Quyển AC · Tiếng Việt

Chỉ mục mệnh đề

1590 mệnh đề của Đại số giao hoán, theo chương và mục. Chọn một loại, lọc theo từ, hoặc xếp những mệnh đề được trích dẫn nhiều nhất lên đầu.

Trích dẫn nhiều nhất trước

I. Các môđun phẳng

§ 1. Biểu đồ và dãy khớp

Định nghĩa 1 Cho A là một vành, F, G, H là ba A-môđun phải (tương ứng, trái), f là một đồng cấu từ F đến G và g là một đồng cấu từ G đến H. Cặp có thứ tự (f, g) được gọi là một dãy khớp nếu ove… 0421
Mệnh đề 1 Xét một biểu đồ giao hoán của các nhóm giao hoán: beginarrayccccc A & xrightarrowu & B & xrightarrowv & C \\ a downarrow & & b downarrow & & c downarrow \\ A' & xrightarrowu' & B'… ↩ 3 0422
Bổ đề 1 Xét một biểu đồ giao hoán của các nhóm giao hoán: 0423
Mệnh đề 2 Giả sử rằng trong biểu đồ giao hoán (10) các dãy (u, v) và (u', u') khớp. Khi đó: ↩ 10 0424
Nhận xét Nếu các nhóm của biểu đồ (10) đều là (chẳng hạn, phải) môđun trên một vành A và các đồng cấu là các đồng cấu A-môđun, thì dễ dàng kiểm tra được rằng đồng cấu d được định nghĩa tron… 0425
Hệ quả 1 Giả sử rằng biểu đồ (10) là giao hoán và hai hàng là khớp. Khi đó: ↩ 2 0426
Hệ quả 2 Giả sử rằng biểu đồ (10) là giao hoán và hai hàng là khớp. Trong các điều kiện đó: ↩ 5 0427

§ 2. Môđun phẳng(*)

Bổ đề 1 Nếu M' xrightarrowv M xrightarroww M'' → 0 là một dãy khớp các A-môđun trái và E là một A-môđun phải. Khi đó dãy ↩ 11 042F
Bổ đề 2 Nếu v : M' → M là đơn ánh và v(M') là một nhân tử trực tiếp của M, thì đồng cấu 1, ⊗ v là đơn ánh và ảnh của nó là một nhân tử trực tiếp của E ⊗_A M. ↩ 3 042G
Định nghĩa 1 Cho A là một vành, E là một A-môđun phải và M là một A-môđun trái. Ta nói rằng E là phẳng đối với M (hay M-phẳng) nếu, với mọi A-môđun trái M' và mọi đồng cấu đơn cấu v : M' → M, đ… ↩ 3 042H
Bổ đề 3 Để một A-môđun chặt E là M-phẳng, điều kiện cần và đủ là với mọi môđun con sinh hữu hạn M' của M, đồng cấu chính tắc ↩ 2 042I
Bổ đề 4 Cho E là một A-môđun phải và M là một A-môđun trái sao cho E là M-phẳng. Nếu N là môđun con hoặc môđun thương của M, thì E là N-phẳng. ↩ 3 042J
Bổ đề 5 Cho (Mᵢ)_i ∈ I là một họ các A-môđun trái, M = ⨁_i ∈ I Mᵢ, tổng trực tiếp của chúng và E là một A-môđun phải. Nếu, với mọi i ∈ I, E phẳng đối với Mᵢ, thì E phẳng đối với M. ↩ 1 042K
Mệnh đề 1 Cho E là một A-môđun phải. Ba tính chất sau là tương đương: ↩ 9 042L
Bổ đề 6 Nếu M' xrightarrowv M xrightarroww M'' là một dãy khớp của các A-môđun trái và nếu E là một A-môđun phải M''-phẳng, dãy 042M
Định nghĩa 2 Một A-môđun phải E được gọi là phẳng nếu nó có các tính chất tương đương của Mệnh đề 1. ↩ 1 042N
Mệnh đề 2 (i) Cho (Eₜ)_t ∈ I là một họ các A-môđun phải. Để E = ⨁_t ∈ I Eₜ là phẳng, điều kiện cần và đủ là mỗi Eₜ đều phẳng. ↩ 7 042O
Mệnh đề 3 Cho A là một vành và E là một A-môđun phải. ↩ 5 042P
Ví dụ Áp dụng Mệnh đề 3 cho vành Z, ta thấy rằng Q là một Z-môđun phẳng, nhưng Z/nZ (với n ≥ 2) không phải là một Z-môđun phẳng. 042Q
Mệnh đề 4 Cho E là một A-môđun phải. Ba tính chất sau là tương đương: ↩ 3 042R
Mệnh đề 5 Cho 0 → E' xrightarrowv E xrightarroww E'' → 0 là một dãy khớp các A-môđun phải. Giả sử E'' là phẳng. Khi đó, điều kiện cần và đủ để E phẳng là E' phẳng. 042S
Bổ đề 7 Cho E là một A-môđun phải, F là một A-môđun trái và F', F'' là hai môđun con của F sao cho F = F' + F''. Giao của các ảnh chính tắc của E \otimes F' và E \otimes F'' trong E \otime… ↩ 1 042T
Mệnh đề 6 Cho E là một A-môđun phải và F là một A-môđun trái sao cho E là F-phẳng. Với mọi môđun con F' của F, ta ký hiệu bởi \phi(F') ảnh của E \otimes F' qua ánh xạ chính tắc từ E \otimes… ↩ 6 042U
Nhận xét 1 Với các giả thiết của Mệnh đề 6, E ⊗_A F' thường được đồng nhất với φ(F') đối với mọi môđun con F' của F, điều này cho công thức E ⊗_A (F' ∩ F'') = (E ⊗_A F') ∩ (E ⊗_A F''). 042V
Mệnh đề 7 Cho E là một A-môđun phải, E' là một môđun con của E, F là một A-môđun trái và F' là một môđun con của F. Giả sử rằng E/E' hoặc F/F' là phẳng. Khi đó ảnh chính tắc của E' ⊗ F' tron… ↩ 5 042W
Hệ quả Cho E là một A-môđun phải và E' là một môđun con của E. ↩ 3 042X
Nhận xét 2 Kết luận của Mệnh đề 7 vẫn đúng nếu ta chỉ giả sử rằng E/E' là F-phẳng hoặc rằng F/F' là E-phẳng. ↩ 2 042Y
Mệnh đề 8 Cho A, B là hai vành, E là một A-môđun phải và F là một song môđun (A,B). Giả sử rằng E là phẳng và rằng F phẳng như một B-môđun. Khi đó B-môđun E ⊗_A F là phẳng. ↩ 4 042Z
Hệ quả 1 Cho C là một vành giao hoán, E, F là hai C-môđun phẳng. Khi đó E ⊗_C F là một C-môđun phẳng. ↩ 1 0430
Hệ quả 2 Cho ρ là một đồng cấu từ một vành A vào một vành B. Nếu E là một A-môđun phải phẳng, thì B-môđun phải ρ^*(E) = E_(B) nhận được bằng cách mở rộng vành vô hướng lên B (Đại số, Chương… ↩ 4 0431
Hệ quả 3 Cho R, S là hai vành và φ : R → S là một đồng cấu vành. Nếu M là một S-môđun phải phẳng và φ_*(S_d) là một R-môđun phải phẳng, thì φ_*(M) là một R-môđun phải phẳng. ↩ 4 0432
Mệnh đề 9 Cho (A_α, f_βα) là một hệ trực tiếp các vành, A = lim A_α là giới hạn trực tiếp của nó, (E_α, f_βα) là một hệ trực tiếp các A_α-môđun phải có cùng tập hợp chỉ số và E = lim E_α là… ↩ 2 0433
Bổ đề 8 (i) Mọi môđun có một trình bày hữu hạn đều sinh hữu hạn. (ii) Nếu A là một vành Noether trái, thì mọi A-môđun trái sinh hữu hạn đều có một trình bày hữu hạn. (iii) Mọi môđun xạ ảnh… ↩ 5 0434
Bổ đề 9 Cho A là một vành và E là một A-môđun hữu hạn trình bày. Với mọi dãy khớp ↩ 5 0435
Mệnh đề 10 Cho A, B là hai vành, E một A-môđun phải, F một B-môđun phải, và G một (B, A)-song môđun. Giả sử rằng F là phẳng. Khi đó, nếu E sinh hữu hạn (tương ứng, trình bày hữu hạn), thì đồn… ↩ 1 0436
Mệnh đề 11 Cho A là một vành giao hoán, B là một vành, φ là một đồng cấu từ A vào tâm của B, và E và F là hai A-môđun. Giả sử rằng B là một A-môđun phẳng và E là sinh hữu hạn (tương ứng trình… ↩ 6 0437
Mệnh đề 12 Cho A, B là các vành giao hoán, φ là một đồng cấu từ A vào B, E₁, E₂, E₃ là ba A-môđun, f : E₁ × E → E₃ là một ánh xạ A-song tuyến tính và ↩ 4 0438
Hệ quả 1 Cho A, B là hai vành giao hoán, p : A → B là một đồng cấu sao cho B là một A-môđun phẳng và E là một A-môđun hữu hạn trình bày. Với mọi môđun con sinh hữu hạn F của E, môđun con củ… 0439
Hệ quả 2 Cho A, B là hai vành giao hoán, p : A → B là một đồng cấu sao cho B là một A-môđun phẳng và E là một A-môđun. Khi đó, với mọi môđun con sinh hữu hạn F của E, linh hóa tử của F_(B)… ↩ 1 043A
Nhận xét Nếu không có sự nhập nhằng nào về các môđun E, cũng như về ánh xạ song tuyến tính f, đôi khi người ta dùng F₃ : F₂ để chỉ môđun được ký hiệu bởi T trong Mệnh đề 12 và gọi nó là bộ… 043B
Bổ đề 10 Cho (f_λ)_λ ∈ L là một họ sinh của F và (e_λ)_λ ∈ L là một họ phần tử của E có giá hữu hạn. Để có ∑_λ ∈ L e_λ ⊗ f_λ = 0, điều kiện cần và đủ là tồn tại một tập hợp hữu hạn J, một h… ↩ 2 043C
Mệnh đề 13 Để E là F-phẳng (no. 2, Định nghĩa 1), điều kiện cần và đủ là điều kiện sau đây được thỏa mãn: ↩ 2 043D
Hệ quả 1 Để một A-môđun phải E là phẳng, điều kiện cần và đủ là điều kiện sau đúng: ↩ 1 043E
Hệ quả 2 Để vành B là một A-môđun phải phẳng, điều kiện cần và đủ là nó thỏa mãn điều kiện sau: (RP') Mọi nghiệm (yₖ)_1 ≤ k ≤ n, gồm các phần tử của B, của một hệ phương trình tuyến tính th… ↩ 1 043F

§ 3. Các môđun phẳng trung thành

Mệnh đề 1 Cho E là một A-môđun phải. Bốn tính chất sau là tương đương: ↩ 12 0444
Định nghĩa 1 Một môđun phải A E được gọi là phẳng trung thành nếu nó thỏa mãn bốn điều kiện tương đương của Mệnh đề 1. 0445
Nhận xét Nếu E là một môđun A phẳng trung thành, thì E là một môđun A trung thành: thật vậy, nếu một phần tử a ∈ A sao cho xa = 0 với mọi x ∈ E, phép vị tự h : b ↦ ba trong A có tính chất 1… 0446
Mệnh đề 2 Cho E là một A-môđun phải phẳng trung thành và u : N' → N là một đồng cấu A-môđun trái. Để u là đơn ánh (tương ứng. toàn ánh, song ánh), điều kiện cần và đủ là 1_E ⊗ u : E ⊗_A N' →… ↩ 6 0447
Mệnh đề 3 Cho 0 → E' → E → E'' → +0 là một dãy khớp của các A-môđun phải. Giả sử rằng E' và E'' là phẳng và một trong chúng là phẳng trung thành. Khi đó E là phẳng trung thành. ↩ 2 0448
Mệnh đề 4 Cho R, S là hai vành, E là một R-môđun phải và F là một song môđun (R, S). Giả sử rằng E là phẳng trung thành. Khi đó, để F là một S-môđun phẳng (tương ứng. phẳng trung thành), điề… ↩ 4 0449
Hệ quả Cho C là một vành giao hoán và E và F là hai C-môđun phẳng trung thành. Khi đó C-môđun E ⊗_C F phẳng trung thành. 044A
Mệnh đề 5 Cho ρ là một đồng cấu từ một vành A đến một vành B. Nếu E là một môđun phải A phẳng trung thành, thì môđun phải B ρ^*(E) = E_(B) = E ⊗_A B phẳng trung thành. ↩ 4 044B
Hệ quả Nếu E là một môđun phải A phẳng trung thành và nếu a là một iđêan hai phía của A, thì môđun phải (A/a) E/Ea phẳng trung thành. 044C
Mệnh đề 6 Cho A là một vành giao hoán, B là một đại số trên A và ρ : a ↦ a . 1 là đồng cấu chính tắc của A đến B. Giả sử rằng B là một A-môđun phẳng trung thành. Khi đó, để một A-môđun E là… 044D
Mệnh đề 7 Cho A, B là hai vành và ρ là một đồng cấu từ A đến B. Cho E là một B-môđun phải phẳng trung thành. Để ρ^*(E) là một A-môđun phải phẳng (tương ứng phẳng trung thành), thì điều kiện… 044E
Mệnh đề 8 Cho A, B là hai vành và ρ là một đồng cấu từ A đến B. Giả sử tồn tại một B-môđun phải E sao cho ρ_*(E) là một A-môđun phẳng trung thành. Khi đó: (i) Với mọi A-môđun trái F, đồng cấ… ↩ 5 044F
Hệ quả Dưới các giả thiết của Mệnh đề 8, nếu B là Noether trái (resp. Artin), thì A cũng vậy. 044G
Mệnh đề 9 Cho A, B là hai vành và ρ là một đồng cấu từ A đến B. Năm điều kiện sau là tương đương: (a) A-môđun phải B là phẳng trung thành. (b) Đồng cấu ρ là đơn ánh và A-môđun phải B/ρ(A) là… ↩ 3 044H
Mệnh đề 10 Cho B là một vành và A là một vành con của B sao cho B là một môđun phải phẳng trung thành trên A. Cho F là một môđun trái A, F', F'' là hai môđun con của F. Khi đó: (i) Ánh xạ chí… ↩ 2 044I
Mệnh đề 11 Cho B là một vành và A là một vành con của B sao cho B là một môđun phải phẳng trung thành trên A. Để một môđun trái A là sinh hữu hạn (resp. trình bày hữu hạn), điều kiện cần và đ… ↩ 2 044J
Mệnh đề 12 Cho B là một vành và A là một vành con giao hoán của tâm của B sao cho B là một A-môđun phẳng trung thực. Để một A-môđun F là xạ ảnh và sinh hữu hạn, điều kiện cần và đủ là B ⊗_A F… ↩ 3 044K
Mệnh đề 13 Cho A là một vành con của một vành B. Để cặp có thứ tự (A, B) thỏa mãn tính chất mở rộng tuyến tính, điều kiện cần và đủ là B là một A-môđun phẳng trung thực. 044L

§ 4. Môđun phẳng và các hàm tử "tor"

Mệnh đề 1 Cho E là một A-môđun phải. Bốn tính chất sau là tương đương: 044W
Mệnh đề 2 Cho R, S là hai vành, ρ : R → S là một đồng cấu và F là một R-môđun trái. Hai tính chất sau là tương đương: (a) Tor₁ᴿ(ρ_*(E), F) = 0 với mọi S-môđun phải E. (b) S-môđun trái φ^*(F)… ↩ 3 044X
Nhận xét Mệnh đề 2 cũng suy ra từ sự tồn tại của dãy khớp 044Y

II. Địa phương hóa

§ 1. Iđêan nguyên tố

Định nghĩa 1 Một iđêan p của một vành A được gọi là nguyên tố nếu vành A/p là một miền nguyên. ↩ 1 0450
Mệnh đề 1 Cho A là một vành, a₁, a₂, …, aₙ là các iđêan của A và p là một iđêan nguyên tố của A. Nếu p chứa tích a₁ a₂ … aₙ, thì nó chứa ít nhất một trong các aᵢ. ↩ 7 0451
Hệ quả Cho m là một iđêan cực đại của A; với mọi số nguyên n > 0, iđêan nguyên tố duy nhất chứa mⁿ là m. 0452
Mệnh đề 2 Cho A là một vành, a là một tập hợp khác rỗng của A đóng đối với phép cộng và phép nhân và (pᵢ)_i ∈ I là một họ hữu hạn khác rỗng các iđêan của A. Giả sử rằng a được chứa trong hợp… ↩ 5 0453
Mệnh đề 3 Cho a và b là hai iđêan nguyên tố cùng nhau của một vành A. Cho a' và b' là hai iđêan của A sao cho mọi phần tử của a (resp. b) có một lũy thừa thuộc a' (resp. b'). Khi đó a' và b'… ↩ 3 0454
Mệnh đề 4 Cho a, b₁, …, bₙ là các iđêan của một vành A. Nếu a nguyên tố cùng nhau với mỗi bᵢ (1 ≤ i ≤ n), thì nó nguyên tố cùng nhau với b₁ b₂ … bₙ. ↩ 2 0455
Mệnh đề 5 Cho (aᵢ)_i ∈ I là một họ hữu hạn khác rỗng các iđêan của một vành A. Các tính chất sau là tương đương = (a) Với i ≠ j, aᵢ và aⱼ nguyên tố cùng nhau. (b) Đồng cấu chính tắc φ : A →… ↩ 8 0456
Mệnh đề 6 Cho (aᵢ)_i ∈ I là một họ hữu hạn khác rỗng các iđêan của một vành A nguyên tố cùng nhau từng đôi một; gọi a là giao của các aᵢ. Với mọi A-môđun M, ánh xạ chính tắc M → ∏_i ∈ I (M/a… ↩ 2 0457
Ví dụ Cho K là một trường, a, (1 ≤ i ≤ m) là các phần tử phân biệt của K và, với mỗi i, gọi gᵢ là một đa thức trong K[X]; iđêan chính (X - aᵢ) = mᵢ là cực đại trong K[X], do đó, với mọi… 0458

§ 2. Vành và môđun phân thức

Định nghĩa 1 Cho A là một vành. Một tập con S của A được gọi là có tính nhân nếu mọi tích hữu hạn của các phần tử của S đều thuộc S. 045K
Mệnh đề 1 Cho A là một vành và S là một tập con của A. Tồn tại một vành A' và một đồng cấu h từ A vào A' có các tính chất sau: (1) các phần tử của h(S) là khả nghịch trong A ; (2) với mọi đồ… ↩ 8 045L
Định nghĩa 2 Cho A là một vành, S là một tập con của A và overlineS là tập con nhân được sinh bởi S. Vành các phân thức của A xác định bởi S và ký hiệu là A[S⁻¹] là tập thương của A × overlineS… 045M
Mệnh đề 2 Cho A, B là hai vành, S là một tập con của A, T là một tập con của B và f là một đồng cấu từ A đến B sao cho f(S) ⊂ T. Tồn tại một đồng cấu duy nhất f' từ A[S⁻¹] đến B[T⁻¹] sao cho… ↩ 12 045N
Hệ quả 1 Cho A là một vành, S là một tập con của A và u là một đơn cấu từ A vào một vành B sao cho các phần tử của u(S) là khả nghịch trong B. Đồng cấu duy nhất u' của A[S⁻¹] vào B sao cho… ↩ 3 045O
Hệ quả 2 Cho A là một vành và S và T là hai tập con của A sao cho S ⊂ T. Tồn tại một đồng cấu duy nhất i_A^T,S từ A[S⁻¹] đến A[T⁻¹] sao cho i_Aᵀ = i_A^T,S ∘ i_A^S. ↩ 2 045P
Hệ quả 3 Cho A, B, C là ba vành, S (tương ứng T, U) là một tập con nhân của A (tương ứng B, C), f : A → B, g : B → C là hai đồng cấu và h : A → C là đồng cấu hợp thành g ∘ f; giả sử rằng f(… ↩ 1 045Q
Hệ quả 4 Cho S là một tập con của một vành A, B là một vành con của A[S⁻¹] chứa i_A^S(A) và S' là tập hợp i_A^S(A). Gọi j là đơn ánh chính tắc của B vào A[S⁻¹]; đồng cấu duy nhất g từ B[S'⁻… ↩ 1 045R
Mệnh đề 3 Cho A là một vành, S là một tập con của A, M là một A-môđun, M' là A-môđun M ⊗_A A[S⁻¹] và f là đồng cấu A chính tắc x ↦ x ⊗ 1 từ M vào M'. Khi đó: (1) Với mọi s ∈ S, phép vị tự z… ↩ 5 045S
Định nghĩa 3 Cho A là một vành, S là một tập con của A, overlineS là tập con nhân của A sinh bởi S và M là một A-môđun. Khi đó môđun phân thức của M xác định bởi S và ký hiệu là M[S⁻¹] hoặc ove… 045T
Mệnh đề 4 Cho S là một tập con nhân tính của A và M là một A-môđun. Để có ms = 0 (m \in M, s \in S), điều kiện cần và đủ là tồn tại s' \in S sao cho s'm = 0. ↩ 3 045U
Hệ quả 1 Để có ms = m's' trong S^{-1}M, điều kiện cần và đủ là tồn tại t \in S sao cho t(s'm - sm') = 0. ↩ 1 045V
Hệ quả 2 Cho M là một A-môđun hữu hạn sinh. Để có S^{-1}M = 0, điều kiện cần và đủ là tồn tại s \in S sao cho sM = 0. ↩ 3 045W
Hệ quả 3 Cho M là một A-môđun hữu hạn sinh. Để một iđêan a & A thỏa mãn aM = M, điều kiện cần và đủ là tồn tại a ∈ a sao cho (1 + a)M = 0. ↩ 2 045X
Bổ đề 1 Với mọi iđêan a của A, tập S gồm các phần tử 1 + a, trong đó a ∈ a, là một tập con nhân tính của A và tập a' gồm các phần tử của S⁻¹A có dạng a/s, trong đó a ∈ a và s ∈ S, là một i… ↩ 1 045Y
Mệnh đề 5 Cho A, B là hai vành, S là một tập con nhân tính của A, T là một tập con nhân tính của B và f là một đồng cấu từ A vào B sao cho f(S) ⊂ T. Cho M là một A-môđun, N là một B-môđun và… ↩ 3 045Z
Mệnh đề 6 Cho f là một đồng cấu từ một vành A vào một vành B và S là một tập con nhân của A. Tồn tại một ánh xạ duy nhất j từ (f(S))⁻¹B vào S⁻¹B (trong đó B được xem là một A-môđun nhờ f) sa… ↩ 2 0460
Mệnh đề 7 Cho A là một vành và S, T là hai tập con nhân của A. Đặt T' = i(TA^S). ↩ 7 0461
Mệnh đề 8 Cho A là một vành và S, T là hai tập con nhân của A sao cho S ⊂ T. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 1 0462
Mệnh đề 9 Cho I là một tập có thứ tự trước có hướng phải, (S_α)_α ∈ I là một họ tăng các tập con nhân của một vành A và S = ⋃_α ∈ I S_α. Ta viết ρ_β α = i^S_β, S_α_A^S_β, S_α với α ≤ β, ρ_α… ↩ 1 0463
Hệ quả Dưới các giả thiết của Mệnh đề 9, cho M là một A-môđun. Ký hiệu f_β α = i^S_β, S_α_M với α ≤ β, f_α = i^S, S_α_M với mọi α ∈ I và cho f'_α là ánh xạ chính tắc từ S_α⁻¹M đến lim → S… 0464
Định lý 1 Vành S⁻¹A là một A-môđun phẳng (Chương I, § 2, No. 1, Định nghĩa 2). ↩ 16 0465
Mệnh đề 10 Cho M là một A-môđun. Với mỗi môđun con N' của S⁻¹A-môđun S⁻¹M, gọi φ(N') là ảnh ngược của N' qua i_M^S. Khi đó: (i) Sφ(N') = N'. ↩ 3 0466
Hệ quả 1 Cho N₁, N₂ là hai môđun con của một A-môđun M. Để S⁻¹N₁ ⊂ S⁻¹N₂, điều kiện cần và đủ là môđun bão hòa của N₁ đối với S được chứa trong môđun bão hòa của N₂. 0467
Hệ quả 2 Nếu M là một môđun Noether A (tương ứng, Artin), S^{-1}M là một môđun Noether (tương ứng, Artin) trên S^{-1}A. Đặc biệt, nếu vành A là Noether (tương ứng, Artin), thì vành S^{-1}A… ↩ 3 0468
Mệnh đề 11 Cho A là một vành và S là một tập con nhân của A. Với mọi iđêan b' của S^{-1}A, đặt b = (iA^S)^{-1}(b') sao cho b' = S^{-1}b. ↩ 16 0469
Nhận xét Đối với một iđêan a của A, để thỏa mãn S⁻¹a = S⁻¹A (hay, điều này tương đương với cùng một điều theo no. 4, Định lý I, S⁻¹(A/a) = 0), điều kiện cần và đủ là a ∩ S ≠ ∅, như suy ra n… 046A
Hệ quả 1 Cho A là một vành và S là một tập con nhân của A. Mọi iđêan p của A cực đại trong số các iđêan không gặp S đều là nguyên tố. 046B
Hệ quả 2 Cho A là một vành và S là một tập con nhân của A. Với mọi iđêan a của A không giao với S, tồn tại một iđêan nguyên tố chứa a và không giao với S. ↩ 4 046C
Hệ quả 3 Cho A, B là hai vành, ρ là một đồng cấu từ A đến B và p là một iđêan nguyên tố của A. Để tồn tại một iđêan nguyên tố p' của B sao cho overlineρ⁻¹(p') = p, điều kiện cần và đủ là ov… ↩ 1 046D
Hệ quả 4 Mệnh đề A, B là hai vành và ρ là một đồng cấu từ A vào B. (i) Giả sử tồn tại một B-môđun E sao cho ρ_*(E) là một môđun A phẳng trung thành. Khi đó, với mọi iđêan nguyên tố p của A… ↩ 3 046E
Hệ quả 5 Mệnh đề A là một vành, S là một tập con nhân của A và B là một vành sao cho i_A^S(A) ⊂ B ⊂ S⁻¹A. Cho q là một iđêan nguyên tố của B sao cho iđêan nguyên tố p = (i_A^S)⁻¹(q) của A k… 046F
Định nghĩa 4 Iđêan các phần tử lũy linh của một vành (giao hoán) A được gọi là căn lũy linh của A. Nếu a là một iđêan của A, ảnh ngược, qua ánh xạ chính tắc A → A/a, của căn lũy linh của A/a đư… 046G
Mệnh đề 12 Cho p là một iđêan nguyên tố cực tiểu của một vành A. Với mọi x ∈ p, tồn tại s ∈ A - p và một số nguyên k > 0 sao cho sxᵏ = 0. ↩ 2 046H
Mệnh đề 13 Căn lũy linh của một vành A là giao của tất cả các iđêan nguyên tố của A và cũng là giao của các iđêan nguyên tố cực tiểu của A. ↩ 1 046I
Bổ đề 2 Mọi iđêan nguyên tố của một vành A đều chứa một iđêan nguyên tố cực tiểu của A. 046J
Nhận xét Trong § 4, no. 3, Hệ quả 3 của Mệnh đề 14, ta sẽ chỉ ra rằng trong một vành Noether tập hợp các iđêan nguyên tố cực tiểu là hữu hạn; hơn nữa ta sẽ thấy sau này rằng mọi dãy giảm cá… 046K
Hệ quả 1 Căn của một iđêan a trong một vành A là giao của các iđêan nguyên tố chứa a và cũng là giao của các phần tử cực tiểu của tập hợp các iđêan nguyên tố này. ↩ 2 046L
Hệ quả 2 Đối với một iđêan a của một vành A ta ký hiệu bởi r(a) căn của a. Khi đó, đối với hai iđêan a, b của A, r(a ∩ b) = r(ab) = r(a) ∩ r(b); đặc biệt, nếu a ⊂ b, thì r(a) ⊂ r(b). ↩ 1 046M
Mệnh đề 14 Đối với hai iđêan a, b của một vành, để chúng nguyên tố cùng nhau, điều kiện cần và đủ là các căn r(a) và r(b) của chúng cũng như vậy. 046N
Mệnh đề 15 Trong một vành A cho a là một iđêan và b là một iđêan sinh hữu hạn được chứa trong căn của a. Khi đó tồn tại một số nguyên k > 0 sao cho bᵏ ⊂ a. ↩ 3 046O
Hệ quả Trong một vành Noether, căn lũy linh là một iđêan lũy linh. 046P
Mệnh đề 16 Cho B là một vành và A là một vành con của B. Với mọi iđêan nguyên tố cực tiểu p của A tồn tại một iđêan nguyên tố cực tiểu q của B sao cho q ∩ A = p. 046Q
Định nghĩa 5 Một vành A được gọi là rút gọn nếu căn lũy linh của nó bằng 0, nói cách khác nếu không có phần tử nào ≠ 0 của A là lũy linh. 046R
Mệnh đề 17 Cho A là một vành và 𝔑 là căn lũy linh của nó. Với mọi tập con nhân S của A, S⁻¹𝔑 là căn lũy linh của S⁻¹A. Đặc biệt, nếu A là vành khử, thì S⁻¹A là vành khử. 046S
Mệnh đề 18 Cho A là một vành và S là một tập con nhân của A. ↩ 2 046T
Hệ quả Cho M là một A-môđun và a là một iđêan của A. Các S⁻¹A-môđun con (S⁻¹a)(S⁻¹M), a(S⁻¹M), (S⁻¹a)j(M) (trong đó j : M → S⁻¹M là ánh xạ chính tắc) và S⁻¹(aM) của S⁻¹M là đồng nhất. Đặc… ↩ 2 046U
Nhận xét Cho M, N, P là ba A-môđun, f : M × N → P là một ánh xạ A-song tuyến tính và S⁻¹f : (S⁻¹M) × (S⁻¹N) → (S⁻¹P) là ánh xạ S⁻¹A-song tuyến tính nhận được từ f bằng cách mở rộng vành vô… 046V
Mệnh đề 19 Cho A là một vành và S là một tập con nhân của A. (i) Nếu M và N là hai A-môđun và M là sinh hữu hạn (tương ứng, trình bày hữu hạn), thì đồng cấu chính tắc (Chương I, §2, no. 10, c… ↩ 2 046W
Mệnh đề 20 Cho A, A' là hai vành, p : A → A' là một đồng cấu, S là một tập con nhân của A, S' = ρ(S) và ρ' : S⁻¹A → S'⁻¹A' là đồng cấu tương ứng với p (no. 1, Mệnh đề 2). 046X
Mệnh đề 21 Vành S⁻¹A với họ ((S⁻¹A)ᵢ) là một vành phân bậc và S⁻¹M với họ ((S⁻¹M)ᵢ) là một môđun phân bậc trên vành phân bậc S⁻¹A. Các ánh xạ chính tắc i^S_A và i^S_M là thuần nhất bậc 0. 046Y
Mệnh đề 22 Cho A (tương ứng B) là một vành phân bậc kiểu A, M (tương ứng N) là một môđun phân bậc trên vành phân bậc A (tương ứng B), S (tương ứng T) là một tập con nhân tính của A (tương ứng… 046Z

§ 3. Vành địa phương. Chuyển từ địa phương sang toàn cục

Mệnh đề 1 Cho A là một vành và I là tập hợp các phần tử không khả nghịch của A. Tập hợp I là hợp của các iđêan của A khác với A. Hơn nữa, các điều kiện sau là tương đương: (a) I là một iđêan… ↩ 2 047R
Định nghĩa 1 Một vành A được gọi là vành địa phương nếu nó thỏa mãn các điều kiện tương đương (a), (b) và (c) của Mệnh đề 1. Thương của A theo căn Jacobson của nó (khi đó là iđêan cực đại duy n… 047S
Định nghĩa 2 Cho A, B là hai vành địa phương và m, n là các iđêan cực đại tương ứng của chúng. Một đồng cấu u : A → B được gọi là địa phương nếu u(m) ⊂ n. 047T
Mệnh đề 2 Cho A là một vành và p là một iđêan nguyên tố của A. Vành A, là địa phương; iđêan cực đại của nó là iđêan pAₚ = pᵥ, sinh bởi ảnh chính tắc của p trong A; trường thặng dư của nó đẳn… ↩ 2 047U
Định nghĩa 3 Cho A là một vành và p là một iđêan nguyên tố của A. Vành A, được gọi là vành địa phương của A tại p, hoặc vành địa phương của p, khi không có sự mơ hồ. 047V
Mệnh đề 3 Cho A là một vành, p là một iđêan nguyên tố của A và S = A - p. Với mọi iđêan b' của Aₚ phân biệt với Aₚ, đặt b là iđêan (i_A^S)⁻¹(b') của A sao cho b' = bAₚ. ↩ 4 047W
Mệnh đề 4 Cho A là một vành không nhất thiết giao hoán, m là một iđêan phải của A được chứa trong căn Jacobson của A và M là một A-môđun trái. Giả sử rằng một trong các điều kiện sau được th… ↩ 6 047X
Hệ quả 1 Cho A là một vành không nhất thiết giao hoán, m là một iđêan phải của A được chứa trong căn Jacobson của A, M và N là hai A-môđun trái và u : M → N là một ánh xạ A-tuyến tính. Nếu… ↩ 5 047Y
Hệ quả 2 Nếu A là một vành không nhất thiết giao hoán, m là một iđêan hai phía của A được chứa trong căn Jacobson của A, M là một A-môđun trái và (xᵢ)_i ∈ I là một họ các phần tử của M. Nếu… ↩ 5 047Z
Mệnh đề 5 Cho A là một vành không nhất thiết giao hoán, m là một iđêan hai phía của A được chứa trong căn Jacobson của A và M là một A-môđun trái. Giả sử một trong các điều kiện sau được thỏ… ↩ 7 0480
Hệ quả 1 Cho A là một vành không nhất thiết giao hoán, m căn Jacobson của A và M một A-môđun trái. Giả sử rằng A/m là một trường, rằng đồng cấu chính tắc từ m \otimesA M đến M là đơn ánh và… ↩ 3 0481
Hệ quả 2 Cho A là một vành không nhất thiết giao hoán, m căn Jacobson của A và M một A-môđun trái. Giả sử rằng A/m là một trường và một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: (i) M được trì… ↩ 3 0482
Mệnh đề 6 Cho A là một vành không nhất thiết giao hoán và m căn Jacobson của nó; giả sử rằng A/m là một trường. Gọi M và N là hai A-môđun tự do sinh hữu hạn và u: M → N một đồng cấu. Các tín… ↩ 5 0483
Hệ quả Dưới các giả thiết của Mệnh đề 6, các tính chất sau là tương đương: ↩ 1 0484
Mệnh đề 7 Cho A là một vành địa phương rút gọn, m là iđêan cực đại của nó, (pᵢ)_i ∈ I là họ các iđêan nguyên tố cực tiểu của A, Kᵢ là trường phân thức của A/pᵢ và M là một A-môđun sinh hữu h… ↩ 1 0485
Mệnh đề 8 Cho A là một vành, m là một iđêan cực đại của A và M là một A-môđun. Nếu tồn tại một iđêan a của A sao cho m là iđêan cực đại duy nhất của A chứa a và aM = 0, thì đồng cấu chính tắ… ↩ 2 0486
Mệnh đề 9 Cho A là một vành, m là một iđêan cực đại của A, M là một A-môđun và k là một số nguyên geqslant 0. Đồng cấu chính tắc M → Mₘ/mᵏ Mₘ là toàn ánh, có hạt nhân là mᵏ M và xác định một… ↩ 5 0487
Hệ quả Cho A là một vành, m₁, m₂, …, mₙ là các iđêan cực đại phân biệt của A, M là một A-môđun và k₁, k₂, …, kₙ là các số nguyên geqslant 0. Đồng cấu chính tắc từ M tới ∏ⁿ Mₘ/m_i₁^k₁ Mₘ l… ↩ 1 0488
Mệnh đề 10 A-môđun ⨁_m ∈ Ω Aₘ, tổng trực tiếp của các Aₘ với m ∈ Ω, là trung thành phẳng. ↩ 2 0489
Định lý 1 Cho M, N là hai A-môđun, u : M → N một đồng cấu A và, với mọi m ∈ Ω, cho uₘ : M, → Nₘ là đồng cấu Aₘ-tương ứng (§ 2, no. 2, Nhận xét 5). Để u là đơn ánh (tương ứng, toàn ánh, song… ↩ 11 048A
Hệ quả 1 Cho M là một A-môđun, N một môđun con của M và x một phần tử của M. Để có x ∈ N, điều kiện cần và đủ là, với mọi m ∈ R, ảnh chính tắc của x trong M, thuộc N. ↩ 5 048B
Hệ quả 2 Cho M là một A-môđun và, với mọi m ∈ Ω, gọi fₘ là ánh xạ chính tắc M → Mₘ. Đồng cấu x ↦ (fₘ(x)) từ M vào ∏_m ∈ Ω Mₘ là đơn ánh. ↩ 3 048C
Hệ quả 3 (i) Cho b là một iđêan của A và a là một phần tử của A. Để có a ∈ b, điều kiện cần và đủ là, với mọi m ∈ Ω, ảnh chính tắc của a trong Aₘ thuộc bAₘ. 048D
Hệ quả 4 Cho A là một miền nguyên, K là trường phân thức của nó và M là một A-môđun không xoắn sao cho M được đồng nhất một cách chính tắc với một A-môđun con của K ⊗_A M. Khi đó, với mọi m… 048E
Hệ quả 5 Cho A là một vành. Mọi hệ sinh của A-môđun Aⁿ gồm n phần tử đều là một cơ sở của Aⁿ. 048F
Mệnh đề 11 Cho M là một A-môđun, N là một A-môđun hữu hạn sinh và u : M → N là một đồng cấu. Để u là toàn ánh, điều kiện cần và đủ là, với mọi m ∈ S₂, đồng cấu M/mM → N/mN thu được từ u bằng… ↩ 2 048G
Mệnh đề 12 Cho E, F, G là ba A-môđun và v : G → F, u : E → F là các đồng cấu. Giả sử E hữu hạn trình bày. Để tồn tại một đồng cấu w : E → G sao cho u phân tích qua E xrightarroww G xrightarro… ↩ 3 048H
Hệ quả 1 Cho M là một A-môđun và N là một môđun con của M sao cho M/N hữu hạn trình bày. Để N là một nhân tử trực tiếp của M, điều kiện cần và đủ là, với mọi m ∈ S₂, N, là một nhân tử trực… ↩ 1 048I
Hệ quả 2 Cho M là một A-môđun tự do sinh hữu hạn và N là một môđun con của M, bản thân nó là một A-môđun tự do sinh hữu hạn. Để N là một nhân tử trực tiếp của M, điều kiện cần và đủ là, với… 048J
Mệnh đề 13 Cho S là một tập con nhân tính của một vành A và M là một A-môđun. Nếu M phẳng (tương ứng, trung thành phẳng), S⁻¹M là một S⁻¹A-môđun phẳng (tương ứng, trung thành phẳng) và là một… ↩ 4 048K
Nhận xét Nếu N là một S⁻¹A-môđun, thì S⁻¹N được đồng nhất với N và do đó điều này tương đương với việc nói rằng N là một S⁻¹A-môđun phẳng hay một A-môđun phẳng. 048L
Mệnh đề 14 Cho A là một vành, B là một A-đại số giao hoán và T là một tập con nhân tính của B. Nếu N là một B-môđun phẳng như một A-môđun, thì T⁻¹N là một A-môđun phẳng. ↩ 1 048M
Mệnh đề 15 Cho A, B là hai vành, φ : A → B là một đồng cấu và N là một B-môđun. Các tính chất sau là tương đương: (a) N là một A-môđun phẳng. (b) Với mọi iđêan cực đại n của B, Nₙ là một A-mô… ↩ 1 048N
Hệ quả Để một A-môđun M là phẳng (resp. phẳng trung thành), điều kiện cần và đủ là, với mọi iđêan cực đại m của A, M, là một Aₘ-môđun phẳng (resp. phẳng trung thành). ↩ 2 048O
Mệnh đề 16 Cho A là một vành. Các tính chất sau là tương đương: (a) tập hợp các iđêan cực đại của A là hữu hạn; (b) thương của A bởi căn Jacobson của nó là hợp thành trực tiếp của một số hữu… ↩ 1 048P
Định nghĩa 4 Một vành được gọi là nửa địa phương nếu nó thỏa mãn các điều kiện tương đương (a), (b) của Mệnh đề 16. 048Q
Ví dụ Mọi vành địa phương đều là nửa địa phương. Mọi thương của một vành nửa địa phương đều là nửa địa phương. Mọi tích hữu hạn của các vành nửa địa phương đều là nửa địa phương. 048R
Mệnh đề 17 Cho A là một vành và 𝔭₁, …, 𝔭ₙ là các iđêan nguyên tố của A. Ta viết S = ⋂₁ⁿ (A - 𝔭ᵢ) = A - ⋃₁ⁿ 𝔭ᵢ. ↩ 2 048S
Hệ quả Cho A là một miền nguyên và 𝔭₁, …, 𝔭ₙ là các iđêan nguyên tố của A, không có hai iđêan nào so sánh được đối với quan hệ bao hàm. Nếu A = ⋂₁ⁿ A_𝔭ᵢ trong trường phân thức của A, thì… ↩ 1 048T

§ 4. Phổ của các vành và giá đỡ của các môđun

Định nghĩa 1 Một không gian tôpô X được gọi là bất khả quy nếu mọi giao hữu hạn của các tập mở không rỗng của X là không rỗng. 0498
Mệnh đề 1 Cho X là một không gian tôpô không rỗng. Các điều kiện sau là tương đương: (a) X là bất khả quy; (b) mọi tập mở không rỗng của X là trù mật trong X; (c) mọi tập mở của X là liên th… ↩ 2 0499
Mệnh đề 2 Trong một không gian tôpô X, để một tập hợp E là bất khả quy, điều kiện cần và đủ là bao đóng overlineE của nó là như vậy. ↩ 5 049A
Mệnh đề 3 (i) Nếu X là một không gian bất khả quy, mọi tập con mở không rỗng của X là bất khả quy. ↩ 1 049B
Mệnh đề 4 Cho X và Y là hai không gian tôpô và f là một ánh xạ liên tục từ X vào Y. Với mọi tập con bất khả quy E của X, f(E) là một tập con bất khả quy của Y. 049C
Định nghĩa 2 Mọi tập con bất khả quy cực đại của một không gian tôpô X được gọi là một thành phần bất khả quy của X. 049D
Mệnh đề 5 Cho X là một không gian tôpô. Mọi tập con bất khả quy của X đều được chứa trong một thành phần bất khả quy của X và X là hợp của các thành phần bất khả quy của nó. 049E
Hệ quả Mọi thành phần liên thông của một không gian tôpô X là một hợp của các thành phần bất khả quy của X. ↩ 1 049F
Mệnh đề 6 Cho X là một không gian tôpô và (Pᵢ)_1 ≤ i ≤ n là một phủ hữu hạn của X gồm các tập đóng bất khả quy. Khi đó các thành phần bất khả quy của X là các phần tử cực đại (đối với phép b… ↩ 2 049G
Hệ quả Cho X là một không gian tôpô và E là một không gian con chỉ có một số hữu hạn các thành phần bất khả quy phân biệt Qᵢ (1 ≤ i ≤ n); khi đó các thành phần bất khả quy của bao đóng ov… 049H
Nhận xét Giả sử rằng X chỉ có một số hữu hạn các thành phần bất khả quy phân biệt Xᵢ (1 ≤ i ≤ n); khi đó U₊ = C(⋃_j ≠ i Xⱼ) là mở trong X và trù mật trong Xᵢ vì Xᵢ ∉ ⋃_j ≠ i Xⱼ; do đó các U… 049I
Mệnh đề 7 Cho U là một tập hợp con mở của một không gian tôpô X. Ánh xạ V ↦ overlineV (phần đóng trong X) là một song ánh từ tập hợp các tập hợp con bất khả quy của U đóng trong U lên tập hợ… 049J
Định nghĩa 3 Một không gian tôpô X được gọi là Noether nếu mọi tập hợp không rỗng các tập hợp con đóng của X, có thứ tự bởi phép bao hàm, đều có một phần tử cực tiểu. 049K
Mệnh đề 8 (i) Mọi không gian con của một không gian Noether đều là Noether. (ii) Cho (Aᵢ)_i ∈ I là một phủ hữu hạn của một không gian tôpô X. Nếu các không gian con Aᵢ của X là Noether, thì… ↩ 1 049L
Mệnh đề 9 Để một không gian tôpô X là Noether, điều kiện cần và đủ là mọi tập mở trong X đều quasi-compact. 049M
Bổ đề 1 ("Nguyên lý quy nạp Noether") Cho E là một tập hợp có thứ tự mà mọi tập con khác rỗng của nó đều nhận một phần tử cực tiểu. Cho F là một tập con của E có tính chất sau: nếu a ∈ E là sao cho quan hệ x < a kéo th… 049N
Mệnh đề 10 Nếu X là một không gian Noether, tập hợp các thành phần bất khả quy của X (và a fortiori tập hợp các thành phần liên thông của X) là hữu hạn. 049O
Định nghĩa 4 Cho A là một vành. Tập hợp X các iđêan nguyên tố của A, với tôpô mà các tập đóng là các tập hợp V(M), trong đó M chạy qua 𝔓(A), được gọi là phổ nguyên tố của A và được ký hiệu bởi… ↩ 1 049P
Mệnh đề 11 Cho A là một vành, a là một iđêan của A và Y là một tập con của X = Spec(A). (i) V(a) là đóng trong X và 𝔍(Y) là một iđêan của A bằng căn của nó. (ii) 𝔍(V(a)) là căn của a và V(𝔍(Y… ↩ 8 049Q
Hệ quả 1 Với mọi họ (Yλ){λ ∈ L} các tập con đóng của X, J(∩{λ ∈ L} Yλ) là căn của tổng các iđêan J(Yλ). 049R
Hệ quả 2 Gọi r(a) là căn của một iđêan a của A; nếu a và b là hai iđêan của A, quan hệ V(a) ⊂ V(b) tương đương với b ⊂ r(a) và r(b) ⊂ r(a). ↩ 4 049S
Hệ quả 3 Cho (fλ){λ ∈ L} là một họ các phần tử của A. Để một phần tử g ∈ A thỏa mãn Xg ⊂ ∪{λ ∈ L} X{fλ}, điều kiện cần và đủ là tồn tại một số nguyên n 0 sao cho g^n thuộc iđêan sinh bởi cá… ↩ 2 049T
Hệ quả 5 Để f ∈ A thỏa mãn X_f = ∅, điều kiện cần và đủ là f lũy linh. 049U
Hệ quả 6 Bao đóng của một tập gồm một điểm p ∈ X = Spec(A) là tập V(p) gồm các iđêan nguyên tố chứa p. Để tập p là đóng trong X (hay, như ta cũng sẽ nói bằng một sự lạm dụng ngôn ngữ, để p… 049V
Hệ quả 7 Nếu A là một vành Noether, X = Spec(A) là một không gian Noether. ↩ 1 049W
Mệnh đề 12 Với mọi f ∈ A, tập mở X_f trong X = Spec(A) là quasi-compact; đặc biệt, không gian X là quasi-compact. 049X
Mệnh đề 13 Cho A, A' là hai vành, X = Spec(A), X' = Spec(A') và h là một đồng cấu từ A đến A'; ánh xạ ᵃ h : p' ↦ overlineh(p') từ X' đến X là liên tục. ↩ 3 049Y
Nhận xét Nếu h là toàn ánh và a là hạt nhân của nó, từ định nghĩa của tôpô phổ suy ra rằng ᵃ h là một đồng phôi từ X' lên không gian con đóng V(a) của X; để một iđêan nguyên tố p' của A' ch… 049Z
Hệ quả Cho S là một tập con nhân của A, A' = S⁻¹A và h là đồng cấu chính tắc i_A^S; khi đó ᵃ h là một đồng phôi từ X' = Spec(A') lên không gian con của X = Spec(A) gồm các iđêan nguyên tố… ↩ 1 04A0
Mệnh đề 14 Cho A là một vành. Để một tập con Y của X = Spec(A) là bất khả quy, điều kiện cần và đủ là iđêan 𝔍(Y) là nguyên tố. ↩ 1 04A1
Hệ quả 1 Để một vành A có tính chất X = Spec(A) là bất khả quy, điều kiện cần và đủ là thương của A theo căn nil của nó 𝔑 là một miền nguyên. 04A2
Hệ quả 2 Ánh xạ p ↦ V(p) là một song ánh của X = Spec(A) lên tập hợp các tập con đóng bất khả quy của X; đặc biệt các thành phần bất khả quy của một tập con đóng Y của X là các tập hợp V(p)… ↩ 2 04A3
Hệ quả 3 Tập hợp các iđêan nguyên tố cực tiểu của một vành Noether A là hữu hạn. ↩ 1 04A4
Mệnh đề 15 Cho A là một vành, I là một tập hợp hữu hạn và E là tập hợp các họ trực giao (eᵢ)_i ∈ I của các phần tử lũy đẳng eᵢ ≠ 0 của A sao cho ∑_i ∈ I eᵢ = 1. Với mọi (eᵢ)_i ∈ I ∈ E, ta đặt… ↩ 2 04A5
Bổ đề 2 Nếu e, f là hai phần tử lũy đẳng của A sao cho Ae và Af có cùng căn thì e = f. ↩ 1 04A6
Hệ quả 1 Cho A là một vành, r là một iđêan nil của A và h : A → A/r là đồng cấu chính tắc. Với mọi họ trực giao hữu hạn (e'ᵢ)_i ∈ I các phần tử lũy đẳng của A/r sao cho ∑_i ∈ I e'ᵢ = 1, tồn… 04A7
Hệ quả 2 Để phổ nguyên tố X = Spec(A) của một vành A là liên thông, điều kiện cần và đủ là A không chứa phần tử lũy đẳng nào khác 0 và 1. ↩ 1 04A8
Định nghĩa 5 Cho A là một vành và M là một A-môđun. Tập hợp các iđêan nguyên tố p của A sao cho Mₚ ≠ 0 được gọi là giá đỡ của M và được ký hiệu bởi Supp(M). ↩ 1 04A9
Ví dụ Cho a là một iđêan của A; theo ký hiệu của no. 3, ta có V(a) = Supp(A/a). Nếu p là một nguyên tố của A sao cho a ∉ p, thì (A/a)ₚ = 0 (§ 3, no. 1, Nhận xét 3); nếu ngược lại a ⊂ p… 04AA
Mệnh đề 16 Cho A là một vành và M là một A-môđun. (i) Nếu N là một môđun con của M, thì Supp(M) = Supp(N) ∪ Supp(M/N). (ii) Nếu M là tổng của một họ (Nᵢ)_i ∈ I các môđun con, thì Supp(M) = ⋃_… ↩ 2 04AB
Hệ quả Cho A là một vành, M là một A-môđun, (mᵢ)_i ∈ I là một hệ các phần tử sinh của M và a, là linh hóa tử của mᵢ. Khi đó Supp(M) = ⋃_i ∈ I V(aᵢ). Supp(M) = ⋃_i ∈ I Supp(Amᵢ) theo Mệnh… ↩ 1 04AC
Mệnh đề 17 Cho A là một vành, M là một A-môđun và a là linh hóa tử của nó; nếu M là sinh hữu hạn, thì Supp(M) = V(a) và Supp(M) do đó là đóng trong Spec(A). Cho (mᵢ)_1 ≤ i ≤ n là một hệ các p… ↩ 6 04AD
Hệ quả 1 Cho A là một vành, M là một A-môđun sinh hữu hạn và a là một phần tử của A. Để a thuộc mọi iđêan nguyên tố của giá của M, điều kiện cần và đủ là phép vị tự của M với tỉ số a là lũy… 04AE
Hệ quả 2 Cho A là một vành Noether, M là một A-môđun sinh hữu hạn và a là một iđêan của A. Để Supp(M) ⊂ V(a), điều kiện cần và đủ là tồn tại một số nguyên k sao cho aᵏ M = 0. 04AF
Mệnh đề 18 Cho M, M' là hai môđun sinh hữu hạn trên một vành A; khi đó 04AG
Bổ đề 3 Cho B là một vành địa phương và E và E' là hai B-môđun sinh hữu hạn. Nếu E ≠ 0 và E' ≠ 0, thì E ⊗_B E' ≠ 0. 04AH
Hệ quả Cho M là một A-môđun sinh hữu hạn và n là linh hóa tử của nó. Với mọi iđêan a của A, Supp(M/aM) = V(a) ∩ V(n) = V(a + n). 04AI
Mệnh đề 19 Cho A, B là hai vành, φ : A → B là một đồng cấu và ᵃφ : Spec(B) → Spec(A) là ánh xạ liên tục liên kết với φ (Mệnh đề 13). Với mọi A-môđun M, Supp(M_(B)) ⊂ ᵃφ(Supp(M)) ; nếu cũng M… ↩ 1 04AJ
Bổ đề 4 Cho A, B là hai vành địa phương, p : A → B là một đồng cấu địa phương và E là một A-môđun sinh hữu hạn. Nếu E ≠ 0, thì E_(B) ≠ 0. ↩ 1 04AK
Mệnh đề 20 Cho A là một vành và M là một A-môđun sinh hữu hạn. Với mọi iđêan nguyên tố p ∈ Supp(M), tồn tại một A-đồng cấu khác không w : M → A/p. ↩ 1 04AL

§ 5. Môđun xạ ảnh sinh hữu hạn. Iđêan phân số khả nghịch

Mệnh đề 1 Cho f là một phần tử của một vành A và φ : A → A_f, ánh xạ chính tắc. Ánh xạ ᵃφ : Spec(A_f) → Spec(A) là một phép đồng phôi của Spec(A_f) lên không gian con mở X_f của X = Spec(A)… 04BE
Mệnh đề 2 Cho A là một vành, u : M → N là một đồng cấu A-môđun và p là một iđêan nguyên tố của A. ↩ 2 04BF
Hệ quả Nếu N được trình bày hữu hạn và Nₚ là một Aₚ-môđun tự do có hạng p, thì tồn tại f ∈ A - p sao cho N, là một A_f-môđun tự do có hạng p. ↩ 1 04BG
Mệnh đề 3 Cho (fᵢ)_i ∈ I là một họ hữu hạn các phần tử của một vành A, sinh iđêan A của A. Vành B = ∏_i ∈ I Aᵢ, khi đó là một A-môđun phẳng trung thành. ↩ 3 04BH
Hệ quả Dưới các giả thiết của Mệnh đề 3, đối với một A-môđun M để là sinh hữu hạn (tương ứng, hữu hạn trình bày), điều kiện cần và đủ là, với mọi chỉ số i, A_fᵢ-môđun M_fᵢ là sinh hữu hạn… ↩ 1 04BI
Định lý 1 Cho A là một vành và P là một A-môđun. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 15 04BJ
Hệ quả 1 Giả sử các tính chất tương đương của mệnh đề của Định lý 1 được thỏa mãn. Cho m là một số nguyên 0 sao cho, với mọi họ (xᵢ)_1 ≤ i ≤ m các phần tử của P, tồn tại một họ (aᵢ)_1 ≤ i ≤… 04BK
Hệ quả 2 Mọi môđun phẳng trình bày hữu hạn đều là xạ ảnh. ↩ 1 04BL
Định nghĩa 1 Cho P là một A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn. Với mọi iđêan nguyên tố p của A, hạng của Ap-môđun tự do Pₚ được gọi là hạng của P tại p và được ký hiệu bởi rgₚ(P). ↩ 1 04BM
Định nghĩa 2 Cho n là một số nguyên geqslant 0. Một môđun A xạ ảnh P được gọi là có hạng n nếu nó sinh hữu hạn và rgₚ(P) = n với mọi iđêan nguyên tố p của A. ↩ 3 04BN
Định lý 2 Cho P là một A-môđun và n là một số nguyên geqslant 0. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 4 04BO
Nhận xét Nếu A là một miền nguyên, một A-môđun xạ ảnh có một hạng được xác định tốt (theo nghĩa của Định nghĩa 2), như đã nhận thấy ở trên; hơn nữa, hạng này trùng với hạng được định nghĩa… 04BP
Hệ quả Để một A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn P có hạng n, điều kiện cần và đủ là Aⁿ P có hạng 1. 04BQ
Mệnh đề 4 Cho B là một đại số giao hoán trên A và P là một A-môđun xạ ảnh có hạng n. Khi đó B-môđun P_(B) = B ⊗_A P là xạ ảnh có hạng n. ↩ 4 04BR
Mệnh đề 5 Cho A là một vành bán địa phương và P là một A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn. Nếu hạng của P được xác định, thì P là một A-môđun tự do. ↩ 1 04BS
Định lý 3 Cho A là một vành và M là một A-môđun sinh hữu hạn. ↩ 2 04BT
Mệnh đề 6 Cho M và N là các A-môđun xạ ảnh hạng 1. Khi đó M ⊗_A N, Hom_A(M, N) và đối ngẫu M^* của M là các môđun xạ ảnh hạng 1. 04BU
Mệnh đề 7 Tập hợp P(A) các lớp của các A-môđun xạ ảnh hạng 1, với luật hợp thành (6), là một nhóm giao hoán. Nếu M là một A-môđun xạ ảnh hạng 1 và M^* là đối ngẫu của nó, thì 04BV
Định nghĩa 3 Cho M là một A-môđun con của B. M được gọi là không suy biến nếu B.M = B. 04BW
Mệnh đề 8 Cho M là một A-môđun con của B. Các điều kiện sau là tương đương: (a) M là không suy biến. (b) M giao với S. (c) Nếu j : M → B là đơn ánh chính tắc, thì đồng cấu u = S⁻¹j : S⁻¹M →… ↩ 4 04BX
Hệ quả Nếu M và N là hai A-môđun con không suy biến của B, thì các A-môđun M + N, M.N và M ∩ N đều không suy biến. 04BY
Mệnh đề 9 Cho M, N là hai môđun con-A của B. Nếu M không suy biến, thì đồng cấu chính tắc từ N : M tới Hom_A(M, N) là song ánh. ↩ 2 04BZ
Nhận xét Đặc biệt, A : M được đồng nhất một cách chính tắc với đối ngẫu M^* của M, dạng song tuyến tính chính tắc trên M × M^* được đồng nhất với hạn chế lên M × (A : M) của phép nhân B × B… 04C0
Định nghĩa 4 Một môđun con-A M của B được gọi là khả nghịch nếu tồn tại một môđun con-A N của B sao cho M.N = A. 04C1
Ví dụ Nếu b là một phần tử khả nghịch của B, thì A-môđun Ab là khả nghịch, như thấy được bằng cách lấy N = Ab⁻¹. 04C2
Mệnh đề 10 Cho M là một môđun con-A-môđun khả nghịch của B. Khi đó: (i) Tồn tại s ∈ S sao cho As ⊂ M ⊂ As⁻¹ (và đặc biệt M là không suy biến). (ii) A : M là môđun con-A-môđun duy nhất N của B… ↩ 3 04C3
Định lý 4 Cho M là một môđun con-A-môđun không suy biến của B. Các tính chất sau là tương đương: (a) M là khả nghịch. (b) M là xạ ảnh. (c) M là xạ ảnh hạng 1. (d) M là một A-môđun sinh hữu h… ↩ 5 04C4
Hệ quả Mọi môđun con khả nghịch của B đều phẳng và có trình bày hữu hạn. Điều này suy ra từ Định lý 4 (c). ↩ 1 04C5
Mệnh đề 11 Cho M, N là hai A-môđun con của B. Giả sử rằng M là khả nghịch. Khi đó: (i) Đồng cấu chính tắc M ⊗_A N → M . N là song ánh. (ii) N : M = N . (A : M) và N = (N : M) . M. ↩ 3 04C6
Nhận xét Chứng minh của (i) trong Mệnh đề 11 chỉ sử dụng sự kiện rằng M là phẳng và không suy biến. 04C7
Mệnh đề 12 Ánh xạ cl : 𝔤 → P(A) xác định, bằng cách lấy thương, một đẳng cấu từ 𝔠 = 𝔤/θ(B^*) lên hạt nhân của đồng cấu chính tắc 04C8
Hệ quả 1 Đối với hai môđun con-A khả nghịch của B có cùng ảnh trong ℭ, điều kiện cần và đủ là chúng đẳng cấu. 04C9
Hệ quả 2 Nếu vành B là nửa địa phương, nhóm ℭ các lớp của các môđun con-A khả nghịch của B được đồng nhất một cách chính tắc với nhóm P(A) các lớp của các A-môđun xạ ảnh hạng 1. ↩ 2 04CA
Nhận xét Giả thiết của Hệ quả 2 được thỏa mãn trong hai trường hợp sau: 04CB

III. Phân bậc, lọc và tôpô

§ 1. Đại số phân bậc sinh hữu hạn

Định nghĩa 1 Trong một đại số giao hoán B trên một vành giao hoán A, một họ (xᵢ)_i ∈ I các phần tử của B được gọi là tự do đại số trên A (hoặc các xᵢ được gọi là độc lập đại số trên A) nếu iđêa… 04D1
Định nghĩa 2 Một đại số giao hoán B trên một vành giao hoán A được gọi là sinh hữu hạn nếu nó được sinh bởi một họ hữu hạn phần tử. 04D2
Mệnh đề 1 Cho A = ⨁_i ∈ Z Aᵢ là một vành giao hoán phân bậc có các bậc dương, m là iđêan phân bậc ⨁_i ≥ 1 Aᵢ và (x_λ)_λ ∈ L là một họ các phần tử thuần nhất của A có bậc ≥ 1. Các điều kiện s… ↩ 1 04D3
Hệ quả Cho A = ⨁_i ∈ Z Aᵢ, là một vành giao hoán phân bậc với các bậc dương và m là iđêan phân bậc, ⨁_i ≥ 1 Aᵢ. ↩ 3 04D4
Mệnh đề 2 Cho A = ⨁_i ∈ Z Aᵢ là một vành giao hoán phân bậc với các bậc dương và M = ⨁_i ∈ Z Mᵢ là một A-môđun phân bậc. Giả sử rằng A là một A₀-đại số sinh hữu hạn và M là một A-môđun sinh… 04D5
Bổ đề 1 Cho A là một vành giao hoán phân bậc sao cho A = A₀[A₁], M là một A-môđun phân bậc và (y_λ)_λ ∈ L là một hệ các phần tử sinh thuần nhất của M sao cho deg(y_λ) leqslant n₀ với mọi λ… ↩ 2 04D6
Bổ đề 2 Cho A là một vành giao hoán phân bậc sao cho A = A₀[A₁] và cho S = ⨁_i ≥ 0 Sᵢ, là một A-đại số giao hoán phân bậc với các bậc dương, đồng thời là một A-môđun sinh hữu hạn. Khi đó t… ↩ 1 04D7
Mệnh đề 3 Cho R = ⨁_i ≥ 0 Rᵢ, là một vành giao hoán phân bậc với các bậc dương, là một R₀-đại số sinh hữu hạn. Tồn tại một số nguyên e ≥ 1 sao cho R⁽ᵐᵉ⁾ = R₀[Rₘₑ] với mọi m ≥ 1. 04D8
Mệnh đề 4 Cho p = ⨁_i ≥ 0 pᵢ là một iđêan phân bậc của A; để p là nguyên tố, điều kiện cần và đủ là, nếu x ∈ A, \ y ∈ A, thỏa mãn x ∉ p và y ∉ p, thì xy ∉ p. ↩ 2 04D9
Mệnh đề 5 Cho a = ⨁_i ≥ 0 aᵢ là một iđêan phân bậc của A và n₀ là một số nguyên > 0. Để tồn tại một iđêan nguyên tố phân bậc p = ⨁_i ≥ 0 pᵢ sao cho p_n₀ = a, với n ≥ n₀, điều kiện cần và đủ… ↩ 1 04DA
Mệnh đề 6 Cho d là một số nguyên ≥ 1. 04DB
Mệnh đề 7 Cho p là một iđêan nguyên tố phân bậc của A, d là một số nguyên ≥ 1 và p' là iđêan nguyên tố phân bậc p ∩ A⁽ᵈ⁾ của A⁽ᵈ⁾; với mọi A-môđun phân bậc M, đồng cấu (M⁽ᵈ⁾)_(p') → M₍ₚ₎ dẫn… ↩ 1 04DC
Mệnh đề 8 Cho m = ⨁_i ≥ 1 Aᵢ; cho (p⁽ᵏ⁾)_1 ≤ k ≤ s là một họ hữu hạn các iđêan nguyên tố phân bậc của A và một iđêan phân bậc 𝔞 ⊂ A sao cho 𝔞 ∩ m not⊂ p⁽ᵏ⁾ với mọi k; khi đó tồn tại một phần… 04DD

§ 2. Các kết quả chung về các vành và môđun lọc

Định nghĩa 1 Một dãy tăng (tương ứng, giảm) (Gₙ)_n ∈ Z của các nhóm con của một nhóm G được gọi là một lọc tăng (tương ứng, lọc giảm) trên G. Một nhóm cùng với một lọc được gọi là một nhóm lọc. 04DH
Định nghĩa 2 Cho một vành A, một lọc (Aₙ)_n ∈ Z trên nhóm cộng A được gọi là tương thích với cấu trúc vành trên A nếu 04DI
Định nghĩa 3 Cho A là một vành lọc, (Aₙ)_n ∈ Z là lọc của nó và E là một A-môđun. Một lọc (Eₙ)_n ∈ Z trên E được gọi là tương thích với cấu trúc môđun của nó trên vành lọc A nếu Aₘ Eₙ ⊂ Eₘ₊ₙ vớ… 04DJ
Ví dụ 1 Cho A là một vành giao hoán và t là một phần tử của A không phải là ước của 0. Hãy trang bị cho A lọc adic theo (t) (no. 1, Ví dụ 3). Khi đó vành phân bậc liên kết gr(A) đẳng cấu c… ↩ 1 04DK
Ví dụ 2 Cho K là một vành giao hoán, A là vành các chuỗi lũy thừa hình thức 04DL
Ví dụ 3 Nói chung hơn, cho A là một vành giao hoán, b một iđêan của A và A được trang bị lọc b-adic. Nếu viết B=gr₀(A), F=gr₁(A)=b/b², ta biết (Đại số, Chương III) rằng ánh xạ đồng nhất củ… ↩ 9 04DM
Ví dụ 4 Cho K là một vành giao hoán, mathfrak g là một đại số Lie trên K và U là đại số bao phủ của mathfrak g. Một lọc tăng (Uₙ)_n∈Z được xác định trên U bằng cách lấy Uₙ=0 đối với n<0 và… ↩ 1 04DN
Ví dụ 5 Cho A là một vành phân bậc kiểu Z và E là một A-môđun phân bậc kiểu Z; ký hiệu A₍ᵢ₎ (tương ứng E₍ᵢ₎) là nhóm con của các phần tử thuần nhất bậc i của A (tương ứng E). Cho A và E cá… 04DO
Mệnh đề 1 Cho A là một vành có lọc, (Aₙ)_n ∈ Z là lọc của nó và v là hàm bậc của nó. Giả sử rằng gr(A) là một vành không có ước của không. Khi đó, với mọi cặp có thứ tự của các phần tử a, b… ↩ 1 04DP
Hệ quả Cho A là một vành có lọc và (Aₙ)_n ∈ Z là lọc của nó; đặt B = ⋃_n ∈ Z Aₙ, n = ⋂_n ∈ Z Aₙ. Nếu vành gr(A) không có các ước của không, thì vành B/n cũng không có các ước của không. N… ↩ 2 04DQ
Nhận xét Cho G là một nhóm không nhất thiết giao hoán với một lọc (Gₙ)_n ∈ Z sao cho Gₙ₊₁ là chuẩn trong G, với mọi n ∈ Z; lại đặt grₙ(G) = Gₙ/Gₙ₊₁. Tích hạn chế của họ (grₙ(G))_n ∈ Z, nghĩ… 04DR
Mệnh đề 2 Cho G là một nhóm giao hoán có lọc và H là một nhóm con của G; cho H cấu trúc lọc cảm sinh và G/H cấu trúc lọc thương. Nếu j : H → G là đơn ánh chính tắc và p : G → G/H là toàn cấu… ↩ 3 04DS
Mệnh đề 3 Cho A là một vành lọc, (A,) là lọc của nó, B là vành con ⋃_n ∈ Z Aₙ của A, E là một B-môđun lọc, (En) là lọc của nó, và F là B-môđun con ⋃_n ∈ Z Eₙ của E. Khi đó ánh xạ (a, x) ↦ ax… ↩ 2 04DT
Hệ quả B là một vành tôpô và B-môđun F là một B-môđun tôpô. ↩ 1 04DU
Mệnh đề 4 Cho A là một vành giao hoán được lọc bởi một lọc phủ hết (A,) và p là một iđêan của A. Giả sử rằng iđêan gr(p) = ⨁_n ∈ Z (p ∩ Aₙ)/(p ∩ Aₙ₊₁) của vành gr(A) là nguyên tố. Khi đó bao… 04DV
Mệnh đề 5 Cho G là một nhóm được lọc mà phép lọc (Gₙ) gồm các nhóm con bất biến của G. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 1 04DW
Ví dụ 1 Cho G là một nhóm lọc đầy đủ. Mọi nhóm con đóng của G, với bộ lọc cảm sinh, đều đầy đủ (General Topology, Chapter II, § 3, no. 4, Proposition 8). Mọi nhóm thương của G, với bộ lọc… ↩ 1 04DX
Ví dụ 2 Cho A là một vành giao hoán được lọc mà bộ lọc của nó được ký hiệu bởi (aₙ)_n ∈ Z; gọi A' là vành các chuỗi lũy thừa hình thức A[[X₁, …, Xₛ]]. Với mọi e = (e₁, …, eₛ) ∈ Nˢ, ta đặt… 04DY
Mệnh đề 6 Với các ký hiệu trên, giả sử rằng a₀ = A và gọi h là ánh xạ P ↦ (α_e,P)_e ∈ Nˢ. Khi đó h là một đẳng cấu của nhóm tôpô cộng tính A lên nhóm tôpô cộng tính A^Nˢ. Vành đa thức A[X₁… ↩ 3 04DZ
Hệ quả Cho A là một vành giao hoán, ↩ 5 04E0
Mệnh đề 7 Cho A là một vành được lọc, E là một A-môđun được lọc và (Eₙ) là phép lọc của E; giả sử rằng E₀ = E, rằng các Eₙ là các môđun con của E, rằng các A-môđun E/Eₙ là Artin và cuối cùng… ↩ 1 04E1
Mệnh đề 8 Giả sử rằng A và E thỏa mãn các giả thiết của Mệnh đề 7. Cho (Fₚ) là một dãy giảm các môđun con đóng của E sao cho ⋂ Fₚ = 0. Khi đó, với mọi lân cận V của 0 trong E, tồn tại p sao… ↩ 4 04E2
Định lý 1 Cho X, Y là hai nhóm lọc mà các lọc của chúng (Xₙ), (Yₙ) gồm các nhóm con chuẩn tắc; gọi u : X → Y là một đồng cấu tương thích với các lọc. ↩ 4 04E3
Hệ quả 1 Giả sử rằng X là Hausdorff và bộ lọc của nó là vét cạn. Khi đó, nếu gr(u) là đơn ánh, thì u là đơn ánh. ↩ 4 04E4
Hệ quả 2 Giả sử rằng một trong các giả thiết sau được thỏa mãn : (α) X là đầy đủ, Y là Hausdorff và bộ lọc của nó là vét cạn; (β) Y là rời rạc và bộ lọc của nó là vét cạn. Khi đó, nếu gr(u)… ↩ 2 04E5
Hệ quả 3 Giả sử rằng X và Y là Hausdorff, các bộ lọc của X và Y đều vét cạn và X đầy đủ. Khi đó, nếu gr(u) là song ánh, thì u là song ánh. 04E6
Mệnh đề 9 Cho A là một vành địa phương, m iđêan cực đại của nó, M, N là hai A-môđun và u : N \to M một A-đồng cấu. Trang bị cho M và N các bộ lọc m-adic và giả sử rằng: (1) M thỏa mãn tính c… ↩ 1 04E7
Hệ quả Dưới các giả thiết của Mệnh đề 9, nếu ta còn giả sử rằng N là Hausdorff đối với lọc m-adic, thì u là đơn ánh. 04E8
Mệnh đề 10 Cho A là một vành giao hoán có lọc và (Aₙ) là lọc của nó; giả sử rằng tồn tại một vành con C của A₀ sao cho C ∩ Aₙ = 0 và C được đồng nhất với một vành con của gr₀(A). Cho (xᵢ)_1 ≤… ↩ 1 04E9
Mệnh đề 11 Cho A là một vành giao hoán lọc đầy đủ Hausdorff, C một vành con của A₀ sao cho C ∩ Aₙ = 0 và (xᵢ)_1 ≤ i ≤ q một họ hữu hạn các phần tử của A sao cho xᵢ ∈ A_nᵢ với nᵢ > 0 đối với 1… ↩ 3 04EA
Mệnh đề 12 Cho A là một vành được lọc, E một A-môđun được lọc, và (Aₙ) và (Eₙ) là các lọc tương ứng trên A và E. Giả sử rằng A là đầy đủ và lọc (Eₙ) là cạn và phân ly. Cho (xᵢ)_i ∈ I là một h… ↩ 5 04EB
Hệ quả 1 Cho A là một vành lọc đầy đủ và E là một A-môđun lọc mà lọc của nó là vét cạn và phân cách. Nếu gr(E) là một gr(A)-môđun sinh hữu hạn (tương ứng Noether), thì E là một A-môđun sinh… ↩ 4 04EC
Hệ quả 2 Cho A là một vành lọc Hausdorff đầy đủ mà lọc của nó là vét cạn. Nếu gr(A) là một vành Noether trái, thì A cũng vậy. ↩ 2 04ED
Hệ quả 3 Cho A là một vành lọc đầy đủ, (A,) là lọc của nó, E là một A-môđun lọc Hausdorff, (En) là lọc của nó và F là một môđun con sinh hữu hạn của E; giả sử rằng A∞ = A và E0 = E. ↩ 3 04EE
Mệnh đề 13 Cho A là một vành, m là một iđêan hai phía của A được chứa trong căn Jacobson của A và E là một A-môđun. Cho A và E các lọc m-adic (no. 1, Ví dụ 3). Giả sử rằng một trong các điều… ↩ 2 04EF
Bổ đề 1 Cho A là một vành phân bậc kiểu Z, với phân bậc (Aₙ) sao cho Aₙ = 0 với mọi n < 0 hoặc Aₙ = 0 với mọi n > 0. Cho M là một A-môđun phân bậc kiểu Z. Để M là một A-môđun Noether, điều… ↩ 1 04EG
Định lý 2 Cho A là một vành phân bậc kiểu N, M là một A-môđun phân bậc kiểu N và (Aₙ) và (Mₙ) là các phân bậc tương ứng của chúng. Giả sử tồn tại một phần tử a ∈ A₀ sao cho Aₙ = A₀ aⁿ và Mₙ… ↩ 2 04EH
Hệ quả 1 (Định lý Hilbert) Với mọi vành giao hoán Noether C, vành đa thức C[X] là Noether (x. Bài tập 10). ↩ 1 04EI
Hệ quả 2 Với mọi vành giao hoán Noether C và mọi số nguyên n > 0, vành đa thức C[X1, ..., Xn] là Noether. ↩ 1 04EJ
Hệ quả 3 Nếu C là một vành giao hoán Noether thì mọi C-đại số giao hoán sinh hữu hạn đều là một vành Noether. ↩ 5 04EK
Hệ quả 4 Cho A là một vành giao hoán phân bậc kiểu N và gọi (Aₙ) là phân bậc của nó. Để A là Noether, điều kiện cần và đủ là Aₙ là Noether và A là một A,-đại số sinh hữu hạn. ↩ 2 04EL
Hệ quả 5 Cho A là một vành giao hoán và m một iđêan của A sao cho A/m là Noether, m/m² là một (A/m)-môđun sinh hữu hạn và A là Hausdorff và đầy đủ đối với tôpô m-adic. Khi đó gr(A) và A là… ↩ 4 04EM
Hệ quả 6 Với mọi vành giao hoán Noether C và mọi số nguyên n 0, vành các chuỗi lũy thừa hình thức C[[X₁, …, Xₙ]] là Noether. 04EN
Mệnh đề 14 Cho (Aᵢ, hᵢⱼ) là một hệ ngược các vành giao hoán rời rạc, có tập chỉ số là N, và gọi (Mᵢ, uᵢⱼ) là một hệ ngược các môđun trên hệ ngược các vành (Aᵢ, hᵢⱼ). Gọi nⱼ là hạt nhân của h₀… ↩ 4 04EO
Hệ quả 1 Với ký hiệu và các giả thiết của Mệnh đề 14, giả sử thêm rằng M₀ là một A-môđun sinh hữu hạn và iđêan n₁ của A, là sinh hữu hạn. Gọi m₁ là hạt nhân của h₁; khi đó các tôpô trên A v… ↩ 1 04EP
Hệ quả 2 Dưới các giả thiết của Hệ quả 1, để A là Noether, điều kiện cần và đủ là A, cũng vậy. ↩ 1 04EQ
Mệnh đề 15 Cho A là một vành lọc và E một A-môđun lọc, các lọc tương ứng (Aₙ), (Eₙ) của A và E là vét cạn. Khi đó (hatAₙ) là một lọc tương thích với cấu trúc vành trên hatA và (hatEₙ) là một… ↩ 2 04ER
Bổ đề 2 Cho X xrightarrowf Y xrightarrowg Z là một dãy khớp các cấu xạ ngặt của các nhóm tôpô (Đại số, Chương II, § 1, no. 4, Nhận xét). Giả sử rằng X, Y, Z thừa nhận các nhóm hoàn bị Haus… ↩ 3 04ES
Mệnh đề 16 Cho A là một vành lọc, (A,) bộ lọc của nó, E một A-môđun và (Eₙ) bộ lọc trên E dẫn xuất từ bộ lọc trên A gồm các Eₙ = Aₙ E. Giả sử rằng bộ lọc (A,) là đầy đủ và môđun E là sinh hữu… ↩ 5 04ET
Hệ quả 1 Trong các điều kiện của Mệnh đề 16, nếu A đầy đủ thì E cũng vậy. ↩ 1 04EU
Hệ quả 2 Cho A là một vành giao hoán, m là một iđêan sinh hữu hạn của A và hatA là bổ sung Hausdorff của A đối với tôpô m-adic. Khi đó hatmⁿ = (hatm)ⁿ = mⁿ . hatA với mọi số nguyên n > 0 và… ↩ 2 04EV
Mệnh đề 17 Cho A là một vành giao hoán và (m_λ)_λ ∈ L là một họ các iđêan của A, khác A, sao cho m_λ và m_μ nguyên tố cùng nhau với λ ≠ μ. Với mọi họ s = (s(λ))_λ ∈ L các số nguyên ≥ 0, có gi… ↩ 3 04EW
Hệ quả Cho A là một miền iđêan chính và P là một hệ đại diện các phần tử cực biên của A (Đại số, Chương VII, § 1, no. 3). Tôpô trên A mà đối với nó các iđêan ≠ 0 của A tạo thành một hệ cơ… 04EX
Mệnh đề 18 Cho A là một vành giao hoán, (mᵢ)_1 ≤ i ≤ q là một họ hữu hạn các iđêan cực đại phân biệt của A, t là iđêan tích m₁ m₂ … m_q = m₁ ∩ m₂ ∩ … ∩ m_q và S là tập con nhân ⋂ᵢ₌₁^q (A - mᵢ… ↩ 1 04EY
Mệnh đề 19 Cho A là một vành giao hoán và m là một iđêan cực đại của A. Hoàn thành Hausdorff hatA của A đối với tôpô m-adic là một vành địa phương mà iđêan cực đại là m. 04EZ
Bổ đề 3 Cho A là một vành tôpô Hausdorff đầy đủ, trong đó tồn tại một hệ cơ bản G các lân cận của 0 gồm các nhóm con cộng tính của A. (i) Với mọi x ∈ A sao cho lim_n → m xⁿ = 0, 1 - x là k… ↩ 3 04F0
Hệ quả Cho A là một vành nửa địa phương (Chương II, § 3, no. 5), mᵢ là các iđêan cực đại phân biệt của nó (1 ≤ i ≤ q) và ↩ 3 04F1

§ 3. Các tôpô $\mathfrak{m}$-adic trên các vành Noether

Định nghĩa 1 Cho A là một vành giao hoán, m là một iđêan của A, E là một A-môđun và (Eₙ) là một lọc trên nhóm cộng tính E gồm các môđun con của E. Lọc (Eₙ) được gọi là m-tốt nếu: (1) m Eₙ ⊂ Eₙ₊… 04FX
Định lý 1 Cho A là một vành giao hoán, m là một iđêan của A, E là một A-môđun và (Eₙ) là một lọc của nhóm cộng E gồm các môđun con-A sinh hữu hạn. Giả sử rằng m Eₙ ⊂ Eₙ₊₁ với mọi n. Gọi A' l… ↩ 2 04FY
Bổ đề 1 Một vành Noether giao hoán A và m là một iđêan của A. Khi đó vành con A' = ∑_n ≥ 0 mⁿ Xⁿ của A[X] là Noether. ↩ 1 04FZ
Mệnh đề 1 Cho A là một vành giao hoán Noether và m là một iđêan của A; trang bị cho A lọc m-adic. Cho E, F là hai A-môđun có lọc và j : F → E là một đồng cấu đơn ánh tương thích với các lọc… ↩ 3 04G0
Hệ quả 1 (Bổ đề Artin-Rees) Cho A là một vành giao hoán Noether, m là một iđêan của A, E là một A-môđun hữu hạn sinh và F là một môđun con của E. Lọc cảm sinh trên F bởi lọc m-adic trên E là m-tốt. ↩ 2 04G1
Hệ quả 2 Cho A là một vành giao hoán Noether và a, b là hai iđêan của A. Tồn tại một số nguyên h 0 sao cho aʰ ∩ b ⊂ ab. 04G2
Hệ quả 3 Cho A là một vành giao hoán Noether, m là một iđêan của A và x là một phần tử của A không phải là ước của 0. Tồn tại một số nguyên k > 0 sao cho, với mọi n ≥ k, quan hệ xy ∈ mⁿ kéo… 04G3
Hệ quả 4 Cho A là một vành giao hoán Noether, m là một iđêan của A, E là một A-môđun hữu hạn sinh và (Eₙ) và (E'ₙ) là hai lọc gồm các môđun con của E. Giả sử rằng các lọc (Eₙ) và (E'ₙ) tươn… 04G4
Bổ đề 2 Cho A, B là hai vành giao hoán Noether, φ : A → B là một đồng cấu vành, E là một A-môđun sinh hữu hạn và F là một B-môđun sinh hữu hạn. Khi đó Hom_A(E, φ_*(F)) là một B-môđun sinh… ↩ 1 04G5
Mệnh đề 2 Cho A là một vành giao hoán Noether, m là một iđêan của A và E, F là hai A-môđun sinh hữu hạn. Nếu (Fₙ) là một lọc m-tốt trên F, thì các môđun con Hom_A(E, Fₙ) tạo thành một lọc m-… ↩ 1 04G6
Mệnh đề 3 Cho A là một vành Noether và m là một iđêan của A sao cho A tách biệt Hausdorff và đầy đủ đối với tôpô m-adic. Cho E là một A-môđun lọc trên vành lọc A, hệ lọc (Eₙ) của A sao cho E… 04G7
Mệnh đề 4 Mọi hệ lọc m-tốt trên E đều xác định cùng một tôpô (cụ thể là tôpô m-adic). ↩ 1 04G8
Định lý 2 (Krull) Cho A là một vành giao hoán Noether, m là một iđêan của A, E là một A-môđun sinh hữu hạn và F là một môđun con của E. Khi đó tôpô m-adic trên F là tôpô cảm sinh bởi tôpô m-adic trê… ↩ 6 04G9
Hệ quả Cho A là một vành giao hoán Noether, m là một iđêan của A, E là một A-môđun và F là một A-môđun sinh hữu hạn. Mọi ánh xạ tuyến tính A-tuyến tính u : E → F là một cấu xạ ngặt (Tôpô… ↩ 1 04GA
Mệnh đề 5 Cho A là một vành giao hoán Noether, m là một iđêan của A và E là một A-môđun sinh hữu hạn. Bao đóng ⋂ₙ₌₁ᵐ mⁿE của 0 trong E đối với tôpô m-adic là tập hợp các x ∈ E sao cho tồn tạ… ↩ 6 04GB
Hệ quả (Krull) Cho A là một vành giao hoán Noether và m là một iđêan của A. Iđêan ⋂ₙ₌₁ᵐ mⁿ là tập hợp các phần tử x ∈ A mà tồn tại m ∈ m sao cho (1 - m)x = 0. Đặc biệt, để ⋂ₙ₌₁^∞ mⁿ = 0, điều kiệ… ↩ 3 04GC
Nhận xét Giả thiết rằng A là Noether là cốt yếu trong hệ quả này. Ví dụ, cho A là vành các ánh xạ khả vi vô hạn từ R vào chính nó và cho m là iđêan (cực đại) của A gồm các hàm f sao cho f(0… 04GD
Định nghĩa 1 Cho A là một vành tôpô. Nếu một iđêan hai phía m của A sao cho tôpô đã cho trên A là tôpô m-adic, thì m được gọi là một iđêan xác định & tôpô trên A. 04GE
Mệnh đề 6 Cho A là một vành giao hoán Noether và m là một iđêan của A. Các tính chất sau là tương đương: (a) m được chứa trong căn Jacobson của A. (b) Mọi A-môđun sinh hữu hạn đều Hausdorff… ↩ 6 04GF
Định nghĩa 2 Một vành tôpô A được gọi là một vành Zariski nếu nó giao hoán và Noether và tồn tại một iđêan xác định m cho tôpô trên A thỏa mãn các điều kiện tương đương của Mệnh đề 6. 04GG
Ví dụ 1 Cho A là một vành giao hoán Noether và m là một iđêan của A. Nếu A là Hausdorff và đầy đủ đối với tôpô m-adic, thì A là một vành Zariski đối với tôpô này, theo § 2, no. 13, Bổ đề 3… ↩ 1 04GH
Ví dụ 2 Mọi vành thương A/b của một vành Zariski đều là một vành Zariski, vì nó là Noether và, nếu m là một iđêan xác định của A, thì m(A/b) = (m + b)/b được chứa trong căn Jacobson của A/… 04GI
Ví dụ 3 Cho A là một vành Noether nửa địa phương và r là căn Jacobson của nó. Khi đó A, với tôpô r-adic, là một vành Zariski. Đây sẽ luôn luôn là tôpô được xét đến (trừ khi có nói rõ khác… ↩ 2 04GJ
Mệnh đề 7 Cho A, A' là hai vành giao hoán và h : A → A' là một đồng cấu vành. Giả sử rằng A là Noether và rằng A' là một A-môđun sinh hữu hạn (với cấu trúc được xác định bởi h). Cho m là một… ↩ 2 04GK
Định lý 3 Cho A là một vành Noether giao hoán, m là một iđêan của A và E, F, G là ba A-môđun hữu hạn sinh. Khi đó: ↩ 7 04GL
Hệ quả 1 Cho A là một vành giao hoán Noether, m một iđêan của A, E một A-môđun sinh hữu hạn và F và G là hai môđun con của E. Trang bị cho A, E, F, G các tôpô m-adic và gọi i là ánh xạ chín… ↩ 2 04GM
Hệ quả 2 Cho A là một vành giao hoán Noether, m một iđêan của A và hatA là bổ sung Hausdorff của A đối với tôpô m-adic. Nếu một phần tử a ∈ A không là một ước của 0 trong A, thì ảnh chính t… ↩ 1 04GN
Hệ quả 3 Nếu A là một vành giao hoán Noether, thì vành các chuỗi lũy thừa hình thức A[[X₁, …, Xₙ]] là một A-môđun phẳng. 04GO
Mệnh đề 8 Cho A là một vành giao hoán Noether, m một iđêan của A, hatA là bổ túc Hausdorff của A đối với tôpô m-adic và j là ánh xạ chính tắc từ A vào hatA. Khi đó: (i) hatA là một vành Zari… ↩ 3 04GP
Hệ quả Cho A là một vành địa phương Noether (resp. nửa địa phương) và m là căn Jacobson của nó. Khi đó hatA là một vành địa phương Noether (resp. nửa địa phương) mà căn Jacobson là hatm. 04GQ
Mệnh đề 9 Cho A là một vành giao hoán Noether và m là một iđêan của A; giả sử A được trang bị tôpô m-adic. Để hatA là một A-môđun phẳng trung thành, điều kiện cần và đủ là A là một vành Zari… ↩ 3 04GR
Hệ quả 1 Cho A là một vành Zariski, E một A-môđun sinh hữu hạn và F một môđun con của E. Khi đó F = hatF ∩ E = (hatAF) ∩ E. 04GS
Hệ quả 2 Cho A là một vành Zariski và E một A-môđun sinh hữu hạn. Nếu hatE là một A-môđun tự do, thì E là một A-môđun tự do. ↩ 1 04GT
Hệ quả 3 Cho A là một vành Zariski sao cho hatA là một miền nguyên và gọi a là một iđêan của A. Nếu iđêan ahatA của hatA là chính, thì a là chính. ↩ 1 04GU
Hệ quả 4 Cho A là một vành Zariski sao cho hatA là một miền nguyên, L là trường phân thức của hatA và K ⊂ L là trường phân thức của A; khi đó hatA ∩ K = A. ↩ 1 04GV
Hệ quả 5 Cho A là một vành Noether giao hoán, E, F là hai A-môđun sinh hữu hạn và u : E → F là một A-đồng cấu. Với mọi iđêan cực đại m của A, gọi A(m) (tương ứng E(m), F(m)) là hoàn thành H… 04GW
Mệnh đề 10 Cho A, B là hai vành Zariski, hatA, hatB là các hoàn thành của chúng, f : A → B là một đồng cấu vành liên tục và hatf : hatA → hatB là đồng cấu nhận được từ f bằng cách chuyển qua… ↩ 1 04GX
Mệnh đề 11 Cho A là một vành địa phương Noether, m là iđêan cực đại của nó, hatA là hoàn thành m-adic của nó và B là một vành sao cho A ⊂ B ⊂ hatA. Giả sử rằng B là một vành địa phương Noethe… 04GY
Nhận xét Một vành địa phương B sao cho A ⊂ B ⊂ hatA, có iđêan cực đại n bằng mB và có tôpô n-adic được cảm sinh bởi tôpô m-adic trên A, không nhất thiết là Noether (Bài tập 14). 04GZ
Mệnh đề 12 Cho A là một vành giao hoán Noether, m là một iđêan của A, S là tập con nhân 1 + m của A và E là một A-môđun sinh hữu hạn. Trong các điều kiện đó: 04H0

§ 4. Nâng lên trong các vành đầy đủ

Bổ đề 1 ("Bổ đề Euclid") Cho x, y là hai phần tử nguyên tố cùng nhau mạnh của R; nếu z ∈ R là sao cho x chia hết yz, thì x chia hết z. ↩ 1 04HS
Mệnh đề 1 Cho A là một vành giao hoán và P và P' là hai đa thức nguyên tố cùng nhau mạnh trong A[X]. Giả sử rằng P là đơn thức cao nhất và có bậc s. Khi đó mọi đa thức T trong A[X] có thể đư… ↩ 3 04HT
Ví dụ Để một đa thức P ∈ A[X] nguyên tố cùng nhau mạnh với X - a (trong đó a ∈ A), điều kiện cần và đủ là P(a) khả nghịch trong A. Thật vậy, nếu P và X - a nguyên tố cùng nhau mạnh, từ M… 04HU
Mệnh đề 2 Cho A và B là hai vành giao hoán, f một đồng cấu từ A đến B và P, P' là hai đa thức trong A[X]. Nếu P và P' nguyên tố cùng nhau mạnh trong A[X], thì barf(P) và barf(P') nguyên tố c… ↩ 2 04HV
Định nghĩa 1 Một vành tôpô giao hoán A được gọi là tôpô hóa tuyến tính (và tôpô của nó được gọi là tuyến tính) nếu tồn tại một hệ cơ bản B các lân cận 𝔬 gồm các iđêan 𝔬 ⊂ A. 04HW
Định nghĩa 2 Cho một vành tôpô giao hoán A, một chuỗi lũy thừa hình thức T = ∑_(nᵢ) c_n₁ n₂ … nₚ X₁^n₁ X₂^n₂ … Xₚ^nₚ trong vành A[[X₁, …, Xₚ]] được gọi là hạn chế nếu, với mọi lân cận V của 0 t… 04HX
Mệnh đề 3 Nếu vành giao hoán A được trang bị tôpô tuyến tính là Hausdorff và đầy đủ, thì đồng cấu chính tắc π là một đẳng cấu vành tôpô. ↩ 1 04HY
Mệnh đề 4 Cho A, B là hai vành giao hoán có tôpô tuyến tính, B là Hausdorff và đầy đủ, và u : A → B là một đồng cấu liên tục. Với mọi họ b = (bᵢ)_1 ≤ i ≤ p các phần tử của B, tồn tại một đồn… ↩ 3 04HZ
Nhận xét 1 Mệnh đề 4 chứng minh rằng với mọi iđêan đóng a trong một vành A được giả thiết là Hausdorff và đầy đủ, các quan hệ bᵢ ∈ a với 1 ≤ i ≤ p kéo theo f(b₁, …, bₚ) ∈ a với mọi chuỗi lũy… ↩ 1 04I0
Nhận xét 2 Giả sử rằng A có tôpô tuyến tính; cho r là một số nguyên sao cho 1 ≤ r ≤ p và cho vành AX₁, …, Xᵣ được trang bị tôpô đã định nghĩa ở trên. Khi đó vành tôpô AX₁, …, Xᵣ được đồng nhấ… ↩ 1 04I1
Nhận xét 3 Với ký hiệu của Nhận xét 2, giả sử thêm rằng A là Hausdorff và đầy đủ và hãy viết mọi chuỗi lũy thừa hình thức hạn chế f ∈ AX₁, …, Xᵣ dưới dạng ↩ 1 04I2
Mệnh đề 5 Cho A là một vành giao hoán và f = (f₁, …, fₙ) là một hệ không có số hạng hằng gồm n chuỗi trong A[[X₁, …, Xₙ]]. Giả sử rằng J_f(0) là khả nghịch trong A. Khi đó tồn tại một hệ khô… ↩ 1 04I3
Mệnh đề 6 Cho A là một vành giao hoán, B là một vành thỏa mãn các điều kiện của Hensel và u : A → B là một đồng cấu. Với mọi họ x = (x₁, …, xₙ) gồm các phần tử lũy linh về mặt tôpô của B, tồ… ↩ 3 04I4
Hệ quả Cho A là một vành thỏa mãn điều kiện Hensel và x = (x₁, …, xₙ) là một họ các phần tử lũy linh tôpô của A. Cho g = (g₁, …, g_q) là một hệ không có số hạng hằng của các chuỗi trong A… ↩ 1 04I5
Mệnh đề 7 Cho A là một vành và m là một iđêan của A sao cho cặp có thứ tự (A, m) thỏa mãn các điều kiện Hensel. Cho f = (f₁, …, fₙ) là một hệ không có số hạng hằng gồm các chuỗi trong A[[X₁… ↩ 1 04I6
Hệ quả Cho q là một iđêan đóng của A được chứa trong m. Khi đó quan hệ x ≡ x' pmodq^xⁿ là tương đương với f(x) ≡ f(x') pmodq^xⁿ. 04I7
Định lý 2 Cho A là một vành và m là một iđêan của A sao cho cặp có thứ tự (A, m) thỏa mãn các điều kiện Hensel. Cho f = (f₁, …, fₙ) là một hệ gồm n phần tử của ↩ 1 04I8
Hệ quả 1 Cho A là một vành và m là một iđêan của A sao cho cặp có thứ tự (A, m) thỏa mãn các điều kiện của Hensel. Cho f ∈ AX, a ∈ A và đặt e = f'(a). Nếu f(a) ≡ 0 (mod. e² m), thì tồn tại… ↩ 2 04I9
Nhận xét Hệ quả này áp dụng đáng chú ý khi e khả nghịch trong A; khi đó ta cũng có thể suy ra sự tồn tại của b từ Định lý Hensel, vì ảnh chính tắc của f(X) trong (A/𝔪)X có dạng (X - a)f₁(X)… 04IA
Hệ quả 2 Cho A là một vành và 𝔪 là một iđêan của A sao cho cặp có thứ tự (A, m) thỏa mãn các điều kiện của Hensel. Cho r, n là các số nguyên sao cho 0 ≤ r < n và f = (fᵣ₊₁, …, fₙ) là một hệ… ↩ 1 04IB
Hệ quả 3 Với ký hiệu và Hệ quả 2, cho a ∈ Aⁿ; đặt e = Jᵣ^(n-r)(a) (không nhất thiết khả nghịch trong A) và giả sử rằng f(a) ≡ 0 (mod. e^2m^×(n-r)). Khi đó tồn tại n - r chuỗi lũy thừa hình… 04IC
Bổ đề 2 Cho A là một vành và m là một iđêan của A sao cho cặp có thứ tự (A, m) thỏa mãn các điều kiện của Hensel. Cho B là vành thương A/m và π : A → B là đồng cấu chính tắc. Với mọi lũy đ… ↩ 1 04ID
Mệnh đề 8 Cho A là một vành và m là một iđêan của A sao cho cặp có thứ tự (A, m) thỏa mãn các điều kiện của Hensel. Cho B là vành thương A/m và π : A → B là đồng cấu chính tắc. Nếu B là hợp… ↩ 3 04IE
Nhận xét Mệnh đề 8 lại cho cấu trúc của một vành nửa địa phương trên A mà đối với tôpô c-adic thì Hausdorff và đầy đủ (c là căn Jacobson của A), điều này đã thu được như một hệ quả của § 2… 04IF

§ 5. Các tính chất phẳng của các môđun lọc

Định nghĩa 1 Cho A là một vành giao hoán và 𝔤 là một iđêan của A. Một A-môđun M được gọi là Hausdorff theo iđêan đối với 3 (hoặc đơn giản là Hausdorff theo iđêan nếu không có sự nhập nhằng) nếu… 04IO
Ví dụ 1 Nếu A là Noether và 𝔤 được chứa trong căn Jacobson của A (nói cách khác nếu A là một vành Zariski với tôpô 3-adic), mọi A-môđun sinh hữu hạn đều là Hausdorff theo iđêan (§3, no. 3… ↩ 1 04IP
Ví dụ 2 Mọi tổng trực tiếp của các môđun Hausdorff theo iđêan đều là một môđun Hausdorff theo iđêan, nhờ các quan hệ 𝔤ⁿ ( a ⊗_A ⨁_λ ∈ L M_λ ) = 𝔤ⁿ ⨁_λ ∈ L (a ⊗_A M_λ) = ⨁_λ ∈ L 𝔤ⁿ (a ⊗_A M… 04IQ
Ví dụ 3 Nếu một A-môđun M là phẳng và Hausdorff đối với tôpô 𝔤-adic thì nó là Hausdorff theo iđêan, vì a ⊗_A M khi đó được đồng nhất với một môđun con của M và tôpô 𝔤-adic trên a ⊗_A M mịn… 04IR
Định lý 1 Cho A là một vành giao hoán, 𝔤 là một iđêan của A và M là một A-môđun. Xét các tính chất sau: (i) M là một A-môđun phẳng. (ii) Tor₁ᴬ(N, M) = 0 với mọi A-môđun N bị triệt tiêu bởi 𝔷… ↩ 5 04IS
Nhận xét Nếu A / 𝔤 là một trường (như thường xảy ra trong các ứng dụng) thì điều kiện "M/ 𝔤M là một môđun phẳng (A / 𝔤)" tự động đúng với mọi A-môđun M, điều này làm đơn giản hóa phát biểu… 04IT
Mệnh đề 1 Cho A là một vành giao hoán, 3 là một iđêan của A và M là một A-môđun. Các điều kiện sau là tương đương: (a) Với mọi n ≥ 1, Tor₁ᴬ(A/𝔤ⁿ, M) = 0. (b) Với mọi n ≥ 1, đồng cấu chính tắ… 04IU
Mệnh đề 2 Cho A là một vành giao hoán, 𝔤 là một iđêan của A và B là một đại số A-giao hoán Noether sao cho B được chứa trong căn Jacobson của B. Khi đó mọi B-môđun M sinh hữu hạn đều là một… ↩ 2 04IV
Mệnh đề 3 Cho A là một vành giao hoán, B là một đại số A-giao hoán, 𝔤 là một iđêan của A và M là một B-môđun. Giả sử rằng B là một vành Noether và là một A-môđun phẳng và rằng M là Hausdorff… 04IW
Hệ quả Cho A là một vành Noether giao hoán, 𝔍 là một iđêan của A, hatA là hoàn thành Hausdorff của A đối với tôpô 𝔍-adic và M là một hatA-môđun Hausdorff lý tưởng đối với 𝔍 hatA. Để M là… ↩ 1 04IX
Mệnh đề 4 Cho A và B là hai vành giao hoán Noether, h : A → B là một đồng cấu vành, 3 là một iđêan của A và 2 là một iđêan của B chứa 𝔍B và được chứa trong căn Jacobson của B. Gọi hatA là ph… 04IY

IV. Các iđêan nguyên tố liên kết và phân tích nguyên sơ

§ 1. Các iđêan nguyên tố liên kết với một môđun

Định nghĩa 1 Cho M là một môđun trên một vành A. Một iđêan nguyên tố p được gọi là liên kết với M nếu tồn tại x ∈ M sao cho p bằng linh hóa tử & x. Tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết với M đư… ↩ 1 04J7
Mệnh đề 1 Với mọi iđêan nguyên tố p của một vành A và mọi môđun con M ≠ 0 của A/p, Ass(M) = p. ↩ 2 04J8
Mệnh đề 2 Cho M là một môđun trên một vành A. Mọi phần tử cực đại của tập hợp các iđêan Ann(x) của A, trong đó x chạy qua tập hợp các phần tử ≠ 0 của M, đều thuộc về Ass(M). ↩ 6 04J9
Hệ quả 1 Cho M là một môđun trên một vành Noether A. Khi đó điều kiện M ≠ 0 tương đương với Ass(M) ≠ ∅. ↩ 8 04JA
Hệ quả 2 Cho A là một vành Noether, M là một A-môđun và a là một phần tử của A. Để phép vị tự trên M với tỉ số a là đơn ánh, điều kiện cần và đủ là a thuộc không iđêan nguyên tố liên kết nà… ↩ 1 04JB
Hệ quả 3 Tập hợp các ước của không trong một vành Noether A là hợp của các iđêan p ∈ Ass(A). ↩ 2 04JC
Mệnh đề 3 Cho A là một vành, M là một A-môđun và N là một môđun con của N. Khi đó Ass(N) ⊂ Ass(M) ⊂ Ass(N) ∪ Ass(M/N). Sự bao hàm Ass(N) ⊂ Ass(M) là hiển nhiên. Cho p ∈ Ass(M), E là một môđu… ↩ 9 04JD
Hệ quả 1 Nếu một A-môđun M là tổng trực tiếp của một họ (Mᵢ)_i ∈ I các môđun con, thì Ass(M) = ⋃_i ∈ I Ass(Mᵢ). ↩ 2 04JE
Hệ quả 2 Cho M là một A-môđun và (Qᵢ)_i ∈ I là một họ hữu hạn các môđun con của M. Nếu ⋂_i ∈ I Qᵢ = 0, thì Ass(M) ⊂ ⋃_i ∈ I Ass(M/Qᵢ). Ánh xạ chính tắc M → ⨁_i ∈ I (M/Qᵢ) là đơn ánh; khi đó… ↩ 1 04JF
Mệnh đề 4 Cho M là một A-môđun và Φ là một tập con của Ass(M). Khi đó tồn tại một môđun con N của M sao cho Ass(N) = Ass(M) - Φ và Ass(M/N) = Φ. ↩ 3 04JG
Mệnh đề 5 Cho A là một vành, S là một tập con nhân của A, Φ là tập hợp các iđêan nguyên tố của A không gặp S và M là một A-môđun. Khi đó: (i) Ánh xạ p ↦ S⁻¹p là một song ánh từ Ass_A(M) ∩ Φ… ↩ 2 04JH
Hệ quả Nếu vành A là Noether, ánh xạ 𝔭 ↦ S⁻¹𝔭 là một song ánh của Ass_A(M) ∩ Φ lên Ass_S⁻¹A(S⁻¹M). ↩ 7 04JI
Mệnh đề 6 Cho A là một vành Noether, M một A-môđun, S một tập con nhân của A và Y là tập hợp các phần tử của Ass_A(M) không giao với S. Khi đó hạt nhân N của ánh xạ chính tắc M → S⁻¹M là môđ… ↩ 4 04JJ
Mệnh đề 7 Cho A là một vành và M là một A-môđun. ↩ 3 04JK
Hệ quả 1 Nếu M là một môđun trên một vành Noether, thì Ass(M) ⊂ Supp(M) và hai tập hợp này có cùng các phần tử cực tiểu. ↩ 2 04JL
Hệ quả 2 Căn lũy linh của một vành Noether A là giao của các iđêan 𝔭 ∈ Ass(A). ↩ 1 04JM
Định lý 1 Cho A là một vành Noether và M là một A-môđun hữu hạn sinh. Tồn tại một chuỗi hợp thành (Mᵢ)_0 ≤ i ≤ n của M sao cho, với 0 ≤ i ≤ n - 1, Mᵢ / Mᵢ₊₁ là đẳng cấu với A / 𝔭ᵢ, trong đó… ↩ 3 04JN
Định lý 2 Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên một vành Noether A và (Mᵢ)_0 ≤ i ≤ n là một chuỗi hợp thành của M sao cho, với 0 ≤ i ≤ n - 1, Mᵢ / Mᵢ₊₁ là đẳng cấu với A / 𝔭ᵢ trong đó 𝔭ᵢ là m… ↩ 2 04JO
Hệ quả Nếu M là một môđun hữu hạn sinh trên một vành Noether, thì Ass(M) là hữu hạn. ↩ 1 04JP
Mệnh đề 8 Cho A là một vành Noether, a là một iđêan của A và M là một A-môđun hữu hạn sinh. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 1 04JQ
Mệnh đề 9 Cho A là một vành Noether, a là một iđêan của A và M là một A-môđun hữu hạn sinh. Để tồn tại một số nguyên n > 0 sao cho aⁿ M = 0, điều kiện cần và đủ là a được chứa trong giao của… ↩ 2 04JR
Định nghĩa 2 Cho một A-môđun M, một tự đồng cấu u của M được gọi là gần lũy linh nếu, với mọi x ∈ M, tồn tại một số nguyên n(x) > 0 sao cho uⁿ⁽ˣ⁾(x) = 0. 04JS
Hệ quả Cho A là một vành Noether. M là một A-môđun và a là một phần tử của A. Để đồng cấu a_M : x ↦ ax của M là gần lũy linh, điều kiện cần và đủ là a thuộc mọi iđêan của Ass(M). 04JT
Mệnh đề 10 Cho A là một vành Noether, E là một A-môđun hữu hạn sinh và F là một A-môđun. Khi đó ↩ 1 04JU

§ 2. Phân tích nguyên sơ

Mệnh đề 1 Cho A là một vành Noether và M là một A-môđun. Các điều kiện sau là tương đương: (a) Ass(M) chỉ gồm một phần tử duy nhất. ↩ 5 04KE
Định nghĩa 1 Cho A là một vành Noether, N là một A-môđun và Q là một môđun con của N. Nếu môđun M = N/Q thỏa mãn các điều kiện của Mệnh đề 1, thì Q được gọi là p-nguyên sơ đối với N (hoặc trong… ↩ 2 04KF
Nhận xét Cho q là một môđun con p-nguyên sơ của một A-môđun N. Nếu N/Q là sinh hữu hạn, tồn tại một số nguyên k > 0 sao cho pᵏ N ⊂ Q theo § 1, no. 4, Mệnh đề 9. 04KG
Ví dụ 1 Nếu p là một iđêan nguyên tố của A, thì p là p-nguyên sơ (§ 1, no. 1, Mệnh đề 1). 04KH
Ví dụ 2 Cho q là một iđêan của A sao cho tồn tại một iđêan nguyên tố duy nhất m (nhất thiết là cực đại) chứa q; khi đó, nếu M là một A-môđun sao cho qM ≠ M, thì qM là m-nguyên sơ đối với M… ↩ 1 04KI
Ví dụ 3 Cho m là một iđêan cực đại của A; khi đó các iđêan m-nguyên sơ là các iđêan q của A sao cho tồn tại một số nguyên n ≥ 1 thỏa mãn mⁿ ⊂ q ⊂ m. Vì nếu mⁿ ⊂ q ⊂ m, thì m là iđêan nguyê… ↩ 1 04KJ
Ví dụ 4 Trong một miền iđêan chính A, các iđêan nguyên sơ là (0) và các iđêan có dạng Apⁿ, trong đó p là một phần tử cực biên và n ≥ 1; điều này suy ra ngay lập tức từ Ví dụ 3. ↩ 2 04KK
Ví dụ 5 Các lũy thừa của bất kỳ iđêan nguyên tố nào không nhất thiết là các iđêan nguyên sơ (Bài tập 1). Mặt khác, tồn tại các iđêan nguyên sơ không phải là các lũy thừa của các iđêan nguy… 04KL
Mệnh đề 2 Cho M là một môđun trên một vành Noether, p là một iđêan nguyên tố của A và (Qᵢ)_i ∈ I là một họ hữu hạn không rỗng các môđun con của M là p-nguyên sơ đối với M. Khi đó ⋂_i ∈ I Qᵢ… ↩ 4 04KM
Mệnh đề 3 Cho A là một vành Noether, S là một tập con nhân của A, p là một iđêan nguyên tố của A, M là một A-môđun, N là một môđun con của M và i = i_A^S là ánh xạ chính tắc từ M đến S⁻¹M. ↩ 5 04KN
Định nghĩa 2 Cho A là một vành Noether, M là một A-môđun và N là một môđun con của M. Một họ hữu hạn (Qᵢ)_i ∈ I các môđun con của M là nguyên sơ đối với M và sao cho N = ⋂_i ∈ I Qᵢ được gọi là… 04KO
Ví dụ Ta lấy A = Z, M = Z, N = nZ với một số nguyên n > 0. Nếu n = p₁^α₁ ⋯ pₖ^αₖ là phân tích của n thành các thừa số nguyên tố, nZ = (p₁^α₁Z) ∩ … ∩ (pₖ^αₖZ) là một phân tích nguyên sơ c… 04KP
Định lý 1 Cho M là một môđun sinh hữu hạn trên một vành Noether và N là một môđun con của M. Tồn tại một phân tích nguyên sơ của N có dạng N = ⋂_p ∈ Ass(M/N) Q(p) trong đó, với mọi p ∈ Ass(M… ↩ 4 04KQ
Định nghĩa 3 Cho M là một môđun trên một vành Noether và N là một môđun con của M. Một phân tích nguyên sơ N = ⋂_i ∈ I Qᵢ của N trong M được gọi là rút gọn nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: 04KR
Mệnh đề 4 Cho M là một môđun trên một vành Noether, N một môđun con của M, N = ⋂_i ∈ I Qᵢ là một phân tích nguyên sơ của N trong M và, với mọi i ∈ I, cho pᵢ = Ass(M/Qᵢ). Để phân tích này là… ↩ 7 04KS
Hệ quả Cho A là một vành Noether, M là một A-môđun, N là một môđun con của M và (Qᵢ)_i ∈ I là một phân tích nguyên sơ của N trong M. Khi đó Card(I) ≥ Card(Ass(M/N)); để (Qᵢ)_i ∈ I là một… ↩ 2 04KT
Mệnh đề 5 Cho A là một vành Noether, M là một A-môđun, N là một môđun con của M, N = ⋂_i ∈ I Qᵢ là một phân tích nguyên sơ rút gọn của N trong M và, với mọi i ∈ I, đặt pᵢ = Ass(M/Qᵢ). Nếu pᵢ… ↩ 3 04KU
Nhận xét Các iđêan nguyên tố pᵢ ∈ Ass(M/N) không phải là các phần tử cực tiểu của tập hợp này đôi khi được gọi là các iđêan nguyên tố nhúng liên kết với M/N; nếu M/N sinh hữu hạn, để p₀ ∈ A… 04KV
Mệnh đề 6 Cho A là một vành Noether, M là một A-môđun, N là một môđun con của M và I = Ass(M/N). Cho S là một tập con nhân của A và J là tập con của I gồm các chỉ số i sao cho S ∩ pᵢ = ∅. Ch… ↩ 3 04KW
Hệ quả Các ánh xạ 04KX
Mệnh đề 7 Cho M là một môđun sinh hữu hạn trên một vành Noether A. Các tính chất sau là tương đương: (a) M có độ dài hữu hạn. (b) Mọi iđêan p ∈ Ass(M) là một iđêan cực đại của A. (c) Mọi iđê… ↩ 6 04KY
Hệ quả 1 Với mọi môđun có độ dài hữu hạn M trên một vành Noether A, Ass(M) = Supp(M). 04KZ
Hệ quả 2 Cho M là một môđun sinh hữu hạn trên một vành Noether A và p là một iđêan nguyên tố của A. Để Mₚ là một môđun Aₚ khác không có độ dài hữu hạn, điều kiện cần và đủ là p là một phần… ↩ 1 04L0
Nhận xét (1) Cho M là một môđun sinh hữu hạn trên một vành Noether A; hãy để (M₁), … là một chuỗi hợp thành của M sao cho, với 0 ≤ i ≤ n - 1, Mᵢ / Mᵢ₊₁ đẳng cấu với A/pᵢ, trong đó pᵢ là một iđê… 04L1
Mệnh đề 8 Cho M là một môđun có độ dài hữu hạn trên một vành Noether A. ↩ 3 04L2
Hệ quả Nếu M là một môđun có độ dài hữu hạn trên một vành Noether A, thì 04L3
Mệnh đề 9 Một vành Noether A. Các điều kiện sau là tương đương : (a) A là Artin. (b) Mọi iđêan nguyên tố 𝔞 trong A là iđêan cực đại. (c) Mọi phần tử của Ass(A) là iđêan cực đại. ↩ 8 04L4
Nhận xét (2) Các điều kiện của Mệnh đề 9 đối với một vành Noether A kéo theo rằng phổ của A là hữu hạn và rời rạc, do đó mọi điểm của Spec(A) đều đóng (Chương 11, § 4, no. 3, Hệ quả 6 của Mệnh… 04L5
Hệ quả 1 Mọi vành Artin A đều đẳng cấu với hợp thành trực tiếp của một họ hữu hạn các vành địa phương Artin. 04L6
Nhận xét (3) Hệ quả này cũng có thể suy ra từ sự kiện rằng Spec(A) là hữu hạn và rời rạc và Chương 11, § 4, no. 3, Mệnh đề 15. 04L7
Hệ quả 2 Cho A là một vành Noether và m là một iđêan của A. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 2 04L8
Hệ quả 3 Cho A, A' là hai vành và h là một đồng cấu từ A đến A'. Giả sử rằng A là nửa địa phương và Noether và rằng A' là một A-môđun sinh hữu hạn. Khi đó vành A' là nửa địa phương và Noeth… ↩ 1 04L9
Hệ quả 4 Cho A là một vành Noether nửa địa phương đầy đủ, m là một iđêan xác định của A, E là một A-môđun sinh hữu hạn và (Fₙ) là một dãy giảm các môđun con của E sao cho ⋂ₙ Fₙ = 0. Khi đó… ↩ 1 04LA
Hệ quả 5 Trong một vành Noether nửa địa phương đầy đủ, mọi dãy giảm φ iđêan có giao bằng 0 là một cơ sở lọc hội tụ về 0. 04LB
Mệnh đề 10 Cho A là một vành Noether và p₁, …, pₙ là các iđêan nguyên tố liên kết với A-môđun A, trong đó pᵢ ≠ pⱼ với i ≠ j. ↩ 1 04LC
Bổ đề 1 Cho A là một vành Noether, p là một iđêan nguyên tố của A, E là một A-môđun có linh hóa tử chứa một lũy thừa của p và thỏa mãn Ass(E) = p, và F là một B-môđun sao cho ρ_*(F) là một… ↩ 2 04LD
Định lý 2 Cho ρ : A → B là một đồng cấu vành, E là một A-môđun và F là một B-môđun sao cho ρ_*(F) là một A-môđun phẳng. Khi đó ↩ 6 04LE
Hệ quả 1 Nếu A là Noether và 𝔓 ∈ Ass_B(E ⊗_A F), thì ρ⁻¹(𝔓) ∈ Ass_A(E) và ρ⁻¹(𝔓) là iđêan nguyên tố p duy nhất của A sao cho 𝔓 ∈ Ass_B(F/pF). ↩ 1 04LF
Hệ quả 2 Giả sử rằng A và B là Noether và rằng B là một A-môđun phẳng. Cho p là một iđêan nguyên tố của A, Q ⊂ E là một môđun con p-nguyên sơ và 𝔓 là một iđêan nguyên tố của B. Để Q ⊗_A B l… ↩ 1 04LG
Nhận xét Giả sử rằng A và B là Noether. Cho 𝔓 là một iđêan nguyên tố của B và đặt p = overlineρ⁻¹(𝔓); ta viết S = A - p và đặt k(p) = S⁻¹(A/p) là trường các phân thức của A/p. Vì 𝔓 chứa pB… 04LH
Mệnh đề 11 Giả sử rằng A và B là Noether và rằng B là một A-môđun phẳng. Cho E là một A-môđun và E' là một môđun con của E sao cho, với mọi iđêan p ∈ Ass_A(E/E'), pB là một iđêan nguyên tố củ… ↩ 2 04LI
Hệ quả Giả sử rằng pB là nguyên tố đối với mọi p ∈ Ass_A(E/E'). Khi đó, nếu p₁, …, pₙ là các phần tử cực tiểu của Ass_A(E/E'), thì pᵢB là các phần tử cực tiểu của Ass_A((E ⊗_A B)/(E' ⊗_A… 04LJ

§ 3. Phân tích nguyên sơ trong các môđun phân bậc

Mệnh đề 1 Cho A là một nhóm giao hoán xoắn tự do, A là một vành phân bậc kiểu A và M là một A-môđun phân bậc kiểu A. Mọi iđêan nguyên tố liên kết với M đều phân bậc và là linh hóa tử của một… ↩ 4 04MJ
Hệ quả Với mọi iđêan nguyên tố p (tất yếu là phân bậc) liên kết với một A-môđun phân bậc M, tồn tại một chỉ số k ∈ A sao cho A-môđun phân bậc (A/p)(k) nhận được từ A-môđun phân bậc A/p bằ… ↩ 1 04MK
Mệnh đề 2 Cho A là một nhóm giao hoán không xoắn, A là một vành Noether phân bậc kiểu A và M là một A-môđun phân bậc sinh hữu hạn kiểu A. Tồn tại một chuỗi hợp thành (Mᵢ)_0 ≤ i ≤ n gồm các m… 04ML
Mệnh đề 3 Cho A là một nhóm giao hoán không xoắn, A là một vành Noether phân bậc kiểu A, p là một iđêan phân bậc của A và M là một A-môđun phân bậc kiểu A không rút gọn về 0. Giả sử rằng với… ↩ 1 04MM
Mệnh đề 4 Cho A là một nhóm giao hoán không xoắn, A là một vành Noether phân bậc kiểu A và M là một A-môđun phân bậc kiểu A. Cho p là một iđêan nguyên tố của A và N, một môđun con của M là p… ↩ 1 04MN
Mệnh đề 5 Cho A là một nhóm giao hoán không xoắn, A là một vành Noether phân bậc kiểu A, M là một A-môđun phân bậc kiểu M, N là một môđun con phân bậc của M và N = ⋂_i ∈ I Qᵢ là một phân tíc… 04MO

V. Các số nguyên

§ 1. Khái niệm về phần tử nguyên

Định lý 1 Cho A là một vành (giao hoán), R là một đại số trên A (không nhất thiết giao hoán) và x là một phần tử của R. Các tính chất sau là tương đương: ↩ 4 04MS
Bổ đề 1 Cho A là một vành, R là một đại số (không nhất thiết giao hoán) trên A và x là một phần tử của R. Cho M là một môđun trung thành trên A[x] là một A-môđun sinh hữu hạn. Nếu q là một… 04MT
Định nghĩa 1 Cho A là một vành và R là một A-đại số (không nhất thiết giao hoán). Một phần tử x ∈ R được gọi là nguyên trên A nếu nó thỏa mãn các tính chất tương đương (E₁), (E_II), (E_III) của… 04MU
Ví dụ 1 Cho K là một trường (giao hoán) và R là một K-đại số; nói rằng một phần tử x ∈ R là nguyên trên K tương đương với nói rằng x là một nghiệm của một đa thức không hằng trong vành K[X… ↩ 2 04MV
Ví dụ 2 Cho R' là một đại số con trên A của R; các phần tử của R' nguyên trên A chính là các phần tử của R nguyên trên A và thuộc R'; điều này thường cho phép ta không cần chỉ rõ đại số mà… 04MW
Mệnh đề 1 Cho A là một vành, R là một đại số trên A (không nhất thiết giao hoán) và x là một phần tử của R. Để x nguyên trên A, cần và đủ rằng A[x] được chứa trong một đại số con R' của R là… ↩ 3 04MX
Hệ quả Cho A là một vành Noether, R là một A-đại số (không nhất thiết giao hoán) và x là một phần tử của R. Để x nguyên trên A, cần và đủ rằng tồn tại một A-môđun con sinh hữu hạn của R c… ↩ 1 04MY
Định nghĩa 2 Cho A là một vành. Một đại số trên A R (không nhất thiết giao hoán) được gọi là nguyên trên A nếu mọi phần tử của R đều nguyên trên A. R được gọi là hữu hạn trên A nếu R là một A-m… 04MZ
Mệnh đề 2 Cho A, A' là hai vành, R là một A-đại số, R là một A'-đại số (không nhất thiết giao hoán) và f : A → A' cùng g : R → R' là hai đồng cấu vành sao cho biểu đồ ↩ 12 04N0
Hệ quả 1 Cho A là một vành, B là một A-đại số (giao hoán) và C là một B-đại số (không nhất thiết giao hoán). Khi đó mọi phần tử x ∈ C nguyên trên A đều nguyên trên B. 04N1
Hệ quả 2 Cho K là một trường, L là một mở rộng của K và x, x' là hai phần tử của L liên hợp trên K (Đại số, Chương V, § 6, no. 2). Nếu A là một vành con của K và x nguyên trên A, thì x' cũn… 04N2
Hệ quả 3 Cho A là một vành, B là một A-đại số (giao hoán) và C là một B-đại số (không nhất thiết giao hoán). Nếu C nguyên trên A, thì C nguyên trên B. 04N3
Mệnh đề 3 Cho (Rᵢ)_1 ≤ i ≤ n là một họ hữu hạn các đại số trên A (không nhất thiết giao hoán) và cho R = ∏ᵢ₌₁ⁿ Rᵢ là tích của chúng. Để một phần tử x = (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n của R nguyên trên A, đi… ↩ 1 04N4
Mệnh đề 4 Cho A là một vành, R là một đại số trên A (không nhất thiết giao hoán) và (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n là một họ hữu hạn các phần tử của R từng đôi một giao hoán. Nếu, với mọi i, xᵢ nguyên trên… ↩ 10 04N5
Hệ quả 1 Cho A là một vành và R là một A-đại số (giao hoán). Tập hợp các phần tử & R nguyên trên A là một đại số con của R. 04N6
Hệ quả 2 Cho A là một vành, R là một đại số trên A (không nhất thiết giao hoán) và E là một tập hợp & phần tử & R từng đôi một giao hoán với nhau và nguyên trên A. Khi đó đại số con trên A… 04N7
Mệnh đề 5 Cho A là một vành và A và R là hai đại số trên A (giao hoán). Nếu R là nguyên trên A, thì R ⊗_A A' là nguyên trên A'. ↩ 6 04N8
Hệ quả Cho R là một vành và A, B, C là các vành con & R sao cho A ⊂ B. Nếu B là nguyên trên A, thì C[B] là nguyên trên C[A]. ↩ 1 04N9
Mệnh đề 6 Cho A là một vành, B là một đại số trên A (giao hoán) và C là một đại số trên B (không nhất thiết giao hoán). Nếu B là nguyên trên A và C là nguyên trên B, thì C là nguyên trên A. ↩ 6 04NA
Hệ quả Cho A là một vành và R, R' là hai đại số trên A (giao hoán) nguyên trên A. Khi đó R ⊗_A R' là nguyên trên A. 04NB
Định nghĩa 3 Cho A là một vành và R là một đại số trên A (giao hoán). Đại số con-A A' của R gồm các phần tử của R nguyên trên A (no. 1, Hệ quả 1 của Mệnh đề 4) được gọi là bao đóng nguyên của A… ↩ 2 04NC
Định nghĩa 4 Nếu A là một miền nguyên, bao đóng nguyên của A trong trường phân thức của nó được gọi là bao đóng nguyên của A. Một miền nguyên được gọi là đóng nguyên nếu nó bằng bao đóng nguyên… 04ND
Mệnh đề 7 Cho A là một vành và R là một đại số trên A. Bao đóng nguyên A' của A trong R là một vành con đóng nguyên trong R. ↩ 3 04NE
Hệ quả Bao đóng nguyên của một miền nguyên A là một miền nguyên đóng nguyên. 04NF
Mệnh đề 8 Cho R là một vành, (B_λ)_λ ∈ L là một họ các vành con của R và với mỗi λ ∈ L cho A_λ là một vành con của B_λ. Nếu mỗi A_λ đóng nguyên trong B_λ, thì A = ⋂_λ ∈ L A_λ đóng nguyên tro… ↩ 1 04NG
Hệ quả Mọi giao của một họ không rỗng các miền con đóng nguyên của một miền nguyên A là một miền nguyên đóng nguyên. ↩ 3 04NH
Mệnh đề 9 Cho A là một vành, (Rᵢ)_1 ≤ i ≤ n là một họ hữu hạn các đại số trên A và A'ᵢ là bao đóng nguyên của A trong Rᵢ, (1 ≤ i ≤ n). Khi đó bao đóng nguyên của A trong R = ∏ᵢ₌₁ⁿ Rᵢ, bằng ∏… 04NI
Hệ quả 1 Cho A là một vành Noether rút gọn, pᵢ (1 ≤ i ≤ n) là các iđêan nguyên tố tối tiểu phân biệt của nó, K, trường phân thức của miền nguyên A/pᵢ (đẳng cấu chính tắc với vành địa phương… 04NJ
Hệ quả 2 Một vành Noether rút gọn là đóng nguyên trong vành phân thức của nó khi và chỉ khi nó là một hợp thành trực tiếp của các miền (Noether) đóng nguyên. 04NK
Mệnh đề 10 Mọi miền iđêan chính đều đóng nguyên. ↩ 4 04NL
Bổ đề 2 Cho R là một vành và P là một đa thức đơn khởi trong R[X]. Tồn tại một vành R' chứa R sao cho trong vành đa thức R'[X], đa thức P là một tích của các đa thức đơn khởi bậc 1. ↩ 1 04NM
Mệnh đề 11 Cho A là một vành, R là một A-đại số và P và Q là các đa thức đơn khởi trong R[X]. Nếu các hệ số của PQ nguyên trên A, thì các hệ số của P và Q nguyên trên A. ↩ 4 04NN
Hệ quả Cho A là một miền nguyên, K là trường các phân thức của nó và x là một phần tử của một đại số trên K K (không nhất thiết giao hoán). Nếu x là nguyên trên A, các hệ số của đa thức t… ↩ 3 04NO
Mệnh đề 12 Cho A là một vành, R là một đại số trên A và P là một đa thức trong R[X₁, …, Xₙ]. Để P là nguyên trên A[X₁, …, Xₙ], điều kiện cần và đủ là các hệ số của P là nguyên trên A. ↩ 3 04NP
Mệnh đề 13 Cho A là một vành, R là một A-đại số và A' là bao đóng nguyên của A trong R. Khi đó bao đóng nguyên của A[X₁, …, Xₙ] trong R[X₁, …, Xₙ] bằng A'[X₁, …, Xₙ]. ↩ 2 04NQ
Hệ quả 1 Cho A là một miền nguyên và A' là bao đóng nguyên của nó. Khi đó bao đóng nguyên của vành đa thức A[X₁, …, Xₙ] là A'[X₁, …, Xₙ]. 04NR
Hệ quả 2 Cho A là một miền nguyên. Để vành đa thức A[X₁, …, Xₙ] đóng nguyên, điều kiện cần và đủ là A đóng nguyên. ↩ 2 04NS
Hệ quả 3 Nếu K là một trường, mọi đại số đa thức K[X₁, …, Xₙ] đều là một miền đóng nguyên. 04NT
Định nghĩa 5 Một miền nguyên A được gọi là đóng nguyên hoàn toàn nếu điều kiện sau được thỏa mãn: mọi phần tử x của trường phân thức K của A sao cho tất cả các lũy thừa xⁿ (n geqslant 0) được c… ↩ 1 04NU
Mệnh đề 14 Cho A là một miền nguyên đóng nguyên hoàn toàn. Khi đó mọi vành đa thức A[X₁, …, Xₙ] (tương ứng mọi vành chuỗi lũy thừa hình thức A[[X₁, …, Xₙ]]) đều đóng nguyên hoàn toàn. ↩ 1 04NV
Mệnh đề 15 Cho A là một vành lọc có lọc là đầy đủ và sao cho mọi iđêan chính của A đều đóng đối với tôpô được xác định bởi lọc. Nếu vành phân bậc liên kết gr(A) (Chương III, § 2, no. 3) là mộ… 04NW
Mệnh đề 16 Cho A là một vành, R là một A-đại số, A' là đóng nguyên của A trong R và S là một tập con nhân của A. Khi đó đóng nguyên của S⁻¹A trong S⁻¹R là S⁻¹A'. ↩ 6 04NX
Hệ quả 1 Cho A là một miền nguyên, A' là bao đóng nguyên của nó và S là một tập con nhân của A sao cho 0 ∉ S. Khi đó bao đóng nguyên của S⁻¹A là S⁻¹A'. ↩ 4 04NY
Hệ quả 2 Cho A là một miền nguyên, K là trường phân thức của nó, R là một đại số trên K và B là bao đóng nguyên của A trong R. Các phần tử của R đại số trên K (no. 1, Ví dụ 1) là các phần t… ↩ 1 04NZ
Hệ quả 3 Cho A là một miền nguyên và Ω là tập hợp các iđêan cực đại của A. Để A đóng nguyên, điều kiện cần và đủ là, với mọi m ∈ Ω, Aₘ đóng nguyên. 04O0
Hệ quả 4 Cho A là một miền nguyên, K là trường phân thức của nó và S là một tập con nhân của A sao cho 0 ∉ S. 04O1
Hệ quả 5 Cho A là một miền nguyên, A' là bao đóng nguyên của nó và f là linh hóa tử của A-môđun A'/A. Giả sử rằng A' là một A-môđun sinh hữu hạn. Các iđêan nguyên tố p ∈ A sao cho Aₚ không… 04O2
Mệnh đề 17 Cho A là một vành, B là một A-đại số (giao hoán) và X là một ma trận vuông cấp n trên B; các tính chất sau là tương đương: ↩ 3 04O3
Hệ quả 1 Cho A là một miền nguyên, K là trường phân thức của nó và K' là một đại số K hữu hạn chiều (không nhất thiết giao hoán). Nếu x ∈ K' nguyên trên A, thì các hệ số của đa thức đặc trư… ↩ 1 04O4
Hệ quả 2 Với cùng các giả thiết và ký hiệu như trong Hệ quả 1, Tr_K'/K(x) và N_K'/K(x) đều nguyên trên A. ↩ 1 04O5
Nhận xét (1) Nếu K' là một đại số trung tâm đơn trên K và x ∈ K' nguyên trên A, thì các hệ số của đa thức đặc trưng rút gọn của x (Đại số, Chương VIII, § 12, no. 3) đều nguyên trên A. Thật vậy… 04O6
Mệnh đề 18 Cho A là một miền nguyên đóng, K là trường phân thức của nó, K' là một đại số K tách được hữu hạn chiều (Đại số, Chương VIII, § 7, no. 5) và A' là bao đóng nguyên của A trong K'. K… ↩ 1 04O7
Bổ đề 3 Dưới các giả thiết của Mệnh đề 18, cho (w₁, ..., wₙ) là một cơ sở của K' trên K nằm trong A' (no. 5, Hệ quả 2 của Mệnh đề 16); khi đó tồn tại duy nhất một cơ sở (w₁^*, ..., wₙ^*) c… ↩ 1 04O8
Hệ quả 1 Nếu A là một vành Noether, A-môđun A' là sinh hữu hạn và đặc biệt vành A' là Noether. ↩ 2 04O9
Hệ quả 2 Nếu A là một miền iđêan chính, A' là một A-môđun tự do hạng n. Khi đó, mọi môđun con của một A-môđun tự do đều tự do (Đại số, Chương VII, § 3, Định lý 1). ↩ 2 04OA
Hệ quả 3 Cho E là một mở rộng bậc n của trường Q các số hữu tỉ. Nhóm cộng của bao đóng nguyên trong E của vành Z các số nguyên là một nhóm giao hoán tự do hạng n. 04OB
Nhận xét (2) Các kết luận của Hệ quả 1 không nhất thiết đúng nếu không giả thiết K' tách được trên K, ngay cả khi K' là một trường mở rộng của K (Bài tập 20). Mặt khác, nếu A là một đại số nguy… 0CHU
Mệnh đề 19 Cho k là một trường, L là một mở rộng tách được của k và R là một k-đại số đóng nguyên. Nếu vành L ⊗ₖ R là một miền nguyên, nó là đóng nguyên. ↩ 1 04OC
Hệ quả Cho k là một trường và R và S là hai đại số trên k đóng nguyên. Giả sử rằng vành R ⊗ₖ S là một miền nguyên và các trường phân thức K và L của R và S tương ứng là tách được trên k… 04OD
Mệnh đề 20 Cho A = ⨁_i ∈ Z Aᵢ, là một vành phân bậc và B là một đại số con (giao hoán) phân bậc của A. Tập hợp A' các phần tử của B nguyên trên A là một đại số con phân bậc của B. ↩ 2 04OE
Bổ đề 4 Cho A = ⨁_i ∈ Z Aᵢ là một miền nguyên phân bậc và S là tập các phần tử thuần nhất khác 0 của A. ↩ 2 04OF
Mệnh đề 21 Cho A = ⨁_i ∈ Z Aᵢ là một miền nguyên phân bậc và S là tập hợp các phần tử thuần nhất ≠ 0 của A. Khi đó bao đóng nguyên A' của A là một vành con phân bậc của S⁻¹A. Nếu thêm nữa Aᵢ… ↩ 3 04OG
Hệ quả 1 Với các giả thiết và ký hiệu của Mệnh đề 21, nếu mọi phần tử thuần nhất của S⁻¹A nguyên trên A đều thuộc A, thì A là đóng nguyên. ↩ 1 04OH
Hệ quả 2 Nếu A = ⨁_i ∈ Z Aᵢ là một miền phân bậc đóng nguyên, thì miền A₀ đóng nguyên. 04OI
Hệ quả 3 Cho A = ⨁_i ∈ Z Aᵢ là một miền nguyên phân bậc đóng nguyên. Khi đó, với mọi số nguyên d > 0, vành A⁽ᵈ⁾ (Chương III, § 1, no. 3) là một miền nguyên đóng nguyên. 04OJ
Mệnh đề 22 Cho A là một K-đại số (giao hoán) và G là một nhóm toán tử hữu hạn địa phương trên A. Khi đó A là nguyên trên đại số con Aᴳ. ↩ 2 04OK
Định lý 2 Cho A là một đại số trên K sinh hữu hạn và G là một nhóm hữu hạn địa phương các phép tác động trên A. Khi đó A là một A-môđun sinh hữu hạn; nếu thêm K là Noether, Aᴳ là một đại số… 04OL
Bổ đề 5 Cho K là một vành Noether, B là một đại số trên K sinh hữu hạn và C là một đại số con trên K của B sao cho B nguyên trên C. Khi đó C là một đại số trên A sinh hữu hạn. 04OM
Nhận xét Tập các σ ∈ G sao cho σ aⱼ = aⱼ với 1 ≤ j ≤ m hiển nhiên giữ bất biến mọi phần tử của A. Nhóm con chuẩn tắc H của G giữ bất biến mọi phần tử của A do đó có chỉ số hữu hạn trong G v… 04ON
Mệnh đề 23 Cho A là một đại số trên K, G là một nhóm hữu hạn địa phương các phép tác động trên A, S là một tập con nhân của A ổn định dưới G và Sᴳ là tập S ∩ A''. Khi đó ánh xạ chính tắc từ (… ↩ 5 04OO
Hệ quả Cho A là một miền nguyên, K là trường các phân thức của nó và G là một nhóm hữu hạn địa phương các toán tử trên A. Khi đó G tác động trên K và Kᴳ là trường các phân thức của Aᴳ. 04OP

§ 2. Phép nâng của các iđêan nguyên tố

Định nghĩa 1 Cho A, A' là hai vành và h : A → A' là một đồng cấu vành. Một iđêan a' ∈ A' được nói là nằm trên một iđêan a của A nếu a = overlineh¹(a'). 04PJ
Bổ đề 1 Cho h : A → A' là một đồng cấu vành, S là một tập con nhân của A, i = i_A^S : A → S⁻¹A, i' = i_A'^h(S) : A' → S⁻¹A' = (h(S))⁻¹A' là các đồng cấu chính tắc và h₁ = S⁻¹h : S⁻¹A → S⁻¹… ↩ 3 04PK
Mệnh đề 1 Cho h : A → A' là một đồng cấu vành sao cho A' là nguyên trên A, 𝔭' là một iđêan nguyên tố của A' và 𝔭 = h⁻¹(𝔭'). Để 𝔭 là cực đại, điều kiện cần và đủ là 𝔭' cũng vậy. ↩ 12 04PL
Bổ đề 2 Cho B là một miền nguyên và A là một vành con của B sao cho B là nguyên trên A. Để B là một trường, điều kiện cần và đủ là A là một trường. ↩ 1 04PM
Hệ quả 1 Cho h : A → A' là một đồng cấu vành sao cho A' là nguyên trên A, 𝔭 là một iđêan nguyên tố của A và 𝔭' và a' là hai iđêan của A' nằm trên 𝔭 sao cho 𝔭' ⊂ a'. Nếu 𝔭' là nguyên tố, thì… ↩ 5 04PN
Hệ quả 2 Cho A' là một miền nguyên, A là một vành con của A' sao cho A' là nguyên trên A và f là một đồng cấu từ A' vào một vành B. Nếu hạn chế của f lên A là đơn ánh thì f là đơn ánh. ↩ 1 04PO
Hệ quả 3 Cho h : A → A' là một đồng cấu vành sao cho A' nguyên trên A và m là một iđêan cực đại của A, và giả sử trong A' chỉ có một số hữu hạn iđêan cực đại phân biệt m'ⱼ (1 ≤ j ≤ n) nằm t… 04PP
Nhận xét (1) Nếu A' là Noether, suy ra từ (i) và (ii) rằng (q'ⱼ)_1 ≤ j ≤ n là phân tích nguyên sơ duy nhất của mA' (Chương IV, § 2, no. 3). 04PQ
Định lý 1 Cho h : A → A' là một đồng cấu vành đơn ánh sao cho A là nguyên trên A và p là một iđêan nguyên tố của A. Tồn tại một iđêan nguyên tố p' của A' nằm trên p. ↩ 15 04PR
Hệ quả 1 Với các giả thiết và ký hiệu của Định lý 1, barh⁻¹(pA') = p. 04PS
Hệ quả 2 Cho h : A → A' là một đồng cấu vành sao cho A' là nguyên trên A, a và p là hai iđêan của A sao cho a ⊂ p và a' là một iđêan của A' nằm trên a. Giả sử rằng p là nguyên tố. Khi đó tồ… ↩ 3 04PT
Hệ quả 3 Cho A là một vành và A' là một vành chứa A và nguyên trên A. Nếu R' là căn Jacobson của A', thì R' ∩ A là căn Jacobson của A. 04PU
Hệ quả 4 Cho A là một vành, A' là một vành chứa A và nguyên trên A, và f là một đồng cấu từ A vào một trường đóng đại số L. Khi đó có thể mở rộng f thành một đồng cấu từ A' vào L. ↩ 2 04PV
Nhận xét (2) Cho h : A → A' là một đồng cấu vành sao cho A' là nguyên trên A; khi đó ánh xạ liên tục liên kết ᵃ h : Spec(A') → Spec(A) là đóng. Với mọi iđêan a' của A', A'/a' là nguyên trên A'… ↩ 2 04PW
Mệnh đề 2 Cho h : A → A' là một đồng cấu vành sao cho A' nguyên trên A, 𝔭 là một iđêan nguyên tố của A, S = A - 𝔭, (p'ᵢ)_i ∈ I là họ tất cả các iđêan nguyên tố 𝔭 của A' nằm trên 𝔭 và S' = ⋂_… ↩ 3 04PX
Mệnh đề 3 Cho h : A → A' là một đồng cấu vành sao cho A' là một A-môđun sinh hữu hạn; khi đó, với mọi iđêan nguyên tố 𝔭 của A, tập các iđêan nguyên tố của A' nằm trên 𝔭 là hữu hạn. 04PY
Định nghĩa 2 Cho A' là một vành và G là một nhóm tác động lên A' (§ 1, no. 9). Với một iđêan nguyên tố p' ⊂ A', nhóm con gồm các phần tử σ ∈ G sao cho σ.p' = p' được gọi là nhóm phân tích của p… ↩ 3 04PZ
Định nghĩa 3 Với ký hiệu của Định nghĩa 2, nhóm con của Gᶻ(p') gồm những σ sao cho tự đồng cấu z ↦ σ.z của A'/p' là đồng nhất được gọi là nhóm quán tính của p' (đối với G) và được ký hiệu là Gᵀ… 04Q0
Bổ đề 3 Cho A' là một vành, G là một nhóm tác động trên A', A là vành các bất biến của G, p' là một iđêan nguyên tố của A' và S là một tập con nhân của A không giao với p'. Khi đó G^Z(S⁻¹p… ↩ 2 04Q1
Định lý 2 Cho A' là một vành, G là một nhóm hữu hạn tác động trên A' và A là vành các phần tử bất biến của G, sao cho A' là nguyên trên A (§ 1, no. 9, Mệnh đề 22). ↩ 9 04Q2
Hệ quả Với các giả thiết và ký hiệu của Định lý 2, cho f₁, f₂ là hai đồng cấu của A vào một trường L có cùng hạn chế trên A. Khi đó tồn tại σ ∈ G sao cho ↩ 1 04Q3
Mệnh đề 4 Cho A' là một vành, G là một nhóm hữu hạn tác động trên A', H là một nhóm con của G, A và B lần lượt là các vành bất biến của G và H, và p' là một iđêan nguyên tố của A; viết p = A… ↩ 6 04Q4
Hệ quả 1 Dưới các giả thiết của Định lý 2, các vành A/p và A^Z/(p' ∩ A^Z) có cùng trường phân thức và iđêan cực đại của vành địa phương (A^Z)'_p' ∩ A^Z được sinh bởi p. 04Q5
Hệ quả 2 Cho A' là một miền nguyên, G là một nhóm hữu hạn tác động lên A', A' là vành bất biến của G và p' là một iđêan nguyên tố của A'; gọi K, K^Z và K là các trường phân thức của A, A^Z… ↩ 1 04Q6
Định nghĩa 4 Với các giả thiết và ký hiệu của Hệ quả 2 của Mệnh đề 4, một iđêan nguyên tố 𝔭 của A được gọi là phân tích hoàn toàn trong K' nếu số các iđêan nguyên tố của A' nằm trên 𝔭 bằng [K'… 04Q7
Hệ quả 3 Cho A' là một miền nguyên, G là một nhóm giao hoán hữu hạn tác động trên A', A là vành các phần tử bất biến của G, 𝔭 là một iđêan nguyên tố của A và K và K' lần lượt là các trường… 04Q8
Mệnh đề 5 Với các giả thiết và ký hiệu của Định lý 2, trường các phân thức kᵀ của Aᵀ/(𝔭' ∩ Aᵀ) bằng với mở rộng tách được lớn nhất k'ₛ của k được chứa trong k'. ↩ 4 04Q9
Hệ quả Nếu cấp của nhóm quán tính Gᵀ(p') nguyên tố cùng nhau với số mũ đặc số p của k, thì trường k' là một mở rộng Galois của k. 04QA
Bổ đề 4 Cho A là một miền đóng nguyên, K là trường phân thức của nó, p là số mũ đặc số của K, K' là một mở rộng radicial của K và A' là một vành con của K' chứa A và nguyên trên A. Với mọi… ↩ 2 04QB
Nhận xét (1) Suy ra từ § 1, no. 3, Hệ quả của Mệnh đề 11 rằng bao đóng nguyên của A trong K' là tập hợp các x ∈ K' sao cho tồn tại m ≥ 0 mà với nó x^pᵐ ∈ A (Đại số, Chương V, § 8, no. 1, Mệnh đ… 04QC
Mệnh đề 6 Cho A là một miền nguyên đóng, K là trường phân thức của nó, K' là một mở rộng quasi-Galois của K và A' là bao đóng nguyên của A trong K'. Khi đó: ↩ 7 04QD
Hệ quả 1 Dưới các giả thiết của Mệnh đề 6, cho f là một đồng cấu từ A vào một trường L và g₁, g₂ là hai đồng cấu từ A' vào L mở rộng f. Khi đó tồn tại một tự đẳng cấu của K trên K', σ ∈ K'… ↩ 1 04QE
Hệ quả 2 Cho A là một miền nguyên đóng, K là trường các phân thức của nó, K' là một mở rộng đại số hữu hạn của K và A' là một vành con của K' chứa A và nguyên trên A. ↩ 1 04QF
Hệ quả 3 Với các giả thiết và ký hiệu của Hệ quả 2, nếu A là nửa địa phương thì A' cũng vậy. 04QG
Hệ quả 4 Cho A là một miền nguyên đóng, K trường phân thức của nó, K một mở rộng Galois của K, A' là bao đóng nguyên của A trong K', 𝔭' là một iđêan nguyên tố của A, 𝔭 = A ∩ 𝔭' và k và k' l… ↩ 1 04QH
Định nghĩa 5 Với các giả thiết và ký hiệu của Mệnh đề 6, trường bất biến K^Z(p') (resp. Kᵀ(p')) của nhóm G^Z(p') (resp. Gᵀ(p')) trong trường K' được gọi là trường phân tích (resp. trường quán t… 04QI
Mệnh đề 7 Cho A là một miền nguyên đóng, K trường phân thức của nó, K' một mở rộng Galois của K, G nhóm Galois của nó, A' bao đóng nguyên của A trong K', p' một iđêan nguyên tố của A' và p =… 04QJ
Định lý 3 Cho A là một miền nguyên đóng và A' là một vành chứa A và nguyên trên A. Giả sử rằng 0 là phần tử duy nhất của A là một ước của 0 trong A'. Cho p, q là hai iđêan nguyên tố của A sa… ↩ 4 04QK
Hệ quả Dưới các giả thiết về A và A' của Định lý 3, cho p là một iđêan nguyên tố của A. Các iđêan nguyên tố của A' nằm trên p là các phần tử cực tiểu của tập hợp E gồm các iđêan nguyên tố… 04QL

§ 3. Các đại số sinh hữu hạn trên một trường

Định lý 1 (Bổ đề chuẩn hóa) Cho A là một đại số trên k sinh hữu hạn và cho a₁ ⊂ a₂ ⊂ … ⊂ aₚ là một dãy hữu hạn tăng các iđêan của A sao cho p ≥ 1 và aₚ ≠ A. Tồn tại một dãy hữu hạn (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n các phần tử… ↩ 4 04R8
Hệ quả 1 Cho A là một miền nguyên và B là một A-đại số sinh hữu hạn chứa A như một vành con. Khi đó tồn tại một phần tử s ≠ 0 của A và một đại số con B' của B đẳng cấu với một đại số đa thứ… ↩ 4 04R9
Hệ quả 2 Cho K là một trường, A là một vành con của K và L là trường phân thức của A. Nếu K là một A-đại số sinh hữu hạn, thì [K:L] là hữu hạn và tồn tại a ≠ 0 trong A sao cho L = A[a⁻¹]. ↩ 1 04RA
Hệ quả 3 Cho A là một miền nguyên, B là một A-đại số sinh hữu hạn và b là một phần tử của B sao cho zbⁿ ≠ 0 với mọi z ≠ 0 trong A và mọi số nguyên n > 0. Gọi φ : A → B là đồng cấu chính tắc… ↩ 2 04RB
Định lý 2 Cho A là một đại số nguyên trên k sinh hữu hạn, K trường phân thức của nó và A' là bao đóng nguyên của A trong một trường K' là một mở rộng đại số hữu hạn của K. Khi đó A' là một A… ↩ 2 04RC
Mệnh đề 1 Cho A là một đại số sinh hữu hạn trên một trường k và L là bao đóng đại số của k. ↩ 2 04RD
Bổ đề 1 Cho A là một đại số sinh hữu hạn trên một trường k, (aᵢ)_1 ≤ i ≤ n là một hệ sinh của đại số này và c là iđêan các quan hệ đại số giữa các aᵢ với hệ số trong k (Đại số, Chương IV… 04RE
Mệnh đề 2 (Định lý không điểm của Hilbert) Cho k là một trường và L là một bao đóng đại số của k. 04RF
Định nghĩa 1 Một vành A được gọi là một vành Jacobson nếu mọi iđêan nguyên tố của A là giao của một họ các iđêan cực đại. 04RG
Mệnh đề 3 Để một vành A là một vành Jacobson, điều kiện cần và đủ là, với mọi iđêan a của A, căn Jacobson của A/a bằng căn lũy linh của nó (Chương II, § 2, no. 6). ↩ 1 04RH
Hệ quả Cho A là một vành Jacobson; với mọi iđêan a của A, căn của a là giao của các iđêan cực đại của A chứa a. ↩ 1 04RI
Mệnh đề 4 Cho A là một miền iđêan chính và (p_λ)_λ ∈ L là một hệ đại diện các phần tử cực biên của A (Đại số, Chương VII, § 1, no. 3, Định nghĩa 2). Để A là một vành Jacobson, điều kiện cần… ↩ 2 04RJ
Mệnh đề 5 Cho A là một vành và B là một A-đại số nguyên trên A. Nếu A là một vành Jacobson thì B cũng vậy. ↩ 1 04RK
Định lý 3 Cho A là một vành Jacobson, B là một A-đại số sinh hữu hạn và φ : A → B là đồng cấu chính tắc. Khi đó: (i) B là một vành Jacobson. (ii) Với mọi iđêan cực đại m' của B, m = φ⁻¹(m')… ↩ 3 04RL
Hệ quả 1 Mọi đại số sinh hữu hạn A trên Z đều là một vành Jacobson; để một iđêan nguyên tố p ⊂ A là cực đại, điều kiện cần và đủ là vành A/p là hữu hạn. ↩ 1 04RM
Hệ quả 2 Cho (P_λ)_λ ∈ L là một họ các đa thức trong Z[X₁, …, Xₙ] và Q là một đa thức trong Z[X₁, …, Xₙ] sao cho, với mọi hệ các phần tử (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n thuộc một trường hữu hạn và thỏa mãn… 04RN
Hệ quả 3 Cho A là một vành Jacobson. Nếu tồn tại một A-đại số sinh hữu hạn B chứa A và là một trường, thì A là một trường và B là một mở rộng đại số của A. 04RO

VI. Các định giá

§ 1. Các vành định giá

Định nghĩa 1 Cho A và B là hai vành địa phương. Ta nói rằng B trội A nếu A là một vành con của B và m(A) = A ∩ m(B). 04RZ
Mệnh đề 1 Cho A và B là các vành địa phương sao cho A là một vành con của B. Các điều kiện sau là tương đương: (a) m(A) ⊂ m(B); (b) B trội A; (c) iđêan Bm(A) sinh bởi m(A) trong B không chứa… ↩ 1 04S0
Định lý 1 Cho K là một trường và V là một vành con của K. Các điều kiện sau là tương đương: (a) V là một phần tử cực đại của tập hợp các vành con địa phương của K, tập hợp này được sắp thứ t… ↩ 7 04S1
Bổ đề 1 Cho A là một vành con của một vành B và x là một phần tử của B không nguyên trên A; khi đó vành phân thức B, (Chương II, § 5, no. 1) không rút gọn về O và tồn tại trong vành con A[… ↩ 1 04S2
Định nghĩa 2 Theo ký hiệu của Định lý 1, V được gọi là một vành định giá đối với trường K nếu các điều kiện tương đương (a), (b), (c), (d), (e) được thỏa mãn. Một vành được gọi là một vành định… ↩ 1 04S3
Định lý 2 Cho K là một trường và h là một đồng cấu từ một vành con A của K đến một trường đóng đại số L. Khi đó tồn tại một vành định giá V đối với K và một đồng cấu h' từ V đến L sao cho V… ↩ 2 04S4
Hệ quả Mọi vành con địa phương A của một trường K đều bị trội bởi ít nhất một vành định giá của K. ↩ 3 04S5
Định lý 3 Cho A là một vành con của một trường K. Bao đóng nguyên A' của A trong K là giao của các vành định giá của K chứa A; nếu A là địa phương, A' là giao của các vành định giá của K trộ… ↩ 5 04S6
Hệ quả 1 Mọi vành định giá đều đóng nguyên. 04S7
Hệ quả 2 Để một miền nguyên là đóng nguyên, điều kiện cần và đủ là nó là giao của một họ các vành định giá của trường phân thức của nó. 04S8
Hệ quả 3 Cho K là một trường, K' là một mở rộng của K và A là một vành định giá của K. Bao đóng nguyên của A trong K' là giao của các vành định giá V' của K sao cho V' ∩ K = A. ↩ 3 04S9
Mệnh đề 2 Cho A là một vành địa phương có iđêan cực đại là một iđêan chính Ap. Nếu ⋂ₙ₌₁^∞ Apⁿ = (0) (chẳng hạn nếu A là Noether, xem Chương III, § 3, no. 2, Hệ quả của Mệnh đề 5), các iđêan… ↩ 3 04SA
Mệnh đề 3 Cho A là một miền iđêan chính và K là trường các phân thức của nó. Các vành định giá của K chứa A và phân biệt với K là các vành có dạng A_Ap, trong đó p là một phần tử cực biên củ… ↩ 3 04SB
Hệ quả 1 Mọi vành định giá của trường Q và phân biệt với Q đều có dạng Z₍ₚ₎ trong đó p là một số nguyên tố. ↩ 1 04SC
Hệ quả 2 Cho K là một trường, K(X) là trường các hàm hữu tỉ theo một bất định trên K và V là một vành định giá của K(X) chứa K và phân biệt với K(X). Nếu X ∈ V, tồn tại một đa thức bất khả… ↩ 1 04SD

§ 2. Các vị trí

Định nghĩa 1 Cho E và E' là hai tập hợp, mỗi tập hợp có một luật hợp thành trong được ký hiệu bởi (x, y) ↦ x * y, không nhất thiết được xác định khắp nơi. Một ánh xạ f : E → E' là một cấu xạ nế… 04SN
Định nghĩa 2 Cho E và E' là hai tập hợp, mỗi tập hợp có một họ các luật hợp thành trong (x, y) ↦ x *_α y, α ∈ I. Một ánh xạ f : E → E' là một cấu xạ nếu nó là một cấu xạ đối với mỗi luật hợp th… 04SO
Định nghĩa 3 Cho K và L là hai trường. Mọi cấu xạ f của K vào tildeL (đối với phép cộng và phép nhân) sao cho f(1) = 1 được gọi là một vị trí của K với các giá trị trong L. 04SP
Mệnh đề 1 Cho K là một trường, A là một vành định giá của K và κ(A) là trường thặng dư của A. Ta mở rộng ánh xạ chính tắc của A lên κ(A) thành một ánh xạ h_A : tildeK → (κ(A)) bởi công thức… ↩ 1 04SQ
Mệnh đề 2 Cho K và L là hai trường và f là một nơi của K với các giá trị trong L. Khi đó tồn tại một vành định giá A của K và một đẳng cấu j của κ(A) lên một trường con của L sao cho f = j ∘… 04SR
Mệnh đề 3 Cho K là một trường, S là một vành con của K và f là một đồng cấu từ S vào một trường đóng đại số L. Khi đó tồn tại một vị trí của K với giá trị trong L mở rộng f. ↩ 1 04SS
Mệnh đề 4 Cho K là một trường, f là một vị trí của K với giá trị trong một trường L và K' là một mở rộng của K. Khi đó tồn tại một mở rộng L' của L và một vị trí f' của K' với giá trị trong… ↩ 1 04ST
Mệnh đề 5 Cho K là một trường, S là một vành con của K, h là một đồng cấu từ S vào một trường và p là hạt nhân của h. Để một phần tử x của K là nguyên trên vành địa phương S, điều kiện cần v… 04SU
Mệnh đề 6 Cho K là một trường và S là một vành con của K. Để một phần tử x ∈ K là nguyên trên S, điều kiện cần và đủ là mọi vị trí của K hữu hạn trên S đều hữu hạn tại x. ↩ 1 04SV

§ 3. Định giá

Định nghĩa 1 Cho C là một vành (không nhất thiết giao hoán) và Γ là một nhóm giao hoán được sắp thứ tự toàn phần viết theo lối cộng. Một định giá trên C nhận giá trị trong Γ là mọi ánh xạ v : C… 04T2
Mệnh đề 1 Cho v là một định giá trên một vành C (không nhất thiết giao hoán). Với mọi phần tử xᵢ ∈ C (1 ≤ i ≤ n), ↩ 3 04T3
Hệ quả Nếu một dãy hữu hạn các phần tử (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n của C (với n ≥ 2) thỏa mãn ∑ᵢ₌₁ⁿ xᵢ = 0, thì tồn tại ít nhất hai chỉ số phân biệt j, k sao cho 04T4
Mệnh đề 2 Cho K là một trường (không nhất thiết giao hoán) và v là một định giá trên K nhận giá trị trong Γ. Khi đó: (i) Với x ≠ 0, v(x) ≠ +∞. (ii) Tập hợp A các x ∈ K sao cho v(x) ≥ O là mộ… ↩ 1 04T5
Mệnh đề 3 Để hai giá trị v, v' trên một trường K (không nhất thiết giao hoán) là tương đương, điều kiện cần và đủ là tồn tại một đẳng cấu λ từ nhóm có thứ tự v(K^*) lên nhóm có thứ tự v'(K^*… 04T6
Mệnh đề 4 Cho C là một miền nguyên, K là trường phân thức của nó, C^* = C - 0 và v : C → Γ_∞ là một định giá trên C. Khi đó tồn tại một định giá duy nhất w trên K mở rộng v và w(K^*) là nhóm… ↩ 3 04T7
Mệnh đề 5 Cho K là một trường, v là một định giá trên K và K' là một mở rộng của K. Tồn tại một định giá v' trên K' mà hạn chế của nó lên K tương đương với v. ↩ 1 04T8
Mệnh đề 6 Cho K là một trường, A là một vành con của K và x là một phần tử của K. Để x nguyên trên A, điều kiện cần và đủ là mọi định giá trên K dương trên A đều dương tại x. ↩ 1 04T9
Ví dụ (1) Mọi định giá trên một trường hữu hạn F đều là tầm thường, vì mọi phần tử của F đều là một căn của đơn vị. 04TA
Ví dụ (2) Nếu K là một trường con của một trường K', thì hạn chế lên K của một định giá trên K' là một định giá trên K. 04TB
Ví dụ (3) Cho k là một trường và K = k((T)). Ánh xạ v gán cho mỗi chuỗi lũy thừa hình thức khác không bậc của nó (Đại số, Chương IV, § 5, no. 7) là một định giá trên K mà nhóm giá trị là Z v… ↩ 4 04TC
Ví dụ (4) Cho A là một miền iđêan chính, K là trường phân thức của nó và p là một phần tử bất khả quy của A. Với x ∈ K hãy ký hiệu vp(x) là số mũ của p trong phân tích của x thành các phần t… ↩ 3 04TD
Ví dụ (5) Ánh xạ P(X, Y) ↦ P(T, e^T) từ C[X, Y] vào C((T)) là đơn ánh (Hàm của một biến thực, Chương IV, §2, Mệnh đề 9) và do đó có thể được mở rộng thành một đẳng cấu từ C(X, Y) lên một trư… 04TE
Ví dụ (6) Cho Γ là một nhóm được sắp thứ tự toàn phần và k là một trường. Gọi Γ+ là monoid các phần tử dương của Γ và C là đại số của Γ+ trên k. Theo định nghĩa, C có một cơ sở (x\alpha){\al… ↩ 1 04TF
Định nghĩa 2 Tập G là một tập hợp có thứ tự. Một tập con của G được gọi là chặn trên nếu các quan hệ x ∈ M và y ≥ x kéo theo y ∈ M. 04TG
Mệnh đề 7 Ánh xạ M ↦ a(M) là một song ánh tăng từ tập các tập con trội của G lên tập các A-môđun con của K. 04TH
Hệ quả Cho G₊ là tập các phần tử dương trong G. Ánh xạ M ↦ a(M) là một song ánh từ tập các tập con trội của G₊ lên tập các iđêan của A. ↩ 1 04TI
Định nghĩa 3 Cho K là một trường (không nhất thiết giao hoán), v một định giá trên K và Γ nhóm có thứ tự của v. v được gọi là rời rạc nếu tồn tại một đẳng cấu (tất yếu là duy nhất) từ nhóm có t… ↩ 1 04TJ
Mệnh đề 8 Cho K là một trường (không nhất thiết giao hoán), v một định giá rời rạc trên K, A vành của v và u một phần tử chuẩn hóa đối với v. Các iđêan khác không của A là hai phía và có dạn… ↩ 1 04TK
Mệnh đề 9 Cho A là một miền nguyên địa phương khác với trường phân thức của nó. Các điều kiện sau là tương đương: (a) A là vành của một định giá rời rạc. (b) A là một miền iđêan chính. (c) I… ↩ 6 04TL
Bổ đề 1 Cho A là một vành định giá. Mọi A-môđun xoắn tự do sinh hữu hạn đều là tự do. Mọi iđêan sinh hữu hạn 𝔞 của A đều là chính. Mọi A-môđun xoắn tự do đều phẳng. ↩ 1 04TM

§ 4. Chiều cao của một định giá

Mệnh đề 1 Cho K là một trường và A là một vành định giá của K. Khi đó: (a) Mọi vành B sao cho A ⊂ B ⊂ K đều là một vành định giá của K; (b) Iđêan cực đại m(B) của một vành như vậy được chứa… ↩ 3 04TV
Hệ quả Tập hợp & các vành con của K chứa A được sắp thứ tự toàn phần bởi quan hệ bao hàm. ↩ 2 04TW
Mệnh đề 2 Cho K là một trường, B là một vành định giá của K và h, là nơi & K liên kết với B (với các giá trị trong κ(B)). Khi đó ánh xạ A ↦ h_B(A) xác định một song ánh của tập hợp A các vàn… ↩ 1 04TX
Hệ quả Cho A và B là hai vành định giá của K, trong đó A ⊂ B; đặt A' = h_B(A), đây là một vành định giá của κ(B). Trường thặng dư κ(A') của A' đẳng cấu chính tắc với trường thặng dư κ(A)… ↩ 1 04TY
Nhận xét Ngược lại, cho f là một nơi của K với các giá trị trong K' và f' là một nơi của K' với các giá trị trong K''. Khi đó f' ∘ f là một nơi của K có vành được chứa trong vành của nơi f. 04TZ
Định nghĩa 1 Một nhóm con H của một nhóm có thứ tự G được gọi là cô lập nếu các quan hệ 0 ≤ y ≤ x và x ∈ H kéo theo y ∈ H. ↩ 1 04U0
Ví dụ (1) Cho A và B là hai nhóm có thứ tự; trang bị cho A × B thứ tự từ điển (nghĩa là "(a, b) ≤ (a', b')" tương đương với "(a < a') hoặc (a = a' và b ≤ b')"). Nhân tử thứ hai B của A × B k… 04U1
Mệnh đề 3 Cho G là một nhóm có thứ tự và P là tập hợp các phần tử dương của nó. ↩ 3 04U2
Ví dụ (2) Nếu xét lại ví dụ trong đó G là một tích từ điển A × B và H = B, thì nhóm có thứ tự G/H được đồng nhất một cách chính tắc với A. ↩ 1 04U3
Mệnh đề 4 Ánh xạ B ↦ H_B là một song ánh tăng từ tập hợp các vành con của K chứa A lên tập hợp các nhóm con cô lập của Γ_A. ↩ 1 04U4
Nhận xét Dưới các giả thiết trên, cho f là đồng cấu chính tắc của B lên κ(B) và A' = f(A); nó là một vành định giá của κ(B) (Mệnh đề 2, no. 1). Khi đó f⁻¹(κ(B)^*) = U(B), f⁻¹(A') = A, f⁻¹(m… 04U5
Ví dụ Cho k là một trường, 04U6
Định nghĩa 2 Cho G là một nhóm có thứ tự toàn phần. Nếu số các nhóm con cô lập của G phân biệt với G là hữu hạn và bằng n, thì G được gọi là có chiều cao n. Nếu số này là vô hạn, thì G được gọi… 04U7
Định nghĩa 3 Cấp của nhóm thứ tự của một định giá được gọi là cấp của định giá đó. 04U8
Mệnh đề 5 Cấp của một định giá bằng số các iđêan nguyên tố khác không trong vành của nó. ↩ 1 04U9
Mệnh đề 6 Cho K là một trường và A là một vành con của K. Giả sử rằng A không là một trường. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (a) A là vành của một định giá cấp 1 trên K; (b) A là mộ… ↩ 3 04UA
Mệnh đề 7 Để một định giá trên một trường có cấp 1, điều kiện cần và đủ là nhóm cấp của nó đẳng cấu với một nhóm con có thứ tự khác không của R. 04UB
Mệnh đề 8 Cho G là một nhóm được sắp thứ tự toàn phần không rút gọn về O. Các điều kiện sau là tương đương: (a) G có cấp 1; (b) với mọi x 0 và y ≥ 0 trong G, tồn tại một số nguyên n ≥ 0 sao… ↩ 2 04UC
Mệnh đề 9 Cho K là một trường, v là một định giá không đúng trên K và A là vành của v. Để A đóng toàn nguyên (Chương V, § 1, no. 4, Định nghĩa 5), điều kiện cần và đủ là v có cấp 1. 04UD
Hệ quả Cho K là một trường, (v_α)_α ∈ I là một họ các định giá cấp 1 trên K và A là giao của các vành của các v. Khi đó A là một miền đóng toàn nguyên. ↩ 1 04UE

§ 5. Tôpô được xác định bởi một định giá

Bổ đề 1 Cho x ∈ K^*, y ∈ K^* và α ∈ G. Nếu v(x - y) > sup(α + 2v(y), v(y)), thì v(x⁻¹ - y⁻¹) > a. ↩ 2 04UQ
Mệnh đề 1 \ Tôpô Tᵥ là Hausdorff và tương thích với cấu trúc trường trên K. Ánh xạ v : K^* → G là liên tục nếu G được cho tôpô rời rạc. ↩ 1 04UR
Mệnh đề 2 Cho K là một trường không nhất thiết giao hoán, v là một định giá không suy biến trên K, A là vành của v và m là iđêan của v. Để K với tôpô Tᵥ là địa phương compắc, điều kiện cần v… ↩ 4 04US
Nhận xét Chú ý rằng trong chứng minh này chỉ cần giả sử A là đầy đủ. 04UT
Mệnh đề 3 Cho E là một không gian vectơ tôpô trái trên K Hausdorff và có chiều 1. Giả sử rằng v không tầm thường. Với mọi x₀ ≠ 0 trong E, ánh xạ a ↦ ax₀ từ Kₛ lên E là một đẳng cấu tôpô. ↩ 1 04UU
Hệ quả Cho E là một không gian vectơ tôpô trái trên K, H một siêu phẳng đóng của E và D một không gian con vectơ 1-chiều của E là một phần bù đại số của H. Giả sử rằng v không phải là khô… 04UV
Mệnh đề 4 Giả sử rằng v không phải là không chính quy và K là đầy đủ. Cho E là một không gian vectơ tôpô trái trên K, Hausdorff và có số chiều hữu hạn n. Với mọi cơ sở (eᵢ)_1 ≤ i ≤ n của E t… ↩ 1 04UW
Hệ quả Giả sử rằng v không phải là không chính quy và K là đầy đủ. Cho E là một không gian vectơ tôpô Hausdorff trên K và F một không gian con vectơ hữu hạn chiều của E. Khi đó F là đóng. ↩ 2 04UX
Mệnh đề 5 Cho K là một trường không nhất thiết giao hoán, v một định giá trên K và G nhóm v(K^*) với tôpô rời rạc. ↩ 2 04UY
Nhận xét Với mọi x ∈ hatK không thuộc hatA, tồn tại x₀ ∈ K sao cho hatv(x - x₀) > 0, hatv(x) = hatv(x₀) = v(x₀) < 0; khi đó x₀⁻¹ x ∈ hatA và, vì x₀⁻¹ ∈ A, ta thấy rằng, nếu đặt S = A - 0, t… 04UZ

§ 6. Giá trị tuyệt đối

Mệnh đề 1 Đối với một ánh xạ f từ K vào R, thỏa mãn (VA,) và (VAII) để thuộc V(K), điều kiện cần và đủ là f(1 + x) bị chặn trong tập hợp các x ∈ K sao cho f(x) ≤ 1. ↩ 1 04VA
Mệnh đề 2 Cho f là một ánh xạ từ K vào R₊ thuộc V(K); nếu tồn tại C > 0 sao cho f(n.1) ≤ C với mọi số nguyên n > 0, thì f là một giá trị tuyệt đối trên K. ↩ 4 04VB
Hệ quả 1 Để một ánh xạ f từ K vào R₊ là một giá trị tuyệt đối, điều kiện cần và đủ là nó thỏa mãn các điều kiện (VA_I), (VA_II) và (U₂). ↩ 1 04VC
Hệ quả 2 Đối với một ánh xạ f của K vào R₊ thuộc V(K), điều kiện cần và đủ là nó có dạng gᵗ, trong đó t > 0 và g là một giá trị tuyệt đối trên K. ↩ 1 04VD
Mệnh đề 3 Cho f là một ánh xạ của K vào R₊. Các tính chất sau là tương đương: (a) f là một giá trị tuyệt đối siêu mêtric. (b) Tồn tại một định giá v trên K với các giá trị trong R và một số… ↩ 3 04VE
Hệ quả Nếu K là một trường (không nhất thiết giao hoán) có đặc số p > 0, mọi hàm trên V(K) đều là một giá trị tuyệt đối siêu mêtric. ↩ 1 04VF
Mệnh đề 4 Cho f là một ánh xạ từ Q vào R₊ thuộc V(Q). Khi đó: ↩ 2 04VG
Định lý 1 (Gelfand-Mazur) Cho K là một đại số trên trường R với hai tính chất sau: (1) K là một trường (không nhất thiết giao hoán). (2) Trên K tồn tại một chuẩn x ↦ |x| tương thích với cấu trúc đại số trên… ↩ 3 04VH
Bổ đề 1 Cho D là một trường có tâm L sao cho, với mọi x ∈ D, L(x) là một mở rộng của L có bậc ≤ m. Khi đó hạng của D trên L là ≤ m². ↩ 1 04VI
Định lý 2 (Ostrowski) Cho K là một trường (không nhất thiết giao hoán) và f là một phần tử V(K) không phải là một giá trị tuyệt đối ultrametric. Khi đó tồn tại duy nhất một số thực s > 0 và một đẳng cấu… ↩ 2 04VJ
Bổ đề 2 Cho L là một trường (không nhất thiết giao hoán) và K là một trường con của L sao cho L là một không gian vectơ trái ajinite-chiều trên K. Cho g là một giá trị tuyệt đối trên L vàf… 04VK

§ 7. Định lý xấp xỉ

Mệnh đề 1 Cho K là một trường, (Aᵢ)_1 ≤ i ≤ n là một họ hữu hạn các vành định giá của K và B = ⋂ᵢ₌₁ⁿ Aᵢ. Ta viết pᵢ = B ∩ m(Aᵢ). Khi đó Aᵢ = B_pᵢ với mọi i và trường phân thức của B là K. ↩ 5 04VN
Bổ đề 1 Cho vᵢ (1 ≤ i ≤ n) là các định giá trên trường K và x ∈ K^*. Khi đó tồn tại một đa thứcf (X) có dạng ↩ 1 04VO
Mệnh đề 2 Với các giả thiết của Mệnh đề 1, giả sử thêm rằng Aᵢ not⊂ Aⱼ với i ≠ j. Khi đó các pᵢ là các iđêan cực đại phân biệt của B và mọi iđêan cực đại của B đều bằng một trong các pᵢ. ↩ 2 04VP
Hệ quả 1 Giả sử rằng Aᵢ not⊂ Aⱼ với i ≠ j. Với mọi họ các phần tử aᵢ ∈ Aᵢ (1 ≤ i ≤ n), tồn tại x ∈ B sao cho x ≡ aᵢ pmodm(Aᵢ) với 1 ≤ i ≤ n. ↩ 1 04VQ
Hệ quả 2 Giả sử rằng Aᵢ not⊂ Aⱼ với i ≠ j. Tồn tại các phần tử xᵢ (1 ≤ i ≤ n) của K sao cho vᵢ(xᵢ) = 0 và vⱼ(xᵢ) > 0 với i ≠ j. 04VR
Hệ quả 3 Mọi vành định giá của K chứa B đều chứa một trong các Aᵢ. 04VS
Định nghĩa 1 Cho A và A' là hai vành định giá của cùng một trường K. A và A' được gọi là độc lập nếu K là vành sinh bởi A và A'. Hai định giá trên K được gọi là độc lập nếu các vành của chúng đ… ↩ 1 04VT
Định lý 1 (Định lý xấp xỉ cho các định giá) Cho vᵢ (1 ≤ i ≤ n) là các định giá trên một trường K độc lập từng đôi một và Γᵢ là nhóm cấp của vᵢ. Cho aᵢ ∈ K và αᵢ ∈ Γᵢ (1 ≤ i ≤ n). Khi đó tồn tại x ∈ K sao cho vᵢ(x - aᵢ) ≥ αᵢ… ↩ 7 04VU
Bổ đề 2 Cho A là một vành định giá và b là một iđêan của A phân biệt với A. Khi đó căn c của b là một iđêan nguyên tố. 04VV
Hệ quả 1 Với mọi họ các phần tử γᵢ ∈ Γᵢ (1 ≤ i ≤ n), tồn tại x ∈ K sao cho vᵢ(x) = γᵢ (1 ≤ i ≤ n). ↩ 2 04VW
Hệ quả 2 Gọi Tᵢ là tôpô được định nghĩa trên K bởi vᵢ; trang bị cho Kⁿ tôpô tích của các Tᵢ. Nếu các vᵢ không suy biến, đường chéo của Kⁿ là trù mật trong Kⁿ. ↩ 1 04VX
Mệnh đề 3 Cho v và v' là hai định giá không suy biến trên cùng một trường K. Để v và v' định nghĩa cùng một tôpô trên K, điều kiện cần và đủ là chúng phụ thuộc. ↩ 1 04VY
Mệnh đề 4 Cho v₁, …, vₙ (n ≥ 2) là các định giá từng đôi một phụ thuộc trên cùng một trường K. Khi đó các vành A₁, …, Aₙ của v₁, …, v, sinh ra một vành con δ \ K phân biệt với K. ↩ 1 04VZ
Định lý 2 (Định lý xấp xỉ đối với các giá trị tuyệt đối) Cho fᵢ (1 ≤ i ≤ n) là các giá trị tuyệt đối trên cùng một trường K không bất chính và không có hai giá trị nào tương đương. Cho a, \ (1 ≤ i ≤ n) là các phần tử của K và ε là một số… ↩ 1 04W0

§ 8. Mở rộng của một định giá đến một mở rộng đại số

Định nghĩa 1 Chỉ số [𝔭ᵥ : Γ_v'] được gọi là chỉ số phân nhánh của v' trên v (hoặc trên K) và được ký hiệu là e(v'/v) (hoặc e(A'/A), hoặc đôi khi e(L/K)). 04W4
Định nghĩa 2 Bậc [κ(A') : κ(A)] được gọi là bậc lớp thặng dư của v' trên v (hoặc trên K) và được ký hiệu là f(v'/v) (hoặc f(A'/A), hoặc đôi khi f(L/K)). 04W5
Bổ đề 1 Cho K, K', K'' là ba trường sao cho K ⊂ K' ⊂ K'', v'' là một định giá trên K'' và v và v' là các hạn chế của nó trên K và K'. Khi đó có các hệ thức: (1) e(v''/v) = e(v''/v') e(v'/v… ↩ 4 04W6
Bổ đề 2 Cho K là một trường, L là một mở rộng hữu hạn của K có bậc n, v' là một định giá trên L và v là hạn chế của nó lên K. Khi đó bất đẳng thức ↩ 8 04W7
Mệnh đề 1 Cho K là một trường, L là một mở rộng đại số của K, v' là một định giá trên L, v là hạn chế của nó trên K và A và A' là các vành của v và v'. Khi đó Γ_v'/Γᵥ là một nhóm xoắn và κ(A… ↩ 4 04W8
Hệ quả 1 Chiều cao của v' bằng chiều cao của v. 04W9
Bổ đề 3 Cho G' là một nhóm được sắp thứ tự toàn phần, G là một nhóm con của G và G' (resp. G) là tập hợp các nhóm con cô lập của G' (resp. G). Ánh xạ H' ↦ H' ∩ G ánh xạ G' lên G. Ánh xạ nà… ↩ 1 04WA
Hệ quả 2 Để v' là không đúng (resp. có chiều cao 1), điều kiện cần và đủ là v là không đúng (resp. có chiều cao 1). ↩ 4 04WB
Hệ quả 3 Giả sử rằng L là một mở rộng hữu hạn của K. Để v' là rời rạc, điều kiện cần và đủ là v rời rạc. Nếu v' là rời rạc, Γ_v' đẳng cấu với một nhóm con khác không của Z (Hệ quả 2) và do… ↩ 3 04WC
Định nghĩa 3 Cho K là một trường, v là một định giá trên K và L là một mở rộng của K. Một họ (v'ᵢ)_i ∈ I các định giá trên L mở rộng v và sao cho mọi định giá trên L mở rộng v là tương đương vớ… 04WD
Mệnh đề 2 Cho K là một trường, v là một định giá trên K, hatK là sự hoàn thiện của K đối với v, hatv là mở rộng liên tục của v lên hatK và L là một mở rộng hữu hạn của K có bậc n. (a) Cho v'… ↩ 5 04WE
Hệ quả 1 Nếu K đầy đủ đối với v và v không tầm thường, thì hai định giá trên L mở rộng v là phụ thuộc. ↩ 1 04WF
Hệ quả 2 Nếu hatK hoặc L tách được trên K, thì ánh xạ chính tắc 04WG
Nhận xét Mệnh đề 2 (b) cho thấy rằng mọi mở rộng hợp thành của hatK và L trên K (Algebra, Chương VIII, § 8) đều đẳng cấu với một trong các hoàn thành hatLᵢ và rằng đó là các mở rộng hợp thà… 04WH
Định lý 1 Cho K là một trường, v là một định giá trên K và L là một mở rộng hữu hạn của K bậc n. Khi đó: ↩ 2 04WI
Nhận xét Giao của các vành Aᵢ' của các định giá vᵢ' (i ∈ I) là bao đóng nguyên của A trong L (§ 1, no. 3, Hệ quả 3 của Định lý 3); hơn nữa, từ (c) và § 7, no. 1, các Mệnh đề 1 và 2 suy ra r… 04WJ
Định nghĩa 4 Cho G là một nhóm giao hoán được sắp thứ tự toàn phần và H là một nhóm con của G có chỉ số hữu hạn. Số các tập con lớn của G gồm các phần tử dương ngặt và chứa tất cả các phần tử O… ↩ 1 04WK
Mệnh đề 3 Dưới các giả thiết của Định nghĩa 4, nếu tập hợp các phần tử dương ngặt của G không có phần tử nhỏ nhất, thì ε(G, H) = 1 với mọi H. Nếu tồn tại một phần tử nhỏ nhất O của G và G' k… ↩ 1 04WL
Hệ quả Chỉ số ban đầu ε(G, H) chia chỉ số (G : H) và bằng nó nếu G đẳng cấu với Z. ↩ 1 04WM
Định nghĩa 5 Cho K là một trường, L là một mở rộng hữu hạn của K, w là một định giá trên L, v là hạn chế của nó lên K và Γ_w và Γᵥ là các nhóm cấp của chúng. Chỉ số ban đầu của Γᵥ trong Γ_w đượ… ↩ 1 04WN
Mệnh đề 4 Dưới các giả thiết của Định nghĩa 5, cho A và m (tương ứng. A' và m') là vành và iđêan của định giá v (tương ứng. w). Khi đó ↩ 5 04WO
Mệnh đề 5 Cho K là một trường, v là một định giá trên K, A là vành của nó, m là iđêan của nó, L là một mở rộng hữu hạn của K bậc n, B là bao đóng nguyên của A trong L và (v'ᵢ)_1 ≤ i ≤ s là m… ↩ 2 04WP
Hệ quả Với cùng các giả thiết và ký hiệu, [B/mB : A/m] = ∑ᵢ₌₁ˢ ε(v'ᵢ/v) f(v'ᵢ/v) ≤ ∑ᵢ₌₁ˢ ε(v'ᵢ/v) f(v'ᵢ/v) ≤ n. Ta biết rằng ε(v'ᵢ/v) ≤ ε(v'ᵢ/v) (no. 4, Hệ quả của Mệnh đề 3) và ∑ᵢ₌₁ˢ ε(v… ↩ 1 04WQ
Định lý 2 Với các giả thiết và ký hiệu của Mệnh đề 5, các điều kiện sau là tương đương : (a) B là một A-môđun hữu hạn sinh; (b) B là một A-môđun tự do; (c) [B/mB : A/m] = n; (d) ∑ᵢ₌₁ⁿ ε(v'ᵢ/… ↩ 4 04WR
Nhận xét (1) Nếu v là rời rạc, ε(v'ᵢ/v) = ε(v'ᵢ/v) (no. 4) và điều kiện (d) rút gọn thành ∑ᵢ₌₁ˢ ε(v'ᵢ/v) f(v'ᵢ/v) = n. 04WS
Hệ quả 1 Với cùng các giả thiết và ký hiệu, giả sử thêm rằng v là rời rạc và L tách được. Khi đó 04WT
Hệ quả 2 Cho K là một trường, v là một định giá rời rạc trên K mà theo đó K là đầy đủ và L là một mở rộng hữu hạn của K có bậc n. Khi đó v thừa nhận một mở rộng duy nhất (tới tương đương) v… ↩ 1 04WU
Hệ quả 4 Nếu dưới các giả thiết của Hệ quả 3, L là một mở rộng tách được của K, thì mỗi hatLᵢ là một mở rộng tách được của hatK. Nếu hơn nữa L là một mở rộng Galois của K với nhóm Galois G… 04WV
Mệnh đề 6 Cho K là một trường, v một định giá trên K, A là vành của nó, L là một mở rộng đại số của K và A' là bao đóng nguyên của A trong L. Cho 23 là tập hợp các vành định giá trên L mở rộ… ↩ 2 04WW
Mệnh đề 7 Cho K là một trường, L là một mở rộng quasi-Galois của K và f và f' là các phép đặt chỗ của L nhận giá trị trong cùng một trường F. Giả sử rằng các hạn chế của f và f' lên K trùng… ↩ 2 04WX
Hệ quả 1 Cho K là một trường, v là một định giá trên K, L là một mở rộng quasi-Galois của K và v' và v'' là hai mở rộng của v lên L. Khi đó tồn tại một K-tự đẳng cấu s của L sao cho v'' tươ… ↩ 3 04WY
Hệ quả 2 Cho K là một trường, f là một phép đặt chỗ của K (tương ứng v là một định giá trên K) và L là một mở rộng radicial của K. Khi đó mọi mở rộng của f (tương ứng của v) lên L đều tương… 04WZ
Mệnh đề 8 Cho K là một trường, v một định giá trên K, L một mở rộng quasi-Galois hữu hạn của K bậc n và (v'ᵢ)_1 ≤ i ≤ g một hệ đầy đủ các mở rộng của v lên L. Khi đó e(v'ᵢ/v) và f(v'ᵢ/v) có… 04X0
Mệnh đề 9 Cho K là một trường, L một mở rộng đại số của K và 𝔣 một giá trị tuyệt đối trên K. Khi đó 𝔣 có thể được mở rộng thành một giá trị tuyệt đối trên L. ↩ 1 04X1
Mệnh đề 10 Cho K là một trường, f một giá trị tuyệt đối trên K sao cho K đầy đủ và không rời rạc đối với f và L một mở rộng đại số của K. Khi đó f có thể được mở rộng một cách duy nhất thành… 04X2
Mệnh đề 11 Cho K là một trường, f là một giá trị tuyệt đối không siêu Acsimet trên K, hatK là phép hoàn thành của K đối với f, hatf là mở rộng liên tục của f lên hatK và L là một mở rộng hữu… ↩ 1 04X3
Mệnh đề 12 Cho K là một trường, f là một giá trị tuyệt đối trên K, L là một mở rộng giả Galois của K và f' và f'' là hai mở rộng của f lên L. Khi đó tồn tại một K-tự đẳng cấu s của L sao cho… 04X4

§ 9. Ứng dụng: các trường compact địa phương

Mệnh đề 1 Nếu K là một trường compact địa phương, hàm mod, thuộc V(K) (§ 6, no. 1). Hơn nữa: (i) Nếu s > 0 sao cho (mod_K)ˢ = g là một giá trị tuyệt đối, thì g xác định tôpô trên K. (ii) Nếu… ↩ 1 04XQ
Mệnh đề 2 Cho K, K' là hai trường compact địa phương (không nhất thiết giao hoán) sao cho K là một trường con tôpô của K' và K không rời rạc. Khi đó: (i) K' là một không gian vectơ trái (ứng… ↩ 1 04XR
Hệ quả 1 Mọi trường compact địa phương có tâm không rời rạc đều có hạng hữu hạn trên tâm của nó. 04XS
Hệ quả 2 Cho K' là một trường compact địa phương và K là một trường con đóng của K' (không trường nào nhất thiết giao hoán). Nếu K' là một không gian vectơ trái (ứng với phải) số chiều hữu… 04XT
Mệnh đề 3 Cho K là một trường compact địa phương (không nhất thiết giao hoán) không rời rạc và có tôpô được xác định bởi một định giá rời rạc v; gọi A là vành và m là iđêan của v và đặt Card… ↩ 1 04XU
Bổ đề 1 Cho x, y là hai phần tử của A giao hoán với nhau sao cho x - y ∈ mʲ \ (j ≥ 1); khi đó x^pⁿ - y^pⁿ ∈ mʲ⁺ⁿ với mọi số nguyên n ≥ 0. 04XV
Định lý 1 Cho K là một trường compact địa phương (không nhất thiết giao hoán) mà không rời rạc. ↩ 1 04XW
Hệ quả 1 Mọi trường compact địa phương mà không rời rạc đều có hạng hữu hạn trên tâm của nó. ↩ 1 04XX
Hệ quả 2 Mọi trường compact địa phương đều liên thông hoặc hoàn toàn không liên thông; nếu nó liên thông, thì nó đẳng cấu với R, C hoặc H. 04XY
Nhận xét Cho s là một số nguyên > 0; trường con F_q((Tˢ)) = L của K = F_q((T)) là đóng trong K và e(K/L) = s và f(K/L) = 1. Vì vậy thấy rằng có những trường con đóng L của K không rời rạc v… 04XZ

§ 10. Các mở rộng của một định giá lên một mở rộng siêu việt

Bổ đề 1 Cho K là một trường, v là một định giá trên K, Γ là nhóm cấp của nó, Γ' là một nhóm được sắp thứ tự toàn phần chứa Γ và ξ là một phần tử của Γ'. Tồn tại một định giá duy nhất w trê… ↩ 5 04Y5
Mệnh đề 1 Cho K là một trường, v một định giá trên K, Γ nhóm có thứ tự của nó, Γ' một nhóm được sắp thứ tự toàn phần chứa Γ và ξ một phần tử của Γ' sao cho các hệ thức nξ ∈ Γ, n ∈ Z suy ra n… ↩ 1 04Y6
Mệnh đề 2 Cho K là một trường, v là một định giá trên K, Γ là nhóm cấp của nó và k là trường thặng dư của nó. Tồn tại một định giá duy nhất w trên K(X) mở rộng v sao cho w(X) = 0 và ảnh t củ… ↩ 3 04Y7
Nhận xét Không nên nghĩ rằng hai kiểu mở rộng của v lên K(X) mà ta vừa gặp là những kiểu duy nhất; có thể tồn tại một kiểu mở rộng thứ ba, trong đó Γ'/Γ là một nhóm xoắn và k' là một mở rộn… 04Y8
Định nghĩa 1 Hạng hữu tỉ của một nhóm giao hoán G là chiều của không gian vectơ trên Q G ⊗_Z Q. 04Y9
Mệnh đề 3 Cho G là một nhóm giao hoán được sắp thứ tự toàn phần và H là một nhóm con của G. Nếu h(G) và h(H) ký hiệu các chiều cao của G và H (§ 4, no. 4), thì bất đẳng thức ↩ 2 04YA
Hệ quả Với mọi nhóm giao hoán được sắp thứ tự toàn phần G, h(G) ≤ r(G). Ta đặt H = (0) trong Mệnh đề 3. ↩ 1 04YB
Mệnh đề 4 Cho G là một nhóm giao hoán được sắp thứ tự toàn phần. Giả sử rằng G sinh hữu hạn và h(G) = r(G). Khi đó G đẳng cấu với Zʳ⁽ᴳ⁾ được sắp theo thứ tự từ điển. ↩ 1 04YC
Bổ đề 2 Cho H là một nhóm con cô lập của một nhóm giao hoán được sắp thứ tự toàn phần G. Nếu H là một nhân tử trực tiếp của G, thì nhóm có thứ tự G đẳng cấu với nhóm (G/H) × H được sắp the… ↩ 1 04YD
Định lý 1 Cho x₁, …, x, là các phần tử của vành của v' mà các ảnh chính tắc overlinexᵢ của chúng trong k' là độc lập đại số trên k và y₁, …, yᵣ là các phần tử của K' sao cho các ảnh chính tắ… ↩ 1 04YE
Hệ quả 1 Bất đẳng thức 04YF
Hệ quả 2 Cho h và h' là các chiều cao của v và v'. Khi đó s(v'/v) + h' ≤ d(K'/K) + h. Theo Mệnh đề 3, h' ≤ r(v'/v) + h. 04YG
Hệ quả 3 Giả sử rằng K' là một mở rộng sinh hữu hạn của K, rằng Γ đẳng cấu với Z^h' (có thứ tự theo từ điển) và có đẳng thức trong công thức (10). Khi đó Γ' đẳng cấu với Z^h' (có thứ tự the… 04YH
Hệ quả 4 Giả sử rằng v là không đúng (trong trường hợp đó k = K). Khi đó h(Γ') + d(k'/K) ≤ r(Γ') + D(k'/K) ≤ d(K'/K). Nếu, đặc biệt, v' có chiều cao 1, thì d(k'/K) ≤ d(K'/K) - 1; hơn nữa, n… 04YI

VII. Các ước

§ 1. Các miền Krull

Định nghĩa 1 Cho A là một miền nguyên và K là trường các phân thức của nó. Mọi A-môđun con a của K sao cho tồn tại một phần tử d ≠ 0 trong A mà da ⊂ A được gọi là một iđêan phân thức 𝔡 của A (h… ↩ 1 04YL
Định nghĩa 2 Mỗi phần tử a của I(A) sao cho a = tildea được gọi là một iđêan phân kiểu chia của A. ↩ 1 04YM
Mệnh đề 1 (a) Nếu b là một iđêan kiểu chia và a ∈ I(A), b : a là kiểu chia. ↩ 6 04YN
Nhận xét Trong quá trình chứng minh ở trên, ta đã chứng minh rằng A : a = A : (A : (A : a)) đối với mọi iđêan a ∈ I(A), đây là một trường hợp đặc biệt của Lý thuyết tập hợp, Chương 111, § 1… 04YO
Mệnh đề 2 (i) Trong D(A) mọi tập hợp khác rỗng bị chặn trên đều có một cận trên nhỏ nhất. Chính xác hơn, nếu (aᵢ) là một họ khác rỗng các phần tử của I(A) bị chặn trên, thì sup(div aᵢ) = div… ↩ 5 04YP
Hệ quả Nếu x, y và x + y thuộc K^*, thì div(x + y) ≥ inf(div(x), div(y)). 04YQ
Mệnh đề 3 Cho a, a', b, b' là các phần tử của I(A). Các quan hệ a > a' và b > b' kéo theo ab > a'b'. 04YR
Mệnh đề 4 Cho a, b là hai iđêan phân thức chia của A. Các tính chất sau là tương đương: (a) div a và div b là các ước tương đương; (b) tồn tại x ∈ K^* sao cho b = xa. 04YS
Định lý 1 Cho A là một miền nguyên. Để monôit D(A) của các ước của A là một nhóm, điều kiện cần và đủ là A được đóng nguyên hoàn toàn. ↩ 1 04YT
Hệ quả Cho A là một miền nguyên đóng hoàn toàn và a là một iđêan phân thức chia được của A. Khi đó, với mọi iđêan phân thức b ≠ 0 của A, div(a : b) = div a - div b ↩ 1 04YU
Định nghĩa 3 Một miền nguyên A được gọi là một miền Krull nếu tồn tại một họ (vᵢ)_i ∈ I các định giá trên trường phân thức K của A với các tính chất sau: (AK,) các định giá vᵢ là rời rạc; (AK… ↩ 5 04YV
Định lý 2 Cho A là một miền nguyên. Để A là một miền Krull, điều kiện cần và đủ là hai điều kiện sau được thỏa mãn: (a) A là nguyên đóng hoàn toàn; (b) mọi họ không rỗng các iđêan nguyên div… ↩ 3 04YW
Bổ đề 1 Nếu A là một miền Krull và (vₜ)ₜ, là một họ các định giá chuẩn hóa trên K thỏa mãn (AK, ), (AK,,) và (AK_III), ánh xạ a ↦ (vₜ(a))_t ∈ I là một ánh xạ đơn ánh giảm từ tập hợp các iđ… ↩ 1 04YX
Hệ quả Điều kiện cần và đủ để một vành Noether là một miền Krull là nó là một miền nguyên đóng. ↩ 1 04YY
Mệnh đề 5 Cho A là một miền Krull, K là trường phân thức của nó và (v_P)_P ∈ P(A) là họ các định giá cốt yếu của nó. Cho (n_P)_P ∈ P(A) là một họ các số nguyên, bằng không trừ đối với một số… ↩ 5 04YZ
Mệnh đề 6 Cho A là một miền Krull, K là trường phân thức của nó, (vₜ)_t ∈ I là một họ các định giá trên K có các tính chất của Định nghĩa 3 và A, vành của các vₜ. Cho S là một tập con nhân c… ↩ 8 04Z0
Hệ quả 1 Cho P là một ước cực biên của A và p là iđêan ước tương ứng. Khi đó p là nguyên tố, vành của v_P là A, và trường thặng dư của v_P được đồng nhất với trường phân thức của A/p. ↩ 7 04Z1
Hệ quả 2 Cho A là một miền Krull, K là trường phân thức của nó và (vₜ)_t ∈ I là một họ các định giá có các tính chất của Định nghĩa 3. Khi đó mọi định giá cốt yếu của A đều tương đương với… ↩ 4 04Z2
Mệnh đề 7 Cho A là một miền Krull, (v_P)_P ∈ P(A) là họ các định giá cốt yếu của nó và a ∈ I(A). Khi đó hệ số của P trong div a là inf_y ∈ a (v_P(y)). Nếu p là iđêan nguyên tố ước tương ứng… ↩ 1 04Z3
Mệnh đề 8 Cho A là một miền Noether đóng nguyên. (a) Cho P là một ước cực biên của A và p là iđêan nguyên tố ước tương ứng; ↩ 3 04Z4
Mệnh đề 9 Cho v₁, …, vᵣ là những định giá cốt yếu phân biệt của một miền Krull A và n₁, …, nᵣ là các số nguyên hữu tỉ. Tồn tại một phần tử x của trường phân thức K của A sao cho vᵢ(x) = nᵢ v… ↩ 8 04Z5
Hệ quả 1 Cho A là một miền Krull, K trường phân thức của nó và a, b và c là ba iđêan phân thức chia được của A sao cho a ⊂ b. Tồn tại x ∈ K sao cho a = b ∩ xc. ↩ 1 04Z6
Hệ quả 2 Cho A là một miền Krull. Để một iđêan phân thức a của A là chia được, điều kiện cần và đủ là nó là giao của hai iđêan chính phân thức. ↩ 2 04Z7
Định nghĩa 4 Cho A là một miền nguyên. Một iđêan nguyên tố 𝔭 của A được gọi là có chiều cao 1 nếu nó là cực tiểu trong các iđêan nguyên tố khác không của A. 04Z8
Định lý 3 Cho A là một miền Krull và 𝔭 là một iđêan nguyên của A. Để 𝔭 là iđêan ước tương ứng với một ước cực biên, điều kiện cần và đủ là 𝔭 là một iđêan nguyên tố có chiều cao 1. ↩ 5 04Z9
Hệ quả 1 Trong một miền Krull, mọi iđêan nguyên tố khác không m đều chứa một iđêan nguyên tố có chiều cao 1. Nếu m không có chiều cao 1, thì div m = 0 và A : m = A. ↩ 1 04ZA
Hệ quả 2 Cho A là một miền Krull, K là trường phân thức của nó, v là một định giá trên K dương trên A và p là tập hợp các x ∈ A sao cho v(x) 0. Nếu iđêan nguyên tố p có chiều cao 1, thì v t… ↩ 2 04ZB
Định lý 4 Cho A là một miền nguyên và M là tập hợp các iđêan nguyên tố của nó có chiều cao 1. Để A là một miền Krull, điều kiện cần và đủ là các Tính chất sau được thỏa mãn: (i) Với mọi p ∈… ↩ 6 04ZC
Mệnh đề 10 Cho A là một miền Noether nguyên đóng và a là một iđêan nguyên của A. Các điều kiện sau là tương đương: (a) a là ước; (b) các iđêan nguyên tố liên kết với A/a có chiều cao 1. 04ZD
Mệnh đề 11 Cho A là một miền Krull địa phương (đặc biệt là một miền Noether địa phương nguyên đóng) và m là iđêan cực đại của nó. Các điều kiện sau là tương đương: (a) A là vành định giá rời… ↩ 1 04ZE
Mệnh đề 12 Cho A là một miền Krull, K trường phân thức của nó, K' là một mở rộng hữu hạn của K và A' là bao đóng nguyên của A trong K'. Khi đó A' là một miền Krull. Các định giá cốt yếu của A… ↩ 3 04ZF
Hệ quả Cho p (resp. p') là một iđêan nguyên tố của A (resp. A') có chiều cao 1, và v (resp. u') là định giá cốt yếu của A (resp. A') tương ứng với nó. Để p' nằm trên p, điều kiện cần và đ… ↩ 1 04ZG
Mệnh đề 13 Cho A là một miền Krull và X₁, Xₙ, …, Xₙ là các ẩn. Vành A[X₁, …, Xₙ] là một miền Krull. ↩ 2 04ZH
Nhận xét Các định giá v_f và barw được đưa vào trong chứng minh của Mệnh đề 13 là các định giá cốt yếu của A[X]. Với chúng tôi, chỉ cần chỉ ra rằng, nếu V là tập hợp các định giá v_f (f bất… 04ZI
Mệnh đề 14 Cho A là một miền Krull và B là một miền Krull chứa A. Giả sử rằng điều kiện sau được thỏa mãn: ↩ 3 04ZJ
Mệnh đề 15 Cho A và B là các miền Krull sao cho B chứa A và là một A-môđun phẳng. Khi đó: (a) điều kiện (PDE) của Mệnh đề 14 được thỏa mãn; (b) với mọi iđêan phân thức a ∈ A, Ba là iđêan phân… ↩ 1 04ZK
Hệ quả Cho A là một miền Krull địa phương và B là một vành định giá rời rạc sao cho B trội hơn A và là một A-môđun phẳng. Khi đó A là một trường hoặc một vành định giá rời rạc. 04ZL
Nhận xét Trong trường hợp thứ nhất của hai trường hợp trên, ánh xạ i : D(A) → D(B) là đơn ánh: vì các phần tử của P(B) lập thành một cơ sở của D(B) và hai iđêan phân biệt của P(A) không thể… 04ZM
Mệnh đề 16 Cho A là một vành Zariski sao cho hoàn thành của nó hatA là một miền Krull. Khi đó A là một miền Krull và đồng cấu chính tắc tildei từ C(A) đến C(hatA) (được xác định vì A là một A… ↩ 2 04ZN
Mệnh đề 17 Cho A là một miền Krull và S là một tập con nhân của A không chứa 0. Khi đó đồng cấu chính tắc bari từ C(A) tới C(S⁻¹A) là toàn ánh. Nếu thêm nữa S được sinh bởi một họ các phần tử… ↩ 4 04ZO
Mệnh đề 18 Cho R là một miền Krull và A là vành đa thức R[X]. Đồng cấu chính tắc từ C(R) vào C(R[X]) là song ánh. ↩ 1 04ZP

§ 2. Miền Dedekind

Định nghĩa 1 Một miền Krull mà mọi iđêan nguyên tố khác không đều là cực đại được gọi là một miền Dedekind. 050M
Định lý 1 Cho A là một miền nguyên và K là trường phân thức của nó. Các điều kiện sau là tương đương: (a) A là một miền Dedekind; (b) A là một miền Krull và mọi định giá không suy biến trên… ↩ 6 050N
Mệnh đề 1 Một miền Dedekind nửa địa phương là một miền iđêan chính. ↩ 3 050O
Mệnh đề 2 Cho A là một miền Dedekind, K là trường phân thức của nó và P là tập hợp các iđêan nguyên tố khác không của A; với p ∈ P gọi vₚ là định giá cốt yếu tương ứng của A. Cho p₁, …, p_q… ↩ 2 050P
Mệnh đề 3 Vành A, (resp. A ) được đồng nhất với phép hoàn bị của A (resp. K) đối với tôpô vành mà một hệ cơ bản các lân cận của 0 gồm tất cả các iđêan nguyên ≠ (0) của A. ↩ 1 050Q
Mệnh đề 4 Nhóm SL(n, K) là trù mật trong SL(n, A). 050R
Bổ đề 1 Cho A là một miền Noether trong đó mọi iđêan nguyên tố khác không đều là cực đại và M là một A-môđun xoắn hữu hạn sinh. Khi đó độ dài long_A(M) của M là vô hạn. ↩ 1 050S
Bổ đề 2 Cho A là một vành, T một A-môđun và (Tᵢ) một họ có hướng phải các môđun con của T với hợp là T. Khi đó long_A(T) = supᵢ (long_A(Tᵢ)). ↩ 1 050T
Nhận xét Chứng minh này không giả thiết rằng A là giao hoán. 050U
Bổ đề 3 Cho A là một miền nguyên Noether sao cho mọi iđêan nguyên tố khác không & A đều cực đại, M một A-môđun không xoắn hạng hữu hạn r và một phần tử khác không của A. Khi đó A/Aa là một… ↩ 1 050V
Mệnh đề 5 (Krull-Akizuki) Cho A là một miền nguyên Noether mà mọi iđêan nguyên tố khác không của nó đều cực đại, K là trường phân thức của nó, L là một mở rộng hữu hạn của K và B là một vành con của L chứa… ↩ 3 050W
Hệ quả 1 Với mọi iđêan nguyên tố p của A, tập hợp các iđêan nguyên tố của B nằm trên p là hữu hạn. ↩ 2 050X
Hệ quả 2 Bao đóng nguyên của A trong L là một miền Dedekind. 050Y
Hệ quả 3 Bao đóng nguyên của một miền Dedekind trong một mở rộng hữu hạn của trường phân thức của nó là một miền Dedekind. ↩ 2 050Z
Mệnh đề 6 Cho A là một miền Dedekind, K trường phân thức của nó, L một mở rộng hữu hạn của K và B bao đóng nguyên của A trong L. Cho p là một iđêan nguyên tố khác không của A, v định giá cốt… 0510

§ 3. Miền factorial

Định nghĩa 1 Một miền Krull mà mọi iđêan ước của nó đều là chính được gọi là một miền factorial (hay miền phân tích duy nhất). ↩ 4 051N
Định lý 1 Cho A là một miền nguyên. Các điều kiện sau là tương đương: (a) A là factorial; (b) nhóm có thứ tự của các iđêan chính phân thức khác không của A là một tổng trực tiếp của các nhóm… ↩ 4 051O
Mệnh đề 1 Nếu A là một miền Krull. Nếu mọi iđêan ước của A đều khả nghịch, thì, với mọi iđêan cực đại m của A, Aₘ là factorial. Đảo lại là đúng nếu còn giả thiết thêm rằng mọi iđêan ước của… ↩ 1 051P
Mệnh đề 2 Cho A là một miền nguyên. Điều kiện cần và đủ để A là phân tích duy nhất là tồn tại một tập con P của A sao cho mọi a ∈ A - 0 đều có thể viết duy nhất dưới dạng a = u ∏_p ∈ P pⁿ⁽ᵖ⁾… 051Q
Mệnh đề 3 Cho A là một miền Krull và S là một tập con nhân của A không chứa 0. ↩ 5 051R
Bổ đề 1 (Gauss) Cho f, f' là các phần tử khác không của K[X] và c, c' là các nội dung của f, f'. Khi đó cc' là một nội dung của ff'. ↩ 1 051S
Định lý 2 Cho A là một miền giai thừa, K là trường phân thức của nó, (p_λ) là một hệ đại diện các phần tử cực biên của A và (P_λ) là một hệ đại diện các đa thức bất khả quy của K[X], mỗi P_λ… ↩ 3 051T
Hệ quả Nếu A là một miền giai thừa thì miền A[X₁, …, Xₙ] là giai thừa. 051U
Mệnh đề 4 Nếu A là một vành Zariski và hatA là vành hoàn thành của nó. Nếu hatA là một miền phân tích duy nhất, thì A là một miền phân tích duy nhất. 051V
Hệ quả Nếu vành hoàn thành của một vành địa phương Noether A là một miền phân tích duy nhất, thì A là một miền phân tích duy nhất. ↩ 1 051W
Bổ đề 2 Cho f(X₁, X₂, …, Xₙ) là một chuỗi lũy thừa hình thức ≠ 0 với hệ số trong một vành E. Tồn tại các số nguyên u(i) geqslant 1 (1 leqslant i leqslant n - 1) sao cho ↩ 1 051X
Bổ đề 3 Cho f là một phần tử khác không của E[[X₁, …, Xₙ]]. Tồn tại những số nguyên u(i) ≥ 1 (1 ≤ i ≤ n-1) sao cho tự đẳng cấu s của E được xác định bởi s(Xᵢ) = Xᵢ + Xₙᵘ⁽ⁱ⁾ (1 ≤ i ≤ n-1) v… ↩ 1 051Y
Mệnh đề 5 Cho f ∈ B là một chuỗi mà chuỗi rút gọn của nó khác không. Gọi s là cấp rút gọn của nó và M là A-môđun con của B có cơ sở 1, X, …, Xˢ⁻¹. Khi đó B là tổng trực tiếp của M và f không… ↩ 3 051Z
Hệ quả Với các giả thiết và ký hiệu của Mệnh đề 5, giả sử rằng s ≥ 1, sao cho f ∈ Bm + BX. Khi đó đồng cấu A-môđun h từ B' = A[[T]] vào B = A[[X]] sao cho h(T) = f (Chương III, § 2, no. 9… 0520
Định nghĩa 2 Một đa thức F ∈ A[X] được gọi là phân biệt nếu nó có dạng F = Xˢ + aₛ₋₁ Xˢ⁻¹ + ⋯ + a₀, trong đó aᵢ ∈ 𝔪 với 0 ≤ i ≤ s - 1. ↩ 1 0521
Mệnh đề 6 (Định lý chuẩn bị) Cho f ∈ B là một chuỗi mà chuỗi rút gọn của nó khác không và s là cấp rút gọn của nó. Khi đó tồn tại một cặp có thứ tự duy nhất (u, F) sao cho u là một phần tử khả nghịch của B, F… ↩ 3 0522
Mệnh đề 7 Cho F là một đa thức phân biệt và g, h là hai chuỗi lũy thừa hình thức của B sao cho F = gh. Khi đó tồn tại một phần tử khả nghịch u của B sao cho ug và u⁻¹h là các đa thức phân bi… ↩ 2 0523
Hệ quả Giả sử thêm rằng A là một miền nguyên và F là một đa thức phân biệt bậc s. Để F là extremal trong A[X], điều kiện cần và đủ là nó là extremal trong B = A[[X]]. ↩ 2 0524
Mệnh đề 8 Cho C là một vành, hoặc là một trường, hoặc là một vành định giá rời rạc. Khi đó miền các chuỗi lũy thừa hình thức C[[X₁, …, Xₙ]] là phân tích duy nhất. ↩ 3 0525

§ 4. Các môđun trên các miền Noether đóng nguyên

Định nghĩa 1 Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường K. Một dàn của V đối với A (hay đơn giản là một dàn của V) được định nghĩa là bất kỳ môđun con-A M nào của V thỏa mãn điều k… 052X
Mệnh đề 1 Đối với một môđun con-A M của V là một dàn của V, điều kiện cần và đủ là KM = V và M được chứa trong một môđun con-A sinh hữu hạn của V. ↩ 5 052Y
Hệ quả Giả sử rằng A là Noether; đối với một môđun con-A M của V là một dàn của V, điều kiện cần và đủ là KM = V và M sinh hữu hạn. ↩ 1 052Z
Nhận xét (1) Nhắc lại rằng với mọi môđun con-A M của V, ánh xạ chính tắc M ⊗_A K → V là đơn ánh và có ảnh KM (Đại số, Chương II, § 7, no. 10, Mệnh đề 26); nói rằng KM = V có nghĩa là do đó ánh… 0530
Mệnh đề 2 Cho M là một dàn của V và M, một môđun con-A của V. Nếu tồn tại hai phần tử x, y của K^* sao cho xM ⊂ M₁ ⊂ yM, M₁ là một dàn của V; ngược lại, nếu M₁ là một dàn của V, tồn tại hai… ↩ 3 0531
Mệnh đề 3 (i) Nếu M₁ và M₂ là các dàn của V, thì M₁ ∩ M, và M₁ + M₂ cũng vậy. ↩ 5 0532
Nhận xét (2) Mệnh đề 3 (i) cho thấy tập R(V) các dàn của V là có thứ tự dàn đối với quan hệ bao hàm; hơn nữa, nếu M là một dàn cố định của V, thì các xM, với x chạy qua K^*, tạo thành một tập c… 0CIY
Hệ quả Cho U, V, W là ba không gian vectơ hạng hữu hạn trên K và f: U × V → W là một ánh xạ K-song tuyến tính không suy biến trái (Đại số, Chương IX, § 1, no. 1, Định nghĩa 3). Nếu M là m… 0533
Mệnh đề 4 Cho B là một miền nguyên, A là một vành con của B và K và L là các trường & trường phân thức tương ứng của A và B. Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên K. ↩ 3 0534
Hệ quả Giả sử rằng A là một vành định giá rời rạc. Gọi hatA là phép hoàn thành của nó và gọi hatK là trường phân thức của hatA (Chương VI, § 5, no. 3). Ánh xạ φ, gửi mỗi dàn M của V tới d… 0535
Mệnh đề 5 Cho V, W là các không gian vectơ hạng hữu hạn trên K, M là một dàn của V và N là một dàn của W. Nếu M sinh hữu hạn, thì (theo ký hiệu của Mệnh đề 3): ↩ 3 0536
Định lý 1 Nếu M là một dàn của V, thì M^* = ⋂_p ∈ P Mₚ^*. 0537
Nhận xét (1) Cho M là một A-môđun sinh hữu hạn; ngay lập tức thấy rằng đối ngẫu M^* của M, được đồng nhất với một môđun con-A của Hom_A(M, K), là một dàn của không gian vectơ K Hom_A(M, K); đặc… ↩ 1 0538
Định lý 2 Nếu M là một dàn của V, thì các điều kiện sau là tương đương: (a) M là phản xạ. (b) M = ⋂_p ∈ P Mₚ. (c) Ass(V/M) ⊂ P. ↩ 6 0539
Hệ quả Cho M, N là hai dàn của V đối với A sao cho N là phản xạ. Để có M ⊂ N, điều kiện cần và đủ là, với mọi p ∈ P, Mp ⊂ Np. 053A
Mệnh đề 6 (i) Nếu M1 và M là các dàn phản xạ của V, thì M, n M cũng vậy. (ii) Nếu W là một không gian con vectơ của V và M là một dàn phản xạ của V, thì M n W là một dàn phản xạ của W. (iii)… 053B
Mệnh đề 7 Cho 0 → M → N → Q → 0 là một dãy khớp các A-môđun. Giả sử rằng N sinh hữu hạn và không xoắn. (i) Nếu M phản xạ, thì Ass(Q) ⊂ P ∪ 0 (nói cách khác, mọi iđêan liên kết với Q hoặc là… ↩ 4 053C
Mệnh đề 8 Cho R và S là hai vành giao hoán, p : R → S là một đồng cấu vành và M là một R-môđun sinh hữu hạn. Giả sử rằng R là Noether và S là một R-môđun phẳng. Khi đó, nếu M phản xạ, thì S-… ↩ 2 053D
Định lý 3 Cho V là một không gian vectơ hạng hữu hạn trên K và M là một dàn của V đối với A. ↩ 2 053E
Bổ đề 1 Cho p và p' là hai iđêan nguyên tố của A sao cho (0) là iđêan nguyên tố duy nhất của A được chứa trong p ∩ p'. Khi đó, với mọi môđun con-A E của V, (Eₚ)_p' = K.E. 053F
Nhận xét Cho L là một dàn tự do của V đối với A. Vì A, là một miền iđêan chính nên với p ∈ P, N(p) là một A-môđun tự do có cùng hạng với L và tồn tại u(p) ∈ GL(V) sao cho u(p)(Lₚ) = N(p); h… 053G
Mệnh đề 9 Cho M là một A-môđun hữu hạn sinh. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 3 053H
Nhận xét (1) Các điều kiện tương đương của Mệnh đề 9 còn có nghĩa là Ass(M) không chứa iđêan nguyên tố nào có chiều cao ≤ 1. Chúng cũng có thể được diễn giải bằng cách nói rằng Supp(M) có đối c… 053I
Định nghĩa 2 Một A-môđun M được gọi là giả-không nếu nó sinh hữu hạn và nó thỏa mãn các điều kiện tương đương của Mệnh đề 9. ↩ 3 053J
Định nghĩa 3 Cho M và N là hai A-môđun và f : M → N là một đồng cấu. Ta gọi f là giả-đơn ánh (tương ứng, giả-toàn ánh giả-không) nếu Ker(f) (tương ứng, Coker(f), Im(f)) là giả-không; ta gọi f l… 053K
Định lý 4 Cho E là một A-môđun sinh hữu hạn, T là môđun con xoắn của E và M = E/T. Tồn tại một giả đẳng cấu ↩ 3 053L
Bổ đề 2 Cho (pᵢ)_1 ≤ i ≤ k là một họ hữu hạn không rỗng các iđêan nguyên tố của A có chiều cao 1 và đặt S = ⋂ᵢ (A - pᵢ); khi đó vành S⁻¹A là một miền iđêan chính. ↩ 3 053M
Bổ đề 3 Tồn tại một đồng cấu g : E → T mà hạn chế của nó lên T vừa là một phép vị tự vừa là một giả đẳng cấu. 053N
Định lý 5 Cho T là một A-môđun xoắn sinh hữu hạn. Tồn tại hai họ hữu hạn (nᵢ)_i ∈ I và (pᵢ)_j ∈ I, trong đó các nᵢ là những số nguyên ≥ 1 và các pᵢ là những iđêan nguyên tố của A có chiều ca… ↩ 3 053O
Nhận xét (2) Trong mệnh đề của Định lý 5, các môđun A/pᵢ^nᵢ có thể được thay bởi A/pᵢ^(nᵢ) (§ 1, no. 4, Mệnh đề 8). Với mọi p ∈ P, ánh xạ chính tắc g : A/pⁿ → A/p⁽ⁿ⁾ = A/(A ∩ pⁿAₚ) là một giả đ… ↩ 1 053P
Định nghĩa 4 Nếu T là một A-môđun xoắn sinh hữu hạn, thì ước: ↩ 3 053Q
Mệnh đề 10 (i) Cho 0 → T₁ → T₂ → T₃ → 0 là một dãy khớp các A-môđun xoắn sinh hữu hạn. Khi đó ↩ 2 053R
Hệ quả Cho 0 → Tₙ → Tₙ₋₁ → … → T₀ → 0 là một dãy khớp các A-môđun xoắn sinh hữu hạn. Khi đó ∑ᵢ₌₀ⁿ (-1)ⁱ χ(Tᵢ) = 0. ↩ 1 053S
Mệnh đề 11 Cho G là một nhóm giao hoán viết theo phép cộng và φ : T(A) → G là một ánh xạ; với mọi A-môđun xoắn hữu hạn sinh T, do lạm dụng ngôn ngữ, ta cũng viết φ(T) = φ(cl(T)). Giả sử rằng… ↩ 3 053T
Mệnh đề 12 Nếu a là một iđêan ≠ 0 của A, ↩ 1 053U
Mệnh đề 13 Cho M là một dàn của V và u là một K-tự đẳng cấu của V. Khi đó : (6) -χ(M, u(M)) = div(det(u)). Với mọi p ∈ P, khi đó bigwedgeⁿ (u(M)ₚ) = bigwedgeⁿ (u(Mₚ)); nếu (eᵢ)_1 ≤ i ≤ n là m… 053V
Mệnh đề 14 Nếu M, M' là hai dàn của V sao cho M' \subset M, M/M' là một A-môđun xoắn sinh hữu hạn và: ↩ 1 053W
Hệ quả Cho L,, L2 là hai A-môđun tự do cùng hạng n và cho f: L1 \to L2 là một đồng cấu. Cho U là ma trận của f đối với các cơ sở của L, và L2. Để Coker(f) là một A-môđun xoắn, điều kiện c… ↩ 1 053X
Ví dụ Nếu A = Z, thì nhóm ước của A được đồng nhất với nhóm nhân Q₊^* của các số hữu tỉ 0. Với mọi nhóm giao hoán hữu hạn T, χ(T) là cấp của T; hệ quả trên cho thấy cấp của nhóm Coker(f)… ↩ 1 053Y
Mệnh đề 15 Cho M là một A-môđun hữu hạn sinh. Tồn tại một môđun con tự do L của M sao cho M/L là một môđun xoắn và phần tử c(χ(M/L)) của C không phụ thuộc vào môđun con tự do L được chọn. ↩ 1 053Z
Mệnh đề 16 (i) Cho 0 → M₁ xrightarrowα M₂ xrightarrowg M₃ → 0 là một dãy khớp của các A-môđun hữu hạn sinh. Khi đó ↩ 7 0540
Hệ quả 1 Cho 0 → M, xrightarrowu Mₙ₋₁ → ⋯ → M₀ → 0 là một dãy khớp các A-môđun sinh hữu hạn. Khi đó ↩ 3 0541
Hệ quả 2 Nếu một iđêan phân thức ước tính được a ≠ 0 của A thừa nhận một phân giải tự do hữu hạn, thì nó là chính. ↩ 2 0542
Hệ quả 3 Nếu mọi iđêan ước tính được ≠ 0 của A thừa nhận một phân giải tự do hữu hạn, A là giai thừa. ↩ 1 0543
Mệnh đề 17 Cho G là một nhóm giao hoán viết theo lối cộng và φ một ánh xạ từ tập hợp F(A) các lớp của các A-môđun sinh hữu hạn vào G; với mọi A-môđun sinh hữu hạn M, do lạm dụng ngôn ngữ, ta… 0544
Mệnh đề 18 (i) Để R là một B-môđun giả-không, điều kiện cần và đủ là A-môđun R_[A] là giả-không. ↩ 1 0545
Mệnh đề 19 Cho R là một môđun B sinh hữu hạn. Điều kiện cần và đủ để R phản xạ là R_[A] là một môđun A phản xạ. ↩ 1 0546
Bổ đề 4 Cho W là một không gian vectơ hạng hữu hạn trên L và cho R là một dàn của W đối với B. Khi đó, với mọi p ∈ P(A), (R_[A])ₚ = ⋂_𝔭/p R_𝔭. ↩ 1 0547
Hệ quả Vành B là một A-môđun phản xạ. 0548
Mệnh đề 20 (i) Điều kiện cần và đủ để một A-môđun hữu hạn sinh M là giả-không là M ⊗_A B là một B-môđun giả-không. (ii) Nếu M là một A-môđun xoắn hữu hạn sinh, thì M ⊗_A B là một B-môđun hữu… 0549
Bổ đề 5 Cho M₁, M, là hai A-môđun hữu hạn sinh, và f : M₁ → M₂ là một đồng cấu đơn cấu. Khi đó hạt nhân của f ⊗ 1 ; M₁ ⊗_A B → M₂ ⊗_A B là giả-không. 054A
Bổ đề 6 Cho R là một vành giao hoán và pᵢ (1 ≤ i ≤ n) là các iđêan nguyên tố phân biệt của R. ↩ 1 054B
Định lý 6 Cho M là một A-môđun không xoắn hữu hạn sinh. Tồn tại một môđun con tự do L của M sao cho M/L đẳng cấu với một iđêan của A. ↩ 2 054C
Bổ đề 7 Cho xᵢ (1 ≤ i ≤ m) là các phần tử độc lập tuyến tính của M (trên A hoặc K, điều này là như nhau) và cho L là môđun con-A của M sinh bởi các xᵢ. Khi đó, với hầu hết mọi p ∈ P, các x… ↩ 1 054D
Bổ đề 8 Giả sử rằng hạng n của M là geqslant 2; khi đó tồn tại một phần tử x ≠ 0 của M sao cho M/Ax không xoắn. 054E
Nhận xét Nếu M là phản xạ, thì điều tương tự không nhất thiết còn đúng đối với M/L (Bài tập 9). 054F
Mệnh đề 21 Cho A là một miền Dedekind. Mọi A-môđun giả-không đều bằng không. Mọi đồng cấu A-môđun giả-đơn ánh (resp. giả-toàn ánh, giả-song ánh, giả-không) đều là đơn ánh (resp. toàn ánh, son… 054G
Mệnh đề 22 Cho A là một miền Dedekind và M là một A-môđun sinh hữu hạn. Các tính chất sau là tương đương: (a) M không xoắn. (b) M phản xạ. (c) M xạ ảnh. ↩ 2 054H
Hệ quả Cho M là một A-môđun sinh hữu hạn và T là môđun con xoắn của nó. Khi đó T là một hạng tử trực tiếp của M. ↩ 1 054I
Mệnh đề 23 Cho A là một miền Dedekind và T là một A-môđun xoắn sinh hữu hạn. Tồn tại hai họ hữu hạn (nᵢ)_i ∈ I và (𝔭ᵢ)_i ∈ I, trong đó các nᵢ là các số nguyên ≥ 1 và các 𝔭ᵢ là các phần tử của… 054J
Mệnh đề 24 Cho A là một miền Dedekind và M là một A-môđun sinh hữu hạn không xoắn có hạng n ≥ 1. Khi đó tồn tại một iđêan b ≠ 0 của A sao cho M đẳng cấu với tổng trực tiếp của các môđun Aⁿ⁻¹… 054K

VIII. Chiều

§ 1. Chiều Krull của một vành

Định nghĩa 1 Cho I là một tập hợp có thứ tự. Một tập con hữu hạn khác rỗng được sắp thứ tự toàn phần của I được gọi là một xích trong I. Cho c là một xích trong I; phần tử nhỏ nhất và phần tử l… 0CJG
Định nghĩa 2 Chiều Krull của không gian tôpô X, theo định nghĩa, được ký hiệu là dim kr(X), hoặc đơn giản là dim(X), là cận trên nhỏ nhất trong overlineR của tập hợp các độ dài của các xích các… 0CJH
Mệnh đề 1 Cho X là một không gian tôpô. a) Nếu Y là một không gian con của X, thì dim(Y) ≤ dim(X), và dim_y(Y) ≤ dim_y(X) với mọi điểm y của Y. b) Cho x là một điểm của X và V là một lân cận… 0CJI
Hệ quả a) Chiều của không gian tôpô X là cận trên nhỏ nhất của các chiều của các thành phần bất khả quy của nó (II, § 4, No. 1, Def. 2). 0CJJ
Mệnh đề 2 Cho X là một không gian tôpô. Khi đó dim(X) = sup_x ∈ X dimₓ(X). 0CJK
Hệ quả Nếu (X_α)_α ∈ A là một phủ mở, hoặc một phủ đóng hữu hạn địa phương, của một không gian tôpô X, thì ta có dim(X) = sup_α ∈ A dim(X_α). 0CJL
Định nghĩa 3 Cho X là một không gian tôpô. 0CJM
Nhận xét 1 Đối chiều của một tập con đóng Y của X vì thế là cận dưới lớn nhất của các đối chiều của các tập con đóng bất khả quy của Y. Ta có codim(∅, X) = +∞ và, nếu X không rỗng, codim(X, X… 0CJN
Nhận xét 2 Nếu Y là một tập con đóng khác rỗng của X, ta có codim(Y, X) ≤ dim(X). Ta có dim(X) = sup_Y codim(Y, X), trong đó Y chạy qua tập hợp các tập con đóng bất khả quy của X. Nếu Y và Y’… 0CJO
Nhận xét 3 Cho Y là một tập con đóng của không gian tôpô X và (X_α)_α ∈ A (resp. (Y_β)_β ∈ B) là họ các thành phần bất khả quy của X (resp. của Y). Với mỗi β ∈ B, ký hiệu A(β) là tập hợp các… 0CJP
Nhận xét 4 Cho (Yᵢ)_i ∈ I là một họ hữu hạn các tập con đóng của X và Y = ⋃_i ∈ I Yᵢ; ta có 0CJQ
Mệnh đề 3 Cho X là một không gian tôpô. 0CJR
Định nghĩa 4 Một không gian tôpô X được gọi là catenaire nếu, với mọi cặp (Y, Z) các tập con đóng bất khả quy của X sao cho Y ⊂ Z, mọi chuỗi bão hòa các tập con đóng bất khả quy với hai đầu mút… 0CJS
Mệnh đề 4 Cho X là một không gian tôpô. Để X là catenary, điều kiện cần và đủ là, với mọi bộ ba (Y, Z, T) các tập con đóng bất khả quy của X sao cho Y ⊂ Z ⊂ T, ta có: 0CJT
Hệ quả Cho X là một không gian tôpô bất khả quy có số chiều hữu hạn. Để X là catenary, điều kiện cần và đủ là, với mọi cặp (Y, Z) các tập con đóng bất khả quy của X sao cho Y ⊂ Z, ta có c… 0CJU
Mệnh đề 5 Cho X là một không gian tôpô có số chiều hữu hạn. Giả sử rằng mọi chuỗi cực đại các tập con đóng bất khả quy của X đều có cùng độ dài. Khi đó X là catenary; với mọi tập con đóng bấ… 0CJV
Định nghĩa 5 Chiều Krull, hay đơn giản là chiều, của một vành A (giao hoán) theo định nghĩa là chiều Krull của không gian tôpô Spec(A) (II, § 4, No. 3, Định nghĩa 4); nó được ký hiệu bởi \dim(A… 0CJW
Ví dụ 1 Ta có dim(A) < 0 khi và chỉ khi A thu về 0. Để có dim(A) leqslant 0, điều kiện cần và đủ là mọi iđêan nguyên tố của A đều cực đại. Các vành nguyên có chiều 0 là các trường. Một vàn… 0CJX
Ví dụ 2 Các vành Dedekind là các vành Noether nguyên đóng có chiều leqslant 1 (VII, § 2, No. 2, định lý 1). Nói chung hơn, theo V, § 1, No. 2, hệ quả 2 của mệnh đề 9, một vành là một tích… 0CJY
Ví dụ 3 Nếu A là một vành định giá (VI, § 1, No. 2, định nghĩa 2), thì chiều của nó bằng với chiều cao của định giá (VI, § 4, No. 4, mệnh đề 5). 0CJZ
Ví dụ 4 Cho A là một vành. Ta có dim(A[X]) geqslant dim(A) + 1 . Thật vậy, nếu p₀ ⊂ ... ⊂ pₙ là một chuỗi các iđêan nguyên tố của A, có độ dài n, thì ta thu được một chuỗi p'₀ ⊂ ... ⊂ p'ₙ₊… 0CK0
Ví dụ 5 Cho X là một đa tạp giải tích phức. Nếu X có chiều phức n tại một điểm x của X, thì vành địa phương của các mầm tại x của các hàm giải tích trên X có chiều n. \ 0CK1
Ví dụ 6 Cho k là một trường và A là một k-đại số nguyên khác không. Khi đó ta có dim(A) = 0. Điều này suy ra từ hệ quả 1 của mệnh đề 1 trong V, § 2, No. 1, và từ sự kiện dim(k) = 0. 0CK2
Ví dụ 7 Nếu 𝔫 là một iđêan lũy linh của A, thì Spec(A) đồng phôi với Spec(A/𝔫) (II, § 4, No. 3, nhận xét). Vì vậy ta có dim(A/𝔫) = dim(A); đặc biệt, ta có dim(A) = dim(A_red) trong đó A_re… 0CK3
Ví dụ 8 Tồn tại các vành Noether có chiều vô hạn (p. 83, bài tập 13). Dưới đây chúng ta sẽ thấy (§ 3, No. 1, hệ quả 1 của mệnh đề 2) rằng mọi vành địa phương Noether đều có chiều hữu hạn. 0CK4
Mệnh đề 6 Cho A là một vành. a) Nếu a là một iđêan của A, ta có dim(A/a) ≤ dim(A). b) Nếu S là một tập hợp nhân của A, ta có dim(S⁻¹A) ≤ dim(A). c) Ta có dim(A) = sup dim(A/p), trong đó p ch… 0CK5
Nhận xét 1 Cho ρ : A → B là một đồng cấu vành. Khi đó dim(B) là cận trên bé nhất của các số dim(B/ρ(p).B), trong đó p chạy qua tập hợp các iđêan nguyên tố cực tiểu của A: thật vậy, với mọi iđ… 0CK6
Định nghĩa 6 Cho a là một iđêan của một vành A. Đối chiều của V(a) trong Spec(A) được gọi là chiều cao của iđêan a và được ký hiệu là ht(a). 0CK7
Mệnh đề 7 a) Chiều cao của một iđêan nguyên tố p của A là cận trên bé nhất của các độ dài của những dãy iđêan nguyên tố p₀ ⊂ ... ⊂ pₙ sao cho pₙ = p. 0CK8
Hệ quả Cho p là một iđêan nguyên tố của A và S là một tập hợp nhân của A không giao với p. Khi đó ht(p) = ht(S⁻¹p). 0CK9
Mệnh đề 8 Cho A là một vành. 0CKA
Định nghĩa 7 Một vành A được gọi là catenary nếu không gian tôpô Spec(A) là catenary (No. 2, Định nghĩa 4). 0CKB
Nhận xét 2 Mọi vành thương của một vành catenary đều là catenary. Để vành A là catenary, điều kiện cần và đủ là, với mọi iđêan nguyên tố p của A, vành Aₚ là catenary. 0CKC
Nhận xét 3 Theo Mệnh đề 7, b) và Mệnh đề 4 của No. 2, vành A là catenary khi và chỉ khi, với mọi bộ ba (p, q, r) các iđêan nguyên tố của A sao cho r ⊂ q ⊂ p, ta có dim(Ap/qAp) + dim(Aq/rAq) =… 0CKD
Nhận xét 4 Cho A là một vành có số chiều hữu hạn mà mọi chuỗi cực đại các iđêan nguyên tố đều có cùng độ dài. Khi đó A là catenary, ta có ht(p) + dim(A/p) = dim(A) với mọi iđêan nguyên tố p c… 0CKE
Nhận xét 5 Ta sẽ thấy ở § 2, No. 4, rằng mọi đại số hữu hạn sinh trên một trường đều là một vành catenary. Có những vành địa phương Noether không catenary (p. 83, Bài tập 16). 0CKF
Định nghĩa 8 Cho A là một vành và M là một A-môđun hữu hạn sinh. Chiều Krull (hay đơn giản là chiều ¹) của A-môđun M là chiều Krull của giá đỡ của M (II, § 4, No. 4, Định nghĩa 5); nó được ký h… 0CKG
Nhận xét 1 Cho A là một vành Noether và M là một A-môđun hữu hạn sinh. Việc nói rằng dim_A(M) ≤ 0, hay rằng các phần tử của Supp(M) là các iđêan cực đại của A, hay rằng M có độ dài hữu hạn, l… 0CKH
Nhận xét 2 Nếu M là một môđun hữu hạn sinh trên một vành Noether A, thì dim_A(M) là cận trên bé nhất của các số dim(A/p), trong đó p chạy trên tập Ass_A(M) các iđêan nguyên tố của A liên kết… 0CKI
Mệnh đề 9 Cho A là một vành và M là một A-môđun hữu hạn sinh. 0CKJ
Nhận xét 3 Trong các điều kiện của prop. 9, c), ta có codim(Supp(M), Spec(A)) = inf(codim(Supp(M'), Spec(A)), codim(Supp(M/M'), Spec(A))). Điều này suy ra từ công thức Supp(M) = Supp(M') ∪ Su… 0CKK
Nhận xét Với mọi p ∈ Spec(A), ta có z(A/p) = [V(p)]. Nói chung hơn, cho M là một A-môđun sinh hữu hạn, và (Mᵢ)_0 ≤ i ≤ n là một dãy hợp thành của M sao cho với 0 ≤ i ≤ n-1, môđun Mᵢ/Mᵢ₊₁ đẳ… 0CKL
Bổ đề 1 Cho M là một A-môđun hữu hạn sinh và d là một số nguyên. a) Để M thuộc kiểu C_≤ d, điều kiện cần và đủ là z(M) ∈ Z_≤ d; khi đó phép chiếu z_d(M) của z(M) lên Z_d song song với Z_≤… 0CKM
Mệnh đề 10 Các dãy Z-môđun và đồng cấu 0CKN
Ví dụ 1 Giả sử A là Noether và nguyên. Khi đó ta có Z⁰ = Z.[Spec(A)]; ta có C^>0 = C và z⁰(M) = rg(M).[Spec(A)]. Do đó các môđun thuộc kiểu C^>1 là các môđun xoắn. 0CKO
Ví dụ 2 Giả sử A là Noether và đóng nguyên. Khi đó Z¹ được đồng nhất với nhóm D(A) các ước tử của A được đưa vào trong Chương VII (§ 1, No. 3, Định lý 2, và No. 6, Định lý 3). Các môđun th… 0CKP
Ví dụ 3 Các môđun kiểu C_≤ 0 là các môđun có chiều ≤ 0, nghĩa là các môđun có độ dài hữu hạn (No. 4, Nhận xét 1). Ta có long_A(M) = ε(z₀(M)) với mọi A-môđun M có độ dài hữu hạn, trong đó ε… 0CKQ
Ví dụ 4 Giả sử A là một miền nguyên và hữu hạn chiều. Đặt d = dim(A). Khi đó ta có C_≤ d = C, Z_d = Z.[Spec(A)] = Z⁰, z_d(M) = rg(M).[Spec(A)] = z⁰(M), và các môđun kiểu C_≤ d-1 là các môđ… 0CKR

§ 2. Chiều của các đại số

Nhận xét 1 Điều kiện (PM) được thỏa mãn khi tồn tại một B-môđun sinh hữu hạn, phẳng trung thành trên A và có giá bằng Spec(B). Đặc biệt, đây là trường hợp nếu A-môđun B là phẳng trung thành. 0CL9
Nhận xét 2 Sự tồn tại của một B-môđun N phẳng trung thành trên A kéo theo tính đơn ánh của ρ (I, § 3, No. 5, mệnh đề 8), và tính toàn ánh của ánh xạ “ρ : Spec(B) → Spec(A) (II, § 2, No. 5, hệ… 0CLA
Nhận xét 3 Giả sử rằng ρ : A → B là một đồng cấu địa phương của các vành địa phương và rằng tồn tại một B-môđun N phẳng trên A sao cho N ⊗B κ(q) ≠ 0 với mọi iđêan nguyên tố q của B. Khi đó N… 0CLB
Mệnh đề 1 Cho ρ : A → B là một đồng cấu các vành thỏa mãn điều kiện (PM). 0CLC
Hệ quả Cho F là một tập con đóng của Spec(A). Nếu Y là một thành phần bất khả quy của ảnh ngược của F bởi ánh xạ “ρ : Spec(B) → Spec(A), thì bao đóng của “ρ(Y) là một thành phần bất khả q… 0CLD
Mệnh đề 2 Cho ρ : A → B là một đồng cấu của các vành khác không có tính chất (PM). Ta có bất đẳng thức 0CLE
Nhận xét 4 Cho ρ : A → B là một đồng cấu địa phương của các vành địa phương Noether thỏa mãn điều kiện (PM). Ta sẽ thấy về sau (§ 3, no 4, mệnh đề 7) rằng trong trường hợp này có đẳng thức tr… 0CLF
Hệ quả Với mọi iđêan a của A, ta có ht(a) ≤ ht(ρ(a)B). 0CLG
Bổ đề 1 Cho ρ : A → B là một đồng cấu vành và p là một iđêan nguyên tố của A. Ánh xạ liên tục ᵃ h : Spec(B ⊗_A κ(p)) → Spec(B), liên kết với đồng cấu chính tắc h : B → B ⊗_A κ(p), cảm sinh… 0CLH
Nhận xét 5 Theo mệnh đề 2 và Bổ đề 1, do đó ta có, dưới các giả thiết của mệnh đề 2, bất đẳng thức dim(Spec(B)) ≥ dim(Spec(A)) + inf_p ∈ Spec(A) dim(αρ⁻¹(p)) . 0CLI
Mệnh đề 3 Cho ρ : A → B là một đồng cấu vành. Đặt n = sup_p ∈ Spec(A) dim(B ⊗_A κ(p)). Ta có bất đẳng thức dim(B) + 1 ≤ (dim(A) + 1).(n + 1) . 0CLJ
Nhận xét 1 Nếu các vành A và B là Noether, ta sẽ thấy dưới đây (§ 3, số 4, hệ quả 2 của mệnh đề 7) rằng ta có bất đẳng thức dim(B) ≤ dim(A) + n, mạnh hơn bất đẳng thức của mệnh đề 3. 0CLK
Hệ quả 1 Giả sử rằng ta có dim(A) < +∞ và rằng tồn tại một số nguyên n sao cho dim(B ⊗_A κ(p)) ≤ n với mọi p ∈ Spec(A). Khi đó ta có dim(B) < +∞. 0CLL
Hệ quả 2 Cho A là một vành và B = A[X] là vành các đa thức theo một bất định với hệ số trong A. Ta có : 1 + dim(A) ≤ dim(B) ≤ 1 + 2dim(A) . 0CLM
Hệ quả 3 Nếu A có số chiều hữu hạn, thì mọi đại số trên A sinh hữu hạn khác không đều có số chiều hữu hạn. 0CLO
Bổ đề 2 Cho ρ : A → B là một đồng cấu vành sao cho, với mọi iđêan nguyên tố p của A, đại số trên κ(p) B ⊗ₓₐ κ(p) là nguyên (V, § 1, No. 1, định nghĩa 2). Gọi q và q’ là hai iđêan nguyên tố… 0CLP
Định lý 1 Cho ρ : A → B là một đồng cấu vành biến B thành một đại số nguyên trên A. 0CLQ
Định lý 2 Cho A là một vành nguyên đóng, và B là một vành chứa A, nguyên trên A. Giả sử rằng B là một A-môđun không xoắn. Với mọi iđêan a của A, ta có ht(a) = ht(aB). Cho b là một iđêan của… 0CLR
Nhận xét Gọi A là một miền nguyên và B là một vành chứa A, nguyên trên A. Gọi p là một iđêan nguyên tố của A sao cho bao đóng nguyên của Aₚ là một vành địa phương. Có thể chứng minh rằng, v… 0CLS
Bổ đề 3 Cho A là một k-đại số kiểu hữu hạn và p₀ ⊂ ... ⊂ pₘ là một dãy cực đại các iđêan nguyên tố của A. Tồn tại một số nguyên n ≥ m, một dãy (x₁, ..., xₙ) các phần tử của A, tự do đại số… 0CLT
Định lý 3 Cho A là một k-đại số kiểu hữu hạn. a) Với mọi iđêan nguyên tố cực tiểu p của A, mọi dãy tối đại các iđêan nguyên tố của A có gốc p đều có độ dài bằng số nguyên deg.trₖ κ(p). b) Và… 0CLU
Hệ quả 1 Cho n là một số nguyên dương. Ta có 0CLV
Hệ quả 2 Cho A là một k-đại số nguyên kiểu hữu hạn. Với mọi iđêan nguyên tố p của A, ta có 0CLW
Hệ quả 3 Cho A là một k-đại số kiểu hữu hạn và cho f là một phần tử của A không thuộc iđêan nguyên tố cực tiểu nào của A (chẳng hạn một phần tử của A không phải là ước của không, xem IV, §… 0CLX
Hệ quả 4 Cho A là một k-đại số kiểu hữu hạn và cho p là một iđêan nguyên tố của A. 0CLY
Hệ quả 5 Cho A là một k-đại số kiểu hữu hạn, p một iđêan nguyên tố của A và (𝔭ᵢ)_i ∈ I là họ các iđêan nguyên tố cực tiểu của A được chứa trong p. Ta có: 0CLZ
Hệ quả 6 Cho A là một đại số trên k sinh hữu hạn không bằng 0, và cho n là một số nguyên geqslant 0. Các điều kiện sau là tương đương: 0CM0
Nhận xét 1 Theo hệ quả 5, các điều kiện a), b), c) của hệ quả 6 suy ra rằng ta có dimₚ(A) = dim(A) với mọi iđêan nguyên tố p của A. 0CM1
Mệnh đề 4 Cho A và B là hai đại số trên k sinh hữu hạn và ρ : A → B là một đồng cấu đại số. Giả sử rằng A là nguyên và A-môđun B là không xoắn, và ký hiệu K là trường các phân thức của A. Ta… 0CM2
Hệ quả Cho ρ : A → B là một đồng cấu đơn ánh của các đại số trên k sinh hữu hạn. Ta có dim(A) ≤ dim(B). 0CM3
Bổ đề 4 Cho A và B là hai đại số trên k nguyên, M là một A-môđun không xoắn, N là một B-môđun không xoắn. Nếu vành A ⊗ₖ B là nguyên, thì M ⊗ₖ N là một môđun không xoắn trên A ⊗ₖ B. 0CM4
Mệnh đề 5 Cho k' là một mở rộng của k, A là một đại số trên k kiểu hữu hạn và B là một đại số trên k' kiểu hữu hạn. 0CM5
Hệ quả Cho A là một đại số trên K sinh hữu hạn, k' là một mở rộng của k, và A' là đại số trên K A \otimesk k'. 0CM6
Nhận xét 2 Giả sử rằng mở rộng k' của k là radicial. Khi đó ánh xạ chính tắc f : Spec(A') → Spec(A) là một đồng phôi. 0CM7

§ 3. Chiều của các vành Noether

Mệnh đề 1 Cho A là một miền nguyên Noether, x là một phần tử khác không của A và p là một phần tử cực tiểu trong tập hợp các iđêan nguyên tố của A chứa x. Khi đó p có chiều cao 1. 0CMQ
Mệnh đề 2 Cho A là một vành Noether, m là một số nguyên dương và a là một iđêan được chứa trong căn của A và được sinh bởi m phần tử. Ta có 0CMR
Bổ đề 1 Cho A là một vành Noether, p₀ ⊂ ... ⊂ pₙ một chuỗi các iđêan nguyên tố của A có độ dài n geqslant 1, và x là một phần tử của pₙ. Tồn tại một chuỗi p'₀ ⊂ ... ⊂ p'ₙ với p'₀ = p₀, p'ₙ… 0CMS
Hệ quả 1 a) Mọi vành địa phương Noether đều hữu hạn chiều. Nói chung hơn, mọi vành nửa địa phương Noether khác không (II, § 3, No. 5, def. 4) đều hữu hạn chiều. b) Cho A là một vành Noether… 0CMT
Hệ quả 2 Cho A là một vành Noether địa phương. a) Cho x ∈ m_A. Khi đó dim(A/xA) bằng dim(A) hoặc bằng dim(A) - 1. Để có dim(A/xA) = dim(A) - 1, điều kiện cần và đủ là x không thuộc iđêan ng… 0CMU
Định nghĩa 1 Cho A là một vành địa phương Noether, M là một A-môđun sinh hữu hạn khác không và S là một tập con của iđêan cực đại m_A của A. Ta nói rằng S là cát tuyến đối với M nếu ta có 0CMV
Nhận xét 1 Từ các công thức (6) và (7) suy ra rằng S là cát tuyến đối với M khi và chỉ khi nó là cát tuyến đối với A/α, trong đó α là linh hóa tử của M. 2) Cho S và S’ là hai tập con rời nhau… 0CMW
Mệnh đề 3 Cho A là một vành địa phương Noether và M là một A-môđun hữu hạn khác không. Để một phần tử x của m_A là cát tuyến đối với M, điều kiện cần và đủ là nó không thuộc phần tử cực tiểu… 0CMZ
Hệ quả Mọi dãy các phần tử của m_A hoàn toàn cát tuyến đối với M (A, X, p. 157, Định nghĩa 2) đều là cát tuyến đối với M. Cho (x₁, ..., xᵣ) là một dãy các phần tử của m_A hoàn toàn cát tu… 0CN0
Nhận xét 4 Nói chung không đúng rằng một dãy cát tuyến đối với M thì hoàn toàn cát tuyến đối với M (p. 87, Bài tập 6). Chúng tôi sẽ nghiên cứu sau các môđun trên một vành địa phương Noether m… 0CN1
Định lý 1 Cho A là một vành địa phương Noether, M là một A-môđun hữu hạn khác không và S là một tập con của iđêan cực đại m_A của A. 0CN2
Hệ quả Chiều của M là số nhỏ nhất trong các số nguyên d geqslant 0 sao cho tồn tại một dãy (x₁, ..., x_d) các phần tử của m_A mà A-môđun M / ∑ᵢ₌₁ᵈ xᵢ M có độ dài hữu hạn. 0CN3
Bổ đề 2 Cho A là một vành địa phương Noether và q một iđêan của A. Các điều kiện sau là tương đương: 0CN4
Chú giải Chiều của một vành địa phương Noether A là số nhỏ nhất trong các số nguyên d ≥ 0 sao cho tồn tại một iđêan xác định của A được sinh bởi d phần tử. 0CN5
Mệnh đề 4 Cho X là một tập con đóng của V, và H₁, ..., Hₘ là các siêu mặt trong V. Đặt X' = X ∩ H₁ ∩ ... ∩ Hₘ. 0CN6
Hệ quả 1 Cho H là một siêu mặt khác rỗng trong V. Đối chiều của H trong V bằng 0 hoặc 1. 0CN7
Hệ quả 2 Cho X là một tập con đóng bất khả quy của V và H là một siêu mặt trong V. Chỉ có thể xảy ra ba trường hợp: 0CN8
Hệ quả 3 Nếu A là phân tích duy nhất (VII, § 3, No. 3, Mệnh đề 2), thì các iđêan nguyên tố có chiều cao 1 của A là các iđêan chính được sinh bởi các phần tử extremal của A. Nếu hơn nữa A là… 0CN9
Nhận xét 1 Giả sử A là một miền nguyên địa phương Noether chiều d; cho x là một phần tử khác không của mA và đặt H = V(x). Theo Hệ quả 2 của Prop. 4, mọi thành phần bất khả quy của H đều có đ… 0CNA
Nhận xét 2 Cho x₁, ..., xₙ là các phần tử của A, và đặt Hᵢ = V(xᵢ) với 1 ≤ i ≤ n. Giả sử tồn tại một A-môđun kiểu hữu hạn M có giá đỡ V = Spec(A), sao cho (x₁, ..., xₙ) là một dãy cát tuyến h… 0CNB
Nhận xét 3 Nếu iđêan α của vành Noether A được sinh bởi m phần tử, thì ta có ht(α) ≤ m. Điều này suy ra ngay từ Prop. 4. 0CNC
Mệnh đề 5 Cho A là một vành Noether và p ⊂ q là một dây chuyền không bão hòa các iđêan nguyên tố của A. Tập hợp E các iđêan nguyên tố r của A sao cho p ⊂ r ⊂ q là một dây chuyền thì là vô hạ… 0CND
Mệnh đề 6 Cho A là một vành Noether có chiều ≥ 2, và h là một số nguyên sao cho 0 < h < dim(A). 0CNE
Mệnh đề 7 Cho ρ : A → B là một đồng cấu địa phương của các vành địa phương Noether, M là một A-môđun sinh hữu hạn và N là một B-môđun sinh hữu hạn. Đặt overlineB = B ⊗_A κ_A = B/ρ(m_A).B và… 0CNF
Hệ quả 1 Cho ρ : A → B là một đồng cấu địa phương của các vành địa phương Noether. 0CNG
Hệ quả 2 Cho ρ : A → B là một đồng cấu của các vành Noether. Khi đó 0CNH
Hệ quả 3 Cho A là một vành Noether và n là một số nguyên geqslant 0. Khi đó ta có 0CNI
Hệ quả 4 Cho ρ : A → B là một đồng cấu của các vành Noether, và a là một iđêan của A. Ta có bất đẳng thức 0CNJ
Mệnh đề 8 Cho A là một vành Noether, a là một iđêan của A, M là một A-môđun sinh hữu hạn, hatA và hatM lần lượt là các hoàn thành tách của A và M đối với tôpô a-adic. 0CNK
Hệ quả 1 Cho A là một vành Zariski (III, § 3, No. 3, Định nghĩa 2). Với mọi A-môđun M kiểu hữu hạn, ta có dim_hatA(hatM) = dim_A(M). 0CNL
Hệ quả 2 Cho A là một vành Noether, a là một iđêan của A, và hatA là bổ sung tách của A đối với tôpô a-adic. Ta có dim(hatA) leqslant dim(A), với đẳng thức khi A là địa phương và a phân biệ… 0CNM
Hệ quả 3 Cho A là một vành Noether và n là một số nguyên geqslant 0. Ta có 0CNN
Nhận xét 1 Cho A là một vành Noether và a là một iđêan của A. Giả sử rằng A tách biệt và đầy đủ đối với tôpô a-adic, và xét vành R = A X₁, ..., Xₙ các chuỗi lũy thừa hình thức hạn chế (III, §… 0CNO
Nhận xét 2 Cho A là một vành địa phương Noether, được đồng nhất với một vành con của đầy đủ hóa hatA của nó, và B là một vành con của hatA chứa A. Giả sử rằng B là địa phương Noether và ta có… 0CNP
Mệnh đề 9 Cho A là một vành Noether, M là một A-môđun sinh hữu hạn, a là một tập con của A ổn định đối với phép cộng và phép nhân, q₁, ..., qₘ là các iđêan nguyên tố của A không chứa a, và r… 0CNQ
Hệ quả 1 Cho A là một vành Noether, M là một A-môđun hữu hạn sinh, p₁, ..., pₙ, q₁, ..., qₘ là các iđêan nguyên tố của A và r là một số nguyên geqslant 1. Giả sử rằng ta có pᵢ not⊂ qⱼ với 1… 0CNR
Hệ quả 2 Cho A là một vành địa phương Noether, M là một A-môđun hữu hạn sinh khác không và α là một tập con của m_A, ổn định đối với phép cộng và phép nhân và sao cho long(M/α M) < +∞. Tồn… 0CNS

§ 4. Chuỗi hilbert-samuel

Nhận xét Vành A((T)) được đồng nhất một cách tự nhiên với vành phân thức A[[T]]_T của vành A[[T]] được xác định bởi tập hợp nhân tạo bởi các lũy thừa của T. 0CO0
Bổ đề 1 Phần tử 1 - T của Z((T)) là khả nghịch. Với mọi số nguyên r > 0 ta có 0CO1
Bổ đề 2 a) Cho F là một phần tử khác không của Z((T)) sao cho tồn tại r ∈ Z, với (1-T)ʳ F ∈ Z[T, T⁻¹]; khi đó F có thể được viết duy nhất dưới dạng F = (1-T)⁻ᵈ.Q, trong đó Q ∈ Z[T, T⁻¹], Q… 0CO2
Định lý 1 Phần tử Q_M của Z((T)) thuộc Z[T, T⁻¹]. 0CO3
Ví dụ 1 Giả sử H₀ là Artin và lấy M = H. Khi đó, với các ký hiệu trước đây, ta có R = 0 và S = H', do đó theo (5), Q_H = Q_H'; vì ta có Q_H₀ = long(H₀), suy ra bằng quy nạp rằng Q_H = long… 0CO4
Hệ quả a) Nếu r = 0, thì ta có long_H₀(M) = c_M. 0CO5
Nhận xét 1 Số nguyên c_M là dương theo bổ đề 2. Có thể có M ≠ 0 và c_M = 0 (x. mệnh đề 2). 0CO6
Nhận xét 2 Cho 0 → M' → M → M'' → 0 là một dãy khớp các H-môđun phân bậc và các đồng cấu bậc 0 sao cho M là kiểu hữu hạn trên H và Mₙ có độ dài hữu hạn trên H₀ với mỗi n. Khi đó, với mỗi n ∈… 0CO7
Nhận xét 3 Cho M(p) là môđun suy ra từ M bằng cách tịnh tiến phân bậc đi p (A, II, p. 165, ví dụ 3). Vì ta có M(p)ₙ = Mₚ₊ₙ, nên ta có P_M(p) = T⁻ᵖP_M, Q_M(p) = T⁻ᵖQ_M và c_M(p) = c_M. 0CO8
Ví dụ 2 Giả sử H₀ là Artin, và cho M là một H-môđun phân bậc tự do được sinh bởi s phần tử thuần nhất, độc lập tuyến tính, có các bậc tương ứng δ₁, ..., δₛ. Khi đó M đẳng cấu với H(-δ₁) ⊕… 0CO9
Ví dụ 3 Lại giả sử H₀ là Artin; cho M là một H-môđun phân bậc, và giả sử rằng tồn tại một dãy khớp các H-môđun phân bậc và các đồng cấu bậc 0 0 → Lₙ → Lₙ₋₁ → ⋯ → L₀ → M → 0, trong đó, với… 0COA
Nhận xét 4 Có thể chứng minh (p. 88, bài tập 4) rằng dưới các giả thiết của đ. lý 1, các H₀-môđun Torⱼᴴ(H₀, M) có độ dài hữu hạn, bằng không với j > r, và ta có c_M = ∑ⱼ₌₀ʳ (-1)ʲ long_H₀(Torⱼ… 0COB
Mệnh đề 1 Cho M là một H-môđun phân bậc. Giả sử rằng M được sinh bởi M₀ và M₀ là một H₀-môđun có độ dài hữu hạn. Khi đó ta có P_M ≤ (1 - T)⁻ʳ long_H₀(M₀), c_M ≤ long_H₀(M₀). Hơn nữa, các điề… 0COC
Nhận xét 5 Theo A, X, p. 160, đ. lý 1, điều kiện (iii) có nghĩa là (X₁, ..., Xᵣ) là một dãy hoàn toàn cát tuyến đối với H-môđun M. 0COD
Mệnh đề 2 Giả sử H₀ là một trường, và cho M là một H-môđun phân bậc sinh hữu hạn. Gọi K là trường phân thức của H. Khi đó c_M bằng hạng của H-môđun M, nghĩa là bằng chiều của không gian vect… 0COE
Nhận xét 6 Do đó, dưới các giả thiết của Mệnh đề 2, ta có c_M = 0 khi và chỉ khi M là một H-môđun xoắn, hay cũng tương đương khi dim_H(M) < r (§ 1, No. 5, ví dụ 4). 0COF
Bổ đề 3 Nếu F và F' là hai lọc q-tốt trên M, thì tồn tại một số nguyên m sao cho F'ₙ ⊂ Fₙ₋ₘ với mọi n ∈ Z. Thật vậy, tồn tại n₂ sao cho F'ₙ ⊂ q^n-n₂M với mọi n, do đó F'ₙ ⊂ F_n-(n₂-n₁) với… 0COG
Bổ đề 4 Cho F là một lọc q-tốt trên M. Nếu M/qM có độ dài hữu hạn, thì M/Fₙ₊₁ và Fₙ/Fₙ₊₁ có độ dài hữu hạn với mọi n ∈ Z. Với ký hiệu của (7), ta có long(M/Fₙ₊₁) ≤ long(M/q^n-n₁+1M) và chỉ… 0COH
Định nghĩa 1 Chuỗi H_M,F được gọi là chuỗi Hilbert-Samuel của A-môđun M (đối với lọc q-tốt F). 0COI
Mệnh đề 3 a) Nếu F là một lọc q-tốt trên M, ta có 0COJ
Định lý 2 Cho A là một vành Noether, q là một iđêan của A, M là một A-môđun hữu hạn sinh sao cho M/qM khác không và có độ dài hữu hạn, và F là một lọc q-tốt trên M. 0COK
Nhận xét 1 Với ký hiệu của a), viết R = ∑_i ∈ Z aᵢ Tⁱ, và giả sử d > 0. Theo No. 1, quan hệ H_M,F = (1 - T)⁻ᵈ R cũng có thể viết thành (11) long_A(Fₙ/Fₙ₊₁) = ∑_i ∈ Z aᵢ binomn - i + d - 1d -… 0COL
Nhận xét 2 Nói rằng M/qM có độ dài hữu hạn nghĩa là Supp(M/qM) = Supp(M) ∩ V(q) gồm các iđêan cực đại (IV, § 2, No. 5, Mệnh đề 7). Ta sẽ thấy dưới đây (No. 4, hệ quả của Định lý 3) rằng d_q(M… 0COM
Hệ quả Cho A là một vành Noether, q là một iđêan của A, M là một A-môđun hữu hạn sinh sao cho M/qM có độ dài hữu hạn, và F là một filtration q-tốt trên M. a) Để có d_q(M) ≤ 0, điều kiện c… 0CON
Nhận xét 3 Giả sử q được chứa trong căn của A. Khi đó, theo bổ đề Nakayama, dãy (q^nM) dừng nếu và chỉ nếu ta có q^nM = 0 với n đủ lớn. Khi đó suy ra từ phần a) của hệ quả rằng ta có dq(M) \l… 0COO
Mệnh đề 4 Cho A là một vành Noether, x1, ..., xr là các phần tử của A, x là iđêan do chúng sinh, và M là một A-môđun hữu hạn sinh sao cho M/xM khác không và có độ dài hữu hạn. a) Ta có dx(M)… 0COP
Mệnh đề 5 Cho 0 \to M' \to M \to M'' \to 0 là một dãy khớp của các môđun hữu hạn sinh trên một vành Noether A, và q là một iđêan của A. a) Để M/qM có độ dài hữu hạn, điều kiện cần và đủ là M… 0COQ
Định lý 3 Cho A là một vành địa phương Noether, q là một iđêan của A phân biệt với A, và M là một A-môđun hữu hạn sinh sao cho M/qM có độ dài hữu hạn. Khi đó số nguyên d_q(M) là chiều của A-… 0COR
Hệ quả Cho A là một vành Noether, M là một A-môđun sinh hữu hạn và q là một iđêan của A sao cho M/qM có độ dài hữu hạn. Khi đó d_q(M) là cận trên bé nhất của các số chiều dim_Aₘ(Mₘ), khi… 0COS
Nhận xét 1 Ta cũng có d_q(M) = sup_m ∈ V(q) dim(Mₘ), nghĩa là, d_q(M) = dim(hatM), trong đó hatM là bổ sung của M đối với tôpô q-adic (§ 3, No. 4, prop. 8). 0COT
Nhận xét 2 Giả sử q được chứa trong căn của A; khi đó dim(hatM) = dim(M) (loc. cit., cor. 1), do đó d(M) = dim(M). 0COU
Bổ đề 5 Cho A là một vành, M là một A-môđun và (Pₙ), (Qₙ) là hai lọc giảm trên M gồm các môđun con. Giả sử rằng ta có Pₙ ⊃ Qₙ và long_A(Pₙ/Qₙ) < +∞ với mọi n ∈ Z và rằng tồn tại một số ngu… 0COV
Bổ đề 6 Cho A là một vành, M một A-môđun và (Fₙ) một lọc giảm trên M gồm các môđun con; giả sử rằng tồn tại một số nguyên n₁ sao cho F_n₁ = M. Gọi f là một tự đồng cấu của M, M' là hạt nhâ… 0COW
Bổ đề 7 Giữ lại các ký hiệu của bổ đề 6. 0COX
Mệnh đề 6 Cho A là một vành Noether, M là một A-môđun hữu hạn sinh và q là một iđêan của A sao cho M/qM có độ dài hữu hạn. Cho F là một lọc q-tốt của M, và gr(A) = ⨁_n ≥ 0 (qⁿ/qⁿ⁺¹) là vành… 0COY

§ 5. Vành địa phương chính quy

Định nghĩa 1 Vành địa phương Noether A được gọi là chính quy nếu ta có dim(A) = [𝔪_A/𝔪_A² : κ_A]. Khi đó, một hệ tọa độ của A là bất kỳ họ nào gồm các phần tử của 𝔪_A mà các lớp của chúng modul… 0CPB
Ví dụ 1 Các vành địa phương Noether chính quy có chiều 0 (resp. 1) là các trường (resp. các vành định giá rời rạc) (VI, § 3, No. 6, Mệnh đề 9 và Hệ quả 1 của Định lý 1 dưới đây). Cho A là… 0CPC
Ví dụ 2 Cho k là một trường và cho n là một số nguyên dương. Vành chuỗi lũy thừa hình thức k[[X₁, ..., Xₙ]] là một vành địa phương Noether chính quy có chiều n (§ 3, No. 4, Hệ quả 3 của Mệ… 0CPD
Ví dụ 3 Cho A là một vành địa phương Noether chính quy đầy đủ có chiều r. Vành A X₁, ..., Xₙ các chuỗi lũy thừa hình thức hạn chế là một vành địa phương Noether chính quy có chiều r + n (§… 0CPE
Ví dụ 4 Cho k là một trường định giá đầy đủ rời rạc. Vành các chuỗi lũy thừa hình thức theo n biến hội tụ trong một lân cận của 0 trong kⁿ là một vành địa phương chính quy Noether chiều n… 0CPF
Ví dụ 5 Cho k là một trường, A một k-đại số nguyên hữu hạn sinh, và m một iđêan cực đại của A. Vành địa phương Noether Aₘ là chính quy khi và chỉ khi có dim(A) = [m/m² : A/m]; thật vậy, ta… 0CPG
Ví dụ 6 Cho X là một đa tạp đại số trên một trường hoàn hảo k. Khi đó X không kỳ dị tại một điểm x khi và chỉ khi vành địa phương của X tại x là chính quy. 0CPH
Ví dụ 7 Cho A là một vành địa phương chính quy Noether. Ta sẽ thấy sau rằng vành địa phương Noether Aₚ là chính quy với mọi iđêan nguyên tố p của A. 0CPI
Mệnh đề 1 Cho A và B là các vành địa phương Noether và ρ : A → B một đồng cấu địa phương làm cho B thành một A-môđun phẳng. Giả sử rằng có mB = B.\rho(mA). Khi đó dim(A) = dim(B) và B là chí… 0CPJ
Hệ quả Một vành địa phương Noether A là chính quy khi và chỉ khi hoàn thành hatA của nó là như vậy. 0CPK
Định lý 1 Cho A là một vành địa phương Noether. Các điều kiện sau là tương đương: (i) A là chính quy. (ii) Iđêan m_A được sinh bởi một tập con cát tuyến đối với A (§ 3, No. 2, Định nghĩa 1)… 0CPL
Hệ quả 1 Mọi vành địa phương Noether chính quy đều nguyên đóng, và đặc biệt là một miền nguyên. 0CPM
Hệ quả 2 Cho A và B là các vành địa phương Noether và σ là một đồng cấu địa phương từ B vào A. Giả sử rằng A là chính quy và B đầy đủ. Điều kiện cần và đủ để σ là song ánh là nó cảm sinh cá… 0CPN
Hệ quả 3 Cho k là một trường và A là một k-đại số địa phương Noether mà trường thặng dư bằng k. Điều kiện cần và đủ để A là chính quy là hoàn thành của nó hatA đẳng cấu với một k-đại số chu… 0CPO
Mệnh đề 2 Cho A là một vành địa phương Noether, x = (x₁, ..., xᵣ) một dãy các phần tử của m_A và x là iđêan sinh bởi x. Các điều kiện sau là tương đương: 0CPP
Hệ quả 1 Cho A là một vành địa phương Noether, và t là một phần tử của m_A. Các điều kiện sau là tương đương: 0CPQ
Hệ quả 2 Cho A là một vành địa phương Noether chính quy, và q là một iđêan của A. Khi đó A/q là chính quy khi và chỉ khi q được sinh bởi một tập con của một hệ tọa độ của A. 0CPR
Ví dụ Cho k là một trường, A = k[[X₁, ..., Xₙ]] và q là một iđêan của A, khác A. Để A/q là chính quy, điều kiện cần và đủ là có thể tìm được một số nguyên r geqslant 0 và các phần tử F₁… 0CPS
Nhận xét Cho A là một vành địa phương Noether chính quy và q ⊂ m_A là một iđêan của A sao cho A/q là chính quy. Cho (x₁, ..., xᵣ) là một dãy các phần tử của q mà các lớp modulo m_A² của chú… 0CPT
Định nghĩa 2 Cho A là một vành, p là một iđêan nguyên tố của A, và P là một đa thức trong A[T]. Ta nói rằng P là một đa thức Eisenstein đối với p nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: a) P là đơn… 0CPU
Mệnh đề 3 Cho A là một vành, p là một iđêan nguyên tố của A và P ∈ A[T] là một đa thức Eisenstein đối với p. a) Không tồn tại một phân tích dạng P = P₁ P₂ trong đó P₁ và P₂ là hai đa thức đơ… 0CPV
Mệnh đề 4 a) Vành B là địa phương và Noether, với iđêan cực đại 0CPW
Hệ quả Cho A là một vành địa phương chính quy Noether và cho P ∈ A[T] là một đa thức Eisenstein đối với m_A. Vành B = A[T]/(P) là một vành địa phương chính quy Noether, có cùng chiều với… 0CPX
Mệnh đề 5 Cho A là một miền nguyên, với trường phân thức K, và cho L là một mở rộng đại số bậc hữu hạn của K. Ta ký hiệu bởi B bao đóng nguyên của A trong L và bởi p một iđêan nguyên tố của… 0CPY
Hệ quả Giả sử rằng Ap là một vành định giá rời rạc. Khi đó Bq là một vành định giá rời rạc, t là một phần tử chuẩn hóa của Bq, và ta có 0CPZ
Ví dụ 1 Đặt A = \mathbf{Z} và L = \mathbf{Q}(p^{1/d}), trong đó p là một số nguyên tố và d là một số nguyên \geqslant 2. Ký hiệu bởi B bao đóng nguyên của \mathbf{Z} trong L. Vì đa thức T^… 0CQ0
Ví dụ 2 Đặt A = \mathbf{Z} và L = R{pf}(\mathbf{Q}) trong đó p là một số nguyên tố và f là một số nguyên \geqslant 1 (x. A, V, p. 78). Khi đó L = \mathbf{Q}(\zeta) với \zeta = \exp(2\pi i/… 0CQ1
Mệnh đề 6 Cho A là một vành địa phương Noether chính quy đầy đủ, mà trường thặng dư κ_A có đặc số 0. Đặt n = dim(A). Khi đó A đẳng cấu với vành các chuỗi lũy thừa hình thức κ_A[[X₁, ..., Xₙ]… 0CQ2
Ví dụ 3 Cho k là một trường có đặc số p ≠ 0 và cho n là một số nguyên dương. Vành các chuỗi hình thức k[[X₁, ..., Xₙ]] là địa phương Noether chính quy đầy đủ, có chiều n, và k là một vành… 0CQ3
Ví dụ 4 Cho V là một vành định giá rời rạc đầy đủ và cho n là một số nguyên dương. Vành các chuỗi hình thức Vₙ = V[[X₁, ..., Xₙ]] là địa phương Noether chính quy đầy đủ, có chiều n + 1, và… 0CQ4
Ví dụ 5 Giữ các ký hiệu trước đó. Một đa thức P trong Vₙ[T] có bậc d ≥ 2 được gọi là đặc biệt nếu nó có dạng Tᵈ + ∑ᵢ₌₁ᵈ aᵢ Tᵈ⁻ⁱ, trong đó a₁, ..., a_d-1 thuộc m_Vₙ, a_d thuộc m_V + m_Vₙ² n… 0CQ5
Định lý 2 Cho A là một vành Noether địa phương chính quy đầy đủ mà trường thặng dư có đặc số ≠ 0, và cho V là một vành con Cohen của A. Đặt n = dim(A). 0CQ6

§ 6. Chiều của các vành phân bậc

Mệnh đề 1 a) Các iđêan S⁻¹H_≥ n tạo thành một phép lọc đầy đủ và tách được của vành S⁻¹H. 0CR3
Nhận xét 1 Một phần tử h/s của S⁻¹H với h ∈ H, s ∈ S, là khả nghịch khi và chỉ khi thành phần có bậc 0 của h là khả nghịch trong H₀. Do đó, nếu vành H₀ là địa phương, vành S⁻¹H là địa phương… 0CR4
Nhận xét 2 Giả sử rằng H được sinh bởi H₀ và H₁; khi đó với mọi n, ta có Hₙ₊₁ = H₁.Hₙ, do đó H_≥ n+1 = H₁.H_≥ n và S⁻¹H_≥ n+1 = H₁.S⁻¹H_≥ n. Suy ra rằng phép lọc (S⁻¹H_≥ n) của S⁻¹H là phép l… 0CR5
Ví dụ 1 \ Cho p là một iđêan nguyên tố phân bậc của C[X₀, ..., Xₙ] khác với iđêan sinh bởi các Xᵢ; cho V là đa tạp con đại số của Pⁿ(C) được xác định bởi p và C là đa tạp con đại số của Cⁿ… 0CR6
Mệnh đề 2 a) Ta có dim_gr(H) ≤ dim(S⁻¹H) ≤ dim(H). b) Với mọi iđêan nguyên tố phân bậc p của H, ta có ht_gr(p) ≤ ht(S⁻¹p) = ht(p). 0CR8
Bổ đề 1 a) Nếu p là một iđêan nguyên tố của H, thì pᵍʳ là một iđêan nguyên tố. 0CR9
Bổ đề 2 Cho p và q là các iđêan nguyên tố của H sao cho q ⊂ p và q ≠ p. Nếu qᵍʳ = pᵍʳ, thì q là phân bậc, p không phải là phân bậc, và ht(p/q) = 1. 0CRA
Mệnh đề 3 Cho p là một iđêan nguyên tố của H. Nếu p ≠ pᵍʳ, thì ta có ht(pᵍʳ) = ht(p) - 1. 0CRB
Định lý 1 Giả sử rằng H là Noether. 0CRC
Nhận xét 2 Tồn tại các vành phân bậc không Noether H sao cho dimgr(H) < dim(H) (p. 99, Bài tập 1). 0CRD
Bổ đề 3 Giả sử rằng H được sinh bởi H₀ ∪ H₁ và M được sinh bởi ⨁_i ≤ n₀ Mᵢ với một số nguyên n₀ thích hợp. Khi đó lọc (S⁻¹M_≥ n) trên S⁻¹M là tốt đối với iđêan S⁻¹H_≥ 1 của S⁻¹H. 0CRE
Mệnh đề 4 Giả sử rằng H là Noether và M sinh hữu hạn. Khi đó dim_H(M) = dim_S⁻¹H(S⁻¹M). 0CRF
Mệnh đề 5 Giả sử H₀ địa phương và Artin, H được sinh bởi H₀ ∪ H₁, H₁ là một H₀-môđun hữu hạn sinh, M khác không và là một H-môđun hữu hạn sinh. Khi đó Mₙ là một H₀-môđun có độ dài hữu hạn vớ… 0CRG
Nhận xét Ngoại trừ việc xác định số nguyên d, mệnh đề 5 suy ra trực tiếp từ Định lý 1 của § 4, No. 2. 0CRH
Hệ quả Cho A là một vành địa phương Noether và q là một iđêan định nghĩa của A. Khi đó ta có dim(A) = dim(gr_q(A)). 0CRI
Mệnh đề 6 Giả sử H₀ địa phương và Artin, H sinh hữu hạn như một H₀-đại số và M sinh hữu hạn như một H-môđun. 0CRJ
Bổ đề 4 Cho b là một phần tử của H, thuần nhất có bậc > 0, và thuộc không một phần tử cực tiểu p nào của Supp(M) sao cho dim(H/p) = dim_H(M). Khi đó dim_H(M/bM) = dim_H(M) - 1. 0CRK
Hệ quả 1 Giả sử H₀ là một trường và H là một đại số trên H₀ sinh hữu hạn. Đặt n = dim(H). Tồn tại các phần tử thuần nhất a₁, ..., aₙ của H, tất cả cùng bậc > 0, sao cho đồng cấu H₀-đại số φ… 0CRL
Nhận xét Cho (h₁, ..., hᵣ) là một hệ sinh hữu hạn của không gian vectơ H₁ trên H₀. Với λ = (λ₁, ..., λᵣ) ∈ H₀ʳ, đặt h_λ = λ₁ h₁ + ⋯ + λᵣ hᵣ. Các chứng minh của Mệnh đề 6 và Hệ quả 1 kéo the… 0CRM
Hệ quả 2 Cho A là một vành địa phương Noether và n ∈ N. Để có dim(A) ≥ n, điều kiện cần và đủ là với mọi số nguyên r ≥ 0, ta có [m_Aʳ/m_Aʳ⁺¹ : κ_A] ≥ binomn+r-1n-1, ( resp. long_A(A/m_Aʳ⁺¹)… 0CRN
Bổ đề 5 Cho A là một vành, r là căn của nó, R = ⨁_i ∈ Z Rᵢ là một đại số phân bậc trên A, M = ⨁_i ∈ Z Mᵢ là một môđun R phân bậc. Giả sử rằng mỗi Mᵢ là một A-môđun sinh hữu hạn và rằng M/r… 0CRO
Bổ đề 6 Cho ρ : B → C là một đồng cấu và S là một tập con nhân của B. Giả sử rằng C là một B-đại số kiểu hữu hạn, và rằng S⁻¹C là một S⁻¹B-đại số hữu hạn. Khi đó tồn tại f ∈ S sao cho C_f… 0CRP
Mệnh đề 7 Giả sử rằng H là một H₀-đại số kiểu hữu hạn. Khi đó hàm p ↦ dim(H ⊗_H₀ κ(p)) là nửa liên tục trên trên Spec(H₀). 0CRQ
Nhận xét 1 \ Trong hình học đại số, Mệnh đề 7 kéo theo rằng chiều của các thớ của một cấu xạ xạ ảnh của các đa tạp đại số là nửa liên tục trên. \ 2) Ta sẽ thấy sau này rằng nếu ρ : A → B là m… 0CRR
Mệnh đề 8 a) Ta có dim(H) ≤ [H₊/H₊² : H₀]. b) Các điều kiện sau là tương đương: (i) dim(H) = [H₊/H₊² : H₀]; (ii) vành địa phương Noether S⁻¹H là chính quy; (iii) H được sinh như một đại số H… 0CRT
Nhận xét 1 Với ký hiệu của c, gọi dᵢ là bậc của aᵢ (1 ≤ i ≤ n). Khi đó chuỗi Poincaré P_H = ∑_n ∈ Z [Hₙ : H₀]. Tⁿ bằng ∏ᵢ (1 - T^dᵢ)⁻¹ (§ 4, No. 2, ví dụ 1). Do đó, nếu H là một đại số H₀-phâ… 0CRU
Nhận xét 2 Ngược lại, việc tồn tại các số nguyên dᵢ > 0 sao cho P_H = ∏ᵢ (1 - T^dᵢ)⁻¹ không kéo theo rằng H là một đại số đa thức phân bậc; chẳng hạn, nếu H được sinh bởi một phần tử X có bậc… 0CRV

§ 7. Bội số

Định nghĩa 1 Số nguyên e_q(M) được gọi là bội số của A-môđun M đối với iđêan q. 0CS8
Nhận xét 1 Nếu q’ là một iđêan của A được chứa trong căn của A và chứa q, thì ta có e_q'(M) leqslant e_q(M) và, nếu lọc q’-adic của M là q-tốt, thì ta có e_q'(M) = e_q(M) (§ 4, No. 3, th. 2)… 0CS9
Mệnh đề 1 Cho hatA và hatM là các hoàn thành của A và M đối với các tôpô q-adic của chúng; khi đó e_qᴬ(M) = e_qhatA(hatM). 0CSD
Mệnh đề 2 Giả sử rằng A là địa phương chính quy (§ 5, No. 1, def. 1); ta có e(A) = 1. Điều này suy ra từ th. 1 của § 5, No. 2. 0CSE
Nhận xét 5 Có thể xảy ra trường hợp e(A) = 1 mà A không chính quy (p. 104, exerc. 5). Thực vậy, một vành địa phương Noether A là chính quy khi và chỉ khi hatA là nguyên và ta có e(A) = 1 (p… 0CSF
Ví dụ Theo định nghĩa ta có e_q,r(M) = rᵈ e_q(M) trong đó d = dim_A(M). Do đó, nếu A là địa phương chính quy, thì ta có e_m_Aʳ(A) = rᵈ. Ví dụ, nếu A là một vành định giá rời rạc, thì ta… 0CSG
Mệnh đề 3 Cho M là một A-môđun hữu hạn sinh, có chiều d ≥ 0. Cho Φ là tập hợp các phần tử cực tiểu p của Supp(M) sao cho dim(A/p) = d. Cho q là một iđêan của A, được chứa trong căn của A, và… 0CSH
Hệ quả Giả sử A là nửa địa phương và cho q là một iđêan định nghĩa của A. a) Ta có e_q(A) = ∑ₚ e_q(A/p), trong đó p chạy qua tập hợp các iđêan nguyên tố cực tiểu của A sao cho dim(A/p) =… 0CSI
Mệnh đề 4 Cho ρ : A → B là một đồng cấu địa phương của các vành địa phương Noether, và cho N là một B-môđun hữu hạn sinh, phẳng trên A, và sao cho N ⊗A κA là một B-môđun có độ dài hữu hạn. N… 0CSJ
Hệ quả Giả sử rằng B phẳng trên A và ρ(mA) B = mB. Khi đó 0CSK
Ví dụ \ Cho X là một đa tạp đại số phức, O_X,x là vành địa phương của X tại một điểm hữu tỉ x, Xᵃⁿ là không gian giải tích liên kết với X; lại ký hiệu bởi x điểm của Xᵃⁿ tương ứng với x… 0CSL
Mệnh đề 5 Giả sử A là nửa địa phương, và gọi ρ : A → B là một đồng cấu vành làm cho B là một A-môđun hữu hạn sinh. Gọi N là một B-môđun hữu hạn sinh khác không, và q là một iđêan của A được… 0CSM
Hệ quả Nếu [B/mᵢ : A/ρ⁻¹(mᵢ)] = 1 với mọi i, ta có e_qᴬ(N) = e_qBᴮ(N). 0CSN
Bổ đề 1 Gọi ρ : A → B là một đồng cấu vành, và gọi p là một iđêan nguyên tố của A. Xét hai tính chất sau: (i) đồng cấu chính tắc tildeρ từ Aₚ vào Aₚ ⊗_A B là song ánh; (ii) tồn tại duy nhấ… 0CSO
Bổ đề 2 Giả sử rằng A là nửa địa phương; gọi q là một iđêan định nghĩa của A, và gọi ρ : A → B là một đồng cấu vành biến B thành một A-môđun sinh hữu hạn. Giả sử rằng, với mọi iđêan nguyên… 0CSP
Mệnh đề 6 Giả sử A là nửa địa phương và rút gọn; gọi q là một iđêan định nghĩa của A; gọi A' là vành phân thức toàn phần của A, và gọi B là một A-đại số con hữu hạn của A'. Khi đó B là nửa đ… 0CSQ
Ví dụ Cho k là một trường có đặc số ≠ 2 và lấy A là vành địa phương k[[X, Y]]/(X² + Y²) với trường thặng dư k. Lấy B = k[[X, T]]/(T² + 1) trong đó T = Y/X. Phân biệt hai trường hợp: nếu… 0CSR
Mệnh đề 7 Giả sử A địa phương. Gọi s là một số nguyên ≥ 1 và, với 1 ≤ i ≤ s, gọi δᵢ là một số nguyên > 0, xᵢ là một phần tử của m_A^δᵢ, và ξᵢ là lớp của nó trong m_A^δᵢ/m_A^δᵢ+1. Giả sử rằng… 0CSS
Nhận xét Ngược lại, có thể chứng minh (xem p. 103, bài tập 4) rằng nếu A là chính quy và e(A/x) = δ₁ ... δₛ, thì dãy (ξ₁, ..., ξₛ) là hoàn toàn cát tuyến. 0CST
Ví dụ Cho A là một vành chuỗi hình thức k[[X₁, ..., Xₙ]] trên một trường k; cho F₁, ..., Fₛ là các phần tử của A, a là iđêan do chúng sinh ra, và B = A/a. Cho P₁, ..., Pₛ ∈ k[X₁, ..., Xₙ… 0CSU
Mệnh đề 8 Cho δ > 0 là một số nguyên, x là một phần tử của q^δ, ξ là lớp của nó trong gr_δ(A) = q^δ/q^δ+1 và φ là phép nhân bởi ξ trong gr(A)-môđun gr(M). 0CSV
Bổ đề 3 Cho R là một vành phân bậc Noether với các bậc ≥ 0, E là một R-môđun phân bậc kiểu hữu hạn sao cho Eₙ là một R₀-môđun có độ dài hữu hạn với mọi n ∈ Z. Các điều kiện sau là tương đư… 0CSW
Mệnh đề 9 Gọi p₁, ..., pᵣ là những iđêan nguyên tố của vành phân bậc gr(A) = ⨁ₙ (qⁿ/qⁿ⁺¹) liên kết với môđun phân bậc gr(M) = ⨁ₙ (qⁿ M/qⁿ⁺¹ M) và không chứa gr₁(A) = q/q². Gọi δ là một số ng… 0CSX
Định nghĩa 2 Cho A là một vành Noether, q là một iđêan của A được chứa trong căn của A, và M là một A-môđun hữu hạn sinh sao cho M/qM có độ dài hữu hạn. Một phần tử x của A được gọi là hời hợt… 0CSY
Nhận xét 1 Cho δ là một số nguyên > 0. Đôi khi người ta nói rằng một phần tử x của A là hời hợt cấp δ đối với M tương đối với q nếu x ∈ q^δ, và nếu, với mọi n đủ lớn, ánh xạ qⁿ M/qⁿ⁺¹ M → q^n… 0CSZ
Định lý 1 Cho A là một vành Noether, q một iđêan của A được chứa trong căn của A và M một A-môđun sinh hữu hạn sao cho M/qM có độ dài hữu hạn. Cho x₁, ..., xₘ là một dãy hữu hạn các phần tử… 0CT3
Hệ quả Giả sử rằng A là địa phương, với trường thặng dư vô hạn, và đặt d = dim_A(M). Tồn tại một dãy x₁, ..., x_d các phần tử của q sao cho, khi đặt x = Ax₁ + ⋯ + Ax_d, ta có 0CT4
Nhận xét 5 Trong tình huống của hệ quả trước, ta có 0CT5

IX. Các vành địa phương Noether đầy đủ

§ 1. Vectơ Witt

Mệnh đề 1 Cho A là một vành lọc và (Jₙ)_n ∈ Z là phép lọc của nó. Giả sử rằng có J₀ = A và p.1_A ∈ J₁. Cho m và n là các số nguyên sao cho m geqslant 1 và n geqslant 0, và cho a₀, ..., aₙ, b… 0CTV
Bổ đề 1 Nếu x và y là hai phần tử của A đồng dư modulo Jₘ, ta có x^pⁿ ≡ y^pⁿ mod Jₘ₊ₙ . Bằng quy nạp theo n, ta quy về trường hợp n = 1. Gọi P là đa thức ∑ᵢ₌₀ᵖ⁻¹ Xⁱ Y^p-1-i của Z[X, Y]. Th… 0CTW
Bổ đề 2 Cho A là một vành được trang bị một tự đồng cấu σ thỏa mãn σ(a) ≡ aᵖ mod. p · A đối với mọi a ∈ A. Cho n geqslant 1 là một số nguyên và cho a₀, ..., aₙ₋₁ là các phần tử của A. Đặt… 0CTX
Mệnh đề 2 Cho A là một vành. 0CTY
Nhận xét Cho a = (aₙ)_n ∈ N và u = (uₙ)_n ∈ N là các phần tử của Aᴺ sao cho u = Φ_A(a), và cho m là một số nguyên geqslant 0. Từ (10) suy ra các khẳng định sau: 0CTZ
Ví dụ 1 Ta có 0CU0
Ví dụ 2 Ta có 0CU1
Ví dụ 3 Khi p ≠ 2, ta có Iₙ = - Xₙ. Với p = 2, ta có 0CU2
Ví dụ 4 Ta có 0CU3
Nhận xét Cho J là tập hợp các số nguyên j ≥ 1. Với mỗi phần tử j của J, định nghĩa đa thức φⱼ của Z[(Xⱼ)_j ∈ J] bởi công thức 0CU4
Bổ đề 3 Cho A là một vành. Tồn tại một đồng cấu toàn ánh của các vành ρ : B → A, trong đó B là một vành thỏa mãn các điều kiện sau: p không là một ước của 0 trong B, và tồn tại một tự đồng… 0CU5
Định lý 1 a) Cho A là một vành (giao hoán). Được trang bị phép cộng S_A và phép nhân P_A, W(A) là một vành (giao hoán). Phần tử đơn vị đối với phép cộng là dãy 0_A mà tất cả các số hạng của… 0CU6
Định nghĩa 1 Cho A là một vành. Vành W(A) được gọi là vành các vectơ Witt với các hệ số trong A. 0CU7
Nhận xét Ta nhắc lại các ký hiệu của nhận xét ở No. 3. Cho A là một vành. Nếu a và b là các phần tử của Aᴶ và r = (rⱼ)_j ∈ J là một phần tử của Aᴶ, ta ký hiệu bởi r_A(a, b) phần tử (rⱼ(a, b… 0CU8
Mệnh đề 3 Cho A là một vành. a) Ánh xạ F_A là một tự đồng cấu của vành W(A). b) Ánh xạ V_A là một tự đồng cấu của nhóm cộng nằm dưới vành W(A). c) Với mọi a trong W(A), ta có F_A(V_A(a)) = p… 0CU9
Nhận xét Để biết định nghĩa các ánh xạ tương tự các ánh xạ F và V, trong trường hợp của vành Witt phổ quát, xem các bài tập 36, 37 và 38, p. 52 và các trang tiếp theo. 0CUA
Bổ đề 4 Cho A là một vành và m geqslant 1 là một số nguyên. Ta có 0CUB
Mệnh đề 4 Cho a và b thuộc A và cho x = (xₙ)_n ∈ N là một phần tử của W(A). 0CUC
Định nghĩa 2 Cho A là một vành và cho n ≥ 1 là một số nguyên. Ta ký hiệu bởi Wₙ(A) vành thương W(A)/Vₙ(A). 0CUD
Ví dụ 1 Đồng cấu Φ₀ : W₁(A) → A là một đẳng cấu. 0CUE
Ví dụ 2 Ta hãy mô tả tường minh các phép toán trong W₂(A). Ta có 0CUF
Ví dụ 3 Cho n ≥ 1 là một số nguyên. Nếu a₀, ..., aₙ₋₁, b₀, ..., bₙ₋₁ là các số nguyên sao cho aᵢ ≡ bᵢ bmod p với 0 ≤ i < n, ta có (No. 1, Mệnh đề 1) 0CUG
Mệnh đề 5 Cho A là một vành có đặc số p (A, V, p. 2). Với mọi phần tử a và b của W(A), và các số nguyên dương m, n, ta có, nếu a = (aₙ)_n ∈ N, 0CUH
Hệ quả Nếu m và n là hai số nguyên dương, ta có 0CUI
Mệnh đề 6 Cho A là một vành. 0CUJ
Mệnh đề 7 Cho A là một vành hoàn hảo có đặc số p. 0CUK
Mệnh đề 8 Cho A là một trường có đặc số p. Vành W(A) là một vành địa phương nguyên, tách được và đầy đủ, với iđêan cực đại V₁(A) và trường thặng dư đẳng cấu với A. Nếu trường A là hoàn hảo… 0CUL
Nhận xét 1 Cho A là một trường có đặc số p. Bây giờ có thể chứng minh rằng vành W(A) là Noether khi và chỉ khi A là hoàn hảo (p. 43, Bài tập 9). 0CUM
Nhận xét 2 Cho A là một vành có đặc số p. Theo Prop. 5, ta có các công thức 0CUN

§ 2. Vành cohen

Định nghĩa 1 Một vành C được gọi là một p-vành nếu iđêan pC của C là cực đại, và nếu C tách biệt và đầy đủ đối với tôpô pC-adic. 0CWA
Mệnh đề 1 Cho C là một p-vành. 0CWB
Hệ quả 1 Nếu p-vành C là một miền nguyên, thì nó là một vành định giá rời rạc, hoặc một trường có đặc số p. 0CWC
Hệ quả 2 Cho C là một p-vành và a là một iđêan của C phân biệt với C. Vành C/a là một p-vành. 0CWD
Ví dụ 1 Với mọi số nguyên n geqslant 1, vành Z/pⁿZ là một p-vành có độ dài n. Vành Zₚ các số nguyên p-adic là một p-vành có độ dài vô hạn. 0CWE
Ví dụ 2 Cho K là một trường hoàn hảo có đặc số p. Theo mệnh đề 8 của § 1, No. 8, vành W(K) các vectơ Witt là một p-vành có độ dài vô hạn. Ánh xạ (aₙ)_n ∈ N ↦ a₀ cảm sinh, khi chuyển qua th… 0CWF
Mệnh đề 2 Cho C và C' là hai p-vành và u là một đồng cấu từ C vào C'. Gọi v là đồng cấu từ κ_C = C/pC vào κ_C' = C'/pC' suy ra từ u khi chuyển qua thương. 0CWG
Mệnh đề 3 Cho (Cₙ, π_n,m) là một hệ xạ ảnh các vành theo tập chỉ số N. Giả sử rằng Cₙ là một vành p với mọi n ∈ N và các đồng cấu π_n,m là toàn ánh. Khi đó C = varprojlim Cₙ là một vành p, v… 0CWH
Định nghĩa 2 Cho A là một vành địa phương tách biệt và đầy đủ, mà trường thặng dư có đặc số p. Một vành con Cohen của A có nghĩa là một vành con C của A là một p-vành sao cho A = m_A + C (tức l… 0CWI
Ví dụ Cho C là một p-vành. Vành các chuỗi hình thức A = C[[T₁, ..., Tₙ]] là một vành Noether, địa phương, tách biệt và đầy đủ, mà iđêan cực đại được sinh bởi dãy (p, T₁, ..., Tₙ). Ngay l… 0CWJ
Định lý 1 Cho A là một vành địa phương, tách biệt và đầy đủ, mà trường thặng dư k có đặc số p. Cho π là ánh xạ chính tắc của A lên k, và cho S là một tập con của A, sao cho π cảm sinh một so… 0CWK
Bổ đề 1 Cho A' là một vành con của A chứa S. Để A' chứa Cₙ, điều kiện cần và đủ là có A' + m_A = A. 0CWL
Bổ đề 2 Ta có C ∩ m_A ⊂ pC. 0CWM
Nhận xét Giả sử rằng p1_A không lũy linh (điều này xảy ra đặc biệt khi A là một vành nguyên mà trường phân thức có đặc số 0). Khi đó C là một vành định giá rời rạc mà trường phân thức có đặ… 0CWN
Mệnh đề 4 Cho C và C' là hai p-vành sao cho l(C) geqslant l(C'), và gọi π (tương ứng π') là đồng cấu chính tắc của C (tương ứng C') lên κ_C (tương ứng κ_C'). Gọi (x_λ)_λ ∈ Λ (tương ứng (x'_λ… 0CWO
Mệnh đề 5 Cho k là một trường có đặc số p, và cho n là một số nguyên ≥ 1, hoặc + ∞. Tồn tại một p-vành có độ dài n mà trường thặng dư đẳng cấu với k. 0CWP
Nhận xét 1 Cho n là một số nguyên ≥ 1 và S là một p-cơ sở của k. Có thể chứng minh rằng vành con của Wₙ(k) được sinh bởi Wₙ(k^pⁿ) và bởi các phần tử [ξ, 0, ..., 0] (ξ ∈ S), là một p-vành có đ… 0CWQ
Nhận xét 2 Bạn đọc sẽ tìm thấy trong Phụ lục một chứng minh của mệnh đề 5 không dùng các kết quả của § 1, cũng không dùng định lý tồn tại đối với các vành con Cohen (no. 2, định lý 1). 0CWR
Hệ quả Cho C là một p-vành có độ dài hữu hạn n. Tồn tại một p-vành C' có độ dài vô hạn sao cho C đẳng cấu với C'/pⁿC'. 0CWS
Mệnh đề 6 Cho C là một p-vành, mà trường thặng dư k là hoàn hảo. Giả sử rằng C có độ dài hữu hạn n (tương ứng vô hạn). Tồn tại một đẳng cấu duy nhất u : Wₙ(k) → C (tương ứng u : W(k) → C) cả… 0CWT
Định lý 2 Cho A là một vành địa phương phân tách đầy đủ, k là trường thặng dư của nó và π là đồng cấu chính tắc từ A lên k. Giả sử rằng k là một trường hoàn hảo có đặc số p. 0CWU
Mệnh đề 7 Giữ lại các giả thiết và ký hiệu của định lý 2. Tồn tại một tập con nhân tính duy nhất S của A sao cho π cảm sinh một song ánh từ S lên k. Để một phần tử a của A thuộc S, điều kiện… 0CWV
Nhận xét 1 Giữ các giả thiết và ký hiệu ở trên. Ta có a = ∑ₙ₌₀^∞ pⁿ τₖ(aₙ^p⁻ⁿ) (a = (aₙ)_n ∈ N ∈ W(k)) theo Mệnh đề 7 của § 1, No. 8. Do đó (4) u(a) = ∑ₙ₌₀^∞ pⁿ φ(aₙ^p⁻ⁿ) với mọi a = (aₙ)_n ∈… 0CWW
Nhận xét 2 Cho A là một vành địa phương tách biệt và đầy đủ, k là trường thặng dư của nó và π là đồng cấu chính tắc từ A lên k. Có thể chứng minh rằng tồn tại một tập con nhân tính S của A (n… 0CWX
Ví dụ 1 Cho k là một trường hoàn hảo có đặc số p. Các đại diện nhân tính của vành W(k) là các vectơ Witt τ(x) = (x, 0, 0, ...) với x ∈ k. 0CWY
Ví dụ 2 Cho A là một vành địa phương nguyên, tách biệt và đầy đủ. Giả sử rằng trường thặng dư k của A là hữu hạn, có q = pᶠ phần tử, do đó là hoàn hảo và có đặc số p. Ta có x^q = x với mọi… 0CWZ
Ví dụ 3 Đặc biệt hơn, xét trường hợp A = Zₚ. Khi đó các đại diện nhân tính là 0 và các căn bậc (p - 1) của đơn vị trong trường phân thức Qₚ của Zₚ. 0CX0
Bổ đề 3 a) Tồn tại một đồng cấu duy nhất v : B → A mở rộng u và ánh xạ Tᵢ thành tᵢ với 1 ≤ i ≤ n. 0CX1
Bổ đề 4 Giả sử rằng vành địa phương Noether C là chính quy, và rằng (p₁, ..., pₘ) là một hệ tọa độ của C (VIII, § 5, No. 1, Định nghĩa 1). 0CX2
Định lý 3 Cho A là một vành địa phương, Noether và đầy đủ, có trường thặng dư k với đặc số p. Cho C là một vành p có độ dài vô hạn, mà trường thặng dư đẳng cấu với k (No. 3, Mệnh đề 5). 0CX3

§ 3. Các trường đại diện

Mệnh đề 1 Cho k₀ là một trường, A là một k₀-đại số là một vành địa phương tách và đầy đủ, K là một mở rộng con-k₀ của κ_A có một cơ sở siêu việt tách được (ξ_λ)_λ ∈ Λ trên k₀ (A, V, p. 130… 0CXL
Nhận xét \ Chứng minh trước đây áp dụng tổng quát hơn cho trường hợp người ta chỉ giả thiết rằng A là một vành địa phương hensel. Chứng minh tính duy nhất sử dụng giả thiết rằng vành địa ph… 0CXM
Định nghĩa 1 Cho A là một vành địa phương. Một trường đại diện của A là bất kỳ trường con K nào của A sao cho đồng cấu chính tắc của A lên κ_A cảm sinh một đẳng cấu của K lên κ_A (nói cách khác… 0CXN
Định lý 1 Cho A là một vành địa phương tách được và đầy đủ có đặc số p. 0CXO
Hệ quả 1 Cho A là một vành địa phương tách được và đầy đủ, có trường thặng dư là một mở rộng đại số của Q. Khi đó tồn tại một trường đại diện duy nhất của A. Thật vậy vành A có đặc số 0 (no… 0CXP
Hệ quả 2 Cho A là một vành địa phương tách được và đầy đủ có đặc số p ≠ 0. Giả sử rằng trường thặng dư κ_A là hoàn hảo. Khi đó tồn tại một trường đại diện duy nhất của A, cụ thể là tập hợp… 0CXQ
Định lý 2 Cho A là một vành địa phương Noether đầy đủ có chiều d chứa một trường. Cho K là một trường hệ số của A, và cho m là chiều của không gian vectơ m_A/m_A² trên trường K. a) Tồn tại m… 0CXR

§ 4. Đóng nguyên của một vành địa phương đầy đủ

Định nghĩa 1 Cho A là một vành nguyên Noether. Ta nói rằng A là Nhật Bản nếu đóng nguyên của A trong mọi mở rộng hữu hạn của trường phân thức của nó là một đại số hữu hạn trên A. 0CY1
Nhận xét 1 Điều này tương đương với việc nói rằng A thỏa mãn điều kiện sau: mọi đại số nguyên A B nguyên trên A, được chứa trong một mở rộng sinh hữu hạn của trường phân thức K của A, là một… 0CY2
Ví dụ Mọi đại số nguyên sinh hữu hạn trên một trường đều là một vành Nhật Bản (V, § 3, No. 2, định lý 2). 0CY4
Mệnh đề 1 Cho A là một vành nguyên Noether, K là trường phân thức của nó. Giả sử rằng với mọi mở rộng radicial hữu hạn L của K, đóng nguyên của A trong L là một đại số hữu hạn trên A. Khi đó… 0CY5
Hệ quả Giả sử trường K hoàn hảo (chẳng hạn có đặc số 0). Khi đó A là Nhật Bản khi và chỉ khi đóng nguyên của nó là một đại số hữu hạn trên A. 0CY6
Mệnh đề 2 Cho B là một vành nguyên Noether và A là một vành con Noether của B, sao cho B là một đại số hữu hạn trên A. Để A là Nhật Bản, điều kiện cần và đủ là B là Nhật Bản. 0CY7
Định lý 1 (Tate) Cho A là một vành Noether đóng nguyên, a là một phần tử của A. Giả sử rằng iđêan aA là nguyên tố, rằng vành A/aA là Nhật Bản, và rằng A là đầy đủ đối với tôpô aA-adic. Khi đó vành… 0CY8
Hệ quả Cho R là một miền nguyên Noether và n là một số nguyên. Nếu R là Japanese, vành R[[T₁, ..., Tₙ]] là Japanese. 0CY9
Định lý 2 (Nagata) Mọi miền nguyên Noether địa phương đầy đủ A đều là Japanese. 0CYA
Hệ quả Cho A là một vành Noether nửa địa phương có hoàn thành là giảm. Khi đó bao đóng nguyên A' của A trong vành phân thức toàn phần R của nó là một A-đại số hữu hạn. 0CYB
Mệnh đề 3 Cho A là một miền nguyên Noether nửa địa phương, K là trường phân thức của nó. Nếu K-đại số K ⊗A Â là tách được, vành A là Japanese. 0CYC
Bổ đề 1 Cho A là một vành Noether nửa địa phương và B là một A-đại số hữu hạn. Khi đó vành B là nửa địa phương và Noether; gọi m₁, ..., mₙ là các iđêan cực đại của nó. 0CYD
Bổ đề 2 Cho A là một vành Noether và M là một A-môđun. Ánh xạ chính tắc của M vào tích ∏_p ∈ Ass(M) Mₚ là đơn ánh. 0CYE
Bổ đề 3 Cho A là một vành Noether, x là một phần tử của A, M là một A-môđun sinh hữu hạn, và p là một iđêan nguyên tố của A liên kết với M. Giả sử rằng phép vị tự x_M là đơn ánh. Gọi q là… 0CYF
Bổ đề 4 Cho A là một vành định giá rời rạc, B là một vành địa phương Noether, và ρ : A → B là một đồng cấu địa phương và phẳng. Nếu vành κ_A ⊗_A B là giảm, thì B là giảm. 0CYG
Định nghĩa 2 Một vành A được gọi là một vành Nagata nếu nó là Noether và nếu, với mọi iđêan nguyên tố p của A, vành nguyên Noether A/p là Japanese (No. 1, định nghĩa 1). 0CYH
Ví dụ 1 Mọi đại số sinh hữu hạn trên một trường đều là một vành Nagata (No. 1, ví dụ). 0CYI
Ví dụ 2 Mọi vành địa phương Noether đầy đủ đều là một vành Nagata (No. 2, định lý 2). 0CYJ
Ví dụ 3 Vành Z là một vành Nagata (No. 1, ví dụ và hệ quả của mệnh đề 1). 0CYK
Ví dụ 4 Có thể chứng minh (bài tập 30) rằng mọi đại số sinh hữu hạn trên một vành Nagata đều là một vành Nagata. 0CYL
Mệnh đề 4 Cho A là một vành Nagata. a) Mọi đại số A hữu hạn đều là một vành Nagata. b) Với mọi tập con nhân S của A, vành S⁻¹A là một vành Nagata. a) Cho B là một đại số A hữu hạn, ρ : A → B… 0CYM
Định lý 3 (Zariski-Nagata) Cho A là một vành Noether nửa địa phương. Các điều kiện sau là tương đương: (i) A là một vành Nagata; (ii) với mọi iđêan nguyên tố p của A, đại số κ(p)-κ(p) ⊗_A hatA là tách được… 0CYN
Hệ quả 1 Hoàn thành của một vành Nagata địa phương rút gọn là rút gọn. Thực vậy, chỉ cần đặt R = A trong Định lý 3, (iii). 0CYO
Hệ quả 2 (Chevalley) Cho A là một đại số rút gọn hữu hạn kiểu trên một trường, và p là một iđêan nguyên tố của A. Hoàn thành của vành địa phương Aₚ là rút gọn. Vì A là rút gọn, vành địa phương Aₚ là rú… 0CYP
Hệ quả 3 Cho k là một trường có đặc số 0, và A là một k-đại số địa phương Noether. Để A là một vành Nagata, điều kiện cần và đủ là, với mọi iđêan nguyên tố p của A, vành (widehatA/p) là giả… 0CYQ

App. 0. Bài tập

Mệnh đề 1 a) Vành A là địa phương, với iđêan cực đại m = lim overrightarrowm_α. Với mọi α ∈ I, đồng cấu φ_α là địa phương và phẳng, và ta có φ_α(m_α) A = m. 0CZN
Bổ đề 1 Cho P ∈ A[X] là một đa thức đơn khởi mà ảnh overlineP của nó trong κ_A[X] là bất khả quy. Khi đó đại số A-đại số B = A[X]/(P) là địa phương và hữu hạn trên A, với iđêan cực đại m_A… 0CZO
Định nghĩa 1 Cho A là một vành địa phương. Một A-đại số B được gọi là một mở rộng sơ cấp của A nếu B đẳng cấu với A-đại số A[X], hoặc nếu tồn tại một đa thức đơn khởi P trong A[X], có ảnh trong… 0CZP
Định nghĩa 2 Cho A là một vành địa phương. Một A-đại số B được gọi là một mở rộng của A nếu tồn tại một tập được sắp tốt Λ có một phần tử lớn nhất ω, và một họ tăng (B_λ)_λ ∈ Λ các đại số con c… 0CZQ
Ví dụ 1 Mọi mở rộng trường đều là một phép phình. Thật vậy, cho K là một mở rộng của một trường k. Ta trang bị cho K một cách sắp thứ tự tốt mà 0 là phần tử lớn nhất, và với λ ∈ K, cho K_λ… 0CZR
Ví dụ 2 Cho A là một vành địa phương, và I là một tập hợp các chỉ số. Ký hiệu bởi A[(Xᵢ)_i ∈ I] vành địa phương của vành đa thức A[(Xᵢ)_i ∈ I] tại iđêan nguyên tố m_A A[(Xᵢ)_i ∈ I]. A[(Xᵢ)… 0CZS
Nhận xét Với ký hiệu của Định nghĩa 2, vành B_μ là một phép phình của B_λ khi λ ≤ μ. 0CZT
Mệnh đề 2 Cho A là một vành địa phương và B là một phép phình của A. 0CZU
Hệ quả Giả sử rằng A là Noether. a) Ta có dim(A) = dim(B). b) Giả sử rằng A là chính quy, và cho (x₁, ..., xₙ) là một hệ tọa độ của A. Khi đó B là chính quy và dãy (x₁ 1_B, ..., xₙ 1_B) l… 0CZV
Mệnh đề 3 Cho A, B, C là ba vành địa phương và u : A → B, v : B → C là hai phép thổi phồng. Khi đó v ∘ u là một phép thổi phồng. Cho (B_λ)_λ ∈ Λ và (C_μ)_μ ∈ M là các họ các đại số con trên… 0CZW
Định lý 1 Cho f : A → A' là một đồng cấu địa phương toàn ánh của các vành địa phương và cho B' là một phép phình của A'. Tồn tại một phép phình B của A và một đẳng cấu các đại số trên A của… 0CZX
Hệ quả Cho A là một vành địa phương và K là một mở rộng của trường thặng dư của nó κ_A. Khi đó tồn tại một vành địa phương B và một phép phình A → B sao cho đại số-κ_A κ_B là đẳng cấu với… 0CZY
Mệnh đề 4 Cho p là một số nguyên tố, k là một trường có đặc số p, và cho n là một số nguyên ≥ 1, hoặc + ∞. Khi đó tồn tại một p-vành (S 2, No. 1, Định nghĩa 1) có độ dài n mà trường thặng dư… 0CZZ

X. Chiều sâu, tính chính quy, đối ngẫu

§ 1. Độ sâu

Mệnh đề 1 Cho A là một vành, J là một iđêan của A và 0 → M' → M → M'' → 0 là một dãy khớp các A-môđun. Đặt 0D06
Nhận xét 5 Giả sử rằng ta có p = p' và đơn ánh u : M' → M xuất hiện trong dãy khớp của mệnh đề 1 thuộc J Hom_A(M', M). Khi đó ta có p'' = p - 1. Thật vậy, giả thiết kéo theo ánh xạ Ext_Aⁱ(1_A… 0D07
Mệnh đề 2 Cho A là một vành, J là một iđêan của A, M là một A-môđun và N là một A-môđun bị triệt tiêu bởi một lũy thừa của J. Ta có Ext_Aⁱ(N, M) = 0 với mọi số nguyên i < prof_A(J; M). 0D08
Hệ quả 1 Cho m là một số nguyên 0 và cho J' là một iđêan của A chứa J^m. Ta có profA(J ; M) \leq profA(J' ; M). 0D09
Hệ quả 2 Giả sử iđêan J là hữu hạn sinh, và cho J' là một iđêan của A sao cho V(J) \supset V(J'). 0D0A
Mệnh đề 3 Cho A là một vành, C là một phức các A-môđun bị chặn về bên trái và p là một số nguyên. Giả sử rằng với mọi cặp số nguyên (m, n) sao cho m \geq n \geq p, độ sâu của A-môđun Cm đối… 0D0B
Hệ quả 1 Cho A là một vành, J là một iđêan của A, C là một phức các A-môđun bị chặn về bên trái và p là một số nguyên. Giả sử rằng ta có JHm(C) = 0 và profA(J ; Cm) m - p với m \geq p. Khi… 0D0C
Hệ quả 2 Cho A là một vành địa phương, C là một phức các A-môđun bị chặn về bên trái, p là một số nguyên. Giả sử rằng với m ≥ p, Hₘ(C) có độ dài hữu hạn và Cₘ có độ sâu > m - p. Khi đó Hₙ(C… 0D0D
Định lý 1 Cho A là một vành, J một iđêan của A, x = (xᵢ)_i ∈ I một họ sinh của J, M một A-môđun. Độ sâu của M đối với J là cận dưới lớn nhất (trong N ∪ +∞) của các số nguyên n sao cho Hⁿ(x… 0D0E
Hệ quả 1 Giả sử iđêan J là kiểu hữu hạn và JM ≠ M. Khi đó prof_A(J; M) là hữu hạn và ≤ Card(I) ; để có đẳng thức với Card(I), điều kiện cần và đủ là họ x là hoàn toàn cát tuyến đối với M (A… 0D0F
Hệ quả 2 Cho A là một vành địa phương, J một iđêan kiểu hữu hạn của A khác A, M một A-môđun khác không kiểu hữu hạn. Đặt r = [J/m_AJ : κ_A]. Ta có prof_A(J; M) ≤ r ; có đẳng thức khi và chỉ… 0D0G
Mệnh đề 4 Cho ρ : A → B là một đồng cấu vành, J một iđêan của A và N một B-môđun. Ta có đẳng thức prof_A(J; N) = prof_B(JB; N). 0D0H
Hệ quả Cho A là một vành địa phương, a một iđêan của A khác A và M một A-môđun bị a triệt tiêu. Ta có prof_A(M) = prof_A/a(M). 0D0I
Bổ đề 1 Nếu A-môđun B là phẳng, thì đồng cấu vᵖ là song ánh với mọi số nguyên p. 0D0J
Mệnh đề 5 Cho A là một vành, J là một iđêan kiểu hữu hạn của A và M là một A-môđun. Ký hiệu Ω là tập hợp các iđêan cực đại của A thuộc Supp(M) và chứa J. Khi đó 0D0K
Mệnh đề 6 Cho A là một vành, J là một iđêan kiểu hữu hạn của A và M là một A-môđun. Cho B là một vành và ρ : A → B là một đồng cấu vành biến B thành một A-môđun phẳng. 0D0L
Hệ quả Cho A là một vành Noether, J là một iđêan của A, M là một A-môđun sinh hữu hạn, widehatA và widehatM là các hoàn thành tách của A và M đối với tôpô J-adic. Khi đó ta có prof_A(J; M… 0D0M
Mệnh đề 7 Cho A là một vành, J là một iđêan của A, M là một A-môđun, và (x₁, …, xᵣ) là một dãy M-chính quy gồm các phần tử của J. Khi đó prof_A(J; M) = r + prof_A(J; M/(x₁M + … + xᵣM)) và đặ… 0D0N
Định lý 2 Cho A là một vành Noether, J là một iđêan của A và M là một A-môđun sinh hữu hạn. 0D0O
Hệ quả 1 Với mọi dãy M-chính quy (x₁, …, xᵣ) gồm các phần tử của J, các tính chất sau là tương đương: 0D0P
Hệ quả 2 Cho A là một vành địa phương Noether, M là một A-môđun hữu hạn sinh khác không. Ta có prof_A(M) leqslant dim_A(M) < +∞ . 0D0Q
Nhận xét 1 Cho r là một số nguyên. Theo Mệnh đề 2 của No. 1 và II, § 4, No. 4, Hệ quả 2 của Mệnh đề 17, bất đẳng thức prof_F(M) geqslant r tương đương với tính chất sau: với mọi A-môđun hữu h… 0D0R
Nhận xét 2 Giả sử rằng A-môđun M là hữu hạn sinh. Theo Nhận xét 2 của No. 1 và Định lý 2 của No. 4, ta có các tương đương sau 0D0S
Mệnh đề 8 Cho A là một vành Noether, F là một tập con đóng của Spec(A), và M là một A-môđun hữu hạn sinh. Ta có 0D0T
Nhận xét 3 Nếu q là một điểm của Supp(M), do đó ta có prof_A(q;M) = inf_p ⊇ q prof_Aₚ(Mₚ). Đặc biệt, ta có bất đẳng thức prof_A(q;M) leqslant prof_A_q(M_q); có đẳng thức khi q là cực đại. Tro… 0D0U
Mệnh đề 9 Cho A là một vành Noether, M và N là hai A-môđun kiểu hữu hạn, và F là giá của N. Khi đó prof_F(M) là cận dưới lớn nhất (trong N ∪ +∞) của tập hợp các số nguyên n sao cho Ext_Aⁿ(N… 0D0V
Nhận xét 4 Cho A là một vành Noether, N là một A-môđun sinh hữu hạn. Cận dưới lớn nhất trong N ∪ +∞ của tập hợp các số nguyên n sao cho Ext_Aⁿ(N, A) khác không đôi khi được gọi là cấp của N… 0D0W
Bổ đề 2 Cho ρ : A → B là một đồng cấu địa phương của các vành địa phương Noether, N là một B-môđun sinh hữu hạn và y là một phần tử của m_B. Hai điều kiện sau là tương đương: 0D0X
Mệnh đề 10 Cho ρ : A → B là một đồng cấu địa phương của các vành địa phương Noether, N là một B-môđun hữu hạn sinh và y = (y₁, …, yₛ) là một dãy phần tử của m_B. Ký hiệu 𝔶 là iđêan của B sinh… 0D0Y
Mệnh đề 11 Cho ρ : A → B là một đồng cấu địa phương của các vành địa phương Noether, M là một A-môđun hữu hạn sinh và N là một B-môđun hữu hạn sinh; giả sử rằng A-môđun N là phẳng. 0D0Z
Nhận xét Nhắc lại rằng, dưới các giả thiết trước đó, 0D10
Hệ quả Cho ρ : A → B là một đồng cấu địa phương của các vành địa phương Noether làm cho B thành một A-môđun phẳng. Ta có 0D11
Mệnh đề 12 Cho A là một vành địa phương Noether, M một A-môđun hữu hạn sinh khác không và J một iđêan của A phân biệt với A. Ta có dãy bất đẳng thức 0D12
Nhận xét 1 Xét chuỗi các bất đẳng thức của Mệnh đề 12. 0D13
Bổ đề 3 Cho A là một vành Noether, p ⊂ p1 ⊂ ... ⊂ p{r−1} ⊂ q một chuỗi bão hòa độ dài r các iđêan nguyên tố của A, M một Λ-môđun hữu hạn sinh và n một số nguyên. Nếu A-môđun Ext^n{Ap}(κ(p)… 0D14
Mệnh đề 13 Cho A là một vành Noether, M một A-môđun hữu hạn sinh, p và q là hai iđêan nguyên tố của Supp(M) với p ⊂ q. Ta có 0D15
Hệ quả 1 Ta có bất đẳng thức 0D16
Hệ quả 2 Cho A là một vành Noether địa phương và M là một A-môđun hữu hạn sinh. Ta có bất đẳng thức 0D17
Nhận xét 2 Ta có sup_p ∈ Ass(M) dim(A/p) = dim(M) (VIII, § 1, No. 4, nhận xét 2), và thu được lại bất đẳng thức prof(M) ≤ dim(M) với M ≠ 0 (No. 4, hệ quả 2 của định lý 2). 0D18
Mệnh đề 14 Cho A là một vành Noether. Các điều kiện sau là tương đương: 0D19
Bổ đề 4 Cho A là một vành Noether, F là một tập con đóng của Spec(A), U là tập mở bù, và u : M → N là một đồng cấu của các A-môđun sinh hữu hạn. 0D1A
Nhận xét 1 Cho A là một vành Noether, F là một tập con đóng của Spec(A), U là tập mở bù. Để có prof_F(A) geqslant 1, điều cần và đủ là Ass(A) ⊂ U (nhận xét 2, No. 5). Khi điều kiện này được t… 0D1B
Định lý 3 (Hartshorne) Cho A là một vành Noether, F là một tập con đóng của Spec(A) và U là tập mở bù. Giả sử rằng prof_F(A) geqslant 2. Khi đó, với mọi thành phần liên thông Y của Spec(A), tập hợp Y ∩ o… 0D1C
Hệ quả 1 Ánh xạ gán cho mỗi thành phần liên thông của U bao đóng của nó trong Spec(A) là một song ánh từ tập hợp các thành phần liên thông của U lên tập hợp các thành phần liên thông của Sp… 0D1D
Hệ quả 2 Với mọi vành địa phương Noether B có độ sâu ≥ 2, không gian tôpô Spec(B) - m_B là liên thông. 0D1E
Hệ quả 3 Dưới các giả thiết của Định lý 3, giả sử rằng Spec(Aₚ) là bất khả quy (resp. rằng Aₚ là một miền nguyên) với mọi p ∈ U; khi đó Spec(Aₚ) là bất khả quy (resp. Aₚ là một miền nguyên)… 0D1F
Hệ quả 4 Cho A là một vành Noether mà phổ của nó là liên thông. Giả sử tồn tại một số nguyên d ≥ 1 sao cho ta có prof(Aₚ) ≥ 2 với mọi iđêan nguyên tố p của A có chiều cao > d. 0D1G
Nhận xét 2 Khi A là một vành Macaulay, có thể áp dụng hệ quả với d = 1 (§ 2, No. 5). 0D1H
Ví dụ (Giao hoàn chỉnh tạo bởi bốn mặt phẳng tọa độ của một không gian afin chiều 4) Cho k là một trường. Ký hiệu S là vành đa thức k[T₁, T₂, T₃, T₄]. Nhắc lại rằng (VIII, § 2, No. 4, Định lý 3) mọi dãy cực đại các iđêan nguyên tố của S đều có độ dài 4. Ký hiệu m l… 0D1I
Mệnh đề 15 Cho A là một vành Noether thỏa mãn hai điều kiện sau: (i) với mọi iđêan nguyên tố cực tiểu p của A, vành Aₚ là reduced; (ii) với mọi iđêan nguyên tố p của A có chiều cao ≥ 1, ta có… 0D1J
Mệnh đề 16 Cho A là một vành Noether nguyên đóng, J là một iđêan của A có chiều cao geqslant 2, và M là một A-môđun phản xạ kiểu hữu hạn. Ta có prof_A(J; M) geqslant 2. 0D1K
Hệ quả Một vành địa phương Noether nguyên đóng có chiều geqslant 2 có độ sâu geqslant 2. 0D1L
Định lý 4 (Serre) Cho A là một vành Noether thỏa mãn các điều kiện sau: (i) với mọi iđêan nguyên tố cực tiểu 𝔭 của A, vành A_𝔭 là rút gọn; (ii) với mọi iđêan nguyên tố 𝔭 của A có chiều cao 1, vành A… 0D1M
Nhận xét 1 Một dạng thuận tiện của định lý 4 là như sau: cho A là một vành Noether, sao cho với mọi iđêan nguyên tố p của A thì vành Aₚ hoặc là nguyên đóng hoặc có độ sâu geqslant 2; khi đó A… 0D1N
Hệ quả 1 Cho A là một vành Noether, F là một tập con đóng của Spec(A), U là tập mở bù. Giả sử rằng prof_F(A) là geqslant 2 (resp. geqslant 1) và rằng, với mọi p ∈ U, vành Aₚ là nguyên đóng… 0D1O
Hệ quả 2 Cho ρ : A → B là một đồng cấu của các vành Noether khiến B trở thành một A-môđun phẳng. 0D1P
Nhận xét 2 ht(p) = 1 và ht(q) leqslant 1. Khi đó Aₚ là một vành định giá rời rạc; gọi π là một phần tử chuẩn hóa của Aₚ. Vì B_q là phẳng trung thành trên Aₚ, phần tử π 1_B_q của B_q không phả… 0D1Q
Nhận xét 3 ht(p) = 1 và ht(q) ≥ 2. Khi đó, theo quan hệ dim(B_q) = dim(Aₚ) + dim(κ(p) ⊗_A B_q) (VIII, § 3, No. 4, Hệ quả 1 của Mệnh đề 7), vành κ(p) ⊗_A B_q có chiều ≥ 1. Nó là thu gọn theo g… 0D1R
Nhận xét 4 ht(p) ≥ 2. Vì Aₚ có độ sâu ≥ 2 (Hệ quả của Mệnh đề 16), điều tương tự cũng đúng với B_q theo loc. cit. 0D1S
Hệ quả 3 Cho ρ : A → B là một đồng cấu của các vành Noether. Giả sử rằng B là một A-môđun phẳng, rằng A là chuẩn tắc, và rằng κ(p) ⊗_A B là chuẩn tắc với mọi p ∈ Spec(A). Khi đó B là chuẩn… 0D1T

§ 2. Môđun và vành macaulay

Định nghĩa 1 Cho A là một vành Noether và M là một A-môđun sinh hữu hạn. Ta nói rằng M là Macaulay hoặc là một môđun Macaulay nếu, với mọi iđêan cực đại m ∈ Supp(M), ta có prof_Aₘ(Mₘ) = dim_Aₘ(… 0D2C
Ví dụ 1 Mọi A-môđun có độ dài hữu hạn đều là Macaulay. 0D2D
Ví dụ 2 Cho M' là một môđun con hạng tử trực tiếp của một A-môđun Macaulay sinh hữu hạn M. Khi đó M' là Macaulay; thật vậy, với mọi iđêan cực đại m của A, Aₘ-môđun M'ₘ là một nhân tử trực… 0D2E
Ví dụ 3 Cho M là một A-môđun Macaulay sinh hữu hạn và (x₁, …, xₙ) là một dãy M-chính quy gồm các phần tử của A. Khi đó A-môđun overlineM = M/(x₁M + ⋯ + xₙM) là Macaulay. Thật vậy, cho m là… 0D2F
Ví dụ 4 Cho M là một A-môđun sinh hữu hạn, và cho a là một iđêan của A sao cho aM = 0. Để A-môđun M là Macaulay, điều kiện cần và đủ là nó là Macaulay như một (A/a)-môđun. Thật vậy, đặt B… 0D2G
Mệnh đề 1 Cho A là một vành Noether, M một A-môđun sinh hữu hạn, và p và q là các iđêan nguyên tố của Supp(M) sao cho p ⊂ q. Giả sử rằng dim_A_q(M_q) = prof_A_q(M_q). Khi đó ta có dim_Aₚ(Mₚ)… 0D2H
Hệ quả Cho A là một vành Noether và M một A-môđun sinh hữu hạn. Các điều kiện sau là tương đương: (i) A-môđun M là Macaulay; (ii) ta có prof_Aₚ(Mₚ) = dim_Aₚ(Mₚ) với mọi p ∈ Supp(M); (iii)… 0D2I
Nhận xét Cho S là một tập con nhân của A và M là một Macaulay A-môđun sinh hữu hạn. Khi đó S⁻¹M là một Macaulay S⁻¹A-môđun. Thật vậy, cho q ∈ Spec(S⁻¹A); ký hiệu i_A^S : A → S⁻¹A là đồng cấ… 0D2J
Mệnh đề 2 Cho A là một vành Noether và M là một Macaulay A-môđun sinh hữu hạn. a) A-môđun M không có iđêan nguyên tố liên kết nhúng nào.\footnote{Nhắc lại (xem IV, § 2, No. 3, nhận xét) rằng… 0D2K
Nhận xét 1 Dưới các giả thiết của Mệnh đề 2, có thể xảy ra trường hợp hai thành phần bất khả quy X₁ và X₂ của Supp(M) có giao Y rút về một điểm và ta có dim X₁ ≠ dim X₂ và dim X₂ ≠ codim(Y, X… 0D2L
Hệ quả Cho A là một vành địa phương Noether và M là một A-môđun Macaulay sinh hữu hạn khác không. 0D2M
Nhận xét 2 Cho M là một A-môđun Macaulay sinh hữu hạn, và p là một phần tử của Supp(M). Theo Định lý 2 của § 1, No. 4, ta có prof_A(p; M) < +∞, và tồn tại một dãy M-chính quy có độ dài prof_A… 0D2N
Mệnh đề 3 Cho A là một vành địa phương Noether, M là một A-môđun sinh hữu hạn khác không, và d là chiều của M. Các điều kiện sau là tương đương: 0D2O
Bổ đề 1 — Cho A là một vành địa phương Noether, M là một A-môđun hữu hạn sinh và thuần khiết, và x là một phần tử của mA. Các điều kiện sau là tương đương: 0D2P
Mệnh đề 4 Cho A là một vành địa phương Noether, M là một A-môđun hữu hạn sinh khác không, và (x₁, ..., xr) là một dãy các phần tử của mA cát tuyến đối với M. Các điều kiện sau là tương đương… 0D2Q
Định lý 1 Cho A là một vành địa phương Noether, M là một A-môđun hữu hạn sinh khác không, d là chiều của M, x = (x₁, ..., xd) là một dãy các phần tử của mA cát tuyến đối với M, và J là iđêan… 0D2R
Bổ đề 2 Cho overlineG là ảnh của G trong A/Ann(M). Ta có ht(overlineG) = codim(Supp(M/SM), Supp(M)) . Hơn nữa, khi SM ≠ M, ta có ht(overlineG) ≤ Card(S) . 0D2S
Định nghĩa 2 Cho A là một vành Noether, M là một A-môđun hữu hạn sinh, và S là một tập con hữu hạn của A. Ta nói rằng S là cắt mạnh đối với M nếu có Card(S) ≤ codim(Supp(M/SM), Supp(M)) . 0D2T
Nhận xét 1 Mọi tập con hữu hạn S của A sao cho SM = M đều là cắt mạnh đối với M. Khi SM ≠ M, suy ra từ bổ đề 2 rằng, để S là cắt mạnh đối với M, điều kiện cần và đủ là có Card(S) = codim(Supp… 0D2U
Nhận xét 2 Nếu vành A là địa phương và môđun M khác không, thì mọi tập con S của m_A cắt mạnh đối với M đều là cắt đối với M. Thật vậy, vì A-môđun M/SM là khác không, ta có 0D2V
Mệnh đề 5 Cho A là một vành Noether, M là một A-môđun hữu hạn sinh, và S là một tập con hữu hạn của A. Các điều kiện sau là tương đương: 0D2W
Hệ quả Cho A là một vành Noether và M là một A-môđun hữu hạn sinh. Mọi dãy M-chính quy đều cắt mạnh đối với M. 0D2X
Mệnh đề 6 Cho A là một vành Noether, M là một Macaulay A-môđun hữu hạn sinh, và S là một tập con hữu hạn của A cắt mạnh đối với M. Khi đó A-môđun M/SM là Macaulay. 0D2Y
Định nghĩa 3 Người ta nói rằng một vành A là Macaulay, hay là một vành Macaulay, nếu nó là Noether và A-môđun A là Macaulay. 0D2Z
Ví dụ 1 Mọi vành Artin đều là một vành Macaulay (No. 1, Ví dụ 1). 0D30
Ví dụ 2 Một vành Macaulay không có iđêan nguyên tố liên kết nhúng (No. 2, Prop. 2). Ngược lại, cho A là một vành Noether có chiều leqslant 1 và không có iđêan nguyên tố liên kết nhúng; với… 0D31
Ví dụ 3 Một vành Noether chuẩn tắc có chiều leqslant 2 là một vành Macaulay (§ 1, No. 10, đoạn văn đứng trước Định lý 4). Ngược lại, cho A là một vành Macaulay mà vành địa phương Aₚ tại mọ… 0D32
Ví dụ 4 Nếu A là một vành Macaulay, thì S⁻¹A cũng vậy đối với mọi tập con nhân S của A (No. 1, Nhận xét). Ngược lại, nếu vành Aₘ là một vành Macaulay với mọi iđêan cực đại m của A, thì vàn… 0D33
Ví dụ 5 Cho A là một vành Noether và J một iđêan của A. Để A/J là một vành Macaulay, điều kiện cần và đủ là nó là một A-môđun Macaulay (No. 1, Ví dụ 4). 0D34
Ví dụ 6 Cho A là một vành địa phương Noether và J một iđêan của A được sinh bởi một dãy chính quy của A. Để A/J là một vành Macaulay, điều kiện cần và đủ là A là như vậy (Ví dụ 5 và Mệnh đ… 0D35
Ví dụ 7 Để một vành địa phương Noether A là một vành Macaulay, điều kiện cần và đủ là nó có một iđêan xác định sinh bởi một dãy A-chính quy: điều này suy ra từ Mệnh đề 3 của No. 3, và từ t… 0D36
Mệnh đề 7 Cho A là một vành Noether. Các điều kiện sau là tương đương: 0D37
Nhận xét Cho ρ : A → B là một đồng cấu vành, và lấy p ∈ Spec(A). Ta ký hiệu bởi overlineB vành κ(p) ⊗_A B. Nó có thể được đồng nhất với S⁻¹B/p(S⁻¹B), trong đó S là tập con nhân ρ(A - p) của… 0D38
Mệnh đề 8 Cho ρ : A → B là một đồng cấu của các vành Noether và N là một B-môđun đồng thời là một A-môđun sinh hữu hạn. Để A-môđun N là Macaulay, điều kiện cần và đủ là B-môđun N là Macaulay… 0D39
Hệ quả 1 Cho ρ : A → B là một đồng cấu của các vành Noether. Nếu B là một A-đại số hữu hạn và là một A-môđun Macaulay, thì nó là một vành Macaulay. Nếu hơn nữa ρ là đơn ánh, thì ta có ht(aB… 0D3A
Hệ quả 2 Cho A là một vành Noether nguyên đóng và B là một vành chứa A. Giả sử rằng B là một A-môđun không xoắn, kiểu hữu hạn. Nếu B là một vành Macaulay thì A-môđun B là Macaulay. 0D3B
Hệ quả 3 Cho A là một vành nguyên đóng, K là trường phân thức của nó, L là một K-đại số hữu hạn sao cho [L : K] 1_A khả nghịch trong A, và B là một dưới-A-đại số của L, hữu hạn trên A. 0D3C
Ví dụ Hệ quả 3 được áp dụng đặc biệt trong hai tình huống sau: 0D3D
Mệnh đề 9 Cho ρ : A → B là một đồng cấu của các vành Noether, M một A-môđun hữu hạn sinh và N một B-môđun hữu hạn sinh, phẳng trên A. Ký hiệu bởi ᵃρ : Spec(B) longrightarrow Spec(A) ánh xạ l… 0D3E
Hệ quả 1 Cho ρ : Λ → B là một đồng cấu địa phương của các vành địa phương Noether, M là một A-môđun hữu hạn sinh khác không và N là một B-môđun hữu hạn sinh khác không đồng thời là một A-mô… 0D3F
Hệ quả 2 Cho ρ : A → B là một đồng cấu của các vành Noether biến B thành một A-môđun phẳng trung thành, và cho M là một A-môđun hữu hạn sinh. Để B-môđun M ⊗A B là một môđun Macaulay, điều k… 0D3G
Hệ quả 3 Cho A là một vành Noether, B là một Λ-đại số hữu hạn phẳng, M là một A-môđun Macaulay hữu hạn sinh. Khi đó B-môđun M ⊗A B là một môđun Macaulay. 0D3H
Hệ quả 4 Cho A là một vành Noether, J là một iđêan của A và M là một A-môđun hữu hạn sinh. Ký hiệu Ā và Ĝ lần lượt là các hoàn thành tách của A và M đối với tôpô J-adic, và ký hiệu S là tập… 0D3I
Mệnh đề 10 Cho ρ : A → B là một đồng cấu của các vành Noether biến B thành một A-môđun phẳng. Các điều kiện sau là tương đương: 0D3J
Hệ quả 1 Mọi đại số hữu hạn phẳng trên một vành Macaulay đều là một vành Macaulay. 0D3K
Hệ quả 2 Cho A là một vành Macaulay và n là một số nguyên dương; khi đó A[X₁, …, Xₙ] và A[[X₁, …, Xₙ]] là các vành Macaulay. 0D3L
Hệ quả 3 Mọi đại số kiểu hữu hạn trên một vành Macaulay Noether đều là catenary. 0D3M

§ 3. Độ sâu và chiều đồng điều

Ví dụ Cho J là một iđêan của A được sinh bởi một dãy A-chính quy x = (x₁, …, xᵣ). Ta có dpA(A/J) ≤ r. Thật vậy, điều này hiển nhiên nếu A là không; trong trường hợp ngược lại, phức Koszu… 0D3Y
Mệnh đề 1 Cho A là một vành, M là một A-môđun và n là một số nguyên ≥ 0. Các điều kiện sau là tương đương: 0D3Z
Mệnh đề 2 Cho A là một vành, M và N là các A-môđun, i là một số nguyên và S là một tập con nhân tính của A. Ta có một đẳng cấu chính tắc của các S⁻¹A-môđun 0D40
Hệ quả Cho A là một vành, M và N là các A-môđun, i là một số nguyên. 0D41
Mệnh đề 3 Cho A là một vành Noether, M là một A-môđun hữu hạn sinh, và N là một A-môđun. 0D42
Hệ quả 1 Với mọi tập hợp nhân S của A , ta có dp_S⁻¹A(S⁻¹M) ≤ dp_A(M) , di_S⁻¹A(S⁻¹N) ≤ di_A(N) , dh(S⁻¹A) ≤ dh(A) . 0D43
Hệ quả 2 Nếu ta có dp{Am}(Mm) < +\infty với mọi iđêan cực đại m của Supp(M) , thì ta có dpA(M) < +\infty . 0D44
Nhận xét Cho A là một vành Noether chính quy có chiều vô hạn (VIII, § 5, Bài tập 6 c)). Ta sẽ thấy dưới đây (No. 7, Định lý 2 và § 4, No. 1, Mệnh đề 1) rằng ta có di{Am}(Am) = dh(Am) < +\in… 0D45
Mệnh đề 4 Cho A là một vành địa phương Noether, M là một A-môđun hữu hạn sinh, và n là một số nguyên ≥ 0. Các điều kiện sau là tương đương : 0D46
Hệ quả 1 Cho A là một vành địa phương Noether và n là một số nguyên ≥ 0. Các điều kiện sau là tương đương : 0D47
Hệ quả 2 Ta có dh(A) = dp_A(κ_A). 0D48
Nhận xét 1 Cho A là một vành địa phương. A-môđun Tor₁ᴬ(κ_A, κ_A) đẳng cấu với 𝔪_A / 𝔪_A² (A, X, p. 72, Ví dụ). Do đó khi A là Noether, để Tor₁ᴬ(κ_A, κ_A) bằng không, điều kiện cần và đủ là 𝔪_… 0D49
Nhận xét 2 Cho A là một vành địa phương Noether, M là một A-môđun hữu hạn sinh có chiều xạ ảnh hữu hạn n, N là một A-môđun hữu hạn sinh khác không. A-môđun Ext_Aⁿ(M, N) là khác không: thật vậ… 0D4A
Nhận xét 3 Cho A là một vành Noether, M là một A-môđun hữu hạn sinh có chiều xạ ảnh hữu hạn, N là một A-môđun hữu hạn sinh mà giá của nó bằng Spec(A). Theo nhận xét trước và các Mệnh đề 2 và… 0D4B
Mệnh đề 5 Cho A là một vành Noether, M là một A-môđun hữu hạn sinh và n là một số nguyên geqslant 0. Các điều kiện sau là tương đương : 0D4C
Nhận xét 4 Cho A là một vành Noether và n là một số nguyên geqslant 0. Nếu m và m' là hai iđêan cực đại phân biệt của A, các A-môđun Ext_Aⁿ(A/m, A/m') và Torₙᴬ(A/m, A/m') bị triệt tiêu bởi m… 0D4D
Mệnh đề 6 Cho A là một vành Noether, N là một A-môđun, n là một số nguyên geqslant 0. Các điều kiện sau là tương đương: 0D4E
Nhận xét 5 Cho N là một A-môđun sinh hữu hạn; điều kiện Ext_Aⁿ(A/𝔪, N) = 0 với mọi iđêan cực đại 𝔪 của A không nhất thiết kéo theo di_A(N) < n. Chẳng hạn, nếu vành A là địa phương và không ph… 0D4F
Mệnh đề 7 Cho A là một vành, x là một phần tử giản ước được của A, M là một A-môđun sao cho phép vị tự x_M là đơn ánh, N là một A-môđun bị triệt tiêu bởi x, n là một số nguyên. Các đồng cấu… 0D4G
Hệ quả Cho A là một vành địa phương Noether, M là một A-môđun sinh hữu hạn và J là một iđêan của A sinh bởi một dãy (x₁, …, xᵣ) các phần tử của m_A vừa là A-chính quy vừa là M-chính quy… 0D4H
Định lý 1 (Auslander-Buchsbaum) Cho A là một vành địa phương Noether và M là một A-môđun sinh hữu hạn có chiều xạ ảnh hữu hạn. Khi đó có đẳng thức 0D4I
Nhận xét Xét theo hệ quả 2 của mệnh đề 4 (No. 3), định lý 1 áp dụng cho A-môđun κ_A kéo theo rằng xảy ra một trong hai trường hợp sau: 0D4J
Hệ quả 1 Giữ các giả thiết của định lý 1. 0D4K
Hệ quả 2 Giữ các giả thiết của định lý 1 và giả sử thêm rằng A là một vành Macaulay. Khi đó dp_A(M) là tổng của hai số nguyên dương dim(A) - dim_A(M) và dim_A(M) - prof(M). 0D4L
Hệ quả 3 Cho A là một vành Noether, M là một A-môđun sinh hữu hạn có chiều xạ ảnh hữu hạn, i là một số nguyên ≥ 0, N là một A-môđun sinh hữu hạn, và F là giá đỡ của A-môđun Ext_Aⁱ(M, N) (re… 0D4M
Hệ quả 4 Cho A là một vành Macaulay Noether và M là một A-môđun sinh hữu hạn có chiều xạ ảnh hữu hạn. 0D4N
Mệnh đề 8 Cho A là một vành Noether, M là một A-môđun sinh hữu hạn. Khi đó dim_A(M) ≤ di_A(M). 0D4O
Mệnh đề 9 Cho A là một vành địa phương Noether và M là một A-môđun khác không sinh hữu hạn có chiều đơn ánh hữu hạn. Khi đó di_A(M) = prof(A). 0D4P
Định nghĩa 1 Một vành A được gọi là một vành Gorenstein nếu nó là Noether và nếu Aₘ-môđun Aₘ có chiều đơn ánh hữu hạn đối với mọi iđêan cực đại m của A. 0D4Q
Mệnh đề 10 Cho A là một vành Gorenstein; khi đó A là một vành Macaulay, và thỏa mãn di_A(A) = dim(A). 0D4R
Ví dụ 1 Đối với mọi tập con nhân S của một vành Gorenstein A, vành phân thức S⁻¹A là một vành Gorenstein: thật vậy, cho q là một iđêan cực đại của S⁻¹A; nó có dạng S⁻¹p, trong đó p là một… 0D4S
Ví dụ 2 Cho A là một vành Gorenstein và cho J là một iđêan của A, được sinh bởi một dãy A-chính quy x. Vành thương A/J là một vành Gorenstein: thật vậy, đối với mọi iđêan cực đại m của A c… 0D4T
Ví dụ 3 Cho A là một vành địa phương Noether, J là một iđêan của A được sinh bởi một dãy A-chính quy gồm các phần tử của m_A. Nếu A/J là một vành Gorenstein, thì điều tương tự cũng đúng vớ… 0D4U
Ví dụ 4 Cho A là một vành địa phương Noether chính quy; khi đó A là một vành Gorenstein. Thật vậy, gọi x là một hệ tọa độ của A (VIII, § 5, No. 1, Def. 1). Dãy x là A-chính quy (loc. cit… 0D4V
Ví dụ 5 Mọi vành thương của một miền iđêan chính đều là một vành Gorenstein (Ví dụ 2). Đặc biệt, mọi đại số đơn sinh trên một trường đều là một vành Gorenstein. 0D4W
Bổ đề 1 Cho A là một vành địa phương Artin. Các điều kiện sau là tương đương: 0D4X
Bổ đề 2 Cho A là một vành địa phương Noether sao cho di_A(A) = +∞. Khi đó Ext_Aⁱ(κ_A, A) ≠ 0 với mọi số nguyên i geqslant dim(A). 0D4Y
Định lý 2 (Bass) Cho A là một vành địa phương Noether; đặt d = dim(A). Gọi x = (x₁, …, x_d) là một dãy cát tuyến cực đại gồm các phần tử của m_A, và x là iđêan mà nó sinh ra. Các điều kiện sau là t… 0D4Z
Hệ quả Cho A là một vành địa phương Noether có chiều d. A-môđun Extᵈ_A(κ_A, A) khác không. 0D50
Mệnh đề 11 Cho A là một vành Noether. Các điều kiện sau là tương đương: 0D51
Mệnh đề 12 Cho ρ : A → B là một đồng cấu địa phương của các vành địa phương Noether, khiến B trở thành một A-môđun phẳng. Các điều kiện sau là tương đương: 0D52
Hệ quả 1 Cho ρ : A → B là một đồng cấu của các vành Noether làm cho B thành một A-môđun phẳng. Các điều kiện sau là tương đương: 0D53
Hệ quả 2 Cho A là một vành Noether, J là một iđêan của A, hatA là bổ toàn tách của A đối với tôpô J-adic. Xét các điều kiện sau: 0D54
Hệ quả 3 Cho A là một vành Gorenstein và (Tᵢ)_i ∈ I là một họ hữu hạn các bất định. Các vành A[(Tᵢ)_i ∈ I] và A[[Tᵢ]_i ∈ I] là các vành Gorenstein. 0D55

§ 4. Các vành chính quy

Mệnh đề 1 Cho A là một vành địa phương Noether chính quy và n là chiều của nó. Khi đó dh(A) = n và, với mọi số nguyên i geqslant 0, 0D5M
Mệnh đề 2 Một vành địa phương Noether chính quy là nhân tử. 0D5N
Mệnh đề 3 Cho A là một vành địa phương Noether chính quy và M là một A-môđun sinh hữu hạn khác không. Chiều xạ ảnh của nó là hữu hạn, và ta có 0D5O
Hệ quả 1 Ta có dp_A(M) geqslant dim(A) - dim(M); để đẳng thức xảy ra, điều kiện cần và đủ là M là một môđun Macaulay. 0D5P
Hệ quả 2 Để A-môđun M là tự do, điều kiện cần và đủ là nó là một môđun Macaulay và có chiều dim(A), hay tương đương là nó có độ sâu geqslant dim(A). 0D5Q
Hệ quả 3 Mọi môđun phản xạ sinh hữu hạn trên một vành địa phương Noether chính quy có chiều 2 đều tự do. 0D5R
Hệ quả 4 Cho ρ : A → B là một đồng cấu địa phương của các vành địa phương Noether. Giả sử rằng A là chính quy và rằng ρ biến B thành một A-môđun sinh hữu hạn. Khi đó dp_A(B) ≥ dim(A) - dim(… 0D5S
Nhận xét Hệ quả 4 cho phép đặc trưng các vành địa phương Macaulay trong một số trường hợp quan trọng. Cho A là một vành địa phương Noether; nó là một vành Macaulay khi và chỉ khi điều tương… 0D5T
Định lý 1 (Serre) Một vành địa phương Noether là chính quy khi và chỉ khi chiều đồng điều của nó là hữu hạn. 0D5U
Định nghĩa 1 Người ta nói rằng một vành A là chính quy nếu nó là Noether và nếu vành địa phương Aₘ là chính quy đối với mọi iđêan cực đại m của A. 0D5V
Mệnh đề 4 Cho A là một vành Noether. Các điều kiện sau là tương đương: (i) A là chính quy; (ii) mọi A-môđun sinh hữu hạn đều có chiều xạ ảnh < +∞; (iii) với mọi iđêan cực đại m của A, chiều… 0D5W
Ví dụ 1 Nếu vành A là chính quy, vành phân thức S⁻¹A là chính quy với mọi tập con nhân S của A: điều này suy ra chẳng hạn từ đặc trưng hóa (iii) ở trên. 0D5X
Ví dụ 2 Để một vành là chính quy, điều kiện cần và đủ là nó đẳng cấu với tích của một họ hữu hạn các vành nguyên chính quy; điều này thực tế suy ra từ sự kiện rằng mọi vành chính quy đều đ… 0D5Y
Ví dụ 3 Các vành nguyên chính quy có chiều ≤ 1 là các vành Dedekind (VIII, § 5, No. 1, ví dụ 1 và VII, § 2, No. 2, định lý 1). 0D5Z
Hệ quả 1 Cho A là một vành Noether. Các điều kiện sau là tương đương: 0D60
Hệ quả 2 Một vành chính quy là chuẩn, Gorenstein và Macaulay. 0D61
Hệ quả 3 Cho A là một vành Noether, J là một iđêan của A và hatA là hoàn thành tách được của A đối với tôpô J-adic. 0D62
Hệ quả 4 Cho A là một vành chính quy và P là một A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn. Đại số đối xứng S_A(P) là một vành chính quy. 0D63
Hệ quả 5 Cho A là một vành chính quy, và (Tᵢ)_i ∈ I là một họ hữu hạn các phần tử bất định. Vành đa thức A[(Tᵢ)_i ∈ I] và vành chuỗi hình thức A[[Tᵢ]_i ∈ I] là chính quy. 0D64
Mệnh đề 5 Cho ρ : A → B là một đồng cấu của các vành Noether và N là một B-môđun. Giả sử rằng a) vành A là chính quy, b) N là một A-môđun sinh hữu hạn, c) B-môđun N là Cohen-Macaulay, d) mọi… 0D65
Hệ quả Cho B là một vành nguyên Noether và cho A là một vành con chính quy của B. Giả sử rằng A-môđun B là sinh hữu hạn. Để vành B là một vành Macaulay, điều kiện cần và đủ là A-môđun B l… 0D66
Ví dụ Cho B là một đại số nguyên khác không kiểu hữu hạn trên một trường K. Theo VIII, § 2, No. 4, Hệ quả 1 của Định lý 3, tồn tại một đại số con A của B đẳng cấu với một đại số đa thức… 0D67
Mệnh đề 6 a) Mọi vành phân thức của một vành trình bày được đều là trình bày được. Mọi đại số kiểu hữu hạn trên một vành trình bày được đều là một vành trình bày được. 0D68
Mệnh đề 7 Cho A là một vành trình bày được. 0D69
Mệnh đề 8 Cho ρ : A → B là một đồng cấu của các vành Noether sao cho B là một A-môđun phẳng trung thành. 0D6A
Hệ quả Cho B là một vành nguyên chính quy và cho A là một vành con Noether của B sao cho B là một A-môđun sinh hữu hạn. Các điều kiện sau là tương đương: 0D6B
Bổ đề 1 Ta có 0D6C
Mệnh đề 9 Cho ρ : A → B là một đồng cấu địa phương của các vành địa phương Noether. Các điều kiện sau là tương đương: 0D6D
Ví dụ Cho X, Y là hai đa tạp giải tích phức, địa phương có số chiều hữu hạn, f là một cấu xạ từ X vào Y, và x là một điểm của X. Xét đồng cấu địa phương ρ : O_Y, f(x) → O_X, x liên kết v… 0D6E
Hệ quả Cho ρ : A → B là một đồng cấu của các vành Noether làm cho B là một A-môđun phẳng. Nếu A là chính quy và nếu κ(ρ⁻¹(𝔫)) ⊗_A B là chính quy đối với mọi iđêan cực đại 𝔫 của B, thì vàn… 0D6F

§ 5. Giao hoàn toàn

Định nghĩa 1 Cho A là một vành, J một iđêan của A. Ta nói rằng iđêan J là hoàn toàn cát tuyến tại điểm p của V(J) nếu iđêan Jₚ của Aₚ được sinh bởi một dãy hoàn toàn cát tuyến đối với Aₚ. Ta nó… 0D6T
Mệnh đề 1 Cho A là một vành, J một iđêan của A, được sinh bởi một dãy hữu hạn x = (x₁, …, xᵣ) gồm các phần tử của A. Các điều kiện sau là tương đương: 0D6U
Nhận xét 1 Khi vành A là Noether, có thể thay thế trong các điều kiện (ii) và (ii') "hoàn toàn cát tuyến" bằng "chính quy" (A, X, p. 160, cor. 1). 0D6V
Nhận xét 2 Cho A là một vành, J một iđêan kiểu hữu hạn của A và p một iđêan nguyên tố của A chứa J. Theo cor. 2 của th. 1 của § 1, No. 3, ta có 0D6W
Định lý 1 Cho A là một vành Noether và J một iđêan của A. Các điều kiện sau là tương đương: 0D6X
Nhận xét 1 Giả sử iđêan J là cát tuyến hoàn toàn; lấy (x1, ..., xr) là một dãy các phần tử của J sao cho với mọi iđêan cực đại m ∈ V(J), các ảnh chính tắc của các xi trong J/mJ tạo thành một… 0D6Y
Hệ quả 1 Cho hatA là hoàn thành tách của A đối với tôpô J-adic và hatJ = JhatA là hoàn thành tách của J. Để iđêan hatJ của hatA là cát tuyến hoàn toàn thì điều kiện cần và đủ là iđêan J của… 0D6Z
Hệ quả 2 Cho ρ : A → B là một đồng cấu của các vành Noether biến B thành một A-môđun phẳng, và J một iđêan của A. 0D70
Hệ quả 3 Cho A là một vành Noether và J một iđêan cát tuyến hoàn toàn của A. Nếu A là một vành Macaulay (resp. một vành Gorenstein), thì A/J cũng vậy. 0D71
Nhận xét 2 Người ta nói rằng một vành Noether A là một vành giao hoàn toàn nếu, với mọi iđêan cực đại m của A, vành địa phương đầy đủ widehatAₘ đẳng cấu với thương của một vành địa phương chí… 0D72
Mệnh đề 2 Cho A là một vành Noether. Các điều kiện sau là tương đương: 0D73
Mệnh đề 3 Cho A là một vành Noether và J một iđêan của A sao cho A/J là chính quy. Các điều kiện sau là tương đương: 0D74
Mệnh đề 4 Cho A là một vành chính quy, J một iđêan của A, và A₀ một vành con của A sao cho đồng cấu chính tắc A₀ → A/J là song ánh. 0D75
Định lý 2 Cho A là một vành chính quy, phân bậc kiểu N. Vành A₀ gồm các phần tử bậc 0 trong A là chính quy; tồn tại một A₀-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn P được phân bậc theo các bậc > 0 sao cho… 0D76
Hệ quả 1 Cho B là một vành chính quy, phân bậc theo các bậc dương. Giả sử rằng mọi B₀-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn đều tự do. a) Vành B₀ là một miền nguyên và chính quy, và B₀-đại số B là một… 0D77
Hệ quả 2 Cho k là một trường, B là một đại số đa thức phân bậc trên k sinh hữu hạn, và A là một đại số con phân bậc của B. Các điều kiện sau là tương đương: (i) B là một A-môđun phân bậc tự… 0D78
Mệnh đề 5 Cho ρ : A → B là một đồng cấu địa phương của các vành địa phương Noether, N là một B-môđun sinh hữu hạn, x = (x1, ..., xr) là một dãy phần tử của mB, và u : A[T1, ..., Tr] → B là đ… 0D79
Hệ quả Cho k là một trường, Λ là một đại số địa phương Noether trên k, x = (x1, ..., xr) là một dãy phần tử của mA, và M là một Λ-môđun sinh hữu hạn. Gọi Ā và Ĝ là các đầy đủ hóa của A và… 0D7A
Mệnh đề 6 Cho ρ : A → B là một đồng cấu các vành Noether, và J là một iđêan của B. Các điều kiện sau là tương đương: 0D7B
Nhận xét 1 Giả sử rằng các điều kiện tương đương của Mệnh đề 6 được thỏa mãn. Vì B/J là phẳng trên A, với mọi A-đại số A', dãy chính tắc các A'-môđun 0 → A' ⊗_A J → A' ⊗_A B → A' ⊗_A (B/J) →… 0D7C

§ 6. Mở rộng vô hướng trong các đại số chính quy

Ví dụ 1 Nói rằng một mở rộng L của một trường K là một K-đại số cốt yếu kiểu hữu hạn có nghĩa là nó là một mở rộng kiểu hữu hạn theo nghĩa của A, V, p. 11, Def. 2. K-đại số L chỉ là kiểu h… 0D7O
Ví dụ 2 Để một k-đại số địa phương là cốt yếu kiểu hữu hạn, điều kiện cần và đủ là nó đẳng cấu với một k-đại số dạng Aₚ, trong đó A là một k-đại số kiểu hữu hạn và p là một iđêan nguyên tố… 0D7P
Mệnh đề 1 Nếu vành k là Noether, mọi k-đại số cốt yếu kiểu hữu hạn đều là một vành Noether. 0D7Q
Mệnh đề 2 a) Mọi đại số thương của một k-đại số cốt yếu kiểu hữu hạn đều là cốt yếu kiểu hữu hạn. 0D7R
Hệ quả Cho A là một k-đại số về cơ bản thuộc kiểu hữu hạn và B là một k-đại số Noether. Khi đó vành A ⊗ₖ B là Noether. 0D7S
Mệnh đề 3 Cho k là một vành, A là một k-đại số và B là một A-đại số. Nếu A về cơ bản thuộc kiểu hữu hạn trên k và B về cơ bản thuộc kiểu hữu hạn trên A, thì B về cơ bản thuộc kiểu hữu hạn tr… 0D7T
Hệ quả Tích tenxơ của hai k-đại số về cơ bản thuộc kiểu hữu hạn là một k-đại số về cơ bản thuộc kiểu hữu hạn. 0D7U
Mệnh đề 4 Cho k là một trường, A là một k-đại số về cơ bản thuộc kiểu hữu hạn và B là một k-đại số. 0D7V
Hệ quả 1 Cho k là một trường, K là một mở rộng của k và A là một k-đại số về cơ bản thuộc kiểu hữu hạn. Để A_(K) là một vành Macaulay (tương ứng một vành Gorenstein), điều kiện cần và đủ là… 0D7W
Hệ quả 2 Cho k là một vành Noether, A và B là các k-đại số. Giả sử rằng A là phẳng và về cơ bản thuộc kiểu hữu hạn trên k. Nếu A và B là các vành Macaulay (tương ứng các vành Gorenstein), t… 0D7X
Bổ đề 1 Cho A là một vành Noether, là hợp của một họ lọc tăng (A_α)_α ∈ I các vành con Noether. 0D7Y
Bổ đề 2 Cho k là một trường, và cho K và L là các mở rộng của k. Giả sử rằng K là kiểu hữu hạn và một trong hai mở rộng K hoặc L là tách được. Khi đó vành K ⊗ₖ L là chính quy. 0D7Z
Mệnh đề 5 Cho k là một trường, A một k-đại số và K một mở rộng của k. Giả sử rằng A là cốt yếu kiểu hữu hạn hoặc mở rộng K là kiểu hữu hạn. 0D80
Định nghĩa 1 Cho k là một trường và A một k-đại số. Ta nói rằng A là tuyệt đối chính quy (tương ứng tuyệt đối chuẩn tắc)¹ nếu vành A_(k') là chính quy (tương ứng chuẩn tắc) với mọi mở rộng radi… 0D81
Ví dụ 1 Nếu k là hoàn hảo, mọi đại số trên k chính quy (tương ứng chuẩn tắc) đều là tuyệt đối chính quy (tương ứng tuyệt đối chuẩn tắc). 0D82
Ví dụ 2 Cho A là một đại số trên k Artin. Nếu A là chuẩn tắc thì nó là rút gọn, do đó đẳng cấu với một tích hữu hạn các mở rộng của k (A, VIII, § 8, No. 1, mệnh đề 2). Các điều kiện sau là… 0D83
Ví dụ 3 Cho A là một đại số trên k địa phương chính quy. Nếu mở rộng κ_A của k là tách được thì đại số A là tuyệt đối chính quy. Thật vậy, cho k' là một mở rộng bậc hữu hạn của k. A-môđun… 0D84
Mệnh đề 6 Cho k là một trường và A là một đại số trên k Noether. 0D85
Bổ đề 3 Cho k là một trường và K là một mở rộng kiểu hữu hạn của k. Tồn tại một mở rộng L của K, có bậc hữu hạn, và một mở rộng con k' của L trên k, không tách được thuần túy và có bậc hữu… 0D86
Mệnh đề 7 Cho k là một trường, A và B là hai đại số trên k, một trong hai đại số đó về cơ bản là kiểu hữu hạn. Giả sử A là chính quy tuyệt đối (resp. chuẩn tắc tuyệt đối). Nếu vành B là chín… 0D87
Hệ quả 1 Cho k là một trường. Tích tenxơ của hai đại số trên k chính quy tuyệt đối (resp. chuẩn tắc tuyệt đối), một trong hai đại số đó về cơ bản là kiểu hữu hạn, là một đại số trên k chính… 0D88
Hệ quả 2 Cho k là một trường, A là một đại số trên k chính quy tuyệt đối (resp. chuẩn tắc tuyệt đối), và K là một mở rộng của k. Giả sử rằng A về cơ bản là kiểu hữu hạn hoặc mở rộng K của k… 0D89
Hệ quả 3 Cho k là một trường, A một đại số trên k, và K một mở rộng của k. Giả sử rằng đại số trên k A về bản chất thuộc kiểu hữu hạn hoặc rằng mở rộng K của k thuộc kiểu hữu hạn. Để đại số… 0D8A
Hệ quả 4 Cho k là một trường, A một đại số trên k về bản chất thuộc kiểu hữu hạn, và K một mở rộng của k là một trường hoàn hảo. Để A là tuyệt đối chính quy (tương ứng, tuyệt đối chuẩn tắc)… 0D8B
Mệnh đề 8 Cho k là một trường và A một đại số trên k về bản chất thuộc kiểu hữu hạn. Gọi I là hạt nhân của đồng cấu các đại số trên k μ : A ⊗ₖ A → A sao cho μ(x ⊗ y) = xy với x và y trong A… 0D8C
Định lý 1 Gọi k là một trường và A là một k-đại số địa phương kiểu hữu hạn về bản chất. Đặt n = \dim(A) + \deg.\mathrm{tr}k(\kappaA). 0D8D
Bổ đề 4 Cho k là một trường, K là một mở rộng đại số của k , B là một đại số trên k mà phổ là liên thông. Với mọi nhân tử chính tắc C của B{(K)} , ta có \dim(C) = \dim(B) . 0D8E
Bổ đề 5 Cho k là một trường đóng đại số, A là một đại số trên k sinh hữu hạn mà phổ là liên thông, n là một số nguyên và (x1, \ldots , xn) là một dãy hữu hạn các phần tử của A . Giả sử rằn… 0D8F
Ví dụ Khi A là một mở rộng hữu hạn kiểu của k, định lý 1 lại cho Hệ quả 1 của A, V, p. 128, nếu tính đến Ví dụ 2 của No. 4. 0D8G
Hệ quả 1 Cho k là một trường và A là một k-đại số về bản chất là hữu hạn kiểu. Tập hợp các phần tử 𝔭 của Spec(A) sao cho k-đại số A_𝔭 là chính quy tuyệt đối là một tập mở trong Spec(A). 0D8H
Hệ quả 2 Cho k là một trường và A là một k-đại số về bản chất là hữu hạn kiểu. Điều kiện cần và đủ để A là chính quy tuyệt đối là A-môđun Ωₖ(A) là xạ ảnh và với mọi iđêan nguyên tố cực tiểu… 0D8I
Nhận xét Giả sử k-đại số A là chính quy tuyệt đối. Khi đó vành phân thức toàn phần F của A được đồng nhất với tích của các A_q, trong đó q chạy qua tập hợp các iđêan nguyên tố cực tiểu của… 0D8J
Hệ quả 3 Cho k là một trường có đặc số 0 và A là một k-đại số thiết yếu kiểu hữu hạn. Để A là chính quy, điều kiện cần và đủ là A-môđun Ωₖ(A) là xạ ảnh. 0D8K

§ 7. Đại số trơn

Mệnh đề 1 Nếu φ thừa nhận một phép nâng, thì ánh xạ (δ, tildeφ) ↦ δ + tildeφ xác định một phép toán đơn bắc cầu của nhóm các k-đạo hàm từ A vào N trên tập hợp các phép nâng của φ. 0D8S
Ví dụ Cho B là một k-đại số, N là một B-môđun. Trang bị cho k-môđun B ⊕ N một cấu trúc k-đại số được xác định bởi (b, x)(b', x') = (bb', bx' + b'x) (xem A, III, p. 127), sao cho N là một… 0D8T
Mệnh đề 2 Trang bị cho k-môđun A/J ⊕ J/J² cấu trúc của một k-đại số được xác định như trong ví dụ trên. Các ánh xạ v ↦ hᵥ và h ↦ ψₕ cảm sinh các song ánh giữa các tập hợp sau : 0D8U
Định nghĩa 1 Người ta nói rằng A là trơn hình thức trên k, hay là một k-đại số trơn hình thức, nếu nó thỏa mãn điều kiện sau: với mọi k-đại số C và mọi iđêan bình phương-không N của C, mọi đồng… 0D8V
Nhận xét 1 Cho k là một vành, A là một k-đại số và J là một iđêan của A. Nếu k-đại số A/J là trơn hình thức (đối với tôpô rời rạc), thì ánh xạ đồng nhất của A/J chấp nhận một phép nâng lên A/… 0D8W
Nhận xét 2 Cho k là một vành, A là một k-đại số được tôpô hóa tuyến tính hình thức trơn, M là một A-môđun mà linh hóa tử của nó là mở trong A. Khi đó mọi đạo hàm δ từ k vào M đều kéo dài được… 0D8X
Mệnh đề 3 Cho k là một vành. 0D8Y
Mệnh đề 4 Cho k là một vành, A và B các k-đại số, J một iđêan của A, K một iđêan của B. 0D8Z
Hệ quả Cho k là một trường, K là một mở rộng tách được của k và A là một K-đại số tôpô tuyến tính. Nếu A trơn hình thức trên K thì nó trơn hình thức trên k. 0D90
Nhận xét 1 Cho k là một trường. Mọi k-đại số étale (A, V, p. 28, def. 1) đều trơn hình thức (loc. cit., p. 34, th. 4, d) và No. 2, prop. 3, b)). 0D91
Nhận xét 2 Ta sẽ thấy dưới đây (hệ quả 2 của định lý 2 của No. 5) rằng một mở rộng trường trơn hình thức thì chính quy tuyệt đối, do đó tách được (§ 6, No. 4, ví dụ 2). 0D92
Mệnh đề 5 Cho A là một đại số trên k tôpô tuyến tính trơn hình thức. Mọi đồng cấu liên tục của các đại số trên k φ : A → C/Cₘ đều có một nâng liên tục lên C. 0D93
Ví dụ Cho C là một đại số trên k và N là một iđêan hai phía lũy linh của C. Mệnh đề áp dụng được cho đại số C được trang bị lọc N-adic. Nếu A là một đại số trên k tôpô tuyến tính trơn hì… 0D94
Định lý 2 Cho k là một vành, A là một đại số trên k, và J là một iđêan của A sao cho đại số trên k A/J là trơn hình thức. Trang bị cho A tôpô J-adic. Các điều kiện sau là tương đương: 0D95
Hệ quả 1 Cho k là một trường và A là một đại số địa phương Noether trên k sao cho mở rộng κA của k là tách được. Các điều kiện sau là tương đương: 0D96
Hệ quả 2 Cho k là một trường, A là một k-đại số Noether và J là một iđêan của A được chứa trong căn của A. Giả sử rằng k-đại số A là trơn hình thức đối với tôpô J-adic. Khi đó nó là chính q… 0D97
Hệ quả 3 Cho k là một vành và A là một k-đại số trơn hình thức. 0D98
Bổ đề 1 Giả sử rằng B-đại số A thừa nhận một họ sinh t = (tᵢ)_i ∈ I, với các quan hệ xác định f_λ ∈ A[T] (λ ∈ A). Đồng cấu B-tuyến tính ψ : (B ⊗_A Ωₖ(A)) ⊕ B⁽ᴵ⁾ longrightarrow Ωₖ(B) được x… 0D99
Bổ đề 2 Giả sử vành A là địa phương và Noether. Khi đó Aₙ là địa phương và Noether. Các điều kiện sau là tương đương: 0D9A
Mệnh đề 6 Cho k là một trường có đặc số p ≠ 0, k' là một mở rộng thuần túy không khả phân của k, bậc hữu hạn và chiều cao leqslant 1, và A là một k-đại số địa phương chính quy. Khi đó A_(k')… 0D9B
Mệnh đề 7 Cho k₀ là một vành, k là một k₀-đại số, A là một k-đại số, m là một iđêan cực đại của A. Giả sử rằng k và A/m là trơn hình thức trên k₀. Để A là trơn hình thức trên k đối với tôpô… 0D9C
Nhận xét 1 Khi A là Noether, điều kiện (i) có nghĩa là vành địa phương A_𝔪 là chính quy (VIII, § 5, No. 2, Định lý 1). 0D9D
Mệnh đề 8 Cho k là một trường và A là một đại số địa phương Noether trên k. Các điều kiện sau là tương đương: 0D9E
Nhận xét 2 Cho k là một trường và A là một đại số trên k sao cho vành A_(k') là chính quy với mọi mở rộng thuần bất khả phân k' của k, có bậc hữu hạn và chiều cao ≤ 1; khi đó A là chính quy t… 0D9F
Mệnh đề 9 Cho A là một vành, M là một A-môđun hữu hạn sinh, N là một A-môđun xạ ảnh, và u : M → N là một ánh xạ A-tuyến tính. 0D9G
Bổ đề 3 Cho K là một iđêan của A chứa J. Giả sử rằng tồn tại một số nguyên m sao cho J ∩ Kᵐ được chứa trong JK (điều kiện này được thỏa mãn nếu A là Noether). Nếu A/J là trơn hình thức trê… 0D9H
Bổ đề 4 Giả sử rằng A là trơn hình thức trên k đối với tôpô J-adic. Để A/J là trơn hình thức trên k, điều kiện cần và đủ là ánh xạ chính tắc bard có một phép rút lại A-tuyến tính. 0D9I
Định lý 3 Cho k là một vành, A là một k-đại số trơn hình thức, và J là một iđêan sinh hữu hạn của A; đặt B = A/J. 0D9J
Hệ quả 1 Cho k₀ là một vành, k là một k₀-đại số Noether trơn hình thức, và B là một k-đại số địa phương essenxiellement hữu hạn kiểu. Nếu k₀-đại số B là trơn hình thức đối với tôpô 𝔪_B-adic… 0D9K
Hệ quả 2 Cho k₀ là một vành, k là một k₀-đại số Noether trơn hình thức, và B là một k-đại số essenxiellement hữu hạn kiểu. Tập U các iđêan nguyên tố 𝔭 của B sao cho k₀-đại số B_𝔭 là trơn hì… 0D9L
Nhận xét 1 Các hệ quả 1 và 2 áp dụng đặc biệt khi k₀ là một trường và ta ở trong một trong hai trường hợp sau: a) B là một đại số về cơ bản thuộc kiểu hữu hạn trên một mở rộng tách được của k… 0D9M
Nhận xét 2 Dưới các giả thiết của hệ quả 3, A-môđun Ω(A) là xạ ảnh (No. 5, hệ quả 3 của định lý 2), do đó tự do; vì vậy mọi đạo hàm của A vào κ_A đều nâng được thành một đạo hàm của A. Vì thế… 0D9N
Hệ quả 4 (Zariski) Cho k là một trường và A là một k-đại số về cơ bản thuộc kiểu hữu hạn hoặc một vành địa phương Noether đầy đủ. Tập hợp các iđêan nguyên tố 𝔭 của A sao cho vành địa phương A_𝔭 là ch… 0D9O
Bổ đề 5 Cho ρ : A → B là một đồng cấu địa phương của các vành địa phương Noether. Giả sử rằng B là về bản chất kiểu hữu hạn trên A. Để B-đại số B là trơn hình thức trên A, điều kiện cần và… 0D9P
Định lý 4 Cho A là một vành Noether và B là một đại số trên A thuộc kiểu hữu hạn về bản chất. Các điều kiện sau là tương đương: 0D9Q
Định nghĩa 2 Cho A là một vành Noether. Một đại số trên A B được gọi là trơn nếu nó thuộc kiểu hữu hạn về bản chất và nếu nó thỏa mãn các điều kiện tương đương của định lý 4. 0D9R
Mệnh đề 10 Cho A là một vành Noether. 0D9S
Ví dụ 1 Các đại số trơn trên một trường k là các k-đại số cốt yếu kiểu hữu hạn và chính quy tuyệt đối. 0D9T
Ví dụ 2 Cho A là một vành Noether, T = (Tᵢ)_i ∈ I là một họ hữu hạn các ẩn. A-đại số A[T] là trơn. Tổng quát hơn, cho F₁, …, Fₘ là các phần tử của A[T], và cho B là A-đại số A[T]/(F₁, …, F… 0D9U

§ 8. Đối ngẫu của các môđun có độ dài hữu hạn

Mệnh đề 1 Cho A là một vành Noether. Với mọi iđêan nguyên tố 𝔭 của A, gọi e_𝔭 : A/𝔭 → I(𝔭) là một bao đơn ánh của A/𝔭 (A, X, § 1, No. 9). 0DAA
Nhận xét 1 Cho I là một A-môđun đơn ánh không phân tích được, và cho 𝔭 là phần tử duy nhất của Ass(I); theo Mệnh đề 1, I chứa một môđun con đẳng cấu với A/𝔭 mà nó là bao đơn ánh. Nói chung mộ… 0DAB
Định lý 1 Cho A là một vành Noether. Với mọi A-môđun đơn ánh I, tồn tại một và chỉ một họ các lực lượng (a_𝔭)_𝔭 ∈ Spec(A) sao cho I đẳng cấu với ⨁_𝔭 I(𝔭)^(a_𝔭). 0DAC
Nhận xét 2 Cho A là một vành Noether, M là một A-môđun, e : M → I là một bao đơn ánh của M. Tập hợp Ass(M) bằng Ass(I): thật vậy, bao hàm Ass(M) ⊂ Ass(I) là hiển nhiên. Mặt khác, nếu p là một… 0DAD
Ví dụ Cho A là một miền iđêan chính, và gọi K là trường phân thức của nó. Các A-môđun nội xạ là các A-môđun chia được (A, X, p. 17, Hệ quả 2). A-môđun K là một bao nội xạ của A (A, X, p… 0DAE
Bổ đề 1 Cho A là một vành, a là một iđêan của A, và I là một A-môđun. Với mọi số nguyên n geqslant 0, gọi Iₙ là môđun con của I gồm các phần tử bị triệt tiêu bởi aⁿ. 0DAF
Mệnh đề 2 Cho A là một vành Noether, α là một iđêan của A, E là một A-môđun và M là một môđun con-A của E bị triệt tiêu bởi α. Các điều kiện sau là tương đương: (i) E là một bao đơn ánh của… 0DAG
Bổ đề 2 Cho A là một vành, α là một iđêan hữu hạn sinh của A, và M là một A-môđun mà mỗi phần tử đều bị triệt tiêu bởi một lũy thừa của α. Ký hiệu widehatA là bổ sung tách của A đối với tô… 0DAH
Mệnh đề 3 Cho A là một vành Noether, p là một iđêan nguyên tố của A, và e : A/p → I là một bao nội xạ của A-môđun A/p. Với mỗi số nguyên n ≥ 0, ký hiệu Iₙ là môđun con của I gồm các phần tử… 0DAI
Nhận xét Suy ra từ chứng minh trước rằng linh hóa tử của Iₙ trong widehatAₚ (resp. trong Aₚ) là 𝔭ⁿ widehatAₚ (resp. 𝔭ⁿ Aₚ). Do đó linh hóa tử của A-môđun Iₙ là ảnh ngược trong A của iđêan 𝔭… 0DAJ
Hệ quả Cho J là một A-môđun đơn ánh sao cho AssA(J) = {p}. 0DAK
Định nghĩa Ta nói rằng một A-môđun I là một Matlis A-môđun nếu nó là đơn ánh, nếu mA là iđêan nguyên tố liên kết duy nhất của nó, và nếu không gian vectơ trên κA HomA(κA, I) có chiều bằng 1. 0DAL
Bổ đề 3 Cho I là một Matlis A-môđun. Khi đó: 0DAM
Bổ đề 4 Cho I là một Matlis A-môđun và M là một A-môđun. Các điều kiện sau là tương đương : 0DAN
Bổ đề 5 Mọi widehatA-môđun Artin đều là Artin như một A-môđun. 0DAO
Định lý 2 Cho M là một A-môđun. 0DAP
Nhận xét Giả sử vành A là Artin. Ta có long_A(I) = long_A(D_A(A)) = long(A) (Định lý 2, c)). Cho M là một A-môđun sinh hữu hạn; nó thừa nhận một bao nội xạ đẳng cấu với Iˢ, trong đó s là ch… 0DAQ
Mệnh đề 4 Điều kiện cần và đủ để A-môđun M có độ dài hữu hạn là D(M) có độ dài hữu hạn. Khi đó ta có z₀(D(M)) = z₀(M), long_A(M) = long_A D(M), Ann_A(M) = Ann_A(D(M)), và ánh xạ A-tuyến tính… 0DAR
Ví dụ Cho A là một miền iđêan chính, K là trường phân thức của nó. A-môđun K/A là một môđun Matlis: thật vậy, ánh xạ chính tắc từ K/A vào ∏_m ∈ Ω K/Aₘ cảm sinh một đẳng cấu từ K/A lên ⨁_… 0DAS
Ví dụ 1 Cho J là một A-môđun Matlis. Đặt T(M) = Hom_A(M, J) với mọi A-môđun M có độ dài hữu hạn và T(f) = Hom_A(f, 1_J) với mọi ánh xạ A-tuyến tính f giữa các A-môđun có độ dài hữu hạn. Kh… 0DAT
Ví dụ 2 Cho C là một phức nội xạ của các A-môđun và d là một số nguyên sao cho Hⁱ(Homgr_A(κ_A, C)) bằng không với i ≠ d và có độ dài 1 với i = d. Với mọi A-môđun M có độ dài hữu hạn, ta có… 0DAU
Ví dụ 3 Cho Ω là một A-môđun và d là một số nguyên geqslant 0 sao cho Ext_Aⁱ(κ_A, Ω) bằng không với i ≠ d và có độ dài 1 với i = d. Đặt T(M) = Ext_Aᵈ(M, Ω) với mọi A-môđun M có độ dài hữu… 0DAV
Ví dụ 4 Nếu A là một vành Gorenstein, chẳng hạn một vành chính quy, thì có thể áp dụng Ví dụ 3 bằng cách lấy Ω = A và d = dim(A) (§ 3, No. 7, Mệnh đề 11). 0DAW
Định lý 3 a) A-môđun I là một môđun Matlis. Với mọi số nguyên m geqslant 0, Iₘ là A-môđun con của I gồm các phần tử bị triệt tiêu bởi m_Aᵐ. 0DAX
Ví dụ 5 Hãy xét lại các giả thiết và ký hiệu của Ví dụ 1. Khi đó T(A/𝔪_Aⁿ) = Hom_A(A/𝔪_Aⁿ, J) được đồng nhất với môđun con Jₙ của J tạo bởi các phần tử bị triệt tiêu bởi 𝔪_Aⁿ; bằng cách ch… 0DAY
Ví dụ 6 Hãy xét lại các giả thiết và ký hiệu của Ví dụ 3. Người ta thu được rằng I = varinjlim Ext_Aᵈ(A/𝔪_Aⁿ, Ω) là một A-môđun Matlis. Với mọi A-môđun có độ dài hữu hạn M, có một A-đẳng c… 0DAZ
Mệnh đề 5 Cho ρ : A → B là một đồng cấu địa phương của các vành địa phương Noether, sao cho mở rộng thặng dư κ_A → κ_B cảm sinh bởi ρ là bậc hữu hạn. Gọi I_A là một A-môđun Matlis. 0DB0
Hệ quả a) Nếu A-đại số B là hữu hạn, thì B-môđun I_B = Hom_A(B, I_A) là một B-môđun Matlis. 0DB1
Mệnh đề 6 Giả sử A-môđun J là nội xạ; với mọi A-môđun N, đặt D(N) = Hom_A(N, J). 0DB2
Nhận xét 1 Với mọi đồng cấu f : N → N' của các A-môđun, ký hiệu bởi D(f) : D(N') → D(N) đồng cấu Hom(f, 1_J). Cho u : M → M' và v : P → P' là các đồng cấu của A-môđun. Chọn các phân giải xạ ả… 0DB3
Nhận xét 2 Cho 0DB4

§ 9. Môđun đối ngẫu hóa

Định nghĩa 1 Cho A là một vành Noether. Ta nói rằng một A-môđun Ω là đối ngẫu hóa nếu nó sinh hữu hạn và nếu, với mọi iđêan cực đại m của A, không gian vectơ A/m Ext_Aⁱ(A/m, Ω) bằng không với i… 0DBF
Ví dụ 1 Nếu vành A là địa phương và Artin, thì các A-môđun đối ngẫu hóa là các A-môđun đơn ánh sinh hữu hạn Ω sao cho Hom_A(κ_A, Ω) có chiều 1 (S 3, No. 3, mệnh đề 6), tức là các A-môđun M… 0DBG
Ví dụ 2 Để một vành Noether A là Gorenstein, điều kiện cần và đủ là A-môđun A là đối ngẫu hóa (S 3, No. 7, mệnh đề 11). Đặc biệt, A-môđun A là đối ngẫu hóa khi A là chính quy. 0DBH
Nhận xét 1 Cho A là một vành địa phương Noether và Ω một A-môđun sinh hữu hạn. Trường thặng dư κ_widehatA được đồng nhất với κ_A, và widehatA-môđun widehatΩ với widehatA ⊗_A Ω (III, S 3, No… 0DBI
Nhận xét 2 Cho Ω là một A-môđun đối ngẫu hóa; với mọi A-môđun xạ ảnh L hạng 1, A-môđun Ω ⊗_A L là đối ngẫu hóa (A, X, p. 108, mệnh đề 7, b)). Ta sẽ thấy dưới đây (No. 4, mệnh đề 6) rằng mọi A… 0DBJ
Mệnh đề 1 Cho A là một vành Noether và Ω là một A-môđun đối ngẫu hóa. 0DBK
Mệnh đề 2 Cho A là một vành Noether, Ω là một A-môđun đối ngẫu hóa. Với mọi iđêan nguyên tố p của A, Aₚ-môđun Ωₚ là đối ngẫu hóa. 0DBL
Bổ đề 1 Cho B là một vành nguyên địa phương Noether chiều 1, và M là một B-môđun xoắn-không sinh hữu hạn. Giả sử rằng ta có long_B(M/xM) = long_B(B/xB) với mọi phần tử khác không x của B… 0DBM
Hệ quả 1 Với mọi tập con nhân tính S của A, S⁻¹A-môđun S⁻¹Ω là đối ngẫu hóa. 0DBN
Hệ quả 2 Giá của Ω bằng Spec(A). 0DBO
Hệ quả 3 Cho M là một A-môđun sinh hữu hạn, và i là một số nguyên. A-môđun Ext_Aⁱ(M, Ω) là sinh hữu hạn, và giá của nó có đối chiều geqslant i trong Spec(A). 0DBP
Mệnh đề 3 Cho A là một vành địa phương Noether, Ω là một A-môđun đối ngẫu hóa và M là một A-môđun sinh hữu hạn. 0DBQ
Hệ quả Nếu M là Macaulay, thì Ext_Aⁱ(M, Ω) = 0 với i ≠ c; A-môđun Ext_Aᶜ(M, Ω) là Macaulay, và giá của nó bằng giá của M. 0DBR
Mệnh đề 4 Cho A là một vành Noether, J là một iđêan của A sinh bởi một A-dãy chính quy x, và Ω là một A-môđun sinh hữu hạn. 0DBS
Hệ quả 1 Cho A là một vành nguyên Noether. Mọi A-môđun đối ngẫu hóa đều không xoắn và có hạng 1. 0DBT
Hệ quả 2 Cho A là một vành Macaulay địa phương, \Omega một A-môđun hữu hạn sinh, và x một dãy cát tuyến cực đại gồm các phần tử của mA, sinh ra một iđêan J. Các điều kiện sau là tương đương… 0DBU
Mệnh đề 5 Cho ρ : A → B là một đồng cấu của các vành Noether, biến B thành một A-môđun phẳng. Giả sử rằng với mọi iđêan cực đại n của B, vành κ(ρ⁻¹(n)) ⊗_A B là một vành Gorenstein. Cho Ω là… 0DBV
Hệ quả Cho A là một vành Noether nhận một môđun đối ngẫu hóa Ω; cho B là một đại số đa thức trên A theo một số hữu hạn bất định. B-môđun Ω_(B) là đối ngẫu hóa. 0DBW
Mệnh đề 6 Cho A là một vành địa phương Noether và Ω là một A-môđun đối ngẫu hóa. Cho B là một A-đại số hữu hạn; giả sử rằng A-môđun B là Macaulay. B-môđun Ext_Aⁱ(B, Ω) bằng không với i ≠ dim… 0DBX
Hệ quả 1 Cho A là một vành Noether, Ω một A-môđun đối ngẫu hóa, và B một đại số trên A hữu hạn; giả sử rằng A-môđun B là Macaulay. B-môđun Ext_A(B, Ω) là đối ngẫu hóa. 0DBY
Nhận xét Giữ các giả thiết của hệ quả 1 và giả sử thêm rằng đồng cấu chính tắc ρ : A → B là đơn ánh. Khi đó ta có dim(Aₘ) = dim(Bₘ) với mọi iđêan cực đại m của A (VIII, § 2, No. 3, định lý… 0DBZ
Hệ quả 2 Nếu một vành Noether A có một môđun đối ngẫu hóa, thì mọi đại số trên A sinh hữu hạn là một vành Macaulay đều có một môđun đối ngẫu hóa. 0DC0
Hệ quả 3 Mọi vành Macaulay biểu diễn được (đặc biệt, mọi vành địa phương Macaulay đầy đủ) đều có một môđun đối ngẫu hóa. 0DC1
Bổ đề 2 Cho A là một vành Noether, M và N là các A-môđun sinh hữu hạn, u : M → N là một đồng cấu. Cho x là một phần tử của căn của A, sao cho phép vị tự x_N là đơn ánh. Nếu đồng cấu overli… 0DC2
Mệnh đề 7 Cho A là một vành Noether và Ω là một A-môđun đối ngẫu hóa. 0DC3
Hệ quả 1 Để A là một vành Gorenstein, điều kiện cần và đủ là A-môđun Ω xạ ảnh hạng 1. 0DC4
Hệ quả 2 Giả sử rằng vành A là trình bày được. Tập hợp các iđêan nguyên tố p của A sao cho Aₚ là một vành Gorenstein là mở trong Spec(A). 0DC5
Định lý 1 Cho M là một A-môđun sinh hữu hạn. Khi đó α_M là một đồng cấu trên đồng điều: ta có Hᵢ(D(D(M))) = 0 với i ≠ 0 và đồng cấu α_M là song ánh. 0DC6
Hệ quả Nếu A-môđun M là Macaulay, đồng cấu β_M là song ánh. 0DC7
Mệnh đề 8 A-môđun V/Ω là một môđun Matlis. 0DC8
Mệnh đề 9 Cho B là bao đóng nguyên của A, và c = A : B. Giả sử B là một A-môđun hữu hạn sinh. Ta có bất đẳng thức [B/c] ≤ 2[B/A] trong Z₀(A). Để có đẳng thức, điều kiện cần và đủ là A là một… 0DC9

§ 10. Đối đồng điều địa phương, đối ngẫu grothendieck

Nhận xét 1 Cho X là không gian tôpô Spec(A), O_X bó cấu trúc các vành và widetildeM môđun O_X liên kết với M. A-môđun phân bậc H_A(M) được đồng nhất với môđun H_m_A(X, widetildeM) của đối đồn… 0DCM
Ví dụ 1 Nếu M là nội xạ, A-môđun H_Aⁱ(M) bằng không với i > 0 và nội xạ với i = 0 (§ 8, No. 2, bổ đề 1, c)). 0DCN
Ví dụ 2 Nếu H_A⁰(M) = M (chẳng hạn nếu M là Artin), thì H_Aⁱ(M) bằng không với i > 0. Thật vậy, gọi (I, e) là một bao nội xạ của M. Môđun con H_A⁰(I) của I là nội xạ (ví dụ 1) và chứa e(M)… 0DCO
Ví dụ 3 Cho Ω là một A-môđun đối ngẫu hóa. Với i ≠ dim(A), có Ext_Aⁱ(A/α, Ω) = 0 với mọi iđêan định nghĩa α của A (§ 8, No. 5, ví dụ 3), do đó H_Aⁱ(Ω) = 0; với i = dim(A), A-môđun H_Aⁱ(Ω)… 0DCP
Ví dụ 4 Cho A là một vành địa phương nguyên Noether; gọi K là trường phân thức của nó, và giả sử rằng A ≠ K. Nó là một A-môđun nội xạ (A, X, p. 18, ví dụ 1), nên môđun H_A(K) bằng không (v… 0DCQ
Ví dụ 5 Giữ các giả thiết của ví dụ trước và giả sử thêm rằng dim(A) = 1. Cho N là một A-môđun xoắn; vì mọi iđêan khác không của A phân biệt với A đều là một iđêan định nghĩa (VIII, § 1, N… 0DCR
Mệnh đề 1 Cho A là một vành địa phương Noether và M là một A-môđun sinh hữu hạn. 0DCS
Hệ quả Cho M là một A-môđun Macaulay khác không, kiểu hữu hạn. A-môđun H_Aⁱ(M) bằng không với i ≠ dim(M) và khác không với i = dim(M). 0DCT
Nhận xét 2 Với mọi iđêan định nghĩa α của A, A-môđun Ext_A(A/α, M) bị triệt tiêu bởi α, và A/α được đồng nhất với widehatA/α widehatA; do đó, A-môđun phân bậc Ext_A(A/α, M) được đồng nhất với… 0DCU
Nhận xét 1 Cho f : M → N là một đồng cấu của các a-môđun. Dùng A, X, p. 103, mệnh đề 2, ta chứng minh được rằng các biểu đồ sau là giao hoán: 0DCV
Nhận xét 2 Cho (E) 0 → M → N → P → 0 là một dãy khớp của các a-môđun. Dùng A, X, p. 104, mệnh đề 3 và p. 106, mệnh đề 4, ta chứng minh được rằng các biểu đồ sau là giao hoán: 0DCW
Nhận xét 3 Xét đẳng cấu τᵈ(M) : M ⊗_A H_Aᵈ(A) longrightarrow H_Aᵈ(M) Với x ∈ M, ta ký hiệu bởi fₓ ánh xạ a ↦ ax từ A vào M. Với mọi u ∈ H_Aᵈ(A), ta có τᵈ(M)(x ⊗ u) = H_Aᵈ(fₓ)(u) Điều này thực… 0DCX
Mệnh đề 2 Cho A là một vành Macaulay địa phương, có chiều d, và cho Ω là một A-môđun đối ngẫu hóa. Đồng cấu ω : H_Aᵈ(A) → D(Ω) là song ánh. 0DCY
Hệ quả Đồng cấu D(ω) : widehatΩ → D(Hᵈ_A(A)) là một đẳng cấu. 0DCZ
Định lý 1 (Grothendieck Duality) Cho A là một vành Macaulay địa phương, có chiều d, và Ω là một A-môđun đối ngẫu hóa. 0DD0
Hệ quả Cho A là một vành Macaulay địa phương, và M là một A-môđun sinh hữu hạn khác không, có chiều e. A-môđun H_Aᵉ(M) khác không. 0DD1
Nhận xét 1 Khi A-môđun M là sinh hữu hạn, widehatA-môđun Ext_Aᵈ⁻ⁱ(M, widehatΩ) được đồng nhất với widehatA ⊗_A Ext_Aᵈ⁻ⁱ(M, Ω) (A, X, p. 108, Mệnh đề 7, c)), và δⁱ(M) cũng có thể thu được bằng… 0DD2
Nhận xét 2 Cho u : M → M' là một đồng cấu của các A-môđun. Theo Nhận xét 1 của No. 2 và Nhận xét của § 8, No. 7, các biểu đồ sau là giao hoán: 0DD3
Nhận xét 3 Cho 0DD4
Ví dụ Cho A là một vành địa phương Noether nguyên có chiều 1; gọi K là trường phân thức của nó. Cho Ω là một A-môđun đối ngẫu hóa, và cho M là một A-môđun sinh hữu hạn. Các A-môđun H_A⁰(… 0DD5