卷 A · 中文

命题索引

代数的 2507 个命题，按章和节排列。选择一种类型，按词筛选，或把被引用最多的排在前面。

引用最多的在前

I. 代数结构

§ 1. 。律合成；结合性；交换律

定义 1 令 E 为集合。 E × E 的映射 f 入 E 称为 E 上的合成律。有序对 (x, y) ∈ E × E 的 f 的值 f(x, y) 在此律下称为 x 和 y 的合成。集合与律合成称为岩浆。 ↩ 1 055B
例 (1) 映射 (X, Y) ↦ X ∪ Y 和 (X, Y) ↦ X ∩ Y 是集合上的合成律子集 / 集合 E。 055C
定义 2 设 E 为岩浆，τ 表示其合成的律。 E 上的合成 (x, y) ↦ y τ x 的律称为上面的相反。集合 E 与律称为 E 的对向岩浆。 055D
定义 3 将 E 的映射 f 转化为 E'，使得关系 (1) 对于每个有序对 (x, y) ∈ E × E 成立，称为同态或态射，将 E 转化为 E'；如果 E = E'，f 称为 E 的自同态。 ↩ 1 055E
定义 4 令(x_α)_α ∈ A为岩浆E中元素的有序序列，其索引集合A非空。有序序列 (x_α)_α ∈ A的合成（在律 T下），表示为∏_α ∈ A x_α，是A中元素的数上的归纳定义的E的元素，如下： ↩ 1 055F
注注有序序列的定义、合成存在一定的任意性；归纳我们“从右到左”介绍了收益。如果我们“从左到右”进行，则上面排序的序列 (x_λ, x_μ, x_ν) 中的合成将是 (x_λ \ T \ x_μ) \ T \ x_ν。 055G
定义 5 合成 (x, y) ↦ x top y 在集合 E 上的律被称为结合性，如果对于所有元素 x, y, z 在 E 中， (x top y) top z = x top (y top z). 律具有缔合性的岩浆称为缔合性岩浆。 055H
例 (1) 自然数的加法和乘法在 N 上与合成的律结合（集合理论、III, § 3, no. 3、命题 5 的推论） (2) no. 1 例 (1)、(3) 和 (4) 中引用的律是结合律。 055I
定理 1 (结合性定理) 设 E 为缔合岩浆，其律表示为 top。设 A 是一个全序非空有限集合，它是非空子集 (Bᵢ)_i ∈ I的有序序列的并，使得关系 α ∈ Bᵢ, β ∈ Bⱼ, i < j 隐含 α < β；让(x_α)_α ∈ A成为E中元素的有序序列，其中A作为索引集合。然后 ∏_α ∈ A x_α = ∏_i ∈ I ( ∏_α ∈ Bᵢ x_α ) ↩ 5 055J
定义 6 如果A属于两个元素合成在E上合成T律下称为稳定集合E子集A称为稳定A。 A × A 的映射 (x, y) ↦ x T y 进入 A 则称为律在 A 上由律 T 诱发。集合 A 和T诱发的律称为E的次岩浆。 055K
命题 1 令E和F为两块岩浆，将E的f同态转化为F。 (i) E 的稳定子集在f 下的像是F 的稳定子集。 (ii) 稳定子集F的f下的逆像是E的稳定子集。 (iii) 设X为E中的子集。 X生成的E的稳定子集在f下的像是f(X)生成的F的稳定子集。 (iv) 如果g是E的元素x的F集合的E的第二个同态，使得f(x) = g(x)是子集的稳定子集 E. ↩ 2 055L
命题 2 设 E 为关联岩浆，E 的 X 子集。设 X' 为 x₁ top x₂ top ⋯ top xₙ 的集合，其中 n ≥ 1 和 xᵢ ∈ X 为 1 ≤ i ≤ n。 X生成的稳定子集等于X'. 055M
例 (1) 在自然数的集合N中，{1}生成的加法下稳定的子集为整数≥ 1的集合；乘法集合{1}以下是稳定的。 055N
定义 7 设 E 为岩浆，其律表示为 top。如果 y top x = x top y，则 E 的两个元素 x 和 y 被称为可交换（或可置换）。 055O
定义 8 集合 E 上合成的律称为可交换的，如果 E 中的任意两个元素在该律下可交换。律或合成可交换的岩浆称为可交换岩浆。 055P
例 (1) 自然数的加法和乘法在N上可交换律（集合理论，III, § 3, no. 3，命题5的推论）。 055Q
定义 9 令E为岩浆，X子集为E。 E的元素的集合与X的每个元素可交换，称为X的集中器。 ↩ 1 055R
命题 3 令E为缔合岩浆，其律用top表示。如果E的元素x与元素y和E的z分别通勤，则与y top z通勤。 055S
推论令 E 为联想岩浆。 E 的任何子集的扶正器都是 E 的稳定子集。 ↩ 1 055T
定义 10 岩浆E的集中器称为E的中心。 E的中心元素称为E的中央元素。 055U
命题 4 令E为关联岩浆，X和Y为E的两个子集。如果X的每个元素与Y的每个元素进行交换，X生成的稳定子集的每个元素与Y生成的稳定子集的每个元素进行交换。 055V
推论 1 如果 x 和 y 在结合律律 top 下是可置换的，那么对于所有整数 m > 0 和 n > 0，topᵐ x 和 topⁿ y 也是可置换的；特别是topᵐ x和topⁿ x对于所有x和所有整数m > 0和n > 0都是可置换的。 055W
推论 2 如果子集 X 的元素的所有对在结合律律 T 下都是可置换的，则 T 在由 X 生成的稳定子集上诱导的律是结合律和交换律的。 ↩ 2 055X
定理 2 (交换律定理) 设 T 是 E 上合成的结合律律；令 (x_α)_α ∈ A 为 E 的元素非空有限族，且可成对置换；设 B 和 C 是两个全序集，其中 A 作为底层集合。然后 ∏_α ∈ B x_α = ∏_α ∈ C x_α. ↩ 2 055Y
定理 3 设 T 是 E 上的结合律律和 (x_α)_α ∈ A E 的元素非空有限族，它们是成对可置换的。 If A is a union of non-empty subsets (Bᵢ)_i ∈ I which are pairwise disjoint, then ↩ 1 055Z
命题 5 设E和F为岩浆，其律用T表示，并令f和g为E到F的同态。设f T g为E到F的映射 x ↦ f(x) T g(x)。如果F是结合律和交换律，则f T g是同态。 ↩ 2 0560
定义 11 令 E 为集合。合成 T 的律和 E 上的等价关系 R 被认为是兼容的，如果关系 x ≡ x' (mod R) 和 y ≡ y' (mod R) （对于 x, x', y, y' ∈ E）意味着 x T y ≡ x' T y' (mod R)；商集 E/R 上合成的律，其中x和y的映射等价类除以x T y的等价类，称为律 T相对于R的商律。集合 E/R… 0561
命题 6 设 E 和 F 为两颗岩浆，E 的 f 同态进入 F。设 R[x, y] 表示 E 的元素 x, y 之间的关系 f(x) = f(y)。则 R 在 E 上为等价关系，与 E 上的律和 E/R 的映射兼容到 f(E) 上，通过经过与 F 的子岩浆 f(E) 上的商岩浆 E/R 的商为同构。 0562
命题 7 设 E 为岩浆，E 上的 R 等价关系与 E 上的律兼容。为了使 E/R 上的等价关系 S 与商律兼容，S 为形式 T/R 是必要且充分的，其中 T 为 R 所暗示的 E 上的等价关系且与E 上的律。E/T 到 (E/R)/(T/R) 上的典范映射（集合理论，II, § 6, no. 7）则为岩浆同构。 0563
命题 8 设E是岩浆，A是E的稳定子集，E上的R等价关系与E上的律兼容。A相对于R的饱和度B（集合 0564
命题 9 保留上面的记号，让f成为岩浆中M的同态，使得f(u_α) = f(v_α)代表所有α ∈ I。那么f与R相容的。 ↩ 2 0565

§ 2. 。单位元素；可取消元素；可逆元

定义 1 Under a law of composition top on a set E an element e of E is called an identity element if, for all x ∈ E, e top x = x top e = x. ↩ 1 056M
定义 2 单位元素的岩浆称为单一岩浆。如果E, E'是单一岩浆，则将岩浆E的同态转化为岩浆E'，其中E的映射单位元素到E'的单位元素称为单一同态（或态射）的E转化为E'。联合单位岩浆称为幺半群。 056N
例 (1) 在自然数的集合N中，0是加法下的单位元素，1是乘法下的单位元素。这两个律中的每一个都给出N一个可交换幺半群结构（集合理论，III, § 3, no. 3）。 056O
定义 3 令 E 为单一岩浆。 E的单位元素称为E元素空族的合成。 056P
定义 4 给定集合 E 上合成 top 的律，E 的映射 x ↦ a top x（或 x ↦ x top a）自身被称为元素 a ∈ E 的左翻译（或右翻译）。 056Q
命题 1 如果律 T 是结合律，则对于所有 x ∈ E 和 y ∈ E ↩ 2 056R
定义 5 元素 a 岩浆 E 如果左（或右）平移 a 是单射的，则称为左（或右）可取消（或常规）。左右可取消元素称为可取消（或常规）元素。 ↩ 1 056S
例 (1) 每自然数可在加法下取消；每个自然数≠ 0都可以在乘法下取消。 056T
命题 2 可取消的集合（左可取消，右可取消）元素关联岩浆是子岩浆。 ↩ 2 056U
定义 6 设E为单一岩浆，T其合成的律，e其单位元素和x和x'E的两个元素。 x' 被称为 x if x' T x = e （或x T x' = e，或x' T x = x T x' = e）的左逆（或右逆，或逆）。 ↩ 1 056V
例 (1) 单位元素是它自己的逆元。 056W
命题 3 设 E 为幺半群，且 x 元素为 E。 ↩ 2 056X
注设 E 为幺半群，x 元素为 E。如果 x 是可逆的，则它是可取消的；因为，如果 x' 是 x 的左逆，那么 056Y
命题 4 设 E 为幺半群，E 的 x 和 y 可逆元分别具有逆 x' 和 y'。那么 y' top x' 是 x top y 的倒数。 ↩ 7 056Z
推出 1 设 E 为幺半群；如果 E 的元素的有序序列 (x_α)_α ∈ A 的每个元素 x_α 都有一个逆 x'_α，合成 ∏_α ∈ A x_α 都有逆 ∏_α ∈ A' x'_α，其中 A' 是通过替换从 A 导出的全序集阶在 A 上，与对面的阶相接。 ↩ 1 0570
推出 2 在幺半群中，集合可逆元是稳定的。 0571
命题 5 如果在幺半群中 x 和 x' 互逆并且 x 与 y 交换，那么 x' 也是如此。 ↩ 3 0572
推出 1 令 E 为幺半群，E 的 X 子集以及 X' X 的中心化器。 X' 属于到 X' 的每个可逆元的逆。 ↩ 1 0573
推出 2 在幺半群中，中心可逆元的逆是中心元素。 0574
引理 1 在 E × S' 关系 RRx, yR 中定义为： ↩ 1 0575
定义 7 令E为可交换幺半群，E的S子集和由S生成的E的S'子幺半群。商幺半群(E × S')/R，其中等价关系R如引理1中所述，用E_S表示，称为E的分数†的幺半群，与S相关（或与S). ↩ 1 0576
命题 6 记号是定义 7 的值，ε 表示E 到E_S 的典范同态。 (i) 设a和b在E中；在阶、ε(a) = ε(b)中，存在s ∈ S'和sa = sb是充分必要的。 (ii) 要使 ε 成为单射，S 中的每个元素都可以取消是必要且充分的。 (iii) 要使 ε 成为双射，S 的每个元素都是可逆的。 ↩ 4 0577
定理 1 设 E 为可交换幺半群，E 的 S 子集，E_S 与 S 相关的分数幺半群以及ε : E → E_S 典范同态。进一步令 f 为 E 的同态成为幺半群 F（不一定可交换），使得 f(S) 的每个元素在 F 中都是可逆的。存在且仅有一个 E_S 的同态 barf 到 F 中，使得 f = barf ∘ ε。 ↩ 6 0578
推论设E和F是两个可交换幺半群，S和T分别是E和F的子集，E的f同态进入F，使得f(S) ⊂ T和ε : E → E_S, η : F → F_T典范同态。存在且仅有一个同态 g : E_S → F_T 使得 g ∘ ε = η ∘ f。 0579
注 (1) 定理 1 也可以用说表示，对于 E，(E_S, ε) 是普遍映射问题的解，相对于幺半群，E 的幺半群同态和同态转化为幺半群， S 的映射元素到可逆元（集合理论、IV、、no. 1）。由此可见 (loc.cit.)，这个问题中的所有其他解以独特的方式同构于 (E_S, ε) 057A
引理 2 设 E 为幺半群，且 E 的 x 元素。 (i) E 中存在 N 的唯一同态 f，对于所有n ∈ N，f(1) = x 和 f(n) = n/1 x。 (ii) 如果 x 可逆，则存在 Z 的唯一同态 g 进入 E，使得 g(1) = x 和 g 重合，且 f 在 N 上。 ↩ 1 057B

§ 3. 。作用

定义 1 令Ω和E为两个集合。将Ω的映射放入集合，将E的映射Eᴱ放入自身，称为E上的Ω作用。 057T
例 (1) 令 E 为乘法写成的结合岩浆。与 E 的严格正整数 n 映射 x ↦ xⁿ 关联到自身的映射是 E 上 N^* 的作用。如果 E 是群，则与有理数关联的映射 E 的整数 a 映射 x ↦ xᵃ 到 E 上等于 E 上的 Z 作用。 057U
定义 2 如果f_α(A) ⊂ A对于所有α ∈ Ω来说，集合E的子集A在E上Ω的作用α ↦ f_α下被称为稳定。如果f_α(x) = x，则E的元素x在Ω的元素α下称为不变式。 057V
注令E为岩浆，律记为τ。需要注意的是，E的子集A在E的左侧作用下稳定，在E的右作用下不一定稳定； E的子集A在左（或右）下稳定，E的作用本身在E上的律下稳定，但逆命题一般情况下并不正确。更准确地说，当且仅当A τ A ⊂ A时，A在E上的律下稳定，而当且仅当E τ A ⊂ A（或A τ E ⊂ A）时，A在左（或右）作用在E上稳定。 057W
例取岩浆E为集合N和乘法。集合1在N的内部律下是稳定的，而1自身生成的N的作用下稳定的子集是N的整体。 057X
定义 3 令α ↦ f_α为E上Ω的作用，并且A为E的稳定子集。与 f_α 至 A 的元素 α ∈ Ω 限制相关联的映射（视为 A 的映射自身）是 A 上的 Ω 的作用，据说是由给定的作用. 057Y
定义 4 令α ↦ f_α为集合E上集合Ω的作用。 E上的等价关系R据说与给定的作用兼容，如果对于E的所有元素x和y，使得x ≡ y pmodR和所有α ∈ Ω, f_α(x) ≡ f_α(y) pmodR。映射与 E/R 的元素 α ∈ Ω 映射相关联，由 f_α 通过经过得到的商是 Ω 在 E/R 上的作用，称为的商E Ω 作用。 057Z
定义 5 设 E₁, …, Eₙ 和 F 为集合，并将 E₁ × ⋯ × Eₙ 的 u 映射代入 F。设 i ∈ 1, n。假设 Eᵢ 和 F 被赋予结构岩浆。如果部分映射则表示 u 相对于指标变量 i 具有分布性 ↩ 1 0580
例令 E 为乘法写成的幺半群（分别为群）。 N × E（或 Z × E）的映射 (n, x) ↦ xⁿ 进入 E，可通过方程 xᵐ⁺ⁿ = xᵐ xⁿ 相对于第一个变量进行分配（加法与 N 上的律）。如果 E 是可交换的，则该映射对于第二个变量可通过方程 (xy)ⁿ = xⁿ yⁿ 进行分配。 0581
命题 1 令 E₁, E₂, …, Eₙ 和 F 为可加写的交换幺半群，并令 u 为 F 中 E₁ × ⋯ × Eₙ 的映射，它对所有变量都是可分配的。对于i = 1, 2, …, n，令Lᵢ为非空有限集合，且(x_i,λ)_λ ∈ Lᵢ为Eᵢ的元素族。让 yᵢ = ∑_λ ∈ Lᵢ x_i,λ 代表 i = 1, 2, …, n。然后 ↩ 2 0582
注如果u(a₁, …, aᵢ₋₁, 0, aᵢ₊₁, …, aₙ) = 0适用于i = 1, 2, …, n和aⱼ ∈ Eⱼ（j ≠ i），则公式（2）对于有限支撑的家庭(xᵢ, λ)_λ ∈ Lᵢ仍然成立。 0583
定义 6 作用 α ↦ f_α 属于集合 Ω 在岩浆上 E 如果对于所有 α ∈ Ω，映射 f_α 是岩浆的自同态，则称其具有分配性E。 0584
定义 7 令 T 和 ⊥ 为集合 E 上的两个内部律。律 ⊥ 被认为对于律 T 是可分配的，如果 0585
例 (1) 在集合E的子集的集合P(E)中，内部律∩和∪各自相对于自身和对方具有分配性。这是从形式的公式得出的 0586

§ 4. 。群和群与操作员

定义 1 集合与合成的结合律律，拥有单位元素，并且在其下每个元素都是可逆的，称为群。 058H
例在可逆元的任何幺半群 E 集合中，由 E 上的群诱导出结构。特别是，集合 F 的双射映射自身的集合（或 F 的置换的集合）是律 (f, g) ↦ f ∘ g 下的群，称为对称群集合 F，记为𝔖_F。 058I
定义 2 设Ω为集合。群G与G上Ω的作用一起，相对于群运算可分配，称为群，运算符位于Ω。 058J
例在可交换的群 G 中，乘法书写，(xy)ⁿ=xⁿyⁿ 对于所有n∈Z（§ 2, no. 8，方程（1））； G上的Z的作用n↦(x↦ xⁿ)因此定义，以及群运算、群的结构以及G上的运算符。 058K
定义 3 设G和G'为群，运算符位于Ω中。群的同态与G的运算符进入G'是群G的同态进入群G'，这样 058L
定义 4 设 G 为群且带有运算符。 G 的稳定子群是 G 的子集 H，具有以下属性： 058M
命题 1 设 G 为带有算子的群，G 的 H 子集在 G 的同位下是稳定的。以下条件是等价的： ↩ 4 058N
注 (1) 类似地可以证明条件 (b) 等价于条件 (c') H ≠ ∅ 和关系 x ∈ H 和y ∈ H 意味着y⁻¹x ∈ H。 (2) 对于 G 的每个子群 H，有以下关系 (1) H.H = H and H⁻¹ = H. 对于 H.H ⊂ H 和 H⁻¹ ⊂ H 由 (b) 得出。作为 e ∈ H, H.H ⊃ e.H = H 并取逆变换，将 H⁻¹ ⊂… 058O
命题 2 设X是群的非空子集，具有运算符G和hatX，X生成的G上Ω的作用下的稳定子集。 X生成的稳定子群是集合Y = hatX ∪ hatX⁻¹生成的G上律下的稳定子集。 ↩ 1 058P
推论 1 设 G 为带有运算符的群，G 的X子集在Ω 的作用下稳定。由X生成的子群和由X重合生成的稳定版子群。 058Q
推论 2 设 G 为成对可置换元素的 G 由……组成的群和 X 子集。由X生成的G的子群是可交换的。 ↩ 2 058R
推论 3 令f : G → G'为带有运算符的群的同态和G的X子集。X生成的G的稳定子群的f下的像是f(X)生成的G'的稳定子群。 ↩ 2 058S
命题 3 设G为群，且有算子，G和H的P子集是不满足P的稳定子群G。G包含H的稳定子群的集合且不满足P有极大元素。 ↩ 1 058T
定理 1 令 R 为群上的等价关系，且具有运算符 G；如果 R 与 G 上的群运算左（或右）相容的（§ 3, no. 3）并与 Ω 的作用兼容，则 e 的等价类是 G 的稳定子群 H，并且关系 R 相当于 x⁻¹y ∈ H（或 yx⁻¹ ∈ H）。相反，如果 H 是 G 的稳定子群，则关系 x⁻¹y ∈ H（分别为 yx⁻¹ ∈ H）为等价关系，其左（或右）与 G 上… ↩ 1 058U
命题 4 令 H 和 K 为群 G 中的两个子群，使得 H ⊂ K。那么 (G:H) = (G:K)(K:H). ↩ 2 058V
推论如果G是阶g的有限群并且H是阶h的G的子群，那么 h · (G:H) = g （特别是，H的阶和指标是G的阶的除子）。 ↩ 2 058W
定义 5 设 G 为群且带有运算符。如果对于所有 x ∈ G 都有 xHx⁻¹ = H，则 G 的稳定子群 H 称为 G 的正常（或不变）稳定子群。 ↩ 1 058X
定理 2 设 G 为群且带有运算符。为了使G上的等价关系R与Ω的群运算和作用兼容，它是形式x⁻¹y ∈ H是必要且充分的，其中H是G的正常稳定子群（关系x⁻¹y ∈ H此外相当于yx⁻¹ ∈ H对于这样的子群）。合成在G/R上的商律和Ω在G/R上的作用与Ω在G上的商通过这样的关系R得到G/R结构群带运算符，称为商结构，商通道的典范映射是群带运算符的同态。 ↩ 1 058Y
定义 6 由 G 的正常子群 H 定义的群与运算符 G 与等价关系的商，与商结构称为商群与 G 的运算符与 H 并用 G/H 表示。典范映射 G → G/H 称为典范同态 058Z
命题 5 令 f : G → G' 为群的同态，且具有运算符，且 H 和 H' 分别为 G 和 G' 的正常稳定子群，使得 f(H) ⊂ H'。映射 f 与H 和H' 定义的等价关系兼容。令π : G → G/H和π' : G' → G'/H'为典范同态。由 f 乘以经过得出的映射 barf : G/H → G'/H' 所得商为同态。 ↩ 3 0590
注 (1) 如果A是群G中的任意子集且H是G的正常子群，则AH = HA；这个集合是通过使A相对于关系x ≡ y pmodH饱和而获得的。 0591
定义 7 群与运算符 G 被称为简单如果 G ≠ e 并且不存在 G 除了 G 和 e之外的正常稳定子群。 ↩ 4 0592
命题 6 设 G 为群，带有运算符，并且 G' 岩浆带有作用，由 Ω，以指数形式写入。让 f : G → G' 成为玛格纳 G 进入岩浆 G' 的同态，这样，对于所有 α ∈ Ω 和所有 x ∈ G，f(x^α) = f(x)^α。那么 f(G) 是 G' 在 G' 上的律和 Ω的作用的稳定子集；集合 f(G) 诱导的律是群（带有运算符），以及映射 x ↦ f(… ↩ 1 0593
定义 8 使用运算符将 f : G → G' 设为群中的同态。 G'单位元素逆像称为f核。 0594
定理 3 使用运算符将 f : G → G' 设为群中的同态。 (a) Ker(f) 是 G 的正常稳定子群； (b) Im(f) 是 G' 的稳定子群； (c) 映射f与Ker(f)在G上定义的等价关系兼容； (d) 映射tildef : G/Ker(f) → Im(f)由f乘以经过通过运算符得到同构与群的商； (e) f = i ∘ tildef ∘ π，其中i是… ↩ 2 0595
命题 7 设G和H为两个带有运算符的群，将G的f同态转换为H和f的N核。 (a) 令 H' 为 H 的稳定子群。逆像 G' = f⁻¹(H') 是 G 的稳定子群，如果 H' 在 H 中正常，则 G' 在 G 中正常。此外，N是G'的正常子群。如果 f 是满射，则 H' = f(G') 和 f 定义同构的 G'/N 到 H' 上的经过的商。 (b) 令 G' 为 G… ↩ 3 0596
推论 1 假设 f 是满射。设 G（分别为 G'）为稳定的集合（分别为正常稳定）子群为 G 包含 N 和ℌ（分别为ℌ'）稳定的集合（分别为正常稳定）子群或 H，这些集合按包含顺序排列。映射 G' ↦ f(G') 是有序的集合同构 Φ : G → ℌ；逆同构Ψ : ℌ → G是映射H' ↦ f⁻¹(H')。进一步Φ和Ψ诱导同构Φ' : G' → ℌ'和Ψ' : ℌ… ↩ 2 0597
推论 2 设f : G → H为带有运算符的群的同态，f的N核，G'为G的稳定子群，L为子群的正常稳定子群 G'。那么LN, L.(G' ∩ N)和f(L)分别是G'N, G'和f(G')的正常稳定子群，并且与算子G'N/LN, G'/L.(G' ∩ N)和f(G')/f(L)的三个商群是同构的。 ↩ 1 0598
推论 3 令 f:G→ H 为群的同态（带运算符），N 为核，X 子集为 G，使得 f(X) 生成 H 且Y子集共N其中生成N。然后X∪ Y生成N。 0599
注在命题7的记号中，H的子群逆像是G的子群的事实从以下更一般的事实得出。 059A
命题 8 设G为带有运算符的群，以及A和B两个稳定的子群G。假设关系a∈ A和b∈ B隐含aba⁻¹∈ B^*（在其他字中，A归一化B）^*。那么AB=BA是G的稳定子群，A∩ B是A的正常稳定子群，B是AB的正常稳定子群。将A的典范嵌入代入AB，将经过上的定义除以A/(A∩ B)的同构到AB/B的商。 ↩ 1 059B
定理 4 设 G 为群且有运算符，N 为 G 的正常稳定子群。 ↩ 15 059C
定义 9 具有运算符 G 的群的合成列是 G 的稳定子群的有限序列 (Gᵢ)_0 ≤ i ≤ n，其中G₀ = G 和 Gₙ = e，并且Gᵢ₊₁ 是0 ≤ i ≤ n-1 的Gᵢ 的正常子群。商Gᵢ/Gᵢ₊₁称为级数的商。如果Σ是取自Σ'的级数，则合成列Σ'据说是更细比合成列Σ。 ↩ 1 059D
定理 5（施赖尔） 给定群的两个合成列Σ₁, Σ₂和运算符G，存在两个分别与Σ₁和Σ₂等价的合成列、Σ'₁, Σ'₂、更细。 ↩ 2 059E
引理 1（扎森豪斯） 设H和K是群的两个稳定子群，分别是H和K的算子G和H'和K'正常稳定子群；则 H'.(H \cap K') 是 H'.(H \cap K) 的正规稳定子群，K'.(K \cap H') 是 K'.(K \cap H) 和商群的正规稳定子群，带有运算符 (H'.(H \cap K))/(H'.(H \cap K')) 和 (K'.(K \cap H))/(K'… 059F
定义 10 具有运算符 G 的群的 Jordan-Hölder 级数是严格递减分解级数 \Sigma，这样不存在与 \Sigma 不同的严格递减分解级数和与 \Sigma 不同的更细。 059G
命题 9 为了使 G 的分解级数成为 Jordan-Hölder 级数，级数的所有商都是简单的是充分必要的。 ↩ 2 059H
定理 6（乔丹-霍尔德） 两个 Jordan-Hölder 级数或群与运算符是等效的。 ↩ 6 059I
推论设 G 为群，其中存在 Jordan-Hölder 级数的算子。如果 Σ 是 G 中的任意严格递减合成列，则存在比 Σ 的 Jordan-Hölder 级数更细。 ↩ 2 059J
注群与运营商并不总是拥有 Jordan-Hölder 级数；例由有理整数的加法群Z给出：序列(2ⁿ · Z)_n ≥ 0是Z的（正常）子群的严格递减无限序列；对于所有p，这个序列形式的第一个p项与群0严格递减合成列；如果Z存在乔丹-霍尔德级数，则根据定理6的推论，它至少有p+1项；荒谬，因为 p 是任意的。 059K
定义 11 设 G 为带有运算符的群； G 的长度是整数 n 的上界，因此存在G (Gᵢ)_0≤ i≤ n 的严格递减合成列。 ↩ 1 059L
命题 10 令 G 为带有算子的群，H 为 G 的正常稳定子群。G 的长度是 H 和 G/H 的长度的和。 ↩ 1 059M
推论令G为带有运算符的群和G的(Gᵢ)_0≤ i≤ n合成列。G的长度是Gᵢ/Gᵢ₊₁、0≤ i≤ n-1的长度的和。 059N
定义 12 群与运算符 G = ∏_i ∈ I Gᵢ 上面定义的是乘积群以及 Gᵢ 的运算符。映射 prᵢ : G → Gᵢ 被称为投影同态。 059O
命题 11 设 (φᵢ : Hᵢ → Gᵢ)_i ∈ I 是同态的群与运算符的族，并设 Φ = ∏_i ∈ I φᵢ。然后： 059P
定义 13 令 G 为群，有操作员，(Hᵢ)_i ∈ I 为 G 的正常稳定族子群。令pᵢ : G → G / Hᵢ为典范同态。如果同态 g ↦ (pᵢ(g))_i ∈ I 是 G 的同构到 ∏_i ∈ I G / Hᵢ，G 被称为商群 (G / Hᵢ) 族的内部乘积（或乘积）。 059Q
命题 12 令(φᵢ: Gᵢ → K)_i ∈ I是群的同态族，其运算符使得对于所有i ∈ I和j ∈ I以及i ≠ j、x ∈ Gᵢ、y ∈ Gⱼ、元素φᵢ(x)和K通勤φⱼ(y)；存在且仅有一个群的同态，将∏_i ∈ I Gᵢ的Φ算子放入K，使得所有i ∈ I都有φᵢ = Φ ∘ ιᵢ。对于 ∏_i ∈ I Gᵢ 中的每元素 x = (xᵢ)_i ∈ I，Φ(x)… ↩ 3 059R
定义 14 令 G 为群，包括运算符和 (Hᵢ)_i ∈ I 子群 G 的稳定族。如果Hᵢ的每一个元素对于j ≠ i来说可以与Hⱼ的每一个元素进行置换，G被称为子群(Hᵢ)族的内部受限和（或受限和）将∏_i ∈ I Hᵢ的唯一同态转化为G，其限制到每个Hᵢ的典范嵌入为同构。 059S
命题 13 令 G 为具有运算符的群和(Hᵢ)_i ∈ I G 的稳定子群族，使得Hᵢ的每个元素对于Hⱼ的每个元素都可以置换为j ≠ i。为了使 G 成为子群 (Hᵢ)_i ∈ I 族的受限和，G 的每个元素 x 可以在形式 ∏_i ∈ I yᵢ 中唯一表达是充分必要的，其中 (yᵢ)_i ∈ I 是元素的有限支撑的族G 的 yᵢ ∈ Hᵢ 对于所有 i. 059T
命题 14 设 G 为带有运算符的群和 (Hᵢ)_i ∈ I G 的稳定子群的有限族。为了使 G 成为子群 (Hᵢ) 族的受限制和，每个 Hᵢ 是正规的并且 G 是乘积是充分必要的的商群 (G/Hⁱ)，其中 Hⁱ 是由 Hⱼ 为 j ≠ i 生成的子群。 059U
命题 15 令 G 为带有运算符的群以及 G 的正常稳定子群的 (Hᵢ)_1 ≤ i ≤ n 序列，使得 (H₁ H₂ … Hᵢ) ∩ Hᵢ₊₁ = e for 1 ≤ i ≤ n-1, 集合H₁ H₂ … Hₙ是G的正常稳定子群，Hᵢ的限制和。 ↩ 5 059V
命题 16 令a为整数> 0。整数 r 0 leqslant r < a 形式系统等价关系 x ≡ y pmoda 代表元Z。 ↩ 1 059W
Corollary 令a为整数> 0。群 Z/aZ of rational 整数 modulo a is 群 of 阶 a. ↩ 1 059X
命题 17 令H为Z中的子群。 There exists one and only one 整数 a geqslant 0 such that H = aZ. ↩ 2 059Y
定义 15 如果群承认单个元素的生成元由……组成中的系统，则称为单生的。有限单生群称为循环。 ↩ 1 059Z
命题 18 阶 a 的有限单生群与 Z/aZ 同构的。无限单生群同构于 Z。 ↩ 2 05A0
命题 19 设a为整数 0。设H为Z/aZ中的子群，b为H中的阶，c为Z/aZ中的指标。那么a = bc，H = cZ/aZ和H同构于Z/bZ。 ↩ 3 05A1
推论单源群的每个子群都是单源的。 05A2
定义 16 整数 p > 0 称为素数，如果 p ≠ 1 并且除了 p 之外不承认除子 1。 ↩ 2 05A3
命题 20 整数p > 0是质数当且仅当群Z/pZ是一个简单的群。 ↩ 1 05A4
推论每个可交换简单群都是素数阶的循环。 ↩ 1 05A5
注素数阶的有限群G必然是循环的。 G 除了 G 和 e 之外不承认任何子群，因此它是由每个元素 ≠ e 生成的。 05A6
引理 2 设a为整数> 0。通过与群Z/aZ序列(sᵢ)_1 ≤ i ≤ n的每个合成列(Hᵢ)_0 ≤ i ≤ n关联，其中sᵢ是Hᵢ₋₁/Hᵢ的阶，在以下之间获得一对一的对应 Z/aZ的合成列和整数> 0的有限序列(sᵢ)使得a = s₁ … sₙ。当且仅当 sᵢ 是质数时，合成列 (Hᵢ)_0 ≤ i ≤ n 是 Jordan-Hölder 级数。 ↩ 1 05A7
定理 7（分解进入素数因子） 令a严格为正整数。整数 > 0 存在且仅有一个族 (vₚ(a))_p ∈ 𝔓，使得 p ∈ 𝔓 与 vₚ(a) ≠ 0 的集合是有限的并且 ↩ 2 05A8
推论令a和b为两个整数> 0。然后vₚ(ab) = vₚ(a) + vₚ(b)。对于 a 到除 b，对于每个素数数 p，vₚ(a) ≤ vₚ(b) 是充分必要的。 05A9
命题 21 在阶 n 的有限群 G 中，xⁿ = e 对于所有 x ∈ G。 05AA

§ 5. 。群运行于集合

定义 1 设 M 为幺半群，律乘法书写，单位元素表示为 e，E 集合。如果对于所有α, β ∈ M，fₑ = Id_E 和f_α β = f_α ∘ f_β（或f_α β = f_β ∘ f_α），M 在 E 上的作用 α ↦ f_α 称为 M 在 E 上的左（或右）运算。 05B1
例 (1) 设E为集合； E (§ 3, no. 1, 例 3) 上Eᴱ的规范作用是左运算。 05B2
定义 2 设 M 为幺半群，E 和 E' M 集。将 E 的映射 f 转化为 E'，使得对于所有 x ∈ E 和所有 α ∈ M，f(α.x) = α.f(x) 称为 M 集同态（或 M 态射，或与 M 的运算兼容的映射）。 05B3
定义 3 令 M 为在集合 E 和 A 和 B 子集 E 上运行的幺半群。α ∈ M 的集合，使得 α A ⊂ B（分别α A = B）称为 A 到 B 的传输器（或严格传输器）。从 A 到 A 的传输器（或严格传输器）称为稳定子 (resp. strict 稳定子) A. α ∈ M 的集合，使得所有 a ∈ A 的 α a = a 被称为 A 的修复者。 05B4
命题 1 设 M 为在 E 的集合 E 和 A 子集上运行的幺半群。 (a) A 的稳定子、严格稳定子和固定者是 M 的子幺半群。 (b) 令α为M的可逆元；如果 α 属于到 A 的严格稳定子（或固定器），α⁻¹ 也是如此。 05B5
推论令G为集合E上的群，A为E的子集。A的严格稳定子S和固定器F是G的子群，F是S的正规子群。 05B6
命题 2 设 G 为集合 E 上的群，对于所有 x ∈ E，令 Sₓ 为 x 的稳定子。对于所有 α ∈ G、S_α x = α Sₓ α⁻¹。 ↩ 5 05B7
命题 3 设G为群。对于 G 的每个元素 x，映射 Int(x)：G 的 y ↦ xyx⁻¹ 到其自身是 G 的自同构。映射 Int：G 到 Aut(G) 的x ↦ Int(x) 是群同态，其核是 G 的中心，其像是 Aut(G) 的正常子群。 05B8
定义 4 设 G 为群和 x ∈ G。自同构 y ↦ xyx⁻¹ 称为 x 定义的 G 的内自同构，记为 Int x。 05B9
命题 4 设 G 为群，H 为 G 的特征（或正常）子群，K 为 H 的特征子群。则 K 为 G 的特征（或正常）子群。 05BA
注 (1) 当 G 通过内自同构对自身进行操作时，A 的归一化器（或中心化器）是 A 的严格稳定子（或固定器）。特别地，扶正器是正常化器的子群。 05BB
定义 5 设 G 为群，E 为 G 集，x ∈ G。如果存在元素α ∈ G使得y = α x，则元素y ∈ E是共轭到G的运算下的x。 x的共轭元素的集合在E中称为x的轨道。 05BC
例 (1) 令 G 为群，并通过内自同构考虑 G 的运算本身。 G 中的两个元素，在运算下为共轭，称为内自同构下的共轭，或简称为共轭。轨道称为共轭类。类似地，如果存在元素 α ∈ G使得H' = α . H . α⁻¹，G的两个子集 H和H'被称为共轭，即如果它们在G的运算的扩张到P(G)下是共轭，则通过内自同构。 05BD
定义 6 设G为群。如果存在元素 x ∈ E，其轨道为 E，则 G 在集合 E 上的运算称为传递性。如果 G 在 E 上的运算是传递性的，则称 G 集合 E 是齐次的。 05BE
例如果 E 是 G 集，则 E 的每个轨道以及导出的运算都是 G 下的齐次集合。 05BF
命题 5 对于上述记号，G/H 是齐次 G 集。 (N/H)⁰ 的映射 φ 诱导同构到 G 组 G/H 的自同构群。 ↩ 1 05BG
注 (1) 令G为G的群、H子群以及G/H上G的φ : G → S_G/H同态相应的至运算。 φ的核是H的共轭交(no. 2，命题2)。也是H（no. 3）中包含的最大的正常子群。特别是，G 忠实地在 G/H 上运行当且仅当 H 约化到 e 的共轭中的交。 05BH
命题 6 设G为群，E为齐次G集合，a的a ∈ E，H稳定子和H中包含的G的K子群。存在且仅有一个G/K到E的G-态射f使得f(e.K) = a。如果 K = H，则 f 为同构。 ↩ 1 05BI
定理 1 设 G 为群。 (a) 每个齐次 G 集同构于形式 G/H 的齐次 G 集，其中 H 是 G 的子群。 (b) 设 H 和 H' 是 G 的两个子群。G 集 G/H 和 G/H' 同构当且仅当 H 和 H' 是共轭。 ↩ 2 05BJ
例 (1) 令E为非空集。群 S_E 在 E 上传递操作。如果x和y是E、映射τ : E → E的两个元素，则τ(x) = y、τ(y) = x和τ(z) = z对于z ≠ x, y来说，是E的置换。让a ∈ E。 a的稳定子用S_F标识，其中F = E - a。因此齐次G集合E同构于S_E / S_F。 ↩ 3 05BK
定义 7 令G为群。如果存在E的元素x使得x定义的轨道映射是双射，则集合E上G的运算称为简单传递。集合 E，与E上G的简单传递左作用一起，称为左齐次主体G集合（或G下的左齐次主体集合）。 ↩ 1 05BL
例 (1) 让 G 通过左（或右）平移对自身进行操作。因此，在 G 上定义了左（或右）齐次主 G 集结构，其有时表示为 Gₛ（或 G_d）。 05BM
定义 8 令 E 为 E 的有限集合、ζ ∈ 𝔖_E 置换以及由 ζ 生成的 𝔖_E 的 barζ 子群。如果在 E 上 barζ 的运算下，存在且仅有一个轨道且不被简化为单个元素，则称ζ 为环。这个轨道称为ζ的支撑。 05BN
引理 1 令 (ζᵢ)_i ∈ I 为一个循环族，其支持度为成对不相交的。那么 ζᵢ 是成对可置换的。令σ = ∏_i ∈ I ζᵢ和barσ为由σ生成的子群。然后σ(x) = ζᵢ(x)对应x ∈ Sᵢ, i ∈ I，σ(x) = x对应x ∉ ⋃_i ∈ I Sᵢ。映射i ↦ Sᵢ是I的双射到barσ轨道的集合上，而不是单个元素的由……组成。 ↩ 1 05BO
命题 7 令 E 为 E 的有限集合和 σ 置换。存在且仅有一个有限集合 C 周期满足以下两个条件： ↩ 1 05BP
定义 9 阶2的循环称为转置。 05BQ
命题 8 设 E 为有限集合。群 𝔖_E 由转置生成。 ↩ 3 05BR
命题 9 令n为整数≥ 0。群 𝔖ₙ 由转置 (τ_i, i+1)_1 ≤ i ≤ n-1 生成。 ↩ 4 05BS
引理 2 p ≠ 0 和 σ p = (-1)^ν(σ) 对应 σ ∈ 𝔖ₙ。 ↩ 1 05BT
定理 2 设 E 为有限集合。从 𝔖ₙ 到乘法群 -1, +1，存在且仅有一个同态 ε，使得每一个转置τ都有ε(τ) = -1。 ↩ 1 05BU
定义 10 在定理2的记号中，数ε(σ)（也表示为ε_σ）称为置换σ的签名。同态 ε 的核称为 E 的交错的群。 05BV
例若σ是阶d的循环，则 ε(σ) = (-1)ᵈ⁻¹. 数置换的反转 (1, 2, 3, …, d) ↦ (d, 1, 2, …, d-1) 等于d-1。 05BW

§ 6. 。扩张，可溶解群，惰性群

定义 1 令F和G为两个群。 G乘以F的扩张是三重E = (E, i, p)，其中E是群，F的i单同态到E和p满同态 E 到 G 使得 Im(i) = Ker(p)。同态s : G → E（分别r : E → F），使得p ∘ s = Id_G（分别r ∘ i = Id_F）被称为扩张E的截面（分别收回）。 05CQ
命题 1 设E: F xrightarrowi E xrightarrowp G和E': F xrightarrowi' E' xrightarrowp' G为G除以F的扩张。如果u: E → E'是E的态射到E'，u是E的同构到E'，u⁻¹是E'的态射到E。 ↩ 1 05CR
命题 2 令E: F xrightarrowi E xrightarrowp G等于G除F的扩张。以下条件是等效的： 05CS
定义 2 令F和G为G的两个群和τ同态到F的自同构群。将g ∈ G和f ∈ F写成τ(g)(f) = gf。集合 F × G 律合成 ↩ 1 05CT
命题 3 外部半直接乘积F ×_τ G为群。由i(f) = (f, e)定义的映射i: F → F ×_τ G、由p(f, g) = g定义的p: F ×_τ G → G以及s(g) = (e, g)定义的s: G → F ×_τ G为群同态。三重(F ×_τ G, i, p)是G除以F的扩张，s是扩张的截面。 ↩ 1 05CU
命题 4 对于上面的记号，E_τ中存在且仅有一个同构u到E'，使得u ∘ s = s'。 ↩ 2 05CV
注运算 τ乘以公式 (2) 的定义取决于扩张E'和截面s'。当F可交换时，运算τ不依赖于s'。对于 Int(s'(g)) | i'(F) 则仅取决于 s'(g) mod 的陪集。 i'(F)。 05CW
推论令G为群、H和KG中的两个子群，使得H正常，H ∩ K = e和H.K = G。令τ等于H上K的运算除以G的内自同构。映射 (h, k) ↦ hk 是 H ×_τ K 的同构到 G。 ↩ 1 05CX
例 (1) 设G为群且E为齐次主体G集合；让Γ表示G的自同构群。令 A 为置换 f E 的集合，其中性质：存在γ ∈ Γ使得f是E到E的γ态射（即f(gb) = γ(g)f(b)对于b ∈ E和g ∈ G）。上面的公式f(gb) = γ(g)f(b)表明，如果f ∈ A存在唯一的γ ∈ Γ，使得f是γ态射，我们将其记为p(f)。令f, f'位于A、γ =… 05CY
定义 3 令G为群，并且x和y为G的两个元素。 G的元素x⁻¹y⁻¹xy称为x和y的换位子。 05CZ
命题 5 令A, B, C为G中的三个子群。 ↩ 1 05D0
定义 4 设G为群。由G的元素的换位子生成的子群称为G的导出群。 05D1
命题 6 设f : G → G'为群同态。然后f(D(G)) ⊂ D(G')。如果 f 是满射，则 D(G) 的同态到 f 的 D(G') 限制也是满射。 ↩ 2 05D2
推论 1 群G的导出群是G的特征子群。特别是它是正常的子群 G。 05D3
推论 2 设G为群。商群 G/D(G) 是可交换的。设π : G → G/D(G)为典范同态。 G 的每个同态 f 到可交换的群 G' 都可以在形式 f = barf ∘ π 中唯一地表达，其中 barf : G/D(G) → G' 是同态。 ↩ 2 05D4
推论 3 令 H 为 G 的子群。以下条件是等价的： ↩ 3 05D5
推论 4 设G为G的群和X子集，其中生成G。群D(G)是由X的元素的换位子生成的G的法线子群。 ↩ 1 05D6
注 (1) 推论2也可以用说表示，对于G来说，相对于交换律群和同态，从G到交换律群，G/D(G)与π一起，是普遍映射问题的解。 05D7
例 (1) 如果 G 是非交换简单群，则 D(G) = G。因此，G 的每个同态到可交换的群都是微不足道的。 05D8
定义 5 令 G 为群。 G 的下中心级数是 G 的子群的序列 (Cⁿ(G))_n ≥ 1，归纳定义为： C¹(G) = G, Cⁿ⁺¹(G) = (G, Cⁿ(G)). ↩ 1 05D9
定义 6 如果存在整数n使得Cⁿ⁺¹(G) = e，则群G称为幂零。最小的整数 n 使得 Cⁿ⁺¹(G) = e 被称为幂零群 G 的幂零类。 ↩ 1 05DA
例 (1) 群是类 0（或 ≤ 1）的幂零当且仅当它由单位元素组成（或可交换）。 05DB
命题 7 令G为群且n整数。以下条件是等效的： ↩ 4 05DC
推论幂零群的中心扩张（通过必然交换的群）是幂零的。 05DD
命题 8 令G为类≤ n的幂零群，令H为G的子群。存在子群中的序列 ↩ 1 05DE
推论 1 令 G 为 G 的幂零群和H 子群。如果H与G不同，则G中H的归一化器N_G(H)与H不同。 ↩ 1 05DF
推论 2 令 G 为 G 的幂零群和 H 子群。如果 H 与 G 不同，则存在 G、包含于 H 的正常子群 N，与 G 不同，并且 G/N 是可交换的。 ↩ 1 05DG
推论 3 设 G 为 G 的幂零群且 H 子群。如果 G = H.(G, G)，则 G = H。 ↩ 2 05DH
推论 4 设 f: G' → G 为群同态。假设 (a) G 是幂零的。 (b) 同态 f₁：G'/(G', G') → G/(G, G)，由 f 通过经过得到商，是满射。那么 f 是满射。 05DI
命题 9 设 G 为类 ≤ n 的幂零群，令 N 为 G 的正规子群。存在子群的级数 ↩ 1 05DJ
推论 1 设 G 为 G 的幂零群，Z 中心，N 为 G 的正规子群。如果 N ≠ {e}，则 N ∩ Z ≠ {e}。 ↩ 1 05DK
推论 2 令 f 为从幂零群 G 到群 G' 的同态。如果 f 的限制到 G 的中心是内射的，则 f 是内射的。 05DL
定义 7 设G为群。 G 的导出级数是级数 (D^n(G)){n \in \mathbf{N}} 归纳定义为： 05DM
定义 8 如果存在整数 n 使得Dⁿ(G) = e，则群 G 称为可解。如果 G 是可解的群，则使得 Dⁿ(G) = e 的最小整数 n 称为 G 的可解性类。 05DN
例 (1) 群可解为类 0（或 ≤ 1）当且仅当它减少到 e（或可交换）。 05DO
命题 10 设 G 为群，n 整数。以下条件是等效的： ↩ 1 05DP
推论令 G 为有限群并且 G = G⁰ ⊃ G¹ ⊃ … ⊃ Gⁿ = e G 的 Jordan-Hölder 级数要使 G 可解，商 Gᵏ/Gᵏ⁺¹ 是素数阶的循环是必要且充分的。 05DQ
定义 9 阶是p的幂的有限群称为p群。 ↩ 1 05DR
命题 11 令E为有限集合，G为在E上运行的p群。让Eᴳ表示x ∈ E的集合，使得gx = x适用于所有g ∈ G（固定的点）。然后 Card(Eᴳ) ≡ Card(E) pmodp. ↩ 5 05DS
推论设 G 为 p 基团。如果 G 不减少为 e，则其中心不会减少为 e。 ↩ 3 05DT
定理 1 设 G 为 p 群，pʳ 为阶。 G 的子群存在序列 ↩ 4 05DU
推论每个 p 群都是幂零的。 ↩ 1 05DV
命题 12 设 G 为 p 群，G 的 H 子群与 G 不同。则： ↩ 3 05DW
推论设 G 为 p 基团。指标 p 的 G 的每个子群都是正常的。 05DX
定义 10 令 G 为有限群。 G 的 Sylow p 子群是 G 满足以下两个条件的任意子群 P： 05DY
例 (1) 在群𝔖ₚ中，令ζ为阶p的循环。由ζ生成的子群是𝔖ₚ的Sylowp子群，对于p不是除(p - 1)!。 (2) 令k为特征p的有限域，令n为正整数。严格三角形群 T₁(n, k) 是群 GL(n, k) 的 Sylow p 子群。 05DZ
定理 2 每有限群包含一个 Sylow p 子群。 ↩ 3 05E0
引理设n = pʳ m，其中m是整数，它不是p的倍数。然后 binomnpʳ not≡ 0 pmodp. 05E1
推论如果 G 的阶能被 p 整除，则阶 p 的群 G 包含元素 05E2
注对于每个素数数 q 整除 Card(G)，令 Pq 为 G 的 Sylow q 子群。则 Pq 生成的 G 的子群 H 对于每个 q 来说是 Card(Pq) 的阶倍数以及 Card(G) 的阶除子，因此它等于 G。 05E3
定理 3 设 G 为有限群。 (a) G 的 Sylow p 子群为共轭到 1 另一个。它们的数等于 1 mod。 p. (b) 作为 p 群的 G 的每个子群都包含在 Sylow p 子群中。 ↩ 2 05E4
推论 1 设 P 为 G 的 Sylow p 子群，设 N 为其在 G 中的归一化子，令 M 为 G 包含于 N 的子群。M 在 G 中的归一化子等于 M。 ↩ 1 05E5
推论 2 令 f : G₁ → G₂ 为有限群中的同态。对于 G₁ 的每个 Sylow p 子群 P₁，都存在 G₂ 的 Sylow p 子群 P₂，使得 f(P₁) ⊂ P₂。 05E6
推论 3 (a) 设H为G的子群。对于H的每个Sylow p子群P，都存在G的Sylow p子群Q，使得P = Q ∩ H。 05E7
推论 4 令 N 为 G 的正常子群。 G的Sylow p子群的G/N中的像是G/N的Sylow p子群，并且G/N的每个Sylow p子群都是通过这种方式获得的。 05E8
定理 4 设G为有限群。以下条件是等效的： ↩ 6 05E9
注 (1) 令 G 为有限群且p素数数。由no. 6，定理 3 (a) 和no. 6，定理 2，以下条件是等价的： (i) G 存在正规 Sylow p 子群； (ii) G 的每个 Sylow p 子群都是正规的； (iii) G 只存在一个 Sylow p 子群。 05EA
例群 𝔖₃ 是阶 6。包含阶 3 的正规 Sylow 3 子群：群 A₃。它包含阶2的三个Sylow 2子群：群e, τ，其中τ是转置。因此群𝔖₃不是幂零的。 05EB

§ 7. 。免费幺半群，免费群

命题 1 设M为岩浆。 X 的每个映射 f 都可以以独特的方式扩展到 M 中的 M(X) 态射。 ↩ 2 05FH
命题 2 令u : X → Y为映射。如果 u 是单射（分别是满射、双射），则 M(u) 也是。 05FI
命题 3 设 M 为幺半群。 X 的每个映射 f 转换为 M 扩展唯一到 Mo(X) 的同态转换为 M。 ↩ 1 05FJ
命题 4 (a) 对于所有 i ∈ I，映射 φᵢ 是 Mᵢ 的同态进入 M，对于所有 i ∈ I，φᵢ ∘ hᵢ = h。进一步地，M由⋃_i ∈ I φᵢ(Mᵢ)生成。 ↩ 3 05FK
命题 5 在假设 (A) 下，M 的每一个元素 x 都承认一个唯一的缩减分解 σ。 x中的每分解σ' ≠ σ满足l(σ') > l(σ)。 ↩ 2 05FL
引理 1 让i₁, …, iₙ在I中，而p_α在P_i_α中，则1 ≤ α ≤ n。对于所有 a ∈ A 都存在 a' ∈ A 和序列 (p'_α)_1 ≤ α ≤ n 以及 p'_α ∈ P_i_α 这样 φ_i₁(p₁) … φ_iₙ(pₙ)h(a) = h(a')φ_i₁(p'₁) … φ_iₙ(p'ₙ). h(a) = φ_iₙ(h_iₙ(a)) 且存在 aₙ… 05FM
推论在假设 (A) 下，同态 φᵢ 和 h 是单射的。对于 I、φᵢ(Mᵢ) ∩ φⱼ(Mⱼ) = h(A) 中的 i ≠ j。 ↩ 1 05FN
引理 2 令M为所有x ∈ X由Mₓ = N定义的族(Mₓ)_x ∈ X的幺半群和，并令φₓ表示Mₓ到M的典范同态。映射 x ↦ φₓ(1) / X 进入M 扩展同构 h / Mo(X) 进入M。 ↩ 1 05FO
命题 6 设w为Mo(X)中的元素。 (a) 存在X和整数m(α) > 0中的整数n ≥ 0、元素x_α（对于 ↩ 2 05FP
命题 7 令 g 为免费群 F(X) 中的元素。存在整数 n ≥ 0 和序列 (x_α, m(α))_1 ≤ α ≤ n 由关系 x_α ∈ X、x_α ≠ x_α+1 对于 1 ≤ α < n、m(α) ∈ Z、m(α) ≠ 0 进行唯一确定1 ≤ α ≤ n，和g = ∏_α=1ⁿ x_α^m(α)。 ↩ 2 05FQ
命题 8 设 G 为群且 f 映射 of X 进入 G。存在且仅有一个同态 barf of F(X) 进入 G，其中扩展 f。 ↩ 1 05FR
例 (1) 由表示法⟨ τ; τ^q = e ⟩定义的群是阶q的循环。 05FS
命题 9 令G为群，t = (tᵢ)_i ∈ I生成的为G的家族，r = (rⱼ)_j ∈ J为t的关系者家族。以下条件是等效的： 05FT
命题 10 设 M 是可交换幺半群（分别为群），并且 X 的 f 映射进入 M。存在且仅有一个 N^(X)（分别为 Z^(X)）的同态进入 M，这样对于所有 x ∈ X 都有 g(δₓ) = f(x)。如果 M 是相加的，则 g(α) = ∑_x ∈ X α(x) · f(x) 对于 N^(X) 中的所有 α（或 Z^(X)）。 ↩ 2 05FU
注令M严格为正整数的乘法幺半群，并令𝔓为素数数的集合（§ 4, no. 10，定义15）。到命题 10 时，N^(𝔓) 中存在同态 u 到 M，其特征在于对于每个素数数 p 具有u(δₚ) = p。那么N^(𝔓)中的α的u(α) = ∏_p ∈ 𝔓 p^α(p)和§ 4, no. 10的定理7表明u是N^(𝔓)的同构到H。 05FV
命题 11 Mo(X)的典范同态ν到N^(X)是满射。设w = x₁ … xₙ和w' = x'₁ … x'ₘ是Mo(X)的两个元素；在阶、ν(w) = ν(w')中，m = n是充分必要的，且存在置换、σ ∈ Sₙ、1 ≤ i ≤ n存在x'ᵢ = x_σ(i)。 ↩ 1 05FW
注令S为X的子集。回想一下，我们已经将M(S)识别为M(X)的子岩浆，Mo(S)识别为Mo(X)的子幺半群，以及N^(S)的子幺半群为N^(X)。然后 M(S) = λ⁻¹(Mo(S)). 显然λ(M(S)) ⊂ Mo(S)。令 w ∈ λ⁻¹(Mo(S))；我们通过归纳在l(w)上显示w ∈ M(S)。显然如果l(w) = 1。如果l(w) > 1，我们可以… 05FX

§ 8. 。环

定义 1 环是集合 A 与合成的两个律分别称为加法和乘法、满足以下公理： 05H2
命题 1 令 A 为交换环和 (x_λ)_λ ∈ L A 的元素的有限族。对于正整数 β = (β_λ)_λ ∈ L 的每个族，令 |β| = ∑_λ ∈ L β_λ。然后 ( ∑_λ ∈ L x_λ )ⁿ = ∑_|β|=n fracn!∏_λ ∈ L β_λ! ∏_λ ∈ L x_λ^β_λ. 我们将公式 (13) 与Lᵢ = L 一起应用，将x_i,λ = x_… 05H3
推论 1（二项式公式） 设 x 和 y 为交换环 A 中的两个元素。则： ↩ 2 05H4
推论 2 设A为A的交换环、X、集合、u = (uₓ)_x ∈ X和v = (vₓ)_x ∈ X两个族元素。令u + v表示族(uₓ + vₓ)_x ∈ X。对于所有λ ∈ N^(X)，我们写为λ! = ∏_x ∈ X λ(x)!。那么对于所有α ∈ N^(X)，在§ 7, no. 8的记号中， ↩ 2 05H5
命题 2 设A为环、x₁, …, xₙ元素、A和I = 1, 2, …, n。对于H ⊂ I，我们写为x_H = ∑_i ∈ H xᵢ。然后 ↩ 4 05H6
定义 2 设A和B为两个环。 A 到 B 的态射或同态是 A 到 B 的任意映射 f 满足关系： 05H7
例 (1) 设A为环。立即可见，Z到A的映射n ↦ n · 1是Z到A的唯一同态。特别是，Z的恒等映射是环Z的唯一内同态。 05H8
定义 3 设A为环。 A的子环是A的任意子集B，即加法下A的子群，在乘法下稳定，并且A的包含单位。 05H9
例 (1) 加法群 Z 中的每个子群，其中包含 1 等于Z。因此Z是Z中唯一的子环。 05HA
定义 4 设A为环。如果A的加法群的子群且关系a ∈ A, x ∈ a隐含ax ∈ a（或xa ∈ a），则A的子集a被称为左（或右）理想。如果a既是A的左理想又是右理想，则称A的双边理想。 05HB
例 (1) 设A为环。集合 A是A的双面理想；集合由……组成为 0，称为零理想值，有时用 0 或 (0) 表示，而不是 0。 05HC
定义 5 令A为环。通过滥用语言，如果左理想 a 是与 A 不同的左理想中的集合中的极大元素，则称其为最大。 05HD
定理 1（克鲁尔） 令A为环，且a与A不同的A左理想。存在最大理想 m A 包含 a。 ↩ 2 05HE
命题 3 令A为环，(x_λ)_λ ∈ L为A的元素和a（分别为b）和∑_λ ∈ L a_λ x_λ的集合，其中(a_λ)_λ ∈ L为有限支撑元素 A 的家庭（分别为∑_λ ∈ L a_λ x_λ b_λ，其中(a_λ)_λ ∈ L, (b_λ)_λ ∈ L 是有限支撑元素 A 的家庭）。那么a（或b）是元素x_λ生成的A的左（或两侧）理想。 05HF
命题 4 设A为环，(a_λ)_λ ∈ L为A的左理想族。 ⋃_λ ∈ L a_λ 生成的左理想由和 ∑_λ ∈ L y_λ 组成，其中 (y_λ)_λ ∈ L 是一个具有有限支撑的族，使得 y_λ ∈ a_λ 代表所有 λ ∈ L。 05HG
定义 6 设A为环，a为A的双面理想。 A除以a的商环，用A/a表示，是A除以等价关系x ≡ y(a)的商集，其中加法和乘法是A上的商。 05HH
定理 2 令A为环，且a为A的双面理想。 (a) A 到A/a 的典范映射 π 是环同态。 (b) 设B为环，并将A的f同态代入B。如果f(a) = 0，则A/a到B中存在且仅有一个同态barf使得f = barf ∘ π。 ↩ 8 05HI
定理 3 设A和B为A的环和f同态到B。 (a) f 的核 a 是B 的双面理想。 (b) f 的像 B' = f(B) 是B 的子环。 (c) 令 π : A → A/a 和 i : B' → B 为规范的态射。 A/a到B'中存在且仅有一个态射barf，使得f = i ∘ barf ∘ π和barf是同构。 ↩ 1 05HJ
命题 5 令A和A'为A的两个环、f同态转化为A'和f的a核。 (a) 设B'为A'中的子环。那么B = f⁻¹(B')就是A包含a中的子环。如果 f 是满射，则当经过到 B/a 的商同构到 B' 时，f(B) = B' 和 f|_B 定义。 (b) 令 b' 为 A' 的左（或右、两侧）理想。那么b = f⁻¹(b')是A包含a的左（或右，两侧）理想。 ↩ 1 05HK
注在上面的记号、θ和η中，集合同构排序（Φ和Φ'按包含排序）。 05HL
推论令A为环，且a为A的双面理想。 (a) A/a 的每个左（或右、两侧）理想都可以唯一地写成形式 b/a，其中 b 是 A 包含 a 的左（或右、两侧）理想。 (b) 如果b是双面的，当经过与A/b的商同构到(A/a)/(b/a)时，合成同态A → A/a → (A/a)/(b/a)定义。 05HM
命题 6 设a, b₁, …, bₙ为A的两侧理想。如果 A = a + bᵢ 对于所有 i，则 A = a + b₁ b₂ … bₙ = a + (b₁ ∩ b₂ ∩ ⋯ ∩ bₙ)。 ↩ 4 05HN
命题 7 令b₁, …, bₙ为A的两侧理想，使得bᵢ + bⱼ = A对应于i ≠ j。然后b₁ ∩ b₂ ∩ ⋯ ∩ bₙ = ∑_σ ∈ Sₙ b_σ(1) b_σ(2) ⋯ b_σ(n)。特别是，如果 A 是可交换的，则 b₁ ∩ b₂ ∩ ⋯ ∩ bₙ = b₁ b₂ … bₙ (cf. 习题 2). ↩ 2 05HO
命题 8 假设 I 是有限的。如果b是A的左理想或右理想，则b是b ∩ aᵢ的直和。 ↩ 3 05HP
命题 9 令A为环和(b₁, …, bₙ)A的两侧理想，使得bᵢ + bⱼ = A为i ≠ j。 A到∏ᵢ₌₁ⁿ (A/bᵢ)的典范同态是核⋂ᵢ₌₁ⁿ bᵢ = ∑_σ ∈ Sₙ b_σ(1) b_σ(2) ⋯ b_σ(n).的满射 ↩ 5 05HQ
定义 7 令A为环。 A双面理想的有限族(bᵢ)_i ∈ I，使得A的典范同态进入∏_i ∈ I (A/bᵢ)是同构，称为A的直接分解。 ↩ 1 05HR
命题 10 令A为环，A'其中心和(bᵢ)_i ∈ I为A的两侧理想的有限族。以下条件是等效的： ↩ 3 05HS
注设 A 为环。令(aᵢ)_i ∈ I是A的加法群A⁺的子群的有限族，使得A⁺是aᵢ的直和。假设aᵢ aᵢ ⊂ ai代表i ∈ I，aᵢ aⱼ = 0代表i ≠ j。那么aᵢ对于所有i ∈ I来说都是A的双面理想。通过A上的那些诱导出加法和乘法，aᵢ是环，而单位元是1 ∈ A在aᵢ中的分量。如果 bᵢ = ∑_j ≠ i aⱼ，显然是命题 10 的 bᵢ 满足… 05HT
例理想和商环Z 05HU
命题 11 设n₁, …, n_d为整数geqslant 1，它们在对和n = n₁ … nᵣ互质。 Z的典范同态进入乘积环∏ᵢ₌₁ʳ Z/nᵢZ是核nZ和Z/nZ的定义环同构到∏ᵢ₌₁ʳ Z/nᵢZ的满射。 ↩ 1 05HV
定理 4 设 A 为 A 的交换环，S 子集。设 A_S 为 A 的分数的幺半群（仅提供乘法），分母为 S (§ 2, no. 4)。让 ε : A → A_S 成为规范的态射。在A_S上存在且仅有一个加法满足以下条件： (a) A_S，加上这个加法及其乘法，就是交换环； (b) ε 为环同态。 ↩ 1 05HW
定义 8 在定理 4 中定义的环称为分数的环，与S相关，或与S中的分母相关，并用A[S⁻¹]表示。 05HX
定理 5 设A为A的交换环、S子集、B环和A的f同态到B，使得每个f(S) 的元素是可逆的。 A[S⁻¹] 中存在且仅有一个 barf 进入B，使得 f = barf ∘ ε。 ↩ 1 05HY

§ 9. 。域

定义 1 如果环K不只由0组成，并且K的每个非零元素都是可逆的，则称为域。 05IF
例 (1) 我们将在理性数的no. 4域中定义；在 General 拓扑域 of 实数中将被定义 (General 拓扑, IV, § 1, no. 3), 域 of 复数 (General 拓扑, VIII, § 1, no. 1) 和域四元数（常规拓扑，VIII, § 1, no. 4）。除了四元数的域之外，这些域是可交换的。 (2) 环 Z/2Z 显然是… 05IG
命题 1 令K为域。对于K的每个子集X，X的扶正器（§ 8, no. 5，例3）X'是K的子域。 05IH
推论域K的中心是K的（可交换）子域。 05II
定理 1 令A为环。以下条件是等效的： ↩ 7 05IJ
注在定理1中，左理想可以被右理想代替。在章VIII, § 5, no. 2中，我们将研究非零环A，它们没有不同于0和A的“双面”理想；这样的环（称为拟单）不一定是域（对于例，带有有理系数的阶2的方阵的环M₂(Q)是拟单但不是域）。 05IK
推论 1 令A为环，且a为A的双面理想。为了使环A/a成为域，a是A的最大左理想是充分必要的。 ↩ 3 05IL
推论 2 令A为交换环，且不为0。在交换域上存在A的同态。 05IM
推论 3 设a为整数geqslant 0。为了使环Z/aZ成为域，a是素数是充分必要的。 05IN
定理 2 令K为域且A为非零环。如果f是K的同态到A，那么A的子环f(K)是域，f定义同构到K f(K)。 ↩ 2 05IO
定义 2 如果环A可交换、非零，并且A的两个非零元素的乘积非零，则称为整环（或完整性域）。 05IP
命题 2 如果A为整环，则A的分数K的总环为交换环。 05IQ
命题 3 令B为非零环，A为B的可交换子环，使得A的每个非零元素在B中可逆。 (a) A 是整环。 (b) 令A'为分数A中的域。 A的典范嵌入到B可以唯一地扩展到A'的同构f到B的子域。 (c) f(A')中的元素是xy⁻¹，其中x ∈ A,\ y ∈ A,\ y ≠ 0。 05IR
命题 4 令A为交换环，且𝔭为A的理想值。以下条件是等效的： (a) 环A/𝔭为整环； (b) A ≠ 𝔭，如果x ∈ A - 𝔭和y ∈ A - 𝔭，则xy ∈ A - 𝔭。 (c) 𝔭 是A 同态核变成域。 ↩ 1 05IS
定义 3 在交换环A中，命题4的理想p满足条件称为素理想。 ↩ 2 05IT
例 (1) 设A为交换环。如果m是A的极大理想，则m是素数；环 A/m 是域（no. 1，推论 1 到定理 1）。 05IU
定义 4 有理整数的环Z分数域称为有理数的域并记为Q。 Q的元素称为有理数。 05IV

§ 10. 。逆与直极限

定义 1 An inverse system of magmas relative to the indexing set I is an inverse system of sets (E_α, f_αβ) relative to I, each E_α having a magma structure and each f_αβ being a magma hom… 05JH
定义 2 A direct system of magmas relative to the indexing set I is a direct system of sets (E_α, f_βα) relative to I, each E_α having a magma structure and each f_βα being a magma homomor… 05JI
命题 1 E 上存在一种且仅有一种岩浆结构，其中映射 f_α : E_α → E 为同态。如果岩浆 E_α 是结合的（或可交换的），那么 E 也是结合的。如果岩浆 E_α 和同态 f_βα 是单位的，那么岩浆 E 和同态 f_α 也是单位的。 ↩ 1 05JJ
命题 2 设 (E_α, f_β α) 为岩浆的直接系统，并让 E 为其直极限 f_α : E_α → E 典范同态。假设给定岩浆F和同态u_α : E_α → F使得u_α = u_β ∘ f_β α对于α ≤ β。存在且仅有一个同态 u : E → F 使得 u_α = u ∘ f_α 对于所有 α ∈ I。如果岩浆 E_α 和 F 和同态 f_β α 和 u… ↩ 1 05JK
命题 3 (a) 如果 A_α 非零，则 A 也非零。 (b) 如果A_α是整环，A就是整环。 (c) 如果A_α是域，A就是域。 05JL

II. 线性代数

§ 1. 。模

定义 1 给定环 A，左模超过 A（或左 A-模）是集合 E 通过给定定义代数结构： ↩ 1 05JO
例 (1) 设φ为环A中的同态入环B；映射(a, x) ↦ φ(a)x（或(a, x) ↦ xφ(a)）的A × B进入B定义，在B左侧（或右侧）A-模结构。特别是，如果 A 上的 φ 被取为恒等映射，则在 A 上获得规范的左（右）A-模结构；为了避免混淆，集合 A 与结构表示为Aₛ（分别为A_d）。 05JP
定义 2 左（右）向量空间超过域 K 是左（右）K-模。 05JQ
例 (4) 域相对于任意子域来说既是左又是右向量空间。 05JR
定义 3 如果存在有限支撑的A的元素的族(λᵢ)_i ∈ I，则A-模E的元素x被称为线性组合，且E的(aᵢ)_i ∈ I族的A中的系数为元素，使得x = ∑_i ∈ I λᵢ aᵢ。 05JS
定义 4 设 E 和 F 是关于同一个环 A 的两个（左）模。E 到 F 的线性映射（或A-线性映射、或同态、或 A 同态）是任意映射 u : E → F，使得： ↩ 1 05JT
注当E和F是两个可交换的群视为环Z（no. 1）上的模时，群E（无运算符）的每个同态u进入群F（无运算符）也等于E的线性映射进入F，因为对于 n 整数 0，关系 u(n . x) = n . u(x) 从 u(x + y) = u(x) + u(y) 到 n 上的归纳，对于n = -m < 0， u(n . x) = u(-(m . x)) = -u(m… 05JU
例 (1) 令E为A-模且E的元素；将 A-模 Aₛ 的映射 λ ↦ λ a 放入 E 中是线性映射 θₐ，使得 θₐ(1) = a. (2) 设I为实直线R的开区间，I上可微实值函数的E向量空间和I上定义的所有实值函数的F向量空间。映射 x ↦ x' 与每个可微分函数 x 相关联，其导数是从 E 到 F 的线性映射。 05JV
命题 1 设E、F、G为三个A-模，E的u线性映射为F，F的v线性映射为G。则复合映射v ∘ u是线性的。 ↩ 2 05JW
例 (1) 在任何 0 的模 E 集合由……组成中，子模（零子模，通常用 0 表示，滥用记号）。 (2) 设A为环。 Aₛ（或A_d）的子模只是环A的左理想（或右理想）。 (3) 设E为A模，x元素为E的a为A的左理想。元素 α x的集合，其中α贯穿a，是E的子模，用ax表示。 (4) 在被视为Z模(no. 1)的交换群G中，G的每个子群也是子模。 05JX
注令 M 为 A-模 E 和 φ : E → E/M 典范同态的子模。对于A-线性映射u : E → F为形式v ∘ φ，其中v是E/M到F中的线性映射，M ⊂ Ker(u)是充分必要的；因为，如果这个条件成立，关系x - y ∈ M意味着u(x) = u(y)，因此u与这个等价关系兼容，并且显然从u取商得出的映射v : E/M → F是线性的。 05JY
定义 5 设F、G、H为三个A-模；令 f 为 F 的同态到 G 以及 G 的同态到 H。有序对 (f, g) 称为正合序列 if 05JZ
注 (1) 若有序对(f, g)为正合序列，则g ∘ f = 0；但当然这个性质并不表征正合序列，因为它只意味着f的像包含于在g的核中。 05K0
命题 3 (a) 对于 0 longrightarrow E xrightarrowf F 要成为正合序列，f是单射的是必要且充分的。 ↩ 1 05K1
注 (2) 说有正合序列 ↩ 1 05K2
注 (5) 正合序列扩展的定义立即到群，它们不一定可交换；在这种情况下，当然使用乘法记号，并将公式中的0替换为1（如果不产生混淆）。命题 3 的部分 (a)、(b)、(c) 仍然有效，并且 (d) 当 F 是 E 的正规子群时。注 2 和命题 3(e) 在条件上，f(E) 是正规的F 的子群；注 3 和 4 无需修改即可有效。 05K3
命题 4 让E = ∏_i ∈ I Eᵢ成为A-模(Eᵢ)_i ∈ I家庭的乘积。对于每一个A-模 F 和每个线性映射 fᵢ : F → Eᵢ 都存在一个且仅有一个映射 f 的 F 进入 E 使得 prᵢ ∘ f = fᵢ 对于所有 i ∈ I 并且这个映射是线性的。 ↩ 2 05K4
命题 5 (i) 令 (Eᵢ)_i ∈ I, (Fᵢ)_i ∈ I 为具有相同索引集合 I的两个A-模族；对于线性映射 fᵢ : Eᵢ → Fᵢ (i ∈ I) 的每个家庭，映射 f : (xᵢ) → (fᵢ(xᵢ)) of ∏ᵢ Eᵢ 进入 ∏ᵢ Fᵢ （有时表示为 ∏ᵢ fᵢ）是线性的。 ↩ 3 05K5
推论在命题 5 中的条件下，(i)， ↩ 1 05K6
命题 6 让(Eᵢ)_i ∈ I成为A-模、MA-模的一个家庭，并且对于所有i ∈ I，让fᵢ : Eᵢ → M成为线性映射。那么存在且仅有一个线性映射 g : ⨁_i ∈ I Eᵢ → M 这样，对于所有 i ∈ I： ↩ 11 05K7
推论 1 令(Eᵢ)_i ∈ I, (F_λ)_λ ∈ L为A-模的两个族。映射 Hom_A ( ⨁_i ∈ I Eᵢ, ∏_λ ∈ L F_λ ) → ∏_(i, λ) ∈ I × L Hom_A(Eᵢ, F_λ) 与每个g ∈ Hom_A ( ⨁_i ∈ I Eᵢ, ∏_λ ∈ L F_λ )系列(pr_λ ∘ g ∘ jᵢ)相关联，是一个Z模块同构（称为规范）… ↩ 8 05K8
推论 2 令(Eᵢ)_i ∈ I为A-模、F A-模的族，对于每个i ∈ I，令fᵢ : Eᵢ → F为线性映射。为了使 f = ∑_i ∈ I fᵢ 成为 E = ⨁_i ∈ I Eᵢ 的同构到 F 上，每个i ∈ I 线性映射 gᵢ : F → Eᵢ 存在以下属性是充分必要的： (1) gᵢ ∘ fᵢ = 1_Eᵢ 对于所有 i ∈ I。 (2) gᵢ ∘ f_κ… ↩ 3 05K9
命题 7 (i) 设 (Eᵢ)_i ∈ I, (Fᵢ)_i ∈ I 为两个系列的 A-具有相同索引集合 I的模块；对于线性映射 fᵢ : Eᵢ → Fᵢ (i ∈ I) 的每个家庭，限制到 ⨁_i ∈ I Eᵢ 线性映射 (xᵢ) ↦ (fᵢ(xᵢ)) 是线性映射 f : ⨁_i ∈ I Eᵢ → ⨁_i ∈ I Fᵢ 表示为 ⨁_i ∈ I fᵢ 或 ⨁ᵢ fᵢ… ↩ 4 05KA
推论 1 在命题 7 的条件以下，(i)， Ker(f) = ⨁_i ∈ I Ker(fᵢ), Im(f) = ⨁_i ∈ I Im(fᵢ) 还有典范同构 Coim(f) → ⨁_i ∈ I Coim(fᵢ), Coker(f) → ⨁_i ∈ I Coker(fᵢ) 定义如no. 5，命题 5的推论。特别是，对于 f 为单射（分别为满射、双射的、零），每个 fᵢ 为… ↩ 3 05KB
推论 2 令(Eᵢ)_i ∈ I, (E'ᵢ)_i ∈ I, (F_λ)_λ ∈ L, (F'_λ)_λ ∈ L为A模块的四个系列，并且对于每个i ∈ I（分别为每个λ ∈ L），uᵢ : E'ᵢ → Eᵢ（分别为v_λ : F_λ → F'_λ）线性映射。然后图表 05KC
注回想一下，直和扩展的定义立即到群的(Eᵢ)_i ∈ I族，它们不一定是可交换的，乘法记号当然替换加法记号；然后我们说“restricted 乘积”或“restricted 和”而不是“直和”(I, § 4, no. 9)。 05KD
命题 8 如果一个家庭 (Mᵢ)_i ∈ I of 子模 of E 将交简化为 0 E 与 ∏_i ∈ I (E / Mᵢ) 的子模典型同构。 05KE
命题 9 The submodule generated by a family (aᵢ)_i ∈ I of elements of an A-module E is the set of linear combinations of the family (aᵢ). ↩ 4 05KF
推论 1 设u : E → F为E的线性映射、S子集和M子模E由S生成。那么u(M)是F的子模由u(S)生成。 ↩ 1 05KG
注如果u(x) = 0代表所有x ∈ S，那么u(x) = 0也代表所有x ∈ M。我们将有时将此结果称为“线性恒等式扩张的原理”或“线性恒等式扩张的原理”。 05KH
推论 2 The submodule generated by the union of a family (Mᵢ)_i ∈ I of submodules of a module E is identical with the set of sums ∑_i ∈ I xᵢ, where (xᵢ)_i ∈ I runs through the set of famil… ↩ 1 05KI
推论 3 如果 (M_λ)_λ ∈ L 是A-模 E 的子模的右有向族，和 ∑_λ ∈ L M_λ 与并 ⋃_λ ∈ L M_λ相同。 05KJ
推论 4 设 0 → E xrightarrowf F xrightarrowg G → 0 为A-模的正合序列， E 的 S 生成的系统， G 的 T 生成的系统。如果 T' 为 F 的子集，则 g(T') = T，T' \cup f(S) 为 F 的生成的系统。 05KK
推论 5 在正合序列 0 → E → F → G → 0 A-模中，如果 E 和 G 是有限生成的，那么 F 也是有限生成的。 ↩ 1 05KL
命题 10 设 M，N 为A-模 E 中的两个子模。则有两个正合序列 ↩ 3 05KM
定义 6 A-模 E 据说是一家人的直和 (M_ι)_ι ∈ I 子模的 E 如果典范映射 ⨁_ι ∈ I M_ι → E (no. 6) 就是同构。 ↩ 1 05KN
注 (1) 令(M_ι)_ι ∈ I, (N_ι)_ι ∈ I为模E的子模的两个族，具有相同的索引集合；假设E同时是(M_ι)族和(N_ι)族的直和，并且对于所有ι ∈ I来说那个N_ι ⊂ M_ι。然后N_ι = M_ι对于所有ι ∈ I，如下所示，立即从no. 6开始，推论1到命题7应用于典范嵌入f_ι : N_ι → M_ι。 ↩ 2 05KO
命题 11 让(M_ι)_ι ∈ I成为A-模E的子模家庭。以下属性是等效的： ↩ 1 05KP
定义 7 A-模 E 的自同态 e 称为投影算子 if e ∘ e = e （在其他字中，如果 e 在环 End(E) 中是幂等的）。在 End(E) family (e_λ)_λ ∈ L of 投影算子中，如果 e_λ ∘ e_μ = 0 对于 λ ≠ μ 则称为正交。 ↩ 1 05KQ
命题 12 设E为A-模。 ↩ 4 05KR
推论对于E的每个投影算子 e，E是e的像M = e(E)和核N = e⁻¹(0)的直和；对于所有 x = x₁ + x₂ ∈ E 与 x₁ ∈ M 和 x₂ ∈ N、x₁ = e(x)； 1 − e 是像 N 和核 M 的 E 的投影算子。 ↩ 2 05KS
注 (2) 令E、F为两个A-模，使得E是子模的有限族(Mᵢ)_1 ≤ i ≤ m的直和，并且F直和属于子模的有限族(Nⱼ)_1 ≤ j ≤ n。然后可知（no. 6，推论 1 到命题 6）Hom_A(E, F) 与乘积 ∏_i,j Hom_A(Mᵢ, Nⱼ) 被规范地识别；准确地说，对于一个家庭(uⱼᵢ)，其中uⱼᵢ ∈ Hom_A(Mᵢ, Nⱼ)还有对应线性… 05KT
定义 8 在A-模E中，如果E是M₁和M₂的直和，则两个子模M₁, M₂被称为补充。 05KU
命题 13 令M₁, M₂为A-模E中的两个补子模。典范映射E → E/M₂的限制到M₁是M₁到E/M₂的同构。 ↩ 3 05KV
推论如果M₂和M₂'是E的相同子模M₁、有序对(x, x') ∈ M₂ × M₂'的集合的两个补充，则x - x' ∈ M₁是M₂的同构的图M₂'。 ↩ 2 05KW
定义 9 如果E中有补子模，则A模块E的子模M称为E的直因子。 05KX
命题 14 为了使模E的子模M成为直因子，只要存在E的投影算子且像为M或投影算子即可。 E，其核为 M。 ↩ 3 05KY
命题 15 给定 A 模块中的正合序列 (33) 0 longrightarrow E xrightarrowf F xrightarrowg G longrightarrow 0 以下命题等效： (a) F中的子模f(E)为直因子。 (b) 存在与f相关的线性回缩r : F → E（集合理论，II, § 3, no. 8，定义11）。 (c) 存在与g相关的线性截面s… ↩ 9 05KZ
推论 1 设u : E → F为线性映射。对于存在线性映射v : F → E使得u ∘ v = 1_F（u被称为右可逆且v被称为u的右逆），u是满射且其核是充分必要的直因子 E。 E的子模Im(v)则为Ker(u)的补充。 ↩ 1 05L0
推论 2 设u : E → F为线性映射。对于存在线性映射v : F → E使得v ∘ u = 1_E（u被称为左可逆且v被称为u的左逆的情况），u是内射的并且其像是必要且充分的F 中的直因子。 F的子模Ker(v)则为Im(u)的补充。 ↩ 3 05L1
注 (1) 令M, N为E的A模块E、p, q投影算子中的两个补子模分别到M和N，相应的到分解 E 作为 M 和 N 的直和。已知（no. 6，推论 1 到命题 6），对于每个 A-模块 F，映射 (u, v) ↦ u ∘ p + v ∘ q 是同构 Hom_A(M, F) ⊕ Hom_A(N, F) 到Hom_A(E, F)。在这个同构下，Hom_A(M, F… 05L2
命题 16 Let M be an A-module and N a submodule of M; for M to be of finite length, it is necessary and sufficient that N and M/N be so, and then long(N) + long(M/N) = long(M). The proof ha… ↩ 6 05L3
推论 1 令M为有限长度的A模；为了使M的子模N等于M，long(N) = long(M)是充分必要的。 ↩ 1 05L4
推论 2 令u : M → N为A模块同态。如果M或N是有限长度，那么Im(u)也是。如果 M 为有限长度，则 Ker(u) 也为有限长度，并且 long(Im(u)) + long(Ker(u)) = long(M). 如果 N 为有限长度，则 Coker(u) 也为有限长度，并且 long(Im(u)) + long(Coker(u)) = long(N). ↩ 2 05L5
推论 3 令 (Mᵢ)_0 ≤ i ≤ n 为 A 有限长度模的有限族。如果存在线性映射中的正合序列 0 longrightarrow M₀ xrightarrowu₀ M₁ xrightarrowu₁ M₂ longrightarrow ⋯ longrightarrow Mₙ₋₁ xrightarrowuₙ₋₁ Mₙ longrightarrow 0 然后 ∑ₖ₌₀… ↩ 5 05L6
推论 4 令M和N为A模块E的有限长度中的两个子模；那么 M + N 是有限长度并且 long(M + N) + long(M ∩ N) = long(M) + long(N). 将推论3应用到正合序列(29)(no. 7)就足够了。 0 → M ∩ N → M ⊕ N → M + N → 0 利用 long(M ⊕ N) = long(M) + long(N) 乘以… 05L7
推论 5 令M为有限长度的子模族(Nᵢ)的A模块和。那么 M 是有限长度并且 long(M) ≤ ∑ᵢ long(Nᵢ). ↩ 2 05L8
推论 6 设M和N是A-模E中的两个子模，使得E/M和E/N是有限长度中的模；那么 E/(M \cap N) 是有限长度并且 05L9
推论 7 令(Mᵢ)为A-模E的子模的有限族，使得E/Mᵢ为有限长度的模。那么 E/(⋂ᵢ Mᵢ) 是有限长度并且 05LA
注除了 no. 7、命题 9 之外，所有的结果。 2 到 10 对于任意可交换群与运算符、子模（分别为商模）在叙述中被稳定的子群（分别为商群被稳定的子群）替换是有效的；我们还约定用运算符“线性映射”调用群的同态。 no. 7、命题 9 的推论对于带有运算符的交换群也是有效的：这对于推论 4 和 5 以及推论 2 来说都是显而易见的，因为对于每个运算符 α… 05LB
命题 17 对于每一个 A-模 E 和每一个映射 f : T → E，存在且仅有一个 A-线性映射 g : Aₛ⁽ᵀ⁾ → E 使得 f = g ∘ φ。 ↩ 5 05LC
推论 1 令T, T'为两个集合、g : T → T'映射。那么存在且仅有一个 A-线性映射 f : A⁽ᵀ⁾ → A^(T') 呈现可交换的图表 beginarrayccc T & oversetglongrightarrow & T' \\ downarrow φ & & downarrow φ' \\ A⁽ᵀ⁾ & oversetflongrightarrow… 05LD
推论 2 对于A-模 E 的元素的族(aₜ)_t ∈ T成为E的生成的系统，由该族确定的线性映射Aₛ⁽ᵀ⁾ → E是满射的充分必要。 ↩ 4 05LE
定义 10 A family (aₜ)_t ∈ T of elements of an A-module E is called a free family (resp. a basis of E) if the linear mapping Aₛ⁽ᵀ⁾ → E determined by this family is injective (resp. bijectiv… ↩ 2 05LF
推论 3 让E成为E、F一个A-模块的自由A-模块、(aₜ)_t ∈ T基和(bₜ)_t ∈ TF的元素家族。存在且仅有一个线性映射 f : E → F 这样 f(aₜ) = bₜ for all t ∈ T. 对于 f 成为单射（或满射），必要且充分的是 (bₜ) 成为 F（或 F的生成的系统）中的自由家庭。 ↩ 11 05LG
命题 18 要使模 E 的族 (aₜ)_t ∈ T 自由，(aₜ)_t ∈ T 的每个有限子族都是自由的。 05LH
命题 19 设E为子模的(M_λ)_λ ∈ L族的A-模、直和。如果对于每个 λ ∈ L，S_λ 是 M_λ 的自由子集（分别是生成的集合、基），则 S = ⋃_λ ∈ L S_λ 是自由子集（分别是生成的） E. 的集合、基) 05LI
注 (1) 到定义 10，如果A ≠ 0和(aₗ)_l ∈ I是自由族，元素a_κ不能等于指标l ≠ κ的aₗ中的线性组合。但反过来说，一个家庭(aₗ)满足这个条件不一定是一个自由的家庭。对于例，令A为整环和a, b两个不同的非零元素；在 A 中，自 (-b)a + ab = 0 起，被视为 A-模、a 和 b 形式相关的系统。但一般来说，不存在元素x ∈ A使… ↩ 1 05LJ
注 (2) 自由模可以有元素≠ 0，但例、A-模Aₛ是免费的，但A中零的右除子不是免费的Aₛ的元素。 05LK
命题 20 每个 A-模 E 都同构于自由A-模的商模。 ↩ 4 05LL
命题 21 每正合序列共A-模 ↩ 10 05LM
注 (5) 令(aᵢ)_1 ≤ i ≤ n为A-模E的基，并令(bᵢ)_1 ≤ i ≤ n为由关系给出的E的元素族 05LN
定义 11 A-模E的子集S的湮没子是元素α ∈ A的集合，使得α x = 0对于所有x ∈ S。 ↩ 1 05LO
定义 12 如果模是由单个元素生成的，则称为单源的。 05LP
例 (1) 每个单生群，可交换 (I, § 4, no. 10, 命题 18)，都是单生 Z 模。 (2) 如果A是交换环，A-模A的单生子模就是环A的主理想(I, § 8, no. 6)。 (3) 每个简单 A-模 E 都是单生的，因为由 E 的元素 ≠ 0 生成的 E 的子模必然等于 E。 05LQ
命题 22 设A为环。 Aₛ 中的每个商模都是单生的。相反，令 E 为单生 A-模，E 的 c 生成元且 a 其湮没子；线性映射 ξ ↦ ξ c 定义，当经过为商时，Aₛ/a 的同构到 E. ↩ 2 05LR
推论单生 A-模 E 的每个子模都同构于商模 b/a，其中 a 和 b 是 A 的两个左理想，使得 a ⊂ b。单源 A-模的每个商模都是单源的。 05LS
命题 23 令 E 为非零子模的无限族 (Mi){i \in I} 的A-模、直和。对于 E 的每个生成的系统 S，Card(S) \geq Card(I)。 ↩ 2 05LT
推论 1 在命题 23 的假设下，假设每个 Mi 是单源的，并且 E 是非零单源子模的第二个族 (N\lambda){\lambda \in L} 的直和。那么卡(L) = 卡(I)。 05LU
推论 2 如果模 E 承认无限基 B，则 E 的每个生成的系统都有基数 \geq Card(B) 并且 E 的每个基等价于 B。 ↩ 1 05LV
命题 24 令A, B为两个环和ρ : B → A环同态。 05LW
命题 25 令A, B为两个环、ρ : B → A、环、同态和E一个A模块。令(α_λ)_λ ∈ L为生成的系统（分别为元素、基的自由族），将A视为左B模块。令(a_μ)_μ ∈ M为A模块E的生成的系统（分别为元素、基的自由族）。那么(α_λ a_μ)_(λ, μ) ∈ L × M是B-模块ρ_*(E)的生成的系统（分别是（当ρ是单射时）元素、基的自由族）。 ↩ 11 05LX
推论如果A是有限生成的左B-模块并且E是有限生成的左A-模块，则ρ_*(E)是有限生成的左A-模块。 05LY
注 (1) 设K为域和K的A子环，并有以下性质：对于K的元素的每个有限族(ξᵢ)_1 ≤ i ≤ n，存在一个非零的γ ∈ A，并且使得γ ξᵢ ∈ A对于1 ≤ i ≤ n（当A是可交换的并且K是A的分数的域时，总是满足假设）。令E为K之上的向量空间，而E_[A]为通过将标量的环限制为A而获得的A模。那么，如果一个家庭(x_λ)_λ ∈ L在E_[A]自由的，… 05LZ
例可以看出 (no. 1)，A-模块 E 上的位似h_α : x ↦ α x不一定是线性映射。但如果α是可逆的，h_α是相对于A的内自同构ξ ↦ α ξ α⁻¹的半线性映射（而且是双射），对于α(λ x) = (α λ α⁻¹)(α x)。 05M0
定义 13 设(A_λ)_λ ∈ L,\ (B_μ)_μ ∈ M为环的两个家庭；一个 ((A_λ),\ (B_μ))-多模块（或环 (A_λ)_λ ∈ L,\ (B_μ)_μ ∈ M系列上的多模块）是集合 E 对于每个 λ ∈ L，左 A_λ-模块结构，并且对于每个 μ ∈ M，右 B_μ-模块结构，所有这些模结构都兼容一个另一个. 05M1
例 (1) 在环上，Aₛ 和 A_d 的 A 模结构是兼容的，因此 A 可以被规范地视为 (A, A)-双模。 ↩ 2 05M2
注 (1) 令F为A-模且C为环A的中心；由于中心同位与所有同位交换，F 有一个双模结构，其环左运算符是 A 和 C。如果 E 为另一个 A-模，Hom_A(E, F) 因此具有规范的 C-模结构（其中，对于 f ∈ Hom_A(E, F) 和 γ ∈ C，γ f 为同态 x ↦ γ f(x)）；如果E'，F'是两个A-模，u : E' → E, v… ↩ 1 05M3

§ 2. 。模线性映射。二元性

定理 1 设 A 为环、E'、E、E'' 三个A-模，u : E' \to E, v : E \to E'' 两个同态。序列 ↩ 8 05MV
推论对于A-线性映射 u : E → F 为满射（分别为双射的，分别为零），对于每个A-模 G，映射 Hom(u, 1_G) : Hom(F, G) → Hom(E, G) 为单射（分别为双射的，分别为零），这是必要且充分的零）。 05MW
命题 1 如果正合序列 / 线性映射 ↩ 1 05MX
定理 2 令A为环，F', F, F''三个A模块和u: F' → F, v: F → F''两个同态。序列 ↩ 3 05MY
注 (1) 定理 2 允许我们对于 F 的每个子模 F'，通过 Hom(E, F) 的子 Z 模到认同 Hom(E, F')。当进行此识别时，对于 F 的子模的每个家庭 (M_λ) 05MZ
推论对于A-线性映射 u : E → F 是单射的，对于每个A-模 G，映射 Hom(1_G, u) : Hom(G, E) → Hom(G, F) 是单射的是必要且充分的。 05N0
命题 2 如果正合序列 ↩ 1 05N1
定义 1 A-模 P 称为射影，如果对于 A-线性映射的每个正合序列 F' → F → F''，序列 ↩ 2 05N2
命题 3 对于子模 (Mi) 族中的 A-模 P、直和来说，要投影，每个 Mi 都是投影的充分必要。 ↩ 2 05N3
推论每个自由A-模都是投影。 05N4
命题 4 令 P 为 A-模。以下属性是等效的： ↩ 18 05N5
推论 1 为了使A-模是射影且有限生成的，它是自由A-模的直因子以及有限的基是必要且充分的。 ↩ 4 05N6
推论 2 设C为交换环，E、F为两个有限生成的射影C模；那么 Hom_C(E, F) 是有限生成的射影C-模。 05N7
定义 2 对于每个右A-模 E，右A-模 Hom_A(E, Aₛ) 被称为 E 的对偶模（或简称为 E 的对偶†）及其元素被称为 E 上的线性形式。 ↩ 1 05N8
例在向量空间（相对于域R）连续实值函数上，区间[a, b]为R，映射x ↦ ∫ₐᵇ x(t) dt为线性形式。 05N9
命题 5 对于每个环 A，与Aₛ上的每个ξ ∈ A线性形式η ↦ η ξ相关联的映射是A_d的同构到Aₛ的对偶上。 ↩ 1 05NA
定义 3 设 E 为 A-模，E 为对偶；如果 ⟨x, x⟩ = 0，则元素 x ∈ E 和元素 x ∈ E 称为正交。 05NB
定义 4 给定 E 的子集 M（或 E 的子集 M'），x ∈ E 的集合（x ∈ E 的集合）与 M（或 M'）正交，称为子模与 M（或 M'）完全正交（或简称子模）如果不会引起混淆，则与 M 正交（分别为 M'）。 ↩ 1 05NC
命题 6 令 M、N 为 E 的两个子集，使得 M ⊂ N；如果M'和N'分别是与M和N正交的E的子模，则N'⊂M'。 ↩ 1 05ND
命题 7 设(Mi)为E的子集族；与Mi的并正交的子模是分别与Mi正交的子模M'i的交；这个子模也是子模正交于由Mi的并生成的E的子模。 05NE
定义 5 对于A-模 E 的每个线性映射 u 到 A-模 F，F 的对偶 F 的线性映射 y ↦ y ∘ u 到 E 的对偶 E 称为 u 的转置，并用 tu 表示。 ↩ 1 05NF
注从 (17) 和 (18) 可以看出，如果 u 是左（或右）可逆的，则 ᵗ u 是右（或左）可逆的。 05NG
命题 8 设u : E → F为A-线性映射，E的M为子模，M'为M在E^*的正交； u(M) 在 F^* 中的正交是逆像 ᵗ u⁻¹(M')。 05NH
推论 F^*中像u(E)的正交是ᵗ u的核ᵗ u⁻¹(0)。 ↩ 2 05NI
定义 6 将 A-模 E 的同构 u 放到 A-模 F 上，u 的逆同构的转置（等于 u 的转置的逆同构）称为 u 的反对方同构，并用 tildeu 表示。 ↩ 1 05NJ
命题 9 设 E', E, E'' 为A-模且 05NK
推论设 M 为 A-模 E 和 φ : E → E/M 典范同态的子模。 Then ᵗ φ is an isomorphism of the dual of E/M onto the submodule M' of E^* orthogonal to M. ↩ 3 05NL
命题 10 让 (Eᵢ)_i ∈ I 成为A-模的一个家庭，并为所有人 i ∈ I 让 jᵢ : Eᵢ → E = ⨁_i ∈ I Eᵢ 成为典范嵌入。然后乘积映射 x^* ↦ (ᵗ jᵢ(x^*)) ↩ 4 05NM
推论 Let M, N be two supplementary submodules in an A-module E and p : E → M, q : E → N the corresponding projectors; then ᵗp + ᵗq : M^* ⊕ N^* → E^* is an isomorphism and ᵗp (resp. ᵗq)… ↩ 2 05NN
命题 11 n 元素的自由模和基的对偶是自由模和 n 元素的基。 ↩ 1 05NO
定义 7 如果 E 是自由模，且具有有限基 (eₜ)，则由关系 (23) 定义的对偶 E 的基 (eₜ^*) 称为对偶基 of (eₜ)。 05NP
推论有限生成射影模的对数是有限生成射影模。 05NQ
命题 12 设 E 为 E 的 A-模且 (aₜ)_t ∈ T 生成的系统。以下条件是等效的： (a) E 是射影 A-模。 (b) E 上存在一个族 (aₜ^*)_t ∈ T 线性形式，使得对于所有 x ∈ E，族 (⟨ x, aₜ^* ⟩)_t ∈ T 有有限支撑并且 x = ∑_t ∈ T ⟨ x, aₜ^* ⟩ aₜ. ↩ 5 05NR
命题 13 如果 E 为自由模（分别为自由模和有限的基），则典范映射 c_E : E → E^** 是单射（分别为双射）。 05NS
推论 1 设 E 为自由A-模，且基有限；对于 E 的每个基 (eₜ) ，(c_E(eₜ)) 是基 (eₜ^*) 的对偶基对 E^* 对偶 (eₜ)。 05NT
推论 2 如果 E 是自由A-模且基有限，则 E 的每个有限基是 E 的基的对偶基。 05NU
推论 3 令 E、F 为两个 A-模，每个基都有一个有限的基，E（分别为 F）与其双元 E（分别为 F）被规范地识别。然后，对于每个线性映射 u ：E → F，tᵗ u = u。 05NV
推论 4 如果 P 为投射模（或有限生成射影模）典范映射 c_P : P → P** 是单射（或双射）。 ↩ 5 05NW
引理 1 设M、N为A-模E中的两个补子模，且i：M→E，j：N→E典范嵌入。然后图表 05NX
命题 14 如果x₀是线性方程u(x) = y₀的解，则该方程的解的集合等于元素x₀ + z的集合，其中z经过解的集合相关齐次方程 u(x) = 0. ↩ 1 05NY
命题 15 令u为模E中的线性映射变成模F。如果方程 u(x) = y₀ 至少有一个解，则 y₀ 与 ᵗ u 的核正交。 ↩ 1 05NZ
注 (1) 令E为A模块，(Fᵢ)_i ∈ I为A模块系列，对于所有i ∈ I，令uᵢ : E → Fᵢ为线性映射。每系统线性方程 uᵢ(x) = yᵢ (i ∈ I) 其中给出yᵢ ∈ Fᵢ，相当于单个线性方程u(x) = y，其中u是将E的映射x ↦ (uᵢ(x))转化为F = ∏_i ∈ I Fᵢ和y = (yᵢ)。如果 yᵢ = 0 对于所有 i ∈ I… 05O0

§ 3. 。张量积

定义 1 右A-模 E 和左A-模 F 的张量积，用 E ⊗_A F 或 E ⊗_A F 表示（如果不用担心混淆，则简单地用 E ⊗ F 表示）是商 Z-模 C/D（Z-模的商） E × F的元素形式线性组合的C与Z中的系数，由子模D由型(2))之一的元素生成。对于x ∈ E和y ∈ F，E ⊗_A F的元素即元素的典范像，C = Z^(E × F)的(x, y)… ↩ 3 05OR
命题 1 (a) 令g为E ⊗_A F到Z模块G的Z线性映射。 E × F到G的映射(x, y) ↦ f(x, y) = g(x ⊗ y)是Z双线性并且满足条件(1)。 ↩ 8 05OS
推论 1 令H为Z模，h : E × F → H为Z双线性映射满足条件 (1)，使得H由h(E × F)生成。假设对于每个Z-模块G和E × F到G满足(1)的每个Z双线性映射f(1)，存在一个Z线性映射g : H → G使得f = g ∘ h。那么，如果φ将E × F的典范映射表示为E ⊗_A F，则存在且仅有一个E ⊗_A F的同构θ到H使得h = θ ∘ φ。 ↩ 1 05OT
推论 2 令 E⁰（分别F⁰）表示模 E（分别F）视为左（或右）模超过逆环 A⁰；则存在一个且仅一个 Z-模块同构 σ : E ⊗_A F → F⁰ ⊗_A⁰ E⁰ 使得 σ(x ⊗ y) = y ⊗ x 对于 x ∈ E 和 y ∈ F（张量积的“交换律”）。 ↩ 3 05OU
注非零模的张量积可能是零：对于例，对所有x ∈ E取两个Z模E = Z/2Z和F = Z/3Z，2x = 0和3y = 0， y ∈ F；因此，在E ⊗_Z F中， x ⊗ y = 3(x ⊗ y) - 2(x ⊗ y) = x ⊗ (3y) - (2x) ⊗ y = 0 对于所有 x 和 y（cf. no. 6，推论 4 到命题 6）。 05OV
命题 2 令A, B为两个环、ρ : B → A、环、同态和E（分别为F）右（分别为左）A模块。 Then there exists one and only one Z-linear mapping (6) φ : ρ_*(E) ⊗_B ρ_*(F) → E ⊗_A F such that, for all x ∈ E and y ∈ F, the image un… ↩ 1 05OW
推论令𝔍为A的双面理想，使得𝔍包含在E的湮没子和F的湮没子中，因此E（或F）具有规范左（或右） (A/𝔍)-模块结构（§ 1，no. 12）。然后典范同态 (6) φ : E ⊗_A F → E ⊗_A/𝔍 F 相应的到典范同态ρ : A → A/𝔍是身份。 ↩ 1 05OX
命题 3 设 G 为 ((B'i), (B''h); (C'j), (C''k))-多模块。 ↩ 2 05OY
学院 E ⊗_A F 的元素通常可以用多种方式写成形式 ∑ᵢ (xᵢ ⊗ yᵢ)，其中 xᵢ ∈ E 和 yᵢ ∈ F；但要将多模E ⊗_A F 的定义线性映射 g 转化为多模G，则无需验证，如果∑ᵢ (xᵢ ⊗ yᵢ) = ∑ⱼ (x'ⱼ ⊗ y'ⱼ)，则∑ᵢ g(xᵢ ⊗ yᵢ) = ∑ⱼ g(x'ⱼ ⊗ y'ⱼ)；对于x ∈ E和y ∈ F给出g(x ⊗ y… 05OZ
命题 4 如果E是右A-模块，E到E ⊗_A (sA_d)的映射h : x ↦ x ⊗ 1是右A-模块同构，其逆同构g是这样的g(x ⊗ λ) = xλ x ∈ E, λ ∈ A。 ↩ 16 05P0
注 (1) 设A、B为两个交换环、ρ : B → A环同态，E、F为两个A-模；那么no. 3的典范映射(6)是B-线性映射 05P1
命题 5 设 E、E'、E'' 为右 A-模、F 左 A-模且 ↩ 8 05P2
推论设 F、F'、F'' 为左A-模，E 右A-模且 beginarrayccccc F' & xrightarrows & F & xrightarrowt & F'' longrightarrow 0 endarray (16) 正合序列 / 线性映射。写出 \bar{s} = lE \otimes s, \bar{t} = lE \otimes t, \m… ↩ 2 05P3
注注一般来说，如果 E' 是右A-模 E 的子模且 j : E' \to E 典范嵌入, 典范映射 j ⊗ 1_F : E' ⊗ F → E ⊗ F 不一定是单射的。在其他字中，对于正合序列 beginarrayccccccc 0 & longrightarrow & E' & xrightarrowu & E & xrightarrowv & E'' lo… 05P4
命题 6 给定两个正合序列 (14) 和 (16)，同态 v \otimes t : E \otimesA F \to E'' \otimesA F'' 是满射，其核等于 Im(u ⊗ 1_F) + Im(l_E ⊗ s) ↩ 4 05P5
推论 1 令E'为右A模块E的子模，左A模块F的F'子模以及Im(E' ⊗_A F)和Im(E ⊗_A F') E ⊗_A F的子Z模块，典范映射E' ⊗_A F → E ⊗_A F各自的像， ↩ 2 05P6
推论 2 令a为A的右理想，F为左A模，aF由形式λ x的元素生成F的子Z模，其中λ ∈ a 和 x ∈ F。然后是一个规范的 Z-模块同构 ↩ 1 05P7
推论 3 令A为交换环，a为A和E以及F两个A模的理想，使得a包含在F的湮没子中。那么(A/a)-模块E ⊗_A F和(E/aE) ⊗_A/a F是规范同构的。 ↩ 1 05P8
推论 4 令a, b为交换环C中的两个理想；那么 C-模块 (C/a) ⊗_C (C/b) 与 C(a + b) 是规范同构的。 ↩ 1 05P9
命题 7 典范映射 (23) 是双射的。 ↩ 15 05PA
推论 1 如果左A-模块F承认基(b_μ)_μ ∈ M，则E ⊗_A F的每个元素都可以唯一地写在形式∑_μ (x_μ ⊗ b_μ)中，其中x_μ ∈ E和族(x_μ)有有限支撑。 Z-模块 E ⊗_A F 与 E⁽ᴹ⁾ 同构的，被视为 Z-模块。 ↩ 9 05PB
推论 2 如果 E 和 F 是交换环 C 上的两个自由模，且 (aλ)（分别为 (bμ)）是 C 模块 E（分别为 F）的基，则 (aλ ⊗ bμ) 是 C 模块 E 的基 ⊗C F. ↩ 9 05PC
推论 3 设 (Eλ){λ ∈ L} 为右A-模族，F 为自由（或有限生成的自由）左A-模。那么典范映射 (22) ↩ 2 05PD
推论 4 设 A 为环，没有除子或零，E 为自由右A-模，F 为自由左A-模。那么 E ⊗_A F 中的关系 x ⊗ y = 0 意味着 x = 0 或 y = 0。 ↩ 1 05PE
推论 5 设 E 为 E 的右A-模、F 左A-模、M 子模和 F 的 N 子模。如果 M 为 E 的直因子且 F 的 N 直因子，则典范同态 M ⊗_A N → E ⊗_A F 是单内射，在此情况下M ⊗_A N 的像同态是 Z 模块 E ⊗_A F 的直因子。 ↩ 4 05PF
推论 6 设 P 为射影左A-模，E、F 为射影右A-模。对于每个单同态 u : E → F、同态 u ⊗ 1_P : E ⊗_A P → F ⊗_A P 是单射的。 ↩ 4 05PG
推论 7 令C为交换环。如果 E 和 F 是两个射影 C 模，则 E ⊗_C F 是射影 C 模。 05PH
注 2 在命题7的假设下，令E'_λ为E_λ的子模，F'_μ子模为F_μ，并令E' = ⨁_λ ∈ L E'_λ，F' = ⨁_μ ∈ M F'_μ。令 Im(E' ⊗_A F') (或 Im(E'λ ⊗A F'μ)) 表示典范映射下 E' ⊗A F' (或 E'λ ⊗AF'μ) 中 E ⊗A F (或 Eλ ⊗A Fμ) 的像；然后同构(23)识别子Z模块 05PI
命题 8 设 A、B 为两个环，E 右A-模，F 为 (A, B) 双模，G 左B-模。则 E ⊗A F 为右B-模，F ⊗B G 左A-模且存在且仅有一个 Z-线性映射 ↩ 6 05PJ
注 (1) 上述关于模超过交换环的情况的注一般化为no. 5，注 2，当存在张量积E₁ ⊗_A₁ E₂ ⊗ ⋯ ⊗_Aₙ₋₁ Eₙ时，其中环Aᵢ不一定是可交换的，并且对于每个i，存在相同可交换环C的同态ρᵢ : C → A，使得： (1) ρᵢ(C)包含在Aᵢ的中心中； (2) 对于2 ≤ i ≤ n - 1，使用同态ρᵢ₋₁和ρᵢ重合获得Eᵢ上的C模块结构。那… 05PK

§ 4. 。关系张量积和同态模之间

命题 1 (a) 设 E 为 (B, A) 双模，F 左A-模且 G 左B-模。对于每个映射g ∈ Hom_B(E ⊗_A F, G)，令g'是F的映射进入由(g'(y))(x) = g(x ⊗ y)为x ∈ E, y ∈ F定义的Hom_B(E, G)。映射 g ↦ g' 是同构 ↩ 4 05PP
推论如果C为交换环且E、F、G为三个C模块，则C模块 Hom_C(E ⊗_C F, G), Hom_C(E, Hom_C(F, G)), Hom_C(F, Hom_C(E, G)), L₂(E, F; G) 是规范同构的。 ↩ 1 05PQ
命题 2 (i) 当 F 是射影（分别是有限生成射影）B-模，典范同态 (7) 是单射（分别是双射的）。 ↩ 7 05PR
引理 1 对于每个同态 u : F → F'、图表 ↩ 1 05PS
引理 2 令M, N为F和i : M → F, j : N → F典范嵌入中的两个补子模。图表 ↩ 1 05PT
引理 3 在引理 2 的假设下，对于ν_F 是单射的（或满射的），ν_M 和ν_N 是单射的（或满射的）是必要且充分的。 05PU
引理 4 对于每个同态 v : E → E'、图表 05PV
引理 5 令M和N是E和p : E → M, q : E → N中的两个补子模，即规范的投影。图表 05PW
推论 (i) 当 F 是射影（分别是有限生成射影）模、典范同态 (11) 是单射（分别是双射的）。 (ii) 当 E 为有限生成射影模时，典范同态 (11) 是双射。 ↩ 3 05PX
命题 3 令C为交换环、E, F两个有限生成的射影C-模块以及u : E → F和v : F → E两个线性映射；那么 ↩ 3 05PY
推论如果u₁, …, uₚ是E中的自同态，那么 05PZ
命题 4 当有序对 (E₁, E₂), (E₁, F₁), (E₂, F₂) 之一由有限生成的射影 C 模组成时，典范同态 (21) 是双射的。 ↩ 3 05Q0
推论 1 如果模 E, F 之一是射影且有限生成的，则典范同态 (23) 是双射的。 ↩ 2 05Q1
推论 2 设E₁、E2为两个有限生成的射影C模，E₁的u₁自同态和E2的u2自同态；那么 05Q2
注如果E、F、G是任意三个C模，则立即验证图表 05Q3

§ 5. 。标量的环的扩张

命题 1 对于每个左A-模块E，E的映射φ : x ↦ 1 ⊗ x进入A-模块ρ_*(ρ^*(E))是A线性和集合φ(E)生成 B-模块ρ^*(E)。此外，对于E到A-模块ρ_*(F)的每个左B-模块F和每个A-线性映射f，存在且仅有一个B-线性映射barf ρ^*(E) 转换为 F，这样 barf(1 ⊗ x) = f(x) 对于所有 x ∈ E。 ↩ 5 05QD
注 (1) 命题 1 表明E_(B)和φ_E的有序对由……组成是普遍映射问题的解（集合理论，IV, § 3, no. 1），其中Σ是左B-模结构的类（态射是B-线性映射），α-映射是E到B-模的A-线性映射。 ↩ 1 05QE
推论设E、E'为二左A-模；对于每个A-线性映射u : E → E'，v = l_B ⊗ u是唯一的B-线性映射，它呈现可交换的图表 05QF
命题 2 令ρ : A → B,\ σ : B → C为环同态。对于每一个左A-模 E，存在且仅有一个C-同态 ↩ 9 05QG
命题 3 设A、B为两个交换环、ρ : A → B环同态，E、E'为两个A-模。存在且仅有一个 B 同态 ↩ 3 05QH
命题 4 设E为A-模，承认基(a_λ)_λ ∈ L；如果φ : x ↦ 1 ⊗ x是E的典范映射到ρ^*(E)，那么(φ(a_λ))_λ ∈ L是ρ^*(E)的基。如果 ρ 是单射的，那么 φ 也是。 ↩ 9 05QI
推论对于每个射影 A-模 E，B-模 ρ^*(E) 都是射影。如果进一步 ρ 是单射的，则 E 的典范映射到 ρ^*(E) 是单射的。 ↩ 5 05QJ
命题 5 设E为左A-模，F为左B-模；复合映射 ↩ 1 05QK
推论映射 ρ^*(φ_E) 和 φ_ρ_*(F)^* 是单射，分别是认同 ρ^*(E) 与直因子的 ρ^*(ρ_*(ρ^*(E))) 和 ρ_*(F) 与直因子的 ρ_*(ρ^*(ρ_*(F)))。 05QL
命题 6 设 E 为左A-模，F 右B-模。存在且仅有一个Z-同态 ↩ 3 05QM
命题 7 令A为交换环、B环、ρ : A → B一个中央同态和E, F两个A模块。 ↩ 1 05QN
命题 8 如果 A-模 E、ρ_* (Bₛ) 之一是射影且有限生成的，则同态 v_E 是双射。 ↩ 4 05QO
命题 9 设 B 为环，B 的 A 子环，P 为射影左A-模。那么，如果P_(B)是有限生成的B-模，则P本身就是有限生成A-模。 ↩ 1 05QP

§ 6. 。模的逆与直极限

命题 1 令(E_α, f_αβ),\ (E'_α, f'_αβ),\ (E''_α, f''_αβ)为A_α-模块中的三个逆系和(u_α),\ (v_α)A_α-线性映射中的两个逆系，使得序列 ↩ 1 05QX
注 (1) 命题 1 及其证明对于任意群均有效，变换或记号除外。 ↩ 1 05QY
命题 2 对于A模块中的每个逆系 (E_α, f_α β) 和每个A-模块F，典范映射 u ↦ (f_α ∘ u) 是一个Z-模块同构 ↩ 1 05QZ
推论对于每个A-模块同态v: F → F'， 05R0
命题 3 令(E_α, f_β α), (E'_α, f'_β α), (E''_α, f''_β α)为A_α-模块中的三个直接系统和(u_α), (v_α)A_α中的两个直接系统-线性映射，使得序列 05R1
命题 4 让(E_α, f_β α)成为A_α模块的直接系统，E = lim → E_α其直极限和φ_α : A_α → A和f_α : E_α → E典范映射对于所有α ∈ I。如果，对于所有 α ∈ I、S_α 是 E_α 的生成的系统，则 S = ⋃_α ∈ I f_α(S_α) 是 E 的生成的系统。 ↩ 2 05R2
命题 5 根据命题 4 的假设和记号，假设对于所有 α ∈ I，E_α 是一个家庭 (M^λ_α)_α ∈ L 的直和子模（索引集合 L 独立于 α) 和那个 f_β α(M^λ_α) ⊂ M^λ_α 为了 α ≤ β 和所有 λ ∈ L。那么E是子模M^λ = lim → M^λ_α(λ ∈ L)中的直和。 ↩ 3 05R3
推论令(P_α)为E_α的子集直接系统并且令P = lim overrightarrowP_α。如果，对于所有 α ∈ I、P_α 是 E_α 的免费子集（或基），则 P 是 E 的免费子集（或基）。 ↩ 1 05R4
命题 6 对于每个直接系统 (E_α, f_β α) of A-模块和每个 A-模块 F，典范映射 u ↦ (u ∘ f_α) 是一个 Z-模块同构 d_F : Hom_A(lim overrightarrowE_α, F) → lim ← Hom_A(E_α, F). 05R5
推论 1 对于每个 A-模块同态 v : F → F'，该 barv_α = Hom(1_E_α, v) : Hom(E_α, F) → Hom(E_α, F') 05R6
推论 2 如果 (E_α, f_β α) 是左 A-模块的直接系统，并且 E = lim longrightarrow E_α，(E_α^*, t f_β α) 是右 A-模块的逆系，并且 lim ← E_α^* 规范地同构于 E^*。 05R7
注设E是A模块，并且(M_α)_α ∈ I递增是E的子模族，使得E是M_α的并；如果j_β α: M_α → M_β（对于α ≤ β）和j_α: M_α → E是典范嵌入，那么直接的j = lim longrightarrow j_α是同构lim longrightarrow M_α到E（集合理论， III, § 7, no. 6、注 1)。特别是，每个A-模… 05R8
命题 7 Z-线性映射 (7) 是双射的。 ↩ 8 05R9
推论 1 令(E'_α, f'_β α)（或(F'_α, g'_α β)）为右（或左）的另一个直接系统A_α-模；对于所有 α ∈ I，让 u_α : E_α → E'_α（或v_α : F_α → F'_α）成为 05RA
推论 2 设(E_α, f_βα)为右A_α-模块的直接系统，并让E'_α = E_α ⊗_A_α A为通过典范同态ρ_α : A_α → A将标量的环扩展到A = lim A_α所获得的A-模块。那么 (E'_α, f_βα ⊗ 1_A) 是右 A模块的直接系统，其直极限规范地同构于 lim E_α。 05RB
推论 3 设A为环，右A-模块和F左A-模块的(E_α, f_βα)直接系统。那么 Z-模块 lim (E_α ⊗_A F) 和 (lim E_α) ⊗_A F 是规范同构的。 05RC
推论 4 设 M 为右 A-模，N 左 A-模，(xᵢ)_1 ≤ i ≤ n 元素的族 M，(yᵢ)_1 ≤ i ≤ n 元素的族 N，使得∑ᵢ (xᵢ ⊗ yᵢ) = 0在M ⊗_A N。然后存在一个有限生成的子模 M₁ （分别为 N₁） M （分别为 N）包含 xᵢ （分别为 yᵢ）并且这样 ∑ᵢ (xᵢ ⊗ yᵢ) = 0在M₁ ⊗_A N₁。 ↩ 1 05RD

§ 7. 。向量空间

定理 1 每超过域 K 向量空间就是自由K-模。 ↩ 5 05RI
定理 2 给定向量空间 E 的生成的系统 S 在域 K 上，并且 S 中包含 E 的自由子集 L，则存在 E 的基 B，使得 L ⊂ B ⊂ S。 ↩ 11 05RJ
引理 1 令 (ai){i \in I} 为 E 的元素的自由族；如果 b \in E 不是 (ai) 生成的属于到子空间 F，则 ai 和 b 的 E 由……组成的子集是自由的。 ↩ 1 05RK
推论对于子集 B 或向量空间 E，以下属性是等效的： (a) B 是 E 的基。 (b) B 是 E 的最大自由子集。 (c) B 是 E 的最小生成的系统。这紧随定理 2。 ↩ 1 05RL
例给定 A 的环 A 和子域 K，A 是 K 上的（右或左）向量空间，因此承认基；特别是，域 K 的每个扩张域都有基作为 K 上的左（或右）向量空间。因此，实数的域R承认（无限）基作为向量空间超过有理数的域Q；这样的 R 基称为 Hamel 基。 05RM
注对于(aᵢ)_i ∈ I 元素向量空间 E 超过域 K 的家庭来说，要自由，有充分必要，对于所有 κ ∈ I、a_κ 属于至无E的子空间由指标i ≠ κ的aᵢ生成。我们知道这个条件对于任何模都是必要的（§ 1, no. 11，注1）。凭借引理 1 就足够了，正如通过归谬法立即论证并考虑(aᵢ)的最小相关亚族所见。 05RN
定理 3 两个基相同的向量空间 E 超过域 K 是等价的。 ↩ 2 05RO
定义 1 向量空间 E维数超过域K，表示为dim_K E或[E:K]（或简单地dim E）是E的基中任何一个的基数。如果M是E的子集，M的秩（超过K），表示为rg M或rg_K M，是向量的维数子空间属于 E 由 M 生成。 ↩ 1 05RP
推论对于 E 的每个子集 M，M 的秩至多等于暗淡 E。 05RQ
命题 1 (i) 对于 K 上的左向量空间为有限维 n，它与 Ks^n 同构是充分必要的。 ↩ 2 05RR
命题 2 设 (Et){t \in I} 为 K 上的向量空间族。则 ↩ 3 05RS
注 (1) 例可以由模给出，承认两个有限的基不具有与元素相同的数 (§ 1, 习题 16(c))。然而： ↩ 1 05RT
命题 3 设A为环，使得域D中存在A的同态ρ；那么对于每个自由A-模 E，E 的任何两个基都是等价的。 ↩ 3 05RU
推论如果 A 为交换环 ≠ 0 且 E 自由A-模，则 E 的任意两个基等价。 ↩ 2 05RV
注 (2) 当自由A-模 E 使得E 的任意两个基等价时，E 的任意基对A 的基数也称为E 的维数或秩，记为dim_A E 或dim E。 05RW
命题 4 向量空间E的每个子空间F是E的直因子并且 ↩ 7 05RX
推论 1 如果E, F, G是向量空间超过域K，则线性映射0 → E → F → G → 0分裂的中的每正合序列。 05RY
推论 2 设(Eᵢ)_0 ≤ i ≤ n是向量空间超过域K的有限族。如果存在线性映射中的正合序列 ↩ 3 05RZ
推论 3 如果M和N是向量空间E中的两个子空间，那么 ↩ 1 05S0
推论 4 对于向量空间 E 的每子空间 F，dim F ≤ dim E；如果 E 是有限维的，则关系 dim F = dim E 相当于 F = E。 ↩ 4 05S1
推论 5 如果向量空间 E是向量子空间家庭(Fᵢ)的和，那么 05S2
定义 2 给定向量空间 E，E 的子空间 F 的余维（相对于 E），用 codim_E F 或简称 codim F 表示，是 E/F 的维数（等于 E 中 F 的任何补充的余维）。 05S3
命题 5 令F，F'为向量空间E中的两个子空间，使得F ⊂ F'。然后codim_E F' ≤ codim_E F ≤ dim E。如果 codim_E F 是有限的，关系 codim_E F' = codim_E F 意味着 F = F'。 05S4
命题 6 如果M和N是向量空间E中的两个子空间，那么 codim(M + N) + codim(M ∩ N) = codim M + codim N. (10) 只要应用命题 4 的推论2 到正合序列就足够了 0 → E/(M ∩ N) → (E/M) ⊕ (E/N) → E/(M + N) → 0 （§ 1, no. 7，命题10）并使用no. 2，命题2。 05S5
命题 7 如果(Fᵢ)是向量空间E的子空间的有限族，那么 codim(⋂ᵢ Fᵢ) ≤ ∑ᵢ codim Fᵢ. 如果F = ⋂ᵢ Fᵢ，E/F同构于E/Fᵢ的直和的子空间(§ 1, no. 7，公式(27))。 05S6
命题 8 在向量空间 E 和域 K 中，每个向量子空间 F 是超平面的交，其中包含。 ↩ 1 05S7
注大多数属性都在这方面得到了证明。对于向量空间的子空间，对于定义了维数 (§ 2, no. 7, 注 2) 的自由模的子模不成立。对于例，交换环的理想不一定承认基，因为存在整环A，其中某些理想不是主要的（VII，§ 1,no. 1）以及其中任何两个元素环是线性相关的（§ 1, no. 11，注 1）。自由 A 模块的子模 E 可能是免费的，与 E 不同，… 05S8
定义 3 令E, F是向量空间除域K的两倍。对于E的每个线性映射u到F，F的子空间u(E)的维数称为u的秩，并用rg(u)表示。 ↩ 1 05S9
命题 9 令E, F是向量空间超过域K和u : E → F线性映射。（一）rg(u) ≤ inf(dim E, dim F)。 (ii) 假设E是有限维的；在阶和 rg(u) = dim E 中，u 是单射的是必要且充分的。 (iii) 假设F是有限维的；在阶和 rg(u) = dim F 中，u 是满射是必要且充分的。 ↩ 2 05SA
推论令E为有限维n中的向量空间和u自同态中E。以下属性是等效的： (a) u 是双射； (b) u 是单射的； (c) u 是满射； (d) u 是右可逆的； (e) u 是可逆的； (f) u 为秩 n。 ↩ 2 05SB
定理 4 向量空间 E 的对偶 E^* 的维数至少等于 E 的维数。对于 E^* 是有限维的， E 如此是必要且充分的，然后 dim E^* = dim E。 ↩ 2 05SC
推论对于向量空间 E，关系 E = 0 和 E^* = 0 是等效的。 ↩ 1 05SD
定理 5 给定向量空间中的两个正合序列（在相同的域 K上）和线性映射 beginalign* 0 &→ E' → E → E'' → 0 \\ 0 &→ F' → F → F'' → 0 endalign* 和两个向量空间 G，H 超过 K，相应的序列 beginalign* 0 &→ Hom(E'', G) → Hom(E, G) → Hom(E', G) → 0… ↩ 1 05SE
推论每正合序列 0 longrightarrow E' xrightarrowu E xrightarrowv E'' longrightarrow 0 向量空间超过相同的域 K 和线性映射序列 0 longrightarrow E''* xrightarrowtᵥ E^* xrightarrowtᵤ E'^* longrightarrow 0 准确且分裂的。 ↩ 4 05SF
定理 6 对于域 K 上的每个向量空间 E，典范映射 c_E : E → E^** (§ 2, no. 7) 是单射的；要使其成为双射，E 必须是有限维的。 ↩ 6 05SG
命题 10 设 E、F 是两个向量空间在相同的域 K 和 u 上：E \to F 线性映射。 ↩ 3 05SH
定理 7 设 E 为域 K 上的向量空间，E 的 F 子空间，F' 为 E 中 F 的正交。 ↩ 15 05SI
注 E 的无限维子空间 G' 不一定是 E 的子空间的正交，在其他字中，如果 F 是 E 中 G' 的正交，则 E 中 F 的正交 F' 可能与 G' 不同 (习题 20(b))。† 05SJ
推论 1 令 (xᵢ^*)_1 ≤ i ≤ p 为 E 上线性形式的有限序列，并令 F 为 x 的 E 由……组成的子空间，使得 ↩ 4 05SK
推论 2 (i) 设(xᵢ^*)_1 ≤ i ≤ p为E上的线性形式有限序列。对于(xᵢ^*)为自由的系统，存在E的元素序列(xᵢ)_1 ≤ i ≤ p是充分必要的那⟨ xᵢ, xⱼ^* ⟩ = δᵢⱼ（克罗内克指标）。 ↩ 4 05SL
推论 3 Let S be a set and V a vector subspace of the right vector K-space K_d^S of mappings of S into K. 在阶dim V ≥ p（其中p为整数）中，存在S的p元素sᵢ和V(1 ≤ i ≤ p)的p元素fᵢ使得fᵢ(sⱼ) = δᵢⱼ是充分必要的。 05SM
推论 4 设E为向量空间且M、N有限余维E的两个子空间；如果M'、N'是E中M和N的正交，则E中M∩N的正交为M'+N'。 05SN
推论 5 令 E 为有限维 n 中的向量空间。对于维数 p 的 E 的每个子空间 F，E 中 F 的正交 F' 为维数 n − p。对于维数 q 的 E 的每个子空间 G'，E 中 G' 的正交 G 是维数 n − q，并且 G' 是 E 中 G 的正交。 05SO
命题 11 对于向量空间 E 中的每个超平面 H，E 上都存在线性形式 x₀^*，使得 H = x₀^*-1(0)。给定这样的形式 x₀^*，对于 E 上的线性形式 x^* 到满足 H = x^*-1(0)，x^* = x₀^* α 是充分必要的，其中 α 是一个标量 ≠ 0。相反，对于每个线性形式 E 上的 x^* ≠ 0，子空间 x^*-1(0) 是 E 的超平面。 ↩ 1 05SP
命题 12 令 E、F 为域 K 和 u : E → F 线性映射上的两个向量空间。对于线性方程 ↩ 1 05SQ
定义 4 由族(xᵢ^*)生成的E^*子空间维数称为系统秩(21)。 05SR
命题 13 为了使系统(21)为有限秩r，E到Kₛᴵ的线性映射u : x ↦ (⟨ x, xᵢ^* ⟩)为秩r是必要且充分的。 05SS
定理 8 让 ↩ 2 05ST
注当系统 (21) 的秩无穷大时，定理 8 的条件不再足够。对于例，假设xᵢ^*是空间E = Kₛ⁽ᴵ⁾上的坐标形式，I是无限的（§ 2, no. 6）；由于xᵢ^*是线性独立的，定理8的条件对于每个家庭(ηᵢ)都成立，但是如果家庭(ηᵢ)有有限支撑，则系统(21)只有解。 05SU
推出 1 向量空间中的标量线性方程的系统，左手边线性无关形式的有限方程数的由……组成，总是承认解。 05SV
推出 2 对于系数在域 K 的 n 个未知数的齐次线性方程系统 (22)，要承认 K 的元素的非平凡解由……组成，其秩 < 是充分必要的名词 05SW
推出 3 对于 n 个未知数的 n 个方程的域 K、由……组成中系数和右侧的线性系统 (22)，要在 K 的元素中拥有且仅有一个解由……组成，有必要且足以保证关联的齐次系统没有非平凡的解（或者，相当于相同，这个系统的左侧是线性独立的形式）。 05SX
命题 14 给定正合序列 ↩ 9 05SY
推出设K为域，E右向量空间超过K，F左向量空间超过K，(M_α)_α ∈ AE的向量子空间的族和(N_β)_β ∈ BF的向量子空间的族。则 ( ⋂_α ∈ A M_α ) ⊗_K ( ⋂_β ∈ B N_β ) = ⋂_(α, β) ∈ A × B (M_α ⊗_K N_β). ↩ 3 05SZ
命题 15 如果(E_λ)_λ ∈ L是右向量空间超过域K的家庭，并且(F_μ)_μ ∈ M是左向量空间超过K的家庭，则典范映射 ( ∏_λ ∈ L E_λ ) ⊗_K ( ∏_μ ∈ M F_μ ) → ∏_(λ, μ) ∈ L × M (E_λ ⊗_K F_μ) (§ 3, no. 7, 公式 (22)) 是单射的。 ↩ 3 05T0
推论令 F 大于K 左向量空间；对于每个集合X，左向量空间K_d^X ⊗_K F被识别为X的所有映射中的空间F^X的子空间到F，由……组成映射 u，使得 u(X) 是 F 中的有限秩。 05T1
命题 16 (i) 设 K, L 为两个域，E 左向量空间超过 K，F 左向量空间超过 L，G 为 (K, L) 双模。那么规范的Z-同态 ↩ 5 05T2
推论 1 设 E 和 F 为域 K 上的 2 向量空间；典范映射 05T3
推论 2 设 E 为右向量空间，F 左向量空间在相同的域 K 上；典范映射 05T4
注 (1) Let K be a commutative field, E, F two vector spaces over K, (a\lambda) a basis of E and (b\mu) a basis of F; then (a\lambda \otimes b\mu) is a basis of the vector K-space E \o… 05T5
命题 17 Let u be an element of E ⊗_K F and M ⊂ E and N ⊂ F its associated subspaces. 对于u的每个表达式u = ∑ᵢ₌₁ˢ xᵢ ⊗ yᵢ，其中xᵢ ∈ E和yᵢ ∈ F代表1 ≤ i ≤ s，子空间M（或N）包含在E（或F）的子空间中，由xᵢ（分别为yᵢ）。此外，以下属性是等效的： ↩ 2 05T6
推论 1 u 的秩是最小的整数 s，因此存在一个表达式 u = ∑ᵢ₌₁ˢ xᵢ ⊗ yᵢ，其中 xᵢ ∈ E 和 yᵢ ∈ F 对于 1 ≤ i ≤ s。 05T7
推论 2 设 K 为交换域，E，F 是 K 上的两个向量空间，L K 的交换律扩张域。设 u 为 E ⊗_K F 的元素，M 和 N 与 u 中的子空间和 u' 典范像相关联 (E ⊗_K F)_(L) （规范地标识为 E_(L) ⊗_L F_(L)、cf. § 5, no. 1、命题 3）；那么与 u' 伴随的 rg(u') = rg(u) 和子空间被规范地标识为… 05T8
命题 18 令φ为域K到环A的同态。对于向量K-空间和K-线性映射中的每个正合序列 05T9
推论对于每个K-线性映射f : E' → E、Im(f_(A)) = (Im(f))_(A)、Ker(f_(A)) = (Ker(f))_(A)、Coker(f_(A)) = (Coker(f))_(A)，到典范同构之内。 ↩ 3 05TA
命题 19 设φ为域K到环A的单同态。对于超过 K 的每个左向量空间 E，典范映射 φ : E → φ^*(E) = A ⊗_K E 是单射的。此外，对于E的每个向量子空间E'，φ^*(E') = A ⊗_K E'都被规范地标识为A ⊗_K E的直因子子A模块，并且通过此标识， ↩ 8 05TB
推论设φ是域K到环A的单同态。对于K线性映射f : E → F（其中E和F是K上的两个向量空间）是单射（或满射，零），f_(A) : E_(A) → F_(A)是单射（或零）是必要且充分的。满射，零）。 05TC
命题 20 设ρ为域K到环A的同态。对于每个左向量空间E超过K，规范右A-模块同态 05TD
命题 21 设K为域，且L扩张域等于K。 05TE
命题 22 令K为交换域，ρ : K → A是一个单射中心同态，E, F是K上的两个向量空间。然后典范同态 05TF
命题 23 在模E超过整环A，非自由元素的集合T是E的子模。 ↩ 1 05TG
注令 E 为模超过任意交换环 A。如果x是E的非自由元素，则子模Ax的每个元素都是非自由的。另一方面，如果A包含除子为0，E的两个非自由元素的和可能是自由的；对于例，在Z/6Z被视为模自身之上，3和4不是免费的，但3 + 4 = 1是免费的。 05TH
定义 5 在模E超过整环A，E的挠元子模是非自由元素的E由……组成的子模（也称为挠元）元素共 E)。 05TI
命题 24 设A为整环。对于每个A-模块E，让T(E)表示E的挠元子模。令f : E → E'为A线性映射，E和E'为A-模块。 05TJ
Corollary 1 对于每个 A-模块 E，E/T(E) 都是无扭转的。 05TK
Corollary 2 对于A-模块和A-线性映射中的每个正合序列 05TL
命题 25 令A为整环和(Eᵢ)一系列A模块；那么 ↩ 1 05TM
命题 26 令A为整环，K是分数的域，E是一个A模块，E_(K) = K ⊗_A E向量空间是通过扩展环运算符获得的K；让 φ 表示 E 到 E_(K) 的规范 A 线性映射 x ↦ 1 ⊗ x。 ↩ 4 05TN
注设α^{-1}φ(x)、β^{-1}φ(y)为E{(K)}的两个元素，其中α ε A、β ε A、x ε E、y ε E、αβ ≠ 0。在阶中，α^{-1}φ(x) = β^{-1}φ(y)，有必要足以使 βx − αy 成为 E 的挠元元素，因此关系等价于 βφ(x) = αφ(y)，也可写为 φ(βx − αy) = 0。 05TO
推论 1 如果 E 是无扭转 A 模，则典范映射 φ : E → E{(K)} 是单射。 ↩ 1 05TP
推论 2 设 f 为 E 的 A-线性映射到 K 上的向量空间 F；如果 Ker(f) ⊂ T(E), K-线性映射 vecf 与 f 相关联是单射。 ↩ 1 05TQ
推论 3 设 E 为 A-模且 g A-线性映射将 E 转化为 K 上的向量空间 F，使得 g(E) 生成 F 且 Ker(g) ⊂ T(E)。那么与 g 相关的K-线性映射 barg 是 E{(K)} 到 F 上的同构。 ↩ 1 05TR
推论 4 每个有限生成A-模都是有限秩。 05TS
命题 27 每正合序列 ↩ 2 05TT
推论 1 如果 E' 是 E 中的子模，则 E'_(K) 规范地与 E_(K) 中的向量子空间进行标识，(E/E')_(K) 与 E_(K)/E'_(K) 进行规范标识。 ↩ 1 05TU
推论 2 对于每个A-线性映射f : E → F、Ker(f_(K)) = (Ker(f))_(K)、Im(f_(K)) = (Im(f))_(K)、Coker(f_(K)) = (Coker(f))_(K)到典范同构以内。特别是，对于f_(K)是单射（或满射，或零），Ker(f) ⊂ T(E)（或Coker(f)是挠元模，或Im(f) ⊂ T(F)）是必要且充分的。 ↩ 1 05TV
推论 3 令E为A模块，而(x_λ)_λ ∈ L为E的元素族。要使(x_λ)成为一个自由的家庭，向量K-空间E_(K)家庭(1 ⊗ x_λ)自由是必要且充分的。 05TW

§ 8. 。向量空间中标量的域的限制

命题 1 令V为K上的右向量空间，以及V的V'子集，即K'上的向量子空间。以下条件是等价的： ↩ 4 05V0
定义 1 设V是域 K和K'子域上的右向量空间。V满足的每个向量子K'-空间V'相当于命题 1的条件称为K'-结构V. ↩ 3 05V1
例设 B 为 K 上 V 的基。对于 K 的每个子域 K'，由 B 生成的 V 的向量子 K' 空间承认 B 为 K' 上的基，因此是 V 上的 K' 结构。对于例，如果K是可交换的并且V被取为多项式K-代数 K[X1, ..., Xn]，则对于K的每个子域 K'，K'[X1, ..., Xn]是V上的K'-结构。 05V2
定义 2 令 V 为 K 上的右向量空间，具有 K'-结构 V'。如果属于到 V'，则 V 的向量被认为对于 K' 是有理数。向量 V 的子 K 空间 W 被称为在 K' 上有理数，如果它是由向量在 K' 上有理数生成（在 K 上）。 ↩ 1 05V3
命题 2 令 V 为 K 上的右向量空间，且 V' 为 V 上的 K' 结构。 The mapping W' \mapsto W'.K is a bijection of the set of vector sub-K'-spaces of V' onto the set of vector sub-K-spaces of V which are rational o… ↩ 4 05V4
推论 1 V 的向量子K空间的每个和和每个交在K'上有理数都是有理数子空间在K'上。 ↩ 1 05V5
推论 2 K上的V的每个基在K'上是有理数，是V'的基在K'上。 05V6
定义 3 令V₁, V₂分别为K和K'结构V'₁, V'₂的两个右向量空间。如果 f(V'₁) ⊂ V'₂，则 K 线性映射 f : V₁ → V₂ 被认为在 K' 上是有理数。 05V7
命题 3 令V₁, V₂分别为V₁, V₂上K和V'₁, V'₂K'结构的两个右向量空间。 V₁（或V₂）在规范上与V'₁ ⊗_K' K（或V'₂ ⊗_K' K）（no. 1、命题 1）相同。 ↩ 5 05V8
推论 1 命题3、Im(f) = (Im(f'))_(K)中的记号， Ker(f') = (Ker(f'))_(K), Coker(f) = (Coker(f'))_(K). 特别是，对于f是单射的（或满射，零），f'是单射的是必要且充分的。如果 f 是双射，则其逆映射在 K' 上是有理数。 ↩ 2 05V9
推论 2 令f : V₁ → V₂为K'上的K线性映射有理数。 For every vector sub-K-space W₁ of V₁ (resp. W₂ of V₂) rational over K', f(W₁) (resp. f⁻¹(W₂)) is a vector sub-K-space of V₂ (resp. V₁) rational over K'. ↩ 3 05VA
命题 4 对于K线性映射f : V₁ → V₂在K'上有理数，对于V₁ × V₂上的乘积K'结构，其图Γ在K'上有理数是必要且充分的。 ↩ 2 05VB
命题 5 令V是K上的右向量空间，V'是V上的K'结构，以及V的W向量子K空间。为了使 W 在 K' 上有理数，存在有理数线性形式在 K' 上的集合 H \子集 V^，使得 W 是 H 在 V (§ 2, no. 4) 中的正交。 ↩ 1 05VC
命题 6 (i) 给定系统齐次线性方程 ↩ 2 05VD
命题 7 (i) 令 V 为具有 K' 结构 V' 的右向量 K 空间。对于每个向量x ∈ V（分别为V的每个向量子K空间W），K包含K'的子域L的集合并且使得x （分别为 W）在 L 上是有理数，并且至少有元素 K'(x)（分别为 K'(W)）。 05VE
引理 1 令V为右向量K空间，具有K'结构V'和V的W向量子K空间。存在V的两个向量子K空间W₁, W₂，在K'上有理，使得V是W₁和W₂的直和，并且，如果V与W₁ × W₂标识，则W是K-线性映射克W₁变成W₂。 ↩ 1 05VF
定理 1 设M为End_K'(K)的子集和K的L = χ(M)子域，即M的扶正器。 05VG

§ 9. 。仿射空间和射影空间

定义 1 给定左（或右）向量空间 T 在域 K 上，附加到 T 的仿射空间是加法群 T (I, § 5, no. 5) 的任何齐次空间 E 这样 0 是 T 中唯一的运算符，使 E 的所有元素保持不变（即，T 忠实地操作并且在 E 上传递）。在这些条件下，T称为E的翻译空间，其元素称为E的翻译（或E的免费向量）。 05VM
注此号的定义。以及紧随扩展之后的一些结果，我们考虑带有运算符T的任意可交换群，而不是向量空间T。 05VN
命题 1 设(xᵢ)_i ∈ I是空间E和(λᵢ)_i ∈ L元素K有限支撑的点族，使得∑_i ∈ I λᵢ = 1(resp。 ∑_i ∈ I λᵢ = 0）。如果 a 是 E中的任何点，点 x ∈ E 定义为 x - a = ∑_i ∈ I λᵢ (xᵢ - a) （分别是免费的向量 ∑_i ∈ I λᵢ (xᵢ - a)）独立于所考虑的点。 05VO
定义 2 给定一个仿射空间 E，子集 V E 被称为仿射线性簇（或简称为线性簇或子集 E）如果，对于每个家庭 (xᵢ)_i ∈ I 点的 V 和每个家庭 (λᵢ)_i ∈ I 元素的 K 有限支撑这样 ∑_i ∈ I λᵢ = 1，重心 ∑_i ∈ I λᵢ xᵢ 属于到 V。 05VP
命题 2 对于仿射空间 E 的非空子集 V 作为线性簇，满足以下条件是必要且充分的： V 对于向量空间结构为向量子空间 E 以 V 的点为原点获得。 05VQ
命题 3 给定一个仿射空间 E 的点的族 (aᵢ)_i ∈ I ，集合 V 重心 ∑_i ∈ I λᵢ aᵢ ((\lambdai) of 有限支撑, ∑_i ∈ I λᵢ = 1) 是 E 的线性簇。 05VR
命题 4 对于仿射空间 E 中的非空族 (aᵢ)_i ∈ I 点要具有亲缘关系，存在一个族 (λᵢ)_i ∈ I 元素并非所有零在 K、有限支撑中，使得 ∑_i ∈ I λᵢ = 0 和∑_i ∈ I λᵢ aᵢ = 0。 05VS
命题 5 对于仿射空间 E 的点的非空族 (aᵢ)_i ∈ I 是仿射自由的，对于每个指标 κ ∈ I，a_κ 不属于 aᵢ 生成的线性簇是充分必要的指标≠ κ。 05VT
定义 3 给定两个仿射空间E, E'附加到两个向量空间T, T'在相同的域K，E的映射u到E'称为仿射线性映射（或仿射映射）如果，对于E的点的每个家庭(xᵢ)_i ∈ I以及每个家庭(λᵢ)_i ∈ I使得∑_i ∈ I λᵢ = 1， 05VU
命题 6 令u为E到E'的仿射映射。 T 到 T' 中存在且仅有一个线性映射 v 使得 05VV
定义 4 给定左（或右）向量空间 V 超过域 K，左（或右）射影空间源自 V，表示为 P(V)，是补集 V - 0 的商 0 在 V 通过等价关系 Δ(V) “存在 λ ≠ 0 在 K 使得 y = λ x （分别 y = x λ）在 x 和 y之间在V - 0。 ↩ 1 05VW
注在域 K 的射影空间 P(V) 中，令 H = P(W) 为超平面。存在V到Kₛ × W的双射线性映射f使得f(W) = W；令 g 为从 f 通过经过到商的投影映射。已经看出(no. 8)，P(Kₛ × W)中P(W)的补集可以用仿射空间来识别，其平移空间是W。当P(V)通过g与P(Kₛ × W)等同时，就说H已在P(V)中被视为无穷远处的超平面；然后，P… 05VX

§ 10. 。矩阵

定义 1 令I, K, H为三集合；型 (I, K) 矩阵且H 中元素（或型 (I, K) 矩阵超过H）是H 元素 M = (m_iκ)_(i, κ) ∈ I × K 的任何家庭，其索引集合为乘积 I × K。对于所有i ∈ I，族(m_iκ)_κ ∈ K称为指标i的M行；对于所有κ ∈ K，(m_iκ)_i ∈ I家族被称为指标κM列。 05WH
定义 2 矩阵 M = (m_ι κ)_(ι, κ) ∈ I × K的转置，由 ᵗM表示，是矩阵 (m'_κ ι)_(κ, ι) ∈ K × I 超过 H 由 m'_κ ι = m_ι κ 对于所有 (ι, κ) ∈ K × L给出。 05WI
注以上公式扩展为更一般的情况。准确地说： 05WJ
命题 1 令A, B为两个环和M = (mᵢₖ)_(i,k) ∈ I × K并且 M' = (m'ᵢₖ)_(i,k) ∈ I × K 两个矩阵，在一个 (A, B)-双模块 G上具有有限索引集合。假设对于每个矩阵单位 L = (aᵢ)_i ∈ I 有一行和元素在 A 和每个矩阵单位 C = (bₖ)_k ∈ K 有一个列和元素在 B, L.M.C = L.M'.C… ↩ 2 05WK
定义 3 在上述两种情况中，u 的矩阵相对于基 (eᵢ), (fₖ) 是矩阵 M(u) = (uₖᵢ)_(k, i) ∈ K × I 这样 05WL
命题 2 假设I和K是有限的。对于每个元素 x ∈ E，矩阵 M(u(x)) 相对于基 (fₖ) 由公式给出 ↩ 2 05WM
推论设 E、F、G 为环 A、(eᵢ)_i ∈ I、(fₖ)_k ∈ K、(gₗ)_l ∈ L 上的三个右（左）模分别为 E、F、G、u : E → F、v : F → G 两个线性映射的有限基， u 的 M(u) 矩阵相对于 v 的基 (eᵢ)、(fₖ)、M(v) 矩阵相对于的基 (fₖ)、(gₗ) 和 M(v ∘ u) 矩阵 v ∘ u相对于基(eᵢ)、(… ↩ 1 05WN
命题 3 设E、F分别是E和F的两个右（左）A-模和(eᵢ)_i ∈ I、(fₖ)_k ∈ K有限基。对于 E 到 F 中的每个线性映射 u，令 M(u) 为 u 相对于基 (eᵢ) 和 (fₖ) 的矩阵。那么ᵗ u : F^* → E^*相对于对偶基(fₖ^*)和(eᵢ^*)的矩阵等于ᵗ M(u)。 ↩ 6 05WO
注 (2) 令E和F分别为两个左A-模，其中基、(eᵢ)_i ∈ I和(fₖ)_k ∈ K。对于每 A-线性映射 u : E → F，通过 (14 G)，u(eᵢ) = ∑ₖ uₖᵢ fₖ；这些关系也可以被说解释为列矩阵(u(eᵢ))_i ∈ I与元素在F中等于乘积ᵗM(u) · (fₖ)，其中(fₖ)_k ∈ K被视为列矩阵 F 中的元素和乘积是针对映射 A… 05WP
注设 A 为环且 σ A 的反自同态 (no. 3)；考虑以下两种情况： 05WQ
定义 4 矩阵其行与列具有相同索引集合称为平方矩阵。 05WR
注应该注意的是，矩阵的行索引集合和列具有相同的基数但不相同，不能被视为平方矩阵；特别是，两个这样的矩阵超过环的乘积未定义。 ↩ 1 05WS
命题 4 设 E 为右A-模，且基 (eᵢ)_1 ≤ i ≤ n 为 n 元素。对于 n 元素 e'ᵢ = ∑ⱼ₌₁ⁿ eⱼ aⱼᵢ (1 ≤ i ≤ n) 的族是 E 的基，阶 n 的平方矩阵 P = (aⱼᵢ) 可逆是必要且充分的。 ↩ 1 05WT
命题 5 设(eᵢ), (e'ᵢ)为从(eᵢ)到(e'ᵢ)的通道的E和P矩阵的n元素中的两个基。如果(eᵢ^*)和(e'ᵢ^*)分别是(eᵢ)和(e'ᵢ)的对偶基，则从(eᵢ^*)到(e'ᵢ^*)的矩阵就是P的同余ᵗP⁻¹。 ↩ 2 05WU
命题 6 Let E and F be two right A-modules, (eᵢ) and (e'ᵢ) two bases of E with n elements, (fⱼ) and (f'ⱼ) two bases of F with m elements, P the matrix of passage from (eᵢ) to (e'ᵢ) and Q t… ↩ 2 05WV
推论 1 如果u是E、M(u)和M'(u)的自同态，分别相对于基、(eᵢ)和(e'ᵢ)，则矩阵，则 ↩ 1 05WW
推论 2 如果M(x)和M'(x)分别相对于基(eᵢ)和(e'ᵢ)为矩阵，其中一个列具有相同的元素x ∈ E，则 05WX
注 (1) 我们现在从一个左 A-模块E开始，其中有两个基(eᵢ), (e'ᵢ)，每个n元素；如果我们写e'ᵢ = ∑ⱼ₌₁ⁿ aⱼᵢ eᵢ，P = (aⱼᵢ)也称为经过的矩阵，从(eᵢ)到(e'ᵢ)；它也是E的自同构的矩阵，使得对于基(eᵢ)而言u(eᵢ) = e'ᵢ，对于基(e'ᵢ)和(eᵢ)也是l_E的矩阵在那阶。上述结果只需进行以下修改即可成立：公式… 05WY
定义 5 如果存在阶 m 的可逆平方矩阵 P 和可逆平方，则两个矩阵 X, X' 具有 m 行和 n 列超过环被称为等效矩阵 Q 阶 n 这样 05WZ
定义 6 如果存在阶 n 的可逆平方矩阵 P，则环 A 上的阶 n 的两个方阵 X、X' 被称为相似 ↩ 1 05X0
注 (1) 两个仅在阶行（或列的阶）不同的方阵是等价的，但一般来说不相似。矩阵类似于平方矩阵 X = (xᵢⱼ) 可以通过对行和列执行相同的置换 σ⁻¹ 来获得，即考虑矩阵 X' = (x'ᵢⱼ)，其中每有序对指标 x'ᵢⱼ = x_σ(i), σ(j)；因为如果相对于基(eᵢ)_1 ≤ i ≤ n，X是Aⁿ_d的自同态u的矩阵，X'相对于基(e_σ(i))_… 05X1
命题 7 令C为交换环，对于每个矩阵P ∈ Mₙ(C)，让f_P在Mₙ(C)上为线性形式X ↦ Tr(PX)；映射 P ↦ f_P 是 Mₙ(C) 的 C 线性双射到其对偶上。 ↩ 1 05X2
命题 8 如果C模块Mₙ(C)上的g为线性形式，使得g(XY) = g(YX)对于Mₙ(C)中的所有矩阵X, Y，则存在且仅有一个标量c ∈ C，使得g(X) = c · Tr(X)对于每个矩阵 X ∈ Mₙ(C). 05X3
定义 7 Given a matrix X with m rows and n columns over a field K, the dimension of the subspace of K_dᵐ generated by the n columns of X is called the rank of X with respect to K and denot… ↩ 2 05X4
命题 9 如果矩阵 X 中的元素具有 m 行以及 n 列属于至子域 K₀ 域 K，秩的X相对于K₀等于X相对于K的秩。 05X5
命题 10 矩阵X超过域K的秩等于其转置ᵗ X的秩超过相反的域K⁰。 05X6
命题 11 设X为阶n除以域K的平方矩阵。以下属性是等效的： ↩ 2 05X7
命题 12 对于 n 个未知数中 m 个线性方程的系统 ↩ 1 05X8
命题 13 设E、F为域K上的两个有限维向量空间。如果u : E → F是秩r的线性映射，则存在E和F的基，使得对于这些基， ↩ 3 05X9
推论对于型(m, n)中的两个矩阵超过域，要等价，它们具有相同的秩是必要且充分的。 05XA
引理 1 设X = (ξᵢⱼ)为型(m, n)除环A中的矩阵。假设m geqslant 2，并且在X的第一个列中存在元素ξᵢ₁，它在A中可逆。那么在A上存在型(m - 1, n - 1)的两个可逆方阵P ∈ Mₘ(A)、Q ∈ Mₙ(A)和矩阵Y，使得P（分别为Q）为乘积矩阵形式 Bᵢⱼ(λ) 阶 m（或n）和 ↩ 2 05XB
命题 14 设X为型(m, n)除域K中的矩阵。如果X是秩r，则存在两个可逆的方阵P ∈ Mₘ(K)、Q ∈ Mₙ(K)，使得P（或Q）是阶的矩阵的乘积形式 Bᵢⱼ(λ) 中的m（分别为n）和 ↩ 2 05XC
推论 1 如果X是阶n在域K上的可逆平方矩阵，则存在阶n的三个可逆矩阵P, Q, D使得X = PDQ、P和Q为形式Bᵢⱼ(λ)矩阵乘积和形式D对角矩阵 ↩ 2 05XD
推论 2 对于每个域K，可逆矩阵GL(n, K)的群由置换矩阵（no. 7，例2）生成，对角线矩阵diag(a, 1, …, 1) （K中的a ≠ 0）和矩阵B₁₂(λ)（λ ∈ K）。 ↩ 1 05XE
注 (1) 在章III中，我们将看到，如果m = n = r和K是可交换的，那么，对于P的所有选择和命题14的Q满足条件，元素 δᵣ 始终相同且等于 X (III, § 8, no. 6) 的行列式。 05XF

§ 11. 。分级为模和环

定义 1 给定可加的交换律群G和集合Δ，G上型Δ的毕业是G的子群的(G_λ)_λ ∈ Δ，其中G是直和。集合 G，其中结构由其群运算及其分级定义，称为型 Δ 的分级（交换）群。 ↩ 1 05XX
例 (1) 给定任何可交换幺半群Δ（单位元素 0）和可交换群G，通过对λ ≠ 0取G₀ = G和G_λ = 0，在G上定义毕业(G_λ)_λ ∈ Δ；这个毕业被称为琐碎。 05XY
定义 2 鉴于环A和加法群A上的型Δ毕业(A_λ)，据说该毕业与A上的环结构兼容 05XZ
命题 1 如果Δ的每个元素都可以取消，并且(A_λ)是型Δ的毕业，与环A的结构兼容，则A₀是子环的子环 A（尤其是1 ∈ A₀）。 ↩ 2 05Y0
定义 3 令A为型Δ的分级环，(A_λ)其分级，M为左（右）A模块；加法群 M 上型 λ 的毕业(M_λ) 与M 上的A 模块结构兼容 if 05Y1
例 (1) 在任意环 A 上，型 Δ 的平凡分度与环结构兼容。如果 A 通过平凡分度进行分级，则为了使 A 模块 M 上的型 Δ 的分度 (M_λ) 与 A 模块结构兼容，M_λ 是必要且充分的子模共 M。 05Y2
注 (1) 最常用的刻度为型 Z 或型 Zⁿ；当我们谈到分级（或二分级、三分级等）模和环而不提及型时，可以理解，我们指的是型Z（或Z², Z³等）；型 N 的分级环（分别为模）也称为具有正次数的分级环（分别为模）。 05Y3
定义 4 令A, A'为相同型Δ和(A_λ), (A'_λ)各自等级的两个等级环。如果 h(A_λ) ⊂ A'_λ 对于所有 λ ∈ Δ，环同态 h : A → A' 称为分级。 ↩ 1 05Y4
例 (6) 如果M是分级A-模，M(λ₀)是通过平移(no. 2, 例 3)得到的分级A-模，则M(λ₀)到M的Z线性映射为每个M_λ + λ₀上的重合和典范嵌入是次数λ₀的分级同态（当Δ是群时，它是双射的）。 ↩ 3 05Y5
命题 2 设A为型Δ的分级环，M为型Δ的分级A-模，(M_λ)其分级，N为M的子A模块。以下属性是等效的： ↩ 7 05Y6
推论 1 如果N是M的分级子模且(xᵢ)是N的生成的系统，则N的xᵢ形式生成的系统的均质成分。 ↩ 1 05Y7
推论 2 如果 N 是 M 的有限生成的子模，N 承认齐次元素的有限生成系统由……组成。 05Y8
命题 3 设 A 为型 \Delta 的分级环，M、N 为型 \Delta 的两个分级 A-模，u: M \to N 为次数 \delta 的分级 A 同态。然后： (i) Im(u) 是 N 的分级子模。 (ii) 如果 \delta 是 \Delta 的正则元素，则 Ker(u) 是 M 的分级子模。 (iii) 如果 \delta = 0，则双射 M/Ker(u… ↩ 2 05Y9
推论设 A、B 为型 \Delta 的两个分级环，u：A \to B 为分级环的分级同态。那么 Im(u) 是 B 的分级子模，Ker(u) 是 A 的分级双面理想，并且双射 A/Ker(u) \to Im(u) 与 u 规范相关，是分级环的同构。 05YA
命题 4 设 A 为型 \Delta 的分级环，M 为型 \Delta 的 A-模。 (i) M 的分级子模中的每个和和每交都是一个分级子模。 (ii) 如果 x 是次数 \mu 的 M 的齐次元素，并且可以在 \Delta 中消去，则 x 的湮没子是 A 的分级左理想。 (iii) 如果 \Delta 的所有元素均可取消，则 M 的分级子模的湮没子是 A 的分级双面… ↩ 1 05YB
注 2 Let M be a graded A-module and E a submodule of M; it follows from Proposition 4(i) that there exists a largest graded submodule N' of M contained in E and a smallest graded submod… 05YC
命题 5 令A为型Δ的分级环。如果Δ的每个元素都是可取消的，那么，对于每个齐次元素a ∈ A，A（I, § 1, no. 5）中a的中心化器是A的分级子环。 ↩ 1 05YD
推论如果Δ的每个元素都是可取消的，则A的分级子环B（特别是A的中心）的集中器是A的分级子环。 ↩ 1 05YE
命题 6 令Δ为有序交换群，A为型Δ的环，(A_λ)其毕业，M为型Δ的A-模和(M_λ)其毕业。假设关系A_λ ≠ 0蕴含λ ≥ 0，并且存在λ₀使得M_λ₀ ≠ 0和M_λ = 0对应于λ < λ₀。那么，如果 ℑ₀ = ∑_λ > 0 A_λ，ℑ₀ M ≠ M. ↩ 4 05YF
推论 1 假设Δ和A为命题6，如果M是有限生成的分级A-模，使得ℑ₀ M = M，则M = 0。 ↩ 2 05YG
推论 2 假设Δ和A为命题6，令M为有限生成的分级A模块，且N为M的分级子模，使得N + 𝔍₀ M = M；然后N = M。 05YH
推论 3 根据命题 6 的Δ 和A 的假设，令u : M → N 为分级右A 模块的分级同态，其中N 假设为有限生成。如果同态 ↩ 1 05YI
注从推论 1 的证明可知，当不假设 M（分别为 N）是有限生成时，推论 1 和 2（或推论 3）仍然有效，而是得出以下假设：存在子集 Δ⁺ Δ满足以下条件： 05YJ
命题 7 假设Δ = Z。根据A和M为命题 6的假设，考虑分级A₀-模块N = M/𝔍₀ M并假设以下条件成立： (i) 每个被视为A₀模块的N_λ都承认基(y_iλ)_i ∈ I_λ； (ii) 典范同态 𝔍₀ ⊗_A M → M 是单射的。 ↩ 4 05YK
引理 1 对于交换性群Δ，Δ上存在与Δ的群结构兼容的全序，Δ无扭转是必要且充分的。 05YL
命题 8 令Δ为无扭交换律群，而A为型Δ的分级环。如果两个齐次元素≠ 0的A中的乘积为≠ 0，则环A没有0的除子。 ↩ 2 05YM
注当A具有平凡分级（no. 1，例 1）时，(M ⊗_A N)_λ只是M ⊗_A N的子Y模块M_μ ⊗_A N_ν的直和，使得μ + ν = λ。 05YN
注如果 M 和 N 被分级为左 A 模块，则 Homgr_A(M, N) 通常与 Hom_A(M, N) 不同。然而，当 M 是有限生成的 A 模块时，这两个集合是相等的。因为 M 是由齐次元素 xᵢ (1 ≤ i ≤ n) 的有限数生成；设d(i)为xᵢ的次数；令u ∈ Hom_A(M, N)，对于所有λ ∈ Δ，让z_i,λ表示次数λ + d(i)的u(x… 05YO

III. 张量代数，外部代数，对称代数

§ 1. 。代数

定义 1 设A为交换环。代数超过A（或A代数，或简单地代数，当不用担心混淆时）是集合E，其中结构通过给出以下定义： (1) E上的A模块结构； (2) 将 E × E 的 A 双线性映射 (II, § 3, no. 5) 转换为 E。 05YR
例 (1) 每个交换环 A 都可以被视为一个（结合和交换的）A-代数。 (2) 设E为伪环(I, § 8, no. 1)。 E上的乘法以及E定义上的独特Z模块结构E关联Z-代数结构。 (3) 设F为集合且A交换环。将 F 的所有映射中的集合 A^F 合并为 A，其中乘积环结构 (I, § 8, no. 10) 和乘积 05YS
定义 2 给定两个代数 E, E' 超过交换环 A, 同态 of E 进入 E' 是映射 f : E → E' 这样 (1) f 是一个 A-模同态； (2) f(xy) = f(x)f(y) 对于所有 x ∈ E 和 y ∈ E。 ↩ 1 05YT
命题 1 对于每个 A-代数 E，E 的典范映射 φ_E : x ↦ x ⊗ 1 到 E_(B) 是代数的 A 同态。此外，对于每个 B 代数 F 和每个 A 同态 f : E → F，存在且仅有一个 B 同态 barf : E_(B) → F，使得对于所有 x ∈ E 都有 barf(x ⊗ 1) = f(x)。 ↩ 1 05YU
推论令E, E'为两个A-代数；对于代数u : E → E', u ⊗ 1_B的每个A同态都是代数v : E ⊗_A B → E' ⊗_A B的唯一B同态，呈现可交换的图表 05YV

§ 2. 。例 / 代数

命题 1 二次代数 E 是结合律和交换律。 ↩ 1 05YX
命题 2 设E为二次A代数，e为单位元。对于所有u ∈ E，令T(u)为自由A-模块E（II, § 4, no. 3）的自同态mᵤ : x ↦ ux的踪迹。那么对于所有 u ∈ E，由 s(u) = T(u).e - u 定义的映射 s 是代数 E 和 s²(u) = u 的自同构。 ↩ 1 05YY
命题 3 设 E 为型 (α, β) 的二次A-代数。 05YZ
定义 1 Cayley 代数 over A 是有序对 (E, s)，其中 E 是代数 over A 与单位元 e 和 s 是 E 的反自同构，使得 ↩ 1 05Z0
命题 4 设 E 为 A-代数，并且 s 和 s' E 的反自同构，使得 (E, s) 和 (E, s') 为 Cayley 代数。如果 E 承认基包含单位元 e，则 s' = s. 05Z1
命题 5 (i) 有序对 (F, t) 是 Cayley 代数超过 A。 ↩ 3 05Z2
例 (1) 如果我们取E = A（因此s = 1_A），则代数F是一个二次A-代数，其中基(e, j)，其中j² = γ e。 05Z3
命题 6 令 S 为岩浆，F A-代数和 f 同态 ↩ 3 05Z4
推论令S、S'为两块岩浆且g: S → S'同态。那么存在且仅有一个 A-代数同态 u: A^(S) → A^(S') 渲染交换图表 05Z5
例令 V 为A-模，S 是一个作用于左侧 V 的幺半群；这意味着(I, § 5, no. 1)将S的映射(s, x) ↦ s.x放入V中，使得s.(x + y) = s.x + s.y, s.(α x) = α(s.x)和s.(t.x) = (st).x用于S中的s, t，x, y用于V和α ∈ A，并且用e表示S 的单位元素，e.x = x，对于 x ∈ V… 05Z6
定义 2 令I为集合；设 M(I)（分别为 Mo(I)、分别为 N⁽ᴵ⁾）表示源自 I 的自由岩浆（分别为自由幺半群、自由交换幺半群）。 M(I)（或 Mo(I)、或 N⁽ᴵ⁾）在 A 上的代数被称为自由代数（或自由结合律代数、或自由交换结合律代数（或者，滥用语言，自由结合律代数，或自由交换结合律代数）交换代数)) 的集合 I 超过环 A. ↩ 3 05Z7
命题 7 设 I 为集合，F 代数（分别为单位结合律代数，分别为单位交换结合律代数）。对于每一个映射 f : I → F，存在且仅有一个同态（分别为单位结合律代数）。将 LibA(I)（分别为 LibasA(I)、分别为 LibascA(I)）的同态) barf 转换为 F，使得 barf(Xᵢ) = f(i) 对于所有 i ∈ I。 ↩ 6 05Z8
注 (1) 我们稍后将 LibasA(I) 的定义同构放到自由模 A⁽ᴵ⁾ (§ 5, no. 5) 的张量代数上，并将 LibascA(I) 的同构放到对称矩阵上代数共 A⁽ᴵ⁾ (§ 6, no. 6)。 05Z9
例 (1)取H = 1, 2, 3；代数承认 (X₁ X₂) X₃ - X₁ (X₂ X₃) 作为通用关系词的是联想词代数。承认X₁ X₂ - X₂ X₁为万能关系子的代数是交换代数。代数承认通用关系器 X₁ X₁ 并且 (X₁ X₂) X₃ + (X₂ X₃) X₁ + (X₃ X₁) X₂ 作为通用关系器是李代数. 05ZA
例 3 令 L' 为由 I 生成的通用单位结合律代数，并服从于 L' 的两个元素的每个家庭的恒等式 uv - vu = 0。可以看出，如例 2 所示，L' 与Libasc_A(I) 是规范同构的。 05ZB
命题 8 令A[(Xᵢ)_i ∈ I]为代数的多项式代数、I的J子集以及KI中J的补集。写 A' = A[(Xⱼ)_j ∈ J] 并用 X'ₖ (k ∈ K) 表示多项式代数 Libasc{A'}(K) = A'[(X'k){k \in K}] 中的不定式，则存在唯一的环同构 A'[(X'k){k \in K}] 到 A[(Xi){i \in I}]，其中重合具有 A… ↩ 1 05ZC
注设I和J是两个集合，并且(Pj){j \in J}是Z[(Xᵢ)_i ∈ I]的元素族；如果 Q 是 Z[(Xⱼ)_j ∈ J] 的元素，使得 Q((Pⱼ)_j ∈ J) = 0，则对于环 B 的成对可置换元素的每个族 (bᵢ)_i ∈ I， Q((Pⱼ((bᵢ)_i ∈ I))_j ∈ J) = 0. 关系包含形式 Q((Pⱼ)_j ∈ J) = 0 是有… 05ZD

§ 3. 。评分代数

定义 1 令 Δ 为可交换幺半群，A 型 Δ (II, § 11, no. 2) 的分级环，(A_λ)_λ ∈ Δ 其分级和 E A-代数。加法群 E 上的型 Δ 的毕业 (E_λ)_λ ∈ Δ 据说与 E 上的 A-代数结构兼容，如果它与 E 上的 A-模和环结构兼容，则在其他字中，如果对于所有Δ中的λ, μ， ↩ 1 0603
注定义 1 也可以被说解释为E是分级的A-模块并且A-线性映射 0604
例 (1) 令B为型Δ的分级环；如果 B 被赋予其规范的 Z-代数结构 (§ 1, no. 1, 例 2)，B 是分级的 A-代数（Z 被赋予简单的毕业）。 0605
命题 1 Let A be a graded 交换环 of 型 Δ, E a graded A-algebra of 型 Δ and S 集合 of homogeneous 元素 of E。那么S生成的子A代数（分别为左理想、右理想、两侧理想）就是分级的子代数（分别为分级理想）。。 ↩ 1 0606

§ 4. 。张量积代数

定义 1 给定一个族 (Eᵢ)_i ∈ I 的代数超过该族 A、张量积，用 ⨂_i ∈ I Eᵢ 表示（或者，当 I 是N、E₁ ⊗_A E₂ ⊗ ⋯ ⊗_A Eₙ 的间隔1, n 或简单地E₁ ⊗ E₂ ⊗ ⋯ ⊗ Eₙ 时）通过给出由(1)定义的A-模块Eᵢ乘法的张量积获得代数。 0608
命题 1 令E, F为两个A代数，且a（或b）为E（或F）的两侧理想。然后是规范的 A-模块同构 0609
推论 1 设E为A代数，a为A的理想。那么A-模块aE是E的双面理想和规范的(A/a)-模块同构 ↩ 1 060A
推论 2 如果 a, b 是 A 的两个理想，则 (A/a) ⊗_A (A/b) 与 A/(a + b) 自然同构。 060B
推论 3 令E, F为两个A代数，而a为F的湮没子所包含的A的理想。那么 (A/a)-代数 E ⊗_A F 与 (E/aE) ⊗_A/a F 是典型同构的。 060C
命题 2 令(E_λ)_λ ∈ L和(F_μ)_μ ∈ M为A代数的两个族。典范映射 (II, § 3, no. 7) 060D
命题 3 令A, B为两个交换环、φ : A → B环同态和E, F两个A代数。然后是规范的 B-模块同构 ↩ 1 060E
命题 4 令A, B为两个交换环、ρ : A → B环同态、E一个A代数和F一个B代数。然后是规范的 A-模块同构 060F
命题 5 令(Eᵢ)_i ∈ I为A代数的有限族，对于每个i ∈ I，令eᵢ为Eᵢ的单位元。对于每个 i ∈ I，令 uᵢ : Eᵢ → E = ⨂_i ∈ I Eᵢ 为由下式定义的 A 线性映射 ↩ 7 060G
推论设 (Eᵢ)_i ∈ I, (Fᵢ)_i ∈ I 为A-代数的两个有限族，并且对于所有 i ∈ I，设 fᵢ : Eᵢ → Fᵢ 为代数同态。如果 uᵢ : Eᵢ → ⨂_j ∈ I Eⱼ, vᵢ : Fᵢ → ⨂_j ∈ I Fⱼ 是典范同态、映射 f = ⨂ᵢ fᵢ (cf. no. 1) 是唯一的 A-代数同态，使得 f ∘ uᵢ = vᵢ ∘ fᵢ… 060H
定义 2 设 E 为（单位）A-代数。左（或右）E 模块是 E 的底层环上的左（或右）模。 060I
定义 3 设E和F为两个（单位）A-代数和M集合，具有E模块结构和F模块结构。 M 在代数 E 和 F 上称为（左）双模，如果： ↩ 1 060J
例 (1) 设B为A-代数；环 B 具有规范的 (B, B)-双模结构 (II, § 1, no. 14, 例 1)，并且，如果 e 是 B 的单位元，则对于所有 x ∈ B 和所有 α ∈ A ，(α e)x = x(α e) = α x；因而，B 可以被认为是代数 B 和 Bᵒ 的左双模（与 B 相反）；因而，B 上的 (B, B)-双模结构与 (B ⊗_… 060K
命题 6 设 E、F 为 E（分别为 F）的交换域、K、C（分别为 D）子代数和 C'（分别为 D'）上的两个非零代数，即 E 中的 C（分别为 F 中的 D）。那么 E \otimesK F 中 C \otimesK D 的中心化器就是 C' \otimesK D'. ↩ 2 060L
推论如果Z和Z'分别是E和F的中心，则E \otimesK F 的中心是Z \otimesK Z'。 ↩ 1 060M
定义 4 给定代数G超过交换域K，G的两个子代数E，F被认为是线性不相交的超过K，如果它们满足以下条件： (1) E 的每元素与 F 的每元素通勤； (2) G 中的 E ⊗_K F 的典范同态是单射的。 060N
命题 7 设 G 在交换域 K 上代数，E、F 是 G 的两个子代数，使得 E 的每个元素与 F 的每个元素交换。对于 E 和 F 在 K 上线性不相交的，存在 E 在 K 上的基是充分必要的，这是一个自由G 的子集用于 G 上的右侧 F 模块结构。当情况如此时： (i) 典范同态h : E ⊗_K F → G是E ⊗_K F的同构到E ∪ F生成的G的子代数上；（… ↩ 2 060O
推论 1 为了使 E ⊗_K F 的典范同态成为双射，E 在 K 上存在基是（右或左）F 模 G 的基是必要且充分的。 060P
推论 2 设 E、F 为 G 的两个子代数，K 上的有限秩，使得 E 的每个元素与 F 的每个元素交换。为了使 E 和 F 在 K 上线性不相交的，必要且充分的是 G 的子代数 H 由下式生成： E ∪ F 是这样 [H : K] = [E : K] · [F : K]. 这表示满射典范同态 h 的秩 : E \otimesK F \to H 等于 E \otimes… 060Q
定义 5 直接系统(E_J, f_J'J)的直极限E被称为A-代数(Eᵢ)_i ∈ I家族的张量积。 060R
命题 8 (i) 同态 fᵢ : Eᵢ → E = ⨂_k ∈ I Eₖ 对于两个指标 i，j 使得 i ≠ j、fᵢ(xᵢ) 和 fⱼ(xⱼ) 通勤于 E 对于所有 xᵢ ∈ Eᵢ 和 xⱼ ∈ Eⱼ；进一步，E 由子代数fᵢ(Eᵢ)的并生成。 ↩ 4 060S
推论设 (Eᵢ)_i ∈ I,\ (E'ᵢ)_i ∈ I 为两个族 A-代数，具有相同的索引集合，并且对于所有 i ∈ I，设 uᵢ : Eᵢ → E'ᵢ 为代数同态。那么存在一个且唯一的 A-代数同态 u : ⨂_i ∈ I Eᵢ → ⨂_i ∈ I E'ᵢ 这样，对于所有 i ∈ I，图表 ↩ 2 060T
命题 9 让 (Eᵢ)_i ∈ I 成为 A的代数族，并且对于每个 i ∈ I 让 Bᵢ 成为 Eᵢ的基使得单位元 eᵢ 属于到 Bᵢ。令B为形式⨂_i ∈ I xᵢ元素集合，其中(xᵢ)贯穿∏_i ∈ I Bᵢ元素集合使得家庭(xᵢ - eᵢ) 有有限支撑。那么B是代数⨂_i ∈ I Eᵢ中的基还有这个基包含单位元e。 ↩ 1 060U
引理 1 设A为交换环，E为A代数，E元素的(xᵢ)_1 ≤ i ≤ n有限序列，(λᵢ)_1 ≤ i ≤ n有限序列 A中的元素和E中的y元素；假设 xᵢ y = λᵢ y xᵢ for 1 ≤ i ≤ n. 然后 (x₁ x₂ … xₙ) y = (λ₁ λ₂ … λₙ) y (x₁ x₂ … xₙ). ↩ 3 060V
引理 2 设A为交换环、E一个A代数以及(xᵢ)_1 ≤ i ≤ n和(yᵢ)_1 ≤ i ≤ n两个有限序列或E的n元素；假设对于 1 ≤ j ≤ i ≤ n, xᵢ yⱼ = λᵢⱼ yⱼ xᵢ with λᵢⱼ ∈ A. 然后 (x₁ x₂ … xₙ)(y₁ y₂ … yₙ) = ( ∏_i > j λᵢⱼ ) (x₁ y₁)(x₂ y₂) … (xₙ yₙ). ↩ 1 060W
引理 3 令A为交换环，E一个A代数，E的元素的(xᵢ)_1 ≤ i ≤ n有限序列，并假设对于每个有序对(i, j) 整数使得1 ≤ j < i ≤ n， ↩ 3 060X
定义 6 设 (Δᵢ)_i ∈ I 是加法编写的可交换幺半群的有限族。交换因子的系统在 Δᵢ 与交换环 A 中的值是映射 εᵢⱼ: Δᵢ × Δⱼ → A 系统，其中 i ∈ I， j ∈ I、i ≠ j 满足以下条件： ↩ 1 060Y
例 (1) 交换因子的平凡系统由 εᵢⱼ 组成，使得 εᵢⱼ(αᵢ, βⱼ) = 1 对于所有 i, j、αᵢ ∈ Δᵢ、βⱼ ∈ Δⱼ。 060Z
命题 10 令 A 为交换环和 (Δᵢ)_i ∈ I 有限族可交换幺半群的加法写法；对于每个 i ∈ I 令 Eᵢ 为型 Δᵢ 的分级 A 代数。最后，令 (εᵢⱼ) 为交换因子的系统与 A 中的值的Δᵢ 之比。那么存在一个型 Δ = ∏_i ∈ I Δᵢ 的分级 A-代数 E，并且对于每个 i ∈ I 代数同态 hᵢ : Eᵢ → E，具有以下属性： ↩ 8 0610
注 (1) 我们恢复no. 1中定义的代数的张量积（此外还有其因子的毕业张量积），对所有i, j, αᵢ和βⱼ取εᵢⱼ(αᵢ, βⱼ) = 1。 0611
推论 1 在命题 10的记号中，进一步假设F是型Δ的分级A-代数，并且每个fᵢ是相对于φᵢ : Δᵢ → Δ的分级代数同态；那么f = ε ⨂ᵢ fᵢ就是分级的代数同态。 ↩ 1 0612
推论 2 让(Eᵢ)_i ∈ I, (Fᵢ)_i ∈ I是A代数的两个有限族，其中Eᵢ和Fᵢ分级为型Δᵢ对于所有i ∈ I。对于每个i ∈ I，让gᵢ : Eᵢ → Fᵢ成为型Δᵢ的分级代数同态。然后，如果 hᵢ : Eᵢ → ε ⨂_i ∈ I Eᵢ 和 h'ᵢ : Fᵢ → ε ⨂_i ∈ I Fᵢ 是典范同态，则存在一个且仅有一个同态型 Δ、g : ε ⨂_… 0613
注在命题 10 的证明中，I 上的总排序被用于定义和张量积 ⨂_i ∈ I Eᵢ 上的 A-模代数结构 ↩ 1 0614
命题 11 （张量 ε-产品的“结合性”）。在命题 10 的记号中，设 (J_λ)_λ ∈ L 为 I 的划分并写 Δ'_λ = ∏_i ∈ J_λ Δᵢ 对于所有 λ ∈ L。 Let E'_λ be a graded tensor ε-product of type Δ'_λ of the family (Eᵢ)_i ∈ J_λ for some total or… ↩ 1 0615
命题 12 （张量ε的“结合性”-相同型的分级代数的产品）。对于记号 of 命题 10 of no. 7，假设所有Δᵢ都等于同一个幺半群Δ₀；设(J_λ)_λ ∈ L为I中的划分。对于 no. 7 的命题 11 的记号，假设公式 (32) (no. 7) 的右侧仅取决于和 α''_λ = ∑_i ∈ J_λ αᵢ, β''_μ = ∑_j ∈ J_μ βⱼ，对于每个不… 0616
注 (1) 设I为无限索引集合，Δ₀为可交换幺半群；让(Δᵢ)_i ∈ I表示家庭，使得Δᵢ = Δ₀对于所有i，并假设为I映射εᵢⱼ : Δᵢ × Δⱼ → A满足条件的不同指标(i, j)的每个有序对给出（22），（23）和（24）（no. 7）；这也将被称为家庭 (Δᵢ) 的系统交换因子。考虑一个(Eᵢ)_i ∈ I等级为A-代数为型Δ₀的家庭；对于I的… 0617
定义 7 如果对于 E 的所有非零齐次元素 x, y，则型 Z 的分级 A-代数 E 称为反交换的 ↩ 3 0618
注 (1) 设E⁺为E₂ₙ(n ∈ Z)的E直和的分级子代数；从定义 7 可以得出，如果 E 是反交换的，则 E⁺ 是包含在 E 的中心中的子代数（因此是可交换的）。 0619
引理 4 设 E 为型 Z 的分级代数，S 集合均质元素 ≠ 0； E 的元素的集合 F，其所有均质成分 x ≠ 0 满足关系 (36) 对于所有 y ∈ S 都是 E 的分级子代数。 ↩ 1 061A
命题 13 设E为型Z的分级A-代数和同质元素≠ 0的代数E由……组成的S生成的系统；为了使 E 是反交换的（分别为交错的），(36) 对于所有 x ∈ S 和 y ∈ S 成立是必要且充分的（分别是，这个条件成立，并且进一步，x² = 0 对于奇数次数属于的所有 x 齐次成立S). ↩ 1 061B
命题 14 令 E 和 F 为型 Z 的两个等级 A-代数，均为反交换的（分别为交错的）。那么偏斜张量积 Eᵍ ⊗_A F (no. 7) 是一个反交换律（分别为交错的）代数。 ↩ 3 061C
推论设 E 为反交换律（分别为交错的）分级为 A-代数或型 Z。那么对于每个环同态 ρ : A → B，分级 B 代数 ρ^*(E) (no. 8, 注 2) 是反交换的（分别是交错的）。 061D
注令 E 为型 Z 的反交换律 A-代数。那么由E(§ 1,no. 3)的乘法定义的E ⊗_A E入E的A-线性映射就是分级的A-代数Eᵍ ⊗_A E入E的同态，对于命题14的记号来说，代数E， (xy)(x'y') = (-1)^qp'(xx')(yy'). 061E

§ 5. 。张量代数、张量

定义 1 对于M中超过交换环A、张量代数的每个模M，用T(M)、或Tens(M)、或T_A(M)表示，有代数 ⨁_n ≥ 0 Tⁿ(M) 与 (1) 中定义的乘法。典范嵌入 φ : T¹(M) → T(M) (II, § 1, no. 12)（也用φ_M表示）被称为M的典范嵌入到T(M)。 061H
命题 1 令 E 为（单位）A-代数，而 f : M → E 为 A-线性映射。存在且仅有一个A-代数同态g : T(M) → E使得f = g ∘ φ。 ↩ 5 061I
注假设 E 是型 Z 的分级 A 代数，毕业为 (Eₙ)，并且还假设 f(M) ⊂ E₁. 然后从 (2) 得出，g(Tᵖ(M)) ⊂ Eₚ 对于所有 p ≥ 0，因此 g 是分级的代数同态。 061J
命题 2 设A为交换环、M和N两个A模块，并且 u : M → N ↩ 1 061K
命题 3 如果u : M → N是满射A-线性映射，则同态T(u) : T(M) → T(N)是满射，其核是由u的核P ⊂ M ⊂ T(M)生成的T(M)的两侧理想。 ↩ 2 061L
命题 4 令N和P是A模块M的两个子模，这样它们的和N + P是M中的直因子，并且它们的交N ∩ P是N和P中的直因子。然后同态 T(N) → T(M)、T(P) → T(M) 和 T(N ∩ P) → T(M), 典范嵌入的典范扩张是单射的；如果T(N)、T(P)和T(N ∩ P)通过这些同态与T(M)中的子代数进行识别，那么 (5) T(N ∩ P) = T(N)… ↩ 5 061M
注注特别是，当A为域（II, § 7, no. 3，命题4）时，命题4的假设对于M的任意子模N, P始终成立。此外，如果N ⊂ P和N ≠ P，则Tⁿ(N) ≠ Tⁿ(P)对于所有n ≥ 1，因为如果R是N中P的补集，则Tⁿ(P) ∩ Tⁿ(R) = 0通过(4)和Tⁿ(R) ≠ 0。 061N
推论令K为交换域且M向量空间大于K。对于每个元素z ∈ T(M)，都存在M的最小的向量空间N，使得z ∈ T(N)和N的有限秩超过K。 ↩ 2 061O
命题 5 令A, B为两个交换环、ρ : A → B、环、同态和M一个A模块。规范的扩张 ↩ 3 061P
命题 6 A-同态 f' = lim → f'_α : lim → T_Aα(M_α) → T_A(M) 是分级的代数同构。 ↩ 2 061Q
定理 1 令A为交换环，M为免费的A模块，(e_λ)_λ ∈ L基为M。然后元素eₛ = e_λ₁ ⊗ e_λ₂ ⊗ ⋯ ⊗ e_λₙ，其中s = (λ₁, …, λₙ)贯穿L的元素和e_∅的所有有限序列的集合，用来表示T(M)的单位元，形式基 A-模块T(M). ↩ 4 061R
注上述结果同样可以作为张量代数的自由结合律代数的普遍性质的推论，使用II, § 3, no. 7、推论2到命题7得到。 061S
推出如果 M 是射影 A 模，则 T(M) 是射影 A 模。 ↩ 2 061T
命题 7 令Δ为可交换幺半群，M为型Δ的分级A模，以及(M_α)_α ∈ Δ其毕业。对于每个有序对(α, n) ∈ Δ × N，令T^α, n(M)为Tⁿ(M)的子模M_α₁ ⊗ M_α₂ ⊗ ⋯ ⊗ M_αₙ的（直接的）和，使得∑ᵢ₌₁ⁿ αᵢ = α；那么 (T^α, n(M))_(α, n) ∈ Δ × N 是型 Δ × N 的唯一分级，与 T(M) 上的代数结… ↩ 3 061U
注 2 设(e_λ)_λ ∈ L、(bare_λ)_λ ∈ L为从(e_λ)到(bare_λ)的通道的M和P矩阵的两个基。根据例 1中的情况，指标λ和指标μ的列行中出现的P的元素被表示为对手ᵗP⁻¹的α_μ^λ和元素出现在指标μ行中的指标λ和列的行记为β_λ^μ。然后（上面记号介绍过） begincases bare_μ = ∑_λ α_μ^λ e_λ \\ b… 061V

§ 6. 。对称代数

定义 1 设 A 为交换环，M 为 A-模。 M 的对称代数，用 S(M)、Sym(M) 或 SA(M) 表示，是由下式生成的双边理想 𝔍'（也用 𝔍'_M 表示）对张量代数 T(M) 与 A 的商代数 T(M) 的元素 xy - yx = x ⊗ y - y ⊗ x，其中 x 和 y 穿过 M。 ↩ 1 0626
命题 1 代数 S(M) 是可交换的。 0627
命题 2 设 E 为 A-代数和 f : M → E A-线性映射，这样 (1) f(x)f(y) = f(y)f(x) for all x, y in M. 存在且仅有一个A-代数同态g : S(M) → E使得f = g ∘ φ'。 ↩ 3 0628
注 (1) 假设E是型Z的分级A代数，毕业为(Eₙ)，并假设线性映射f（假设满足（1））是这样的： (2) f(M) ⊂ E₁. 然后关系 g(x₁ x₂ … xₚ) = f(x₁) f(x₂) … f(xₚ) 与 xᵢ ∈ M 显示 g(Sᵖ(M)) ⊂ Eₚ 对于所有 p ≥ 0，因此 g 是分级的代数同态。 0629
命题 3 令A为交换环、M和N两个A-模块和u : M → N一个A-线性映射。存在且仅有一个 A-代数同态 u' : S(M) → S(N) 使得图表 ↩ 1 062A
命题 4 如果u: M → N是满射A线性映射，则同态S(u): S(M) → S(N)是满射，其核是u的核P ⊂ M ⊂ S(M)生成的S(M)的理想。 ↩ 1 062B
命题 5 令N和P是A模块M的两个子模，这样它们的和N + P是M中的直因子，并且它们的交N ∩ P是N和P中的直因子。然后同态 S(N) → S(M)、S(P) → S(M) 和 S(N ∩ P) → S(M), 典范嵌入的典范扩张是单射的；如果S(N)、S(P)和S(N ∩ P)通过这些同态与S(M)中的子代数进行识别，那么 S(N ∩ P) = S(N) ∩ S… 062C
推论设 K 为交换域且 M 向量空间超过 K。对于每个元素 z ∈ S(M)，存在 M 的最小的向量空间 N，使得 z ∈ S(N) 和 N 是有限维的。 062D
命题 6 设A为交换环，M和N为A-模。如果与每个 A-线性映射 g : Sⁿ(M) → N (n geqslant 1) 相关联，则 n 线性映射 062E
注令𝔖ₙ中的σ为置换；如映射 ↩ 1 062F
命题 7 让A, B是两个交换环，ρ : A → B环同态和M一个A模块。规范的扩张 062G
命题 8 A-同态 f' = lim → f'_α : lim → S_A_α(M_α) → S_A(M) 是分级的代数同构。 062H
命题 9 典范同态 g (公式 (10)) 是分级的代数同构 (cf. § 4, no. 8, 注 1)。 ↩ 4 062I
推论 The A-module Sⁿ(M) is the image under isomorphism (10) of the submodule of ⨂_λ ∈ L S(M_λ) the direct sum of the submodules S^ν(M) for all the families ν = (n_λ) ∈ N⁽ᴸ⁾ such that ∑_… ↩ 1 062J
定理 1 让A成为交换环并且M自由A-模和基(e_λ)_λ ∈ L。对于映射 α : L → N 有限支撑，我们写 ↩ 2 062K
推论如果 M 是射影 A 模，则 S(M) 是射影 A 模。 062L
命题 10 令Δ为可交换幺半群，M为型Δ的分级A模，以及(M_α)_α ∈ Δ其毕业。对于每个有序对(α, n) ∈ Δ × N，令S^α, n(M)为子模⨂_λ ∈ J S^n_λ(M_α_λ)的Sⁿ(M)直和的子模，其中(n_λ)_λ ∈ L贯穿整数≥ 0的家庭的集合这样∑_λ ∈ L n_λ = n，J是它的支持，并且对于每个(n_λ), (α_λ)_λ ∈ J贯… 062M

§ 7. 。外观代数

定义 1 令 A 为交换环且 M 为 A 模块。 M的外代数，用bigwedge(M)或Alt(M)或bigwedge_A(M)表示，是代数除以A张量代数T(M)与两侧理想𝔍''的商（也用𝔍_M''表示）由元素x ⊗ x生成，其中x贯穿M。 062S
命题 1 令 E 为 A 代数，f : M → E 为 A 线性映射，使得 (f(x))² = 0 for all x ∈ M. 存在且仅有一个A-代数同态g : bigwedge(M) → E使得f = g ∘ φ''。 ↩ 4 062T
注 (1) 假设 E 是 (Eₙ) 等级型 Z 的A-代数，并且还假设线性映射 f（假设满足 (1)）是这样的： f(M) ⊂ E₁. 然后关系 g(x₁ x₂ … xₚ) = f(x₁) f(x₂) … f(xₚ) 与 xᵢ ∈ M 表明 g(bigwedgeᵖ(M)) ⊂ Eₚ 对于所有 p ≥ 0，因此 g 是分级的代数同态。 062U
命题 2 令A为交换环、M和N两个A模块以及u : M → N一个A线性映射。存在且仅有一个A-代数同态 u'' : bigwedge(M) → bigwedge(N) 这样图表 ↩ 1 062V
命题 3 如果u: M → N是满射A线性映射，则同态Λ(u): Λ(M) → Λ(N)是满射，其核是u的核P ⊂ M ⊂ Λ(M)生成的Λ(M)的两侧理想。 ↩ 1 062W
命题 4 设N和P是A模块M的两个子模，这样它们的和N + P是M中的直因子，并且它们的交N ∩ P是直因子在N和P。那么同态Λ(N) → Λ(M)、Λ(P) → Λ(M)和Λ(N ∩ P) → Λ(M)、典范嵌入的典范扩张是单射的；如果通过这些同态将Λ(N)、Λ(P)和Λ(N ∩ P)识别为Λ(M)的子代数，则 Λ(N ∩ P) = Λ(N) ∩ Λ(P). 证明始… 062X
推论令K为交换域且M向量空间大于K。对于每个元素z ∈ Λ(M)，都存在M的最小的向量子空间N，使得z ∈ Λ(N)和N是有限维的。 ↩ 2 062Y
命题 5 (i) 设(xᵢ)_1 ≤ i ≤ n为模M中的元素中的有限序列；对于对称群 Sₙ 中的每个置换 σ， ↩ 6 062Z
推论 1 设H, K为N的区间[1, n]的两个互补子集，并令(iₕ)_1 ≤ h ≤ p, (jₖ)_1 ≤ k ≤ n-p分别为H和K的元素的序列，排列在递增阶；我们写 ↩ 1 0630
引理 1 如果σ ∈ Sₙ是置换，使得σ(h) = iₕ对应1 ≤ h ≤ p，σ(h) = jₙ₋ₚ对应p + 1 ≤ h ≤ n，则ε_σ = (-1)^ν。 0631
推论 2 分级的代数bigwedge(M)为交错的（§ 4、no. 9）。 ↩ 1 0632
命题 6 如果M为有限生成A-模，则bigwedge(M)为有限生成A-模；另外，如果 M 承认生成的系统且 n 元素，则 bigwedgeᵖ(M) = 0 对应 p > n。 ↩ 5 0633
命题 7 设A为交换环，M和N为A-模。如果与每个 A-线性映射 g : bigwedgeⁿ(M) → N (n ≥ 2) 相关联，则 n 线性映射 (x₁, x₂, …, xₙ) ↦ g(x₁ ∧ x₂ ∧ ⋯ ∧ xₙ) 双射A-线性映射是从A-模Hom_A(bigwedgeⁿ(M), N)到交错的的A-模获得Mⁿ到N的n线性映射。 ↩ 6 0634
推论 1 对于每个交错的 n 线性映射 g : Mⁿ → N，对于每个置换 σ ∈ 𝔖ₙ， g(x_σ(1), x_σ(2), …, x_σ(n)) = ε_σ · g(x₁, x₂, …, xₙ) 对于所有人xᵢ ∈ M；此外，如果 xᵢ = xⱼ 对于两个不同的指标 i, j，则 g(x₁, x₂, …, xₙ) = 0. 这是命题 7 和no. 3、命题 5… ↩ 1 0635
推论 2 设 (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n 为 M 的 n 元素中的序列，使得 x₁ ∧ x₂ ∧ ⋯ ∧ xₙ = 0; 然后，对于每个交错的 n 线性映射 g : Mⁿ → N，g(x₁, …, xₙ) = 0。 0636
推论 3 设 f : Mⁿ⁻¹ → A 为交错的 (n-1)-线性形式。如果 (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n 是 M 的 n 元素中的序列，使得 x₁ ∧ x₂ ∧ ⋯ ∧ xₙ = 0，则 ∑ᵢ₌₁ⁿ (-1)ⁱ f(x₁, …, hatxᵢ, …, xₙ) · xᵢ = 0 （我们写 f(x₁, …, hatxᵢ, …, xₙ) = f(x₁, …, xᵢ₋₁… 0637
注 Tⁿ(M) 的元素 z 被称为阶 n 的（逆变）斜对称张量，如果 σ.z = ε_σ z 对于每个置换 σ ∈ Sₙ (cf.) § 6, no. 3、注）；这些元素形式是Tⁿ(M)的子A模块A'ₙ(M)。对于所有z ∈ Tⁿ(M)，我们写成a.z = ∑_σ ∈ Sₙ ε_σ(σ.z)，并称a.z为z的倾斜对称化；作为ε_στ = ε_σ ε_τ，立即看出… 0638
命题 8 令A, B为两个交换环、ρ : A → B、环、同态和M一个A模块。规范的扩张 0639
命题 9 A-同态 f'' = varprojlim f''_α : varprojlim Λ_A_α(M_α) → Λ_A(M) 是分级的代数同构。 063A
命题 10 典范同态 g (公式 (14)) 是分级的代数同构。 ↩ 5 063B
注令N = ⨁_λ ∈ L N_λ为A模块另一个族中的直和，并以L作为索引集合，并且对于所有λ ∈ L，令v_λ : M_λ → N_λ为A线性映射，从而存在A线性映射v = ⨁_λ v_λ : M → N（II, § 1, no. 6，命题 7）。然后图表 063C
推论 The A-module bigwedgeⁿ(M) is the image under isomorphism (14) of the submodule of ⨂_λ ∈ L bigwedge(M_λ) the direct sum of the submodules bigwedge^ν(M) for all families ν = (n_λ) ∈… ↩ 1 063D
命题 11 令Δ为可交换幺半群，M为型Δ的分级A-模和(M_α)_α ∈ Δ其毕业。对于子模 ⨂_λ ∈ J bigwedge^n_λ(M_α_λ)的每一个有序对 (α, n) ∈ Δ × N，令 bigwedge^α,n(M) 为子模 bigwedgeⁿ(M) 直和，其中 (n_λ)_λ ∈ L 穿过以下家庭的集合整数 ≥ 0 使得 ∑_λ ∈ L n_λ = n、J… ↩ 1 063E
定理 1 设 M 为A-模和基 (e_λ)_λ ∈ L。让 L 被给予全序集的结构（集合理论，III, § 2, no. 3，定理 1）并且对于每个有限子集 J 的 L 我们写 ↩ 6 063F
推论 1 假设L = 1, m；那么bigwedge(M)的基(e_J)_J ∈ P(L)有2ᵐ元素。对于p > m、bigwedgeᵖ(M) = 0； bigwedgeᵐ(M) 有基由……组成单个元素 e_L；对于e_J的bigwedgeᵖ(M)由……组成的基(e_J)中元素的0 ≤ p ≤ m数，使得Card(J) = p为 ↩ 3 063G
推论 2 如果 M 是射影 A-模，则 bigwedge(M) 是射影 A-模。 ↩ 2 063H
推论 3 设 M 为 M 的元素的射影 A-模和 (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n 有限序列。因为 M 交错的 n 线性形式 f 上存在这样的 f(x₁, x₂, …, xₙ) ≠ 0, 这是必要且充分的 x₁ ∧ x₂ ∧ ⋯ ∧ xₙ ≠ 0。 ↩ 2 063I
命题 12 设 M 为射影 A-模。为了使 M 的元素 x₁, x₂, …, xₙ 线性相关，A 中存在 λ ≠ 0 是必要且充分的，使得 λ x₁ ∧ x₂ ∧ ⋯ ∧ xₙ = 0. ↩ 3 063J
推论设 M 和 N 为两个射影 A-模和 f : M → N A-线性映射。如果 f 是单射，则 Λ(f) : Λ(M) → Λ(N) 是单射。 ↩ 1 063K
命题 13 令M为A模块，M的N直因子子模不含维数p和Λᵖ(N)的u基。对于元素x ∈ M到属于到N，u ∧ x = 0是充分必要的。 ↩ 3 063L
定理 2 令 M 为具有有限基 (eᵢ)_1 ≤ i ≤ n 的 A 模。对于n的序列(xᵢ)_1 ≤ i ≤ n、M的元素到M的形式基，元素λ ∈ A是充分必要的，使得 ↩ 1 063M

§ 8. 。决定因素

定义 1 有限维的n的自由A模块M的自同态u的行列式（II, § 7, no. 2，命题3和注1的推论），表示为 det u，是标量λ，使得bigwedgeⁿ(u)是比率λ的位似。 0642
命题 1 (i) 如果u和v是有限维自由A模M的两个自同态，则 ↩ 1 0643
命题 2 设 M 为自由 A 模块，其有限基 (eᵢ)_1 ≤ i ≤ n 和 v 自同态为 M。对于 n 元素 M 中的每个序列 (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n， 0644
定理 1 令M为有限维自由A模，且u自同态为M。以下条件是等效的： (a) u 是双射； (b) u 是右可逆的（II, § 1, no. 9，推论 1 到命题 15）； (c) u 是可逆的（II, § 1, no. 9，推论 2 到命题 15）； (d) u 是满射； (e) det u 在 A 中是可逆的。 ↩ 5 0645
命题 3 令M为有限维自由A模。对于 M 的每个自同态 u，以下条件是等效的： (f) u 是单射的； (g) det u 不是 A 中的零的除子。 ↩ 5 0646
注当A为域时，定理2的条件(e)相当于命题3的条件(g)，因为它们都意味着det u ≠ 0。因而，在这种情况下，定理 1 和命题 3 中的所有条件都是等价的（cf. II, § 7, no. 4，命题 9 的推论）。 0647
定义 2 令I为型(I, I)在环A上的有限集合、A交换环和X平方矩阵（II, § 10, no. 7）。 A模Aᴵ的自同态u的行列式，其矩阵相对于Aᴵ的典范基为X，称为X的行列式，表示为det X. 0648
命题 4 对于 Aⁿ 的 n 向量 x₁, …, xₙ，令 X(x₁, …, xₙ) 表示阶 n 的平方矩阵，其第 i-第列为xᵢ 换1 ≤ i ≤ n。然后映射 (x₁, …, xₙ) ↦ det(X(x₁, …, xₙ)) (Aⁿ)ⁿ到A的交错的和n是线性的。 0649
例 (1)空矩阵的行列式等于1；阶 1 的平方矩阵的行列式等于这个矩阵的唯一元素。对于阶 2 中的矩阵 064A
命题 5 如果X和Y是交换环A上的两个方阵且具有相同的有限索引集合，则 ↩ 1 064B
推论两个相似的方阵具有相同的行列式。 064C
命题 6 For the columns of a square matrix X of finite order to be linearly independent, it is necessary and sufficient that det X be not a divisor of zero in A. ↩ 1 064D
引理 1 设 A 为交换环，M 自由A-模以及基 (eⱼ)_j ∈ J，其中索引集合 J 是全序的。对于每个整数 p ≤ Card(J)、每个交错的 p 线性函数 f : Mᵖ → N（其中 N 为 A-模）以及 M (1 ≤ i ≤ p) 的 p 元素 xᵢ = ∑_j ∈ J ξⱼᵢ eⱼ 的每个族， 064E
命题 7 令I为交换环A上型（I，I）的有限集合和X = (ξⱼᵢ)_(j, i) ∈ I × I平方矩阵。然后 ↩ 1 064F
命题 8 对于交换环上的每个平方矩阵 X，转置矩阵 ᵗ X的行列式等于X的行列式。 ↩ 4 064G
推论 1 对于 Aⁿ 的 n 向量 x₁, …, xₙ，让 Y(x₁, …, xₙ) 表示阶 n 的平方矩阵，其第 i 行是 xᵢ，对于 1 ≤ i ≤ n。然后映射 (x₁, …, xₙ) ↦ det(Y(x₁, …, xₙ)) 从 (Aⁿ)ⁿ 到 A 是交错的并且是 n 线性的。 ↩ 2 064H
推论 2 对于平方矩阵 X 的有限阶超过交换环 A，以下条件是等效的： (i) X 的行是线性无关的； (ii) X 的列是线性无关的； (iii) det X 不是A 中零的除子。 064I
推论 3 设 u 为有限维自由 A-模 M 的自同态和对偶 M^* (II, § 2, no. 5, 定义 5) 的 ᵗ u 转置自同态；那么 det(ᵗ u) = det(u). 如果X相对于M的基是u的矩阵，则ᵗ X相对于对偶基是ᵗ u的矩阵（II, § 10, no. 4，命题3);如det(u) = det(X)和det(ᵗ u) = det(ᵗ X)，由命… ↩ 1 064J
命题 9 令 M 为具有基 (eᵢ)_i ∈ J（有限或其他）的 A 模，其索引集合 J 是全序的。对于每个整数 p > 0，令 (e_H)_H ∈ 𝔖ₚ(J) 为 ∧ᵖ(M) (§ 7, no. 8) 的相应的基。设(xᵢ)_1 ≤ i ≤ p为p序列M元素；让 xᵢ = ∑_j ∈ J ξⱼᵢ eⱼ for i ∈ I = 1, p ↩ 2 064K
命题 10 令M和N分别为u的维数、m和n、u : M → N、线性映射和X矩阵的两个自由A模块，其中尊重M的基(eᵢ)_1 ≤ i ≤ m和N的基(fⱼ)_1 ≤ j ≤ n。然后，对于每个整数p ≤ inf(m, n)，∧ᵖ(u)的矩阵相对于∧ᵖ(M)的基(e_K)_K ∈ 𝔉ₚ(I)和∧ᵖ(N)的基(f_H)_H ∈ 𝔉ₚ(J)（我们已经写成I = 1, m和J… ↩ 3 064L
命题 11 令M为有限维n的自由A模块；对于M中的每个自同态u和A中元素ξ, η中的每个有序对， ↩ 2 064M
推论在与命题 11相同的假设下，对于自同态bigwedge(u) of A-模bigwedge(M) 064N
命题 12 对于型 (n, n) 的每个可逆平方矩阵 X，X 的逆由公式给出 064O
例 (1) Vandermonde 行列式。给定 A 的 n 元素的序列 (ζᵢ)_1 ≤ i ≤ n，则该序列的 Vandermonde 行列式是行列式 064P
命题 13 对于交换环上n未知数中的系统或n线性方程，无论其右侧如何，至少承认一个解，矩阵或系统的行列式是可逆的必要且充分；在这种情况下，系统承认单个解。 ↩ 1 064Q
命题 14 对于交换环上n未知数中n的齐次线性系统要承认非零解，其矩阵的行列式是零的除子是必要且充分的。 064R
命题 15 令E大于向量空间超过交换域；为了使 p 向量 xᵢ ∈ E (1 ≤ i ≤ p) 线性无关，x₁ ∧ x₂ ∧ ⋯ ∧ xₚ ≠ 0 是充分必要的。 ↩ 3 064S
推论令X为型(m, n)除以交换域的矩阵。 X的秩等于最大的整数p，使得阶p的X中至少存在一个小数，即≠ 0。 ↩ 1 064T
命题 16 令 L = (λᵢⱼ) 为系统 (41) 中的矩阵（型 (m, n)）。令M为型(m, n+1)中的矩阵，在L上加上第(n+1)个列(ηᵢ)(II, § 10, no. 1)。令 p 为 L 的秩（由应用命题 15 的推论计算）。假设L的次要Δ（通过抑制L中指标≥ p + 1的行和列的行列式矩阵）是≠ 0（这总是可以通过在行上的合适的置换来实现） L 以及L… 064U
命题 17 令K为交换域。幺模群 SL(n, K) 由矩阵 Bᵢⱼ(λ) 与 i ≠ j 和 λ ∈ K 生成。 ↩ 4 064V
推论群SL(n, K)是GL(n, K)的换位子群，除了n = 2和其中K与2个元素是域的情况。 ↩ 1 064W
注 (1) GL(2, F₂) = SL(2, F₂)；这是阶 6 的可解群，其换位子群为指标 2 (II, § 10, 习题 14)。 064X
命题 18 序列 / A[X]-同态 M[X] xrightarrowψ M[X] xrightarrowφ Mᵤ longrightarrow 0 是准确的。 ↩ 2 064Y
命题 19 对于 M 到 M' 的映射 g 是 Mu 到 M'u 的 A[X]-同态，g 是 M 到 M' 的 A-同态使得 g ∘ u = u' ∘ g 是必要且充分的。在这种情况下，如果 barg 是 M[X] 到 M'[X] 的 A[X] 同态，等于 1_A[x] ⊗ g (II, § 5, no. 1)，则图表 ↩ 2 064Z
定义 3 令 M 为有限维自由 A 模，且为 M 的 u 自同态。自由A[X]模M[X]的自同态X - baru的行列式称为u的特征多项式，记为χᵤ(X)。 ↩ 1 0650
命题 20（“凯利-汉密尔顿定理”） 对于有限维自由 A 模块的每个自同态 u，χᵤ(u) = 0。 ↩ 2 0651

§ 9. 。范数和痕迹

定义 1 设 M 为 A 模，承认有限基作为 K 模。对于所有a ∈ A，令a_M为K模块M的自同态x ↦ ax。 a_M的迹、行列式和特征多项式分别称为z相对于M的迹、范数和特征多项式。 065S
命题 1 令M = M₀ ⊃ M₁ ⊃ … ⊃ Mᵣ = 0为A模块M的子模的递减序列，使得每个K模块Pᵢ = Mᵢ₋₁/Mᵢ（1 ≤ i ≤ r）承认有限的基。那么K-模M承认有限的基并且 ↩ 4 065T
命题 2 令A, A'为两个K代数，M为A模，M'为A'模。假设M和M'是各自维数、n和n'的自由K模块，并将M ⊗_K M'视为(A ⊗_K A')模块（§ 4、no. 3、例） 2）。然后，对于a ∈ A和a' ∈ A'， ↩ 3 065U
定义 2 令 A 为 K 代数，它是有限维自由 K 模。对于每个元素a ∈ A，跟踪（分别为范数，\脚注{†这个概念不应与概念相混淆，因为代数中的范数超过了值域（\emph{General 拓扑}）， a相对于A和K的IX, § 3, no. 7.}分别是特征多项式）是K模A的自同态x ↦ ax的迹（分别是行列式、特征多项式）。 ↩ 2 065V
例 (1) Let A be a quadratic algebra over K of type (α, β) and (e₁, e₂) a basis of type (α, β) (§ 2, no. 3). 对于 x = ξ e₁ + η e₂、Tr_A/K(x) = 2ξ + β η 和 N_A/K(x) = ξ² + β ξ η - α η²；因此，这… 065W
命题 3 设 A 为 K-代数，承认有限的基。为了使元素 a ∈ A 可逆，其 N_A/K(a) 在 K 中可逆是充分必要的。 ↩ 2 065X
命题 4 设 A 为 K-代数，承认有限的基。对于所有 a ∈ A、Pc_A/K(a; a) = 0。 065Y
命题 5 设A为K-代数，m为A的双向理想。假设A₀ = A/m是有限维n的自由K-模，存在整数r > 0，使得mʳ = 0且mⁱ⁻¹/mⁱ是A₀的自由模有限维sᵢ对应1 ≤ i ≤ r。让s = s₁ + ⋯ + sᵣ和所有a ∈ A让a₀表示类对a模。米。那么 A 是维数 ns 中的自由K-模，并且对于所有 a ∈ A， 065Z
命题 6 设A是一个可交换的K-代数，在K上承认有限的基，而V是在A上承认有限的基的A模。那么V在K上承认有限的基，并且对于V的每个A-自同态u，如果u_K是映射，u被视为K-自同态V, beginalign* Tr(u_K) &= Tr_A/K(Tr(u)), det(u_K) = N_A/K(det(u)) \\ Pc(u_K; X) &= N_A[X]/K[X]… ↩ 3 0660
引理 1 令 Xᵢⱼ (1 ≤ i ≤ n,\ 1 ≤ j ≤ n) 为 n² 不定式，X 平方矩阵 (Xᵢⱼ) 为阶 n，D(X₁₁, …, Xₙₙ) ∈ Z[X₁₁, …, Xₙₙ] 为行列式 det(X)。另一方面，令 A 为交换环，Mᵢⱼ (1 ≤ i ≤ n,\ 1 ≤ j ≤ n) n² 矩阵 of 阶 m over A，它们是成对可置换的，并且 M 阶… 0661
推论设 A 交换K-代数在 K 上承认有限基，并且 B A-代数在 A 上承认有限基。然后 B 在 K 上承认有限基，并且，对于所有 b ∈ B (“传递性公式”) beginalign* Tr_B/K(b) &= Tr_A/K(Tr_B/A(b)), N_B/K(b) = N_A/K(N_B/A(b)) \\ P_C_B/K(b; X) &= N_A[X]/K… 0662
注假设K到A中的同态λ ↦ λ . 1是单射的，并让K与其在A中的像等同；假设 A 承认有限的基 (eᵢ)_1 ≤ i ≤ n 为 K-模。令 s 为 A 的自同构，使得 s(K) = K。设a为A的元素；然后，通过运输结构 beginalign* Tr_A/K(s(a)) &= s(Tr_A/K(a)) \\ N_A/K(s(a)) &= s(N_A/K(a… 0663
定义 3 设 A 为 K-代数，承认 n 元素的有限基。 A 的 n 元素的序列 (x₁, …, xₙ) 对于 K 的判别式，用 D_A/K(x₁, …, xₙ) 表示，是平方矩阵的判别式 (Tr_A/K(xᵢ xⱼ))_1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n. 首先考虑 A 右 K 的基 (eᵢ)_1 ≤ i ≤ n 并写 eᵢ eⱼ = ∑ₖ₌₁ⁿ c_ij… ↩ 1 0664
例 (1) 如果 A 是型 (α, β) 的二次代数超过 K，则（在 § 2, no. 3 的记号中）Tr(e₁) = 2, Tr(e₂) = β， 0665

§ 10. 。推导

定义 1 鉴于上述和Δ × Δ上的交换因子ε，(A, A', A'')的次数δ ∈ Δ到(B, B', B'')的ε衍生（或(K, ε)衍生）是一个三元组次数 δ 的分级K线性映射： d : A → B, d' : A' → B', d'' : A'' → B'' 这样，对于每个同质元素a ∈ A和每个元素a' ∈ A' (4) d''(a.a') = (da).a'… ↩ 3 0667
注 (1) 推导的概念可以通过同意给予这些模简单的毕业来定义为非分级模。 0668
例 1 设A是R的映射可微分到R的R代数，并令x₀是R的点； R 可以视为 A-模与外法则 (f, a) ↦ f(x₀)a。那么映射 f ↦ Df(x₀) 就是推导，因为（实数变量的函数，I, § 1, no. 3） ↩ 1 0669
例 2 令X为类C^∞的可微流形，并令A为X上微分形式的分级R代数。映射与X上的每个微分形式ω相关联，其外部微分dω是次数+1的反推导（可微分和解析流形，R，§ 8）。 ↩ 1 066A
例 3 设 A 为结合律 K-代数。对于所有 a ∈ A，映射 x ↦ ax - xa 是代数 A (cf. no. 6) 中的推导。 066B
例 4 令 M 为 K-模，A 为外部代数 bigwedge(M^*) 及其通常的刻度 (§ 7, no. 1)。在§ 11, no. 9中可以看出，对于所有x ∈ M，右内部乘积i(x)是A的次数-1的反导数。 066C
例 5 回到no. 2的定义1的一般情况，令overlineK为另一个交换环和ρ : K → overlineK环同态；让overlineA, overlineA', overlineA'', overlineB, overlineB', overlineB''表示通过将标量的环扩展到overlineK（II, § 11, no. 5）分别从A, A', A''… 066D
例 6 令A为型Z的分级K代数；次数 0、d : A → A的分级线性K映射是通过取xₙ ∈ Aₙ (n ∈ Z)、d(xₙ) = nxₙ来定义的。这个映射是A的推导，因为对于xₚ ∈ Aₚ, x_q ∈ A_q， d(xₚ x_q) = (p + q)xₚ x_q = d(xₚ)x_q + xₚ d(x_q). ↩ 1 066E
命题 1 令d₁, d₂为次数δ₁, δ₂的(A, A', A'')的两个ε派生。然后是ε-括号 [d₁, d₂]_ε = d₁ ∘ d₂ - ε_δ₁, δ₂ d₂ ∘ d₁ 是次数 δ₁ + δ₂ 的 ε 派生。此外，如果d是次数δ的(A, A', A'')的ε衍生，并且如果ε_δ, δ = -1，则d² = d ∘ d是推导。 ↩ 1 066F
推论假设Δ = Z。然后： (i) 反推导的平方是推导。 (ii) 两个推导的括号是推导。 (iii) 反推导的括号和偶数次数的推导是反推导。 (iv) 如果d₁和d₂是反导数，则d₁ d₂ + d₂ d₁是推导。 066G
命题 2 根据上述假设和记号，考虑 2n 个不定式 T₁, …, Tₙ, T'₁, …, T'ₙ，对于每个多项式 F ∈ K[X₁, …, Xₙ] 写出 F(T) = F(T₁, …, Tₙ), F(T') = F(T'₁, …, T'ₙ) 和 F(T + T') = F(T₁ + T'₁, …, Tₙ + T'ₙ). 假设 P(T + T') = ∑ᵢ Qᵢ(T)… ↩ 2 066H
推论（莱布尼兹公式） 设 dᵢ (1 ≤ i ≤ n) 为 (A, A', A'') 的 n 推导，可用 1 另一个置换。对于所有 α = (α₁, …, αₙ) ∈ Nⁿ，我们写 066I
命题 3 令 d : A → E 为次数 δ 的 ε 派生。那么Ker(d)就是A级的子代数；如果A承认单位元，则它属于到Ker(d)。 ↩ 3 066J
推论令d₁和d₂是同一次数δ从A到E的两个ε派生。如果d₁和d₂在代数A的生成的系统的每个元素取相同的值，则d₁ = d₂。 ↩ 1 066K
命题 4 令 d : A → E 为次数 δ 的 ε 派生。假设 A 具有单位元 1，并令 x 为 A 的齐次元素，且 A 中有逆x⁻¹。则 066L
命题 5 假设A为整环，令L为分数的域。 A 的每个推导到向量空间 E 超过 L（视为 A 模块）都可以唯一地扩展到 L 到 E 的推导。 ↩ 2 066M
命题 6 假设 A 是单位关联分级 K-代数，E 是分级 (A, A) 双模。如果 d : A → E 是次数 δ 的 ε 导数，则对于 A 的齐次元素的每个有限序列 (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n，分别对应次数 ξᵢ (1 ≤ i ≤ n), d(x₁ x₂ … xₙ) = ∑ᵢ₌₁ⁿ ε_δ, ξ₁ + ⋯ + ξᵢ₋₁ x₁ ⋯ xᵢ₋₁ (dxᵢ) xᵢ₊₁ ⋯… ↩ 1 066N
推论假设A是单位交换结合律代数，E是A模。如果 d : A → E 是推导，那么对于每个整数 n ≥ 0， d(xⁿ) = nxⁿ⁻¹(dx) for all x ∈ A. 给予 A 简单的毕业并应用 (21) 就足够了，所有 xᵢ 等于 x。 066O
命题 7 假设 A 是分级的单位结合律代数，而 E 是分级的 (A, A) 双模。令d : A → E是次数δ的ε衍生，a是次数α的Z_ε的齐次元素。那么映射 x ↦ a(dx) 是次数 δ + α 的 ε 派生。 ↩ 1 066P
命题 8 让 A 成为分级的 K-代数。 066Q
推论令 A 为关联分级代数。对于两个齐次元素, a, b 或 A, [ad_ε(a), ad_ε(b)]_ε = ad_ε([a, b]_ε). (25) 066R
命题 9 令A, B为两个分级的K-代数，E为(A, A)-双模，F为分级的(B, B)-双模；设ρ : A → B为代数同态的分级代数同态，θ : E → F为A双模的分级A同态（相对于ρ），次数0。则： ↩ 6 066S
推论设S为代数A中的生成的系统。在阶和d' ∘ ρ = θ ∘ d中，d'(ρ(x)) = θ(d(x))对于所有x ∈ S来说是必要且充分的。 ↩ 1 066T
命题 10 在命题 9 的条件下，对于B和ρ^*(F)上的左（右）A模块结构，ε-导数d' : B → F为A线性，有必要且充分d' 是零，位于 B 的子代数 ρ(A)。 ↩ 1 066U
命题 11 在上面的条件下，有正合序列个K-同态 0 → D_B(C, G) xrightarrowu D_A(C, G) xrightarrowv D_A(B, G) 其中 u 为典范嵌入，v 同态 d ↦ d ∘ σ (命题 9)。 ↩ 2 066V
命题 12 对于次数δ的分级K-线性映射f : A → E作为ε推导，A到A ⊕ E(δ)的映射x ↦ (x, f(x))是分级的K-代数同态是必要且充分的。 ↩ 1 066W
命题 13 为了使代数 A ⊕ E(δ) 结合且单位，A 结合且单位，并且 E (A, A) 双模结构上的映射 (a, x) ↦ a.x 和 (a, x) ↦ x.a 定义是充分必要的； A ⊕ E(δ) 的单位元则为 (1, 0)。 ↩ 1 066X
命题 14 令A为交换环，M为A模，B为A代数T(M)（分别为S(M)，分别为Λ(M)）和E (B, B)-双模。令d₀ : A → E为环A的推导进入A-模块E和d₁ : M → E加法群同态，这样，对于所有a ∈ A和所有x ∈ M， ↩ 2 066Y
推论令M为型Δ的分级K模； K-代数T(M)、S(M)和bigwedge(M)的相应的分度为型Δ' = Δ × Z（§ 5、no. 5、命题7、§ 6、 no. 6、命题 10 和 § 7、no. 7、命题 11）。另一方面，M 的分级为型 Δ'，使得所有 α ∈ Δ 为 M_α, 1 = M_α，α ∈ Δ 和 n ≠ 1 为 M_α, n = 0。令 ε'… ↩ 1 066Z
命题 15 如果M是有限秩n的自由K模块，那么，对于M的每个自同态s，推导Dₛ的限制到Λⁿ(M)是位似比率 Tr(s). 0670
命题 16 令A为可交换的K-代数，Mᵢ (1 ≤ i ≤ n)和PA-模，以及HA的A-模-M₁ × M₂ × ⋯ × Mₙ到P的多线性映射。假设有给定代数 A 的 K 导数 d₀ : A → A，对于每个 i，K-线性映射 dᵢ : Mᵢ → Mᵢ 和 K-线性映射 D : P → P，因此，对于 1 ≤ i ≤ n，(d₀, dᵢ, dᵢ) 是 (A, Mᵢ, M… ↩ 1 0671
例 (3) 应用命题 16 到情况n = 1、M₁ = M、P = A，然后是H = M^*，M 的对偶，可以看出，对于(A, M, M) 的 K 导数(d₀, d, d') 可以导出以下的 K 导数(d₀, d^*, d^*) (A, M^*, M^*) 这样 ↩ 1 0672
引理 1 映射δ_A : x ↦ x ⊗ 1 - 1 ⊗ x是A到I的K衍生，并且I是由像生成δ_A作为左A模块。 ↩ 2 0673
命题 17 推导 δ_A 具有以下泛性质：对于每个(A, A)-双模E和每个K-推导d : A → E，存在且仅有一个(A, A)-双模同态 f : I → E使得d = f ∘ δ_A。 ↩ 1 0674
命题 18 令 A 为可交换的 K 代数，而 𝔍 为满射典范同态 m : A ⊗_K A → A 的理想核，因此 A 同构于 (A ⊗_K A)/𝔍 并且 𝔍/𝔍² 具有规范的A-模块结构。令d_A/K : A → I/I²为K线性映射，与x ⊗ 1 - 1 ⊗ x模𝔍²的每个x ∈ A类相关联。映射 d_A/K 是K-导数，并且对于每个A-模块E 和每个K-导数D… ↩ 2 0675
例设M为K-模；从 no. 9 的命题 14 可以得出，对于每个 S(M)-模 E，映射 D ↦ D M 定义 DK(S(M), E) 的 S(M) 模同构到 HomK(M, E)；另一方面，由于 E 是 S(M) 模，因此 HomK(M, E) 规范地同构于 0676
命题 19 让 0677
命题 20 假设 A' = A ⊗_K K'、η': K' → A' 和 u: A → A' 典范同态。然后是A'-线性映射 ↩ 1 0678
命题 21 序列 / B-线性映射 ↩ 1 0679
命题 22 令𝔍为交换K-代数A、B = A/𝔍和u : A → B典范同态的理想。序列 / B-线性映射 ↩ 2 067A
命题 23 设A是K-代数的积分，B是分数的域，u：A→B典范嵌入。则 Ω0(u): ΩK(A) ⊗A B → ΩK(B) 为同构。 067B

§ 11. 。余代数、乘积多重线性形式、内部乘积和对偶

定义 1 A 上的余数 a（或 A-余数，或者如果不会引起混淆，则简称为余数 a）是集合 E，其中结构定义为： (1) E 上A-模结构； (2) A-线性映射 c: E → E ⊗A E 称为 E 的余积。 067H
定义 2 给定两个余代数 E，E'，其余积分别用c和c'表示，E到E'的态射是A-线性映射 u: E → E'，使得 (1) (u ⊗ u) ∘ c = c' ∘ u,在其他字中，它使得A-线性映射可交换图表 ↩ 1 067I
例 (1) 典范同构 A → A ⊗_A A (II, § 3, no. 5) 定义 A 上的 A 代数结构。 ↩ 1 067J
例 (9) 上述定义的余代数、T(M)、S(M)、Λ(M)分级为余代数，为直接的。 ↩ 1 067K
例 (1) 取E为分级余数T(M)(no. 1)，并假设N、N'、N''具有平凡的分级。将次数的同态、T(M)的-p分级为N（分别为N'、N''），然后将对应分级为Mᵖ的多线性映射为N（分别为N'、 N''）。给定一个多线性映射 u : Mᵖ → N 和一个多线性映射 v : M^q → N'，上面的方法允许我们推导出一个多线性映射 m(u, v) : M^p+… 067L
注假设Eₚ是有限生成的射影A模块，因此可以规范地识别分级的A模块(E ⊗_A E)^*gr和E^*gr ⊗_A E^*gr（II, § 4, no. 4，推论1到命题4）。如果A-模块A ⊗_A A和A也被规范地识别（II, § 3, no. 4），线性映射E^*gr ⊗_A E^*gr → E^*gr，其中E^*gr中的定义乘法可以称为分级的转置余积c。 067M
命题 1 令 E 大于A 余代数。在阶中，对于每个结合律 A-代数 B，A-代数 Hom_A(E, B) 都是结合律，余积 c : E → E ⊗_A E 满足图表是充分必要的 ↩ 1 067N
例 (4)立即验证余代数A(no. 1,例(1))余代数A^(X)(no. 1,例4)和余代数T(M)(no. 1, 例 5) 是共联想的。如果 B 是结合性 A-代数，它是有限生成的射影 A-模，则余代数 B^* (no. 1, 例 3) 是共结合的：对于交换律 of 图表 (12) 则如下通过从图表转置，表达B（§ 1, no. 3）的结合性。相反，相同的论… ↩ 1 067O
命题 2 设 E 大于 A 余代数。在阶中，对于每个可交换的 A-代数 B，A-代数 Hom_A(E, B) 是可交换的，余积 c : E → E ⊗_A E 满足图表是充分必要的 ↩ 2 067P
例 (5) It is immediate that the cogebra A (no. 1, Example 1) and the cogebra A^(X) (II, § 11, no. 1, Example 4) are cocommutative. 由no. 1的公式(5)可知余代数S(M)是互交换的。最后，对于 A-代数 B 使得 A-模 B 是射… ↩ 5 067Q
命题 3 设 E 在 A 上余代数。在阶中，对于每个单位A-代数 B，A-代数 Hom_A(E, B) 是单位，在 E 上存在线性形式 γ 是充分必要的，呈现可交换的图表 ↩ 1 067R
例 (6) 恒等映射是余代数A中的余单位；在余代数 A^(X) (no. 1, 例 4) 线性形式 γ，使得所有x ∈ X的γ(eₓ) = 1为余单位。在余代数 T(M)（分别为 S(M)、Λ(M)）线性形式 γ，使得 γ(1) = 1 和 γ(z) = 0 对于 z 在 Tⁿ(M)（分别为 Sⁿ(M)、Λⁿ(M)） n ≥ 1 是余单位。最后，令 B 为 A-… ↩ 3 067S
命题 4 设E为余代数，承认余单位γ，并假设E中存在元素 e，使得γ(e) = 1；则 E 是子 A 模块 Ae 的直和和 E_γ = Ker(γ) 和 ↩ 2 067T
注令 C 为单位共联想 A 余代数，B 为单位联想 A-代数，M 左B-模。 B × M 到 M 定义的 A 双线性映射 (b, m) ↦ bm A 双线性映射 Hom_A(C, B) × Hom_A(C, M) → Hom_A(C, M) 通过本号开头描述的一般程序。立即验证，这个映射定义在Hom_A(C, M)左模结构超过了环Hom_A(C, B)。 067U
命题 5 (i) 令 E 为余代数录取余单位 γ；那么 γ 是次数 0 的齐次线性形式。 ↩ 2 067V
命题 6 令 E 为 A 上的分级余代数。在阶中，对于每个可交换的 A-代数 B，通过平凡的毕业，型 Z Homgr_A(E, B) (no. 2) 的分级 A-代数是反交换的 (§ 4, no. 9，定义 7)，如果 σ_g 表示 A-模 E ⊗_A E 中的自同构，则满足 ↩ 1 067W
例紧随no. 1的公式 (8)，对于每A-模 M，分级的余代数bigwedge(M)是反交换的。 067X
定义 3 环 A 上的分级 Bigebra（或倾斜分级 Bigebra）为集合 E，分级 A-代数结构为型 N，分级 A-cogebra 结构为型 N，具有相同的标的评级 A-模结构，因此： ↩ 4 067Y
例 (1) 令 S 为具有单位元素 u 的幺半群，使得 A 上的幺半群 S 的代数 E = A^(S) 承认单位元 eᵤ (§ 2, no. 6)；另一方面，E 具有规范的共关联共交换 A-代数结构，其中余单位 γ 使得 γ(eₛ) = 1 对于所有 s ∈ S (no. 1、例 4 和 no. 2、例 4， 5 和 6)。公式c(eₛ) = eₛ ⊗ eₛ给… 067Z
注如果 M 是 A-模，使得 M ⊗_A M ≠ 0，则 T(M) 上的分级 A-代数 (§ 5, no. 1) 和分级 A-余数 (no. 1, 例 5) 结构不要定义大数数结构，对于一般情况 0680
引理 1 (i) 在结合律代数 E^* = Hom_A(E, A) 中，次数 1 的 n 元素 u₁, u₂, …, uₙ 的乘积由下式给出 u₁ u₂ … uₙ = mₙ ∘ (u₁ ⊗ u₂ ⊗ ⋯ ⊗ uₙ) ∘ cₙ. (ii) 还假设余代数 E 已评分。然后，在分级联想代数E^*gr = Homgr_A(E, A)中，次数1的n元素u₁, u₂, …, uₙ… 0681
命题 7 设 M 为有限生成的射影 A-模。那么典范同态 θ_T : T(M^*) → T(M)^*gr 和 θ_Λ : bigwedge(M^*) → (bigwedge(M)^*gr)⁰ 是双射的。此外，分级对偶 bigwedge(M)^*gr 等于 A-模 bigwedge(M) 的对偶 bigwedge(M)^*。 ↩ 4 0682
引理 2 让 ↩ 1 0683
命题 8 假设环A是有理数的代数大于域Q；那么，对于每个有限生成的射影A-模M，同态 ↩ 2 0684
注令M为A模块，ρ : A → B交换环同态。那么有分级 B-代数同态的交换图表 0685
例特别地，当E是代数T(M)、S(M)或A-模M和P A-模的分级代数T(M)、S(M)或bigwedge(M)之一时，可以应用以上内容（具有普通分级）。为了显式地找到由此获得的双模结构，HomgrA(T(M), P)（分别为HomgrA(S(M), P)、分别为HomgrA(bigwedge(M), P)）的次数 -n的注和元素用n线性映射（分别为。 Mⁿ… 0686
例特别地，当E是余代数T(M)、S(M)或对于A-模M(no. 1、例5、6和7)的Λ(M)之一时，可以应用以上内容。为了明确地找到由此获得的双模结构，我们再次认同T(M)^*gr（分别S(M)^*gr，Λ(M)^*gr）中次数n的齐次元素f，具有n线性形式（分别对称n线性形式，分别交错的n线性形式，也称为 Mⁿ 上的n-形式)。表达乘积就足够了 0687
命题 9 令E为分级bigebra（分别为倾斜分级bigebra）。对于 E 中次数 1 的每个元素 x，内部乘积与 x 的左、右内部乘积分别是代数的推导（反推导）（§ 10、no. 2） E^*gr. ↩ 1 0688
注 (1) 令E为A和N, N', N''三个分级A模的分级大数。设m是N × N'到N''的A双线性映射；对于u ∈ Homgr_A(E, N)和v ∈ Homgr_A(E, N')，让u.v表示将E分级为N''的同态m ∘ (u ⊗ v) ∘ c。另一方面，让i(x)表示A-模块Homgr_A(E, N)、Homgr_A(E, N')和Homgr_A(E… 0689
命题 10 令E为分级bigebra（分别为倾斜分级bigebra）。对于 E^*gr 中次数 1 的每个元素 f，左和右内部乘积是代数 E 的推导（或反导数）。 068A
例命题 9 和 10 特别适用于分级 bigebra S(M) 和倾斜分级 bigebra Λ(M)。 S(M)（或S(M)^*gr）中的内部乘积乘以次数1的元素是推导，它可与1另一个交换，因为S(M)（或S(M)^*gr）是可交换的。 068B
命题 11 典范同态 θ_T : T(M^*) → T(M)^*gr（分别θ_S : S(M) → S(M)^*gr，分别θ_Λ : Λ(M^*) → Λ(M)^*gr）是右 T(M)-模（分别右 S(M)-模，分别左 Λ(M)-模）同态. ↩ 2 068C
注给出基 (eᵢ)_1 ≤ i ≤ n 允许我们用多项式代数 A[X₁, …, Xₙ] (§ 6, no. 6) 来计算认同代数 S(M)；公式(75)表明内部乘积除以e^*α只是微分算子D^α = D₁^α₁D₂^α₂… Dₙ^αₙ，其中Dᵢ = ∂/∂ Xᵢ对应1 ≤ i ≤ n（§ 10, no. 11，例）。 068D
命题 12 设M为维数n中的自由A-模；令e ∈ ∧ⁿ(M)为元素，形成∧ⁿ(M)的基，并令e^*为∧ⁿ(M^*)的元素，使得(-1)^n(n-1)/2 θ_∧(e^*)为(∧ⁿ(M))^*中e的对偶基。令φ : ∧(M^*) → ∧(M)为映射z ↦ z ∧ e^*和φ' : ∧(M^*) → ∧(M)映射z^* ↦ z^* ∧ e。令φₚ（分别φ'ₚ）为φ（分别φ'… ↩ 2 068E
命题 13 假设记号为命题11，每自同态g为A-模M。 ↩ 2 068F
推出每自同构克E， (80) Λ^(tg⁻¹) = (det g)⁻¹φ ∘ (Λ(g)) ∘ φ⁻¹. ↩ 1 068G
命题 14 (i) M_z在E^*中的正交是x^* ∈ E^*的集合使得x^* ⊥ z = 0。 068H
命题 15 令E为维数n的向量空间，并令e为∧ⁿ(E)的元素≠ 0（因此形成此向量空间的基）。令 φ : ∧(E) → ∧(E^*) 为与 e (no. 11, 命题 12) 关联的向量空间同构。如果 z 是 ∧ᵖ(E) 的纯元素，则 φ(z) 是 ∧ⁿ⁻ᵖ(E^*) 的纯元素，并且与 z 相关联的子空间和 φ(z) 是正交的。 ↩ 1 068I
推论如果 E 为维数 n，则每个非零 (n-1) 向量 E 都是纯向量。 068J
命题 16 为了使 bigwedgeᵖ(E) 中的元素 z ≠ 0 是纯净的，对于所有 u^* ∈ bigwedgeᵖ⁻¹(E^*) 是必要且充分的， 068K

App. 0. 附录

引理 1 对于代数F中的所有p, q, r, s， 069A
命题 1 对于 A-代数 F，以下条件是等效的： (a) 对于元素 x, y F 的每个有序对，x 和 y 生成的子代数是关联的。 (b) 三线性映射 (x, y, z) ↦ a(x, y, z) 为交错的 (§ 7, no. 3)。 (c) 对于元素 x, y 中的每有序对，F、x²y = x(xy) 和 yx² = (yx)x。 ↩ 4 069B
引理 2 令E为A-代数，使得映射(x, y, z) ↦ a(x, y, z)为交错的，E的S生成的系统和U的子A模E 包含 S 使得sU ⊂ U 和Us ⊂ U 对于所有s ∈ S。然后U = E. ↩ 1 069C
引理 3 假设映射a为交错的。如果H是F的强关联子集，则H生成的F的子代数是强关联的。 ↩ 1 069D
引理 4 假设映射a为交错的。那么，对于所有x ∈ F，x生成的F的子代数是强关联的。 ↩ 1 069E
引理 5 假设映射a是交错的，并让X, Y是F的两个强关联子代数。那么X ∪ Y生成的E的子代数是结合律。 069F
定义 1 如果代数F满足命题1的等价条件，则称为替代。 069G
命题 2 设 A 为环、F 凯莱 A 代数，e 为单位元、s : x ↦ overlinex 共轭，N : F → A 为凯莱范数 (§ 3, no. 4)。 ↩ 2 069H
命题 3 设 E 为 A 的 Cayley A-代数、γ 元素，F 为由 γ 和 E 的共轭定义的 E 的 Cayley 扩张 (§ 2, no. 5、命题 5)。对于 F 是可替代的，E 是结合的是必要且充分的。 ↩ 2 069I
命题 4 令F为型(-1, 0, -1, -1)超过A的八元数代数。在域上存在维数 3个向量空间V，其中两个元素Z/2Z和V的双射λ ↦ e'_λ到基(eᵢ)_0 ≤ i ≤ 7，使得 e'₀ = e₀, e'_λ e'_μ = ± e'_λ + μ 适用于V中的所有λ, μ。在阶和e'_λ (e'_μ e'_ν) = (e'_λ e_μ) e'_ν中，在V中，λ… 069J
注作为 bare'_λ = -e'_λ 对应 λ ≠ 0， 069K

IV. 多项式和有理分式

§ 1. 。多项式

命题 1 令u和v为两个多项式。 069O
命题 2 设a = (aᵢ)_i ∈ I，是元素和A的家庭，并设u ∈ A[X]。如果v是每个i ∈ I用Xᵢ + aᵢ代替Xᵢ得到的多项式，则v的常数项等于u(a)。 ↩ 1 069P
推论 1 令m为多项式u ∈ A[X]的理想，使得u(a) = 0。然后 m 由多项式 Xᵢ - aᵢ 生成（对于 i ∈ I）。 ↩ 1 069Q
推论 2 令 X = (Xᵢ)_i ∈ I 和 Y = (Yᵢ)_i ∈ I 为两个不定族。多项式 u ∈ A[X,Y] 的集合使得 u(X,X) = 0 是由多项式 Xᵢ - Yᵢ 生成的 A[X,Y] 的理想值（对于 i ∈ I）。 069R
命题 3 令u ∈ A[X]和X.Z为多项式环A[X][Z]的元素的家庭(XᵢZ)_i ∈ I。对于每个正整数 k，u(X.Z) 中Zᵏ 的系数是 u 次数 k 的齐次分量。 069S
推论对于 u ∈ A[X] 为次数 k 齐次的多项式，满足以下条件是充分必要的： 069T
注 — 令 x ∈ Aᴵ 并令 f 为 A[X] 的映射 u ↦ u(x) 到 A。给定一个A-模块M，我们将M[X] = M ⊗_A A[X]的同态1 ⊗ f考虑为M ⊗_A A = M。对于每个v ∈ M[X]，我们有(1 ⊗ f)(v) = v(x)。如果v = ∑_ν ∈ N⁽ᴵ⁾ e_ν X^ν，则v(x) = ∑_ν ∈ N⁽ᴵ⁾ x^ν e_ν。 069U
命题 4 设E是结合律、交换律和单位A-代数，x = (xᵢ)_i ∈ IE的元素族，A[(Xᵢ)_i ∈ I]和y = u(x)的u元素。然后，对于 E 的每个推导 D 到 E 模块，我们有 Dy = ∑_i ∈ I (Dᵢ u)(x) · Dxᵢ . ↩ 1 069V
推论 — 让f ∈ A[X₁, ..., Xₚ]和gᵢ ∈ A[Y₁, ..., Y_q]代表1 ≤ i ≤ p，并写出h = f(g₁, ..., gₚ)，那么对于1 ≤ j ≤ q我们有 069W
命题 5 — 对于任何 u ∈ A[X] 和 ν ∈ N⁽ᴵ⁾ 我们有 ↩ 1 069X
命题 6 (*《欧拉恒等式》*) — 令 u ∈ A[X] 为次数 r 的齐次多项式；我们有 069Y
命题 7 — 令 f ∈ A[X] 为不定的非零多项式，a 为其首项系数。如果 a 在 A 中是可取消的（特别是当且仅当），那么对于 A[X] 的任何非零元素'g， ↩ 4 069Z
命题 8 — 如果 A 为整环，则 A[(Xᵢ)_i ∈ I] 也为。 ↩ 3 06A0
推论 1 — 如果 A 是整环，且 u, v 是 A[(Xᵢ)_i ∈ I] 中的元素，则 deg(uv) = deg u + deg v。 ↩ 1 06A1
推论 2 — 如果 A 为整环，则 A[(Xᵢ)_i ∈ I] 的可逆元为 A 的可逆元。 06A2
命题 9 — 令u ∈ A[(Xᵢ)_i ∈ I]；那么，要使 u 在环 A[(Xᵢ)_i ∈ I] 中幂零，其所有系数在环 A 中幂零是必要且充分的。 06A3
注令u和v为A[(Xᵢ)ᵢ ∈ ,]的元素，并假设A为整环，v为u的非零倍数且v是齐次的；那么 u 也是齐次的。让u' ∈ A[(Xᵢ)ᵢ ,₁]使得v = uu'；我们有 u ≠ 0，u' ≠ 0，如果 u = uₕ + uₕ₊₁ + ⋯ + uₖ \\ u' = u_h' + u_h'+1 + ⋯ + u_k' 将u和u'的分解分解为齐次分量，其中uₕ ≠… 06A4
命题 10 令f和g分别为非零元素、次数、m和n的A[X]。设α₀为f和μ = sup(n - m + 1, 0)的首项系数。存在 u, v ∈ A[X] 这样 α₀^μ g = uf + v, deg v < m. 如果α₀在A中可取消，则u和v由这些属性唯一确定。 ↩ 1 06A5
推论（多项式的“欧几里得除法”） — 令 f 为 A[X] 的非零元素，其前导系数可逆且m = deg f。 (i) 对于每个 g ∈ A[X] 都存在 u,\ v ∈ A[X] 这样那个 g = uf + v , deg v < m . 而且，这些条件确定u和v是独一无二的。 (ii) A[X]的子A模块A + AX + … + AXᵐ⁻¹和fA[X]是A[X]的补充。 (iii) 假设f… 06A6
命题 11 — 令 K 为可交换的域。 (i) 对于 K[X] 的每个非零理想 a，在 K[X] 中恰好存在一个单调首一多项式 f，使得 a = (f )。 (ii) 设f₁和f₂在K[X]中；对于 (f₁) = (f₂) 来说，存在 K 的非零元素 λ 使得 f₂ = λ f₁ 成立是必要且充分的。让我们证明(ii)，所述条件的充分性是明确的。 f₁ 和 f₂ 生… ↩ 1 06A7
命题 12 令K为交换域和f, g两个元素K[X]。对于 K[X] 中的每个多项式 d，以下属性是等效的： ↩ 3 06A8
定义 1 根据第 12 条提案的记号，我们说 d 是 f 和 g 的最大的公共的除子（简称 gcd）。我们说f和g互质，或者如果1是f和g的gcd，则f与g互质。 06A9
推论 1 令d为f和g的gcd，并且K'交换域包含K为子域。那么d是f的gcd，g被视为K'[X]的元素。 06AA
推论 2 — 设 d 为 gcd，g。 (i) 如果u ∈ K[X]，du 是 fu 和 gu 的 gcd。 (ii) 如果v ∈ K[X]是f和g的除子(≠ 0)，则d/v是f/v和g/v的gcd。这是根据第 12 号提案 (ii) 得出的。 ↩ 2 06AB
推论 3 — 令 w 为 f 和 g 的公共的因子。对于 w 是 gcd off 和 g，f/w 和 g/w 互质是充分必要的。这是从 Cor 得出的。 2. 06AC
推论 4 — 让f, g, h ∈ K[X]。如果 f 除 gh 且与 g 互质，则 f 除 h。对于 f 除 gh 和 fh，因此 f 除 gh 和 fh 的每个 gcd，特别是 h（Cor. 2, (i)）。 06AD
推论 5 — 让f, g ∈ K[X]。为了使 g 互质，K[X]/(f) 中 g 的典范像可逆是必要且充分的。对于这个条件意味着存在u, v ∈ K[X]使得uf + vg = 1。 06AE
推论 6 — 让f, g₁, g₂, ..., gₙ ∈ K[X]。如果 f 与 g₁, g₂, ..., gₙ 互质，则 f 与 g₁g₂...gₙ 互质。 06AF
定义 2 — 令 K 为交换域。如果 deg f ≥ 1 且 f 不能被任何多项式 g 整除，使得 0 < deg g < deg f ，我们说 f ∈ K[X] 是不可约的。同样，deg f ≥ 1和K[X]中f的唯一除子是f的标量≠ 0和乘积乘以标量≠ 0。由于关系 (f) ⊂ (g) 意味着 g 除 f，我们看到 K[X] 的不可约多项式也可以定义为多项式 f… 06AG
命题 13 — 令 I 为 K[X] 中不可约单调多项式的集合。令 f 为 K[X] 的非零元素及其首项系数；那么恰好存在正整数 (vₚ)_p ∈ S 和有限支撑的族，这样我们就有分解 06AH

§ 2. 。多项式的零

命题 1 — 设 f ∈ A[X] 和 α ∈ A。 f除以X - α的余数为f(α)。为了使α成为f的根，X - α应该是A[X]中的f的除子是充分必要的。 ↩ 2 06AO
命题 2 — 令f ∈ A[X]、a ∈ A，并令h为整数≥ 0。以下条件是等效的： (i) f 能被 (X - α)ʰ整除，但不能被 (X - α)ʰ⁻¹整除； (ii) 存在g ∈ A[X]使得f = (X - α)ʰ g和g(a) ≠ 0。 (i) ⇒ (ii) 立即由提案 1 得出。 (ii) ⇒ (i) ：假设f = (X - α)ʰ g，其中g不承认a为根… ↩ 2 06AP
命题 3 — 令f为A[X]和a ∈ A的非零元素。提案 2 中仅存在一个整数 h ≥ 0 满足条件 (i) 和 (ii)。对于条件 (i) 来说这是很清楚的，记住 iff 可被 (X - α)ʰ整除，然后被deg f ≥ h整除（IV，p. 9，命题 7）。 06AQ
定义 1 — 对于上面的记号，我们说a是阶h，或者重数h相对于f。如果h > 0我们也说a是阶h或重数h的根。阶 1 的根称为简单的根，阶 2 的根双根，... 阶> 1的根据说是倍数。 ↩ 1 06AR
注 1 如果f = 0我们同意说a相对于f有阶≥ h，无论a ∈ A和整数h ≥ 0。对于任何f ∈ A[X]和a ∈ A，说a相对于f有阶≥ h意味着(X - α)ʰ除f。 06AS
注 2 令B为交换环包含A为子环。令f ∈ A[X]非零且a ∈ A。无论我们将f视为B[X]的元素还是A[X]的元素，a的阶相对于f都是相同的。这从命题 2 的条件(ii)中可以清楚地看出。 06AT
命题 4 — 令 f 和 g 为 A[X] 的非零元素。令a ∈ A，并令a相对于f和g的阶分别为p和q。 (i) a相对于f + g的阶为≥ inf(p, q)。如果p ≠ q，则等于inf(p, q)。 (ii) a相对于fg的阶为≥ p + q。如果 A 是整环，则它等于 p + q。 ↩ 1 06AU
命题 5 假设A是整环。令f为A[X]的非零元素，且α₁, …, αₚ为A、阶k₁, …, kᵣ中f的成对不同根。我们有 ↩ 3 06AV
定理 1 设A为整环。给定 A[X]、次数 n 的非零元素 f，则 A 中所有根中的阶的和为 ≤ n。 ↩ 2 06AW
推论假设A是整环，并让f, g ∈ A[X]为次数≤ n。如果A存在n + 1成对不同的元素x₁, …, xₙ₊₁，使得f(xᵢ) = g(xᵢ)对应于1 ≤ i ≤ n + 1，则f = g。 ↩ 1 06AX
命题 6（拉格朗日插值公式） — 令K为交换域，α₁, α₂, …, a,不同于K的元素，以及β₁, β₂, …, βₙK的任何元素。对于i = 1, 2, …, n，我们输入 ↩ 2 06AY
推论 — 假设 A 是整环。令次数< n中的f ∈ A[X]，并令K为A中的子环，即域。如果A存在n不同的元素α₁, …, aₙ，使得αᵢ ∈ K和f(αᵢ) ∈ K对于i = 1, …, n，则f ∈ K[X]。 06AZ
命题 7 — 令 f ∈ A[X] 且令 a ∈ A 为根关：为了使 a 成为简单的根关，a 不应该是 f 的导数 Df 的根是充分必要的。 ↩ 3 06B0
命题 8 — 设f ∈ A[X]和a ∈ A，并假设a相对于f有阶k ≥ 1：则a相对于Df有阶≥ k - 1。如果k . 1在A中可取消，则a相对于Df有阶k - 1。 ↩ 2 06B1
推论 — 设f ∈ A[X]、a ∈ A、p整数≥ 0，进一步假设p! . 1在A中可取消。那么，为了使a成为阶的根、f的p，a应该是f, Df, ..., Dᵖ⁻¹f的根而不是Dᵖf的根是充分必要的。 06B2
命题 9 — 假设 A 为整环。令I为集合，(Hᵢ)_i ∈ I由A和H = ∏_i ∈ I Hᵢ ⊂ A'组成的无限子集族。 Iff 是 A[(Xᵢ)_i ∈ I] 的非零元素，以及所有 x ∈ H 的 H_f 集合，使得 f(x) ≠ 0，则 H 和 H_f 等价。 ↩ 3 06B3
推论 1 — 我们保留命题 9 的假设和记号。如果 l 非空，则 H_f 是无限的。 06B4
推论 2 — 假设 A 是无限整环或 A 是无限域上的代数。对于每个 f ∈ A[(Xᵢ)_i ∈ I]，令 tildef: Aᴵ → A 为由 f (IV, p. 4) 定义的多项式函数。那么映射 f ↦ tildef 是单射的。 ↩ 4 06B5
定理 2（代数恒等式扩张原理） — 假设 A 是无穷大整环。令 g₁, …, gₘ, f 为元素 / A[(Xᵢ)_i ∈ I] 并假设以下假设： ↩ 4 06B6
学院 — 令 A 为整环和 f ∈ A[(Xᵢ)_i ∈ I]。 Th。 2 提供了证明到 f = 0 的便捷方式。将无限整环 E 包含 A 视为子环就足够了；如果我们可以证明对于所有(xᵢ) ∈ Eᴵ（或者甚至对于那些给定非零多项式的有限数不会消失的(xᵢ) ∈ Eᴵ），f((xᵢ)) = 0，那么可以得出f = 0。如果A本身不是无限的，我们可以对例取E为环A… 06B7

§ 3. 。有理分式

定义 1 设 K 为交换域和 I 集合。 The field of fractions (I, p. 116) of the integral domain K[(Xᵢ)_i ∈ I] is denoted by K((Xᵢ)_i ∈ I) or K(Xᵢ)_i ∈ I. 它的元素在不定式 Xᵢ 中称为有理分式，系数为 K。 06BL
命题 1 — 设 r、s 为两个有理分式。 06BM
命题 2 设 K 为交换域，E 为单位结合律 K-代数，x = (xᵢ)_i ∈ I E 的成对可置换元素系列。f ∈ K((Xᵢ)_i ∈ I) 的集合 Sₓ⁻¹B，使得 x 可在 f 的 K-子代数中替换K((Xᵢ)_i ∈ I)。映射 f ↦ f(x) 是 Sₓ⁻¹B 到 E 中的单位同态 φ。像 φ(Sₓ⁻¹B) 是所有 yz⁻¹ 的集合，其中 y 运行生… ↩ 2 06BN
推论设L为交换域，L的K子域，x = (xᵢ)_i ∈ IL的元素，xᵢ的M集合由……组成，所有的U集合 f ∈ K((Xᵢ)_i ∈ I)使得x可以将U的f和φ同态f ↦ f(x)替换为L。那么φ(U)就是KUM生成的L的子域。 06BO
命题 3 — 设 E 为 K 上的代数，它是结合律、交换律、单位且非零。令 f \in K((Xi){i \in I}) 并对于每个 i \in I，令 gi \in K((Yl){l \in L})。给定 E 的元素的族 y = (yl){l \in L}，假设 y 可代入每个 gi，并且 (gi(y)){i \in I} 可代入 f。然后： (i) (gi){i… 06BP
命题 4 — 令 E 为结合律、可交换且单位的K代数，x = (xᵢ)_i, I为E和f ∈ K((Xᵢ)_i, I)的元素族。假设x可以替代f和y = f(x)。 (i) 对于K((Xᵢ)_i, I)中的每个推导A，其中映射K[(Xᵢ)_i, I]自身，x可在Af中替换。 (ii) 对于 E 中的每个推导 D 到 E 模块，我们有 06BQ

§ 4. 。正式幂级数

引理 1 令L为无限集合，(u_λ)_λ ∈ L为A[[I]]的元素的族，并把u_λ = ∑ α_λ,ν X^ν代为λ ∈ L。那么下面的条件是等价的： (i) 族 (u_λ)_λ ∈ L 可在 A[[I]] 中求和（Gen. Top., III, p. 262）。 (ii) 我们有lim u_λ = 0，通过有限子集的补集过滤L。 (iii) 对于每个ν ∈ N⁽ᴵ… 06BY
注 — 假设 I 是有限。对于每个整数n ≥ 0，令bₙ为正式幂级数u ∈ A[[I]]的集合，使得ω(u) ≥ n。序列(bₙ)_n ≥ 0是A[[I]]中0的邻域的基本系统。因此，当且仅当对于A ∈ L的每个n ∈ N集合使得ω(u_λ) < n是有限的时，A[[I]]（λ ∈ L）的元素u_λ族是可求和的。 06BZ
命题 1 设(u_λ)_λ ∈ L和(v_μ)_μ ∈ M是A[[I]]的元素的两个可求和族。然后家庭 (u_λ v_μ)_(λ, μ) ∈ L × M 是可求和的，我们有 06C0
命题 2 设(u_λ)_λ是A[[I]]的元素的可和族。 (i) 家庭 (1 + u_λ)_λ 可乘。 (ii) 设𝔗为L的所有有限子集中的集合。对于任何 M ∈ S 放置 u_M = ∏_λ ∈ M u_λ。然后家庭 (u_M)_M ∈ 𝔗 可求和，我们有 ↩ 2 06C1
命题 3 让u = ∑ a_ν X^ν ∈ A[[I]]和m整数> 0。对于每个 n ∈ N 让 (α_ν, n)_ν ∈ N⁽ᴵ⁾ 成为 uⁿ的系数族。如果α₀ᵐ = 0，则α_ν, n = 0对于n ≥ |ν| + m。 ↩ 1 06C2
推论 — 设 u ∈ A[[I]]；那么对于 lim_n → ∞ uⁿ = 0 来说，u 的常数项是幂零的，这是充分必要的。 ↩ 1 06C3
命题 4 — 令 I 为集合且 E 是一个结合的、可交换的、单位的、线性拓扑分离的完全 A 代数。 ↩ 3 06C4
命题 5 — 在形式幂级数的环 A[[T]] 中，在一个不定式中，多项式 1 - T 是可逆的，我们有 (1 - T)⁻¹ = ∑ₙ₌₀ᵐ Tⁿ。 ↩ 3 06C5
命题 6 — 令u ∈ A[[I]]；那么要使u在A[[T]]中可逆，其常数项在A中可逆是必要且充分的。 ↩ 3 06C6
注 — 令 A 为所有形式幂级数的集合，其中常数项 1。根据第 6 条命题，M 是乘法下的交换律群；因而，A[[I]]的乘法群是M的直接乘积和A的乘法群。我们将为A配备从A[[I]]衍生的拓扑。对于IV中的每个β ∈ N⁽ᴵ⁾，p. 26定义了A[[I]]的理想a_β；那么1 + a_β是M的子群，并且族(1 + a_β')是M中1的邻域的基本系统。由于M中的乘… 06C7
注 1) 我们常说Dᵢ u是u对X的偏导数，；我们还使用记号D_xᵢ u, (∂ u)/(∂ xᵢ)和u'_xᵢ。对于单个不定X，唯一的偏导数Du（也写作du/dX或u'）称为u的导数。 0DHH
命题 7 — 令(yᵢ)_i ∈ I为E的元素族。当I无穷大时，我们假设yᵢ沿着I的有限子集的补集过滤器趋于0。那么存在A[[I]]到A[[I]]-模 E 的唯一连续A-导数D，使得D(Xᵢ) = yᵢ对于所有i ∈ I。我们有 D(u) = ∑_i ∈ I (Dᵢ u)(x) · yᵢ (u ∈ A[[I]]) . ↩ 1 06C8
推出 1 — 令 A 为 A-代数 E 的连续推导。对于每个形式幂级数 u ∈ A[[I]]，族 ((Dᵢu)(x) · Δ xᵢ)_i ∈ I 是可求和的，我们有 ↩ 3 06C9
推论 2 — 推导 Dᵢ 是 A-代数 A[[I]] 的唯一连续推导，使得 06CA
推论 3 — 令 f ∈ A[[X₁, ..., Xₛ]] 和 gᵢ ∈ A[[Y₁, ..., Y_q]] 为 1 ≤ i ≤ p。假设对于1 ≤ i ≤ p，gᵢ的常数项是零，并放入h = f(g₁, ..., gₚ)。那么对于 1 ≤ j ≤ q 我们有 ↩ 1 06CB
命题 8 — 令 X = (Xᵢ)ᵢ 为不定式的有限族。 (i) 正式幂级数 A[[X]] 的环中的每个推导都是连续的。 (ii) 以独特的方式将多项式环A[X]的推导转换为正式幂级数A[[X]]扩展的环到环A[[X]]的推导。 (iii) (Dᵢ)_i ∈ I族是A[[X]]自身的A-导数的A[[X]]模的基。令bₙ为阶≥ n的所有形式幂级数中的集合。显然，bₙ是… 06CC
命题 9 — 令 (u_λ)_λ ∈ L 为 A[[I]] 的元素的可求和族，没有常数项，并且 D 为 A-代数 A[[I]] 的连续推导。如果 f = ∏_λ ∈ L (1 + u_λ) (IV, p. 27, 命题 2)，那么族 (Du_λ/(1 + u_λ))_λ ∈ L 是可求和的，我们有 06CD
引理 2 让(gᵢ)ᵢ成为元素和阶≥ 2在A[[I]]的家庭。当I无限时，假设gᵢ沿着I的有限子集的补集过滤器趋于0。拓扑 A-代数 A[[I]] 存在且仅有一个自同构 T 使得 T(Xᵢ) = Xᵢ + gᵢ 对于所有 i ∈ I。此外， ↩ 2 06CE
命题 10 — 令 f ∈ AI；那么下面的条件是等价的： (i) 对于律 ∘，f 在 AI 中是可逆的； (ii) T_f 在环 End(A⁽ᴵ⁾) 中可逆。 ↩ 2 06CF
推论 — 设 fᵢ(Y₁, Y₂, …, Y_q, X₁, X₂, …, Xₚ) (1 ≤ i ≤ q) 为 q 正式幂级数，在 A[[Y₁, …, Y_q, X₁, …, Xₚ]] 中没有常数项。如果形式幂级数 D = det ( (∂ fᵢ)/(∂ Yⱼ) ) 的常数项在 A 中可逆，则 q 形式幂级数 u₁(X₁, …, Xₚ), …, u_q(X₁, …… 06CG
命题 11 — 假设 A 是整环。 06CH
命题 12 — 每个非零元素 u of K((X)) 可以以独特的方式写为 u = Xᵏ v，其中 k ∈ Z 和 v 是正式的幂级数 in X of 阶 0。 ↩ 1 06CI
命题 13 — 在Q[[X, Y]]，我们有e^X+Y = e^X e^Y。 ↩ 1 06CJ
命题 14 — 我们有 l(e(X)) = e(l(X)) = X。 06CK

§ 5. 。对称张量和多项式映射

定义 1 — 如果 G 是 H 中有限指标的，我们将 Mᴳ 的 Tr_H/G 映射表示为 Mᴴ 定义为 06CT
命题 1 — (i) 设 m ∈ Mᴳ 和 h ∈ H。然后 hm ∈ M^hGh⁻¹ 和 ↩ 1 06CU
命题 2 — (i) A-代数 TS(M) 是结合律、交换律和单位律。 ↩ 2 06CV
定义 2 如果x ∈ M，元素x ⊗ x ⊗ … ⊗ x的TSᵏ(M)由γₖ(x)表示。 06CW
命题 3 (i) 如果 x ∈ M，x 的第幂，计算在 TS(M)，等于 p! γₚ(x)。 (ii) 设 x₁, …, xₙ ∈ M；然后 γₚ(x₁ + x₂ + ⋯ + xₙ) = ∑_p₁ + p₂ + ⋯ + pₙ = p γ_p₁(x₁) γ_p₂(x₂) … γ_pₙ(xₙ) . (iii) 设x₁, …, xₙ ∈ M，设p₁, …, pₙ为整数ge… ↩ 5 06CX
注 1 令 (xᵢ)_i ∈ I 为 M 的元素的家庭。对于每个 ν ∈ N⁽ᴵ⁾ 放置 x_ν = ∏_i ∈ I γ_νᵢ(xᵢ). 如果 (λᵢ) ∈ A⁽¹⁾ 和 p ∈ N，那么根据命题 3 (ii)，我们有， γₚ ( ∑_i ∈ I λᵢ xᵢ ) = ∑_ν ∈ N⁽ᴵ⁾, |ν| = p λ^ν x_ν. (6) 06CY
注 2 令M为(1, p)的映射到I的集合。我们将 M 中的定义映射 ρ ↦ ρ^* 代入N⁽ᴵ⁾，将 ρ^*(i) = Card ρ⁻¹(i) ↩ 1 06CZ
命题 4 — 让 M 自由，并且 (eᵢ)_i ∈ I 基为 M。 ↩ 5 06D0
引理 1 令H为有限群，且U为左A[H]模。假设A-模块U有基B，在U中的H的运算下是稳定的，并放入Ω = B/H。对于每个 w ∈ Ω 让 u_ω = ∑_b ∈ ω b；然后 ↩ 1 06D1
命题 5 — 令M为自由的A模块，k整数≥ 0，P由γₖ(M)生成的TSᵏ(M)的子A模块。假设A是无限的整环。那么对于每个z ∈ TSᵏ(M)，都存在a ∈ A - 0，使得az ∈ P。 ↩ 1 06D2
命题 6 — 让M是一个A模块，它是(M_λ)_λ家族的直和，子模。如果每个M_λ都是自由模，那么⊗_λ ∈ L TS(M_λ)到TS(M)的典范同态就是同构。 ↩ 1 06D3
命题 7 设M为A模，将M ⊕ M的u映射(x, y) ↦ x + y分解为M和f复合映射 ↩ 2 06D4
命题 8 — 令 M 为自由A-模，则以其代数和余代数结构，TS (M) 是分级交换和共交换大数。余单位是 A-线性映射 ε : TS(M) → TS⁰(M) = A，对于 p > 0，TSᵖ(M) 是零，因此ε(1) = 1。 06D5
命题 9 — 设 M 和 N 为自由A-模，u 为 M 到 N 的 A 同态；那么TS(u)是一个大数同态。 ↩ 1 06D6
命题 10 — 令M为自由A-模，则大数TS(M)的原语元素（III，p. 602）是M的元素。 ↩ 2 06D7
命题 11 — 如果 M 是免费的，那么 φ_M 是分级 bigebras 的态射。 06D8
命题 12 — (i) 如果 u ∈ Sⁿ(M)，则 ψ_M(φ_M(u)) = n!u。 06D9
推论 1 — 如果A是Q代数，则S(M)到TS(M)的典范同态是代数同构。而且如果M是免费的，那么它就是分级bigebras的同构。 ↩ 2 06DA
推论 2 — 如果A是Q代数，则模TSⁿ(M)由TS(M)中M的元素的第n个幂生成。这是从 Cor 得出的。 1 和 S(M) 的相应的性质（III、p. 498）。 06DB
命题 13 — 令M和N为A模块，q整数geqslant 0，以及M的f映射为N。假设M是免费的，那么以下条件是等价的： (i) 存在M^q到N的q线性映射g，使得f(x) = g(x, x, …, x)对于所有x ∈ M。 (ii) TS^q(M) 存在线性映射 h 到N，使得f(x) = h(γ_q(x)) 对于所有x ∈ M。 (iii) 存在M的基(eᵢ)_i… ↩ 5 06DC
定义 3 — 令 M 和 N 为 A-模且 q 整数 ≥ 0。假设M是自由，并用M的映射的Pol_A^q(M, N)或简称Pol^q(M, N)集合表示为命题13的N满足条件。Pol^q(M, N)的元素称为M的次数q齐次多项式映射进入N。 ↩ 1 06DD
例 1 M 到 N 的次数 1 的齐次多项式映射是 M 到 N 的 A-线性映射。 06DE
例 2 令(Nᵢ)_i ∈ I是A-模、fᵢ映射到Nᵢ, i ∈ I的族，以及f : M → ∏_i ∈ I Nᵢ映射和组件fᵢ。要使 f 为次数 q 中的齐次多项式映射，每个 fᵢ 为次数 q 中的齐次多项式映射是充分必要的。 06DF
例 3 令 (Mⱼ)_j ∈ J 为自由A-模的有限族，u : ∏_j ∈ J Mⱼ → N 为多线性映射；那么 u 是次数 Card(J) 的多项式。 06DG
例 4 令(Xᵢ)_i ∈ I为不定式族，N为A模，u ∈ N[(Xᵢ)_i ∈ I]为次数q的齐次多项式。 A⁽ᴵ⁾的映射(xᵢ)_i ∈ I ↦ u((xᵢ)_i ∈ I)到N是次数q的齐次多项式映射：这可以通过第13条命题的条件(iii)立即看出。如果I是有限的，则每齐次多项式映射 A⁽ᴵ⁾ = A'的次数q变成N就是形式。 06DH
例 5 A⁽ᴺ⁾映射(xᵢ)_i ∈ N ↦ x₀² + x₁² + … + xₙ² + …入A是次数2的齐次多项式映射。如果A = 2/22，则重合和线性映射(xᵢ)_i ∈ I ↦ x₀ + x₁ + … + xₙ + … 06DI
例 6 令f ∈ Pol_A^q(M, N)，令B为交换环，B的ρ同态转化为A和M'和N'，从M和N衍生的B模块，通过ρ。假设M'是免费的；那么f ∈ Pol_B^q(M', N')：这立即来自于第 13 条提案的条件 (i)。 06DJ
命题 14 — 令M, N, P为A模块，q和r整数geqslant 0，并假设M和N是免费的。如果f ∈ Pol^q(M, N)，f' ∈ Polʳ(N, P)，则f' ∘ f ∈ Pol^qr(M, P)。 06DK
命题 15 — 令M为免费的A模块，N为A模块，q整数geqslant 0。我们假设映射y ↦ q!y是N的自同构。设f ∈ Pol^q(M, N)，则存在且仅有一个对称q-线性映射M^q到M的h，使得f(x) = h(x, x, …, x)对于所有x ∈ M。对于任意 x₁, …, x_q ∈ M 我们有 ↩ 1 06DL
命题 16 — 设 M 为 Hom (TS^q(M), N) 的自由A-模、N A-模、q 正整数和 u 典范同态到 Pol^Y(M, N)。 ↩ 2 06DM
推论 — 设 M 为 M 的自由A-模、N A-模、q 正整数、h ∈ Pol^q(M, N) 和 (eᵢ)ᵢ、基。在第 16 号提案的两个案例中，存在一个独特的族(u,、N⁽ᴵ⁾, |·|、、 N 的元素使得 h ( ∑_i ∈ I λᵢ eᵢ ) = ∑_|ν| = q λ^ν u_ν 对于所有 (λᵢ) ∈ A⁽¹⁾ ↩ 1 06DN
定义 4 — 令 M 和 N 为 A-模并假设 M 是自由的。令映射(M, N) 为 M 到 N 的所有映射中的 A-模。映射(M, N) 中的子模 ∑_q > 0 Pol_A^q(M, N) 表示为 Pol_A(M, N) 或简称为 Pol(M, N)；它的元素称为M到N的多项式映射。 ↩ 2 06DO
命题 17 — 设 M 为自由A-模，B 为结合律、交换律和单位A-代数。那么Pol_A(M, B)是代数Map(M, B)的子B代数。 06DP
命题 18 — 设 M、N、P 为 A-模，并假设 M 和 N 是自由的。如果f ∈ Pol(M, N)，g ∈ Pol(N, P)，则g ∘ f ∈ Pol(M, P)。 06DQ
引理 2 — 令 N 为 A-模，n 整数 ≥ 0 并且 ↩ 1 06DR
命题 19 — 设 M 为自由A-模，N A-模，G 为 A 的无限加法子群，并假设由 G 的非零元素定义的 N 的同位是单射的。那么 Pol(M, N) 就是 Pol^q(M, N) 的直和。 ↩ 1 06DS
推论 — 假设A是无穷大整环；设 M 为自由A-模，N 为无扭转 A 模块。 ↩ 2 06DT
命题 20 — 如果 A-模 M 是自由且有限生成的，则 0 是分级代数的同构。 ↩ 1 06DU
注 1 — 以同样的方式，我们看到，如果M是有限生成的免费A模块，那么在III、p. 593中定义的分级代数S(M)^*gr可以用TS(M^*)来标识。 ↩ 1 06DV
命题 21 — 典范同态 / A-模 (IV, p. 55) 06DW
注 — 2) 复合词同态A, = u ∘ 0 : S(M^*) → Pol_A(M, A)是代数的唯一单位同态，包括 ↩ 2 06DX

§ 6. 。对称函数

定理 1 — 让我们输入 E = A[X₁, …, Xₙ] 和 S = A[X₁, …, Xₙ]^sym。 ↩ 2 06EE
命题 1 对于正整数 k, n 的每个对，令 Sₖ⁽ⁿ⁾ 为 X₁, …, Xₙ 中所有对称多项式的 A-模由……组成，这些对称多项式是次数 k 的齐次。如果整数 m 满足0 ≤ k ≤ m ≤ n，则映射 f ↦ f (X₁, …, Xₘ, 0, …, 0) 是Sₖ⁽ⁿ⁾ 的同构到Sₖ⁽ᵐ⁾。 06EF
例 3 根据 IV、p. 64 中的例 2 和上面的命题 1，我们有 ∑ᵢ₌₁ⁿ Xᵢ³ = s_1,n³ - 3s_1,ns_2,n + 3s_3,n 对于每个整数 n ≥ 3。图表 (10) 交换律另外给出公式 X₁³ + X₂³ = s_1,2³ - 3s_1,2s_2,2, X₁³ = s_1,1³. 06EG
注 — 令 n 和 k 为两个正整数。我们用Nⁿ中长度 k 元素的Δ_k,n集合表示，并进一步装备A，，与序关系，写成a ≤ β，由Nⁿ上的词典阶诱导（集合理论、III、p. 157），以及σ ∈ 𝔖ₙ, a ∈ Nⁿ和l ≤ i ≤ n的群𝔖ₙ与(σ a)(i) = a(σ⁻¹(i))的Nⁿ的定义作用。此外，我们用元素a = (α(1), …, α(k))… 06EH
例 4 到例 3 of IV, p. 65，我们有 06EI
命题 2 — X₁, …, Xₙ中对称多项式有理分式的域是X₁, …, Xₙ中对称多项式环分数域。。 ↩ 2 06EJ
推论 — 令 s₁, s₂, …, sₙ 为 X₁, …, Xₙ 中的初等对称多项式。对于每个有理分式 g ∈ K(S₁, S₂, …, Sₙ) 序列 (s₁, s₂, …, sₙ) 都可代入 g 且映射 g ↦ g(s₁, s₂, …, sₙ) 是 K(S₁, S₂, …, Sₙ) 的同构到对称有理分式的域 X₁, …, Xₙ. 06EK
定理 2 a) 如果I是n 元素的有限集合，则φ_I诱导是A[[S₁, …, Sₙ]]的双连续同构到A[[X]]^sym。 ↩ 1 06EL
引理 1 设 J 为 I、r 整数的有限子集，使得 Card J ≥ r 和 fa 对称形式幂级数，其与 Xᵢ (i ∈ I) 中的次数 r 齐次。令barf为形式的幂级数，通过用0替换Xᵢ中I - J中的每个i而获得。如果barf = 0，那么我们就有f = 0。 ↩ 2 06EM
引理 2 令f为Xᵢ (i ∈ I)中次数r的对称形式幂级数。存在一个唯一的多项式 P ∈ B ∩ A[S]，等压于权 r，使得 f = ψ₁(P)。 ↩ 1 06EN
引理 3 对于每个整数m ≥ 0，令cₘ为阶≥ m的所有对称形式幂级数的代数A[[X]]ˢʸᵐ由……组成的理想。序列(cₘ)_m ≥ 0是A[[X]]ˢʸᵐ中0的邻域的基本系统。 06EO
引理 4 (« 牛顿关系 ») — 对于每个整数 d ≥ 1 我们有 06EP
注 — 有了上面证明的记号，我们有 06EQ
命题 3 — a) 如果 I 是有限集合，其中 n 元素并且 n! · 1 在 A 中可逆，则 λ_I 诱导 A[[P₁, …, Pₙ]] 的双连续同构到 A[[X]]^sym。 b) 如果 I 是无穷大且 A 是 Q 代数，则 λ_I 是 A[[P]] 在 A[[X]]^sym 上的双连续同构。我们将只处理a) 的情况，b) 的情况非常相似。 ↩ 1 06ER
推论 — 令ξ₁, …, ξₙ, η₁, …, ηₙ为A的元素，并假设A为整环。 06ES
命题 4 设B为A到B的交换环、ρ同态和B的ξ₁, ..., 5、元素。假设关系^ρ f(X) = ∏ᵢ₌₁ⁿ (X - ξᵢ)在B[X]中成立。那么存在且仅有一个环同态 u : E_f → B，使得ρ(a) = u(a . 1)代表所有a ∈ A，u(xᵢ) = ξᵢ代表1 ≤ i ≤ n。 06ET
命题 5 在通用分解代数E_f单项式x₁^ν(1) ... xₙ^ν(n)族中，1 ≤ i ≤ n的0 ≤ ν(i) < i是A-模E_f的基。特别地，E_f是秩n!中的自由A-模。 06EU
推论 — A 的典范同态到一元多项式 f ∈ A[X] 的通用分解代数是单射的。 ↩ 1 06EV
命题 6 — 令 f ∈ A[X] 为次数 n 的一元多项式，并令 P 为 X₁, ..., Xₙ 中的对称多项式，系数在 A 中。则恰好存在 A 的一个元素 a ，其性质如下： (FS) 对于 B[X] 中的任何环同态 ρ : A → B 和分解 ⁰f(X) = ∏ᵢ₌₁ⁿ (X - ξᵢ)，我们有 ρ(a) = P(ξ₁, ..., ξₙ)。 06EW
例 1) 如果P = sₖ，则P^*(f) = (-1)ᵏ aₖ。 \ 2) 令 g 为 A[X] 中的多项式并放入 P(X₁, ..., Xₙ) = g(X₁) ... g(Xₙ) . 那么 P^*(f) 只是结果 res(f, g)，由 Cor. 1 个IV、p. 80。 3) 代入A(X₁, ..., Xₙ) = ∏_i < j (Xᵢ - Xⱼ)²，那么… 0DHL
定义 1 对于上述记号，矩阵M(f, g, p, q)的行列式被称为次数p和q的对(f, g)的结果，或者简称为f和g的结果，如果p = deg f 和q = deg g。 06EX
例 1 给定 Λ 中的 Λ, μ，我们有公式 res_p,0(f, λ) = λᵖ, res_0,q(μ, g) = μ^q res_p,1(f, λ) = λᵖ tₚ, res_1,q(μ, g) = (-1)^q μ^q u_q, 其证明为直接的。 06EY
例 2 当p = q = 1时，我们有 res_1,1(t₁ X + t₀, u₁ X + u₀) = t₁ u₀ - t₀ u₁ 06EZ
注 1 矩阵 M(g, f, q, p) 是由 M(f, g, p, q) 通过列、从而 pq 转置获得 res_q,p(g, f) = (-1)^pq res_p,q(f, g) 06F0
注 2 设ρ : A → B为环同态。定义。 / 直接暗示公式 res_p,q(ρ f, ρ g) = ρ(res_p,q(f, g)) . 06F1
注 3 给定 A 中的 λ, μ，我们有 res_p,q(λ f, μ g) = λ^q μᵖ res_p,q(f, g) . (28) ↩ 1 06F2
注 4 假设p + q ≥ 1。由 φ 包含的III、p. 532、公式 (28)、像得到常数多项式res_p,q(f, g)。因此存在多项式 (u, v) 的对，其中 u ∈ S_q, v ∈ Sₚ 使得 res_p,q(f, g) = uf + vg , 从而 res_p,q(f, g) ∈ A ∩ (f, g) . 当 res_p,q(f, g) 在 A 中可… 06F3
注 5 假设p ≥ q，并令h ∈ A[X]为次数≤ p - q的多项式。让我们证明 res_p,q(f, g) = res_p,q(f + gh, g) . (29) 因为如果我们将(u, v) ∈ S_q × Sₚ写成ω(u, v) = (u, uh + v)，那么w就是A模块S_q × Sₚ的自同构，并且我们有 ω⁻¹(u, v) = (u, -uh + v)… 06F4
命题 7 — 假设 f 是次数 p 的一元函数；有了上面的记号我们就有了¹ res_p,q(f, g) = N_E/A(g(x)) . (30) 06F5
推论 1 — 令 f ∈ A[X] 为一元多项式；对于每个多项式 g ∈ A[X]，以下条件是等效的： (i) res(f, g) 在 A 中可逆； (ii) A[X]中存在多项式u, v使得uf + vg = 1； (iii) g(x) 在代数 A[X]/(f) 中可逆。 (i)和(iii)的等价源自III、p. 545的第3条命题和第7条命题； (ii) 和 (i… ↩ 1 06F6
推论 2 — 假设 A 为域并设 f, g ∈ A[X]，则当 f, g 非零时，以下条件等价：（一）res(f, g) ≠ 0； (ii) 首一多项式f和g在A[X]互质； \ (iii) 对于 A 的任意扩张 L，首一多项式 f 和 g 在 L 中没有公共的根。 \ 06F7
推论 3 — 对于每一个λ ∈ A，我们有 res_p,1(f, λ - X) = f(λ), res_1,q(X - λ, g) = g(λ). 当f(X) = X - λ时，代数E等于A，我们有x = A；第二个公式 (32) 现在来自第 7 号提案 (IV, p. 77)。注 1 和 3（IV、p. 76、77）我们结论 res_p,1(f, λ - X) =… 06F8
命题 8 — 假设 f 和 g 分别是次数 p 和 q 的一元函数。有了上面的记号，A-模 F 与基 (xⁱ yʲ)_0 ≤ i < p,\ 0 ≤ j < q 是自由的，我们有 ↩ 1 06F9
命题 9 — 设p₁和q₁为正整数和f₁, g₁多项式A[X]，使得deg f₁ ≤ p₁, deg g₁ ≤ q₁；那么我们有 ↩ 1 06FA
引理 5 令t为A的元素。存在交换环C包含A作为子环，C包含A的子环B，C可逆的B的元素τ并且环同态p : B → A使得p到A的p(τ) = t和限制等于Id。 06FB
推论 1 — (i) 令 λ, α₁, …, αₚ 为 A 的元素，并假设 f(X) = λ (X - α₁) … (X - αₚ)。我们有 res_p,q(f, g) = λ^q g(α₁) … g(αₚ) . (ii) 设μ, β₁, …, β_q为A的元素，并进一步假设g(X) = μ (X - β₁) … (X - β_q)。然后我们有 res_p,q(f… ↩ 2 06FC
推论 2 — 对于每一个整数 r ≥ 0 我们有 res_p,q+r(f, g) = tₚʳ · res_p,q(f, g) . 记住例 1 (IV, p. 76)，我们只需要在(35)中取q₁ = r, g₁ = 1。 06FD
例 3 让我们证明公式 res_2,2(aX² + bX + c, a'X² + b'X + c') = (ac' - ca')² + (bc' - cb')(ba' - ab') 06FE
定义 2 令f为次数m的A[X]的一元多项式，并用E表示A代数A[X]/(f)，并用X的x典范像表示E。我们将f的判别式定义写为dis(f)，作为A-代数E的基(1, x, …, xᵐ⁻¹)的判别式D_E/A(1, x, …, xᵐ⁻¹)。 ↩ 1 06FF
命题 10 让m ≥ 1。存在一个唯一的多项式 A ∈ Z[A₁, …, Aₘ] ，其性质：对于任何交换环 A 和 A[X] 中的 monic 首一多项式 f = Xᵐ + ∑ᵢ₌₁ᵐ aᵢ Xᵐ⁻ⁱ，我们有 dis(f) = Δ(a₁, …, aₘ). 此外，A 是次数 ≤ 2m-2，如果我们将权 i 分配给 Aᵢ，则 A 是权 m(m-1) 的同量异位。 a) A… 06FG
命题 11 — 设 A[X] 中的 f 为次数 ≤ m。 ↩ 2 06FH
推论 1 — 令 g ∈ A[X] 且令 n 为正整数，使得 deg g ≤ n。我们有 ↩ 1 06FI
推论 2 — 如果a₀是Xᵐ在f中的系数，我们有 ↩ 1 06FJ
推论 3 — 令 A 为域，并令 f 为 A[X] 中的非常数多项式。为了使f和Df互质，dis(f) ≠ 0是充分必要的。这是根据第 11 号提案 (iii) 和 Cor. 得出的。 2 个IV、p. 78。 06FK
注 Cor 的双重应用。上面的 2 显示，对于次数 ≤ m - 2 的每个多项式 f，我们都有 disₘ(f) = 0。 06FL
例 3 让m = 2。根据示例2 (IV, p. 81)，我们有Δ(A₁, A₂) = A₁² - 4A₂，从而 tildeΔ(A₀, A₁, A₂) = A₁² - 4A₀A₂。在其他字中，我们有 dis₂(a₀X² + a₁X + a₂) = a₁² - 4a₀a₂ . 06FM
例 4 考虑多项式 F = A₀X³ + 3A₁X² + 3A₂X + A, 系数为 Q[A₀, A₁, A₂, A₃]。我们有 DF = 3(A₀X² + 2A₁X + A₂) , F - 1/3X · DF = A₁X² + 2A₂X + A₃ . 通过公式 (54) (IV, p. 84) 和 (29) (IV, p. 77) 我们有 A₀ · dis₃(F)… 06FN

V. 交换域

§ 1. 。优质域。特征

定义 1 如果域与 Q 或域 Fₚ 之一同构，则称其为素数。 06G3
定理 1 — 令 A 为环；假设存在A中的子域。那么A有唯一的子域P，它是素数域。此外，P包含在A的中心中以及A的每个子域中。 ↩ 1 06G4
推论 1 — 令 K 为域。 K存在唯一的子域，它是素数域，并且这是K中最小的子域。 06G5
推论 2 — 要使域成为素数，它除了自身之外不应该有包含子域是必要且充分的。 ↩ 1 06G6
命题 1 — 令 A 为环，不减至 0。 a) 为了使 A 具有特征 0，对于每个整数 n ≠，A 的映射 x ↦ n · x 自身应该是双射的是必要且充分的 ↩ 1 06G7
注 1 令A和A'为两个不减为0的环。假设定义了A的特征，并且A中有同态u进入A'。 A的素数子域在u下的像是A'的子域P'，与P同构的，因此也是素数。由此可见A'的特征被定义并且等于A的特征。如果A和A'的特征为0（分别为p ≠ 0），则映射u是代数的同态超过Q（分别为Fₚ）。 ↩ 2 06G8
注 2 注 1 表明，如果 A 是特征 0 的环（分别为 p ≠ 0），则任何环 A' 包含 A 与子环或任何的商都成立A 由双面理想a ≠ A。特别地，如果K是域，K的每个子域和K的每个扩张域都具有与K相同的特征。 06G9
注 3 令 A 为代数，而不是在域 K 上减少到 0。由于K到A的映射λ ↦ λ · 1为环同态，注1表明A的特性已定义并且等于K的特性。 06GA
注 4 由于域Q是无穷大，因此特征0的每个环都是无穷大；由此可见，每个有限域都具有非零特征。 06GB
注 5 令A为不减至0的环，其加法群为无扭Z模，并放入B = Q ⊗_Z A。 A的映射x ↦ 1 ⊗ x到B是单射（II，p. 314），因此A同构于特征0的环的子环。 06GC
定理 2 — 令 A 为特征 p 的交换环。映射a ↦ aᵖ是环A的自同态，也就是说，我们有关系 ↩ 2 06GD
引理 1 设p是1到p - 1范围内的素数数和i整数，则二项式系数binompi是整数能被p整除。 06GE
命题 2 — 令A为特征p的交换环，A的K子环，A的S子集和f正整数。 ↩ 1 06GF
定义 2 — 特征 p ≠ 0 的环 A 被认为是完美的，如果它是可交换的并且映射 a ↦ aᵖ 是双射的。 ↩ 1 06GG
定义 3 — 令 A 为特征 p ≠ 0 的交换环。通过A的完美闭包，我们理解对(A, u)，其中A是特征p的完美环，u是A的同态到A满足以下泛性质： 06GH
定理 3 — 令 A 为特征 p ≠ 0 的交换环。存在A的完美闭包(A, u)。此外，u的核是A的所有幂零元的集合，并且对于每个x ∈ A，存在整数n ≥ 0使得x^pⁿ ∈ u(A)。 ↩ 1 06GI
命题 3 — 令B是特征p和A子环特征B的完美环。写出A^p^-∞ = ⋃_f ≥ 0 A^p⁻ᶠ并用A^p^-∞中A的j典范嵌入表示。那么A^p^-∞是B包含A的最小的完美子环，(A^p^-∞, j)是A的完美闭包。 ↩ 1 06GJ
命题 4 — 令K为特征指数q的域。对于每个整数 f ≥ 0 映射 x ↦ x^qᶠ 是 K 的同构在其子域之一上（由 K^qᶠ 表示）。这是从 Th 得出的。当 q ≠ 1 时为 2，当 q = 1 时为平凡。同样，对于特征指数 q 的 A 是域的情况，可以使用扩展命题 2，q = 1 的情况是微不足道的。 ↩ 1 06GK
定义 4 — 域如果我们有 K^q = K，则特征指数 q 的 K 被认为是完美的。当K^q ≠ K时，K称为不完美。由此，如果定义域是特征0，或者如果它是Def意义上的特征p ≠ 0的完美环，则它是完美的。 2. 如果K是特征p ≠ 0的域且(K, u)是K的完美闭包，则根据命题3 (V, p. 6)，K是域，u是K的同构子域共 hatK。人们经常将K与hatK中… 06GL
命题 5 — 如果 K 是特征 0 的域，或者是有限的、\ 或代数闭 \，那么它是完美的。特别是每个质数域都是完美的。假设K具有特征p ≠ 0。如果K是有限的，则K的子域Kᵖ与K、从而Kᵖ = K具有相同的基数。 \ 如果 K 是代数闭的，则多项式 Xᵖ - a 在 K 中对于每个 a ∈ K 有根 x (V, p. 20, Def. 1) 从而 xᵖ = a所以K… 06GM
命题 6 — 令 K 为交换环，A 为 A 的元素 F 的多项式代数 K[Xᵢ]_i ∈ I，且 S 集合使得 dF = 0。 06GN
注 — 当 K 的加法群无扭转时，我们仍然有 S = K；这是从上面的证明或从V、p. 3中的注 5得出的。 06GO
推论 — 令 K 为域，F(X) 为系数为 K 的多项式，其导数 F'(X) 为零。 a) 如果 K 的特征为 0，则 F ∈ K。 b) 如果 K 的特征为 p ≠ 0，则存在多项式 G(X)，使得 F(X) = G(X^p)。因为我们有 dF = F 。 dX = 0。 06GP

§ 2. 。扩张

定义 1 — 令 K 为域。通过 K 的扩张，我们了解K-代数，其基础环为域。通过扩张 E 的子扩展（或子 K 扩展），我们理解 E 的子 K 代数为域。令 E 为 K 的扩张。映射 u : A ↦ λ 。 K 转入 E 的 1 为环同态；由 K 的 I、p. 115、u 诱导同构到 E 的子域 u(K)。相反，如果 K、E 是域并且 u 是 K 的同态到 E… 06GV
定理 1 令E为K和A代数的扩张超过E。那么我们就有[A : K] = [A : E] · [E : K]。特别是，如果 F 是 E 的扩张，我们有 ↩ 2 06GW
推论 1 令K, E, F为三个域，使得K ⊂ E ⊂ F和[F : K]是有限的。那么次数[E : K]和[F : E]就是[F : K]的除子。 06GX
推论 2 令K, E和F为三个域，使得K ⊂ E ⊂ F。假设[F : K]是有限的，则关系[E : K] = [F : K]等价于E = F，关系[F : E] = [F : K]等价于E = K。 06GY
命题 1 设A为有限次数中的代数超过域K。如果元素a ∈ A不是A中零的左（或右）除子，则它在A中是可逆的。 ↩ 3 06GZ
推论令A为有限次数中的交换代数除以域K。如果A是整环，那么它就是域。 ↩ 1 06H0
命题 2 — 如果 M 和 N 是域 K 的扩张中的任意两个子集，则 K(M ∪ N) = K(M)(N) = K(N)(M)。 06H1
注 — 令 P 为域 E 的素数子域 (V, p. 2)；对于 E 的每个子集 A，P(A) 是 E 包含 A 的最小子域。特别是，如果 K 是 E 的子域，则我们有 P(K ∪ A) = K(A)。如果 K 和 K' 是 E 的两个子域，则我们有 P(K ∪ K') = K(K') = K'(K)；该域是E 包含 K或K'中最小的子域，或者也是E的子域的集合中… 06H2
命题 3 — 令F为域E的子域集合，相对于关系⊂。 F域并L为域。 ↩ 2 06H3
推论 — 令 E 为域 K 和 A ⊂ E 中的扩张。域K(A)是域K(F)的并，其中F的范围超过A的所有有限子集的集合。 ↩ 1 06H4
定义 2 — 如果有限生成族有有限生成族，则域K的扩张E被认为是有限生成的。如果 E 中存在 x 且满足 E = K(x)，则称其为单生的。 ↩ 1 06H5
命题 4 — 令 E、F 为 K 的两个扩张。 06H6
注 — 如果p和p'是E ⊗_K F的两个不同的素理想，相应的E和F的复合扩张（通过上述证明的过程构造）不是同构的。然而，它们仍然可以同构为 K 的扩张（V，p. 146，例 2）。 06H7
推论 There exist composite 扩张 of E and F. ↩ 1 06H8
学院设K和E为K到E的两个域和u同态。如果K'为域包含K为子域，则存在域E'包含E为子域且将 K' 的同态 u' 转化为 E'，延伸 u'。 06H9
命题 5 设E和F是Ω中包含的K的两个扩张。 ↩ 3 06HA
命题 6 设E和F为Ω中包含的K的两个扩张，A和B为K上的Ω的两个子代数，使得E为A的分数的域和B的分数的域。则对于E和F要在 K 上线性不相交的，A 和 B 在 K 上线性不相交的是必要且充分的。 ↩ 3 06HB
命题 7 — 令 E 和 F 为 Ω 中包含的 K 的两个扩张；如果 E 和 F 在 K 上线性不相交的，则 E 的每个子扩展和 F 的每个子扩展在 K 上线性不相交的。相反，如果对于 E 和 F 的每个对有限生成的子扩展 E'、F' 分别，E' 和 F' 在 K 上线性不相交的，则 E 和 F 在 K 上线性不相交的不相交的超过 K。 ↩ 1 06HC
命题 8 — 令 E、F、G 为 Ω 中包含的域 K 中的三个扩张，使得 F ⊂ G。为了使 E 和 G 在 K 上线性不相交的，E 和 F 在 K 上线性不相交的且 E(F) 和 G 在 F 上线性不相交的是必要且充分的。 06HD

§ 3. 。代数扩张

定理 1 — Let A be an algebra over a field K, x an element of A algebraic over K, n the degree and f the minimal polynomial of x over K. ↩ 8 06HI
推论 1 — 令 A 为代数超过域 K。为了使A的元素x成为K的代数，x生成的A的子代数K[x]应该是有限次数超过K。特别是，如果A是有限次数超过K，则A的每个元素都是超过K的代数。 ↩ 2 06HJ
推论 2 — 设E为K的扩张，E上的A代数以及K上的A代数x元素。 Then x is algebraic over E, the minimal polynomial of x over E divides the minimal polynomial of x over K and the degree of x over E is at most equal t… 06HK
注 Let E be an extension of a field K and x an element of E which is root of a monic irreducible polynomial f ∈ K[X]. Th。 1, c) 然后表明 f 是 x 在 K 上的最小多项式。 06HL
例 1 在复数C的域中，数i是次数2在素数域Q上的代数；如果f(X) = X² + 1，则f(i) = 0，x² + 1 ≠ 0 对于所有x ∈ Q，因此i ∉ Q。因此，域Q(i)是扩张 / 次数 2 / Q；它由所有数a + bi组成，其中a, b是有理数。同样，i是次数2对实数的域R的代数，C是R的次数2的扩张。 \ 06HM
例 2 令K为域且F域K(X)有理函数在K上的一个不定数。设E为F中的子域K(X³)；我们有F = E(X)，X是E的代数，因为它是环E[Y]的多项式Y³ - X³的根；这个多项式在 E[Y] 中是不可约的，因为在相反的情况下，它将至少有第一个次数中的一个因子，然后将存在两个非零多项式 u(X)、v(X) 和 K[X]，这样 (u(X³))³ = X³(v(X³))… 06HN
例 3 \ 在实数的域R中，可以证明¹数π超越素数域Q。 \ 06HO
定义 1 — 如果 E 的每个元素都是超过 K 的代数，则域 K 的扩张 E 被称为代数（超过 K）。 K的扩张E不是代数的，称为超越（超过K）。 06HP
命题 1 — 为了使 K 的扩张 E 成为代数，E 的每个子 K 代数 A 应为域是充分必要的。 06HQ
命题 2 — 如果 K 的扩张 E 为有限次数 n，则它是代数且次数超过 E 除 n 的每个元素的 K。 ↩ 4 06HR
定理 2 — 令 E 为 K 的有限生成的扩张，由元素 a₁, ..., aₘ 生成，它们是 K 上的代数；则 E 是 K 的有限次数扩张。如果 aᵢ 次数超过 K(a₁, a₂, ..., aᵢ₋₁) 是 nᵢ（对于 1 ≤ i ≤ m），则 E 的次数超过 K 是 n₁ n₂ ... nₘ 和元素 E 比 K 的a₁^v₁ a₂^v₂ ... aₘ^vₘ (0 ≤… ↩ 13 06HS
推论 1 — 设 E 为 K 的扩张和 A 子集的 E 由……组成的元素，它们是 K 上的代数。然后 K(A) 是 K 上的代数，我们有 K[A] = K(A)。 ↩ 10 06HT
推论 2 — 令L为L的K和E、F子扩展的扩张。如果 F 是 K 上的代数，则 E ∪ F 生成的 L 的子环 K[E, F] 是域，与 E(F) 一致并且是 E 上的代数。 ↩ 7 06HU
注 1 与Th的记号。 2、 E = K[a₁, a₂, ..., aₙ] 因此 E 同构于商 K[X₁, X₂, ..., Xₘ]/𝔞；由于E是域，a是K[X₁, ..., Xₘ]的极大理想。 06HV
注 2 令 E 为 K 的无限次代数扩张。由 Th. 2 存在E的无限序列(aᵢ)，元素使得aᵢ ∉ K(a₁, a₂, ..., aᵢ₋₁)； Th。图2进一步表明，K(a₁, a₂, ..., aₙ)超过K的次数取任意大的值。在其他字中，如果E是K的代数扩张，使得有限次数的E的子外延F在K上的次数[F : K]有界，则E是K的有限次数的扩张。 ↩ 2 06HW
命题 3 — 令 E 和 F 为域 K 的两个扩张域，使得 K ⊂ E ⊂ F。对于 F 是 K 上的代数，E 应该是 K 上的代数且 F 是 E 上的代数是充分必要的。 ↩ 3 06HX
定义 2 — 域 E 的子域 K 被认为在 E 中是相对代数封闭的，如果 E 的每个元素是 K 上的代数，属于到 K。 06HY
命题 4 — 令 E 为域 K 的扩张； E 的元素的集合 L，是 K 上的代数形式 E 的子扩张，在 E 中相对代数封闭。 06HZ

§ 4. 。代数闭扩张

命题 1 — 设 K 为域；那么以下属性是等价的： (AC) 将 K[X] 中的 K[X] 分裂的的每个非常数多项式转化为次数 1 多项式的乘积（不同或不同）。 (AC') K[X] 的每个非常数多项式在 K 中至少有一个根。 (AC'') K[X] 中的每个不可约多项式都是次数 1。 06ID
定义 1 如果域 K 具有（等价）性质 (AC)、(AC')、(AC)、(AC)，则称其为代数封闭。 ↩ 1 06IE
命题 2 设 Ω 为代数闭域，K 子域为 Ω。那么Ω中K的相对代数闭包barK就是代数闭域。 ↩ 1 06IF
命题 3 每个代数闭域都是无限的。 ↩ 1 06IG
定理 1（斯坦尼茨） 令 K 为域，E 为 K 的代数扩张和 K 的 Ω 代数闭扩张；则存在 E 到 R 的 K 同态。 ↩ 4 06IH
定义 2 设 K 为域和 (fᵢ)_i ∈ I K[X] 中的非常数多项式族。通过(fᵢ)ᵢ的分裂扩张，我们可以理解K的任何扩张E具有以下属性： ↩ 1 06II
注 1) 对于每个i ∈ I，令cᵢ为K的非零元素，并令f'ᵢ = cᵢ fᵢ。那么很明显，对于家庭(fᵢ)ᵢ来说，每个分裂扩张对于家庭(f'ᵢ)_i ∈ I来说也是分裂扩张，反之亦然。特别是，在研究分裂扩张时，我们可以将极限应用于一元多项式的情况。 ↩ 1 0EEN
命题 4 设K为域和(fᵢ)_i ∈ IK[X]中的非常数多项式族；那么家庭(fᵢ)_i ∈ I就存在分裂扩张。 ↩ 4 06IJ
命题 5 — 设 K 为 K[X]、K 的 E 扩张中的域、(fᵢ)_i ∈ I 非常数多项式族，以及 E 的 F、F' 子扩展，它们各自为 (fᵢ)_i ∈ I 的分裂扩张。然后F = F'。 ↩ 2 06IK
推论 — 设 K 为域、(fᵢ)_i ∈ I，K[X] 中的非常数多项式族，以及 (fᵢ)_i ∈ I 的 F、F' 分裂扩张。那么存在 F 到 F 的 K 同构的。 06IL
定义 3 — 令 K 为域。通过 K 的代数闭包，我们可以理解 K 的任何扩张，它是代数和代数闭的。 06IM
例 1 复数域C为实数域代数闭包R（Gen.Top.、VIII、p. 100）\ ↩ 1 06IN
例 2 设K为K的域和Ω代数闭扩张。如果overlineK是K在Ω中的相对代数闭包，则根据V，p. 20，命题2，K是K的代数闭包。\特别地，所有代数数（V，p. 20，例2）的域是有理数的域Q的代数闭包。 \ ↩ 2 06IO
命题 6 — 令 Ω 为域 K 的扩张。对于 Ω 为 K 的代数闭包，它应该是代数的，并且 K[X] 中的每个非常数多项式都应将 Ω[X] 中的分裂的化为乘积因子次数 1。 ↩ 2 06IP
注 1 如果 Ω 是 K 上的代数，并且 K[X] 的每个非常数多项式在 Ω 中都有根，则 Ω 是 K 的代数闭包 (V， p. 156，例如 20)。 06IQ
命题 7 — 令 Ω 为域 K 的代数扩张。 a) 如果 Ω 是代数闭的，则 K 的每个代数扩张同构于 R 的子扩张。 b) 相反地假设K的有限次数的每个代数扩张同构于Ω的子扩张；那么 Ω 是代数闭的。 06IR
定理 2（斯坦尼茨） — 令K为域；那么存在K的代数闭包。如果Ω和Ω'是K的两个代数闭包，则存在Ω到Ω'的K同构。 ↩ 9 06IS
推论 — 令K和K'为域、K的Ω代数闭包和K'的Ω'代数闭包。对于K到K'的每个同构u，都存在Ω到Ω'延伸u的同构v。 06IT
注 2 在前述推论的记号中，一般存在不同于恒等式的K-自同构Ω。因此，一般不存在Ω的唯一性约同构v到Ω'延伸K的同构u到K'。出于类似的原因，对于同一个多项式族(fᵢ)_i ∈ I，通常在分裂扩张E'上存在分裂扩张E中的多个同构。相比之下，我们记得，对于完美的闭合，我们有唯一性（V，p. 5）。 06IU
注 3 令 K 为域和 Ω 代数闭包 of K。那么对于K[X]中的非常数多项式族(fᵢ)_i ∈ I，对于分裂扩张，可以给出以下构造：令Rᵢ为fᵢ的根的集合 Ω，让R = ⋃_i ∈ I Rᵢ。那么K(R)是Ω的唯一子扩展，它是(fᵢ)_i ∈ I的分裂扩张（V，p. 22，第5条）。 06IV
注 4 令 K 为 K 的有限域和 Ω 代数闭包。那么 Ω 是无限的（V, p. 20，命题 3）；由于 K 的有限次数的每个扩张都是有限域，因此 Ω 是 K 的无限次数的代数扩张。 06IW

§ 5. 。 p-激进的扩展

定义 1 设 K 为 K 的域且 E 扩张。如果存在整数 m ≥ 0 使得 x^pᵐ ∈ K，则 E 的 n 元素 x 被称为 K 上的 p 根式；其中最小的整数称为 x 的高度（超过 K）。 ↩ 1 06IZ
命题 1 设 E 为域 K 的扩张，x 为 k 上高度 e 的 p 根元素；把a = x^pᵉ。那么 a ∈ K 和 x 在 K 上的最小多项式是 X^pᵉ - a：进一步我们有 [K(x):K] = pᵉ。 06J0
引理 1 设 K 为域和 K 的元素，使得 a ∉ Kᵖ。那么对于每个整数 e ≥ 0，多项式 f(X) = X^pᵉ - a 在 K[X] 中是不可约的。 06J1
定义 2 设 E 为域 K 的扩张。如果 E 的每个元素都是 K 上的 p 根，我们可以说 E 是 p 根¹（在 K 上）。在这种情况下，当 E 的元素高度中的集合被限制在上面并且我们认为 E 具有有限高度时，我们称 E 为有限高度。称 E 的高度为其元素高度中的最大值。 06J2
命题 2 令E为域K的扩张。对于每个整数n ≥ 0，令Eₙ为E的元素的集合，即高度≤ n在K上的p-radical，并令Eᵣ是 E 的所有元素中 K 上的 p 根式的集合。则 (Eₙ)_n ≥ 0 是 E 的子扩展的升序序列，其并是 E_∞，Eᵣ 是包含于 K 中的最大的 p 根式扩展E. ↩ 3 06J3
推出如果域 K 的扩张 E 由 p-radical 元素的集合在 K 上生成，则它是 K 上的 p 根。 06J4
命题 3 — 设 K 为域，K 的 E 扩张域（K 为 K 上的 p 根），以及 K 的 u 同态到完美域 F。则存在 E 到 F 的唯一同态 v 延伸u。 ↩ 1 06J5
推论 — 对于域 K 的扩张 E 来说，要成为 K 的完美闭包，它必须是 K 的 p 根扩展，并且域 E 应该是完美的。 06J6
命题 4 — 令 E 为域 K 的有限次数的 p 根扩展。则 [E : K] 是 K 的特征指数 p 的幂。 06J7

§ 6. 。 ETALE 代数

定理 1 — 令L为域K之扩张且A代数除以K；设H为A的所有K-代数同态到L中的集合。那么H是向量空间Hom_K(A, L)超过L的免费子集。 ↩ 5 06JB
推论 1 — 令Γ为幺半群，将Γ的同态的L域和X集合转换为L的乘法幺半群。那么 X 就是向量 L 的自由子集 - L^Γ 的映射的 Γ 空间到L。 06JC
推论 2（戴德金定理） 设E和L是K的两个扩张。E到L的K同态的集合在L上是自由的。如果 E 在 K 上为有限次数，则 E 到 L 的 K 同态的数至多等于 [E : K]。 ↩ 5 06JD
定理 2 — 令 K 为无限域，K 的 L 扩张和 K 上的 A 代数。令 u₁, …, uₙ 不同于 A 的 K-代数同态到 L 和 f L[X₁, …, Xⱼ] 中的多项式。如果我们对所有x ∈ A都有f(u₁(x), …, uₙ(x)) = 0，那么f = 0。 06JE
定义 1 — 令 A 大于 K 代数；则如果存在整数n ≥ 0使得A与乘积代数Kⁿ同构的，则称A可对角化。如果通过标量的扩张从 A 导出的 L 上的代数 A_(L) 是可对角化的，我们就说 A 被 K 的扩张 L 对角化。如果存在对角化 A 的 K 的扩张，我们可以说 A 是 etale。 ↩ 7 06JF
命题 1 设 A 为有限次数 n 中的代数除以域 K ；那么下面的条件是等价的： a) 代数 A 可对角化。 b) A 存在基 (e₁, …, eₙ)，使得 eᵢ² = eᵢ 和 eᵢ eⱼ = 0 对应 i ≠ j。 c) 将 A 的K-代数同态转换为 K 生成向量 K 空间 A 的对偶。 d) 每个 A-模是子模中的直和，其中维数 1 除以 K。 ↩ 4 06JG
推论设L为K的扩张，将A的代数同态的H集合代入L。当且仅当 A 被 L 对角化时，我们有卡片 H ≤ [A : K]，其中等式。如果 A 按 L 对角化，则 H 是向量 L-空间 Hom_K(A, L) 的基。 ↩ 1 06JH
命题 2 — 令 A 为 K 上的代数且 K 上的 Ω 代数闭扩张。以下断言是等效的： ↩ 6 06JI
命题 3 — 设 A 是 K 上的 etale 代数。仅存在子代数的有限数和 A 的理想。此外，对角化 A 的 K 的每个扩张也对角化 A 的每个子代数和每个商代数；特别是这些代数是 etale。 ↩ 6 06JJ
推论 — 令 A₁, …, Aᵣ 大于 K 和 A = A₁ × ⋯ × Aᵣ 代数。对于 A 是 etale，A₁, …, Aᵣ 是 etale 是充分必要的。 06JK
引理 1 — 令Ω为K中的代数闭包；那么对于K的每个扩张L，我们有h(L) ≤ h(Ω)，当L是代数封闭时，等式。 06JL
命题 4 — 设A为有限次数除K的交换代数；那么 [A: K], ≤ [A: K] 与等式当且仅当 A 是 etale。 ↩ 5 06JM
推论 1 — 令 A, B 为 K 的 2 个交换代数，有限非零次数。那么，要使代数 C = A ⊗_K B 成为 etale，A 和 B 成为 etale 是充分必要的。 ↩ 3 06JN
推论 2 — 令 K' 为 K 中的扩张。 ↩ 6 06JO
定理 3 — 令 A 为有限次数中的交换代数除以 K。为了使 A 成为 etale，K 的模 Ω_K(A) A 的微分应减少到 0 是必要且充分的。 ↩ 1 06JP
引理 2 令A比K更交换代数，并且e是A的幂等；那么Ω_K(A)中有de = 0。 06JQ
引理 3 令A为有限次数除以代数闭域K的交换代数，从而得到Ω_K(A) = 0。那么对于A的每个最大理想m，我们都有m = m²。 06JR
引理 4 令A为交换环，并令a为A的有限生成理想，使得a = a²。那么A中存在幂等e，使得a = Ae。 ↩ 1 06JS
定义 2 — 令A为交换环；那么如果A的每个幂零元（I，p. 98）都是零，则称A减少了。 ↩ 1 06JT
命题 5 — 令 A 为有限次数中的交换代数除以 K。 For A to be reduced it is necessary and sufficient that there exist extensions L₁, …, Lₛ of finite degree over K such that A is K-isomorphic to L₁ × ⋯ × Lₛ. ↩ 2 06JU
定理 4 — 令A为有限次数中的交换代数除以K。那么下面的断言是等价的： a) 代数 A 是 etale。 b) 对于K中的每一个扩张L，环L ⊗_K A都会减少。 c) 存在K的完美扩张域P，使得环P ⊗_K A减少。 d) K 存在可分离代数扩张 L₁, …, Lₛ，使得 A 同构于 L₁ × ⋯ × Lₛ。特别是，每个 etale 代数都会减少。 ↩ 4 06JV
引理 5 令 B 为完美域 P 的有限次数减少代数；那么 B 就是 etale。 06JW
推论 — 假设K具有特征p ≠ 0。对于 A 来说，A = K[Aᵖ] 是必要且充分的。对于A中的每一个基(aᵢ)ᵢ超过K，族(aᵢᵖ)ᵢ就是A中的基超过K。 06JX

§ 7. 。可分离代数扩张

定义 1 — 令 E 为 K 的代数扩张；则称 E 是可分的（在 K 上），如果 K 上有限次数的 E 的每个子外延 F 都是 K 上的 etale 代数 (V, p. 28, Def. 1)。 ↩ 1 06K0
命题 1 — 令 E 为 K 的代数扩张。如果 E 是可分的，则 E 的每个子外延 E' 都是可分的。相反，如果 E 的有限次数的每个子扩展都是可分的，则 E 是可分的。 06K1
命题 2 — 为了使域 K 完美，K 的每个代数扩张应该是可分的是必要且充分的。 ↩ 3 06K2
推论 — 特征 0 的域或有限域的每个代数扩张都是可分的。这是从 V、p. 7、提案 5 得出的。 06K3
命题 3 — 令 f 为 K[X] 中的非零多项式，并令 Ω 为 K 的代数闭扩张。以下条件是等效的： a) 多项式 f 与其在 K[X] 中的导数 f' 互质。 b) deg(f) = 0，或 deg(f) 0 且 dis(f) ≠ 0 (IV, p. 83)。 c) 存在 K 的扩张 L，使得 L[X] 中的 f 分裂的进入次数 ≤ 1 的不同多项式的乘积。 d)… ↩ 6 06K4
定义 2 — 如果多项式 f ∈ K[X] 非零且满足命题 3 的等价条件 a)、b)、c)、d) 和 e)，则称其为可分的。 06K5
注 — 1) 令 L 为 K 的扩张，f 为 K[X] 中的非常数多项式。根据第 3 号提案的 e) 和 V、p. 32，Cor。 2 假设 f 是可分离的，无论是被视为 K[X] 的元素还是L[X] 的元素，情况都是一样的。另一方面，很可能 f 在 K[X] 中不可约，但在 L[X] 中不可约。 ↩ 1 06K6
命题 4 — 令 f 为 K[X] 中的不可约多项式。那么下面的条件是等价的： ↩ 3 06K7
推论 1 — 为了使域 K 完美，K[X] 的每个不可约多项式应该是可分的是必要且充分的。 ↩ 1 06K8
推论 2 — 令 f ∈ K[X] 为非零多项式。为了使f是可分离的，K应该存在扩张L，即完美域，并且f在L[X]中没有重复的因子，这是充分必要的。 ↩ 1 06K9
定义 3 — 设 E 为 K 的扩张。如果 K 的代数扩张 K(x) 可分，则 E 的元素 x 在 K 上是可分的，则称其在 K 上可分。 06KA
命题 5 — 令 E 为 K 的扩张，E 的 x 元素在 K 上的代数，f 为 x 在 K 上的最小多项式。则以下条件是等效的： a) x 在 K 上可分； b) 首一多项式 f 是可分离的； c) x 是 f 的简单根。 a) 和 b) 的等价由命题 3 得出，b) 和 c) 的等价由命题 3 和 4 得出（cf. V、p. 37 和 38）。 ↩ 4 06KB
推论 1 — 如果 E 的元素 x 是 K[X] 的多项式 g 的简单根，则它在 K 上可分。对于 K[X] 中 K 除 g 上 x 的最小多项式 f (V, p. 16, Th. 1)，因此 x 是 f 的简单根。 ↩ 1 06KC
推论 2 — 如果 E 的元素 x 在 K 上是代数且可分的，则它在 E 中包含的 K 的每个扩张 K' 上也是代数且可分的。设f是x在K上的最小多项式。那么x是根据Prop.5的f的简单根，并且由于f属于到K'[X]，E的元素x可以在K'上通过Cor分离。 1. ↩ 3 06KD
推论 3 — 假设 K 具有特征 p ≠ 0。对于 E 到属于到 K 的元素 x，它是 K 上的可分代数和 p 根式是必要且充分的。所规定的条件显然是必要的。相反，假设 x 在 K 上是可分的代数，并且在 K 上是高度 e 的 p 根式。由于 x 在 K 上是可分的，因此 x 在 K 上的最小多项式 f 不属于到 K[X^p]（命题 4 和 5）；因为 x 是 K… ↩ 1 06KE
命题 6 — 令 E 为 K 的扩张。 a) 如果 E 是代数且在 K 上可分，则 E 的每个元素是代数且在 K 上可分。 b) 相反，令 A 为 E 的元素的集合，在 K 上代数且可分离，且满足 E = K(A)；则 E 是代数且可在 K 上分离。如果 E 是代数且可在 K 上分离，则对于每个 x ∈ E、从而 a)，K 的扩张 K(x) 也是如此。在假设 b)… ↩ 7 06KF
推论 — 为了使代数扩张 E 在 K 上可分，E 的每个元素应该是其在 K 上的最小多项式的简单根是必要且充分的。应用命题 5 和 6 就足够了。 ↩ 1 06KG
定理 1 — 令 E 为 K 的扩张。则以下条件是等效的： a) E 拥有原语元素； b) 仅存在 E 的有限数子扩展。当E为有限次数中的可分扩张时，满足这些条件。首先假设E拥有原语元素x，并让f为x在K上的最小多项式。对于每个一元多项式g ∈ E[X]除以E[X]中的f，用E_g表示子扩张E 由 g 的系数生成。由于可能的多项式 g 在数中是有限的（如果 E[X… ↩ 5 06KH
命题 7 — 假设K无穷大；设 A 为交换性 K-代数，仅拥有有限数子代数（对于例一个 etale K-代数，V，p. 30，命题 3）并令 V 为向量子空间共A生成的A。那么存在 x ∈ V 使得 A = K[x]. ↩ 2 06KI
引理 1 令A为向量K-空间，V, A₁, …, Aₙ子空间等于A。如果 Card(K) ≥ n 且 V 不包含在任何 Aᵢ 中，则 V 不包含在 A₁ ∪ … ∪ Aₙ 中。 06KJ
命题 8 — 令E是K和(Eᵢ)_i ∈ I的扩张，是E的子扩展族，使得E = K ( ⋃_i ∈ I Eᵢ )。如果每个扩张 Eᵢ 都是代数且在 K 上可分，则 E 也是如此。 ↩ 1 06KK
命题 9 — 设 F 是 K 的代数扩张，E 是 F 的子扩展。为了使 F 在 K 上可分，F 在 E 上可分且 E 在 K 上可分是充分必要的。 ↩ 1 06KL
命题 10 — 设 E 和 K' 是 K 的同一扩张的两个子扩展，并设 E' = K'(E)。假设 E 是 K 上的代数，因此 E' 是 K' 上的代数 (V, p. 18, Cor. 2)。 ↩ 3 06KM
命题 11 — 假设 K 的特征指数为 p，并令 E 为 K 的代数扩张，由集合 S 生成。如果 E 在 K 上可分，则对于所有整数 n ≥ 0，E = K(S^pⁿ)；相反，如果 E 在 K 和 E = K(Sᵖ) 上具有有限次数，则 E 在 K 上可分离。 ↩ 4 06KN
推论 1 — 完美域的每个代数扩张都是完美域。 ↩ 1 06KO
推论 2（Mac Lane） — 令K为K和K^p^-∞的代数闭包，overlineK中K的完美闭合。对于 overlineK 的子扩展 E 在 K 上可分离，它应该是从 K^p^-∞ 到 K 线性不相交的的必要且充分的。 ↩ 1 06KP
注 — 1) 当E是代数并且在K上具有无限次时，条件E = K(Eᵖ)并不总是确保E在K上可分。对于例，如果K是不完美的，并且E是K的完美闭包，那么我们有E = K(Eᵖ)，但E不是K的可分扩张（V，p. 39，Cor.3）。 2) 设E特征指数p的域K的可分离代数扩张。那么我们有Eᵖ ∩ K = Kᵖ（Cor.2）；因此，如果E是完美的，K也是如此。 06KQ
命题 12 — 令E为K和Eₛ的扩张，E的元素为集合，它们是代数且可在K上分离。那么 Eₛ 是 E 的最大的子扩展，它是代数且在 K 上可分。 ↩ 4 06KR
命题 13 — 令 E 为 K 的代数扩张，并令 Es 为 E 中 K 的相对可分代数闭包。 a) E 是 E, 的 p 根扩展。 b) 如果 F 是 E 的子扩展，使得 E 是 F 上的 p 根式，则 F ⊃ E,。 c) E，是 E 的唯一子外延，它可在 K 上分离，且 E 是 p 根式。当 K 具有特征 p ≠ 0 时，只要证明 a) 就足够了。设 x 为 E… ↩ 6 06KS
推论 1 — 令 E 和 K' 为包含在 K 的同一个扩张中的 K 的两个扩张。假设 E 是 K 上的代数，并用 E 表示 K 在 E 中的相对可分代数闭包。则 K'(Eₛ) 是 K' 在 K'(E) 中的相对可分代数闭包。 ↩ 2 06KT
推论 2 — 如果 E 的有限次数超过 K，则 Eₛ = ⋂_n ≥ 0 K(E^pⁿ)。 06KU
注令 E 为 K 和 E 的代数扩张，即 E 在 K 中的相对 p 根闭包 (V, p. 25)。那么 E 是 E 的最大的子扩展，E 是 K 上的 p 根式（V，p. 25，命题 2）。然而，E 通常与 E 不可分，(V, p. 152, 例 2)；对于拟伽罗瓦扩展的情况，请参见V，p. 76。 06KV
定义 4 — A field K is said to be separably closed if every separable algebraic extension of K is trivial. ↩ 1 06KW
定义 5 — 令 K 为域。通过 K 的可分代数闭包，或（滥用语言）可分闭包，我们理解 K 的任何扩张 E，它是代数且在 K 上可分的，并且域 E 是可分闭的。 06KX
命题 14 — 令 Ω 为 K 的代数闭扩张。 ↩ 1 06KY
推论 — 令 E 为 K 的可分离闭扩张，F 为 K 的可分离代数扩张；那么存在 F 到 E 的 K-同态. 06KZ
注 1 设E和E'是K的两个可分闭包。如果K不是可分离闭的，则存在E到E'的多个K同构。 \ 因为 E 是 K 的非平凡伽罗瓦扩张，因此存在与恒等式 (V, p. 56, Th. 1) 不同的 E 的 K 自同构。 06L0
注 2 \ 设 E 是 K 的代数和可分扩张。如果 K 的每个代数和可分扩张同构于 E 的子外延，则 E 是 K 的可分闭包。因为如果 E' 是 K 的可分闭包，则扩张 E 和 E' 中的每一个都同构于另一个的子外延；因此E和E'是K的同构扩张（V，p. 52，命题1，a））。 ↩ 1 06L1
命题 15 设E为E中K的相对可分闭包；那么[E : K]ₛ = [Eₛ : K]。 ↩ 1 06L2
命题 16 令 Ω 为 K 的扩张和 E、F Ω、有限次数在 K 上的两个子扩展。 06L3

§ 8. 。范数和痕迹

命题 1 — 令 A 为有限次数中的交换代数除以 K。那么下面的条件是等价的： a) 代数 A 是 etale。 b) A存在判别式非零的基。 c) 对于A中的每个x ≠ 0，A中都存在y，使得Tr_A/K(xy) ≠ 0。此外，当满足这些条件时，A的任何基的判别式都是非零的。 ↩ 2 06L9
引理 1 令 V 为 K 和 B 上有限维的向量空间，在 V x V 上为双线性形式。设(v₁, …, vₙ)是V的基超过K和Δ = det B(vᵢ, vⱼ)。那么A ≠ 0当且仅如果，对于V中的每个x ≠ 0，V中存在y使得B(x, y) ≠ 0。 ↩ 1 06LA
引理 2 令V为K上有限维的向量空间和V的u幂零自同态，则为Tr(u) = 0。 06LB
推论 — 令 E 为 K 的扩张有限次数。为了使 E 可分离，E 中存在 a 使得 Tr_E/K(a) ≠ 0 是必要且充分的。 ↩ 2 06LC
命题 2 — 令 F 为 K 的有限次数的扩张，E 为 F 的子扩展。那么对于每个 x ∈ F，我们有 Tr_F/K(x) = Tr_E/K(Tr_F/E(x)) \\ N_F/K(x) = N_E/K(N_F/E(x)) . 06LD
推论 — 将m = [F : E]；那么对于每个 x ∈ E 我们有 Tr_F/K(x) = m · Tr_E/K(x) \\ N_F/K(x) = N_E/K(x)ᵐ . ↩ 1 06LE
命题 3 — 令 E 为 K 的有限次数 n 的扩张，以及 E 的 x 元素，K 上的次数 d。将 f(X) = Xᵈ + ∑ᵢ₌₁ᵈ aᵢ Xᵈ⁻ⁱ 写为 K 上的 X 的最小多项式。然后我们有 Tr_E/K(x) = - n/d a₁ \\ N_E/K(x) = (((-1)ᵈ a_d)^n/d = (-1)ⁿ a_d^n/d . ↩ 1 06LF
引理 3 令 R 为交换环、f(X) = Xᵈ + ∑ᵢ₌₁ᵈ aᵢ Xᵈ⁻ⁱ R[X]、A R-代数 R[X]/(f) 和 A 中 X 的 x 剩余类类。然后是 Tr_A/R(x) = -a₁ 和 N_A/R(x) = (-1)ᵈ a_d。 06LG
命题 4 令 p 为 K 的有限次数的 K 和 E 扩张的特征指数。令 σ₁, …, σₙ 为 E 与 K 的代数闭包 Ω 的不同 K 同态，并令 pᵉ = [E:K]ᵢ。对于每个 x ∈ E，我们都有 Ω ↩ 1 06LH

§ 9. 。共轭元素和拟伽罗瓦扩展

命题 1 — 令 E 为 Ω 中包含的 K 的扩张，u 为 E 到 Ω 的 K 同态。 ↩ 14 06LK
定义 1 — 令 E 和 F 为 Ω 中包含的 K 的两个扩张。如果存在Ω的K-自同构u使得u(E) = F，我们可以说E和F是共轭（在Ω中）。如果存在Ω的K-自同构u使得u(x) = y，则称Ω的两个元素x和y在K上共轭。 06LL
命题 2 — 令 x 和 y 为 Ω 中的两个元素。那么下面的条件是等价的： ↩ 1 06LM
推论 1 — 令x为次数n的Ω在K上的元素，并令f为x在K上的最小多项式。 x超过K的共轭是Ω中的根，并且它们的数最多等于n。 06LN
推论 2 — 令x为次数nΩ元素超过K。为了使x在K上可分，x在Ω中有n共轭是充分必要的；当这种情况发生时，x超过K的所有共轭都可以在K上分离。 ↩ 1 06LO
推论 3 — 令G为K的群-Ω的自同构。 Ω中G的不变量的集合是Ω中K的相对p根闭包（V，p. 25）。 06LP
定义 2 — 令 E 为 K 中的扩张。那么 E 被称为准伽罗瓦或正规（超过 K），如果它是代数并且如果 K[X] 的每个不可约多项式在 E、分裂的中至少有一个根转化为乘积的多项式E[X] 中有次数 1（无论是否不同）。 ↩ 1 06LQ
命题 3 — 令 E 为 Ω 中包含的 K 的扩张。那么下面的条件是等价的： a) E 是 K 的拟伽罗瓦扩展。 b) 对于Ω中K上x的每个x ∈ E共轭，所有属于到E。 c) Ω 映射域 E 的每个 K-自同构为自身。 d) E 到 Ω 映射 E 到自身的每个 K 同态。 e) E 是K[X] 中非常数多项式族(fᵢ)_i ∈ I 的Ω 中的分裂扩张（V、p. 24… ↩ 3 06LR
推论 1 — 对于 Ω 中包含的 K 的扩张 E 来说，要成为拟伽罗瓦，它与 K 上的所有共轭相同是充分必要的。 ↩ 3 06LS
推论 2 — 令 E 和 F 为 K 的两个代数扩张，使得 E ⊂ F。如果 F 是 K 上的拟伽罗瓦，那么它是 E 上的拟伽罗瓦。 06LT
推论 3 — 令 N 为 Ω 中包含的 K 的准伽罗瓦扩张，E 为 N 的子扩张。令 u 为 E 到 Ω 的 K 同态；那么 u(E) ⊂ N 且存在 N 的 K 自同构 v，其中诱导 u 在 E 上。 ↩ 1 06LU
推论 4 — 令 E' 为 K 和 E 的扩张，K' E' 的两个子扩展。假设 E 是 K 和 E' = K'(E) 上的拟伽罗瓦；那么 E' 是 K' 上的拟伽罗瓦。 ↩ 1 06LV
注 1 设F是K的扩张，E是F的子扩展，并假设E是K上的拟伽罗瓦。让我们证明F的每个K自同构u都使E不变。让 x ∈ E 和 f 为 x 在 K 上的最小多项式。由于E是K上的拟伽罗瓦，因此存在a₁, …, aₙ ∈ E使得f(X) = Π(X - aᵢ)；我们有f(u(x)) = u(f(x)) = 0，因此u(x)是aᵢ之一，因此属于到E。我们已经证明了u(E)… ↩ 3 06LW
注 2 假设E是K的拟伽罗瓦扩展，F是E的拟伽罗瓦扩展； F 并不总是 K 上的拟伽罗瓦（V，p. 153，例 1）。原因如下：设u是Ω的K自同构；我们有u(E) = E，但如果f是F的元素x的E上的最小多项式，那么它在u下不一定是不变的；因此，u(x)不一定是共轭到x超过E，因此也不一定是属于到F。在这种情况下，F和u(F)是E的两个不同的准伽罗瓦扩展，它们是K同… 06LX
注 3 令E为K的代数扩张和x, y两个E的元素。如果存在E的K自同构，其中映射x到y，则x和y在K上具有相同的最小多项式，因此根据命题2，共轭在K上（V，p. 52）。如果E是拟伽罗瓦，则逆命题成立，因为Ω诱导的每个K自同构都是E的K自同构。假设 E 拟伽罗瓦并不是多余的，如下例所示： \ 令所有代数数的 K = Q 和 Ω 域；输入E = Ω ∩ R。可以证明… ↩ 1 06LY
命题 4 — 令 (Nᵢ)_i ∈ I 为 Ω 中包含的 K 的准伽罗瓦扩展族。设N = ⋂_i ∈ I Nᵢ和M = K( ⋃_i ∈ I Nᵢ )；那么K的扩张N和M是拟伽罗瓦。 ↩ 1 06LZ
命题 5 — 令 E 为 Ω 中包含的 K 的扩张，N 为由 E 生成的拟伽罗瓦扩展。如果 A 为 Ω 的子集，使得 E = K(A) 则N = K(B)，其中 B 为 Ω 的元素的集合分别是 A 的共轭到元素。 06M0
推论 1 — 如果 E 是 K 的有限次数的扩张，则 E 生成的 K 的拟伽罗瓦扩展 N 是 K 上的有限次数。因为我们有 E = K(A)，其中 A 是有限的，因此 A 的元素的共轭的集合 B 是有限的，从而推论为 Th。 2（V，p. 18）。 ↩ 1 06M1
推论 2 — K 的每个拟伽罗瓦扩展 N 是 K 上有限次数的 N 拟伽罗瓦子扩展的并。令x ∈ N和Nₓ是由x生成的K的拟伽罗瓦扩展。由于 K(x) 是 K 上的有限次数，因此Nₓ（Cor.1）也是如此，我们有 x ∈ Nₓ。 06M2

§ 10. 。伽罗瓦扩张

定理 1 — 令 N 为 K 的代数扩张和 N 的 K-自同构的 Γ 群。则以下断言是等价的： a) N 中 K 的 Γ 属于至像下的每个元素不变量。 b) N 是 K 的可分离拟伽罗瓦扩展。 c) 对于每个x ∈ N，将N[X]中的x在K分裂的上的最小多项式转换为次数1的不同多项式的乘积。 b) 和 c) 的等价由 Cor 得出。命题 6 (V, p. 40) 和拟… ↩ 4 06MB
定义 1 — 如果 K 的扩张 N 是代数且满足 Th 的等价条件 a), b), c)，则称其为伽罗瓦 (Galois)。 1. 06MC
命题 1 — 令 N 为 K 的扩张和 (Nᵢ)_i ∈ I，N 的非空子扩展族。我们放入 E = ∩_i ∈ I Nᵢ 和 F = K ( ⋃_i ∈ I Nᵢ )。如果所有扩张 N 都是 K 上的伽罗瓦，那么 E 和 F 也是如此。 ↩ 3 06MD
命题 2 — 令 N 为 K 的伽罗瓦扩张，E 为 N 的子外延、K 上的有限次数的子外延。存在 N 包含于 E、伽罗瓦和 K 上的有限次数的子外延 F。 ↩ 5 06ME
定义 2 令N为域 K的伽罗瓦扩张。N的所有K-自同构的群将称为N在K上的伽罗瓦群，并表示为Gal(N/K)。 06MF
例 1 假设 K 的特征与 2 不同，令 N 为 K 的二次方扩张。如果 x ∈ N − K，则有 N = K(x)，并且 x 在 K 上的最小多项式为形式 f(X) = X² − aX + b，其中 a, b ∈ K。因此，我们有f(X) = (X − x)(X − y) 其中 y = a − x，因此 y 与 x 共轭；由于 f(X) 是可分的，扩张 N 是伽罗… ↩ 1 06MG
例 2 \ 令 f = X³ + X² − 2X − 1 ∈ Q[X]。多项式 f 是不可约的，如果不是，那么它就有根 x ∈ Q；当写 x = a/b 且 a、b ∈ Z、a 和 b 互质时，我们应该找到 a(a² + ab − 2b²) = b3 和 a3 = b(b2 + 2ab − a2)；但这意味着除 b 且 b 除 a，因此 x = ±1，这是不可能的。… ↩ 1 06MH
例 3 假设K = Q并取f = X³ - 2。将整数的分解代入素数因子的乘积（I，p. 51），我们很容易看出2不是Q的元素的立方。因此，多项式 f 是不可约的，否则，Q 中将有根。令A = x₁, x₂, x₃ 为Ω中的f根集合和f中的Γ伽罗瓦群。它传递地作用于 A；因此它的阶可以被三整除。另一方面，商 j = x₂/x₁ 与 1 不同，我们有 j³ = 1。因… ↩ 1 06MI
例 4 假设K具有特征p ≠ 0，并令K(T)为有理分式和U = Tᵖ - T的域。将E = K[U]和F = K[T]放入，则E[X]的多项式f(X) = Xᵖ - X - U在F中有根T, T+1, ..., T+p-1。令σ为F的K自同构，使得σ(T) = T+1。我们有σⁱ(T) = T+i和σ(U) = U。群G = 1, σ, ..., σᵖ⁻¹ 是阶… 06MJ
例 5 令F = K(X₁, ..., Xₙ)为n中有理分式的域，不定X₁, ..., Xₙ，系数在K中。放 sₖ = ∑_1 ≤ i₁ < ... < iₖ ≤ n X_i₁ ... X_iₖ 对于 1 ≤ k ≤ n 和 E = K(s₁, ..., sₙ)；我们用 f(T) 表示多项式 Tⁿ - s₁ Tⁿ⁻¹ + ⋯ + (-1)ⁿ sₙ . 我们有 f(T… ↩ 4 06MK
例 6 假设 f 是次数 0 的单调，K 的特征 ≠ 2。定义在 A 上有一个全序，用 ≤ 表示，并设置 δ(f) = ∏_α < β (β - a)、(α, β) ∈ A × A，并且对于每个 σ ∈ 𝔖_A 放置 δ_σ(f) = ∏_α < β (σ(β) - σ(α))。我们有δ_σ(f) = ε(u) δ(f)，其中ε(u)是σ（I，p. 64）和δ(f)… 06ML
命题 3 — 限制同态的 Gal(N/K) 到 Gal(L/K) 是满射。 ↩ 2 06MM
命题 4 — 令 N 为 K 中的伽罗瓦扩张。那么伽罗瓦群 Γ = Gal(N/K) 是紧凑且完全断开的。 06MN
命题 5 — 同态 λ 属于 Gal(N/K) 到 varprojlim Gal(Nᵢ/K) 是拓扑群的同构。 06MO
命题 6 — a) 让 V 向量空间超过 N 与a K-结构。对于向量 x ∈ V 右 K 有理有据 u_σ(x) = x 对于所有 σ ∈ Γ 是必要且充分的。 For a vector sub-N-space W of V to be rational over K it is necessary and sufficient that u_σ(W) ⊂ W f… 06MP
推论 — 令V₀为K上的向量空间，并令W为N ⊗_K V₀的向量子N空间。假设对于所有 σ ∈ Γ，W 在映射 σ ⊗ Id_V₀ 下是稳定的。令W₀为x ∈ V₀的集合，使得1 ⊗ x ∈ W；那么W₀是V₀的唯一向量子K空间，使得W = N ⊗_K W₀。 ↩ 1 06MQ
命题 7 — 令V在N、(u_σ)_σ上成为向量空间，将V的映射组成的族纳入自身满足 (1) 至(4) 和x ∈ V的V₀集合，使得u_σ(x) = x对于所有σ ∈ Γ。 ↩ 4 06MR
命题 8 — N-线性映射 ψ of N ⊗_K M 到 V = ∏_σ ∈ Γ M^σ 是单射的，并且如果 Γ 是有限的，那么它是双射的。 ↩ 3 06MS
推出 — Let ψ be K-线性映射 of N ⊗_K N into 乘积向量空间 N^Γ such that ψ(x ⊗ y) (a) = σ(x) y for x, y in N and σ ∈ Γ. 那么 ψ 是单射的，并且当 Γ 是有限的时，它是双射的。 ↩ 3 06MT
注 1 设F是K的扩张和NF的子扩展，并令Γ是N的自同构的有限群，其中K是不变量的域。 Prop. 8 implies the existence of 同构 of K-代数 0 : N ⊗_F F → F^Γ characterized by θ(x ⊗ y) (a) = σ(x) y for x ∈ N, y ∈ F and σ ∈ Γ. 06MU
注 2 记号 K, N and Γ has the same meaning as 之前. For each 整数 n geqslant 1, let Aₙ be 张量积 of n K-代数 identical with N; let Bₙ be 集合 of 映射 of Γⁿ⁻¹ into N. By 归纳 on n we can deduce from the C… 06MV
命题 9 — 让 (U_σ)_σ ∈ Γ 成为 GL(n, N) 的元素家庭。对于 A 存在于 GL(n, N) 使得 U_σ = A⁻¹ a(A) 对于所有 σ ∈ Γ 有充分必要 U_σ τ = U_σ · σ(U_τ) 对于 σ, τ 在 Γ。 ↩ 2 06MW
推论 1 令(c_σ)_σ ∈ Γ为N的非零元素族。为了使a ≠ 0存在于N中，使得c_σ = σ(a) · a⁻¹对于所有σ ∈ Γ来说，c_σ τ = c_σ · σ(c_τ)对于Γ中的σ, τ来说是必要且充分的。 ↩ 2 06MX
推论 2 令(a_σ)_σ ∈ Γ为元素和N的家庭。对于b存在于N中，使得a_σ = σ(b) - b对于所有σ ∈ Γ来说，a_σ τ = a_σ + σ(a_τ)对于Γ中的σ, τ来说是充分必要的。 ↩ 2 06MY
定理 2（阿丁） — 令N为域，N的自同构的Γ群以及Γ的不变量K域。设V是有限维的N在K上的向量子K空间。那么V的每个K-线性映射u进入N是线性组合，N中的系数为限制到V 元素共 Γ。 ↩ 1 06MZ
定理 3 — 令 N 为 N 的域、N 的自同构的 Γ 有限群，以及 Γ 的不变量的 K 域。设 n 为 Γ 的基数。 a) 我们有 [N : K] = n，N 是 K 的伽罗瓦扩张，其中伽罗瓦群 Γ。 b) 令 σ₁, …, σₙ 为 Γ 的元素和 N 除以 K 的 (x₁, …, xₙ) 基，然后为 det (σᵢ(xⱼ)) ≠ 0。 c) 让 u 成为 N 中的… ↩ 7 06N0
定理 4 — 令 N 为 K 的伽罗瓦扩张，且 Γ 为伽罗瓦群。令K为N的子扩张的集合，以及Γ的闭子群的G集合。对于每个子群A ∈ G，我们用A的不变量k(Δ)域表示，对于每个子域E ∈ K，我们用N的E-自同构的g(E)群表示。然后 A ↦ k(Δ) 是G 到K 的双射，E ↦ g(E) 是逆双射。 ↩ 2 06N1
引理 1 设 E 是 N 的子扩张。则 N 是 E 的伽罗瓦扩张，Gal(N/E) 是 Gal(N/K) 的闭子群以及导出的拓扑。 ↩ 2 06N2
引理 2 设 A 为 Γ 的子群。令 E 为 A 的不变量的域；那么 N over E 的伽罗瓦群就是 A 在 Γ 中的闭包。 ↩ 1 06N3
推论 1 设E和E'为N包含K中的两个子域；则 E ⊂ E' 当且仅当 g(E) ⊃ g(E')。如果 A 和 A' 是 Γ 的两个闭子群，则 A ⊂ A' 当且仅当 k(Δ) ⊃ k(Δ')。 ↩ 3 06N4
推论 2 令(Eᵢ)_i ∈ I为子域、N包含K的家庭；输入L = ⋂_i ∈ I Eᵢ和M = K( ⋃_i ∈ I Eᵢ )。那么g(L)是最小的闭子群的包含U_i ∈ I g(Eᵢ)，我们有g(M) = ⋂_i ∈ I g(Eᵢ)。 ↩ 1 06N5
推论 3 对于 i = 1, 2，令 Eᵢ 为 N 包含 K 的子域，并令 Δᵢ = g(Eᵢ)。对于任何 σ ∈ Γ 关系 σ(E₁) = E₂ 和 σ Δ₁ σ⁻¹ = Δ₂ 都是等价的。 ↩ 2 06N6
推论 4 设 E 为 N 包含 K 的子域，并设 A = g(E)。为了使 E 成为 K 上的伽罗瓦，A 应该是 Γ 的正规子群是充分必要的。在这种情况下，将 Γ 的限制同态代入 Gal(E/K) 定义，通过商将 Γ / Δ 的拓扑群同构代入 Gal(E/K)。 ↩ 5 06N7
推论 5 设 E 为 N 包含 K 的子域。对于 E 的有限次数超过 K，g(E) 在 Γ 中开是充分必要的。当这种情况发生时，指标 (Γ : g(E)) 是有限的并且等于 [E : K]。 ↩ 2 06N8
推论 6 — 对于i = 1, 2，令Eᵢ为N的N和Γᵢ伽罗瓦群在Eᵢ上的子扩展。以下条件是等效的： a) 群 Γ 是子群 Γ₁ 和 Γ₂ 的直接乘积。 b) 扩张 E₁ 和 E₂ 是 K 上的伽罗瓦，我们有 E₁ ∩ E₂ = K 和 K(E₁ ∪ E₂) = N . ↩ 2 06N9
注与Cor的记号。 6 假设条件 a) 和 b) 成立。限制同态 φᵢ : Γ → Gal(Eᵢ/K) 对于 i = 1, 2 诱导拓扑群同构 Ψ₁ : Γ₂ → Gal(E₁/K) , Ψ₂ : Γ₁ → Gal(E₂/K) 通过a)我们看到映射σ ↦ (φ₁(σ), φ₂(σ))是Gal(N/K)到Gal(E₁/K) × Gal(E₂/K)的拓扑群同构。 06NA
定理 5 令N'为由两个子扩展K'和N生成的K的扩张。假设 N 是 K 上的伽罗瓦，其中伽罗瓦群 Γ 以及 K' ∩ N = K。那么K'的扩张N'就是伽罗瓦，K' ⊗_K N的典范同态φ到N'就是同构。令 σ ∈ Gal(N/K) 并令 σ' 为 Gal(N'/K') 的元素，其中对应在翻译同构下；那么我们就有 σ' ∘ φ = φ ∘ (Id_K' ⊗ u). ↩ 5 06NB
推论 1 令E'为N'包含K'中的子域。存在唯一的子域 E N 包含 K 以及 E' = K'(E)。我们有E = E' ∩ N。 06NC
推论 2 令N为K中的伽罗瓦扩张。假设N在K上的伽罗瓦群Γ是两个闭子群Γ₁和Γ₂的直乘积，并用Eᵢ域的不变量表示Γᵢ 换i = 1, 2。那么E₁ ⊗_K E₂到N的典范同态就是同构。 06ND
注设K和K'是K的两个域和u同态到K'。设Kₛ（K'ₛ）为K（K'）的可分闭包（V，p. 45，命题14）和Π（Π'）伽罗瓦群 Kₛ超过K（或K'ₛ超过K'）。由于Kₛ是K的可分代数扩张且K的扩张(K'ₛ, u)是可分闭代数，因此存在(V, p. 45, Cor.)同态v Kₛ 进入K'ₛ 延伸u。从v我们获得Π'到Π的连续同态v^*。设v₁为u的另一个扩张；… 06NE
定理 6 令N为有限次数之伽罗瓦扩张超过K，令Γ为N之伽罗瓦群超过K。那么存在正常的基为N超过K；在其他字中，K^(Γ)模块N不含秩1。 ↩ 3 06NF
命题 10 设x ∈ N，则对于K^(Γ)-模N的x到形式基，det(σ τ(x))_σ, τ ∈ Γ ≠ 0是充分必要的。 06NG
命题 11 — 假设 K 是无限的，并且令 P : N → K 是 K 上非零的多项式映射。存在 x ∈ N，使得 P(x) ≠ 0 并且 {x} 是 N 在 K^(Γ) 上的基。 06NH
引理 4 设 M 是由元素的有限数 x₁, ..., xₕ 生成的挠元 A-模；则存在 M 的元素 x，其湮没子 (II, p. 219) 等于 M 的湮没子。 ↩ 1 06NI
引理 5 令X为有限Γ集合，并令x₁, …, xₙ为X的点，使得轨道Γ x₁, …, Γ xₙ形式划分为X。对于1 ≤ i ≤ n，令Δᵢ为Γ中xᵢ的稳定子，并令Lᵢ为Aᵢ的不变量的域。那么L₁, …, Lₙ就是K的有限次数可分扩张，而映射f ↦ (f(x₁), …, f(xₙ))就是Θ(X)的K-代数同构到L₁ × … × Lₙ。 ↩ 1 06NJ
命题 12 — 对于每个有限 Γ 集 X 代数 Θ(X) ，K 的 etale，次数等于 X 的基数。此外，K之上的每个etale代数都同构于形式Θ(X)的代数。 ↩ 1 06NK
注 a) 容易证明，对于Θ(X)到K的每个K-代数同态φ，都存在X的唯一元素x，使得对于所有f ∈ Θ(X)都有φ(f) = f(x)。 06NL
命题 13 — 令 N 为 K 的拟伽罗瓦扩展。我们用N的所有K-自同构的Nᵣ、域表示群的不变量，并用Nₛ表示N中K的相对可分代数闭包（V， p. 44）。然后： ↩ 2 06NM
推论 — 令p为K、overlineK、代数闭包的K、Kₛ的特征指数，overlineK中K的相对可分闭包和K^p^-∞为K的完美闭包。那么K^p^∞ ⊗ Kₛ到overlineK的典范同态就是同构。 06NN
注令R（或S）为K的p根（或可分离代数）扩张。 Then 代数 R ⊗_K S is 域 : for R (resp. S) is isomorphic to a subextension of K^p^∞ (resp. Kₛ) and it suffices to apply the above Cor.以及V、p. 17的第1条建议。 06NO

§ 11. 。阿贝尔的扩张

定义 1 — 如果 K 的扩张 E 是伽罗瓦且其伽罗瓦群是可交换的，则称其为阿贝尔的。 06OC
命题 1 — 令 E 为 K 的伽罗瓦扩张，且 Γ 为伽罗瓦群。设 A 为 Γ (I, p. 10, Def. 4) 的导出群，A 的不变量为 F 域。对于 E 的子扩展 L 为阿贝尔的，它包含在 F 中是充分必要的。 ↩ 1 06OD
推论 — 令 E 为 K 的扩张，并令 (Eᵢ)_i ∈ I 为 E 的子扩展族，使得 E = K ( ⋃_i ∈ I Eᵢ )。假设每个扩张Eᵢ都是阿贝尔的，那么E也是如此。 06OE
定义 2 如果存在整数n > 0使得ζⁿ = 1，则K的元素ζ被认为是单位元的根；对于每个整数n > 0，使得ζⁿ = 1、ζ被称为单位元的第n个根。 06OF
定理 1 令p为K的特征指数，令n > 0为整数。则K中单位元的第n个根的群μₙ(K)是循环的，其阶除n；当 K 是代数闭且 n 与 p 互质时，群 μₙ(K) 是阶 n 的循环。 ↩ 4 06OG
引理 1 设G为阶m的K^*的有限子群；那么 G 是循环的，我们有 G = μₘ(K). 06OH
命题 2 — 令 K 为代数闭集，并令 p 为其特征指数。在群 Q/Z[1/p] 上存在 μ∞(K) 的同构。 ↩ 1 06OI
注 1 当 K 是特征 0 的代数闭域时，群 μ∞(K) 因此与 Q/Z 同构的（非规范）。当K是复数的域C时，我们可以写出这样的显式同构：实际上映射x↦e^{2πix}是Q的同态到C与核Z和像 μ∞(C);因此，通过将 Q/Z 的定义同构传至 μ∞(C)。 06OJ
注 2 可以显示以下结果（cf.V，p. 165，例21）：设G和H是两个可交换的群，其元素都是有限的阶。假设对于每个整数 n ≥ 1，方程 nx = 0 具有相同的数和解，假设 G 和 H 中有限。则群 G 和 H 同构的。这提供了提案 2 的新证明。 ↩ 1 06OK
注 3 对于每个素数数 l 设 μ{l∞}(K) = U μ{ln}(K)。当l是K的特征p时，我们有μ{p∞}(K) = {1}。从 I、p. 80、Th。 4，我们推导出 μ∞(K) 是子群 μ{l∞}(K) 的直和，其中 l 运行于与 p 不同的所有素数数的集合。对于给定的素数数 l，只有两种情况是可能的：要么 μ{l∞}(K) 是有限的，然后 μ{l∞}(K… 06OL
命题 3 令k和n ≥ 1为两个整数。那么下面的断言是等价的： ↩ 1 06OM
推论 1 令G为阶n的循环群，令d为n的除子。那么G中的阶d元素数就等于φ(d)。特别地，φ(n)是G的生成元中的数。 ↩ 1 06ON
推论 2 对于每个整数 n ≥ 1，我们有 ∑_d | n φ(d) = n, 其中整数 d 超过除子的集合 n 的 0 ^1。 06OO
命题 4 — 设n ≥ 1为整数；假设 K 中存在单位元的第 n 个根（如果 K 是可分离闭的且n . 1, ≠ 0，则对于例成立）。那么K中单位元的原语第n个根的数等于φ(n)。 ↩ 2 06OP
命题 5 — 对于 K 的每个整数 n ≥ 1 与 p 扩张 Rₙ(K) 的质数是有限次数的阿贝尔的，其伽罗瓦群同构于 (Z/nZ)^* 的子群及其次数除阶φ(n)共(Z/nZ)^*。 ↩ 1 06OQ
引理 2 设 f、g 和 h 为 Q[X] 中的一元多项式，使得 f = gh。如果 f 有整数系数，g 和 h 也是如此。 ↩ 1 06OR
注 \ 对于每个整数 n > 0 函数 μ(n) 定义如下：如果 n 能被素数数的平方整除，我们放入 μ(n) = 0，否则 μ(n) = (-1)ʰ 如果 n 是乘积 h 不同素数数 (« 莫比乌斯函数 »)。可以证明 06OS
引理 3 Kₛ中Φₙ的根是单位元的原始n-第根。 ↩ 1 06OT
命题 6 — 令 p 为 K 的特征指数，令 n ≥ 1 为整数 p 的素数。为了使多项式 Φₙ(X) 在 K[X] 中不可约，同态 χₙ : Gal(Kₛ/K) → (Z/nZ)^* 应该是满射的，这是充分必要的。 ↩ 1 06OU
定理 2（高斯） — 令Q为Q的代数闭包，并令n ≥ 1为整数。 06OV
定义 3 — 如果 K 的扩张 E 是伽罗瓦且其伽罗瓦群是循环的，则称它是循环的。 06OW
例 1) 素数次数的每个伽罗瓦扩张都是循环的，因为素数阶p的每个有限群G都是循环的（对于G的每个元素x ≠ 1都是阶p，因此生成 G）。 0DI2
定理 3（*希尔伯特*） — 令 E 为 K 的循环扩张，并令 a 为 E 在 K 上的伽罗瓦群 Γ 的生成元。 06OX
引理 4 设Γ是阶n的循环群，Γ的σ生成元，M是可交换的群，其中Γ根据规则γ . (m + m') = γ . m + γ . m'对所有进行运算γ ∈ Γ 和 m, m' ∈ M。设 Z 为 Γ 的所有映射中的集合到 M 满足关系 06OY
命题 7 — 设 G 为 G 的交换律群，被 n 和 H 子群湮灭。那么限制同态 Hom(G, T) → Hom(H, T) 是满射。 ↩ 2 06OZ
推论 1 — 如果 G 是被 n 和 G ≠ 1 湮没的交换律群，则 Hom(G, T) ≠ 1。 ↩ 1 06P0
推论 2 — 如果 G 是一个有限交换律群被 n 湮灭，则群 G 和 Hom(G, T) 具有相同的阶。 ↩ 1 06P1
命题 8 — 假设 G 和 H 是可交换的并且被 n 湮灭。如果 sf 是双射且 H 是有限的，则 df 是双射并且我们有 Card(G) = Card(H). 06P2
引理 5 — K(A^1/n) 是指数除以 n 的 K 的阿贝尔的扩张。 06P3
引理 6 — 令L为K的伽罗瓦扩张。Gal(L/K) × ((Lⁿ ∩ K^*)/K^*n)存在唯一映射(σ, a) ↦ ⟨ σ, a ⟩进入μₙ(K)，使得对于每个σ ∈ Gal(L/K)和每个元素0 ∈ L^*，使得θⁿ ∈ K我们有，表示为overlineθⁿ 剩余类类 θⁿ mod K^*n: 06P4
命题 9 对于 K 的有限次数 L 的每个伽罗瓦扩张，同态 k_L 是双射的。 ↩ 1 06P5
推出如果L是K的伽罗瓦扩张，则同态k_L是单射，其像是拓扑群Gal(L/K)的连续同态到离散群的群Hom_c(Gal(L/K), μₙ(K)) μₙ(K). 06P6
定理 4 a) The mapping H ↦ K(H^1/n) is an inclusion preserving bijection of the set of subgroups of K^* containing K^*n onto the set of abelian subextensions of exponent dividing n of Ω. 映… 06P7
例 1 Ω 中包含 K 的指数除以n，存在最大的阿贝尔的扩张；它是通过将所有元素中的第 n 个根与 K 邻接而获得的；它的伽罗瓦群可以与Hom(K^*/K^*n, μₙ(K))识别，因此也可以与Hom(K^*, μₙ(K))识别。 06P8
例 2 \ 让我们取K = Q和n = 2。那么Q^*/Q^*2是向量F₂-空间，其中-1和所有素数数的基并和集合。因此C中包含的Q的指数2的最大的阿贝尔的扩张是C的子域Q(i, sqrt2, sqrt3, sqrt5, …)。它的伽罗瓦群由元素i,\ sqrt2,\ sqrt3,\ sqrt5等乘以± 1得到的所有自同构组成。 \ 06P9
例 3 令L为次数n的K的循环扩张；那么群(Lⁿ ∩ K^*)/K^*n是阶n的循环。如果a ∈ K^*使得a mod K^*n的剩余类类是群的生成元，则L与K[X]/(Xⁿ - a)是K同构，并且群Gal(L/K)由n自同构映射X至ζ X、ζ ∈ μₙ(K)。 06PA
例 4 相反，令 a ∈ K^* 并令 r 至少为整数 > 0，使得 a' ∈ K^*n；那么由多项式Xⁿ - a的根生成的Ω的子域L是次数r的K的循环扩张。特别是，当且仅当r = n时，Xⁿ - a是不可约的。 ↩ 1 06PB
注令 a ∈ K^* 且令 r 最小为整数 > 0，使得 a' ∈ Kⁿ。令B为多项式X^n/r - a的K中根的集合；那么我们有 06PC
引理 7 K(φ⁻¹(A))是指数除p的K阿贝尔的扩张。 06PD
引理 8 令L为K的伽罗瓦扩张。Fₚ中存在Gal(L/K) × ((φ(L) ∩ K)/φ(K))的唯一映射(σ, a) ↦ [a, a')，使得对于所有σ ∈ Gal(L/K)和每个元素x ∈ L，使得φ(x) ∈ K我们有，表示为overlineφ(x) 剩余类类 φ(x) mod φ(K)， 06PE
命题 10 对于K的有限次数的每个伽罗瓦扩张L，同态a_L是双射的。 06PF
推论如果L是K的伽罗瓦扩张，则同态a_L是单射，其像是拓扑群Gal(L/K)的连续同态到离散的群Hom_c(Gal(L/K), Fₚ) 群Fₚ. 06PG
定理 5 a) The mapping A ↦ K(P⁻¹(A)) is a bijection of the set of subgroups of K containing P(K) onto the set of abelian subextensions of exponent dividing p in Ω. 映射的逆元是 L ↦ P(L) ∩ K。 b)… 06PH
例 1 存在除 p 的指数 K 最大的阿贝尔的扩张，包含在 \Omega 中；是K(B^1(K))，它的伽罗瓦群可以用Horn(K/\mathfrak{p}(K),\mathbf{F}p)来表示。 06PI
例 2 设L为次数p的K的循环扩张；那么群 (\mathfrak{p}(L) \cap K)/\mathfrak{p}(K) 是阶 p 的循环。如果 \in K 使得 mod \mathfrak{p}(K) 的剩余类类是该群的生成元，则 L 与 K[X]/(X^p - X - a) 是 K 同构的，并且伽罗瓦群 Gal(L/K) 由 p 自同构映射 X 到 X +… 06PJ
例 3 反之，如果 a \in K - \mathfrak{p}(K)，则多项式 X^p - X - a 是不可约的，由其根生成的 \Omega 的子域 L 是次数 p 的 K 的循环扩张。如果 a \in \mathfrak{p}(K)，则 X^p - X - a = \prod{a \in \mathfrak{p}^{-1}(a)} (X - \alpha)。 06PK

§ 12. 。有限域

命题 1 — 令 K 为有限域，q 元素。 06Q8
命题 2 — 令 K 为 q 元素的有限域。域 K 是 \mathbf{F}p[X] 的多项式 X^q - X 的分裂域，并且是该多项式所有根的集合。 ↩ 2 06Q9
推论 — 同一个基数的两个有限域是同构的。 ↩ 1 06QA
命题 3 — 令K为q元素中的有限域，Ω代数闭扩张中K和m整数geqslant 1。 a) 存在Ω 的唯一子扩展Kₘ，其在K 上具有次数 m。 b) 域Kₘ有qᵐ元素以及Ω的自同构x ↦ x^qᵐ固定点集合。 c) 对于循环群Kₘ^*的每个生成元ζ，我们有Kₘ = K(ζ)。令p为K和f次数的K超过Fₚ的特征。我们有qᵐ = pᶠᵐ和映射，x ↦ x^qᵐ因此是完美… ↩ 2 06QB
推论 — 令K为有限域且Ω代数闭扩张为K。 Ω中K的相对代数闭包overlineK由()和单位元的根组成，是K的代数闭包。 06QC
命题 4 — 令K为q元素中的有限域，以及K中的有限次数m中的Kₘ扩张。 06QD
命题 5 — 拓扑群 π_K : Z → Gal(barK/K) 存在唯一的同构，使得 π_K(1) = σ_q。 06QE
命题 6 — Frobenius 自同构 σ_q 的 φₙ 下的像是 q mod n 的剩余类类。 06QF
推论 — Rₙ 中的 K 中的次数是最小的整数 f ≥ 1，使得 qᶠ ≡ 1 pmodn。为了使分圆多项式Φₙ在K上不可约，群(Z/nZ)^*应由q模n生成剩余类类是必要且充分的。 06QG
例 1 多项式 Φ₃(X) = X² + X + 1 在 F_q[X] 中不可约，当且仅当 q ≡ 2 pmod3。同样，Φ₄(X) = X² + 1 在 F_q[X] 中是不可约的，当且仅当 q ≡ 3 pmod4 且对于 Φ₅ = X⁴ + X³ + X² + X + 1，不可约性条件为 q ≡ 2,\ 3 pmod5。 06QH
例 2 我们有 5² ≡ 1 pmod12，因此 5 (mod 12) 的剩余类类不等于生成 (Z/12Z)^*。所以多项式Φ₁₂(X) = X⁴ - X² + 1在F₅[X]中不是不可约的；事实上我们有 Φ₅(X) = (X² + 2X - 1)(X² - 2X - 1) 在F₅[X]。 06QI

§ 13. 。 $p$-高度延伸$\leq 1$

定义 1 设K为域，L为K高度≤ 1的p根式延伸。 L 元素的家庭 (xᵢ)_i ∈ I 据说在 K 上没有 p（分别是 L K 的 p 基础），如果 xᵢ ∉ K 对于所有 i ∈ I 并且从典范嵌入 uᵢ : K(xᵢ) → L 导出的 ⨂_i ∈ I K(xᵢ) 到 L 的同态是单射（或双射）。 06QX
命题 1 令K为域，L为K和x = (xᵢ)_i ∈ I高度≤ 1的p激进延伸，L的元素族。然后A中的a通过乘积x'' = ∏_i ∈ I xᵢ^αᵢ生成K上的向量空间K(xᵢ)_i ∈ I。为了使(xᵢ)_i ∈ I没有p（或以p为基础），家庭(xᵃ)_a ∈ A应该在K上自由（或L的基在K上）是必要且充分的。 ↩ 6 06QY
推论 — 令 L' 为域 K 的扩张，由两个线性不相交的子扩展 K' 和 L 生成。假设L是K上高度为≤ 1的p根；那么 L' 是 K' 上高度为 ≤ 1 的 p 根式。此外，对于L的元素族在K上无p（分别在K上有L的p基），它在K'上无p（分别在K'上有L'的p基）是必要且充分的。 06QZ
注设K为域，L是K的高度≤ 1的p根延伸，(xᵢ)ᵢ是L的元素族。令 A 为多项式代数 K[(Xᵢ)_i ∈ I]，a 由多项式 Xᵢᵖ - xᵢᵖ 和 φ : A → L K-代数同态生成的 A 的理想值，使得每个 i ∈ I 都有 φ(Xᵢ) = xᵢ。当且仅当φ的核等于a时，族(xᵢ)ᵢ是无p的。对于 K[(Xᵢ)]/a 可以用代数 ⨂_i ∈ I K[… 06R0
命题 2 — 令 K 为域，L K 的高度 ≤ 1 和 S 子集 L 的 p 根延伸。为了使 S 是无 p 的，对于 S 的每个子集 T ≠ S，K(T) ≠ K(S) 是必要且充分的。 ↩ 1 06R1
命题 3 — 令 K 为域，L K 和 S 的高度≤ 1 的 p 根延伸，T 为 L 的两个子集。以下条件是等效的： a) 子集 S 在 K 上无 p，T 在 K(S) 上无 p。 b) S ∩ T = ∅ 并且 S U T 在 K 上是无 p 的。如果 T 在 K(S) 上是无 p 的，则我们有 T ∩ K(S) = ∅ 和更不必说 S ∩ T = ∅。因此我们可… 06R2
推论 — 令 L 为 K 的高度 ≤ 1 的 p 根延伸，M 为 L 的子延伸。那么 L 是 M 上高度为 ≤ 1 的 p 基，M 是 K 上高度为 ≤ 1 的 p 基。此外，如果 B 是 M 在 K 上的 p 基，C 是 M 上L 的 p 基，则 B ∩ C = ∅ 和 B ∪ C 是p-基础为 K 上的 L。 06R3
命题 4 — 令 x = (xᵢ)_i ∈ I 为 K 的 p 基。对于每个整数 n ≥ 1，族 (xᵘ)_u ∈ Λ(n) 是 K 的基超过 K^pⁿ。 06R4
命题 5 令 K 为域和由元素 x 生成的 K 的 L 扩张，使得 x ∉ K,\ xᵖ ∈ K。令V为向量空间除以L，并将K的A推导代入V，使得Δ(xᵖ) = 0。那么存在一个唯一的推导D，将L延伸到V，延伸A，使得D(x) = 0。 ↩ 1 06R5
推论 1 令K为域，L是p高度≤ 1对K和V向量空间在L上的径向延伸。每K的推导A进入V消失在Lᵖ扩展到推导的L进入V。 ↩ 3 06R6
推论 2 —令 L 为域 K 的高度 ≤ l 的 p 根延伸，并令 E 为 L 的子延伸。设 U 是由 E 的元素微分生成的 ΩK(L) 的子空间。则 E 由 L 的元素组成，其与 U 的微分属于。特别是，对于所有 x ∈ L − K，我们有 d{L/K}x ≠ 0。 ↩ 3 06R7
定理 1 —令 L 为域 K 的高度 ≤ l 的 p 根扩展， (ai){i ∈ I}，元素 L 的族。 ↩ 3 06R8
推论 —设 (xi){i ∈ I} 为 L 在 K 上的 p 基。设 V 为 L 上的向量空间，K 的 A 推导进入 V，其在 L^p 和 (ui){i ∈ 上消失I} V 元素的家庭。那么V中存在L的唯一推导D，其中扩展A和映射xi到ui，对于所有i∈I。 06R9
定理 2 — 令 L 为≤ 1 域 K 的 p 根延伸。 a) 在 K 上存在 L 的 p 基。更准确地说，如果 S 是 K 上 L 的无 p 子集和 L 的 T 子集，使得 S ⊂ T 和 L = K(T)，则在 K 上存在L 的 p 基 B，使得S ⊂ B ⊂ T. b) K 上 L 的两个 p 碱基具有相同的基数。 c) 要使[L:K]是有限的，向量空间Ω_K(… ↩ 4 06RA
推出 — 对于每个 x ∈ L - K，存在 L 超过 K 包含 X 的 p 基。 06RB
命题 6 — 令 K 为域（特征 p）和 K 的 L 扩张。 a) 令 x ∈ L;当且仅当 x 属于到 K(Lᵖ) 时，微分 d_L/Kx 消失。 b) Ω_K(L) = 0当且仅当L = K(Lᵖ)。 c) 假设L是K上有限高度的p根；那么 Ω_K(L) = 0 当且仅当 L = K. ↩ 1 06RC
定理 3（雅各布森） — 映射K ↦ g(K)和l ↦ I(h)分别是C到L的双射和L到C的双射，它们是互逆的。如果 K ∈ C 和 h ∈ L 对应彼此成立，则 [E : K] = p^[h : E]。 06RD
引理 1 — 令 L 为域，V 向量空间超过 L，且 u 自同态为 V，使得 uᵖ = u。对于每个i ∈ Fₚ，令Vᵢ为u - i的核。然后我们有 ↩ 2 06RE
引理 2 设 D 为 E 的推导，使得 Dᵖ = D，并令 K 为 D 的核。假设 E 中存在一个非零 x，使得 D(x) = x。那么 K 是 E 包含 Eᵖ 的子域，我们有 [E : K] = p。 06RF
引理 3 设 𝔥 ∈ L 是 E 上的维数 s。然后 I(𝔥) 属于到 C，我们有 [E : I(𝔥)] = pˢ。 06RG
注 — 1) 逆双射 K ↦ g(K) 和 𝔥 ↦ I(𝔥) 互为包含反转；因此，𝔥 ↦ I(𝔥)是有序集合L的同构到与C相反的有序集合上。因此，我们在L中得到𝔥, 𝔥'的关系I(𝔥 ∩ 𝔥') = Eᵖ(I(𝔥), I(𝔥'))，因为𝔥 ∩ 𝔥'是𝔥和𝔥'中包含的L的最大的元素。 06RH

§ 14. 。超越扩张

定义 1 设E为域K中的扩张；如果关于 xᵢ（对于 a = (αᵢ)_i ∈ I，在 N⁽ᴵ⁾）的单项式 xᵃ = ∏_i ∈ I xᵢ^aᵢ 在 K 上线性独立，则 E 的元素的族 x = (xᵢ)_i ∈ I 被认为在 K 上是代数自由的。反之，该族被称为在 K 上代数相关。 ↩ 1 06RO
命题 1 For a family (xᵢ)_i ∈ I of elements of an extension E of a field K to be algebraically free over K it is necessary and sufficient for the relation f((xᵢ)) = 0, where f is a polynom… 06RP
定义 2 设 E 为域 K 的扩张。如果 E 的元素的 (xᵢ)_i ∈ I 族被称为 E 的纯基（在 K 上），如果它是代数自由且 E = K(xᵢ)_i ∈ I。 K 的扩张 E 也称为纯的，如果它具有纯基。 06RQ
命题 2 设E和E'是E的子域K的两个域和u同构到E'的子域K'。令x = (xᵢ)_i ∈ I（或x' = (x'ᵢ)_i ∈ I）为E（或E'）的元素族，它在K（或K'）上是代数自由的。然后存在一个唯一的L = K(xᵢ)_i ∈ I到L' = K'(x'ᵢ)_i ∈ I的同构v，对于每个i ∈ I，K有诱导u，映射xᵢ到x'ᵢ。 ↩ 1 06RR
推论 — 为了使域 K 的扩张 E 是纯的，E 在 K 上与有理分式的域 K 同构是必要且充分的。更准确地说，如果族 (xᵢ)_i ∈ I 是 E 的纯基，则存在 K(Xᵢ)_i ∈ I 在 E 上的唯一 K 同构的，其中每个 i ∈ I 映射 Xᵢ 至 xᵢ。 06RS
注很明显，在 K 的扩张 E 中，K 上的代数自由族由 K 上的线性独立元素组成（因此成对不同）；在其他字中，它也是E的向量空间结构的自由族（相对于K）。但逆命题是假的，因为如果E是K的代数扩张，则E的元素的任何非空族（以及更不必说 K上线性无关的元素的非空族）在K上永远不会在代数上自由。当存在混淆的风险时，我们应该说子集是K 的扩张 E 对于 E 的向量… 06RT
命题 3 — 对于(xᵢ)_i ∈ I、扩张 E、域 K 的元素族在 K 上代数上自由，(xᵢ)_i ∈ I 的每个有限子族在 K 上代数上自由是必要且充分的。 ↩ 4 06RU
命题 4 — 令 E 为域 K 的扩张，S 和 T 为 E 的两个子集。那么以下性质是等价的： a) S ∪ T 在 K 和 S ∩ T = ∅ 上是代数自由的。 ↩ 4 06RV
推论 — 令 E 为域 K 的扩张和 E 的 S 子集，它在 K 上代数上自由。如果 x \in E 在 K(S) 上超越，则 S U {x} 在 K 上代数上自由。 ↩ 2 06RW
命题 5 — 令 E 为域 K 的扩张。为了使 E 的子集 S 在 K 上是代数自由的，对于 S 中的每个 x \in，元素 x 应超越域 K(S - {x}) 是必要且充分的。 ↩ 1 06RX
命题 6 — 令 E 为域 K 的扩张，且 X 是 E 在 K 上的代数自由的子集。如果 K' \子集 E 是 K 的代数扩张，则 X 在 K' 上是代数自由的。 ↩ 3 06RY
定义 3 扩张 E 域 K 的子集 B 是 E 的超越基（在 K 上），如果 B 在 K 上是代数自由的且 E 在 K(B) 上是代数的。 06RZ
例 — 纯粹的基是一种超越基。另一方面，如果 E 是 K 的纯扩张，则 E 对 K 的超越基并不总是 E 的纯基。对于例，在 K(X) 中，X² 是超越基，但不生成K(X). 06S0
命题 7 设 E 为域 K 的扩张。E 的每个超越基都是 E 的子集集合（按包含排序）的极大元素，在代数上自由于 K。相反，如果 S 是 E 的子集，则 E 为超过 K(S) 的代数，S 的每个最大代数自由子集都是 E 的超越基。 ↩ 2 06S1
定理 1（斯坦尼茨） — 域 K 的每个扩张 E 都承认对 K 的超越基。在其他字中，域 K 的每个扩张都是 K 的纯扩张的代数扩张。 ↩ 3 06S2
定理 2 设 E 为域 K 的扩张，E 的 S 子集，使得 E 在 K(S) 上是代数，S 的 T 子集在 K 上是代数自由的；那么存在 E 对 K 的超越基 B，使得 T ⊂ B ⊂ S. ↩ 5 06S3
推论 (« 交换定理 ») — 令 E 为 K 的扩张，E 的 S 子集，使得 E 在 K(S) 上是代数，E 的 T 子集在 K 上是代数自由的；则存在 S 的子集 S'，使得 T ∪ S' 是 E 对 K 的超越基，并且 T ∩ S' = ∅。 06S4
定理 3 — 令 E 为域 K 的扩张。E 对 K 的所有超越基具有相同的基数。 ↩ 1 06S5
定义 4 — 令 E 为域 K 的扩张。E 对 K 的每个超越基的基数称为 E 对 K 的超越次数，写作 tr。 degK E。 06S6
推论 1 — 令 S 为 E 的子集，使得 E 是 K(S) 上的代数。则 Card(S) ≥ n；如果 S 的基数等于 n，则 S 在 K 上是代数自由的（因此它是 E 对 K 的超越基）。 ↩ 2 06S7
推论 2 — 假设 E = K(x1, ..., xm)，则 m ≥ n；此外，如果 m = n，则 (x1, ..., xm) 是 E 在 K 上的纯基，并且 E 是 K 的纯扩张。 06S8
推论 3 — E 的每个子集在 K 上是代数自由的，至多有 n 元素，并且如果它恰好有 n 元素，则它是 E 在 K 上的超越基。 06S9
定理 4 — 令K, E和F为三个域，使得K ⊂ E ⊂ F。如果S是E对K的超越基，T是F对E的超越基，则S ∩ T为空，S ∪ T为超越基中的 F 超过 K。 06SA
推论 — 令K, E和F为三个域，使得K ⊂ E ⊂ F。然后我们有 tr. deg_K F = tr. deg_K E + tr. deg_E F ↩ 1 06SB
命题 8 — 令Ω为域、K、E和F的代数闭扩张，Ω和u的两个子扩展，E到F的K同构。为了使O存在扩展u的K自同构v，Ω对E和F具有相同的超越性次数是必要且充分的。 ↩ 1 06SC
推论 1 — 令O为域K的代数闭扩张，并且E为Ω的子扩展。 E扩展的每个K自同构到Ω的K自同构。 ↩ 1 06SD
推论 2 — 令Ω为域、K、E和F的代数闭扩张，Ω和u的两个子扩展，E的K同构到F。如果E在K上的超越次数是有限的（特别是如果E是K上的代数），则存在Ω延伸u的K自同构。 ↩ 1 06SE
命题 9 — 令 K 为 K 的域和 Ω 代数闭扩张。假设 Ω 不是 K 上的代数；则超越 K 的 Ω 的元素的集合是无限的。此外，如果 x 和 y 是 Ω 中超越 K 的两个元素，则在 K 上存在 Ω 的自同构 u 使得 u(x) = y。 ↩ 1 06SF
命题 10 — 令 K 为 K 的域、Ω 代数闭扩张，以及 Ω 的 K 自同构的 G 群。让x ∈ Ω。 ↩ 1 06SG
定义 5 — 令 L 为域 K 的扩张，E 和 F 为L 的两个子扩展。那么，E 和 F 被称为代数不相交的（在 K 上），并且 E 被称为从 F 在 K 上的代数不相交的，如果对于 E（分别 F）的每个子集 A（分别 B）在 K 上代数自由，A 和 B 是不相交的并且 A ∪ B 是代数自由的超过K。 ↩ 1 06SH
注 1 如果 E 是 L 的子外延，并且是 K 上的代数，那么它在 L 的每个子外延 F 的代数上都是不相交的。对于 K 的扩张来说，它是代数的，它本身应该是代数的不相交的是充分必要的。 06SI
注 2 可能会发生 E 是从 F 到 K 的代数不相交的，但不超过 K 的子域 K_|。 \ 对于例 C 从自身到 R 的代数不相交的，但不超过 Q。 \ 06SJ
注 3 显然，如果E在K上从F代数不相交的，则当E和F被视为L的子扩张时，当它们被视为K(E ∪ F)的子扩张时也是如此，反之亦然。 06SK
命题 11 — 如果 E 和 F 在 K 上是代数不相交的，则 E ∩ F 在 K 上是代数。 06SL
命题 12 — 令 L 为域 K 的扩张以及 L 的 E、F 子扩展。那么下面的条件是等价的： ↩ 4 06SM
推论 — 令 E 和 F 在 K 上为不相交的。令 E' 为 E 在 L 中的相对代数闭包，F' 为 F 中的相对代数闭包 (V, p. 19)。那么 E' 和 F' 在 K 上是代数不相交的。 06SN
命题 13 — 令 L 为域 K 和 E、F L 的两个子扩展的扩张。 ↩ 1 06SO
命题 14 — 令 L 为域 K 的扩张，E 和 F 是 L 和 B 的两个子扩展，是 E 对 K 的超越基。对于 E 和 F 在 K 上的代数不相交的，K(B) 和 F 在 K 上线性不相交的是充分必要的。 ↩ 2 06SP
推论 1 — 如果 E 和 F 是线性不相交的，则 E 是 F 在 K 上的代数不相交的。相反，如果 E 是 K 的纯扩张，并且是 F 在 K 上的代数不相交的，则 E 和 F 在 K 上是线性不相交的。 ↩ 1 06SQ
推论 2 — K 的每个纯扩张都与 K 的每个代数扩张线性相关不相交的；特别是，K 在 K 的每个纯扩张中都是相对代数封闭的。 ↩ 1 06SR
定义 6 — 设L为域K和(Eᵢ)_i ∈ I的扩张，L的子扩展族。如果满足以下条件，则称族(Eᵢ)_i ∈ I是代数自由的： 06SS
注根据命题3（V，p. 107），足以验证条件（AF）对于有限子集Aᵢ。因此，我们得到以下结果：如果(Eᵢ)_i ∈ I是代数自由族，则(E'ᵢ)_i ∈ I也是如此，如果E'ᵢ是每个i ∈ I的Eᵢ的子扩展；相反，如果每个族(E'ᵢ)_i ∈ I（其中E'ᵢ是每个i ∈ I的有限生成的E子扩展）是代数自由的，则(Eᵢ)_i ∈ I是代数自由的。另一方面，对于… 06ST
命题 15 — 令 (Eᵢ)_i ∈ I 为域 K 的给定扩张 L 的子扩展族。那么下面的条件是等价的： ↩ 2 06SU
命题 16 — 令 (Ei){i \in I} 为域 K 的扩张的子扩展族，并令E为由⋃_i ∈ I Eᵢ生成的域。 06SV
定理 5 — 设 (Ei){i \in I}，为域 K 的扩张和 \Omega 代数闭扩张 K 的族。假设不等式 ↩ 1 06SW
推论 1 — 设 E 和 R 为域 K 的两个扩张。假设 Ω 是代数闭集，超越性次数至少等于 E 的超越性。则 E 与 R 的子外延 K 同构。 ↩ 2 06SX
推论 2 — 令 R 为代数闭域，无限超越次数超过其素数子域。那么每一个与Ω具有相同特征的域都是域的升向有向并，同构于R的子域。 ↩ 1 06SY
命题 17 — 令 E 为域 K 的扩张，B 为 E 对 K 的超越基。为了使 E 在 K (V, p. 11, Def. 2) 上有限生成，B 是有限的且次数 [E : K(B)] 是有限的，这是必要且充分的。 ↩ 1 06SZ
推论 1 — 假设E是K的有限生成的扩张，并令K'为E中K的相对代数闭包（V，p. 19）。那么 K' 的有限次数大于 K。 ↩ 3 06T0
推论 2 — 域在其素数子域包含上有限生成单位元的有限多个根。 06T1
推论 3 — 如果 E 是域 K 的有限生成的扩张，则 E 的每个子扩展 E' 都是有限生成的。 06T2

§ 15. 。可分扩张

命题 1 — 设 A 为 A 的交换环且 x 元素。要使 x 幂零，1 - xT 在环 A[T] 中可逆是充分必要的。 ↩ 1 06TN
命题 2 — 令 A 为交换环。 A 的幂零元的集合是 A 的理想，等于 A 的所有素理想中集合的交。 ↩ 3 06TO
推论 — 要减少交换环 (V, p. 34, Def. 2) 它同构于域的乘积子环是必要且充分的。 ↩ 2 06TP
定义 1 令 A 为交换代数超过域 K。 Then A is said to be separable over K, or also a separable K-algebra if the ring L ⊗_K A is reduced for every extension L of K. ↩ 4 06TQ
例 1) 设 A 为多项式代数 K[Xᵢ]_i ∈ I。对于 K 环 L ⊗_K A 的每个扩张 L 都同构于 L[Xᵢ]_i ∈ I (III, p. 449, 注 2)，因此是整环 (IV, p. 9，提案 8）。在其他字中，域K上的每个多项式代数都是可分离的K代数。 ↩ 1 0DI7
命题 3 令K为域。 ↩ 2 06TR
命题 4 — 令A为域K上可分离的代数，令B为A的分数之和环；那么 K-代数 B 是可分的。 ↩ 2 06TS
命题 5 — 令K为域且A, B可交换K-代数。如果 A 减少且 B 可分离，则 A ⊗_K B 减少。 ↩ 7 06TT
推论 1 — 令K为域、K的L可分扩张以及fK[X]的多项式。如果f在K[X]中没有倍数因子，那么在L[X]中也没有倍数因子。 ↩ 1 06TU
推论 2 — 令 A 和 B 为两个交换K-代数。如果 A 和 B 是可分离的，则 A ⊗K B 也是如此。 06TV
命题 6 — 域 K 的每个纯扩张都是可分的。这立即源自例 1 (V, p. 119) 和提案 4 (V, p. 120)。 ↩ 2 06TW
命题 7 — 令 E 为 E 的自同构的域、G 群，K 为 G 的不变量的 E 由……组成的子域。则 E 为 K 的可分扩张。 06TX
命题 8 — 令 L 为域 K 的扩张。如果 L 在 K 上可分，则 L 的每个子外延在 K 上可分。反之，如果 L 的每个有限生成子外延在 K 上可分，则 L 在 K 上可分。 ↩ 1 06TY
命题 9 — 令 L 为域 K 的扩张，M 为可交换的 L 代数（对于例、扩张 L）。如果 M 在 L 上可分且 L 在 K 上可分，则 M 在 K 上可分。 ↩ 2 06TZ
定理 1 — 令 K 为特征 0 的域。K 的每个约化K-代数，尤其是每个扩张都可在 K 上分离。 ↩ 3 06U0
定理 2 — 令 K 为特征 p ≠ 0 的域，K^p^-∞ K 和 A 交换K-代数的完美闭包。以下属性是等效的： a) A 是可分离的。 b) 存在 K 的扩张 K'，使得 K' 是完美的且K' ⊗_K A 被约化。 c) 环 K^p^-∞ ⊗_K A 减少。 ↩ 6 06U1
推论 1（Mac Lane） — Let K be a field of characteristic exponent p, Ω a perfect extension of K and L a subextension of Ω. 那么以下条件是等价的： ↩ 5 06U2
推论 2 — 令K为特征指数p的域，K的完美闭包K^p^-∞和K的L可分扩张。则环L ⊗_K K^p^-∞为域。此外，如果L是K上的代数，那么L ⊗_K K^p^-∞是L的完美闭包。 ↩ 1 06U3
推论 3 — 令 L 为 K 的代数扩张，M 为可交换的 L-代数（对于 L 的例扩张）。如果 M 在 K 上可分，则它在 L 上可分。 ↩ 1 06U4
注 — 可以在不引入除 L 之外的 K 的任何扩张的情况下制定 Mac Lane 准则。对于 Cor 的 c) 而言。 1, L 在 K 上可分当且仅当 L 和 Kᴾ 在 K 上线性不相交的。由于映射 x ↦ xᵖ 是 L 的同构到子域 Lᴾ，我们得到以下准则（cf. V、p. 177，Ex. 11 用于代数的类似标准）： 06U5
定理 3 — 设 K 为完美域。 a) K 的每个代数扩张都是完美域。 b) K 的每个扩张都是可分的。 c) 为了使K-代数可分离，减少它是必要且充分的。 d) 令 A 和 B 为 2 的约简 K-代数。那么A ⊗_K B就减少了。 e) 如果 E 和 F 是 K 的两个扩张，则环 E ⊗_K F 会减少。 ↩ 5 06U6
定理 4 — 令 Ω 为域 K 的代数闭扩张，且L Ω 的子扩展。那么下面的条件是等价的： a) L 在 K 上可分。 b) Ω ⊗_K L到Ω的0代数同态的核的交减少到0。 c) 对于 L 的任何元素 a₁, …, aₙ 与 K 线性无关，存在 Ω 的 K 自同构 σ₁, …, σₙ，使得 det(σᵢ(aⱼ)) ≠ 0。 d) 设V为有限维的L的向量子K空间。 V… ↩ 1 06U7

§ 16. 。可分离性差异判据

命题 1 — 假设族x = (xᵢ)_i ∈ I、生成K-代数 A。设(mᵢ)_i ∈ I是M的元素族和(f_λ)_λ，多项式族生成的所有多项式f ∈ K[Xᵢ]_i ∈ I的理想a，使得f(x) = 0。对于 A 到 M 的推导 D 的存在，使得 D(c · 1) = Δ(c) 对于所有 c ∈ K 和 D(xᵢ) = mᵢ 对于所有 i ∈ I 是必要且充分的 ↩ 2 06UK
命题 2 — 以下条件是等效的： a) 映射 α 是单射。 b) 每个K-将L推导为M扩展到K-将M推导为M。 c) 每个L的K-衍生到向量M-空间V扩展到K-M衍生到V。 ↩ 3 06UL
命题 3 — 令K为域，L为K的纯扩张，(xᵢ)_i ∈ I为L的纯基（V，p. 106，Def.2）。 ↩ 3 06UM
推论 — 设 P 为 K 的子域。 Ω_P(K) ⊗_K L典范映射α入Ω_P(L)单射且族(d_L/P xᵢ)_i ∈ I，是Ω_P(L)子空间基（超过L）对α : Ω_P(K) ⊗_K L → Ω_P(L)像的补充。 06UN
命题 4 — 设K为域，L是K和V向量空间在L上的可分离代数扩张。 ↩ 7 06UO
推论 1 — 如果 L 是代数且可在 K 上分离，则我们有 Ω_K(L) = 0。 ↩ 2 06UP
推论 2 — 如果 L 是代数，并且域 K 的可分扩张，则对于 K 的每个子域 P，典范映射 α : Ω_P(K) ⊗_K L → Ω_P(L) 是同构。 06UQ
推论 3 — 设 E 为域 K 的扩张，D 推导将 E 转化为 E，将映射 K 转化为 K。如果 L 是 E 的子扩展，且是代数且可在 K 上分离，则 D(L) ⊂ L。 06UR
注 — 1）稍后（V，p. 131，Cor.3 和p. 135，Cor.2）我们将向 Cor. 证明逆命题。提案 4 中的 1 条。 06US
定理 1 — 令 K 为特征 0 的域、K 的 L 扩张以及 L 上的 V 向量空间。设A是K的推导进入V，(xᵢ)_i ∈ I，L对K的超越基和(uᵢ)_i ∈ I，V的元素的族。那么存在一个唯一的 L 的推导 D 延伸到V 延伸 A，并且对于所有 i ∈ I 都有 D(xᵢ) = uᵢ。 ↩ 3 06UT
推论 1 — K 的每个推导转换为 V 扩展到推导 L 转换为 V ↩ 1 06UU
推论 2 — 令 E 为 L 和 U 向量 L 子空间Ω_K(L) 的子扩展，由 E 的元素微分生成。对于元素 x 来说，dx ∈ U 是必要且充分的。 ↩ 3 06UV
推论 3 — 为了使 L 的元素 x 成为 K 上的代数，dx = 0 在 Ω_K(L) 中是必要且充分的。特别是，对于L是K的代数扩张来说，Ω_K(L) = 0是充分必要的。这立即来自Cor。 2 服用E = K。 06UW
推论 4 — 令 K、L 和 M 为特征 0 的域，使得 K ⊂ L ⊂ M：则典范映射 a : Ω_K(L) ⊗_L M → Ω_K(M) 是单射的。这是从 Cor 立即得出的结论。 1 和 V、p. 128、提案 2。 06UX
定理 2 — 令K为特征0的域、K的L扩张和(xᵢ)_i ∈ I，L的元素族。 a) 对于 (xᵢ)_i ∈ I，为了在 K 上保持代数自由，Ω_K(L) 中的微分 dxᵢ（对于 i ∈ I）在 L 上应该是线性自由的。 b) 为了使L成为K(xᵢ)_i ∈ I上的代数，对于i ∈ I生成向量空间Ω_K(L)在L上的微分dxᵢ是必要且充分的。 c) 为了使(xᵢ)_i… 06UY
推论 — 当 K 的特征为 0 时，我们有 [Ω_K(L) : L] = tr · deg_K L。 06UZ
定理 3 — 令 K 为 K 的域和 L 扩张。为了使 L 可在 K 上分离，K 的每个推导进入向量 L 空间应为扩展至推导 L。我们可以假设 K 具有特征≠ 0。首先假设L在K上可分。令V在L上成为向量空间，并且将K的A推导变成V。通过Mac ↩ 2 06V0
推论 — 如果L是K的可分扩张，则典范映射αₚ : Ωₚ(K) ⊗_K L → Ωₚ(L)对于K的每个子域P是单射的。相反，如果存在 K 的完美子域 P（对于例 K 的质数子域），使得映射 αₚ 是单射的，则 L 在 K 上可分。 06V1
引理 1 — 令U和V为有限维中的两个向量空间超过域L。每个线性映射f : U → V拥有指标等于[V : L] - [U : L]。 ↩ 1 06V2
引理 2 令 f : U → V 和 g : V → W 为两个 L 线性映射。 iff 和 g 各有指标，g ∘ f 也是如此，我们有 ↩ 1 06V3
定理 4 令 P 为 P 的完美域、L 扩张，K 为 L 的子扩展；我们假设L是K的有限生成的扩张。那么规范的L线性映射a : Ωₚ(K) ⊗_K L → Ωₚ(L)的指标等于L在K上的超越次数。 ↩ 2 06V4
推论 1 — 令L为超越次数s的域K的有限生成扩张。向量空间 Ω_K(L) 是维数 ≥ s 超过L，等式当且仅当L K 可分离。 ↩ 4 06V5
推出 2 — 令 L 为域 K 的有限生成扩张。对于 L 是代数且可在 K 上分离，Ω_K(L) = 0 是充分必要的。这直接从 Cor 得出。 1. ↩ 4 06V6
推出 3 — 令 K 为特征 p ≠ 0 的域和L 超越次数 s 的 K 的有限生成的扩张。如果[K : Kᵖ]是有限的，[L : Lᵖ]也是有限的，我们有[L : Lᵖ] = pˢ。 [K : Kᵖ]. 令 P 为 K 的素数子域。如果 [K : Kᵖ] 是有限的，则向量空间 Ω_P(K) = Ω_Kᵖ(K) 在 K 上有有限维 m，并且我们有 [K : Kᵖ] =… 06V7
注 1 令 K 为特征 p ≠ 0 的域和 K 的L 扩张。当且仅当L = K(Lᵖ)（V，p. 103，命题 6）时，我们才有Ω_K(L) = 0。因此，如果L是在K上有限生成的，那么它是一个代数，并且可分扩张当且仅当我们有L = K(Lᵖ)。当L不是在K上有限生成时，这个结果通常不再成立，如L是K的完美闭包的情况所示。 06V8
注 2 令K为由元素x₁, …, xₙ生成的K的K[X₁, …, Xₙ]和L扩张的域、F₁, …, Fₘ多项式。假设多项式 F₁, …, Fₘ 生成是所有多项式 F 的K[X₁, …, Xₙ] 由……组成的理想，使得F(x₁, …, xₙ) = 0。从命题1（V，p. 127）和模的微分（III，p. 569）的泛性质，我们很容易推导出以下结果： L上的向量空间Ω_… 06V9
定义 1 设L为域K中的扩张。如果 K(B) 的代数扩张 L 可分离，则 L 对 K 的超越基 B 被认为是可分离的。 06VA
定理 5 设K为域，K的L扩张和(xᵢ)_i ∈ I，L的元素一家。如果家庭(xᵢ)_i ∈ I，是L超过K的分离超越基，那么家庭(dxᵢ)_i ∈ I，就是向量空间Ω_K(L)超过L的基。如果 L 是 K 的有限生成的可分扩张，则逆命题成立。 ↩ 1 06VB
推出令L为K的可分离有限生成扩张，并令S为L的子集，使得L = K(S)。那么存在L对K的分离超越基B，包含在S中。 ↩ 1 06VC
注 — 设L是特征p ≠ 0的域K的可分离有限生成扩张；可能存在不分离的基对L的超越。只要观察到Xᵖ是K(X)的超越基，而K(X)是K(Xᵖ)的次数p的p根式扩展就足够了。 06VD
命题 5 — 令 L 和 M 为给定扩张中包含的域 K 中的两个扩张，并且在 K 上代数上不相交的。如果 M 在 K 上可分，则 L(M) 在 L 上可分。 ↩ 2 06VE
推出 — 如果 L 和 M 是可分扩张，在 K 上代数不相交的，则域 K(L ∪ M) 在 K 上可分。 06VF

§ 17. 。常规扩张

定理 1（扎里斯基） — 令 K 为 K 的域、L 扩张，K₁ L 中 K 的相对可分代数闭包 (V、p. 44)，K₂ 代数闭包中 K 的相对可分L (V, p. 19) 和 (Xᵢ)_i ∈ I 不定族。那么K₁(Xᵢ)_i ∈ I就是L(Xᵢ)_i ∈ I中K(Xᵢ)_i ∈ I的相对可分代数闭包，K₂(Xᵢ)_i ∈ I就是L(Xᵢ)_i ∈ I中K(Xᵢ)_i ∈ I的… 06VP
命题 1 — 令 Ω 为域 K 的扩张，并令 L, M 为 Ω 的两个子扩展，它们在代数上是不相交的超过 K。假设L中K的相对可分代数闭包等于K^1。令φ为L ⊗_K M到Ω映射x ⊗ y到xy的K代数同态，对于x ∈ L, y ∈ M，令p为核 φ。那么p就是L ⊗_K M的幂零元集合，这是L ⊗_K M的最小的素理想。 06VQ
推论设L和M为域K的两个扩张。假设L中K的相对可分代数闭包等于K。则L ⊗_K M的幂零元的集合p是素理想。此外，如果L或M可通过K分离，则L ⊗_K M是整环。 06VR
定义 1 令 K 为域。如果对于 K 的每个扩张 L，L ⊗_K A 是整环，则称代数 A over K 是正则的。 06VS
命题 2 — 令A和B为代数除以域K。如果 A 是整环并且 B 是正则，则 A ⊗_K B 是整环。 ↩ 1 06VT
命题 3 — 令 K 为域。 a) 正则 K 代数的每个子代数本身都是正则的。 b) 两个正则 K 代数的张量积又是正则的。 c) 令 A 为 K 代数，且 K' 扩张为 K。为了使 A 是正则的，从 A 通过扩张标量导出的 K'-代数 A_(K') 应该是正则的，这是必要且充分的。 ↩ 2 06VU
定义 2 — 域 K 的扩张被认为是正则的，如果它是正则的 K-代数。 ↩ 1 06VV
命题 4 — 令A为代数除以域K，即整环，并且E为分数的域。设L为K中的扩张；如果环L ⊗_K A是整环，L ⊗_K E也是如此。 ↩ 1 06VW
推论 — 要使 A 成为正则 K 代数，其分数的域应该是 K 的正则扩张是充分必要的。 06VX
命题 5 — 域 K 的每个纯扩张都是正则。 06VY
命题 6 — 令 L 为域 K 的扩张。如果 L 是正则的，则 L 的每个子扩展都是正则的。相反，如果 L 的每个有限生成的子扩展都是正则的，则 L 也是正则的。 06VZ
命题 7 — 令 L 为域 K 的扩张，且 M 为 L 代数（对于例、扩张 L）。如果 L 在 K 上是正则且 M 是正则 L 代数，则 M 是正则 K-代数。 06W0
命题 8 — 令 L 和 M 为域 K 中的两个扩张。 06W1
命题 9 — 令 K 为 K 的域、K 的 overlineK 代数闭包和 K 的 L 扩张。则以下条件是等价的： ↩ 1 06W2
推论 1 — 令 A 为代数大于域 K。要使 A 成为正则 K-代数，环 barK ⊗_K A 为整环是充分必要的。 ↩ 1 06W3
推论 2 — 令 K 为代数闭域。每个K-代数即整环都是常规的K-代数。特别是，K 的每个扩张都是规则的。 ↩ 1 06W4
推论 3 — 设 K 为代数闭域。如果A和B是两个K-代数，即整环，那么A ⊗_K B也是如此。 06W5
命题 10 — Let L and M be two extensions of a field K and (E, u, v) a composite extension of L and M (V, p. 12). 假设环 L ⊗_K M 为整环，且 E 的子外延 u(L) 和 v(M) 在 K 上代数为不相交的。那么u(L)和v(M)在K上是线性的不相交的。 ↩ 2 06W6
推论 1 Let Ω be an extension of a field K and L a subextension of Ω which is regular over K. Ω 的每个子扩展 M（从 L 到 K 的代数不相交的）都是线性的不相交的。 06W7
推论 2 令Ω为域K和L, M两个Ω的子扩展的扩张。假设L在K上可分，并且M中K的相对可分闭包等于K。如果L和M在代数上是不相交的超过K，那么它们是线性不相交的超过K。 06W8

VI. 订购群和域

§ 1. 。订购群。分割性

定义 1 — 一个可交换幺半群结构（写成加法）和集合M上的排序（写成≤）被认为是兼容的，如果它们满足满足以下公理： 06WE
例 1 有理数整数的加法群和有理数数的群按照I第21页和第117页中定义的顺序排列。对于实数的加法群也是如此（Gen.Top.， IV，第 3 页）。 \ 06WF
例 2 在集合E上定义的有限数值函数的加法群是一个有序的群，其排序为“f(x) ≤ g(x)对于所有x ∈ E”，写作f ≤ g。 This 关系 says that the graph of 函数 f lies below that of 函数 g. The reader may find it convenient to think in 项 of this g… 06WG
命题 1 (« 加法 of inequalities ») — In an ordered monoid M, let (xᵢ) and (yᵢ) (1 ≤ i ≤ n) be two 序列 of n 元素 such that xᵢ ≤ yᵢ for all i;那么一个人有 06WH
命题 2 In an ordered 群 G 关系 x ≤ y and x + z ≤ y + z are equivalent. ↩ 1 06WI
推出 — In an ordered 群 G, 关系 x ≤ y, 0 ≤ y - x, x - y ≤ 0 and -y ≤ -x are equivalent. 06WJ
定义 2 — 集合 M 上的前序关系（写作 ≤）和可交换幺半群结构（附加写作）如果满足满足以下公理，则称它们是兼容的： 06WK
命题 3 — 如果P是阿贝尔的群G、包含0的子集且P + P ⊂ P，则关系y - x ∈ P是兼容的前序关系群结构共 G。 For this 关系 to make G an ordered 群 it is necessary and sufficient to have P ∩ (-P) = 0; for G to be a totally ordered 群 un… ↩ 2 06WL
定义 3 在有序的群G中，任何元素x，使得0 ≤ x（或x ≤ 0）被称为正（或负）元素。 06WM
例 — 在加法群Z × Z中，令P为元素(x, y)满足的集合两个不等式ax + by ≥ 0和cx + dy ≥ 0，其中a, b, c, d为整数（或实数 ) 使得 ad - bc ≠ 0; «锥体»P满足命题3的前两个条件，这样就可以定义与Z × Z的群结构兼容的各种排序；群在任何这些排序下都不是完全排序的。 06WN
注 — 由于条件P + P ⊂ P，有序群中的关系x ≥ 0意味着nx ≥ 0对应于每个自然数n。若加法中G的正元素x有有限阶n，则-x = (n-1)x为正；自从 06WO
命题 4 对于要过滤的有序群G，它由其正数元素生成是必要且充分的，即每个元素都是两个正数元素的差。 06WP
命题 5 — 如果 (xᵢ) 是过滤后的群 G 的元素的有限族，则存在 z ∈ G 使得 xᵢ + z 对于每个 i 都是正数。 06WQ
注 1 K^*中的关系在本质上取决于特定的环 A。如果A = K我们得到“平凡”关系，其中x | y对于元素的每个对(x, y) K^*。设 p 和 q 为素数数；有理数数 r/s，其分母不是 p（或 q）形式子环 Z₍ₚ₎（或 Z_(q)）或 Q 的倍数；如果 p ≠ q、数 p/q 在一个关系下倍数为 1 而在另一个关系下不为 1，则 Q^* 中的关系相对于这两… 06WR
注 2 我们将关系x | y有时扩展定义到K元素对（而不仅仅是K^*），这个关系被认为是“那里”存在 z ∈ A 使得 y = zx »;因此，我们将为所有 x ∈ K 提供 x | 0。这允许我们在没有限制的情况下陈述以下结果：如果 x | y 和 x | z 那么 x | (y - z)；如果x | y和x nmid z则x nmid (y - z)。以同样的方… 06WS
注 1 在最常见的情况下，良序指标集合 I 将是 N 中的有限区间 (1, n)。 06WT
注 2 词典乘积 G 的正元素的集合由0和那些至少指标的非零的分量为正的非零元素组成。 06WU
命题 6 — 令 (xᵢ)_i ∈ A, (y_β)_β ∈ B 为有序群 G 的元素的两个族，每个族都有一个上界。那么家族(x_α + y_β)_(α, β) ∈ A × B有一个至高点，并且 sup_(α, β) ∈ A × B (x_α + y_β) = sup_α ∈ A x_α + sup_β ∈ B y_β. 事实上，从所有α和β的x_α + y_β ≤… 06WV
命题 7 — 如果 x 和 y 是有序群 G 的两个元素，并且如果元素 inf(x, y)、sup(x, y) 之一存在，则另一个也存在，x + y = inf(x, y) - sup(x, y) 也存在。 06WW
命题 7 — 如果a, b ∈ K^*，并且如果 d 是 a 和 b 的 gcd，并且 m 是 a 和 b 的 lcm，则乘积 dm 是 ab 的关联。 ↩ 1 06WX
命题 8 — 令 P 为有序群 G 的正元素的集合。对于 G 是晶格有序的，G = P - P 以及加法 P 中的加法 P（配备诱导排序）满足以下条件中的一个或其他是必要且充分的： 06WY
定理 1 (分解定理) — 设 (xᵢ)_1 ≤ i ≤ p 和 (yⱼ)_1 ≤ j ≤ q 为群 G 的正元素的两个有限序列这样 ∑ᵢ₌₁ᵖ xᵢ = ∑ⱼ₌₁^q yⱼ ; 则存在双序列 (zᵢⱼ)_1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ q 正元素G使得xᵢ = ∑ⱼ₌₁^q zᵢⱼ对于所有i，和yⱼ = ∑ᵢ₌₁ᵖ zᵢⱼ对于所有j。 ↩ 1 06WZ
推论 — 令 y, x₁, x₂, …, xₙ 为 n + 1 G 的正元素，使得 y ≤ ∑ᵢ₌₁ⁿ xᵢ；则存在n正元素yᵢ(1 ≤ i ≤ n)使得yᵢ ≤ xᵢ和y = ∑ᵢ₌₁ⁿ yᵢ。 06X0
定义 4 — 在群G有序的格子中，元素x ∈ G的正部分（或负部分，绝对值）为元素sup(x, 0)（或sup(-x, 0)， sup(x, -x)），表示为x⁺（分别为x⁻、|x|）。 06X1
命题 9 — a) 对于有序群 G 的每个元素 x，我们有 x = x⁺ - x⁻ 和 inf(x⁺, x⁻) = 0。 06X2
注我们从 d) 推论出 |x| = 0 蕴涵x = 0（因为 x⁺ 和 x⁻ 是正数）；因此x ≠ 0意味着|x| > 0。 06X3
命题 9 — 如果 K 的主分数理想的群 P^* 是格序的，则 K^* 的每个元素 x 都可以写成形式 x = uv⁻¹，其中 u 和 v 是 A 的元素，使得 1 = gcd(u, v)；对于 x 的任何其他表达式 x = u'v'⁻¹ 作为 A 的两个元素的商，我们有 u' = uw 和 v' = vw，其中 w 是 u', v' 的 gcd；特别是如果 1 =… ↩ 2 06X4
定义 5 — 在有序群中，如果 inf(x, y) = 0，则两个元素 x 和 y 称为互质。 06X5
命题 10 设 x、y 和 z 为有序群的三个元素；对于 x – z 和 y – z 互质，z = inf (x, y). 是充分必要的 ↩ 1 06X6
命题 11 如果(xᵢ), (yⱼ)是群有序晶格的正元素的两个有限族，那么 ↩ 1 06X7
推论 1 如果 x 和 y 是两个互质元素，并且 z 是一个正元素，属于群晶格有序，则 inf(x, z) = inf(x, y + z)。 ↩ 1 06X8
推论 2 — 在群有序晶格中，如果 x 和 y 互质，并且如果 z ≥ 0 和 x ≤ y + z，则 x ≤ z。 06X9
推论 3 — 在群有序晶格中，如果 x 与 y 和 z 互质，那么它也与 y + z 互质。 ↩ 1 06XA
推论 4 — 如果 (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n 和 (yⱼ)_1 ≤ j ≤ m 是群 G 晶格有序的元素的两个有限族，使得每个 xᵢ 与每个 yⱼ 互质，则 x₁ + … + xₙ 与 y₁ + … + yₘ 互质。这是从 Cor 得出的。 3 通过归纳在 m 和 n 上。 ↩ 2 06XB
推论 5 — 对于任意整数 n ≥ 0，我们有 (nx)⁺ = nx⁺ 和 (nx)⁻ = nx⁻；对于所有n ∈ Z，我们有|nx| = |n| · |x|。确实nx = nx⁺ - nx⁻；因为 x⁺ 和 x 是互质的，所以如果 n ≥ 0 则 nx⁺ 和 nx⁻ 也是互质的（Cor. 4）；第一个断言遵循VI、p. 12的第9条b)提案。在n ≥ 0情况下，第… 06XC
命题 11 — 假设集合P^*是一个格，并令(aᵢ)、(bⱼ)为A的元素的两个有限族。则∏ᵢ aᵢ和∏ⱼ bⱼ除乘积∏_i,j gcd(aᵢ, bⱼ)的每个gcd。 06XD
推论 1 — 如果 a、b、c 是 A 的三个元素，且 a 与 b 互质，则 a 和 c 的每个 gcd 也是 a 和 bc 的 gcd。 06XE
推论 2（欧几里得引理） — 令 a、b、c 为 A 的三个元素。如果 a 与 b 和除 bc 互质，则它除 c。 06XF
推论 3 — 如果 x 与 y 和 z 互质，则它与 yz 互质。 06XG
推论 4 — 如果(xᵢ)和(yⱼ)是A的元素的两个有限族，使得每个xᵢ与每个yⱼ互质，则xᵢ的乘积与yⱼ的乘积互质。 ↩ 1 06XH
推论 5 — 如果 d 是 x 和 y 的 gcd，则对于每个正整数 n，dⁿ 是 xⁿ 和 yⁿ 的 gcd。事实上，xd¹和yd¹是互质的（命题10（DIV）），因此xⁿ d⁻ⁿ和yⁿ d⁻ⁿ也是互质的（Cor.4）。 06XI
命题 12 — 令 xᵢ (1 ≤ i ≤ n) 为群晶格中的 n 两对互质元素。然后 sup(x₁, …, xₙ) = x₁ + ⋯ + xₙ . 06XJ
注 VI、p. 10的第7条命题还表明，x和y互质的充要条件是x + y = sup(x, y)。 06XK
命题 12 — 令aᵢ为A的成对互质元素的有限数n；那么乘积 a₁ … aₙ，是 a₁, …, aₙ 的 lcm。 06XL
命题 13 — 在群G有序的格子中，令(x_α)为具有下确界（或上确界）的族，并令z为G的任意元素；那么家族(sup(z, x_α))（或(inf(z, x_α))）有下确界（或至上）并且 ↩ 1 06XM
推论 — 如果群G有序格的元素z与具有下确界y的族中的每个元素x_α互质，则z与y互质。 06XN
注将第 13 条命题的应用公式代入一个二人家庭元素(x, y)，我们得到以下公式，它表达了以下事实：合成sup, inf中的每个律在群有序的格子中是分配相对于其他： 06XO
定义 6 — 有序群 G 的元素 x 被认为是不可约的，如果它是 G 的严格正元素的集合中的最小值元素。 06XP
例（DIV） 1) 整数 p > 0 在 Z 中不可约，当且仅当它是素数 (I, p. 50)。 0EEO
命题 14 — 对于有序群 G 的元素 x > 0 是不可约的，只要满足以下性质就足够了： 06XQ
命题 14 — 为了使 A 的非零元素 p 不可约，只要它不是单位，并且它是 A 的两个元素的不能除乘积即可，无需除掉其中一个或另一个。如果 P^* 是晶格有序的，那么条件是必需的。 ↩ 2 06XR
注命题 14 (DIV) 也可以表示如下：如果 p 是 A 的非零元素，且理想 (p) 是素数 (I, p. 117, Def. 3)，则 p 是不可约的；相反，如果 P^* 是晶格有序的并且 p 是不可约的，则理想 (p) 是素数。 06XS
命题 15 — 在有序群 G 中，令 (pᵢ)_i ∈ I 为 G 满足条件 (P) 的成对不同正元素族（因此不可约）。然后映射 ↩ 1 06XT
定理 2 — 令 G 为过滤后的群。那么以下属性是等效的： a) G 同构于形式 Z⁽ᴵ⁾ 的有序群。 b) G 是格序的并且满足以下条件： (MIN) G 的正元素中的每个非空集合都有一个最小值元素。 c) G 满足条件 (MIN)，并且 G 中的每一个不可约元都有性质 (P)。 d) G由其不可约元生成，G的每个不可约元都有性质（P）。 ↩ 1 06XU

§ 2. 。有序域

定义 1 — 给定交换环A，我们说A上的排序与A的环结构兼容，如果它与A的加法群结构兼容，并且满足以下公理：（或）关系x geqslant 0和y geqslant 0意味着xy geqslant 0。环 A 与这样的排序一起称为有序环。 06YV
例 1 环 Q和Z，按照通常的订购方式，订购的是环。 06YW
例 2 已订购的环中的乘积，配备乘积订购，是已订购的环。特别是，映射从集合E到有序环A的环Aᴱ是有序环。 06YX
例 3 有序环的子环通过诱导排序，是有序环。 06YY
例 Z上只有一个完全订购的环结构：实际上，归纳每自然数n ≠ 0对应1 > 0、从而n > 0。相反，在 Z 上存在有序的环结构，它们不是完全有序的（见下文）。 06YZ
例在Z中，如果我们将P视为正数（通常意义上的）集合，甚至整数，我们会得到环，它不是完全有序的。 06Z0
命题 1 — 完全排序的环是挠元作为 Z 模块（II，p. 313）自由的。 ↩ 1 06Z1
定义 2 — 如果其排序与其环结构兼容，则配备全排序的交换域称为有序域。 06Z2
例 1) 有理数数的域Q为有序域。 2) 有序域的子域，经过诱导排序后，为有序域。 3) \ 实数的域是有序域。 \ 0DID
命题 2 — 令A为全序整环，令K为分数的域。那么 K 上存在且仅有一个排序，其中限制与 A 上的给定排序相比较，使得 K 有序域。 ↩ 1 06Z3
例 — 由于 Z 只承认一个全序环结构 (VI, p. 19, 例)，域 Q 只承认一个全序有序域：这是通常的排序。 06Z4
定义 3 设K为有序域。 K 的有序扩张为对 (E, u)，其中 E 为有序域，u 为递增同态，从 K 到 E。 06Z5
例 — 1) 每个有序域K都是Q的有序扩张。事实上，K是Q的扩张，因为它是特征零，而另一方面Q只能以一种方式排序，正如我们刚才所看到的。 06Z6
定理 1 For an extension E of K to admit the structure of an ordered extension of K, the following condition is necessary and sufficient: (OE) The relation p₁ x₁² + … + pₙ xₙ² = 0 implies… ↩ 3 06Z7
引理 — 让 P ∈ M 和 x ∉ P；那么存在P' ∈ M使得P ⊂ P'和-x ∈ P'。 06Z8
推出 1 (*« Artin-Schreier 定理 »*) — 必要且充分的条件才能在交换域 E 上存在排序，从而使其成为有序域，即关系 x₁² + … + xₙ² = 0 暗示 x₁ = … = xₙ = 0。 06Z9
推出 2 设 E 为 K 的扩张，承认 K 的有序扩张的结构。对于 E 上的每个这样的结构下元素 x ∈ E 为正，x 为形式 ∑ᵢ pᵢ xᵢ² 是必要且充分的，其中 xᵢ ∈ E 和pᵢ 是 K 的正元素。 06ZA
命题 3 设 K 为有序域，f 为 K 上的不可约多项式，其中变换在 K 中的 a 和 b 之间签名。则 K 的扩张 E = K[X]/(f) 承认有序扩张的结构。 ↩ 2 06ZB
注存在不可约多项式 f 在有序域 K 上，变换不签入 K，但K[X]/(f) 承认 K 的有序扩张的结构（cf.VI、p. 43、例 26、c））。 06ZC
命题 4 — 令K为有序域并令f ∈ K[X]。 K 中存在一个区间，其补集 f 与其最高次数项具有相同的符号。 ↩ 1 06ZD
推论 1 — 奇数有限次数的有序域的每个扩张承认有序扩张的结构。 06ZE
推论 2 — 如果 a 是有序域 K 的正元素，则多项式 X² - a 的每个分裂域 E 都承认有序扩张的结构 K. 06ZF
注当有序域 K 包含 K 的正元素 a（多项式 X² - a 的根）的 « 平方根 » 时，则记号 sqrta 通常保留为正平方根。如果 K 不包含平方根 b 和域 E 中a 的-b，则后者可以在两个中成为 K 的有序扩张方式，每一种都从对方通过 K-自同构导出b到-b；这些顺序之一的选择确定sqrta：它是元素b和-b中的正数。 06ZG
定义 4 — An ordered field K is maximal if every ordered algebraic extension of K is trivial. ↩ 1 06ZH
例我们稍后会看到（Gen.Top.，VIII，p. 1）实数的域 R 是极大有序域。 06ZI
定理 2 — 每个有序域 K 都承认一个有序代数扩张，即极大有序域。 06ZJ
命题 5 — 令 K 为极大有序域，并令 f 为 K[X] 中的多项式，其中变换在 K 的两个元素 a 和 b 之间签名（与 a < b）。那么 f 在 K 中具有根 x，使得 a < x < b. 06ZK
命题 6 — 极大有序域 K 的每个正数元素在 K 中都有平方根。K[X] 中的每个奇数次数多项式在 K 中至少有一个根。 06ZL
推论 — 在极大有序域 K 上，仅存在一种与域结构兼容的排序。 06ZM
定理 3（欧拉-拉格朗日） — 令 K 为有序域。那么下面三个属性是等价的： a) 域 K(i) 是代数封闭的（其中 i 表示 -1 的平方根）。 b) 有序域 K 最大。 c) K 的每个正元素都是平方，K[X] 中的每个奇数次数多项式在 K 中都有根。 ↩ 1 06ZN
命题 7 — 令 K 为有序域，其中每个正数元素为平方。那么K(i)的每个元素都是平方，次数2在K(i)上的每个多项式在K(i)都有根。 06ZO
命题 8 — 对于多项式 X² + 1 ∈ K[X] (V, p. 21)，令 K 为交换域（任意特征），并令K' 为分裂域。假设： a) 奇数次数的K[X]中的每个多项式在K'中都有根； 06ZP
命题 9 — 如果 K 为极大有序域，则 K[X] 中唯一不可约多项式是第一个次数多项式，以及第二个次数多项式 aX² + bX + c，使得 b² - 4ac < 0。 06ZQ
注 — 转换为正则三项式形式会产生更强的结果：对于给定有序域 K 上的多项式 aX² + bX + c ，在 K 中具有恒定符号的必要且充分的条件是 b² - 4ac < 0，然后多项式的符号是 a 的符号。 06ZR

VII. 模超过主理想整环

§ 1. 。主理想整环

定义 1 主理想整环是整环（I，p. 116），其中每个理想都是主要的。 070X
例有理数整数的环Z是主理想整环（I，p. 111）。如果K是交换域，那么在K上的一个不定数中，多项式环K[X]是主理想整环（IV，p. 11，命题11）；形式幂级数K[[X]]的环也是如此，对于这个环的每个理想都有形式(Xⁿ)（IV，p. 38，提案12）。 \ 整数的环在 p 进数域中是主理想整环。 \ 070Y
命题 1 设K为主理想整环A分数域，并令(xᵢ)_i ∈ I为具有公共的分母b ∈ K^*的K元素的族（在其他情况下）字 bxᵢ ∈ A 全部i）。然后： ↩ 4 070Z
注没有限制的情况下，命题1适用于A的元素的任意族(xᵢ)（取b = 1），也适用于K的元素的任何有限族(xᵢ)（如果xᵢ = cᵢ bᵢ与cᵢ ∈ A且bᵢ ∈ A，则取b为bᵢ的乘积）。 0710
推论 — 令(xᵢ)为主理想整环A的元素的任意族，包含为整环B中的子环，并令d为A中族(xᵢ)的gcd。那么(xᵢ)家族在B有gcd，d就是其中之一。 0711
定理 1（《贝祖特的身份》） — 主理想整环 A 的元素 xᵢ \ (i ∈ I) 是集合互质当且仅当存在 A 的元素 aᵢ \ (i ∈ I)，其中几乎所有零，这样 ∑ aᵢ xᵢ = 1。 ↩ 1 0712
命题 2 — 设a, b, d, m和p为主理想整环A的域、分数K的元素。 a) « d 是 a 和 b » 的 gcd 等价于 « (d) = (a) + (b) »。 b) « m 是 a 的 lcm，b » 相当于 « m = (a) ∩ (b) »。 c) « p 是 A 的不可约元 » 相当于 « (p) 是 A 的非零的最大理想 » 以及 « (p) 是… ↩ 2 0713
命题 3 设a, b, c为主理想整环A分数域元素，且令d为a与c的gcd；那么同余ax ≡ b pmodc有解x₀ ∈ A当且仅当d除b；在这种情况下，A的元素x，其中满足ax ≡ b pmodc正是满足x ≡ x₀ pmodcd。 0714
命题 4 令(aᵢ)、i ≤ n为主理想整环A的成对互质元素的有限族。那么典范同态 (I, p. 110) 从 A / ( ∏ᵣ₌₁ⁿ aᵣ ) 到乘积 ∏ᵣ₌₁ⁿ A/(aᵣ) 就是A-代数的同构。 ↩ 1 0715
定义 2 令A为整环。 A的不可约元的代表的系统是A的不可约元的(p_α)家族，使得A的每个不可约元恰好是一个p_α的关联。 ↩ 1 0716
定理 2 — 令A为主理想整环，令(p_α)为系统，是A的不可约元的代表。那么A的分数的域的每一个非零元素x都可以唯一地表达为形式 ↩ 3 0717
引理 1 令A为环，使得A的每个左理想都是有限生成的。那么A的左理想中的每一个非空集合Φ，按包含排序，都有极大元素。 0718
注 (u, (n_α))族被称为x的分解为不可约因子；通过滥用语言，我们还说公式 (1) 是x 的分解变为不可约因子。如果x = u ∏_α p_α^n_α和y = v ∏_α p_α^m_α是x和y的分解不可约因子，那么x到除y的充分必要条件就是n_α ≤ m_α，对于所有α；由此我们推导出公式 0719
命题 5 — 素数数的集合是无限的。 ↩ 1 071A
命题 6 对于任何域 K，K[X] 中的单调不可约多项式的集合是无限的。 071B

§ 2. 。挠元模超过主理想整环

命题 1 A-模块M是其子模Mᵢ的直和。 ↩ 2 0724
注 1 相反，令M'ᵢ为每个i的(A/bᵢ)模，并考虑A-模M'ᵢ的A-模M、直和；然后用M'ᵢ在重合之上构造子模Mᵢ（对于注来说就足够了，如果i ≠ j则M'ⱼ的非零元素不会被bᵢ消灭，因为bᵢ + bⱼ = A）。因此，粗略地说，考虑A-模 M 或(Mᵢ) 模超过环 A/bᵢ = Aᵢ 的情况是一样的。 0725
注 2 由上式证明、M的投影算子到分量Mᵢ是同位。 0726
注 3 A-模 M 是循环的当且仅当每个 Mᵢ 都是循环的：如果 M = Am，则 Mᵢ = Aᵢ eᵢ m；反之，如果Mᵢ = Aᵢ mᵢ和m = ∑_i ∈ I mᵢ，则M = Am；事实上，如果对于每个 i，n ∈ M 投影到aᵢ mᵢ，并且对于每个 i，a ∈ A 与aᵢ mod bᵢ 全等，则 am 和 n 在每个 Mᵢ 中具有相同的像，因此重合。 ↩ 1 0727
注 4 令 M 和 N 为两个 A-模，其分量为 (Mᵢ) 和 (Nᵢ)。令u ∈ Hom_A(M, N)是从M到N的A线性映射；那么对于所有 i 和所有 m ∈ Mᵢ，我们有 u(m) ∈ Nᵢ，所以 u 诱导 Aᵢ-线性映射 uᵢ ∈ Hom_Aᵢ(Mᵢ, Nᵢ)。很容易检查映射 u ↦ (uᵢ) 是 Z 模的同构（当 A 是可交换时，分别是 A-模） 0728
定义 1 设π为主理想整环A的不可约元； A-模 M 称为 rr-primary if，对于所有 x ∈ M，存在整数 n ≥ 1，使得 πⁿ x = 0（在其他字，如果 M 等于子模 M_π）。 0729
引理 1 设 M 为模大于主理想整环 A；对于所有a ∈ A使得a ≠ 0，令α = ε ∑ᵢ₌₁ʳ πᵢⁿ⁽ⁱ⁾是α的分解变成不可约因子（VII，p. 4）。被a消灭的M的元素的子模N = M(a)是子模M(πᵢⁿ⁽ⁱ⁾)的直和，而将每个x ∈ M(α)发送到其M(πᵢⁿ⁽ⁱ⁾)中的组件的映射有形式x ↦ γᵢ x \ (γᵢ ∈ A)。而且 M(πᵢⁿ⁽ⁱ⁾) =… ↩ 2 072A
引理 2 设 M 为整环 A 上的挠元模 (II, p. 313)。对于 M 的元素的每个有限族 (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n，A 中存在元素 γ ≠ 0，使得 xᵢ 所有属于至 M(γ)。事实上，对于每个指标 i，A 中都存在元素 αᵢ ≠ 0，它会消灭 xᵢ，而元素 γ = ∏ᵢ₌₁ⁿ αᵢ 就符合要求。 ↩ 2 072B
定理 1 令 M 为挠元模超过主理想整环 A；对于A的每个不可约元π，令M_π是元素的M由……组成的子模被π的一些幂消灭。若P为A的不可约元的代表系统，则M为π ∈ P为其子模M_π的直和。对于某些 a ≠ 0，每个元素 x ∈ M 属于到子模 M(α)，因此引理 1 是元素的有限数的和，其中每个属于到一些子模 M_π。另一方面，如果 ∑_π ∈ P x_π = ∑… ↩ 4 072C
推出 1 — 挠元模M 的每个子模N 是其子模N∩M 的直和。 ↩ 3 072D
推出 2 — 挠元 A-模 M 的子模 N 是直因子当且仅当 N 是 M 的直因子，对于 A 的每个不可约元 π。 ↩ 2 072E
推出 3 — 令 N 为挠元 A-模 M 的子模。如果对于 A 的每个不可约元 π，N = 0 或 (M/N)_π = 0，则 N 为 M 的直因子。 ↩ 1 072F
推论 4 — 设 A 为主理想整环，不是域，并设 M 为 A-模。那么 M 是半单当且仅当 M 是挠元模并且对于 A 的每个不可约元 π，M, = M(π)。 ↩ 1 072G
注 1 — 显然，τ 初级模的每个元素 ≠ 0 的湮没子都有形式 Aπᵏ (k 0 整数)，因为它是 τ 的主要理想包含幂。令x为M的元素；对于每个π ∈ P，令x_π为x在M_π中的分量； x 的湮没子是非零的 x_π 的湮没子的 lcm，但根据上面的描述，在这种情况下它等于非零的 x_π 的湮没子的乘积（VI，p. 16，Prop. 12（DIV））。 072H
命题 2 — 如果 M 是在主理想整环 A 上有限生成的挠元模，则 M 的 n 个主分量为零，除了其中的有限数，并且 M 的投影算子在这些分量 M_π 上是同位。 ↩ 2 072I
注 2 — 通过 VII、p. 7、注 3，有限生成的挠元 A-模是循环的当且仅当其每个 π 主分量都是循环的。 ↩ 1 072J
定理 2 令A为主理想整环，令K为其域产物，令P为A的不可约元的代表系统。给定元素x ∈ K，P、元素a₀ ∈ A和a, ∈ A在A（p ∈ H）和整数中存在不可被p整除的有限子集H，以及整数 s(p) > 0 (p ∈ H) 这样 ↩ 2 072K
引理 3 令x、y、k为整数且k ≥ 0，并令p > 2为素数数。如果x ≡ 1 + py mod p²则x^pᵏ ≡ 1 + pᵏ⁺¹y mod pᵏ⁺²。如果x ≡ 1 + 4y mod 8则x^2ᵏ ≡ 1 + 2ᵏ⁺²y mod 2ᵏ⁺³。 ↩ 1 072L
命题 3 令p > 2为素数数，令n > 0为整数；那么群U(pⁿ)是阶pⁿ⁻¹的循环；如果 n ≥ 2 则整数 x 的剩余类类 mod pⁿ 等于 1 mod p 是 U(pⁿ) 的生成元当且仅当 x 不等于 1 mod p²。设m > 1为整数；那么群U(2ᵐ)是阶2ᵐ⁻²的循环；如果 m ≥ 3，则整数 x 的剩余类类 mod 2ᵐ 与 1 mod 4 全等，是… ↩ 1 072M
引理 4 令A为主理想整环，并令0 → N → M → P → 0为A模块的正合序列。假设存在互质元素a, b ∈ A使得aN = 0和bP = 0。然后正合序列分裂的。如果加法、N和P都是循环的，那么M也是循环的。 ↩ 1 072N
定理 3 如果a = ∏ pᵢⁿ⁽ⁱ⁾是整数a > 1的素数分解，则环Z/aZ的可逆元的群(Z/aZ)^*同构于群的乘积 (Z/pᵢⁿ⁽ⁱ⁾Z)^*。如果p > 2是素数数且n ≥ 1整数，则群(Z/pⁿZ)^*是阶pⁿ \ ¹(p - 1)的循环。群 (Z/2Z)^* 是微不足道的；对于 n ≥ 2 群 (Z/2ⁿZ)^* 是由 5 mod 2ⁿ 的剩余类类生成的… 072O
注设p > 2为素数数，并令x为整数全等于1 mod p，且不等于1 mod p²；有正合序列 072P

§ 3. 。自由模超过主理想整环

定理 1 — 令A为环，使得A的每个左理想都投影（II，p. 231，Def.1）作为A模。那么自由左A-模L的每个子模M都是模的直和同构于A的理想。 ↩ 8 0735
推论 1 — 如果 A 的每个左理想都是射影的，则射影左 A 模的每个子模都是射影的。 0736
推论 2 — 超过主理想整环的每子模自由模都是免费的。这紧随 Th 而来。 1、因为主理想整环的每一个理想都是自由的。 ↩ 1 0737
推论 3 — 每超过投射模超过主理想整环都是免费的。 ↩ 1 0738
注 Th 的证明。图1表明，A⁽ᴵ⁾的每个子模都同构于直和⨁ aᵢ，其中每个aᵢ都是A的理想。 0739
引理 1 — 令 L 为交换环 A 上的模，由 n 元素生成，并令 M 为 L 的自由子模；那么 M 有秩 ≤ n。首先假设L是免费的。让 i 将 M 的典范嵌入表示为 L。由 III、p. 520、Cor. 可知，同态 bigwedgeⁿ i : bigwedgeⁿ M → bigwedgeⁿ L 是单射；根据 III、p. 511、第 6 条命题、bigwedg… 073A
推论 — 令 E 为模超过主理想整环 A，由 n 元素生成。那么 E 的任意子模 F 最多可以由 n 元素生成。确实存在从Aⁿ到E（II，p. 216，Cor.3）的同态 f，并且f⁻¹(F)，即秩m ≤ n的自由模，由n元素生成； f 生成 F 下的像其中元素。 073B

§ 4. 。有限生成模超过主理想整环

命题 1 — 令 E 为模超过交换环 A；假设E是n循环模Λ/𝔞ₖ(1 ≤ k ≤ n)的直和，其中𝔞ₖ是A的理想； ↩ 1 073N
命题 2 — 令A为交换环，并令E为n循环模A / aₖ的直和，其中aₖ满足a₁ ⊂ a₂ ⊂ … ⊂ aₙ。那么，对于1 ≤ p ≤ n，理想的aₚ是bigwedgeᵖ E的湮没子；如果 aₙ ≠ A，则 1 ≤ p ≤ n 为 bigwedgeᵖ E ≠ 0，bigwedgeᵐ E = 0 为 m > n。 ↩ 1 073O
推论 — 在命题2的记号中，如果aₙ ≠ A，且E也同构于m循环模A / a'ⱼ与a'₁ ⊂ a'₂ ⊂ … ⊂ a'ₘ ≠ A的直和，则m = n且aₖ = a'ₖ 对应 1 ≤ k ≤ n（aₖ * 的唯一性）。 ↩ 2 073P
引理 1 设L为自由模大于主理想整环A，并令x为元素除以L。那么下面的条件是等价的： 073Q
注 — 1) 如果x是L的非零元素且c是x的含量，则存在L的唯一元素y使得x = cy；表示这个元素 x/c ；那么x/c是L不可分割的元素。 2) 内容c_L(x)是挠元模中湮没子L/Ax。 073R
命题 3 令L为自由模超过主理想整环A，令M为非零的子模除L。令x为M的元素，使得c_L(x)在M的元素的内容中最大，令c为L中x的内容，并令f为线性形式在L上，这样f(x) = c。 ↩ 1 073S
定理 1 — 令L为主理想整环A之上的自由模，并令M为有限秩n的L子模。那么存在L的基B、B的n元素eᵢ以及A(1 ≤ i ≤ n)的n非零元素αᵢ这样： a) M中的αᵢ eᵢ形式基； b) aᵢ 除 αᵢ₋₁，对于 1 ≤ i ≤ n-1。 ↩ 12 073T
推论 — 自由模 L 中有限秩的子模 M 在主理想整环 A 上有L 中的补集当且仅当L/M 是挠元自由时。 ↩ 1 073U
注自由模 L 中无限等级的子模 M 可能会导致 L/M 是挠元自由，但 M 在 L 中没有补集（VII，p. 60，例 6， b））。 073V
定义 1 — 在记号和 Th 的假设中。 1、A的理想Aαᵢ称为子模M相对于模L的不变量因子。 ↩ 2 073W
定理 2 — 主理想整环 A上的每个有限生成模E同构于循环模A/aₖ的有限数m的直和，其中aₖ是A的理想（其中一些可能是零），使得a₁ ⊂ a₂ ⊂ … ⊂ aₘ ≠ A，并且由这些条件唯一确定。 ↩ 7 073X
推论 1 — 每个有限生成模 E 超过主理想整环都是 E 的挠元子模和自由模的直和。 ↩ 1 073Y
推论 2 — 每超过主理想整环挠元免费有限生成模都免费有限秩。这立即来自Cor。 1. ↩ 3 073Z
定义 2 — 在记号和 Th 的假设中。 2、理想aₖ称为模E的不变量因子。正如在定义中一样。 1（VII，p. 19），当A = Z或A = K[X]时，理想aₖ（正整数或一元多项式）的规范生成元也被滥用语言称为有限生成模E的不变量因子。 ↩ 1 0740
命题 4 — 设 A 为主理想整环，设 L 为自由A-模，且有限基 (uⱼ) (1 ≤ j ≤ k)，设 M 为 L 子模，设 (xᵢ) 为生成元系统并令 A αᵢ (1 ≤ i ≤ n) 为 M 关于 L 的不变量因子。那么1 ≤ m ≤ n乘积δₘ = α₁ … αₘ是矩阵的第m个阶次要的最大公约数，其列是xᵢ相对于基(uⱼ)的坐标向量。 ↩ 4 0741
命题 5 令A为主理想整环，并且f将秩r的线性映射从秩m的自由A模块L转换为A模块L' 秩 n。那么存在L的基(eᵢ)(1 ≤ i ≤ m)和L'的(e'ⱼ)(1 ≤ j ≤ n)，使得1 ≤ i ≤ r有f(eᵢ) = αᵢ e'ᵢ，i > r有f(eᵢ) = 0，其中αᵢ 是A 中的非零元素，每个除下一个；理想A αᵢ是f(L)在L'中的不变量因子，因此是唯一确定… ↩ 3 0742
推论 1 — 设 X 为秩 r 的矩阵，有 n 行和 m 列，超过主理想整环 A；则存在矩阵 X₀ 相当于形式的 X (II, p. 354) 0743
推论 2 — 两个矩阵 X 和 X' 具有 n 行且 m 列超过主理想整环 A，当且仅当它们具有相同的不变量因子时，它们是等价的。 0744
命题 6 — 令X为秩r在主理想整环A上的矩阵，并令A αᵢ(1 ≤ i ≤ r)为其不变式因子的序列。那么α₁就是X的元素的gcd；乘积α₁ … α_q是q ≤ r的X的第q个阶未成年人的gcd。 ↩ 1 0745
定理 3 — 每个有限生成的阿贝尔的群 G 是其挠元子群 F 的直和（G 中有限阶元素子群）和一个自由的阿贝尔的有限秩 p 的群（与Zᵖ同构的）。群 F 是阶 n₁, n₂, …, n_q 的循环群的有限数的直和，其中nᵢ 是整数 > 1，其中每个除是前一个除一；而且，整数p, q和nᵢ(1 ≤ i ≤ q)由G唯一确定。 ↩ 4 0746
注而F为直和的循环群的阶n₁, …, n_q则由Th的整除性条件很好地定义。 3，对于群本身来说不相同：对于例，在Z/(p)的乘积G与其自身（对于p素数），子群恰好是Fₚ向量子空间，而G是两个一维的直和子空间以 p(p+1) 不同的方式。 0747
推论 1 — 在有限的阿贝尔的群G中，存在元素，其阶是G的元素所有阶的lcm；这个阶 n 是 G 的第一个不变量因子。 ↩ 2 0748
推论 2 — 任何有限阿贝尔的群 G，其阶不能被任何整数 > 1 的平方整除，是循环的。让我们保持Th的记号。 3. 然后p = 0，因为G是有限的，q ≤ 1，否则G的阶将被n_q²整除。因此G是循环的。 0749
推论 3 — 令L和M为秩n的两个自由Z模，令(eᵢ)为L的基和(fᵢ)基为M（1 ≤ i ≤ n），令u为同态将L代入M，并令U为其相对于基(eᵢ)和(fᵢ)的矩阵。那么Coker u = M/u(L)是有限的当且仅当det(U) ≠ 0，然后Card(Coker(u)) = |det(U)|。如果需要的话，通过改变L和M中的基，我们可以假设U具有VII，p. 2… ↩ 1 074A
定义 3 — 左模 M 超过环如果 A 是真非零的子模族的直和，则称 A 是可分解的。否则它就被认为是不可分解的。因此，零模是可分解的，是子模空族的直和。设𝔞为环A的左理想； A/𝔞的子模只是商b/𝔞，其中b是包含𝔞的理想（I，p. 41，Th.4）；如果b和c是包含𝔞的两个理想，那么模A/𝔞是子模b/𝔞和c/𝔞的直和当且仅当A = b + c 和 b ∩ c =… ↩ 1 074B
引理 2 — 模 A/𝔞 不可分解当且仅当 𝔞 ≠ A 并且不存在与 A 和 𝔞 不同的 A 的理想对 (b, c)，使得 A = b + c 和 b ∩ c = 𝔞。 ↩ 1 074C
命题 7 — 令A为交换环，令𝔭为A的素理想（I，p. 117，Def.3），并令q为𝔭中包含的A的理想。假设对于每个x ∈ 𝔭，都存在整数n > 0，使得xⁿ ∈ q。那么A-模块A/q是不可分解的。 ↩ 1 074D
命题 8 — 令A为主理想整环，并令M为有限生成的A模块。 ↩ 3 074E
命题 9 — 令A为主理想整环，令P为A的不可约元代表的系统，并令M为有限生成的A模块。那么存在正整数 m(0) 和 m(pⁿ) (p ∈ P, n > 0)，除了它们的数量有限之外，由 M 和零唯一确定，使得 M 同构于 Aᵐ⁽⁰⁾ 的直和，并且(A/(pⁿ))^m(pⁿ)（p ∈ P, n > 0）。 ↩ 4 074F
定义 4 — 在第 9 条的记号中，那些理想(pⁿ) (p ∈ P, n ≥ 1 整数)使得m(pⁿ) > 0被称为模M的初等除子，整数m(pⁿ)被称为它们的重数；如果整数m(0)是> 0，则称为初等除子0的重数。 074G
注 1 如果M是有限的阿贝尔的群，那么它的结构可以通过写下它的基本除子来描述，每个重数重复一次。 We will say, for example, that M is « of type (2, 2, 4, 27, 27, 25) » (or that it is « a group (2, 2, 4, 27, 27, 25) ») if it is isomor… 074H
注 2 如果在主理想整环 A 上有限生成的挠元模 M 被给定为与 A/(aᵢ) 同构的循环模的直和（特别是如果 M 的不变量因子已知），则M的初等除子及其多重性，可以通过注意到A/(a)同构于A/(pⁿ⁽ᵖ⁾)的乘积来确定，其中a = e ∏_p ∈ P pⁿ⁽ᵖ⁾是a的分解不可约因子（VII，p. 3）。让我们研究例乘法群 G(464\ 600)，其中 G(n)… 074I
注 3 对于计算挠元模的不变量因子，其初等除子已知，我们再次依赖于以下事实：如果 aᵢ 是 A 的成对互质元素，则乘积 ∏ A/(aᵢ)是循环模同构于 A/(a₁ a₂ ... aₙ) (VII, p. 3, 命题 4)。让我们通过观察群G(464\ 600) = M的例来说明方法：将M的初等除子pⁿ（它们是相同不可约p的幂）写在同一行上，从最大的开始指数；通过在必… ↩ 1 074J
注 4 如果一个A-模块是非零的并且除了它本身和0之外没有子模，那么它被称为简单（I，p. 37）；那么它必然是循环的，因此是有限生成的且不可分解的；因为模 A/(pⁿ) 对于 n ≠ 1 来说并不简单，而模 A/(p) 是简单的，并且因为仅当环 A 是域时 A 才是简单的，我们推断简单A-模块是： a) 当A为域时，秩1中的自由模； b) 模同构于商 A/(p)，… ↩ 2 074K
命题 10 — 如果 M 是有限长度的 A-模，则 D(M) 是（通常非自然地）与 M 同构的，并且规范的映射 c_M : M → D(D(M)) 是同构。使用 VII、p. 19、Th。 2 和 II，p. 203，Cor。 1，我们约化到M是循环的情况。因此我们可以假设M = A/tA和t ≠ 0。注任何同态u : A/tA → K/A完全由像ξ ∈ K/A在1… ↩ 4 074L
推论 — 令 M、N 为有限长度中的两个 A-模，并令 φ 为从 M × N 到 K/A 的 A 双线性映射，这样： 1) 关系 φ(x, y) = 0 对于所有 y ∈ N 意味着x = 0; 2) 关系 φ(x, y) = 0 对于所有 x ∈ M 意味着 y = 0。那么与 φ 伴随的 A 线性映射 s_φ : M → D(N) 和 d_φ : N → D(… 074M
命题 11 — 如果 M' xrightarrowu M xrightarrowv M'' 是有限长度 A-模正合序列，则序列 D(M'') xrightarrowD(v) D(M) xrightarrowD(u) D(M') 是精确的 [^1]。 ↩ 2 074N
命题 12 设 M 为 A-模 / 有限长度。那么映射将M的每子模N发送到N⁰是从𝔖(M)到𝔖(D(M))的双射，逆双射将D(M)的每子模N'发送到M的子模N'⁰；模 D(N) 自然地与 D(M)/N⁰ 等同，D(M/N) 与 N⁰ 等同。此外，我们还有 ↩ 1 074O
例 1 对于A = Z，有限长度的Z模恰好是有限的阿贝尔的群；然后K = Q，所以K/A = Q/Z。然后对于定义D(M)，我们有时采用与其同构的Z模块来代替Q/Z，例如（V，p. 79，命题2）群R特征 0 的代数闭域中的单位元（乘法以下）的根；然后我们输入D(M) = Hom_Z(M, R)。我们让读者在相应的记号中重写这种特殊情况的前述结果。 ↩ 1 074P
例 2 设a为A的非零元素。映射x ↦ x/a从A进入K诱导同构在商模从A/(a)到子模(K/A)(a)K/A由……组成元素被a消灭。如果 M 是被 a 消灭的 A 模块，或者等效地是 A/(a) 模块，则 A 模块 D(M) 被标识为 Hom_A/(a)(M, A/(a))。我们让读者将这种特殊情况的前面结果重写为相应的记号（cf.V，p. 86）。 074Q

§ 5. 。自同态 / 向量空间

定义 1 设E为向量空间大于交换域K，且u自同态大于E。如果存在a ∈ K使得u . x = α x，则称E的元素x为u的特征向量；如果 x ≠ 0 则标量 a 被称为 u 相应的的特征值到特征向量 x。对于x ∈ E的每个标量a，向量子空间Vₐ由……组成，使得u . x = α x称为E相应的到a的特征空间。 075G
命题 1 假设E是有限维的。那么K的元素a是自同态u的特征值当且仅当它是u的特征多项式的根。 075H
命题 2 令u为向量空间E之自同态超过交换域K；对于每个标量 a，令 Vₐ 为特征空间相应的到 a。那么子空间Vₐ在u下闭合，Vₐ的和是直接的。 ↩ 1 075I
命题 3 令E为有限维n之向量空间超过交换域K，令u为E之自同态；对于每个莫尼克不可约多项式p(X)，令Mₚ为E的元素x的向量子空间由……组成，使得(p(u))ᵏ · x = 0对于某些整数k。那么Mₚ在u下闭，向量空间E是Mₚ的直和，并且存在多项式sₚ，使得对于所有x ∈ E，x在Mₚ的分量是等于 sₚ(u) · x. ↩ 2 075J
注 1 显然，u到Mₚ的限制的最小多项式是p的最大的幂，其中除是u的最小多项式。此外，对于x ∈ Mₚ，我们有sₚ(u) · x = x，从中可以立即得出，如果Mₚ ≠ 0，则sₚ与p互质。 075K
命题 4 — 令 E 为有限维 n 的交换域 K 的向量空间，令 u 为 E 的自同态。则存在 n 个一元多项式 qᵢ(X) ∈ K[X] (1 ≤ i ≤ n)，使得 qᵢ 除 qᵢ₊₁ 对于 1 ≤ i ≤ n-1，并且E 是 n 子空间 Vᵢ (1 ≤ i ≤ n) 的直和，在 u 下闭合，循环（相对于 u），并且使得 u 到 Vᵢ 的限制的最小多项式等于 qᵢ… ↩ 2 075L
注 2 由上述命题，存在E的基相对于u的矩阵U有形式 075M
定义 2 — 在命题 4 的记号中，n 个调多项式 qᵢ(X) (1 ≤ i ≤ n) 称为自同态 u 的相似不变量。 075N
推论 1 — 令 K 为域，令 E 和 E' 为 K 上的两个有限维向量空间，并令 u（分别为 u'）为 E（分别为 E'）的自同态。那么 u 和 u' 是相似的 (VII, p. 29) 当且仅当它们具有相同的相似不变量。 ↩ 1 075O
推论 2 — 令 u 为域 K 上有限维向量空间 E 的自同态，令 (q₁, …, qₙ) 为 u 的相似不变量族，令 L 为 K 的扩张，令 E_(L) = L ⊗_K E 为由扩张从 E 导出的 L 向量空间标量，并令 u_(L) = 1_L ⊗ u 为由 u 引发的 E_(L) 的自同态。那么u_(L)的相似不变量就是L[X]中q₁, …, qₙ的像barq₁… 075P
推论 3 — 令U和V为阶n中的两个方阵，系数为交换域K。如果在 K 的某些扩张 K' 上存在可逆平方矩阵 P 使得 V = P⁻¹UP，则在 K 上存在可逆平方矩阵 Q 使得V = Q⁻¹UQ。 075Q
命题 5 — 令E为有限维n的向量空间超过交换域K，令u为E的自同态，并令U为关于某些的矩阵基 / E。然后对于每个整数 m 和 1 ≤ m ≤ n，乘积 dₘ(X) = q₁(X) q₂(X) … qₘ(X) u的第一个m相似不变量的最大公约数等于m-第阶未成年人矩阵XI, - U的gcd。 ↩ 1 075R
推论 1 — 令 u 为有限维 n 向量空间的自同态在交换域 K 上，特征多项式 χᵤ(X) 和相似不变量 qᵢ(X) (1 ≤ i ≤ n)。然后 χᵤ(X) = q₁(X) q₂(X) … qₙ(X) ↩ 1 075S
推论 2 — 在 Cor 的记号中。 1、令q(X)为u的最小多项式；然后q(X)除χᵤ(X)和χᵤ(X)除q(X)ⁿ。特别是u的最小多项式和特征多项式具有相同的根，即u的特征值。 ↩ 1 075T
推论 3 — 自同态 u 是幂零的当且仅当其特征多项式具有形式 Xⁿ。 ↩ 1 075U
命题 6 — 令E为有限维n之向量空间超过交换域K，并令u为E之自同态。那么E是子空间Eₖ的直和，在u下闭集并且相对于u循环，使得u到Eₖ的限制的最小多项式有形式 pₖⁿ⁽ᵏ⁾，其中pₖ是不可约多项式，Eₖ不能表示为两个非零的子空间的直和，每个非零的子空间在u下闭合。对于任何此类分解中的子空间 Eₖ 的每个单调不可约多项式 p ∈ K[X] 和每个整数 n ≥ 1、数… 075V
命题 7 — 令E为交换域K上的有限维向量空间，并令u为E的自同态，其特征值全部为属于至K。对于u的每个特征值a，令Mₐ为E由……组成中的向量子空间，其中元素x存在整数k ≥ 1这样的那个(u - a)ᵏ · x = 0。那么Mₐ在u下闭，向量空间E是Mₐ的和，并且存在多项式sₐ ∈ K[X]，使得对于所有x ∈ E，x在Mₐ的分量为等于sₐ(u) · x。 ↩ 2 075W
定义 3 对于每个域K，每个整数m ≥ 1，每个a ∈ K，矩阵U_m,α被称为阶m和特征值的乔丹矩阵 a. 075X
命题 8 令E为交换域K的有限维向量空间，并令u为E的自同态。那么下面的条件是等价的： ↩ 1 075Y
定义 4 第 8 条中的自同态满足条件 (i)、(ii) 和 (iii) 称为可三角化。 075Z
推论令U为平方矩阵超过交换域K，使得U的所有特征值都在K中；那么存在类似于U的矩阵，它是乔丹矩阵的对角线块。 ↩ 1 0760
注 — 1) 由VII、p. 34的命题6可知，如果U与约旦矩阵(Jₖ)的对角线块相似，则形式的Jₖ的数 U_m,α（对于给定的m和α）由U唯一确定。 0761
命题 9 — 如果平方矩阵 U 类似于Jordan 矩阵 (U_mᵢ, αᵢ)的对角线块，那么U的最小多项式就是(X - αᵢ)^mᵢ的lcm，特征多项式就是乘积的乘积 (X - aᵢ)'''. ↩ 1 0762
推论 — 在第7条的记号中，子空间M_α的维数是特征值α的重数作为u的特征多项式的根。 0763
命题 10 — 令E为有限维n的向量空间超过交换域K，令u为E的自同态，令χᵤ(X) = ∏ᵢ₌₁ⁿ (X - αᵢ)为分解为线性其特征多项式的因子（K，cf.V，p. 21的合适扩张）。如果 q 是系数为 K 的多项式，则 q(u) 的特征多项式由下式给出： ↩ 1 0764
引理 1 如果B和C是阶n的下三角形矩阵，对角线为(βᵢ)和(γᵢ)，则矩阵B + C和BC是对角线为(βᵢ + γᵢ)和(βᵢ γᵢ). 0765
推论 1 要使q(u)可逆，q与χᵤ互质是必要且充分的。 ↩ 1 0766
注 1 — 多项式与 χᵤ 互质当且仅当它与 u 的最小多项式互质（VII，p. 33，Cor.2）。 0767
推论 2 设r ∈ K(X)是K上的有理数函数。则u在r中可替换（IV，p. 21）当且仅当其每个特征值是。在这种情况下，以下公式成立： ↩ 1 0768
推论 3 对于每个整数s ≥ 0，我们有Tr(uˢ) = ∑ᵢ₌₁ⁿ αᵢˢ。如果 u 是可逆的，则此公式对于 s < 0 也有效。 ↩ 2 0769
推论 4 — 假设域 K 为特征零；那么自同态 u 是幂零的当且仅当 Tr(uˢ) = 0 对于 1 ≤ s ≤ n。 076A
推论 5 — 令 Y 为不定数，并令 tildeu 表示 K(Y) 向量空间 K(Y) ⊗_K E 的自同态，由有理函数的K 到域 K(Y) 的标量扩张从 u 导出Y，系数来自K。那么自同态 Y · 1 - tildeu 可逆。此外，如果χᵤ'表示多项式χᵤ的导数，则 ↩ 1 076B
推论 6 — 假设域 K 为特征零。然后，在正式幂级数的环K[[T]]中，我们有 076C
注 2 — 作者：IV、p. 80，Cor。 1 和公式 (8)，对于每个多项式 q ∈ K[X]，我们有 076D
推论 7 我们有det(Tr(uⁱ⁺ʲ)_0 ≤ i,j ≤ n) = dis(χᵤ)。 076E
命题 11 设 E（分别为 E'）为交换域 K 上的有限维向量空间，并令 u（分别为 u'）为 E（分别为 E'）的自同态。让 076F
引理 2 设B和C分别为阶 m和n的两个下三角形矩阵，对角线为(βᵢ)_1 ≤ i ≤ n和(γⱼ)_1 ≤ j ≤ n。让我们认同有序集 1, 2, …, m 和 1, 2, …, n 的字典顺序乘积，间隔为 1, 2, …, mn。那么张量积矩阵 (II, p. 357) B ⊗ C 是对角线 (βᵢ γⱼ) 的下三角形。 076G
定义 5 — Let E be a finite dimensional 向量空间 over 交换域 K and let 𝔉 be 集合 of 自同态 of E. Then 𝔉 is said to be diagonal with respect to 基 (eᵢ) of E if 矩阵 of each u ∈ 𝔉 with respect to (eᵢ) 是对角线… 076H
命题 12 — 令 E 为交换域 K 上的有限维向量空间，并令 u 为 E 的自同态。则以下条件是等价的： ↩ 2 076I
推论 — 如果 u 的特征多项式的所有根都在 K 中，并且它们都是简单的，则 u 可对角化。 076J
命题 13 — 令 E 为交换域 K 上的有限维向量空间，令 S 为 E 的自同态的集合，并令 A 为由 S 和 Id_E 生成的 End_K(E) 的子代数。那么下面的条件是等价的： (i) S 可对角化。 (ii) K-代数 A 是可对角化的。 (iii) S 中的元素可对角化并可与 1 个另一个交换。 ↩ 4 076K
引理 3 设g和h是向量空间E的两个对易自同态。那么g的每个特征空间在h下都是封闭的。 076L
推论 — 和以及 E 的两个对角可对角化自同态的复合是可对角化的。 076M
定义 6 — 令 E 为交换域 K 上的有限维向量空间。如果在 u 下封闭的 E 的每个子空间都有一个在 u 下封闭的补集，则 E 的自同态 u 被称为半单。 076N
命题 14 — 当且仅当 u 的最小多项式没有倍数因子时，有限维向量空间在交换域上的自同态 u 是半单。 ↩ 4 076O
推论 — 令 u 为交换域 K 上有限维向量空间的自同态，并令 L 为 K 的扩张。如果 u_(L) 为半单，则 u 为半单。如果 u 是半单并且 L 在 K 上可分，则 u_(L) 是半单。 076P
命题 15 — 令 E 为交换域 K 上的有限维向量空间，令 u 为 E 的自同态，令 q(X) 为其最小多项式。那么下面的条件是等价的： ↩ 1 076Q
定义 7 — 第 15 号提案的自同态 u 满足条件 (i)、(ii) 和 (iii) 据说绝对是半单。 076R
推论 — u绝对半单的充分必要条件是存在K的扩张L，使得L完美且u_(L)是半单。 076S
命题 16 — 令 E 为交换域 K 上的有限维向量空间，令 𝔉 为 E 的自同态的集合，令 A 为由 𝔉 和 Id 生成的 End_K(E) 的子代数。那么下面的条件是等价的： ↩ 1 076T
推论两个通勤的和和乘积，绝对半单自同态绝对半单。 ↩ 1 076U
注 — 假设满足第16条命题的条件，并令L为K的扩张。根据命题 13，当且仅当代数 L ⊗_K A 可对角化时，集合 𝔉_(L) 可对角化。根据V、p. 30、命题 2，存在 K 的有限扩张 L，使得 𝔉_(L) 可对角化。事实上 L 可以被视为 Galois；事实上，取𝔉的有限子集𝔉'，其中生成A，对于𝔉'的元素的最小多项式，我们可以取L为分裂域（命题12和1… 076V
定义 8 令E为交换域上的有限维向量空间，令u为E的自同态。那么 u 的 Jordan 分解就是对 (uₛ, uₙ)，其中 uₛ 是 E 的半单自同态，uₙ 是幂零自同态 E，这样uₛ uₙ = uₙ uₛ和u = uₛ + uₙ。 076W
定理 1 令E为交换域K的有限维向量空间，并令u为E的自同态。那么u有乔丹分解(uₛ, uₙ)当且仅当u的特征值在K上可分。而且分解是唯一的，u和uₛ重合的特征多项式，并且存在多项式P, Q ∈ K[X]，没有常数项，使得uₛ = P(u)和uₙ = Q(u)。 ↩ 1 076X
引理 4 令E为交换域K上的有限维向量空间，并令u为E的可三角化自同态。那么存在 E 的唯一可对角化自同态 v，它与 u 交换，并且使得 u - v 幂零的。而且，在这些条件u和v重合的特征多项式下，存在一个多项式P ∈ K[X]使得v = P(u)。 ↩ 1 076Y
推论 1 假设u有一个乔丹分解，并让L是K的扩张。那么u_(L)有一个乔丹分解，还有(u_(L))ₛ = (uₛ)_(L)和(u_(L))ₙ = (uₙ)_(L)。 076Z
推论 2 假设你有一双 Jordan 分解。那么与 u 通勤的 E 的每个自同态也与 uₛ 和 uₙ 通勤。 ↩ 1 0770
推论 3 设u和v为E的两个通勤自同态，其中有乔丹分解。 a) 自同态 u, v, uₛ, vₛ, uₙ, vₙ, v, 全部通勤。 b) 自同态 u + v 和 uv 有乔丹分解与 (u + v)ₛ = uₛ + vₛ , (u + v)ₙ = uₙ + vₙ , (uv)ₛ = uₛ vₛ , (uv)ₙ = uₛ vₙ + uₙ vₛ + uₙ vₙ . 部分… 0771
推论 4 假设u有一个Jordan分解，并令R为K[X]中的多项式。然后自同态R(u)有乔丹分解和R(u)ₛ = R(uₛ)。 0772
注 1 我们有det(uₛ) = det(u)和Tr(uₛ) = Tr(u)。 ↩ 1 0773
注 2 u 可三角化的必要且充分的条件是 u 具有可对角化的 Jordan 分解，且 uₛ 可对角化。 Then there exists a basis of E with respect to which the matrix of u is lower triangular, and that of uₛ is diagonal, with the same… 0774
注 3 约旦分解的概念对于平方矩阵可以用类似的方式定义。对于例，对于 Jordan 矩阵 U_m,α，我们有 (U_m,α)ₛ = α · Iₘ , (U_m,α)ₙ = U_m,0 . 0775
注 4 如果u是半单但不是绝对半单，那么它就没有乔丹分解。 0776
命题 17 — 令E为交换域上的有限维向量空间，并令f为E的自同态。那么下面的条件是等价的： (i) f 有 Jordan 分解并且是自同构； (ii) f 有 Jordan 分解并且 fₛ 是自同构； (iii) 存在E的绝对半单自同构a和E的单能自同态u，使得f = ua = au。而且，在这些条件下，在(iii)的记号中，我们必须有a = fₛ和u = 1… 0777
命题 18 — 令E为交换域K上的有限维向量空间，令u为E的自同态，令E'为u下封闭的E的子空间。令 u'（分别为 u''）为由 u 诱发的 E'（分别为 E/E'）的自同态。然后χᵤ = χ_u' · χ_u''。 0778
命题 19 — 令 E 为交换域 K 上的有限维向量空间，并令 S 为 E 的可交换三角化自同态的集合。则存在 E 的基，相对于每个元素 u 的矩阵 S是下三角，uₛ的矩阵是对角线，与u的对角线元素相同。 ↩ 1 0779

VIII. 半单模和环

§ 1. 。阿廷模与诺特模

定义 1 设A为环。如果满足以下等价条件，我们称A-模 M 阿廷的（分别为诺特）： ↩ 1 0001
例 1 有限维向量空间超过域是阿廷的和诺特。 0002
例 2 设M为A-模。 If there exists an infinite family (Mᵢ)_i∈ I of nonzero submodules of M whose sum is direct, then M is neither Artinian nor Noetherian: indeed, for every strictly decreasin… ↩ 3 0003
例 3 我们将进一步看到 Z-模块 Z 是诺特但不是 0004
例 4 令p为素数数，Mₚ为挠元Z-模Q/Z的p主分量（VII, §2, No. 2，p. 7）。对于整数 n∈ N (VII, §2、p. 54、习题 3)，Mₚ 的每个子模都等于 Mₚ 或 p⁻ⁿZ/Z。因而，Mₚ是阿廷的，但不是诺特Z模。 0005
命题 1 A-模 M 有有限长度 (II, §1, No. 10, p. 212) 当且仅当它既是阿廷的又是诺特。 ↩ 5 0006
命题 2 A-模 M 是诺特当且仅当 M 的每个子模都是有限生成的。 ↩ 2 0007
引理 1 设M为M的诺特A-模和E子集。存在E生成的的有限子集F与E相同的子模。 0008
命题 3 设 M 为 M 的 A-模且 N 子模。则 M 为阿廷的（或诺特）当且仅当 N 和 M/N 为。 ↩ 5 0009
引理 2 设 M 为 A-模，M 的 N、P 和 Q 子模。假设我们有 P⊂ Q、N∩ P = N∩ Q，且 N + P = N + Q。则有 P = Q。 ↩ 1 00QV
推论设 M 为 A-模和 (Mᵢ)_i∈ I M 的子模的有限族。 ↩ 1 000A
例 5 令(Mᵢ)_i∈ I为A-模的有限族。如果模 Mᵢ 是阿廷的（分别是诺特），那么它们的直和 ⨁_i∈ IMᵢ 也是。 ↩ 1 000B
注定义以及此小节扩展到任意阿贝尔的群的结果，其中叙述中的替换子模具有稳定的子群。 000C
定义 2 如果左A-模 Aₛ 为阿廷的（分别为诺特），则环 A 被称为左阿廷的（分别为左诺特的）。同样，如果右A-模 A_d 为阿廷的（分别为诺特），则环 A 被称为右阿廷（分别为右诺特）。 000D
例 1 域是环，即左和右阿廷和诺特。 000E
例 2 设 A 为 A 的环和 D 子环。假设 D 为域，A 为 D 上的有限维左向量空间。则环 A 为左阿廷的和左诺特的，因为 A 的每个左理想都是 A 的 D 向量子空间。代数超过交换域是环，即左和右阿廷和诺特。 000F
例 3 主理想整环 (VII, §1, No. 1, p. 1, 定义 1) 为诺特。整环不是域的 A 也不是阿廷环：对于 A 的每个非零的不可逆元素 a，理想 aⁿA（对于n∈ N）的序列是严格递减。特别是，整数的环Z是诺特，但不是阿廷的。 ↩ 2 000G
例 4 设M为A-模，即非零的子模的无限族(Mᵢ)_i∈ I的直和。令 E 为 M 的自同态环。对于每个i∈ I，令𝔞ᵢ（或𝔟ᵢ）为E 的元素的集合，其中核包含∑_jnot=iMⱼ（或Mᵢ中包含像）。那么(𝔞ᵢ)是E的非零的左理想的无限族，其和是直接的，(𝔟ᵢ)是E的非零的右理想的无限族，其和是直接的。因而，环 E 既不左也不右阿廷（分别为诺特）（VIII、… 000H
定理 1 设A为左阿廷的环。 A-模Aₛ有有限长度。 ↩ 7 00QW
引理 3 设 A 为环和 n 自然数。长度leqslant n子模家族的和阿廷的A-模M有有限长度。 ↩ 2 000I
推论每个左阿廷的环就是左诺特的。 000J
例 5 域的左边和右长度等于1。 000K
命题 4 a) 设 A 为左诺特环，M 为有限生成的左A-模。模 M 是诺特，M 的每一个子模都是有限生成的。 ↩ 5 000L
命题 5 a) 设 A 为左阿廷的（分别为左诺特的）环，并令 φ : A→ B 为环同态，这使得 B 成为有限生成的左A-模。环 B 为左阿廷的（分别为左诺特的）。 ↩ 4 000M
推论阿廷的交换环的素理想是它的极大理想。 000N
定义 3 设 A 为 M 的环，M A-模，E = End_A(M) 自同态环。M 的对模是左 E 模块，其底层加法群与 M 和外法则 (c, x)↦ c(x) 相同。 ↩ 1 000O
引理 4 设 M 为左A-模，且对模是有限生成的。存在自然数m和从(A_M)ₛ到Mᵐ的单射A_M线性映射。 ↩ 3 000P
命题 6 令 M 为阿廷的（分别为诺特）左A-模，并有限生成对模。 M 的同位A_M 的环为左阿廷的（分别为左诺特的）。 ↩ 4 000Q
推论设A为交换环。 000R
注设A为环。有限生成对模的阿廷的左A-模 M 有有限长度：事实上，M 的同位A_M的环是左阿廷的（命题 6），并且M是阿廷模超过A_M；通过VIII、p. 7、命题 4、模 M 的有限长度超过A_M，因此也超过 A。 000S
命题 7 Let A,σ ,d be as above. 群 A[X] 上存在唯一的环结构，具有以下属性： 00QX
注环 A[X]_σ ,d has the following 泛性质: given 环 A', 环同态 f: A→ A', and 元素 x of A' such that xf(a) =f(σ (a))x+f(d(a)) 对于每个 a∈ A，都存在一个唯一的环同态 g: A[X]_σ ,d→ A'，扩展 f 和映射 X 到 x。 000T
定理 2 设A为左诺特环，设σ为A的自同构和满足关系的加法群d自同态(1)。环A[X]_σ ,d为左诺特的。 ↩ 1 000U
推论 1（希尔伯特） 设 A 为诺特交换环。对于每个整数 ngeqslant 0，多项式代数 A[X₁, . . . ,Xₙ] 为诺特环。 ↩ 1 00RW
推论 2 设 A 为诺特交换环。由有限多个元素生成的交换A-代数是诺特环。 ↩ 1 000V
推论 3 每个交换环都是诺特子环右向有向族的并。 ↩ 1 000W

§ 2. 。结构模有限长度

命题 1 设 A 为非零环，并令 𝔯 为 A 的不可逆元素的集合。以下属性是等效的： ↩ 2 001P
定义 1 局部环是非零环，具有与命题 1 等效的属性。 ↩ 2 001Q
例 1 每个域都是局部环。 001R
例 2 设 A 为非零环，其中每个元素都是可逆的或幂零的。那么A就是局部环。事实上，如果a∈ A不可逆，那么到假设，存在整数ngeqslant 0使得aⁿ⁺¹= 0，并且1-a有逆1 +a+⋯ +aⁿ。 ↩ 1 001S
例 3 令 X 为 Cʳ 流形 (VAR, R, 5.1.5) 和 x 点的 X。设Oₓ为Cʳ函数x处的细菌环，值位于标量K的域中。则Oₓ为交换局部环，其最大理想由 001T
例 4 设 A 为形式幂级数的交换局部环和 B = A[[Xᵢ]]_i∈ I 代数，系数为 A (III, §2, No. 11, p. 456)。由 IV, §4, No. 4、p. 30、环的命题 6 可知，B 是局部的，其最大理想由 A 的最大理想中的形式幂级数和常数项组成。特别是，如果 A 为域，则A[[Xᵢ]]_i∈ I 由形式幂级数和常量项零组成。 ↩ 1 001U
例 5 设 p 为素数数。我们用分数 a/b 数由……组成域 Q Z₍ₚ₎ 子环和 a∈ Z,b∈ Z 来表示，并且 b 不能被p*(cf.整除)通讯，II, §2, No. 1，p. 60）。那么 Z 就是 ↩ 1 001V
例 6 令 K 为特征 p >0 的交换域，G 为p群（I, §6, No. 5、p. 76、定义 9）。群 G 在 K (III, §2, No. 6, p. 446) 上的代数 K[G] 为局部环；它的最大理想是 K[G] 的元素 (a_g)_g∈ G 的集合，使得 ∑_g∈ Ga_g= 0 (VIII, p. 41, 习题 10)。 001W
命题 2 a) 假设序列 (Nₚ) 是平稳的。那么我们有N_∞∩ I_∞= 0，u到I_∞的限制是单射的，N_∞的u诱导幂零自同态。 ↩ 3 001X
注 1 令p为整数，使得Nₚ= Nₚ₊₁；上面给出的证明表明，u到Iₚ的N_∞∩ Iₚ= 0和限制是单射的。同样，令q为整数，使得I_q= I_q+1；那么我们有N_q+ I_∞= M，并且M/N_q从u通过经过推导出自同态，商是满射的。 001Y
注 2 假设M是在u下稳定的两个子模N和I中的直和，并且N中的u诱导幂零自同态u_N和I中的自同构。然后我们有 N_∞= N 和 I_∞= I，并且序列 (Nₚ) 和 (Iₚ) 是静止的。此外，以下整数是相等的： 001Z
注 3 如果A-模 M 为诺特，则满足断言 a) 的假设；如果M是阿廷的，则满足断言b)的假设； VIII、p. 2、断言的命题 1、假设 c) 如果 M 具有有限长度，则满足。 ↩ 1 0020
推论 1 设A为环，设M为A-模。 ↩ 3 0021
推论 2 在左诺特环中，每个左或右可逆元都是可逆的。 0022
定义 2 如果A-模 M 不是不同于 0 和 M 的子模族的直和，则称其不可分解。 0023
例假设环 A 是主理想整环。不可分解的有限生成A-模与A-模同构于A或A/pⁿA，其中p是A的不可约元，n整数>0（VII, §4, No. 8，p. 24，命题8)。 0024
命题 3 诺特或阿廷的 A-模 M 是不可分解的子模有限族中的直和。 ↩ 1 0025
定义 3 如果自同态环是本地的，则模称为原始[^1]。 0026
命题 4 a) 原初模是不可分解的。 ↩ 4 0027
定义 4 如果模是原始子模家族中的直和，则称模为半原始的。 0028
例 1 每单模都是本初（VIII，p. 45）；因而，每个半单模都是半原始的（VIII，p. 55，定义1）。 00SE
例 2 如果 A 是左诺特环，则每个单射A-模都是半原初的（X, §1、nᵒ9、p. 21、命题 14 和 X, §1、nᵒ10、p. 22、定理） 3、b)). 01L7
定理 1（东屋） 设A为环，L为原初A-模，M为半原初A-模。存在一个唯一的基数，记为[M : L]，其性质如下： ↩ 5 00RX
引理 1 设M为M的A-模，M的M'原始子模，以及M的M''子模，对M'的补充。设u为M的自同态。则M的u或1_M-u诱导同构从M'到子模补充M''。 ↩ 1 0029
引理 2 令M为A-模，即原始子模的(Mᵢ)_i∈ I家庭的直和，并令u为M的自同态。对于每个子集J，集合v= 1_M-u和M_J=⨁_i∈ JMᵢ I。然后是以下两个性质成立之一： ↩ 4 002A
引理 3 设M为A-模，即原始子模的家庭(Mᵢ)_i∈ I的直和，并令p为M的非零的投影算子。存在指标i∈ I使得p诱导同构从Mᵢ到直因子子模共p(M)。 ↩ 3 002B
引理 4 设M为A-模，即原始子模的(Mᵢ)_i∈ I家族的直和，令L为原初A-模，令N为M的直因子子模。假设N为(Nⱼ)_j∈ J家族的直和子模与L同构，并用指标i∈ I的I_L集合表示，使得Mᵢ与L同构。然后我们有 ↩ 1 002C
推论 1 设 M 和 N 为半原始模。那么 M 和 N 是同构的当且仅当我们对于每个原初模 L 都有 [M : L] = [N : L]。 ↩ 2 002D
推论 2 设M为半原始模。 Let (Mᵢ)_i∈ I and (M'ⱼ)_j∈ J be families of 原始子模 of M such that ↩ 1 00QY
推论 3 设 M、N 和 P 为半原始模。假设 M⊕ P 与 N⊕ P 同构，并且 [P : L] 对于每个原初模 L 都是有限的。则 M 和 N 同构。 002E
推论 4 设 M 和 N 为半原始模。假设存在整数d >0使得Mᵈ同构于Nᵈ。则模 M 和 N 同构。 ↩ 1 002F
推论 5 令 M 为半原始模，即原始子模的有限族 (Mᵢ)_i∈ I 的直和。对于 I 中的任意子集 J，写为 M_J=⨁_i∈ JMᵢ。令 N 为 M 的直因子子模。 ↩ 2 002G
推论 6 每超过有限生成射影模超过局部环免费。[^2] ↩ 3 002H
注设 M 和 M' 为半原初 A-模。从VIII、p. 33的引理 4 立即可以得出，当且仅当我们对每个原初A-模L都有[M': L]leqslant [M : L]时，M'同构于M的直因子子模。特别地，如果L是原初A-模，[M : L]是基数𝔞的最大的，其中存在与L^(𝔞)同构的M的直因子子模。 002I
定理 2（克鲁尔-雷马克-施密特） 设 A 为环，M 为有限长度的 A-模。 ↩ 5 00RY
定理 3 令 K 为交换域，A K-代数，M 和 N 模为有限长度。令K'为非零的交换K-代数，使得A_(K')模块M_(K')和N_(K')同构。则 A-模 M 和 N 同构。 ↩ 5 002J
注令E和F为交换域K上的两个有限维向量空间，并令K'为K的扩张。令u为E的自同态和F的v自同态，并令u_(K')和v_(K')为E_(K')和F_(K')的自同态由标量的扩张获得。由VII, §5, No. 3、p. 32的推论1和2得出，自同态、u和v相似当且仅当自同态u_(K')和v_(K')相似。这也是从上面的定理 3 应用于代数 A = K[X] 和… 002K

§ 3. 。单模

定义 1 设 A 为环。如果A-模 M 是非零的并且没有不同于 0 和 M 的子模，则称 M 为简单的。 ↩ 1 0035
例 1 模 Aₛ 为单A-模当且仅当 A 为域 (I, §9, No. 1, p. 115, 定理 1)。单A-模则向量空间等于维数 1 除以域 A。 0036
例 2 设 A 为主理想整环 (VII, §1, No. 1, p. 1, 定义 1)，但不是域。对于A的每个不可约元π，A-模Aₛ/(π )是简单的，并且每个单A-模同构于这样的模（VII, §4, No. 8，p. 25，注4）。对于 ngeqslant 2、A-模 Aₛ/(πⁿ) 是不可分解的（VII, §4, No. 8、p. 24、命题 8），但并不简单。 0037
例 3 令 K 为域、V 非零的右向量空间超过域 K，且 A 子环为环 End_K(V) 包含自同态为 V 有限秩（对于例，A = 结束_K(V)）。让我们证明V是单A-模：令W是V的非零的A-子模和W的x非零元素； V 上存在线性形式 φ，使得 φ (x)not= 0 (II, §7, No. 5, p. 300, 定理 6)。对于V、映射z↦ yφ (z)中的每… ↩ 2 0038
命题 1 设 A 为环。 ↩ 4 00QZ
推论 1 若环 A不减至0，则存在单A-模。 0039
推论 2 设 A 为局部环 (VIII, p. 26, 定义 1) 和 𝔯 其最大理想。 A-模 Aₛ/𝔯 很简单，每个单A-模都与 Aₛ/𝔯 同构。 003A
注 1 设A为交换环且𝔪是A的理想。则𝔪为A-模Aₛ/𝔪的湮没子（II, §1, No. 12，p. 219，定义11）。因而，如果𝔪和𝔪'是A的不同理想，则A-模Aₛ/𝔪和Aₛ/𝔪'不是同构的。当且仅当 (0) 是 A 的最大理想，即 A 是域时，存在忠实的单A-模 (II, §1, No. 12, p. 219)。 ↩ 1 003B
注 2 我们可以给出非交换环 A 的例和 A 的两个不同的最大左理想 𝔪 和 𝔪'，使得 A-模 Aₛ/𝔪 和 Aₛ/𝔪' 同构（VIII、p. 52、习题） 3）。 003C
命题 2 设A为环，M和N为两个A-模，并且从M到N为f非零的同态。 ↩ 5 003D
推论（Schur 引理） 单模中的自同态环是域。 ↩ 2 00RZ
定理 1 令 K 为代数闭交换域、A K-代数和 M 单A-模。假设 M 的维数作为 K 上的向量空间是有限的，或者更一般地，严格小于 K 的基数。则 A-模 M 的自同态环由同位α_M 与 α ∈ K 组成。 ↩ 16 003E
引理 1 设E为域，E的中心的K子域不等于E。如果域K是代数闭的，则我们有[E : K]geqslantCard(K)。 ↩ 1 003F
例令 A 为由元素可数族生成的 C 代数；它有可数维数超过 C。设M为单A-模；它是单生的，因此承认基超过 C。由于域C不可数（Gen.Top.，IV, §4, No. 1，p. 44），我们有[M :C]<卡（C）。因此A-模 M 的自同态是α_M 与α ∈ C 的同位。这尤其适用于当 A 是有限维李代数在 C(Lie、I, §2, No. 7、p. 21、… 003G
推论 1 保持定理 1 中的假设，并且假设代数 A 是可交换的。那么 M 比 K 有维数 1。 ↩ 1 003H
推论 2 设 K 为交换域，A K-代数，M A-模。假设对于 K 的每个扩张 L，A_(L)-模 M_(L) 都是简单的。那么M的自同态环由α_M与α ∈ K同位。 003I
定义 2 设A为环，M为A-模。 M的极大子模是M的真子模的集合的极大元素。 ↩ 2 003J
命题 3 设 M 为有限生成A-模。 M 的每个真子模都包含在极大子模中。 ↩ 3 003K
推论 1 设 M 为非零的有限生成A-模。存在 A 的双面理想𝔞，单A-模的湮没子，使得 𝔞M 不等于 M。 ↩ 1 003L
推论 2 设A为交换环，B为A-代数。设M为单B-模即有限生成A-模，并令𝔪为A-模M的湮没子。则𝔪是A的极大理想，M是域A/𝔪的有限维向量空间。 003M
命题 4 设 A 为环，其具有最小左理想𝔞。每个忠实的单A-模都与A-模𝔞同构的。 ↩ 2 003N
命题 5 设 A 为左阿廷的环，M 为忠实的 A-模。 ↩ 3 003O
注命题 5 特别适用于以下两种情况： 003P

§ 4. 。半单模

定义 1 如果模是单模.[^1]家族的直和，则称为半单。 ↩ 1 0040
例 1 模减为0，单模为半单模。 0041
例 2 如果 A 是域，则每个 A-模都是半单 by 定理 1 of II, §7, No. 1、p. 292。这表明，一般来说，半单模可以通过多种方式分解为直和或简单子模（但请参见VIII、p. 68的推论2）。 0042
例 3 设A为主理想整环，设P为A的不可约元的代表由……组成(VII, §1, No. 3，p. 3)的系统。设 M 为 A-模，并且对于每个 π ∈ P，令 M(π ) 为 x∈ M 的集合，使得 π x= 0。由VII, §2, No. 2、p. 9、A-模 M 为半单当且仅当它是子模 M(π ) 的和；那么就是这些子模中的直和。这个例将在（VIII，p. 65… 0043
定理 1 设M为模，即简单子模的(Sᵢ)_i∈ I族的（不一定是直接的）和，并令N为M的子模。存在I的子集J，使得M是N的由……组成族的直和并且模 Sⱼ j 穿过 J。 ↩ 6 0044
推论 1 单模的家庭中，和的每个模都是半单。 ↩ 1 0045
推论 2 模 M 是半单当且仅当 M 的每个子模都是直因子。 ↩ 8 0046
推论 3 设M为M的半单模和N子模。模N和M/N为半单。更准确地说，如果 M 是单模的族(Sᵢ)_i∈ I的直和，则存在I的子集 J，使得M/N与⨁_j∈ JSⱼ同构的，N与⨁_i∈ I-JSᵢ同构的。 ↩ 6 0047
推论 4 设M为半单模。那么 M 是简单的当且仅当 M 的自同态环 E 是域。 ↩ 1 0048
注令 K 为代数闭交换域且 A K-代数。设 M 为半单A-模，即有限维向量空间超过域 K。则 M 是简单的，当且仅当 A-模 M 的每个自同态都是形式 x↦ α x，其中 α 在 K 中：这是 VIII 的定理 1 所必需的， p. 47，并且根据上述推论 4 就足够了。 0049
注 1 令V和V'为B-模。伴随同构 ↩ 1 004A
注 2 设M为左A-模。 B-线性映射 ↩ 1 004B
注 3 假设 P 有限生成为 A-模。设M为A-模的家庭(Mᵢ)_i∈ I的直和。 A-模 T(H(M)) 和 ⨁ᵢT(H(Mᵢ)) 是规范同构的。当我们认同它们时，α_M就等同于⨁ᵢα_Mᵢ。同样，令V为B-模的家庭(Vⱼ)_j∈ J的直和。 B-模 H(T(V)) 与⨁ⱼH(T(Vⱼ)) 标识，线性映射 β_V 与⨁ⱼβ_Vⱼ 标识。 ↩ 1 004C
命题 1 设M为A-模。以下属性是等效的： ↩ 2 004D
定义 2 如果A-模 M 具有与命题 1 等价的性质，则A-模 M 是型 S 的同型。如果存在单A-模 T，使得M 是型 T 的同型，则模 M 称为同型。 004E
命题 2 如果模是型S的同型子模的和，那么它是型S的同型。型S的同型模的子模和商模是型S的同型。 ↩ 5 004F
注型 S 的每个非零的同型模都有商模和子模同构于 S；因而，如果 M 和 M' 是型 S 的非零的同型A-模，则群 Hom_A(M,M') 不会减少到 0。 004G
命题 3 a) 令 M 为型 S 的同型A-模。 A-线性映射 α_M: S⊗_DHom_A(S,M)→ M 特征在于 α_M(s⊗ f) =f(s) (VIII, p. 59) 是双射的。 ↩ 5 004H
定义 3 令 M 为型 S 的同型A-模。M 相对于 S 的描述为对 (V, α )，其中 V 为域 D 上的左向量空间，α : S⊗_DV→ M 为同构 A-模。 004I
定理 2 设 M 为型 S 的同型A-模和 M 的 (V, α ) 描述。用 D_D(V) 集合（按包含排序）表示 V 的 D 线性子空间，用 D_A(M) 表示M 的 A-子模。对于每个 W∈ D_D(V)、认同 A-模 S⊗_DW 及其典范像在 S⊗_DV。 ↩ 4 004J
注 1 设 M 为型 S 的同型A-模和 M 的 (V, α ) 描述。则 M 具有有限长度当且仅当 V 是有限维时，在这种情况下，我们有关系 ↩ 1 004K
推论 1 令 M 为型 S 的同型A-模。对于 M 的每个 A-子模 N，认同 Hom_A(S,N) 与映射的 Hom_A(S,M) 由……组成的线性子空间，其中像包含在 N 中。 004L
推论 2 设V为D上的左向量空间，以及V的自同态为F集合。 S⊗_DV的A-子模在所有自同态1_S⊗ u下是稳定的，其中u穿过F，当且仅当它是形式S⊗_DW，其中W是子空间的线性V在所有自同态属于到F下都是稳定的。 ↩ 6 004M
定理 3 令M和M'为型S的同型A-模。令(V, α )和(V', α ')分别为M和M'的描述。对于任何 D 线性映射 f: V→ V'，用 widetildef: M→ M' 表示唯一的 A-线性映射，它使以下图表通勤： ↩ 3 004N
注 2 设M为型S的同型A-模，并令(V, α )为M的描述。设B为环End_A(M)ᵒ的子环。环同构从End_D(V)ᵒ到End_A(M)ᵒ赋予V与(D，B)-双模的结构，使得α是(A，B)-双模的同构。从(D的集合，B）V的子双模，到(A的集合，B）存在同构，M的VIII，p. 62，定理 2和 VIII，p. 63，推论 2)。 ↩ 1 004O
推论令M和M'为型S的同型A-模。映射u↦Hom(1_S, u)从Hom_A(M,M')到Hom_D(Hom_A(S,M),Hom_A(S,M'))为群同构。当M等于M'时，从End_A(M)到End_D(Hom_A(S,M))是环同构。 004P
定义 4 设 A 为环，M A-模，S 单A-模。 M 的型 S 的同型成分，记为 M_S，是与 S 同构的 M 的子模的和。 004Q
命题 4 设 A 为环。用S表示单A-模的类的集合。令 M 为半单A-模。 ↩ 6 004R
推论令A为环和单A-模的类中的S集合。设M为M的半单A-模和N子模。那么我们有N =⨁_λ∈SN∩ M_λ和M/N =⨁_λ∈S(M_λ+ N)/N。 004S
命题 5 令A为环，令S为单A-模的类中的集合。设 M 和 N 为 A-模。 ↩ 8 004T
注设A和B为环。设 M 为 (A, B)-双模。从命题 5 可以得出，A-模 M 的同型成分是 M 的子双模。特别是当 M 是 A-模并且 B 是 End_A(M) 的逆环时，这一点尤其成立。 004U
例让我们考虑环 A 是可交换的情况。 The mapping that sends a maximal ideal 𝔪 onto cl(A/𝔪) is a bijection from the set of maximal ideals of A to the set S of classes of simple A-modules (VIII, p. 51)… 004V
推出 1 设 M 为 M 的半单A-模且 N 子模。以下属性是等效的： ↩ 1 004W
推出 2 设M为A-模。下面两个条件是等价的： ↩ 2 00R0
命题 6 保留上面的记号，并假设A-模 M 为半单。从右D-向量空间Hom_A(M,S)到左D-向量空间Hom_A(S,M)的对偶映射u↦ h(u)是D-线性和双射的。 ↩ 1 004X
命题 7 设 M 为 A-模。典范映射 α_M 是单射的。对于每个λ ∈ S，S_λ⊗_D_λHom_A(S_λ,M)的α_M下的像是型λ的M的同型分量。 α_M的像是M的底层。A-模M是半单当且仅当映射α_M是双射的。 ↩ 1 004Y
定义 5 令 M 为半单A-模。 M 的描述（相对于家庭(S_λ)_λ∈S）为对((V_λ)_λ∈S, α )，其中V_λ为左向量空间超过域D_λ，对于每个λ ∈ S和α :⨁_λ∈S(S_λ⊗_D_λV_λ)→ M为同构 A-模。 ↩ 2 004Z
命题 8 设 M 为 M 的半单A-模和 ((V_λ)_λ∈S, α ) 描述。 ↩ 3 0050
推论令 M 为半单A-模。对于M的每个子模N和S的每个元素λ，认同Hom_A(S_λ,N)以及映射的Hom_A(S_λ,M)由……组成的D_λ线性子空间 N 中包含像。 0051
命题 9 设M和M'为半单A-模，并分别考虑M和M'的描述、((V_λ)_λ∈S, α )和((V'_λ)_λ∈S, α ')。对于 ∏_λ∈S Hom_D_λ(V_λ,V_λ') 的每个家庭 f= (f_λ)_λ∈S，都存在一个唯一的 A-线性映射 φ (f)∈ Hom_A(M,M')，以下图表通勤： ↩ 2 0052
推论设 M 为半单A-模和 M' A-模。映射 u↦ (霍姆(1_S_λ, u))_λ∈S 从霍姆_A(M,M') 至 ↩ 2 0053
命题 10 令 M 为半单A-模。令 (Mᵢ)_i∈ I 为简单子模与直和 M 的族。以下性质是等价的： ↩ 4 0054
命题 11 设M为半单A-模，即简单子模的家庭(Mᵢ)_i∈ I的直和。对于每个λ ∈ S，我们用指标i∈ I的I(λ )集合表示，这样Mᵢ就是类λ。 I(λ )的基数等于左D_λ向量空间Hom_A(S_λ,M)的维数。 0055

§ 5. 。交换

定义 1 如果我们有 A_M= A''_M，则A-模 M 是平衡的。 ↩ 1 005E
命题 1 令(Aᵢ)_i∈ I为环的族，对于每个i∈ I，令Mᵢ为Aᵢ模块。集合A =∏ Aᵢ,M =∏ Mᵢ和N =⨁ Mᵢ。赋予M A-模的结构和作用 ((aᵢ),(xᵢ))↦ (aᵢxᵢ) 的律。集合 N 是 M 的 A-子模。 ↩ 3 005F
命题 2 设A为环，设M为A-模。设I为集合。然后是A-模 M⁽ᴵ⁾ 重合与A''_M-模M⁽ᴵ⁾同调的环的二交换。 ↩ 2 005G
定义 2 如果从 M 到 N 每个 A-模 N 都是由 A-线性映射的像生成，A-模 M 称为生成的。 005H
定理 1 令 M 为左A-模。以下属性是等效的： ↩ 8 005I
推论生成A-模是忠实的。 ↩ 1 00R1
例 1 A-模Aₛ是生成的。 005J
例 2 每个非零的自由A-模都是生成的。更一般地，每个具有生成的商的模本身就是生成的。 ↩ 1 005K
例 3 设 M 为半单A-模，其中对模是有限生成的。那么M就是生成的A_M-模。事实上，通过VIII、p. 8的引理 4，存在自然数m，使得(A_M)ₛ同构于Mᵐ的子模。由于Mᵐ是半单A_M模，(A_M)ₛ与Mᵐ的直因子子模同构，M是生成的A_M模(定理1)。 ↩ 1 005L
例 4 设A为主理想整环，设P为有限生成A-模。 A 的理想 (𝔞ᵢ)_1leqslant ileqslant n 存在整数 ngeqslant 1 和递增序列，使得 P 同构于 A/𝔞ᵢ 的直和 (VII, §4, No. 4, p. 19, 定理 2)； P 的湮没子𝔞等于𝔞₁。那么 P 是生成模超过环 A/𝔞。如果 P 不是挠元模，那么我们有 𝔞= 0 并且… ↩ 1 005M
引理 1 设A为交换环，M为有限生成A-模，Ann(M)为湮没子。令 𝔞 为 A 的理想。以下性质是等效的： ↩ 4 005N
命题 3 设 A 为交换环。每个有限生成且忠实的射影A-模都是生成的。更一般地，有限生成的射影 A-模 P 是生成的 A_P 模。 ↩ 2 00R2
引理 2 设 A 为环，M 为射影 A-模。 A_M模 M 是射影的。 ↩ 1 005O
定理 2 生成模是平衡的。 ↩ 4 005P
推论 1 自由模是平衡的。 ↩ 4 005Q
推论 2 令A为环，令n为整数geqslant 0。 Mₙ(A)的中心由标量矩阵和A的中心中的条目组成。我们将Aⁿ视为左Mₙ(A)模块（II, §10, No. 7，p. 349）。这个模中的自同态是映射x↦ xa，其中a穿过A。 ↩ 3 00R3
注令 M 为 A-模。如果A_M-模块M是生成的，那么我们将A_M= A''_M乘以定理2应用于A_M-模块M，因此M是平衡的A-模。 005R
推论 3 每个有限生成射影模超过交换环都是平衡的。 005S
推论 4 每个有限生成模超过主理想整环都是平衡的。 ↩ 1 005T
推论 5 令 K 为交换域，K 上的 V 有限维向量空间，以及 V 的 u 和 v 自同态。以下属性是等效的： 005U
命题 4 半单模与有限生成的对模是平衡的。 ↩ 2 005V
推论 1 令 (Sᵢ)_i∈ I 为成对非同构单A-模的有限族。对于i∈ I，用Sᵢ 自同态域 Dᵢ 逆环表示。假设对于每个i∈ I，Dᵢ向量空间Sᵢ是有限维的。那么从A到∏_i∈ IEnd_Dᵢ(Sᵢ)的映射a↦ (a_Sᵢ)_i∈ I是满射。 ↩ 4 005W
推论 2（伯恩赛德定理） 设 A 为代数闭交换域 K 上的代数，并令 S 为单A-模，其有限维为 K-向量空间。那么从 A 到 End_K(S) 映射 a↦ a_S 是满射。 00S0
注 1 A-模 M 的规范描述 α_M 是左(A 的同构，B)-双模。根据命题 9, VIII, p. 71, 映射 f↦ (Hom(1_S_λ, f))_λ∈S_M从B到∏_λ∈S_MEnd_D_λ(V_λ)的推论是环同构。 ↩ 1 00R4
命题 5 a) M 的对模是半单。 ↩ 4 005X
注 2 由证明得出映射 ↩ 1 00R5
命题 6 a) 将 M 视为 (A,Bᵒ) 双模，M 为半单。 ↩ 3 005Y
命题 7 a) For every element c of the bicommutant C of M and every λ ∈ S_M, there exists a unique element c_λ of End_D_λ(S_λ) such that for every φ ∈ Hom_A(S_λ,M) and every s∈ S_λ, we have… ↩ 3 005Z
注 3 赋予S_λ，对于λ ∈ S_M，具有由命题7，a)给出的C模块结构。如果我们在命题 5 中替换 A 与 B 以及 B 与 C (VIII, p. 85)，那么我们看到对于每个 λ ∈ S_M，左边的 C-模S_λ 是简单的，有交换律 D_λ， C模块M的型S_λ的同典型分量等于M_λ，并且映射λ ↦cl_C(S_λ)从A-模M的支撑到双射的支撑C-模 M。最… 0060
命题 8 a) 映射 z↦ (z_S_λ)_λ∈S_M 是域 Z_λ 中从 Z 到乘积的同构。 ↩ 4 0061
推论假设 A 是代数闭交换域 K 上的代数，M 是半单A-模，即 K 上的向量空间有限维。对于 S_M 中的每个 λ，用 M 的 e_λ 投影算子和像 M_λ 表示和核⊕_λnot=μM_μ。那么(e_λ)_λ∈S_M是向量空间Z在K上的基。 0062
定理 3（雅各布森） 设M为半单A-模，c为加法群M的自同态。则c属于为M的二共交A''_M当且仅当满足以下条件： ↩ 4 00S1
引理 3 设M为半单A-模。设 B 为 A-模 M 的二交矩阵。则 M 的每个 A-子模都是 M 的 B-子模。 0063
注用E表示M的加法群的自同态环。赋予M离散的拓扑；环 E 由从 M 到 M 的映射组成，我们可以赋予它由乘积拓扑在 Mᴹ 上诱导的拓扑（“M 中简单收敛的拓扑”，Gen. Top.，I, §2, No. 3， p. 31）。 E 上的拓扑是 Hausdorff，并且与 E 上的加法群结构兼容。对于 E 中的每个 f，从 E 到 E 的映射 g↦ f∘ g 和… 0064
命题 9 令L为域，且End_Z(L)的E子环，对于每个a∈ L，包含映射γ ₐ:x↦ ax。用元素 a 的 K 集合 L 表示，使得 L 中的每个 x 以及 E 中的每个 u 都有u(xa) =u(x)a；是L中的子域。 ↩ 1 0065
推论设L为域。令 Γ 为域 L 自同构群子群，并令 K 为 Γ 的不变量域。设V是有限维n的L在K上的右K线性子空间。则存在元素σ₁, . . . , σₙ具有以下性质：对于每个K-线性映射 u从V到L，L中存在元素a₁, . . . , aₙ，因此V中的每个x都有u(x) =∑ᵢ₌₁ⁿaᵢσᵢ(x)。 0066
注当域L可交换时，约化到Artin的定理（V, §10, No. 6，p. 65）的推论。 0067

§ 6. 。森田等价 / 模和代数

命题 1 假设从B到End_A(P)的映射b↦ b_P和从A到End_B(P)的a↦ a_P是双射的。那么σ和widetildeσ是逆同构，我们有关系 ↩ 2 006R
注 1 假设从 B 到 End_A(P) 映射 b↦ b_P 是双射的。然后 ↩ 2 006S
注 2 在命题 1 的假设下，A-模 P 是平衡的；由于环A_P和A'_P具有相同的中心（VIII，p. 77），因此从环A的中心Z(A)到中心有同构φ 环 B 的 Z(B)，由 z∈ Z(A) 的关系 φ (z)_P=z_P 确定。此外，(A,B)ₖ-双模P的自同态是同位z_P，其中z穿过Z(A)； (A,B)ₖ-双模 P 的自同构是同位 z_P，其中 z 在 Z… ↩ 1 006T
命题 2 设 A 和 B 为代数超过 k，并令 P 为 (A,B)ₖ 双模。假设从 B 到 End_A(P) 映射 b↦ b_P 是双射的。以下断言是等效的： ↩ 2 006U
命题 3 设 A 和 B 为 k 上的代数，且 P 为 (A,B)ₖ 双模。以下属性是等效的： ↩ 2 006V
命题 4 设 A 和 B 为 k-代数，P 为 (A,B)ₖ-双模。假设从 B 到 End_A(P) 映射 b↦ b_P 是双射的。 ↩ 2 006W
推论 1 生成模的对模是射影且有限生成的。有限生成射影模中的对模是生成的。 ↩ 1 006X
推论 2 设 A 和 B 为 k-代数，P 为 (A,B)ₖ-双模。以下属性是等效的： ↩ 1 006Y
定义 1 设 A 和 B 为 k-代数，P 为 (A,B)ₖ 双模。如果存在(B,A)ₖ双模Q，使得P⊗_BQ同构于ₛA_d且Q⊗_AP同构于ₛB_d，我们称P是可逆的。这样的双模 Q 被称为 P 的逆。 006Z
定义 2 如果存在可逆 (A,B)ₖ-双模，则两个 k-代数 A 和 B 称为 Morita 等价。如果 Z-代数 A 和 B 是 Morita 等价的，环 A 和 B 被称为 Morita 等价。 ↩ 1 0070
引理 1 — 设 A 和 B 为 K-代数，P 为可逆 (A, B)ₖ 双模，M 和 N 为 B-模，u : M → N 为 B-线性映射。如果映射 1_P ⊗ u : P ⊗_B M → P ⊗_B N 是零（分别是双射），那么 u 也是。 ↩ 3 0071
定理 1 设 A 和 B 为 K-代数，P 为 (A, B)ₖ 双模。用 P^* 表示 (B, A)ₖ-双模 Hom_A(P, Aₛ)。以下属性是等效的： ↩ 14 0072
推论 1 设 A 和 B 为 Morita 等价的 k-代数，并令 P 为可逆的 (A,B)ₖ 双模。对于每个z∈ Z(A)，从A的中心Z(A)到B的中心存在同构φ，由关系φ (z)_P=z_P确定。 (A,B)ₖ-双模 P 的自同构是同位z_P，其中 z 是 Z(A) 的可逆元。 ↩ 3 077O
推论 2 设 A 和 B 为 Morita 等价的k-代数，并令 P 为可逆的(A,B)ₖ-双模。 P 的每个 (B,A)ₖ-双模逆元都同构于 P 的对偶 P^*= Hom_A(P,A)。更准确地说，令 Q 为 P 的逆元 (B,A)ₖ-双模，并令 λ : P⊗_BQ→ₛA_d 为 (A,A)ₖ-双模的同构。对于p∈ P和q∈ Q，存在由关系⟨ p, τ (q)⟩ =… 077P
注在推论的假设下，令q为Q的元素，这样对于每个p∈ P我们都有λ (p⊗ q) = 0。那么我们就有τ (q) = 0，即q= 0。同样，如果p是P的元素，这样对于每个q∈ Q我们都有λ (p⊗ q) = 0，那么p= 0。 0075
例 1 设 B 为 k 代数，n 整数 geqslant 1，A 为 k 代数 Mₙ(B)。右B-模 P = Bⁿ_d 是射影、有限生成的，生成的，A 可以用 P 的内同态代数来标识（II, §10, No. 7，p. 349）。到定理 1，(A,B)ₖ-双模 P 是可逆的。因此代数 B 和Mₙ(B) 是森田等价的。 ↩ 3 0076
例 2 设 A 是可交换的 k 代数，P A-模。我们将 P 视为一个 (A,A)ₖ 双模，其作用的两个律相等。如果 (A,A)ₖ 双模 P 是可逆的，则 A-模 P 是有限生成的 (定理 1)。定理 3 通讯。代数，II, §5, No. 4，p. 114，以下性质是等价的： 00SH
定理 2（森田） a) 令 V 和 W 为左B-模。从 Hom_B(V,W) 到 Hom_A(P⊗_BV,P⊗_BW) 映射 g↦ 1_P⊗ g 为双射。逆双射将Hom_A(P⊗_BV,P⊗_BW)的元素h发送到Hom_B(V,W)的元素θ_W∘ (1_Q⊗ h)∘ θ_V⁻¹。 ↩ 3 00S2
命题 5 设V为左B-模。映射W↦ P⊗_BW是从V的B-子模的集合（按包含排序）到P⊗_BV的A-子模的集合（按包含排序）的同构。逆同构将P⊗_BV的A-子模N发送给Q⊗_AP⊗_BV的B-子模Q⊗_AN的θ_V下的像。 ↩ 1 0077
例 1 让我们将 VIII、p. 104 中的应用命题 5 组合到具体情况V = Bₛ。 ↩ 2 0078
例 2 分别用 A 的双边理想、B 的双边理想和 P 的 (A,B)ₖ 子双模的 B_A,B_B 和 B_P 集合表示。 ↩ 1 0079
命题 6 用 A 的两侧理想和 B 的两侧理想的 B_A 和 B_B 集合表示。 ↩ 4 007A
例 3 设V为左B-模。然后上面给出的对应将B-模V的湮没子发送到A-模P⊗_BV的湮没子。事实上，用𝔞表示A-模P⊗_BV的湮没子，用𝔟表示B-模V。令 W 为元素的 P 由……组成的 (A,B)ₖ 子双模，使得 p⊗ v= 0 对于 V 的每个元素 v。我们有包含P𝔟⊂ W；相反，对于每个p∈ W和q∈ Q，我们有θ (q⊗ p)属于到𝔟。因此，D(P) 的 D… ↩ 1 007B
例 4 对于 A 的任何双面理想 𝔞，用 Mₙ(𝔞) 表示 Mₙ(A) 由……组成的矩阵中的𝔞 中的子集。这是Mₙ(A)的双面理想。我们有Mₙ(𝔞)Aⁿ=𝔞ⁿ= Aⁿ𝔞。从命题 6 可以得出，Mₙ(A) 的每个双面理想都是形式 Mₙ(𝔞)，其中 𝔞 是 A 的双面理想。 007C
注我们保留上面的假设和记号，并假设(B,A)ₖ双模Q是A-模P的对偶P^*，并且同构λ和θ是典范映射Λ : P⊗_BP^*→ₛA_d和θ： P^*⊗_AP→ₛB_d（VIII、p. 101、定理 1）。由于 A-模 P 是射影且有限生成的，因此对于每个 A-模 M，我们有典范同构 ϑ_M: P^*⊗_AM→ Hom_A(P,M)（II, §4, No. 2，p… 007D
命题 7 a) 我们有 φ (0) = 0 和 φ (V) = M。 ↩ 2 007E
命题 8 a) 设V'和V''为V的子模，使得V''包含于V'。 B-模 V''/V' 是简单的当且仅当 A-模 φ (V'')/φ (V') 是简单的。 ↩ 2 007F
引理 2 令H和H'为V的子模，使得H∩ H'= 0。 B-模 H 和 H' 同构当且仅当 A-模 φ (H) 和 φ (H') 同构的。 ↩ 1 007G
命题 9 设S为V的简单子模，T为M的简单子模φ (S)。如果V_S表示型S的V的同型成分，M_T表示型T的M的同型成分，那么我们就有φ (V_S) = M_T。 ↩ 2 00R6
命题 10 a) B-模 V 是阿廷的（分别是诺特，不可分解，简单，有限生成）当且仅当 M 是。 ↩ 2 007H
命题 11 让 ↩ 1 007I
推论设f: V→ W为B-线性映射。那么 f 是单射（或满射）当且仅当 1_P⊗ f 是。 007J
命题 12 设V为左B-模。 B-模 V 是射影（分别是生成的，忠实，*内射，有限呈现）当且仅当 007K
推出环 A 是左阿廷的（或左诺特的）当且仅当环 B 是。 007L
命题 13 a) 如果两个k-代数是森田等价的，则它们的中心是同构的k-代数。 ↩ 3 007M
命题 14 设 A 和 B 为 k-代数。则 A 和 B 是 Morita 等价的当且仅当在 Mₙ(B) 满足中存在整数 ngeqslant 1 和平方矩阵 e= (eᵢⱼ) 条件： ↩ 1 007N
引理 3 右B-模 P 是射影的、有限生成的，并且生成的当且仅当存在整数 ngeqslant 0 以及 Mₙ(B) 中的幂等 e= (eᵢⱼ) 且具有以下属性： 007O
引理 4 令 V 为 B-模，且 E 自同态 k V 的代数。令 e 为 V 的投影算子，且 P 像为 e。将v∈ eEe发送到B-模P的自同态x↦ v(x)的映射是从eEe到End_B(P)的k代数的同构。 ↩ 2 007P
例 1 设 A 是一个 k 代数，并且 e 是 A 中的幂等，使得 AeA = A。 k-代数eAe可以与A_d(引理4)的子模eA_d的自同态k-代数识别。由于AeA = A，从命题 14 可以得出eA_d是可逆的(eAe,A)ₖ双模，因而k-代数eAe和A是Morita等价的。此外，森田的定理（VIII，p. 103）意味着以下结果： 007Q
例 2 设 A 为 k 代数且 ngeqslant 1 整数。我们认同矩阵代数Mₙ(A)与内同态代数右A-模Aⁿ_d。我们已经看到 A 和 Mₙ(A) 是 Morita 等价的。对于每个左A-模 M，认同 Aⁿ_d⊗_AM 和 Mⁿ。代数 Mₙ(A) 然后在 Mⁿ 上有一个左作用，我们有 ↩ 4 007R
例 3 设 A 为主理想整环和 L 非零的，有限生成，自由A-模。设B为L的自同态环；则 L 是可逆的 (A,B)_Z 双模，环 A 和 B 是 Morita 等价的。由 Morita 的定理、命题 10、a) (VIII、p. 109) 和结构定理 for 有限生成A-模 (VII, §4, No. 4、p. 19、定理 2)，每个有限生成B-模与⊕ᵐᵢ₌₁(L/… 007S

§ 7. 。简单环

命题 1 设A为非零环。以下条件是等价的： ↩ 6 0081
定义 1 如果环 A 满足命题 1 的等价条件 (i)、(ii) 和(iii)，我们称环 A 是简单的。设K 为交换域；如果 K-代数的底层环是简单的，则它被称为简单的。 ↩ 2 0082
注 1 回想一下，通过 II, §9, No. 1、p. 115 的定理 1，以下属性是等效的： ↩ 1 0083
注 2 如果有时不被约等于 0 并且其唯一的两侧理想是 0 和 A，我们就说环 A 是拟单。如果 A 承认忠实的单模，我们就说 A 是本原的。到命题 1 时，每个简单的环都是拟单。由于每个非零环都承认单模的单模和湮没子是双面理想，所以我们看到每个拟单环都是本原的。然而，存在不简单的拟单环和不是拟单的本原环（VIII，p. 128，习题2）；这样的环不是左阿廷的。 ↩ 3 0084
定理 1（韦德伯恩） 环是简单的当且仅当它与矩阵环 Mᵣ(D) 同构的，其中 rgeqslant 1 是整数且 D 域。 ↩ 13 00S3
引理 1 设A是一个简单的环，S是一个简单的左A-模，D是域End_A(S)的逆环。那么 S 是可逆的 (A,D)-双模。它也是D上的有限维右向量空间，从A到End_D(S)映射a↦ a_S是环同构。 ↩ 5 0085
引理 2 令 D 为有限维 rgeqslant 1 的域和 V 右向量空间在 D 上。则 V 为环上的单模 E = End_D(V)，其交换子等于 D_V。环 E is simple, and its left 长度 is equal to r. ↩ 6 00R7
注 3 设 A 为域 End_A(S) 的简单环、S 单A-模和 D 逆环。那么A-模Aₛ有有限长度，并且dim_D(S)等于long(A)。事实上，通过引理 1，环 A 与 End_D(S) 同构的；然后我们应用引理2。 0086
推论 1 a) 简单的环的中心是域。 ↩ 6 0087
推论 2 令r和r'严格为正整数，并令D和D'为域。环 Mᵣ(D) 和 M_r'(D') 同构当且仅当我们有 r=r' 和域 D 和 D' 同构。 ↩ 2 0088
推论 3 令 K 为交换域，并令 A 为有限次数的 K-代数，且底层为环。在 K 上存在整数 r 和有限次数的 K-代数 D，即域，使得 A 与 Mᵣ(D) 同构。特别是，如果 K 是代数闭集，则 A 在 K 上同构于矩阵代数。 ↩ 2 0089
注 4 设 K 为代数闭交换域，并设 A 为 K 上有限次数的代数。代数当且仅当存在整数 ngeqslant 1 且 A 与 Mₙ(K) 同构时，A 才是简单的。那么它的中心与 K 同构。 ↩ 1 008A
引理 3 令 A 为简单的环，令 S 为单A-模。用 D 表示 S 的交换子的相反域。每个A-模都同构于形式 S⊗_DV 的A-模，其中V 是域 D 上的左向量空间。 ↩ 2 008B
命题 2 设 A 为简单的环，S 为单A-模。 ↩ 5 008C
推论令k为交换域，并令A为有限次数在k上的简单k代数。每个单A-模都是 k 上的有限维。两个A-模同构当且仅当它们的维数大于k相等。 008D
命题 3 设 A 是一个简单的环。 A-模 M 是自由的当且仅当其长度能被 A 的长度整除。如果是这样，则 M 的所有基具有相同的基数，用 dim_A(M) (II, §7, No. 3, p. 294, 注 2) 表示，并由关系确定 ↩ 1 008E
命题 4 设 A 为简单的环，M 为非零的 A-模。用B表示A-模M的自同态环，将M视为左B-模。 ↩ 3 008F
命题 5 设 B 为环，A 为 B 的简单子环，S 为简单左A-模。那么B是一个自由的左A-模长维数长_A(B⊗_AS)。 ↩ 3 008G
定义 2 设B为环，A为B的简单子环。自由左A-模B的维数称为B在A上的（左）次数，并用[^1][B : A]ₛ表示。 ↩ 1 008H
命题 6 令C为环，B为C的简单子环，A为B的简单子环。然后我们有[C : A]ₛ= [C : B]ₛ[B : A]ₛ。 ↩ 2 008I
注 1 假设 A 是简单环 B 的简单子环，并且右侧次数 [B : A]_d 是有限的。设C为B的自同态环，视为右A-模；这是一个简单的环乘以命题 4, b) 的 VIII, p. 123。对于B中的任意b，令从B到B的γ (b)为映射x↦ bx；那么γ :b↦ γ (b)是从B到C的子环的同构。另外，如果(x₁, . . . , xₘ)是右A-模B的基，则从C到B… 008J
注 2 设 K 为交换域。如果A在K上是有限次数的代数B的单子代数，则B在A上的左次数满足关系[B : A]ₛ[A : K] = [B : K]乘以VIII、p. 125的命题6。同样，我们有[B : A]_d[A : K] = [B : K]。接下来是等式[B : A]ₛ= [B : A]_d。 008K
命题 7 a) 映射W↦ 𝔞(W)是从V的线性子空间的集合到A的左理想集合的双射。 008L
推论 a) A 的最小左理想是理想 𝔞(H)，其中 H 是 V 中的超平面。 A 的最大左理想是理想 𝔞(L)，其中 L 是V 中的一条线。 008M

§ 8. 。半单环

定理 1（韦德伯恩） 设A为环。以下属性是等效的： ↩ 4 00S4
定义 1 如果环 A 具有定理 1 的等价属性 (i) 到 (vi)，则我们说环 A 是半单。如果环底层 A 是半单，则代数 A 超过交换环 k 是半单代数。 0093
命题 1 设A为半单环。存在 A 的最小左理想的有限族 (𝔪ᵢ)_i∈ I 使得 Aₛ=⊕_i∈ I𝔪ᵢ。如果(𝔪ᵢ)_i∈ I是这样一个族，那么每个单A-模都同构于𝔪ᵢ之一。单A-模类集合是有限的。 ↩ 5 0094
例设 G 为有限群，K 交换域。 *我们将进一步从（VIII，p. 401，推论1）看出，当且仅当K的特征指数与G.*的阶素数时，群G的代数K[G]在域K上是半单环 0095
注 1 令K为交换域，并令A为K上的半单代数。则存在K-代数D₁, . . . ,Dₛ，即域和整数r₁geqslant 1, . . . , rₛgeqslant 1，使得K-代数A与乘积∏ˢᵢ₌₁M_rᵢ(Dᵢ)同构的。 ↩ 1 0096
注 2 设 K 为代数闭域，并设 A 为 K 上有限次数的代数。通过 VIII、p. 122、代数的注 4，A 为半单当且仅当存在整数 n₁geqslant 1, . . . , nᵣgeqslant 1 使得 A 同构于代数M_n₁(K)× ⋯ × M_nᵣ(K)。 0097
命题 2 a) 半单环的中心是半单。 ↩ 3 0098
命题 3 设A为交换环。以下属性是等效的： ↩ 4 0099
命题 4 设A为环。以下属性是等效的： ↩ 7 009A
引理 1 设A为左阿廷的环，设M为单A-模。那么环A_M就简单了。 ↩ 2 009B
命题 5 假设环 A 是半单。令 M 为左A-模。 M 的对模是有限生成的，我们有 A_M= A''_M。 ↩ 3 009C
命题 6 令 M 为有限生成的半单A-模。用 S_M 表示其支持度 (VIII, p. 66)，并用 B 表示其自同态环。对于类 λ 的每个 λ ∈ S_M、选择单A-模 S_λ，并表示左B-模坎_A(S_λ,M) V_λ。 ↩ 3 009D
命题 7 设A为半单环。 ↩ 1 009E
命题 8 a) 对于每个 λ ∈ S,S_λ 都是超过域 D_λ 的有限维右向量空间。当经过求商时，映射a↦ a_S_λ定义环同构从A/𝔟_λ到End_D_λ(S_λ)。 ↩ 4 009F
例令 K 为代数闭交换域，并令 A 为 K 上有限次数的半单代数。令(Vᵢ)_i∈ I 为单A-模的族，使得每个单A-模同构于唯一的Vᵢ。那么 I 是有限集合 (VIII, p. 136, 命题 1), 向量空间 Vᵢ 是域 K 上的有限维，Vᵢ 的交换子等于K· 1_Vᵢ（VIII、p. 47、定理 1）和映射 a↦ (a_Vᵢ)_i∈ I 是从 A 到 ∏… 009G
命题 9 a) 通过包含A的双面理想S子集和集合B_A阶集合𝔓(S)。映射Λ ↦ 𝔞_Λ是从𝔓(S)到B_A的有序集中的同构。 ↩ 3 009H
推论令 (Aᵢ)_i∈ I 为从 A 到 ∏_i∈ IAᵢ 的简单环和 f 同构的有限族。对于每个i∈ I，存在S的唯一元素φ (i)，使得prᵢ∘ f的核是𝔟_φ(i)。映射φ是双射从I到S；每i∈ I从A/𝔟_φ(i)到Aᵢ映射ᵢ∘ f诱导同构fᵢ。 009I
命题 10 用 Z 表示 A 的中心。对于 λ ∈ S，令 Z_λ 为域 D_λ 的中心。 ↩ 1 009J
推论设 B 为环。以下属性是等效的： ↩ 1 009K
命题 11 让λ ∈ S。 A的同型成分𝔞_λ既是型S_λ的Aₛ的同型成分，又是型S^*_λ的A_d的同型成分。此外，我们还有 ↩ 2 009L
学院设 A 为半单环，Z 为中心。以下集合之间存在规范的双射： 009M
命题 12 设 M 为半单环 A 和S_M⊂ S M 的支持度模，则 M 的湮没子 Ann(M) 为双面理想∑_λ∈S-S_M𝔞_λ，M 的迹理想τ (M) 为双面理想∑_λ∈S_M𝔞_λ。特别地，A是Ann(M)的直和和τ (M)。 009N
推论设 M 为模超过半单环 A。以下属性是等效的： 009O
命题 13 a) A 的左理想 𝔞 在 Aₛ 中承认补充当且仅当 A 中存在幂等 e 使得 𝔞= Ae。理想的𝔞由A的元素x组成，使得x=xe。 ↩ 1 009P
注 1 设𝔞为A的左理想。由上述证明和集合的II, §1, No. 8、p. 209、映射e↦ A(1-e)定义双射的命题12推论A 中的幂等 e 使得 A 的左理想 𝔟 的 𝔞= Ae 到集合使得 Aₛ=𝔞⊕ 𝔟。 009Q
注 2 令 e 和 f 在 A 中是幂等的。通过命题 13, b)，当且仅当 ef=e 和 f e=f 时，我们才有 Ae= Af。因而，如果环 A 是可交换的，则关系 Ae= Af 等价于 e=f。这一般不成立，如例A =M₂(Z), e = beginpmatrix 1 & 0 \\ 0 & 0 endpmatrix和f = beginpmatrix 1 & 0… 009R
命题 14 令 e 为 A 中的幂等。 ↩ 1 009S
注 3 应用之前对 A 的逆环的结果，我们特别看到，单生右A-模 M 是射影的，当且仅当 A 中存在幂等 e 使得 M 与 eA 同构的。此外，当且仅当e不可分解时，eA是不可分解的权利模。 00R8
命题 15 假设环 A 是半单。 ↩ 2 009T
注 4 假设环 A 是半单。令 (eᵢ)_i∈ I 为 A 的中心 Z 中非零的幂等的 1 由……组成的划分。如果 Card(I) = Card(S)，则 eᵢ 是 Z 中不可分解的幂等。 ↩ 1 009U

§ 9. 。激进

定义 1 设 A 为环。 A-模 M 的根部子模定义为 M 的极大子模的交 (VIII, p. 48, 定义 2)，或者等价地，M 的元素的集合被每个湮没同态从M到单A-模。 ↩ 1 00A1
例 1 设𝔞为A的左理想。A-模Aₛ/𝔞的根式等于𝔞'/𝔞，其中𝔞'是包含𝔞的最大左理想的交。特别是，对于每个素数数 p 和每个整数 ngeqslant 1，Z-模 Z 的根式会减少到 0，而 Z-模 Z/pⁿZ 的根式等于 pZ/pⁿZ。 ↩ 1 00A2
例 2 设 A 为主理想整环（不是域），并设 K 为分数的域。由于K-模，K 没有根式。让我们证明K的根式A-模等于K；等价地，我们必须证明从K到单A-模S的每个A-线性映射f都是零。通过VII, §4, No. 8，p. 25，我们可以假设S等于A/(π )，其中π是A的不可约元。对于每个x∈ K，我们有f(x) =f(π x/π)=π f(x/π)= 0，因为π… 00A3
命题 1 设M和N为从M到N的A-模和f同态。我们有f(ℜ(M))⊂ ℜ(N)，如果f是满射并且f的核包含在M的根式中，我们甚至还有等式。 ↩ 3 00A4
推论 1 设 M 为 M 的 A-模，N 子模。 ↩ 5 00A5
推出 2 令(Mᵢ)_i∈ I为A-模的族，P为乘积，S为直和。我们有ℜ(P)⊂ ∏_i∈ Iℜ(Mᵢ)和ℜ(S) =⨁_i∈ Iℜ(Mᵢ)。 ↩ 3 00A6
命题 2 令 M 为有限生成A-模。 ↩ 4 00A7
推出设 M 为 M 的 A-模、(xᵢ)_i∈ I 生成的族以及 M 的 x 元素。以下属性是等效的： ↩ 1 00A8
命题 3 a) 半单模没有部首。 ↩ 5 00A9
定义 2 环 A 的雅各布森根式（或简称根式），用 ℜ(A) 表示，是 A-模 Aₛ 的根式，即 A 的最大左理想的交。 ↩ 1 00AA
命题 4 环 A 是半单当且仅当它是左阿廷的并且没有根式。 ↩ 4 00AB
例 1 如果A是局部环，那么它有A的不可逆元素的唯一最大左理想𝔯，由……组成（VIII，p. 25，命题1）；所以𝔯是A的部首。特别是域没有部首。 ↩ 2 00AC
例 2 令K为变量Xᵢ中形式幂级数的交换域和E代数K[[Xᵢ]]_i∈ I，系数在K中。通过之前VIII、p. 26的例和例4，E的根式由形式组成幂级数与常数项零。观察环 E 是整环并且它的根式没有减少到0，甚至虽然 E 是分数的域的子环，没有根式。 ↩ 2 00AD
例 3 假设A为主理想整环，设P为不可约元(VII, §1, No. 3，p. 3)的代表由……组成的系统。若A为域，则例1无根。若集合P无限，则A的最大理想Ap的交减至0，故A无根。但如果 P 是有限的并且非空，并且如果我们集合 x=∏_p∈ Pp，那么 A 的根式等于 ∩_p∈ PAp= Ax (VII, §1, No. 2，p. 3，命题 4)，因此不会减少到… ↩ 1 00AE
命题 5 a) 环的根 A 为单A-模湮没子交；也是半单A-模的最小的湮没子。特别是，它是 A 的双面理想。如果 A 不减少到 0，则 A 的根式与 A 不同。 ↩ 7 00AF
定理 1（雅各布森） 环的根 A 由元素 x∈ A 组成，使得对于每个 a∈ A，1 +ax 是可逆的（I, §2, No. 3，p. 15）。它也是最大的双面理想𝔞，使得1 +x对于每个x∈ 𝔞都是可逆的。 A 的包含左零理想的根式。 ↩ 10 00S5
推论 1 A的根等于逆环Aᵒ的根，即A的最大右理想的交。 ↩ 1 00AG
推论 2 A 的元素是可逆的当且仅当其环 A/ℜ(A) 中的典范像可逆。 ↩ 1 00AH
推论 3 环的族(Aᵢ)_i∈ I的乘积的部首是ℜ(Aᵢ)的乘积。 ↩ 2 00AI
推论 4 环 A 是局部的当且仅当环 A/ℜ(A) 是域。如果是这种情况，则 ℜ(A) 是 A 的不可逆元素的集合。 ↩ 1 00AJ
例 4 设 K 为整环、I 非空集合、A 多项式环 K[Xᵢ]_i∈ I。让我们证明环 A 没有根式。 A 的唯一可逆元是 K 的可逆元（IV, §1, No. 5，p. 9，推论 2）。让f∈ ℜ(A)。选择元素i∈ I。那么1 +fXᵢ是可逆的（定理1），这意味着f= 0。 00AK
例 5 令𝔞为A的双面理想。A上的𝔞进数拓扑为拓扑，与A的环结构兼容，其中理想𝔞ⁿ（对于ngeqslant 1）形式是0邻域的基本系统（Gen.Top.、III, §6, No. 3、p. 275、例 3）。假设环 A 是 Hausdorff 并且对于这个拓扑是完备的 (Gen. Top., III, §6, No. 5, p. 276)；对于例，这是理想的𝔞幂零… 00AL
注 1 到定理 1 时，环 A 的每个左零理想都包含在 ↩ 2 00AM
注 2 设A为交换环。 A的幂零元a的集合是A的理想𝔑(A)，称为A的零根；它是A的素理想的交（V, §15, No. 1，p. 118，命题2）。我们有𝔑(A)⊂ ℜ(A)； *如果A是阿廷环（VIII，p. 173，推论2），或者在交换域上有限生成的交换代数（通信算法，V, § 3，n^∘4，定理，我们有等式） 3)*。我们当然可以有𝔑(A)not=ℜ(A)。这… ↩ 1 00AN
命题 6 对于每 A-模 M，我们有 ℜ(A)M⊂ ℜ(M)。如果 A-模 M 是射影的，我们有等式。 ↩ 6 00AO
定理 2（“中山引理”） 设 M 为 A-模，𝔞 A 的两侧理想。假设满足以下条件之一： ↩ 5 00S6
推论 1 我们保留定理 2 中的假设。令(xᵢ)_i∈ I 为M 的元素的家族，并令overlinexᵢ 为M/𝔞M 中xᵢ 的典范像。如果系列 (overlinexᵢ)_i∈ I 生成 (A/𝔞)-模块 M/𝔞M，则系列 (xᵢ)_i∈ I 生成 A-模 M。 ↩ 1 00R9
推论 2 我们保留定理 2 中的假设。此外，令M' 为A-模，u: M'→ M 为同态。如果从 u 乘以经过到商推出的从 M'/𝔞M' 到 M/𝔞M 的同态 overlineu 是满射，则 u 是满射。 ↩ 1 00AP
引理 1 令 a 为环 A 的元素，使得 a-a² 幂零。 X + (X-X²)Z[X] 中存在多项式 P，使得 P(a) 在 A 中幂等。 ↩ 2 00AQ
命题 7 令 𝔞 为 A 的两侧零理想，并令 overlinee 为环 A/𝔞 中的幂等。 A 中存在幂等e，其A/𝔞 中的典范像等于overlinee。 ↩ 2 00AR
推论 1 设M和P为从P到M的A-模和u满射A-线性映射。假设P是射影的，并且存在A的幂等双面理想𝔞，使得u的核N包含在𝔞P中。令M'和M''为M的子模，其中直和为M。则P为子模、P'和P''的直和，使得u(P') = M'和u(P'') = M''。 ↩ 2 00AS
推论 2 设 A 为环，𝔞 为 A 的幂等双面理想。如果 P 是射影 A-模，则P/𝔞P 是A/𝔞 上的投射模，并且A-模 P 不可分解当且仅当A/𝔞 模P/𝔞P 不可分解。 ↩ 1 00AT
定义 3 设A为环，设M为A-模。 M 的投影覆盖是对 (P, u)，其中 P 是从 P 到 M 的投影 A-模和 u 满同态，这样对于 P 的每个真 A-子模 P'，我们都有 u(P')not= M。 00AU
注 1 对于每个射影 A-模 M，对 (M,1_M) 是 M 的射影覆盖。 00AV
注 2 假设(P, u)是A-模M的射影覆盖。令(xᵢ)_i∈ I是P的元素族，并令P'是P的子模，即它生成；那么u(P')是由(u(xᵢ))_i∈ I族生成的。因而，族(xᵢ)_i∈ I生成A-模P当且仅当族(u(xᵢ))_i∈ I生成A-模M。特别是，P是有限生成的当且仅当M是有限生成的。 ↩ 2 00AW
命题 8 设M和M'分别为M和M'的投影覆盖A-模、(P, u)和(P', u')以及g: M→ M'A-线性映射。 ↩ 2 00AX
推论 1 设 M 为A-模。令(P, u)和(P', u')为M的射影覆盖。从P到P'存在同构f使得u=u'∘ f。 ↩ 1 00AY
推论 2 设(P, u)是A-模M的射影覆盖。如果Q是射影A-模且g: Q→ M是满射线性映射，则存在满射线性映射f: Q→ P使得g=u∘ f。 00AZ
命题 9 设 M 为 A-模，(P, u) M 的投影覆盖。用 𝔯 表示环 A 的根式。 u乘以经过推出同态overlineu: P/𝔯P→ M/𝔯M，商为同构。 ↩ 3 00B0
推论如果 A-模 M 具有投影覆盖，则 A/𝔯-模 M/𝔯M 是投影的。 00B1
注 3 假设环 A 没有根式。当且仅当u是同构时，到命题9，(P, u)是A-模M的投影覆盖。因此，投影覆盖只能存在于投影A-模。 00B2
注 4 假设每个有限生成A-模都有一个投影覆盖；则 A 与其根式的商 A' 为半单。事实上，每一个有限生成模超过环 A' 都是推论的投影。特别是，对于A'的每个左理想𝔞，A'模A'ₛ/𝔞是射影的。然后我们的断言是从VIII、p. 138中的命题4开始的。 00B3
命题 10 设 M 为 A-模，P 为射影 A-模，且 u: P→ M 线性映射。设 𝔞 为 A 的双面理想。假设由 u 通过经过推导出商的线性映射 overlineu: P/𝔞P→ M/𝔞M 是双射的，并且满足以下条件之一： ↩ 2 00B4
推论 1 令 P 为射影 A-模。假设 P 是有限生成的或者 A 的根𝔯 是幂幂的双边理想。用 u 表示从 P 到 P/𝔯P 的典范映射。那么(P, u)是P/𝔯P的投影覆盖。 ↩ 1 00B5
推论 2 令 𝔞 为 A 和 M A-模的双面理想，使得 (A/𝔞) 模 M/𝔞M 是自由的。假设满足以下条件之一： ↩ 2 00B6
推论 3 每个有限生成模超过局部环都有投影覆盖。 00B7
注 5 设 A 为局部环，𝔯 其根式。设 M 为有限生成A-模，P 为有限生成的射影 A-模，以及 u: P→ M 同态。由推论 6 VIII、p. 36、A-模 P 是免费的。 P.集合xᵢ=u(eᵢ)的选择基(eᵢ)_i∈ I，并用overlinexᵢ表示M/𝔯M中的xᵢ的典范像。以下属性是等效的： 00B8
命题 11 设 A 为环和 𝔞 A 的幂幂双面理想。设 M 为射影 A/𝔞 模。存在射影 A-模 P 和满射A-线性映射 u: P→ M 以及核 𝔞P。 ↩ 2 00B9
推论令 P 和 P' 射影 A-模。如果模 P/𝔞P 和 P'/𝔞P' 同构的，则 P 和 P' 同构的。 00RA

§ 10. 。模超过阿廷环

命题 1 设 A 为左阿廷的环。 A 的根式𝔯是A的最大的幂幂双面理想，环A/𝔯是半单。 ↩ 11 00C5
推论 1 环是半单当且仅当它是左阿廷的并且除了 0 之外没有幂等两侧理想。 00C6
推论 2 在左阿廷的环 A 中，部首由元素 x 组成，因而 axe 对于 A 中的每个 a 都是幂幂的。 ↩ 2 00C7
命题 2 设 A 为左阿廷的环。对于每个 A-模 M，以下属性是等效的： ↩ 4 00C8
推论设 A 为左阿廷的环。对于每个A-模 M，M 的根等于𝔯M。 ↩ 1 00C9
命题 3 设A和B为从A到B的环和f同态，使得B由f(A)的并和B中f(A)的交换子f(A)'生成。设M为左B-模。假设环 A 是左阿廷的或 A-模 f_*(M) 由 M 通过限制标量 (II, §1, No. 13, p. 221) 推导出来是有限生成的。那么我们就有ℜ_A(f_*(M))⊂ ℜ_B(M)。 ↩ 2 00CA
推论设 A 为交换环，B 为 A 上的代数。假设环 A 为阿廷的或 B 为有限生成A-模。然后我们就有ℜ(A)B⊂ ℜ(B)。 00CB
命题 4 每个模超过左阿廷的环都有投影覆盖。 ↩ 3 00CC
命题 5 设 A 为左阿廷的环，𝔯 其根式。 ↩ 2 00CD
推论对于射影A-模的每个类 P，将模P/𝔯P的类φ (P)与环A/𝔯相关联。模（或有限生成模）在环A/𝔯上的每个类都是形式φ (P)，对于射影A-模（或有限生成的射影）的唯一类P A-模）。 00CE
命题 6 设 A 为左阿廷的环且 𝔯 其根式。设 P 为射影 A-模。 ↩ 1 00CF
例取P等于Aₛ。对于λ ∈ S，用D_λ表示单A-模S_λ的交换子的对数域，并用m(λ )将S_λ的维数视为右向量空间超过域D_λ。我们知道m(λ )等于重数[Aₛ/𝔯Aₛ:λ ]（VIII，p. 143，命题11）。因而，A-模Aₛ同构于⊕_λ∈SP^m(λ)_λ。 00CG

§ 11. 。格罗滕迪克群

定义 1 我们说A-模类集合C是相加的，如果每个零模是型C和型C两个模的直和是型C。 We say that C is hereditary if it is additive and the submodules and quotient modules of a module of type C are of type C. ↩ 1 00CS
例 1 The set of classes of A-modules of finite length is hereditary (II, §1, No. 10, p. 212, Proposition 16). 00CT
例 2 有限生成A-模类集合是相加的。如果环 A 是诺特，那么这个集合是遗传性的（VIII、p. 3、命题 3 和VIII、p. 7、命题 4）。 00CU
例 3 有限生成射影A-模的类的集合是可加的，但通常不是遗传的。 00CV
定义 2 设φ为映射，从C到阿贝尔的群G（相加写）；集合 φ (E) =φ(cl(E)) 对于型 C 的每 A-模 E。如果我们对每个正合序列（或每个分裂正合序列）有φ (E) =φ (E') +φ (E'')，我们说φ是模的加性函数（或模的弱可加函数） 00CW
例 4 设C为有限长度A-模类集合。向其长度发送有限长度A-模类的映射long_A : C → Z是模加性函数（II, §1, No. 10，p. 213，推论3）。这个小节的结果是II, §1, No. 10、p. 212–214建立的有限长度的模结果的推广。 00CX
命题 1 假设C是遗传性的。令 E 和 F 为 A-模和 u : E → F 线性映射。 a) 如果 E 或 F 为型 C，则 u 的像也为像。 b) 如果 E 是型 C，那么 u 的核也是，并且我们有 ↩ 1 00CY
推论设(Eᵢ)_0 ≤ i ≤ n为型C的模有限序列。如果存在正合序列 00CZ
命题 2 假设集合C是遗传性的。设E为A-模，设M和N为E的子模。 00D0
命题 3 假设C是遗传性的。令 E 为型 C 的模和 E 的 (Eᵢ)_0leqslant ileqslant n 合成列 (I, §4, No. 7, p. 41)。对于 1leqslant ileqslant n，模 Eᵢ₋₁/Eᵢ 是型 C，我们有 ↩ 2 00D1
命题 4 a) 映射 E↦ [E]_C 从 C 到 K(C) 是相加的。 ↩ 3 00D2
例令 A 为诺特交换环，并令 Σ 为其频谱。对于任何整数ngeqslant 0，用有限生成A-模的类的C^geqslant n集合表示，并支持Σ中的余维geqslant n。集合K(n,A) =K(C^geqslant n)和γₙ=γ_C^geqslant n,C^geqslant n+1。我们有序列 / 同态 00D3
命题 5 令 E 和 F 为型 C 中的模。等式 [E]_C= [F]_C 成立当且仅当存在型 C 模正合序列 00D4
命题 6 a) 从C到K'(C)的映射E↦ [E]'_C是模中的弱可加函数。 00D5
引理 1 令 E、E' 和 E'' 为有限长度中的 A-模，并且 ↩ 3 00D6
命题 7 令C为模的类的遗传集合，使得型C的每个模都有有限长度。设S为单模类属于到C中的集合。那么([S]_C)_S∈S族就是Z模块K(C)的基，我们有 ↩ 2 00D7
推论令 E 和 F 为型 C 中的半单模。模 E 同构于 F 当且仅当K(C)中有[E]_C= [F]_C。 ↩ 1 00D8
注集合K(C)⁺是([S]_C)_S∈S家族生成的K(C)中的子幺半群。 00D9
注 1 令SS(A)为类、半单A-模、有限长度的世袭集合。由 VIII、p. 190、格罗滕迪克群 K(SS(A)) 中的命题 7 组成，是一个免费的 Z 模块，其元素 [S]_SS(A)（对于 S∈ S(A)）形式基。因此，典范同态γ_LF(A),SS(A)（VIII，p. 186）为同构。 ↩ 1 00DA
注 2 对于直和 (VIII, p. 188)，令K'(LF(A)) 为LF(A) 的格罗滕迪克群。 Krull–Remak–Schmidt 定理 (VIII, p. 37) 意味着 K'(LF(A)) 是一个自由 Z 模块，其中基集合为类不可分解 A-模为有限长度，而K(LF(A))承认单A-模的类中的集合为基。 ↩ 2 00DB
注 3 令 E 为有限长度的 A-模。根据c)，存在有限长度的半单A-模E'使得[E] = [E']，并且根据b)，这样的模被定义到同构；我们有时称其为E的半简化。 00DC
命题 8 令A为不是域的主理想整环，并令L为其分数的域。存在同构 φ : R(A)→ L^*/A^* 使得我们有 ↩ 2 00DD
注 4 我们保留命题 8 的假设和记号。令E 为有限长度的A-模，并令a₁A, . . . , aₙA 为其不变量因子（VII, §4, No. 5，p. 20）。由于 E 与 ⨁ᵢ₌₁ⁿA/aᵢA 同构的，我们有 00DE
注 5 设 A 是 Dedekind 环，但不是域（Comm. Alg.，VIII, §2, No. 1）。通过推理，如命题 8，我们可以证明从R(A)到群的A的分数理想存在同构φ，其特征为φ ([A/𝔞]) =𝔞对于每个非零的理想𝔞 A. 00SI
引理 2 设M和M'为A-模，且有限维向量空间超过K。M和M'的支持度(VIII，p. 190)为不相交的当且仅当存在a∈ A使得a_M= 0_M且a_M'= 1_M'。 ↩ 1 00DF
定理 1 上面定义的同态u: R_K(A)→ R_L(A_(L))是单射的。设ξ为R_K(A)的元素。那么ξ有效当且仅当u(ξ )有效。 ↩ 6 00DG
引理 3 令 S 和 T 为两个非同构单A-模，它们在 K 上是有限维的。 A_(L) 模 S_(L) 和 T_(L) 的支持是不相交的。 00DH
命题 9 设 K 为交换环，A 为 K 上的大数，且有余单位 γ，以及 A-模的类的 C 加法集合，具有以下性质： ↩ 3 00DI
注仅在命题 9 的假设 (i) 和 (ii) 下，直和 (VIII, p. 188) 的格罗滕迪克群 K'(C) 具有唯一的环结构，其乘法满足[E]'_C[F]'_C= [E⊗ F]'_C。它的单位元是[K_γ]'_C。如果大数 A 是可交换的，则环 K'(C) 是可交换的。证明与命题 9类似，因为群K'(C)可以与Z^(C)/R'识别，其中R'是由形式的元… 00DJ
推论设A是余单位γ超过交换域K的大数，则加法群R_K(A)上存在唯一的环结构，其乘法满足 00DK
例 1 设 K 为交换域。令G为群，令K[G]为群G的代数。我们认同G及其典范像在K[G]中（III, §2, No. 6，p. 446）。 ↩ 3 00DL
例 2 令 𝔤 为李代数超过交换域 K，并且 U(𝔤) 包络代数；我们认同𝔤及其U(𝔤) (谎言中的典范像，I, §2, No. 7，p. 39，推论2）。我们赋予U(𝔤)一个bigebra的结构，其中余积c和余单位γ给出： 00DM
命题 10 设A为交换环，设C为A-模满足类加法集合以下三个条件： ↩ 1 00DN
注设 A 为半单环。每个 A-模都是半单和射影 (VIII, p. 138, 命题 4)；因此我们有等式 00DO
例如果每个有限生成的射影A-模都是自由的，则从K₀(A)到Z有秩定义同构。特别是当 A 为主理想整环（VII, §1, No. 3，p. 15，推出 3）或 A 为局部环（VIII，p. 36，推出 6）时，情况尤其如此。 00DP
命题 11 a) 半单A-模 f_*(T) 中单A-模 S 的重数 [f_*(T) : S] 等于 H 的维数，视为 D 上的右向量空间。 ↩ 1 00DQ
推论 (弗罗贝尼乌斯互易律) 假设 A 和 B 是半单代数，它们是交换域 K 上的有限维，并且 f 是 K 线性的。那么 K-向量空间 S、T、D、E 和 H 是有限维的，我们有等式 00S7
命题 12 设 B 为 B 的简单环，A 为 B 的简单子环。假设 B 是有限生成的左A-模。设 M 为非零的有限生成的左B-模。集合A'=结束_A(M)和B'=结束_B(M)。那么B'是A'的子环，环A'和B'很简单，A'是有限生成的左B'模，我们有等式 ↩ 2 00DR

§ 12. 。张量积 / 半单模

命题 1 令M₁为A₁模，M₂为A₂模，均不减至0。如果模M = M₁⊗ M₂超过环A = A₁⊗ A₂是简单的（分别为同典型，半单），则A₁-模块M₁和A₂-模块M₂很简单（分别是同型，半单）。 ↩ 2 00E6
命题 2 令 S 为环 A = A₁⊗ A₂ 上的单模，K 上的有限维。对于 i∈ 1,2，存在一个简单的 Aᵢ 模 Sᵢ，使得 Aᵢ 模 S 与型 Sᵢ 同型分支的。 A-模 S 同构于A-模 S₁⊗ S₂ 的商。 ↩ 1 00E7
定理 1 假设域 K 是代数封闭的。 ↩ 2 00E8
注 1 当域 K 不假设为代数封闭时，定理 1 的断言 a) 不再成立。我们可以给出例 (VIII, p. 225, 习题 4)，其中 Mᵢ 是一个简单的 Aᵢ 模，对于 i∈ 1,2，它是 K 上的有限维，并且其中 A-模 M₁⊗ M₂ 不是半单或者是半单但并不简单。 00E9
注 2 从R_K(A₁)⊗_ZR_K(A₂)到R_K(A)，存在以关系φ ([M₁]⊗ [M₂]) = [M₁⊗ M₂]为特征的同态φ。这可以用与VIII、p. 196的命题9相同的方式证明。如果域 K 是代数闭集，则 φ 是从 R_K(A₁)⊗_ZR_K(A₂) 到 R_K(A) 乘定理 1 的同构，b) 因为对于每个 K-代数 B，Z 模 R_K(B) 对于基族… ↩ 1 00EA
引理 1 令M₁和N₁为A₁-模块，并令M₂和N₂为A₂-模块。我们制作以下假设： ↩ 3 00RB
定理 2 设A₁和A₂为代数超过交换域K；令 S₁ 为简单的 A₁ 模块，S₂ 为简单的 A₂ 模块。令D₁和D₂分别为S₁和S₂的交换子。集合M = S₁⊗ S₂,A = A₁⊗ A₂和D = D₁⊗ D₂。我们将 M 视为左 (A,D) 双模。 ↩ 2 00EB
推论 1 模S₁⊗ S₂超过环A₁⊗ A₂是半单（分别是同型、简单）当且仅当环D = D₁⊗ D₂是半单（分别是简单、域）。特别是，如果 S₁ 或 S₂ 的交换子等于 K，则 S₁⊗ S₂ 是简单的。 ↩ 2 00EC
推论 2 我们有ℜ_A(M) =ℜ(D)M。 A-模 M 没有部首当且仅当环 D 没有部首。 ↩ 2 00ED
定理 3 设Z₁和Z₂为K上的半单交换代数。环Z₁⊗ Z₂的根式等于其幂零元的集合。 ↩ 3 00EE
命题 3 假设代数A₁和A₂是半单，分别是中心Z₁和Z₂。集合Z = Z₁⊗ Z₂。 ↩ 2 00EF
推论假设代数A₁和A₂是简单的，并且A₁的中心Z₁约化为K。那么环A₁⊗ A₂除了0和它本身之外没有其他双面理想。 00EG
命题 4 对于i∈ 1,2，令Aᵢ为K-代数、Mᵢ半单Aᵢ模，以及Mᵢ的交换子Zᵢ中心。集合A = A₁⊗ A₂、M = M₁⊗ M₂、Z = Z₁⊗ Z₂。我们有ℜ_A(M) =ℜ(Z)M。如果代数 Z₁ 和 Z₂ 之一在 K 上可分，特别是如果域 K 是完美的，则 A-模 M 没有根式。 ↩ 2 00EH
引理 2 令A₁和A₂是交换域K上的代数。令M₁是K上有限维的A₁模，M₂是有限长度的A₂模。那么A₁⊗ A₂-模块M₁⊗ M₂有有限长度。 ↩ 1 00EI
命题 5 令 A₁ 和 A₂ 为交换域 K 上的代数。令 M₁ 为半单 A₁ 模，该模是 K 上的有限维模，且为 M₂ 半单 A₂ 模。对于i∈ 1,2，用Dᵢ表示Aᵢ模Mᵢ的交换子，用Zᵢ表示Dᵢ的中心。集合A = A₁⊗ A₂，M = M₁⊗ M₂,D = D₁⊗ D₂，Z = Z₁⊗ Z₂。 ↩ 3 00RC
推论如果Z₁或Z₂是域K上的可分代数（对于例，K是完美的情况），那么A-模M₁⊗ M₂是半单。 00EJ
命题 6 令A₁和A₂为非零的K-代数。如果环 A₁⊗ A₂ 是简单的（分别为半单），则环 A₁ 和 A₂ 都是简单的（分别为半单）。 ↩ 1 00EK
命题 7 设A₁和A₂为半单K-代数，分别为中心Z₁和Z₂。假设A₁比K有有限次数。那么环A₁⊗ A₂是左阿廷的，它的中心Z₁⊗ Z₂也是。环A₁⊗ A₂是简单的（或半单）当且仅当环Z₁⊗ Z₂是域（或减少的环）。 ↩ 4 00EL
推论 1 设A₁和A₂为半单K-代数；假设A₁是K上的有限维。假设A₁或A₂的中心是K上可分离的代数，对于例来说，这是K完美时的情况。那么A₁⊗ A₂就是半单。 ↩ 1 00EM
推论 2 令A₁和A₂为单K-代数；假设A₁是K上的有限维。如果A₁或A₂的中心等于K，则代数A₁⊗ A₂是简单的。尤其是当 K 是代数封闭时的情况。 ↩ 8 00RD
命题 8 设 A 为 K-代数，M A-模，以及域 K 的 L 扩张。用 D 表示 M 的交换子，用 Z 表示 D 的中心。 ↩ 5 00EN
推论 1 a) 假设 A-模 M 为半单，K 的扩张 L 是可分的，且 M 或 L 是 K 上的有限维。则 A_(L) 模 M_(L) 为半单。 ↩ 2 00EO
推论 2 令 L 为域 K 的扩张。用 Z 表示 K-代数 A 的中心。 00RE
命题 9 设 A 为 K 的 K-代数和 L 可分扩张。 ↩ 1 00EP
命题 10 设 A 为 K 的 K-代数和 L 扩张。设 M 为 A-模。 ↩ 1 00EQ
推论令 L 为 K 的可分扩张。如果 L 是 K 上的代数，或者如果环 A 是左阿廷的，则我们有 ℜ(A_(L)) = ℜ(A)_(L)。 00ER

§ 13. 。绝对半单代数

定义 1 设 K 为交换域，A K-代数。如果对于 K 的每个扩张 L，A_(L)-模 M_(L) 是半单，我们称A-模 M 绝对半单的。 00F9
命题 1 设 K 为交换域，A K-代数。 ↩ 3 00FA
命题 2 设 K 为交换域、A K-代数和 M A-模，它们是 K 上的有限维。以下属性是等效的： ↩ 1 00FB
引理 1 设 D 为域，Z 为中心。用 p 表示 Z 的特征指数。假设对于 D 的每个元素 a，都存在整数 mgeqslant 0，使得 a^pᵐ 属于到 Z。则域 D 是可交换的。 ↩ 2 00FC
命题 3 令 K 为可分闭域 (V, §7, No. 8, p. 45, 定义 4)，并令 D 为有限次数与 K 域上的代数。那么D是可交换的。 ↩ 3 00FD
推论令 K 为可分闭域且有限次数的 A 半单代数超过 K。则存在整数 rgeqslant 0，严格地正整数 n₁, . . . , nᵣ，以及有限次数的 K 扩张 K₁, . . . ,Kᵣ，使得 A与代数 ∏ᵢ₌₁ʳM_nᵢ(Kᵢ) 同构的。 00FE
定义 2 令 K 为交换域。如果对于 K 的每个扩张 L，环 A_(L) 是半单，我们说 K-代数 A 是绝对半单的。 00FF
定理 1 设 K 为交换域，A K-代数。以下属性是等效的： ↩ 5 00FG
引理 2 设 L 为代数闭域，且 D 域包含 L 位于其中心中。如果 D 与 L 不同，则存在 L 的扩张 L'，使得环 D⊗_LL' 不是左阿廷的。 ↩ 1 00FH
引理 3 设A为K的绝对半单的K-代数和L代数闭扩张。则代数A_(L)同构于L上的有限多个矩阵代数的乘积。 00FI
引理 4 设 A 和 B 为域 K 上的代数，且具有有限生成集合，并令 K' 为 K 的扩张。如果 K' 代数 A_(K') 和 B_(K') 同构，则存在子扩张K'的L，在K上有限生成，使得L-代数A_(L)和B_(L)是同构的。 ↩ 1 00FJ
推论 1 令K为交换域，令A₁和A₂为K-代数。假设A₁是绝对半单的。 ↩ 3 00FK
推论 2 设K为可分闭域，设A为绝对半单的K-代数。则存在整数 rgeqslant 0 和严格的正整数 n₁, . . . , nᵣ，使得代数 A 同构于代数 ∏ᵢ₌₁ʳM_nᵢ(K)。 00FL
例交换K-代数是绝对半单的当且仅当它是 étale 时：这是从定理 1 的属性 (i) 和 (v) 的定义 (V, §6, No. 3, p. 28, 定义 1) 和等价得出。 00FM
命题 4 设 K 为交换域，A K-代数。 ↩ 1 00FN
推论令K为交换域，令A₁和A₂为K-代数，令M₁为绝对半单的A₁-模和M₂半单A₂-模。那么 M₁⊗_KM₂ 是半单模超过环 A₁⊗_KA₂。 00RF
命题 5 以下属性是等效的： ↩ 7 00FO
注 1 设e=∑ʳᵢ₌₁aᵢ⊗ a'ᵢ为B的元素。命题5第(ii)项中的条件转换为公式 ↩ 1 00FP
注 2 令K为交换域，令A为K-代数，令M为A-模。群 End_K(M) 被赋予了 (A, A)-双模结构，定义为 ↩ 1 00FQ
定理 2 设 K 为交换域，A K-代数。以下属性是等效的： ↩ 3 00RG
注 3 我们知道（VIII，p. 234，推出 1）两个绝对半单代数除交换域之外的张量积是绝对半单的。因而，如果代数 A 是绝对半单的，那么代数 B = A⊗_KAᵒ 也是。 00FR
命题 6 设 K 为交换环，A K-代数。设e=∑ʳᵢ₌₁aᵢ⊗ a'ᵢ为VIII、p. 236的命题5的第(ii)项中的B = A⊗_KAᵒ满足条件的元素。对于任何整数ngeqslant 1和Cⁿ(A,P)的任何元素f，我们用公式定义的Cⁿ⁻¹(A,P)的γⁿ(f)元素表示 ↩ 2 00FS
注 1 态射∂ⁿ: Cⁿ(A,P)→ Cⁿ⁺¹(A,P)定义(C(A,P), ∂ )K-模（X, §2，nᵒ1，p. 24）。映射 γₙ 因此定义从这个复合体到自身的同伦，将 0 连接到 Id_C(A,P) (X, §2, nᵒ4, p. 32, 定义 4). 00SF
引理 5 我们有关系 00FT
定理 3 设 K 为交换环，A K-代数，P 为 (A,A) 双模。假设 (A⊗_KAᵒ) 模 A 是射影的。然后，每整数 ngeqslant 1 就有 Hⁿ(A,P) = 0。 ↩ 3 00FU
推论从 A 到 P 的每个 K 导数都是内部。 00FV
注 2 特别地，当K为域并且A绝对半单的K-代数(VIII、p. 238、定理2)时，满足定理3中的假设。 00FW
注 3 假设 K-模 A 是射影的。定理3也可以证明如下。复数 (⨁_ngeqslant 0Bₙ, d) 和同态 ε : B₀→ A 定义的投影分辨率为 B-模 A；因而，对于每个ngeqslant 0，K-模Hⁿ(A,P)同构于Extⁿ_B(A,P)（X, §6，nᵒ1，p. 100，定理1）。如果 B-模 A 是射影的，则 K-模 Extⁿ_B(A,P) 对于… 00FX
命题 7 假设 (A⊗_KoverlineAᵒ)-模 overlineA 是射影的。 ↩ 1 00FY
推出 1（韦德伯恩定理） 设K为交换域，A K-代数，𝔯A的根式。假设K-代数A/𝔯为绝对半单的。 ↩ 3 00S8
推出 2 设A为有限次数除以完美域K的交换代数，并令𝔯为其根式。 A 存在唯一的子代数 S，使得 A = S⊕ 𝔯。而且，S同构于有限次数的K的有限多个扩张的乘积。 00FZ
注 1 A/𝔯等于绝对半单的的假设在推论1中是必要的（VIII，p. 246，习题4）。 00G0
注 2 假设 A 是阿廷代数超过域 K。如果 A 是可交换的，那么我们可以证明 (VIII, p. 180, 习题 9) A 同构于代数 A₁× ⋯ × Aₙ 的乘积，使得 Aᵢ/ℜ(Aᵢ) 是每 i 域。相反，如果 A 不可交换，则 A 可能不会与代数 A₁× ⋯ × Aₙ 的乘积同构，使得对于每个 i (VIII、p. 247、习题 5)，Aᵢ/ℜ(Aᵢ) 是一… 00G1

§ 14. 。中环单代数

定义 1 如果映射 λ ↦ λ 1 是从 A 的 K 到中心的双射，我们就说域 K 上的代数 A 是中心的。 00GE
注 1 Let A and B be K-代数.如果A⊗_KB是中心单代数，则A和B也是中心III, §4, No. 4，p. 468，命题6和VIII，p. 221，命题6的推论）。相反，如果 A 和 B 是中心单代数，并且其中一个在 K 上具有有限次数，则A⊗_KB 是中心单代数（III, §4, No. 4，p. 468，命题 6 和VIII，p. 222，推… ↩ 2 00GF
注 2 设 A 为域 K 的 K-代数和 L 扩张。如果 L 代数 A_(L) 是中心单形，则 K-代数 A 是中心单形。相反，如果次数 [A : K] 和 [L : K] 之一是有限的，并且 A 是中心单K-代数，则 L 代数 A_(L) 是中心简单的。这是从VIII、p. 222 的推论 2 得出的。 ↩ 2 00GG
注 3 设 A 和 B 为森田等价K-代数。代数 A 是中心简单当且仅当 B 是 (VIII, p. 105, 命题 6; p. 111, 推论; p. 102, 推论 1)。 00GH
注 4 特别是，如果 A 为中心单K-代数和 ngeqslant 1，则 Mₙ(A) 为中心单K-代数（VIII、p. 102、例 1）。 ↩ 1 00GI
定理 1 设 A 为有限次数的 K-代数。以下属性是等效的： ↩ 14 00GJ
推论 1 设A是可分闭域K上有限次数的中心单代数。存在整数ngeqslant 1使得A与矩阵代数Mₙ(K)同构。 ↩ 1 00GK
推论 2 设A是K上有限次数的中心单代数（对于K上例、有限次数的域和中心K）。存在整数ngeqslant 1使得[A : K] =n²。 00GL
注 5 设A是K上有限次数的中心单代数，其约简次数是素数数ℓ。那么要么 A 是域，要么 A 与 M_ℓ(K) 同构。事实上，A 同构于形式 Mₙ(D) 的代数，其中 D 是域，中心 K，并且我们有 00GM
引理 1 令从B到A的f和g为同态。以下条件是等价的： ↩ 3 00GN
引理 2 假设 B 是半单环，即有限生成模超过其中心 Z。令 M 和 N 为 (B,A) 双模。假设它们有有限长度（尤其是当它们是右A-模或有限长度时）。如果 M 和 N 同构为 (Z,A)-双模，则它们同构为 (B,A)-双模。 ↩ 3 00GO
注由引理 2 的证明得出，M和N是有限长度的(Z,A)双模。因而，如果 B 和 A 是两个半单环，它们各自的中心 Z(B) 和 Z(A) 上的有限生成模，则有限长度的两个 (B, A)-双模同构，与 (Z(B),Z(A))-双模同构。 00GP
定理 2 设B为半单环，Z为中心；假设 B 是有限生成的 Z 模块。设A为右阿廷环，并令从B到A的f和g为环同态；将f和g的限制写成f_Z和g_Z到Z。以下性质是等价的： ↩ 3 00GQ
推论设 A 和 B 为代数域 K。假设 B 是中心简单且为有限次数，并且 A 为右阿廷。令从B到A的f和g为K-代数同态。A存在内自同构θ使得g=θ ∘ f。 00GR
定理 3（斯科伦-诺特） 设 A 和 B 为单K-代数，Z(A) 和 Z(B) 为中心。假设代数 B 对 K 具有有限次数，并且代数 Z(A)⊗_KZ(B) 是域（特别是当 A 或 B 是中心时的情况）。令从B到A的f和g为K-代数同态。A存在内自同构θ使得g=θ ∘ f。 ↩ 1 00S9
推论 1 设A是K上的中心单代数，并令L是有限次数的K的扩张。如果从L到A，f和g是K-代数同态，则A存在内自同构θ使得g=θ ∘ f。 ↩ 1 00GS
推论 2 设 A 为 K 上的中心单代数，并令 L 为 A 的子代数，即域。 A 的每K-代数同态从L到扩展到内自同构。 ↩ 1 00GT
推论 3 设 D 为 K 上有限次数的域，且有中心 K。D 的每个元素都是 K 上的代数。设 x 和 y 为 D 的元素；存在D^*的元素a使得y=axa⁻¹当且仅当x和y在K上具有相同的最小多项式。 00GU
命题 1 设 A 为 K 上有限次数的中心单代数。设 B 为 K-代数，并令 f 和 g 为从 B 到 A 的代数同态。以下属性是等效的： ↩ 2 00GV
定理 4 设 A 为半单环，Z 为中心，A 的 u 自同构。假设 A 是有限生成的 Z 模，并且对于 Z 中的每个 z，我们都有 u(z) =z。则 u 为内自同构。 ↩ 2 00GW
例定理4适用于以下两种具体情况： 00RH
命题 2 令L为交换环，V为有限维m的自由L模块。假设每个Mᵐ同构于Lᵐ的L模M也同构于L。那么L代数End_L(V)的每个自同构都是内自同构。 00GX
定理 5 设A为中心单K-代数，设B为有限次数的A在K上的半单子代数。 ↩ 6 00GY
定理 6 设A为有限次数的A的中心单K-代数，B子代数，以及B'其在A中的交换子。 ↩ 2 00GZ
推论假设域 K 是代数闭集，A 是有限次数的单代数在 K 上。设 B 是 A 的单子代数，B' 是 B 在 A 中的交换子。那么 B' 是单K-代数，B 是B'，我们有[A : K] = [B : K][B': K]，而典范同态从B⊗_KB'到A是K-代数同构。 00H0
引理 3 设 A 为 A 的 K-代数和 L 子代数。 ↩ 6 00H1
命题 3 设 A 为有限次数的中心单K-代数，并令 L 为 A 的半单交换子代数。以下性质是等效的： ↩ 10 00H2
推论设 A 为 K 上有限次数的中心单代数，并令 L 为半单交换K-代数，使得 [A : K] 等于 [L : K]²。令f和g为从L到A的单同态。存在A的内自同构θ使得g=θ ∘ f。 00H3
引理 4 设 A 是 K 上有限次数的中心单代数，与 K 不同。存在与 K 不同的 A 的 étale (V, §6, No. 3, p. 28, 定义 1) 子代数。 ↩ 1 00H4
命题 4 令 A 为 K 上有限次数的中心单代数。令 L 为 A 的子代数，令 L' 为 A 中L 的交换子。 ↩ 2 00H5
推论 1 设 A 为有限次数的中心单K-代数。 A 的每个半单（分别为 étale）交换子代数都包含在 A 的最大交换子代数中，即半单（分别为 étale）。 ↩ 2 00H6
推论 2 设 D 为 K 上的有限次数的域，其中中心 K。 ↩ 6 00H7
命题 5 设 A 为 K 上有限次数的中心单代数。设 B 为 A 的半单子代数，并令 B' 为 B 的交换子。 00H8
命题 6 令L为与直和分解V =⊕_i∈ IVᵢ关联的End_D(V)的可对角化子代数。 ↩ 1 00H9
命题 7 令 L 为有限次数在 K 上的交换代数。以下属性是等效的： ↩ 1 00HA
定理 7 设 A 为有限次数的中心单K-代数和 A 的 L 子代数。以下属性是等效的： 00HB

§ 15. 。布劳尔群

命题 1 集合 C_K，赋予由 (α , β )↦ cl(α ⊗_Kβ ) 给出的合成律，是一个可交换幺半群。 C_K的单位元素是K-代数K的类ε。此外，如果A和B是有限次数的K-代数，那么我们有关系 00HV
引理 1 设 A 为有限次数的 K-代数，K 上有限次数的 D 域。当且仅当存在整数 ngeqslant 1 且 A 与 Mₙ(K) 同构时，M_K 中才有 [A] = [D]。 ↩ 4 00HW
命题 2 集合 Br(K) 是M_K 的可逆元的集合，其中Br(K) 的元素 [A] 的倒数是[Aᵒ]。因而，幺半群 M_K 上的合成律赋予 Br(K) 结构阿贝尔的群。 00HX
定义 1 阿贝尔的群 Br(K) 称为域 K 的布劳尔群。 00HY
引理 2 令I和J为有限集合，k为交换环，且A和B为k-代数。用 M_I(A) 表示型 (I,I) 的方阵的 k 代数，其中条目位于 A 中，定义同样表示 k 代数 M_J(B) 和 M_I× J(A⊗_KB)。存在唯一的k-代数同构 ↩ 1 00HZ
命题 3 设 A 和 B 为中心单K-代数 / 有限次数。以下属性是等效的： ↩ 2 00I0
推论设A和B是K上有限次数的中心单代数。那么A和B是同构的当且仅当它们相似并且具有相同的次数。 00I1
命题 4 令K_K为有限次数中央K-代数类集合即域。从 K_K 到 Br(K) 的映射 D↦ [D] 是双射的。 00I2
命题 5 设A为有限次数的中心单K-代数，并令L为有限次数的K的扩张。以下属性是等效的： ↩ 4 00I3
引理 3 设A为有限次数的中心单K-代数，并令L为有限次数的K的扩张，即A的分裂域。令V为简单的A_(L)模，因此自然的态射φ : A_(L)→结束_L(V)是同构。设C为环End_A(V)。那么C与Aᵒ类似，L⊗ 1⊂ A_(L)的像是C的最大交换子代数。 ↩ 2 00I4
推论 1 设A为有限次数的中心单K-代数，并令L为有限次数的K的扩张。假设[A : K] = [L : K]²。那么对于 A，L 是分裂域当且仅当包含子代数同构于 L。 00I5
推论 2 令 D 为中心 K 上的有限次数的域，并令 L 为有限次数的 K 的扩张，即 D 的分裂域。 D 除的约化次数 [L : K]。 ↩ 2 00I6

§ 16. 。布劳尔群中的其他描述

引理 1 关系 00I9
例 1 外部半直积 (F×_τG, i, p) (I, §6, No. 1、p. 66、命题 3) 是 τ 扩展；我们用I_τ表示。如果 τ 扩展与 τ 扩展 I_τ 同构，我们就说它是半平凡的。 00IA
例 2 对于i∈ 1,2，从Gᵢ到Fᵢ的自同构群取群Gᵢ、阿贝尔的群Fᵢ、群同态τᵢ。我们用 τ₁× τ₂: G₁× G₂→ Aut(F₁× F₂) 同态定义为 00IB
命题 1 以下图表通勤： ↩ 1 00IC
引理 2 令 F'₁ 为阿贝尔的群，并令 w: F'₁→ F 和 τ₁: G'→ Aut(F'₁) 为群同态，使得 ↩ 2 00ID
推论 1 令E₁和E₂为τ-G通过F的扩展，并令ψ为τ的态射-从E₁到E₂的扩展。用 φ₁(resp 表示。 φ₂)典范同态分别为u^*(E₁) (。 u^*(E₂))。那么存在τ '的唯一态射-从u^*(E₁)到u^*(E₂)的延伸，记为u^*(ψ )，使得φ₂∘ u^*(ψ ) =ψ ∘ φ₁。 ↩ 1 00IE
推论 2 令u': G''→ G'为群同态，并令E为F对G的τ扩展。集合τ ''=τ '∘ u'，并分别用φ (表示。 φ ',φ '') 典范同态与 τ ' 扩展名 u^*(E) (resp 相关。 τ ''-扩展名u^'*(u^*(E))，τ ''-扩展名(u∘ u')^*(E))。那么从τ ''扩展u^'*(u^*(E))到τ ''扩展(u∘ u')^*(E)存… ↩ 1 00IF
例令 H 为 G 的子群和 j: H→ G 典范嵌入。那么对于每个τ-扩展E= (Γ , ι , π )，τ ∘ j-扩展j^*(E)与(overset-1π(H), ι ', π ')同构的，其中ι ': F→ overset-1π(H)（或π ':overset-1π(H)→ H）是群同态f↦ ι (f)（或γ ↦ π (γ )）。更一般地，如果群同态 u… 00RI
命题 2 在上面的记号中，以下图表通勤： ↩ 4 00IG
引理 3 令G'₁为群，并令w: G→ G'₁和τ₁: G'₁→Aut(F')为群同态，使得τ '=τ₁∘ w。令E₁'= (Γ '₁, ι '₁, π '₁)为G'₁通过F'的τ₁扩展，并令φ₁: Γ → Γ '₁为群同态，使得以下图表可通勤： ↩ 1 00IH
注用 τ ' 扩展的 Σ 结构种表示，并且定义 α-映射为从 Γ 到群 Γ ' 的映射，底层为 τ ' 扩展，为群同态并进行以下图表交换： 00II
推论 1 令E₁和E₂为τ-G通过F的扩展，并令ψ为τ的态射-从E₁到E₂的扩展。分别用 φ₁( 表示。 φ₂) 典范同态分别为 v_*(E₁) (。 v_*(E₂))。那么存在τ '的唯一态射-从v_*(E₁)到v_*(E₂)的延伸，记为v_*(ψ )，使得φ₂∘ ψ =v_*(ψ )∘ φ₁。 ↩ 1 00IJ
推论 2 我们保留命题中的记号。令 F'' 为阿贝尔的群，并令 τ '': G→ Aut(F'') 和 v': F'→ F'' 为群同态，使得 ↩ 1 00RJ
例 1 令 j:1 → F 为典范嵌入。半平凡扩张 I_τ 同构于 j_*((G, i，Id_G))，其中 i:e → G 是典范嵌入。令c: F→ F为常数同态f↦ 1，并令E为τ扩展。 τ扩展名c_*(E)也与I_τ同构的。 ↩ 1 00IK
例 2 设 E 为 F 的子群在 G 的作用下稳定。用 F' 表示 F 与 E 的商，用 v: F→ F' 典范同态和τ ': G→ Aut(F') 作用表示 G 在 F' 上的商，其特征为 00IL
命题 3 设G和G'为群，设F和F'为阿贝尔的群。令 τ : G→ Aut(F),τ ': G→ Aut(F'),u: G'→ G，且 v: F→ F' 为群同态，使得 ↩ 1 00IM
注令E₁= (Γ₁, ι₁, π₁)和E₂= (Γ₂, ι₂, π₂)为F对G的τ扩展。令E₁E₂= (Γ , ι , π )为这些扩张的乘积。继VIII、p. 289、构造的例给出从纤维乘积Γ₁×_GΓ₂到核是群同态的像的满射群同态 f↦ (ι₁(f), ι₂(f)⁻¹)从F到Γ₁×_GΓ₂。 00IN
命题 4 τ的乘积扩展赋予集合Ex_τ(G,F)与阿贝尔的群的结构。它的单位元素是半平凡的扩张I_τ的类。 τ扩展E的类的倒数是s_*(E)的类。 00IO
命题 5 a) 令G和G'为群，并令F为阿贝尔的群。令 τ : G→ Aut(F) 和 u: G'→ G 为群同态。映射u^*:Ex_τ(G,F)→Ex_τ∘ u(G',F)为群同态。 00IP
命题 6 映射c_σ是群Z²(G,F)的元素，上同调群H²(G,F)中的类仅取决于τ扩展名E的类。 00IQ
定理 1 从 Ex_τ(G,F) 到 H²(G,F)，映射 θ 为群同构。 00IR
注设G为群，设F和F'为阿贝尔的群，设τ（分别为τ '）为从G到F的自同构群（分别为F'）的群同态，并令v: F→ F' 为群态射使得 00RK
命题 7 在上面的记号中，以下图表通勤： 00IS
引理 4 如果c: H× H→ F是H的2-共环，值在F中，则widetildecₛ是G的2-共环，值在F中。 00IT
引理 5 如果c是2-共边界，那么widetildecₛ也是2-共边界。 00IU
引理 6 令 c 为 H 的 2-余循环，值在 F 中。群 H²(G,F) 中widetildecₛ 的像不依赖于截面 s 的选择。 00IV
命题 8 令 H 为有限指标的 G 的子群。自同态 Corᴳ_H∘ Resᴳ_H 群 H²(G,F) 重合与乘法 by 指标 (G : H)。 ↩ 1 00IW
引理 7 a) 令 S 为 G 的子集，使得 G 的每个元素都可以唯一地写为 hs，其中包含 h∈ H 和 s∈ S。那么将f发送到(f(s))_s∈ S的映射就是从S到E的映射的K-代数硬币ᴳ_H(E)到K-代数F(S,E)的同构。 ↩ 3 00IX
注 1 设 G 为 G 的群，G 的 H 子群，H 的 N 子群。设 E 为(K，N)-代数。设α为F_H(G,F_N(H,E))中的元素。我们有关系 00IY
引理 8 a) 对于每个g∈ G,σ ∈ O和𝔪∈ σ，我们有 ↩ 2 00RL
引理 9 态射 u 与核 𝔞_σ 是满射。映射由 u 乘以经过推导出 (K,G) 代数从 L_σ 到 F_𝔪 的商为同构。 ↩ 1 00IZ
引理 10 令 L 为 (K,G)-代数，其在 K 上的 étale。映射 ψ 从 L_(Ω ) 到 F(H,Ω )，其特征在于关系 ↩ 1 00J0
定理 2 设G为有限群，并令L为有限次数的交换K-代数，赋予G的作用，由单同态λ从G到Aut_K(L)给出。那么以下属性是等效的： ↩ 9 00J1
注 2 在定理 2 中，我们可以替换假设 Ω 是代数闭的，假设 Ω 是可分离闭的。事实上，如果L是étale，那么从L到Ω的每个K-代数同态的像是K的可分扩张。 00J2
注 3 正常的基定理 (V, §10, No. 9, p. 73, 定理 6) 是定理 2 中蕴涵 (i)⇒(iv) 的特例。 00J3
定义 1 设 G 为有限群，并令 L 为有限次数的非零的交换代数，赋予 K 赋予 (K,G) 代数的结构，其中 G 的作用由从 G 到群的单同态给出自动_K(L)。 We say that L is a Galois algebra with group G if it has the equivalent properties (i) through (vi) of… 00J4
注 4 假设L是K的扩张，赋予G的作用λ。那么L在K上是伽罗瓦代数当且仅当L是K的伽罗瓦扩张并且λ是从G到伽罗瓦群的同构 L 超过 K。 00J5
注 5 假设群 G 是阿贝尔的。如果 G 忠实且传递地作用于集合 X，则 X 的任何点的稳定子都被约化为恒等式（因为 X 的点的稳定子都相等，并且它们的交被约化为 G 的单位元素）。因而，定理 2 的属性 (i) 到 (vi) 也等价于以下内容： 00J6
注 6 V, §10, No. 1、p. 75、引理 5； V, §10, No. 1、p. 76、命题12；且 VIII、p. 137、命题 3、伽罗瓦代数是可交换的且半单。 ↩ 1 00J7
例 1 设 n 是严格的正整数，K 的特征指数的素数。假设K中单位元的第n-第根的群μₙ有阶n。那么对于n的每一个除子d，d的群μ_d-单位元的根都有阶d。令a为K中的非零元素，令L为代数K[X]/(Xⁿ-a)，并令x为L中X的类。序列(1, x, . . . , xⁿ⁻¹)是向量空间L的基超过域K，我们有xⁿ=a。此外，多项式Xⁿ-a与其导数nXⁿ⁻¹互… 00J8
例 2 现在假设域 K 具有特征 pnot= 0。令 c 为 K 的元素。多项式 f= Xᵖ-X-c 与其导数 f'=-1 互质，因此代数 L = K[X]/(f) 是 étale (V, §7, No. 2, p. 37, 命题 3)。我们用x表示L中X的像；我们有关系xᵖ=x+c。序列 (1, x, . . . , xᵖ⁻¹) 是 L 中的基，在 K 上被视为… 00J9
命题 9 设G为有限群，H为G的子群，E为域K上的伽罗瓦代数和群H。则通过从H到G的共归纳，从E推导出(K,G)-代数Coindᴳ_H(E)为伽罗瓦代数域 K 与群 G。 00JA
命题 10 设G为有限群。令 L 为域 K 上的群 G 上的伽罗瓦代数，并令 K' 为 K 上的扩张。则 (K',G) 代数 L_(K') 为 K' 上的伽罗瓦代数。 ↩ 1 00JB
命题 11 令G₁和G₂为群。令L₁和L₂在K上为伽罗瓦代数，分别为作用λ₁: G₁→Aut_K(L₁)和λ₂: G₂→Aut_K(L₂)。集合 L = L₁⊗_KL₂,G = G₁× G₂，λ (g₁, g₂) =λ₁(g₁)⊗ λ₂(g₂) (g₁, g₂)∈ G。那么K-代数L赋予作用λ就是伽罗瓦代数超过K。 ↩ 1 00JC
引理 11 令G₁和G₂为群，令W₁和W₂为K-向量空间。我们分别捐赠W₁(。 W₂) 与作用或 G₁(。 G₂) 由群同态 ρ₁: G₁→ Aut_K(W₁) (resp 给出。 ρ₂: G₂→自动_K(W₂))。我们考虑群同态 ↩ 1 00JD
注令L为有限次数的域K的伽罗瓦扩张，并令G为其伽罗瓦群；我们用λ表示G上的恒等映射。那么L赋予λ是伽罗瓦代数超过K和群G。令K'是K的扩张。到命题10，代数L_(K')是伽罗瓦超过K'，但它不在一般扩张 K'。类似地，由命题11，伽罗瓦扩张E的张量积和有限次数K的F可看成伽罗瓦代数；一般来说，它不是 K 的伽罗瓦扩张。然而，如果 E 和 F 而且是 K 的扩张… 00JE
命题 12 设 B 为 K-代数、u': L→ B K-代数同态、v': Γ → B^* 群同态。我们假设满意关系 ↩ 2 00JF
注设σ : G→ Γ为映射π中的截面。集合ε_g=v(σ (g))对于G中的每个g，并用c_σ表示与σ相关的2-余循环（VIII，p. 296）。特别是，我们有 00JG
命题 13 K'-代数φ从A[E; L]_(K')到A[E'; L']存在唯一的同构满足关系 00JH
定理 3 设E= (Γ , ι , π )是G的τ扩展L^*。代数A[E; L]是中心简单且次数n²超过K。此外，典范同态u从L到A[E; L]是同构从L到最大交换子代数 A[E; L]。 ↩ 1 00JI
引理 12 a) 除了在G下不变的0和L之外，不存在L的任何理想。 00JJ
定理 4 设A是K上有限次数的中心单代数，并令L是A的最大交换子代数。则存在G的τ扩展EL^*，使得A与A[E; L]同构的。 ↩ 1 00JK
定义 2 令S为L最大理想的集合。我们定义 00JL
定理 5 存在群同构 00JM
注 1 如果L是K上的代数，G是L的自同构群，那么代数A[E; L]并不总是中心简单（对于例，我们可以取L = Kⁿ和G =𝔖ₙ）。 00JN
注 2 我们可以通过有限伽罗瓦扩张L和群G将计算与代数分裂的相关联的2-同环c如下。首先，存在 K-同态 φ : A→ Mₘ(L)，其中 [A : K] =m²。对于g∈ G，令φᵍ为从A到Mₘ(L)的同态，由a↦ φ (g⁻¹ag)给出。根据 Skolem–Noether 定理 (VIII, p. 256, 定理 3)，对于每个 g∈ G，存在元素 u_g… 00JO
推论映射Φ_L/K= Θ ∘ Ψ⁻¹定义群同构从Br(L/K)到H²(G,L^*)。 00JP
命题 14 以下图表通勤： ↩ 1 00JQ
定理 6 设 K 为交换域，并设 A 为 K 上有限次数的中心单A-代数。设 L 为有限次数 K 的可分扩张，即代数 A 的分裂域。则 [L : K][A] 为零 Br（K）。 ↩ 2 00JR
推论 1 有限次数的中心单代数在交换域除指标上的指数。 00JS
推论 2 令 K 为交换域，并令 A 为 K 上有限次数的中心单代数。令 p 为素数数。如果 A p 除指标，则除 A 的指数。 ↩ 1 00JT
推论 3 令p为素数数，令K为特征p的完美域。设A是K上有限次数的中心单代数。那么p不是A的除指标。 ↩ 1 00JU
注通过考虑四元数代数的张量积，可以用中心 K、指数 2 和任意大的指标 (cf. VIII、p. 371、习题 7) 计算构造域和 8)。 00JV

§ 17. 。简化范数与迹

命题 1 设L为交换环，M为有限秩mgeqslant 1的自由L模，且M的u自同态。存在M满足关系的唯一内同态tildeu ↩ 2 00KD
引理 1 令 p 为整数，使得 0 leqslant p leqslant m。对于∧ᵖ(M)中的任何w，令hₚ(w)为从∧ᵐ⁻ᵖ(M)到∧ᵐ(M)的线性映射w' ↦ w ∧ w'。线性映射hₚ : w ↦ hₚ(w)从∧ᵖ(M)到Hom_L(∧ᵐ⁻ᵖ(M), ∧ᵐ(M))是同构。 00KE
注 1 M 重合的自同态 widetildeu 与我们所说的III, §8, No. 6、p. 532 中u 的共转置。 00KF
注 2 从公式 (1)、(2)、(4) 和 (6)，我们推导出关系 χᵤ(u) = 0，从而推导出凯利-汉密尔顿定理 (III, §8, No. 11，p. 541) 的另一个证明。 ↩ 1 00KG
注 3 由于从 End(M) 到 L 的映射 cᵣ 是 0leqslant rleqslant m-1 的次数 r 的齐次多项式映射，因此从公式 (6) 可以得出映射 u↦ widetildeu End(M) 到 End(M) 是次数 m-1 中的齐次多项式映射。 00KH
命题 2 设a为A的元素，Pc(a; X)为其特征多项式。 K[X] 中存在唯一的一元多项式 P，使得我们有 Pc(a; X) = P(X)ⁿ。 00KI
引理 2 令 P 和 Q 为 K[X] 中的单调多项式，s 是严格的正整数。如果 Pˢ= Qˢ，那么我们有 P = Q。 ↩ 5 00KJ
定义 1 令a为代数A的元素。a（相对于A）的约简特征多项式是K[X]中唯一的一元多项式，记为Pcrd_A/K(a; X)，满足关系 ↩ 1 00RM
定义 2 我们称 A 的 Trd_A/K(a) 约化迹和 Nrd_A/K(a) 为约化范数（相对于 K-代数 A）。 ↩ 2 00KK
命题 3 A 的元素 a 可逆当且仅当其约化范数为非零的。特别是，当且仅当 A 的每个非零元素 a 都有 Nrd_A/K(a)not= 0 时，A 才是域。 ↩ 2 00KL
注令 L 为 X 中有理分式的域 K(X)。 A 的元素 a 的约化特征多项式就是 L 代数 A_(L) 的元素 X⊗ 1-1⊗ a 的约化范数。这是从简化特征多项式的定义和公式 (III, §9, No. 3, p. 544) 得出的 00KM
例 1 由VIII、p. 120的定理 1，存在整数rgeqslant 1和域D，使得A与Mᵣ(D)同构。令 d 为 D 对 K 的约化次数；我们有r=n/d。设M为有限长度ℓ中的A-模；我们将证明公式 00RN
例 2 考虑当A是有限维K-向量空间V的自同态的代数End_K(V)时的具体情况。取M为单A-模V，可得关系 ↩ 1 00RO
命题 4 设L为K的扩张和中心单代数A的a元素。我们有关系 ↩ 2 00KN
推论 1 令L为K的扩张。令V为从A到L和θK-代数同态的维数n的向量空间到结束_L(V)。对于 A 的每个元素 a，我们有 ↩ 4 00KO
推论 2 设a和a'为A的元素和K的λ元素。我们有关系 00KP
推论 3 令 Aᵒ 为 A 的反代数。对于 A 中的每个 a，我们有 00RP
命题 5 对于 A 中的任何 x，令 tₓ 为 A 上的线性形式 y↦ Trd_A/K(xy)。 ↩ 2 00KQ
推论由形式xy-yx的元素生成的A的线性子空间，其中x和y贯穿A，是超平面，核或非零的线性形式 Trd_A/K。 00KR
注到 VIII、p. 340 的公式 (23)，我们有 00KS
引理 3 令L为K的扩张，并令I为集合和T= (Tᵢ)_i∈ I一系列变量。我们有K(T)∩ L[T] = K[T]。 ↩ 1 00KT
命题 6 对于每个整数r，使得从A到K的0leqslant rleqslant n，映射bᵣ是齐次多项式映射 / 次数r。特别地，从A到K，约化范数是次数n中的齐次多项式映射。 ↩ 2 00KU
引理 4 设u为中心简单K(T)代数A_(K(T))的元素∑_i∈ ITᵢ⊗ eᵢ。令 P 为 u 的简化特征多项式。然后P属于到环K[T][X]；视为环K[T,X]的元素，它是次数n的齐次。 ↩ 1 00KV
引理 5 对于 K 的每一个扩张 K' 和 K'ᴵ 的每一个元素 (tᵢ)_i∈ I，我们有 ↩ 1 00KW
注设K'为交换K-代数。 A_(K')的每个元素t都可以写成∑_i∈ Itᵢ⊗ eᵢ，其中(tᵢ)∈ K'ᴵ。由引理 5 的证明可知，特征多项式Pc_A_(K')/K'(t; X)等于P((tᵢ),X)ⁿ。 00KX
命题 7 令 L 为 A 的最大交换律半单子代数和 L 的 a 元素。我们有 ↩ 1 00KY
推论令 D 为 K 上有限次数的域，且具有中心 K。令 a 为 K 的元素，且 D 包含 a 的L 极大交换子域。我们有 00KZ
命题 8 设B为A的单子代数。用L表示B的中心，用B'表示A中B的交换子。那么B'是域L的中心单代数；我们将次数减少了r。对于 B 的每个元素 b，我们有关系 ↩ 2 00L0
引理 6 令 K' 为 K 上的有限次数 d 中的交换代数，并且 00L1
命题 9 令V为域D上的有限维右向量空间。令E为代数End_D(V)在域K上；它是中心简单且有限次数。对于 E 的每个可逆元 u，我们有 00L2
注如果 E 的元素 u 不可逆，我们有 Nrd_E/K(u) = 0（VIII、p. 340、命题 3）。 00L3

§ 18. 。单代数超过有限域

定理 1（Chevalley-警告） 令 K 为特征 p 的有限交换域。令n为整数geqslant 1，且(fᵢ)_i∈ I为K[X₁, . . . ,Xₙ]的非零元素的有限族。用元素 x 的 Z 集合 Kⁿ 表示，这样我们就有 i∈ I 的fᵢ(x) = 0。如果我们有n >∑_i∈ I deg(fᵢ)，那么Z的基数可以被p整除。 ↩ 2 00SA
引理 1 令L为域，G为有限群，且χ为从G到乘法群L^*的非平凡同态。我们有∑_x∈ Gχ (x) = 0。 ↩ 1 00LB
引理 2 令 q 为 K 的基数。对于任意整数 mgeqslant 0，集合 Sₘ= ∑_x∈ Kxᵐ。如果m是q-1的非零的倍数，我们有Sₘ=-1，在所有其他情况下Sₘ= 0。 00LC
推论令V为有限维n的向量空间超过K，并且I是有限的集合，并且对于每个i ∈ I，令Fᵢ : V → K为齐次多项式映射或次数 dᵢ > 0。如果我们有 ∑_i ∈ I dᵢ < n，则存在非零元素 x 或 V，使得每个 i ∈ I 都有 Fᵢ(x) = 0。 00LD
定理 2（韦德伯恩） 每个有限域都是可交换的。 ↩ 4 00SB
推论 1 每个有限简单环都同构于矩阵环 Mₙ(L)，其中 n 是严格的正整数，L 是有限的交换域。 00LE
推论 2 令 K 为有限交换域。 K 上的每个中心单代数都同构于矩阵代数 Mₙ(K)，其中n 是严格的正整数。 ↩ 2 00LF
注 1 这里是定理的另一个证明 2. 令 D 为有限域，令 K 为其中心，令 L 为 D 的极大交换子域。令 x 为的元素 D^*。 D 的属于到极大交换子域 L₁。我们有等式 00LG
注 2 令L为交换域，性质：(C₁)令V为有限维n中的向量空间超过域L，并令d使得0< d < n。对于次数d的每个齐次多项式映射F : V→ L，存在V的非零元素x使得F(x) = 0。 ↩ 1 00LH
注 3 假设域 K 满足以下条件： 00LI

§ 19. 。四元数代数

命题 1 F 的元素q特征多项式等于(X²-T_F(q)X + N_F(q))²。 ↩ 1 00LQ
注 1 假设K的特性不等于2，且集合i'= 2i-β。那么(1, i')是E除以K的基，我们有i'²= 4α +β²。由此可见，E 与型 (4α +β²,0) 的二次代数同构，F 与型 (4α +β²,0, γ ) 的四元数代数同构。 ↩ 1 00LR
注 2 型 (α ,0, γ ) 的四元数代数同构于型 (γ ,0, α ) 的四元数代数 (III, §2, No. 5, p. 445)。对于 K 的非零元素的每个对 (a, c)，它也同构于型 (α a²,0, γ c²) 的四元数代数。 ↩ 1 00LS
注 3 令q为F的元素，则q幂零当且仅当其特征多项式等于X⁴，即T_F(q) = N_F(q) = 0；那么我们就有q²= 0。 ↩ 2 00LT
例矩阵代数M₂(K)同构于型(0,1,1)的四元数代数。事实上，考虑二次代数E = K× K（型(0,1)）和四元数代数F = E + Ej，这是由元素γ = 1定义的E的凯莱扩张。从E到M₂(K)，映射(a, b)↦ beginpmatrix a & 0 \\ 0 & b endpmatrix是代数同态。因为对于 K 中的a, b，我们有 00LU
命题 2 a) 假设域 K 具有不同于 2 的特性。如果γ 或4α +β² 为非零的，则 F 的中心等于 K；否则，它有维数 2 并且由 1 和 ij-ji 生成。 ↩ 3 00LV
命题 3 令α ,β ,γ为K的元素，并令f为型(α , β , γ )的四元数代数。用 T_F 和 N_F 表示其凯莱迹和范数。以下属性是等效的： 00LW
命题 4 设 A 为 K 上次数 4 的中心单代数。用 p 表示 K 的特征。 ↩ 2 00LX
推论 1 设A是有限次数>1的中心单K-代数，其元素都是次数leqslant 2在K上的代数。则A与K上的四元数代数同构。 ↩ 1 00LY
推论 2 设(E, s)是K上的凯莱代数，使得K-代数E是K上有限次数>1的中心单形。则E与K上的四元数代数同构。 00LZ
命题 5 以下属性是等效的： 00M0
注假设四元数代数 F 是域。从等式 j²=γ 可以得出γ not= 0。 By Proposition 2 of VIII, p. 363, the center of F is equal to K unless K has characteristic 2 and β is zero, in which case the algebra F is com… 00RQ
定理 1 令 D 为有限次数中的 R-代数，即域。则 D 同构于 R、C 或 H。 ↩ 1 00M1
注 1 令 O 为型 (-1,0,-1,-1) 在 R 上的八元数代数 (III, 附录, No. 3, p. 615)。令 D 为 R 上的凯莱代数代数，使得 D 的每个非零元素都有一个逆元。我们可以证明 (VIII, p. 370, 习题 5) D 与 R、C、H 或 O 同构的。 ↩ 1 00M2
注 2 以上适用于实数的域R。有限次数的每个R-代数即域同构于R,C或H。 00M3
注 3 设 A 是域 R 上的标准化代数。假设A是域。则 A 同构于 R,C，或 H (“Gelfand–Mazur 定理”) (cf. Comm. Alg., VI, §6, No. 4, p. 407, 定理 1 和 TS, I, §2, nᵒ5, p. 26, 推论 2). 00M4

§ 20. 。线性表示 / 代数

定义 1 令 M 为 K-模。 M中代数A的线性表示是从A到代数End_K(M)的K同态π。 ↩ 1 00MD
命题 1 a) 映射 φ 诱导双射从左（或右，两侧）集合有限余维到右 A-子模（或左）的集合理想K 上有限维的 A^* 的A-子模、子双模)。 ↩ 1 00ME
定义 2 受限双 ↩ 1 00MF
注 1 假设 M 在 K 上是有限维的。令 (e₁, . . . , eₙ) 为 V 的基，并令 (e^*₁, . . . , e^*ₙ) 为其对偶基。相对于V的基(e₁, . . . , eₙ)用π (a)的(πᵢⱼ(a))矩阵表示；我们有πᵢⱼ=c_π(eⱼ, e^*ᵢ)。从A到Mₙ(K)，映射a↦ (πᵢⱼ(a))是同态；这样同态就是有时，称为代数A的矩阵表示… 00MG
注 2 设E为A-模，E'为E的子模。根据II, §7, No. 5、p. 299的定理 5的推论，我们有Θ_E'(A)⊂ Θ_E(A)和Θ_E/E'(A)⊂ Θ_E(A)。 ↩ 1 00MH
引理 1 映射 c''_E 是双射的。如果 E 是有限维的，那么 c'_E 也是有限维的。 00MI
命题 2 令 E 为左A-模。 ↩ 4 00MJ
注 3 令 E 为 A^* 的左A-子模。令E上的ε为线性形式y↦ y(1)。对于E中的每个x，我们有x=c_E(x, ε )，所以E是Θ_E(A)的A-子模。 ↩ 1 00MK
命题 3 设(V, π )为代数A的有限维线性表示。π的核𝔞是有限余维A的双面理想，Θ_π(A)是𝔞的正交A^*。转置的映射 π 定义同构从K-向量空间 π (A) 到 Θ_π(A) 的对偶。 ↩ 1 00ML
推论 A 的受限对偶 θ(A) 是 A 的有限维线性表示的系数的集合。 00MM
定理 1 a) 集合 Θˢˢ(A) 由 A 的有限维半单表示的系数组成。它是 A^* 的 (A,A) 子双模。 ↩ 3 00MN
推论 1 K 上有限维的每个单A-模同构于 θ(A) 的 A-子模。 00MO
推论 2 如果 K 上的有限维中的两个单A-模有公共的非零的系数，则它们是同构的。 00MP
命题 4 a) 从S⊗_DS^*到Θ_S(A)存在群同态λ_S，其特征为 ↩ 1 00MQ
注当域 K 是代数闭时，我们有 D = K by VIII、p. 47 的定理 1，并且 λ_S 是 (A 的同构，A) 从 S⊗_KS^* 到 Θ_S(A) 的双模。 00MR
命题 5 令 S 为 K 上有限维的单A-模，令 D 为 S 的交换子的相反域，并令 Z 为 D 的中心。以下性质是等价的： 00MS
推论如果域 K 是完美的，则性质 (i) 到 (iii) 成立。 00MT
命题 6 令 S₀ 为 K 上的有限维单A-模类集合，并带有非零的迹。线性形式 (Tr_S)_S∈S₀ 的家人在 K 上免费。 ↩ 2 00MU
注设S_K是K上的有限维单A-模类集合。命题6也从Θ_S(A)的和得出，对于穿过S_K的S来说，是直接的。 00RR
推论 a) 假设域 K 的特征为 0。同态 θ 和 θ_K 是单射的。 K 上的两个有限维半单A-模同构当且仅当它们的特征标相等。 ↩ 2 00MV
定理 2 设A为K-向量空间A的生成子集。由关系χ_A(x) = (χₐ(x))_a∈A定义的同态χ_A: R_K(A)→(1 + TK[[T]])^A是单射的。 ↩ 1 00MW
推论 1 设E和F为K上有限维的半单A-模，A为K-向量空间A的生成子集。假设对于每个a ∈ A，自同态a_E和a_F的特征多项式为K-向量空间 E 和 F 相等。那么 A-模 E 和 F 同构。 ↩ 3 00MX
推论 2 设 A 为 K 上有限次数的中心单代数。设 B 为半单 K-代数，设 f 和 g 为从 B 到 A 的代数同态，并设 B 为 K-向量空间 B 的生成子集。以下性质是等效的： 00MY
命题 7 K 上有限维的A^* 的左A-子模包含在Θ_C(A) 当且仅当它是型 C 时。 ↩ 1 00MZ
推论设 E 为 K 上有限维的 A-模。则 E 为型 C 当且仅当 Θ_E(A) 包含在 Θ_C(A) 中。 00N0
命题 8 在向量空间 θ(A) 上，存在唯一的余代数结构 (III, §11, No. 1, p. 574)，使得映射 η : A→ Θ (A)^* 是从A 到θ(A) 的对偶代数 (III, §11, No. 2, p. 579) 的同态。余代数 θ(A) 是共结合的并且承认ε 为余单位。 00N1
引理 2 设c : Θ(A) → Θ(A) ⊗ Θ(A)为K-线性映射。 Then η is a homomorphism from A to the dual algebra of the cogebra (Θ(A), c) if and only if the following diagram commutes: ↩ 1 00RS
注 1 令(V, π)为代数A的有限维线性表示。让我们介绍V的基(e₁, …, eₙ)和V^*的对偶基(e₁^*, …, eₙ^*)。到引理 2 的证明时，我们有关系 c(c_π(x, x^*)) = ∑ₖ₌₁ⁿ c_π(eₖ, x^*) ⊗ c_π(x, eₖ^*) 00N2
定义 3 令C为余代数超过域K，并且c为余积。 C的子余代数是C的任何线性子空间C₁，使得c(C₁)包含在C⊗_KC中的C₁⊗_KC₁的典范像中。 00N3
命题 9 令 θ 为 θ(A) 的线性子空间。以下属性是等效的： ↩ 1 00N4
注 2 令 θ 为 θ(A) 的子余代数。我们赋予 K 离散的拓扑和代数 A 赋予最粗糙的拓扑，其中映射 f: A→ K 对于 f 穿过 θ 是连续的（Gen. Top.、I, §2, No. 2、p. 175）。这个拓扑赋予A拓扑K-模的结构。 A 的双面理想 𝔞 是开的，当且仅当它有有限余维并且它的正交𝔞' 包含在 θ 中。通过VIII、p. 379的命题 3，… 00N5

§ 21. 。线性表示有限群

定义 1 设M为K-模。 M 中 G 的线性表示是从 G 到线性群 GL(M) (II, §1, No. 2, p. 195) 的群同态。 00NC
命题 1 假设K是交换域。令 π 和 π ' 为 G 的有限维半单 K 线性表示。 00ND
例 1 G 的单位或平凡表示是表示 (K, ε )，其中对于每个 g∈ G 都有 ε (g) = Id_K。它的特征标是常数函数，值为1。 ↩ 1 00NE
例 2 G 的（左）正则表示是 K[G] 中 G 的表示 γ ，由 γ (g)(x) =gx 对于 g∈ G 和 x∈ K[G] 定义。它位于代数 K[G] (VIII, p. 375) 的左侧正则表示对应。假设群 G 是有限的。正则表示则有有限次数。对于与恒等式不同的 G 的每一个元素g，K[G]中乘法距g相对于典范基的矩阵是置换的矩阵，没有固定的点。因此我们有 00NF
例 3 给定 G 的线性表示 (M, π )，π 的同余或对偶表示 π^∨ 是 K-模中 G 的表示与由关系 π^∨(g) =ᵗπ (g⁻¹) 定义的对偶 M，对于每个 g∈ G (cf.) II, §2, No. 5、p. 234）。如果 M 是有限维自由K-模，那么它的对偶也是如此，并且对于每个 g∈ G，我们都有 χ_π^∨(g) =χ_π(g⁻¹)。 00NG
例 4 令(M, π )和(M', π ')为G的线性表示。在VIII、p. 198的例 1中，我们在M⊗_KM'上定义了一个K[G]-模结构。相应的线性表示称为π和π '的张量积，记为π ⊗ π '。对于g∈ G,x∈ M和x'∈ M'，我们有((π ⊗ π ')(g))(x⊗ x') =π (g)x⊗ π '(g)x'。 00NH
例 5 假设 G 是两个群中的乘积 G' × G''。 K-线性映射从K[G'] ⊗_K K[G'']到K[G]，将g' ⊗ g''发送到(g', g'')，对于g' ∈ G'和g'' ∈ G''是代数同构。令(M', π')为G'之线性表示，且(M'', π'')线性表示为G''。 π'和π''的外部张量积，用π' ⊗ π''表示，是(g', g'') ∈ G'… ↩ 1 00NI
例 6 令(V, π)为G的线性表示，使得V为有限维自由K-模。我们在End_K(V) 公式 G × G 定义表示 ρ ρ(g, g')(u) = π(g') ∘ u ∘ π(g⁻¹). II, §4, No. 2的K-模同构θ_V : V^* ⊗_K V → End_K(V)，p. 271从外部张量积π^∨ ⊗ π到ρ是表示的同构。映射 g ↦ ρ(1, g)（… ↩ 1 00NJ
定理 1 假设群 G 是有限的。设 M 为 K[G]-模，N 为 M 的 K[G]-子模。假设 N 是 K-模 M 的直因子，并且 |G| 在 K 中可逆。则 N 是 K[G]-模 M 的直因子。 ↩ 3 00NK
推论 1 (Maschke) 假设群 G 是有限的并且 K 是交换域。代数 K[G] 是半单当且仅当域 K 中的元素 |G| 不是零。 ↩ 2 00SC
推论 2 假设群 G 是有限的，并且 |G| 在 K 中是可逆的。K[G]-模分裂的的正合序列当且仅当它分裂的与 K-模的正合序列一样。 ↩ 1 00NL
推论 3 假设群 G 是有限的，并且 |G| 在 K 中是可逆的。K[G]-模是射影的当且仅当它射影为 K-模时。 00NM
推论 4 a) 假设群 G 是有限的，并且 K 是特征 0 的交换域。G 的两个有限维线性表示同构当且仅当它们具有相同的特征标。 00NN
推论 5 假设群 G 是有限的，并且 K 是交换域，其中 |G| not= 0。令π和π '是G的有限维线性表示。则π和π '同构当且仅当对于G中的每个g，自同态、π (g)和π '(g)具有相同的特征多项式。 ↩ 1 00NO
命题 2 令 H 为 G 的子群，并令 (M, σ ) 为 H 的线性表示。典范同态 ι : Indᴳ_H(σ )→ Coindᴳ_H(σ ) 是单射的。如果子群 H 在 G 中具有有限的指标，则 ι 是 K[G]-模的同构。 00NP
命题 3 令 H 为有限指标的 G 的子群。令(M, σ )为H的线性表示。假设M为有限维自由K-模。用σ诱导的G的(V, π )表示表示。那么 K-模 V 是自由且有限维的，并且 ↩ 1 00NQ
注设(V, π )为G的线性表示。到马施克定理，K[G]-模V为半单。对于任何λ ∈ widehatG，用V^λ表示K[G]-模V的型λ的同型组件；我们有V =⨁_λ∈widehatGV^λ。通过VIII、p. 147和公式的命题 15 (17)，V的投影算子以及与该V的分解相关联的像V^λ等于 00NR
注我们通过V_λ的基(e_λ ,j)以矩阵代数M_d_λ(K)结束认同代数结束_K(V_λ)。映射F⁻¹是同构从代数∏_λM_d_λ(K)到代数K[G]。对于μ∈ widehatG，用∏_λM_d_λ(K)的E^μᵢⱼ元素表示，其指标μ的分量为M_d_μ(K)的矩阵单位Eᵢⱼ（II, §10, No. 3，p. 341），其其他分量为零；集合u^μᵢⱼ=F… 00NS
命题 4（正交关系对应特征标） 对于widehatG中的λ和μ，我们有⟨ χ_λ, χ_μ⟩_G=δ_λ μ。 ↩ 3 00SG
推论令 π 和 π ' 为 G 的有限维线性表示。在域 K 中，我们有 00NT
命题 5 家庭(χ_λ)_λ∈widehatG是中央函数向量空间的基。 G的简单线性表示类数等于G的共轭类数。 ↩ 4 00NU
命题 6 设f为G上的中心函数，u为H上的中心函数。我们有 ↩ 1 00NV
命题 7 令从G到K的f为映射。以下断言是等价的： 00NW
注令n为群G的基数，并令μₙ(K)为K中n-第根的单位元的群。对于每个g∈ G，我们有gⁿ= 1；因而，widehatG可以与群Hom(G, μₙ(K))识别。群 μₙ(K) 是阶 n (V, §11, No. 2, p. 78, 定理 1) 的循环。因而，群 widehatG 同构于群 D(G) = Hom(G,Q/Z)。由VII, §4, No. 9、p… 00NX
命题 8 a) 同态 θ_G 是从 K⊗_ZR_K(G) 到 Z_K(G) 的同构。 ↩ 1 00NY
命题 9 假设域 K 有特征零。那么 G 的每个简单表示的次数除 G 的基数。 ↩ 4 00NZ
引理设L为Q的扩张。设 A 为 L 的子环。假设 A 是有限生成的 Z 模块。我们有A∩ Q=Z。 00O0
命题 10 从S_K(G)到S_K'(G)存在唯一映射φ_G，使得对于S_K(G)中的每个λ，λ和φ_G(λ )通过φ相关。此外，φ_G是双射的。 ↩ 1 00O1
注 1 假设K'是K的扩张，同构φ是映射ξ ↦ ξ · 1；那么映射 φ_G 由从 K 到 K' 的标量扩张给出。 00O2
推论 1 从R_K(G)到R_K'(G)，映射φ_G是环同构。对于K向量空间中G的每个有限维表示π，我们有φ_G([π]) = [π']，其中π'是与π到φ相关的表示。 00O3
推论 2 GG除阶每个简单表示维数。 ↩ 2 00O4
注 2 假设群G是阿贝尔的。我们在VIII、p. 414的注中看到，I_K(G)可以与集合Hom(G, μₙ(K))识别。同样，I_K'(G)可以与Hom(G, μₙ(K'))识别。有了这些标识，双射φ_G就简单地变成了映射χ ↦ φ ∘ χ。 00O5
注 3 令π₁和π₂为有限维向量空间中G的线性表示超过K。对于i = 1, 2，令πᵢ'为与πᵢ到φ相关的表示。我们有 dim_K Hom_K(π₁, π₂) = dim_K' Hom_K'(π₁', π₂') . 证明遵循推论VIII、p. 410，通过简化为πᵢ（因而πᵢ'）很简单的情况。 00O6
注 4 设H为基数m的G子群。从μₘ(K)到μₘ(K')，同构φ限制到同构，因而，从R_K(H)到R_K'(H)环同构φ_H。以下图表通勤： 00O7
注 5 假设 G 是两个有限群中的乘积 G'× G''。我们定义同构φ_G'和φ_G''与之前的例一样。 00O8
命题 11 令 (M, π ) 为 G 的有限维线性表示。 00O9

App. 1. 附录 1 代数没有单位元

定义 1 令 A 为 k 代数，𝔞 A 的左理想。A 的元素 u，使得每个 a∈ A 的 au-a 属于到 𝔞 称为模右单位 𝔞。如果存在模右单位𝔞，我们说理想的𝔞是正则的。 00P4
命题 1 A 的每个正则左（或右）理想都包含在正则最大左（或右）理想中。 00P5
命题 2 设 A 是可交换的 k-代数。 A 的理想 𝔞 是正则最大理想，当且仅当伪环 A/𝔞 (I, §8, No. 1, p. 98) 为域。 00P6
例 1 令V为无限维向量空间超过交换域K。令Endᶠ_K(V)为有限秩的自同态的End_K(V)由……组成的K-子代数。设W为V的线性子空间，并令𝔞_W为Endᶠ_K(V)的元素的集合，其核包含W；它是Endᶠ_K(V)的左理想。 Endᶠ_K(V)的元素u是模右单位𝔞_W当且仅当我们对于每个x∈ W都有u(x) =x。这样的元素u存在，即𝔞_W是正则的，当且仅当W… ↩ 1 00P7
例 2 令 T 为局部紧致空间，并令 C₀(T) 为从 T 到 C 的连续映射的交换 C 代数，在无穷大处趋于 0（Gen. Top.、X, §4, No. 4、p. 316）；当且仅当 T 是紧的时它才是单位的。设F为T的闭子集，并令𝔞_F为C₀(T)的元素的集合，其中限制到F为零函数；这是C₀(T)的理想值。 C₀(T)的元素u是模单位𝔞_F当且仅当我们对于每个… 00P8
例 3 令L¹(R)为局部紧致群R的卷积代数。回想一下 (cf. Int., VIII, §4, No. 5, p. 38)，L¹(R) 是 R 上函数的类的空间，对于勒贝格测度可积。两个函数f和g类乘积是由公式定义的函数f*g类 00P9
命题 3 a) 令widetilde𝔞为widetildeA的左理想，使得widetildeA =widetilde𝔞+ A。我们集合𝔞=widetilde𝔞∩ A。 A 存在元素 u，使得 u-e 属于到 widetilde𝔞。如果u是元素，那么它是A模𝔞的右单位，我们有widetilde𝔞=𝔞+k(u-e)；特别是，理想的𝔞是有规律的。 ↩ 2 00PA
推论 A 的正则左理想是形式 A∩ widetilde𝔞 的理想，其中 widetilde𝔞 是 widetildeA 的左理想，使得 widetildeA =widetilde𝔞+ A。 00PB
命题 4 a) 设𝔞为A的正则最大左理想。存在widetildeA的唯一左理想widetilde𝔞，使得widetildeA =widetilde𝔞+ A和𝔞=widetilde𝔞∩ A。这个理想是最大的，并且不包含 A。 ↩ 1 00PC
定义 2 如果我们有 AM not= 0 并且 0 和 M 是 M 的唯一子伪模，我们就说 A 上的伪模 M 是简单的。 ↩ 1 00PD
命题 5 a) 令𝔪为A的正则最大左理想。则伪模Aₛ/𝔪很简单，并且存在Aₛ/𝔪的非零元素和湮没子𝔪。 ↩ 1 00PE
定义 3 k-代数 A 的根式，用 Re (A) 表示，是 A 的正则最大左理想的交。 00RT
例 1 k-代数 Endᶠₖ(V) 的根式化简为 0 (VIII, p. 436, 例 1).* 代数 C₀(T) 和 L¹(R).* 同样成立 00PF
例 2 设 A 为伪环，其中所有元素都是幂零的。 A 的根式等于 A，因为 A 是唯一正则左理想。 00PG
命题 6 代数 A 的部首是简式伪模的湮没子的交。特别是，它是 A 的双面理想。 00PH
命题 7 A的部首是widetildeA部首在A上的迹；它也等于反代数Aᵒ(的根式，即A)的正则最大右理想的交。如果环k没有部首，则A的部首等于widetildeA的部首。 ↩ 2 00PI
注令x和y为A的元素；我们说x是y的左逆，或者y是x的右逆，如果widetildeA,x-e是y-e的左逆，也就是说，如果我们有x+y=xy。根据命题 7 和 Jacobson 的定理 (VIII, p. 156, 定理 1)，A 的根式由 A 的元素 x 组成，使得对于每个，ux-e 在 widetildeA 中可逆u在widetildeA。由于我们有(a+… 00PJ
引理 1 设 M 为半单左 A 伪模块。设B是widetildeA模M的二共律。则M的每个A子伪模都是M的B-子模。 ↩ 1 00PK
引理 2 设M为半单左A伪模块，并令x为M的元素。存在元素a∈ A使得ax=x。 ↩ 1 00PL
定理 1（雅各布森的稠密性定理） 设 M 为半单左 A 伪模。令b为widetildeA模M的双交换矩阵的元素。令F =x₁, . . . , xₙ为M的有限子集。则存在元素a∈ A，使得对于每个i∈ [1, n]有bxᵢ=axᵢ。 00SD

App. 2. 附录 2 个超过非交换域的决定因素

命题 1 设W为V中的超平面，e为V-W中的向量。令φ为Ω(W)的元素。存在 Ω(V) 的唯一元素 ω 使得我们有 ↩ 2 00Q1
推论 1 令(e₁, . . . , eₙ)为V之基，且t元素为D^*_ab。存在 Ω(V) 的唯一元素 ω，使得 ω (e₁, . . . , eₙ) =t。 ↩ 1 00Q2
推论 2 令ω和ω '为Ω(V)的两个元素。存在D^*_ab的唯一元素t使得ω '=tω。 ↩ 2 00Q3
注假设域 D 是可交换的。到定义时，B(V) 是子集 / Vⁿ。显然，非零的交错的n的限制到B(V)-线性形式f: Vⁿ→ D属于到Ω(V)。此外，如果(e₁, . . . , eₙ)是V的基并且t是D的非零元素，则存在唯一的交错的n线性形式f使得f(e₁, . . . , eₙ) =t(III, §7, No. 4， p. 511 和 III, §7, No… 00Q4
命题 2 a) 设u为V中的自同构。 D^*_ab存在唯一元素，记为detu，称为u的行列式，这样我们有 ↩ 1 00Q5
命题 3 映射 det 是从GLₙ(D)到D^*_ab的唯一同态，满足关系 ↩ 3 00Q6
例 1 列 / 矩阵 Bᵢⱼ(λ ) 是 ε₁, . . . , εⱼ εᵢλ , εᵢ₊₁, . . . , εₙ。到VIII、p. 448的公式(5)，我们有 ↩ 2 00Q7
例 2 令σ为N中区间[1, n]的置换，签名为ε (σ )。令M(σ )为置换σ（II, §10, No. 7，p. 351）中的矩阵。矩阵 M(σ ) 中的列为 ε_σ(1), . . . , ε_σ(n)。应用公式 (4) of VIII, p. 448，因此有 ↩ 1 00Q8
例 3 假设ngeqslant 1。对于形式 Δ = diag(d₁, . . . , dₙ) 的每个可逆对角矩阵，我们有 ΔBᵢⱼ(λ)Δ⁻¹=Bᵢⱼ(dᵢλ d⁻¹ⱼ)。设 A 为 GLₙ(D) 的元素。由II, §10, No. 13、p. 362的推论1和前面的公式，GLₙ(D)中存在矩阵 P和Δ，使得A = PΔ，则P为形式Bᵢⱼ(λ )的矩阵的乘积，且Δ… ↩ 2 00Q9
例 4 令D'为域，并令u为从D到D'的同态。当经过为商时，u定义群同态u_ab从D^*_ab到D^'*_ab。令uₙ为从GLₙ(D)到GLₙ(D')的同态，即变换矩阵A= (aᵢⱼ)到矩阵(u(aᵢⱼ))。公式 00QA
例 5 我们有 GL₁(D) = D^*，命题 3 表明我们在 GL₁(D) 中有 a 的 det(a) =π (a)。 00QB
例 6 假设n= 2。令A = beginpmatrix a & b \\ c & d endpmatrix为GL₂(D)的元素。 D 的元素 a 和c 不都是零。我们将明确给出 A 的行列式。 ↩ 1 00QC
例 7 令Dᵒ与D的域相反。从Mₙ(D)到Mₙ(Dᵒ)的映射A↦ᵗA满足ᵗ(AB) =ᵗBᵗA。因而，对于GLₙ(D)中的每个矩阵 A，转置的矩阵ᵗA在Mₙ(Dᵒ)中可逆，但在Mₙ(D)中不一定可逆。由例 3可知，如果属于到GLₙ(D)，则GLₙ(D)的元素A和GLₙ(Dᵒ)的ᵗA具有相同的行列式。另一方面，即使矩阵ᵗA属于到GLₙ(D)，其在GLₙ(D)中的行列式… ↩ 1 00QD
注 1 令 V 为右向量空间超过域 D，即有限维 n。我们将对偶空间 V^*= Hom_D(V,D) 视为 D 的对偶域 Dᵒ 上的右向量空间。令 u 为 V 的自同构，并令 ᵗu 为自同构 V^* 即 u 中的转置。如果对于V的基(e₁, . . . , eₙ)，u由Mₙ(D)中的矩阵A表示，则自同构ᵗu关于Mₙ(Dᵒ)中的矩阵ᵗA表示V^* 的基 (e^*₁… 00QE
注 2 小节 1 到 4 的结果推广到 D 为局部环（VIII、p. 459、习题 2）时的情况。 00QF
定理 1 假设ngeqslant 2。 ↩ 1 00QG
注如果 D 为域且有两个元素，则 GL₂(D) 等于 SL₂(D)，并且它是阶 6 中的群，其中导出群有阶 3。如果 D 为域且三个元素，则群SL₂(D)有阶24，其导出群有阶8。假设ngeqslant 2；除前两种情况外，与SLₙ(D)不同的SLₙ(D)的每个正常子群都包含在SLₙ(D)的中心Z(SLₙ(D))中（II, §10、p. 421、习题13和14… 00QH
推论令 V 为右向量空间超过域 D，即有限维 ngeqslant 2。 00RU

App. 3. 附录 3 希尔伯特零点定理

定理 1 设A为整环，K为分数的域，L为交换K-代数。假设A-代数L是由有限多个元素生成的，并且L是域。 ↩ 1 00QM
推论 1 设K为交换域，A为由有限多个元素生成的交换K-代数，𝔪为A的最大理想。 ↩ 2 00RV
推论 2 令K为交换域，n为自然数，(Pᵢ)_i∈ I为K[X₁, . . . ,Xₙ]的元素族，Ω为K的代数闭扩张。以下条件是等价的： 00QN

App. 4. 附录 4 自同态有限秩的痕迹

引理 1 假设 A-模 F 是射影的。群同态 θ 是单射，它的像是 Homᶠ_A(E,F)。 ↩ 1 00QO
命题 1 令 E 为自由A-模。令(eᵢ)_i∈ I为E的基，并令(e^*ᵢ)_i∈ I为其对偶基。让u∈结束ᶠ_A(E)。族(⟨ u(eᵢ), e^*ᵢ⟩ )_i∈ I有有限支撑，其和等于Tr(u)。 00QP
命题 2 令 E, F 为射影 A-模。设u∈Homᶠ_A(E,F)和v∈Hom_A(F,E)。我们有关系 00QQ
推出 Let E be a projective A-module, u be an element of Endᶠ_A(E), and F be a projective A-submodule of E containing Im u. 用u诱导的F的u_F自同态表示。我们有 ↩ 1 00QR
命题 3 令 E 为射影 A-模。 00QS