Livre LIE · Français

Index des énoncés

Les 1426 énoncés de Groupes et algèbres de Lie, par chapitre et paragraphe. Choisissez un type, filtrez par un mot, ou mettez les plus cités en tête.

Les plus cités d’abord

I. Algèbres de Lie

§ 1. Définition des algèbres de Lie

Définition 1 Une algèbre g sur K est appelée une algèbre de Lie sur K si sa multiplication (notée (x, y) ↦ [x, y]) vérifie les identités : (1) [x, x] = 0 (2) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x… 09TJ
Exemple 1 Soit L une algèbre associative sur K. Le crochet [x, y] = xy - yx est une fonction bilinéaire de x et y. On véri fie facilement que la loi de composition (x, y) ↦ [x, y] dans le K-… ↩ 3 09TK
Exemple 2 Dans l’exemple 1, choisissons pour L l’algèbre associative des endomorphismes d’un K-module E. On obtient l’algèbre de Lie des endomorphismes de E, notée gl(E). (Si E = Kⁿ, on note… ↩ 1 09TL
Définition 2 Soient g une algèbre de Lie, x un élément de g. L’application linéaire y ↦ [x, y] de g dans g s’appelle l’application linéaire adjointe de x et se désigne par ad_g x ou par ad x. 09TN
Proposition 1 Soit g une algèbre de Lie. Pour tout x ∈ g, ad x est une dérivation de g. L’application x ↦ ad x est un homomorphisme de l’algèbre de Lie g dans l’algèbre de Lie 𝔇 des dérivations… 09TO
Définition 3 Deux éléments x, y d’une algèbre de Lie sont dits permutables lorsque [x, y] = 0. On dit que g est commutative si deux quelconques de ses éléments sont permutables. 09TP
Exemple 1 Soient L une algèbre associative, g l’algèbre de Lie qu’elle définit (n° 2, Exemple 1). Deux éléments x, y sont permutables dans g si et seulement si xy = yx dans L. 09TQ
Exemple 2 Si un groupe de Lie réel G est commutatif, son algèbre de Lie est commutative. \ 09TR
Exemple Soient G un groupe de Lie, g son algèbre de Lie, H un sous-groupe de Lie de G. Tout champ de vecteurs invariant à gauche sur H définit canoniquement un champ de vecteurs invariant… 09TS
Définition 4 Un sous-module de g stable pour toute dérivation de g est appelé un idéal caractéristique de g. 09TT
Proposition 2 Soient g une algèbre de Lie, a un idéal (resp. un idéal caractéristique) de g, et b un idéal caractéristique de a. Alors, b est un idéal (resp. un idéal caractéristique) de g. En e… ↩ 1 09TU
Proposition 3 Si a et b sont des idéaux (resp. des idéaux caractéristiques) de g, [a, b] est un idéal (resp. un idéal caractéristique) de g. En effet, soit D une dérivation intérieure (resp. une… 09TV
Proposition 4 Soient g et h deux algèbres de Lie sur K, et f un homomorphisme de g sur h. On a f(Oᵖ g) = Oᵖ h, f(Cᵖ g) = Cᵖ h. Si a et b sont des sous-modules de g, on a aussitôt f([a, b]) = [f(… ↩ 4 09TW
Corollaire Soient g une algèbre de Lie, a un idéal de g. Pour que l’algèbre de Lie g/a soit commutative, il faut et il suffit que a ⊃ Og. 09TX
Proposition 5 Soient g une algèbre de Lie, a un idéal (resp. un idéal caractéristique) de g. Le commutant a' de a dans g est un idéal (resp. un idéal caractéristique) de g. 09TY
Définition 5 Soient a et b deux algèbres de Lie sur K. On appelle extension de b par a une suite : 09TZ
Proposition 6 Soient: ↩ 1 09U0
Définition 6 Soient: ↩ 1 09U1
Proposition 7 Soient a et b deux algèbres de Lie sur K, 09U2
Exemple 1 Soient g une algèbre de Lie sur K, D une dérivation de g. Soit 𝔥 l’algèbre de Lie commutative K. L’application λ ↦ λ D (λ ∈ K) est un homomorphisme de 𝔥 dans l’algèbre de Lie des d… ↩ 2 09U3
Exemple 2 Soient g une algèbre de Lie sur K, M un K-module, ρ un homomorphisme de g dans gl(M). Si on considère M comme une algèbre de Lie commutative, l’algèbre de Lie des dérivations de M… ↩ 2 09U4

§ 2. Algèbre enveloppante d’une algèbre de Lie

Définition 1 Soient g une algèbre de Lie sur K, T l’algèbre tensorielle du K-module g, et J l’idéal bilatère de T engendré par les tenseurs x ⊗ y - y ⊗ x - [x, y] où x ∈ g, y ∈ g. L’algèbre ass… ↩ 1 09UW
Proposition 1 Soit σ une α-application de g dans une algèbre associative L à élément unité. Il existe un homomorphisme τ et un seul de U dans L, transformant 1 en 1, tel que σ = τ ∘ σ₀, σ₀ désig… ↩ 6 09UX
Proposition 2 L’homomorphisme φ est un isomorphisme d’algèbres. ↩ 1 09UY
Proposition 3 Soient 𝔥 un idéal de g, p l’homomorphisme canonique de g sur g/𝔥, et W l’algèbre enveloppante de g/𝔥. L’homomorphisme : tildep : U → W défini canoniquement par p est surjectif et s… 09UZ
Proposition 4 L’homomorphisme φ est un isomorphisme de V sur U^0. 09V0
Proposition 5 L’application φ de T sur G est un homomorphisme d’algèbres transformant 1 en 1, et s’annule sur l’idéal bilatère engendré par les tenseurs x ⊗ y - y ⊗ x (x ∈ g, y ∈ g). 09V1
Proposition 6 Si K est noethérien et si g est un module de type fini, l’anneau U est noethérien à droite et à gauche. ↩ 1 09V2
Corollaire On suppose que K est un corps, et que g est de dimension finie sur K. Soient I1, ..., Im des idéaux à droite (resp. à gauche) de codimension finie de U. Alors l’idéal produit I1I2… ↩ 1 09V3
Remarque Soient g’ une autre algèbre de Lie sur l’anneau K, U’ son algèbre enveloppante, U'n l’ensemble des éléments de U’ de filtration ≤ n, U^n (resp. U'^n) l’ensemble des images canoniqu… 09V4
Théorème 1 Soient g une K-algèbre de Lie, U son algèbre enveloppante, G l’algèbre graduée associée à l’algèbre filtrée U, et S l’algèbre symétrique du K-module g. Si g est un K-module libre… ↩ 6 09V5
Lemme 1 Pour tout entier p ≥ 0, il existe un homomorphisme unique fp du K-module g ⊗K Pp dans le K-module P vérifiant les conditions suivantes : ↩ 1 09V6
Lemme 2 Il existe une α-application σ de g dans L_K(P) telle que : ↩ 1 09V7
Lemme 3 Soit t un tenseur de Tₙ ∩ J. La composante homogène tₙ d’ordre n de t est dans le noyau I de l’homomorphisme canonique T → S. 09V8
Corollaire 1 Supposons que g soit un K-module libre. Soit W un sous-K-module de T^n. Si, avec les notations du diagramme (3), la restriction de τn à W est un isomorphisme de W sur S^n, alors la… ↩ 3 09V9
Corollaire 2 Si g est un K-module libre, l’application canonique de g dans son algèbre enveloppante est injective. 09VA
Corollaire 3 Si g admet une base totalement ordonnée (xλ){λ ∈ Λ}, les éléments x{λ1} x{λ2} ... x{λn} de l’algèbre enveloppante U, où (λ1, ..., λn) est une suite finie croissante quelconque d’él… ↩ 4 09VB
Corollaire 4 Soit S'^n ⊂ T^n l’ensemble des tenseurs symétriques homogènes d’ordre n. Supposons que K soit un corps de caractéristique 0. Alors, l’application composée des applications canoniqu… ↩ 2 09VC
Corollaire 5 Soient 𝔥 une sous-algèbre de l’algèbre de Lie g et U' son algèbre enveloppante. Supposons que les K-modules 𝔥 et g/𝔥 soient libres (par exemple que K soit un corps). Soit (x_α)_α ∈… ↩ 1 09VD
Corollaire 6 Supposons que le K-module g soit somme directe de sous-algèbres g₁, g₂, ..., gₙ, et que chaque gᵢ soit un K-module libre. Soit Uᵢ l’algèbre enveloppante de gᵢ (1 ≤ i ≤ n). Soit φ l… ↩ 2 09VE
Corollaire 7 Si K est intègre, et si g est un K-module libre, l’algèbre U est sans diviseur de zéro. ↩ 2 09VF
Lemme 4 Soient V un K-module, T l’algèbre tensorielle de V. Soit u un endomorphisme de V. Il existe une dérivation de T et une seule qui prolonge u. Cette dérivation permuté aux opérateurs… ↩ 1 09VG
Proposition 7 Soient g une algèbre de Lie, U son algèbre enveloppante, σ l’application canonique de g dans U, et D une dérivation de g. ↩ 1 09VH

§ 3. Représentations

Définition 1 Soient g une algèbre de Lie sur K, et M un K-module. Un homomorphisme de g dans l’algèbre de Lie gl(M) s’appelle une représentation de g dans le module M. Une représentation inject… ↩ 1 09VS
Exemple Soient G un groupe de Lie réel, g son algèbre de Lie, θ une représentation analytique de G dans un espace vectoriel réel E de dimension finie. Alors l’homomorphisme correspondant d… 09VT
Définition 2 Soient g une algèbre de Lie sur K, et U son algèbre enveloppante. Un module unitaire à gauche sur U est appelé un g-module à gauche, ou simplement un g-module. 09VU
Proposition 1 Soient g une algèbre de Lie sur K, et a un idéal de g. Soient M un g-module, et N un a-module simple. Considérons M comme un a-module et supposons que l’ensemble des sous-a-modules… ↩ 1 09VV
Corollaire Soient g une algèbre de Lie sur K, et α un idéal de g. Soit M un g-module simple, de longueur finie en tant que K-module. Il existe un α-module simple N tel que M soit un α-module… ↩ 1 09VW
Proposition 2 Soient g une algèbre de Lie sur K, et Mᵢ un g-module (1 ≤ i ≤ n). Dans le produit tensoriel M₁ ⊗_K M₂ ⊗ ⋯ ⊗_K Mₙ il existe une structure de g-module et une seule telle que ↩ 1 09VX
Proposition 3 Soient g une algèbre de Lie sur K, et Mᵢ un g-module (1 ≤ i ≤ n+1). Soit N le K-module L_K(M₁, …, Mₙ ; Mₙ₊₁) des applications multilinéaires de ∏ᵢ₌₁ⁿ Mᵢ dans Mₙ₊₁. Il existe une st… ↩ 1 09VY
Proposition 4 Soient M₁, M₂ deux g-modules. Les applications K-linéaires canoniques (Alg., chap. II, 3e éd., § 4, no 2, prop. 2 et no 1, prop. 1) : M₁^* ⊗_K M₂ xrightarrowφ L_K(M₁, M₂), L_K(M₁… ↩ 6 09VZ
Exemple 1 Soient g une algèbre de Lie sur K, M un g-module. La structure de g-module de M et la structure de g-module trivial de K définissent une structure de g-module sur le K-module N = L… ↩ 1 09W0
Exemple 2 Conservons les notations de l’exemple 1. La structure de g-module de M définit dans le K-module P = L_K(M, M) des endomorphismes de M une structure de g-module. D’après (6), on a… 09W1
Définition 3 Soient g une algèbre de Lie, M un g-module. Un élément m ∈ M est dit invariant (pour la structure de g-module de M, ou pour la représentation correspondante de g) si x_M · m = 0 po… ↩ 1 09W2
Exemple 1 Soient M, N deux g-modules, et P = L_K(M, N). Pour qu’un élément f de P soit invariant, il faut et il suffit, d’après (6), que f soit un homomorphisme du g-module M dans le g-modul… ↩ 2 09W3
Exemple 2 Soit M un K-module admettant une base finie. Si M est muni d’une structure de g-module, L(M, M) et M^* ⊗ M sont munis de structures de g-modules, et l’application canonique de M^*… ↩ 1 09W4
Exemple 3 Soit M un g-module. Soit β une forme bilinéaire sur M, et soit f l’élément correspondant de L(M, M^*). Pour que β soit invariante, il faut et il suffit que f soit un homomorphisme… ↩ 1 09W5
Proposition 5 Soient g une K-algèbre de Lie, h un idéal de g, ρ une représentation de g dans M, et ρ' la restriction de ρ à h. Alors l’ensemble N des éléments de M invariants pour ρ' est stable… ↩ 3 09W6
Proposition 6 Soit M un g-module semi-simple. Alors le sous-module M₀ des éléments invariants de M admet un et un seul supplémentaire stable pour les x_M, à savoir le sous-module M₁ engendré par… ↩ 5 09W7
Proposition 7 Soient g une algèbre de Lie, β une forme bilinéaire symétrique invariante sur g, et a un idéal de g. ↩ 2 09W8
Définition 4 Soient g une K-algèbre de Lie, M un g-module. Supposons que M, considéré comme K-module, admette une base finie. On appelle forme bilinéaire associée au g-module M (ou à la représe… 09W9
Proposition 8 Soient g une algèbre de Lie, M un g-module. Supposons que M, considéré comme K-module, admette une base finie. La forme bilinéaire associée à M est invariante. 09WA
Proposition 9 Supposons que K soit un corps et que l’algèbre de Lie g soit de dimension finie sur K. Soient a un idéal de g, β la forme de Killing de g, et β' celle de a. Alors, β' est la restri… ↩ 1 09WB
Proposition 10 Supposons que K soit un corps, et que l’algèbre de Lie g soit de dimension finie sur K. La forme de Killing β de g est complètement invariante. ↩ 1 09WC
Proposition 11 Soient g une algèbre de Lie sur un corps K, U son algèbre enveloppante, h un idéal de dimension finie de g, et β une forme bilinéaire invariante sur g, dont la restriction à h soit… ↩ 1 09WD
Proposition 12 Soient g une algèbre de Lie sur un corps K, 𝔥 un idéal de dimension finie n de g, et M un g-module de dimension finie sur K. Soit c l’élément de Casimir (supposé exister) associé à… ↩ 3 09WE
Proposition 13 Soient K un corps, K₁ une extension de K, g une K-algèbre de Lie, M, N deux g-modules de dimension finie sur K. Si M{(K₁)} et N{(K₁)} sont des g{(K₁)}-modules isomorphes, M et N so… ↩ 1 09WF

§ 4. Algèbres de Lie nilpotentes

Définition 1 Une algèbre de Lie g est dite nilpotente s’il existe une suite finie décroissante d’idéaux (gᵢ)_0 ≤ i ≤ p de g, avec g₀ = g, gₚ = 0, telle que [g, gᵢ] ⊂ gᵢ₊₁ pour 0 ≤ i < p. ↩ 3 09WS
Proposition 1 Soit g une algèbre de Lie. Les conditions suivantes sont équivalentes : a) g est nilpotente ; b) Cᵏ g = 0 pour k assez grand ; c) Cₖ g = g pour k assez grand ; d) il existe un enti… ↩ 5 09WT
Corollaire 1 Le centre d’une algèbre de Lie nilpotente non nulle est non nul. 09WU
Corollaire 2 La forme de Killing d’une algèbre de Lie nilpotente est nulle. 09WV
Proposition 2 Une sous-algèbre, une algèbre quotient, une extension centrale d’une algèbre de Lie nilpotente sont nilpotentes. Un produit fini d’algèbres de Lie nilpotentes est une algèbre de Li… ↩ 1 09WW
Proposition 3 Soient g une algèbre de Lie nilpotente, h une sous-algèbre de g distincte de g. Le normalisateur de h dans g est distinct de h. ↩ 3 09WX
Lemme 1 Soit V un espace vectoriel sur K. Si x est un endomorphisme nilpotent de V, l’application y ↦ [x, y] de L(V) dans L(V) est nilpotente. ↩ 2 09WY
Théorème 1 (Ergel) Soient V un espace vectoriel sur K, et g une sous-algèbre de dimension finie de gl(V), dont les éléments sont des endomorphismes nilpotents de V. Si V ≠ 0, il existe un u ≠ 0 dans… ↩ 5 09WZ
Corollaire 1 Pour qu’une algèbre de Lie g soit nilpotente, il faut et il suffit que, pour tout x ∈ g, ad x soit nilpotent. ↩ 2 09X0
Corollaire 2 Soient g une algèbre de Lie, h un idéal de g. On suppose que g/h est nilpotente et que, pour tout x \in g, la restriction à h de ad x est nilpotente. Alors g est nilpotente. 09X1
Corollaire 3 Soient V un espace vectoriel, et g une sous-algèbre de dimension finie de gl(V) dont les éléments sont des endomorphismes nilpotents de V. Alors, g est une algèbre de Lie nilpotent… ↩ 1 09X2
Exemple L’algèbre n(n, K) (§ 1, no 2, ex. 2, 3°) est nilpotente. 09X3
Lemme 2 Soient g une algèbre de Lie, a un idéal de g, M un g-module simple. Si, pour tout x \in a, xM est nilpotent, alors xM = 0 pour tout x \in a. ↩ 3 09X4
Lemme 3 Soient g une algèbre de Lie, a un idéal de g, M un g-module de dimension finie sur K et (Mi){0 \leq i \leq n} une suite de Jordan-Hölder du g-module M. Les conditions suivantes son… ↩ 2 09X5
Proposition 4 Soient 𝔤 une algèbre de Lie, M un 𝔤-module de dimension finie sur K, A l’algèbre associative engendrée par 1 et l’ensemble des x_M (x ∈ 𝔤). ↩ 5 09X6
Définition 2 L’idéal n de la prop. 4 s’appelle le plus grand idéal de nilpotence pour le g-module M, ou le plus grand idéal de nilpotence de la représentation correspondante. ↩ 1 09X7
Proposition 5 Soient V un espace vectoriel de dimension finie n sur K, et g une sous-algèbre de Lie de gl(V) dont les éléments sont des endomorphismes nilpotents de V. Alors, il existe une suite… 09X8
Proposition 6 Soient g une algèbre de Lie, E la sous-algèbre associative de L(g) engendrée par 1 et les ad_g x (x ∈ g). Soit R le radical de E. a) L’ensemble n des y ∈ g tels que ad_g y ∈ R est… ↩ 1 09X9

§ 5. Algèbres de Lie résolubles

Définition 1 Une algèbre de Lie g est dite résoluble si sa k-ième algèbre dérivée Dᵏ g est nulle pour k assez grand. 09Y1
Proposition 1 Une sous-algèbre, une algèbre quotient d’une algèbre de Lie résoluble sont résolubles. Toute extension d’une algèbre résoluble par une algèbre résoluble est résoluble. Tout produit… ↩ 3 09Y2
Proposition 2 Soit g une algèbre de Lie. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 2 09Y3
Définition 2 On appelle radical d’une algèbre de Lie son plus grand idéal résoluble. ↩ 1 09Y4
Proposition 3 Le radical r d’une algèbre de Lie g est le plus petit idéal de g tel que g/r ait pour radical 0. ↩ 2 09Y5
Proposition 4 Soient g₁, …, gₙ des algèbres de Lie. Le radical r du produit des gᵢ est le produit des radicaux rᵢ des gᵢ. ↩ 1 09Y6
Définition 3 Soit g une algèbre de Lie. On appelle radical nilpotent de g l’intersection des noyaux des représentations simples de dimension finie de g. 09Y7
Remarque 1 Soit s le radical nilpotent de g. Comme tout suite décroissante de sous-espaces vectoriels de g est stationnaire, il existe un nombre fini de représentations simples de dimension f… 09Y8
Remarque 2 Compte tenu de la prop. 4 c) du § 4, n° 3, s est aussi l’intersection des plus grands idéaux de nilpotence des représentations de dimension finie de g. En particulier, s est conten… ↩ 2 09YD
Remarque 3 Toute forme linéaire λ sur g qui est nulle sur Og est une représentation simple (d’espace K) de g, d’où λ(s) = 0. Il en résulte que s ⊂ Og. Par ailleurs, s est contenu dans le radi… 0E7R
Lemme 1 Soient V un espace vectoriel de dimension finie sur K, g une sous-algèbre de gl(V) telle que V soit un g-module simple, a un idéal commutatif de g. On a alors a ∩ Og = 0. ↩ 1 09Y9
Théorème 1 Soient g une algèbre de Lie, r son radical, et s son radical nilpotent. On a alors s = Og ∩ r. ↩ 10 09YA
Corollaire 1 Soit g une algèbre de Lie résoluble. Le radical nilpotent de g est Og. Si ρ est une représentation simple de dimension finie de g, ρ(g) est commutative, et l’algèbre associative L… ↩ 2 09YB
Corollaire 2 (théorème de Lie) Soit g une algèbre de Lie résoluble ; supposons K algébriquement clos. Soit M un g-module de dimension finie sur K, et soit (Mᵢ)_0 ≤ i ≤ r une suite de Jordan-Hölder de M. Alors, M… ↩ 2 09YC
Remarque 4 Si on remplace (Mᵢ)_0 ≤ i ≤ r par une autre suite de Jordan-Hölder de M, la suite (λ₁, …, λᵣ) est remplacée par une suite de la forme (λ_π(1), …, λ_π(r)), où π est une permutation… 0E7S
Remarque 5 Soit (e₁, …, eᵣ) une base de M telle que eᵢ ∈ Mᵢ₋₁,\ eᵢ ∉ Mᵢ (1 ≤ i ≤ r). Si x ∈ g, l’endomorphisme de M qui correspond à x est représenté par rapport à cette base par une matrice… 0E7T
Corollaire 3 Supposons K algébriquement clos. Si g est une algèbre de Lie résoluble de dimension r, tout idéal de g est un terme d’une suite décroissante d’idéaux de dimensions r, r-1, …, 0. 09YE
Corollaire 4 Supposons que K = R. Soit g une algèbre de Lie résoluble. Toute représentation simple de g est de dimension ≤ 2. Tout idéal de g est un terme d’une suite décroissante (gᵢ)_0 ≤ i ≤… 09YF
Corollaire 5 Pour qu’une algèbre de Lie g soit résoluble, il faut et suffit que Og soit nilpotente. ↩ 2 09YG
Corollaire 6 Soit ρ une représentation de dimension finie d’une algèbre de Lie g. Soit r le radical de g. Tout élément x ∈ r tel que ρ(x) soit nilpotent appartient au plus grand idéal de nilpot… ↩ 3 09YH
Corollaire 7 Soient g une algèbre de Lie, r son radical. Les quatre ensembles suivants sont identiques : a) le plus grand idéal nilpotent de g ; b) le plus grand idéal nilpotent de r ; c) l’ens… 09YI
Lemme 2 Soient x un endomorphisme d’un espace vectoriel V de dimension finie, et s (resp. n) sa composante semi-simple (resp. nilpotente) (cf. Alg., chap. VIII, § 9, no 4, déf. 4). Soient… ↩ 2 09YJ
Lemme 3 Soient M un espace vectoriel de dimension finie, A et B deux sous-espaces vectoriels de gl(M) tels que B ⊂ A et T l’ensemble des t ∈ gl(M) tels que [t, A] ⊂ B. Si z ∈ T est tel que… ↩ 2 09YK
Théorème 2 (critère de Cartan) Soient g une algèbre de Lie, M un espace vectoriel de dimension finie, ρ une représentation de g dans M, et β la forme bilinéaire sur g associée à ρ. Alors, ρ(g) est résoluble si e… ↩ 1 09YL
Proposition 5 Soient g une algèbre de Lie, r son radical. a) Si ρ est une représentation de dimension finie de g, et si β est la forme bilinéaire associée, r et Og sont orthogonaux pour β. b) r… ↩ 4 09YM
Corollaire 1 Soit g une algèbre de Lie. Alors, g est résoluble si et seulement si Og est orthogonal à g pour la forme de Killing. C’est une conséquence immédiate de la prop. 5 b). 09YN
Corollaire 2 Le radical r d’une algèbre de Lie g est un idéal caractéristique. En effet, Og est un idéal caractéristique, et la forme de Killing est complètement invariante (§ 3, no 6, prop. 10… ↩ 2 09YO
Corollaire 3 Soient g une algèbre de Lie, r son radical, a un idéal de g. Alors, le radical de a est égal à r ∩ a. En effet, r ∩ a est un idéal résoluble de a, donc est contenu dans le radical… ↩ 3 09YP
Proposition 6 Soient g une algèbre de Lie, r son radical, n son plus grand idéal nilpotent. Toute dérivation de g applique r dans n. 09YQ
Corollaire Le plus grand idéal nilpotent d’une algèbre de Lie est un idéal caractéristique. 09YR
Remarque Pour résumer certains des résultats antérieurs, notons que, si on désigne respectivement par r, n, s, f, le radical de g, le plus grand idéal nilpotent de g, le radical nilpotent d… 09YS

§ 6. Algèbres de Lie semi-simples

Définition 1 Soit g une algèbre de Lie. On dit que g est semi-simple si le seul idéal commutatif de g est {0}. ↩ 1 09ZA
Remarque 1 L’algèbre {0} est semi-simple. Une algèbre de dimension 1 ou 2 est non semi-simple (cf. § 5, no 1, exemple 1). Il existe des algèbres semi-simples de dimension 3 (cf. n° 7). 09ZB
Remarque 2 Une algèbre semi-simple a un centre nul, donc sa représentation adjointe est fidèle. 0E7U
Remarque 3 Si g₁, ..., gₙ sont semi-simples, g = g₁ × ... × gₙ est semi-simple ; car, si a est un idéal commutatif de g, les projections de a sur g₁, ..., gₙ sont réduites à {0}. 0E7V
Théorème 1 Soit g une algèbre de Lie. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 5 09ZC
Corollaire Soient g une algèbre de Lie semi-simple, ρ une représentation de g dans un espace V de dimension finie. Alors, ρ(g) ⊂ sl(V). 09ZD
Proposition 1 Soient g une algèbre de Lie semi-simple, ρ une représentation fidèle de dimension finie de g. Alors la forme bilinéaire sur g associée à ρ est non dégénérée. ↩ 9 09ZE
Corollaire 1 Soient g une algèbre de Lie, β sa forme de Killing, a une sous-algèbre semi-simple de g. L’orthogonal h de a par rapport à β est un sous-espace supplémentaire de a dans g, et on a… ↩ 4 09ZF
Corollaire 2 Toute extension d’une algèbre de Lie semi-simple par une algèbre de Lie semi-simple est semi-simple et triviale. ↩ 1 09ZG
Corollaire 3 Si g est semi-simple, toute dérivation de g est intérieure. ↩ 1 09ZH
Lemme 1 Soit g une algèbre de Lie semi-simple. La représentation adjointe de g est semi-simple. Tout idéal et toute algèbre quotient de g est semi-simple. ↩ 2 09ZI
Lemme 2 Soit g une algèbre de Lie. Alors les deux conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 2 09ZJ
Lemme 3 Soient g une algèbre de Lie semi-simple, ρ une représentation linéaire de g dans un espace vectoriel V de dimension finie et W un sous-espace de V de codimension 1 tel que ρ(x)(V)… ↩ 2 09ZK
Théorème 2 (H. Weyl) Toute représentation linéaire de dimension finie d’une algèbre de Lie semi-simple est complètement réductible. ↩ 5 09ZL
Définition 2 Une algèbre de Lie g est dite simple si les seuls idéaux de g sont 0 et g et si en outre g est non commutative. ↩ 1 09ZM
Proposition 2 Pour qu’une algèbre de Lie g soit semi-simple, il faut et il suffit qu’elle soit produit d’algèbres simples. 09ZN
Corollaire 1 Une algèbre de Lie semi-simple est le produit de ses idéaux simples gᵢ. Tout idéal de g est produit de certains des gᵢ. ↩ 1 09ZO
Corollaire 2 Soient g, g' deux algèbres de Lie, r et r' leurs radicaux, et f un homomorphisme de g sur g'. Alors r' = f(r). 09ZP
Remarque 1 Le th. 2 admet une réciproque : si toute représentation de dimension finie de g est semi-simple, g est semi-simple. En effet, puisque la représentation adjointe est semi-simple, to… 09ZQ
Remarque 2 Soient g une algèbre de Lie sur K, et σ une représentation de g dans un espace vectoriel M. Soit d’autre part f une application K-linéaire de g dans M telle que : 0E7W
Proposition 3 Soient M un espace vectoriel de dimension finie sur K, et g une sous-algèbre semi-simple de gl(M). Alors g contient les composantes semi-simples et nilpotentes de ses éléments. ↩ 2 09ZR
Corollaire Un élément x de g est un endomorphisme semi-simple (resp. nilpotent) de M si et seulement si ad_g\ x est un endomorphisme semi-simple (resp. nilpotent) de g. ↩ 2 09ZS
Définition 3 Soit g une algèbre de Lie semi-simple. Un élément x de g est dit semi-simple (resp. nilpotent) si, pour tout g-module M de dimension finie sur K, x_M est un endomorphisme semi-simp… ↩ 1 09ZT
Proposition 4 Soient g, g' des algèbres de Lie semi-simples, et f un homomorphisme de g dans g'. Si x ∈ g est semi-simple (resp. nilpotent), f(x) l’est aussi. Si f est surjectif, tout élément se… ↩ 3 09ZU
Théorème 3 Soit g une algèbre de Lie semi-simple. ↩ 5 09ZV
Définition 4 Une algèbre de Lie est dite réductive si sa représentation adjointe est semi-simple. ↩ 1 09ZW
Proposition 5 Soient g une algèbre de Lie, r son radical. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 8 09ZX
Remarque Si une algèbre de Lie g peut se décomposer en un produit a × b d’une algèbre de Lie commutative a et d’une algèbre de Lie semi-simple b, cette décomposition est unique. Plus précis… ↩ 1 09ZY
Corollaire a) Tout produit fini d’algèbres réductives est une algèbre réductive. ↩ 2 09ZZ
Proposition 6 Soient g une algèbre de Lie, r son radical, s son radical nilpotent. ↩ 5 0A00
Corollaire Soient g, g' des algèbres de Lie, s (resp. s') le radical nilpotent de g (resp. g'), et f un homomorphisme de g sur g'. a) On a s' = f(s). b) g' est réductive si et seulement si le… ↩ 1 0A01
Théorème 4 Soient g une algèbre de Lie, r son radical, ρ une représentation de g de dimension finie, g' = ρ(g) et r' = ρ(r). Alors les conditions suivantes sont équivalentes : a) ρ est semi-s… ↩ 10 0A02
Corollaire 1 Soient g une algèbre de Lie, φ et φ' deux représentations semi-simples de dimension finie de g. Alors, le produit tensoriel de φ et φ' est semi-simple. ↩ 4 0A03
Corollaire 2 Soient g une algèbre de Lie, φ une représentation semi-simple de g dans un espace vectoriel V de dimension finie, T et S les algèbres tensorielle et symétrique de V, et σ_T, σ_S le… ↩ 1 0A04
Corollaire 3 Soient g une algèbre de Lie, ρ et ρ' deux représentations semi-simples de dimension finie de g dans des espaces M et M'. Alors, la représentation de g dans Lₖ(M, M') canoniquement… ↩ 2 0A05
Corollaire 4 Soient g une algèbre de Lie, a un idéal de g, ρ une représentation semi-simple de g. a) La restriction ρ' de ρ à a est semi-simple. b) Si ρ est simple, ρ' est somme de représentati… 0A06
Définition 5 Soient g une algèbre de Lie, h une sous-algèbre de Lie de g. On dit que h est réductive dans g si la représentation x → ad_g x de h est semi-simple. 0A07
Proposition 7 Soient g une algèbre de Lie, h une sous-algèbre réductive dans g, ρ une représentation de g dans un espace vectoriel V, et W la somme des sous-espaces de dimension finie de V qui s… ↩ 3 0A08
Corollaire 1 Soient g une algèbre de Lie, 𝔥 une sous-algèbre réductive dans g, et ρ une représentation semi-simple de dimension finie de g. Alors la restriction de ρ à 𝔥 est semi-simple. ↩ 3 0A09
Corollaire 2 Soient g une algèbre de Lie, 𝔥 une sous-algèbre réductive dans g, et 𝔨 une sous-algèbre de 𝔥 réductive dans 𝔥. Alors, 𝔨 est réductive dans g. ↩ 1 0A0A
Proposition 8 Soit V un espace vectoriel de dimension finie. Alors, gl(V) est réductive, son centre est l’ensemble des homothéties de V, son algèbre dérivée est 𝔰𝔩(V), et cette dernière est semi… ↩ 1 0A0B
Exemple Identifions sl(K²) à l’algèbre de Lie des matrices d’ordre 2 et de trace nulle. Posons ↩ 1 0A0C
Proposition 9 Soient V un espace vectoriel de dimension finie n sur K, β une forme bilinéaire symétrique (resp. alternée) non dégénérée sur V. Soit g l’algèbre de Lie formée des x ∈ gl(V) tels q… ↩ 2 0A0D
Définition 6 On appelle automorphisme spécial de g un automorphisme de g de la forme e^{adx}, où x est dans le radical nilpotent de g. ↩ 2 0A0E
Définition 7 Soient g une algèbre de Lie, r son radical. On appelle sous-algèbre de Levi de g toute sous-algèbre supplémentaire de r dans g. ↩ 2 0A0F
Théorème 5 (Levi-Malcev) Une algèbre de Lie g possède toujours une sous-algèbre de Levi s. Toute sous-algèbre de Levi de g est transformée de s par un automorphisme spécial. ↩ 7 0A0G
Corollaire 1 Soient s une sous-algèbre de Levi de g, et h une sous-algèbre semi-simple de g. ↩ 2 0A0H
Corollaire 2 Pour qu’une sous-algèbre h de g soit une sous-algèbre de Levi de g, il faut et il suffit que h soit une sous-algèbre semi-simple maximale de g. 0A0I
Corollaire 3 Soient g une algèbre de Lie, m un idéal de g tel que g/m soit semi-simple. Alors g contient une sous-algèbre supplémentaire de m dans g. Autrement dit, toute extension d’une algèbr… ↩ 1 0A0J
Corollaire 4 Soient g une algèbre de Lie, r son radical, s une sous-algèbre de Levi de g, m un idéal de g. Alors, m est somme directe de m ∩ r qui est son radical et de m ∩ s qui est une sous-a… 0A0K
Lemme 4 Soient ρ, σ, τ des représentations de g dans des espaces vectoriels M, N, P. Supposons donnée une application K-bilinéaire (m, n) ↦ m.n de M × N dans P, telle que ↩ 1 0A0L
Lemme 5 Supposons de plus σ et τ semi-simples, donc N (resp. P) somme directe des Nδ (resp. Pδ). Pour tout n ∈ N (resp. p ∈ P), soit n^h (resp. p^h) sa composante dans N0 (resp. P0). Soit… ↩ 2 0A0M
Théorème 6 Soient g une algèbre de Lie, V un g-module semi-simple de dimension finie sur K, S l’algèbre symétrique de V, et xₛ la dérivation de S qui prolonge xᵥ (de sorte que x → xₛ est une… ↩ 1 0A0N

§ 7. Le théorème d'Ado

Définition 1 Soient g une algèbre de Lie, g' une sous-algèbre de g, et ρ' une représentation de g' dans V'. Une représentation φ de g dans V est appelée un agrandissement de ρ' à g s’il existe… 0A1F
Théorème 1 (Zassenhaus) Soient g = g' + 𝔥 une algèbre de Lie somme directe d’un idéal g' et d’une sous-algèbre 𝔥, et ρ' une représentation de dimension finie de g', dont le plus grand idéal de nilpotence… ↩ 4 0A1G
Lemme 1 Soit g = g' + h une algèbre de Lie somme d’un idéal g' et d’une sous-algèbre h. Soit σ une représentation de dimension finie de g. On suppose que σ(x) est nilpotent pour tout x ∈ g… 0A1H
Proposition 1 Soient g une algèbre de Lie, n son plus grand idéal nilpotent, a un idéal nilpotent de g, et ρ une représentation de dimension finie de a telle que tout élément de ρ(a) soit nilpot… ↩ 1 0A1I
Théorème 2 Toute algèbre de Lie possède une représentation linéaire fidèle de dimension finie. ↩ 2 0A1J
Théorème 3 (Ado) Soient g une algèbre de Lie et n son plus grand idéal nilpotent. Il existe une représentation fidèle ρ de dimension finie de g telle que tout élément de ρ(n) soit nilpotent. 0A1K

II. Algèbres de Lie libres

§ 1. Bigèbre enveloppante d'une algèbre de Lie

Définition 1 On dit qu’un élément x de E est u-primitif si l’on a (2) c(x) = x ⊗ u + u ⊗ x. Les éléments u-primitifs de E forment un sous-module de E, noté Pᵤ(E). ↩ 1 0A1Q
Proposition 1 Tout élément u-primitif de E appartient à E^+. ↩ 2 0A1R
Remarque Si x ∈ E et si c(x) = x' ⊗ u + u ⊗ x'', où x', x'' sont dans E⁺, alors x = ε(x').u + ε(u).x'' = x''; de même x = x', et x est u-primitif. 0A1S
Proposition 2 On a ↩ 2 0A1T
Proposition 3 Si la cogèbre (E, c) est coassociative (resp. cocommutative) (A, III, p. 143–144), il en est de même de la cogèbre (E⁺, cᵤ⁺). ↩ 1 0A1U
Lemme 1 Soit π : E → E' un morphisme surjectif de cogèbres. Si E est coassociative (resp. cocommutative), il en est de même de E'. 0A1V
Proposition 4 L’ensemble P(E) des éléments primitifs de E est une sous-algèbre de Lie de E. ↩ 2 0A1W
Proposition 5 Soit f : E → E' un morphisme de bigèbres. Si x est un élément primitif de E, alors f(x) est un élément primitif de E', et la restriction de f à P(E) est un homomorphisme d’algèbres… 0A1X
Remarque 1 Soit p un nombre premier tel que p . 1 = 0 dans K. La formule du binôme et les congruences binompi ≡ 0 pmodp pour 1 ≤ i ≤ p - 1 entraînent que P(E) est stable par l’application x ↦… 0A1Y
Remarque 2 Par définition, le diagramme 0E7X
Définition 2 Soit E une bigèbre de coproduit c. On appelle filtration compatible avec la structure de bigèbre de E une suite croissante (Eₙ)_n ≥ 0 de sous-modules de E telle que\footnote{Si A e… ↩ 1 0A1Z
Exemple Soient E une bigèbre graduée (A, III, p. 148, déf. 3), (Eⁿ)_n ≥ 0 sa graduation. Posons Eₙ = ∑ᵢ₌₀ⁿ Eⁱ. La suite (Eₙ) est une filtration compatible avec la structure de bigèbre de E… 0A20
Proposition 6 Soient E une bigèbre filtrée, (Eₙ)_n ≥ 0 sa filtration. Pour tout entier n ≥ 0, soit Eₙ⁺ = Eₙ ∩ E⁺. Alors E₀⁺ = 0 et (7) c⁺(Eₙ⁺) ⊂ ∑ᵢ₌₁ⁿ⁻¹ Im(Eᵢ⁺ ⊗ Eₙ₋ᵢ⁺) pour n ≥ 0. ↩ 2 0A21
Corollaire Les éléments de E₁⁺ sont primitifs. Si x ∈ E₁⁺, on a c⁺(x) = 0 d’après (7), d’où (5). ↩ 1 0A22
Proposition 7 Il existe sur l’algèbre U un coproduit c et un seul faisant de U une bigèbre telle que les éléments de σ(g) soient primitifs. La bigèbre (U, c) est cocommutative; sa coïunité est l… 0A23
Définition 3 La bigèbre (U, c) est appelée bigèbre enveloppante de l’algèbre de Lie g. 0A24
Proposition 8 Soit E une bigèbre de coproduit noté c_E et soit h un homomorphisme d’algèbres de Lie de g dans P(E) (n° 2, prop. 4). L’homomorphisme d’algèbres unifères f : U → E tel que f(σ(x))… ↩ 2 0A25
Corollaire Soient gᵢ (i = 1, 2) une algèbre de Lie, U(gᵢ) sa bigèbre enveloppante, σᵢ : gᵢ → U(gᵢ) l’application canonique. Pour tout homomorphisme d’algèbres de Lie h : g₁ → g₂, l’homomorphi… 0A26
Proposition 9 Pour tout entier n geqslant 0, soit Uⁿ le sous-espace vectoriel de U engendré par les σ(x)ⁿ pour x ∈ g. 0A27
Corollaire L’application canonique σ définit un isomorphisme de g sur l’algèbre de Lie P(U) des éléments primitifs de U. Comme c⁺ est un homomorphisme gradué de degré 0, on a P(U) = ∑_n geqsl… ↩ 2 0A28
Remarque 1 On a Uₙ = ∑ᵢ₌₀ⁿ Uⁱ (chap. I, § 2, no 7, cor. 4 du th. 1). 0A29
Remarque 2 L’application η est l’unique morphisme de cogèbres graduées de S(g) dans U tel que η(1) = 1 et η(x) = σ(x) pour x ∈ g. En effet, si η' est un morphisme satisfaisant à ces condition… 0E7Y
Remarque 3 Soit ψ l’isomorphisme canonique de la bigèbre TS(𝔤) sur la bigèbre S(𝔤) (A, IV, § 5, cor. 1 de la prop. 12). L’application η ∘ ψ : TS(𝔤) → U est dite canonique. C’est l’unique morp… 0E7Z
Remarque 4 Soit V un espace vectoriel. Les éléments primitifs de la bigèbre S(V) sont les éléments de degré 1. Cela résulte en effet du cor. de la prop. 9 appliqué à l’algèbre de Lie commutat… 0E80
Proposition 10 L’application λ ↦ f_λ est un isomorphisme de l’algèbre U' sur l’algèbre de séries formelles K[[Xᵢ]]_i ∈ I. Du fait que (e_α) est une base de U, l’application λ ↦ f_λ est K-linéaire… ↩ 2 0A2A
Théorème 1 Soit E une bigèbre cocommutative. a) Le morphisme de bigèbres f_E : U(P(E)) → E est injectif. b) S’il existe sur E une filtration compatible avec sa structure de bigèbre (n° 3, déf… ↩ 4 0A2B
Lemme 2 Soit V un espace vectoriel, et soient E une cogèbre, f : S(V) → E un morphisme de cogèbres. Si la restriction de f à S⁰(V) + S¹(V) est injective, alors f est injectif. Soit n ≥ 0… ↩ 1 0A2C
Lemme 3 Si une famille de scalaires (λ_α,β) de support fini (pour α, β dans N⁽ᴵ⁾ - 0) satisfait aux relations (20) et (21), il existe une famille (μ_α)_|α| ≥ 2 de support fini telle que μ_… 0A2D

§ 2. Algèbres de Lie libres

Définition 1 On appelle algèbre de Lie libre sur l’ensemble X l’algèbre quotient L(X) = Lib(X)/a où a est l’idéal bilatère de Lib(X) engendré par les éléments de l’une des formes ↩ 1 0A2Q
Proposition 1 Soient ψ l’application canonique de Lib(X) sur L(X) et φ la restriction de ψ à X. Pour toute application f de X dans une algèbre de Lie g, il existe un homomorphisme F : L(X) → g e… ↩ 7 0A2R
Corollaire 1 La famille (φ(x))_x ∈ X est libre sur K dans L(X). ↩ 3 0A2S
Corollaire 2 Soit a une algèbre de Lie. Toute extension de L(X) par a est inessentielle. ↩ 1 0A2T
Remarque Lorsque X est vide, M(X) est vide, donc L(X) = {0}. Si X a un seul élément x, le sous-module K.x de L(X) est une sous-algèbre de Lie de L(X); comme X engendre L(X), le cor. 1 de la… 0A2U
Proposition 2 Soient X et Y deux ensembles. Toute application u : X → Y se prolonge de manière unique en un homomorphisme d’algèbres de Lie L(u) : L(X) → L(Y). Pour toute application v : Y → Z… ↩ 1 0A2V
Corollaire Si u est injective (resp. surjective, bijective), il en est de même de L(u). 0A2W
Proposition 3 Soit K' un anneau commutatif non réduit à {0}, et soit u : K → K' un homomorphisme d’anneaux. Pour tout ensemble X, il existe un homomorphisme de K'-algèbres de Lie et un seul ↩ 1 0A2X
Remarque Soient h' une K'-algèbre de Lie et h la K-algèbre de Lie déduite de h' par restriction de l’anneau des scalaires. Si P ∈ LK(X), on peut définir tildeP : h^X → h (n° 4). On voit aus… 0A2Y
Lemme 1 L’idéal a de la définition 1 est gradué. 0A2Z
Proposition 4 Soit S une partie de X. Si l’on identifie N^(S) à son image canonique dans N^(X) (A, I, p. 89), on a L(S) = ∑_α ∈ N^(S) L^α(X). De plus, pour tout α ∈ N^(S), la composante homogène… ↩ 3 0A30
Corollaire Pour toute famille (Sᵢ)_i ∈ I de parties de X, on a 0A31
Proposition 5 Soient g une algèbre de Lie et P un sous-module de g. Définissons les sous-modules Pₙ de g par les formules P₁ = P et Pₙ₊₁ = [P, Pₙ] pour n geqslant 1. Alors on a ↩ 1 0A32
Proposition 6 Soient g une algèbre de Lie et (Cⁿ g)_n ≥ 1 la suite centrale descendante de g. On a [Cᵐ g, Cⁿ g] ⊂ Cᵐ⁺ⁿ g pour m ≥ 1 et n ≥ 1. 0A33
Proposition 7 Soit X un ensemble et soit n un entier ≥ 1. a) On a Lⁿ⁺¹(X) = [L¹(X), Lⁿ(X)]. b) Le module Lⁿ(X) est engendré par les éléments [x₁, [x₂, …, [xₙ₋₁, xₙ] …]] où (x₁, …, xₙ) parcourt l… ↩ 2 0A34
Corollaire Soient g une algèbre de Lie et (xᵢ)_i ∈ I une famille génératrice dans g. Le n-ième terme Cⁿ g de la suite centrale descendante de g est le module engendré par les crochets itérés… 0A35
Proposition 8 Soit X un ensemble, soit M un L(X)-module et soit d une application de X dans M. Il existe une application linéaire D de L(X) dans M, et une seule, prolongeant d et satisfaisant à… 0A36
Corollaire Toute application de X dans L(X) se prolonge de manière unique en une dérivation de L(X). ↩ 1 0A37
Proposition 9 Soient S₁ et S₂ deux ensembles disjoints et d une application de S₁ × S₂ dans L(S₂). Soit g l’algèbre de Lie quotient de L(S₁ ∪ S₂) par l’idéal qu’engendrent les éléments [s₁, s₂]… ↩ 1 0A38
Proposition 10 (théorème d’élimination) Soient X un ensemble, S une partie de X, et T l’ensemble des suites (s₁, …, sₙ, x) avec n geqslant 0, s₁, …, sₙ dans S et x dans X - S.\footnote{Pour n = 0, on obtient les éléments… ↩ 1 0A39
Corollaire Soit y ∈ X. L’algèbre de Lie libre L(X) est somme directe du sous-module libre K.y et de la sous-algèbre de Lie admettant comme famille basique la famille des ((ad y)ⁿ.z) pour n ge… ↩ 2 0A3A
Définition 2 On appelle ensemble de Hall relatif à X toute partie H de M(X) munie d’une relation d’ordre total satisfaisant aux conditions suivantes: (A) Si u ∈ H, v ∈ H et l(u) < l(v), on a u… ↩ 3 0A3B
Proposition 11 Il existe un ensemble de Hall relatif à X. ↩ 2 0A3C
Proposition 12 Soit H un ensemble de Hall relatif à X et soient x, y dans X. ↩ 2 0A3D
Corollaire Si Card X ≥ 2, on a H ∩ Mⁿ(X) ≠ ∅, pour tout entier n ≥ 1. ↩ 1 0A3E
Proposition 13 Soit X un ensemble fini possédant au moins deux éléments. On note H un ensemble de Hall relatif à X. Il existe alors une bijection strictement croissante p ↦ wₚ de N sur H et une s… ↩ 2 0A3F
Exemple Supposons que X ait deux éléments x, y; ordonnons X de telle sorte que l’on ait x < y. La construction donnée dans la démonstration de la prop. 11 fournit un ensemble H qui a 14 él… 0A3G
Théorème 1 Soient H un ensemble de Hall relatif à X et Ψ l’application canonique de M(X) dans l’algèbre de Lie libre L(X). La restriction de Ψ à H est une base du module L(X). ↩ 4 0A3H
Lemme 2 Pour tout entier p ≥ 0, le module Lₚ admet la famille (overlinewᵢ)_0 ≤ i < p pour base, l’algèbre de Lie gₚ admet (overlineu)_u ∈ Pₚ pour famille basique, et le module L(X) est som… 0A3I
Corollaire Le module L(X) est libre, ainsi que chacun des sous-modules L^α(X) pour α ∈ N^(X) et Lⁿ(X) pour n ∈ N. Les modules L^α(X) sont de rang fini, et il en est de même des modules Lⁿ(X)… ↩ 2 0A3J
Définition 3 On appelle base de Hall d’une algèbre de Lie libre L(X) toute base de L(X) qui est l’image canonique d’un ensemble de Hall relatif à X. 0A3K
Remarque Supposons que X se compose de deux éléments distincts x et y et soit L⁽¹⁾ le sous-module de L(X) somme des L^α(X) pour α ∈ N^X, avec α(y) = 1. On déduit aussitôt du th. 1 et de la… 0A3L

§ 3. Algèbre enveloppante de l'algèbre de Lie libre

Théorème 1 Soit α : L(X) → A(X) l’unique homomorphisme d’algèbres de Lie prolongeant l’injection canonique de X dans A(X) (§ 2, n° 2, prop. 1). Soit σ : L(X) → U(L(X)) l’application canonique… ↩ 4 0A42
Corollaire 1 Il existe sur l’algèbre A(X) un unique coproduit faisant de A(X) une bigèbre et tel que les éléments de X soient primitifs. De plus, β est un isomorphisme de la bigèbre U(L(X)) sur… ↩ 2 0A43
Corollaire 2 Si K est un corps de caractéristique 0, L(X) est l’algèbre de Lie des éléments primitifs de A(X). Cela résulte du cor. 1 et du cor. de la prop. 9 du § 1, n° 5. ↩ 2 0A44
Remarque 1 Soit K' un anneau commutatif contenant K. Si on identifie A(X), L(X) et L_K'(X) à des parties de A_K'(X), il résulte de la partie a) du th. 1 la relation L(X) = L_K'(X) ∩ A(X). 0A45
Remarque 2 Le cor. 2 du th. 1 reste valable si on suppose seulement que le groupe additif de l’anneau K est sans torsion. En effet, supposons d’abord K = Z; tout élément primitif de A(X) est… 0E81
Remarque 3 Soient Δ un monoïde commutatif, φ₀ une application de X dans Δ, φ : Mo(X) → Δ l’homomorphisme de monoïde associé; si on munit A(X) de la graduation (A^δ(X))_δ ∈ Δ définie en A, III… 0E82
Remarque 4 Soit A une algèbre associative unifère, et soit t = (tᵢ)_i ∈ I une famille d’éléments de A. On a un diagramme 0E83
Proposition 1 a) La restriction π₀ de π à L(X) est une dérivation de L(X). b) Pour tout entier n geqslant 1 et tout u dans Lⁿ(X), on a π(u) = n.u. ↩ 1 0A46
Corollaire Supposons que K soit une Q-algèbre. Soit P l’application linéaire de A⁺(X) dans lui-même telle que P(x₁ … xₙ) = 1/n (ad x₁ ∘ ⋯ ∘ ad xₙ₋₁)(xₙ) pour n geqslant 1, et x₁, …, xₙ dans X… ↩ 1 0A47
Remarque Supposons que K soit un corps de caractéristique zéro et soit Q le projecteur de A(X) = U(L(X)) sur L(X) associé à la graduation canonique de U(L(X)), cf. , n° 5. Pour α ∈ N^(X), o… 0A48
Lemme 1 Soient n un entier > 0, T₁, …, Tₙ des indéterminées, et u₁, …, uₙ dans Z. Soit (c(α))_α ∈ Nⁿ - 0 une famille d’éléments de Z telle que ↩ 1 0A49
Théorème 2 Soient X un ensemble fini et n = Card(X). a) Pour tout entier r ≥ 1, le K-module L^r(X) est libre de rang ↩ 1 0A4A
Exemple On a: 0A4B
Remarque Soit X un ensemble et soit α ∈ N^(X); le rang du K-module libre L^α(X) est encore donné par la formule (16). Cela résulte aussitôt du th. 2b) et de la prop. 4 du § 2, no 6. 0A4C

§ 4. Filtrations centrales

Définition 1 Soit G un groupe. On appelle filtration réelle sur G une famille (G_α)_α ∈ R de sous-groupes de G telle que 0A4H
Remarque Soit (Gₙ)_n ∈ Z une suite décroissante de sous-groupes de G. C’est une filtration décroissante au sens de AC, III, § 2, no 1, déf. 1. Pour tout entier n et tout α dans l’intervalle… 0A4I
Remarque Si v(x) n’est pas toujours égal à +∞, les conditions (7) et (8) entraînent v(1) = 0. 0A4J
Remarque Lorsque la filtration (G_α) est entière, on a gr_α(G) = 0 pour α non entier et grₙ(G) = Gₙ / Gₙ₋₁ pour tout entier n. La définition du groupe gradué associé coïncide donc essentiel… 0A4K
Définition 2 Soit G un groupe. On dit qu’une filtration réelle (G_α) sur G est centrale si l’on a G = ⋃_α > 0 G_α et si le commutateur (x, y) = x⁻¹ y⁻¹ xy d’un élément x de G_α et d’un élément… ↩ 1 0A4L
Proposition 1 (i) Soient α, β dans R. Il existe une application biadditive φ_α β : gr_α(G) × gr_β(G) → gr_α + β(G) qui applique (x G_α⁺, y G_β⁺) sur (x, y) G_α + β⁺. (ii) Soit φ l’application bi… 0A4M
Proposition 2 L’ensemble Γ est un sous-groupe de A^* et (Γ_α) est une filtration centrale sur Γ. ↩ 2 0A4N
Remarque Soient α geqslant 0, β geqslant 0 et x ∈ Γ_α, y ∈ Γ_β. D’après les formules (21), (22) et (23), on a 0A4O
Proposition 3 (i) Pour tout α ∈ R, il existe un unique homomorphisme de groupes g_α : gr_α(G) → gr_α(A) qui applique la classe modulo G_α⁺ d’un élément a ∈ G_α sur la classe modulo A_α⁺ de ρ(a)… ↩ 2 0A4P
Proposition 4 (i) La suite centrale descendante de G est une filtration centrale entière sur G. ↩ 1 0A4Q
Proposition 5 Soit G un groupe et soit gr(G) la Z-algèbre de Lie graduée associée à la filtration centrale descendante de G. Alors gr(G) est engendrée par gr₁(G) = G/(G, G). ↩ 2 0A4R
Remarque Soient k un anneau, n un entier > 0, A l’ensemble des matrices à n lignes et n colonnes, à éléments dans k, triangulaires inférieures. Pour p ≥ 0, soit Aₚ l’ensemble des (xᵢⱼ) ∈ A… 0A4S

§ 5. Algèbres de Magnus

Proposition 1 Soit B une algèbre associative unifère, munie d’une filtration réelle (B_α)_α ∈ R pour laquelle B est séparée et complète (§ 4, n°s 1 et 2). Soit f une application de X dans B, tel… ↩ 4 0A5B
Lemme 1 Pour qu’un élément a de hatA(X) soit inversible, il faut et il suffit que son terme constant soit inversible dans K. 0A5C
Théorème 1 Soit r une application de X dans hatA(X) telle que ω(r(x)) ≥ 2 pour tout x ∈ X. L’unique homomorphisme g du groupe libre F(X) dans le groupe de Magnus Γ(X), tel que g(x) = 1 + x +… ↩ 3 0A5D
Lemme 2 Soit n un entier rationnel non nul. Dans l’anneau de séries formelles K[[t]], on pose (1 + t)ⁿ = ∑_j ≥ 0 c_j,n tʲ. Il existe un entier j ≥ 1 tel que c_j,n ≠ 0. ↩ 1 0A5E
Lemme 3 Soient x₁, …, xₛ des éléments de X, tels que s ≥ 1 et xᵢ ≠ xᵢ₊₁ pour 1 ≤ i ≤ s-1; soient n₁, …, nₛ des entiers rationnels non nuls. Alors l’élément ∏ᵢ₌₁ˢ (1 + xᵢ)^nᵢ de hatA(X) est… 0A5F
Lemme 4 Soit σ l’endomorphisme continu de hatA(X) tel que σ(x) = x + r(x) pour x ∈ X (no 1, prop. 1). Alors σ est un automorphisme et σ(hatAₘ(X)) = hatAₘ(X) pour tout m ∈ N. ↩ 1 0A5G
Théorème 2 On suppose que dans l’anneau K, la relation n · 1 = 0 entraîne n = 0 pour tout entier n. Soit r une application de X dans hatA(X) telle que ω(r(x)) ≥ 2 pour x ∈ X, et soit g l’homo… ↩ 3 0A5H
Théorème 3 Pour tout x ∈ X, soit c(x) l’image canonique de x dans F(X)/(F(X), F(X)). Soit g la Z-algèbre de Lie graduée associée à la filtration (Cⁿ F(X))_n ≥ 1 de F(X) (§ 4, n° 6). L’unique… ↩ 1 0A5I
Corollaire On a 0A5J
Remarque Soit H un ensemble de Hall relatif à X (§ 2, n° 10). Soit M le magma défini par la loi de composition (x, y) ↦ (x, y) = x⁻¹y⁻¹xy sur F(X), et soit φ l’homomorphisme de M(X) dans M… 0A5K
Exemple Supposons que X soit un ensemble à deux éléments x, y et prenons H₁ = x, y, H₂ = xy. Tout élément w de F(X) peut donc s’écrire 0A5L
Proposition 2 Supposons X fini. Pour tout entier n ≥ 1, le groupe F(X)/Fₙ⁽ᵖ⁾(X) est un p-groupe fini de classe de nilpotence ≤ n. ↩ 1 0A5M
Proposition 3 Pour tout w ≠ 1 dans F(X), il existe un p-groupe fini G et un homomorphisme f de F(X) dans G tel que f(w) ≠ 1. ↩ 1 0A5N
Corollaire L’intersection des sous-groupes distingués d’indice fini de F(X) est réduite à 1. 0A5O

§ 6. La série de Hausdorff

Proposition 1 L’application exponentielle est un homéomorphisme de m sur 1 + m et l’application logarithme en est l’homéomorphisme réciproque. ↩ 2 0A61
Remarque 1 Si x ∈ m, y ∈ m et si x et y commutent, on a exp(x + y) = exp(x) exp(y), la famille ( xⁱ/i! · yʲ/j! )_i,j ∈ N étant sommable (cf. A, IV, § 6, n° 9, prop. 11). ↩ 1 0A62
Remarque 2 Comme les séries e et l sont sans terme constant et que A_α est un idéal fermé de A, on a exp A_α ⊂ 1 + A_α et log(1 + A_α) ⊂ A_α d’où exp A_α = 1 + A_α et log (1 + A_α) = A_α pour… 0E84
Remarque 3 Soient B une algèbre associative unifière filtrée, séparée et complète, et n = ⋃_α > 0 B_α. Soit f un homomorphisme unifière continu de A dans B tel que f(m) ⊂ n. On a f(exp x) = e… 0E85
Remarque 4 Soit E une algèbre associative unifière. Si a est un élément nilpotent de E, la famille ( aⁿ/n! )_n ∈ N est à support fini et on pose exp a = ∑_n ≥ 0 aⁿ/n!. On dit qu’un élément b… 0E86
Théorème 1 La restriction de l’application exponentielle de hatA(X) à hatL(X) est une bijection de hatL(X) sur un sous-groupe fermé du groupe de Magnus Γ(X). 0A63
Remarque La démonstration précédente montre que exp(\hat{L}) est le sous-groupe Δ de Γ formé des b satisfaisant à (4). 0A64
Lemme 1 Soient g une algèbre de Lie filtrée (§ 4, no 1), (g_α)_α ∈ R sa filtration, et soit α ∈ R. Soit P un polynôme de Lie homogène de degré n en les indéterminées (Tᵢ)_i ∈ I (§ 2, no 4)… ↩ 1 0A65
Proposition 2 L’homomorphisme fₜ : L(I) → g tel que fₜ(Tᵢ) = tᵢ (§ 2, no 4) se prolonge par continuité en un homomorphisme continu, et un seul, fₜ de hatL(I) dans g. ↩ 1 0A66
Définition 1 L’élément H = U mathbin& V = log(exp U . exp V) (n° 2) de l’algèbre de Lie hatL_q(U, V) s’appelle la série de Hausdorff en les indéterminées U et V. ↩ 4 0A67
Théorème 2 Si r et s sont deux entiers positifs, tels que r + s geqslant 1, on a H_r,s = H'_r,s + H''_r,s avec 0A68
Remarque 1 On a défini (§ 3, n° 2, Remarque) un projecteur Q de A(X) sur L(X) tel que Q(a^m) = 0 pour a ∈ L(X) et m ≥ 2, et Q(1) = 0. On a alors H = Q(exp H) = Q(exp U · exp V), d’où immédiat… 0A69
Remarque 2 On a 0E87
Remarque 3 On a H_0,n = H_n,0 = 0 pour tout entier n ≠ 1, d’où 0E88
Proposition 3 Si a ∈ m, b ∈ m, on a exp H(a, b) = exp a · exp b. ↩ 4 0A6A
Remarque 1 Si a et b commutent, on a H_r,s(a,b) = 0 pour r + s ≥ 2, car tout polynôme de Lie homogène de degré ≥ 2 est nul en (a,b). On a donc H(a,b) = a + b, et la prop. 3 redonne la formule… 0A6B
Proposition 4 Soit g une algèbre de Lie filtrée, séparée et complète, telle que g = ⋃_α > 0 g_α. ↩ 3 0A6C
Remarque 2 Prenons pour g l’algèbre de Lie hatL(X). La loi de groupe introduite dans la proposition précédente coïncide avec la loi définie au n° 2. En d’autres termes, on a ↩ 1 0A6D
Remarque 3 Soit g une algèbre de Lie munie de la filtration entière (Cⁿ g) définie par la suite centrale descendante. Supposons qu’il existe un m ≥ 1 tel que Cᵐ g = 0. Pour la topologie dédui… 0E89
Proposition 5 Soit K_r,s la composante de multidegré (r, s) de H(U + V, -U). On a ↩ 2 0A6E

§ 7. Convergence de la série de Hausdorff (cas réel ou complexe)

Lemme 1 On a ↩ 1 0A6L
Proposition 1 La série formelle tildeH est une série convergente (VAR, R, 3.1.1); son domaine de convergence strict (VAR, R, 3.1.4) contient l’ouvert ↩ 2 0A6M
Proposition 2 Soit 0A6N
Proposition 3 Pour | x | + | y | < 1/2 log 2, on a 0A6O

§ 8. Convergence de la série de Hausdorff (cas ultramétrique)

Lemme 1 Soit n un entier geqslant 0, et soit n = n₀ + n₁ p + ⋯ + nₖ pᵏ, avec 0 leqslant nᵢ leqslant p - 1, le développement p-adique de n. Soit S(n) = n₀ + n₁ + ⋯ + nₖ. Alors ↩ 2 0A6Q
Lemme 2 On a v(n) leqslant v(n!) leqslant (n - 1)θ et v(n) leqslant (log n)/(log p) pour tout entier n geqslant 1. ↩ 3 0A6R
Proposition 1 Soient r et s deux entiers geqslant 0. Si H_r,s = ∑_b ∈ B λ_b e_b, où λ_b ∈ Q, est la décomposition de H_r,s par rapport à la base (e_b)_b ∈ B, on a vₚ(λ_b) geqslant -(r + s - 1)θ… ↩ 3 0A6S
Définition 1 On appelle algèbre de Lie normée sur K une algèbre de Lie munie d’une norme telle que |x + y| leqslant sup(|x|, |y|) |[x, y]| leqslant |x| · |y| quels que soient x, y dans g. 0A6T
Lemme 3 On a | tildeH_r,s | ≤ a^-(r+s-1)θ. ↩ 2 0A6U
Proposition 2 La série formelle tildeH est une série convergente (VAR, R, 4.1.1). Si G est la boule x ∈ g | | x | < a^θ , le domaine de convergence strict de tildeH (VAR, R, 4.1.3) contient G ×… ↩ 3 0A6V
Proposition 3 Soit G la boule x ∈ g | |x| < a^θ . L’application analytique h : G × G → G fait de G un groupe, dans lequel 0 est élément neutre et -x inverse de x pour tout x ∈ G. De plus, si R e… ↩ 1 0A6W
Proposition 4 Soit R un nombre réel tel que 0 < R ≤ a^θ. L’application exp_A définit un isomorphisme analytique de G_R sur 1 + G_R, et l’isomorphisme réciproque est la restriction de log_A à 1 +… 0A6X
Proposition 5 Pour x, y dans G, on a 0A6Y

App. 0. Fonction de Möbius

Proposition (i) La fonction μ est l’unique application de N^* dans Z telle que μ(1) = 1 et que 0A73

III. Groupes de Lie

§ 1. Groupes de Lie

Définition 1 On appelle groupe de Lie sur K un ensemble G muni d’une structure de groupe et d’une structure de K-variété analytique, ces deux structures étant compatibles. 0A76
Lemme 1 Soient G un groupe de Lie, U un voisinage ouvert de e, E un espace normé complet, \varphi : U \to E une carte de la variété G. Il existe un voisinage W de e contenu dans U tel que… ↩ 1 0A77
Proposition 1 Un groupe de Lie est un groupe topologique métrisable et complet. Puisque e admet un voisinage ouvert homéomorphe à une boule ouverte d’un espace normé, e admet un système fondamen… ↩ 2 0A78
Proposition 2 Soit G un groupe de Lie. (i) Si K = \mathbf{R} ou \mathbf{C}, G est localement connexe. (ii) Si K est distinct de \mathbf{R} et \mathbf{C}, G est éparpillé (TG, IX, § 6, déf. 5). (… 0A79
Corollaire Si K = R ou C, et si G est connexe de dimension finie, alors G est localement connexe, localement compact, et sa topologie admet une base dénombrable. 0A7A
Lemme 2 Soient X une variété de classe Cr, e un point de X, U et V des voisinages ouverts de e, et m une application de classe Cr de U × U dans X, vérifiant les conditions suivantes : ↩ 1 0A7B
Proposition 3 Soient X une variété analytique, et m une loi de composition associative analytique sur X, admettant un élément neutre. L’ensemble G des éléments inversibles de X est ouvert dans X… 0A7C
Définition 2 Soient G et H des groupes de Lie. On appelle morphisme de groupes de Lie de G dans H (ou simplement morphisme de G dans H si aucune confusion n’est à craindre) une application de G… 0A7D
Exemple 1 Soit G un groupe de Lie. Pour tout x ∈ G, Int(x) est un automorphisme du groupe de Lie G. 0A7E
Exemple 2 Soit G un groupe de Lie. On note G^∨ le groupe opposé à G, muni de la même structure de variété que G. Il est immédiat que G^∨ est un groupe de Lie (dit groupe de Lie opposé à G)… 0E8A
Exemple 3 Soient G un groupe de Lie, E un espace normable complet. On appelle représentation linéaire analytique de G dans E (ou simplement représentation linéaire de G dans E si aucune conf… 0E8B
Exemple 4 Soient G un groupe de Lie réel, E un espace normable complet complexe. Une représentation linéaire analytique de G dans E est un morphisme de G dans le groupe de Lie réel sous-jace… 0E8C
Proposition 4 Soient G et H des groupes de Lie, f un homomorphisme du groupe G dans le groupe H. Pour que f soit analytique, il faut et il suffit qu’il existe une partie ouverte non vide U de G… ↩ 1 0A7F
Remarque Si f est une immersion en e (resp. une submersion en e), il est clair que f est une immersion (resp. une submersion). 0A7G
Définition 3 Soit G un groupe de Lie. On dit qu’un sous-ensemble H de G est un sous-groupe de Lie si H est un sous-groupe et une sous-variété de G. ↩ 1 0A7H
Proposition 5 Soient G un groupe de Lie, H un sous-groupe de Lie de G. (i) H est fermé dans G. (ii) L’injection canonique de H dans G est un morphisme de groupes de Lie. (iii) Soient L un groupe… ↩ 1 0A7I
Proposition 6 Soient G un groupe de Lie, H un sous-groupe de G. Pour que H soit un sous-groupe de Lie de G, il faut et il suffit qu’il existe un point h ∈ H et un voisinage ouvert U de h dans G… ↩ 3 0A7J
Remarque Si on remplace « sous-variété » par « quasi-sous-variété » dans la déf. 3, on obtient la définition des quasi-sous-groupes de Lie de G. (Pour G de dimension finie, les quasi-sous-g… 0A7K
Proposition 7 Si l’application (m, l) ↦ σ(l)m de M × L dans M est analytique, le groupe S, muni de la structure de variété produit de M et L, est un groupe de Lie. 0A7L
Exemple Soient E un espace normable, G = GL(E), T le groupe des translations de E, A le groupe de permutations de E engendré par G et T. Le groupe A est algébriquement produit semi-direct… ↩ 1 0A7M
Proposition 8 Soient G et H des groupes de Lie, p : G → H et s : H → G des morphismes de groupes de Lie tels que p ∘ s = id_H, et N = Ker p. Alors N est un sous-groupe de Lie de G, s est un isom… ↩ 2 0A7N
Proposition 9 Soient x ∈ X et g₀ ∈ G. ↩ 3 0A7O
Corollaire Soit x ∈ X. Si K est de caractéristique 0 et X de dimension finie, ρ(x) est une subimmersion. Si de plus ρ(x) est injective, ρ(x) est une immersion. ↩ 1 0A7P
Proposition 10 Soient G un groupe de Lie, X une variété de classe C^r munie d’une loi d’opération à gauche de classe C^r de G dans X. Supposons que: a) le groupe G opère proprement et librement d… ↩ 4 0A7Q
Remarque Conservons les hypothèses précédentes. Soient de plus H une variété de classe C⁰ et (x, h) ↦ m(x, h) une application de classe C⁰ de X × H dans X telle que m(gx, h) = gm(x, h) pour… 0A7R
Proposition 11 Soient X un groupe de Lie, G un sous-groupe de Lie de X. ↩ 1 0A7S
Proposition 12 Soient X un groupe de Lie, Y une variété analytique non vide munie d’une loi d’opération à gauche analytique de X dans Y. Pour tout y \in Y, soient \rho(y) l’application orbitale d… 0A7T
Exemple Soit G un groupe de Lie. Faisons opérer G \times G à gauche dans G par (g1, g2)x = g1xg2^{-1}. Soit \rho l’application orbitale de e. Alors les restrictions de T{(e,e)}(\rho) à T{(… 0A7U
Proposition 13 Soient G un groupe de Lie, H un sous-groupe de Lie distingué de G, X une variété de classe C^r, et (g, x) ↦ gx une loi d’opération à gauche de classe C^r de G dans X. On suppose qu… 0A7V
Corollaire Soient G un groupe de Lie, H et L des sous-groupes de Lie distingués de G, avec L ⊂ H. Alors H/L est un sous-groupe de Lie distingué de G/L, et la bijection canonique de G/H sur (G… 0A7W
Proposition 14 Soient G un groupe de Lie, X une variété analytique, et (g, x) ↦ gx une loi d’opération à gauche analytique de G dans X. Soit x ∈ X. Supposons que l’application orbitale correspond… ↩ 6 0A7X
Remarque Soient G un groupe de Lie de dimension finie, X une variété de classe Cʳ, et (g, x) ↦ gx une loi d’opération à gauche de classe Cʳ de G dans X. Alors la prop. 14 reste valable. Le… 0A7Y
Corollaire Soient G un groupe de Lie dont la topologie admet une base dénombrable, X une variété analytique non vide de dimension finie, munie d’une loi d’opération à gauche analytique de G d… 0A7Z
Définition 4 Si ψ est un φ-morphisme de fibrés vectoriels de classe C^r, on dit que E est un G-fibré vectoriel de classe C^r. ↩ 3 0A80
Proposition 15 Si E est un G-fibré vectoriel de classe Cʳ, τ E est un G-fibré vectoriel de classe Cʳ. ↩ 1 0A81
Proposition 16 Soient G un groupe de Lie, X une variété de classe Cʳ (r ≥ 2), et (g, x) ↦ gx une loi d’opération à gauche de classe Cʳ de G dans X, d’où, par transport de structure, une loi d’opé… ↩ 2 0A82
Corollaire Si τ est un foncteur vectoriel de classe Cʳ pour les isomorphismes, τ(TX) est un G-fibré vectoriel de classe Cʳ⁻¹. ↩ 2 0A83
Remarque 1 Si τ est un foncteur vectoriel de classe Cʳ pour les isomorphismes en dimension finie, et si E est de rang fini, τ E se définit de la même manière, et la prop. 15 reste valable; le… 0A84
Exemple Reprenons les hypothèses et notations de la prop. 16, et soit F un espace normable complet. Alors L((TX)ᵖ ; F) est un G-fibré vectoriel de classe Cʳ⁻¹; il en est de même de Altᵖ(TX… 0A85
Proposition 17 Soient G un groupe de Lie, X un espace homogène de Lie à gauche pour G, x₀ un point de X, G₀ le stabilisateur de x₀ dans G, E et E' des G-fibrés vectoriels à gauche de classe Cʳ et… ↩ 2 0A86
Corollaire 1 Soit E₀^G₀ l’ensemble des éléments de E₀ invariants par G₀. Pour tout u ∈ E₀^G₀, soit σᵤ l’application de X dans E définie par σᵤ(gx₀) = gu pour tout g ∈ G. (i) Les sections¹ G-inv… ↩ 3 0A87
Corollaire 2 On suppose que G₀ opère trivialement dans E₀. Soit E' le G-fibré trivial de base X et de fibre E₀. Il existe un isomorphisme et un seul de E sur E' compatible avec les opérations d… ↩ 1 0A88
Remarque 2 Dans ce n°, on peut remplacer partout les lois d’opération à gauche par des lois d’opération à droite. 0A89
Proposition 18 Soient G un groupe, U et V deux sous-ensembles de G contenant e. Supposons U muni d’une structure de variété analytique vérifiant les conditions suivantes: (i) V = V⁻¹, V² ⊂ U, V e… ↩ 8 0A8A
Proposition 19 Soient G un groupe topologique, H un groupe de Lie, f un homomorphisme du groupe G dans le groupe H. On suppose qu’il existe un voisinage ouvert U de e_G dans G, une carte (V, φ, E… 0A8B
Corollaire Soient G un groupe topologique, N un sous-groupe distingué discret de G, π l’application canonique de G sur G/N. Supposons donnée une structure de variété analytique sur G/N, compa… 0A8C
Remarque Soient H un groupe de Lie réel ou complexe connexe, hatH son revêtement universel¹, π l’application canonique de hatH sur H. Quand on parlera de hatH comme d’un groupe de Lie, il s… 0A8D
Définition 5 On appelle groupuscule de Lie sur K un système (G, e, θ, m) vérifiant les conditions suivantes: 0A8E
Proposition 20 Soient G un groupuscule de Lie et g ∈ G. Il existe un voisinage ouvert U de e et un voisinage ouvert V de g possédant les propriétés suivantes: a) ug est défini pour tout u ∈ U; b)… ↩ 1 0A8F
Proposition 21 Soient G, H deux groupuscules de Lie, φ un morphisme de G dans H. Les conditions suivantes sont équivalentes: ↩ 1 0A8G
Proposition 22 Soient H un groupe de Lie, U un sous-groupuscule de Lie de H, N l’ensemble des g ∈ H tels que U et gUg⁻¹ aient même germe en e (TG, I, § 6, n° 10). ↩ 2 0A8H
Corollaire Conservons les notations de la prop. 22. Soit G le sous-groupe de H engendré par U. Alors G est un sous-groupe ouvert de N. Il existe sur G une structure de groupe de Lie et une se… ↩ 2 0A8I
Remarque Conservons les notations de la prop. 22 et de son corollaire. Supposons que K soit de caractéristique 0, que H soit de dimension finie, et que la topologie de U admette une base dé… 0A8J
Définition 6 On appelle morceau de loi d’opération à gauche de classe C^r de G dans X une application ψ, définie dans une partie ouverte Ω de G × X contenant {e} × X, à valeurs dans X, et possé… ↩ 1 0A8K
Proposition 23 Soient (G, e, θ, m) un groupuscule de Lie, X une variété de classe C^r, x0 un point de X, Ω un voisinage ouvert de (e, x0) dans G × X, ψ une application de Ω dans X ayant les propr… ↩ 1 0A8L
Lemme 3 Soient X un espace normal, (Xi){i \in I} un recouvrement ouvert localement fini de X. Pour tout (i, j) ∈ I × I et tout x ∈ Xi ∩ Xj, soit V{ij}(x) un voisinage de x contenu dans Xi… ↩ 1 0A8M
Proposition 24 Soient G un groupuscule de Lie, X une variété de classe Cʳ, (Xᵢ)_i ∈ I un recouvrement ouvert localement fini de X. Pour tout i ∈ I, soit ψᵢ un morceau de loi d’opération à gauche… ↩ 1 0A8N

§ 2. Groupe des vecteurs tangents à un groupe de Lie

Proposition 1 Soient X une variété de classe Cʳ, et m une loi de composition de classe Cʳ sur X. Si m est associative (resp. commutative), alors T(m) est associative (resp. commutative). ↩ 2 0A8Y
Proposition 2 Soient X une variété de classe Cʳ, m une loi de composition de classe Cʳ sur X, e un élément neutre pour m. (i) Le vecteur 0ₑ est élément neutre pour T(m). (ii) Tₑ(X) est stable po… ↩ 4 0A8Z
Proposition 3 Soient X₁, X₂, …, Xₚ, Y des variétés de classe Cʳ, i un entier de [1, p], mᵢ (resp. n) une loi de composition de classe Cʳ sur Xᵢ (resp. Y), u une application de classe Cʳ de X₁ ×… ↩ 1 0A90
Proposition 4 Soit G un groupe de Lie. Alors T(G), muni de la loi de composition tangente à la multiplication de G, est un groupe de Lie. L’élément neutre de T(G) est le vecteur 0ₑ. 0A91
Proposition 5 Soient G et H des groupes de Lie, f un morphisme de G dans H. Alors T(f) est un morphisme du groupe de Lie T(G) dans le groupe de Lie T(H). 0A92
Corollaire Soient G₁, …, Gₙ des groupes de Lie. L’isomorphisme canonique de la variété T(G₁ × ⋯ × Gₙ) sur la variété T(G₁) × ⋯ × T(Gₙ) est un isomorphisme de groupes de Lie. 0A93
Proposition 6 Soit G un groupe de Lie. ↩ 1 0A94
Proposition 7 Soient G un groupe de Lie, M une variété de classe C^r, f et g des applications de classe C^r de M dans G, de sorte que fg est une application de classe C^r de M dans G. Soient m \… ↩ 2 0A95
Corollaire Soit n ∈ Z. L’application tangente en e à l’application g ↦ gⁿ de G dans G est l’application x ↦ nx de Tₑ(G) dans Tₑ(G). ↩ 1 0A96
Proposition 8 Soient G₁ et G₂ des groupes de Lie, X₁ et X₂ des variétés de classe C^r, fᵢ une loi d’opération à gauche de classe C^r de Gᵢ dans Xᵢ (i = 1, 2). Soient φ un morphism de G₁ dans G₂… 0A97

§ 3. Passage d’un groupe de Lie à son algèbre de Lie

Définition 1 Soient G un groupe de Lie, g et g' deux points de G, et soient t ∈ T^{(∞)}g(G), t' ∈ T^{(∞)}{g'}(G) deux distributions ponctuelles en g et g' sur G (VAR, R, 13.2.1). On appelle pro… ↩ 3 0A98
Proposition 1 (i) Si t ∈ T^{(s)}g(G) et t' ∈ T^{(s')}{g'}(G), on a t \ t' ∈ T^{(s + s')}{gg'}(G). (ii) Si t ou t' est sans terme constant, t \ t' est sans terme constant. (iii) εg \ ε{g'} = ε{gg… ↩ 2 0A99
Proposition 2 L’algèbre T^(∞)(G) est associative. Elle est commutative si et seulement si G est commutatif. ↩ 4 0A9A
Proposition 3 Si t ∈ T^(∞)(G) et g ∈ G, on a γ(g)_* t = ε_g * t, δ(g)_* t = t * ε_g⁻¹, (Int g)_* t = ε_g * t * ε_g⁻¹. En particulier, εₑ est élément unité de T^(∞)(G). ↩ 2 0A9B
Définition 2 Soit G un groupe de Lie. La sous-algèbre de T^(∞)(G) formée des distributions à support contenu dans e se note U(G). ↩ 1 0A9C
Exemple Soit E un espace normable complet, considéré comme groupe de Lie. Alors l’espace vectoriel U(E) s’identifie canoniquement à l’espace vectoriel TS(E) (VAR, R, 13.2.4). Soit m : E ×… 0A9D
Proposition 4 Considérons l’application bilinéaire (u, v) ↦ u * v (resp. (u, v) ↦ v * u) de U(G) × K⁽ᴳ⁾ dans T^(∞)(G). L’application linéaire correspondante de U(G) ⊗ K⁽ᴳ⁾ dans T^(∞)(G) est un i… 0A9E
Proposition 5 L’isomorphisme i_G,e : gr\ U(G) → TS(L) est un isomorphisme d’algèbres. ↩ 1 0A9F
Proposition 6 Soient G, H des groupes de Lie, φ un morphisme de G dans H. Pour t, t' dans T^(∞)(G), on a φ_*(t * t') = φ_*(t) * φ_*(t'). ↩ 3 0A9G
Exemple Supposons que G soit le groupe de Lie défini par un espace normable complet E. Alors U(G) s’identifie à TS(E) et la restriction de θ_* à U(G) s’identifie à TS(Te(\theta)) (VAR, R… 0A9H
Proposition 7 Soit G un groupe de Lie. Soient t, t' dans T^(∞)(G). (i) Le produit t \ t' calculé relativement à G^∨ est égal au produit t' \ t calculé relativement à G. (ii) On a (t * t')^∨ = t'… ↩ 2 0A9I
Proposition 8 Soient G, H des groupes de Lie, φ un morphisme de G dans H. Si t ∈ T^(∞)(G), on a φ_*(t^∨) = (φ_*(t))^∨. Soit θ (resp. θ') l’application g ↦ g⁻¹ de G dans G (resp. de H dans H). On… 0A9J
Proposition 9 Soient G₁, …, Gₙ des groupes de Lie, et G = G₁ × ⋯ × Gₙ. Si l’on identifie canoniquement les espaces vectoriels T^(∞)(G) et T^(∞)(G₁) ⊗ ⋯ ⊗ T^(∞)(Gₙ), l’algèbre T^(∞)(G) est produi… 0A9K
Proposition 10 Soient H un sous-groupe de Lie de G, et i : H → G l’injection canonique. Alors i_* est un homomorphisme injectif de l’algèbre T^(∞)(H) dans l’algèbre T^(∞)(G), et i_*((t^∨)) = (i_*… ↩ 1 0A9L
Remarque La prop. 10 reste valable si H est un quasi-sous-groupe de Lie. 0A9M
Proposition 11 Soit G un groupe de Lie. (i) La cogèbre T^(∞)(G), munie de la convolution, est une bigèbre (A, III, p. 149). 0A9N
Proposition 12 Soient G, H deux groupes de Lie, φ un morphisme de G dans H. Alors φ_* est un morphisme de bigèbres de T^(∞)(G) dans T^(∞)(H). Cela résulte de la prop. 6 et de VAR, R, 13.5.1. 0A9O
Proposition 13 Soient t ∈ T⁽ˢ⁾(G), t' ∈ T^(s')(G), u ∈ T^(s'')(X), tels que s + s' + s'' ≤ r. On a (t * t') * u = t * (t' * u). ↩ 1 0A9P
Proposition 14 (i) Soient g₀ ∈ G, et τ(g₀) l’application x ↦ f(g₀, x) de X dans X. Si u ∈ T⁽ʳ⁾(X), on a τ(g₀)*u = ε_g₀*u. ↩ 4 0A9Q
Proposition 15 Soient G (resp. G') un groupe de Lie, X (resp. X') une variété de classe Cʳ. On suppose donnée une loi d’opération à gauche de classe Cʳ de G (resp. G’) dans X (resp. X’). Soient φ… ↩ 2 0A9R
Remarque Soit f une loi d’opération à droite de classe Cʳ de G dans X. Si t ∈ T⁽ˢ⁾(G) et u ∈ T^(s')(X), avec s + s' ≤ r, on note u * t l’image de u ⊗ t par f_*. Les prop. 13, 14, 15 se tran… 0A9S
Proposition 16 Soient G, G' des groupes de Lie, X une variété de classe Cʳ, et supposons que G (resp. G') opère à gauche (resp. à droite) dans X, avec (gx)g' = g(xg') quels que soient x ∈ X, g ∈… 0A9T
Définition 3 Soit t ∈ T⁽ˢ⁾(G) avec s ≤ r. Soit f : X → F une fonction de classe Cʳ à valeurs dans un espace polynormé séparé (par exemple F = K). On appelle convolée de t et f, et l’on note t *… 0A9U
Proposition 17 Soient t ∈ T⁽ˢ⁾(G), t' ∈ T^(s')(X), et f : X → F une fonction de classe Cʳ, avec s + s' ≤ r. On a ⟨ t', t * f ⟩ = ⟨ t^∨ * t', f ⟩. En effet, beginalign* ⟨ t', t * f ⟩ &= ⟨ t', x ↦… ↩ 2 0A9V
Proposition 18 Soient t ∈ T⁽ˢ⁾(G), t' ∈ T^(s')(G), et f : X → F une fonction de classe Cʳ, tels que s + s' ≤ r. On a (t * t') * f = t * (t' * f). ↩ 1 0A9W
Proposition 19 Soit t ∈ T⁽ˢ⁾(G), avec s ≤ r. Soit f (resp. f') une fonction de classe Cʳ sur X à valeurs dans un espace polynormé séparé F (resp. F'). Soit (u, u') ↦ uu' une application bilinéair… 0A9X
Remarque 1 Soient G un groupe de Lie, X une variété de classe Cʳ, et (x, g) ↦ xg une loi d’opération à droite de classe Cʳ de G dans X. Si t ∈ T⁽ˢ⁾(G) avec s ≤ r, et f : X → F est une fonctio… 0A9Y
Proposition 20 Soient G, G' des groupes de Lie, X une variété de classe C^r, et (g, x) \mapsto gx (resp. (x, g') \mapsto xg') une loi d’opération à gauche (resp. à droite) de classe C^r de G (res… ↩ 1 0A9Z
Remarque 2 Soit (g, x) \mapsto gx une loi d’opération à gauche de classe C^r de G dans X. Soient t \in Us(G) avec s \leq r, \Omega une partie ouverte de X, et f : \Omega \to F une fonction de… 0AA0
Proposition 21 Soit ψ un automorphisme de X commutant avec les opérations de G. Alors Dₜ est invariant par ψ. ↩ 2 0AA1
Proposition 22 Si g ∈ G, le transformé de Dₜ par g est D_ε_g * t * ε_g⁻¹. 0AA2
Définition 4 Soit G un groupe de Lie. Un champ de distributions sur G est dit invariant à gauche (resp. à droite) s’il est invariant par les translations à gauche (resp. à droite) de G. 0AA3
Définition 5 Soient G un groupe de Lie, et t ∈ U(G). On note Lₜ le champ de distributions g ↦ ε_g * t sur G, et Rₜ le champ de distributions g ↦ t * ε_g sur G. ↩ 1 0AA4
Proposition 23 (i) L’application t ↦ Lₜ (resp. t ↦ Rₜ) est un isomorphisme de l’espace vectoriel U(G) sur l’espace vectoriel des champs de distributions invariants à gauche (resp. à droite) sur G… ↩ 3 0AA5
Remarque 1 C’est l’action de G sur lui-même par translations à droite qui définit les champs de distributions invariants à gauche. ↩ 1 0AA6
Remarque 2 Supposons G de dimension finie. L’application (t, g) ↦ (Rₜ)_g = t * ε_g de Uₛ(G) × G dans T⁽ˢ⁾(G) est un isomorphisme de fibrés vectoriels analytiques ; en effet, cette application… 0AA7
Lemme 1 Soient X et X' des espaces normables complets, X₀ un voisinage ouvert de 0 dans X, f une application analytique de X₀ dans X' telle que f(0) = 0. Soit f = f₁ + f₂ + f₃ + ⋯ le dével… ↩ 1 0AA8
Proposition 24 Soient G un groupe de Lie, (U, φ, E) une carte de G telle que φ(e) = 0. Soit V un voisinage ouvert de e tel que V² ⊂ U. Soit m l’application analytique (a, b) ↦ φ(φ⁻¹(a)φ⁻¹(b)) de… ↩ 1 0AA9
Corollaire L’espace normable Tₑ(G), muni du crochet, est une algèbre de Lie normable. 0AAA
Définition 6 L’espace normable Tₑ(G), muni du crochet, s’appelle l’algèbre de Lie normable de G, ou simplement l’algèbre de Lie de G, et se note L(G). 0AAB
Proposition 25 Soient G un groupe de Lie, E(G) l’algèbre enveloppante de L(G). L’injection canonique de L(G) dans U(G) définit un homomorphisme η de l’algèbre E(G) dans l’algèbre U(G). Si K est d… 0AAC
Proposition 26 Supposons K de caractéristique p > 0. Pour tout a ∈ L(G), on a aᵖ ∈ L(G) et ad(aᵖ) = (ad a)ᵖ (la puissance aᵖ étant calculée dans U(G)). 0AAD
Définition 7 Soient X une variété de classe Cʳ (r ≥ 2), g une algèbre de Lie normable complète. On appelle loi d’opération infinitésimale à gauche (resp. à droite) de classe Cʳ⁻¹ de g dans X un… ↩ 2 0AAE
Remarque Soient X une variété de classe Cʳ, g une algèbre de Lie de dimension finie, a ↦ Dₐ une application linéaire de g dans l’espace vectoriel des champs de vecteurs de classe Cʳ⁻¹ sur X… 0AAF
Proposition 27 Soient G un groupe de Lie, X une variété de classe Cʳ. Supposons donnée une loi d’opération à gauche (resp. à droite) de classe Cʳ de G dans X. Pour tout a ∈ L(G), soit Dₐ le champ… ↩ 2 0AAG
Proposition 28 Soient G et H des groupes de Lie, φ un morphisme de G dans H. Supposons K de caractéristique 0 et H de dimension finie. ↩ 3 0AAH
Proposition 29 Soient G et H des groupes de Lie, φ un morphisme de G dans H. Supposons K de caractéristique 0 et H de dimension finie. Si H' est un sous-groupe de Lie de H, alors G' = φ^{-1}(H')… ↩ 3 0AAI
Corollaire 1 Soient G, H des groupes de Lie, φ1 et φ2 des morphismes de G dans H. Supposons K de caractéristique 0 et H de dimension finie. L’ensemble des g ∈ G tels que φ1(g) = φ2(g) est un so… ↩ 3 0AAJ
Corollaire 2 Soient G un groupe de Lie de dimension finie, G1 et G2 deux sous-groupes de Lie de G. On suppose K de caractéristique 0. Alors G1 ∩ G2 est un sous-groupe de Lie de G d’algèbre de L… ↩ 3 0AAK
Corollaire 3 Soient G, G', H des groupes de Lie, φ : G → H et φ' : G' → H des morphismes de groupes de Lie. Supposons K de caractéristique 0 et H de dimension finie. Soit F l’ensemble des (g, g… 0AAL
Proposition 30 Soient G un groupe de Lie de dimension finie à base dénombrable, H et H' des sous-groupes de Lie de G. On suppose K de caractéristique 0, et HH' localement fermé dans G. ↩ 2 0AAM
Proposition 31 Soient G un groupe de Lie de dimension finie à base dénombrable, H un sous-groupe de Lie distingué de G, A un sous-groupe de Lie de G. On suppose que K est de caractéristique 0 et… 0AAN
Proposition 32 Soient G et H des groupes de Lie, k un sous-corps fermé non discret de K, et φ un morphisme de G dans H pour les structures de groupes de Lie sur k. Supposons K de caractéristique… ↩ 1 0AAO
Proposition 33 L’application t ↦ ⟨ t, f ⟩ est un morphisme de l’algèbre T^(∞)(G) dans l’algèbre A. ↩ 2 0AAP
Corollaire L’application canonique ζ de L(A^*) dans A est un isomorphisme de l’algèbre de Lie L(A^*) sur l’algèbre de Lie A. Autrement dit, on a ζ([a, b]) = ζ(a)ζ(b) - ζ(b)ζ(a) quels que soie… ↩ 2 0AAQ
Proposition 34 Soient H un groupe de Lie, A une algèbre associative normable complète unifière, φ : H → A^* un morphisme de groupes de Lie. Le morphisme associé φ' de T^(∞)(H) dans A s’obtient en… ↩ 2 0AAR
Proposition 35 Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Soit φ le morphisme g ↦ det g du groupe de Lie GL(E) dans le groupe de Lie K^*. L’application L(φ) de L(E) dans K est l’application x… 0AAS
Proposition 36 Soient I une partie de 1, 2, …, n, G le sous-groupe de GL(E) formé des g = (gᵢⱼ)_1 ≤ i, j ≤ n ∈ GL(E) tels que gᵢⱼ = 0 pour i < j et gᵢᵢ = 1 pour i ∈ I. Alors G est un sous-groupe… ↩ 2 0AAT
Proposition 37 Soient A une algèbre associative unifère normable complète, x ↦ xᵗ une application linéaire continue de A dans A telle que (xᵗ)ᵗ = x, (xy)ᵗ = yᵗ xᵗ quels que soient x, y dans A. Su… ↩ 2 0AAU
Corollaire 1 Supposons K de caractéristique ≠ 2. Soient E un espace vectoriel de dimension finie sur K, et φ une forme bilinéaire symétrique (resp. alternée) non dégénérée sur E. Pour tout u ∈… ↩ 1 0AAV
Remarque Soient B une base de E, et J la matrice de φ par rapport à B. Alors L(G) est l’ensemble des éléments de L(E) dont la matrice X par rapport à B vérifie l’égalité 0AAW
Corollaire 2 Soient E un espace hilbertien complexe (resp. réel), U le groupe unitaire de E. Alors U est un sous-groupe de Lie réel de GL(E), et L(U) est l’ensemble des x ∈ L(E) tels que x^* =… ↩ 1 0AAX
Corollaire 3 Soient E un espace vectoriel complexe de dimension finie, φ une forme sesquilinéaire hermitienne non dégénérée sur E, U le groupe unitaire de φ. Alors U est un sous-groupe de Lie r… 0AAY
Proposition 38 Considérons G comme opérant à gauche dans E par l’application (g, x) ↦ π(g)x. Soient b ∈ E et ρ(b) son application orbitale. Identifions canoniquement T_b(E) à E. Pour tout t ∈ L(G… ↩ 1 0AAZ
Proposition 39 On suppose K de caractéristique 0. Soient G un groupe de Lie, E un espace vectoriel de dimension finie, π une représentation linéaire analytique de G dans E. Soient E₁, E₂ des sous… ↩ 2 0AB0
Corollaire 1 Les notations étant celles de la prop. 39, l’ensemble des g ∈ G tels que π(g)(E₁) ⊂ E₁ est un sous-groupe de Lie de G, et son algèbre de Lie est l’ensemble des a ∈ L(G) tels que L(… ↩ 1 0AB1
Corollaire 2 Soient G, E, π comme dans la prop. 39. Soit F une partie de E. L’ensemble des g ∈ G tels que π(g)x = x pour tout x ∈ F est un sous-groupe de Lie de G, et son algèbre de Lie est l’e… ↩ 3 0AB2
Proposition 40 Soient G un groupe de Lie, E un espace normable complet, π une représentation linéaire analytique de G dans E, F un sous-espace vectoriel fermé de E stable par π(G). On suppose K d… ↩ 2 0AB3
Proposition 41 Soient G un groupe de Lie, π₁, π₂, …, πₙ, π des représentations linéaires analytiques de G dans des espaces normables complets E₁, E₂, …, Eₙ, E. Soit (x₁, x₂, …, xₙ) ↦ x₁ x₂ … xₙ u… ↩ 3 0AB4
Corollaire 1 Soient G un groupe de Lie, E₁, ..., Eₙ₊₁ des espaces normables complets, π₁, ..., πₙ₊₁ des représentations linéaires analytiques de G dans E₁, ..., Eₙ₊₁. Soit E = L(E₁, ..., Eₙ; Eₙ… ↩ 6 0AB5
Corollaire 2 Soient G un groupe de Lie, π une représentation linéaire analytique de G dans un espace normable complet E. Alors g ↦ ᵗπ(g)⁻¹ est une représentation linéaire analytique ρ de G dans… 0AB6
Corollaire 3 Soient G un groupe de Lie, π₁, …, πₙ des représentations linéaires analytiques de G dans des espaces vectoriels de dimension finie E₁, …, Eₙ. Alors la représentation π₁ ⊗ ⋯ ⊗ πₙ de… ↩ 2 0AB7
Corollaire 4 Soient G un groupe de Lie, π une représentation linéaire analytique de G dans un espace vectoriel de dimension finie E. Alors les représentations Tⁿ(π), Sⁿ(π), ∧ⁿ(π) de G (Appendic… 0AB8
Corollaire 5 Soit A une algèbre de dimension finie. On suppose K de caractéristique 0. Le groupe Aut(A) des automorphismes de A est un sous-groupe de Lie de GL(A), et L(Aut(A)) est l’algèbre de… ↩ 1 0AB9
Remarque Appliquons le cor. 1 avec G = GL(F) (F, espace normable complet), π₁ = π₂ = Id_G, π₃ étant la représentation triviale de G dans K. On obtient une représentation analytique π de GL(… 0ABA
Proposition 42 Soient G un groupe de Lie, X une variété analytique, (g, x) ↦ gx (resp. xg) une loi d’opération à gauche (resp. à droite) analytique de G dans X, x₀ un point de X invariant par G… ↩ 2 0ABB
Proposition 43 Soient t, u dans T^(∞)(G). Soit ∑ᵢ₌₁ⁿ tᵢ ⊗ t'ᵢ l’image de t par le coproduit. Alors t top u = ∑ᵢ₌₁ⁿ tᵢ * u * t_i'^∨. Par définition, t top u est l’image de t ⊗ u par l’application… 0ABC
Corollaire 1 Soient u ∈ L(G), u' ∈ T^(∞)(G). On a u top u' = u * u' - u' * u. En effet, l’image de u par le coproduit est u ⊗ εₑ + εₑ ⊗ u, d’où u top u' = u * u' * εₑ + εₑ * u' * u^∨ = u * u' -… ↩ 1 0ABD
Corollaire 2 Soient t ∈ T^(∞)(G) et g ∈ G. On a ε_g top t = ε_g * t * ε_g⁻¹. Si t ∈ L(G), on a ε_g top t = gtg⁻¹ (ce dernier produit étant calculé dans le groupe T(G)). En effet, l’image de ε_g… 0ABE
Corollaire 3 Soit a ∈ L(G). Le champ de vecteurs défini par a et par l’opération à gauche g ↦ Int g de G dans G est le champ Rₐ - Lₐ. ↩ 1 0ABF
Définition 7 La représentation Ad de G dans L(G) s’appelle la représentation adjointe de G. 0E8D
Proposition 44 Pour tout a ∈ L(G), on a (L(Ad))(a) = ad_L(G) a. Soit b ∈ L(G). D’après la prop. 42 (ii) du n° 11 et le cor. 3 de la prop. 43, on a (L(Ad))(a) . b = - [Rₐ - Lₐ, L_b](e). Or Rₐ ∘ L_… ↩ 7 0ABH
Proposition 45 Supposons G de dimension finie et K de caractéristique 0. Soit s un entier geqslant 0. Alors l’application π : g ↦ Ad_Uₛ(G)(g) est une représentation linéaire analytique de G dans… ↩ 1 0ABI
Proposition 46 Soient h ∈ G,\ x ∈ Tₕ(G) et a ∈ L(G). Soit φ l’application (g, g') ↦ gg'g⁻¹ de G × G dans G. L’image y de (a, x) ∈ Tₑ(G) × Tₕ(G) par T_(e,h)(φ) est y = x + h((Ad\ h⁻¹)a - a). ↩ 2 0ABJ
Proposition 47 Soient G un groupe de Lie, H et E des sous-groupes de Lie de G, et supposons que hEh⁻¹ = E pour tout h ∈ H. Alors T^(∞)(H) ∩ T^(∞)(E) ⊂ T^(∞)(E). En particulier, Ad(H)(L(E)) ⊂ L(E)… ↩ 2 0ABK
Proposition 48 Soient G un groupe de Lie, H et E des sous-groupes de Lie de G. Supposons que G soit, en tant que groupe de Lie, produit semi-direct de H par E. Soit ρ la représentation linéaire g… ↩ 1 0ABL
Corollaire Soit G un groupe de Lie. Munissons Tₑ(G) de son unique structure d’algèbre de Lie commutative. Soit τ la représentation adjointe de L(G). Alors l’algèbre de Lie de T(G) est le prod… 0ABM
Proposition 49 Soit A une algèbre associative unifière normable complète. Identifions A à L(A^*). Alors, si g ∈ A^* et y ∈ A, on a (Ad\ g)y = gyg⁻¹. 0ABN
Corollaire Pour tout g ∈ A^*, soit i(g) l’automorphisme y ↦ gyg⁻¹ de A, de sorte que i est une représentation linéaire analytique de A^* dans A. Pour tout z ∈ L(A^*) = A, L(i)z est la dérivat… 0ABO
Proposition 50 Soit G un groupe de Lie (supposé de dimension finie si K est de caractéristique > 0). Soit E l’espace vectoriel des formes multilinéaires alternées continues de degré k sur Tₑ(G)… ↩ 2 0ABP
Proposition 51 Soit G un groupe de Lie, de dimension finie si K est de caractéristique 0, et soient a₁, …, aₚ des éléments de L(G), F un espace normable complet, α une forme différentielle de deg… ↩ 3 0ABQ
Corollaire 1 Soient G un groupe de Lie, de dimension finie si K est de caractéristique 0, ω et ω' les formes différentielles canoniques gauche et droite de G. On a dω + [ω]² = 0 dω' - [ω']² = 0… ↩ 1 0ABR
Corollaire 2 Supposons G de dimension finie. Soient (e₁, …, eₙ) une base de L(G), (e₁^*, …, eₙ^*) la base duale, (cᵢⱼₖ) les constantes de structure de L(G) relativement à la base (e₁, …, eₙ), ω… 0ABS
Lemme 2 Soient G un groupe de Lie, U un voisinage ouvert symétrique de e dans G, E un espace normable complet, φ : U² → E une application analytique. Pour tout g ∈ U, soit ω_g la différent… ↩ 2 0ABT
Proposition 52 Soient n un entier > 0, G un groupe de Lie de dimension n, U un voisinage ouvert symétrique de e dans G, ψ : U² → Kⁿ une carte de G telle que ψ(e) = 0. Si (x₁, …, xₙ) sont les coor… ↩ 1 0ABU
Proposition 53 Soient G un groupe de Lie, A une algèbre normable complète, φ un morphisme de groupes de Lie de G dans A^*. Pour tout g ∈ G, soit ω_g = φ(g)⁻¹ · d_g φ. Alors ω est la forme différe… 0ABV
Proposition 54 Soient G un groupe de Lie de dimension finie n, ω une forme différentielle de degré n invariante à gauche sur G, et φ un endomorphisme de G. On a φ^*(ω) = (det L(φ)) ω. Posons L(φ)… ↩ 1 0ABW
Corollaire Pour tout g ∈ G, on a δ(g)^* ω = (det Ad\ g) ω. En effet, δ(g)^* ω = δ(g)^* γ(g)^* ω = (Int\ g)^* ω, et L(Int\ g) = Ad\ g. ↩ 1 0ABX
Proposition 55 Supposons K localement compact. Soit μ une mesure de Haar sur le groupe additif de K. Soit G un groupe de Lie de dimension finie n. ↩ 2 0ABY
Corollaire Pour tout g ∈ G, on a Δ_G(g) = (mod det Ad \ g)⁻¹. En particulier, pour que G soit unimodulaire, il faut et il suffit mod det Ad \ g = 1 pour tout g ∈ G. ↩ 2 0ABZ
Remarque Reprenons les hypothèses et les notations de la prop. 52, et supposons K localement compact. Soit μ la mesure mod det (Dₙ₊ᵢ mₖ (x₁, …, xₙ, x₁, …, xₙ))_1 ≤ i, k ≤ n dx₁ … dxₙ sur ψ(… 0AC0
Proposition 56 Soient G un groupe de Lie de dimension finie n, H un sous-groupe de Lie de dimension p, X l’espace homogène de Lie G/H. On suppose que det Ad_L(G) h = det Ad_L(H) h pour tout h ∈ H… ↩ 1 0AC1
Proposition 57 Soit G un groupe de Lie de dimension finie n. Choisissons une base de ∧ⁿ Tₑ(G)^*; grâce à la trivialisation droite (resp. gauche) de ∧ⁿ T(G)^*, cela permet d’identifier ce fibré ve… ↩ 1 0AC2
Corollaire Soient G un groupe de Lie réel de dimension finie, μ (resp. ν) une mesure de Haar à gauche (resp. à droite) de G, k un entier geqslant 0, u ∈ Uₖ(G), f et g des fonctions réelles de… 0AC3
Définition 8 Soient G un groupe de Lie, M une variété de classe Cʳ, f une application de classe Cʳ de M dans G. On appelle différentielle gauche (resp. droite) de f la forme différentielle de d… ↩ 2 0ABG
Exemple 1 Si G est le groupe additif d’un espace normable complet, et si on identifie canoniquement T₀(E) à E, f⁻¹ · df est la différentielle df définie en VAR, R, 8.2.2. 0AC5
Exemple 2 Supposons que G soit le groupe multiplicatif A^* associé à une algèbre normable complète A. Alors f peut être considérée comme une application de M dans A, donc la différentielle d… 0E8E
Proposition 58 Soient G et H deux groupes de Lie, M une variété de classe Cʳ, f une application de classe Cʳ de M dans G, et h un morphisme de G dans H. On a 0AC6
Proposition 59 Soient G un groupe de Lie, M une variété de classe C^r, f et g des applications de classe C^r de M dans G, et p la surjection canonique de TM sur M. ↩ 2 0AC7
Corollaire 1 Soient s \in G, et sg l’application x \mapsto sg(x) de M dans G. On a 0AC8
Corollaire 2 Si les applications f et g de M dans G ont même différentielle gauche, l’application tangente à fg⁻¹ est partout nulle. Si de plus K est de caractéristique 0, alors fg⁻¹ est locale… ↩ 1 0AC9
Proposition 60 Soient G un groupe de Lie, de dimension finie si K est de caractéristique 0, M une variété de classe C^r, f une application de classe C^r de M dans G, et α la différentielle gauche… 0ACA

§ 4. Passage des algèbres de Lie aux groupes de Lie

Lemme 1 Soient G un groupuscule de Lie, 𝔥 une sous-algèbre de Lie de L(G) admettant un supplémentaire topologique. La réunion des g𝔥 (resp. 𝔥g) pour g ∈ G est un sous-fibré vectoriel intég… ↩ 1 0ACK
Théorème 1 Soient G et H des groupuscules de Lie, f un morphisme continu de L(G) dans L(H). ↩ 8 0ACL
Corollaire 1 Soient G et H deux groupuscules de Lie. Si L(G) et L(H) sont isomorphes, G et H sont localement isomorphes. Cela résulte du th. 1, et du § 1, n° 10, prop. 21. ↩ 4 0ACM
Corollaire 2 Soit G un groupuscule de Lie. Si L(G) est commutative, G est localement isomorphe au groupe de Lie additif L(G). En effet, l’algèbre de Lie du groupe additif L(G) est isomorphe à L… ↩ 1 0ACN
Corollaire 3 Soit G un groupe de Lie. Si L(G) est commutative, G contient un sous-groupe ouvert commutatif. Il existe un sous-groupuscule de Lie ouvert U de G qui est commutatif (cor. 2). Soit… 0ACO
Lemme 2 Soit L une algèbre de Lie normée complète sur R ou C. Soit G l’ensemble des x ∈ L tels que |x| < 1/3 log 3/2. Soit θ l’application x ↦ -x de G dans G. Soit H la restriction à G × G… ↩ 1 0ACP
Lemme 3 Soit L une algèbre de Lie normée complète sur K. Soit G l’ensemble des x ∈ L tels que |x| < λ. Soit H : G × G → G la fonction de Hausdorff de L (chap. II, § 8, n° 3). ↩ 3 0ACQ
Théorème 2 Soit L une algèbre de Lie normable complète. Il existe un groupuscule de Lie G tel que L(G) soit isomorphe à L. Deux tels groupuscules de Lie sont localement isomorphes. ↩ 4 0ACR
Corollaire 1 Soit G un groupe de Lie. Il existe un voisinage de e qui ne contient aucun sous-groupe fini distinct de e. Si K = R ou C, il existe un voisinage de e qui ne contient aucun sous-gro… ↩ 2 0ACS
Corollaire 2 Soient k un sous-corps fermé non discret de K, G un groupe de Lie sur k, et L = L(G). Supposons donnée sur L une structure L' de K-algèbre de Lie normable, compatible avec la struc… 0ACT
Théorème 3 Soient G un groupuscule de Lie, h une sous-algèbre de Lie de L(G) admettant un supplémentaire topologique. Il existe un sous-groupuscule de Lie H de G tel que L(H) = h. Si H₁ et H₂… ↩ 5 0ACU
Proposition 1 Soient G un groupuscule de Lie, H et H' deux sous-groupuscules de Lie. Pour que L(H) ⊃ L(H'), il faut et il suffit que H ∩ H' soit ouvert dans H'. 0ACV
Proposition 2 Soient G un groupe de Lie sur K, k un sous-corps fermé non discret de K, H un sous-groupe de Lie du k-groupe de Lie G. On suppose que L(H) est un sous-K-espace vectoriel de L(G) ad… ↩ 2 0ACW
Théorème 4 Soient G un groupuscule de Lie, L son algèbre de Lie, V un voisinage ouvert de 0 dans L, φ une application analytique de V dans G telle que φ(0) = 0 et T₀(φ) = Id_L. Les conditions… ↩ 4 0ACX
Définition 1 Soient G un groupuscule de Lie, L son algèbre de Lie. On appelle application exponentielle de G toute application analytique φ, définie dans un voisinage ouvert de 0 dans L, à vale… ↩ 1 0ACY
Exemple 1 Prenons pour G le groupe additif d’un espace normable complet E. L’isomorphisme canonique de L(G) sur E vérifie la condition (i) du th. 4, donc est une application exponentielle de… 0ACZ
Exemple 2 Soit A une algèbre associative unifière normée complète. Soit A le groupe de Lie formé par les éléments inversibles de A. Identifions L(A) à A (§ 3, n° 9, cor. de la prop. 33). Si… 0E8F
Proposition 3 Soient G un groupuscule de Lie, L son algèbre de Lie, et φ une application exponentielle de G. Soient L₁, ..., Lₙ des sous-espaces vectoriels de L tels que L soit somme directe top… ↩ 1 0AD0
Proposition 4 Soient G un groupuscule de Lie, φ une application exponentielle injective de G. Quels que soient x, y dans L(G), on a ↩ 3 0AD1
Proposition 5 Soient G un groupe de Lie, k un sous-corps fermé non discret de K, G' le groupe G considéré comme groupe de Lie sur k, φ (resp. φ') une application exponentielle de G (resp. G'). A… ↩ 1 0AD2
Proposition 6 Soient G un groupuscule de Lie, L son algèbre de Lie, φ : V → G une application exponentielle de G. Pour tout x ∈ V, identifions Tx(L) à L, de telle sorte que la différentielle dro… ↩ 1 0AD3
Proposition 7 (i) Si t ∈ Z, une application puissance t-ème coïncide dans un voisinage de e avec l’application g ↦ gᵗ. ↩ 1 0AD4
Proposition 8 Soient G et H des groupuscules de Lie, h un morphisme de G dans H, φ_G et φ_H des applications exponentielles relativement à G et H. Il existe un voisinage V de 0 dans L(G) tel que… ↩ 3 0AD5
Corollaire 1 Soient G un groupuscule de Lie, G' un sous-groupuscule de Lie de G, φ une application exponentielle de G. ↩ 1 0AD6
Corollaire 2 Soient G un groupe de Lie, ρ une représentation linéaire analytique de G, φ une application exponentielle de G. Il existe un voisinage V de 0 dans L(G) tel que ρ(φ(x)) = exp(L(ρ)x)… ↩ 2 0AD7
Corollaire 3 Soient G un groupe de Lie, φ une application exponentielle de G. (i) Il existe un voisinage V de 0 dans L(G) tel que Ad(φ(x)) = exp ad x pour tout x ∈ V. (ii) Si g ∈ G, il existe u… ↩ 1 0AD8
Lemme 4 Soient G un groupe de Lie de dimension finie, Ω un voisinage ouvert symétrique de e dans G, H un sous-ensemble de Ω contenant e, tel que les conditions x ∈ H, y ∈ H, xy⁻¹ ∈ Ω entra… ↩ 1 0AD9
Définition 2 On dit que 𝔥 est la sous-algèbre tangente à H en e. ↩ 1 0ADA
Proposition 9 Soient G un groupe de Lie de dimension finie, H un sous-groupe de G. ↩ 2 0ADB
Définition 3 La structure de groupe de Lie sur H définie dans la prop. 9 s’appelle la structure induite sur H par la structure de groupe de Lie de G. ↩ 1 0ADC
Lemme 5 Soient X une variété de classe C^r, F et F' des fibrés vectoriels de classe C^r et de base X, φ un morphisme de F dans F'. Pour tout x ∈ X, soit Sx l’ensemble des (a, φ(a)) ∈ Fₓ ⊕… ↩ 2 0ADD
Lemme 6 Soient G un groupuscule de Lie, ω la forme différentielle gauche canonique de G (§ 3, n° 18.9), M une variété de classe C^r (r ≥ 2), α une forme différentielle de classe C^{r-1} et… ↩ 1 0ADE
Théorème 5 Soient G un groupuscule de Lie, M une variété de classe Cʳ (r ≥ 2), α une forme différentielle de classe Cʳ⁻¹ et de degré 1 sur M à valeurs dans L(G), telle que dα + [α]² = 0. Pour… ↩ 2 0ADF
Proposition 10 Soient M une variété analytique, g une algèbre de Lie normable complète, α une forme différentielle de degré 1 analytique sur M, à valeurs dans g, possédant les propriétés suivante… ↩ 1 0ADG
Corollaire Soit M une variété analytique de dimension finie n. Soient ω₁, …, ωₙ des formes différentielles analytiques de degré 1 sur M, à valeurs scalaires, linéairement indépendantes en tou… 0ADH
Proposition 11 Soient G₁ et G₂ des groupuscules de Lie, X₁ et X₂ des variétés de classe Cʳ (r geqslant 2). Pour i = 1, 2, soient ψᵢ un morceau de loi d’opération à gauche de classe Cʳ de Gᵢ dans… 0ADI
Corollaire Soient G un groupuscule de Lie, X une variété de classe Cʳ. Considérons deux morceaux de lois d’opérations à gauche de classe Cʳ de G dans X. On suppose que, pour tout a ∈ L(G), le… ↩ 3 0ADJ
Théorème 6 Soient G un groupuscule de Lie, X une variété de classe Cʳ (r geqslant 2), et x₀ un point de X. Soit a ↦ Dₐ une loi d’opération infinitésimale à gauche de classe Cʳ⁻¹ de L(G) dans… ↩ 1 0ADK
Corollaire 1 Soient G un groupuscule de Lie, X une variété paracompacte de classe Cʳ (r ≥ 2). Soit a ↦ Dₐ une loi d’opération infinitésimale à gauche de classe Cʳ⁻¹ de L(G) dans X. ↩ 2 0ADL
Corollaire 2 Soient X une variété paracompacte de classe Cʳ (r ≥ 2), et ξ un champ de vecteurs de classe Cʳ⁻¹ sur X. Il existe un morceau de loi d’opération ψ de classe Cʳ⁻¹ de K dans X tel que… ↩ 1 0ADM
Remarque On peut bien entendu remplacer partout, dans ce n°, les lois d’opérations à gauche par les lois d’opérations à droite. 0ADN

§ 5. Calculs formels dans les groupes de Lie

Proposition 2 (i) On a ψⱼ ≡ 0 mod deg j. (ii) Si t ∈ K, on a ↩ 2 0AE2
Remarque 1 Ecrivons la condition (ii) de la prop. 2 pour t entier ≥ 0: 0AE3
Remarque 2 On voit que ψ₀(x) = 0, ψ₁(x) = x, ψ₂(x) = x^[2] - 2x, 0E8G
Remarque 3 L’expression précédente de ψ₂ et la formule (6) prouvent que 0E8H
Remarque 4 Notons ψ_p,m(x) et h_t,m(x) les composantes homogènes de degré m de ψₚ(x) et de x^[t]. On a ψ_p,m = 0 pour m < p. D’autre part, la prop. 2 (ii) donne 0E8I
Remarque 5 Si K est de caractéristique > 0, les résultats des n° 1 et 2 restent valables à condition de définir e_α, au n° 2, par ⟨ e_α, ∑_β λ_β x^β ⟩ = λ_α. Au n° 3, si on définit les ψⱼ com… 0E8J
Proposition 3 On a ↩ 2 0AE4
Proposition 4 Pour que la carte utilisée de G soit canonique, il faut et il suffit que ψⱼ = 0 pour j ≥ 2. 0AE5

§ 6. Groupes de Lie réels ou complexes

Lemme 1 Soient G un groupe topologique simplement connexe,¹ W un voisinage ouvert connexe symétrique de e, H un groupe, f une application de W³ dans H telle que f(xyz) = f(x)f(y)f(z) pour… ↩ 2 0AE8
Théorème 1 Soient G et H des groupes de Lie, h un morphisme continu de L(G) dans L(H). On suppose G simplement connexe. Alors il existe un morphisme φ de groupes de Lie de G dans H, et un seu… ↩ 5 0AE9
Corollaire Soit G un groupe de Lie simplement connexe de dimension finie. Il existe une représentation linéaire analytique de dimension finie de G dont le noyau est discret. ↩ 2 0AEA
Remarque 1 Il existe des groupes de Lie simplement connexes de dimension finie qui ne possèdent aucune représentation linéaire analytique injective de dimension finie (exerc. 2). 0AEB
Remarque 2 Il existe des groupes de Lie connexes G de dimension finie tels que toute représentation linéaire analytique de dimension finie de G ait un noyau non discret (exerc. 3 et 4). 0E8K
Définition 1 Soit G un groupe de Lie. On appelle sous-groupe intégral de G un sous-groupe H muni d’une structure de groupe de Lie connexe telle que l’injection canonique de H dans G soit une im… 0AEC
Exemple 1 Un sous-groupe de Lie connexe de G est un sous-groupe intégral de G. 0AED
Exemple 2 Supposons G de dimension finie. Soit H un sous-groupe de G; munissons-le de la structure induite par la structure de groupe de Lie de G (§ 4, n° 5, déf. 3). Alors sa composante neu… 0E8L
Exemple 3 Soient G un groupe de Lie complexe, H un sous-groupe intégral de G, G1 (resp. H1) le groupe de Lie réel sous-jacent à G (resp. H). Alors H1 est un sous-groupe intégral de G1, et L(… 0E8M
Théorème 2 Soit G un groupe de Lie. ↩ 3 0AEE
Remarque 1 Soit H un sous-groupe intégral de G. Soit Y le feuilletage gauche de G associée à L(H). Si g ∈ G, munissons gH de la structure de variété déduite de celle de H par γ(g). D’après VA… ↩ 1 0AEF
Proposition 1 Soient G et M des groupes de Lie, H un sous-groupe intégral de G, φ un morphisme de M dans G tel que L(φ)(L(M)) ⊂ L(H). On suppose M connexe. Alors φ(M) ⊂ H, et φ, considéré comme… ↩ 5 0AEG
Corollaire 1 Soient G et H des groupes de Lie, φ un morphisme de groupes de Lie de G dans H, N le noyau de φ, et h = L(φ). Supposons G connexe et H de dimension finie. ↩ 3 0AEH
Corollaire 2 Soient G un groupe de Lie, H₁ et H₂ des sous-groupes intégraux de G. Si L(H₂) ⊂ L(H₁), alors H₂ est un sous-groupe intégral de H₁. Soient i₁ : H₁ → G, i₂ : H₂ → G les injections ca… ↩ 2 0AEI
Corollaire 3 Soient G un groupe de Lie de dimension finie, (Hᵢ)_i ∈ I une famille de sous-groupes de Lie de G. Alors H = ⋂_i ∈ I Hᵢ est un sous-groupe de Lie de G, et L(H) = ⋂_i ∈ I L(Hᵢ). Il e… ↩ 1 0AEJ
Corollaire 4 Soit G un groupe de Lie connexe de dimension finie. Les conditions suivantes sont équivalentes: (i) G est unimodulaire (INT, VII, § 1, no 3, déf. 3); (ii) det Ad g = 1 pour tout g… 0AEK
Proposition 2 Soient G un groupe de Lie de dimension finie, H un sous-groupe intégral de G. Les conditions suivantes sont équivalentes: (i) H est fermé; (ii) la topologie de H est induite par ce… ↩ 1 0AEL
Proposition 3 Soient G un groupe de Lie, H un sous-groupe intégral de G, M une variété analytique connexe non vide, f une application de M dans G et r ∈ N_K. Considérons les conditions suivantes… ↩ 5 0AEM
Corollaire 1 Soient G un groupe de Lie de dimension finie, H un sous-groupe intégral de G. Alors la sous-algèbre de Lie tangente en e à H (§ 4, n° 5, déf. 2 et 3) est L(H), et la structure de g… 0AEN
Corollaire 2 Soient G un groupe de Lie, H₁ et H₂ des sous-groupes intégraux de G. On suppose que la topologie de H₁ admet une base dénombrable. Alors H₂ ⊂ H₁ ⇔ L(H₂) ⊂ L(H₁), et, si ces conditi… ↩ 3 0AEO
Corollaire 3 Soient G un groupe de Lie, H₁ et H₂ des sous-groupes intégraux de G dont la topologie admet une base dénombrable. Si H₁ et H₂ ont même ensemble sous-jacent, les structures de group… ↩ 1 0AEP
Remarque 2 Soit G un groupe de Lie de dimension finie. Soit H un sous-groupe de G. Nous dirons, par abus de langage, que H est un sous-groupe intégral de G s’il existe une structure S de grou… ↩ 1 0AEQ
Remarque 3 Soit V une variété de classe Cʳ. Soient M une partie de V, x et y des éléments de M. Considérons la propriété suivante: P_M,x,y: il existe I, x₀, x₁, …, xₙ f₁, …, fₙ tels que: a) I… ↩ 1 0AER
Proposition 4 Soient G un groupe de Lie de dimension finie, H un sous-groupe de G. Soit r ∈ N_K. Les conditions suivantes sont équivalentes: (i) H est un sous-groupe intégral de G; (ii) muni de… 0AES
Remarque 4 Si K = R, on peut aussi caractériser les sous-groupes intégraux de G comme les sous-groupes qui, munis de la topologie induite par celle de G, sont connexes par arcs (§ 8, exerc. 4… 0AET
Corollaire Soient G un groupe de Lie de dimension finie, H₁ et H₂ deux sous-groupes intégraux de G. Le sous-groupe de G engendré par H₁ et H₂, et le sous-groupe (H₁, H₂) de G, sont des sous-g… ↩ 1 0AEU
Définition 2 Soit a une algèbre de Lie de dimension finie. On note Ad(a) ou Int(a), le sous-groupe intégral de Aut(a) d’algèbre de Lie ad(a). Les éléments de ce groupe s’appellent automorphisme… ↩ 4 0AEV
Théorème 3 (i) Si L est une algèbre de Lie de dimension finie, il existe un groupe de Lie G simplement connexe tel que L(G) soit isomorphe à L. ↩ 2 0AEW
Proposition 5 Soit G un groupe de Lie réel connexe. Supposons donnée sur L(G) une structure d’algèbre de Lie normable complexe L’ compatible avec sa structure d’algèbre de Lie normable réelle. I… 0AEX
Proposition 6 Soit G un groupe de Lie complexe connexe. Si G est compact, G est commutatif. ↩ 2 0AEY
Théorème 4 Soit G un groupe de Lie. Il existe une application exponentielle de G et une seule définie dans L(G). 0AEZ
Exemple Soit A une algèbre associative unifière normée complète. Alors expA est l’application exponentielle définie au chap. II, § 7, n° 3. 0AF0
Proposition 7 Soient G un groupe de Lie, a un élément de L(G). L’application λ ↦ exp(λ a) de K dans G est l’unique morphisme φ du groupe de Lie K dans G tel que (T₀ φ)1 = a. ↩ 1 0AF1
Proposition 8 Soit G un groupe de Lie. Quels que soient x, y dans L(G), on a, en notant n un entier, ↩ 5 0AF2
Proposition 9 Soient G un groupe de Lie complexe, G’ le groupe de Lie réel sous-jacent. Alors exp_G = exp_G'. 0AF3
Proposition 10 Soient G et H des groupes de Lie, φ un morphisme de G dans H. (i) φ ∘ exp_G = exp_H ∘ L(φ). (ii) Si G est un sous-groupe intégral de H, on a exp_G = exp_H|L(G). ↩ 3 0AF4
Corollaire 1 Soient G un groupe de Lie, G’ un sous-groupe de Lie de G, et a ∈ L(G). Les conditions suivantes sont équivalentes: (i) a ∈ L(G'); 0AF5
Corollaire 2 Soient G un groupe de Lie, H un sous-groupe intégral de G, et a ∈ L(G). Considérons les conditions suivantes: (i) a ∈ L(H); (ii) exp_G(λ a) ∈ H pour tout λ ∈ K. On a (i) ⇒ (ii). Si… 0AF6
Corollaire 3 Soient G un groupe de Lie, ρ une représentation linéaire analytique de G, x ∈ L(G) et g ∈ G. (i) ρ(exp x) = exp L(ρ)x; (ii) Ad(exp x) = exp ad x; (iii) g(exp x)g⁻¹ = exp(Ad g.x). O… ↩ 5 0AF7
Corollaire 4 Soit G un groupe de Lie connexe de dimension finie. (i) On a Int(L(G)) = Ad(G). (ii) Soit Z le centre de G. Alors Z est un sous-groupe de Lie de G dont l’algèbre de Lie est le cent… ↩ 5 0AF8
Définition 3 Soit G un groupe de Lie connexe de dimension finie. Le groupe de Lie Int(L(G)) = Ad(G) s’appelle le groupe adjoint de G. 0AF9
Proposition 11 Soit G un groupe de Lie commutatif connexe. (i) exp est un morphisme étale du groupe de Lie additif L(G) sur G. (ii) Si K = R, et si G est de dimension finie, G est isomorphe à un… ↩ 1 0AFA
Proposition 12 Soient G un groupe de Lie, et L = L(G). Pour tout x ∈ L, identifions Tx(L) à L, de sorte que la différentielle droite ω(x) de exp en x est une application linéaire de L dans L. Pou… ↩ 2 0AFB
Remarque On a ω(x) . (ad x) = exp ad x − 1. On écrit, par abus de notation, 0AFC
Corollaire Soient G un groupe de Lie complexe, et x ∈ L(G). L’application tangente en x à expG a pour noyau ⨁_n ∈ Z - 0 Ker(ad\ x - 2iπ n). 0AFD
Lemme 2 Soient E un espace de Banach complexe, u un élément de L(E), S le spectre de u dans L(E) (TS, I, § 1, n° 2), f une fonction complexe holomorphe dans un voisinage ouvert Ω de S. On… ↩ 1 0AFE
Proposition 13 Soient G un groupe de Lie connexe, ρ une représentation linéaire analytique de G dans un espace normable complet E. Soient E₁, E₂ deux sous-espaces vectoriels fermés de E tels que… ↩ 3 0AFF
Corollaire 1 Pour que E₁ soit stable pour ρ, il faut et il suffit que E₁ soit stable pour L(ρ). Il suffit de faire E₁ = E₂ dans la prop 13. ↩ 2 0AFG
Corollaire 2 Supposons ρ de dimension finie. Pour que ρ soit simple (resp. semi-simple), il faut et il suffit que L(ρ) soit simple (resp. semi-simple). Cela résulte du cor. 1. ↩ 3 0AFH
Corollaire 3 Soit x ∈ E. Pour que x soit invariant par ρ(G), il faut et il suffit que x soit annulé par L(ρ)(L(G)) (c’est-à-dire que x soit invariant par L(ρ) au sens du chap. I, § 3, déf. 3)… ↩ 4 0AFI
Corollaire 4 Soit ρ' une autre représentation linéaire analytique de G dans un espace normable complet E'. Soit T ∈ L(E, E'). Les conditions suivantes sont équivalentes: (i) Tρ(g) = ρ'(g)T pour… ↩ 1 0AFJ
Corollaire 5 Supposons ρ et ρ' de dimension finie. Pour que ρ et ρ' soient équivalentes, il faut et il suffit que L(ρ) et L(ρ') soient équivalentes. C’est un cas particulier du cor. 4. 0AFK
Corollaire 6 Supposons G de dimension finie. Soit t ∈ U(G). Pour que Lt (resp. Rt) soit invariant à droite (resp. à gauche), il faut et il suffit que t appartienne au centre de U(G). 0AFL
Lemme 3 Soient G un groupe de Lie, H1 et H2 des sous-groupes intégraux dont la topologie admet une base dénombrable, et g ∈ G. Alors ↩ 1 0AFM
Proposition 14 Soient G un groupe de Lie, H un sous-groupe intégral dont la topologie admet une base dénombrable. Les conditions suivantes sont équivalentes: (i) H est distingué dans G; (ii) L(H)… ↩ 6 0AFN
Corollaire 1 Soit G un groupe de Lie simplement connexe de dimension finie. Soient m, h des sous-algèbres de Lie de L(G) telles que L(G) soit produit semi-direct de m par h. Soient M, H les sou… ↩ 3 0AFO
Corollaire 2 Soient G un groupe de Lie simplement connexe de dimension finie, H un sous-groupe de Lie connexe distingué de G, et π le morphisme canonique de G sur G/H. ↩ 1 0AFP
Corollaire 3 Soient G un groupe de Lie connexe de dimension finie, H un sous-groupe de Lie connexe distingué de G. Le morphisme canonique de π₁(H) dans π₁(G) est injectif. 0AFQ
Proposition 15 Soient G un groupe de Lie, M une variété de classe Cʳ (r geqslant 2), α une forme différentielle de classe Cʳ⁻¹ et de degré 1 sur M à valeurs dans L(G), telle que dα + [α]² = 0. On… 0AFR
Lemme 4 Soient G un groupe topologique connexe, X un espace topologique séparé, et f₁, f₂ des lois d’opérations à gauche (resp. à droite) de G dans X telles que, pour tout x ∈ X, les appli… ↩ 3 0AFS
Proposition 16 Soient G un groupe de Lie connexe, X une variété séparée de classe Cʳ, et f₁, f₂ des lois d’opérations à gauche (resp. à droite) de classe Cʳ de G dans X. Si les lois d’opérations… ↩ 1 0AFT
Lemme 5 Soient G un groupe topologique simplement connexe, X un espace topologique séparé, U un voisinage ouvert de e dans G, ψ une application continue de U × X dans X telle que ψ(e, x) =… ↩ 1 0AFU
Théorème 5 Soient G un groupe de Lie simplement connexe, X une variété compacte de classe Cʳ (r ≥ 2), et a ↦ Dₐ une loi d’opération infinitésimale à gauche (resp. à droite) de classe Cʳ⁻¹ de… ↩ 2 0AFV
Proposition 17 Soient Δ l’ensemble des z ∈ C tels que -π < J(z) < π, et Δ' l’ensemble des z ∈ C qui ne sont pas réels leqslant 0. Soient E un espace normable complet sur C, A (resp. A') l’ensembl… ↩ 4 0AFW
Théorème 6 Soient E un espace hilbertien réel ou complexe, U le groupe unitaire de E. ↩ 1 0AFX
Proposition 18 Soient E un espace normable complet sur C, v ∈ L(E), et g = exp v. On suppose que Sp(v) ne contient aucun des points 2iπ n avec n ∈ Z - 0. Alors, pour tout x ∈ E, les conditions vx… ↩ 1 0AFY
Corollaire 1 Soient E un espace normable complet sur C, F l’espace des applications n-linéaires continues de Eⁿ dans E. Pour tout v ∈ L(E), soit σ(v) l’élément de L(F) défini par (σ(v)f)(x₁, …… ↩ 1 0AFZ
Lemme 6 Si v ∈ L(E), on a Sp σ(v) ⊂ Sp v + Sp v + ⋯ + Sp v où la somme comporte n+1 termes. ↩ 1 0AG0
Corollaire 2 Soient E une algèbre normable complète sur C, et w ∈ L(E). On suppose que tout z ∈ Sp w vérifie |J(z)| < 2π/3. Les conditions suivantes sont équivalentes: (i) w est une dérivation… 0E8N
Proposition 19 Soient E un espace normable complet sur C, v ∈ L(E), et g = exp v. On suppose que tout z ∈ Sp v vérifie -π < J(z) < π. Alors, pour tout sous-espace vectoriel fermé E' de E, les con… ↩ 1 0AG2
Corollaire Soient E un espace normable complet sur C, v ∈ L(E), et g = exp v. On suppose que tout z ∈ Sp\ v vérifie -π/2 < J(z) < π/2. Alors, pour tout sous-espace vectoriel fermé M de L(E)… 0AG3
Lemme 7 Soient B un groupe, A un sous-groupe distingué de B, C le groupe B/A, i : A → B et p : B → C les morphismes canoniques. Soient A' un groupe, f un homomorphisme de A dans A'. Soit ω… ↩ 1 0AG4
Proposition 20 Soit G un groupe de Lie réel de dimension finie. ↩ 2 0AG5
Définition 4 On dit que (tildeG, γ), ou simplement tildeG, est la complexification universelle de G. 0AG6
Remarque 1 Soit (tildeG, γ) la complexification universelle de G. Soit G₀ (resp. tildeG₀) la composante neutre de G (resp. tildeG). D’après la démonstration de la prop. 20, (tildeG₀, γ|G₀) es… 0AG7
Remarque 2 Supposons G simplement connexe. Soient g = L(G), g_C la complexification de g, S' le groupe de Lie complexe simplement connexe d’algèbre de Lie g_C, σ le morphisme de G dans S' tel… 0E8O

§ 7. Groupes de Lie sur un corps ultramétrique

Proposition 1 Soit G un groupuscule de Lie d’élément neutre e. Il existe un système fondamental de voisinages ouverts de e dans G formé des sous-groupes de Lie de G. ↩ 4 0AH2
Théorème 1 Soit L une algèbre de Lie normable complète. Il existe un groupe de Lie G tel que L(G) soit isomorphe à L. Deux tels groupes sont localement isomorphes. La première assertion a été… ↩ 2 0AH3
Théorème 2 Soient G un groupe de Lie, 𝔥 une sous-algèbre de Lie de L(G) admettant un supplémentaire topologique. Il existe un sous-groupe de Lie H de G tel que L(H) = 𝔥. Si H₁ et H₂ sont des… 0AH4
Théorème 3 Soient G et H des groupes de Lie, 𝔥 un morphisme continu de L(G) dans L(H). (i) Il existe un sous-groupe ouvert G' de G et un morphisme de groupes de Lie φ de G' dans H tel que h =… ↩ 1 0AH5
Proposition 2 Soient G un groupe de Lie, 𝔥 une sous-algèbre de Lie de L(G) admettant un supplémentaire topologique. Les conditions suivantes sont équivalentes: (i) Il existe un sous-groupe ouver… 0AH6
Proposition 3 Soit G un groupe de Lie. Il existe une application exponentielle φ de G ayant les propriétés suivantes: (i) φ est définie dans un sous-groupe ouvert U du groupe additif L(G); (ii)… ↩ 4 0AH7
Proposition 4 Soient G un groupe de Lie, φ une application exponentielle injective de G. Supposons p 0. Quels que soient x, y dans L(G), on a (1) x + y = lim_n → + ∞ p⁻ⁿ φ⁻¹(φ(pⁿ x) φ(pⁿ y)) (2)… 0AH8
Définition 1 Soit r un entier ≥ 0. On appelle groupe standard de dimension r sur K un groupe de Lie G possédant les propriétés suivantes: (i) la variété analytique sous-jacente de G est m × m ×… ↩ 2 0AH9
Exemple Soit G = 1 + Mₙ(m), qui est une partie ouverte de Mₙ(K). Si x ∈ G, on a det x ∈ 1 + m, donc G ⊂ GL(n, K). Il est clair que GG ⊂ G. Si x = 1 + y avec y ∈ Mₙ(m), le calcul de l’inver… 0AHA
Théorème 4 Soit G un groupe de Lie de dimension finie. Il existe un sous-groupe ouvert de G isomorphe à un groupe standard. ↩ 3 0AHB
Proposition 5 Soit G un groupe standard. ↩ 1 0AHC
Corollaire Supposons K localement compact et soit q = Card (A/m). 0AHD
Proposition 6 Soient a, b, c, c' des idéaux non nuls de A contenus dans m tels que c' ⊂ c, ab ⊂ c, ab² ⊂ c', a²b ⊂ c'. Si x ∈ G(a) et y ∈ G(b), alors x^[-1] . y^[-1] . x.y, x.y . x^[-1] . y^[-1]… ↩ 1 0AHE
Proposition 7 (i) La famille (G(a_λ)) est une filtration centrale sur G (chap. II, § 4, n° 4, déf. 2). (ii) Pour λ ∈ R₊^*, on a G(a_λ) = x ∈ G | ω(x) ≥ λ , G(a_λ⁺) = x ∈ G | ω(x) > λ . (ii) est… 0AHF
Proposition 8 Soient n ∈ Z, et hₙ l’application x ↦ xⁿ de G dans G. Soit a un idéal non nul de A contenu dans m, tel que n ∉ a. Alors hₙ|G(a) est un isomorphisme de la variété analytique G(a) su… ↩ 1 0AHG
Corollaire Si n est inversible dans A, hₙ est un isomorphisme de la variété analytique G sur elle-même. Pour tout idéal non nul a de A contenu dans m, on a hₙ(G(a)) = G(a). Pour tout x ∈ G, o… 0AHH
Proposition 9 Supposons p ≠ 0. (i) Soient a, b des idéaux non nuls de A tels que b ⊂ a ⊂ m. Dans le groupe G(a)/G(b), tout élément admet pour ordre une puissance de p. (ii) Supposons v(p) = 1. S… ↩ 2 0AHI
Lemme 1 On suppose p ≠ 0. Soient G un groupe de Lie, G₁ un sous-groupe ouvert de G qui soit isomorphe à un groupe standard, et x ∈ G. Les conditions suivantes sont équivalentes: (i) il exi… ↩ 3 0AHJ
Proposition 10 On suppose p ≠ 0. Soit G un groupe de Lie de dimension finie. Soit G_f l’ensemble des x ∈ G pour lesquels il existe une suite strictement croissante (nᵢ) d’entiers tels que x^nᵢ te… ↩ 1 0AHK
Définition 2 L’application ψ de la prop. 10 s’appelle l’application logarithme de G, et se note log_G ou simplement log. 0AHL
Proposition 11 Supposons p ≠ 0. Soient x, y deux éléments permutables de G_f. On a xy ∈ G_f et log(xy) = log x + log y. 0AHM
Proposition 12 Supposons p ≠ 0. Soit x ∈ G_f. Les conditions suivantes sont équivalentes: (i) log x = 0; (ii) x est d’ordre fini dans G. 0AHN
Proposition 13 Supposons p ≠ 0. Si G est compact ou standard, on a G_f = G. ↩ 2 0AHO
Corollaire Supposons K localement compact. Alors G_f est la réunion des sous-groupes compacts de G. 0AHP
Exemple Supposons K localement compact. Soit U l’ensemble des éléments inversibles de A; c’est un sous-groupe ouvert et compact du groupe de Lie K^*. On a U ⊂ (K^*)_f, d’après la prop. 13… 0AHQ
Proposition 14 On suppose que p ≠ 0 et que v est choisie de telle sorte que v(p) = 1. Soient G un groupe standard, E(X) (resp. L(X)) le développement en série entière en 0 d’une application expon… 0AHR

§ 8. Groupes de Lie sur R ou Q_p

Théorème 1 Soient G et H deux groupuscules de Lie sur R ou Qₚ. Soit f un morphisme continu de G dans H. Alors f est analytique. ↩ 5 0AI2
Corollaire 1 Soit G un groupe topologique. Il existe sur G au plus une structure de variété analytique sur R (resp. Qₚ) compatible avec la structure de groupe et la topologie de G. Cela résulte… ↩ 1 0AI3
Définition 1 On dit qu’un groupe topologique G est un groupe de Lie réel (resp. p-adique) s’il existe sur G une structure de groupe de Lie réel (resp. p-adique) compatible avec sa topologie. 0AI4
Corollaire 2 Soient G un groupe topologique, V un voisinage ouvert de e. On suppose V muni d’une structure de variété analytique qui en fait un groupuscule de Lie réel (resp. p-adique). Alors G… ↩ 1 0AI5
Remarque 1 Le th. 1 et ses corollaires deviennent inexact si on y remplace R (resp. Qp) par exemple par C (exerc. 1). 0AI6
Remarque 2 Soit G un groupe topologique. On peut montrer¹ que les conditions suivantes sont équivalentes : a) G est un groupe de Lie réel de dimension finie ; b) G est localement compact et i… 0E8P
Proposition 1 Soient G, G’ des groupes topologiques, f un morphisme continu de G dans G’. On suppose qu’on est dans l’un des trois cas suivants : 0AI7
Théorème 2 Soit G un groupe de Lie de dimension finie sur R ou Qp. Tout sous-groupe fermé de G est un sous-groupe de Lie de G. Plus généralement, soient U un voisinage ↩ 8 0AI8
Corollaire 1 Soient G' un groupe localement compact, G un groupe de Lie de dimension finie sur R (resp. Qₚ), f un morphisme continu de G' dans G. Si le noyau de f est discret, G' est un groupe… 0AI9
Corollaire 2 Soient G un groupe de Lie de dimension finie sur K, H un sous-groupe de G, V un voisinage ouvert de e dans G, (Mᵢ)_i ∈ I une famille de variétés analytiques sur K; pour tout i ∈ I… ↩ 2 0AIA

§ 9. Commutateurs, centralisateurs, normalisateurs dans un groupe de Lie

Proposition 1 Soient G un groupe topologique, A et B des sous-groupes de G. On a (overlineA, overlineB) = (overlineA, overlineB), overlineDⁱA = overlineDⁱA, overlineCⁱA = overlineCⁱA. ↩ 5 0AII
Corollaire 1 Si G est séparé, les conditions suivantes sont équivalentes: 0AIJ
Corollaire 2 Soient G un groupe topologique séparé, A un sous-groupe de G. Pour que A soit résoluble (resp. nilpotent, commutatif), il faut et il suffit que overlineA le soit. ↩ 3 0AIK
Proposition 2 Soient G un groupe topologique, A et B des sous-groupes de G. Si A est connexe, (A, B) est connexe. ↩ 1 0AIL
Proposition 3 Soient G un groupe de Lie de dimension finie, H1 et H2 des sous-groupes de G. Soient h1, h2 et h la sous-algèbre de Lie tangente en e à H1, H2 et (H1, H2) respectivement. Alors [h1… ↩ 3 0AIM
Remarque Même si H1 et H2 sont des sous-groupes de Lie connexes de G, la sous-algèbre de Lie de L(G) engendrée par [h1, h2] est distincte de h en général. 0AIN
Proposition 4 Soit G un groupe de Lie réel ou complexe de dimension finie. Soient A, B, C des sous-groupes intégraux de G tels que [L(A), L(C)] ⊂ L(C), [L(B), L(C)] ⊂ L(C). Si [L(A), L(B)] ⊂ L(C… ↩ 3 0AIO
Corollaire Soit G un groupe de Lie réel ou complexe, connexe, de dimension finie, d’algèbre de Lie g. Les sous-groupes D^iG (resp. C^iG) sont des sous-groupes intégraux d’algèbres de Lie D^ig… ↩ 4 0AIP
Proposition 5 Soient G un groupe de Lie réel ou complexe de dimension finie, A un sous-groupe intégral de G. On a D\overline{A} = DA. En particulier, A est un sous-groupe distingué de \overline{… ↩ 1 0AIQ
Proposition 6 Supposons K ultramétrique. Soit G un groupe de Lie de dimension finie. Soient A, B, C des sous-groupes de Lie de G tels que [L(A), L(C)] ⊂ L(C), [L(B), L(C)] ⊂ L(C). Si [L(A), L(B)… ↩ 1 0AIR
Corollaire Supposons K ultramétrique. Soit G un groupe de Lie de dimension finie, d’algèbre de Lie g. Il existe un sous-groupe ouvert G₀ de G tel que, pour tout i, Dⁱ G₀ (resp. Cⁱ G₀) soit un… ↩ 1 0AIS
Proposition 7 Soient G un groupe de Lie de dimension finie, g son algèbre de Lie, a une partie de g. Alors Z_G(a) est un sous-groupe de Lie de G d’algèbre de Lie δ_g(a). Cela résulte du § 3, pro… ↩ 2 0AIT
Proposition 8 Soient G un groupe de Lie réel ou complexe de dimension finie, g son algèbre de Lie, A une partie de G. Alors Z_G(A) est un sous-groupe de Lie de G d’algèbre de Lie δ_g(A). Supposo… ↩ 4 0AIU
Proposition 9 Soient G un groupe de Lie réel ou complexe de dimension finie, g son algèbre de Lie, A un sous-groupe intégral de G, a = L(A). Alors Z_G(A) = Z_G(a), δ_g(A) = δ_g(a), et Z_G(A) est… ↩ 2 0AIV
Proposition 10 Soient G un groupe de Lie de dimension finie, g son algèbre de Lie, a un sous-espace vectoriel de g. Alors N_G(a) est un sous-groupe de Lie de G d’algèbre de Lie n_g(a). ↩ 2 0AIW
Proposition 11 Soient G un groupe de Lie réel ou complexe de dimension finie, g son algèbre de Lie, A un sous-groupe intégral de G, et a = L(A). Alors N_G(A) = N_G(a), et N_G(A) est un sous-group… ↩ 5 0AIX
Corollaire Si a = n_g(a), A est un sous-groupe de Lie de G, et est la composante neutre de N_G(A). ↩ 1 0AIY
Proposition 12 Soit G un groupe de Lie de dimension finie. Pour que L(G) soit nilpotente, il faut et il suffit que G possède un sous-groupe ouvert nilpotent. ↩ 3 0AIZ
Proposition 13 Soit G un groupe de Lie nilpotent simplement connexe de dimension finie sur R ou C. ↩ 2 0AJ0
Proposition 14 Soit G un groupe de Lie connexe de dimension finie sur R ou C. ↩ 3 0AJ1
Proposition 15 Soient G un groupe de Lie nilpotent connexe de dimension finie sur R ou C, A un sous-groupe intégral de G. Alors Z_G(A) est le sous-groupe de Lie connexe de G d’algèbre de Lie δ_G(… 0AJ2
Proposition 16 Soient G un groupe de Lie nilpotent de dimension finie sur R ou C, A un sous-groupe intégral de G distinct de G. Alors N_G(A) est un sous-groupe de Lie connexe de G distinct de A. ↩ 1 0AJ3
Proposition 17 Soient g une algèbre de Lie nilpotente de dimension finie sur K, (g₀, g₁, …, gₙ) une suite décroissante d’idéaux de g tels que g₀ = g, gₙ = 0, [g, g₁] ⊂ gᵢ₊₁ pour 0 ≤ i < n. Soient… 0AJ4
Proposition 18 Soient k un corps commutatif, V un espace vectoriel de dimension finie 0 sur k, G un sous-groupe de GL(V) dont les éléments sont unipotents. ↩ 1 0AJ5
Corollaire 1 Soit G un groupe de Lie réel ou complexe connexe de dimension finie. Pour que G soit nilpotent, il faut et il suffit que tout élément de Ad G soit unipotent. 0AJ6
Corollaire 2 Tout sous-groupe analytique de GL(n, K) formé d’éléments unipotents est un sous-groupe de Lie simplement connexe. 0AJ7
Proposition 19 Soit G un groupe de Lie de dimension finie. Pour que L(G) soit résoluble, il faut et il suffit que G possède un sous-groupe ouvert résoluble. La démonstration est analogue à celle… ↩ 2 0AJ8
Proposition 20 Soient G un groupe de Lie résoluble de dimension finie n sur R ou C, simplement connexe, et g = L(G). Soit (gn, g{n-1}, \ldots, g0) une suite de sous-algèbres de g de dimensions n… ↩ 3 0AJ9
Proposition 21 Soient G un groupe de Lie résoluble de dimension finie sur R ou C, simplement connexe, et M un sous-groupe intégral de G. Alors M est un sous-groupe de Lie de G, et est simplement… ↩ 1 0AJA
Proposition 22 On suppose K = R ou C. Soient V un espace vectoriel de dimension finie, G un sous-groupe résoluble connexe de GL(V). On suppose que la représentation identique de G est simple. (i)… ↩ 1 0AJB
Corollaire Soient V un espace vectoriel complexe de dimension finie 0, G un sous-groupe résoluble connexe de GL(V). (i) Il existe un élément non nul v de V tel que gv ∈ Cv pour tout g ∈ G. (i… 0AJC
Proposition 23 Soient G un groupe de Lie réel ou complexe de dimension finie, r le radical de L(G) (chap. I, § 5, déf. 2), n le plus grand idéal nilpotent de L(G) (chap. I, § 4, n° 4). Soit R (re… ↩ 1 0AJD
Définition 1 Soit G un groupe de Lie réel ou complexe de dimension finie. On appelle radical de G le plus grand sous-groupe distingué résoluble connexe de G. 0AJE
Remarque Même si G est connexe, il peut exister des sous-groupes distingués résolubles de G non contenus dans le radical de G. 0AJF
Proposition 24 On suppose K = R ou C. Soient G1, G2 deux groupes de Lie connexes de dimension finie, R1 et R2 leurs radicaux, φ un morphisme surjectif de G1 dans G2. Alors φ(R₁) = R₂. 0AJG
Proposition 25 On suppose K = R ou C. Soient G1, G2 des groupes de Lie connexes de dimension finie, R1 et R2 leurs radicaux. Le radical de G₁ × G₂ est R₁ × R₂. 0AJH
Proposition 26 Soit G un groupe de Lie réel ou complexe connexe de dimension finie. Les conditions suivantes sont équivalentes: (i) L(G) est semi-simple; (ii) le radical de G est {e}; (iii) tout… ↩ 1 0AJI
Définition 2 Un groupe de Lie réel ou complexe connexe est dit semi-simple s’il est de dimension finie et s’il vérifie les conditions de la prop. 26. 0AJJ
Remarque 1 Soit G un groupe de Lie réel ou complexe connexe de dimension finie. Si G n’est pas semi-simple, G possède un sous-groupe de Lie connexe G’ commutatif et invariant par tout automor… 0AJK
Proposition 27 Soit G un groupe de Lie réel ou complexe connexe de dimension finie. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) L(G) est simple ; (ii) les seuls sous-groupes intégraux distin… ↩ 1 0AJL
Définition 3 Un groupe de Lie réel ou complexe connexe est dit presque simple s’il est de dimension finie et s’il vérifie les conditions de la prop. 27. ↩ 2 0AJM
Proposition 28 Soit G un groupe de Lie réel ou complexe simplement connexe. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) G est semi-simple ; (ii) G est isomorphe au produit d’un nombre fini d… ↩ 2 0AJN
Lemme 1 Soient G un groupe topologique connexe, Z son centre, Z’ un sous-groupe discret de Z. Alors le centre de G/Z’ est Z/Z’. Soit y un élément de G dont la classe modulo Z’ est un éléme… ↩ 3 0AJO
Proposition 29 Soit G un groupe de Lie réel ou complexe connexe semi-simple. (i) G = (G, G). (ii) Le centre Z de G est discret. (iii) Le centre de G/Z est {e}. ↩ 1 0AJP
Proposition 30 (i) Soit g une algèbre de Lie réelle ou complexe semi-simple. Alors Int g est la composante neutre de Aut g. (ii) Soit G un groupe de Lie réel ou complexe connexe semi-simple. Le g… ↩ 1 0AJQ
Remarque 2 Soient g une algèbre de Lie semi-simple complexe, g₀ l’algèbre de Lie réelle sous-jacente. Alors Aut(g) est ouvert dans Aut(g₀). En effet, Int (g₀) ⊂ Aut (g). ↩ 1 0AJR
Proposition 31 Soient G un groupe de Lie réel ou complexe de dimension finie simplement connexe, R son radical. Il existe un sous-groupe de Lie simplement connexe semi-simple S de G tel que G soi… 0AJS
Lemme 2 Soient G un groupe (resp. un groupe topologique), G' un sous-groupe distingué de G, V un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif k (resp. sur K), ρ une représen… ↩ 2 0AJT
Théorème 1 Soient G un groupe de Lie réel ou complexe de dimension finie, G₀ sa composante neutre, R son radical, r le radical de L(G); on suppose que G/G₀ est fini. Soit ρ une représentation… ↩ 4 0AJU
Corollaire 1 Soient ρ, ρ₁, ρ₂ des représentations linéaires analytiques semi-simples de dimension finie de G et n un entier ≥ 0. Alors ρ₁ ⊗ ρ₂, Tⁿ ρ, Sⁿ ρ, ∧ⁿ ρ (Appendice) sont semi-simples. L… ↩ 1 0AJV
Corollaire 2 Soient ρ une représentation linéaire analytique semi-simple de dimension finie de G dans un espace vectoriel V, S l’algèbre symétrique de V, et Sᴳ la sous-algèbre de S formée des é… ↩ 1 0AJW
Corollaire 3 Soient G un groupe de Lie réel ou complexe, G₀ sa composante neutre. On suppose que G₀ est semi-simple et que G/G₀ est fini. Alors toute représentation linéaire analytique de dimen… ↩ 1 0AJX
Proposition 32 Soit G un groupe de Lie réel connexe de dimension finie. On suppose L(G) réductive. Les conditions suivantes sont équivalentes: (i) G/overlineD¹G est compact; (ii) (resp. (ii')) to… ↩ 1 0AJY
Proposition 33 Soient G un groupe de Lie complexe de dimension finie et dont le nombre de composantes connexes est fini, ρ une représentation linéaire analytique de G de dimension finie, G' un so… 0AJZ

§ 10. Le groupe des automorphismes d’un groupe de Lie

Lemme 1 Soient G un groupe de Lie, α un champ de vecteurs sur G. Pour tout g ∈ G, soit β(g) = α(g)g⁻¹ ∈ L(G). Les conditions suivantes sont équivalentes: (i) α est un homomorphisme du grou… ↩ 2 0AL6
Définition 1 Soit G un groupe de Lie. On appelle automorphisme infinitésimal de G tout champ de vecteurs analytique sur G vérifiant les conditions du lemme 1. 0AL7
Lemme 2 Soient K′ un sous-corps fermé non discret de K, A une K′-variété, B et C des K-variétés, f une application K′-analytique de A × B dans C. On suppose que, pour tout a ∈ A, l’applica… ↩ 1 0AL8
Proposition 1 Soient K' un sous-corps fermé non discret de K, G un groupe de Lie sur K, V une variété sur K' et (v, g) ↦ vg une application K'-analytique de V × G dans G. On suppose que, pour to… 0AL9
Proposition 2 Soient G un groupe de Lie réel ou complexe, α un automorphisme infinitésimal de G. Il existe une loi d’opération analytique (λ, g) ↦ φ_λ(g) de K dans G possédant les propriétés sui… ↩ 1 0ALA
Proposition 3 On suppose K ultramétrique. Soient G un groupe de Lie compact, α un automorphisme infinitésimal de G. Il existe un sous-groupe ouvert I de K et une loi d’opération analytique (λ, g… ↩ 2 0ALB
Lemme 3 Soient G et G’ des groupes de Lie, φ un homomorphisme de G dans Aut (G’). Posons f(g, g') = (φ(g))(g') pour g ∈ G, g' ∈ G'. Considérons les conditions suivantes: ↩ 1 0ALC
Lemme 4 Soit H un groupe de Lie simplement connexe de dimension finie. (i) Pour tout u ∈ Aut\ L(H), soit θ(u) l’unique automorphisme de H tel que L(θ(u)) = u. Alors l’application (u, g) ↦… ↩ 1 0ALD
Théorème 1 Soient G un groupe de Lie de dimension finie, G₀ sa composante neutre. On suppose que G est engendré par G₀ et par un nombre fini d’éléments. (i) Il existe sur Aut G une structure… ↩ 4 0ALE
Corollaire 1 Soient G un groupe de Lie réel de dimension finie, G₀ sa composante neutre. On suppose que G est engendré par G₀ et par un nombre fini d’éléments. Alors Aut G, muni de la topologie… 0ALF
Corollaire 2 Soit G un groupe de Lie réel ou complexe connexe semi-simple. Le groupe Int G est la composante neutre de Aut G. ↩ 2 0ALG
Théorème 2 Lorsque K est ultramétrique localement compact et que G est un groupe de Lie compact, les assertions (i), (ii), (iii), (v), (vi) du th. 1 sont vraies. ↩ 1 0ALH
Remarque Si K = Qₚ, et si le groupe de Lie G est engendré par une partie compacte (cf. exerc. 2), les assertions (i), (ii), (iii), (vi) du th. 1 sont encore vraies, mais non (v) (exerc. 3). 0ALI

IV. Groupes de Coxeter et systèmes de Tits

§ 1. Groupes de Coxeter

Définition 1 Soit w \in W. On appelle longueur de w (par rapport à S), et l’on note lS(w) ou simplement l(w), le plus petit entier q \geq 0 tel que w soit produit d’une suite de q éléments de S… 0ALN
Proposition 1 Soient w et w' dans W. On a les formules: 0ALO
Corollaire Soient s = (s1, \ldots, sp) et s' = (s'1, \ldots, s'q) deux suites d’éléments de S telles que w = s1 \ldots sp et w' = s'1 \ldots s'q. Si la suite (s1, \ldots, sp, s'1, \ldots, s'q… 0ALP
Remarque La formule d(w, w') = l(w w'⁻¹) définit une distance d sur W, invariante par les translations à droite, en vertu des formules (1) et (2). 0ALQ
Définition 2 On appelle groupe diédral tout groupe engendré par deux éléments d’ordre 2, distincts. 0ALR
Exemple Soit M le groupe multiplicatif 1, -1, et soit m un entier ≥ 2 (resp. m = ∞). On fait opérer M sur le groupe Z/mZ (resp. sur Z) par (-1) · x = -x, et l’on note Dₘ le produit semi-di… 0ALS
Proposition 2 On suppose que S se compose de deux éléments distincts s et s' d’ordre 2. ↩ 3 0ALT
Remarque Considérons un groupe diédral W d’ordre 2m, engendré par deux éléments distincts s et s' d’ordre 2. Désignons par s_q (resp. s'_q) la suite de longueur q dont les termes de rang im… 0ALU
Définition 3 On dit que (W, S) est un système de Coxeter s’il satisfait à la condition suivante : 0ALV
Exemple 1 Soit m un entier ≥ 2 ou ∞ et soit W un groupe défini par un ensemble générateur S = s, s' et les relations s² = s'² = 1 lorsque m = ∞, s² = s'² = (ss')ᵐ = 1 lorsque m est fini. Con… 0ALW
Exemple 2 Soit 𝔖ₙ le groupe symétrique de degré n, avec n ≥ 2. Soit sᵢ la transposition de i et i+1 pour 1 ≤ i < n, et soit S = s₁, …, sₙ₋₁. On peut montrer (§ 2, n° 4, Exemple et § 1, exerc… 0ALX
Exemple 3 Pour la classification des groupes de Coxeter finis, cf. Chap. VI, § 4. 0ALY
Remarque Supposons que (W, S) soit un système de Coxeter. Il existe un homomorphisme ε de W dans le groupe 1, -1 caractérisé par ε(s) = -1 pour tous s ∈ S. On dit que ε(w) est la signature… 0ALZ
Proposition 3 Supposons que (W, S) soit un système de Coxeter. Pour que deux éléments s et s' de S soient conjugués () dans W, il faut et il suffit que la condition suivante soit remplie: (I) Il… ↩ 2 0AM0
Lemme 1 (i) Soient w ∈ W et t ∈ T. Le nombre (-1)^n(s, t) a la même valeur η(w, t) pour toutes les suites s = (s₁, …, s_q) d’éléments de S telles que w = s₁ … s_q. ↩ 3 0AM1
Lemme 2 Soient s = (s₁, …, s_q), Φ(s) = (t₁, …, t_q) et w = s₁ … s_q. Soit T_w l’ensemble des éléments t ∈ T tels que η(w, t) = -1. Pour que s soit une décomposition réduite de w, il faut… ↩ 4 0AM2
Lemme 3 Soient w ∈ W et s ∈ S tels que l(sw) ≤ l(w). Pour toute suite s = (s₁, …, s_q) d’éléments de S avec w = s₁ … s_q, il existe un entier j tel que 1 ≤ j ≤ q et ↩ 2 0AM3
Remarque L’ensemble T_w défini au lemme 2 se compose des éléments de la forme w''sw''⁻¹ correspondant aux triplets (w', w'', s) ∈ W × W × S tels que w = w''sw' et l(w') + l(w'') + 1 = l(w). 0AM4
Proposition 4 Soient s ∈ S, w ∈ W et s = (s₁, …, s_q) une décomposition réduite de w. Deux cas seulement sont possibles: ↩ 4 0AM5
Lemme 4 Soient w ∈ W de longueur q ≥ 1, D l’ensemble des décompositions réduites de w, et F une application de D dans un ensemble E. On suppose que l’on a F(s) = F(s') si les éléments s =… ↩ 1 0AM6
Proposition 5 Soient M un monoïde (avec élément unité 1) et f une application de S dans M. Pour s, s' dans S, soit m(s, s') l’ordre de ss'; on pose ↩ 3 0AM7
Théorème 1 Pour que (W, S) soit un système de Coxeter, il faut et il suffit qu’il satisfasse à la condition d’échange (E) du n° 5. ↩ 2 0AM8
Proposition 6 Soit (Pₛ)_s ∈ S une famille de parties de W satisfaisant à (C) et aux conditions suivantes : ↩ 5 0AM9
Proposition 7 Soit w dans W. Il existe une partie S_w de S telle que l’on ait s₁, …, s_q = S_w pour toute décomposition réduite (s₁, …, s_q) de w. 0AMA
Corollaire 1 Pour toute partie X de S, le sous-groupe W_X de W se compose des éléments w de W tels que S_w ⊂ X. ↩ 5 0AMB
Corollaire 2 Pour toute partie X de S, on a W_X ∩ S = X. ↩ 2 0AMC
Corollaire 3 L’ensemble S est un ensemble générateur minimal de W. Si X ⊂ S engendre W, on a W = WX, d’où X = S ∩ WX = S d’après le cor. 2. 0AMD
Corollaire 4 Pour toute partie X de S et tout w dans WX, la longueur de w par rapport à l’ensemble générateur X de WX est égale à lS(w). Soit (s1, ..., sq) une décomposition réduite de w consid… ↩ 1 0AME
Théorème 2 (i) Pour toute partie X de S, le couple (WX, X) est un système de Coxeter. (ii) Soit (Xi){i ∈ I} une famille de parties de S. Si X = ⋂{i ∈ I} Xi, on a WX = ⋂{i ∈ I} W{Xi}. (iii) So… ↩ 3 0AMF
Définition 4 Soit I un ensemble. On appelle matrice de Coxeter de type I toute matrice carrée symétrique M = (m{ij}){i,j ∈ I} dont les éléments sont des entiers ou +∞ satisfaisant aux relations… 0AMG
Proposition 8 Soit (Sᵢ)_i ∈ I une partition de S, telle que tout élément de Si commute avec tout élément de Sj pour i \neq j. Pour tout i \in I, soit Wᵢ le sous-groupe engendré par Si. Alors W e… ↩ 1 0AMH

§ 2. Systèmes de Tits

Définition 1 On appelle système de Tits un quadruplet (G, B, N, S), où G est un groupe, B et N deux sous-groupes de G et S une partie de N/(B \cap N), satisfaisant aux axiomes suivants : ↩ 1 0AN8
Remarque 1 On verra au n° 5 (cor. du th. 3) que, si (G, B, N) sont donnés, il existe au plus une partie S de N/(B ∩ N) telle que (G, B, N, S) soit un système de Tits. 0AN9
Remarque 2 Soit (G, B, N, S) un système de Tits, et soit Z un sous-groupe distingué de G contenu dans B. Soient G' = G/Z, B' = B/Z, N' = N/(Z ∩ N), et soit S' l’image de S dans N'/(B' ∩ N')… 0ANA
Remarque 3 C(s) · C(w) = begincases C(sw) & si C(w) not⊂ C(s) · C(w) \\ C(w) ∪ C(sw) & si C(w) ⊂ C(s) · C(w) . endcases 0E8Q
Remarque 4 C(s) · C(s) = B ∪ C(s). 0E8R
Remarque 5 C(s) · C(s) · C(w) = C(w) ∪ C(sw). 0E8S
Lemme 1 Soient s₁, …, s_q ∈ S et soit w ∈ W. On a ↩ 4 0ANB
Théorème 1 On a G = BWB. L’application w ↦ C(w) est une bijection de W sur l’ensemble B backslash G / B des doubles classes de G suivant B. ↩ 5 0ANC
Remarque L’axiome (T4) n’a pas été utilisé dans la démonstration précédente. 0AND
Théorème 2 Le couple (W, S) est un système de Coxeter. De plus, pour s ∈ S et w ∈ W, les relations C(sw) = C(s) · C(w) et lₛ(sw) > lₛ(w) sont équivalentes. ↩ 1 0ANE
Corollaire 1 Soient w₁, …, w_q ∈ W et soit w = w₁ … w_q. Si ↩ 5 0ANF
Corollaire 2 Soit w ∈ W et soit T_w la partie de W associée à w par le procédé du lemme 2 du § 1, n° 4. Si t ∈ T_w, on a C(t) ⊂ C(w) · C(w⁻¹). Si t ∈ T_w, il existe par définition des éléments… ↩ 1 0ANG
Corollaire 3 Soit w ∈ W et soit H_w le sous-groupe de G engendré par C(w) · C(w⁻¹). Alors : a) Pour toute décomposition réduite (s₁, …, s_q) de w, on a C(sⱼ) ⊂ H_w pour 1 ≤ j ≤ q. b) Le groupe… ↩ 2 0ANH
Exemple Le th. 2, appliqué au système de Tits décrit au n° 2, montre que le groupe symétrique 𝔖ₙ, muni de l’ensemble des transpositions d’éléments consécutifs, est un groupe de Coxeter. 0ANI
Théorème 3 a) Pour toute partie X de S, l’ensemble G_X est un sous-groupe de G, engendré par ⋃_s ∈ X C(s). b) L’application X ↦ G_X est une bijection de P(S) sur l’ensemble des sous-groupes d… ↩ 4 0ANJ
Corollaire L’ensemble S se compose des éléments w ∈ W tels que w ≠ 1 et que B ∪ C(w) soit un sous-groupe de G. ↩ 1 0ANK
Proposition 1 Soient X une partie de S, et N' un sous-groupe de N dont l’image dans W soit égale à W_X. Alors (G_X, B, N', X) est un système de Tits. 0ANM
Proposition 2 Soient X, Y ⊂ S et w ∈ W. On a ↩ 2 0ANN
Proposition 3 Soient X ⊂ S et g ∈ G. La relation g B g⁻¹ ⊂ G_X entraîne g ∈ G_X. ↩ 1 0ANP
Définition 2 On dit qu’un sous-groupe de G est parabolique s’il contient un conjugué de B. Il est clair que tout sous-groupe qui contient un sous-groupe parabolique est parabolique. ↩ 1 0ANQ
Proposition 4 Soit P un sous-groupe de G. a) Pour que P soit parabolique, il faut et il suffit qu’il existe une partie X de S telle que P soit conjugué de G_X (cf. n° 5 pour la définition de G_X… ↩ 1 0ANR
Théorème 4 (i) Soient P₁ et P₂ deux sous-groupes paraboliques de G dont l’intersection est parabolique et soit g ∈ G tel que g P₁ g⁻¹ ⊂ P₂. Alors g ∈ P₂ et P₁ ⊂ P₂. (ii) Deux sous-groupes par… ↩ 2 0ANS
Proposition 5 Soient P₁ et P₂ deux sous-groupes paraboliques de G. Alors P₁ ∩ P₂ contient un conjugué de T. 0ANT
Lemme 2 Soit H un sous-groupe distingué de G. Il existe une partie X de S telle que B H = G_X et tout élément de X commute à tout élément de S - X. ↩ 1 0ANU
Théorème 5 Soit Z l’intersection des conjugués de B, soit U un sous-groupe de B et soit G₁ le sous-groupe engendré par les conjugués de U dans G. On fait les hypothèses suivantes : (1) U est… ↩ 4 0ANV
Corollaire Sous les hypothèses du th. 5, le groupe G₁/(G₁ ∩ Z) est simple non commutatif, ou réduit à l’élément neutre. 0ANW
Remarque 1 Les hypothèses (2), (3), (4) n’ont pas été utilisées pour démontrer que (G', B', N', S') est un système de Tits. 0ANX
Remarque 2 Supposons que Z ∩ U = 1. Comme Z et U sont distingués dans B, il en résulte que tout élément de Z commute à tout élément de U, donc à tout élément de G₁. Vu le corollaire ci-dessus… 0ANY
Remarque 3 L’hypothèse (3) est entraînée par la condition suivante: (3’) U est engendré par les commutateurs b⁻¹u⁻¹bu, avec u ∈ U et b ∈ B ∩ G₁. 0ANZ
Exemple 1 Soient k un corps, n un entier geqslant 0, G = GL(n, k), et soit (G, B, N, S) le système de Tits décrit au no 2. Soit U le groupe trigonal strict supérieur, i.e. le sous-groupe de… 0AO0
Exemple 2 Soit g une algèbre de Lie simple sur C, et soit G le groupe adjoint de g (cf. chap. III). On peut montrer, en utilisant le théorème 5, que G est simple non abélien. 0AO1

App. 0. Graphes

Définition 1 On appelle graphe combinatoire (ou simplement graphe, lorsqu’aucune confusion n’en résulte) un couple Γ = (A, S), où S est un ensemble, et A une partie de 𝔓(S) formée d’ensembles à… 0AOV
Proposition 1 Soient Γ = (A, S) un graphe et (S_α)_α ∈ L la famille de ses composantes connexes. On note Γ_α le sous-graphe plein de Γ ayant S_α pour ensemble de sommets. ↩ 2 0AOW
Corollaire 1 Pour que le graphe Γ = (A, S) soit connexe, il faut et il suffit qu’il n’existe aucune partition (S', S'') de S en deux ensembles non vides telle qu’aucun élément de S' ne soit lié… ↩ 1 0AOX
Corollaire 2 Pour qu’une partie S' de S soit réunion de composantes connexes, il faut et il suffit qu’aucun sommet appartenant à S' ne soit lié à un sommet appartenant à S - S'. 0AOY
Proposition 2 Soit Γ = (A, S) une forêt n’ayant qu’un nombre fini de sommets. (i) Si Γ possède au moins un sommet, il admet un sommet terminal. (ii) Si Γ possède au moins deux sommets, il existe… ↩ 1 0AOZ
Proposition 3 Pour qu’un graphe soit une chaîne, il faut et il suffit que le nombre de ses sommets soit fini et non nul, et qu’il soit un arbre sans point de ramification. ↩ 1 0AP0

V. Groupes engendrés par des réflexions

§ 1. Hyperplans, chambres et facettes

Proposition 1 Soit a un point de E. Il existe un voisinage ouvert convexe de a qui ne rencontre aucun hyperplan H appartenant à 𝔖 et ne passant pas par a. De plus, il n’existe qu’un nombre fini… ↩ 1 0AP1
Définition 1 On appelle facette de E relativement à 𝔖 toute classe selon la relation d’équivalence R définie ci-dessus. ↩ 1 0AP2
Proposition 2 L’ensemble des facettes est localement fini. 0AP3
Proposition 3 Soient F une facette et L son support affine. (i) L’ensemble F est une partie ouverte et convexe du sous-espace affine L de E. ↩ 3 0AP4
Corollaire Soient F et F’ deux facettes. Si l’on a overlineF = overlineF', les facettes F et F’ sont égales. ↩ 1 0AP5
Proposition 4 Soient F une facette, et L un sous-espace affine de E, intersection d’hyperplans appartenant à 𝔖; on note 𝔑 l’ensemble des hyperplans H ∈ 𝔖 qui ne contiennent pas L. Les conditions… ↩ 5 0AP6
Définition 2 On appelle chambre de E relativement à 𝔖 (ou simplement chambre s’il n’y a pas d’ambiguïté sur 𝔖) toute facette de E relativement à 𝔖 qui n’est contenue dans aucun hyperplan appart… 0AP7
Proposition 5 Soit C une partie non vide de E. On suppose qu’il existe une partie 𝔖' de 𝔖 ayant les deux propriétés suivantes : a) On peut associer à tout H dans 𝔖' un demi-espace ouvert D_H lim… ↩ 1 0AP8
Proposition 6 Tout point de E est adhérent à une chambre au moins. ↩ 2 0AP9
Proposition 7 Soient L un sous-espace affine de E et Ω une partie ouverte non vide de L. ↩ 3 0APA
Définition 3 Soit C une chambre de E. On appelle face de C toute facette contenue dans l’adhérence de C et dont le support est un hyperplan. On appelle mur de C tout hyperplan qui est le suppor… 0APB
Proposition 8 Tout hyperplan H appartenant à ℌ est le mur d’au moins une chambre. ↩ 1 0APC
Proposition 9 Soient C une chambre et 𝔐 l’ensemble des murs de C. On a C = D_𝔐(C) et toute partie 𝔏 de 𝔖 telle que C = D_𝔏(C) contient 𝔐. Pour qu’une partie F de overlineC soit une facette, il f… ↩ 3 0APD
Remarque 1 Il résulte de la formule (6) et de la prop. 9 que l’adhérence d’une chambre C est l’intersection des demi-espaces fermés limités par un mur de C et qui contiennent C. 0APE
Remarque 2 Soit F une facette dont le support est un hyperplan L; on va montrer qu’il existe deux chambres dont F soit une face. Soit 𝔑 l’ensemble des hyperplans H ≠ L appartenant à 𝔖; posons… 0APF
Lemme 1 Deux hyperplans non parallèles ont une intersection non vide. ↩ 2 0APG
Lemme 2 Soient H et H' deux hyperplans distincts dans E, et f, f' deux fonctions affines sur E telles que H (resp. H') se compose des points a de E tels que f(a) = 0 (resp. f'(a) = 0). Enf… ↩ 1 0APH
Proposition 10 Soit C une chambre, soient H et H' deux murs de C, et soit L un hyperplan rencontrant D_H(C) ∩ D_H'(C). On suppose que H est distinct de H' et que l’une des conditions suivantes es… 0API

§ 2. Réflexions

Définition 1 On dit qu’un endomorphisme s de l’espace vectoriel V est une pseudo-réflexion si 1 - s est de rang 1. 0APJ
Proposition 1 Soient G un groupe et ρ une représentation linéaire irréductible de G dans un espace vectoriel V ; on suppose qu’il existe un élément g de G tel que ρ(g) soit une pseudo-réflexion. ↩ 5 0APK
Proposition 2 Soit s un endomorphisme de V. ↩ 1 0APL
Corollaire Si V est de dimension finie, toute réflexion est de déterminant — 1. 0APM
Proposition 3 Soit s une réflexion dans V. ↩ 5 0APN
Corollaire Pour que deux réflexions distinctes s et u soient permutables, il faut et il suffit que l’on ait Vₛ⁻ ⊂ Vᵤ⁺ et Vᵤ⁻ ⊂ Vₛ⁺. 0APO
Remarque Soit a ≠ 0 dans V et soit a^* une forme linéaire non nulle sur V: de la formule (1), on déduit 0APP
Proposition 4 On suppose V de dimension finie. Soient B une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur V, X un sous-espace de V et X⁰ l’orthogonal de X par rapport à B; enfin soit s la réflex… 0APQ
Proposition 5 Soient H et H’ deux hyperplans de E parallèles et non isotropes Il existe un unique vecteur v ∈ V, orthogonal à H, et tel que H' = H + v. Le déplacement s_H' s_H est la translation… ↩ 4 0APR
Corollaire Soient H et H' deux hyperplans parallèles, distincts et non isotropes. Si K est de caractéristique zéro (resp. p > 0, avec p ≠ 2) le groupe de déplacements de E engendré par s_H et… 0APS
Remarque Gardons les notations de la prop. 5 et supposons de plus que K = R. Posons s = s_H et s' = s_H'. Soit Hₙ l’hyperplan H + n.v et soit Cₙ l’ensemble des points de E de la forme a + ξ… 0APT
Proposition 6 Soit s la réflexion orthogonale par rapport à une droite D de V. Si Δ et Δ' sont deux demi-droites d’origine O (resp. deux droites passant par O) de V, on a: 0APU
Corollaire Soient D et D' deux droites de V et soit θ une mesure de l’angle (overlineD, overlineD'). On a s_D s_D = ρ_2θ. ↩ 4 0APV
Proposition 7 Le groupe W est un groupe diédral (chap. IV, § 1, no 2) d’ordre 2m. Il se compose des rotations ρ_2nθ et des produits ρ_2nθs pour n ∈ Z. Les transformées de D et D' par les élément… 0APW
Corollaire Soit C le secteur angulaire ouvert réunion des demi-droites ouvertes Δ₁ d’origine 0 telles que 0 < (overlineΔ, overlineΔ₁) < θ. Pour qu’aucune transformée de D ou de D' par un élém… ↩ 1 0APX
Remarque Supposons m fini et θ = π/m. Si n ∈ Z, soit Cₙ la réunion des demi-droites ouvertes Δ₁ d’origine 0 telles que 0APY

§ 3. Groupes de déplacements engendrés par des réflexions

Lemme 1 L’ensemble d’hyperplans 𝔖 est localement fini. 0AQ2
Lemme 2 Soit C une chambre. ↩ 2 0AQ3
Théorème 1 Soient C une chambre et S l’ensemble des réflexions par rapport aux murs de C. ↩ 7 0AQ4
Corollaire Soit Σ un ensemble de réflexions engendrant W. Toute réflexion appartenant à W est conjuguée à un élément de Σ. ↩ 5 0AQ5
Théorème 2 Pour toute chambre C, l’adhérence overlineC de C est un domaine fondamental pour W opérant dans E. ↩ 7 0AQ6
Proposition 1 Soient F une facette et C une chambre telles que F ⊂ overlineC. Soit w ∈ W. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 5 0AQ7
Proposition 2 Soit A une partie non vide de E, soit ℌ_A l’ensemble des hyperplans H ∈ ℌ contenant A, soit A' l’intersection des H ∈ ℌ_A et soit F une facette de E, ouverte dans A' (§ 1, n° 3, pr… ↩ 3 0AQ8
Remarque 1 Il résulte du th. 2 que si C est une chambre et F une facette, il existe une facette F' et une seule contenue dans overlineC qui soit transformée de F par un élément de W. 0AQ9
Remarque 2 Il résulte des prop. 1 et 2 que pour toute partie non vide A de E, il existe un point a ∈ E tel que W(A) = W(a); de plus, le groupe W(A) est un groupe de Coxeter (th. 1). 0AQA
Remarque 3 Soient C une chambre de E et S l’ensemble des réflexions par rapport aux murs de C. Soit w ∈ W et soit (s₁, …, s_q) une décomposition réduite de w par rapport à S. Si x ∈ overlineC… 0AQB
Proposition 3 Soit C une chambre, et soient i, j \in I, avec i \neq j. Posons si = si(C), Hi = Hi(C), ei = ei(C) et définissons de même sj, Hj et ej. ↩ 7 0AQC
Remarque La formule (4) est en fait valable quels que soient i, j \in I : en effet, on a \pi/m{ij} = 0 si m{ij} = \infty, et si i = j, on a m{ij} = 1 et (eiej) = 1. 0AQD
Lemme 3 Soit q une forme quadratique positive sur un espace vectoriel réel V et soit B la forme bilinéaire symétrique associée. Soient a1, \ldots, an des éléments de V tels que B(ai, aj) \… ↩ 3 0AQE
Lemme 4 Soit Q = (qᵢⱼ) une matrice réelle carrée symétrique d’ordre n telle que : a) on a qᵢⱼ ≤ 0 pour i ≠ j; b) il n’existe pas de partition de 1, 2, …, n en deux ensembles non vides I et… ↩ 3 0AQF
Lemme 5 Soient e₁, …, eₙ des vecteurs engendrant T tels que : a) (eᵢ|eⱼ) ≤ 0 pour i ≠ j; b) il n’existe pas de partition de 1, …, n en deux ensembles I et J non vides tels que (eᵢ|eⱼ) = 0… ↩ 1 0AQG
Lemme 6 Soit (e₁, …, eₙ) une base de T telle que (eᵢ|eⱼ) ≤ 0 pour i ≠ j. (i) Si x = ∑ᵢ cᵢ eᵢ ∈ T est tel que (x|eᵢ) ≥ 0 pour tout i, on a cᵢ ≥ 0 pour tout i. (ii) Si x et y sont deux éléme… ↩ 5 0AQH
Lemme 7 Soit A un ensemble de vecteurs unitaires de T. S’il existe un nombre réel λ < 1 avec (a|a') ≤ λ pour a, a' ∈ A et a ≠ a', alors l’ensemble A est fini. ↩ 1 0AQI
Théorème 3 (i) L’ensemble des murs d’une chambre est fini. (ii) L’ensemble des directions des hyperplans appartenant à ℌ est fini. (iii) Le groupe U(W) est fini. ↩ 1 0AQJ
Proposition 4 Soient C une chambre et 𝔑 un ensemble de murs de C. Soit W_𝔑 le sous-groupe de W engendré par les réflexions orthogonales par rapport aux éléments de 𝔑. ↩ 2 0AQK
Remarque 1 Comme W est engendré par les réflexions par rapport aux murs de la chambre C, la proposition précédente donne un critère pour que W soit fini. Nous reviendrons sur cette question a… 0AQL
Remarque 2 Soient F un espace affine réel de dimension finie et G un groupe d’automorphismes de F. Pour tout g ∈ G, notons U(g) l’automorphisme de l’espace des translations V de F associé à g… 0AQM
Proposition 5 Soient J₁, …, Jₛ les ensembles de sommets des composantes connexes du graphe de Coxeter de W. Pour 1 ≤ p ≤ s, posons ↩ 4 0AQN
Corollaire Supposons W ≠ {1}. Pour que W soit irréductible, il faut et il suffit qu’il soit essentiel et que son graphe de Coxeter soit connexe. 0AQO
Remarque Sous les hypothèses de la prop. 5, les sous-espaces Tp pour 0 ≤ p ≤ s sont les composantes isotypiques de la représentation linéaire U de W dans T (Alg., chap. VIII, § 3, no 4). Il… 0AQP
Proposition 6 (i) Le groupe Wₚ est un groupe de déplacements de l’espace affine euclidien Eₚ; il est engendré par des réflexions; muni de la topologie discrète, il opère proprement dans Eₚ; il e… ↩ 3 0AQQ
Proposition 7 Supposons que le groupe W soit essentiel et fini. Alors : (i) Il existe un unique point a de E invariant par W. (ii) La famille (e_H)_H ∈ M est une base de T. (iii) La chambre C es… ↩ 5 0AQR
Proposition 8 Supposons que le groupe W soit essentiel, irréductible et infini. Alors : (i) Aucun point de E n’est invariant par W. (ii) On a Card 𝔐 = dim T + 1, et il existe des nombres réels c… ↩ 3 0AQS
Remarque 1 Identifions E à E₀ × E₁ × ⋯ × Eₛ, et W à W₁ × ⋯ × Wₛ comme au n° 8. D’après la prop. 6, la chambre C s’identifie alors à E₀ × C₁ × ⋯ × Cₛ où Cₚ est une chambre dans Eₚ par rapport… 0AQT
Remarque 2 Supposons W irréductible et essentiel. Si H et H’ sont deux murs de C, on a m_HH' = +∞ si et seulement si l’on a e_H = -e_H' (prop. 3). D’après les prop. 7 et 8, ceci ne peut se pr… 0AQU
Proposition 9 Soit a ∈ E. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 3 0AQV
Définition 1 On dit qu’un point a de E est spécial pour W s’il satisfait aux conditions équivalentes de la prop. 9. ↩ 1 0AQW
Proposition 10 Il existe un point spécial pour W. ↩ 1 0AQX
Proposition 11 Supposons W essentiel. Soit a un point spécial pour W. Les chambres relatives à Wₐ sont des cônes simpliciaux ouverts de sommet a. Pour toute chambre C' relative à Wₐ il existe une… ↩ 3 0AQY
Corollaire Supposons W essentiel. (i) Si a ∈ E est spécial, il existe une chambre C telle que a soit un point extrémal de overlineC. (ii) Si C est une chambre, il existe un point extrémal de… ↩ 2 0AQZ
Proposition 12 Supposons W essentiel. Soit a un point spécial, soit L(a) l’ensemble de ses transformés par le groupe de translations L, et soit C une chambre. Alors overlineC rencontre L(a) en un… ↩ 1 0AR1

§ 4. Représentation géométrique d’un groupe de Coxeter

Proposition 1 La restriction de B_M à E_s, s' est positive. Elle est non dégénérée si et seulement si m est fini. ↩ 3 0ARB
Proposition 2 Le sous-groupe de GL(E) engendré par σₛ et σ_s' est un groupe diédral d’ordre 2m(s, s'). 0ARC
Proposition 3 Il existe un homomorphisme et un seul 0ARD
Proposition 4 a) L’application s ↦ gₛ de S dans W est injective. ↩ 1 0ARF
Corollaire Le couple (W, S) est un système de Coxeter, de matrice M. ↩ 1 0ARG
Théorème 1 (Tits) Si w ∈ W et si C ∩ w(C) ≠ ∅, on a w = 1. Indiquons tout de suite quelques conséquences de ce théorème: ↩ 3 0ARI
Corollaire 1 Le groupe W opère de façon simplement transitive sur l’ensemble des w(C) pour w ∈ W. C’est clair. 0ARJ
Corollaire 2 Les représentations σ et σ^* sont injectives. En effet, si σ^*(w) = 1, on a w(C) = C, d’où w = 1 d’après le théorème. L’injectivité de σ résulte de celle de σ^*. 0ARK
Corollaire 3 Si S est fini, σ(W) est un sous-groupe discret de GL(E) (muni de sa structure canonique de groupe de Lie); de même, σ^*(W) est un sous-groupe discret de GL(E^*). Soit x^* ∈ C. L’en… ↩ 2 0ARL
Lemme 1 Soient s, s' ∈ S, avec s ≠ s' et soit v ∈ W{s,s'}. Alors v(As ∩ A{s'}) est contenu, soit dans As, soit dans s(As), et dans le second cas, on a l(sv) = l(v) — 1. ↩ 1 0ARM
Proposition 5 Soient X, X' ⊂ S et w, w' ∈ W. Si w(C_X) ∩ w'(C_X') ≠ ∅, alors on a X = X', wW_X = w'W_X' et w(C_X) = w'(C_X'). ↩ 1 0ARN
Corollaire Soient X une partie de S et x un élément de CX. Le stabilisateur de x dans W est WX. ↩ 1 0ARO
Proposition 6 (i) Le cône U est convexe. (ii) Tout segment fermé contenu dans U ne rencontre qu’un nombre fini d’éléments de 𝔉. (iii) Le cône overlineC est un domaine fondamental de W opérant da… 0ARP
Proposition 7 Supposons que (W, S) soit irréductible (chap. IV, § 1, n° 9). Soit E⁰ le sous-espace de E orthogonal à E vis-à-vis de B_M. Le groupe W opère trivialement sur E⁰, et tout sous-espac… ↩ 3 0ARQ
Corollaire Supposons que (W, S) soit irréductible. Alors: a) Si B_M est non dégénérée, le W-module E est absolument simple. b) Si B_M est dégénérée, le W-module E n’est pas semi-simple. Dans… 0ARR
Théorème 2 Les propriétés suivantes sont équivalentes : (1) W est fini. (2) La forme B_M est positive non dégénérée. (1) Longrightarrow (2). Soit S = ⋃ᵢ Sᵢ la décomposition de S en composante… ↩ 5 0ARS
Corollaire Si (W, S) est irréductible et fini, E est un W-module absolument simple. Le critère fourni par le th. 2 permet de classifier tous les groupes de Coxeter finis (cf. chap. VI, § 4)… 0ART
Proposition 8 Si W est fini, le graphe de (W, S) est une forêt (chap. IV, Annexe). Sinon, ce graphe contiendrait un circuit (s₁, …, sₙ), n geqslant 3. Si l’on pose mᵢ = m(sᵢ, sᵢ₊₁), 1 leqslant i… ↩ 3 0ARU
Corollaire Si (W, S) est irréductible et fini, son graphe est un arbre. En effet, une forêt connexe est un arbre. 0ARV
Proposition 9 Avec les notations précédentes, W est le sous-groupe de O(E) engendré par les réflexions par rapport aux hyperplans de H. C’est un groupe essentiel (§ 3, n^∘ 7) et C₀ est une chamb… 0ARW
Lemme 2 L’orthogonal E⁰ de E pour B_M est de dimension 1 ; il est engendré par un élément v = ∑_s ∈ S vₛ eₛ, avec vₛ > 0 pour tout s. 0ARX
Proposition 10 Le groupe W muni de la topologie discrète opère proprement sur A ; il est engendré par des réflexions orthogonales ; il est infini, irréductible et essentiel (§ 3, no 7). L’interse… 0ARY
Proposition 11 Soit W un groupe de déplacements d’un espace affine euclidien A, satisfaisant aux hypothèses du § 3. On suppose que W est infini, essentiel et irréductible. Alors la forme B_M atta… ↩ 1 0ARZ

§ 5. Invariants dans l’algèbre symétrique

Définition 1 S’il existe n₀ ∈ Z tel que Mₙ = 0 pour n ≤ n₀, la série formelle ∑_n ≥ n₀ rg_K(Mₙ) Tⁿ, qui est un élément de Q((T)), s’appelle la série de Poincaré de M et se note P_M(T). 0ASK
Proposition 1 Soit S = ⨁_n ≥ 0 Sₙ une K-algèbre graduée commutative admettant un système générateur (x₁, x₂, …, xₘ) formé d’éléments homogènes et algébriquement indépendants. Soit dᵢ le degré de… ↩ 1 0ASL
Corollaire Les degrés dᵢ sont déterminés à l’ordre près par S. 0ASM
Proposition 2 Conservons les notations précédentes, et supposons que S et R soient des K-algèbres graduées de polynômes. ↩ 3 0ASN
Remarque Soient S = K[X₁, …, Xₙ] une K-algèbre graduée de polynômes, dᵢ le degré de Xᵢ et F(X₁, …, Xₙ) un élément homogène de degré m de S. Alors on a 0ASO
Théorème 1 Soient K un corps commutatif, V un espace vectoriel de dimension finie sur K, S = S(V) l’algèbre symétrique de V, G un groupe fini d’automorphismes de V, et R la sous-algèbre gradu… ↩ 4 0ASP
Remarque 1 Il résulte d’Alg., chap. II, 3e éd., § 11, no 4, prop. 7 que, si (z₁, z₂, …, z_q) est une famille d’éléments homogènes de S dont les images canoniques dans S/(R₊S) forment une base… ↩ 1 0ASQ
Remarque 2 Soit g une pseudo-réflexion de V, d’ordre fini n ≥ 2, premier à l’exposant caractéristique de K. D’après le théorème de Maschke (Annexe, prop. 2), on peut décomposer V en D ⊕ H, où… 0ASR
Théorème 2 Les hypothèses et notations sont celles du théorème 1. 0ASS
Théorème 3 Les hypothèses et notations sont celles du th. 1. Dans l’ensemble des systèmes générateurs de l’idéal R₊ de R formés d’éléments homogènes, choisissons un élément minimal (α₁, …, αₗ… ↩ 7 0AST
Lemme 1 Soient K un corps commutatif, S une K-algèbre graduée de polynômes, et R une sous-algèbre graduée de type fini de S telle que le R-module S admette une base (z_λ)_λ ∈ Λ formée d’él… 0ASU
Corollaire Les hypothèses et notations étant celles du th. 3, le produit des degrés caractéristiques de R est Card (G). ↩ 2 0ASV
Lemme 2 Soient K un corps commutatif, V un espace vectoriel de dimension finie sur K, S = ⨁_n ≥ 0 Sₙ l’algèbre symétrique de V, s un endomorphisme de V, et s⁽ⁿ⁾ le prolongement canonique d… ↩ 1 0ASW
Lemme 3 Soient K, V et S comme dans le lemme 2, G un groupe fini d’automorphismes de V, q l’ordre de G, R la sous-algèbre graduée de S formée des éléments invariants par G. On suppose K de… ↩ 1 0ASX
Proposition 3 Les hypothèses et notations étant celles du th. 3, soit H l’ensemble des pseudo-réflexions appartenant à G et distinctes de 1. On suppose K de caractéristique 0. Alors Card(H) = ∑ᵢ… ↩ 2 0ASY
Remarque Lorsque K = R, G est un groupe de Coxeter et H est l’ensemble des réflexions appartenant à G, on sait (§ 3) que les éléments de H sont en correspondance binnivoque avec les murs de… 0ASZ
Proposition 4 Les hypothèses et notations étant celles du th. 3, on suppose K de caractéristique ≠ 2. Pour qu’on ait -1 ∈ G, il faut et il suffit que les degrés caractéristiques k₁, …, kₗ de R s… ↩ 1 0AT0
Proposition 5 (i) Soit D l’élément ∏_g ∈ H e_g de S. Les éléments de S anti-invariants par G sont les éléments de RD. ↩ 6 0AT1
Lemme 4 Soient K un corps commutatif, V un espace vectoriel de dimension finie sur K, G un groupe fini d’automorphismes de V d’ordre q inversible dans K, S l’algèbre symétrique de V, R la… ↩ 2 0AT2
Lemme 5 Soient K un corps commutatif, S une K-algèbre graduée de polynômes et R une sous-algèbre graduée de S. Pour que S soit un R-module libre gradué (Alg., ↩ 3 0AT3
Théorème 4 Soient K un corps commutatif, V un espace vectoriel de dimension finie sur K, S l’algèbre symétrique de V, G un groupe fini d’automorphismes de V, et R la sous-algèbre de S formée… ↩ 4 0AT4
Remarque 1 Sous les hypothèses du th. 4, les degrés caractéristiques de R ont pour produit q (formule (6) et prop. 2 (iii)), donc sont étrangers à l’exposant caractéristique de K. C’est ce qu… 0AT5
Remarque 2 Lorsqu’on ne suppose plus que Card (G) est inversible dans K, on a encore (ii) Longleftrightarrow (iii) (cf. lemme 5) et (ii) Longrightarrow (i) (cf. exerc. 8); l’implication (i) L… 0AT6
Proposition 6 Les hypothèses et les notations sont celles du th. 4. Soit H l’ensemble des pseudo-réflexions appartenant à G et distinctes de 1. On suppose que H engendre G. Pour tout g ∈ H, poso… 0AT7

§ 6. Transformation de Coxeter

Définition 1 On appelle transformation de Coxeter définie par une chambre ordonnée (C, (Hᵢ)_1 ≤ i ≤ l) l’élément c = s_H₁ s_H₂ ⋯ s_Hₗ de W. 0ATH
Proposition 1 Toutes les transformations de Coxeter de W sont conjuguées dans W. ↩ 2 0ATI
Lemme 1 Soient X une forêt finie, x ↦ gx une application de X dans un groupe Γ, telle que gx et gy commutent toutes les fois que x et y ne sont pas liés dans X. Soit T l’ensemble des ordre… 0ATJ
Remarque Soient W1, ..., Wm des groupes finis essentiels dans des espaces V1, ..., Vm, engendrés par des réflexions. Soit Cf une chambre relative à Wf. Soit W le groupe W1 × ... × Wm opéran… 0ATK
Définition 2 Les entiers m₁, m₂, …, mₗ s’appellent les exposants de W. ↩ 1 0ATL
Lemme 2 Supposons W irréductible. Avec les notations précédentes, il existe deux vecteurs linéairement indépendants z', z'' tels que : (i) le plan P engendré par z', z'' est stable par s'… 0ATM
Théorème 1 On suppose W irréductible. Alors : ↩ 4 0ATN
Remarque Conservons les notations de la démonstration précédente. Soient c' l’extension C-linéaire de c à V ⊗_R C, et c'' la restriction de c' à P ⊗_R C. D’après l’étude de c|P, c'' admet u… 0ATO
Corollaire Soit R₀ l’ensemble des vecteurs unitaires de V orthogonaux à un élément de 𝔖. Si W est irréductible, on a, pour tout x ∈ V, ↩ 3 0ATP
Proposition 2 Si h est pair, l’unique élément de W qui transforme C en -C est c^h/2. ↩ 1 0ATQ
Proposition 3 Supposons W irréductible. Soient u₁, …, uₗ des éléments homogènes de l’algèbre symétrique S = S(V), algébriquement indépendants sur R et engendrant l’algèbre des éléments de S inva… ↩ 1 0ATR
Corollaire 1 Si (mᵢ)_1 ≤ i ≤ l est la suite croissante des exposants de W, l’ordre de W est égal à (m₁ + 1)(m₂ + 1) … (mₗ + 1). Ceci résulte des relations mⱼ + 1 = pⱼ et du § 5, n° 3, cor. du t… ↩ 1 0ATS
Corollaire 2 Si c est une transformation de Coxeter de W, ↩ 1 0ATT
Corollaire 3 Pour que l’homothétie de rapport — 1 dans V appartienne à W, il faut et il suffit que tous les exposants de W soient impairs. Lorsqu’il en est ainsi, h est pair et l’on a c^h/2 = -… ↩ 1 0ATU

App. 0. Compléments sur les représentations linéaires

Proposition 1 Soient K un corps commutatif, A une K-algèbre, V et W deux A-modules à gauche qui sont des espaces vectoriels de dimension finie sur K. S’il existe une extension L de K telle que l… 0ATZ
Proposition 2 (Maschke) Soient A un anneau ayant un élément unité, E un A-module à gauche, F un sous-module facteur direct, G un groupe fini d’ordre q, ρ une représentation linéaire de G dans E. On suppos… ↩ 3 0AU0
Corollaire Soient G un groupe fini d’ordre q, K un corps commutatif dont la caractéristique ne divise pas q. Alors l’algèbre de G relativement à K est semi-simple. En effet, d’après la prop… 0AU1
Proposition 3 Soient A un anneau commutatif, M un A-module, G un groupe fini opérant dans M, et A' un A-module. On suppose que l’ordre q de G est inversible dans A. Soit Mᴳ l’ensemble des élémen… 0AU2
Remarque La proposition précédente s’applique notamment lorsque A' est une A-algèbre. Dans ce cas, Mᴳ ⊗_A A' est un sous-A'-module de M ⊗_A A'. 0AU3

VI. Systèmes de racines

§ 1. Systèmes de racines

Lemme 1 Soient V un espace vectoriel sur k, R une partie finie de V engendrant V. Pour tout α ∈ R tel que α ≠ 0, il existe au plus une réflexion s de V telle que s(α) = -α et s(R) = R. ↩ 1 0AU4
Définition 1 Soient V un espace vectoriel sur k, et R une partie de V. On dit que R est un système de racines dans V si les conditions suivantes sont vérifiées : (SRI) R est fini, ne contient p… 0AU5
Lemme 2 Soit R un système de racines dans V. Soit (x|y) une forme bilinéaire symétrique sur V, non dégénérée, invariante par W(R). Identifions V à V^* grâce à cette forme. Si α ∈ R, α est… ↩ 5 0AU7
Proposition 1 Soit V_Q (resp. V_Q^*) le sous-Q-espace vectoriel de V (resp.V^*) engendré par les α (resp. les α^∨). Alors V_Q (resp. V_Q^*) est une Q-structure sur V (resp. V^*) (Alg., chap. II… ↩ 5 0AU8
Proposition 2 Les α^∨ forment un système de racines dans V^*, et on a α^∨∨ = α pour tout α ∈ R. ↩ 1 0AUB
Proposition 3 Pour x, y ∈ V, posons (x|y) = ∑_α ∈ R ⟨ α^∨, x ⟩ ⟨ α^∨, y ⟩. Alors (x|y) est une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur V, invariante par A(R). Pour x, y ∈ V_Q, on a (x|y) ∈… ↩ 5 0AUC
Proposition 4 (i) Soit X une partie de R, soit V_X le sous-espace vectoriel de V engendré par X, et soit V'_X le sous-espace vectoriel de V^* engendré par les α^∨, où α ∈ X. Alors V est somme di… ↩ 1 0AUD
Corollaire Soit V₁ un sous-espace vectoriel de V, et soit V₂ le sous-espace vectoriel engendré par R ∩ V₁. Alors R ∩ V₁ est un système de racines dans V₂. ↩ 2 0AUE
Proposition 5 Soit V un espace vectoriel sur k, somme directe de sous-espaces vectoriels V₁, …, Vᵣ. Soit R un système de racines dans V. Posons Rᵢ = R ∩ Vᵢ. Les trois conditions suivantes sont é… ↩ 3 0AUF
Corollaire Soit R un système de racines dans V. Les conditions suivantes sont équivalentes: (i) R est irréductible; (ii) le W(R)-module V est simple; (iii) le W(R)-module V est absolument sim… ↩ 4 0AUG
Proposition 6 Tout système de racines R dans V est somme directe d’une famille (Rᵢ)_i ∈ I de systèmes de racines irréductibles, qui est bien déterminée à une bijection près sur l’ensemble d’indi… 0AUH
Proposition 7 Soient R un système de racines dans V, (Rᵢ) la famille de ses composants irréductibles, Vᵢ le sous-espace vectoriel de V engendré par Rᵢ, B la forme bilinéaire symétrique définie d… ↩ 2 0AUI
Remarque Choisissons un produit scalaire sur V_R invariant par W(R). Cela permet de parler de la longueur d’une racine et de l’angle de deux racines. La prop. 7 montre que cet angle est ind… 0AUJ
Proposition 8 (i) Si deux racines sont proportionnelles, le facteur de proportionalité ne peut être que ± 1, ± 1/2, ± 2. ↩ 1 0AUK
Théorème 1 Soient α, β deux racines. (i) Si n(α, β) > 0, α - β est une racine sauf si α = β. (ii) Si n(α, β) < 0, α + β est une racine sauf si α = -β. Si n(α, β) > 0, les possibilités, d’aprè… ↩ 2 0AUL
Corollaire Soient α et β deux racines. (i) Si (α|β) > 0, α - β est une racine sauf si α = β. (ii) Si (α|β) < 0, α + β est une racine sauf si α = -β. (iii) Si α - β ∈ R ∪ 0 et α + β ∈ R ∪ 0, o… ↩ 6 0AUM
Proposition 9 Soient α et β deux racines non proportionnelles. (i) L’ensemble I des entiers rationnels j tels que β + jα soit une racine est un intervalle (-q, p) de Z contenant 0. (ii) Soit S l… ↩ 8 0AUN
Corollaire Soient S une α-chaîne de racines, γ l’origine de S. La longueur de S est -n(γ, α); elle est égale à 0, 1, 2 ou 3. ↩ 1 0AUO
Remarque Gardons les notations du corollaire ci-dessus. Alors : 1) Si la longueur de S est 0, on a (α|γ) = 0. 0AUP
Proposition 10 Soient α, β deux racines non proportionnelles telles que β + α soit une racine. Soient p, q les entiers de la prop. 9. On a ((β + α|β + α))/(β|β) = (q + 1)/p. ↩ 1 0AUQ
Proposition 11 Supposons R irréductible. Soient α et β deux racines telles que ||α|| = ||β||. Il existe g ∈ W(R) tel que g(α) = β. ↩ 2 0AUR
Proposition 12 Supposons R irréductible et réduit. ↩ 1 0AUS
Proposition 13 Supposons R irréductible, non réduit et de rang ≥ 2. ↩ 1 0AUT
Proposition 14 Supposons que R soit irréductible et réduit, et que (α|α) prenne les valeurs λ et 2λ pour α ∈ R. Soit A l’ensemble des racines α telles que (α|α) = λ. On suppose que deux éléments… 0AUU
Théorème 2 (i) Le groupe W(R) opère de façon simplement transitive sur l’ensemble des chambres. ↩ 14 0AUV
Remarque 1 L’assertion (vii) montre en particulier que W(R) est engendré par les réflexions s_αᵢ. ↩ 1 0AUW
Remarque 2 Si x, y ∈ C, on a (x|y) < 0 (chap. V, § 3, n° 5, lemme 6), autrement dit l’angle (widehatx, y) est aigu. 0AUX
Remarque 3 Soit m(α, β) l’ordre de s_α s_β (α, β ∈ B(C)). La matrice (m(α, β)) s’identifie à la matrice de Coxeter (chap. IV, § 1, n° 9) de (W, S). Si α ≠ β, la prop. 3 du chap. V, § 3, n° 4… 0AUY
Définition 2 Une partie B de R est appelée une base de R s’il existe une chambre C de R telle que B = B(C). Si C est une chambre, on dit que B(C) est la base de R définie par C. ↩ 3 0AUZ
Remarque 4 L’assertion (vi) du th. 2 montre que l’application C longmapsto B(C) est une bijection de l’ensemble des chambres sur l’ensemble des bases. Par suite, W(R) opère de manière simplem… ↩ 2 0AV0
Remarque 5 Soit C une chambre de R, et soit B la base correspondante. Si α ∈ B, posons φ(α) = α^∨ si 2α ∉ R et φ(α) = 1/2 α^∨ si 2α ∈ R. Alors φ(B) est la base de R^∨ définie par C^∨; cela ré… ↩ 1 0AV1
Définition 3 Soit B une base de R. On appelle matrice de Cartan de R (relativement à B) la matrice (n(α, β))_α, β ∈ B. 0AV2
Remarque 6 On ne confondra pas la matrice de Cartan (n(α, β)) et la matrice de Coxeter (m(α, β)). Noter d’ailleurs que la matrice de Cartan n’est pas nécessairement symétrique. 0AV3
Remarque 7 Indexations canoniques. Si B et B' sont deux bases de R, il existe un unique élément w ∈ W tel que w(B) = B'. On a n(w(α), w(β)) = n(α, β) et m(w(α), w(β)) = m(α, β) pour α, β ∈ B… 0AV4
Proposition 15 Soient B une base de R et α une racine indivisible. Il existe β ∈ B et w ∈ W(R) tels que α = w(β). ↩ 6 0AV5
Corollaire Soient R₁ et R₂ deux systèmes de racines réduits dans des espaces vectoriels V₁ et V₂, et soient B₁ et B₂ des bases de R₁ et R₂. Soit f : B₁ → B₂ une bijection qui transforme la ma… ↩ 1 0AV6
Proposition 16 Soient B une base de R, et G le sous-groupe de A(R) formé des éléments laissant stable B. Alors W(R) est un sous-groupe distingué de A(R) et A(R) est produit semi-direct de G et W(… ↩ 3 0AV7
Remarque 8 Soient R₁, …, Rₚ des systèmes de racines dans les espaces vectoriels V₁, …, Vₚ, R la somme directe des Rᵢ dans V = ∏ᵢ Vᵢ, Cᵢ une chambre de Rᵢ, Bᵢ = B(Cᵢ). Il est immédiat que C =… 0AV8
Théorème 3 Toute racine est combinaison linéaire à coefficients entiers de même signe d’éléments de B(C). En particulier, toute racine est, soit positive, soit négative, pour C. ↩ 8 0AV9
Corollaire Soient γ une combinaison linéaire de racines à coefficients entiers, et α une racine indivisible. Si γ est proportionnelle à α, alors γ ∈ Zα. 0AVA
Proposition 17 Supposons R réduit et soient w ∈ W et α ∈ R. (i) On a ψ(w(α)) = U_w(ψ(α)). (ii) Supposons α positive. La racine w(α) est négative si et seulement si η(w⁻¹, s_α) = -1, autrement dit… ↩ 4 0AVB
Corollaire 1 Soient β ∈ B(C). La réflexion s_β permutent entre elles les racines positives non proportionnelles à β. ↩ 2 0AVC
Corollaire 2 Supposons R réduit. Soit w ∈ W, soit q la longueur de w par rapport à S (chap. IV, § 1, n° 1), et soit w = s₁ … s_q une décomposition réduite de w. Soient α₁, …, α_q les éléments d… ↩ 4 0AVD
Corollaire 3 Supposons R réduit. Il existe dans W un unique élément w₀ de plus grande longueur. Sa longueur est égale au nombre des racines positives et w₀ transforme la chambre C en — C. On a… ↩ 2 0AVE
Proposition 18 Soit x ∈ V. Les trois propriétés suivantes sont équivalentes : ↩ 3 0AVF
Corollaire Pour que x ∈ C, il faut et il suffit que x > w(x) pour tout w ∈ W tel que w ≠ 1. ↩ 1 0AVG
Proposition 19 Soit (βᵢ)_1 ≤ i ≤ n une suite de racines positives pour la chambre C telle que β₁ + β₂ + ⋯ + βₙ soit une racine. Il existe alors une permutation π ∈ Sₙ telle que, pour tout i ∈ 1… ↩ 8 0AVH
Corollaire 1 Soit α ∈ R₊(C). Pour que α ∉ B(C), il faut et il suffit que α soit somme de deux racines positives. ↩ 1 0AVI
Corollaire 2 Soit φ une application de R dans un groupe commutatif Γ possédant les propriétés suivantes : 1) φ(-α) = -φ(α) pour α ∈ R; 2) si α ∈ R, β ∈ R sont tels que α + β ∈ R, on a φ(α + β)… ↩ 2 0AVJ
Corollaire 3 a) Soit α ∈ R. Alors Y(α) est une partie connexe de B(C) (chap. IV, Annexe). 0AVK
Définition 4 Soit P un sous-ensemble de R. (i) On dit que P est clos si les conditions α ∈ P, β ∈ P, α + β ∈ R impliquent α + β ∈ P. (ii) On dit que P est parabolique si P est clos et si P ∪ (-… ↩ 2 0AVL
Lemme 3 Soient C une chambre de R et P un sous-ensemble clos de R contenant R₊(C) (notation du no 6). Soient Σ = B(C) ∩ (-P), et Q l’ensemble des racines combinaisons linéaires à coefficie… ↩ 3 0AVM
Proposition 20 Soit P un sous-ensemble de R. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) P est parabolique ; (ii) P est clos et il existe une chambre C de R telle que P ⊃ R₊(C); (iii) il exi… ↩ 4 0AVN
Corollaire 1 Soit P un sous-ensemble de R. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) il existe une chambre C telle que P = R₊(C); (ii) P est clos, et P, -P est une partition de R. La cha… ↩ 5 0AVO
Corollaire 2 Supposons V muni d’une structure d’espace vectoriel ordonné telle que, pour cette structure, toute racine de R soit positive ou négative. Soit P l’ensemble des racines positives po… ↩ 2 0AVP
Corollaire 3 Pour qu’une partie B de R soit une base de R, il faut et il suffit que les conditions suivantes soient remplies : ↩ 2 0AVQ
Corollaire 4 Soient B une base de R, B' une partie de B, V' le sous-espace vectoriel de V engendré par B', et R' = R \cap V'. Alors B' est une base du système de racines R'. ↩ 4 0AVR
Corollaire 5 Soient B une base de R, A1, A2, ..., Ar des parties de B deux à deux orthogonales, et A = A1 \cup A2 \cup ... \cup Ar. Alors toute racine α qui est combinaison linéaire d’éléments… ↩ 1 0AVS
Corollaire 6 Adoptons les hypothèses et les notations de la prop. 20. Soit V₁ le sous-espace vectoriel de V engendré par Σ. Alors P ∩ (-P) = Q ∪ (-Q) = V₁ ∩ R est un système de racines dans V₁… ↩ 1 0AVT
Proposition 21 Soient C (resp. C') une chambre de R, Σ (resp. Σ') une partie de B(C) (resp. B(C')), Q (resp. Q') l’ensemble des racines combinaisons linéaires à coefficients entiers négatifs des… ↩ 1 0AVU
Corollaire Soient P, P' deux sous-ensembles paraboliques de R transformés l’un de l’autre par un élément du groupe de Weyl. S’il existe une chambre C de R telle que R₊(C) ⊂ P et R₊(C) ⊂ P', o… 0AVV
Proposition 22 Soit P un sous-ensemble clos de R tel que P ∩ (-P) = ∅. Il existe alors une chambre C de R telle que P ⊂ R₊(C). ↩ 2 0AVW
Proposition 23 Soient P un sous-ensemble de R et V₁ (resp. Γ) le sous-espace vectoriel (resp. le sous-groupe) de V engendré par P. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 2 0AVX
Proposition 24 Soit R' l’intersection de R avec un sous-espace vectoriel de V, de sorte que R' est un système de racines dans le sous-espace vectoriel V' qu’il engendre (cf. cor. de la prop. 4, n… 0AVY
Proposition 25 Supposons R irréductible. Soit C une chambre de R, et soit B(C) = α₁, …, αₗ la base correspondante. ↩ 3 0AVZ
Remarque On dit que la racine tildeα = ∑ᵢ nᵢ αᵢ de (i) est la plus grande racine de R (vis-à-vis de C). On notera que, d’après (i), on a nᵢ ≥ 1 pour tout i. 0AW0
Proposition 26 L’ensemble des x ∈ V tels que ⟨ x, y^* ⟩ ∈ Z pour tout y^* ∈ Q(R^∨) (ou, ce qui revient au même, pour tout y^* ∈ R^∨) est un sous-groupe discret G de V contenant Q(R). Si B' est un… 0AW1
Proposition 27 Soient R₁ une partie de R, Q₁ le sous-groupe de Q(R) engendré par R₁, et W₁ le sous-groupe de W(R) engendré par les s_α (α ∈ R₁). Si p ∈ P(R) et w ∈ W₁, on a p - w(p) ∈ Q₁. ↩ 1 0AW2
Proposition 28 Soient B une base de R, B' une partie de B, V' le sous-espace vectoriel de V engendré par B', R' = R ∩ V' (qui est un système de racines dans V'), R'∨ le système de racines inverse… ↩ 1 0AW3
Proposition 29 Soit ρ la demi-somme des racines 0. ↩ 5 0AW4
Corollaire Soit σ la demi-somme des éléments 0 de R^∨ (pour B^∨). Pour tout α ∈ V, la somme des coordonnées de α par rapport à la base B est ⟨ α, σ ⟩. Si α ∈ R, cette somme est aussi égale à… ↩ 3 0AW5
Proposition 30 Supposons R irréductible. Soit m un entier compris entre 1 et h—1, et étranger à h. Alors exp((2iπ m)/h) est une valeur propre de c de multiplicité 1. ↩ 1 0AW6
Lemme 3 Pour tout w ∈ W, le polynôme caractéristique de w est à coefficients entiers. On sait (n° 6, th. 3) que le sous-groupe Q(R) de V engendré par R a pour base α₁, …, αₗ. Comme w laiss… 0E8T
Proposition 31 Supposons R irréductible et réduit, et soit β = n₁ α₁ + ⋯ + nₗ αₗ la plus grande racine de R (cf. n° 8). On a alors n₁ + ⋯ + nₗ = h — 1. ↩ 4 0AW8
Proposition 32 Supposons que R soit irréductible, et que toutes les racines aient même longueur. Soit α ∈ R. Le nombre d’éléments de R non orthogonaux à α est 4h - 6. 0AW9
Proposition 33 Supposons R irréductible et réduit. Posons s_αᵢ = sᵢ, et soit Γ le sous-groupe de W engendré par c = s₁ … sₗ. (i) Soit θᵢ = sᵢ sᵢ₋₁ … sᵢ₊₁(αᵢ) (i = 1, …, l). On a θᵢ > 0, c(θᵢ) < 0… ↩ 4 0AWA

§ 2. Groupe de Weyl affine

Définition 1 On appelle groupe de Weyl affine du système de racines R et on note Wₐ(R) (ou simplement Wₐ) le groupe de transformations affines de E engendré par les réflexions s_α, k pour α ∈ R… 0AWZ
Proposition 1 Le groupe Wₐ est produit semi-direct de W par Q . 0AX0
Proposition 2 Le groupe Wₐ, muni de la topologie discrète, opère proprement sur E et permutte entre eux les hyperplans L_α, k (pour α ∈ R et k ∈ Z). 0AX1
Proposition 3 Les points spéciaux (chap. V, § 3, no 10, déf. 1) de Wₐ sont les poids de R^∨. ↩ 1 0AX2
Corollaire (i) Si varpi ∈ P(R^∨), il existe une alcôve C telle que varpi soit point extrémal de overlineC. 0AX3
Proposition 4 Soit C' une chambre de R^∨. (i) Il existe une alcôve C et une seule contenue dans C' et telle que 0 ∈ overlineC. (ii) La réunion des w(overlineC) pour w ∈ W est un voisinage de 0 d… ↩ 1 0AX4
Proposition 5 Soit C l’alcôve contenue dans C' à laquelle 0 est adhérent (prop. 4). (i) C est l’ensemble des x ∈ E tels que ⟨ αᵢ, x ⟩ > 0 pour tout i ∈ I et que ⟨ tildeα, x ⟩ < 1. (ii) L’ensembl… ↩ 5 0AX5
Corollaire L’alcôve C est un simplexe ouvert de sommets 0 et les ωᵢ / nᵢ, i ∈ I. Cela résulte de (i). ↩ 1 0AX6
Proposition 6 Pour tout i ∈ J, l’élément γᵢ = t(overlineωᵢ) wᵢ w₀ appartient à Γ_C et l’application i ↦ γᵢ est une bijection de J sur Γ_C - 1. ↩ 1 0AX7
Corollaire Les (overlineωᵢ)_i ∈ J forment un système de représentants dans P(R^∨) des éléments non nuls de P(R^∨)/Q(R^∨). ↩ 2 0AX8
Remarque 1 L’application γ ↦ γ(0) est une bijection de Γ_C sur overlineC ∩ P(R^∨). 0AX9
Remarque 2 Le groupe G est aussi le normalisateur de Wₐ dans le groupe des automorphismes de E muni seulement de sa structure affine (cf. exerc. 3). 0AXA
Lemme 1 Soient X un espace localement compact dénombrable à l’infini, G un groupe discret opérant continûment et proprement dans X, μ une mesure ≥ 0 sur X invariante par G, G' un sous-grou… ↩ 1 0AXB
Proposition 7 Supposons R irréductible. Soient B = \{ \alpha1, \ldots, \alphal \} une base de R, f l’indice de connexion de R (§ 1, n° 9) et tildeα = n₁ α₁ + ⋯ + nₗ αₗ la plus grande racine de R… ↩ 2 0AXC
Proposition 8 Soit F un espace hilbertien réel de dimension finie l. Soient H un ensemble d’hyperplans affines de F et G le groupe engendré par les réflexions orthogonales s_H par rapport aux hy… 0AXD
Proposition 9 Soit V un espace vectoriel réel de dimension finie l, et soit G un sous-groupe fini de GL(V), engendré par des réflexions et essentiel. Munissons V d’un produit scalaire invariant… ↩ 1 0AXF
Définition 2 Un groupe G vérifiant les conditions équivalentes de la prop. 9 est appelé un groupe cristallographique. 0AXG

§ 3. Invariants exponentiels

Lemme 1 Supposons A factoriel (Alg. comm., chap. VII, § 3, no 1, déf. 1). ↩ 1 0AXN
Définition 1 Soit x = ∑_p ∈ P xₚ eᵖ un élément de A[P]. On appelle support de x l’ensemble S des p ∈ P tels que xₚ ≠ 0 et support maximal de x l’ensemble X des éléments maximaux de S. On dit en… ↩ 2 0AXO
Lemme 2 Soit x ∈ A[P] et soit (xₚ eᵖ)_p ∈ X la famille des termes maximaux de x. Soit q ∈ P et soit y ∈ A[P] tels que e^q soit l’unique terme maximal de y. Alors, la famille des termes max… ↩ 4 0AXP
Remarque Comme x ≠ 0 signifie que le support maximal de x est non vide, le lemme 2 montre que x ≠ 0 entraîne xy ≠ 0, toutes les fois que y admet un unique terme maximal de la forme e^q. 0AXQ
Définition 2 On dit qu’un élément x ∈ A[P] est anti-invariant par W si w(x) = ε(w) · x pour tout w ∈ W. 0AXR
Proposition 1 Si 2 n’est pas diviseur de zéro dans A, les éléments J(eᵖ) pour p ∈ P ∩ C forment une base du module des éléments anti-invariants de A[P]. ↩ 3 0AXS
Proposition 2 (i) L’élément d défini par (3) est un élément anti-invariant de A[P]; son unique terme maximal (n° 2, déf. 1) est e^ρ et l’on a d = J(e^ρ). (ii) Pour tout p ∈ P, l’élément J(eᵖ) es… ↩ 3 0AXT
Remarque 1 Si 2 n'est pas diviseur de zéro dans A, on vérifie aisément que d est l'unique élément anti-invariant de A[P] admettant e^ρ comme terme maximal. 0AXU
Remarque 2 Le lemme 2 du no 2 montre que l'unique terme maximal du quotient J(eᵖ)/d (pour p ∈ P ∩ C) est e^p-ρ. ↩ 1 0AXV
Lemme 3 Le A-module A[P]^w admet pour base la famille des S(eᵖ) pour p ∈ P ∩ overlineC. ↩ 1 0AXW
Proposition 3 Pour tout p ∈ P ∩ overlineC, soit xₚ un élément de A[P]^w ayant pour unique terme maximal eᵖ. La famille (xₚ)_p ∈ P ∩ overlineC est une base du A-module A[P]^w. 0E8U
Lemme 4 Soit I un ensemble ordonné vérifiant la condition suivante : (MIN) Toute partie non vide de I contient un élément minimal. Soient E un A-module, (eᵢ)_i ∈ I une base de E et (xᵢ)_i… 0E8V
Théorème 1 Soient ω₁, …, ωₗ les poids fondamentaux correspondant à la chambre C et, pour 1 ≤ i ≤ l, soit xᵢ un élément de A[P]ʷ admettant e^ωᵢ pour unique terme maximal. Soit ↩ 2 0AXX
Exemple 1 On peut prendre xᵢ = S(e^ωᵢ). 0AXY
Exemple 2 D’après la Remarque 2 du no 3, on peut prendre xᵢ = J(eᵖ + ωᵢ)/d (avec les notations du no 3). 0AXZ

§ 4. Classification des systèmes de racines

Lemme 1 Pour tout i, on a ∑_j ≠ i qᵢⱼ² < 1. ↩ 4 0AY2
Lemme 2 Un sommet de X ne peut appartenir qu’à 3 arêtes au plus. ↩ 3 0AY3
Lemme 3 Si i appartient à 3 arêtes, ces arêtes sont d’ordre 3. 0AY4
Lemme 4 S’il existe une arête d’ordre ≥ 6, on a l = 2. ↩ 2 0AY5
Lemme 5 Un sommet ne peut appartenir à deux arêtes distinctes d’ordre geqslant 4. ↩ 1 0AY6
Lemme 6 Si i, j est d’ordre 3, W(M') est un groupe de Coxeter fini. ↩ 1 0AY7
Lemme 7 On a l’alternative suivante : a) X possède un point de ramification (chap. IV, Annexe, no 1) et un seul, et toutes les arêtes de X sont d’ordre 3. b) X est une chaîne, et possède a… ↩ 2 0AY8
Lemme 8 Soient i₁, i₂, …, iₚ des sommets de X tels que i₁, i₂, i₂, i₃, …, iₚ₋₁, iₚ soient des arêtes d’ordre 3. Alors q ( ∑ᵣ₌₁ᵖ r e_iᵣ ) = 1/2 p(p+1). ↩ 2 0AY9
Lemme 9 Supposons que X soit une chaîne ayant pour sommets 1, 2, …, l et pour arêtes 1, 2, 2, 3, …, l-1, l. ↩ 1 0AYA
Lemme 10 Si X admet un point de ramification i, le sous-graphe plein X—{i} est réunion de trois chaînes, et si p—1, q—1, r—1 sont les longueurs de ces chaînes, le triplet (p, q, r) est égal… ↩ 1 0AYB
Théorème 1 Si (W, S) est un système de Coxeter fini irréductible, son graphe de Coxeter est isomorphe à l’un des suivants : ↩ 6 0AYC
Théorème 2 Les groupes de Coxeter définis par les graphes de Coxeter Aₗ, Bₗ, ..., I₂(p) du th. 1 sont finis. ↩ 2 0AYD
Proposition 1 Soient R₁ et R₂ deux systèmes de racines réduits dans des espaces vectoriels réels V₁ et V₂. Soient B₁ = (αᵢ)_i ∈ I₁ et B₂ = (αᵢ)_i ∈ I₁ des bases de R₁ et R₂, indexées canoniqueme… ↩ 2 0AYE
Corollaire L’homomorphisme φ défini par passage au quotient un isomorphisme du groupe A(R)/W(R) sur le groupe des automorphismes du graphe de Dynkin de R. ↩ 2 0AYF
Théorème 3 Si R est un système de racines réduit et irréductible, son graphe de Dynkin est isomorphe à l’un des graphes représentés par les figures suivantes : ↩ 3 0AYG
Remarque 1 Le graphe A1 est réduit à un seul sommet; on le note aussi B1 ou C1. Le graphe B2———o est aussi noté C2. Le graphe A3———o———o est aussi noté D3. Enfin, on note D2 le graphe composé… 0AYH
Remarque 2 Si (X, f) est le graphe de Dynkin d’un système de racines réduit R, le graphe de Dynkin du système inverse s’identifie à (X, f^{-1}). Autrement dit, la figure associée au graphe de… 0AYI
Remarque On peut montrer que l’application canonique Aut(tildeX, tildef) → Aut(Σ) est un isomorphisme. 0AYJ
Théorème 4 Soit (W, S) un système de Coxeter irréductible, avec S fini. Pour que la forme quadratique associée (chap. V, § 4, n° 1) soit positive et dégénérée, il faut et il suffit que le gra… 0AYK

VII. Sous-algèbres de Cartan. Éléments réguliers

§ 1. Décomposition primaire des représentations linéaires

Proposition 1 Pour tout λ ∈ P, on a (V ⊗ₖ k')^λ(S) = V^λ(S) ⊗ₖ k' et (V ⊗ₖ k')_λ(S) = V_λ(S) ⊗ₖ k'. ↩ 5 00SJ
Proposition 2 Soient V, V', W des espaces vectoriels. Soient r : S → End(V), r' : S → End(V') et q : S → End(W) des applications. ↩ 9 00SK
Proposition 3 La somme ∑_λ ∈ P V^λ(S) est directe. La somme ∑_λ ∈ P V_λ(S) est directe. ↩ 2 00SL
Lemme 1 Soient x, y ∈ End(V). ↩ 4 00SM
Remarque La démonstration prouve que, si V est de dimension finie et s’il existe un entier n tel que (ad x)ⁿ y = 0, alors (ad x)^2dim V - 1 y = 0. 00SN
Théorème 1 Supposons V de dimension finie. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) La condition (PC) est vérifiée et, pour tout s \in S, r(s) est trigonalisable. (ii) Pour tout λ ∈ P… ↩ 5 00SO
Corollaire 1 Supposons V de dimension finie et la condition (PC) vérifiée. Soit k’ une extension de k. On suppose que, pour tout s \in S, l’endomorphisme r(s) \otimes 1 de V \otimesk k’ est tri… 00SP
Corollaire 2 Supposons V de dimension finie et la condition (PC) vérifiée. Notons V⁺(S) le sous-espace vectoriel ∑_s ∈ S ( ⋂_i ≥ 1 r(s)ⁱ V ). Alors : (i) V⁰(S) et V⁺(S) sont stables par r(S); ↩ 1 00SQ
Corollaire 3 Soient V et V' des espaces vectoriels de dimension finie, r : S → End(V) et r' : S → End(V') des applications vérifiant la condition (PC). Soit f : V → V' une application linéaire… ↩ 2 00SR
Proposition 4 Supposons k parfait. Soient V un espace vectoriel de dimension finie, u un élément de End(V), uₛ, uₙ les composantes semi-simple et nilpotente de u (A, VII, § 5, n° 8). (i) Pour to… ↩ 4 00SS
Proposition 5 Supposons la condition (PC) vérifiée, et soit λ : S → k tel que V^λ(S) ≠ 0. Si k est de caractéristique 0, l'application λ est linéaire. Si k est de caractéristique p ≠ 0, il exist… ↩ 2 00ST
Proposition 6 Supposons k infini et la condition (PC) vérifiée. Soit k' une extension de k. Posons V' = V ⊗ₖ k', S' = S ⊗ₖ k'. Soit r': S' → End(V') l’application déduite de r par extension des… ↩ 1 00SU
Proposition 7 Supposons k infini et la condition (PC) vérifiée. Soit tildeS l’ensemble des s ∈ S tels que V⁰(s) = V⁰(S). Si s ∈ S, soit P(s) le déterminant de l’endomorphisme de V/V⁰(S) défini p… ↩ 3 00SV
Proposition 8 Soient h une algèbre de Lie, et L, M, N des h-modules. Notons P l’ensemble des applications de h dans k. ↩ 1 00SW
Proposition 9 Soient h une algèbre de Lie nilpotente et M un h-module de dimension finie. Notons P l’ensemble des applications de h dans k. ↩ 7 00SX
Remarque Supposons k parfait de caractéristique 2. Soient 𝔥 = 𝔰𝔩(2, k), et M le 𝔥-module k² (pour l’application identique de 𝔥). Si x = beginpmatrix a & b \\ c & a endpmatrix est un élément… 00SY
Corollaire Soient 𝔥 une algèbre de Lie nilpotente, et M un 𝔥-module de dimension finie tel que M⁰(𝔥) = 0. Soit f : 𝔥 → M une application linéaire telle que f([x, y]) = x.f(y) - y.f(x) pour x… ↩ 2 00SZ
Proposition 10 Soient g une algèbre de Lie, 𝔥 une sous-algèbre nilpotente de g. Notons P l’ensemble des applications de 𝔥 dans k. ↩ 9 00T0
Lemme 2 On suppose k de caractéristique 0. Soient g une algèbre de Lie semi-simple sur k, B la forme de Killing de g, m une sous-algèbre de g. On suppose que les conditions suivantes sont… ↩ 4 00T1
Proposition 11 On suppose k de caractéristique 0. Soient g une algèbre de Lie semi-simple, h une sous-algèbre nilpotente de g. L’algèbre g⁰(h) satisfait aux conditions (1) et (2) du lemme 2 ; ell… ↩ 2 00T2
Proposition 12 Soient g une algèbre de Lie, a un automorphisme de g. (i) Pour λ, μ ∈ k, on a [g^λ(a), g^μ(a)] ⊂ g^λμ(a); en particulier, g¹(a) est une sous-algèbre de g. ↩ 1 00T3
Corollaire Supposons k de caractéristique zéro et g semi-simple. Alors la sous-algèbre g¹(a) satisfait aux conditions (1) et (2) du lemme 2; elle est réductive dans g. 00T4
Proposition 13 Soient g une algèbre de Lie semi-simple, a une sous-algèbre de g réductive dans g, et m le commutant de a dans g. La sous-algèbre m satisfait aux conditions (1) et (2) du lemme 2 d… 00T5
Remarque Le commutant de m dans g n’est pas nécessairement réduit à a, cf. Exerc. 4. 00T6
Proposition 14 Soient g une algèbre de Lie semi-simple, A un groupe et r un homomorphisme de A dans Aut(g). Soit m la sous-algèbre de g formée des éléments invariants par r(A). Supposons que la r… 00T7

§ 2. Sous-algèbres de Cartan et éléments réguliers d’une algèbre de Lie

Définition 1 Soit g une algèbre de Lie. On appelle sous-algèbre de Cartan de g une sous-algèbre nilpotente de g égale à son normalisateur. ↩ 2 00TJ
Exemple 1 Si g est nilpotente, la seule sous-algèbre de Cartan de g est g elle-même (I, § 4, no 1, prop. 3). ↩ 2 00TK
Exemple 2 Soient g = gl(n, k), et h l’ensemble des matrices diagonales appartenant à g. Montrons que h est une sous-algèbre de Cartan de g. D’abord h est commutative, donc nilpotente. Soit (… ↩ 2 00TL
Exemple 3 Soit 𝔥 une sous-algèbre de Cartan de 𝔤 et soit 𝔤₁ une sous-algèbre de 𝔤 contenant 𝔥. Alors 𝔥 est une sous-algèbre de Cartan de 𝔤₁; cela résulte aussitôt de la déf. 1. ↩ 1 00TM
Proposition 1 Soit 𝔤 une algèbre de Lie et soit 𝔥 une sous-algèbre de Cartan de 𝔤. Alors 𝔥 est une sous-algèbre nilpotente maximale de 𝔤. ↩ 1 00TN
Proposition 2 Soient (𝔤ᵢ)_i ∈ I une famille finie d’algèbres de Lie et 𝔤 = ∏_i ∈ I 𝔤ᵢ. Les sous-algèbres de Cartan de 𝔤 sont les sous-algèbres de la forme ∏_i ∈ I 𝔥ᵢ où 𝔥ᵢ est une sous-algèbre d… ↩ 3 00TO
Exemple 4 Si k est de caractéristique 0, gl(n, k) est produit des idéaux 𝔰𝔩(n, k) et k.1. Il résulte de l’exemple 2 et de la prop. 2 que l’ensemble des matrices diagonales de trace 0 dans 𝔰𝔩… ↩ 1 00TP
Proposition 3 Soient 𝔤 une algèbre de Lie, 𝔥 une sous-algèbre de 𝔤, k' une extension de k. Alors 𝔥 est une sous-algèbre de Cartan de 𝔤 si et seulement si 𝔥 ⊗ₖ k' est une sous-algèbre de Cartan d… ↩ 2 00TQ
Proposition 4 Soient 𝔤 une algèbre de Lie, 𝔥 une sous-algèbre nilpotente de 𝔤. Pour que 𝔥 soit sous-algèbre de Cartan de 𝔤, il faut et il suffit que 𝔤⁰(𝔥) = 𝔥. ↩ 5 00TR
Corollaire 1 Soient g une algèbre de Lie, h une sous-algèbre de Cartan de g. Si k est infini, il existe x \in h tel que h = g^0(x). En effet, on a h = g⁰(h), et on applique la prop. 9 (ii) du §… ↩ 1 00TS
Corollaire 2 Soit f : g \to g' un homomorphisme surjectif d’algèbres de Lie. Si h est une sous-algèbre de Cartan de g, f(h) est une sous-algèbre de Cartan de g'. En effet, f(h) est une sous-alg… ↩ 6 00TT
Corollaire 3 Soit h une sous-algèbre de Cartan d’une algèbre de Lie g, et soit C^ng (n \geq 1) un terme de la série centrale descendante de g (I, § 1, n° 5, 2ème édition). On a g = h + C^ng. En… ↩ 1 00TU
Corollaire 4 Soient g une algèbre de Lie, h une sous-algèbre de Cartan de g, a une sous-algèbre de g contenant h. (i) a est égale à son normalisateur dans g. (ii) Supposons k = \mathbf{R} ou \m… ↩ 3 00TV
Corollaire 5 Soient g une algèbre de Lie, E une partie de g. Faisons opérer E dans g par la représentation adjointe. Pour que E soit une sous-algèbre de Cartan de g, il faut et il suffit que E… ↩ 1 00TW
Corollaire 6 Soient g une algèbre de Lie, k0 un sous-corps de k tel que [k:k0] < + \infty, g0 l’algèbre de Lie déduite de g par restriction à k0 du corps des scalaires. Soit h une partie de g… 00TX
Proposition 5 Soient 𝔤 une algèbre de Lie, c son centre, 𝔥 un sous-espace vectoriel de 𝔤. Pour que 𝔥 soit une sous-algèbre de Cartan de 𝔤, il faut et il suffit que 𝔥 contienne c et que 𝔥/c soit… ↩ 3 00TY
Corollaire Soit C_∞ 𝔤 la réunion de la série centrale ascendante de l'algèbre de Lie g (I, § 1, no 6). Les sous-algèbres de Cartan de 𝔤 sont les images réciproques des sous-algèbres de Cartan… 00TZ
Remarque C_∞ 𝔤 est le plus petit idéal n de 𝔤 tel que le centre de 𝔤/n soit nul; c'est un idéal caractéristique et nilpotent de 𝔤. 00U0
Remarque 1 Si 𝔤 ≠ 0, on a a₀ = 0 car (ad x)(x) = 0 pour tout x ∈ 𝔤. 00U1
Remarque 2 Soit k' une extension de k. Ecrivons det(T - ad x') = ∑ᵢ₌₀ⁿ a'ᵢ(x') Tⁱ pour x' ∈ 𝔤 ⊗ₖ k'. Alors a'ᵢ|_𝔤 = aᵢ pour tout i. ↩ 1 00U2
Définition 2 On appelle rang de g et on note rg(g) le plus petit entier l tel que aₗ ≠ 0. Un élément x de g est dit régulier si aₗ(x) ≠ 0. ↩ 1 00U3
Exemple 1 Si g est nilpotente, on a rg(g) = dim g et tous les éléments de g sont réguliers. 00U4
Exemple 2 Soit g = 𝔰𝔩(2, k). Si x = beginpmatrix γ & α \\ β & -γ endpmatrix ∈ g, un calcul facile donne det(T - ad x) = T³ - 4(α β + γ²)T. Si la caractéristique de k est ≠ 2, alors rg(g) = 1… 00U5
Exemple 3 Soient V un espace vectoriel de dimension finie n, et g = 𝔤𝔩(V). Soit bark une clôture algébrique de k. Soient x ∈ g, et λ₁, …, λₙ les racines dans bark du polynôme caractéristique… 00U6
Proposition 6 Soient g une algèbre de Lie, k' une extension de k, et g' = g ⊗ₖ k'. (i) Pour qu'un élément x de g soit régulier dans g, il faut et il suffit que x ⊗ 1 soit régulier dans g'. (ii)… ↩ 1 00U7
Proposition 7 Soient (gᵢ)_i ∈ I une famille finie d'algèbres de Lie, et g = ∏_i ∈ I gᵢ. (i) Pour qu'un élément (xᵢ)_i ∈ I de g soit régulier dans g, il faut et il suffit que, pour tout i ∈ I, xᵢ… 01IY
Proposition 8 Soit f : g → g' un homomorphisme surjectif d'algèbres de Lie. (i) Si x est un élément régulier de g, f(x) est régulier dans g'. La réciproque est vraie si Ker f est contenu dans le… 00U8
Corollaire Soit Cₙ g (n \geqslant 0) un terme de la série centrale ascendante de g (I, § 1, n° 6). Les éléments réguliers de g sont ceux dont l’image dans g/Cₙ g est régulière. 00U9
Proposition 9 Soient g une algèbre de Lie, g' une sous-algèbre de g. Tout élément de g' régulier dans g est régulier dans g'. ↩ 2 00UA
Remarque 3 Il n’existe pas nécessairement d’élément de g' régulier dans g. S’il en existe au moins un, l’ensemble de ces éléments n’est autre que l’ensemble noté S dans la démonstration ci-de… 00UB
Théorème 1 Soit g une algèbre de Lie. (i) Si x est un élément régulier de g, g⁰(x) est une sous-algèbre de Cartan de g. (ii) Si 𝔥 est une sous-algèbre nilpotente maximale de g, et si x ∈ 𝔥 es… ↩ 5 00UC
Corollaire 1 Toute algèbre de Lie g possède des sous-algèbres de Cartan, et le rang de g est la dimension minimum des sous-algèbres de Cartan. ↩ 1 00UD
Corollaire 2 Soit f : g → g' un homomorphisme surjectif d’algèbres de Lie. Si h' est une sous-algèbre de Cartan de g', il existe une sous-algèbre de Cartan h de g telle que h' = f(h). ↩ 1 00UE
Corollaire 3 Toute algèbre de Lie g est somme de ses sous-algèbres de Cartan. ↩ 1 00UF
Proposition 10 Soient g une algèbre de Lie, a une sous-algèbre commutative de g et c le commutant de a dans g. On suppose que ad_g x est semi-simple pour tout x ∈ a. Alors les sous-algèbres de Ca… ↩ 7 00UG
Proposition 11 Soit n une sous-algèbre nilpotente d’une algèbre de Lie g. Il existe une sous-algèbre de Cartan de g contenue dans g⁰(n). ↩ 1 00UH
Théorème 2 Supposons k de caractéristique 0. Soient g une algèbre de Lie semi-simple, h une sous-algèbre de Cartan de g. Alors h est commutative, et tous ses éléments sont semi-simples dans g… ↩ 3 00UI
Corollaire 1 Si x ∈ h et y ∈ g^λ(h), on a [x, y] = λ(x)y. ↩ 1 00UJ
Corollaire 2 Tout élément régulier de g est semi-simple. 00UK
Corollaire 3 Soit h une sous-algèbre de Cartan d’une algèbre de Lie réductive g. a) h est commutative. b) Si ρ est une représentation semi-simple de dimension finie de g, les éléments de ρ(h) s… ↩ 4 00UL

§ 3. Théorèmes de conjugaison

Définition 1 On appelle automorphisme élémentaire de g tout produit fini d’automorphismes de g de la forme e^ad x avec ad x nilpotent. On note Autₑ(g) le groupe des automorphismes élémentaires… 00V0
Lemme 1 Soient V un espace vectoriel de dimension finie, n une sous-algèbre de Lie de a = 𝔤𝔩(V) formée d’éléments nilpotents. ↩ 6 00V1
Proposition 1 Soient g une algèbre de Lie, n une sous-algèbre de g telle que ad_g x soit nilpotent pour tout x ∈ n. Alors e^ad_g n est un sous-groupe de Autₑ(g). ↩ 1 00V2
Remarque 1 Soient V un espace vectoriel de dimension finie, g une sous-algèbre de Lie de a = 𝔤𝔩(V), x un élément de g tel que ad_g x soit nilpotent. Alors il existe un élément nilpotent n de… ↩ 2 00V3
Remarque 2 Soit V un espace vectoriel de dimension finie. Pour tout g ∈ SL(V), notons φ(g) l’automorphisme x ↦ gxg⁻¹ de 𝔤𝔩(V). On a Autₑ(𝔤𝔩(V)) = φ(SL(V)). En effet, d’après (1), Autₑ(𝔤𝔩(V))… ↩ 3 00V4
Lemme 2 (i) Soit hᵣ l’ensemble des x ∈ h tels que g⁰(x) = g⁰(h); c’est l’ensemble des x ∈ h tels que λ(x) ≠ 0 pour tout λ ∈ R, et hᵣ est ouvert dense dans h pour la topologie de Zariski. ↩ 2 00V5
Proposition 2 Supposons k algébriquement clos. Soient g une algèbre de Lie, h et h' des sous-algèbres de Cartan de g. Il existe u ∈ E(h) et u' ∈ E(h') tels que u(h) = u'(h'). ↩ 1 00V6
Corollaire On a E(𝔥) = E(𝔥'). 00V7
Théorème 1 Supposons k algébriquement clos. Soit g une algèbre de Lie. Le groupe E est distingué dans Aut(g) et opère transitivement sur l’ensemble des sous-algèbres de Cartan de g. ↩ 10 00V8
Théorème 2 Soit g une algèbre de Lie. ↩ 7 00V9
Proposition 3 Soient g une algèbre de Lie, g’ une sous-algèbre de g. Les conditions suivantes sont équivalentes : ↩ 8 00VA
Corollaire Soit 𝔥 une sous-algèbre nilpotente de g. La sous-algèbre g⁰(𝔥) possède les propriétés (i), (ii), (iii) de la prop. 3. En effet, la prop. 11 du § 2, n° 3, montre que g⁰(𝔥) possède l… ↩ 1 00VB
Proposition 4 Soient g une algèbre de Lie, l le rang de g, c la classe de nilpotence des sous-algèbres de Cartan de g, et x ∈ g. Il existe une sous-algèbre de g de dimension l, dont la classe de… ↩ 1 00VC
Théorème 3 Soit g une algèbre de Lie résoluble, et soient h, h' des sous-algèbres de Cartan de g. Il existe x ∈ C^∞(g) tel que e^ad xh = h'. ↩ 7 00VD
Lemme 3 Soient g une algèbre de Lie, r son radical, φ l’homomorphisme canonique de g sur g/r, v un automorphisme élémentaire de g/r. Il existe un automorphisme élémentaire u de g tel que φ… ↩ 1 00VE
Proposition 5 Soient g une algèbre de Lie, r son radical, h et h' des sous-algèbres de Cartan de g, et φ l’homomorphisme canonique de g sur g/r. Les conditions suivantes sont équivalentes: ↩ 1 00VF
Proposition 6 Supposons que k soit R, ou C, ou un corps ultramétrique complet non discret de caractéristique 0. Soient G un groupe de Lie de dimension finie sur k, e son élément neutre, g son al… 00VG

§ 4. Eléments réguliers d’un groupe de Lie

Lemme 1 Soient M une variété analytique sur k et a = (a₀, …, aₙ₋₁, aₙ = 1) une suite de fonctions analytiques sur M. Pour tout x ∈ M, soit rₐ(x) la borne supérieure des i ∈ 0, n tels que a… ↩ 4 00VU
Lemme 2 Soit 0 → V' → V → V'' → 0 une suite exacte de G-modules définis respectivement par les représentations linéaires analytiques ρ', ρ, ρ'' de G. On a alors: 00VV
Définition 1 Un élément g ∈ G est dit régulier pour la représentation linéaire ρ si r_ρ(g) = r_ρ⁰(g). 00VW
Proposition 1 Les points réguliers pour une représentation linéaire analytique ρ de G sont les points de G au voisinage desquels la fonction r_ρ est constante. Ils forment un ouvert dense dans G… ↩ 2 00VX
Remarque Soit G^* un sous-groupe ouvert de G. Pour qu’un élément a ∈ G^* soit un élément régulier de G pour la représentation linéaire ρ de G, il faut et il suffit que ce soit un élément ré… 00VY
Définition 2 On dit qu’un élément de G est régulier s’il est régulier pour la représentation adjointe de G. ↩ 1 00VZ
Proposition 2 Soient G' un groupe de Lie de dimension finie sur k et f un morphisme surjectif de G dans G'. L’image par f d’un élément régulier de G est un élément régulier de G'. Si le noyau de… ↩ 2 00W0
Proposition 3 Soient G₁ et G₂ deux groupes de Lie de dimension finie sur k. Pour qu’un élément (g₁, g₂) de G₁ × G₂ soit régulier, il faut et il suffit que g₁ et g₂ soient respectivement des élém… 00W1
Lemme 3 Soient a ∈ G et m un supplémentaire de g¹(a) dans g. Soient U un voisinage de 0 dans g et exp une application exponentielle de U dans G. L’application ↩ 1 00W2
Proposition 4 Soient a ∈ G et H un sous-groupuscule de Lie de G ayant g¹(a) pour algèbre de Lie. L’application (b, c) ↦ cabc⁻¹ de H × G dans G est une submersion en (e, e). ↩ 2 00W3
Proposition 5 Soient a ∈ G et W un voisinage de e dans G. Il existe un voisinage V de a ayant la propriété suivante : pour tout a' ∈ V, il existe un élément g ∈ W tel que g¹(a') ⊂ Ad(g)g¹(a). ↩ 1 00W4
Corollaire Soit G^* un sous-groupe ouvert de G. Si a ∈ G est régulier, il existe un voisinage V de a tel que, pour tout a' ∈ V, g¹(a') soit conjugué de g¹(a) par Ad(G^*) ↩ 1 00W5
Proposition 6 Soient V un sous-groupe ouvert de g et exp : V → G une application exponentielle définie sur V. ↩ 2 00W6
Lemme 4 Soient U un voisinage de 0 dans g et exp une application exponentielle de U dans G, étale en tout point de U et telle que g¹(exp x) = g⁰(x) quel que soit x ∈ U. ↩ 2 00W7
Proposition 7 Soit V un voisinage de e dans G. Toute sous-algèbre de Cartan de g est de la forme g¹(a) où a est un élément régulier de G appartenant à V. 00W8
Proposition 8 Soit l le rang de g. Il existe un sous-groupe ouvert G^* de G tel que : (i) la fonction r_Ad⁰ est constante sur G^* et sa valeur est l ; (ii) pour qu’un élément a ∈ G^* soit réguli… ↩ 1 00W9
Remarque Si k = C, les sous-algèbres g¹(a) pour a régulier appartenant à une composante connexe M de G sont conjuguées par Int(g). Soit en effet R l’ensemble des éléments réguliers de G. Po… 00WA
Proposition 9 Soient k un corps de caractéristique 0 et g une algèbre de Lie sur k. Si a ∈ Autₑ(g), la dimension du nilspace de a - 1 est au moins égale au rang de g. ↩ 2 00WB

§ 5. Algèbres de Lie linéaires scindables

Définition 1 Soit g une sous-algèbre de Lie de 𝔤𝔩(V). On dit que g est scindable si g contient les composantes semi-simple et nilpotente de chacun de ses éléments (A, VII, § 5, no 8). ↩ 1 00WG
Exemple 1 Soient V' et V'' des sous-espaces vectoriels de V tels que V'' ⊃ V'. L'ensemble des x ∈ 𝔤𝔩(V) tels que x(V'') ⊂ V' est une sous-algèbre de Lie scindable de 𝔤𝔩(V); en effet, pour to… ↩ 1 00WH
Exemple 2 Supposons V muni d'une structure d'algèbre. L'ensemble des dérivations de V est une sous-algèbre de Lie scindable de 𝔤𝔩(V) (§ 1, no 1, prop. 4 (ii)). 00WI
Exemple 3 Plus généralement, on peut montrer que l'algèbre de Lie d'un sous-groupe algébrique de GL(V) est scindable. 01KQ
Proposition 1 Soient g une sous-algèbre de Lie scindable de 𝔤𝔩(V), x ∈ g, s et n les composantes semi-simple et nilpotente de x. 00WJ
Proposition 2 Soient g une sous-algèbre de Lie de 𝔤𝔩(V) réductive dans 𝔤𝔩(V), E un espace vectoriel de dimension finie et π : g → 𝔤𝔩(E) une représentation linéaire semi-simple de g dans E. Alors… ↩ 5 00WK
Remarque 1 L’hypothèse de semi-simplicité faite sur π équivaut à dire que π(x) est semi-simple pour tout x ∈ c. Cette hypothèse est notamment vérifiée lorsque π se déduit de la représentation… 00WL
Remarque 2 Soient g ⊂ 𝔤𝔩(V), g' ⊂ 𝔤𝔩(V') des algèbres de Lie scindables, φ un isomorphisme de g sur g'. On prendra garde que φ ne transforme pas nécessairement les éléments semi-simples (resp… 00WM
Proposition 3 Soit a une sous-algèbre de Lie scindable de 𝔤𝔩(V) et soient b et c des sous-espaces vectoriels de 𝔤𝔩(V) tels que b ⊂ c. Soit a' l’ensemble des x ∈ a tels que [x, c] ⊂ b. Alors a' e… ↩ 3 00WN
Corollaire 1 Si a est une sous-algèbre de Lie scindable de 𝔤𝔩(V), et n une sous-algèbre de Lie de a, le normalisateur (resp. le centralisateur) de n dans a est scindable. ↩ 2 00WO
Corollaire 2 Les sous-algèbres de Cartan d’une sous-algèbre de Lie scindable de 𝔤𝔩(V) sont scindables. ↩ 2 00WP
Remarque Nous démontrerons plus loin (n° 5, th. 2) une réciproque au cor. 2. 00WQ
Proposition 4 Soient g une sous-algèbre de Lie de 𝔤𝔩(V) et n un idéal de g. Alors n et e(n) sont des idéaux de e(g), et l’on a [e(g), e(n)] = [g, n]. ↩ 6 00WR
Corollaire 1 (i) On a Dⁱ g = Dⁱ e(g) pour i ≥ 1, et Cⁱ g = Cⁱ e(g) pour i ≥ 2. (ii) Si g est commutative (resp. nilpotente, resp. résoluble), alors e(g) est commutative (resp. nilpotente, resp… ↩ 2 00WS
Corollaire 2 Soit r le radical de g. Si g est scindable, r est scindable. En effet, e(r) est un idéal résoluble de g d’après la prop. 4 et le cor. 1, donc e(r) = r. ↩ 3 00WT
Proposition 5 Soit g une sous-algèbre de Lie nilpotente scindable de gl(V). Soit t l’ensemble des éléments semi-simples de g. Alors t est une sous-algèbre centrale de g, et g est l’algèbre de Li… ↩ 1 00WU
Proposition 6 Soit g une sous-algèbre de Lie scindable de gl(V). Soient T l’ensemble des sous-algèbres commutatives de g formées d’éléments semi-simples, et T₁ l’ensemble des éléments maximaux d… ↩ 1 00WV
Corollaire 1 Les sous-algèbres de Cartan de g sont les centralisateurs des éléments réguliers semi-simples de g. 00WW
Corollaire 2 Supposons en outre que g soit résoluble. Alors: ↩ 2 00WX
Proposition 7 Soit g une sous-algèbre de Lie scindable de gl(V). ↩ 4 00WY
Lemme 1 Soient n une sous-algèbre de Lie de gl(V) formée d’endomorphismes nilpotents, et N le sous-groupe exp n de GL(V) (§ 3, n° 1, lemme 1). ↩ 4 00WZ
Proposition 8 Soient n une sous-algèbre de Lie de 𝔤𝔩(V) formée d’éléments nilpotents, q le normalisateur de n dans 𝔤𝔩(V). Il existe un espace vectoriel E de dimension finie, une représentation ρ… ↩ 1 00X0
Théorème 1 Soit g une sous-algèbre de Lie de 𝔤𝔩(V) et soit X une partie de g engendrant g comme k-algèbre de Lie. Si tout élément de X est, soit semi-simple, soit nilpotent, g est scindable. ↩ 1 00X1
Corollaire 1 Toute sous-algèbre de gl(V) engendrée par des sous-algèbres scindables est scindable. ↩ 4 00X2
Corollaire 2 Soit g une sous-algèbre de Lie de gl(V). Alors [g,\ g] est scindable. 00X3
Corollaire 3 Soit g une sous-algèbre de Lie de gl(V), et soit X une partie de g engendrant g (comme k-algèbre de Lie). ↩ 2 00X4
Corollaire 4 Soit g une sous-algèbre de Lie scindable de gl(V). Soit T l’ensemble des sous-algèbres commutatives de g formées d’éléments semi-simples (cf. prop. 6). Les éléments maximaux de T o… 00X5
Théorème 2 Soit g une sous-algèbre de Lie de gl(V). Les conditions suivantes sont équivalentes: ↩ 1 00X6

App. 1. Applications polynomiales et topologie de Zariski

Proposition 1 Soit H l’ensemble des homomorphismes d’algèbres de A_V dans k. Pour tout x ∈ V, soit hₓ l’homomorphisme f ↦ f(x) de A_V dans k. Alors l’application x ↦ hₓ est une bijection de V su… 00XC
Corollaire Pour tout x ∈ V, soit mₓ = Ker(hₓ). Alors l’application x ↦ mₓ est une bijection de V sur l’ensemble des idéaux m de A_V tels que A_V/m = k. ↩ 1 00XD
Proposition 2 L'espace vectoriel V, muni de la topologie de Zariski, est un espace noethérien irréductible. En particulier, toute partie ouverte non vide de V est dense. 00XE
Définition 1 Une application polynomiale f : V → W est dite dominante si l'homomorphisme de A_W dans A_V associé à f est injectif. 00XF
Proposition 3 Supposons k algébriquement clos. Soit f : V → W une application polynomiale dominante. L'image par f de toute partie ouverte dense de V contient une partie ouverte dense de W. 00XG
Proposition 4 Soit f : V → W une application polynomiale. Supposons qu’il existe x₀ ∈ V tel que (Df)(x₀) soit surjective. Alors f est dominante. ↩ 1 00XH
Corollaire Si k est algébriquement clos et si f vérifie les hypothèses de la prop. 4, l’image par f de toute partie ouverte dense de V contient une partie ouverte dense de W. 00XI

App. 2. Une propriété de connexion

Lemme 1 Soient X un espace topologique connexe et Ω un ouvert dense dans X. Si, quel que soit x ∈ X, il existe un voisinage V de x tel que V ∩ Ω soit connexe, alors Ω est connexe. ↩ 1 00XN
Lemme 2 Soient U une boule ouverte de Cⁿ et f : U → C une fonction holomorphe non identiquement nulle. Soit A une partie de U telle que f = 0 sur A. Alors U - A est dense dans U et connexe… 00XO
Lemme 3 Soit X une variété analytique complexe connexe de dimension finie et soit A une partie de X vérifiant la condition: Pour tout x ∈ X, il existe un germe de fonction analytique fₓ no… 00XP

IX. Groupes de Lie réels compacts

§ 1. Algèbres de Lie compactes

Proposition 1 Soit g une algèbre de Lie (réelle). Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) g est isomorphe à l’algèbre de Lie d’un groupe de Lie compact. (ii) Le groupe Int(g) (III, § 6… ↩ 6 019D
Définition 1 On appelle algèbre de Lie compacte¹ toute algèbre de Lie qui possède les propriétés (i) à (v) de la proposition 1. ↩ 1 019E
Proposition 2 a) Le produit d’un nombre fini d’algèbres de Lie est une algèbre de Lie compacte si et seulement si chaque facteur est compact. b) Une sous-algèbre d’une algèbre de Lie compacte es… 019F
Proposition 3 Soit G un groupe de Lie dont le groupe des composantes connexes est fini. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) L’algèbre de Lie L(G) est compacte. (ii) Le groupe Ad(G)… ↩ 4 019G
Théorème 1 (H. Weyl) Soit G un groupe de Lie connexe dont l’algèbre de Lie est semi-simple compacte. Alors G est compact et son centre est fini. ↩ 2 019H
Proposition 4 Soit G un groupe de Lie connexe d’algèbre de Lie compacte. Il existe un tore T, un groupe de Lie compact semi-simple simplement connexe S, un groupe vectoriel V et un morphisme sur… ↩ 4 019I
Corollaire 1 Soit G un groupe de Lie compact connexe. Alors C(G)0 est un tore, D(G) un groupe de Lie connexe semi-simple compact et le morphisme (x, y) ↦ xy de C(G)0 × D(G) dans G est un revête… ↩ 9 019J
Corollaire 2 Le centre et le groupe fondamental d’un groupe de Lie compact connexe semi-simple sont finis. Son revêtement universel est compact. ↩ 3 019K
Corollaire 3 Le groupe fondamental d’un groupe de Lie compact connexe G est un Z-module de type fini, de rang égal à la dimension de C(G). 019L
Corollaire 4 Soit G un groupe de Lie compact connexe. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) G est semi-simple ; (ii) C(G) est fini ; (iii) π₁(G) est fini. Si G est simplement connexe… 019M
Corollaire 5 Soit G un groupe de Lie compact connexe. Alors Int(G) est la composante neutre du groupe de Lie Aut(G) (III, § 10, no 2). Soit f ∈ Aut(G)₀. Alors f induit un automorphisme f₁ de C(… ↩ 1 019N
Proposition 5 Soit G un groupe de Lie d’algèbre de Lie compacte. a) Supposons G connexe. Alors G possède un plus grand sous-groupe compact K; celui-ci est connexe. Il existe un sous-groupe vecto… ↩ 1 019O
Corollaire Si N satisfait aux conditions de b) (iv), et si K₁ et K₂ sont deux sous-groupes compacts maximaux de G, il existe n ∈ N tel que nK₁n⁻¹ = K₂. 019P

§ 2. Tores maximaux des groupes de Lie compacts

Lemme 1 Soient G un groupe de Lie, K un sous-groupe compact de G, et F une forme bilinéaire invariante sur L(G). Soient x, y ∈ L(G). Il existe un élément k de K tel que pour tout u ∈ L(K)… ↩ 1 019Z
Théorème 1 Soit g une algèbre de Lie compacte. Les sous-algèbres de Cartan de g (VII, § 2, n° 1, déf. 1) sont ses sous-algèbres commutatives maximales ; en particulier, g est la réunion de se… ↩ 5 01A0
Corollaire Soient t et t’ deux sous-algèbres de Cartan de g, a une partie de t, et u un automorphisme de g qui applique a dans t’. Il existe un élément v de Int(g) tel que u ∘ v applique t su… ↩ 1 01A1
Théorème 2 Soit G un groupe ae Lie compact connexe. a) Les algèbres de Lie des tores maximaux de G sont les sous-algèbres de Cartan de L(G). b) Soient T1 et T2 deux tores maximaux de G. Il ex… ↩ 12 01A2
Corollaire 1 a) L’application exponentielle de G est surjective. 01A3
Remarque 1 Il existe une partie compacte K de L(G) telle que exp_G(K) = G. En effet, si T est un tore maximal de G, il existe un compact C ⊂ L(T) tel que exp_T(C) = T; il suffit de prendre K… 01A4
Corollaire 2 L’intersection des tores maximaux de G est le centre de G. ↩ 4 01A5
Corollaire 3 Soit g ∈ G, et soit C son centralisateur. Alors g appartient à C₀; le groupe C₀ est la réunion des tores maximaux de G contenant g. ↩ 4 01A6
Corollaire 4 Soit g ∈ G. Si g est régulier (VII, § 4, n° 2, déf. 2), il appartient à un seul tore maximal, qui est la composante neutre de son centralisateur. Sinon, il appartient à une infinit… ↩ 2 01A7
Corollaire 5 a) Soit S un tore de G. Le centralisateur de S est connexe ; c’est la réunion des tores maximaux de G contenant S. ↩ 5 01A8
Remarque 2 Il résulte du cor. 5 qu’un tore maximal de G en est un sous-groupe commutatif maximal. La réciproque n’est pas vraie : par exemple, dans le groupe SO(3, R), les tores maximaux sont… ↩ 1 01A9
Corollaire 6 Les tores maximaux de G sont leurs propres centralisateurs, et sont les fixateurs de leurs algèbres de Lie. ↩ 2 01AA
Corollaire 7 Soient T et T' deux tores maximaux de G, A une partie de T et s un automorphisme de G qui applique A dans T'. Il existe g ∈ G tel que s ∘ (Int g) applique T sur T' et coïncide avec… ↩ 1 01AB
Corollaire 8 Soient H un groupe de Lie compact, T un tore maximal de H. On a alors H = N_H(T).H₀, et l’injection de N_H(T) dans H induit un isomorphisme de N_H(T)/N_H₀(T) sur H/H₀. ↩ 1 01AC
Remarque 3 Soit G un groupe de Lie connexe d’algèbre de Lie compacte. Appelons sous-groupes de Cartan de G les sous-groupes intégraux dont les algèbres de Lie sont les sous-algèbres de Cartan… ↩ 1 01AD
Remarque 4 \ On peut aussi démontrer la partie c) du théorème 2 de la façon suivante. Munissons G d’une métrique riemannienne invariante (§ 1, n° 3, prop. 3). Alors, pour tout élément g de G… 0E8W
Proposition 1 Soient G et G’ deux groupes de Lie compacts connexes. ↩ 4 01AE
Remarque 1 La proposition 1 se généralise aussitôt aux groupes connexes à algèbre de Lie compacte. En particulier, si G est un groupe de Lie connexe dont l’algèbre de Lie est compacte, les so… 01AF
Remarque 2 Soient G un groupe de Lie compact connexe, tildeD(G) le revêtement universel du groupe D(G) et f : tildeD(G) → G le morphisme composé des morphismes canoniques de tildeD(G) sur D(G… ↩ 1 01AG
Proposition 2 Soit f : G → G' un morphisme surjectif de groupes de Lie compacts connexes dont le noyau est central. Les applications H ↦ f(H) et H' ↦ f⁻¹(H') sont des bijections réciproques l’un… ↩ 1 01AH
Proposition 3 Soient G un groupe de Lie compact connexe, et H un sous-groupe fermé connexe de rang maximum. ↩ 2 01AI
Proposition 4 Soient G un groupe de Lie compact, H un sous-groupe fermé connexe de G de rang maximum et N le normalisateur de H dans G. Alors H est d’indice fini dans N et est la composante neut… ↩ 3 01AJ
Remarque 1 Tout sous-groupe intégral H de G tel que rg H = rg G est fermé : en effet, la démonstration précédente montre que H est la composante neutre de son normalisateur, qui est un sous-g… ↩ 1 01AK
Remarque 2 Avec les notations de la prop. 4, tout sous-groupe fermé H′ de G contenant H et tel que (H′ : H) soit fini normalise H, donc est contenu dans N ; de même le normalisateur de H′ est… ↩ 1 01AL
Proposition 5 a) Toute classe de conjugaison dans G rencontre T. 01J9
Corollaire 1 L’injection canonique de T dans G définit par passage au quotient un homéomorphisme de T/WG(T) sur l’espace G/Int(G) des classes de conjugaison de G. ↩ 4 01JA
Corollaire 2 Soit E une partie de G stable par les automorphismes intérieurs. Pour que E soit ouverte (resp. fermée, resp. dense) dans G, il faut et il suffit que E ∩ T soit ouverte (resp. ferm… ↩ 1 01JB
Proposition 6 a) Toute orbite de G dans g (pour la représentation adjointe) rencontre t. b) Les traces sur t des orbites de G sont les orbites de WG(T) dans t. L’assertion a) résulte du th. 1 (n… ↩ 1 01JC
Corollaire L’injection canonique de t dans g définit par passage au quotient un homéomorphisme de t/WG(T) sur g/Ad(G). Notons j cette application ; elle est bijective et continue (prop. 6). O… ↩ 1 01JD
Proposition 7 Soit H un sous-groupe fermé de G contenant T. a) Notons WH(T) le sous-groupe NH(T)/T de WG(T); le groupe H/H0 est isomorphe au groupe quotient WH(T)/W{H0}(T). b) Pour que H soit co… ↩ 2 01JE
Lemme 2 Soient H un groupe de Lie, f_T : T → H et tildef : tildeD(G) → H des morphismes de groupes de Lie tels que, pour tout t ∈ tildeT, on ait f_T(p(t)) = tildef(t). Il existe un unique… ↩ 1 01AO
Proposition 8 Soient G un groupe de Lie compact connexe, T un tore maximal de G, H un groupe de Lie et φ : L(G) → L(H) un homomorphisme d’algèbres de Lie. Pour qu’il existe un morphisme de group… ↩ 2 01AP
Proposition 9 Soient G un groupe de Lie compact connexe, T un tore maximal de G, H un groupe de Lie, f : G → H un morphisme. Alors f est injectif si et seulement si sa restriction à T est inject… ↩ 1 01AQ

§ 3. Formes compactes des algèbres de Lie semi-simples complexes

Définition 1 Soit a une algèbre de Lie complexe. On appelle forme réelle de a toute sous-algèbre réelle g de a qui est une R-structure sur le C-espace vectoriel a (A, II, p. 119, déf. 1). 01B1
Proposition 1 a) Soient g une forme réelle de a et σ la conjugaison de a relativement à g. On a alors : ↩ 3 01JF
Proposition 2 a) Le sous-espace vectoriel réel 𝔞₀ = 𝔥₀ + ∑_α ∈ R R X_α de 𝔞 est une forme réelle de 𝔞, dont 𝔥₀ est une sous-algèbre de Cartan. Le couple (𝔞₀, 𝔥₀) est une algèbre de Lie réelle se… ↩ 1 01JG
Remarque Avec les notations précédentes, on a les formules suivantes : 01B2
Proposition 3 Soit g une forme réelle compacte de α telle que g ∩ 𝔥 = i𝔥₀. Il existe un homomorphisme γ : Q(R) → R₊^* tel que g = f(γ)(αᵤ). ↩ 2 01B3
Théorème 1 Soit a une algèbre de Lie semi-simple complexe. a) a possède des formes réelles compactes (resp. déployables). b) Le groupe Int(a) opère transitivement dans l'ensemble des formes r… ↩ 2 01B4
Remarque Nous verrons plus tard une classification générale des formes réelles d'une algèbre de Lie semi-simple complexe. 01B5
Corollaire 1 Soient g et g' deux algèbres de Lie réelles compactes. Pour que g et g' soient isomorphes, il faut et il suffit que les algèbres de Lie complexes g_(C) et g'_(C) soient isomorphes. ↩ 1 01B6
Corollaire 2 Soit a une algèbre de Lie complexe. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) a est réductive. (ii) Il existe une algèbre de Lie réelle compacte g telle que a soit isomorphe… 01B7
Corollaire 3 Soient a₁ et a₂ deux algèbres de Lie semi-simples complexes. Les formes réelles compactes de a₁ × a₂ sont les produits g₁ × g₂, où, pour i = 1,\ 2, gᵢ est une forme réelle compacte… 01B8
Proposition 4 a) Les formes réelles compactes de l’algèbre de Lie complexe sl(V) sont les algèbres su(Φ), où Φ parcourt l’ensemble des formes hermitiennes positives séparantes sur l’espace vecto… 01B9
Corollaire Toute algèbre de Lie réelle compacte simple de type Aₙ (n geqslant 1) est isomorphe à su(n+1, C). ↩ 1 01BA
Remarque 1 On a gl(V) = sl(V) × C.1_V, u(Φ) = su(Φ) × R.i1_V; les formes réelles compactes de gl(V) sont les su(Φ) × R.α 1_V, α ∈ C^*. 01BB
Remarque 2 Si l’on munit l’algèbre de Lie complexe a = sl(n, C) du déploiement et du système de Chevalley introduits en VIII, § 13, no 1 (IX), on a alors, avec les notations du no 2, 01BC
Proposition 5 Toute algèbre de Lie réelle simple compacte de type Bₙ,\ n geqslant 1 (resp. de type Dₙ,\ n geqslant 3) est isomorphe à 𝔬(2n + 1, R) (resp. 𝔬(2n, R)). ↩ 1 01BD
Proposition 6 Toute algèbre de Lie réelle compacte semi-simple de rang 1 est isomorphe à 𝔰𝔲(2, C) et à 𝔬(3, R). Tout groupe de Lie compact semi-simple connexe de rang 1 est isomorphe à SU(2, C)… ↩ 1 01BE
Remarque On a vu ci-dessus que SU(2, C) est simplement connexe et que π₁(SO(3, R)) est d’ordre 2. Nous verrons plus loin que ces résultats se généralisent respectivement à SU(n, C)\ (n geqs… 01BF

§ 4. Système de racines associé à un groupe compact

Proposition 1 Pour tout groupe de Lie compact H, le Z-module X(H) est de type fini. Il est libre si H est connexe. 01JH
Proposition 2 Soient H un groupe de Lie compact commutatif, et (aᵢ)_i ∈ I une famille d’éléments de X(H); pour que les aᵢ engendrent X(H), il faut et il suffit que l’intersection des Ker\ aᵢ soi… ↩ 1 01JI
Proposition 3 La forme bilinéaire (a, X) ↦ ⟨ a, X ⟩ sur X(S) × Γ(S) est inversible. ↩ 1 01BP
Proposition 4 Soient S et S' deux tores. Notons M(S, S') le groupe des morphismes de groupes de Lie de S dans S'. Les applications f ↦ X(f) et f ↦ Γ(f) sont des isomorphismes de groupes de M(S… ↩ 2 01BQ
Remarques 1) Soit f : S → S' un morphisme de tores. Le diagramme du serpent (A, X, § 1, no 2) associé à (1) donne une suite exacte beginarrayccccccccc 0 & longrightarrow & Ker\ Γ(f) & longri… ↩ 1 01BR
Lemme 1 Si G est commutatif, tildeV est la somme directe des tildeV_λ(G) pour λ ∈ X(G). Comme ρ est semi-simple (§ 1, no 1), il suffit de démontrer le lemme dans le cas où ρ est simple. En… ↩ 1 01BV
Définition 1 On appelle poids de la représentation ρ de G, relativement au tore maximal T de G, les éléments λ de X(T) tels que tildeV_λ(T) ≠ 0. 01BW
Proposition 5 L'ensemble P(ρ, T) est stable pour l'opération du groupe de Weyl W. Soit n ∈ N_G(T), et soit w sa classe dans W; pour λ ∈ X(T), on a ρ(n) (tildeV_λ(T)) = tildeV_wλ(T) et dim tildeV… ↩ 2 01BX
Proposition 6 Pour que l'homomorphisme ρ : G → GL(V) soit injectif, il faut et il suffit que P(ρ, T) engendre le Z-module X(T). ↩ 2 01BY
Proposition 7 a) Pour tout λ ∈ X(T), on a tildeV_λ(T) = tildeV_δ(λ)(t_c). ↩ 2 01BZ
Proposition 8 Soit Q(R) le sous-groupe de X(T) engendré par les racines de G. ↩ 5 01C0
Proposition 9 Tout automorphisme du groupe de Lie G qui induit l’identité sur T est de la forme Int t, avec t ∈ T. ↩ 3 01C1
Corollaire Soient u un automorphisme de G et H le sous-groupe fermé de G formé des points fixes de u. Pour que l’automorphisme u soit intérieur, il faut et il suffit que H₀ soit de rang maxim… 01C2
Lemme 2 Soient S un sous-groupe fermé de T et Z(S) son centralisateur dans G. (i) R(Z(S)₀, T) est l’ensemble des α ∈ R(G, T) tels que α(S) = 1 ; (ii) Le centre de Z(S)₀ est l’intersection… ↩ 2 01C3
Théorème 1 Soit α ∈ R(G, T). Le centralisateur Z_α du noyau de α est un sous-groupe fermé connexe de G; son centre est Ker α; son groupe dérivé D(Z_α) = S_α est un sous-groupe fermé connexe s… ↩ 2 01C4
Corollaire Il existe un morphisme de groupes de Lie v : SU(2, C) → G ayant les propriétés suivantes : a) L’image de v et le noyau de α commutent. b) Pour tout a ∈ U, on a v beginpmatrix a & 0… ↩ 1 01C7
Remarque Pour tout x ∈ R, on a 01C5
Proposition 10 L’application u ↦ L(u)_(C) de Aut(T) dans GL(t_C) induit un isomorphisme de W sur le groupe de Weyl de l’algèbre réductive déployée (g_C, t_C). Pour tout α ∈ R, W_Z_α(T) est d’ordr… ↩ 1 01C6
Corollaire Supposons G semi-simple. Alors tout élément de G est le commutateur de deux éléments de G. ↩ 2 01JJ
Proposition 11 L’homomorphisme f(G, T): Γ(T) → π₁(G) est surjectif. Son noyau est le sous-groupe N(G, T) de Γ(T) engendré par la famille des vecteurs nodaux (K_α)_α ∈ R(G, T). ↩ 3 01C8
Corollaire 1 Pour que G soit simplement connexe, il faut et il suffit que la famille (K_α)_α ∈ R(G, T) engendre Γ(T). 01C9
Corollaire 2 Soit H un sous-groupe fermé connexe de G contenant T ; on a une suite exacte 01CA
Remarque On peut montrer (cf. exercice 2 du § 5) que π₂(G) est nul. On déduit alors de l’exactitude de la suite précédente un isomorphisme de π₂(G/H) sur N(G, T)/N(H, T). 01CB
Corollaire 3 L’homomorphisme π₁(D(G)) → π₁(G) déduit de l’inclusion de D(G) dans G induit un isomorphisme de π₁(D(G)) sur le sous-groupe de torsion de π₁(G). ↩ 1 01CC
Proposition 12 Soit H l’ensemble des sous-groupes fermés connexes de G contenant T, ordonné par inclusion. L’application H ↦ R(H, T) est une bijection croissante de H sur l’ensemble des parties c… ↩ 1 01CD
Corollaire 1 Les sous-groupes fermés de G contenant T sont en nombre fini. Soit H un tel sous-groupe ; on a H₀ ∈ H, et H est fini. Par ailleurs, H est un sous-groupe de N_G(H₀) contenant H₀, et… ↩ 1 01CE
Corollaire 2 Soit H un sous-groupe fermé connexe de G contenant T, et soit W_Gᴴ(T) le stabilisateur dans W_G(T) de la partie R(H, T) de R. Le groupe N_G(H)/H est isomorphe au groupe quotient W_… 01CF
Remarque 1 Le groupe W_Gᴴ(T) est aussi le stabilisateur dans W_G(T) du sous-groupe C(H) de T : cela résulte de la prop. 8 du no 4. 01CG
Proposition 13 Soient H un sous-groupe fermé connexe de G de rang maximum, C son centre. Alors C contient le centre de G, et H est la composante neutre du centralisateur de C. Soit S un tore maxi… ↩ 2 01CH
Remarque 2 Disons qu'un sous-groupe C de G est radiciel s'il existe un tore maximal S de G et une partie P de R(G, S) tels que C = ⋂_α ∈ P Ker\ α. Il résulte de la prop. 13 et du lemme 2 du n… 01CI
Corollaire L'ensemble des g ∈ G tels que T ∩ gTg⁻¹ ≠ C(G) est une réunion finie de sous-variétés analytiques fermées de G distinctes de G. En effet, posons A_g = T ∩ gTg⁻¹ ; on a T ⊂ Z(A_g) e… 01CJ
Proposition 14 Soit X une partie de T, et soit R_X l’ensemble des racines α ∈ R(G, T) telles que α(X) = 1. Le groupe Z_G(X)/Z_G(X)₀ est isomorphe au quotient du fixateur de X dans W_G(T) par le s… ↩ 1 01CK
Définition 2 On appelle diagramme radiciel (ou simplement diagramme si aucune confusion n’en peut résulter) un triplet D = (M, M₀, R) où : 01CL
Exemple 1 Pour tout Z-module libre de type fini M, le triplet (M, M, ∅) est un diagramme radiciel. 01CM
Exemple 2 Si D = (M, M₀, R) est un diagramme radiciel, soit M₀^* l’orthogonal de V(R) dans M^*, et soit R^∨ l’ensemble des racines inverses de D. Alors D^∨ = (M^*, M₀^*, R^∨) est un diagramm… 01CN
Exemple 3 Soient (g, h) une Q-algèbre de Lie réductive déployée, et M ⊂ h un réseau permis (VIII, § 12, n° 6, déf. 1). Soient M₀ le sous-groupe de M orthogonal aux racines de (g, h) et R^∨ l… 01CO
Exemple 4 Soient V un espace vectoriel sur Q et R un système de racines dans V ; notons P(R) le groupe des poids de R et Q(R) le groupe des poids radiciels de R (VI, § 1, n° 9). Alors (Q(R)… 01CP
Théorème 2 a) (X(T), X(T/(T ∩ D(G))), R(G, T)) est un diagramme radiciel réduit ; son groupe de Weyl est formé des X(w), pour w ∈ W ; le groupe X(C(G)) est isomorphe au quotient de X(T) par l… ↩ 1 01CQ
Exemple 1 Si G est semi-simple de rang 1, alors D^*(G, T) et D_*(G, T) sont nécessairement isomorphes à l’un des deux diagrammes Δ₂ = (Z, 0, 2, -2), Δ₁ = (Z, 0, 1, -1). Si G est isomorphe à… 01CR
Exemple 2 Si G et G' sont deux groupes de Lie compacts connexes, de tores maximaux respectifs T et T', et si D^*(G, T) = (M, M₀, R) et D^*(G', T') = (M', M'₀, R'), alors D^*(G × G', T × T')… ↩ 1 01CS
Exemple 3 Soit N un sous-groupe fermé de T, central dans G, et soit (M, M₀, R) le diagramme contravariant de G relativement à T. Alors le diagramme contravariant de G/N relativement à T/N s’… ↩ 1 01CT
Exemple 4 De même, soit N un groupe commutatif fini, et φ : π₁(G) → N un homomorphisme surjectif. Soit G' le revêtement de G associé à cet homomorphisme ; c’est un groupe de Lie compact conn… 01CU
Remarque 1 Soit c le centre de g_C; on a donc c = L(C(G))_(C). On a les relations suivantes entre les diagrammes de G relativement à T et les systèmes de racines direct et inverse de l’algèbr… 01CV
Remarque 2 Supposons le groupe G semi-simple ; notons R (resp. R^∨) le système de racines R(G, T) (resp. R^∨(G, T)), de sorte qu’on a les inclusions 01CW
Proposition 15 Soit φ un isomorphisme de D^*(G', T') sur D^*(G, T) (resp. de D_*(G, T) sur D_*(G', T')). Il existe un isomorphisme f : G → G' tel que f(T) = T' et que φ = D^*(f) (resp. et que φ =… ↩ 2 01CX
Corollaire Pour que les groupes de Lie compacts connexes G et G' soient isomorphes, il faut et il suffit que les diagrammes D^*(G) et D^*(G') (resp. D_*(G) et D_*(G')) soient égaux. 01CY
Proposition 16 Pour tout diagramme radiciel réduit D, il existe un groupe de Lie compact connexe G tel que D^*(G) (resp. D_*(G)) soit isomorphe à D. 01CZ
Scholie La classification des groupes de Lie compacts connexes à isomorphisme près est ainsi ramenée à celle des diagrammes radiciels réduits. Les groupes de Lie compacts connexes semi-sim… 01D0
Remarque 3 Soient T' un autre tore maximal de G, B (resp. B') une base du système de racines R(G, T) (resp. R(G', T')) (VI, § 1, no 5, déf. 2). Il existe des éléments g ∈ G tels que Int g app… 01D1
Proposition 17 L’homomorphisme Aut(G, T) → Aut(D) est surjectif, de noyau Int_G(T). 01D2
Proposition 18 Le groupe Aut(G)/Int(G) est isomorphe à Aut(D)/W(D). 01K9
Corollaire Si G est simplement connexe, ou si C(G) est réduit à l’élément neutre, le groupe Aut(G)/Int(G) est isomorphe au groupe des automorphismes du graphe de Dynkin de R(G, T). 01D3
Définition 3 On appelle épinglage de (G, T) un couple (B, (U_α)_α ∈ B), où B est une base de R(G, T) (VI, § 1, no 5, déf. 2) et où, pour tout α ∈ B, U_α est un élément de V(α) tel que K(U_α) =… ↩ 1 01D4
Lemme 3 Soit B₀ une base de R(G, T). Le groupe Int_G(T) opère de façon simplement transitively dans l’ensemble des épinglages de (G, T) de la forme (B₀, (U_α)_α ∈ B₀). ↩ 2 01D5
Proposition 19 Le groupe Int(G) opère de façon simplement transitive dans l’ensemble des épinglages de G. ↩ 1 01D6
Corollaire Soit e un épinglage de (G, T) et soit E le groupe des automorphismes de G qui laissent e stable. Alors Aut(G) est produit semi-direct de E par Int(G), et Aut(G, T) est produit semi… 01D7
Remarque Soient G et G' deux groupes de Lie compacts connexes, et soient e = (T, B, (U_α)) et e' = (T', B', (U'_α)) des épinglages de G et G' respectivement. Soit X l’ensemble des isomorphi… 01D8

§ 5. Classes de conjugaison

Proposition 1 Posons n = dim G. Il existe une variété analytique réelle compacte V de dimension n - 3 et une application analytique φ : V → G dont l’image est G - Gᵣ. ↩ 2 01DV
Remarque Appelons très réguliers les éléments g de G tels que Z(g) soit un tore maximal de G. Si g ∈ T, g est très régulier si et seulement si w(g) ≠ g pour tout élément non neutre w de W_G… 01DW
Proposition 2 a) Le groupe Wₐ (resp. W'ₐ) est produit semi-direct de W par N(G, T) (resp. Γ(T)); le sous-groupe Wₐ de W'ₐ est distingué. 01DX
Corollaire 1 Soient A une alcôve de t, overlineA son adhérence, et H_A le stabilisateur de A dans W'ₐ. ↩ 5 01DY
Remarque 1 Le groupe H_A s’identifie naturellement à Γ(T)/N(G, T), donc aussi à π₁(G). Il est donc réduit à l’élément neutre lorsque G est simplement connexe. 01DZ
Remarque 2 Soit x ∈ A; on a alors exp x ∈ Tᵣ, donc Z(exp x)₀ = T. Pour que exp x soit très régulier (n° 1, remarque), il faut et il suffit qu’on ait w(x) ≠ x pour tout w ∈ W'ₐ, distinct de l’… ↩ 2 01E0
Remarque 3 Les points spéciaux de Wₐ (VI, § 2, n° 2) sont les éléments x de t tels que δ(α)(x) ∈ 2π i Z pour tout α ∈ R(G, T) (loc. cit., prop. 3), c’est-à-dire tels que exp x ∈ C(G) (§ 4, n°… 01E1
Corollaire 2 Soient C une chambre de t et overlineC son adhérence. Les injections canoniques overlineC → t → g induisent par passage aux quotients des homéomorphismes overlineC → t/W → g/Ad(G)… 01E2
Remarque 4 Notons g_reg l’ensemble des éléments réguliers de g (VII, § 2, n° 2, déf. 2) et posons t_reg = t ∩ g_reg. Pour x ∈ t, on a det(X - ad_g x) = X^dim t ∏_α ∈ R(G, T) (X - δ(α)(x)) , e… 01E3
Corollaire 3 Supposons G simplement connexe ; soit g un élément régulier de G. Il existe un tore maximal S de G et une alcôve A de L(S), uniquement déterminés, tels que g ∈ exp(A) et 0 ∈ overli… ↩ 1 01E4
Lemme 1 Soient u un automorphisme de G, et H l’ensemble de ses points fixes. a) H est un sous-groupe fermé de G. b) Si H₀ est central dans G, alors G est commutatif (donc G = T). ↩ 1 01E5
Lemme 2 Soient x un élément de T et S un sous-tore de T. Si la composante neutre de Z(x) ∩ Z(S) est réduite à T, il existe un élément s de S tel que xs soit régulier. ↩ 1 01E6
Lemme 3 Supposons G simplement connexe. Soient C une chambre de t, et u un automorphisme de G tel que T et C soient stables pour u. Alors l’ensemble des points de T fixés par u est connexe… ↩ 1 01E7
Proposition 3 Soit u un automorphisme de G, et soit x un point de G fixé par u. a) Il existe un élément a de g, fixé par L(u) et par Ad x, tel que x exp a soit régulier. b) Il existe un élément… ↩ 2 01E8
Corollaire Soit s une algèbre de Lie compacte, et soit φ un automorphisme de s. Il existe un élément régulier de s fixé par φ. 01E9
Théorème 1 Soit u un automorphisme du groupe de Lie compact connexe G. a) La composante neutre du groupe des points fixes de u contient un élément régulier de G. b) Il existe un tore maximal… ↩ 2 01EA
Corollaire 1 Supposons le Z-module π₁(G) sans torsion. a) Le centralisateur de tout élément de G est connexe. b) Deux éléments de G qui commutent appartiennent à un même tore maximal. 01EB
Corollaire 2 Soit Γ un sous-groupe compact de Aut(G) possédant la propriété suivante : () Il existe des éléments u₁, ..., uₙ de Γ tels que, pour tout i, l’adhérence Γᵢ du sous-groupe de Γ engen… ↩ 1 01EC
Corollaire 3 Soient H un groupe de Lie et Γ un sous-groupe compact de H. On suppose que H₀ est compact et que Γ satisfait à la condition () du cor. 2. Il existe alors un tore maximal T de H₀ te… ↩ 1 01ED
Corollaire 4 Tout sous-groupe nilpotent d’un groupe de Lie compact est contenu dans le normalisateur d’un tore maximal. 01EE
Exemple Prenons G = U(n, C). Nous verrons plus loin que le sous-groupe des matrices diagonales de G est un tore maximal de G et que son normalisateur est l’ensemble des matrices monomiales… 01EF
Lemme 4 Soient g ∈ G, t ∈ T, et soit overlineg l’image de g dans G/T. Identifions l’espace tangent à G/T (resp. T, resp. G) en overlineg (resp. t, resp. gtg⁻¹) à g/t (resp. t, resp. g) par… ↩ 2 01EG
Proposition 4 a) Soient g ∈ G, t ∈ T, x ∈ t, et soit overlineg l'image de g dans G/T. Les conditions suivantes sont équivalentes: (i) On a t ∈ Tᵣ (resp. x ∈ tᵣ). (i bis) L'élément f(overlineg, t… 01EH
Remarque 1 D'après la prop. 3 du § 2, n° 4, la variété (G/T) × A est simplement connexe. Il en résulte que φ_A est un revêtement universel de Gᵣ; comme π₁(Gᵣ) est canoniquement isomorphe à π₁… 01EI
Remarque 2 La restriction de φ_A à W × A ⊂ (G/T) × A fait de W × A un revêtement principal de Tᵣ de groupe H_A. On retrouve ainsi le cor. 1 à la prop. 2 du n° 2. 01EJ
Remarque 3 Notons gᵣ l'image réciproque de Gᵣ par l'application exponentielle et ε : gᵣ → Gᵣ l'application déduite de exp_G. L'application (g, x) ↦ (Ad\ g)(x) de G × tᵣ dans gᵣ définit par pa… 01EK

§ 6. Intégration dans les groupes de Lie compacts

Lemme 1 Il existe une application A-bilinéaire de Altˢ(M'') × Altʳ(M') dans Altˢ⁺ʳ(M), notée (u, v) ↦ u ∩ v, et caractérisée par l’une quelconque des deux propriétés suivantes : ↩ 2 01EX
Proposition 1 Soient ω_G, ω_G/T et ω_T des formes différentielles invariantes sur G, G/T et T respectivement, de degrés respectifs n, n-r et r. Si ω_G = ω_G/T ∩ ω_T, alors ↩ 1 01EY
Lemme 2 Si ω_G = ω_G/T ∩ ω_T, alors ↩ 1 01EZ
Lemme 3 L'image réciproque sur (G/T) × Tᵣ de la mesure dg sur Gᵣ par l'homéomorphisme local fᵣ (INT, V, § 6, n° 6) est la mesure μ ⊗ δ_G dt, où μ est l'unique mesure G-invariante sur G/T d… ↩ 1 01F0
Théorème 1 (H. Weyl) La mesure dg sur G est l’image par l’application (g, t) ↦ gtg⁻¹ de G × T dans G de la mesure dg ⊗ 1/w(G) δ_G dt, où δ_G(t) = det(Ad_g/t(t) - 1) = ∏_α ∈ R(G, T) (t^α - 1) . ↩ 1 01F1
Corollaire 1 (i) Soit φ une fonction intégrable sur G à valeurs dans un espace de Banach ou dans overlineR. Pour presque tout t ∈ T, la fonction g ↦ φ(gtg⁻¹) sur G est intégrable pour dg. La fo… 0E8X
Corollaire 2 Soit φ une fonction centrale sur G (c’est-à-dire telle que φ(gh) = φ(hg) pour tous g et h dans G) à valeurs dans un espace de Banach ou dans overlineR. a) Pour que φ soit mesurable… 0E8Y
Corollaire 3 Soient H un sous-groupe fermé connexe de G contenant T, h son algèbre de Lie, et dh la mesure de Haar sur H de masse totale 1. Soit φ une fonction centrale intégrable sur G, à vale… 0E8Z
Remarque 1 Si l’on prend φ = 1 dans le cor. 3, on obtient 01F5
Remarque 2 Soit v la mesure sur l’espace quotient T/W définie par 01F6
Remarque 3 Supposons G simplement connexe. Soient A une alcôve de t, et dx la mesure de Haar sur t telle que ∫_overlineA dx = 1. Alors la mesure v s’obtient aussi en transportant par l’homéom… 01F7
Exemple Prenons pour G le groupe SU(2, C) et pour T le sous-groupe des matrices diagonales (§ 3, no 6); on identifie t à R par le choix de la base iH de t (loc. cit.). Posons A = ]0, π[; c… 01F8
Proposition 2 Soient H un groupe de Lie (réel) de dimension m, 𝔥 son algèbre de Lie. Soit ω_H une forme différentielle invariante à droite de degré m sur H, et soit ω_𝔥 la forme différentielle i… 01F9
Remarque Considérons la fonction λ_g associée au groupe de Lie compact G; en vertu du § 2, n° 1, th. 1, il suffit pour la calculer de connaître ses valeurs sur t. Or, pour tout x ∈ t, l’end… 01FA
Proposition 3 Soient ω_g, ωₜ, ω_G/T des formes différentielles invariantes sur g, t, G/T respectivement, de degrés respectifs n, r, n - r. Si ω_g = ω_G/T ∩ ωₜ, on a : ψ^*ω_g = ω_G/T ∧ π_g ωₜ où… 01FB
Proposition 4 La mesure dz sur g est l’image par l’application propre (g, x) ↦ (Ad g)(x) de G × t dans g de la mesure dg ⊗ 1/w(G) π_g dx. ↩ 1 01FC
Lemme 4 La loi d’opération H × Sʳ(X;E) → Sʳ(X;E) est continue. ↩ 2 01FD
Proposition 5 Supposons le groupe H compact et notons dh la mesure de Haar sur H de masse totale 1. Soit s une section de classe Cʳ de E. Pour x ∈ X, notons s^# l'intégrale vectorielle ∫_H^h s d… 01FE
Corollaire 1 Soient F un espace de Banach, ρ : H → GL(F) une représentation linéaire analytique, f ∈ Cʳ(X; F). Pour x ∈ X, posons ↩ 1 01FF
Corollaire 2 Soient F un espace de Banach, f ∈ Cʳ(X; F); posons ↩ 1 01FG
Corollaire 3 Soient F un espace de Banach, p un entier geqslant 0, ᵏ Ωᵖ(X; F) l'espace des formes différentielles de degré p sur X, à valeurs dans F, de classe Cᵏ (2 ≤ k + 1 ≤ r). Pour ω ∈ ᵏ Ωᵖ… ↩ 1 01FH
Théorème 2 L’injection canonique ι : Ω(X)ᴳ → Ω(X) est un homotopisme de complexes (A, X, p. 33, déf. 5) ; l’application ω ↦ ω^# = ∫_G τ_g^*ω dg en est un homotopisme réciproque à homotopie pr… ↩ 2 01FI
Corollaire 1 a) Dans le diagramme (18), tous les morphismes sont des homotopismes. 01FJ
Remarque Considérons les sous-complexes Z(Ω(G)) et B(Ω(G)) de Ω(G) (A, X, p. 25). Il résulte de la formule donnant la différentielle du produit de deux formes (VAR, R, 8.3.5) que Z(Ω(G)) es… 01FK
Corollaire 2 Soit H un sous-groupe fermé de G. 01FL

§ 7. Représentations irréductibles des groupes de Lie compacts connexes

Lemme 1 Soit λ un élément de X(T). Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) On a λ - w(λ) geqslant 0 (resp. > 0) pour tout w ∈ W tel que w ≠ 1; (ii) pour tout w ∈ W tel que w ≠ 1… ↩ 1 01FZ
Lemme 2 Soit φ une représentation linéaire de l’algèbre de Lie complexe g_C dans un espace vectoriel complexe V de dimension finie. Pour qu’il existe une représentation τ de G dans V telle… ↩ 1 01G0
Théorème 1 a) Soit τ : G → GL(V) une représentation irréductible de G. Alors l’ensemble des poids de τ (relativement à T) possède un plus grand élément λ, celui-ci est dominant, et l’espace V… ↩ 7 01G1
Corollaire Le groupe G possède une représentation linéaire fidèle (de dimension finie). 01G2
Remarque 1 Soit n₊ la sous-algèbre de g_c somme des g^α pour α > 0. Soient τ : G → GL(V) une représentation irréductible, λ ∈ X₊₊ son plus grand poids et τ' : g_c → gl(V) la représentation dé… ↩ 1 01G3
Remarque 2 Soit Θ(G) l’algèbre des fonctions représentatives continues de G à valeurs dans C (A, VIII). On fait opérer G sur Θ(G) par translations à droite et à gauche. Pour chaque λ ∈ X₊₊, s… 01G4
Remarque 3 Soit τ : G → GL(V) une représentation irréductible. Il existe un élément v de X(C(G)) tel que τ(s)v = v(s)v pour s ∈ C(G), v ∈ V : en effet τ(C(G)) est contenu dans le commutant de… ↩ 1 01G5
Remarque 4 On généralise sans peine à la situation actuelle les définitions et énoncés de VIII, § 7, n°s 2 à 5 ; nous en laissons les détails au lecteur. 01G6
Proposition 1 Soit τ : G → GL(V) une représentation irréductible de G, de plus grand poids λ ∈ X₊₊. Soit m l’entier ∑_α ∈ R₊ ⟨ λ, K_α ⟩, et soit w₀ l’élément du groupe de Weyl tel que w₀(R₊) = R… 01G7
Proposition 2 L’homomorphisme Ch induit un isomorphisme de R(G) sur Z[X(T)]ᵂ. 01G8
Lemme 3 Pour chaque λ ∈ X₊₊, soit C_λ un élément de Z[X(T)]ᵂ ayant pour unique terme maximal e^λ. Alors la famille ( C_λ )_λ ∈ X₊₊ est une base de Z[X(T)]ᵂ. 01G9
Corollaire L’application de restriction r : ZΘ(G) → Θ(T)ᵂ est bijective. ↩ 1 01GA
Proposition 3 Les éléments J(λ ρ)/sqrtw(G), pour λ ∈ X₊₊, forment une base orthonormale du sous-espace des éléments anti-invariants de L²(T), et une base algébrique du sous-espace des éléments a… ↩ 2 01GB
Lemme 4 Si φ et ψ sont deux fonctions continues centrales sur G, on a ↩ 2 01GC
Théorème 2 (H. Weyl) — Pour tout λ ∈ X₊₊, on a J(ρ) · χ_λ|T = J(λ ρ). ↩ 3 01GD
Corollaire 1 Avec les notations du n° 3, on a dans Z[X(T)] 0E90
Corollaire 2 Pour tout λ ∈ X₊₊ et tout élément régulier t de T, on a 0E91
Corollaire 3 L’application qui, à chaque fonction continue centrale φ sur G, associe la fonction w(G)^-1/2J(ρ)\ (φ|T) induit un isomorphisme de l’espace des fonctions représentatives centrales… 0E92
Corollaire 4 Soit φ une fonction continue centrale sur G. On a 0E93
Remarque 1 Pour tout w ∈ W, posons ρ_w = ʷρ/ρ ; on a 01GI
Remarque 2 De même, la première égalité du cor. 4 reste valable sans l’hypothèse ρ ∈ X(T). 01GJ
Remarque 3 On peut déduire le th. 2 de l’énoncé infinitésimal analogue (VIII, § 9, n° 1, th. 1) ; c’est le cas également pour le th. 3 du numéro suivant (qui est l’analogue du th. 2 de loc. c… 01GK
Théorème 3 La dimension de l’espace d’une représentation irréductible de G de plus grand poids λ est donnée par ↩ 2 01GL
Lemme 5 On a 01GM
Corollaire 1 Soit | · | une norme sur X(T) ⊗ R. Pour tout λ ∈ X₊₊, soit d(λ) la dimension de l’espace d’une représentation irréductible de G de plus grand poids λ. ↩ 2 01GN
Corollaire 2 Supposons G semi-simple ; soit d un entier. L’ensemble des classes de représentations de G de dimension ≤ d est fini. 01GO
Proposition 4 Soit Γ un élément de Casimir de G. ↩ 2 01GP
Remarque Soit x ∈ g. Il existe un nombre réel strictement positif A tel que, pour toute représentation irréductible τ : G → GL(V) et toute structure hilbertienne sur V invariante par G, on… 01GQ

§ 8. Transformation de Fourier

Proposition 1 Toute fonction complexe f de carré intégrable sur G est somme dans l'espace hilbertien L²(G) de la famille (fᵤ)_u ∈ hatG, où pour tout h ∈ G et tout u ∈ hatG, on a ↩ 1 01GZ
Proposition 2 Soient m ↦ |m| une norme sur le R-espace vectoriel R ⊗ X(T) et Γ un élément de Casimir de G. Soit φ une fonction sur hatG à valeurs réelles positives. 01H0
Exemple La fonction u ↦ d(u) est à croissance modérée (§ 7, n° 5, cor. 1 au th. 3); pour toute norme | sur R ⊗ X(T), la fonction u ↦ |λ(u)| est à croissance modérée. Pour tout élément de C… 01H1
Proposition 3 Pour tout t ∈ U(G), les fonctions u ↦ |u(t)|_∞ et u ↦ |u(t)|₂ sont à croissance modérée sur hatG. ↩ 1 01H2
Théorème 1 a) Soit f une fonction complexe indéfiniment dérivable sur G. Alors la famille (fᵤ)_u ∈ hatG, où fᵤ(g) = ⟨ u(g)|u(f) ⟩, est uniformément sommable sur G, et on a pour tout h ∈ G 01H3
Corollaire Les applications overlineF : f ↦ (u(f))_u∈hatG et F : A ↦ ∑_u∈hatG ⟨ u(g)|Aᵤ ⟩ induisent des isomorphismes réciproques entre les espaces vectoriels topologiques C^∞(G ; C) et S(hat… 01H4
Proposition 4 Soit f ∈ L²(G). Pour que f soit centrale, il faut et il suffit que u(f) soit une homothétie pour tout u ∈ hatG. On a alors 01H5
Proposition 5 Soit f une fonction continue centrale sur G. Pour que f soit indéfiniment dérivable, il faut et il suffit que la fonction u ↦ |⟨ χᵤ | f ⟩| soit à décroissance rapide sur hatG; on a… ↩ 1 01H6
Corollaire Soit f une fonction continue centrale sur G. Pour que f soit indéfiniment dérivable, il faut et il suffit que la restriction de f à T soit indéfiniment dérivable. ↩ 1 01H7

§ 9. Opérations des groupes de Lie compacts sur les variétés

Lemme 1 Soient T et T' deux espaces topologiques, A et A' des parties compactes de T et T' respectivement, W un voisinage de A × A' dans T × T'. Il existe un voisinage ouvert U de A dans T… ↩ 1 01HE
Proposition 1 Soient φ : X → Y un morphisme de classe Cʳ, A une partie compacte de X. Les conditions suivantes sont équivalentes : 01HF
Proposition 2 Supposons la variété Y paracompacte ; soit A une partie de X, et soit φ : X → Y un morphisme de classe Cʳ qui induit un homéomorphisme de A sur φ(A), et qui est étale en tout point… ↩ 1 01HG
Proposition 3 Soit A une partie compacte de X. L’ensemble P des morphismes φ ∈ Cʳ(X;Y) qui sont des plongements au voisinage de A est ouvert dans Cʳ(X;Y) pour la topologie de la Cʳ-convergence c… ↩ 1 01HH
Lemme 2 Soient x un point de X, φ : X → Y un morphisme de classe C¹ qui est une immersion en x. Il existe un voisinage Ω de φ dans C¹(X; Y) et un voisinage B de x dans X tels que pour tout… 01HI
Proposition 4 Soit A une partie compacte de X. Il existe un espace vectoriel E de dimension finie et un morphisme φ ∈ Cʳ(X; E) (r ≠ ω) qui est un plongement au voisinage de A. ↩ 3 01HJ
Lemme 3 Soit G un groupe topologique compact opérant continûment sur un espace topologique X; soient A une partie de X, stable par G, et W un voisinage de A. Il existe alors un voisinage o… ↩ 2 01HK
Théorème 1 Soient G un groupe de Lie compact, (g, x) ↦ gx une loi d’opération à gauche de classe Cʳ de G dans X, et A une partie compacte de X. Il existe une représentation linéaire analytiqu… ↩ 1 01HL
Corollaire 1 Supposons X compacte. Il existe une représentation linéaire analytique ρ de G dans un espace vectoriel E de dimension finie et un plongement φ : X → E tels que φ(gx) = ρ(g) φ(x) po… ↩ 1 01HM
Corollaire 2 Soit H un sous-groupe fermé de G. Il existe une représentation linéaire analytique de G dans un espace vectoriel E de dimension finie et un point v ∈ E de fixateur H. ↩ 1 01HN
Corollaire 3 Supposons X paracompacte. Il existe un espace hilbertien réel E, une représentation unitaire continue ¹ ρ de G dans E et un plongement φ : X → E de classe Cʳ, tels qu’on ait φ(gx)… 01HO
Lemme 4 Soient H un groupe de Lie compact, ρ : H → GL(V) une représentation continue (donc analytique) de H dans un espace vectoriel réel de dimension finie, W un voisinage de l’origine da… ↩ 2 01HP
Proposition 5 Soient H un groupe de Lie compact, (h, x) ↦ hx une loi d’opération à gauche de classe Cʳ de H dans X, x un point de X fixe sous l’action de H. Le groupe H opère alors linéairement… ↩ 1 01HQ
Proposition 6 Supposons la variété X paracompacte; soient x un point de X, Gₓ son fixateur. Il existe une représentation linéaire analytique de dimension finie τ : Gₓ → GL(W), et un plongement o… ↩ 5 01HR
Lemme 5 Soient Z une variété séparée de classe Cʳ, munie d'une loi d'opération à gauche m : G × Z → Z de classe Cʳ, et μ : Z → X un morphisme (de classe Cʳ) compatible avec les opérations… 01HS
Lemme 6 Soit G un groupe de Lie. 01HT
Théorème 2 Soit G un groupe de Lie opérant proprement sur X, de façon que la loi d’opération (g, x) ↦ gx soit de classe Cʳ. On suppose X paracompacte. 01HU
Exemple 1 Soit G un groupe de Lie compact connexe, opérant sur lui-même par automorphismes intérieurs. Le fixateur d’un élément x de G n’est autre que le centralisateur Z(x) de x dans G ; il… 01HV
Exemple 2 Soient E un espace affine réel euclidien, H un ensemble d’hyperplans de E, W le groupe de déplacements de E engendré par les réflexions orthogonales par rapport aux hyperplans de ℌ… 01HW

App. 1. Structure des groupes compacts

Proposition 1 Tout groupe topologique compact G est isomorphe à un sous-groupe fermé d’un produit de groupes de Lie compacts. 01II
Corollaire 1 Soit V un voisinage de l’élément neutre dans G. Alors V contient un sous-groupe fermé distingué H de G tel que le quotient G/H soit un groupe de Lie. ↩ 2 01IJ
Corollaire 2 L’application canonique G → lim_← α G/H_α est un isomorphisme de groupes topologiques. ↩ 1 01IK
Corollaire 3 Pour que G soit un groupe de Lie, il faut et il suffit qu’il existe un voisinage de l’élément neutre e de G qui ne contienne aucun sous-groupe distingué distinct de {e}. 01IL
Lemme 1 Soient (G_α, f_αβ) un système projectif de groupes topologiques relatif à un ensemble d’indices I filtrant, G sa limite. On suppose que les applications canoniques f_α : G → G_α so… ↩ 2 01IM
Lemme 2 Soient (Sₐ)_a ∈ A, (T_b)_b ∈ B deux familles finies de groupes de Lie simplement connexes presque simples (III, § 9, n° 8, déf. 3), et soit u : ∏_a ∈ A Sₐ → ∏_b ∈ B T_b un morphism… ↩ 1 01IN
Lemme 3 Sous les hypothèses du lemme 1, on suppose que les G_α sont des groupes de Lie compacts simplement connexes. Le groupe topologique G est alors isomorphe au produit d'une famille de… ↩ 1 01IO
Proposition 2 Soit G un groupe compact connexe. a) C(G)₀ est un groupe compact connexe commutatif; D(G) est un groupe compact connexe, égal à son groupe dérivé. b) L'homomorphisme continu (x, y)… 01IP
Corollaire Tout groupe compact connexe résoluble est commutatif. 01IQ

App. 2. Représentations de type réel, complexe ou quaternionien

Proposition 1 Soient A une R-algèbre (associative et unifère) et V un A-module simple de dimension finie sur R. On est alors dans l’un des trois cas suivants : ↩ 1 01IS
Proposition 2 Soient A une R-algèbre (associative et unifère), et W un A_(C)-module simple, de dimension finie sur C. On est alors dans l’un des trois cas suivants : ↩ 1 01IT
Proposition 3 Supposons ρ irréductible. ↩ 1 01IU
Lemme 1 Soit Wᴳ le sous-espace de W formé des éléments invariants par G. L'endomorphisme ∫_G ρ(g) dg de W est un projecteur d'image Wᴳ, compatible aux opérations de G. On a en particulier ↩ 1 01IV
Lemme 2 Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension finie sur un corps K. On a ↩ 1 01IW
Proposition 4 Supposons ρ irréductible. Pour que ρ soit de type réel (resp. complexe, resp. quaternionien), il faut et il suffit que l’intégrale ∫_G Tr ρ(g²) dg soit égale à 1 (resp. 0, resp. —… 01IX