Quyển TS · Tiếng Việt

Chỉ mục mệnh đề

1112 mệnh đề của Các lý thuyết phổ, theo chương và mục. Chọn một loại, lọc theo từ, hoặc xếp những mệnh đề được trích dẫn nhiều nhất lên đầu.

Trích dẫn nhiều nhất trước

I. Đại số định chuẩn

§ 1. Phổ và các ký tự

Bổ đề 1 Cho A là một đại số. Với mọi phần tử lũy đẳng j của A, không gian con jAj của A là tập hợp các x∈ A sao cho xj=jx=x. Nó là một đại số con của A có j làm phần tử đơn vị. 024R
Định nghĩa 1 Cho A là một đại số có đơn vị trên K, và cho e là phần tử đơn vị của nó. Với mọi x∈ A, phổ của x đối với A là tập hợp các λ ∈ K sao cho λ e-x không khả nghịch. 024S
Nhận xét 1 Nếu A =0, thì Sp(0) =∅. 024T
Nhận xét 2 Nếu Anot=0, thì Sp(λ e) =λ với mọi λ ∈ K. 024U
Nhận xét 3 Để x∈ A là khả nghịch, điều kiện cần và đủ là 0∉ Sp(x). 024V
Nhận xét 4 Cho R∈ K(X) là một phân thức hữu tỉ và cho x∈ A là một phần tử có thể thế vào R, nghĩa là (A, IV, p. 20), tồn tại P và Q∈ K[X] sao cho R = P/Q và Q(x) khả nghịch; khi đó ta có thể… 024W
Nhận xét 5 Giả sử đại số A khác không. Cho x∈ A là một phần tử lũy linh. Cho n là một số nguyên sao cho xⁿ= 0. Phổ của xⁿ thu gọn về 0, do đó điều tương tự cũng đúng đối với phổ của x theo Nh… 024X
Nhận xét 6 Cho A và B là các đại số có đơn vị trên K và φ : A→ B là một cấu xạ có đơn vị. Với mọi x∈ A, ta có Sp_B(φ (x))⊂ Sp_A(x). 024Y
Nhận xét 7 Cho A là một đại số có đơn vị, R là căn của nó (A, VIII, p. 150, Định nghĩa 2), và φ là cấu xạ chính tắc của A lên B = A/R. Nếu x∈ A, ta có Sp_B(φ (x)) = Sp_A(x). Thực vậy, chỉ cần… 024Z
Nhận xét 8 Cho (Bᵢ)_i∈ I là một họ các đại số có đơn vị, với Bᵢ= (Aᵢ, eᵢ) đối với i∈ I. Đặt A =∏ᵢAᵢ,e= (eᵢ)_i∈ I. Khi đó (A, e) là một đại số có đơn vị được gọi là tích của các Bᵢ. Nếu x= (xᵢ… 0250
Ví dụ 1 Cho X là một tập hợp và A = K^X là đại số các hàm nhận giá trị trong K xác định trên X. Phổ của một phần tử f của A là tập hợp các giá trị của f. 0251
Ví dụ 2 Cho A là một đại số có đơn vị và hạng hữu hạn trên K. Để x∈ A là khả nghịch, điều kiện cần và đủ là ánh xạ tuyến tính y↦ xy của A vào A có định thức khác không. Suy ra rằng phổ của… 0252
Định nghĩa 2 Cho A là một đại số có đơn vị trên K và x∈ A. Với mọi λ ∈ K Sp(x), ta đặt 0253
Nhận xét 1 Cho (A,1) là một đại số có đơn vị. Nếu x∈ A, ta có 0254
Nhận xét 2 Suy ra từ Nhận xét 1 rằng, nếu B là một đại số trên K và nếu x∈ B, thì: 0255
Nhận xét 3 Nếu x thuộc căn của A (A, VIII, p. 430, định nghĩa 3), thì Sp'_A(x) =0. Điều này suy ra từ Nhận xét 7 của I, p. 3. 0256
Mệnh đề 1 Cho A là một đại số và x, y∈ A. Ta có Sp'(xy) = Sp'(yx). 0257
Định nghĩa 3 Một đại số con đầy đủ của A là một đại số con có đơn vị B sao cho mọi phần tử của B khả nghịch trong A đều khả nghịch trong B. 0258
Bổ đề 2 Cho (x_λ)_λ∈Λ là một họ các phần tử của A giao hoán từng đôi một. Đại số con đầy đủ sinh bởi (x_λ) là tập hợp các phần tử có dạng R((x_λ)), trong đó R∈ K((X_λ)) chạy qua tập hợp cá… 0259
Định nghĩa 4 Cho A là một đại số giao hoán có đơn vị trên K. Một đặc trưng có đơn vị là một cấu xạ có đơn vị của A vào K. 025A
Định nghĩa 5 Cho A là một đại số giao hoán có đơn vị trên K. Với mọi x∈ A, ký hiệu G_A(x), hoặc đơn giản là G(x), là ánh xạ χ ↦ χ (x) của X(A) vào K. Nó được gọi là biến đổi Gelfand của x. 025B
Định nghĩa 6 Cho A là một đại số giao hoán trên K. Một đặc trưng của A, theo định nghĩa, là một cấu xạ đại số của A vào K. 025C
Bổ đề 3 Ánh xạ χ ↦ Ker(χ ) là một song ánh của X(A) lên tập hợp các iđêan chính quy có đối chiều 1 của A. 025D
Ví dụ Ánh xạ không từ A vào L(E) là một biểu diễn, gọi là tầm thường, của A. Nó là bất khả quy khi và chỉ khi E có chiều 1. 025E
Bổ đề 4 Cho π là một biểu diễn bất khả quy không tầm thường của A trong E. Với mọi phần tử khác không ξ của E, ta có π (A)ξ = E. 025F
Định nghĩa 7 Cho A là một đại số trên K. Một iđêan nguyên thủy của A được định nghĩa là hạt nhân của một biểu diễn bất khả quy không tầm thường của A. 025G
Bổ đề 5 Cho π là một biểu diễn bất khả quy của A trong một không gian vectơ E trên K. 025H
Bổ đề 6 Cho I₁ và I₂ là hai iđêan hai phía của A, I là một iđêan nguyên thủy của A. Nếu I chứa I₁I₂(đặc biệt, nếu I chứa I₁∩ I₂), thì I chứa I₁ hoặc I₂. 025I
Bổ đề 7 Giả sử A có một phần tử đơn vị. Cho I là một iđêan hai phía tối đại của A. Khi đó I là một iđêan nguyên thủy. 025J
Mệnh đề 2 Cho I₁ và I₂ là các điểm phân biệt của J(A). Khi đó một trong hai điểm này không kề với điểm kia. 025K
Mệnh đề 3 Cho I∈ J(A). Để I là đóng trong J(A), điều kiện cần và đủ là I là một iđêan nguyên thủy cực đại. 025L
Mệnh đề 4 Nếu A có một phần tử đơn vị, các không gian J(A) và widehatA là quasi-compact. 025M
Mệnh đề 5 Tôpô cảm sinh trên X(A) bởi tôpô của widehatA là thô hơn tôpô của X(A). 025N

§ 2. Đại số chuẩn

Định nghĩa 1 Cho A là một đại số chuẩn. Với a∈ A, ký hiệu γ ₐ và δ ₐ là các ánh xạ x↦ ax, và x↦ xa từ A vào A. Ánh xạ γ :a↦ γ ₐ là một biểu diễn của A trong A, được gọi là biểu diễn chính quy t… 025W
Bổ đề 1 Cho A là một đại số chuẩn. Biểu diễn chính quy trái của A và biểu diễn chính quy phải của A là liên tục với chuẩn leqslant 1. 025X
Bổ đề 2 (Bổ đề Fekete) Cho (aₙ)_ngeqslant 1 là một dãy các số thực. Giả sử rằng 025Y
Mệnh đề 1 Cho A là một đại số chuẩn. Với mọi x∈ A, dãy (|xⁿ|^1/n)_ngeqslant 1 hội tụ và giới hạn của nó varrho (x) bằng inf_ngeqslant 1|xⁿ|^1/n. Hơn nữa, với mọi chuẩn x↦ |x|₁ xác định tôpô… 025Z
Định nghĩa 2 Với mọi phần tử x của một đại số định chuẩn A, số thực 0260
Định nghĩa 3 Một phần tử x của A là lũy linh gần nếu varrho (x) = 0. 0261
Nhận xét 1 Cho A là một đại số định chuẩn. Nếu một phần tử x∈ A thỏa mãn varrho (x) =|x|, ta có |xⁿ|=|x|ⁿ với mọi n∈ N, theo (3) và (4). 0262
Nhận xét 2 Hàm x↦ varrho (x) trên A, là cận dưới lớn nhất của các hàm liên tục x↦ |xⁿ|^1/n với ngeqslant 1, là nửa liên tục trên (TG, IV, p. 31, hệ quả), nhưng nói chung nó không liên tục. Th… 0263
Mệnh đề 2 Cho A là một đại số Banach và x là một phần tử của A. Chuỗi ∑ₙ₌₁^∞λⁿxⁿ, được xét như một chuỗi lũy thừa theo λ, có bán kính hội tụ varrho (x)⁻¹. Nếu A có đơn vị và nếu varrho (x)<1… 0264
Hệ quả 1 Nếu A là một đại số Banach có đơn vị, thì nhóm các phần tử khả nghịch của A chứa quả cầu mở tâm 1 và bán kính 1. 0265
Hệ quả 2 Cho A là một đại số Banach và I là một iđêan trái cực đại chính quy (tương ứng iđêan phải) của A. Khi đó I là đóng. 0266
Hệ quả 3 Căn của một đại số Banach là đóng. 0267
Mệnh đề 3 Cho A là một đại số Banach có đơn vị. 0268
Định nghĩa 4 Cho A là một đại số chuẩn, cho x là một phần tử của A. Ký hiệu γ ₓ và δ ₓ là các ánh xạ y↦ xy và y↦ yx từ A vào A. Ta nói rằng x là một ước của không tôpô bên trái (tương ứng phải)… 0269
Nhận xét Theo TG, IX, p. 36, hệ quả 2,x là một ước của không tôpô bên trái (tương ứng phải) khi và chỉ khi tồn tại một dãy (zₙ) trong A sao cho |zₙ|= 1 và sao cho xzₙ tiến tới 0 (tương ứng… 026A
Mệnh đề 4 Let A là một đại số Banach có đơn vị. Cho x là một phần tử của A không khả nghịch trái. Nếu tồn tại một dãy (xₙ) các phần tử khả nghịch trái của A hội tụ đến x, thì x là một ước củ… 026B
Mệnh đề 5 Cho A là một đại số Banach có đơn vị và B là một đại số con đầy đủ của A. Khi đó B là một đại số con đầy đủ của A. 026C
Định lý 1 Cho A là một đại số Banach có đơn vị và x∈ A. 026D
Nhận xét 1 Phổ của một phần tử trong một đại số Banach có đơn vị có thể là bất kỳ tập con compact khác rỗng F nào của C(xem Ví dụ 3 của I, p. 17; với A =C(F;C) và f∈ A là đơn ánh chính tắc củ… 026E
Nhận xét 2 Cho A là một đại số Banach có đơn vị và x∈ A. Theo Định lý 1 của I, p. 24,C- Sp_A(x) là một tập con mở của C, do đó liên thông địa phương. Vì vậy các thành phần liên thông của C- S… 026F
Hệ quả 1 Cho A là một đại số định chuẩn có đơn vị và khác không. Với mọi x∈ A, phổ Sp_A(x) là khác rỗng. 026G
Hệ quả 2 (Định lý Gelfand-Mazur) Cho A là một đại số có chuẩn trên C. Nếu A là một trường, thì A =C· 1. 026H
Hệ quả 3 Cho A là một đại số Banach có đơn vị và x là một phần tử khả nghịch của A sao cho |x|=|x⁻¹|= 1. Khi đó Sp(x)⊂ U. 026I
Hệ quả 4 Cho E là một không gian Banach phức, L(E) là đại số Banach của các tự đồng cấu liên tục của E và A là một đại số con khác không của L(E) sao cho E là một giả môđun A đơn (A, II, p… 026J
Hệ quả 5 Cho A là một đại số Banach và x∈ A. 026K
Bổ đề 3 Cho X₁ và X₂ là các tập con compact của C. Nếu X₂ được chứa trong X₁ và nếu biên của X₁ trong C được chứa trong X₂, thì X₁ là hợp của X₂ và một số thành phần liên thông bị chặn của… 026L
Mệnh đề 6 Cho A là một đại số Banach có đơn vị và B là một đại số con đóng có đơn vị của A. Với mọi x∈ B, ta có Sp_B(x)⊃ Sp_A(x), và biên của Sp_A(x) trong C chứa biên của Sp_B(x) trong C. Đ… 026M
Hệ quả Tập hợp Sp_B(x) là hợp của Sp_A(x) và một số thành phần liên thông bị chặn của C- Sp_A(x). 026N

§ 3. Đại số Banach giao hoán

Định lý 1 Cho A là một đại số Banach và cho χ : A→ C là một cấu xạ đại số (xem I, p. 9). Khi đó χ liên tục, có chuẩn không vượt quá 1. Nếu A có đơn vị và nếu χ là một cấu xạ có đơn vị, thì χ… 027P
Nhận xét Cho A là một đại số Banach giao hoán. Từ định lý này suy ra rằng tôpô hội tụ đơn giản trên X'(A) trùng với hạn chế lên X'(A) của tôpô yếu σ (A',A) của đối ngẫu A' của A. 027Q
Hệ quả Cho A là một đại số Banach giao hoán. Không gian X'(A) là compact. Không gian X(A) là compact địa phương, và là compact nếu A có một phần tử đơn vị. 027R
Định lý 2 Cho A là một đại số Banach giao hoán. Ánh xạ χ ↦ Ker(χ ) là một song ánh từ X(A) lên tập J(A) các iđêan cực đại chính quy của A. 027S
Mệnh đề 1 Với mọi tập con đóng Φ của X, ký hiệu I_Φ là tập hợp các f∈ C₀(X) triệt tiêu trên Φ. Khi đó Φ ↦ I_Φ là một song ánh từ tập hợp các tập con đóng của X lên tập hợp các iđêan đóng của… 027T
Hệ quả 1 Với mọi x∈ X, gọi Iₓ là tập hợp các f∈ C₀(X) triệt tiêu tại x. Khi đó x↦ Iₓ là một song ánh từ X lên tập hợp các iđêan đóng cực đại của C₀(X). Các iđêan này là chính quy. 027U
Hệ quả 2 Ánh xạ x↦ evₓ là một đồng phôi từ X' lên X'(C₀(X)), và hạn chế của nó lên X là một đồng phôi từ X lên X(C₀(X)). Hơn nữa, tôpô yếu và tôpô Jacobson trùng nhau trên X(C₀(X)). 027V
Hệ quả 3 Giả sử X compact. Khi đó ánh xạ x↦ evₓ là một đồng phôi từ X lên X(C(X)). Tôpô yếu và tôpô Jacobson trùng nhau trên X(C(X)). 027W
Định nghĩa 1 Một ánh xạ bộ phận thực sự từ X vào Y là một sự tương ứng f= (Γ ,X,Y) (E, II, p. 10, Def. 2) giữa X và Y sao cho 027X
Bổ đề 1 Với mọi ánh xạ bộ phận thực sự f từ X vào Y, có miền xác định là U, gọi widetildef là ánh xạ từ X' vào Y' được xác định bởi widetildef(x) =f(x) nếu x∈ U và widetildef(x) =ω_Y nếu x… 027Y
Mệnh đề 2 Cho A và B là các đại số Banach phức giao hoán. Với mọi cấu xạ đại số π : A→ B, ánh xạ X'(π ) là một ánh xạ bộ phận thực sự của X(B) vào X(A). 027Z
Mệnh đề 3 a) Với mọi ánh xạ bộ phận thực sự φ của X vào Y, ánh xạ f↦ f∘ φ từ C(Y') vào C(X') cảm sinh một cấu xạ đại số φ^* của C₀(Y) vào C₀(X) ; 0280
Mệnh đề 4 Giả sử X và Y compact. Hãy đồng nhất không gian X (resp. không gian Y) với X(C(X)) (resp. X(C(Y))) (hệ quả 3 của I, p. 33). 0281
Nhận xét Trong ngôn ngữ của lý thuyết phạm trù, các kết quả trên có thể được giải thích theo cách sau. Cho G là phạm trù mà các đối tượng là các không gian tôpô compact địa phương và các cấ… 0282
Ví dụ 1 Cho X là một không gian tôpô compact địa phương và xét đại số Banach giao hoán C₀(X) (ví dụ 3 của I, p. 17 và No. 2 của I, p. 31). Theo Hệ quả 1 của I, p. 32, không gian các đặc tr… 0283
Ví dụ 2 Cho ngeqslant 0 là một số nguyên. Gọi Aₙ là đại số các hàm f: [0,1]→ K có các đạo hàm liên tục trên [0,1] đến cấp n. Được trang bị chuẩn 0284
Ví dụ 3 Cho Δ là đĩa các số phức z thỏa mãn |z|leqslant 1 và cho A là đại số Banach phức các hàm liên tục trên Δ, giải tích trong phần trong của Δ, được trang bị chuẩn |f|= sup_z∈Δ|f(z)| (… 0285
Ví dụ 4 Xét đại số Banach phức A của các chuỗi Fourier hội tụ tuyệt đối (ví dụ 8 của I, p. 19). Với mọi phần tử u của đường tròn đơn vị U, ánh xạ f↦ f(u) là một đặc trưng evᵤ của A. Nếu f₀… 0286
Ví dụ 5 Cho Δ là đĩa đơn vị gồm các số phức z sao cho |z|leqslant 1. Biên của nó trong C là U. Cho A là đại số Banach các hàm phức f trên U sao cho tồn tại một hàm liên tục widetildef∈ C(Δ… 0287
Mệnh đề 5 Cho A là một đại số Banach giao hoán. Với mọi x∈ A, hàm G(x) thuộc đại số Banach giao hoán C₀(X(A)) gồm các hàm liên tục trên X(A) tiến tới 0 ở vô cực. 0288
Mệnh đề 6 Cho A là một đại số Banach giao hoán và cho x∈ A. 0289
Ví dụ Xét đại số Banach A của các chuỗi Fourier hội tụ tuyệt đối (Ví dụ 4). Mệnh đề 6, b), cho thấy rằng nếu φ là một hàm trên đường tròn đơn vị U có một chuỗi Fourier hội tụ tuyệt đối… 028A
Mệnh đề 7 Cho A là một đại số Banach giao hoán. 028B
Hệ quả Cho A là một đại số Banach, và gọi x và y là các phần tử giao hoán với nhau của A. 028C
Mệnh đề 8 Cho A là một đại số Banach giao hoán. Bốn tập hợp sau đây bằng nhau: 028D
Nhận xét 1 Nói chung, ảnh của biến đổi Gelfand không đóng trong C₀(X(A)), cũng không trù mật trong C₀(X(A)) (Bài tập 7 của I, p. 193). 028E
Nhận xét 2 Ảnh của biến đổi Gelfand tách các điểm của X(A), vì nếu χ₁not=χ₂ là các phần tử của X(A), thì tồn tại x∈ A sao cho χ₁(x)not=χ₂(x). 028F
Nhận xét 3 Nếu χ ∈ X(A), thì tồn tại một phần tử của ảnh của biến đổi Gelfand không triệt tiêu tại χ. 028G
Nhận xét 4 Nếu A có một phần tử đơn vị, thì ảnh của biến đổi Gelfand là một đại số con đầy đủ của đại số các hàm liên tục trên X(A) (Mệnh đề 6, b)). 028H
Bổ đề 2 Cho A là một đại số Banach giao hoán. Cho M là một tập con của X(A). Khi đó M đóng đối với tôpô Jacobson nếu và chỉ nếu, với mọi đặc trưng χ ∈ X(A) M, tồn tại một phần tử x của A s… 028I
Mệnh đề 9 Cho A là một đại số Banach, cho B là một đại số Banach giao hoán không có căn, mọi cấu xạ của đại số nền của A vào đại số nền của B đều liên tục. 028J
Hệ quả Trên một đại số phức giao hoán không có căn, hai chuẩn xác định các cấu trúc đại số Banach là tương đương. 028K
Mệnh đề 10 Cho A và B là các đại số Banach giao hoán có đơn vị, h: A→ B là một cấu xạ đại số có đơn vị, không nhất thiết liên tục. Nếu X(h) là toàn ánh, thì h(A) là một đại số con đầy của B. 028L
Mệnh đề 11 Cho A và B là các đại số Banach giao hoán có đơn vị, cho a là một phần tử của A và cho h: A→ B là một cấu xạ có đơn vị đơn ánh (không nhất thiết liên tục). Giả sử rằng đại số con đ… 028M
Định nghĩa 2 Ảnh của ánh xạ X(h) được gọi là phổ đồng thời của x, và được ký hiệu bởi Sp^Λ_A(x) hoặc Sp^Λ(x). 028N
Ví dụ Cho K ⊂ C^Λ là một tập con compắc. Cho z= (z_λ)_λ∈Λ là họ trong C(K) gồm các hạn chế lên K của các hàm tọa độ của C^Λ. Khi đó phổ chung Sp^Λ_C(K)(z) bằng K. Thật vậy, theo Hệ quả 2… 028O
Mệnh đề 12 Cho Λ là một tập hợp và A là một đại số Banach giao hoán có đơn vị. Cho x= (x_λ)_λ∈Λ là một họ các phần tử của A. 028P
Định nghĩa 3 Cho Λ là một tập hợp và V là một tập con của C^Λ. Ta nói rằng V là lồi đa thức nếu V là tập hợp các điểm (c_λ)_λ∈Λ của C^Λ sao cho 028Q
Bổ đề 3 Cho Λ là một tập hợp. Một tập con V của C^Λ là lồi đa thức nếu và chỉ nếu tồn tại một họ (Pᵢ)_i∈ I gồm các phần tử của C[(X_λ)_λ∈Λ] và một họ (Mᵢ)_i∈ I gồm các phần tử của [0,+∞ ]… 028R
Bổ đề 4 Cho A là một đại số Banach giao hoán có đơn vị. Cho Λ là một tập hợp và x= (x_λ)_λ∈Λ là một họ các phần tử của A. Nếu đại số con có đơn vị sinh bởi họ x là trù mật trong A, thì phổ… 028S
Định nghĩa 4 Cho Λ là một tập hợp và V là một tập con của C^Λ. Bao lồi đa thức của V là tập con lồi đa thức nhỏ nhất của C^Λ chứa V. 028T
Ví dụ Cho Λ là một tập hợp hữu hạn và V⊂ C^Λ là một tập con lồi compắc. Khi đó V là lồi đa thức. Thật vậy, gọi W là bao lồi đa thức của V. Ta sẽ chứng minh rằng W⊂ V, điều này sẽ kéo the… 028U
Bổ đề 5 Cho K là một tập con compắc của C. Ta ký hiệu bởi widehatK hợp của K và các thành phần liên thông của C- K là tương đối compắc. Khi đó tập hợp widehatK là compắc. 028V
Mệnh đề 13 Cho ngeqslant 1 là một số nguyên. Cho K⊂ Cⁿ là một tập con đóng và V là bao lồi đa thức của nó. 028W
Mệnh đề 14 Cho Λ là một tập hợp. Cho A là một đại số Banach giao hoán có đơn vị, x= (x_λ)_λ∈Λ một họ các phần tử của A, và A' là đại số con Banach có đơn vị sinh bởi x. Khi đó phổ chung Sp^Λ_… 028X
Mệnh đề 15 Cho Λ là một tập hợp. Cho K là một tập con compắc lồi đa thức của C^Λ. Cho A₀ là tập hợp các hạn chế lên K của các hàm đa thức trên C^Λ, và cho A là bao đóng của A₀ trong đại số C(… 028Y
Bổ đề 6 Cho K⊂ C^Λ là một tập con compắc lồi đa thức và U là một lân cận của K. Tồn tại một tập con hữu hạn Λ₀ của Λ sao cho, với mọi tập con Λ ' của Λ chứa Λ₀, tập hợp pr_Λ'(U) chứa bao l… 028Z
Bổ đề 7 Cho ngeqslant 1 là một số nguyên và K là một tập con compact lồi đa thức của Cⁿ. Khi đó K thừa nhận một hệ cơ bản các lân cận compact lồi đa thức. 0290

§ 4. Phép tính phiếm hàm chỉnh hình

Nhận xét Nếu căn của đại số A bằng không, có thể bỏ điều kiện liên tục trong (CF1) (x. mệnh đề 9 của I, p. 40). 029U
Định lý 1 Cho A là một đại số Banach phức giao hoán có đơn vị. Tồn tại duy nhất một phép tính phiếm hàm chỉnh hình trên A. 029V
Định nghĩa 1 Cho a= (a₁, . . . , aₙ)∈ Aⁿ, cho h:Cⁿ→ C là một ánh xạ và cho u₁, . . . , uₙ là các ánh xạ từ Cⁿ vào A. Ta nói rằng dãy (h, u₁, . . . , uₙ) thích nghi với a nếu 029W
Bổ đề 1 Cho U là một tập mở của Cⁿ và K là một tập compact của U. Tồn tại một ánh xạ khả vi vô hạn h từ Cⁿ vào C, bằng 1 trên K và có giá compact được chứa trong U. 029X
Ví dụ Giả sử rằng n= 1. Cho a∈ A. Với mọi lân cận mở U của Sp(a), tồn tại một ánh xạ khả vi vô hạn h từ C vào C có giá compact được chứa trong U, bằng 1 trong một lân cận của Sp(a) (VAR… 029Y
Bổ đề 2 Cho a= (a₁, . . . , aₙ)∈ Aⁿ. Tồn tại các ánh xạ khả vi vô hạn v₁, . . . , vₙ từ Cⁿ- Spⁿ(a) vào A sao cho 029Z
Bổ đề 3 Cho a= (a₁, . . . , aₙ)∈ Aⁿ. Cho h là một ánh xạ từ Cⁿ vào C, khả vi vô hạn, bằng 1 trên một lân cận của Spⁿ(a) và có giá compact. Tồn tại các ánh xạ khả vi vô hạn u₁, . . . , uₙ t… 02A0
Bổ đề 4 Cho a∈ Aⁿ. Cho (h, u₁, . . . , uₙ) là một dãy thích nghi với a và ω là dạng vi phân liên kết. 02A1
Bổ đề 5 Cho a∈ Aⁿ, cho (h, u₁, . . . , uₙ) là một dãy thích nghi với a, và cho ω là dạng vi phân liên kết. 02A2
Bổ đề 6 Cho a∈ Aⁿ. Mọi dãy thích nghi với a đều liên kết. 02A3
Bổ đề 7 Với mọi hàm f∈ O(U; A), tích phân ∫_Uf ω là một phần tử của A chỉ phụ thuộc vào a và vào mầm của f trong một lân cận của Spⁿ(a). Nó thỏa mãn bất đẳng thức 02A4
Mệnh đề 1 Cho a là một phần tử của A, cho U là một lân cận mở của Sp(a), và cho f∈ O(U; A). Cho V là một lân cận compact của Sp(a) được chứa trong U và sao cho V là một mảnh của C. 02A5
Hệ quả Cho a∈ A. Ta có Θₐ(1) = 1. 02A6
Bổ đề 8 Cho U là một tập mở của Cⁿ. Cho ω₁ là một dạng vi phân liên tục bậc n trên U, có giá compact và nhận giá trị trong A (tương ứng, ω₂ là một dạng vi phân liên tục bậc 2 trên C, có gi… 02A7
Bổ đề 9 Cho a= (a₁, . . . , aₙ)∈ Aⁿ. Cho p∈ N và a' = (aₙ₊₁, . . . , aₙ₊ₚ)∈ Aᵖ. Khi đó ta có Θ_(a,a')∘ π_n,n+p^*= Θ_a. Đặc biệt, ta có Θ_a(1) = 1. 02A8
Bổ đề 10 Cho a∈ Aⁿ. Cho g là một hàm đa thức trên Cⁿ với hệ số trong A và cho f∈ O(Spⁿ(a); A). Khi đó Θ_a(gf) =g(a)Θ_a(f). Đặc biệt, Θ_a(g) =g(a). 02A9
Mệnh đề 2 Cho varrho₁, . . . , varrhoₙ là các số thực >0 và cho U⊂ Cⁿ là đa đĩa bằng tích của các đĩa mở tâm 0 và bán kính varrhoᵢ. Cho 02AA
Hệ quả Giả sử rằng A khác không. Cho a∈ Cⁿ⊂ Aⁿ. Ta có Spⁿ_A(a) =a. Với mọi mầm f∈ O(a; A), ta có Θ_a(f) =f(a). 02AB
Mệnh đề 3 Cho B là một đại số Banach giao hoán có đơn vị và φ là một cấu xạ liên tục có đơn vị từ A vào B. Cho a= (a₁, . . . , aₙ)∈ Aⁿ. Đặt b= (φ (a₁), . . . , φ (aₙ)), do đó Spⁿ_B(b)⊂ Spⁿ_A… 02AC
Hệ quả 1 Cho χ ∈ X(A) và a∈ Aⁿ. Với mọi mầm f∈ O(Spⁿ(a)), ta có χ (Θ_a(f)) =f(χ (a₁), . . . , χ (aₙ)). 02AD
Nhận xét Giả sử rằng đại số A không có căn. Cho a= (a₁, . . . , aₙ)∈ Aⁿ. Theo Mệnh đề 8 của I, p. 38, ánh xạ Θᵁ_a là ánh xạ duy nhất φ từ O(U) vào A sao cho χ (φ (f)) =f(χ (a₁), . . . , χ (… 02AE
Hệ quả 2 Cho p là một số nguyên geqslant Với mọi họ (f₁, . . . , fₚ) các phần tử của O(Spⁿ(a)), ta có 02AF
Ví dụ Cho A là đại số Banach phức các hàm trên đường tròn đơn vị có chuỗi Fourier hội tụ tuyệt đối (I, p. 19, Ví dụ 8). Cho φ ∈ A. Cho f là một mầm của một hàm chỉnh hình trong một lân c… 02AG
Mệnh đề 4 Cho L là một tập con compắc lồi đa thức của Cⁿ và cho U là một lân cận mở của L. Với mọi hàm f∈ O(U; A), tồn tại một dãy các hàm đa thức trên Cⁿ với hệ số trong A hội tụ đến f|L tr… 02AH
Định lý 2 (Oka–Weil) Cho K là một tập con compắc lồi đa thức của Cⁿ và P là tập các mầm trên một lân cận của K của các hàm đa thức trên Cⁿ với hệ số trong A. Khi đó P trù mật trong O(K; A). Chính xác h… 02AI
Hệ quả 1 Cho U là một lân cận mở của K. Cho u₁ và u₂ là các ánh xạ liên tục từ O(U; A) vào một không gian tôpô X, phân tích qua O(K; A). Khi đó u₁=u₂ khi và chỉ khi u₁ và u₂ trùng nhau trên… 02AJ
Hệ quả 2 Cho E là một không gian Banach. Cho K là một tập con compắc lồi đa thức của Cⁿ. Cho P là tập các mầm trên một lân cận của K của các hàm đa thức trên Cⁿ nhận giá trị trong E. Khi đó… 02AK
Định lý 3 (Runge) Cho K là một tập con compắc của C, và Q là tập các mầm của các hàm hữu tỉ chỉnh hình trên một lân cận của K. Khi đó Q trù mật trong O(K). 02AL
Định nghĩa 2 Gọi ngeqslant 1 là một số nguyên và gọi a∈ Aⁿ. Gọi U là một lân cận mở của Spⁿ(a). Ta nói rằng một họ a' là một bao của (a,U) nếu a'∈ Cⁿ⁺ᵖ mở rộng a và nếu U× Cᵖ chứa bao lồi đa th… 02AM
Bổ đề 11 Gọi ngeqslant 1 là một số nguyên. Gọi a∈ Aⁿ. Với mọi lân cận mở U của Spⁿ(a), tồn tại một bao của (a,U). 02AN
Mệnh đề 5 Dữ liệu của các ánh xạ Θ_a, với ngeqslant 1 và a∈ Aⁿ, tạo thành một phép tính phiếm hàm chỉnh hình trên A, nghĩa là các điều kiện (CF1), (CF2) và (CF3) của I, p. 51 được thỏa mãn. 02AO
Mệnh đề 6 Cho a∈ Aⁿ. Giả sử Spⁿ(a) là lồi đa thức. Gọi z₁, . . . , zₙ là các mầm trong một lân cận của Spⁿ(a) của các hàm tọa độ trên Cⁿ. Khi đó ánh xạ Θ_a là cấu xạ đại số liên tục có đơn v… 02AP
Định lý 4 Cho A là một đại số Banach phức giao hoán có đơn vị, cho ngeqslant 1 là một số nguyên, và cho a= (a₁, . . . , aₙ)∈ Aⁿ. Cho f= (f₁, . . . , fₚ), trong đó f₁, . . . , fₚ là các phần… 02AQ
Bổ đề 12 Cho K là bao lồi đa thức của Spᵖ(f(a)). Ta có g(f(a)) = (g∘ f)(a) với mọi mầm g∈ O(K; A). 02AR
Định lý 5 Cho A là một đại số Banach có đơn vị, không nhất thiết giao hoán. Cho a là một phần tử của A và z là mầm của hàm đồng nhất của C trong một lân cận của Sp_A(a). Tồn tại duy nhất một… 02AS
Mệnh đề 7 Cho A và B là các đại số Banach có đơn vị và φ là một cấu xạ liên tục có đơn vị từ A vào B. Cho a∈ A. Khi đó Sp_B(φ (a))⊂ Sp_A(a) và ta có φ (f(a)) = f(φ (a)) với mọi f∈ O(Sp_A(a))… 02AT
Mệnh đề 8 Cho A là một đại số Banach có đơn vị và a∈ A. Cho f∈ O(Sp(a)). Ta có f(Sp_A(a)) = Sp_A(f(a)). Hơn nữa, với mọi g∈ O(Sp_A(f(a))), ta có g∘ f∈ O(Sp_A(a)) và g(f(a)) = (g∘ f)(a). 02AU
Mệnh đề 9 Cho A là một đại số Banach có đơn vị và a∈ A. Cho U là một lân cận mở của Sp_A(a) và f∈ O(U). Giả sử thêm rằng V là một lân cận compắc của Sp_A(a) được chứa trong U sao cho V là mộ… 02AV
Mệnh đề 10 Cho A là một đại số Banach có đơn vị và U là một tập con mở của C. 02AW
Mệnh đề 11 Cho A là một đại số Banach có đơn vị, a∈ A và U là một lân cận mở của Sp_A(a). Ký hiệu δ là khoảng cách từ Sp_A(a) đến C- U. Cho f∈ O(U). 02AX
Mệnh đề 12 Cho A là một đại số Banach giao hoán có đơn vị. Ảnh của ánh xạ mũ là thành phần liên thông của đơn vị của nhóm G các phần tử khả nghịch của A. 02AY
Mệnh đề 13 Cho A là một đại số Banach giao hoán có đơn vị. Gọi U₁ và U₂ là các tập mở của X(A) lập thành một phân hoạch của X(A). Khi đó tồn tại duy nhất một phần tử lũy đẳng j của A sao cho… 02AZ
Hệ quả Cho A là một đại số Banach giao hoán có đơn vị. Các mệnh đề sau là tương đương: 02B0
Mệnh đề 14 Cho A là một đại số Banach giao hoán không có căn. Để A thừa nhận một phần tử đơn vị, điều kiện cần và đủ là X(A) compắc. 02B1
Mệnh đề 15 Cho A là một đại số Banach giao hoán, cho I₁ là một iđêan của A và F₁ là tập hợp các χ ∈ X(A) triệt tiêu trên I₁. Gọi F₂ là một tập con của X(A) rời nhau với F₁, đóng đối với tôpô… 02B2
Hệ quả Cho A là một đại số Banach giao hoán. Cho F₁ và F₂ là hai tập con rời nhau của X(A), đóng đối với tôpô Jacobson. Giả sử rằng F₂ compắc yếu. Khi đó tồn tại u∈ A sao cho G(u) = 1 trê… 02B3
Mệnh đề 16 Ta giữ các ký hiệu trước đây. Cho (Hᵢ)_1leqslant ileqslant n là một phân hoạch của Sp_A(x) thành các phần tử của Π. 02B4
Mệnh đề 17 Cho μ là một điểm cô lập của Sp_A(x). Khi đó 02B5
Hệ quả 1 Cho μ là một điểm cô lập của Sp_A(x) và p là một số nguyên dương ngặt. Để μ là một cực bậc p của giải thức của x(xem VAR, R1, p. 30, 3.3.9), điều kiện cần và đủ là (x-μ)ᵖ⁻¹j_μnot=… 02B6
Hệ quả 2 Cho μ là một điểm cô lập của Sp_A(x). Cho Γ là biên định hướng của một đĩa mở Δ tâm μ sao cho 02B7
Mệnh đề 18 Không gian vectơ tôpô phức E_(C) là khả chuẩn hóa (resp. đầy đủ) khi và chỉ khi E là khả chuẩn hóa (resp. đầy đủ). 02B8
Nhận xét Cho E và F là các không gian vectơ tôpô khả chuẩn hóa trên K. Không gian vectơ L(E; F) của các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F, được trang bị tôpô hội tụ bị chặn, là một khôn… 02B9
Mệnh đề 19 Cho z ký hiệu mầm trong O(S) của ánh xạ đồng nhất của C. Khi đó O_R(S) là dưới-R-đại số đầy đủ đóng nhỏ nhất của O(S) chứa z. 02BA
Bổ đề Với mọi f∈ O(Sp_A_(C)(x)), ta có f^*(1⊗ x) =overlinef(1 ⊗ x). 02BB
Mệnh đề 20 Với mọi f∈ O_R(Sp_A_(C)(x)), tồn tại một phần tử duy nhất f(x) của A sao cho f(1⊗ x) = 1⊗ f(x) trong A_(C). Ánh xạ f↦ f(x) từ O_R(Sp_A_(C)(x)) vào A là đồng cấu có đơn vị liên tục… 02BC

§ 5. Đại số Banach giao hoán chính quy

Mệnh đề 1 Cho A là một đại số Banach giao hoán. Các điều kiện sau là tương đương: 02BV
Định nghĩa 1 Cho A là một đại số Banach giao hoán. Ta nói nó là chính quy nếu nó thỏa mãn các điều kiện tương đương của Mệnh đề 1. 02BW
Nhận xét Cho widetildeA là đại số Banach suy ra từ A bằng phép nối một phần tử đơn vị e. Điều kiện (ii) của mệnh đề 1 chứng tỏ rằng nếu widetildeA là chính quy, thì A là chính quy. Giả sử r… 02BX
Ví dụ Ta xét lại các ví dụ ở nᵒ2 của I, p. 17. 02BY
Mệnh đề 2 Cho A là một đại số Banach giao hoán chính quy có đơn vị. Cho ngeqslant 1 là một số nguyên và (U₁, . . . ,Uₙ) là một phủ mở của X(A). Tồn tại các phần tử x₁, . . . , xₙ của A có tổ… 02BZ
Hệ quả 1 Cho A là một đại số Banach giao hoán chính quy có đơn vị, cho I là một iđêan của A và cho f:X(A)→ C là một hàm liên tục. Giả sử rằng, với mọi χ ∈ X(A), tồn tại một phần tử y_χ∈ I s… 02C0
Hệ quả 2 Cho A là một đại số Banach giao hoán chính quy, I là một iđêan của A và f:X'(A)→ C là một hàm liên tục. Giả sử rằng, với mọi χ ∈ X'(A), tồn tại một phần tử y_χ∈ I sao cho f=G'(y_χ)… 02C1
Mệnh đề 3 Cho A là một đại số Banach giao hoán chính quy, I là một iđêan của A và K là một tập con compắc của X(A) rời nhau với V(I). Tồn tại một phần tử x∈ I sao cho G(x) = 1 với mọi x tron… 02C2
Mệnh đề 4 Cho A là một đại số Banach giao hoán chính quy không có căn. Cho F là một tập con đóng của X(A). Tập hợp các iđêan I của A sao cho V(I) = F, có thứ tự theo quan hệ bao hàm, có một… 02C3
Hệ quả 1 Cho A là một đại số Banach giao hoán chính quy không có căn. Cho J là tập các x∈ A sao cho G(x) có giá compắc. Giả sử rằng J = A. Khi đó mọi iđêan đóng của A phân biệt với A đều đư… 02C4
Hệ quả 2 Cho A là một đại số Banach giao hoán chính quy không có căn. Cho x, y∈ A. Nếu giá của G(x) là compắc và được chứa trong tập các đặc trưng χ sao cho G(y)(χ )not= 0, thì x là một bội… 02C5
Định nghĩa 2 Cho A là một đại số Banach giao hoán. 02C6
Nhận xét Cho A là một đại số Banach giao hoán. 02C7
Bổ đề 1 Cho A là một đại số Banach giao hoán chính quy không có căn, thỏa mãn điều kiện Ditkin. Gọi I là một iđêan đóng của A và x là một phần tử của Υ(V(I)). Gọi K là tập hợp các χ ∈ X'(A… 02C8
Bổ đề 2 Cho X là một không gian tôpô. Cho F và D là hai không gian con rời nhau của X sao cho F đóng và D rời rạc. Nếu F không chứa không gian con hoàn hảo khác rỗng nào, thì điều tương tự… 02C9
Mệnh đề 5 Cho A là một đại số Banach giao hoán chính quy không có căn, thỏa mãn điều kiện Ditkin. Cho I là một iđêan đóng của A sao cho biên F của V(I) không chứa tập hoàn hảo khác rỗng nào… 02CA

§ 6. Đại số stellar

Bổ đề 1 Cho E là một không gian vectơ phức và u là một phép đối hợp nửa tuyến tính trên E. Cho x∈ E; đặt 02CI
Mệnh đề 1 Cho E₁ và E₂ là các không gian vectơ phức, và cho u₁ và u₂ lần lượt là các phép đối hợp nửa tuyến tính trên E₁ và E₂. Cho f là một ánh xạ tuyến tính từ E₁ vào E₂. Khi đó f∘ u₁=u₂∘… 02CJ
Định nghĩa 1 Cho A là một đại số trên C. Một đối hợp trong A được gọi là một ánh xạ x↦ x^* từ A vào A sao cho: 02CK
Bổ đề 2 Cho A là một đại số có phép đối hợp và x∈ A. Các phần tử 02CL
Nhận xét Cho A là một đại số có đối hợp và B là một đại số con có đối hợp giao hoán cực đại của A. Khi đó B là một đại số con giao hoán cực đại. Đặc biệt, nếu A có đơn vị, thì đại số B là đ… 02CM
Bổ đề 3 Cho A là một đại số có đối hợp giao hoán. Biến đổi Gelfand của A vào C₀(X(A)) là một cấu xạ của các đại số có đối hợp khi và chỉ khi mọi đặc trưng của A đều là Hermit. 02CN
Ví dụ 1 Cho A là đại số các hàm nhận giá trị phức trên một tập hợp X. Ánh xạ f↦ overlinef là một phép đối hợp trong A. Đại số con các hàm bị chặn trên X là một đại số con có đối hợp của A… 02CO
Ví dụ 2 Cho X là một không gian tôpô compact địa phương và μ là một độ đo dương trên X. Ánh xạ f↦ overlinef là một phép đối hợp trên đại số L^∞(X, μ); khi chuyển qua thương, nó cảm sinh mộ… 02CP
Ví dụ 3 Cho E là một không gian Hilbert phức. Trên đại số Banach L(E), ánh xạ x↦ x^* (EVT, V, p. 37, prop. 1) là một phép đối hợp. 02CQ
Ví dụ 4 Cho G là một nhóm compact địa phương. Cho M¹(G) là đại số Banach của các độ đo phức bị chặn trên G (ví dụ 6 của I, p. 19). 02CR
Ví dụ 5 Cho U là một tập con mở của C ổn định dưới liên hợp phức. Xét đại số O(U) của các hàm chỉnh hình nhận giá trị phức trên U. Với mọi hàm f∈ O(U), ánh xạ f^*:z↦ f(overlinez) là một hà… 02CS
Định nghĩa 2 Một đại số định chuẩn có đối hợp là một đại số định chuẩn A được trang bị một phép đối hợp x↦ x^* sao cho |x^*|=|x| với mọi x. Nếu A là một đại số Banach, người ta nói rằng A là mộ… 02CT
Ví dụ 1 Cho X là một không gian tôpô compact địa phương. Đại số Banach C_b(X) của các hàm liên tục bị chặn trên X, nhận giá trị phức, được trang bị chuẩn |f| = sup_x∈ X|f(x)| và phép đối h… 02CU
Ví dụ 2 Cho X là một không gian tôpô compact địa phương và μ một độ đo dương trên X. Đại số có đối hợp L^∞(X, μ) (ví dụ 2 của I, p. 99) là một đại số Banach có đối hợp, vì |f|=|overlinef|… 02CV
Ví dụ 3 Đại số có đối hợp L(E) của các nội cấu liên tục của một không gian Hilbert phức E (I, p. 99, ví dụ 3), được trang bị chuẩn 02CW
Ví dụ 4 Đại số có đối hợp M¹(G) của các độ đo bị chặn trên một nhóm compact địa phương (I, p. 99, ví dụ 4), được trang bị chuẩn thông thường (ví dụ 6 của I, p. 19), là một đại số Banach có… 02CX
Ví dụ 5 Cho (Aᵢ) là một họ các đại số định chuẩn có đối hợp. Cho A là đại số định chuẩn tích của các Aᵢ (No.ᵒ1 của I, p. 15). Đại số A, được trang bị phép đối hợp (xᵢ)^*= (x^*ᵢ), là một đạ… 02CY
Ví dụ 6 Cho A là một đại số định chuẩn có đối hợp và cho widetildeA là đại số định chuẩn suy ra từ A bằng phép nối thêm một phần tử đơn vị. Được trang bị phép đối hợp xác định trong No.ᵒ2… 02CZ
Bổ đề 4 Cho A là một đại số định chuẩn có đối hợp. Với mọi dạng tuyến tính liên tục f trên A, ta có |f^*|=|f|. Hơn nữa, nếu f là Hermit, thì |f|=|f|Aₕ|. 02D0
Bổ đề 5 Cho A là một đại số Banach có đối hợp. 02D1
Định nghĩa 3 Một đại số Banach có đối hợp A sao cho |x|²=|x^*x| với mọi x∈ A được gọi là một đại số stellar. 02D2
Ví dụ 1 Đại số Banach có đối hợp của các nội cấu liên tục của một không gian Hilbert phức (ví dụ 3 của I, p. 100) là một đại số stellar (EVT, V, p. 39, prop. 2). 02D3
Ví dụ 2 Cho X là một không gian tôpô compact địa phương. Đại số Banach có đối hợp C_b(X) của các hàm liên tục bị chặn nhận giá trị phức trên X (ví dụ 1 của I, p. 100) là một đại số stellar… 02D4
Ví dụ 3 Cho X là một không gian tôpô compact và cho x₀∈ X là một phần tử cố định của X. Đại số con C'(X) của C(X) gồm các hàm liên tục f: X→ C sao cho f(x₀) = 0 là một đại số stellar. 02D5
Ví dụ 4 Cho X là một không gian tôpô Hausdorff và μ là một độ đo dương trên X. Đại số Banach có đối hợp L^∞(X, μ) là một đại số stellar giao hoán có đơn vị. 02D6
Ví dụ 5 Cho (Aᵢ) là một họ các đại số stellar. Tích đại số Banach có đối hợp A của các Aᵢ (ví dụ 5 của I, p. 101) là một đại số stellar, được gọi là đại số stellar tích của các Aᵢ. 02D7
Ví dụ 6 Cho A là một đại số stellar. Nếu B là một đại số con đóng có đối hợp của A, thì B là một đại số stellar. Ta sẽ thấy (V, sẽ xuất hiện) rằng mọi đại số stellar đều đẳng cấu với một đ… 02D8
Ví dụ 7 Cho A là một đại số stellar. Nếu M⊂ A là một tập con bất kỳ, thì đại số con đóng có đối hợp của A sinh bởi M là một đại số stellar, được gọi là đại số con stellar của A sinh bởi M… 02D9
Ví dụ 8 Nói chung, đại số Banach có đối hợp M¹(G) (ví dụ 4 của I, p. 100) không phải là một đại số stellar (I, p. 181, exerc. 8). 02DA
Bổ đề 6 Cho A là một đại số Banach được trang bị một đối hợp thỏa mãn 02DB
Bổ đề 7 Cho A là một đại số stellar. 02DC
Nhận xét 1 Cho A là một đại số stellar có đơn vị. Ta có 02DD
Nhận xét 2 Cho A là một đại số đối hợp định chuẩn. Nếu |x|²=|x^*x| đối với mọi x∈ A, sự hoàn thành widehatA của A là một đại số stellar. 02DE
Mệnh đề 2 Cho A là một đại số Banach đối hợp, cho B là một đại số stellar, và cho π là một cấu xạ các đại số đối hợp từ A vào B. Ta có |π (x)|leqslant |x| đối với mọi x∈ A, và đặc biệt π liê… 02DF
Mệnh đề 3 Cho A là một đại số stellar và cho widetildeA là đại số đối hợp suy ra từ A bằng phép nối một phần tử đơn vị. Tồn tại một chuẩn duy nhất trên widetildeA kéo dài chuẩn của A và biến… 02DG
Định nghĩa 4 Người ta nói rằng widetildeA, được trang bị chuẩn của Mệnh đề 3, là đại số sao suy ra từ A bằng phép nối một phần tử đơn vị. 02DH
Mệnh đề 4 Cho A là một đại số sao. 02DI
Mệnh đề 5 Cho A là một đại số sao có đơn vị và B là một đại số con sao của A chứa phần tử đơn vị của A. Khi đó B là một đại số con đầy đủ của A. Đặc biệt, ta có Sp_B(x) = Sp_A(x) với mọi x t… 02DJ
Hệ quả Cho A là một đại số sao và B là một đại số con sao của A. Khi đó ta có Sp'_B(x) = Sp'_A(x) với mọi x trong B. 02DK
Hệ quả Cho A là một đại số sao và a là một phần tử chuẩn tắc của A. Hoán tập (tương ứng, đối giao hoán tử kép) của a, a^* trùng với hoán tập (tương ứng, đối giao hoán tử kép) của a. 02DL
Bổ đề 8 Cho X và Y là các không gian mêtric, trong đó không gian X là đầy đủ. Cho f là một ánh xạ từ X vào Y sao cho 02DM
Bổ đề 9 Cho A là một đại số sao giao hoán. Mọi đặc trưng của A đều là Hermit và biến đổi Gelfand là một cấu xạ của các đại số sao từ A vào C₀(X(A)). 02DN
Định lý 1 Cho A là một đại số sao giao hoán. Biến đổi Gelfand là một đẳng cấu đẳng cự của đại số sao A lên đại số sao C₀(X(A)) gồm các hàm liên tục trên X(A) tiến tới 0 ở vô cực. 02DO
Hệ quả 1 Cho A là một đại số sao và x là một phần tử chuẩn tắc của A. Khi đó |x|=varrho (x). 02DP
Hệ quả 2 Cho A là một đại số sao giao hoán. 02DQ
Hệ quả 3 Cho A là một đại số sao giao hoán có đơn vị. 02DR
Nhận xét Gọi G là phạm trù mà các đối tượng là các không gian compact địa phương và các cấu xạ là các ánh xạ bộ phận thực sự (định nghĩa 1 của I, p. 33), và gọi S là phạm trù các đại số sao… 02DS
Bổ đề 10 Ánh xạ evₓ:χ ↦ χ (x) cảm sinh một đồng phôi từ X(B) lên Sp_A(x). 02DT
Định nghĩa 5 Cấu xạ đối hợp f↦ (G_B⁻¹∘ φₓ)(f) từ C(Sp_A(x)) vào A được gọi là ánh xạ của phép tính phiếm hàm liên tục của x trong A. Nó được ký hiệu bởi f↦ f(x). 02DU
Nhận xét Ánh xạ f↦ f(x) là đẳng cự; ảnh của nó là đại số con \ có đơn vị B sinh bởi x, được chứa trong đối giao hoán tử kép của x. 02DV
Ví dụ 1 Giả sử rằng tồn tại λ ∈ C sao cho Sp_A(x) thu về λ. Khi đó ta có x=λ · 1. Thật vậy, hàm đồng nhất của Sp_A(x) bằng λ, vì vậy ảnh của nó dưới ánh xạ phép tính phiếm hàm, tức là x, b… 02DW
Ví dụ 2 Để x là Hermit, điều kiện cần và đủ là Sp_A(x) được chứa trong R. Thật vậy, gọi f là ánh xạ liên tục trên Sp_A(x) được cho bởi f(z) =z-overlinez. Khi đó x là Hermit khi và chỉ khi… 02DX
Ví dụ 3 Để x là unita, điều kiện cần và đủ là phổ của nó được chứa trong đường tròn đơn vị của C. Thật vậy, gọi f∈ C (Sp_A(x)) là hàm được xác định bởi f(z) =zz-1; phần tử x là unita khi v… 02DY
Mệnh đề 7 Ánh xạ f↦ f(x) là cấu xạ có đơn vị duy nhất của các đại số có đối hợp từ C (Sp_A(x)) vào A sao cho ánh xạ đồng nhất z của Sp_A(x) có ảnh là x. 02DZ
Hệ quả 1 Cho f∈ O(Sp_A(x)) là một mầm của hàm chỉnh hình trong một lân cận của Sp_A(x) và cho widetildef∈ C(Sp_A(x)) là hàm liên tục trên Sp_A(x) liên kết với f. Khi đó widetildef(x) =f(x)… 02E0
Hệ quả 2 Cho f∈ C (Sp_A(x)). 02E1
Ví dụ 4 Cho X là một không gian địa phương compact và cho A =C_b(X) là đại số sao giao hoán có đơn vị của các hàm liên tục bị chặn trên X (Ví dụ 2 của I, p. 102). Cho g∈ A; phổ của nó S là… 02E2
Mệnh đề 8 Cho f∈ C(Sp_A(x)). Vẫn ký hiệu bởi f hạn chế của f lên Sp_A'(π (x)), ta có đẳng thức π (f(x)) =f(π (x)). Đặc biệt, với mọi χ ∈ X(A), ta có χ (f(x)) =f(χ (x)). 02E3
Hệ quả Giả sử rằng A là giao hoán. Với mọi f∈ C(Sp_A(x)), ta có G_A(f(x)) =f∘ G_A(x). 02E4
Mệnh đề 9 Mọi cấu xạ đơn ánh của các đại số stellar đều là đẳng cự và, đặc biệt, có ảnh đóng. 02E5
Bổ đề 11 Cho X là một không gian tôpô chính quy hoàn toàn, nghĩa là có thể uniform hóa và tách biệt (TG, IX, p. 8, Định nghĩa 4), chứa ít nhất hai điểm. Tồn tại các hàm liên tục khác không… 02E6
Mệnh đề 10 Cho A là một đại số stellar có đơn vị. Giả sử rằng với mọi cặp (x, y) các phần tử hoán vị được của A, điều kiện xy= 0 kéo theo rằng x= 0 hoặc y= 0. Khi đó A =C· 1. 02E7
Mệnh đề 11 Cho A là một đại số đối hợp có đơn vị, và cho a,x và y là các phần tử của A. Giả sử rằng x và y là chuẩn tắc. Nếu xa= ay, thì ta có f(x)a=af(y) đối với mọi hàm f liên tục trên hợp… 02E8
Mệnh đề 12 Ánh xạ f↦ f(x) là cấu xạ duy nhất của các đại số có đối hợp từ đại số sao C'(Sp'_A(x)) vào A sao cho ánh xạ đồng nhất z của Sp'_A(x) có ảnh là x. 02E9
Mệnh đề 13 Ta có các tính chất sau: 02EA
Nhận xét Cho A là một đại số involutive có đơn vị và gọi widetildeA là đại số involutive có đơn vị suy ra từ A bằng phép nối một phần tử đơn vị e. Với mọi x∈ A, ta có Sp'_A(x) = Sp_A(x)∪ 0… 02EB
Định nghĩa 6 Cho A là một đại số involutive. Một phần tử x của A được gọi là dương nếu nó là Hermit và nếu Sp'_A(x)⊂ R₊. Tập hợp các phần tử dương của A được ký hiệu là A₊. Nó là một tập con củ… 02EC
Ví dụ 1 Cho X là một không gian địa phương compact. Trong đại số involutive C₀(X) của các hàm liên tục trên X tiến tới 0 ở vô cùng, tương ứng trong đại số involutive C_b(X) của các hàm liê… 02ED
Ví dụ 2 Cho A là một đại số involutive giao hoán. Gọi a là một phần tử của A. Vì Sp'_A(x) là hợp của 0 và của ảnh của biến đổi Gelfand G(a) (mệnh đề 6 của I, p. 37), phần tử a là dương khi… 02EE
Ví dụ 3 Cho E là một không gian Hilbert phức. Một phần tử x của đại số involutive L(E) (ví dụ 1 của I, p. 102) là dương khi và chỉ khi nó là một tự đồng cấu dương của E theo nghĩa của EVT… 02EF
Bổ đề 12 Cho A là một đại số involutive có đơn vị và gọi x∈ A là một phần tử Hermit. 02EG
Mệnh đề 14 Cho A là một đại số involutive. Tập A₊ là một nón lồi lồi, đóng, nhọn và có đỉnh trong không gian Banach thực Aₕ (EVT, II, p. 11). 02EH
Mệnh đề 15 Cho A là một đại số có phép đối hợp. Cho x là một phần tử chuẩn tắc của A. 02EI
Mệnh đề 16 Cho x là một phần tử dương của A. Cho α ∈ R^*₊. Khi đó x^1/α là phần tử dương duy nhất y của A sao cho y^α=x. 02EJ
Bổ đề 13 Cho A là một đại số sao có đơn vị. Mọi phần tử của A đều là một tổng của các phần tử unita. 02EK
Định lý 2 Cho A là một đại số sao. Một phần tử x của A là dương nếu và chỉ nếu tồn tại y∈ A sao cho x=y^*y. 02EL
Nhận xét Cho A là một đại số có phép đối hợp và cho x∈ A. Phần tử x^*x của A là dương; khi đó người ta đặt |x|= (x^*x)^1/2. Ta có |x|²=|x^*x|= ||x|²|=||x||², do đó |x|=||x||. 02EM
Bổ đề 14 Cho A là một đại số có phép đối hợp, và cho x và y là các phần tử Hermit của A. 02EN
Nhận xét Nói chung, nếu x và y là các phần tử dương của một -đại số A, thì điều kiện 0leqslant xleqslant y không kéo theo x²leqslant y²(xem bài tập 15 của I, p. 182). 02EO
Định nghĩa 7 Cho A là một đại số định chuẩn. Một phần tử đơn vị xấp xỉ của A là một cơ sở lọc 𝔉 trên quả cầu đơn vị của A sao cho, với mọi x trong A, các cơ sở lọc x𝔉 và 𝔉x trên A hội tụ đến x… 02EP
Mệnh đề 17 Cho A là một -đại số, và cho 𝔉 là một cơ sở lọc trên A^leqslant 1₊. Để 𝔉 là một phần tử đơn vị xấp xỉ tăng của A, điều kiện cần và đủ là ta có 02EQ
Mệnh đề 18 Cho A là một đại số có đối hợp. Tập hợp có thứ tự A^<1₊ có hướng sang phải (E, III, p. 12, def. 7), và lọc các thiết diện của nó (TG, I, p. 38, ví dụ 2) là một đơn vị xấp xỉ tăng c… 02ER
Bổ đề 15 Cho A là một đại số stellar và cho I là một iđêan hai phía đóng của A. Khi đó I là tự liên hợp. 02ES
Mệnh đề 19 Cho A là một đại số stellar và cho I là một iđêan hai phía đóng của A. Khi đó đại số Banach có phép đối hợp thương A/I là một đại số stellar. 02ET
Bổ đề 16 Cho A là một đại số có phép đối hợp và cho p là một nửa chuẩn trên A. Các điều kiện sau là tương đương : 02EU
Định nghĩa 8 Đại số stellar Stell(A) được gọi là đại số stellar bao của đại số có đối hợp có chuẩn A. 02EV
Mệnh đề 20 Cho A là một đại số có đối hợp có chuẩn và gọi j là cấu xạ chính tắc từ A vào Stell(A). Với mọi đại số stellar B và mọi cấu xạ φ của các đại số có đối hợp từ A vào B, tồn tại một c… 02EW
Hệ quả Cho A là một đại số Banach có đối hợp giao hoán và j là cấu xạ chính tắc từ A vào Stell(A). Ánh xạ X(j) là một đồng phôi của X(Stell(A)) lên không gian con X(A)ₕ của X(A) gồm các đ… 02EX
Mệnh đề 21 Cho A là một đại số Banach có đối hợp và j là cấu xạ chính tắc từ A vào Stell(A). Căn của A được chứa trong hạt nhân của j. 02EY
Định nghĩa 9 Cho G là một nhóm compact địa phương và cho A là đại số Banach có đối hợp các độ đo bị chặn trên G có một mật độ đối với một độ đo Haar trên G (ví dụ 4 của I, p. 99). Đại số stella… 02EZ
Nhận xét Cho ν là một độ đo Haar trái trên G và cho Δ là môđun của nó. Ánh xạ f↦ f· ν là một đẳng cấu đẳng cự từ đại số L¹(G, ν ) lên A (loc. cit.). Do đó cũng có thể định nghĩa Stell(G) là… 02F0
Nhận xét Nói chung, biểu diễn chính quy trái γ ' của Stell(G) trong L²(G, ν ) không trung thành. Có thể chứng minh rằng nó như vậy khi và chỉ khi tồn tại trên L^∞_R(G) một dạng tuyến tính d… 02F1
Mệnh đề 22 Ánh xạ chính tắc j từ L¹(G, ν ) vào Stell(G) là đơn ánh và có ảnh trù mật. 02F2
Hệ quả Đại số L¹(G, ν ) là nửa đơn. 02F3

§ 7. Phổ của các tự đồng cấu của các không gian Banach

Định nghĩa 1 Cho E là một không gian vectơ tôpô và u là một tự đồng cấu của E. Phổ của u, ký hiệu là Sp(u), là phổ của u đối với đại số có đơn vị L(E). 02G0
Bổ đề 1 Cho E là một không gian Banach và u là một tự đồng cấu của E. Cho (Eᵢ)_i∈ I là một họ hữu hạn các không gian con đóng của E, ổn định dưới u, sao cho E =⨁_i∈ IEᵢ. Với mỗi i∈ I, gọi… 02G1
Mệnh đề 1 Cho E là một không gian Banach phức và u là một tự đồng cấu của E. Cho λ ∈ C và f∈ O(Sp(u)). Ta có 02G2
Mệnh đề 2 Cho E là một không gian Banach và u là một tự đồng cấu của E. Cho E₁ và E₂ là các không gian con đóng của E, bất biến dưới u, sao cho E = E₁⊕ E₂. Giả sử rằng các tự đồng cấu u₁ và… 02G3
Mệnh đề 3 Cho E là một không gian Banach và E' là đối ngẫu của nó. Cho u là một tự đồng cấu của E. 02G4
Nhận xét Cho H là một tập con vừa mở vừa đóng trong Sp(u), với phân tích phổ liên kết là E = E_H(u)⊕ widetildeE_H(u). Từ mệnh đề c) suy ra rằng nếu ta đồng nhất E' với E_H(u)'⊕ widetildeE_H… 02G5
Bổ đề 2 Cho E là một không gian Hilbert phức và cho u là một tự đồng cấu chuẩn tắc của E. Cho (Eᵢ)_i∈ I là một họ hữu hạn các không gian con đóng của E, ổn định dưới u và trực giao từng đô… 02G6
Mệnh đề 4 Cho E là một không gian Hilbert phức và cho u là một tự đồng cấu chuẩn tắc của E. Với mọi hàm f∈ C (Sp(u)) và mọi λ ∈ C, ta có 02G7
Bổ đề 3 Cho E là một không gian Hilbert và p∈ L(E) là một phép chiếu. Các mệnh đề sau là tương đương: 02G8
Mệnh đề 5 Cho E là một không gian Hilbert phức và u là một tự đồng cấu chuẩn tắc của E. 02G9
Bổ đề 4 Cho E là một không gian Hilbert và u là một tự đồng cấu chuẩn tắc của E. Cho F là một không gian con đóng của E chứa một tập hợp toàn phần các vectơ riêng của u. Khi đó F^∘ ổn định… 02GA
Định nghĩa 2 Cho E là một không gian Hilbert phức và u là một tự đồng cấu của E. Ảnh số của u là tập hợp các số phức có dạng ⟨ x|u(x)⟩, trong đó x chạy qua mặt cầu đơn vị của E. Ta ký hiệu bởi… 02GB
Mệnh đề 6 Cho E là một không gian Hilbert phức và u là một tự đồng cấu của E. 02GC
Bổ đề 5 Cho E là một không gian Hilbert phức chiều 2. Hãy biến không gian vectơ thực L(E)ₕ của các tự đồng cấu Hermit của E thành một không gian tiền Hilbert có chuẩn bằng chuẩn u↦ Tr(u^*u… 02GD
Bổ đề 6 Cho E là một không gian vectơ thực định chuẩn, F là một không gian vectơ thực, và u: E→ F là một ánh xạ afin không đơn ánh. Gọi B là một quả cầu trong E và S là mặt cầu tương ứng… 02GE
Mệnh đề 8 Cho E là một không gian Hilbert phức. Cho u là một tự đồng cấu của E. Các điều kiện sau là tương đương: 02GF
Mệnh đề 9 Cho E là một không gian Hilbert phức và u là một phần tử Hermit của L(E). 02GG
Định nghĩa 3 Ta nói rằng (u^*u)^1/2 là giá trị tuyệt đối của u, và ký hiệu nó bởi |u|. 02GH
Mệnh đề 10 Cho E₁ và E₂ là các không gian Hilbert phức và cho u∈ L(E₁; E₂). 02GI
Định nghĩa 4 Cho E₁ và E₂ là các không gian Hilbert phức và u∈ L(E₁; E₂). Cặp (j,|u|), trong đó j là ánh xạ đẳng cự riêng phần duy nhất từ E₁ vào E₂ sao cho u=j|u| và Ker(j) = Ker(u), được gọi… 02GJ
Mệnh đề 11 Cho E₁ và E₂ là các không gian Hilbert phức và u∈ L(E₁; E₂). Gọi (j,|u|) là phân tích cực của u. 02GK
Hệ quả Cho E₁ và E₂ là các không gian Hilbert phức và cho u∈ L(E₁; E₂). Khi đó Im(u) = Im(|u^*|). 02GL
Mệnh đề 12 Cho E₁ và E₂ là các không gian Hilbert phức và u∈ L(E₁; E₂). Cho (j,|u|) là phân tích cực của u. Để u là song ánh, điều kiện cần và đủ là |u| khả nghịch trong L(E₁) và j là một đẳn… 02GM
Mệnh đề 13 Cho E là một không gian Hilbert phức và u là một tự đồng cấu của E. Các điều kiện sau là tương đương: 02GN

§ 8. Đại số các hàm liên tục trên một không gian compact

Mệnh đề 1 Cho f↦ |f|_B là một chuẩn biến B thành một đại số Banach. 02H4
Mệnh đề 2 Cho f↦ |f|_B là một chuẩn sao cho (B,|· |_B) là một đại số Banach. 02H5
Ví dụ Cho X = [0,1] và cho ngeqslant 0 là một số nguyên. Gọi B là đại số các hàm f: X→ C có các đạo hàm liên tục trên [0,1] đến cấp n, được trang bị chuẩn được xét trong ví dụ 4 của I, p… 02H6
Mệnh đề 3 Cho X là một không gian compắc. Cho B là một đại số con Banach có đơn vị của C(X), được trang bị chuẩn cảm sinh, phân biệt các điểm của X. Ta đồng nhất X với một tập con đóng của X… 02H7
Mệnh đề 4 Cho X là một không gian compắc. Cho B là một đại số con Banach có đơn vị của C(X), được trang bị chuẩn cảm sinh và tách các điểm của X. Ta đồng nhất X với một tập con đóng của X(B)… 02H8
Hệ quả 1 Cho Λ là một tập hợp và X là một tập con compact của C^Λ. Ta đồng nhất X với một tập con của X(P(X)) (mệnh đề 1 của I, p. 142, d)). Cho (z_λ)_λ∈Λ là họ các hàm tọa độ trên C^Λ. 02H9
Hệ quả 2 Cho Λ là một tập hợp và cho X⊂ C^Λ là một tập compact. Nếu X liên thông thì bao lồi đa thức của nó là liên thông. 02HA
Bổ đề 1 Cho X là một tập con compact của mặt phẳng và cho O là một thành phần liên thông bị chặn của C- X. Biên của O được chứa trong X. 02HB
Mệnh đề 5 Với các ký hiệu trên đây: 02HC
Hệ quả 1 Các điều kiện sau là tương đương: 02HD
Hệ quả 2 (Định lý Runge) Với mỗi i∈ I, gọi λᵢ là một điểm của Oᵢ. Gọi f là một hàm phức chỉnh hình trên một lân cận mở của X. Khi đó f|X là giới hạn đều của các hạn chế lên X của những phân thức hữu tỉ có… 02HE

II. Các nhóm giao hoán địa phương compact

§ 1. Biến đổi Fourier

Định nghĩa 1 Một đồng cấu liên tục từ G vào nhóm nhân U của các số phức có môđun 1 được gọi là một đặc trưng unita của G. 02HQ
Định nghĩa 2 Nhóm tôpô widehatG được gọi là nhóm đối ngẫu của G. 02HR
Bổ đề 1 Với mọi χ ∈ widehatG, ánh xạ μ↦ χ (μ) là một đặc trưng Hermit của đại số Banach có đối hợp M¹(G). 02HS
Mệnh đề 1 Ánh xạ chính tắc từ widehatG vào X(L¹(G)) là một đồng phôi. 02HT
Nhận xét 1 Song ánh của ánh xạ từ widehatG vào X(L¹(G)) của Mệnh đề 1 là một trường hợp riêng của sự tương ứng giữa các biểu diễn liên tục của một nhóm địa phương compắc H (không nhất thiết g… 02HU
Nhận xét 2 Ánh xạ chính tắc từ widehatG vào X(M¹(G)) nói chung không toàn ánh (II, p. 308, bài tập 14). 02HV
Hệ quả 1 Mọi đặc trưng của L¹(G) đều là Hermit. Ánh xạ chính tắc từ X(Stell(G)) (Định nghĩa 9 của I, p. 125) vào X(L¹(G)) là một đồng phôi. 02HW
Hệ quả 2 Nhóm tôpô widehatG là địa phương compắc. 02HX
Bổ đề 2 Cho G và H là các nhóm giao hoán địa phương compact và cho f: H→ G là một cấu xạ của các nhóm tôpô. Hạt nhân của widehatf là trực giao của ảnh của f. 02HY
Mệnh đề 2 Cho ngeqslant 0 là một số nguyên và cho G₁, . . . ,Gₙ là các nhóm giao hoán địa phương compact. Cho G là nhóm tích của các nhóm Gⱼ với 1leqslant jleqslant n. Với 1leqslant jleqslan… 02HZ
Nhận xét Việc tính nhóm đối ngẫu của một tích vô hạn các nhóm compact giao hoán là đối tượng của Hệ quả 4 của II, p. 234 dưới đây. Trường hợp một nhóm giao hoán địa phương compact là một tí… 02I0
Định nghĩa 3 Cho μ∈ M¹(G) là một độ đo phức bị chặn trên G. Biến đổi Fourier của μ được gọi là hàm F_G(μ) trên widehatG được định nghĩa bởi 02I1
Mệnh đề 3 Với mọi độ đo μ∈ M¹(G), các hàm F_G(μ) và overlineF_G(μ) đều liên tục và bị chặn. Các ánh xạ F_G:μ↦ F_G(μ) và overlineF_G:μ↦ overlineF_G(μ) là các cấu xạ liên tục của đại số có phé… 02I2
Mệnh đề 4 Biến đổi Fourier và đối biến đổi Fourier là các cấu xạ đơn ánh của các đại số có đối hợp của L¹(G) vào đại số C₀(widehatG) gồm các hàm liên tục triệt tiêu tại vô cực trên widehatG. 02I3
Nhận xét Biến đổi Fourier trên không gian L¹(G) phụ thuộc vào lựa chọn độ đo Haar dx, khác với biến đổi Fourier trên M¹(G). Nếu thay dx bằng độ đo a· dx (với a >0), thì với mọi hàm khả tích… 02I4
Mệnh đề 5 Do tính liên tục, biến đổi Fourier và đối biến đổi Fourier mở rộng duy nhất thành các đẳng cấu của các đại số sao từ Stell(G) lên C₀(widehatG). 02I5
Hệ quả Ảnh của L¹(G) dưới biến đổi Fourier của G là trù mật trong C₀(widehatG). 02I6
Mệnh đề 6 Giả sử G là compắc. Độ đo Haar chuẩn hóa dx thuộc M¹(G), và biến đổi Fourier của nó là φₑ, hàm đặc số của e. 02I7
Mệnh đề 7 Không gian A(G) là một iđêan tự liên hợp của L¹(G). Nó được chứa trong L¹(G)∩ L²(G), và trong ảnh của C(G) trong L¹(G). 02I8
Mệnh đề 8 Tồn tại một cơ sở lọc 𝔅 trên A(G)∩ K₊(G) sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn: 02I9
Hệ quả 1 Không gian A(G) là trù mật trong L¹(G) và trong L²(G). Nó cũng trù mật trong Stell(G), và ảnh widehatA(G) của nó dưới phép biến đổi Fourier là trù mật trong C₀(widehatG). 02IA
Hệ quả 2 Với f∈ A(G), đặt Ω_f là tập hợp các χ ∈ widehatG sao cho F(f)(χ )not= 0. Các tập Ω_f tạo thành một phủ mở của widehatG. 02IB
Bổ đề 3 Với mọi f∈ A(G), tồn tại một độ đo bị chặn duy nhất μ_f trên widehatG sao cho 02IC
Bổ đề 4 Tồn tại một độ đo ν duy nhất trên widehatG sao cho 02ID
Mệnh đề 9 Độ đo ν được đặc trưng bởi bổ đề 4 là một độ đo Haar trên widehatG. 02IE
Định nghĩa 4 Độ đo Haar ν trên widehatG của mệnh đề 9 được gọi là độ đo đối ngẫu của độ đo Haar đã cho dx trên G. 02IF
Nhận xét Cho a là một số thực >0. Nếu thay dx bằng độ đo a· dx, thì tích chập của các hàm f và g∈ L¹(G) được thay bằng a(f*g). Ta đã thấy (II, p. 209, nhận xét) rằng F(f) được thay bằng aF(… 02IG
Bổ đề 5 Không gian A(widehatG) trù mật trong L²(widehatG). 02IH
Định lý 1 (Plancherel) Hạn chế của biến đổi Fourier lên không gian con A(G) của L²(G) mở rộng theo một cách duy nhất thành một đẳng cự Φ từ L²(G) lên L²(widehatG). 02II
Hệ quả Giả sử rằng G là compact và dx là độ đo Haar đã chuẩn hóa trên G. Khi đó họ các đặc trưng unita của G là một cơ sở trực chuẩn của L²(G). 02IJ
Nhận xét 1 Một số công thức liên quan đến biến đổi Fourier trên L¹(G) mở rộng được sang biến đổi Fourier trên L²(G). Đặc biệt, với f∈ L²(G) và χ ∈ widehatG, ta có 02IK
Nhận xét 2 Các công thức 02IL
Mệnh đề 10 Cho ngeqslant 0 là một số nguyên và cho G₁,⋯ ,Gₙ là các nhóm giao hoán compact địa phương. Cho μⱼ, với 1leqslant jleqslant n, là các độ đo Haar trên Gⱼ. Cho G là nhóm tích của các… 02IM
Mệnh đề 11 Cho f∈ A(G). Khi đó F(f)∈ L¹(widehatG) và, với mọi x∈ G, ta có 02IN
Bổ đề 6 Cho φ ∈ L¹(widehatG)∩ L²(widehatG). Khi đó f=overlineF_widehatG(φ )∘ η thuộc L²(G) và F_G(f) =φ trong L²(widehatG). 02IO
Hệ quả 1 Với mọi tập con đóng P của widehatG và mọi χ ∈ widehatG không thuộc P, tồn tại một hàm f∈ L¹(G) sao cho F(f) bằng không trên P và khác không tại χ. 02IP
Hệ quả 2 Đại số Banach L¹(G) là chính quy (I, p. 89, Định nghĩa 1). 02IQ
Định lý 2 (Pontryagin) Ánh xạ chính tắc η của G vào widehatwidehatG là một đẳng cấu của các nhóm tôpô. Nó biến đổi độ đo Haar dx thành độ đo Haar đối ngẫu kép dwidehatwidehatx. 02IR
Hệ quả Biến đổi Fourier đối của L²(widehatG) lên L²(G) và biến đổi Fourier của L²(G) lên L²(widehatG) là những đẳng cự nghịch đảo của nhau. 02IS
Nhận xét Cho f∈ L²(G) và g∈ L²(widehatG). Áp dụng công thức Plancherel (24) cho f và overlineF_widehatG(g), ta thu được công thức 02IT
Mệnh đề 13 Cho α ∈ M¹(G) và β ∈ M¹(widehatG). Khi đó ta có (30) F_G(overlineF_widehatG(β )· α ) =β *F_G(α ) 02IU
Hệ quả Biến đổi Fourier F_G là đơn ánh trên M¹(G). 02IV
Định lý 3 Hạn chế của biến đổi Fourier lên B(G) cảm sinh một đẳng cấu các không gian vectơ từ B(G) lên B(widehatG), mà nghịch đảo của nó được cảm sinh bởi hạn chế của biến đổi đồng-Fourier l… 02IW
Hệ quả 1 Cho f∈ L¹(G). Khi đó f∈ B(G) khi và chỉ khi f thuộc ảnh của biến đổi Fourier F_widehatG trên L¹(widehatG). Đặc biệt, ta có A(G)⊂ B(G). 02IX
Hệ quả 2 Không gian vectơ B(G) là một đại số đối với cả phép nhân lẫn phép chập. Biến đổi Fourier hoán đổi phép chập và phép nhân trong B(G) và B(widehatG). 02IY
Mệnh đề 14 Cho f và g thuộc L²(G). Khi đó F_G(f g) = F_G(f)*F_G(g). 02IZ
Nhận xét Xem nᵒ9 và các bài tập 22 của II, p. 270 và 31 của II, p. 275 để có những ví dụ khác về các không gian hàm trên đó biến đổi Fourier là một đẳng cấu, trong trường hợp các nhóm G riê… 02J0
Bổ đề 7 Cho (Gᵢ)_i∈ I và (Hᵢ)_i∈ I là các họ hữu hạn các nhóm tôpô compact địa phương. Với i∈ I, cho θᵢ: Gᵢ× Hᵢ→ U là một ánh xạ đặt các nhóm Gᵢ và Hᵢ vào đối ngẫu. Ánh xạ θ xác định bởi 02J1
Định nghĩa 5 Cho G, H và K là các nhóm tôpô. Cho f: H→ G và g: G→ K là các cấu xạ của các nhóm tôpô. Cặp (f, g) được gọi là một dãy khớp của các nhóm tôpô nếu nó là một dãy khớp của các nhóm (A… 02J2
Ví dụ 1 Cho f: H→ G là một cấu xạ đơn ánh ngặt mà ảnh của nó là một nhóm con phân biệt. Dãy 02J3
Ví dụ 2 Cho g: G→ K là một cấu xạ ngặt toàn ánh. Dãy 02J4
Định lý 4 Một dãy 02J5
Bổ đề 8 Cho g: G→ K là một cấu xạ của các nhóm tôpô giao hoán địa phương compact. Nếu cấu xạ g là toàn ánh và ngặt, thì widehatg là đơn ánh và ngặt. 02J6
Bổ đề 9 Cho f: H→ G là một cấu xạ của các nhóm tôpô địa phương compact. Nếu cấu xạ f là đơn ánh và ngặt, thì widehatf là toàn ánh và ngặt. 02J7
Bổ đề 10 Cho 02J8
Hệ quả 1 Cho 02J9
Hệ quả 2 Cho f: G→ H là một cấu xạ của các nhóm tôpô giao hoán compact địa phương. Cấu xạ f là ngặt khi và chỉ khi widehatf là ngặt. 02JA
Hệ quả 3 Cho H là một nhóm con của G. Khi đó (H^bot)^bot= H. 02JB
Hệ quả 4 Cho I là một tập hợp và cho (Hᵢ)_i∈ I là một họ các nhóm con đóng của G. Trực giao của nhóm con đóng sinh bởi các Hᵢ là ⋂_i∈ IH^botᵢ. Trực giao của ⋂ᵢHᵢ là nhóm con đóng sinh bởi c… 02JC
Hệ quả 5 Cho φ : G→ H là một cấu xạ của các nhóm giao hoán compact địa phương. Khi đó nhóm con Im(φ ) của H và nhóm con Ker(widehatφ) của widehatH trực giao với nhau. Đặc biệt, để widehatφ… 02JD
Hệ quả 6 Cho k∈ Z. Khi đó hạt nhân của đồng cấu x↦ xᵏ từ G vào G và bao đóng của ảnh của cấu xạ χ ↦ χᵏ từ widehatG vào widehatG trực giao với nhau. 02JE
Hệ quả 7 Cho G là một nhóm giao hoán compact địa phương. 02JF
Nhận xét Tồn tại các nhóm giao hoán compact địa phương G không chia được và sao cho widehatG không xoắn (Bài tập 63 của II, p. 299). 02JG
Mệnh đề 15 Cho f∈ L¹(G) sao cho hạn chế lên H^bot của hàm liên tục F_G(f) là khả tích đối với widehatγ. Khi đó, với hầu khắp mọi x∈ G, hàm y↦ f(xy) trên H là α-khả tích, và ta có: 02JH
Hệ quả (Công thức Poisson) Cho f∈ L¹(G). Giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn: 02JI
Mệnh đề 16 Độ đo widehatα trên widehatH =widehatG/H^bot bằng widehatβ /widehatγ. 02JJ
Mệnh đề 17 Cho ngeqslant 1 là một số nguyên. Ký hiệu bởi μₙ nhóm các căn bậc n của đơn vị trong C. Các nhóm Z/nZ và μₙ đối ngẫu với nhau đối với ánh xạ cảm sinh khi chuyển sang thương từ ánh… 02JK
Hệ quả 1 Cho G là một nhóm giao hoán hữu hạn. Nhóm đối ngẫu widehatG đẳng cấu với G. 02JL
Hệ quả 2 Cho G là một nhóm giao hoán compact địa phương. Nhóm G là hữu hạn khi và chỉ khi widehatG hữu hạn. Một nhóm con đóng H của G có chỉ số hữu hạn khi và chỉ khi trực giao của nó là hữ… 02JM
Mệnh đề 18 Để widehatG là compact, điều kiện cần và đủ là G rời rạc. Nếu G rời rạc, độ đo đối ngẫu của độ đo đếm trên G là độ đo Haar chuẩn hóa trên widehatG. Nếu G compact, độ đo đối ngẫu củ… 02JN
Hệ quả 1 (Các hệ thức trực giao) Giả sử G rời rạc và được trang bị độ đo đếm. Với x và y trong G, ta có 02JO
Hệ quả 2 Cho H là một nhóm con đóng của G. 02JP
Hệ quả 3 Cho (Hᵢ)_i∈ I là một họ lọc giảm các nhóm con compact của G. Để G được đồng nhất với giới hạn xạ ảnh của các nhóm G/Hᵢ, điều kiện cần và đủ là widehatG là hợp của các nhóm con mở H… 02JQ
Hệ quả 4 Cho I là một tập hợp và cho (Hᵢ)_i∈ I là một họ các nhóm compact. Đối ngẫu của nhóm tích của các Hᵢ là nhóm tổng trực tiếp rời rạc của các nhóm widehatHᵢ. 02JR
Mệnh đề 19 Cho K là một trường địa phương compact không rời rạc, không nhất thiết giao hoán, và cho G là nhóm cộng của K, với luật nhóm được ký hiệu theo lối cộng. Cho χ là một đặc trưng unit… 02JS
Hệ quả 1 Cho K là một trường địa phương compact không rời rạc, không nhất thiết giao hoán, và χ là một đặc trưng unita không tầm thường của nhóm cộng của K. Cho E là một không gian vectơ tô… 02JT
Hệ quả 2 a) Nhóm R đối ngẫu với chính nó đối với ánh xạ (x, y)↦ exp(2iπ xy), và đối ngẫu của độ đo Lebesgue là độ đo Lebesgue ; 02JU
Nhận xét Đặc biệt, ta tìm lại sự xác định của X(L¹(Z)) đã cho trong Ví dụ 4 của I, p. 36. 02JV
Hệ quả 3 Cho ngeqslant 1 là một số nguyên. Nhóm Rⁿ đối ngẫu với chính nó đối với ánh xạ (x, y)↦ exp(2iπ x· y), và độ đo đối ngẫu của độ đo Lebesgue trên Rⁿ là độ đo Lebesgue. Các nhóm Zⁿ và… 02JW
Nhận xét Cho một nhóm con H của Rⁿ, ứng với nó là trực giao của nó H^bot, một nhóm con của widehatRⁿ=Rⁿ, mà không là gì khác hơn nhóm con liên kết với H được định nghĩa trong TG, VII, p. 6… 02JX
Hệ quả 4 Nhóm R^* đối ngẫu với nhóm -1,1 × R qua ánh xạ (x,(σ , t))↦ σ (x/|x|)|x|ⁱᵗ. Nhóm R^*₊ đối ngẫu với R qua ánh xạ (x, t)↦ xⁱᵗ. 02JY
Mệnh đề 20 Ánh xạ x↦ exp(2iπ λ (x)) là một đặc trưng unita của Qₚ mà hạt nhân là Zₚ. 02JZ
Hệ quả a) Nhóm Qₚ đối ngẫu với chính nó đối với ánh xạ (x, y)↦ exp(2iπ λ (xy)). Khi đó độ đo Haar chuẩn hoá trên Qₚ là đối ngẫu của chính nó ; 02K0
Mệnh đề 21 Hạn chế của biến đổi Fourier lên S(Rⁿ) là một tự đẳng cấu của các không gian vectơ tôpô mà nghịch đảo là hạn chế của đối biến đổi Fourier. 02K1
Nhận xét 1 Tổng quát hơn, theo hệ quả của mệnh đề 15 của II, p. 230, công thức này đúng với mọi hàm phức khả tích trên Rⁿ sao cho 02K2
Nhận xét 2 Tồn tại những hàm f∈ B(R) sao cho chuỗi ∑_n∈Zf(n) phân kỳ (bài tập 4 của II, p. 263). 02K3
Ví dụ Cho Q là một dạng toàn phương xác định dương trên Rⁿ. Hàm được xác định bởi φ (x) = exp(-π Q(x)) thuộc S(Rⁿ). Tồn tại σ ∈ GL(n,R) sao cho Q(x) =|σ (x)|² với mọi x∈ Rⁿ. Biến đổi Fou… 02K4
Định nghĩa 6 Không gian các phân phối ôn hòa trên Rⁿ), theo định nghĩa, là không gian đối ngẫu của S(Rⁿ) được trang bị tôpô hội tụ bị chặn. Nó được ký hiệu bởi S'(Rⁿ). 02K5
Ví dụ Một độ đo ν trên Rⁿ được gọi là ôn hòa nếu tồn tại một số nguyên dương r sao cho ánh xạ liên tục x↦ (1+|x|)⁻ʳ là ν-khả tích trên Rⁿ. Hạn chế của ν lên S(Rⁿ) là một phân phối ôn hòa… 02K6
Định nghĩa 7 Chuyển vị của biến đổi Fourier trên S(Rⁿ) (tương ứng, của biến đổi Fourier nghịch đảo) được gọi là biến đổi Fourier trên S'(Rⁿ), và được ký hiệu bởi F (tương ứng, được gọi là biến… 02K7
Mệnh đề 22 Cho f là một phân phối ôn hòa thuộc M¹(Rⁿ) (tương ứng. thuộc L²(Rⁿ)). Biến đổi Fourier của f trong S'(Rⁿ) là phân phối ôn hòa liên kết với biến đổi Fourier của f trong C₀(Rⁿ) (tươn… 02K8
Nhận xét Các công thức sơ cấp liên quan đến biến đổi Fourier của các độ đo vẫn còn đúng đối với biến đổi Fourier của các phân phối ôn hòa. 02K9
Mệnh đề 23 (định lý Fejér) Cho ngeqslant 1 là một số nguyên. Với mọi h= (hᵢ)∈ Zⁿ, đặt |h|= supᵢ|hᵢ|. Cho f∈ C(Tⁿ). Với mọi số nguyên Ngeqslant 1, ta ký hiệu bởi f_N hàm trên Tⁿ sao cho 02KA
Bổ đề 11 Với mọi Ngeqslant 1, gọi μ_N là độ đo trên Tⁿ có mật độ là ánh xạ liên tục 02KB
Nhận xét Tồn tại các hàm f∈ L¹(T) mà chuỗi Fourier phân kỳ tại mọi điểm x∈ T (định lý của Kolmogorov, xem bài tập 51 của II, p. 289). 02KC

§ 2. Phân loại

Bổ đề 1 Cho H là một nhóm địa phương compact, và cho R là một trong hai nhóm R hoặc Z. Cho φ là một cấu xạ liên tục từ R vào H. Nếu φ không phải là một đẳng cấu tôpô từ R lên một nhóm con… 02M9
Bổ đề 2 Nếu G được sinh bởi một tập con compact V, thì tồn tại một số nguyên ngeqslant 0 và một nhóm con rời rạc D của G đẳng cấu với Zⁿ sao cho G/D là compact. 02MA
Bổ đề 3 Cho A và B là các nhóm giao hoán sao cho A chia được. Gọi C là một nhóm con của B và φ là một cấu xạ từ C vào A. Tồn tại một cấu xạ từ B vào A mở rộng φ. 02MB
Nhận xét Theo ngôn ngữ các phạm trù, bổ đề nói rằng các nhóm chia được là các đối tượng đơn ánh trong phạm trù các nhóm giao hoán; xem A, VII, p. 53, bài tập 3. 02MC
Mệnh đề 1 Các điều kiện sau là tương đương: 02MD
Hệ quả 1 Giả sử rằng G được sinh bởi một lân cận compact của e. 02ME
Nhận xét Theo đối ngẫu, widehatG đẳng cấu với Rᵖ× T^q× D (mệnh đề 3 (iv)), trong đó các nhóm con Rᵖ× T^q và T^q, cùng các số nguyên p và q, được xác định một cách duy nhất. 02MF
Hệ quả 2 Các điều kiện sau là tương đương: 02MG
Nhận xét Với các ký hiệu của hệ quả 2, nếu ta đồng nhất G với Rᵖ× T^q× Zʳ× A, thì nhóm con Rᵖ× T^q là thành phần trung hoà của G, nhóm con T^q× A là nhóm con compact lớn nhất của nó và T^q… 02MH
Mệnh đề 2 Giả sử G compact. Tồn tại một họ lọc giảm (Hᵢ)_i∈ I các nhóm con đóng của G sao cho 02MI
Hệ quả Nếu nhóm G được sinh bởi một tập con compact, thì nó là một giới hạn xạ ảnh của các nhóm đẳng cấu với các nhóm dạng Rᵖ× T^q× Zʳ× A, trong đó A là một nhóm hữu hạn và p,q,r là các s… 02MJ
Mệnh đề 3 a) Tồn tại một số nguyên ngeqslant 0 và một nhóm con L sao cho G là tích trực tiếp của L và một nhóm con đẳng cấu với Rⁿ, và hơn nữa L có một nhóm con compact mở K sao cho L/K là r… 02MK
Mệnh đề 4 Cho B_G là tập hợp các phần tử của G sinh ra một nhóm con tương đối compact của G. Khi đó B_G là một nhóm con đóng của G và B^bot_G là thành phần liên thông của đơn vị của widehatG… 02ML
Hệ quả 1 Giả sử G compact. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: 02MM
Hệ quả 2 Giả sử G compact. Khi đó G là hoàn toàn gián đoạn nếu và chỉ nếu widehatG là một nhóm xoắn. 02MN
Hệ quả 3 Nếu G là liên thông, thì G chia được. 02MO

§ 3. Các không gian con bất biến

Mệnh đề 1 a) Cho M là một tập con đo được của widehatG. Với mọi x∈ G, không gian E_M ổn định dưới ánh xạ f↦ εₓ*f; 02N3
Bổ đề 1 Không gian các hàm của L¹(G) mà biến đổi Fourier có giá compact là trù mật trong L¹(G). 02N4
Mệnh đề 2 Cho I là một iđêan đóng của L¹(G), và cho f∈ L¹(G). Nếu overlineF_G(f) triệt tiêu trên một lân cận của V(I), thì f thuộc I. 02N5
Định lý 1 Cho I là một iđêan đóng của L¹(G) phân biệt với L¹(G). Tồn tại một đặc trưng widehatx∈ widehatG sao cho F_G(f)(widehatx) = 0 với mọi f∈ I. 02N6
Định nghĩa 1 Cho g là một hàm phức trên G và cho Φ là một bộ lọc trên G. Ta nói rằng g dao động chậm theo Φ nếu, với mọi ε >0, tồn tại một tập M∈ Φ và một lân cận V của e trong G sao cho 02N7
Hệ quả 2 Cho Φ là một bộ lọc trên G bất biến dưới phép tịnh tiến. Cho f∈ L¹(G) sao cho biến đổi Fourier của f không triệt tiêu và sao cho ∫_Gf(x)dx= 1. Cho g∈ L^∞(G). Giả sử rằng f*g có giớ… 02N8
Bổ đề 2 Cho K là một tập con compact của G. Với mọi η >0, tồn tại một hàm j∈ L¹(G) sao cho: 02N9
Mệnh đề 3 Đại số L¹(G) thỏa mãn điều kiện Ditkin (I, p. 92, đn. 2). 02NA
Định lý 2 Cho I là một iđêan đóng của L¹(G) sao cho biên của V(I) không chứa tập hoàn hảo khác rỗng nào. Khi đó I là tập hợp các hàm f∈ L¹(G) sao cho F(f) triệt tiêu trên V(I). 02NB
Hệ quả Nếu một iđêan đóng I của L¹(G) được chứa trong một iđêan cực đại chính quy duy nhất, thì bản thân I là cực đại chính quy. 02NC
Mệnh đề 4 Cho W là một không gian con vectơ đóng yếu của L^∞(G), bất biến đối với phép tịnh tiến và khác không. Khi đó W chứa ít nhất một đặc trưng của G. 02ND
Mệnh đề 5 Cho W là một không gian con vectơ đóng yếu của L^∞(G) bất biến đối với phép tịnh tiến. 02NE

III. Ánh xạ tuyến tính compact và nhiễu loạn

§ 1. Ánh xạ tuyến tính compact

Định nghĩa 1 Cho E là một không gian vectơ tôpô và F là một không gian vectơ tôpô tách biệt. Một ánh xạ tuyến tính u từ E vào F được gọi là compact nếu tồn tại một lân cận V của 0 trong E sao c… 02NY
Nhận xét 1 Một lân cận của 0 trong E hấp thụ mọi tập con bị chặn của E; do đó ảnh của một tập con bị chặn của E qua một ánh xạ tuyến tính compact từ E vào F là một tập con tương đối compact c… 02NZ
Nhận xét 2 Cho E là một không gian nửa chuẩn và B là quả cầu đơn vị của E. Để một ánh xạ tuyến tính u từ E vào một không gian vectơ tôpô tách biệt F là compact, điều kiện cần và đủ là u(B) là… 02O0
Nhận xét 3 Cho F là một không gian vectơ tôpô tách biệt. Để một không gian con vectơ E của F có số chiều hữu hạn, điều kiện cần và đủ là đơn ánh chính tắc của E vào F là compact (EVT, I, p. 1… 02O1
Nhận xét 4 Với mọi không gian vectơ tôpô E trên trường R, ta ký hiệu bởi E_(C) không gian vectơ tôpô phức hoá của E (EVT, II, p. 65). Ta đồng nhất E với một không gian con vectơ tôpô thực của… 02O2
Nhận xét 5 Cho E là một không gian vectơ tôpô, F là một không gian vectơ tôpô tách biệt. Cho F₁ là một không gian con vectơ đóng của F và gọi j là đơn ánh chính tắc của F₁ vào F. Để một ánh x… 02O3
Nhận xét 6 Cho (Gᵢ)_i∈ I là một họ các không gian vectơ tôpô tách biệt, và với mỗi i∈ I, cho uᵢ là một ánh xạ tuyến tính compact từ một không gian vectơ tôpô E vào Gᵢ. Nếu tập I là hữu hạn, h… 02O4
Mệnh đề 1 Cho E là một không gian vectơ tôpô và F là một không gian vectơ tôpô tách biệt. 02O5
Mệnh đề 2 Cho E là một không gian nửa chuẩn và F là một không gian vectơ tôpô tách. Giả sử rằng mọi tập con đóng bị chặn của F đều đầy đủ. Khi đó không gian con vectơ Lᶜ(E; F) của L(E; F) là… 02O6
Hệ quả Cho E và F là các không gian Banach. Tập hợp Lᶜ(E; F) là một không gian con vectơ đóng của không gian Banach L(E; F). Nó chứa bao đóng của không gian Lᶠ(E; F) gồm các ánh xạ tuyến… 02O7
Mệnh đề 3 Cho E₁, E, F, F₁ là các không gian vectơ tôpô, trong đó F và F₁ được giả sử là tách. Cho v: E₁→ E,u: E→ F và w: F→ F₁ là các ánh xạ tuyến tính. Nếu v và w liên tục và u compact, th… 02O8
Hệ quả Cho E là một không gian Hilbert. Không gian Lᶜ(E) là một iđêan hai phía tự liên hợp đóng của L(E). Đặc biệt, nó là một đại số sao. 02O9
Mệnh đề 4 Cho E là một không gian vectơ tôpô, widehatE là hoàn thành tách được của nó và j là ánh xạ chính tắc từ E vào widehatE. Cho u là một ánh xạ tuyến tính compact từ E vào một không gi… 02OA
Mệnh đề 5 Cho E là một không gian lồi địa phương, F là một không gian vectơ tôpô tách được và u là một ánh xạ tuyến tính compact từ E vào F. Khi đó tồn tại một không gian Banach G, một ánh x… 02OB
Mệnh đề 6 Cho E là một không gian lồi địa phương, F là một không gian lồi địa phương tách được, u: E→ F là một ánh xạ tuyến tính compact và B là một tập con bị chặn của E. Hạn chế của u lên… 02OC
Hệ quả Cho (xₙ)_n∈N là một dãy các điểm của E, hội tụ đến một điểm x của E đối với tôpô yếu đi. Dãy (u(xₙ))_n∈N hội tụ trong F đến u(x). 02OD
Mệnh đề 7 Cho E là một không gian nửa chuẩn, E' đối ngẫu của nó, B quả cầu đơn vị của E' và u là một ánh xạ tuyến tính từ E' vào một không gian lồi địa phương tách F. Nếu hạn chế của u lên B… 02OE
Hệ quả 1 Cho E là một không gian nửa chuẩn kiểu đếm được, cho E' là đối ngẫu của nó và cho B là quả cầu đơn vị của E'. Cho u là một ánh xạ tuyến tính từ E' vào một không gian lồi địa phương… 02OF
Hệ quả 2 Cho E là một không gian nửa chuẩn và 𝔖 là một tập hợp các tập con tiền compact của E mà hợp của chúng là trù mật trong E. Ký hiệu E'_b là đối ngẫu mạnh của E và E'_𝔖 là đối ngẫu củ… 02OG
Ví dụ Cho E là một không gian nửa chuẩn. Ánh xạ đồng nhất từ E'_b vào không gian E', được trang bị tôpô yếu, tôpô hội tụ compact hoặc tôpô hội tụ tiền compact, là compact. 02OH
Mệnh đề 8 Cho E là một không gian Banach phản xạ, B quả cầu đơn vị của nó, F một không gian lồi địa phương tách và u: E→ F là một ánh xạ tuyến tính. Các điều kiện sau là tương đương : 02OI
Mệnh đề 9 Cho E là một không gian lồi địa phương, F là một không gian lồi địa phương tách và u là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. 02OJ
Hệ quả 1 (Schauder) Cho E là một không gian nửa chuẩn, F một không gian Banach, E' và F' là các đối ngẫu mạnh tương ứng của chúng, và u một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. Các tính chất sau là… 02OK
Hệ quả 2 Cho E là một không gian nửa chuẩn và F một không gian Banach kiểu đếm được. Cho u là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. Giả sử rằng với mọi dãy (yₙ) các phần tử của F' hội… 02OL
Nhận xét Cho E và F là các không gian lồi địa phương tách được. Chuyển vị của một ánh xạ tuyến tính compắc từ E vào F không phải luôn luôn là một ánh xạ tuyến tính compắc từ F'_b vào E'_b(c… 02OM
Định lý 1 (Brouwer) Cho B là một tập con lồi compắc khác rỗng của một không gian vectơ chuẩn hữu hạn chiều. Mọi ánh xạ liên tục từ B vào B đều có một điểm bất động. 02ON
Định lý 2 (Leray-Schauder) Cho X là một không gian tôpô compắc khác rỗng, đồng phôi với một tập con lồi của một không gian lồi địa phương. Mọi ánh xạ liên tục từ X vào X đều có một điểm bất động. 02OO
Định lý 3 Cho E là một không gian lồi địa phương tách trên C và A là một tập con của L(E). Đặt các giả thiết sau: 02OP
Bổ đề 1 Tồn tại một phần tử a của A sao cho hạt nhân của ha-1_E không thu về 0. 02OQ
Hệ quả 1 Giữ các giả thiết của Định lý 3 và giả sử thêm rằng các phần tử của A giao hoán từng đôi một. Khi đó E có chiều bằng 1 trên C. 02OR
Hệ quả 2 (Lomonosov) Cho E là một không gian lồi địa phương phân ly có chiều ít nhất bằng 2 trên trường C và u là một tự đồng cấu của E. Giả sử tồn tại một tự đồng cấu compắc hnot = 0 của E giao hoán v… 02OS
Hệ quả 3 Cho E là một không gian lồi địa phương phân ly trên trường C và u là một tự đồng cấu compắc của E. Nếu E có chiều ít nhất bằng 2, thì tồn tại một không gian con vectơ đóng F của E… 02OT
Định nghĩa 2 Một không gian lồi địa phương E được gọi là có tính chất xấp xỉ, hay còn gọi là một không gian xấp xỉ, nếu ánh xạ đồng nhất 1_E của E thuộc bao đóng trong không gian L_pc(E) của tậ… 02OU
Nhận xét 1 Để tổng trực tiếp tôpô của các không gian lồi địa phương E và F là một không gian xấp xỉ, điều kiện cần và đủ là E và F là các không gian xấp xỉ. 02OV
Nhận xét 2 Cho E là một không gian lồi địa phương. Gọi N là bao đóng của 0 trong E và P là một không gian con bù đại số của N trong E. Khi đó P là một không gian con bù tôpô của N trong E, và… 02OW
Nhận xét 3 Cho E là một không gian lồi địa phương, A là một tập con đẳng liên tục của Lᶠ(E) và T là một tập con toàn phần của E. Nếu 1_E thuộc bao đóng của A đối với tôpô hội tụ đơn giản trên… 02OX
Nhận xét 4 Cho E là một không gian lồi địa phương trên C. Ký hiệu bởi E₀ không gian lồi địa phương trên R nằm dưới E. Để E là một không gian xấp xỉ, điều kiện cần và đủ là E₀ là một không gia… 02OY
Nhận xét 5 Cho E là một không gian lồi địa phương trên R. Để không gian lồi địa phương phức hóa E_(C) của E là một không gian xấp xỉ, điều kiện cần và đủ là E là một không gian như vậy. Điều… 02OZ
Mệnh đề 10 Cho E là một không gian Hilbert. Khi đó E là một không gian xấp xỉ. 02P0
Bổ đề 2 Cho E là một không gian lồi địa phương. Khi đó E là một không gian xấp xỉ khi và chỉ khi, với mọi tập con tiền compact C của E và mọi lân cận U của 0 trong E, tồn tại một số nguyên… 02P1
Nhận xét 6 Tồn tại các không gian Banach không có tính chất xấp xỉ, như đã được P. Enflo chứng minh (A counterexample to the approximation problem in Banach spaces, Acta Math. 130 (1973), p… 02P2
Mệnh đề 11 Cho E và F là các không gian lồi địa phương. Giả sử rằng E là một không gian xấp xỉ. 02P3
Hệ quả Cho E là một không gian xấp xỉ tách và F một không gian lồi địa phương. Mọi ánh xạ tuyến tính compact từ F vào E đều thuộc bao đóng của Lᶠ(F; E) trong không gian L(F; E) được trang… 02P4
Mệnh đề 12 Cho E là một không gian lồi địa phương, I một tập hợp, và với mỗi i∈ I, cho Fᵢ là một không gian lồi địa phương và vᵢ: E→ Fᵢ một ánh xạ tuyến tính liên tục có ảnh trù mật. Giả sử r… 02P5
Hệ quả 1 Một không gian con vectơ trù mật của một không gian xấp xỉ là một không gian xấp xỉ. 02P6
Hệ quả 2 Nếu hoàn thành tách của một không gian lồi địa phương E là một không gian xấp xỉ, thì E là một không gian xấp xỉ. 02P7
Hệ quả 3 Tích của một họ các không gian xấp xỉ là một không gian xấp xỉ. 02P8
Hệ quả 4 Cho E là một không gian lồi địa phương. Nếu mọi nửa chuẩn liên tục trên E đều bị chặn trên bởi một nửa chuẩn tiền Hilbert liên tục, thì E là một không gian xấp xỉ. 02P9
Bổ đề 3 Cho E là một không gian lồi địa phương khả mêtric và (xₙ)_n∈N là một dãy các phần tử của E hội tụ về 0. Tồn tại một dãy (yₙ)_n∈N các phần tử của E hội tụ về 0 và một dãy (λₙ)_n∈N c… 02PA
Bổ đề 4 Cho E là một không gian Fréchet và A là một tập con compắc của E. Tồn tại một tập con lồi cân bằng compắc L của E chứa A sao cho các tôpô cảm sinh trên A bởi các tôpô của E và của… 02PB
Định lý 4 Cho E là một không gian Fréchet. 02PC
Bổ đề 5 Cho X là một không gian tôpô compact, F một tập con hữu hạn của C(X) và ε >0 một số thực. 02PD
Mệnh đề 13 Cho X là một không gian tôpô địa phương compact. Không gian Banach C₀(X) là một không gian xấp xỉ. 02PE
Hệ quả Mọi đại số sao giao hoán đều là một không gian xấp xỉ. 02PF
Nhận xét Nếu E là một không gian Hilbert vô hạn chiều, đại số sao L(E) không có tính chất xấp xỉ (A. Szankowski, B(H) does not have the approximation property, Acta Math. 147 (1981), p. 89–… 02PG
Bổ đề 6 Cho X là một không gian tôpô địa phương compact. Cho μ là một độ đo dương trên X và p∈ [1,+∞ [. Cho F là một tập con hữu hạn của Lᵖ_K(X, μ) và ε >0 là một số thực. 02PH
Mệnh đề 14 Cho X là một không gian tôpô compact địa phương, μ là một độ đo dương trên X, và p∈ [1,+∞ ]. Không gian Lᵖ_K(X, μ) là một không gian xấp xỉ. 02PI

§ 2. Ví dụ về các ánh xạ tuyến tính compact

Mệnh đề 1 Cho λ = (λᵢ)_i∈ I là một họ bị chặn gồm các phần tử của C. Cho p là một phần tử của [1,+∞ ]. Cho E là không gian Banach ℓᵖ_C(I). 02QK
Nhận xét 1 Giả thiết của mệnh đề b) luôn đúng nếu I là hữu hạn. Khi tập I là vô hạn, điều đó có nghĩa là họ (λᵢ)_i∈ I hội tụ tới 0 theo bộ lọc các phần bù của các tập con hữu hạn của I; đặc b… 02QL
Nhận xét 2 Về sau sẽ thấy (xem IV, p. 149, định lý 1) rằng khi p= 2, mọi tự đồng cấu compact chuẩn tắc của không gian Hilbert ℓ²_C(I) đều có dạng u=w∘ v∘ w⁻¹, trong đó v là một tự đồng cấu co… 02QM
Mệnh đề 2 Ánh xạ widetildek từ L_C^∞(X, μ) vào C(Y) là compact. 02QN
Hệ quả Cho X là một không gian tôpô compact, Y là một không gian tôpô compact địa phương, μ là một độ đo phức trên X, và k là một ánh xạ liên tục từ X× Y vào C. Khi đó công thức (1) xác đ… 02QO
Nhận xét Cho f∈ Lᵖ(X) và g∈ L^q(Y). Vì p <+∞ và q <+∞, các hàm f và g là vừa phải, và hàm xác định bởi (x, y)↦ f(x)g(y) là (μ⊗ ν)-vừa phải (x. INT, V, p. 92, § 8, nᵒ3, Hệ quả 2). Do đó, hàm… 02QP
Bổ đề 1 Cho k∈ N^p,q(X× Y). Hàm k khả tích địa phương đối với (μ⊗ ν ). 02QQ
Mệnh đề 3 a) Cho k∈ N^p,q(X× Y). Với f∈ Lᵖ(X) và g∈ L^q(Y), hàm 02QR
Định nghĩa 1 Cho k∈ N^p,q(X× Y). Ta nói rằng ánh xạ uₖ là toán tử tích phân với hạt nhân k từ Lᵖ(X) vào L^q'(Y). 02QS
Mệnh đề 4 Cho k∈ N^p,q(X× Y) và f∈ Lᵖ(X). Ánh xạ xác định trên X bởi x↦ k(x, y)f(x) là μ-khả tích với mọi y ở ngoài một tập địa phương ν-không đáng kể, và uₖ(f) trùng với lớp của hàm 02QT
Mệnh đề 5 Không gian L^p'(X× Y) được chứa trong N^p,p(X× Y). Ánh xạ tuyến tính từ L^p'(X× Y) vào L(Lᵖ(X); L^p'(Y)) xác định bởi k↦ uₖ gây ra, sau khi chuyển qua thương, một ánh xạ tuyến tính… 02QU
Bổ đề 2 Với mọi k∈ L^p'(X× Y), ta có N_p', p'(k) =|k|_p'. 02QV
Mệnh đề 6 a) Không gian L^p'(X× Y) được chứa trong L^p',p'(X,Y), và với k∈ L^p'(X× Y), ta có N_p', p'(k) =|k|_p'; 02QW
Mệnh đề 7 Cho k∈ L^p',q'(X,Y). Ánh xạ tuyến tính uₖ từ Lᵖ(X) vào L^q'(Y) là compact. 02QX
Hệ quả 1 (Hilbert–Schmidt) Cho k∈ L²(X× Y). Ánh xạ tuyến tính uₖ là compact từ L²(X) vào L²(Y). 02QY
Nhận xét Trong trường hợp p=q= 2, nói chung sẽ thuận tiện hơn khi phát biểu đặc trưng hóa của toán tử tích phân uₖ bằng tích vô hướng: đó là ánh xạ duy nhất từ L²(X) vào L²(Y) sao cho 02QZ
Hệ quả 2 Cho G là một nhóm tôpô compact được trang bị một độ đo Haar μ. Cho p là một số thực sao cho 1< p <+∞ và q là số mũ liên hợp của p. Cho f∈ L^q(G). Đặt k(x, y) =f(x⁻¹y) với mọi (x, y… 02R0
Bổ đề 3 Cho A là tập hợp các đa chỉ số α ∈ Nⁿ sao cho |α |leqslant r và gọi u là ánh xạ tuyến tính f↦ (∂^αf)_α∈ A từ Cʳ(U; F) vào C(U; F)ᴬ. 02R1
Mệnh đề 8 Giả sử rằng F là hữu hạn chiều. Cho s là một số nguyên sao cho 0leqslant s < r và V là một tập con mở tương đối compắc của U. Ánh xạ tuyến tính f↦ f|V từ Cʳ(U; F) vào Cˢ(V; F) là c… 02R2
Bổ đề 4 Cho U là một phủ mở của X. Ánh xạ u:f↦ (f|U)_U∈U từ Sʳ(X; E) vào ∏_U∈USʳ(U; E) là tuyến tính, đơn ánh, liên tục và ngặt. Ảnh của nó là đóng. 02R3
Mệnh đề 9 Không gian Sʳ(X; E) là đầy đủ. 02R4
Nhận xét Lấy U là một phủ mở của X bởi các miền bản đồ c_U= (U, φ_U,R^n_U) sao cho với mọi U∈ U, hạn chế của E lên U là khả tầm thường hóa kiểu F_U, trong đó F_U là một không gian Banach. V… 02R5
Mệnh đề 10 Giả sử rằng bó vectơ E địa phương có hạng hữu hạn. Cho s là một số nguyên sao cho 0leqslant s < r và Y là một tập hợp mở compact tương đối của X. Ánh xạ tuyến tính f↦ f|Y từ Sʳ(X… 02R6
Bổ đề 5 Cho X₀ là đa tạp giải tích thực nền của X và E₀ là bó vectơ phức trên X₀ nền của E. 02R7
Mệnh đề 11 Giả sử rằng bó vectơ E địa phương có hạng hữu hạn. Cho Y là một tập con mở tương đối compắc của X. Ánh xạ hạn chế f↦ f|Y từ S^ω(X; E) vào S^ω(Y; E) là compắc. 02R8
Hệ quả Cho X là một đa tạp giải tích phức compắc và E là một bó vectơ giải tích trên X, địa phương có hạng hữu hạn. Không gian vectơ S^ω(X; E) là hữu hạn chiều. 02R9

§ 3. Các nội cấu fredholm và các nội cấu riesz

Mệnh đề 1 Cho E và F là các không gian lồi địa phương, E₁ là một không gian con đóng có đối chiều hữu hạn của E và u là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. Để u là một cấu xạ ngặt có… 02RE
Hệ quả 1 Giả sử rằng F là tách biệt. Cho v∈ Lᶠ(E; F). Nếu u là một cấu xạ ngặt có ảnh đóng từ E vào F, thì u+v cũng vậy. 02RF
Hệ quả 2 Cho T là một không gian con vectơ tách biệt có số chiều hữu hạn của F. Gọi π : F→ F/T là toàn cấu chính tắc. Để u là một cấu xạ ngặt có ảnh đóng, điều kiện cần và đủ là π ∘ u cũng… 02RG
Định nghĩa 1 Cho E và F là các không gian lồi địa phương. Một phần tử u của L(E; F) được gọi là một ánh xạ Fredholm[^1] nếu nó có một nghịch đảo giả. Một ánh xạ Fredholm từ E vào E được gọi là… 02RH
Nhận xét Cho E, F và G là các không gian lồi địa phương, u: E→ F và v: F→ G là các ánh xạ tuyến tính liên tục. 02RI
Bổ đề 1 Cho E và F là các không gian lồi địa phương và gọi u là một ánh xạ Fredholm từ E vào F. Hạt nhân và đối hạt nhân của u có chiều hữu hạn. 02RJ
Mệnh đề 2 Cho E và F là các không gian lồi địa phương tách được và gọi u là một phần tử của L(E; F). Các tính chất sau là tương đương: 02RK
Nhận xét 5 Cho E, F là các không gian lồi địa phương tách được và u: E→ F là một ánh xạ Fredholm. Nếu u là song ánh, thì u là một đẳng cấu (thực vậy, u là một cấu xạ ngặt theo Mệnh đề 2, (ii)… 02RL
Mệnh đề 3 Cho E và F là các không gian lồi địa phương và u∈ L(E; F). Gọi E₁(tương ứng F₁) là một không gian con đóng có đối chiều hữu hạn của E (tương ứng của F). Giả sử rằng u ánh xạ E₁ vào… 02RM
Mệnh đề 4 Cho E và F là các không gian lồi địa phương tách được, u: E→ F là một ánh xạ Fredholm, và widehatu:widehatE→ widehatF là mở rộng của u lên các đầy đủ hóa. Khi đó widehatu là một án… 02RN
Bổ đề 2 Cho E là một không gian vectơ và u là một tự đồng cấu của E có một chỉ số (A, V, p. 126). 02RO
Bổ đề 3 Cho E là một không gian vectơ và u là một tự đồng cấu của E có một chỉ số. Giả sử rằng chỉ số của u bằng không. Gọi N là không gian lũy linh của u và I là đối không gian lũy linh c… 02RP
Nhận xét Giả sử tồn tại một số nguyên ngeqslant 0 sao cho Ker(uⁿ) = Ker(uⁿ⁺¹) (resp. Im(uⁿ) = Im(uⁿ⁺¹)); khi đó có Ker(uᵐ) = Ker(uⁿ) (resp. Im(uᵐ) = Im(uⁿ)) với mọi số nguyên mgeqslant n. 02RQ
Định nghĩa 2 Cho E là một không gian lồi địa phương tách rời. Một tự đồng cấu Riesz của E có nghĩa là mọi tự đồng cấu Fredholm của E mà không gian không hóa là hữu hạn chiều và đối không gian k… 02RR
Mệnh đề 5 Cho E là một không gian lồi địa phương tách rời. Mọi tự đồng cấu Riesz của E đều có chỉ số không. 02RS
Ví dụ 1 Mọi tự đẳng cấu của E đều là một tự đồng cấu Riesz của E. Nếu E là hữu hạn chiều, mọi phần tử của L(E) đều là một tự đồng cấu Riesz của E. 02RT
Ví dụ 2 Nếu (Eᵢ)_i∈ I là một họ hữu hạn các không gian lồi địa phương tách rời và uᵢ là một phần tử của L(Eᵢ) với mọi i trong I, thì tự đồng cấu u=⨁_i∈ Iuᵢ của không gian lồi địa phương ⨁_… 02RU
Ví dụ 3 Cho E là một không gian lồi địa phương tách rời trên R, và gọi E_(C) là phức hóa của nó. Cho u là một tự đồng cấu của E. Để u là một tự đồng cấu Riesz, điều cần và đủ là phức hóa c… 02RV
Mệnh đề 6 Cho E là một không gian lồi địa phương tách rời và gọi u là một tự đồng cấu Riesz của E. Gọi N là không gian không hóa của u và I là đối không gian không hóa của nó. 02RW
Mệnh đề 7 Cho E là một không gian lồi địa phương tách và cho u là một tự đồng cấu của E. 02RX
Mệnh đề 8 Cho E là một không gian lồi địa phương tách và u một tự đồng cấu của E. Các điều kiện sau là tương đương: 02RY
Mệnh đề 9 Cho E là một không gian lồi địa phương tách và cho u,v là các phần tử khả hoán của L(E). Các điều kiện sau là tương đương: 02RZ
Mệnh đề 10 Cho E và F là các không gian lồi địa phương, p∈ L(E; F) và q∈ L(F; E). Đặt u= 1_E-q∘ p và v= 1_F-p∘ q. 02S0
Bổ đề 4 Cho n∈ N. Đặt 02S1
Bổ đề 5 Cho u' là một phần tử của L(E). Đặt v'= 1_F+p∘ u'∘ q. Nếu u' là một nghịch đảo của u, thì v' là một nghịch đảo của v. Nếu u' là một giả nghịch đảo của u, thì v' là một giả nghịch đ… 02S2
Mệnh đề 11 Cho E và F là các không gian Fréchet. Để một ánh xạ tuyến tính liên tục u từ E vào F là một ánh xạ Fredholm, điều kiện cần và đủ là hạt nhân và đối hạt nhân của nó đều hữu hạn chiề… 02S3
Bổ đề 6 Cho E và F là các không gian Fréchet và u∈ L(E; F). Giả sử rằng ảnh của u có đối chiều hữu hạn trong F. Khi đó ảnh của u đóng trong F và u là một cấu xạ ngặt. 02S4
Mệnh đề 12 Cho E và F là các không gian Fréchet. Trang bị cho các đối ngẫu của chúng E' và F' tôpô yếu, tôpô hội tụ compắc, hoặc tôpô hội tụ bị chặn. Cho u∈ L(E; F). Để u là một ánh xạ Fredho… 02S5
Mệnh đề 13 Cho E là một không gian Fréchet và u∈ L(E). 02S6
Mệnh đề 14 Cho E là một không gian Banach phức. Để một phần tử u của L(E) là một tự đồng cấu Riesz của E, điều kiện cần và đủ là một trong hai điều kiện sau đây, loại trừ lẫn nhau, được thỏa… 02S7
Nhận xét Cho E là một không gian Banach thực và u là một tự đồng cấu của E. Giả sử rằng 0 là một điểm cô lập của phổ phức của u, nghĩa là của phổ của tự đồng cấu 1⊗ u của không gian khả chu… 02S8

§ 4. Nhiễu động trong các không gian Banach

Định nghĩa 1 Cho E là một không gian vectơ tôpô. Một không gian con vectơ của E được gọi là trực tiếp nếu nó có một phần bù tôpô. 02SH
Mệnh đề 1 Cho E là một không gian lồi địa phương. Mọi không gian con vectơ hữu hạn chiều của E đều trực tiếp. 02SI
Định nghĩa 2 Cho E và F là các không gian lồi địa phương, và cho u là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. Ta nói rằng u là một cấu xạ trực tiếp nếu u là một cấu xạ ngặt mà hạt nhân của n… 02SJ
Mệnh đề 2 Cho E và F là các không gian lồi địa phương, cho u∈ L(E; F) và v∈ L(F; E). Giả sử rằng u=u∘ v∘ u. Khi đó u là một cấu xạ trực tiếp. Hơn nữa, v∘ u là một phép chiếu liên tục trong E… 02SK
Mệnh đề 3 Cho E và F là các không gian Banach. Các tập hợp sau là các tập con mở của không gian Banach L(E; F): 02SL
Định lý 1 Cho E và F là các không gian Banach. Tập F(E; F) các ánh xạ Fredholm từ E vào F là mở trong không gian Banach L(E; F), và ánh xạ u↦ ind(u) từ F(E; F) vào Z là hằng địa phương. 02SM
Mệnh đề 4 Cho E và F là các không gian Banach, cho u₀: E→ F là một ánh xạ Fredholm và v₀ là một nghịch đảo giả của u₀. Tồn tại một lân cận mở U của u₀ trong L(E; F) và một ánh xạ giải tích φ… 02SN
Bổ đề 1 Cho E là một không gian Banach. Cho p và q là các phép chiếu liên tục của E sao cho |q-p|<1. Khi đó p cảm sinh một đẳng cấu của Im(q) lên Im(p), và 1_E-p cảm sinh một đẳng cấu của… 02SO
Định lý 2 Cho E là một không gian Banach. Tập R(E) các tự đồng cấu Riesz của E là mở trong L(E). Ánh xạ gán cho một phần tử của R(E) chiều của không gian lũy linh của nó là nửa liên tục trên… 02SP
Mệnh đề 5 Cho E là một không gian Banach và u₀ là một tự đồng cấu Riesz của E. Gọi N (tương ứng I) là không gian lũy linh (tương ứng đối không gian lũy linh) của u₀. Ký hiệu d là chiều của N… 02SQ
Nhận xét Theo định nghĩa, để có ((u))>0, điều kiện cần và đủ là ánh xạ tuyến tính song ánh widetildeu là song liên tục, nghĩa là u là một cấu xạ ngặt (TG, III, p. 16). Khi đó ta có 02SR
Bổ đề 2 Cho c là một số thực. Nếu c <((u)), thì với mọi phần tử z∈ Im(u), tồn tại một phần tử x của E sao cho u(x) =z và c|x|leqslant |z|. Ngược lại, nếu với mọi z∈ Im(u) tồn tại x∈ E sao… 02SS
Mệnh đề 6 Cho E và F là các không gian chuẩn và u∈ L(E; F). Ký hiệu B là tập hợp các phần tử của E có chuẩn <1. Đặt 02ST
Mệnh đề 7 Cho E là một không gian Banach và F là một không gian chuẩn. Ánh xạ u↦ ((u)) từ L(E; F) vào overlineR là nửa liên tục trên. 02SU
Mệnh đề 8 Cho E là một không gian Banach, F một không gian chuẩn. Với mọi u∈ L(E; F), ta có ((u)) = ((ᵗu)). 02SV
Định lý 3 Cho n là một số nguyên dương, V là một không gian vectơ chuẩn thực có chiều n+ 1 và W là một không gian con vectơ của V có chiều n. Gọi S là mặt cầu đơn vị của V. Không tồn tại một… 02SW
Định lý 4 (Krein, Krasnoselskii, Milman) Cho E là một không gian chuẩn, và cho F và G là các không gian con vectơ của E. Giả sử rằng chiều của G là hữu hạn và nhỏ hơn nghiêm ngặt chiều của F. Tồn tại một phần tử của F có… 02SX
Mệnh đề 9 Cho E và F là các không gian chuẩn, n∈ N và u là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F mà hạt nhân có chiều n. Chuẩn dưới của u bằng khoảng cách d từ u tới tập hợp các ánh xạ v… 02SY
Bổ đề 3 Cho c là một số thực sao cho c >((u)). Tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục h: E→ F, có hạng 1 và chuẩn < c sao cho hạt nhân của u+h chứa hạt nhân của u và có chiều n+ 1. 02SZ
Hệ quả 1 Cho E và F là các không gian định chuẩn, và cho u,v là các ánh xạ tuyến tính liên tục khác không từ E vào F mà các hạt nhân có cùng chiều hữu hạn. Khi đó ta có 02T0
Hệ quả 2 Cho E và F là các không gian Banach, và cho u và v là các ánh xạ tuyến tính liên tục khác không từ E vào F mà các ảnh của chúng có cùng đối chiều hữu hạn trong F. Khi đó 02T1
Mệnh đề 10 Cho E và F là các không gian định chuẩn. Tập M(E; F) là mở trong L(E; F). Nó là phần trong của tập các ánh xạ trong L(E; F) mà đơn ánh. 02T2
Mệnh đề 11 Cho E và F là các không gian Banach. Tập QM(E; F) là mở trong L(E; F). Nó là phần trong của tập các ánh xạ trong L(E; F) mà hạt nhân có số chiều hữu hạn. 02T3
Mệnh đề 12 Cho E và F là các không gian Banach và u là một phần tử của QM(E; F). Mọi v∈ L(E; F) sao cho |v-u|<((u)) đều thuộc QM(E; F) và thỏa mãn các hệ thức 02T4
Hệ quả 1 Các hàm được xác định bởi u↦ dim Ker(u) và bởi u↦ dim Coker(u) trên QM(E; F) là nửa liên tục trên. Hàm u↦ ind(u) là địa phương hằng trên QM(E; F). 02T5
Hệ quả 2 Hàm u↦ dim Coker(u) là địa phương hằng trên tập M(E; F) các cấu xạ đơn ánh ngặt từ E vào F. 02T6
Bổ đề 4 Cho E và F là các không gian Banach. Để một phần tử u của L(E; F) là một cấu xạ ngặt từ E vào F, điều kiện cần và đủ là ᵗu là một cấu xạ ngặt từ F' vào E'. Trong trường hợp đó, ta… 02T7
Mệnh đề 13 Cho E và F là các không gian Banach. Các tập hợp E(E; F) và QE(E; F) là mở trong L(E; F). Chính xác hơn, nếu u là một phần tử của QE(E; F) và v là một phần tử của L(E; F) sao cho |… 02T8
Hệ quả 1 Các hàm được xác định bởi u↦ dim Ker(u) và bởi u↦ dim Coker(u) trên QE(E; F) là nửa liên tục trên. Hàm u↦ ind(u) là hằng địa phương trên QE(E; F). 02T9
Hệ quả 2 Hàm được xác định bởi u↦ dim Ker(u) là hằng địa phương trên E(E; F). 02TA

§ 5. Nhiễu loạn bởi một ánh xạ tuyến tính compact

Bổ đề 1 Cho E và F là các không gian vectơ tôpô, u là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F và U là một lân cận của 0 trong E. Giả sử rằng u cảm sinh một đồng phôi của U lên một tập co… 02TK
Mệnh đề 1 Cho E là một không gian lồi địa phương tách biệt, F là một không gian lồi địa phương và u là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. Các điều kiện sau là tương đương: 02TL
Định lý 1 Cho E và F là các không gian lồi địa phương tách biệt và u là một cấu xạ ngặt từ E vào F, với hạt nhân có số chiều hữu hạn và ảnh đóng. Cho h là một ánh xạ tuyến tính compact từ E… 02TM
Bổ đề 2 Cho E và F là các không gian Fréchet và u∈ L(E; F). Các điều kiện sau là tương đương: 02TN
Định lý 2 Cho E và F là các không gian Fréchet, u: E→ F là một ánh xạ tuyến tính liên tục có đối hạt nhân số chiều hữu hạn, và h: E→ F là một ánh xạ tuyến tính compact. Ánh xạ tuyến tính u+h… 02TO
Định lý 3 Cho E là một không gian lồi địa phương, F là một không gian lồi địa phương tách biệt, u là một ánh xạ Fredholm từ E vào F và h là một ánh xạ tuyến tính compact từ E vào F. Khi đó u… 02TP
Hệ quả 1 Cho E và F là các không gian lồi địa phương tách và u∈ L(E; F). Để u là một ánh xạ Fredholm, điều kiện cần và đủ là tồn tại một ánh xạ v∈ L(F; E) sao cho các ánh xạ tuyến tính 1_E-… 02TQ
Hệ quả 2 Cho E và F là các không gian lồi địa phương tách và u∈ L(E; F). Các điều kiện sau là tương đương: 02TR
Mệnh đề 2 Cho u∈ L(E) sao cho |1_E-π (u)|<1 trong đại số Calk(E). Khi đó u là một tự đồng cấu Riesz của E. 02TS
Hệ quả 1 Cho E là một không gian lồi địa phương tách và u∈ L(E). Để u là một tự đồng cấu Riesz, điều kiện cần và đủ là tồn tại một phần tử v của L(E) giao hoán với u và sao cho 1_E-u∘ v là… 02TT
Hệ quả 2 Cho E là một không gian lồi địa phương tách, u là một tự đồng cấu Riesz của E và h∈ L(E) là một ánh xạ tuyến tính compắc. Nếu u và h giao hoán, thì u+h là một tự đồng cấu Riesz của… 02TU
Mệnh đề 3 Cho E là một không gian Banach. Cho u là một tự đồng cấu của E, và cho A là hoán tập của nó trong L(E). Bao đóng B của π (A) trong đại số Calk(E) là một đại số Banach. Để u là một… 02TV
Bổ đề 3 Cho X là một không gian tôpô mà tôpô của nó có một cơ sở đếm được. Mọi tập con rời rạc của X đều đếm được. 02TW
Định lý 4 Cho E là một không gian lồi địa phương tách và cho h là một tự đồng cấu compact của E. Tập Σ các λ ∈ K sao cho 1_E-λ h không phải là một tự đẳng cấu của E là một tập con đếm được… 02TX
Mệnh đề 4 (Phương án Fredholm) Cho E là một không gian Banach và cho h là một tự đồng cấu compact của E. Cho λ là một phần tử của K -0. Gọi F là hạt nhân của 1_E-λ h và G là hạt nhân của 1_E'-λᵗh. 02TY
Ví dụ Cho X là một không gian compact, μ một độ đo trên X, thực hoặc phức tùy theo K bằng R hay C, và N : X× X→ K một hàm liên tục. 02TZ
Bổ đề 4 Ánh xạ tuyến tính từ G_λ vào E' được xác định bởi g↦ g· μ là đơn ánh, và ảnh của nó là hạt nhân của 1_E'-λᵗh. 02U0
Định lý 5 Cho λ ∈ K. 02U1
Hệ quả Tập hợp các λ ∈ K sao cho không gian F_λ khác không là một tập con đếm được, đóng và rời rạc của K. 02U2

§ 6. Tính chất phổ của các tự đồng cấu của không gian Banach

Định nghĩa 1 Người ta nói rằng λ có bội số phổ hữu hạn đối với u nếu phép chiếu phổ e_λ(u) có hạng hữu hạn; trong trường hợp đó, số nguyên m_λ(u) = dim(Im(e_λ(u))) được gọi là bội số phổ của λ… 02UE
Định nghĩa 2 Các điểm cô lập của Sp(u) có bội số phổ hữu hạn được gọi là các điểm nhạy của phổ của u. Tập các điểm nhạy của Sp(u) được gọi là phổ nhạy của u và được ký hiệu bởi Spₛ(u).[^1] Tập… 02UF
Mệnh đề 1 Các điểm nhạy của phổ của u là các trị riêng có bội số phổ hữu hạn. 02UG
Mệnh đề 2 Cho E là một không gian khả chuẩn đầy đủ và u một tự đồng cấu của E. Cho H là một tập con hữu hạn của Spₛ(u). Tập H vừa mở vừa đóng trong Sp(u). Phép chiếu phổ e_H(u) có hạng hữu h… 02UH
Hệ quả 1 Cho V là một lân cận của Spₑ(u). 02UI
Hệ quả 2 Cho f∈ O(Sp(u)) và cho μ là một số phức. Gọi H là tập hợp các λ ∈ Sp(u) sao cho f(λ ) =μ. Khi đó μ là một điểm của phổ rời rạc của f(u) khi và chỉ khi H là hữu hạn, khác rỗng, và đ… 02UJ
Ví dụ 1 Cho E là một không gian vectơ hữu hạn chiều và u là một tự đồng cấu của E. Phổ của u là hữu hạn và trùng với Spₛ(u). Các phần tử của nó là các nghiệm của đa thức đặc trưng χᵤ của u… 02UK
Ví dụ 2 Cho X là một tập con compắc của C, và C(X) là không gian Banach các hàm liên tục nhận giá trị phức trên X. Ký hiệu u là tự đồng cấu của C(X) mà với f∈ C(X) gán hàm z↦ zf(z) của C(X… 02UL
Định nghĩa 3 Cho E là một không gian khả chuẩn đầy đủ và u một tự đồng cấu của E. Với mọi n∈ overlineZ, ký hiệu Spₙ(u) là tập hợp các số phức λ ∈ Spₑ(u) sao cho u-λ 1_E là một cấu xạ ngặt mà hạ… 02UM
Nhận xét Ký hiệu π là đồng cấu chính tắc của L(E) lên đại số Calkin Calk(E) của E (x. No. 4 của III, p. 75). Phổ của π (u) đối với đại số Calk(E) đôi khi được gọi là phổ ổn định của u. Các… 02UN
Định lý 1 Cho E là một không gian khả chuẩn đầy đủ và u là một tự đồng cấu của E. 02UO
Hệ quả a) Gọi Ω là thành phần liên thông không bị chặn của C- Sp_ω(u). Ta có Ω ∩ Sp(u)⊂ Spₛ(u); 02UP
Mệnh đề 3 Cho E và F là các không gian định chuẩn đầy đủ, u: E→ F và v: F→ E là các ánh xạ tuyến tính liên tục. 02UQ
Mệnh đề 4 Cho E là một không gian định chuẩn đầy đủ, E' là không gian đối ngẫu của E và u là một tự đồng cấu của E. 02UR
Định lý 2 Cho E là một không gian chuẩn hoá đầy đủ, u là một tự đồng cấu của E và h là một tự đồng cấu compact của E. Ta có Sp_ω(u+h) = Sp_ω(u) và Spₙ(u+h) = Spₙ(u) với mọi n∈ overlineZ-0. 02US
Hệ quả Giả sử rằng thành phần liên thông không bị chặn của phần bù của Sp_ω(u) chứa 0. Khi đó u+h là một tự đồng cấu Riesz của E. 02UT
Bổ đề 1 Cho E là một không gian vectơ tôpô tách biệt có chiều geqslant 2 trên R, và cho X là một tập con đếm được của E. Tập hợp bù E - X là liên thông. 02UU
Bổ đề 2 Cho S⊂ C là một tập hợp vô hạn, rời rạc, bị chặn và đóng trong C-0. Khi đó S là tập hợp các giá trị của một dãy (λₙ)_n∈N các số phức khác không, từng đôi một phân biệt, sao cho dãy… 02UV
Mệnh đề 5 Cho E là một không gian khả chuẩn đầy đủ và cho u là một tự đồng cấu compắc của E. Mọi phần tử của Spₛ(u) là một trị riêng có bội số phổ hữu hạn. Hơn nữa: 02UW
Mệnh đề 6 Cho E là một không gian định chuẩn đầy đủ trên C và u là một tự đồng cấu compact của E. 02UX
Hệ quả Cho E và F là các không gian Hilbert và cho u là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. Ánh xạ tuyến tính u là compact khi và chỉ khi tự đồng cấu |u| của E là compact. 02UY
Mệnh đề 7 Cho u∈ L(E). 02UZ
Hệ quả Cho u∈ L(E). Nếu u là chuẩn tắc, thì Sp₀(u) là rỗng, và nếu u là Hermit, thì Spₑ(u) trùng với phổ của π (u) đối với đại số Calk(E). 02V0
Định lý 3 (Weyl) Cho u∈ L(E) là một tự đồng cấu chuẩn tắc của u. Phổ cốt yếu của u là giao của các tập Sp(u+h), khi h chạy qua Lᶜ(E). 02V1
Bổ đề 3 Cho (aₙ)_ngeqslant 0 là một dãy các số thực dương sao cho chuỗi lũy thừa 02V2
Bổ đề 4 Cho E là một không gian Banach thực và u∈ L(E_(C)) là một tự đồng cấu khác không của E_(C). Cho C là một nón lồi toàn phần trong E. Tồn tại x∈ C sao cho u(x)not = 0. 02V3
Định lý 4 (Krein–Rutman) Cho E là một không gian định chuẩn đầy đủ trên R. Cho C là một nón lồi nhọn toàn phần đóng trong E và cho u∈ L(E) là một ánh xạ tuyến tính compact sao cho u(C)⊂ C. Nếu bán kính phổ… 02V4
Hệ quả Cho E là một không gian khả chuẩn đầy đủ trên R. Cho C là một nón lồi đóng nhọn toàn phần trong E và u∈ L(E) là một ánh xạ tuyến tính compắc sao cho u(C)⊂ C. Nếu bán kính phổ varrh… 02V5
Nhận xét Nói chung, giả thiết varrho (u)>0 không thể bỏ đi trong định lý Krein-Rutman. Chẳng hạn, gọi V là tự đồng cấu của không gian Banach C([0,1]) được xác định bởi 02V6
Mệnh đề 8 Cho E là một không gian khả chuẩn đầy đủ khác không trên R. Cho C là một nón lồi nhọn đóng có phần trong khác rỗng mathringC trong E, và cho u∈ L(E) là một ánh xạ tuyến tính compắc… 02V7
Bổ đề 5 Cho E là một không gian Banach thực, C là một nón lồi trong E, và u∈ L(E) sao cho u(C-0)⊂ mathringC. Cho ℓ ∈ C^∘ là một vectơ riêng của ᵗu. Khi đó hạt nhân của ℓ ổn định dưới tác đ… 02V8
Bổ đề 6 Cho E là một không gian vectơ thực hữu hạn chiều và B là một lân cận lồi compắc của 0 trong E. Cho u là một tự đồng cấu của E sao cho u(B)⊂ mathringB. Khi đó phổ phức của u được ch… 02V9
Hệ quả Cho E là một không gian khả chuẩn đầy đủ khác không trên R. Cho C là một nón lồi nhọn đóng có phần trong khác rỗng mathringC trong E, và cho u là một tự đồng cấu compact của E sao… 02VA
Bổ đề 7 Ta có u_A(Rⁿ₊)⊂ R₊ⁿ khi và chỉ khi a_i,jgeqslant 0 với mọi i và j, và u_A(Rⁿ₊-0)⊂ (R₊^*)ⁿ khi và chỉ khi a_i,j>0 với mọi i và j. 02VB
Định lý 5 (Perron–Frobenius) a) Nếu a_i,jgeqslant 0 với mọi i và j trong 1, . . . , n, thì số thực varrho là một trị riêng của A; 02VC
Nhận xét Giả sử rằng tồn tại một số nguyên kgeqslant 1 sao cho mọi hệ số của Aᵏ đều >0 (một ma trận như vậy đôi khi được gọi là nguyên thủy). Khi đó, theo hệ quả của Mệnh đề 8, bán kính phổ… 02VD

IV. Lý thuyết phổ Hilbert

§ 1. Toán tử compact trên một không gian Hilbert

Định nghĩa 1 Cho B = (eᵢ)_i∈ I là một cơ sở trực chuẩn của E. Một tự đồng cấu u được gọi là đường chéo trong cơ sở B hoặc đường chéo đối với B nếu tồn tại một họ λ = (λᵢ)_i∈ I các phần tử của K… 02W8
Bổ đề 1 Cho u∈ D_B(E) và λ = (λᵢ)_i∈ I là họ các trị riêng của nó. Họ λ bị chặn và ta có supᵢ|λᵢ|=|u|. 02W9
Mệnh đề 1 a) Ánh xạ α từ D_B(E) vào B(I) gán cho một tự đồng cấu đường chéo u họ các trị riêng của u là một đẳng cấu đẳng cự của các đại số Banach trên K. Nếu K =C, đó là một cấu xạ của các… 02WA
Nhận xét Đại số Banach D_B(E) là một đại số con đóng giao hoán cực đại của L(E). Thật vậy, cho u là một tự đồng cấu của E giao hoán với D_B(E). Cho i∈ I. Vì phép chiếu trực giao pᵢ là chéo… 02WB
Mệnh đề 2 Cho u∈ D_B(E) và λ = (λᵢ)_i∈ I là họ các giá trị riêng của nó. 02WC
Nhận xét Khi I là vô hạn, điều kiện λ ∈ C₀(I; K) cũng có thể được phát biểu như sau: “họ λ tiến tới 0 theo bộ lọc các phần bù của các tập con hữu hạn của I.” 02WD
Định lý 1 Giả sử K =C. Cho u là một tự đồng cấu compact và chuẩn tắc của E. Tồn tại một cơ sở trực chuẩn B của E sao cho u là đường chéo trong cơ sở B. 02WE
Hệ quả 1 Cho u là một tự đồng cấu Hermit compact của E. Tồn tại một cơ sở trực chuẩn B của E sao cho u là đường chéo trong cơ sở B và các trị riêng của nó là thực. 02WF
Hệ quả 2 Cho F là một không gian Hilbert và cho u là một ánh xạ tuyến tính liên tục compact từ E vào F. Tồn tại một tập đếm được I, một cơ sở trực chuẩn (eᵢ)_i∈ I của không gian ban đầu Ker… 02WG
Định nghĩa 2 Với các ký hiệu của hệ quả, họ (αᵢ)_i∈ I là họ các giá trị kỳ dị của u, đối với cơ sở trực chuẩn (eᵢ)_i∈ I của không gian ban đầu của u. 02WH
Nhận xét 1 Hệ quả này tổng quát hóa Định lý 2 của EVT, V, p. 54, tương ứng với các ánh xạ Hilbert–Schmidt. 02WI
Nhận xét 2 Với các ký hiệu của hệ quả, ta có công thức 02WJ
Nhận xét 3 Cho u là một tự đồng cấu compact dương của E. Gọi B = (fᵢ)_i∈ I là một cơ sở trực chuẩn của E sao cho u là chéo trong cơ sở B (Định lý 1), và gọi (λᵢ)_i∈ I là họ các trị riêng của… 02WK
Mệnh đề 3 Cho u là một tự đồng cấu dương compắc của E. Tồn tại một họ trực chuẩn (eₙ)_n∈ I trong E sao cho, với mọi x∈ E, ta có 02WL
Mệnh đề 4 Cho u là một tự đồng cấu compắc dương của E. Cho f∈ C(R₊) là một ánh xạ tăng liên tục sao cho f(0) = 0. 02WM
Mệnh đề 5 Cho n∈ I. 02WN
Mệnh đề 6 Với mọi n∈ I, ta có 02WO
Mệnh đề 7 Cho u và v là các tự đồng cấu compact dương của E. 02WP
Mệnh đề 8 Cho u là một tự đồng cấu compact dương của E. Cho H là một không gian con đóng của E và i_H: H→ E là đơn ánh chính tắc. Ký hiệu u_H là tự đồng cấu i^*_Hui_H của H. Nó compact và dư… 02WQ
Định nghĩa 3 Cho F là một không gian Hilbert và u là một ánh xạ tuyến tính compact từ E vào F. 02WR
Mệnh đề 9 Cho F là một không gian Hilbert và u là một ánh xạ tuyến tính compact từ E vào F. 02WS
Hệ quả Cho F là một không gian Hilbert và u một ánh xạ tuyến tính compact từ E vào F. Cho w∈ L(E) và v∈ L(F). Với mọi n∈ I_E, ta có αₙ(w∘ u∘ v)leqslant |v| |w|αₙ(u). 02WT
Nhận xét 1 Vì dãy (αₙ(u))_n∈ I_E là giảm, tập hợp J hoặc bằng I_E, hoặc bằng một đoạn 0, . . . , m trong I_E với m∈ N. Trường hợp sau này xảy ra khi và chỉ khi u có hạng hữu hạn. 02WU
Nhận xét 2 Vì |u(x)|=||u|(x)| với mọi x∈ E (I, p. 139, mệnh đề 10), ta có αₙ(u) =αₙ(|u|) với mọi n∈ I_E. 02WV
Nhận xét 3 Nếu u là dương, thì αₙ(u) =λₙ(u) với mọi n∈ I_E (thật vậy, khi đó ta có αₙ(u)²=λₙ(u^*u) =λₙ(u²) =λₙ(u)² theo Mệnh đề 4 của IV, p. 153). 02WW
Nhận xét 4 Có thể xảy ra việc αₙ(v∘ u∘ w) = 0 ngay cả khi αₙ(u) khác không; trong trường hợp này, αₙ(v∘ u∘ w) không phải là một giá trị riêng suy biến của v∘ u∘ w. 02WX
Bổ đề 2 Cho n∈ N. Ánh xạ widehat∧ⁿi_H là một ánh xạ tuyến tính đẳng cự từ widehat∧ⁿH vào widehat∧ⁿE. 02WY
Bổ đề 3 Cho F là một không gian Hilbert và u∈ L(E; F). Cho n∈ N. 02WZ
Mệnh đề 10 Ta có đẳng thức 02X0
Hệ quả Cho G là một không gian Hilbert và v∈ Lᶜ(F; G). Khi đó 02X1
Bổ đề 4 Cho A là một vành. Cho n∈ N và cho (aᵢ)_0leqslant ileqslant n và (bᵢ)_0leqslant ileqslant n là các họ phần tử của A. Với 0leqslant jleqslant n, đặt 02X2
Bổ đề 5 Cho I⊂ overlineR là một khoảng không chứa +∞, và cho f là một hàm lồi tăng từ I vào [-∞ ,+∞ [. 02X3
Mệnh đề 11 (Các bất đẳng thức Weyl) Cho G là một không gian Hilbert và v∈ Lᶜ(F; G). Cho g:R₊→ [-∞ ,+∞ [ là một hàm tăng sao cho hàm g∘ exp là lồi. Ta có 02X4
Bổ đề 6 Cho g và h là các hàm lồi xác định trên các khoảng I và J của R, tương ứng. Nếu g tăng và xác định trên ảnh của h, thì hàm g∘ h là lồi trên J. 02X5
Hệ quả Cho G là một không gian Hilbert và v∈ Lᶜ(F; G). Cho n∈ I_E∩ I_F. 02X6
Mệnh đề 12 Cho B = (eᵢ)_i∈ I là một cơ sở trực chuẩn của E. Cho u∈ D_B(E) và ký hiệu bởi λ = (λᵢ)_i∈ I họ các giá trị riêng của nó. Tự đồng cấu u có vết hữu hạn khi và chỉ khi họ λ là khả tổn… 02X7
Hệ quả 1 Cho u là một tự đồng cấu có vết hữu hạn của E. 02X8
Hệ quả 2 Cho F là một không gian Hilbert. Cho u∈ L(E; F) là một ánh xạ Hilbert-Schmidt. Khi đó u là một ánh xạ tuyến tính compact. 02X9
Hệ quả 3 Giả sử rằng K =C. Cho u là một tự đồng cấu compact dương của E. Tự đồng cấu u có vết hữu hạn nếu và chỉ nếu họ giảm các trị riêng của nó (λₙ(u))_n∈ I_E là khả tổng; khi đó vết của… 02XA
Hệ quả 4 Cho F là một không gian Hilbert. Cho u∈ L(E; F) là một ánh xạ tuyến tính compact. Cho B = (eᵢ)_i∈ I là một cơ sở trực chuẩn của không gian ban đầu Ker(u)^∘ của u, C = (fᵢ)_i∈ I là… 02XB
Bổ đề 7 Cho λ = (λᵢ)_i∈ I là một họ các số phức. Với mỗi t∈ C^*, gọi nₜ là lực lượng của tập hợp các i∈ I sao cho λᵢ=t. Họ (λᵢ)_i∈ I là cộng được nếu và chỉ nếu nₜ là hữu hạn với mỗi t∈ C^… 02XC
Mệnh đề 13 Giả sử K =C. Cho u là một tự đồng cấu chuẩn compắc của E. Với t∈ Spₛ(u), gọi nₜgeqslant 1 là bội số phổ của trị riêng t của u. Để u có vết hữu hạn, điều kiện cần và đủ là họ (nₜt)_… 02XD
Mệnh đề 14 Cho u∈ L₂(E; F). Khi đó 02XE
Định nghĩa 4 Người ta gọi không gian vectơ L₁(E; F) được trang bị chuẩn u↦ |u|₁ là không gian các ánh xạ hạt nhân từ E vào F. Nếu u∈ L₁(E; F), người ta nói rằng u là hạt nhân. 02XF
Nhận xét 1 Giả sử rằng K =R. Gọi u∈ L(E; F). Ta có u∈ L₁(E; F) khi và chỉ khi u_(C)∈ L₁(E_(C); F_(C)); trong trường hợp đó, ta có |u|₁=|u_(C)|₁. 02XG
Nhận xét 2 Gọi u là một ánh xạ hạt nhân từ E vào F. Vì ánh xạ u thuộc kiểu Hilbert–Schmidt, nó là compact (hệ quả 2 của IV, p. 165). Hơn nữa, Mệnh đề 14 suy ra rằng với mọi v∈ L₂(E; F), ta có 02XH
Nhận xét 3 Giả sử rằng K =C. Gọi u∈ L₁(E; E) sao cho u là dương. Chuẩn |u|₁ của u là tổng của dãy (λₙ(u))_n∈ I_E (hệ quả 3 của IV, p. 165). 02XI
Nhận xét 4 Phép nhúng chính tắc của L₁(E; F) vào L(E; F) có chuẩn leqslant 1 (bất đẳng thức (9), p. 167). 02XJ
Mệnh đề 15 Cho G là một không gian Hilbert trên K. Ánh xạ (u, v)↦ v∘ u từ L(E; F)× L(F; G) vào L(E; G) xác định, khi chuyển qua các không gian con, một ánh xạ song tuyến tính liên tục có chuẩ… 02XK
Bổ đề 8 Ánh xạ u↦ u^* từ L(E; F) vào L(F; E) xác định, khi chuyển qua các không gian con, một ánh xạ tuyến tính đẳng cự của L₁(E; F) vào L₁(F; E). 02XL
Mệnh đề 16 Cho E₁ và F₁ là các không gian Hilbert. Cho u thuộc L₁(E; F),v thuộc L(E₁; E) và v₂ thuộc L(F; F₁). Khi đó v₂uv₁∈ L₁(E₁; F₁) và |v₂uv₁|₁leqslant |v₂| |v₁| |u|₁. 02XM
Mệnh đề 17 Không gian L₁(E; E) trùng với không gian L₁(E) của các tự đồng cấu có vết hữu hạn của E, và ta có |Tr(u)|leqslant |u|₁ với mọi tự đồng cấu u của E có vết hữu hạn. 02XN
Bổ đề 9 Cho u∈ L₁(E; F). Ta có 02XO
Mệnh đề 18 Ánh xạ θ là một đẳng cấu đẳng cự. 02XP
Hệ quả Không gian định chuẩn L₁(E; F) là một không gian Banach. 02XQ
Bổ đề 10 Ánh xạ θ xác định, bằng cách chuyển qua các thương, một ánh xạ tuyến tính widetildeθ từ L²(X)⊗ L²(Y) vào L²(X× Y), và tồn tại duy nhất một đẳng cấu đẳng cự từ L²(X)widehat⊗₂L²(Y) l… 02XR
Mệnh đề 19 Ánh xạ N↦ u_N là một đẳng cấu đẳng cự từ L²(X× Y) lên không gian L₂(L²(X); L²(Y)) các ánh xạ 02XS
Hệ quả Với mọi N∈ L²(X× Y), ánh xạ tuyến tính u_N là một ánh xạ Hilbert–Schmidt và ta có Tr(u^*_Nu_N) =|N|². 02XT
Nhận xét Cho N∈ L²(X× Y). Theo hệ quả 2 của IV, p. 150, tồn tại một tập hợp đếm được I, các họ trực chuẩn (fᵢ)_i∈ I trong L²(X) và (gᵢ)_i∈ I trong L²(Y), cũng như một họ (αᵢ)_i∈ I trong R^*… 02XU
Mệnh đề 20 Cho (fₙ)_n∈N là một dãy các ánh xạ đo được từ X vào một không gian mêtric hóa được F. Giả sử rằng giới hạn của fₙ(x) tồn tại trên phần bù của một tập con không đáng kể đối với μ củ… 02XV
Mệnh đề 21 Giả sử rằng u_N có vết hữu hạn. Khi đó tồn tại một tập hợp widetildeX⊂ X mà phần bù X -widetildeX của nó là μ-không đáng kể và một hàm H∈ L²(X× X) thỏa mãn các điều kiện sau : 02XW
Định lý 2 Giả sử rằng u_N có vết hữu hạn. Khi đó hàm x↦ N(x, x) thuộc L¹(X) và ta có 02XX
Bổ đề 11 Nếu tự đồng cấu u_N của L²(X) là dương, thì N(x, x)geqslant 0 với mọi x trong giá của μ. 02XY
Nhận xét Mệnh đề đảo lại của bổ đề không đúng (bài tập 14 của IV, p. 316). 02XZ
Mệnh đề 22 Giả sử rằng u_N là một tự đồng cấu dương của L²(X). Khi đó tự đồng cấu u_N có vết hữu hạn khi và chỉ khi hàm x↦ N(x, x) là μ-khả tích. Trong trường hợp đó, ta có 02Y0
Nhận xét Ngay cả khi X compact và N liên tục, tự đồng cấu u_N của L²(X) cũng không phải lúc nào cũng có vết hữu hạn (xem bài tập 8 của IV, p. 314). 02Y1

§ 2. Các tự đồng cấu chuẩn

Mệnh đề 1 Cho X là một không gian tôpô compact địa phương. Cho μ là một độ đo dương trên X và cho p∈ [1,+∞ [. Cho (Xᵢ)_i∈ I là một họ đếm được địa phương (INT, IV, p. 190, § 5, nᵒ9, def. 7)… 02YO
Mệnh đề 2 Cho X là một không gian địa phương compact đếm được tại vô cực. Cho μ là một độ đo dương trên X. Với mọi p∈ [1,+∞ [, không gian Lᵖ(X, μ) thuộc kiểu đếm được. 02YP
Định nghĩa 1 Cho Y là một không gian tôpô. Với mọi hàm đo được g từ X vào Y, ảnh cốt yếu theo μ của g là tập con các y∈ Y sao cho, với mọi lân cận mở U của y, tập overset-1g(U) không địa phương… 02YQ
Bổ đề 1 Cho g là một hàm μ-đo được từ X vào một không gian tôpô Y, và S là ảnh cốt yếu theo μ của nó. Tập hợp các phần tử x∈ X sao cho g(x) không thuộc S là địa phương μ-không đáng kể tron… 02YR
Bổ đề 2 Cho g là một hàm liên tục từ X vào C. Ảnh cốt yếu theo μ của g là bao đóng của ảnh qua g của giá của μ. 02YS
Bổ đề 3 Cho g là một hàm liên tục từ X vào C và S là ảnh μ-cốt yếu của nó. Giả sử S không rỗng và 0∉ S; ký hiệu bởi δ khoảng cách từ 0 đến S. Khi đó δ >0. 02YT
Bổ đề 4 Cho Y và Z là các không gian tôpô compact địa phương, f: X→ Y và g: Y→ Z là các ánh xạ đo được phổ dụng. Ánh xạ g∘ f: X→ Z là đo được phổ dụng. 02YU
Mệnh đề 3 a) Tập hợp Lᵤ(X) là một đại số con có đối hợp của đại số có đối hợp các hàm từ X vào C; 02YV
Bổ đề 5 Cho μ là một độ đo dương trên X. Cho g là một hàm μ-đo được từ X vào C, và cho S là ảnh cốt yếu theo μ của nó. Đối với mọi hàm f∈ Lᵤ(S), ánh xạ h từ X vào C sao cho h(x) = 0 nếu g(… 02YW
Nhận xét Dưới các giả thiết của bổ đề, ta sẽ ký hiệu, với một sự lạm dụng ngôn ngữ, hàm h được định nghĩa trong bổ đề bởi f∘ g. 02YX
Bổ đề 6 Cho g∈ L^∞(X, μ). Phổ của lớp của g trong L^∞(X, μ) bằng ảnh μ-cốt yếu của g. 02YY
Mệnh đề 4 Cho g∈ L^∞(X, μ). Ký hiệu widetildeg là lớp của g trong L^∞(X, μ) và S là phổ của widetildeg. Ánh xạ f↦ f∘ g (nhận xét, p. 184) là ánh xạ phép tính phiếm hàm từ C(S) vào L^∞(X, μ)… 02YZ
Bổ đề 7 Cho g∈ L^∞(X, μ). Tự đồng cấu widetildem_g của Lᵖ(X, μ) là đơn ánh nếu và chỉ nếu tập hợp các x∈ X sao cho g(x) = 0 là địa phương μ-không đáng kể. 02Z0
Mệnh đề 5 Cho p∈ [1,+∞ [. Ánh xạ m:g↦ widetildem_g từ L^∞(X, μ) vào L(Lᵖ(X, μ)) là một cấu xạ đẳng cự của các đại số Banach có đơn vị. 02Z1
Bổ đề 8 Cho (gₙ) là một dãy bị chặn trong L^∞(X, μ) hội tụ từng điểm μ-hầu khắp nơi. Gọi widetildem∈ L^∞(X, μ) là lớp của giới hạn của nó. Khi đó widetildem_gₙ hội tụ đến widetildem_wideti… 02Z2
Mệnh đề 6 Ánh xạ m:g↦ widetildem_g là một cấu xạ đẳng cự có đơn vị của đại số có phép đối hợp L^∞(X, μ) vào đại số có phép đối hợp L(L²(X, μ)). 02Z3
Hệ quả Cho g∈ L^∞(X, μ). 02Z4
Mệnh đề 7 Ảnh của cấu xạ widetildem từ L^∞(X, μ) vào L(L²(X, μ)) là một đại số con giao hoán cực đại của đại số L(L²(X, μ)). 02Z5
Hệ quả Cho u là một tự đồng cấu của không gian Hilbert L²(X, μ) giao hoán với widetildem_g với mọi hàm g∈ K(X). Khi đó tồn tại một phần tử duy nhất f∈ L^∞(X, μ) sao cho u=widetildem_f. 02Z6
Nhận xét Trong phần sau, ta sẽ thường ký hiệu đơn giản bởi m_g tự đồng cấu phép nhân bởi g trên Lᵖ(X, μ). 02Z7
Bổ đề 9 Cho A là một đại số con sao có đơn vị giao hoán của L(E). Với mọi x và y trong E, ánh xạ μ từ X(A) vào C được định nghĩa bởi μ(f) =⟨ x|H_A(f)y⟩ với mọi f∈ C(X(A)) là một độ đo bị c… 02Z8
Định nghĩa 2 Cho A là một đại số con có sao giao hoán có đơn vị của L(E). Với mọi x và y trong E, dạng tuyến tính f↦ ⟨ x|H_A(f)y⟩ trên C(X(A)) được gọi là độ đo phổ của (x, y) đối với A. Nếu x=… 02Z9
Nhận xét Cho A là một đại số con có sao giao hoán có đơn vị của L(E). Với mọi x và y trong E, ký hiệu μ_x,y là độ đo phổ của (x, y) đối với A. Ánh xạ xác định bởi (x, y)↦ μ_x,y từ E× E vào… 02ZA
Định nghĩa 3 Cho A là một đại số trên C và E là một không gian vectơ tôpô phức. Cho π là một biểu diễn của A trong E. Một phần tử x của E được gọi là một vectơ cyclic đối với π nếu tập các phần… 02ZB
Mệnh đề 8 Cho E là một không gian Hilbert phức. Cho A là một đại số con có sao giao hoán có đơn vị của L(E). Cho x là một phần tử của E. Đặt Eₓ= A· x và ký hiệu μₓ là độ đo phổ của x đối với… 02ZC
Hệ quả Cho E là một không gian Hilbert phức. Cho A là một đại số con stellar giao hoán có đơn vị của L(E) nhận một vectơ cyclic x. Gọi μₓ là độ đo phổ của x đối với A. Tồn tại một đẳng cấ… 02ZD
Mệnh đề 9 Tồn tại một tập con C của E sao cho E là tổng Hilbert của các không gian Eₓ với x∈ C. Nếu E thuộc kiểu đếm được, thì tập hợp C là đếm được. 02ZE
Định lý 1 Cho A là một đại số con stellar giao hoán có đơn vị của L(E). Tồn tại một không gian tôpô compact địa phương X, một độ đo dương μ trên X, một đẳng cấu đẳng cự θ từ L²(X, μ) lên E… 02ZF
Hệ quả (Định lý phổ) Cho E là một không gian Hilbert phức. Cho u∈ L(E) là một tự đồng cấu chuẩn tắc của E. Tồn tại một không gian tôpô compact địa phương X, một độ đo dương μ trên X, một đẳng cấu đẳng… 02ZG
Mệnh đề 10 Cho A là một đại số có đối hợp có đơn vị. Cho U là một tập con mở tương đối compact của C. Cho Ωₙ ký hiệu tập hợp các phần tử chuẩn tắc của A sao cho Sp_A(a) được chứa trong U. Ánh… 02ZH
Hệ quả 1 Cho A là một star-đại số có đơn vị và gọi Aₙ là tập hợp các phần tử chuẩn tắc của A. Trang bị cho không gian C(C) tôpô hội tụ compact. Ánh xạ (f, a)↦ f(a) từ C(C)× Aₙ vào A là liên… 02ZI
Hệ quả 2 Cho E là một không gian Hilbert phức và gọi L(E)ₙ là tập hợp các nội cấu chuẩn tắc của E. Trang bị cho không gian C(C) tôpô hội tụ compact. Ánh xạ từ C(C)× L(E)ₙ vào L(E) được xác… 02ZJ

§ 3. Phân bố và phân bố ôn hòa

Bổ đề 1 Cho U là một tập mở của Rⁿ. 030C
Mệnh đề 1 Cho U là một tập mở của Rⁿ và k∈ N. Cho E, F và G là các không gian vectơ tôpô và cho b: E× F→ G là một ánh xạ song tuyến tính liên tục. Cho f và g là các hàm thuộc lớp Cᵏ từ U vào… 030D
Mệnh đề 2 Cho I là một khoảng của R và f một ánh xạ từ X× I vào E sao cho 030E
Hệ quả 1 Cho U là một tập mở của Rⁿ. Cho k∈ N và f là một ánh xạ từ X× U vào E thỏa mãn các điều kiện sau: 030F
Hệ quả 2 Cho k là một số tự nhiên. Cho f∈ L¹(Rⁿ, μ) và g∈ Cᵏ(Rⁿ). Giả sử rằng với mọi α ∈ Nⁿ sao cho |α |leqslant k, hàm ∂^αg bị chặn. Khi đó tích chập f*g thuộc Cᵏ(Rⁿ) và với mọi α sao cho… 030G
Mệnh đề 3 Cho N là một chuẩn trên Rⁿ,r là một số thực và p∈ [1,+∞ [. 030H
Nhận xét Người ta định nghĩa tương tự không gian D_R(U) các hàm thử thực trị trên U. Ánh xạ tuyến tính sao cho z⊗ φ ↦ zφ với mọi z∈ C và mọi φ ∈ D_R(U) là một đẳng cấu của C⊗ D_R(U) lên D(U… 030I
Bổ đề 2 Cho U là một phủ mở của U. Tồn tại một phủ mở hữu hạn địa phương của U mịn hơn U và được tạo thành từ các tập hợp tương đối compact. 030J
Bổ đề 3 Cho f∈ K(Rⁿ) và cho V là một lân cận mở của giá K của f. Tồn tại một số nguyên m₀geqslant 1 sao cho, với mọi x∈ K, tập hợp V chứa quả cầu bán kính m⁻¹₀ có tâm tại x. Với mỗi số ngu… 030K
Mệnh đề 4 a) Đơn ánh chính tắc của D(U) vào K(U) là liên tục và D(U) trù mật trong K(U); 030L
Định nghĩa 1 Không gian đối ngẫu của D(U), được trang bị tôpô của sự hội tụ bị chặn, được gọi là không gian các phân phối trên U. Nó được ký hiệu bởi D'(U). 030M
Bổ đề 4 Cho f là một ánh xạ tuyến tính từ D(U) vào C. Khi đó f là một phân phối nếu và chỉ nếu, với mọi tập con compắc K của U và mọi họ (M_α)_α∈Nⁿ trong R₊, dạng tuyến tính f bị chặn trên… 030N
Bổ đề 5 Cho 𝔉 là một bộ lọc trên D'(U) có một cơ sở đếm được hoặc chứa một tập hợp bị chặn đơn. Khi đó 𝔉 hội tụ đến một phân phối nếu và chỉ nếu ⟨ f, φ ⟩ hội tụ theo 𝔉 với mọi hàm thử φ tr… 030O
Mệnh đề 5 Tiền bó D'(U) là một bó. 030P
Mệnh đề 6 Cho ν là một độ đo trên U. Hạn chế của ν lên D(U) là một phân phối, và nó bằng không khi và chỉ khi độ đo ν bằng không. 030Q
Mệnh đề 7 Cho p∈ [1,+∞ ]. Đơn ánh từ Lᵖ(U) vào D'(U) là liên tục. 030R
Mệnh đề 8 Không gian D(U) trù mật trong D'(U). 030S
Định nghĩa 2 Nếu f∈ D'(U) là một phân phối, thì ∂^αf được gọi là đạo hàm riêng lặp cấp α của f. 030T
Bổ đề 6 Cho k là một số tự nhiên. Cho f∈ Cᵏ(U) và cho λ là phân phối liên kết với f. Với mọi β ∈ Nⁿ sao cho |β |leqslant k, phân phối ∂^βλ là phân phối liên kết với hàm ∂^βf. 030U
Mệnh đề 9 (Công thức Leibniz) Cho f là một phân phối trên U và g là một hàm khả vi vô hạn trên U. Cho α ∈ Nⁿ. Ta có quan hệ 030V
Nhận xét Cho φ ∈ S(Rⁿ). Với mọi k∈ N, ta có 030W
Ví dụ Hàm γₙ xác định trên Rⁿ bởi γₙ(x) = exp(-|x|²) thuộc S(Rⁿ). Thật vậy, người ta chứng minh bằng quy nạp theo k rằng, với mọi số nguyên k∈ N, tồn tại một đa thức Pₖ∈ R[X] sao cho ∂ₖγ… 030X
Bổ đề 7 Cho k∈ N và α ∈ Nⁿ. Với mọi hàm φ ∈ S(Rⁿ) và mọi số thực T>0, ta có 030Y
Mệnh đề 10 Cho B là một tập con bị chặn của S(Rⁿ). Tôpô cảm sinh trên B bởi S(Rⁿ) trùng với tôpô cảm sinh bởi C^∞(Rⁿ). 030Z
Hệ quả Cho (φₘ)_m∈N là một dãy bị chặn trong S(Rⁿ). Với mọi hàm φ ∈ S(Rⁿ), các mệnh đề sau là tương đương: 0310
Nhận xét Một dãy (φₘ) trong C^∞(Rⁿ) hội tụ khi và chỉ khi, với mọi α ∈ Nⁿ, dãy (∂^αφₘ) hội tụ tới một hàm φ^(α) trong C(Rⁿ) được trang bị tôpô hội tụ compact. Khi đó ta có φ^(α)=∂^αφ và (φₘ… 0311
Mệnh đề 11 Không gian S(Rⁿ) là một không gian Fréchet và một không gian Montel. 0312
Mệnh đề 12 Không gian D(Rⁿ) được chứa trong S(Rⁿ), và phép nhúng của D(Rⁿ) vào S(Rⁿ) là liên tục và có ảnh trù mật. 0313
Bổ đề 8 Cho B là một tập con bị chặn của D(Rⁿ). Tôpô cảm sinh trên B bởi tôpô của S(Rⁿ) trùng với tôpô cảm sinh bởi D(Rⁿ). 0314
Mệnh đề 13 Cho p∈ [1,+∞ ]. Không gian S(Rⁿ) được chứa trong Lᵖ(Rⁿ) và đơn ánh chính tắc của S(Rⁿ) vào Lᵖ(Rⁿ) là liên tục. Ảnh của S(Rⁿ) trong Lᵖ(Rⁿ) là trù mật nếu pnot = +∞. 0315
Định nghĩa 3 Một hàm f:Rⁿ→ C có tăng trưởng đa thức nếu tồn tại một số nguyên kgeqslant 1 sao cho ánh xạ xác định bởi x↦ (1 +|x|)⁻ᵏf(x) bị chặn trên Rⁿ. 0316
Mệnh đề 14 Cho f∈ C^∞(Rⁿ). Giả sử rằng với mọi α trong Nⁿ, hàm ∂^αf có tăng trưởng đa thức. Ánh xạ tuyến tính của không gian S(Rⁿ) vào chính nó xác định bởi φ ↦ f φ là liên tục. 0317
Định nghĩa 4 Không gian đối ngẫu của S(R) được trang bị tôpô của sự hội tụ bị chặn được gọi là không gian các phân phối ôn hòa trên Rⁿ. Nó được ký hiệu bởi S'(Rⁿ). 0318
Bổ đề 9 Một ánh xạ tuyến tính f từ S(Rⁿ) vào C là một phân phối ôn hòa khi và chỉ khi với mọi họ (M_α ,k)_(α ,k)∈Nⁿ×N trong R₊, dạng tuyến tính f bị chặn trên tập hợp các hàm φ ∈ S(Rⁿ) sao… 0319
Bổ đề 10 Cho 𝔉 là một bộ lọc trên S'(Rⁿ) có một cơ sở đếm được hoặc chứa một tập hợp bị chặn đơn. Khi đó 𝔉 hội tụ tới một phân phối ôn hòa khi và chỉ khi ⟨ f, φ ⟩ hội tụ theo 𝔉 với mọi hàm… 031A
Định nghĩa 5 Một độ đo ν trên Rⁿ được gọi là tăng ôn nếu tồn tại một số nguyên r∈ N sao cho ánh xạ liên tục x↦ (1 +|x|)⁻ʳ là ν-khả tích trên Rⁿ. 031B
Mệnh đề 15 Cho ν là một độ đo tăng ôn trên Rⁿ. Hạn chế của ν lên S(Rⁿ) là một phân phối tăng ôn. Nó bằng không khi và chỉ khi độ đo ν bằng không. 031C
Mệnh đề 16 Cho p∈ [1,+∞ ] và f∈ Lᵖ(Rⁿ). Khi đó độ đo f· μ có mật độ f đối với độ đo Lebesgue là tăng ôn. Ánh xạ thu được f↦ f· μ từ Lᵖ(Rⁿ) vào S'(Rⁿ) là liên tục. 031D
Mệnh đề 17 Các không gian D(Rⁿ) và S(Rⁿ) trù mật trong S'(Rⁿ). 031E
Bổ đề 11 Cho φ ∈ S(Rⁿ). Hàm F(φ ) khả vi vô hạn lần trên Rⁿ và ta có 031F
Mệnh đề 18 Hạn chế của biến đổi Fourier trên S(Rⁿ) là một tự đẳng cấu của các không gian vectơ tôpô mà nghịch đảo là hạn chế của đối biến đổi Fourier. 031G
Định nghĩa 6 Chuyển vị của biến đổi Fourier trên S(Rⁿ) (tương ứng, của đối biến đổi Fourier) được gọi là biến đổi Fourier (tương ứng, đối biến đổi Fourier) trên S'(Rⁿ). 031H
Mệnh đề 19 Cho f là một phân phối ôn hòa liên kết với một độ đo bị chặn ν ∈ M¹(Rⁿ) (tương ứng, với g∈ L²(Rⁿ)). Biến đổi Fourier của f trong S'(Rⁿ) là phân phối ôn hòa liên kết với biến đổi Fo… 031I
Nhận xét Các công thức sơ cấp liên quan đến biến đổi Fourier của các độ đo vẫn còn đúng đối với biến đổi Fourier của các phân phối ôn hòa. Chẳng hạn, với f∈ S'(Rⁿ) và α ∈ Nⁿ, ta có 031J
Mệnh đề 20 Các không gian Sobolev W^k,p(U) và W^k,p₀ (U) là các không gian Banach kiểu đếm được. Đặc biệt, các không gian Hᵏ(U) và Hᵏ₀(U) là các không gian Hilbert kiểu đếm được. 031K
Mệnh đề 21 Gọi N là chuẩn Euclid trên Rⁿ. Gọi k là một số nguyên geqslant 0. Không gian Sobolev Hᵏ(Rⁿ) là không gian các f∈ S'(Rⁿ) sao cho (1 + Nᵏ)F(f) thuộc L²(Rⁿ). 031L

§ 4. Toán tử bộ phận

Định nghĩa 1 Cho E và F là các không gian vectơ trên K. Một toán tử bộ phận u từ E vào F là một sự tương ứng (Γ ,E,F) giữa E và F thỏa mãn các điều kiện sau: 032J
Định nghĩa 2 Cho E và F là các không gian vectơ tôpô trên K (EVT, I, p. 1, def. 1). Cho u∈ P(E; F) là một toán tử bộ phận từ E vào F. 032K
Ví dụ Cho E và F là các không gian vectơ tôpô trên K. 032L
Mệnh đề 1 Cho E và F là các không gian vectơ tôpô trên K. Một toán tử bộ phận u từ E vào F là có thể đóng được nếu và chỉ nếu bao đóng của đồ thị Γᵤ của u trong E× F là một đồ thị phiếm hàm… 032M
Định nghĩa 3 Cho E và F là các không gian vectơ tôpô trên K. Cho u là một toán tử có thể đóng được từ E vào F. Toán tử đóng có đồ thị là Γᵤ được gọi là bao đóng của u. Nó được ký hiệu là overli… 032N
Nhận xét Cho E và F là các không gian vectơ tôpô trên K. Cho u là một toán tử có thể đóng được từ E vào F. Miền xác định của bao đóng của u được chứa trong bao đóng của miền xác định của u… 032O
Mệnh đề 2 Cho K =R và cho E và F là các không gian vectơ tôpô trên R. Cho u là một toán tử bộ phận từ E vào F. Khi đó u có miền xác định trù mật (tương ứng là đóng, là có thể đóng được) nếu… 032P
Bổ đề 1 Cho E, F và G là các không gian vectơ tôpô trên K. Cho u là một toán tử đóng từ E vào F. 032Q
Mệnh đề 3 Cho E và F là các không gian vectơ tôpô trên K, với F tách biệt. Cho u là một toán tử bộ phận đóng từ E vào F. Hạt nhân của u là một không gian con đóng của E. 032R
Định nghĩa 4 Cho E và F là các không gian chuẩn trên K và cho u là một toán tử bộ phận từ E vào F. Với x trong dom(u), ta viết 032S
Nhận xét Cho E và F là các không gian chuẩn trên K và cho u là một toán tử bộ phận từ E vào F. 032T
Mệnh đề 4 Cho E và F là các không gian Banach (tương ứng, các không gian Hilbert), và cho u là một toán tử bộ phận từ E vào F. Khi đó u đóng khi và chỉ khi không gian định chuẩn Eᵤ là một kh… 032U
Bổ đề 2 Cho E, F và G là các không gian định chuẩn trên K, với F là một không gian Banach. Cho u là một toán tử bộ phận đóng từ E vào F và cho v∈ L(F; G). Nếu tồn tại C∈ R₊ sao cho 032V
Ví dụ 1 Cho X là một không gian tôpô compact địa phương và cho μ là một độ đo dương trên X. Cho p₁ và p₂ là các phần tử cố định của [1,+∞ [. 032W
Mệnh đề 5 Toán tử phép nhân widetildem_g từ L^p₁_K(X, μ) vào L^p₂_K(X, μ) là một toán tử đóng với miền xác định trù mật. 032X
Mệnh đề 6 a) Cho g' là một hàm μ-đo được trên X sao cho |g|leqslant |g'|. Ta có dom(widetildem_g')⊂ dom(widetildem_g) và dom(widetildem_g') là một lõi của toán tử bộ phận widetildem_g; 032Y
Ví dụ 2 Cho E là một không gian Hilbert trên K và B = (eᵢ)_i∈ I là một cơ sở trực chuẩn của E. Cho (λᵢ)_i∈ I là một họ các phần tử của K. Cho D là không gian con vectơ của E gồm các phần t… 032Z
Ví dụ 3 Tập hợp N_R=N∪ ∞ , ω được trang bị thứ tự toàn phần được mô tả trong VAR, R2, p. 10, sao cho n <∞ < ω với mọi n∈ N. Cho r∈ N_R. Cho n∈ N và cho U là một tập con mở của Rⁿ. Cho k∈ N… 0330
Định nghĩa 5 Cho E là một không gian con vectơ của D'(U) chứa D(U). Một toán tử vi phân liên kết với D trên E là bất kỳ toán tử bộ phận nào trên E là một mở rộng của toán tử bộ phận có miền xác… 0331
Định nghĩa 6 Toán tử bộ phận từ F vào E, có miền xác định là D^* và được xác định bởi y↦ u^*(y), được gọi là liên hợp của u. Nó được ký hiệu là u^*. 0332
Nhận xét Như vậy y∈ D^* khi và chỉ khi tồn tại c∈ R₊ sao cho |⟨ y|u(x)⟩ |leqslant c|x| với mọi x∈ D. Khi đó phần tử u^*(y) được đặc trưng bởi quan hệ 0333
Mệnh đề 7 Cho u là một toán tử bộ phận có miền xác định trù mật từ E vào F. 0334
Mệnh đề 8 Cho u là một toán tử có miền xác định trù mật từ E vào F. Khi đó u^* có miền xác định trù mật khi và chỉ khi u là khả đóng. Trong trường hợp này, bao đóng overlineu của u bằng u^**… 0335
Hệ quả Nếu u là một toán tử bộ phận đóng với miền xác định trù mật từ E vào F, thì u^* có miền xác định trù mật và ta có u^**=u. 0336
Định nghĩa 7 Cho u là một toán tử bộ phận trên E. Ta nói rằng u là đối xứng nếu u có miền xác định trù mật và nếu u^* là một mở rộng của u. Ta nói rằng u là tự liên hợp nếu u có miền xác định t… 0337
Nhận xét 1 Để một toán tử u với miền xác định trù mật trên E là đối xứng, điều kiện cần và đủ là có 0338
Nhận xét 2 Một toán tử bộ phận tự liên hợp là tự liên hợp cốt yếu (xem mệnh đề 8). 0339
Nhận xét 3 Cho u là một toán tử bộ phận đối xứng trên E. Toán tử u là khả đóng (mệnh đề 7, b)). Nó thỏa mãn dom(u)⊂ dom(u^*), và u là tự liên hợp khi và chỉ khi dom(u) = dom(u^*). Hơn nữa, ba… 033A
Nhận xét 4 Giả sử K =C. Cho u∈ P(E; E) là một toán tử bộ phận có miền xác định trù mật. Điều kiện ⟨ x|u(x)⟩ ∈ R với mọi x∈ dom(u) kéo theo rằng u là đối xứng (EVT, V, p. 2, nhận xét); đặc biệ… 033B
Nhận xét 5 Cho u và v là các toán tử bộ phận đối xứng trên E. Nếu u là tự liên hợp và nếu u⊂ v, thì v⊂ v^*⊂ u^*=u, do đó u=v. 033C
Nhận xét 6 Một toán tử bộ phận tự liên hợp cốt yếu u là đối xứng, vì u⊂ overlineu kéo theo overlineu=overlineu^*⊂ u^*, do đó u⊂ u^*. 033D
Nhận xét 7 Cho u và v là các toán tử bộ phận đối xứng trên E. Nếu u+v có miền xác định trù mật, chẳng hạn nếu u hoặc v thuộc L (E), thì u+v là đối xứng. Nói chung, toán tử bộ phận u+v không t… 033E
Nhận xét 8 Cho u là một toán tử bộ phận đối xứng trên E. Một số thực c là một cận dưới của u khi và chỉ khi toán tử u-c· 1_E là dương. 033F
Bổ đề 3 Giả sử rằng K =R. Cho u là một toán tử bộ phận có miền xác định trù mật từ E vào F. 033G
Mệnh đề 9 Cho v∈ L(F; E) là một ánh xạ tuyến tính liên tục đơn ánh từ F vào E mà ảnh là trù mật trong E. Liên hợp của v là một ánh xạ tuyến tính liên tục đơn ánh từ E vào F và ta có (v^*)⁻¹=… 033H
Mệnh đề 10 (Hellinger–Toeplitz) Cho u là một toán tử riêng phần đối xứng trên không gian Hilbert E. Nếu miền xác định của u bằng E, thì u∈ L(E) và u là Hermit. 033I
Hệ quả Cho u là một toán tử riêng phần đối xứng trên E. Nếu toán tử riêng phần u cảm sinh một ánh xạ tuyến tính song ánh từ dom(u) lên E, thì u là tự liên hợp. 033J
Mệnh đề 11 Cho u là một toán tử riêng phần đối xứng trên E, và λ ∈ C. Nếu u+λ 1_E và u+λ 1_E là toàn ánh, thì u là tự liên hợp. 033K
Mệnh đề 12 Cho u là một toán tử đóng có miền xác định trù mật từ E vào F. Toán tử bộ phận u^*∘ u trên E là tự liên hợp và dương. Miền xác định của nó là một lõi đối với u. 033L
Mệnh đề 13 Cho u là một toán tử bộ phận trên L²(U). Nếu D₋⊂ u⊂ D₊, thì u đóng được và (ᵗD)₋⊂ u^*⊂ (ᵗD)₊. 033M
Nhận xét Mệnh đề này có nghĩa là liên hợp của một toán tử bộ phận u sao cho D₋⊂ u⊂ D₊ luôn luôn có thể được tính theo nghĩa phân phối: các phần tử f của miền xác định của u^* là các phần tử… 033N
Bổ đề 4 Cho E là một không gian Banach phức và cho u là một toán tử bộ phận đóng đơn ánh trên E sao cho u⁻¹∈ L(E). Cho v∈ L(E) sao cho |v|<|u⁻¹|⁻¹. Khi đó toán tử bộ phận u+v là đơn ánh, t… 033O
Định nghĩa 8 Cho u là một toán tử đóng có miền xác định trù mật trên một không gian Banach phức E. Tập giải thức của u là tập hợp các số phức λ sao cho toán tử bộ phận λ 1_E-u là đơn ánh và ngh… 033P
Nhận xét Cho E là một không gian Banach phức và cho u là một toán tử đóng có miền xác định trù mật trên E. 033Q
Mệnh đề 14 Cho E là một không gian Banach phức. Cho u là một toán tử đóng có miền xác định trù mật trên E và U là tập giải thức của nó. 033R
Mệnh đề 15 Cho u là một toán tử đóng có miền xác định trù mật trên một không gian Banach phức E và λ là một số phức thuộc tập chính quy của u. 033S
Mệnh đề 16 Cho u là một toán tử đóng có miền xác định trù mật trên một không gian Hilbert phức E. Phổ của u^* là ảnh của phổ của u qua phép liên hợp phức và, với mọi phần tử λ thuộc tập chính… 033T
Hệ quả Cho u là một toán tử bộ phận tự liên hợp trên một không gian Hilbert phức E. Nếu E khác không, thì phổ của u không rỗng. 033U
Bổ đề 5 Cho E là một không gian Hilbert phức và u là một toán tử bộ phận đóng với miền xác định trù mật trên E. Cho λ ∈ C. Giả sử rằng tồn tại một số thực c >0 sao cho 033V
Mệnh đề 17 Cho E là một không gian Hilbert phức và u là một toán tử bộ phận tự liên hợp trên E. 033W
Hệ quả Cho u là một toán tử tự liên hợp trên E. 033X
Nhận xét Nếu u là một toán tử đối xứng đóng không tự liên hợp, thì phổ của nó không được chứa trong R(xem hệ quả 10 của IV, p. 257 dưới đây), và có thể các không gian riêng của u ứng với λ… 033Y
Định nghĩa 9 Cho E là một không gian Banach phức và u là một toán tử bộ phận đóng trên E. Cho ε là một số thực dương ngặt. Theo định nghĩa, ε-giả phổ của u là hợp của phổ của u và của tập hợp c… 033Z
Mệnh đề 18 Cho E là một không gian Banach phức và u là một toán tử bộ phận đóng trên E. Cho ε ∈ R^*₊. Tập PSp_ε(u) là một tập con mở của C. Nó khác rỗng nếu E khác không. 0340
Mệnh đề 19 Cho E là một không gian Banach phức và u là một toán tử bộ phận đóng trên E. Ta có PSp_ε(u)⊂ PSp_δ(u) nếu 0< ε < δ và 0341
Mệnh đề 20 Cho E là một không gian Banach phức và u là một toán tử bộ phận đóng trên E. Cho ε ∈ R^*₊. Với mọi λ ∈ C, các điều kiện sau là tương đương: 0342
Hệ quả Cho E là một không gian Banach phức và u là một toán tử bộ phận đóng trên E. Cho ε >0. 0343
Mệnh đề 21 Cho E là một không gian Banach phức và u là một toán tử bộ phận đóng trên E. Cho ε ∈ R^*₊. Mọi thành phần liên thông bị chặn của PSp_ε(u) đều cắt phổ của u. 0344
Mệnh đề 22 Cho g là một hàm μ-đo được trên X. 0345
Mệnh đề 23 Cho g là một hàm μ-đo được trên X. Toán tử liên hợp của toán tử nhân m_g là m_overlineg. 0346
Hệ quả Cho g là một hàm μ-đo được trên X. Toán tử phép nhân m_g trên L²(X, μ) là tự liên hợp (resp. dương ) khi và chỉ khi hàm g địa phương nhận giá trị thực μ-hầu khắp nơi (resp. địa phư… 0347
Bổ đề 6 Cho g₁ và g₂ là các hàm μ-đo được trên X. 0348
Mệnh đề 24 Cho g là một hàm μ-đo được trên X. 0349
Định nghĩa 10 Cho u là một toán tử đối xứng đóng trên một không gian Hilbert phức E. Đặt E₊= Ker(u^*-i) và E₋= Ker(u^*+i). Cặp (E₊,E₋) các không gian con của dom(u^*) được gọi là cặp khuyết của… 034A
Mệnh đề 25 Cho u là một toán tử đối xứng đóng trên một không gian Hilbert phức E. Ta có 034B
Bổ đề 7 Cho u là một toán tử đối xứng đóng trên một không gian Hilbert phức E và v là một mở rộng đối xứng đóng của u. Miền xác định của u là một không gian con đóng của không gian Hilbert… 034C
Mệnh đề 26 Cho u là một toán tử đối xứng đóng trên một không gian Hilbert phức E. Cho (E₊,E₋) là cặp thiếu hụt của u. Các không gian E₊,E₋ và dom(u) là các không gian con đóng đôi một trực gi… 034D
Hệ quả Cho u là một toán tử đối xứng đóng trên E. Khi đó u là tự liên hợp nếu và chỉ nếu chỉ số thiếu hụt của u bằng (0,0). 034E
Định nghĩa 11 Cho u là một toán tử đối xứng đóng trên một không gian Hilbert phức E. Một điều kiện biên đối với u là một ánh xạ tuyến tính đẳng cự bộ phận (TVS, V, p. 41, Định nghĩa 3) từ Ker(u^… 034F
Định lý 1 (von Neumann) Cho u là một toán tử đối xứng đóng trên một không gian Hilbert phức E và (E₊,E₋) là cặp khuyết của nó. 034G
Hệ quả 1 Cho u là một toán tử đối xứng đóng trên một không gian Hilbert phức E. Ánh xạ b↦ u_b gây ra một song ánh từ tập hợp các đẳng cự từ Ker(u^*-i) lên Ker(u^*+i) lên tập hợp các mở rộng… 034H
Hệ quả 2 Cho E là một không gian Hilbert thực. Cho u là một toán tử đối xứng đóng trên E. Toán tử bộ phận u_(C) trên E_(C) là đối xứng và đóng, và thừa nhận ít nhất một mở rộng tự liên hợp. 034I
Hệ quả 3 Cho u là một toán tử đối xứng trên E. Các điều kiện sau là tương đương: 034J
Ví dụ Cho U là một tập hợp mở của Rⁿ được trang bị độ đo Lebesgue μ. Cho Δ là toán tử vi phân vô hướng 034K

§ 5. Toán tử bộ phận chuẩn và định lý phổ

Định nghĩa 1 Tự đồng cấu p₂∘ j của E được gọi là bị chặn hóa của u; ta ký hiệu tự đồng cấu này là b(u). 0359
Mệnh đề 1 Ta có các công thức 035A
Hệ quả Ta có b(u)^*=b(u^*). 035B
Bổ đề 1 Tập con Ω(E) là tự liên hợp trong L(E). 035C
Mệnh đề 2 Ánh xạ u↦ b(u) xác định một song ánh từ tập hợp các toán tử bộ phận đóng có miền xác định trù mật trên E lên tập Ω(E). Song ánh ngược được cho bởi v↦ B(v). 035D
Hệ quả Tự đồng cấu b(u) là Hermit nếu và chỉ nếu u là tự liên hợp. 035E
Định nghĩa 2 Cho u là một toán tử bộ phận trên E. Ta nói rằng u là chuẩn tắc nếu u đóng với miền xác định trù mật và nếu bornification của nó b(u) là một tự đồng cấu chuẩn tắc của E. 035F
Bổ đề 2 Cho X là một không gian tôpô địa phương compact và cho μ là một độ đo dương trên X. 035G
Định lý 1 (“Định lý phổ”) Cho u là một toán tử bộ phận chuẩn tắc trên không gian Hilbert E. Tồn tại một không gian tôpô compact địa phương X, một độ đo dương μ trên X, một đẳng cấu đẳng cự θ của L²(X, μ) lê… 035H
Bổ đề 3 Cho u là một toán tử bộ phận chuẩn tắc trên E. Ta có 035I
Định nghĩa 3 Với mọi hàm f∈ K (Sp(u)), ta định nghĩa tự đồng cấu f(u) của E bởi f(u) =f_β(b(u)). 035J
Nhận xét Giả sử rằng u là một tự đồng cấu chuẩn của E, sao cho Sp(u) là một tập con compact của C. Vì biến đổi bị chặn b(u) trùng với β (u) (công thức (5)), và Sp(b(u)) =β(Sp(u)) (Hệ quả 2… 035K
Định nghĩa 4 Cho u là một toán tử từng phần chuẩn trên một không gian Hilbert phức E. Cho x và y thuộc E. Độ đo bị chặn trên Sp(u) được xác định bởi f↦ ⟨ x|f(u)y⟩ với f∈ K (Sp(u)) được gọi là đ… 035L
Nhận xét 1 Khi u là liên tục, định nghĩa này trùng với định nghĩa của Định nghĩa 2 của IV, p. 190. 035M
Nhận xét 2 Cho j là phép nhúng chính tắc của Sp(u) vào C. Vì Sp(u) là đóng, ánh xạ j là μ-thực sự đối với mọi độ đo bị chặn μ trên Sp(u) (INT, V, p. 68, § 6, nᵒ1, Mệnh đề 1). Người ta thường… 035N
Bổ đề 4 Cho X là một không gian tôpô compact địa phương, cho μ là một độ đo dương trên X, và cho g là một hàm μ-đo được trên X. Gọi m_g là toán tử của phép nhân bởi g trên L²(X, μ). 035O
Ví dụ Cho n∈ N. Ta trang bị cho Rⁿ độ đo Lebesgue, và ta đồng nhất Rⁿ và nhóm đối ngẫu của nó như trong hệ quả 3 của II, p. 236. Gọi N là chuẩn Euclid trên Rⁿ và F là biến đổi Fourier tr… 035P
Mệnh đề 3 Cho f là một hàm đo được phổ quát được xác định trên phổ của u. Tập hợp D_f là một không gian con vectơ trù mật của E. Ánh xạ y↦ ev_y(f) là một toán tử từng phần chuẩn trên E có mi… 035Q
Mệnh đề 4 Cho f là một hàm đo được phổ quát trên phổ của u. 035R
Định nghĩa 5 Ánh xạ f↦ f(u) của Lᵤ(Sp(u)) vào tập hợp các toán tử từng phần chuẩn tắc trên E được xác định bởi Mệnh đề 3 của IV, p. 271 được gọi là ánh xạ phép tính phiếm hàm đo được phổ quát l… 035S
Hệ quả 1 a) Với mọi f∈ Lᵤ(Sp(u)), toán tử bộ phận f(u) là chuẩn và f(u)^*=overlinef(u). Hơn nữa, f(u) là dương nếu fgeqslant 0, và tự liên hợp nếu f là hàm thực; 035T
Nhận xét Với f= Id_Sp(u), ta có f(u) =u (mệnh đề b) với k= 1). Do đó miền xác định của u trùng với tập hợp các x∈ E sao cho hàm đồng nhất của Sp(u) thuộc về L²(Sp(u), μₓ); đặc biệt nó chứa… 035U
Hệ quả 2 Cho u là một toán tử bộ phận chuẩn trên không gian Hilbert E. Giả sử rằng E là khác không. 035V
Hệ quả 3 Cho u là một toán tử chuẩn bộ phận trên một không gian Hilbert E. Cho f∈ Lᵤ(Sp(u)). Với mọi x và y trong E, độ đo phổ của (x, y) đối với f(u) là độ đo ảnh f(μ), trong đó μ là độ đo… 035W
Hệ quả 4 Cho g∈ Lᵤ(Sp(f(u))). Ta có g(f(u)) = (g∘ f)(u). 035X
Mệnh đề 5 Cho u là một toán tử bộ phận chuẩn trên một không gian Hilbert E. 035Y
Hệ quả Cho f và g thuộc Lᵤ(Sp(u)) và cho (x, y)∈ D_f× D_g. Độ đo phổ của (f(u)x, g(u)y) đối với u là độ đo f g· μ_x,y, trong đó μ_x,y là độ đo phổ của (x, y) đối với u. 035Z
Mệnh đề 6 Cho u là một toán tử từng phần chuẩn tắc trên một không gian Hilbert E. Cho (fₙ)_n∈N là một dãy trong Lᵤ(Sp(u)) hội tụ đơn giản đến f∈ Lᵤ(Sp(u)) và sao cho tồn tại g∈ Lᵤ(Sp(u)) thỏ… 0360
Mệnh đề 7 Cho X là một không gian tôpô compact địa phương và ν là một độ đo trên X. Cho g:C× X→ C là một hàm liên tục có giá compact. Với z∈ C, đặt 0361
Mệnh đề 8 Cho (Aᵢ)_i∈ I là một họ đếm được từng đôi một rời nhau gồm các tập con đo được phổ quát của Sp(u), và cho pᵢ là phép chiếu phổ của u xác định bởi Aᵢ. Hợp A của các tập Aᵢ là một tậ… 0362
Mệnh đề 9 Cho A là một tập con đóng của Sp(u). Cho φ_A là hàm đặc số của A và p_A=φ_A(u) là phép chiếu phổ của u xác định bởi A. Ta ký hiệu E_A là ảnh của p_A. Nó là một không gian con đóng… 0363
Hệ quả Cho λ ∈ Sp(u). Ảnh của p_λ là không gian con thực sự của u tương đối với λ. 0364
Mệnh đề 10 Cho λ ∈ C. Ta có λ ∈ Sp(u) khi và chỉ khi, với mọi lân cận mở V của λ trong C, phép chiếu phổ p_V của u đối với V là khác không. 0365
Hệ quả Cho A là một tập mở trong C và n∈ N. Nếu A chứa n phần tử của Sp(u), thì chiều của ảnh của phép chiếu phổ p_A của u tương đối với A ít nhất bằng n. 0366
Bổ đề 5 Cho f∈ D(R). Tồn tại một hàm widetildef trong D(C) trùng với f trên R và thỏa mãn 0367
Bổ đề 6 Cho ε >0. Hàm σ_ε được định nghĩa trên R bởi 0368
Bổ đề 7 Cho f∈ D(R) và cho widetildef∈ D(C) là một mở rộng gần giải tích của f. Với ε >0, định nghĩa f_ε trên R bởi 0369
Định lý 2 (Helffer–Sjöstrand) Cho u là một toán tử từng phần tự liên hợp trên E. Cho f∈ D(R) và widetildef∈ D(C) là một mở rộng gần giải tích của f. Cho h là ánh xạ từ C vào L(E) được xác định bởi 036A
Định nghĩa 6 Cho T là một tôpô lồi địa phương trên L(E). Tôpô giải thức T trên A(E) là tôpô mịn nhất sao cho các ánh xạ u↦ R(u, λ ) từ A(E) vào L(E) được trang bị tôpô T là liên tục với mọi λ ∈… 036B
Mệnh đề 11 Cho T là một tôpô lồi địa phương trên L(E) kém mịn hơn tôpô không gian Banach của L(E). 036C
Ví dụ 1 Cho 𝔖 là một tập hợp các phần bị chặn của E. Tôpô 𝔖 trên L(E) (EVT, III, p. 13) là một tôpô lồi địa phương ít tinh hơn tôpô không gian Banach của L(E). 036D
Ví dụ 2 Cho T_b là tôpô không gian Banach của L(E). Đối với tôpô giải thức T_b, mọi u∈ A(E) đều có một hệ cơ bản đếm được các lân cận. 036E
Hệ quả Gọi Tₛ là tôpô hội tụ đơn giản trên L(E). Cho f∈ C_b(R). Với mọi dãy (uₙ)_n∈N trong A(E) hội tụ về u đối với tôpô giải thức Tₛ, dãy (f(uₙ))_n∈N hội tụ về f(u) trong L(E) được trang… 036F
Bổ đề 8 Cho E là một không gian vectơ tôpô tách. Cho (E₁,|· |₁) và (E₂,|· |₂) là các không gian con trù mật của E được trang bị các cấu trúc không gian Hilbert sao cho các phép nhúng chính… 036G
Mệnh đề 12 Cho u là một toán tử đóng có miền xác định trù mật từ E vào một không gian Hilbert phức F. 036H
Định nghĩa 7 Cho u là một toán tử đóng có miền xác định trù mật từ E vào một không gian Hilbert phức F. Cặp (j,|u|) được xác định bởi Mệnh đề 12 được gọi là phân tích cực của u. 036I
Định nghĩa 8 Cho D là một không gian con vectơ của E. Một dạng Hermit bộ phận trên E có miền xác định D là một sự tương ứng q= (Γ ,E× E,C) có miền xác định là D× D, có đồ thị Γ là phiếm hàm, và… 036J
Định nghĩa 9 Cho q là một dạng Hermit bộ phận dương trên E. Ta ký hiệu bởi E_q không gian tiền Hilbert phân ly dom(q) được trang bị tích vô hướng 036K
Mệnh đề 13 Cho u là một toán tử từng phần tự liên hợp dương trên E. Cho qᵤ là dạng từng phần dương liên kết. 036L
Nhận xét Cho q là một dạng bộ phận dương đóng và q' là một dạng Hermit dương liên tục trên E. Dạng Hermit dương được xác định trên dom(q) bởi (x, y)↦ q(x, y) +q'(x, y) là một dạng Hermit dư… 036M
Mệnh đề 14 Cho q là một dạng bộ phận dương đóng có miền trù mật trên E và u là toán tử bộ phận biểu diễn q. 036N
Định lý 3 Ánh xạ liên kết với một toán tử tự liên hợp dương u trên E dạng riêng phần dương qᵤ là một song ánh giữa tập hợp các toán tử riêng phần tự liên hợp dương trên E và tập hợp các dạng… 036O
Hệ quả Cho q là một dạng riêng phần dương đóng trên E và u là toán tử tự liên hợp dương biểu diễn q. Miền xác định của q bằng miền xác định của (1_E+u)^1/2, và ta có 036P
Ví dụ Cho u là một toán tử từng phần dương trên E, không nhất thiết đóng. Ta định nghĩa một dạng từng phần dương q có miền dom(u) bởi 036Q
Nhận xét Cho c∈ R₊. Cho q là một dạng Hermit bộ phận đóng với miền xác định trù mật sao cho q(x, x)geqslant -c|x|² với mọi x thuộc miền của q. Điều này có nghĩa là dạng Hermit bộ phận đóng… 036R
Mệnh đề 15 Cho u là một toán tử bộ phận tự liên hợp trên E. Giả sử rằng u bị chặn dưới bởi c∈ R (Định nghĩa 7 của IV, p. 237). Khi đó 036S
Định nghĩa 10 Cho u là một toán tử bộ phận chuẩn tắc trên E. Một số phức λ ∈ Sp(u) thuộc phổ rời rạc của u nếu λ là cô lập trong Sp(u) và nếu λ là một trị riêng có bội số hữu hạn. 036T
Bổ đề 9 Cho E là một không gian Hilbert phức và u là một toán tử bộ phận chuẩn tắc trên E. Cho λ ∈ Sp(u). Khi đó λ ∈ Spₛ(u) khi và chỉ khi tồn tại một lân cận mở V của λ trong C sao cho ph… 036U
Bổ đề 10 Ta có 036V
Bổ đề 11 Giả sử rằng E_b là hữu hạn chiều. Khi đó, với mọi số thực ε > 0, ảnh của phép chiếu phổ của u được xác định bởi [varrhoₑ, varrhoₑ+ε ] là vô hạn chiều. 036W
Mệnh đề 16 Tập Sp_b(u)⊂ [c, varrhoₑ[ là đếm được, rời rạc và đóng trong [0, varrhoₑ[. Nó là tập các giá trị của một dãy tăng ngặt (νₖ)_0leqslant k<Card(Sp_b(u)) các số thực dương; nếu Sp_b(u)… 036X
Bổ đề 12 Cho F∈ Fₙᵘ là một không gian con thích nghi với u. Mọi vectơ riêng của u thuộc không gian F^∘∩ E_b đều có một trị riêng geqslant λₙ(u). 036Y
Mệnh đề 17 a) Với mọi số nguyên n∈ N, ta có 036Z
Bổ đề 13 Cho I là một họ trực chuẩn trong E. Họ I hội tụ yếu về 0 đối với bộ lọc các phần bù của các tập con hữu hạn của I. 0370
Mệnh đề 18 Cho u là một toán tử từng phần tự liên hợp trên E và λ là một số thực. Khi đó λ ∈ Spₑ(u) khi và chỉ khi tồn tại một dãy trực chuẩn (xₙ)_n∈N trong E sao cho u(xₙ)-λ xₙ tiến tới 0 tr… 0371
Định lý 4 Cho u là một toán tử bộ phận tự liên hợp trên E. Phổ cốt yếu của u là giao của các tập Sp(u+v), trong đó v chạy qua tập các tự đồng cấu Hermit compact của E. 0372
Hệ quả Cho u là một toán tử từng phần tự liên hợp trên E và v là một tự đồng cấu Hermit compact của E. Khi đó Spₑ(u+v) = Spₑ(u). 0373
Định nghĩa 11 Cho u là một toán tử từng phần trên E. Một toán tử từng phần v trên E được gọi là bị chặn tương đối với u nếu dom(u)⊂ dom(v) và nếu v xác định, bằng cách chuyển qua không gian con… 0374
Nhận xét Cho u là một toán tử từng phần trên E. Mọi tự đồng cấu v∈ L(E) đều bị chặn tương đối đối với u và chuẩn tương đối của nó bằng không, vì |v(x)|leqslant |v| |x| với mọi x∈ dom(u), đi… 0375
Định lý 5 (Kato-Rellich) Cho u là một toán tử từng phần tự liên hợp trên E và v là một toán tử từng phần đối xứng bị chặn tương đối đối với u. Nếu chuẩn tương đối |v|ᵤ là <1, thì toán tử từng phần u+v với… 0376
Mệnh đề 19 Cho u là một toán tử từng phần tự liên hợp trên E. Các điều kiện sau là tương đương : 0377
Định nghĩa 12 Cho u là một toán tử bộ phận tự liên hợp trên E. Ta nói rằng u có resolvent compact nếu các điều kiện tương đương của mệnh đề 19 được thỏa mãn. 0378
Mệnh đề 20 Cho u là một toán tử bộ phận tự liên hợp trên E. Khi đó u có resolvent compact khi và chỉ khi đơn ánh chính tắc j của không gian Hilbert Eᵤ vào E là compact. 0379
Hệ quả Cho q là một dạng riêng phần dương đóng trên E và u là toán tử tự liên hợp dương biểu diễn q. Các điều kiện sau là tương đương: 037A
Ví dụ Cho n∈ N. Cho U là một tập hợp mở trong Rⁿ. Trang bị cho U độ đo Lebesgue, ký hiệu bởi μ. Gọi Δ là toán tử vi phân vô hướng -∑ⁿᵢ₌₁∂ᵢ² trên U. Toán tử riêng phần Δ₋ với miền xác địn… 037B

V. Biểu diễn unita

§ 1. Biểu diễn unita

Nhận xét Nếu K =R và nếu varrho là một biểu diễn tuyến tính liên tục của G trong một không gian vectơ trên R E, thì ánh xạ varrho_(C):g↦ 1⊗ varrho (g) là một biểu diễn tuyến tính liên tục c… 038J
Định nghĩa 1 Cho varrho là một biểu diễn tuyến tính liên tục của một nhóm tôpô G trong một không gian vectơ tôpô E. Một biểu diễn tuyến tính liên tục π của G trong F là một biểu diễn con của va… 038K
Bổ đề 1 Cho G và H là các nhóm tôpô và E là một không gian Banach. Cho varrho là một biểu diễn bị chặn của G trong E và π là một biểu diễn bị chặn của H trong E. Giả sử rằng varrho (g) gia… 038L
Định nghĩa 2 Một biểu diễn varrho của G trong một không gian vectơ tôpô K E được gọi là bất khả quy nếu 0 không trù mật trong E và nếu các biểu diễn con duy nhất của varrho là varrho và biểu di… 038M
Bổ đề 2 Cho π và varrho là các biểu diễn tuyến tính liên tục của G trong các không gian vectơ tôpô K tách được. Giả sử rằng π là bất khả quy. Mọi G-cấu xạ khác không từ π vào varrho đều là… 038N
Bổ đề 3 Cho varrho là một biểu diễn tuyến tính liên tục của G trong một không gian vectơ tôpô K tách được E có số chiều hữu hạn. Nếu E khác không, thì tồn tại một biểu diễn con bất khả quy… 038O
Nhận xét Một biểu diễn khác không E của G không phải lúc nào cũng chứa một biểu diễn con bất khả quy (cf. V, p. 426, nhận xét). Tuy nhiên, ta sẽ thấy rằng điều này đúng nếu G compact và nếu… 038P
Định nghĩa 3 Cho G là một nhóm tôpô và E là một không gian Hilbert trên K. Một biểu diễn unita của G trong E là một biểu diễn tuyến tính liên tục varrho của G trong E sao cho, với mọi g trong G… 038Q
Định nghĩa 4 Cho G là một nhóm tôpô, và cho varrho và π là các biểu diễn unita của G trong các không gian Hilbert E và F tương ứng. Một dạng sesquiline bất biến theo G trên E× F là một dạng ses… 038R
Ví dụ Cho G là một nhóm tôpô, và cho varrho là một biểu diễn unita của G trong E. Tích vô hướng q trên E là một dạng sesquiline bất biến theo G trên E× E. 038S
Bổ đề 4 Cho G là một nhóm tôpô, và cho varrho là một đồng cấu của G vào nhóm unita U(E) của một không gian Hilbert E. Khi đó varrho là một biểu diễn unita của G khi và chỉ khi varrho liên… 038T
Bổ đề 5 Cho G là một nhóm tôpô, và cho varrho là một biểu diễn unita của G trong một không gian Hilbert phức E. Không gian Hom_G(varrho , varrho ) là một đại số con có đơn vị, có đối hợp c… 038U
Bổ đề 6 Cho π và varrho là các biểu diễn unita của một nhóm tôpô G trong các không gian Hilbert E và F tương ứng. Cho D là một không gian con trù mật của E ổn định theo π. Cho u là một toá… 038V
Mệnh đề 1 Cho varrho₁ và varrho₂ là các biểu diễn unita của một nhóm tôpô G trong các không gian Hilbert E₁ và E₂. Ánh xạ từ Hom_G(varrho₁, varrho₂) vào Sesq_G(varrho₂, varrho₁), gán cho u d… 038W
Mệnh đề 2 Cho varrho là một biểu diễn unita của một nhóm tôpô G trong một không gian Hilbert E. Gọi u là đẳng cấu đẳng cự của overlineE lên E' liên kết với x dạng tuyến tính y↦ ⟨ x|y⟩. 038X
Hệ quả Cho varrho là một biểu diễn unita của một nhóm tôpô G trong một không gian Hilbert E. Các điều kiện sau là tương đương: 038Y
Mệnh đề 3 Cho varrho là một biểu diễn unita của một nhóm tôpô G trong một không gian Hilbert E. Gọi π là một biểu diễn con của E và F là không gian của π. Phần bù trực giao F^∘ của F trong E… 038Z
Mệnh đề 4 Cho varrho là một biểu diễn unita của một nhóm tôpô G trong một không gian Hilbert E. Một không gian con đóng F của E là một biểu diễn con của varrho khi và chỉ khi phép chiếu trực… 0390
Bổ đề 7 Ánh xạ g↦ varrho (g) là một biểu diễn unita của G trong E. 0391
Bổ đề 8 a) Ánh xạ varrho : (g, h)↦ varrho (g, h) là một biểu diễn unita của G× H trong E ; 0392
Định nghĩa 5 Cho G là một nhóm tôpô và cho varrho là một biểu diễn unita của G trong một không gian Hilbert E. Cho x và y là các phần tử của E. Hàm từ G vào K cho bởi g↦ ⟨ x|varrho (g)y⟩ được g… 0393
Mệnh đề 5 Cho G là một nhóm tôpô. Các tập hợp Θ(G) và Υ(G) là các đại số con có đơn vị đối hợp của C_b(G). 0394
Mệnh đề 6 (Bổ đề Schur) Cho varrho là một biểu diễn unita của một nhóm tôpô G trong một không gian Hilbert khác không E. Khi đó varrho là bất khả quy khi và chỉ khi Hom_G(varrho , varrho ) là bằng C· 1_E. 0395
Hệ quả 1 Cho π là một biểu diễn unita bất khả quy của một nhóm tôpô G trong một không gian Hilbert E. Cho u là một toán tử bộ phận đóng trên E. Giả sử rằng u có miền xác định trù mật, rằng… 0396
Hệ quả 2 Cho varrho và π là các biểu diễn unita bất khả quy của một nhóm tôpô G trong các không gian Hilbert E và F tương ứng. Không gian Hom_G(varrho , π ) có chiều 1 nếu varrho đẳng cấu v… 0397
Hệ quả 3 Cho varrho là một biểu diễn unita của một nhóm tôpô G trong một không gian Hilbert E. Biểu diễn varrho là bất khả quy khi và chỉ khi không gian Sesq_G(varrho , varrho ) có chiều 1… 0398
Hệ quả 4 Cho varrho₁ và varrho₂ là các biểu diễn unita bất khả quy không đẳng cấu của một nhóm tôpô G trong các không gian Hilbert E₁ và E₂. Không gian Sesq_G(varrho₁, varrho₂) là không. 0399
Hệ quả 5 Cho varrho là một biểu diễn unita của một nhóm tôpô G trong một không gian Hilbert E. Cho π là một biểu diễn unita bất khả quy của G trong một không gian Hilbert F. 039A
Hệ quả 6 Cho G₁ và G₂ là các nhóm tôpô. Cho varrho₁ là một biểu diễn unita bất khả quy của G₁ trong một không gian Hilbert E₁ và varrho₂ là một biểu diễn unita bất khả quy của G₂ trong một… 039B
Hệ quả 7 Cho π là một biểu diễn unita bất khả quy của một nhóm tôpô G trong một không gian Hilbert E. Tồn tại một đồng cấu liên tục χ của tâm C của G vào U sao cho π (z) =χ (z)· 1_E với mọi… 039C
Định nghĩa 6 Cho π là một biểu diễn unita bất khả quy của một nhóm tôpô G trong một không gian Hilbert E. Đồng cấu χ của tâm C của G vào U sao cho π (z) =χ (z)· 1_E với mọi z trong C được gọi l… 039D
Nhận xét Cho π (tương ứng. varrho ) là một biểu diễn unita bất khả quy của một nhóm tôpô G (tương ứng. H) trong một không gian Hilbert E (tương ứng. F). Gọi χ (tương ứng. η ) là đặc trưng t… 039E
Định nghĩa 7 Cho varrho là một biểu diễn unita của một nhóm tôpô G trong một không gian Hilbert E. Ta nói rằng varrho là nửa đơn nếu tồn tại một họ (Fᵢ)_i∈ I các biểu diễn con bất khả quy của v… 039F
Mệnh đề 7 Cho G là một nhóm tôpô và cho varrho là một biểu diễn unita của G trong một không gian Hilbert phức E. Biểu diễn varrho là nửa đơn khi và chỉ khi mọi biểu diễn con khác không của v… 039G
Hệ quả 1 Cho G là một nhóm tôpô và cho varrho là một biểu diễn unita nửa đơn của G trong một không gian Hilbert phức E. Mọi biểu diễn con của varrho (resp. mọi biểu diễn thương của varrho )… 039H
Hệ quả 2 Mọi biểu diễn unita hữu hạn chiều varrho của một nhóm tôpô G đều nửa đơn. 039I
Hệ quả 3 Cho varrho₁ và varrho₂ là các biểu diễn unita hữu hạn chiều của một nhóm tôpô G. Các biểu diễn varrho₁ và varrho₂ đẳng cấu khi và chỉ khi χ_varrho₁=χ_varrho₂. 039J
Bổ đề 9 Cho E là một không gian Hilbert trên K. Cho F⊂ E là một không gian vectơ con trù mật trong E. Khi đó chiều Hilbert của E nhỏ hơn hoặc bằng chiều của F. 039K
Định nghĩa 8 Ta ký hiệu bởi widehatG tập hợp các lớp của các biểu diễn unita bất khả quy của G trong một không gian Hilbert phức. Người ta nói rằng widehatG là đối ngẫu unita của G. 039L
Nhận xét 1 Giả sử rằng G là một nhóm giao hoán. Theo hệ quả 7 của V, p. 390, mọi biểu diễn unita bất khả quy của G trong một không gian Hilbert phức đều có chiều 1. Nếu G là compact địa phươn… 039M
Nhận xét 2 Nếu G là hữu hạn, tập hợp widehatG song ánh với tập hợp các lớp của các C[G]-môđun đơn (A, VIII, p. 47), tập hợp này cũng được ký hiệu bởi widehatG trong A, VIII, p. 396. 039N
Nhận xét 3 Với π ∈ widehatG, ta sẽ đồng nhất overlineπ với lớp trong widehatG của biểu diễn liên hợp của π. 039O
Nhận xét 4 Nếu π là một biểu diễn unita bất khả quy của G trong một không gian Hilbert phức hữu hạn chiều, đặc trưng χ_π của nó chỉ phụ thuộc vào lớp của π. Do đó người ta có thể nói về tập h… 039P
Định nghĩa 9 Cho G là một nhóm tôpô và cho π là một biểu diễn liên tục của G. Cho varrho là một biểu diễn liên tục của G trong một không gian lồi địa phương tách E. Thành phần π-đẳng kiểu của v… 039Q
Mệnh đề 8 Cho G là một nhóm tôpô. Cho varrho là một biểu diễn unita của G trong một không gian Hilbert phức E. 039R
Mệnh đề 9 Cho G là một nhóm tôpô và cho varrho là một biểu diễn unita của G trong một không gian Hilbert phức E. Cho π là một biểu diễn unita bất khả quy của G trong một không gian Hilbert p… 039S
Mệnh đề 10 Cho G là một nhóm tôpô. Cho π là một biểu diễn unita bất khả quy của G trong một không gian Hilbert phức E_π và cho varrho là một biểu diễn unita của G trong một không gian Hilbert… 039T
Hệ quả Cho G là một nhóm tôpô và varrho là một biểu diễn unita của G trong một không gian Hilbert phức E. Tổng Hilbert của các thành phần đẳng kiểu π của G đối với π ∈ widehatG là biểu di… 039U
Định nghĩa 10 Cho G là một nhóm tôpô. Cho varrho là một biểu diễn unita của G trong một không gian Hilbert phức E và π là một biểu diễn unita bất khả quy của G trong một không gian Hilbert phức. 039V
Nhận xét Có thể xảy ra rằng một biểu diễn unita varrho khác không, nhưng tất cả các thành phần đẳng kiểu của varrho đối với tất cả các biểu diễn bất khả quy của G đều bằng không (xem V, p… 039W

§ 2. Biểu diễn của các nhóm compact địa phương

Mệnh đề 1 Cho H là một nhóm compact địa phương. Cho varrho₁ (tương ứng varrho₂) là một biểu diễn liên tục của G (tương ứng của H) trong một không gian vectơ lồi địa phương K tách được E₁ (tư… 03A4
Hệ quả Cho varrho là một biểu diễn liên tục của G trong một không gian vectơ lồi địa phương K tách được E. Biểu diễn đối ngẫu contragredient brevevarrho là liên tục khi E' được trang bị t… 03A5
Nhận xét Biểu diễn đối ngẫu contragredient không nhất thiết liên tục khi E' được trang bị tôpô mạnh (cf. INT, VIII, p. 191, § 2, bài tập 3, d)). Ta có thể chứng minh rằng nó là như vậy nếu… 03A6
Bổ đề 1 Cho varrho là một biểu diễn unita của G trong một không gian Hilbert E. Ánh xạ ν ↦ varrho (ν ) từ M¹(G) vào L(E) là một cấu xạ có đơn vị của các đại số Banach đối hợp. 03A7
Định nghĩa 1 Một độ đo bị chặn ν ∈ M¹(G) được gọi là trung tâm nếu ta có ε_g*ν =ν *ε_g với mọi g∈ G. 03A8
Mệnh đề 2 Cho varrho là một biểu diễn unita của G trong một không gian Hilbert phức E. Cho 𝔉 là một cơ sở của bộ lọc trên M_c(G) hội tụ đến độ đo εₑ đối với tôpô hội tụ compact. Giả sử rằng… 03A9
Bổ đề 2 Cho varrho₁ là một biểu diễn unita khác không của G đẳng cấu với một biểu diễn con của varrho. Tồn tại một độ đo ν ∈ M sao cho varrho₁(checkν*ν ) là một tự đồng cấu compact Hermit… 03AA
Ví dụ Giả sử rằng G là đơn môđula, chẳng hạn rằng G là một nhóm Lie nửa đơn thực. Cho Γ ⊂ G là một nhóm con rời rạc sao cho thương X = Γ backslash G là compact. Nhóm G tác động bên phải… 03AB
Bổ đề 3 Cho p là một số thực geqslant 1. Biểu diễn chính quy trái (tương ứng phải) của G trong Lᵖ(G, μ) (tương ứng trong Lᵖ(G, μ')) là trung thành. 03AC
Nhận xét Biểu diễn chính quy hai bên của G trong Lᵖ(G, μ) không nhất thiết trung thành; hạt nhân của nó là ảnh của tâm của G qua ánh xạ g↦ (g, g) (bài tập 4 của V, p. 487). 03AD
Bổ đề 4 Cho p là một số thực geqslant 1. Với f∈ L¹(G), ánh xạ tuyến tính γ ⁽ᵖ⁾_G(f) trùng với tự đồng cấu của Lᵖ(G) được xác định bởi φ ↦ f*^μφ. 03AE
Nhận xét Nhắc lại rằng, với mọi hàm f trên G, người ta định nghĩa hàm checkf trên G bởi checkf(g) =f(g⁻¹) với mọi g∈ G (INT, VII, p. 12, § 1, No.ᵒ1, công thức (12)). 03AF
Mệnh đề 3 a) Cho (fₙ)_n∈N là một dãy trong F_πᵖ(G) sao cho chuỗi 03AG
Hệ quả Cho (fₙ)_n∈N là một dãy Cauchy trong L_πᵖ(G) và cho f∈ F_π(G) sao cho fₙ(g) hội tụ tới f(g) hầu khắp nơi modulo H. Khi đó f∈ L_πᵖ(G) và (fₙ)_n∈N hội tụ tới f trong L_πᵖ(G). 03AH
Mệnh đề 4 Cho f∈ L_E¹(G). 03AI
Bổ đề 5 Cho f∈ F_π(G) là một hàm μ-đo được bằng không bên ngoài C· H sao cho hàm |f| là ν-tích phân được trên G/H. Cho s là hàm nhận giá trị trong E trên G sao cho 03AJ
Mệnh đề 5 Cho p∈ [1,+∞ [. Không gian L_πᵖ(G) là không gian của các hàm f∈ F_π(G) sao cho f là μ-đo được và hàm |f| thuộc Lᵖ(G/H). 03AK
Bổ đề 6 Cho f∈ K_overlineπ(G). Với mọi g∈ G, hàm 03AL
Định nghĩa 2 Người ta nói rằng biểu diễn unita của G trong không gian L²_overlineπ(G) được định nghĩa như vậy là biểu diễn unita của G cảm sinh bởi biểu diễn π của H đối với κ. Nó được ký hiệu… 03AM
Nhận xét 1 Cho varrho là một biểu diễn unita của H trong một không gian Hilbert phức F và cho u:π → varrho là một cấu xạ H. Với mọi hàm f∈ K_overlineπ(G), gọi v(f) là hàm g↦ u(f(g)) từ G vào… 03AN
Nhận xét 2 Cho κ ': G→ R₊^* sao cho 03AO
Bổ đề 7 Ta có 03AP
Bổ đề 8 Cho f₁∈ K_χ(G) và f₂∈ L_χ²(G). 03AQ
Định nghĩa 3 Cho π là một biểu diễn unita bất khả quy của G trong một không gian Hilbert E. Ta nói rằng π là khả tích bình phương modulo tâm nếu hàm trên G/C suy ra từ hàm |f_x,y| bằng cách chu… 03AR
Mệnh đề 6 Cho π là một biểu diễn unita bất khả quy của G trong một không gian Hilbert E. Cho χ là đặc trưng trung tâm của π. Khi đó π là khả tích bình phương modulo tâm khi và chỉ khi tồn tạ… 03AS
Bổ đề 9 Cho π là một biểu diễn đơn vị bất khả quy của G trong một không gian Hilbert E là khả tích bình phương modulo tâm. Cho χ là hạn chế vào Z của đặc trưng trung tâm của π. Với mọi x v… 03AT
Mệnh đề 7 Cho π là một biểu diễn đơn vị bất khả quy của G trong một không gian Hilbert E là khả tích bình phương modulo tâm. Cho χ là hạn chế vào Z của đặc trưng trung tâm của π. 03AU
Bổ đề 10 Tồn tại một số thực c >0 sao cho ánh xạ tuyến tính w=c^1/2v là đẳng cự. 03AV
Hệ quả Cho π là một biểu diễn unita bất khả quy của G và cho χ là hạn chế vào Z của đặc trưng trung tâm của nó. Biểu diễn π là khả tích bình phương modulo tâm khi và chỉ khi nó đẳng cấu v… 03AW
Định nghĩa 4 Cho Z là một nhóm con đóng của C sao cho C/Z là compact. Cho π là một biểu diễn unita bất khả quy của G là khả tích bình phương modulo tâm. Số thực duy nhất c >0 thỏa mãn tính chất… 03AX
Mệnh đề 8 (Các quan hệ trực giao) Cho π là một biểu diễn unita bất khả quy của G trong một không gian Hilbert E là khả tích bình phương modulo tâm. Ta có 03AY
Mệnh đề 9 Cho π₁ và π₂ là các biểu diễn unita bất khả quy không đẳng cấu của G trong các không gian Hilbert E₁ và E₂. Giả sử rằng π₁ và π₂ là khả tích bình phương modulo tâm và rằng các hạn… 03AZ
Nhận xét Các quan hệ trực giao của các Mệnh đề 8 và 9 tổng quát hóa các quan hệ của A, VIII, p. 399 (xem thêm trường hợp G compact trong § 2 của V, p. 457). 03B0
Mệnh đề 10 a) Cho M là một tập con đo được của widehatG. Không gian E_M là một biểu diễn con của biểu diễn γ _G; 03B1
Nhận xét Cho χ là một đặc trưng của G. Nếu G không compact, thành phần χ-đẳng kiểu của biểu diễn chính quy của G trong L²(G) là tầm thường. Nếu G compact, thành phần χ-đẳng kiểu của biểu di… 03B2
Bổ đề 11 Cho u là một toán tử từng phần tự liên hợp trên E. Với t∈ R, đặt varrho (t) =eⁱᵗᵘ∈ L(E). Khi đó ánh xạ varrho là một biểu diễn unita của R. 03B3
Bổ đề 12 Cho varrho là một biểu diễn unita của R trong E. Gọi D là tập hợp các phần tử x của E sao cho ánh xạ ψₓ:t↦ varrho (t)x khả vi tại 0. Ánh xạ u từ D vào E cho bởi x↦ i⁻¹ψ 'ₓ(0) xác đ… 03B4
Định nghĩa 5 Cho varrho là một biểu diễn unita của R trong E. Toán tử bộ phận đối xứng được xác định trong Bổ đề 12 được gọi là phần tử sinh vi phân của varrho. 03B5
Định lý 1 (Stone) Ánh xạ σ gán cho một biểu diễn unita varrho của R trong E phần tử sinh vô cùng bé u của nó xác định một song ánh từ tập hợp các biểu diễn unita của R trong E lên tập hợp các toán t… 03B6
Bổ đề 13 Cho varrho là một biểu diễn unita của R trong E và cho u là phần tử sinh vô cùng bé của nó. 03B7
Bổ đề 14 Cho u là một toán tử từng phần tự liên hợp trên E và cho varrho (t) =eⁱᵗᵘ là biểu diễn unita của R được xác định bởi u. Phần tử sinh vô cùng bé của varrho bằng u. 03B8
Bổ đề 15 Cho varrho là một biểu diễn unita của R trong E. Khi đó phần tử sinh vô cùng bé u của varrho là tự liên hợp và varrho (t) =eⁱᵗᵘ với mọi t∈ R. 03B9
Hệ quả Cho varrho là một biểu diễn unita của R trong một không gian Hilbert E. Tồn tại một không gian địa phương compact X, một độ đo dương μ trên X và một hàm liên tục g trên X với các g… 03BA
Nhận xét Giả sử rằng u là một tự đồng cấu của E. Biểu diễn unita của R trong E được xác định bởi varrho (t) =eⁱᵗᵘ khi đó thỏa mãn bất đẳng thức |varrho (t)-1_E|leqslant |t| |u| với mọi t∈ R… 03BB
Ví dụ Cho varrho là biểu diễn chính quy của R trong L²(R). Phần tử sinh vô cùng bé của varrho là bao đóng của toán tử vi phân với miền D(R) được xác định bởi f↦ -if'. 03BC

§ 3. Hàm kiểu dương

Định lý 1 Cho f∈ C(X× X). Các điều kiện sau là tương đương: 03BX
Định nghĩa 1 Một hàm f∈ C(X× X) được gọi là một hạt nhân dương phổ dụng trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện tương đương của Định lý 1. 03BY
Mệnh đề 1 Cho f là một hạt nhân dương phổ dụng trên X. Cho (E₁, g₁) và (E₂, g₂) là các hiện thực Hilbert của f. Giả sử rằng (E₁, g₁) là một hiện thực Hilbert xyclic. Khi đó tồn tại một và ch… 03BZ
Mệnh đề 2 Tập hợp Noy₊(X) là một nón tự liên hợp trong không gian C(X× X); nó ổn định đối với tích và đóng khi C(X× X) được trang bị tôpô hội tụ đơn giản. 03C0
Mệnh đề 3 Cho A là một đại số Banach có đơn vị với phép đối hợp. Cho a∈ A. Phổ của a^* là ảnh Sp_A(a)^* của Sp_A(a) qua phép liên hợp phức. Với mọi f∈ O(Sp_A(a)), ta có f(a)^*=f^*(a^*). 03C1
Bổ đề 1 Gọi D là đĩa mở đơn vị trong C. Tồn tại một hàm chỉnh hình duy nhất f xác định trên D sao cho f(z)²= 1-z với mọi z∈ D và f(0) = 1. Ta có f^*=f. 03C2
Định nghĩa 2 Cho A là một đại số có phép hợp involution. Một dạng tuyến tính λ trên A được gọi là dương nếu λ (a^*a)∈ R₊ với mọi a∈ A. 03C3
Bổ đề 2 Cho A là một đại số Banach có phép hợp involution và λ là một dạng tuyến tính dương trên A. 03C4
Ví dụ Cho X là một không gian tôpô compact và cho A là star-đại số C(X). Các dạng tuyến tính dương trên A được đồng nhất với các độ đo dương trên X (INT, III, p. 52, § 1, nᵒ6, Định lý 1)… 03C5
Bổ đề 3 Cho A là một đại số Banach có phép đối hợp, có đơn vị và thừa nhận một đơn vị xấp xỉ (I, p. 120, Định nghĩa 7). Cho λ là một dạng tuyến tính dương liên tục trên A. 03C6
Mệnh đề 4 Cho A là một đại số Banach có đối hợp. 03C7
Định nghĩa 3 Cho A là một đại số Banach có đối hợp. Cho λ ∈ A'₊ là một dạng tuyến tính dương liên tục trên A. Một hiện thực Hilbert của λ theo định nghĩa là một bộ ba (E, x, φ ) gồm một không g… 03C8
Mệnh đề 5 Cho A là một đại số Banach có đối hợp thừa nhận một đơn vị xấp xỉ. Mọi dạng tuyến tính dương liên tục trên A đều thừa nhận một hiện thực Hilbert cyclic (E, x, φ ). Nếu A có đơn vị… 03C9
Mệnh đề 6 Cho A là một đại số Banach có đối hợp và cho λ là một dạng tuyến tính dương liên tục trên A. Cho (E₁, x₁, φ₁) và (E₂, x₂, φ₂) là các hiện thực Hilbert của λ. Giả sử rằng (E₁, x₁, φ… 03CA
Nhận xét Giữ lại ký hiệu của mệnh đề. Có thể xảy ra trường hợp u(x₁) khác x₂ (bài tập 3, b) của V, p. 493). Tuy nhiên, bộ ba (E₂, u(x₁), φ₂) cũng là một biểu diễn Hilbert của λ. 03CB
Mệnh đề 7 Cho A là một đại số sao. Mọi dạng tuyến tính dương λ trên A đều liên tục. 03CC
Mệnh đề 8 Cho A là một đại số stellar và a là một phần tử khác không của A. Tồn tại một dạng tuyến tính dương λ ∈ A'₊ sao cho λ (a^*a)>0. 03CD
Định lý 2 (Gelfand–Naimark) Cho A là một đại số stellar. Tồn tại một không gian Hilbert E và một cấu xạ đẳng cự của các đại số đối hợp φ từ A vào L(E). Nếu A có đơn vị, thì tồn tại một cấu xạ có đơn vị như vậ… 03CE
Định nghĩa 4 Một hàm liên tục φ ∈ C(G) được gọi là kiểu dương trên G nếu hàm f được xác định bởi f(g, h) =φ (g⁻¹h) trên G× G là một hạt nhân dương phổ dụng trên G. 03CF
Ví dụ Cho varrho là một biểu diễn unita của G trong một không gian Hilbert E và cho x∈ E. Cho φ là hệ số ma trận đường chéo được định nghĩa bởi φ (g) =⟨ x|varrho (g)x⟩ với mọi g∈ G; hàm… 03CG
Định nghĩa 5 Cho φ là một hàm kiểu dương trên G. Một hiện thực Hilbert của φ là một cặp (varrho , x) trong đó varrho là một biểu diễn unita của G trong một không gian Hilbert E và x∈ E, sao cho… 03CH
Mệnh đề 9 Cho φ ∈ C(G). Các điều kiện sau là tương đương: 03CI
Mệnh đề 10 Cho φ là một hàm kiểu dương trên G và cho (varrho₁, x₁) và (varrho₂, x₂) là các thực hiện Hilbert của φ, trong đó biểu diễn Hilbert (varrho₁, x₁) là cyclic. Tồn tại một G-cấu xạ đẳ… 03CJ
Mệnh đề 11 Cho φ ∈ Pos₁(G) và cho (varrho , x) là một thực hiện Hilbert cyclic của φ. Khi đó varrho là một biểu diễn bất khả quy của G khi và chỉ khi φ là một điểm cực biên (EVT, II, p. 57, d… 03CK
Bổ đề 4 Cho φ ∈ Pos(G). Hàm φ bị chặn trên G và ta có |φ |_∞=φ (e). Hơn nữa, ta có 03CL
Nhận xét Các tập hợp Pos(G) (tương ứng Pos₁(G) và Pos_leqslant 1(G)) là các tập con lồi tự liên hợp của đại số có đối hợp C_b(G). Chúng đóng trong không gian C_b(G) được trang bị tôpô hội t… 03CM
Mệnh đề 12 Cho E là một không gian Hilbert phức và widetildeπ là một cấu xạ đại số có đối hợp từ L¹(G) vào L(E). Nếu biểu diễn widetildeπ là không suy biến, thì tồn tại một biểu diễn unita du… 03CN
Mệnh đề 13 Cho φ ∈ L^∞(G). Ký hiệu bởi λ_φ dạng tuyến tính liên tục f↦ ⟨ f, φ ⟩ trên L¹(G). Khi đó φ là lớp của một hàm kiểu dương trên G khi và chỉ khi λ_φ là một dạng tuyến tính liên tục dư… 03CO
Hệ quả Trong L^∞(G) được trang bị tôpô yếu, tập Pos(G) là đóng và tập Pos_leqslant 1(G) là compact. 03CP
Mệnh đề 14 Tập các điểm cực biên của Pos_leqslant 1(G) bằng hợp của tập các điểm cực biên của Pos₁(G) và của hàm không. Hơn nữa, bao lồi đóng của tập các điểm cực biên của Pos₁(G) chứa Pos₁(G… 03CQ
Định lý 3 (Raikov) Tôpô yếu trên Pos₁(G) trùng với tôpô hội tụ đều trên các compact. 03CR
Bổ đề 5 Cho X là một không gian tôpô compact địa phương và ν một độ đo dương trên X. Trên mọi tập con bị chặn của C_b(X), tôpô cảm sinh bởi tôpô yếu σ (L^∞(X),L¹(X)) thô hơn tôpô hội tụ đề… 03CS
Bổ đề 6 Cho ψ ∈ L¹(G). Cho B là một tập con bị chặn của không gian Banach L^∞(G). Ánh xạ φ ↦ ψ *φ từ B vào C_b(G) là liên tục khi B được trang bị tôpô yếu và C_b(G) được trang bị tôpô hội… 03CT
Bổ đề 7 Cho ψ ∈ L¹(G) sao cho ψ geqslant 0 và ∫ψ = 1. Ký hiệu bởi p nửa chuẩn trên C_b(G) được xác định bởi p(φ ) =|⟨ φ , ψ ⟩ | với mọi φ ∈ C_b(G). Với mọi φ ∈ Pos₁(G), ta có 03CU
Bổ đề 8 Cho K là một trường tôpô và E, F là các không gian vectơ tôpô trên K. Cho f là một ánh xạ từ E vào F và X là một tập con của E. Cho x∈ X. Ánh xạ f|X liên tục tại x nếu, với mọi lân… 03CV
Định lý 4 (Gelfand–Raikov) Với mọi xnot =e trong G, tồn tại một biểu diễn unita bất khả quy π của G sao cho π (x) không phải là tự đồng cấu đồng nhất của không gian của π. 03CW
Hệ quả Với mọi phần tử gnot =h trong G, tồn tại một biểu diễn bất khả quy π ∈ widehatG và một hệ số ma trận f của π sao cho f(g)not =f(h). Đặc biệt, đại số con Υ(G) của C_b(G) phân biệt c… 03CX
Bổ đề 9 Biến đổi Fourier là một ánh xạ liên tục từ M¹(G) được trang bị tôpô yếu vào C_b(widehatG) được trang bị tôpô cảm sinh bởi tôpô yếu σ (L^∞(widehatG),L¹(widehatG)). 03CY
Định lý 5 (Bochner) Một hàm liên tục φ trên widehatG thuộc Pos(widehatG) khi và chỉ khi tồn tại một độ đo dương bị chặn ν trên G sao cho φ =F(ν ). 03CZ

§ 4. Biểu diễn của các nhóm compact

Mệnh đề 1 Cho varrho là một biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của G trong một không gian vectơ tôpô tách được E. Tồn tại một tích vô hướng q trên E sao cho varrho là một biểu diễn unita tro… 03DN
Nhận xét Ta sẽ thấy sau này (hệ quả 4 của V, p. 466) rằng mọi biểu diễn unita của G đều là nửa đơn. 03DO
Hệ quả Cho varrho₁ và varrho₂ là các biểu diễn hữu hạn chiều của G. Các biểu diễn varrho₁ và varrho₂ là đẳng cấu khi và chỉ khi các đặc trưng của chúng bằng nhau. 03DP
Bổ đề 1 Mọi biểu diễn unita bất khả quy của G đều khả tích bình phương. 03DQ
Mệnh đề 2 Cho π là một biểu diễn unita bất khả quy của G trong một không gian Hilbert E. Chiều của E là hữu hạn và bằng bậc hình thức của π. 03DR
Hệ quả 1 Cho π là một biểu diễn unita bất khả quy của G trong một không gian Hilbert E. Đặc trưng của π là một phần tử Hermit của đại số có đối hợp L¹(G). 03DS
Hệ quả 2 a) Cho π là một biểu diễn unita bất khả quy của G trong một không gian Hilbert E. Ta có 03DT
Hệ quả 3 Cho π₁ và π₂ là các biểu diễn bất khả quy của G. Trong không gian Hilbert L²(G), ta có ⟨ χ_π₁|χ_π₂⟩ = 1 nếu π₁ và π₂ đẳng cấu và ⟨ χ_π₁|χ_π₂⟩ = 0 nếu không. Nói cách khác, họ các đ… 03DU
Hệ quả 4 a) Cho varrho là một biểu diễn liên tục hữu hạn chiều của G. Ta có 03DV
Hệ quả 5 Cho π₁ và π₂ là các biểu diễn unita bất khả quy của G. Ta có π₁(overlineχ_π₂) = 0 nếu π₁ không đẳng cấu với π₂, và π₁(overlineχ_π₁) là phép nhân bởi 1/ dim(π₁). 03DW
Nhận xét Khi G hữu hạn, quan hệ trực giao của Schur (tương ứng, công thức trực giao cho các đặc trưng) trùng với công thức ở A, VIII, p. 399 (tương ứng, công thức ở A, VIII, p. 400, mệnh đề… 03DX
Mệnh đề 3 Giả sử rằng G = G₁× G₂ trong đó G₁ và G₂ là các nhóm compact. Ánh xạ b từ widehatG₁× widehatG₂ vào widehatG mà với (π₁, π₂) gán lớp của π₁boxtimes π₂ là một song ánh. 03DY
Mệnh đề 4 Không gian Θ(G) trù mật trong C(G) và trong L²(G). 03DZ
Mệnh đề 5 Cho π ∈ widehatG. Không gian varrho _G(π ) là một biểu diễn con của varrho _G đẳng cấu với overlineπboxtimes π. Đặc biệt, nó là một biểu diễn bất khả quy của G× G. 03E0
Định lý 1 (Peter–Weyl) Cho G là một nhóm tôpô compact. Biểu diễn song chính quy varrho _G của G là tổng Hilbert của các biểu diễn con varrho _G(π ) với π ∈ widehatG. 03E1
Hệ quả 1 Với mọi π ∈ widehatG, biểu diễn con varrho _G(π ) là thành phần đẳng kiểu (overlineπboxtimes π ) của varrho _G. 03E2
Hệ quả 2 Cho π₁ và π₂ là các biểu diễn bất khả quy không đẳng cấu của G. Thành phần đẳng kiểu (overlineπ₁boxtimes π₂) của varrho _G bằng không. 03E3
Hệ quả 3 Biểu diễn chính quy phải (tương ứng, trái) của G đẳng cấu với tổng Hilbert 03E4
Hệ quả 4 Cho π ∈ widehatG. Thành phần đẳng kiểu π của δ _G (tương ứng, thành phần đẳng kiểu overlineπ của γ _G) bằng varrho _G(π ). 03E5
Nhận xét 1 Nếu G hữu hạn, các mệnh đề này tương ứng với các kết quả ở A, VIII, p. 398, nhận xét. 03E6
Nhận xét 2 Giả sử rằng G giao hoán. Tập hợp widehatG được đồng nhất với nhóm đối ngẫu của G (V, p. 393, nhận xét). Với mọi χ ∈ widehatG, không gian của varrho _G(χ ) là không gian con 1-chiều… 03E7
Nhận xét 3 Nếu tồn tại một số nguyên ngeqslant 0 sao cho G là một nhóm con compact của GL(Cⁿ), thì biểu diễn đồng nhất của G trong GL(Cⁿ) đủ để tách các điểm của G, và do đó khi ấy có thể chứ… 03E8
Nhận xét 4 Định lý Peter–Weyl đặc biệt kéo theo rằng đồng cấu liên tục tự nhiên từ G vào ∏_π∈widehatGU(E_π) là đơn ánh. 03E9
Mệnh đề 6 Các không gian con sau đây của L²(G) bằng nhau: 03EA
Hệ quả Cho E⊂ L²(G) là một không gian con vectơ hữu hạn chiều xác định một biểu diễn con của γ _G(tương ứng của δ _G, của varrho _G). Khi đó E được chứa trong C(G). 03EB
Mệnh đề 7 Cho varrho là một biểu diễn liên tục của G trong một không gian lồi địa phương tách được giả đầy đủ E. Tổng của các biểu diễn con hữu hạn chiều của E là trù mật trong E. 03EC
Hệ quả 1 Cho π là một biểu diễn liên tục bất khả quy của G trong một không gian lồi địa phương tách được quasi-đầy đủ E. Không gian E là hữu hạn chiều. 03ED
Hệ quả 2 Cho varrho là một biểu diễn liên tục của G trong một không gian lồi địa phương tách được quasi-đầy đủ E và cho π là một biểu diễn liên tục bất khả quy của G. 03EE
Hệ quả 3 Cho varrho là một biểu diễn liên tục của G trong một không gian lồi địa phương tách được quasi-đầy đủ E. Tự đồng cấu 03EF
Hệ quả 4 Cho varrho là một biểu diễn unita của G trong một không gian Hilbert E. Không gian E là tổng Hilbert của các thành phần đẳng kiểu theo π M_π(varrho ) với π ∈ widehatG. Đặc biệt, bi… 03EG
Mệnh đề 8 Ta có 03EH
Bổ đề 2 Đồ thị của quan hệ tương đương “ x∈ G và y∈ G và x liên hợp với y ” trong G là đóng. 03EI
Bổ đề 3 Cho π là một biểu diễn unita bất khả quy của G. Không gian vectơ L²(G^sharp)∩ varrho _G(π ) có chiều bằng một và được sinh bởi đặc trưng của π. 03EJ
Mệnh đề 9 Họ (χ_π)_π∈widehatG các đặc trưng của các biểu diễn unita bất khả quy của G là một cơ sở trực chuẩn của L²(G^sharp). 03EK
Hệ quả 1 Không gian vectơ Θ (G^sharp) trù mật trong C(G^sharp) và trong L²(G^sharp). 03EL
Hệ quả 2 a) Họ các đặc trưng của các biểu diễn bất khả quy của G là một cơ sở của Θ (G^sharp); 03EM
Hệ quả 3 Cho H là một nhóm tôpô địa phương compact sao cho G là một nhóm con compact của H. Cho varrho là một biểu diễn unita của H trong một không gian Hilbert E. Nếu thành phần đẳng kiểu… 03EN
Định nghĩa 1 Với mọi độ đo ν ∈ M¹(G), phần tử (π (ν ))_π∈widehatG của F_b(widehatG) được ký hiệu là F_G(ν ). Ánh xạ từ M¹(G) vào F_b(widehatG) được xác định như vậy được gọi là đối biến đổi Fou… 03EO
Bổ đề 4 Cho π là một biểu diễn bất khả quy của G. Ánh xạ f↦ π (f) xác định, bằng cách chuyển qua các không gian con, một đẳng cấu đẳng cự của varrho _G(overlineπ) vào End(E_π). 03EP
Định lý 2 Đối biến đổi Fourier của G cảm sinh, khi chuyển qua các không gian con, một đẳng cấu đẳng cự từ L²(G) lên F²(widehatG). Nghịch đảo của nó F_G gắn với một phần tử (u_π)_π∈widehatG c… 03EQ
Định nghĩa 2 Đẳng cấu đẳng cự F_G từ F²(widehatG) lên L²(G), nghịch đảo của đẳng cấu cảm sinh bởi đối biến đổi Fourier, được gọi là biến đổi Fourier của G. Ảnh của một phần tử của F²(widehatG)… 03ER
Nhận xét 1 Biến đổi Fourier của (u_π)_π∈widehatG∈ F²(widehatG) do đó là lớp trong L²(G) của chuỗi 03ES
Nhận xét 2 Cho f∈ L²(G). Khi đó ta có công thức Plancherel 03ET
Mệnh đề 10 Đối biến đổi Fourier là một cấu xạ đơn ánh của các đại số Banach có phép đối hợp của M¹(G) vào F_b(widehatG) và ánh xạ L¹(G) vào F₀(widehatG). 03EU
Mệnh đề 11 a) Cho u= (u_π)_π∈widehatG là một phần tử của F(widehatG). Nếu họ (F_π(u_π))_π∈widehatG là tổng được đều trong C(G), thì tổng của nó f là một hàm liên tục trên G mà phản biến đổi F… 03EV
Định nghĩa 3 Cho varrho là một biểu diễn unita hữu hạn chiều của G trong một không gian Hilbert E. Cho k là một số nguyên dương. Moment tuyệt đối bậc 2k của varrho được định nghĩa là, và được k… 03EW
Định lý 3 (Phương án thay thế của Larsen) Giả sử G là vô hạn. Cho π là một biểu diễn unita trung thành của G trong một không gian Hilbert E có số chiều hữu hạn geqslant 2. 03EX
Bổ đề 5 Cho π là một biểu diễn unita của G trong một không gian Hilbert E có số chiều hữu hạn. Cho (varrhoᵢ)_i∈ I là một họ các biểu diễn unita khác không của G và (nᵢ)_i∈ I là một họ các… 03EY
Bổ đề 6 Cho q là một dạng song tuyến tính không suy biến trên một không gian vectơ phức hữu hạn chiều E có chiều geqslant 3. 03EZ
Bổ đề 7 Cho H₂ là một nhóm Lie thực và H₁ là một nhóm con đóng của H₂. Đại số Lie phức hóa của H₁ được đồng nhất với một biểu diễn con của biểu diễn liên hợp của H₁ trên đại số Lie phức hó… 03F0
Bổ đề 8 Cho E là một không gian Hilbert phức hữu hạn chiều có chiều n. 03F1
Nhận xét 1 Điều kiện "G là vô hạn" là cần thiết trong Định lý 3 (bài tập 9 của V, p. 507). 03F2
Nhận xét 2 Cho n∈ N. Với mọi biểu diễn unita varrho của một nhóm compact trong một không gian Hilbert có chiều n, ta có M₄(varrho )leqslant n²; đẳng thức có thể xảy ra (bài tập 15 của V, p. 5… 03F3
Nhận xét 3 Người ta có thể chứng minh (x. R. Guralnick and P.H. Tiep, Phân tích của các lũy thừa tenxơ nhỏ và giả thuyết của Larsen, Biểu diễn Lý thuyết 9 (2005), 138–208) rằng có thể bỏ điều… 03F4