Quyển FVR · Tiếng Việt

Chỉ mục mệnh đề

363 mệnh đề của Hàm số một biến thực, theo chương và mục. Chọn một loại, lọc theo từ, hoặc xếp những mệnh đề được trích dẫn nhiều nhất lên đầu.

Trích dẫn nhiều nhất trước

I. Đạo hàm

§ 1. Đạo hàm thứ nhất

Định nghĩa 1 Cho f là một hàm vectơ xác định trên một khoảng I ⊂ R không rút gọn thành một điểm duy nhất. Ta nói rằng f khả vi tại một điểm x₀ ∈ I nếu lim_x → x₀, x ∈ I, x ≠ x₀ (f(x) - f(x₀))/(… 082P
Nhận xét 1 Trong Động học, nếu điểm f(t) là vị trí của một điểm chuyển động trong không gian R³ tại thời điểm t, thì fracf(t) - f(t₀)t - t₀ được gọi là vận tốc trung bình giữa các thời điểm t… 082Q
Nhận xét 2 Nếu một hàm f, xác định trên I, khả vi tại một điểm x₀ ∈ I, thì nó nhất thiết liên tục đối với I tại điểm này. 082R
Định nghĩa 2 Cho f là một hàm vectơ xác định trên một khoảng I ⊂ R, và cho x₀ là một điểm của I sao cho khoảng I ∩ [x₀, +∞[ (tương ứng, I ∩ ]-∞, x₀]) không rút gọn thành một điểm duy nhất. Ta n… 082S
Ví dụ 1 Một hàm hằng có đạo hàm không tại mọi điểm. 082T
Ví dụ 2 Một hàm tuyến tính afin x ↦ ax + b có đạo hàm bằng a tại mọi điểm. 082U
Ví dụ 3 Hàm thực 1/x (được xác định với x ≠ 0) khả vi tại mỗi điểm x₀ ≠ 0, vì ta có ( 1/x - 1/x₀ ) / (x - x₀) = -1/(x x₀), và, do 1/x liên tục tại x₀, giới hạn của biểu thức đứng trước là… 082V
Ví dụ 4 Hàm vô hướng |x|, được xác định trên R, có đạo hàm phải +1 và đạo hàm trái -1 tại x = 0; nó không khả vi tại điểm này. 082W
Ví dụ 5 Hàm thực bằng 0 với x = 0, và bằng x sin 1/x với x ≠ 0, được xác định và liên tục trên R, nhưng không có cả đạo hàm phải lẫn đạo hàm trái tại điểm x ≠ 0. Có thể cho những ví dụ về… 082X
Định nghĩa 3 Ta nói rằng một hàm vectơ f xác định trên một khoảng I ⊂ R là khả vi (tương ứng, khả vi phải, khả vi trái) trên I nếu nó khả vi (tương ứng, khả vi phải, khả vi trái) tại mỗi điểm c… 082Y
Nhận xét Một hàm có thể khả vi trên một khoảng mà đạo hàm của nó không liên tục tại mọi điểm của khoảng ấy (xem. I, p. 36, exerc. 5); điều này được chỉ ra bởi ví dụ về hàm bằng 0 khi x = 0… 082Z
Mệnh đề 1 Tập hợp các hàm vectơ xác định trên một khoảng I ⊂ R, nhận giá trị trong một không gian vectơ tôpô E đã cho, và khả vi tại điểm x₀, là một không gian vectơ trên R, và ánh xạ f ↦ Df… 0830
Hệ quả Tập hợp các hàm vectơ xác định trên một khoảng I, nhận giá trị trong một không gian vectơ tôpô E đã cho, và khả vi trên I, là một không gian vectơ trên R, và ánh xạ f ↦ Df là một á… 0831
Nhận xét Nếu trang bị cho không gian vectơ các ánh xạ từ I vào E và không gian con của nó gồm các ánh xạ khả vi (x. Gen. Top., X, p. 277) tôpô hội tụ đơn (hoặc tôpô hội tụ đều), thì ánh xạ… 0832
Mệnh đề 2 Cho E và F là hai không gian vectơ tôpô trên R, và u là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. Nếu f là một hàm vectơ xác định trên một khoảng I ⊂ R, nhận giá trị trong E, và k… 0833
Hệ quả Nếu φ là một dạng tuyến tính liên tục trên E, thì hàm thực φ ∘ f có đạo hàm bằng φ(f'(x₀)) tại điểm x₀. 0834
Ví dụ 1 Cho f = (fᵢ)_1 ≤ i ≤ n là một hàm nhận giá trị trong Rⁿ, xác định trên một khoảng I ⊂ R; mỗi hàm thực fᵢ không gì khác hơn là hàm hợp prᵢ ∘ f, nên khả vi tại điểm x₀ nếu f khả vi t… 0835
Ví dụ 2 Trong Động học, nếu f(t) là vị trí của một điểm chuyển động M tại thời điểm t, nếu g(t) là vị trí ở cùng thời điểm của hình chiếu M' của M lên một mặt phẳng P (tương ứng, một đường… 0836
Ví dụ 3 Cho f là một hàm nhận giá trị phức xác định trên một khoảng I ⊂ R, và cho a là một số phức tùy ý; mệnh đề 2 cho thấy rằng nếu f khả vi tại một điểm x₀ thì af cũng vậy, và đạo hàm c… 0837
Mệnh đề 3 Với mỗi chỉ số i (1 ≤ i ≤ p), cho fᵢ là một hàm xác định trên một khoảng I ⊂ R, nhận giá trị trong Eᵢ, và khả vi tại điểm x₀ ∈ I. Khi đó hàm 0838
Ví dụ 1 Cho f là một hàm thực, g là một hàm vectơ, cả hai đều khả vi tại một điểm x₀; hàm gf có đạo hàm bằng g'(x₀)f(x₀) + g(x₀)f'(x₀) tại x₀. Đặc biệt, nếu a là hằng, thì af có đạo hàm af… 0839
Ví dụ 2 Hàm thực xⁿ phát sinh từ hàm đa tuyến tính 083A
Ví dụ 3 Tích vô hướng Euclid (x| y) (Gen. Top , VI, p. 40) là một ánh xạ song tuyến tính (tất yếu liên tục) từ Rⁿ × Rⁿ vào R. Nếu f và g là hai hàm vectơ nhận giá trị trong Rⁿ, và khả vi t… 083B
Ví dụ 4 Nếu E là một đại số tôpô trên R (xem Introduction), thì tích xy của hai phần tử của E là một hàm song tuyến tính liên tục của (x, y); nếu f và g nhận giá trị trong E và khả vi tại… 083C
Ví dụ 5 Định thức det(x₁, x₂, …, xₙ) của n vectơ xᵢ = (xᵢⱼ)_1 ≤ i ≤ n của không gian Rⁿ (Alg., III, p. 522) là một hàm đa tuyến tính (liên tục) theo các xᵢ, nên ta thấy rằng nếu n² hàm thự… 083D
Nhận xét Nếu U(x) là một ma trận bình phương khả vi và khả nghịch tại điểm x₀, thì đạo hàm của định thức của nó Δ(x) = det(U(x)) có thể được biểu diễn theo đạo hàm của U(x) bởi công thức Δ'… 083E
Mệnh đề 4 Cho E là một đại số chuẩn đầy đủ với một phần tử đơn vị trên R và cho f là một hàm xác định trên một khoảng I ⊂ R, nhận giá trị trong E, và khả vi tại điểm x₀ ∈ I. Nếu y₀ = f(x₀) k… 083F
Ví dụ 1 Trường hợp riêng quan trọng nhất là trường hợp E là một trong các trường R hoặc C: nếu f là một hàm nhận giá trị thực hoặc phức, khả vi tại điểm x₀, và sao cho f(x₀) ≠ 0, thì 1/f c… 083G
Ví dụ 2 Nếu U = (αᵢⱼ(x)) là một ma trận bình phương cấp n, khả vi tại x₀ và khả nghịch tại điểm này, thì U⁻¹ có đạo hàm bằng -U⁻¹ U' U⁻¹ tại x₀. 083H
Mệnh đề 5 Cho f là một hàm thực xác định trên một khoảng I ⊂ R, và g là một hàm vectơ xác định trên một khoảng của R chứa f(I). Nếu f khả vi tại điểm x₀ và g khả vi tại điểm f(x₀) thì hàm hợ… ↩ 1 083I
Mệnh đề 6 Cho f là một đồng phôi của một khoảng I ⊂ R lên một khoảng J = f(I) ⊂ R, và cho g là đồng phôi nghịch đảo³. Nếu f khả vi tại điểm x₀ ∈ I, và nếu f'(x₀) ≠ 0, thì g có đạo hàm bằng 1… 083J
Hệ quả Nếu f khả vi trên I và nếu f'(x) ≠ 0 trên I, thì g khả vi trên J và đạo hàm của nó tại mỗi điểm y ∈ J là 1/f'(g(y)). 083K
Nhận xét 1 Tất cả các mệnh đề trước đây, được phát biểu cho các hàm khả vi tại một điểm x₀, ngay lập tức cho các mệnh đề đối với các hàm khả vi phải (tương ứng, trái) tại x₀, khi, thay vì xét… 083L
Nhận xét 2 Các định nghĩa và mệnh đề đi trước (trừ những điều liên quan đến các đạo hàm phải và trái) được mở rộng dễ dàng sang trường hợp khi người ta thay thế R bởi một trường tôpô giao hoá… 083M
Ví dụ Tại điểm x = 0 hàm x^1/3 (hàm nghịch đảo của x³, một đồng phôi của R lên chính nó) có đạo hàm, bằng +∞; tại x = 0 hàm |x|^1/3 có đạo hàm phải +∞ và đạo hàm trái -∞. 083N
Định nghĩa 4 Ta nói rằng một hàm thực f, xác định trên một tập con A của một không gian tôpô E, có một cực đại tương đối (tương ứng, cực đại tương đối ngặt, cực tiểu tương đối, cực tiểu tương đ… 083O
Mệnh đề 7 Cho f là một hàm thực hữu hạn, xác định trên một khoảng I ⊂ R. Nếu f đạt cực đại tương đối (tương ứng cực tiểu tương đối) tại một điểm x₀ nằm trong I, và có cả đạo hàm phải lẫn đạo… 083P

§ 2. Định lý giá trị trung bình

Mệnh đề 1 ("định lý Rolle") Cho f là một hàm thực, hữu hạn và liên tục trên một khoảng đóng I = [a, b] (trong đó a < b), có đạo hàm (hữu hạn hay không) tại mọi điểm của ]a, b[, và sao cho f(a) = f(b). Khi đó… 083Z
Hệ quả Cho f là một hàm thực, hữu hạn và liên tục trên [a, b] (với a < b), và có đạo hàm (hữu hạn hay không) tại mọi điểm. Khi đó tồn tại một điểm c của ]a, b[ sao cho f(b) - f(a) = f'(c)… 0840
Mệnh đề 2 Cho f là một hàm thực hữu hạn và liên tục trên khoảng đóng bị chặn I = [a, b] (trong đó a < b) và có đạo hàm phải (hữu hạn hay không) tại mọi điểm của phần bù tương đối trong [a, b… ↩ 2 0841
Hệ quả Cho f là một hàm thực liên tục hữu hạn trên [a, b] (trong đó a < b) và có đạo hàm phải tại mọi điểm của phần bù trong [a, b[ của một tập con đếm được A của khoảng này. Để f tăng tr… 0842
Nhận xét 1 Mệnh đề 2 vẫn đúng khi thay khoảng [a, b[ bằng ]a, b và các từ "đạo hàm phải" bằng "đạo hàm trái". 0843
Nhận xét 2 Giả thiết về tính liên tục của f trên khoảng đóng I (chứ không chỉ liên tục phải ⁴ tại mọi điểm của [a, b[) là cốt yếu để mệnh đề 2 đúng (xem I, p. 36, bài tập 8 ). 0844
Nhận xét 3 Không thể bảo đảm kết luận của mệnh đề 2 nếu ta chỉ giả sử rằng tập hợp A các điểm "ngoại lệ" là không đâu trù mật trong I, nhưng không đếm được (xem I, p. 37, bài tập 3). 0845
Nhận xét Định lý 1 không còn đúng nếu cho phép f'_d và g' đồng thời vô hạn trên một tập con không đếm được của I (xem I, p. 37, bài tập 3). 0846
Hệ quả Cho f là một hàm hữu hạn liên tục trên [a,\ b] (trong đó a < b) và có đạo hàm phải (hữu hạn hay không) tại mọi điểm của phần bù tương đối B trong [a,\ b[ của một tập con đếm được c… 0847
Nhận xét Các bất đẳng thức (5) chứng minh rằng một hàm liên tục không thể có đạo hàm phải bằng +∞ tại mọi điểm của một khoảng (x. I, p. 38, bài tập 6). 0848
Định lý 2 Cho f là một hàm vectơ được xác định và liên tục trên một khoảng đóng bị chặn I = [a,\ b] của R (với a < b) và nhận giá trị trong một không gian định chuẩn E trên R; cho g là một h… ↩ 1 0849
Nhận xét 1 Ở đây cũng vậy, trong mệnh đề của định lý 2 người ta có thể thay khoảng [a, b[ bằng ]a, b] và "đạo hàm phải" bằng "đạo hàm trái". 084A
Nhận xét 2 Ta sẽ chỉ ra về sau cách đồng nhất trường hợp đẳng thức trong (7), và cũng cách tổng quát hóa định lý 2 cho trường hợp E là một không gian lồi địa phương tùy ý, với sự trợ giúp của… 084B
Hệ quả Để một hàm vectơ liên tục trên một khoảng I ⊂ R, nhận giá trị trong một không gian định chuẩn E trên R, là hằng trên I, thì đủ là nó có đạo hàm phải không tại mọi điểm của phần bù… 084C
Nhận xét Các chứng minh của định lý 1 và 2 dựa một cách cốt yếu trên các tính chất tôpô đặc biệt của trường R; người ta có thể cho các ví dụ về các trường định giá K mà đối với chúng tồn tạ… 084D
Mệnh đề 3 Cho f là một hàm vectơ nhận giá trị trong một không gian chuẩn E trên R, được xác định và liên tục trên một khoảng I ⊂ R, và khả vi phải trên phần bù B (đối với I) của một tập con… 084E
Mệnh đề 4 Cho f là một hàm khả vi liên tục của một biến phức xác định trên một tập con mở lồi A của trường C, với giá trị trong một không gian định chuẩn E trên trường C. Nếu ta có |f'(z)| ≤… 084F
Hệ quả Một hàm vectơ f của một biến phức, được xác định và liên tục trên một tập mở A ⊂ C, và nhận giá trị trong một không gian định chuẩn trên C, là hằng nếu nó có đạo hàm bằng không tại… 084G
Mệnh đề 5 Cho f là một hàm vectơ của một biến phức, được xác định, liên tục và khả vi trên một tập hợp mở lồi A ⊂ C, nhận giá trị trong một không gian định chuẩn trên trường C; khi đó, với m… 084H
Mệnh đề 6 Cho I là một khoảng mở trong R, cho x₀ là một trong các đầu mút của I, và f là một hàm vectơ xác định và liên tục trên I, nhận giá trị trong một không gian định chuẩn đầy đủ E trên… 084I
Nhận xét Một lập luận tương tự, dựa trên đl. 1, cho thấy rằng nếu f là một hàm thực sao cho f'_d(x) tiến tới +∞ tại điểm x₀ thì tỷ số 084J

§ 3. Đạo hàm cấp cao

Mệnh đề 1 Tập hợp các hàm vectơ xác định trên một khoảng I ⊂ R, nhận giá trị trong một không gian vectơ tôpô cho trước E, và có đạo hàm bậc nᵗʰ trên I, là một không gian vectơ trên R, và f ↦… 084Y
Mệnh đề 2 ("công thức Leibniz") Cho E, F, G là ba không gian vectơ tôpô trên R, và (x, y) ↦ [x.y] là một ánh xạ song tuyến tính liên tục từ E × F vào G. Nếu f (resp. g) được xác định trên một khoảng I ⊂ R, nhận g… 084Z
Định lý 1 Nếu hàm f có một đạo hàm cấp nᵗʰ tại điểm a thì 0850
Mệnh đề 3 Nếu |f^(n+1)(x)| ≤ M trên I, thì ta có |rₙ(x)| ≤ M frac|x - a|ⁿ⁺¹(n + 1)! trên I. 0851
Hệ quả Nếu f là một hàm thực hữu hạn có đạo hàm cấp n + 1 trên I, và nếu m ≤ f^(n+1)(x) ≤ M trên I, thì với mọi x ≥ a trong I ta có m frac(x - a)ⁿ⁺¹(n + 1)! ≤ rₙ(x) ≤ M frac(x - a)ⁿ⁺¹(n +… 0852
Nhận xét 1 Chúng ta đã nhận thấy trong chứng minh định lý 1 rằng nếu f có đạo hàm cấp n trên I, và nếu f(x) = a₀ + a₁(x - a) + a₂(x - a)² + ⋯ + aₙ(x - a)ⁿ + rₙ(x) là khai triển Taylor cấp n c… 0853
Nhận xét 2 Với cùng các giả thiết, các hệ số aᵢ trong (11) được xác định truy hồi bởi các hệ thức 0854
Nhận xét 3 Định nghĩa của đạo hàm cấp n và các kết quả trước đó tổng quát hóa ngay lập tức cho các hàm của một biến phức; ở đây chúng tôi sẽ không đi sâu hơn vào chủ đề này; nó sẽ được trình… 0855

§ 4. Hàm lồi của một biến thực

Bổ đề Cho A = (a, a'), B = (b, b'), C = (c, c') là ba điểm trong R² sao cho a < b < c. Các mệnh đề sau là tương đương: 085O
Định nghĩa 1 Ta nói rằng một hàm số f hữu hạn, xác định trên một khoảng I ⊂ R, là lồi trên I nếu, bất kể các điểm x, x' của I, (x < x'), mọi điểm M_z của đồ thị G của f sao cho x ≤ z ≤ x' đều n… 085P
Nhận xét Ta cũng thấy theo cùng một cách rằng tập hợp các điểm nằm nghiêm ngặt phía trên G là lồi. Ngược lại, nếu tập hợp này là lồi thì ta có 085Q
Ví dụ 1 Mọi hàm afin tuyến tính (thực) ax + b đều lồi trên R. 085R
Ví dụ 2 Hàm x² lồi trên R, vì ta có 085S
Ví dụ 3 Hàm |x| lồi trên R, vì 085T
Định nghĩa 2 Ta nói rằng một hàm thực hữu hạn f xác định trên một khoảng I ⊂ R là lồi nghiêm ngặt trên I nếu, với mọi điểm x, x' của I (x < x'), mọi điểm M_z của đồ thị G của f sao cho x < z <… 085U
Mệnh đề 1 Cho f là một hàm thực hữu hạn, lồi (resp. lồi nghiêm ngặt) trên một khoảng I ⊂ R. Với mọi họ (xᵢ)_1 ≤ i ≤ p gồm p ≥ 2 điểm phân biệt của I, và mọi họ (λᵢ)_1 ≤ i ≤ p gồm p số thực s… 085V
Mệnh đề 2 Cho fᵢ (1 ≤ i ≤ p) là p hàm lồi trên một khoảng I ⊂ R, và cᵢ (1 ≤ i ≤ p) là p số dương tùy ý; khi đó hàm f = ∑ᵢ₌₁ᵖ cᵢ fᵢ là lồi trên I. Hơn nữa, nếu đối với ít nhất một chỉ số j th… 085W
Mệnh đề 3 Cho (f_α) là một họ các hàm lồi trên một khoảng I ⊂ R; nếu bao trên g của họ này là hữu hạn tại mọi điểm của I thì g là lồi trên I. 085X
Mệnh đề 4 Cho H là một tập hợp các hàm lồi trên một khoảng I ⊂ R; nếu 𝔉 là một bộ lọc trên H hội tụ từng điểm trên I tới một hàm thực hữu hạn f₀, thì hàm này là lồi trên I. 085Y
Mệnh đề 5 Điều kiện cần và đủ để một hàm thực hữu hạn f là lồi (tương ứng, lồi ngặt) trên một khoảng I là với mọi a ∈ I, hệ số góc 085Z
Mệnh đề 6 Cho f là một hàm thực hữu hạn lồi trên một khoảng I ⊂ R. Khi đó tại mọi điểm trong a của I hàm f liên tục, có các đạo hàm phải và trái hữu hạn, và f'_g(a) ≤ f'_d(a). 0860
Hệ quả 1 Nếu f là một hàm lồi (tương ứng, lồi chặt) trên I; nếu a và b là hai điểm trong của I sao cho a < b thì ta có (hình 3) 0861
Hệ quả 2 Nếu f lồi (ứng với lồi ngặt) trên I thì f'_d và f'_g tăng (ứng với tăng ngặt) trên phần trong của I; tập hợp các điểm của I tại đó f không khả vi là đếm được, và f'_d và f'_g liên… 0862
Nhận xét Nếu f là một hàm lồi ngặt trên một khoảng mở I thì f'_d tăng ngặt trên I, do đó có ba trường hợp có thể xảy ra, theo mệnh đề 2 của I, p. 13: f giảm nghiêm ngặt trên I; f tăng ngặt… 0863
Mệnh đề 7 Cho f là một hàm thực hữu hạn xác định trên một khoảng I ⊂ R. Để f lồi trên I, điều kiện cần và đủ là với mọi cặp số a, b thuộc I sao cho a < b, và với mọi số thực μ, hàm f(x) + μ… 0864
Mệnh đề 8 Để một hàm thực hữu hạn f là lồi (tương ứng, lồi ngặt) trên một khoảng mở I ⊂ R thì điều kiện cần và đủ là nó liên tục trên I, có đạo hàm tại mọi điểm của phần bù B trong I của một… 0865
Hệ quả Cho f là một hàm thực hữu hạn, liên tục và khả vi hai lần trên một khoảng I ⊂ R; để f lồi trên I thì điều kiện cần và đủ là f''(x) geqslant 0 với mọi x ∈ I; để f lồi nghiêm ngặt tr… 0866
Ví dụ Trên khoảng ]0, +∞ [ hàm xʳ (r là một số thực bất kỳ) có đạo hàm bậc hai bằng r(r-1)x⁻²; do đó nó là lồi nghiêm ngặt nếu r > 1 hoặc r < 0, và lõm nghiêm ngặt nếu 0 < r < 1. \ 0867
Mệnh đề 9 Cho f là một hàm thực hữu hạn nửa liên tục trên trên một khoảng mở I ⊂ R. Để f lồi trên I thì điều kiện cần và đủ là đối với mọi điểm Mₓ của đồ thị G của f, mọi đường thẳng ở địa p… 0868
Hệ quả 1 Để một hàm thực hữu hạn f xác định trên một khoảng mở I ⊂ R và nửa liên tục trên trên I là lồi trên I thì điều kiện cần và đủ là với mọi x ∈ I tồn tại một ε > 0 sao cho quan hệ |h|… 0869
Hệ quả 2 Cho f là một hàm thực hữu hạn xác định trên một khoảng mở I ⊂ R. Nếu với mọi điểm x ∈ I đều có một khoảng mở Jₓ ⊂ I chứa x và sao cho hạn chế của f trên Jₓ là lồi trên Jₓ, thì f là… 086A

II. Nguyên hàm và Tích phân

§ 1. Nguyên thủy hàm và tích phân

Định nghĩa 1 Cho một hàm vectơ f xác định trên một khoảng I ⊂ R, ta nói rằng một hàm g xác định trên I là một nguyên thủy hàm của f nếu g liên tục trên I và có đạo hàm bằng f(x) tại mọi điểm x… 0870
Mệnh đề 1 Cho f là một hàm vectơ được định nghĩa trên I với các giá trị trong E; nếu f nhận một nguyên hàm g trên I thì tập hợp các nguyên hàm của f trên I đồng nhất với tập hợp các hàm g +… 0871
Định lý 1 Cho A là một tập hợp được lọc bởi một bộ lọc 𝔉, và (f_α)_α ∈ A là một họ các hàm vectơ với các giá trị trong một không gian định chuẩn đầy đủ E trên R, được định nghĩa trên một kho… ↩ 1 0872
Hệ quả 1 Tập hợp H các ánh xạ từ I vào E thừa nhận một nguyên thủy trên khoảng I là một không gian con vectơ đóng (và do đó đầy đủ) của không gian vectơ đầy đủ F_c(I; E) gồm các ánh xạ từ I… ↩ 1 0873
Hệ quả 2 Cho x₀ là một điểm của I, và với mỗi hàm f ∈ H gọi P(f) là nguyên thủy của f triệt tiêu tại điểm x₀; ánh xạ f ↦ P(f) từ H vào F_c(I; E) là một ánh xạ tuyến tính liên tục. 0874
Định nghĩa 2 Một ánh xạ f của một khoảng I ⊂ R vào một tập hợp E được gọi là một hàm bậc thang nếu có một phân hoạch của I thành một số hữu hạn các khoảng Jₖ sao cho f là hằng trên mỗi Jₖ. 0875
Mệnh đề 2 Tập hợp các hàm bậc thang được xác định trên I, với các giá trị trong một không gian vectơ E trên R, là một không gian con vectơ E của không gian vectơ F(I; E) gồm tất cả các ánh x… 0876
Hệ quả Không gian con vectơ E được sinh bởi các hàm đặc trưng của các khoảng. 0877
Định nghĩa 3 Một hàm vectơ, được xác định trên một khoảng I, với các giá trị trong một không gian định chuẩn đầy đủ E trên R, được gọi là một hàm điều chỉnh, nếu nó là giới hạn đều của các hàm… 0878
Định lý 2 Mọi hàm điều hòa trên một khoảng I đều có một nguyên hàm trên I. 0879
Định lý 3 Một hàm vectơ f xác định trên một khoảng I, nhận giá trị trong một không gian định chuẩn đầy đủ E trên R, là điều hòa khi và chỉ khi nó có một giới hạn phải và một giới hạn trái tạ… 087A
Hệ quả 1 Cho f là một hàm điều hòa trên I; tại mọi điểm của I, ngoại trừ đầu mút phải (tương ứng, đầu mút trái) của I, mọi nguyên hàm của f đều có đạo hàm phải bằng f(x+) (tương ứng, đạo hà… 087B
Hệ quả 2 Cho fᵢ (1 ≤ i ≤ n) là n hàm điều hòa trên một khoảng I, mỗi fᵢ nhận các giá trị trong một không gian định chuẩn đầy đủ Eᵢ trên R (1 ≤ i ≤ n). Nếu g là một ánh xạ liên tục từ không… 087C
Nhận xét 1 Nếu f là một hàm thực điều hòa trên I, và g là một hàm vectơ điều hòa trên một khoảng chứa f(I), thì hàm hợp thành g ∘ f không nhất thiết điều hòa (cf. II, p. 79, bài tập 4). 087D
Mệnh đề 3 Mọi hàm vectơ liên tục trên một khoảng I ⊂ R nhận các giá trị trong một không gian định chuẩn đầy đủ E trên R đều điều hòa, và có một nguyên hàm trên I, mà tại mọi điểm nó là đạo h… 087E
Nhận xét 2 Để chứng minh rằng một hàm liên tục có một nguyên hàm, ta có thể sử dụng sự kiện rằng mọi hàm đa thức của một biến thực (với các hệ số trong E) đều có một nguyên hàm; vì theo định… 087F
Nhận xét 3 Nguyên lý của nhận xét trước mở rộng được, không cần sửa đổi đáng kể, cho các hàm vectơ của một biến phức nhận giá trị trong một không gian định chuẩn đầy đủ trên C. Nếu U là một t… 087G
Mệnh đề 4 Mọi hàm thực đơn điệu f trên một khoảng I ⊂ R đều là điều hòa được, và mọi nguyên hàm của f đều lồi trên I. 087H
Nhận xét 4 Không nên nghĩ rằng các hàm điều hòa được trên một khoảng I là những hàm duy nhất có một nguyên hàm trên I (cf. II, p. 80, bài tập 7 và 8). 087I
Mệnh đề 5 Cho f là một hàm điều hòa được trên một khoảng I, g là một nguyên hàm của f trên I, và [x₀,\ x] là một khoảng compáct được chứa trong I. Với mọi ε > 0 tồn tại một số ρ > 0 sao cho… 087J
Nhận xét 1 Khi f là liên tục thì mệnh đề 5 có thể được chứng minh đơn giản hơn: vì f liên tục đều trên [x₀,\ x] nên tồn tại một ρ > 0 sao cho trên mọi khoảng có độ dài ≤ ρ được chứa trong [x₀… 087K
Nhận xét 2 Với một hàm tùy ý h được định nghĩa trên I, nhận giá trị trong E, phần tử h(x) - h(x₀) cũng được viết là h(t)|_x₀ˣ; với ký hiệu này ta thấy rằng nếu g là bất kỳ nguyên hàm nào của… 087L
Nhận xét 3 Các biểu thức ∫_x₀ˣ f(t) dt và g(t)|_x₀ˣ là những ký hiệu viết tắt biểu diễn các dãy ký hiệu trong đó các chữ x, x₀, f, g, nhưng không phải chữ t, xuất hiện (xem Lý thuyết Tập hợp… 087M
Nhận xét 4 Việc xấp xỉ một tích phân bằng các tổng Riemann có liên hệ chặt chẽ với một trong những nguồn gốc lịch sử của khái niệm tích phân, bài toán đo diện tích. Chúng ta sẽ trở lại điểm n… 087N
Mệnh đề 6 (định lý giá trị trung bình) Cho f là một hàm chỉnh thực trên một khoảng compact l = [a, b]; nếu J là tập các điểm của I tại đó f liên tục, và m = inf_x ∈ J f(x), M = sup_x ∈ J f(x), thì 087O
Hệ quả 1 Nếu một hàm chỉnh thực f trên I sao cho f(x) ≥ 0 tại các điểm mà f liên tục, thì 1/(b-a) ∫ₐᵇ f(t) dt > 0 trừ khi f(x) = 0 tại các điểm mà f liên tục. 087P
Hệ quả 2 Cho f và g là hai hàm chỉnh thực trên I, sao cho g(x) ≥ 0 tại các điểm mà g liên tục; nếu m và M là cận dưới lớn nhất và cận trên bé nhất của f trên tập các điểm mà f liên tục, thì 087Q
Mệnh đề 7 Cho f là một hàm vectơ chỉnh trên một khoảng compact I = [a, b], nhận giá trị trong một không gian chuẩn đầy đủ E, và cho g là một hàm chỉnh thực trên I, sao cho g(x) ≥ 0 tại các đ… 087R

§ 2. Tích phân trên các khoảng không compact

Định nghĩa 1 Người ta nói rằng một hàm vectơ f, từng khúc điều hòa trên một khoảng [a,\ b[ của overlineR, có một nguyên trên khoảng này nếu f có một nguyên hàm trên [a,\ b[; nếu g là một trong… 088F
Ví dụ i) Tích phân ∫₁^+∞ dt/t² hội tụ và bằng 1, vì ∫₁ˣ dt/t² = 1 - 1/x. 088G
Mệnh đề 1 (Tiêu chuẩn Cauchy cho các tích phân) Cho f là một hàm điều chỉnh trên một khoảng I ⊂ R có các đầu mút a và b (a < b). Để tích phân ∫ₐᵇ f(t) dt tồn tại, điều kiện cần và đủ là với mọi ε > 0, tồn tại một đoạn compact J₀… 088H
Bổ đề Cho J₀ = [α, β] là một khoảng compact được chứa trong I. Để có | ∫_J f(t) dt - ∫_J' f(t) dt | ≤ ε với mọi cặp khoảng compact J, J' được chứa trong I và chứa J' thì cần phải có | ∫_… 088I
Ví dụ Nếu khoảng I là bị chặn, và nếu f bị chặn trên I, thì tích phân ∫_I f(t) dt luôn luôn tồn tại, vì, theo định lý giá trị trung bình, ta có, với y ≤ α ≤ β ≤ z, | ∫_y^α f(t) dt | ≤ (α… 088J
Mệnh đề 2 Cho f là một hàm điều chỉnh thực ≥ 0 trên một khoảng I ⊂ R có các đầu mút a và b (a < b). Để tích phân ∫ₐᵇ f(t) dt tồn tại thì điều kiện cần và đủ là tập hợp các số ∫_J f(t) dt bị… 088K
Định nghĩa 2 Người ta nói rằng tích phân của một hàm điều chỉnh f trên một khoảng I ⊂ R là hội tụ tuyệt đối nếu tích phân của hàm dương | f(x) | là hội tụ. 088L
Mệnh đề 4 Nếu tích phân của f trên I hội tụ tuyệt đối thì nó hội tụ, và ta có 088M
Hệ quả Cho E, F, G là ba không gian định chuẩn đầy đủ trên R, và (x, y) ↦ x.y là một ánh xạ song tuyến tính liên tục từ E × F vào G. Cho f, g là hai hàm điều chỉnh trên I, nhận giá trị tr… 088N
Nhận xét Một tích phân có thể hội tụ mà không hội tụ tuyệt đối; điều này được chỉ ra bởi Ví dụ 3 của II, p. 64, trong đó chuỗi có số hạng tổng quát uₙ là hội tụ mà không hội tụ tuyệt đối. 088O

§ 3. Đạo hàm và tích phân của các hàm phụ thuộc vào một tham số

Mệnh đề 1 Cho A là một tập hợp được lọc bởi một bộ lọc 𝔉, và (f_α)_α ∈ A là một họ các hàm điều chỉnh trên một đoạn compact I = [a, b]; nếu các hàm f_α hội tụ đều trên I đến một hàm f (điều… 088Y
Hệ quả 1 Cho (fₙ) là một dãy các hàm điều chỉnh trên một đoạn compact I = [a, b]. Nếu dãy (fₙ) hội tụ đều trên I đến một hàm f (điều chỉnh), ta có 088Z
Hệ quả 2 Cho A là một tập con của một không gian tôpô F, và f là một ánh xạ từ I × A vào một không gian định chuẩn đầy đủ E trên R, sao cho, với mỗi α ∈ A, hàm x ↦ f(x, α) là điều hòa trên… 0890
Mệnh đề 2 ("tính liên tục của một nguyên đối với một tham số") Cho F là một không gian compact, I = [a,\ b] là một khoảng compact trong R, và f là một ánh xạ liên tục từ I × F vào một không gian định chuẩn đầy đủ E trên R; khi đó hàm h(α) = ∫ₐ… 0891
Định nghĩa 1 Người ta nói rằng tích phân ∫_I f_α(t) dt hội tụ đều đối với α ∈ A (hay hội tụ đều trên A) nếu, với mọi ε > 0 tồn tại một khoảng compact J₀ ⊂ J sao cho, với mọi khoảng compact K ⊂… 0892
Mệnh đề 3 Cho (f_α ) là một họ các hàm điều hòa trên một khoảng I sao cho: 1 đối với bộ lọc 𝔉 họ (f_α ) hội tụ đều đến một hàm f (điều hòa trên I) trên mọi khoảng compact được chứa trong I… 0893
Hệ quả 1 Cho (fₙ) là một dãy các hàm điều chỉnh trên một khoảng tùy ý I, hội tụ đều về một hàm f trên mỗi khoảng compắc được chứa trong I; nếu tích phân ∫_I fₙ(t) dt hội tụ đều, thì tích ph… 0894
Nhận xét Các giả thiết đặt ra trong hệ quả này là đủ, nhưng không cần, để công thức (9) đúng; về sau chúng tôi sẽ tổng quát hóa công thức này, đồng thời với khái niệm tích phân (xem INT, IV… 0895
Hệ quả 2 Cho A là một tập con của một không gian tôpô F, và f là một ánh xạ từ I × A vào một không gian định chuẩn đầy đủ E trên R, sao cho, với mọi α ∈ A, hàm x ↦ f(x, α) là điều hòa trên… 0896
Mệnh đề 4 ("tính liên tục của một nguyên suy rộng đối với một tham số") Cho F là một không gian compact, cho I là một khoảng bất kỳ trong R, và f là một ánh xạ liên tục từ I × F vào một không gian định chuẩn đầy đủ E trên R; nếu nguyên h(α) = ∫_I f(x… 0897
Mệnh đề 5 Giả sử rằng đạo hàm riêng f'_α(x, α) tồn tại với mọi x ∈ I và mọi α trong một lân cận mở V của α₀, và rằng, với mọi α ∈ V, ánh xạ x ↦ f'_α(x, α) là bị chặn điều hòa trên I. Trong c… 0898
Hệ quả Nếu đạo hàm riêng f'_α(x, α) tồn tại trên I × V và là một hàm liên tục theo (x, α) trên tập hợp này, thì hàm g có đạo hàm cho bởi công thức (12) tại điểm α₀. 0899
Mệnh đề 6 Giả sử các giả thiết của mệnh đề 5 được thỏa mãn, và gọi a(α), b(α) là hai hàm xác định trên V, nhận giá trị trong I; nếu các đạo hàm a'(α₀),\ b'(α₀) tồn tại và hữu hạn thì hàm g(α… 089A
Mệnh đề 7 Cho I là một khoảng tùy ý trong R, và f là một hàm liên tục trên I × V. Giả sử rằng: đạo hàm riêng f'_α(x, α) tồn tại với mọi x ∈ I và mọi α ∈ V, và, với mọi α ∈ V, ánh xạ x ↦ f'_α… 089B
Nhận xét 1 Các điều kiện 1 và 2 của mệnh đề 7 được thỏa mãn a fortiori khi f'_α(x, α) là một hàm liên tục của (x, α) trên I × V. 089C
Nhận xét 2 Khi, trong một tích phân ∫_a(α)^b(α) f(t, α) dt, các đầu mút của khoảng là các hàm hữu hạn của tham số, việc nghiên cứu tích phân này như một hàm của α có thể liên quan đến việc ng… 089D
Mệnh đề 8 Nếu f liên tục trên I × A thì ta có 089E
Mệnh đề 9 Nếu hàm f liên tục trên I × A, và nếu nguyên hàm ∫_I f(t, α) dt hội tụ đều trên A, thì nguyên hàm ∫_I dt ∫_cᵈ f(t, α) dα hội tụ, và ta có 089F

III. Các hàm sơ cấp

§ 1. Đạo hàm của các hàm số mũ và hàm số lượng giác

Định lý 1 Cho E là một đại số chuẩn đầy đủ trên trường R, có một phần tử đơn vị e, và cho f là một đồng cấu nhóm liên tục của nhóm cộng R vào nhóm nhân G các phần tử khả nghịch của E. Khi đó… 089Q
Mệnh đề 1 Với mọi số a > 0 và ≠ 1 hàm số mũ a^λ có tại mọi điểm x ∈ R một đạo hàm bằng (logₑ a)a^λ trong đó e là một số > 1 (độc lập với a). 089R
Định nghĩa 1 Các lôgarit cơ sở e được gọi là lôgarit Naper (hoặc lôgarit tự nhiên). 089S
Mệnh đề 2 ("bất đẳng thức trung bình nhân") Với mọi số zᵢ > 0 (1 ≤ i ≤ n) và các số pᵢ > 0 sao cho ∑ᵢ₌₁ⁿ pᵢ = 1, ta có z₁^p₁ z₂^p₂ ⋯ zₙ^pₙ ≤ p₁ z₁ + p₂ z₂ + ⋯ + pₙ zₙ. (6) Hơn nữa, hai vế của (6) chỉ bằng nhau nếu các zᵢ bằn… 089T
Ví dụ Nếu u là một hàm ≠ 0 trên một khoảng I, và v là một hàm thực tùy ý, thì log(|u|ᵛ) = v · log |u|, nên nếu u và v khả vi thì 1/|u|ᵛ D(|u|ᵛ) = v' log |u| + v u'/u. 089U
Mệnh đề 3 Hàm e(x) có đạo hàm bằng 2π i e(x) tại mọi điểm của R, trong đó π là một hằng số > 0. 089V
Định nghĩa 2 Đồng cấu x + iy ↦ eᶻ e(y/2π) từ C lên C^* được gọi là hàm mũ phức; giá trị của nó tại một số phức tùy ý z được ký hiệu là eᶻ hoặc exp z. 089W
Nhận xét Nếu, trong công thức (27), ta hạn chế hàm e^a z (a phức) vào trục thực, thì với x thực ta lại thu được D(e^a x) = a e^a x. Công thức này cho phép ta tính một nguyên hàm cho mỗi hàm… 089X
Ví dụ Ta có 089Y
Nhận xét Đối với z phức, đôi khi người ta viết 089Z

§ 2. Khai triển của hàm mũ thực và các hàm số lượng giác, và của các hàm liên kết với chúng

Nhận xét Vì số dư trong công thức (1) là > 0 với x > 0 nên, với x > 0, ta có 08B3

IV. Phương trình vi phân

§ 1. Các định lý tồn tại

Bổ đề 1 Cho f là một ánh xạ từ I × H vào E sao cho, khi viết fₓ (với mọi x ∈ H) cho ánh xạ t ↦ f(t, x) từ I vào E, các điều kiện sau được thỏa mãn: 1° fₓ là được điều chỉnh trên I với mọi… 08BD
Mệnh đề 1 Cho t₀ là một điểm của I và x₀ một điểm của H; để một hàm liên tục u là một nghiệm của phương trình (1) trên I và nhận giá trị x₀ tại điểm t₀, điều kiện cần và đủ là nó thỏa mãn qu… 08BE
Hệ quả Tại mọi điểm của I khác với đầu mút trái (tương ứng phải) của khoảng này, mọi nghiệm u của (1) trên I đều có đạo hàm trái (tương ứng phải) bằng giới hạn trái (phải) của f(t, u(t))… 08BF
Mệnh đề 2 Nếu f là một ánh xạ liên tục từ I × H vào E, thì mọi nghiệm của (1) trên I đều là một nghiệm ngặt. 08BG
Mệnh đề 3 Trên mọi khoảng compact có đầu mút trái (hoặc phải) t0 được chứa trong J, có độ dài nhỏ hơn r/(M + ε), tồn tại một nghiệm xấp xỉ sai số không vượt quá ε của phương trình (1), nhận… 08BH
Mệnh đề 4 Tập hợp các nghiệm gần đúng của (1) đến ε, được xác định trên cùng một khoảng K ⊂ J và nhận giá trị trong S, là đồng liên tục đều. 08BI
Hệ quả (định lý Peano) Nếu E có số chiều hữu hạn trên R thì tồn tại một nghiệm của (1) nhận giá trị trong S và bằng x₀ tại t₀, trên mọi khoảng compact K có đầu mút trái (hoặc phải) là t₀, được chứa trong… 08BJ
Nhận xét 1 Có thể có vô hạn nhiều tích phân của một phương trình vi phân (1) cùng nhận một giá trị tại một điểm cho trước. Chẳng hạn, phương trình vi phân vô hướng x' = 2sqrt|x| có mọi hàm đư… 08BK
Nhận xét 2 Định lý Peano không còn đúng nữa khi E là một không gian chuẩn đầy đủ tùy ý có chiều vô hạn (IV, p. 204, bài tập 18). 08BL
Định nghĩa 1 Cho một hàm thực dương t ↦ k(t) xác định trên I, người ta nói rằng một ánh xạ f từ I × H vào E là Lipschitz đối với hàm k(t) nếu, với mọi x ∈ H, hàm t ↦ f(t, x) được điều chỉnh trê… 08BM
Ví dụ Khi E = R và H là một khoảng trong R, nếu hàm f(t, x) thừa nhận một đạo hàm riêng f'ₓ (II, p. 74) tại mọi điểm (t, x) của I × H, sao cho |f'ₓ(t, x)| ≤ k(t) trên I × H, thì điều kiệ… 08BN
Mệnh đề 5 Cho k(t) là một hàm thực được điều chỉnh và > 0 trên I, và cho f(t, x) là một hàm được xác định và Lipschitz đối với k(t) trên I × H. Nếu u và v là hai nghiệm gần đúng của (1), lần… 08BO
Bổ đề 2 Nếu w là một hàm thực liên tục trên khoảng [t0, t1] và thỏa mãn bất đẳng thức 08BP
Hệ quả Cho f là một hàm Lipschitz với hằng k > 0, xác định trên I × H. Nếu u và v là hai nghiệm xấp xỉ của (1) với sai số không vượt quá ε₁ và ε₂, tương ứng, xác định trên I và nhận giá t… 08BQ
Nhận xét 1 Khi k = 0 thì bất đẳng thức (15) được thay bằng bất đẳng thức | u(t) - v(t) | ≤ | u(t₀) - v(t₀) | + (ε₁ + ε₂) |t - t₀| mà chứng minh là ngay lập tức. 08BR
Nhận xét 2 Khi E có số chiều hữu hạn, và f là Lipschitz trên I × H, người ta có thể chứng minh sự tồn tại của các nghiệm xấp xỉ của (1) (IV, p. 166, mệnh đề 3) mà không dùng tiên đề lựa chọn… 08BS
Mệnh đề 6 Cho f và g là hai hàm xác định trên I × H, thỏa mãn các giả thiết của bổ đề 1 ở IV, p. 165, và sao cho, trên I × H, | f(t, x) - g(t, x) | ≤ α. (16) ↩ 1 08BT
Định lý 1 (Cauchy) Cho f là một hàm Lipschitz trên I × H, J là một khoảng con compact của I, không rút gọn thành một điểm, t₀ là một điểm của J, S là một quả cầu mở tâm x₀ bán kính r, được chứa trong… 08BU
Định lý 2 Cho I ⊂ R là một khoảng (không thu về một điểm duy nhất) có đầu mút trái là t₀ ∈ I, cho H là một tập hợp mở khác rỗng trong E, và f là một hàm Lipschitz địa phương trên I × H. 08BV
Hệ quả 1 Nếu H = E và J ≠ I thì f(t, u(t)) không bị chặn trên J; hơn nữa, nếu E hữu hạn chiều thì |u(t)| có giới hạn bên trái +∞ tại đầu mút phải của J. 08BW
Hệ quả 2 Nếu, trên I × H, hàm f là Lipschitz đối với một hàm regulated k(t), và nếu đầu mút phải β của J thuộc I, thì u có một giới hạn bên trái tại β; nếu H = E và nếu f là Lipschitz đối v… 08BX
Ví dụ 1 Đối với một phương trình vi phân dạng x' = g(t), trong đó g là regulated trên I, mọi nghiệm u hiển nhiên đều được xác định trên toàn bộ I. Cần chú ý rằng u có thể bị chặn trên I mà… 08BY
Ví dụ 2 Đối với phương trình vô hướng x' = sqrt1 - x² ta có I = R,\ H = ] - 1, +1[. Nếu lấy t₀ = x₀ = 0 thì nghiệm tương ứng là sin t trên khoảng lớn nhất chứa 0 mà ở đó đạo hàm của sin t… 08BZ
Ví dụ 3 Đối với phương trình vô hướng x' = 1 + x² ta có I = H = R: nghiệm triệt tiêu tại t = 0 là tan t, và khoảng lớn nhất chứa 0 mà trên đó hàm này liên tục là J = ] - π/2, +π/2[; và |ta… 08C0
Ví dụ 4 Đối với phương trình vô hướng x' = sin tx ta có I = H = R và vế phải bị chặn trên I × H, nên theo (IV, p. 173, hệ quả 1) mọi nghiệm đều được xác định trên toàn bộ R. ↩ 1 08C1
Mệnh đề 7 Cho f và g là hai hàm số xác định trên I × H, thỏa mãn các giả thiết của bổ đề 1 của IV. p. 165, và sao cho, trên I × H 08C2
Định lý 3 Cho F là một không gian tôpô và cho f là một ánh xạ từ I × H × F vào E sao cho, với mọi ξ ∈ F, hàm (t, x) ↦ f(t, x, ξ) là Lipschitz trên I × H, và sao cho, khi ξ tiến tới ξ₀, f(t… 08C3
Nhận xét Khi H = E và điều kiện (16) của IV, p. 174 được thỏa mãn trên I × E, mệnh đề 7 của IV, p. 174 áp dụng được cho mọi nghiệm u của x' = g(t, x) trên bất kỳ khoảng nào mà nghiệm này đư… 08C4
Định lý 4 Cho f là một hàm Lipschitz địa phương trên I × H và (a, b) là một điểm tùy ý của I × H. 08C5

§ 2. Phương trình vi phân tuyến tính

Ví dụ 1 Khi E có số chiều hữu hạn n trên R thì ta có thể đồng nhất tự đồng cấu A(t) với ma trận (aᵢⱼ(t)) của nó đối với một cơ sở bất kỳ của E (Alg., II, p. 343); khi ta đồng nhất một vect… 08CO
Ví dụ 2 Cho G là một đại số chuẩn đầy đủ trên R, và a(t), b(t) và c(t) là ba ánh xạ từ J vào G; phương trình 08CP
Định lý 1 Cho t ↦ A(t) là một ánh xạ điều hòa từ J vào L(E), và t ↦ b(t) là một ánh xạ điều hòa từ J vào E. Với mọi điểm (t₀, x₀) của J × E phương trình tuyến tính (2) nhận một và chỉ một ng… 08CQ
Mệnh đề 1 Tập hợp I các tích phân của phương trình tuyến tính thuần nhất (4), xác định trên J, là một không gian con vectơ của không gian C(J; E) các ánh xạ liên tục từ J vào E. 08CR
Định lý 2 Với mọi điểm (t₀, x₀) của J × E gọi u(t, t₀, x₀) là tích phân của phương trình thuần nhất (4) xác định trên J và bằng x₀ tại t₀. Với mọi điểm t ∈ J ánh xạ x₀ ↦ u(t, t₀, x₀) là một… 08CS
Hệ quả 1 Ánh xạ gán cho mỗi điểm x₀ ∈ E hàm liên tục t ↦ C(t, t₀).x₀, được xác định trên J, là một đẳng cấu của không gian định chuẩn E lên không gian vectơ I các nghiệm nguyên của (4), đượ… 08CT
Hệ quả 2 Ánh xạ (s, t) ↦ C(s, t) của J × J vào L(E) là liên tục. 08CU
Hệ quả 3 Cho K là một khoảng compact được chứa trong J, và đặt k = sup_t ∈ K |A(t)|. Với mọi t và t₀ trong K |C(t, t₀) - I| ≤ e^k|t-t₀| - 1 . (7) 08CV
Mệnh đề 2 Cho B là một tự đồng cấu liên tục của E, độc lập với t, và giao hoán với A(t) với mọi t ∈ J; khi đó B giao hoán với C(t, t₀) với mọi t và t₀ trong J. 08CW
Mệnh đề 3 Với các ký hiệu của định lý 2 (IV, p. 179), với mọi điểm (t₀, x₀) của J × E nguyên hàm của phương trình tuyến tính (2) xác định trên J và bằng x₀ tại t₀ được cho bởi công thức 08CX
Mệnh đề 4 Để n tích phân uⱼ (1 ≤ j ≤ n) của phương trình (4) tạo thành một hệ cơ bản thì điều kiện cần và đủ là các giá trị uⱼ(t₀) của chúng tại một điểm t₀ ∈ J là các vectơ độc lập tuyến tí… 08CY
Mệnh đề 5 Định thức của ma trận C(t, t₀) được cho bởi công thức det ( C(t, t₀) ) = exp ( ∫_t₀ᵗ Tr(A(s)) ds ). (15) 08CZ
Nhận xét 1 Tất cả những điều trên cũng áp dụng cho trường hợp E có chiều n trên trường R và A(t) là một tự đồng cấu của E với mọi t ∈ J: chỉ cần thay thế C bởi R ở khắp nơi. 08D0
Nhận xét 2 Cho A(t) = (aᵢⱼ(t)) là một ma trận bình phương cấp n mà các phần tử là những hàm điều hòa phải thực (tương ứng, phức) của t trên J, và cho C(t, t₀) = (cᵢⱼ(t, t₀)) là ma trận giải t… 08D1
Mệnh đề 6 Ánh xạ t ↦ v(t) từ J vào E^*, là một nguyên hàm của một hàm bị chặn trên J, có tính chất là ⟨ u(t), v(t) ⟩ là hằng trên J đối với mọi nghiệm u của phương trình (4) của IV, p. 183 k… 08D2
Nhận xét Cho E và F là hai không gian định chuẩn đầy đủ trên R (hoặc trên C), và (x, y) ↦ ⟨ x, y ⟩ là một dạng song tuyến tính liên tục trên E × F, sao cho quan hệ “⟨ x, y ⟩ = 0 với mọi y ∈… 08D3
Định nghĩa 1 Cho A là một tự đồng cấu liên tục của E, ta ký hiệu bởi eᴬ hoặc exp A tự đẳng cấu của E bằng giá trị tại điểm t = 1 của nghiệm của phương trình (20) nhận giá trị I tại điểm t = 0. 08D4
Mệnh đề 7 1' Ánh xạ X ↦ e^X là một ánh xạ liên tục từ L(E) vào nhóm các tự đẳng cấu của E (các phần tử khả nghịch của L(E)). 08D5
Nhận xét Khi tồn tại một cơ sở của E sao cho ma trận của A đối với cơ sở này có các phần tử thực (xem IV, p. 186, Nhận xét 2), thì phương trình đặc trưng của A có các hệ số thực. Với mọi x… 08D6
Mệnh đề 8 Tập hợp các tích phân của phương trình tuyến tính thuần nhất (37), xác định trên J, là một không gian vectơ chiều n trên trường C. 08D7
Mệnh đề 9 Cho rⱼ (1 ≤ j ≤ q) là các nghiệm phân biệt của phương trình đặc số (40), và cho nⱼ là bội số của nghiệm rⱼ (1 ≤ j ≤ q). Khi đó n hàm tᵏ e^rⱼ t (1 ≤ k ≤ nⱼ,\ 1 ≤ j ≤ q) là các nghiệ… 08D8
Mệnh đề 10 Cho g và h là hai đa thức nguyên tố cùng nhau sao cho f = gh. Không gian con các nghiệm của (42) là tổng trực tiếp của các không gian con nghiệm của hai phương trình 08D9
Nhận xét 1 Một số đa thức fⱼ(D) có thể rút gọn thành các hằng khác không; khi đó các yⱼ tương ứng được xác định hoàn toàn. 08DA
Nhận xét 2 Khi các bⱼ đều bằng không, nghĩa là, nếu hệ (47) là thuần nhất, thì các điều kiện (52) luôn luôn được thỏa mãn; hơn nữa, nếu r = n, ta thấy rằng tập hợp các nghiệm của (47) là một… 08DB
Nhận xét 3 Cho các đa thức pⱼₖ(D), một hệ (47) có nghiệm khi các vế phải là khả vi vô hạn (hoặc khả vi đến một cấp nào đó) có thể không có nghiệm khi các vế phải là các hàm điều hòa tùy ý: đi… 08DC

V. Nghiên cứu địa phương về các hàm số

§ 1. So sánh các hàm trên một tập hợp được lọc

Ví dụ Nếu f và g là hai hàm trong H(𝔉, R), quan hệ "có một X ∈ 𝔉 sao cho f và g được xác định trên X và f(t) ≤ g(t) với mọi t ∈ X" là có tính chất địa phương đối với f và g. Ta ký hiệu t… 08DN
Nhận xét 1) Cho Vᵢ (1 ≤ i ≤ n) là n không gian vectơ định chuẩn trên K, và φ là một hàm được xác định trên V₁ × V₂ × ⋯ × Vₙ, nhận giá trị trong V; khi chuyển qua thương theo R_∞ thì hàm φ x… 0E5L
Định nghĩa 1 Cho hai hàm thực f, g thuộc H(𝔉, R), đều ≥ 0 trên một tập hợp trong 𝔉, ta nói rằng f bị trội bởi g, hoặc rằng g trội f (theo 𝔉), và viết f preceq g hoặc g succeq f, nếu có một tập… 08DO
Ví dụ 1) Quan hệ f preccurlyeq 1 có nghĩa là f bị chặn trên một tập hợp của 𝔉. 0E5I
Mệnh đề 1 Nếu f, g, h là ba hàm trong H(𝔉, R) thì các quan hệ f preccurlyeq g và g preccurlyeq h suy ra f preccurlyeq h. 08DP
Mệnh đề 2 Cho f₁, f₂ là hai hàm trong H(𝔉, V) và g là một hàm trong H(𝔉, R). Các quan hệ f₁ preccurlyeq g và f₂ preccurlyeq g suy ra f₁ + f₂ preccurlyeq g. 08DQ
Mệnh đề 3 Cho V₁, V₂, V là ba không gian chuẩn trên cùng một trường có định giá, và (x, y) ↦ [x.y] là một ánh xạ song tuyến tính từ V₁ × V₂ vào V. Nếu f₁ và f₂ là các hàm trong H(𝔉, V₁) và H… 08DR
Hệ quả Nếu V là một đại số chuẩn, nếu f₁, f₂ là hai hàm trong H(𝔉, V), và g₁, g₂ là hai hàm trong H(𝔉, R), thì các quan hệ f₁ preccurlyeq g₁, f₂ preccurlyeq g₂ suy ra f₁ f₂ preccurlyeq g₁… 08DS
Định nghĩa 2 Cho hai hàm f, g của H(𝔉, V) ta nói rằng f và g là tương tự (theo 𝔉), và viết f ≃ g, nếu f preccurlyeq g và g preccurlyeq f. 08DT
Ví dụ 1 Với một hàm thực f ∈ H(𝔉, R) quan hệ f ≃ 1 có nghĩa là có hai số a > 0,\ b > 0 sao cho a ≤ |f(x)| ≤ b trên một tập trong 𝔉, hay rằng hàm số log |f| bị chặn trên một tập trong 𝔉: kh… 08DU
Ví dụ 2 Cho V là một không gian định chuẩn trên một trường có định giá không rời rạc K, và cho f(x) = a₀ xⁿ + a₁ xⁿ⁻¹ + ⋯ + aₙ là một đa thức theo biến x ∈ K, với các hệ số trong V, sao ch… 08DV
Ví dụ 3 Ta đã thấy rằng sin² x preccurlyeq sin x khi x tiến tới +∞, nhưng ta không có sin² x ≃ sin x, mặc dù các hàm này triệt tiêu tại cùng các điểm. 08DW
Ví dụ 4 Ta có x² + xy + y² ≃ x² + y² khi (x,\ y) tiến tới (0,\ 0) trong R², nhưng không xy ≃ x² + y². 08DX
Nhận xét 1 Hai hàm trong H(𝔉, R) không nhất thiết so sánh được yếu, như được chỉ ra bởi ví dụ về các hàm 1 và x sin x khi x tiến tới +∞. 08DY
Nhận xét 2 Đặt R₀ là quan hệ f ≃ g trên H(𝔉, V), và đặt H₀(𝔉, V) là tập thương H(𝔉, V)/R₀; chú ý rằng quan hệ R suy ra R₀. Chuyển qua tập thương, quan hệ f preccurlyeq g cho, theo mệnh đề 1 c… 08DZ
Định nghĩa 3 Cho hai hàm thực f,\ g thuộc H(𝔉, R), mà đều ≥ 0 trên một tập trong 𝔉, ta nói rằng f không đáng kể so với g, hay rằng g trội hơn f (theo 𝔉), và viết f ll g hoặc g gg f nếu, với mọi… 08E0
Ví dụ 1) Quan hệ f ll 1 có nghĩa là f tiến tới 0 theo 𝔉. 0E5N
Mệnh đề 4 Nếu f, g, h là ba hàm trong H(𝔉, R) thì các quan hệ f preccurlyeq g và g ll h (resp. f ll g và g preccurlyeq h) suy ra f ll h. \ ↩ 1 08E1
Mệnh đề 5 Cho f₁, f₂ là hai hàm trong H(𝔉, V) và g là một hàm trong H(𝔉, R). Khi đó các quan hệ f₁ ll g và f₂ ll g suy ra f₁ + f₂ ll g. \ 08E2
Mệnh đề 6 Với ký hiệu của mệnh đề 3, các quan hệ f₁ ll g₁ và f₂ preccurlyeq g₂ (resp. f₁ preccurlyeq g₁ và f₂ ll g₂) suy ra [f₁.f₂] ll g₁g₂. \ 08E3
Mệnh đề 7 Nếu f và g là hai hàm trong H(𝔉, V) thì quan hệ f - g ll f tương đương với f - g ll g. \ 08E4
Hệ quả Quan hệ f - g ll f là một quan hệ tương đương trên H(𝔉, V). \ 08E5
Định nghĩa 4 Cho hai hàm f, g của H(𝔉, V) người ta nói rằng f và g tương đương (theo 𝔉), và viết f ∼ g, nếu f - g ll f. 08E6
Ví dụ 1 Nếu a là một hàm hằng, ≠ 0 trên E, thì quan hệ f ∼ a có nghĩa là f tiến tới a theo 𝔉. 08E7
Ví dụ 2 Cho V là một không gian chuẩn trên một trường định giá không rời rạc K, và cho f(x) = a₀ xⁿ + a₁ xⁿ⁻¹ + ⋯ + aₙ là một đa thức theo biến x ∈ K, với các hệ số trong V, sao cho a₀ ≠ 0… 08E8
Ví dụ 3 Khi số thực x tiến tới +∞ ta có ( 1 + 1/x ) sin x ∼ sin x. 08E9
Ví dụ 4 Khi biến phức z tiến tới 0 ta có eᶻ - 1 ∼ z. Nói chung hơn, nếu V là một không gian chuẩn trên một trường định giá K, và f là một hàm được xác định trên một lân cận của x₀ ∈ K, với… 08EA
Ví dụ 5 Khi (x, y) tiến tới (0, 0) trong R² ta có sqrtsin² x + sin² y ∼ sqrtx² + y². 08EB
Ví dụ 6 Cho f(x, y) là một đa thức với hệ số thực theo hai biến thực x, y, không có số hạng tự do. Nếu, khi x tiến tới 0 mà vẫn > 0, có một hàm φ(x), liên tục trên một khoảng [0, a], và sa… 08EC
Ví dụ 7 Với mọi x > 0 đặt π(x) là số các số nguyên tố ≤ x; người ta đã chứng minh rằng π(x) ∼ x / log x ² khi x tiến tới +∞. 08ED
Nhận xét Chú ý rằng quan hệ f ∼ g hoàn toàn không suy ra rằng hiệu f - g tiến tới 0 dọc theo 𝔉; hiệu này thậm chí có thể không bị chặn, như được chỉ ra bởi ví dụ x² + x ∼ x² khi x tiến tới… 08EE
Mệnh đề 8 Cho K là một trường định giá và f₁, f₂, g₁, g₂ là bốn hàm trong H(𝔉, K); khi đó các quan hệ f₁ ∼ g₁ và f₂ ∼ g₂ suy ra f₁ f₂ ∼ g₁ g₂. 08EF
Nhận xét 1 Hai hàm có thể yếu tương đẳng mà không mạnh tương đẳng, chẳng hạn các hàm 1 và sin x khi x tiến tới +∞. 08EG
Nhận xét 2 Trong các định nghĩa của các quan hệ so sánh f₁ preccurlyeq f₂ và f₁ ll f₂ các chuẩn trên các không gian V₁, V₂ mà f₁ và f₂ lần lượt nhận giá trị, chỉ được xét một cách hình thức… 08EH
Mệnh đề 9 Cho f và g là hai hàm trong H(𝔉, R), dương ngặt trên một tập hợp trong 𝔉. Để f và g là so sánh được thì cần và đủ là với mọi số t geqslant 0, trừ nhiều nhất một ngoại lệ, hàm f - t… 08EI
Mệnh đề 10 Cho f và g là hai hàm trong H(𝔉, R) dương ngặt trên một tập hợp thuộc 𝔉; với mọi α thực và ≠ 0 thì quan hệ f asymp g (resp. f ∼ g) tương đương với f^α asymp g^α (resp. f^α ∼ g^α)… 08EJ
Mệnh đề 11 Cho g là một hàm trong H(𝔉, R) sao cho lim_𝔉 g = +∞; quan hệ f ll g kéo theo eᶠ ll eᵍ; quan hệ f ∼ g kéo theo log f ∼ log g. 08EK
Định nghĩa 5 Cho g là một hàm trong H(𝔉, R), dương ngặt trên một tập trong 𝔉, và sao cho lim_𝔉 g = 0 hoặc lim_𝔉 g = +∞. Người ta nói rằng một hàm f ∈ H(𝔉, R) có cấp ρ (hữu hạn hoặc vô hạn) tươn… 08EL
Mệnh đề 12 Cho g là một hàm trong H(𝔉, R) sao cho lim_𝔉 g = +∞; cho f là một hàm trong H(𝔉, R). 08EM
Nhận xét 1 Hãy lưu ý rằng mặc dù f có thể có cấp hữu hạn ρ đối với g, tỷ số f/g^ρ vẫn có thể không tiến tới một giới hạn; chẳng hạn, mọi hàm bị chặn theo lôgarit đều có cấp 0 đối với g, nhưng… 08EN
Nhận xét 2 Một hàm xác định trên một tập thuộc 𝔉 có thể không có cấp xác định (hữu hạn hay không) đối với g, vì các hàm có cấp xác định đối với g đều so sánh được với mọi lũy thừa của g, nhiề… 08EO

§ 2. Khai triển tiệm cận

Định nghĩa 1 Người ta nói rằng một tập con E của H(𝔉, K), gồm các hàm không tương đương với 0 modulo R_∞, là một thang so sánh khi E được sắp thứ tự toàn phần bởi quan hệ " f ll g or f = g". 08ES
Ví dụ 1 Với x thực và tiến tới +∞ thì tập hợp các hàm x^α (α là một số thực tùy ý) là một thang so sánh. Điều tương tự cũng đúng đối với các hàm (x-a)^α khi 𝔉 là tập hợp các khoảng mở có đ… 08ET
Ví dụ 2 Với z phức và tiến tới ∞ thì tập hợp các hàm zⁿ (n là một số nguyên) là một thang so sánh; các hàm (z-a)ⁿ cũng vậy khi 𝔉 là vết trên phần bù của điểm a ∈ C của bộ lọc các lân cận c… ↩ 1 08EU
Ví dụ 3 Cho F là một không gian chuẩn; họ các hàm |x-a|^α (α là một số thực tùy ý) là một thang so sánh khi 𝔉 là vết trên phần bù của a của bộ lọc các lân cận của điểm này. Chú ý rằng nếu… 08EV
Ví dụ 4 Khi x thực tiến tới +∞, họ E các hàm có dạng exp(p(x)), trong đó p chạy qua tập hợp các đa thức không có hằng số (với hệ số thực), là một thang so sánh: chỉ cần nhận xét rằng thươn… 08EW
Ví dụ 5 Khi x thực tiến tới +∞, tập hợp E các hàm dạng x^α (log x)^β (được xác định với x > 1), trong đó α và β là các số thực tùy ý, là một thang so sánh. Thật vậy, ở đây nữa thương của h… 08EX
Ví dụ 1 Với x thực (resp. phức) tiến tới +∞ (resp. ∞), mọi đa thức a₀ xⁿ + a₁ xⁿ⁻¹ + … + aₙ với các hệ số trong V, sao cho a₀ ≠ 0, đều có phần chính là a₀ xⁿ đối với thang xⁿ (hoặc bất kỳ… 08EY
Ví dụ 2 Một hàm có thể so sánh được với mọi hàm của một thang mà vẫn không có phần chính đối với thang ấy. Ví dụ, khi x thực tiến tới +∞, sqrtx không có phần chính đối với thang xⁿ trong đ… 08EZ
Định nghĩa 2 Ta nói rằng một hàm f ∈ H(𝔉, V) có một khai triển tiệm cận đến cấp chính xác g_α (đối với thang E) nếu tồn tại một họ (a_λ)_λ ≤ α các phần tử của V, mà tất cả trừ một số hữu hạn đề… 08F0
Ví dụ Ta có (1 + x)^1/x = exp ( 1/x log (1 + x) ): khi x tiến tới +∞ thì log (1 + x) = log x + log ( 1 + 1/x ), do đó khai triển tiệm cận của 1/x log (1 + x) theo thang các x^α (log x)^β… 08F1
Ví dụ Ta có x^1/1 = exp ( log x · exp ( 1/x log x ) ); khi x tiến tới +∞ thì log x ll x, do đó khai triển tiệm cận của log x · exp ( 1/x log x ) đối với thang x^α (log x)^β là: 08F2
Ví dụ Khi x thực tiến tới +∞ thì các hàm tuần hoàn bị chặn trên R, có cùng chu kỳ τ, thỏa mãn các điều kiện (CO₁), (CO₂) và (CO₃): nếu lim_x → +∞ a(x) = 0 thì với mọi ε > 0 tồn tại một x… 08F3

§ 3. Khai triển tiệm cận của các hàm của một biến thực

Mệnh đề 1 Cho f là một hàm vectơ điều hòa, g là một hàm điều hòa geqslant 0 trên một khoảng [a, +∞[, sao cho ∫ₐ^+∞ g(t) dt > 0. Quan hệ f preccurlyeq g khi x tiến tới +∞ kéo theo ∫ₐˣ f(t) dt… 08F4
Hệ quả 1 Nếu f và g là các hàm điều hòa và geqslant 0 trên khoảng [a, +∞[, và sao cho f succcurlyeq g, và nếu ∫ₐ^+∞ g(t) dt = +∞, thì ∫ₐ^+∞ f(t) dt = +∞. 08F5
Hệ quả 2 Nếu f và g là geqslant 0 và không đồng nhất bằng không trên [a, +∞[, và sao cho f succeq g, thì ∫ₐˣ f(t) dt succeq ∫ₐˣ g(t) dt. 08F6
Mệnh đề 2 ("tiêu chuẩn lôgarit cấp 0") Một hàm điều tiết f ≥ 0 trên một khoảng [a, +∞[; nếu f(x) preccurlyeq x^μ với một μ < -1 thì tích phân ∫ₐ^+∞ f(t) dt hội tụ; nếu f(x) succcurlyeq x^μ với một μ ≥ -1 thì tích phân ∫… 08F7
Mệnh đề 3 ("tiêu chuẩn lôgarit cấp 1") Một hàm điều tiết f ≥ 0 trên một khoảng [a, +∞[; nếu f(x) preccurlyeq 1/x(log x)^μ với một μ > 1 thì tích phân ∫ₐ^+∞ f(t) dt hội tụ; nếu f(x) succcurlyeq 1/x(log x)^μ với một μ ≤ 1… 08F8
Mệnh đề 4 ("tiêu chuẩn lôgarit cấp n") Một hàm điều tiết f ≥ 0 trên một khoảng [a, +∞[; nếu, với một μ > 1, f(x) preccurlyeq frac1x l₁(x) l₂(x) … lₙ₋₁(x) (lₙ(x))^μ, thì tích phân ∫ₐ^+∞ f(t) dt hội tụ; nếu f(x) succcurly… 08F9
Mệnh đề 5 ("tiêu chuẩn lôgarit cấp 0") Nếu trên một lân cận của α ta có f(x) ≤ 1/(x-α)^μ với một μ < 1 thì tích phân ∫_αᵃ f(t) dt hội tụ; nếu f(x) ≥ 1/(x-α)^μ với một μ ≥ 1 thì tích phân ∫_αᵃ f(t) dt là vô hạn. 08FA
Ví dụ 1 Hàm tᵖ(1-t)^q không bị chặn trên ]0, 1[ khi p < 0 hoặc q < 0; theo tiêu chuẩn lôgarit cấp 0 áp dụng trên một lân cận của các điểm 0 và 1, tích phân ∫₀¹ tᵖ(1-t)^q dt hội tụ khi và c… 08FB
Ví dụ 2 Xét tích phân ∫₀^+∞ t^λ-1 e⁻ᵗ dt. Vì e⁻ᵗ ∼ 1 trên một lân cận của 0, cần phải có λ > 0 để tích phân này hội tụ; điều kiện này cũng là đủ vì trên một lân cận của +∞ ta có e⁻ᵗ ll t^-… 08FC
Mệnh đề 6 Cho f là một hàm vectơ điều chỉnh được, và g là một hàm điều chỉnh được ≥ 0 trên [a, +∞[. 08FD
Ví dụ 1 Khi áp dụng mệnh đề 6 của V, p. 230, cho quan hệ 1/x ll x^α-1 với α > 0, ta lại thu được quan hệ log x ll x^α với mọi α > 0, tương đương với quan hệ y^1/α ll eʸ đã được chứng minh… 08FE
Ví dụ 2 Ta có ( eᵗ/x )' = eᵗ/x ( 1 - 1/x ) ∼ eᵗ / x; vì eᵗ / x tiến tới +∞ cùng với x, nên từ mệnh đề 6 của V, p. 230, suy ra rằng ∫₁ˣ eᵗ/t dt ∼ eˣ / x. 08FF
Nhận xét Khi không giả thiết rằng g luôn luôn ≥ 0 trên một khoảng [a, +∞[ (hoặc luôn luôn ≤ 0 trên một khoảng như vậy), và ∫ₐ^+∞ g(t) dt không hội tụ, thì quan hệ f ∼ g không nhất thiết kéo… 08FG
Mệnh đề 7 Nếu hai hàm thực f,\ g, so sánh được cấp 1, thì chúng so sánh được; hơn nữa, quan hệ f ll g (tương ứng, f ∼ cg, c hằng) kéo theo f' ll g' (tương ứng, f' ∼ cg') trừ khi g tương đươn… 08FH
Hệ quả Nếu hai hàm thực f, g, so sánh được cấp k geqslant 1, thì chúng so sánh được cấp p với 0 leqslant p leqslant k; hơn nữa, quan hệ f ll g (tương ứng, f ∼ cg) kéo theo f⁽ᵏ⁾ ll g⁽ᵏ⁾ (t… 08FI
Nhận xét 1 Hạn chế đặt trên g trong mệnh đề 7 là cốt yếu. Chẳng hạn, ta có 1/x ll 1 + 1/x mặc dù các đạo hàm của hai vế là tương đương; tương tự, 1 + 1/x ∼ 1 + 1/x², nhưng 1/x² gg 2/x³. 08FJ
Nhận xét 2 Mặc dù f và g là so sánh được cấp k, một hàm f₁ tương đương với f không nhất thiết so sánh được cấp k với g; tuy nhiên điều đó đúng nếu giả sử rằng f₁ so sánh được cấp k với f và k… 08FK
Nhận xét 3 Nếu f và g là so sánh được cấp k thì điều đó không nhất thiết còn đúng với hf và hg, ngay cả đối với một hàm đơn điệu h đơn giản như h(x) = x (V, p. 260, bài tập 3); tương tự, 1/f… 08FL
Mệnh đề 8 Đặt F(x) = ∫ₓ^+∞ f(t) dt nếu ∫ₐ^+∞ f(t) dt hội tụ, và F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt nếu ∫ₐ^+∞ f(t) dt là vô hạn. Giả sử rằng log|f| và log x là so sánh được cấp 1. ↩ 3 08FM
Ví dụ 1 Hàm 1/log x có cấp 0 đối với x và thỏa mãn các điều kiện của mệnh đề 8 của V, p. 233; do đó ∫ₐˣ dt/(log t) ∼ x/(log x). 08FN
Ví dụ 2 Hàm e^t² có cấp +∞ đối với x và thỏa mãn các điều kiện của mệnh đề 8, nên ∫ₐˣ e^t² dt ∼ 1/2x e^x². 08FO
Nhận xét Mệnh đề 8 không áp dụng trực tiếp cho một hàm f có cấp -1 đối với x. Nhưng khi đó có thể viết f(x) = f₁(x)/x, với f₁ có cấp 0 đối với x. Chẳng hạn, giả sử rằng ∫ₐ^+∞ f(t) dt là vô… 08FP
Ví dụ 1 Cho f(x) = 1/log x (x > 1); ta đã thấy rằng ∫ₐ^λ dt / log t ∼ x / log x, và hiệu ∫ₐ^λ dt/(log t) - λ/(log λ) là một nguyên hàm của 1/(log x)²; có thể lại áp dụng mệnh đề 8 cho hàm… 08FQ
Ví dụ 2 Cho f(x) = eˣ/(x² + 1); ta có thể viết f(x) = eˣ/x² - eˣ/x⁴ + o₁ ( eˣ/x⁴ ). Mệnh đề 8 cho các khai triển 08FR

§ 4. Ứng dụng vào các chuỗi có các số hạng dương

Mệnh đề 1 Cho (uₙ) và (vₙ) là hai chuỗi có các số hạng dương. Nếu uₙ preccurlyeq vₙ và nếu chuỗi (vₙ) hội tụ, thì (uₙ) hội tụ; nếu uₙ succ vₙ và nếu ∑ₙ₌₁^∞ vₙ = +∞, thì ∑ₙ₌₁^∞ uₙ = +∞. 08FZ
Mệnh đề 2 Cho (uₙ) và (vₙ) là hai chuỗi có các số hạng dương: Nếu chuỗi (vₙ) hội tụ thì quan hệ uₙ ll vₙ (tương ứng uₙ ∼ vₙ) suy ra ∑ₚ₌ₙ^∞ uₚ ll ∑ₚ₌ₙ^∞ vₚ (tương ứng ∑ₚ₌ₙ^∞ uₚ ∼ ∑ₚ₌ₙ^∞ vₚ)… 08G0
Mệnh đề 3 (tiêu chuẩn Cauchy-Maclaurin) Nếu f là một hàm ≥ 0 và giảm trên [x₀, +∞[, thì chuỗi có số hạng tổng quát vₙ = f(n) hội tụ khi và chỉ khi tích phân ∫_x₀^+∞ f(t) dt hội tụ. 08G1
Mệnh đề 4 ("tiêu chuẩn lôgarit cấp 0") Cho (uₙ) là một chuỗi có các số hạng dương; nếu uₙ preccurlyeq n^μ với một μ < -1 thì chuỗi (uₙ) hội tụ; nếu uₙ succcurlyeq n^μ với một μ ≥ -1 thì chuỗi (uₙ) có tổng vô hạn. 08G2
Mệnh đề 5 ("tiêu chuẩn lôgarit cấp $p$") Cho (uₙ) là một chuỗi có các số hạng dương. Nếu uₙ preccurlyeq frac1nl₁(n)l₂(n)… lₚ₋₁(n)(lₚ(n))^μ với một μ > 1 thì chuỗi (uₙ) hội tụ; nếu uₙ succcurlyeq frac1nl₁(n)l₂(n)… lₚ₋₁(n)(… 08G3
Mệnh đề 6 Cho g là một hàm thực, 0 và đơn điệu, xác định trên một khoảng [x0, +\infty[ (trong đó x0 \leq 1 ), và sao cho log g và x so sánh được cấp 1. 08G4
Ví dụ Cho g(x) = x^λ = exp(λ log x), có cấp +∞ đối với e^λ. Lấy p = 2 ta có 08G5
Ví dụ Cho g(n) = 1/n; khi đó sₙ = ∑ₘ₌₁ⁿ 1/m ∼ ∫₁ⁿ dt/t = log n rồi 1/n - (log n - log(n-1)) ∼ -1/2n² do đó sₙ = log n + γ + 1/2n + o(1/n). Hằng số γ xuất hiện trong công thức này giữ một… 08G6
Ví dụ công thức Stirling. Ta hãy tìm một khai triển tiệm cận của n!; điều này dẫn ta đến việc khai triển sₙ = ∑ₚ₌₁ⁿ log p, rồi sau đó exp(sₙ). Phương pháp ở n 2 lần lượt cho 08G7
Mệnh đề 7 ("tiêu chuẩn Raabe") Cho (uₙ) là một chuỗi mà từ một chỗ nào đó trở đi các hạng đều > 0. Nếu, kể từ một chỉ số nào đó, uₙ₊₁/uₙ leqslant 1 - α/n với một α > 1, thì chuỗi (uₙ) hội tụ; nếu, từ một chỗ nào… 08G8
Mệnh đề 8 Cho (uₙ) là một chuỗi có các số hạng > 0 kể từ một điểm nào đó. Nếu, kể từ một điểm nào đó, ta có 08G9
Ví dụ Xét chuỗi siêu bội, có số hạng tổng quát 08GA
Nhận xét 1 Như một trường hợp riêng của tiêu chuẩn của Raabe, ta thấy rằng nếu limsup_n → ∞ uₙ₊₁/uₙ < 1 thì chuỗi (uₙ) hội tụ; còn nếu liminf_n → ∞ uₙ₊₁/uₙ > 1 thì chuỗi (uₙ) có tổng vô hạn (… 08GB
Nhận xét 2 Các tiêu chuẩn loại thứ hai chỉ có thể được áp dụng cho những chuỗi mà số hạng tổng quát biến thiên theo một cách rất chính quy khi n tiến tới +∞; nói cách khác, phạm vi áp dụng củ… 08GC

App. 0. Hardy Fields. (H) Functions

Định nghĩa 1 Cho một tập con 𝔎 của H(𝔉, R), ta nói rằng 𝔎/R_∞ (ảnh chính tắc của 𝔎 trong H(𝔉, R)/R_∞) là một trường Hardy, nếu 𝔎 thỏa mãn các điều kiện sau: 08GO
Ví dụ 1 Mọi trường Hardy đều chứa trường các hằng hữu tỉ (trường nhỏ nhất có đặc số 0, x. Alg., V, §1), mà ta có thể đồng nhất với trường Q; hơn nữa, vì hai hằng không thể đồng dư modulo R… 08GP
Ví dụ 2 Một ví dụ rất quan trọng của trường Hardy là tập hợp các hàm hữu tỉ với hệ số thực, mà do lạm dụng ngôn ngữ ta sẽ ký hiệu là R(x); nếu f(x) = p(x)/q(x) là một hàm hữu tỉ với hệ số… 08GQ
Bổ đề 1 Cho a(x), b(x) là hai hàm thực liên tục không thay đổi dấu trên một khoảng [x₀, +∞[. Nếu, trên khoảng này, hàm y(x) liên tục và khả vi, và thỏa mãn đồng nhất thức 08GR
Nhận xét Tính chất rất sơ cấp này không mở rộng được cho các phương trình vi phân tuyến tính cấp > 1; chẳng hạn, hàm y = sin x thỏa mãn y'' + y = 0, nhưng đổi dấu trên mọi lân cận của +∞. 08GS
Bổ đề 2 Cho a(x) và b(x) là hai hàm thuộc một trường Hardy cho trước 𝔎 và y(x) là một hàm thỏa mãn đồng nhất thức (1) trên một khoảng [x₀, +∞[ mà trên đó a và b được xác định và liên tục… 08GT
Định lý 1 Cho a(x) và b(x) là hai hàm thuộc một trường Hardy 𝔎 đã cho và y(x) là một hàm thỏa mãn (1) trên một khoảng [ x₀, +∞[. Khi r(u) = p(u)/q(u) chạy qua tập hợp các phân thức hữu tỉ th… 08GU
Hệ quả 1 Nếu y là một hàm trong 𝔎, không đồng nhất bằng không trên một lân cận của +∞, thì 𝔎(log|y|) là một trường Hardy. 08GV
Mệnh đề 1 Hai hàm trong cùng một trường Hardy là khả so sánh đối với mọi cấp (V, p. 232). 08GW
Mệnh đề 2 Cho f là một hàm thuộc một trường Hardy K. 08GX
Mệnh đề 3 Nếu K₀ là một trường Hardy thì tồn tại một trường Hardy K chứa K₀ và sao cho, với mọi hàm z ∈ K không đồng nhất bằng không trên một lân cận của +∞, cả eᶻ lẫn log |z| đều thuộc K. 08GY
Định nghĩa 2 Trường các hàm (H) được gọi là mở rộng (H) của trường Hardy R(x) các hàm hữu tỉ với hệ số thực. Mọi hàm thuộc mở rộng này được gọi là một hàm (H). 08GZ
Nhận xét Mặc dù thang E mà ta vừa định nghĩa có ích lợi thực tế, vẫn dễ cho các ví dụ về những hàm (H) không có phần chính đối với E. Thật vậy, nếu f là một hàm (H) sao cho f ∼ a g, trong đ… 08H0
Mệnh đề 4 Cho p và q là hai hàm (H) dương ngặt trên một khoảng [x₀, +∞[. ↩ 1 08H1
Nhận xét Các điều kiện đặt lên q(x) không thể được cải thiện, như các ví dụ sau đây cho thấy: 08H2
Mệnh đề 5 Cho g là một hàm (H) không tương đương với một hằng ≠ 0, và sao cho g(x) ll x, và cho u(x) là hàm nghịch đảo của x - g(x), được xác định trên một lân cận của +∞. Cho (uₙ) là dãy hà… 08H3
Nhận xét 1 Nếu g có cấp < 1 đối với x, thì hàm u(x) - uₙ(x) tiến tới 0 khi x tăng một khi n đủ lớn. Thật vậy, trong trường hợp đối, ta sẽ có gg''ⁿ gg 1 với mọi n, nên g sẽ có cấp vô hạn đối v… 08H4
Nhận xét 2 Khi g(x) là một hàm (H) tương đương với một hằng số k ≠ 0 thì ta có g(x) = k + g₁(x), với g₁ ll 1; hàm u₁(x) = u(x) - k là hàm nghịch đảo của hàm x - g₁(x + k), và ta được đưa trở… 08H5
Ví dụ 1 Hãy tìm một khai triển tiệm cận của hàm nghịch đảo v(x) của x⁵ + x (khi x tiến tới +∞); đặt x⁵ = t thì ta được dẫn đến việc tìm một khai triển của hàm nghịch đảo u(t) của t + t^1/5… 08H6
Ví dụ 2 Hãy tìm một khai triển tiệm cận của hàm nghịch đảo của hàm x / log x; từ đẳng thức x = y / log y, trong đó y = v(x), suy ra log x = log y - log log y; đặt z = log y, t = log x, ta… 08H7
Nhận xét Chú ý rằng hai hàm (H) tương đương có thể có các hàm nghịch đảo không tương đương, như ví dụ của hai hàm log x và 1 + log x cho thấy. 08H8

VI. Khai triển Taylor suy rộng Công thức tổng Euler-Maclaurin

§ 1. Khai triển Taylor tổng quát

Định nghĩa 1 Ta nói rằng một toán tử U trên K[X] là một toán tử hợp thành nếu nó giao hoán với toán tử tịnh tiến, nghĩa là, nếu U_X T_Y = T_Y U. 08HO
Ví dụ 1 Với mọi λ ∈ K toán tử gán cho mỗi đa thức f(X) đa thức f(X + λ) là một toán tử hợp thành. ↩ 1 08HP
Ví dụ 2 Đạo hàm D trên K[X] là một toán tử hợp thành (xem mệnh đề 1). 08HQ
Nhận xét Vì K là một trường vô hạn nên toán tử U trên K[X] là một toán tử hợp thành khi và chỉ khi với mọi đa thức f ∈ K[X] và mọi phần tử α ∈ K ta có, đặt g = U(f), rằng g(X + α) = U(f(X +… 08HR
Mệnh đề 1 Điều kiện cần và đủ để một toán tử U trên K[X] là một toán tử hợp thành là nó giao hoán với đạo hàm D trên K[X]. 08HS
Định lý 1 Ánh xạ gán cho mỗi chuỗi hình thức u(S) = ∑ₖ₌₀^∞ αₖ Sᵏ theo một ẩn trên K toán tử hợp thành u(D) = ∑ₖ₌₀^∞ αₖ Dᵏ trên K[X] là một đẳng cấu của đại số K[[S]] các chuỗi hình thức lên… 08HT
Hệ quả Đại số Γ các toán tử hợp thành trong K[X] là giao hoán. 08HU
Ví dụ Nếu U là toán tử gán cho mỗi đa thức f(X) đa thức f(X + λ) (trong đó λ ∈ K), thì ta có U₀(Xᵏ) = λᵏ, và do đó U = ∑ₖ₌₀^∞ 1/k! (λ D)ᵏ. Theo phép loại suy với khai triển chuỗi của e^λ… 08HV
Chú giải Đẳng cấu của đại số K[[S]] các chuỗi hình thức với đại số Γ các toán tử hợp thành trên K[X] đôi khi cho phép chứng minh các mệnh đề về chuỗi hình thức một cách đơn giản nhất bằng c… 08HW
Mệnh đề 2 Mọi toán tử hợp thành cấp 0 đều khả nghịch trong đại số Γ các toán tử hợp thành trên K[X]. 08HX
Mệnh đề 3 Cho U là một toán tử hợp thành cấp p; khi đó U(f) = 0 với mọi đa thức f bậc < p; với mọi đa thức f ≠ 0 bậc n ≥ p, U(f) là một đa thức ≠ 0 bậc n - p. 08HY
Định nghĩa 2 Cho U = Dᵖ V là một toán tử hợp thành cấp p trên K[X]. Đa thức uₙ(X) = V⁻¹(Xⁿ) được gọi là đa thức Appell chỉ số n gắn với toán tử U. 08HZ
Mệnh đề 4 Các đa thức Appell gắn với U thỏa mãn các hệ thức (d uₙ)/(d X) = n uₙ₋₁ (7) uₙ(X + Y) = ∑ₖ₌₀ⁿ binomnk uₙ₋ₖ(X) Yᵏ (8) U(uₙ(X)) = n!/((n-p)!) Xⁿ⁻ᵖ. (9) 08I0
Mệnh đề 5 Với mọi đa thức f ∈ K[X] và mọi toán tử hợp thành cấp p ta có 08I1
Mệnh đề 6 Cho U = Dᵖ V = u(D) là một toán tử hợp thành cấp p trên K[X], trong đó u(S) là một chuỗi lũy thừa hình thức cấp p trong K[[S]]. Khi đó 08I2
Định nghĩa 3 Ta nói rằng một toán tử U trên E là một toán tử hợp thành nếu, với mọi a geqslant 0, nó hoán vị được với toán tử tịnh tiến theo a. 08I3
Định lý 2 Cho f là một hàm có đạo hàm bậc (n + 1)ᵗʰ liên tục trên I, và thuộc, cùng với mọi đạo hàm f⁽ᵐ⁾ của nó đối với 1 ≤ m ≤ n, vào E. Nếu U là một toán tử hợp thành cấp p ≤ n trên E thì… 08I4
Nhận xét Có thể dùng công thức (33) (tương ứng (34)) để tính các βₙ (tương ứng các uₙ(x)) bằng cách dùng bổ đề sau về các chuỗi nguyên: 08I5
Ví dụ 1 Nếu U là ánh xạ đồng nhất thì ta có u(λ) = 1 và toán tử U rõ ràng là kỳ dị; vì uₙ(x) = xⁿ nên công thức (27) của VI, p. 278, có thể viết thành, đặt ξ = ξ - η 08I6
Ví dụ 2 Ta lấy cho U toán tử hợp thành mà với mọi hàm f xác định trên R₊, gắn với nó hàm x ↦ f(x + 1) - f(x); khi đó 08I7
Ví dụ 3 Cho E là không gian vectơ các hàm f xác định và liên tục trên R, và sao cho nguyên ∫_-∞^+∞ f(x + ξ) e^-ξ²/2 dξ hội tụ với mọi x ≥ 0. Toán tử U xác định bởi 08I8

§ 2. Khai triển Euler của các hàm lượng giác và các số Bernoulli

Mệnh đề 1 Với mọi số phức z và mọi số nguyên n ta có 08IC
Hệ quả 1 Với mọi số nguyên n, ta có sin π/n sin 2π/n … sin ((n-1)π)/n = fracn2ⁿ⁻¹. (3) 08ID
Hệ quả 2 Với mọi số nguyên lẻ n = 2m + 1, và mọi số phức z sao cho nz không là một bội nguyên của π, ta có cot nz = (-1)ᵐ cot z cot ( z + π/n ) … cot ( z + ((n-1)π)/n ). (4) 08IE
Định lý 1 Với mọi số phức z không phải là bội nguyên của π ta có ↩ 1 08IF
Định lý 2 Với mọi số phức z ta có 08IG

VII. Hàm Gamma

§ 1. Hàm gamma trong miền thực

Mệnh đề 1 Tồn tại một và chỉ một hàm lồi g được xác định trên ]0, +∞[ thỏa mãn phương trình (3) và nhận giá trị 0 tại x = 1. 08IX
Định nghĩa 1 Ta ký hiệu bởi Γ(x) hàm > 0 được xác định trên khoảng ]0, +∞[, thỏa mãn phương trình Γ(x+1) = x Γ(x), (7) và sao cho Γ(1) = 1 và log Γ(x) là lồi trên ]0, +∞[. 08IY
Mệnh đề 2 Với mọi x > 0 ta có Γ(x) = lim_n → ∞ (nˣ n!)/(x(x+1)…(x+n)) (công thức của Gauss), và Γ(x) = e^-γ x 1/x ∏ₙ₌₁^∞ frace^x/n1 + x/n (9) trong đó γ ký hiệu hằng số của Euler, và tích vô… 08IZ
Bổ đề 1 Cho f và g là hai hàm số > 0 và khả vi hai lần trên một khoảng mở I. Nếu f và g là các hàm lồi theo lôgarit trên I, thì f + g lồi theo lôgarit trên I. 08J0
Bổ đề 2 Cho f là một hàm thực hữu hạn, > 0, được xác định và liên tục trên tích I × J của hai khoảng mở của R, và sao cho, với mọi t ∈ J hàm x ↦ f(x, t) là lồi lôgarit và khả vi hai lần tr… 08J1
Bổ đề 3 Cho φ là một hàm liên tục và > 0 trên một khoảng mở J được chứa trong [0, +∞[. Nếu I là một khoảng mở sao cho nguyên g(x) = ∫_J tˣ⁻¹ φ(t) dt hội tụ với mọi x ∈ I, thì g lồi lôgarit… 08J2
Mệnh đề 3 Với mọi x > 0 08J3
Mệnh đề 4 Với x > 0 và y > 0 tích phân 08J4

§ 2. Hàm gamma trong miền phức

Mệnh đề 1 Với mọi số phức z ta có 08JB
Hệ quả Với mọi số thực t ta có 08JC
Mệnh đề 2 Với mọi số phức z không là một số nguyên leqslant 0 và với mọi số nguyên p > 0 ta có Γ ( z/p ) Γ ( (z+1)/p ) … Γ ( (z+p-1)/p ) = (2π)^(p-1)/2\ p^1/2-z\ Γ(z) (công thức nhân Legendr… 08JD
Mệnh đề 3 Với mọi số thực x > 0 ta có ∫₁ˣ⁺¹ log Γ(t)\ dt = x(log x - 1) + 1/2 log 2π (tích phân của Raabe). 08JE
Mệnh đề 4 Dọc theo bộ lọc 𝔉 ta có (với mọi số nguyên p geqslant 1) khai triển tiệm cận 08JF
Hệ quả Dọc theo bộ lọc 𝔉 ta có 08JG
Mệnh đề 5 Theo bộ lọc 𝔉 ta có (với mọi số nguyên p geqslant 1), khai triển tiệm cận 08JH