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命题索引

交换代数的 888 个命题，按章和节排列。选择一种类型，按词筛选，或把被引用最多的排在前面。

引用最多的在前

I. 平模

§ 1. 图表和正合序列

定义 1 令A为环、F, G, H三个右（左）A模块、F至G的f同态以及g同态 G 至 H。如果overlineg⁻¹(0) = f(F)，有序对 (f, g) 称为正合序列，即g 的核等于f 的像。 0421
命题 1 考虑交换性群的交换性图表： beginarrayccccc A & xrightarrowu & B & xrightarrowv & C \\ a downarrow & & b downarrow & & c downarrow \\ A' & xrightarrowu' & B' & xrightarrowv' & C' endarray ↩ 3 0422
引理 1 考虑交换性群的交换性图表： 0423
命题 2 假设在交换律中图表 (10) 序列 (u, v) 和 (u', u') 是精确的。然后： ↩ 10 0424
注如果图表（10）中的群都是（对于例，右）模超过环A并且同态是A-模同态，很快就可以验证同态d定义在命题2，(iii)也是A-模同态：如果x ∈ Ker(c)和a ∈ A，且y ∈ B使得v(y) = k(x)，则注足以满足v(ya) = k(xa)。 0425
推论 1 假设图表 (10) 是可交换的并且两行是精确的。然后： ↩ 2 0426
推论 2 假设图表 (10) 是可交换的并且两行是精确的。在这些条件下： ↩ 5 0427

§ 2. 平模(*)

引理 1 令M' xrightarrowv M xrightarroww M'' → 0为左A-模和E右A-模的正合序列。然后序列 ↩ 11 042F
引理 2 如果v : M' → M是单射且v(M')是M的直因子，则同态1, ⊗ v是单射并且其像是E ⊗_A M的直因子。 ↩ 3 042G
定义 1 令A为环，E为右A模块，M为左A模块。如果对于每个左 A-模 M' 和每个单同态 v : M' → M，同态 l_E ⊗ v : E ⊗_A M' → E ⊗_A M 是单射的，则E 被认为对于M（或M-平坦）是平坦的。 ↩ 3 042H
引理 3 对于紧密的A模E为M平坦，对于M典范同态的每个有限生成的子模M'来说是必要且充分的 ↩ 2 042I
引理 4 令E为右A模，M为左A模，使得E为M平。如果N是子模或商模或M，则E是N平坦。 ↩ 3 042J
引理 5 令(Mᵢ)_i ∈ I是左A模块、M = ⨁_i ∈ I Mᵢ、它们的直和和E右A模块的族。如果对于所有 i ∈ I，E 对于 Mᵢ 是平坦的，那么 E 对于 M 是平坦的。 ↩ 1 042K
命题 1 设E为右A-模。以下三个属性是等效的： ↩ 9 042L
引理 6 如果M' xrightarrowv M xrightarroww M''是左A-模的正合序列并且如果E是M''平右A-模、序列 042M
定义 2 右A-模 E 被称为平坦的，如果它具有与命题 1 等效的属性。 ↩ 1 042N
命题 2 (i) 设(Eₜ)_t ∈ I是右A模块族。为了使E = ⨁_t ∈ I Eₜ平坦，每个Eₜ平坦是必要且充分的。 ↩ 7 042O
命题 3 令A为环，且E为右A模。 ↩ 5 042P
例应用命题3到环Z，可以看出Q是一个扁平的Z模，但是Z/nZ（对于n ≥ 2）不是一个扁平的Z模。 042Q
命题 4 令E为右A模。以下三个属性是等效的： ↩ 3 042R
命题 5 令0 → E' xrightarrowv E xrightarroww E'' → 0为右A-模块的正合序列。假设 E'' 是平坦的。那么，对于 E 要平坦， E' 平坦是必要且充分的。 042S
引理 7 令 E 为右A-模、F 左A-模和 F'、F'' F 的两个子模，使得 F = F' + F''。那么 E \otimes F' 和 E \otimes F'' 中的典范像的交就等于 E \otimes (F' \cap F'') 的典范像。 ↩ 1 042T
命题 6 令 E 为右A-模且 F 左A-模，使得 E 是 F 平的。对于 F 的每个子模 F'，我们用 E \otimes F' 的 \phi(F') 像表示，在 E \otimes F' 到 E \otimes F 的典范映射下（它是 no. 2 的定义 1 的内射）。那么，如果 F', F'' 是 F 的两个子模，我们有 ↩ 6 042U
注 1 对于命题 6 的假设，对于 F 的每一个子模 F'，E ⊗_A F' 通常等同于 φ(F')，从而得到公式 E ⊗_A (F' ∩ F'') = (E ⊗_A F') ∩ (E ⊗_A F''). 042V
命题 7 设E为E的右A-模、E的E'子模、F的左A-模和F'子模。假设E/E'或F/F'是平坦的。那么E ⊗ F中E' ⊗ F'的典范像就是E ⊗ F中E' ⊗ F和E ⊗ F'的典范像交。 ↩ 5 042W
推论令 E 为 E 的右A-模且 E' 子模。 ↩ 3 042X
注 2 如果我们仅假设 E/E' 是 F 降调或 F/F' 是 E 降调，则命题 7 的结论仍然成立。 ↩ 2 042Y
命题 8 令A, B为两个环，E为右A模，F为(A,B)双模。假设 E 是平坦的，并且 F 作为 B 模也是平坦的。那么B-模块E ⊗_A F是平的。 ↩ 4 042Z
推论 1 令C为交换环、E, F两个扁平的C模块。那么E ⊗_C F是一个扁平的C模块。 ↩ 1 0430
推论 2 令ρ为环A到环B中的同态。如果E是平右A模，则将标量的环扩展到B（代数，章II, § 5, no. 1）得到的右B模ρ^*(E) = E_(B)是平的。 ↩ 4 0431
推论 3 令R, S为两个环和φ : R → S环同态。如果M是平右S模，φ_*(S_d)是平右R模，则φ_*(M)是平右R模。 ↩ 4 0432
命题 9 令(A_α, f_βα)为环的直接系统，A = lim A_α为其直极限，(E_α, f_βα)直接系统为右A_α的模块，具有相同索引集合和E = lim E_α其直极限，这是一个右A模块（代数，章II, § 6, no. 2）。如果每个 α E_α 都是平面 \& 模块，则 E 是平面 A 模块。 ↩ 2 0433
引理 8 (i) 每个模承认有限的表示都是有限生成的。 (ii) 如果 A 是左诺特环，则每个有限生成的左 A 模块都承认有限表示。 (iii) 每个有限生成射影模都承认有限的表示。 ↩ 5 0434
引理 9 令A为环且E为有限呈现的A模块。每正合序列 ↩ 5 0435
命题 10 令A, B为两个环，E为右A模，F为右B模，G为(B, A)双模。假设 F 是平坦的。那么，如果 E 是有限生成的（或有限呈现的），则典范同态 (8) 是单射的（或双射的）。 ↩ 1 0436
命题 11 设A为A的交换环，B环，A的φ同态到B的中心，E和F为A-模。假设 B 是平面 A-模并且 E 是有限生成的（或有限呈现的）。那么典范同态 (10) 是单射（或双射）。 ↩ 6 0437
命题 12 设 A, B 为 A 到 B 的交换环、φ 同态、E₁, E₂, E₃ 三个A-模、f : E₁ × E → E₃ 一个 A 双线性映射以及 ↩ 4 0438
推论 1 令 A、B 为两个交换环、p : A → B 同态，使得 B 为平坦 A-模，E 为有限呈现的 A-模。对于E的每个有限生成的子模F，与F_(B)正交的E_(B)对偶的子模等于(F')_(B)，其中F'是与F正交的E的对偶E^*的子模。 0439
推论 2 设A、B为两个交换环、p : A → B同态，则B为平音A-模，E为A-模。然后，对于 E 的每个有限生成的子模 F，F_(B) 的湮没子是 B 的理想 aB，其中 a 是 A 中 F 的湮没子。 ↩ 1 043A
注如果模 E 上没有歧义，也没有双线性映射 f，则F₃ : F₂ 是有时用于表示命题 12 中由T 表示的模，并且它被称为F 到F 的传送器。命题 12 的结论如下： 043B
引理 10 令(f_λ)_λ ∈ L成为F的生成元的家庭和(e_λ)_λ ∈ L元素的E有限支撑的家庭。对于∑_λ ∈ L e_λ ⊗ f_λ = 0，存在一个有限的集合J，(xⱼ)_j ∈ J的元素E和一个元素的族(a_j,λ)(j ∈ J, λ ∈ L)是充分必要的A 具有以下属性： ↩ 2 043C
命题 13 为了使E成为F降调（no. 2，定义1），满足以下条件是必要且充分的： ↩ 2 043D
推论 1 对于右A模E是平坦的，满足以下条件成立是必要且充分的： ↩ 1 043E
推论 2 为了使环B成为平右A模，其满足以下条件是充分必要的： (RP') 齐次线性方程组每解 (yₖ)_1 ≤ k ≤ n、B元素由……组成、系统 ↩ 1 043F

§ 3. 忠实平坦模

命题 1 令E为右A模。以下四个属性是等效的： ↩ 12 0444
定义 1 右A-模块 E 如果满足命题 1 的四个等价条件，则称为忠实平坦。 0445
注 If E is a faithfully flat A-module, E is a faithful A-module: for, if 元素 a ∈ A is such that xa = 0 for all x ∈ E, 位似 h : b ↦ ba in A使得1, ⊗ h = 0；从而h = 0除以命题1的性质(c)，即a = 0，因为A有单位元。 0446
命题 2 令E为忠实平坦的右A模，u : N' → N为左A模同态。对于 u 是单射的（分别是满射、双射的），1_E ⊗ u : E ⊗_A N' → E ⊗_A N 是这样的充分必要。 ↩ 6 0447
命题 3 令0 → E' → E → E'' → +0为右A模块的正合序列。假设 E' 和 E'' 是平坦的，并且其中之一是忠实平坦的。那么 E 就忠实地平坦了。 ↩ 2 0448
命题 4 令R, S为两个环，E为右R模，F为(R, S)双模。假设 E 是忠实平坦的。那么，要使 F 成为平坦（或忠实平坦）S 模，E ⊗_R F 是必要且充分的。 ↩ 4 0449
推论令C为交换环，并且E和F是两个忠实平坦的C模块。那么C-模块E ⊗_C F就忠实地平坦了。 044A
命题 5 设ρ为同态，从环A到环B。如果 E 是忠实平坦的右 A 模，则右 B 模 ρ^*(E) = E_(B) = E ⊗_A B 也是忠实平坦的。 ↩ 4 044B
推论如果E是忠实平坦的右A模，并且如果a是A的双面理想，则右(A/a)模E/Ea是忠实平坦的。 044C
命题 6 设A为交换环，B代数超过A，ρ : a ↦ a . 1典范同态为A到B。假设 B 是一个忠实的扁平 A 模块。那么，为了使A-模E是平坦的（或忠实平坦），右B-模E_(B) = E ⊗_A B是平坦的（或忠实平坦）是必要且充分的。 044D
命题 7 令A, B为A至B中的两个环和ρ同态。令 E 成为忠实的扁平右B模。为了使 ρ^*(E) 成为平坦（或忠实平坦）右 A 模，B 成为平坦（或忠实平坦）右 A 模是必要且充分的。 044E
命题 8 设A、B是从A到B的两个环和ρ同态。假设存在右B-模E，使得ρ_*(E)是忠实平坦的A-模。然后： (i) 对于每个左A-模 F，典范同态 j : F → F_(B) = B ⊗_A F（使得 j(x) = 1 ⊗ x 对于所有 x ∈ F）是单射的。 (ii) 对于 A 的每个左理想 a，overlineρ⁻¹(Ba) = a。 (iii) 同态 ρ 是单… ↩ 5 044F
推论在命题 8 的假设下，如果B 是左诺特的（或阿廷的），那么A 也是。 044G
命题 9 令A, B为A至B中的两个环和ρ同态。以下五个属性是等效的： (a) 右侧A-模块B 是忠实平坦的。 (b) 同态 ρ 是单射的，右A-模 B/ρ(A) 是平的。 (c) 右A-模B是平坦的，并且对于每个左A-模F，F到B @ * F的典范同态x ↦ 1 @ x是单射的。 (d) 右A模B是平坦的，对于A的每个左理想a，ρ⁻¹(Ba) = a。 (e) 右A… ↩ 3 044H
命题 10 设B为环和A子环为B使得B是一个忠实的平右A-模。让F成为A-模、F', F''两个子模F。然后： (i) 典范映射 B ⊗_A F' → B ⊗_A F 是 B ⊗_A F' 的同构到 BF'。 (ii) F ∩ BF' = F'。（三）B(F' + F'') = BF' + BF''。（四）B(F' ∩ F'') = BF' ∩ BF''。 ↩ 2 044I
命题 11 让B成为环和A子环B这样B是一个忠实的平右A-模。对于左 A-模 F 确定生成（或有限呈现）， B-模 B ⊗_A F 有限生成（或有限呈现）是必要且充分的。 ↩ 2 044J
命题 12 设 B 为环，A 为 B 的中心的交换律子环，使得 B 是忠实平坦的 A-模。对于 A-模 F 是射影且有限生成的，B ⊗_A F 是有限生成的射影左B-模是充分必要的。 ↩ 3 044K
命题 13 设A为环B中的子环。对于有序对(A, B)到满足线性扩张性质，B是忠实平坦的A模是必要且充分的。 044L

§ 4. 扁平模和“TOR”函子

命题 1 设E为右A-模。以下四个属性是等效的： 044W
命题 2 设 R、S 为两个环、ρ : R → S 同态，F 为左 R 模。以下两个属性是等效的： (a) 对于每个右 S 模 E 都有 Tor₁ᴿ(ρ_*(E), F) = 0。 (b) 左 S 模 φ^*(F) = F_(S) = S ⊗_R F 是平坦的且 Tor₁ᴿ(ρ_*(S_d), F) = 0。 ↩ 3 044X
注命题 2 也由正合序列的存在推出 044Y

II. 本地化

§ 1. 基本理想

定义 1 如果环 A/p 是整环，则环 A 的理想 p 称为素数。 ↩ 1 0450
命题 1 设A为环，a₁, a₂, …, aₙ为A的理想，p为A的素理想。如果p包含乘积a₁ a₂ … aₙ，则包含至少aᵢ之一。 ↩ 7 0451
推论设m为A的极大理想；对于每个整数n > 0，唯一的素理想包含mⁿ是m。 0452
命题 2 设A为环，aA的非空集合，其在加法和乘法下闭集，以及(pᵢ)_i ∈ IA的非空有限理想族。假设a包含在pᵢ的并中，并且pᵢ中最多有两个不是素数。那么a包含在pᵢ之一中。 ↩ 5 0453
命题 3 设a和b为环A的两个相对素理想。令a'和b'为A的两个理想，使得a（或b）的每个元素在a'（或b'）中都有幂。那么 a' 和 b' 互质。 ↩ 3 0454
命题 4 令a, b₁, …, bₙ为环A的理想。如果 a 与每个 bᵢ (1 ≤ i ≤ n) 互质，则它与 b₁ b₂ … bₙ 互质。 ↩ 2 0455
命题 5 令(aᵢ)_i ∈ I为环A的非空有限理想族。以下属性是等效的 = (a) 对于 i ≠ j，aᵢ 和 aⱼ 互质。 (b) 典范同态 φ : A → ∏_i ≠ I (A/aᵢ) (代数, 章 11, § 1, no. 7) 是满射。如果这些成立，则 aᵢ 的交 a 等于它们的乘积，并且典范同态 φ : A/a → ∏_i ∈ I (A/aᵢ) (代数… ↩ 8 0456
命题 6 设(aᵢ)_i ∈ I为环A的非空有限理想族，它们在对互质；设a为aᵢ的交。对于每个A-模M，典范映射M → ∏_i ∈ I (M/aᵢ M)是满射，其核是aM。 ↩ 2 0457
例令K为域，a, (1 ≤ i ≤ m)与K不同元素，并且对于每个i，令gᵢ为K[X]中的多项式；主理想(X - aᵢ) = mᵢ在K[X]中最大，因此，对于m整数≥ 1的每个系统(nᵢ)_1 ≤ i ≤ m，理想mᵢ^nᵢ在对中相对素。那么从命题 5 可以得出，存在一个多项式f ∈ K[X]，使得f(X) ≡ gᵢ(X) pmod(X - aᵢ)^nᵢ对应1… 0458

§ 2. 环和模分数

定义 1 设A为环。 A subset S of A is called multiplicative if every finite product of elements of S belongs to S. 045K
命题 1 设A为A的环和S子集。存在A到A'的环A'和同态h，具有以下性质： (1) h(S) 的元素在 A 中可逆； (2) 对于 A 到环 B 的每个同态 u，使得 u(S) 的元素在 B 中可逆，则存在 A 到 B 的唯一同态 u'，使得 u = u' ∘ h。 ↩ 8 045L
定义 2 令A为环、A的S子集以及overlineS由S生成的乘法子集。由S定义并用A[S⁻¹]表示的A的分数的环是等价关系(1)下的A × overlineS的商集，其中环结构定义为 045M
命题 2 令A, B从A到B为A、B的T子集和f同态两个环、S子集这样那个f(S) ⊂ T。从A[S⁻¹]到B[T⁻¹]存在唯一同态f'，使得f'(a/1) = f(a)/1对于所有a ∈ A。 ↩ 12 045N
推论 1 令A为环、A的S子集以及A至环B的u单同态，使得元素为u(S) 在 B 中可逆。 A[S⁻¹] 到 B 的唯一同态 u' 使得 u' ∘ i_A^S = u 是单射的。 ↩ 3 045O
推论 2 令A为环且S和T为A中的两个子集，使得S ⊂ T。从A[S⁻¹]到A[T⁻¹]存在唯一同态i_A^T,S使得i_Aᵀ = i_A^T,S ∘ i_A^S。 ↩ 2 045P
推论 3 令A, B, C为三个环、S（分别为T, U）、A（分别为B, C）、f : A → B、g : B → C两个同态和h : A → C的乘法子集复合同态g ∘ f；假设f(S) ⊂ T，g(T) ⊂ U。令 f' : A[S⁻¹] → B[T⁻¹]、g' : B[T⁻¹] → C[U⁻¹]、h' : A[S⁻¹] → C[U⁻¹] 同态相应的到 f, g… ↩ 1 045Q
推论 4 设S为环A中的子集，A[S⁻¹]包含i_A^S(A)中的B子环和S'集合i_A^S(A)。设j为B的典范嵌入入A[S⁻¹]；唯一同态 g 从 B[S'⁻¹] 到 A[S⁻¹]，使得 g ∘ i_A^S = j 为同构。 ↩ 1 045R
命题 3 令A为A的环、S子集、M为A模块、M'为A模块、M ⊗_A A[S⁻¹]和f规范A-M到M'的同态x ↦ x ⊗ 1。然后： (1) 对于所有s ∈ S，M'的位似z ↦ sz是双射的。 (2) 对于每个A模N，使得s ∈ S、N的位似y ↦ sy都是双射的，并且M到N的每个同态u，存在M'到N的唯一同态u'使得u = u' ∘ f。 ↩ 5 045S
定义 3 令A为环，A的S子集，overlineS由S和M A-模生成的A的乘法子集。那么由S定义并用M[S⁻¹]或overlineS⁻¹M表示的M的分数的模就是A[S⁻¹]模M ⊗_A A[S⁻¹]。 045T
命题 4 令 S 为 A 和 M A-模的乘法子集。对于 ms = 0 (m \in M, s \in S)，存在 s' \in S 使得 s'm = 0 是充分必要的。 ↩ 3 045U
推论 1 对于 S^{-1}M 中的 ms = m's'，存在 t \in S 使得 t(s'm - sm') = 0 是充分必要的。 ↩ 1 045V
推论 2 设M为有限生成A-模。对于 S^{-1}M = 0，存在 s \in S 使得 sM = 0 是充分必要的。 ↩ 3 045W
推论 3 设M为有限生成A-模。对于理想的a & A使得aM = M，存在a ∈ a使得(1 + a)M = 0是充分必要的。 ↩ 2 045X
引理 1 对于 A 的每个理想 a，元素 1 + a 的集合 S，其中 a ∈ a 是 A 的子集和 S⁻¹A 的元素的集合 a' 形式 a/s，其中 a ∈ a 和 s ∈ S，是包含在 S⁻¹A 的雅各布森根式中的理想。 ↩ 1 045Y
命题 5 设 A、B 为两个环，S 为 A 的乘法子集，T 为 B 的乘法子集，并且从 A 到 B 的 f 同态使得 f(S) ⊂ T。设 M 为从 M 到 N 的 A-模、N B-模和 u A-线性映射。则存在从 S⁻¹M 到 T⁻¹N 的唯一 S⁻¹A 线性映射 u'，使得 u'(m/1) = u(m)/1 对于所有 m ∈ M。 ↩ 3 045Z
命题 6 设f为从环A到环B的同态，S为A的乘法子集。从(f(S))⁻¹B到S⁻¹B存在唯一映射j（其中B通过f被视为A-模），这样j(b|f(s)) = b|s 代表所有 b ∈ B, s ∈ S。如果 f' : S⁻¹A → (f(S))⁻¹B 是与 f (no. 1, 命题 2) 关联的环同态，则j ∘ f' = S⁻¹f。映射 j 是(f(S))⁻¹B上的S… ↩ 2 0460
命题 7 设A为环，S、T为A的两个乘法子集。集合T' = i(TA^S)。 ↩ 7 0461
命题 8 设 A 为环，S、T 为 A 的两个乘法子集，使得 S ⊂ T。以下属性是等效的： ↩ 1 0462
命题 9 设I是环A和S = ⋃_α ∈ I S_α的乘法子集的右向预序集合、(S_α)_α ∈ I递增族。我们将α ≤ β、ρ_α = i^S_α, S_α写为ρ_β α = i^S_β, S_α_A^S_β, S_α。那么(S_α⁻¹A, ρ_β α)是Zings的直接系统，并且，如果对于所有α ∈ I，ρ'_α是S_α⁻¹A到lim → S_α⁻¹A的典范映射，… ↩ 1 0463
推论在命题9的假设下，令M为A-模。我们将所有α ∈ I的α ≤ β, f_α = i^S, S_α_M写为f_β α = i^S_β, S_α_M，并让f'_α从S_α⁻¹M到lim → S_α⁻¹M为典范映射；则存在S⁻¹M到lim → S_α⁻¹M的S⁻¹A同构g，使得g ∘ f_α = f'_α对于所有a ∈ I。 0464
定理 1 环S⁻¹A是一个扁平的A模块（章I, § 2, no. 1，定义2）。 ↩ 16 0465
命题 10 令M为A模块。对于S⁻¹A模块S⁻¹M的每个子模N'，令φ(N')为i_M^S下N'的逆像。然后：（一）Sφ(N') = N'。 ↩ 3 0466
推论 1 令N₁, N₂为A模块M的两个子模。对于S⁻¹N₁ ⊂ S⁻¹N₂，N₁相对于S的饱和度包含在N₂的饱和度中是必要且充分的。 0467
推论 2 如果 M 为诺特（分别为阿廷的）A-模，S^{-1}M 为诺特（分别为阿廷的）S^{-1}A-模。特别是，如果环 A 是诺特（分别是阿廷的），环 S^{-1}A 也是如此。 ↩ 3 0468
命题 11 设 A 为环，S 为 A 的乘法子集。对于 S^{-1}A 的每个理想 b'，令 b = (iA^S)^{-1}(b') 使得 b' = S^{-1}b。 ↩ 16 0469
注对于A到满足S⁻¹a = S⁻¹A的理想a（或者，no. 4，定理I，S⁻¹(A/a) = 0相当于同一件事），a ∩ S ≠ ∅是必要且充分的，紧随定义如下。 046A
推论 1 令A为环，且S为A的乘法子集。 A 的每个理想 p 在不满足 S 的那些中最大，是素数。 046B
推论 2 令A为环，且S为A的乘法子集。对于A的每一个不满足S的理想a，都存在一个不满足S的素理想包含a。 ↩ 4 046C
推论 3 令A, B是从A到B的两个环、ρ同态以及pA的素理想。为了存在B的素理想p'使得overlineρ⁻¹(p') = p，overlineρ⁻¹(Bρ(p)) = p是充分必要的。 ↩ 1 046D
推论 4 令A, B是从A到B的两个环和ρ同态。 (i) 假设存在一个B-模E，使得ρ_*(E)是一个忠实平坦的A-模。那么，对于A的每个素理想p，都存在一个B的素理想p'，使得barρ⁻¹(p') = p。 (ii) 相反，假设B是一个扁平的A模。那么，如果对于A的每个素理想p，都存在一个B的理想p'，使得barρ⁻¹(p') = p、B是忠实平坦的A模。 ↩ 3 046E
推论 5 令A为环，S为A和B环的乘法子集，从而得到i_A^S(A) ⊂ B ⊂ S⁻¹A。令q为B的素理想，使得A的素理想p = (i_A^S)⁻¹(q)不满足S，并令p'为S⁻¹A的素理想S⁻¹p。然后p' ∩ B = q. 046F
定义 4 （交换律）环 A 的幂零元理想称为A的零根。如果a是A的理想，逆像，在典范映射A → A/a下，A/a的零根称为a的根。 046G
命题 12 令 p 为环 A 的最小素理想。对于所有 x ∈ p，存在 s ∈ A - p 和整数 k > 0，使得 sxᵏ = 0。 ↩ 2 046H
命题 13 环A的零根是A所有素理想中的交，也是A最小素理想中的交。 ↩ 1 046I
引理 2 环A包含的每个素理想A的最小素理想。 046J
注在§ 4, no. 3，推论3到命题14中，我们将证明在诺特环集合的最小素理想中是有限的；此外，我们稍后会看到诺特环中的每个递减序列素理想都是静止的。 046K
推论 1 理想的根式 a 在环 A 是素理想包含 a的交并且它也是素数集合的最小元素的交理想。 ↩ 2 046L
推论 2 对于理想 a 环 A 我们用 r(a) 根式 a 表示。然后，对于两个理想 a, b of A， r(a ∩ b) = r(ab) = r(a) ∩ r(b); 特别是，如果a ⊂ b，则r(a) ⊂ r(b)。 ↩ 1 046M
命题 14 对于环的两个理想a, b互质，其根式r(a)和r(b)如此是必要且充分的。 046N
命题 15 在环 A 让 a 是一个理想，并且 b 有限生成的理想包含在 a的根部中。那么存在整数 k > 0 这样 bᵏ ⊂ a。 ↩ 3 046O
推论在诺特环中，零激进是一个幂零理想。 046P
命题 16 设B为环且A子环为B。对于每个最小素理想 p of A 存在一个最小素理想 q of B 这样 q ∩ A = p。 046Q
定义 5 A ring A is called reduced if its nilradical is reduced to 0, in other words if no element ≠ 0 of A is nilpotent. 046R
命题 17 设 A 为环，𝔑 为零根式。对于A的每个乘法子集S，S⁻¹𝔑是S⁻¹A的零根。特别是，如果A减小，则S⁻¹A也减小。 046S
命题 18 令A为环且S为A的乘法子集。 ↩ 2 046T
推论令M为A模，a为A的理想。子S⁻¹A模块(S⁻¹a)(S⁻¹M)、a(S⁻¹M)、(S⁻¹a)j(M)（其中j : M → S⁻¹M是典范映射）和S⁻¹M的S⁻¹(aM)是相同的。特别地，如果a和b是A的两个理想，那么 ↩ 2 046U
注令M, N, P为三个A-模，f : M × N → P一个A-双线性映射和S⁻¹f : (S⁻¹M) × (S⁻¹N) → (S⁻¹P)通过将标量的环延伸到S⁻¹A从f获得的S⁻¹A-双线性映射（代数，章IX, § 1, no. 4，命题1）。设i : M → S⁻¹M, j : N → S⁻¹N为典范同态；紧接着，如果Q是f(M × N)生成的P的子A… 046V
命题 19 令A为环，且S为A的乘法子集。 (i) 如果 M 和 N 是两个 A 模块，并且 M 是有限生成的（或有限呈现的），则典范同态 (章 I, §2, no. 10, 公式 (10)) ↩ 2 046W
命题 20 令A, A'为两个环、p : A → A'同态、SA、S' = ρ(S)和ρ' : S⁻¹A → S'⁻¹A'同态相应的到p的乘法子集（no. 1，命题2）。 046X
命题 21 环 S⁻¹A 与家人一起 ((S⁻¹A)ᵢ) 为环等级，S⁻¹M 与家人一起 ((S⁻¹M)ᵢ) 为模等级，高于环 S⁻¹A 等级。典范映射 i^S_A 和 i^S_M 是次数 0 的齐次。 046Y
命题 22 设A（分别B）是型A的分级环，M（分别N）是在分级环A（分别B）上的分级模，S（分别T）是A（分别B）的乘法子集，所有元素都是齐次的， f : A → B 次数 0 的齐次同态使得 f(S) ⊂ T 和 u : M → N A-线性映射次数 k 齐次。那么从 f (no. 1, 命题 2) 导出的同态 f' : S⁻¹A → T⁻¹B 是次数 0 的齐次且(… 046Z

§ 3. 局部环。从本地走向全球

命题 1 令A为A的不可逆元素的环和I集合。集合I是A理想中的并，与A不同。此外，以下条件是等价的： (a) I 是一个理想。 (b) 与A不同的A理想中的集合有最大元素。 (c) A 有一个独特的最大理想。 ↩ 2 047R
定义 1 如果环A满足命题1的等价条件(a)、(b)和(c)，则称为局部环。A与其Jacobson根式的商（即A的唯一最大理想）称为局部环。剩余类域共 A。 047S
定义 2 令A, B为两个局部环和m, n各自的最大理想。如果 u(m) ⊂ n 则同态 u : A → B 称为本地。 047T
命题 2 设A为环，且p为A的素理想。环 A，为本地；其最大理想是A中p的典范像生成的理想pAₚ = pᵥ；它的剩余类域与分数的 A/p 的域是标准同构的。 ↩ 2 047U
定义 3 设A为环，且p为A的素理想。环 A，在没有歧义的情况下，在p处称为A的局部环，或p的局部环。 047V
命题 3 设A为环，p为A和S = A - p的素理想。对于与Aₚ不同的Aₚ的每个理想b'，令b为A的理想(i_A^S)⁻¹(b')，以便b' = bAₚ。 ↩ 4 047W
命题 4 令A为环，它不一定是可交换的，m包含在A的Jacobson根式中的A的右理想，而M是左A模。假设以下条件之一成立： (i) M 是有限生成的； (ii) m 幂零的。那么关系(A_d/m) ⊗_A M = 0就意味着M = 0。 ↩ 6 047X
推论 1 令A为环，它不一定是可交换的，m包含在A、M和N的Jacobson根中的A的右理想，两个左A模和u : M → N一个A线性映射。如果 N 是有限生成的或 m 幂零且 1 ⊗ u : (A_d/m) ⊗_A M → (A_d/m) ⊗_A N 是满射，则 u 是满射。 ↩ 5 047Y
推论 2 设A为环，它不一定是可交换的，m包含在A的Jacobson根中的A的双面理想，M左A模和(xᵢ)_i ∈ I元素的族M。如果 M 是有限生成的或 m 幂零且元素 1 ⊗ xᵢ (i ∈ I) 生成左侧 (A/m)-模 (A/m) ⊗_A M，则 xᵢ 生成 M. ↩ 5 047Z
命题 5 令A为环，它不一定是可交换的，m包含在A的Jacobson根式中的A的双面理想，以及M左A模。假设以下条件之一成立： (i) M 是有限呈现的； (ii) m 幂零。那么，如果(A/m) ⊗_A M = M/mM是自由左(A/m)模，并且从m ⊗_A M到M的典范同态是单射的，则M是自由A模。准确地说，如果(xᵢ)_i ∈ I是M的元素族，使得(1 ⊗ x… ↩ 7 0480
推出 1 设A不一定是交换环，m是A和M左A-模的雅各布森根式。假设A/m为域，从m \otimesA M 到M的典范同态是单射的，并且满足命题 5的条件(i)、(ii)之一。对于 M 的元素的族 (y\lambda) 为 M 的直因子的基，该族 (1 \otimes y\lambda) 在 M/mM 中自由是充分必要的。 ↩ 3 0481
推出 2 设 A 不一定是交换环，m 是 A 和 M 左A-模的雅各布森根式。假设 A/m 为域并且以下条件之一成立： (i) M 是有限呈现的； (ii) m 是幂零的。那么下面的属性是等价的： (a) M 是自由的； (b) M 是投影； (c) M 是平的； (d) 典范同态 m \otimesA M \to M 是单射的； (e) Tor1^A(A/m, M… ↩ 3 0482
命题 6 设A为环，它不一定是可交换的，而m是雅各布森根式；假设A/m是域。令M和N是两个有限生成的免费A模块和u: M → N同态。以下属性是等效的： ↩ 5 0483
推论在命题 6 的假设下，以下属性是等效的： ↩ 1 0484
命题 7 设A为约化局部环，m其最大理想，(pᵢ)_i ∈ IA/pᵢ和M的分数的A、Kᵢ域的最小素理想族生成A-模块。要使 M 自由，满足以下条件是必要且充分的 ↩ 1 0485
命题 8 令A为环，m为A的最大理想，M为A模。如果存在 A 的理想 a，使得 m 是 A 包含 a 和 aM = 0 的唯一最大理想，则典范同态 M → M 是双射的。 ↩ 2 0486
命题 9 令A为环，m为A的最大理想，M为A模，k整数geqslant 0。典范同态 M → Mₘ/mᵏ Mₘ 是满射，M/mᵏ M 的核 mᵏ M 和定义同构到 Mₘ/mᵏ Mₘ。 ↩ 5 0487
推论令A为环、m₁, m₂, …, mₙ不同的A、M、A模和k₁, k₂, …, kₙ整数geqslant 0。从M到∏ⁿ Mₘ/m_i₁^k₁ Mₘ的典范同态是满射，它的核是( ⋂ⁿ m_i₁^k₁ ) M。 ↩ 1 0488
命题 10 A-模 ⨁_m ∈ Ω Aₘ，直和的 Aₘ 其中 m ∈ Ω，忠实地平坦。 ↩ 2 0489
定理 1 设 M, N 为两个A-模，u : M → N一个A同态，并且对于所有 m ∈ Ω，让 uₘ : M, → Nₘ 为相应的 Aₘ-同态 (§ 2, no. 2，注5)。对于 u 是单射（分别是满射、双射、零），对于所有 m ∈ Ω、uₘ 是单射（分别是满射、双射、零）是必要且充分的。 ↩ 11 048A
推论 1 令M为A-模，M的N个子模和x元素M。 For x ∈ N, it is necessary and sufficient that, for all m ∈ R, the canonical image of x in M, belong to N. ↩ 5 048B
推论 2 设 M 为A-模，并且对于所有 m ∈ Ω，让 fₘ 为典范映射 M → Mₘ。同态 x ↦ (fₘ(x)) 的 M 到 ∏_m ∈ Ω Mₘ 是单射。 ↩ 3 048C
推论 3 (i) 设 b 为 A 和 a 元素的理想 A。对于a ∈ b，对于所有m ∈ Ω，a中Aₘ属于到bAₘ的典范像是必要且充分的。 048D
推论 4 设 A 为整环，K 为分数的域，M 为无扭 A 模，使得 M 被规范地识别为 K ⊗_A M 的子 A 模。然后，对于所有m ∈ Ω，Mₘ被规范地标识为K ⊗_A M和M = ⋂_m ∈ Ω Mₘ的子A模块。 048E
推论 5 设 A 为环。 A-模Aⁿ生成元的每个系统与n元素是Aⁿ的基。 048F
命题 11 设 M 为 A-模，N 有限生成A-模和 u : M → N 同态。为了使 u 成为满射，对于所有 m ∈ S₂，从 u 取商得出的同态 M/mM → N/mN 是满射的，这是充分必要的。 ↩ 2 048G
命题 12 设E、F、G为三个A-模和v : G → F、u : E → F同态。假设 E 是有限呈现的。为了存在同态w : E → G使得u因子进入E xrightarroww G xrightarrowv F，对于所有m ∈ S₂，存在同态wᵐ : Eₘ → G，使得uₘ : Eₘ → F，因子是充分必要的进入E xrightarrowwᵐ Gₘ xrightarr… ↩ 3 048H
推论 1 设 M 为 M 的 A-模且 N 子模，使得 M/N 是有限呈现的。为了使 N 成为 M 的直因子，对于所有 m ∈ S₂，N 成为 M 的直因子是必要且充分的。 ↩ 1 048I
推论 2 设 M 为有限生成的自由A-模，M 的 N 子模为有限生成的自由A-模。为了使 N 成为 M 的直因子，对于所有 m ∈ Ω，mN = N ∩ (mM) 是必要且充分的。 048J
命题 13 令S为环A和M一个A模的乘法子集。如果 M 是 jflat（或忠实平坦），则 S⁻¹M 是 ajflat（或忠实平坦）S⁻¹A-模块和平坦 A-模块。 ↩ 4 048K
注如果 N 是一个 S⁻¹A 模块，则 S⁻¹N 被标识为 N，因此这与说等价，即 N 是平面 S⁻¹A 模块或平面 A 模块。 048L
命题 14 令A为环，B为可交换的A代数，T为B的乘法子集。如果 N 是一个 B-模块，并且与 A-模块一样平坦，则 T⁻¹N 是一个平坦的 A-模块。 ↩ 1 048M
命题 15 令A, B为两个环、φ : A → B同态和N一个B模块。以下属性是等效的： (a) N 是扁平 A 模块。 (b) 对于B的每个最大理想n，Nₙ是一个平坦的A模。 (c) 对于B的每个最大理想n，如果我们写成m = φ(n)，Nₙ是一个平坦的Aₘ模。 ↩ 1 048N
推论为了使 A-模 M 平坦（或忠实平坦），对于 A、M 的每个最大理想 m，是平坦（或忠实平坦）Am 模是必要且充分的。 ↩ 2 048O
命题 16 设A为环。以下属性是等效的： (a) A 的最大理想集合是有限的； (b) A 与其雅各布森根式的商是域的有限数的直接合成。 ↩ 1 048P
定义 4 如果环满足命题 16的等价条件 (a), (b)，则称为半局部。 048Q
例每个局部环都是半局部的。半局部环的每个商都是半局部的。每个有限乘积半局部环都是半局部的。 048R
命题 17 设 A 为 A 的环和 𝔭₁, …, 𝔭ₙ 素理想。我们写 S = ⋂₁ⁿ (A - 𝔭ᵢ) = A - ⋃₁ⁿ 𝔭ᵢ. ↩ 2 048S
推论设 A 为 A 的整环和 𝔭₁, …, 𝔭ₙ 素理想，其中没有两个在包含方面具有可比性。若A的分数的域中有A = ⋂₁ⁿ A_𝔭ᵢ，则A的最大理想为𝔭₁, …, 𝔭ₙ。 ↩ 1 048T

§ 4. 环的光谱和模的支持

定义 1 如果 X 的非空开集合的每个有限交都是非空的，则拓扑空间 X 称为不可约。 0498
命题 1 令X为非空拓扑空间。以下条件是等效的： (a) X 是不可约的； (b) X 的每个非空开集合都密集于 X； (c) X 的每个开路集合均已连接。 ↩ 2 0499
命题 2 在拓扑空间X中，对于集合E是不可约的，其闭包overlineE是不可约的并且是充分必要的。 ↩ 5 049A
命题 3 (i) 如果X是不可约空间，则X的每个非空开子集都是不可约的。 ↩ 1 049B
命题 4 令X和Y是两个拓扑空间和f从X到Y的连续映射。对于X的每个不可约子集E，f(E)是Y的不可约子集。 049C
定义 2 拓扑空间 X 的每个最大不可约子集称为 X 的不可约分量。 049D
命题 5 设X为拓扑空间。 X 的每个不可约子集都包含在 X 的不可约组件中，X 是其不可约组件的并。 049E
推论拓扑空间 X 的每个连通分量都是 X 的不可约分量的并。 ↩ 1 049F
命题 6 设X是空间和(Pᵢ)_1 ≤ i ≤ najinite覆盖X由……组成和不可约闭集合。那么X的不可约分量是Pᵢ的集合的极大元素（相对于包含）。 ↩ 2 049G
推论设X为拓扑空间和E子空间，仅具有不同不可约成分Qᵢ（1 ≤ i ≤ n）的ajinite数；那么X中闭包overlineE的不可约分量是Qᵢ（1 ≤ i ≤ n）的闭包overlineQᵢ和i ≠ j的overlineQᵢ # overlineQⱼ。 049H
注假设 X 仅具有不同不可约成分 Xᵢ (1 ≤ i ≤ n) 的 ajinite 数；那么从 Xᵢ ∉ ⋃_j ≠ i Xⱼ 开始，U₊ = C(⋃_j ≠ i Xⱼ) 在 X 开，在 Xᵢ 稠密；因此，Uᵢ (1 ≤ i ≤ n) 是 X 的非空开集合，不可约 (命题 2)，成对不相交的，且并稠密于X。 049I
命题 7 设U是拓扑空间X的开子集。映射V ↦ overlineV（在X闭合）是集合的双射和U的不可约子集，在U到集合闭合并且不可约子集和X于X关闭并满足U；逆双射是 Z ↦ Z ∩ U。特别是，这个双射映射集合＆不可约成分＆U到集合＆不可约成分＆X满足U。 049J
定义 3 如果按包含排序的 X 的每个非空闭集子集具有最小元素，则拓扑空间 X 称为诺特。 049K
命题 8 (i) 诺特空间中的每个子空间都是诺特。 (ii) 令 (Aᵢ)_i ∈ I 为拓扑空间 X 的有限覆盖。如果X中的子空间Aᵢ为诺特，则X为诺特。 ↩ 1 049L
命题 9 对于拓扑空间 X 为诺特，X 中的每个开集合是拟紧的是必要且充分的。 049M
引理 1（“原理共诺特归纳”） 令 E 为有序集合每个非空子集，其中允许最小元素。令 F 为 E 的子集，并具有以下性质：如果 a ∈ E 使得关系 x < a 蕴含 x ∈ F，则a ∈ F。然后F = E. 049N
命题 10 如果X是诺特空间，X的不可约分量集合（以及X的连通分量更不必说集合）是有限的。 049O
定义 4 令A为环。 A素理想的集合X，其中拓扑的闭集合为集合V(M)，其中M贯穿𝔓(A)，称为A的素谱，记为Spec(A)。这样定义的拓扑称为 X 上的光谱或 Zariski 拓扑。 ↩ 1 049P
命题 11 令A为环，a为A的理想，Y子集为X = Spec(A)。 (i) V(a) 在 X 中闭合，𝔍(Y) 是 A 的理想，等于其根式。 (ii) 𝔍(V(a)) 是 a 的根式，并且 V(𝔍(Y)) 是 Y 在 X中的闭包。 ↩ 8 049Q
推论 1 对于X的闭子集的每个族(Yλ){λ ∈ L}，J(∩{λ ∈ L} Yλ)是理想J(Yλ)的和的根式。 049R
推论 2 设 r(a) 表示 A 的理想 a 的根式；如果a和b是A的两个理想，关系V(a)⊂V(b)等价于b⊂r(a)和r(b)⊂r(a)。 ↩ 4 049S
推论 3 令(fλ){λ ε L}为A的元素族。对于元素 g ε A 至满足 Xg ⊂ ∪{λ ε L} X{fλ}，存在整数 n 是充分必要的 0 使得 g^n 属于达到 fλ 生成的理想值。 ↩ 2 049T
推论 5 对于f ∈ A到满足X_f = ∅，f幂零是充分必要的。 049U
推论 6 点p ∈ X = Spec(A)的集合由……组成的闭包是素理想包含p的集合V(p)。对于集合 p 在 X 的闭点（或者，正如我们也会滥用语言所说，p 是 X 的闭点），p 是最大值是必要且充分的。 049V
推论 7 如果 A 为诺特环，则 X = Spec(A) 为诺特空间。 ↩ 1 049W
命题 12 对于所有f ∈ A，X = Spec(A)中的开集合X_f是拟紧的；特别是，空间X是准紧的。 049X
命题 13 设A, A'是从A到A'的两个环、X = Spec(A), X' = Spec(A')和h同态；映射 ᵃ h : p' ↦ overlineh(p')从X'到X是连续的。 ↩ 3 049Y
注如果h是满射并且a是它的核，则从谱拓扑的定义得出ᵃ h是X'到闭子空间V(a)的同胚X；对于A'的素理想p'到包含理想的b'A'，overlineh(p')包含overlineh(b')是充分必要的；我们首先看到ᵃ h是单射的，取b'为素数；此外，对于A'的每个理想b'，V(b')的ᵃ h下的像来说，V(overlineh(b'))，从而我们的断言，形式ov… 049Z
推论令S为A、A' = S⁻¹A和h典范同态i_A^S的乘法子集；那么ᵃ h是X' = Spec(A')到X = Spec(A)由……组成的子空间的同胚，A的素理想不满足S。 ↩ 1 04A0
命题 14 设A为环。为了使 X = Spec(A) 的子集 Y 不可约，理想的 𝔍(Y) 为素数是充分必要的。 ↩ 1 04A1
推论 1 要使环A使得X = Spec(A)不可约，A与其零根𝔑的商为整环是必要且充分的。 04A2
推论 2 The mapping p ↦ V(p) is a bijection of X = Spec(A) onto the set of irreducible closed subsets of X; in particular the irreducible components of a closed subset Y of X are the sets… ↩ 2 04A3
推论 3 诺特环A的最小素理想的集合是有限的。 ↩ 1 04A4
命题 15 令 A 为环，I A 幂等eᵢ ≠ 0 的正交族(eᵢ)_i ∈ I 的有限集合和E 集合，使得∑_i ∈ I eᵢ = 1。对于所有(eᵢ)_i ∈ I ∈ E，我们集合overlineω((eᵢ)_i ∈ I) = (V(A(1 - eᵢ)))_i ∈ I，σ((eᵢ)_i ∈ I) = (Aeᵢ)_i ∈ I。那么overlineω是E的双射到X =… ↩ 2 04A5
引理 2 如果 e, f 是 A 的两个幂等，使得 Ae 和 Af 具有相同的根式，则e = f。 ↩ 1 04A6
推论 1 令A为环，r为A和h : A → A/r典范同态的零理想。对于A/r幂等的每个有限正交族(e'ᵢ)_i ∈ I，使得∑_i ∈ I e'ᵢ = 1，存在一个A幂等的有限正交族(eᵢ)_i ∈ I，使得对于所有i ∈ I都有∑_i ∈ I eᵢ = 1和h(eᵢ) = e'ᵢ。 04A7
推论 2 对于要连接的环A的素谱X = Spec(A)来说，A包含除了0和1之外没有幂等是充分必要的。 ↩ 1 04A8
定义 5 令 A 为环且 M 为 A 模块。 A的素理想p的集合，使得Mₚ ≠ 0称为M的支撑，记为Supp(M)。 ↩ 1 04A9
例令a为A的理想；在记号/no. 3中，我们有 V(a) = Supp(A/a). 如果 p 是 A 的质数，使得 a ∉ p，则 (A/a)ₚ = 0 (§ 3, no. 1, 注 3)；另一方面，如果a ⊂ p、aAₚ包含在A的最大理想pAₚ中，且(A/a)ₚ同构于Aₚ/aAₚ，因此不为零（§ 3, no. 1、命题3）；从而我们的断言。特别是Supp… 04AA
命题 16 令 A 为环且 M 为 A 模块。 (i) 如果 N 是子模 / M，则 Supp(M) = Supp(N) ∪ Supp(M/N). (ii) 如果 M 是子模家庭(Nᵢ)_i ∈ I 的和，则 Supp(M) = ⋃_i ∈ I Supp(Nᵢ). (i) 从正合序列 0 → N → M → M/N → 0，我们推导出对于 A 的每个素理想 p，正合序列… ↩ 2 04AB
推论令A为环，M为A模，M的生成元为(mᵢ)_i ∈ I系统，以及a，mᵢ的湮没子。然后 Supp(M) = ⋃_i ∈ I V(aᵢ). Supp(M) = ⋃_i ∈ I Supp(Amᵢ) 命题 16 (ii)。另一方面，Amᵢ与A模块A/aᵢ同构的，我们已经看到 Supp(A/aᵢ) = V(aᵢ) （上面例）。 ↩ 1 04AC
命题 17 令A为环，M为A模块，a为湮没子；如果 M 是有限生成的，则 Supp(M) = V(a) 和 Supp(M) 因此封闭于 Spec(A)。令(mᵢ)_1 ≤ i ≤ n为M生成元系统且令a为mᵢ湮没子；然后a = ⋂ᵢ₌₁ⁿ aᵢ，因此V(a) = ⋃ᵢ₌₁ⁿ V(aᵢ)（no. 3，方程（3））和命题从推论得出命题16。 ↩ 6 04AD
推论 1 令A为环，M为有限生成的A模块，a元素为A。对于a到属于，对于M支持的每个素理想，M的位似与比率a是幂幂的充要条件。 04AE
推论 2 令A为诺特环，M为有限生成的A模，a为A的理想。对于Supp(M) ⊂ V(a)，存在整数k使得aᵏ M = 0是充分必要的。 04AF
命题 18 设M, M'是有限生成模除环A；那么 04AG
引理 3 令B为局部环以及E和E'两个有限生成的B模块。如果E ≠ 0和E' ≠ 0，则E ⊗_B E' ≠ 0。 04AH
推出令 M 为有限生成的 A 模块，n 为湮没子。对于 A、Supp(M/aM) = V(a) ∩ V(n) = V(a + n) 的每个理想 a。 04AI
命题 19 令 A, B 为两个环、φ : A → B 同态且 ᵃφ : Spec(B) → Spec(A) 与 φ (命题 13) 关联的连续映射。对于每个A-模块M， Supp(M_(B)) ⊂ ᵃφ(Supp(M)) ; if also M is finitely generated, then Supp(M_(B)) = ᵃφ⁻¹(Supp(M)). 设q为B和… ↩ 1 04AJ
引理 4 令A, B为两个局部环，p : A → B为本地同态，E为有限生成的A模块。如果E ≠ 0，则E_(B) ≠ 0。 ↩ 1 04AK
命题 20 令 A 为环且 M 为有限生成的 A 模块。对于每个素理想p ∈ Supp(M)，都存在一个非零A同态w : M → A/p。 ↩ 1 04AL

§ 5. 有限生成射影模。可逆分数理想

命题 1 令f为环A和φ : A → A_f、典范映射中的元素。映射 ᵃφ : Spec(A_f) → Spec(A) 是 Spec(A_f) 到 X = Spec(A) (§ 4, no. 3) 的开子空间 X_f 的同胚。 04BE
命题 2 设A为环，u : M → N为A模同态，p为A的素理想。 ↩ 2 04BF
推论如果N是有限存在的并且Nₚ是秩p的自由Aₚ模块，则存在f ∈ A - p使得N是秩p的自由A_f模块。 ↩ 1 04BG
命题 3 让(fᵢ)_i ∈ I成为环A的元素的有限族，生成的是A的理想A。环 B = ∏_i ∈ I Aᵢ，是一个忠实的平坦A-模块。 ↩ 3 04BH
推论在命题 3 的假设下，对于一个 A-模 M 的有限生成（或有限呈现），对于每个指标 i，该 A_fᵢ-模 M_fᵢ 为有限生成（或有限呈现）。 ↩ 1 04BI
定理 1 设A为环和P一个A-模块。以下属性是等效的： ↩ 15 04BJ
推论 1 假设叙述与定理 1 的等价性质成立。令m为整数 0，这样，对于P的元素的每个族(xᵢ)_1 ≤ i ≤ m，都存在A的元素的(aᵢ)_1 ≤ i ≤ m族，它们不全是零的除子且为∑ᵢ₌₁ᵐ aᵢ xᵢ = 0。然后，对于所有 p ∈ Spec(A)，rₚ ≤ m。 04BK
推论 2 每个有限呈现的平面模都是投影的。 ↩ 1 04BL
定义 1 令 P 为有限生成的射影 A-模。对于A的每个素理想p，自由Aₚ模Pₚ的秩称为P在p处的秩，并用rgₚ(P)表示。 ↩ 1 04BM
定义 2 令n为整数geqslant 0。射影A模P如果是有限生成的，则被称为秩 n，并且对于A的每个素理想p来说，rgₚ(P) = n。 ↩ 3 04BN
定理 2 令P为A模块，且n整数geqslant 0。以下属性是等效的： ↩ 4 04BO
注如果 A 是整环，射影 A-模承认明确定义的秩（在定义 2 的意义上），如上面所观察到的；此外，这个秩重合与代数、章II, § 7, no. 2中定义的秩；应用定理 2 (c) 和 p = (0) 就足够了。 04BP
推论对于有限生成的射影 A-模 P 为秩 n，Aⁿ P 为秩 1 是充分必要的。 04BQ
命题 4 设 B 为交换律 A-代数，P 为秩 n 的射影 A-模。 B-模 P_(B) = B ⊗_A P 是秩 n 的投影。 ↩ 4 04BR
命题 5 设 A 为半局部环，P 为有限生成射影 A-模。如果定义 P 的秩，则 P 为自由A-模。 ↩ 1 04BS
定理 3 令A为环，并且M ajnitely 生成A模块。 ↩ 2 04BT
命题 6 设M和N是秩1的射影A模。那么M ⊗_A N、Hom_A(M, N)和M的对偶M^*是秩1的射影。 04BU
命题 7 秩 1 的射影 A-模类集合 P(A)，与合成 (6) 的律，是交换律群。如果 M 是秩 1 的射影 A-模并且 M^* 是它的对偶，那么 04BV
定义 3 令M为B的子A模块。如果B.M = B，M 称为非简并。 04BW
命题 8 令M为B的子A模块。以下条件是等效的： (a) M 是非简并的。 (b) M 满足 S。 (c) 如果 j : M → B 是典范嵌入，则同态 u = S⁻¹j : S⁻¹M → B 是双射的。 ↩ 4 04BX
推论如果M和N是B的两个非简并子A-模块，则A-模、M + N, M.N和M ∩ N是非简并的。 04BY
命题 9 令M, N为B的两个子A模块。如果M是非简并的，则从N : M到Hom_A(M, N)的典范同态是双射的。 ↩ 2 04BZ
注特别是，A : M被规范地标识为M的对偶M^*，M × M^*上的规范双线性形式被规范地标识为乘法B × B → B的限制到M × (A : M)。 04C0
定义 4 如果存在B的子-A-模块N使得M.N = A，则B的子-A-模块M称为可逆的。 04C1
例如果b是B的可逆元，则A模Ab是可逆的，如取N = Ab⁻¹所示。 04C2
命题 10 令 M 为可逆子-A-模 & B。然后： (i) 存在s ∈ S使得As ⊂ M ⊂ As⁻¹（特别是M是非简并的）。 (ii) A : M 是 B 中唯一满足 M.N = A 的子-A-模块 N。 ↩ 3 04C3
定理 4 令M为B的非简并子-A-模块。以下属性是等效的： (a) M 是可逆的。 (b) M 是投影。 (c) M 是秩 1 的投影。 (d) M 是有限生成的 A 模，并且对于 A 的每个最大理想 m，Aₘ 模 Mₘ 是单生的。 ↩ 5 04C4
推论 B 的每个可逆子 A 模块都是平坦且有限呈现的。这是从定理 4 (c) 得出的。 ↩ 1 04C5
命题 11 设M、N为B的两个子A模。假设M是可逆的。然后： (i) 典范同态 M ⊗_A N → M . N 是双射的。 (ii)N : M = N . (A : M)和N = (N : M) . M。 ↩ 3 04C6
注命题 11 中 (i) 的证明仅使用M 是平坦且非退化的事实。 04C7
命题 12 映射 cl : 𝔤 → P(A) 定义，通过商，同构从 𝔠 = 𝔤/θ(B^*) 到核 of 典范同态 04C8
推论 1 对于 B 的两个可逆子 A 模，在 ℭ 中具有相同的像，它们同构是充分必要的。 04C9
推论 2 If the ring B is semi-local, the group ℭ of classes of invertible sub-A-modules of B is canonically identified with the group P(A) of classes of projective A-modules of rank 1. ↩ 2 04CA
注推论2的假设在以下两种情况下得到满足： 04CB

III. 分级、过滤和拓扑

§ 1. 有限生成的分级代数

定义 1 在交换环A上的交换代数B中，B的元素的族(xᵢ)_i ∈ I被称为在A上代数自由（或者xᵢ在A上被称为代数独立），如果xᵢ之间的代数关系，系数在A，减少到0。在A上不是代数自由的族(xᵢ)也称为代数相关（或其元素也称为在A上代数相关）。 04D1
定义 2 交换代数 B 超过交换环 A 如果它是由元素的有限族生成的，则称为有限生成。 04D2
命题 1 令A = ⨁_i ∈ Z Aᵢ为具有正值次数的分级交换环，m为分级理想⨁_i ≥ 1 Aᵢ和(x_λ)_λ ∈ L元素A次数≥ 1的同质元素族。以下条件是等效的： ↩ 1 04D3
推论让A = ⨁_i ∈ Z Aᵢ，成为一个分级的交换环，其中次数和m分级理想，⨁_i ≥ 1 Aᵢ。 ↩ 3 04D4
命题 2 令A = ⨁_i ∈ Z Aᵢ为分级交换环，其中次数为正，M = ⨁_i ∈ Z Mᵢ为分级A模块。假设 A 是有限生成的 A₀ 代数，M 是有限生成的 A 模。然后，对于整数中的每个有序对 (d, k)，使得d geqslant 1, 0 leqslant k leqslant d - 1： 04D5
引理 1 令A为分级交换环，使得A = A₀[A₁]，M为分级A模块，以及(y_λ)_λ ∈ L系统为M的同质生成元，使得deg(y_λ) leqslant n₀对于所有λ ∈ L。然后，对于所有 n geqslant n₀ 和所有 k geqslant 0，Mₙ₊ₖ = Aₖ · Mₙ。 ↩ 2 04D6
引理 2 令 A 为分级交换交换环，使得 A = A₀[A₁] 并令 S = ⨁_i ≥ 0 Sᵢ 为分级交换 A 代数，且次数为正数，这是有限生成的 A 模。那么存在整数 n₀ ≥ 0 这样： ↩ 1 04D7
命题 3 令 R = ⨁_i ≥ 0 Rᵢ 为具有正次数的分级交换环，这是有限生成的 R₀ 代数。存在整数 e ≥ 1，使得 R⁽ᵐᵉ⁾ = R₀[Rₘₑ] 对于所有 m ≥ 1。 04D8
命题 4 设p = ⨁_i ≥ 0 pᵢ为A的分级理想；要使 p 成为质数，必要且充分的是，如果 x ∈ A, \ y ∈ A, 满足 x ∉ p 和 y ∉ p,，则xy ∉ p。 ↩ 2 04D9
命题 5 令a = ⨁_i ≥ 0 aᵢ为A和n₀整数> 0的分级理想。对于存在分级素理想 p = ⨁_i ≥ 0 pᵢ 使得 n ≥ n₀, 的 p_n₀ = a, ，必要且充分的是，对于次数 ≥ n₀, 关系 xy ∈ a 的齐次元素 x, y 的对意味着'“x ∈ a或y ∈ a”。如果存在n ≥ n₀，使得aₙ ≠ Aₙ,素理想满足，则上述条件是唯一的。 ↩ 1 04DA
命题 6 设 d 为整数 ≥ 1。 04DB
命题 7 设p为A的分级素理想，d整数≥ 1，p'为A⁽ᵈ⁾的分级素理想p ∩ A⁽ᵈ⁾；对于每个分级的A-模块M，从典范嵌入M⁽ᵈ⁾ → M派生的同态(M⁽ᵈ⁾)_(p') → M₍ₚ₎是双射的。 ↩ 1 04DC
命题 8 设m = ⨁_i ≥ 1 Aᵢ；令 (p⁽ᵏ⁾)_1 ≤ k ≤ s 为 A 的分级素数理想和分级理想 𝔞 ⊂ A 的有限族，使得 𝔞 ∩ m not⊂ p⁽ᵏ⁾ 对于所有 k；那么对于任何 p⁽ᵏ⁾ 都存在齐次元素 z ∈ 𝔞 ∩ m 而不是属于。 04DD

§ 2. 。过滤后的环和模的一般结果

定义 1 An increasing (resp. decreasing) sequence (Gₙ)_n ∈ Z of subgroups of a group G is called an increasing (resp. decreasing) filtration on G. A group with a filtration is called a fil… 04DH
定义 2 给定环A，加法群A上的过滤(Aₙ)_n ∈ Z被称为与A上的环结构兼容，如果 04DI
定义 3 令A为过滤后的环，(Aₙ)_n ∈ Z为过滤后的E为A模块。 E 上的过滤 (Eₙ)_n ∈ Z 被称为与过滤后的环 A 上的模结构兼容，如果 Aₘ Eₙ ⊂ Eₘ₊ₙ for m ∈ Z, n ∈ Z. 具有此过滤的A-模块E称为过滤后的模。 04DJ
例 1 令 A 为 A 的交换环和 t 元素，它不是 0 的除子。让我们给 A (t)-adic 过滤 (no. 1, 例 3)。那么相关的分级环 gr(A) 与多项式环 (A/(t))[X] 是规范同构的。对于 grₙ(A) = 0 n < 0 以及定义环 gr₀(A) 是环 A/(t)。我们现在注凭借t关系atⁿ ≡ 0（mod.tⁿ⁺¹）上的假设等价于a ≡… ↩ 1 04DK
例 2 设K为形式幂级数的交换环、A环 04DL
例 3 更一般地，令 A 为交换环，b A 的理想值，并且A 被赋予b-adic 过滤。如果我们写B=gr₀(A)，F=gr₁(A)=b/b²，我们知道（代数，章III），B模块F的恒等映射可以从对称唯一地扩展到同态u F 的代数 S(F) 到 B-代数 gr(A)；从 gr(A) 的定义可以得出，u 是分级代数的满同态；对于n≥1，grₙ(A)的每元素是类和模… ↩ 9 04DM
例 4 \ 令K为交换环，mathfrak g李代数超过K，U为mathfrak g的包络代数。递增过滤(Uₙ)_n∈Z是在U上定义的，右n<0取Uₙ=0并用Uₙ表示，对于U的元素的n≥0集合可表示为和的乘积最多 n 元素的 mathfrak g，那么 ↩ 1 04DN
例 5 令A为型Z的分级环，E为型Z的分级A-模；设 A₍ᵢ₎（分别为 E₍ᵢ₎）为 A（分别为 E）的次数 i 的齐次元素的子群。令 A 和 E 被赋予与其分级相关的过滤（no. 1，例 1），并令 A' 和 E' 表示由此获得的过滤后的环和过滤后的 A-模。那么A₍ₙ₎的映射元素到其典范像的Z线性映射A → gr(A')就是直接的 grₙ(A) = ( ⨁_i… 04DO
命题 1 设 A 为过滤后的环，(Aₙ)_n ∈ Z 为过滤函数，v 为序函数。假设 gr(A) 是环，没有除子或零。然后，对于元素 a、环 B = ⋃_n ∈ Z Aₙ、v(ab) = v(a) + v(b) 的每个有序对、b。 ↩ 1 04DP
推论设 A 为过滤后的环和其过滤后的 (Aₙ)_n ∈ Z；让我们集合B = ⋃_n ∈ Z Aₙ，n = ⋂_n ∈ Z Aₙ。如果环 gr(A) 没有零的除子，则也没有环 B/n。如果 a 和 b 是 B 的元素，而不是属于到 n，则 v(a) ≠ +∞ 和 v(b) ≠ +∞、从而 v(ab) ≠ +∞，因此ab ∉ n。 ↩ 2 04DQ
注令 G 为群，它不一定与过滤 (Gₙ)_n ∈ Z 交换，使得 Gₙ₊₁ 在 G 中是正规的，对于所有 n ∈ Z；再次让grₙ(G) = Gₙ/Gₙ₊₁。 (grₙ(G))_n ∈ Z族的受限乘积，即乘积∏_n ∈ Z grₙ(G)由……组成的元素(ξₙ)的子群，其所有分量（最多除了有限的数）都等于单位元素，也称为与G相关的分级群，记为gr(G)。 04DR
命题 2 设 G 是 G 的过滤交换群和 H 子群；令 H 为诱导过滤，G/H 为商过滤。如果 j : H → G 为典范嵌入并且 p : G → G/H 典范满射，则 j 和 p 与过滤兼容且序列 ↩ 3 04DS
命题 3 设A是过滤后的环，(An)其过滤，A的B子环⋃_n ∈ Z Aₙ，E是过滤后的B-模，(En)其过滤，F是E的子B模块⋃_n ∈ Z Eₙ。然后映射(a, x) ↦ ax B × F 到 F 是连续的。 ↩ 2 04DT
推论环 B 是拓扑环，B-模 F 是拓扑B-模。 ↩ 1 04DU
命题 4 设 A 为交换环，通过穷举过滤 (An) 过滤，p 为 A 的理想。假设环 gr(A) 的理想 gr(p) = ⨁_n ∈ Z (p ∩ Aₙ)/(p ∩ Aₙ₊₁) 是素数。那么 A 中 p 的闭包是一个素理想。 04DV
命题 5 令G为过滤后的群，其过滤(Gₙ)由G的不变式子群组成。以下条件是等效的： ↩ 1 04DW
例 1 令G为完全过滤后的群。带有诱导过滤的G的每个关闭子群均已完成（常规拓扑、章II, § 3, no. 4、命题8）。 G的每一个商群加上商过滤就完成了（通用拓扑、章IX, § 3, no. 1、注 1）。 ↩ 1 04DX
例 2 令A为过滤后的交换环，其过滤我们用(aₙ)_n ∈ Z表示；设A'为正式幂级数A[[X₁, …, Xₛ]]的环。对于所有e = (e₁, …, eₛ) ∈ Nˢ，我们写成|e| = ∑ᵢ₌₁ˢ eᵢ，Xᵉ = ∏ᵢ₌₁ˢ Xᵢ^eᵢ，这样每个元素P ∈ A'都可以唯一地写成P = ∑_e ∈ Nˢ α_e,P Xᵉ，其中α_e,P ∈ A。对于所有n ∈ Z… 04DY
命题 6 对于上面的记号，假设a₀ = A，并让h表示映射P ↦ (α_e,P)_e ∈ Nˢ。那么h就是加法拓扑群A到加法拓扑群A^Nˢ的同构。多项式环 A[X₁, …, Xₛ] 密集于 A'；如果 A 完整，则 A' 也完整。 ↩ 3 04DZ
推论令A为交换环， ↩ 5 04E0
命题 7 设A是过滤后的环，E是过滤后的A-模，E是过滤后的(Eₙ)；假设E₀ = E，Eₙ是E的子模，A-模E/Eₙ是阿廷的，最后拓扑群E是Hausdorff且完备的。则E的非空闭仿射子集递减序列交非空。 ↩ 1 04E1
命题 8 假设 A 和 E 满足命题 7 的假设。令 (Fₚ) 为 E 的闭子模的递减序列，使得 ⋂ Fₚ = 0。那么，对于E中0的每个邻域V，存在p使得Fₚ ⊂ V（在其他字中，滤波器(Fₚ)的基收敛于0）。 ↩ 4 04E2
定理 1 令X，Y为两个过滤的群，其过滤(Xₙ), (Yₙ)由正常的子群组成；令 u : X → Y 为同态与过滤兼容。 ↩ 4 04E3
推论 1 假设 X 是 Hausdorff 并且其过滤是详尽的。那么，如果 gr(u) 是单射的，则 u 是单射的。 ↩ 4 04E4
推论 2 假设以下假设之一成立： (α) X 完整，Y 为 Hausdorff，其过滤是详尽的； (β) Y 是离散的，其过滤是详尽的。那么，如果 gr(u) 是满射，则 u 是满射。 ↩ 2 04E5
推论 3 假设X和Y是Hausdorff，X和Y的过滤是穷举的，X是完整的。那么，如果 gr(u) 是双射的，则 u 也是双射的。 04E6
命题 9 设 A 为局部环，m 为其最大理想值，M、N 为两个 A-模，u : N \to M 为 A 同态。 M 和 N 被赋予 m-adic 过滤并假设： (1) M 满足性质 (GR)； (2) \operatorname{gr}0(u) : \operatorname{gr}0(N) \to \operatorname{gr}0(M) 是单射的。那么 \ope… ↩ 1 04E7
推论在命题 9 的假设下，如果我们还假设N 是具有m-adic 过滤的Hausdorf，则u 是单射的。 04E8
命题 10 设A为过滤后的交换环，(Aₙ)为过滤后的交换环；假设存在A₀的子环C，使得C ∩ Aₙ = 0和C可以与gr₀(A)的子环识别。设(xᵢ)_1 ≤ i ≤ q是A的元素的有限族；假设xᵢ ∈ Aₙ对于1 ≤ i ≤ q，并让ξᵢ是对于1 ≤ i ≤ q的gr_nᵢ(A)中xᵢ的类。 ↩ 1 04E9
命题 11 令 A 为 A₀ 的完整豪斯多夫过滤交换环、C 子环，使得 C ∩ Aₙ = 0 和 (xᵢ)_1 ≤ i ≤ q 为 A 的元素的有限族，使得 xᵢ ∈ A_nᵢ 其中nᵢ > 0 为 1 ≤ i ≤ q；对于1 ≤ i ≤ q，令ξᵢ为gr_nᵢ(A)中xᵢ的类。 ↩ 3 04EA
命题 12 令A为过滤后的环，E为过滤后的A模块，(Aₙ)和(Eₙ)分别对A和E进行过滤。假设A已完成，且过滤(Eₙ)已彻底分离。令(xᵢ)_i ∈ I为E的元素的有限族，对于i ∈ I，令n(i)为整数，使得xᵢ ∈ Eₙ₍ᵢ₎；最后令ξᵢ为grₙ₍ᵢ₎(E)中xᵢ的类。那么，如果(ξᵢ)是gr(A)-模块gr(E)的生成元的系统，则(xᵢ)是A-模块E的生成元的系统… ↩ 5 04EB
推论 1 令A是一个完整的过滤环，而E是一个过滤的A模块，其过滤是彻底且分离的。如果 gr(E) 是有限生成的（分别为诺特）gr(A) 模块，则 E 是有限生成的（分别为诺特）A 模块。 ↩ 4 04EC
推论 2 设 A 是一个完整的豪斯多夫过滤环，其过滤是详尽的。如果 gr(A) 是左诺特环，则 A 也是。 ↩ 2 04ED
推论 3 设 A 为完全过滤的环，(An) 为它的过滤，E 为 Hausdorff 过滤的 A-模，(En) 为它的过滤，F 为 E 的有限生成的子模；假设 A∞ = A 且 E0 = E。 ↩ 3 04EE
命题 13 设A为环，m是A的双面理想，包含在A和E的雅各布森根中A-模。让 A 和 E 接受 m 进过滤 (no. 1, 例 3)。假设以下条件之一成立： (a) E 为有限生成A-模，A 为豪斯多夫； (b) m 是幂零的。 ↩ 2 04EF
引理 1 令 A 为型 Z 的分级环，其分级 (Aₙ) 使得所有 n < 0 为 Aₙ = 0 或所有 n > 0 为 Aₙ = 0。令 M 为型 Z 的分级 A-模。为了使M成为诺特A-模，M的每个分级子模是有限生成的充分必要。 ↩ 1 04EG
定理 2 令A为型N的分级环，M为型N的A-模分级，以及(Aₙ)和(Mₙ)各自的分级。假设存在元素 a ∈ A₀，使得所有 n > 0 都存在 Aₙ = A₀ aⁿ 和 Mₙ = aⁿ M₀。那么，如果M是诺特A₀模，则M是诺特A-模。 ↩ 2 04EH
推出 1（希尔伯特定理） 对于每个交换律诺特环 C、多项式环 C[X] 都是诺特 (cf. 习题 10)。 ↩ 1 04EI
推出 2 对于每个交换律诺特环 C 和每个整数 n > 0、多项式环 C[X1, ..., Xn] 都是诺特。 ↩ 1 04EJ
推出 3 如果C是交换律诺特环，则每个有限生成的交换律C-代数是诺特环。 ↩ 5 04EK
推出 4 设 A 为型 N 的等级交换环，并令 (Aₙ) 为其毕业。对于 A 为诺特，Aₙ 为诺特且 A 为 ajinitely 生成的 A,-代数是充分必要的。 ↩ 2 04EL
推出 5 设 A 为交换环，m 是 A 的一个理想，使得 A/m 为诺特，m/m² 是 ajinitely 生成的 (A/m) 模，A 是 Hausdorff，并由 m 进数拓扑完成。那么 gr(A) 和 A 是诺特。 ↩ 4 04EM
推出 6 对于每个可交换的诺特环 C 和每个整数 n 0，形式幂级数 C[[X₁, …, Xₙ]] 的环是诺特。 04EN
命题 14 令(Aᵢ, hᵢⱼ)为离散交换环的逆系，其索引集合为N，并令(Mᵢ, uᵢⱼ)为模的逆系超过环的逆系 (Aᵢ, hᵢⱼ)。让nⱼ表示h₀ⱼ: A → A的核，并且集合A = lim Aᵢ，M = lim Mᵢ。假设 ↩ 4 04EO
推论 1 使用记号和命题14的假设，进一步假设M₀是有限生成的A模块，并且A的理想n₁是有限生成的。设m₁为h₁的核； A和M上的拓扑分别是环和模上的m₁-adic拓扑；准确地说，对于hᵢ和uᵢ的所有i ≥ 0、核分别是m₁ⁱ⁺¹和m₁ⁱ⁺¹ M；进一步 m₁ / m₁² 是有限生成的 A 模块。 ↩ 1 04EP
推论 2 在推论1的假设下，A为诺特，A为诺特是必要且充分的。 ↩ 1 04EQ
命题 15 令A为过滤后的环，E为过滤后的A模块，A和E各自的过滤(Aₙ), (Eₙ)是详尽的。那么(hatAₙ)是与hatA上的环结构兼容的过滤，而(hatEₙ)是在过滤后的环hatA上与hatE上的模结构兼容的过滤；此外，这些过滤是详尽的，并且分别hatA和hatE上的拓扑定义。最后，分级Z-模块中的典范映射gr(A) → gr(hatA)和gr(E) → gr(h… ↩ 2 04ER
引理 2 令X xrightarrowf Y xrightarrowg Z为拓扑群严格态射的正合序列（代数、章II, § 1, no. 4、注）。假设X, Y, Z承认豪斯多夫完成群并且单位元素E X, Y, Z承认邻域的可数基数系统。那么hatX xrightarrowhatf hatY xrightarrowhatg hatZ就是严格态射的正合序列。 ↩ 3 04ES
命题 16 令A为已过滤的环，(A,)其过滤，E为A模块，且(Eₙ)E上的过滤源自于Eₙ = Aₙ E的A由……组成上的过滤。假设过滤 (A,) 是详尽的，并且模 E 是有限生成的。如果 i : E → hatE 是典范映射，那么，对于所有 n ∈ Z， 8ₙ = hatAₙ hatE = hatAₙ i(E) and hatE = hatA.i(E). 特别是hatE… ↩ 5 04ET
推论 1 在命题 16 的条件下，如果A完整，E也完整。 ↩ 1 04EU
推论 2 令A为交换环，m为A和hatA的有限生成理想，A相对于m进数拓扑的豪斯多夫完成。那么hatA上的每个整数n > 0和拓扑的hatmⁿ = (hatm)ⁿ = mⁿ . hatA就是hatm-adic拓扑。 ↩ 2 04EV
命题 17 令A为交换环和(m_λ)_λ ∈ L一组A的理想，与A不同，使得m_λ和m_μ对于λ ≠ μ互质。对于整数≥ 0、有限支撑、集合aₛ = ⋂_λ ∈ L m_λ^s(λ)的每个家庭s = (s(λ))_λ ∈ L（等于λ的m_λ^s(λ)的乘积，使得s(λ) ≠ 0；cf. 章 11、§ 1, no. 2、命题 3 和 5)； aₛ形式邻域的基本系统为0，相… ↩ 3 04EW
推论令A为主理想整环，P为A的极值元素的代表系统（代数，章VII, § 1, no. 3）。 A上的拓扑相对于A形式的理想≠ 0，邻域的基本系统为0，与A上的环结构兼容，是Hausdorff，并且A的完备性为对于x进拓扑，这个拓扑与A补全的乘积规范同构，其中x贯穿P。 04EX
命题 18 令 A 为交换环，(mᵢ)_1 ≤ i ≤ q A、t 乘积理想m₁ m₂ … m_q = m₁ ∩ m₂ ∩ … ∩ m_q 和S 乘法子集 ⋂ᵢ₌₁^q (A - mᵢ) 的有限族。让 A 被赋予 r-adic 拓扑，环 B = S⁻¹ A rB-adic 拓扑以及每个局部环 Aₙ (mᵢ A_mᵢ)-adic 拓扑。设u : A → B、vᵢ : B… ↩ 1 04EY
命题 19 令A为交换环，且m为A的最大理想。 A相对于m进数拓扑的豪斯多夫完成hatA是局部环，其最大理想是m。 04EZ
引理 3 设A是一个完整的Hausdorf拓扑环，其中存在A的0由……组成的加法子群的邻域的基系统G。 (i) 对于所有x ∈ A，使得lim_n → m xⁿ = 0、1 - x在A中可逆，并且其逆等于∑ₙ₌₀^∞ xⁿ。 (ii) 设a为A的双面理想，使得lim_n → ∞ xⁿ = 0对于所有x ∈ a。为了使 A 的元素 y 可逆，其类 mod 是充分必要的。… ↩ 3 04F0
推论令 A 为半局部环 (章 II, § 3, no. 5)，mᵢ 其独特的最大理想 (1 ≤ i ≤ q) 和 ↩ 3 04F1

§ 3. 诺特环上的$\mathfrak{m}$-adic 拓扑

定义 1 令A为交换环，m为A的理想，E为A模，(Eₙ)为加法群E由……组成对子模的过滤E。过滤 (Eₙ) 被称为 m-good 如果： (1) m Eₙ ⊂ Eₙ₊₁ 对于所有 n ∈ Z； (2) 存在整数n₀使得m Eₙ = Eₙ₊₁对于n ≥ n₀。 04FX
定理 1 令A为交换环，m为A的理想，E为A模块，(Eₙ)为无限生成的子A模块的加法群E由……组成的过滤。假设 m Eₙ ⊂ Eₙ₊₁ 代表所有 n。令A'为A[X]的分级子代数∑_n ≥ 0 mⁿ Xⁿ，E'为A'-模块∑_n ≥ 0 Eₙ ⊗_A A Xⁿ的分级。以下两个条件是等效的： (a) 过滤 (Eₙ) 很好。 (b) E'是有限生成的A'模块。 ↩ 2 04FY
引理 1 设 A 为交换律诺特环，且 m 为 A 的理想。则 A[X] 的子环 A' = ∑_n ≥ 0 mⁿ Xⁿ 为诺特。 ↩ 1 04FZ
命题 1 设 A 为交换律诺特环，m 为 A 的理想；令 A 接受 m-adic 过滤。令E、F为与过滤兼容的两个过滤的A-模和j : F → E单同态。如果 E 是有限生成的且其过滤是 m-good，则 F 是有限生成的且其过滤是 m-good。 ↩ 3 04G0
推出 1（Artin-Rees 引理） 设 A 为可交换诺特环，m 是 A 的理想，E 有限生成A-模和 E 的 F 子模。E 上的 m-adic 过滤在 F 上引起的过滤是 m-good。 ↩ 2 04G1
推出 2 设 A 为可交换的诺特环且 a, b 是 A 的两个理想。存在整数 h 0 使得 aʰ ∩ b ⊂ ab。 04G2
推出 3 设 A 是可交换的诺特环，m 是 A 的理想，并且 x 元素是 A，它不是 O 的除子。存在整数k > 0，对于所有n ≥ k，关系xy ∈ mⁿ意味着y ∈ mⁿ⁻ᵏ。 04G3
推出 4 令 A 为可交换的诺特环，m A、E 的理想，分别生成 A 模以及 (Eₙ) 和 (E'ₙ) 两个过滤由……组成子模 E。假设当A被给予m-adic过滤时，过滤(Eₙ)和(E'ₙ)与E上的A模块结构兼容。如果过滤 (Eₙ) 为 m-良好，并且对于所有 n ∈ Z 为 E'ₙ ⊂ Eₙ，则过滤 (E'ₙ) 为 m-良好。这是命题 1 的特例。 04G4
引理 2 令A, B为两个可交换的诺特环、φ : A → B环同态、E有限生成的A模块和F有限生成的B模块。那么Hom_A(E, φ_*(F))是一个有限生成的B-模块。 ↩ 1 04G5
命题 2 令A是可交换的诺特环，m是A和E, F两个有限生成的A模的理想。如果(Fₙ)是F上的m-良好过滤，则子模Hom_A(E, Fₙ)形式是A-模块Hom_A(E, F)上的m-良好过滤。正如 mᵏ Fₙ ⊂ Fₙ₊ₖ 与 n ∈ Z, k ≥ 0 一样，也成立 ↩ 1 04G6
命题 3 令 A 为诺特环，且 m 为 A 的理想，使得 A 为 Hausdorff，且相对于 m 进数拓扑完整。令E为过滤环A上的过滤A模，A的过滤(Eₙ)使得E₀ = E和E是相对于由(Eₙ)定义的拓扑的Hausdorff。那么下面的条件是等价的： (a) E 是有限生成的 A 模块，(Eₙ) 是 m-good 过滤。 (b) gr(E) 是有限生成的 gr(A)… 04G7
命题 4 令A是可交换的诺特环，m是A的理想，而E是有限生成的A模。 E 定义上的所有 m-good 过滤均相同拓扑（即 m-adic 拓扑）。 ↩ 1 04G8
定理 2（克鲁尔） 设A是可交换的诺特环，m是A的理想，E是有限生成的A模，F子模是E。然后F上的m-adic 拓扑由E上的m-adic 拓扑诱导。 ↩ 6 04G9
推论令A是可交换的诺特环，m是A的理想，E是A模，F是有限生成的A模。每个A-线性映射u : E → F都是严格的态射（一般拓扑、章 111、§ 2, no. 8）对于m-adic拓扑。 ↩ 1 04GA
命题 5 设A是可交换的诺特环，m是A的理想，E是有限生成的A模。 E中0的闭包⋂ₙ₌₁ᵐ mⁿE相对于m-adic拓扑是x ∈ E的集合，其中存在元素m ∈ m使得(1 - m)x = 0。 ↩ 6 04GB
推论（克鲁尔） 设A是可交换的诺特环，而m是A的理想。理想的 ⋂ₙ₌₁ᵐ mⁿ 是元素 x ∈ A 的集合，其中存在 m ∈ m 使得 (1 - m)x = 0。 In particular, for ⋂ₙ₌₁^∞ mⁿ = 0, it is necessary and sufficient that no element of 1 + m be a divisor of… ↩ 3 04GC
注假设 A 是诺特在此推论中至关重要。对于例，令A为映射从R对其自身无限微分的环，并令m为函数f的A由……组成的（极大）理想，使得f(0) = 0。 ⋂ₙ₌₀^∞ mⁿ是函数f的集合是直接的，使得f⁽ⁿ⁾(0) = 0对于所有n ≥ 0并且存在这样的函数与f(x) ≠ 0，对于所有x ≠ 0，对于例函数 f 由 f(x) = e^-1/x² 定义为 x ≠… 04GD
定义 1 设A为拓扑环。如果A的双边理想m使得A上的给定拓扑是m进数拓扑，则m称为定义理想&A上的拓扑。 04GE
命题 6 设A是可交换的诺特环，而m是A的理想。以下属性是等效的： (a) m 包含在A 的雅各布森根中。 (b) 每个有限生成的 A-模都是具有 m-adic 拓扑的 Hausdorff。 (c) 对于每个有限生成的A-模块E，E的每个子模相对于E上的m-adic 拓扑是封闭的。 (d) A 的每个最大理想相对于 m-adic 拓扑都是封闭的。 ↩ 6 04GF
定义 2 拓扑环 A 被称为 Zariski 环，如果它是可交换的且诺特，并且在 A 满足上存在拓扑的定义理想 m，相当于命题的条件 6. 04GG
例 1 令A是可交换的诺特环，而m是A的理想。如果 A 是 Hausdorff 并与 m-adic 拓扑完备的，则A 是一个 Zariski 环与此拓扑，凭借 § 2, no. 13、引理 3。 ↩ 1 04GH
例 2 Zariski 环的每个商环 A/b 都是 Zariski 环，因为它是诺特，并且，如果 m 是 A 的定义理想，则 m(A/b) = (m + b)/b 包含在 A/b 的雅各布森根中（代数、章VIII, § 6, no. 3、命题7）。 04GI
例 3 令 A 为诺特半局部环，r 为其雅各布森根式。那么 A 与 r-adic 拓扑是 Zariski 环。当我们将诺特半局部环视为拓扑环时，这始终是拓扑的问题（除非另有说明）。 ↩ 2 04GJ
命题 7 令A, A'为两个交换环和h : A → A'环同态。假设 A 是诺特并且 A' 是有限生成的 A 模块（结构由 h 定义）。令m为A的理想，并令m' = mA'。然后： ↩ 2 04GK
定理 3 设A是可交换的诺特环，m是A和E、F、G三个有限生成A模的理想。然后： ↩ 7 04GL
推论 1 设A是可交换的诺特环，m是A的理想，E是有限生成的A模，F和G两个子模 E。让A, E, F, G被赋予m-adic拓扑，并让i从E到e为典范映射。然后： ↩ 2 04GM
推论 2 令 A 为交换诺特环，m A 的理想，hatA A 相对于 m-adic 拓扑的豪斯多夫完成。如果元素a ∈ A不是A中的0的除子，则hatA中的典范像a'也不是hatA中的0的除子。 ↩ 1 04GN
推论 3 如果A是可交换的诺特环，则形式幂级数A[[X₁, …, Xₙ]]的环是平A模。 04GO
命题 8 令 A 为交换诺特环，m A，hatA A 相对于 m-adic 拓扑和 j 的豪斯多夫完成式典范映射从A到hatA。的： (i) hatA 是 Zariski 环，hatm = hatA.j(m) 是 hatA 的定义理想。 ↩ 3 04GP
推论设 A 为诺特局部（或半局部）环和m 其雅各布森激进式。那么 hatA 是诺特局部（或半局部）环，其雅各布森根式是 hatm。 04GQ
命题 9 设A是可交换的诺特环，m是A的理想；让 A 被赋予 m-adic 拓扑。为了使 hatA 成为忠实的扁平 A 模，A 是 Zariski 环是充分必要的。 ↩ 3 04GR
推论 1 令 A 为 Zariski 环，E 为有限生成的 A 模块，F 子模为 E。然后F = hatF ∩ E = (hatAF) ∩ E。 04GS
推论 2 令 A 为 Zariski 环，E 为有限生成的 A 模块。如果 hatE 是免费的 A 模块，则 E 是免费的 A 模块。 ↩ 1 04GT
推论 3 令A为Zariski环，使得hatA为整环，并令a为A的理想。如果hatA的理想ahatA为主，则a为主。 ↩ 1 04GU
推出 4 令A为Zariski环，使得hatA为整环，hatA的分数的L域以及分数的K ⊂ L域 A；然后hatA ∩ K = A。 ↩ 1 04GV
推出 5 令A是可交换的诺特环，E, F两个有限生成的A模，u : E → F是A同态。对于 A 的每个最大理想 m，令 A(m)（分别为 E(m), F(m)）表示 A（分别为 E, F）相对于 m-adic 拓扑和 u(m) : E(m) → F(m) 的 Hausdorff 完成相应的同态至u。对于 u 是单射的（分别是满射、双射的、零），u(m) 对于每个最大… 04GW
命题 10 令 A, B 为两个 Zariski 环、hatA, hatB 它们的完成，f : A → B 连续的环同态和 hatf : hatA → hatB 同态从 f 通过经过获得到完成；如果 hatf 是双射的，则 A-模 B 是忠实平坦的。 ↩ 1 04GX
命题 11 令A为诺特局部环，m其最大理想，hatA其m进数补全，以及B环使得A ⊂ B ⊂ hatA。假设B是诺特局部环，其最大理想n满足关系n = mB。然后 04GY
注局部环B使得A ⊂ B ⊂ hatA，其最大理想n等于mB并且其n-adic拓扑由A上的m-adic拓扑诱导，不一定是诺特（习题14）。 04GZ
命题 12 令 A 为交换律诺特环，m A 的理想，S A 的乘法子集 1 + m 和 E 有限生成A-模块。在这些条件下： 04H0

§ 4. 完整提升环

引理 1（“欧几里得的引理”） 设x, y是R的两个强互质元素；如果 z ∈ R 满足 x 除 yz，则 x 除 z。 ↩ 1 04HS
命题 1 令A为交换环和P和P'A[X]中的两个强互质多项式。假设 P 是单数且为次数 s。那么 A[X] 中的每个多项式 T 都可以唯一地写成形式 T = PQ + P'Q' 其中 Q ∈ A[X]、Q' ∈ A[X] 和 deg(Q') < s。如果进一步deg(T) ≤ t和deg(P') ≤ t - s，则deg(Q) ≤ t - s。 ↩ 3 04HT
例对于与 X - a（其中 a ∈ A）强互质的多项式 P ∈ A[X]，P(a) 在 A 中“可逆”是充分必要的。因为如果 P 和 X - a 强互质，则从命题 1 可知存在 c ∈ A 和多项式 Q ∈ A[X]，使得 cP + (X - a)Q = 1、从而 cP(a) = 1 和 P(a) 可逆。相反，欧几里得除法 04HU
命题 2 令A和B为从A到B的两个交换环、f同态以及P, P'A[X]中的两个多项式。如果P和P'在A[X]中强互质，则barf(P)和barf(P')在B[X]中强互质。逆命题为真，当且仅当是满射，如果它的核包含在 A 的 Jacobson 根式中，并且 P 是单调的。 ↩ 2 04HV
定义 1 如果存在理想 𝔬 ⊂ A 的邻域 𝔬 由……组成的基本系统 B，则交换拓扑环 A 被称为线性拓扑（并且其拓扑被称为线性）。 04HW
定义 2 Given a commutative topological ring A, a formal power series T = ∑_(nᵢ) c_n₁ n₂ … nₚ X₁^n₁ X₂^n₂ … Xₚ^nₚ in the ring A[[X₁, …, Xₚ]] is called restricted if, for every neighbourhoo… 04HX
命题 3 如果线性拓扑交换环A是Hausdorff且完备，则典范同态π是拓扑环同构。 ↩ 1 04HY
命题 4 令A, B为两个线性拓扑交换环，B为Hausdorff且完备，u : A → B为连续的同态。对于B的元素的每个家庭b = (bᵢ)_1 ≤ i ≤ p，都存在唯一的连续同态 tildeu : AX₁, …, Xₚ → B 使得tildeu(a) = u(a)代表所有a ∈ A，tildeu(Xᵢ) = bᵢ代表1 ≤ i ≤ p。 ↩ 3 04HZ
注 1 命题 4 证明，对于环 A 中的每个“封闭”理想 a（假定为 Hausdorff 且完备），1 ≤ i ≤ p 的关系 bᵢ ∈ a 意味着f(b₁, …, bₚ) ∈ a 对于每个受限形式幂级数 f ∈ AX₁, …, Xₚ。 ↩ 1 04I0
注 2 假设A是线性拓扑的；令 r 为整数，使得 1 ≤ r ≤ p 且令环 AX₁, …, Xᵣ 为上面定义的拓扑。然后拓扑环 AX₁, …, Xᵣ 与受限形式幂级数的环等价 ↩ 1 04I1
注 3 有了注 2的记号，进一步假设A是Hausdorff且完备，让我们在形式中写出每个受限形式幂级数f ∈ AX₁, …, Xᵣ ↩ 1 04I2
命题 5 设A为交换环且f = (f₁, …, fₙ)系统，A[[X₁, …, Xₙ]]中没有n级数的常数项。假设J_f(0)在A中可逆。那么A[[X₁, …, Xₙ]]中存在系统，没有n级数的常数项g = (g₁, …, gₙ)，使得 (16) f ∘ g = 1ₙ. ↩ 1 04I3
命题 6 令A为交换环，B环满足亨塞尔的条件和u : A → B同态。对于B的拓扑幂零元的每个族x = (x₁, …, xₙ)，存在从A[[X₁, …, Xₙ]]到B的唯一同态tildeu，使得tildeu(a) = u(a)对于所有a ∈ A和tildeu(Xᵢ) = xᵢ对于1 ≤ i ≤ n。此外，如果 m 表示级数的理想，而 A[[X₁, …, Xₙ]] 中没… ↩ 3 04I4
推论令A为环满足亨塞尔的条件和x = (x₁, …, xₙ)A的拓扑幂零元族。设g = (g₁, …, g_q)为系统，没有A[[X₁, …, Xₛ]]中级数的常数项和A[[X₁, …, X_q]]中形式幂级数的f = (f₁, …, fₚ)系统。那么 g(x) = (g₁(x), …, g_q(x)) 是 A 的拓扑幂零元族，并且 ↩ 1 04I5
命题 7 Let A be 环 and m an ideal of A such that 有序对 (A, m) satisfies Hensel's 条件. Let f = (f₁, …, fₙ) be 系统 without constant 项 of 级数 in A[[X₁, …, Xₙ]] such that J_f(0) is invertible in A… ↩ 1 04I6
推论 Let q be a closed ideal of A contained in m. Then 关系 x ≡ x' pmodq^xⁿ is equivalent to f(x) ≡ f(x') pmodq^xⁿ. 04I7
定理 2 Let A be 环 and m an ideal of A such that 有序对 (A, m) satisfies Hensel's 条件.令 f = (f₁, …, fₙ) 为 n 元素的系统 ↩ 1 04I8
推论 1 令A为环且m为A的理想，使得有序对(A, m)满足Hensel的条件。设f ∈ AX、a ∈ A并写出e = f'(a)。如果 f(a) ≡ 0 (mod. e² m)，则存在 b ∈ A 使得 f(b) = 0 和 b ≡ a (mod. em)。如果 b' 是 A 的另一个元素，使得 f(b') = 0 和 b' ≡ a pmod𝔪，则e(b - b')… ↩ 2 04I9
注当 e 在 A 中可逆时，该推论尤其适用；然后我们还可以从 Hensel 的定理推导出 b 的存在性，因为 (A/𝔪)X 中 f(X) 的典范像是形式 (X - a)f₁(X), X - a 和 f₁(X) 强互质，因为 f₁(α) = f'(α) 是像共 e（no. 1、例）。 04IA
推论 2 令A为环且𝔪为A的理想，使得有序对(A, m)满足Hensel的条件。令r, n为整数，使得0 ≤ r < n和f = (fᵣ₊₁, …, fₙ)为n - r的系统，AX₁, …, Xₙ的元素；让J^(n-r)_f(X)表示指标j的M_f(X)由……组成或列的小数，使得r + 1 ≤ j ≤ n。令a ∈ Aⁿ使得J^(n-r)_f(a)在A和f(a) ≡… ↩ 1 04IB
推论 3 有了记号和推论2，令a ∈ Aⁿ；让我们写 e = Jᵣ^(n-r)(a) （不一定在 A 中可逆）并假设 f(a) ≡ 0 (mod. e^2m^×(n-r))。那么在 A[[X₁, …, Xᵣ]] 中存在没有常数项 φᵢ (r + 1 ≤ i ≤ n) 的 n - r 形式幂级数，这样，对于所有 t = (t₁, …, tᵣ) ∈ m^× r， 04IC
引理 2 令A为环且m为A的理想，使得有序对(A, m)满足Hensel的条件。令B为商环A/m，π : A → B为典范同态。对于B的每个幂等c，都存在一个唯一的A幂等e，使得π(e) = c。 ↩ 1 04ID
命题 8 令A为环且m为A的理想，使得有序对(A, m)满足Hensel的条件。令B为商环A/m和π : A → B典范同态。如果 B 是有限族 (𝔟ᵢ)_i ∈ I 理想的直接合成，则存在 A 的唯一理想族 (𝔞ᵢ)_i ∈ I ，使得 π(𝔞ᵢ) = 𝔟ᵢ 对于所有 i ∈ I 并且 A 是该族 (𝔞ᵢ) 的直接合成。 ↩ 3 04IE
注命题 8 再次给出 A 上半局部环的结构，它是 Hausdorff，并与 c-adic 拓扑（c A 的 Jacobson 根）完备的，它已经作为 § 2, no. 13 的推论获得，推论命题19。 04IF

§ 5. 过滤后的平整度模

定义 1 设 A 为交换环和 𝔤 A 的理想。A-模 M 被称为关于 3 的理想 Hausdorff（或者如果没有歧义，则称为理想 Hausdorff），如果对于 A 的每个有限生成的理想 𝔞，A-模 𝔞 ⊗_A M 是具有 3-adic 的 Hausdorff 拓扑. 04IO
例 1 如果 A 是诺特并且 𝔤 包含在 A 的 Jacobson 根式中（在其他字中，如果 A 是具有 3-adic 拓扑的 Zariski 环），则每个有限生成的 A-模都是理想的 Hausdorff（§3， no. 3、命题 6)。 ↩ 1 04IP
例 2 理想 Hausdorff 模的每个直和都是理想 Hausdorff 模，凭借关系 𝔤ⁿ ( a ⊗_A ⨁_λ ∈ L M_λ ) = 𝔤ⁿ ⨁_λ ∈ L (a ⊗_A M_λ) = ⨁_λ ∈ L 𝔤ⁿ (a ⊗_A M_λ). 04IQ
例 3 如果 A-模 M 是平坦的，且 Hausdorff 具有 𝔤-adic 拓扑，则理想情况下是 Hausdorff，因为 a ⊗_A M 则可与 M 的子模识别，并且 a ⊗_A M 上的 𝔤-adic 拓扑为更细比拓扑在a ⊗_A M上由M上的𝔤进数拓扑诱导，这是假设的Hausdorff。 04IR
定理 1 设 A 为交换环，𝔤 A 和 M A-模的理想。考虑以下属性： (i) M 是 afat A-模。 (ii) 对于每 A-模 N 被 𝔷 消灭，Tor₁ᴬ(N, M) = 0。 (iii) M / 𝔤M 是 ajlat (A / 𝔤) 模，典范映射 𝔷 ⊗_A M → 𝔤M 是双射（后者条件凭借关系 Tor₁ᴬ(A, M) = 0 和正合序列等价于 Tor₁… ↩ 5 04IS
注如果A / 𝔤是域（应用中经常发生）条件“M/𝔤M是一个平面(A / 𝔤)-模块”对于每个A-模M自动成立，这简化了属性（iii）和（iv）的叙述；此外，在这种情况下，性质 (v) 等价于说，M / 𝔤ⁿ M 是每个整数 n ≥ 1 的免费 (A / 𝔤ⁿ) 模块（章 11, § 3, no. 2，推论 2 命题5)。 04IT
命题 1 设A为交换环，3是A和M一个A-模的理想。以下条件是等效的： (a) 对于所有人n ≥ 1，Tor₁ᴬ(A/𝔤ⁿ, M) = 0。 (b) 对于所有人 n ≥ 1，典范同态 θₙ : 𝔤ⁿ ⊗_A M → 𝔤ⁿ M 是双射的。 04IU
命题 2 令A为交换环，𝔤为A的理想，B为可交换的诺特A代数，使得B包含在B的雅各布森根式中。那么每个有限生成的B-模M都是关于𝔤的理想HausdorffA-模。 ↩ 2 04IV
命题 3 令A为交换环，B为可交换的A代数，𝔤为A的理想，M为B模。假设 B 是诺特环和一个平坦的 A 模，并且 M 相对于 𝔤 B 是理想的 Hausdorff。以下条件是等效的： (a) M 是扁平 B 模块。 (b) M 是扁平 A 模块，M/𝔤 M = M/(𝔤 B) M 是扁平 (B/𝔤 B) 模块。如果进一步典范同态 A/𝔤 → B/𝔤 B 是双射，条件… 04IW
推论令 A 为可交换的诺特环，𝔍 A、hatA A 相对于 𝔍-adic 拓扑的 Hausdorff 完成，并且M 相对于 𝔍 hatA 的理想 Hausdorff hatA 模。为了使 M 成为扁平 A 模块，M 成为扁平 hatA 模块是必要且充分的。 ↩ 1 04IX
命题 4 设A和B是两个可交换的诺特环，h : A → B环同态，3A的理想和2B的理想包含 𝔍B 并包含在 B 的雅各布森根中。令hatA为A相对于3-adic 拓扑的豪斯多夫完成，hatB为B相对于2-adic 拓扑的豪斯多夫完成； h 与这些拓扑连续，因此 h : hatA → hatB 使 8 成为 hatA 代数。令 M 为有限生成的 B-模，hatM 为相… 04IY

IV. 关联的素理想和初等分解

§ 1. 与模相关的素理想

定义 1 令 M 为模大于环 A。如果存在 x ∈ M 使得 p 等于湮没子 & x，则称素理想 p 与 M 相关。与 M 相关的素理想的集合表示为 AssA(M)，或简称为 Ass(M)。 ↩ 1 04J7
命题 1 对于环A的每个素理想p和A/p、Ass(M) = p的每个子模M ≠ 0。 ↩ 2 04J8
命题 2 令 M 为模超过环 A。 A的理想Ann(x)的每个极大元素，集合，其中x贯穿元素的集合，M的≠ 0，属于到Ass(M)。 ↩ 6 04J9
推论 1 设M为模超过诺特环A。那么条件M ≠ 0相当于Ass(M) ≠ ∅。 ↩ 8 04JA
推论 2 令A为诺特环，M为A模，a元素为A。为了使M上的位似与比率a是单射的，a属于没有与M相关的素理想是必要且充分的。 ↩ 1 04JB
推论 3 诺特环A中零除子集合是理想的p ∈ Ass(A)并。 ↩ 2 04JC
命题 3 令A为环，M为A模，N为N的子模。然后 Ass(N) ⊂ Ass(M) ⊂ Ass(N) ∪ Ass(M/N). 包含Ass(N) ⊂ Ass(M)是明显的。设p ∈ Ass(M)、E为M的子模，与A/p和F = E ∩ N同构的。如果F = 0、E同构于M/N、从而p ∈ Ass(M/N)的子模。如果F ≠ 0，则F的每一个元素≠ 0的湮没子是p（命题1）… ↩ 9 04JD
推论 1 如果A-模M是子模家庭(Mᵢ)_i ∈ I的直和，则Ass(M) = ⋃_i ∈ I Ass(Mᵢ)。 ↩ 2 04JE
推论 2 令M为A-模，且(Qᵢ)_i ∈ I为M的子模的有限族。如果⋂_i ∈ I Qᵢ = 0，那么 Ass(M) ⊂ ⋃_i ∈ I Ass(M/Qᵢ). 典范映射 M → ⨁_i ∈ I (M/Qᵢ) 是单射；那么就满足应用命题 3 及其推论 1。 ↩ 1 04JF
命题 4 令 M 为 A-模，且 Ass(M) 为 Φ 子集。那么存在M的子模N使得Ass(N) = Ass(M) - Φ和Ass(M/N) = Φ。 ↩ 3 04JG
命题 5 设A为环，S不满足S和M的A素理想的A，Φ集合的乘法子集 A-模。然后： (i) 映射 p ↦ S⁻¹p 是 Ass_A(M) ∩ Φ 的双射到 Ass_S⁻¹A(S⁻¹M) 的子集。 (ii) 如果 p ∈ Φ 是有限生成的理想且 S⁻¹p ∈ Ass_S⁻¹A(S⁻¹M)，则 p ∈ Ass_A(M)。 ↩ 2 04JH
推论如果环 A 是诺特，则映射 𝔭 ↦ S⁻¹𝔭 是Ass_A(M) ∩ Φ 的双射到Ass_S⁻¹A(S⁻¹M)。 ↩ 7 04JI
命题 6 设A为诺特环，M A-模，S为A的子集和Ass_A(M)的元素的Y集合，不满足S。则典范映射的核N M → S⁻¹M是M唯一的子模，满足关系 ↩ 4 04JJ
命题 7 设A为环，M为A-模。 ↩ 3 04JK
推出 1 如果 M 是模超过诺特环，则 Ass(M) ⊂ Supp(M) 和这两个集合具有相同的最小值元素。 ↩ 2 04JL
推出 2 诺特环 A 的零根是理想 𝔭 ∈ Ass(A) 的交。 ↩ 1 04JM
定理 1 设 A 为诺特环，M 有限生成A-模。 M 存在合成列 (Mᵢ)_0 ≤ i ≤ n，使得对于0 ≤ i ≤ n - 1，Mᵢ / Mᵢ₊₁ 同构于A / 𝔭ᵢ，其中𝔭ᵢ 是A 的素理想。 ↩ 3 04JN
定理 2 令 M 为诺特环 A 和 M 的 (Mᵢ)_0 ≤ i ≤ n 合成列上的有限生成模，使得对于 0 ≤ i ≤ n - 1，Mᵢ / Mᵢ₊₁ 同构于 A / 𝔭ᵢ，其中 𝔭ᵢ 是 A 的素理想。 ↩ 2 04JO
推论如果 M 是有限生成模超过诺特环 A，则 Ass(M) 是有限的。 ↩ 1 04JP
命题 8 设A为诺特环，A和M有限生成A-模的理想。以下条件是等效的： ↩ 1 04JQ
命题 9 设A为诺特环，A和M有限生成A-模的理想。为了存在整数n > 0使得aⁿ M = 0，a包含在与M相关的素理想的交中是必要且充分的。 ↩ 2 04JR
定义 2 给定一个A模M，自同态u为M，如果对于所有x ∈ M，存在整数n(x) > 0使得uⁿ⁽ˣ⁾(x) = 0，则称为几乎幂零。 04JS
推论设A为诺特环。 M 一个 A 模块和 A 的 a 元素。为了使M的同态a_M : x ↦ ax几乎为零，a属于对于Ass(M)的每个理想是充分必要的。 04JT
命题 10 令A为诺特环，E为有限生成的A模块，F为A模块。然后 ↩ 1 04JU

§ 2. 初等分解

命题 1 令A为诺特环且M为A模块。以下条件是等效的： (a) Ass(M) 减少为单个元素。 ↩ 5 04KE
定义 1 令A为诺特环，N为A模，Q子模为N。如果模M = N/Q满足命题1的条件，Q被称为关于N的p-primary（或在N）。 ↩ 2 04KF
注令 q 为 A-模块 N 的 p-primary 子模。如果N/Q是有限生成的，则存在整数k > 0，使得pᵏ N ⊂ Q乘以§ 1、no. 4、命题9。 04KG
例 1 如果 p 是 A 的素理想，则 p 是 p 初等（§ 1、no. 1、命题 1）。 04KH
例 2 令q为A的理想，使得存在单一素理想m（必然是最大）包含q；那么，如果M是一个A模块，使得qM ≠ M、qM相对于M来说是m-primary。对于 Ass(M/qM) 包含 q 的每个元素，因此等于 m 和 Ass(M/qM) ≠ 0（§ 1、no. 1，推论 1 到命题 2）。特别是q是A中的m主理想。 ↩ 1 04KI
例 3 令 m 为 A 的极大理想； m-主理想则为 A 的理想 q，其中存在整数 n ≥ 1，使得 mⁿ ⊂ q ⊂ m。因为如果mⁿ ⊂ q ⊂ m，m是唯一的素理想包含q（章11，§ 1，no. 1，命题1的推论），结论来自例2；相反，如果 q 是 m 初等，m 是 q 的根式，因此存在 n ≥ 1 使得 mⁿ ⊂ q (章 II, § 2, no. 6, 命… ↩ 1 04KJ
例 4 在主理想整环 A中，主要理想是(0)和形式Apⁿ的理想，其中p是极值元素和n ≥ 1；这紧随例 3 而来。 ↩ 2 04KK
例 5 任何素理想的幂不一定是初理想（习题1）。另一方面，存在不是幂素理想 (习题 1) 的初理想。 04KL
命题 2 设 M 是诺特环 A 上的模，p 是 A 的素理想，(Qᵢ)_i ∈ I 是 M 的子模非空有限族，它们相对于 M 是 p 初值。那么 ⋂_i ∈ I Qᵢ 是关于 M 的 p 初值。 ↩ 4 04KM
命题 3 设 A 为诺特环，S 为 A 的乘法子集，p 为 A 的素理想，M A-模，M 的 N 子模以及 M 到 S⁻¹M 的 i = i_A^S 典范映射。 ↩ 5 04KN
定义 2 令A为诺特环，M为A模，N子模为M。 M的子模的有限族(Qᵢ)_i ∈ I对于M是主要的，因此N = ⋂_i ∈ I Qᵢ在M中被称为N的初等分解。 04KO
例让我们用 A = Z、M = Z、N = nZ 来表示一些整数 n > 0。如果n = p₁^α₁ ⋯ pₖ^αₖ是n的分解变成素数因子， nZ = (p₁^α₁Z) ∩ … ∩ (pₖ^αₖZ) 是Z中nZ的初等分解除以no. 1的例4。 04KP
定理 1 令M为有限生成模除以诺特环，并令N为子模除以M。存在形式 N 初等分解 N = ⋂_p ∈ Ass(M/N) Q(p) 其中，对于所有p ∈ Ass(M/N)，Q(p)相对于M来说是p-主要的。 ↩ 4 04KQ
定义 3 令 M 为模超过诺特环和 N 子模 M。如果满足以下条件，则M中的N的初等分解N = ⋂_i ∈ I Qᵢ称为缩减： 04KR
命题 4 设M为模超过诺特环，M的N子模，M中的N的N = ⋂_i ∈ I Qᵢ初等分解，并且对于所有i ∈ I，让pᵢ = Ass(M/Qᵢ)。为了减少这个分解， pᵢ 不同并且属于到 Ass(M/N)是必要且充分的；然后 ↩ 7 04KS
推论令A为诺特环，M为A模，M的N子模以及M中N的(Qᵢ)_i ∈ I初等分解。然后Card(I) ≥ Card(Ass(M/N))；为了使(Qᵢ)_i ∈ I减少为初等分解，Card(I) = Card(Ass(M/N))是必要且充分的。 ↩ 2 04KT
命题 5 令 A 为诺特环，M A 模块，M 的N 子模，N = ⋂_i ∈ I Qᵢ N 的缩减初等分解 M，对于所有i ∈ I，让pᵢ = Ass(M/Qᵢ)。如果pᵢ是Ass(M/N)的最小值元素，则Qᵢ等于N相对于pᵢ的饱和度（章11，§ 2, no. 4）（cf.习题2）。 ↩ 3 04KU
注素理想pᵢ ∈ Ass(M/N)不是这个集合的最小元素，是有时，称为与M/N相关的沉浸素理想；如果 M/N 是有限生成的，对于要浸没的 p₀ ∈ Ass(M/N)，V(p₀) 不是 Supp(M/N) 的不可约分量是必要且充分的（章 II, § 4, no. 3，推论 2 到命题 14）；如果(Q(p))_p ∈ Ass(M/N)和(Q'(p))_p ∈ A… 04KV
命题 6 令A为诺特环，M为A模，N子模为M和I = Ass(M/N)。令S为A的子集和指标i的I由……组成与J子集的乘积，使得S ∩ pᵢ = ∅。令N'为N相对于M中S的饱和度。然后： ↩ 3 04KW
推论映射 04KX
命题 7 令 M 为有限生成模超过诺特环 A。以下属性是等效的： (a) M 为有限长度。 (b) 每个理想p ∈ Ass(M)都是A的最大理想。 (c) 每个理想p ∈ Supp(M)都是A的最大理想。 ↩ 6 04KY
推论 1 对于有限长度M中的每模超过诺特ZingA、Ass(M) = Supp(M)。 04KZ
推论 2 设M是有限生成模超过诺特环A并且p是A的素理想。为了使Mₚ成为有限长度的非零Aₚ模，p是Ass(M)的最小元素是必要且充分的。 ↩ 1 04L0
注 (1) 设M为有限生成模超过诺特环A；令(M₁), …为M的合成列，使得对于0 ≤ i ≤ n - 1，Mᵢ / Mᵢ₊₁同构于A/pᵢ，其中pᵢ是A的素理想（§ 1，no. 4，定理） 1）。如果 p 是 Ass(M) 的最小元素，则长度 long_Aₚ(Mₚ) 等于指标 i 的数，从而 pᵢ = p。对于M的(Mᵢ)ₚ形式合成列，(Mᵢ)ₚ / (Mᵢ₊₁)ₚ… 04L1
命题 8 令M为有限长度的模超过诺特环A。 ↩ 3 04L2
推论如果M是有限长度的模超过诺特环A，那么 04L3
命题 9 设A为诺特环。以下条件是等效的： (a) 为阿廷的。 (b) A 中的所有素理想 𝔞 都是极大理想。 (c) Ass(A) 的所有元素均为极大理想。 ↩ 8 04L4
注 (2) 对于诺特环 A，命题 9 的条件意味着 A 的谱是有限且离散，因此 Spec(A) 的每个点都是封闭的（章 11、§ 4, no. 3，推论 6 为命题11)。相反，对于诺特环 A，说 Spec(A) 的每个点 𝔞 都是封闭的意味着 A 的每个素理想都是最大的 (loc.cit..)，因此这个条件相当于命题 9。 04L5
推论 1 每个阿廷环 A 都同构于阿廷的局部环有限族的直接合成。 04L6
注 (3) 这个推论也可以从Spec(A)是有限且离散的以及章11、§ 4, no. 3、命题15这一事实推出。 04L7
推论 2 令A为诺特环，且m为A的理想值。以下条件是等效的： ↩ 2 04L8
推论 3 令A, A'是从A到A'的两个环和h同态。假设 A 是半局部的，诺特并且 A' 是有限生成的 A 模块。那么环A'是半局部的，诺特；如果m是A的定义理想，则mA'是A'的定义理想。 ↩ 1 04L9
推论 4 令A为完全半局部诺特环，m为A的定义理想，E为有限生成的A模，(Fₙ)递减序列为子模 E使得⋂ₙ Fₙ = 0。那么，对于所有p > 0，存在n > 0使得Fₙ ⊂ mᵖ E。 ↩ 1 04LA
推论 5 在完全半局部诺特环中，交为0的每个递减序列φ理想都是收敛于0的过滤器基。 04LB
命题 10 设 A 为诺特环，p₁, …, pₙ 为与 A-模 A 相关的素理想，其中 pᵢ ≠ pⱼ 为 i ≠ j。 ↩ 1 04LC
引理 1 设 A 为诺特环，p A、E A-模的素理想，其中 p 的湮没子包含幂，并且Ass(E) = p 和 F B-模使得 ρ_*(F) 是平面A-模。条件𝔓 ∈ Ass_B(E ⊗_A F)则意味着ρ⁻¹(𝔓) = p。 ↩ 2 04LD
定理 2 令ρ : A → B为环同态、E A-模和F B-模，使得ρ_*(F)是平坦的A-模。然后 ↩ 6 04LE
推出 1 如果 A 是诺特和 𝔓 ∈ Ass_B(E ⊗_A F)，则 ρ⁻¹(𝔓) ∈ Ass_A(E) 和 ρ⁻¹(𝔓) 是 A 的唯一素理想p，使得 𝔓 ∈ Ass_B(F/pF)。 ↩ 1 04LF
推出 2 假设 A 和 B 是诺特，并且 B 是平面 A 模。设p为A的素理想，Q ⊂ E为p主子模，𝔓为B的素理想。为了使Q ⊗_A B成为E ⊗_A B的q-初等子模，pB是B的“p-初等理想”是必要且充分的。 ↩ 1 04LG
注假设A和B是诺特。设𝔓为B的素理想，并设p = overlineρ⁻¹(𝔓)；让我们写出S = A - p，并令k(p) = S⁻¹(A/p)为A/p的分数的域。由于𝔓包含pB，𝔓/pB是B/pB的素理想。如果 ρ' 是复合同态 A xrightarrowρ B → B/pB，我们知道 S⁻¹(B/pB) 与环 (ρ'(S))⁻¹(B/pB) 和 𝔓' =… 04LH
命题 11 假设 A 和 B 是诺特并且 B 是一个平面 A 模。令E为A模，E'子模为E，这样，对于每个理想p ∈ Ass_A(E/E')，pB是B或等于B的素理想。令E' = ⋂_p ∈ Ass(E/E') Q(p)是E中E'的减少初等分解，Q(p)是所有p ∈ Ass(E/E')的p-主要。 (i) 如果 p ∈ Ass(E/E') 且 pB = B，则 Q(p)… ↩ 2 04LI
推论假设 pB 对所有的素数p ∈ Ass_A(E/E')。那么，如果p₁, …, pₙ是Ass_A(E/E')的最小元素，则pᵢB是元素的最小 Ass_A((E ⊗_A B)/(E' ⊗_A B)). 从命题 11 可以得出，在这种情况下，pᵢB ≠ pⱼB 对应于 i # j。 04LJ

§ 3. 初等分解已评分模

命题 1 令A为无扭交换律群，A为型A的分级环，M为型A的分级A模。每个与M相关的素理想都是分级的，并且是M的齐次元素的湮没子。 ↩ 4 04MJ
推论对于与分级A-模块M相关的每个（必然分级的）素理想p，存在指标k ∈ A，使得通过递减从分级A-模块A/p获得分级A-模块(A/p)(k) 次数 by k (代数, 章 II, § 11, no. 2) 与 M 的分级子模同构。 ↩ 1 04MK
命题 2 令A为无扭交换律群，A为型A的分级诺特环，M为型的分级有限生成A模A。存在M的分级子模的合成列(Mᵢ)_0 ≤ i ≤ n由……组成，使得对于0 ≤ i ≤ n - 1，分级模Mᵢ / Mᵢ₊₁同构于移位分级模(A/pᵢ)(kᵢ)，其中pᵢ 是 A 和 kᵢ ∈ A 的分级素理想。 04ML
命题 3 令A为无扭交换律群，A为型A的分级诺特环，p为A和M的分级理想A-型A的模没有减少到0。假设对于 M 上比率 a 的 p 位似的每个齐次元素 a 几乎是幂零的，并且对于比率 A - p 位似的每个齐次元素 b M 上的b 是单射的。那么p是primary，M的子模0是p-primary。 ↩ 1 04MM
命题 4 令A为无扭交换律群，A为型A的分级诺特环，以及M为型的分级A模A。令p为A和N的素理想，M的子模相对于M是p主理想。 ↩ 1 04MN
命题 5 令A为无扭交换律群，A为型A的分级诺特环，M为型的分级A模M、N M 中的子模以及M 中的N N = ⋂_i ∈ I Qᵢ 初等分解。 04MO

V. 整数

§ 1. 积分的概念元素

定理 1 设A是环（可交换），R代数超过A（不一定可交换）和R的x元素。以下属性是等效的： ↩ 4 04MS
引理 1 设A为环，R代数（不一定可交换）超过A和x元素或R。 Let M be a faithful module over A[x] which is a finitely generated A-module. 如果q是A的理想，使得xM ⊂ qM，则x是一元多项式的根，其中A中的系数全部为∉，其系数除了主系数属于到q之外。 04MT
定义 1 设A为环且R为A代数（不一定可交换）。如果元素x ∈ R满足定理1的等价性质(E₁)、(E_II)、(E_III)，则称为A上的积分。 04MU
例 1 设 K 为（可交换的）域，R 为 K 代数；说元素 x ∈ R 是 K 的积分，相当于说，x 是环 K[X] 中非常数多项式的根；当R是K的扩张时引入的泛化术语（代数，章V, § 3, no. 3），元素x ∈ R在K上积分也称为代数 R 中的元素超过 K。 ↩ 2 04MV
例 2 令R'为R的子A代数； R'的元素在A上积分，只是R的元素在A和属于到R'上积分；这通常允许我们在不引起混淆的情况下，不必指定代数是 A 属于上的积分元素。 04MW
命题 1 设A为环，R代数超过A（不一定可交换），x元素为R。 For x to be integral over A, it is necessary and sufficient that A[x] be contained in a subalgebra R' of R which is a finitely generated A-module. ↩ 3 04MX
推论令 A 为诺特环，R A 代数（不一定可交换）以及 R 的 x 元素。为了使 x 对 A 整的，存在一个由 R 包含于 A[x] 有限生成的子模是充分必要的。 ↩ 1 04MY
定义 2 设A为环。如果 R 的每个元素都在 A 上积分，则 A 代数 R（不一定可交换）被称为在 A 上积分。如果 R 是有限生成的 A 模，R 被称为在 A 上有限。 04MZ
命题 2 令A, A'为两个环、R一个A代数、R一个A'代数（不一定可交换）以及f : A → A'和g : R → R'两个环同态，使得图表 ↩ 12 04N0
推出 1 令A为环，B（可交换）A-代数和C（不一定可交换）B-代数。那么每个在 A 上积分的元素 x ∈ C 也在 B 上积分。 04N1
推出 2 令K为K中的域、L扩张和x, x'L中的两个元素，其中共轭超过K（代数，章V, § 6, no. 2）。如果A是K的子环并且x是A的积分，x'也是A的积分。 04N2
推出 3 设A为环，B（可交换）A-代数和C（不一定可交换）B-代数。如果 C 对 A 整的，则 C 对 B 整的。 04N3
命题 3 设 (Rᵢ)_1 ≤ i ≤ n 为（不一定可交换的）A-代数的有限族，并设 R = ∏ᵢ₌₁ⁿ Rᵢ 为它们的乘积。为了使R的元素x = (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n在A上积分，xᵢ中的每一个在A上积分是充分必要的。为了使R在A上积分，每个Rᵢ在A上积分是必要且充分的。 ↩ 1 04N4
命题 4 令A为环，R为A代数（不一定可交换），(xᵢ)_1 ≤ i ≤ n为R的元素的有限族，它们是成对可置换的。如果对于所有 i，xᵢ 是 A[x₁, …, xᵢ₋₁] 的积分（特别是如果所有 xᵢ 是 A 的积分），则 R 的子代数 A[x₁, …, xₙ] 是有限生成的 A 模。 ↩ 10 04N5
推论 1 令 A 为环且 R a（可交换）A-代数。 The set of elements & R integral over A is a subalgebra of R. 04N6
推论 2 设 A 为环、R A-代数（不一定可交换）和 E 集合 & 元素 & R，它们在 A 上可成对置换和积分。那么E生成的子A代数B & R在A上积分。 04N7
命题 5 令 A 为环且 A 和 R 两个（可交换）A-代数。如果R是A的积分，则R ⊗_A A'是A'的积分。 ↩ 6 04N8
推论令R为环且A, B, C子环& R，使得A ⊂ B。如果B是A的积分，则C[B]是C[A]的积分。 ↩ 1 04N9
命题 6 令 A 为环，B 一个（可交换的）A-代数和 C 一个（不一定可交换的）B 代数。如果 B 在 A 上积分，且 C 在 B 上积分，则 C 在 A 上积分。 ↩ 6 04NA
推论设 A 环且 R、R' 是 A 上的两（可交换）A-代数积分。则 R ⊗_A R' 是 A 上的积分。 04NB
定义 3 设 A 为环，R a（可交换）A-代数。 R 在 A 上积分的元素的 R 由……组成的子 A'（no. 1，推论 1 到命题 4）称为 A 在 R 中的积分闭包。如果 A' 等于 A 在 R 中的典范像，则称 A 在 R 中积分闭。 ↩ 2 04NC
定义 4 若A为整环，则A在其分数的域的积分闭包称为A的积分闭包。整环若等于其积分闭包，则称为A的积分闭包。 04ND
命题 7 设A为环，R为A-代数。 A 在 R 中的积分闭包 A' 是子环在 R 中积分闭。 ↩ 3 04NE
推论整环 A 的积分闭域是一个积分闭域。 04NF
命题 8 令R为环，(B_λ)_λ ∈ L为R的子环的族，对于每个λ ∈ L，让A_λ为B_λ的子环。如果每个A_λ在B_λ内积分闭，则A = ⋂_λ ∈ L A_λ在B = ⋂_λ ∈ L B_λ内积分闭。 ↩ 1 04NG
推论整环A的非空全闭子域族中的每个交都是一个全闭域。 ↩ 3 04NH
命题 9 设A为环，(Rᵢ)_1 ≤ i ≤ nA代数的有限族，A'ᵢ为A在Rᵢ，(1 ≤ i ≤ n)的积分闭包。那么A在R = ∏ᵢ₌₁ⁿ Rᵢ的积分闭包，等于∏ᵢ₌₁ⁿ A'ᵢ。 04NI
推论 1 令A为诺特环、pᵢ(1 ≤ i ≤ n)其独特的最小素理想、K、域或整环A/pᵢ的分数（规范同构于局部环A_pᵢ（章IV, § 2, no. 5，命题10））和A'ᵢA在K，(1 ≤ i ≤ n)的积分闭包。然后将分数 B 的总环典范同构 A 放到 ∏ᵢ₌₁ⁿ Kᵢ (loc. cit.) 映射将 B 中的 A 积分闭包放到乘积环∏ᵢ₌₁ⁿ A'ᵢ. 04NJ
推论 2 对于要在分数的环内积分封闭的约化诺特环，它是积分封闭 (诺特) 域的直接合成是必要且充分的。 04NK
命题 10 每个主理想整环都是整体封闭的。 ↩ 4 04NL
引理 2 设 R 为环，P 为 R[X] 中的多项式。存在环 R' 包含 R，使得在多项式环 R'[X] 中，首一多项式 P 是次数 1 的一元多项式的乘积。 ↩ 1 04NM
命题 11 设 A 为环，R A-代数，R[X] 中的 P 和 Q 首一多项式。如果 PQ 的系数在 A 上积分，则 P 和 Q 的系数在 A 上积分。 ↩ 4 04NN
推论设 A 为整环，K 为分数的域，以及 K-代数 K 的 x 元素（不一定可交换）。如果 x 在 A 上积分，则 x 在 K 上的最小多项式 P 在 A 上积分（因此，如果 A 是积分闭集，则它们从属于到 A）。 ↩ 3 04NO
命题 12 令A为环，R为A代数，P为R[X₁, …, Xₙ]的多项式。为了使P对A[X₁, …, Xₙ]整的，P的系数对A积分是必要且充分的。 ↩ 3 04NP
命题 13 令A为环，R为A代数，A'为A在R的积分闭包。那么A[X₁, …, Xₙ]在R[X₁, …, Xₙ]的积分闭包等于A'[X₁, …, Xₙ]。 ↩ 2 04NQ
推论 1 令A为整环，且A'为其积分闭包。那么多项式环A[X₁, …, Xₙ]的积分闭包就是A'[X₁, …, Xₙ]。 04NR
推论 2 设A为整环。为了使多项式环A[X₁, …, Xₙ]整体封闭，A整体封闭是必要且充分的。 ↩ 2 04NS
推论 3 如果K是域，则每个多项式代数K[X₁, …, Xₙ]都是一个积分闭域。 04NT
定义 5 如果满足以下条件，整环A称为完全积分闭：域、分数、K、A的每一个元素x，使得所有幂xⁿ (n geqslant 0) 包含在K、属于到A 的有限生成子A 模块中。 ↩ 1 04NU
命题 14 设A为完全积分闭域。那么每个多项式环A[X₁, …, Xₙ]（分别是正式幂级数A[[X₁, …, Xₙ]]的每个环）都是完全积分封闭的。 ↩ 1 04NV
命题 15 令A为经过过滤的环，其过滤是详尽的，并且A的每个主理想都在过滤定义的拓扑下封闭。如果关联的分级环gr(A)（章III, § 2, no. 3）是一个完全积分闭域，则A是一个完全积分闭域。 04NW
命题 16 令A为环，R为A代数，A'为A在R中的积分闭包，以及S为A的乘法子集。那么S⁻¹A在S⁻¹R的积分闭包就是S⁻¹A'。 ↩ 6 04NX
推出 1 令A为整环，A'为其积分闭包，S为A的乘法子集，使得0 ∉ S。那么S⁻¹A的积分闭包就是S⁻¹A'。 ↩ 4 04NY
推出 2 令A为整环，K为分数的域，R代数在K上，以及BA在R上的积分闭包。 R的元素是K（no. 1，例 1）的代数，是形式a⁻¹ b的元素，其中b ∈ B和a ∈ A, a ≠ 0；如果R中L是K的代数闭包，则B中存在L的基超过K。 ↩ 1 04NZ
推论 3 令A为A的最大理想的整环和Ω集合。为了使A整体闭合，对于所有m ∈ Ω、Aₘ整体闭合是必要且充分的。 04O0
推论 4 令A为整环，K为分数的域，S为A的乘法子集，使得0 ∉ S。 04O1
推论 5 令A为整环，A'其整体闭包以及A模块A'/A的f湮没子。假设A'是有限生成的A模块。使 Aₚ 不全闭的素理想 p ∈ A 是包含 f。 04O2
命题 17 设A为环，B一个（可交换的）A代数，以及阶n在B上的X平方矩阵；以下属性是等效的： ↩ 3 04O3
推论 1 设 A 为整环，K 为分数的域，K' 为有限维 K-代数（不一定可交换）。如果 x \in K' 在 A 上积分，则特征多项式 Pc{K'/K}(x; X) (代数, 章 VIII, § 12, no. 2) 在 A 上积分。 ↩ 1 04O4
推论 2 利用与推论 1 中相同的假设和记号，Tr{K'/K}(x) 和 N{K'/K}(x) 右 A 是积分。 ↩ 1 04O5
注 (1) 如果 K' 是 K 上的简单中心代数，且 K' 中的 x 是 A 上的积分，则 x 的约简特征多项式 (代数, 章 VIII, § 12, no. 3) 的系数在 A 上积分。因为该多项式的幂等于 Pc{K'/K}(x; X）（前述，命题8）并且足以满足应用命题17和no. 3，命题11。 04O6
命题 18 设A是一个积分闭域，K是分数的域，K'是有限维可分K-代数（代数，章VIII, § 7, no. 5），A'是A在K'中的积分闭包。那么A'包含在有限生成的A-模中。 ↩ 1 04O7
引理 3 在命题 18 的假设下，令 (w1, ..., wn) 为 K' 相对于 A' 中包含的 K 的基（no. 5，推论 2 至命题 16）；那么 K' 在 K 上有唯一的基 (w1^, ..., wn^) ，其中 Tr{K'/K}(wi wj^) = \delta{ij} (Kronecker 指标)；如果 d = D{K'/K}(w1, ..., wn) 是… ↩ 1 04O8
推论 1 如果A是诺特环，则A-模块A'是有限生成的，特别是环A'是诺特。 ↩ 2 04O9
推论 2 如果 A 是主理想整环，A' 是秩 n 的免费 A 模块。每一个子模的免费 A 模块都是免费的（代数、章 VII, § 3，定理1)。 ↩ 2 04OA
推论 3 令E为有理数数的域Q次数n扩张。有理整数的环Z的E积分闭包的加法群是秩n的自由交换群。 04OB
命题 19 令k为域、L可分扩张的k和R积分闭k代数。如果环 L ⊗ₖ R 是整环，则它是积分闭的。 ↩ 1 04OC
推论设k为域，R和S为两个整体封闭的K-代数。假设环R ⊗ₖ S是整环，并且分数K的域和R和S的L分别在k上可分离。那么环 R ⊗ₖ S 是一个全闭域。 04OD
命题 20 令 A = ⨁_i ∈ Z Aᵢ 为分级环，B 为（交换）分级 A 代数。 B积分的集合A'对A的元素积分是B的分级子代数。 ↩ 2 04OE
引理 4 令A = ⨁_i ∈ Z Aᵢ为A的同质元素≠ 0的分级整环和S集合。 ↩ 2 04OF
命题 21 令A = ⨁_i ∈ Z Aᵢ为A的齐次元素≠ 0的分级整环和S集合。 A的积分闭包A'则为S⁻¹A的分级子环。如果进一步将Aᵢ = 0换成i < 0，则将A'ᵢ = 0换成i < 0。 ↩ 3 04OG
推论 1 假设命题 21 和记号，如果S⁻¹A 的每个齐次元素在A 属于到A 上积分，则A 是积分闭的。 ↩ 1 04OH
推论 2 若A = ⨁_i ∈ Z Aᵢ是积分闭分级域，则域A₀也是积分闭。 04OI
推论 3 令A = ⨁_i ∈ Z Aᵢ为积分闭分级域。那么，对于每个整数 d > 0，环 A⁽ᵈ⁾ (章 III, § 1, no. 3) 都是一个积分闭域。 04OJ
命题 22 令 A 为（可交换的）K-代数，而 G 为 A 上的本地有限群运算符。那么A是子代数Aᴳ的积分。 ↩ 2 04OK
定理 2 令A是有限生成的K代数，G是A上的局部有限群运算符。那么A是有限生成的A-模；如果进一步K是诺特，则Aᴳ亲和生成K-代数。 04OL
引理 5 令 K 为诺特环，B 为有限生成的 K 代数，C B 的子 K 代数，使得 B 在 C 上积分。那么C就是有限生成的A-代数。 04OM
注 σ ∈ G的集合，使得1 ≤ j ≤ m的σ aⱼ = aⱼ显然在A的每元素保持不变。因此，G的正常子群H在A的每元素保持不变，因此是有限的G中的指标，A可被认为具有有限群个运算符G/H；显然A^G/H = Aᴳ。 04ON
命题 23 令A为K-代数，GA上算子的局部有限群，S为A在G和Sᴳ集合S ∩ A''下稳定的乘法子集。那么(Sᴳ)⁻¹A到S⁻¹A的典范映射（章II, § 2, no. 1，推论2到命题2）是同构，其中映射(Sᴳ)⁻¹Aᴳ到(S⁻¹A)ᴳ。 ↩ 5 04OO
推论设A是整环，K是分数的域，G是A上的本地有限群运算符。那么G对K进行操作，Kᴳ是Aᴳ的分数的域。 04OP

§ 2. 素理想的提升

定义 1 令A, A'为两个环和h : A → A'环同态。如果a = overlineh¹(a')，则据说理想的a' ∈ A'高于A的理想a。 04PJ
引理 1 设 h : A → A' 为环同态，S A，i = i_A^S : A → S⁻¹A，i' = i_A'^h(S) : A' → S⁻¹A' = (h(S))⁻¹A' 典范同态和 h₁ = S⁻¹h : S⁻¹A → S⁻¹A' 的乘法子集，因此存在交换律图表 ↩ 3 04PK
命题 1 令h : A → A'为环同态，使得A'是A的积分，𝔭'是A'和𝔭 = h⁻¹(𝔭')的素理想。为了使𝔭极大，𝔭'为最大是必要且充分的。 ↩ 12 04PL
引理 2 令B为整环且B为A子环，使得B是A的积分。为了使B成为域，A成为域是充分必要的。 ↩ 1 04PM
推论 1 让h : A → A'环同态使得A'是A的积分，𝔭是A和𝔭'的素理想，a'位于上面的A'的两个理想𝔭使得𝔭' ⊂ a'。如果 𝔭' 是素数，则 a' = 𝔭'. ↩ 5 04PN
推论 2 令A'为整环、A子环或A'，使得A'是A和f同态从A'到环的积分B。如果限制到A是单射的，那么f是单射的。 ↩ 1 04PO
推论 3 令h : A → A'为环同态，使得A'是A和m的积分，A的最大理想，并假设A'中只有有限的数不同的最大理想m'ⱼ (1 ≤ j ≤ n) 位于m之上。令q'ⱼ为mA'相对于m'ⱼ的饱和度（章II, § 2, no. 4）。然后： (i) 在零的环 A'/q'ⱼ 除子中，元素 m'ⱼ/q'ⱼ 并且它们是幂零的 (1 ≤ j ≤ n)。 (ii) mA' =… 04PP
注 (1) 如果 A' 是诺特，则从 (i) 和 (ii) 可以得出，(q'ⱼ)_1 ≤ j ≤ n 是 mA' 的唯一初等分解 (章 IV, § 2, no. 3)。 04PQ
定理 1 令h : A → A'为单射环同态，使得A是A的积分，并且p是A的素理想。存在A'的素理想p'位于p之上。 ↩ 15 04PR
推论 1 假设定理 1、barh⁻¹(pA') = p 和记号。 04PS
推论 2 令h : A → A'为环同态，使得A'是A、a和p的积分，A的两个理想，使得a ⊂ p和a'的理想A'位于a之上。假设 p 是素数。那么存在A'的素理想p'位于p和包含a'之上。 ↩ 3 04PT
推论 3 令A为环且A'环包含A并对A整的。如果R'是A'的雅各布森根式，那么R' ∩ A就是A的雅各布森根式。 04PU
推论 4 令 A 为环、A' 环包含 A，并从 A 到代数闭域对 A 和 f 同态进行积分L。那么f可以从A'扩展到L延伸到同态。 ↩ 2 04PV
注 (2) 令h : A → A'为环同态，使得A'是A的积分；那么关联的连续映射 ᵃ h : Spec(A') → Spec(A) 是闭合的。对于A'的每个理想a'，A'/a'是A'上的积分，因此也超过A（§ 1，no. 1，命题6），并且Spec(A'/a')用闭子空间标识V(a') 共 Spec(A')；为了证明 ᵃ h 是闭的，我们看到（替换 A' by A'/… ↩ 2 04PW
命题 2 令h : A → A'为环同态，使得A'是A的积分，𝔭是A、S = A - 𝔭、(p'ᵢ)_i ∈ I的素理想，A'的所有素理想𝔭位于上面𝔭和S' = ⋂_i ∈ I (A' - pᵢ)；然后S⁻¹A' = S'⁻¹A'。 ↩ 3 04PX
命题 3 令h : A → A'为环同态，使得A'是有限生成的A模；那么，对于A的每个素理想𝔭，位于𝔭之上的A'的素理想集合是有限的。 04PY
定义 2 令A'为环，并且G群在A'（§ 1，no. 9）上运行。给定元素 σ ∈ G 的素理想 p' ⊂ A' 子群，使得 σ.p' = p' 被称为 p' 的分解群（相对于 G），并用 Gᶻ(p') 表示。 Gᶻ(p')下不变的A'元素环称为p'的分解环（相对于G）并用Aᶻ(p')()表示。 ↩ 3 04PZ
定义 3 以定义 2 的记号、σ 的Gᶻ(p') 由……组成子群使得A'/p' 的自同态 z ↦ σ.z 为恒等式，称为惯性群 p'（相对于G）并用Gᵀ(p')（或Gᵀ）表示。 A'在Gᵀ(p')下不变的元素的环称为p'的惯性环（相对于G），并用Aᵀ(p')（或Aᵀ）（†）表示。 04Q0
引理 3 设A'为环、G群，对G、p'的不变量A'、A环进行操作，A'的素理想和S A 的乘法子集不满足p'。然后 G^Z(S⁻¹p') = G^Z(p')、G^Γ(S⁻¹p') = G^Γ(p')，如果 G 局部有限，则S⁻¹A^Z(p') = A^Z(S⁻¹p') 和 S⁻¹A^Γ(p') = A^Γ(S⁻¹p')。 ↩ 2 04Q1
定理 2 令A'为环，G有限群对G的不变量A'和A环进行运算，使得A'在A上积分（§ 1, no. 9，命题22). ↩ 9 04Q2
推论根据假设和定理2中的记号，令f₁, f₂为A至域L中的两个同态，且限制至A相同。那么存在 σ ∈ G 这样 ↩ 1 04Q3
命题 4 设A'为环、G有限群，对G的不变量的A'、H子群进行操作，G、A和B环分别为 H 和 p' A 的素理想；让我们写 p = A ∩ p' 和 p(B) = B ∩ p'。 ↩ 6 04Q4
推论 1 假设定理 2 环 A/p 和 A^Z/(p' ∩ A^Z) 具有相同的域分数且局部环 (A^Z)'_p' ∩ A^Z 的最大理想由 p 生成。 04Q5
推论 2 令A'为整环、G有限群，对G和p'的不变量A'、A'环进行运算，A'的素理想；令K, K^Z和K分别为A, A^Z和A'的分数域。那么K'是K的伽罗瓦扩张和K包含于K的子域L，这样p'是A'位于理想p' ∩ L之上的唯一素理想的 A' ∩ L 正是那些包含 K^Z。 ↩ 1 04Q6
定义 4 根据推论 2 至命题 4 的假设和记号，如果位于𝔭之上的A'素理想数等于[K':K]，则称A的素理想𝔭在K'中完全分解。 04Q7
推论 3 设A'为整环，G是对A'，A环进行运算的有限交换群，G的不变量，𝔭是A和K的素理想，并且分别为A和A'分数K'域。那么𝔭之上的A'的素理想都有相同的分解环A^Z，分数K^Z的域和A^Z的最大的中间域 K和K'，其中𝔭完全分解。 04Q8
命题 5 假设定理 2 的记号，Aᵀ/(𝔭' ∩ Aᵀ) 的分数 kᵀ 域等于k' 中包含的k 最大的可分扩张 k'ₛ。 ↩ 4 04Q9
推出如果惯性群Gᵀ(p')的阶与k的特征指数p互质，则域k'就是k的伽罗瓦扩张。 04QA
引理 4 设 A 为积分闭域，K 为分数的域，p 为 K 的特征指数，K' 为 K 的基数扩张，A' 为 K' 包含 A 的子环，并在 A 上积分。对于 A 的每个素理想 p，都存在一个唯一的素理想 p' A'位于p和p'之上的是x ∈ A'的集合，因此存在整数m ≥ 0，其中x^pᵐ ∈ p。 ↩ 2 04QB
注 (1) 从§ 1, no. 3，推论到命题 11，K'中A的积分闭包是x ∈ K'的集合，因此存在m ≥ 0，其中x^pᵐ ∈ A (代数, 章 V, § 8, no. 1，命题1)。 04QC
命题 6 令A是一个整闭域，K是分数的域，K'是K的准伽罗瓦扩展，A'是A在K'的整闭域。然后： ↩ 7 04QD
推论 1 在命题6的假设下，令f为从A到域L的同态，而g1、g2为从A'到L的两个同态，其中扩展f。那么存在一个 K-自同构 σ ∈ K' 使得 g₁ = g₂ ∘ σ. ↩ 1 04QE
推论 2 设 A 为积分闭域，K 为分数的域，K' 为 K 的有限代数扩张，A' 为 K' 包含 A 的子环以及 A 上的积分。 ↩ 1 04QF
推论 3 根据推论2的假设和记号，如果A是半局部的，A'也是半局部的。 04QG
推论 4 Let A be an integrally closed domain, K its field of fractions, K a Galois extension of K, A' the integral closure of A in K', 𝔭' a prime ideal of A, 𝔭 = A ∩ 𝔭' and k and k' the fi… ↩ 1 04QH
定义 5 根据命题 6 的假设和记号，域 K' 中群 G^Z(p')（Gᵀ(p')）的不变量K^Z(p')（Kᵀ(p')）域被称为 p' 相对于 K 的分解域（或惯性域）。 04QI
命题 7 设A为全闭域，K为分数的域，K的K'伽罗瓦扩张，G为伽罗瓦群，A'A的全闭域K'、p'是A'和p = A ∩ p'的素理想。最后，令L为K'包含于K中的子域，并令p(L) = p' ∩ L。 04QJ
定理 3 令 A 为积分闭域，且 A' 环包含 A 且在 A 上积分。假设0是A中唯一的元素，即A'中0的除子。令p, q为A的两个素理想，使得q ⊃ p和q'为位于q之上的A的素理想。那么存在A的素理想p'位于p之上，因此q' ⊃ p'。 ↩ 4 04QK
推论在定理 3 的A和A'的假设下，令p为A的素理想。 p之上的A'素理想是A'包含pA'素理想中集合E的最小值元素。 04QL

§ 3. 有限生成代数超过域

定理 1（标准化引理） 令 A 为有限生成的 K-代数，并令 a₁ ⊂ a₂ ⊂ … ⊂ aₚ 为 A 理想的递增有限序列，使得 p ≥ 1 和 aₚ ≠ A。 A 的元素存在有限序列 (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n，它们在代数上独立于 k (章 III, § 1, no. 1)，并且使得： (a) A 在环 B = k[x₁, …, xₙ] 上是积分。 (b) 对于所有j，使得1… ↩ 4 04R8
推论 1 设A为整环，B有限生成的A代数包含A为子环。则存在 A 的元素 s ≠ 0 和 B 的子代数 B' 同构于多项式代数 A[Y₁, …, Yₙ]，使得 B[s⁻¹] (章 II, § 2, no. 1) 整的B'[s⁻¹]。 ↩ 4 04R9
推出 2 令K为K的域、A子环以及A的分数L域。如果K是有限生成的A代数，则[K:L]是有限的并且A中存在a ≠ 0使得L = A[a⁻¹]。 ↩ 1 04RA
推论 3 设A为整环，B为B的有限生成的A-代数和b元素，使得对于A中的所有z ≠ 0和每个整数n > 0，zbⁿ ≠ 0。设φ : A → B为典范同态； A 中存在 a ≠ 0，使得对于从 A 到代数闭域 L 的每个同态 f 使得 f(a) ≠ 0，存在从 B 到 L 的同态 g 使得 g(b) ≠ 0 和 f = g ∘ φ。 ↩ 2 04RB
定理 2 设A是有限生成的积分K-代数，K是分数的域，A'是A在域K'中的积分闭包，它是K的有限代数扩张。那么A'是有限生成A-模和有限生成的K-代数。 ↩ 2 04RC
命题 1 令 A 为 k 的域 k 和 L 代数闭包的有限生成代数。 ↩ 2 04RD
引理 1 设A是这个代数的生成元和c在域k、(aᵢ)_1 ≤ i ≤ n系统上的有限生成的代数和aᵢ之间的代数关系的理想，系数为k（代数、章IV, § 2, no. 1）。对于k的每个扩张域L，映射f ↦ (f(aᵢ))_1 ≤ i ≤ n是从A到L到集合的k同态的双射或集合 Lⁿ 中的r 零。 04RE
命题 2 (希尔伯特零点定理) 令 k 为 k 的域和 L 代数闭包。 04RF
定义 1 如果 A 的每个素理想都是极大理想族的交，则环 A 称为雅各布森环。 04RG
命题 3 对于环 A 是雅各布森环，对于 A 的每个理想 a，A/a 的雅各布森根式等于其零根式 (章 II, § 2, no. 6) 是充分必要的。 ↩ 1 04RH
推论设A为Jacobson环；对于A的每个理想a，a的根式是A包含a的最大理想交。 ↩ 1 04RI
命题 4 令A为主理想整环，(p_λ)_λ ∈ L为A的极值元素的代表系统（代数，章VII, § 1, no. 3，定义2）。为了使A成为雅各布森环，L是无穷大是充分必要的。 ↩ 2 04RJ
命题 5 令 A 为环，并且 B 为 A 上的 A 代数积分。如果 A 是 Jacobson 环，那么 B 也是。 ↩ 1 04RK
定理 3 令 A 为 Jacobson 环，B 为有限生成的 A 代数，φ : A → B 典范同态。然后： (i) B 是 Jacobson 环。 (ii) 对于B的每个最大理想m'，m = φ⁻¹(m')是A的最大理想，B/m'是A/m的有限代数扩张。 ↩ 3 04RL
推论 1 每个在Z上有限生成的代数A都是Jacobson环；对于素理想 p ⊂ A 来说，环 A/p 是有限的是充分必要的。 ↩ 1 04RM
推论 2 令(P_λ)_λ ∈ L为Z[X₁, …, Xₙ]中的多项式族，并令Q为Z[X₁, …, Xₙ]中的多项式，使得对于元素(xᵢ)_1 ≤ i ≤ n属于到有限域的每一个系统且对于其中P_λ(x₁, …, xₙ) = 0适用于所有λ，还有Q(x₁, …, xₙ) = 0。那么，如果a是由P_λ生成的Z[X₁, …, Xₙ]的理想，则存在整数m > 0使得Qᵐ… 04RN
推论 3 令 A 为 Jacobson 环。如果存在有限生成的A-代数B包含A且为域，则A为域且B为A的代数扩张。 04RO

VI. 估值

§ 1. 估值环

定义 1 令A和B为两个局部环。如果A是B和m(A) = A ∩ m(B)的子环，则称B支配A。 04RZ
命题 1 令A和B为局部环，使得A为B的子环。以下条件是等效的： (a) m(A) ⊂ m(B)； (b) B 支配 A； (c) B 中m(A) 生成的理想Bm(A) 不等于包含 1。 ↩ 1 04S0
定理 1 令 K 为 K 的域和 V 子环。以下条件是等效的： (a) V是K的局部子环的集合的极大元素，这个集合在A和B之间由关系“B支配A”排序。 (b) 从V到L存在代数闭域L和同态h，从K的子环到L，同态的集合最大，排序为关系“g 扩张关闭”在 f 和 g 之间。 (c) 如果x ∈ K - V，则x⁻¹ ∈ V。 (d) V的分数的域是K，并且V的主理想集合… ↩ 7 04S1
引理 1 设A为环B的子环且x元素为B不整A；则分数B的环，(章II, § 5, no. 1)不归约到O且存在于B的子环A[1/x]，最大理想包含1/x；此外，如果𝔐是这些最大理想中的任何一个，则A中𝔐的逆像是一个最大理想。 ↩ 1 04S2
定义 2 在定理 1 的记号中，如果等值条件 (a)、(b)、(c)、(d)、(e) 成立，则V 称为对域 K 的估值环。如果整环是环，则称为环估价，并且域是分数的估价环。 ↩ 1 04S3
定理 2 令K为域且从K的子环A到代数闭域L为h同态。那么对于K和同态h'，存在从V到L的估值环V，使得V包含于A，h' 扩展h和h'⁻¹(O) = m(V)。 ↩ 2 04S4
推论域K的每一个局部子环A至少由K的一个估价环主导。 ↩ 3 04S5
定理 3 设A为域K中的子环。 The integral closure A' of A in K is the intersection of the valuation rings of K which contain A; if A is local, A' is the intersection of the valuation rings of K whic… ↩ 5 04S6
推论 1 每个估值环均已整体关闭。 04S7
推论 2 为了使整环整体闭合，它是分数的域的评估族环的交是必要且充分的。 04S8
推论 3 令 K 为域，K 的 K' 扩张，A 为 K 的估值环。K' 中 A 的积分闭包是 K 的估值环 V' 的交，使得 V' ∩ K = A。 ↩ 3 04S9
命题 2 设A为局部环，其最大理想是主理想Ap。如果⋂ₙ₌₁^∞ Apⁿ = (0)（对于例，如果A是诺特，cf.章III, § 3, no. 2，推论命题5），A的唯一理想是（0）和Ap^n；那么要么 p 是幂零的，要么 A 是估值环。 ↩ 3 04SA
命题 3 设A为主理想整环，K为分数的域。 K 包含 A 的估值环与 K 不同，是形式 A_Ap 的环，其中p 是A 的极值元素。 ↩ 3 04SB
推论 1 域Q且不同于Q的每个估值环都是形式Z₍ₚ₎，其中p是质数数。 ↩ 1 04SC
推论 2 令K为域，有理函数的K(X)域在K和V的一个不确定中，K(X)包含K的估值环并且不同于K(X)。若X ∈ V，则存在不可约多项式P ∈ K[X]使得V = (K[X])_(P)；否则V是素理想X⁻¹K[X⁻¹]处K[X⁻¹]的局部环（在其他字V由分数A/B组成，其中A ∈ K[X]和B ∈ K[X]，使得deg(A) ≤ deg(B)）。 ↩ 1 04SD

§ 2. 地点

定义 1 令 E 和 E' 为两个集合，每个律为合成，用(x, y) ↦ x * y表示，不一定在所有地方都定义。映射 f : E → E' 是态射，如果对于 E 中的所有 x, y 且定义了 f(x) * f(y)，也定义了合成 x * y 并且： 04SN
定义 2 令 E 和 E' 为两个集合，每个律为合成 (x, y) ↦ x *_α y, α ∈ I。如果对于合成 (x, y) ↦ x *_α y 的每个律都是态射，映射 f : E → E' 就是态射。 04SO
定义 3 令K和L为两个域。每个态射f的K到tildeL（对于加法和乘法）这样f(1) = 1被称为K与值在L的地方。 04SP
命题 1 令 K 为域，A K 的估值环，κ(A) 剩余类域 A。我们通过等式 h_A(x) = ∞ if x ∉ A 将 A 的扩展典范映射转移到 κ(A) 到映射 h_A : tildeK → (κ(A))。由此定义的映射h_A是K的一个位置，其值字段为κ(A)。 ↩ 1 04SQ
命题 2 令K和L为两个域，f为L中K与值的位置。那么存在对 K 的评估环 A 和对 L 的子域的同构 j κ(A) 的评估，使得 f = j ∘ h_A；这些条件确定 A 和 j 是独一无二的。环A是x ∈ K的集合，使得f(x) ≠ ∞和m(A)是x ∈ K的集合，使得f(x) = 0。 04SR
命题 3 令K为域、K的S子环以及从S到代数闭域L的f同态。那么L中存在K和值的位置，其中扩展f。 ↩ 1 04SS
命题 4 令K为域，f为K，值位于域L，K'扩张为K。那么存在L的扩张L'和K'的位置f'，其中值位于L'，其中扩展f。如果x₁, …, xₙ是K的元素，并且在K和a₁, …, aₙ上代数独立，则可以选择任何元素∈ L、f'，使得f(xᵢ) = aᵢ对于1 ≤ i ≤ n. ↩ 1 04ST
命题 5 令K为域、K, h同态中的S子环从S到域以及h.中的p核对于K的元素x在局部环S,上积分，K延伸h的每个位置在x.处是有限的是充分必要的 04SU
命题 6 设K为域，S子环为K.，对于元素x ∈ K来说，要在S,上积分，K中在S上有限的每个位置在x.上是有限的，这是充分必要的 ↩ 1 04SV

§ 3. 估值

定义 1 令 C 为（不一定可交换的）环和 Γ 一个全序可交换的群加法编写。 C 与 Γ 中的值的估值是满足以下条件的任意映射 v : C → Γ_∞： 04T2
命题 1 令 v 为（不一定可交换）环 C 的估值。对于任意元素 xᵢ ∈ C (1 ≤ i ≤ n)， ↩ 3 04T3
推论 If a finite sequence of elements (xᵢ)_1 ≤ i ≤ n of C (for n ≥ 2) is such that ∑ᵢ₌₁ⁿ xᵢ = 0, there exist at least two distinct indices j, k such that 04T4
命题 2 令K为（不一定可交换）域，v为K的估值，值为Γ。然后： (i) 对于x ≠ 0、v(x) ≠ +∞。 (ii) x ∈ K的集合A使得v(x) ≥ O是K的子环。 (iii) 对于Γ、集合V、（或V'ₐ）x ∈ A中的所有a ≥ O，使得v(x) > a（或v(x) ≥ a）是A的双面理想以及每个（左或右）理想A 包含 m V'ₐ ≠ (O)。 (iv) x… ↩ 1 04T5
命题 3 为了使两个估值v, v'在（不一定可交换）域K等价，有充分必要且存在有序群v(K^*)的同构λ到有序群v'(K^*)，使得v' = A ∘ v. 04T6
命题 4 令C为整环，K为分数、C^* = C - 0和v : C → Γ_∞的域对C的估值。那么K上存在唯一的估值w，其中扩展v和w(K^*)是v(C^*)生成的Γ的子群。 ↩ 3 04T7
命题 5 令K为域，v对K和K'扩张的估值为K。 K' 存在估价 v'，其限制至 K 相当于 v。 ↩ 1 04T8
命题 6 设K为域，K为A子环，x元素为K。为了使 x 对 A 整的，K 上的每一个在 A 上为正值的估值在 x 上也是正值是必要且充分的。 ↩ 1 04T9
例 (1) 对有限域 F 的每个估值都是不恰当的，因为 F 的每个元素都是根单位元。 04TA
例 (2) 如果 K 是域 K' 的子域，则对 K' 的评估的限制对 K 是对 K 的评估。 04TB
例 (3) 令 k 为域且 K = k((T))。映射 v 其中映射每个非零形式幂级数到其阶 (代数, 章 IV, § 5, no. 7) 是对 K 的评估，其阶群是 Z 且其环为k[[T]]。如果 u ∉ k[[T]]，则关联位置为典范同态 f: k[[T]] → k 通过设定 f(u) = ∞ 扩展到 k((T))。 ↩ 4 04TC
例 (4) 设 A 为主理想整环，K 为分数的域，p 为 A 的极值元素。对于 x ∈ K 令 vp(x) 表示 x 的分解中 p 到极值元素的指数 (代数，章VII, § 1, no. 3、定理2)；立即可以看出，vp 是一个估值，其阶群为 Z，环为 A{Ap}。通过§ 1, no. 4的命题3，我们获得了直到等价的对K的所有不不当且对A为正的估值。取A=Z，我们恢… ↩ 3 04TD
例 (5) C[X, Y] 到 C((T)) 的映射 P(X, Y) ↦ P(T, e^T) 是单射的（实变量的函数，章 IV, §2，命题 9)，因此可以扩展到C(X, Y)的同构到C((T))的子域。限制对例 3 中定义的C((T)) 的评估的子域定义对C(X, Y) 的评估在C 上是不正确的，其阶群是Z，其剩余类域是C。 04TE
例 (6) 令 Γ 为全序群且 k 域。令 Г+ 为 Г 的正元素和 Г+ 的 C 代数在 k 上的幺半群。到定义时，C 在 k 上有基 (x\alpha){\alpha \in \Gamma-}，其中乘法表为 x\alpha x\beta = x{\alpha + \beta}。如果x = ∑ a_α x_α是C的非零元素，我们写成v(x) = inf_a_α ≠ 0… ↩ 1 04TF
定义 2 令 G 为有序集合。如果关系 x ∈ M 和 y ≥ x 暗示 y ∈ M，G 的子集称为大调。 04TG
命题 7 映射M ↦ a(M)是G主修子集的集合递增双射到K子A模块的集合。 04TH
推论令G₊为G中正元素的集合。映射M ↦ a(M)是G₊专业子集集合双射，到A理想集合。 ↩ 1 04TI
定义 3 令K为（不一定可交换）域，v对K和Γ阶群的v的估值。如果在 Z 上存在有序的群 Γ 的（必须是唯一的）同构，v 称为离散的。设该同构下γ为Γ相应的至1的元素； K的每个元素u使得v(u) = γ被称为v的均匀化器。如果离散估值的阶群为 Z，则称为标准化。 ↩ 1 04TJ
命题 8 令 K 为（不一定可交换）域，v K、A 环的离散估值，v 以及u v 的均匀化器。 A 的非零理想是双面的，形式 Auⁿ (n ≥ 0) 的非零理想。 ↩ 1 04TK
命题 9 令 A 为局部整环，与分数的域不同。以下条件是等效的： (a) A 是离散估值的环。 (b) A 是主理想整环。 (c) 理想的m(A)为主，⋂ₙ₌₁^∞ m(A)ⁿ = (0)。 ↩ 6 04TL
引理 1 令A为估值环。每个有限生成的无扭转 A 模块都是免费的。每个有限生成的理想𝔞 A 都是主要的。每个无扭转 A 模块都是平坦的。 ↩ 1 04TM

§ 4. 估值的高度

命题 1 令K为域，且A为K的估值环。然后： (a) 每个环B使得A ⊂ B ⊂ K是环对K的估值； (b) 此类环的最大理想m(B)包含在A中，并且它是A的素理想； (c) 映射𝔭 ↦ A，是A素理想的集合的递减双射到环B的集合，使得A ⊂ B ⊂ K；它的逆双射是映射B ↦ m(B)。 ↩ 3 04TV
推论 K 包含于 A 的集合 & 子环完全按包含排序。 ↩ 2 04TW
命题 2 令 K 为域，B 为 K 和 h 的估值环，h 是与 B 相关的地点和 K（κ(B) 中的值）。然后将B中包含的K的估值环的集合A的映射A ↦ h_B(A)定义双射转移到κ(B)的估值环的集合A'。 ↩ 1 04TX
推论令A和B为K的两个估值环，其中A ⊂ B；让A' = h_B(A)，这是κ(B)的估值环。 A' 的剩余类域 κ(A') 与 A 的剩余类域 κ(A) 自然同构，与 A 关联的位置 h_A 是与 A 和 B 关联的位置的合成 h_A' ∘ h_B。 ↩ 1 04TY
注相反，令 f 为 K 的位置，值在 K' 中，f' 为 K' 的位置，值在 K'' 中。那么f' ∘ f就是K的一个地方，它的环包含在f地方的环中。 04TZ
定义 1 如果关系0 ≤ y ≤ x且x ∈ H隐含y ∈ H，则有序群G的子群H称为孤立的。 ↩ 1 04U0
例 (1) 设A和B是两个有序的群；让A × B按照字典顺序给出阶（即“(a, b) ≤ (a', b')”相当于“(a < a') or (a = a' and b ≤ b')”）。如立即可见，A × B 的第二个因子 B 是A × B 的孤立子群。 04U1
命题 3 令 G 为其正元素的有序群和 P 集合。 ↩ 3 04U2
例 (2) 如果我们重新考虑例，其中 G 是字典式乘积 A × B 和 H = B，则有序的群 G/H 被规范地标识为 A。 ↩ 1 04U3
命题 4 The mapping B ↦ H_B is an increasing bijection of the set of subrings of K containing A onto the set of isolated subgroups of Γ_A. ↩ 1 04U4
注在上述假设下，令f表示B的典范同态到κ(B)和A' = f(A)；它的估值为环为κ(B)（命题2，no. 1）。那么f⁻¹(κ(B)^*) = U(B), f⁻¹(A') = A, f⁻¹(m(A')) = m(A)，因此 04U5
例设k为域， 04U6
定义 2 设G是全序群。如果与 G 不同的 G 的孤立子群的数是有限的且等于 n，则称 G 的高度为 n。如果这个数是无穷大，则称 G 具有无穷高。 04U7
定义 3 估价阶群的高度称为该估价的高度。 04U8
命题 5 估值的高度等于其环中非零素理想的数。 ↩ 1 04U9
命题 6 令K为域且A为K的子环。假设A不是域。那么下面的条件是等价的： (a) A 是K 上高度 1 的估值的环； (b) A是K的估值环，除了(O)和m(A)之外没有其他素理想； (c) A是与K不同的K的子环中最大的。 ↩ 3 04UA
命题 7 对于域的估值高度为1，其阶群同构于\mathbf{R}的非零有序子群是必要且充分的。 04UB
命题 8 令 G 为全序群且未简化为 O。以下条件是等效的： (a) G 的高度为 1； (b) 对于 G 中所有 x 0 且 y ≥ 0，存在整数 n ≥ 0，使得 y ≤ nx； (c) G 同构于有序加法群 \mathbf{R} 的子群，且未约简为 O。 ↩ 2 04UC
命题 9 令 K 为域，v 为 K 的非不当估值，v 的 A 环。为了使 A 完全积分闭合（章 V, § 1, no. 4，定义 5），v 的高度为 1 是充分必要的。 04UD
推论设K为域，(v_α)_α ∈ IK上高度1的估值族，以及v的环的A交。则A是一个完全积分闭域。 ↩ 1 04UE

§ 5. 由估值定义的拓扑

引理 1 设x ∈ K^*, y ∈ K^*和α ∈ G。如果 v(x - y) > sup(α + 2v(y), v(y)), 然后v(x⁻¹ - y⁻¹) > a。 ↩ 2 04UQ
命题 1 拓扑 Tᵥ 是 Hausdorff，并且与 K 上的域结构兼容。如果给 G 提供离散拓扑，则映射 v : K^* → G 是连续的。 ↩ 1 04UR
命题 2 令K不一定为交换域，v为v的K、A环的非不当估值，m为v的理想值。为了使K和拓扑Tᵥ局部紧致，满足以下条件是必要且充分的： ↩ 4 04US
注注在这个证明中假设A 是完整的就足够了。 04UT
命题 3 令E为K上的左拓扑向量空间，即Hausdorff且维数1。假设v不是不恰当的。对于E中的所有x₀ ≠ 0，Kₛ的映射a ↦ ax₀到E是拓扑同构。 ↩ 1 04UU
推论设E是K上的左拓扑向量空间，H是E的闭超平面，D是E的一维向量子空间，补充的代数补充 H。假设v并无不当。那么D是H的拓扑补充。 04UV
命题 4 假设v不是不恰当的并且K是完整的。令E为K上的左拓扑向量空间，这是Hausdorff且为有限维n。对于E的每个基(eᵢ)_1 ≤ i ≤ n超过K，Kⁿₛ的映射(aᵢ) ↦ ∑ᵢ₌₁ⁿ aᵢ eᵢ到E是一个拓扑向量空间同构。 ↩ 1 04UW
推论假设v不是不恰当的并且K是完整的。令E是K上的豪斯多夫拓扑向量空间，而F是E的有限维向量子空间。然后F关闭。 ↩ 2 04UX
命题 5 令K不一定是交换域，v是对K和G群v(K^*)与离散拓扑的评估。 ↩ 2 04UY
注对于所有x ∈ hatK而非属于到hatA，存在x₀ ∈ K使得hatv(x - x₀) > 0，hatv(x) = hatv(x₀) = v(x₀) < 0；那么x₀⁻¹ x ∈ hatA，以及x₀⁻¹ ∈ A，可以看出，如果我们集合S = A - 0，就可以写成hatK = S⁻¹ hatA。 04UZ

§ 6. 绝对值

命题 1 对于从K到R、满足(VA,)和(VAII)到属于到V(K)的映射f，f(1 + x)以x ∈ K的集合为界是充分必要的这样f(x) ≤ 1。 ↩ 1 04VA
命题 2 设f为K至R₊属于至V(K)中的映射；如果存在C > 0，使得f(n.1) ≤ C对于每个整数n > 0，f是K上的绝对值。 ↩ 4 04VB
推论 1 要使映射f从K到R₊成为绝对的值，满足条件(VA_I)、(VA_II)和(U₂)是充分必要的。 ↩ 1 04VC
推论 2 对于K到R₊到属于到V(K)的映射f来说，它是形式gᵗ是充分必要的，其中t > 0和g是值的绝对值 K。 ↩ 1 04VD
命题 3 设f为K到R₊中的映射。以下属性是等效的： (a) f 是超量绝对值。 (b) K 存在估价v，R 中有值，实数 a，使得0 < a < 1 和f = a''。 (c) 每整数 n > 0 f 属于至 V(K) 和 f(n.1) ≤ 1。 (d) 对于所有 s > 0，fˢ 是绝对的值。 ↩ 3 04VE
推出如果K是特征p > 0的（不一定可交换的）域，则V(K)上的每个函数都是超度量绝对值。 ↩ 1 04VF
命题 4 设f为Q至R₊属于至V(Q)中的映射。然后： ↩ 2 04VG
定理 1（盖尔范德-马祖尔） 令 K 为代数超过域 R，并具有以下两个性质： (1) K 是（不一定可交换）域。 (2) K 范数 x ↦ |x| 与K 上的代数结构兼容（通用拓扑、章 IX, § 3, no. 7、定义 9）。那么代数K同构于代数R, C或H之一。 ↩ 3 04VH
引理 1 令 D 为域和中心 L，使得对于所有 x ∈ D, L(x) 是次数 ≤ m L 的扩张。那么 D 的秩超过 L 就是 ≤ m²。 ↩ 1 04VI
定理 2（奥斯特洛夫斯基） 设 K 为 a（不一定可交换）域和 f 元素 V(K)，它不是超度量绝对值。那么存在唯一的 K 的实数 s > 0 和同构 j 到域 R, C 或 H 之一的处处稠密子域，使得f(x) = |j(x)|ˢ 对于所有x ∈ K ()。要使 f 成为 K 上的绝对值，s ≤ 1 是充分必要的。 ↩ 2 04VJ
引理 2 设L为L的a（不一定可交换）域和K子域，使得L是K上的ajinite维左向量空间。设g为L上的绝对值，f其限制到K。如果K是完整的并且不离散对于 f，L 对于 g 是完备的；如果进一步 g' 在 L 上是另一个绝对值，并且对 K 具有相同的限制，则 g' = g。 04VK

§ 7. 近似值定理

命题 1 令K为域，(Aᵢ)_1 ≤ i ≤ n为K和B = ⋂ᵢ₌₁ⁿ Aᵢ的估值环。我们写pᵢ = B ∩ m(Aᵢ)。那么 Aᵢ = B_pᵢ 对于所有 i 且 B 的 jie 是 K。 ↩ 5 04VN
引理 1 令vᵢ (1 ≤ i ≤ n) 为K 和x ∈ K^* 的评价。那么存在一个多项式 (X) 形式 ↩ 1 04VO
命题 2 根据命题 1 的假设，进一步假设Aᵢ not⊂ Aⱼ 对应于i ≠ j。那么pᵢ是B的不同最大理想，B的每个最大理想都等于pᵢ之一。 ↩ 2 04VP
推论 1 假设 Aᵢ not⊂ Aⱼ 对应 i ≠ j。对于元素aᵢ ∈ Aᵢ（1 ≤ i ≤ n）的每个家庭，都存在x ∈ B，使得x ≡ aᵢ pmodm(Aᵢ)对应于1 ≤ i ≤ n。 ↩ 1 04VQ
推论 2 假设 Aᵢ not⊂ Aⱼ 对应 i ≠ j。存在K的元素xᵢ（1 ≤ i ≤ n）使得vᵢ(xᵢ) = 0和vⱼ(xᵢ) > 0对于i ≠ j。 04VR
推论 3 每估价环K包含B包含其中Aᵢ之一。 04VS
定义 1 令A和A'为相同域K的两个估值环。如果K是由A和A'生成的环，则称A和A'是独立的。如果环是独立的，则 K 的两个估值称为独立的，否则称为独立的。 ↩ 1 04VT
定理 1（估值的近似值定理） 令vᵢ (1 ≤ i ≤ n) 为域 K 的估值，它们在vᵢ 的对和Γᵢ 阶群中是独立的。设 aᵢ ∈ K 和 αᵢ ∈ Γᵢ (1 ≤ i ≤ n)。那么存在x ∈ K使得vᵢ(x - aᵢ) ≥ αᵢ对于所有i ↩ 7 04VU
引理 2 设 A 为估值环，b 为 A 与 A 不同的理想。则 b 的根式 c 为素理想。 04VV
推论 1 对于元素γᵢ ∈ Γᵢ（1 ≤ i ≤ n）的每个家庭，都存在x ∈ K使得vᵢ(x) = γᵢ（1 ≤ i ≤ n）。 ↩ 2 04VW
推论 2 设Tᵢ为vᵢ在K上定义的拓扑；让Kⁿ被赋予Tᵢ的拓扑乘积。如果vᵢ没有不当的话，Kⁿ的对角线在Kⁿ是密集的。 ↩ 1 04VX
命题 3 令v和v'为同一域K的两个非不当估值。对于v和v'到定义，K上的相同拓扑，它们依赖是必要且充分的。 ↩ 1 04VY
命题 4 让 v₁, …, vₙ (n ≥ 2) 成为对相同域 K 的成对相关估值。那么 v₁, …, vₙ 生成子环 δ \ K 的环 A₁, …, Aₙ 与 K 不同。 ↩ 1 04VZ
定理 2（绝对值值的近似值定理） 令 fᵢ (1 ≤ i ≤ n) 为绝对值，且与域 K 相同，这不是不恰当的，并且没有两个是等价的。设aᵢ \ (1 ≤ i ≤ n)为K和ε实数> 0的元素。那么存在 x ∈ K 使得 fᵢ(x - aᵢ) ≤ ε 对于所有 i。 ↩ 1 04W0

§ 8. 扩张代数估值扩张

定义 1 指标 [𝔭ᵥ : Γ_v'] 被称为 v' 超过 v （或超过 K）的分支指标，并表示为 e(v'/v) （或 e(A'/A)，或有时 e(L/K)）。 04W4
定义 2 次数 [κ(A') : κ(A)] 称为 v' 超过 v （或超过 K）的剩余类类次数，并表示为 f(v'/v) （或 f(A'/A)，或有时f(L/K))。 04W5
引理 1 设K, K', K''为三个域，使得K ⊂ K' ⊂ K''、v''对K''和v和v'其限制到K和进行评估K'。然后还有关系: (1) e(v''/v) = e(v''/v') e(v'/v), f(v''/v) = f(v''/v') f(v'/v). ↩ 4 04W6
引理 2 令K为域，L为次数n的K的有限扩张，v'对L和v的估值为限制至K。然后不等式 ↩ 8 04W7
命题 1 令K为域，L为K的代数扩张，v'为L的估值，v其限制至K以及A和A' v 和 v' 中的环。那么Γ_v'/Γᵥ是挠元群，κ(A')是κ(A)的代数扩张。 ↩ 4 04W8
推论 1 v'的高度等于v的高度。 04W9
引理 3 令G'为G和G'（或G）的全序群、G子群和G'（或G）的孤立子群的集合。映射H' ↦ H' ∩ G映射G'到G。如果 G'/G 是挠元群，则映射是双射的。 ↩ 1 04WA
推论 2 要使 v' 不合适（对应高度 1），v 不合适（对应高度 1）是充分必要的。 ↩ 4 04WB
推论 3 假设L是K的有限扩张。为了使 v' 离散，v 离散是充分必要的。如果 v' 是离散的，Γ_v' 同构于 Z 的非零子群（推论 2），因此也同构于 Z。相反，如果v是离散的，Γᵥ与Z同构的，Γ_v'/Γᵥ是有限群（引理2）；因而 Γ_v' 是秩 1 的有限生成交换律群并且无扭转；因此它与 Z 同构的。 ↩ 3 04WC
定义 3 假设K在场，v对K和L扩张的估值为K。 L上的估价族(v'ᵢ)_i ∈ I其中扩展v，并且使得L延伸v的每个估价相当于唯一的v'ᵢ被称为v的扩张的完整系统到L. 04WD
命题 2 设K在场，v对K进行估值，hatK完备的K相对于v，hatvv至hatK的连续扩张，以及L 次数 n 的K 的有限扩张。 (a) 设v'为L延伸v的估值；令hatL_v'表示L相对于v'和8'的完成，v'到hatL_v'的连续扩张；识别hatK与hatL_v'中K的闭包， e(hatv'|hatv) = e(v'|v), f(hatv'|hatv) = f(… ↩ 5 04WE
推出 1 如果 K 相对于 v 是完整的并且 v 不是不恰当的，则扩展 v 的 L 的两个估值是相关的。 ↩ 1 04WF
推出 2 如果hatK或L可在K上分离，则典范映射 04WG
注命题 2 (b) 表明 hatK 和 L 在 K 上的每个复合扩张 (代数, 章 VIII, § 8) 与其中一个完成hatLᵢ 同构，并且它们是复合的扩张其中没有两个是同构的。 04WH
定理 1 令 K 为域，v 为 K 的估值，L 次数 n 的 K 的有限扩张。然后： ↩ 2 04WI
注估值vᵢ'(i ∈ I)的环Aᵢ'的交C是L中A的积分闭包(§ 1, no. 3，推论3到定理3)；此外，根据 (c) 和§ 7, no. 1、命题 1 和 2，C 是半局部环，对于所有 i ∈ I，其最大理想是交 mᵢ = C ∩ m(Aᵢ') 和Aᵢ' = C。 04WJ
定义 4 设 G 是有限指标的 G 的全序交换群和 H 子群。 The number of major subsets of G consisting of strictly positive elements and containing all the elements O of H is called the initial index of H in G an… ↩ 1 04WK
命题 3 在定义 4的假设下，如果G的严格正元素的集合不存在最小元素，则对于所有H来说ε(G, H) = 1。如果存在G的至少元素 O且G'表示子群它生成，则 ↩ 1 04WL
推论初始指标 ε(G, H) 除指标 (G : H) 并且等于它，如果 G 同构于 Z。 ↩ 1 04WM
定义 5 设 K 为域、L K、w 对 L、v 其限制到 K 和 Γ_w的有限扩张和Γᵥ 他们的阶群。 Γᵥ 在 Γ_w 中的初始指标称为 w 相对于 v （或相对于 K）的初始分支指标，并表示为 ε(w/v)。 ↩ 1 04WN
命题 4 在定义 5的假设下，令 A 和 m （分别 A' 和 m'）为环和估值理想 v （分别 w）。然后 ↩ 5 04WO
命题 5 设 K 为域，v 对 K，A 其环，m 为理想值，L 为 K 次数的有限扩张 n、B A 在 L 和 (v'ᵢ)_1 ≤ i ≤ s 完备的 v 到 L 的扩张系统。然后 ↩ 2 04WP
推论使用相同的假设和记号， [B/mB : A/m] = ∑ᵢ₌₁ˢ ε(v'ᵢ/v) f(v'ᵢ/v) ≤ ∑ᵢ₌₁ˢ ε(v'ᵢ/v) f(v'ᵢ/v) ≤ n. 我们知道ε(v'ᵢ/v) ≤ ε(v'ᵢ/v)（no. 4，命题3的推论）和∑ᵢ₌₁ˢ ε(v'ᵢ/v) f(v'ᵢ/v) ≤ n（no. 3，定理1）。 ↩ 1 04WQ
定理 2 使用命题 5 的假设和记号，以下条件是等价的： (a) B 为有限生成A-模； (b) B 为自由A-模；（三）[B/mB : A/m] = n; (d) 对于所有 i，∑ᵢ₌₁ⁿ ε(v'ᵢ/v) f(v'ᵢ/v) = n 和 ε(v'ᵢ/v) = ε(v'ᵢ/v)。 ↩ 4 04WR
注 (1) 如果 v 是离散，则 ε(v'ᵢ/v) = ε(v'ᵢ/v) (no. 4) 和条件 (d) 约化到 ∑ᵢ₌₁ˢ ε(v'ᵢ/v) f(v'ᵢ/v) = n. 04WS
推论 1 与记号相同的假设，进一步假设v是离散的并且L可分离。然后 04WT
推论 2 令 K 为域，v 是 K 的离散估值，K 是完整的，L 是次数 n 的 K 的有限扩张。然后v承认一个唯一的（最多等价）扩张v'到L，v'的环A'是v和e(v'/v) f(v'/v) = n的环A上有限生成的自由模。 ↩ 1 04WU
推论 4 在推论3的假设下，如果L是K的可分扩张，则每个hatLᵢ都是hatK的可分扩张。如果进一步L是K的伽罗瓦扩张，伽罗瓦群G且Gᵢ表示B中v'ᵢ理想的分解群（章V, § 2, no. 2，定义） 2), 那么hatLᵢ是hatK的伽罗瓦扩张，其伽罗瓦群同构于Gᵢ。 04WV
命题 6 令 K 为域，v K 的估值，A 为环，L K 的代数扩张，A' A 在L 中的积分闭包。令 23 为 L 上环的集合，其中 A' 的最大理想为扩展 v 和 𝔐' 集合。那么映射 V ↦ m(V) ∩ A' 就是 23 的双射到 𝔐' 上，m' ↦ A'_m' 是逆双射。 ↩ 2 04WW
命题 7 设 K 为域、L K 和 f 的拟伽罗瓦扩展以及 L 的 f' 位置，其中值位于相同的域 F 中。假设限制关闭且 f' 为 K 重合。那么存在 L 的 K-自同构 s 使得 f' = f ∘ s. ↩ 2 04WX
推论 1 令 K 为域，v 对 K 的估值，L K 的准伽罗瓦扩展，以及 v' 和 v'' v 到 L 的两个扩张。那么存在L的K-自同构s，使得v''等价于v' ∘ s。 ↩ 3 04WY
推论 2 设 K 为域，f 为 K 的位（分别为 v 对 K 的估价），L 为 K 的根数扩张。那么 f（分别为 v）到 L 的所有扩张都是等价的。 04WZ
命题 8 令 K 为域，v 对 K 的估值，L K 的次数 n 的有限准伽罗瓦扩展，(v'ᵢ)_1 ≤ i ≤ g v 的扩张到 L 的完整系统。那么e(v'ᵢ/v)和f(v'ᵢ/v)有值e和𝔣独立于i。然后ef g ≤ n。如果v的环A在L的积分闭包是有限生成A-模，则ef g = n. 04X0
命题 9 设 K 为域，L K 的代数扩张，𝔣 为 K 上的绝对值值。那么 𝔣 可以扩展到 L 上的绝对值值。 ↩ 1 04X1
命题 10 令 K 为域，f K 上的绝对值值，使得 K 相对于 f 而言是完备的且非离散的，并且 L 为的代数扩张 K。那么f可以在L上唯一地扩展到绝对值f'，并且，如果L是有限次数n，那么 04X2
命题 11 令 K 为域，f K，hatK 上的非超量绝对值，K 相对于 f，hatf 的连续扩张的完成hatK 和 L 扩张 K 次数 n。 ↩ 1 04X3
命题 12 设 K 为域，f 是 K 上的绝对值，L K 的准伽罗瓦扩展，以及 f' 和 f'' 两个扩张到 L。那么存在 L 的 K-自同构 s 使得 f'' = f' ∘ s. 04X4

§ 9. 应用：局部紧凑域

命题 1 如果 K 是局部紧致域，则函数 mod, 属于到 V(K) (§ 6, no. 1)。此外： (i) 如果s > 0使得(mod_K)ˢ = g是绝对值，则g定义拓扑在K上。 (ii) 如果K不是离散且模的，是超度量绝对值，则在K上存在规范离散估值v，其环是紧致的并且其残差域是有限的q元素，因此mod, = q⁻ᵛ。 K 上的拓扑由v 定义。 ↩ 1 04XQ
命题 2 令K, K'是两个（不一定可交换）局部紧致域，使得K是K'的拓扑子域，并且K不是离散的。然后： (i) K' 是 K 上的有限维左（右）向量空间。 (ii) 如果K包含在K'的中心中，则对于所有x ∈ K'。 (1) mod_K'(x) = mod_K(N_K'/K(x)). 由于 K 是一个完整的值域，它不是离散的，断言 (i) 由拓扑向量空间、章 I… ↩ 1 04XR
推论 1 每个中心不是离散的局部紧致域的有限秩超过其中心。 04XS
推论 2 令 K' 为局部紧致域且 K 为 K' 的闭子域（不一定可交换）。如果 K' 是有限维 n 的左（或右）向量空间超过 K，则 (2) mod_K'(x) = (mod_K(x))ⁿ for all x ∈ K. 04XT
命题 3 令 K 为（不一定可交换的）局部紧致域，它不是离散的，并且其拓扑由离散估值 v 定义；令A为环，m为v的理想，并让我们写出Card(A/m) = q = pᶠ（p素数）。那么，A中存在A/m的代表S的系统和v的均匀化器u，使得O ∈ S、S^* = S ∩ K^*是K^*和u⁻¹ Su = S的循环子群。此外，A的每个元素都可以唯一地写成形式∑ᵢ₌₀^∞… ↩ 1 04XU
引理 1 令x, y为A的两个可置换元素，使得x - y ∈ mʲ \ (j ≥ 1)；然后每整数 n ≥ 0 x^pⁿ - y^pⁿ ∈ mʲ⁺ⁿ。 04XV
定理 1 设 K 是一个（不一定可交换的）局部紧致域，它不是离散的。 ↩ 1 04XW
推论 1 每个局部紧致域（不是离散的）都是有限秩超过其中心。 ↩ 1 04XX
推论 2 每个局部紧凑域都连接或完全断开；如果它是连通的，它就同构于R, C或H。 04XY
注设s为整数> 0； K = F_q((T))的子域F_q((Tˢ)) = L在K、e(K/L) = s、f(K/L) = 1关闭。因此可以看出，K存在封闭的子域L，它们不是离散的，因此e(K/L)（和更不必说次数[K:L]）是任意大的（与特征0的局部紧凑域的情况相反，其中每个局部紧凑这样的域K中的子域L必然是包含R或Qₚ，因此[K:L]是有界的）。 04XZ

§ 10. 扩张超凡的估值扩张

引理 1 令 K 为域，v 右 K、Γ 其阶群、Γ' 的全序群包含 Γ 和 ξ 元素Γ'。在K(X)上存在一个独特的估值，例如那个，对于P = ∑ⱼ aⱼ Xʲ（aⱼ ∈ K），w(P) = infⱼ (v(aⱼ) + jξ)。 ↩ 5 04Y5
命题 1 令 K 为域、v 评估 K、Γ 其阶群、Γ' 全序群包含 Γ 和 ξ元素Γ'使得关系nξ ∈ Γ, n ∈ Z意味着n = 0。那么存在一个独特的估值w 在 K(X) 与值在 Γ' 并延伸 v 这样 w(X) = ξ。 w 的剩余类域等于v的阶群是Γ'的子群Γ + Zξ。 ↩ 1 04Y6
命题 2 令K为域，v为K，Γ为阶群，k为剩余类域。 K(X)上存在唯一的估值w延伸v，使得X的w(X) = 0和像t在w的剩余类域k'超越k。 w的阶群等于v，其剩余类域为k(t)。 ↩ 3 04Y7
注不应该认为我们刚刚遇到的v到K(X)的两个型或扩张是唯一的；可能存在扩张的第三个型，其中Γ'/Γ是挠元群和k'k的（不一定是有限的）代数扩张。第三个型不一定由引理1中描述的过程提供（cf.§ 3，习题1）。 04Y8
定义 1 交换群 G 的有理秩是向量 Q 空间 G ⊗_Z Q 的维数。 04Y9
命题 3 设G是G的全序交换群和H子群。如果h(G)和h(H)表示G和H的高度（§ 4，no. 4），则不等式 ↩ 2 04YA
推论对于每个全序交换群 G，h(G) ≤ r(G)。我们在命题 3 中集合 H = (0)。 ↩ 1 04YB
命题 4 设 G 为全序交换律群。假设 G 是有限生成的且 h(G) = r(G)。那么 G 同构于按字典顺序排序的 Zʳ⁽ᴳ⁾。 ↩ 1 04YC
引理 2 设H是全序交换群 G的孤立子群。如果H是G的直因子，则有序群G与按字典顺序排序的群(G/H) × H同构的。 ↩ 1 04YD
定理 1 设x₁, …, x,为v'的环的元素，其中k'中的典范像overlinexᵢ在代数上独立于k和K'的y₁, …, yᵣ元素，这样Γ'/Γ中的v'(yⱼ)中的典范像在Z上线性无关。那么K'的r+s元素x₁, …, x, y₁, …, yᵣ在代数上独立于K； v'到K(x₁, …, x, y₁, …, yᵣ)中的限制承认k(overlinex₁, …, over… ↩ 1 04YE
推论 1 不等式 04YF
推论 2 令h和h'为v和v'的高度。然后 s(v'/v) + h' ≤ d(K'/K) + h. 命题 3、h' ≤ r(v'/v) + h。 04YG
推论 3 假设K'是K的有限生成的扩张，Γ同构于Z^h'（按字典顺序排列），并且公式中有等式（10）。那么 Γ' 与 Z^h' 同构的（按字典顺序排列），k' 是 k 的有限生成的扩张。 04YH
推论 4 假设 v 不合适（在这种情况下k = K）。然后 h(Γ') + d(k'/K) ≤ r(Γ') + D(k'/K) ≤ d(K'/K). 特别是，如果 v' 的高度为 1，则 d(k'/K) ≤ d(K'/K) - 1; 此外，如果K'是K的有限生成的扩张，并且(12)中有等式，则v'是离散估值，k'是K的有限生成的扩张。 04YI

VII. 除子

§ 1. 克鲁尔域

定义 1 令A为整环，K为分数的域。 K的每个子A模块a，使得A中存在元素d ≠ 0，其中da ⊂ A被称为A的分数理想𝔡（或K，滥用语言）。 ↩ 1 04YL
定义 2 I(A) 的每个元素 a 使得 a = tildea 称为 A 的除数分数理想。 ↩ 1 04YM
命题 1 (a) 如果 b 是除数理想且 a ∈ I(A)，则 b : a 是除数。 ↩ 6 04YN
注在上述证明的过程中，已经证明了A : a = A : (A : (A : a))对于每个理想a ∈ I(A)，这是集合理论、章111、§ 1, no. 5、命题2的特例。 04YO
命题 2 (i) 在D(A)中，上面有界的每个非空集合至少承认上界。更准确地说，如果 (aᵢ) 是 I(A) 的元素的非空族，并且在上面有界，那么 sup(div aᵢ) = div( ⋂ᵢ 5ᵢ ). (ii) 在D(A)中，每个有界的非空集合都承认下确界。更准确地说，如果 (aᵢ) 是 I(A) 的元素的非空族，其下界如下，则 inf(div aᵢ) = div(… ↩ 5 04YP
推论如果x, y和x + y在K^*中，则div(x + y) ≥ inf(div(x), div(y))。 04YQ
命题 3 设a, a', b, b'为I(A)的元素。关系 a > a' 和b > b' 意味着ab > a'b'。 04YR
命题 4 令 a, b 为 A 的两个除数分数理想。以下属性是等效的： (a) div a和div b等价于除子； (b) 存在x ∈ K^*使得b = xa。 04YS
定理 1 令A为整环。对于A的除子的幺半群D(A)为群，A完全积分闭是充分必要的。 ↩ 1 04YT
推论令A为完全积分闭域，a为A的除数分数理想。然后，对于 A 的每个分数理想 b ≠ 0，div(a : b) = div a - div b ↩ 1 04YU
定义 3 如果存在对域的分数 K 的 A 进行估值的(vᵢ)_i ∈ I族，并且具有以下属性，则 n 整环 A 被称为克鲁尔域： (AK_I) 估值vᵢ是离散的； (AK_II)vᵢ环交为A； (AK_III) 对于所有 x ∈ K^*、集合或指标 t ∈ I，使得 vₜ(x) ≠ 0 是有限的。 ↩ 5 04YV
定理 2 令A为整环。要使A成为克鲁尔域，满足以下两个条件是必要且充分的： (a)A完全整体封闭； (b) A 的每个非空除积分理想族都承认极大元素（相对于关系⊂）。此外，如果P(A)是D(A)的极值元素的集合，则P(A)是Z模D(A)的基，D(A)的正元素是线性组合 / 元素 / P(A)，系数为≥ 0。 ↩ 3 04YW
引理 1 If A is a Krull domain and (vₜ)ₜ, is a family of normed valuations on K satisfying (AK_I), (AK_II) and (AK_III), the mapping a ↦ (vₜ(a))_t ∈ I is a decreasing injective mapping of… ↩ 1 04YX
推出要使诺特环成为 Krull 域，它是全闭域是充分必要的。 ↩ 1 04YY
命题 5 令A为克鲁尔域，K为分数的域，以及(v_P)_P ∈ P(A)其基本估值系列。令 (n_P)_P ∈ P(A) 为有理数整数族，除了指标的有限数外，其余为零。然后x ∈ K的集合使得v_P(x) ≥ n_P对于所有P ∈ P(A)来说是A的除数理想a使得div a = ∑_P ∈ P(A) n_P · P。 ↩ 5 04YZ
命题 6 令A是一个Krull域，K其分数的域，(vₜ)_t ∈ I对K的一系列评估，具有定义3和A，环的vₜ属性。令S是A的乘法子集，而不是包含0和J集合与指标t ∈ I，使得vₜ是零 S。然后S⁻¹A = ⋂_t ∈ J Aₜ；特别是S⁻¹A是一个Krull域。 ↩ 8 04Z0
推论 1 令P为A和p相应的除理想的极值除子。则p是质数，v_P的环是A，v_P的剩余类域与A/p的分数的域进行识别。 ↩ 7 04Z1
推论 2 令A是一个克鲁尔域，K是分数和(vₜ)_t ∈ I的域，具有定义3属性的评估族。那么A的每个基本评估都相当于vₜ之一。 ↩ 4 04Z2
命题 7 令 A 为克鲁尔域，(v_P)_P ∈ P(A) 为其基本估值系列，a ∈ I(A)。那么div a中P的系数就是inf_y ∈ a (v_P(y))。如果p是极值除子P的除素理想相应的，则aAₚ = tildeaAₚ。 ↩ 1 04Z3
命题 8 设A为积分闭域诺特。 (a) 设P为A和p相应的除数素理想的极值除子； ↩ 3 04Z4
命题 9 令v₁, …, vᵣ为克鲁尔域A和n₁, …, nᵣ有理整数的不同基本估值。 There exists an element x of the field of fractions K of A such vᵢ(x) = nᵢ for 1 ≤ i ≤ r and v(x) ≥ 0 for every essential valuation v of A di… ↩ 8 04Z5
推论 1 令A为克鲁尔域，K是分数和a, b的域和cA的三个除数分数理想，使得a ⊂ b。存在x ∈ K使得a = b ∩ xc。 ↩ 1 04Z6
推论 2 令 A 为克鲁尔域。对于 A 的分数理想 a 而言，它是两个分数主理想的交是必要且充分的。 ↩ 2 04Z7
定义 4 设A为整环。如果 A 的素理想 𝔭 在 A 的非零素理想中最小，则称其高度为 1。 04Z8
定理 3 令A为克鲁尔域，𝔭为A的积分理想。为了使𝔭成为极值除子的除数理想相应的，𝔭是高度为1的素理想是充分必要的。 ↩ 5 04Z9
推出 1 在克鲁尔域中，每个非零素理想 m 包含都是高度为 1 的素理想。如果 m 的高度不是 1，则 div m = 0 且 A : m = A。 ↩ 1 04ZA
推出 2 令 A 为克鲁尔域，K 为分数的域，v 为 K 的估值，对 A 为正，x ∈ A 的 p 集合使得 v(x) 0。如果素理想 p 的高度为 1，则 v 相当于 A 的基本估值。 ↩ 2 04ZB
定理 4 设 A 为高度为 1 的素理想的整环且 M 集合。对于 A 为克鲁尔域，满足以下性质是必要且充分的： (i) 对于所有 p ∈ M, A，是一个离散估值环。 (ii) 对于 p ∈ M，A 是 Ap 的交。 (iii) 对于 A 中所有 x ≠ 0，仅存在有限数理想 p ∈ M 使得 x ∈ p。此外，对于 p ∈ M 的 Ap 的估值相应的是 A 的基本… ↩ 6 04ZC
命题 10 设 A 是一个积分闭域诺特，并且是 A 的积分理想。以下条件是等价的： (a) a 是除数； (b) 与 A/a 相关的素理想的高度为 1。 04ZD
命题 11 令 A 为局部 Krull 域（特别是整体闭局部诺特域），m 为其最大理想。以下条件是等效的： (a) A是离散估值环； (b) m是可逆的； (c) A:m ≠ A； (d) m 是除数； (e) m 是 A 唯一的非零素理想。 ↩ 1 04ZE
命题 12 令A是一个Krull域，K是分数的域，K'是K的有限扩张，A'是A在K'的积分闭包。那么A'是一个Krull域。 A'的基本估值是K'的规范离散估值，相当于A基本估值的扩张。 ↩ 3 04ZF
推论令p（或p'）为高度1的A（或A'）的素理想，并且v（或u'）是A（或A'）相应的的基本估值。为了使p'位于p之上，v'至K中的限制等于v是必要且充分的。 ↩ 1 04ZG
命题 13 令 A 为 Krull 域，X₁, Xₙ, …, Xₙ 不确定。环 A[X₁, …, Xₙ] 是 Krull 域。 ↩ 2 04ZH
注命题13的证明中引入的估值v_f和barw是A[X]的基本估值。我们只需证明，如果V是估值v_f（f不可约）和barw（w本质）的集合，那么，对于所有v' ∈ V，存在不在A[X]中的元素g ∈ K(X)，并且使得v''(g) ≥ 0 对于所有不同于 v' 的评估v'' ∈ V；这将证明V - v'不满足（AK_II），因此结论将由no. 4得出，推论2到命… 04ZI
命题 14 令 A 为 Krull 域，B 为 Krull 域包含 A。假设以下条件成立： ↩ 3 04ZJ
命题 15 令 A 和 B 为 Krull 域，使得 B 包含 A 并且平坦 A-模。然后： (a) 满足命题 14 的条件 (PDE)； (b) 对于每个除数理想 a ∈ A，Ba 是 B 的除数理想，其中对应到除子 i(div_A(a))。 ↩ 1 04ZK
推出令 A 为本地 Krull 域，B 为离散估值环，使得 B 支配 A 并且平坦A-模。那么A就是域或者离散估值环。 04ZL
注在上述两种情况的前一种情况下，映射i : D(A) → D(B)是单射的：因为D(B)的P(B)形式基的元素和P(A)不能的两个不同理想是相同理想的A上的迹P(B)，相当于验证i(p) ≠ 0对于所有p ∈ P(A)；现在，这是从章V, § 2, no. 1，定理1得出的。同样可以看出，如果B是忠实平坦的A-模，i是单射的（章II, § 2, no. 5，推… 04ZM
命题 16 设 A 为 Zariski 环，则其补全hatA 为 Krull 域。那么A是一个Krull域，从C(A)到C(hatA)的典范同态tildei（这是因为A是平的A-模;cf.章III, § 3, no. 4，定理3）是单射的。 ↩ 2 04ZN
命题 17 令A为克鲁尔域，S为A的乘法子集，而不是包含0。那么从C(A)到C(S⁻¹A)的典范同态bari是满射。如果进一步 S 由一系列元素 pᵢ 生成，使得主理想 Apᵢ 都是素数，则 bari 是双射的。 ↩ 4 04ZO
命题 18 令 R 为 Krull 域，A 多项式环 R[X]。 C(R) 到 C(R[X]) 的典范同态是双射的。 ↩ 1 04ZP

§ 2. 德德金域名

定义 1 所有非零素理想都最大的 Krull 域称为 Dedekind 域。 050M
定理 1 设 A 为整环，K 为分数的域。以下条件是等效的： (a) A 是 Dedekind 域； (b) A 是一个 Krull 域，并且对 K 的每一个对 A 为正的非不当估值相当于对 A 的基本估值； (c) A 是克鲁尔域，A 的每个分数理想 𝔍 ≠ (0) 都是除数； (d) A 的每个分数理想 3 ≠ (0) 都是可逆的； (e) A 是诺特积分闭域，并… ↩ 6 050N
命题 1 半本地 Dedekind 域为主理想整环。 ↩ 3 050O
命题 2 令A为戴德金域，K为分数的域和A的非零素理想的P集合；对于p ∈ P，令vₚ表示相应的对A的基本估值。令p₁, …, p_q不同于P的元素和n₁, …, n_q有理整数以及x₁, …, x_q元素K。那么存在x ∈ K，使得1 ≤ i ≤ q有v_pᵢ(x - xᵢ) ≥ nᵢ，所有与pᵢ不同的p ∈ P有vₚ(x) ≥ 0。 ↩ 2 050P
命题 3 环 A（分别 A ）被确定为 A（分别 K）关于环拓扑的完成，其中邻域的基本系统和 0 以及 A 的所有积分理想 ≠ (0) 组成。 ↩ 1 050Q
命题 4 群SL(n, K)在SL(n, A)中稠密。 050R
引理 1 令 A 为诺特域，其中每个非零素数理想都最大，且 M 有限生成挠元 A 模。那么 M 的长度 long_A(M) 是无限的。 ↩ 1 050S
引理 2 设A为环，T为A模，(Tᵢ)为T的子模与并T的右有向族。然后long_A(T) = supᵢ (long_A(Tᵢ)). ↩ 1 050T
注这个证明不假设A是可交换的。 050U
引理 3 令A为诺特域，使得每个非零素数理想& A最大，M为有限秩r的无扭A模，以及A的非零元素。那么A/Aa是有限长度的A模，并且： long_A(M/aM) ≤ r · long_A(A/Aa). 引理 1 表明 long_A(A/Aa) 是有限的。我们首先在 M 是“有限生成”的情况下展示（6）。由于 M 是无扭的且具有秩 r，因此存在 M 的子模 L，它与 A… ↩ 1 050V
命题 5（克鲁尔-秋月） 设 A 为诺特域，其非零素数理想均为极大，K 为分数的域，L K 的有限扩张，B L 包含 A 的子环。则 B 为诺特并且 B 的每个非零素理想都是极大的。此外，对于 B 的每个理想 b ≠ (0)，B/b 为有限生成A-模。 ↩ 3 050W
推出 1 对于 A 的每个素理想 p，位于 p 之上的 B 素理想的集合是有限的。 ↩ 2 050X
推论 2 L中A的积分闭包是一个Dedekind域。 050Y
推论 3 Dedekind 域在域的分数的有限扩张内的积分闭包是 Dedekind 域。 ↩ 2 050Z
命题 6 令A为戴德金域，K为分数的域，L为K的有限扩张，B为A在L的积分闭包。令 p 为 A 的非零素理想，v 相应的 K 的基本估值和 0510

§ 3. 阶乘域

定义 1 所有除数理想均为主要的 Krull 域称为阶乘（或唯一因式分解）域。 ↩ 4 051N
定理 1 令A为整环。以下条件是等效的： (a) A 是阶乘； (b) A的非零分数主理想的有序群是与Z同构的群的直和（按乘积阶排序）； (c) 满足条件(M)，且A的两个主理想中的交为主理想； (d) 满足条件 (M)，并且对于A的每个极值元素p，理想的Ap是素数； (e) A 是一个克鲁尔域，并且每个高度为 1 的素理想都是主理想。 ↩ 4 051O
命题 1 设 A 为克鲁尔域。如果 A 的每个除数理想都是可逆的，那么对于 A 的每个最大理想 m，Aₘ 都是阶乘。如果还假设 A 的每个除数理想都是有限生成的（特别是如果 A 为诺特），则逆命题为真。 ↩ 1 051P
命题 2 令A为整环。对于A是阶乘，A存在子集P是充分必要的，使得每个a ∈ A - 0可以唯一地写在形式a = u ∏_p ∈ P pⁿ⁽ᵖ⁾中，其中u ∈ U和n(p)是正整数除了其中有限的数之外，还有零。 051Q
命题 3 设 A 为克鲁尔域，S 为 A 的乘法子集，而不是包含 0。 ↩ 5 051R
引理 1（高斯） 令f, f'为K[X]和c的非零元素，c'内容关闭，f', f'。那么cc'就是ff'的内容。 ↩ 1 051S
定理 2 设A是阶乘域，K是分数的域，(p_λ)是A的极值元素的代表系统，(P_λ)是K[X]的不可约多项式的代表系统，每个P_λ以1为内容。然后： (i) A[X] 是阶乘域； (ii) p_λ和P_λ的集合是A[X]的极值元素的代表系统。 ↩ 3 051T
推论如果 A 是阶乘域，则域 A[X₁, …, Xₙ] 也是阶乘。 051U
命题 4 令 A 为 Zariski 环，hatA 为其补全。如果 hatA 是阶乘域，则 A 是阶乘域。 051V
推论如果诺特局部环 A的补全是阶乘域，则A是阶乘域。 ↩ 1 051W
引理 2 令f(X₁, X₂, …, Xₙ)为形式幂级数≠ 0，系数为环E。存在整数 u(i) geqslant 1 (1 leqslant i leqslant n - 1) 这样 ↩ 1 051X
引理 3 令f为E[[X₁, …, Xₙ]]的非零元素。存在整数u(i) ≥ 1 (1 ≤ i ≤ n-1)使得E的自同构s由定义 s(Xᵢ) = Xᵢ + Xₙᵘ⁽ⁱ⁾ (1 ≤ i ≤ n-1) 和s(Xₙ) = Xₙ、映射f至元素g，使得g(0, …, 0, Xₙ) ≠ 0。 ↩ 1 051Y
命题 5 令f ∈ B为级数，其减少后的级数非零。令s表示其简化的阶，而M表示B与基1, X, …, Xˢ⁻¹的子A模块。那么B是M中的直和，f不是B中零的除子。 ↩ 3 051Z
推论根据命题 5 的假设和记号，假设s ≥ 1，从而f ∈ Bm + BX。然后B' = A[[T]]到B = A[[X]]的A-同态h使得h(T) = f(章III, § 2, no. 9,命题11(a))定义在B上一个自由的B'-模块结构承认1, X, …, Xˢ⁻¹为基。特别是 h 是单射的。 0520
定义 2 多项式 F ∈ A[X] 如果它是形式则称为可区分多项式 F = Xˢ + aₛ₋₁ Xˢ⁻¹ + ⋯ + a₀, 其中aᵢ ∈ 𝔪对于0 ≤ i ≤ s - 1。 ↩ 1 0521
命题 6（准备定理） 设f ∈ B为级数，其减少的级数不是零，并且s其减少的阶。 Then there exists a unique ordered pair (u, F) such that u is an invertible element of B, F a distinguished polynomial of degree s and f = uF. ↩ 3 0522
命题 7 让F成为一个杰出的多项式，并且g, hB的两个形式幂级数使得F = gh。则存在 B 的可逆元 u 使得 ug 和 u⁻¹h 是可区分的多项式和 F = (ug)(u⁻¹h)。 ↩ 2 0523
推论进一步假设A是整环并且F次数s的可分辨多项式。对于 F 在 A[X] 中为极值，它在 B = A[[X]] 中为极值是必要且充分的。 ↩ 2 0524
命题 8 令 C 为环，即域或离散估值环。那么形式幂级数 C[[X₁, …, Xₙ]] 的定义域是阶乘。 ↩ 3 0525

§ 4. 模过度封闭诺特域

定义 1 令 V 为有限维向量空间超过域 K。相对于A的V格（或简单地V格）被定义为以下条件的V满足的任何子A模块M： 052X
命题 1 对于V的子A模M成为V的格，KM = V且M包含在V的有限生成的子A模中是必要且充分的。 ↩ 5 052Y
推论假设A为诺特；对于V的子A模M成为V的格子，KM = V且M是有限生成的是充分必要的。 ↩ 1 052Z
注 (1) 回想一下，对于 V 典范映射 M ⊗_A K → V 的每个子 A 模块 M 都是单射的，并且具有像 KM (代数, 章 II, § 7, no. 10, 命题 26)；说 KM = V 意味着这个映射是双射的。 0530
命题 2 设M是V的格子，M是V的子A模。如果K^*存在两个元素 x，y，使得xM ⊂ M₁ ⊂ yM，M₁是V的格子；相反，如果M₁是V的格，则A存在两个非零元素 a, b，使得aM ⊂ M, ⊂ b⁻¹M。 ↩ 3 0531
命题 3 (i) 如果M₁和M₂是V的格子，那么M₁ ∩ M,和M₁ + M₂也是。 ↩ 5 0532
推论令 U、V、W 为 K 和 f 上有限秩的三个向量空间：U × V → W 左非简并 K 双线性映射 (代数、章 IX, § 1, no. 1、定义 3)。如果 M 是 V 的格子，N 是 W 的格子，集合 N: ,M of x ∈ U 使得 f (x, y) ε N for ally ∈ M 是 U 的格子。 0533
命题 4 设B为B和K的整环，A子环，以及L分别为A和B的域和分数。令V为K上的有限维向量空间。 ↩ 3 0534
推论假设A是离散估值环。令hatA为其补全，令hatK为hatA的分数的域（章VI, § 5, no. 3）。映射φ，其中映射V的每个格子M到hatV = V ⊗_K hatK的格子hatAM相对于hatA是双射且其逆映射hatV的每个格子M'相对于hatA到其交M' ∩ V（V被规范地识别为hatV的向量子K空间）。 0535
命题 5 让有限秩的V, W向量空间超过K，MV的格子和NW的格子。如果 M 是有限生成的，则（在命题 3 的记号中）： ↩ 3 0536
定理 1 如果M是V的格子，则M^* = ⋂_p ∈ P Mₚ^*。 0537
注 (1) 令 M 为有限生成的 A 模块；直接的，M的对偶M^*，用Hom_A(M, K)的子A模块标识，是向量K空间Hom_A(M, K)的格子；特别是，每个有限生成的自反A-模块同构于合适的向量K-空间的格子。 ↩ 1 0538
定理 2 如果M是V的格子，以下条件是等价的： (a) M 是反身的。 (b) M = ⋂_p ∈ P Mₚ。 (c) Ass(V/M) ⊂ P。 ↩ 6 0539
推论令 M、N 为关于 A 的两个V 格，使得 N 是自反的。在阶中，M ⊂ N，对于所有 p ∈ P，Mp ⊂ Np 是充分必要的。 053A
命题 6 (i) 如果 M1 和 M 是 V 的自反格，则 M, n M 也是。 (ii) 如果 W 是 V 的向量子空间，并且 M 是 V 的自反格，则 M n W 是 W 的自反格。 (iii) 令V，W 为有限秩的两个向量空间，在K 和M（分别为N）上，为V（分别为W）的格子。如果 N 是自反的，则 HomK(V, W) (no. 1, 命题 3) 的格 N… 053B
命题 7 令 0 → M → N → Q → 0 为 A 个模块中的正合序列。假设 N 是有限生成且无扭转的。 (i) 如果M是自反的，则Ass(Q) ⊂ P ∪ 0（在其他字中，与Q相关的每个理想，要么是(0)，要么是高度1）。 (ii) 相反，如果 N 是自反的且 Ass(Q) ⊂ P ∪ 0，则 M 是自反的。 ↩ 4 053C
命题 8 令R和S是两个交换环，p : R → S环同态和M有限生成的R模块。假设 R 是诺特并且 S 是一个平面 R 模块。那么，如果 M 是自反的，那么 S 模块 M_(S) = M ⊗_R S 也是自反的。我们知道 (章 I, § 2, no. 10, 命题 11) 存在典范同构 ω_M : (M^*)_(S) → (M_(S))^*，使得 ⟨ x ⊗ 1… ↩ 2 053D
定理 3 设V为K和M上有限秩的向量空间，相对于A为V的格子。 ↩ 2 053E
引理 1 令p和p'为A的两个素理想，这样(0)是p ∩ p'中包含的A的唯一素理想。然后，对于V的每个子A模块E，(Eₚ)_p' = K.E. 053F
注令L为V相对于A的自由格。由于Aₚ对于p ∈ P来说是主理想整环，N(p)是与L相同的秩的自由A模块，并且存在u(p) ∈ GL(V)使得u(p)(Lₚ) = N(p)；这个条件还有确定u(p)到乘法到GL(Lₚ)的元素之内。条件N(p) = Lₚ对于几乎所有p ∈ P意味着必然u(p) ∈ GL(Lₚ)对于几乎所有p ∈ P。家庭(u(p))_p ∈ P… 053G
命题 9 设M为有限生成A-模。以下条件是等效的： ↩ 3 053H
注 (1) 命题 9 的等效条件也意味着 Ass(M) 包含没有身高 ≤ 1 的素理想。它们也可以被说解释为 Supp(M) 具有余维数 ≥ 2 在 Spec(A) 中。 \ 053I
定义 2 如果A-模 M 是有限生成的并且满足命题 9 的等价条件，则称为伪零。 ↩ 3 053J
定义 3 令M和N为两个A模块和f : M → N同态。如果 Ker(f)（分别为 Coker(f)、Im(f)）是伪零，则 f 称为伪内射（分别为伪满射伪零）；如果 f 既是伪内射又是伪满射，则称为伪双射。 053K
定理 4 令E为E和M = E/T的有限生成的A模，T挠元子模。存在伪同构 ↩ 3 053L
引理 2 设(pᵢ)_1 ≤ i ≤ k为A高度为1的非空有限素理想族，并设S = ⋂ᵢ (A - pᵢ)；那么环S⁻¹A就是主理想整环。 ↩ 3 053M
引理 3 存在同态g : E → T，其限制到T既是位似又是伪同构。 053N
定理 5 令 T 为有限生成的挠元 A-模。存在两个有限族(nᵢ)_i ∈ I和(pᵢ)_j ∈ I，其中nᵢ是整数≥ 1，pᵢ是高度为1的A的素理想，这样，如果我们写成T' = ⨁_i ∈ I A/pᵢ^nᵢ，则存在T的伪同构T'。此外，带有性质的(nᵢ)_i ∈ I和(pᵢ)_i ∈ I在索引集合的双射和T的pᵢ包含湮没子内是唯一的。 ↩ 3 053O
注 (2) 在定理 5 中的叙述中，模 A/pᵢ^nᵢ 可以替换为 A/pᵢ^(nᵢ)（§ 1、no. 4、命题 8）。对于所有 p ∈ P，典范映射 g : A/pⁿ → A/p⁽ⁿ⁾ = A/(A ∩ pⁿAₚ) 是伪同构，就像对于所有与 p、A_q/pⁿA_q = A_q/p⁽ⁿ⁾A_q = 0 和 Aₚ/pⁿAₚ = Aₚ/p⁽ⁿ⁾Aₚ 不同的 q ∈ P 而言… ↩ 1 053P
定义 4 如果T是有限生成的挠元A-模块，除子： ↩ 3 053Q
命题 10 (i) 令 0 → T₁ → T₂ → T₃ → 0 为有限生成的挠元 A 模块中的正合序列。然后 ↩ 2 053R
推论令 0 → Tₙ → Tₙ₋₁ → … → T₀ → 0 为有限生成的挠元 A 模块中的正合序列。然后∑ᵢ₌₀ⁿ (-1)ⁱ χ(Tᵢ) = 0。 ↩ 1 053S
命题 11 设 G 是可加写的交换律群且 φ : T(A) → G 映射；对于每个有限生成的挠元 A-模 T，我们还滥用语言写出 φ(T) = φ(cl(T))。假设满足以下条件： (1) 如果 0 → T₁ → T₂ → T₃ → 0 是有限生成的挠元 A-模中的正合序列，则 φ(T₂) = φ(T₁) + φ(T₃)。 (2) 如果 T 是伪零，则 φ(T) = 0… ↩ 3 053T
命题 12 如果a是A的理想≠ 0， ↩ 1 053U
命题 13 设 M 为 V 的格子，u 为 V 的 K-自同构。然后： (6) -χ(M, u(M)) = div(det(u)). 对于所有p ∈ P，则bigwedgeⁿ (u(M)ₚ) = bigwedgeⁿ (u(Mₚ))；如果 (eᵢ)_1 ≤ i ≤ n 是 Mₚ 中的基，则 bigwedgeⁿ (Mₚ) = Aₚ · e₁ A e₂ A … A eₙ, 053V
命题 14 如果 M, M' 是 V 的两个格子，使得 M' \子集 M, M/M' 是有限生成的挠元 A-模并且： ↩ 1 053W
推论设L1，L2为两个自由A-模且相同的秩n，并令f: L1\to L2为同态。令 U 相对于 L1 和 L2 的基偏离矩阵。对于 Coker(f) 挠元 A-模，满足 \det(U) \neq 0 是必要且充分的，然后： ↩ 1 053X
例如果A = Z，A的除子群等同于有理数0的乘法群Q₊^*。对于每个有限交换群T，χ(T)是T的阶；上述推论表明，群Coker(f)的阶等于det(U)的绝对值（cf.代数，章VII, § 4, no. 7，推论3到定理 3）。 ↩ 1 053Y
命题 15 设M为有限生成A-模。存在 M 的自由子模 L，使得 M/L 为挠元模并且 C 的元素 c(χ(M/L)) 不依赖于所选择的自由子模 L。 ↩ 1 053Z
命题 16 (i) 令 0 → M₁ xrightarrowα M₂ xrightarrowg M₃ → 0 为有限生成A-模中的正合序列。然后 ↩ 7 0540
推论 1 设 0 → M, xrightarrowu Mₙ₋₁ → ⋯ → M₀ → 0 为正合序列 of 有限生成A-模。则 ↩ 3 0541
推论 2 如果除数分数理想 a ≠ 0 of A 承认有限自由分辨率，则它是主要的。 ↩ 2 0542
推论 3 如果 A 的每个除数理想 ≠ 0 都承认有限自由分辨率， A 是阶乘。 ↩ 1 0543
命题 17 设 G 是加法写成的交换性群和从有限生成的 A-模的类集合 F(A) 到 G 的φ 映射；对于每个有限生成的A-模M，我们还通过滥用语言写出φ(M) = φ(cl(M))。假设以下条件满足： (1) 如果 0 → M₁ → M₂ → M₃ → 0 是正合序列有限生成的A-模，则φ(M₂) = φ(M₁) + φ(M₃)。 (2) 如果 T 是伪零… 0544
命题 18 (i) 为了使R成为伪零B模，A模R_[A]是伪零是必要且充分的。 ↩ 1 0545
命题 19 让R有限生成B-模块。为了R成为自反，R_[A]成为自反A模是必要且充分的。 ↩ 1 0546
引理 4 令W为有限秩在L上的向量空间，并令R为W相对于B的格子。那么，对于所有p ∈ P(A)，(R_[A])ₚ = ⋂_𝔭/p R_𝔭。 ↩ 1 0547
推论环 B 是反身A-模。 0548
命题 20 (i) 要使有限生成A-模 M 为伪零，M ⊗_A B 为伪零B-模是充分必要的。 (ii) 如果 M 是有限生成的挠元 A-模，M ⊗_A B 是有限生成的 B-模并且： (22) χ_B(M ⊗_A B) = i(χ_A(M)). (iii) 如果 M 为有限生成A-模，则 M ⊗_A B 是有限生成的 B-模并且： (23) c_B(M ⊗_A B)… 0549
引理 5 令M₁, M为两个有限生成的A模块，以及f : M₁ → M₂单同态。那么 f ⊗ 1 ; M₁ ⊗_A B → M₂ ⊗_A B 的核就是伪零。 054A
引理 6 令 R 为交换环和 pᵢ (1 ≤ i ≤ n) R 不同的素理想。 ↩ 1 054B
定理 6 设 M 为无扭有限生成A-模。存在 M 的自由子模 L，使得 M/L 同构于 A 的理想。 ↩ 2 054C
引理 7 令xᵢ (1 ≤ i ≤ m) 与M 线性无关元素（超过A 或K，其结果相同），并令L 为由xᵢ 生成的M 的子A 模。那么，对于几乎所有 p ∈ P，xᵢ(p) ∈ M(p) 都与 k(p) 线性无关；为了使它们在 k(p) 上对于所有 p ∈ P 线性独立，M/L 无扭转是必要且充分的。 ↩ 1 054D
引理 8 假设M中的秩n为geqslant 2；则存在 M 的元素 x ≠ 0，使得 M/Ax 无扭转。 054E
注如果 M 是自反的，那么 M/L (习题 9) 则不一定成立。 054F
命题 21 令 A 为 Dedekind 域。每个伪零A模都是零。每个伪内射（分别是伪满射、伪双射、伪零）A-模同态都是单射（分别是满射、双射的、零）。 054G
命题 22 令 A 为 Dedekind 域，M 为有限生成的 A 模。以下属性是等效的： (a) M 无扭转。 (b) M 是自反的。 (c) M 是投影。 ↩ 2 054H
推论令M为有限生成的A模块，并令T为其挠元子模。那么T是M的直接因子。 ↩ 1 054I
命题 23 令 A 为 Dedekind 域，T 为有限生成的挠元 A 模。存在两个有限族(nᵢ)_i ∈ I和(𝔭ᵢ)_i ∈ I，其中nᵢ是整数≥ 1，P的𝔭ᵢ元素，使得T同构于直和 ⨁_i ∈ I (A/𝔭ᵢ^nᵢ)。此外，族(nᵢ)_i ∈ I和(𝔭ᵢ)_i ∈ I在索引集合的双射内是唯一的。 054J
命题 24 令 A 为 Dedekind 域，M 为有限生成的无扭转 A 模 & 秩 n ≥ 1。那么存在A的理想b ≠ 0，使得M同构于模Aⁿ⁻¹和b的直和。而且，理想b的类是由这个条件唯一确定的。 054K