với dãy khớp (12) bằng H(i ⊗ 1). 0DW4
Hệ quả 1 Nếu B(C) và Z(C) là phẳng, thì với mọi A-môđun trái N và mọi số nguyên n, có một dãy khớp 0DW5
Hệ quả 2 Giả sử B(C) và B(C') là xạ ảnh và Z(C) là phẳng. Khi đó các dãy của k-môđun (11) và (13) là khớp và tách. Điều này suy ra từ định lý và bổ đề sau: 0DW6
Bổ đề 4 Nếu B(C) và B(C') là xạ ảnh, thì đồng cấu chính tắc γ(C, C') : H(C) ⊗_A H(C') → H(C ⊗_A C') có một co rút tuyến tính theo k. Thật vậy, theo X, p. 65, nhận xét b), tồn tại các đồng… 0DW7
Hệ quả 3 (công thức hệ số phổ quát) Giả sử vành A là chính. Nếu các phức C và C' là tự do, các dãy của A-môđun (11) là khớp và tách; nếu phức C là tự do, các dãy của A-môđun (13) là khớp và tách với mọi A-môđun N. Th… 0DW8
Hệ quả 4 (« công thức Künneth ») Giả sử C bị chặn bên phải, C và H(C) phẳng; khi đó đồng cấu chính tắc 0DW9
Hệ quả 5 Cho u : C \to C' là một đồng luân của các phức của a-môđun phải, phẳng và bị chặn bên phải. Với mọi phức E của các a-môđun trái, cấu xạ u ⊗ 1_E : C ⊗_A E → C' ⊗_A E là một đồng luâ… 0DWA
Mệnh đề 11 Giả sử A Noether trái, và cho C là một phức bị chặn và phẳng của các a-môđun trái sao cho H(C) là một a-môđun sinh hữu hạn. Cho a và b là hai số nguyên sao cho a \leq b và Hn(C) =… 0DWB

§ 5. Các môđun của các mở rộng

Mệnh đề 1 Nếu C là không ở bên phải và C' là không ở bên trái, thì HomgrA (C, C') là không ở bên trái, và ánh xạ K-tuyến tính chính tắc 0DWL
Mệnh đề 2 a) Cho C' xrightarrowu C xrightarrowv C'' là một dãy khớp của các phức A, P là một phức xạ ảnh, E là một phức đơn ánh (X, p. 25). Khi đó các dãy 0DWM
Mệnh đề 3 Cho C, tildeC, C', tildeC' là bốn phức A, u : tildeC → C, v : tildeC → C, u' : C' → tildeC' và v' : C' → tildeC' là bốn cấu xạ của các phức. 0DWN
Hệ quả 1 Nếu C là tách và H(C) xạ ảnh (tương ứng, nếu C' là tách và Hₙ(C') đơn ánh với mỗi n), thì đồng cấu chính tắc 0DWO
Hệ quả 2 Giả sử rằng B(C) và H(C) là xạ ảnh (tương ứng, Bₙ(C') và Hₙ(C') là đơn ánh với mọi n). Khi đó λ(C, C') là song ánh. 0DWP
Hệ quả 3 Cho M là một A-môđun xạ ảnh (tương ứng, một A-môđun đơn ánh). Với mọi phức C của các A-môđun và mọi số nguyên n, đồng cấu chính tắc 0DWQ
Bổ đề 1 a) Nếu C hoặc C' bị chặn về phải, nếu C là xạ ảnh và nếu H(C') = 0, thì H(Homgr_A(C, C')) = 0. b) Nếu C hoặc C' bị chặn về trái, nếu C' là đơn ánh và nếu H(C) = 0, thì H(Homgr_A(C… 0DWR
Mệnh đề 4 Cho u : C' → C là một cấu xạ của các phức, P là một phức xạ ảnh, E là một phức đơn ánh. 0DWS
Định nghĩa 1 Cho M và N là hai A-môđun. Môđun các mở rộng của N bởi M là k-môđun phân bậc 0DWT
Nhận xét 1 Ta sẽ thấy dưới đây (X, p. 107, Mệnh đề 6) một số tính chất hữu hạn của các môđun Extⁿ_A(M,N). Chẳng hạn, nếu A là giao hoán và Noether, và nếu M và N là các A-môđun kiểu hữu hạn… 0DWU
Nhận xét 2 Cấu xạ của các phức 0DWV
Mệnh đề 5 Các k-đồng cấu beginaligned &φ_M(N) : H(Homgr_A(L(M), N)) → Ext_A(M, N) \\ &và overlineφ_N(M) : H(Homgr_A(M, I(N))) → Ext_A(M, N) là song ánh. endaligned 0DWW
Hệ quả Nếu M là xạ ảnh (tương ứng, nếu N là đơn ánh), thì Ext_Aⁱ(M, N) = 0 với i > 0. Thật vậy, Homgr_A(1, e_N) : Hom_A(M, N) → Homgr_A(M, I(N)) (tương ứng, Homgr_A(p_M, 1) : Hom_A(M, N)… 0DWX
Mệnh đề 6 Ánh xạ (f,g) ↦ Ext_A(f,g) : Hom_A(M',M)×Hom_A(N,N')longrightarrow Homgrₖbigl(Ext_A(M,N),Ext_A(M',N')bigr) là k-song tuyến tính. 0DWY
Hệ quả Cho λ ∈ k. Nếu λ triệt tiêu M hoặc N, thì nó triệt tiêu Ext_A(M,N). Thật vậy, λ · 1_Ext_A(M,N) = Ext_A(λ 1_M, 1_N) = Ext_A(1_M, λ 1_N). 0DWZ
Mệnh đề 7 Cho I và J là hai tập hợp, (M_α)_α∈ I và (N_β)_β∈ J là hai họ các A-môđun; đồng cấu Ext_A(⨁_α∈ IM_α,∏_β∈ JN_β) longrightarrow ∏_substackβ∈ J,\ α∈ I Ext_A(M_α,N_β) cảm sinh bởi các… 0DX0
Nhận xét 5 Cho P^∘ và Q^∘ là hai A-môđun phải. Ta định nghĩa Ext_A(P,Q) bởi 0DX1
Định nghĩa 2 Ta gọi đồng cấu hợp thành là đồng cấu nối của các môđun mở rộng tương đối với môđun M và với dãy khớp E 0DX2
Định lý 1 Dãy phải không bị chặn của các đồng cấu các k-môđun 0DX3
Hệ quả Nếu Ext_A¹(M, N') = 0, dãy 0DX4
Mệnh đề 8 Cho f : M₁ → M là một đồng cấu các A-môđun và 0DX5
Định nghĩa 3 Ta gọi đồng cấu nối của các môđun mở rộng tương ứng với dãy khớp (F) và với môđun N, là đồng cấu hợp thành δ(F, N) : overlineφ_N(M'') ∘ ∂(F_N) ∘ overlineφ_N(M')⁻¹ : Ext_A(M', N) →… 0DX6
Định lý 2 Dãy phải không bị chặn của các đồng cấu của các k-môđun 0 longrightarrow Hom_A(M'', N) xrightarrowHom(s, 1) Hom_A(M, N) xrightarrowHom(r, 1) Hom_A(M', N) xrightarrowδ⁰(F, N) Ext_A¹… 0DX7
Hệ quả Nếu Ext_A¹(M'', N) = 0, dãy 0DX8
Mệnh đề 9 Cho g : N → N₁ là một đồng cấu của các A-môđun và 0DX9
Mệnh đề 10 Cho M là một A-môđun. Các điều kiện sau là tương đương: 0DXA
Mệnh đề 11 Cho N là một A-môđun. Các điều kiện sau là tương đương: 0DXB
Định lý 3 Giả sử các A-môđun B(C) và Z(C) là xạ ảnh. Với mỗi n, tồn tại một đồng cấu duy nhất của các k-môđun 0DXC
Nhận xét Người ta có thể chứng minh một mệnh đề tương tự, giả sử Bₙ(C') và C'/Bₙ(C') là đơn ánh với mỗi n. 0DXD
Bổ đề 2 Đồng cấu nối 0DXE
Hệ quả 1 Giả sử B(C) và Z(C) xạ ảnh và Bⁿ(C') đơn ánh với mỗi n. Khi đó các dãy khớp (11) là tách. Điều này suy ra từ định lý và bổ đề sau: 0DXF
Bổ đề 3 Nếu B(C) là xạ ảnh và Bₙ(C') đơn ánh với mỗi n, đồng cấu chính tắc λ(C, C') : H(Homgr_A(C, C')) → Homgr_A(H(C), H(C')) có một tiết diện tuyến tính k. 0DXG
Hệ quả 2 Nếu B(C) và Z(C) là xạ ảnh, thì với mọi A-môđun N và mọi số nguyên n, ta có một dãy khớp tách: 0DXH
Hệ quả 3 (« công thức hệ số phổ quát ») Giả sử A là chính và C tự do. Với mọi A-môđun N và mọi số nguyên n, ta có một dãy khớp tách (13). Thật vậy, B(C) và Z(C) là tự do như các môđun con của môđun tự do C (VII. § 3, hệ… 0DXI
Hệ quả 4 Nếu C bị chặn về bên phải và nếu C và H(C) là xạ ảnh, thì 0DXJ
Mệnh đề 12 Các đồng cấu (14), (15), (16) là các cấu xạ của các phức. 0DXK

§ 6. Sử dụng các phân giải không chính tắc

Định lý 1 a) Nếu một trong hai phân giải R hoặc S là phẳng, thì ψ(S, R) là một đẳng cấu của các k-môđun phân bậc. 0DXT
Hệ quả Nếu R là một phân giải phẳng của M, đồng cấu 0DXU
Nhận xét Biểu đồ các k-môđun 0DXV
Mệnh đề 1 Nếu a₁, b₁, c₁ là các đồng cấu đồng điều, ψ'(S₁, R₁) và φ'(R₁, E₁) lần lượt là các song ánh nghịch đảo của các song ánh ψ(S₁, R₁) và φ(R₁, E₁). 0DXW
Ví dụ 1 Cho a là một phần tử của A sao cho ánh xạ φ : x ↦ xa từ A vào chính nó là đơn ánh (" a không là một ước của không phải "). Dùng phân giải 0DXX
Ví dụ 2 Giả sử rằng A là một miền nguyên; cho K là trường phân thức của A và M là một A-môđun. Dùng phân giải phẳng 0DXY
Ví dụ 3 Giả sử rằng A là một vành địa phương Noether, ký hiệu m là iđêan cực đại của nó, và đặt κ = A/m. Cho M là một A-môđun sinh hữu hạn và P là một phân giải xạ ảnh cực tiểu của M (X, p… 0DXZ
Mệnh đề 2 Hai biểu đồ sau là giao hoán: 0DY0
Nhận xét Tương tự, xét các biểu đồ giao hoán của các cấu xạ của các phức 0DY1
Mệnh đề 3 a) Cho P là một A-môđun, b : S → P là một phân giải trái của P; giả sử rằng dãy các phức các k-môđun 0DY2
Nhận xét 1 Dùng các đẳng cấu giao hoán, suy ra từ a) mệnh đề tương tự thu được bằng cách đổi vai trò của hai đối số của tích tenxơ. 0DY3
Nhận xét 2 Với các ký hiệu của a), giả sử hoặc S là phẳng, hoặc R, R', R'' là phẳng; khi đó một mặt dãy (3) là khớp (X, p. 72, hệ quả 2) và có thể áp dụng mệnh đề 3; mặt khác ψ(S, R') là song… 0DY4
Nhận xét 3 Với các ký hiệu của b), giả sử hoặc E là đơn ánh, hoặc R, R', R'' là xạ ảnh; khi đó một mặt dãy (4) là khớp (X, p. 83, mệnh đề 2) và có thể áp dụng mệnh đề 3; mặt khác, φ(R', E) là… 0DY5
Mệnh đề 4 Cho M là một A-môđun trái, a : R → M là một phân giải trái của M sao cho dãy 0DY6
Nhận xét 4 Nếu R là xạ ảnh hoặc nếu E, E', E'' là đơn ánh, thì dãy (7) là khớp (λ, p. 83, Mệnh đề 2); hơn nữa, φ(R, E'') là song ánh (Định lý 1); do đó 0DY7
Nhận xét 5 Chúng tôi để bạn đọc phát biểu và chứng minh các mệnh đề tương tự với các Mệnh đề 3 và 4 và liên quan đến các đồng cấu ψ₁ và φ₁. 0DY8
Mệnh đề 5 Nếu A là Noether trái và nếu M là một A-môđun hữu hạn sinh, thì đồng cấu chính tắc (8) là song ánh. 0DY9
Mệnh đề 6 Cho B là một vành và N là một song môđun (A, B), là một B-môđun Noether (resp. có độ dài hữu hạn). 0DYA
Hệ quả Cho ρ : A → B là một đồng cấu của các vành giao hoán Noether, M là một A-môđun hữu hạn sinh, N là một B-môđun. Nếu N là một B-môđun hữu hạn sinh (resp. có độ dài hữu hạn), thì điều… 0DYB
Mệnh đề 7 a) Nếu A-môđun Q là phẳng thì đồng cấu (9) là song ánh. b) Nếu A-môđun Q là xạ ảnh sinh hữu hạn thì đồng cấu (10) là song ánh. 0DYC
Mệnh đề 8 a) Nếu N phẳng trên A và trên B thì đồng cấu (11) là song ánh. 0DYD
Mệnh đề 9 Nếu B phẳng trên A, thì đồng cấu (13) là song ánh. Thật vậy ψ'(L(E) ⊗_A B, B ⊗_A L(F)) là song ánh (X, p. 102, prop. 1) và γ là song ánh (X, p. 66, hệ quả 2). 0DYE
Mệnh đề 10 Đồng cấu (14) là song ánh trong các trường hợp sau: a) B là một A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn; b) B là một A-môđun phẳng, A là Noether, và E là một A-môđun hữu hạn sinh. Điều này suy… 0DYF
Định nghĩa 1 Cho M là một Z⁽ᴳ⁾-môđun trái (tương ứng phải), n là một số nguyên geqslant 0. Nhóm Ext_Z⁽ᴳ⁾ⁿ(Z, M) (tương ứng Torₙ^Z⁽ᴳ⁾(M, Z)) được ký hiệu bởi Hⁿ(G, M) (tương ứng Hₙ(G, M)) và đượ… 0DYG
Ví dụ 1 Từ định nghĩa suy ra trực tiếp rằng H⁰(G, M) đẳng cấu với môđun con các phần tử của M bất biến dưới tác động của G, và H₀(G, M) đẳng cấu với môđun thương của M theo môđun con sinh… 0DYH
Ví dụ 2 Từ điều trên suy ra rằng H¹(G, M) đẳng cấu với Z-môđun Z¹(G, M)/B¹(G, M), trong đó Z¹(G, M) là Z-môđun các ánh xạ f từ G vào M thỏa mãn: 0DYI
Ví dụ 3 Tương tự, H²(G,M) đẳng cấu với Z-môđun Z²(G,M)/B²(G,M), trong đó Z²(G,M) là Z-môđun các ánh xạ f từ G× G vào M, thỏa mãn: 0DYJ
Ví dụ 4 Cho M là một Z-môđun, được xét như một Z⁽ᴳ⁾-môđun phải bằng cách cho G tác động tầm thường. Nhóm H₁(G,M) đẳng cấu với thương của M⊗_ZZ⁽ᴳ⁾ bởi môđun con-Z sinh bởi các phần tử m⊗(e_… 0DYK
Bổ đề 1 Cho M là một Z-môđun; kí hiệu Mᴳ là nhóm Hom_Z(Z⁽ᴳ⁾, M) được trang bị cấu trúc tự nhiên của Z⁽ᴳ⁾-môđun trái. Khi đó: 0DYL
Mệnh đề 11 Cho L là một mở rộng Galois bậc hữu hạn của một trường giao hoán K, với nhóm Galois G. a) Ta có Hⁱ(G, L) = 0 với i geqslant 1. b) Ta có H¹(G, L^*) = 0. c) Nhóm H²(G, L^*) đẳng cấu… 0DYM

§ 7. Tích hợp thành

Ví dụ 1 Nếu u ∈ Hom_A(N, P), v ∈ Hom_A(M, N), thì u ∘ v là hợp thành của u và v. 0DZG
Ví dụ 2 Nếu u ∈ Hom_A(N, P), v ∈ Ext_A(M, N), thì 0DZH
Ví dụ 3 Cho M, N, M', N' là bốn A-môđun trái. Nếu u ∈ Ext_A(M, N), f ∈ Hom_A(M', M), g ∈ Hom_A(N, N'), thì 0DZI
Mệnh đề 1 Cho (C,d) và (C',d') là hai phức các A-môđun trái và n,p,q là ba số nguyên sao cho p ≥ q. Với p ≥ i ≥ q-1, cho fᵢ:Cᵢlongrightarrow C'_i+n+1 là một đồng cấu các A-môđun sao cho fₚ∘… 0DZJ
Mệnh đề 2 Ta có a, b ∈ Zⁿ(Homgr_A(L(M), I(N))). Hơn nữa, các lớp overlinea và overlineb của a và b trong Hⁿ(Homgr_A(L(M), I(N))) = Ext_Aⁿ(M, N) chỉ phụ thuộc vào dãy khớp (4) và bằng nhau. 0DZK
Định nghĩa 1 Ta gọi lớp liên kết với dãy khớp (4) là phần tử θ của Ext_Aⁿ(M, N) được xác định bởi θ = (-1)^n(n+1)/2 overlinea = (-1)^n(n+1)/2 overlineb. 0DZL
Nhận xét 1 Cho (P, p) là một phân giải xạ ảnh của M. Theo X, p. 49. mệnh đề 3, tồn tại một biểu đồ giao hoán 0DZM
Nhận xét 2 Khi n = 0, dãy khớp (4) có dạng 0 → N xrightarrowf M → 0, và lớp liên kết là f⁻¹ ∈ Hom_A(M, N) = Ext⁰_A(M, N). 0DZN
Mệnh đề 3 Cho 0DZO
Hệ quả 1 Xét một biểu đồ giao hoán với các hàng khớp 0DZP
Hệ quả 2 Cho 0DZQ
Hệ quả 3 Cho 0 → N xrightarrowfₙ₋₁ Rₙ xrightarrowfₙ ⋯ → R₁ xrightarrowf₁ M → 0 là một dãy khớp, θ lớp của nó trong Ext_Aⁿ(M, N), u colon M' → M và v colon N → N' là các đồng cấu của A-môđun… 0DZR
Nhận xét Cho θ ∈ Extⁿ_A(M, N), tương ứng θ' ∈ Extⁿ_A(M', N'), là lớp của một dãy khớp 0DZS
Định lý 1 Cho n là một số nguyên geqslant 1, M và N là hai A-môđun. 0DZT
Nhận xét 1 Nếu vành A là Noether, và nếu các A-môđun M và N là hữu hạn kiểu, thì từ chứng minh của a) suy ra rằng mọi phần tử của Ext_Aⁿ(M, N) là lớp liên kết với một dãy khớp 0 → N → Rₙ → …… 0DZU
Hệ quả Cho 0 → N xrightarrowf R xrightarrowg M → 0 và 0 → N xrightarrowf' R' xrightarrowg' M → 0 là hai dãy khớp, θ và θ' các lớp liên kết của chúng trong Ext¹(M, N). Để có θ = θ', điều k… 0DZV
Nhận xét 2 Định lý 1 cho một mô tả của Ext_Aⁿ(M, N) như một tập hợp các lớp tương đương của các dãy khớp; thật dễ mô tả luật nhóm thu được trên tập hợp này bằng phép chuyển cấu trúc. Thật vậy… 0DZW
Mệnh đề 5 Cho 0DZX
Hệ quả 1 a) Đồng cấu nối kết Hom_A(M'', M'') → Ext_A¹(M'', M') gửi 1_M'' lên θ. 0DZY
Hệ quả 2 Xét hai dãy khớp ngắn của các môđun trái trên A 0DZZ
Hệ quả 3 Nếu θ∈Ext_Aⁿ(M,N) là lớp của dãy khớp (S), ta có 0E00
Hệ quả 4 Nếu mỗi môđun Rᵢ,\ i = 1, ..., n, là đơn ánh (resp. xạ ảnh), thì ánh xạ α ↦ θ ∘ α (resp. α ↦ α ∘ θ) từ Ext_Aᵐ(P, M) vào Ext_Aᵐ⁺ⁿ(P, N) (resp. từ Ext_Aᵐ(N, P) vào Ext_Aᵐ⁺ⁿ(M, P)) là… 0E01
Nhận xét Các định nghĩa và các mệnh đề từ No. 3 đến No. 6 áp dụng cho các A-môđun phải, được xét như các môđun trái trên vành đối A^∘ của A. 0E02
Nhận xét 1 Nếu ta dùng các đẳng cấu ψ của X, p. 69, thì cũng có thể định nghĩa tích hợp thành bằng biểu đồ giao hoán 0E03
Nhận xét 2 Ta cũng có thể dùng các giải quyết l(P) và l(Q). 0E04
Mệnh đề 6 Cho K, M, N là các A-môđun trái, P, Q, R là các A-môđun phải, α ∈ Ext_Aⁿ(P, Q), β ∈ Ext_Aᵖ(Q, R), λ ∈ Ext_Aʳ(K, M), μ ∈ Ext_Aˢ(M, N), γ ∈ Torₘᴬ(P, K). Khi đó (13) (β ∘ α) ∘ γ = β ∘… 0E05
Mệnh đề 7 a) Cho 0E06
Hệ quả 1 Cho 0 → P' → P → P'' → 0 là một dãy khớp của các A-môđun phải, 0 → M' → M → M'' → 0 là một dãy khớp của các A-môđun trái. Khi đó các hợp thành của các đồng cấu nối Torₙᴬ(P'', M'')… 0E07
Hệ quả 2 Nếu θ ∈ Ext_Aⁿ(M, N) là lớp liên kết với dãy khớp (S), ta có hat∂ₘ(P, S)(α) = θ ∘ α với mọi α ∈ Torₘᴬ(P, M). 0E08
Hệ quả 3 Nếu tất cả các môđun Rᵢ, i = 1, ..., n, đều phẳng, thì ánh xạ α ↦ θ ∘ α từ Torₘ₊ₙᴬ(P, M) vào Torₘᴬ(P, N) là song ánh đối với mọi A-môđun phải P và mọi số nguyên m > 0. 0E09
Hệ quả 4 Nếu θ₁ ∈ Ext_Aⁿ(P, Q) là lớp liên kết với dãy khớp (S₁), thì ta có ∂ᵐ(S₁, M)(α) = θ₁ ∘ α với mọi α ∈ Torₘᴬ(P, M). 0E0A
Mệnh đề 8 a) Biểu đồ sau đây, trong đó h_θ(α) = θ ∘ α, là giao hoán 0E0B
Nhận xét Nhờ các đẳng cấu giao hoán, từ a) ta suy ra một mệnh đề tương tự trong trường hợp một dãy khớp (16) các A-môđun phải. 0E0C
Mệnh đề 9 Biểu đồ sau đây, trong đó γ_θ(α) = θ ∘ α, là giao hoán: 0E0D

§ 8. Chiều đồng luân

Định nghĩa 1 Cho M là một A-môđun. Chiều xạ ảnh của M, ký hiệu bởi dp_A(M), là cận dưới lớn nhất trong overlineZ của các độ dài của các giải xạ ảnh của M (X, p. 48). 0E0P
Bổ đề 1 Nếu dp_A(M) < n < +∞, thì Ext_Aⁿ(M, N) = 0 với mọi A-môđun N và Torₙᴬ(P, M) = 0 với mọi A-môđun phải P. Điều này suy ra ngay lập tức từ sự kiện rằng M có một giải xạ ảnh có độ dài… 0E0Q
Mệnh đề 1 Cho M là một A-môđun và n là một số nguyên ≥ 0. Các điều kiện sau là tương đương : (i) dp_A(M) ≤ n (tức là (định. 1), M có một giải xạ ảnh có độ dài ≤ n); (ii) Ext_Aʳ(M, N) = 0 với… 0E0R
Hệ quả 1 Cho (Mᵢ)_i ∈ E là một họ các A-môđun. Ta có dp_A ( ⨁_i ∈ E Mᵢ ) = sup_i ∈ E dp_A(Mᵢ) . Điều này suy ra từ sự tương đương của các điều kiện (i) và (iii) của Mệnh đề 1 và Mệnh đề 7 c… 0E0S
Hệ quả 2 Cho 0 → M' → M → M'' → 0 là một dãy khớp của các A-môđun. 0E0T
Ví dụ Cho a là một phần tử của A không khả nghịch cũng không là một ước của không phải. Khi đó dp_A(A/Aa)=1. 0E0U
Mệnh đề 2 Giả sử A là Noether trái. Cho M là một A-môđun sinh hữu hạn và n là một số nguyên ≥0. Các điều kiện sau là tương đương: 0E0V
Hệ quả Giả sử A là Noether trái và gọi C₀ (tương ứng C) là tập hợp các lớp của các A-môđun xạ ảnh kiểu hữu hạn (tương ứng của các A-môđun có chiều xạ ảnh hữu hạn và kiểu hữu hạn). Khi đó… 0E0W
Mệnh đề 3 a) Nếu dp_A(M) leqslant n, đồng cấu chính tắc (3) là đơn ánh. b) Nếu dp_A(M) leqslant n, nếu A là Noether trái và nếu M là kiểu hữu hạn, đồng cấu chính tắc (3) là song ánh. 0E0X
Định nghĩa 2 Ta gọi chiều đồng điều của A và ký hiệu bởi dh(A) là cận trên trong Z của tập hợp các số nguyên n sao cho tồn tại hai A-môđun M và N thỏa mãn Ext_Aⁿ(M,N)≠ 0. 0E0Y
Mệnh đề 4 Cho n là một số nguyên ≥ 0. Các điều kiện sau là tương đương: 0E0Z
Nhận xét 1 Nếu dh(A) ≤ n < +∞, ta có Torₙ₊₁ᴬ(P, M) = 0 đối với mọi A-môđun M và mọi A-môđun phải P, vì dp_A(M) ≤ n (xem bổ đề 1). 0E10
Nhận xét 2 Để dh(A) hữu hạn, điều kiện cần và đủ là dp_A(M) hữu hạn đối với mọi A-môđun khác không M. Điều này thực sự suy ra từ điều trên và từ X, p. 135, hệ quả 1. 0E11
Hệ quả Giả sử A là Noether trái và cho n là một số nguyên > 0. Các điều kiện sau là tương đương: 0E12
Nhận xét Theo sự tương đương của (i) và (iii), ta có dh(A) = dh(A^∘) nếu A là Noether trái và phải. Đẳng thức này không đúng trong trường hợp tổng quát (X, p. 204, Bài tập 20). 0E13
Mệnh đề 5 Giả sử A là Noether trái và có chiều đồng điều hữu hạn, và gọi C₀ (tương ứng C) là tập hợp các lớp tương đương của các A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn (tương ứng của các A-môđun). Khi… 0E14
Mệnh đề 6 Các điều kiện sau là tương đương : (i) mọi A-môđun đều xạ ảnh, (ii) mọi A-môđun đều đơn ánh, (iii) mọi iđêan của A là một môđun đơn ánh, (iv) dh(A) ≤ 0, (v) A là nửa đơn, (vi) A là… 0E15
Mệnh đề 7 Các điều kiện sau là tương đương : (i) dh(A) ≤ 1, (ii) mọi môđun con của một môđun xạ ảnh là xạ ảnh, (ii') mọi iđêan của A là xạ ảnh, (iii) mọi môđun thương của một A-môđun đơn ánh… 0E16
Ví dụ Nếu A là chính, thì dh(A) ≤ 1. 0E17
Nhận xét Nếu A là một miền (giao hoán), các điều kiện trước đó cũng tương đương với các điều kiện sau : 0E18
Hệ quả Cho A là một vành có chiều đồng điều ≤ 1, C là một phức các A-môđun xạ ảnh, widetildeC là một phức các A-môđun phải xạ ảnh, C' là một phức các A-môđun đơn ánh, P là một A-môđun phả… 0E19
Bổ đề 2 Cho ρ : A→ A' là một đồng cấu vành, M là một A-môđun, M′ là một A′-môđun. Nếu A-môđun A'_d là phẳng, ta có dp_A(A'⊗_A M)≤dp_A(M). Nếu A-môđun A'ₛ là xạ ảnh, ta có dp_A(M')≤dp_A'(M'… 0E1A
Bổ đề 3 Giả sử A giao hoán và cho M là một a[X]-môđun. a) Ta có dp_A(M) ≤ dp_A[X](M) ≤ dp_A(M) + 1. b) Nếu phép vị tự X_M là đơn ánh, ta có dp_A(M/XM) ≤ dp_A[X](M). c) Nếu XM = 0, ta có dp… 0E1B
Định lý 1 Giả sử A giao hoán. Khi đó 0E1C
Hệ quả 1 Giả sử A giao hoán. Ta có 0E1D
Hệ quả 2 Cho K là một trường giao hoán (tương ứng một miền iđêan chính hoặc một vành Dedekind không là trường). Khi đó dh(K[X₁, ..., Xₙ]) bằng n (tương ứng n + 1). Điều này suy ra từ sự kiệ… 0E1E
Bổ đề 4 Cho M là một A-môđun phân bậc bị chặn dưới (X, p. 56). Nếu A₀ ⊗_A M = 0, thì M = 0. 0E1F
Bổ đề 5 Cho M là một A-môđun phân bậc bị chặn dưới, và cho s : A ⊗_A₀ M/J₀ M → M là một đồng cấu A phân bậc sao cho 1 ⊗_A s : A₀ ⊗_A (A ⊗_A₀ M/J₀ M) → A₀ ⊗_A M là đẳng cấu chính tắc. Khi đ… 0E1G
Mệnh đề 8 Cho M là một A-môđun phân bậc bị chặn dưới. 0E1H
Hệ quả 1 Cho M là một môđun A phân bậc kiểu hữu hạn. Nếu môđun-A₀ M/J₀M là xạ ảnh (tương ứng, tự do phân bậc, tương ứng, phẳng) và nếu Tor₁ᴬ(A₀,M)=0, thì môđun-A M là xạ ảnh (tương ứng, tự… 0E1I
Hệ quả 2 0E1J
Hệ quả 3 (Định lý Syzygy của Hilbert) Giả sử rằng A₀ là một trường giao hoán và rằng A được sinh như một A₀-đại số bởi n phần tử thuần nhất có bậc 0 và độc lập đại số. Với mọi môđun a phân bậc M bị chặn dưới (tương ứng… 0E1K
Nhận xét Hệ quả 2 cũng áp dụng trong các trường hợp sau: a) A₀ là chính và A = A₀[X₁, ..., Xₙ₋₁]; b) A₀ là một vành Noether địa phương chính quy có chiều r và A = A₀[X₁, ..., Xₙ, r]. 0E1L
Hệ quả 4 Giả sử rằng A₀ là nửa đơn. Cho M là một a-môđun phân bậc bị chặn dưới và cho n là một số nguyên ≥ 0. Để dp_A(M) ≤ n, điều kiện cần và đủ là Torₙ₊₁ᴬ(A₀, M) = 0. Nếu dp_A(M) ≤ n, thì… 0E1M
Hệ quả 5 Giả sử vành A₀ nửa đơn. Nếu Torₙ₊₁ᴬ(A₀, A₀) = 0, ta có dp_A(M) ≤ n đối với mọi A-môđun phân bậc bị chặn dưới. 0E1N

§ 9. Các phức koszul

Định nghĩa 1 Phức (Λ(L), dᵤ) được ký hiệu bởi Kᴬ(u) hoặc K(u). 0E2G
Bổ đề 1 Nếu phức C bằng không ở bên phải (tương ứng ở bên trái), thì Kᴬ(u, C) (tương ứng K^*_A(u, c)) bằng không ở bên phải (tương ứng ở bên trái), và γ₀ (tương ứng λ⁰) là song ánh. 0E2H
Mệnh đề 1 Cho x ∈ L; ký hiệu bởi Rₓ : y ↦ x ∧ y phép nhân trái bởi x trong đại số Λ(L). Khi đó dᵤ ∘ Rₓ + Rₓ ∘ dᵤ = u(x) · 1_Λ(L) = u(x)_Λ(L). 0E2I
Hệ quả 1 Nếu u là toàn ánh, K(u) đồng luân với không (X, p. 34) cũng như Kᴬ(u, C) và K_A^*(u, C) với mọi phức C. 0E2J
Hệ quả 2 Cho C là một phức, Ann (C) là linh hóa tử của nó. Khi đó q + Ann(C) linh hóa Hᴬ(u, C) và H_A^*(u, C). 0E2K
Mệnh đề 2 Cho (Lᵢ)_i ∈ I là một họ các A-môđun, trong đó tập hợp I là hữu hạn và được sắp thứ tự toàn phần. Cho u là một dạng tuyến tính trên ⨁_i ∈ I Lᵢ, uᵢ là hạn chế của nó lên Lᵢ. 0E2L
Nhận xét 1) \ Điều trên vẫn đúng khi L là xạ ảnh hạng n. \ 0EEQ
Mệnh đề 3 Nếu A-môđun L là phẳng, các dãy (Eₙ) ở trên là khớp với n > 0. 0E2M
Nhận xét 1 Ta sẽ thấy ở dưới (X, p. 158, ví dụ) một chứng minh khác của phần c) ở trên. 0E2N
Nhận xét 2 Nếu A là một Q-đại số, kết luận của mệnh đề 3 vẫn đúng mà không cần giả thiết nào trên L (cf. X, p. 206, bài tập 1). 0E2O
Nhận xét 3 Cho G là một nhóm và ρ : G → GL(L) một biểu diễn tuyến tính của G trong một A-môđun phẳng L. Khi đó các (Eₙ) là các dãy khớp của các biểu diễn tuyến tính. Giả sử L xạ ảnh sinh hữu… 0E2P
Bổ đề 2 Nếu K-môđun L₀ là tự do với cơ sở (eᵢ)_i ∈ I, thì các ánh xạ K-tuyến tính g và h là song ánh. Điều này suy ra từ III, p. 79, đ. l. 1. 0E2Q
Nhận xét Ngược lại, cho B là một k-đại số, L là một B-môđun tự do với cơ sở (eᵢ)_i ∈ I, và M là một B-môđun. Việc cho một dạng tuyến tính u : L → B tương đương với việc cho một họ x = (xᵢ)_… 0E2R
Ví dụ Lấy M = k[T₁, ..., Tₙ]; phức Koszul K (∂/∂ T, M) liên kết với dãy các nội cấu (∂/∂ T₁, ..., ∂/∂ Tₙ) được đồng nhất với phức de Rham của k[x₁, ..., xₙ] trên k (X, p. 44): với m ∈ C_… 0E2S
Bổ đề 3 Cho K là một phức sao cho Kᵢ = 0 với i ≠ 0, 1, và cho C là một phức và p là một số nguyên. 0E2T
Mệnh đề 4 Với mọi phức C, có các dãy khớp . 0E2U
Hệ quả 1 Để có Hₚ(x,C)=0, điều kiện cần và đủ là phép vị tự tỉ số x trong Hₚ(C) là toàn ánh và phép vị tự tỉ số x trong Hₚ₋₁(C) là đơn ánh. 0E2V
Hệ quả 2 Cho x=(x₁,…,xₙ) là một dãy các phần tử của A, M là một A-môđun, x' là dãy (x₁,…,xₙ₋₁). Ta có các dãy khớp 0E2W
Hệ quả 3 Để Hᵢ(x,M) bằng không với mọi i>0, điều kiện cần và đủ là phép vị tự tỉ số xₙ trong Hᵢ(x',M) là song ánh với i>0, và phép vị tự tỉ số xₙ trong M/(x')M là đơn ánh. 0E2X
Định nghĩa 2 Họ x được gọi là hoàn toàn cắt ngang đối với M nếu ta có Hᵢ(x,M)=0 với i>0. 0E2Y
Mệnh đề 5 Cho x=(x₁,…,xₙ) là một dãy các phần tử của A. Nếu với i=1,…,n, phép vị tự tỉ số xᵢ trong A-môđun M/(x₁M+⋯+xᵢ₋₁M) là đơn ánh, thì dãy x là hoàn toàn cắt đối với M. 0E2Z
Ví dụ Cho k là một vành; lấy A = k[X₁, ..., Xₙ] và x = (X₁, ..., Xₙ). Dãy x là A-chính quy và mệnh đề lại cho tính không chu trình ở các bậc > 0 của phức Sₖ(kⁿ) ⊗ₖ Λₖ(kⁿ) (xem X, p. 152… 0E30
Mệnh đề 6 a) Nếu ∑_i ∈ I xᵢ A = A, họ (xᵢ)_i ∈ I là hoàn toàn cắt đối với M. b) Cho x = (x₁, ..., xₙ) là một dãy các phần tử của A. Cho (aᵢⱼ) ∈ GLₙ(A); đặt yᵢ = ∑ⱼ aᵢⱼ xⱼ. Nếu dãy x là hoàn… 0E31
Nhận xét 1 Mệnh đề tương tự như c) đối với các dãy chính quy là đúng (X, p. 207, bài tập 5). 0E32
Mệnh đề 7 a) Cho N là một A-môđun phẳng. Nếu họ x là hoàn toàn cắt đối với M, thì nó cũng vậy đối với M ⊗_A N. 0E33
Nhận xét 2 Các mệnh đề tương tự với a) và b) đối với các dãy chính quy là ngay lập tức. 0E34
Nhận xét 3 Nếu họ x là hoàn toàn cắt ngang đối với A, phức K.(x, A) xác định một phân giải tự do của A-môđun A/x, với x = ∑_i ∈ I xᵢ A; do đó với mọi số nguyên i geqslant 0 và với mọi A-môđun… 0E35
Nhận xét 4 Ta nói rằng dãy x = (x₁, ..., xₙ) là M-đối chính quy nếu (ký hiệu bởi (xᵢ)_M phép vị tự tỉ số xᵢ trong M) phép vị tự tỉ số xᵢ trong môđun 0E36
Định lý 1 Xét các điều kiện sau: (i) Dãy x là M-chính quy (X, p. 158). (ii) Dãy x hoàn toàn cát tuyến đối với M (X, p. 157, định nghĩa 2). (iii) Ta có H₁(x, M) = 0. (iv) Đồng cấu α_Mˣ : (A[X… 0E37
Hệ quả 1 Nếu A là Noether, nếu A-môđun M là kiểu hữu hạn và nếu các xᵢ thuộc căn của A, thì các điều kiện từ (i) đến (v) của định lý là tương đương. Thật vậy, trên mỗi môđun M/(x₁ M + ⋯ + x… 0E38
Hệ quả 2 Giả sử A là một vành phân bậc với các bậc dương, M là một A-môđun phân bậc bị chặn dưới, và các xᵢ là những phần tử thuần nhất bậc 0 của A. Khi đó các điều kiện từ (i) đến (v) của… 0E39
Hệ quả 3 Giả sử các môđun M/(x₁M+⋯+xᵢ₋₁M) là tách đối với tôpô 𝔵-adic (1≤ i≤ n) ; gọi p là một số nguyên nằm giữa 1 và n. Để dãy 𝔵 hoàn toàn cát tuyến đối với M, điều kiện cần và đủ là dãy… 0E3A
Nhận xét Cho 𝔵=(x₁,…,xₙ) là một dãy các phần tử của A sao cho H₁(𝔵,A)=0; khi đó hạt nhân của đồng cấu toàn ánh u:Aⁿ→𝔵 sao cho u(∑ aᵢ eᵢ)=∑ aᵢ xᵢ được sinh bởi các phần tử Xⱼ eᵢ-Xᵢ eⱼ; do đó… 0E3B
Bổ đề 4 Cho A₀ là vành Z[T₁,…,Tₙ], và cho u:A₀[X₁,…,Xₙ]→ A₀[U] là đồng cấu của các A₀-đại số sao cho u(Xᵢ)=TᵢU. Hạt nhân của u là iđêan 𝔡₀ của A₀[X₁,…,Xₙ] sinh bởi các phần tử (TᵢXⱼ-TⱼXᵢ)… 0E3C
Mệnh đề 8 Giả sử dãy x là chính quy đối với M. Phần tử của Ext_Aⁿ(M/(x)M, M) liên kết với dãy khớp (23) là (-1)^n(n+1)/2 θₓ. Với i = 0, 1, …, n, định nghĩa một ánh xạ A-tuyến tính aⁱ : Kⁱ(x… 0E3D
Hệ quả Giả sử hơn nữa rằng các môđun M/(x₁ M + ⋯ + xᵢ₋₁ M) là tách biệt đối với tôpô (x)-adic, và cho (aᵢⱼ) ∈ GLₙ(A). Đặt yᵢ = ∑ⱼ aᵢⱼ xⱼ và y = (y₁, …, yₙ) . Khi đó dãy y là chính quy đối… 0E3E
Mệnh đề 9 Giả sử dãy x là chính quy đối với M. Nếu N là một A-môđun sao cho (x)N = 0, thì ta có Ext_Aⁱ(N, M) = 0 với i < n, và ánh xạ α ↦ θₓ ∘ α từ HomA (N, M/(x) M) vào Ext^nA (N, M) (nó cũ… 0E3F