Livre AC · Français

Index des énoncés

Les 1716 énoncés de Algèbre commutative, par chapitre et paragraphe. Choisissez un type, filtrez par un mot, ou mettez les plus cités en tête.

Les plus cités d’abord

I. Modules plats

§ 1. Diagrammes et suites exactes

Définition 1 Soient A un anneau, F, G, H trois A-modules à droite (resp. à gauche), f un homomorphisme de F dans G et g un homomorphisme de G dans H. On dit que le couple (f, g) est une suite e… 0421
Proposition 1 Considérons un diagramme commutatif de groupes commutatifs : ↩ 3 0422
Lemme 1 Considérons un diagramme commutatif de groupes commutatifs : 0423
Proposition 2 Supposons que dans le diagramme commutatif (10), les suites (u, v) et (u', v') soient exactes. Alors : ↩ 10 0424
Remarque Lorsque les groupes du diagramme (10) sont tous des modules (à droite par exemple) sur un anneau A et les homomorphismes des homomorphismes de A-modules, on vérifie aussitôt que l’… 0425
Corollaire 1 Supposons que le diagramme (10) soit commutatif et ait ses lignes exactes. Alors : (i) Si u', a et c sont injectifs, b est injectif. (ii) Si v, a et c sont surjectifs, b est surjec… ↩ 2 0426
Corollaire 2 Supposons que le diagramme (10) soit commutatif et ait ses lignes exactes. Dans ces conditions : (i) Si b est injectif et si a et v sont surjectifs, alors c est injectif. (ii) Si b… ↩ 5 0427

§ 2. Modules plats

Lemme 1 Soit M' xrightarrowv M xrightarroww M'' → 0 une suite exacte de A-modules à gauche, et soit E un A-module à droite. La suite ↩ 11 042F
Lemme 2 Si v : M' → M est injectif et si v(M') est facteur direct de M, l’homomorphisme 1_E ⊗ v est injectif, et son image est facteur direct de E ⊗_A M. ↩ 3 042G
Définition 1 Soient A un anneau, E un A-module à droite et M un A-module à gauche. On dit que E est plat pour M (ou M-plat) si, pour tout A-module à gauche M' et tout homomorphisme injectif v… ↩ 3 042H
Lemme 3 Pour qu’un A-module à droite E soit M-plat, il suffit que pour tout sous-module de type fini M' de M, l’homomorphisme canonique 1_E ⊗ j : E ⊗_A M' → E ⊗_A M ( j étant l’injection c… ↩ 2 042I
Lemme 4 Soient E un A-module à droite et M un A-module à gauche tel que E soit M-plat. Si N est, soit un sous-module, soit un module quotient de M, alors E est N-plat. ↩ 3 042J
Lemme 5 Soit (Mᵢ)_i ∈ I une famille de A-modules à gauche, M = ⨁_i ∈ I Mᵢ leur somme directe, et E un A-module à droite. Si, pour tout i ∈ I, E est plat pour Mᵢ, alors E est plat pour M. ↩ 1 042K
Proposition 1 Soit E un A-module à droite. Les trois propriétés suivantes sont équivalentes : ↩ 9 042L
Lemme 6 Si M' \xrightarrow{v} M \xrightarrow{w} M'' est une suite exacte de A-modules à gauche et si E est un A-module à droite plat pour M'', la suite 042M
Définition 2 On dit qu’un A-module à droite E est plat s’il vérifie les propriétés équivalentes de la prop. 1. ↩ 1 042N
Remarque 1 En vertu du n° 2, lemme 3, pour qu’un A-module à droite E soit plat, il faut et il suffit que, pour tout idéal à gauche α de A, de type fini, l’application canonique E ⊗A α → E (pr… 0CFZ
Remarque 2 Soit E un A-module à droite plat. Si M’ est un sous-module d’un A-module à gauche M, l’injection canonique E ⊗A M’ → E ⊗A M permet d’identifier E ⊗A M’ à un sous-groupe de E ⊗A M… 0CG0
Proposition 2 (i) Soit (Eᵢ)_i ∈ I une famille de A-modules à droite. Pour que E = ⨁_i ∈ I Eᵢ soit plat, il faut et il suffit que chacun des Eᵢ soit plat. ↩ 7 042O
Proposition 3 Soient A un anneau, E un A-module à droite. ↩ 5 042P
Exemple Appliquant la prop. 3 à l’anneau Z, on voit que Q est un Z-module plat, mais que Z/nZ (pour n ≥ 2) n’est pas un Z-module plat. 042Q
Proposition 4 Soit E un A-module à droite. Les trois propriétés suivantes sont équivalentes : a) E est plat. b) Pour toute suite exacte de A-modules à droite de la forme (1) 0 → G xrightarrowv H… ↩ 3 042R
Proposition 5 Soit 0 → E' xrightarrowv E xrightarroww E'' → 0 une suite exacte de A-modules à droite. Supposons que E'' soit plat. Alors, pour que E soit plat, il faut et il suffit que E' soit p… 042S
Remarque 1 Il peut se faire que E et E' soient plats sans que E'' le soit, comme le montre l’exemple des Z-modules E = Z,\ E' = nZ,\ E'' = Z/nZ\ (n ≥ 2). 0CG1
Remarque 2 Un sous-module d’un module plat n’est pas nécessairement un module plat (exerc. 3). 0CG2
Lemme 7 Soient E un A-module à droite, F un A-module à gauche, F’, F'' deux sous-modules de F tels que F = F' + F''. Alors l’intersection des images canoniques de E ⊗ F’ et E ⊗ F'' dans E… ↩ 1 042T
Proposition 6 Soient E un A-module à droite et F un A-module à gauche tels que E soit plat pour F. Pour tout sous-module F’ de F, notons v(F') l’image de E ⊗ F' par l’application canonique de E… ↩ 6 042U
Remarque 1 Les hypothèses étant celles de la prop. 6, on identifie d’ordinaire E ⊗ F' à v(F') pour tout sous-module F' de F, ce qui donne la formule 042V
Proposition 7 Soient E un A-module à droite, E' un sous-module de E, F un A-module à gauche et F' un sous-module de F. Supposons que E/E' ou F/F' soit un module plat. Alors l’image canonique de… ↩ 5 042W
Corollaire Soient E un A-module à droite, E' un sous-module de E. ↩ 3 042X
Remarque 2 La conclusion de la prop. 7 reste vraie si l’on suppose seulement que E/E’ est plat pour F ou que F/F’ est plat pour E. ↩ 2 042Y
Proposition 8 Soient A, B deux anneaux, E un A-module à droite, F un (A, B)-bimodule. Supposons que E soit plat, et que F soit plat en tant que B-module. Alors le B-module E ⊗A F est plat. ↩ 4 042Z
Corollaire 1 Soient C un anneau commutatif, E, F deux C-modules plats. Alors E ⊗_C F est un C-module plat. ↩ 1 0430
Corollaire 2 Soit ρ un homomorphisme d’un anneau A dans un anneau B. Si E est un A-module à droite plat, le B-module à droite ρ^*(E) = E_(B) obtenu par extension à B de l’anneau des scalaires (… ↩ 4 0431
Corollaire 3 Soient R, S deux anneaux, φ : R → S un homomorphisme d’anneaux. Si M est un S-module à droite plat et si φ(Sd) est un R-module à droite plat, alors φ(M) est un R-module à droite pl… ↩ 4 0432
Proposition 9 Soient (Aα, f{βα}) un système inductif filtrant d’anneaux, A = lim → Aα sa limite inductive, (Eα, g{βα}) un système inductif de Aα-modules à droite ayant même ensemble d’indices, E… ↩ 2 0433
Lemme 8 (i) Tout module admettant une présentation finie est de type fini. ↩ 5 0434
Lemme 9 Soient A un anneau, E un A-module de présentation finie. Pour toute suite exacte ↩ 5 0435
Proposition 10 Soient A, B deux anneaux, E un A-module à droite, F un B-module à droite, G un (B, A)-bimodule. Supposons que F soit plat. Alors, si E est de type fini (resp. de présentation finie… ↩ 1 0436
Proposition 11 Soient A un anneau commutatif, B un anneau, ρ un homomorphisme de A dans le centre de B, E et F deux A-modules. On suppose que B est un A-module plat, et que E est de type fini (re… ↩ 6 0437
Proposition 12 Soient A, B des anneaux commutatifs, ρ un homomorphisme de A dans B, E₁, E₂, E₃ trois A-modules, f : E₁ × E₂ → E₃ une application A-bilinéaire, f_B : E_1(B) × E_2(B) → E_3(B) son e… ↩ 4 0438
Corollaire 1 Soient A, B deux anneaux commutatifs, ρ : A → B un homomorphisme tel que B soit un A-module plat, E un A-module de présentation finie. Pour tout sous-module de type fini F de E, l'… 0439
Corollaire 2 Soient A, B, deux anneaux commutatifs, ρ : A → B un homomorphisme tel que B soit un A-module plat. Alors, pour tout A-module de type fini E, l'annulateur de E{(u)} est l'idéal aB d… ↩ 1 043A
Remarque Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté sur les modules Eᵢ et sur l’application bilinéaire f, on note parfois F₃ : F₂ le module désigné par T dans la prop. 12, et on l’appelle le transport… 043B
Lemme 10 Soient (f_λ)_λ ∈ L une famille de générateurs de F, (e_λ)_λ ∈ L une famille d’éléments de E, de support fini. Pour que ∑_λ ∈ L e_λ ⊗ f_λ = 0, il faut et il suffit qu’il existe un e… ↩ 2 043C
Proposition 13 Pour que E soit plat pour F (no 2, déf. 1), il faut et il suffit que la condition suivante soit satisfaite: ↩ 2 043D
Corollaire 1 Pour qu’un A-module à droite E soit plat, il faut et il suffit qu’il vérifie la condition suivante: ↩ 1 043E
Corollaire 2 Pour que l’anneau B soit un A-module à droite plat, il faut et il suffit qu’il vérifie la condition suivante : (RP') Toute solution (yₖ)_1 ≤ k ≤ n, formée d’éléments de B, d’un sys… ↩ 1 043F

§ 3. Modules fidèlement plats

Proposition 1 Soit E un A-module à droite. Les quatre propriétés suivantes sont équivalentes : ↩ 12 0444
Définition 1 On dit qu’un A-module à droite E est fidèlement plat s’il vérifie les quatre propriétés équivalentes de la prop. 1. 0445
Remarque Si E est un A-module fidèlement plat, E est un A-module fidèle : en effet, si un élément a ∈ A est tel que xa = 0 pour tout x ∈ E, l’homothétie h : b → ba dans A est telle que 1E ⊗… 0446
Exemple 1 La somme directe d’un module plat et d’un module fidèlement plat est un module fidèlement plat en vertu de la propriété d) de la prop. 1 et du § 2, n° 3, prop. 2. 0CG3
Exemple 2 Comme As est fidèlement plat en vertu du critère d) de la prop. 1 et du § 2, n° 4, Exemple 1, il résulte de 1) que tout module libre non réduit à 0 est fidèlement plat. Par contre… 0CG4
Exemple 3 Soit A un anneau principal. Pour qu’un A-module E soit fidèlement plat, il faut et il suffit qu’il soit sans torsion et que E ≠ Ep pour tout élément extrémal (Alg., chap. VII, § 1… 0CG5
Exemple 4 L’exemple 3) montre que le Z-module Q est un module plat et fidèle, mais non fidèlement plat. 0CG6
Proposition 2 Soient E un A-module à droite fidèlement plat, et u : N' → N un homomorphisme de A-modules à gauche. Pour que u soit injectif (resp. surjectif, bijectif), il faut et il suffit que… ↩ 6 0447
Proposition 3 Soit 0 → E' → E → E'' → 0 une suite exacte de A-modules à droite. On suppose que E' et E'' sont plats, et que l'un d'eux est fidèlement plat. Alors E est fidèlement plat. On sait d… ↩ 2 0448
Proposition 4 Soient R, S deux anneaux, E un R-module à droite, F un (R, S)-bimodule. On suppose que E est fidèlement plat. Alors, pour que F soit un S-module plat (resp. fidèlement plat), il fa… ↩ 4 0449
Corollaire Soient C un anneau commutatif, E et F deux C-modules fidèlement plats. Alors le C-module E ⊗_C F est fidèlement plat. 044A
Proposition 5 Soit ρ un homomorphisme d’un anneau A dans un anneau B. Si E est un A-module à droite fidèlement plat, le B-module à droite ρ^*(E) = E_(B) = E ⊗_A B est fidèlement plat. ↩ 4 044B
Corollaire Si E est un A-module à droite fidèlement plat, et si a est un idéal bilatère de A, le (A/a)-module à droite E/Ea est fidèlement plat. 044C
Proposition 6 Soient A un anneau commutatif, B une algèbre sur A, ρ : a → a.1 l’homomorphisme canonique de A dans B. Supposons que B soit un A-module fidèlement plat. Alors, pour qu’un A-module… 044D
Proposition 7 Soient A, B deux anneaux, ρ un homomorphisme de A dans B. Soit E un B-module à droite fidèlement plat. Pour que ρ_*(E) soit un A-module à droite plat (resp. fidèlement plat), il fa… 044E
Remarque 1° La prop. 7 montre que pour que B soit un A-module fidèlement plat, il suffit qu’il existe un B-module fidèlement plat qui soit aussi un A-module fidèlement plat. 0CG7
Proposition 8 Soient A, B deux anneaux, ρ un homomorphisme de A dans B. On suppose qu’il existe un B-module à droite E tel que ρ_*(E) soit un A-module fidèlement plat. Alors : ↩ 5 044F
Corollaire Sous les hypothèses de la prop. 8, si B est noethérien (resp. artinien) à gauche, il en est de même de A. 044G
Proposition 9 Soient A, B deux anneaux, ρ un homomorphisme de A dans B. Les cinq propriétés suivantes sont équivalentes : ↩ 3 044H
Proposition 10 Soient B un anneau et A un sous-anneau de B tel que B soit un A-module à droite fidèlement plat. Soient F un A-module à gauche, F', F'' deux sous-modules de F. Alors : (i) L’applic… ↩ 2 044I
Proposition 11 Soient B un anneau et A un sous-anneau de B tel que B soit un A-module à droite fidèlement plat. Pour qu’un ↩ 2 044J
Proposition 12 Soient B un anneau et A un sous-anneau commutatif du centre de B tel que B soit un A-module fidèlement plat. Pour qu’un A-module F soit projectif et de type fini, il faut et il suf… ↩ 3 044K
Proposition 13 Soit A un sous-anneau d’un anneau B. Pour que le couple (A, B) vérifie la propriété d’extension linéaire, il faut et il suffit que B soit un A-module à droite fidèlement plat. 044L

§ 4. Modules plats et foncteurs « Tor »

Proposition 1 Soit E un A-module à droite. Les quatre propriétés suivantes sont équivalentes : 044W
Proposition 2 Soient R, S deux anneaux, ρ : R → S un homomorphisme et F un R-module à gauche. Les deux propriétés suivantes sont équivalentes : ↩ 3 044X
Remarque La proposition 2 découle aussi de l’existence de la suite exacte 044Y

II. Localisation

§ 1. Idéaux premiers

Définition 1 On dit qu’un idéal p d’un anneau A est premier si l’anneau A/p est intègre. ↩ 1 0450
Proposition 1 Soient A un anneau, a₁, a₂, ..., aₙ des idéaux de A, p un idéal premier de A. Si p contient le produit a₁ a₂ ... aₙ, il contient l’un au moins des aᵢ. ↩ 7 0451
Corollaire Soit m un idéal maximal de A; pour tout entier n > 0, le seul idéal premier contenant mⁿ est m. 0452
Proposition 2 Soient A un anneau, a un sous-ensemble non vide de A stable par addition et multiplication, et (pᵢ)_i ∈ I une famille finie non vide d’idéaux de A. On suppose que a est contenu dan… ↩ 5 0453
Proposition 3 Soient a et b deux idéaux étrangers d’un anneau A. Soient a' et b' deux idéaux de A tels que tout élément de a (resp. b) ait une puissance dans a' (resp. b'). Alors a' et b' sont é… ↩ 3 0454
Proposition 4 Soient a, b₁, ..., bₙ des idéaux d’un anneau A. Si a est étranger à chacun des bᵢ (1 ≤ i ≤ n), il est étranger à b₁ b₂ ... bₙ. ↩ 2 0455
Proposition 5 Soit (aᵢ)_i ∈ I une famille finie non vide d’idéaux d’un anneau A. Les propriétés suivantes sont équivalentes : a) Pour i ≠ j, aᵢ et aⱼ sont étrangers. b) L’homomorphisme canonique… ↩ 8 0456
Proposition 6 Soit (aᵢ)_i ∈ I une famille finie non vide d’idéaux d’un anneau A, étrangers deux à deux ; soit a l’intersection des aᵢ. Pour tout A-module M, l’application canonique M → ∏_i ∈ I (… ↩ 2 0457
Exemple Soient K un corps, aᵢ (1 ≤ i ≤ m) des éléments deux à deux distincts de K, et pour chaque i, soit gᵢ un polynôme dans K[X]; l’idéal principal (X - aᵢ) = mᵢ est maximal dans K[X], d… 0458

§ 2. Anneaux et modules de fractions

Définition 1 Soit A un anneau. On dit qu’une partie S de A est multiplicative si tout produit fini d’éléments de S appartient à S. 045K
Exemple 1 Pour tout a ∈ A, l’ensemble des aⁿ, pour n ∈ N, est une partie multiplicative de A. 0CG8
Exemple 2 Soit p un idéal de A. Pour que A - p soit une partie multiplicative de A, il faut et il suffit que p soit premier. 0CG9
Exemple 3 L’ensemble des éléments de A non diviseurs de zéro est une partie multiplicative de A. 0CGA
Exemple 4 Si S et T sont deux parties multiplicatives de A, l’ensemble ST des produits st, où s ∈ S et t ∈ T, est une partie multiplicative. 0CGB
Exemple 5 Soit S un ensemble filtrant (pour la relation ⊂) de parties multiplicatives de A. Alors T = ⋃_S ∈ S S est une partie multiplicative de A, car deux éléments quelconques de T apparti… 0CGC
Exemple 6 Toute intersection de parties multiplicatives de A est une partie multiplicative. 0CGD
Proposition 1 Soient A un anneau, S une partie de A. Il existe un anneau A’ et un homomorphisme h de A dans A’ ayant les propriétés suivantes : ↩ 8 045L
Définition 2 Soient A un anneau, S une partie de A, overlineS la partie multiplicative engendrée par S. On appelle anneau de fractions de A défini par S et on désigne par A[S⁻¹] l’ensemble quot… 045M
Remarque 1 Il est clair que l’on a A[overlineS⁻¹] = A[S⁻¹]. 0CGE
Remarque 2 Deux éléments de A[S⁻¹] peuvent toujours s’écrire sous la forme a/s et a'/s (a, a' dans A, s ∈ overlineS) avec le même « dénominateur » s, car si b/t et b'/t' sont deux éléments de… 0CGF
Remarque 3 Le noyau de i_A^S est l’ensemble des a ∈ A tels qu’il existe s ∈ overlineS vérifiant sa = 0; pour que i_A^S soit injectif, il faut et il suffit que S ne contienne aucun diviseur de… 0CGG
Remarque 4 S’il existe dans S un élément nilpotent, on a 0 ∈ overlineS, et l’anneau A[S⁻¹] est réduit à 0; cela résulte aussitôt de la déf. 2. 0CGH
Remarque 5 Pour que i_A^S soit une application bijective, il faut et il suffit que tout élément s ∈ S soit inversible dans A : la condition est évidemment nécessaire, puisque s/1 est inversib… 0CGI
Proposition 2 Soient A, B deux anneaux, S une partie de A, T une partie de B, f un homomorphisme de A dans B tel que f(S) ⊂ T. Il existe un homomorphisme f' et un seul de A[S⁻¹] dans B[T⁻¹] tel… ↩ 12 045N
Corollaire 1 Soient A un anneau, S une partie de A, u un homomorphisme injectif de A dans un anneau B tel que les éléments de u(S) soient inversibles dans B. L’unique homomorphisme u' de A[S⁻¹]… ↩ 3 045O
Corollaire 2 Soient A un anneau, S et T deux parties de A telles que S ⊂ T. Il existe un homomorphisme i_A^T,S et un seul de A[S⁻¹] dans A[T⁻¹] tel que i_Aᵀ = i_A^T,S ∘ i_A^S. ↩ 2 045P
Corollaire 3 Soient A, B, C trois anneaux, S (resp. T, U) une partie multiplicative de A (resp. B, C), f : A → B, g : B → C deux homomorphismes, h : A → C l’homomorphisme composé g ∘ f; on supp… ↩ 1 045Q
Corollaire 4 Soient S une partie d’un anneau A, B un sous-anneau de A[S⁻¹] contenant i_A^S(A), S’ l’ensemble i_A^S(S). Soit j l’injection canonique de B dans A[S⁻¹]; l’unique homomorphisme g de… ↩ 1 045R
Proposition 3 Soient A un anneau, S une partie de A, M un A-module, M' le A-module M ⊗_A A[S⁻¹], f le A-homomorphisme canonique x → x ⊗ 1 de M dans M'. Alors : ↩ 5 045S
Définition 3 Soient A un anneau, S une partie de A, overlineS la partie multiplicative de A engendrée par S, M un A-module. On appelle module des fractions de M défini par S et on note M[S⁻¹] o… 045T
Remarque 1 Il est clair que l’on a M[overlineS⁻¹] = M[S⁻¹]. 0CGJ
Remarque 2 Pour m ∈ M et s ∈ overlineS, on écrit encore m/s l’élément m ⊗ (1/s) de M[S⁻¹]. Tout élément de M[S⁻¹] est de cette forme, car un tel élément s’écrit ∑ᵢ mᵢ ⊗ (aᵢ/s) avec mᵢ ∈ M, aᵢ… 0CGK
Remarque 3 Lorsque S est le complémentaire d’un idéal premier p de A, on écrit Mp au lieu de S^{-1}M. 0CGL
Remarque 4 Soit M un A[S^{-1}]-module ; lorsque M est considéré canoniquement comme un A-module, iM^s est une application bijective, car le couple formé de M et de l’application identique 1M… 0CGM
Proposition 4 Soient S une partie multiplicative de A, M un A-module. Pour que m/s = 0 (m \in M, s \in S), il faut et il suffit qu’il existe s' \in S tel que s'm = 0. ↩ 3 045U
Corollaire 1 Pour que m/s = m'/s' dans S^{-1}M, il faut et il suffit qu’il existe t \in S tel que t(s'm - sm') = 0. ↩ 1 045V
Corollaire 2 Soit M un A-module de type fini. Pour que S^{-1}M = 0, il faut et il suffit qu’il existe s \in S tel que sM = 0. ↩ 3 045W
Corollaire 3 Soit M un A-module de type fini. Pour qu’un idéal a de A soit tel que aM = M, il faut et il suffit qu’il existe a ∈ a tel que (1 + a)M = 0. ↩ 2 045X
Lemme 1 Pour tout idéal a de A, l’ensemble S des éléments 1 + a pour a ∈ a, est une partie multiplicative de A, et l’ensemble a' des éléments de S⁻¹A de la forme a/s, où a ∈ a et s ∈ S, es… ↩ 1 045Y
Proposition 5 Soient A, B deux anneaux, S une partie multiplicative de A, T une partie multiplicative de B, et f un homomorphisme de A dans B tel que f(S) ⊂ T. Soient M un A-module, N un B-modul… ↩ 3 045Z
Proposition 6 Soient f un homomorphisme d’un anneau A dans un anneau B, S une partie multiplicative de A. Il existe une application j et une seule de (f(S))⁻¹B dans S⁻¹B (où B est considéré comm… ↩ 2 0460
Proposition 7 Soient A un anneau, S, T deux parties multiplicatives de A. Posons T' = i_Aˢ(T). ↩ 7 0461
Proposition 8 Soient A un anneau, S, T deux parties multiplicatives de A telles que S ⊂ T. Les propriétés suivantes sont équivalentes : ↩ 1 0462
Proposition 9 Soient I un ensemble préordonné filtrant croissant, (S_α)_α ∈ I une famille croissante de parties multiplicatives d’un anneau A, S = ⋃_α ∈ I S_α. Posons ρ_β α = i_A^S_β, S_α pour α… ↩ 1 0463
Corollaire Les hypothèses étant celles de la prop. 9, soit M un A-module. Posons f_β α = i_M^s_β, s_α pour α ≤ β, f_α = i_M^s_α, s_α pour tout α ∈ I, et soit f'_α l’application canonique de S… 0464
Théorème 1 L’anneau S⁻¹A est un A-module plat (chap. I, § 2, no 3, déf. 2). ↩ 16 0465
Proposition 10 Soit M un A-module. Pour tout sous-module N’ du S⁻¹A-module S⁻¹M, soit φ(N') l’image réciproque de N’ par i_M^S. Alors : (i) On a S⁻¹φ(N') = N'. (ii) Pour tout sous-module N de M… ↩ 3 0466
Corollaire 1 Soient N₁, N₂ deux sous-modules d'un A-module M. Pour que S⁻¹N₁ ⊂ S⁻¹N₂, il faut et il suffit que le saturé de N₁ pour S soit contenu dans celui de N₂. 0467
Corollaire 2 Si M est un A-module noethérien (resp. artinien), S⁻¹M est un S⁻¹A-module noethérien (resp. artinien). En particulier, si l'anneau A est noethérien (resp. artinien), il en est de m… ↩ 3 0468
Proposition 11 Soient A un anneau, S une partie multiplicative de A. Pour tout idéal b' de S⁻¹A, soit b = (i_A^S)⁻¹(b'), de sorte que b' = S⁻¹b. ↩ 16 0469
Remarque Pour qu'un idéal a de A soit tel que S^{-1}a = S^{-1}A (ou, ce qui revient au même en vertu du n° 4, th. 1, que S^{-1}(A/a)=0), il faut et il suffit que a ∩ S ≠ Ø, comme il résulte… 046A
Corollaire 1 Soient A un anneau, S une partie multiplicative de A. Tout idéal p de A, maximal parmi ceux qui sont disjoints de S, est premier. 046B
Corollaire 2 Soient A un anneau, S une partie multiplicative de A. Pour tout idéal a de A ne rencontrant pas S, il existe un idéal premier contenant a et ne rencontrant pas S. ↩ 4 046C
Corollaire 3 Soient A, B deux anneaux, ρ un homomorphisme de A dans B, et p un idéal premier de A. Pour qu'il existe un idéal premier p' de B tel que ρ^{-1}(p') = p, il faut et il suffit que ρ^… ↩ 1 046D
Corollaire 4 Soient A et B deux anneaux, ρ un homomorphisme de A dans B. ↩ 3 046E
Corollaire 5 Soient A un anneau, S une partie multiplicative de A, B un anneau tel que i_A^S(A) ⊂ B ⊂ S⁻¹A. Soit q un idéal premier de B tel que l'idéal premier p = (i_A^S)⁻¹(q) de A ne rencont… 046F
Définition 4 On appelle nilradical d’un anneau (commutatif) A l’idéal des éléments nilpotents de A. On appelle racine d’un idéal a de A l’image réciproque, par l’application canonique A → A/a… 046G
Proposition 12 Soient p un idéal premier minimal d’un anneau A. Pour tout x ∈ p, il existe un s ∈ A - p et un entier k > 0 tels que sxᵏ = 0. ↩ 2 046H
Proposition 13 Le nilradical d’un anneau A est l’intersection de tous les idéaux premiers de A, et c’est aussi l’intersection des idéaux premiers minimaux de A. ↩ 1 046I
Lemme 2 Tout idéal premier p d’un anneau A contient un idéal premier minimal de A. 046J
Remarque Au § 4, n° 3, cor. 3 de la prop. 14, nous montrerons que dans un anneau noethérien l’ensemble des idéaux premiers minimaux est fini ; nous verrons en outre plus tard que toute suit… 046K
Corollaire 1 La racine d’un idéal a d’un anneau A est l’intersection des idéaux premiers contenant a, et c’est aussi l’intersection des éléments minimaux de cet ensemble d’idéaux premiers. ↩ 2 046L
Corollaire 2 Pour tout idéal a d’un anneau A, notons r(a) la racine de a. Alors, pour deux idéaux a, b de A, on a r(a ∩ b) = r(ab) = r(a) ∩ r(b); en particulier, si a ⊂ b, on a r(a) ⊂ r(b). ↩ 1 046M
Proposition 14 Pour que deux idéaux a, b d’un anneau A soient étrangers, il faut et il suffit que leurs racines r(a) et r(b) le soient. 046N
Proposition 15 Dans un anneau A, soient a un idéal et b un idéal de type fini contenu dans la racine de a. Alors il existe un entier k > 0 tel que bᵏ ⊂ a. ↩ 3 046O
Corollaire Dans un anneau noethérien, le nilradical est un idéal nilpotent. 046P
Proposition 16 Soient B un anneau, A un sous-anneau de B. Pour tout idéal premier minimal p de A, il existe un idéal premier minimal q de B tel que q ∩ A = p. 046Q
Définition 5 On dit qu’un anneau A est réduit si son nilradical est réduit à 0, autrement dit si aucun élément ≠ 0 de A n’est nilpotent. 046R
Proposition 17 Soient A un anneau, 𝔑 son nilradical. Pour toute partie multiplicative S de A, S⁻¹𝔑 est le nilradical de S⁻¹A. En particulier, si A est réduit, S⁻¹A est réduit. 046S
Proposition 18 Soient A un anneau, S une partie multiplicative de A. ↩ 2 046T
Corollaire Soient M un A-module, a un idéal de A. Les sous-S^{-1}A-modules (S^{-1}a)(S^{-1}M), a(S^{-1}M), (S^{-1}a)j(M) (où j : M → S^{-1}M est l’application canonique) et S^{-1}(aM) de S^{-… ↩ 2 046U
Remarque Soient M, N, P trois A-modules, f : M × N → P une application A-bilinéaire, S^{-1}f : (S^{-1}M) × (S^{-1}N) → S^{-1}P l’application S^{-1}A-bilinéaire obtenue à partir de f par ext… 046V
Proposition 19 Soient A un anneau, S une partie multiplicative de A. ↩ 2 046W
Proposition 20 Soient A, A' deux anneaux, ρ : A → A' un homomorphisme, S une partie multiplicative de A, S' = ρ(S), ρ' : S⁻¹A → S'⁻¹A' l’homomorphisme correspondant à ρ (n° 1, prop. 2). 046X
Proposition 21 L’anneau S⁻¹A muni de la famille ((S⁻¹A)ᵢ) est un anneau gradué, et S⁻¹M muni de la famille ((S⁻¹M)ᵢ) est un module gradué sur l’anneau gradué S⁻¹A. Les applications canoniques i^S… 046Y
Proposition 22 Soient A (resp. B) un anneau gradué de type Δ, M (resp. N) un module gradué sur l’anneau gradué A (resp. B), S (resp. T) une partie multiplicative de A (resp. B) dont tous les élém… 046Z

§ 3. Anneaux locaux. Passage du local au global

Proposition 1 Soient A un anneau, I l’ensemble des éléments non inversibles de A. L’ensemble I est la réunion des idéaux de A distincts de A. En outre, les conditions suivantes sont équivalentes… ↩ 2 047R
Définition 1 On dit qu’un anneau A est un anneau local s’il vérifie les conditions équivalentes a), b), c) de la prop. 1. Le quotient de A par son radical (qui est alors l’unique idéal maximal… 047S
Définition 2 Soient A, B deux anneaux locaux, m, n leurs idéaux maximaux respectifs. On dit qu’un homomorphisme u : A → B est local si u(m) ⊂ n. 047T
Exemple 1 Un corps est un anneau local. Un anneau réduit à 0 n’est pas un anneau local. 0CGN
Exemple 2 Soient A un anneau local, k son corps résiduel. L’anneau de séries formelles B = A[[X₁, ..., Xₙ]] est un anneau local, car les éléments non inversibles de B sont les séries formell… 0CGO
Exemple 3 Soit b un idéal d’un anneau A qui n’est contenu que dans un seul idéal maximal m; alors A/b est un anneau local d’idéal maximal m/b et de corps résiduel canoniquement isomorphe à A… 0CGP
Exemple 4 Soient X un espace topologique, x₀ un point de X, A l’anneau des germes au point x₀ des fonctions numériques continues dans un voisinage de x₀ (Top. gén., chap. I, 3e éd., § 6, no… 0CGQ
Proposition 2 Soient A un anneau, p un idéal premier de A. L’anneau Aₚ^mₚ est local ; son idéal maximal est l’idéal pAₚ = pₚ, engendré par l’image canonique de p dans Aₚ; son corps résiduel est… ↩ 2 047U
Définition 3 Soient A un anneau, p un idéal premier de A. L’anneau Aₚ s’appelle l’anneau local de A en p, ou l’anneau local de p lorsqu’aucune confusion n’est à craindre. 047V
Exemple 5 Soit p un nombre premier. L’anneau local Z₍ₚ₎ est l’ensemble des nombres rationnels a/b, où a, b sont des entiers rationnels tels que b soit étranger à p; le corps résiduel de Z₍ₚ₎… 0CGR
Exemple 6 Soient V une variété algébrique affine, A l’anneau des fonctions régulières sur V, W une sous-variété irréductible de V, et p l’idéal (nécessairement premier) de A formé par les fo… 0CGS
Proposition 3 Soient A un anneau, p un idéal premier de A, S = A - p. Pour tout idéal b' de Aₚ distinct de Aₚ, soit b l’idéal (i_A^S)⁻¹(b') de A, de sorte que b' = bAₚ. ↩ 4 047W
Remarque 3 Si a est un idéal de A non contenu dans p, on a aAₚ = Aₚ et (A/a)ₚ = 0 (§ 2, no 5, Remarque). 0CGT
Remarque 4 Soient A, B deux anneaux, ρ : A → B un homomorphisme, q un idéal premier de B, p l’idéal premier barρ⁻¹(q) de A. Comme ρ(A - p) ⊂ B - q, on déduit canoniquement de ρ un homomorphis… 0CGU
Proposition 4 Soient A un anneau non nécessairement commutatif, m un idéal à droite de A contenu dans le radical de A, M un A-module à gauche. On suppose vérifiée l’une des conditions suivantes… ↩ 6 047X
Corollaire 1 Soient A un anneau non nécessairement commutatif, m un idéal à droite de A contenu dans le radical de A, M et N deux A-modules à gauche, u : M → N une application A-linéaire. Si N… ↩ 5 047Y
Corollaire 2 Soient A un anneau non nécessairement commutatif, m un idéal bilatère de A contenu dans le radical de A, M un A-module à gauche, (xᵢ)_i ∈ I une famille d’éléments de M. Si M est de… ↩ 5 047Z
Proposition 5 Soient A un anneau non nécessairement commutatif, m un idéal bilatère de A contenu dans le radical de A, M un A-module à gauche. On suppose vérifiée l’une des conditions suivantes… ↩ 7 0480
Corollaire 1 Soient A un anneau non nécessairement commutatif, m le radical de A, M un A-module à gauche. On suppose que A/m est un corps, que l’homomorphisme canonique de m \otimesA M dans M e… ↩ 3 0481
Corollaire 2 Soient A un anneau non nécessairement commutatif, m le radical de A, M un A-module à gauche. On suppose que A/m est un corps, et que l’une des conditions suivantes est vérifiée : ↩ 3 0482
Proposition 6 Soient A un anneau non nécessairement commutatif, m son radical ; supposons que A/m soit un corps. Soient M et N deux A-modules libres de type fini, et soit u : M → N un homomorphi… ↩ 5 0483
Corollaire Sous les hypothèses de la prop. 6, les propriétés suivantes sont équivalentes : a) u est un isomorphisme de M sur N ; b) M et N ont même rang (Alg., chap. II, 3e éd., § 7; n° 2) et… ↩ 1 0484
Proposition 7 Soient A un anneau local réduit, m son idéal maximal, (𝔭ᵢ)_i ∈ I la famille des idéaux premiers minimaux de A, Kᵢ le corps des fractions de A/𝔭ᵢ, M un A-module de type fini. Pour q… ↩ 1 0485
Proposition 8 Soient A un anneau, m un idéal maximal de A, M un A-module. S’il existe un idéal a de A tel que m soit le seul idéal maximal de A contenant a, et que aM = 0, alors l’homomorphisme… ↩ 2 0486
Proposition 9 Soient A un anneau, m un idéal maximal de A, M un A-module, k un entier geqslant 0. L’homomorphisme canonique M → Mₘ / mᵏ Mₘ est surjectif, admet mᵏ M pour noyau, et définit un iso… ↩ 5 0487
Corollaire Soient A un anneau, m₁, m₂, ..., mₙ des idéaux maximaux de A deux à deux distincts, M un A-module, k₁, k₂, ..., kₙ des entiers geqslant 0. L’homomorphisme canonique de M dans ∏ᵢ₌₁ⁿ… ↩ 1 0488
Proposition 10 Le A-module ⨁_m ∈ Ω Aₘ, somme directe des Aₘ pour m ∈ Ω, est fidèlement plat. ↩ 2 0489
Théorème 1 Soient M, N deux A-modules, u : M → N un A-homomorphisme et pour tout m ∈ Ω, soit uₘ : Mₘ → Nₘ le Aₘ-homomorphisme correspondant (§ 2, n° 2, Remarque 5). Pour que u soit injectif (… ↩ 11 048A
Corollaire 1 Soient M un A-module, N un sous-module de M, x un élément de M. Pour que x ∈ N, il faut et il suffit que, pour tout m ∈ Ω, l’image canonique de x dans Mₘ appartienne à Nₘ. ↩ 5 048B
Corollaire 2 Soit M un A-module et, pour tout m ∈ Ω, soit fₘ l’homomorphisme canonique M → Mₘ. L’homomorphisme x → (fₘ(x)) de M dans ∏_m ∈ Ω Mₘ est injectif. ↩ 3 048C
Corollaire 3 (i) Soient b un idéal de A, a un élément de A. Pour que a ∈ b, il faut et il suffit que, pour tout m ∈ Ω, l’image canonique de a dans Aₘ appartienne à bAₘ. 048D
Corollaire 4 Soient A un anneau intègre, K son corps des fractions, M un A-module sans torsion, de sorte que M s’identifie canoniquement à un sous-A-module de K ⊗_A M. Alors, pour tout m ∈ Ω, M… 048E
Corollaire 5 Soit A un anneau. Tout système de générateurs du A-module Aⁿ ayant n éléments est une base de Aⁿ. 048F
Proposition 11 Soient M un A-module, N un A-module de type fini, u : M → N un homomorphisme. Pour que u soit surjectif, il faut et il suffit que, pour tout m ∈ Ω, l’homomorphisme M/mM → N/mN dédu… ↩ 2 048G
Proposition 12 Soient E, F, G trois A-modules, v : G → F et u : E → F des homomorphismes. On suppose que E est de présentation finie. Pour qu’il existe un homomorphisme w : E → G tel que u se fac… ↩ 3 048H
Corollaire 1 Soient M un A-module, N un sous-module de M tel que M/N admette une présentation finie. Pour que N soit facteur direct de M, il faut et il suffit que, pour tout m ∈ Ω, Nₘ soit fact… ↩ 1 048I
Corollaire 2 Soient M un A-module libre de type fini, N un sous-module de M qui est un A-module libre de type fini. Pour que N soit facteur direct de M, il faut et il suffit que, pour tout m ∈… 048J
Proposition 13 Soient S une partie multiplicative d’un anneau A, et M un A-module. Si M est plat (resp. fidèlement plat), S⁻¹M est un S⁻¹A-module plat (resp. fidèlement plat), et un A-module plat… ↩ 4 048K
Remarque Si N est un S⁻¹A-module, S⁻¹N s’identifie à N, et il est par suite équivalent de dire que N est un S⁻¹A-module plat ou un A-module plat. 048L
Proposition 14 Soient A un anneau, B une A-algèbre commutative, T une partie multiplicative de B. Si N est un B-module qui est plat en tant que A-module, T⁻¹N est un A-module plat. ↩ 1 048M
Proposition 15 Soient A, B deux anneaux, φ : A → B un homomorphisme, N un B-module. Les propriétés suivantes sont équivalentes : ↩ 1 048N
Corollaire Pour qu’un A-module M soit plat (resp. fidèlement plat) il faut et il suffit que, pour tout idéal maximal m de A, Mₘ soit un Aₘ-module plat (resp. fidèlement plat). ↩ 2 048O
Proposition 16 Soit A un anneau. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 1 048P
Définition 4 On dit qu’un anneau est semi-local s’il satisfait aux conditions équivalentes a), b) de la prop. 16. 048Q
Exemple Tout anneau local est semi-local. Tout quotient d’un anneau semi-local est semi-local. Tout produit fini d’anneaux semi-locaux est semi-local. Si A est un anneau semi-local noethér… 048R
Proposition 17 Soient A un anneau, p₁, ..., pₙ des idéaux premiers de A. Posons S = ⋂ᵢ₌₁ⁿ (A - pᵢ) = A - ⋃ᵢ₌₁ⁿ pᵢ. ↩ 2 048S
Corollaire Soient A un anneau intègre, p₁, ..., pₙ des idéaux premiers de A, non comparables deux à deux pour la relation d’inclusion. Si A = ⋂ᵢ₌₁ⁿ A_pᵢ dans le corps des fractions de A, les… ↩ 1 048T

§ 4. Spectres d’anneaux et supports de modules

Définition 1 On dit qu’un espace topologique X est irréductible si toute intersection finie d’ensembles ouverts non vides de X est non vide. 0498
Proposition 1 Soit X un espace topologique non vide. Les conditions suivantes sont équivalentes : a) X est irréductible ; b) tout ensemble ouvert non vide de X est dense dans X ; c) tout ensembl… ↩ 2 0499
Proposition 2 Dans un espace topologique X, pour qu’un ensemble E soit irréductible, il faut et il suffit que son adhérence \overline{E} le soit. ↩ 5 049A
Proposition 3 (i) Si X est un espace irréductible, tout ensemble ouvert non vide de X est irréductible. ↩ 1 049B
Proposition 4 Soient X et Y deux espaces topologiques, f une application continue de X dans Y. Pour toute partie irréductible E de X, f(E) est une partie irréductible de Y. 049C
Définition 2 On appelle composante irréductible d’un espace topologique X toute partie irréductible maximale de X. 049D
Proposition 5 Soit X un espace topologique. Toute partie irréductible de X est contenue dans une composante irréductible de X, et X est réunion de ses composantes irréductibles. 049E
Corollaire Toute composante connexe d’un espace topologique X est réunion de composantes irréductibles de X. ↩ 1 049F
Proposition 6 Soient X un espace topologique, (Pᵢ)_1 ≤ i ≤ n un recouvrement fini de X formé d’ensembles fermés irréductibles. Alors les composantes irréductibles de X sont les éléments maximaux… ↩ 2 049G
Corollaire Soient X un espace topologique, E un sous-espace de X n’ayant qu’un nombre fini de composantes irréductibles distinctes Qᵢ (1 ≤ i ≤ n); alors les composantes irréductibles de l’adh… 049H
Remarque Supposons que X n’ait qu’un nombre fini de composantes irréductibles distinctes Xᵢ (1 ≤ i ≤ n); alors Uᵢ = C ( ⋃_j ≠ i Xⱼ ) est ouvert dans X et dense dans Xᵢ puisque Xᵢ ∉ ⋃_j ≠ i… 049I
Proposition 7 Soit U une partie ouverte d’un espace topologique X. L’application V → overlineV (adhérence dans X) est une bijection de l’ensemble des parties irréductibles de U, fermées dans U… 049J
Définition 3 On dit qu’un espace topologique X est nœthérien si tout ensemble non vide de parties fermées de X, ordonné par inclusion, possède un élément minimal. 049K
Proposition 8 (i) Tout sous-espace d’un espace nœthérien est nœthérien. ↩ 1 049L
Proposition 9 Pour qu’un espace topologique X soit nœthérien, il faut et il suffit que tout ensemble ouvert dans X soit quasi-compact. 049M
Lemme 1 (« principe de récurrence nœthérienne ») Soient E un ensemble ordonné dont toute partie non vide admet un élément minimal. Soit F une partie de E ayant la propriété suivante : si a ∈ E est tel que la relation x < a entraî… 049N
Proposition 10 Si X est un espace nœthérien, l’ensemble des composantes irréductibles de X (et a fortiori l’ensemble des composantes connexes de X) est fini. 049O
Définition 4 Soit A un anneau. On appelle spectre premier de A et on note Spec (A) l’ensemble X des idéaux premiers de A, muni de la topologie pour laquelle les ensembles fermés sont les ensemb… ↩ 1 049P
Proposition 11 Soient A un anneau, a un idéal de A, Y une partie de X = Spec (A). ↩ 8 049Q
Corollaire 1 Pour toute famille (Y_λ)_λ ∈ L de parties fermées de X, 𝔍(⋂_λ ∈ L Y_λ) est la racine de la somme des idéaux 𝔍(Y_λ). 049R
Corollaire 2 Désignons par r(a) la racine d’un idéal a de A ; si a et b sont deux idéaux de A, la relation V(a) ⊂ V(b) est équivalente à b ⊂ r(a) et à r(b) ⊂ r(a). ↩ 4 049S
Corollaire 3 Soit (f_λ)_λ ∈ L une famille d’éléments de A. Pour qu’un élément g ∈ A soit tel que X_g ⊂ ⋃_λ ∈ L X_f_λ, il faut et il suffit qu’il existe un entier n > 0 tel que gⁿ appartienne à… ↩ 2 049T
Corollaire 4 Pour que deux éléments f,\ g de A soient tels que X_f = X_g, il faut et il suffit qu’il existe deux entiers m > 0,\ n > 0 tels que fᵐ ∈ Ag et gⁿ ∈ Af. 0CGX
Corollaire 5 Pour que f ∈ A soit tel que X_f = ∅, il faut et il suffit que f soit nilpotent. 049U
Corollaire 6 L’adhérence d’un ensemble réduit à un point p ∈ X = Spec(A) est l’ensemble V(p) des idéaux premiers contenant p. Pour que l’ensemble p soit fermé dans X (ou, comme on dit encore pa… 049V
Corollaire 7 Si A est un anneau noethérien, X = Spec(A) est un espace noethérien. ↩ 1 049W
Proposition 12 Pour tout f ∈ A, l’ensemble ouvert X_f dans X = Spec(A) est quasi-compact ; en particulier, l’espace X est quasi-compact. 049X
Proposition 13 Soient A, A' deux anneaux, X = Spec(A), X' = Spec(A'), h un homomorphisme de A dans A' ; l’application ᵃ h : p' → overlineh(p') de X' dans X est continue. ↩ 3 049Y
Remarque Si h est surjective et si a est son noyau, il résulte de la définition de la topologie spectrale que ᵃ h est un homéomorphisme de X' sur le sous-espace fermé V(a) de X ; en effet… 049Z
Corollaire Soient S une partie multiplicative de A, A' = S⁻¹A, h l’homomorphisme canonique i_A^S; alors ᵃ h est un homéomorphisme de X' = Spec(A') sur le sous-espace de X = Spec(A) formé des… ↩ 1 04A0
Proposition 14 Soit A un anneau. Pour qu’une partie Y de X = Spec(A) soit irréductible, il faut et il suffit que l’idéal 𝔍(Y) soit premier. ↩ 1 04A1
Corollaire 1 Pour qu’un anneau A soit tel que X = Spec(A) soit irréductible, il faut et il suffit que le quotient de A par son nilradical 𝔑 soit intègre. 04A2
Corollaire 2 L’application p → V(p) est une bijection de X = Spec(A) sur l’ensemble des parties fermées irréductibles de X; en particulier les composantes irréductibles d’une partie fermée Y de… ↩ 2 04A3
Corollaire 3 L’ensemble des idéaux premiers minimaux d’un anneau noethérien A est fini. ↩ 1 04A4
Proposition 15 Soient A un anneau, I un ensemble fini, E l’ensemble des familles orthogonales (eᵢ)_i ∈ I d’idempotents eᵢ ≠ 0 de A, telles que ∑_i ∈ I eᵢ = 1. Pour tout (eᵢ)_i ∈ I ∈ E, posons var… ↩ 2 04A5
Lemme 2 Si e, f sont deux idempotents de A tels que Ae et Af aient même racine, on a e = f. ↩ 1 04A6
Corollaire 1 Soient A un anneau, 𝔯 un nilidéal de A, h : A → A/𝔯 l’homomorphisme canonique. Pour toute famille orthogonale finie (e'ᵢ)_i ∈ I d’idempotents de A/𝔯, telle que ∑_i ∈ I e'ᵢ = 1, il… 04A7
Corollaire 2 Pour que le spectre premier X = Spec(A) d’un anneau A soit connexe, il faut et il suffit qu’il n’existe dans A aucun idempotent autre que 0 et 1. ↩ 1 04A8
Définition 5 Soient A un anneau, M un A-module. On appelle support de M, et on note Supp(M), l’ensemble des idéaux premiers 𝔭 de A tels que M_𝔭 ≠ 0. ↩ 1 04A9
Exemple Soit a un idéal de A; avec les notations du no 3, on a V(a) = Supp(A/a). En effet, si 𝔭 est un idéal premier de A tel que a ∉ 𝔭, on sait que (A/a)_𝔭 = 0 (§ 3, no 1, Remarque 3); si… 04AA
Proposition 16 Soient A un anneau, M un A-module. (i) Si N est un sous-module de M, on a Supp(M) = Supp(N) ∪ Supp(M/N). (ii) Si M est somme d’une famille (Nᵢ)_i ∈ I de sous-modules, on a Supp(M)… ↩ 2 04AB
Corollaire Soient A un anneau, M un A-module, (mᵢ)_i ∈ I un système de générateurs de M, et aᵢ l’annulateur de mᵢ. On a alors Supp(M) = ⋃_i ∈ I V(aᵢ). En effet, Supp(M) = ⋃_i ∈ I Supp(Amᵢ) en… ↩ 1 04AC
Proposition 17 Soient A un anneau, M un A-module, a son annulateur ; si M est de type fini, on a Supp(M) = V(a), et Supp(M) est donc fermé dans Spec(A). Soit (mᵢ)_1 ≤ i ≤ n un système de générate… ↩ 6 04AD
Corollaire 1 Soient A un anneau, M un A-module de type fini, a un élément de A. Pour que a appartienne à tout idéal premier du support de M, il faut et il suffit que l’homothétie de M, de rappo… 04AE
Corollaire 2 Soient A un anneau noethérien, M un A-module de type fini, a un idéal de A. Pour que Supp(M) ⊂ V(a), il faut et il suffit qu’il existe un entier k tel que aᵏ M = 0. 04AF
Proposition 18 Soient M, M' deux modules de type fini sur un anneau A; on a alors 04AG
Lemme 3 Soient B un anneau local, E et E' deux B-modules de type fini. Si E ≠ 0 et E' ≠ 0, on a E ⊗_B E' ≠ 0. 04AH
Corollaire Soient M un A-module de type fini, n son annulateur. Pour tout idéal a de A, on a Supp (M/aM) = V(a) ∩ V(n) = V(a + n). 04AI
Proposition 19 Soient A, B deux anneaux, φ : A → B un homomorphisme, aφ : Spec(B) → Spec(A) l’application continue associée à φ (prop. 13). Pour tout A-module M, on a Supp (MB) ⊂ aφ^{-1}(Supp (M)… ↩ 1 04AJ
Lemme 4 Soient A, B deux anneaux locaux, ρ : A → B un homomorphisme local, E un A-module de type fini. Si E ≠ 0, on a EB ≠ 0. ↩ 1 04AK
Proposition 20 Soient A un anneau, M un A-module de type fini. Pour tout idéal premier p ∈ Supp (M), il existe un A-homomorphisme non nul w : M → A/p. ↩ 1 04AL

§ 5. Modules projectifs de type fini. Idéaux fractionnaires inversibles

Proposition 1 Soit f un élément d’un anneau A, et soit φ : A → A_f l’application canonique. L’application ᵃφ : Spec(A_f) → Spec(A) est un homéomorphisme de Spec(A_f) sur le sous-espace ouvert X_… 04BE
Proposition 2 Soient A un anneau, u : M → N un homomorphisme de A-modules, et p un idéal premier de A. ↩ 2 04BF
Corollaire Si N est de présentation finie et si Np est un Ap-module libre de rang p, il existe f ∈ A - p tel que Nf soit un Af-module libre de rang p. ↩ 1 04BG
Proposition 3 Soit (fi){i ∈ I} une famille finie d’éléments d’un anneau A, engendrant l’idéal A de A. L’anneau B = ∏_i ∈ I A_fᵢ est alors un A-module fidèlement plat. ↩ 3 04BH
Corollaire Sous les hypothèses de la prop. 3, pour qu’un A-module M soit de type fini (resp. de présentation finie), il faut et il suffit que, pour tout indice i, le A_fᵢ-module M_fᵢ soit de… ↩ 1 04BI
Théorème 1 Soient A un anneau, P un A-module. Les propriétés suivantes sont équivalentes : a) P est un module projectif de type fini. b) P est un module de présentation finie, et pour tout id… ↩ 15 04BJ
Corollaire 1 Supposons vérifiées les propriétés équivalentes de l’énoncé du th. 1. Soit m un entier > 0 tel que, pour toute famille (xᵢ)_1 ≤ i ≤ m d’éléments de P, il existe une famille (aᵢ)_1… 04BK
Corollaire 2 Tout module plat de présentation finie est projectif. ↩ 1 04BL
Remarque 1 Il existe des modules plats de type fini qui ne sont pas projectifs (exerc. 7). 0CGY
Remarque 2 Le cor. 2 du th. 1 s’étend aux modules sur un anneau non commutatif (chap. I, § 2, exerc. 15). 0CGZ
Définition 1 Soit P un A-module projectif de type fini. Pour tout idéal premier p de A, le rang du Aₚ-module libre Pₚ s'appelle le rang de P en p et se note rgₚ(P). ↩ 1 04BM
Définition 2 Soit n un entier geqslant 0. On dit qu'un A-module projectif P est de rang n s'il est de type fini et si rgₚ(P) = n pour tout idéal premier p de A. ↩ 3 04BN
Théorème 2 Soient P un A-module et n un entier geqslant 0. Les propriétés suivantes sont équivalentes : a) P est projectif de rang n. b) P est de type fini et, pour tout idéal maximal m de A… ↩ 4 04BO
Remarque Si A est un anneau intègre, un A-module projectif admet un rang bien défini (au sens de la déf. 2), comme on l’a observé plus haut ; en outre ce rang coïncide avec le rang défini e… 04BP
Corollaire Pour qu’un A-module projectif de type fini P soit de rang n, il faut et il suffit que ∧ⁿ P soit de rang 1. 04BQ
Proposition 4 Soient B une A-algèbre commutative, P un A-module projectif de rang n. Le B-module P_(B) = B ⊗_A P est alors projectif de rang n. ↩ 4 04BR
Proposition 5 Soient A un anneau semi-local, P un A-module projectif de type fini. Si le rang de P est défini, P est un A-module libre. ↩ 1 04BS
Théorème 3 Soient A un anneau, M un A-module de type fini. ↩ 2 04BT
Proposition 6 Soient M et N des A-modules projectifs de rang 1. Alors M ⊗_A N, Hom_A(M, N) et le dual M^* de M sont projectifs de rang 1. 04BU
Proposition 7 L’ensemble P(A) des classes de A-modules projectifs de rang 1, muni de la loi de composition (6), est un groupe commutatif. Si M est un A-module projectif de rang 1 et M^* son dual… 04BV
Définition 3 Soit M un sous-A-module de B. On dit que M est non dégénéré si B.M = B. 04BW
Proposition 8 Soit M un sous-A-module de B. Les conditions suivantes sont équivalentes : a) M est non dégénéré. b) M rencontre S. c) Si j : M → B est l’injection canonique, l’homomorphisme u = S… ↩ 4 04BX
Corollaire Si M et N sont deux sous-A-modules non dégénérés de B, les A-modules M + N, M.N et M ∩ N sont non dégénérés. L’assertion est triviale pour M + N; d’autre part, si s ∈ S ∩ M et t ∈… 04BY
Proposition 9 Soient M, N deux sous-A-modules de B. Si M est non dégénéré, l’homomorphisme canonique de N : M dans Hom_A(M, N) est bijectif. ↩ 2 04BZ
Remarque En particulier, A : M s’identifie canoniquement au dual M^* de M, la forme bilinéaire canonique sur M × M^* s’identifiant à la restriction à M × (A : M) de la multiplication B × B… 04C0
Définition 4 On dit qu’un sous-A-module M de B est inversible s’il existe un sous-A-module N de B tel que M.N = A. 04C1
Exemple Si b est un élément inversible de B, le A-module Ab est inversible, comme on le voit en prenant N = Ab⁻¹. 04C2
Proposition 10 Soit M un sous-A-module inversible de B. Alors : ↩ 3 04C3
Théorème 4 Soit M un sous-A-module non dégénéré de B. Les propriétés suivantes sont équivalentes : ↩ 5 04C4
Corollaire Tout sous-A-module inversible de B est plat et de présentation finie. Cela résulte du th. 4 c). ↩ 1 04C5
Proposition 11 Soient M, N deux sous-A-modules de B. On suppose M inversible. Alors : (i) L’homomorphisme canonique M ⊗A N → M.N est bijectif. (ii) On a N : M = N.(A : M) et N = (N : M).M. Soit j… ↩ 3 04C6
Remarque La démonstration de (i) dans la prop. 11 utilise seulement le fait que M est plat et non dégénéré. 04C7
Proposition 12 L’application cl : 𝔍 → P(A) définit, par passage au quotient, un isomorphisme de ℭ = 𝔍/θ(B^*) sur le noyau de l’homomorphisme canonique φ : P(A) → P(B) (no 4). 04C8
Corollaire 1 Pour que deux sous-A-modules inversibles de B aient même image dans ℭ, il faut et il suffit qu’ils soient isomorphes. 04C9
Corollaire 2 Si l’anneau B est semi-local, le groupe ℭ des classes de sous-A-modules inversibles de B s’identifie canoniquement au groupe P(A) des classes de A-modules projectifs de rang 1. ↩ 2 04CA
Remarque L’hypothèse du cor. 2 est remplie dans les deux cas suivants : 04CB

III. Graduations, filtrations et topologies

§ 1. Algèbres graduées de type fini

Définition 1 Dans une algèbre commutative B sur un anneau commutatif A, on dit qu’une famille (xᵢ)_i ∈ I d’éléments de B 04D1
Définition 2 On dit qu’une algèbre commutative B sur un anneau commutatif A est de type fini si elle est engendrée par une famille finie d’éléments. 04D2
Proposition 1 Soient A = ⨁_i ∈ Z Aᵢ un anneau commutatif gradué à degrés positifs, m l’idéal gradué ⨁_i ≥ 1 Aᵢ, (x_λ)_λ ∈ L une famille d’éléments homogènes de A, de degrés ≥ 1. Les conditions s… ↩ 1 04D3
Corollaire Soient A = ⨁_i ∈ Z Aᵢ un anneau commutatif gradué à degrés positifs et m l’idéal gradué ⨁_i ≥ 1 Aᵢ. ↩ 3 04D4
Proposition 2 Soient A = ⨁_i ∈ Z Aᵢ un anneau commutatif gradué à degrés positifs, M = ⨁_i ∈ Z Mᵢ un A-module gradué. On suppose que A est une A₀-algèbre de type fini et M un A-module de type fi… 04D5
Lemme 1 Soient A un anneau commutatif gradué tel que A = A₀[A₁], M un A-module gradué, (y_λ)_λ ∈ L un système de générateurs homogènes de M tels que deg(y_λ) leqslant n₀ pour tout λ ∈ L. A… ↩ 2 04D6
Lemme 2 Soit A un anneau commutatif gradué tel que A = A₀[A₁], et soit S = ⨁_i ≥ 0 Sᵢ une A-algèbre commutative graduée à degrés positifs, qui soit un A-module de type fini. Il existe alor… ↩ 1 04D7
Proposition 3 Soit R = ⨁_i ≥ 0 Rᵢ un anneau commutatif gradué à degrés positifs qui soit une R₀-algèbre de type fini. Il existe un entier e ≥ 1 tel que R⁽ᵐᵉ⁾ = R₀[Rₘₑ] pour tout m ≥ 1. 04D8
Proposition 4 Soit p = ⨁_i ≥ 0 pᵢ un idéal gradué de A ; pour que p soit premier, il faut et il suffit que si x ∈ Aₘ, y ∈ Aₙ sont tels que x ∉ p et y ∉ p, on ait xy ∉ p. ↩ 2 04D9
Proposition 5 Soient a = ⨁_i ≥ 0 aᵢ un idéal gradué de A, n₀ un entier > 0. Pour qu’il existe un idéal premier gradué p = ⨁_i ≥ 0 pᵢ tel que pₙ = aₙ pour n ≥ n₀, il faut et il suffit que, pour t… ↩ 1 04DA
Proposition 6 Soit d un entier ≥ 1. (i) Pour tout idéal premier gradué essentiel p de A, p ∩ A⁽ᵈ⁾ est un idéal premier gradué essentiel de A⁽ᵈ⁾. (ii) Inversement, pour tout idéal premier gradué… 04DB
Proposition 7 Soient p un idéal premier gradué de A, d un entier geqslant 1, p' l’idéal premier gradué p ∩ A⁽ᵈ⁾ de A⁽ᵈ⁾; pour tout A-module gradué M, l’homomorphisme (M⁽ᵈ⁾)_(p') → M₍ₚ₎ déduit de… ↩ 1 04DC
Proposition 8 Soit m = ⨁_t geqslant 1 Aₜ; soient (p⁽ᵏ⁾)_1 leqslant k leqslant n une famille finie d’idéaux premiers gradués de A et a un idéal gradué de A tel que a ∩ m ∉ p⁽ᵏ⁾ pour tout k; alors… 04DD

§ 2. Généralités sur les anneaux et modules filtrés

Définition 1 On appelle filtration croissante (resp. décroissante) sur un groupe G une suite croissante (resp. décroissante) (Gₙ)_n ∈ Z de sous-groupes de G. 04DH
Définition 2 Etant donné un anneau A, on dit qu’une filtration (Aₙ)_n ∈ Z sur le groupe additif A est compatible avec la structure d’anneau de A si l’on a (1) Aₘ Aₙ ⊂ Aₘ₊ₙ pour m ∈ Z, n ∈ Z (2)… 04DI
Définition 3 Soient A un anneau filtré, (Aₙ)_n ∈ Z sa filtration, E un A-module. On dit qu’une filtration (Eₙ)_n ∈ Z sur E est compatible avec sa structure de module sur l’anneau filtré A, si l… 04DJ
Exemple 1 Soit A un anneau gradué de type Z; pour tout i ∈ Z, soit A₍ᵢ₎ le sous-groupe des éléments homogènes de degré i dans A. Posons Aₙ = ∑_i ≥ n A₍ᵢ₎; alors il est immédiat que (Aₙ) est… 0CH0
Exemple 2 Soient A un anneau filtré, (Aₙ)_n ∈ Z sa filtration, E un A-module. Posons Eₙ = Aₙ E; il résulte de (1) que l’on a 0CH1
Exemple 3 Soient A un anneau, m un idéal bilatère de A. Posons Aₙ = mⁿ pour n ≥ 0, Aₙ = A pour n < 0; il est immédiat que (Aₙ) est une filtration exhaustive sur A, dite filtration m-adique… 0CH2
Exemple 4 Si A est un anneau filtré, (Aₙ) sa filtration, le A-module à gauche Aₛ est un A-module filtré pour la filtration (Aₙ). Il est clair d’autre part que (Aₙ) est une filtration compati… 0CH3
Exemple 5 Sur un anneau A, les ensembles Aₙ tels que Aₙ = 0 pour n > 0, Aₙ = A pour n ≤ 0 forment une filtration dite triviale, associée (Exemple 1) à la graduation triviale de A ; sur un A-… 0CH4
Exemple 1 Soient A un anneau commutatif, t un élément de A non diviseur de 0. Munissons A de la filtration (t)-adique (n° 1, Exemple 3). Alors l’anneau gradué associé gr(A) est canoniquement… ↩ 1 04DK
Exemple 2 Soient K un anneau commutatif, A l’anneau de séries formelles K[[X₁, ..., Xᵣ]] (Alg., chap. IV, § 5), m l’idéal de A dont les éléments sont les séries formelles sans terme constant… 04DL
Exemple 3 Plus généralement, soient A un anneau commutatif, b un idéal de A, et munissons A de la filtration b-adique. Si on pose B = gr0(A), F = gr1(A) = b/b^2, on sait (Alg., chap. III, 3e… ↩ 9 04DM
Exemple 4 Soient K un anneau commutatif, g une algèbre de Lie sur K, U l’algèbre enveloppante de g. On définit sur U une filtration croissante (Un){n∈\mathbf{Z}} en prenant Un = {0} pour n <… ↩ 1 04DN
Exemple 5 Soient A un anneau gradué de type \mathbf{Z}, E un A-module gradué de type Z; soit A₍ᵢ₎ (resp. E₍ᵢ₎) le sous-groupe des éléments homogènes de degré i de A (resp. E). Munissons A et… 04DO
Proposition 1 Soient A un anneau filtré, (Aₙ)_n ∈ Z sa filtration, v sa fonction d’ordre. Supposons que gr(A) soit un anneau sans diviseur de zéro. Alors, pour tout couple d’éléments a, b de l’a… ↩ 1 04DP
Corollaire Soient A un anneau filtré, (Aₙ)_n ∈ Z sa filtration ; posons B = ⋃_n ∈ Z Aₙ, n = ⋂_n ∈ Z Aₙ. Si l’anneau gr(A) est sans diviseur de zéro, il en est de même de l’anneau B/n. ↩ 2 04DQ
Remarque Soit G un groupe non nécessairement commutatif, muni d’une filtration (Gₙ)_n ∈ Z telle que Gₙ₊₁ soit distingué dans Gₙ pour tout n ∈ Z; posons encore grₙ(G) = Gₙ / Gₙ₊₁. On appelle… 04DR
Proposition 2 Soient G un groupe commutatif filtré, H un sous-groupe de G; on munit H de la filtration induite et G/H de la filtration quotient. Si j : H → G est l’injection canonique et p : G →… ↩ 3 04DS
Remarque 1 Il est clair que les homomorphismes d’anneaux filtrés (resp. de modules filtrés sur un anneau filtré donné A) compatibles avec les filtrations peuvent être pris comme morphismes po… 0CH5
Remarque 2 Soient E et F deux modules sur un anneau filtré A, et munissons-les des filtrations déduites de la filtration (An) de A (n° 1, Exemple 2). Alors toute application A-linéaire u : E… 0CH6
Remarque 3 On notera qu’un homomorphisme u : E → F de A-modules filtrés, compatible avec les filtrations, peut être tel que gr(u) = 0 sans être nul ; il en est ainsi par exemple de l’endomorp… 0CH7
Remarque 4 Les définitions du début de ce n° s’étendent immédiatement à deux groupes non nécessairement commutatifs G, G′, filtrés par des sous-groupes Gₙ, G'ₙ, tels que Gₙ₊₁ (resp. G'ₙ₊₁) so… 0CH8
Proposition 3 Soient A un anneau filtré, (Aₙ) sa filtration, B le sous-anneau ⋃_n ∈ Z Aₙ de A, E un B-module filtré, (Eₙ) sa filtration, F le sous-B-module ⋃_n ∈ Z Eₙ de E. Alors l’application (… ↩ 2 04DT
Corollaire L’anneau B est un anneau topologique et le B-module F un B-module topologique. ↩ 1 04DU
Proposition 4 Soient A un anneau commutatif filtré par une filtration exhaustive (Aₙ), p un idéal de A. Supposons que l’idéal gr(p) = \bigoplus{n \in \mathbf{Z}} (p \cap An)/(p \cap A{n+1})\ de\… 04DV
Proposition 5 Soit G un groupe filtré, dont la filtration (Gₙ) est formée de sous-groupes distingués de G. Les conditions suivantes sont équivalentes : a) G est un groupe topologique complet. b)… ↩ 1 04DW
Proposition 6 Les notations étant comme ci-dessus, supposons que α₀ = A, et désignons par h l’application P → (α_e,P)_e ∈ Nˢ. Alors h est un isomorphisme du groupe additif topologique A' sur le… ↩ 3 04DZ
Corollaire Soient A un anneau commutatif, A' = A[[X₁, ..., Xₛ]] l’anneau de séries formelles à s indéterminées sur A, 𝔫 l’idéal de A' formé des séries formelles sans terme constant. L’anneau… ↩ 5 04E0
Proposition 7 Soient A un anneau filtré, E un A-module filtré, (Eₙ) la filtration de E; on suppose que E₀ = E, que les Eₙ sont des sous-modules de E, que les A-modules E/Eₙ sont artiniens, et en… ↩ 1 04E1
Proposition 8 On suppose que A et E vérifient les hypothèses de la prop. 7. Soit (Fₚ) une suite décroissante de sous-modules fermés de E tels que ⋂ₚ Fₚ = 0. Alors, pour tout voisinage V de 0 dan… ↩ 4 04E2
Théorème 1 Soient X, Y deux groupes filtrés dont les filtrations (Xₙ), (Yₙ) sont formées de sous-groupes distingués ; soit u : X → Y un homomorphisme compatible avec les filtrations. ↩ 4 04E3
Corollaire 1 Supposons que X soit séparé et sa filtration exhaustive. Alors, si gr(u) est injectif, u est injectif. ↩ 4 04E4
Corollaire 2 Supposons vérifiée l'une des hypothèses suivantes : α) X est complet, Y est séparé et sa filtration est exhaustive ; β) Y est discret et sa filtration est exhaustive. Alors, si gr(… ↩ 2 04E5
Corollaire 3 Supposons X et Y séparés, les filtrations de X et Y exhaustives et X complet. Alors, si gr(u) est bijectif, u est bijectif. 04E6
Proposition 9 Soient A un anneau local, m son idéal maximal, M, N deux A-modules, u : N → M un A-homomorphisme. On munit M et N des filtrations m-adiques, et on suppose que : 1^∘ M vérifie la pr… ↩ 1 04E7
Corollaire Sous les hypothèses de la prop. 9, si on suppose en outre N séparé pour la filtration m-adique, alors u est injectif. 04E8
Remarque Supposons vérifiées les hypothèses de la prop. 9, et en outre l’une des conditions suivantes : 1° m est nilpotent ; 2° A est noethérien, et P idéalement séparé (cf. § 5, n° 1) ; al… 0CH9
Proposition 10 Soient A un anneau commutatif filtré, (Aₙ) sa filtration ; on suppose qu’il existe un sous-anneau C de A₀ tel que C ∩ A₁ = 0 et on identifie C à un sous-anneau de gr₀(A). Soit (xᵢ)… ↩ 1 04E9
Proposition 11 Soient A un anneau commutatif filtré, séparé et complet, C un sous-anneau de A₀ tel que C ∩ A₁ = 0, (xᵢ)_1 ≤ i ≤ q une famille finie d’éléments de A telle que xᵢ ∈ A_nᵢ avec nᵢ > 0… ↩ 3 04EA
Proposition 12 Soient A un anneau filtré, E un A-module filtré, (An) et (En) les filtrations respectives de A et E. On suppose A complet, et la filtration (En) exhaustive et séparée. Soit (xi){i… ↩ 5 04EB
Corollaire 1 Soient A un anneau filtré complet, E un A-module filtré dont la filtration est exhaustive et séparée. Si gr(E) est un gr(A)-module de type fini (resp. noethérien), alors E est un A… ↩ 4 04EC
Corollaire 2 Soit A un anneau filtré séparé et complet, dont la filtration est exhaustive. Si gr(A) est un anneau noethérien à gauche, il en est de même de A. ↩ 2 04ED
Corollaire 3 Soient A un anneau filtré complet, (Aₙ) sa filtration, E un A-module filtré séparé, (Eₙ) sa filtration, F un sous-module de type fini de E; on suppose A₀ = A et E₀ = E. ↩ 3 04EE
Proposition 13 Soient A un anneau, m un idéal bilatère de A contenu dans le radical de A, E un A-module. On munit A et E des filtrations m-adiques (no 1, Exemple 3). On suppose que l’une des cond… ↩ 2 04EF
Lemme 1 Soit A un anneau gradué de type Z, dont la graduation (Aₙ) est telle que Aₙ = 0 pour tout n < 0, ou Aₙ = 0 pour tout n > 0. Soit M un A-module gradué de type Z. Pour que M soit un… ↩ 1 04EG
Théorème 2 Soient A un anneau gradué de type N, M un A-module gradué de type N, (Aₙ) et (Mₙ) leurs graduations respectives. On suppose qu’il existe un élément a ∈ A₁ tel que Aₙ = A₀ aⁿ et Mₙ… ↩ 2 04EH
Corollaire 1 (théorème de Hilbert) Pour tout anneau commutatif noethérien C, l’anneau de polynômes C[X] est noethérien (cf. exerc. 10). ↩ 1 04EI
Corollaire 2 Pour tout anneau commutatif noethérien C et tout entier n > 0, l’anneau de polynômes C[X₁, …, Xₙ] est noethérien. ↩ 1 04EJ
Corollaire 3 Si C est un anneau commutatif noethérien, toute C-algèbre commutative de type fini est un anneau noethérien. En effet, une telle algèbre est isomorphe à un quotient d'une algèbre d… ↩ 5 04EK
Corollaire 4 Soit A un anneau commutatif gradué de type N, et soit (Aₙ) sa graduation. Pour que A soit noethérien, il faut et il suffit que A₀ soit noethérien et que A soit une A₀-algèbre de ty… ↩ 2 04EL
Corollaire 5 Soient A un anneau commutatif, m un idéal de A tel que A/m soit noethérien, que m/m² soit un (A/m)-module de type fini et que A soit séparé et complet pour la topologie m-adique. A… ↩ 4 04EM
Corollaire 6 Pour tout anneau commutatif noethérien C et tout entier n > 0, l'anneau de séries formelles C[[X₁, ..., Xₙ]] est noethérien. Cela résulte du cor. 5 et du no 6, cor. de la prop. 6… 04EN
Remarque 1 Les corollaires 2, 3 et 6 s'appliquent en particulier lorsque C est un corps commutatif. 0CHA
Remarque 2 Soit g une algèbre de Lie sur un anneau commutatif noethérien C, et supposons que g soit un C-module de type fini. Munissons l'algèbre enveloppante U de g de la filtration croissan… 0CHB
Proposition 14 Soit (Aᵢ, hᵢⱼ) un système projectif d’anneaux commutatifs discrets, dont l’ensemble d’indices est N, et soit (Mᵢ, uᵢⱼ) un système projectif de modules sur le système projectif d’an… ↩ 4 04EO
Corollaire 1 Les notations et hypothèses étant celles de la prop. 14, supposons de plus que M₀ soit un A₀-module de type fini et que l'idéal n₁ de A₁ soit de type fini. Soit m₁ le noyau de h₀… ↩ 1 04EP
Corollaire 2 Les hypothèses étant celles du cor. 1, pour que A soit noethérien, il faut et il suffit que A₀ le soit. ↩ 1 04EQ
Proposition 15 Soient A un anneau filtré, E un A-module filtré, les filtrations respectives (Aₙ), (Eₙ) de A et de E étant exhaustives. Alors (hatAₙ) est une filtration compatible avec la structur… ↩ 2 04ER
Lemme 2 Soit X xrightarrowf Y xrightarrowg Z une suite exacte de morphismes stricts de groupes topologiques (Alg., chap. II, 3e éd., § 1, no 4, Remarque). Supposons que X, Y, Z admettent d… ↩ 3 04ES
Proposition 16 Soient A un anneau filtré, (Aₙ) sa filtration, E un A-module, (Eₙ) la filtration sur E déduite de celle de A, formée des Eₙ = Aₙ E. On suppose la filtration (Aₙ) exhaustive et le m… ↩ 5 04ET
Corollaire 1 Sous les conditions de la prop. 16, si A est complet, il en est de même de E. ↩ 1 04EU
Corollaire 2 Soient A un anneau commutatif, m un idéal de A de type fini, hatA le séparé complété de A pour la topologie m-adique. On a alors widehatmⁿ = (hatm)ⁿ = mⁿ . hatA pour tout entier n… ↩ 2 04EV
Proposition 17 Soient A un anneau commutatif, (mλ)λ∈L une famille d’idéaux de A, distincts de A, tels que mλ et mμ soient étrangers pour λ ≠ μ. Pour tout famille s = (s(λ))λ∈L d’entiers ≥ 0, à su… ↩ 3 04EW
Corollaire Soient A un anneau principal, P un système représentatif d’éléments extrémaux de A (Alg., chap. VII, § 1, n° 3). La topologie sur A pour laquelle les idéaux ≠ 0 de A forment un sys… 04EX
Remarque 1 Il est clair que sous les conditions de la prop. 17, la topologie G est la borne supérieure des topologies m_λ-adiques sur A. 0CHC
Remarque 2 Tout idéal fermé a de ∏_λ ∈ L hatA_λ est identique au produit de ses projections a_λ = pr_λ(a), qui sont des idéaux fermés dans les hatA_λ; en effet, hatA_λ s’identifie canoniqueme… 0CHD
Proposition 18 Soient A un anneau commutatif, (mᵢ)_1 ≤ i ≤ q une famille finie d’idéaux maximaux distincts de A, x l’idéal produit m₁ m₂ … m_q = m₁ ∩ m₂ ∩ … ∩ m_q, S la partie multiplicative ⋂ᵢ₌₁… ↩ 1 04EY
Proposition 19 Soient A un anneau commutatif, m un idéal maximal de A. Le séparé complété hatA de A pour la topologie m-adique est un anneau local, dont l’idéal maximal est hatm. 04EZ
Lemme 3 Soit A un anneau topologique séparé et complet, dans lequel il existe un système fondamental S de voisinages de 0 formé de sous-groupes additifs de A. ↩ 3 04F0
Corollaire Soient A un anneau semi-local (chap. II, § 3, no 5), mᵢ ses idéaux maximaux distincts (1 ≤ i ≤ q), r = m₁ ∩ m₂ ∩ … ∩ m_q son radical. Le séparé complété hatA de A pour la topologie… ↩ 3 04F1

§ 3. Topologies m-adiques sur les anneaux nœthériens

Définition 1 Soient A un anneau commutatif, m un idéal de A, E un A-module, (Eₙ) une filtration sur le groupe additif E, formée de sous-modules de E. On dit que la filtration (Eₙ) est m-bonne s… 04FX
Théorème 1 Soient A un anneau commutatif, m un idéal de A, E un A-module, (Eₙ) une filtration du groupe additif E, formée de sous-A-modules de type fini. On suppose que m Eₙ ⊂ Eₙ₊₁ pour tout… ↩ 2 04FY
Lemme 1 Soient A un anneau commutatif noethérien, m un idéal de A. Alors le sous-anneau A' = ∑_n ≥ 0 mⁿ Xⁿ de A[X] est noethérien. ↩ 1 04FZ
Proposition 1 Soient A un anneau commutatif noethérien, m un idéal de A; on munit A de la filtration m-adique. Soient E, F deux A-modules filtrés, j : F → E un homomorphisme injectif compatible… ↩ 3 04G0
Corollaire 1 (lemme d’Artin-Rees) Soient A un anneau commutatif noethérien, m un idéal de A, E un A-module de type fini, F un sous-module de E. La filtration induite sur F par la filtration m-adique de E est m-bonn… ↩ 2 04G1
Corollaire 2 Soient A un anneau commutatif noethérien, a, b deux idéaux de A. Il existe un entier h > 0 tel que aʰ ∩ b ⊂ ab. 04G2
Corollaire 3 Soient A un anneau commutatif noethérien, m un idéal de A, x un élément de A non diviseur de 0. Il existe un entier k > 0 tel que, pour tout n ≥ k, la relation xy ∈ mⁿ entraîne y ∈… 04G3
Corollaire 4 Soient A un anneau commutatif noethérien, m un idéal de A, E un A-module de type fini, (Eₙ) et (E'ₙ) deux filtrations formées de sous-modules de E. On suppose que les filtrations (… 04G4
Lemme 2 Soient A, B deux anneaux commutatifs noethériens, φ : A → B un homomorphisme d’anneaux, E un A-module de type fini, F un B-module de type fini. Alors Hom_A(E, φ_*(F)) est un B-modu… ↩ 1 04G5
Proposition 2 Soient A un anneau commutatif noethérien, m un idéal de A, E, F deux A-modules de type fini. Si (Fₙ) est une filtration m-bonne sur F, les sous-modules Hom_A(E, Fₙ) forment une fil… ↩ 1 04G6
Proposition 3 Soient A un anneau noethérien, m un idéal de A tel que A soit séparé et complet pour la topologie m-adique. Soit E un A-module filtré sur l’anneau filtré A, la filtration (En) de E… 04G7
Proposition 4 Soient A un anneau commutatif noethérien, m un idéal de A, E un A-module de type fini. Toutes les filtrations m-bonnes sur E définissent la même topologie (savoir la topologie m-ad… ↩ 1 04G8
Théorème 2 (Krull) Soient A un anneau commutatif noethérien, m un idéal de A, E un A-module de type fini, F un sous-module de E. Alors la topologie m-adique de F est induite par la topologie m-adique… ↩ 6 04G9
Corollaire Soient A un anneau commutatif noethérien, m un idéal de A, E un A-module, F un A-module de type fini. Toute application A-linéaire u : E → F est un morphisme strict (Top. gén., cha… ↩ 1 04GA
Proposition 5 Soient A un anneau commutatif nœthérien, m un idéal de A, E un A-module de type fini. L’adhérence ⋂ₙ₌₁^∞ mⁿ E de 0 dans E pour la topologie m-adique est l’ensemble des x ∈ E pour l… ↩ 6 04GB
Corollaire (Krull) Soient A un anneau commutatif nœthérien, m un idéal de A. L’idéal ⋂ₙ₌₁^∞ mⁿ est l’ensemble des éléments x ∈ A pour lesquels il existe un m ∈ m tel que (1 - m)x = 0. En particulier… ↩ 3 04GC
Remarque L’hypothèse que A est nœthérien est essentielle dans ce corollaire. Par exemple, soit A l’anneau des applications indéfiniment différentiables de R dans lui-même, et soit m l’idéal… 04GD
Définition 1 Soit A un anneau topologique. Si un idéal bilatère m de A est tel que la topologie donnée sur A soit la topologie m-adique, on dit que m est un idéal de définition de la topologie… 04GE
Proposition 6 Soient A un anneau commutatif noethérien, m un idéal de A. Les propriétés suivantes sont équivalentes : a) m est contenu dans le radical de A. b) Tout A-module de type fini est sép… ↩ 6 04GF
Définition 2 On dit qu’un anneau topologique A est un anneau de Zariski s’il est commutatif et nœthérien et s’il existe un idéal de définition m pour la topologie de A, satisfaisant aux conditi… 04GG
Proposition 7 Soient A, A' deux anneaux commutatifs, h : A → A' un homomorphisme d’anneaux. On suppose que A est nœthérien et que A' est un A-module de type fini (pour la structure de module déf… ↩ 2 04GK
Théorème 3 Soient A un anneau commutatif noethérien, m un idéal de A, E, F, G trois A-modules de type fini. Alors : (i) Si E xrightarrowu F xrightarrowv G est une suite exacte d'applications… ↩ 7 04GL
Corollaire 1 Soient A un anneau commutatif noethérien, m un idéal de A, E un A-module de type fini, F et G deux sous-modules de E. Munissons A, E, F et G des topologies m-adiques, et soit i l’a… ↩ 2 04GM
Corollaire 2 Soient A un anneau commutatif noethérien, m un idéal de A, hatA le séparé complété de A pour la topologie m-adique. Si un élément a ∈ A est non diviseur de 0 dans A, son image cano… ↩ 1 04GN
Corollaire 3 Si A est un anneau commutatif noethérien, l’anneau de séries formelles A[[X₁, ..., Xₙ]] est un A-module plat. 04GO
Proposition 8 Soient A un anneau commutatif noethérien, m un idéal de A, hatA le séparé complété de A pour la topologie m-adique, j l’application canonique de A dans hatA. Alors : (i) hatA est u… ↩ 3 04GP
Corollaire Soient A un anneau local (resp. semi-local) noethérien, m son radical. Alors hatA est un anneau local (resp. semi-local) noethérien dont le radical est hatm. 04GQ
Proposition 9 Soient A un anneau commutatif noethérien, m un idéal de A; munissons A de la topologie m-adique. Pour que hatA soit un A-module fidèlement plat, il faut et il suffit que A soit un… ↩ 3 04GR
Corollaire 1 Soient A un anneau de Zariski, E un A-module de type fini, F un sous-module de E. Alors F = hatF ∩ E = (hatAF) ∩ E. 04GS
Corollaire 2 Soient A un anneau de Zariski, E un A-module de type fini. Si hatE est un hatA-module libre, E est un A-module libre. ↩ 1 04GT
Corollaire 3 Soient A un anneau de Zariski tel que hatA soit intègre, a un idéal de A. Si l’idéal ahatA de hatA est principal, a est principal. C’est un cas particulier du cor. 2. ↩ 1 04GU
Corollaire 4 Soient A un anneau de Zariski tel que hatA soit intègre, L le corps des fractions de hatA, K ⊂ L le corps des fractions de A; on a hatA ∩ K = A. ↩ 1 04GV
Corollaire 5 Soient A un anneau commutatif nœthérien, E, F deux A-modules de type fini, u : E → F un A-homomorphisme. Pour tout idéal maximal m de A, notons A(m) (resp. E(m), F(m)) le séparé co… 04GW
Proposition 10 Soient A, B deux anneaux de Zariski, hatA, hatB leurs complétés, f : A → B un homomorphisme continu d’anneaux, hatf : hatA → hatB l’homomorphisme déduit de f par passage aux complé… ↩ 1 04GX
Proposition 11 Soient A un anneau local noethérien, m son idéal maximal, hatA son complété m-adique, B un anneau tel que A ⊂ B ⊂ hatA. Supposons que B soit un anneau local noethérien dont l’idéal… 04GY
Remarque Un anneau local B tel que A ⊂ B ⊂ hatA, dont l'idéal maximal n est égal à mB et dont la topologie n-adique est induite par la topologie hatm-adique de hatA, n'est pas nécessairemen… 04GZ
Proposition 12 Soient A un anneau commutatif noethérien, m un idéal de A, S la partie multiplicative 1 + m de A, E un A-module de type fini. Dans ces conditions : 04H0

§ 4. Relèvement dans les anneaux complets

Lemme 1 (« lemme d’Euclide ») Soient x, y deux éléments fortement étrangers dans R ; si z ∈ R est tel que x divise yz, alors x divise z. ↩ 1 04HS
Proposition 1 Soient A un anneau commutatif, P et P’ deux polynômes fortement étrangers dans A[X]. On suppose que P est unitaire et de degré s. Alors tout polynôme T dans A[X] s’écrit d’une mani… ↩ 3 04HT
Exemple Pour qu'un polynôme P ∈ A[X] soit fortement étranger à X - a (où a ∈ A), il faut et il suffit que P(a) soit inversible dans A. En effet, si P et X - a sont fortement étrangers, il… 04HU
Proposition 2 Soient A et B deux anneaux commutatifs, f un homomorphisme de A dans B, P, P' deux polynômes dans A[X]. Si P et P' sont fortement étrangers dans A[X], alors barf(P) et barf(P') son… ↩ 2 04HV
Définition 1 On dit qu'un anneau topologique commutatif A est linéairement topologisé (et que sa topologie est linéaire) s'il existe un système fondamental B de voisinages de 0 formé d'idéaux d… 04HW
Définition 2 Étant donné un anneau topologique commutatif A, on dit qu’une série formelle T = ∑_(nᵢ) c_n₁ n₂ … nₚ X₁^n₁ X₂^n₂ … Xₚ^nₚ de l’anneau A[[X₁, …, Xₚ]] est restreinte si, pour tout voi… 04HX
Proposition 3 Si l’anneau commutatif linéairement topologisé A est séparé et complet, l’homomorphisme canonique π est un isomorphisme d’anneaux topologiques. ↩ 1 04HY
Proposition 4 Soient A, B deux anneaux commutatifs linéairement topologisés, B étant séparé et complet, u : A → B un homomorphisme continu. Pour toute famille b = (bᵢ)_1 ≤ i ≤ p d’éléments de B… ↩ 3 04HZ
Remarque 1 La prop. 4 prouve que pour tout idéal fermé a d’un anneau A supposé séparé et complet, les relations bᵢ ∈ a pour 1 ≤ i ≤ p entraînent f(b₁, …, bₚ) ∈ a pour toute série formelle res… ↩ 1 04I0
Remarque 2 Supposons A linéairement topologisé ; soit r un entier tel que 1 ≤ r ≤ p, et munissons l’anneau AX₁, …, Xᵣ de la topologie définie ci-dessus. Alors l’anneau topologique AX₁, ..., X… ↩ 1 04I1
Remarque 3 Avec les notations de la Remarque 2, supposons en outre A séparé et complet, et écrivons toute série formelle restreinte f ∈ AX₁, ..., Xₚ sous la forme ↩ 1 04I2
Théorème 1 (Hensel) Soit A un anneau commutatif linéairement topologisé, séparé et complet. Soit m un idéal fermé de A, dont les éléments sont topologiquement nilpotents. Soient B = A/m l’anneau topol… 0CHE
Proposition 5 Soient A un anneau commutatif, hatf = (f₁, ..., fₙ) un système sans terme constant de n séries de A[[X₁, ..., Xₙ]]. Supposons que J_f(0) soit inversible dans A. Alors il existe un… ↩ 1 04I3
Proposition 6 Soient A un anneau commutatif, B un anneau satisfaisant aux conditions de Hensel, u : A → B un homomorphisme. Pour toute famille x = (x₁, ..., xₙ) d’éléments topologiquement nilpot… ↩ 3 04I4
Corollaire Soient A un anneau satisfaisant aux conditions de Hensel, x = (x₁, …, xₙ) une famille d’éléments topologiquement nilpotents dans A. Soient g = (g₁, …, g_q) un système sans terme co… ↩ 1 04I5
Proposition 7 Soient A un anneau, m un idéal de A tels que le couple (A, m) satisfasse aux conditions de Hensel. Soit f = (f₁, ..., fₙ) un système sans terme constant de séries de A[[X₁, ..., Xₙ… ↩ 1 04I6
Corollaire Soit q un idéal fermé de A contenu dans m. Alors la relation x ≡ x' pmodq^xⁿ est équivalente à f(x) ≡ f(x') pmodq^xⁿ. 04I7
Théorème 2 Soient A un anneau, m un idéal de A tels que le couple (A, m) satisfasse aux conditions de Hensel. Soit f = (f₁, ..., fₙ) un système de n éléments de A X₁, ..., Xₙ et soit a ∈ Aⁿ… ↩ 1 04I8
Corollaire 1 Soient A un anneau, m un idéal de A tels que le couple (A, m) satisfasse aux conditions de Hensel. Soient f ∈ AX, a ∈ A, et posons e = f'(a). Si f(a) ≡ 0 (mod. e² m), alors il exis… ↩ 2 04I9
Remarque Le corollaire s’applique notamment lorsque e est inversible dans A; on peut alors déduire aussi l’existence de b du th. de Hensel, car l’image canonique de f(X) dans (A/m)X est de… 04IA
Exemple 1 Soient p un nombre premier ≠ 2 et n un entier dont la classe mod. p soit un carré ≠ 0 dans le corps premier Fₚ. Si Zₚ est l’anneau des entiers p-adiques (S 2, no 12, Exemple 3), l’… 0CHF
Exemple 2 Soit A = K[[Y]] l’anneau des séries formelles à une indéterminée à coefficients dans un corps commutatif K; muni de la topologie (Y)-adique, l’anneau A est séparé et complet (S 2… 0CHG
Corollaire 2 Soient A un anneau, m un idéal de A tels que le couple (A, m) satisfasse aux conditions de Hensel. Soient r, n des entiers tels que 0 ≤ r < n, f = (fᵣ₊₁, ..., fₙ) un système de n -… ↩ 1 04IB
Corollaire 3 Les notations étant celles du cor. 2, soit a ∈ Aⁿ; posons e = Jᵢ^(n-r)(a) (non nécessairement inversible dans A) et supposons que l'on ait f(a) ≡ 0 (mod. e² m^x(n-r)). Alors il exi… 04IC
Lemme 2 Soient A un anneau, m un idéal de A tels que le couple (A, m) satisfasse aux conditions de Hensel. Soient B l'anneau quotient A/m, π : A → B l'homomorphisme canonique. Pour tout id… ↩ 1 04ID
Proposition 8 Soient A un anneau, m un idéal de A tels que le couple (A, m) satisfasse aux conditions de Hensel. Soient B l’anneau quotient A/m, π : A → B l’homomorphisme canonique. Si B est com… ↩ 3 04IE
Remarque La prop. 8 redonne la structure d’un anneau semi-local A séparé et complet pour la topologie r-adique (r radical de A), déjà obtenue comme conséquence du § 2, n° 13, cor. de la pro… 04IF

§ 5. Propriétés de platitude des modules filtrés

Définition 1 Soient A un anneau commutatif, 𝔍 un idéal de A. On dit qu’un A-module M est idéalement séparé pour 𝔍 (ou simplement idéalement séparé s’il n’en résulte pas de confusion) si, pour t… 04IO
Exemple 1 Si A est noethérien, et si 𝔍 est contenu dans le radical de A (autrement dit si A est un anneau de Zariski pour la topologie 𝔍-adique), tout A-module de type fini est idéalement sé… ↩ 1 04IP
Exemple 2 Toute somme directe de modules idéalement séparés est un module idéalement séparé, en vertu des relations 𝔍ⁿ(a ⊗_A ⨁_λ ∈ L M_λ) = 𝔍ⁿ ⨁_λ ∈ L (a ⊗_A M_λ) = ⨁_λ ∈ L 𝔍ⁿ(a ⊗_A M_λ). 04IQ
Exemple 3 Si un A-module M est plat et séparé pour la topologie 𝔍-adique il est idéalement séparé, car a ⊗_A M s’identifie alors à un sous-module de M, et la topologie 𝔍-adique sur a ⊗_A M e… 04IR
Théorème 1 Soient A un anneau commutatif, 𝔍 un idéal de A, M un A-module. Considérons les propriétés suivantes : (i) M est un A-module plat. (ii) Tor₁ᴬ(N, M) = 0 pour tout A-module N annulé p… ↩ 5 04IS
Remarque Lorsque A/𝔍 est un corps (cas fréquent dans les applications) la condition « M/𝔍M est un (A/𝔍)-module plat » est automatiquement vérifiée pour tout A-module M, ce qui simplifie l’é… 0CHH
Proposition 1 Soient A un anneau commutatif, 𝔍 un idéal de A, M un A-module. Les conditions suivantes sont équivalentes : a) Pour tout n ≥ 1, on a Tor₁ᴬ(A/𝔍ⁿ, M) = 0. b) Pour tout n ≥ 1, l'homom… 04IU
Proposition 2 Soient A un anneau commutatif, 𝔍 un idéal de A, B une A-algèbre commutative noethérienne telle que 𝔍B soit contenu dans le radical de B. Alors tout B-module de type fini M est un A… ↩ 2 04IV
Proposition 3 Soient A un anneau commutatif, B une A-algèbre commutative, 𝔍 un idéal de A, M un B-module. On suppose que B est un anneau noethérien et un A-module plat, et que M est idéalement s… 04IW
Corollaire Soient A un anneau commutatif noethérien, 𝔍 un idéal de A, hatA le séparé complété de A pour la topologie 𝔍-adique, M un hatA-module idéalement séparé pour 𝔍hatA. Pour que M soit u… ↩ 1 04IX
Proposition 4 Soient A et B deux anneaux commutatifs noethériens, h : A → B un homomorphisme d’anneaux, 𝔍 un idéal de A, 𝔏 un idéal de B contenant 𝔍B et contenu dans le radical de B. Soient hatA… 04IY

IV. Idéaux premiers associés et décomposition primaire

§ 1. Idéaux premiers associés à un module

Définition 1 Soit M un module sur un anneau A. On dit qu’un idéal premier p de A est associé à M s’il existe x ∈ M tel que p soit égal à l’annulateur de x. On note Ass_A(M), ou simplement Ass(M… ↩ 1 04J7
Exemple Soient a un idéal de l’anneau de polynômes A = C[X₁, ..., Xᵣ], V la variété algébrique affine correspondante, V₁, ..., Vₚ les composantes irréductibles de V. Si on prend pour M l’a… 0CHI
Proposition 1 Pour tout idéal premier p d’un anneau A et tout sous-module M ≠ 0 de A/p, on a Ass(M) = p . ↩ 2 04J8
Proposition 2 Soit M un module sur un anneau A. Tout élément maximal de l’ensemble des idéaux Ann(x) de A, où x parcourt l’ensemble des éléments ≠ 0 de M, appartient à Ass(M). ↩ 6 04J9
Corollaire 1 Soit M un module sur un anneau noethérien A. Alors la condition M ≠ 0 équivaut à Ass(M) ≠ ∅. ↩ 8 04JA
Corollaire 2 Soient A un anneau noethérien, M un A-module, a un élément de A. Pour que l’homothétie de M, de rapport a, soit injective , il faut et il suffit que a n’appartienne à aucun idéal p… ↩ 1 04JB
Corollaire 3 L’ensemble des diviseurs de zéro dans un anneau noethérien A est la réunion des idéaux p ∈ Ass(A). ↩ 2 04JC
Proposition 3 Soient A un anneau, M un A-module, N un sous-module de M. On a ↩ 9 04JD
Corollaire 1 Si un A-module M est somme directe d’une famille (Mᵢ)_i ∈ I de sous-modules, on a Ass(M) = ⋃_i ∈ I Ass(Mᵢ). ↩ 2 04JE
Corollaire 2 Soient M un A-module, (Qᵢ)_i ∈ I une famille finie de sous-modules de M. Si ⋂_i ∈ I Qᵢ = 0, on a Ass(M) ⊂ ⋃_i ∈ I Ass(M/Qᵢ). En effet, l’application canonique M → ⨁_i ∈ I (M/Qᵢ) es… ↩ 1 04JF
Proposition 4 Soient M un A-module, Φ une partie de Ass(M). Il existe alors un sous-module N de M tel que Ass(N) = Ass(M) − Φ et Ass(M/N) = Φ. ↩ 3 04JG
Proposition 5 Soient A un anneau, S une partie multiplicative de A, Φ l’ensemble des idéaux premiers de A qui ne rencontrent pas S, M un A-module. Alors : ↩ 2 04JH
Corollaire Si l’anneau A est noethérien, l’application p → S⁻¹p est une bijection de Ass_A(M) ∩ Φ sur Ass_S⁻¹A(S⁻¹M). ↩ 7 04JI
Proposition 6 Soient A un anneau noethérien, M un A-module, S une partie multiplicative de A, et Ψ l’ensemble des éléments de Ass_A(M) qui ne rencontrent pas S. Alors le noyau N de l’application… ↩ 4 04JJ
Proposition 7 Soient A un anneau, M un A-module. ↩ 3 04JK
Corollaire 1 Si M est un module sur un anneau nœthérien, on a Ass(M) ⊂ Supp(M), et ces deux ensembles ont mêmes éléments minimaux. ↩ 2 04JL
Corollaire 2 Le nilradical d’un anneau nœthérien A est l’intersection des idéaux p ∈ Ass(A). ↩ 1 04JM
Théorème 1 Soient A un anneau nœthérien, M un A-module de type fini. Il existe une suite de composition (Mᵢ)_0 ≤ i ≤ n de M telle que, pour 0 ≤ i ≤ n - 1, Mᵢ / Mᵢ₊₁ soit isomorphe à A / pᵢ, o… ↩ 3 04JN
Théorème 2 Soient M un module de type fini sur un anneau noethérien A, et (Mᵢ)_0 ≤ i ≤ n une suite de composition de M telle que, pour 0 ≤ i ≤ n - 1, Mᵢ / Mᵢ₊₁ soit isomorphe à A / pᵢ, où pᵢ… ↩ 2 04JO
Corollaire Si M est un module de type fini sur un anneau noethérien A, Ass(M) est fini. ↩ 1 04JP
Proposition 8 Soient A un anneau noethérien, a un idéal de A, M un A-module de type fini. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 1 04JQ
Proposition 9 Soient A un anneau noethérien, a un idéal de A, M un A-module de type fini. Pour qu’il existe un entier n > 0 tel que aⁿ M = 0, il faut et il suffit que a soit contenu dans l’inter… ↩ 2 04JR
Définition 2 Étant donné un A-module M, on dit qu’un endomorphisme u de M est presque nilpotent si, pour tout x ∈ M, il existe un entier n(x) > 0 tel que uⁿ⁽ˣ⁾(x) = 0. 04JS
Corollaire Soient A un anneau noethérien, M un A-module, a un élément de A. Pour que l’homomorphisme a_M : x → ax de M soit presque nilpotent, il faut et il suffit que a appartienne à tout id… 04JT
Proposition 10 Soient A un anneau noethérien, E un A-module de type fini, F un A-module. On a alors ↩ 1 04JU

§ 2. Décomposition primaire

Proposition 1 Soient A un anneau noethérien et M un A-module. ↩ 5 04KE
Définition 1 Soient A un anneau noethérien, N un A-module, Q un sous-module de N. Si le module M = N/Q satisfait aux conditions de la prop. 1, on dit que Q est p-primaire par rapport à N (ou da… ↩ 2 04KF
Remarque Soit Q un sous-module p-primaire d’un A-module N. Si N/Q est de type fini, il existe un entier k 0 tel que pᵏ N ⊂ Q, en vertu du § 1, no 4, prop. 9. 04KG
Exemple 1 Si p est un idéal premier de A, p est p-primaire (§ 1, no 1, prop. 1). 04KH
Exemple 2 Soit q un idéal de A tel qu’il existe un seul idéal premier m (nécessairement maximal) contenant q ; alors, si M est un A-module tel que qM ≠ M, qM est m-primaire par rapport à M… ↩ 1 04KI
Exemple 3 Soit m un idéal maximal de A ; les idéaux m-primaires sont alors les idéaux q de A pour lesquels il existe un entier n ≥ 1 tel que mⁿ ⊂ q ⊂ m. En effet, si mⁿ ⊂ q ⊂ m, m est le seu… ↩ 1 04KJ
Exemple 4 Dans un anneau principal A, les idéaux primaires sont (0) et les idéaux de la forme Ap^n, où p est un élément extrémal et n ≥ 1 ; cela résulte aussitôt de l’Exemple 3. ↩ 2 04KK
Exemple 5 Les puissances d’un idéal premier quelconque ne sont pas nécessairement des idéaux primaires (exerc. 1). D’autre part, il existe des idéaux primaires qui ne sont pas des puissances… 04KL
Proposition 2 Soient M un module sur un anneau noethérien A, p un idéal premier de A, et (Qi){i \in I} une famille finie non vide de sous-modules de M, p-primaires par rapport à M. Alors ⋂_i ∈ I… ↩ 4 04KM
Proposition 3 Soient A un anneau noethérien, S une partie multiplicative de A, p un idéal premier de A, M un A-module, N un sous-module de M, et i = i_M^S l’application canonique de M dans S⁻¹M. ↩ 5 04KN
Définition 2 Soient A un anneau noethérien, M un A-module, N un sous-module de M. On appelle décomposition primaire de N dans M une famille finie (Qᵢ)_i ∈ I de sous-modules de M, primaires par… 04KO
Exemple Prenons A = Z, M = Z, N = nZ pour un entier n > 0. Si n = p₁^α₁ ... pₖ^αₖ est la décomposition de n en facteurs premiers, nZ = (p₁^α₁Z) ∩ ... ∩ (pₖ^αₖZ) est une décomposition prima… 04KP
Théorème 1 Soit M un module de type fini sur un anneau noethérien, et soit N un sous-module de M. Il existe une décomposition primaire de N dans M de la forme ↩ 4 04KQ
Définition 3 Soient M un module sur un anneau noethérien, N un sous-module de M. On dit qu'une décomposition primaire N = ⋂_i ∈ I Qᵢ de N dans M est réduite si les conditions suivantes sont rem… 04KR
Proposition 4 Soient M un module sur un anneau noethérien, N un sous-module de M, N = ⋂_i ∈ I Qᵢ une décomposition primaire de N dans M, et pour tout i ∈ I, soit pᵢ = Ass(M/Qᵢ). Pour que cette d… ↩ 7 04KS
Corollaire Soient A un anneau noethérien, M un A-module, N un sous-module de M, (Qᵢ)_i ∈ I une décomposition primaire de N dans M. On a alors Card(I) geqslant Card(Ass(M/N)) ; pour que (Qᵢ)_i… ↩ 2 04KT
Proposition 5 Soient A un anneau noethérien, M un A-module, N un sous-module de M, N = ⋂_i ∈ I Qᵢ une décomposition primaire réduite de N dans M, et pour tout i ∈ I, soit pᵢ = Ass(M/Qᵢ). Si pᵢ e… ↩ 3 04KU
Remarque Les idéaux premiers pᵢ ∈ Ass(M/N) qui ne sont pas des éléments minimaux de cet ensemble sont parfois appelés les idéaux premiers immergés associés à M/N ; lorsque M/N est de type f… 04KV
Proposition 6 Soient A un anneau noethérien, M un A-module, N un sous-module de M, I = Ass(M/N). Soient S une partie multiplicative de A, J la partie de I formée des indices i tels que S \cap pi… ↩ 3 04KW
Corollaire Les applications D_I(M/N) → D_J(M/N') et D_I(M/N) → D_J(S⁻¹M/S⁻¹N) définies dans la prop. 6, (i), sont surjectives. 04KX
Proposition 7 Soit M un module de type fini sur un anneau noethérien A. Les propriétés suivantes sont équivalentes : a) M est de longueur finie. b) Tout idéal p ∈ Ass(M) est un idéal maximal de… ↩ 6 04KY
Corollaire 1 Pour tout module de longueur finie M sur un anneau noethérien A, on a Ass(M) = Supp(M). 04KZ
Corollaire 2 Soient M un module de type fini sur un anneau noethérien A, et p un idéal premier de A. Pour que Mₚ soit un Aₚ-module de longueur finie non nulle, il faut et il suffit que p soit u… ↩ 1 04L0
Remarque 1 Soit M un module de type fini sur un anneau noethérien A; soit (Mᵢ)_0 ≤ i ≤ n une suite de composition de M telle que pour 0 ≤ i ≤ n - 1, Mᵢ / Mᵢ₊₁ soit isomorphe à A/pᵢ, où pᵢ est… 04L1
Proposition 8 Soit M un module de longueur finie sur un anneau noethérien A. ↩ 3 04L2
Corollaire Si M est un module de longueur finie sur un anneau noethérien A, on a 04L3
Proposition 9 Soit A un anneau noethérien. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 8 04L4
Remarque 2 Les conditions de la prop. 9, pour un anneau nœthérien A, entraînent que le spectre de A est fini et discret, tout point de Spec(A) étant alors fermé (chap. II, § 4, no 3, cor. 6 d… 04L5
Corollaire 1 Tout anneau artinien A est isomorphe au composé direct d'une famille finie d'anneaux artiniens locaux. 04L6
Remarque 3 Ce corollaire peut aussi se déduire du fait que Spec(A) est fini et discret, et du chap. II, § 4, no 3, prop. 15. 04L7
Corollaire 2 Soient A un anneau nœthérien, m un idéal de A. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 2 04L8
Corollaire 3 Soient A, A' deux anneaux, h un homomorphisme de A dans A'. On suppose que A est semi-local et nœthérien, et que A' est un A-module de type fini. Alors l'anneau A' est semi-local e… ↩ 1 04L9
Corollaire 4 Soient A un anneau noethérien, semi-local et complet, m un idéal de définition de A, E un A-module de type fini, (Fn) une suite décroissante de sous-modules de E telle que ⋂ₙ Fₙ =… ↩ 1 04LA
Corollaire 5 Dans un anneau noethérien, semi-local et complet, toute suite décroissante d'idéaux dont l'intersection est 0 est une base de filtre qui converge vers 0. 04LB
Proposition 10 Soient A un anneau noethérien, p₁, ..., pₙ les idéaux premiers associés au A-module A, avec pᵢ ≠ pⱼ pour i ≠ j. ↩ 1 04LC
Lemme 1 Soient A un anneau noethérien, p un idéal premier de A, E un A-module dont l’annulateur contient une puissance de p et tel que Ass(E) = p, F un B-module tel que ρ_*(F) soit un A-mo… ↩ 2 04LD
Théorème 2 Soient ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux, E un A-module, F un B-module tel que ρ_*(F) soit un A-module plat. On a alors ↩ 6 04LE
Corollaire 1 Si A est noethérien et si 𝔓 ∈ Ass_B(E ⊗_A F), on a ρ⁻¹(𝔓) ∈ Ass_A(E) et ρ⁻¹(𝔓) est le seul idéal premier p de A tel que 𝔓 ∈ Ass_B(F/pF). Cela résulte du th. 2 et du lemme 1 appliqu… ↩ 1 04LF
Corollaire 2 On suppose que A et B sont noethériens et que E est un A-module plat. Soient p un idéal premier de A, Q ⊂ E un sous-module p-primaire, 𝔓 un idéal premier de B. Pour que Q ⊗_A B soi… ↩ 1 04LG
Remarque Supposons A et B noethériens. Soit 𝔓 un idéal premier de B, et soit p = ρ⁻¹(𝔓); posons S = A - p, et soit k(p) = S⁻¹(A/p) le corps des fractions de A/p. Puisque 𝔓 contient pB, 𝔓/pB… 04LH
Proposition 11 On suppose que A et B sont noethériens et que B est un A-module plat. Soient E un A-module, E' un sous-module de E tel que pour tout idéal p ∈ Ass_A(E/E'), pB soit un idéal premier… ↩ 2 04LI
Corollaire Supposons que pB soit premier pour tout p ∈ Ass_A(E/E'). Alors, si p₁, ..., pₙ sont les éléments minimaux de Ass_A(E/E'), les pᵢB sont les éléments minimaux de Ass_A((E ⊗_A B)/(E'… 04LJ
Exemple 1 Prenons B = S⁻¹A, où S est une partie multiplicative de A; si A est nœthérien, les hypothèses de la prop. 11 sont vérifiées, et on retrouve une partie de la prop. 6 du no 4. 0CHJ
Exemple 2 Soient A un anneau nœthérien, m un idéal de A, B le séparé complété de A pour la topologie m-adique; alors B est un A-module plat et on peut appliquer à F = B le th. 2 ; mais en gé… 0CHK
Exemple 3 Soient A un anneau nœthérien, B l’algèbre de polynômes A[X₁,...,Xₙ]; B est nœthérien et est un A-module libre, donc plat. En outre, si p est un idéal premier de A, B/pB est isomorp… 0CHL
Exemple 4 Soient A une algèbre de type fini sur un corps k, K une extension de k, B = A ⊗ₖ K l’algèbre sur K obtenue par extension des scalaires ; A et B sont nœthériens et B est un A-module… 0CHM

§ 3. Décomposition primaire dans les modules gradués

Proposition 1 Soient Δ un groupe commutatif sans torsion, A un anneau gradué de type Δ, M un A-module gradué de type Δ. Tout idéal premier associé à M est gradué, et est l’annulateur d’un élémen… ↩ 4 04MJ
Corollaire Pour tout idéal premier (nécessairement gradué) 𝔭 associé à un A-module gradué M, il existe un indice k ∈ Δ tel que le A-module gradué (A/𝔭)(k) obtenu par décalage des degrés de k… ↩ 1 04MK
Proposition 2 Soient Δ un groupe commutatif sans torsion, A un anneau noethérien gradué de type Δ, M un A-module de type fini, gradué de type Δ. Il existe une suite de composition (Mᵢ)_0 ≤ i ≤ n… 04ML
Proposition 3 Soient Δ un groupe commutatif sans torsion, A un anneau noethérien gradué de type Δ, p un idéal gradué de A, M un A-module gradué de type Δ, non réduit à 0. On suppose que pour tou… ↩ 1 04MM
Proposition 4 Soient Δ un groupe commutatif sans torsion, A un anneau noethérien gradué de type Δ, M un A-module gradué de type Δ. Soient p un idéal premier de A, N un sous-module de M, p-primai… ↩ 1 04MN
Proposition 5 Soient Δ un groupe commutatif sans torsion, A un anneau noethérien gradué de type Δ, M un A-module gradué de type Δ, N un sous-module gradué de M, et soit N = ⋂_i ∈ I Qᵢ une décomp… 04MO

V. Entiers

§ 1. Notion d’élément entier

Théorème 1 Soient A un anneau (commutatif), R une algèbre sur A (non nécessairement commutative), x un élément de R. Les propriétés suivantes sont équivalentes : (E_I) x est racine d’un polyn… ↩ 4 04MS
Lemme 1 Soient A un anneau, R une algèbre (non nécessairement commutative) sur A, x un élément de R. Soit M un module fidèle sur A[x] qui soit un A-module de type fini. Si q est un idéal d… 04MT
Définition 1 Soient A un anneau, R une A-algèbre (non nécessairement commutative). On dit qu’un élément x ∈ R est entier sur A s’il vérifie les propriétés équivalentes (E₁), (E_II), (E_III) du… 04MU
Exemple 1 Soient K un corps (commutatif), R une K-algèbre; dire qu’un élément x ∈ R est entier sur K équivaut à dire que x est racine d’un polynôme non constant de l’anneau K[X]; généralisan… ↩ 2 04MV
Exemple 2 \ Les éléments de Q(i) entiers sur l’anneau Z sont les éléments de la forme a + ib avec a ∈ Z et b ∈ Z (« entiers de Gauss »); les éléments de Q(sqrt5) entiers sur Z sont les éléme… 04MW
Exemple 3 Les nombres complexes entiers sur Z sont encore appelés entiers algébriques. 0CHN
Remarque 1 Soit A' le sous-anneau de R (contenu dans le centre de R) image de A par l’homomorphisme d’anneaux A → R qui définit la structure de A-algèbre de R. Il est clair qu’il est équivale… 0CHO
Remarque 2 Soit R' une sous-A-algèbre de R; les éléments de R' qui sont entiers sur A ne sont autres que les éléments de R qui sont entiers sur A et appartiennent à R'; ceci permet souvent de… 0CHP
Proposition 1 Soient A un anneau, R une algèbre sur A (non nécessairement commutative), x un élément de R. Pour que x soit entier sur A, il faut et il suffit que A[x] soit contenu dans une sous-… ↩ 3 04MX
Corollaire Soient A un anneau noethérien, R une A-algèbre (non nécessairement commutative), x un élément de R. Pour que x soit entier sur A, il faut et il suffit qu’il existe un sous-A-module… ↩ 1 04MY
Définition 2 Soit A un anneau. On dit qu’une A-algèbre R (non nécessairement commutative) est entière sur A si tout élément de R est entier sur A. On dit que R est finie sur A si R est un A-mod… 04MZ
Exemple 4 Si M est un A-module de type fini, l’algèbre End_A(M) des endomorphismes de M est entière sur A en vertu de (E_III); en particulier, pour tout entier n, l’algèbre de matrices Mₙ(A)… 0CHQ
Proposition 2 Soient A, A' deux anneaux, R une A-algèbre, R' une A'-algèbre (non nécessairement commutatives), f : A → A' et g : R → R' deux homomorphismes d’anneaux tels que le diagramme ↩ 12 04N0
Corollaire 1 Soient A un anneau, B une A-algèbre (commutative), C une B-algèbre (non nécessairement commutative). Alors tout élément x ∈ C qui est entier sur A est entier sur B. 04N1
Corollaire 2 Soient K un corps, L une extension de K, x, x' deux éléments de L conjugués sur K (Alg., chap. V, § 6, no 2). Si A est un sous-anneau de K et si x est entier sur A, x' est aussi en… 04N2
Corollaire 3 Soient A un anneau, B une A-algèbre (commutative), C une B-algèbre (non nécessairement commutative). Si C est entière sur A, C est entière sur B. 04N3
Proposition 3 Soit (Rᵢ)_1 ≤ i ≤ n une famille finie de A-algèbres (non nécessairement commutatives) et soit R = ∏ᵢ₌₁ⁿ Rᵢ leur produit. Pour qu’un élément x = (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n de R soit entier sur… ↩ 1 04N4
Proposition 4 Soient A un anneau, R une A-algèbre (non nécessairement commutative), (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n une famille finie d’éléments de R, deux à deux permutables. Si, pour tout i, xᵢ est entier sur… ↩ 10 04N5
Corollaire 1 Soient A un anneau, R une A-algèbre (commutative). L’ensemble des éléments de R entiers sur A est une sous-algèbre de R. 04N6
Corollaire 2 Soient A un anneau, R une A-algèbre (non nécessairement commutative), E un ensemble d’éléments de R, deux à deux permutables et entiers sur A. Alors la sous-A-algèbre B de R engend… 04N7
Remarque 3 Il résulte de la prop. 4 que toute A-algèbre commutative entière sur A est réunion d’une famille filtrante croissante de sous-algèbres finies sur A. 0CHR
Proposition 5 Soient A un anneau, A' et R deux A-algèbres (commutatives). Si R est entière sur A, R ⊗_A A' est entière sur A'. ↩ 6 04N8
Corollaire Soient R un anneau, A, B, C des sous-anneaux de R tels que A ⊂ B. Si B est entier sur A, C[B] est entier sur C[A]. ↩ 1 04N9
Proposition 6 Soient A un anneau, B une A-algèbre (commutative), C une B-algèbre (non nécessairement commutative). Si B est entière sur A et si C est entière sur B, alors C est entière sur A. ↩ 6 04NA
Corollaire Soient A un anneau, R, R' deux A-algèbres (commutatives) entières sur A. Alors R ⊗_A R' est entière sur A. 04NB
Définition 3 Soient A un anneau, R une A-algèbre (commutative). La sous-A-algèbre A' de R formée des éléments de R entiers sur A (no 1, cor. 1 de la prop. 4) est appelée la fermeture intégrale… ↩ 2 04NC
Remarque 1 Si h : A → R est l’homomorphisme d’anneaux définissant la structure de A-algèbre de R, la fermeture intégrale de A dans R est aussi celle de h(A) dans R. D’autre part, si R' est un… 0CHS
Remarque 2 Si A est un corps, la fermeture intégrale A' de A dans R est formée des éléments de R algébriques sur A (no 1, Exemple 1); généralisant la terminologie en usage pour les extensions… 0CHT
Définition 4 Si A est un anneau intègre, on appelle clôture intégrale de A la fermeture intégrale de A dans son corps des fractions. On dit qu’un anneau est intégralement clos s’il est intègre… 04ND
Proposition 7 Soient A un anneau, R une A-algèbre. La fermeture intégrale A' de A dans R est un sous-anneau intégralement fermé dans R. ↩ 3 04NE
Corollaire La clôture intégrale d’un anneau intègre A est un anneau intégralement clos. 04NF
Proposition 8 Soient R un anneau, (B\lambda){\lambda \in L} une famille de sous-anneaux de R et pour chaque \lambda \in L, soit A\lambda un sous-anneau de B\lambda. Si chaque A\lambda est intégr… ↩ 1 04NG
Corollaire Toute intersection d’une famille non vide de sous-anneaux intégralement clos d’un anneau intègre est un anneau intégralement clos. ↩ 3 04NH
Proposition 9 Soient A un anneau, (Rᵢ)_1 ≤ i ≤ n une famille finie de A-algèbres, A'ᵢ la fermeture intégrale de A dans Rᵢ (1 ≤ i ≤ n). Alors la fermeture intégrale de A dans R = ∏ᵢ₌₁ⁿ Rᵢ est éga… 04NI
Corollaire 1 Soient A un anneau noethérien réduit, pᵢ (1 ≤ i ≤ n) ses idéaux premiers minimaux distincts, Kᵢ le corps des fractions de l’anneau intègre A/pᵢ (canoniquement isomorphe à l’anneau… 04NJ
Corollaire 2 Pour qu’un anneau noethérien réduit soit intégralement fermé dans son anneau total des fractions il faut et il suffit qu’il soit composé direct d’anneaux (noethériens) intégralemen… 04NK
Proposition 10 Tout anneau principal est intégralement clos. ↩ 4 04NL
Lemme 2 Soient R un anneau, P un polynôme unitaire dans R[X]. Il existe un anneau R’ contenant R tel que, dans l’anneau de polynômes R'[X], le polynôme P soit produit de polynômes unitaire… ↩ 1 04NM
Proposition 11 Soient A un anneau, R une A-algèbre, P et Q deux polynômes unitaires dans R[X]. Si les coefficients de PQ sont entiers sur A, les coefficients de P et de Q sont entiers sur A. ↩ 4 04NN
Corollaire Soient A un anneau intègre, K son corps des fractions, x un élément d’une K-algèbre K' (non nécessairement commutative). Si x est entier sur A, les coefficients du polynôme minimal… ↩ 3 04NO
Proposition 12 Soient A un anneau, R une A-algèbre, P un polynôme dans R[X₁, …, Xₙ]. Pour que P soit entier sur A[X₁, …, Xₙ], il faut et il suffit que les coefficients de P soient entiers sur A. ↩ 3 04NP
Proposition 13 Soient A un anneau, R une A-algèbre, A' la fermeture intégrale de A dans R. Alors la fermeture intégrale de A[X1, ..., Xn] dans R[X1, ..., Xn] est égale à A'[X1, ..., Xn]. Cela rés… ↩ 2 04NQ
Corollaire 1 Soient A un anneau intègre, A' sa clôture intégrale. Alors la clôture intégrale de l’anneau de polynômes A[X1, ..., Xn] est A'[X1, ..., Xn]. 04NR
Corollaire 2 Soit A un anneau intègre. Pour que l’anneau de polynômes A[X₁, …, Xₙ] soit intégralement clos, il faut et il suffit que A soit intégralement clos. ↩ 2 04NS
Corollaire 3 Si K est un corps, toute algèbre de polynômes K[X₁, …, Xₙ] est un anneau intégralement clos. 04NT
Définition 5 On dit qu’un anneau A est complètement intégralement clos s’il est intègre, et si la condition suivante est vérifiée : tout élément x du corps des fractions K de A tel que toutes l… ↩ 1 04NU
Proposition 14 Soit A un anneau complètement intégralement clos. Alors tout anneau de polynômes A[X₁, …, Xₙ] (resp. tout anneau de séries formelles A[[X₁, …, Xₙ]]) est complètement intégralement… ↩ 1 04NV
Proposition 15 Soit A un anneau filtré dont la filtration est exhaustive, et tel que tout idéal principal de A soit fermé pour la topologie définie par la filtration. Si l’anneau gradué associé g… 04NW
Proposition 16 Soient A un anneau, R une A-algèbre, A' la fermeture intégrale de A dans R, S une partie multiplicative de A. Alors la fermeture intégrale de S^{-1}A dans S^{-1}R est S^{-1}A'. ↩ 6 04NX
Corollaire 1 Soient A un anneau intègre, A' sa clôture intégrale, S une partie multiplicative de A telle que 0 ∉ S. Alors la clôture intégrale de S⁻¹A est S⁻¹A'. ↩ 4 04NY
Corollaire 2 Soient A un anneau intègre, K son corps des fractions, R une algèbre sur K, B la fermeture intégrale de A dans R. Les éléments de R algébriques sur K (no 1, Exemple 1) sont les élé… ↩ 1 04NZ
Corollaire 3 Soient A un anneau intègre, Ω l’ensemble des idéaux maximaux de A. Pour que A soit intégralement clos, il faut et il suffit que, pour tout m ∈ Ω, Aₘ soit intégralement clos. 04O0
Corollaire 4 Soient A un anneau intègre, K son corps des fractions, S une partie multiplicative de A telle que 0 ∉ S. (i) Soient B un sous-anneau de K entier sur A, et soit f l’annulateur du A-… 04O1
Corollaire 5 Soient A un anneau intègre, A' sa clôture intégrale, et f l’annulateur du A-module A'/A. Supposons que A' soit un A-module de type fini. Les idéaux premiers 𝔭 de A tels que A_𝔭 ne… 04O2
Proposition 17 Soient A un anneau, B une A-algèbre (commutative), X une matrice carrée d’ordre n sur B; les propriétés suivantes sont équivalentes: ↩ 3 04O3
Corollaire 1 Soient A un anneau intègre, K son corps des fractions, K' une K-algèbre de dimension finie (non nécessairement commutative). Si x ∈ K' est entier sur A, les coefficients du polynôm… ↩ 1 04O4
Corollaire 2 Avec les mêmes hypothèses et notations que dans le cor. 1, Tr_K'/K(x) et N_K'/K(x) sont entiers sur A. ↩ 1 04O5
Remarque 1 Si K' est une algèbre centrale simple sur K et x ∈ K' est entier sur A, les coefficients du polynôme caractéristique réduit de x (Alg., chap. VIII, , n° 3) sont entiers sur A. En e… 04O6
Proposition 18 Soient A un anneau intégralement clos, K son corps des fractions, K' une K-algèbre commutative séparable (A, V, p. 114) de dimension finie, A' la fermeture intégrale de A dans K'… ↩ 1 04O7
Lemme 3 Sous les hypothèses de la prop. 18, soit (w₁, …, wₙ) une base de K' sur K, contenue dans A' (n° 5, cor. 2 de la prop. 16); il y a alors une base unique (w₁^*, …, wₙ^*) de K' sur K… ↩ 1 04O8
Corollaire 1 Si A est un anneau noethérien, le A-module A' est de type fini, et en particulier l’anneau A' est noethérien. En effet A' est un sous-module d’un A-module de type fini. ↩ 2 04O9
Corollaire 2 Si A est un anneau principal, A' est un A-module libre de rang n. En effet, tout sous-module d’un A-module libre est alors libre (Alg., chap. VII, § 3, th. 1). ↩ 2 04OA
Corollaire 3 Soit E une extension de degré n du corps Q des nombres rationnels. Le groupe additif de la fermeture intégrale dans E de l’anneau Z des entiers rationnels est un groupe commutatif… 04OB
Remarque 2 Les conclusions du cor. 1 ne sont pas nécessairement vraies si on ne suppose pas K' séparable sur K, même si K' est un surcorps de K (exerc. 20). Par contre, lorsque A est une K₀-a… 0CHU
Proposition 19 Soient k un corps, L une extension séparable de k, R une k-algèbre intégralement close. Si l’anneau L ⊗ₖ R est intègre, il est intégralement clos. Soit K le corps des fractions de… ↩ 1 04OC
Corollaire Soient k un corps, R et S deux k-algèbres intégralement closes. On suppose que l’anneau R ⊗ₖ S est intègre et que les corps des fractions K et L de R et S respectivement sont sépar… 04OD
Proposition 20 Soient A = ⨁_i ∈ Z Aᵢ un anneau gradué et B une A-algèbre graduée (commutative). L’ensemble A' des éléments de B entiers sur A est une sous-algèbre graduée de B. Si Aᵢ = 0 pour i <… ↩ 2 04OE
Lemme 4 Soient A = ⨁_i ∈ Z Aᵢ un anneau gradué intègre, S l’ensemble des éléments homogènes ≠ 0 de A. ↩ 2 04OF
Proposition 21 Soient A = ⨁_i ∈ Z Aᵢ un anneau gradué intègre, S l’ensemble des éléments homogènes ≠ 0 de A. La clôture intégrale A' de A est alors un sous-anneau gradué de S⁻¹A. Si en outre Aᵢ =… ↩ 3 04OG
Corollaire 1 Les hypothèses et notations étant celles de la prop. 21, si tout élément homogène de S⁻¹A qui est entier sur A appartient à A, alors A est intégralement clos. ↩ 1 04OH
Corollaire 2 Si A = ⨁_i ∈ Z Aᵢ est un anneau gradué intégralement clos, l’anneau A₀ est intégralement clos. 04OI
Corollaire 3 Soit A = ⨁_i ∈ Z Aᵢ un anneau gradué intégralement clos. Alors, pour tout entier d > 0, l’anneau A⁽ᵈ⁾ (chap. III, § 1, no 3) est intégralement clos. 04OJ
Proposition 22 Soient A une K-algèbre (commutative), G un groupe d’opérateurs localement fini sur A. Alors A est entière sur la sous-algèbre Aᴳ_g. ↩ 2 04OK
Théorème 2 Soient A une K-algèbre de type fini, G un groupe d’opérateurs localement fini sur A. Alors A est un Aᴳ_g-module de type fini; si de plus K est noethérien, Aᴳ_g est une K-algèbre de… 04OL
Lemme 5 Soient K un anneau noethérien, B une K-algèbre de type fini, C une sous-K-algèbre de B telle que B soit entière sur C. Alors C est une K-algèbre de type fini. 04OM
Remarque L’ensemble des σ ∈ G tels que σ aⱼ = aⱼ pour 1 ≤ j ≤ m laisse évidemment invariant tout élément de A. Le sous-groupe distingué H de G laissant invariant tout élément de A est donc… 04ON
Proposition 23 Soient A une K-algèbre, G un groupe d’opérateurs localement fini sur A, S une partie multiplicative de A stable pour G, S_G l’ensemble S ∩ A_G. Alors l’application canonique de (S_… ↩ 5 04OO
Corollaire Soient A un anneau intègre, K son corps des fractions, G un groupe d’opérateurs localement fini sur A. Alors G opère sur K et K_G est le corps des fractions de A_G. 04OP

§ 2. Relèvement des idéaux premiers

Définition 1 Soient A, A' deux anneaux, h : A → A' un homomorphisme d’anneaux. On dit qu’un idéal a' de A' est au-dessus d’un idéal a de A si a = h⁻¹(a'). 04PJ
Lemme 1 Soient h : A → A' un homomorphisme d’anneaux, S une partie multiplicative de A, i = i_A^S : A → S⁻¹A, i' = i_A'^h(S) : A' → S⁻¹A' = (h(S))⁻¹A' les homomorphismes canoniques, h₁ = S… ↩ 3 04PK
Proposition 1 Soient h : A → A' un homomorphisme d’anneaux tel que A' soit entier sur A, 𝔭' un idéal premier de A', et 𝔭 = h⁻¹(𝔭'). Pour que 𝔭 soit maximal, il faut et il suffit que 𝔭' le soit. ↩ 12 04PL
Lemme 2 Soient B un anneau intègre, A un sous-anneau de B tel que B soit entier sur A. Pour que B soit un corps, il faut et il suffit que A soit un corps. ↩ 1 04PM
Corollaire 1 Soient h : A → A' un homomorphisme d’anneaux tel que A' soit entier sur A, 𝔭 un idéal premier de A, 𝔭' et a' deux idéaux de A' au-dessus de 𝔭 tels que 𝔭' ⊂ a'. Si 𝔭' est premier, o… ↩ 5 04PN
Corollaire 2 Soient A' un anneau intègre, A un sous-anneau de A' tel que A' soit entier sur A, f un homomorphisme de A' dans un anneau B. Si la restriction de f à A est injective, f est injecti… ↩ 1 04PO
Corollaire 3 Soient h : A → A' un homomorphisme d’anneaux tel que A' soit entier sur A, m un idéal maximal de A, et supposons qu’il n’y ait dans A' qu’un nombre fini d’idéaux maximaux distincts… 04PP
Remarque 1 Si A' est noethérien, il résulte de (i) et (ii) que (qⱼ')_1 ≤ j ≤ n est l’unique décomposition primaire de mA' (chap. IV, § 2, no 3). 04PQ
Théorème 1 Soient h : A → A' un homomorphisme injectif d’anneaux, tel que A' soit entier sur A, 𝔭 un idéal premier de A. Il existe un idéal premier 𝔭' de A' au-dessus de 𝔭. ↩ 15 04PR
Corollaire 1 Avec les hypothèses et notations du th. 1, on a h⁻¹(𝔭A') = 𝔭. 04PS
Corollaire 2 Soient h : A → A' un homomorphisme d’anneaux tel que A' soit entier sur A, a et 𝔭 deux idéaux de A tels que a ⊂ 𝔭, a' un idéal de A' au-dessus de a. On suppose 𝔭 premier. Il existe… ↩ 3 04PT
Corollaire 3 Soient A un anneau, A' un anneau contenant A et entier sur A. Si ℜ' est le radical de A', ℜ' ∩ A est le radical de A. 04PU
Corollaire 4 Soient A un anneau, A' un anneau contenant A et entier sur A, et f un homomorphisme de A dans un corps algébriquement clos L. Alors f se prolonge en un homomorphisme de A' dans L. ↩ 2 04PV
Remarque 2 Soit h : A → A' un homomorphisme d’anneaux tel que A' soit entier sur A; alors l’application continue associée ᵃh : Spec(A') → Spec(A) est fermée. En effet, pour tout idéal a' de A… ↩ 2 04PW
Proposition 2 Soient h : A → A' un homomorphisme d’anneaux tel que A' soit entier sur A, 𝔭 un idéal premier de A, S = A - 𝔭, (𝔭'ᵢ)_i ∈ I la famille de tous les idéaux premiers de A' au-dessus de… ↩ 3 04PX
Proposition 3 Soit h : A → A' un homomorphisme d’anneaux tel que A' soit un A-module de type fini; alors, pour tout idéal premier 𝔭 de A, l’ensemble des idéaux premiers de A' au-dessus de 𝔭 est… 04PY
Définition 2 Soient A' un anneau, G un groupe opérant sur A' (§ 1, n° 9). Étant donné un idéal premier 𝔭' de A', le sous-groupe des éléments σ ∈ G tels que σ.𝔭' = 𝔭' s’appelle le groupe de déco… ↩ 3 04PZ
Définition 3 Avec les notations de la déf. 2, le sous-groupe de Gᶻ(p') formé des σ tels que l’endomorphisme z → σ.z de A'/p' soit l’identité, s’appelle le groupe d’inertie de p' (par rapport à… 04Q0
Lemme 3 Soient A' un anneau, G un groupe opérant sur A', A l’anneau des invariants de G, p' un idéal premier de A', ↩ 2 04Q1
Théorème 2 Soient A' un anneau, G un groupe fini opérant sur A', A l’anneau des invariants de G, de sorte que A' est entier sur A (§ 1, no 9, prop. 22). ↩ 9 04Q2
Corollaire Les hypothèses et les notations étant celles du th. 2, soient f1, f2 deux homomorphismes de A′ dans un corps L, ayant même restriction à A. Alors il existe σ ∈ Gf tel que ↩ 1 04Q3
Remarque 1 On notera que sous les hypothèses du th. 2, il se peut que k′ soit de degré infini sur k lorsque k′ n’est pas séparable sur k (exerc. 9). 0CHV
Remarque 2 Il est clair que k′ est une extension galoisienne de k lorsque le corps k est parfait. Elle est alors de degré fini sur k. 0CHW
Proposition 4 Soient A′ un anneau, Gf un groupe fini opérant sur A′, H un sous-groupe de Gf, A et B les anneaux d’invariants de Gf et H respectivement, p′ un idéal premier de A′; posons p = A ∩… ↩ 6 04Q4
Remarque 3 Si A' est intègre et noethérien, la condition ⋂_n ≥ 1 𝔭ⁿ A'_𝔭' = 0 est toujours vérifiée (chap. III, § 3, no 2, cor. de la prop. 5). On peut montrer que cette condition est aussi s… 0CHX
Remarque 4 Lorsque 𝔭 n’est pas un idéal maximal de A, on n’a pas nécessairement la relation (3) sous les hypothèses de (ii) et par suite A/𝔭 et B/𝔭(B) ne sont pas nécessairement isomorphes, m… 0CHY
Corollaire 1 Sous les hypothèses du th. 2, les anneaux A/𝔭 et Aᶻ/(𝔭' ∩ Aᶻ) ont même corps de fractions, et l’idéal maximal de l’anneau local (Aᶻ)_𝔭' ∩ Aᶻ est engendré par 𝔭. 04Q5
Corollaire 2 Soient A' un anneau intègre, G un groupe fini opérant sur A', A l’anneau des invariants de G, 𝔭' un idéal premier de A'; soient K, Kᶻ et K' les corps des fractions de A, Aᶻ et A' r… ↩ 1 04Q6
Définition 4 Les hypothèses et notations étant celles du cor. 2 de la prop. 4, on dit qu’un idéal premier 𝔭 de A se décompose complètement dans K' si le nombre des idéaux premiers de A' au-dess… 04Q7
Corollaire 3 Soient A' un anneau intègre, G un groupe commutatif fini opérant sur A', A l’anneau des invariants de G, 𝔭 un idéal premier de A, K et K' les corps des fractions de A et A' respect… 04Q8
Proposition 5 Les hypothèses et notations étant celles du th. 2, le corps des fractions kᵀ de Aᵀ / (𝔭' ∩ Aᵀ) est égal à la plus grande extension séparable k'ₛ de k contenue dans k'. ↩ 4 04Q9
Corollaire Si l’ordre du groupe d’inertie Gᵀ(p') est étranger à l’exposant caractéristique p de k, le corps k' est une extension galoisienne de k. 04QA
Lemme 4 Soient A un anneau intégralement clos, K son corps des fractions, p l’exposant caractéristique de K, K’ une extension radicielle de K et A’ un sous-anneau de K’ contenant A et enti… ↩ 2 04QB
Remarque 1 Il résulte du § 1, n° 3, cor. de la prop. 11 que la fermeture intégrale de A dans K' est l’ensemble des x ∈ K' tels qu’il existe m geqslant 0 pour lequel x^pᵐ ∈ A (Alg., chap. V, §… 04QC
Proposition 6 Soient A un anneau intégralement clos, K son corps des fractions, K' une extension quasi-galoisienne de K, A' la fermeture intégrale de A dans K'. Alors : (i) Pour tout idéal premi… ↩ 7 04QD
Remarque 2 Supposons que K' soit une extension galoisienne de K et gardons les notations de la démonstration de la prop. 6; pour tout α, soit Gᶻ_α (resp. Gᵀ_α) le sous-groupe de G formé des σ… 0CHZ
Corollaire 1 Les hypothèses étant celles de la prop. 6, soient f un homomorphisme de A dans un corps L, g₁, g₂ deux homomorphismes de A' dans L qui prolongent f. Il existe alors un K-automorphi… ↩ 1 04QE
Corollaire 2 Soient A un anneau intégralement clos, K son corps des fractions, K' une extension algébrique de degré fini de K, A' un sous-anneau de K' contenant A et entier sur A. ↩ 1 04QF
Corollaire 3 Les hypothèses et notations étant celles du cor. 2, si A est semi-local, il en est de même de A'. 04QG
Corollaire 4 Soient A un anneau intégralement clos, K son corps des fractions, K' une extension galoisienne de K, A' la fermeture intégrale de A dans K', 𝔭' un idéal premier de A', 𝔭 = A ∩ 𝔭'… ↩ 1 04QH
Définition 5 Les hypothèses et notations étant celles de la prop. 6, le corps des invariants Kᶻ(p') (resp. Kᵀ(p')) du groupe Gᶻ(p') (resp. Gᵀ(p')) dans le corps K' s’appelle le corps de décompo… 04QI
Remarque 3 Sous les conditions du cor. 4 de la prop. 6, et en supposant [K':K]\ fini, le nombre des idéaux premiers distincts au-dessus de p est [Kᶻ:K], ce degré étant égal à l’indice (G:Gᶻ)… 0CI0
Remarque 4 Soient A un anneau intégralement clos, K son corps des fractions, K' une extension algébrique de degré fini de K, A' la fermeture intégrale de A dans K'. Alors, pour tout idéal pre… 0CI1
Proposition 7 Soient A un anneau intégralement clos, K son corps des fractions, K' une extension galoisienne de K, G son groupe de Galois, A' la fermeture intégrale de A dans K', 𝔭' un idéal pre… 04QJ
Théorème 3 Soient A un anneau intégralement clos, A' un anneau contenant A et entier sur A. On suppose que 0 est le seul élément de A qui soit diviseur de 0 dans A'. Soient p, q deux idéaux p… ↩ 4 04QK
Corollaire Les hypothèses sur A et A' étant celles du th. 3, soit p un idéal premier de A. Les idéaux premiers de A' au-dessus de p sont les éléments minimaux de l’ensemble E des idéaux premi… 04QL

§ 3. Algèbres de type fini sur un corps

Théorème 1 (Lemme de normalisation.) Soit A une k-algèbre de type fini, et soit a₁ ⊂ a₂ ⊂ … ⊂ aₚ une suite finie croissante d’idéaux de A telle que p geqslant 1 et aₚ ≠ A. Il existe une suite… ↩ 4 04R8
Corollaire 1 Soient A un anneau intègre, B une A-algèbre de type fini contenant A comme sous-anneau. Il existe alors un élément s ≠ 0 de A et une sous-algèbre B' de B isomorphe à une algèbre de… ↩ 4 04R9
Corollaire 2 Soient K un corps, A un sous-anneau de K et L le corps des fractions de A. Si K est une A-algèbre de type fini, [K : L] est fini et il existe a ≠ 0 dans A tel que L = A[a⁻¹]. ↩ 1 04RA
Corollaire 3 Soient A un anneau intègre, B une A-algèbre de type fini, b un élément de B tel que zbⁿ ≠ 0 pour tout z ≠ 0 dans A et tout entier n > 0. Soit ρ : A → B l’homomorphisme canonique; i… ↩ 2 04RB
Théorème 2 Soient A une k-algèbre intègre de type fini, K son corps des fractions, A' la fermeture intégrale de A dans un corps K', extension algébrique de degré fini de K. Alors A' est un A-… ↩ 2 04RC
Proposition 1 Soient A une algèbre de type fini sur un corps k et L une clôture algébrique de k. ↩ 2 04RD
Lemme 1 Soient A une algèbre de type fini sur un corps k, (aᵢ)_1 ≤ i ≤ n un système de générateurs de cette algèbre, r l’idéal des relations algébriques entre les aᵢ à coefficients dans k… 04RE
Proposition 2 (théorème des zéros de Hilbert) Soient k un corps, L une clôture algébrique de k. 04RF
Définition 1 On dit qu’un anneau A est un anneau de Jacobson si tout idéal premier de A est intersection d’une famille d’idéaux maximaux. 04RG
Exemple 1 Tout corps est un anneau de Jacobson. 0CI2
Exemple 2 L’anneau Z est un anneau de Jacobson, l’unique idéal premier non maximal (0) étant l’intersection des idéaux maximaux (p) de Z, où p parcourt l’ensemble des nombres premiers (cf. p… 0CI3
Exemple 3 Soit A un anneau de Jacobson et soit a un idéal de A. Alors A/a est un anneau de Jacobson, car les idéaux de A/a sont de la forme b/a, où b est un idéal de A contenant a, et b/a es… 0CI4
Proposition 3 Pour qu’un anneau A soit un anneau de Jacobson, il faut et il suffit que, pour tout idéal a de A, le radical de A/a soit égal à son nilradical (chap. II, § 2, no 6). ↩ 1 04RH
Corollaire Soit A un anneau de Jacobson; pour tout idéal a de A, la racine de a est l’intersection des idéaux maximaux de A contenant a. ↩ 1 04RI
Proposition 4 Soient A un anneau principal, (p_λ)_λ ∈ L un système représentatif d’éléments extrémaux de A (Alg., chap. VII, § 1, no 3, déf. 2). Pour que A soit un anneau de Jacobson, il faut et… ↩ 2 04RJ
Proposition 5 Soient A un anneau, B une A-algèbre entière sur A. Si A est un anneau de Jacobson, il en est de même de B. ↩ 1 04RK
Théorème 3 Soient A un anneau de Jacobson, B une A-algèbre de type fini, ρ : A → B l’homomorphisme canonique. Alors : ↩ 3 04RL
Corollaire 1 Toute algèbre A de type fini sur Z est un anneau de Jacobson; pour qu’un idéal premier 𝔭 de A soit maximal, il faut et il suffit que l’anneau A/𝔭 soit fini. ↩ 1 04RM
Corollaire 2 Soit (P_λ)_λ ∈ L une famille de polynômes de Z[X₁, …, Xₙ], et soit Q un polynôme de Z[X₁, …, Xₙ] tel que pour tout système d’éléments (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n appartenant à un corps fini et… 04RN
Corollaire 3 Soit A un anneau de Jacobson. S’il existe une A-algèbre de type fini B contenant A, et qui soit un corps, alors A est un corps et B est une extension algébrique de A. En effet, il… 04RO

VI. Valuations

§ 1. Anneaux de valuation

Définition 1 Soient A et B deux anneaux locaux. On dit que B domine A si A est un sous-anneau de B et si m(A) = A ∩ m(B). 04RZ
Proposition 1 Soient A et B des anneaux locaux tels que A soit un sous-anneau de B. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 1 04S0
Exemple 1 Soient A un anneau local noethérien, hatA son complété; l’anneau local hatA domine alors A (Chap. III, § 3, no 5, prop. 9). 0CI5
Exemple 2 Soient B un anneau intègre, A un sous-anneau de B, 𝔭' un idéal premier de B, et 𝔭 = A ∩ 𝔭'. On a 𝔭A_𝔭 ⊂ 𝔭'B_𝔭', de sorte que B_𝔭' domine A_𝔭. 0CI6
Théorème 1 Soient K un corps, et V un sous-anneau de K. Les conditions suivantes sont équivalentes: ↩ 7 04S1
Lemme 1 Soient A un sous-anneau d’un anneau B, x un élément de B non entier sur A; alors l’anneau de fractions Bₓ (chap. II, § 5, no 1) n’est pas réduit à 0, et il existe dans le sous-anne… ↩ 1 04S2
Définition 2 Les notations étant celles du th. 1, on dit que V est un anneau de valuation pour le corps K si les conditions équivalentes a), b), c), d), e) sont satisfaites. On dit qu’un anneau… ↩ 1 04S3
Théorème 2 Soient K un corps, et h un homomorphisme d’un sous-anneau A de K dans un corps algébriquement clos L. Il existe alors un anneau de valuation V pour K et un homomorphisme h' de V da… ↩ 2 04S4
Corollaire Tout sous-anneau local A d’un corps K est dominé par au moins un anneau de valuation pour K. ↩ 3 04S5
Théorème 3 Soit A un sous-anneau d’un corps K. La fermeture intégrale A' de A dans K est l’intersection des anneaux de valuation pour K qui contiennent A; si A est local, A' est l’intersectio… ↩ 5 04S6
Corollaire 1 Tout anneau de valuation est intégralement clos. 04S7
Corollaire 2 Pour qu’un anneau intègre soit intégralement clos, il faut et il suffit qu’il soit l’intersection d’une famille d’anneaux de valuation pour son corps des fractions. 04S8
Corollaire 3 Soient K un corps, K’ une extension de K, et A un anneau de valuation pour K. La fermeture intégrale de A dans K’ est l’intersection des anneaux de valuation V’ pour K’ tels que V’… ↩ 3 04S9
Proposition 2 Soit A un anneau local dont l’idéal maximal soit un idéal principal Ap. Si ⋂ₙ₌₁^∞ Apⁿ = (0) (par exemple si A est noethérien, cf. chap. III, § 3, no 2, cor. de la prop. 5), les seu… ↩ 3 04SA
Proposition 3 Soient A un anneau principal et K son corps des fractions. Les anneaux de valuation pour K contenant A et distincts de K sont les anneaux de la forme A_Ap, où p est un élément extr… ↩ 3 04SB
Corollaire 1 Tout anneau de valuation pour le corps Q et distinct de Q est de la forme Z₍ₚ₎ où p est un nombre premier. ↩ 1 04SC
Corollaire 2 Soient K un corps, K(X) le corps des fractions rationnelles en une indéterminée sur K, et V un anneau de valuation pour K(X) contenant K et distinct de K(X). Si X ∈ V, il existe un… ↩ 1 04SD

§ 2. Places

Définition 1 Soient E et E' deux ensembles munis chacun d’une loi de composition interne notée (x, y) → x * y, non nécessairement partout définie. On dit qu’une application f : E → E' est un mo… 04SN
Définition 2 Soient E et E' deux ensembles, munis chacun d’une famille de lois de composition internes (x, y) → x *_α y, α ∈ I. On dit qu’une application f : E → E' est un morphisme si c’est un… 04SO
Définition 3 Soient K et L deux corps. On appelle place de K à valeurs dans L tout morphisme f de widetildeK dans widetildeL (pour l’addition et la multiplication) tel que f(1) = 1. 04SP
Proposition 1 Soient K un corps, A un anneau de valuation pour K, et κ(A) le corps résiduel de A. Prolongeons l’application canonique de A sur κ(A) en une application h_A : widetildeK → (κ(A)) ∼… ↩ 1 04SQ
Proposition 2 Soient K et L deux corps, et f une place de K à valeurs dans L. Il existe alors un anneau de valuation A pour K et un isomorphisme j de κ(A) sur un sous-corps de L tels que f = j ∘… 04SR
Proposition 3 Soient K un corps, S un sous-anneau de K, et f un homomorphisme de S dans un corps algébriquement clos L. Il existe alors une place de K à valeurs dans L qui prolonge f. ↩ 1 04SS
Proposition 4 Soient K un corps, f une place de K à valeurs dans un corps L, et K' une extension de K. Il existe alors une extension L' de L et une place f' de K' à valeurs dans L' qui prolonge… ↩ 1 04ST
Proposition 5 Soient K un corps, S un sous-anneau de K, h un homomorphisme de S dans un corps, et p le noyau de h. Pour qu’un élément x de K soit entier sur l’anneau local Sp, il faut et il suff… 04SU
Proposition 6 Soient K un corps, S un sous-anneau de K. Pour qu’un élément x de K soit entier sur S, il faut et il suffit que toute place de K finie sur S soit finie en x. ↩ 1 04SV

§ 3. Valuations

Définition 1 Soient C un anneau (non nécessairement commutatif), Γ un groupe commutatif totalement ordonné, noté additivement. On appelle valuation de C à valeurs dans Γ toute application v : C… 04T2
Proposition 1 Soit v une valuation d’un anneau C (non nécessairement commutatif). Quels que soient les éléments xᵢ ∈ C (1 ≤ i ≤ n), on a ↩ 3 04T3
Corollaire Si une suite finie d’éléments (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n de C (pour n ≥ 2) est telle que ∑ᵢ₌₁ⁿ xᵢ = 0, il existe au moins deux indices distincts j, k tels que v(xⱼ) = v(xₖ) = inf_1 ≤ i ≤ n v(x… 04T4
Remarque 1 Si v : C → Γ_∞ est une valuation de C et u : B → C un homomorphisme d’un anneau B dans C, il est immédiat que l’application composée B xrightarrowu C xrightarrowv Γ_∞ est une valua… 0CI7
Remarque 2 Les conditions (VL_I) et (VL_II) montrent aussitôt que l’ensemble barv¹(+∞) est un idéal bilatère 𝔭 dans C distinct de C en vertu de (VL_III); en outre, si x, y sont deux éléments… 0CI8
Proposition 2 Soient K un corps (non nécessairement commutatif), v une valuation de K, à valeurs dans Γ. Alors: ↩ 1 04T5
Proposition 3 Pour que deux valuations v, v' sur un corps (non nécessairement commutatif) K soient équivalentes, il faut et il suffit qu’il existe un isomorphisme λ du groupe ordonné v(K^*) sur… 04T6
Proposition 4 Soient C un anneau intègre, K son corps des fractions, C^* = C - 0, et v : C → Γ_∞ une valuation de C telle que v(x) ≠ +∞ pour x ∈ C^*. Il existe alors une valuation w et une seule… ↩ 3 04T7
Proposition 5 Soient K un corps, v une valuation de K et K' une extension de K. Il existe une valuation v' de K' dont la restriction à K est équivalente à v. ↩ 1 04T8
Proposition 6 Soient K un corps, A un sous-anneau de K, et x un élément de K. Pour que x soit entier sur A, il faut et il suffit que toute valuation de K positive dans A soit positive en x. ↩ 1 04T9
Exemple 1 Toute valuation d’un corps fini F est impropre, puisque tout élément de F est une racine de l’unité. 04TA
Exemple 2 Si K est un sous-corps d’un corps K’, la restriction à K d’une valuation de K’ est une valuation de K. 04TB
Exemple 3 Soient k un corps, et K = k((T)). L’application v qui, à toute série formelle non nulle, fait correspondre son ordre (Alg., chap. IV, § 5, no 7), est une valuation de K dont le gro… ↩ 4 04TC
Exemple 4 Soient A un anneau principal, K son corps des fractions, et p un élément extrémal de A. Pour x ∈ K, notons vp(x) l’exposant de p dans la décomposition de x en éléments extrémaux (A… ↩ 3 04TD
Exemple 5 L’application P(X, Y) → P(T, eᵀ) de C[X, Y] dans C((T)) est injective (Fonc. Var. Réelle, chap. IV, , prop. 9), donc se prolonge en un isomorphisme de C(X, Y) sur un sous-corps de… 04TE
Exemple 6 Soient Γ un groupe totalement ordonné, et k un corps. Soient Γ₊ le monoïde des éléments positifs de Γ, et C l’algèbre de Γ₊ sur k. Par définition, C possède une base (x_α)_α ∈ Γ₊ s… ↩ 1 04TF
Définition 2 Soit G un ensemble ordonné. Un sous-ensemble M de G est dit majeur si les relations x ∈ M et y ≥ x entraînent y ∈ M. 04TG
Proposition 7 L’application M → a(M) est une bijection croissante de l’ensemble des sous-ensembles majeurs de G sur l’ensemble des sous-A-modules de K. 04TH
Corollaire Soit G₊ l’ensemble des éléments positifs de G. L’application M → a(M) est une bijection de l’ensemble des sous-ensembles majeurs de G₊ sur l’ensemble des idéaux de A. ↩ 1 04TI
Définition 3 Soient K un corps (non nécessairement commutatif), v une valuation de K, et Γ le groupe des ordres de v. On dit que v est discrète s’il existe un isomorphisme (nécessairement uniqu… ↩ 1 04TJ
Proposition 8 Soient K un corps (non nécessairement commutatif), v une valuation discrète de K, A l’anneau de v, et u une uniformisante pour v. Les idéaux non nuls de A sont bilatères et de la f… ↩ 1 04TK
Proposition 9 Soit A un anneau local intègre distinct de son corps des fractions. Les conditions suivantes sont équivalentes: ↩ 6 04TL
Lemme 1 Soit A un anneau de valuation. Tout A-module sans torsion de type fini est libre. Tout idéal de type fini de A est principal. Tout A-module sans torsion est plat. ↩ 1 04TM

§ 4. Hauteur d’une valuation

Proposition 1 Soient K un corps, et A un anneau de valuation pour K. Alors: a) Tout anneau B tel que A ⊂ B ⊂ K est un anneau de valuation pour K; b) L’idéal maximal m(B) d’un tel anneau est cont… ↩ 3 04TV
Corollaire L’ensemble des sous-anneaux de K contenant A est totalement ordonné par inclusion. ↩ 2 04TW
Proposition 2 Soient K un corps, B un anneau de valuation pour K, et h_B la place de K associée à B (à valeurs dans κ(B)). Alors l’application A → h_B(A) définit une bijection de l’ensemble A de… ↩ 1 04TX
Corollaire Soient A et B deux anneaux de valuation pour K, avec A ⊂ B; posons A' = h_B(A), qui est un anneau de valuation pour κ(B). Le corps résiduel κ(A') de A' est canoniquement isomorphe… ↩ 1 04TY
Remarque Réciproquement, soient f une place de K à valeurs dans K', et f' une place de K' à valeurs dans K''. Alors f' ∘ f est une place de K dont l’anneau est contenu dans l’anneau de la p… 04TZ
Définition 1 Un sous-groupe H d’un groupe ordonné G est dit isolé si les relations 0 ≤ y ≤ x et x ∈ H entraînent y ∈ H. ↩ 1 04U0
Exemple 1 Soient A et B deux groupes ordonnés ; munissons A × B de l’ordre lexicographique (i.e. « (a, b) ≤ (a', b') » équivaut à « (a < a') ou (a = a' et b ≤ b') »). Le deuxième facteur B d… 04U1
Proposition 3 Soient G un groupe ordonné, et P l’ensemble de ses éléments positifs. ↩ 3 04U2
Exemple 2 Si nous reprenons l’exemple où G est un produit lexicographique A × B et où H = B, le groupe ordonné G/H s’identifie canoniquement à A. ↩ 1 04U3
Proposition 4 L’application B → H_B est une bijection croissante de l’ensemble des sous-anneaux de K contenant A sur l’ensemble des sous-groupes isolés de Γ_A. ↩ 1 04U4
Remarque Avec les hypothèses précédentes, notons f l’homomorphisme canonique de B sur κ(B), et posons A' = f(A); c’est un anneau de valuation pour κ(B) (prop. 2, no 1). On a overlinef(κ(B))… 04U5
Exemple Soient k un corps, 04U6
Définition 2 Soit G un groupe totalement ordonné. Si le nombre des sous-groupes isolés de G distincts de G est fini et égal à n, on dit que G est de hauteur n. Si ce nombre est infini, on dit q… 04U7
Exemple 1 La hauteur du groupe G = {0} est 0. 0CI9
Exemple 2 Les groupes Z et R sont de hauteur 1. 0CIA
Exemple 3 Soient G un groupe totalement ordonné et H un sous-groupe isolé de G. Si l’on désigne par h(H) et h(G/H) les hauteurs des groupes totalement ordonnés H et G/H, on a h(G) = h(H) + h… 0CIB
Définition 3 On appelle hauteur d’une valuation la hauteur du groupe des ordres de cette valuation. 04U8
Proposition 5 La hauteur d’une valuation est égale au nombre des idéaux premiers non nuls de son anneau. ↩ 1 04U9
Proposition 6 Soient K un corps, A un sous-anneau de K. Supposons que A ne soit pas un corps. Alors les conditions suivantes sont équivalentes : a) A est l’anneau d’une valuation de hauteur 1 de… ↩ 3 04UA
Proposition 7 Pour qu’une valuation d’un corps soit de hauteur 1, il faut et il suffit que son groupe des ordres soit isomorphe à un sous-groupe ordonné non nul de R. 04UB
Proposition 8 Soit G un groupe totalement ordonné non réduit à 0. Les conditions suivantes sont équivalentes : a) G est de hauteur 1 ; b) quels que soient x > 0 et y geqslant 0 dans G, il existe… ↩ 2 04UC
Proposition 9 Soient K un corps, v une valuation non impropre de K, et A l’anneau de v. Pour que A soit complètement intégralement clos (chap. V, § 1, n° 4, déf. 5), il faut et il suffit que v s… 04UD
Corollaire Soient K un corps, (v_α)_α ∈ I une famille de valuations de hauteur 1 de K, et A l’intersection des anneaux des v_α. Alors A est complètement intégralement clos. ↩ 1 04UE

§ 5. Topologie définie par une valuation

Lemme 1 Soient x ∈ K^*, y ∈ K^*, et α ∈ G. Si v(x - y) > sup(α + 2v(y), v(y)), on a v(x⁻¹ - y⁻¹) > α. En effet on a x⁻¹ - y⁻¹ = x⁻¹(y - x)y⁻¹, donc v(x⁻¹ - y⁻¹) = v(x - y) - v(x) - v(y). S… ↩ 2 04UQ
Proposition 1 La topologie Tᵥ est séparée et compatible avec la structure de corps de K. L’application v : K^* → G est continue si l’on munit G de la topologie discrète. Soient x ∈ K^* et α = v(… ↩ 1 04UR
Proposition 2 Soient K un corps non nécessairement commutatif, v une valuation non impropre de K, A l’anneau de v, m l’idéal de v. Pour que K, muni de la topologie Tᵥ, soit localement compact, i… ↩ 4 04US
Remarque On notera qu’il suffit dans cette démonstration de supposer que A est complet. 04UT
Proposition 3 Soit E un espace vectoriel topologique à gauche sur K, séparé et de dimension 1. On suppose v non impropre. Pour tout x₀ ≠ 0 dans E, l’application a → ax₀ de Kₛ sur E est un isomor… ↩ 1 04UU
Corollaire Soient E un espace vectoriel topologique à gauche sur K, H un hyperplan fermé de E, et D un sous-espace vectoriel de dimension 1 de E supplémentaire algébrique de H. On suppose v n… 04UV
Proposition 4 On suppose v non impropre et K complet. Soit E un espace vectoriel topologique à gauche sur K, séparé et de dimension finie n. Pour toute base (eᵢ)_1 ≤ i ≤ n de E sur K, l’applicat… ↩ 1 04UW
Corollaire On suppose v non impropre et K complet. Soient E un espace vectoriel topologique séparé sur K, et F un sous-espace vectoriel de dimension finie de E. Alors F est fermé. En effet, F… ↩ 2 04UX
Proposition 5 Soient K un corps non nécessairement commutatif, v une valuation de K, et G le groupe v(K^*) muni de la topologie discrète. ↩ 2 04UY
Remarque Pour tout x ∈ hatK n’appartenant pas à hatA, il existe x₀ ∈ K tel que hatv(x - x₀) > 0, hatv(x) = hatv(x₀) = v(x₀) < 0; on a donc x₀⁻¹ x ∈ hatA, et comme x₀⁻¹ ∈ A, on voit que si l… 04UZ

§ 6. Valeurs absolues

Proposition 1 Pour qu’une application f de K dans R₊ vérifiant (VA_I) et (VA_II) appartienne à V(K), il faut et il suffit que f(1 + x) soit borné dans l’ensemble des x ∈ K tels que f(x) leqslant… ↩ 1 04VA
Proposition 2 Soit f une application de K dans R₊ appartenant à V(K); s’il existe C > 0 tel que f(n.1) leqslant C.n pour tout entier n > 0, f est une valeur absolue sur K. Par récurrence sur r >… ↩ 4 04VB
Corollaire 1 Pour qu’une application f de K dans R₊ soit une valeur absolue, il faut et il suffit qu’elle vérifie les conditions (VA_I), (VA_II) et (U₂). ↩ 1 04VC
Corollaire 2 Pour qu’une application f de K dans R₊ appartienne à V(K), il faut et il suffit qu’elle soit de la forme gᵗ, où t > 0 et g est une valeur absolue sur K. ↩ 1 04VD
Proposition 3 Soit f une application de K dans R₊. Les propriétés suivantes sont équivalentes: ↩ 3 04VE
Corollaire Si K est un corps (non nécessairement commutatif) de caractéristique p > 0, toute fonction de V(K) est une valeur absolue ultramétrique. ↩ 1 04VF
Proposition 4 Soit f une application de Q dans R₊ appartenant à V(Q). Alors: ↩ 2 04VG
Théorème 1 (Gelfand-Mazur) Soit K une algèbre sur le corps R ayant les deux propriétés suivantes: ↩ 3 04VH
Lemme 1 Soit D un corps de centre L, tel que pour tout x ∈ D, L(x) soit une extension de L de degré ≤ m. Alors le rang de D sur L est ≤ m². ↩ 1 04VI
Théorème 2 (Ostrowski) Soient K un corps (non nécessairement commutatif), f un élément de V(K) qui n’est pas une valeur absolue ultramétrique. Il existe alors un nombre réel s > 0 et un seul et un isomor… ↩ 2 04VJ
Lemme 2 Soient L un corps (non nécessairement commutatif), K un sous-corps de L tel que L soit un espace vectoriel à gauche de dimension finie sur K. Soient g une valeur absolue sur L, f s… 04VK
Remarque 2 Si K est un corps et une algèbre normée sur R, la norme n’est pas nécessairement une valeur absolue sur K; par exemple, ξ + iη → |ξ| + |η| est une norme sur C compatible avec sa st… 0CIC
Remarque 3 Pour une démonstration du cas C) du th. 1 qui n’utilise pas les résultats généraux d'Alg., chap. VIII, voir exerc. 2. 0CID

§ 7. Théorème d’approximation

Proposition 1 Soient K un corps, (Aᵢ)_1 ≤ i ≤ n une famille finie d’anneaux de valuation pour K, et B = ⋂ᵢ₌₁ⁿ Aᵢ. Posons 𝔭ᵢ = B ∩ m(Aᵢ). Alors Aᵢ = B_𝔭ᵢ pour tout i, et le corps des fractions de… ↩ 5 04VN
Lemme 1 Soient vᵢ (1 ≤ i ≤ n) des valuations d’un corps K, et x ∈ K^*. Il existe alors un polynôme f(X) de la forme ↩ 1 04VO
Proposition 2 Les hypothèses étant celles de la prop. 1, supposons de plus que Aᵢ not⊂ Aⱼ pour i ≠ j. Alors les pᵢ sont des idéaux maximaux de B deux à deux distincts, et tout idéal maximal de B… ↩ 2 04VP
Corollaire 1 Supposons que Aᵢ not⊂ Aⱼ pour i ≠ j. Pour toute famille d’éléments aᵢ ∈ Aᵢ \ (1 ≤ i ≤ n), il existe x ∈ B tel que x ≡ aᵢ \ (mod.\ m(Aᵢ)) pour 1 ≤ i ≤ n. ↩ 1 04VQ
Corollaire 2 Supposons que Aᵢ subsetneq Aⱼ pour i ≠ j. Il existe des éléments xᵢ (1 ≤ i ≤ n) de K tels que vᵢ(xᵢ) = 0 et vⱼ(xᵢ) > 0 pour i ≠ j. Pour chaque indice i, on applique le cor. 1 à la… 04VR
Corollaire 3 Tout anneau de valuation pour K contenant B contient l’un des Aᵢ. On peut se borner au cas où Aᵢ subsetneq Aⱼ pour i ≠ j. Soit V un anneau de valuation pour K contenant B. Posons 𝔭… 04VS
Définition 1 Soient A et A' deux anneaux de valuation pour un même corps K. On dit que A et A' sont indépendants si K est l’anneau engendré par A et A'. Deux valuations de K sont dites indépend… ↩ 1 04VT
Théorème 1 (Théorème d’approximation pour les valuations) Soient vᵢ (1 ≤ i ≤ n) des valuations deux à deux indépendantes d’un corps K, et Γᵢ le groupe des ordres de vᵢ. Soient aᵢ ∈ K et αᵢ ∈ Γᵢ (1 ≤ i ≤ n). Il existe alors x ∈ K tel que v… ↩ 7 04VU
Lemme 2 Soient A un anneau de valuation, et 𝔟 un idéal de A distinct de A. Alors la racine r de 𝔟 est un idéal premier. 04VV
Corollaire 1 Pour toute famille d’éléments γᵢ ∈ Γᵢ (1 ≤ i ≤ n), il existe x ∈ K tel que vᵢ(x) = γᵢ (1 ≤ i ≤ n). ↩ 2 04VW
Corollaire 2 Soit Tᵢ la topologie définie sur K par vᵢ; munissons Kⁿ de la topologie produit des Tᵢ. Si les vᵢ sont non impropres, la diagonale de Kⁿ est dense dans Kⁿ. ↩ 1 04VX
Proposition 3 Soient v et v' deux valuations non impropres d’un même corps K. Pour que v et v' définissent la même topologie sur K, il faut et il suffit qu’elles soient dépendantes. ↩ 1 04VY
Remarque 1 La prop. 3 montre que la relation « v et v' sont dépendantes » est une relation d’équivalence. 0CIE
Remarque 2 Compte tenu des relations entre valuations de hauteur 1 et valeurs absolues ultramétriques (§ 6, n° 2), la prop. 3 résulte aussi, dans le cas des valuations de hauteur 1, de la car… 0CIF
Proposition 4 Soient v₁, …, vₙ (n ≥ 2) des valuations deux à deux dépendantes d’un même corps K. Alors les anneaux A₁, …, Aₙ de v₁, …, vₙ engendrent un sous-anneau de K distinct de K. ↩ 1 04VZ
Théorème 2 (Théorème d’approximation pour les valeurs absolues) Soient fᵢ (1 ≤ i ≤ n) des valeurs absolues non impropres et deux à deux inéquivalentes sur un même corps K. Soient aᵢ (1 ≤ i ≤ n) des éléments de K, et ε un nombre réel > 0. Il exi… ↩ 1 04W0

§ 8. Prolongements d’une valuation à une extension algébrique

Définition 1 On appelle indice de ramification de v' par rapport à v (ou par rapport à K), et l’on note e(v'/v), (ou e(A'/A), ou parfois e(L/K)) l’indice (Γ_v' : Γᵥ). 04W4
Définition 2 On appelle degré résiduel de v' par rapport à v (ou par rapport à K), et l’on note f(v'/v) (ou f(A'/A), ou parfois f(L/K)), le degré [κ(A') : κ(A)]. 04W5
Lemme 1 Soient K, K', K'' trois corps tels que K ⊂ K' ⊂ K''; v'' une valuation de K'', v et v' ses restrictions à K et K'. On a les relations : ↩ 4 04W6
Lemme 2 Soient K un corps, L une extension de degré fini n de K, v' une valuation de L, et v sa restriction à K. On a l’inégalité ↩ 8 04W7
Proposition 1 Soient K un corps, L une extension algébrique de K, v' une valuation de L, v sa restriction à K, A et A' les anneaux de v et v'. Alors Γ_v'/Γᵥ est un groupe de torsion, et κ(A') es… ↩ 4 04W8
Corollaire 1 La hauteur de v' est égale à celle de v. 04W9
Lemme 3 Soient G' un groupe totalement ordonné, G un sous-groupe de G' et 𝔖' (resp. 𝔖) l’ensemble des sous-groupes isolés de G' (resp. G). L’application H' → H' ∩ G applique 𝔖' sur 𝔖. Cett… ↩ 1 04WA
Corollaire 2 Pour que v' soit impropre (resp. de hauteur 1), il faut et il suffit que v soit impropre (resp. de hauteur 1). ↩ 4 04WB
Corollaire 3 Supposons que L soit une extension de degré fini de K. Pour que v' soit discrète, il faut et il suffit que v soit discrète. ↩ 3 04WC
Définition 3 Soient K un corps, v une valuation de K, et L une extension de K. On appelle système complet de prolongements de v à L une famille (v'ᵢ)_i ∈ I de valuations de L prolongeant v, tel… 04WD
Proposition 2 Soient K un corps, v une valuation de K, hatK le complété de K pour v, hatv le prolongement continu de v à hatK, et L une extension de degré fini n de K. ↩ 5 04WE
Corollaire 1 Si K est complet pour v, et si v est non impropre, deux valuations de L prolongeant v sont dépendantes. En effet, on a hatK ⊗_K L = L. ↩ 1 04WF
Corollaire 2 Si hatK ou L est séparable sur K, l’application canonique φ : hatK ⊗_K L → ∏ᵢ₌₁ˢ hatLᵢ est un isomorphisme. En effet le radical de hatK ⊗_K L est alors nul (Alg., chap. VIII, § 7… 04WG
Remarque La prop. 2, b) montre que toute extension composée de hatK et L sur K (Alg., chap. VIII, § 8) est isomorphe à l’un des complétés hatLᵢ, et que ceux-ci sont des extensions composées… 04WH
Théorème 1 Soient K un corps, v une valuation de K, et L une extension de degré fini n de K. Alors : a) Tout système complet (v'ᵢ)_i ∈ I de prolongements de v à L est fini. b) On a ∑_i ∈ I e(… ↩ 2 04WI
Remarque L’intersection C des anneaux A'ᵢ des valuations v'ᵢ (i ∈ I) est la fermeture intégrale de A dans L (§ 1, nᵒ 3, cor. 3 du th. 3); il résulte en outre de c) et du § 7, nᵒ 1, prop. 1… 04WJ
Définition 4 Soient G un groupe commutatif totalement ordonné, et H un sous-groupe d’indice fini de G. On appelle indice initial de H dans G, et l’on note ε(G, H), le nombre des sous-ensembles… ↩ 1 04WK
Proposition 3 Les hypothèses sont celles de la déf. 4. Si l’ensemble des éléments strictement positifs de G n’a pas de plus petit élément, on a ε(G, H) = 1 quel que soit H. S’il existe un plus p… ↩ 1 04WL
Corollaire L’indice initial ε(G, H) divise l’indice (G : H), et lui est égal si G est isomorphe à Z. En particulier, on a ε(G, H) ≤ (G : H). ↩ 1 04WM
Définition 5 Soient K un corps, L une extension de degré fini de K, w une valuation de L, v sa restriction à K, ↩ 1 04WN
Proposition 4 Les hypothèses sont celles de la déf. 5. Soient A et m (resp. A' et m') l’anneau et l’idéal de la valuation v (resp. w). On a ↩ 5 04WO
Proposition 5 Soient K un corps, v une valuation de K, A son anneau, m son idéal, L une extension de degré fini n de K, B la fermeture intégrale de A dans L, et (v'i){1 \leq i \leq s} un système… ↩ 2 04WP
Corollaire Avec les mêmes hypothèses et notations, on a ↩ 1 04WQ
Théorème 2 Les hypothèses et notations étant celles de la prop. 5, les conditions suivantes sont équivalentes: ↩ 4 04WR
Remarque 1 Lorsque v est discrète, on a ε(vᵢ'/v) = e(vᵢ'/v) (no 4), et la condition d) se réduit à ∑ᵢ₌₁ˢ e(vᵢ'/v)f(vᵢ'/v) = n. 04WS
Corollaire 1 Avec les mêmes hypothèses et notations, on suppose de plus v discrète et L séparable. Alors 04WT
Corollaire 2 Soient K un corps, v une valuation discrète de K pour laquelle K est complet, et L une extension de degré fini n de K. Alors v admet un prolongement v' et un seul à L (à une équiva… ↩ 1 04WU
Corollaire 3 Supposons que v soit de hauteur 1 et que les conditions équivalentes du th. 2 soient vérifiées; si hatLᵢ est le complété de L pour vᵢ', le degré nᵢ = [hatLᵢ : hatK] est égal à e(vᵢ… 0CIG
Corollaire 4 Sous les hypothèses du cor. 3, si L est une extension séparable de K, chacun des hatLᵢ est une extension séparable de hatK. Si de plus L est une extension galoisienne de K, de grou… 04WV
Remarque 2 Une partie des résultats précédents s’étend au cas des valuations sur un corps K non nécessairement commutatif (cf. § 3, no 1). Soit L un surcorps de K, et soient v' une valuation… 0CIH
Proposition 6 Soient K un corps, v une valuation de K, A son anneau, L une extension algébrique de K, A' la fermeture intégrale de A dans L. Soient B l’ensemble des anneaux des valuations de L q… ↩ 2 04WW
Proposition 7 Soient K un corps, L une extension quasi-galoisienne de K, f et f' des places de L à valeurs dans un même corps F. On suppose que les restrictions de f et f' à K coïncident. Il exi… ↩ 2 04WX
Corollaire 1 Soient K un corps, v une valuation de K, L une extension quasi-galoisienne de K, et v', v'' deux extensions de v à L. Il existe alors un K-automorphisme s de L tel que v'' soit équ… ↩ 3 04WY
Corollaire 2 Soient K un corps, f une place (resp. v une valuation) de K, et L une extension radicielle de K. Alors toutes les extensions de f (resp. v) à L sont équivalentes. 04WZ
Proposition 8 Soient K un corps, v une valuation de K, L une extension quasi-galoisienne de degré fini n de K, et (v'ᵢ)_1 ≤ i ≤ g un système complet de prolongements de v à L. Alors e(v'ᵢ/v) et… 04X0
Proposition 9 Soient K un corps, L une extension algébrique de K, et f une valeur absolue sur K. Alors f se prolonge en une valeur absolue sur L. ↩ 1 04X1
Proposition 10 Soient K un corps, f une valeur absolue sur K telle que K soit complet et non discret pour f, et L une extension algébrique de K. Alors f se prolonge de manière unique en une valeu… 04X2
Proposition 11 Soient K un corps, f une valeur absolue non ultramétrique sur K, hatK le complété de K pour f, hatf le prolongement continu de f à hatK, et L une extension de degré fini n de K. ↩ 1 04X3
Remarque 1 La prop. 11 b) montre que toute extension composée de hatK et L sur K est isomorphe à l’un des complétés hatLᵢ, et que ceux-ci sont des extensions composées deux à deux non isomorp… 0CII
Remarque 2 Nous savons que les complétés hatK et hatLᵢ sont isomorphes à R ou C (§ 6, no 4, th. 2). Lorsque hatK est isomorphe à C, il en est de même de hatLᵢ pour tout i, et (10) montre que… 0CIJ
Proposition 12 Soient K un corps, f une valeur absolue sur K, L une extension quasi-galoisienne de K, f' et f'' deux prolongements de f à L. Il existe alors un K-automorphisme s de L tel que f''… 04X4
Remarque 3 Lorsque hatK est isomorphe à R, la prop. 12 montre que tous les complétés hatLᵢ de L (notations de la prop. 11) sont isomorphes entre eux. Ainsi, avec les notations de la Remarque… 0CIK

§ 9. Application : corps localement compacts

Proposition 1 Si K est un corps localement compact, la fonction modK appartient à V(K) (§ 6, no 1). En outre : (i) Si s 0 est tel que (mod_K)ˢ = g soit une valeur absolue, alors g définit la top… ↩ 1 04XQ
Proposition 2 Soient K, K' deux corps localement compacts (non nécessairement commutatifs) tels que K soit un sous-corps topologique de K' et que K soit non discret. Alors : (i) K' est un espace… ↩ 1 04XR
Corollaire 1 Tout corps localement compact dont le centre est non discret est de rang fini sur son centre. En effet, le centre Z d’un corps localement compact K est fermé dans K, donc localemen… 04XS
Corollaire 2 Soient K' un corps localement compact et K un sous-corps fermé de K' (non nécessairement commutatifs). Si K' est un espace vectoriel à gauche (resp. à droite) de dimension finie n… 04XT
Proposition 3 Soit K un corps (non nécessairement commutatif) localement compact non discret dont la topologie soit définie par une valuation discrète v; soient A l’anneau et m l’idéal de v, et… ↩ 1 04XU
Lemme 1 Soient x, y deux éléments permutables de A tels que x - y ∈ mʲ (j ≥ 1); alors x^pⁿ - y^pⁿ ∈ mʲ⁺ⁿ pour tout entier n ≥ 0. 04XV
Théorème 1 Soit K un corps (non nécessairement commutatif) localement compact non discret. ↩ 1 04XW
Corollaire 1 Tout corps localement compact non discret est de rang fini sur son centre. ↩ 1 04XX
Corollaire 2 Tout corps localement compact est connexe ou totalement discontinu; s’il est connexe, il est isomorphe à R, C ou H. 04XY
Remarque Soit s un entier > 0; le sous-corps F_q((Tˢ)) = L de K = F_q((T)) est fermé dans K et l’on a e(K/L) = s et f(K/L) = 1. On voit donc qu’il y a des sous-corps fermés non discrets L d… 04XZ

§ 10. Prolongements d’une valuation à une extension transcendante

Lemme 1 Soient K un corps, v une valuation de K, Γ son groupe des ordres, Γ' un groupe totalement ordonné contenant Γ, et ξ un élément de Γ'. Il existe une valuation w et une seule de K(X)… ↩ 5 04Y5
Proposition 1 Soient K un corps, v une valuation de K, Γ son groupe des ordres, Γ' un groupe totalement ordonné contenant Γ, et ξ un élément de Γ' tel que les relations nξ ∈ Γ, n ∈ Z, entraînent… ↩ 1 04Y6
Proposition 2 Soient K un corps, v une valuation de K, Γ son groupe des ordres, et k son corps résiduel. Il existe une valuation w et une seule de K(X) prolongeant v, telle que w(X) = 0 et que l… ↩ 3 04Y7
Remarque Il ne faudrait pas croire que les deux types de prolongements de v à K(X) que nous venons de rencontrer soient les seuls ; il peut exister un troisième type de prolongement, où Γ'/… 04Y8
Définition 1 On appelle rang rationnel d’un groupe commutatif G la dimension du Q-espace vectoriel G ⊗_Z Q. 04Y9
Proposition 3 Soient G un groupe commutatif totalement ordonné, et H un sous-groupe de G. Si l’on note h(G) et h(H) les hauteurs de G et H (§ 4, no 4), on a l’inégalité ↩ 2 04YA
Corollaire Pour tout groupe commutatif totalement ordonné G, on a h(G) ≤ r(G). On fait H = 0 dans la prop. 3. ↩ 1 04YB
Proposition 4 Soit G un groupe commutatif totalement ordonné. On suppose que G est de type fini, et qu’on a h(G) = r(G). Alors G est isomorphe à Zʳ⁽ᴳ⁾ ordonné lexicographiquement. ↩ 1 04YC
Lemme 2 Soit H un sous-groupe isolé d’un groupe commutatif totalement ordonné G. Si H est facteur direct dans G, le groupe ordonné G est isomorphe au groupe (G/H) × H ordonné lexicographiq… ↩ 1 04YD
Théorème 1 Soient x₁, …, xₛ des éléments de l’anneau de v' dont les images canoniques overlinexᵢ dans k' soient algébriquement indépendantes sur k, et y₁, …, yᵣ des éléments de K' tels que le… ↩ 1 04YE
Corollaire 1 On a l’inégalité 04YF
Corollaire 2 Soient h et h' les hauteurs de v et v'. On a alors 04YG
Corollaire 3 Supposons que K' soit une extension de type fini de K, que Γ soit isomorphe à Zʰ (ordonné lexicographiquement), et qu’il y ait égalité dans la formule (10). Alors Γ' est isomorphe… 04YH
Corollaire 4 Supposons que v soit impropre (auquel cas k = K). On a alors 04YI

VII. Diviseurs

§ 1. Anneaux de Krull

Définition 1 Soient A un anneau intègre, K son corps des fractions. On appelle idéal fractionnaire de A (ou de K, par abus de langage) tout sous-A-module a de K tel qu’il existe un élément d ≠… ↩ 1 04YL
Définition 2 On appelle idéal fractionnaire divisoriel de A tout élément a de I(A) tel que a = tildea. ↩ 1 04YM
Proposition 1 a) Si b est un idéal divisoriel, et si a ∈ I(A), b : a est divisoriel. ↩ 6 04YN
Remarque Au cours de la démonstration précédente, on a prouvé que A : a = A : (A : (A : a)) pour tout idéal a ∈ I(A), ce qui est un cas particulier de Ens., chap. III, 3e éd., § 1, n° 5, pr… 04YO
Proposition 2 (i) Dans D(A), tout ensemble majoré non vide admet une borne supérieure. Plus précisément, si (αᵢ) est une famille majorée non vide d’éléments de I(A), on a ↩ 5 04YP
Corollaire Si x, y et x + y sont dans K^*, on a div(x + y) ≥ inf(div(x), div(y)). En effet A(x + y) ⊂ Ax + Ay, donc div(x + y) ≥ div(Ax + Ay). 04YQ
Proposition 3 Soient a, a', b, b' des éléments de I(A). Les relations a > a' et b > b' impliquent ab > a'b'. On peut se borner au cas où b = b'. Soit alors Ax un idéal principal fractionnaire co… 04YR
Proposition 4 Soient a, b deux idéaux fractionnaires divisoriels de A. Les propriétés suivantes sont équivalentes: a) div\ a et div\ b sont des diviseurs équivalents; b) il existe x ∈ K^* tel qu… 04YS
Théorème 1 Soit A un anneau intègre. Pour que le monoïde D(A) des diviseurs de A soit un groupe, il faut et il suffit que A soit complètement intégralement clos. ↩ 1 04YT
Corollaire Soient A un anneau complètement intégralement clos, a un idéal fractionnaire divisoriel de A. Alors, pour tout idéal fractionnaire b ≠ 0 de A, on a div(a : b) = div a - div b. ↩ 1 04YU
Définition 3 On dit qu’un anneau A est un anneau de Krull s’il est intègre, et s’il existe une famille (vᵢ)_i ∈ I de valuations du corps des fractions K de A possédant les propriétés suivantes… ↩ 5 04YV
Exemple 1 Tout anneau de valuation discrète est un anneau de Krull. 0CIM
Exemple 2 Plus généralement, tout anneau principal A est un anneau de Krull. En effet soit (pᵢ)_i ∈ I un système représentatif d’éléments extrémaux de A, et soit vᵢ la valuation du corps des… 0CIN
Exemple 3 Soient F un corps, et (Rᵢ)_1 ≤ i ≤ n une famille finie de sous-anneaux de F qui soient des anneaux de Krull. Alors leur intersection S = ⋂ⱼ₌₁ⁿ Rⱼ est un anneau de Krull. En effet… 0CIO
Exemple 4 En particulier, si A est un anneau de Krull et K’ un sous-corps du corps des fractions K de A, K' ∩ A est un anneau de Krull. 0CIP
Théorème 2 Soit A un anneau intègre. Pour que A soit un anneau de Krull, il faut et il suffit que les deux conditions suivantes soient satisfaites: ↩ 3 04YW
Lemme 1 Si A est un anneau de Krull, et (vᵢ)_i ∈ I une famille de valuations normées de K vérifiant (AK_I), (AK_II) et (AK_III), l’application a → (vᵢ(a))_i ∈ I est une application injecti… ↩ 1 04YX
Corollaire Pour qu’un anneau noethérien soit un anneau de Krull, il faut et il suffit qu’il soit intégralement clos. ↩ 1 04YY
Proposition 5 Soient A un anneau de Krull, K son corps des fractions, et (v_P)_P ∈ P(A) la famille de ses valuations essentielles. Soit (n_P)_P ∈ P(A) une famille d’entiers rationnels, nuls sauf… ↩ 5 04YZ
Proposition 6 Soient A un anneau de Krull, K son corps des fractions, (vᵢ)_i ∈ I une famille de valuations de K possédant les propriétés de la déf. 3, et Aᵢ l’anneau de vᵢ. Soient S une partie m… ↩ 8 04Z0
Corollaire 1 Soient P un diviseur extrémal de A, et p l’idéal divisoriel correspondant. Alors p est premier, l’anneau de vₚ est Aₚ et le corps résiduel de vₚ s’identifie au corps des fractions… ↩ 7 04Z1
Corollaire 2 Soient A un anneau de Krull, K son corps des fractions, et (vᵢ)_i ∈ I une famille de valuations possédant les propriétés de la déf. 3. Alors toute valuation essentielle de A est éq… ↩ 4 04Z2
Proposition 7 Soient A un anneau de Krull, (vₚ)_P ∈ P(A) la famille de ses valuations essentielles, et a ∈ I(A). Alors le coefficient de P dans div a est inf_y ∈ a (vₚ(y)). Si p est l’idéal prem… ↩ 1 04Z3
Proposition 8 Soit A un anneau noethérien intégralement-clos. ↩ 3 04Z4
Proposition 9 Soient v₁, …, vᵣ des valuations essentielles, deux à deux distinctes, d’un anneau de Krull A, et n₁, …, nᵣ des entiers rationnels. Il existe un élément x du corps des fractions K d… ↩ 8 04Z5
Corollaire 1 Soient A un anneau de Krull, K son corps des fractions, a, b, c trois idéaux fractionnaires divisoriels de A tels que a ⊂ b. Il existe x ∈ K tel que a = b ∩ xc. ↩ 1 04Z6
Corollaire 2 Soit A un anneau de Krull. Pour qu’un idéal fractionnaire a de A soit divisoriel, il faut et il suffit qu’il soit intersection de deux idéaux principaux fractionnaires. ↩ 2 04Z7
Définition 4 Soit A un anneau intègre. Un idéal premier p de A est dit de hauteur 1 s’il est minimal parmi les idéaux premiers non nuls de A. 04Z8
Théorème 3 Soient A un anneau de Krull, et p un idéal entier de A. Pour que p soit l’idéal divisoriel correspondant à un diviseur extrémal, il faut et il suffit que p soit un idéal premier de… ↩ 5 04Z9
Corollaire 1 Dans un anneau de Krull, tout idéal premier non nul m contient un idéal premier de hauteur 1. Si m n’est pas de hauteur 1, on a div m = 0 et A : m = A. ↩ 1 04ZA
Corollaire 2 Soient A un anneau de Krull, K son corps des fractions, v une valuation de K positive sur A, et p l’ensemble des x ∈ A tels que v(x) > 0. Si l’idéal premier p est de hauteur 1, v e… ↩ 2 04ZB
Théorème 4 Soient A un anneau intègre, M l’ensemble de ses idéaux premiers de hauteur 1. Pour que A soit un anneau de Krull, il faut et il suffit que les propriétés suivantes soient vérifiées… ↩ 6 04ZC
Proposition 10 Soient A un anneau noethérien intégralement clos, et a un idéal entier de A. Les conditions suivantes sont équivalentes : a) a est divisoriel ; b) les idéaux premiers associés à A/… 04ZD
Proposition 11 Soient A un anneau de Krull local (en particulier un anneau noethérien local et intégralement clos) et m son idéal maximal. Les conditions suivantes sont équivalentes: a) A est un… ↩ 1 04ZE
Proposition 12 Soient A un anneau de Krull, K son corps des fractions, K' une extension de degré fini de K, et A' la fermeture intégrale de A dans K'. Alors A' est un anneau de Krull. Les valuati… ↩ 3 04ZF
Corollaire Soient p (resp. p') un idéal premier de hauteur 1 de A (resp. A'), et v (resp. v') la valuation essentielle de A (resp. A') qui lui correspond. Pour que p' soit au-dessus de p, il… ↩ 1 04ZG
Proposition 13 Soient A un anneau de Krull, X₁, X₂, …, Xₙ des indéterminées. L’anneau A[X₁, …, Xₙ] est un anneau de Krull. ↩ 2 04ZH
Remarque Les valuations v_f et barw introduites dans la démonstration de la prop. 13 sont les valuations essentielles de A[X]. Il nous suffira de montrer que si V est l’ensemble des valuati… 04ZI
Proposition 14 Soient A un anneau de Krull, et B un anneau de Krull contenant A. On suppose vérifiée la condition suivante: (PDE) Pour tout idéal premier 𝔓 de hauteur 1 de B, l’idéal premier 𝔓 ∩… ↩ 3 04ZJ
Proposition 15 Soient A et B des anneaux de Krull tels que B contienne A et soit un A-module plat. Alors : a) la condition (PDE) de la prop. 14 est satisfaite ; ↩ 1 04ZK
Corollaire Soient A un anneau de Krull local, et B un anneau de valuation discrète tel que B domine A et soit un A-module plat. Alors A est un corps ou un anneau de valuation discrète. 04ZL
Remarque Dans le premier des deux cas précédents, l’application i : D(A) → D(B) est injective : comme les éléments de P(B) forment une base de D(B) et que deux idéaux distincts de P(A) ne p… 04ZM
Proposition 16 Soit A un anneau de Zariski tel que son complété hatA soit un anneau de Krull. Alors A est un anneau de Krull, et l’homomorphisme canonique i de C(A) dans C(hatA) (qui est défini p… ↩ 2 04ZN
Proposition 17 Soient A un anneau de Krull, et S une partie multiplicative de A ne contenant pas 0. Alors l’homomorphisme canonique i de C(A) dans C(S⁻¹A) est surjectif. Si, de plus, S est engend… ↩ 4 04ZO
Proposition 18 Soient R un anneau de Krull, et A l’anneau de polynômes R[X]. L’homomorphisme canonique de C(R) dans C(R[X]) est bijectif. ↩ 1 04ZP

§ 2. Anneaux de Dedekind

Définition 1 On appelle anneau de Dedekind un anneau de Krull dont tous les idéaux premiers non nuls sont maximaux. 050M
Théorème 1 Soient A un anneau intègre, K son corps des fractions. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 6 050N
Proposition 1 Un anneau de Dedekind semi-local est principal. ↩ 3 050O
Proposition 2 Soient A un anneau de Dedekind, K son corps des fractions, et P l’ensemble des idéaux premiers non nuls de A; pour p ∈ P, notons vₚ la valuation essentielle correspondante de A. So… ↩ 2 050P
Proposition 3 L’anneau A₀ (resp. A) s’identifie au complété de A (resp. K) pour la topologie d’anneau dont un système fondamental de voisinages de 0 est formé de tous les idéaux entiers ≠ (0) de… ↩ 1 050Q
Proposition 4 Le groupe SL(n, K) est dense dans SL(n, A). 050R
Lemme 1 Soient A un anneau noethérien intègre dans lequel tout idéal premier non nul est maximal, et M un A-module de torsion de type fini. Alors la longueur long_A(M) de M est finie. ↩ 1 050S
Lemme 2 Soient A un anneau, T un A-module, (Tⱼ) une famille filtrante croissante de sous-modules de T, de réunion T. Alors long_A(T) = sup (long_A(Tⱼ)). ↩ 1 050T
Remarque Cette démonstration ne suppose pas A commutatif. 050U
Lemme 3 Soient A un anneau intègre noethérien tel que tout idéal premier non nul de A soit maximal, M un A-module sans torsion de rang fini r, et a un élément non nul de A. Alors A/Aa est… ↩ 1 050V
Proposition 5 (Krull-Akizuki) Soient A un anneau intègre noethérien dont tout idéal premier non nul est maximal, K son corps des fractions, L une extension de degré fini de K, et B un sous-anneau de L contenant… ↩ 3 050W
Corollaire 1 Pour tout idéal premier p de A, l’ensemble des idéaux premiers de B au-dessus de p est fini. ↩ 2 050X
Corollaire 2 La fermeture intégrale de A dans L est un anneau de Dedekind. 050Y
Corollaire 3 La fermeture intégrale d’un anneau de Dedekind dans une extension de degré fini de son corps des fractions est un anneau de Dedekind. ↩ 2 050Z
Proposition 6 Soient A un anneau de Dedekind, K son corps des fractions, L une extension de degré fini de K, et B la fermeture intégrale de A dans L. Soient p un idéal premier non nul de A, v la… 0510

§ 3. Anneaux factoriels

Définition 1 On appelle anneau factoriel un anneau de Krull dont tous les idéaux divisoriels sont principaux. ↩ 4 051N
Exemple 1 Tout anneau principal est factoriel (et, rappelons-le, est un anneau de Dedekind). Réciproquement tout anneau de Dedekind factoriel est principal en vertu du § 2, n° 2, th. 1, c). 0CIQ
Exemple 2 En particulier, si K est un corps, les anneaux K[X] et K[[X]] sont factoriels (voir th. 2 et prop. 8 ci-dessous pour des généralisations). 0CIR
Exemple 3 \ L’anneau local d’un point simple d’une variété algébrique est factoriel. L’anneau des germes de fonctions analytiques à l’origine de Cⁿ est factoriel. \ 0CIS
Théorème 1 Soit A un anneau intègre. Les conditions suivantes sont équivalentes: a) A est factoriel; ↩ 4 051O
Proposition 1 Soit A un anneau de Krull. Si tout idéal divisoriel de A est inversible, alors, pour tout idéal maximal m de A, Aₘ est factoriel. La réciproque est vraie si on suppose en outre que… ↩ 1 051P
Proposition 2 Soit A un anneau intègre. Pour que A soit factoriel, il faut et il suffit qu’il existe une partie P de A telle que tout a ∈ A - 0 s’écrive de manière unique sous la forme a = u ∏_p… 051Q
Proposition 3 Soient A un anneau de Krull, S une partie multiplicative de A ne contenant pas 0. (i) Si A est factoriel, S⁻¹A est factoriel. (ii) Si S est engendrée par une famille d’éléments pᵢ… ↩ 5 051R
Lemme 1 (Gauss) Soient f, f' des éléments non nuls de K[X], c, c' des contenus de f, f'. Alors cc' est un contenu de ff'. Soit d un contenu de ff'. Pour toute valuation v de K essentielle pour A… ↩ 1 051S
Théorème 2 Soient A un anneau factoriel, K son corps des fractions, (p_λ) un système représentatif d’éléments extrémaux de A, et (P_λ) un système représentatif de polynômes irréductibles de K… ↩ 3 051T
Corollaire Si A est un anneau factoriel, l’anneau A[X₁, …, Xₙ] est factoriel. On raisonne par récurrence sur n. 051U
Proposition 4 Soient A un anneau de Zariski, hatA son complété. Si hatA est factoriel, A est factoriel. Cela résulte du n° 1, déf. 1, et du § 1, n° 10, prop. 16. 051V
Corollaire Si le complété d’un anneau local noethérien A est factoriel, A est factoriel. ↩ 1 051W
Lemme 2 Soit f(X₁, X₂, …, Xₙ) une série formelle ≠ 0 à coefficients dans un anneau E. Il existe des entiers u(i) geqslant 1 (1 leqslant i leqslant n - 1) tels que f(Tᵘ⁽¹⁾, …, T^u(n-1), T)… ↩ 1 051X
Lemme 3 Soit f un élément non nul de E' = E[[X₁, ..., Xₙ]]. Il existe des entiers u(i) ≥ 1 (1 ≤ i ≤ n-1) tels que l’automorphisme s de E' défini par s(Xᵢ) = Xᵢ + Xₙᵘ⁽ⁱ⁾ (1 ≤ i ≤ n-1) et s(… ↩ 1 051Y
Proposition 5 Soit f ∈ B une série dont la série réduite n’est pas nulle. Notons s son ordre réduit, et M le sous-A-module de B ayant 1, X, ..., Xˢ⁻¹ pour base. Alors B est somme directe de M et… ↩ 3 051Z
Corollaire Les hypothèses et notations étant celles de la prop. 5, on suppose que s geqslant 1, de sorte que f ∈ Bm + BX. Alors le A-homomorphisme h de B' = A[[T]] dans B = A[[X]] tel que h(T… 0520
Définition 2 On dit qu’un polynôme F = A[X] est distingué s’il est de la forme F = Xˢ + aₛ₋₁ Xˢ⁻¹ + ⋯ + a₀, avec aᵢ ∈ m pour 0 leqslant i leqslant s-1. ↩ 1 0521
Proposition 6 (Théorème de préparation) Soient f ∈ B une série dont la série réduite n’est pas nulle, et s son ordre réduit. Il existe alors un couple (u, F) et un seul tel que u soit un élément inversible de B, F un pol… ↩ 3 0522
Proposition 7 Soient F un polynôme distingué, et g, h deux séries formelles de B telles que F = gh. Il existe alors un élément inversible u de B tel que ug et u⁻¹h soient des polynômes distingué… ↩ 2 0523
Corollaire Supposons en outre que A soit intègre, et soit F un polynôme distingué de degré s. Pour que F soit extrémal dans A[X], il faut et il suffit qu’il soit extrémal dans B = A[[X]]. ↩ 2 0524
Proposition 8 Soit C un anneau qui est, soit un corps, soit un anneau de valuation discrète. Alors l’anneau de séries formelles C[[X₁, …, Xₙ]] est factoriel. ↩ 3 0525
Remarque 1 Il existe des anneaux factoriels A tels que l’anneau A[[X]] ne soit pas factoriel (exerc. 8). Cependant, si A est principal, A[[X₁, …, Xₙ]] est factoriel (exerc. 9). 0CIT
Remarque 2 \ Nous verrons plus tard, par des méthodes homologiques, que tout anneau local régulier est factoriel (cf. § 4, n° 7, cor. 3 de la prop. 16). Cela donnera une autre démonstration… 0CIU

§ 4. Modules sur les anneaux noethériens intégralement clos

Définition 1 Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur le corps K. On appelle réseau de V par rapport à A (ou simplement réseau de V) tout sous-A-module M de V vérifiant la condition su… 052X
Exemple 1 Si on prend V = K, les réseaux de K ne sont autres que les idéaux fractionnaires ≠ (0) de K (§ 1, n° 1, déf. 1). 0CIV
Exemple 2 Si rg_K(V) = n, tout sous-A-module libre L de V possède une base ayant au plus n éléments, toute partie de V libre sur A étant libre sur K; pour que L soit un réseau de V, il faut… 0CIW
Exemple 3 Si A est un anneau principal, tout réseau M de V est un A-module de type fini (puisque A est noethérien) et sans torsion, donc est un A-module libre (Alg., chap. VII, § 4, n° 3, co… 0CIX
Proposition 1 Pour qu’un sous-A-module M de V soit un réseau de V, il faut et il suffit que KM = V et que M soit contenu dans un sous-A-module de type fini de V. ↩ 5 052Y
Corollaire Supposons A noethérien; pour qu’un sous-A-module M de V soit un réseau de V, il faut et il suffit que KM = V et que M soit de type fini. ↩ 1 052Z
Remarque 1 Rappelons que pour tout sous-A-module M de V, l’application canonique M ⊗_A K → V est injective et a pour image KM (Alg., chap. II, 3e éd., § 7, n° 10, prop. 26); dire que KM = V s… 0530
Proposition 2 Soient M un réseau de V, M₁ un sous-A-module de V. S’il existe deux éléments x, y de K^* tels que xM ⊂ M₁ ⊂ yM, M₁ est un réseau de V; inversement, si M₁ est un réseau de V, il exi… ↩ 3 0531
Proposition 3 (i) Si M₁, et M₂ sont des réseaux de V, il en est de même de M₁ ∩ M₂ et de M₁ + M₂. ↩ 5 0532
Remarque 2 La prop. 3, (i), montre que l’ensemble R(V) des réseaux de V est réticulé pour la relation d’inclusion; de plus, si M est un réseau fixe de V, les xM, où x parcourt K, forment une… 0CIY
Remarque 3 Avec les notations de la prop. 3, (iv), l’application canonique N : M → HomA(M, N) qui à toute application K-linéaire f ∈ N : M associe l’application A-linéaire de M dans N qui a m… 0CIZ
Corollaire Soient U, V, W trois espaces vectoriels de rang fini sur K, f : U × V → W une application K-bilinéaire non dégénérée à gauche (Alg., chap. IX, § 1, n° 1, déf. 3). Si M est un résea… 0533
Exemple 4 Soit S une K-algèbre de rang fini (non nécessairement associative) ayant un élément unité; alors l’application bilinéaire (x, y) → xy de S × S dans S est non dégénérée (à gauche et… 0CJ0
Exemple 5 Soient V un espace vectoriel de dimension finie sur K, f une forme bilinéaire non dégénérée sur V. Si M est un réseau de V, il résulte du cor. de la prop. 3 que l’ensemble M_f^* de… 0CJ1
Proposition 4 Soient B un anneau commutatif intègre, A un sous-anneau de B, K et L les corps des fractions respectifs de A et de B. Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur K. ↩ 3 0534
Corollaire Supposons que A soit un anneau de valuation discrète. Soit hatA son complété, et soit hatK le corps des fractions de hatA (chap. VI, § 5, n° 3). L’application φ qui, à tout réseau… 0535
Exemple 6 Soient S une partie multiplicative de A ne contenant pas 0 ; appliquons la prop. 4 à B = S⁻¹A; on a alors L = K, BM = S⁻¹M; donc S⁻¹M est un réseau de V par rapport à S⁻¹A. En outr… 0CJ2
Proposition 5 Soient V, W deux espaces vectoriels de rang fini sur K, M un réseau de V, N un réseau de W. Si M est de type fini, on a (avec les notations de la prop. 3): ↩ 3 0536
Théorème 1 Si M est un réseau de V, on a M = ⋂_p ∈ P Mₚ^*. 0537
Corollaire On a M = ⋂_p ∈ P Mₚ. 053A
Remarque 1 Soit M un A-module de type fini; il est immédiat que le dual M de M, identifié à un sous-A-module de HomA(M, K), est un réseau du K-espace vectoriel HomA(M, K); en particulier, tou… ↩ 1 0538
Théorème 2 Si M est un réseau de V, les conditions suivantes sont équivalentes: a) M est réflexif. b) M = ⋂_p ∈ P Mₚ. c) On a Ass(V/M) ⊂ P. ↩ 6 0539
Corollaire Soient M, N deux réseaux de V par rapport à A, tels que N soit réflexif. Pour que M ⊂ N, il faut et il suffit que, pour tout p ∈ P, on ait Mₚ ⊂ Nₚ. 0CJ3
Exemple 1 Tout réseau libre est réflexif. 0CJ4
Exemple 2 Prenons V = K. Pour qu’un idéal fractionnaire a de K soit un réseau réflexif, il faut et il suffit qu’il soit un idéal divisoriel, en vertu du critère b) du th. 2 et du § 1, n° 4… 0CJ5
Exemple 3 Soit M un réseau par rapport à A; si S est une partie multiplicative de A ne contenant pas 0, la prop. 5 du n° 1 montre que S⁻¹(M^*) = (S⁻¹M)^*; si M est réflexif, S⁻¹M est donc un… 0CJ6
Proposition 6 (i) Si M₁ et M₂ sont des réseaux réflexifs de V, il en est de même de M₁ ∩ M₂. 053B
Remarque 2 Si M₁ et M₂ sont des réseaux réflexifs de V, le réseau M₁ + M₂ n’est pas nécessairement réflexif (cf. § 1, exerc. 2). 0CJ7
Remarque 3 Si M est un A-module de type fini, T son sous-module de torsion, le dual M^* de M est le même que le dual de M/T, car pour toute forme linéaire f sur M, l’image f(T) est un sous-mo… 0CJ8
Proposition 7 Soit 0 → M → N → Q → 0 une suite exacte de A-modules. On suppose que N est de type fini et est sans torsion. ↩ 4 053C
Proposition 8 Soient R et S deux anneaux commutatifs, ρ : R → S un homomorphisme d’anneaux, M un R-module de type fini. On suppose que R est noethérien et que S est un R-module plat. Alors, si M… ↩ 2 053D
Théorème 3 Soient V un espace vectoriel de rang fini sur K, M un réseau de V par rapport à A. ↩ 2 053E
Lemme 1 Soient p et p' deux idéaux premiers de A tels que (0) soit le seul idéal premier de A contenu dans p ∩ p'. Pour tout sous-A-module E de V, on a alors (Eₚ)_p' = K.E. 053F
Remarque Soit L un réseau libre de V par rapport à A. Puisque Aₚ est un anneau principal pour p ∈ P, N(p) est un Aₚ-module libre de même rang que L, et il existe u(p) ∈ GL(V) tel que u(p)(L… 053G
Proposition 9 Soit M un A-module de type fini. Les conditions suivantes sont équivalentes: a) Mₚ = 0 pour tout idéal premier p de hauteur ≤ 1. b) L’annulateur a de M est un idéal ≠ (0), et on a… ↩ 3 053H
Remarque 1 Les conditions équivalentes de la prop. 9 signifient aussi que Ass(M) ne contient aucun idéal premier de hauteur ≤ 1. On peut les interpréter en disant que Supp(M) est de codimensi… 053I
Définition 2 On dit qu’un A-module M est pseudo-nul s’il est de type fini et s’il vérifie les conditions équivalentes de la prop. 9. ↩ 3 053J
Exemple 1 Si A est un anneau de Dedekind, tout idéal premier de A est de hauteur ≤ 1; dire que M est pseudo-nul signifie alors que Supp(M) = φ, donc que M = 0 (chap. II, § 4, n° 4). 0CJ9
Exemple 2 Soient k un corps, A = k[X, Y] l’anneau des polynômes sur k à deux indéterminées ; si m est l’idéal maximal AX + AY de A, le A-module A/m est pseudo-nul ; en effet, son annulateur… 0CJA
Définition 3 Soient M et N deux A-modules, et f : M → N un homomorphisme. On dit que f est pseudo-injectif (resp. pseudo-surjectif, pseudo-nul), si Ker(f) (resp. Coker(f), Im(f)), est pseudo-nu… 053K
Exemple 3 Soit M un A-module sans torsion de type fini ; alors l’application canonique c_M : M → M^** de M dans son bidual est un pseudo-isomorphisme. En effet, M s’identifie à un réseau de… 0CJB
Théorème 4 Soient E un A-module de type fini, T le sous-module de torsion de E, et M = E/T. Il existe un pseudo-isomorphisme : ↩ 3 053L
Lemme 2 Soit (pᵢ)_1 ≤ i ≤ k une famille finie non vide d’idéaux premiers de A de hauteur 1, et soit S = ⋂ᵢ (A - pᵢ); alors l’anneau S⁻¹A est principal. ↩ 3 053M
Lemme 3 Il existe un homomorphisme g : E → T dont la restriction à T est à la fois une homothétie et un pseudo-isomorphisme. 053N
Théorème 5 Soit T un A-module de torsion de type fini. Il existe deux familles finies (nᵢ)_i ∈ I et (pᵢ)_i ∈ I, où les nᵢ sont des entiers geqslant 1 et les pᵢ des idéaux premiers de hauteur… ↩ 3 053O
Remarque 2 Dans l’énoncé du th. 5, on peut remplacer les modules A/pi^{ni} par A/pi^{(ni)} (§ 1, n° 4, prop. 8). En effet, pour tout p \in P, l’application canonique g : A/p^n \to A/p^{(n)} =… ↩ 1 053P
Définition 4 Si T est un A-module de torsion de type fini, on appelle contenu de T, et l’on note χ(T), le diviseur : ↩ 3 053Q
Proposition 10 (i) Soit 0 → T₁ → T₂ → T₃ → 0 une suite exacte de A-modules de torsion de type fini. On a alors : χ(T₂) = χ(T₁) + χ(T₃). (ii) S’il existe un pseudo-isomorphisme f : T₁ → T₂, on a χ… ↩ 2 053R
Corollaire Soit 0 → Tₙ → Tₙ₋₁ → ⋯ → T₀ → 0 une suite exacte de A-modules de torsion de type fini. On a ∑ᵢ₌₀ⁿ (-1)ⁱ χ(Tᵢ) = 0. ↩ 1 053S
Proposition 11 Soient G un groupe commutatif, noté additivement, et φ : T(A) → G une application; pour tout A-module de torsion de type fini T, on pose encore, par abus de langage, φ(T) = φ(cl(T)… ↩ 3 053T
Proposition 12 Si 𝔞 est un idéal ≠ 0 de A, ↩ 1 053U
Proposition 13 Soient M un réseau de V, u un K-auto-morphisme de V. Alors on a : 053V
Proposition 14 Si M, M' sont deux réseaux de V tels que M' ⊂ M, M/M' est un A-module de torsion de type fini, et l’on a: (7) χ(M, M') = - χ(M/M'). En effet, il est clair que M/M' ⊂ V/M' est un mo… ↩ 1 053W
Corollaire Soient L₁, L₂ deux A-modules libres de même rang fini n et soit f : L₁ → L₂ un homomorphisme. Soit U la matrice de f par rapport à des bases de L₁ et de L₂. Pour que Coker(f) soit… ↩ 1 053X
Exemple Si A = Z, le groupe des diviseurs de A s’identifie au groupe multiplicatif Q₊^* des nombres rationnels > 0. Pour tout groupe commutatif fini T, χ(T) est l’ordre de T ; le corollair… ↩ 1 053Y
Proposition 15 Soit M un A-module de type fini. Il existe un sous-module libre L de M tel que M/L soit un module de torsion, et l’élément c(χ(M/L)) de C ne dépend pas du sous-module libre L chois… ↩ 1 053Z
Proposition 16 (i) Soit 0 → M₁ xrightarrowf M₂ xrightarrowg M₃ → 0 une suite exacte de A-modules de type fini. On a: ↩ 7 0540
Corollaire 1 Soit 0 → Mₙ xrightarrowu Mₙ₋₁ → ⋯ → M₀ → 0 une suite exacte de A-modules de type fini. On a alors ↩ 3 0541
Corollaire 2 Si un idéal fractionnaire divisoriel a ≠ 0 de A admet une résolution libre finie, il est principal. ↩ 2 0542
Corollaire 3 Si tout idéal divisoriel ≠ 0 de A admet une résolution libre finie, A est factoriel. ↩ 1 0543
Proposition 17 Soient G un groupe commutatif, noté additivement, et φ une application de l’ensemble F(A) des classes de A-modules de type fini dans G; pour tout A-module de type fini M, on pose e… 0544
Proposition 18 (i) Pour que R soit un B-module pseudo-nul, il faut et il suffit que le A-module R_[A] soit pseudo-nul. ↩ 1 0545
Proposition 19 Soit R un B-module de type fini. Pour que R soit réflexif, il faut et il suffit que R_[A] soit un A-module réflexif. ↩ 1 0546
Lemme 4 Soit W un espace vectoriel de rang fini sur L et soit R un réseau de W par rapport à B. Pour tout p ∈ P(A), on a alors (R_[A])ₚ = ⋂_𝔓|p R_𝔓. ↩ 1 0547
Corollaire L’anneau B est un A-module réflexif. 0548
Proposition 20 (i) Pour qu’un A-module de type fini M soit pseudo-nul, il faut et il suffit que M \otimesA B soit un B-module pseudo-nul. 0549
Lemme 5 Soient M1, M2 deux A-modules de type fini, f : M1 \to M2 un homomorphisme injectif. Alors le noyau de f ⊗ 1_B : M₁ ⊗_A B → M₂ ⊗_A B est pseudo-nul. 054A
Remarque 1 Si M est un A-module réflexif, M ⊗_A B n’est pas nécessairement réflexif (exerc. 6). Il en est toutefois ainsi lorsque B est un A-module plat (n° 2, prop. 8). 0CJC
Remarque 2 Soit C un troisième anneau noethérien intégralement clos, tel que B ⊂ C et que C soit un B-module de type fini (donc aussi un A-module de type fini). On a alors les formules de tra… 0CJD
Lemme 6 Soient R un anneau commutatif, pᵢ (1 leqslant i leqslant n) des idéaux premiers de R, deux à deux distincts. ↩ 1 054B
Théorème 6 Soit M un A-module sans torsion de type fini. Il existe un sous-module libre L de M tel que M/L soit isomorphe à un idéal de A. ↩ 2 054C
Lemme 7 Soient xᵢ (1 ≤ i ≤ m) des éléments de M linéairement indépendants (sur A ou sur K, ce qui revient au même), et soit L le sous-A-module de M engendré par les xᵢ. Alors, pour presque… ↩ 1 054D
Lemme 8 Supposons que le rang n de M soit geqslant 2; alors il existe un élément x ≠ 0 de M tel que M/Ax soit sans torsion. 054E
Remarque Si M est réflexif, il n’en est pas nécessairement de même de M/L (exerc. 9). 054F
Proposition 21 Soit A un anneau de Dedekind. Tout A-module pseudo-nul est nul. Tout homomorphisme pseudo-injectif (resp. pseudo-surjectif, pseudo-bijectif, pseudo-nul) de A-modules est injectif (… 054G
Proposition 22 Soient A un anneau de Dedekind, M un A-module de type fini. Les propriétés suivantes sont équivalentes: a) M est sans torsion. b) M est réflexif. c) M est projectif. ↩ 2 054H
Corollaire Soit M un A-module de type fini, et soit T son sous-module de torsion. Alors T est facteur direct dans M. En effet, comme M/T est sans torsion et de type fini, il est projectif en… ↩ 1 054I
Proposition 23 Soient A un anneau de Dedekind, T un A-module de torsion de type fini. Il existe deux familles finies (ni){i∈I} et (pi){i∈I}, où les ni sont des entiers ≥ 1 et les pi des éléments… 054J
Proposition 24 Soient A un anneau de Dedekind, M un A-module sans torsion de type fini, de rang n ≥ 1. Il existe alors un idéal 𝔅 ≠ 0 de A tel que M soit isomorphe à la somme directe des modules… 054K
Remarque 1 Les prop. 23, 24 et le cor. de la prop. 22 déterminent complètement la structure des A-modules de type fini. La prop. 24 montre qu’un A-module sans torsion de type fini est détermi… 0CJE
Remarque 2 On peut montrer que sur un anneau de Dedekind, un module projectif qui n’est pas de type fini est nécessairement libre (exerc. 21) et que tout sous-module d’un module projectif est… 0CJF

VIII. Dimension

§ 1. Dimension de Krull d’un anneau

Définition 1 Soit I un ensemble ordonné. Une partie finie non vide et totalement ordonnée de I est appelée une chaîne de I. Soit c une chaîne de I; le plus petit et le plus grand élément de c s… 0CJG
Définition 2 On appelle dimension de Krull de l’espace topologique X et on note dim kr(X) ou simplement dim(X) la borne supérieure dans overlineR de l’ensemble des longueurs des chaînes de part… 0CJH
Proposition 1 Soit X un espace topologique. a) Si Y est un sous-espace de X, on a dim(Y) ≤ dim(X), et dim_y(Y) ≤ dim_y(X) pour tout point y de Y. b) Soient x un point de X et V un voisinage de x… 0CJI
Corollaire a) La dimension de l’espace topologique X est la borne supérieure des dimensions de ses composantes irréductibles (II, § 4, no 1, déf. 2). 0CJJ
Proposition 2 Soit X un espace topologique. On a dim(X) = sup_x ∈ X dimₓ(X). 0CJK
Corollaire Si (X_α)_α ∈ A est un recouvrement ouvert, ou un recouvrement fermé localement fini, d’un espace topologique X, on a dim(X) = sup_α ∈ A dim(X_α). 0CJL
Définition 3 Soit X un espace topologique. 0CJM
Remarque 1 La codimension d’une partie fermée Y de X est donc la borne inférieure des codimensions des parties fermées irréductibles de Y. On a codim(∅, X) = +∞ et, si X n’est pas vide, codim… 0CJN
Remarque 2 Si Y est une partie fermée non vide de X, on a codim(Y, X) ≤ dim(X). On a dim(X) = sup_Y codim(Y, X), où Y parcourt l’ensemble des parties fermées irréductibles de X. Si Y et Y’ so… 0CJO
Remarque 3 Soient Y une partie fermée de l’espace topologique X et (X_α)_α ∈ A (resp. (Y_β)_β ∈ B) la famille des composantes irréductibles de X (resp. de Y). Pour tout β ∈ B, notons A(β) l’e… 0CJP
Remarque 4 Soient (Yᵢ)_i ∈ I une famille finie de parties fermées de X et Y = ⋃_i ∈ I Yᵢ; on a 0CJQ
Proposition 3 Soit X un espace topologique. 0CJR
Définition 4 Un espace topologique X est dit caténaire si, pour tout couple (Y, Z) de parties fermées irréductibles de X telles que Y ⊂ Z, toute chaîne saturée de parties fermées irréductibles… 0CJS
Proposition 4 Soit X un espace topologique. Pour que X soit caténaire, il faut et il suffit que, pour tout triplet (Y, Z, T) de parties fermées irréductibles de X tel que Y ⊂ Z ⊂ T, on ait : 0CJT
Corollaire Soit X un espace topologique irréductible et de dimension finie. Pour que X soit caténaire, il faut et il suffit que, pour tout couple (Y, Z) de parties fermées irréductibles de X… 0CJU
Proposition 5 Soit X un espace topologique de dimension finie. Supposons que toutes les chaînes maximales de parties fermées irréductibles de X aient même longueur. Alors X est caténaire ; pour… 0CJV
Définition 5 On appelle dimension de Krull, ou simplement dimension, d’un anneau (commutatif) A et l’on note \dim(A), la dimension de Krull de l’espace topologique Spec(A) (II, § 4, n° 3, déf… 0CJW
Exemple 1 On a dim(A) < 0 si et seulement si A est réduit à 0. Pour que l’on ait dim(A) leqslant 0, il faut et il suffit que tout idéal premier de A soit maximal. Les anneaux intègres de dim… 0CJX
Exemple 2 Les anneaux de Dedekind sont les anneaux noethériens intégralement clos de dimension leqslant 1 (VII, § 2, no 2, th. 1). Plus généralement, d’après V, § 1, no 2, cor. 2 à la prop… 0CJY
Exemple 3 Si A est un anneau de valuation (VI, § 1, no 2, déf. 2), sa dimension est égale à la hauteur de la valuation (VI, § 4, no 4, prop. 5). 0CJZ
Exemple 4 Soit A un anneau. On a dim(A[X]) geqslant dim(A) + 1 . En effet, si p₀ ⊂ ... ⊂ pₙ est une chaîne d’idéaux premiers de A, de longueur n, on obtient une chaîne p'₀ ⊂ ... ⊂ p'ₙ₊₁ d’id… 0CK0
Exemple 5 \ Soit X une variété analytique complexe. Si X est de dimension complexe n en un point x de X, l’anneau local des germes en x de fonctions analytiques sur X est de dimension n. \ 0CK1
Exemple 6 Soient k un corps et A une k-algèbre entière non nulle. Alors on a dim(A) = 0. Cela résulte du cor. 1 à la prop. 1 de V, § 2, no 1, et du fait que dim(k) = 0. 0CK2
Exemple 7 Si 𝔫 est un nilidéal de A, Spec(A) est homéomorphe à Spec(A/𝔫) (II, § 4, no 3, remarque). On a donc dim(A/𝔫) = dim(A); en particulier, on a dim(A) = dim(A_red) où A_red est le quot… 0CK3
Exemple 8 Il existe des anneaux noethériens de dimension infinie (p. 83, exerc. 13). Nous verrons ci-dessous (§ 3, n° 1, cor. 1 à la prop. 2) que tout anneau local noethérien est de dimensio… 0CK4
Proposition 6 Soit A un anneau. a) Si a est un idéal de A, on a dim(A/a) ≤ dim(A). b) Si S est une partie multiplicative de A, on a dim(S⁻¹A) ≤ dim(A). c) On a dim(A) = sup dim(A/p), où p parcou… 0CK5
Remarque 1 Soit ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux. Alors dim(B) est la borne supérieure des nombres dim(B/ρ(p).B), où p parcourt l’ensemble des idéaux premiers minimaux de A : en effet, po… 0CK6
Définition 6 Soit a un idéal d’un anneau A. La codimension de V(a) dans Spec(A) est appelée hauteur de l’idéal a et notée ht(a). 0CK7
Proposition 7 a) La hauteur d’un idéal premier p de A est la borne supérieure des longueurs des chaînes d’idéaux premiers p₀ ⊂ ... ⊂ pₙ telles que pₙ = p. 0CK8
Corollaire Soient p un idéal premier de A et S une partie multiplicative de A ne rencontrant pas p. Alors ht(p) = ht(S⁻¹p). 0CK9
Proposition 8 Soit A un anneau. 0CKA
Définition 7 On dit qu’un anneau A est caténaire si l’espace topologique Spec(A) est caténaire (n° 2, déf. 4). 0CKB
Remarque 2 Tout anneau quotient d’un anneau caténaire est caténaire. Pour que l’anneau A soit caténaire, il faut et il suffit que, pour tout idéal premier p de A, l’anneau Aₚ soit caténaire. 0CKC
Remarque 3 D’après la prop. 7, b) et la prop. 4 du n° 2, l’anneau A est caténaire si et seulement si, pour tout triplet (p, q, r) d’idéaux premiers de A tel que r ⊂ q ⊂ p, on a dim(Ap/qAp) +… 0CKD
Remarque 4 Soit A un anneau de dimension finie, dont toutes les chaînes maximales d’idéaux premiers ont même longueur. Alors A est caténaire, on a ht(p) + dim(A/p) = dim(A) pour tout idéal pr… 0CKE
Remarque 5 Nous verrons au § 2, n° 4, que toute algèbre de type fini sur un corps est un anneau caténaire. Il existe des anneaux locaux noethériens qui ne sont pas caténaires (p. 83, exerc. 1… 0CKF
Définition 8 Soient A un anneau et M un A-module de type fini. On appelle dimension de Krull (ou simplement dimension ¹) du A-module M et on note dim_A(M) (ou dim(M) s’il n’y a pas d’ambiguïté)… 0CKG
Remarque 1 Soient A un anneau noethérien et M un A-module de type fini. Il est équivalent de dire que dim_A(M) ≤ 0, ou que les éléments de Supp(M) sont des idéaux maximaux de A, ou que M est… 0CKH
Remarque 2 Si M est un module de type fini sur un anneau noethérien A, dim_A(M) est la borne supérieure des nombres dim(A/p), où p parcourt l’ensemble Ass_A(M) des idéaux premiers de A associ… 0CKI
Proposition 9 Soient A un anneau et M un A-module de type fini. 0CKJ
Remarque 3 Sous les conditions de la prop. 9, c), on a codim(Supp(M), Spec(A)) = inf(codim(Supp(M'), Spec(A)), codim(Supp(M/M'), Spec(A))). Cela résulte de la formule Supp(M) = Supp(M') ∪ Sup… 0CKK
Remarque Pour tout p ∈ Spec(A), on a z(A/p) = [V(p)]. Plus généralement, soit M un A-module de type fini, et soit (Mᵢ)_0 ≤ i ≤ n une suite de composition de M telle que pour 0 ≤ i ≤ n-1, le… 0CKL
Lemme 1 Soient M un A-module de type fini et d un entier. a) Pour que M soit de type C_≤ d, il faut et il suffit que z(M) ∈ Z_≤ d; la projection z_d(M) de z(M) sur Z_d parallèlement à Z_≤… 0CKM
Proposition 10 Les suites de Z-modules et d’homomorphismes 0CKN
Exemple 1 Supposons A noethérien et intègre. Alors on a Z⁰ = Z.[Spec(A)]; on a C^>0 = C et z⁰(M) = rg(M).[Spec(A)]. Les modules de type C^>1 sont donc les modules de torsion. 0CKO
Exemple 2 Supposons A noethérien et intégralement clos. Alors Z¹ s’identifie au groupe D(A) des diviseurs de A introduit au chapitre VII (§ 1, no 3, th. 2, et no 6, th. 3). Les modules de ty… 0CKP
Exemple 3 Les modules de type C_≤ 0 sont les modules de dimension ≤ 0, c’est-à-dire les modules de longueur finie (no 4, remarque 1). On a long_A(M) = ε(z₀(M)) pour tout A-module de longueur… 0CKQ
Exemple 4 Supposons A intègre et de dimension finie. Posons d = dim(A). Alors on a C_≤ d = C, Z_d = Z.[Spec(A)] = Z⁰, z_d(M) = rg(M).[Spec(A)] = z⁰(M), et les modules de type C_≤ d-1 sont le… 0CKR

§ 2. Dimension des algèbres

Remarque 1 La condition (PM) est satisfaite lorsqu’il existe un B-module de type fini, fidèlement plat sur A et de support égal à Spec(B). C’est le cas, en particulier, si le A-module B est f… 0CL9
Remarque 2 L’existence d’un B-module N fidèlement plat sur A implique l’injectivité de ρ (I, § 3, n° 5, prop. 8), et la surjectivité de l’application “ρ : Spec(B) → Spec(A) (II, § 2, n° 5, co… 0CLA
Remarque 3 Supposons que ρ : A → B soit un homomorphisme local d’anneaux locaux et qu’il existe un B-module N plat sur A et tel que N ⊗B κ(q) ≠ 0 pour tout idéal premier q de B. Alors N est f… 0CLB
Proposition 1 Soit ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux satisfaisant à la condition (PM). 0CLC
Corollaire Soit F une partie fermée de Spec(A). Si Y est une composante irréductible de l’image réciproque de F par l’application “ρ : Spec(B) → Spec(A), alors l’adhérence de “ρ(Y) est une co… 0CLD
Proposition 2 Soit ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux non nuls possédant la propriété (PM). On a l’inégalité 0CLE
Remarque 4 Soit ρ : A → B un homomorphisme local d’anneaux locaux noethériens satisfaisant à la condition (PM). On verra plus loin (§ 3, no 4, prop. 7) qu’on a dans ce cas égalité dans (1). D… 0CLF
Corollaire Pour tout idéal a de A, on a ht(a) ≤ ht(ρ(a)B). 0CLG
Lemme 1 Soient ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux et p un idéal premier de A. L’application continue ᵃ h : Spec(B ⊗_A κ(p)) → Spec(B), associée à l’homomorphisme canonique h : B → B ⊗_A… 0CLH
Remarque 5 D’après la prop. 2 et le lemme 1, on a donc, sous les hypothèses de la prop. 2, l’inégalité dim(Spec(B)) ≥ dim(Spec(A)) + inf_p ∈ Spec(A) dim(αρ⁻¹(p)) . 0CLI
Proposition 3 Soit ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux. Posons n = sup_p ∈ Spec(A) dim(B ⊗_A κ(p)). On a l’inégalité dim(B) + 1 ≤ (dim(A) + 1).(n + 1) . 0CLJ
Remarque 1 Si les anneaux A et B sont noethériens, nous verrons ci-dessous (§ 3, no 4, cor. 2 à la prop. 7) qu’on a l’inégalité dim(B) ≤ dim(A) + n, plus forte que celle de la prop. 3. 0CLK
Corollaire 1 Supposons qu’on ait dim(A) < +∞ et qu’il existe un entier n tel que dim(B ⊗_A κ(p)) ≤ n pour tout p ∈ Spec(A). Alors on a dim(B) < +∞. 0CLL
Corollaire 2 Soient A un anneau et B = A[X] l’anneau des polynômes en une indéterminée à coefficients dans A. On a : 1 + dim(A) ≤ dim(B) ≤ 1 + 2dim(A) . 0CLM
Remarque 2 Nous verrons plus loin ( , no 4, cor. 3 à la prop. 7) que, si A est noethérien, on a dim(A[X]) = 1 + dim(A) 0CLN
Corollaire 3 Si A est de dimension finie, toute A-algèbre non nulle de type fini est de dimension finie. 0CLO
Lemme 2 Soit ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux tel que, pour tout idéal premier p de A, la κ(p)-algèbre B ⊗ₓₐ κ(p) soit entière (V, § 1, no 1, déf. 2). Soient q et q’ deux idéaux premie… 0CLP
Théorème 1 Soit ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux faisant de B une A-algèbre entière. 0CLQ
Théorème 2 Soient A un anneau intégralement clos, et B un anneau contenant A, entier sur A. On suppose que B est un A-module sans torsion. Pour tout idéal a de A, on a ht(a) = ht(aB). Soient… 0CLR
Remarque Soient A un anneau intègre et B un anneau contenant A, entier sur A. Soit p un idéal premier de A tel que la clôture intégrale de Aₚ soit un anneau local. On peut démontrer que, po… 0CLS
Lemme 3 Soient A une k-algèbre de type fini et p₀ ⊂ ... ⊂ pₘ une chaîne maximale d’idéaux premiers de A. Il existe un entier n ≥ m, une suite (x₁, ..., xₙ) d’éléments de A, algébriquement… 0CLT
Théorème 3 Soit A une k-algèbre de type fini. a) Pour tout idéal premier minimal p de A, toutes les chaînes maximales d’idéaux premiers de A d’origine p ont pour longueur l’entier deg.trₖ κ(p… 0CLU
Corollaire 1 Soit n un entier positif. On a 0CLV
Corollaire 2 Soit A une k-algèbre intègre de type fini. Pour tout idéal premier p de A, on a 0CLW
Corollaire 3 Soit A une k-algèbre de type fini et soit f un élément de A qui n’appartienne à aucun idéal premier minimal de A (par exemple un élément de A non diviseur de zéro, cf. IV, § 1, no… 0CLX
Corollaire 4 Soient A une k-algèbre de type fini et p un idéal premier de A. 0CLY
Corollaire 5 Soient A une k-algèbre de type fini, p un idéal premier de A et (𝔭ᵢ)_i ∈ I la famille des idéaux premiers minimaux de A contenus dans p. On a : 0CLZ
Corollaire 6 Soit A une k-algèbre de type fini non réduite à 0, et soit n un entier geqslant 0. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0CM0
Remarque 1 D’après le cor. 5, les conditions a), b), c) du cor. 6 impliquent qu’on a dimₚ(A) = dim(A) pour tout idéal premier p de A. 0CM1
Proposition 4 Soient A et B deux k-algèbres de type fini et ρ : A → B un homomorphisme d’algèbres. Supposons que A soit intègre et que le A-module B soit sans torsion, et notons K le corps des f… 0CM2
Corollaire Soit ρ : A → B un homomorphisme injectif de k-algèbres de type fini. On a dim(A) ≤ dim(B). 0CM3
Lemme 4 Soient A et B deux k-algèbres intègres, M un A-module sans torsion, N un B-module sans torsion. Si l’anneau A ⊗ₖ B est intègre, alors M ⊗ₖ N est un module sans torsion sur A ⊗ₖ B. 0CM4
Proposition 5 Soient k' une extension de k, A une k-algèbre de type fini et B une k'-algèbre de type fini. 0CM5
Corollaire Soient A une k-algèbre de type fini, k' une extension de k, et A' la k'-algèbre A \otimesk k'. 0CM6
Remarque 2 Supposons l’extension k' de k radicielle. Alors l’application canonique f : Spec(A') → Spec(A) est un homéomorphisme. 0CM7

§ 3. Dimension des anneaux noethériens

Proposition 1 Soient A un anneau intègre noethérien, x un élément non nul de A et p un élément minimal de l’ensemble des idéaux premiers de A contenant x. Alors p est de hauteur 1. 0CMQ
Proposition 2 Soient A un anneau noethérien, m un entier positif et a un idéal contenu dans le radical de A et engendré par m éléments. On a 0CMR
Lemme 1 Soient A un anneau noethérien, p₀ ⊂ ... ⊂ pₙ une chaîne d’idéaux premiers de A de longueur n geqslant 1 et x un élément de pₙ. Il existe une chaîne p'₀ ⊂ ... ⊂ p'ₙ avec p'₀ = p₀, p… 0CMS
Corollaire 1 a) Tout anneau local noethérien est de dimension finie. Plus généralement, tout anneau semi-local (II, § 3, no 5, déf. 4) noethérien non nul est de dimension finie. b) Soit A un an… 0CMT
Corollaire 2 Soit A un anneau local noethérien. a) Soit x ∈ m_A. Alors dim(A/xA) est égal à dim(A) ou à dim(A) - 1. Pour que l’on ait dim(A/xA) = dim(A) - 1, il faut et il suffit que x n’appart… 0CMU
Définition 1 Soient A un anneau local noethérien, M un A-module non nul de type fini et S une partie de l’idéal maximal m_A de A. On dit que S est sécante pour M si l’on a 0CMV
Remarque 1 Il résulte des formules (6) et (7) que S est sécante pour M si et seulement si elle est sécante pour A/α, où α est l’annulateur de M. 0CMW
Remarque 2 Soient S et S’ deux parties disjointes de m_A. Pour que S ∪ S' soit sécante pour M, il faut et il suffit que S soit sécante pour M et S’ sécante pour M' = M/SM. Cela résulte de l’i… 0CMX
Remarque 3 Soient x ∈ m_A et n ≥ 1 un entier. Il est immédiat que les modules M/xM et M/xⁿM ont même support, donc même dimension. Par suite, x est sécant pour M si et seulement si xⁿ est séc… 0CMY
Proposition 3 Soient A un anneau local noethérien et M un A-module non nul de type fini. Pour qu’un élément x de m_A soit sécant pour M, il faut et il suffit qu’il n’appartienne à aucun des élém… 0CMZ
Corollaire Toute suite d’éléments de m_A qui est complètement sécante pour M (A, X, p. 157, déf. 2) est sécante pour M. Soit (x₁, ..., xᵣ) une suite d’éléments de m_A qui est complètement séc… 0CN0
Remarque 4 Il n’est pas vrai en général qu’une suite sécante pour M soit complètement sécante pour M (p. 87, exerc. 6). Nous étudierons plus tard les modules sur un anneau local noethérien po… 0CN1
Théorème 1 Soient A un anneau local noethérien, M un A-module non nul de type fini et S une partie de l’idéal maximal m_A de A. 0CN2
Corollaire La dimension de M est le plus petit des entiers d geqslant 0 pour lesquels il existe une suite (x₁, ..., x_d) d’éléments de m_A telle que le A-module M / ∑ᵢ₌₁ᵈ xᵢ M soit de longueu… 0CN3
Lemme 2 Soient A un anneau local noethérien et q un idéal de A. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0CN4
Scholie La dimension d’un anneau local noethérien A est le plus petit des entiers d ≥ 0 pour lesquels il existe un idéal de définition de A engendré par d éléments. 0CN5
Proposition 4 Soient X une partie fermée de V, et H₁, ..., Hₘ des hypersurfaces dans V. Posons X' = X ∩ H₁ ∩ ... ∩ Hₘ. 0CN6
Corollaire 1 Soit H une hypersurface non vide dans V. La codimension de H dans V est égale à 0 ou 1. 0CN7
Corollaire 2 Soient X une partie fermée irréductible de V et H une hypersurface dans V. Trois cas seulement sont possibles : 0CN8
Corollaire 3 Si A est factoriel (VII, § 3, n° 3, prop. 2), les idéaux premiers de hauteur 1 de A sont les idéaux principaux engendrés par les éléments extrémaux de A. Si de plus A est local, on… 0CN9
Remarque 1 Supposons que A soit un anneau local, noethérien et intègre de dimension d ; soit x un élément non nul de mA et soit H = V(x). D’après le cor. 2 de la prop. 4, toute composante irr… 0CNA
Remarque 2 Soient x₁, ..., xₙ des éléments de A, et posons Hᵢ = V(xᵢ) pour 1 ≤ i ≤ n. Supposons qu’il existe un A-module M de type fini de support V = Spec(A), tel que (x₁, ..., xₙ) soit une… 0CNB
Remarque 3 Si l’idéal α de l’anneau noethérien A est engendré par m éléments, on a ht(α) ≤ m. Cela résulte aussitôt de la prop. 4. 0CNC
Proposition 5 Soient A un anneau noethérien et p ⊂ q une chaîne non saturée d’idéaux premiers de A. L’ensemble E des idéaux premiers r de A tels que p ⊂ r ⊂ q soit une chaîne est infini. On a ⋃_… 0CND
Proposition 6 Soient A un anneau noethérien de dimension ≥ 2, et h un entier tel que 0 < h < dim(A). 0CNE
Proposition 7 Soient ρ : A → B un homomorphisme local d’anneaux locaux noethériens, M un A-module de type fini et N un B-module de type fini. Posons overlineB = B ⊗_A κ_A = B/ρ(m_A).B et overlin… 0CNF
Corollaire 1 Soit ρ : A → B un homomorphisme local d’anneaux locaux noethériens. 0CNG
Corollaire 2 Soit ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux noethériens. On a 0CNH
Corollaire 3 Soient A un anneau noethérien et n un entier geqslant 0. On a 0CNI
Corollaire 4 Soient ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux noethériens, et a un idéal de A. On a l’inégalité 0CNJ
Proposition 8 Soient A un anneau noethérien, a un idéal de A, M un A-module de type fini, hatA et hatM les séparés complétés de A et M respectivement pour la topologie a-adique. 0CNK
Corollaire 1 Soit A un anneau de Zariski (III, § 3, no 3, déf. 2). Pour tout A-module M de type fini, on a dim_hatA(hatM) = dim_A(M). 0CNL
Corollaire 2 Soient A un anneau noethérien, a un idéal de A, et hatA le séparé complété de A pour la topologie a-adique. On a dim(hatA) leqslant dim(A), avec égalité lorsque A est local et a di… 0CNM
Corollaire 3 Soient A un anneau noethérien et n un entier geqslant 0. On a 0CNN
Remarque 1 Soient A un anneau noethérien et a un idéal de A. Supposons A séparé et complet pour la topologie a-adique, et considérons l’anneau R = A X₁, ..., Xₙ des séries formelles restreint… 0CNO
Remarque 2 Soient A un anneau local noethérien, identifié à un sous-anneau de son complété hatA, et B un sous-anneau de hatA contenant A. Supposons que B soit local noethérien et que l’on ait… 0CNP
Proposition 9 Soient A un anneau noethérien, M un A-module de type fini, a une partie de A stable par addition et multiplication, q₁, ..., qₘ des idéaux premiers de A ne contenant pas a et r ≥ 1… 0CNQ
Corollaire 1 Soient A un anneau noethérien, M un A-module de type fini, p₁, ..., pₙ, q₁, ..., qₘ des idéaux premiers de A et r un entier geqslant 1. On suppose qu’on a pᵢ not⊂ qⱼ pour 1 leqslan… 0CNR
Corollaire 2 Soient A un anneau local noethérien, M un A-module non nul de type fini et α une partie de m_A, stable par addition et multiplication et telle que long(M/α M) < +∞. Il existe une p… 0CNS

§ 4. Séries de Hilbert-Samuel

Remarque L’anneau A((T)) s’identifie naturellement à l’anneau de fractions A[[T]]_T de l’anneau A[[T]] défini par la partie multiplicative formée des puissances de T. 0CO0
Lemme 1 L’élément 1 - T de Z((T)) est inversible. Pour tout entier r > 0 on a 0CO1
Lemme 2 a) Soit F un élément non nul de Z((T)) tel qu’il existe r ∈ Z, avec (1-T)ʳ F ∈ Z[T, T⁻¹]; alors F s’écrit de manière unique sous la forme F = (1-T)⁻ᵈ.Q, où Q ∈ Z[T, T⁻¹], Q(1) ≠ 0… 0CO2
Théorème 1 L’élément Q_M de Z((T)) appartient à Z[T, T⁻¹]. 0CO3
Exemple 1 Supposons H₀ artinien et prenons M = H. Alors, avec les notations précédentes, on a R = 0 et S = H', donc d’après (5), on a Q_H = Q_H'; comme on a Q_H₀ = long(H₀), on en tire par r… 0CO4
Corollaire a) Si r = 0, alors on a long_H₀(M) = c_M. 0CO5
Remarque 1 L’entier c_M est positif d’après le lemme 2. On peut avoir M ≠ 0 et c_M = 0 (cf. prop. 2). 0CO6
Remarque 2 Soit 0 → M' → M → M'' → 0 une suite exacte de H-modules gradués et d’homomorphismes de degré 0 telle que M soit de type fini sur H et Mₙ de longueur finie sur H₀ pour chaque n. Alo… 0CO7
Remarque 3 Soit M(p) le module déduit de M par décalage de p de la graduation (A, II, p. 165, exemple 3). Comme on a M(p)ₙ = Mₚ₊ₙ, on a P_M(p) = T⁻ᵖP_M, Q_M(p) = T⁻ᵖQ_M et c_M(p) = c_M. 0CO8
Exemple 2 Supposons H₀ artinien, et soit M un H-module gradué libre engendré par s éléments homogènes, linéairement indépendants, de degrés respectifs δ₁, ..., δₛ. Alors M est isomorphe à H(… 0CO9
Exemple 3 Supposons toujours H₀ artinien ; soit M un H-module gradué, et supposons qu’il existe une suite exacte de H-modules gradués et d’homomorphismes de degré 0 0 → Lₙ → Lₙ₋₁ → ⋯ → L₀ →… 0COA
Remarque 4 On peut prouver (p. 88, exerc. 4) que sous les hypothèses du th. 1, les H₀-modules Torⱼᴴ(H₀, M) sont de longueur finie, nuls pour j > r, et qu’on a c_M = ∑ⱼ₌₀ʳ (-1)ʲ long_H₀(Torⱼᴴ(… 0COB
Proposition 1 Soit M un H-module gradué. On suppose que M est engendré par M₀ et que M₀ est un H₀-module de longueur finie. Alors on a P_M ≤ (1 - T)⁻ʳ long_H₀(M₀), c_M ≤ long_H₀(M₀). De plus, le… 0COC
Remarque 5 D’après A, X, p. 160, th. 1, la condition (iii) signifie que (X₁, ..., Xᵣ) est une suite complètement sécante pour le H-module M. 0COD
Proposition 2 Supposons que H₀ soit un corps, et soit M un H-module gradué de type fini. Soit K le corps des fractions de H. Alors c_M est égal au rang du H-module M, c’est-à-dire à la dimension… 0COE
Remarque 6 Sous les hypothèses de la prop. 2, on a donc c_M = 0 si et seulement si M est un H-module de torsion, ou encore si et seulement si dim_H(M) < r (§ 1, no 5, exemple 4). 0COF
Lemme 3 Si F et F' sont deux filtrations q-bonnes sur M, il existe un entier m tel que F'ₙ ⊂ Fₙ₋ₘ pour tout n ∈ Z. En effet, il existe n₂ tel que F'ₙ ⊂ q^n-n₂M pour tout n, donc F'ₙ ⊂ F_n-… 0COG
Lemme 4 Soit F une filtration q-bonne sur M. Si M/qM est de longueur finie, M/Fₙ₊₁ et Fₙ/Fₙ₊₁ sont de longueur finie pour tout n ∈ Z. Avec les notations de (7), on a long(M/Fₙ₊₁) ≤ long(M/… 0COH
Définition 1 On appelle H_M,F la série de Hilbert-Samuel du A-module M (relativement à la filtration q-bonne F). 0COI
Proposition 3 a) Si F est une filtration q-bonne sur M, on a 0COJ
Théorème 2 Soient A un anneau noethérien, q un idéal de A, M un A-module de type fini tel que M/qM soit non nul et de longueur finie et F une filtration q-bonne sur M. 0COK
Remarque 1 Avec les notations de a), écrivons R = ∑_i ∈ Z aᵢ Tⁱ, et supposons d > 0. D’après le n° 1, la relation H_M,F = (1 - T)⁻ᵈ R s’écrit aussi (11) long_A(Fₙ/Fₙ₊₁) = ∑_i ∈ Z aᵢ binomn -… 0COL
Remarque 2 Dire que M/qM est de longueur finie signifie que Supp(M/qM) = Supp(M) ∩ V(q) est formé d’idéaux maximaux (IV, § 2, n° 5, prop. 7). Nous verrons ci-dessous (n° 4, corollaire au th… 0COM
Corollaire Soient A un anneau noethérien, q un idéal de A, M un A-module de type fini tel que M/qM soit de longueur finie et F une filtration q-bonne sur M. a) Pour que l’on ait d_q(M) ≤ 0, i… 0CON
Remarque 3 Supposons q contenu dans le radical de A. Alors, d’après le lemme de Nakayama, la suite (q^nM) est stationnaire si et seulement si l’on a q^nM = 0 pour n assez grand. Il résulte al… 0COO
Proposition 4 Soient A un anneau noethérien, x1, ..., xr des éléments de A, x l’idéal qu’ils engendrent et M un A-module de type fini tel que M/xM soit non nul et de longueur finie. a) On a dx(M… 0COP
Proposition 5 Soient 0 \to M' \to M \to M'' \to 0 une suite exacte de modules de type fini sur un anneau noethérien A, et q un idéal de A. a) Pour que M/qM soit de longueur finie, il faut et il… 0COQ
Théorème 3 Soient A un anneau local noethérien, q un idéal de A distinct de A et M un A-module de type fini tel que M/qM soit de longueur finie. Alors l’entier d_q(M) est la dimension du A-mo… 0COR
Corollaire Soient A un anneau noethérien, M un A-module de type fini et q un idéal de A tel que M/qM soit de longueur finie. Alors d_q(M) est la borne supérieure des dimensions dim_Aₘ(Mₘ), où… 0COS
Remarque 1 On a aussi d_q(M) = sup_m ∈ V(q) dim(Mₘ), c’est-à-dire d_q(M) = dim(hatM), où hatM est le complété de M pour la topologie q-adique (§ 3, no 4, prop. 8). 0COT
Remarque 2 Supposons q contenu dans le radical de A ; alors dim(hatM) = dim(M) (loc. cit., cor. 1), donc d(M) = dim(M). 0COU
Lemme 5 Soient A un anneau, M un A-module et (Pₙ), (Qₙ) deux filtrations décroissantes sur M formées de sous-modules. Supposons que l’on ait Pₙ ⊃ Qₙ et long_A(Pₙ/Qₙ) < +∞ pour tout n ∈ Z e… 0COV
Lemme 6 Soient A un anneau, M un A-module et (Fₙ) une filtration décroissante sur M formée de sous-modules ; on suppose qu’il existe un entier n₁ tel que F_n₁ = M. Soient f un endomorphism… 0COW
Lemme 7 Conservons les notations du lemme 6. 0COX
Proposition 6 Soient A un anneau noethérien, M un A-module de type fini et q un idéal de A tels que M/qM soit de longueur finie. Soit F une filtration q-bonne de M, et soit gr(A) = ⨁_n ≥ 0 (qⁿ/q… 0COY

§ 5. Anneaux locaux réguliers

Définition 1 On dit que l’anneau local noethérien A est régulier si l’on a dim(A) = [𝔪_A/𝔪_A² : κ_A]. On appelle alors système de coordonnées de A toute famille d’éléments de 𝔪_A dont les class… 0CPB
Exemple 1 Les anneaux locaux noethériens réguliers de dimension 0 (resp. 1) sont les corps (resp. les anneaux de valuation discrète) (VI, § 3, no 6, prop. 9 et cor. 1 du th. 1 ci-dessous). S… 0CPC
Exemple 2 Soit k un corps et soit n un entier positif. L’anneau de séries formelles k[[X₁, ..., Xₙ]] est un anneau local noethérien régulier de dimension n (§ 3, no 4, cor. 3 à la prop. 8)… 0CPD
Exemple 3 Soit A un anneau local noethérien régulier complet de dimension r. L’anneau A X₁, ..., Xₙ des séries formelles restreintes est local noethérien régulier de dimension r + n (§ 3, no… 0CPE
Exemple 4 \ Soit k un corps valué complet non discret. L’anneau des séries formelles à n variables qui convergent dans un voisinage de 0 dans kⁿ est un anneau local noethérien régulier de di… 0CPF
Exemple 5 Soient k un corps, A une k-algèbre intègre de type fini et m un idéal maximal de A. L’anneau local noethérien Aₘ est régulier si et seulement si l’on a dim(A) = [m/m² : A/m] : en e… 0CPG
Exemple 6 \ Soit X une variété algébrique sur un corps parfait k. Alors X est non singulière en un point x si et seulement si l’anneau local de X en x est régulier. 0CPH
Exemple 7 \ Soit A un anneau local noethérien régulier. On verra plus tard que l’anneau local noethérien Aₚ est régulier pour tout idéal premier p de A. 0CPI
Proposition 1 Soient A et B des anneaux locaux noethériens et ρ : A → B un homomorphisme local faisant de B un A-module plat. On suppose que l’on a mB = B.\rho(mA). On a alors dim(A) = dim(B) et… 0CPJ
Corollaire Un anneau local noethérien A est régulier si et seulement si son complété hatA l’est. 0CPK
Théorème 1 Soit A un anneau local noethérien. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) A est régulier. (ii) L’idéal m_A est engendré par une partie sécante pour A (§ 3, no 2, déf. 1)… 0CPL
Corollaire 1 Tout anneau local noethérien régulier est intégralement clos, et en particulier intègre. 0CPM
Corollaire 2 Soient A et B des anneaux locaux noethériens et σ un homomorphisme local de B dans A. On suppose A régulier et B complet. Pour que σ soit bijectif, il faut et il suffit qu’il indui… 0CPN
Corollaire 3 Soient k un corps et A une k-algèbre locale noethérienne, dont le corps résiduel est égal à k. Pour que A soit régulière, il faut et il suffit que son complété hatA soit isomorphe… 0CPO
Proposition 2 Soient A un anneau local noethérien, x = (x₁, ..., xᵣ) une suite d’éléments de m_A et x l’idéal engendré par x. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0CPP
Corollaire 1 Soient A un anneau local noethérien, et t un élément de m_A. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0CPQ
Corollaire 2 Soient A un anneau local noethérien régulier, et q un idéal de A. Alors A/q est régulier si et seulement si q est engendré par une partie d’un système de coordonnées de A. 0CPR
Exemple Soient k un corps, A = k[[X₁, ..., Xₙ]] et q un idéal de A, distinct de A. Pour que A/q soit régulier, il faut et il suffit qu’on puisse trouver un entier r geqslant 0 et des éléme… 0CPS
Remarque Soient A un anneau local noethérien régulier et q ⊂ m_A un idéal de A tel que A/q soit régulier. Soit (x₁, ..., xᵣ) une suite d’éléments de q dont les classes modulo m_A² engendren… 0CPT
Définition 2 Soient A un anneau, p un idéal premier de A, et P un polynôme de A[T]. On dit que P est un polynôme d’Eisenstein pour p s’il satisfait aux conditions suivantes : a) P est unitaire… 0CPU
Proposition 3 Soient A un anneau, p un idéal premier de A et P ∈ A[T] un polynôme d’Eisenstein pour p. a) Il n’existe pas de décomposition de la forme P = P₁ P₂ où P₁ et P₂ sont deux polynômes u… 0CPV
Proposition 4 a) L’anneau B est local et noethérien, d’idéal maximal 0CPW
Corollaire Soit A un anneau local noethérien régulier et soit P ∈ A[T] un polynôme d’Eisenstein pour m_A. L’anneau B = A[T]/(P) est local noethérien régulier, de même dimension que A, et l’on… 0CPX
Proposition 5 Soit A un anneau intègre, de corps des fractions K, et soit L une extension algébrique de degré fini de K. On note B la fermeture intégrale de A dans L et p un idéal premier de A. 0CPY
Corollaire Supposons que Ap soit un anneau de valuation discrète. Alors Bq est un anneau de valuation discrète, t est une uniformisante de Bq, et l’on a 0CPZ
Exemple 1 Posons A = \mathbf{Z} et L = \mathbf{Q}(p^{1/d}), où p est un nombre premier et d un entier \geqslant 2. Notons B la fermeture intégrale de \mathbf{Z} dans L. Comme le polynôme T^d… 0CQ0
Exemple 2 Posons A = \mathbf{Z} et L = R{pf}(\mathbf{Q}) où p est un nombre premier et f un entier \geqslant 1 (cf. A, V, p. 78). On a donc L = \mathbf{Q}(\zeta) avec \zeta = \exp(2\pi i/p^f… 0CQ1
Proposition 6 Soit A un anneau local noethérien régulier et complet, dont le corps résiduel κ_A est de caractéristique 0. Posons n = dim(A). Alors A est isomorphe à l’anneau de séries formelles… 0CQ2
Exemple 3 Soient k un corps de caractéristique p ≠ 0 et n un entier positif. L’anneau de séries formelles k[[X₁, ..., Xₙ]] est local noethérien régulier complet, de dimension n et k est un s… 0CQ3
Exemple 4 Soient V un anneau de valuation discrète complet et n un entier positif. L’anneau de séries formelles Vₙ = V[[X₁, ..., Xₙ]] est local noethérien régulier complet, de dimension n +… 0CQ4
Exemple 5 Gardons les notations précédentes. On dit qu’un polynôme P de Vₙ[T] de degré d ≥ 2 est spécial s’il est de la forme Tᵈ + ∑ᵢ₌₁ᵈ aᵢ Tᵈ⁻ⁱ, où a₁, ..., a_d-1 appartiennent à m_Vₙ, a_d… 0CQ5
Théorème 2 Soit A un anneau local noethérien régulier et complet dont le corps résiduel est de caractéristique ≠ 0, et soit V un sous-anneau de Cohen de A. Posons n = dim(A). 0CQ6

§ 6. Dimension des anneaux gradués

Proposition 1 a) Les idéaux S⁻¹H_≥ n forment une filtration exhaustive et séparée de l’anneau S⁻¹H. 0CR3
Remarque 1 Un élément h/s de S⁻¹H avec h ∈ H, s ∈ S, est inversible si et seulement si la composante de degré 0 de h est inversible dans H₀. Par conséquent, si l’anneau H₀ est local, l’anneau… 0CR4
Remarque 2 Supposons H engendré par H₀ et H₁; alors pour tout n, on a Hₙ₊₁ = H₁.Hₙ, donc H_≥ n+1 = H₁.H_≥ n et S⁻¹H_≥ n+1 = H₁.S⁻¹H_≥ n. Par suite, la filtration (S⁻¹H_≥ n) de S⁻¹H est la fil… 0CR5
Exemple 1 \ Soit p un idéal premier gradué de C[X₀, ..., Xₙ] différent de l’idéal engendré par les Xᵢ; soient V la sous-variété algébrique de Pⁿ(C) définie par p et C la sous-variété algébri… 0CR6
Exemple 2 Soient A un anneau local et a un idéal de A distinct de A. Alors H = ⨁ₙ aⁿ/aⁿ⁺¹ est un anneau gradué tel que H₀ = A/a soit local ; il est engendré par H₀ et H₁. L’anneau S⁻¹H est d… 0CR7
Proposition 2 a) On a dimgr(H) ≤ dim(S⁻¹H) ≤ dim(H). b) Pour tout idéal premier gradué p de H, on a htgr(p) ≤ ht(S⁻¹p) = ht(p). 0CR8
Lemme 1 a) Si p est un idéal premier de H, pᵍʳ est un idéal premier. 0CR9
Lemme 2 Soient p et q des idéaux premiers de H tels que q ⊂ p et q ≠ p. Si qᵍʳ = pᵍʳ, alors q est gradué, p ne l’est pas et ht(p/q) = 1. 0CRA
Proposition 3 Soit p un idéal premier de H. Si p ≠ pᵍʳ, on a ht(pᵍʳ) = ht(p) - 1. 0CRB
Théorème 1 Supposons H noethérien. 0CRC
Remarque 2 Il existe des anneaux gradués non noethériens H tels que dimgr(H) < dim(H) (p. 99, exercice 1). 0CRD
Lemme 3 Supposons H engendré par H₀ ∪ H₁ et M engendré par ⨁_i ≤ n₀ Mᵢ pour un entier n₀ convenable. Alors la filtration (S⁻¹M_≥ n) sur S⁻¹M est bonne pour l’idéal S⁻¹H_≥ 1 de S⁻¹H. 0CRE
Proposition 4 Supposons H noethérien et M de type fini. Alors dim_H(M) = dim_S⁻¹H(S⁻¹M). 0CRF
Proposition 5 Supposons H₀ local et artinien, H engendré par H₀ ∪ H₁, H₁ de type fini comme H₀-module, M non nul et de type fini comme H-module. Alors Mₙ est un H₀-module de longueur finie pour… 0CRG
Remarque A l’exception de la détermination de l’entier d, la prop. 5 résulte directement du th. 1 du § 4, n° 2. 0CRH
Corollaire Soient A un anneau local noethérien et q un idéal de définition de A. Alors on a dim(A) = dim(gr_q(A)). 0CRI
Proposition 6 Supposons H₀ local et artinien, H de type fini comme H₀-algèbre et M de type fini comme H-module. 0CRJ
Lemme 4 Soit b un élément de H, homogène de degré > 0, et n’appartenant à aucun des éléments minimaux p de Supp(M), tels que dim(H/p) = dim_H(M). On a alors dim_H(M/bM) = dim_H(M) - 1. 0CRK
Corollaire 1 Supposons que H₀ soit un corps et que H soit de type fini comme H₀-algèbre. Posons n = dim(H). Il existe des éléments homogènes a₁, ..., aₙ de H tous de même degré > 0, tels que le… 0CRL
Remarque Soit (h₁, ..., hᵣ) un système générateur fini du H₀-espace vectoriel H₁. Pour λ = (λ₁, ..., λᵣ) ∈ H₀ʳ, posons h_λ = λ₁ h₁ + ⋯ + λᵣ hᵣ. Les démonstrations de la prop. 6 et du cor. 1… 0CRM
Corollaire 2 Soient A un anneau local noethérien et n ∈ N. Pour que l’on ait dim(A) ≥ n, il faut et il suffit que pour tout entier r ≥ 0, on ait [m_Aʳ/m_Aʳ⁺¹ : κ_A] ≥ binomn+r-1n-1, ( resp. lon… 0CRN
Lemme 5 Soient A un anneau, r son radical, R = ⨁_i ∈ Z Rᵢ une A-algèbre graduée, M = ⨁_i ∈ Z Mᵢ un R-module gradué. On suppose que chaque Mᵢ est un A-module de type fini et que M/rM est un… 0CRO
Lemme 6 Soient ρ : B → C un homomorphisme d’anneaux et S une partie multiplicative de B. On suppose que C est une B-algèbre de type fini, et que S⁻¹C est une S⁻¹B-algèbre finie. Il existe… 0CRP
Proposition 7 Supposons que H soit une H₀-algèbre de type fini. Alors la fonction p ↦ dim(H ⊗_H₀ κ(p)) est semi-continue supérieurement sur Spec(H₀). 0CRQ
Remarque 1 \ En géométrie algébrique, la prop. 7 implique que la dimension des fibres d’un morphisme projectif de variétés algébriques est semi-continue supérieurement. \ 0CRR
Remarque 2 Nous verrons plus tard que si ρ : A → B est un homomorphisme d’anneaux qui fasse de B une A-algèbre de type fini, la fonction q ↦ dim_q(B ⊗_A κ(ρ⁻¹(q))) est semi-continue supérieur… 0CRS
Proposition 8 a) On a dim(H) ≤ [H₊/H₊² : H₀]. b) Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) dim(H) = [H₊/H₊² : H₀]; (ii) l’anneau local noethérien S⁻¹H est régulier ; (iii) H est engendré… 0CRT
Remarque 1 Avec les notations de c, soit dᵢ le degré de aᵢ (1 ≤ i ≤ n). Alors la série de Poincaré P_H = ∑_n ∈ Z [Hₙ : H₀]. Tⁿ est égale à ∏ᵢ (1 - T^dᵢ)⁻¹ (§ 4, n° 2, exemple 1). Par conséque… 0CRU
Remarque 2 Inversement, le fait qu’il existe des entiers dᵢ > 0 tels que P_H = ∏ᵢ (1 - T^dᵢ)⁻¹ n’implique pas que H soit une algèbre graduée de polynômes; par exemple, si H est engendrée par… 0CRV

§ 7. Multiplicités

Définition 1 L’entier e_q(M) s’appelle la multiplicité du A-module M relativement à l’idéal q. 0CS8
Remarque 1 Si q’ est un idéal de A contenu dans le radical de A et contenant q, on a e_q'(M) leqslant e_q(M) et, si la filtration q’-adique de M est q-bonne, on a e_q'(M) = e_q(M) (§ 4, no 3… 0CS9
Remarque 2 Si M est de longueur finie, on a e_q(M) = long_A(M) (§ 4, no 3, remarque 3). 0CSA
Remarque 3 Si d > 0, on a 0CSB
Remarque 4 On peut ramener le calcul des multiplicités au cas où A est local puisque, d’après § 4, no 4, corollaire au th. 3, on a 0CSC
Proposition 1 Soient hatA et hatM les complétés de A et M pour leurs topologies q-adiques ; alors e_qᴬ(M) = e_qhatA(hatM). 0CSD
Proposition 2 Supposons A local régulier (§ 5, no 1, déf. 1) ; on a e(A) = 1. Cela résulte du th. 1 du § 5, no 2. 0CSE
Remarque 5 On peut avoir e(A) = 1 sans que A soit régulier (p. 104, exerc. 5). En fait, un anneau local noethérien A est régulier si et seulement si hatA est intègre et si l’on a e(A) = 1 (p… 0CSF
Exemple On a par définition e_q,r(M) = rᵈ e_q(M) où d = dim_A(M). Par conséquent, si A est local régulier, on a e_m_Aʳ(A) = rᵈ. Par exemple, si A est un anneau de valuation discrète, on a… 0CSG
Proposition 3 Soit M un A-module de type fini, de dimension d ≥ 0. Soit Φ l’ensemble des éléments minimaux p de Supp(M) tels que dim(A/p) = d. Soit q un idéal de A, contenu dans le radical de A… 0CSH
Corollaire Supposons A semi-local et soit q un idéal de définition de A. a) On a e_q(A) = ∑ₚ e_q(A/p), où p parcourt l’ensemble des idéaux premiers minimaux de A tels que dim(A/p) = dim(A). b… 0CSI
Proposition 4 Soit ρ : A → B un homomorphisme local d’anneaux locaux noethériens, et soit N un B-module de type fini, plat sur A, et tel que N ⊗A κA soit un B-module de longueur finie. Si M est… 0CSJ
Corollaire On suppose que B est plat sur A et que ρ(mA) B = mB. Alors 0CSK
Exemple \ Soient X une variété algébrique complexe, O_X,x l’anneau local de X en un point rationnel x, Xᵃⁿ l’espace analytique associé à X ; notons encore x le point de Xᵃⁿ correspondant à… 0CSL
Proposition 5 Supposons A semi-local et soit ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux faisant de B un A-module de type fini. Soit N un B-module non nul de type fini et soit q un idéal de A contenu d… 0CSM
Corollaire Si [B/mᵢ : A/ρ⁻¹(mᵢ)] = 1 pour tout i, on a e_qᴬ(N) = e_qBᴮ(N). 0CSN
Lemme 1 Soit ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux, et soit p un idéal premier de A. Considérons les deux propriétés suivantes : (i) l’homomorphisme canonique tildeρ de Aₚ dans Aₚ ⊗_A B est… 0CSO
Lemme 2 Supposons A semi-local ; soit q un idéal de définition de A, et soit ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux faisant de B un A-module de type fini. Supposons que, pour tout idéal prem… 0CSP
Proposition 6 Supposons A semi-local et réduit ; soit q un idéal de définition de A; soit A' l’anneau total des fractions de A, et soit B une sous-A-algèbre finie de A'. Alors B est semi-local e… 0CSQ
Exemple Soit k un corps de caractéristique ≠ 2 et prenons pour A l’anneau local k[[X, Y]]/(X² + Y²) de corps résiduel k. Prenons B = k[[X, T]]/(T² + 1) où T = Y/X. Distinguons deux cas : s… 0CSR
Proposition 7 Supposons A local. Soit s un entier ≥ 1 et, pour 1 ≤ i ≤ s, soient δᵢ un entier > 0, xᵢ un élément de m_A^δᵢ, et ξᵢ sa classe dans m_A^δᵢ/m_A^δᵢ+1. On suppose que (x₁, ..., xₛ) est… 0CSS
Remarque On peut montrer réciproquement (cf. p. 103, exerc. 4) que si A est régulier et e(A/x) = δ₁ ... δₛ, alors la suite (ξ₁, ..., ξₛ) est complètement sécante. 0CST
Exemple Prenons pour A un anneau de séries formelles k[[X₁, ..., Xₙ]] sur un corps k; soient F₁, ..., Fₛ des éléments de A, à l’idéal qu’ils engendrent et B = A/a. Notons P₁, ..., Pₛ ∈ k[X… 0CSU
Proposition 8 Soient δ > 0 un entier, x un élément de q^δ, ξ sa classe dans gr_δ(A) = q^δ/q^δ+1 et φ la multiplication par ξ dans le gr(A)-module gr(M). 0CSV
Lemme 3 Soient R un anneau noethérien gradué à degrés ≥ 0, E un R-module gradué de type fini tel que Eₙ soit un R₀-module de longueur finie pour tout n ∈ Z. Les conditions suivantes sont é… 0CSW
Proposition 9 Notons p₁, ..., pᵣ ceux des idéaux premiers de l’anneau gradué gr(A) = ⨁ₙ (qⁿ/qⁿ⁺¹) qui sont associés au module gradué gr(M) = ⨁ₙ (qⁿ M/qⁿ⁺¹ M) et ne contiennent pas gr₁(A) = q/q²… 0CSX
Définition 2 Soient A un anneau noethérien, q un idéal de A contenu dans le radical de A et M un A-module de type fini tel que M/qM soit de longueur finie. Un élément x de A est dit superficiel… 0CSY
Remarque 1 Soit δ un entier > 0. On dit parfois qu’un élément x de A est superficiel d’ordre δ pour M relativement à q si x ∈ q^δ, et si, pour tout n assez grand, l’application qⁿ M/qⁿ⁺¹ M →… 0CSZ
Remarque 2 Avec les notations de la prop. 9, x est superficiel d’ordre δ si et seulement si sa classe ξ dans gr_δ(A) n’appartient à aucun des pᵢ. 0CT0
Remarque 3 D’après III, § 1, no 4, prop. 8, il existe un élément homogène de gr(A) de degré > 0 qui n’appartient à aucun des pᵢ. Par conséquent, il existe un entier δ > 0 et un élément superf… 0CT1
Remarque 4 Supposons A local de corps résiduel k, et considérons l’application surjective canonique λ : q → q ⊗_A k. Elle est la composée des applications canoniques q → q/q² et barλ : q/q² →… 0CT2
Théorème 1 Soient A un anneau noethérien, q un idéal de A contenu dans le radical de A et M un A-module de type fini tel que M/qM soit de longueur finie. Soit x₁, ..., xₘ une suite finie d’él… 0CT3
Corollaire Supposons A local, à corps résiduel infini, et posons d = dim_A(M). Il existe une suite x₁, ..., x_d d’éléments de q tels que, en posant x = Ax₁ + ⋯ + Ax_d, on ait 0CT4
Remarque 5 Dans la situation du corollaire précédent, on a 0CT5

IX. Anneaux locaux noethériens complets

§ 1. Vecteurs de Witt

Proposition 1 Soient A un anneau filtré et (Jₙ)_n ∈ Z sa filtration. On suppose que l’on a J₀ = A et p.1_A ∈ J₁. Soient m et n des entiers tels que m geqslant 1 et n geqslant 0, et a₀, ..., aₙ… 0CTV
Lemme 1 Si x et y sont deux éléments de A congrus modulo Jₘ, on a x^pⁿ ≡ y^pⁿ mod Jₘ₊ₙ . Par récurrence sur n, on se ramène au cas où n = 1. Notons P le polynôme ∑ᵢ₌₀ᵖ⁻¹ Xⁱ Y^p-1-i de Z[X… 0CTW
Lemme 2 Soit A un anneau muni d’un endomorphisme σ vérifiant σ(a) ≡ aᵖ mod. p · A pour tout a ∈ A. Soient n geqslant 1 un entier et a₀, ..., aₙ₋₁ des éléments de A. Posons uᵢ = Φᵢ(a₀… 0CTX
Proposition 2 Soit A un anneau. 0CTY
Remarque Soient a = (aₙ)_n ∈ N et u = (uₙ)_n ∈ N des éléments de Aᴺ tels que u = Φ_A(a), et m un entier geqslant 0. On déduit de (10) les assertions suivantes : 0CTZ
Exemple 1 On a 0CU0
Exemple 2 On a 0CU1
Exemple 3 Lorsque p ≠ 2, on a Iₙ = - Xₙ. Pour p = 2, on a 0CU2
Exemple 4 On a 0CU3
Remarque Soit J l’ensemble des entiers j ≥ 1. Pour tout élément j de J, définissons le polynôme φⱼ de Z[(Xⱼ)_j ∈ J] par la formule 0CU4
Lemme 3 Soit A un anneau. Il existe un homomorphisme surjectif d’anneaux ρ : B → A, où B est un anneau satisfaisant aux conditions suivantes : p n’est pas diviseur de 0 dans B, et il exist… 0CU5
Théorème 1 a) Soit A un anneau (commutatif). Muni de l’addition S_A et de la multiplication P_A, W(A) est un anneau (commutatif). L’élément neutre pour l’addition est la suite 0_A dont tous l… 0CU6
Définition 1 Soit A un anneau. L’anneau W(A) est appelé l’anneau des vecteurs de Witt à coefficients dans A. 0CU7
Remarque Reprenons les notations de la remarque du no 3. Soit A un anneau. Si a et b sont des éléments de Aᴶ et r = (rⱼ)_j ∈ J un élément de Aᴶ, on note r_A(a, b) l’élément (rⱼ(a, b))_j ∈ J… 0CU8
Proposition 3 Soit A un anneau. a) L’application F_A est un endomorphisme de l’anneau W(A). b) L’application V_A est un endomorphisme du groupe additif sous-jacent à l’anneau W(A). c) Pour tout… 0CU9
Remarque Pour la définition d’applications analogues aux applications F et V, dans le cas de l’anneau de Witt universel, voir les exerc. 36, 37 et 38, p. 52 et suivantes. 0CUA
Lemme 4 Soient A un anneau et m geqslant 1 un entier. On a 0CUB
Proposition 4 Soient a et b dans A et x = (xₙ)_n ∈ N un élément de W(A). 0CUC
Définition 2 Soient A un anneau et n ≥ 1 un entier. On note Wₙ(A) l’anneau quotient W(A)/Vₙ(A). 0CUD
Exemple 1 L’homomorphisme Φ₀ : W₁(A) → A est un isomorphisme. 0CUE
Exemple 2 Explicitons les opérations dans W₂(A). On a 0CUF
Exemple 3 Soit n ≥ 1 un entier. Si a₀, ..., aₙ₋₁, b₀, ..., bₙ₋₁ sont des entiers tels que aᵢ ≡ bᵢ bmod p pour 0 ≤ i < n, on a (n° 1, prop. 1) 0CUG
Proposition 5 Soit A un anneau de caractéristique p (A, V, p. 2). Quels que soient les éléments a et b de W(A), et les entiers positifs m, n, on a, si a = (aₙ)_n ∈ N, 0CUH
Corollaire Si m et n sont deux entiers positifs, on a 0CUI
Proposition 6 Soit A un anneau. 0CUJ
Proposition 7 Soit A un anneau parfait de caractéristique p. 0CUK
Proposition 8 Soit A un corps de caractéristique p. L’anneau W(A) est un anneau local intègre séparé et complet, d’idéal maximal V₁(A) et de corps résiduel isomorphe à A. Si le corps A est parfa… 0CUL
Remarque 1 Soit A un corps de caractéristique p. On peut montrer que l’anneau W(A) est noethérien si et seulement si A est parfait (p. 43, exerc. 9). 0CUM
Remarque 2 Soit A un anneau de caractéristique p. D’après la prop. 5, on a les formules 0CUN

§ 2. Anneaux de Cohen

Définition 1 On dit qu’un anneau C est un p-anneau si l’idéal pC de C est maximal, et si C est séparé et complet pour la topologie pC-adique. 0CWA
Proposition 1 Soit C un p-anneau. 0CWB
Corollaire 1 Si le p-anneau C est intègre, c’est un anneau de valuation discrète, ou un corps de caractéristique p. 0CWC
Corollaire 2 Soient C un p-anneau et a un idéal de C distinct de C. L’anneau C/a est un p-anneau. 0CWD
Exemple 1 Pour tout entier n geqslant 1, l’anneau Z/pⁿZ est un p-anneau de longueur n. L’anneau Zₚ des entiers p-adiques est un p-anneau de longueur infinie. 0CWE
Exemple 2 Soit K un corps parfait de caractéristique p. D’après la prop. 8 du § 1, no 8, l’anneau W(K) des vecteurs de Witt est un p-anneau de longueur infinie. L’application (aₙ)_n ∈ N ↦ a₀… 0CWF
Proposition 2 Soient C et C' deux p-anneaux et u un homomorphisme de C dans C'. Soit v l’homomorphisme de κ_C = C/pC dans κ_C' = C'/pC' déduit de u par passage aux quotients. 0CWG
Proposition 3 Soit (Cₙ, π_n,m) un système projectif d’anneaux relatif à l’ensemble d’indices N. On suppose que Cₙ est un p-anneau pour tout n ∈ N et que les homomorphismes π_n,m sont surjectifs… 0CWH
Définition 2 Soit A un anneau local séparé et complet, dont le corps résiduel est de caractéristique p. On appelle sous-anneau de Cohen de A un sous-anneau C de A qui est un p-anneau tel que A… 0CWI
Exemple Soit C un p-anneau. L’anneau de séries formelles A = C[[T₁, ..., Tₙ]] est un anneau noethérien, local, séparé et complet, dont l’idéal maximal est engendré par la suite (p, T₁… 0CWJ
Théorème 1 Soit A un anneau local, séparé et complet, dont le corps résiduel k est de caractéristique p. Soit π l’application canonique de A sur k, et soit S une partie de A, telle que π indu… 0CWK
Lemme 1 Soit A' un sous-anneau de A contenant S. Pour que A' contienne Cₙ, il faut et il suffit qu’on ait A' + m_A = A. 0CWL
Lemme 2 On a C ∩ m_A ⊂ pC. 0CWM
Remarque Supposons que p1_A ne soit pas nilpotent (ceci a lieu en particulier lorsque A est un anneau intègre dont le corps des fractions est de caractéristique 0). Alors C est un anneau de… 0CWN
Proposition 4 Soient C et C' deux p-anneaux tels que l(C) geqslant l(C'), π (resp. π') l’homomorphisme canonique de C (resp. C') sur κ_C (resp. κ_C'). Soit (x_λ)_λ ∈ Λ (resp. (x'_λ)_λ ∈ Λ) une f… 0CWO
Proposition 5 Soit k un corps de caractéristique p, et soit n un entier ≥ 1, ou + ∞. Il existe un p-anneau de longueur n dont le corps résiduel est isomorphe à k. 0CWP
Remarque 1 Soient n un entier ≥ 1 et S une p-base de k. On peut montrer que le sous-anneau de Wₙ(k) engendré par Wₙ(k^pⁿ) et par les éléments [ξ, 0, ..., 0] (ξ ∈ S), est un p-anneau de longue… 0CWQ
Remarque 2 Le lecteur trouvera en Appendice une démonstration de la prop. 5 qui n’utilise ni les résultats du § 1, ni le théorème d’existence de sous-anneaux de Cohen (no 2, th. 1). 0CWR
Corollaire Soit C un p-anneau de longueur finie n. Il existe un p-anneau C' de longueur infinie tel que C soit isomorphe à C'/pⁿC'. 0CWS
Proposition 6 Soit C un p-anneau, dont le corps résiduel k soit parfait. Supposons C de longueur finie n (resp. infinie). Il existe un unique isomorphisme u : Wₙ(k) → C (resp. u : W(k) → C) qui… 0CWT
Théorème 2 Soient A un anneau local séparé et complet, k son corps résiduel et π l’homomorphisme canonique de A sur k. On suppose que k est un corps parfait de caractéristique p. 0CWU
Proposition 7 Conservons les hypothèses et notations du th. 2. Il existe une unique partie multiplicative S de A telle que π induise une bijection de S sur k. Pour qu’un élément a de A appartien… 0CWV
Remarque 1 Conservons les hypothèses et notations précédentes. On a a = ∑ₙ₌₀^∞ pⁿ τₖ(aₙ^p⁻ⁿ) (a = (aₙ)_n ∈ N ∈ W(k)) d’après la prop. 7 du § 1, n° 8. On a donc (4) u(a) = ∑ₙ₌₀^∞ pⁿ φ(aₙ^p⁻ⁿ)… 0CWW
Remarque 2 Soient A un anneau local séparé et complet, k son corps résiduel et π l’homomorphisme canonique de A sur k. On peut montrer qu’il existe une partie multiplicative S de A (non uniqu… 0CWX
Exemple 1 Soit k un corps parfait de caractéristique p. Les représentants multiplicatifs de l’anneau W(k) sont les vecteurs de Witt τ(x) = (x, 0, 0, ...) pour x ∈ k. 0CWY
Exemple 2 Soit A un anneau local intègre, séparé et complet. On suppose que le corps résiduel k de A est fini, à q = pᶠ éléments, donc parfait de caractéristique p. On a x^q = x pour tout x… 0CWZ
Exemple 3 Plus particulièrement, considérons le cas A = Zₚ. Alors les représentants multiplicatifs sont 0 et les racines (p - 1)-ièmes de l’unité dans le corps des fractions Qₚ de Zₚ. 0CX0
Lemme 3 a) Il existe un unique homomorphisme v : B → A qui prolonge u et applique Tᵢ sur tᵢ pour 1 ≤ i ≤ n. 0CX1
Lemme 4 Supposons que l’anneau local noethérien C soit régulier, et que (p₁, ..., pₘ) soit un système de coordonnées de C (VIII, § 5, no 1, déf. 1). 0CX2
Théorème 3 Soit A un anneau local, noethérien et complet dont le corps résiduel k soit de caractéristique p. Soit C un p-anneau de longueur infinie, dont le corps résiduel soit isomorphe à k… 0CX3

§ 3. Corps de représentants

Proposition 1 Soient k₀ un corps, A une k₀-algèbre qui est un anneau local séparé et complet, K une sous-k₀-extension de κ_A qui possède une base de transcendance séparante (ξ_λ)_λ ∈ Λ sur k₀ (A… 0CXL
Remarque \ La démonstration précédente s’applique plus généralement au cas où on suppose seulement que A est un anneau local hensélien. La démonstration d’unicité utilise l’hypothèse que l’… 0CXM
Définition 1 Soit A un anneau local. On appelle corps de représentants de A tout sous-corps K de A tel que l’homomorphisme canonique de A sur κ_A induise un isomorphisme de K sur κ_A (autrement… 0CXN
Théorème 1 Soit A un anneau local séparé et complet de caractéristique p. 0CXO
Corollaire 1 Soit A un anneau local séparé et complet, dont le corps résiduel est une extension algébrique de Q. Il existe alors un unique corps de représentants de A. En effet l’anneau A est d… 0CXP
Corollaire 2 Soit A un anneau local séparé et complet de caractéristique p ≠ 0. Supposons que le corps résiduel κ_A soit parfait. Alors il existe un unique corps de représentants de A, à savoir… 0CXQ
Théorème 2 Soit A un anneau local noethérien complet de dimension d contenant un corps. Soit K un corps de représentants de A, et soit m la dimension de l’espace vectoriel m_A/m_A² sur le cor… 0CXR

§ 4. Fermeture intégrale d'un anneau local complet

Définition 1 Soit A un anneau noethérien intègre. On dit que A est japonais si la fermeture intégrale de A dans toute extension finie de son corps des fractions est une A-algèbre finie. 0CY1
Remarque 1 Il revient au même de dire que A satisfait à la condition suivante : toute A-algèbre intègre B entière sur A, contenue dans une extension de type fini du corps des fractions K de A… 0CY2
Remarque 2 Soient A un anneau noethérien intègre japonais et S une partie multiplicative de A ne contenant pas 0. L’anneau de fractions S⁻¹A est japonais. Soient en effet L une extension fini… 0CY3
Exemple Toute algèbre intègre de type fini sur un corps est un anneau japonais (V, § 3, no 2, th. 2). 0CY4
Proposition 1 Soient A un anneau noethérien intègre, K son corps des fractions. Supposons que pour toute extension finie radicielle L de K, la fermeture intégrale de A dans L soit une A-algèbre… 0CY5
Corollaire Supposons le corps K parfait (par exemple de caractéristique 0). Alors A est japonais si et seulement si sa clôture intégrale est une A-algèbre finie. 0CY6
Proposition 2 Soient B un anneau noethérien intègre et A un sous-anneau noethérien de B, tel que B soit une A-algèbre finie. Pour que A soit japonais, il faut et il suffit que B soit japonais. 0CY7
Théorème 1 (Tate) Soient A un anneau noethérien intégralement clos, a un élément de A. On suppose que l’idéal aA est premier, que l’anneau A/aA est japonais et que A est complet pour la topologie aA… 0CY8
Corollaire Soient R un anneau noethérien intègre et n un entier. Si R est japonais, l’anneau R[[T₁, ..., Tₙ]] est japonais. 0CY9
Théorème 2 (Nagata) Tout anneau A local noethérien intègre et complet est japonais. 0CYA
Corollaire Soit A un anneau semi-local noethérien dont le complété est réduit. Alors la fermeture intégrale A' de A dans son anneau total des fractions R est une A-algèbre finie. 0CYB
Proposition 3 Soient A un anneau semi-local noethérien intègre, K son corps des fractions. Si la K-algèbre K ⊗A Â est séparable, l’anneau A est japonais. 0CYC
Lemme 1 Soient A un anneau semi-local noethérien et B une A-algèbre finie. Alors l’anneau B est semi-local et noethérien ; soient m₁, ..., mₙ ses idéaux maximaux. 0CYD
Lemme 2 Soient A un anneau noethérien et M un A-module. L’application canonique de M dans le produit ∏_p ∈ Ass(M) Mₚ est injective. 0CYE
Lemme 3 Soient A un anneau noethérien, x un élément de A, M un A-module de type fini, et p un idéal premier de A associé à M. On suppose que l’homothétie x_M est injective. Soit q un idéal… 0CYF
Lemme 4 Soient A un anneau de valuation discrète, B un anneau local noethérien, et ρ : A → B un homomorphisme local et plat. Si l’anneau κ_A ⊗_A B est réduit, alors B est réduit. 0CYG
Définition 2 On dit qu’un anneau A est un anneau de Nagata s’il est noethérien et si, pour tout idéal premier p de A, l’anneau noethérien intègre A/p est japonais (no 1, déf. 1). 0CYH
Exemple 1 Toute algèbre de type fini sur un corps est un anneau de Nagata (no 1, exemple). 0CYI
Exemple 2 Tout anneau noethérien local complet est un anneau de Nagata (n° 2, th. 2). 0CYJ
Exemple 3 L’anneau Z est un anneau de Nagata (n° 1, exemple et corollaire de la prop. 1). 0CYK
Exemple 4 On peut montrer (exerc. 30) que toute algèbre de type fini sur un anneau de Nagata est un anneau de Nagata. 0CYL
Proposition 4 Soit A un anneau de Nagata. a) Toute A-algèbre finie est un anneau de Nagata. b) Pour toute partie multiplicative S de A, l’anneau S⁻¹A est un anneau de Nagata. a) Soit B une A-alg… 0CYM
Théorème 3 (Zariski-Nagata) Soit A un anneau semi-local noethérien. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) A est un anneau de Nagata ; (ii) pour tout idéal premier p de A, la κ(p)-algèbre κ(p) ⊗_A h… 0CYN
Corollaire 1 Le complété d’un anneau de Nagata local et réduit est réduit. Il suffit en effet de poser R = A dans le th. 3, (iii). 0CYO
Corollaire 2 (Chevalley) Soient A une algèbre réduite de type fini sur un corps, et p un idéal premier de A. Le complété de l’anneau local Aₚ est réduit. Comme A est réduit, l’anneau local Aₚ est réduit… 0CYP
Corollaire 3 Soient k un corps de caractéristique 0, et A une k-algèbre locale et noethérienne. Pour que A soit un anneau de Nagata, il faut et il suffit que, pour tout idéal premier p de A, l’… 0CYQ

App. 0.

Proposition 1 a) L’anneau A est local, d’idéal maximal m = lim overrightarrowm_α. Pour tout α ∈ I, l’homomorphisme φ_α est local et plat, et on a φ_α(m_α) A = m. 0CZN
Lemme 1 Soit P ∈ A[X] un polynôme unitaire dont l’image overlineP dans κ_A[X] est irréductible. Alors la A-algèbre B = A[X]/(P) est locale et finie sur A, d’idéal maximal m_A B, l’homomorp… 0CZO
Définition 1 Soit A un anneau local. On dit qu’une A-algèbre B est un gonflement élémentaire de A si B est isomorphe à la A-algèbre A[X], ou bien s’il existe un polynôme unitaire P de A[X], d’i… 0CZP
Définition 2 Soit A un anneau local. On dit qu’une A-algèbre B est un gonflement de A s’il existe un ensemble bien ordonné Λ ayant un plus grand élément ω, et une famille croissante (B_λ)_λ ∈ Λ… 0CZQ
Exemple 1 Toute extension de corps est un gonflement. Soit en effet K une extension d’un corps k. Munissons K d’un bon ordre pour lequel 0 est le plus grand élément, et pour λ ∈ K, soit K_λ… 0CZR
Exemple 2 Soient A un anneau local, et I un ensemble d’indices. Notons A[(Xᵢ)_i ∈ I] l’anneau local de l’anneau de polynômes A[(Xᵢ)_i ∈ I] en l’idéal premier m_A A[(Xᵢ)_i ∈ I]. La A-algèbre… 0CZS
Remarque Avec les notations de la déf. 2, l’anneau B_μ est un gonflement de B_λ lorsque λ ≤ μ. 0CZT
Proposition 2 Soient A un anneau local et B un gonflement de A. 0CZU
Corollaire Supposons A noethérien. a) On a dim(A) = dim(B). b) Supposons A régulier, et soit (x₁, ..., xₙ) un système de coordonnées de A. Alors B est régulier et la suite (x₁ 1_B, ..., xₙ 1_… 0CZV
Proposition 3 Soient A, B, C trois anneaux locaux et u : A → B, v : B → C deux gonflements. Alors v ∘ u est un gonflement. Soient (B_λ)_λ ∈ Λ et (C_μ)_μ ∈ M des familles de sous-A-algèbres de B… 0CZW
Théorème 1 Soient f : A → A' un homomorphisme local surjectif d’anneaux locaux et B' un gonflement de A'. Il existe un gonflement B de A et un isomorphisme de A-algèbres de B ⊗_A A' sur B'. A… 0CZX
Corollaire Soient A un anneau local et K une extension de son corps résiduel κ_A. Il existe un anneau local B et un gonflement A → B tels que la κ_A-algèbre κ_B soit isomorphe à K. 0CZY
Proposition 4 Soient p un nombre premier, k un corps de caractéristique p, et soit n un entier ≥ 1, ou + ∞. Il existe un p-anneau (S 2, no 1, déf. 1) de longueur n dont le corps résiduel est iso… 0CZZ

X. Profondeur, régularité, dualité

§ 1. Profondeur

Proposition 1 Soient A un anneau, J un idéal de A et 0 → M' → M → M'' → 0 une suite exacte de A-modules. Posons 0D06
Remarque 5 Supposons que l’on ait p = p' et que l’injection u : M' → M qui intervient dans la suite exacte de la prop. 1 appartienne à J Hom_A(M', M). On a alors p'' = p - 1. En effet, l’hypo… 0D07
Proposition 2 Soient A un anneau, J un idéal de A, M un A-module et N un A-module annulé par une puissance de J. On a Ext_Aⁱ(N, M) = 0 pour tout entier i < prof_A(J; M). 0D08
Corollaire 1 Soit m un entier 0 et soit J' un idéal de A qui contient J^m. On a profA(J ; M) \leq profA(J' ; M). 0D09
Corollaire 2 Supposons l’idéal J de type fini, et soit J' un idéal de A tel que V(J) \supset V(J'). 0D0A
Proposition 3 Soient A un anneau, C un complexe borné à gauche de A-modules et p un entier. On suppose que pour tout couple d’entiers (m, n) avec m \geq n \geq p, la profondeur du A-module Cm re… 0D0B
Corollaire 1 Soient A un anneau, J un idéal de A, C un complexe borné à gauche de A-modules et p un entier. On suppose qu’on a JHm(C) = 0 et profA(J ; Cm) m - p pour m \geq p. On a alors Hn(C)… 0D0C
Corollaire 2 Soient A un anneau local, C un complexe borné à gauche de A-modules, p un entier. On suppose que pour m ≥ p, Hₘ(C) est de longueur finie et Cₘ de profondeur > m - p. On a alors Hₙ(… 0D0D
Théorème 1 Soient A un anneau, J un idéal de A, x = (xᵢ)_i ∈ I une famille génératrice de J, M un A-module. La profondeur de M relativement à J est la borne inférieure (dans N ∪ +∞) des entie… 0D0E
Corollaire 1 Supposons l’idéal J de type fini et JM ≠ M. Alors prof_A(J; M) est finie et ≤ Card(I) ; pour qu’elle soit égale à Card(I), il faut et il suffit que la famille x soit complètement s… 0D0F
Corollaire 2 Soient A un anneau local, J un idéal de type fini de A distinct de A, M un A-module non nul de type fini. Posons r = [J/m_AJ : κ_A]. On a prof_A(J; M) ≤ r ; il y a égalité si et se… 0D0G
Proposition 4 Soient ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux, J un idéal de A et N un B-module. On a l’égalité prof_A(J; N) = prof_B(JB; N). 0D0H
Corollaire Soient A un anneau local, a un idéal de A distinct de A et M un A-module annulé par a. On a prof_A(M) = prof_A/a(M). 0D0I
Lemme 1 Si le A-module B est plat, l’homomorphisme vᵖ est bijectif pour tout entier p. 0D0J
Proposition 5 Soient A un anneau, J un idéal de type fini de A et M un A-module. Notons Ω l’ensemble des idéaux maximaux de A appartenant à Supp(M) et contenant J. On a 0D0K
Proposition 6 Soient A un anneau, J un idéal de type fini de A et M un A-module. Soient B un anneau et ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux faisant de B un A-module plat. 0D0L
Corollaire Soient A un anneau noethérien, J un idéal de A, M un A-module de type fini, widehatA et widehatM les séparés complétés de A et M pour la topologie J-adique. On a alors prof_A(J; M)… 0D0M
Proposition 7 Soient A un anneau, J un idéal de A, M un A-module, et (x₁, …, xᵣ) une suite M-régulière d’éléments de J. On a prof_A(J; M) = r + prof_A(J; M/(x₁M + … + xᵣM)) et en particulier pro… 0D0N
Théorème 2 Soient A un anneau noethérien, J un idéal de A et M un A-module de type fini. 0D0O
Corollaire 1 Pour toute suite M-régulière (x₁, …, xᵣ) d’éléments de J, les propriétés suivantes sont équivalentes : 0D0P
Corollaire 2 Soient A un anneau local noethérien, M un A-module non nul de type fini. On a prof_A(M) leqslant dim_A(M) < +∞ . 0D0Q
Remarque 1 Soit r un entier. D’après la prop. 2 du n° 1 et II, § 4, n° 4, cor. 2 de la prop. 17, l’inégalité prof_F(M) geqslant r équivaut à la propriété suivante : pour tout A-module N de ty… 0D0R
Remarque 2 Supposons que le A-module M soit de type fini. D’après la remarque 2 du n° 1 et le th. 2 du n° 4, on a les équivalences suivantes 0D0S
Proposition 8 Soient A un anneau noethérien, F une partie fermée de Spec(A), et M un A-module de type fini. On a 0D0T
Remarque 3 Si q est un point de Supp(M), on a donc prof_A(q;M) = inf_p ⊇ q prof_Aₚ(Mₚ). On a en particulier l’inégalité prof_A(q;M) leqslant prof_A_q(M_q) ; il y a égalité lorsque q est maxim… 0D0U
Proposition 9 Soient A un anneau noethérien, M et N deux A-modules de type fini et F le support de N. Alors prof_F(M) est la borne inférieure (dans N ∪ +∞) de l’ensemble des entiers n tels que E… 0D0V
Remarque 4 Soient A un anneau noethérien, N un A-module de type fini. On appelle parfois grade de N, et on note grade(N), la borne inférieure dans N ∪ +∞ de l’ensemble des entiers n tels que… 0D0W
Lemme 2 Soient ρ : A → B un homomorphisme local d’anneaux locaux noethériens, N un B-module de type fini et y un élément de m_B. Les deux conditions suivantes sont équivalentes : 0D0X
Proposition 10 Soient ρ : A → B un homomorphisme local d’anneaux locaux noethériens, N un B-module de type fini et y = (y₁, …, yₛ) une suite d’éléments de m_B. Notons 𝔶 l’idéal de B engendré par… 0D0Y
Proposition 11 Soient ρ : A → B un homomorphisme local d’anneaux locaux noethériens, M un A-module de type fini et N un B-module de type fini ; on suppose que le A-module N est plat. 0D0Z
Remarque Rappelons qu’on a, sous les hypothèses précédentes, 0D10
Corollaire Soit ρ : A → B un homomorphisme local d’anneaux locaux noethériens faisant de B un A-module plat. On a 0D11
Proposition 12 Soient A un anneau local noethérien, M un A-module non nul de type fini et J un idéal de A distinct de A. On a la suite d’inégalités 0D12
Remarque 1 Considérons la chaîne d’inégalités de la prop. 12. 0D13
Lemme 3 Soient A un anneau noethérien, p ⊂ p1 ⊂ ... ⊂ p{r−1} ⊂ q une chaîne saturée de longueur r d’idéaux premiers de A, M un Λ-module de type fini et n un entier. Si le A-module Ext^n{Ap… 0D14
Proposition 13 Soient A un anneau noethérien, M un A-module de type fini, p et q deux idéaux premiers de Supp(M) avec p ⊂ q. On a 0D15
Corollaire 1 On a l'inégalité 0D16
Corollaire 2 Soient A un anneau local noethérien et M un A-module de type fini. On a l'inégalité 0D17
Remarque 2 On a sup_p ∈ Ass(M) dim(A/p) = dim(M) (VIII, § 1, n° 4, remarque 2) et on retrouve l'inégalité prof(M) ≤ dim(M) pour M ≠ 0 (n° 4, cor. 2 du th. 2). 0D18
Proposition 14 Soit A un anneau noethérien. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0D19
Lemme 4 Soient A un anneau noethérien, F une partie fermée de Spec(A), U l’ouvert complémentaire, et u : M → N un homomorphisme de A-modules de type fini. 0D1A
Remarque 1 Soient A un anneau noethérien, F une partie fermée de Spec(A), U l’ouvert complémentaire. Pour qu’on ait prof_F(A) geqslant 1, il faut et il suffit qu’on ait Ass(A) ⊂ U (remarque 2… 0D1B
Théorème 3 (Hartshorne) Soient A un anneau noethérien, F une partie fermée de Spec(A) et U l’ouvert complémentaire. On suppose qu’on a prof_F(A) geqslant 2. Alors, pour toute composante connexe Y de Spec(… 0D1C
Corollaire 1 L’application qui associe à chaque composante connexe de U son adhérence dans Spec(A) est une bijection de l’ensemble des composantes connexes de U sur l’ensemble des composantes c… 0D1D
Corollaire 2 Pour tout anneau local noethérien B de profondeur ≥ 2, l’espace topologique Spec(B) - m_B est connexe. 0D1E
Corollaire 3 Sous les hypothèses du théorème 3, supposons que Spec(Aₚ) soit irréductible (resp. que Aₚ soit intègre) pour tout p ∈ U; alors Spec(Aₚ) est irréductible (resp. Aₚ est intègre) pour… 0D1F
Corollaire 4 Soit A un anneau noethérien dont le spectre est connexe. Supposons qu’il existe un entier d ≥ 1 tel qu’on ait prof(Aₚ) ≥ 2 pour tout idéal premier p de A de hauteur > d. 0D1G
Remarque 2 Lorsque A est un anneau de Macaulay, on peut appliquer le corollaire avec d = 1 (§ 2, n° 5). 0D1H
Exemple (Intersection complète formée par quatre plans de coordonnées d’un espace affine de dimension 4) Soit k un corps. Notons S l’anneau de polynômes k[T₁, T₂, T₃, T₄]. Rappelons (VIII, § 2, n° 4, th. 3) que toute chaîne maximale d’idéaux premiers de S est de longueur 4. Notons m l… 0D1I
Proposition 15 Soit A un anneau noethérien satisfaisant aux deux conditions suivantes : (i) pour tout idéal premier minimal p de A, l’anneau Aₚ est réduit ; (ii) pour tout idéal premier p de A de… 0D1J
Proposition 16 Soient A un anneau noethérien intégralement clos, J un idéal de A de hauteur geqslant 2, et M un A-module réflexif de type fini. On a prof_A(J; M) geqslant 2. 0D1K
Corollaire Un anneau local noethérien intégralement clos de dimension geqslant 2 est de profondeur geqslant 2. 0D1L
Théorème 4 (Serre) Soit A un anneau noethérien satisfaisant aux conditions suivantes: (i) pour tout idéal premier minimal 𝔭 de A, l’anneau A_𝔭 est réduit ; (ii) pour tout idéal premier 𝔭 de A de haut… 0D1M
Remarque 1 Une forme commode du th. 4 est la suivante : soit A un anneau noethérien, tel que pour tout idéal premier p de A l’anneau Aₚ soit intégralement clos ou de profondeur geqslant 2; al… 0D1N
Corollaire 1 Soient A un anneau noethérien, F une partie fermée de Spec(A), U l’ouvert complémentaire. On suppose que prof_F(A) est geqslant 2 (resp. geqslant 1) et que, pour tout p ∈ U, l’anne… 0D1O
Corollaire 2 Soit ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux noethériens faisant de B un A-module plat. 0D1P
Remarque 2 ht(p) = 1 et ht(q) leqslant 1. Alors Aₚ est un anneau de valuation discrète; soit π une uniformisante de Aₚ. Puisque B_q est fidèlement plat sur Aₚ, l’élément π 1_B_q de B_q n’est… 0D1Q
Remarque 3 ht(p) = 1 et ht(q) ≥ 2. Alors, d’après la relation dim(B_q) = dim(Aₚ) + dim(κ(p) ⊗_A B_q) (VIII, § 3, n° 4, cor. 1 de la prop. 7), l’anneau κ(p) ⊗_A B_q est de dimension ≥ 1. Il es… 0D1R
Remarque 4 ht(p) ≥ 2. Puisque Aₚ est de profondeur ≥ 2 (cor. de la prop. 16), il en est de même de B_q d’après loc. cit. 0D1S
Corollaire 3 Soit ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux noethériens. On suppose que B est un A-module plat, que A est normal et que κ(p) ⊗_A B est normal pour tout p ∈ Spec(A). Alors B est norma… 0D1T

§ 2. Modules et anneaux macaulayens

Définition 1 Soient A un anneau noethérien et M un A-module de type fini. On dit que M est macaulayen ou est un module de Macaulay si, pour tout idéal maximal m ∈ Supp(M), on a prof_Aₘ(Mₘ) = di… 0D2C
Exemple 1 Tout A-module de longueur finie est macaulayen. 0D2D
Exemple 2 Soit M' un sous-module facteur direct d’un A-module de type fini macaulayen M. Alors M' est macaulayen ; en effet, pour tout idéal maximal m de A, le Aₘ-module M'ₘ est facteur dire… 0D2E
Exemple 3 Soient M un A-module de type fini et macaulayen et (x₁, …, xₙ) une suite M-régulière d’éléments de A. Alors le A-module overlineM = M/(x₁M + ⋯ + xₙM) est macaulayen. Soit en effet… 0D2F
Exemple 4 Soient M un A-module de type fini, et a un idéal de A tel que aM = 0. Pour que le A-module M soit macaulayen, il faut et il suffit qu’il soit macaulayen comme (A/a)-module. En effe… 0D2G
Proposition 1 Soient A un anneau noethérien, M un A-module de type fini, p et q des idéaux premiers de Supp(M) tels que p ⊂ q. Supposons dim_A_q(M_q) = prof_A_q(M_q). On a alors dim_Aₚ(Mₚ) = pro… 0D2H
Corollaire Soient A un anneau noethérien et M un A-module de type fini. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) le A-module M est macaulayen ; (ii) on a prof_Aₚ(Mₚ) = dim_Aₚ(Mₚ) pour… 0D2I
Remarque Soient S une partie multiplicative de A et M un A-module de type fini et macaulayen. Alors S⁻¹M est un S⁻¹A-module macaulayen. En effet, soit q ∈ Spec(S⁻¹A) ; notons i_A^S : A → S⁻… 0D2J
Proposition 2 Soient A un anneau noethérien et M un A-module de type fini et macaulayen. a) Le A-module M n’a pas d’idéaux premiers associés immergés.\footnote{Rappelons (cf. IV, § 2, n° 3, rema… 0D2K
Remarque 1 Sous les hypothèses de la prop. 2, il peut arriver que deux composantes irréductibles X₁ et X₂ de Supp(M) aient une intersection Y réduite à un point et que l’on ait dim X₁ ≠ dim X… 0D2L
Corollaire Soient A un anneau local noethérien et M un A-module de type fini non nul et macaulayen. 0D2M
Remarque 2 Soient M un A-module de type fini et macaulayen, et p un élément de Supp(M). Compte tenu du th. 2 du § 1, n° 4, on a prof_A(p; M) < +∞, et il existe une suite M-régulière de longue… 0D2N
Proposition 3 Soient A un anneau local noethérien, M un A-module non nul de type fini et d la dimension de M. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0D2O
Lemme 1 — Soient A un anneau local noethérien, M un A-module de type fini et pur, et x un élément de mA. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0D2P
Proposition 4 Soient A un anneau local noethérien, M un A-module non nul de type fini et (x₁, ..., xr) une suite d’éléments de mA sécante pour M. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0D2Q
Théorème 1 Soient A un anneau local noethérien, M un A-module non nul de type fini, d la dimension de M, x = (x₁, ..., xd) une suite d’éléments de mA sécante pour M, et J l’idéal qu’elle enge… 0D2R
Lemme 2 Soit overlineG l’image de G dans A/Ann(M). On a ht(overlineG) = codim(Supp(M/SM), Supp(M)) . Lorsque de plus SM ≠ M, on a ht(overlineG) ≤ Card(S) . 0D2S
Définition 2 Soient A un anneau noethérien, M un A-module de type fini, et S une partie finie de A. On dit que S est fortement sécante pour M si l’on a Card(S) ≤ codim(Supp(M/SM), Supp(M)) . 0D2T
Remarque 1 Toute partie finie S de A telle que SM = M est fortement sécante pour M. Lorsque SM ≠ M, il résulte du lemme 2 que pour que S soit fortement sécante pour M, il faut et il suffit qu… 0D2U
Remarque 2 Si l’anneau A est local et le module M non nul, toute partie S de m_A fortement sécante pour M est sécante pour M. En effet, comme le A-module M/SM est non nul, on a 0D2V
Proposition 5 Soient A un anneau noethérien, M un A-module de type fini, et S une partie finie de A. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0D2W
Corollaire Soient A un anneau noethérien et M un A-module de type fini. Toute suite M-régulière est fortement sécante pour M. 0D2X
Proposition 6 Soient A un anneau noethérien, M un A-module macaulayen de type fini, et S une partie finie de A fortement sécante pour M. Alors le A-module M/SM est macaulayen. 0D2Y
Définition 3 On dit qu’un anneau A est macaulayen, ou est un anneau de Macaulay, s’il est noethérien et que le A-module A est macaulayen. 0D2Z
Exemple 1 Tout anneau artinien est un anneau de Macaulay (n° 1, exemple 1). 0D30
Exemple 2 Un anneau de Macaulay ne possède pas d’idéaux premiers associés immergés (n° 2, prop. 2). Inversement, soit A un anneau noethérien de dimension leqslant 1 qui ne possède pas d’idéa… 0D31
Exemple 3 Un anneau noethérien normal de dimension leqslant 2 est un anneau de Macaulay (§ 1, n° 10, texte précédant le th. 4). Inversement, soit A un anneau de Macaulay dont l’anneau local… 0D32
Exemple 4 Si A est un anneau de Macaulay, il en est de même de S⁻¹A pour toute partie multiplicative S de A (n° 1, remarque). Inversement, si l’anneau Aₘ est un anneau de Macaulay pour tout… 0D33
Exemple 5 Soient A un anneau noethérien et J un idéal de A. Pour que A/J soit un anneau de Macaulay, il faut et il suffit que ce soit un A-module macaulayen (n° 1, exemple 4). 0D34
Exemple 6 Soient A un anneau local noethérien et J un idéal de A engendré par une suite A-régulière. Pour que A/J soit un anneau de Macaulay, il faut et il suffit que A en soit un (exemple 5… 0D35
Exemple 7 Pour qu’un anneau local noethérien A soit de Macaulay, il faut et il suffit qu’il possède un idéal de définition engendré par une suite A-régulière : cela résulte de la prop. 3 du… 0D36
Proposition 7 Soit A un anneau noethérien. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0D37
Remarque Soit ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux, et soit p ∈ Spec(A). Notons overlineB l’anneau κ(p) ⊗_A B. Il s’identifie à S⁻¹B/p(S⁻¹B), où S est la partie multiplicative ρ(A - p) de B… 0D38
Proposition 8 Soit ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux noethériens et soit N un B-module qui est un A-module de type fini. Pour que le A-module N soit macaulayen, il faut et il suffit que le B-… 0D39
Corollaire 1 Soit ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux noethériens. Si B est une A-algèbre finie et un A-module macaulayen, c’est un anneau de Macaulay. Si de plus ρ est injectif, on a ht(aB) =… 0D3A
Corollaire 2 Soient A un anneau noethérien intégralement clos et B un anneau contenant A. On suppose que B est un A-module sans torsion, de type fini. Si B est un anneau de Macaulay, le A-modul… 0D3B
Corollaire 3 Soient A un anneau intégralement clos, K son corps des fractions, L une K-algèbre finie telle que [L : K] 1_A soit inversible dans A, et B une sous-A-algèbre de L, finie sur A. 0D3C
Exemple Le corollaire 3 s’applique notamment dans les deux situations suivantes : 0D3D
Proposition 9 Soient ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux noethériens, M un A-module de type fini et N un B-module de type fini, plat sur A. Notons ᵃρ : Spec(B) longrightarrow Spec(A) l’applicat… 0D3E
Corollaire 1 Soient ρ : Λ → B un homomorphisme local d’anneaux locaux noethériens, M un A-module non nul de type fini et N un B-module non nul de type fini qui est un A-module plat. Pour que le… 0D3F
Corollaire 2 Soit ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux noethériens faisant de B un A-module fidèlement plat et soit M un A-module de type fini. Pour que le B-module M ⊗A B soit macaulayen, il f… 0D3G
Corollaire 3 Soient A un anneau noethérien, B une Λ-algèbre finie et plate, M un A-module de type fini et macaulayen. Le B-module M ⊗A B est macaulayen. 0D3H
Corollaire 4 Soient A un anneau noethérien, J un idéal de A et M un A-module de type fini. Notons Ā et Ĝ les séparés complétés de A et M pour la topologie J-adique, et S la partie multiplicativ… 0D3I
Proposition 10 Soit ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux noethériens faisant de B un A-module plat. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0D3J
Corollaire 1 Toute algèbre finie et plate sur un anneau de Macaulay est un anneau de Macaulay. 0D3K
Corollaire 2 Soient A un anneau de Macaulay et n un entier positif ; alors A[X₁, …, Xₙ] et A[[X₁, …, Xₙ]] sont des anneaux de Macaulay. 0D3L
Corollaire 3 Toute algèbre de type fini sur un anneau noethérien de Macaulay est caténaire. 0D3M

§ 3. Profondeur et dimension homologique

Exemple Soit J un idéal de A engendré par une suite A-régulière x = (x₁, …, xᵣ). On a dpA(A/J) ≤ r. En effet, c’est clair si A est nul ; dans le cas contraire, le complexe de Koszul K_bull… 0D3Y
Proposition 1 Soient A un anneau, M un A-module et n un entier ≥ 0. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0D3Z
Proposition 2 Soient A un anneau, M et N des A-modules, i un entier et S une partie multiplicative de A. On a un isomorphisme canonique de S⁻¹A-modules 0D40
Corollaire Soient A un anneau, M et N des A-modules, i un entier. 0D41
Proposition 3 Soient A un anneau noethérien, M un A-module de type fini et N un A-module. 0D42
Corollaire 1 Pour toute partie multiplicative S de A , on a dp_S⁻¹A(S⁻¹M) ≤ dp_A(M) , di_S⁻¹A(S⁻¹N) ≤ di_A(N) , dh(S⁻¹A) ≤ dh(A) . 0D43
Corollaire 2 Si on a dp{Am}(Mm) < +\infty pour tout idéal maximal m de Supp(M) , on a dpA(M) < +\infty . 0D44
Remarque Soit A un anneau noethérien régulier de dimension infinie (VIII, § 5, exerc. 6 c)). Nous verrons ci-dessous (n° 7, th. 2 et § 4, n° 1, prop. 1) qu’on a di{Am}(Am) = dh(Am) < +\inft… 0D45
Proposition 4 Soient A un anneau local noethérien, M un A-module de type fini et n un entier ≥ 0. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0D46
Corollaire 1 Soient A un anneau local noethérien et n un entier ≥ 0. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0D47
Corollaire 2 On a dh(A) = dp_A(κ_A). 0D48
Remarque 1 Soit A un anneau local. Le A-module Tor₁ᴬ(κ_A, κ_A) est isomorphe à 𝔪_A / 𝔪_A² (A, X, p. 72, exemple). Par suite lorsque A est noethérien, pour que Tor₁ᴬ(κ_A, κ_A) soit nul, il fau… 0D49
Remarque 2 Soient A un anneau local noethérien, M un A-module de type fini et de dimension projective finie n, N un A-module non nul de type fini. Le A-module Ext_Aⁿ(M, N) n’est pas nul : soi… 0D4A
Remarque 3 Soient A un anneau noethérien, M un A-module de type fini et de dimension projective finie, N un A-module de type fini dont le support est égal à Spec(A). D’après la remarque précé… 0D4B
Proposition 5 Soient A un anneau noethérien, M un A-module de type fini et n un entier geqslant 0. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0D4C
Remarque 4 Soient A un anneau noethérien et n un entier geqslant 0. Si m et m' sont deux idéaux maximaux de A distincts, les A-modules Ext_Aⁿ(A/m, A/m') et Torₙᴬ(A/m, A/m') sont annulés par m… 0D4D
Proposition 6 Soient A un anneau noethérien, N un A-module, n un entier geqslant 0. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0D4E
Remarque 5 Soit N un A-module de type fini ; la condition Ext_Aⁿ(A/𝔪, N) = 0 pour tout idéal maximal 𝔪 de A n’entraîne pas nécessairement di_A(N) < n. Si par exemple l’anneau A est local et n… 0D4F
Proposition 7 Soient A un anneau, x un élément simplifiable de A, M un A-module tel que l’homothétie x_M soit injective, N un A-module annulé par x, n un entier. Les homomorphismes canoniques de… 0D4G
Corollaire Soient A un anneau local noethérien, M un A-module de type fini et J un idéal de A engendré par une suite (x₁, …, xᵣ) d’éléments de m_A qui est à la fois A-régulière et M-régulière… 0D4H
Théorème 1 (Auslander-Buchsbaum) Soient A un anneau local noethérien et M un A-module de type fini et de dimension projective finie. On a l’égalité 0D4I
Remarque Compte tenu du cor. 2 de la prop. 4 (n° 3), le th. 1 appliqué au A-module κ_A entraîne que l’on est dans l’un ou l’autre des cas suivants : 0D4J
Corollaire 1 Conservons les hypothèses du théorème 1. 0D4K
Corollaire 2 Conservons les hypothèses du théorème 1 et supposons de plus que A soit un anneau de Macaulay. Alors dp_A(M) est la somme des deux entiers positifs dim(A) - dim_A(M) et dim_A(M) -… 0D4L
Corollaire 3 Soient A un anneau noethérien, M un A-module de type fini et de dimension projective finie, i un entier ≥ 0, N un A-module de type fini et F le support du A-module Ext_Aⁱ(M, N) (re… 0D4M
Corollaire 4 Soient A un anneau noethérien de Macaulay et M un A-module de type fini et de dimension projective finie. 0D4N
Proposition 8 Soient A un anneau noethérien, M un A-module de type fini. On a dim_A(M) ≤ di_A(M). 0D4O
Proposition 9 Soient A un anneau local noethérien et M un A-module non nul de type fini et de dimension injective finie. On a di_A(M) = prof(A). 0D4P
Définition 1 On dit qu’un anneau A est un anneau de Gorenstein s’il est noethérien et que le Aₘ-module Aₘ est de dimension injective finie pour tout idéal maximal m de A. 0D4Q
Proposition 10 Soit A un anneau de Gorenstein ; alors A est un anneau de Macaulay, et satisfait à di_A(A) = dim(A). 0D4R
Exemple 1 Pour toute partie multiplicative S d’un anneau de Gorenstein A, l’anneau de fractions S⁻¹A est un anneau de Gorenstein : en effet, soit q un idéal maximal de S⁻¹A ; il est de la fo… 0D4S
Exemple 2 Soit A un anneau de Gorenstein et soit J un idéal de A, engendré par une suite A-régulière x. L’anneau quotient A/J est un anneau de Gorenstein : en effet, pour tout idéal maximal… 0D4T
Exemple 3 Soient A un anneau local noethérien, J un idéal de A engendré par une suite A-régulière d’éléments de m_A. Si A/J est un anneau de Gorenstein, il en est de même de A (n° 4, cor. de… 0D4U
Exemple 4 Soit A un anneau local noethérien régulier ; alors A est un anneau de Gorenstein. En effet, soit x un système de coordonnées de A (VIII, § 5, n° 1, déf. 1). La suite x est A-réguli… 0D4V
Exemple 5 Tout anneau quotient d’un anneau principal est un anneau de Gorenstein (exemple 2). En particulier, toute algèbre monogène sur un corps est un anneau de Gorenstein. 0D4W
Lemme 1 Soit A un anneau local artinien. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0D4X
Lemme 2 Soit A un anneau local noethérien tel que di_A(A) = +∞. On a Ext_Aⁱ(κ_A, A) ≠ 0 pour tout entier i geqslant dim(A). 0D4Y
Théorème 2 (Bass) Soit A un anneau local noethérien ; posons d = dim(A). Soient x = (x₁, …, x_d) une suite sécante maximale d’éléments de m_A, et x l’idéal qu’elle engendre. Les conditions suivantes… 0D4Z
Corollaire Soit A un anneau local noethérien de dimension d. Le A-module Extᵈ_A(κ_A, A) n’est pas nul. 0D50
Proposition 11 Soit A un anneau noethérien. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0D51
Proposition 12 Soit ρ : A → B un homomorphisme local d’anneaux locaux noethériens, faisant de B un A-module plat. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0D52
Corollaire 1 Soit ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux noethériens faisant de B un A-module plat. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0D53
Corollaire 2 Soient A un anneau noethérien, J un idéal de A, hatA le séparé complété de A pour la topologie J-adique. Considérons les conditions suivantes : 0D54
Corollaire 3 Soient A un anneau de Gorenstein et (Tᵢ)_i ∈ I une famille finie d’indéterminées. Les anneaux A[(Tᵢ)_i ∈ I] et A[[Tᵢ]_i ∈ I] sont des anneaux de Gorenstein. 0D55

§ 4. Anneaux réguliers

Proposition 1 Soient A un anneau local noethérien régulier et n sa dimension. On a dh(A) = n et, pour tout entier i geqslant 0, 0D5M
Proposition 2 Un anneau local noethérien régulier est factoriel. 0D5N
Proposition 3 Soient A un anneau local noethérien régulier et M un A-module non nul de type fini. Sa dimension projective est finie et l’on a 0D5O
Corollaire 1 On a dp_A(M) geqslant dim(A) - dim(M); pour qu’il y ait égalité, il faut et il suffit que M soit macaulayen. 0D5P
Corollaire 2 Pour que le A-module M soit libre, il faut et il suffit qu’il soit macaulayen et de dimension dim(A), ou encore qu’il soit de profondeur geqslant dim(A). 0D5Q
Corollaire 3 Tout module réflexif de type fini sur un anneau local noethérien régulier de dimension 2 est libre. 0D5R
Corollaire 4 Soit ρ : A → B un homomorphisme local d’anneaux locaux noethériens. On suppose que A est régulier et que ρ fait de B un A-module de type fini. On a alors dp_A(B) ≥ dim(A) - dim(B)… 0D5S
Remarque Le corollaire 4 permet de caractériser les anneaux locaux de Macaulay dans plusieurs cas importants. Soit A un anneau local noethérien ; c’est un anneau de Macaulay si et seulement… 0D5T
Théorème 1 (Serre) Pour qu’un anneau local noethérien soit régulier, il faut et il suffit que sa dimension homologique soit finie. 0D5U
Définition 1 On dit qu’un anneau A est régulier s’il est noethérien et que l’anneau local Aₘ est régulier pour tout idéal maximal m de A. 0D5V
Proposition 4 Soit A un anneau noethérien. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) A est régulier ; (ii) tout A-module de type fini est de dimension projective < +∞ ; (iii) pour tout id… 0D5W
Exemple 1 Si l’anneau A est régulier, l’anneau de fractions S⁻¹A est régulier pour toute partie multiplicative S de A : cela résulte par exemple de la caractérisation (iii) ci-dessus. 0D5X
Exemple 2 Pour qu’un anneau soit régulier, il faut et il suffit qu’il soit isomorphe au produit d’une famille finie d’anneaux réguliers intègres ; cela résulte en effet de ce que tout anneau… 0D5Y
Exemple 3 Les anneaux réguliers intègres de dimension ≤ 1 sont les anneaux de Dedekind (VIII, § 5, n° 1, exemple 1 et VII, § 2, n° 2, théorème 1). 0D5Z
Corollaire 1 Soit A un anneau noethérien. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0D60
Corollaire 2 Un anneau régulier est normal, de Gorenstein et de Macaulay. 0D61
Corollaire 3 Soient A un anneau noethérien, J un idéal de A et hatA le séparé complété de A pour la topologie J-adique. 0D62
Corollaire 4 Soient A un anneau régulier et P un A-module projectif de type fini. L’algèbre symétrique S_A(P) est un anneau régulier. 0D63
Corollaire 5 Soient A un anneau régulier, et (Tᵢ)_i ∈ I une famille finie d’indéterminées. L’anneau de polynômes A[(Tᵢ)_i ∈ I] et l’anneau de séries formelles A[[Tᵢ]_i ∈ I] sont réguliers. 0D64
Proposition 5 Soient ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux noethériens et N un B-module. On suppose que a) l’anneau A est régulier, b) N est un A-module de type fini, c) le B-module N est macaula… 0D65
Corollaire Soit B un anneau noethérien intègre et soit A un sous-anneau régulier de B. Supposons que le A-module B soit de type fini. Pour que l’anneau B soit de Macaulay, il faut et il suffi… 0D66
Exemple Soit B une algèbre intègre non nulle de type fini sur un corps K. D’après VIII, § 2, n° 4, cor. 1 du th. 3, il existe une sous-algèbre A de B isomorphe à une algèbre de polynômes s… 0D67
Proposition 6 a) Tout anneau de fractions d’un anneau présentable est présentable. Toute algèbre de type fini sur un anneau présentable est un anneau présentable. 0D68
Proposition 7 Soit A un anneau présentable. 0D69
Proposition 8 Soit ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux noethériens faisant de B un A-module fidèlement plat. 0D6A
Corollaire Soit B un anneau régulier intègre et soit A un sous-anneau noethérien de B tel que B soit un A-module de type fini. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0D6B
Lemme 1 On a 0D6C
Proposition 9 Soit ρ : A → B un homomorphisme local d’anneaux locaux noethériens. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0D6D
Exemple Soient X, Y deux variétés analytiques complexes, localement de dimension finie, f un morphisme de X dans Y, et x un point de X. Considérons l’homomorphisme local ρ : O_Y, f(x) → O_… 0D6E
Corollaire Soit ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux noethériens faisant de B un A-module plat. Si A est régulier et si κ(ρ⁻¹(𝔫)) ⊗_A B est régulier pour tout idéal maximal 𝔫 de B, l’anneau B… 0D6F

§ 5. Intersections complètes

Définition 1 Soient A un anneau, J un idéal de A. On dit que l’idéal J est complètement sécant au point p de V(J) si l’idéal Jₚ de Aₚ est engendré par une suite complètement sécante pour Aₚ. On… 0D6T
Proposition 1 Soient A un anneau, J un idéal de A, engendré par une suite finie x = (x₁, …, xᵣ) d’éléments de A. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0D6U
Remarque 1 Lorsque l’anneau A est noethérien, on peut remplacer dans les conditions (ii) et (ii') « complètement sécante » par « régulière » (A, X, p. 160, cor. 1). 0D6V
Remarque 2 Soient A un anneau, J un idéal de type fini de A et p un idéal premier de A contenant J. D’après le cor. 2 du th. 1 du § 1, n° 3, on a 0D6W
Théorème 1 Soient A un anneau noethérien et J un idéal de A. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0D6X
Remarque 1 Supposons l’idéal J complètement sécant ; soit (x1, ..., xr) une suite d’éléments de J, telle que pour tout idéal maximal m ∈ V(J) les images canoniques des xi dans J/mJ forment un… 0D6Y
Corollaire 1 Soient hatA l’anneau séparé complété de A pour la topologie J-adique et hatJ = JhatA le séparé complété de J. Pour que l’idéal hatJ de hatA soit complètement sécant, il faut et il… 0D6Z
Corollaire 2 Soient ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux noethériens faisant de B un A-module plat, et J un idéal de A. 0D70
Corollaire 3 Soient A un anneau noethérien et J un idéal complètement sécant de A. Si A est un anneau de Macaulay (resp. de Gorenstein), il en est de même de A/J. 0D71
Remarque 2 On dit qu’un anneau noethérien A est un anneau d’intersection complète si, pour tout idéal maximal m de A, l’anneau local complet widehatAₘ est isomorphe au quotient d’un anneau no… 0D72
Proposition 2 Soit A un anneau noethérien. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0D73
Proposition 3 Soient A un anneau noethérien et J un idéal de A tel que A/J soit régulier. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0D74
Proposition 4 Soient A un anneau régulier, J un idéal de A et A₀ un sous-anneau de A tel que l’homomorphisme canonique A₀ → A/J soit bijectif. 0D75
Théorème 2 Soit A un anneau régulier, gradué de type N. L’anneau A₀ formé des éléments de degré 0 dans A est régulier ; il existe un A₀-module projectif de type fini P gradué à degrés > 0 tel… 0D76
Corollaire 1 Soit B un anneau régulier, gradué à degrés positifs. Supposons que tout B₀-module projectif de type fini soit libre. a) L’anneau B₀ est intègre et régulier et la B₀-algèbre B est u… 0D77
Corollaire 2 Soient k un corps, B une k-algèbre graduée de polynômes, de type fini, et A une sous-algèbre graduée de B. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) B est un A-module gradué… 0D78
Proposition 5 Soient ρ : A → B un homomorphisme local d’anneaux locaux noethériens, N un B-module de type fini, x = (x1, ..., xr) une suite d’éléments de mB et u : A[T1, ..., Tr] → B l’unique ho… 0D79
Corollaire Soient k un corps, Λ une k-algèbre locale noethérienne, x = (x1, ..., xr) une suite d’éléments de mA et M un Λ-module de type fini. Soient Ā et Ĝ les complétés de A et M pour leur… 0D7A
Proposition 6 Soient ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux noethériens et J un idéal de B. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0D7B
Remarque 1 Supposons que les conditions équivalentes de la prop. 6 soient satisfaites. Comme B/J est plat sur A, pour toute A-algèbre A', la suite canonique de A'-modules 0 → A' ⊗_A J → A' ⊗_… 0D7C

§ 6. Extension des scalaires dans les algèbres régulières

Exemple 1 Dire qu’une extension L d’un corps K est une K-algèbre essentiellement de type fini signifie que c’est une extension de type fini au sens de A, V, p. 11, déf. 2. La K-algèbre L n’e… 0D7O
Exemple 2 Pour qu’une k-algèbre locale soit essentiellement de type fini, il faut et il suffit qu’elle soit isomorphe à une k-algèbre de la forme Aₚ, où A est une k-algèbre de type fini et p… 0D7P
Proposition 1 Si l’anneau k est noethérien, toute k-algèbre essentiellement de type fini est un anneau noethérien. 0D7Q
Proposition 2 a) Toute algèbre quotient d’une k-algèbre essentiellement de type fini est essentiellement de type fini. 0D7R
Corollaire Soient A une k-algèbre essentiellement de type fini et B une k-algèbre noethérienne. Alors l’anneau A ⊗ₖ B est noethérien. 0D7S
Proposition 3 Soient k un anneau, A une k-algèbre et B une A-algèbre. Si A est essentiellement de type fini sur k et B essentiellement de type fini sur A, alors B est essentiellement de type fin… 0D7T
Corollaire Le produit tensoriel de deux k-algèbres essentiellement de type fini est une k-algèbre essentiellement de type fini. 0D7U
Proposition 4 Soient k un corps, A une k-algèbre essentiellement de type fini et B une k-algèbre. 0D7V
Corollaire 1 Soient k un corps, K une extension de k et A une k-algèbre essentiellement de type fini. Pour que A_(K) soit un anneau de Macaulay (resp. de Gorenstein), il faut et il suffit qu’il… 0D7W
Corollaire 2 Soient k un anneau noethérien, A et B des k-algèbres. On suppose que A est plate et essentiellement de type fini sur k. Si A et B sont des anneaux de Macaulay (resp. de Gorenstein)… 0D7X
Lemme 1 Soit A un anneau noethérien, réunion d’une famille filtrante croissante (A_α)_α ∈ I de sous-anneaux noethériens. 0D7Y
Lemme 2 Soient k un corps, K et L des extensions de k. On suppose que K est de type fini et que l’une des extensions K ou L est séparable. Alors l’anneau K ⊗ₖ L est régulier. 0D7Z
Proposition 5 Soient k un corps, A une k-algèbre et K une extension de k. Supposons que A soit essentiellement de type fini ou que l’extension K soit de type fini. 0D80
Définition 1 Soient k un corps et A une k-algèbre. On dit que A est absolument régulière (resp. absolument normale)¹ si l’anneau A_(k') est régulier (resp. normal) pour toute extension k' radic… 0D81
Exemple 1 Si k est parfait, toute k-algèbre régulière (resp. normale) est absolument régulière (resp. absolument normale). 0D82
Exemple 2 Soit A une k-algèbre artinienne. Si A est normale, elle est réduite, donc isomorphe à un produit fini d’extensions de k (A, VIII, § 8, n° 1, prop. 2). Les conditions suivantes sont… 0D83
Exemple 3 Soit A une k-algèbre locale régulière. Si l’extension κ_A de k est séparable, l’algèbre A est absolument régulière. Soit en effet k' une extension de degré fini de k. Le A-module A… 0D84
Proposition 6 Soient k un corps et A une k-algèbre noethérienne. 0D85
Lemme 3 Soient k un corps et K une extension de type fini de k. Il existe une extension L de K, de degré fini, et une sous-k-extension k' de L, radicielle et de degré fini sur k, telles qu… 0D86
Proposition 7 Soient k un corps, A et B des k-algèbres dont l’une est essentiellement de type fini. Supposons que A soit absolument régulière (resp. absolument normale). Si l’anneau B est réguli… 0D87
Corollaire 1 Soit k un corps. Le produit tensoriel de deux k-algèbres absolument régulières (resp. absolument normales) dont l’une est essentiellement de type fini, est une k-algèbre absolument… 0D88
Corollaire 2 Soient k un corps, A une k-algèbre absolument régulière (resp. absolument normale) et K une extension de k. Supposons que A soit essentiellement de type fini ou que l’extension K d… 0D89
Corollaire 3 Soient k un corps, A une k-algèbre et K une extension de k. Supposons que la k-algèbre A soit essentiellement de type fini ou que l’extension K de k soit de type fini. Pour que la… 0D8A
Corollaire 4 Soient k un corps, A une k-algèbre essentiellement de type fini et K une extension de k qui soit un corps parfait. Pour que A soit absolument régulière (resp. absolument normale)… 0D8B
Proposition 8 Soient k un corps et A une k-algèbre essentiellement de type fini. Notons I le noyau de l’homomorphisme de k-algèbres μ : A ⊗ₖ A → A tel que μ(x ⊗ y) = xy pour x et y dans A. Les c… 0D8C
Théorème 1 Soient k un corps et A une k-algèbre locale essentiellement de type fini. Posons n = \dim(A) + \deg.\mathrm{tr}k(\kappaA). 0D8D
Lemme 4 Soient k un corps, K une extension algébrique de k , B une k-algèbre dont le spectre est connexe. Pour tout composant canonique C de B{(K)} , on a \dim(C) = \dim(B) . 0D8E
Lemme 5 Soient k un corps algébriquement clos, A une k-algèbre de type fini dont le spectre est connexe, n un entier et (x1, \ldots , xn) une suite finie d’éléments de A . On suppose que A… 0D8F
Exemple Lorsque A est une extension de type fini de k, le théorème 1 redonne le cor. 1 de A, V, p. 128, compte tenu de l’exemple 2 du n° 4. 0D8G
Corollaire 1 Soient k un corps et A une k-algèbre essentiellement de type fini. L’ensemble des éléments 𝔭 de Spec(A) tels que la k-algèbre A_𝔭 soit absolument régulière est ouvert dans Spec(A). 0D8H
Corollaire 2 Soient k un corps et A une k-algèbre essentiellement de type fini. Pour que A soit absolument régulière, il faut et il suffit que le A-module Ωₖ(A) soit projectif et que pour tout… 0D8I
Remarque Supposons la k-algèbre A absolument régulière. Alors l’anneau total des fractions F de A s’identifie au produit des A_q, où q parcourt l’ensemble des idéaux premiers minimaux de A… 0D8J
Corollaire 3 Soient k un corps de caractéristique 0 et A une k-algèbre essentiellement de type fini. Pour que A soit régulière, il faut et il suffit que le A-module Ωₖ(A) soit projectif. 0D8K

§ 7. Algèbres lisses

Proposition 1 Si φ admet un relèvement, l’application (δ, tildeφ) ↦ δ + tildeφ définit une opération simplement transitive du groupe des k-dérivations de A dans N sur l’ensemble des relèvements… 0D8S
Exemple Soient B une k-algèbre, N un B-module. Munissons le k-module B ⊕ N de la structure de k-algèbre définie par (b, x)(b', x') = (bb', bx' + b'x) (cf. A, III, p. 127), de sorte que N e… 0D8T
Proposition 2 Munissons le k-module A/J ⊕ J/J² de la structure de k-algèbre définie dans l’exemple ci-dessus. Les applications v ↦ hᵥ et h ↦ ψₕ induisent des bijections entre les ensembles suiva… 0D8U
Définition 1 On dit que A est formellement lisse sur k, ou est une k-algèbre formellement lisse, si elle satisfait à la condition suivante : quels que soient la k-algèbre C et l’idéal de carré… 0D8V
Remarque 1 Soient k un anneau, A une k-algèbre et J un idéal de A. Si la k-algèbre A/J est formellement lisse (pour la topologie discrète), l’application identique de A/J admet un relèvement… 0D8W
Remarque 2 Soient k un anneau, A une k-algèbre linéairement topologisée formellement lisse, M un A-module dont l’annulateur est ouvert dans A. Alors toute dérivation δ de k dans M se prolonge… 0D8X
Proposition 3 Soit k un anneau. 0D8Y
Proposition 4 Soient k un anneau, A et B des k-algèbres, J un idéal de A, K un idéal de B. 0D8Z
Corollaire Soient k un corps, K une extension séparable de k et A une K-algèbre linéairement topologisée. Si A est formellement lisse sur K, elle est formellement lisse sur k. 0D90
Remarque 1 Soit k un corps. Toute k-algèbre étale (A, V, p. 28, déf. 1) est formellement lisse (loc. cit., p. 34, th. 4, d) et n° 2, prop. 3, b)). 0D91
Remarque 2 Nous verrons ci-dessous (cor. 2 du th. 2 du n° 5) qu’une extension de corps qui est formellement lisse est absolument régulière, donc séparable (§ 6, n° 4, exemple 2). 0D92
Proposition 5 Soit A une k-algèbre linéairement topologisée formellement lisse. Tout homomorphisme continu de k-algèbres φ : A → C/Cₘ admet un relèvement continu à C. 0D93
Exemple Soient C une k-algèbre et N un idéal nilpotent de C. La proposition s’applique à l’algèbre C munie de la filtration N-adique. Si A est une k-algèbre linéairement topologisée formel… 0D94
Théorème 2 Soient k un anneau, A une k-algèbre et J un idéal de A tel que la k-algèbre A/J soit formellement lisse. Munissons A de la topologie J-adique. Les conditions suivantes sont équival… 0D95
Corollaire 1 Soient k un corps et A une k-algèbre locale noethérienne telle que l’extension κA de k soit séparable. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0D96
Corollaire 2 Soient k un corps, A une k-algèbre noethérienne et J un idéal de A contenu dans le radical de A. Supposons la k-algèbre A formellement lisse pour la topologie J-adique. Elle est al… 0D97
Corollaire 3 Soient k un anneau et A une k-algèbre formellement lisse. 0D98
Lemme 1 Supposons que la A-algèbre B admette une famille génératrice t = (tᵢ)_i ∈ I, liée par des relateurs f_λ ∈ A[T] (λ ∈ A). L’homomorphisme B-linéaire ψ : (B ⊗_A Ωₖ(A)) ⊕ B⁽ᴵ⁾ longrigh… 0D99
Lemme 2 Supposons l’anneau A local et noethérien. Alors Aₙ est local et noethérien. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0D9A
Proposition 6 Soient k un corps de caractéristique p ≠ 0, k' une extension radicielle de k, de degré fini et de hauteur leqslant 1, et A une k-algèbre locale régulière. Alors A_(k') est un annea… 0D9B
Proposition 7 Soient k₀ un anneau, k une k₀-algèbre, A une k-algèbre, m un idéal maximal de A. On suppose que k et A/m sont formellement lisses sur k₀. Pour que A soit formellement lisse sur k p… 0D9C
Remarque 1 Lorsque A est noethérien, la condition (i) signifie que l’anneau local A_𝔪 est régulier (VIII, § 5, n° 2, th. 1). 0D9D
Proposition 8 Soient k un corps et A une k-algèbre locale noethérienne. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0D9E
Remarque 2 Soient k un corps et A une k-algèbre telle que l’anneau A_(k') soit régulier pour toute extension radicielle k' de k, de degré fini et de hauteur ≤ 1; alors A est absolument réguli… 0D9F
Proposition 9 Soient A un anneau, M un A-module de type fini, N un A-module projectif et u : M → N une application A-linéaire. 0D9G
Lemme 3 Soit K un idéal de A contenant J. Supposons qu’il existe un entier m tel que J ∩ Kᵐ soit contenu dans JK (cette condition est satisfaite si A est noethérienne). Si A/J est formelle… 0D9H
Lemme 4 Supposons que A soit formellement lisse sur k pour la topologie J-adique. Pour que A/J soit formellement lisse sur k, il faut et il suffit que l’application canonique bard possède… 0D9I
Théorème 3 Soient k un anneau, A une k-algèbre formellement lisse et J un idéal de type fini de A; posons B = A/J. 0D9J
Corollaire 1 Soient k₀ un anneau, k une k₀-algèbre noethérienne formellement lisse, et B une k-algèbre locale essentiellement de type fini. Si la k₀-algèbre B est formellement lisse pour la top… 0D9K
Corollaire 2 Soient k₀ un anneau, k une k₀-algèbre noethérienne formellement lisse, et B une k-algèbre essentiellement de type fini. L’ensemble U des idéaux premiers 𝔭 de B tels que la k₀-algèb… 0D9L
Remarque 1 Les corollaires 1 et 2 s’appliquent notamment lorsque k₀ est un corps et que l’on est dans l’un des deux cas suivants : a) B est une algèbre essentiellement de type fini sur une ex… 0D9M
Remarque 2 Sous les hypothèses du cor. 3, le A-module Ω(A) est projectif (n° 5, cor. 3 du th. 2), donc libre ; toute dérivation de A dans κ_A se relève donc en une dérivation de A. La conditi… 0D9N
Corollaire 4 (Zariski) Soient k un corps et A une k-algèbre essentiellement de type fini ou locale noethérienne complète. L’ensemble des idéaux premiers 𝔭 de A tels que l’anneau local A_𝔭 soit régulier e… 0D9O
Lemme 5 Soit ρ : A → B un homomorphisme local d’anneaux locaux noethériens. On suppose que B est essentiellement de type fini sur A. Pour que la A-algèbre B soit formellement lisse, il fau… 0D9P
Théorème 4 Soient A un anneau noethérien et B une A-algèbre essentiellement de type fini. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0D9Q
Définition 2 Soit A un anneau noethérien. On dit qu’une A-algèbre B est lisse si elle est essentiellement de type fini et si elle satisfait aux conditions équivalentes du théorème 4. 0D9R
Proposition 10 Soit A un anneau noethérien. 0D9S
Exemple 1 Les algèbres lisses sur un corps k sont les k-algèbres essentiellement de type fini et absolument régulières. 0D9T
Exemple 2 Soient A un anneau noethérien, T = (Tᵢ)_i ∈ I une famille finie d’indéterminées. La A-algèbre A[T] est lisse. Plus généralement, soient F₁, …, Fₘ des éléments de A[T], et soit B la… 0D9U

§ 8. Dualité des modules de longueur finie

Proposition 1 Soit A un anneau noethérien. Pour tout idéal premier 𝔭 de A, soit e_𝔭 : A/𝔭 → I(𝔭) une enveloppe injective de A/𝔭 (A, X, § 1, n° 9). 0DAA
Remarque 1 Soit I un A-module injectif indécomposable, et soit 𝔭 l’unique élément de Ass(I) ; d’après la prop. 1, I contient un sous-module isomorphe à A/𝔭 dont il est enveloppe injective. En… 0DAB
Théorème 1 Soit A un anneau noethérien. Pour tout A-module injectif I, il existe une famille de cardinaux (a_𝔭)_𝔭 ∈ Spec(A), et une seule, telle que I soit isomorphe à ⨁_𝔭 I(𝔭)^(a_𝔭). 0DAC
Remarque 2 Soient A un anneau noethérien, M un A-module, e : M → I une enveloppe injective de M. L’ensemble Ass(M) est égal à Ass(I) : en effet l’inclusion Ass(M) ⊂ Ass(I) est évidente. D’aut… 0DAD
Exemple Soit A un anneau principal, et soit K son corps des fractions. Les A-modules injectifs sont les A-modules divisibles (A, X, p. 17, cor. 2). Le A-module K est une enveloppe injectiv… 0DAE
Lemme 1 Soient A un anneau, a un idéal de A, et I un A-module. Pour tout entier n geqslant 0, notons Iₙ le sous-module de I formé des éléments annulés par aⁿ. 0DAF
Proposition 2 Soient A un anneau noethérien, α un idéal de A, E un A-module et M un sous-A-module de E annulé par α. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) E est une enveloppe injectiv… 0DAG
Lemme 2 Soient A un anneau, α un idéal de type fini de A, et M un A-module dont tout élément est annulé par une puissance de α. Notons widehatA le séparé complété de A pour la topologie α-… 0DAH
Proposition 3 Soient A un anneau noethérien, p un idéal premier de A et e : A/p → I une enveloppe injective du A-module A/p. Pour tout entier n ≥ 0, désignons par Iₙ le sous-module de I formé de… 0DAI
Remarque Il résulte de la démonstration précédente que l’annulateur de Iₙ dans widehatAₚ (resp. dans Aₚ) est 𝔭ⁿ widehatAₚ (resp. 𝔭ⁿ Aₚ). Par suite l’annulateur du A-module Iₙ est l’image ré… 0DAJ
Corollaire Soit J un A-module injectif tel que AssA(J) = {p}. 0DAK
Définition On dit qu’un A-module I est un A-module de Matlis s’il est injectif, que mA est son unique idéal premier associé et que le κA-espace vectoriel HomA(κA, I) est de dimension 1. 0DAL
Lemme 3 Soit I un A-module de Matlis. Alors : 0DAM
Lemme 4 Soient I un A-module de Matlis et M un A-module. Les conditions suivantes sont équivalentes : 0DAN
Lemme 5 Tout widehatA-module artinien est artinien en tant que A-module. 0DAO
Théorème 2 Soit M un A-module. 0DAP
Remarque Supposons l’anneau A artinien. On a long_A(I) = long_A(D_A(A)) = long(A) (th. 2, c)). Soit M un A-module de type fini ; il admet une enveloppe injective isomorphe à Iˢ, où s est la… 0DAQ
Proposition 4 Pour que le A-module M soit de longueur finie, il faut et il suffit que D(M) soit de longueur finie. On a alors z₀(D(M)) = z₀(M), long_A(M) = long_A D(M), Ann_A(M) = Ann_A(D(M)), e… 0DAR
Exemple Soient A un anneau principal, K son corps des fractions. Le A-module K/A est un module de Matlis : en effet l’application canonique de K/A dans ∏_m ∈ Ω K/Aₘ induit un isomorphisme… 0DAS
Exemple 1 Soit J un A-module de Matlis. Posons T(M) = Hom_A(M, J) pour tout A-module M de longueur finie et T(f) = Hom_A(f, 1_J) pour toute application A-linéaire f entre A-modules de longue… 0DAT
Exemple 2 Soient C un complexe injectif de A-modules et d un entier tels que Hⁱ(Homgr_A(κ_A, C)) soit nul pour i ≠ d et soit de longueur 1 pour i = d. Pour tout A-module M de longueur finie… 0DAU
Exemple 3 Soient Ω un A-module et d un entier geqslant 0 tels que Ext_Aⁱ(κ_A, Ω) soit nul pour i ≠ d et soit de longueur 1 pour i = d. Posons T(M) = Ext_Aᵈ(M, Ω) pour tout A-module de longue… 0DAV
Exemple 4 Si A est un anneau de Gorenstein, par exemple un anneau régulier, on peut appliquer l’exemple 3 en prenant Ω = A et d = dim(A) (§ 3, n° 7, prop. 11). 0DAW
Théorème 3 a) Le A-module I est un module de Matlis. Pour tout entier m geqslant 0, Iₘ est le sous-module de I formé des éléments annulés par m_Aᵐ. 0DAX
Exemple 5 Reprenons les hypothèses et notations de l’exemple 1. Alors T(A/𝔪_Aⁿ) = Hom_A(A/𝔪_Aⁿ, J) s’identifie au sous-module Jₙ de J formé des éléments annulés par 𝔪_Aⁿ; par passage à la li… 0DAY
Exemple 6 Reprenons les hypothèses et notations de l’exemple 3. On obtient que I = varinjlim Ext_Aᵈ(A/𝔪_Aⁿ, Ω) est un A-module de Matlis. Pour tout A-module de longueur finie M, on dispose d… 0DAZ
Proposition 5 Soit ρ : A → B un homomorphisme local d’anneaux locaux noethériens, tel que l’extension résiduelle κ_A → κ_B induite par ρ soit de degré fini. Soit I_A un A-module de Matlis. 0DB0
Corollaire a) Si la A-algèbre B est finie, le B-module I_B = Hom_A(B, I_A) est un B-module de Matlis. 0DB1
Proposition 6 Supposons le A-module J injectif ; pour tout A-module N, possons D(N) = \mathrm{Hom}A(N, J). 0DB2
Remarque 1 Pour tout homomorphisme f : N → N' de A-modules, notons D(f) : D(N') → D(N) l’homomorphisme Hom(f, 1_J). Soient u : M → M' et v : P → P' des homomorphismes de A-modules. Choisisson… 0DB3
Remarque 2 Soit 0DB4

§ 9. Modules dualisants

Définition 1 Soit A un anneau noethérien. On dit qu’un A-module Ω est dualisant s’il est de type fini et si, pour tout idéal maximal m de A, le A/m-espace vectoriel Ext_Aⁱ(A/m, Ω) est nul pour… 0DBF
Exemple 1 Si l’anneau A est local et artinien, les A-modules dualisants sont les A-modules injectifs de type fini Ω tels que Hom_A(κ_A, Ω) soit de dimension 1 (S 3, n° 3, prop. 6), c’est-à-d… 0DBG
Exemple 2 Pour qu’un anneau noethérien A soit de Gorenstein, il faut et il suffit que le A-module A soit dualisant (S 3, n° 7, prop. 11). En particulier, le A-module A est dualisant lorsque… 0DBH
Remarque 1 Soient A un anneau local noethérien et Ω un A-module de type fini. Le corps résiduel κ_widehatA s’identifie à κ_A, et le widehatA-module widehatΩ à widehatA ⊗_A Ω (III, S 3, n° 4… 0DBI
Remarque 2 Soit Ω un A-module dualisant ; pour tout A-module projectif L de rang 1, le A-module Ω ⊗_A L est dualisant (A, X, p. 108, prop. 7, b)). Nous verrons ci-dessous (n° 4, prop. 6) que… 0DBJ
Proposition 1 Soient A un anneau noethérien et Ω un A-module dualisant. 0DBK
Proposition 2 Soient A un anneau noethérien, Ω un A-module dualisant. Pour tout idéal premier p de A, le Aₚ-module Ωₚ est dualisant. 0DBL
Lemme 1 Soient B un anneau noethérien local, intègre, de dimension 1, et M un B-module sans torsion de type fini. On suppose qu’on a long_B(M/xM) = long_B(B/xB) pour tout élément non nul x… 0DBM
Corollaire 1 Pour toute partie multiplicative S de A, le S⁻¹A-module S⁻¹Ω est dualisant. 0DBN
Corollaire 2 Le support de Ω est égal à Spec(A). 0DBO
Corollaire 3 Soit M un A-module de type fini, et soit i un entier. Le A-module Ext_Aⁱ(M, Ω) est de type fini, et son support est de codimension geqslant i dans Spec(A). 0DBP
Proposition 3 Soient A un anneau local noethérien, Ω un A-module dualisant et M un A-module de type fini. 0DBQ
Corollaire Si M est macaulayen, on a Ext_Aⁱ(M, Ω) = 0 pour i ≠ c; le A-module Ext_Aᶜ(M, Ω) est macaulayen, et son support est égal à celui de M. 0DBR
Proposition 4 Soient A un anneau noethérien, J un idéal de A engendré par une suite A-régulière x, et Ω un A-module de type fini. 0DBS
Corollaire 1 Soit A un anneau noethérien intègre. Tout A-module dualisant est sans torsion et de rang 1. 0DBT
Corollaire 2 Soient A un anneau de Macaulay local, \Omega un A-module de type fini, et x une suite sécante maximale d’éléments de mA, engendrant un idéal J. Les conditions suivantes sont équiva… 0DBU
Proposition 5 Soit ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux noethériens, faisant de B un A-module plat. On suppose que pour tout idéal maximal n de B, l’anneau κ(ρ⁻¹(n)) ⊗_A B est un anneau de Goren… 0DBV
Corollaire Soit A un anneau noethérien, admettant un module dualisant Ω; soit B une algèbre de polynômes sur A en un nombre fini d’indéterminées. Le B-module Ω_(B) est dualisant. 0DBW
Proposition 6 Soient A un anneau local noethérien et Ω un A-module dualisant. Soit B une A-algèbre finie ; on suppose que le A-module B est macaulayen. Le B-module Ext_Aⁱ(B, Ω) est nul pour i ≠… 0DBX
Corollaire 1 Soient A un anneau noethérien, Ω un A-module dualisant, et B une A-algèbre finie ; on suppose que le A-module B est macaulayen. Le B-module Ext_A(B, Ω) est dualisant. 0DBY
Remarque Gardons les hypothèses du cor. 1 et supposons en outre que l’homomorphisme canonique ρ : A → B soit injectif. On a alors dim(Aₘ) = dim(Bₘ) pour tout idéal maximal m de A (VIII, § 2… 0DBZ
Corollaire 2 Si un anneau noethérien A possède un module dualisant, toute A-algèbre de type fini qui est un anneau de Macaulay possède un module dualisant. 0DC0
Corollaire 3 Tout anneau de Macaulay présentable (en particulier, tout anneau de Macaulay local complet) possède un module dualisant. 0DC1
Lemme 2 Soient A un anneau noethérien, M et N des A-modules de type fini, u : M → N un homomorphisme. Soit x un élément du radical de A, tel que l’homothétie x_N soit injective. Si l’homom… 0DC2
Proposition 7 Soient A un anneau noethérien et Ω un A-module dualisant. 0DC3
Corollaire 1 Pour que A soit un anneau de Gorenstein, il faut et il suffit que le A-module Ω soit projectif de rang 1. 0DC4
Corollaire 2 Supposons que l’anneau A soit présentable. L’ensemble des idéaux premiers p de A tels que Aₚ soit un anneau de Gorenstein est ouvert dans Spec(A). 0DC5
Théorème 1 Soit M un A-module de type fini. Alors α_M est un homologisme : on a Hᵢ(D(D(M))) = 0 pour i ≠ 0 et l’homomorphisme α_M est bijectif. 0DC6
Corollaire Si le A-module M est macaulayen, l’homomorphisme β_M est bijectif. 0DC7
Proposition 8 Le A-module V/Ω est un module de Matlis. 0DC8
Proposition 9 Soient B la clôture intégrale de A, et c = A : B. Supposons que B soit un A-module de type fini. On a l’inégalité [B/c] ≤ 2[B/A] dans Z₀(A). Pour qu’il y ait égalité, il faut et il… 0DC9

§ 10. Cohomologie locale, dualité de Grothendieck

Remarque 1 Soient X l’espace topologique Spec(A), O_X le faisceau d’anneaux structural et widetildeM le O_X-module associé à M. Le A-module gradué H_A(M) s’identifie au module H_m_A(X, wideti… 0DCM
Exemple 1 Si M est injectif, le A-module H_Aⁱ(M) est nul pour i > 0 et injectif pour i = 0 (§ 8, n° 2, lemme 1, c)). 0DCN
Exemple 2 Si H_A⁰(M) = M (par exemple si M est artinien), H_Aⁱ(M) est nul pour i > 0. Soit en effet (I, e) une enveloppe injective de M. Le sous-module H_A⁰(I) de I est injectif (exemple 1)… 0DCO
Exemple 3 Soit Ω un A-module dualisant. Pour i ≠ dim(A), on a Ext_Aⁱ(A/α, Ω) = 0 pour tout idéal de définition α de A (§ 8, n° 5, exemple 3), d’où H_Aⁱ(Ω) = 0; pour i = dim(A), le A-module H… 0DCP
Exemple 4 Soit A un anneau local noethérien intègre ; notons K son corps des fractions, et supposons A ≠ K. C’est un A-module injectif (A, X, p. 18, exemple 1), de sorte que le module H_A(K)… 0DCQ
Exemple 5 Conservons les hypothèses de l’exemple précédent et supposons de plus dim(A) = 1. Soit N un A-module de torsion ; comme tout idéal non nul de A distinct de A est un idéal de défini… 0DCR
Proposition 1 Soient A un anneau local noethérien et M un A-module de type fini. 0DCS
Corollaire Soit M un A-module macaulayen, non nul et de type fini. Le A-module H_Aⁱ(M) est nul pour i ≠ dim(M) et non nul pour i = dim(M). 0DCT
Remarque 2 Pour tout idéal de définition α de A, le A-module Ext_A(A/α, M) est annulé par α, et A/α s’identifie à widehatA/α widehatA; par conséquent, le A-module gradué Ext_A(A/α, M) s’ident… 0DCU
Remarque 1 Soit f : M → N un homomorphisme de A-modules. En utilisant A, X, p. 103, prop. 2, on prouve que les diagrammes suivants sont commutatifs : 0DCV
Remarque 2 Soit (E) 0 → M → N → P → 0 une suite exacte de A-modules. En utilisant A, X, p. 104, prop. 3 et p. 106, prop. 4, on prouve que les diagrammes suivants sont commutatifs : 0DCW
Remarque 3 Considérons l’isomorphisme τᵈ(M) : M ⊗_A H_Aᵈ(A) longrightarrow H_Aᵈ(M) Pour x ∈ M, notons fₓ l’application a ↦ ax de A dans M. Pour tout u ∈ H_Aᵈ(A), on a τᵈ(M)(x ⊗ u) = H_Aᵈ(fₓ)(… 0DCX
Proposition 2 Soit A un anneau de Macaulay local, de dimension d, et soit Ω un A-module dualisant. L’homomorphisme ω : H_Aᵈ(A) → D(Ω) est bijectif. 0DCY
Corollaire L’homomorphisme D(ω) : widehatΩ → D(Hᵈ_A(A)) est un isomorphisme. 0DCZ
Théorème 1 (Dualité de Grothendieck) Soit A un anneau de Macaulay local, de dimension d, et soit Ω un A-module dualisant. 0DD0
Corollaire Soient A un anneau de Macaulay local, M un A-module non nul de type fini, de dimension e. Le A-module H_Aᵉ(M) est non nul. 0DD1
Remarque 1 Lorsque le A-module M est de type fini, le widehatA-module Ext_Aᵈ⁻ⁱ(M, widehatΩ) s’identifie à widehatA ⊗_A Ext_Aᵈ⁻ⁱ(M, Ω) (A, X, p. 108, prop. 7, c)), et δⁱ(M) peut aussi s’obteni… 0DD2
Remarque 2 Soit u : M → M' un homomorphisme de A-modules. D’après la remarque 1 du n° 2 et celle du § 8, n° 7, les diagrammes suivants sont commutatifs : 0DD3
Remarque 3 Soit 0DD4
Exemple Soit A un anneau local noethérien intègre de dimension 1 ; notons K son corps des fractions. Soit Ω un A-module dualisant, et soit M un A-module de type fini. Les A-modules H_A⁰(M)… 0DD5