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命题索引

实变函数的 363 个命题，按章和节排列。选择一种类型，按词筛选，或把被引用最多的排在前面。

引用最多的在前

I. 衍生品

§ 1. 。一阶导数

定义 1 令 f 为向量函数在间隔 I ⊂ R 上定义，该区间不将约化定义为单个点。我们说 f 在点 x₀ ∈ I if 处可微 lim_x → x₀, x ∈ I, x ≠ x₀ (f(x) - f(x₀))/(x - x₀) 存在（在向量空间中，其中f取其值）；这个极限的值称为f在点x₀的一阶导数（或简称导数），用f'(x₀)或Df(x₀)表示。 082P
注 1 在运动学中，如果点f(t)是点在空间R³在时间t的位置，则fracf(t) - f(t₀)t - t₀称为时刻t₀和t之间的平均速度，其极限f'(t₀)是t₀时刻的瞬时速度（或简称速度）（当极限存在时）。 082Q
注 2 如果在I上定义的函数f在点x₀ ∈ I可微，则它在点相对于I必然是连续的。 082R
定义 2 令 f 为向量函数，在区间 I ⊂ R 上定义，并令 x₀ 为 I 的点，使得区间 I ∩ [x₀, +∞[（分别为 I ∩ ]-∞, x₀]）不会约化至单个点。如果f的限制到区间I ∩ [x₀, +∞[（或I ∩ ]-∞, x₀]）在点可微，我们说f在右侧（或左侧）在点x₀可微x₀；限制在点x₀的导数的值称为f在点x₀的右（或左）导数，并表示为f'_d(… 082S
例 1 常数函数在每个点处都有零导数。 082T
例 2 仿射线性函数 x ↦ ax + b 在每个点处的导数等于 a。 082U
例 3 实数函数1/x（为x ≠ 0定义）在每个点x₀ ≠ 0处是可微的，因为我们有( 1/x - 1/x₀ ) / (x - x₀) = -1/(x x₀)，并且由于1/x在x₀处连续，因此前面表达式的极限为-1/x₀²。 082V
例 4 在 R 上定义的标量函数 |x|，在 x = 0 具有右导数 +1 和左导数 -1；在这个点处不可微分。 082W
例 5 实数函数对于x = 0等于0，对于x ≠ 0等于x sin 1/x，在R上定义且连续，但在点x ≠ 0处既没有右导数也没有左导数。可以给出函数的例，它在函数上连续一个区间，并且无法在该区间的每点处求导数（I、p. 35，练习 2 和 3）。 082X
定义 3 我们说定义在区间I ⊂ R上的向量函数f在I上是可微的（分别是右可微、左可微），如果它在I的每个点是可微的（分别是右可微、左可微）；在I上定义的函数x ↦ f'(x)（分别为x ↦ f'_d(x)、x ↦ f'_g(x)），称为派生的函数，或（滥用语言）f的导数（分别为右导数、左导数），并表示为f'或Df 或 df/dx（分别为 f'_d, f'_g）。 082Y
注函数可以在某个区间上可微，但其导数在该区间的每个点处连续（cf. I、p. 36，练习 5）；这通过函数的例等于0（对于x = 0）和x² sin 1/x（对于x ≠ 0）来表示；它到处都有导数，但这个导数在点 x = 0 处不连续。 082Z
命题 1 在区间I ⊂ R上定义向量函数的集合，在给定拓扑向量空间E中取值，并在点x₀可微，为向量空间超过 R，并且映射 f ↦ Df(x₀) 是空间的线性映射变成 E。 0830
推论在区间I上定义向量函数的集合，在给定拓扑向量空间E中取值，并且在I上可微，向量空间超过R，并且映射f ↦ Df是空间的线性映射到映射的向量空间从I到E。 0831
注如果将映射的向量空间从I赋予E，并且将其可微的映射（cf. Gen. Top.，X，p. 277）的子空间与简单收敛的拓扑赋予（或一致收敛的拓扑），线性映射f ↦ Df不连续（一般情况下）对于例，序列或函数fₙ(x) = sin n² x / n一致收敛到0在R，但是序列导数 f'ₙ(x) = n cos n² x 甚至不收敛到 0。 0832
命题 2 令E和F为R上的两个拓扑向量空间，以及u从E到F的连续线性映射。如果 f 是在区间 I ⊂ R 上定义的向量函数，在 E 中取值，并且在点 x₀ ∈ I 可微，则复合函数 u ∘ f 的导数等于u(f'(x₀)) x₀. 0833
推论如果φ是E上的连续线性形式，则实数函数φ ∘ f在点x₀处的导数等于φ(f'(x₀))。 0834
例 1 设f = (fᵢ)_1 ≤ i ≤ n为函数，值在Rⁿ中，定义在区间I ⊂ R上；每个实数函数fᵢ都是复合函数prᵢ ∘ f，因此如果f是可微的，则在点x₀可微，如果是，则f'(x₀) = (f'ᵢ(x₀))_1 ≤ i ≤ n可微。 0835
例 2 In Kinematics, if f(t) is the position of a moving point M at time t, if g(t) is the position at the same instant of the projection M' of M onto a plane P (resp. a line D) with ker… 0836
例 3 令f为在区间I ⊂ R上定义的复值函数，并令a为任意复数；支柱。图 2 表明，如果 f 在点 x₀ 可微，那么af 也可微，并且该函数在 x₀ 的导数等于 af'(x₀)。 0837
命题 3 对于每个指标 i (1 ≤ i ≤ p) 令 fᵢ 为函数，在区间 I ⊂ R 上定义，在 Eᵢ 中取值，并在点 x₀ ∈ I 处可微。然后函数 0838
例 1 设f为实数函数、g向量函数，两者在点x₀可微；函数 gf 在 x₀ 处的导数等于 g'(x₀)f(x₀) + g(x₀)f'(x₀)。特别是，如果 a 是常数，则 af 具有导数 af'(x₀)。最后的注，在合取中，例 1 of I，p. 5，证明如果f = (fᵢ)_1 ≤ i ≤ n是向量函数，值在Rⁿ中，那么对于f 在点 x₀ 处可微，实数函数 fᵢ… 0839
例 2 真正的函数 xⁿ 来自多重线性函数 083A
例 3 欧氏标量乘积(x| y)（Gen.Top，VI，p. 40）是Rⁿ × Rⁿ到R的双线性映射（必须连续）。如果 f 和 g 是两个向量函数，其中值在 Rⁿ 中，并且在点 x₀ 处可微，则实数函数 x ↦ (f(x)|g(x)) 在处的导数等于 (f'(x₀)|g(x₀)) + (f(x₀)|g'(x₀)) 点x₀。厄米特标量乘积在Cⁿ上有一个类似的结果，… 083B
例 4 如果E是R上的拓扑代数（cf.简介），E的两个元素的乘积xy是(x, y)的连续双线性函数；如果f和g在E有值并且在点x₀可微，那么函数x ↦ f(x)g(x)在x₀有等于f'(x₀)g(x₀) + f(x₀)g'(x₀)的导数。特别是，如果 U(x) = (αᵢⱼ(x)) 和 V(x) = (βᵢⱼ(x)) 是阶 n 的两个方阵，在 x₀ 可微，则它们的乘… 083C
例 5 来自空间 Rⁿ（代数，III，p. 522）的 n 向量 xᵢ = (xᵢⱼ)_1 ≤ i ≤ n 的行列式 det(x₁, x₂, …, xₙ) 是 xᵢ 的（连续）多重线性函数，我们可以看到，如果 n² 实数函数 fᵢⱼ 在 x₀ 处可微，那么它们的行列式 g(x) = det(fᵢⱼ(x)) 的导数等于 ∑ᵢ₌₁ⁿ [ f₁(x₀), …, fᵢ₋₁(… 083D
注如果U(x)是平方矩阵，在点x₀可微且可逆，则其行列式Δ(x) = det(U(x))的导数可以通过U(x)对公式的导数来表示 Δ'(x₀) = Δ(x₀) · Tr(U'(x₀) U⁻¹(x₀)). 事实上，让我们输入 U(x₀ + h) = U(x₀) + h V；那么，到定义时，当h趋于0时，V趋于U'(x₀)。可以写 Δ(x₀ + h) = Δ(x₀… 083E
命题 4 设 E 为完全范数代数，单位元超过R，并令f为定义在区间I ⊂ R上的函数，在E中取值，并在点x₀ ∈ I可微。如果y₀ = f(x₀)在E中可逆²，则函数x ↦ (f(x))⁻¹定义在x₀的邻域上（相对于I），并且在x₀处具有等于-(f(x₀))⁻¹ f'(x₀) (f(x₀))⁻¹的导数。 083F
例 1 最重要的特殊情况是，其中 E 是域 R 或 C 之一：如果 f 是函数，实数或复数值，可在点 x₀ 微分，并且使得 f(x₀) ≠ 0，则 1/f 的导数等于-f'(x₀)/(f(x₀))² x₀。 083G
例 2 如果U = (αᵢⱼ(x))是阶n的平方矩阵，在x₀可微且在点可逆，则U⁻¹在x₀的导数等于-U⁻¹ U' U⁻¹。 083H
命题 5 令f为在区间I ⊂ R上定义的实数函数，并在区间R包含f(I)上定义g向量函数。如果 f 在点 x₀ 可微，且 g 在点 f(x₀) 可微，则复合函数 g ∘ f 在 x₀ 的导数等于 g'(f(x₀)) f'(x₀)。 ↩ 1 083I
命题 6 设f为区间I ⊂ R到区间J = f(I) ⊂ R的同态，并令g为逆同态³。如果 f 在点 x₀ ∈ I 可微，并且如果 f'(x₀) ≠ 0，则 g 在 y₀ = f(x₀) 具有等于 1/f'(x₀) 的导数。 083J
推论如果f在I上可微，并且f'(x) ≠ 0在I上可微，则g在J上可微，并且其在每个点y ∈ J处的导数为1/f'(g(y))。 083K
注 1 所有前面的命题，对于函数在点x₀可微，立即产生命题对于函数，它们在x₀右（或左）可微，当，而不是函数本身，人们认为它们的限制为交的间隔定义和间隔 [x₀, +∞[（分别为 ]-∞, x₀]）；我们让读者来陈述它们。 083L
注 2 前面的定义和命题（除了那些涉及右导数和左导数的）扩展很容易地到这样的情况：其中一个替换R由任意可交换的非离散拓扑域K，以及拓扑向量空间（分别是拓扑）代数）超过R，拓扑向量空间（或拓扑代数）超过K。在定义中。 1、道具。 1、2 和 3 在 K 中通过 x₀ 的邻域就足够了替换 I；在道具中。 4 必须进一步假设映射 y ↦ y' 已定义并且在 E 中… 083M
例在点x = 0函数x^1/3（x³的逆函数，R自身同胚）有一个导数，等于+∞；在x = 0函数|x|^1/3有右导数+∞和左导数-∞。 083N
定义 4 我们说，在拓扑空间 E 的子集 A 上定义的实函数 f，如果存在邻域 V，则相对于 A 在点 x₀ ∈ A 处具有相对最大值（严格相对最大值、相对最小值、严格相对最小值） E 中的x₀，使得与x₀不同的每个点x ∈ V ∩ A都有f(x) ≤ f(x₀)（分别为f(x) < f(x₀)、f(x) ≥ f(x₀)、f(x) > f(x₀)）。 083O
命题 7 令 f 为有限实数函数，定义在区间 I ⊂ R 上。如果f在I内部的点x₀处承认相对最大值（或相对最小值），并且在该点处具有右导数和左导数，则有f'_d(x₀) ≤ 0和f'_g(x₀) ≥ 0（分别为f'_d(x₀) ≥ 0和f'_g(x₀) ≤ 0);特别是，如果 f 在点 x₀ 可微，则 f'(x₀) = 0。 083P

§ 2. 。平均值值定理

命题 1（“罗尔的定理”） 令f为实数函数，它在闭区间I = [a, b]（其中a < b）上是有限且连续的，在]a, b[的每个点处具有导数（有限或非），并且使得f(a) = f(b)。那么存在]a, b[的点c使得f'(c) = 0。 083Z
推论令f为实数函数，它在[a, b]（其中a < b）上是有限且连续的，并且在每个点有一个导数（有限或非）。那么存在]a, b[的点c使得f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)。 0840
命题 2 设 f 是一个实数函数，它在闭有界区间 I = [a, b] （其中 a < b）上是有限且连续的，并且具有右导数（有限或非）可数子集中 [a, b) 中的相对补数的点 A 这个区间。如果f'_d(x) ≥ 0在[a, b[的每点不是属于到A，则有f(b) ≥ f(a)；如果进一步，f'_d(x) > 0对于[a, b[中的至少一个点，则f(b) > f(… ↩ 2 0841
推出设f是[a, b]（其中a < b）上的有限连续实数函数，并且对该区间的可数子集A的[a, b[中的补集具有右导数点。为了使f在I上成为递增，f'_d(x) ≥ 0在[a, b[的每个点处是必要且充分的，而不是属于到A；为了使f成为严格递增的，前面的条件成立是必要且充分的，并且点x的集合成立，其中f'_d(x) > 0在[a, b]中稠密。 0842
注 1 当替换区间 [a, b[ 通过 ]a, b 和字 “右导数”通过“左导数”时，命题 2 仍然成立。 0843
注 2 闭区间I上f上的连续性的假设（而不仅仅是[a, b[的每个点的右连续性⁴）对于道具的有效性至关重要。 2（cf. I、p. 36、练习 8）。 0844
注 3 道具的结论。如果仅仅假设“例外”点的集合A在I中不密集，但不可数（cf.I，p. 37，练习3），则不能保证2。 0845
注 Th。如果允许 f'_d 和 g' 在I 的不可数子集上同时无限（cf. I，p. 37，执行 3），则 1 失败。 0846
推论设f是[a,\ b]（其中a < b）上的有限连续函数，并且在该区间的可数子集的[a,\ b[中具有相对补B的右导数（有限或非）点。如果 m 和 M 比最大的低，且 B 上的 f'_d 至少有上界，则有 0847
注 The inequalities (5) prove that a continuous function cannot have right derivative equal to +∞ at all points of an interval (cf. I, p. 38, exerc. 6). 0848
定理 2 令 f 定义为向量函数，并在 R（其中 a < b）的闭有界区间 I = [a,\ b] 上定义且连续，并在 R 上的范数空间 E 中取值；设g是I上连续的递增实数函数。假设f和g在该区间的可数子集A的[a,\ b[中的相对补集的所有点处具有右导数（允许g'ᵣ(x)在点x ∉ A的某些处无限），并假设在每个点我们有 ↩ 1 0849
注 1 再次，在第叙述。 2 可以通过 ]a, b] 得到替换区间[a, b[，并通过“左导数”得到“右导数”。 084A
注 2 稍后我们将展示如何对 (7) 中的认同等式进行处理，以及如何推广它。 2 到 E 是任意局部凸空间的情况，借助证明的另一个方法可以推导出 th。 2 从 th. 1. 084B
推出对于区间 I ⊂ R 上的连续向量函数，其中值在R 上的赋范空间 E 中，要在 I 上保持不变，只要它在补集的点处具有零右导数就足够了（相对于I）I的可数子集。 084C
注证明的。 1和2本质上依赖于域R的特殊拓扑性质；可以给出值域 K 的例，其中 K 对其自身存在非常量线性映射，并且在每个点具有零导数（cf. I、p. 37，练习 2）。 084D
命题 3 设f为向量函数，其中值位于R上的范数空间E中，在区间I ⊂ R上定义且连续，并且在可数的补集B（相对于I）上右可导子集共 I；那么对于所有点x₀ ∈ B, x ∈ I, y ∈ I，有一个（假设x < y，对于例） 084E
命题 4 设f是定义在域C的凸开子集A上的复变量的连续可微函数，其中值位于规范的空间E上域C。如果一个人对所有 z ∈ A 都有 |f'(z)| ≤ m，那么对于点 a, b A 中的每一个对，一个人都拥有 |f(b) - f(a)| ≤ m |b - a|。 084F
推出对于复杂变量的向量函数f，在开集合A ⊂ C上定义且连续，并且值在C上的规范化空间中，要保持不变，只需有零 A 的每点的导数。 084G
命题 5 令f为复数变量的向量函数，在凸开集合A ⊂ C上定义、连续且可微，将值取入域C上的标准化空间；那么，无论A中的点x₀, x和y，都有 |f(y) - f(x) - f'_d(x₀)(y - x)| ≤ |y - x| sup_z ∈ A |f'(z) - f'(x₀)|. (10) 084H
命题 6 设I为R中的开区间，x₀为I的端点之一，f向量函数在I上定义且连续，值在完全规范的空间中E超过R；假设f在点处有I的可数子集的I补集B的右导数。那么对于f'_d(x)有极限，因为x趋向于x₀，同时保持在B和≠ x₀，(f(y) - f(x))/(y - x)有极限c是充分必要的，因为(x, y)趋向于(x₀, x₀) 受x ∈ I, y ∈ I, x ≠ x… 084I
注类似的论点，基于 th。 1，表明如果 f 是实数函数，使得 f'_d(x) 在点 x₀ 趋向于 +∞，则比率 084J

§ 3. 。高阶阶的衍生物

命题 1 The set of vector functions defined on an interval I ⊂ R, taking values in a given topological vector space E, and having an nᵗʰ derivative on I, is a vector space over R, and f ↦… 084Y
命题 2（“莱布尼兹”公式”） 设E, F, G是R、和(x, y) ↦ [x.y]的三个拓扑向量空间E × F的连续双线性映射到G。如果 f (分别 g) 在区间 I ⊂ R上定义，将其值放入 E (分别 F) 并且有一个 nᵗʰ 右 I求导，那么 [f.g] 有一个 nᵗʰ 右 I的导数，由公式给出 084Z
定理 1 如果函数f在点a有nᵗʰ导数，那么 0850
命题 3 如果|f^(n+1)(x)| ≤ M在I上，那么我们有 |rₙ(x)| ≤ M frac|x - a|ⁿ⁺¹(n + 1)! 在I。 0851
推论如果 f 是有限实数函数，且具有阶 n + 1 在 I 上的导数，且如果 m ≤ f^(n+1)(x) ≤ M 在 I 上，则对于所有 x ≥ a 在 I 其中一个有 m frac(x - a)ⁿ⁺¹(n + 1)! ≤ rₙ(x) ≤ M frac(x - a)ⁿ⁺¹(n + 1)! 并且第二个项不能等于第一个（分别第三个）除非f^(n+1)是常数并等于m… 0852
注 1 我们已经在第证明注意到了。 1 如果f在I上有阶n的导数，并且如果 f(x) = a₀ + a₁(x - a) + a₂(x - a)² + ⋯ + aₙ(x - a)ⁿ + rₙ(x) 是点 a 处阶 n 的泰勒展开，则点 a 处 f' 阶 n - 1 的泰勒展开为 f'(x) = a₁ + 2a₂(x - a) + ⋯ + naₙ(x - a)ⁿ⁻¹ +… 0853
注 2 同样的假设，(11)中的系数aᵢ由关系递归确定 0854
注 3 阶 n 的导数的定义和前面的结果立即推广到复变量的函数；我们不会在这里进一步讨论这个话题；这将在本级数后面的书中详细讨论。 0855

§ 4. 。实变量的凸函数

引理令A = (a, a')、B = (b, b')、C = (c, c')为R²中的三个点，使得a < b < c。以下叙述是等效的： 085O
定义 1 我们说，在区间 I ⊂ R 上定义的有限数值函数 f，在 I 上是凸的，如果，无论 I 的点 x, x'，(x < x')，每点 M_z f的图G，使得x ≤ z ≤ x'位于线段MₓM_x'下方（或者，如果该线段的每个点位于G上方，结果相同）（图2）。 085P
注以同样的方式，点的集合位于严格上方G 是凸的。相反，如果这个集合是凸的，则有 085Q
例 1 每个（实数）仿射线性函数 ax + b 在 R 上都是凸的。 085R
例 2 函数 x² 在 R 上是凸的，因为有 085S
例 3 函数 |x| 在 R 上是凸的，因为 085T
定义 2 我们说，在区间I ⊂ R上定义的有限实数函数f在I上严格凸，如果对于I（x < x'）的任何点x, x'，图的每个点M_z f 的 G，使得 x < z < x' 严格位于线段 Mₓ M_x' 之下（或者，如果除了端点之外，线段的每个点都严格位于 G 之上）。 085U
命题 1 令 f 为区间 I ⊂ R 上的凸（或严格凸）有限实数函数。对于p ≥ 2的每个家庭(xᵢ)_1 ≤ i ≤ p与I不同的点，以及p实数的每个家庭(λᵢ)_1 ≤ i ≤ p，使得0 < λᵢ < 1和∑ᵢ₌₁ᵖ λᵢ = 1，我们有 085V
命题 2 Let fᵢ (1 ≤ i ≤ p) be p convex functions on an interval I ⊂ R, and cᵢ (1 ≤ i ≤ p) be p arbitrary positive numbers; then the function f = ∑ᵢ₌₁ᵖ cᵢ fᵢ is convex on I. 此外，如果对于至少一个指标 j… 085W
命题 3 设(f_α)是区间I ⊂ R上的凸函数族；如果该族的上包络g在I的每个点处是有限的，则g在I上是凸的。 085X
命题 4 设H是凸函数在区间I ⊂ R上的集合；如果𝔉是H上的一个滤波器，它在I上逐点收敛到有限实数函数f₀，那么这个函数在I上是凸的。 085Y
命题 5 对于实数有限函数f，在区间I上凸（或严格凸），对于所有a ∈ I，梯度是必要且充分的 085Z
命题 6 令 f 为区间 I ⊂ R 上的有限实数函数凸。那么在 I 函数 f 的每个内部点 a 都是连续的，具有有限的右导数和左导数，以及 f'_g(a) ≤ f'_d(a)。 0860
推论 1 令 f 为 I 上的凸（或严格凸）函数；如果a和b是I的两个内部点，使得a < b其中一个有（图3） 0861
推论 2 如果f在I上凸（或严格凸），则f'_d和f'_g在I的内部是递增（或严格递增的）； f不可微分的I中的点的集合是可数的，f'_d和f'_g在点处连续，其中f可微分。 0862
注如果f是开区间I上的严格凸函数，则f'_d是I上的严格递增的，因此根据prop，存在三种可能的情况。 I、p. 13 中的 2 个： f在I上是严格递减； f在I上是严格递增的；存在一个a ∈ I，使得f对于x ≤ a来说是严格递减，对于x ≥ a来说是严格递增的。 0863
命题 7 令 f 为定义在区间 I ⊂ R 上的有限实数函数。为了使f在I上凸，对于数a, b的I的每个对，使得a < b，并且对于每个实数μ，函数是必要和充分的f(x) + μ x 在 [a, b] 点 a, b 之一达到其最高值。 0864
命题 8 对于开区间I ⊂ R上的有限实数函数f来说，它是凸（或严格凸）的，它在I上连续是必要且充分的，在补集B相对于可数的I的每个点都有一个导数该区间的子集，并且在 B 上的导数为递增（分别为严格递增的）。 0865
推论令f为有限实数函数，连续且在区间I ⊂ R上可微分；对于f在I上凸，f''(x) geqslant 0对于所有x ∈ I是必要且充分的；为了使f在I上严格凸，满足前面的条件是必要且充分的，并且进一步满足点x ∈ I的集合，其中f''(x) > 0在I中稠密。 0866
例在区间 ]0, +∞ [ 函数 xʳ (r 任意实数) 上，二阶导数等于 r(r-1)x⁻²；因此，如果r > 1或r < 0，它是严格凸的，如果0 < r < 1，它是严格凹的。 \ 0867
命题 9 设f为实有限函数，它是开区间I ⊂ R上的上半连续。为了使f在I上凸出，对于f的图G的每个点Mₓ来说，G上的每条线局部在点上都应该局部在G上（在点处）是必要且充分的Mₓ). 0868
推论 1 对于实数有限函数 f 定义在开区间 I ⊂ R 上半连续在 I 凸在 I 对于所有 x ∈ I 应该存在一个 ε > 0 使得关系 |h| ≤ ε 需要 0869
推论 2 令 f 为在开区间 I ⊂ R 上定义的有限实数函数。如果对于每个点 x ∈ I 存在一个开区间 Jₓ ⊂ I 包含 x 并且使得 f 到 Jₓ 的限制在 Jₓ 上凸，那么 f 在I. 086A

II. 原语和积分

§ 1. 。原语和积分

定义 1 给定在区间I ⊂ R上定义的向量函数f，我们说在I上定义的函数g是f的原语，如果g在I上连续并且导数等于f(x) 在I的可数子集的补码（相对于I）的每个点x。 0870
命题 1 Let f be a vector function defined on I with values in E; if f admits a primitive g on I then the set of primitives of f on I is identical to the set of functions g + a, where a is… 0871
定理 1 令A为集合，由过滤器𝔉过滤，(f_α)_α ∈ A为向量函数和值的族向量函数，在R上的完整规范的空间E中，定义在区间上I ⊂ R：对于每个α ∈ A，让g_α作为f_α的原语。我们假设：对于滤波器𝔉函数f_α均匀收敛于I到函数f的每个紧凑子集； 2.存在点a ∈ I，使得对于过滤器𝔉，族(g_α(a))在E中具有极限。在这些假设下，函数g_α（相对于𝔉）… ↩ 1 0872
推论 1 从I到映射的集合H进入E，它在区间I上承认一个原语是从映射的完整向量空间F_c(I; E)的封闭（因此完整）向量子空间 I转化为E，在I的每个紧凑子集上赋予拓扑一致收敛性（Gen.Top.，X，p. 277）。 ↩ 1 0873
推论 2 令x₀为I的点，对于每个函数f ∈ H，令P(f)为f的原语，在点x₀处消失； H到F_c(I; E)的映射f ↦ P(f)是连续的线性映射。 0874
定义 2 One says that a map f of an interval I ⊂ R into a set E is a step function if there is a partition of I into a finite number of intervals Jₖ such that f is constant on each of the… 0875
命题 2 在I上定义的步骤函数的集合，其中向量空间E中的值超过R，是向量空间F(I; E)的向量子空间E将I中的映射转化为E。 0876
推论向量子空间E由特征函数个间隔生成。 0877
定义 3 One says that a vector function, defined on an interval I, with values in a complete normed space E over R, is a regulated function, if it is the uniform limit of step functions on… 0878
定理 2 间隔 I 上的每个受管制函数都承认 I 上的原语。 0879
定理 3 对于定义在区间I上的向量函数f，值在空间E超过R的完整范数中，要进行调节，它有一个右极限和一个左极限是必要和充分的当点属于到I时，I的每个内部点有极限，I的左端点有右极限，I的右端点有左极限。因此，I中f不连续性的点的集合是可数的。 087A
推论 1 令 f 为 I 上的调节函数；在I的每个点处，除了I的右侧端点（或左侧端点）之外，f的每个基元都有等于f(x+)的右导数（或等于f(x-)的左导数）；特别是，在每个点 x 处，其中 f 是连续的，f(x) 是其基元之一的导数。 087B
推论 2 令 fi (1 \leq i \leq n) 在区间 I 上受到 n 调节函数，每个 fi 的值位于 \mathbf{R} (1 \leq i \leq n) 上完整规范的空间 Ei 中。如果 g 是子空间 \prod{i=1}^{n} \overline{fi(I)} of \prod{i=1}^{n} Ei 的连续映射到 \mathbf{R} 上的完整范… 087C
注 1 如果f是I上的实调节函数，并且g是间隔包含f(I)上的调节向量函数，则复合函数g ∘ f不一定是调节的（cf. II，p. 79，练习 4)。 087D
命题 3 在间隔I ⊂ R上的每个连续向量函数在空间E超过R上取其值是受管制的，并且在I上承认一个原语，它是其在每个点处的导数。 087E
注 2 为了证明连续的函数承认一个原语，我们可以使用这样一个事实：实数变量（系数在 E 中）的每个多项式函数都承认一个原语；因为从 Weierstrass 的定理 (Gen. Top., X, p. 313, 命题 3) 开始，每个连续函数都是每个紧区间上多项式的一致极限，th。 1 of II, p. 52 表明每个连续的函数都承认一个原语。 087F
注 3 前面的注扩展的原理没有对复杂变量的向量函数进行重大修改，在C上采用完整规范的空间中的值。如果U是C中的开集合，同胚于C，则在U上定义的此类向量函数f的“原语”由定义上的连续函数定义U，在U的每点处，导数等于f。有了这个定义，th。 II、p. 52 扩展的 1 未经修改（利用U的连通性证明(g_α)关于F一致收敛于U的每个点的邻域，由此由此可见，U的每个紧凑… 087G
命题 4 区间 I ⊂ R 上的每个单调实数函数 f 都是有规律的，f 的每个基元在 I 上都是凸的。 087H
注 4 人们一定不要认为间隔 I 上的受管制函数是唯一在 I 上具有原语的函数（cf. II、p. 80、习题 7 和 8）。 087I
命题 5 令f为区间I上的受规函数，令g为I上f的原语，以及[x₀,\ x]包含在I中的紧致区间。对于每个 ε > 0 都存在数 ρ > 0，这样对于 [x₀,\ x] 的每一个细分为长度 ≤ ρ 的区间都有 | g(x) - g(x₀) - ∑ᵢ₌₀ⁿ⁻¹ f(tᵢ)(xᵢ₊₁ - xᵢ) | ≤ ε (1) 对于每个黎曼和相对于这个细分。 087J
注 1 当f是连续属性时。式5可以更简单地证明：由于f在[x₀,\ x]上一致连续，因此存在ρ > 0，使得在[x₀,\ x]包含的长度≤ ρ的每个区间上，f的振荡为≤ ε/(x - x₀)；对于[x₀,\ x]的每个细分为长度≤ ρ的间隔[xᵢ,\ xᵢ₊₁]以及[xᵢ,\ xᵢ₊₁]中tᵢ的每个选择，对于0 ≤ i ≤ n-1，步骤函数f₁等于f(tᵢ)在 [x… 087K
注 2 对于I上定义的任意函数h，值在E中，元素h(x) - h(x₀)也写为h(t)|_x₀ˣ；通过这个记号，我们可以看出，如果g是I上受监管的函数f的任何原语，则有 087L
注 3 表达式∫_x₀ˣ f(t) dt和g(t)|_x₀ˣ是表示组合的缩写符号，其中出现字母x, x₀, f, g，但不是字母t（cf.集合理论、I、p. 15）；有人说，在这些符号中，t是一个“虚拟变量”：因此，可以通过任何其他不同于x, x₀, f和g的变量（以及可能进入这些符号出现的证明的变量）来计算替换t，而不改变如此获得的符号的含义（读者可以将这些符号与… 087M
注 4 黎曼积分的近似和与积分概念的历史起源之一、面积“度量”的问题密切相关。我们将在《整的》一书中回到这个点，这本书专门讨论了这个问题所引向的积分概念的推广；其中推广函数“集成”不一定定义在R的子集上；此外，即使当处理（不一定受管制）实数变量的实数函数f时，可以定义积分∫_x₀ˣ f(t) dt，函数x ↦ ∫_x₀ˣ f(t) dt并不总是f的原语，并且存在函数… 087N
命题 6（定理的平均值） 设f为紧区间l = [a, b]上的实数调节函数；如果J是I的点的集合，其中f是连续的，并且m = inf_x ∈ J f(x)，M = sup_x ∈ J f(x)，那么 087O
推论 1 如果I上的实调节函数f使得f(x) ≥ 0在点处，其中f是连续的，则1/(b-a) ∫ₐᵇ f(t) dt > 0除非f(x) = 0在点处，其中f是连续的。 087P
推论 2 令f和g为I上的两个实数调节函数，使得g(x) ≥ 0在点，其中g是连续的；如果 m 和 M 是下确界并且 f 的至少上界超过点的集合，其中 f 是连续的，那么 087Q
命题 7 设 f 为紧凑区间 I = [a, b]上的受监管向量函数，与值在完整规范的空间 E，并让 g 成为真正受监管的函数 I，使得g(x) ≥ 0在点，其中g是连续的；在这些情况下 087R

§ 2. 。非紧区间上的积分

定义 1 有人说向量函数f，分段调节在一个区间[a,\ b[ofoverlineR，在这个区间上承认一个积分如果f在[a,\ b[上承认一个原语；如果 g 是 f 在 [a,\ b[ 上的任意一个原语，并且 x₀ 和 x 是 [a,\ b[ 的任意两个点，一个调用元素 g(x) - g(x₀) 的积分 f 从 x₀ 到 x，1 用 ∫_x₀ˣ f(t) dt 表示。 088F
例 i) 整的 ∫₁^+∞ dt/t² 收敛并等于 1，对于 ∫₁ˣ dt/t² = 1 - 1/x. 088G
命题 1（柯西积分准则） 令 f 为区间 I ⊂ R 上的调节函数，具有端点 a 和 b (a < b)。为了使积分∫ₐᵇ f(t) dt存在，对于每个ε > 0存在一个包含在I中的紧致区间J₀ = [α, β]是必要且充分的，这样对于包含在I中并且在公共的中没有内部点和J₀的任何紧致区间K = [x, y]，有一个| ∫_K f(t) dt | ≤ ε. 088H
引理设J₀ = [α, β]为I包含的紧区间。在阶中，| ∫_J f(t) dt - ∫_J' f(t) dt | ≤ ε对于I和包含J'中包含的每个对紧致区间J, J'来说，对于每个紧致区间，| ∫_K f(t) dt | ≤ ε是必要的，并且| ∫_K f(t) dt | ≤ ε / 2就足够了K 包含在 I 中，且公共的中没有内部点，且J₀。 088I
例如果区间I是有界，并且如果f在I上有有界，那么积分∫_I f(t) dt总是存在，对于值定理来说，对于y ≤ α ≤ β ≤ z， | ∫_y^α f(t) dt | ≤ (α - a) sup_t ∈ I |f(v)| , | ∫_βᶻ f(t) dt | ≤ (b - β) sup_t ∈ I |f(x)| 只要α - a和b - β足够小就可以满足柯西… 088J
命题 2 令 f 为区间 I ⊂ R 上的实数调节函数 ≥ 0，端点为 a 和 b (a < b)。为了使积分∫ₐᵇ f(t) dt存在，当J穿过I中包含的紧区间集合时，数∫_J f(t) dt的集合在上面有界是必要且充分的；那么积分∫ₐᵇ f(t) dt就是∫_J f(t) dt的集合中最小的上界。 088K
定义 2 有人说，如果正数函数 | f(x) | 的积分收敛，则规定的函数 f 在区间 I ⊂ R 上的积分绝对收敛。 088L
命题 4 如果f在I上的积分绝对收敛，则它是收敛的，并且有 088M
推论令E, F, G是R上的三个完整范数空间，(x, y) ↦ x.y是从E × F到G的连续双线性映射。令f, g为I上的两个调节函数，值分别位于E和F。如果 f 有界于 I 并且 g 的积分在 I 上绝对收敛，则 [f, g] 的积分绝对收敛。 088N
注积分可以收敛，但不绝对收敛；这就是II、p. 64的例 3 所示，其中级数与一般项uₙ收敛，但不是绝对收敛。 088O

§ 3. 。函数的导数和积分取决于参数

命题 1 Let A be a set filtered by a filter 𝔉, and (f_α)_α ∈ A a family of regulated functions on a compact interval I = [a, b]; if the functions f_α converge uniformly on I to a (regulate… 088Y
推论 1 令 (fₙ) 为紧凑区间 I = [a, b] 上调节的函数的序列。如果序列 (fₙ) 在 I 上一致收敛到（调节的）函数 f，则有 088Z
推论 2 令A为拓扑空间F的子集，并将f映射从I × A变为空间E超过R，这样，对于每个α ∈ A，函数 x ↦ f(x, α)受I监管。如果函数 x ↦ f(x, α) 在 I 上均匀收敛到（调节的）函数 x ↦ g(x)，因为 α 趋于点 α₀ ∈ overlineA，同时保持在 A，则有 0890
命题 2（“积分相对于参数的连续性”） 令F为紧致空间，令I = [a,\ b]为R中的紧致区间，令f为I × F的连续映射到空间E超过R；那么函数h(α) = ∫ₐᵇ f(x, α) dx在F上连续。 0891
定义 1 有人说积分∫_I f_α(t) dt对于α ∈ A一致收敛（或在A上一致收敛），如果对于每个ε > 0存在一个紧致区间J₀ ⊂ J，使得对于公共的和J₀中没有内部点的每个紧致区间K ⊂ I，并且每α ∈ A，就有一个 0892
命题 3 设 (f_α ) 是一个在间隔 I 上受调节的函数族，使得： 1 相对于滤波器𝔉 族 (f_α ) 均匀收敛到函数 f （调节于 I）在I中包含的每个紧凑区间上； 2整的∫_I f_α(t) dt对于每个α ∈ A一致收敛。在这些假设下，整的 ∫_I f(t) dt 收敛，并且有 0893
推论 1 设 (fₙ) 是在任意区间 I 上调节的函数的序列，在 I 中包含的每个紧凑区间上均匀收敛到函数 f；如果积分 ∫_I fₙ(t) dt 一致收敛，则积分 ∫_I f(t) dt 收敛，并且 lim_n → ∞ ∫_I fₙ(t) dt = ∫_I f(t) dt. (9) 0894
注对于公式 (9) 的有效性，该推论中提出的假设是充分的，但不是必要的；稍后我们将推广这个公式，同时推广积分的概念（参见INT，IV），并获得限制性小得多的条件。 0895
推论 2 让 A 成为拓扑空间 F的子集，和 f 映射的 I × A 变成完全规范的空间 E 超过 R，这样，对于每个 α ∈ A，函数 x ↦ f(x, α) 受 I 监管。如果，一方面，函数 x ↦ f(x, α) 均匀地收敛于 I 到函数 x ↦ f(x) 作为 α 趋于 α₀ ∈ overlineA 同时保持在 A；另一方面，如果积分 ∫_I f(x, α… 0896
命题 4（“关于参数的不正确积分的连续性”） 设 F 为紧致空间，让 I 为 R中的任意区间，和 f 从 I × F 连续的映射变成完全规范的空间 E 超过 R；如果积分 h(α) = ∫_I f(x, α) dx 一致收敛于 F，它是 α 在 F 上的连续函数。 0897
命题 5 假设偏导数 f'_α(x, α) 对于所有 x ∈ I 和所有 α 存在于邻域 V α₀，并且对于所有 α ∈ V，映射 x ↦ f'_α(x, α) 受 I 监管。在这些条件下，如果 x ↦ f'_α(x, α) 一致收敛于 I 到 x ↦ f'_α(x, α₀) 作为 α 趋于 α₀，则函数 g(α) = ∫ₐᵇ f(t, α) dt 承认导数，由下… 0898
推论如果偏导数 f'_α(x, α) 存在于 I × V 并且是 (x, α) 在此集合上的连续函数，则函数 g 承认由公式 (12) 给出的导数点α₀。 0899
命题 6 假设道具的假设。 5满足，令a(α)、b(α)为两个函数定义在V、和值在I；如果导数 a'(α₀),\ b'(α₀) 存在且有限，则函数 g(α) = ∫_a(α)^b(α) f(t, α) dt 在 α₀ 承认由公式给出的导数 089A
命题 7 令I为R上的任意区间，f为I × V上的连续函数。假设：偏导数f'_α(x, α)对于所有x ∈ I和所有α ∈ V都存在，并且对于所有α ∈ V，映射x ↦ f'_α(x, α)受I规管；对于所有α ∈ V，f'_α(x, β)在I中包含的每个紧区间一致收敛到f'_α(x, α)，因为β趋向于α；整的∫_I f'_α(t, α) dt一致收敛于V；… 089B
注 1 条件 1 和 2 的支柱。当f'_α(x, α)是(x, α)在I × V上的连续函数时，7满足更不必说。 089C
注 2 在积分∫_a(α)^b(α) f(t, α) dt中，当区间的端点是参数的有限函数时，将该积分作为α的函数的研究可以与[0, 1]上的积分的研究相关联；事实上，通过变量t = a(α)(1 - u) + b(α)u的变换，我们有 089D
命题 8 如果 f 在 I × A 上连续，则有 089E
命题 9 如果函数 f 在I × A 上连续，并且如果积分 ∫_I f(t, α) dt 在 A 上一致收敛，则积分 ∫_I dt ∫_cᵈ f(t, α) dα 收敛，有 089F

III. 初级函数

§ 1. 。指数和循环的导数函数

定理 1 设 E 为域 R 上的完全范数代数，其中单位元 e，并令 f 为加法群 R 到乘法群 G 的连续群同态 E 的可逆元。则映射 f 在每个 x ∈ R 处可微，且 089Q
命题 1 对于每个数a > 0和≠ 1，指数函数a^λ在每个点x ∈ R承认导数等于(logₑ a)a^λ，其中e是数> 1（独立于a). 089R
定义 1 基 e 的对数称为 Naperian 对数（或自然对数）。 089S
命题 2（“几何平均值不等式”） 对于任何数 zᵢ > 0 (1 ≤ i ≤ n) 和数 pᵢ > 0 这样 ∑ᵢ₌₁ⁿ pᵢ = 1，一个有 z₁^p₁ z₂^p₂ ⋯ zₙ^pₙ ≤ p₁ z₁ + p₂ z₂ + ⋯ + pₙ zₙ. (6) 此外，只有当 zᵢ 相等时，(6) 的两侧才相等。 089T
例如果u在区间I上是函数≠ 0，并且v是任意实数函数，则log(|u|ᵛ) = v · log |u|，所以如果u和v可微分 1/|u|ᵛ D(|u|ᵛ) = v' log |u| + v u'/u. 089U
命题 3 函数 e(x) 有一个导数等于 2π i e(x) 在 R的每点，其中 π 是一个常数 > 0。 089V
定义 2 同态 x + iy ↦ eᶻ e(y/2π) of C 到 C^* 称为复指数；其任意复数z处的值表示为eᶻ或exp z。 089W
注 If, in formula (27), one restricts the function e^a z (a complex) to the real axis, one again obtains, for x real, D(e^a x) = a e^a x. This formula allows us to calculate a primiti… 089X
例一个有 089Y
注对于复杂的 z 一个有时写入 089Z

§ 2. 。指数和循环函数的展开以及与它们相关的函数

注由于公式 (1) 中的余数为 > 0，对于 x > 0 来说，有 x > 0 08B3

IV. 微分方程

§ 1. 。存在定理

引理 1 令f是从I × H到E的映射，这样，在将fₓ（对于每个x ∈ H）写入I的映射t ↦ f(t, x)到E时，满足以下条件：1°每x ∈ H对fₓ调节I； 2° H 的映射 x ↦ fₓ 到映射的集合 F(I, E) 从I 到E 是连续的，当赋予F(I, E) 拓扑紧收敛时（Gen.1）顶部.，X，p. 278）。在这些条件下： 08BD
命题 1 设t₀为I的点，以及x₀点为H；对于I上连续的函数u为式(1)的解，并在点t₀取值x₀，满足关系是充分必要的 08BE
推论在I的每个点与该区间的左（或右）端点不同，I上（1）的每个解 u 允许左（或右）导数等于f(t, u(t))的左（右）极限在此点。 08BF
命题 2 如果f是从I × H到E的连续映射，则I上(1)的每个解都是严格的解。 08BG
命题 3 在 J 中包含左（或右）端点 t0 的每个紧凑区间上，长度小于 r/(M + ε)，在等式 (1) 的 ε 范围内存在一个近似解，其中值在 S 中，并且在 t0 处等于 x0。 08BH
命题 4 (1) 的近似解到ε之内的集合，在相同的间隔K ⊂ J上定义并在 S 中取值，是一致等连续的。 08BI
推论（皮亚诺定理） 如果 E 的有限维超过 R，则存在 (1) 的解，其中值在 S 中，并且在 t₀ 处等于 x₀，在每个紧凑区间 K 上，左（或右）端点 t₀ 包含在 J 中并且具有长度 < r/M. 08BJ
注 1 微分方程 (1) 可以有“无穷多个”整的，在给定点处取相同的值。对于例，标量微分方程 x' = 2sqrt|x| 具有由下式定义的所有函数 08BK
注 2 当E是无限维数（IV，p. 204，练习18）的任意完全范数空间时，皮亚诺的定理不再成立。 08BL
定义 1 给定一个正实数函数 t ↦ k(t) 定义在 I，有人说映射 f 从 I × H 进入 E 是 Lipschitz 相对于函数 k(t) 如果，对于每个 x ∈ H，函数 t ↦ f(t, x) 受监管 I，并且如果对于每个 t ∈ I 和点 x₁, x₂ 的每个对 H，一个有（“Lipschitz 条件") 08BM
例当E = R和H是R中的一个区间时，如果函数f(t, x)在每点(t, x)处承认一个偏导数f'ₓ（II，p. 74） I × H，使得|f'ₓ(t, x)| ≤ k(t)在I × H上，则满足条件(8)，即值定理；稍后我们将看到这个例如何推广到E是任意范数空间的情况。 08BN
命题 5 令k(t)为I上的实规函数和> 0，令f(t, x)为已定义的函数，并令Lipschitz相对于I × H上的k(t)。如果u和v是(1)的两个近似解，分别在ε₁和ε₂之内，在I上定义，值在H中，那么，对于所有t ∈ I使得t ≥ t₀， 08BO
引理 2 如果w是区间[t0, t1]上的连续实数函数且满足不等式 08BP
推论令 f 为常数 k > 0 的 Lipschitz 函数，在 I × H 上定义。如果u和v分别是(1)在ε₁和ε₂范围内的两个近似解，定义在I上并在H中取它们的值，那么，对于所有t ∈ I， 08BQ
注 1 当k = 0不等式(15)被不等式代替时 | u(t) - v(t) | ≤ | u(t₀) - v(t₀) | + (ε₁ + ε₂) |t - t₀| 其证明为直接的。 08BR
注 2 当E为有限维，且f为I × H上的Lipschitz时，可以证明(1) (IV, p. 166, 命题3)近似解的存在性，而无需使用选择公理 (IV, p. 199, 练习1) b））。 08BS
命题 6 设f和g是在I × H、满足上定义的两个函数，IV、p. 165的引理 1的假设，并且在I × H上， | f(t, x) - g(t, x) | ≤ α. (16) ↩ 1 08BT
定理 1（柯西） 设f为I × H上的Lipschitz函数，设J为I的紧子区间，不简化为J的单个点，t₀点，S为一个开球，包含中心x₀和半径r，包含在 H 中，M 是J × S 上| f(t, x) | 的最小上界。在这些情况下，对于每个不约化到单个点并且包含在 J 的交中且具有 ]t₀ - r/M, t₀ + r/M[ 和包含 t₀ 的紧凑区间 K，存在且仅有一个定义在… 08BU
定理 2 令I ⊂ R为一个区间（不减少为单个点），左端点为t₀ ∈ I，令H为非空在E中开集合，以及f在I × H上的本地Lipschitz 函数。 08BV
推论 1 如果 H = E 且 J ≠ I，则 f(t, u(t)) 不受 J 限制，进一步，如果 E 是有限维的，则 |u(t)| 在 J 的右侧端点留下了极限 +∞。 08BW
推论 2 如果，在 I × H 上，函数 f 是关于调节的函数 k(t) 的 Lipschitz，并且如果 J 属于到 I 的右侧端点 β，则 u 在 β 处有一个左极限；如果 H = E 并且 f 是关于 I × E 上受调节的函数 k(t) 的 Lipschitz，则 J = I。 08BX
例 1 对于形式x' = g(t)的微分方程，其中g受I调节，每个积分u都在所有I上明确定义。人们应该注 u 可以在 I 上有界，而 g(t) 则不然。 08BY
例 2 对于标量方程x' = sqrt1 - x²，有I = R,\ H = ] - 1, +1[。如果在最大的区间包含0上取t₀ = x₀ = 0相应的积分为sin t，其中sin t的导数为正，即在] - π/2, +π/2[上；在此区间的端点处，积分趋向于 H 的端点。 08BZ
例 3 对于标量方程x' = 1 + x²，有I = H = R：在t = 0处消失的积分为tan t，而最大的区间包含 0（其中函数连续）为J = ] - π/2, +π/2[；并且 |tan t| 在 J 的端点处趋于 +∞（cf. IV、p. 173，cor. 1）。 08C0
例 4 对于标量方程 x' = sin tx ，有 I = H = R 并且右侧以 I × H 为界，因此 (IV, p. 173, cor. 1) 每个积分都在所有 R 上定义。 ↩ 1 08C1
命题 7 设f和g是定义在I × H、满足上的两个函数，即IV的引理1的假设。 p. 165，因此，在 I × H 08C2
定理 3 设 F 为拓扑空间，并令 f 为从 I × H × F 到 E 的映射，使得对于每个 ξ ∈ F，函数 (t, x) ↦ f(t, x, ξ) 是 I × H 上的 Lipschitz，并且这样，当 ξ 趋于ξ₀、f(t, x, ξ) 在 I × H 上一致趋向于 f(t, x, ξ₀)。令 u₀(t) 为 x' = f(t, x, ξ₀) 的积分，定义在I… 08C3
注当IV的H = E和条件(16)时，p. 174满足I × E，道具。 7 of IV、p. 174 适用于定义此解的任何间隔上的 x' = g(t, x) 的每个解 u；人们甚至可以假设 g(t, x) 是 Lipschitz 相对于受管制的函数 k(t) 虽然不一定受此区间限制。 08C4
定理 4 设f是I × H和(a, b)上的本地Lipschitz函数，I × H的任意点。 08C5

§ 2. 。线性微分方程

例 1 当E是有限维n超过R一个可以确定自同态A(t)及其矩阵(aᵢⱼ(t))相对于E的任何基时（代数，II，p. 343）；当相对于 E 的基识别向量 x ∈ E 及其组件的列矩阵 (xⱼ) 时，表达式 A(t).x 符合代数 (Alg., II，p. 343，道具 2)。在这种情况下，方程（2）相当于标量微分方程的系统 08CO
例 2 令G是R上的完全归一化的代数，并且a(t)、b(t)和c(t)是从J到G的三个映射；等式 08CP
定理 1 设t ↦ A(t)是J到L(E)的调节映射，和t ↦ b(t)是J到E的调节映射。对于 J × E 线性方程的每一个点 (t₀, x₀) (2) 承认在所有 J 上定义了一个且唯一的一个解，并且等于 x₀ 在点 t₀。 08CQ
命题 1 集合 I 齐次线性方程的积分 (4)，定义于 J，是空间 C(J; E) 的向量子空间连续映射从 J 到 E。 08CR
定理 2 对于 J × E 的每个点 (t₀, x₀) 让 u(t, t₀, x₀) 成为齐次方程的积分 (4) 定义于 J 并等于 x₀ 在 t₀。对于每个点 t ∈ J 映射 x₀ ↦ u(t, t₀, x₀) 是一个双射双连续线性映射 C(t, t₀) of E 自身。映射 t ↦ C(t, t₀) of J 化为 L(E) 与齐次线性微分方程的积分相同 d… 08CS
推论 1 映射，对于每个点 x₀ ∈ E，将 J 上定义的连续函数 t ↦ C(t, t₀).x₀ 关联起来，是范数空间 E 的同构到 (4) 积分的向量空间 I，赋予拓扑紧凑收敛。 08CT
推论 2 J × J到L(E)的映射(s, t) ↦ C(s, t)是连续的。 08CU
推论 3 设K为J中包含的紧区间，并设k = sup_t ∈ K |A(t)|。对于 K 中的所有 t 和 t₀ |C(t, t₀) - I| ≤ e^k|t-t₀| - 1 . (7) 08CV
命题 2 设B是E的连续自同态，独立于t，并且对于所有t ∈ J与A(t)可交换；那么 B 对于所有 t 都使用 C(t, t₀) 进行通勤，而 J 中则使用 t₀。 08CW
命题 3 第记号。 2 (IV, p. 179), 对于每个点 (t₀, x₀) 的 J × E 线性方程的积分 (2) 定义于 J 并等于 x₀ 在 t₀ 由下式给出公式 08CX
命题 4 对于方程（4）的n整的uⱼ（1 ≤ j ≤ n）到形式基本系统，它们在点t₀ ∈ J处的值uⱼ(t₀)是线性独立的向量是必要且充分的E. 08CY
命题 5 矩阵 C(t, t₀) 的行列式由公式给出 det ( C(t, t₀) ) = exp ( ∫_t₀ᵗ Tr(A(s)) ds ). (15) 08CZ
注 1 上述所有内容也适用于 E 为维数 n 超过域 R 且A(t) 为每个 t ∈ J 的 E 的自同态的情况：整个过程中只需替换 C R。 08D0
注 2 令 A(t) = (aᵢⱼ(t)) 为阶 n 的平方矩阵，其条目是 J 上 t 的实数（或复数）调节的函数，并令 C(t, t₀) = (cᵢⱼ(t, t₀)) 为矩阵的解析相应的线性系统 (3) (IV, p. 22)。令 F 为 R（或C）上的任意完全赋范空间，并考虑线性微分方程的系统 08D1
命题 6 将 J 的映射 t ↦ v(t) 转换为 E^*（J 上受调节的函数的原语），对于方程 (4) 的每个解 u，⟨ u(t), v(t) ⟩ 在 J 上是常数 (4) of IV, p. 183 当且仅当v 是齐次线性方程的解 08D2
注令 E 和 F 是 R（或C）上的两个完整范数空间，以及 (x, y) ↦ ⟨ x, y ⟩ E × F 上的连续双线性形式，使得关系 “⟨ x, y ⟩ = 0 对于所有 y ∈ F”（分别为关系）。 ⟨ x, y ⟩ = 0 对于所有 x ∈ E”）意味着 x = 0（或y = 0）。进一步假设对于每个 t ∈ J，F 都有一个连续的线性映射 B(t)… 08D3
定义 1 给定 E 的连续自同态 A，我们用 E 的 eᴬ 或 exp A 自同构表示等于值在点 t = 1 的方程 (20) 整的，其中值 I 在点t = 0. 08D4
命题 7 1' 映射 X ↦ e^X 是 L(E) 的连续映射进入 E 的自同构群（可逆元 of L(E)）。 08D5
注当存在E的基使得A的矩阵相对于此基有实数元素(cf.IV,p. 186,注2)时，特征方程为A 有实数系数。对于E的每个x = (ξₖ)_1 ≤ k ≤ n，在考虑中以基表示，令overlinex = (overlineξₖ)_1 ≤ k ≤ n；映射 x ↦ overlinex 是 E 的反线性对合。知道(Alg., VII)，如果rₖ是特征方程的非实根… 08D6
命题 8 在 J 上定义的齐次线性方程 (37) 的积分集合是维数 n 在域 C 上的向量空间。 08D7
命题 9 令rⱼ (1 ≤ j ≤ q) 为特征方程(40) 的不同根，令nⱼ 为根 rⱼ (1 ≤ j ≤ q) 的重数。那么 n 函数 tᵏ e^rⱼ t (1 ≤ k ≤ nⱼ,\ 1 ≤ j ≤ q) 是齐次方程 (41) 的线性独立积分。 08D8
命题 10 设g和h是两个互素多项式，使得f = gh。 (42) 的解子空间是两个方程的解的子空间直和 08D9
注 1 一些多项式fⱼ(D)可能是约化到非零的常数；相应的 yⱼ 就完全确定了。 08DA
注 2 当bⱼ都是零时，即如果系统(47)是齐次的，则条件(52)总是满足；进一步，如果r = n，可以看到(47)的解的集合比维数的C是向量空间，等于fⱼ(D)的次数的和，即次数共 det(P(D))。 08DB
注 3 给定多项式 pⱼₖ(D)，系统 (47) 当右侧无限可微（或某个阶可微）时承认解，当右侧任意调节函数时可能不承认它们：这由例 (48) 表示，它没有当 a(t) 不是原语时，解。我们在此不承诺寻求当右侧任意调节函数时进入的补充可能性条件。 08DC

V. 函数的本地研究

§ 1. 。函数与过滤后的集合的比较

例如果f和g是H(𝔉, R)中的两个函数，则关系“存在一个X ∈ 𝔉，使得对于每个t ∈ X，在X和f(t) ≤ g(t)上定义了f和g”是局部的特征标相对于 f 和 g。我们用经过得到的商tildef ≤ tildeg关系表示（对于f和g）；我们注，如果tildef ≤ tildeg，则存在函数、f₁ ∈ tildef和函数g₁ ∈ tildeg，定义在所有… 08DN
注 1) 令Vᵢ (1 ≤ i ≤ n) 为n在K上范数为向量空间，并且φ函数定义在V₁ × V₂ × ⋯ × Vₙ上，值在V中；通过经过到沿 R_∞ 函数 φ 定义映射的商 H_∞(𝔉, V₁) × ⋯ × H_∞(𝔉, Vₙ) 到 H_∞(𝔉, V)，最常用 φ(tildef₁, …, tildefₙ) 表示（Gen.Top.、I、p. 67）。对于例，取φ… 0E5L
定义 1 给定两个真实的函数 f, g 属于到 H(𝔉, R)，它们是 ≥ 0 在 𝔉中的集合，我们说 f 由 g主导，或者 g 支配f（沿着𝔉），并写f preceq g或g succeq f，如果有集合X ∈ 𝔉和数k > 0这样f(t) ≤ k\ g(t)对于每个 t ∈ X （在其他字中，如果存在 k > 0 使得 tildef ≤ k\ tildeg） 08DO
例 1) 关系 f preccurlyeq 1 表示 f 有界在 𝔉 的集合上。 0E5I
命题 1 如果 f, g, h 是 H(𝔉, R) 中的三个函数则关系 f preccurlyeq g 和 g preccurlyeq h 意味着 f preccurlyeq h。 08DP
命题 2 令f₁, f₂为H(𝔉, V)中的两个函数和g函数在H(𝔉, R)中。关系 f₁ preccurlyeq g 和 f₂ preccurlyeq g 暗示 f₁ + f₂ preccurlyeq g。 08DQ
命题 3 令V₁, V₂, V为相同值域上的三个范数空间，并且(x, y) ↦ [x.y]双线性映射从V₁ × V₂到V。如果 f₁ 和 f₂ 分别是函数在 H(𝔉, V₁) 和 H(𝔉, V₂) ，并且 g₁, g₂ 是两个函数在 H(𝔉, R) 这样 f₁ preccurlyeq g₁ 和 f₂ preccurlyeq g₂然后[f₁.f₂] preccurly… 08DR
推论如果 V 是标准化的代数，如果 f₁, f₂ 是 H(𝔉, V)中的两个函数，和 g₁, g₂ 是 H(𝔉, R)中的两个函数，则关系 f₁ preccurlyeq g₁, f₂ preccurlyeq g₂ 暗示 f₁ f₂ preccurlyeq g₁ g₂。 08DS
定义 2 给定两个函数 f, g of H(𝔉, V) 我们说 f 和 g 相似（沿着 𝔉），并写 f ≃ g，如果 f preccurlyeq g 和 g preccurlyeq f。 08DT
例 1 对于实数函数 f ∈ H(𝔉, R) 关系 f ≃ 1 意味着有两个数 a > 0,\ b > 0，使得 a ≤ |f(x)| ≤ b 位于 𝔉 中的集合上，或者函数 log |f| 的边界为𝔉 中的集合：然后可以说 f 是 𝔉 中的集合的“对数有界”。 08DU
例 2 令 V 为非离散值域 K 上的范数空间，并令 f(x) = a₀ xⁿ + a₁ xⁿ⁻¹ + ⋯ + aₙ 为变量 x ∈ K 中的多项式，系数为 V，使得 a₀ ≠ 0。对于每一个向量b ≠ 0，都有一个f(x) ≃ b xⁿ，因为|x|趋向于+∞。 08DV
例 3 我们已经看到，sin² x preccurlyeq sin x随着x趋向于+∞，但是我们没有sin² x ≃ sin x，甚至虽然，这些函数也同时消失于点。 08DW
例 4 当(x,\ y)在R²中趋于(0,\ 0)时，一个人有x² + xy + y² ≃ x² + y²，但不是xy ≃ x² + y²。 08DX
注 1 H(𝔉, R)中的两个函数不需要弱可比，如函数1的例和x sin x所示，因为x趋向于+∞。 08DY
注 2 在H(𝔉, V)上用R₀关系f ≃ g表示，并用H₀(𝔉, V)商集H(𝔉, V)/R₀表示；注关系 R 暗示 R₀。经过商关系 f preccurlyeq g 由道具给出。 V、p. 213、H₀(𝔉, V) 上的序关系中的 1 个（集合理论、III、p. 134）；前面的例表明H₀(𝔉, V)没有完全被这个关系排序。 08DZ
定义 3 给定两个真实的函数 f,\ g 属于到 H(𝔉, R)，它们是 ≥ 0 在 𝔉 中的集合，一个说 f 相对于 g 可以忽略不计，或者 g 优于 f （沿着 𝔉），并且有人写 f ll g 或 g gg f 如果，对于每个 ε > 0，存在集合 X ∈ 𝔉 这样 f(t) ≤ ε g(t) 对于每个 t ∈ X。 08E0
例 1) 关系 f ll 1 意味着f 沿𝔉趋于0。 0E5N
命题 4 如果f, g, h是H(𝔉, R)中的三个函数，则关系f preccurlyeq g和g ll h（分别是f ll g和g preccurlyeq h）意味着f ll h。 ↩ 1 08E1
命题 5 令f₁, f₂为H(𝔉, V)中的两个函数，以及H(𝔉, R)中的g函数。那么关系f₁ ll g和f₂ ll g意味着f₁ + f₂ ll g。 08E2
命题 6 带有记号的支柱。 3、关系f₁ ll g₁和f₂ preccurlyeq g₂（分别为f₁ preccurlyeq g₁和f₂ ll g₂）意味着[f₁.f₂] ll g₁g₂。 08E3
命题 7 如果f和g是H(𝔉, V)中的两个函数，则关系f - g ll f相当于f - g ll g。 08E4
推论关系f - g ll f是H(𝔉, V)上的等价关系。 08E5
定义 4 给定 H(𝔉, V) 的两个函数 f, g 一个说 f 和 g 是等价的（沿着 𝔉），并写 f ∼ g，如果 f - g ll f。 08E6
例 1 如果a是常数函数，≠ 0在E上，关系f ∼ a意味着f趋于a沿着𝔉。 08E7
例 2 令 V 为非离散值域 K 上的范数空间，并令 f(x) = a₀ xⁿ + a₁ xⁿ⁻¹ + ⋯ + aₙ 为变量 x ∈ K 中的多项式，系数为 V，使得 a₀ ≠ 0。然后 f(x) ∼ a₀ xⁿ 因为 |x| 趋向于 +∞。 08E8
例 3 当实数 x 趋于 +∞ 时，一个人就有 ( 1 + 1/x ) sin x ∼ sin x。 08E9
例 4 由于复数变量 z 趋于 0，因此有 eᶻ - 1 ∼ z。更一般地，如果 V 是在值域 K 上的标准化空间，并且 f 是在 x₀ ∈ K 的邻域上定义的函数，值在 V 中，并且允许导数f'(x₀) ≠ 0在点x₀，然后，当x接近x₀时，我们有f(x) - f(x₀) ∼ f'(x₀)(x - x₀)（I，p. 3，定义1）。 08EA
例 5 当(x, y)在R²接近(0, 0)时，有 sqrtsin² x + sin² y ∼ sqrtx² + y². 08EB
例 6 令 f(x, y) 为具有两个实数变量 x, y 实数系数的多项式，没有常数项。如果当 x 接近 0 而剩余 > 0 时，存在函数 φ(x)，在区间 [0, a] 上连续，并且对于 0 ≤ x ≤ a 存在 φ(0) = 0 和 f(x, φ(x)) = 0，则可以证明存在有理数数 r和实数λ ≠ 0使得φ(x) ∼ λ xʳ（V，p. 259，练习3）。 08EC
例 7 对于每个x > 0，让π(x)表示素数数的数，即≤ x；已经证明，π(x) ∼ x / log x²和x趋向于+∞。 08ED
注注关系 f ∼ g 绝不意味着差值 f - g 沿着 𝔉 趋于 0；这种差异甚至可以是“无界”的，如例x² + x ∼ x²所示，因为x趋于+∞。 08EE
命题 8 设K为一个有价值的域和f₁, f₂, g₁, g₂四个函数在H(𝔉, K)；然后关系f₁ ∼ g₁和f₂ ∼ g₂意味着f₁ f₂ ∼ g₁ g₂。 08EF
注 1 对于例函数 1 和 sin x，两个函数可以弱比较，虽然则不具有强可比性，因为 x 倾向于 +∞。 08EG
注 2 在空间V₁, V₂比较关系f₁ preccurlyeq f₂和f₁ ll f₂范数的定义中，其中f₁和f₂分别取它们的值，仅明显涉及；实际上，仅涉及V₁和V₂上的拓扑，因为当V₁或V₂上的替换、范数被等效的关系替换时，关系、f₁ preccurlyeq f₂和f₁ ll f₂被等效的关系替代范数（\emph{Gen.Top.}，IX，p. 170，def.7… 08EH
命题 9 令f和g为H(𝔉, R)中的两个函数，对𝔉中的集合严格为正。为了使f和g具有可比性，对于每个数t geqslant 0（最多有一个例外），函数f - tg在𝔉中的集合上具有常数符号³是必要且充分的。 08EI
命题 10 设f和g为H(𝔉, R)中的两个函数，它们对𝔉中的集合严格为正；对于每个α实数和≠ 0关系f asymp g（分别f ∼ g）等价于f^α asymp g^α（分别f^α ∼ g^α）；如果 α > 0 关系 f preccurlyeq g（分别为 f ll g）相当于 f^α preccurlyeq g^α（分别为 f^α ll g^α）；如果 α < 0… 08EJ
命题 11 令g为H(𝔉, R)中的函数，使得lim_𝔉 g = +∞；关系 f ll g 意味着 eᶠ ll eᵍ；关系 f ∼ g 意味着 log f ∼ log g。 08EK
定义 5 令H(𝔉, R)中的g为函数，𝔉中的集合严格为正，并且lim_𝔉 g = 0或lim_𝔉 g = +∞。有人说，如果 lim_𝔉 log(|f|)/log g = ρ，函数 f ∈ H(𝔉, R) 相对于 g 是阶 ρ（有限或无限）。 08EL
命题 12 令g为H(𝔉, R)中的函数，使得lim_𝔉 g = +∞；令 f 为 H(𝔉, R) 中的函数。 08EM
注 1 观察到虽然 f 相对于 g 可能是有限的阶 ρ，但比率 f/g^ρ 不必趋向于极限；对于例，每个对数有界函数相对于 g 都是阶 0，但不需要沿着 𝔉 具有极限。 08EN
注 2 在𝔉中的集合上定义的函数不需要具有相对于g的确定的阶（有限或非有限），因为具有相对于g的确定的阶的函数与g的所有幂相当，最多有一个例外。现在 f 不需要有这个性质，正如从例 g(x) = x,\ f(x) = 1 + x² sin² x 看到的那样（因为 x 趋于 +∞）。在此，例 f 与 α < 0 和 α > 2 的 g^α 相当；如果取 f(x) =… 08EO

§ 2. 。渐近展开

定义 1 有人说，函数不等于0模R_∞形成的H(𝔉, K)的子集E是当E由关系“f ll g或f = g”全序时的比较尺度。 08ES
例 1 对于x真实且趋于函数x^α（α任意实数）的+∞集合是一个比较尺度。当 𝔉 是左端点为 a 的开区间的集合时，函数 (x-a)^α 也是如此。 08ET
例 2 对于 z 趋向于函数 zⁿ ∞ 集合的复数（n 一个有理整数）是一个比较尺度；当𝔉是该点的邻域的过滤器的点a ∈ C的补集时，函数(z-a)ⁿ也是如此。 ↩ 1 08EU
例 3 设 F 为空间；函数|x-a|^α（α任意实数）族是当𝔉是该点的邻域滤波器的a补线上的迹时的比较尺度。注，如果p和q是F上两个不同的范数，则两个比较量表(p(x-a))^α和(q(x-a))^α中的并通常不是比较量表。 08EV
例 4 对于x实数趋于+∞，形式exp(p(x))的函数的族E，其中p贯穿没有常数项的多项式的集合（具有实数系数），是一个比较尺度：它足以注，两个函数在E中的商又在E中，并且如果p ≠ 0，函数exp(p(x))必须趋向于0或+∞；事实上，p(x) ∼ α xⁿ，其中n > 0和α ≠ 0；如果α > 0则p(x) > 1/2 α xⁿ对于x足够大；如果α < 0则… 08EW
例 5 对于形式x^α (log x)^β的函数的x实数趋于+∞集合E（为x > 1定义），其中α和β是任意的实数，是比较量表。事实上，这里两个函数在E中的商又是函数在E中；足以证明，如果α和β不都是零，则x^α (log x)^β趋于0或+∞；如果α = 0, β ≠ 0，这很清楚；如果 α > 0 一个有 (log x)^-β ll x^α，并且如果 α < 0… 08EX
例 1 对于趋向于 +∞（或∞）的x实数（或复数），每个系数为V的多项式a₀ xⁿ + a₁ xⁿ⁻¹ + … + aₙ，使得a₀ ≠ 0，相对于标度xⁿ，具有主部分a₀ xⁿ （或任何规模包含xⁿ）。由此可见，每个有实数或复数系数的有理分数 (a₀ xⁿ + ⋯ + aₘ)/(b₀ xⁿ + ⋯ + bₙ) 使得 a₀ b₀ ≠ 0 对于相同的尺度具有主部分 a₀… 08EY
例 2 函数可以与某个等级的所有函数相比较，但不承认该等级的主要部分。对于例，对于趋向于+∞的x实数，sqrtx相对于标度xⁿ没有本金部分，其中n是有理数整数； log x相对于x^α的规模没有本金部分（α任意实数）； exp(sqrtlog x) 和 x' = e^x log x 相对于 x^α (log x)^β 的标度没有主部分，也相对于 exp(p(x))… 08EZ
定义 2 有人说函数 f ∈ H(𝔉, V) 承认渐近展开精确 g_α （相对于尺度 E）如果存在一个族 (a_λ)_λ ≤ α 元素的 V，除了有限的所有其中数是0，使得f - ∑_λ ≤ α a_λ g_λ ll g_α。有人说 ∑_λ ≤ α a_λ g_λ 是 f 精确到 g_α的渐近展开， a_λ g_λ (λ ≤ α) 是它的项， a_λ 它的系数，以… 08F0
例我们有 (1 + x)^1/x = exp ( 1/x log (1 + x) )：当 x 趋于 +∞ 时，我们有 log (1 + x) = log x + log ( 1 + 1/x )、从而 1/x log (1 + x) 相对于 x^α (log x)^β 尺度的渐近展开： 1/x log (1 + x) = (log x)/x + 1/x² - 1… 08F1
例我们有x^1/1 = exp ( log x · exp ( 1/x log x ) )；当 x 趋于 +∞ 时，log x ll x，从而 log x · exp ( 1/x log x ) 相对于标度 x^α (log x)^β 的渐近展开： 08F2
例对于趋于 +∞ 的 x 实数，R 上的周期有界函数，具有相同的周期 τ、满足条件 (CO₁)、(CO2) 和 (CO₃)：如果 lim_x → +∞ a(x) = 0，则对于每个ε > 0 存在一个x₀，使得每个x ≥ x₀有|a(x)| ≤ ε；对于0 ≤ x ≤ τ，也可以推出|a(x)| ≤ ε，因为存在整数n，使得x + nτ ≥ x₀，并且使得a(… 08F3

§ 3. 。实变量函数的渐近展开

命题 1 令 f 为受调节的向量函数，g 为间隔 [a, +∞[ 上受调节的函数 geqslant 0，使得 ∫ₐ^+∞ g(t) dt > 0。关系 f preccurlyeq g 因为 x 倾向于 +∞ 意味着 ∫ₐˣ f(t) dt preccurlyeq ∫ₐˣ g(t) dt。如果积分 ∫ₐ^+∞ g(t) dt 收敛，则积分 ∫ₐ^+∞ f(t) dt… 08F4
推论 1 如果f和g在[a, +∞[区间上调节函数和geqslant 0，则f succcurlyeq g，如果∫ₐ^+∞ g(t) dt = +∞，则∫ₐ^+∞ f(t) dt = +∞。 08F5
推论 2 如果f和g是geqslant 0，并且[a, +∞[上的零不相同，并且f succeq g，则∫ₐˣ f(t) dt succeq ∫ₐˣ g(t) dt。 08F6
命题 2（“阶 0 的对数标准”） 设 f 为区间 [a, +∞[ 上的调节函数 ≥ 0；如果f(x) preccurlyeq x^μ对于某些μ < -1则积分∫ₐ^+∞ f(t) dt收敛；如果 f(x) succcurlyeq x^μ 对于某些 μ ≥ -1 那么积分 ∫ₐ^+∞ f(t) dt 是无限的。 08F7
命题 3（“阶 1 的对数准则”） 设 f 为区间 [a, +∞[ 上的调节函数 ≥ 0；如果f(x) preccurlyeq 1/x(log x)^μ对于某些μ > 1则积分∫ₐ^+∞ f(t) dt收敛；如果 f(x) succcurlyeq 1/x(log x)^μ 对于某些 μ ≤ 1 那么积分 ∫ₐ^+∞ f(t) dt 是无限的。 08F8
命题 4（“阶 n 的对数准则”） 设 f 为区间 [a, +∞[ 上的调节函数 ≥ 0；如果，对于某些μ > 1，f(x) preccurlyeq frac1x l₁(x) l₂(x) … lₙ₋₁(x) (lₙ(x))^μ，则积分∫ₐ^+∞ f(t) dt收敛；如果 f(x) succcurlyeq frac1x l₁(x) l₂(x) … lₙ₋₁(x) (lₙ(x))^μ 对于某些 μ… 08F9
命题 5（“阶 0 的对数标准”） 如果在α的邻域上，对于某些μ < 1有f(x) ≤ 1/(x-α)^μ，则积分∫_αᵃ f(t) dt收敛；如果 f(x) ≥ 1/(x-α)^μ 对于某些 μ ≥ 1 那么积分 ∫_αᵃ f(t) dt 是无限的。 08FA
例 1 当p < 0或q < 0时，函数tᵖ(1-t)^q不受]0, 1[的限制；根据对数准则阶 0 应用于点 0 和 1 的邻域，整的∫₀¹ tᵖ(1-t)^q dt 收敛当且仅当p > -1 和q > -1。如果是这样，则该积分称为第一类欧拉积分，并用 B(p+1, q+1) (cf. VII, p. 312) 表示。 08FB
例 2 考虑积分∫₀^+∞ t^λ-1 e⁻ᵗ dt。由于 e⁻ᵗ ∼ 1 位于 0 的邻域上，因此如果该积分要收敛，则必须具有 λ > 0；这个条件也足够了，因为在+∞的邻域上，对于任何μ > 0，都有e⁻ᵗ ll t^-μ。当 x > 0 时，积分称为第二类欧拉积分，记为 Γ(x) (cf. VII, p. 311)。 08FC
命题 6 令f为受监管的向量函数，并让g为[a, +∞[上受监管的函数≥ 0。 08FD
例 1 在应用支柱上。 V、p. 230、关系1/x ll x^α-1（其中α > 0）的 6 个α > 0，再次获得关系log x ll x^α，这相当于关系y^1/α ll eʸ 证明III，p. 105。 08FE
例 2 我们有( eᵗ/x )' = eᵗ/x ( 1 - 1/x ) ∼ eᵗ / x；由于 eᵗ / x 与 x 趋向于 +∞，因此可以从 prop 推导出来。 V、p. 230、∫₁ˣ eᵗ/t dt ∼ eˣ / x 中的 6 个。 08FF
注当g不被假设在区间[a, +∞[上保持≥ 0（或在这样的区间上保持≤ 0），并且∫ₐ^+∞ g(t) dt不收敛时，关系f ∼ g不一定意味着∫ₐˣ f(t) dt ∼ ∫ₐˣ g(t) dt，如例所示其中 g(x) = sin x 和 f(x) = ( 1 + (sin x)/x ) sin x；这里 08FG
命题 7 如果两个实数函数f,\ g，阶1具有可比性，则它们具有可比性；此外，关系f ll g（分别f ∼ cg、c常数）意味着f' ll g'（分别f' ∼ cg'）除非g等价于非零的常数。 08FH
推论如果两个实数函数f, g，阶k geqslant 1具有可比性，那么它们对于0 leqslant p leqslant k可具有阶p可比性；此外，关系f ll g（分别f ∼ cg）意味着f⁽ᵏ⁾ ll g⁽ᵏ⁾（分别f⁽ᵏ⁾ ∼ cg⁽ᵏ⁾）除非导数之一g⁽ᵖ⁾（0 leqslant p leqslant k - 1）相当于常数≠ 0。 08FI
注 1 限制在 g 上。 7是必不可少的。对于例，有1/x ll 1 + 1/x甚至虽然，两边的导数是等价的；类似地1 + 1/x ∼ 1 + 1/x²，但是1/x² gg 2/x³。 08FJ
注 2 虽然 f 和 g 可与阶 k 进行比较函数 f₁ 相当于 f 无需将阶 k 与 g 进行比较；然而，如果假设 f₁ 与阶 k 与 f 具有可比性，并且没有一个导数 f⁽ᵖ⁾ (0 leqslant p leqslant k - 1) 等于非零的常数，情况就会如此。 08FK
注 3 如果 f 和 g 与阶 k 具有可比性，那么对于 hf 和 hg 就不必如此，即使对于单调函数 h 就像h(x) = x (V, p. 260，练习3）；同样，1/f和1/g不一定与阶k具有可比性（V、p. 259，练习1）。 08FL
命题 8 把 F(x) = ∫ₓ^+∞ f(t) dt 如果 ∫ₐ^+∞ f(t) dt 收敛，并且 F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt 如果 ∫ₐ^+∞ f(t) dt 是无限的。假设 log|f| 和 log x 相当于阶 1。 ↩ 3 08FM
例 1 函数 1/log x 相对于 x 为阶 0 并且满足 prop 的条件。 8 个V、p. 233；因此 ∫ₐˣ dt/(log t) ∼ x/(log x). 08FN
例 2 函数 e^t² 相对于 x 具有阶 +∞ 且满足 prop 的条件。 8、所以 ∫ₐˣ e^t² dt ∼ 1/2x e^x². 08FO
注提案 8 并不直接适用于阶 -1 相对于 x 的函数 f。但是，我们可以写 f(x) = f₁(x)/x，其中 f₁ 相对于 x 为阶 0。假设，对于例，∫ₐ^+∞ f(t) dt是无限的；那么 08FP
例 1 令 f(x) = 1/log x (x > 1);我们已经看到了∫ₐ^λ dt / log t ∼ x / log x，并且差值∫ₐ^λ dt/(log t) - λ/(log λ)是1/(log x)²的原语；可以应用道具。再次对这个函数进行8，因此得到∫ₐ^λ dt / (log t)² ∼ x / (log x)²。通过递归可以得到展开 08FQ
例 2 让f(x) = eˣ/(x² + 1)；可以写f(x) = eˣ/x² - eˣ/x⁴ + o₁ ( eˣ/x⁴ )。道具 8 给出展开 08FR

§ 4. 。适用于级数并具有正值项

命题 1 令(uₙ)和(vₙ)为两个级数且项为正。如果 uₙ preccurlyeq vₙ 且如果级数 (vₙ) 收敛，则 (uₙ) 收敛；如果 uₙ succ vₙ 并且如果 ∑ₙ₌₁^∞ vₙ = +∞，则 ∑ₙ₌₁^∞ uₙ = +∞。 08FZ
命题 2 令 (uₙ) 和 (vₙ) 为两个级数且项为正数：如果级数 (vₙ) 收敛，则关系 uₙ ll vₙ （分别 uₙ ∼ vₙ）意味着 ∑ₚ₌ₙ^∞ uₚ ll ∑ₚ₌ₙ^∞ vₚ （分别 ∑ₚ₌ₙ^∞ uₚ ∼ ∑ₚ₌ₙ^∞ vₚ）。如果 ∑ₙ₌₁^∞ vₙ = +∞ 则关系 uₙ ll vₙ （分别 uₙ ∼ vₙ）意味着 ∑ₚ₌₁ⁿ uₚ ll ∑ₚ… 08G0
命题 3（柯西-麦克劳林准则） 如果 f 是函数 ≥ 0 且递减在 [x₀, +∞[上，则级数与一般项 vₙ = f(n) 收敛当且仅当积分 ∫_x₀^+∞ f(t) dt 收敛。 08G1
命题 4（“阶 0 的对数准则”） 设(uₙ)为级数，且项为正；如果uₙ preccurlyeq n^μ对于某些μ < -1则级数(uₙ)收敛；如果 uₙ succcurlyeq n^μ 对于某些 μ ≥ -1 那么级数 (uₙ) 有一个无限的和。 08G2
命题 5（“阶 $p$ 的对数标准”） 令 (uₙ) 为级数，项为正值。如果uₙ preccurlyeq frac1nl₁(n)l₂(n)… lₚ₋₁(n)(lₚ(n))^μ对于某些μ > 1则级数(uₙ)收敛；如果 uₙ succcurlyeq frac1nl₁(n)l₂(n)… lₚ₋₁(n)(lₚ(n))^μ 对于某些 μ ≤ 1 那么级数 (uₙ) 有一个无限的和。 08G3
命题 6 设 g 为实数函数， 0 并且单调，定义在区间 [x0, +\infty[ （其中 x0 \leq 1 ）上，并且 log g 和 x 与阶 1 相当。 08G4
例让g(x) = x^λ = exp(λ log x)，阶+∞相对于e^λ。拿 p = 2 一个有 08G5
例设 g(n) = 1/n；那么 sₙ = ∑ₘ₌₁ⁿ 1/m ∼ ∫₁ⁿ dt/t = log n 那么 1/n - (log n - log(n-1)) ∼ -1/2n² 从而 sₙ = log n + γ + 1/2n + o(1/n). 公式中出现的常数γ在数学分析（cf.章节VI和VII）中起着重要作用；它被称为欧拉常数；一个有 γ = 0.577… 08G6
例斯特林的公式。让我们寻找n!的渐近展开；这导致我们扩展sₙ = ∑ₚ₌₁ⁿ log p，然后扩展exp(sₙ)。 n 2 的方法依次给出 08G7
命题 7（“拉贝测试”） 令(uₙ)为级数，从点开始为项> 0。如果从某个阶段开始，uₙ₊₁/uₙ leqslant 1 - α/n对于某些α > 1，则级数(uₙ)收敛；如果从某个点开始，uₙ₊₁/uₙ geqslant 1 - 1/n，那么级数(uₙ)有无限和。 08G8
命题 8 令(uₙ)为级数，从某个点开始，项> 0。如果从某个点开始，有 08G9
例考虑超几何级数，以及一般的项 08GA
注 1 作为拉贝测试的一个特定实例，我们可以看到，如果 limsup_n → ∞ uₙ₊₁/uₙ < 1 级数 (uₙ) 收敛；另一方面，如果 liminf_n → ∞ uₙ₊₁/uₙ > 1、级数 (uₙ) 具有无限的和（达朗贝尔测试）。 08GB
注 2 第二类判据只能应用于级数，其一般项表现得非常规律，因为n趋于+∞；在其他字中，它们的范围比对数判据的范围受到更多限制，并且尝试在它们特别适合的特殊情况之外使用它们将是一个错误。对于例，对于u₂ₘ = 2⁻ᵐ，u₂ₘ₊₁ = 3⁻ᵐ定义的级数(uₙ)，有u₂ₘ₊₁/u₂ₘ = (2/3)ᵐ，u₂ₘ₊₂/u₂ₘ₊₁ = 1/2 (3/2)ᵐ；随着 m 无限增加，… 08GC

App. 0. 附录

定义 1 给定H(𝔉, R)的子集𝔎，如果𝔎满足以下条件，则可以说𝔎/R_∞（H(𝔉, R)/R_∞中𝔎的典范像）是Hardy域： 08GO
例 1 有理常数的每个 Hardy 域包含域（特征 0 的最小的域，cf. Alg.，V, §1），其中可以确定和域 Q；此外，由于两个常数不能模R_∞除非全等，因而Q/R_∞与Q相同。实常量也是形式和 Hardy 域，其中可以确定与 R。 08GP
例 2 哈代域的一个非常重要的例是有理数函数与实系数的集合，我们将通过语言滥用将其表示为R(x)；如果 f(x) = p(x)/q(x) 是具有实数系数的有理数函数，与零不同，则它是连续、可微的，并且 ≠ 0 在区间 [a, +∞[ 上，其中 a 严格大于多项式实数根的最大的 p(x)和q(x)；因此除 0 之外的 R(x)/R_∞ 中的每个元素都是可逆的。我们再次… 08GQ
引理 1 设 a(x), b(x) 为两个连续实数函数，且变换不在区间 [x₀, +∞[上签名。如果，在这个区间上，函数 y(x) 连续且可微，并且满足恒等式 08GR
注这个非常初等的性质不扩展阶 > 1 的线性微分方程；对于例，函数y = sin x满足y'' + y = 0，但变换在+∞的每个邻域上签名。 08GS
引理 2 设 a(x) 和 b(x) 是给定 Hardy 域 𝔎 和 y(x) 函数满足的两个函数属于恒等式 (1) 在一个区间上 [x₀, +∞[ 其中 a 和 b 已定义且连续。如果 p(u) 是 u 其系数为 x 属于到 𝔎 的函数，在 [x₀, +∞[ 上定义且可微，则存在一个区间 [x₁, +∞[ 在其上函数 p(y) 没有变换符号。 08GT
定理 1 对于给定的 Hardy 域 𝔎 和 y(x) 函数满足 (1)，令 a(x) 和 b(x) 为两个函数属于 (1)，区间为 [ x₀, +∞[。当r(u) = p(u)/q(u)通过u中的有理分式的集合且系数在𝔎中时，使得q(y)与+∞的邻域上的零不相同，集合𝔎(y) 函数r(y)形式哈代域. 08GU
推论 1 如果𝔎中的y是函数，而不是+∞的邻域上的零，则𝔎(log|y|)是哈代域。 08GV
命题 1 同一个 Hardy 域中的两个函数可与任何阶（V、p. 232）相媲美。 08GW
命题 2 令 f 为函数属于到 Hardy 域 K。 08GX
命题 3 如果 K₀ 是 Hardy 域，则存在 Hardy 域 K 包含 K₀，因此，对于每个函数 z ∈ K，零在邻域上不完全相同+∞、eᶻ 和 log |z| 属于至 K。 08GY
定义 2 (H) 函数的域称为实系数有理函数的Hardy 域 R(x) 的(H) 扩张。任何函数属于到此扩张称为 (H) 函数。 08GZ
注尽管我们刚刚定义的尺度E具有实际用途，但很容易给出（H）函数的例，它相对于E没有本金部分。事实上，如果 f 是一个 (H) 函数，使得 f ∼ a g，其中 a 是常数 > 0 和 g ∈ E，则 log f - log g - log a 与 1/x 趋于 0，因此 log f 承认，相对于E，渐近展开，其余数趋于 0，到性质 c)。现在，如果考虑例，则… 08H0
命题 4 令 p 和 q 为两个 (H) 函数，它们在区间 [x₀, +∞[ 上严格为正。 ↩ 1 08H1
注右q(x)施加的条件可能不会得到改善，如下例所示： 08H2
命题 5 设g为 (H) 函数，不等于常量≠ 0，并且使得 g(x) ll x，且令 u(x) 为 x - g(x)的逆函数，在 +∞的邻域上定义。设(uₙ)为函数的序列，通过递归n，通过条件u₀(x) = x，uₙ(x) = x + g(uₙ₋₁(x))为n geqslant 1；然后 uₙ gg 1 和 u(x) - uₙ(x) ∼ g(x)(g'(x))ⁿ… 08H3
注 1 如果g相对于x为阶< 1，一旦n为足够大，函数u(x) - uₙ(x)与x趋于0。事实上，在相反的情况下，每个 n 都会有 gg''ⁿ gg 1，因此 g 相对于 1/g' 来说将是无限的阶；在其他字中，可以有log|g| gg log|g'|、从而，微分时有g'/g gg g''/g'。但是，如果g相对于x来说是阶μ < 1，则当μ = -∞, g'/g… 08H4
注 2 当g(x)是等价于常数k ≠ 0的(H)函数时，有g(x) = k + g₁(x)，其中g₁ ll 1；函数u₁(x) = u(x) - k是函数x - g₁(x + k)的逆，并且将一个带回到在道具中处理的情况。 5 个V、p. 256。 08H5
例 1 让我们寻找x⁵ + x的逆函数v(x)的渐近展开（因为x趋于+∞）；将x⁵ = t一置导致求t + t^1/5的逆函数u(t)的展开（对于t趋于+∞），即应用prop。 V、p. 256中的 5 个，到g(t) = -t^1/5的情况。让我们，为例，计算，u₂(t)；一个有 u₂(t) = t - ( t - t^1/5 )^1/5 = t - t^1/5… 08H6
例 2 让我们寻找函数x / log x的逆函数的渐近展开；从恒等式x = y / log y，其中y = v(x)，推导出log x = log y - log log y；当放置z = log y, t = log x时，一个有t = z - log z，并且引导一个展开t - log t的逆函数u(t)；对于例，有一个 u₂(t) = t + log(t +… 08H7
注注两个等价 (H) 函数可以具有非等价的逆元，如两个函数 log x 和 1 + log x 的例所示。 08H8

VI. 广义泰勒展开欧拉-麦克劳林求和公式

§ 1. 。广义泰勒展开

定义 1 有人说K[X]上的算子U是合成算子，如果它与平移算子可交换，即如果U_X T_Y = T_Y U。 08HO
例 1 对于每个λ ∈ K，与每个多项式f(X)关联多项式f(X + λ)的运算符是合成运算符。 ↩ 1 08HP
例 2 K[X] 上的推导 D 是合成运算符（cf. 命题 1）。 08HQ
注由于 K 是无限域，所以 K[X] 上的算子 U 是合成算子当且仅当对于每个多项式 f ∈ K[X] 和每个元素 α ∈ K 都有一个，将 g = U(f) 放入 g(X + α) = U(f(X + α))。（阿尔格.，IV.16，更正）。 08HR
命题 1 对于 K[X] 上的算子 U 成为合成算子，它与 K[X] 上的推导 D 交换是必要且充分的。 08HS
定理 1 映射与每个正式的级数 u(S) = ∑ₖ₌₀^∞ αₖ Sᵏ 在一个不确定的过 K 关联合成运算符 u(D) = ∑ₖ₌₀^∞ αₖ Dᵏ 在 K[X] 是代数 K[[S]] 正式的同构级数到代数 Γ 合成操作员。 08HT
推论 K[X]中合成运算符的代数Γ是可交换的。 08HU
例如果U是与每个多项式f(X)关联f(X + λ)（其中λ ∈ K）的运算符，则有U₀(Xᵏ) = λᵏ，因此U = ∑ₖ₌₀^∞ 1/k! (λ D)ᵏ。与e^λ（III，p. 105）的级数展开类比，我们将环中的正式级数∑ₙ₌₀^∞ 1/n! Sⁿ写为e^S或exp(S) K[[S]]；所以可以写U = e^λ D。替换域K乘以有理分式K(Y)的域，在这… 08HV
学院 The isomorphism of the algebra K[[S]] of formal series and the algebra Γ of composition operators on K[X] sometimes allows one to prove propositions on formal series most simply, b… 08HW
命题 2 阶 0 的每个合成运算符在 K[X] 上的合成运算符的代数 Γ 中都是可逆的。 08HX
命题 3 设U为阶p的合成运算符；然后 U(f) = 0 对于次数 < p 的每个多项式 f；对于次数n ≥ p的每个多项式f ≠ 0，U(f)是次数n - p的多项式≠ 0。 08HY
定义 2 设U = Dᵖ V为K[X]上阶p的合成算子。多项式 uₙ(X) = V⁻¹(Xⁿ) 称为附加到算子 U 的指标 n 的阿佩尔多项式。 08HZ
命题 4 Appell 多项式附加到 U 满足关系 (d uₙ)/(d X) = n uₙ₋₁ (7) uₙ(X + Y) = ∑ₖ₌₀ⁿ binomnk uₙ₋ₖ(X) Yᵏ (8) U(uₙ(X)) = n!/((n-p)!) Xⁿ⁻ᵖ. (9) 08I0
命题 5 对于每个多项式f ∈ K[X]和阶p的每个合成运算符都有 08I1
命题 6 令U = Dᵖ V = u(D)为K[X]上阶p的合成运算符，u(S)为K[[S]]中阶p的正式幂级数。然后 08I2
定义 3 有人说，E 上的运算符 U 是合成运算符，如果对于每个a geqslant 0，它可以通过 a 与平移运算符进行置换。 08I3
定理 2 设 f 为函数，承认 I 上的连续 (n + 1)ᵗʰ 导数，以及属于及其所有对 1 ≤ m ≤ n 的导数 f⁽ᵐ⁾，到 E。如果 U 是阶 p ≤ n 在 E 上的合成运算符有，对于 x ≥ 0 和 h ≥ 0 08I4
注通过在整个级数上使用以下引理，可以将公式（33）（或（34））用于计算和βₙ（或uₙ(x)）： 08I5
例 1 如果U是恒等式映射，则有u(λ) = 1并且运算符U显然是单数；因为VI、p. 278的uₙ(x) = xⁿ公式(27)可以写成，把ξ = ξ - η 08I6
例 2 让我们采用 U 合成运算符，对于 R₊ 上定义的每个函数 f，关联函数 x ↦ f(x + 1) - f(x)；然后 08I7
例 3 令 E 为函数 f 的向量空间，在 R 上定义且连续，并且使得积分 ∫_-∞^+∞ f(x + ξ) e^-ξ²/2 dξ 对于所有 x ≥ 0 收敛。运算符 U 定义为 08I8

§ 2. 。三角函数函数和伯努利数的欧拉展开

命题 1 对于每个复数 z 和每个整数 n 一个有 08IC
推出 1 每整数 n 人拥有 sin π/n sin 2π/n … sin ((n-1)π)/n = fracn2ⁿ⁻¹. (3) 08ID
推出 2 对于每个奇数整数 n = 2m + 1，以及每个复数 z，使得 nz 不是 π 的积分倍数，有一个 cot nz = (-1)ᵐ cot z cot ( z + π/n ) … cot ( z + ((n-1)π)/n ). (4) 08IE
定理 1 对于每个复数z，不是π的整数倍数，有一个 ↩ 1 08IF
定理 2 每有复数 z 就有 08IG

VII. 伽玛函数

§ 1. 。真实领域中的 GAMMA 函数

命题 1 存在且仅有一个凸函数 g 定义在 ]0, +∞[ 满足方程 (3) 并且对 x = 1取值 0。 08IX
定义 1 我们表示为 Γ(x) 函数 > 0 定义在区间 ]0, +∞[，满足方程 Γ(x+1) = x Γ(x), (7) 并且是这样的Γ(1) = 1并且log Γ(x)在]0, +∞[上是凸的。 08IY
命题 2 对于每个 x > 0 一个有 Γ(x) = lim_n → ∞ (nˣ n!)/(x(x+1)…(x+n)) （高斯公式），和 Γ(x) = e^-γ x 1/x ∏ₙ₌₁^∞ frace^x/n1 + x/n (9) 其中 γ 表示欧拉常数，(9) 右侧的无穷乘积绝对一致地收敛于R的每个紧区间，而不是包含任何整数< 0（Weierstrass’公式）。 08IZ
引理 1 设f和g是两个函数> 0并且在开区间I上两次可微。如果 f 和 g 在 I 上是对数凸函数，则 f + g 在 I 上是对数凸。 08J0
引理 2 设 f 为有限实数函数、> 0，在 R 的两个开区间的乘积 I × J 上定义且连续，并且使得对于每个 t ∈ J 函数 x ↦ f(x, t) 是对数凸且在I。在这些假设下，如果积分 g(x) = ∫_J f(x, t) dt 对于每个 x ∈ I 都收敛，则 g 在 I 上呈对数凸。 08J1
引理 3 令 φ 为连续函数且> 0 位于 [0, +∞[ 包含的开区间 J 上。如果 I 是开区间，使得积分 g(x) = ∫_J tˣ⁻¹ φ(t) dt 对于所有 x ∈ I 收敛，则 g 在 I 上呈对数凸。 08J2
命题 3 对于所有人x > 0 08J3
命题 4 对于 x > 0 和 y > 0 整的 08J4

§ 2. 。复杂域中的 GAMMA 函数

命题 1 对于每一个复数 z 都有 08JB
推出对于每一个真实的 t 都有 08JC
命题 2 对于每个复数 z 不是整数 leqslant 0 并且对于每个整数 p > 0 一个有 Γ ( z/p ) Γ ( (z+1)/p ) … Γ ( (z+p-1)/p ) = (2π)^(p-1)/2\ p^1/2-z\ Γ(z) （勒让德-高斯乘法公式）。 08JD
命题 3 对于每个真实 x > 0 一个有 ∫₁ˣ⁺¹ log Γ(t)\ dt = x(log x - 1) + 1/2 log 2π （拉贝积分）。 08JE
命题 4 沿着过滤器𝔉，有一个（对于每个整数p geqslant 1）渐近展开 08JF
推出沿着过滤器𝔉有一个 08JG
命题 5 沿着过滤器𝔉（对于每个整数p geqslant 1），渐近展开 08JH