Livre FVR · Français

Index des énoncés

Les 371 énoncés de Fonctions d’une variable réelle, par chapitre et paragraphe. Choisissez un type, filtrez par un mot, ou mettez les plus cités en tête.

Les plus cités d’abord

I. Dérivées

§ 1. Dérivée première

Définition 1 Soit f une fonction vectorielle définie dans un intervalle I ⊂ R, non réduit à un point. On dit que f est dérivable en un point x₀ ∈ I si lim_x → x₀, x ∈ I, x ≠ x₀ (f(x) - f(x₀))/(… 082P
Remarque 1 En Cinématique, si le point f(t) est la position d’un point mobile dans l’espace R³ à l’instant t, fracf(t) - f(t₀)t - t₀ est ce qu’on appelle la vitesse moyenne du mobile entre le… 082Q
Remarque 2 Si une fonction f, définie dans I, est dérivable en un point x₀ ∈ I, elle est nécessairement continue par rapport à I en ce point. 082R
Définition 2 Soit f une fonction vectorielle définie dans un intervalle I ⊂ R, et soit x₀ un point de I tel que l’intervalle I ∩ (x₀, +∞[ (resp. I ∩ ]-∞, x₀]) ne soit pas réduit à un point. On… 082S
Exemple 1 Une fonction constante a en tout point une dérivée nulle. 082T
Exemple 2 Une fonction linéaire affine x ↦ ax + b a en tout point une dérivée égale à a, donc constante. 082U
Exemple 3 La fonction numérique 1/x (définie pour x ≠ 0) est dérivable en tout point x₀ ≠ 0, car on a ( 1/x - 1/x₀ )/(x - x₀) = -1/xx₀, et comme 1/x est continue au point x₀, la limite de l’… 082V
Exemple 4 La fonction numérique |x|, définie dans R, admet au point x = 0 une dérivée à droite égale à +1 et une dérivée à gauche égale à -1; elle n’est donc pas dérivable en ce point. 082W
Exemple 5 La fonction numérique égale à 0 pour x = 0, à x sin 1/x pour x ≠ 0, est définie et continue dans R, mais elle n’admet ni dérivée à droite ni dérivée à gauche au point x = 0. On peu… 082X
Définition 3 On dit qu’une fonction vectorielle f définie dans un intervalle I ⊂ R est dérivable (resp. dérivable à droite, dérivable à gauche) dans I si elle est dérivable (resp. 082Y
Remarque Une fonction peut être dérivable dans un intervalle, sans que sa dérivée soit continue en tout point de cet intervalle (cf. I, p. 43, exerc. 5); \ c’est ce que montre l’exemple de… 082Z
Proposition 1 L’ensemble des fonctions vectorielles définies dans un intervalle I ⊂ R, prenant leurs valeurs dans un même espace vectoriel topologique E, et dérivables au point x₀, est un espace… 0830
Corollaire L’ensemble des fonctions vectorielles définies dans un intervalle I, prenant leurs valeurs dans un même espace vectoriel topologique E, et dérivables dans I, est un espace vectorie… 0831
Remarque Si on munit de la topologie de la convergence simple (ou de la topologie de la convergence uniforme) l’espace vectoriel des applications de I dans E et le sous-espace des applicati… 0832
Proposition 2 Soient E et F deux espaces vectoriels topologiques sur R, u une application linéaire continue de E dans F. Si f est une fonction vectorielle définie dans un intervalle I ⊂ R, prena… 0833
Corollaire Si φ est une forme linéaire continue dans E, la fonction numérique φ ∘ f admet au point x₀ une dérivée égale à φ(f'(x₀)). 0834
Exemple 1 Soit f = (fᵢ)_1 ≤ i ≤ n une fonction à valeurs dans Rⁿ, définie dans un intervalle I ⊂ R; chacune des fonctions numériques fᵢ n’est autre que la fonction composée prᵢ ∘ f, donc est… 0835
Exemple 2 \ En Cinématique, si f(t) est la position d’un mobile M à l’instant t, g(t) la position au même instant de la projection M’ de M sur un plan P (resp. une droite D) parallèlement à… 0836
Exemple 3 Soit f une fonction à valeurs complexes, définie dans un intervalle I ⊂ R, et soit a un nombre complexe quelconque; la prop. 2 montre que si f est dérivable en un point x₀ ∈ I, il… 0837
Proposition 3 Pour chaque indice i (1 ≤ i ≤ p), soit fᵢ une fonction définie dans un intervalle I ⊂ R, prenant ses valeurs dans Eᵢ, dérivable au point x₀ ∈ I. Alors la fonction x ↦ [f₁(x) . f₂(x… 0838
Exemple 1 Soient f une fonction numérique, g une fonction vectorielle, toutes deux dérivables en un point x₀; la fonction g/f admet au point x₀ une dérivée égale à g'(x₀)f(x₀) + g(x₀)f'(x₀)… 0839
Exemple 2 La fonction numérique xⁿ provient de la fonction multilinéaire 083A
Exemple 3 Le produit scalaire euclidien (x| y) (TG, VI, p. 8) est une application bilinéaire (nécessairement continue) de Rⁿ × Rⁿ dans R. Si f et g sont deux fonctions vectorielles à valeurs… 083B
Exemple 4 Si E est une algèbre topologique sur R (cf. Introduction), le produit xy de deux éléments de E est fonction bilinéaire continue de (x, y); si f et g prennent leurs valeurs dans E e… 083C
Exemple 5 Le déterminant det(x₁, x₂, …, xₙ) de n vecteurs xᵢ = (xᵢⱼ)_1 ≤ i ≤ n de l’espace Rⁿ (A, III, p. 90) étant une fonction multilinéaire (continue) des xᵢ, on voit que si les n² foncti… 083D
Remarque Si U(x) est une matrice carrée dérivable et inversible au point x₀, la dérivée de son déterminant Δ(x) = det(U(x)) s’exprime encore à l’aide de la dérivée de U(x) par la formule 083E
Proposition 4 Soit E une algèbre normée complète sur R, ayant un élément unité et soit f une fonction définie dans un intervalle I ⊂ R, prenant ses valeurs dans E, et dérivable au point x₀ ∈ I… 083F
Exemple 1 Le cas particulier le plus important est celui où E est l’un des corps R ou C: si f est une fonction à valeurs réelles ou complexes, dérivable au point x₀ et telle que f(x₀) ≠ 0, 1… 083G
Exemple 2 Si U = (zᵢⱼ(x)) est une matrice carrée d’ordre n, dérivable au point x₀ et inversible en ce point, U⁻¹ admet au point x₀ une dérivée égale à -\ U⁻¹U'U⁻¹. 083H
Proposition 5 Soient f une fonction numérique définie dans un intervalle I ⊂ R, et g une fonction vectorielle définie dans un intervalle de R contenant f(I). Si f est dérivable au point x₀ et g… ↩ 1 083I
Proposition 6 Soit f un homéomorphisme d’un intervalle I ⊂ R sur un intervalle J = f(I) ⊂ R, et soit g l’homéomorphisme réciproque.\footnote{Pour que f soit un homéomorphisme de I sur une partie… 083J
Corollaire Si f est dérivable dans I et si f'(x) ≠ 0 dans I, g est dérivable dans J et sa dérivée en tout point y ∈ J est égale à 1/f'(g(y)). 083K
Remarque 1 Toutes les propositions qui précèdent, énoncées pour des fonctions dérivables en un point x₀, donnent aussitôt des propositions pour des fonctions dérivables à droite (resp. à gauc… 083L
Remarque 2 Les définitions et propositions qui précèdent (à l’exception de ce qui concerne les dérivées à droite et dérivées à gauche) s’étendent aisément au cas où on remplace R par un corps… 083M
Exemple Au point x = 0, la fonction x^1/2 (fonction réciproque de x³, homéomorphisme de R sur lui-même) admet une dérivée égale à +∞; la fonction |x|^1/2 admet au point x = 0 une dérivée à… 083N
Définition 4 On dit qu’une fonction numérique finie f, définie dans une partie A d’un espace topologique E, admet un maximum relatif (resp. maximum relatif strict, minimum relatif, minimum rela… 083O
Proposition 7 Soit f une fonction numérique finie, définie dans un intervalle I ⊂ R. Si, en un point x₀, intérieur à I, f admet un maximum relatif (resp. un minimum relatif) et a en ce point une… 083P

§ 2. Le théorème des accroissements finis

Proposition 1 (« théorème de Rolle ») Soit f une fonction numérique finie et continue dans un intervalle fermé I = [a, b] (où a < b), admettant en tout point de ]a, b[ une dérivée (finie ou non), et telle que f(a) = f(… 083Z
Corollaire Soit f une fonction numérique finie et continue dans [a, b] (où a < b), admettant en tout point de ]a, b[ une dérivée (finie ou non). Il existe alors un point c (au moins) de ]a, b… 0840
Proposition 2 Soit f une fonction numérique finie et continue dans un intervalle fermé borné I = [a, b] (où a < b), et admettant une dérivée à droite (finie ou non) en tous les points du complém… ↩ 2 0841
Corollaire Soit f une fonction numérique finie et continue dans [a, b] (où a < b) et admettant une dérivée à droite en tous les points du complémentaire par rapport à [a, b[ d’une partie déno… 0842
Remarque 1 La prop. 2 reste valable quand on remplace dans son énoncé l’intervalle [a, b[ par ]a, b] et les mots « dérivée à droite » par « dérivée à gauche ». 0843
Remarque 2 L’hypothèse de la continuité de f dans l’intervalle fermé I (et non seulement sa continuité à droite¹ en tout point de [a, b[) est essentielle pour la validité de la prop. 2 (cf. I… 0844
Remarque 3 La conclusion de la prop. 2 devient inexacte si on suppose seulement que l’ensemble A des points « exceptionnels » est rare dans I, mais non dénombrable (cf. I, p. 44, exerc. 3). 0845
Théorème 1 (théorème des accroissements finis) Soient f et g deux fonctions numériques finies et continues dans un intervalle fermé borné I = [a, b], et admettant une dérivée à droite (finie ou non) en tous les points du complé… 0E5C
Remarque Le th. 1 est inexact si on suppose dans l’énoncé que f'_d et g'_d peuvent simultanément infinis aux points d’une partie non dénombrable de I (cf. I, p. 44, exerc. 3). 0846
Corollaire Soit f une fonction numérique finie et continue dans [a, b] (où a < b) et admettant une dérivée à droit (finie ou non) en tous les points du complémentaire B par rapport à [a, b[ d… 0847
Remarque Les inégalités (5) prouvent qu’une fonction continue ne peut avoir une dérivée à droite égale à +∞ en tout point d’un intervalle (cf. I, p. 43, exerc. 6). 0848
Théorème 2 Soit f une fonction vectorielle définie et continue dans un intervalle fermé borné I = [a, b] de R (où a < b) et prenant ses valeurs dans un espace normé E sur R; soit g une foncti… ↩ 1 0849
Remarque 1 Ici encore, on peut remplacer dans l'énoncé du th. 2 l'intervalle [a, b] par ]a, b] et « dérivée à droite » par « dérivée à gauche ». 084A
Remarque 2 Nous montrerons plus tard comment on peut préciser les cas d'égalité dans la relation (7), et aussi comment on peut généraliser le th. 2 au cas où E est un espace localement convex… 084B
Corollaire Pour qu'une fonction vectorielle continue dans un intervalle I ⊂ R, à valeurs dans un espace normé E sur R, soit constante dans I, il suffit qu'elle ait une dérivée à droite nulle… 084C
Remarque Les démonstrations des th. 1 et 2 font intervenir de façon essentielle les propriétés topologiques particulières au corps R; on peut en effet donner des exemples de corps valués K… 084D
Proposition 3 Soit f une fonction vectorielle à valeurs dans un espace normé E sur R, définie et continue dans un intervalle I ⊂ R, dérivable à droite dans le complémentaire B (par rapport à I)… 084E
Proposition 4 Soit f une fonction vectorielle d’une variable complexe définie, continue et dérivable dans une partie ouverte convexe A du corps C, à valeurs dans un espace normé E sur le corps C… 084F
Corollaire Pour qu’une fonction vectorielle f d’une variable complexe, définie et continue dans un ensemble A ⊂ C, à valeurs dans un espace normé sur C, soit constante, il suffit qu’elle ait… 084G
Proposition 5 Soit f une fonction vectorielle d’une variable complexe, définie, continue et dérivable dans un ensemble ouvert convexe A ⊂ C, à valeurs dans un espace normé sur le corps C; quels… 084H
Proposition 6 Soient I un intervalle ouvert de R, x₀ une des extrémités de I, f une fonction vectorielle définie et continue dans I, prenant ses valeurs dans un espace normé complet E sur R; on… 084I
Remarque Un raisonnement analogue, basé sur le th. 1, montre que si f est une fonction numérique telle que f'_d(x) tende vers +∞ au point x₀, le rapport (f(y) - f(x))/(y - x) tend aussi ver… 084J

§ 3. Dérivées d'ordre supérieur

Proposition 1 L’ensemble des fonctions vectorielles définies dans un intervalle I ⊂ R, prenant leurs valeurs dans un même espace vectoriel topologique E, et admettant une dérivée n-ème dans I, e… 084Y
Proposition 2 (« formule de Leibniz ») Soient E, F, G trois espaces vectoriels topologiques sur R, (x, y) ↦ [x, y] une application bilinéaire continue de E × F dans G. Si f (resp. g) est définie dans un intervalle I ⊂ R… 084Z
Théorème 1 Si la fonction f admet une dérivée n-ème au point a, on a 0850
Proposition 3 Si |f^(n+1)(x)| ≤ M dans I, on a |rₙ(x)| ≤ M frac|x-a|ⁿ⁺¹(n+1)! dans I. 0851
Corollaire Si f est une fonction numérique finie admettant une dérivée (n + 1)-ème dans I, et si m ≤ f^(n+1)(x) ≤ M dans I, on a, pour tout x ≥ a dans I 0852
Remarque 1 On a déjà noté, au cours de la démonstration du th. 1, que si f admet une dérivée n-ème dans I, et si 0853
Remarque 2 Dans les mêmes hypothèses, les coefficients aᵢ de (11) sont déterminés par récurrence par les relations 0854
Remarque 3 La définition de la dérivée d’ordre n et les résultats qui précèdent se généralisent de façon immédiate aux fonctions d’une variable complexe; nous n’insistons pas davantage ici su… 0855

§ 4. Fonctions convexes d'une variable réelle

Lemme Soient A = (a, a'), B = (b, b'), C = (c, c') trois points de R² tels que a < b < c. Les propositions suivantes sont équivalentes: a) B est au-dessous de AC; b) C est au-dessus de l… 085O
Définition 1 On dit qu’une fonction numérique finie f, définie dans un intervalle (I ⊂ R), est convexe dans I, si, quels que soient les points x, x' de I (x < x'), tout point Mₓ du graphe G de… 085P
Remarque On voit de même que l’ensemble des points situés strictement au-dessus de G est convexe. Réciproquement, si cet ensemble est convexe, on a λ y + (1 - λ)y' > f(λ x + (1 - λ)x') pour… 085Q
Exemple 1 Toute fonction linéaire affine (numérique) ax + b est convexe dans R. 085R
Exemple 2 La fonction x² est convexe dans R, car on a λ x² + (1 - λ)x'² - (λ x + (1 - λ)x')² = λ(1 - λ)(x - x')² ≥ 0 pour 0 ≤ λ ≤ 1. 085S
Exemple 3 La fonction |x| est convexe dans R, car on a |λ x + (1 - λ)x'| ≤ λ |x| + (1 - λ)|x'| pour 0 ≤ λ ≤ 1. 085T
Définition 2 On dit qu’une fonction numérique finie f, définie dans un intervalle I ⊂ R, est strictement convexe dans I, si quels que soient les points x, x' de I (x < x'), tout point M_z du gr… 085U
Proposition 1 Soit f une fonction numérique finie, convexe (resp. strictement convexe) dans un intervalle I ⊂ R. Pour toute famille (xᵢ)_1 ≤ i ≤ p de p ≥ 2 points distincts de I, et toute famill… 085V
Proposition 2 Soient fᵢ (1 ≤ i ≤ p) p fonctions convexes dans un intervalle I ⊂ R, et cᵢ (1 ≤ i ≤ p) p nombres positifs quelconques ; la fonction f = ∑ᵢ₌₁ᵖ cᵢ fᵢ est convexe dans I. En outre, si… 085W
Proposition 3 Soit (f_α) une famille de fonctions convexes dans un intervalle I ⊂ R; si l’enveloppe supérieure g de cette famille est finie en tout point de I, g est convexe dans I. 085X
Proposition 4 Soit H un ensemble de fonctions convexes dans un intervalle I ⊂ R; si 𝔉 est un filtre sur H qui converge simplement dans I vers une fonction numérique finie f₀, cette fonction est… 085Y
Proposition 5 Pour qu’une fonction numérique finie f soit convexe (resp. strictement convexe) dans un intervalle I, il faut et il suffit que pour tout a ∈ I, la pente 085Z
Proposition 6 Soit f une fonction numérique finie, convexe dans un intervalle I ⊂ R. En tout point a intérieur à I, f est continue, admet une dérivée à droite et une dérivée à gauche finies, et… 0860
Corollaire 1 Soit f une fonction convexe (resp. strictement convexe) dans I; si a et b sont deux points intérieurs à I tels que a < b, on a (fig. 3) 0861
Corollaire 2 Si f est convexe (resp. strictement convexe) dans I, f'ₐ et f'_g sont croissantes (resp. strictement croissantes) dans l’intérieur de I; l’ensemble des points de I où f n’est pas d… 0862
Remarque Si f est une fonction strictement convexe dans un intervalle ouvert I, f'ₐ est strictement croissante dans I, donc trois cas seulement sont possibles, d’après la prop. 2 de I, p. 2… 0863
Proposition 7 Soit f une fonction numérique finie, définie dans un intervalle I ⊂ R. Pour que f soit convexe dans I, il faut et il suffit que, pour tout couple de nombres a, b de I tels que a <… 0864
Proposition 8 Pour qu’une fonction numérique finie f soit convexe (resp. strictement convexe) dans un intervalle ouvert I ⊂ R, il faut et il suffit qu’elle soit continue dans I, admette une déri… 0865
Corollaire Soit f une fonction numérique finie, continue et deux fois dérivable dans un intervalle I ⊂ R; pour que f soit convexe dans I, il faut et il suffit que f''(x) ≥ 0 pour tout x ∈ I… 0866
Exemple \ Dans l’intervalle ]0, +∞[, la fonction xʳ (r réel quelconque) a une dérivée seconde égale à r(r-1)xʳ⁻²; donc, elle est strictement convexe si r > 1 ou r < 0, strictement concave… 0867
Proposition 9 Soit f une fonction numérique finie, semi-continue supérieurement dans un intervalle ouvert I ⊂ R. Pour que f soit convexe dans I, il faut et il suffit que, pour tout point Mₓ du g… 0868
Corollaire 1 Pour qu’une fonction numérique finie f, définie dans un intervalle ouvert I ⊂ \mathbf{R}, et semi-continue supérieurement dans I, soit convexe dans I, il faut et il suffit que, pou… 0869
Corollaire 2 Soit f une fonction numérique finie, définie dans un intervalle ouvert I ⊂ R. Si, pour tout point x ∈ I, il existe un intervalle ouvert Jₓ ⊂ I contenant x et tel que la restriction… 086A

II. Primitives et intégrales

§ 1. Primitives et intégrales

Définition 1 Etant donnée une fonction vectorielle f, définie dans un intervalle I ⊂ R, on dit qu’une fonction g définie dans I est une primitive de f si g est continue dans I et admet une déri… 0870
Proposition 1 Soit f une fonction vectorielle définie dans I, à valeurs dans E ; si f admet une primitive g dans I, l’ensemble des primitives de f dans I est identique à l’ensemble des fonctions… 0871
Théorème 1 Soient A un ensemble filtré par un filtre 𝔉, (f_α)_α ∈ A une famille de fonctions vectorielles à valeurs dans un espace normé complet E sur R, définies dans un intervalle I ⊂ R; po… ↩ 1 0872
Corollaire 1 L’ensemble H des applications de I dans E qui admettent une primitive dans un intervalle I est un sous-espace vectoriel fermé (donc complet) de l’espace vectoriel complet F_c(I; E)… ↩ 1 0873
Corollaire 2 Soit x₀ un point de I, et pour chaque fonction f ∈ H, soit P(f) la primitive de f qui s’annule au point x₀; l’application f ↦ P(f) de H dans F_c(I; E) est une application linéaire… 0874
Définition 2 On dit qu’une application f d’un intervalle I ⊂ R dans un ensemble E est une fonction en escalier s’il existe une partition de I en un nombre fini d’intervalles Jₖ telle que f soit… 0875
Proposition 2 L’ensemble des fonctions en escalier définies dans I, à valeurs dans un espace vectoriel E sur R, est un sous-espace vectoriel E de l’espace vectoriel F(I; E) de toutes les applica… 0876
Corollaire Le sous-espace vectoriel E est engendré par les fonctions caractéristiques d’intervalles. 0877
Définition 3 On dit qu’une fonction vectorielle, définie dans un intervalle I, à valeurs dans un espace normé complet E sur R, est une fonction réglée si, dans toute partie compacte de I, elle… 0878
Théorème 2 Toute fonction réglée dans un intervalle I admet une primitive dans I. 0879
Théorème 3 Pour qu’une fonction vectorielle f définie dans un intervalle I, à valeurs dans un espace normé complet E sur R, soit réglée, il faut et il suffit qu’elle ait une limite à droite e… 087A
Corollaire 1 Soit f une fonction réglée dans I; en tout point de I, sauf l’extrémité (resp. l’origine) de I, toute primitive de f a une dérivée à droite égale à f(x+) (resp. une dérivée à gauch… 087B
Corollaire 2 Soient fᵢ (1 ≤ i ≤ n) n fonctions réglées dans un intervalle I, fᵢ prenant ses valeurs dans un espace normé complet Eᵢ sur R (1 ≤ i ≤ n). Si g est une application continue du sous-… 087C
Remarque 1.) Si f est une fonction numérique réglée dans I, g une fonction vectorielle réglée dans un intervalle contenant f(I), la fonction composée g ∘ f n’est pas nécessairement réglée (… 087D
Proposition 3 Toute fonction vectorielle continue dans un intervalle I ⊂ R, prenant ses valeurs dans un espace normé complet E sur R, est réglée et admet dans I une primitive, dont elle est la d… 087E
Proposition 4 Toute fonction numérique f monotone dans un intervalle I ⊂ R est réglée, et toute primitive de f est convexe dans I. 087H
Proposition 5 Soient f une fonction réglée dans un intervalle I, g une primitive de f dans I, (x₀, x) un intervalle compact contenu dans I. Pour tout ε 0, il existe un nombre ρ 0 tel que, pour t… 087J
Remarque 2 Pour une fonction quelconque h définie dans I, à valeurs dans E, l’élément h(x) - h(x₀) s’écrit aussi h(t)|_x₀ˣ; avec cette notation, on voit que, si g est une primitive quelconque… 087L
Remarque 3 Les expressions ∫_x₀ˣ f(t) dt,\ g(t)|_x₀ˣ sont des « symboles abréviateurs » représentant des assemblages dans lesquels figurent les lettres x,\ x₀,\ f,\ g, mais non la lettre t (c… 087M
Remarque 4 L’approximation d’une intégrale par des sommes de Riemann se rattache étroitement à l’une des origines historiques de la notion d’intégrale, le problème de la mesure des aires. Nou… 087N
Proposition 6 (théorème de la moyenne) Soit f une fonction numérique réglée dans un intervalle compact I = (a, b); si J est l’ensemble des points de I où f est continue, et m = inf_x ∈ J f(x), M = sup_x ∈ J f(x), on a 087O
Corollaire 1 Si une fonction numérique f réglée dans I est telle que f(x) ≥ 0 aux points où f est continue, on a 1/(b - a) ∫ₐᵇ g(t) dt > 0 sauf si f(x) = 0 aux points ou f est continue. 0E5D
Corollaire 2 Soient f et g deux fonctions numériques réglées dans I, telles que g(x) geqslant 0 aux points où g est continue ; si m et M sont les bornes inférieure et supérieure de f dans l’ens… 0E5E
Proposition 7 Soit f une fonction vectorielle réglée dans un intervalle compact I = [a,\ b], à valeurs dans un espace normé complet E, et soit g une fonction numérique réglée dans I, telle que g… 087R

§ 2. Intégrales dans les intervalles non compacts

Définition 1 On dit qu’une fonction vectorielle f réglée par morceaux dans un intervalle (a, b) de R admet une intégrale dans cet intervalle si f admet une primitive dans (a, b); si g est une q… 088F
Exemple 1 L’intégrale ∫₁^+∞ dt/t² est convergente et égale à 1, car ∫₁ˣ dt/t² = 1 - 1/x. 088G
Exemple 2 L’intégrale ∫₀¹ dt/sqrtt est convergente et égale à 2, car ∫ₓ¹ fracdtsqrtt = 2(1 - sqrtx) pour x > 0. 088J
Exemple 3 Soit (uₙ)_n ≤ 1 une suite infinie de points de E, et soit f la fonction en escalier définie dans l’intervalle (1, +∞) par les conditions: f(x) = uₙ pour n ≤ x < n + 1. Pour que l’i… 0E5F
Proposition 1 (Critère de Cauchy pour les intégrales) Soit f une fonction réglée dans un intervalle I ⊂ R, de bornes a et b (a < b). Pour que l’intégrale ∫ₐᵇ f(t)\ dt existe, il faut et il suffit que pour tout ε > 0, il existe un inte… 088H
Lemme Soit J₀ = [α, β] un intervalle compact contenu dans I. Pour qu’on ait | ∫_J f(t)\ dt - ∫_J' f(t)\ dt | ≤ ε, pour tout couple d’intervalles compacts J, J' contenus dans I et contena… 088I
Exemple Si l’intervalle I est borné, et si f est bornée dans I, l’intégrale ∫_I f(t)\ dt existe toujours, car d’après le th. de la moyenne, on a pour y ≤ α ≤ β ≤ z | ∫_y^α f(t)\ dt | ≤ (α… 0E5G
Proposition 2 Soit f une fonction numérique réglée et ≥ 0 dans un intervalle I ⊂ R, de bornes a et b (a < b). Pour que l’intégrale ∫ₐᵇ f(t)\ dt existe, il faut et il suffit que l’ensemble des no… 088K
Définition 2 On dit que l’intégrale d’une fonction f réglée dans un intervalle I ⊂ R est absolument convergente, si l’intégrale de la fonction positive |f(x)| est convergente. 088L
Proposition 4 Si l’intégrale de f dans I est absolument convergente, elle est convergente, et on a | ∫_I f(t) dt | ≤ ∫_I |f(t)| dt. En effet, pour tout intervalle compact J ⊂ I, on a (II, p. 12… 088M
Corollaire Soient E, F, G trois espaces normés complets sur R, (x, y) ↦ [x, y] une application bilinéaire continue de E × F dans G. Soient f, g deux fonctions réglées dans I, à valeurs dans E… 088N
Remarque Une intégrale peut être convergente sans l’être absolument; c’est ce que montre l’Exemple 3 de II, p. 14, lorsque la série de terme général uₙ est convergente sans être absolument… 088O

§ 3. Dérivées et intégrales de fonctions dépendant d'un paramètre

Proposition 1 Soient A un ensemble filtré par un filtre 𝔉, (f_α)_α ∈ A une famille de fonctions réglées dans un intervalle compact I = (a, b); si les fonctions f_α convergent uniformément dans I… 088Y
Corollaire 1 Soit (fₙ) une suite de fonctions réglées dans un intervalle compact I = (a, b). Si la suite (fₙ) converge uniformément dans I vers une fonction (réglée) f, on a lim_n → ∞ ∫ₐᵇ fₙ(t)… 088Z
Corollaire 2 Soient A une partie d’un espace topologique F, f une application de I × A dans un espace normé complet E sur R, telle que, pour tout α ∈ A, la fonction x ↦ f(x, α) soit réglée dans… 0890
Proposition 2 (« continuité d’une intégrale par rapport au paramètre ») Soient F un espace compact, I = (a, b) un intervalle compact de R, f une application continue de I × F dans un espace normé complet E sur R; la fonction h(α) = ∫ₐᵇ f(α, x) dx est c… 0891
Définition 1 On dit que l’intégrale ∫_I f_α(t)\ dt est uniformément convergente pour α ∈ A (ou uniformément convergente dans A) si, pour tout ε > 0, il existe un intervalle compact J₀ ⊂ I tel q… 0892
Proposition 3 Soit (f_α) une famille de fonctions réglées dans un intervalle I, telles que: 1° suivant le filtre 𝔉, la famille (f_α) converge uniformément vers une fonction f (réglée dans I) dan… 0893
Corollaire 1 Soit (fₙ) une suite de fonctions réglées dans un intervalle quelconque I, uniformément convergente vers une fonction f dans tout intervalle compact contenu dans I; si l’intégrale ∫… 0894
Remarque Les hypothèses faites dans ce corollaire sont suffisantes, mais non nécessaires pour la validité de la formule (9); nous généraliserons plus tard cette formule en même temps que la… 0895
Corollaire 2 Soient A une partie d’un espace topologique F, f une application de I × A dans un espace normé complet E sur R, telle que, pour tout α ∈ A, la fonction x ↦ f(x, α) soit réglée dans… 0896
Proposition 4 (« continuité d’une intégrale impropre par rapport au paramètre ») Soient F un espace compact, I un intervalle quelconque de R, f une application continue de I × F dans un espace normé complet E sur R ; si l’intégrale h(α) = ∫I f(x, α) dx est unif… 0897
Proposition 5 On suppose que la dérivée partielle f'_α(x,\ x) existe pour tout x ∈ I et tout α appartenant à un voisinage ouvert V de x₀, et que, pour tout α ∈ V, l’application x ↦ f'_α(x,\ α) s… 0898
Corollaire Si la dérivée partielle f'_α(x, α) existe dans I × V et est fonction continue de (x, α) dans cet ensemble, la fonction g admet au point α₀ une dérivée donnée par la formule (12). 0899
Proposition 6 Les conditions de la prop. 5 étant supposées vérifiées, soient a(α), b(α) deux fonctions définies dans V, à valeurs dans I; si les dérivées a'(α₀), b'(α₀) existent et sont finies… 089A
Proposition 7 Soit I un intervalle quelconque de R, f une fonction continue dans I × V. On suppose que: 1° la dérivée partielle f'_α(x, α) existe pour tout x ∈ I et tout α ∈ V, et, pour tout α ∈… 089B
Remarque 1 Les conditions 1° et 2° de la prop. 7 sont remplies a fortiori lorsque f'_α(x, α) est fonction continue de (x, α) dans I × V. 089C
Remarque 2 Lorsque, dans une intégrale ∫_a(α)^b(α) f(t, α) dt, les extrémités de l’intervalle d’intégration sont des fonctions finies du paramètre, l’étude de cette intégrale en fonction de α… 089D
Proposition 8 Si f est continue dans I × A, on a ∫_cᵈ dα ∫ₐᵇ f(x, α) dx = ∫ₐᵇ dx ∫_cᵈ f(x, α) dα (« formule d’interversion des intégrations »). 089E
Proposition 9 Si la fonction f est continue dans I × A, et si l’intégrale ∫_I f(t, α) dt est uniformément convergente dans A, l’intégrale ∫_I dt ∫_cᵈ f(t, α) dα est convergente, et on a ∫_cᵈ dα… 089F

III. Fonctions élémentaires

§ 1. Dérivées des fonctions exponentielles et circulaires

Théorème 1 Soit E une algèbre normée complète sur le corps R, ayant un élément unité e, et soit f un homomorphisme continu du groupe additif R dans le groupe multiplicatif G des éléments inve… 089Q
Proposition 1 Pour tout nombre a > 0 et ≠ 1, la fonction exponentielle aˣ admet en tout point x ∈ R une dérivée égale à (logₑ a)aˣ où e est un nombre > 1 (indépendant de a). 089R
Définition 1 Les logarithmes de base e sont appelés logarithmes népériens (ou logarithmes naturels). 089S
Proposition 2 (« inégalité de la moyenne géométrique ») Quels que soient les nombres zᵢ > 0 (1 ≤ i ≤ n) et les nombres pᵢ > 0 tels que ∑ᵢ₌₁ⁿ pᵢ = 1, on a (6) z₁^p₁z₂^p₂… zₙ^pₙ ≤ p₁z₁ + p₂z₂ + ⋯ + pₙzₙ. En outre les deux membres de (6) n… 089T
Exemple Si u est une fonction ≠ 0 dans un intervalle I, v une fonction numérique quelconque, on a log(|u|ᵛ) = v log |u|, donc si u et v sont dérivables 1/|u|ᵛ D(|u|ᵛ) = v' log |u| + v u'/u… 089U
Proposition 3 La fonction e(x) admet en tout point de R une dérivée égale à 2π i e(x), où π est une constante > 0. 089V
Définition 2 On appelle exponentielle complexe l’homomorphisme x + iy ↦ eˣ e(y/2π) de C sur C^*; sa valeur pour un nombre complexe quelconque z se note eᶻ ou exp z. 089W
Remarque Si, dans la formule (27), on restreint la fonction eᵃˣ (a complexe) à l’axe réel, on obtient encore, pour x réel D(eᵃˣ) = aeᵃˣ. 089X
Exemple On a sin²ⁿ x = frac(-1)ⁿ2²ⁿ (eⁱˣ - e⁻ⁱˣ)²ⁿ = frac(-1)ⁿ2²ⁿ ( e²ⁿⁱˣ - binom2n1 e^(2n-2)ix + … + e^-2nix ) 089Y
Remarque Pour z complexe, on écrit aussi parfois chz = 1/2(eᶻ + e⁻ᶻ) = cos iz \\ shz = 1/2(eᶻ - e⁻ᶻ) = -i sin iz. 089Z

§ 2. Développements des fonctions exponentielles et circulaires, et des fonctions qui s'y rattachent

Remarque Comme le reste de la formule (1) est 0 pour x > 0, on a, pour x > 0 08B3

IV. Équations différentielles

§ 1. Théorèmes d'existence

Lemme 1 Soit f une application de I × H dans E telle que, en désignant par fx (pour tout x ∈ H) l’application t ↦ f(t, x) de I dans E, les conditions suivantes soient réalisées: 1° fx est… 08BD
Proposition 1 Soient t₀ un point de I, x₀ un point de H ; pour qu’une fonction continue u soit une solution de l’équation (1) dans I et prenne la valeur x₀ au point t₀, il faut et il suffit qu’e… 08BE
Corollaire En tout point de I distinct de l’origine (resp. de l’extrémité) de cet intervalle, toute solution u de (1) dans I admet une dérivée à gauche (resp. à droite) égale à la limite à ga… 08BF
Proposition 2 Si f est une application continue de I × H dans E, toute solution de l’équation (1) dans I est une solution stricte. 08BG
Proposition 3 Dans tout intervalle compact d’origine (ou d’extrémité) t₀, contenu dans J et de longueur < r/(M + ε), il existe une solution approchée à ε près de l’équation (1), à valeurs dans S… 08BH
Proposition 4 L’ensemble des solutions approchées de (1) à ε près définies dans un même intervalle K ⊂ J, et prenant leurs valeurs dans S, est uniformément équicontinu. 08BI
Corollaire (théorème de Peano) Si E est de dimension finie sur R, dans tout intervalle compact K d’origine (ou d’extrémité) t₀, contenu dans J et de longueur < r/M, il existe une solution de (1) à valeurs dans S… 08BJ
Remarque 1 Il peut exister une infinité d’intégrales d’une équation différentielle (1), prenant la même valeur en un point donné. Par exemple, l’équation différentielle scalaire x' = 2 sqrt|x… 08BK
Remarque 2 Le th. de Peano n’est plus exact lorsque E est un espace normé complet quelconque de dimension infinie (IV, p. 41, exerc. 18). 08BL
Définition 1 Etant donnée une fonction numérique positive t ↦ k(t) définie dans I, on dit qu’une application f de I × H dans E est lipschitzienne pour la fonction k(t) si, pour tout x ∈ H, la f… 08BM
Exemple Lorsque E = R, et que H est un intervalle dans R, si en tout point (t, x) de I × H la fonction f(t, x) admet une dérivée partielle f'ₓ (II, p. 24) telle que |f'ₓ(t, x)| ≤ k(t) dans… 08BN
Proposition 5 Soient k(t) une fonction numérique réglée et > 0 dans I, f(t, x) une fonction définie et lipschitzienne pour la fonction k(t) dans I × H. Si u et v sont deux solutions approchées d… 08BO
Lemme 2 Si, dans l’intervalle [t₀, t₁], w est une fonction numérique continue satisfaisant à l’inégalité w(t) ≤ φ(t) + ∫_t₀ᵗ k(s)w(s)\ ds où φ est une fonction réglée ≥ 0 dans [t₀, t₁], on… 08BP
Corollaire Soit f une fonction lipschitzienne pour la constante k > 0, définie dans I × H. Si u et v sont deux solutions approchées de (1) à ε₁ et ε₂ près respectivement, définies dans I et p… 08BQ
Remarque 1 Lorsque k = 0, l’inégalité (15) est remplacée par l’inégalité 08BR
Remarque 2 Lorsque E est de dimension finie, et que f est lipschitzienne dans I × H, on peut démontrer l’existence de solutions approchées de l’équation (1) (IV, p. 5, prop. 3) sans utiliser… 08BS
Proposition 6 Soient f et g deux fonctions définies dans I × H, satisfaisant aux conditions du lemme 1 de IV, p. 3, et telles que, dans I × H, ↩ 1 08BT
Théorème 1 (Cauchy) Soient f une fonction lipschitzienne dans I × H, J un intervalle compact contenu dans I et non réduit à un point, t₀ un point de J, S une boule ouverte de centre x₀ et de rayon r… 08BU
Théorème 2 Soient I ⊂ R un intervalle (non réduit à un point) d’origine t₀ ∈ I, H une partie ouverte non vide de E, f une fonction localement lipschitzienne dans I × H. 08BV
Corollaire 1 Si H = E et J ≠ I, f(t, u(t)) n’est pas bornée dans J; si de plus E est de dimension finie, |u(t)| a pour limite à gauche +∞ à l’extrémité de J. 08BW
Corollaire 2 Si, dans I × H, f est lipschitzienne pour une fonction réglée k(t), et si l’extrémité β de J appartient à I, u a une limite à gauche au point β; si H = E et si f est lipschitzienne… 08BX
Exemple 1 Pour une équation différentielle de la forme x' = g(t), où g est réglée dans I, toute intégrale u est évidemment définie dans I tout entier. On notera que u peut être bornée dans I… 08BY
Exemple 2 Pour l’équation scalaire x' = sqrt1 - x², on a I = R, H = ]-1, 1[. Si on prend t₀ = x₀ = 0, l’intégrale correspondante est sin t dans le plus grand intervalle contenant 0, où la dé… 08BZ
Exemple 3 Pour l’équation scalaire x' = 1 + x², on a I = H = R; l’intégrale nulle pour t = 0 est tg t, et le plus grand intervalle contenant 0, où cette fonction est continue, est J = ]-π/2… 08C0
Exemple 4 Pour l’équation scalaire x' = sin tx, on a I = H = R et le second membre est borné dans I × H, donc (IV, p. 12, cor. 1) toute intégrale est définie dans R tout entier. ↩ 1 08C1
Proposition 7 Soient f et g deux fonctions définies dans I × H, satisfaisant aux conditions du lemme 1 de IV, p. 3, et telles que, dans I × H 08C2
Théorème 3 Soient F un espace topologique, f une application de I × H × F dans E telle que, pour tout ξ ∈ F, (t, x) ↦ f(t, x, ξ) soit lipschitzienne dans I × H, et que, lorsque ξ tend vers ξ₀… 08C3
Remarque Lorsque H = E et que la condition (16) de IV, p. 13, est vérifiée dans I × E, la prop. 7 de IV, p. 13, s’applique à toute solution u de x' = g(t, x), dans un intervalle quelconque… 08C4
Théorème 4 Soient f une fonction localement lipschitzienne dans I × H, (a, b) un point quelconque de I × H. 08C5

§ 2. Équations différentielles linéaires

Exemple 1 Lorsque E est de dimension finie n sur R, on peut identifier l'endomorphisme A(t) à sa matrice (aᵢⱼ(t)) par rapport à une base (quelconque) de E (A, II, p. 144); lorsqu'on identifi… 08CO
Exemple 2 Soient G une algèbre normée complète sur R, a(t), b(t) et c(t), trois applications de J dans G; l'équation fracdxdt = a(t)x + xb(t) + c(t) est une équation différentielle linéaire… 08CP
Théorème 1 Soient t ↦ A(t) une application réglée de J dans L(E), t ↦ b(t) une application réglée de J dans E. Pour tout point (t₀, x₀) de J × E, l'équation linéaire (2) admet une solution et… 08CQ
Proposition 1 L’ensemble I des intégrales de l’équation linéaire homogène (4), définies dans J, est un sous-espace vectoriel de l’espace C(J; E) des applications continues de J dans E. 08CR
Théorème 2 Pour tout point (t₀, x₀) de J × E, soit u(t, t₀, x₀) l’intégrale de l’équation homogène (4), définie dans J et égale à x₀ au point t₀. 08CS
Corollaire 1 L’application qui, à tout point x₀ ∈ E, fait correspondre la fonction continue t ↦ C(t, t₀) · x₀, définie dans J, est un isomorphisme de l’espace normé E sur l’espace vectoriel I d… 08CT
Corollaire 2 L’application (s, t) ↦ C(s, t) de J × J dans L(E) est continue. 08CU
Corollaire 3 Soit K un intervalle compact contenu dans J, et soit k = sup_t ∈ K |A(t)|. Quels que soient t et t₀ dans K, on a |C(t, t₀) - I| ≤ e^k|t-t₀| - 1. 08CV
Proposition 2 Soit B un endomorphisme continu de E, indépendant de t, et permutable avec A(t) pour tout t \in J; alors B est permutable avec C(t, t0) quels que soient t et t0 dans J. 08CW
Proposition 3 Avec les notations du th. 2 (IV, p. 18), pour tout point (t₀, x₀) de J × E, l’intégrale de l’équation linéaire (2) définie dans J et égale à x₀ au point t₀, est donnée par la formu… 08CX
Proposition 4 Pour que n intégrales uⱼ (1 ≤ j ≤ n) de l’équation (4) forment un système fondamental, il faut et il suffit que leurs valeurs uⱼ(t₀) en un point t₀ ∈ J soient des vecteurs linéaire… 08CY
Proposition 5 Le déterminant de la matrice C(t, t₀) est donné par la formule det (C(t, t₀)) = exp ( ∫_t₀ᵗ Tr(A(s)) ds ). 08CZ
Remarque 1 Tout ce qui précède s’applique encore au cas où E est de dimension n sur le corps R et A(t) un endomorphisme de E pour tout t ∈ J: il suffit de remplacer partout C par R. 08D0
Remarque 2 Soit A(t) = (aᵢⱼ(t)) une matrice carrée d’ordre n dont les éléments sont des fonctions réglées réelles (resp. complexes) de t dans J, et soit C(t, t₀) = (cᵢⱼ(t, t₀)) la matrice rés… 08D1
Proposition 6 Pour qu'une application t ↦ v(t) de J dans E^*, primitive d'une fonction réglée dans J, soit telle que ⟨ u(t), v(t) ⟩ soit constante dans J pour toute solution u de l’équation (4)… 08D2
Remarque Soient E et F deux espaces normés complets sur R (ou sur C), (x, y) ↦ ⟨ x, y ⟩ une forme bilinéaire continue dans E × F, telle que la relation « ⟨ x, y ⟩ = 0 pour tout y ∈ F » (res… 08D3
Définition 1 Étant donné un endomorphisme continu A de E, on désigne par eᴬ ou exp A l’automorphisme de E égal à la valeur au point t = 1 de l’intégrale de l’équation (20) qui prend la valeur I… 08D4
Proposition 7 1° L’application X ↦ e^X est une application continue de L(E) dans le groupe des automorphismes de E (éléments inversibles de L(E)). 08D5
Remarque Lorsqu’il existe une base de E telle que la matrice de A par rapport à cette base ait ses éléments réels (cf. IV, p. 24, Remarque 2), l’équation caractéristique de A a ses coeffici… 08D6
Proposition 8 L’ensemble des intégrales de l’équation linéaire homogène (37), définies dans J, est un espace vectoriel de dimension n sur le corps C. 08D7
Proposition 9 Soient rⱼ (1 ≤ j ≤ q) les racines distinctes de l’équation caractéristique (40), et soit nⱼ l’ordre de multiplicité de la racine rⱼ (1 ≤ j ≤ q). Les n fonctions tᵏ e^rⱼ t (1 ≤ k ≤… 08D8
Proposition 10 Soient g et h deux polynômes premiers entre eux tels que f = gh. Le sous-espace des solutions de (42) est somme directe des sous-espaces des solutions des deux équations g(D) x = 0… 08D9
Remarque 1 Certains des polynômes fⱼ(D) peuvent se réduire à des constantes non nulles; les yⱼ correspondants sont alors entièrement déterminés. 08DA
Remarque 2 Lorsque les bⱼ sont tous nuls, c’est-à-dire que le système (47) est homogène, les conditions (52) sont toujours vérifiées; si en outre r = n, on voit que l’ensemble des solutions d… 08DB
Remarque 3 Les polynômes pⱼₖ(D) étant donnés, un système (47) qui admet des solutions lorsque les seconds membres sont indéfiniment dérivables (ou dérivables jusqu’à un certain ordre) peut ne… 08DC

V. Étude locale des fonctions

§ 1. Comparaison des fonctions dans un ensemble filtré

Exemple Si f et g sont deux fonctions de H(𝔉, R), la relation « il existe un ensemble X ∈ 𝔉 tel que f et g soient définies dans X, et que f(t) ≤ g(t) pour tout t ∈ X » est de caractère loc… 0E5H
Remarque 1 Soient Vᵢ (1 ≤ i ≤ n) n espaces vectoriels normés sur K, φ une fonction définie dans V₁ × V₂ × ⋯ × Vₙ, à valeurs dans V par passage aux quotients suivant R\infty, la fonction φ déf… 08DY
Remarque 2 Avec les mêmes notations, soit ψ une application d’une partie de ∏ᵢ₌₁ⁿ Vᵢ dans V; nous désignerons par ψ(f₁, f₂, …, fₙ) la fonction égale à ψ(f₁(t), …, fₙ(t)) en tout point t ∈ E o… 08DZ
Définition 1 Étant données deux fonctions numériques f, g appartenant à H(𝔉, R) et qui sont geqslant 0 dans un ensemble de 𝔉, on dit que f est dominée par g, ou que g domine f (suivant 𝔉), et o… 08DO
Exemple 1 La relation f leqslant 1 signifie que f est bornée dans un ensemble de 𝔉. 08DU
Exemple 2 Pour toute fonction f de H(𝔉, V) et tout scalaire λ ≠ 0, on a f leqslant fλ. 08DV
Exemple 3 Lorsque x tend vers +∞, on a sin² x leqslant sin x. 08DW
Exemple 4 Lorsque (x, y) tend vers (0, 0) dans R², on a xy leqslant x² + y². 08DX
Proposition 1 Si f, g, h sont trois fonctions de H(𝔉, R), les relations f leqslant g et g leqslant h entraînent f leqslant h. 08DP
Proposition 2 Soient f₁, f₂ deux fonctions de H(𝔉, V) et g une fonction de H(𝔉, R). Les relations f₁ leqslant g et f₂ leqslant g entraînent f₁ + f₂ leqslant g. 08DQ
Proposition 3 Soient V₁, V₂, V trois espaces normés sur un même corps valué, (x, y) ↦ [x · y] une application bilinéaire continue de V₁ × V₂ dans V. Si f₁ et f₂ sont des fonctions de H(𝔉, V₁) et… 08DR
Corollaire Si V est une algèbre normée, f₁, f₂ deux fonctions de H(𝔉, V), g₁, g₂ deux fonctions de H(𝔉, R), les relations f₁ preccurlyeq g₁, f₂ preccurlyeq g₂ entraînent f₁ f₂ preccurlyeq g₁… 08DS
Définition 2 Étant données deux fonctions f, g de H(𝔉, V), on dit que f et g sont semblables (suivant 𝔉) et on écrit f asymp g si on a f preccurlyeq g et g preccurlyeq f. 08DT
Exemple 5 Pour une fonction numérique f ∈ H(𝔉, R), la relation f asymp 1 signifie qu’il existe deux nombres a > 0, b > 0 tels que a ≤ |f(x)| ≤ b dans un ensemble de 𝔉, ou encore que la fonct… 08DN
Exemple 6 Soit V un espace normé sur un corps valué non discret K, et soit f(x) = a₀ xⁿ + a₁ xⁿ⁻¹ + ⋯ + aₙ un polynôme par rapport à x ∈ K, à coefficients dans V, tel que a₀ ≠ 0. Pour tout v… 0E5I
Exemple 7 Nous avons vu qu’on a sin² x preccurlyeq sin x lorsque x tend vers +∞, mais on n’a pas sin² x asymp sin x, bien que ces deux fonctions s’annullent aux mêmes points. 0E5J
Exemple 8 On a x² + xy + y² asymp x² + y² lorsque (x, y) tend vers (0, 0) dans R², mais non xy asymp x² + y². 0E5K
Remarque 3 Deux fonctions de H(𝔉, R) ne sont pas nécessairement faiblement comparables, comme le montre l’exemple des fonctions 1 et x sin x lorsque x tend vers +∞. 0E5L
Remarque 4 Désignons par R₀ la relation f asymp g dans (H(𝔉, V), H₀(𝔉, V)), et par H₀(𝔉, V) l’ensemble quotient H(𝔉, V)/R₀; on notera que la relation R_∞ entraîne R₀. Par passage au quotient… 0E5M
Définition 3 Étant données deux fonctions numériques f, g appartenant à H(𝔉, R) et qui sont geqslant 0 dans un ensemble de 𝔉, on dit que f est négligeable devant g, ou que g est prépondérante s… 08E0
Exemple 1 La relation f ll 1 signifie que f tend vers 0 suivant 𝔉. 08E7
Exemple 2 Lorsque α et β sont deux nombres réels tels que α < β, on a x^α ll x^β lorsque x tend vers +∞. De même, lorsque m et n sont deux entiers rationnels tels que m < n, on a zᵐ ll zⁿ lo… 08E8
Exemple 3 Lorsque x tend vers +∞, on a xⁿ ll eˣ pour tout entier n (III, p. 16). 08E9
Exemple 4 Dans R², on a, lorsque (x, y) tend vers (0, 0) x² + y² ll |x| + |y|. 08EA
Proposition 4 Si f, g, h sont trois fonctions de H(𝔉, R), les relations f leqslant g et g ll h (resp. f ll g et g leqslant h) entraînent f ll h. ↩ 1 08E1
Proposition 5 Soient f₁, f₂ deux fonctions de H(𝔉, V), g une fonction de H(𝔉, R). Les relations f₁ ll g et f₂ ll g entraînent f₁ + f₂ ll g. 08E2
Proposition 6 Avec les notations de la prop. 3, les relations f₁ ll g₁ et f₂ ll g₂ (resp. f₁ leqslant g₁ et f₂ leqslant g₂) entraînent [f₁, f₂] ll g₁ g₂. 08E3
Proposition 7 Si f et g sont deux fonctions de H(𝔉, V), la relation f - g ll f est équivalente à f - g ll g. 08E4
Corollaire La relation f - g ll f est une relation d’équivalence dans H(𝔉, V). 08E5
Définition 4 Étant données deux fonctions f, g de H(𝔉, V), on dit que f et g sont équivalentes (suivant 𝔉) et on écrit f ∼ g si on a f - g ll f. 08E6
Exemple 5 Si a est une fonction constante et ≠ 0 dans E, la relation f ∼ a signifie que f tend vers a suivant 𝔉. 08EB
Exemple 6 Soit V un espace normé sur un corps valué non discret K, et soit f(x) = a₀ xⁿ + a₁ xⁿ⁻¹ + ⋯ + aₙ un polynôme par rapport à x ∈ K, à coefficients dans V, tel que a₀ ≠ 0. On a f(x) ∼… 08EC
Exemple 7 Lorsque x réel tend vers +∞, on a (1 + 1/x) sin x ∼ sin x. 08ED
Exemple 8 Lorsque la variable complexe z tend vers 0, on a eᶻ - 1 ∼ z. Plus généralement, si V est un espace normé sur un corps valué K, f une fonction définie dans un voisinage de x₀ ∈ K, à… 0E5N
Exemple 9 Lorsque (x, y) tend vers (0, 0) dans R², on a sqrtsin² x + sin² y ∼ sqrtx² + y². 0E5O
Exemple 10 Soit f(x, y) un polynôme à coefficients réels par rapport à deux variables réelles x, y, n’ayant pas de terme constant. Si, lorsque x tend vers 0 en restant > 0, il existe une fonc… 0E5P
Exemple 11 Pour tout x > 0, soit π(x) le nombre des nombres premiers qui sont ≤ x; on a démontré que, lorsque x tend vers +∞, on a π(x) ∼ x/log x². 0E5Q
Remarque On notera que la relation f ∼ g ne signifie nullement que la différence f - g tende vers 0 suivant 𝔉; cette différence peut même être non bornée, comme le montre l’exemple x² + x ∼… 08EE
Proposition 8 Soient K un corps valué, f₁, f₂, g₁, g₂ quatre fonctions de H(𝔉, K); les relations f₁ ∼ g₁ et f₂ ∼ g₂ entraînent f₁ f₂ ∼ g₁ g₂. 08EF
Remarque 1 Deux fonctions peuvent être faiblement comparables sans être fortement comparables, par exemple les fonctions 1 et sin x lorsque x tend vers +∞. 08EG
Remarque 2 La définition des relations de comparaison f₁ leqslant f₂ et f₁ ll f₂ ne fait intervenir qu’en apparence les normes sur les espaces V₁, V₂ où f₁ et f₂ prennent respectivement leurs… 08EH
Proposition 9 Soient f et g deux fonctions de H(𝔉, R) strictement positives dans un ensemble de 𝔉. Pour que f et g soient comparables, il faut et il suffit que pour tout nombre t geqslant 0, sau… 08EI
Proposition 10 Soient f et g deux fonctions de H(𝔉, R) strictement positives dans un ensemble de 𝔉; pour tout α réel et ≠ 0, la relation f asymp g (resp. f ∼ g) est équivalente à f^α asymp g^α (r… 08EJ
Proposition 11 Soit g une fonction de H(𝔉, R) telle que lim_x → 𝔉 g = +∞; la relation f ll g entraîne eᶠ ll eᵍ; la relation f ∼ g entraîne log f ∼ log g. 08EK
Définition 5 Soit g une fonction de H(𝔉, R), strictement positive dans un ensemble de 𝔉, et telle que lim_𝔉 g = 0 ou lim_𝔉 g = +∞. On dit qu’une fonction f ∈ H(𝔉, R) est d’ordre φ (fini ou infi… 08EL
Proposition 12 Soit g une fonction de H(𝔉, R) telle que lim_𝔉 g = +∞; soit f une fonction de H(𝔉, R). 08EM
Remarque 1 On observera que lorsque f est d’ordre fini φ par rapport à g, le rapport f/g^φ ne tend pas nécessairement vers une limite; par exemple, toute fonction logarithmiquement bornée est… 08EN
Remarque 2 Une fonction f définie dans un ensemble de 𝔉 n’a pas nécessairement un ordre déterminé (fini ou non) par rapport à g, car les fonctions ayant un ordre déterminé par rapport à g son… 08EO

§ 2. Développements asymptotiques

Définition 1 On dit qu’une partie E de H(𝔉, K) formée de fonctions non équivalentes à 0 modulo R_∞ est une échelle de comparaison lorsque E est totalement ordonnée par la relation « f ll g ou f… 08ES
Exemple 1 Pour x réel tendant vers +∞, l’ensemble des fonctions x^α (α nombre réel arbitraire) est une échelle de comparaison. Il en est de même des fonctions (x-a)^α lorsque 𝔉 est l’ensembl… 08ET
Exemple 2 Pour z complexe tendant vers ∞, l’ensemble des fonctions zⁿ (n entier rationnel) est une échelle de comparaison; il en est de même des fonctions (z-a)ⁿ lorsque 𝔉 est la trace sur l… ↩ 1 08EU
Exemple 3 Soit F un espace normé; l’ensemble des fonctions |x - a|^α (α nombre réel arbitraire) est une échelle de comparaison lorsque 𝔉 est la trace sur le complémentaire de a du filtre des… 08EV
Exemple 4 Pour x réel tendant vers +∞, l’ensemble E des fonctions de la forme exp(p(x)), où p(x) parcourt l’ensemble des polynômes sans terme constant (à coefficients réels), est une échelle… 08EW
Exemple 5 Pour x réel tendant vers +∞, l’ensemble E des fonctions de la forme x^α(log x)^β (définies pour x > 1), où α et β sont des nombres réels arbitraires, est une échelle de comparaison… 08EX
Exemple 1 Pour x réel (resp. complexe) tendant vers +∞ (resp. vers ∞), tout polynôme a₀ xⁿ + a₁ xⁿ⁻¹ + ⋯ + aₙ à coefficients dans V, tels que a₀ ≠ 0, a pour partie principale a₀ xⁿ par rappo… 08EY
Exemple 2 Une fonction peut être comparable à toutes les fonctions d’une échelle de comparaison sans admettre de partie principale par rapport à cette échelle. Par exemple, pour x réel tenda… 08EZ
Définition 2 On dit qu’une fonction f ∈ H(𝔉, V) admet un développement asymptotique à la précision g_α (relativement à l’échelle E) s’il existe une famille (a_λ)_λ ≤ α d’éléments de V, nuls sau… 08F0
Exemple On a (1 + x)^1/x = exp ( 1/x log (1 + x) ); lorsque x tend vers +∞, on a log (1 + x) = log x + log ( 1 + 1/x ), d’où le développement asymptotique de 1/x log (1 + x) par rapport à… 08F1
Exemple On a x^x^1/x = exp ( log x . exp ( 1/x log x ) ); lorsque x tend vers +∞, on a log x ll x, d’où le développement asymptotique de log x . exp ( 1/x log x ) par rapport à l’échelle d… 08F2
Exemple Pour x réel tendant vers +∞, les fonctions périodiques et bornées dans R, ayant une même période τ, satisfont aux conditions (COI), (CO{II}) et (CO{III}): en effet si lim_x → +∞ a(… 0E5R

§ 3. Développements asymptotiques des fonctions d'une variable réelle

Proposition 1 Dans un intervalle ]a, +∞[, soient f une fonction vectorielle réglée, g une fonction réglée geqslant 0 et telle que ∫ₐ^+∞ g(t)\ dt > 0. La relation f preccurlyeq g pour x tendant v… 08F4
Corollaire 1 Si f et g sont des fonctions réglées geqslant 0 dans l’intervalle ]a, +∞[, telles que f succeq g, et si ∫ₐ^+∞ g(t)\ dt = +∞, on a ∫ₐ^+∞ f(t)\ dt = +∞. 08F5
Corollaire 2 Si f et g sont geqslant 0 et non identiquement nulles dans [a, +∞[ et telles que f asymp g, on a ∫ₐˣ f(t)\ dt asymp ∫ₐˣ g(t)\ dt. 08F6
Proposition 2 (« critère logarithmique d’ordre 0 ») Soit f une fonction réglée geqslant 0 dans l’intervalle [a, +∞[; si f(x) leqslant x^μ pour un μ < -1, l’intégrale ∫ₐ^+∞ f(t)\ dt est convergente ; si f(x) geqslant x^μ pour un μ ge… 08F7
Proposition 3 (« critère logarithmique d’ordre 1 ») Soit f une fonction réglée geqslant 0 dans l’intervalle [a, +∞[; si f(x) leqslant 1/x(log x)^μ pour un μ > 1, l’intégrale ∫ₐ^+∞ f(t)\ dt est convergente ; si f(x) geqslant 1/x(log… 08F8
Proposition 4 (« critère logarithmique d’ordre $n$ ») Soit f une fonction réglée geqslant 0 dans l’intervalle [a, +∞[; si f(x) leqslant frac1x.l₁(x).l₂(x)… lₙ₋₁(x)\ (lₙ(x))^μ pour un μ > 1, l’intégrale ∫ₐ^+∞ f(t) dt est convergente; s… 08F9
Proposition 5 (« critère logarithmique d’ordre 0 ») Si, au voisinage de α, on a f(x) leqslant 1/(x-α)^μ pour un μ < 1, l’intégrale ∫ₐᵃ f(t) dt est convergente; si f(x) geqslant 1/(x-α)^μ pour un μ geqslant 1, l’intégrale ∫ₐᵃ f(t) dt… 08FA
Exemple 1 La fonction tᵖ(1-t)^q est non bornée dans ]0,1[ lorsque p < 0 ou q < 0; d’après les critères logarithmiques d’ordre 0 appliqués au voisinage des points 0 et 1, pour que l’intégrale… 08FB
Exemple 2 Considérons l’intégrale ∫₀^∞ tˣ⁻¹e⁻ᵗ dt. Comme e⁻ᵗ ∼ 1 au voisinage de 0, pour que cette intégrale converge, il faut que x > 0; cette condition est aussi suffisante car au voisinag… 08FC
Proposition 6 Soient f une fonction vectorielle réglée, g une fonction numérique réglée et geqslant 0 dans ]a, +∞[. 08FD
Exemple 1 En appliquant la prop. 6 de V, p. 20, à la relation 1/x ll x^α-1 où α > 0, on retrouve la relation log x ll x^α pour tout α > 0, équivalente à la relation y^1/α ll eʸ démontrée dan… 08FE
Exemple 2 On a ( eˣ/x )' = eˣ/x ( 1 - 1/x ) ∼ eˣ/x; comme eˣ/x tend vers +∞ avec x, on déduit de la prop. 6 de V, p. 20, que ∫₁ˣ eᵗ/t dt ∼ eˣ/x. 08FF
Remarque Lorsque g n’est pas supposée rester ≥ 0 dans un intervalle (a, +∞) (ou rester ≤ 0 dans un tel intervalle), et que ∫ₐ^+∞ g(t) dt n’est pas convergente, la relation f ∼ g n’entraîne… 08FG
Proposition 7 Si deux fonctions numériques f, g, sont comparables d’ordre 1, elles sont comparables ; en outre, la relation f ll g (resp. f ∼ cg, c constante) entraîne f' ll g' (resp. f' ∼ cg')… 08FH
Corollaire Si deux fonctions numériques f, g sont comparables d’ordre k geqslant 1, elles sont comparables d’ordre p pour 0 leqslant p leqslant k; en outre, la relation f ll g (resp. f ∼ cg)… 08FI
Remarque 1 La restriction de l’énoncé de la prop. 7 concernant g est essentielle. Par exemple, on a 1/x ll 1 + 1/x bien que les dérivées des deux membres soient équivalentes; de même 1 + 1/x… 08FJ
Remarque 2 Si f et g sont comparables d’ordre k, une fonction f₁ équivalente à f n’est pas nécessairement comparable d’ordre k à g; elle l’est toutefois si on suppose que f₁ est comparable d’… 08FK
Remarque 3 Si f et g sont comparables d’ordre k, il n’en pas nécessairement de même de hf et hg, même pour une fonction monotone h aussi simple que h(x) = x (V, p. 49, exerc. 3); de même, 1/f… 08FL
Proposition 8 On pose F(x) = ∫ₓ^+∞ f(t) dt si ∫ₐ^+∞ f(t) dt est convergente, F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt si ∫ₐ^+∞ f(t) dt est infinie. On suppose que log |f| et log x sont comparables d’ordre 1. ↩ 3 08FM
Exemple 1 La fonction 1/log x est d’ordre 0 par rapport à x, et satisfait aux conditions de la prop. 8 de V, p. 23; donc ∫ₐˣ dt/(log t) ∼ x/(log x). 08FN
Exemple 2 La fonction e^x² est d’ordre +∞ par rapport à x et satisfait aux conditions de la prop. 8, donc ∫ₐˣ e^t² dt ∼ 1/2x e^x². Dans l’Appendice (V, p. 41), nous définirons un ensemble de… 08FO
Remarque La prop. 8 n’est pas directement applicable à une fonction f d’ordre –1 par rapport à x. Mais on peut alors écrire f(x) = f₁(x)/x, f₁ étant d’ordre 0 par rapport à x. Supposons par… 08FP
Exemple 1 Soit f(x) = 1/log x (x > 1); on a vu que ∫ₐˣ dt/log t ∼ x/log x, et la différence ∫ₐˣ dt/(log t) - x/(log x) est une primitive de 1/(log x)²; on peut de nouveau appliquer à cette f… 08FQ
Exemple 2 Soit f(x) = eˣ/(x² + 1); on peut écrire f(x) = eˣ/x² - eˣ/x⁴ + o₁( eˣ/x⁴ ). La prop. 8 donne les développements ∫ₐˣ eᵗ/t² dt = eˣ/x² + 2eˣ/x³ + 6eˣ/x⁴ + o₂( eˣ/x⁴ ) ∫ₐˣ eᵗ/t⁴ dt =… 08FR

§ 4. Application aux séries à termes positifs

Proposition 1 Soient (uₙ) et (vₙ) deux séries à termes positifs. Si uₙ ll vₙ, et si la série (vₙ) est convergente, la série (uₙ) est convergente; si uₙ gg vₙ et si ∑ₙ₌₁^∞ vₙ = +∞, on a ∑ₙ₌₁^∞ uₙ… 08FZ
Proposition 2 Soient (uₙ) et (vₙ) deux séries à termes positifs: 1° Si la série (vₙ) est convergente, la relation uₙ ll vₙ (resp. uₙ ∼ vₙ) entraîne ∑ₚ₌ₙ^∞ uₚ ll ∑ₚ₌ₙ^∞ vₚ (resp. ∑ₚ₌ₙ^∞ uₚ ∼ ∑ₚ₌ₙ… 08G0
Proposition 3 (critère de Cauchy-Maclaurin) Si f est une fonction geqslant 0 et décroissante dans [x₀, +∞[, pour que la série de terme général vₙ = f(n) soit convergente, il faut et il suffit que l’intégrale ∫_x₀^+∞ f(t) dt… 08G1
Proposition 4 (critère logarithmique d’ordre 0) Soit (uₙ) une série à termes positifs; si uₙ ≤ n^μ pour un μ < -1, la série (uₙ) est convergente; si uₙ ≥ n^μ pour un μ ≥ -1, la série (uₙ) a une somme infinie. 08G2
Proposition 5 (critère logarithmique d’ordre $p$) Soit (uₙ) une série à termes positifs. Si uₙ ≤ frac1n.l₁(n).l₂(n)… lₚ₋₁(n) (lₚ(n))^μ pour un μ > 1, la série (uₙ) est convergente; si uₙ ≥ frac1n.l₁(n)… lₚ₋₁(n) (lₚ(n))^μ pour un μ… 08G3
Proposition 6 Soit g une fonction numérique 0 et monotone définie dans un intervalle [x₀, +∞[ (où x₀ ≤ 1), et telle que log g et x soient comparables d’ordre 1. 08G4
Exemple Soit g(x) = xˣ = exp(x log x), d’ordre +∞ par rapport à eˣ. En prenant p = 2, on a (n-1) log (n-1) = (n-1) log n - 1 + 1/2n + o(1/n) d’où (V, p. 16) (n-1)ⁿ⁻¹ = 1/e nⁿ⁻¹ + 1/2e nⁿ⁻²… 08G5
Exemple Soit g(n) = 1/n; on a sₙ = ∑ₘ₌₁ⁿ 1/m ∼ ∫₁ⁿ dt/t = log n puis 1/n - (log n - log (n-1)) ∼ - 1/2n² d’où sₙ = log n + γ + 1/2n + o(1/n). La constante γ qui s’introduit dans cette form… 08G6
Exemple formule de Stirling. — Cherchons un développement asymptotique de n!; on est ramené à développer sₙ = ∑ₚ₌₁ⁿ log p, puis exp(sₙ). La méthode du no 2 donne successivement sₙ = ∑ₚ₌₁ⁿ… 08G7
Proposition 7 (critère de Raabe) Soit (uₙ) une série à termes > 0 à partir d’un certain rang. Si, à partir d’un certain rang, uₙ₊₁/uₙ ≤ 1 - α/n pour un α > 1, la série (uₙ) est convergente ; si à partir d’un certa… 08G8
Proposition 8 Soit (uₙ) une série à termes > 0 à partir d’un certain rang. Si, à partir d’un certain rang, on a fracuₙ₊₁uₙ ≤ 1 - 1/n - 1/n.l₁(n) - … - frac1n.l₁(n).l₂(n) … lₚ₋₁(n) - α/(n.l₁(n).l… 08G9
Exemple Considérons la série hypergéométrique, de terme général uₙ = (α(α + 1) … (α + n - 1) β(β + 1) … (β + n - 1))/(1.2 … n. γ(γ + 1) … (γ + n - 1)) où α, β, γ sont des nombres réels que… 08GA
Remarque 1 Comme cas particulier du critère de Raabe, on voit que si limsup_n → ∞ uₙ₊₁/uₙ < 1, la série (uₙ) est convergente ; si au contraire liminf_n → ∞ uₙ₊₁/uₙ > 1, la série a une somme i… 08GB
Remarque 2 Les critères de seconde espèce ne peuvent s’appliquer qu’à des séries dont le terme général se comporte de façon très régulière lorsque n tend vers +∞ ; autrement dit, leur champ d… 08GC

App. 0. Corps de Hardy. Fonctions (H)

Définition 1 Étant donné un sous-ensemble 𝔄 de H(𝔉, R), on dit que 𝔄/R_∞ (image canonique de 𝔄 dans H(𝔉, R)/R_∞) est un corps de Hardy, si 𝔄 satisfait aux conditions suivantes: 1° 𝔄/R_∞ est un… 08GO
Exemple 1 Tout corps de Hardy contient le corps des constantes rationnelles (plus petit corps de caractéristique 0, cf. A, V, § 1), qu’on peut identifier au corps Q; d’ailleurs, comme deux c… 08GP
Exemple 2 Un exemple plus important de corps de Hardy est l’ensemble des fonctions rationnelles à coefficients réels, que nous noterons R(x) par abus de langage; si f(x) = p(x)/q(x) est une… 08GQ
Lemme 1 Soient a(x), b(x) des fonctions numériques continues et ne changeant pas de signe dans un intervalle (x₀, +∞[. Si, dans cet intervalle, la fonction y(x) est continue et dérivable e… 08GR
Remarque Cette propriété si élémentaire ne s’étend pas aux équations différentielles linéaires d’ordre > 1; par exemple, la fonction y = sin x satisfait à y'' + y = 0, mais change de signe… 08GS
Lemme 2 Soient a(x) et b(x) deux fonctions appartenant à un même corps de Hardy 𝔎, y(x) une fonction satisfaisant à l’identité (1) dans un intervalle (x₀, +∞[ où a et b sont définies et co… 08GT
Théorème 1 Soient a(x) et b(x) deux fonctions appartenant à un même corps de Hardy A, y(x) une fonction satisfaisant à (1) dans un intervalle (x₀, +∞[. Lorsque r(u) = p(u)/q(u) parcourt l’ens… 08GU
Corollaire 1 Si y est une fonction de A non identiquement nulle dans un voisinage de +∞, A(log|y|) est un corps de Hardy. 08GV
Corollaire 2 Si y est une fonction quelconque de A, A(eʸ) est un corps de Hardy. 0E5S
Corollaire 3 Si A contient les constantes réelles, et si y est une fonction de A non identiquement nulle dans un voisinage de +∞, g(|y|^α) est un corps de Hardy pour tout nombre réel α. 0E5T
Proposition 1 Deux fonctions appartenant à un même corps de Hardy sont comparables d’ordre quelconque (V, p. 22). 08GW
Proposition 2 Soit f une fonction appartenant à un corps de Hardy 𝔄. 1° Si f est d’ordre infini par rapport à x, on a, pour tout entier n > 0, f⁽ⁿ⁾(x) ∼ frac(f'(x))ⁿ(f(x))ⁿ⁻¹. 2° Si f est d’ordr… 08GX
Proposition 3 Si ℜ₀ est un corps de Hardy, il existe un corps de Hardy ℜ, contenant ℜ₀ et tel que, pour toute fonction z ∈ ℜ, non identiquement nulle dans un voisinage de +∞, eᶻ et log |z| appar… 08GY
Définition 2 On appelle corps des fonctions (H) l’extension (H) du corps de Hardy R(x) des fonctions rationnelles à coefficients réels. Toute fonction appartenant à cette extension est dite fon… 08GZ
Remarque Malgré l’utilité pratique de l’échelle E que nous venons de définir, il est facile de donner des exemples de fonctions (H) qui n’ont pas de partie principale par rapport à E. En ef… 08H0
Proposition 4 Soient p et q deux fonctions (H) strictement positives dans un intervalle (x₀, +∞). ↩ 1 08H1
Remarque Les conditions imposées à q(x) ne peuvent être améliorées, comme le montrent les exemples suivants: 08H2
Proposition 5 Soit g une fonction (H) non équivalente à une constante ≠ 0 et telle que g(x) ll x, et soit u(x) la fonction réciproque de x - g(x), définie dans un voisinage de +∞. Soit (uₙ) la s… 08H3
Remarque 1 Si g est d’ordre < 1 par rapport à x, la fonction u(x) - uₙ(x) tend vers 0 avec 1/x dès que n est assez grand. En effet, dans le cas contraire, on aurait ggⁿ gg 1 pour tout n, donc… 08H4
Remarque 2 Lorsque g(x) est une fonction (H) équivalente à une constante k ≠ 0, on a g(x) = k + g₁(x), avec g₁ ll 1; la fonction u₁(x) = u(x) - k est fonction réciproque de x - g₁(x + k), et… 08H5
Exemples 1) Cherchons un développement asymptotique de la fonction réciproque v(x) de x⁵ + x (pour x tendant vers +∞); en posant x⁵ = t, on est ramené à chercher un développement de la fonc… 08H6
Remarque On notera que deux fonctions (H) équivalentes peuvent avoir des fonctions réciproques non équivalentes, comme le montre l’exemple des deux fonctions log x et 1 + log x. 08H8

VI. Développements tayloriens généralisés. Formule sommatoire d’euler–maclaurin

§ 1. Développements tayloriens généralisés

Définition 1 On dit qu’un opérateur U dans K[X] est un opérateur de composition s’il est permutable avec l’opérateur de translation, c’est-à-dire si U_X T_Y = T_Y U. 08HO
Exemple 1 Pour tout λ ∈ K, l’opérateur qui, à tout polynôme f(X), fait correspondre le polynôme f(X + λ), est un opérateur de composition. ↩ 1 08HP
Exemple 2 La dérivation D dans K[X] est un opérateur de composition (cf. prop. 1). 08HQ
Remarque Comme K est un corps infini, pour que l’opérateur U dans K[X] soit un opérateur de composition, il faut et il suffit que pour tout polynôme f ∈ K[X] et tout élément α ∈ K, on ait… 08HR
Proposition 1 Pour qu’un opérateur U dans K[X] soit un opérateur de composition il faut et il suffit qu’il soit permutable avec la dérivation D dans K[X]. 08HS
Théorème 1 L’application qui, à toute série formelle u(S) = ∑ₖ₌₀^∞ αₖ Sᵏ à une indéterminée sur K, fait correspondre l’opérateur de composition u(D) = ∑ₖ₌₀^∞ αₖ Dᵏ dans K[X], est un isomorphi… 08HT
Corollaire L’algèbre Γ des opérateurs de composition dans K[X] est commutative. 08HU
Exemple Si U est l’opérateur qui, à tout polynôme f(X), fait correspondre f(X + λ) (où λ ∈ K), on a U₀(Xᵏ) = λᵏ, et par suite U = ∑ₖ₌₀^∞ 1/k! (λ D)ᵏ. Par analogie avec le développement en… 08HV
Scholie L’isomorphie de l’algèbre K[[S]] des séries formelles et de l’algèbre Γ des opérateurs de composition dans K[X], permet parfois de démontrer plus simplement des propositions relati… 08HW
Proposition 2 Tout opérateur de composition d’ordre 0 est inversible dans l’algèbre Γ des opérateurs de composition dans K[X]. 08HX
Proposition 3 Soit U un opérateur de composition d’ordre p; pour tout polynôme f de degré < p, U(f) = 0; pour tout polynôme f ≠ 0 de degré n ≥ p, U(f) est un polynôme ≠ 0 de degré n - p. 08HY
Définition 2 Soit U = Dᵖ V un opérateur de composition d’ordre p dans K[X]. On appelle polynôme d’Appell d’indice n attaché à l’opérateur U le polynôme uₙ(X) = V⁻¹(Xⁿ). 08HZ
Proposition 4 Les polynômes d’Appell attachés à U satisfont aux relations 08I0
Proposition 5 Pour tout polynôme f ∈ K[X] et tout opérateur de composition U d’ordre p, on a 08I1
Proposition 6 Soit U = DᵖV = u(D) un opérateur de composition d’ordre p dans K[X], u(S) étant une série d’ordre formelle p dans K[[S]]. On a alors les formules 08I2
Définition 3 On dit qu’un opérateur U dans E est un opérateur de composition si, pour tout a geqslant 0, il est permutable avec l’opérateur de translation par a. 08I3
Théorème 2 Soit f une fonction admettant une dérivée (n+1)-ème continue dans I, et appartenant à E ainsi que toutes ses dérivées f⁽ᵐ⁾ pour 1 ≤ m ≤ n. Si U est un opérateur de composition d’or… 08I4
Remarque On peut utiliser la formule (33) (resp. (34)) pour le calcul des βₙ (resp. des uₙ(x)) en utilisant le lemme suivant de la théorie des séries entières: 08I5
Lemme Si deux séries entières ∑ₙ₌₀^∞ cₙ λⁿ ∑ₙ₌₀^∞ dₙ λⁿ sont absolument convergentes pour tout λ dans un voisinage de 0, et si on a ∑ₙ₌₀^∞ cₙ λⁿ = ∑ₙ₌₀^∞ dₙ λⁿ pour ces valeurs de λ, alo… 0E5U
Exemple 1 Si U est l’application identique, on a u(λ) = 1, et l’opérateur U est évidemment régulier; comme uₙ(x) = xⁿ, la formule (27) de VI, p. 10, s’écrit, en posant t = ξ - η 08I6
Exemple 2 Prenons pour U l’opérateur de composition qui, à toute fonction f définie dans R₊, fait correspondre la fonction x ↦ f(x + 1) - f(x); on a donc 08I7
Exemple 3 Soit E l’espace vectoriel des fonctions f définies et continues dans R, telles en outre que l’intégrale ∫_-∞^+∞ f(x + ξ)e^-ξ²/2\ dξ soit convergente pour tout x geqslant 0. L’opéra… 08I8

§ 2. Développements eulériens des fonctions trigonométriques et nombres de Bernoulli

Proposition 1 Pour tout nombre complexe z et tout entier n, on a 08IC
Corollaire 1 Pour tout entier n, on a 08ID
Corollaire 2 Pour tout entier impair n = 2m + 1, et tout nombre complexe z tel que nz ne soit pas multiple entier de π, on a 08IE
Théorème 1 Pour tout nombre complexe z distinct d'un multiple entier de π, on a cotg z = 1/z + ∑ₙ₌₁^∞ 2z/(z² - n² π²) la série du second membre étant normalement convergente dans tout ensembl… ↩ 1 08IF
Théorème 2 Pour tout nombre complexe z, on a sin z = z ∏ₙ₌₁^∞ (1 - z²/n²π²) le produit infini du second membre étant absolument et uniformément convergent dans toute partie compacte de C (dév… 08IG

VII. La fonction gamma

§ 1. La fonction gamma dans le domaine réel

Proposition 1 Il existe une fonction convexe et une seule g, définie dans ]0, +∞[, satisfaisant à l’équation (3) et prenant la valeur 0 pour x = 1. 08IX
Définition 1 On désigne par Γ(x) la fonction > 0 définie dans l’intervalle ]0, +∞[, satisfaisant à l’équation 08IY
Proposition 2 Pour tout x > 0, on a 08IZ
Lemme 1 Soient f et g deux fonctions > 0 et deux fois dérivables dans un intervalle ouvert I. Si f et g sont logarithmiquement convexes dans I, f + g est logarithmiquement convexe dans I. 08J0
Lemme 2 Soit une fonction numérique finie et > 0, définie et continue dans le produit I × J de deux intervalles ouverts dans R et telle que, pour tout t ∈ J, la fonction x ↦ f(x, t) soit l… 08J1
Lemme 3 Soit φ une fonction continue et > 0 dans un intervalle ouvert J contenu dans ]0, +∞[. Si I est un intervalle ouvert tel que l’intégrale g(x) = ∫_J tˣ⁻¹φ(t)dt soit convergente pour… 08J2
Proposition 3 Pour tout x > 0, on a Γ(x) = ∫₀^∞ e⁻ᵗ tˣ⁻¹\ dt (seconde intégrale eulérienne). 08J3
Proposition 4 Pour x > 0 et y > 0, l’intégrale B(x, y) = ∫₀¹ tˣ⁻¹(1-t)ʸ⁻¹ dt (première intégrale eulérienne) a pour valeur B(x, y) = Γ(x)Γ(y)/(Γ(x+y)). En effet, l’intégrale est convergente pour… 08J4

§ 2. La fonction gamma dans le domaine complexe

Proposition 1 Pour tout z complexe, on a 08JB
Corollaire Pour tout t réel, on a 08JC
Proposition 2 Pour tout nombre complexe z distinct d’un entier ≤ 0 et pour tout entier p > 0, on a Γ(z/p) Γ((z+1)/p) … Γ((z+p-1)/p) = (2π)^(p-1)/2 p¹⁻ᶻ Γ(z) (formule de multiplication de Legendr… 08JD
Proposition 3 Pour tout nombre réel x > 0, on a ∫ₓˣ⁺¹ log Γ(t) dt = x(log x - 1) + 1/2 log 2π (intégrale de Raabe). 08JE
Proposition 4 Suivant le filtre 𝔉, on a (pour tout entier p ≥ 1) le développement asymptotique log Γ(z) ≡ z log z - z - 1/2 log z + 1/2 log 2π \\ + ∑ₖ₌₁ᵖ fracb₂ₖ2k(2k-1) frac1z²ᵏ⁻¹ + O ( frac1(ω… 08JF
Corollaire Suivant le filtre 𝔉, on a Γ(z) ∼ sqrt2π exp ( z log z - z - 1/2 log z ). En particulier, pour x réel et tendant vers +∞, la formule (20) s’écrit Γ(x) ∼ sqrt2π x^x-1/2 e⁻ˣ, 08JG
Proposition 5 Suivant le filtre 𝔉, on a (pour tout entier p geqslant 1), le développement asymptotique 08JH