Livre TS · Français

Index des énoncés

Les 1112 énoncés de Théories spectrales, par chapitre et paragraphe. Choisissez un type, filtrez par un mot, ou mettez les plus cités en tête.

Les plus cités d’abord

I. Algèbres normées

§ 1. Spectres et caractères

Lemme 1 Soit A une algèbre. Pour tout idempotent j de A, le sous-espace jAj de A est l’ensemble des x∈ A tels que xj=jx=x. C’est une sous-algèbre de A qui admet l’élément unité j. 024R
Définition 1 Soient A une algèbre unifère sur K et e son élément unité. Pour tout x∈ A, on appelle spectre de x relativement à A l’ensemble des λ ∈ K tels que λ e-x ne soit pas inversible. 024S
Remarque 1 Si A =0, on a Sp(0) =∅. 024T
Remarque 2 Si Anot=0, on a Sp(λ e) =λ pour tout λ ∈ K. 024U
Remarque 3 Pour que x∈ A soit inversible, il faut et il suffit que 0∉ Sp(x). 024V
Remarque 4 Soit R∈ K(X) une fraction rationnelle et soit x∈ A un élément qui est substituable dans R, c’est-à-dire (A, IV, p. 20) qu’il existe P et Q∈ K[X] tels que R = P/Q et Q(x) est invers… 024W
Remarque 5 Supposons que l’algèbre A soit non nulle. Soit x∈ A un élément nilpotent. Notons n un entier tel que xⁿ= 0. Le spectre de xⁿ est réduit à 0, donc il en est de même du spectre de x… 024X
Remarque 6 Soient A et B des algèbres unifères sur K et φ : A→ B un morphisme unifère. Pour tout x∈ A, on a Sp_B(φ (x))⊂ Sp_A(x). 024Y
Remarque 7 Soient A une algèbre unifère, R son radical (A, VIII, p. 150, déf. 2) et soit φ le morphisme canonique de A sur B = A/R. Si x∈ A, on a Sp_B(φ (x)) = Sp_A(x). En effet, il suffit de… 024Z
Remarque 8 Soit (Bᵢ)_i∈ I une famille d’algèbres unifères, avec Bᵢ= (Aᵢ, eᵢ) pour i∈ I. Posons A =∏ᵢAᵢ,e= (eᵢ)_i∈ I. Alors (A, e) est une algèbre unifère appelée produit des Bᵢ. Si x= (xᵢ)_i∈… 0250
Exemple 1 Soit X un ensemble et soit A = K^X l’algèbre des fonctions à valeurs dans K définies sur X. Le spectre d’un élément f de A est l’ensemble des valeurs de f. 0251
Exemple 2 Soit A une algèbre unifère de rang fini sur K. Pour que x∈ A soit inversible, il faut et il suffit que l’application linéaire y↦ xy de A dans A soit de déterminant non nul. Il en r… 0252
Définition 2 Soient A une algèbre unifère sur K et x∈ A. Pour tout λ ∈ K Sp(x), on pose 0253
Remarque 1 Soit (A,1) une algèbre unifère. Si x∈ A, on a 0254
Remarque 2 Il résulte de la remarque 1 que, si B est une algèbre sur K et si x∈ B, on a : 0255
Remarque 3 Si x appartient au radical de A (A, VIII, p. 430, déf. 3), on a Sp'_A(x) =0. Ceci résulte de la remarque 7 de I, p. 3. 0256
Proposition 1 Soient A une algèbre et x, y∈ A. On a Sp'(xy) = Sp'(yx). 0257
Définition 3 On appelle sous-algèbre pleine de A une sous-algèbre unifère B telle que tout élément de B qui est inversible dans A soit inversible dans B. 0258
Lemme 2 Soit (x_λ)_λ∈Λ une famille d’éléments deux à deux permutables de A. La sous-algèbre pleine engendrée par (x_λ) est l’ensemble des éléments de la forme R((x_λ)), où R∈ K((X_λ)) parc… 0259
Définition 4 Soit A une algèbre unifère commutative sur K. On appelle caractère unifère un morphisme unifère de A dans K. 025A
Définition 5 Soit A une algèbre unifère commutative sur K. Pour tout x∈ A, on note G_A(x), ou simplement G(x), l’application χ ↦ χ (x) de X(A) dans K. On l’appelle la transformée de Gelfand de… 025B
Définition 6 Soit A une algèbre commutative sur K. On appelle caractère de A un morphisme d’algèbres de A dans K. 025C
Lemme 3 L’application χ ↦ Ker(χ ) est une bijection de X(A) sur l’ensemble des idéaux réguliers de codimension 1 de A. 025D
Exemple L’application nulle de A dans L(E) est une représentation, dite triviale, de A. Elle est irréductible si seulement si E est de dimension 1. 025E
Lemme 4 Soit π une représentation irréductible, non triviale, de A dans E. Pour tout élément ξ non nul de E, on a π (A)ξ = E. 025F
Définition 7 Soit A une algèbre sur K. On appelle idéal primitif de A le noyau d’une représentation irréductible non triviale de A. 025G
Lemme 5 Soit π une représentation irréductible de A dans un espace vectoriel E sur K. 025H
Lemme 6 Soient I₁ et I₂ des idéaux bilatères de A, I un idéal primitif de A. Si I contient I₁I₂(en particulier, si I contient I₁∩ I₂), alors I contient I₁ ou I₂. 025I
Lemme 7 Supposons que A admette un élément unité. Soit I un idéal bilatère maximal de A. Alors I est un idéal primitif. 025J
Proposition 2 Soient I₁ et I₂ des points distincts de J(A). Alors l’un de ces deux points est non adhérent à l’autre. 025K
Proposition 3 Soit I∈ J(A). Pour que I soit fermé dans J(A), il faut et il suffit que I soit un idéal primitif maximal. 025L
Proposition 4 Si A possède un élément unité, les espaces J(A) et widehatA sont quasi-compacts. 025M
Proposition 5 La topologie induite sur X(A) par celle de widehatA est moins fine que la topologie de X(A). 025N

§ 2. Algèbres normées

Définition 1 Soit A une algèbre normée. Pour a∈ A, notons γ ₐ et δ ₐ les applications x↦ ax, et x↦ xa de A dans A. L’application γ :a↦ γ ₐ est une représentation de A dans A, dite représentatio… 025W
Lemme 1 Soit A une algèbre normée. La représentation régulière gauche de A et la représentation régulière droite de A sont continues de norme leqslant 1. 025X
Lemme 2 (Lemme de Fekete) Soit (aₙ)_ngeqslant 1 une suite de nombres réels. Supposons que 025Y
Proposition 1 Soit A une algèbre normée. Pour tout x∈ A, la suite (|xⁿ|^1/n)_ngeqslant 1 est convergente et sa limite varrho (x) est égale à inf_ngeqslant 1|xⁿ|^1/n. De plus, pour toute norme x↦… 025Z
Définition 2 Pour tout élément x d’une algèbre normée A, le nombre réel 0260
Définition 3 Un élément x de A est quasi-nilpotent si varrho (x) = 0. 0261
Remarque 1 Soit A une algèbre normée. Si un élément x∈ A vérifie varrho (x) =|x|, on a |xⁿ|=|x|ⁿ pour tout n∈ N, d’après (3) et (4). 0262
Remarque 2 La fonction x↦ varrho (x) sur A, étant l’enveloppe inférieure des fonctions continues x↦ |xⁿ|^1/n pour ngeqslant 1, est semi-continue supérieurement (TG, IV, p. 31, cor.), mais en… 0263
Proposition 2 Soient A une algèbre de Banach et x un élément de A. La série ∑ₙ₌₁^∞λⁿxⁿ, considérée comme série entière en λ, a pour rayon de convergence varrho (x)⁻¹. Si A est unifère et si varr… 0264
Corollaire 1 Si A est une algèbre de Banach unifère, alors le groupe des éléments inversibles de A contient la boule ouverte de centre 1 et de rayon 1. 0265
Corollaire 2 Soient A une algèbre de Banach et I un idéal à gauche (resp. à droite) maximal régulier de A. Alors I est fermé. 0266
Corollaire 3 Le radical d’une algèbre de Banach est fermé. 0267
Proposition 3 Soit A une algèbre de Banach unifère. 0268
Définition 4 Soit A une algèbre normée, soit x un élément de A. Notons γ ₓ et δ ₓ les applications y↦ xy et y↦ yx de A dans A. On dit que x est un diviseur de zéro topologique à gauche (resp. à… 0269
Remarque D’après TG, IX, p. 36, cor. 2,x est un diviseur de zéro topologique à gauche (resp. à droite) si et seulement si il existe une suite (zₙ) dans A telle que |zₙ|= 1 et telle que xzₙ… 026A
Proposition 4 Soit A une algèbre de Banach unifère. Soit x un élément de A qui n’est pas inversible à gauche. S’il existe une suite (xₙ) d’éléments inversibles à gauche de A qui converge vers x… 026B
Proposition 5 Soit A une algèbre de Banach unifère et soit B une sous-algèbre pleine de A. Alors B est une sous-algèbre pleine de A. 026C
Théorème 1 Soient A une algèbre de Banach unifère et x∈ A. 026D
Remarque 1 Le spectre d’un élément dans une algèbre de Banach unifère peut être une partie compacte non vide F quelconque de C(cf. exemple 3 de I, p. 17 ; pour A =C(F;C) et f∈ A l’inclusion c… 026E
Remarque 2 Soit A une algèbre de Banach unifère et soit x∈ A. D’après le théorème 1 de I, p. 24,C- Sp_A(x) est une partie ouverte de C, donc est localement connexe. Donc les composantes conne… 026F
Corollaire 1 Soit A une algèbre normée unifère non nulle. Pour tout x∈ A, le spectre Sp_A(x) est non vide. 026G
Corollaire 2 (Théorème de Gelfand-Mazur) Soit A une algèbre normée sur C. Si A est un corps, alors A =C· 1. 026H
Corollaire 3 Soient A une algèbre de Banach unifère et x un élément inversible de A tel que |x|=|x⁻¹|= 1. Alors Sp(x)⊂ U. 026I
Corollaire 4 Soient E un espace de Banach complexe, L(E) l’algèbre de Banach des endomorphismes continus de E et A une sous-algèbre non nulle de L(E) telle que E soit un A-pseudomodule (A, II… 026J
Corollaire 5 Soient A une algèbre de Banach et x∈ A. 026K
Lemme 3 Soient X₁ et X₂ des sous-ensembles compacts de C. Si X₂ est contenu dans X₁ et si la frontière de X₁ dans C est contenue dans X₂, alors X₁ est la réunion de X₂ et de certaines comp… 026L
Proposition 6 Soient A une algèbre de Banach unifère et B une sous-algèbre unifère fermée de A. Pour tout x∈ B, on a Sp_B(x)⊃ Sp_A(x), et la frontière de Sp_A(x) dans C contient la frontière de… 026M
Corollaire L’ensemble Sp_B(x) est la réunion de Sp_A(x) et de certaines composantes connexes bornées de C- Sp_A(x). 026N

§ 3. Algèbres de Banach commutatives

Théorème 1 Soit A une algèbre de Banach et soit χ : A→ C un morphisme d’algèbres (cf. I, p. 9). Alors χ est continu, de norme au plus 1. Si A est unifère et si χ est un morphisme unifère, alo… 027P
Remarque Soit A une algèbre de Banach commutative. Il découle de ce théorème que la topologie de la convergence simple sur X'(A) coïncide avec la restriction à X'(A) de la topologie faible… 027Q
Corollaire Soit A une algèbre de Banach commutative. L’espace X'(A) est compact. L’espace X(A) est localement compact, et est compact si A admet un élément unité. 027R
Théorème 2 Soit A une algèbre de Banach commutative. L’application χ ↦ Ker(χ ) est une bijection de X(A) sur l’ensemble J(A) des idéaux maximaux réguliers de A. 027S
Proposition 1 Pour toute partie fermée Φ de X, soit I_Φ l’ensemble des f∈ C₀(X) nulles sur Φ. Alors Φ ↦ I_Φ est une bijection de l’ensemble des parties fermées de X sur l’ensemble des idéaux fer… 027T
Corollaire 1 Pour tout x∈ X, soit Iₓ l’ensemble des f∈ C₀(X) nulles en x. Alors x↦ Iₓ est une bijection de X sur l’ensemble des idéaux fermés maximaux de C₀(X). Ces idéaux sont réguliers. 027U
Corollaire 2 L’application x↦ evₓ est un homéomorphisme de X' sur X'(C₀(X)), et sa restriction à X est un homémorphisme de X sur X(C₀(X)). De plus, la topologie faible et la topologie de Jacobs… 027V
Corollaire 3 Supposons X compact. Alors l’application x↦ evₓ est un homéomorphisme de X sur X(C(X)). La topologie faible et la topologie de Jacobson coïncident sur X(C(X)). 027W
Définition 1 Une application partielle propre de X dans Y est une correspondance f= (Γ ,X,Y) (E, II, p. 10, déf. 2) entre X et Y telle que 027X
Lemme 1 Pour toute application partielle propre f de X dans Y, de domaine de définition U, notons widetildef l’application de X' dans Y' définie par widetildef(x) =f(x) si x∈ U et widetild… 027Y
Proposition 2 Soient A et B des algèbres de Banach complexes commutatives. Pour tout morphisme d’algèbres π : A→ B, l’application X'(π ) est une application partielle propre de X(B) dans X(A). 027Z
Proposition 3 a) Pour toute application partielle propre φ de X dans Y, l’application f↦ f∘ φ de C(Y') dans C(X') induit un morphisme d’algèbres φ^* de C₀(Y) dans C₀(X) ; 0280
Proposition 4 Supposons que X et Y sont compacts. Identifions l’espace X (resp. l’espace Y) à X(C(X)) (resp. X(C(Y))) (corollaire 3 de I, p. 33). 0281
Remarque Dans le langage de la théorie des catégories, les résultats qui précèdent s’interprètent de la manière suivante. Soit G la catégorie dont les objets sont les espaces topologiques l… 0282
Exemple 1 Soit X un espace topologique localement compact et considérons l’algèbre de Banach commutative C₀(X) (exemple 3 de I, p. 17 et numéro 2 de I, p. 31). D’après le cor. 1 de I, p. 32… 0283
Exemple 2 Soit ngeqslant 0 un entier. Soit Aₙ l’algèbre des fonctions f: [0,1]→ K admettant des dérivées continues dans [0,1] jusqu’à l’ordre n. Munie de la norme 0284
Exemple 3 Soit Δ le disque des nombres complexes z vérifiant |z|leqslant 1 et soit A l’algèbre de Banach complexe des fonctions continues sur Δ analytiques dans l’intérieur de Δ, munie de la… 0285
Exemple 4 Considérons l’algèbre de Banach complexe A des séries de Fourier absolument convergentes (exemple 8 de I, p. 19). Pour tout élément u du cercle unité U, l’application f↦ f(u) est u… 0286
Exemple 5 Soit Δ le disque unité des nombres complexes z tels que |z|leqslant 1. Sa frontière dans C est U. Soit A l’algèbre de Banach des fonctions complexes f sur U telles qu’il existe une… 0287
Proposition 5 Soit A une algèbre de Banach commutative. Pour tout x∈ A, la fonction G(x) appartient à l’algèbre de Banach commutative C₀(X(A)) des fonctions continues sur X(A) tendant vers 0 à l… 0288
Proposition 6 Soit A une algèbre de Banach commutative et soit x∈ A. 0289
Exemple Considérons l’algèbre de Banach A des séries de Fourier absolument convergentes (exemple 4). La prop. 6, b) implique que si φ est une fonction sur le cercle unité U admettant une s… 028A
Proposition 7 Soit A une algèbre de Banach commutative. 028B
Corollaire Soient A une algèbre de Banach, x et y des éléments permutables de A. 028C
Proposition 8 Soit A une algèbre de Banach commutative. Les quatre ensembles suivants sont égaux: 028D
Remarque 1 En général, l’image de la transformation de Gelfand n’est ni fermée dans C₀(X(A)), ni dense dans C₀(X(A)) (exerc. 7 de I, p. 193). 028E
Remarque 2 L’image de la transformation de Gelfand sépare les points de X(A), puisque si χ₁not=χ₂ sont des éléments de X(A), il existe x∈ A tel que χ₁(x)not=χ₂(x). 028F
Remarque 3 Si χ ∈ X(A), il existe un élément de l’image de la transformation de Gelfand qui ne s’annule pas en χ. 028G
Remarque 4 Si A possède un élément unité, l’image de la transformation de Gelfand est une sous-algèbre pleine de l’algèbre des fonctions continues sur X(A) (prop. 6, b)). 028H
Lemme 2 Soit A une algèbre de Banach commutative. Soit M une partie de X(A). Alors M est fermée pour la topologie de Jacobson si et seulement si, pour tout caractère χ ∈ X(A) M, il existe… 028I
Proposition 9 Soit A une algèbre de Banach, soit B une algèbre de Banach commutative et sans radical, Tout morphisme de l’algèbre sous-jacente à A dans l’algèbre sous-jacente à B est continu. 028J
Corollaire Sur une algèbre complexe commutative sans radical, deux normes définissant des structures d’algèbre de Banach sont équivalentes. 028K
Proposition 10 Soient A et B des algèbres de Banach unifères commutatives, h: A→ B un morphisme d’algèbres unifère, non nécessairement continu. Si X(h) est surjectif, alors h(A) est une sous-algè… 028L
Proposition 11 Soient A et B des algèbres de Banach unifères commutatives, soit a un élément de A et soit h: A→ B un morphisme injectif unifère (non nécessairement continu). On suppose que la sou… 028M
Définition 2 L’image de l’application X(h) est appelée le spectre simultané de x, et notée Sp^Λ_A(x) ou Sp^Λ(x). 028N
Exemple Soit K ⊂ C^Λ une partie compacte. Soit z= (z_λ)_λ∈Λ la famille dans C(K) des restrictions à K des fonctions coordonnées de C^Λ. Alors le spectre simultané Sp^Λ_C(K)(z) est égal à K… 028O
Proposition 12 Soient Λ un ensemble et A une algèbre de Banach unifère commutative. Soit x= (x_λ)_λ∈Λ une famille d’éléments de A. 028P
Définition 3 Soient Λ un ensemble et V une partie de C^Λ. On dit que V est polynomialement convexe si V est l’ensemble des points (c_λ)_λ∈Λ de C^Λ tel que 028Q
Lemme 3 Soit Λ un ensemble. Une partie V de C^Λ est polynomialement convexe si et seulement s’il existe une famille (Pᵢ)_i∈ I d’éléments de C[(X_λ)_λ∈Λ] et une famille (Mᵢ)_i∈ I d’éléments… 028R
Lemme 4 Soit A une algèbre de Banach commutative unifère. Soient Λ un ensemble et x= (x_λ)_λ∈Λ une famille d’éléments de A. Si la sous-algèbre unifère engendrée par la famille x est dense… 028S
Définition 4 Soient Λ un ensemble et V une partie de C^Λ. L’enveloppe polynomialement convexe de V est le plus petit sous-ensemble polynomialement convexe de C^Λ contenant V. 028T
Exemple Soient Λ un ensemble fini et V⊂ C^Λ une partie convexe compacte. Alors V est polynomialement convexe. En effet, soit W l’enveloppe polynomialement convexe de V. Démontrons que W⊂ V… 028U
Lemme 5 Soit K une partie compacte de C. On note widehatK la réunion de K et des composantes connexes de C- K qui sont relativement compactes. Alors l’ensemble widehatK est compact. 028V
Proposition 13 Soit ngeqslant 1 un entier. Soit K⊂ Cⁿ une partie fermée et V son enveloppe polynomialement convexe. 028W
Proposition 14 Soit Λ un ensemble. Soient A une algèbre de Banach unifère commutative, x= (x_λ)_λ∈Λ une famille d’éléments de A et A' la sous-algèbre de Banach unifère engendrée par x. Alors le s… 028X
Proposition 15 Soit Λ un ensemble. Soit K une partie compacte polynomialement convexe de C^Λ. Soit A₀ l’ensemble des restrictions à K des fonctions polynômes sur C^Λ, et soit A l’adhérence de A₀… 028Y
Lemme 6 Soient K⊂ C^Λ une partie compacte polynomialement convexe et U un voisinage de K. Il existe une partie finie Λ₀ de Λ telle que, pour toute partie Λ ' de Λ contenant Λ₀, l’ensemble… 028Z
Lemme 7 Soient ngeqslant 1 un entier et K une partie compacte polynomialement convexe de Cⁿ. Alors K admet un système fondamental de voisinages compacts polynomialement convexes. 0290

§ 4. Calcul fonctionnel holomorphe

Remarque Si le radical de l’algèbre A est nul, on peut omettre la condition de continuité dans (CF1) (cf. prop. 9 de I, p. 40). 029U
Théorème 1 Soit A une algèbre de Banach unifère commutative complexe. Il existe un unique calcul fonctionnel holomorphe sur A. 029V
Définition 1 Soit a= (a₁, . . . , aₙ)∈ Aⁿ, soit h:Cⁿ→ C une application et soient u₁, . . . , uₙ des applications de Cⁿ dans A. On dit que la suite (h, u₁, . . . , uₙ) est adaptée à a si 029W
Lemme 1 Soient U un ouvert de Cⁿ et K un sous-ensemble compact de U. Il existe une application indéfiniment dérivable h de Cⁿ dans C, égale à 1 sur K et à support compact inclus dans U. 029X
Exemple On suppose que n= 1. Soit a∈ A. Pour tout voisinage ouvert U de Sp(a), il existe une application indéfiniment dérivable h de C dans C à support compact contenu dans U, égale à 1 au… 029Y
Lemme 2 Soit a= (a₁, . . . , aₙ)∈ Aⁿ. Il existe des applications indéfiniment dérivables v₁, . . . , vₙ de Cⁿ- Spⁿ(a) dans A telles que 029Z
Lemme 3 Soit a= (a₁, . . . , aₙ)∈ Aⁿ. Soit h une application de Cⁿ dans C, indéfiniment dérivable, égale à 1 au voisinage de Spⁿ(a) et à support compact. Il existe des applications indéfin… 02A0
Lemme 4 Soit a∈ Aⁿ. Soient (h, u₁, . . . , uₙ) une suite adaptée à a et ω la forme différentielle associée. 02A1
Lemme 5 Soit a∈ Aⁿ, soit (h, u₁, . . . , uₙ) une suite adaptée à a, et soit ω la forme différentielle associée. 02A2
Lemme 6 Soit a∈ Aⁿ. Toutes les suites adaptées à a sont liées. 02A3
Lemme 7 Pour toute fonction f∈ O(U; A), l’intégrale ∫_Uf ω est un élément de A qui ne dépend que de a et du germe de f au voisinage de Spⁿ(a). Il vérifie l’inégalité 02A4
Proposition 1 Soit a un élément de A, soit U un voisinage ouvert de Sp(a), et soit f∈ O(U; A). Soit V un voisinage compact de Sp(a) contenu dans U et tel que V soit une pièce de C. 02A5
Corollaire Soit a∈ A. On a Θₐ(1) = 1. 02A6
Lemme 8 Soit U un ouvert de Cⁿ. Soit ω₁ une forme différentielle continue de degré n dans U à support compact et à valeurs dans A (resp. ω₂ une forme différentielle continue de degré 2 dan… 02A7
Lemme 9 Soit a= (a₁, . . . , aₙ)∈ Aⁿ. Soient p∈ N et a' = (aₙ₊₁, . . . , aₙ₊ₚ)∈ Aᵖ. Alors on a Θ_(a,a')∘ π_n,n+p^*= Θ_a. En particulier, on a Θ_a(1) = 1. 02A8
Lemme 10 Soit a∈ Aⁿ. Soient g une fonction polynomiale sur Cⁿ à coefficients dans A et f∈ O(Spⁿ(a); A). On a Θ_a(gf) =g(a)Θ_a(f). En particulier, on a Θ_a(g) =g(a). 02A9
Proposition 2 Soient varrho₁, . . . , varrhoₙ des réels >0 et soit U⊂ Cⁿ le polydisque produit des disques ouverts de centre 0 et de rayon varrhoᵢ. Soit 02AA
Corollaire Supposons A non nulle. Soit a∈ Cⁿ⊂ Aⁿ. On a Spⁿ_A(a) =a. Pour tout germe f∈ O(a; A), on a Θ_a(f) =f(a). 02AB
Proposition 3 Soient B une algèbre de Banach unifère commutative et φ un morphisme unifère continu de A dans B. Soit a= (a₁, . . . , aₙ)∈ Aⁿ. Posons b= (φ (a₁), . . . , φ (aₙ)), de sorte que Spⁿ… 02AC
Corollaire 1 Soient χ ∈ X(A) et a∈ Aⁿ. Pour tout germe f∈ O(Spⁿ(a)), on a χ (Θ_a(f)) =f(χ (a₁), . . . , χ (aₙ)). 02AD
Remarque Supposons que l’algèbre A soit sans radical. Soit a= (a₁, . . . , aₙ)∈ Aⁿ. D’après la prop. 8 de I, p. 38, l’application Θᵁ_a est l’unique application φ de O(U) dans A telle que χ… 02AE
Corollaire 2 Soit p un entier geqslant Pour toute famille (f₁, . . . , fₚ) d’éléments de O(Spⁿ(a)), on a 02AF
Exemple Soit A l’algèbre de Banach complexe des fonctions sur le cercle unité à série de Fourier absolument convergente (I, p. 19, exemple 8). Soit φ ∈ A. Soit f un germe de fonction holom… 02AG
Proposition 4 Soit L une partie compacte polynomialement convexe de Cⁿ et soit U un voisinage ouvert de L. Pour toute fonction f∈ O(U; A), il existe une suite de fonctions polynomiales sur Cⁿ à… 02AH
Théorème 2 (Oka–Weil) Soient K une partie compacte polynomialement convexe de Cⁿ et P l’ensemble des germes au voisinage de K de fonctions polynomiales sur Cⁿ à coefficients dans A. Alors P est dense da… 02AI
Corollaire 1 Soit U un voisinage ouvert de K. Soient u₁ et u₂ des applications continues de O(U; A) dans un espace topologique X se factorisant par O(K; A). Alors u₁=u₂ si et seulement si u₁ et… 02AJ
Corollaire 2 Soit E un espace de Banach. Soit K une partie compacte polynomialement convexe de Cⁿ. Soit P l’ensemble des germes au voisinage de K de fonctions polynomiales sur Cⁿ à valeurs dans… 02AK
Théorème 3 (Runge) Soient K une partie compacte de C, et Q l’ensemble des germes de fonctions rationnelles holomorphes au voisinage de K. Alors Q est dense dans O(K). 02AL
Définition 2 Soient ngeqslant 1 un entier et a∈ Aⁿ. Soit U un voisinage ouvert de Spⁿ(a). On dit qu’une famille a' est un enveloppement de (a,U) si a'∈ Cⁿ⁺ᵖ prolonge a et si U× Cᵖ contient l’en… 02AM
Lemme 11 Soit ngeqslant 1 un entier. Soit a∈ Aⁿ. Pour tout voisinage ouvert U de Spⁿ(a), il existe un enveloppement de (a,U). 02AN
Proposition 5 La donnée des applications Θ_a, pour ngeqslant 1 et a∈ Aⁿ, est un calcul fonctionnel holomorphe sur A, c’est-à-dire que les conditions (CF1), (CF2) et (CF3) de I, p. 51 sont vérifi… 02AO
Proposition 6 Soit a∈ Aⁿ. On suppose Spⁿ(a) polynomialement convexe. Soient z₁, . . . , zₙ les germes au voisinage de Spⁿ(a) des fonctions coordonnées sur Cⁿ. Alors l’application Θ_a est l’uniqu… 02AP
Théorème 4 Soit A une algèbre de Banach unifère commutative complexe, soient ngeqslant 1 un entier et a= (a₁, . . . , aₙ)∈ Aⁿ. Soit f= (f₁, . . . , fₚ) où f₁, . . . , fₚ sont des éléments de… 02AQ
Lemme 12 Soit K l’enveloppe polynomialement convexe de Spᵖ(f(a)). On a g(f(a)) = (g∘ f)(a) pour tout germe g∈ O(K; A). 02AR
Théorème 5 Soit A une algèbre de Banach unifère, non nécessairement commutative. Soient a un élément de A et z le germe de la fonction identique de C au voisinage de Sp_A(a). Il existe un uni… 02AS
Proposition 7 Soient A et B des algèbres de Banach unifères et φ un morphisme unifère continu de A dans B. Soit a∈ A. Alors Sp_B(φ (a))⊂ Sp_A(a) et on a φ (f(a)) = f(φ (a)) pour tout f∈ O(Sp_A(a… 02AT
Proposition 8 Soient A une algèbre de Banach unifère et a∈ A. Soit f∈ O(Sp(a)). On a f(Sp_A(a)) = Sp_A(f(a)). De plus, pour tout g∈ O(Sp_A(f(a))), on a g∘ f∈ O(Sp_A(a)) et g(f(a)) = (g∘ f)(a). 02AU
Proposition 9 Soient A une algèbre de Banach unifère et a∈ A. Soient U un voisinage ouvert de Sp_A(a) et f∈ O(U). Soit de plus V un voisinage compact de Sp_A(a) contenu dans U tel que V est une… 02AV
Proposition 10 Soient A une algèbre de Banach unifère et U une partie ouverte de C. 02AW
Proposition 11 Soient A une algèbre de Banach unifère, a∈ A et U un voisinage ouvert de Sp_A(a). Notons δ la distance de Sp_A(a) à C- U. Soit f∈ O(U). 02AX
Proposition 12 Soit A une algèbre de Banach unifère commutative. L’image de l’application exponentielle est la composante neutre du groupe G des éléments inversibles de A. 02AY
Proposition 13 Soit A une algèbre de Banach unifère commutative. Soient U₁ et U₂ des ouverts de X(A) formant une partition de X(A). Alors il existe un unique idempotent j de A tel que la transfor… 02AZ
Corollaire Soit A une algèbre de Banach unifère commutative. Les assertions suivantes sont équivalentes : 02B0
Proposition 14 Soit A une algèbre de Banach commutative sans radical. Pour que A admette un élément unité, il faut et il suffit que X(A) soit compact. 02B1
Proposition 15 Soit A une algèbre de Banach commutative, soient I₁ un idéal de A et F₁ l’ensemble des χ ∈ X(A) qui sont nuls sur I₁. Soit F₂ une partie de X(A) disjointe de F₁, fermée pour la top… 02B2
Corollaire Soit A une algèbre de Banach commutative. Soient F₁ et F₂ deux parties disjointes de X(A), fermées pour la topologie de Jacobson. On suppose F₂ faiblement compacte. Alors il existe… 02B3
Proposition 16 On conserve les notations précédentes. Soit (Hᵢ)_1leqslant ileqslant n une partition de Sp_A(x) en éléments de Π. 02B4
Proposition 17 Soit μ un point isolé de Sp_A(x). Alors 02B5
Corollaire 1 Soient μ un point isolé de Sp_A(x) et p un entier strictement positif. Pour que μ soit un pôle d’ordre p de la résolvante de x(cf. VAR, R1, p. 30, 3.3.9), il faut et il suffit que… 02B6
Corollaire 2 Soit μ un point isolé de Sp_A(x). Soit Γ le bord orienté d’un disque ouvert Δ de centre μ tel que 02B7
Proposition 18 L’espace vectoriel topologique complexe E_(C) est normable (resp. complet) si et seulement si E est normable (resp. complet). 02B8
Remarque Soient E et F des espaces vectoriels topologiques normables sur K. L’espace vectoriel L(E; F) des applications linéaires continues de E dans F, muni de la topologie de la convergen… 02B9
Proposition 19 Notons z le germe dans O(S) de l’application identique de C. Alors O_R(S) est la plus petite sous-R-algèbre fermée pleine de O(S) contenant z. 02BA
Lemme Pour tout f∈ O(Sp_A_(C)(x)), on a f^*(1⊗ x) =overlinef(1 ⊗ x). 02BB
Proposition 20 Pour tout f∈ O_R(Sp_A_(C)(x)), il existe un unique élément f(x) de A tel que f(1⊗ x) = 1⊗ f(x) dans A_(C). L’application f↦ f(x) de O_R(Sp_A_(C)(x)) dans A est l’unique homomorphis… 02BC

§ 5. Algèbres de Banach commutatives régulières

Proposition 1 Soit A une algèbre de Banach commutative. Les conditions suivantes sont équivalentes : 02BV
Définition 1 Soit A une algèbre de Banach commutative. Elle est dite régulière si elle vérifie les conditions équivalentes de la proposition 1. 02BW
Remarque Soit widetildeA l’algèbre de Banach déduite de A par adjonction d’un élément unité e. La condition (ii) de la prop. 1 montre que si widetildeA est régulière, alors A est régulière… 02BX
Exemple Reprenons les exemples du nᵒ2 de I, p. 17. 02BY
Proposition 2 Soit A une algèbre de Banach unifère commutative régulière. Soient ngeqslant 1 un entier et (U₁, . . . ,Uₙ) un recouvrement ouvert de X(A). Il existe des éléments x₁, . . . , xₙ de… 02BZ
Corollaire 1 Soit A une algèbre de Banach unifère commutative régulière, soit I un idéal de A et soit f:X(A)→ C une fonction continue. On suppose que, pour tout χ ∈ X(A), il existe un élément y… 02C0
Corollaire 2 Soient A une algèbre de Banach commutative régulière, I un idéal de A et f:X'(A)→ C une fonction continue. On suppose que, pour tout χ ∈ X'(A), il existe un élément y_χ∈ I tel que… 02C1
Proposition 3 Soient A une algèbre de Banach commutative régulière, I un idéal de A et K une partie de X(A) compacte et disjointe de V(I). Il existe un élément x∈ I tel que G(x) = 1 pour tout x… 02C2
Proposition 4 Soit A une algèbre de Banach commutative régulière sans radical. Soit F une partie fermée de X(A). L’ensemble des idéaux I de A tels que V(I) = F, ordonné par l’inclusion, admet un… 02C3
Corollaire 1 Soit A une algèbre de Banach commutative régulière sans radical. Soit J l’ensemble des x∈ A tels que G(x) soit à support compact. On suppose que J = A. Alors tout idéal fermé de A… 02C4
Corollaire 2 Soit A une algèbre de Banach commutative régulière sans radical. Soient x, y∈ A. Si le support de G(x) est compact et contenu dans l’ensemble des caractères χ tels que G(y)(χ )not=… 02C5
Définition 2 Soit A une algèbre de Banach commutative. 02C6
Remarque Soit A une algèbre de Banach commutative. 02C7
Lemme 1 Soit A une algèbre de Banach commutative régulière sans radical, vérifiant la condition de Ditkin. Soient I un idéal fermé de A et x un élément de Υ(V(I)). Soit K l’ensemble des χ… 02C8
Lemme 2 Soit X un espace topologique. Soient F et D des sous-espaces de X disjoints tels que F soit fermé et D discret. Si F ne contient pas de sous-espace parfait non vide, il en est de m… 02C9
Proposition 5 Soit A une algèbre de Banach commutative régulière sans radical, vérifiant la condition de Ditkin. Soit I un idéal fermé de A tel que la frontière F de V(I) ne contienne aucun ense… 02CA

§ 6. Algèbres stellaires

Lemme 1 Soient E un espace vectoriel complexe et u une involution semi-linéaire sur E. Soit x∈ E ;posons 02CI
Proposition 1 Soient E₁ et E₂ des espaces vectoriels complexes, et soient u₁ et u₂ des involutions semi-linéaires sur E₁ et E₂ respectivement. Soit f une application linéaire de E₁ dans E₂. Alor… 02CJ
Définition 1 Soit A une algèbre sur C. On appelle involution dans A une application x↦ x^* de A dans A telle que : 02CK
Lemme 2 Soient A une algèbre involutive et x∈ A. Les éléments 02CL
Remarque Soient A une algèbre involutive et B une sous-algèbre involutive commutative maximale de A. Alors B est une sous-algèbre commutative maximale. En particulier, si A est unifère, alo… 02CM
Lemme 3 Soit A une algèbre involutive commutative. La transformation de Gelfand de A dans C₀(X(A)) est un morphisme d’algèbres involutives si et seulement si tout caractère de A est hermit… 02CN
Exemple 1 Soit A l’algèbre des fonctions à valeurs complexes sur un ensemble X. L’application f↦ overlinef est une involution dans A. La sous-algèbre des fonctions bornées dans X est une sou… 02CO
Exemple 2 Soient X un espace topologique localement compact et μ une mesure positive sur X. L’application f↦ overlinef est une involution sur l’algèbre L^∞(X, μ) ; elle induit par passage au… 02CP
Exemple 3 Soit E un espace hilbertien complexe. Sur l’algèbre de Banach L(E), l’application x↦ x^* (EVT, V, p. 37, prop. 1) est une involution. 02CQ
Exemple 4 Soit G un groupe localement compact. Soit M¹(G) l’algèbre de Banach des mesures bornées complexes sur G (exemple 6 de I, p. 19). 02CR
Exemple 5 Soit U une partie ouverte de C stable par la conjugaison complexe. Considérons l’algèbre O(U) des fonctions holomorphes à valeurs complexes sur U. Pour toute fonction f∈ O(U), l’ap… 02CS
Définition 2 On appelle algèbre normée involutive une algèbre normée A munie d’une involution x↦ x^* telle que |x^*|=|x| pour tout x. Si A est une algèbre de Banach, on dit que A est une algèbr… 02CT
Exemple 1 Soit X un espace topologique localement compact. L’algèbre de Banach C_b(X) des fonctions complexes continues et bornées sur X, munie de la norme |f| = sup_x∈ X|f(x)| et de l’invol… 02CU
Exemple 2 Soient X un espace topologique localement compact et μ une mesure positive sur X. L’algèbre involutive L^∞(X, μ) (exemple 2 de I, p. 99) est une algèbre de Banach involutive, puisq… 02CV
Exemple 3 L’algèbre involutive L(E) des endomorphismes continus d’un espace hilbertien complexe E (I, p. 99, exemple 3), munie de la norme 02CW
Exemple 4 L’algèbre involutive M¹(G) des mesures bornées sur un groupe localement compact (I, p. 99, exemple 4), munie de la norme usuelle (exemple 6 de I, p. 19), est une algèbre de Banach… 02CX
Exemple 5 Soit (Aᵢ) une famille d’algèbres normées involutives. Soit A l’algèbre normée produit des Aᵢ (nᵒ1 de I, p. 15). L’algèbre A, munie de l’involution (xᵢ)^*= (x^*ᵢ), est une algèbre n… 02CY
Exemple 6 Soit A une algèbre normée involutive et soit widetildeA l’algèbre normée déduite de A par adjonction d’un élément unité. Munie de l’involution définie au nᵒ2, l’algèbre widetildeA… 02CZ
Lemme 4 Soit A une algèbre normée involutive. Pour toute forme linéaire f continue sur A, on a |f^*|=|f|. Si de plus f est hermitienne, alors |f|=|f|Aₕ|. 02D0
Lemme 5 Soit A une algèbre de Banach involutive. 02D1
Définition 3 On appelle algèbre stellaire une algèbre de Banach involutive A telle que |x|²=|x^*x| pour tout x∈ A. 02D2
Exemple 1 L’algèbre de Banach involutive des endomorphismes continus d’un espace hilbertien complexe (exemple 3 de I, p. 100) est une algèbre stellaire (EVT, V, p. 39, prop. 2). 02D3
Exemple 2 Soit X un espace topologique localement compact. L’algèbre de Banach involutive C_b(X) des fonctions continues et bornées à valeurs complexes sur X (exemple 1 de I, p. 100) est une… 02D4
Exemple 3 Soient X un espace topologique compact et x₀∈ X un élément fixé de X. La sous-algèbre C'(X) de C(X) des fonctions continues f: X→ C telles que f(x₀) = 0 est une algèbre stellaire. 02D5
Exemple 4 Soient X un espace topologique séparé et μ une mesure positive sur X. L’algèbre de Banach involutive L^∞(X, μ) est une algèbre stellaire commutative unifère. 02D6
Exemple 5 Soit (Aᵢ) une famille d’algèbres stellaires. L’algèbre de Banach involutive A produit des Aᵢ (exemple 5 de I, p. 101) est une algèbre stellaire, appelée algèbre stellaire produit d… 02D7
Exemple 6 Soit A une algèbre stellaire. Si B est une sous-algèbre involutive fermée de A, alors B est une algèbre stellaire. On verra (V, à paraître) que toute algèbre stellaire est isomorph… 02D8
Exemple 7 Soit A une algèbre stellaire. Si M⊂ A est une partie quelconque, alors la sous-algèbre fermée involutive de A engendrée par M est une algèbre stellaire, appelée sous-algèbre stella… 02D9
Exemple 8 En général, l’algèbre de Banach involutive M¹(G) (exemple 4 de I, p. 100) n’est pas une algèbre stellaire (I, p. 181, exerc. 8). 02DA
Lemme 6 Soit A une algèbre de Banach munie d’une involution vérifiant 02DB
Lemme 7 Soit A une algèbre stellaire. 02DC
Remarque 1 Soit A une algèbre stellaire unifère. On a 02DD
Remarque 2 Soit A une algèbre normée involutive. Si |x|²=|x^*x| pour tout x∈ A, la complétée widehatA de A est une algèbre stellaire. 02DE
Proposition 2 Soit A une algèbre de Banach involutive, soit B une algèbre stellaire et soit π un morphisme d’algèbres involutives de A dans B. On a |π (x)|leqslant |x| pour tout x∈ A, et en part… 02DF
Proposition 3 Soit A une algèbre stellaire et soit widetildeA l’algèbre involutive déduite de A par adjonction d’un élément unité. Il existe une unique norme sur widetildeA prolongeant celle de… 02DG
Définition 4 On dit que widetildeA, munie de la norme de la prop. 3, est l’algèbre stellaire déduite de A par adjonction d’un élément unité. 02DH
Proposition 4 Soit A une algèbre stellaire. 02DI
Proposition 5 Soient A une algèbre stellaire unifère et B une sous-algèbre stellaire de A contenant l’élément unité de A. Alors B est une sous-algèbre pleine de A. En particulier, on a Sp_B(x) =… 02DJ
Corollaire Soit A une algèbre stellaire et soit B une sous-algèbre stellaire de A. Alors on a Sp'_B(x) = Sp'_A(x) pour tout x dans B. 02DK
Corollaire Soit A une algèbre stellaire et a un élément normal de A. Le commutant (resp. le bicommutant) de a, a^* coïncide avec le commutant (resp. le bicommutant) de a. 02DL
Lemme 8 Soient X et Y des espaces métriques, l’espace X étant complet. Soit f une application de X dans Y telle que 02DM
Lemme 9 Soit A une algèbre stellaire commutative. Tout caractère de A est hermitien et la transformation de Gelfand est un morphisme d’algèbres stellaires de A dans C₀(X(A)). 02DN
Théorème 1 Soit A une algèbre stellaire commutative. La transformation de Gelfand est un isomorphisme isométrique de l’algèbre stellaire A sur l’algèbre stellaire C₀(X(A)) des fonctions conti… 02DO
Corollaire 1 Soient A une algèbre stellaire et x un élément normal de A. Alors |x|=varrho (x). 02DP
Corollaire 2 Soit A une algèbre stellaire commutative. 02DQ
Corollaire 3 Soit A une algèbre stellaire commutative unifère. 02DR
Remarque Soit G la catégorie dont les objets sont les espaces localement compacts et dont les morphismes sont les applications partielles propres (déf. 1 de I, p. 33), et soit S la catégori… 02DS
Lemme 10 L’application evₓ:χ ↦ χ (x) induit un homéomorphisme de X(B) sur Sp_A(x). 02DT
Définition 5 Le morphisme involutif f↦ (G_B⁻¹∘ φₓ)(f) de C(Sp_A(x)) dans A est appelé application de calcul fonctionnel continu de x dans A. On le note f↦ f(x). 02DU
Remarque L’application f↦ f(x) est isométrique ; son image est la sous-algèbre stellaire unifère B engendrée par x, qui est contenue dans le bicommutant de x. 02DV
Exemple 1 Supposons qu’il existe λ ∈ C tel que Sp_A(x) est réduit à λ. On a alors x=λ · 1. En effet, la fonction identique de Sp_A(x) est égale à λ, donc son image par l’application de calcu… 02DW
Exemple 2 Pour que x soit hermitien, il faut et il suffit que Sp_A(x) soit contenu dans R. En effet, soit f l’application continue sur Sp_A(x) donnée par f(z) =z-overlinez. Alors x est hermi… 02DX
Exemple 3 Pour que x soit unitaire, il faut et il suffit que son spectre soit contenu dans le cercle unité de C. En effet, soit f∈ C (Sp_A(x)) la fonction définie par f(z) =zz-1; l’élément x… 02DY
Proposition 7 L’application f↦ f(x) est l’unique morphisme unifère d’algèbres involutives de C (Sp_A(x)) dans A tel que l’application identique z de Sp_A(x) ait pour image x. 02DZ
Corollaire 1 Soit f∈ O(Sp_A(x)) un germe de fonction holomorphe au voisinage de Sp_A(x) et soit widetildef∈ C(Sp_A(x)) la fonction continue sur Sp_A(x) associée à f. On a widetildef(x) =f(x), o… 02E0
Corollaire 2 Soit f∈ C (Sp_A(x)). 02E1
Exemple 4 Soit X un espace localement compact et soit A =C_b(X) l’algèbre stellaire unifère commutative des fonctions continues et bornées sur X (exemple 2 de I, p. 102). Soit g∈ A ; son spe… 02E2
Proposition 8 Soit f∈ C(Sp_A(x)). Notant encore f la restriction de f à Sp_A'(π (x)), on a l’égalité π (f(x)) =f(π (x)). En particulier, pour tout χ ∈ X(A), on a χ (f(x)) =f(χ (x)). 02E3
Corollaire Supposons que A est commutative. Pour tout f∈ C(Sp_A(x)), on a G_A(f(x)) =f∘ G_A(x). 02E4
Proposition 9 Tout morphisme injectif d’algèbres stellaires est isométrique et, en particulier, d’image fermée. 02E5
Lemme 11 Soit X un espace topologique complètement régulier, c’est-à-dire uniformisable et séparé (TG, IX, p. 8, déf. 4), contenant au moins deux points. Il existe des fonctions continues n… 02E6
Proposition 10 Soit A une algèbre stellaire unifère. On suppose que pour tout couple (x, y) d’éléments permutables de A, la condition xy= 0 implique que x= 0 ou y= 0. Alors A =C· 1. 02E7
Proposition 11 Soient A une algèbre stellaire unifère, a,x et y des éléments de A. On suppose que x et y sont normaux. Si xa= ay, alors on a f(x)a=af(y) pour toute fonction f continue dans la réu… 02E8
Proposition 12 L’application f↦ f(x) est l’unique morphisme d’algèbres involutives de l’algèbre stellaire C'(Sp'_A(x)) dans A tel que l’application identique z de Sp'_A(x) ait pour image x. 02E9
Proposition 13 On a les propriétés suivantes : 02EA
Remarque Soit A une algèbre stellaire unifère et soit widetildeA l’algèbre stellaire unifère déduite de A par adjonction d’un élément unité e. Pour tout x∈ A, on a Sp'_A(x) = Sp_A(x)∪ 0. So… 02EB
Définition 6 Soit A une algèbre stellaire. Un élément x de A est dit positif s’il est hermitien et si Sp'_A(x)⊂ R₊. On note A₊ l’ensemble des éléments positifs de A. C’est un sous-ensemble de A… 02EC
Exemple 1 Soit X un espace localement compact. Dans l’algèbre stellaire C₀(X) des fonctions continues sur X et tendant vers 0 à l’infini, resp. dans l’algèbre stellaire C_b(X) des fonctions… 02ED
Exemple 2 Soit A une algèbre stellaire commutative. Soit a dans A. Puisque Sp'_A(x) est la réunion de 0 et de l’image de la transformée de Gelfand G(a) (prop. 6 de I, p. 37), l’élément a est… 02EE
Exemple 3 Soit E un espace hilbertien complexe. Un élément x de l’algèbre stellaire L(E) (exemple 1 de I, p. 102) est positif si et seulement si c’est un endomorphisme positif de E au sens d… 02EF
Lemme 12 Soit A une algèbre stellaire unifère et soit x∈ A un élément hermitien. 02EG
Proposition 14 Soit A une algèbre stellaire. L’ensemble A₊ est un cône convexe fermé pointé saillant dans l’espace de Banach réel Aₕ (EVT, II, p. 11). 02EH
Proposition 15 Soit A une algèbre stellaire. Soit x un élément normal de A. 02EI
Proposition 16 Soit x un élément positif de A. Soit α ∈ R^*₊. Alors x^1/α est l’unique élément positif y de A tel que y^α=x. 02EJ
Lemme 13 Soit A une algèbre stellaire unifère. Tout élément de A est somme d’éléments unitaires. 02EK
Théorème 2 Soit A une algèbre stellaire. Un élément x de A est positif si et seulement s’il existe y∈ A tel que x=y^*y. 02EL
Remarque Soit A une algèbre stellaire et soit x∈ A. L’élément x^*x de A est positif ; on pose alors |x|= (x^*x)^1/2. On a |x|²=|x^*x|= ||x|²|=||x||², donc |x|=||x||. 02EM
Lemme 14 Soit A une algèbre stellaire, et soient x et y des éléments hermitiens de A. 02EN
Remarque En général, si x et y sont des éléments positifs d’une algèbre stellaire A, la condition 0leqslant xleqslant y n’implique pas x²leqslant y²(cf. exercice 15 de I, p. 182). 02EO
Définition 7 Soit A une algèbre normée. Une unité approchée de A est une base de filtre 𝔉 sur la boule unité de A telle que, pour tout x dans A, les bases de filtre x𝔉 et 𝔉x sur A convergent ve… 02EP
Proposition 17 Soit A une algèbre stellaire, soit 𝔉 une base de filtre sur A^leqslant 1₊. Pour que 𝔉 soit une unité approchée croissante de A, il faut et il suffit que l’on ait 02EQ
Proposition 18 Soit A une algèbre stellaire. L’ensemble ordonné A^<1₊ est filtrant à droite (E, III, p. 12, déf. 7) et le filtre de ses sections (TG, I, p. 38, exemple 2) est une unité approchée… 02ER
Lemme 15 Soit A une algèbre stellaire et soit I un idéal bilatère fermé de A. Alors I est auto-adjoint. 02ES
Proposition 19 Soit A une algèbre stellaire et soit I un idéal bilatère fermé de A. Alors l’algèbre de Banach involutive quotient A/I est une algèbre stellaire. 02ET
Lemme 16 Soit A une algèbre involutive et soit p une semi-norme sur A. Les conditions suivantes sont équivalentes : 02EU
Définition 8 L’algèbre stellaire Stell(A) est appelée l’algèbre stellaire enveloppante de l’algèbre normée involutive A. 02EV
Proposition 20 Soit A une algèbre normée involutive et soit j le morphisme canonique de A dans Stell(A). Pour toute algèbre stellaire B et pour tout morphisme φ d’algèbres involutives de A dans B… 02EW
Corollaire Soient A une algèbre de Banach involutive commutative et j le morphisme canonique de A dans Stell(A). L’application X(j) est un homéomorphisme de X(Stell(A)) sur le sous-espace X(A… 02EX
Proposition 21 Soient A une algèbre de Banach involutive et j le morphisme canonique de A dans Stell(A). Le radical de A est contenu dans le noyau de j. 02EY
Définition 9 Soit G un groupe localement compact et soit A l’algèbre de Banach involutive des mesures bornées sur G admettant une densité par rapport à une mesure de Haar sur G (exemple 4 de I… 02EZ
Remarque Soit ν une mesure de Haar à gauche sur G et soit Δ son module. L’application f↦ f· ν est un isomorphisme isométrique de l’algèbre L¹(G, ν ) sur A (loc. cit.). On peut donc aussi dé… 02F0
Remarque En général, la représentation régulière gauche γ ' de Stell(G) dans L²(G, ν ) n’est pas fidèle. On peut démontrer qu’elle l’est si et seulement si il existe sur L^∞_R(G) une forme… 02F1
Proposition 22 L’application canonique j de L¹(G, ν ) dans Stell(G) est injective et d’image dense. 02F2
Corollaire L’algèbre L¹(G, ν ) est sans radical. 02F3

§ 7. Spectre des endomorphismes des espaces de Banach

Définition 1 Soit E un espace vectoriel topologique et soit u un endomorphisme de E. On appelle spectre de u, et on note Sp(u), le spectre de u relativement à l’algèbre unifère L(E). 02G0
Lemme 1 Soit E un espace de Banach et soit u un endomorphisme de E. Soit (Eᵢ)_i∈ I une famille finie de sous-espaces fermés de E, stables par u, tels que E =⨁_i∈ IEᵢ. Pour tout i∈ I, noton… 02G1
Proposition 1 Soient E un espace de Banach complexe et u un endomorphisme de E. Soient λ ∈ C et f∈ O(Sp(u)). On a 02G2
Proposition 2 Soient E un espace de Banach et u un endomorphisme de E. Soient E₁ et E₂ des sous-espaces fermés de E stables par u tels que E = E₁⊕ E₂. On suppose que les endomorphismes u₁ et u₂… 02G3
Proposition 3 Soit E un espace de Banach et soit E' son dual. Soit u un endomorphisme de E. 02G4
Remarque Soit H une partie ouverte et fermée de Sp(u), dont la décomposition spectrale associée est E = E_H(u)⊕ widetildeE_H(u). Il découle de l’assertion c) que si l’on identifie E' à E_H(… 02G5
Lemme 2 Soit E un espace hilbertien complexe et soit u un endomorphisme normal de E. Soit (Eᵢ)_i∈ I une famille finie de sous-espaces fermés de E, stables par u et deux à deux orthogonaux… 02G6
Proposition 4 Soit E un espace hilbertien complexe et soit u un endomorphisme normal de E. Pour toute fonction f∈ C (Sp(u)) et tout λ ∈ C, on a 02G7
Lemme 3 Soient E un espace hilbertien et p∈ L(E) un projecteur. Les assertions suivantes sont équivalentes : 02G8
Proposition 5 Soient E un espace hilbertien complexe et u un endomorphisme normal de E. 02G9
Lemme 4 Soit E un espace hilbertien et soit u un endomorphisme normal de E. Soit F un sous-espace fermé de E contenant un ensemble total de vecteurs propres de u. Alors F^∘ est stable par… 02GA
Définition 2 Soit E un espace hilbertien complexe et soit u un endomorphisme de E. On appelle image numérique de u l’ensemble des nombres complexes de la forme ⟨ x|u(x)⟩, où x parcourt la sphèr… 02GB
Proposition 6 Soit E un espace hilbertien complexe et soit u un endomorphisme de E. 02GC
Lemme 5 Soit E un espace hilbertien complexe de dimension 2. Munissons l’espace vectoriel réel L(E)ₕ des endomorphismes hermitiens de E de la norme préhilbertienne u↦ Tr(u^*u)^1/2. L’ensem… 02GD
Lemme 6 Soit E un espace vectoriel normé réel, soit F un espace vectoriel réel et soit u: E→ F une application affine non injective. Soient B une boule de E et S la sphère correspondante… 02GE
Proposition 8 Soit E un espace hilbertien complexe. Soit u un endomorphisme de E. Les conditions suivantes sont équivalentes : 02GF
Proposition 9 Soit E un espace hilbertien complexe et soit u un élément hermitien de L(E). 02GG
Définition 3 On dit que (u^*u)^1/2 est la valeur absolue de u, et on la note |u|. 02GH
Proposition 10 Soient E₁ et E₂ des espaces hilbertiens complexes et u∈ L(E₁; E₂). 02GI
Définition 4 Soient E₁ et E₂ des espaces hilbertiens complexes et u∈ L(E₁; E₂). Le couple (j,|u|), où j est l’unique application partiellement isométrique de E₁ dans E₂ telle que u=j|u| et Ker(… 02GJ
Proposition 11 Soient E₁ et E₂ des espaces hilbertiens complexes et u∈ L(E₁; E₂). Soit (j,|u|) la décomposition polaire de u. 02GK
Corollaire Soient E₁ et E₂ des espaces hilbertiens complexes et soit u∈ L(E₁; E₂). On a Im(u) = Im(|u^*|). 02GL
Proposition 12 Soient E₁ et E₂ des espaces hilbertiens complexes et u∈ L(E₁; E₂). Soit (j,|u|) la décomposition polaire de u. Pour que u soit bijectif, il faut et il suffit que |u| soit inversibl… 02GM
Proposition 13 Soient E un espace hilbertien complexe et u un endomorphisme de E. Les conditions suivantes sont équivalentes: 02GN

§ 8. Algèbres de fonctions continues sur un espace compact

Proposition 1 Soit f↦ |f|_B une norme munissant B d’une structure d’algèbre de Banach. 02H4
Proposition 2 Soit f↦ |f|_B une norme telle que (B,|· |_B) est une algèbre de Banach. 02H5
Exemple Soient X = [0,1] et ngeqslant 0 un entier. Soit B l’algèbre des fonctions f: X→ C admettant des dérivées continues sur [0,1] jusqu’à l’ordre n, munie de la norme considérée dans l’… 02H6
Proposition 3 Soit X un espace compact. Soit B une sous-algèbre de Banach unifère de C(X), munie de la norme induite, séparant les points de X. On identifie X à une partie fermée de X(B) (prop… 02H7
Proposition 4 Soit X un espace compact. Soit B une sous-algèbre de Banach unifère de C(X), munie de la norme induite, séparant les points de X. On identifie X à une partie fermée de X(B) (prop… 02H8
Corollaire 1 Soient Λ un ensemble et X une partie compacte de C^Λ. On identifie X à une partie de X(P(X)) (prop. 1 de I, p. 142, d)). Soit (z_λ)_λ∈Λ la famille des fonctions coordonnées sur C^Λ… 02H9
Corollaire 2 Soit Λ un ensemble et soit X⊂ C^Λ un ensemble compact. Si X est connexe, alors son enveloppe polynomialement convexe est connexe. 02HA
Lemme 1 Soit X un sous-ensemble compact du plan et soit O une composante connexe bornée de C- X. La frontière de O est contenue dans X. 02HB
Proposition 5 Avec les notations ci-dessus : 02HC
Corollaire 1 Les conditions suivantes sont équivalentes : 02HD
Corollaire 2 (Théorème de Runge) Pour tout i∈ I, soit λᵢ un point de Oᵢ. Soit f une fonction complexe holomorphe dans un voisinage ouvert de X. Alors f|X est limite uniforme de restrictions à X de fractions ration… 02HE

II. Groupes localement compacts commutatifs

§ 1. Transformation de Fourier

Définition 1 On appelle caractère unitaire de G un homomorphisme continu de G dans le groupe multiplicatif U des nombres complexes de module 1. 02HQ
Définition 2 Le groupe topologique widehatG est appelé le groupe dual de G. 02HR
Lemme 1 Pour tout χ ∈ widehatG, l’application μ↦ χ (μ) est un caractère hermitien de l’algèbre de Banach involutive M¹(G). 02HS
Proposition 1 L’application canonique de widehatG dans X(L¹(G)) est un homéomorphisme. 02HT
Remarque 1 La bijectivité de l’application de widehatG dans X(L¹(G)) de la prop. 1 est un cas particulier de la correspondance entre représentations continues d’un groupe localement compact H… 02HU
Remarque 2 L’application canonique de widehatG dans X(M¹(G)) n’est pas surjective en général (II, p. 308, exerc. 14). 02HV
Corollaire 1 Tout caractère de L¹(G) est hermitien. L’application canonique de X(Stell(G)) (déf. 9 de I, p. 125) dans X(L¹(G)) est un homéomorphisme. 02HW
Corollaire 2 Le groupe topologique widehatG est localement compact. 02HX
Lemme 2 Soient G et H des groupes localement compacts commutatifs et soit f: H→ G un morphisme de groupes topologiques. Le noyau de widehatf est l’orthogonal de l’image de f. 02HY
Proposition 2 Soit ngeqslant 0 un entier et soient G₁, . . . ,Gₙ des groupes commutatifs localement compacts. Soit G le groupe produit des groupes Gⱼ pour 1leqslant jleqslant n. Pour 1leqslant j… 02HZ
Remarque Le calcul du groupe dual d’un produit infini de groupes compacts commutatifs est l’objet du corollaire 4 de II, p. 234 ci-dessous. Le cas d’un groupe localement compact commutatif… 02I0
Définition 3 Soit μ∈ M¹(G) une mesure complexe bornée sur G. On appelle transformée de Fourier de μ la fonction F_G(μ) sur widehatG définie par 02I1
Proposition 3 Pour toute mesure μ∈ M¹(G), les fonctions F_G(μ) et overlineF_G(μ) sont continues et bornées. Les applications F_G:μ↦ F_G(μ) et overlineF_G:μ↦ overlineF_G(μ) sont des morphismes co… 02I2
Proposition 4 La transformation de Fourier et la cotransformation de Fourier sont des morphismes injectifs d’algèbres involutives de L¹(G) dans l’algèbre C₀(widehatG) des fonctions continues nul… 02I3
Remarque La transformation de Fourier sur l’espace L¹(G) dépend du choix de la mesure de Haar dx, contrairement à la transformation de Fourier sur M¹(G). Si l’on remplace dx par la mesure a… 02I4
Proposition 5 Par continuité, la transformation de Fourier et la cotransformation de Fourier se prolongent de manière unique en des isomorphismes d’algèbres stellaires de Stell(G) sur C₀(widehat… 02I5
Corollaire L’image de L¹(G) par la transformation de Fourier de G est dense dans C₀(widehatG). 02I6
Proposition 6 Supposons que G est compact. La mesure de Haar normalisée dx appartient à M¹(G), et sa transformée de Fourier est φₑ, la fonction caractéristique de e. 02I7
Proposition 7 L’espace A(G) est un idéal auto-adjoint de L¹(G). Il est contenu dans L¹(G)∩ L²(G), et dans l’image de C(G) dans L¹(G). 02I8
Proposition 8 Il existe une base de filtre 𝔅 sur A(G)∩ K₊(G) telle que les conditions suivantes soient vérifiées : 02I9
Corollaire 1 L’espace A(G) est dense dans L¹(G) et dans L²(G). Il est également dense dans Stell(G), et son image widehatA(G) par la transformation de Fourier est dense dans C₀(widehatG). 02IA
Corollaire 2 Pour f∈ A(G), soit Ω_f l’ensemble des χ ∈ widehatG tels que F(f)(χ )not= 0. Les ensembles Ω_f forment un recouvrement ouvert de widehatG. 02IB
Lemme 3 Pour tout f∈ A(G), il existe une unique mesure bornée μ_f sur widehatG telle que 02IC
Lemme 4 Il existe une unique mesure ν sur widehatG telle que 02ID
Proposition 9 La mesure ν caractérisée par le lemme 4 est une mesure de Haar sur widehatG. 02IE
Définition 4 La mesure de Haar ν sur widehatG de la proposition 9 est dite mesure duale de la mesure de Haar dx donnée sur G. 02IF
Remarque Soit a un nombre réel >0. Si l’on remplace dx par la mesure a· dx, le produit de convolution des fonctions f et g∈ L¹(G) est remplacé par a(f*g). Nous avons vu (II, p. 209, remarqu… 02IG
Lemme 5 L’espace A(widehatG) est dense dans L²(widehatG). 02IH
Théorème 1 (Plancherel) La restriction de la transformation de Fourier au sous-espace A(G) de L²(G) se prolonge de manière unique en une isométrie Φ de L²(G) sur L²(widehatG). 02II
Corollaire Supposons que G est compact et que dx est la mesure de Haar normalisée sur G. Alors la famille des caractères unitaires de G est une base orthonormale de L²(G). 02IJ
Remarque 1 Certaines des formules concernant la transformation de Fourier sur L¹(G) s’étendent à la transformation de Fourier sur L²(G). En particulier, pour f∈ L²(G) et χ ∈ widehatG, on a 02IK
Remarque 2 Les formules 02IL
Proposition 10 Soit ngeqslant 0 un entier et soient G₁,⋯ ,Gₙ des groupes commutatifs localement compacts. Soient μⱼ, pour 1leqslant jleqslant n, des mesures de Haar sur Gⱼ. Soit G le groupe produ… 02IM
Proposition 11 Soit f∈ A(G). Alors F(f)∈ L¹(widehatG) et, pour tout x∈ G, on a 02IN
Lemme 6 Soit φ ∈ L¹(widehatG)∩ L²(widehatG). Alors f=overlineF_widehatG(φ )∘ η appartient à L²(G) et F_G(f) =φ dans L²(widehatG). 02IO
Corollaire 1 Pour tout sous-ensemble fermé P de widehatG et tout χ ∈ widehatG n’appartenant pas à P, il existe une fonction f∈ L¹(G) telle que F(f) soit nulle sur P et non nulle en χ. 02IP
Corollaire 2 L’algèbre de Banach L¹(G) est régulière (I, p. 89, déf. 1). 02IQ
Théorème 2 (Pontryagin) L’application canonique η de G dans widehatwidehatG est un isomorphisme de groupes topologiques. Il transforme la mesure de Haar dx en la mesure de Haar biduale dwidehatwidehatx. 02IR
Corollaire La cotransformation de Fourier de L²(widehatG) sur L²(G) et la transformation de Fourier de L²(G) sur L²(widehatG) sont des isométries réciproques l’une de l’autre. 02IS
Remarque Soient f∈ L²(G) et g∈ L²(widehatG). En appliquant la formule de Plancherel (24) à f et overlineF_widehatG(g), on obtient la formule 02IT
Proposition 13 Soient α ∈ M¹(G) et β ∈ M¹(widehatG). On a alors (30) F_G(overlineF_widehatG(β )· α ) =β *F_G(α ) 02IU
Corollaire La transformation de Fourier F_G est injective sur M¹(G). 02IV
Théorème 3 La restriction de la transformation de Fourier à B(G) induit un isomorphisme d’espaces vectoriels de B(G) sur B(widehatG), dont la réciproque est induite par la restriction à B(wid… 02IW
Corollaire 1 Soit f∈ L¹(G). Alors f∈ B(G) si et seulement si f appartient à l’image de la transformation de Fourier F_widehatG sur L¹(widehatG). En particulier, on a A(G)⊂ B(G). 02IX
Corollaire 2 L’espace vectoriel B(G) est une algèbre à la fois pour la multiplication et pour la convolution. La transformation de Fourier échange convolution et multiplication dans B(G) et B(w… 02IY
Proposition 14 Soient f et g dans L²(G). Alors F_G(f g) = F_G(f)*F_G(g). 02IZ
Remarque Voir le nᵒ9 et les exercices 22 de II, p. 270 et 31 de II, p. 275 pour d’autres exemples d’espaces fonctionnels sur lesquels la transformation de Fourier est un isomorphisme, dans… 02J0
Lemme 7 Soient (Gᵢ)_i∈ I et (Hᵢ)_i∈ I des familles finies de groupes topologiques localement compacts. Pour i∈ I, soit θᵢ: Gᵢ× Hᵢ→ U une application qui met les groupes Gᵢ et Hᵢ en dualité… 02J1
Définition 5 Soient G, H et K des groupes topologiques. Soient f: H→ G et g: G→ K des morphismes de groupes topologiques. On dit que le couple (f, g) est une suite exacte de groupes topologique… 02J2
Exemple 1 Soit f: H→ G un morphisme injectif strict dont l’image est un sous-groupe distingué. La suite 02J3
Exemple 2 Soit g: G→ K un morphisme surjectif strict. La suite 02J4
Théorème 4 Une suite 02J5
Lemme 8 Soit g: G→ K un morphisme de groupes topologiques localement compacts commutatifs. Si le morphisme g est surjectif et strict, alors widehatg est injectif et strict. 02J6
Lemme 9 Soit f: H→ G un morphisme de groupes topologiques localement compacts. Si le morphisme f est injectif et strict, alors widehatf est surjectif et strict. 02J7
Lemme 10 Soit 02J8
Corollaire 1 Soit 02J9
Corollaire 2 Soit f: G→ H un morphisme de groupes topologiques localement compacts commutatifs. Le morphisme f est strict si et seulement si widehatf est strict. 02JA
Corollaire 3 Soit H un sous-groupe de G. On a (H^bot)^bot= H. 02JB
Corollaire 4 Soit I un ensemble et soit (Hᵢ)_i∈ I une famille de sous-groupes fermés de G. L’orthogonal du sous-groupe fermé engendré par les Hᵢ est ⋂_i∈ IH^botᵢ. L’orthogonal de ⋂ᵢHᵢ est le so… 02JC
Corollaire 5 Soit φ : G→ H un morphisme de groupes localement compacts commutatifs. Alors le sous-groupe Im(φ ) de H et le sous-groupe Ker(widehatφ) de widehatH sont l’orthogonal l’un de l’autr… 02JD
Corollaire 6 Soit k∈ Z. Alors le noyau de l’homomorphisme x↦ xᵏ de G dans G et l’adhérence de l’image du morphisme χ ↦ χᵏ de widehatG dans widehatG sont l’orthogonal l’un de l’autre. 02JE
Corollaire 7 Soit G un groupe localement compact commutatif. 02JF
Remarque Il existe des groupes localement compacts commutatifs G qui ne sont pas divisibles et tels que widehatG est sans torsion (exercice 63 de II, p. 299). 02JG
Proposition 15 Soit f∈ L¹(G) telle que la restriction à H^bot de la fonction continue F_G(f) est intégrable relativement à widehatγ. Alors, pour presque tout x∈ G, la fonction y↦ f(xy) sur H est… 02JH
Corollaire (Formule de Poisson) Soit f∈ L¹(G). On suppose que les conditions suivantes sont vérifiées : 02JI
Proposition 16 La mesure widehatα sur widehatH =widehatG/H^bot est égale à widehatβ /widehatγ. 02JJ
Proposition 17 Soit ngeqslant 1 un entier. Notons μₙ le groupe des racines n-ièmes de l’unité dans C. Les groupes Z/nZ et μₙ sont en dualité relativement à l’application induite par passage au qu… 02JK
Corollaire 1 Soit G un groupe fini commutatif. Le groupe dual widehatG est isomorphe à G. 02JL
Corollaire 2 Soit G un groupe localement compact commutatif. Le groupe G est fini si et seulement si widehatG est fini. Un sous-groupe fermé H de G est d’indice fini si et seulement si son orth… 02JM
Proposition 18 Pour que widehatG soit compact, il faut et il suffit que G soit discret. Si G est discret, la mesure duale de la mesure de comptage sur G est la mesure de Haar normalisée sur wideh… 02JN
Corollaire 1 (Relations d’orthogonalité) Supposons G discret et muni de la mesure de comptage. Pour x et y dans G, on a 02JO
Corollaire 2 Soit H un sous-groupe fermé de G. 02JP
Corollaire 3 Soit (Hᵢ)_i∈ I une famille filtrante décroissante de sous-groupes compacts de G. Pour que G s’identifie à la limite projective des groupes G/Hᵢ, il faut et il suffit que widehatG s… 02JQ
Corollaire 4 Soit I un ensemble et soit (Hᵢ)_i∈ I une famille de groupes compacts. Le dual du groupe produit des Hᵢ est le groupe discret somme directe des groupes widehatHᵢ. 02JR
Proposition 19 Soit K un corps localement compact non discret, non nécessairement commutatif, et soit G le groupe additif de K, dont la loi de groupe est notée additivement. Soit χ un caractère u… 02JS
Corollaire 1 Soient K un corps localement compact non discret non nécessairement commutatif et χ un caractère unitaire non trivial du groupe additif de K. Soit E un espace vectoriel topologique… 02JT
Corollaire 2 a) Le groupe R est en dualité avec lui-même relativement à l’application (x, y)↦ exp(2iπ xy), et la mesure duale de la mesure de Lebesgue est la mesure de Lebesgue ; 02JU
Remarque On retrouve en particulier la détermination de X(L¹(Z)) faite à l’exemple 4 de I, p. 36. 02JV
Corollaire 3 Soit ngeqslant 1 un entier. Le groupe Rⁿ est en dualité avec lui-même relativement à l’application (x, y)↦ exp(2iπ x· y) et la mesure duale de la mesure de Lebesgue sur Rⁿ est la m… 02JW
Remarque Étant donné un sous-groupe H de Rⁿ, il lui correspond donc son orthogonal H^bot, un sous-groupe de widehatRⁿ=Rⁿ, qui n’est autre que le sous-groupe associé à H défini en TG, VII, p… 02JX
Corollaire 4 Le groupe R^* est en dualité avec le groupe -1,1 × R par l’application (x,(σ , t))↦ σ (x/|x|)|x|ⁱᵗ. Le groupe R^*₊ est en dualité avec R par l’application (x, t)↦ xⁱᵗ. 02JY
Proposition 20 L’application x↦ exp(2iπ λ (x)) est un caractère unitaire de Qₚ dont le noyau est Zₚ. 02JZ
Corollaire a) Le groupe Qₚ est en dualité avec lui-même relativement à l’application (x, y)↦ exp(2iπ λ (xy)). La mesure de Haar normalisée sur Qₚ est alors sa propre duale ; 02K0
Proposition 21 La restriction à S(Rⁿ) de la transformation de Fourier est un automorphisme d’espaces vectoriels topologiques dont l’inverse est la restriction de la cotransformation de Fourier. 02K1
Remarque 1 Plus généralement, d’après le corollaire de la proposition 15 de II, p. 230, cette formule vaut pour toute fonction complexe intégrable sur Rⁿ telle que 02K2
Remarque 2 Il existe des fonctions f∈ B(R) telles que la série ∑_n∈Zf(n) diverge (exercice 4 de II, p. 263). 02K3
Exemple Soit Q une forme quadratique définie positive sur Rⁿ. La fonction définie par φ (x) = exp(-π Q(x)) appartient à S(Rⁿ). Il existe σ ∈ GL(n,R) tel que Q(x) =|σ (x)|² pour tout x∈ Rⁿ… 02K4
Définition 6 On appelle espace des distributions tempérées sur Rⁿ l’espace dual de S(Rⁿ) muni de la topologie de la convergence bornée. On le note S'(Rⁿ). 02K5
Exemple Une mesure ν sur Rⁿ est dite tempérée s’il existe un entier positif r tel que l’application continue x↦ (1+|x|)⁻ʳ est ν-intégrable sur Rⁿ. La restriction de ν à S(Rⁿ) est une distr… 02K6
Définition 7 On appelle transformation de Fourier sur S'(Rⁿ), et on note F (resp. on appelle cotransformation de Fourier, et on note overlineF) la transposée de la transformation de Fourier sur… 02K7
Proposition 22 Soit f une distribution tempérée appartenant à M¹(Rⁿ) (resp. à L²(Rⁿ)). La transformée de Fourier de f dans S'(Rⁿ) est la distribution tempérée associée à la transformée de Fourier… 02K8
Remarque Les formules élémentaires concernant la transformation de Fourier des mesures restent valides pour la transformation de Fourier des distributions tempérées. 02K9
Proposition 23 (Théorème de Fejér) Soit ngeqslant 1 un entier. Pour tout h= (hᵢ)∈ Zⁿ, on note |h|= supᵢ|hᵢ|. Soit f∈ C(Tⁿ). Pour tout entier Ngeqslant 1, notons f_N la fonction sur Tⁿ telle que 02KA
Lemme 11 Pour tout Ngeqslant 1, soit μ_N la mesure sur Tⁿ de densité l’application continue 02KB
Remarque Il existe des fonctions f∈ L¹(T) dont la série de Fourier diverge en tout point x∈ T (théorème de Kolmogorov, cf. exercice 51 de II, p. 289). 02KC

§ 2. Classification

Lemme 1 Soit H un groupe localement compact, et soit R l’un des groupes R ou Z. Soit φ un morphisme continu de R dans H. Si φ n’est pas un isomorphisme topologique de R sur un sous-groupe… 02M9
Lemme 2 Si G est engendré par une partie compacte V, il existe un entier ngeqslant 0 et un sous-groupe discret D de G isomorphe à Zⁿ tels que G/D soit compact. 02MA
Lemme 3 Soient A et B des groupes commutatifs tels que A est divisible. Soit C un sous-groupe de B et φ un morphisme de C dans A. Il existe un morphisme de B dans A qui prolonge φ. 02MB
Remarque Dans le langage des catégories, le lemme dit que les groupes divisibles sont des objets injectifs dans la catégorie des groupes commutatifs ; cf. A, VII, p. 53, exerc. 3. 02MC
Proposition 1 Les conditions suivantes sont équivalentes : 02MD
Corollaire 1 Supposons que G soit engendré par un voisinage compact de e. 02ME
Remarque Par dualité, widehatG est isomorphe à Rᵖ× T^q× D (prop. 3 (iv)) où les sous-groupes Rᵖ× T^q et T^q, et les entiers p et q, sont déterminés de manière unique. 02MF
Corollaire 2 Les conditions suivantes sont équivalentes : 02MG
Remarque Avec les notations du cor. 2, si l’on identifie G à Rᵖ× T^q× Zʳ× A, le sous-groupe Rᵖ× T^q est la composante neutre de G, le sous-groupe T^q× A est son plus grand sous-groupe compa… 02MH
Proposition 2 Supposons G compact. Il existe une famille filtrante décroissante (Hᵢ)_i∈ I de sous-groupes fermés de G tels que 02MI
Corollaire Si le groupe G est engendré par une partie compacte, alors il est limite projective de groupes isomorphes à des groupes de la forme Rᵖ× T^q× Zʳ× A, où A est un groupe fini et p,q,r… 02MJ
Proposition 3 a) Il existe un entier ngeqslant 0 et un sous-groupe L tel que G est produit direct de L et d’un sous-groupe isomorphe à Rⁿ, et de plus L admet un sous-groupe ouvert compact K tel… 02MK
Proposition 4 Soit B_G l’ensemble des éléments de G qui engendrent un sous-groupe relativement compact de G. Alors B_G est un sous-groupe fermé de G et B^bot_G est la composante neutre de wideha… 02ML
Corollaire 1 Supposons G compact. Alors les conditions suivantes sont équivalentes : 02MM
Corollaire 2 Supposons G compact. Alors G est totalement discontinu si et seulement si widehatG est un groupe de torsion. 02MN
Corollaire 3 Si G est connexe, alors G est divisible. 02MO

§ 3. Sous-espaces invariants

Proposition 1 a) Soit M une partie mesurable de widehatG. Pour tout x∈ G, l’espace E_M est stable par l’application f↦ εₓ*f; 02N3
Lemme 1 L’espace des fonctions de L¹(G) dont la transformée de Fourier est à support compact est dense dans L¹(G). 02N4
Proposition 2 Soit I un idéal fermé de L¹(G), et soit f∈ L¹(G). Si overlineF_G(f) s’annule sur un voisinage de V(I), alors f appartient à I. 02N5
Théorème 1 Soit I un idéal fermé de L¹(G) distinct de L¹(G). Il existe un caractère widehatx∈ widehatG tel que F_G(f)(widehatx) = 0 pour toute f∈ I. 02N6
Définition 1 Soit g une fonction complexe sur G et soit Φ un filtre sur G. On dit que g est lentement oscillante suivant Φ si, pour tout ε >0, il existe un ensemble M∈ Φ et un voisinage V de e… 02N7
Corollaire 2 Soit Φ un filtre sur G invariant par translation. Soit f∈ L¹(G) telle que la transformée de Fourier de f ne s’annule pas et telle que ∫_Gf(x)dx= 1. Soit g∈ L^∞(G). On suppose que f… 02N8
Lemme 2 Soit K une partie compacte de G. Pour tout η >0, il existe une fonction j∈ L¹(G) telle que : 02N9
Proposition 3 L’algèbre L¹(G) vérifie la condition de Ditkin (I, p. 92, déf. 2). 02NA
Théorème 2 Soit I un idéal fermé de L¹(G) tel que la frontière de V(I) ne contienne aucun ensemble parfait non vide. Alors I est l’ensemble des fonctions f∈ L¹(G) telles que F(f) s’annule sur… 02NB
Corollaire Si un idéal fermé I de L¹(G) est contenu dans un seul idéal régulier maximal, alors I est lui-même régulier maximal. 02NC
Proposition 4 Soit W un sous-espace vectoriel faiblement fermé de L^∞(G) invariant par translation et non nul. Alors W contient au moins un caractère de G. 02ND
Proposition 5 Soit W un sous-espace vectoriel faiblement fermé de L^∞(G) invariant par translation. 02NE

III. Applications linéaires compactes et perturbations

§ 1. Applications linéaires compactes

Définition 1 Soient E un espace vectoriel topologique et F un espace vectoriel topologique séparé. On dit qu’une application linéaire u de E dans F est compacte s’il existe un voisinage V de 0… 02NY
Remarque 1 Un voisinage de 0 dans E absorbe toute partie bornée de E ; l’image d’une partie bornée de E par une application linéaire compacte de E dans F est donc une partie relativement comp… 02NZ
Remarque 2 Soit E un espace semi-normé et soit B la boule unité de E. Pour qu’une application linéaire u de E dans un espace vectoriel topologique séparé F soit compacte, il faut et il suffit… 02O0
Remarque 3 Soit F un espace vectoriel topologique séparé. Pour qu’un sous-espace vectoriel E de F soit de dimension finie, il faut et il suffit que l’injection canonique de E dans F soit comp… 02O1
Remarque 4 Pour tout espace vectoriel topologique E sur le corps R, on note E_(C) l’espace vectoriel topologique complexifié de E (EVT, II, p. 65). On identifie E à un sous-espace vectoriel t… 02O2
Remarque 5 Soient E un espace vectoriel topologique, F un espace vectoriel topologique séparé. Soit F₁ un sous-espace vectoriel fermé de F et soit j l’injection canonique de F₁ dans F. Pour q… 02O3
Remarque 6 Soit (Gᵢ)_i∈ I une famille d’espaces vectoriels topologiques séparés, et pour tout i∈ I, soit uᵢ une application linéaire compacte d’un espace vectoriel topologique E dans Gᵢ. Si l… 02O4
Proposition 1 Soient E un espace vectoriel topologique et F un espace vectoriel topologique séparé. 02O5
Proposition 2 Soient E un espace semi-normé et F un espace vectoriel topologique séparé. On suppose que toute partie fermée bornée de F est complète. Alors le sous-espace vectoriel Lᶜ(E; F) de L… 02O6
Corollaire Soient E et F des espaces de Banach. L’ensemble Lᶜ(E; F) est un sous-espace vectoriel fermé de l’espace de Banach L(E; F). Il contient l’adhérence de l’espace Lᶠ(E; F) des applicat… 02O7
Proposition 3 Soient E₁, E, F, F₁ des espaces vectoriels topologiques, F et F₁ étant supposés séparés. Soient v: E₁→ E,u: E→ F et w: F→ F₁ des applications linéaires. Si v et w sont continues et… 02O8
Corollaire Soit E un espace hilbertien. L’espace Lᶜ(E) est un idéal bilatère auto-adjoint fermé de L(E). En particulier, c’est une algèbre stellaire. 02O9
Proposition 4 Soient E un espace vectoriel topologique, widehatE son séparé complété et j l’application canonique de E dans widehatE. Soit u une application linéaire compacte de E dans un espace… 02OA
Proposition 5 Soient E un espace localement convexe, F un espace vectoriel topologique séparé et u une application linéaire compacte de E dans F. Il existe un espace de Banach G, une application… 02OB
Proposition 6 Soient E un espace localement convexe, F un espace localement convexe séparé, u: E→ F une application linéaire compacte et B une partie bornée de E. La restriction de u à B est une… 02OC
Corollaire Soit (xₙ)_n∈N une suite de points de E, qui converge vers un point x de E pour la topologie affaiblie. La suite (u(xₙ))_n∈N converge dans F vers u(x). 02OD
Proposition 7 Soient E un espace semi-normé, E' son dual, B la boule unité de E' et u une application linéaire de E' dans un espace localement convexe séparé F. Si la restriction de u à B muni d… 02OE
Corollaire 1 Soit E un espace semi-normé de type dénombrable, soit E' son dual et soit B la boule unité de E'. Soit u une application linéaire de E' dans un espace localement convexe séparé F… 02OF
Corollaire 2 Soient E un espace semi-normé et 𝔖 un ensemble de parties précompactes de E dont la réunion est dense dans E. Notons E'_b le dual fort de E et E'_𝔖 le dual de E muni de la 𝔖-topolo… 02OG
Exemple Soit E un espace semi-normé. L’application identique de E'_b dans l’espace E', muni de la topologie faible, de la topologie de la convergence compacte ou de la topologie de la conv… 02OH
Proposition 8 Soient E un espace de Banach réflexif, B sa boule unité, F un espace localement convexe séparé et u: E→ F une application linéaire. Les conditions suivantes sont équivalentes : 02OI
Proposition 9 Soient E un espace localement convexe, F un espace localement convexe séparé et u une application linéaire continue de E dans F. 02OJ
Corollaire 1 (Schauder) Soient E un espace semi-normé, F un espace de Banach, E' et F' leurs duals forts respectifs et u une application linéaire continue de E dans F. Les propriétés suivantes sont équiva… 02OK
Corollaire 2 Soient E un espace semi-normé et F un espace de Banach de type dénombrable. Soit u une application linéaire continue de E dans F. On suppose que pour toute suite (yₙ) d’éléments de… 02OL
Remarque Soient E et F des espaces localement convexes séparés. La transposée d’une application linéaire compacte de E dans F n’est pas toujours une application linéaire compacte de F'_b da… 02OM
Théorème 1 (Brouwer) Soit B une partie convexe compacte non vide d’un espace vectoriel normé de dimension finie. Toute application continue de B dans B possède un point fixe. 02ON
Théorème 2 (Leray–Schauder) Soit X un espace topologique compact non vide, homéomorphe à une partie convexe d’un espace localement convexe. Toute application continue de X dans X possède un point fixe. 02OO
Théorème 3 Soient E un espace localement convexe séparé sur C et A une partie de L(E). Faisons les hypothèses suivantes : 02OP
Lemme 1 Il existe un élément a de A tel que le noyau de ha-1_E ne soit pas réduit à 0. 02OQ
Corollaire 1 Conservons les hypothèses du théorème 3 et supposons de plus que les éléments de A soient deux à deux permutables. Alors E est de dimension 1 sur C. 02OR
Corollaire 2 (Lomonosov) Soient E un espace localement convexe séparé de dimension au moins 2 sur le corps C et u un endomorphisme de E. On suppose qu’il existe un endomorphisme compact hnot = 0 de E permu… 02OS
Corollaire 3 Soient E un espace localement convexe séparé sur le corps C et u un endomorphisme compact de E. Si E est de dimension au moins 2, il existe un sous-espace vectoriel fermé F de E, d… 02OT
Définition 2 On dit qu’un espace localement convexe E possède la propriété d’approximation, ou encore est un espace d’approximation, si l’application identique 1_E de E est adhérente dans l’esp… 02OU
Remarque 1 Pour que la somme directe topologique d’espaces localement convexes E et F soit un espace d’approximation, il faut et il suffit que E et F soient des espaces d’approximation. 02OV
Remarque 2 Soit E un espace localement convexe. Soient N l’adhérence de 0 dans E et P un sous-espace supplémentaire algébrique de N dans E. Alors P est un supplémentaire topologique de N dans… 02OW
Remarque 3 Soient E un espace localement convexe, A une partie équicontinue de Lᶠ(E) et T une partie totale de E. Si 1_E est adhérent à A pour la topologie de la convergence simple dans T, al… 02OX
Remarque 4 Soit E un espace localement convexe sur C. Notons E₀ l’espace localement convexe sur R sous-jacent à E. Pour que E soit un espace d’approximation, il faut et il suffit que E₀ en so… 02OY
Remarque 5 Soit E un espace localement convexe sur R. Pour que l’espace localement convexe complexifié E_(C) de E soit un espace d’approximation, il faut et il suffit que E en soit un. Cela r… 02OZ
Proposition 10 Soit E un espace hilbertien. Alors E est un espace d’approximation. 02P0
Lemme 2 Soit E un espace localement convexe. Alors E est un espace d’approximation si et seulement si, pour toute partie précompacte C de E et tout voisinage U de 0 dans E, il existe un en… 02P1
Remarque 6 Il existe des espaces de Banach qui ne possèdent pas la propriété d’approximation, comme l’a démontré P. Enflo (A counterexample to the approximation problem in Banach spaces, Acta… 02P2
Proposition 11 Soient E et F des espaces localement convexes. Supposons que E soit un espace d’approximation. 02P3
Corollaire Soient E un espace d’approximation séparé et F un espace localement convexe. Toute application linéaire compacte de F dans E est adhérente à Lᶠ(F; E) dans l’espace L(F; E) muni de… 02P4
Proposition 12 Soient E un espace localement convexe, I un ensemble, et pour chaque i∈ I, soient Fᵢ un espace localement convexe et vᵢ: E→ Fᵢ une application linéaire continue d’image dense. Supp… 02P5
Corollaire 1 Un sous-espace vectoriel dense d’un espace d’approximation est un espace d’approximation. 02P6
Corollaire 2 Si le séparé complété d’un espace localement convexe E est un espace d’approximation, alors E est un espace d’approximation. 02P7
Corollaire 3 Le produit d’une famille d’espaces d’approximation est un espace d’approximation. 02P8
Corollaire 4 Soit E un espace localement convexe. Si toute semi-norme continue sur E est majorée par une semi-norme continue préhilbertienne, alors E est un espace d’approximation. 02P9
Lemme 3 Soient E un espace localement convexe métrisable et (xₙ)_n∈N une suite d’éléments de E convergeant vers 0. Il existe une suite (yₙ)_n∈N d’éléments de E convergeant vers 0 et une su… 02PA
Lemme 4 Soient E un espace de Fréchet et A une partie compacte de E. Il existe une partie compacte convexe équilibrée L de E contenant A telle que les topologies induites sur A par celles… 02PB
Théorème 4 Soit E un espace de Fréchet. 02PC
Lemme 5 Soient X un espace topologique compact, F un sous-ensemble fini de C(X) et ε >0 un nombre réel. 02PD
Proposition 13 Soit X un espace topologique localement compact. L’espace de Banach C₀(X) est un espace d’approximation. 02PE
Corollaire Toute algèbre stellaire commutative est un espace d’approximation. 02PF
Remarque Si E est un espace hilbertien de dimension infinie, l’algèbre stellaire L(E) n’a pas la propriété d’approximation (A. Szankowski, B(H) does not have the approximation property, Act… 02PG
Lemme 6 Soit X un espace topologique localement compact. Soit μ une mesure positive sur X et p∈ [1,+∞ [. Soient F un sous-ensemble fini de Lᵖ_K(X, μ) et ε >0 un nombre réel. 02PH
Proposition 14 Soient X un espace topologique localement compact, μ une mesure positive sur X, et p∈ [1,+∞ ]. L’espace Lᵖ_K(X, μ) est un espace d’approximation. 02PI

§ 2. Exemples d’applications linéaires compactes

Proposition 1 Soit λ = (λᵢ)_i∈ I une famille bornée d’éléments de C. Soit p un élément de [1,+∞ ]. Soit E l’espace de Banach ℓᵖ_C(I). 02QK
Remarque 1 L’hypothèse de l’assertion b) est toujours valide si I est fini. Lorsque l’ensemble I est infini, elle signifie que la famille (λᵢ)_i∈ I tend vers 0 suivant le filtre des complémen… 02QL
Remarque 2 On verra ultérieurement (cf. IV, p. 149, théorème 1) que lorsque p= 2, tout endomorphisme compact normal de l’espace hilbertien ℓ²_C(I) est de la forme u=w∘ v∘ w⁻¹ où v est un endo… 02QM
Proposition 2 L’application widetildek de L_C^∞(X, μ) dans C(Y) est compacte. 02QN
Corollaire Soient X un espace topologique compact, Y un espace topologique localement compact, μ une mesure complexe sur X et k une application continue de X× Y dans C. Alors la formule (1) d… 02QO
Remarque Soient f∈ Lᵖ(X) et g∈ L^q(Y). Puisque p <+∞ et q <+∞, les fonctions f et g sont modérées, et la fonction définie par (x, y)↦ f(x)g(y) est (μ⊗ ν)-modérée (cf. INT, V, p. 92, § 8, nᵒ… 02QP
Lemme 1 Soit k∈ N^p,q(X× Y). La fonction k est localement (μ⊗ ν )-intégrable. 02QQ
Proposition 3 a) Soit k∈ N^p,q(X× Y). Pour f∈ Lᵖ(X) et g∈ L^q(Y), la fonction 02QR
Définition 1 Soit k∈ N^p,q(X× Y). On dit que l’application uₖ est l’opérateur intégral à noyau k de Lᵖ(X) dans L^q'(Y). 02QS
Proposition 4 Soient k∈ N^p,q(X× Y) et f∈ Lᵖ(X). L’application définie sur X par x↦ k(x, y)f(x) est μ-intégrable pour tout y en dehors d’un ensemble localement ν-négligeable, et uₖ(f) coïncide a… 02QT
Proposition 5 L’espace L^p'(X× Y) est contenu dans N^p,p(X× Y). L’application linéaire de L^p'(X× Y) dans L(Lᵖ(X); L^p'(Y)) définie par k↦ uₖ induit par passage au quotient une application linéa… 02QU
Lemme 2 Pour tout k∈ L^p'(X× Y), on a N_p', p'(k) =|k|_p'. 02QV
Proposition 6 a) L’espace L^p'(X× Y) est contenu dans L^p',p'(X,Y) et pour k∈ L^p'(X× Y), on a N_p', p'(k) =|k|_p'; 02QW
Proposition 7 Soit k∈ L^p',q'(X,Y). L’application linéaire uₖ de Lᵖ(X) dans L^q'(Y) est compacte. 02QX
Corollaire 1 (Hilbert–Schmidt) Soit k∈ L²(X× Y). L’application linéaire uₖ est compacte de L²(X) dans L²(Y). 02QY
Remarque Dans le cas p=q= 2, il est généralement plus commode d’exprimer la caractérisation de l’opérateur intégral uₖ à l’aide du produit scalaire : il s’agit de l’unique application de L²… 02QZ
Corollaire 2 Soit G un groupe topologique compact muni d’une mesure de Haar μ. Soit p un nombre réel tel que 1< p <+∞ et q l’exposant conjugué de p. Soit f∈ L^q(G). Posons k(x, y) =f(x⁻¹y) pour… 02R0
Lemme 3 Soit A l’ensemble des multi-indices α ∈ Nⁿ tels que |α |leqslant r et soit u l’application linéaire f↦ (∂^αf)_α∈ A de Cʳ(U; F) dans C(U; F)ᴬ. 02R1
Proposition 8 Supposons que F est de dimension finie. Soient s un entier tel que 0leqslant s < r et V une partie ouverte relativement compacte de U. L’application linéaire f↦ f|V de Cʳ(U; F) dan… 02R2
Lemme 4 Soit U un recouvrement ouvert de X. L’application u:f↦ (f|U)_U∈U de Sʳ(X; E) dans ∏_U∈USʳ(U; E) est linéaire, injective, continue et stricte. Son image est fermée. 02R3
Proposition 9 L’espace Sʳ(X; E) est complet. 02R4
Remarque Soit U un recouvrement ouvert de X par des domaines de cartes c_U= (U, φ_U,R^n_U) tel que pour tout U∈ U, la restriction de E à U est trivialisable de type F_U, où F_U est un espac… 02R5
Proposition 10 Supposons que le fibré vectoriel E soit localement de rang fini. Soient s un entier tel que 0leqslant s < r et Y une partie ouverte relativement compacte de X. L’application linéai… 02R6
Lemme 5 Soient X₀ la variété analytique réelle sous-jacente à X et E₀ le fibré vectoriel complexe sur X₀ sous-jacent à E. 02R7
Proposition 11 Supposons que le fibré vectoriel E soit localement de rang fini. Soit Y une partie ouverte relativement compacte de X. L’application de restriction f↦ f|Y de S^ω(X; E) dans S^ω(Y… 02R8
Corollaire Soient X une variété analytique complexe compacte et E un fibré vectoriel analytique de base X, localement de rang fini. L’espace vectoriel S^ω(X; E) est de dimension finie. 02R9

§ 3. Endomorphismes de Fredholm et endomorphismes de Riesz

Proposition 1 Soient E et F des espaces localement convexes, E₁ un sous-espace fermé de codimension finie de E et u une application linéaire continue de E dans F. Pour que u soit un morphisme st… 02RE
Corollaire 1 Supposons F séparé. Soit v∈ Lᶠ(E; F). Si u est un morphisme strict d’image fermée de E dans F, alors il en est de même de u+v. 02RF
Corollaire 2 Soit T un sous-espace vectoriel séparé de dimension finie de F. Notons π : F→ F/T la surjection canonique. Pour que u soit un morphisme strict d’image fermée, il faut et il suffit… 02RG
Définition 1 Soient E et F des espaces localement convexes. On dit qu’un élément u de L(E; F) est une application de Fredholm[^1] s’il possède un quasi-inverse. Une application de Fredholm de E… 02RH
Remarque Soient E, F et G des espaces localement convexes, u: E→ F et v: F→ G des applications linéaires continues. 02RI
Lemme 1 Soient E et F des espaces localement convexes et u une application de Fredholm de E dans F. Le noyau et le conoyau de u sont de dimension finie. 02RJ
Proposition 2 Soient E et F des espaces localement convexes séparés et u un élément de L(E; F). Les propriétés suivantes sont équivalentes : 02RK
Remarque 5 Soient E, F des espaces localement convexes séparés et u: E→ F une application de Fredholm. Si u est bijectif, alors u est un isomorphisme (en effet, u est un morphisme strict d’ap… 02RL
Proposition 3 Soient E et F des espaces localement convexes et u∈ L(E; F). Soit E₁(resp. F₁) un sous-espace fermé de codimension finie de E (resp. F). On suppose que u applique E₁ dans F₁ et l’o… 02RM
Proposition 4 Soient E et F des espaces localement convexes séparés, u: E→ F une application de Fredholm, et widehatu:widehatE→ widehatF le prolongement de u aux complétés. Alors widehatu est un… 02RN
Lemme 2 Soit E un espace vectoriel et soit u un endomorphisme de E qui possède un indice (A, V, p. 126). 02RO
Lemme 3 Soit E un espace vectoriel et soit u un endomorphisme de E qui possède un indice. Supposons que l’indice de u est nul. Soit N le nilespace de u et I son conilespace. 02RP
Remarque Supposons qu’il existe un entier ngeqslant 0 tel que Ker(uⁿ) = Ker(uⁿ⁺¹) (resp. Im(uⁿ) = Im(uⁿ⁺¹)); on a alors Ker(uᵐ) = Ker(uⁿ) (resp. Im(uᵐ) = Im(uⁿ)) pour tout entier mgeqslant… 02RQ
Définition 2 Soit E un espace localement convexe séparé. On appelle endomorphisme de Riesz de E tout endomorphisme de Fredholm de E dont le nilespace est de dimension finie et le conilespace es… 02RR
Proposition 5 Soit E un espace localement convexe séparé. Tout endomorphisme de Riesz de E est d’indice zéro. 02RS
Exemple 1 Tout automorphisme de E est un endomorphisme de Riesz de E. Si E est de dimension finie, tout élément de L(E) est un endomorphisme de Riesz de E. 02RT
Exemple 2 Si (Eᵢ)_i∈ I est une famille finie d’espaces localement convexes séparés et uᵢ un élément de L(Eᵢ) pour tout i dans I, l’endomorphisme u=⨁_i∈ Iuᵢ de l’espace localement convexe ⨁_i… 02RU
Exemple 3 Soit E un espace localement convexe séparé sur R, et soit E_(C) son complexifié. Soit u un endomorphisme de E. Pour que u soit un endomorphisme de Riesz, il faut et il suffit que s… 02RV
Proposition 6 Soit E un espace localement convexe séparé et soit u un endomorphisme de Riesz de E. Notons N le nilespace de u et I son conilespace. 02RW
Proposition 7 Soit E un espace localement convexe séparé et soit u un endomorphisme de E. 02RX
Proposition 8 Soient E un espace localement convexe séparé et u un endomorphisme de E. Les conditions suivantes sont équivalentes : 02RY
Proposition 9 Soit E un espace localement convexe séparé et soient u,v des éléments permutables de L(E). Les conditions suivantes sont équivalentes : 02RZ
Proposition 10 Soient E et F des espaces localement convexes, p∈ L(E; F) et q∈ L(F; E). Posons u= 1_E-q∘ p et v= 1_F-p∘ q. 02S0
Lemme 4 Soit n∈ N. Posons 02S1
Lemme 5 Soit u' un élément de L(E). Posons v'= 1_F+p∘ u'∘ q. Si u' est un inverse de u, alors v' est un inverse de v. Si u' est un quasi-inverse de u, alors v' est un quasi-inverse de v. S… 02S2
Proposition 11 Soient E et F des espaces de Fréchet. Pour qu’une application linéaire continue u de E dans F soit une application de Fredholm, il faut et il suffit que son noyau et son conoyau so… 02S3
Lemme 6 Soient E et F des espaces de Fréchet et u∈ L(E; F). On suppose que l’image de u est de codimension finie dans F. Alors l’image de u est fermée dans F et u est un morphisme strict. 02S4
Proposition 12 Soient E et F des espaces de Fréchet. Munissons leurs duals E' et F' de la topologie faible, de la topologie de la convergence compacte, ou de la topologie de la convergence bornée… 02S5
Proposition 13 Soient E un espace de Fréchet et u∈ L(E). 02S6
Proposition 14 Soit E un espace de Banach complexe. Pour qu’un élément u de L(E) soit un endomorphisme de Riesz de E, il faut et il suffit que l’une des deux conditions suivantes, qui s’excluent… 02S7
Remarque Soit E un espace de Banach réel et soit u un endomorphisme de E. Supposons que 0 soit un point isolé du spectre complexe de u, c’est-à-dire du spectre de l’endomorphisme 1⊗ u de l’… 02S8

§ 4. Perturbations dans les espaces de Banach

Définition 1 Soit E un espace vectoriel topologique. On dit qu’un sous-espace vectoriel de E est direct s’il admet un supplémentaire topologique. 02SH
Proposition 1 Soit E un espace localement convexe. Tout sous-espace vectoriel de dimension finie de E est direct. 02SI
Définition 2 Soient E et F des espaces localement convexes et soit u une application linéaire continue de E dans F. On dit que u est un morphisme direct si u est un morphisme strict dont le noy… 02SJ
Proposition 2 Soient E et F des espaces localement convexes, soient u∈ L(E; F) et v∈ L(F; E). On suppose que u=u∘ v∘ u. Alors u est un morphisme direct. De plus, v∘ u est un projecteur continu d… 02SK
Proposition 3 Soient E et F des espaces de Banach. Les ensembles suivants sont des parties ouvertes de l’espace de Banach L(E; F): 02SL
Théorème 1 Soient E et F des espaces de Banach. L’ensemble F(E; F) des applications de Fredholm de E dans F est ouvert dans l’espace de Banach L(E; F), et l’application u↦ ind(u) de F(E; F) d… 02SM
Proposition 4 Soient E et F des espaces de Banach, u₀: E→ F une application de Fredholm et v₀ un quasi-inverse de u₀. Il existe un voisinage ouvert U de u₀ dans L(E; F) et une application analyt… 02SN
Lemme 1 Soit E un espace de Banach. Soient p et q des projecteurs continus de E tels que |q-p|<1. Alors p induit un isomorphisme de Im(q) sur Im(p), et 1_E-p induit un isomorphisme de Ker(… 02SO
Théorème 2 Soit E un espace de Banach. L’ensemble R(E) des endomorphismes de Riesz de E est ouvert dans L(E). L’application qui à un élément de R(E) associe la dimension de son nilespace est… 02SP
Proposition 5 Soient E un espace de Banach et u₀ un endomorphisme de Riesz de E. Soit N (resp. I) le nilespace (resp. le conilespace) de u₀. Notons d la dimension de N. Il existe un voisinage ou… 02SQ
Remarque Par définition, pour que l’on ait ((u))>0, il faut et il suffit que l’application linéaire bijective widetildeu soit bicontinue, c’est-à-dire que u soit un morphisme strict (TG, II… 02SR
Lemme 2 Soit c un nombre réel. Si c <((u)), alors pour tout élément z∈ Im(u), il existe un élément x de E tel que u(x) =z et c|x|leqslant |z|. Réciproquement, si pour tout z∈ Im(u) il exis… 02SS
Proposition 6 Soient E et F des espaces normés et u∈ L(E; F). Notons B l’ensemble des éléments de E de norme <1. Posons 02ST
Proposition 7 Soient E un espace de Banach et F un espace normé. L’application u↦ ((u)) de L(E; F) dans overlineR est semi-continue supérieurement. 02SU
Proposition 8 Soient E un espace de Banach, F un espace normé. Pour tout u∈ L(E; F), on a ((u)) = ((ᵗu)). 02SV
Théorème 3 Soient n un entier positif, V un espace vectoriel normé réel de dimension n+ 1 et W un sous-espace vectoriel de V de dimension n. Soit S la sphère unité de V. Il n’existe pas d’app… 02SW
Théorème 4 (Krein, Krasnoselskii, Milman) Soit E un espace normé, et soient F et G des sous-espaces vectoriels de E. Supposons que la dimension de G soit finie et strictement inférieure à celle de F. Il existe un élément d… 02SX
Proposition 9 Soient E et F des espaces normés, n∈ N et u une application linéaire continue de E dans F dont le noyau est de dimension n. La conorme de u est égale à la distance d de u à l’ensem… 02SY
Lemme 3 Soit c un nombre réel tel que c >((u)). Il existe une application linéaire continue h: E→ F, de rang 1 et de norme < c telle que le noyau de u+h contienne celui de u et soit de dim… 02SZ
Corollaire 1 Soient E et F des espaces normés, et soient u,v des applications linéaires continues non nulles de E dans F dont les noyaux ont une même dimension finie. On a alors 02T0
Corollaire 2 Soient E et F des espaces de Banach et soient u et v des applications linéaires continues non nulles de E dans F dont les images ont une même codimension finie dans F. On a alors 02T1
Proposition 10 Soient E et F des espaces normés. L’ensemble M(E; F) est ouvert dans L(E; F). C’est l’intérieur de l’ensemble des applications de L(E; F) qui sont injectives. 02T2
Proposition 11 Soient E et F des espaces de Banach. L’ensemble QM(E; F) est ouvert dans L(E; F). C’est l’intérieur de l’ensemble des applications de L(E; F) dont le noyau est de dimension finie. 02T3
Proposition 12 Soient E et F des espaces de Banach et u un élément de QM(E; F). Tout v∈ L(E; F) tel que |v-u|<((u)) appartient à QM(E; F) et satisfait les relations 02T4
Corollaire 1 Les fonctions définies par u↦ dim Ker(u) et par u↦ dim Coker(u) sur QM(E; F) sont semi-continues supérieurement. La fonction u↦ ind(u) est localement constante sur QM(E; F). 02T5
Corollaire 2 La fonction u↦ dim Coker(u) est localement constante sur l’ensemble M(E; F) des morphismes stricts injectifs de E dans F. 02T6
Lemme 4 Soient E et F des espaces de Banach. Pour qu’un élément u de L(E; F) soit un morphisme strict de E dans F, il faut et il suffit que ᵗu soit un morphisme strict de F' dans E'. Dans… 02T7
Proposition 13 Soient E et F des espaces de Banach. Les ensembles E(E; F) et QE(E; F) sont ouverts dans L(E; F). Plus précisément, si u est un élément de QE(E; F) et v un élément de L(E; F) tel q… 02T8
Corollaire 1 Les fonctions définies par u↦ dim Ker(u) et par u↦ dim Coker(u) sur QE(E; F) sont semi-continues supérieurement. La fonction u↦ ind(u) est localement constante sur QE(E; F). 02T9
Corollaire 2 La fonction définie par u↦ dim Ker(u) est localement constante sur E(E; F). 02TA

§ 5. Perturbation par une application linéaire compacte

Lemme 1 Soient E et F des espaces vectoriels topologiques, u une application linéaire continue de E dans F et U un voisinage de 0 dans E. On suppose que u induit un homéomorphisme de U sur… 02TK
Proposition 1 Soient E un espace localement convexe séparé, F un espace localement convexe et u une application linéaire continue de E dans F. Les conditions suivantes sont équivalentes : 02TL
Théorème 1 Soient E et F des espaces localement convexes séparés et u un morphisme strict de E dans F, dont le noyau est de dimension finie et dont l’image est fermée. Soit h une application… 02TM
Lemme 2 Soient E et F des espaces de Fréchet et u∈ L(E; F). Les conditions suivantes sont équivalentes : 02TN
Théorème 2 Soient E et F des espaces de Fréchet, u: E→ F une application linéaire continue dont le conoyau est de dimension finie, et h: E→ F une application linéaire compacte. L’application… 02TO
Théorème 3 Soient E un espace localement convexe, F un espace localement convexe séparé, u une application de Fredholm de E dans F et h une application linéaire compacte de E dans F. Alors u+… 02TP
Corollaire 1 Soient E et F des espaces localement convexes séparés et u∈ L(E; F). Pour que u soit une application de Fredholm, il faut et il suffit qu’il existe une application v∈ L(F; E) telle… 02TQ
Corollaire 2 Soient E et F des espaces localement convexes séparés et u∈ L(E; F). Les conditions suivantes sont équivalentes : 02TR
Proposition 2 Soit u∈ L(E) tel que |1_E-π (u)|<1 dans l’algèbre Calk(E). Alors u est un endomorphisme de Riesz de E. 02TS
Corollaire 1 Soit E un espace localement convexe séparé et soit u∈ L(E). Pour que u soit un endomorphisme de Riesz, il faut et il suffit qu’il existe un élément v de L(E) qui commute à u et tel… 02TT
Corollaire 2 Soient E un espace localement convexe séparé, u un endomorphisme de Riesz de E et h∈ L(E) une application linéaire compacte. Si u et h commutent, alors u+h est un endomorphisme de… 02TU
Proposition 3 Soit E un espace de Banach. Soit u un endomorphisme de E, soit A son commutant dans L(E). L’adhérence B de π (A) dans l’algèbre Calk(E) est une algèbre de Banach. Pour que u soit u… 02TV
Lemme 3 Soit X un espace topologique dont la topologie possède une base dénombrable. Toute partie discrète de X est dénombrable. 02TW
Théorème 4 Soit E un espace localement convexe séparé et soit h un endomorphisme compact de E. L’ensemble Σ des λ ∈ K tels que 1_E-λ h ne soit pas un automorphisme de E est une partie dénombr… 02TX
Proposition 4 (Alternative de Fredholm) Soit E un espace de Banach et soit h un endomorphisme compact de E. Soit λ un élément de K -0. Soient F le noyau de 1_E-λ h et G le noyau de 1_E'-λᵗh. 02TY
Exemple Soient X un espace compact, μ une mesure sur X, réelle ou complexe suivant que K est égal à R ou C, et N : X× X→ K une fonction continue. 02TZ
Lemme 4 L’application linéaire de G_λ dans E' définie par g↦ g· μ est injective, et son image est le noyau de 1_E'-λᵗh. 02U0
Théorème 5 Soit λ ∈ K. 02U1
Corollaire L’ensemble des λ ∈ K pour lesquels l’espace F_λ n’est pas nul est une partie dénombrable, fermée et discrète de K. 02U2

§ 6. Propriétés spectrales des endomorphismes des espaces de Banach

Définition 1 On dit que λ est de multiplicité spectrale finie pour u si le projecteur spectral e_λ(u) est de rang fini ; dans ce cas, l’entier m_λ(u) = dim(Im(e_λ(u))) s’appelle la multiplicité… 02UE
Définition 2 On appelle points sensibles du spectre de u les points isolés de Sp(u) de multiplicité spectrale finie. L’ensemble des points sensibles de Sp(u) s’appelle le spectre sensible de u… 02UF
Proposition 1 Les points sensibles du spectre de u sont des valeurs propres de multiplicité spectrale finie. 02UG
Proposition 2 Soient E un espace normable complet et u un endomorphisme de E. Soit H une partie finie de Spₛ(u). L’ensemble H est ouvert et fermé dans Sp(u). Le projecteur spectral e_H(u) est de… 02UH
Corollaire 1 Soit V un voisinage de Spₑ(u). 02UI
Corollaire 2 Soit f∈ O(Sp(u)) et soit μ un nombre complexe. Soit H l’ensemble des λ ∈ Sp(u) tels que f(λ ) =μ. Alors μ est un point sensible du spectre de f(u) si et seulement si H est fini, no… 02UJ
Exemple 1 Soient E un espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E. Le spectre de u est fini et coïncide avec Spₛ(u). Ses éléments sont les racines du polynôme caractéristi… 02UK
Exemple 2 Soient X une partie compacte de C et C(X) l’espace de Banach des fonctions continues sur X à valeurs complexes. Notons u l’endomorphisme de C(X) qui à f∈ C(X) associe la fonction z… 02UL
Définition 3 Soient E un espace normable complet et u un endomorphisme de E. Pour tout n∈ overlineZ, on note Spₙ(u) l’ensemble des nombres complexes λ ∈ Spₑ(u) tels que u-λ 1_E soit un morphism… 02UM
Remarque Notons π l’homomorphisme canonique de L(E) sur l’algèbre de Calkin Calk(E) de E (cf. nᵒ4 de III, p. 75). Le spectre de π (u) relativement à l’algèbre Calk(E) est parfois appelé le… 02UN
Théorème 1 Soient E un espace normable complet et u un endomorphisme de E. 02UO
Corollaire a) Soit Ω la composante connexe non bornée de C- Sp_ω(u). On a Ω ∩ Sp(u)⊂ Spₛ(u); 02UP
Proposition 3 Soient E et F des espaces normables complets, u: E→ F et v: F→ E des applications linéaires continues. 02UQ
Proposition 4 Soient E un espace normable complet, E' l’espace dual de E et u un endomorphisme de E. 02UR
Théorème 2 Soient E un espace normable complet, u un endomorphisme de E et h un endomorphisme compact de E. On a Sp_ω(u+h) = Sp_ω(u) et Spₙ(u+h) = Spₙ(u) pour tout n∈ overlineZ-0. 02US
Corollaire Supposons que la composante connexe non bornée du complémentaire de Sp_ω(u) contienne 0. Alors u+h est un endomorphisme de Riesz de E. 02UT
Lemme 1 Soit E un espace vectoriel topologique séparé de dimension geqslant 2 sur R et soit X une partie dénombrable de E. L’ensemble complémentaire E - X est connexe. 02UU
Lemme 2 Soit S⊂ C un ensemble infini, discret, borné et fermé dans C-0. Alors S est l’ensemble des valeurs d’une suite (λₙ)_n∈N de nombres complexes non nuls, deux à deux distincts, telle… 02UV
Proposition 5 Soit E un espace normable complet et soit u un endomorphisme compact de E. Tout élément de Spₛ(u) est une valeur propre de multiplicité spectrale finie. De plus : 02UW
Proposition 6 Soient E un espace normable complet sur C et u un endomorphisme compact de E. 02UX
Corollaire Soient E et F des espaces hilbertiens et soit u une application linéaire continue de E dans F. L’application linéaire u est compacte si et seulement si l’endomorphisme |u| de E est… 02UY
Proposition 7 Soit u∈ L(E). 02UZ
Corollaire Soit u∈ L(E). Si u est normal, alors Sp₀(u) est vide, et si u est hermitien, alors Spₑ(u) coïncide avec le spectre de π (u) relatif à l’algèbre Calk(E). 02V0
Théorème 3 (Weyl) Soit u∈ L(E) un endomorphisme normal de u. Le spectre essentiel de u est l’intersection des ensembles Sp(u+h) pour h parcourant Lᶜ(E). 02V1
Lemme 3 Soit (aₙ)_ngeqslant 0 une suite de nombres réels positifs tels que la série entière 02V2
Lemme 4 Soit E un espace de Banach réel et u∈ L(E_(C)) un endomorphisme non nul de E_(C). Soit C un cône convexe total dans E. Il existe x∈ C tel que u(x)not = 0. 02V3
Théorème 4 (Krein–Rutman) Soit E un espace normable complet sur R. Soit C un cône convexe fermé total saillant dans E et soit u∈ L(E) une application linéaire compacte telle que u(C)⊂ C. Si le rayon spectra… 02V4
Corollaire Soit E un espace normable complet sur R. Soient C un cône convexe fermé total saillant dans E et u∈ L(E) une application linéaire compacte telle que u(C)⊂ C. Si le rayon spectral v… 02V5
Remarque L’hypothèse varrho (u)>0 ne saurait être omise en général dans le théorème de Krein–Rutman. Par exemple, soit V l’endomorphisme de l’espace de Banach C([0,1]) défini par 02V6
Proposition 8 Soit E un espace normable complet sur R non nul. Soient C un cône convexe fermé saillant d’intérieur mathringC non vide dans E, et u∈ L(E) une application linéaire compacte telle q… 02V7
Lemme 5 Soient E un espace de Banach réel, C un cône convexe dans E et u∈ L(E) tels que u(C-0)⊂ mathringC. Soit ℓ ∈ C^∘ un vecteur propre de ᵗu. Alors le noyau de ℓ est stable par u et ne… 02V8
Lemme 6 Soient E un espace vectoriel réel de dimension finie et B un voisinage convexe compact de 0 dans E. Soit u un endomorphisme de E tel que u(B)⊂ mathringB. Le spectre complexe de u e… 02V9
Corollaire Soit E un espace normable complet non nul sur R. Soient C un cône convexe fermé saillant d’intérieur mathringC non vide dans E, et u un endomorphisme compact de E telle que u(C)⊂ C… 02VA
Lemme 7 On a u_A(Rⁿ₊)⊂ R₊ⁿ si et seulement si a_i,jgeqslant 0 pour tous i et j, et u_A(Rⁿ₊-0)⊂ (R₊^*)ⁿ si et seulement si a_i,j>0 pour tous i et j. 02VB
Théorème 5 (Perron–Frobenius) a) Si a_i,jgeqslant 0 pour tous i et j dans 1, . . . , n, alors le nombre réel varrho est une valeur propre de A; 02VC
Remarque On suppose qu’il existe un entier kgeqslant 1 tel que tous les coefficients de Aᵏ sont >0 (une telle matrice est parfois appelée primitive). Alors, d’après le cor. de la prop. 8, l… 02VD

IV. Théorie spectrale hilbertienne

§ 1. Opérateurs compacts sur un espace hilbertien

Définition 1 Soit B = (eᵢ)_i∈ I une base orthonormale de E. Un endomorphisme u est dit diagonal dans la base B ou diagonal relativement à B s’il existe une famille λ = (λᵢ)_i∈ I d’éléments de K… 02W8
Lemme 1 Soit u∈ D_B(E) et λ = (λᵢ)_i∈ I la famille de ses valeurs propres. La famille λ est bornée et l’on a supᵢ|λᵢ|=|u|. 02W9
Proposition 1 a) L’application α de D_B(E) dans B(I) qui à un endomorphisme diagonal u associe la famille des valeurs propres de u est un isomorphisme isométrique d’algèbres de Banach sur K. Si… 02WA
Remarque L’algèbre de Banach D_B(E) est une sous-algèbre fermée commutative maximale de L(E). En effet, soit u un endomorphisme de E qui commute avec D_B(E). Soit i∈ I. Comme le projecteur… 02WB
Proposition 2 Soient u∈ D_B(E) et λ = (λᵢ)_i∈ I la famille de ses valeurs propres. 02WC
Remarque Lorsque I est infini, la condition λ ∈ C₀(I; K) peut aussi s’énoncer « la famille λ tend vers 0 selon le filtre des complémentaires des parties finies de I. » 02WD
Théorème 1 Supposons K =C. Soit u un endomorphisme compact et normal de E. Il existe une base orthonormale B de E telle que u est diagonal dans la base B. 02WE
Corollaire 1 Soit u un endomorphisme compact hermitien de E. Il existe une base orthonormale B de E telle que u est diagonal dans la base B et ses valeurs propres sont réelles. 02WF
Corollaire 2 Soit F un espace hilbertien et soit u une application linéaire continue compacte de E dans F. Il existe un ensemble dénombrable I, une base orthonormale (eᵢ)_i∈ I de l’espace initi… 02WG
Définition 2 Avec les notations du corollaire, la famille (αᵢ)_i∈ I est la famille des valeurs singulières de u, relative à la base orthonormale (eᵢ)_i∈ I de l’espace initial de u. 02WH
Remarque 1 Ce corollaire généralise le th. 2 de EVT, V, p. 54, qui correspond aux applications de Hilbert–Schmidt. 02WI
Remarque 2 Avec les notations du corollaire, on a la formule 02WJ
Remarque 3 Soit u un endomorphisme compact positif de E. Soit B = (fᵢ)_i∈ I une base orthonormale de E telle que u est diagonal dans la base B (théorème 1), et soit (λᵢ)_i∈ I la famille des v… 02WK
Proposition 3 Soit u un endomorphisme compact positif de E. Il existe une famille orthonormale (eₙ)_n∈ I dans E telle que, pour tout x∈ E, l’on ait 02WL
Proposition 4 Soit u un endomorphisme compact positif de E. Soit f∈ C(R₊) une application continue croissante telle que f(0) = 0. 02WM
Proposition 5 Soit n∈ I. 02WN
Proposition 6 Pour tout n∈ I, on a 02WO
Proposition 7 Soient u et v des endomorphismes compacts positifs de E. 02WP
Proposition 8 Soit u un endomorphisme compact positif de E. Soient H un sous-espace fermé de E et i_H: H→ E l’injection canonique. Notons u_H l’endomorphisme i^*_Hui_H de H. Il est compact et po… 02WQ
Définition 3 Soit F un espace hilbertien et soit u une application linéaire compacte de E dans F. 02WR
Proposition 9 Soit F un espace hilbertien et soit u une application linéaire compacte de E dans F. 02WS
Corollaire Soient F un espace hilbertien et u une application linéaire compacte de E dans F. Soient w∈ L(E) et v∈ L(F). Pour tout n∈ I_E, on a αₙ(w∘ u∘ v)leqslant |v| |w|αₙ(u). 02WT
Remarque 1 La suite (αₙ(u))_n∈ I_E étant décroissante, l’ensemble J est, soit égal à I_E, soit égal à un segment 0, . . . , m dans I_E où m∈ N. Ce dernier cas vaut si et seulement si u est de… 02WU
Remarque 2 Comme |u(x)|=||u|(x)| pour tout x∈ E (I, p. 139, prop. 10), on a αₙ(u) =αₙ(|u|) pour tout n∈ I_E. 02WV
Remarque 3 Si u est positif, alors αₙ(u) =λₙ(u) pour tout n∈ I_E (en effet, on a alors αₙ(u)²=λₙ(u^*u) =λₙ(u²) =λₙ(u)² d’après la prop. 4 de IV, p. 153). 02WW
Remarque 4 Il est possible que αₙ(v∘ u∘ w) = 0 même si αₙ(u) est non nul ; dans ce cas, αₙ(v∘ u∘ w) n’est pas une valeur singulière de v∘ u∘ w. 02WX
Lemme 2 Soit n∈ N. L’application widehat∧ⁿi_H est une application linéaire isométrique de widehat∧ⁿH dans widehat∧ⁿE. 02WY
Lemme 3 Soient F un espace hilbertien et u∈ L(E; F). Soit n∈ N. 02WZ
Proposition 10 On a l’égalité 02X0
Corollaire Soit G un espace hilbertien et v∈ Lᶜ(F; G). On a 02X1
Lemme 4 Soit A un anneau. Soient n∈ N et (aᵢ)_0leqslant ileqslant n et (bᵢ)_0leqslant ileqslant n des familles d’éléments de A. Pour 0leqslant jleqslant n, posons 02X2
Lemme 5 Soient I⊂ overlineR un intervalle ne contenant pas +∞ et f une fonction convexe croissante de I dans [-∞ ,+∞ [. 02X3
Proposition 11 (Inégalités de Weyl) Soient G un espace hilbertien et v∈ Lᶜ(F; G). Soit g:R₊→ [-∞ ,+∞ [ une fonction croissante telle que la fonction g∘ exp est convexe. On a 02X4
Lemme 6 Soient g et h des fonctions convexes définies sur des intervalles I et J de R, respectivement. Si g est croissante et définie sur l’image de h, alors la fonction g∘ h est convexe s… 02X5
Corollaire Soient G un espace hilbertien et v∈ Lᶜ(F; G). Soit n∈ I_E∩ I_F. 02X6
Proposition 12 Soit B = (eᵢ)_i∈ I une base orthonormale de E. Soit u∈ D_B(E) et notons λ = (λᵢ)_i∈ I la famille de ses valeurs propres. L’endomorphisme u est de trace finie si et seulement si la… 02X7
Corollaire 1 Soit u un endomorphisme de trace finie de E. 02X8
Corollaire 2 Soit F un espace hilbertien. Soit u∈ L(E; F) une application de Hilbert–Schmidt. Alors u est une application linéaire compacte. 02X9
Corollaire 3 Supposons que K =C. Soit u un endomorphisme compact positif de E. L’endomorphisme u est de trace finie si et seulement si la famille décroissante de ses valeurs propres (λₙ(u))_n∈… 02XA
Corollaire 4 Soit F un espace hilbertien. Soit u∈ L(E; F) une application linéaire compacte. Soient B = (eᵢ)_i∈ I une base orthonormale de l’espace initial Ker(u)^∘ de u,C = (fᵢ)_i∈ I une famil… 02XB
Lemme 7 Soit λ = (λᵢ)_i∈ I une famille de nombres complexes. Pour tout t∈ C^*, soit nₜ le cardinal de l’ensemble des i∈ I tels que λᵢ=t. La famille (λᵢ)_i∈ I est sommable si et seulement s… 02XC
Proposition 13 Supposons que K =C. Soit u un endomorphisme normal compact de E. Pour t∈ Spₛ(u), soit nₜgeqslant 1 la multiplicité spectrale de la valeur propre t de u. Pour que u soit de trace fi… 02XD
Proposition 14 Soit u∈ L₂(E; F). On a 02XE
Définition 4 On dit que l’espace vectoriel L₁(E; F) muni de la norme u↦ |u|₁ est l’espace des applications nucléaires de E dans F. Si u∈ L₁(E; F), on dit que u est nucléaire. 02XF
Remarque 1 Supposons que K =R. Soit u∈ L(E; F). On a u∈ L₁(E; F) si et seulement si u_(C)∈ L₁(E_(C); F_(C)); dans ce cas, on a |u|₁=|u_(C)|₁. 02XG
Remarque 2 Soit u une application nucléaire de E dans F. L’application u étant de Hilbert–Schmidt, elle est compacte (cor. 2 de IV, p. 165). De plus, la proposition 14 implique que pour tout… 02XH
Remarque 3 Supposons que K =C. Soit u∈ L₁(E; E) tel que u est positif. La norme |u|₁ de u est la somme de la suite (λₙ(u))_n∈ I_E (cor. 3 de IV, p. 165). 02XI
Remarque 4 L’inclusion canonique de L₁(E; F) dans L(E; F) est de norme leqslant 1 (inégalité (9), p. 167). 02XJ
Proposition 15 Soit G un espace hilbertien sur K. L’application (u, v)↦ v∘ u de L(E; F)× L(F; G) dans L(E; G) définit par passage aux sous-espaces une application bilinéaire continue de norme leq… 02XK
Lemme 8 L’application u↦ u^* de L(E; F) dans L(F; E) définit par passage aux sous-espaces une application linéaire isométrique de L₁(E; F) dans L₁(F; E). 02XL
Proposition 16 Soient E₁ et F₁ des espaces hilbertiens. Soient u dans L₁(E; F),v dans L(E₁; E) et v₂ dans L(F; F₁). On a alors v₂uv₁∈ L₁(E₁; F₁) et |v₂uv₁|₁leqslant |v₂| |v₁| |u|₁. 02XM
Proposition 17 L’espace L₁(E; E) coïncide avec l’espace L₁(E) des endomorphismes de trace finie de E, et on a |Tr(u)|leqslant |u|₁ pour tout endomorphisme u de E de trace finie. 02XN
Lemme 9 Soit u∈ L₁(E; F). On a 02XO
Proposition 18 L’application θ est un isomorphisme isométrique. 02XP
Corollaire L’espace normé L₁(E; F) est un espace de Banach. 02XQ
Lemme 10 L’application θ définit par passage aux quotients une application linéaire widetildeθ de L²(X)⊗ L²(Y) dans L²(X× Y), et il existe un unique isomorphisme isométrique de L²(X)widehat… 02XR
Proposition 19 L’application N↦ u_N est un isomorphisme isométrique de L²(X× Y) sur l’espace L₂(L²(X); L²(Y)) des applications 02XS
Corollaire Pour tout N∈ L²(X× Y), l’application linéaire u_N est une application de Hilbert–Schmidt et on a Tr(u^*_Nu_N) =|N|². 02XT
Remarque Soit N∈ L²(X× Y). D’après le corollaire 2 de IV, p. 150, il existe un ensemble dénombrable I, des familles orthonormales (fᵢ)_i∈ I dans L²(X) et (gᵢ)_i∈ I dans L²(Y), ainsi qu’une… 02XU
Proposition 20 Soit (fₙ)_n∈N une suite d’applications mesurables de X dans un espace métrisable F. On suppose que la limite de fₙ(x) existe dans le complémentaire d’une partie μ-négligeable de X… 02XV
Proposition 21 Supposons que u_N est de trace finie. Il existe alors un ensemble widetildeX⊂ X dont le complémentaire X -widetildeX est μ-négligeable et une fonction H∈ L²(X× X) vérifiant les con… 02XW
Théorème 2 Supposons que u_N est de trace finie. Alors la fonction x↦ N(x, x) appartient à L¹(X) et l’on a 02XX
Lemme 11 Si l’endomorphisme u_N de L²(X) est positif, alors N(x, x)geqslant 0 pour tout x dans le support de μ. 02XY
Remarque L’assertion réciproque du lemme n’est pas valide (exercice 14 de IV, p. 316). 02XZ
Proposition 22 On suppose que u_N est un endomorphisme positif de L²(X). Alors l’endomorphisme u_N est de trace finie si et seulement si la fonction x↦ N(x, x) est μ-intégrable. Dans ce cas, on a 02Y0
Remarque Même lorsque X est compact et N continu, l’endomorphisme u_N de L²(X) n’est pas toujours de trace finie (cf. exercice 8 de IV, p. 314). 02Y1

§ 2. Endomorphismes normaux

Proposition 1 Soit X un espace topologique localement compact. Soient μ une mesure positive sur X et p∈ [1,+∞ [. Soit (Xᵢ)_i∈ I une famille localement dénombrable (INT, IV, p. 190, § 5, nᵒ9, déf… 02YO
Proposition 2 Soit X un espace localement compact dénombrable à l’infini. Soit μ une mesure positive sur X. Pour tout p∈ [1,+∞ [, l’espace Lᵖ(X, μ) est de type dénombrable. 02YP
Définition 1 Soit Y un espace topologique. Pour toute fonction mesurable g de X dans Y, l’image μ-essentielle de g est le sous-ensemble des y∈ Y tels que, pour tout voisinage ouvert U de y, l’e… 02YQ
Lemme 1 Soient g une fonction μ-mesurable de X dans un espace topologique Y et S son image μ-essentielle. L’ensemble des éléments x∈ X tel que g(x) n’appartienne pas à S est localement μ-n… 02YR
Lemme 2 Soit g une fonction continue de X dans C. L’image μ-essentielle de g est l’adhérence de l’image par g du support de μ. 02YS
Lemme 3 Soient g une fonction continue de X dans C et S son image μ-essentielle. On suppose que S n’est pas vide et que 0∉ S et on note δ la distance de 0 à S. On a δ >0. 02YT
Lemme 4 Soient Y et Z des espaces topologiques localement compacts, f: X→ Y et g: Y→ Z des applications universellement mesurables. L’application g∘ f: X→ Z est universellement mesurable. 02YU
Proposition 3 a) L’ensemble Lᵤ(X) est une sous-algèbre involutive de l’algèbre involutive des fonctions de X dans C; 02YV
Lemme 5 Soit μ une mesure positive sur X. Soient g une fonction μ-mesurable de X dans C et S son image μ-essentielle. Pour toute fonction f∈ Lᵤ(S), l’application h de X dans C telle que h(… 02YW
Remarque Sous les hypothèses du lemme, notons par abus de langage f∘ g la fonction h définie dans le lemme. 02YX
Lemme 6 Soit g∈ L^∞(X, μ). Le spectre de la classe de g dans L^∞(X, μ) est égal à l’image μ-essentielle de g. 02YY
Proposition 4 Soit g∈ L^∞(X, μ). Notons widetildeg la classe de g dans L^∞(X, μ) et S le spectre de widetildeg. L’application f↦ f∘ g (remarque, p. 184) est l’application de calcul fonctionnel d… 02YZ
Lemme 7 Soit g∈ L^∞(X, μ). L’endomorphisme widetildem_g de Lᵖ(X, μ) est injectif si et seulement si l’ensemble des x∈ X tels que g(x) = 0 est localement μ-négligeable. 02Z0
Proposition 5 Soit p∈ [1,+∞ [. L’application m:g↦ widetildem_g de L^∞(X, μ) dans L(Lᵖ(X, μ)) est un morphisme isométrique d’algèbres de Banach unifères. 02Z1
Lemme 8 Soit (gₙ) une suite bornée dans L^∞(X, μ) convergeant simplement μ-presque partout. Soit widetildem∈ L^∞(X, μ) la classe de sa limite. Alors widetildem_gₙ converge vers widetildem_… 02Z2
Proposition 6 L’application m:g↦ widetildem_g est un morphisme unifère isométrique de l’algèbre stellaire L^∞(X, μ) dans l’algèbre stellaire L(L²(X, μ)). 02Z3
Corollaire Soit g∈ L^∞(X, μ). 02Z4
Proposition 7 L’image du morphisme widetildem de L^∞(X, μ) dans L(L²(X, μ)) est une sous-algèbre commutative maximale de l’algèbre L(L²(X, μ)). 02Z5
Corollaire Soit u un endomorphisme de l’espace hilbertien L²(X, μ) permutable à widetildem_g pour toute fonction g∈ K(X). Alors il existe un unique élément f∈ L^∞(X, μ) tel que u=widetildem_f… 02Z6
Remarque Dans la suite, on notera souvent simplement m_g l’endomorphisme de multiplication par g sur Lᵖ(X, μ). 02Z7
Lemme 9 Soit A une sous-algèbre stellaire unifère commutative de L(E). Pour tous x et y dans E, l’application μ de X(A) dans C définie par μ(f) =⟨ x|H_A(f)y⟩ pour tout f∈ C(X(A)) est une m… 02Z8
Définition 2 Soit A une sous-algèbre stellaire unifère commutative de L(E). Pour tous x et y dans E, la forme linéaire f↦ ⟨ x|H_A(f)y⟩ sur C(X(A)) s’appelle la mesure spectrale de (x, y) relati… 02Z9
Remarque Soit A une sous-algèbre stellaire unifère commutative de L(E). Pour tous x et y dans E, notons μ_x,y la mesure spectrale de (x, y) relativement à A. L’application définie par (x, y… 02ZA
Définition 3 Soient A une algèbre sur C et E un espace vectoriel topologique complexe. Soit π une représentation de A dans E. On dit qu’un élément x de E est un vecteur cyclique pour π si l’ens… 02ZB
Proposition 8 Soit E un espace hilbertien complexe. Soit A une sous-algèbre stellaire unifère commutative de L(E). Soit x un élément de E. Posons Eₓ= A· x et notons μₓ la mesure spectrale de x r… 02ZC
Corollaire Soit E un espace hilbertien complexe. Soit A une sous-algèbre stellaire unifère commutative de L(E) admettant un vecteur cyclique x. Soit μₓ la mesure spectrale de x relative à A… 02ZD
Proposition 9 Il existe un sous-ensemble C de E tel que E est somme hilbertienne des espaces Eₓ pour x∈ C. Si E est de type dénombrable, l’ensemble C est dénombrable. 02ZE
Théorème 1 Soit A une sous-algèbre stellaire unifère commutative de L(E). Il existe un espace topologique localement compact X, une mesure positive μ sur X, un isomorphisme isométrique θ de L… 02ZF
Corollaire (Théorème spectral) Soit E un espace hilbertien complexe. Soit u∈ L(E) un endomorphisme normal de E. Il existe un espace topologique localement compact X, une mesure positive μ sur X, un isomorphisme… 02ZG
Proposition 10 Soit A une algèbre stellaire unifère. Soit U un ouvert relativement compact dans C. Notons Ωₙ l’ensemble des éléments normaux de A tels que Sp_A(a) est contenu dans U. L’applicatio… 02ZH
Corollaire 1 Soit A une algèbre stellaire unifère et soit Aₙ l’ensemble des éléments normaux de A. Munissons l’espace C(C) de la topologie de la convergence compacte. L’application (f, a)↦ f(a)… 02ZI
Corollaire 2 Soit E un espace hilbertien complexe et soit L(E)ₙ l’ensemble des endomorphismes normaux de E. Munissons l’espace C(C) de la topologie de la convergence compacte. L’application de… 02ZJ

§ 3. Distributions et distributions tempérées

Lemme 1 Soit U un ouvert de Rⁿ. 030C
Proposition 1 Soient U un ouvert de Rⁿ et k∈ N. Soient E, F et G des espaces vectoriels topologiques et b: E× F→ G une application bilinéaire continue. Soient f et g des fonctions de classe Cᵏ d… 030D
Proposition 2 Soient I un intervalle de R et f une application de X× I dans E telle que 030E
Corollaire 1 Soit U un ouvert de Rⁿ. Soient k∈ N et f une application de X× U dans E qui vérifie les conditions suivantes : 030F
Corollaire 2 Soit k un entier naturel. Soient f∈ L¹(Rⁿ, μ) et g∈ Cᵏ(Rⁿ). On suppose que pour tout α ∈ Nⁿ tel que |α |leqslant k, la fonction ∂^αg est bornée. Alors le produit de convolution f*g… 030G
Proposition 3 Soient N une norme sur Rⁿ,r un nombre réel et p∈ [1,+∞ [. 030H
Remarque On définit de même l’espace D_R(U) des fonctions test dans U à valeurs réelles. L’application linéaire telle que z⊗ φ ↦ zφ pour tout z∈ C et tout φ ∈ D_R(U) est un isomorphisme de… 030I
Lemme 2 Soit U un recouvrement ouvert de U. Il existe un recouvrement ouvert localement fini de U plus fin que U et formé de parties relativement compactes. 030J
Lemme 3 Soit f∈ K(Rⁿ) et soit V un voisinage ouvert du support K de f. Il existe un entier m₀geqslant 1 tel que, pour tout x∈ K, l’ensemble V contient la boule de rayon m⁻¹₀ centrée en x… 030K
Proposition 4 a) L’injection canonique de D(U) dans K(U) est continue et D(U) est dense dans K(U); 030L
Définition 1 L’espace dual de D(U), muni de la topologie de la convergence bornée, est appelé l’espace des distributions sur U. Il est noté D'(U). 030M
Lemme 4 Soit f une application linéaire de D(U) dans C. Alors f est une distribution si et seulement si, pour toute partie compacte K de U et pour toute famille (M_α)_α∈Nⁿ dans R₊, la form… 030N
Lemme 5 Soit 𝔉 un filtre sur D'(U) ayant une base dénombrable ou contenant un ensemble simplement borné. Alors 𝔉 converge vers une distribution si et seulement si ⟨ f, φ ⟩ converge selon 𝔉… 030O
Proposition 5 Le préfaisceau D'(U) est un faisceau. 030P
Proposition 6 Soit ν une mesure sur U. La restriction de ν à D(U) est une distribution, qui est nulle si et seulement si la mesure ν est nulle. 030Q
Proposition 7 Soit p∈ [1,+∞ ]. L’injection de Lᵖ(U) dans D'(U) est continue. 030R
Proposition 8 L’espace D(U) est dense dans D'(U). 030S
Définition 2 Si f∈ D'(U) est une distribution, on dit que ∂^αf est la dérivée partielle itérée d’ordre α de f. 030T
Lemme 6 Soit k un entier naturel. Soit f∈ Cᵏ(U) et soit λ la distribution associée à f. Pour tout β ∈ Nⁿ tel que |β |leqslant k, la distribution ∂^βλ est la distribution associée à la fonc… 030U
Proposition 9 (Formule de Leibniz) Soient f une distribution sur U et g une fonction indéfiniment différentiable sur U. Soit α ∈ Nⁿ. On a la relation 030V
Remarque Soit φ ∈ S(Rⁿ). Pour tout k∈ N, on a 030W
Exemple La fonction γₙ définie sur Rⁿ par γₙ(x) = exp(-|x|²) appartient à S(Rⁿ). En effet, on démontre par récurrence sur k que, pour tout entier k∈ N, il existe un polynôme Pₖ∈ R[X] tel q… 030X
Lemme 7 Soient k∈ N et α ∈ Nⁿ. Pour toute fonction φ ∈ S(Rⁿ) et tout nombre réel T>0, on a 030Y
Proposition 10 Soit B une partie bornée de S(Rⁿ). La topologie induite sur B par S(Rⁿ) coïncide avec la topologie induite par C^∞(Rⁿ). 030Z
Corollaire Soit (φₘ)_m∈N une suite bornée dans S(Rⁿ). Pour toute fonction φ ∈ S(Rⁿ), les assertions suivantes sont équivalentes : 0310
Remarque Une suite (φₘ) dans C^∞(Rⁿ) converge si et seulement si, pour tout α ∈ Nⁿ, la suite (∂^αφₘ) converge vers une fonction φ^(α) dans C(Rⁿ) muni de la topologie de la convergence compa… 0311
Proposition 11 L’espace S(Rⁿ) est un espace de Fréchet et un espace de Montel. 0312
Proposition 12 L’espace D(Rⁿ) est contenu dans S(Rⁿ), et l’inclusion de D(Rⁿ) dans S(Rⁿ) est continue avec image dense. 0313
Lemme 8 Soit B une partie bornée de D(Rⁿ). La topologie induite sur B par la topologie de S(Rⁿ) coïncide avec la topologie induite par D(Rⁿ). 0314
Proposition 13 Soit p∈ [1,+∞ ]. L’espace S(Rⁿ) est contenu dans Lᵖ(Rⁿ) et l’injection canonique de S(Rⁿ) dans Lᵖ(Rⁿ) est continue. L’image de S(Rⁿ) dans Lᵖ(Rⁿ) est dense si pnot = +∞. 0315
Définition 3 Une fonction f:Rⁿ→ C est à croissance polynomiale s’il existe un entier kgeqslant 1 tel que l’application définie par x↦ (1 +|x|)⁻ᵏf(x) est bornée sur Rⁿ. 0316
Proposition 14 Soit f∈ C^∞(Rⁿ). On suppose que pour tout α dans Nⁿ, la fonction ∂^αf est à croissance polynomiale. L’application linéaire de l’espace S(Rⁿ) dans lui-même définie par φ ↦ f φ est c… 0317
Définition 4 On appelle espace des distributions tempérées sur Rⁿ l’espace dual de S(R) muni de la topologie de la convergence bornée. On le note S'(Rⁿ). 0318
Lemme 9 Une application linéaire f de S(Rⁿ) dans C est une distribution tempérée si et seulement si pour toute famille (M_α ,k)_(α ,k)∈Nⁿ×N dans R₊, la forme linéaire f est bornée sur l’en… 0319
Lemme 10 Soit 𝔉 un filtre sur S'(Rⁿ) ayant une base dénombrable ou contenant un ensemble simplement borné. Alors 𝔉 converge vers une distribution tempérée si et seulement si ⟨ f, φ ⟩ conver… 031A
Définition 5 Une mesure ν sur Rⁿ est dite tempérée s’il existe un entier r∈ N tel que l’application continue x↦ (1 +|x|)⁻ʳ est ν-intégrable sur Rⁿ. 031B
Proposition 15 Soit ν une mesure tempérée sur Rⁿ. La restriction de ν à S(Rⁿ) est une distribution tempérée. Elle est nulle si et seulement si la mesure ν est nulle. 031C
Proposition 16 Soit p∈ [1,+∞ ] et f∈ Lᵖ(Rⁿ). Alors la mesure f· μ de densité f par rapport à la mesure de Lebesgue est tempérée. L’application f↦ f· μ de Lᵖ(Rⁿ) dans S'(Rⁿ) ainsi définie est cont… 031D
Proposition 17 Les espaces D(Rⁿ) et S(Rⁿ) sont denses dans S'(Rⁿ). 031E
Lemme 11 Soit φ ∈ S(Rⁿ). La fonction F(φ ) est indéfiniment dérivable sur Rⁿ et on a 031F
Proposition 18 La restriction à S(Rⁿ) de la transformation de Fourier est un automorphisme d’espaces vectoriels topologiques dont l’inverse est la restriction de la cotransformation de Fourier. 031G
Définition 6 On appelle transformation de Fourier (resp. cotransformation de Fourier) sur S'(Rⁿ) la transposée de la transformation de Fourier sur S(Rⁿ) (resp. de la cotransformation de Fourier… 031H
Proposition 19 Soit f une distribution tempérée associée à une mesure bornée ν ∈ M¹(Rⁿ) (resp. à g∈ L²(Rⁿ)). La transformée de Fourier de f dans S'(Rⁿ) est la distribution tempérée associée à la… 031I
Remarque Les formules élémentaires concernant la transformation de Fourier des mesures restent valides pour la transformation de Fourier des distributions tempérées. Par exemple, pour f∈ S'… 031J
Proposition 20 Les espaces de Sobolev W^k,p(U) et W^k,p₀ (U) sont des espaces de Banach de type dénombrable. En particulier, les espaces Hᵏ(U) et Hᵏ₀(U) sont des espaces hilbertiens de type dénom… 031K
Proposition 21 Soit N la norme euclidienne sur Rⁿ. Soit k un entier geqslant 0. L’espace de Sobolev Hᵏ(Rⁿ) est l’espace des f∈ S'(Rⁿ) tel que (1 + Nᵏ)F(f) appartient à L²(Rⁿ). 031L

§ 4. Opérateurs partiels

Définition 1 Soient E et F des espaces vectoriels sur K. Un opérateur partiel u de E dans F est une correspondance (Γ ,E,F) entre E et F vérifiant les conditions suivantes: 032J
Définition 2 Soient E et F des espaces vectoriels topologiques sur K (EVT, I, p. 1, déf. 1). Soit u∈ P(E; F) un opérateur partiel de E dans F. 032K
Exemple Soient E et F des espaces vectoriels topologiques sur K. 032L
Proposition 1 Soient E et F des espaces vectoriels topologiques sur K. Un opérateur partiel u de E dans F est fermable si et seulement si l’adhérence du graphe Γᵤ de u dans E× F est un graphe fo… 032M
Définition 3 Soient E et F des espaces vectoriels topologiques sur K. Soit u un opérateur fermable de E dans F. L’opérateur fermé dont le graphe est Γᵤ est appelé la fermeture de u. Il est noté… 032N
Remarque Soient E et F des espaces vectoriels topologiques sur K. Soit u un opérateur fermable de E dans F. Le domaine de la fermeture de u est contenu dans l’adhérence du domaine de u dans… 032O
Proposition 2 Soit K =R et soient E et F des espaces vectoriels topologiques sur R. Soit u un opérateur partiel de E dans F. Alors u est à domaine dense (resp. est fermé, est fermable) si et seu… 032P
Lemme 1 Soient E, F et G des espaces vectoriels topologiques sur K. Soit u un opérateur fermé de E dans F. 032Q
Proposition 3 Soient E et F des espaces vectoriels topologiques sur K, l’espace F étant séparé. Soit u un opérateur partiel fermé de E dans F. Le noyau de u est un sous-espace fermé de E. 032R
Définition 4 Soient E et F des espaces normés sur K et soit u un opérateur partiel de E dans F. Pour x dans dom(u), on note 032S
Remarque Soient E et F des espaces normés sur K et soit u un opérateur partiel de E dans F. 032T
Proposition 4 Soient E et F des espaces de Banach (resp. des espaces hilbertiens) et soit u un opérateur partiel de E dans F. Alors u est fermé si et seulement si l’espace normé Eᵤ est un espace… 032U
Lemme 2 Soient E, F et G des espaces normés sur K, l’espace F étant un espace de Banach. Soit u un opérateur partiel fermé de E dans F et soit v∈ L(F; G). S’il existe C∈ R₊ tel que 032V
Exemple 1 Soit X un espace topologique localement compact et soit μ une mesure positive sur X. On fixe des éléments p₁ et p₂ de [1,+∞ [. 032W
Proposition 5 L’opérateur de multiplication widetildem_g de L^p₁_K(X, μ) dans L^p₂_K(X, μ) est un opérateur fermé à domaine dense. 032X
Proposition 6 a) Soit g' une fonction μ-mesurable sur X telle que |g|leqslant |g'|. On a dom(widetildem_g')⊂ dom(widetildem_g) et dom(widetildem_g') est un cœur de l’opérateur partiel widetildem… 032Y
Exemple 2 Soient E un espace hilbertien sur K et B = (eᵢ)_i∈ I une base orthonormale de E. Soit (λᵢ)_i∈ I une famille d’éléments de K. Soit D le sous-espace vectoriel de E formé des éléments… 032Z
Exemple 3 L’ensemble N_R=N∪ ∞ , ω est muni de l’ordre total décrit dans VAR, R2, p. 10, tel que n <∞ < ω pour tout n∈ N. Soit r∈ N_R. Soient n∈ N et U un ouvert de Rⁿ. Soit k∈ N tel que kleq… 0330
Définition 5 Soit E un sous-espace vectoriel de D'(U) contenant D(U). On appelle opérateur différentiel associé à D sur E tout opérateur partiel sur E qui est une extension de l’opérateur parti… 0331
Définition 6 L’opérateur partiel de F dans E de domaine D^* défini par y↦ u^*(y) est appelé l’ adjoint de u. Il est noté u^*. 0332
Remarque On a donc y∈ D^* si et seulement s’il existe c∈ R₊ tel que |⟨ y|u(x)⟩ |leqslant c|x| pour tout x∈ D. L’élément u^*(y) est alors caractérisé par la relation 0333
Proposition 7 Soit u un opérateur partiel à domaine dense de E dans F. 0334
Proposition 8 Soit u un opérateur à domaine dense de E dans F. Alors u^* est à domaine dense si et seulement si u est fermable. Lorsque c’est le cas, la fermeture overlineu de u est égale à u^**… 0335
Corollaire Si u est un opérateur partiel fermé à domaine dense de E dans F, alors u^* est à domaine dense et on a u^**=u. 0336
Définition 7 Soit u un opérateur partiel sur E. On dit que u est symétrique si u est à domaine dense et si u^* est une extension de u. On dit que u est auto-adjoint si u est à domaine dense et… 0337
Remarque 1 Pour qu’un opérateur u à domaine dense sur E soit symétrique, il faut et il suffit que l’on ait 0338
Remarque 2 Un opérateur partiel auto-adjoint u est essentiellement auto-adjoint (cf. prop. 8). 0339
Remarque 3 Soit u un opérateur partiel symétrique sur E. L’opérateur u est fermable (prop. 7, b)). Il vérifie dom(u)⊂ dom(u^*), et u est auto-adjoint si et seulement si dom(u) = dom(u^*). De… 033A
Remarque 4 Supposons K =C. Soit u∈ P(E; E) un opérateur partiel à domaine dense. La condition ⟨ x|u(x)⟩ ∈ R pour tout x∈ dom(u) implique que u est symétrique (EVT, V, p. 2, remarque) ; en par… 033B
Remarque 5 Soient u et v des opérateurs partiels symétriques sur E. Si u est auto-adjoint et si u⊂ v, alors v⊂ v^*⊂ u^*=u, donc u=v. 033C
Remarque 6 Un opérateur partiel essentiellement auto-adjoint u est symétrique, puisque u⊂ overlineu implique overlineu=overlineu^*⊂ u^*, donc u⊂ u^*. 033D
Remarque 7 Soient u et v des opérateurs partiels symétriques sur E. Si u+v est à domaine dense, par exemple si u ou v appartient à L (E), alors u+v est symétrique. En général, l’opérateur par… 033E
Remarque 8 Soit u un opérateur partiel symétrique sur E. Un nombre réel c est un minorant de u si et seulement si l’opérateur u-c· 1_E est positif. 033F
Lemme 3 Supposons que K =R. Soit u un opérateur partiel à domaine dense de E dans F. 033G
Proposition 9 Soit v∈ L(F; E) une application linéaire continue injective de F dans E dont l’image est dense dans E. L’adjoint de v est une application linéaire continue injective de E dans F et… 033H
Proposition 10 (Hellinger–Toeplitz) Soit u un opérateur partiel symétrique sur l’espace hilbertien E. Si le domaine de u est égal à E, alors u∈ L(E) et u est hermitien. 033I
Corollaire Soit u un opérateur partiel symétrique sur E. Si l’opérateur partiel u induit une application linéaire bijective de dom(u) dans E, alors u est auto-adjoint. 033J
Proposition 11 Soit u un opérateur partiel symétrique sur E et soit λ ∈ C. Si u+λ 1_E et u+λ 1_E sont surjectifs, alors u est auto-adjoint. 033K
Proposition 12 Soit u un opérateur fermé à domaine dense de E dans F. L’opérateur partiel u^*∘ u sur E est auto-adjoint et positif. Son domaine est un cœur pour u. 033L
Proposition 13 Soit u un opérateur partiel sur L²(U). Si que D₋⊂ u⊂ D₊, alors u est fermable et (ᵗD)₋⊂ u^*⊂ (ᵗD)₊. 033M
Remarque La proposition signifie que l’adjoint d’un opérateur partiel u tel que D₋⊂ u⊂ D₊ peut toujours se calculer au sens des distributions : les éléments f du domaine de u^* sont des élé… 033N
Lemme 4 Soit E un espace de Banach complexe et soit u un opérateur partiel fermé injectif sur E tel que u⁻¹∈ L(E). Soit v∈ L(E) tel que |v|<|u⁻¹|⁻¹. Alors l’opérateur partiel u+v est injec… 033O
Définition 8 Soit u un opérateur fermé à domaine dense sur un espace de Banach complexe E. L’ensemble résolvant de u est l’ensemble des nombres complexes λ tels que l’opérateur partiel λ 1_E-u… 033P
Remarque Soit E un espace de Banach complexe et soit u un opérateur fermé à domaine dense sur E. 033Q
Proposition 14 Soit E un espace de Banach complexe. Soient u un opérateur fermé à domaine dense sur E et U son ensemble résolvant. 033R
Proposition 15 Soient u un opérateur fermé à domaine dense sur un espace de Banach complexe E et λ un nombre complexe appartenant à l’ensemble résolvant de u. 033S
Proposition 16 Soit u un opérateur fermé à domaine dense sur un espace hilbertien complexe E. Le spectre de u^* est l’image du spectre de u par la conjugaison complexe et, pour tout élément λ de… 033T
Corollaire Soit u un opérateur partiel auto-adjoint sur un espace hilbertien complexe E. Si E n’est pas nul, alors le spectre de u n’est pas vide. 033U
Lemme 5 Soit E un espace hilbertien complexe et soit u un opérateur partiel fermé à domaine dense sur E. Soit λ ∈ C. Supposons qu’il existe un nombre réel c >0 tel que 033V
Proposition 17 Soit E un espace hilbertien complexe et soit u un opérateur partiel auto-adjoint sur E. 033W
Corollaire Soit u un opérateur auto-adjoint sur E. 033X
Remarque Si u est un opérateur symétrique fermé non auto-adjoint, son spectre n’est pas contenu dans R(cf. cor. 10 de IV, p. 257 ci-dessous), et il est possible que les espaces propres de u… 033Y
Définition 9 Soit E un espace de Banach complexe et soit u un opérateur partiel fermé sur E. Soit ε un nombre réel strictement positif. On appelle ε-pseudo-spectre de u la réunion du spectre de… 033Z
Proposition 18 Soient E un espace de Banach complexe et u un opérateur partiel fermé sur E. Soit ε ∈ R^*₊. L’ensemble PSp_ε(u) est un ouvert de C. Il n’est pas vide si E n’est pas nul. 0340
Proposition 19 Soient E un espace de Banach complexe et u un opérateur partiel fermé sur E. On a PSp_ε(u)⊂ PSp_δ(u) si 0< ε < δ et 0341
Proposition 20 Soient E un espace de Banach complexe et u un opérateur partiel fermé sur E. Soit ε ∈ R^*₊. Pour tout λ ∈ C, les conditions suivantes sont équivalentes : 0342
Corollaire Soient E un espace de Banach complexe et u un opérateur partiel fermé sur E. Soit ε >0. 0343
Proposition 21 Soient E un espace de Banach complexe et u un opérateur partiel fermé sur E. Soit ε ∈ R^*₊. Toute composante connexe bornée de PSp_ε(u) rencontre le spectre de u. 0344
Proposition 22 Soit g une fonction μ-mesurable sur X. 0345
Proposition 23 Soit g une fonction μ-mesurable sur X. L’adjoint de l’opérateur de multiplication m_g est m_overlineg. 0346
Corollaire Soit g une fonction μ-mesurable sur X. L’opérateur de multiplication m_g sur L²(X, μ) est auto-adjoint (resp. positif ) si et seulement si la fonction g est localement μ-presque pa… 0347
Lemme 6 Soient g₁ et g₂ des fonctions μ-mesurables sur X. 0348
Proposition 24 Soit g une fonction μ-mesurable sur X. 0349
Définition 10 Soit u un opérateur symétrique fermé sur un espace hilbertien complexe E. Soient E₊= Ker(u^*-i) et E₋= Ker(u^*+i). Le couple (E₊,E₋) de sous-espaces de dom(u^*) est appelé le coupl… 034A
Proposition 25 Soit u un opérateur symétrique fermé sur un espace hilbertien complexe E. On a 034B
Lemme 7 Soient u un opérateur symétrique fermé sur un espace hilbertien complexe E et v une extension symétrique fermée de u. Le domaine de u est un sous-espace fermé de l’espace hilbertie… 034C
Proposition 26 Soit u un opérateur symétrique fermé sur un espace hilbertien complexe E. Soit (E₊,E₋) le couple de carence de u. Les espaces E₊,E₋ et dom(u) sont des sous-espaces fermés et mutuel… 034D
Corollaire Soit u un opérateur symétrique fermé sur E. Alors u est auto-adjoint si et seulement si l’indice de carence de u est égal à (0,0). 034E
Définition 11 Soit u un opérateur symétrique fermé sur un espace hilbertien complexe E. Une condition au bord pour u est une application linéaire partiellement isométrique (EVT, V, p. 41, déf. 3… 034F
Théorème 1 (von Neumann) Soient u un opérateur symétrique fermé sur un espace hilbertien complexe E et (E₊,E₋) son couple de carence. 034G
Corollaire 1 Soit u un opérateur symétrique fermé sur un espace hilbertien complexe E. L’application b↦ u_b induit une bijection de l’ensemble des isométries de Ker(u^*-i) sur Ker(u^*+i) sur l’… 034H
Corollaire 2 Soit E un espace hilbertien réel. Soit u un opérateur symétrique fermé sur E. L’opérateur partiel u_(C) sur E_(C) est symétrique et fermé, et admet au moins une extension auto-adjo… 034I
Corollaire 3 Soit u un opérateur symétrique sur E. Les conditions suivantes sont équivalentes : 034J
Exemple Soient U un ouvert de Rⁿ muni de la mesure de Lebesgue μ. Soit Δ l’opérateur différentiel scalaire 034K

§ 5. Opérateurs partiels normaux et théorème spectral

Définition 1 L’endomorphisme p₂∘ j de E est appelé la bornification de u; on note b(u) cet endomorphisme. 0359
Proposition 1 On a les formules 035A
Corollaire On a b(u)^*=b(u^*). 035B
Lemme 1 Le sous-ensemble Ω(E) est auto-adjoint dans L(E). 035C
Proposition 2 L’application u↦ b(u) définit une bijection de l’ensemble des opérateurs partiels fermés à domaine dense sur E sur l’ensemble Ω(E). La bijection réciproque est donnée par v↦ B(v). 035D
Corollaire L’endomorphisme b(u) est hermitien si et seulement si u est auto-adjoint. 035E
Définition 2 Soit u un opérateur partiel sur E. On dit que u est normal si u est fermé à domaine dense et si sa bornification b(u) est un endomorphisme normal de E. 035F
Lemme 2 Soit X un espace topologique localement compact et soit μ une mesure positive sur X. 035G
Théorème 1 (« Théorème spectral ») Soit u un opérateur partiel normal sur l’espace hilbertien E. Il existe un espace topologique localement compact X, une mesure positive μ sur X, un isomorphisme isométrique θ de L²… 035H
Lemme 3 Soit u un opérateur partiel normal sur E. On a 035I
Définition 3 Pour toute fonction f∈ K (Sp(u)), on définit l’endomorphisme f(u) de E par f(u) =f_β(b(u)). 035J
Remarque Supposons que u est un endomorphisme normal de E, donc que Sp(u) est une partie compacte de C. Comme la bornification b(u) coïncide avec β (u) (formule (5)), et que Sp(b(u)) =β(Sp(… 035K
Définition 4 Soit u un opérateur partiel normal sur un espace hilbertien complexe E. Soient x et y dans E. La mesure bornée sur Sp(u) définie par f↦ ⟨ x|f(u)y⟩ pour f∈ K (Sp(u)) s’appelle la me… 035L
Remarque 1 Lorsque u est continu, cette définition coïncide avec celle de la déf. 2 de IV, p. 190. 035M
Remarque 2 Soit j l’inclusion canonique de Sp(u) dans C. Puisque Sp(u) est fermé, l’application j est μ-propre pour toute mesure bornée μ sur Sp(u) (INT, V, p. 68, § 6, nᵒ1, prop. 1). On iden… 035N
Lemme 4 Soit X un espace topologique localement compact, soit μ une mesure positive sur X et soit g une fonction μ-mesurable sur X. Soit m_g l’opérateur de multiplication par g sur L²(X, μ… 035O
Exemple Soit n∈ N. On munit Rⁿ de la mesure de Lebesgue, et on identifie Rⁿ et son groupe dual comme dans le corollaire 3 de II, p. 236. Notons N la norme euclidienne sur Rⁿ et F la transf… 035P
Proposition 3 Soit f une fonction universellement mesurable définie sur le spectre de u. L’ensemble D_f est un sous-espace vectoriel dense de E. L’application y↦ ev_y(f) est un opérateur partiel… 035Q
Proposition 4 Soit f une fonction universellement mesurable dans le spectre de u. 035R
Définition 5 L’application f↦ f(u) de Lᵤ(Sp(u)) dans l’ensemble des opérateurs partiels normaux sur E définie par la prop. 3 de IV, p. 271 est appelée application de calcul fonctionnel universe… 035S
Corollaire 1 a) Pour tout f∈ Lᵤ(Sp(u)), l’opérateur partiel f(u) est normal et f(u)^*=overlinef(u). De plus f(u) est positif si fgeqslant 0, et auto-adjoint si f est à valeurs réelles ; 035T
Remarque Pour f= Id_Sp(u), on a f(u) =u (assertion b) pour k= 1). Le domaine de u coïncide donc avec l’ensemble des x∈ E tels que la fonction identité de Sp(u) appartient à L²(Sp(u), μₓ); i… 035U
Corollaire 2 Soit u un opérateur partiel normal sur l’espace hilbertien E. On suppose que E est non nul. 035V
Corollaire 3 Soit u un opérateur partiel normal sur un espace hilbertien E. Soit f∈ Lᵤ(Sp(u)). Pour tous x et y dans E, la mesure spectrale de (x, y) relative à f(u) est la mesure image f(μ), o… 035W
Corollaire 4 Soit g∈ Lᵤ(Sp(f(u))). On a g(f(u)) = (g∘ f)(u). 035X
Proposition 5 Soit u un opérateur partiel normal sur un espace hilbertien E. 035Y
Corollaire Soient f et g dans Lᵤ(Sp(u)) et (x, y)∈ D_f× D_g. La mesure spectrale de (f(u)x, g(u)y) relative à u est la mesure f g· μ_x,y, où μ_x,y est la mesure spectrale de (x, y) relative à… 035Z
Proposition 6 Soit u un opérateur partiel normal sur un espace hilbertien E. Soit (fₙ)_n∈N une suite dans Lᵤ(Sp(u)) qui converge simplement vers f∈ Lᵤ(Sp(u)) et telle qu’il existe g∈ Lᵤ(Sp(u)) v… 0360
Proposition 7 Soient X un espace topologique localement compact et ν une mesure sur X. Soit g:C× X→ C une fonction continue à support compact. Pour z∈ C, posons 0361
Proposition 8 Soit (Aᵢ)_i∈ I une famille dénombrable de parties universellement mesurables deux à deux disjointes de Sp(u) et pᵢ le projecteur spectral de u défini par Aᵢ. La réunion A des ensem… 0362
Proposition 9 Soit A une partie fermée de Sp(u). Soit φ_A la fonction caractéristique de A et p_A=φ_A(u) le projecteur spectral de u défini par A. Notons E_A l’image de p_A. C’est un sous-espace… 0363
Corollaire Soit λ ∈ Sp(u). L’image de p_λ est le sous-espace propre de u relatif à λ. 0364
Proposition 10 Soit λ ∈ C. On a λ ∈ Sp(u) si et seulement si, pour tout voisinage ouvert V de λ dans C, le projecteur spectral p_V de u relatif à V est non nul. 0365
Corollaire Soient A un ouvert dans C et n∈ N. Si A contient n éléments de Sp(u), alors la dimension de l’image du projecteur spectral p_A de u relatif à A est au moins égale à n. 0366
Lemme 5 Soit f∈ D(R). Il existe une fonction widetildef dans D(C) qui coïncide avec f sur R et vérifie 0367
Lemme 6 Soit ε >0. La fonction σ_ε définie sur R par 0368
Lemme 7 Soit f∈ D(R) et soit widetildef∈ D(C) une extension presque analytique de f. Pour ε >0, définissons f_ε sur R par 0369
Théorème 2 (Helffer–Sjöstrand) Soit u un opérateur partiel auto-adjoint sur E. Soient f∈ D(R) et widetildef∈ D(C) une extension presque analytique de f. Soit h l’application de C dans L(E) définie par 036A
Définition 6 Soit T une topologie localement convexe sur L(E). La topologie T -résolvante sur A(E) est la topologie la moins fine telle que les applications u↦ R(u, λ ) de A(E) dans L(E) muni d… 036B
Proposition 11 Soit T une topologie localement convexe sur L(E) qui est moins fine que la topologie d’espace de Banach de L(E). 036C
Exemple 1 Soit 𝔖 un ensemble de parties bornées de E. La 𝔖-topologie sur L(E) (EVT, III, p. 13) est une topologie localement convexe moins fine que la topologie d’espace de Banach de L(E). 036D
Exemple 2 Soit T_b la topologie d’espace de Banach de L(E). Pour la topologie T_b-résolvante, tout u∈ A(E) admet un système fondamental dénombrable de voisinages. 036E
Corollaire Soit Tₛ la topologie de la convergence simple de L(E). Soit f∈ C_b(R). Pour toute suite (uₙ)_n∈N dans A(E) qui converge vers u pour la topologie Tₛ-résolvante, la suite (f(uₙ))_n∈N… 036F
Lemme 8 Soit E un espace vectoriel topologique séparé. Soient (E₁,|· |₁) et (E₂,|· |₂) des sous-espaces denses de E munis de structures hilbertiennes telles que les injections canoniques d… 036G
Proposition 12 Soit u un opérateur fermé à domaine dense de E dans un espace hilbertien complexe F. 036H
Définition 7 Soit u un opérateur fermé à domaine dense de E dans un espace hilbertien complexe F. Le couple (j,|u|) déterminé par la prop. 12 est appelé la décomposition polaire de u. 036I
Définition 8 Soit D un sous-espace vectoriel de E. Une forme hermitienne partielle sur E de domaine D, est une correspondance q= (Γ ,E× E,C) dont le domaine de définition est D× D, dont le grap… 036J
Définition 9 Soit q une forme hermitienne partielle positive sur E. On note E_q l’espace préhilbertien séparé dom(q) muni du produit scalaire 036K
Proposition 13 Soit u un opérateur partiel auto-adjoint positif sur E. Soit qᵤ la forme partielle positive associée à u. 036L
Remarque Soient q une forme partielle positive fermée et q' une forme hermitienne positive continue sur E. La forme hermitienne positive définie sur dom(q) par (x, y)↦ q(x, y) +q'(x, y) est… 036M
Proposition 14 Soient q une forme positive partielle fermée à domaine dense sur E et u l’opérateur partiel représentant q. 036N
Théorème 3 L’application qui à un opérateur auto-adjoint positif u sur E associe la forme partielle positive qᵤ est une bijection entre l’ensemble des opérateurs partiels auto-adjoints positi… 036O
Corollaire Soient q une forme partielle positive fermée sur E et u l’opérateur auto-adjoint positif représentant q. Le domaine de q est égal au domaine de (1_E+u)^1/2, et on a 036P
Exemple Soit u un opérateur partiel positif sur E qui n’est pas nécessairement fermé. On définit une forme partielle positive q de domaine dom(u) par 036Q
Remarque Soit c∈ R₊. Soit q une forme hermitienne partielle fermée à domaine dense telle que q(x, x)geqslant -c|x|² pour tout x appartenant au domaine de q. Cela signifie que la forme hermi… 036R
Proposition 15 Soit u un opérateur partiel auto-adjoint sur E. On suppose que u est minoré par c∈ R (déf. 7 de IV, p. 237). On a 036S
Définition 10 Soit u un opérateur partiel normal sur E. Un nombre complexe λ ∈ Sp(u) appartient au spectre sensible de u si λ est isolé dans Sp(u) et si λ est une valeur propre de multiplicité f… 036T
Lemme 9 Soient E un espace hilbertien complexe et u un opérateur partiel normal sur E. Soit λ ∈ Sp(u). On a λ ∈ Spₛ(u) si et seulement s’il existe un voisinage ouvert V de λ dans C tel que… 036U
Lemme 10 On a 036V
Lemme 11 Supposons que E_b est de dimension finie. Alors, pour tout nombre réel ε > 0, l’image du projecteur spectral de u défini par [varrhoₑ, varrhoₑ+ε ] est de dimension infinie. 036W
Proposition 16 L’ensemble Sp_b(u)⊂ [c, varrhoₑ[ est dénombrable, discret et fermé dans [0, varrhoₑ[. C’est l’ensemble des valeurs d’une suite strictement croissante (νₖ)_0leqslant k<Card(Sp_b(u))… 036X
Lemme 12 Soit F∈ Fₙᵘ un sous-espace adapté à u. Tout vecteur propre de u appartenant à l’espace F^∘∩ E_b a une valeur propre geqslant λₙ(u). 036Y
Proposition 17 a) Pour tout entier n∈ N, on a 036Z
Lemme 13 Soit I une famille orthonormale de E. La famille I converge faiblement vers 0 selon le filtre des complémentaires des parties finies de I. 0370
Proposition 18 Soient u un opérateur partiel auto-adjoint sur E et λ un nombre réel. On a λ ∈ Spₑ(u) si et seulement s’il existe une suite orthonormale (xₙ)_n∈N dans E telle que u(xₙ)-λ xₙ tend v… 0371
Théorème 4 Soit u un opérateur partiel auto-adjoint sur E. Le spectre essentiel de u est l’intersection des ensembles Sp(u+v) où v parcourt l’ensemble des endomorphismes compacts hermitiens d… 0372
Corollaire Soient u un opérateur partiel auto-adjoint sur E et v un endomorphisme compact hermitien de E. On a Spₑ(u+v) = Spₑ(u). 0373
Définition 11 Soit u un opérateur partiel sur E. Un opérateur partiel v sur E est dit borné relativement à u si dom(u)⊂ dom(v) et si v définit, par passage au sous-espace, une application linéai… 0374
Remarque Soit u un opérateur partiel sur E. Tout endomorphisme v∈ L(E) est borné relativement à u et sa norme relative est nulle puisque |v(x)|leqslant |v| |x| pour tout x∈ dom(u), ce qui p… 0375
Théorème 5 (Kato–Rellich) Soient u un opérateur partiel auto-adjoint sur E et v un opérateur partiel symétrique borné relativement à u. Si la norme relative |v|ᵤ est <1, alors l’opérateur partiel u+v de dom… 0376
Proposition 19 Soit u un opérateur partiel auto-adjoint sur E. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0377
Définition 12 Soit u un opérateur partiel auto-adjoint sur E. On dit que u est à résolvante compacte si les conditions équivalentes de la prop. 19 sont satisfaites. 0378
Proposition 20 Soit u un opérateur partiel auto-adjoint sur E. Alors u est à résolvante compacte si et seulement si l’injection canonique j de l’espace hilbertien Eᵤ dans E est compacte. 0379
Corollaire Soient q une forme partielle positive fermée sur E et u l’opérateur auto-adjoint positif représentant q. Les conditions suivantes sont équivalentes : 037A
Exemple Soit n∈ N. Soit U un ouvert de Rⁿ. On munit U de la mesure de Lebesgue, notée μ. Soit Δ l’opérateur différentiel scalaire -∑ⁿᵢ₌₁∂ᵢ² sur U. L’opérateur partiel Δ₋ de domaine D(U) dé… 037B

V. Représentations unitaires

§ 1. Représentations unitaires

Remarque Si K =R et si varrho est une représentation linéaire continue de G dans un R-espace vectoriel E, alors l’application varrho_(C):g↦ 1⊗ varrho (g) est une représentation linéaire con… 038J
Définition 1 Soit varrho une représentation linéaire continue d’un groupe topologique G dans un espace vectoriel topologique E. Une représentation linéaire continue π de G dans F est une sous-r… 038K
Lemme 1 Soient G et H des groupes topologiques et E un espace de Banach. Soient varrho une représentation bornée de G dans E et π une représentation bornée de H dans E. Supposons que varrh… 038L
Définition 2 Une représentation varrho de G dans un K-espace vectoriel topologique E est dite irréductible si 0 n’est pas dense dans E et si les seules sous-représentations de varrho sont varrh… 038M
Lemme 2 Soient π et varrho des représentations linéaires continues de G dans des K-espaces vectoriels topologiques séparés. On suppose que π est irréductible. Tout G-morphisme non nul de π… 038N
Lemme 3 Soit varrho une représentation linéaire continue de G dans un K-espace vectoriel topologique séparé E de dimension finie. Si E est non nul, alors il existe une sous-représentation… 038O
Remarque Une représentation non nulle E de G ne contient pas toujours de sous-représentation irréductible (cf. V, p. 426, remarque). On verra cependant que c’est le cas si G est compact et… 038P
Définition 3 Soient G un groupe topologique et E un espace hilbertien sur K. Une représentation unitaire de G dans E est une représentation linéaire continue varrho de G dans E telle que, pour… 038Q
Définition 4 Soit G un groupe topologique et soient varrho et π des représentations unitaires de G dans des espaces hilbertiens E et F respectivement. Une forme sesquilinéaire G-invariante sur… 038R
Exemple Soit G un groupe topologique et soit varrho une représentation unitaire de G dans E. Le produit scalaire q sur E est une forme sesquilinéaire G-invariante sur E× E. 038S
Lemme 4 Soit G un groupe topologique et soit varrho un homomorphisme de G dans le groupe unitaire U(E) d’un espace hilbertien E. Alors varrho est une représentation unitaire de G si et seu… 038T
Lemme 5 Soit G un groupe topologique et soit varrho une représentation unitaire de G dans un espace hilbertien complexe E. L’espace Hom_G(varrho , varrho ) est une sous-algèbre stellaire u… 038U
Lemme 6 Soient π et varrho des représentations unitaires d’un groupe topologique G dans des espaces hilbertiens E et F respectivement. Soit D un sous-espace dense de E qui est stable par π… 038V
Proposition 1 Soient varrho₁ et varrho₂ des représentations unitaires d’un groupe topologique G dans des espaces hilbertiens E₁ et E₂. L’application de Hom_G(varrho₁, varrho₂) dans Sesq_G(varrho… 038W
Proposition 2 Soit varrho une représentation unitaire d’un groupe topologique G dans un espace hilbertien E. Notons u l’isomorphisme isométrique de overlineE dans E' qui à x associe la forme lin… 038X
Corollaire Soit varrho une représentation unitaire d’un groupe topologique G dans un espace hilbertien E. Les conditions suivantes sont équivalentes : 038Y
Proposition 3 Soit varrho une représentation unitaire d’un groupe topologique G dans un espace hilbertien E. Soit π une sous-représentation de E et F l’espace de π. L’orthogonal F^∘ de F dans E… 038Z
Proposition 4 Soit varrho une représentation unitaire d’un groupe topologique G dans un espace hilbertien E. Un sous-espace fermé F de E est une sous-représentation de varrho si et seulement si… 0390
Lemme 7 L’application g↦ varrho (g) est une représentation unitaire de G dans E. 0391
Lemme 8 a) L’application varrho : (g, h)↦ varrho (g, h) est une représentation unitaire de G× H dans E ; 0392
Définition 5 Soit G un groupe topologique et soit varrho une représentation unitaire de G dans un espace hilbertien E. Soient x et y des éléments de E. La fonction de G dans K donnée par g↦ ⟨ x… 0393
Proposition 5 Soit G un groupe topologique. Les ensembles Θ(G) et Υ(G) sont des sous-algèbres involutives unifères de C_b(G). 0394
Proposition 6 (Lemme de Schur) Soit varrho une représentation unitaire d’un groupe topologique G dans un espace hilbertien non nul E. Alors varrho est irréductible si et seulement si Hom_G(varrho , varrho ) est… 0395
Corollaire 1 Soit π une représentation unitaire irréductible d’un groupe topologique G dans un espace hilbertien E. Soit u un opérateur partiel fermé sur E. On suppose que u est à domaine dense… 0396
Corollaire 2 Soient varrho et π des représentations unitaires irréductibles d’un groupe topologique G dans des espaces hilbertiens E et F respectivement. L’espace Hom_G(varrho , π ) est de dime… 0397
Corollaire 3 Soit varrho une représentation unitaire d’un groupe topologique G dans un espace hilbertien E. La représentation varrho est irréductible si et seulement si l’espace Sesq_G(varrho… 0398
Corollaire 4 Soient varrho₁ et varrho₂ des représentations unitaires irréductibles non isomorphes d’un groupe topologique G dans des espaces hilbertiens E₁ et E₂. L’espace Sesq_G(varrho₁, varrh… 0399
Corollaire 5 Soit varrho une représentation unitaire d’un groupe topologique G dans un espace hilbertien E. Soit π une représentation irréductible unitaire de G dans un espace hilbertien F. 039A
Corollaire 6 Soient G₁ et G₂ des groupes topologiques. Soient varrho₁ une représentation unitaire irréductible de G₁ dans un espace hilbertien E₁ et varrho₂ une représentation unitaire irréduct… 039B
Corollaire 7 Soit π une représentation unitaire irréductible d’un groupe topologique G dans un espace hilbertien E. Il existe un homomorphisme continu χ du centre C de G dans U tel que π (z) =χ… 039C
Définition 6 Soit π une représentation unitaire irréductible d’un groupe topologique G dans un espace hilbertien E. L’homomorphisme χ du centre C de G dans U tel que π (z) =χ (z)· 1_E pour tout… 039D
Remarque Soit π (resp. varrho ) une représentation unitaire irréductible d’un groupe topologique G (resp. H) dans un espace hilbertien E (resp. F). Notons χ (resp. η ) le caractère central… 039E
Définition 7 Soit varrho une représentation unitaire d’un groupe topologique G dans un espace hilbertien E. On dit que varrho est semi-simple s’il existe une famille (Fᵢ)_i∈ I de sous-représent… 039F
Proposition 7 Soit G un groupe topologique et soit varrho une représentation unitaire de G dans un espace hilbertien complexe E. La représentation varrho est semi-simple si et seulement si toute… 039G
Corollaire 1 Soit G un groupe topologique et soit varrho une représentation unitaire semi-simple de G dans un espace hilbertien complexe E. Toute sous-représentation de varrho (resp. toute repr… 039H
Corollaire 2 Toute représentation unitaire varrho de dimension finie d’un groupe topologique G est semi-simple. 039I
Corollaire 3 Soient varrho₁ et varrho₂ des représentations unitaires de dimension finie d’un groupe topologique G. Les représentations varrho₁ et varrho₂ sont isomorphes si et seulement si χ_va… 039J
Lemme 9 Soit E un espace hilbertien sur K. Soit F⊂ E un sous-espace vectoriel dense dans E. Alors la dimension hilbertienne de E est inférieure ou égale à la dimension de F. 039K
Définition 8 On note widehatG l’ensemble des classes de représentations unitaires irréductibles de G dans un espace hilbertien complexe. On dit que widehatG est le dual unitaire de G. 039L
Remarque 1 Supposons que G est un groupe commutatif. D’après le corollaire 7 de V, p. 390, toute représentation unitaire irréductible de G dans un espace hilbertien complexe est de dimension… 039M
Remarque 2 Si G est fini, l’ensemble widehatG est en bijection avec l’ensemble des classes de C[G]-modules simples (A, VIII, p. 47), qui est également noté widehatG dans A, VIII, p. 396. 039N
Remarque 3 Pour π ∈ widehatG, on identifiera overlineπ avec la classe dans widehatG de la représentation conjuguée de π. 039O
Remarque 4 Si π est une représentation unitaire irréductible de G dans un espace hilbertien complexe de dimension finie, son caractère χ_π ne dépend que de la classe de π. On peut donc parler… 039P
Définition 9 Soit G un groupe topologique et soit π une représentation continue irréductible de G. Soit varrho une représentation continue de G dans un espace localement convexe séparé E. On ap… 039Q
Proposition 8 Soit G un groupe topologique. Soit varrho une représentation unitaire de G dans un espace hilbertien complexe E. 039R
Proposition 9 Soit G un groupe topologique et soit varrho une représentation unitaire de G dans un espace hilbertien complexe E. Soit π une représentation unitaire irréductible de G dans un espa… 039S
Proposition 10 Soit G un groupe topologique. Soit π une représentation unitaire irréductible de G dans un espace hilbertien complexe E_π et soit varrho une représentation unitaire de G dans un es… 039T
Corollaire Soient G un groupe topologique et varrho une représentation unitaire de G dans un espace hilbertien complexe E. La somme hilbertienne des composantes π-isotypiques de G pour π ∈ wi… 039U
Définition 10 Soit G un groupe topologique. Soient varrho une représentation unitaire de G dans un espace hilbertien complexe E et π une représentation unitaire irréductible de G dans un espace… 039V
Remarque Il est possible qu’une représentation unitaire varrho soit non nulle mais que toutes les composantes isotypiques de varrho relatives à toutes les représentations irréductibles de G… 039W

§ 2. Représentations des groupes localement compacts

Proposition 1 Soit H un groupe localement compact. Soit varrho₁ (resp. varrho₂) une représentation continue de G (resp. de H) dans un K-espace vectoriel localement convexe séparé E₁ (resp. E₂)… 03A4
Corollaire Soit varrho une représentation continue de G un K-espace vectoriel localement convexe séparé E. La représentation contragrédiente brevevarrho est continue lorsque E' est muni de la… 03A5
Remarque La représentation contragrédiente n’est pas nécessairement continue lorsque E' est muni de la topologie forte (cf. INT, VIII, p. 191, § 2, exercice 3, d)). On peut montrer qu’elle… 03A6
Lemme 1 Soit varrho une représentation unitaire de G dans un espace hilbertien E. L’application ν ↦ varrho (ν ) de M¹(G) dans L(E) est un morphisme unifère d’algèbres de Banach involutives… 03A7
Définition 1 Une mesure bornée ν ∈ M¹(G) est dite centrale si on a ε_g*ν =ν *ε_g pour tout g∈ G. 03A8
Proposition 2 Soit varrho une représentation unitaire de G dans un espace hilbertien complexe E. Soit 𝔉 une base de filtre sur M_c(G) convergeant vers la mesure εₑ pour la topologie de la conver… 03A9
Lemme 2 Soit varrho₁ une représentation unitaire non nulle de G isomorphe à une sous-représentation de varrho. Il existe une mesure ν ∈ M telle que varrho₁(checkν*ν ) soit un endomorphisme… 03AA
Exemple On suppose que G est unimodulaire, par exemple que G est un groupe de Lie réel semi-simple. Soit Γ ⊂ G un sous-groupe discret tel que le quotient X = Γ backslash G est compact. Le… 03AB
Lemme 3 Soit p un nombre réel geqslant 1. La représentation régulière gauche (resp. droite) de G dans Lᵖ(G, μ) (resp. dans Lᵖ(G, μ')) est fidèle. 03AC
Remarque La représentation birégulière de G dans Lᵖ(G, μ) n’est pas nécessairement fidèle ; son noyau est l’image du centre de G par l’application g↦ (g, g) (exercice 4 de V, p. 487). 03AD
Lemme 4 Soit p un nombre réel geqslant 1. Pour f∈ L¹(G), l’application linéaire γ ⁽ᵖ⁾_G(f) coïncide avec l’endomorphisme de Lᵖ(G) défini par φ ↦ f*^μφ. 03AE
Remarque Rappelons que, pour toute fonction f sur G, on définit la fonction checkf sur G par checkf(g) =f(g⁻¹) pour tout g∈ G (INT, VII, p. 12, § 1, nᵒ1, formule (12)). 03AF
Proposition 3 a) Soit (fₙ)_n∈N une suite dans F_πᵖ(G) telle que la série 03AG
Corollaire Soit (fₙ)_n∈N une suite de Cauchy dans L_πᵖ(G) et soit f∈ F_π(G) tels que fₙ(g) converge vers f(g) presque partout modulo H. Alors f∈ L_πᵖ(G) et (fₙ)_n∈N converge vers f dans L_πᵖ(… 03AH
Proposition 4 Soit f∈ L_E¹(G). 03AI
Lemme 5 Soit f∈ F_π(G) une fonction μ-mesurable nulle en dehors de C· H telle que la fonction |f| est ν-intégrable sur G/H. Soit s la fonction sur G à valeurs dans E telle que 03AJ
Proposition 5 Soit p∈ [1,+∞ [. L’espace L_πᵖ(G) est l’espace des fonctions f∈ F_π(G) telles que f est μ-mesurable et que la fonction |f| appartient à Lᵖ(G/H). 03AK
Lemme 6 Soit f∈ K_overlineπ(G). Pour tout g∈ G, la fonction 03AL
Définition 2 On dit que la représentation unitaire de G dans l’espace L²_overlineπ(G) ainsi définie est la représentation unitaire de G induite par la représentation π de H relativement à κ. On… 03AM
Remarque 1 Soit varrho une représentation unitaire de H dans un espace hilbertien complexe F et soit u:π → varrho un H-morphisme. Pour toute fonction f∈ K_overlineπ(G), notons v(f) la fonctio… 03AN
Remarque 2 Soit κ ': G→ R₊^* telle que 03AO
Lemme 7 On a 03AP
Lemme 8 Soient f₁∈ K_χ(G) et f₂∈ L_χ²(G). 03AQ
Définition 3 Soit π une représentation unitaire irréductible de G dans un espace hilbertien E. On dit que π est de carré intégrable modulo le centre si la fonction sur G/C déduite de la fonctio… 03AR
Proposition 6 Soit π une représentation unitaire irréductible de G dans un espace hilbertien E. Soit χ le caractère central de π. Alors π est de carré intégrable modulo le centre si et seulement… 03AS
Lemme 9 Soit π une représentation unitaire irréductible de G dans un espace hilbertien E qui est de carré intégrable modulo le centre. Soit χ la restriction à Z du caractère central de π… 03AT
Proposition 7 Soit π une représentation unitaire irréductible de G dans un espace hilbertien E qui est de carré intégrable modulo le centre. Soit χ la restriction à Z du caractère central de π. 03AU
Lemme 10 Il existe un nombre réel c >0 tel que l’application linéaire w=c^1/2v est isométrique. 03AV
Corollaire Soit π une représentation unitaire irréductible de G et soit χ la restriction à Z de son caractère central. La représentation π est de carré intégrable modulo le centre si et seule… 03AW
Définition 4 Soit Z un sous-groupe fermé de C tel que C/Z est compact. Soit π une représentation unitaire irréductible de G qui est de carré intégrable modulo le centre. L’unique nombre réel c… 03AX
Proposition 8 (Relations d’orthogonalité) Soit π une représentation unitaire irréductible de G dans un espace hilbertien E qui est de carré intégrable modulo le centre. On a 03AY
Proposition 9 Soient π₁ et π₂ des représentations unitaires irréductibles non isomorphes de G dans des espaces hilbertiens E₁ et E₂. On suppose que π₁ et π₂ sont de carré intégrable modulo le ce… 03AZ
Remarque Les relations d’orthogonalité des prop. 8 et 9 généralisent celles de A, VIII, p. 399 (voir aussi le cas où G est compact dans le § 2 de V, p. 457). 03B0
Proposition 10 a) Soit M une partie mesurable de widehatG. L’espace E_M est une sous-représentation de la représentation γ _G; 03B1
Remarque Soit χ un caractère de G. Si G n’est pas compact, la composante χ-isotypique de la représentation régulière de G dans L²(G) est triviale. Si G est compact, la composante χ-isotypiq… 03B2
Lemme 11 Soit u un opérateur partiel auto-adjoint sur E. Pour t∈ R, posons varrho (t) =eⁱᵗᵘ∈ L(E). Alors l’application varrho est une représentation unitaire de R. 03B3
Lemme 12 Soit varrho une représentation unitaire de R dans E. Soit D l’ensemble des éléments x de E tels que l’application ψₓ:t↦ varrho (t)x est dérivable en 0. L’application u de D dans E… 03B4
Définition 5 Soit varrho une représentation unitaire de R dans E. L’opérateur partiel symétrique défini dans le lemme 12 est appelé le générateur infinitésimal de varrho. 03B5
Théorème 1 (Stone) L’application σ qui à une représentation unitaire varrho de R dans E associe son générateur infinitésimal u définit une bijection de l’ensemble des représentations unitaires de R d… 03B6
Lemme 13 Soit varrho une représentation unitaire de R dans E et soit u son générateur infinitésimal. 03B7
Lemme 14 Soit u un opérateur partiel auto-adjoint sur E et soit varrho (t) =eⁱᵗᵘ la représentation unitaire de R définie par u. Le générateur infinitésimal de varrho est égal à u. 03B8
Lemme 15 Soit varrho une représentation unitaire de R dans E. Alors le générateur infinitésimal u de varrho est auto-adjoint et varrho (t) =eⁱᵗᵘ pour tout t∈ R. 03B9
Corollaire Soit varrho une représentation unitaire de R dans un espace hilbertien E. Il existe un espace localement compact X, une mesure positive μ sur X et une fonction continue g sur X à v… 03BA
Remarque Supposons que u est un endomorphisme de E. La représentation unitaire de R dans E définie par varrho (t) =eⁱᵗᵘ vérifie alors l’inégalité |varrho (t)-1_E|leqslant |t| |u| pour tout… 03BB
Exemple Soit varrho la représentation régulière de R dans L²(R). Le générateur infinitésimal de varrho est la fermeture de l’opérateur différentiel de domaine D(R) défini par f↦ -if'. 03BC

§ 3. Fonctions de type positif

Théorème 1 Soit f∈ C(X× X). Les conditions suivantes sont équivalentes : 03BX
Définition 1 On dit qu’une fonction f∈ C(X× X) est un noyau universellement positif sur X si elle vérifie les conditions équivalentes du théorème 1. 03BY
Proposition 1 Soit f un noyau universellement positif sur X. Soient (E₁, g₁) et (E₂, g₂) des réalisations hilbertiennes de f. On suppose que (E₁, g₁) est une réalisation hilbertienne cyclique. I… 03BZ
Proposition 2 L’ensemble Noy₊(X) est un cône auto-adjoint dans l’espace C(X× X); il est stable par produit et il est fermé lorsque l’on munit C(X× X) de la topologie de la convergence simple. 03C0
Proposition 3 Soit A une algèbre de Banach unifère involutive. Soit a∈ A. Le spectre de a^* est l’image Sp_A(a)^* de Sp_A(a) par la conjugaison complexe. Pour tout f∈ O(Sp_A(a)), on a f(a)^*=f^*… 03C1
Lemme 1 Soit D le disque unité ouvert dans C. Il existe une unique fonction holomorphe f définie sur D telle que f(z)²= 1-z pour tout z∈ D et f(0) = 1. On a f^*=f. 03C2
Définition 2 Soit A une algèbre involutive. Une forme linéaire λ sur A est dite positive si λ (a^*a)∈ R₊ pour tout a∈ A. 03C3
Lemme 2 Soient A une algèbre de Banach involutive et λ une forme linéaire positive sur A. 03C4
Exemple Soit X un espace topologique compact et soit A l’algèbre stellaire C(X). Les formes linéaires positives sur A s’identifient aux mesures positives sur X (INT, III, p. 52, § 1, nᵒ6… 03C5
Lemme 3 Soit A une algèbre de Banach unifère involutive admettant une unité approchée (I, p. 120, déf. 7). Soit λ une forme linéaire positive continue sur A. 03C6
Proposition 4 Soit A une algèbre de Banach involutive. 03C7
Définition 3 Soit A une algèbre de Banach involutive. Soit λ ∈ A'₊ une forme linéaire positive continue sur A. On appelle réalisation hilbertienne de λ un triplet (E, x, φ ) formé d’un espace h… 03C8
Proposition 5 Soit A une algèbre de Banach involutive admettant une unité approchée. Toute forme linéaire positive continue sur A admet une réalisation hilbertienne cyclique (E, x, φ ). Si A est… 03C9
Proposition 6 Soit A une algèbre de Banach involutive et soit λ une forme linéaire positive continue sur A. Soient (E₁, x₁, φ₁) et (E₂, x₂, φ₂) des réalisations hilbertiennes de λ. On suppose qu… 03CA
Remarque Conservons les notations de la proposition. Il est possible que u(x₁) soit différent de x₂ (exercice 3, b) de V, p. 493). Cependant, le triplet (E₂, u(x₁), φ₂) est aussi une représ… 03CB
Proposition 7 Soit A une algèbre stellaire. Toute forme linéaire positive λ sur A est continue. 03CC
Proposition 8 Soient A une algèbre stellaire et a un élément non nul de A. Il existe une forme linéaire positive λ ∈ A'₊ telle que λ (a^*a)>0. 03CD
Théorème 2 (Gelfand–Naimark) Soit A une algèbre stellaire. Il existe un espace hilbertien E et un morphisme isométrique d’algèbres involutives φ de A dans L(E). Si A est unifère, il existe un tel morphisme uni… 03CE
Définition 4 Une fonction continue φ ∈ C(G) est dite de type positif sur G si la fonction f définie par f(g, h) =φ (g⁻¹h) sur G× G est un noyau universellement positif sur G. 03CF
Exemple Soient varrho une représentation unitaire de G dans un espace hilbertien E et x∈ E. Soit φ le coefficient matriciel diagonal défini par φ (g) =⟨ x|varrho (g)x⟩ pour tout g∈ G; la f… 03CG
Définition 5 Soit φ une fonction de type positif sur G. Une réalisation hilbertienne de φ est un couple (varrho , x) où varrho est une représentation unitaire de G dans un espace hilbertien E e… 03CH
Proposition 9 Soit φ ∈ C(G). Les conditions suivantes sont équivalentes : 03CI
Proposition 10 Soit φ une fonction de type positif sur G et soient (varrho₁, x₁) et (varrho₂, x₂) des réalisations hilbertiennes de φ, la représentation hilbertienne (varrho₁, x₁) étant cyclique… 03CJ
Proposition 11 Soient φ ∈ Pos₁(G) et (varrho , x) une réalisation hilbertienne cyclique de φ. Alors varrho est une représentation irréductible de G si et seulement si φ est un point extrémal (EVT… 03CK
Lemme 4 Soit φ ∈ Pos(G). La fonction φ est bornée sur G et on a |φ |_∞=φ (e). De plus, on a 03CL
Remarque Les ensembles Pos(G) (resp. Pos₁(G) et Pos_leqslant 1(G)) sont des parties convexes auto-adjointes de l’algèbre stellaire C_b(G). Ils sont fermés dans l’espace C_b(G) muni de la to… 03CM
Proposition 12 Soient E un espace hilbertien complexe et widetildeπ un morphisme d’algèbres involutives de L¹(G) dans L(E). Si la représentation widetildeπ est non dégénérée, alors il existe une… 03CN
Proposition 13 Soit φ ∈ L^∞(G). Notons λ_φ la forme linéaire continue f↦ ⟨ f, φ ⟩ sur L¹(G). Alors φ est la classe d’une fonction de type positif sur G si et seulement si λ_φ est une forme linéai… 03CO
Corollaire Dans L^∞(G) muni de la topologie faible, l’ensemble Pos(G) est fermé et l’ensemble Pos_leqslant 1(G) est compact. 03CP
Proposition 14 L’ensemble des points extrémaux de Pos_leqslant 1(G) est égal à la réunion de l’ensemble des points extrémaux de Pos₁(G) et de la fonction nulle. De plus, l’enveloppe fermée convex… 03CQ
Théorème 3 (Raikov) La topologie faible sur Pos₁(G) coïncide avec la topologie de la convergence compacte. 03CR
Lemme 5 Soient X un espace topologique localement compact et ν une mesure positive sur X. Sur toute partie bornée de C_b(X), la topologie induite par la topologie faible σ (L^∞(X),L¹(X)) e… 03CS
Lemme 6 Soit ψ ∈ L¹(G). Soit B une partie bornée de l’espace de Banach L^∞(G). L’application φ ↦ ψ *φ de B dans C_b(G) est continue lorsque B est muni de la topologie faible et C_b(G) de l… 03CT
Lemme 7 Soit ψ ∈ L¹(G) telle que ψ geqslant 0 et ∫ψ = 1. Notons p la semi-norme sur C_b(G) définie par p(φ ) =|⟨ φ , ψ ⟩ | pour tout φ ∈ C_b(G). Pour tout φ ∈ Pos₁(G), on a 03CU
Lemme 8 Soit K un corps topologique et soient E et F des espaces vectoriels topologiques sur K. Soient f une application de E dans F et X une partie de E. Soit x∈ X. L’application f|X est… 03CV
Théorème 4 (Gelfand–Raikov) Pour tout xnot =e dans G, il existe une représentation unitaire irréductible π de G telle que π (x) n’est pas l’endomorphisme identique de l’espace de π. 03CW
Corollaire Pour tous éléments gnot =h dans G, il existe une représentation irréductible π ∈ widehatG et un coefficient matriciel f de π tel que f(g)not =f(h). En particulier, la sous-algèbre… 03CX
Lemme 9 La transformation de Fourier est une application continue de M¹(G) muni de la topologie faible dans C_b(widehatG) muni de la topologie induite par la topologie faible σ (L^∞(wideha… 03CY
Théorème 5 (Bochner) Une fonction continue φ sur widehatG appartient à Pos(widehatG) si et seulement s’il existe une mesure positive bornée ν sur G telle que φ =F(ν ). 03CZ

§ 4. Représentations des groupes compacts

Proposition 1 Soit varrho une représentation linéaire de dimension finie de G dans un espace vectoriel topologique séparé E. Il existe un produit scalaire q sur E tel que varrho soit une représe… 03DN
Remarque On verra plus loin (cor. 4 de V, p. 466) que toute représentation unitaire de G est semi-simple. 03DO
Corollaire Soient varrho₁ et varrho₂ des représentations de dimension finie de G. Les représentations varrho₁ et varrho₂ sont isomorphes si et seulement si leurs caractères sont égaux. 03DP
Lemme 1 Toute représentation unitaire irréductible de G est de carré intégrable. 03DQ
Proposition 2 Soit π une représentation unitaire irréductible de G dans un espace hilbertien E. La dimension de E est finie et égale au degré formel de π. 03DR
Corollaire 1 Soit π une représentation unitaire irréductible de G dans un espace hilbertien E. Le caractère de π est un élément hermitien de l’algèbre involutive L¹(G). 03DS
Corollaire 2 a) Soit π une représentation unitaire irréductible de G dans un espace hilbertien E. On a 03DT
Corollaire 3 Soient π₁ et π₂ des représentations irréductibles de G. Dans l’espace hilbertien L²(G), on a ⟨ χ_π₁|χ_π₂⟩ = 1 si π₁ et π₂ sont isomorphes et ⟨ χ_π₁|χ_π₂⟩ = 0 sinon. Autrement dit… 03DU
Corollaire 4 a) Soit varrho une représentation continue de dimension finie de G. On a 03DV
Corollaire 5 Soient π₁ et π₂ des représentations unitaires irréductibles de G. On a π₁(overlineχ_π₂) = 0 si π₁ n’est pas isomorphe à π₂, et π₁(overlineχ_π₁) est la multiplication par 1/ dim(π₁)… 03DW
Remarque Lorsque G est fini, la relation d’orthogonalité de Schur (resp. la formule d’orthogonalité des caractères) coïncide avec celle de A, VIII, p. 399 (resp. celle de A, VIII, p. 400, p… 03DX
Proposition 3 Supposons que G = G₁× G₂ où G₁ et G₂ sont des groupes compacts. L’application b de widehatG₁× widehatG₂ dans widehatG qui à (π₁, π₂) associe la classe de π₁boxtimes π₂ est une bije… 03DY
Proposition 4 L’espace Θ(G) est dense dans C(G) et dans L²(G). 03DZ
Proposition 5 Soit π ∈ widehatG. L’espace varrho _G(π ) est une sous-représentation de varrho _G qui est isomorphe à overlineπboxtimes π. En particulier, c’est une représentation irréductible de… 03E0
Théorème 1 (Peter–Weyl) Soit G un groupe topologique compact. La représentation birégulière varrho _G de G est la somme hilbertienne des sous-représentations varrho _G(π ) pour π ∈ widehatG. 03E1
Corollaire 1 Pour tout π ∈ widehatG, la sous-représentation varrho _G(π ) est la composante (overlineπboxtimes π )-isotypique de varrho _G. 03E2
Corollaire 2 Soient π₁ et π₂ des représentations irréductibles non isomorphes de G. La composante (overlineπ₁boxtimes π₂)-isotypique de varrho _G est nulle. 03E3
Corollaire 3 La représentation régulière droite (resp. gauche) de G est isomorphe à la somme hilbertienne 03E4
Corollaire 4 Soit π ∈ widehatG. La composante π-isotypique de δ _G (resp. la composante overlineπ-isotypique de γ _G) est égale à varrho _G(π ). 03E5
Remarque 1 Si G est fini, ces énoncés correspondent aux résultats de A, VIII, p. 398, remarque. 03E6
Remarque 2 Supposons que G est commutatif. L’ensemble widehatG s’identifie au groupe dual de G (V, p. 393, remarque). Pour tout χ ∈ widehatG, l’espace de varrho _G(χ ) est le sous-espace de d… 03E7
Remarque 3 S’il existe un entier ngeqslant 0 tel que G est un sous-groupe compact de GL(Cⁿ), la représentation identique de G dans GL(Cⁿ) suffit à séparer les points de G, et on peut donc alo… 03E8
Remarque 4 Le théorème de Peter–Weyl implique en particulier que l’homomorphisme continu naturel de G dans ∏_π∈widehatGU(E_π) est injectif. 03E9
Proposition 6 Les sous-espaces suivants de L²(G) sont égaux : 03EA
Corollaire Soit E⊂ L²(G) un sous-espace vectoriel de dimension finie définissant une sous-représentation de γ _G(resp. de δ _G, de varrho _G). Alors E est contenu dans C(G). 03EB
Proposition 7 Soit varrho une représentation continue de G dans un espace localement convexe séparé et quasi-complet E. La somme des sous-représentations de dimension finie de E est dense dans E… 03EC
Corollaire 1 Soit π une représentation continue irréductible de G dans un espace localement convexe séparé quasi-complet E. L’espace E est de dimension finie. 03ED
Corollaire 2 Soit varrho une représentation continue de G dans un espace localement convexe séparé quasi-complet E et soit π une représentation continue irréductible de G. 03EE
Corollaire 3 Soit varrho une représentation continue de G dans un espace localement convexe séparé quasi-complet E. L’endomorphisme 03EF
Corollaire 4 Soit varrho une représentation unitaire de G dans un espace hilbertien E. L’espace E est la somme hilbertienne des composantes π-isotypiques M_π(varrho ) pour π ∈ widehatG. En part… 03EG
Proposition 8 On a 03EH
Lemme 2 Le graphe de la relation d’équivalence « x∈ G et y∈ G et x est conjugué à y » dans G est fermé. 03EI
Lemme 3 Soit π une représentation unitaire irréductible de G. L’espace vectoriel L²(G^sharp)∩ varrho _G(π ) est de dimension un et engendré par le caractère de π. 03EJ
Proposition 9 La famille (χ_π)_π∈widehatG des caractères des représentations unitaires irréductibles de G est une base orthonormale de L²(G^sharp). 03EK
Corollaire 1 L’espace vectoriel Θ (G^sharp) est dense dans C(G^sharp) et dans L²(G^sharp). 03EL
Corollaire 2 a) La famille des caractères des représentations irréductibles de G est une base de Θ (G^sharp); 03EM
Corollaire 3 Soit H un groupe topologique localement compact tel que G est un sous-groupe compact de H. Soit varrho une représentation unitaire de H dans un espace hilbertien E. Si la composant… 03EN
Définition 1 Pour toute mesure ν ∈ M¹(G), l’élément (π (ν ))_π∈widehatG de F_b(widehatG) est noté F_G(ν ). L’application de M¹(G) dans F_b(widehatG) ainsi définie est appelée la cotransformatio… 03EO
Lemme 4 Soit π une représentation irréductible de G. L’application f↦ π (f) définit par passage aux sous-espaces un isomorphisme isométrique de varrho _G(overlineπ) dans End(E_π). 03EP
Théorème 2 La cotransformation de Fourier de G induit par passage aux sous-espaces un isomorphisme isométrique de L²(G) sur F²(widehatG). Son inverse F_G associe à un élément (u_π)_π∈widehatG… 03EQ
Définition 2 L’isomorphisme isométrique F_G de F²(widehatG) sur L²(G) inverse de l’isomorphisme induit par la cotransformation de Fourier est appelé la transformation de Fourier de G. L’image d… 03ER
Remarque 1 La transformée de Fourier de (u_π)_π∈widehatG∈ F²(widehatG) est donc la classe dans L²(G) de la série 03ES
Remarque 2 Soit f∈ L²(G). On a alors la formule de Plancherel 03ET
Proposition 10 La cotransformation de Fourier est un morphisme injectif d’algèbres de Banach involutives de M¹(G) dans F_b(widehatG) qui envoie L¹(G) dans F₀(widehatG). 03EU
Proposition 11 a) Soit u= (u_π)_π∈widehatG un élément de F(widehatG). Si la famille (F_π(u_π))_π∈widehatG est uniformément sommable dans C(G), alors sa somme f est une fonction continue sur G don… 03EV
Définition 3 Soit varrho une représentation unitaire de dimension finie de G dans un espace hilbertien E. Soit k un entier positif. On appelle moment absolu d’ordre 2k de varrho, et on note M₂ₖ… 03EW
Théorème 3 (Alternative de Larsen) Supposons que G est infini. Soit π une représentation unitaire fidèle de G dans un espace hilbertien E de dimension finie geqslant 2. 03EX
Lemme 5 Soit π une représentation unitaire de G dans un espace hilbertien E de dimension finie. Soient (varrhoᵢ)_i∈ I une famille de représentations unitaires non nulles de G et (nᵢ)_i∈ I… 03EY
Lemme 6 Soit q une forme bilinéaire séparante sur un espace vectoriel complexe E de dimension finie geqslant 3. 03EZ
Lemme 7 Soit H₂ un groupe de Lie réel et soit H₁ un sous-groupe fermé de H₂. L’algèbre de Lie complexifiée de H₁ s’identifie à une sous-représentation de la représentation adjointe de H₁ s… 03F0
Lemme 8 Soit E un espace hilbertien complexe de dimension finie n. 03F1
Remarque 1 La condition « G est infini » est nécessaire dans le théorème 3 (exercice 9 de V, p. 507). 03F2
Remarque 2 Soit n∈ N. Pour toute représentation unitaire varrho d’un groupe compact dans un espace hilbertien de dimension n, on a M₄(varrho )leqslant n²; l’égalité est possible (exercice 15… 03F3
Remarque 3 On peut démontrer (cf. R. Guralnick et P.H. Tiep, Decomposition of small tensor powers and Larsen’s conjecture, Representation Theory 9 (2005), 138–208) que la condition que G est… 03F4