Quyển LIE · Tiếng Việt

Chỉ mục mệnh đề

1703 mệnh đề của Nhóm Lie và đại số Lie, theo chương và mục. Chọn một loại, lọc theo từ, hoặc xếp những mệnh đề được trích dẫn nhiều nhất lên đầu.

Trích dẫn nhiều nhất trước

I. Đại số Lie

§ 1. Định nghĩa các đại số Lie

Định nghĩa 1 Một đại số g trên K được gọi là một đại số Lie trên K nếu phép nhân của nó (được ký hiệu bởi (x, y) ↦ [x, y]) thỏa mãn các đồng nhất thức: 09TJ
Ví dụ 1 Cho L là một đại số kết hợp trên K. Ngoặc [x, y] = xy - yx là một hàm song tuyến tính của x và y. Dễ dàng kiểm tra rằng luật hợp thành (x, y) ↦ [x, y] trên K-môđun L biến L thành m… ↩ 3 09TK
Ví dụ 2 Trong Ví dụ 1, chọn L là đại số kết hợp các nội đồng cấu của một K-môđun E. Ta thu được đại số Lie các nội đồng cấu của E, ký hiệu bởi gl(E). (Nếu E = Kⁿ, đại số Lie gl(E) được ký… ↩ 1 09TL
Ví dụ 3 Tập hợp Mₙ(K) các ma trận vuông cấp n có thể được xem như một đại số Lie trên K đẳng cấu chính tắc với gl(n, K). Cho (Eᵢⱼ) là cơ sở chính tắc của Mₙ(K) (Đại số, Chương II, § 10, no… 09TM
Định nghĩa 2 Cho g là một đại số Lie và x là một phần tử của g. Ánh xạ tuyến tính y ↦ [x, y] từ g vào g được gọi là ánh xạ tuyến tính liên hợp của x và được ký hiệu bởi ad_g x hoặc ad x. 09TN
Mệnh đề 1 Cho g là một đại số Lie. Với mọi x ∈ g, ad x là một đạo hàm. Ánh xạ x ↦ ad x là một đồng cấu của đại số Lie g vào đại số Lie 𝔡 các đạo hàm của g. Nếu D ∈ 𝔡 và x ∈ g, thì [D, ad x]… 09TO
Định nghĩa 3 Hai phần tử x, y của một đại số Lie được gọi là hoán vị được với nhau nếu [x, y] = 0. g được gọi là giao hoán nếu hai phần tử bất kỳ của nó đều hoán vị được với nhau. 09TP
Ví dụ 1 Cho L là một đại số kết hợp và g là đại số Lie được xác định bởi nó (no. 2, Ví dụ 1). Hai phần tử x, y hoán vị được trong g khi và chỉ khi xy = yx trong L. 09TQ
Ví dụ 2 Nếu một nhóm Lie thực G là giao hoán thì đại số Lie của nó là giao hoán. 09TR
Ví dụ Cho G là một nhóm Lie, g đại số Lie của nó và H là một nhóm con Lie của G. Mọi trường vectơ bất biến trái trên H xác định một cách chính tắc một trường vectơ bất biến trái trên G… 09TS
Định nghĩa 4 Một môđun con của g ổn định dưới mọi đạo hàm của g được gọi là một iđêan đặc số của g. 09TT
Mệnh đề 2 Cho g là một đại số Lie, a là một iđêan (tương ứng, một iđêan đặc số) của g và b là một iđêan đặc số của a. Khi đó b là một iđêan (tương ứng, một iđêan đặc số) của g. ↩ 1 09TU
Mệnh đề 3 Nếu a và b là các iđêan (tương ứng, các iđêan đặc số) của g, thì [a, b] là một iđêan (tương ứng, một iđêan đặc số) của g. 09TV
Mệnh đề 4 Cho g và h là hai đại số Lie trên K và f là một đồng cấu từ g lên h. Khi đó f(Dᵖg) = Dᵖf, f(Cᵖg) = Cᵖh. ↩ 4 09TW
Hệ quả Cho g là một đại số Lie và a là một iđêan của g. Để đại số Lie g/a là giao hoán, điều kiện cần và đủ là a ⊃ Dg. 09TX
Mệnh đề 5 Cho g là một đại số Lie và a là một iđêan (tương ứng, một iđêan đặc số) của g. Tập trung hoá a' của a trong g là một iđêan (tương ứng, một iđêan đặc số) của g. 09TY
Định nghĩa 5 Cho a và b là hai đại số Lie trên K. Một mở rộng của b bởi a là một dãy: 09TZ
Mệnh đề 6 Cho ↩ 1 09U0
Định nghĩa 6 Cho ↩ 1 09U1
Mệnh đề 7 Cho a và b là hai đại số Lie trên K, 09U2
Ví dụ 1 Cho g là một đại số Lie trên K và D là một đạo hàm của g. Cho h là đại số Lie giao hoán K. Ánh xạ λ ↦ λ D (λ ∈ K) là một đồng cấu của h vào đại số Lie các đạo hàm của g. Ta lập tíc… ↩ 2 09U3
Ví dụ 2 Cho g là một đại số Lie trên K, M là một K-môđun và ρ là một đồng cấu của g vào 𝔤𝔩(M). Nếu coi M như một đại số Lie giao hoán, thì đại số Lie các đạo hàm của M là 𝔤𝔩(M). Do đó ta c… ↩ 2 09U4

§ 2. Đại số bao của một đại số Lie

Định nghĩa 1 Cho g là một đại số Lie trên K, T là đại số tenxơ của K-môđun g và J là iđêan hai phía của T sinh bởi các tenxơ x ⊗ y - y ⊗ x - [x, y] trong đó x ∈ g, y ∈ g. Đại số kết hợp U = T/J… ↩ 1 09UW
Mệnh đề 1 Cho σ là một ánh xạ α của g vào đại số kết hợp L có phần tử đơn vị. Tồn tại một và chỉ một đồng cấu τ của U vào L, biến 1 thành 1, sao cho σ = τ ∘ σ₀, trong đó σ₀ ký hiệu ánh xạ ch… ↩ 6 09UX
Mệnh đề 2 Đồng cấu φ là một đẳng cấu đại số ↩ 1 09UY
Mệnh đề 3 Cho h là một iđêan của g, p là đồng cấu chính tắc của g lên g/h và W là đại số bao của g/h. Đồng cấu: tildep: U → W được xác định một cách chính tắc bởi p là toàn ánh và hạt nhân c… 09UZ
Mệnh đề 4 Đồng cấu φ là một đẳng cấu từ V lên U⁰. 09V0
Mệnh đề 5 Ánh xạ φ từ T lên G là một đồng cấu đại số biến 1 thành 1 và bằng không trên iđêan hai phía sinh bởi các tenxơ x ⊗ y - y ⊗ x (x ∈ g, y ∈ g). 09V1
Mệnh đề 6 Nếu K là Noether và g là một môđun hữu hạn sinh, thì vành U là Noether phải và trái. ↩ 1 09V2
Hệ quả Giả sử rằng K là một trường và g là hữu hạn chiều trên K. Gọi I₁, ..., Iₘ là các iđêan phải (tương ứng là trái) có đối chiều hữu hạn trong U. Khi đó iđêan tích I₁I₂...Iₘ có đối chi… ↩ 1 09V3
Nhận xét Cho g' là một đại số Lie khác trên vành K, U' là đại số bao của nó, U'n là tập các phần tử của U' có cấp lọc ≤ n và U^n (tương ứng là U'^n) là tập các ảnh chính tắc trong U (tương… 09V4
Định lý 1 Cho g là một đại số Lie trên K, U là đại số bao của nó, G là đại số phân bậc liên kết với đại số lọc U và S là đại số đối xứng của K-môđun g. Nếu g là một K-môđun tự do, thì đồng c… ↩ 6 09V5
Bổ đề 1 Với mọi số nguyên p ≥ 0, tồn tại một đồng cấu duy nhất fₚ từ K-môđun g ⊗_K Pₚ vào K-môđun P thỏa mãn các điều kiện sau: beginalign* (Aₚ) & fₚ(x_λ ⊗ z_M) = z_λ z_M với λ ≤ M, z_M ∈… ↩ 1 09V6
Bổ đề 2 Có một ánh xạ α σ của g vào L_K(P) sao cho: ↩ 1 09V7
Bổ đề 3 Cho t là một tenxơ trong Tₙ ∩ J. Thành phần thuần nhất tₙ của t có cấp n nằm trong hạt nhân I của đồng cấu chính tắc T → S. 09V8
Hệ quả 1 Giả sử rằng g là một K-môđun tự do. Cho W là một K-môđun con của Tⁿ. ↩ 3 09V9
Hệ quả 2 Nếu g là một K-môđun tự do, thì ánh xạ chính tắc từ g vào đại số bao của nó là đơn ánh. 09VA
Hệ quả 3 Nếu g có một cơ sở được sắp thứ tự toàn phần (x_λ)_λ ∈ Λ, thì các phần tử x_λ₁ x_λ₂ … x_λₙ của đại số bao U, trong đó (λ₁, …, λₙ) là một dãy hữu hạn tăng tùy ý gồm các phần tử của… ↩ 4 09VB
Hệ quả 4 Cho S'ⁿ ⊂ Tⁿ là tập hợp các tenxơ đối xứng thuần nhất cấp n. Giả sử rằng K là một trường có đặc số 0. Khi đó ánh xạ hợp thành của các ánh xạ chính tắc ↩ 2 09VC
Hệ quả 5 Cho h là một đại số con của đại số Lie g và U' là đại số bao của nó. Giả sử rằng các K-môđun h và g/h là tự do (chẳng hạn nếu K là một trường). Cho (x_α)_α ∈ L là một cơ sở của h v… ↩ 1 09VD
Hệ quả 6 Giả sử rằng K-môđun g là tổng trực tiếp của các đại số con g₁, g₂, …, gₙ và mỗi gᵢ là một K-môđun tự do. Gọi Uᵢ là đại số bao phủ của gᵢ (1 ≤ i ≤ n). Gọi φ là ánh xạ tuyến tính K c… ↩ 2 09VE
Hệ quả 7 Nếu K là một miền nguyên và g là một K-môđun tự do, đại số U không có các ước của không. ↩ 2 09VF
Bổ đề 4 Cho V là một K-môđun và T là đại số tenxơ của V. Cho u là một tự đồng cấu của V. Tồn tại duy nhất một đạo hàm của T mở rộng u. Đạo hàm này giao hoán với các toán tử đối xứng trên T… ↩ 1 09VG
Mệnh đề 7 Cho g là một đại số Lie, U là đại số bao quanh của nó, σ là ánh xạ chính tắc của g vào U và D là một đạo hàm của g. (a) Tồn tại duy nhất một đạo hàm D_U của U sao cho σ ∘ D = D_U ∘… ↩ 1 09VH

§ 3. Biểu diễn

Định nghĩa 1 Cho g là một đại số Lie trên K và M là một K-môđun. Một đồng cấu của g vào đại số Lie gl(M) được gọi là một biểu diễn của g trên môđun M. Một biểu diễn đơn ánh được gọi là trung th… ↩ 1 09VS
Ví dụ Cho G là một nhóm Lie thực, g là đại số Lie của nó và θ là một biểu diễn giải tích của G trên một không gian vectơ thực hữu hạn chiều E. Khi đó đồng cấu tương ứng của g vào gl(E) l… 09VT
Định nghĩa 2 Cho g là một đại số Lie trên K và U là đại số bao quanh của nó. Một môđun trái đơn vị trên U được gọi là một môđun trái g, hoặc đơn giản là một g-môđun. 09VU
Mệnh đề 1 Cho g là một đại số Lie trên K và a là một iđêan của g. Cho M là một môđun g và N là một a-môđun đơn. Xét M như một a-môđun và giả sử rằng tập hợp các môđun con-a của M thuần nhất… ↩ 1 09VV
Hệ quả Cho g là một đại số Lie trên K và a là một iđêan của g. Cho M là một môđun g đơn, có độ dài hữu hạn như một môđun K. Tồn tại một a-môđun đơn N sao cho M là một a-môđun thuần nhất t… ↩ 1 09VW
Mệnh đề 2 Cho g là một đại số Lie trên K và Mᵢ là một g-môđun (1 ≤ i ≤ n). Trên tích tenxơ M₁ ⊗_K M₂ ⊗ ⋯ ⊗ Mₙ, tồn tại một và chỉ một cấu trúc g-môđun sao cho ↩ 1 09VX
Mệnh đề 3 Cho g là một đại số Lie trên K và Mᵢ là một g-môđun (1 ≤ i ≤ n + 1). Cho N là K-môđun L_K(M₁, …, Mₙ; Mₙ₊₁) gồm các ánh xạ đa tuyến từ ∏ᵢ₌₁ⁿ Mᵢ vào Mₙ₊₁. Tồn tại duy nhất một cấu tr… ↩ 1 09VY
Mệnh đề 4 Cho M₁, M₂ là hai g-môđun. Các ánh xạ K-tuyến tính chính tắc (Đại số, Chương II, § 4, no. 2, Mệnh đề 2 và no. 1, Mệnh đề 1): ↩ 6 09VZ
Ví dụ 1 Cho g là một đại số Lie trên K và M là một g-môđun. Cấu trúc g-môđun trên M và cấu trúc g-môđun tầm thường trên K xác định một cấu trúc g-môđun trên K-môđun N = L(M, M; K) của các… ↩ 1 09W0
Ví dụ 2 Ta giữ ký hiệu của Ví dụ 1. 09W1
Định nghĩa 3 Một phần tử m ∈ M của một đại số Lie g và một môđun-g M được gọi là bất biến (đối với cấu trúc môđun-g trên M hoặc đối với biểu diễn tương ứng của g) nếu x_M · m = 0 với mọi x ∈ g. ↩ 1 09W2
Ví dụ 1 Cho M, N là hai g-môđun và P = L_K(M, N). Để một phần tử f của P là bất biến, theo (6), điều kiện cần và đủ là f là một đồng cấu của g-môđun M vào g-môđun N. Đặc biệt, nếu M = N và… ↩ 2 09W3
Ví dụ 2 Cho M là một K-môđun có một cơ sở hữu hạn. Nếu M có một cấu trúc g-môđun, L(M, M) và M^* ⊗ M có các cấu trúc g-môđun và ánh xạ chính tắc của M^* ⊗ M vào L(M, M) là một đẳng cấu g-m… ↩ 1 09W4
Ví dụ 3 Cho M là một g-môđun. Cho β là một dạng song tuyến tính trên M và f là phần tử tương ứng của L(M, M^*). Để β là bất biến, điều kiện cần và đủ là f là một đồng cấu g-môđun (Mệnh đề… ↩ 1 09W5
Mệnh đề 5 Cho g là một đại số Lie trên K, h là một iđêan của g, ρ là một biểu diễn của g trên M và ρ' là hạn chế của ρ vào h. Khi đó tập hợp N các phần tử của M bất biến đối với ρ' là ổn địn… ↩ 3 09W6
Mệnh đề 6 Cho M là một g-môđun nửa đơn. Khi đó môđun con M₀ gồm các phần tử bất biến của M thừa nhận duy nhất một phần bù ổn định dưới các x_M, cụ thể là môđun con M₁ sinh bởi các x_M.m (x ∈… ↩ 5 09W7
Mệnh đề 7 Cho g là một đại số Lie, β là một dạng song tuyến tính đối xứng bất biến trên g và a là một iđêan của g. ↩ 2 09W8
Định nghĩa 4 Cho g là một đại số K-Lie và M là một g-môđun. Giả sử rằng M, được xem như một K-môđun, thừa nhận một cơ sở hữu hạn. Dạng song tuyến tính liên kết với g-môđun M (hoặc với biểu diễn… 09W9
Mệnh đề 8 Cho g là một đại số Lie và M là một g-môđun. Giả sử rằng M, được xem như một K-môđun, thừa nhận một cơ sở hữu hạn. Dạng song tuyến tính liên kết với M là bất biến. 09WA
Mệnh đề 9 Giả sử rằng K là một trường và rằng đại số Lie g là hữu hạn chiều trên K. Cho a là một iđêan của g, β là dạng Killing của g và β' là dạng Killing của a. Khi đó β' là hạn chế của β… ↩ 1 09WB
Mệnh đề 10 Giả sử rằng K là một trường và đại số Lie g là hữu hạn chiều trên K. Dạng Killing β của g là hoàn toàn bất biến. ↩ 1 09WC
Mệnh đề 11 Cho g là một đại số Lie trên một trường K, U là đại số bao quanh của nó, h là một iđêan hữu hạn chiều của g và β là một dạng song tuyến tính bất biến trên g, mà hạn chế của nó vào… ↩ 1 09WD
Mệnh đề 12 Cho g là một đại số Lie trên một trường K, h là một iđêan của g có số chiều hữu hạn n và M là một g-môđun có số chiều hữu hạn trên K. Cho c là phần tử Casimir (giả sử tồn tại) liên… ↩ 3 09WE
Mệnh đề 13 Cho K là một trường, K₁ là một mở rộng của K, g là một đại số Lie trên K và M, N là hai g-môđun có số chiều hữu hạn trên K. Nếu M_(K₁) và N_(K₁) là các g_(K₁)-môđun đẳng cấu, thì M… ↩ 1 09WF

§ 4. Đại số Lie lũy linh

Định nghĩa 1 Một đại số Lie g được gọi là lũy linh nếu tồn tại một dãy hữu hạn giảm các iđêan (gᵢ)_1 ≤ i ≤ p của g với g₀ = g, gₚ = 0, sao cho [g, gᵢ] ⊂ gᵢ₊₁ với 0 ≤ i < p. ↩ 3 09WS
Mệnh đề 1 Cho g là một đại số Lie. Các điều kiện sau là tương đương: (a) g là lũy linh; (b) Cᵏ g = 0 với k đủ lớn; (c) Cₖ g = g với k đủ lớn; (d) tồn tại một số nguyên k sao cho ad x₁ ∘ ad x… ↩ 5 09WT
Hệ quả 1 Tâm của một đại số Lie lũy linh khác không là khác không. 09WU
Hệ quả 2 Dạng Killing của một đại số Lie lũy linh là không. Với mọi x và y trong một đại số Lie lũy linh, ad x ∘ ad y là lũy linh và do đó có vết bằng không. 09WV
Mệnh đề 2 Các đại số con, các đại số thương và các mở rộng trung tâm của một đại số Lie lũy linh đều là lũy linh. Một tích hữu hạn các đại số Lie lũy linh là một đại số Lie lũy linh. Cho g l… ↩ 1 09WW
Mệnh đề 3 Cho g là một đại số Lie lũy linh và 𝔥 là một đại số con của g phân biệt với g. Chuẩn hóa tử của 𝔥 trong g phân biệt với 𝔥. Cho k là số nguyên lớn nhất sao cho Cᵏ g + 𝔥 ≠ 𝔥. Khi đó… ↩ 3 09WX
Bổ đề 1 Cho V là một không gian vectơ trên K. Nếu x là một tự đồng cấu lũy linh của V, thì ánh xạ y ↦ [x, y] của L(V) vào L(V) là lũy linh. Nếu f ký hiệu ánh xạ này, thì fᵐ(y) là một tổng… ↩ 2 09WY
Định lý 1 (Engel) Cho V là một không gian vectơ trên K và g là một đại số con hữu hạn chiều của 𝔤𝔩(V) mà các phần tử của nó là các nội cấu lũy linh của V. Nếu V ≠ 0, tồn tại u ≠ 0 trong V sao cho x… ↩ 5 09WZ
Hệ quả 1 Để một đại số Lie g là lũy linh, điều kiện cần và đủ là, với mọi x ∈ g, ad\ x là lũy linh. ↩ 2 09X0
Hệ quả 2 Cho g là một đại số Lie và h là một iđêan của g. Giả sử rằng g/h là lũy linh và rằng, với mọi x ∈ g, hạn chế của ad\ x trên h là lũy linh. Khi đó g là lũy linh. 09X1
Hệ quả 3 Cho V là một không gian vectơ và g là một đại số con hữu hạn chiều của 𝔤𝔩(V) mà các phần tử của nó là những nội đồng cấu lũy linh của V. Khi đó g là một đại số Lie lũy linh. ↩ 1 09X2
Ví dụ Đại số 𝔫(n, K) (§ 1, no. 2, Ví dụ 2 (3)) là lũy linh. 09X3
Bổ đề 2 Cho g là một đại số Lie, a là một iđêan của g và M là một g-môđun đơn. Nếu, với mọi x ∈ a,\ x_M là lũy linh, thì x_M = 0 với mọi x ∈ a. ↩ 3 09X4
Bổ đề 3 Cho g là một đại số Lie, a là một iđêan của g, M là một g-môđun có số chiều hữu hạn trên ↩ 2 09X5
Mệnh đề 4 Cho g là một đại số Lie, M là một g-môđun có số chiều hữu hạn trên K và A là đại số kết hợp được sinh bởi 1 và tập hợp các x_M (x ∈ g). ↩ 5 09X6
Định nghĩa 2 Iđêan n của Mệnh đề 4 được gọi là iđêan lũy linh lớn nhất đối với g-môđun M hoặc iđêan lũy linh lớn nhất của biểu diễn tương ứng. ↩ 1 09X7
Mệnh đề 5 Cho V là một không gian vectơ có số chiều hữu hạn n trên K và g là một đại số Lie con của gl(V) mà các phần tử của nó là những nội cấu lũy linh của V. Khi đó tồn tại một dãy giảm c… 09X8
Mệnh đề 6 Cho g là một đại số Lie và E là đại số con kết hợp của L(g) được sinh bởi 1 và các ad_g x (x ∈ g). Gọi R là căn Jacobson của E. (a) Tập hợp n gồm các y ∈ g sao cho ad_g y ∈ R là iđ… ↩ 1 09X9

§ 5. Đại số Lie giải được

Định nghĩa 1 Một đại số Lie g được gọi là giải được nếu đại số dẫn xuất bậc k của nó Dᵏ g bằng không với k đủ lớn. 09Y1
Mệnh đề 1 Các đại số con và các đại số thương của một đại số Lie giải được đều giải được. Mọi mở rộng của một đại số giải được bởi một đại số giải được đều giải được. Mọi tích hữu hạn của cá… ↩ 3 09Y2
Mệnh đề 2 Cho g là một đại số Lie. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 2 09Y3
Định nghĩa 2 Can của một đại số Lie là iđêan giải được lớn nhất của nó. ↩ 1 09Y4
Mệnh đề 3 Can r của một đại số Lie g là iđêan nhỏ nhất của g sao cho g/r có căn là 0. ↩ 2 09Y5
Mệnh đề 4 Cho g₁, …, gₙ là các đại số Lie. Căn r của tích của các gᵢ là tích của các căn rᵢ của các gᵢ. ↩ 1 09Y6
Định nghĩa 3 Cho g là một đại số Lie. Căn lũy linh của g là giao của các hạt nhân của các biểu diễn đơn hữu hạn chiều của g. 09Y7
Nhận xét (1) Cho s là căn lũy linh của g. Vì mọi dãy giảm các không gian vectơ con của g đều dừng, tồn tại một số hữu hạn các biểu diễn đơn hữu hạn chiều của g mà các hạt nhân của chúng có… 09Y8
Bổ đề 1 Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên K, g là một đại số con của gl(V) sao cho V là một g-môđun đơn và a là một iđêan giao hoán của g. Khi đó a ∩ Dg = 0. Cho S là đại số… ↩ 1 09Y9
Định lý 1 Cho g là một đại số Lie, r là căn của nó và s là căn lũy linh của nó. Khi đó s = Dg ∩ r. ↩ 10 09YA
Hệ quả 1 Cho g là một đại số Lie giải được. Căn lũy linh của g là Dg. Nếu ρ là một biểu diễn đơn hữu hạn chiều của g thì ρ(g) là giao hoán và đại số kết hợp L sinh bởi 1 và ρ(g) là một trườ… ↩ 2 09YB
Hệ quả 2 (Định lý Lie) Cho g là một đại số Lie giải được; giả sử rằng K đóng đại số. Cho M là một g-môđun có số chiều hữu hạn trên K và cho (Mᵢ)_0 ≤ i ≤ r là một chuỗi Jordan-Hölder của M. Khi đó Mᵢ₋₁/Mᵢ… ↩ 2 09YC
Nhận xét (1) Nếu (Mᵢ)_0 ≤ i ≤ r được thay bằng một chuỗi Jordan-Hölder khác của M, thì dãy (λ₁, …, λᵣ) được thay bằng một dãy có dạng (λ_π(1), …, λ_π(r)), trong đó π là một phép hoán vị của… ↩ 2 09YD
Hệ quả 3 Giả sử rằng K đóng đại số. Nếu g là một đại số Lie giải được r-chiều, thì mọi iđêan của g là một số hạng của một dãy giảm các iđêan có các chiều r, r-1, …, 0. 09YE
Hệ quả 4 Giả sử rằng K = R. Cho g là một đại số Lie giải được. Mọi biểu diễn đơn của g đều có chiều ≤ 2. Mọi iđêan của g là một số hạng của một dãy giảm (gᵢ)_0 ≤ i ≤ m các iđêan sao cho g₀… 09YF
Hệ quả 5 Để một đại số Lie g là giải được, điều kiện cần và đủ là Dg lũy linh. ↩ 2 09YG
Hệ quả 6 Cho φ là một biểu diễn hữu hạn chiều của một đại số Lie g. Cho r là căn của g. Mọi phần tử x ∈ r sao cho ρ(x) lũy linh đều thuộc iđêan lũy linh lớn nhất n của ρ. ↩ 3 09YH
Hệ quả 7 Cho g là một đại số Lie và r là căn của nó. Bốn tập hợp sau đây trùng nhau: (a) iđêan lũy linh lớn nhất của g; (b) iđêan lũy linh lớn nhất của r; (c) tập hợp các x ∈ r sao cho ad_g… 09YI
Bổ đề 2 Cho x là một tự đồng cấu của một không gian vectơ hữu hạn chiều V và s (tương ứng n) là thành phần nửa đơn (tương ứng lũy linh) của nó (xem Đại số, Chương VIII, § 9, no. 4, Định ng… ↩ 2 09YJ
Bổ đề 3 Cho M là một không gian vectơ hữu hạn chiều, A và B là hai không gian vectơ con của 𝔤𝔩(M) sao cho B ⊂ A và T là tập hợp các t ∈ 𝔤𝔩(M) sao cho [t, A] ⊂ B. Nếu z ∈ T sao cho Tr(zu) =… ↩ 2 09YK
Định lý 2 (tiêu chuẩn của Cartan) Cho g là một đại số Lie, M là một không gian vectơ hữu hạn chiều, ρ là một biểu diễn của g trên M và β là dạng song tuyến tính trên g liên kết với ρ. Khi đó ρ(g) là giải được khi v… ↩ 1 09YL
Mệnh đề 5 Cho g là một đại số Lie và r là căn của nó. (a) Nếu ρ là một biểu diễn hữu hạn chiều của g và β là dạng song tuyến tính liên kết, thì r và Dg trực giao đối với β. (b) r là trực gia… ↩ 4 09YM
Hệ quả 1 Cho g là một đại số Lie. Khi đó g giải được khi và chỉ khi Dg trực giao với g đối với dạng Killing. 09YN
Hệ quả 2 Căn r của một đại số Lie g là một iđêan đặc trưng. ↩ 2 09YO
Hệ quả 3 Cho g là một đại số Lie, r là căn của nó và a là một iđêan của g. Khi đó căn của a bằng r ∩ a. ↩ 3 09YP
Mệnh đề 6 Cho g là một đại số Lie, r là căn của nó và n là iđêan lũy linh lớn nhất của nó. Mọi đạo hàm của g đều ánh xạ r vào n. 09YQ
Hệ quả Iđêan lũy linh lớn nhất của một đại số Lie là một iđêan đặc trưng. 09YR
Nhận xét Để tóm tắt một số kết quả trên đây, chú ý rằng, nếu r, n, s, t lần lượt ký hiệu căn của g, iđêan lũy linh lớn nhất của g, căn lũy linh của g và trực giao của g đối với dạng Killing… 09YS

§ 6. Đại số Lie nửa đơn

Định nghĩa 1 Cho g là một đại số Lie. g được gọi là nửa đơn khi và chỉ khi iđêan giao hoán duy nhất của g là {0}. ↩ 1 09ZA
Nhận xét (1) Đại số {0} là nửa đơn. Một đại số có chiều 1 hoặc 2 không phải là nửa đơn (cf. § 5, no. 1, Ví dụ 1). Tồn tại các đại số nửa đơn có chiều 3 (cf. no. 7). 09ZB
Định lý 1 Cho g là một đại số Lie. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 5 09ZC
Hệ quả Cho g là một đại số Lie nửa đơn và ρ là một biểu diễn của g trên một không gian vectơ hữu hạn chiều V. Khi đó ρ(g) ⊂ 𝔰𝔩(V). 09ZD
Mệnh đề 1 Cho g là một đại số Lie nửa đơn và φ là một biểu diễn trung thành hữu hạn chiều của g. Khi đó dạng song tuyến tính trên g liên kết với φ là không suy biến. ↩ 9 09ZE
Hệ quả 1 Cho g là một đại số Lie, β là dạng Killing của nó và a là một đại số con nửa đơn của g. Phần trực giao h của a đối với β là một không gian con bổ sung của a trong g và [a, h] ⊂ h… ↩ 4 09ZF
Hệ quả 2 Mọi mở rộng của một đại số Lie nửa đơn bởi một đại số Lie nửa đơn đều là nửa đơn và tầm thường. ↩ 1 09ZG
Hệ quả 3 Nếu g là nửa đơn, mọi đạo hàm của g đều là nội. ↩ 1 09ZH
Bổ đề 1 Cho g là một đại số Lie nửa đơn. Biểu diễn phụ hợp của g là nửa đơn. Mọi iđêan và mọi đại số thương của g đều là nửa đơn. ↩ 2 09ZI
Bổ đề 2 Cho g là một đại số Lie. Khi đó hai điều kiện sau là tương đương: (a) Mọi biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của g đều là nửa đơn. (b) Cho một biểu diễn tuyến tính φ của g trên một… ↩ 2 09ZJ
Bổ đề 3 Cho g là một đại số Lie nửa đơn, ρ là một biểu diễn tuyến tính của g trên một không gian vectơ hữu hạn chiều V và W là một không gian con của V có đối chiều 1 sao cho ρ(x)(V) ⊂ W v… ↩ 2 09ZK
Định lý 2 (H. Weyl) Mọi biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của một đại số Lie nửa đơn đều hoàn toàn khả quy. ↩ 5 09ZL
Định nghĩa 2 Một đại số Lie g được gọi là đơn nếu các iđêan duy nhất của g là {0} và g và nếu thêm nữa g không giao hoán. ↩ 1 09ZM
Mệnh đề 2 Để một đại số Lie g là nửa đơn, điều kiện cần và đủ là nó là một tích của các đại số đơn. 09ZN
Hệ quả 1 Một đại số Lie nửa đơn là tích của các iđêan đơn của nó gᵢ. Mọi iđêan của g là tích của một số các gᵢ. ↩ 1 09ZO
Hệ quả 2 Cho g, g' là hai đại số Lie, r và r' là các căn của chúng và f là một đồng cấu của g lên g'. Khi đó r' = f(r). 09ZP
Nhận xét (1) Định lý 2 thừa nhận đảo lại: nếu mọi biểu diễn hữu hạn chiều của g đều là nửa đơn, thì g là nửa đơn. Thật vậy, vì biểu diễn phụ hợp là nửa đơn, mọi iđêan của g đều có một iđêan… 09ZQ
Mệnh đề 3 Cho M là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên K và g là một đại số con nửa đơn của 𝔤𝔩(M). Khi đó g chứa các thành phần nửa đơn và lũy linh của các phần tử của nó. ↩ 2 09ZR
Hệ quả Một phần tử x của g là một tự đồng cấu nửa đơn (ứng với lũy linh) của M khi và chỉ khi ad_g x là một tự đồng cấu nửa đơn (ứng với lũy linh) của g. ↩ 2 09ZS
Định nghĩa 3 Cho g là một đại số Lie nửa đơn. Một phần tử x của g được gọi là nửa đơn (ứng với lũy linh) nếu, với mọi g-môđun M có số chiều hữu hạn trên K, x_M là một tự đồng cấu nửa đơn (ứng v… ↩ 1 09ZT
Mệnh đề 4 Cho g, g' là các đại số Lie nửa đơn và f là một đồng cấu từ g vào g'. Nếu x ∈ g là nửa đơn (ứng với lũy linh), thì f(x) cũng vậy. Nếu f là toàn ánh, mọi phần tử nửa đơn (ứng với lũ… ↩ 3 09ZU
Định lý 3 Cho g là một đại số Lie nửa đơn. ↩ 5 09ZV
Định nghĩa 4 Một đại số Lie được gọi là khả quy nếu biểu diễn liên hợp của nó là nửa đơn. ↩ 1 09ZW
Mệnh đề 5 Cho g là một đại số Lie và r căn của nó. Các điều kiện sau là tương đương: (a) g là khả quy. (b) Dg là nửa đơn. (c) g là tích của một đại số nửa đơn và một đại số giao hoán. (d) g… ↩ 8 09ZX
Nhận xét Nếu một đại số Lie g có thể được phân tích thành một tích a × b của một đại số Lie giao hoán a và một đại số Lie nửa đơn b, thì phân tích này là duy nhất. Chính xác hơn, tâm của g… ↩ 1 09ZY
Hệ quả (a) Mọi tích hữu hạn của các đại số khả quy đều là một đại số khả quy. (b) Nếu g là một đại số Lie khả quy có tâm c, thì mọi iđêan của g là một nhân tử trực tiếp, bằng tích của các… ↩ 2 09ZZ
Mệnh đề 6 Cho g là một đại số Lie, r là căn của nó và s là căn lũy linh của nó. (a) s = [g, r] = Dg ∩ r. (b) s là giao của các trực giao của g đối với các dạng song tuyến tính liên kết với c… ↩ 5 0A00
Hệ quả Cho g, g' là các đại số Lie, s (tương ứng s') là căn lũy linh của g (tương ứng của g') và f là một đồng cấu từ g lên g'. (a) Khi đó s' = f(s). (b) g' là khả quy khi và chỉ khi hạt… ↩ 1 0A01
Định lý 4 Cho g là một đại số Lie, r là căn của nó, ρ là một biểu diễn hữu hạn chiều của g, g' = ρ(g) và r' = ρ(r). Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (a) ρ là nửa đơn; (b) g' là khả q… ↩ 10 0A02
Hệ quả 1 Cho g là một đại số Lie và ρ và ρ' là hai biểu diễn hữu hạn chiều nửa đơn của g. Khi đó tích tenxơ của ρ và ρ' là nửa đơn. ↩ 4 0A03
Hệ quả 2 Cho g là một đại số Lie, ρ là một biểu diễn nửa đơn của g trên một không gian vectơ hữu hạn chiều V, T và S là các đại số tenxơ và đối xứng của V, và σ_T, σ_S là các biểu diễn của… ↩ 1 0A04
Hệ quả 3 Cho g là một đại số Lie và ρ, ρ' là hai biểu diễn nửa đơn hữu hạn chiều của g trên các không gian M và M'. Khi đó biểu diễn của g trên L_K(M, M') được dẫn xuất một cách chính tắc t… ↩ 2 0A05
Hệ quả 4 Cho g là một đại số Lie, a là một iđêan của g, và ρ là một biểu diễn nửa đơn của g. (a) Hạn chế ρ' của ρ lên a là nửa đơn. (b) Nếu ρ là đơn thì ρ' là một tổng của các biểu diễn đơn… 0A06
Định nghĩa 5 Cho g là một đại số Lie và h là một đại số con Lie của g. Ta gọi h là khả quy trong g nếu biểu diễn x ↦ ad_g x của h là nửa đơn. 0A07
Mệnh đề 7 Cho g là một đại số Lie, h là một đại số con khả quy trong g, ρ là một biểu diễn của g trên một không gian vectơ V và W là tổng của các không gian con hữu hạn chiều của V là các h-… ↩ 3 0A08
Hệ quả 1 Cho g là một đại số Lie, 𝔥 là một đại số con khả quy trong g và ρ là một biểu diễn nửa đơn hữu hạn chiều của g. Khi đó hạn chế của ρ lên 𝔥 là nửa đơn. ↩ 3 0A09
Hệ quả 2 Cho g là một đại số Lie, 𝔥 là một đại số con khả quy trong g và 𝔨 là một đại số con của 𝔥 khả quy trong 𝔥. Khi đó 𝔨 khả quy trong g. ↩ 1 0A0A
Mệnh đề 8 Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều. Khi đó gl(V) là khả quy. Tâm của nó là tập hợp các phép vị tự của V, đại số dẫn xuất của nó là sl(V) và đại số sau là nửa đơn. ↩ 1 0A0B
Ví dụ Ta đồng nhất sl(K²) với đại số Lie của các ma trận cấp 2 và vết bằng không. Ta viết ↩ 1 0A0C
Mệnh đề 9 Cho V là một không gian vectơ có số chiều hữu hạn n trên K và β là một dạng song tuyến tính đối xứng (tương ứng phản xứng) không suy biến trên V. Gọi g là đại số Lie gồm các x ∈ gl… ↩ 2 0A0D
Định nghĩa 6 Một tự đẳng cấu đặc biệt của g là một tự đẳng cấu của g có dạng e^ad x, trong đó x nằm trong căn lũy linh của g. ↩ 2 0A0E
Định nghĩa 7 Cho g là một đại số Lie và r là căn của nó. Một đại số con Levi của g là bất kỳ đại số con nào của g phụ với r. ↩ 2 0A0F
Định lý 5 (Levi–Malcev) Một đại số Lie g luôn có một đại số con Levi s. Mọi đại số con Levi của g là ảnh của s qua một tự đẳng cấu đặc biệt. ↩ 7 0A0G
Hệ quả 1 Cho s là một đại số con Levi của g và h là một đại số con nửa đơn của g. (a) Tồn tại một tự đẳng cấu đặc biệt của g biến h thành một đại số con của s. (b) h được chứa trong một đại… ↩ 2 0A0H
Hệ quả 2 Để một đại số con h của g là một đại số con Levi của g, điều kiện cần và đủ là h là một đại số con nửa đơn cực đại của g. 0A0I
Hệ quả 3 Cho g là một đại số Lie và m là một iđêan của g sao cho g/m là nửa đơn. Khi đó g chứa một đại số con bổ sung cho m trong g. Nói cách khác, mọi mở rộng của một đại số Lie nửa đơn đề… ↩ 1 0A0J
Hệ quả 4 Cho g là một đại số Lie, r là căn của nó, s là một đại số con Levi của g và m là một iđêan của g. Khi đó m là tổng trực tiếp của m ∩ r, là căn của nó, và m ∩ s, là một đại số con L… 0A0K
Bổ đề 4 Cho ρ, σ, τ là các biểu diễn của g trên các không gian vectơ M, N, P. Giả sử ta được cho một ánh xạ song tuyến tính trên K (m, n) ↦ m.n từ M × N vào P sao cho ↩ 1 0A0L
Bổ đề 5 Giả sử thêm rằng σ và τ là nửa đơn và do đó N (tương ứng P) là tổng trực tiếp của các N_δ (tương ứng P_δ). Với mọi n ∈ N (tương ứng p ∈ P), ký hiệu n^natural (tương ứng p^natural)… ↩ 2 0A0M
Định lý 6 Cho g là một đại số Lie, V là một g-môđun nửa đơn hữu hạn chiều trên K, S là đại số đối xứng của V và x_S là đạo hàm của S mở rộng x_V (sao cho ánh xạ x ↦ x_S là một biểu diễn của… ↩ 1 0A0N

§ 7. Định lý ado

Định nghĩa 1 Cho g là một đại số Lie, g' là một đại số con của g và ρ' là một biểu diễn của g' trên V'. Một biểu diễn ρ của g trên V được gọi là một mở rộng của ρ' lên g nếu tồn tại một đồng cấ… 0A1F
Định lý 1 (Zassenhaus) Cho g = g' + h là một đại số Lie là tổng trực tiếp của một iđêan g' và một đại số con h, và ρ' là một biểu diễn hữu hạn chiều của g' mà iđêan lũy linh lớn nhất của nó chứa [h, g']. ↩ 4 0A1G
Bổ đề 1 Cho g = g' + h là một đại số Lie là tổng của một iđêan g' và một đại số con h. Cho σ là một biểu diễn hữu hạn chiều của g. Giả sử rằng σ(x) là lũy linh với mọi x ∈ g' và mọi x ∈ h… 0A1H
Mệnh đề 1 Cho g là một đại số Lie, n là iđêan lũy linh lớn nhất của nó, a là một iđêan lũy linh của g và ρ là một biểu diễn hữu hạn chiều của a sao cho mọi phần tử của ρ(a) đều lũy linh. Khi… ↩ 1 0A1I
Định lý 2 Mọi đại số Lie đều có một biểu diễn tuyến tính trung thành hữu hạn chiều. ↩ 2 0A1J
Định lý 3 (Ado) Cho g là một đại số Lie và n là iđêan lũy linh lớn nhất của nó. Tồn tại một biểu diễn trung thành hữu hạn chiều φ của g sao cho mọi phần tử của φ(n) đều lũy linh. 0A1K

II. Đại số Lie tự do

§ 1. Đối đại số bao của một đại số Lie

Định nghĩa 1 Một phần tử x của E được gọi là u-nguyên thủy nếu ↩ 1 0A1Q
Mệnh đề 1 Mọi phần tử u-nguyên thủy của E đều thuộc E⁺. (2) kéo theo x = ε(x).u + ε(u).x = ε(x).u + x, do đó ε(x) = 0. ↩ 2 0A1R
Nhận xét Nếu x ∈ E và c(x) = x' ⊗ u + u ⊗ x'', trong đó x', x'' thuộc E⁺, thì x = ε(x').u + ε(u).x'' = x''; tương tự, x = x' và x là u-nguyên thủy. 0A1S
Mệnh đề 2 Ta có ↩ 2 0A1T
Mệnh đề 3 Nếu đối đại số (E, c) là đối kết hợp (resp. đối giao hoán) (Đại số, Chương III, § 11, no. 2), thì đối đại số (E⁺, cᵤ⁺) cũng vậy. ↩ 1 0A1U
Bổ đề 1 Cho π : E → E' là một cấu xạ cogebras toàn ánh. Nếu E là đối kết hợp (resp. đối giao hoán), thì E' cũng vậy. 0A1V
Mệnh đề 4 Tập hợp P(E) các phần tử nguyên thủy của E là một đại số con Lie của E. ↩ 2 0A1W
Mệnh đề 5 Cho f : E → E' là một cấu xạ của bigèbre. Nếu x là một phần tử nguyên thủy của E, thì f(x) là một phần tử nguyên thủy của E' và hạn chế của f trên P(E) là một đồng cấu đại số Lie P… 0A1X
Nhận xét (1) Cho p là một số nguyên tố sao cho p · 1 = 0 trong K. Công thức nhị thức và các đồng dư thức binompi ≡ 0 pmodp với 1 ≤ i ≤ p - 1 kéo theo rằng 0A1Y
Định nghĩa 2 Cho E là một song đại số có đồng tích c. Một bộ lọc tương thích với cấu trúc song đại số trên E là một dãy tăng (Eₙ)_n ≥ 0 các môđun con của E sao cho ↩ 1 0A1Z
Ví dụ Cho E là một song đại số phân bậc (Đại số, Chương III, § 11, no. 4, Định nghĩa 3) và (Eⁿ)_n ≥ 0 là phân bậc của nó. Ta đặt Eₙ = ∑ᵢ₌₀ⁿ Eⁱ. Dãy (Eₙ) là một bộ lọc tương thích với cấu… 0A20
Mệnh đề 6 Cho E là một song đại số được lọc và (Eₙ)_n ≥ 0 là bộ lọc của nó. Với mọi số nguyên n ≥ 0, đặt Eₙ⁺ = Eₙ ∩ E⁺. Khi đó E₀⁺ = 0 và ↩ 2 0A21
Hệ quả Các phần tử của E₁⁺ là nguyên thủy. Nếu x ∈ E₁⁺, thì c⁺(x) = 0 theo (7), do đó có (5). ↩ 1 0A22
Mệnh đề 7 Trên đại số U tồn tại duy nhất một đồng tích c biến U thành một song đại số sao cho các phần tử của σ(g) là nguyên thủy. Song đại số (U, c) là đối giao hoán; đồng đơn vị của nó là… 0A23
Định nghĩa 3 Song đại số (U, c) được gọi là song đại số bao của đại số Lie g. 0A24
Mệnh đề 8 Cho E là một song đại số với đồng tích ký hiệu bởi cE và h là một đồng cấu đại số Lie của g vào P(E) (no. 2, Mệnh đề 4). Đồng cấu đại số có đơn vị f : U → E sao cho f(σ(x)) = h(x)… ↩ 2 0A25
Hệ quả Cho gi (i = 1, 2) là một đại số Lie, U(gi) là song đại số bao của nó và σi : gi → U(gi) là ánh xạ chính tắc. Với mọi đồng cấu đại số Lie h : g1 → g2, đồng cấu đại số có đơn vị U(h)… 0A26
Mệnh đề 9 Với mọi số nguyên n ≥ 0, đặt Uⁿ là không gian con vectơ của U sinh bởi các σ(x)ⁿ với x ∈ 𝔤. 0A27
Hệ quả Ánh xạ chính tắc σ xác định một đẳng cấu của 𝔤 lên đại số Lie P(U) của các phần tử nguyên thủy của U. ↩ 2 0A28
Nhận xét (1) Uₙ = ∑ᵢ₌₀ⁿ Uⁱ (Chương I, § 2, no. 7, Hệ quả 4 của Định lý 1). 0A29
Mệnh đề 10 Ánh xạ λ ↦ f_λ là một đẳng cấu của đại số U' lên đại số các chuỗi lũy thừa hình thức K[[Xᵢ]]_i ∈ I. ↩ 2 0A2A
Định lý 1 Cho E là một đại số kép đối giao hoán. (a) Cấu xạ đại số kép f_E : U(P(E)) → E là đơn ánh. (b) Nếu trên E tồn tại một bộ lọc tương thích với cấu trúc đại số kép của nó (no. 3, Định… ↩ 4 0A2B
Bổ đề 2 Cho V là một không gian vectơ, E là một đối đại số và f : S(V) → E là một cấu xạ đối đại số. Nếu hạn chế của f lên S⁰(V) + S¹(V) là đơn ánh, thì f là đơn ánh. Cho n ≥ 0; đặt Sₙ = ∑… ↩ 1 0A2C
Bổ đề 3 Nếu một họ các vô hướng (λ_α, β) có giá hữu hạn (với α, β thuộc N^(Ω) - 0) thỏa mãn các hệ thức (20) và (21), thì tồn tại một họ (μ_α)_|α| ≥ 2 có giá hữu hạn sao cho μ_α + β = λ_α… 0A2D

§ 2. Đại số Lie tự do

Định nghĩa 1 Đại số Lie tự do trên tập hợp X là đại số thương L(X) = Lib(X)/a, trong đó a là iđêan hai phía của Lib(X) sinh bởi các phần tử có một trong các dạng (1) Q(a) = a.a cho a trong Lib(… ↩ 1 0A2Q
Mệnh đề 1 Cho ψ là ánh xạ chính tắc của Lib(X) lên L(X) và φ là hạn chế của ψ trên X. Với mọi ánh xạ f từ X vào một đại số Lie g, tồn tại duy nhất một đồng cấu F: L(X) → g sao cho f = F ∘ φ. ↩ 7 0A2R
Hệ quả 1 Họ (φ(x))_x ∈ X là tự do trên K trong L(X). ↩ 3 0A2S
Hệ quả 2 Cho a là một đại số Lie. Mọi mở rộng của L(X) bởi a đều không cốt yếu. ↩ 1 0A2T
Nhận xét Khi X rỗng, M(X) rỗng và do đó L(X) = 0. Nếu X gồm một phần tử duy nhất x, môđun con K.x của L(X) là một đại số con Lie của 0A2U
Mệnh đề 2 Cho X và Y là hai tập hợp. Mọi ánh xạ u : X → Y có thể được mở rộng duy nhất thành một đồng cấu đại số Lie L(u) : L(X) → L(Y). Với mọi ánh xạ v : Y → Z, L(v ∘ u) = L(v) ∘ L(u). ↩ 1 0A2V
Hệ quả Nếu u là đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh), thì L(u) cũng vậy. 0A2W
Mệnh đề 3 Cho K' là một vành giao hoán khác không và u : K → K' là một đồng cấu vành. Với mọi tập hợp X tồn tại duy nhất một đồng cấu đại số Lie K' ↩ 1 0A2X
Nhận xét Cho 𝔥' là một đại số Lie trên K' và 𝔥 là đại số Lie trên K dẫn xuất từ 𝔥' bằng cách hạn chế vành các vô hướng. Nếu P ∈ L_K(X), ta có thể định nghĩa tildeP : 𝔥^X → 𝔥 (no. 4). Ta thấ… 0A2Y
Bổ đề 1 Iđêan a của Định nghĩa 1 là phân bậc. Với a, b trong Lib(X), đặt B(a, b) = a.b + b.a. Các công thức (10) B(a, b) = Q(a + b) - Q(a) - Q(b) (11) Q(λ₁.w₁ + ⋯ + λₙ.wₙ) = ∑ᵢ λᵢ² Q(wᵢ) +… 0A2Z
Mệnh đề 4 Cho S là một tập con của X. Nếu N^(S) được đồng nhất với ảnh chính tắc của nó trong N^(X) (Đại số, Chương I, § 7, no. 7), thì L(S) = ∑_α ∈ N^(S) L^α(X). Hơn nữa, với mọi α ∈ N^(S)… ↩ 3 0A30
Hệ quả Với mọi họ (Sᵢ)_i ∈ I các tập con của X, L(⋂_i ∈ I Sᵢ) = ⋂_i ∈ I L(Sᵢ). Điều này suy ra từ Mệnh đề 4 và công thức hiển nhiên N^(S) = ⋂_i ∈ I N^(Sᵢ) trong đó ta đã viết S = ⋂_i ∈ I… 0A31
Mệnh đề 5 Cho g là một đại số Lie và P là một môđun con của g. Ta định nghĩa các môđun con Pₙ của g bởi các công thức P₁ = P và Pₙ₊₁ = [P, Pₙ] với n ≥ 1. Khi đó [Pₘ, Pₙ] ⊂ Pₘ₊ₙ, Pₙ = ∑ₚ₌₁ⁿ⁻¹… ↩ 1 0A32
Mệnh đề 6 Cho g là một đại số Lie và (Cⁿ g)_n ≥ 1 là chuỗi trung tâm dưới của g. Khi đó [Cᵐ g, Cⁿ g] ⊂ Cᵐ⁺ⁿ g với m ≥ 1 và n ≥ 1. 0A33
Mệnh đề 7 Cho X là một tập hợp và n là một số nguyên ≥ 1. (a) Lⁿ⁺¹(X) = [L¹(X), Lⁿ(X)]. (b) Môđun Lⁿ(X) được sinh bởi các phần tử [x₁, [x₂, …, [xₙ₋₁, xₙ] …]] trong đó (x₁, …, xₙ) chạy qua tậ… ↩ 2 0A34
Hệ quả Cho g là một đại số Lie và (xᵢ)_i ∈ I là một họ sinh của g. Số hạng thứ n Cⁿ g của chuỗi tâm dưới của g là môđun sinh bởi các ngoặc lồng nhau [x_i₁, [x_i₂, …, [x_iₚ₋₁, x_iₚ] …]] vớ… 0A35
Mệnh đề 8 Cho X là một tập hợp, M là một L(X)-môđun và d là một ánh xạ từ X vào M. Tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính D từ L(X) vào M mở rộng d và thỏa mãn quan hệ: D([a, a']) = a.D(a')… 0A36
Hệ quả Mọi ánh xạ của X vào L(X) đều mở rộng duy nhất thành một đạo hàm của L(X). ↩ 1 0A37
Mệnh đề 9 Cho S₁ và S₂ là hai tập hợp rời nhau và d là một ánh xạ của S₁ × S₂ vào L(S₂). Cho g là đại số Lie thương của L(S₁ ∪ S₂) theo iđêan sinh bởi các phần tử [s₁, s₂] - d(s₁, s₂) với s₁… ↩ 1 0A38
Mệnh đề 10 (định lý khử) Cho X là một tập hợp, S là một tập con của X và T là tập hợp các dãy (s₁, …, sₙ, x) với n ≥ 0, s₁, …, sₙ thuộc S và x thuộc X - S.† ↩ 1 0A39
Hệ quả Cho y ∈ X. Đại số Lie tự do L(X) là tổng trực tiếp của môđun con tự do K.y và đại số con Lie có họ cơ sở là họ của ((ad\ y)ⁿ, z) với n geqslant 0 và z ∈ X - y. ↩ 2 0A3A
Định nghĩa 2 Một tập Hall tương đối với X là bất kỳ tập con được sắp thứ tự toàn phần H của M(X) thỏa mãn các điều kiện sau: (A) Nếu u ∈ H, v ∈ H và l(u) < l(v), thì u < v. (B) X ⊂ H và H ∩ M²(… ↩ 3 0A3B
Mệnh đề 11 Có tồn tại một tập Hall tương đối với X. ↩ 2 0A3C
Mệnh đề 12 Cho H là một tập hợp Hall tương đối với X và cho x, y thuộc X. (a) H ∩ M(x) = x. (b) Giả sử rằng x < y và cho d_y là đồng cấu từ M(X) vào N sao cho d_y(y) = 1 và d_y(z) = 0 với z ∈… ↩ 2 0A3D
Hệ quả Nếu Card X ≥ 2, thì H ∩ Mⁿ(X) ≠ ∅ với mọi số nguyên n ≥ 1. ↩ 1 0A3E
Mệnh đề 13 Cho X là một tập hợp hữu hạn có ít nhất hai phần tử. Gọi H là một tập Hall tương đối với X. Khi đó tồn tại một song ánh tăng ngặt p ↦ wₚ của N lên H và một dãy (Pₚ)_p ∈ N các tập c… ↩ 2 0A3F
Ví dụ Giả sử rằng X có hai phần tử x, y; sắp thứ tự trên X sao cho x < y. Phép dựng được cho trong chứng minh của Mệnh đề 11 cho một tập hợp H gồm 14 phần tử có độ dài ≤ 5 được cho trong… 0A3G
Định lý 1 Cho H là một tập Hall đối với X và Ψ ánh xạ chính tắc từ M(X) vào đại số Lie tự do L(X). Hạn chế của Ψ lên H là một cơ sở của môđun L(X). ↩ 4 0A3H
Bổ đề 2 Với mỗi số nguyên p ≥ 0, môđun Lₚ nhận họ (barwᵢ)_0 ≤ i < p làm cơ sở, đại số Lie gₚ nhận (baru)_u ∈ Pₚ làm họ cơ sở và môđun L(X) là tổng trực tiếp của Lₚ và gₚ. 0A3I
Hệ quả Môđun L(X) là tự do và mỗi môđun con L^α(X) với α ∈ N^(X) và Lⁿ(X) với n ∈ N cũng vậy. Các môđun L^α(X) đều có hạng hữu hạn và các môđun Lⁿ(X) cũng có hạng hữu hạn nếu X là hữu hạn… ↩ 2 0A3J
Định nghĩa 3 Một cơ sở Hall của một đại số Lie tự do L(X) là mọi cơ sở của L(X) mà là ảnh chính tắc của một Hall tập hợp đối với X. 0A3K
Nhận xét Giả sử rằng X gồm hai phần tử phân biệt x và y và ký hiệu L^(·,1) là môđun con của L(X) bằng tổng của các L^α(X) với α ∈ N^X và α(y)=1. Suy ra ngay lập tức từ Định lý 1 và Mệnh đề… 0A3L

§ 3. Đại số bao của đại số Lie tự do

Định lý 1 Cho α : L(X) → A(X) là đồng cấu đại số Lie duy nhất kéo dài đơn ánh chính tắc của X vào A(X) (§ 2, no. 2, Mệnh đề 1). Cho σ : L(X) → U(L(X)) là ánh xạ chính tắc của L(X) vào đại số… ↩ 4 0A42
Hệ quả 1 Tồn tại trên đại số A(X) một đồng tích duy nhất biến A(X) thành một đại số kép sao cho các phần tử của X là nguyên thủy. Hơn nữa, β là một đẳng cấu từ đại số kép U(L(X)) lên A(X) đ… ↩ 2 0A43
Hệ quả 2 Nếu K là một trường có đặc số 0, thì L(X) là đại số Lie của các phần tử nguyên thủy của A(X). ↩ 2 0A44
Nhận xét (1) Cho K' là một vành giao hoán chứa K. Nếu A(X), L(X) và L_K'(X) được đồng nhất với các tập con của A_K'(X), thì từ phần (a) của Định lý 1 ta suy ra quan hệ 0A45
Mệnh đề 1 (a) Hạn chế π₀ của π lên L(X) là một đạo hàm của L(X). (b) Với mọi số nguyên n ≥ 1 và mọi u trong Lⁿ(X), π(u) = n.u. ↩ 1 0A46
Hệ quả Giả sử K là một Q-đại số. Cho P là ánh xạ tuyến tính của A⁺(X) vào chính nó sao cho ↩ 1 0A47
Nhận xét Giả sử rằng K là một trường có đặc số không và gọi Q là phép chiếu của A(X) = U(L(X)) lên L(X) liên kết với phân bậc chính tắc của U(L(X)), xem § 1, no. 5. Với α ∈ N^(X), Q(A^α(X))… 0A48
Bổ đề 1 Cho n là một số nguyên 0, T₁, …, Tₙ là các bất định và u₁, …, uₙ là các phần tử của Z. Cho (c(α))_α ∈ Nⁿ - 0 là một họ các phần tử của Z sao cho ↩ 1 0A49
Định lý 2 Cho X là một tập hợp hữu hạn và n = Card(X). ↩ 1 0A4A
Ví dụ Ta có beginalign* c(1) &= n, & c(2) &= 1/2(n² - n), & c(3) &= 1/3(n³ - n), \\ c(4) &= 1/4(n⁴ - n²), & c(5) &= 1/5(n⁵ - n), & c(6) &= 1/6(n⁶ - n³ - n² + n). endalign 0A4B
Nhận xét Cho X là một tập hợp và cho α ∈ N^(X); hạng của K-môđun tự do L^α(X) cũng được cho bởi công thức (16). Điều này suy ra ngay lập tức từ Định lý 2 (b) và Mệnh đề 4 của § 2, no. 6. 0A4C

§ 4. Lọc trung tâm

Định nghĩa 1 Cho G là một nhóm. Một lọc thực trên G là một họ (G_α)_α ∈ R của các nhóm con của G sao cho G_α = ⋂_β < α G_β với mọi α ∈ R. 0A4H
Nhận xét Cho (Gₙ)_n ∈ Z là một dãy giảm các nhóm con của G. Nó là một lọc giảm theo nghĩa của Đại số giao hoán, Chương III, § 2, no. 1, Định nghĩa 1. Với mỗi số nguyên n và mọi α trong khoả… 0A4I
Nhận xét Nếu v(x) không đồng nhất bằng +∞, các điều kiện (7) và (8) kéo theo v(1) = 0. 0A4J
Nhận xét Khi lọc (G_α) là nguyên, gr_α(G) = 0 đối với α không nguyên và grₙ(G) = Gₙ / Gₙ₋₁ đối với mọi số nguyên n. Định nghĩa của nhóm phân bậc liên kết do đó về cơ bản trùng với định nghĩ… 0A4K
Định nghĩa 2 Cho G là một nhóm. Một lọc thực (G_α) trên G được gọi là trung tâm nếu G = ⋃_α > 0 G_α và giao hoán tử (x, y) = x⁻¹y⁻¹xy của một phần tử x của G_α và một phần tử y của G_β thuộc về… ↩ 1 0A4L
Mệnh đề 1 (i) Cho α, β thuộc R. Tồn tại một ánh xạ song cộng φ_α β : gr_α(G) × gr_β(G) → gr_α + β(G) 0A4M
Mệnh đề 2 Tập hợp Γ là một nhóm con của A^* và (Γ_α) là một lọc trung tâm trên Γ. ↩ 2 0A4N
Nhận xét Cho α ≥ 0, β ≥ 0 và x ∈ Γ_α, y ∈ Γ_β. Theo các công thức (21), (22) và (23), (24) x⁻¹ - 1 ≡ -(x - 1) pmodA_2α (25) xy - 1 ≡ (x - 1) + (y - 1) pmodA_α + β (26) (x, y) - 1 ≡ [(x - 1)… 0A4O
Mệnh đề 3 (i) Với mọi α ∈ R, tồn tại một đồng cấu nhóm duy nhất g_α : gr_α(G) → gr_α(A) biến lớp modulo G_α⁺ của một phần tử a ∈ G_α thành lớp modulo A_α⁺ của ρ(a) - 1. ↩ 2 0A4P
Mệnh đề 4 (i) Chuỗi trung tâm dưới của G là một lọc trung tâm nguyên trên G. ↩ 1 0A4Q
Mệnh đề 5 Cho G là một nhóm và gr(G) là đại số Lie phân bậc Z liên kết với lọc trung tâm dưới trên G. Khi đó gr(G) được sinh bởi gr₁(G) = G/(G, G). ↩ 2 0A4R
Nhận xét Cho k là một vành, n là một số nguyên > 0 và A là tập hợp các ma trận tam giác dưới với n hàng và n cột và các phần tử trong k. Với p ≥ 0, cho Aₚ là tập hợp các (xᵢⱼ) ∈ A sao cho x… 0A4S

§ 5. Đại số magnus

Mệnh đề 1 Cho B là một đại số kết hợp có đơn vị với một lọc thực (B_α)_α ∈ R sao cho B là Hausdorff và đầy đủ (§ 4, số 1 và 2). Cho f là một ánh xạ của X vào B sao cho tồn tại λ > 0 mà f(X)… ↩ 4 0A5B
Bổ đề 1 Để một phần tử a của hatA(X) là khả nghịch, điều kiện cần và đủ là số hạng hằng của nó khả nghịch trong K. 0A5C
Định lý 1 Cho r là một ánh xạ từ X vào hatA(X) sao cho ω(r(x)) ≥ 2 với mọi x ∈ X. Đồng cấu duy nhất g của nhóm tự do F(X) vào nhóm Magnus Γ(X) sao cho g(x) = 1 + x + r(x) với mọi x ∈ X là đơ… ↩ 3 0A5D
Bổ đề 2 Cho n là một số nguyên hữu tỉ khác không. Trong vành các chuỗi lũy thừa hình thức K[[t]] ta viết (1+t)ⁿ = ∑_j ≥ 0 c_j,n tʲ. Tồn tại một số nguyên j ≥ 1 sao cho c_j,n ≠ 0. ↩ 1 0A5E
Bổ đề 3 Cho x₁, …, xₛ là các phần tử của X sao cho s ≥ 1 và xᵢ ≠ xᵢ₊₁ với 1 ≤ i ≤ s-1; và cho n₁, …, nₛ là các số nguyên hữu tỉ khác không. Khi đó phần tử ∏ᵢ₌₁ˢ (1+xᵢ)^nᵢ của hatA(X) là ≠… 0A5F
Bổ đề 4 Cho σ là tự đồng cấu liên tục của hatA(X) sao cho σ(x) = x + r(x) với mọi x ∈ X (no. 1, Mệnh đề 1). Khi đó σ là một tự đẳng cấu và σ(hatAₘ(X)) = hatAₘ(X) với mọi m ∈ N. ↩ 1 0A5G
Định lý 2 Giả sử rằng trong vành K quan hệ n.1 = 0 kéo theo n = 0 với mọi số nguyên n. Gọi r là một ánh xạ từ X vào hatA(X) sao cho ω(r(x)) ≥ 2 với x ∈ X và gọi g là đồng cấu từ F(X) vào nhó… ↩ 3 0A5H
Định lý 3 Với mọi x ∈ X, gọi c(x) là ảnh chính tắc của x trong F(X)/(F(X), F(X)). Gọi g là đại số Lie phân bậc trên Z liên kết với bộ lọc (Cⁿ F(X))_n ≥ 1 của F(X) (§ 4, no. 6). Đồng cấu duy… ↩ 1 0A5I
Hệ quả ⋂_n geqslant 1 Cⁿ F(X) = e. 0A5J
Nhận xét Cho H là một tập Hall đối với X (§ 2, no. 10). Cho M là magma được xác định bởi luật hợp thành (x, y) \mapsto (x, y) = x^{-1}y^{-1}xy trên F(X) và cho φ là đồng cấu từ M(X) vào M m… 0A5K
Ví dụ Giả sử rằng X là một tập hợp có hai phần tử x, y và cho H1 = \{x, y\}, H2 = \{xy\}. Do đó mọi phần tử w của F(X) đều có thể viết được w ≡ xᵃ yᵇ (x, y)ᶜ mod. C³ với a, b, c trong Z… 0A5L
Mệnh đề 2 Giả sử rằng X là hữu hạn. Với mọi số nguyên n \geqslant 1, nhóm F(X)/Fn^{(p)}(X) là một p-nhóm hữu hạn có lớp lũy linh \leqslant n. ↩ 1 0A5M
Mệnh đề 3 Với mọi w ≠ 1 trong F(X), tồn tại một p-nhóm hữu hạn G và một đồng cấu f của F(X) vào G sao cho f(w) ≠ 1. ↩ 1 0A5N
Hệ quả Giao của các nhóm con chuẩn có chỉ số hữu hạn trong F(X) là 1. 0A5O

§ 6. Chuỗi Hausdorff

Mệnh đề 1 Ánh xạ mũ là một đồng phôi từ m lên 1 + m và ánh xạ logarit là đồng phôi nghịch đảo. ↩ 2 0A61
Nhận xét (1) Nếu x ∈ m, y ∈ m và x và y giao hoán với nhau, thì ↩ 1 0A62
Định lý 1 Hạn chế của ánh xạ mũ của hatA(X) lên hatL(X) là một song ánh từ hatL(X) lên một nhóm con đóng của nhóm Magnus Γ(X). 0A63
Nhận xét Chứng minh trên cho thấy exp(hatL) là nhóm con Δ của Γ gồm các b thỏa mãn (4). 0A64
Bổ đề 1 Cho 𝔤 là một đại số Lie được lọc (§ 4, no. 1), (𝔤_α)_α ∈ R là lọc của nó và cho α ∈ R. Cho P là một đa thức Lie thuần nhất bậc n theo các bất định (Γᵢ)_i ∈ I (§ 2, no. 4). Khi đó P… ↩ 1 0A65
Mệnh đề 2 Đồng cấu fₜ : L(I) → g sao cho fₜ(Tᵢ) = tᵢ (§ 2, no. 4) có thể được mở rộng bằng tính liên tục thành một và chỉ một đồng cấu liên tục hatfₜ từ hatL(I) vào g. ↩ 1 0A66
Định nghĩa 1 Phần tử H = U circledast V = log(exp U · exp V) (no. 2) của đại số Lie hatL_Q(U, V) được gọi là chuỗi Hausdorff theo các bất định U và V. ↩ 4 0A67
Định lý 2 Nếu r và s là hai số nguyên dương sao cho r + s ≥ 1, thì H_r,s = H'_r,s + H''_r,s, trong đó 0A68
Nhận xét (1) Ta đã định nghĩa (§ 3, no. 2, Nhận xét) một phép chiếu Q của A(X) lên L(X) sao cho Q(aᵐ) = 0 với a ∈ L(X) và m geqslant 2 và Q(1) = 0. Khi đó H = Q(exp H) = Q(exp U.exp V), do… 0A69
Mệnh đề 3 Nếu a ∈ m, b ∈ m, thì exp H(a, b) = exp a . exp b. ↩ 4 0A6A
Nhận xét 1 Nếu a và b giao hoán, thì H_r,s(a, b) = 0 với r + s ≥ 2, vì mọi đa thức Lie thuần nhất bậc ≥ 2 đều bằng không tại (a, b). Khi đó H(a, b) = a + b và Mệnh đề 3 cho lại công thức exp(… 0A6B
Mệnh đề 4 Cho g là một đại số Lie lọc Hausdorff đầy đủ sao cho g = ⋃_α > 0 g_α. Ánh xạ (a, b) ↦ H(a, b) là một luật nhóm trên g tương thích với tôpô trên g, đối với nó 0 là phần tử đơn vị và… ↩ 3 0A6C
Nhận xét (2) Lấy g là đại số Lie hatL(X). Luật nhóm đưa vào trong mệnh đề trên trùng với luật được xác định ở no. 2. Nói cách khác, a mathbinh b = H(a, b) với a, b trong hatL(X); do đó luật… ↩ 1 0A6D
Mệnh đề 5 Cho K_r,s là thành phần của H(U + V, -U) có đa bậc (r, s). Khi đó K_n,1(U, V) = 1/((n+1)!) (ad U)ⁿ(V) với n ≥ 0. ↩ 2 0A6E

§ 7. Sự hội tụ của chuỗi Hausdorff (trường hợp thực hoặc phức)

Bổ đề 1 | tildeH_r,s | ≤ M^r+s-1 η_r,s. Cho rᵢ, sᵢ thuộc N với 1 ≤ i ≤ m, và sₘ = 1; đặt r = ∑ᵢ rᵢ, s = ∑ᵢ sᵢ và xét phần tử sau của L(U, V): Z = ( ( ∑ᵢ₌₁ᵐ⁻¹ (ad\ U)^rᵢ (ad\ V)^sᵢ ) (ad\ U… ↩ 1 0A6L
Mệnh đề 1 Chuỗi lũy thừa hình thức tildeH là một chuỗi hội tụ (Differentiable and Analytic Manifolds, R, 3.1.1); miền hội tụ tuyệt đối của nó (Differentiable and Analytic Manifolds, R, 3.1.4… ↩ 2 0A6M
Mệnh đề 2 Đặt 0A6N
Mệnh đề 3 Với |x| + |y| < 1/2 log 2, (23) exp_A x · exp_A y = exp_A h(x, y). Từ (18) và quan hệ eᵘ eᵛ = eᵘ⁺ᵛ suy ra rằng m ∘ (1 + tildee, 1 + tildee) = (1 + tildee) ∘ tildeH trong hatP(A × A… 0A6O

§ 8. Sự hội tụ của chuỗi Hausdorff (trường hợp ultrametric)

Bổ đề 1 Cho n là một số nguyên geqslant 0 và cho n = n₀ + n₁ p + ⋯ + nₖ pᵏ, với 0 leqslant nᵢ leqslant p - 1, là khai triển p-adic của n. Đặt S(n) = n₀ + n₁ + ⋯ + nₖ. Khi đó vₚ(n!) = (n -… ↩ 2 0A6Q
Bổ đề 2 v(n) leqslant v(n!) leqslant (n - 1)θ và v(n) leqslant (log n)/(log p) với mọi số nguyên n geqslant 1. v(n!) = vₚ(n!) = (n - S(n))θ leqslant (n - 1)θ theo Bổ đề 1. Mặt khác, n geqs… ↩ 3 0A6R
Mệnh đề 1 Nếu r và s là hai số nguyên geqslant 0. Nếu H_r,s = ∑_b ∈ B λ_b e_b, trong đó λ_b ∈ Q, là phân tích của H theo cơ sở (e_b)_b ∈ B, thì vₚ(λ_b) geqslant -(r + s - 1)θ với mọi b ∈ B… ↩ 3 0A6S
Định nghĩa 1 Một đại số Lie có chuẩn trên K là một đại số Lie được trang bị một chuẩn sao cho |x + y| ≤ sup(|x|, |y|) |[x, y]| ≤ |x| · |y| với mọi x, y trong g. 0A6T
Bổ đề 3 | tildeH_r,s | ≤ a^-(r+s-1)θ. ↩ 2 0A6U
Mệnh đề 2 Chuỗi lũy thừa hình thức tildeH là một chuỗi hội tụ (Đa tạp Khả vi và Giải tích, R, 4.1.1). Nếu G là quả cầu x ∈ g | | x | < a^θ , thì miền hội tụ tuyệt đối của tildeH (Đa tạp Khả… ↩ 3 0A6V
Mệnh đề 3 Cho G là quả cầu x ∈ g | | x | < a^θ . Ánh xạ giải tích h : G × G → G biến G thành một nhóm, trong đó 0 là phần tử đơn vị và -x là nghịch đảo của x với mọi x ∈ G. Hơn nữa, nếu R là… ↩ 1 0A6W
Mệnh đề 4 Cho R là một số thực sao cho 0 < R ≤ a^θ. Ánh xạ exp_A xác định một đẳng cấu giải tích từ G_R lên 1 + G_R và đẳng cấu nghịch đảo là hạn chế của log_A trên 1 + G_R. 0A6X
Mệnh đề 5 Với x, y trong G, exp_A · exp_A y = exp_A h(x, y). e^U eⱽ = e^H(U, V) và do đó m ∘ (1 + tildeε, 1 + tildeε) = (1 + tildeε) ∘ tildeH trong tildeH(A × A; A) (ở đây m ký hiệu phép nhâ… 0A6Y

App. 0. Möbius function

Mệnh đề (i) Hàm μ là ánh xạ duy nhất từ N^* vào Z sao cho μ(1) = 1 và ∑_d|n μ(d) = 0 đối với mọi số nguyên n > 1. 0A73

III. Nhóm Lie

§ 1. Nhóm Lie

Định nghĩa 1 Một nhóm Lie trên K là một tập hợp G cùng với một cấu trúc nhóm và một cấu trúc đa tạp K giải tích sao cho hai cấu trúc này tương thích. 0A76
Bổ đề 1 Cho G là một nhóm Lie, U là một lân cận mở của e, E là một không gian định chuẩn đầy đủ và φ : U → E là một bản đồ của đa tạp G. Tồn tại một lân cận W của e được chứa trong U sao c… ↩ 1 0A77
Mệnh đề 1 Một nhóm Lie là một nhóm tôpô đầy đủ mêtric hóa được. ↩ 2 0A78
Mệnh đề 2 Cho G là một nhóm Lie. (i) Nếu K = R hoặc C, G là liên thông địa phương. (ii) Nếu K phân biệt với R và C, G là chiều không (General Topology, Chương IX, § 6, Định nghĩa 5). (iii) G… 0A79
Hệ quả Nếu K = R hoặc C và G liên thông và hữu hạn chiều, thì G liên thông địa phương và compact địa phương và tôpô của nó thừa nhận một cơ sở đếm được. 0A7A
Bổ đề 2 Cho X là một đa tạp thuộc lớp C^r, e là một điểm của X, U và V là các lân cận mở của e và m là một ánh xạ thuộc lớp C^r từ U × U vào X thỏa mãn các điều kiện sau: (a) m(e, x) = m(x… ↩ 1 0A7B
Mệnh đề 3 Cho X là một đa tạp giải tích và m là một luật hợp thành kết hợp giải tích trên X thừa nhận một phần tử đơn vị. Tập hợp G các phần tử khả nghịch của X là mở trong X và G là một nhó… 0A7C
Định nghĩa 2 Cho G và H là các nhóm Lie. Một cấu xạ nhóm Lie từ G vào H (hoặc đơn giản là một cấu xạ từ G vào H nếu không thể có nhầm lẫn) là một ánh xạ từ G vào H là một đồng cấu nhóm và là gi… 0A7D
Ví dụ (1) Cho G là một nhóm Lie. Với mọi x ∈ G, Int(x) là một tự đẳng cấu của nhóm Lie G. 0A7E
Mệnh đề 4 Cho G và H là các nhóm Lie và f là một đồng cấu của nhóm G vào nhóm H. Để f là giải tích, điều kiện cần và đủ là tồn tại một tập con mở khác rỗng U của G sao cho f|_U là giải tích. ↩ 1 0A7F
Nhận xét Nếu f là một phép nhúng tại e (tương ứng, một phép toàn ánh dưới tại e), thì rõ ràng f là một phép nhúng (tương ứng, một phép toàn ánh dưới). 0A7G
Định nghĩa 3 Cho G là một nhóm Lie. Một tập con H của G được gọi là một nhóm con Lie nếu H là một nhóm con và là một đa tạp con của G. ↩ 1 0A7H
Mệnh đề 5 Cho G là một nhóm Lie và H là một nhóm con Lie của G. (i) H là đóng trong G. (ii) Đơn ánh chính tắc của H vào G là một cấu xạ nhóm Lie. (iii) Cho L là một nhóm Lie và f là một ánh… ↩ 1 0A7I
Mệnh đề 6 Cho G là một nhóm Lie và H là một nhóm con của G. Để H là một nhóm con Lie của G, điều kiện cần và đủ là tồn tại một điểm h ∈ H và một lân cận mở U của h trong G sao cho H ∩ U là m… ↩ 3 0A7J
Nhận xét Nếu thay thế "đa tạp con" bằng "đa tạp con giả" trong Định nghĩa 3, ta thu được định nghĩa của các nhóm con giả Lie của G. (Đối với G hữu hạn chiều, các nhóm con giả Lie chỉ là các… 0A7K
Mệnh đề 7 Nếu ánh xạ (m, l) ↦ σ(l)m của M × L vào M là giải tích, nhóm S, với cấu trúc đa tạp tích của M và L, là một nhóm Lie. 0A7L
Ví dụ Cho E là một không gian chuẩn hóa được, G = GL(E), T là nhóm chuyển của E và A là nhóm hoán vị của E sinh bởi G và T. Nhóm A về mặt đại số là tích nửa trực tiếp của G bởi T. (Nếu E… ↩ 1 0A7M
Mệnh đề 8 Cho G và H là các nhóm Lie, p: G → H và s: H → G là các đồng cấu nhóm Lie sao cho p ∘ s = id_H và N = Ker\ p. Khi đó N là một nhóm con Lie của G, s là một đẳng cấu của H lên một nh… ↩ 2 0A7N
Mệnh đề 9 Cho x ∈ X và g₀ ∈ G. ↩ 3 0A7O
Hệ quả Cho x ∈ X. Nếu K có đặc số 0 và X hữu hạn chiều, thì ρ(x) là một phép bán nhúng. Nếu hơn nữa ρ(x) là đơn ánh, thì ρ(x) là một phép nhúng. ↩ 1 0A7P
Mệnh đề 10 Cho G là một nhóm Lie và X là một đa tạp lớp Cʳ có một luật tác động trái lớp Cʳ của G trên X. Giả sử rằng: ↩ 4 0A7Q
Nhận xét Với các giả thiết trên, giả sử thêm rằng H là một đa tạp lớp Cʳ và (x, h) ↦ m(x, h) là một ánh xạ lớp Cʳ từ X × H vào X sao cho m(gx, h) = gm(x, h) với x ∈ X,\ g ∈ G,\ h ∈ H. Gọi n… 0A7R
Mệnh đề 11 Cho X là một nhóm Lie và G là một nhóm con Lie của X. ↩ 1 0A7S
Mệnh đề 12 Cho X là một nhóm Lie và Y là một đa tạp giải tích khác rỗng với một luật phép toán trái giải tích của X trên Y. Với mọi y ∈ Y, gọi φ(y) là ánh xạ quỹ đạo theo y và X_y là nhóm ổn… 0A7T
Ví dụ Cho G là một nhóm Lie. Ta cho G × G tác động trên G ở bên trái bởi (g₁, g₂)x = g₁xg₂⁻¹. Gọi ρ là ánh xạ quỹ đạo của e. Khi đó các hạn chế của T_(e, e)(ρ) lên T_(e, e)(G × e) = Tₑ(G… 0A7U
Mệnh đề 13 Cho G là một nhóm Lie, H là một nhóm con Lie chuẩn tắc của G, X là một đa tạp lớp Cʳ và (g, x) ↦ gx là một luật tác động trái lớp Cʳ của G trên X. Giả sử rằng các điều kiện (a) và… 0A7V
Hệ quả Cho G là một nhóm Lie và H và L là các nhóm con Lie chuẩn tắc của G với L ⊂ H. Khi đó H/L là một nhóm con Lie chuẩn tắc của G/L và song ánh chính tắc của G/H lên (G/L)/(H/L) là một… 0A7W
Mệnh đề 14 Cho G là một nhóm Lie, X là một đa tạp giải tích và (g, x) ↦ gx là một luật tác động trái giải tích của G trên X. Cho x ∈ X. Giả sử ánh xạ quỹ đạo tương ứng ρ(x) là một phép nhúng… ↩ 6 0A7X
Nhận xét Cho G là một nhóm Lie hữu hạn chiều, X là một đa tạp thuộc lớp C^r và (g, x) ↦ gx là một luật tác động trái thuộc lớp C^r của G trên X. Khi đó Mệnh đề 14 vẫn đúng. Điểm duy nhất cầ… 0A7Y
Hệ quả Cho G là một nhóm Lie có tôpô có một cơ sở đếm được và X là một đa tạp giải tích hữu hạn chiều, khác rỗng, với một luật tác động trái giải tích của G trên X. Giả sử G tác động bắc… 0A7Z
Định nghĩa 4 Nếu ψ là một φ-cấu xạ của các bó vectơ lớp C^r, thì E được gọi là một bó G-vectơ lớp C^r. ↩ 3 0A80
Mệnh đề 15 Nếu E là một bó G-vectơ lớp C^r, thì τE là một bó G-vectơ lớp C^r. ↩ 1 0A81
Mệnh đề 16 Cho G là một nhóm Lie, X là một đa tạp lớp C^r (r ≥ 2) và (g, x) ↦ gx là một luật tác động trái lớp C^r của G trên X, do đó, bằng cách chuyển cấu trúc, tồn tại một luật tác động tr… ↩ 2 0A82
Hệ quả Nếu τ là một hàm tử vectơ lớp C^r đối với các đẳng cấu, thì τ(TX) là một bó G-vectơ lớp Cʳ⁻¹. ↩ 2 0A83
Nhận xét 1 Nếu τ là một hàm tử vectơ lớp C^r đối với các đẳng cấu trong số chiều hữu hạn và E có hạng hữu hạn, thì τE được định nghĩa tương tự và Mệnh đề 15 vẫn đúng; Hệ quả của Mệnh đề 16 vẫ… 0A84
Ví dụ Với các giả thiết và ký hiệu của Mệnh đề 16, cho F là một không gian chuẩn hóa đầy đủ. Khi đó L((TX)ᵖ; F) là một bó G-vectơ lớp Cʳ⁻¹; Alt^p(TX; F) cũng vậy nếu K có đặc số không ho… 0A85
Mệnh đề 17 Cho G là một nhóm Lie, X là một không gian thuần nhất Lie trái của G, x₀ là một điểm của X, G₀ là nhóm ổn định của x₀ trong G, E và E' là các bó G-vectơ trái lớp C^r có không gian… ↩ 2 0A86
Hệ quả 1 Gọi E0^{G0} là tập hợp các phần tử của E0 bất biến dưới G0. Với mọi u ∈ E0^{G0}, gọi σu là ánh xạ từ X vào E được xác định bởi σu(gx0) = gu với mọi g ∈ G. (i) Các tiết diện† bất bi… ↩ 3 0A87
Hệ quả 2 Giả sử rằng G₀ tác dụng tầm thường trên E₀. Gọi E' là G-bó tầm thường có không gian cơ sở X và sợi E₀. Tồn tại một và chỉ một đẳng cấu từ E lên E' tương thích với các phép toán của… ↩ 1 0A88
Nhận xét 2 Trong số này, các luật phép toán trái có thể được thay thế ở khắp nơi bằng các luật phép toán phải. 0A89
Mệnh đề 18 Gọi G là một nhóm và U và V là hai tập con của G chứa e. Giả sử rằng U có một cấu trúc đa tạp giải tích thỏa mãn các điều kiện sau: (i) V = V⁻¹, V² ⊂ U, V mở trong U; (ii) ánh xạ (… ↩ 8 0A8A
Mệnh đề 19 Cho G là một nhóm tôpô, H một nhóm Lie và f một đồng cấu của nhóm G vào nhóm H. Giả sử tồn tại một lân cận mở của eG trong G, một bản đồ (V, \phi, E) của đa tạp H tại eH và một khô… 0A8B
Hệ quả Cho G là một nhóm tôpô, N một nhóm con chuẩn tắc rời rạc của G và \pi là ánh xạ chính tắc của G lên G/N. Giả sử một cấu trúc đa tạp giải tích được cho trên G/N, tương thích với cấu… 0A8C
Nhận xét Cho H là một nhóm Lie thực hoặc phức liên thông, tildeH là phủ phổ quát của nó† và \pi là ánh xạ chính tắc của tildeH lên H. Khi nói về tildeH 0A8D
Định nghĩa 5 Một mầm nhóm Lie trên K là một hệ (G, e, θ, m) thỏa mãn các điều kiện sau: (i) G là một đa tạp giải tích trên K; (ii) e ∈ G; (iii) θ là một ánh xạ giải tích từ G vào G; (iv) m là m… 0A8E
Mệnh đề 20 Cho G là một mầm nhóm Lie và g ∈ G. Tồn tại một lân cận mở U của e và một lân cận mở V của g với các tính chất sau: (a) ug được xác định với mọi u ∈ U; (b) vg⁻¹ được xác định với m… ↩ 1 0A8F
Mệnh đề 21 Cho G, H là hai mầm nhóm Lie và φ là một cấu xạ từ G vào H. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 1 0A8G
Mệnh đề 22 Cho H là một nhóm Lie, U là một mầm nhóm con Lie của H và N là tập hợp các g ∈ H sao cho U và gUg⁻¹ có cùng mầm tại e (Tôpô đại cương, Chương I, § 6, no. 10). Khi đó N là một nhóm… ↩ 2 0A8H
Hệ quả Giữ nguyên ký hiệu của Mệnh đề 22, cho G là nhóm con của H sinh bởi U. Khi đó G là một nhóm con mở của N. Tồn tại duy nhất một cấu trúc nhóm Lie trên G sao cho U là một đa tạp con… ↩ 2 0A8I
Nhận xét Giữ nguyên ký hiệu của Mệnh đề 22 và hệ quả của nó, giả sử rằng K có đặc số 0, rằng H là hữu hạn chiều và rằng tôpô trên U có một cơ sở đếm được. Ngay cả với tất cả các giả thiết n… 0A8J
Định nghĩa 6 Một mảnh luật của phép toán trái thuộc lớp Cʳ của G trên X là một ánh xạ ψ xác định trên một tập con mở Ω của G × X chứa e × X, có giá trị trong X và có các tính chất sau: (i) ψ th… ↩ 1 0A8K
Mệnh đề 23 Cho (G, e, θ, m) là một mầm nhóm Lie, X là một đa tạp lớp Cʳ, x₀ là một điểm của X, Ω là một lân cận mở của (e, x₀) trong G × X và ψ là một ánh xạ từ Ω vào X có các tính chất sau… ↩ 1 0A8L
Bổ đề 3 Cho X là một không gian chuẩn tắc và (Xᵢ)_i ∈ I là một phủ mở hữu hạn địa phương của X. Với mọi (i, j) ∈ I × I và mọi x ∈ Xᵢ ∩ Xⱼ, gọi Vᵢⱼ(x) là một lân cận của x được chứa trong X… ↩ 1 0A8M
Mệnh đề 24 Cho G là một mầm nhóm Lie, X là một đa tạp lớp C^r và (Xi){i \in I} là một phủ mở hữu hạn địa phương của X. Với mọi i \in I, gọi ψᵢ là một mảnh luật của phép toán trái lớp C^r của… ↩ 1 0A8N

§ 2. Nhóm các vectơ tiếp xúc của một nhóm Lie

Mệnh đề 1 Cho X là một đa tạp thuộc lớp C^r và m là một luật hợp thành thuộc lớp C^r trên X. Nếu m là kết hợp (tương ứng giao hoán), thì T(m) là kết hợp (tương ứng giao hoán). ↩ 2 0A8Y
Mệnh đề 2 Cho X là một đa tạp thuộc lớp Cʳ, m là một luật hợp thành thuộc lớp Cʳ trên X và e là một phần tử đơn vị đối với m. ↩ 4 0A8Z
Mệnh đề 3 Cho X₁, X₂, …, Xₚ, Y là các đa tạp thuộc lớp Cʳ, i là một số nguyên của 1, p, mᵢ (tương ứng n) là một luật hợp thành thuộc lớp Cʳ trên Xᵢ (tương ứng Y) và u là một ánh xạ thuộc lớp… ↩ 1 0A90
Mệnh đề 4 Cho G là một nhóm Lie. Khi đó T(G), với luật hợp thành tiếp xúc với phép nhân của G, là một nhóm Lie. Phần tử đơn vị của T(G) là vectơ 0ₑ. 0A91
Mệnh đề 5 Cho G và H là các nhóm Lie và f là một cấu xạ từ G vào H. Khi đó T(f) là một cấu xạ từ nhóm Lie T(G) vào nhóm Lie T(H). 0A92
Hệ quả Cho G₁, …, Gₙ là các nhóm Lie. Đẳng cấu chính tắc của đa tạp T(G₁ × ⋯ × Gₙ) lên đa tạp T(G₁) × ⋯ × T(Gₙ) là một đẳng cấu nhóm Lie. 0A93
Mệnh đề 6 Cho G là một nhóm Lie. (i) Phép chiếu chính tắc p : T(G) → G là một cấu xạ nhóm Lie. (ii) Hạt nhân của p là Tₑ(G). Nó là một nhóm con Lie của T(G). Cấu trúc nhóm Lie cảm sinh trên… ↩ 1 0A94
Mệnh đề 7 Cho G là một nhóm Lie, M là một đa tạp lớp Cʳ và f và g là các ánh xạ lớp Cʳ từ M vào G, sao cho fg là một ánh xạ lớp Cʳ từ M vào G. Cho m ∈ M, x = f(m), y = g(m), u ∈ Tₘ(M). Khi đ… ↩ 2 0A95
Hệ quả Cho n ∈ Z. Ánh xạ tiếp xúc tại e của ánh xạ g ↦ gⁿ của G vào G là ánh xạ x ↦ nx của Tₑ(G) vào Tₑ(G). ↩ 1 0A96
Mệnh đề 8 Cho G1 và G2 là các nhóm Lie, X1 và X2 là các đa tạp lớp C^r và fᵢ là một luật phép toán trái lớp C^r của Gi trên Xi (i = 1, 2). Cho φ là một cấu xạ của G1 vào G2 và ψ là một φ-cấu… 0A97

§ 3. Chuyển từ một nhóm Lie sang đại số Lie của nó

Định nghĩa 1 Cho G là một nhóm Lie, g và g' là hai điểm của G và cho t ∈ T_g^(∞)(G) t' ∈ T_g'^(∞)(G) là hai phân phối điểm tại g và g' trên G (Differentiable and Analytic Manifolds, R, 13.2.1)… ↩ 3 0A98
Mệnh đề 1 (i) Nếu t ∈ T_g⁽ˢ⁾(G) và t' ∈ T_g'^(s')(G), thì t * t' ∈ T_gg'^(s+s')(G). ↩ 2 0A99
Mệnh đề 2 Đại số \mathscr{T}^{(\infty)}(G) là kết hợp. Nó giao hoán khi và chỉ khi G giao hoán. ↩ 4 0A9A
Mệnh đề 3 Nếu t \in \mathscr{T}^{(\infty)}(G) và g \in G, thì γ(g)_* t = ε_g * t, δ(g)_* t = t * ε_g⁻¹, (Int g) t = ε_g * t * ε_g⁻¹. Đặc biệt, εₑ là phần tử đơn vị của \mathscr{T}^{(\infty)}… ↩ 2 0A9B
Định nghĩa 2 Cho G là một nhóm Lie. Đại số con của T^(∞)(G) gồm các phân phối có giá được chứa trong e được ký hiệu bởi U(G). ↩ 1 0A9C
Ví dụ Cho E là một không gian chuẩn được đầy đủ được xét như một nhóm Lie. Khi đó không gian vectơ U(E) được đồng nhất một cách chính tắc với không gian vectơ TS(E) (Các đa tạp khả vi và… 0A9D
Mệnh đề 4 Xét ánh xạ song tuyến tính (u, v) ↦ u * v (tương ứng (u, v) ↦ v * u) của U(G) ⊗ K⁽ᴳ⁾ vào T^(∞)(G). Ánh xạ tuyến tính tương ứng của U(G) ⊗ K⁽ᴳ⁾ vào T^(∞)(G) là một đẳng cấu không gi… 0A9E
Mệnh đề 5 Đẳng cấu i_G,e : gr\ U(G) → TS(L) là một đẳng cấu đại số. ↩ 1 0A9F
Mệnh đề 6 Cho G, H là các nhóm Lie và φ là một cấu xạ từ G vào H. Với t, t' thuộc T^(∞)(G), ta có φ_*(t * t') = φ_*(t) * φ_*(t'). ↩ 3 0A9G
Ví dụ Giả sử rằng G là nhóm Lie được xác định bởi một không gian đầy đủ khả chuẩn E. Khi đó U(G) được đồng nhất với TS(E) và hạn chế của θ_* lên U(G) được đồng nhất với TS(Tₑ(θ)) (Differ… 0A9H
Mệnh đề 7 Cho G là một nhóm Lie. Cho t, t' thuộc T^(∞)(G). ↩ 2 0A9I
Mệnh đề 8 Cho G, H là các nhóm Lie và φ là một cấu xạ từ G vào H. Nếu t ∈ T^(∞)(G), thì φ_*(t^∨) = (φ_*(t))^∨. 0A9J
Mệnh đề 9 Cho G₁, …, Gₙ là các nhóm Lie và G = G₁ × ⋯ × Gₙ. Nếu các không gian vectơ T^(∞)(G) và T^(∞)(G₁) ⊗ ⋯ ⊗ T^(∞)(Gₙ) được đồng nhất một cách chính tắc, thì đại số T^(∞)(G) là tích tenx… 0A9K
Mệnh đề 10 Cho H là một nhóm con Lie của G và i : H → G là đơn ánh chính tắc. Khi đó i_* là một đồng cấu đơn cấu của đại số T^(∞)(H) vào đại số T^(∞)(H) và i_*(t^∨) = (i_*(t))^∨ với mọi t ∈ T… ↩ 1 0A9L
Nhận xét Mệnh đề 10 vẫn đúng nếu H là một giả-nhóm con Lie. 0A9M
Mệnh đề 11 Cho G là một nhóm Lie. (i) Cođại số T^(∞)(G), với phép chập, là một song đại số (Đại số, Chương III, § 11, no. 4). (ii) Cho c là đồng tích trên T^(∞)(G). Cho t ∈ T^(∞)(G) và viết c… 0A9N
Mệnh đề 12 Cho G, H là hai nhóm Lie và φ là một cấu xạ từ G vào H. Khi đó φ_* là một cấu xạ song đại số từ T^(∞)(G) vào T^(∞)(H). 0A9O
Mệnh đề 13 Cho t ∈ T⁽ˢ⁾(G), t' ∈ T^(s')(G), u ∈ T^(s'')(X), sao cho ↩ 1 0A9P
Mệnh đề 14 (i) Cho g₀ ∈ G và τ(g₀) là ánh xạ x ↦ f(g₀, x) của X vào X. Nếu u ∈ T⁽ʳ⁾(X), thì τ(g₀)*u = ε_g₀*u. ↩ 4 0A9Q
Mệnh đề 15 Cho G (tương ứng. G') là một nhóm Lie và X (tương ứng. X') là một đa tạp thuộc lớp C^r. Giả sử đã cho một luật tác động trái thuộc lớp C^r của G (tương ứng. G') lên X (tương ứng. X… ↩ 2 0A9R
Nhận xét Cho f là một luật tác động phải thuộc lớp C^r của G lên X. Nếu t ∈ T⁽ˢ⁾(G) và u ∈ T^(s')(X), với s + s' ≤ r, ta ký hiệu u * t là ảnh của u ⊗ t qua f_*. Các Mệnh đề 13, 14, 15 chuyể… 0A9S
Mệnh đề 16 Cho G, G' là các nhóm Lie, X là một đa tạp lớp C^r và giả sử rằng G (tương ứng G') tác động trên X ở bên trái (tương ứng bên phải), với (gx)g' = g(xg') với mọi x ∈ X, g ∈ G, g' ∈ G… 0A9T
Định nghĩa 3 Cho t ∈ T⁽ˢ⁾(G) với s ≤ r. Cho f : X → F là một hàm lớp C^r nhận giá trị trong một không gian đa chuẩn Hausdorff (chẳng hạn F = K). Phép chập của t và f, ký hiệu bởi t * f, là hàm… 0A9U
Mệnh đề 17 Cho t ∈ T⁽ˢ⁾(G), t' ∈ T^(s')(X) và f : X → F là một hàm lớp Cʳ với s + s' ≤ r. Khi đó ⟨ t', t * f ⟩ = ⟨ t^∨ * t', f ⟩. beginalign* ⟨ t', t * f ⟩ &= ⟨ t', x ↦ ⟨ t, g ↦ f(g⁻¹x) ⟩ ⟩ t… ↩ 2 0A9V
Mệnh đề 18 Cho t ∈ T⁽ˢ⁾(G), t' ∈ T^(s')(G) và f : X → F là một hàm lớp Cʳ, với s + s' ≤ r. Khi đó (t * t') * f = t * (t' * f). Với mọi x ∈ X, beginalign* ⟨ εₓ, (t * t') * f ⟩ &= ⟨ ((t * t')^∨… ↩ 1 0A9W
Mệnh đề 19 Cho t ∈ T⁽ˢ⁾(G), với s ≤ r. Cho f (tương ứng f') là một hàm lớp Cʳ trên X nhận giá trị trong một không gian đa chuẩn Hausdorff F (tương ứng F'). Cho (u, u') ↦ uu' là một ánh xạ son… 0A9X
Nhận xét 1 Cho G là một nhóm Lie, X là một đa tạp lớp Cʳ và (x, g) ↦ xg là một luật tác động phải lớp Cʳ của G trên X. Nếu t ∈ T⁽ˢ⁾(G) với s ≤ r và f : X → F là một hàm lớp Cʳ trên X, ta ký h… 0A9Y
Mệnh đề 20 Cho G, G' là các nhóm Lie, X là một đa tạp lớp Cʳ và (g, x) ↦ gx (tương ứng (x, g') ↦ xg') là một luật tác động trái (tương ứng phải) lớp Cʳ của G (tương ứng G') trên X. Giả sử rằn… ↩ 1 0A9Z
Nhận xét 2 Cho (g, x) ↦ gx là một luật tác động trái của lớp Cʳ của G trên X. Cho t ∈ Uₛ(G) với s ≤ r, Ω là một tập con mở của X và f : Ω → F là một hàm thuộc lớp Cʳ. t * f cũng có thể được x… 0AA0
Mệnh đề 21 Cho ψ là một tự đẳng cấu của X giao hoán với các phép toán của G. Khi đó Dₜ là bất biến dưới ψ. ↩ 2 0AA1
Mệnh đề 22 Nếu g ∈ G, biến đổi của Dₜ dưới g là D_ε_g * t * ε_g⁻¹. 0AA2
Định nghĩa 4 Cho G là một nhóm Lie. Một trường phân phối trên G được gọi là bất biến trái (resp. phải) nếu nó bất biến đối với các phép tịnh tiến trái (resp. phải) của G. 0AA3
Định nghĩa 5 Cho G là một nhóm Lie và t ∈ U(G). Cho Lₜ ký hiệu trường phân phối g ↦ ε_g * t trên G và Rₜ trường phân phối g ↦ t * ε_g trên G. ↩ 1 0AA4
Mệnh đề 23 (i) Ánh xạ t ↦ Lₜ (tương ứng t ↦ Rₜ) là một đẳng cấu của không gian vectơ U(G) lên trường vectơ các phân phối bất biến trái (tương ứng phải) trên G. (ii) Đối với t, t' trong U(G)… ↩ 3 0AA5
Nhận xét 1 Chính tác động của G lên chính nó bởi phép tịnh tiến phải xác định các trường phân bố trái bất biến. ↩ 1 0AA6
Nhận xét 2 Giả sử rằng G là hữu hạn chiều. Ánh xạ 0AA7
Bổ đề 1 Cho X và X' là các không gian khả chuẩn đầy đủ, X₀ là một lân cận mở của 0 trong X và f là một ánh xạ giải tích từ X₀ vào X' sao cho f(0) = 0. Cho f = f₁ + f₂ + f₃ + ⋯ là khai triể… ↩ 1 0AA8
Mệnh đề 24 Cho G là một nhóm Lie và (U, φ, E) là một bản đồ địa phương trên G sao cho φ(e) = 0. Cho V là một lân cận mở của e sao cho V² ⊂ U. Cho m là ánh xạ giải tích (a, b) ↦ φ(φ⁻¹(a)φ⁻¹(b)… ↩ 1 0AA9
Hệ quả Không gian chuẩn hóa Tₑ(G) cùng với móc Lie là một đại số Lie chuẩn hóa. 0AAA
Định nghĩa 6 Không gian chuẩn hóa Tₑ(G), cùng với móc Lie, được gọi là đại số Lie chuẩn hóa của G, hoặc đơn giản là đại số Lie của G, và được ký hiệu bởi L(G). 0AAB
Mệnh đề 25 Cho G là một nhóm Lie và E(G) là đại số bao quanh của L(G). Đơn ánh chính tắc của L(G) vào E(G) xác định một đồng cấu θ của đại số E(G) vào đại số U(G). Nếu K có đặc số 0, η là một… 0AAC
Mệnh đề 26 Giả sử K có đặc số p > 0. Với mọi a ∈ L(G), aᵖ ∈ L(G) và ad(aᵖ) = (ad a)ᵖ (lũy thừa aᵖ được tính trong U(G)). 0AAD
Định nghĩa 7 Cho X là một đa tạp lớp Cʳ (r ≥ 2) và g là một đại số Lie chuẩn hóa được đầy đủ. Một luật phép toán vi phân trái (tương ứng phải) lớp Cʳ⁻¹ của g trên X là một ánh xạ a ↦ Dₐ của g v… ↩ 2 0AAE
Nhận xét Cho X là một đa tạp lớp Cʳ, g là một đại số Lie hữu hạn chiều và a ↦ Dₐ là một ánh xạ tuyến tính của g vào không gian vectơ các trường vectơ lớp Cʳ⁻¹ trên X. Khi đó điều kiện (a) c… 0AAF
Mệnh đề 27 Cho G là một nhóm Lie và X là một đa tạp lớp Cʳ. Giả sử đã cho một luật phép toán trái (tương ứng phải) lớp Cʳ của G trên X. Với mọi a ∈ L(G), gọi Dₐ là trường phân bố điểm được xá… ↩ 2 0AAG
Mệnh đề 28 Cho G và H là các nhóm Lie và φ là một cấu xạ từ G vào H. Giả sử rằng K có đặc số 0 và H là hữu hạn chiều. ↩ 3 0AAH
Mệnh đề 29 Cho G và H là các nhóm Lie và φ là một cấu xạ từ G vào H. Giả sử rằng K có đặc số 0 và H là hữu hạn chiều. Nếu H' là một nhóm Lie con của H, thì G' = φ⁻¹(H') là một nhóm Lie con củ… ↩ 3 0AAI
Hệ quả 1 Cho G, H là các nhóm Lie và φ₁ và φ₂ là các cấu xạ từ G vào H. Giả sử rằng K có đặc số 0 và H là hữu hạn chiều. Tập hợp các g ∈ G sao cho φ₁(g) = φ₂(g) là một nhóm Lie con G' của G… ↩ 3 0AAJ
Hệ quả 2 Cho G là một nhóm Lie hữu hạn chiều và G₁ và G₂ là hai nhóm Lie con của G. Giả sử rằng K có đặc số 0. Khi đó G₁ ∩ G₂ là một nhóm Lie con của G với đại số Lie là L(G₁) ∩ L(G₂). ↩ 3 0AAK
Hệ quả 3 Cho G, G', H là các nhóm Lie và φ : G → H và φ' : G' → H là các cấu xạ nhóm Lie. Giả sử rằng K có đặc số 0 và H là hữu hạn chiều. Cho F là tập hợp các (g, g') ∈ G × G' sao cho φ(g)… 0AAL
Mệnh đề 30 Cho G là một nhóm Lie hữu hạn chiều có một cơ sở đếm được và ↩ 2 0AAM
Mệnh đề 31 Cho G là một nhóm Lie hữu hạn chiều có một cơ sở đếm được, H là một nhóm Lie con chuẩn tắc của G và A là một nhóm Lie con của G. Giả sử rằng K có đặc số 0 và AH là đóng. Cho φ là c… 0AAN
Mệnh đề 32 Cho G và H là các nhóm Lie, k là một trường con đóng không rời rạc của K và φ là một cấu xạ từ G vào H đối với các cấu trúc nhóm Lie trên k. Giả sử K có đặc số 0. Nếu L(φ) là K-tuy… ↩ 1 0AAO
Mệnh đề 33 Ánh xạ t ↦ ⟨ t, f ⟩ là một cấu xạ từ đại số T^(∞)(G) vào đại số A. ↩ 2 0AAP
Hệ quả Ánh xạ chính tắc ζ từ L(A^*) vào A là một đẳng cấu của đại số Lie, từ L(A^*) lên đại số Lie A. Nói cách khác, ζ([a, b]) = ζ(a)ζ(b) - ζ(b)ζ(a) với mọi a, b trong L(A^*). Nếu K có đặ… ↩ 2 0AAQ
Mệnh đề 34 Cho H là một nhóm Lie, A là một đại số kết hợp có đơn vị, đầy đủ, khả chuẩn và φ : H → A^* là một cấu xạ nhóm Lie. Cấu xạ liên kết φ' của T^(∞)(H) vào A thu được bằng cách hợp thàn… ↩ 2 0AAR
Mệnh đề 35 Cho E là một không gian vectơ hữu hạn chiều. Cho φ là cấu xạ g ↦ det g của nhóm Lie GL(E) vào nhóm Lie K^*. Ánh xạ L(φ) của L(E) vào K là ánh xạ x ↦ Tr x. Hạt nhân SL(E) của φ là m… 0AAS
Mệnh đề 36 Cho I là một tập con của 1, 2, …, n và G là nhóm con của GL(E) gồm các g = (gᵢⱼ)_1 ≤ i, j ≤ n ∈ GL(E) sao cho gᵢⱼ = 0 với i < j và gᵢᵢ = 1 với i ∈ I. Khi đó G là một nhóm con Lie c… ↩ 2 0AAT
Mệnh đề 37 Cho A là một đại số kết hợp có đơn vị khả chuẩn đầy đủ và x ↦ xᵗ là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ A vào A sao cho (xᵗ)ᵗ = x và (xy)ᵗ = yᵗ xᵗ với mọi x, y trong A. Giả sử rằng K… ↩ 2 0AAU
Hệ quả 1 Giả sử rằng K có đặc số ≠ 2. Cho E là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên K và φ là một dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến (resp. phản xứng) trên E. Với mọi u ∈ L(E)… ↩ 1 0AAV
Nhận xét Cho B là một cơ sở của E và J là ma trận của φ đối với B. Khi đó L(G) là tập hợp các phần tử của L(E) mà ma trận X của chúng đối với B thỏa mãn phương trình 0AAW
Hệ quả 2 Cho E là một không gian Hilbert phức (ứng với thực) và U là nhóm unita của E. Khi đó U là một nhóm con thực của GL(E) và L(U) là tập hợp các x ∈ L(E) sao cho x^* = -x. ↩ 1 0AAX
Hệ quả 3 Cho E là một không gian vectơ phức hữu hạn chiều, φ là một dạng sesquilinear Hermit không suy biến trên E và U là nhóm unita của φ. Khi đó U là một nhóm Lie thực con của GL(E) và L… 0AAY
Mệnh đề 38 Xét G như tác động trên E ở bên trái bởi ánh xạ (g, x) ↦ π(g)x. Cho b ∈ E và φ(b) là ánh xạ quỹ đạo của nó. Đồng nhất T_b(E) với E một cách chính tắc. Với mọi t ∈ L(G), ↩ 1 0AAZ
Mệnh đề 39 Giả sử K có đặc số 0. Cho G là một nhóm Lie, E là một không gian vectơ hữu hạn chiều và π là một biểu diễn tuyến tính giải tích của G trên E. Cho E₁, E₂ là các không gian con vectơ… ↩ 2 0AB0
Hệ quả 1 Với ký hiệu của Mệnh đề 39, tập hợp các g ∈ G sao cho π(g)(E₁) ⊂ E₁ là một nhóm con Lie của G và đại số Lie của nó là tập hợp các a ∈ L(G) sao cho L(π)a ánh xạ E₁ vào E₁. ↩ 1 0AB1
Hệ quả 2 Cho G, E, π như trong Mệnh đề 39. Cho F là một tập con của E. Tập hợp các g ∈ G sao cho π(g)x = x với mọi x ∈ F là một nhóm con Lie của G và đại số Lie của nó là tập hợp các a ∈ L(… ↩ 3 0AB2
Mệnh đề 40 Cho G là một nhóm Lie, E là một không gian đầy đủ chuẩn được, π là một biểu diễn tuyến tính giải tích của G trên E và F là một không gian con vectơ đóng của E ổn định dưới π(G). Gi… ↩ 2 0AB3
Mệnh đề 41 Cho G là một nhóm Lie và π₁, π₂, …, πₙ, π là các biểu diễn tuyến tính giải tích của G trên các không gian đầy đủ khả chuẩn E₁, E₂, …, Eₙ, E. Cho (x₁, x₂, …, xₙ) ↦ x₁ x₂ … xₙ là một… ↩ 3 0AB4
Hệ quả 1 Cho G là một nhóm Lie, E₁, …, Eₙ₊₁ là các không gian đầy đủ khả chuẩn và π₁, …, πₙ₊₁ là các biểu diễn tuyến tính giải tích của G trên E₁, …, Eₙ₊₁. Cho E = L(E₁, …, Eₙ; Eₙ₊₁) là khô… ↩ 6 0AB5
Hệ quả 2 Cho G là một nhóm Lie và π là một biểu diễn tuyến tính giải tích của G trên một không gian định chuẩn đầy đủ E. Khi đó g ↦ ᵗπ(g)⁻¹ là một biểu diễn tuyến tính giải tích ρ của G trê… 0AB6
Hệ quả 3 Cho G là một nhóm Lie và π₁, …, πₙ là các biểu diễn tuyến tính giải tích của G trên các không gian vectơ hữu hạn chiều E₁, …, Eₙ. Khi đó biểu diễn π₁ ⊗ ⋯ ⊗ πₙ của G (Phụ lục) là gi… ↩ 2 0AB7
Hệ quả 4 Cho G là một nhóm Lie và π là một biểu diễn tuyến tính giải tích của G trên một không gian vectơ hữu hạn chiều E. Khi đó các biểu diễn Tⁿ(π), Sⁿ(π) và ∧ⁿ(π) của G (Phụ lục) là giải… 0AB8
Hệ quả 5 Cho A là một đại số hữu hạn chiều. Giả sử K có đặc số 0. Nhóm tự đẳng cấu Aut(A) của A là một nhóm con Lie của GL(A) và L(Aut(A)) là đại số Lie của các đạo hàm của A. ↩ 1 0AB9
Nhận xét Áp dụng Hệ quả 1 với G = GL(F) (F là một không gian chuẩn hóa đầy đủ), π₁ = π₂ = Id_G và π₃ là biểu diễn tầm thường của G trên K. Ta thu được một biểu diễn giải tích π của GL(F) tr… 0ABA
Mệnh đề 42 Cho G là một nhóm Lie, X là một đa tạp giải tích, (g, x) ↦ gx (resp. xg) là một luật phép toán giải tích trái (resp. phải) của G trên X và x₀ là một điểm của X bất biến dưới G. Với… ↩ 2 0ABB
Mệnh đề 43 Cho t, u thuộc T^(∞)(G). Cho ∑ᵢ₌₁ⁿ tᵢ ⊗ t'ᵢ là ảnh của t dưới đồng tích. Khi đó t top u = ∑ᵢ₌₁ⁿ tᵢ * u * t'ᵢ^∨. 0ABC
Hệ quả 1 Cho u ∈ L(G) và u' ∈ T^(∞)(G). Khi đó u top u' = u * u' - u' * u. ↩ 1 0ABD
Hệ quả 2 Cho t ∈ T^(∞)(G) và g ∈ G. Khi đó ε_g top t = ε_g * t * ε_g⁻¹. Nếu t ∈ L(G), thì ε_g top t = gtg⁻¹ (trong đó tích sau được tính trong nhóm T(G)). 0ABE
Hệ quả 3 Cho a ∈ L(G). Trường vectơ được xác định bởi a và phép toán trái g ↦ Int g của G trên G là trường Rₐ - Lₐ. ↩ 1 0ABF
Định nghĩa 8 Biểu diễn Ad của G trên L(G) được gọi là biểu diễn liên hợp của G. ↩ 2 0ABG
Mệnh đề 44 Với mọi a ∈ L(G), (L(Ad))(a) = ad_L(G)a. Cho b ∈ L(G). Theo Mệnh đề 42 (ii) của no. 11 và Hệ quả 3 của Mệnh đề 43, (L(Ad))(a).b = -[Rₐ - L_a₁L_b](e). Bây giờ Rₐ ∘ L_b = L_b ∘ Rₐ (n… ↩ 7 0ABH
Mệnh đề 45 Giả sử rằng G là hữu hạn chiều và rằng K có đặc số 0. Cho s là một số nguyên geqslant 0. Khi đó ánh xạ π : g ↦ Ad_Uₛ(G)(g) là một biểu diễn tuyến tính giải tích của G trên Uₛ(G) và… ↩ 1 0ABI
Mệnh đề 46 Cho h ∈ G, x ∈ Tₕ(G) và a ∈ L(G). Cho φ là ánh xạ (g, g') ↦ gg'g⁻¹ từ G × G vào G. Ảnh y của (a, x) ∈ Tₑ(G) × Tₕ(G) dưới T_(e, h)(φ) là y = x + h((Ad h⁻¹)a - a). Ta có beginalign*… ↩ 2 0ABJ
Mệnh đề 47 Cho G là một nhóm Lie, H và E là các nhóm con Lie của G và giả sử rằng hEh⁻¹ = E với mọi h \in H. Khi đó T^(∞)(H) ⊂ T^(∞)(E) ⊂ T^(∞)(E). Đặc biệt, Ad(H)(L(E)) ⊂ L(E) và [L(H), L(E)… ↩ 2 0ABK
Mệnh đề 48 Cho G là một nhóm Lie và H và E là các nhóm con Lie của G. Giả sử rằng G là, với tư cách một nhóm Lie, tích nửa trực tiếp của H bởi E. Cho φ là biểu diễn tuyến tính g ↦ (Ad g) | L(… ↩ 1 0ABL
Hệ quả Cho G là một nhóm Lie. Cho Tₑ(G) được trang bị cấu trúc đại số Lie giao hoán duy nhất của nó. Cho τ là một biểu diễn kề của L(G). Khi đó đại số Lie của T(G) là tích nửa trực tiếp c… 0ABM
Mệnh đề 49 Cho A là một đại số kết hợp có đơn vị, đầy đủ và khả chuẩn. Ta đồng nhất A với L(A^*). Khi đó, nếu g ∈ A^* và y ∈ A, (Ad g)y = gyg⁻¹. 0ABN
Hệ quả Với mọi g ∈ A^*, đặt i(g) là tự đẳng cấu y ↦ gyg⁻¹ của A, sao cho i là một biểu diễn tuyến tính giải tích của A^* trên A. Với mọi z ∈ L(A^*) = A, L(i)z là đạo hàm nội y ↦ zy - yz c… 0ABO
Mệnh đề 50 Cho G là một nhóm Lie (được giả sử là hữu hạn chiều nếu K có đặc số 0). Cho E là không gian vectơ các dạng đa tuyến tính thay phiên liên tục bậc k trên Tₑ(G). Với mọi u ∈ E, cho ωᵘ… ↩ 2 0ABP
Mệnh đề 51 Cho G là một nhóm Lie, có số chiều hữu hạn nếu K có đặc số > 0, và a₁, …, aₚ là các phần tử của L(G), F là một không gian khả chuẩn đầy đủ và α là một dạng vi phân bậc p-1 trên G v… ↩ 3 0ABQ
Hệ quả 1 Cho G là một nhóm Lie, có số chiều hữu hạn nếu K có đặc số 0, và ω và ω' là các dạng vi phân chính tắc trái và phải của G. Khi đó dω + [ω]² = 0, dω' - [ω']² = 0. Theo Mệnh đề 51, (… ↩ 1 0ABR
Hệ quả 2 Giả sử rằng G là hữu hạn chiều. Cho (e₁, …, eₙ) là một cơ sở của L(G), (e₁^*, …, eₙ^*) là cơ sở đối ngẫu, (cᵢⱼₖ) là các hằng cấu trúc của L(G) đối với cơ sở (e₁, …, eₙ) và ωᵢ (tươn… 0ABS
Bổ đề 2 Cho G là một nhóm Lie, U là một lân cận mở đối xứng của e trong G, E là một không gian khả chuẩn đầy đủ và φ : U² → E là một ánh xạ giải tích. Với mọi g ∈ U, gọi ω_g là vi phân tại… ↩ 2 0ABT
Mệnh đề 52 Cho n là một số nguyên 0, G là một nhóm Lie n-chiều, U là một lân cận mở đối xứng của e trong G và ψ : U² → Kⁿ là một bản đồ tọa độ của G sao cho ψ(e) = 0. Nếu (x₁, …, xₙ) là các t… ↩ 1 0ABU
Mệnh đề 53 Cho G là một nhóm Lie, A là một đại số khả chuẩn đầy đủ và φ là một cấu xạ nhóm Lie từ G vào A^*. Với mọi g ∈ G, đặt ω_g = φ(g)⁻¹ d_g φ. Khi đó ω là dạng vi phân bất biến trái trên… 0ABV
Mệnh đề 54 Cho G là một nhóm Lie có số chiều hữu hạn n, ω là một dạng vi phân bất biến trái bậc n trên G và φ là một tự đồng cấu của G. Khi đó ↩ 1 0ABW
Hệ quả Với mọi g ∈ G, ↩ 1 0ABX
Mệnh đề 55 Giả sử rằng K là compact địa phương. Gọi μ là một độ đo Haar trên nhóm cộng của K. Gọi G là một nhóm Lie có số chiều hữu hạn n. ↩ 2 0ABY
Hệ quả Với mọi g ∈ G, Δ_G(g) = (mod det Ad g)⁻¹. Đặc biệt, để G là đơn môđula, điều kiện cần và đủ là mod det Ad g = 1 với mọi g ∈ G. ↩ 2 0ABZ
Nhận xét Giữ nguyên các giả thiết và ký hiệu của Mệnh đề 52, giả sử rằng K là compact địa phương. Gọi μ là độ đo mod det(Dₙ₊ᵢmₖ(x₁, …, xₙ, x₁, …, xₙ))_1 ≤ i, k ≤ n dx₁ … dxₙ trên ψ(U). Khi… 0AC0
Mệnh đề 56 Cho G là một nhóm Lie có số chiều hữu hạn n, H là một nhóm con Lie p-chiều và X là không gian thuần nhất Lie G/H. Giả sử rằng det Ad_L(G) h = det Ad_L(H) h với mọi h ∈ H. Khi đó: (… ↩ 1 0AC1
Mệnh đề 57 Cho G là một nhóm Lie có số chiều hữu hạn n. Chọn một cơ sở cho bigwedgeⁿ Tₑ(G)^*; bằng sự tầm thường hóa phải (tương ứng trái) của bigwedgeⁿ T(G)^*, ta có thể đồng nhất bó vectơ n… ↩ 1 0AC2
Hệ quả Cho G là một nhóm Lie thực hữu hạn chiều, μ (resp. ν) một độ đo Haar trái (resp. phải) trên G, k một số nguyên geqslant 0, u ∈ Uₖ(G) và f và g là các hàm thực thuộc lớp Cᵏ trên G c… 0AC3
Định nghĩa 9 Cho G là một nhóm Lie, M một đa tạp thuộc lớp Cʳ và f một ánh xạ thuộc lớp Cʳ từ M vào G. Vi phân trái (resp. phải) của f là dạng vi phân bậc 1 trên M với giá trị trong L(G), ánh x… 0AC4
Ví dụ (1) Nếu G là nhóm cộng của một không gian khả chuẩn đầy đủ và T₀(E) được đồng nhất một cách chính tắc với E, thì f⁻¹.df là vi phân df được định nghĩa trong Đa tạp khả vi và giải tí… 0AC5
Mệnh đề 58 Cho G và H là hai nhóm Lie, M là một đa tạp lớp Cʳ, f là một ánh xạ lớp Cʳ từ M vào G và h là một cấu xạ từ G vào H. Khi đó 0AC6
Mệnh đề 59 Cho G là một nhóm Lie, M là một đa tạp lớp Cʳ, f và g là các ánh xạ lớp Cʳ từ M vào G và p là toàn cấu chính tắc từ TM lên M. ↩ 2 0AC7
Hệ quả 1 Cho s ∈ G và sg là ánh xạ x ↦ sg(x) từ M vào G. Khi đó 0AC8
Hệ quả 2 Nếu các ánh xạ f và g từ M vào G có cùng vi phân trái, thì ánh xạ tiếp xúc của fg⁻¹ bằng không tại mọi điểm. Hơn nữa, nếu K có đặc số 0, thì fg⁻¹ địa phương hằng. ↩ 1 0AC9
Mệnh đề 60 Cho G là một nhóm Lie, hữu hạn chiều nếu K có đặc số 0, M là một đa tạp lớp Cʳ, f là một ánh xạ lớp Cʳ của M vào G và α là vi phân trái của f. Khi đó dα + [α]² = 0. 0ACA

§ 4. Chuyển từ các đại số Lie sang các nhóm Lie

Bổ đề 1 Cho G là một mầm nhóm Lie và 𝔥 là một đại số con Lie của L(G) thừa nhận một phần bù tôpô. Hợp của các g𝔥 (tương ứng 𝔥g) với g ∈ G là một phân bó vectơ con khả tích của T(G). ↩ 1 0ACK
Định lý 1 Cho G và H là các mầm nhóm Lie và f là một cấu xạ liên tục của L(G) vào L(H). (i) Tồn tại một mầm nhóm con Lie mở G' của G và một cấu xạ φ của G' vào H sao cho f = L(φ). (ii) Cho G… ↩ 8 0ACL
Hệ quả 1 Cho G và H là hai mầm nhóm Lie. Nếu L(G) và L(H) đẳng cấu, thì G và H địa phương đẳng cấu. ↩ 4 0ACM
Hệ quả 2 Cho G là một mầm nhóm Lie. Nếu L(G) giao hoán, thì G địa phương đẳng cấu với nhóm Lie cộng tính L(G). ↩ 1 0ACN
Hệ quả 3 Cho G là một nhóm Lie. Nếu L(G) giao hoán, thì G chứa một nhóm con mở giao hoán. 0ACO
Bổ đề 2 Cho L là một đại số Lie chuẩn đầy đủ trên R hoặc C. Cho G là tập hợp các x ∈ L sao cho |x| < 1/3 log 3/2. Cho θ là ánh xạ x ↦ -x của G vào G. Cho H là hạn chế vào G × G của hàm Hau… ↩ 1 0ACP
Bổ đề 3 Cho L là một đại số Lie chuẩn đầy đủ trên K. Cho G là tập hợp các x ∈ L sao cho |x| < λ. Cho H : G × G → G là hàm Hausdorff của L (Chương II, § 8, no. 3). (i) Với luật hợp thành H… ↩ 3 0ACQ
Định lý 2 Cho L là một đại số Lie chuẩn hóa được đầy đủ. Tồn tại một mầm nhóm Lie G sao cho L(G) đẳng cấu với L. Hai mầm nhóm Lie như vậy đẳng cấu địa phương. ↩ 4 0ACR
Hệ quả 1 Cho G là một nhóm Lie. Tồn tại một lân cận của e không chứa nhóm con hữu hạn nào phân biệt với {e}. Nếu K = R hoặc C, tồn tại một lân cận mở của e không chứa nhóm con nào phân biệt… ↩ 2 0ACS
Hệ quả 2 Cho k là một trường con đóng không rời rạc của K, G là một nhóm Lie trên k và L = L(G). Giả sử rằng L có một cấu trúc đại số Lie K chuẩn hóa được L', tương thích với cấu trúc đại s… 0ACT
Định lý 3 Cho G là một mầm nhóm Lie và 𝔥 là một đại số con Lie của L(G) thừa nhận một phần bù tôpô. Tồn tại một mầm nhóm con Lie H của G sao cho L(H) = 𝔥. Nếu H₁ và H₂ là các mầm nhóm con Li… ↩ 5 0ACU
Mệnh đề 1 Cho G là một mầm nhóm Lie và H và H' là hai mầm nhóm con Lie. Để L(H) ⊃ L(H'), điều kiện cần và đủ là H ∩ H' mở trong H'. 0ACV
Mệnh đề 2 Cho G là một nhóm Lie trên K, k là một trường con đóng không rời rạc của K và H là một nhóm con Lie của nhóm Lie-k G. Giả sử rằng L(H) là một không gian con-K vectơ của L(G) thừa n… ↩ 2 0ACW
Định lý 4 Cho G là một mầm nhóm Lie, L là đại số Lie của nó, V là một lân cận mở của 0 trong L, φ là một ánh xạ giải tích từ V vào G sao cho φ(0) = 0 và T0(φ) = IdL. Các điều kiện sau là tươ… ↩ 4 0ACX
Định nghĩa 1 Cho G là một mầm nhóm Lie và L là đại số Lie của nó. Một ánh xạ mũ của G là bất kỳ ánh xạ giải tích φ nào được xác định trên một lân cận mở của 0 trong L, có giá trị trong G và thỏ… ↩ 1 0ACY
Ví dụ (1) Cho G là nhóm cộng của một không gian chuẩn hóa đầy đủ E. Đẳng cấu chính tắc của L(G) lên E thỏa mãn điều kiện (i) của Định lý 4 và do đó là một ánh xạ mũ của G. 0ACZ
Mệnh đề 3 Cho G là một mầm nhóm Lie, L là đại số Lie của nó và φ là một ánh xạ mũ của G. Cho L₁, …, Lₙ là các không gian con vectơ của L sao cho L là tổng trực tiếp tôpô của L₁, …, Lₙ. Ánh x… ↩ 1 0AD0
Mệnh đề 4 Cho G là một mầm nhóm Lie và φ là một ánh xạ mũ đơn ánh của G. Với mọi x, y trong L(G), ↩ 3 0AD1
Mệnh đề 5 Cho G là một nhóm Lie, k là một trường con đóng không rời rạc của K, G' là nhóm G được xem như một nhóm Lie trên k và φ (resp. φ') là một ánh xạ mũ của G (resp. G'). Khi đó φ và φ'… ↩ 1 0AD2
Mệnh đề 6 Cho G là một mầm nhóm Lie, L là đại số Lie của nó và φ : V → G là một ánh xạ mũ của G. Với mọi x ∈ V, cho Tₓ(L) được đồng nhất với L, sao cho vi phân phải varpi(x) của φ tại x là m… ↩ 1 0AD3
Mệnh đề 7 (i) Nếu t ∈ Z, một ánh xạ lũy thừa bậc t trùng nhau trên một lân cận của e với ánh xạ g ↦ gᵗ. ↩ 1 0AD4
Mệnh đề 8 Cho G và H là các mầm nhóm Lie, h là một cấu xạ từ G vào H và φ_G và φ_H là các ánh xạ mũ của G và H. Tồn tại một lân cận V của 0 trong L(G) sao cho h ∘ φ_G và φ_H ∘ L(h) trùng nha… ↩ 3 0AD5
Hệ quả 1 Cho G là một mầm nhóm Lie, G' là một mầm nhóm con Lie của G và φ là một ánh xạ mũ của G. ↩ 1 0AD6
Hệ quả 2 Cho G là một nhóm Lie, ρ là một biểu diễn tuyến tính giải tích của G và φ là một ánh xạ mũ của G. Tồn tại một lân cận V của 0 trong L(G) sao cho ρ(φ(x)) = exp(L(ρ)x) với mọi x ∈ V. ↩ 2 0AD7
Hệ quả 3 Cho G là một nhóm Lie và φ là một ánh xạ mũ của G. ↩ 1 0AD8
Bổ đề 4 Cho G là một nhóm Lie hữu hạn chiều, Ω là một lân cận mở đối xứng của e trong G và H là một tập con của Ω chứa e sao cho các điều kiện x ∈ H, y ∈ H, xy⁻¹ ∈ Ω kéo theo xy⁻¹ ∈ H. Cho… ↩ 1 0AD9
Định nghĩa 2 𝔥 được gọi là đại số con tiếp tuyến với H tại e. ↩ 1 0ADA
Mệnh đề 9 Cho G là một nhóm Lie hữu hạn chiều và H là một nhóm con của G. ↩ 2 0ADB
Định nghĩa 3 Cấu trúc nhóm Lie trên H được định nghĩa trong Mệnh đề 9 được gọi là cấu trúc cảm sinh trên H bởi cấu trúc nhóm Lie trên G. ↩ 1 0ADC
Bổ đề 5 Cho X là một đa tạp lớp Cʳ, F và F' là các phân thớ vectơ lớp Cʳ với không gian cơ sở X và φ là một cấu xạ từ F vào F'. Với mọi x ∈ X, cho Sₓ là tập hợp các (a, φ(a)) ∈ Fₓ ⊕ F'ₓ vớ… ↩ 2 0ADD
Bổ đề 6 Cho G là một mầm nhóm Lie, ω là dạng vi phân trái chính tắc của G (§ 3, no. 18.9), M là một đa tạp lớp Cʳ (r ≥ 2) và α là một dạng vi phân lớp Cʳ⁻¹ và bậc 1 trên M nhận giá trị tro… ↩ 1 0ADE
Định lý 5 Cho G là một mầm nhóm Lie, M là một đa tạp lớp Cʳ (r ≥ 2) và α là một dạng vi phân lớp Cʳ⁻¹ và bậc 1 trên M với giá trị trong L(G), sao cho dα + [α]² = 0. Với mọi x ∈ M và mọi g ∈… ↩ 2 0ADF
Mệnh đề 10 Cho M là một đa tạp giải tích, 𝔤 một đại số Lie chuẩn hoá được đầy đủ và α một dạng vi phân giải tích bậc 1 trên M, nhận giá trị trong 𝔤, với các tính chất sau: (a) với mọi m ∈ M… ↩ 1 0ADG
Hệ quả Cho M là một đa tạp giải tích có số chiều hữu hạn n. Cho ω₁, …, ωₙ là các dạng vi phân giải tích bậc 1 trên M, với giá trị vô hướng, độc lập tuyến tính tại mỗi điểm của M và sao ch… 0ADH
Mệnh đề 11 Cho G₁ và G₂ là các mầm nhóm Lie và X₁ và X₂ là các đa tạp lớp Cʳ (r ≥ 2). Với i = 1, 2, cho ψᵢ là một mảnh luật tác động trái lớp Cʳ của Gᵢ lên Xᵢ và Dᵢ là luật tác động vô cực nh… 0ADI
Hệ quả Cho G là một mầm nhóm Lie và X là một đa tạp lớp Cʳ. Xét hai mảnh luật của phép toán trái lớp Cʳ của G trên X. Giả sử rằng, với mọi a ∈ L(G), trường vectơ tương ứng Dₐ trên X là nh… ↩ 3 0ADJ
Định lý 6 Cho G là một mầm nhóm Lie, X là một đa tạp lớp Cʳ (r ≥ 2) và x₀ là một điểm của X. Cho a ↦ Dₐ là một luật phép toán vô cùng bé trái lớp Cʳ⁻¹ của L(G) trên X. ↩ 1 0ADK
Hệ quả 1 Cho G là một mầm nhóm Lie và X là một đa tạp paracompact lớp Cʳ (r ≥ 2). Cho a ↦ Dₐ là một luật của phép toán vi phân trái lớp Cʳ⁻¹ của L(G) trên X. ↩ 2 0ADL
Hệ quả 2 Cho X là một đa tạp paracompact của lớp Cʳ (r ≥ 2) và ξ là một vectơ trường lớp Cʳ⁻¹ trên X. Tồn tại một mảnh luật của phép toán ψ lớp Cʳ⁻¹ của K trên X sao cho với mọi x ∈ X, ξ(x)… ↩ 1 0ADM
Nhận xét Các luật của phép toán trái dĩ nhiên có thể được thay thế, trong toàn bộ no. này, bằng các luật của phép toán phải. 0ADN

§ 5. Các phép tính hình thức trong các nhóm Lie

Mệnh đề 1 (i) x^[-1] ≡ -x + B(x, x) mod deg 3 (ii) x.y.x^[-1] ≡ y + [x, y] mod deg 3 (iii) y^[-1].x.y ≡ x + [x, y] mod deg 3 (iv) x^[-1].y^[-1].x.y ≡ [x, y] mod deg 3 (v) x.y.x^[-1].y^[-1] ≡… ↩ 2 0AE1
Mệnh đề 2 (i) ψⱼ ≡ 0 mod deg j. (ii) Nếu t ∈ K, thì x^[t] = ∑ᵢ₌₁⁸ binomti ψᵢ(x) trong đó chuỗi lũy thừa hình thức ở vế phải có nghĩa do (i). ↩ 2 0AE2
Nhận xét (1) Ta viết điều kiện (ii) của Mệnh đề 2 với t là một số nguyên geqslant 0: 0AE3
Mệnh đề 3 (27) L = ∑ₚ₌₁^∞ frac(-1)ᵖ⁻¹p ψₚ (28) E = ∑ₚ₌₁^∞ 1/p! ψ_p,p (Nhắc lại rằng ψ_p,p là thành phần thuần nhất của ψₚ có bậc p.) ↩ 2 0AE4
Mệnh đề 4 Để biểu đồ của G được chính tắc, điều kiện cần và đủ là ψⱼ = 0 với j ≥ 2. 0AE5

§ 6. Các nhóm Lie thực và phức

Bổ đề 1 Cho G là một nhóm tôpô liên thông đơn†, W là một lân cận mở liên thông đối xứng của e, H là một nhóm và f là một ánh xạ từ W³ vào H sao cho ↩ 2 0AE8
Định lý 1 Cho G và H là các nhóm Lie và h là một cấu xạ liên tục từ L(G) vào L(H). Giả sử rằng G là đơn liên. Khi đó tồn tại một và chỉ một cấu xạ nhóm Lie φ từ G vào H sao cho h = L(φ). ↩ 5 0AE9
Hệ quả Cho G là một nhóm Lie đơn liên hữu hạn chiều. Tồn tại một biểu diễn tuyến tính giải tích hữu hạn chiều của G mà hạt nhân là rời rạc. ↩ 2 0AEA
Nhận xét (1) Có những nhóm Lie đơn liên hữu hạn chiều không có biểu diễn tuyến tính giải tích đơn ánh hữu hạn chiều nào (Bài tập 2). 0AEB
Định nghĩa 1 Cho G là một nhóm Lie. Một nhóm con nguyên của G là một nhóm con H được trang bị một cấu trúc nhóm Lie liên thông sao cho đơn ánh chính tắc từ H vào G là một phép nhúng. 0AEC
Ví dụ (1) Một nhóm con Lie liên thông của G là một nhóm con nguyên của G. 0AED
Định lý 2 Cho G là một nhóm Lie. ↩ 3 0AEE
Nhận xét 1 Cho H là một nhóm con nguyên của G. Cho Y là phân lá trái của G liên kết với L(H). Nếu g ∈ G, cho gH mang cấu trúc đa tạp dẫn xuất từ cấu trúc của H bởi γ(g). Theo Differentiable a… ↩ 1 0AEF
Mệnh đề 1 Cho G và M là các nhóm Lie, H là một nhóm con nguyên của G và φ là một cấu xạ từ M vào G sao cho L(φ)(L(M)) ⊂ L(H). Giả sử M liên thông. Khi đó φ(M) ⊂ H và φ, được xét như một ánh… ↩ 5 0AEG
Hệ quả 1 Cho G và H là các nhóm Lie, φ là một cấu xạ nhóm Lie từ G vào H, N là hạt nhân của φ và h = L(φ). Giả sử G liên thông và H hữu hạn chiều. (i) N là một nhóm con Lie của G và L(N) =… ↩ 3 0AEH
Hệ quả 2 Cho G là một nhóm Lie và H₁ và H₂ là các nhóm con nguyên của G. Nếu L(H₂) ⊂ L(H₁), thì H₂ là một nhóm con nguyên của H₁. ↩ 2 0AEI
Hệ quả 3 Cho G là một nhóm Lie hữu hạn chiều và (Hᵢ)_i ∈ I là một họ các nhóm con Lie của G. Khi đó H = ⋂_i ∈ I Hᵢ là một nhóm con Lie của G và L(H) = ⋂_i ∈ I L(Hᵢ). Tồn tại một tập con hữu… ↩ 1 0AEJ
Hệ quả 4 Cho G là một nhóm Lie hữu hạn chiều liên thông. Các điều kiện sau là tương đương: (i) G là đơn môđula (Integration, Chương VII, § 1, no. 3, Định nghĩa 3); (ii) det Ad g = 1 với mọi… 0AEK
Mệnh đề 2 Cho G là một nhóm Lie hữu hạn chiều và H là một nhóm con nguyên của G. Các điều kiện sau là tương đương: (i) H đóng; (ii) tôpô trên H được cảm sinh bởi tôpô trên G; (iii) H là một… ↩ 1 0AEL
Mệnh đề 3 Cho G là một nhóm Lie, H là một nhóm con nguyên của G, M là một đa tạp giải tích liên thông không rỗng, f là một ánh xạ từ M vào G và r \in NK. Xét các điều kiện sau: (i) f thuộc l… ↩ 5 0AEM
Hệ quả 1 Cho G là một nhóm Lie hữu hạn chiều và H là một nhóm con nguyên của G. Khi đó đại số Lie tiếp xúc với H tại e (§ 4, no. 5, Định nghĩa 2 và 3) là L(H) và cấu trúc nhóm Lie trên H là… 0AEN
Hệ quả 2 Cho G là một nhóm Lie và H₁ và H₂ là các nhóm con nguyên của G. Giả sử tôpô trên H₁ có một cơ sở đếm được. Khi đó ↩ 3 0AEO
Hệ quả 3 Cho G là một nhóm Lie và H1 và H2 là các nhóm con nguyên của G mà tôpô của chúng chấp nhận một cơ sở đếm được. Nếu H1 và H2 có cùng tập hợp nền, thì các cấu trúc nhóm Lie trên H1 v… ↩ 1 0AEP
Nhận xét 2 Cho G là một nhóm Lie hữu hạn chiều. Cho H là một nhóm con của G. Ta sẽ nói, do lạm dụng ngôn ngữ, rằng H là một nhóm con nguyên của G nếu tồn tại một cấu trúc nhóm Lie S trên H sa… ↩ 1 0AEQ
Nhận xét 3 Cho V là một đa tạp lớp C^r. Cho M là một tập con của V và x và y là các phần tử của M. Xét tính chất sau đây: ↩ 1 0AER
Mệnh đề 4 Cho G là một nhóm Lie hữu hạn chiều và H là một nhóm con của G. Cho r \in \mathbf{N}\mathbf{K}. Các điều kiện sau là tương đương: (i) H là một nhóm con nguyên của G; (ii) với cấu t… 0AES
Nhận xét 4 Nếu K = R, các nhóm con nguyên của G cũng có thể được đặc trưng như các nhóm con mà, với tôpô cảm sinh bởi tôpô của G, là liên thông bằng cung (§ 8, Bài tập 4). Tuy nhiên, các nhóm… 0AET
Hệ quả Cho G là một nhóm Lie hữu hạn chiều và H1 và H2 là hai nhóm con nguyên của G. Nhóm con của G được sinh bởi H1 và H2 và nhóm con (H1, H2) của G là các nhóm con nguyên của G. ↩ 1 0AEU
Định nghĩa 2 Cho a là một đại số Lie hữu hạn chiều. Ký hiệu Ad(a) hoặc Int(a) là nhóm con nguyên của Aut(a) có đại số Lie là ad(a). Các phần tử của nhóm này được gọi là các tự đẳng cấu nội của… ↩ 4 0AEV
Định lý 3 (i) Nếu L là một đại số Lie hữu hạn chiều, thì tồn tại một nhóm Lie đơn liên G sao cho L(G) đẳng cấu với L. ↩ 2 0AEW
Mệnh đề 5 Cho G là một nhóm Lie thực liên thông. Giả sử rằng L(G) có một cấu trúc đại số Lie phức khả chuẩn L' tương thích với cấu trúc đại số Lie thực khả chuẩn của nó. Tồn tại trên G một v… 0AEX
Mệnh đề 6 Cho G là một nhóm Lie phức liên thông. Nếu G compắc thì G giao hoán. ↩ 2 0AEY
Định lý 4 Cho G là một nhóm Lie. Tồn tại một và chỉ một ánh xạ mũ của G xác định trên L(G). 0AEZ
Ví dụ Cho A là một đại số kết hợp có đơn vị được chuẩn hoá đầy đủ. Khi đó exp_A^* là ánh xạ mũ được định nghĩa trong Chương II, § 7, no. 3. 0AF0
Mệnh đề 7 Cho G là một nhóm Lie và a là một phần tử của L(G). Ánh xạ λ ↦ exp(λ a) từ K vào G là cấu xạ duy nhất φ của nhóm Lie K vào G sao cho (T₀ φ)1 = a. ↩ 1 0AF1
Mệnh đề 8 Cho G là một nhóm Lie. Với mọi x, y trong L(G) và n là một số nguyên, ↩ 5 0AF2
Mệnh đề 9 Cho G là một nhóm Lie phức và G' là nhóm Lie thực cơ sở của nó. Khi đó exp_G = exp_G'. 0AF3
Mệnh đề 10 Cho G và H là các nhóm Lie và φ là một cấu xạ từ G vào H. (i) φ ∘ exp_G = exp_H ∘ L(φ). (ii) Nếu G là một nhóm con nguyên của H, thì exp_G = exp_H | L(G). ↩ 3 0AF4
Hệ quả 1 Cho G là một nhóm Lie, G' là một nhóm con Lie của G và a ∈ L(G). Các điều kiện sau là tương đương: (i) a ∈ L(G'); (ii) exp(λ a) ∈ G' với mọi λ ∈ K và |λ| đủ nhỏ; (iii) exp(λ a) ∈ G… 0AF5
Hệ quả 2 Cho G là một nhóm Lie, H là một nhóm con nguyên của G và a ∈ L(G). Xét các điều kiện sau: (i) a ∈ L(H); (ii) exp_G(λ a) ∈ H với mọi λ ∈ K. Thế thì (i) ⇒ (ii). Nếu tôpô của H có một… 0AF6
Hệ quả 3 Cho G là một nhóm Lie, ρ là một biểu diễn tuyến tính giải tích của G, x ∈ L(G) và g ∈ G. (i) ρ(exp x) = exp L(ρ)x; (ii) Ad(exp x) = exp ad x; (iii) g(exp x)g⁻¹ = exp(Ad g.x). Lập l… ↩ 5 0AF7
Hệ quả 4 Cho G là một nhóm Lie liên thông hữu hạn chiều. (i) Int(L(G)) = Ad(G). (ii) Cho Z là tâm của G. Khi đó Z là một nhóm con Lie của G mà đại số Lie của nó là tâm của L(G). Ánh xạ từ G… ↩ 5 0AF8
Định nghĩa 3 Cho G là một nhóm Lie liên thông hữu hạn chiều. Nhóm Lie Int(L(G)) = Ad(G) được gọi là nhóm adjoint của G. 0AF9
Mệnh đề 11 Cho G là một nhóm Lie liên thông giao hoán. (i) exp là một cấu xạ étale của nhóm Lie cộng tính L(G) lên G. ↩ 1 0AFA
Mệnh đề 12 Cho G là một nhóm Lie và L = L(G). Với mọi x ∈ L, cho Tₓ(L) được đồng nhất với L, sao cho vi phân phải varpi(x) của exp tại x là một ánh xạ tuyến tính từ L vào L. Với mọi x ∈ L, ↩ 2 0AFB
Nhận xét varpi(x) · (ad\ x) = exp ad\ x - 1. Ta viết, do lạm dụng ký hiệu, 0AFC
Hệ quả Cho G là một nhóm Lie phức và x ∈ L(G). Ánh xạ tiếp tuyến tại x của exp_G có hạt nhân ⨁_n ∈ Z - 0 Ker(ad\ x - 2iπ n). 0AFD
Bổ đề 2 Cho E là một không gian Banach phức, u là một phần tử của L(E), S là phổ của u trong L(E) (Spectral Theories, Chương I, § 1, no. 2) và f là một hàm phức chỉnh hình trên một lân cận… ↩ 1 0AFE
Mệnh đề 13 Cho G là một nhóm Lie liên thông và φ là một biểu diễn tuyến tính giải tích của G trên một không gian vectơ đầy đủ khả chuẩn E. Cho E₁, E₂ là hai không gian vectơ con đóng của E sa… ↩ 3 0AFF
Hệ quả 1 Để E₁ ổn định dưới φ, điều kiện cần và đủ là E₁ ổn định dưới L(φ). ↩ 2 0AFG
Hệ quả 2 Giả sử rằng φ là hữu hạn chiều. Để φ là đơn (tương ứng nửa đơn), điều kiện cần và đủ là L(φ) là đơn (tương ứng nửa đơn). ↩ 3 0AFH
Hệ quả 3 Cho x ∈ E. Để x bất biến dưới φ(G), điều kiện cần và đủ là x bị triệt tiêu bởi L(φ)(L(G)) (nghĩa là x bất biến dưới L(φ) theo nghĩa của Chương I, § 3, Định nghĩa 3). ↩ 4 0AFI
Hệ quả 4 Cho φ' là một biểu diễn tuyến tính giải tích khác của G trên một không gian khả chuẩn đầy đủ E'. Cho T ∈ L(E, E'). Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 1 0AFJ
Hệ quả 5 Giả sử rằng ρ và ρ' là hữu hạn chiều. Để ρ và ρ' tương đương, điều kiện cần và đủ là L(ρ) và L(ρ') tương đương. 0AFK
Hệ quả 6 Giả sử rằng G là hữu hạn chiều. Cho t ∈ U(G). Để Lₜ (tương ứng Rₜ) bất biến phải (tương ứng trái), điều kiện cần và đủ là t thuộc tâm của U(G). 0AFL
Bổ đề 3 Cho G là một nhóm Lie, H₁ và H₂ là các nhóm con nguyên mà tôpô của chúng thừa nhận một cơ sở đếm được và g ∈ G. Khi đó ↩ 1 0AFM
Mệnh đề 14 Cho G là một nhóm Lie và H là một nhóm con nguyên mà tôpô của nó thừa nhận một cơ sở đếm được. Các điều kiện sau là tương đương: (i) H là chuẩn tắc trong G; (ii) L(H) là bất biến d… ↩ 6 0AFN
Hệ quả 1 Cho G là một nhóm Lie đơn liên hữu hạn chiều. Cho m, h là các đại số Lie con của L(G) sao cho L(G) là tích nửa trực tiếp của m bởi h. Cho M, H là các đại số con nguyên tương ứng củ… ↩ 3 0AFO
Hệ quả 2 Cho G là một nhóm Lie liên thông đơn liên thông hữu hạn chiều, H là một nhóm con Lie liên thông chuẩn tắc của G và π là cấu xạ chính tắc của G lên G/H. ↩ 1 0AFP
Hệ quả 3 Cho G là một nhóm Lie liên thông hữu hạn chiều và H là một nhóm con Lie liên thông chuẩn tắc của G. Cấu xạ chính tắc của π₁(H) vào π₁(G) là đơn ánh. 0AFQ
Mệnh đề 15 Cho G là một nhóm Lie, M là một đa tạp lớp Cʳ (r ≥ 2) và α là một dạng vi phân lớp Cʳ⁻¹ bậc 1 trên M với giá trị trong L(G), sao cho dα + [α]² = 0. Giả sử rằng M đơn liên thông. Vớ… 0AFR
Bổ đề 4 Cho G là một nhóm tôpô liên thông, X là một không gian tôpô Hausdorff và f₁, f₂ là các luật tác động trái (resp. phải) của G trên X sao cho, với mọi x ∈ X, các ánh xạ s \mapsto f1(… ↩ 3 0AFS
Mệnh đề 16 Cho G là một nhóm Lie liên thông, X là một đa tạp Hausdorff lớp C^r và f₁, f₂ là các luật tác động trái (resp. phải) lớp C^r của G trên X. Nếu các luật tác động vô cùng bé liên kết… ↩ 1 0AFT
Bổ đề 5 Cho G là một nhóm tôpô đơn liên thông, X là một không gian tôpô Hausdorff, U là một lân cận mở của e trong G và \psi là một ánh xạ liên tục từ U \times X vào X sao cho \psi(e, x) =… ↩ 1 0AFU
Định lý 5 Cho G là một nhóm Lie đơn liên thông, X là một đa tạp compact lớp C^r (r \geq 2) và a \mapsto Da là một luật tác động vô cùng bé trái (resp. phải) lớp C^{r-1} của L(G) trên X. Tồn… ↩ 2 0AFV
Mệnh đề 17 Cho Δ là tập hợp các z ∈ C sao cho −π < J(z) < π và Δ' là tập hợp các z ∈ C không thực ≤ 0. Gọi E là một không gian đầy đủ khả chuẩn trên C và A (resp. A') là tập hợp các x ∈ L(E)… ↩ 4 0AFW
Định lý 6 Cho E là một không gian Hilbert thực hoặc phức và U là nhóm unita của E. ↩ 1 0AFX
Mệnh đề 18 Cho E là một không gian khả chuẩn đầy đủ trên C, v ∈ L(E) và g = exp v. Giả sử rằng Sp(v) không chứa điểm nào trong các điểm 2iπn với n ∈ Z − {0}. Khi đó, với mọi x ∈ E, các điều k… ↩ 1 0AFY
Hệ quả 1 Cho E là một không gian khả chuẩn đầy đủ trên C và F là không gian các ánh xạ n-tuyến tính liên tục từ Eⁿ vào E. Với mọi v ∈ L(E), cho σ(v) là phần tử của L(F) được xác định bởi ↩ 1 0AFZ
Bổ đề 6 Nếu v ∈ L(E), thì Sp σ(v) ⊂ Sp v + Sp v + ⋯ + Sp v, trong đó tổng gồm n+1 hạng. ↩ 1 0AG0
Hệ quả 2 Cho E là một đại số khả chuẩn đầy đủ trên C và w ∈ L(E). Giả sử rằng mọi z ∈ Sp w đều thoả mãn |J(z)| < 2π/3. Các điều kiện sau là tương đương: (i) w là một đạo hàm của E; (ii) exp… ↩ 1 0AG1
Mệnh đề 19 Cho E là một không gian khả chuẩn đầy đủ trên C, v ∈ L(E) và g = exp v. Giả sử rằng mọi z ∈ Sp v đều thoả mãn -π < J(z) < π. Khi đó, với mọi không gian con vectơ đóng E' của E, các… ↩ 1 0AG2
Hệ quả Cho E là một không gian chuẩn đầy đủ trên C, v ∈ L(E) và g = exp v. Giả sử rằng mọi z ∈ Sp v thỏa mãn -π/2 < J(z) < π/2. Khi đó, với mọi không gian con vectơ đóng M của L(E), các đ… 0AG3
Bổ đề 7 Cho B là một nhóm, A là một nhóm con chuẩn tắc của B, C là nhóm B/A và i : A → B và p : B → C là các cấu xạ chính tắc. Cho A' là một nhóm và f là một đồng cấu của A vào A'. Cho ω l… ↩ 1 0AG4
Mệnh đề 20 Cho G là một nhóm Lie thực hữu hạn chiều. ↩ 2 0AG5
Định nghĩa 4 (G, γ), hay đơn giản là tildeG, được gọi là phức hoá phổ quát của G. 0AG6
Nhận xét (1) Cho (tildeG, γ) là phức hóa phổ quát của G. Gọi G₀ (tương ứng tildeG₀) là thành phần đơn vị của G (tương ứng của tildeG). Theo chứng minh của Mệnh đề 20, (tildeG₀, γ|G₀) là phứ… 0AG7

§ 7. Các nhóm Lie trên một trường ultrametric

Mệnh đề 1 Cho G là một mầm nhóm Lie với phần tử đơn vị e. Tồn tại một hệ cơ bản các lân cận mở của e trong G gồm các nhóm con Lie của G. ↩ 4 0AH2
Định lý 1 Cho L là một đại số Lie đầy đủ khả chuẩn. Tồn tại một nhóm Lie G sao cho L(G) đẳng cấu với L. Hai nhóm như vậy là đẳng cấu địa phương. ↩ 2 0AH3
Định lý 2 Cho G là một nhóm Lie và h là một đại số con Lie của L(G) nhận một phần bù tôpô. Tồn tại một nhóm con Lie H của G sao cho L(H) = h. Nếu H1 và H2 là các nhóm con Lie của G sao cho L… 0AH4
Định lý 3 Cho G và H là các nhóm Lie và h là một cấu xạ liên tục của L(G) vào L(H). ↩ 1 0AH5
Mệnh đề 2 Cho G là một nhóm Lie và h là một đại số con Lie của L(G) nhận một phần bù tôpô. Các điều kiện sau là tương đương: 0AH6
Mệnh đề 3 Cho G là một nhóm Lie. Tồn tại một ánh xạ mũ φ của G với các tính chất sau: (i) φ được xác định trên một nhóm con mở U của nhóm cộng tính L(G); (ii) φ(U) là một nhóm con mở của G v… ↩ 4 0AH7
Mệnh đề 4 Cho G là một nhóm Lie và φ là một ánh xạ mũ đơn ánh của G. Giả sử rằng p > 0. Với mọi x, y trong L(G), 0AH8
Định nghĩa 1 Cho r là một số nguyên ≥ 0. Một nhóm chuẩn chiều r trên K là một nhóm Lie G có các tính chất sau: (i) đa tạp giải tích cơ sở của G là m × m × ⋯ × m (r thừa số); (ii) tồn tại một ch… ↩ 2 0AH9
Ví dụ Cho G = 1 + Mn(m), là một tập con mở của Mn(K). Nếu x ∈ G, thì det x ∈ 1 + m và do đó G ⊂ GL(n, K). Rõ ràng GG ⊂ G. Nếu x = 1 + y với y ∈ Mn(m), phép tính nghịch đảo của một ma trậ… 0AHA
Định lý 4 Cho G là một nhóm Lie hữu hạn chiều. Tồn tại một nhóm con mở của G đẳng cấu với một nhóm chuẩn. ↩ 3 0AHB
Mệnh đề 5 Cho G là một nhóm chuẩn. ↩ 1 0AHC
Hệ quả Giả sử rằng K là compact địa phương và đặt q = Card(A/m). 0AHD
Mệnh đề 6 Cho a, b, c, c' là các iđêan khác không của A được chứa trong m sao cho ↩ 1 0AHE
Mệnh đề 7 (i) Họ (G(a_λ)) là một phép lọc trung tâm trên G (Chương II, § 4, no. 4, Định nghĩa 2). (ii) Đối với λ ∈ R₊^*, G(a_λ) = x ∈ G | ω(x) ≥ λ , G(a_λ⁺) = x ∈ G | ω(x) > λ . (ii) là hiển… 0AHF
Mệnh đề 8 Cho n ∈ Z và hₙ là ánh xạ x ↦ xⁿ của G vào G. Cho a là một iđêan khác không của A được chứa trong m, sao cho n ∉ a. Khi đó hₙ|G(a) là một đẳng cấu của đa tạp giải tích G(a) lên đa… ↩ 1 0AHG
Hệ quả Nếu n khả nghịch trong A, hₙ là một đẳng cấu của đa tạp giải tích G lên chính nó. Với mọi iđêan khác không a của A được chứa trong m, hₙ(G(a)) = G(a). Với mọi x ∈ G, ω(xⁿ) = ω(x). 0AHH
Mệnh đề 9 Giả sử rằng p ≠ 0. (i) Cho a, b là các iđêan khác không của A sao cho b ⊂ a ⊂ m. Trong nhóm G(a)/G(b), mọi phần tử đều có cấp là một lũy thừa của p. (ii) Giả sử rằng v(p) = 1. Nếu… ↩ 2 0AHI
Bổ đề 1 Giả sử rằng p ≠ 0. Cho G là một nhóm Lie, G₁ là một nhóm con mở của G đẳng cấu với một nhóm chuẩn và x ∈ G. Các điều kiện sau là tương đương: (i) tồn tại một lũy thừa của x thuộc v… ↩ 3 0AHJ
Mệnh đề 10 Giả sử rằng p ≠ 0. Cho G là một nhóm Lie hữu hạn chiều. Cho G_f là tập hợp các x ∈ G sao cho tồn tại một dãy tăng ngặt (nᵢ) các số nguyên sao cho x^nᵢ tiến tới e khi i tiến tới +∞… ↩ 1 0AHK
Định nghĩa 2 Ánh xạ ψ của Mệnh đề 10 được gọi là ánh xạ logarit của G và được ký hiệu bởi log_G hoặc đơn giản là log. 0AHL
Mệnh đề 11 Giả sử rằng p ≠ 0. Cho x, y là hai phần tử giao hoán được của G_f. Khi đó xy ∈ G_f và log(xy) = log x + log y. 0AHM
Mệnh đề 12 Giả sử rằng p ≠ 0. Cho x ∈ G_f. Các điều kiện sau là tương đương: (i) log x = 0; (ii) x có cấp hữu hạn trong G. 0AHN
Mệnh đề 13 Giả sử rằng p ≠ 0. Nếu G là compact hoặc chuẩn, thì G_f = G. ↩ 2 0AHO
Hệ quả Giả sử rằng K là compact địa phương. Khi đó G_f là hợp của các nhóm con compact của G. 0AHP
Ví dụ Giả sử rằng K là compact địa phương. Gọi U là tập hợp các phần tử khả nghịch của A; nó là một nhóm con mở compact của nhóm Lie K^*. Khi đó U ⊂ (K^*)_f theo Mệnh đề 13; mặt khác, nế… 0AHQ
Mệnh đề 14 Giả sử rằng p ≠ 0 và v được chọn sao cho v(p) = 1. Cho G là một nhóm chuẩn và E(X) (tương ứng L(X)) là khai triển của hàm mũ của G (tương ứng hàm lôgarit của G) thành một chuỗi ngu… 0AHR

§ 8. CÁC NHÓM LIE TRÊN $\mathbf{R}$ VÀ $\mathbf{Q}_p$

Định lý 1 Cho G và H là hai mầm nhóm Lie trên R hoặc Qₚ. Cho f là một cấu xạ liên tục từ G vào H. Khi đó f là giải tích. ↩ 5 0AI2
Hệ quả 1 Cho G là một nhóm tôpô. Trên G tồn tại nhiều nhất một cấu trúc đa tạp giải tích trên R (tương ứng. Qₚ) tương thích với cấu trúc nhóm tôpô trên G. ↩ 1 0AI3
Định nghĩa 1 Một nhóm tôpô G được gọi là một nhóm Lie thực (tương ứng. p-adic) nếu trên G tồn tại một cấu trúc nhóm Lie thực (tương ứng. p-adic) tương thích với tôpô của nó. 0AI4
Hệ quả 2 Cho G là một nhóm tôpô và V là một lân cận mở của e. Giả sử rằng V có một cấu trúc đa tạp giải tích làm cho nó trở thành một mầm nhóm Lie thực (tương ứng. p-adic). Khi đó G là một… ↩ 1 0AI5
Nhận xét (1) Định lý 1 và các hệ quả của nó không còn đúng nếu R (tương ứng. Qₚ) được thay bởi C (Bài tập 1). 0AI6
Mệnh đề 1 Cho G, G' là các nhóm tôpô và f là một cấu xạ liên tục của G vào G'. Giả sử một trong ba trường hợp sau đây xảy ra: (a) G là một nhóm Lie thực và G' là một nhóm Lie p-adic; (b) G l… 0AI7
Định lý 2 Cho G là một nhóm Lie hữu hạn chiều trên R hoặc Qₚ. Mọi nhóm con đóng của G đều là một nhóm con Lie của G. Nói chung hơn, cho U là một lân cận mở đối xứng của e trong G và H là một… ↩ 8 0AI8
Hệ quả 1 Cho G' là một nhóm compact địa phương, G là một nhóm Lie hữu hạn chiều trên R (tương ứng Qₚ) và f là một cấu xạ liên tục từ G' vào G. Nếu hạt nhân của f là rời rạc, thì G' là một n… 0AI9
Hệ quả 2 Cho G là một nhóm Lie hữu hạn chiều trên K, H là một nhóm con của G, V là một lân cận mở của e trong G và (Mᵢ)_i ∈ I là một họ các đa tạp giải tích trên K; với mọi i ∈ I, gọi fᵢ là… ↩ 2 0AIA

§ 9. Các phần tử giao hoán, các tâm hóa và các chuẩn hóa trong một nhóm Lie

Mệnh đề 1 Cho G là một nhóm tôpô và A và B là các nhóm con của G. Khi đó (overlineA, overlineB) = (overlineA, overlineB), overlineDⁱA = overlineDⁱA, overlineCⁱA = overlineCⁱA. ↩ 5 0AII
Hệ quả 1 Nếu G là Hausdorff, các điều kiện sau là tương đương: (i) G là giải được (tương ứng lũy linh); (ii) overlineDⁱG = e (tương ứng overlineCⁱG = e) với i đủ lớn. DⁱG ⊂ overlineDⁱG, CⁱG… 0AIJ
Hệ quả 2 Cho G là một nhóm tôpô Hausdorff và A là một nhóm con của G. Để A là giải được (tương ứng lũy linh, giao hoán, điều kiện cần và đủ là overlineA cũng như vậy). ↩ 3 0AIK
Mệnh đề 2 Cho G là một nhóm tôpô và A và B là các nhóm con của G. Nếu A liên thông, (A, B) liên thông. ↩ 1 0AIL
Mệnh đề 3 Cho G là một nhóm Lie hữu hạn chiều và H1 và H2 là các nhóm con của G. Cho h1, h2 và h là các đại số con Lie tiếp xúc tại e với H1 H2 và (H1, H2) tương ứng. Khi đó [h1, h2] ⊂ h. ↩ 3 0AIM
Nhận xét Ngay cả khi H1 và H2 là các nhóm con Lie liên thông của G, đại số con Lie của L(G) sinh bởi [h1, h2] nói chung phân biệt với h. 0AIN
Mệnh đề 4 Cho G là một nhóm Lie thực hoặc phức hữu hạn chiều. Cho A, B, C là các nhóm con nguyên của G sao cho [L(A), L(C)] ⊂ L(C) và [L(B), L(C)] ⊂ L(C). Nếu [L(A), L(B)] ⊂ L(C), thì (A, B)… ↩ 3 0AIO
Hệ quả Cho G là một nhóm Lie thực hoặc phức liên thông hữu hạn chiều với đại số Lie g. Các nhóm con DⁱG (tương ứng CⁱG) là các nhóm con nguyên với các đại số Lie Dⁱ𝔤 (tương ứng Cⁱ𝔤). Nếu… ↩ 4 0AIP
Mệnh đề 5 Cho G là một nhóm Lie thực hoặc phức hữu hạn chiều và A là một nhóm con nguyên của G. Khi đó DA = DA. Đặc biệt, A là một nhóm con chuẩn của overlineA và overlineA/A là giao hoán. ↩ 1 0AIQ
Mệnh đề 6 Giả sử rằng K là ultrametric. Cho G là một nhóm Lie hữu hạn chiều. Cho A, B, C là các nhóm con Lie của G sao cho [L(A), L(C)] ⊂ L(C), [L(B), L(C)] ⊂ L(C). Nếu [L(A), L(B)] ⊂ L(C)… ↩ 1 0AIR
Hệ quả Giả sử rằng K là ultrametric. Cho G là một nhóm Lie hữu hạn chiều với đại số Lie g. Tồn tại một nhóm con mở G₀ của G sao cho, với mọi i, DⁱG₀ (tương ứng CⁱG₀) là một nhóm con Lie c… ↩ 1 0AIS
Mệnh đề 7 Cho G là một nhóm Lie hữu hạn chiều, g là đại số Lie của nó và a là một tập con của g. Khi đó Z_G(a) là một nhóm con Lie của G với đại số Lie 𝔷_g(a). ↩ 2 0AIT
Mệnh đề 8 Cho G là một nhóm Lie thực hoặc phức hữu hạn chiều, g là đại số Lie của nó và A là một tập con của G. Khi đó Z_G(A) là một nhóm con Lie của G với đại số Lie 𝔷_g(A). ↩ 4 0AIU
Mệnh đề 9 Cho G là một nhóm Lie thực hoặc phức hữu hạn chiều, g là đại số Lie của nó, A là một nhóm con nguyên của G và a = L(A). Khi đó Z_G(A) = Z_G(a), 𝔷_g(A) = 𝔷_g(a) và Z_G(A) là một nhó… ↩ 2 0AIV
Mệnh đề 10 Cho G là một nhóm Lie hữu hạn chiều, g là đại số Lie của nó và a là một không gian con vectơ của g. Khi đó N_G(a) là một nhóm con Lie của G với đại số Lie n_g(a). Điều này suy ra t… ↩ 2 0AIW
Mệnh đề 11 Cho G là một nhóm Lie thực hoặc phức hữu hạn chiều, g là đại số Lie của nó, A là một nhóm con nguyên của G và a = L(A). Khi đó N_G(A) = N_G(a) và N_G(A) là một nhóm con Lie của G c… ↩ 5 0AIX
Hệ quả Nếu a = n_g(a), A là một nhóm con Lie của G và là thành phần đơn vị của N_G(A). Thành phần đơn vị này là một nhóm con Lie với đại số Lie n_g(a) (Mệnh đề 11) và do đó bằng A theo §… ↩ 1 0AIY
Mệnh đề 12 Cho G là một nhóm Lie hữu hạn chiều. Để L(G) lũy linh, điều kiện cần và đủ là G có một nhóm con mở lũy linh. Giả sử rằng G có một nhóm con mở lũy linh G₀. Theo các Hệ quả của các M… ↩ 3 0AIZ
Mệnh đề 13 Cho G là một nhóm Lie lũy linh liên thông đơn chiều hữu hạn trên R hoặc C. ↩ 2 0AJ0
Mệnh đề 14 Cho G là một nhóm Lie liên thông chiều hữu hạn trên R hoặc C. ↩ 3 0AJ1
Mệnh đề 15 Cho G là một nhóm Lie liên thông lũy linh hữu hạn chiều trên R hoặc C và A là một nhóm con nguyên của G. Khi đó Z_G(A) là nhóm Lie con liên thông của G có đại số Lie 𝔷_G(L(A)). 0AJ2
Mệnh đề 16 Cho G là một nhóm Lie lũy linh hữu hạn chiều trên R hoặc C và A là một nhóm con nguyên của G khác với G. Khi đó N_G(A) là một nhóm Lie con liên thông của G khác với A. ↩ 1 0AJ3
Mệnh đề 17 Cho g là một đại số Lie lũy linh hữu hạn chiều trên K và (g₀, g₁, …, gₙ) là một dãy giảm các iđêan của g sao cho g₀ = g, gₙ = 0 và [g, gᵢ] ⊂ gᵢ₊₁ với 0 ≤ i < n. Cho a₁, a₂, …, aₚ l… 0AJ4
Mệnh đề 18 Cho k là một trường giao hoán. V là một không gian vectơ có số chiều hữu hạn 0 trên k và G là một nhóm con của GL(V) mà các phần tử của nó là unipotent. (i) Tồn tại một phần tử v k… ↩ 1 0AJ5
Hệ quả 1 Cho G là một nhóm Lie liên thông thực hoặc phức có số chiều hữu hạn. Để G lũy linh, điều kiện cần và đủ là mọi phần tử của Ad G đều lũy linh. 0AJ6
Hệ quả 2 Mọi nhóm con giải tích của GL(n, K) gồm các phần tử unipotent đều là một nhóm con Lie đơn liên. 0AJ7
Mệnh đề 19 Một nhóm Lie hữu hạn chiều G. Để L(G) giải được, điều kiện cần và đủ là G sở hữu một nhóm con mở giải được. ↩ 2 0AJ8
Mệnh đề 20 Cho G là một nhóm Lie giải được đơn liên hữu hạn chiều n trên R hoặc C và g = L(G). Cho (gₙ, gₙ₋₁, …, g₀) là một dãy các đại số con của g có các chiều n, n-1, …, 0, sao cho gᵢ₋₁ là… ↩ 3 0AJ9
Mệnh đề 21 Cho G là một nhóm Lie giải được liên thông đơn hữu hạn chiều trên R hoặc C và M là một nhóm con nguyên của G. Khi đó M là một nhóm con Lie của G và liên thông đơn. ↩ 1 0AJA
Mệnh đề 22 Giả sử rằng K = R hoặc C. Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều và G là một nhóm con giải được liên thông của GL(V). Giả sử rằng biểu diễn đồng nhất của G là đơn. (i) Nếu K =… ↩ 1 0AJB
Hệ quả Cho V là một không gian vectơ phức có số chiều hữu hạn > 0 và G là một nhóm con giải được liên thông của GL(V). (i) Tồn tại một phần tử khác không v của V sao cho gv ∈ Cv với mọi g… 0AJC
Mệnh đề 23 Cho G là một nhóm Lie thực hoặc phức hữu hạn chiều, r là căn của L(G) (Chương I, § 5, Định nghĩa 2) và n là iđêan lũy linh lớn nhất của L(G) (Chương I, § 4, no. 4). Cho R (tương ứn… ↩ 1 0AJD
Định nghĩa 1 Cho G là một nhóm Lie thực hoặc phức hữu hạn chiều. Căn của G là nhóm con chuẩn liên thông giải được lớn nhất của G. 0AJE
Nhận xét Ngay cả khi G liên thông, có thể có các nhóm con chuẩn giải được của G không được chứa trong căn của G. 0AJF
Mệnh đề 24 Giả sử rằng K = R hoặc C. Cho G₁, G₂ là hai nhóm Lie liên thông hữu hạn chiều, R₁ và R₂ là các căn của chúng và φ là một cấu xạ toàn ánh từ G₁ vào G₂. Khi đó φ(R₁) = R₂. 0AJG
Mệnh đề 25 Giả sử rằng K = R hoặc C. Cho G₁, G₂ là các nhóm Lie liên thông hữu hạn chiều và R₁ và R₂ là các căn của chúng. Căn của G₁ × G₂ là R₁ × R₂. 0AJH
Mệnh đề 26 Cho G là một nhóm Lie thực hoặc phức liên thông hữu hạn chiều. Các điều kiện sau là tương đương: (i) L(G) là nửa đơn; (ii) căn của G là e; (iii) mọi nhóm con giao hoán nguyên chuẩn… ↩ 1 0AJI
Định nghĩa 2 Một nhóm Lie thực hoặc phức liên thông được gọi là nửa đơn nếu nó hữu hạn chiều và thỏa mãn các điều kiện của Mệnh đề 26. 0AJJ
Nhận xét 1 Cho G là một nhóm Lie thực hoặc phức liên thông hữu hạn chiều. Nếu G không là nửa đơn, G có một nhóm con Lie giao hoán liên thông G' bất biến dưới mọi tự đẳng cấu liên tục, sao cho… 0AJK
Mệnh đề 27 Cho G là một nhóm Lie thực hoặc phức liên thông hữu hạn chiều. Các điều kiện sau là tương đương: (i) L(G) là đơn; (ii) các nhóm con nguyên chuẩn duy nhất của G là e và G, và hơn nữ… ↩ 1 0AJL
Định nghĩa 3 Một nhóm Lie thực hoặc phức liên thông được gọi là gần đơn nếu nó hữu hạn chiều và thỏa mãn các điều kiện của Mệnh đề 27. ↩ 2 0AJM
Mệnh đề 28 Cho G là một nhóm Lie thực hoặc phức đơn liên. Các điều kiện sau là tương đương: (i) G là nửa đơn; (ii) G đẳng cấu với tích của một số hữu hạn các nhóm gần đơn. Nếu G là một tích h… ↩ 2 0AJN
Bổ đề 1 Cho G là một nhóm tôpô liên thông, Z là tâm của nó và Z' là một nhóm con rời rạc của Z. Khi đó tâm của G/Z' là Z/Z'. Gọi y là một phần tử của G mà lớp của nó modulo Z' là một phần… ↩ 3 0AJO
Mệnh đề 29 Cho G là một nhóm Lie liên thông nửa đơn thực hoặc phức. (i) G = (G, G). (ii) Tâm Z của G là rời rạc. (iii) Tâm của G/Z là e. Mệnh đề (i) suy ra từ Hệ quả của Mệnh đề 4, no. 2 và C… ↩ 1 0AJP
Mệnh đề 30 (i) Cho 𝔤 là một đại số Lie nửa đơn thực hoặc phức. Khi đó Int 𝔤 là thành phần đơn vị của Aut 𝔤.. (ii) Cho G là một nhóm Lie liên thông nửa đơn thực hoặc phức. Nhóm phụ hợp của G l… ↩ 1 0AJQ
Nhận xét 2 Cho 𝔤 là một đại số Lie nửa đơn phức và 𝔤₀ là đại số Lie thực nền của nó. Khi đó Aut(𝔤) là mở trong Aut(𝔤₀), vì Int(𝔤₀) ⊂ Aut(𝔤). ↩ 1 0AJR
Mệnh đề 31 Cho G là một nhóm Lie liên thông đơn liên hữu hạn chiều thực hoặc phức và R là căn của nó. Tồn tại một nhóm Lie con S nửa đơn đơn liên của G sao cho G, như một nhóm Lie, là tích nử… 0AJS
Bổ đề 2 Cho G là một nhóm (tương ứng, một nhóm tôpô), G' là một nhóm con chuẩn của G, V là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên một trường giao hoán k (tương ứng, trên K), ρ là một biểu… ↩ 2 0AJT
Định lý 1 Cho G là một nhóm Lie thực hoặc phức hữu hạn chiều, G₀ là thành phần đơn vị của nó, R là căn của nó và r là căn của L(G); giả sử rằng G/G₀ là hữu hạn. Cho ρ là một biểu diễn tuyến… ↩ 4 0AJU
Hệ quả 1 Cho ρ, ρ₁, ρ₂ là các biểu diễn tuyến tính giải tích nửa đơn hữu hạn chiều của G và n là một số nguyên ≥ 0. Khi đó ρ₁ ⊗ ρ₂, Tⁿ ρ, Sⁿ ρ, ∧ⁿ ρ (Phụ lục) là nửa đơn. ↩ 1 0AJV
Hệ quả 2 Cho ρ là một biểu diễn tuyến tính giải tích nửa đơn hữu hạn chiều của G trên một không gian vectơ V, S là đại số đối xứng của V và Sᴳ là đại số con của S gồm các phần tử bất biến d… ↩ 1 0AJW
Hệ quả 3 Cho G là một nhóm Lie thực hoặc phức và G₀ là thành phần đơn vị của nó. Giả sử rằng G₀ là nửa đơn và rằng G/G₀ là hữu hạn. Khi đó mọi biểu diễn tuyến tính giải tích hữu hạn chiều c… ↩ 1 0AJX
Mệnh đề 32 Cho G là một nhóm Lie thực liên thông hữu hạn chiều. Giả sử rằng L(G) là khả quy. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 1 0AJY
Mệnh đề 33 Cho G là một nhóm Lie phức hữu hạn chiều mà số các thành phần liên thông là hữu hạn, φ là một biểu diễn tuyến tính giải tích hữu hạn chiều của G và G' là một nhóm con nguyên của nh… 0AJZ

§ 10. Nhóm tự đẳng cấu của một nhóm Lie

Bổ đề 1 Cho G là một nhóm Lie và α là một trường vectơ trên G. Với mọi g ∈ G, đặt β(g) = α(g)g⁻¹ ∈ L(G). Các điều kiện sau là tương đương: (i) α là một đồng cấu của nhóm G vào nhóm T(G); (… ↩ 2 0AL6
Định nghĩa 1 Cho G là một nhóm Lie. Một tự đẳng cấu vô cùng bé của G là bất kỳ trường vectơ giải tích nào trên G thỏa mãn các điều kiện của Bổ đề 1. 0AL7
Bổ đề 2 Cho K' là một trường con đóng không rời rạc của K, A là một K'-đa tạp, B và C là các K-đa tạp và f là một ánh xạ giải tích K' từ A × B vào C. Giả sử rằng, với mọi ↩ 1 0AL8
Mệnh đề 1 Cho K' là một trường con đóng rời rạc của K, G là một nhóm Lie trên K, V là một đa tạp trên K' và (v, g) ↦ vg là một ánh xạ K'-giải tích từ V × G vào G. Giả sử rằng, với mọi v ∈ V… 0AL9
Mệnh đề 2 Cho G là một nhóm Lie thực hoặc phức và α là một tự đẳng cấu vô cùng bé của G. Tồn tại một luật phép toán giải tích (λ, g) ↦ φ_λ(g) của K trên G với các tính chất sau: (1) nếu D là… ↩ 1 0ALA
Mệnh đề 3 Giả sử K là ultrametric. Cho G là một nhóm Lie compact và α là một tự đẳng cấu vi phân của G. Tồn tại một nhóm con mở I của K và một luật của phép toán giải tích (λ, g) ↦ φ_λ(g) củ… ↩ 2 0ALB
Bổ đề 3 Cho G và G' là các nhóm Lie và φ là một đồng cấu từ G vào Aut(G'). Đặt f(g, g') = (φ(g))(g') với g ∈ G, g' ∈ G'. Xét các điều kiện sau: (i) f giải tích; (ii) f giải tích trong một… ↩ 1 0ALC
Bổ đề 4 Cho H là một nhóm Lie đơn liên hữu hạn chiều. (i) Với mọi u ∈ Aut L(H), gọi θ(u) là tự đẳng cấu duy nhất của H sao cho L(θ(u)) = u. Khi đó ánh xạ (u, g) ↦ θ(u)g từ (Aut L(H)) × H v… ↩ 1 0ALD
Định lý 1 Cho G là một nhóm Lie hữu hạn chiều và G₀ là thành phần đơn vị của nó. Giả sử rằng G được sinh bởi G₀ và một số hữu hạn phần tử. ↩ 4 0ALE
Hệ quả 1 Một nhóm Lie thực hữu hạn chiều G và G₀ là thành phần đơn vị của nó. Giả sử rằng G được sinh bởi G₀ và một số hữu hạn phần tử. Khi đó Aut G có tôpô T_β và là một nhóm Lie thực hữu… 0ALF
Hệ quả 2 Nếu G là một nhóm Lie thực hoặc phức liên thông nửa đơn. Nhóm Int G là thành phần đơn vị của Aut G. ↩ 2 0ALG
Định lý 2 Khi K là siêu metric và compact địa phương và G là một nhóm Lie compact, các mệnh đề (i), (ii), (iii), (v) và (vi) của Định lý 1 là đúng. (a) Tính duy nhất của cấu trúc giải tích đ… ↩ 1 0ALH
Nhận xét Nếu K = Qp và nhóm Lie G được sinh bởi một tập con compact (xem Bài tập 2), các mệnh đề (i), (ii), (iii) và (vi) của Định lý 1 vẫn đúng, nhưng (v) thì không (Bài tập 3). 0ALI

IV. Nhóm Coxeter và các hệ Tits

§ 1. Nhóm Coxeter

Định nghĩa 1 Cho w \in W. Độ dài của w (đối với S), ký hiệu là lS(w) hoặc đơn giản là l(w), là số nguyên nhỏ nhất q \geq 0 sao cho w là tích của một dãy gồm q phần tử của S. Một phân tích rút g… 0ALN
Mệnh đề 1 Cho w và w' thuộc W. Ta có các công thức: 0ALO
Hệ quả Cho s = (s₁, …, sₚ) và s' = (s'₁, …, s'_q) là hai dãy các phần tử của S sao cho w = s₁ … sₚ và w' = s'₁ … s'_q. Nếu dãy (s₁, …, sₚ, s'₁, …, s'_q) là một phân tích rút gọn của ww'… 0ALP
Nhận xét Theo các công thức (1) và (2), công thức d(w, w') = l(ww'⁻¹) xác định một khoảng cách trên W, bất biến qua các phép tịnh tiến phải. 0ALQ
Định nghĩa 2 Một nhóm nhị diện là một nhóm được sinh bởi hai phần tử phân biệt có cấp hai. 0ALR
Ví dụ Cho M là nhóm nhân 1, -1, và cho m là một số nguyên ≥ 2 (tương ứng. m = ∞). Khi đó M tác động lên nhóm Z/mZ (tương ứng. lên Z) bởi (-1).x = -x, và tích bán trực tiếp tương ứng của… 0ALS
Mệnh đề 2 Giả sử rằng S gồm hai phần tử phân biệt s và s' có cấp 2. ↩ 3 0ALT
Nhận xét Xét một nhóm nhị diện W có cấp 2m được sinh bởi hai phần tử phân biệt s và s' có cấp 2. Ký hiệu bởi s_q (tương ứng s'_q) dãy có độ dài q mà các số hạng được đánh số lẻ (tương ứng c… 0ALU
Định nghĩa 3 (W, S) được gọi là một hệ Coxeter nếu nó thỏa mãn điều kiện sau: 0ALV
Ví dụ 1 Cho m là một số nguyên ≥ 2 hoặc ∞ và cho W là một nhóm được xác định bởi một tập các phần tử sinh S = s, s' và các hệ thức s² = s'² = 1 khi m = ∞, s² = s'² = (ss')ᵐ = 1 khi m là hữ… 0ALW
Ví dụ 2 Cho 𝔖ₙ là nhóm đối xứng bậc n, với n ≥ 2. Cho sᵢ là phép chuyển vị của i và i+1 với 1 ≤ i < n, và cho S = {s1, ..., s{n-1}}. Có thể chứng minh (§ 2, no.4, Ví dụ và § 1, Exerc. 4) r… 0ALX
Ví dụ 3 Về sự phân loại các nhóm Coxeter hữu hạn, xem Chương 4, § 4. 0ALY
Nhận xét Giả sử rằng (W, S) là một hệ Coxeter. Tồn tại một đồng cấu ε từ W vào nhóm {1, -1} được đặc trưng bởi ε(s) = -1 với mọi s ∈ S. Ta gọi ε(w) là dấu của w; nó bằng (-1)ˡ⁽ʷ⁾. Công thức… 0ALZ
Mệnh đề 3 Giả sử rằng (W, S) là một hệ Coxeter. Khi đó, hai phần tử s và s' của S là liên hợp² trong W khi và chỉ khi điều kiện sau được thỏa mãn: ↩ 2 0AM0
Bổ đề 1 (i) Cho w ∈ W và t ∈ T. Số (-1)^n(s, t) có cùng giá trị η(w, t) đối với mọi dãy s = (s₁, …, s_q) gồm các phần tử của S sao cho w = s₁ … s_q. ↩ 3 0AM1
Bổ đề 2 Cho s = (s₁, …, s_q), Φ(s) = (t₁, …, t_q) và w = s₁ … s_q. Cho T_w là tập hợp các phần tử của T sao cho η(w, t) = -1. Khi đó s là một phân tích rút gọn của w khi và chỉ khi các tᵢ… ↩ 4 0AM2
Bổ đề 3 Cho w ∈ W và s ∈ S sao cho l(sw) ≤ l(w). Với mọi dãy s = (s₁, …, s_q) gồm các phần tử của S với w = s₁ … s_q, tồn tại một số nguyên j sao cho 1 ≤ j ≤ q và ↩ 2 0AM3
Nhận xét Tập hợp T_w được định nghĩa trong Bổ đề 2 gồm các phần tử có dạng w''sw''⁻¹ tương ứng với các bộ ba (w', w'', s) ∈ W × W × S sao cho w = w''sw' và l(w') + l(w'') + 1 = l(w). 0AM4
Mệnh đề 4 Cho s ∈ S, w ∈ W và s = (s₁, …, s_q) là một phân tích rút gọn của w. Khi đó một trong các trường hợp sau đây phải xảy ra: ↩ 4 0AM5
Bổ đề 4 Cho w ∈ W có độ dài q ≥ 1, cho D là tập hợp các phân tích thu gọn của w, và cho F là một ánh xạ từ D vào một tập hợp E. Giả sử rằng F(s) = F(s') nếu các phần tử s = (s₁, …, s_q); s… ↩ 1 0AM6
Mệnh đề 5 Cho M là một nửa nhóm (với phần tử đơn vị 1) và f là một ánh xạ từ S vào M. Với s, s' ∈ S, đặt m(s, s') là cấp của ss' và đặt ↩ 3 0AM7
Định lý 1 (W, S) là một hệ Coxeter khi và chỉ khi nó thỏa mãn điều kiện trao đổi (E) của no. 5. ↩ 2 0AM8
Mệnh đề 6 Cho (Pₛ)_s ∈ S là một họ các tập con của W thỏa mãn (C) và các điều kiện sau: ↩ 5 0AM9
Mệnh đề 7 Cho w thuộc W. Tồn tại một tập con S_w của S sao cho s₁, …, s_q = S_w với mọi phân tích rút gọn (s₁, …, s_q) của w. 0AMA
Hệ quả 1 Với mọi tập con X của S, nhóm con W_X của W gồm các phần tử w của W sao cho S_w ⊂ X. ↩ 5 0AMB
Hệ quả 2 Với mọi tập con X của S, ta có W_X ∩ S = X. ↩ 2 0AMC
Hệ quả 3 Tập hợp S là một tập sinh cực tiểu của W. 0AMD
Hệ quả 4 Với mọi tập con X của S và mọi w trong W_X, độ dài của w đối với tập sinh X của W_X bằng l_S(w). ↩ 1 0AME
Định lý 2 (i) Với mọi tập con X của S, cặp (W_X, X) là một hệ Coxeter. ↩ 3 0AMF
Định nghĩa 4 Cho I là một tập hợp. Một ma trận Coxeter kiểu I là một ma trận vuông đối xứng M = (mᵢⱼ)_i,j ∈ I mà các phần tử của nó là các số nguyên hoặc +∞ thỏa mãn các hệ thức mᵢᵢ = 1 cho mọi… 0AMG
Mệnh đề 8 Cho (Sᵢ)_i ∈ I là một phân hoạch của S sao cho mọi phần tử của Sᵢ giao hoán với mọi phần tử của Sⱼ nếu i ≠ j. Với mọi i ∈ I, cho Wᵢ là nhóm con sinh bởi Sᵢ. Khi đó W là tích trực t… ↩ 1 0AMH

§ 2. Các hệ Tits

Định nghĩa 1 Một hệ Tits là một bộ bốn (G, B, N, S), trong đó G là một nhóm, B và N là hai nhóm con của G và S là một tập con của N/(B ∩ N), thỏa mãn các tiên đề sau: ↩ 1 0AN8
Nhận xét 1 Ta sẽ thấy trong no. 5 (Hệ quả của Định lý 3) rằng, nếu (G, B, N) đã cho, tồn tại nhiều nhất một tập con S của N/(B ∩ N) sao cho (G, B, N, S) là một hệ Tits. 0AN9
Nhận xét 2 Cho (G, B, N, S) là một hệ Tits, và cho Z là một nhóm con chuẩn tắc của G được chứa trong B. Cho G' = G/Z, B' = B/Z, N' = N/(Z ∩ N), và cho S' là ảnh của S trong N'/(B' ∩ N'). Khi… 0ANA
Bổ đề 1 Cho s₁, …, s_q ∈ S và cho w ∈ W. Ta có C(s₁ … s_q).C(w) ⊂ ⋃_(i₁, …, iₚ) C(s_i₁ … s_iₚ w), trong đó (i₁, …, iₚ) là tập hợp các dãy tăng ngặt của các số nguyên trong khoảng [1, q]. ↩ 4 0ANB
Định lý 1 Ta có G = BWB. Ánh xạ w ↦ C(w) là một song ánh từ W đến tập hợp B backslash G / B gồm các lớp kép của G đối với B. ↩ 5 0ANC
Nhận xét Tiên đề (T4) đã không được sử dụng trong chứng minh trước đó. 0AND
Định lý 2 Cặp (W, S) là một hệ Coxeter. Hơn nữa, đối với s ∈ S và w ∈ W, các quan hệ C(sw) = C(s).C(w) và l_S(sw) > l_S(w) là tương đương. ↩ 1 0ANE
Hệ quả 1 Cho w₁, …, w_q ∈ W và cho w = w₁ … w_q. Nếu l_S(w) = l_S(w₁) + ⋯ + l_S(w_q), thì C(w) = C(w₁) … C(w_q). ↩ 5 0ANF
Hệ quả 2 Cho w ∈ W và cho T_w là tập con của W liên kết với w bởi thủ tục của Bổ đề 2 của § 1, no. 4. Nếu t ∈ T_w, thì ↩ 1 0ANG
Hệ quả 3 Cho w ∈ W và cho H_w là nhóm con của G sinh bởi C(w).C(w⁻¹). Khi đó: ↩ 2 0ANH
Ví dụ Định lý 2, được áp dụng cho hệ Tits được mô tả trong no. 2, chỉ ra rằng nhóm đối xứng 𝔖ₙ, với tập các phép chuyển vị của các phần tử liên tiếp, là một nhóm Coxeter. 0ANI
Định lý 3 a) Với mọi tập con X của S, tập hợp GX là một nhóm con của G, sinh bởi ⋃_s ∈ X C(s). ↩ 4 0ANJ
Hệ quả Tập hợp S gồm các phần tử w ∈ W sao cho w ≠ 1 và B ∪ C(w) là một nhóm con của G. ↩ 1 0ANK
Nhận xét 1 Hệ quả trên cho thấy S được xác định bởi (G, B, N); vì lý do này, đôi khi ta cho phép mình nói rằng (G, B, N) là một hệ Tits, hoặc rằng (B, N) là một hệ Tits trong G. 0ANL
Mệnh đề 1 Cho X là một tập con của S và N' là một nhóm con của N có ảnh trong W bằng WX. Khi đó, (GX, B, N', X) là một hệ Tits. 0ANM
Mệnh đề 2 Cho X, Y ⊂ S và w ∈ W. Ta có ↩ 2 0ANN
Nhận xét 2 Ký hiệu G_X backslash G / G_Y là tập hợp các tập con của G có dạng G_X g G_Y, g ∈ G; và định nghĩa W_X backslash W / W_Y tương tự. Mệnh đề trước cho thấy rằng song ánh chính tắc w… 0ANO
Mệnh đề 3 Cho X ⊂ S và g ∈ G. Quan hệ g B g⁻¹ ⊂ G_X kéo theo rằng g ∈ G_X. ↩ 1 0ANP
Định nghĩa 2 Một nhóm con của G được gọi là parabolic nếu nó chứa một liên hợp của B. ↩ 1 0ANQ
Mệnh đề 4 Cho P là một nhóm con của G. ↩ 1 0ANR
Định lý 4 (i) Cho P₁ và P₂ là hai nhóm con parabolic của G mà giao của chúng là parabolic và cho g ∈ G sao cho gP₁g⁻¹ ⊂ P₂. Khi đó g ∈ P₂ và P₁ ⊂ P₂. ↩ 2 0ANS
Mệnh đề 5 Cho P₁ và P₂ là hai nhóm con parabolic của G. Khi đó P₁ ∩ P₂ chứa một liên hợp của T. 0ANT
Bổ đề 2 Cho H là một nhóm con chuẩn tắc của G. Tồn tại một tập con X của S sao cho BH = G_X và sao cho mọi phần tử của X giao hoán với mọi phần tử của S - X. ↩ 1 0ANU
Định lý 5 Gọi Z là giao của các liên hợp của B, gọi U là một nhóm con của B và gọi G1 là nhóm con sinh bởi các liên hợp của U trong G. Ta đặt các giả thiết sau: ↩ 4 0ANV
Hệ quả Dưới các giả thiết của Đl. 5, nhóm G₁/(G₁ ∩ Z) hoặc là đơn không Abel hoặc thu gọn về phần tử đơn vị. 0ANW
Nhận xét 1 Các giả thiết (2), (3), (4) không được dùng trong chứng minh rằng (G', B', N', S') là một hệ Tits. 0ANX
Nhận xét 2 Giả sử rằng Z ∩ U = 1. Vì Z và U là chuẩn tắc trong B, suy ra mọi phần tử của Z giao hoán với mọi phần tử của U, và do đó với mọi phần tử của G1. Theo hệ quả trước đó, suy ra G₁ ∩… 0ANY
Nhận xét 3 Giả thiết (3) được kéo theo bởi điều kiện sau: 0ANZ
Ví dụ 1 Cho k là một trường, n là một số nguyên geqslant 0, G = GL(n, k), và cho (G, B, N, S) là hệ Tits được mô tả trong no. 2. Cho U là nhóm con tam giác trên ngặt của G, tức là nhóm con… 0AO0
Ví dụ 2 Cho g là một đại số Lie đơn trên C, và cho G là nhóm các tự đẳng cấu nội của g (xem Ch. III, § 6, no. 2, Mệnh đề 2). Bằng cách sử dụng Đl. 5, ta có thể chứng minh rằng G là đơn khô… 0AO1

App. 0. Graphs

Định nghĩa 1 Một đồ thị tổ hợp (hay đơn giản là một đồ thị, nếu không có nguy cơ nhầm lẫn) là một cặp (A, S), trong đó S là một tập hợp và A là một tập con của 𝔓(S) gồm các tập hợp có hai phần… 0AOV
Mệnh đề 1 Cho Γ = (A, S) là một đồ thị và (S_α)_α ∈ L là họ các thành phần liên thông của nó. Ký hiệu bởi Γ_α đồ thị con đầy đủ của Γ có S_α làm tập hợp các đỉnh của nó. ↩ 2 0AOW
Hệ quả 1 Một đồ thị Γ = (A, S) là liên thông nếu và chỉ nếu không tồn tại một phân hoạch (S', S'') của S thành hai tập hợp con không rỗng sao cho không có phần tử nào của S' được nối trong… ↩ 1 0AOX
Hệ quả 2 Một tập con S' của S là một hợp các thành phần liên thông khi và chỉ khi không có đỉnh nào thuộc S' được nối với một đỉnh nào thuộc S - S'. 0AOY
Mệnh đề 2 Cho Γ = (A, S) là một rừng chỉ có một số hữu hạn đỉnh. ↩ 1 0AOZ
Mệnh đề 3 Một đồ thị là một chuỗi khi và chỉ khi số đỉnh của nó là hữu hạn và khác không, và nó là một cây không có điểm phân nhánh. ↩ 1 0AP0

V. Các nhóm sinh bởi các phép phản xạ

§ 1. Siêu phẳng, các phòng và các mặt

Mệnh đề 1 Cho a là một điểm của E. Tồn tại một lân cận mở liên thông của a không cắt bất kỳ siêu phẳng H nào thuộc H và không đi qua a. Hơn nữa, chỉ có hữu hạn siêu phẳng thuộc H và đi qua a… ↩ 1 0AP1
Định nghĩa 1 Một mặt của E đối với H là một lớp tương đương của quan hệ tương đương được định nghĩa ở trên. ↩ 1 0AP2
Mệnh đề 2 Tập hợp các mặt là hữu hạn địa phương. 0AP3
Mệnh đề 3 Cho F là một mặt và L là giá afin của nó. ↩ 3 0AP4
Hệ quả Cho F và F' là hai mặt. Nếu overlineF = overlineF', thì các mặt F và F' bằng nhau. ↩ 1 0AP5
Mệnh đề 4 Cho F là một mặt, và cho L là một không gian con afin của E là giao của các siêu phẳng thuộc ℌ; ký hiệu 𝔑 là tập hợp các siêu phẳng H ∈ ℌ không chứa L. Các điều kiện sau là tương đ… ↩ 5 0AP6
Định nghĩa 2 Một buồng của E đối với ℌ (hoặc đơn giản là một buồng nếu không có sự mơ hồ nào về ℌ) là một mặt của E đối với ℌ mà không được chứa trong bất kỳ siêu phẳng nào thuộc ℌ. 0AP7
Mệnh đề 5 Cho C là một tập con không rỗng của E. Giả sử rằng tồn tại một tập con ℌ' của ℌ có các tính chất sau: ↩ 1 0AP8
Mệnh đề 6 Mọi điểm của E đều nằm trong bao đóng của ít nhất một buồng. ↩ 2 0AP9
Mệnh đề 7 Cho L là một không gian con afin của E và Ω là một tập con mở không rỗng của L. ↩ 3 0APA
Định nghĩa 3 Một buồng C của E đã cho. Một mặt của C là một mặt được chứa trong bao đóng của C mà giá của nó là một siêu phẳng. Một tường của C là một siêu phẳng là giá của một mặt của C. 0APB
Mệnh đề 8 Mọi siêu phẳng H thuộc ℌ đều là tường của ít nhất một buồng. ↩ 1 0APC
Mệnh đề 9 Cho C là một buồng và M là tập hợp các vách của C. Khi đó C = D_M(C) và mọi tập con L của ℌ sao cho C = D_L(C) đều chứa M. Một tập con F của overlineC là một mặt nếu và chỉ nếu nó… ↩ 3 0APD
Nhận xét 1 Suy ra từ công thức (6) và Mệnh đề 9 rằng bao đóng của một buồng C là giao của các nửa-không gian đóng được chặn bởi một tường của C và chứa C. 0APE
Nhận xét 2 Cho F là một mặt mà giá của nó là một siêu phẳng L; ta sẽ chỉ ra rằng F là một mặt của hai buồng. Gọi 𝔑 là tập hợp các siêu phẳng H ≠ L thuộc ℌ; đặt A = D_𝔑(F) và ký hiệu bởi D⁺ và… 0APF
Bổ đề 1 Hai siêu phẳng không song song bất kỳ đều có giao khác rỗng. ↩ 2 0APG
Bổ đề 2 Cho H và H' là hai siêu phẳng phân biệt của E, và f, f' là hai hàm afin trên E sao cho H (tương ứng, H') gồm các điểm a trong E sao cho f(a) = 0 (tương ứng, f'(a) = 0). Sau hết, gọ… ↩ 1 0APH
Mệnh đề 10 Cho C là một buồng, cho H và H' là hai vách của C, và cho L là một siêu phẳng cắt D_H(C) ∩ D_H'(C). Giả sử rằng H phân biệt với H' và một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: 0API

§ 2. Phép phản xạ

Định nghĩa 1 Một tự đồng cấu s của không gian vectơ V được gọi là một giả phản xạ nếu 1 - s có hạng 1. 0APJ
Mệnh đề 1 Cho G là một nhóm và ρ là một biểu diễn tuyến tính bất khả quy của G trên một không gian vectơ V; giả sử rằng tồn tại một phần tử g của G sao cho ρ(g) là một giả-phản xạ. ↩ 5 0APK
Mệnh đề 2 Cho s là một tự đồng cấu của V. ↩ 1 0APL
Hệ quả Nếu V là hữu hạn chiều, mọi phép phản xạ đều có định thức bằng −1. 0APM
Mệnh đề 3 Cho s là một phép phản xạ trong V. ↩ 5 0APN
Hệ quả Hai phép phản xạ phân biệt s và u giao hoán với nhau khi và chỉ khi Vₛ⁻ ⊂ Vᵤ⁺ và Vᵤ⁻ ⊂ Vₛ⁺. 0APO
Nhận xét Cho a ≠ 0 thuộc V và cho a^* là một dạng tuyến tính khác không trên V: từ công thức (1) suy ra rằng 0APP
Mệnh đề 4 Giả sử rằng V hữu hạn chiều. Cho B là một dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến trên V, X là một không gian con của V và X⁰ là phần bù trực giao của X đối với B; sau cùng, c… 0APQ
Mệnh đề 5 Cho H và H' là hai siêu phẳng song song, không đẳng hướng của E. Tồn tại một vectơ duy nhất v ∈ V trực giao với H và sao cho H' = H + v. Phép dời hình s_H' s_H là phép tịnh tiến th… ↩ 4 0APR
Hệ quả Cho H và H' là hai siêu phẳng phân biệt, song song, không đẳng hướng. Nếu K có đặc số không (tương ứng p > 0, với p ≠ 2), nhóm các phép dời hình của E sinh bởi s_H và s_H' là một n… 0APS
Nhận xét Ta giữ ký hiệu của Mệnh đề 5 và giả sử thêm rằng K = R. Đặt s = s_H và s' = s_H'. Gọi Hₙ là siêu phẳng H + n.v và gọi Cₙ là tập hợp các điểm của E có dạng a + ξ.v với a ∈ H và n <… 0APT
Mệnh đề 6 Cho s là phép đối xứng trực giao đối với một đường thẳng D của V. Nếu Δ và Δ' là hai nửa đường thẳng gốc O (tương ứng, hai đường thẳng đi qua gốc O) của V, ta có 0APU
Hệ quả Cho D và D' là hai đường thẳng của V và θ là một số đo của góc (widehatD, widehatD'). Khi đó s_D' s_D = ρ_2θ. ↩ 4 0APV
Mệnh đề 7 Nhóm W là điêđrơ (Ch. IV, § 1, no. 2) có cấp 2m. Nó gồm các phép quay ρ_2nθ và các tích ρ_2nθ s với n ∈ Z. Các biến đổi của D và D' bởi các phần tử của W là các biến đổi của D bởi… 0APW
Hệ quả Cho C là miền góc mở tạo thành bởi hợp của các nửa đường thẳng mở Δ₁ xuất phát từ gốc tọa độ và sao cho 0 < (widehatΔ, widehatΔ₁) < θ. Khi đó không có biến đổi nào của D hoặc D' bở… ↩ 1 0APX
Nhận xét Giả sử rằng m là hữu hạn và rằng θ = π / m. Nếu n ∈ Z, gọi Cₙ là hợp của các nửa đường thẳng mở Δ₁ xuất phát từ 0 sao cho 0APY

§ 3. Các nhóm của các phép dời sinh bởi các phản xạ

Bổ đề 1 Tập hợp các siêu phẳng H là hữu hạn địa phương. 0AQ2
Bổ đề 2 Cho C là một buồng. (i) Với mọi x ∈ E, tồn tại một phần tử w ∈ W sao cho w(x) ∈ overlineC. (ii) Với mọi buồng C', tồn tại một phần tử w ∈ W sao cho w(C') = C. (iii) Nhóm W được sin… ↩ 2 0AQ3
Định lý 1 Cho C là một buồng và cho S là tập hợp các phản xạ đối với các tường của C. ↩ 7 0AQ4
Hệ quả Cho Σ là một tập hợp các phép phản xạ sinh W. Khi đó mọi phép phản xạ thuộc W đều liên hợp với một phần tử của Σ. ↩ 5 0AQ5
Định lý 2 Với mọi buồng C, bao đóng overlineC của C là một miền cơ bản cho tác động của W trên E. ↩ 7 0AQ6
Mệnh đề 1 Cho F là một diện và C là một buồng sao cho F ⊂ overlineC. Cho w ∈ W. Các điều kiện sau là tương đương: (i) w(F) cắt F; (ii) w(F) = F; (iii) w(overlineF) = overlineF; ↩ 5 0AQ7
Mệnh đề 2 Cho A là một tập con không rỗng của E, cho ℌ_A là tập các siêu phẳng H ∈ ℌ chứa A, cho A' là giao của các H ∈ ℌ_A, và cho F là một diện của E mở trong A' (§ 1, no. 3, Mệnh đề 7). K… ↩ 3 0AQ8
Nhận xét 1 Suy ra từ Định lý 2 rằng, nếu C là một phòng và F là một diện, tồn tại một diện duy nhất F' được chứa trong overlineC được biến đổi thành F bởi một phần tử của W. 0AQ9
Nhận xét 2 Suy ra từ các Mệnh đề 1 và 2 rằng, với mọi tập con không rỗng A của E, tồn tại một điểm a ∈ E sao cho W(A) = W(a); hơn nữa, nhóm W(A) là một nhóm Coxeter (Định lý 1). 0AQA
Nhận xét 3 Cho C là một phòng của E và S là tập hợp các phép phản xạ đối với các tường của C. Cho w ∈ W và cho (s₁, …, s_q) là một phân tích rút gọn của w đối với S. Nếu x ∈ overlineC được cố… 0AQB
Mệnh đề 3 Cho C là một phòng và cho i, j ∈ I với i ≠ j. Đặt sᵢ = sᵢ(C), Hᵢ = Hᵢ(C), eᵢ = eᵢ(C) và định nghĩa sⱼ, Hⱼ và eⱼ tương tự. ↩ 7 0AQC
Nhận xét Công thức (4) thực sự đúng với mọi i, j ∈ I: thật vậy, π / mᵢⱼ = 0 nếu mᵢⱼ = ∞, và nếu i = j thì mᵢⱼ = 1 và (eᵢ|eⱼ) = 1. 0AQD
Bổ đề 3 Cho q là một dạng toàn phương dương trên một không gian vectơ thực V và cho B là dạng song tuyến tính đối xứng liên kết với nó. Cho a₁, …, aₙ là các phần tử của V sao cho B(aᵢ, aⱼ)… ↩ 3 0AQE
Bổ đề 4 Cho Q = (qᵢⱼ) là một ma trận vuông, đối xứng, thực cấp n sao cho: a) qᵢⱼ ≤ 0 với i ≠ j; b) không tồn tại một phân hoạch của 1, 2, …, n thành hai tập con khác rỗng I và J sao cho (i… ↩ 3 0AQF
Bổ đề 5 Cho e₁, …, eₙ là các vectơ sinh ra T sao cho: a) (eᵢ|eⱼ) ≤ 0 với i ≠ j; b) không tồn tại một phân hoạch của 1, …, n thành hai tập con không rỗng I và J sao cho (eᵢ|eⱼ) = 0 với i ∈… ↩ 1 0AQG
Bổ đề 6 Cho (e₁, …, eₙ) là một cơ sở của T sao cho (eᵢ|eⱼ) ≤ 0 với i ≠ j. ↩ 5 0AQH
Bổ đề 7 Cho A là một tập hợp các vectơ đơn vị trong T. Nếu tồn tại một số thực λ < 1 sao cho (a|a') ≤ λ với a, a' ∈ A và a ≠ a', thì tập hợp A là hữu hạn. ↩ 1 0AQI
Định lý 3 (i) Tập hợp các tường của một phòng là hữu hạn. (ii) Tập hợp các phương của các siêu phẳng thuộc ℌ là hữu hạn. (iii) Nhóm U(W) là hữu hạn. ↩ 1 0AQJ
Mệnh đề 4 Cho C là một buồng và 𝔑 là một tập hợp các vách của C. Gọi W_𝔑 là nhóm con của W sinh bởi các phép phản xạ trực giao đối với các phần tử của 𝔑. Với H ∈ 𝔑, ký hiệu e_H là vectơ đơn… ↩ 2 0AQK
Nhận xét 1 Vì W được sinh bởi các phép phản xạ đối với các vách của buồng C, mệnh đề trước đó cho một tiêu chuẩn để W là hữu hạn. Ta sẽ trở lại câu hỏi này ở no. 9. 0AQL
Nhận xét 2 Cho F là một không gian afin thực hữu hạn chiều và G là một nhóm các tự đẳng cấu của F. Với mọi g ∈ G, ký hiệu U(g) là tự đẳng cấu của không gian các phép tịnh tiến V của F liên kế… 0AQM
Mệnh đề 5 Cho J₁, …, Jₛ là các tập hợp các đỉnh của các thành phần liên thông của đồ thị Coxeter của W. Với 1 ≤ p ≤ s, đặt ↩ 4 0AQN
Hệ quả Giả sử rằng W ≠ 1. Khi đó W là bất khả quy khi và chỉ khi nó là cốt yếu và đồ thị Coxeter của nó liên thông. 0AQO
Nhận xét Dưới các giả thiết của Mệnh đề 5, các không gian con Tₚ với 0 ≤ p ≤ s là các thành phần đẳng kiểu của biểu diễn tuyến tính U của W trên T (Đại số, Chap. VIII, §3, no. 4). Suy ra (l… 0AQP
Mệnh đề 6 (i) Nhóm Wₚ là một nhóm các phép dời của không gian affine Euclid Eₚ; nó được sinh bởi các phép phản xạ; được trang bị tôpô rời rạc, nó tác động đúng trên Eₚ; nó là bất khả quy. ↩ 3 0AQQ
Mệnh đề 7 Giả sử rằng nhóm W là cốt yếu và hữu hạn. Khi đó: (i) Tồn tại duy nhất một điểm a của E bất biến dưới W. (ii) Họ (cH){H \in \mathscr{M}} là một cơ sở của T. (iii) Phòng C là nón đơ… ↩ 5 0AQR
Mệnh đề 8 Giả sử rằng nhóm W là cốt yếu, bất khả quy và vô hạn. Khi đó: ↩ 3 0AQS
Nhận xét 1 Đồng nhất E với E₀ × E₁ × ⋯ × Eₛ và W với W₁ × ⋯ × Wₛ như ở no. 8. Theo Mệnh đề 6, buồng C khi đó được đồng nhất với 0AQT
Nhận xét 2 Giả sử rằng W là bất khả quy và cốt yếu. Nếu H và H' là hai vách của C, thì m_HH' = +∞ khi và chỉ khi e_H = -e_H' (Mệnh đề 3). Theo các Mệnh đề 7 và 8, điều này chỉ có thể xảy ra n… 0AQU
Mệnh đề 9 Cho a ∈ E. Các điều kiện sau là tương đương: (i) Ta có W = Wₐ.L; (ii) Hạn chế của đồng cấu U lên Wₐ là một đẳng cấu từ Wₐ lên U(W); (iii) Với mọi siêu phẳng H ∈ ℌ, tồn tại một siêu… ↩ 3 0AQV
Định nghĩa 1 Một điểm a của E được gọi là đặc biệt đối với W nếu nó thỏa mãn các điều kiện tương đương trong Mệnh đề 9. ↩ 1 0AQW
Mệnh đề 10 Tồn tại một điểm đặc biệt đối với W. ↩ 1 0AQX
Mệnh đề 11 Giả sử rằng W là cốt yếu. Cho a là một điểm đặc biệt đối với W. Các phòng đối với Wₐ là các nón đơn mở có đỉnh a. Với mỗi phòng C' đối với Wₐ, tồn tại duy nhất một phòng C đối với… ↩ 3 0AQY
Hệ quả Giả sử rằng W là cốt yếu. ↩ 2 0AQZ
Nhận xét 1 Giả sử rằng W là cốt yếu, bất khả quy và vô hạn và giữ ký hiệu của Mệnh đề 11. Vì U là một đẳng cấu từ Wₐ lên U(W), suy ra rằng đồ thị Coxeter của nhóm tịnh tiến U(W) (được sinh bở… 0AR0
Mệnh đề 12 Giả sử rằng W là cốt yếu. Cho a là một điểm đặc biệt, cho L(a) là tập các ảnh của nó dưới nhóm các phép tịnh tiến L, và cho C là một buồng. Khi đó overlineC cắt L(a) tại một điểm d… ↩ 1 0AR1
Nhận xét 2 Tập L(a) được chứa trong tập hợp các điểm đặc biệt, nhưng nói chung phân biệt với nó (xem Chương VI, § 2, no. 2 và Các bảng I đến VI). 0AR2

§ 4. Biểu diễn hình học của một nhóm Coxeter

Mệnh đề 1 Hạn chế của B_M lên E_s,s' là dương, và nó không suy biến khi và chỉ khi m là hữu hạn. ↩ 3 0ARB
Mệnh đề 2 Nhóm con của GL(E) sinh bởi σₛ và σ_s' là một nhóm dihedral có cấp 2m(s, s'). 0ARC
Mệnh đề 3 Tồn tại một đồng cấu duy nhất 0ARD
Nhận xét 1 Ta sẽ thấy trong no. 4 rằng σ là đơn ánh; do đó nhóm W có thể được đồng nhất với nhóm con của GL(E) sinh bởi các σₛ. 0ARE
Mệnh đề 4 a) Ánh xạ s ↦ gₛ từ S vào W là đơn ánh. ↩ 1 0ARF
Hệ quả Cặp (W, S) là một hệ Coxeter với ma trận M. ↩ 1 0ARG
Nhận xét 2 Như vậy ta đã chứng minh rằng mọi ma trận Coxeter tương ứng với một nhóm Coxeter. 0ARH
Định lý 1 (Tits) Nếu w ∈ W và C ∩ w(C) ≠ ∅, thì w = 1. ↩ 3 0ARI
Hệ quả 1 Nhóm W tác động đơn bắc cầu trên tập hợp các w(C) với w ∈ W. 0ARJ
Hệ quả 2 Các biểu diễn σ và σ là đơn ánh. 0ARK
Hệ quả 3 Nếu S là hữu hạn, σ(W) là một nhóm con rời rạc của \mathbf{GL}(E) được trang bị cấu trúc nhóm Lie chính tắc của nó; tương tự, σ(W) là một nhóm con rời rạc của \mathbf{GL}(E^) . ↩ 2 0ARL
Bổ đề 1 Cho s, s' ∈ S, với s ≠ s', và cho v ∈ W_s,s'. Khi đó v(Aₛ ∩ A_s') được chứa trong hoặc Aₛ hoặc trong s(Aₛ), và trong trường hợp thứ hai l(sv) = l(v) - 1. ↩ 1 0ARM
Mệnh đề 5 Cho X, X' ⊂ S và w, w' ∈ W. Nếu w(C_X) ∩ w'(C_X') ≠ ∅, thì X = X', wW_X = w'W_X' và w(C_X) = w'(C_X'). ↩ 1 0ARN
Hệ quả Cho X là một tập con của S và x^* là một phần tử của C_X. Bộ ổn định của x^* trong W là W_X. ↩ 1 0ARO
Mệnh đề 6 (i) Nón U là lồi. 0ARP
Mệnh đề 7 Giả sử rằng (W, S) là bất khả quy (Chương IV, §1, no. 9). Cho E⁰ là không gian con của E vuông góc với E đối với B_M. Nhóm W tác động tầm thường trên E⁰, và mọi không gian con của… ↩ 3 0ARQ
Hệ quả Giả sử rằng (W, S) là bất khả quy. Khi đó: a) Nếu B_M không suy biến, W-môđun E là đơn tuyệt đối. b) Nếu B_M suy biến, W-môđun E không nửa đơn. 0ARR
Định lý 2 Các tính chất sau là tương đương: (1) W là hữu hạn. (2) Dạng B_M là dương và không suy biến. ↩ 5 0ARS
Hệ quả Nếu (W, S) là bất khả quy và hữu hạn, thì E là một W-môđun tuyệt đối đơn. 0ART
Mệnh đề 8 Nếu W là hữu hạn, đồ thị của (W, S) là một rừng (Ch. IV, Phụ lục). ↩ 3 0ARU
Hệ quả Nếu (W, S) là bất khả quy và hữu hạn, đồ thị của nó là một cây. 0ARV
Mệnh đề 9 Với các ký hiệu trước đó, W là nhóm con của O(E) sinh bởi các phép phản xạ đối với các siêu phẳng của ℌ. Nó là một nhóm cốt yếu (§ 3, no. 7) và C₀ là một phòng của E đối với ℌ. 0ARW
Bổ đề 2 Phần bù trực giao E⁰ của E đối với B_M có chiều 1; nó được sinh bởi một phần tử v = ∑_s ∈ S vₛ eₛ với vₛ > 0 đối với mọi s. 0ARX
Mệnh đề 10 Nhóm W được trang bị tôpô rời rạc tác động đúng trên A; nó được sinh bởi các phép phản xạ trực giao; nó là vô hạn, bất khả quy và cốt yếu (§ 3, no. 7). Giao C ∩ A là một buồng của… 0ARY
Mệnh đề 11 Cho W là một nhóm các phép dời hình của một không gian affine Euclid A, thỏa mãn các giả thiết của § 3. Giả sử rằng W là vô hạn, cốt yếu và bất khả quy. Khi đó dạng B_M gắn với ma… ↩ 1 0ARZ

§ 5. Bất biến trong đại số đối xứng

Định nghĩa 1 Nếu tồn tại n₀ ∈ Z sao cho Mₙ = 0 với n ≤ n₀, thì chuỗi hình thức ∑_n ≥ n₀ rk_K(Mₙ) Tⁿ, là một phần tử của Q((T)), được gọi là chuỗi Poincaré của M và được ký hiệu bởi P_M(T). 0ASK
Mệnh đề 1 Cho S = ⨁_n ≥ 0 Sₙ là một K-đại số giao hoán phân bậc với một hệ sinh (x₁, x₂, …, xₘ) gồm các phần tử thuần nhất và độc lập đại số. Cho dᵢ là bậc của xᵢ, và giả sử rằng dᵢ > 0 với… ↩ 1 0ASL
Hệ quả Các bậc dᵢ được xác định bởi S sai khác thứ tự. 0ASM
Mệnh đề 2 Giữ các ký hiệu trên và giả sử rằng S và R là các đại số đa thức phân bậc. ↩ 3 0ASN
Nhận xét Cho S = K[X₁, …, Xₙ] là một đại số đa thức phân bậc trên K, dᵢ là bậc của Xᵢ và F(X₁, …, Xₙ) là một phần tử thuần nhất bậc m của S. Khi đó 0ASO
Định lý 1 Cho K là một trường giao hoán, V một không gian vectơ hữu hạn chiều trên K, S = S(V) đại số đối xứng của V, G một nhóm hữu hạn các tự đẳng cấu của V, và R đại số con phân bậc của S… ↩ 4 0ASP
Nhận xét 1 Suy ra từ Đại số, Chương II, §11, no. 4, Mệnh đề 7 rằng, nếu (z₁, …, z_q) là một họ các phần tử thuần nhất của S mà các ảnh chính tắc của chúng trong S/(R₊ S) tạo thành một cơ sở c… ↩ 1 0ASQ
Nhận xét 2 Cho g là một phản xạ giả của V, có cấp n ≥ 2 hữu hạn và nguyên tố cùng nhau với đặc số của K. Theo định lý Maschke (Phụ lục, Mệnh đề 2), V có thể được phân tích thành D ⊕ H, trong… 0ASR
Định lý 2 Giữ các giả thiết và ký hiệu của Định lý 1. 0ASS
Định lý 3 Giữ các giả thiết và ký hiệu của Định lý 1. Trong tập các hệ sinh của iđêan R₊ của R gồm các phần tử thuần nhất, hãy chọn một phần tử tối tiểu (α₁, …, αₗ). Cho kᵢ là bậc của αᵢ. Gi… ↩ 7 0AST
Bổ đề 1 Cho K là một trường giao hoán, S là một đại số trên K phân bậc của các đa thức, và R là một đại số con phân bậc của S, kiểu hữu hạn, sao cho R-môđun S có một cơ sở (z_λ)_λ ∈ Λ gồm… 0ASU
Hệ quả Với các giả thiết và ký hiệu của Đl. 3, tích các bậc đặc số của R là Card(G). ↩ 2 0ASV
Bổ đề 2 Cho K là một trường giao hoán, V là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên K, S = ⨁_n ≥ 0 Sₙ là đại số đối xứng của V, s là một tự đồng cấu của V, và s⁽ⁿ⁾ là mở rộng chính tắc của… ↩ 1 0ASW
Bổ đề 3 Cho K, V và S như trong Bổ đề 2, G là một nhóm hữu hạn các tự đồng cấu của V, q là cấp của G, và R là đại số con phân bậc của S gồm các phần tử bất biến qua G. Giả sử K có đặc số 0… ↩ 1 0ASX
Mệnh đề 3 Với các giả thiết và ký hiệu của ĐL. 3, cho H là tập hợp các siêu phản xạ thuộc G và khác 1. Giả sử K có đặc số 0. Khi đó Card(H) = ∑ᵢ₌₁ˡ (kᵢ - 1). ↩ 2 0ASY
Nhận xét Khi K = R, G là một nhóm Coxeter và H là tập hợp các phản xạ thuộc G, ta biết (§ 3) rằng các phần tử của H tương ứng một-một với các vách của V. 0ASZ
Mệnh đề 4 Với các giả thiết và ký hiệu của ĐL. 3, giả sử K có đặc số ≠ 2. Khi đó -1 ∈ G khi và chỉ khi các bậc đặc trưng k₁, …, kₗ của R đều chẵn. ↩ 1 0AT0
Mệnh đề 5 (i) Gọi D là phần tử ∏_g ∈ H e_g của S. Các phần tử của S phản biến dưới G là các phần tử của RD. ↩ 6 0AT1
Bổ đề 4 Cho K là một trường giao hoán, V là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên K, G là một nhóm hữu hạn các tự đẳng cấu của V có cấp q khả nghịch trong K, S là đại số đối xứng của V… ↩ 2 0AT2
Bổ đề 5 Cho K là một trường giao hoán, S là một đại số đa thức phân bậc trên K, và R là một đại số con phân bậc của S. Khi đó S là một R-môđun phân bậc tự do (Đại số, Chương II, § 11, no… ↩ 3 0AT3
Định lý 4 Cho K là một trường giao hoán, V là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên K, S là đại số đối xứng của V, G là một nhóm hữu hạn các tự đẳng cấu của V, và R là đại số con của S gồm… ↩ 4 0AT4
Nhận xét 1 Dưới các giả thiết của Định lý 4, tích các bậc đặc trưng của R là q (công thức (6) và Mệnh đề 2 (iii)), nên chúng nguyên tố cùng nhau với đặc số của K. Điều này đã được khẳng định… 0AT5
Nhận xét 2 Nếu ta không giả sử rằng Card(G) khả nghịch trong K, ta vẫn có các kéo theo (ii) Longleftrightarrow (iii) (x. Bổ đề 5) và (ii) Longrightarrow (i) (x. Bài tập 8); nhưng kéo theo (i)… 0AT6
Mệnh đề 6 Các giả thiết và ký hiệu là các giả thiết và ký hiệu của Định lý 4. Gọi H là tập hợp các giả phản xạ thuộc G và khác 1. Giả sử rằng H sinh ra G. Với mọi g ∈ G, đặt g(x) = x + f_g(x… 0AT7

§ 6. Phép biến đổi Coxeter

Định nghĩa 1 Phép biến đổi Coxeter được xác định bởi một buồng có thứ tự (C, (Hᵢ)_1 ≤ i ≤ l) là phần tử c = s_H₁ s_H₂ ⋯ s_Hₗ của W. 0ATH
Mệnh đề 1 Tất cả các phép biến đổi Coxeter đều liên hợp trong W. ↩ 2 0ATI
Bổ đề 1 Cho X là một rừng hữu hạn, và x ↦ gₓ một ánh xạ từ X vào một nhóm Γ sao cho gₓ và g_y liên hợp với nhau mỗi khi x và y không được nối với nhau trong X. Gọi T là tập hợp các thứ tự… 0ATJ
Nhận xét Cho W₁, …, Wₘ là các nhóm hữu hạn cốt yếu tác động trong các không gian V₁, …, Vₘ và sinh bởi các phép phản xạ. Cho Cⱼ là một buồng đối với Wⱼ. Cho W là nhóm W₁ × ⋯ × Wₘ tác động t… 0ATK
Định nghĩa 2 Các số nguyên m₁, m₂, …, mₗ được gọi là các số mũ của W. ↩ 1 0ATL
Bổ đề 2 Giả sử rằng W là bất khả quy và dim V ≥ 2. Với ký hiệu trên, tồn tại hai vectơ độc lập tuyến tính z', z'' sao cho (i) mặt phẳng P sinh bởi z', z'' ổn định dưới s' và s''; (ii) s'P… 0ATM
Định lý 1 Giả sử rằng W là bất khả quy. Khi đó: (i) m₁ = 1, mₗ = h-1. (ii) Card(ℌ) = 1/2 lh. ↩ 4 0ATN
Nhận xét Giữ lại ký hiệu của chứng minh trước. Gọi c' là mở rộng C-tuyến tính của c lên V ⊗_R C, và c'' là hạn chế của c' lên P ⊗_R C. Từ việc nghiên cứu c|P, c'' có một vectơ riêng x tương… 0ATO
Hệ quả Cho R₀ là tập hợp các vectơ đơn vị của V trực giao với một phần tử của ℌ. Nếu W là bất khả quy, ↩ 3 0ATP
Mệnh đề 2 Nếu W là bất khả quy và h là chẵn, thì phần tử duy nhất của W biến đổi C thành −C là c^h/2. ↩ 1 0ATQ
Mệnh đề 3 Giả sử rằng W là bất khả quy. Gọi u₁, …, uₗ là các phần tử thuần nhất của đại số đối xứng S = S(V), độc lập đại số trên R và sinh đại số các phần tử của S bất biến dưới W (§ 5, no… ↩ 1 0ATR
Hệ quả 1 Nếu (mᵢ)_1 ≤ i ≤ l là dãy tăng các số mũ của W, thì cấp của W bằng (m₁ + 1)(m₂ + 1) … (mₗ + 1). ↩ 1 0ATS
Hệ quả 2 Nếu c là một phép biến đổi Coxeter của W, ↩ 1 0ATT
Hệ quả 3 Phép vị tự tỉ số −1 của V thuộc W khi và chỉ khi mọi số mũ của W đều lẻ. Trong trường hợp đó, h chẵn và c^h/2 = -1 đối với mọi phép biến đổi Coxeter c của W. ↩ 1 0ATU

App. 0. Complements on linear representations

Mệnh đề 1 Cho K là một trường giao hoán, A là một đại số trên K, và V và W là hai A-môđun trái đồng thời là các không gian vectơ hữu hạn chiều trên K. Nếu tồn tại một mở rộng L của K sao cho… 0ATZ
Mệnh đề 2 (Maschke) Cho A là một vành có phần tử đơn vị, E là một A-môđun trái, F là một hạng tử trực tiếp của E, G là một nhóm cấp hữu hạn q, và ρ là một biểu diễn tuyến tính của G trên E. Giả sử rằn… ↩ 3 0AU0
Hệ quả Một nhóm hữu hạn G có cấp q, và K là một trường giao hoán mà đặc số không chia hết q. Khi đó đại số nhóm của G trên K là nửa đơn. 0AU1
Mệnh đề 3 Cho A là một vành giao hoán, M là một A-môđun, G là một nhóm hữu hạn tác động lên M, và A' là một A-môđun. Giả sử rằng cấp q của G là khả nghịch trong A. Gọi Mᴳ là tập hợp các phần… 0AU2
Nhận xét Mệnh đề trước áp dụng đặc biệt khi A' là một A-đại số. Trong trường hợp đó, Mᴳ ⊗_A A' là một A'-môđun con của M ⊗_A A'. 0AU3

VI. Hệ nghiệm

§ 1. Hệ nghiệm

Bổ đề 1 Cho V là một không gian vectơ trên k, R là một tập con hữu hạn của V sinh ra V. Với mọi α ∈ R sao cho α ≠ 0, tồn tại nhiều nhất một phép phản xạ s của V sao cho s(α) = -α và s(R) =… ↩ 1 0AU4
Định nghĩa 1 Cho V là một không gian vectơ trên k, và R là một tập con của V. Khi đó R được gọi là một hệ nghiệm trong V nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: 0AU5
Nhận xét 1 Cho k' là một mở rộng của k. Đồng nhất một cách chính tắc V với một tập con của V ⊗ k' và V^* với một tập con của V^* ⊗ k' = (V ⊗ k')^*. Khi đó, R là một hệ nghiệm trong V ⊗ k', và… ↩ 2 0AU6
Bổ đề 2 Cho R là một hệ nghiệm trong V. Cho (x|y) là một dạng song tuyến tính đối xứng trên V, không suy biến và bất biến dưới W(R). Đồng nhất V với V^* nhờ dạng này. Nếu α ∈ R, thì α là k… ↩ 5 0AU7
Mệnh đề 1 Cho V_Q (tương ứng V_Q^*) là không gian con Q-vectơ của V (tương ứng V^*) sinh bởi các α (tương ứng các α^∼). Khi đó V_Q (tương ứng V_Q^*) là một cấu trúc Q trên V (tương ứng V^*)… ↩ 5 0AU8
Nhận xét 2 Mệnh đề 1 quy việc nghiên cứu các hệ nghiệm về trường hợp k = Q. Nhận xét 1 quy tiếp nó về việc nghiên cứu các hệ nghiệm trong không gian vectơ thực V_R = V_Q ⊗_Q R. Các nhóm Weyl… ↩ 2 0AU9
Nhận xét 3 Vì các α tilde sinh V^*, nhóm W(R), được xem như một nhóm con của GL(V_R), là cốt yếu (Chap. V, § 3, no. 7). Hơn nữa, Hệ quả của Định lý 1 của Chap. V, § 3, no. 2 chỉ ra rằng các p… ↩ 1 0AUA
Mệnh đề 2 Các α tilde tạo thành một hệ nghiệm trong V^*, và α tilde = α với mọi α ∈ R. ↩ 1 0AUB
Mệnh đề 3 Với x, y ∈ V, đặt (x|y) = ∑_α ∈ R ⟨ α tilde, x ⟩ ⟨ α tilde, y ⟩. Khi đó (x|y) là một dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến trên V, bất biến dưới tác động của A(R). Với x, y… ↩ 5 0AUC
Mệnh đề 4 (i) Cho X là một tập con của R, cho V_X là không gian con vectơ của V sinh bởi X, và cho V'_X là không gian con vectơ của V^* sinh bởi các α⁻, với α ∈ X. Khi đó V là tổng trực tiếp… ↩ 1 0AUD
Hệ quả Cho V₁ là một không gian con vectơ của V, và cho V₂ là không gian con vectơ sinh bởi R ∩ V₁. Khi đó R ∩ V₁ là một hệ nghiệm trong V₂. ↩ 2 0AUE
Mệnh đề 5 Cho V là một không gian vectơ trên k là tổng trực tiếp của các không gian vectơ V₁, …, Vᵣ. Cho R là một hệ nghiệm trong V. Đặt Rᵢ = R ∩ Vᵢ. Ba điều kiện sau là tương đương: ↩ 3 0AUF
Hệ quả Cho R là một hệ nghiệm trong V. Các điều kiện sau là tương đương: (i) R là bất khả quy; (ii) V là W(R)-môđun đơn; (iii) V là W(R)-môđun đơn tuyệt đối. (ii) Longleftrightarrow (i)… ↩ 4 0AUG
Mệnh đề 6 Mọi hệ nghiệm R trong V là tổng trực tiếp của một họ (Rᵢ)_i ∈ I các hệ nghiệm bất khả quy và duy nhất sai khác một song ánh của tập chỉ số. 0AUH
Mệnh đề 7 Cho R là một hệ nghiệm trong V, (Rᵢ) là họ các thành phần bất khả quy của nó, Vᵢ là không gian con vectơ của V được sinh bởi Rᵢ, B là dạng song tuyến tính đối xứng bất biến trên V… ↩ 2 0AUI
Nhận xét Chọn một tích vô hướng trên V_R bất biến dưới W(R). Khi đó có thể nói về độ dài của một nghiệm và góc giữa hai nghiệm. Mệnh đề 7 cho thấy rằng góc này độc lập với lựa chọn tích vô… 0AUJ
Mệnh đề 8 (i) Nếu hai nghiệm tỉ lệ với nhau, nhân tử tỉ lệ chỉ có thể là ± 1, ± 1/2, ± 2. ↩ 1 0AUK
Định lý 1 Cho α, β là hai nghiệm. ↩ 2 0AUL
Hệ quả Cho α và β là hai nghiệm. ↩ 6 0AUM
Mệnh đề 9 Cho α và β là hai nghiệm không tỷ lệ. ↩ 8 0AUN
Hệ quả Cho S là một chuỗi nghiệm α, và γ là gốc của S. Độ dài của S là -n(γ, α); nó bằng 0, 1, 2 hoặc 3. ↩ 1 0AUO
Nhận xét Ta giữ lại ký hiệu ở trên. Khi đó: 0AUP
Mệnh đề 10 Cho α, β là hai nghiệm không tỷ lệ với nhau sao cho β + α là một nghiệm. Cho p, q là các số nguyên trong Mệnh đề 9. Khi đó ↩ 1 0AUQ
Mệnh đề 11 Giả sử rằng R là bất khả quy. Cho α và β là hai nghiệm sao cho | α | = | β |. Tồn tại g ∈ W(R) sao cho g(α) = β. ↩ 2 0AUR
Mệnh đề 12 Giả sử rằng R là bất khả quy và rút gọn. ↩ 1 0AUS
Mệnh đề 13 Giả sử rằng R là bất khả quy, không rút gọn và có hạng ≥ 2. ↩ 1 0AUT
Mệnh đề 14 Giả sử rằng R là bất khả quy và rút gọn, và rằng (α|α) nhận các giá trị λ và 2λ với α ∈ R. Gọi A là tập hợp các nghiệm α sao cho (α|α) = λ. Giả sử rằng mọi hai phần tử không tỉ lệ… 0AUU
Định lý 2 (i) Nhóm W(R) tác động đơn bắc cầu lên tập hợp các phòng. ↩ 14 0AUV
Nhận xét 1 Mệnh đề (vii) chỉ ra đặc biệt rằng W(R) được sinh bởi các phép đối xứng s_αᵢ. ↩ 1 0AUW
Nhận xét 2 Nếu x, y ∈ C, thì (x|y) > 0 (Chương V, § 3, no. 5, Bổ đề 6), nói cách khác góc (x, y) là nhọn. 0AUX
Nhận xét 3 Gọi m(α, β) là cấp của s_α s_β (α, β ∈ B(C)). Ma trận (m(α, β)) được đồng nhất với ma trận Coxeter (Chương IV, § 1, no. 9) của (W, S). Nếu α ≠ β, Mệnh đề 3 của Chương V, § 3, no. 4… 0AUY
Định nghĩa 2 Một tập con B của R được gọi là một cơ sở của R nếu tồn tại một phòng C của R sao cho B = B(C). Nếu C là một phòng, B(C) được gọi là cơ sở của R được xác định bởi C. ↩ 3 0AUZ
Nhận xét 4 Mệnh đề (vi) của Định lý 2 chỉ ra rằng ánh xạ C ↦ B(C) là một song ánh từ tập hợp các phòng đến tập hợp các cơ sở. Do đó, W(R) tác động đơn bắc cầu trên tập hợp các cơ sở. ↩ 2 0AV0
Nhận xét 5 Cho C là một buồng của R, và cho B là cơ sở tương ứng. Nếu α ∈ B, đặt φ(α) = α⁻ nếu 2α ∉ R và φ(α) = 1/2α⁻ nếu 2α ∈ R. Khi đó φ(B) là cơ sở của R⁻ được định nghĩa bởi C⁻; điều này… ↩ 1 0AV1
Định nghĩa 3 Cho B là một cơ sở của R. Ma trận Cartan của R (đối với B) là ma trận (n(α, β))_α, β ∈ B. 0AV2
Nhận xét 6 Ma trận Cartan (n(α, β)) không nên bị nhầm lẫn với ma trận Coxeter (m(α, β)). Đặc biệt chú ý rằng ma trận Cartan không nhất thiết đối xứng. 0AV3
Nhận xét 7 Đánh chỉ số chính tắc. Nếu B và B' là hai cơ sở của R, tồn tại một phần tử duy nhất w ∈ W sao cho w(B) = B'. Ta có 0AV4
Mệnh đề 15 Cho B là một cơ sở của R và α là một nghiệm không phân chia. Tồn tại β ∈ B và w ∈ W(R) sao cho α = w(β). ↩ 6 0AV5
Hệ quả Cho R₁ và R₂ là hai hệ nghiệm rút gọn trong các không gian vectơ V₁ và V₂, và cho B₁ và B₂ là các cơ sở của R₁ và R₂. Cho f : B₁ → B₂ là một song ánh biến ma trận Cartan của R₁ thà… ↩ 1 0AV6
Mệnh đề 16 Cho B là một cơ sở của R, và G là nhóm con của A(R) gồm các phần tử giữ B ổn định. Khi đó W(R) là một nhóm con chuẩn của A(R) và A(R) là tích nửa trực tiếp của G và W(R). ↩ 3 0AV7
Nhận xét 8 Cho R₁, …, Rₚ là các hệ nghiệm trong các không gian vectơ V₁, …, Vₚ, R là tổng trực tiếp của các Rᵢ trong V = ∏ᵢ Vᵢ, Cᵢ là một buồng của Rᵢ, và Bᵢ = B(Cᵢ). Ngay lập tức ta thấy rằn… 0AV8
Định lý 3 Mọi nghiệm đều là một tổ hợp tuyến tính với các hệ số nguyên cùng dấu của các phần tử của B(C). Đặc biệt, mọi nghiệm đều hoặc dương hoặc âm đối với C. ↩ 8 0AV9
Hệ quả Cho γ là một tổ hợp tuyến tính của các nghiệm với các hệ số nguyên, và α là một nghiệm không phân chia được. Nếu γ tỉ lệ với α, thì γ ∈ Zα. 0AVA
Mệnh đề 17 Giả sử rằng R là thu gọn và cho w ∈ W và α ∈ R. ↩ 4 0AVB
Hệ quả 1 Cho β ∈ B(C). Phép đối xứng s_β hoán vị các nghiệm dương không tỉ lệ với β. ↩ 2 0AVC
Hệ quả 2 Giả sử rằng R là rút gọn. Cho w ∈ W, gọi q là độ dài của w đối với S (Chap. IV, § 1, no. 1), và cho w = s₁ … s_q là một phân tích rút gọn của w. Cho α₁, …, α_q là các phần tử của B… ↩ 4 0AVD
Hệ quả 3 Giả sử rằng R là rút gọn. Tồn tại một phần tử dài nhất duy nhất w₀ trong W. Độ dài của nó bằng số các nghiệm dương và w₀ biến phòng C thành -C. Ta có w₀² = 1 và l(ww₀) = l(w₀) - l(… ↩ 2 0AVE
Mệnh đề 18 Cho x ∈ V. Ba tính chất sau là tương đương: ↩ 3 0AVF
Hệ quả Một phần tử x ∈ C khi và chỉ khi x > w(x) với mọi w ∈ W sao cho w ≠ 1. ↩ 1 0AVG
Mệnh đề 19 Cho (βᵢ)_1 ≤ i ≤ n là một dãy các nghiệm dương đối với phòng C sao cho β₁ + β₂ + ⋯ + βₙ là một nghiệm. Khi đó tồn tại một phép hoán vị π ∈ Sₙ sao cho, với mọi i ∈ 1, 2, …, n, β_π(1… ↩ 8 0AVH
Hệ quả 1 Cho α ∈ R₊(C). Khi đó α ∈ B(C) khi và chỉ khi α là tổng của hai nghiệm dương. ↩ 1 0AVI
Hệ quả 2 Cho φ là một ánh xạ từ R vào một nhóm Abel Γ có các tính chất sau: ↩ 2 0AVJ
Hệ quả 3 a) Cho α ∈ R. Khi đó Y(α) là một tập con liên thông của B(C) (Ch. IV, Phụ lục). 0AVK
Định nghĩa 4 Cho P là một tập con của R. ↩ 2 0AVL
Bổ đề 3 Cho C là một phòng của R và P là một tập con đóng của R chứa R₊(C) (theo ký hiệu của no. 6). Đặt Σ = B(C) ∩ (-P), và gọi Q là tập hợp các nghiệm là các tổ hợp tuyến tính của các ph… ↩ 3 0AVM
Mệnh đề 20 Cho P là một tập con của R. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 4 0AVN
Hệ quả 1 Cho P là một tập con của R. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 5 0AVO
Hệ quả 2 Giả sử rằng V được trang bị cấu trúc của một không gian vectơ có thứ tự sao cho, đối với cấu trúc này, mọi nghiệm của R đều là dương hoặc âm. Cho P là tập hợp các nghiệm dương đối… ↩ 2 0AVP
Hệ quả 3 Một tập con B của R là một cơ sở của R khi và chỉ khi các điều kiện sau được thỏa mãn: ↩ 2 0AVQ
Hệ quả 4 Cho B là một cơ sở của R, B' là một tập con của B, V' là không gian con vectơ của V sinh bởi B', và R' = R ∩ V'. Khi đó B' là một cơ sở của hệ nghiệm B'. ↩ 4 0AVR
Hệ quả 5 Cho B là một cơ sở của R, A₁, A₂, …, Aᵣ là các tập con của B trực giao từng đôi một, và A = A₁ ∪ A₂ ∪ ⋯ ∪ Aᵣ. Khi đó mọi nghiệm α là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử của A thự… ↩ 1 0AVS
Hệ quả 6 Ta chấp nhận các giả thiết và ký hiệu của Mệnh đề 20. Gọi V₁ là không gian con vectơ của V sinh bởi Σ. Khi đó P ∩ (-P) = Q ∪ (-Q) = V₁ ∩ R là một hệ nghiệm trong V₁ với cơ sở Σ. ↩ 1 0AVT
Mệnh đề 21 Cho C (tương ứng C') là một buồng của R, Σ (tương ứng Σ') là một tập con của B(C) (tương ứng B(C')), Q (tương ứng Q') là tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các phần tử của Σ (tương… ↩ 1 0AVU
Hệ quả Cho P, P' là hai tập con parabolic của R được biến đổi thành nhau bởi một phần tử của nhóm Weyl. Nếu tồn tại một buồng C của R sao cho R₊(C) ⊆ P và R₊(C) ⊆ P', thì P = P'. 0AVV
Mệnh đề 22 Cho P là một tập hợp đóng của R sao cho P ∩ (-P) = ∅. Khi đó tồn tại một buồng C của R sao cho P ⊆ R₊(C). ↩ 2 0AVW
Mệnh đề 23 Cho P là một tập con của R và V₁ (tương ứng Γ) là không gian con vectơ (tương ứng nhóm con) của V sinh bởi P. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 2 0AVX
Mệnh đề 24 Cho R' là giao của R với một không gian con vectơ của V, sao cho R' là một hệ nghiệm trong không gian con vectơ V' mà nó sinh ra (cf. Hệ quả của Mệnh đề 4, no. 1). Cho B' là một cơ… 0AVY
Mệnh đề 25 Giả sử rằng R là bất khả quy. Cho C là một buồng của R, và cho B(C) = α₁, …, αₗ là cơ sở tương ứng. ↩ 3 0AVZ
Nhận xét Nghiệm 0AW0
Mệnh đề 26 Tập hợp các x ∈ V sao cho ⟨ x, y^* ⟩ ∈ Z với mọi y^* ∈ Q(R^*) (hay, tương đương, với mọi y^* ∈ R^*) là một nhóm con rời rạc G của V chứa Q(R). Nếu B' là một cơ sở của R^*, thì cơ s… 0AW1
Mệnh đề 27 Cho R₁ là một tập con của R, Q₁ là nhóm con của Q(R) được sinh bởi R₁, và W₁ là nhóm con của W(R) được sinh bởi các s_α (α ∈ R₁). Nếu p ∈ P(R) và w ∈ W₁, thì p - w(p) ∈ Q₁. ↩ 1 0AW2
Mệnh đề 28 Cho B là một cơ sở của R, B' một tập con của B, V' không gian con vectơ của V sinh bởi B', R' = R ∩ V' (là một hệ nghiệm trong V'), R'tilde hệ nghiệm nghịch đảo (được đồng nhất với… ↩ 1 0AW3
Mệnh đề 29 Cho ρ là một nửa tổng của các nghiệm > 0. ↩ 5 0AW4
Hệ quả Gọi σ là một nửa tổng của các phần tử > 0 của R⁻ (đối với B⁻). Với mọi α ∈ V, tổng các tọa độ của α đối với cơ sở B là ⟨ α, σ ⟩. Nếu α ∈ R, tổng này bằng 1/2 ∑_β ∈ R₊ (C) n(α, β). ↩ 3 0AW5
Mệnh đề 30 Giả sử rằng R là bất khả quy. Cho m là một số nguyên giữa 1 và h - 1 và nguyên tố cùng nhau với h. Khi đó exp((2iπ m)/h) là một trị riêng của c có bội số 1. ↩ 1 0AW6
Bổ đề 4 Với mọi w ∈ W, đa thức đặc trưng của w có các hệ số nguyên. 0AW7
Mệnh đề 31 Giả sử R là bất khả quy và thu gọn, và đặt β = n₁ α₁ + ⋯ + nₗ αₗ là nghiệm cao nhất của R (xem no. 8). Khi đó n₁ + ⋯ + nₗ = h - 1. ↩ 4 0AW8
Mệnh đề 32 Giả sử R là bất khả quy, và mọi nghiệm đều có cùng độ dài. Cho α ∈ R. Số phần tử của R không trực giao với α là 4h - 6. 0AW9
Mệnh đề 33 Giả sử R là bất khả quy và thu gọn. Đặt s_αᵢ = sᵢ, và cho Γ là nhóm con của W sinh bởi c = s₁ … sₗ. ↩ 4 0AWA

§ 2. Nhóm Weyl afin

Định nghĩa 1 Nhóm các phép biến đổi afin của E được sinh bởi các phép đối xứng s_α,k với α ∈ R và k ∈ Z được gọi là nhóm Weyl afin của hệ nghiệm R và được ký hiệu bởi Wₐ(R) (hoặc đơn giản là Wₐ… 0AWZ
Mệnh đề 1 Nhóm Wₐ là tích nửa trực tiếp của W bởi Q. 0AX0
Mệnh đề 2 Nhóm Wₐ, với tôpô rời rạc, tác động đúng lên E và hoán vị các siêu phẳng L_α,k (với α ∈ R và k ∈ Z). 0AX1
Mệnh đề 3 Các điểm đặc biệt (Chương V, § 3, no. 10, Định nghĩa 1) của Wa là các trọng số của R'. ↩ 1 0AX2
Hệ quả (i) Nếu \overline{\omega} \in P(R'), tồn tại một ngách C sao cho \overline{\omega} là một đỉnh của \overline{C}. (ii) Nếu C là một ngách, \overline{C} \cap Q(R') thu về một điểm du… 0AX3
Mệnh đề 4 Cho C' là một buồng của R'. ↩ 1 0AX4
Mệnh đề 5 Cho C là ngách được chứa trong C' và chứa 0 trong bao đóng của nó (Mệnh đề 4). ↩ 5 0AX5
Hệ quả Miền phòng C là một đơn hình mở có các đỉnh là 0 và các overlineωᵢ / nᵢ, i ∈ I. ↩ 1 0AX6
Mệnh đề 6 Với mọi i ∈ J, phần tử γᵢ = t(overlineωᵢ)wᵢw₀ thuộc Γ_C và ánh xạ i ↦ γᵢ là một song ánh từ J lên Γ_C - 1. ↩ 1 0AX7
Hệ quả Các (overlineωᵢ)_i ∈ J tạo thành một hệ đại diện trong P(R⁻) của các phần tử khác không của P(R⁻)/Q(R⁻). ↩ 2 0AX8
Nhận xét 1 Ánh xạ γ ↦ γ(0) là một song ánh từ Γ_C lên overlineC ∩ P(R⁻). 0AX9
Nhận xét 2 Nhóm G cũng là chuẩn hoá tử của Wₐ trong nhóm các tự đẳng cấu của E khi chỉ xét cấu trúc afin của nó (xem Bài tập 3). 0AXA
Bổ đề 1 Cho X là một không gian địa phương compact đếm được ở vô cùng, G là một nhóm tác động liên tục và đúng trên X, μ là một độ đo trên X bất biến dưới G, G' là một nhóm con của G, U và… ↩ 1 0AXB
Mệnh đề 7 Giả sử R là bất khả quy. Cho B = α₁, …, αₗ là một cơ sở của R, f là chỉ số liên thông của R (§ 1, no. 9) và tildeα = n₁ α₁ + ⋯ + nₗ αₗ là nghiệm cao nhất của R (đối với thứ tự được… ↩ 2 0AXC
Mệnh đề 8 Cho F là một không gian Hilbert thực có số chiều hữu hạn l. Gọi ℌ là tập hợp các siêu phẳng afin của F và G là nhóm sinh bởi các phép phản xạ trực giao s_H đối với các siêu phẳng H… 0AXD
Nhận xét 1 Giả thiết rằng T có hạng l được thỏa mãn đặc biệt khi G là bất khả quy và vô hạn. Thật vậy, không gian vectơ sinh bởi các vectơ tương ứng với các phép tịnh tiến trong T là bất biến… 0AXE
Mệnh đề 9 Cho V là một không gian vectơ thực có số chiều hữu hạn l, và G là một nhóm con hữu hạn của GL(V), sinh bởi các phản xạ và cốt yếu. Trang bị cho V một tích vô hướng bất biến dưới G… ↩ 1 0AXF
Định nghĩa 2 Một nhóm G thỏa mãn các điều kiện tương đương của Mệnh đề 9 được gọi là một nhóm tinh thể. 0AXG
Nhận xét 2 Cho G là một nhóm hữu hạn sinh bởi các phép phản xạ và cốt yếu. Khi đó G là tinh thể nếu và chỉ nếu mọi phần tử của ma trận Coxeter của nó là một trong các số nguyên 1, 2, 3, 4, 6… 0AXH

§ 3. Bất biến mũ

Bổ đề 1 Giả sử rằng A là một vành factorial (Đại số giao hoán, Chương VII, § 3, no. 1, Định nghĩa 1). (i) Vành A[P] là factorial. (ii) Nếu u, v là các phần tử không tỷ lệ của P, thì các ph… ↩ 1 0AXN
Định nghĩa 1 Cho x = ∑_p ∈ P xₚ eᵖ là một phần tử của A[P]. Tập hợp S các p ∈ P sao cho xₚ ≠ 0 được gọi là giá của x và tập hợp X các phần tử cực đại của S được gọi là giá cực đại của x. Khi đó… ↩ 2 0AXO
Bổ đề 2 Cho x ∈ A[P] và gọi (xₚ eᵖ)_p ∈ X là họ các số hạng cực đại của x. Cho q ∈ P và cho y ∈ A[P] sao cho e^q là số hạng cực đại duy nhất của y. Khi đó, họ các số hạng cực đại của xy là… ↩ 4 0AXP
Nhận xét Vì x ≠ 0 có nghĩa là giá cực đại của x là không rỗng, Bổ đề 2 cho thấy rằng x ≠ 0 kéo theo xy ≠ 0 bất cứ khi nào y có một số hạng cực đại duy nhất có dạng e^q. 0AXQ
Định nghĩa 2 Một phần tử x ∈ A[P] được gọi là phản-bất biến dưới W nếu w(x) = (-1)ˡ⁽ʷ⁾.x với mọi w ∈ W. 0AXR
Mệnh đề 1 Nếu 2 không phải là một ước của không trong A, thì các phần tử J(eᵖ) với p ∈ P ∩ C lập thành một cơ sở của môđun các phần tử phản bất biến của A[P]. ↩ 3 0AXS
Mệnh đề 2 (i) Phần tử d được xác định bởi (3) là một phần tử phản bất biến của A[P]; số hạng cực đại duy nhất của nó (no. 2, Định nghĩa 1) là e^ρ và d = J(e^ρ). (ii) Với mọi p ∈ P, phần tử J… ↩ 3 0AXT
Nhận xét 1 Nếu 2 không phải là một ước của không trong A, thì dễ kiểm tra rằng d là phần tử phản bất biến duy nhất của A[P] có e^ρ là số hạng cực đại của nó. 0AXU
Nhận xét 2 Bổ đề 2 của no. 2 cho thấy rằng số hạng cực đại duy nhất của thương J(eᵖ)/d (với p ∈ P ∩ C) là e^p-ρ. ↩ 1 0AXV
Bổ đề 3 Các S(eᵖ) với p ∈ P ∩ overlineC tạo thành một cơ sở của A-môđun A[P]ᵂ. ↩ 1 0AXW
Định lý 1 Cho overlineω₁, …, overlineωₗ là các trọng số cơ bản tương ứng với buồng C, và, với 1 ≤ i ≤ l, cho xᵢ là một phần tử của A[P]ᵂ có e^overlineωᵢ là số hạng cực đại duy nhất. Cho φ… ↩ 2 0AXX
Ví dụ 1 Ta có thể lấy xᵢ = S(e^overlineωᵢ). 0AXY
Ví dụ 2 Theo Nhận xét 2 của no. 3, ta có thể lấy xᵢ = J(e^ρ + overlineωᵢ)/d (với ký hiệu ở no. 3). 0AXZ

§ 4. Phân loại các hệ nghiệm

Bổ đề 1 Với mọi i, ∑_j ≠ i qᵢⱼ² < 1. ↩ 4 0AY2
Bổ đề 2 Mọi đỉnh của X thuộc vào nhiều nhất 3 cạnh. ↩ 3 0AY3
Bổ đề 3 Nếu i thuộc vào 3 cạnh, các cạnh này có cấp 3. 0AY4
Bổ đề 4 Nếu tồn tại một cạnh có cấp ≥ 6, thì l = 2. ↩ 2 0AY5
Bổ đề 5 Một đỉnh không thể thuộc về hai cạnh phân biệt có cấp ≥ 4. ↩ 1 0AY6
Bổ đề 6 Nếu i, j có cấp 3, W(M') là một nhóm Coxeter hữu hạn. ↩ 1 0AY7
Bổ đề 7 Ta có một trong các trường hợp sau: ↩ 2 0AY8
Bổ đề 8 Cho i₁, i₂, …, iₚ là các đỉnh của X sao cho i₁, i₂, i₂, i₃, …, iₚ₋₁, iₚ là các cạnh có cấp 3. Khi đó q(∑ᵣ₌₁ᵖ r e_iᵣ) = 1/2 p(p+1). ↩ 2 0AY9
Bổ đề 9 Giả sử rằng X là một dây chuyền với các đỉnh 1, 2, ..., l và các cạnh {1, 2}, {2, 3}, ..., {l - 1, l}. ↩ 1 0AYA
Bổ đề 10 Nếu X có một điểm phân nhánh i, đồ thị con đầy đủ X - {i} là hợp của ba chuỗi, và nếu p - 1, q - 1, r - 1 là độ dài của các chuỗi này, thì bộ ba {p, q, r} bằng, sai khác một phép h… ↩ 1 0AYB
Định lý 1 Đồ thị của mọi hệ Coxeter hữu hạn bất khả quy (W, S) là đẳng cấu với một trong các đồ thị sau: ↩ 6 0AYC
Định lý 2 Các nhóm Coxeter được xác định bởi các đồ thị Coxeter Al, Bl, ..., I2(p) của Định lý 1 là hữu hạn. ↩ 2 0AYD
Mệnh đề 1 Cho R₁ và R₂ là hai hệ căn rút gọn trong các không gian vectơ V₁ và V₂. Cho B₁ = (αᵢ)_i ∈ I₁ và B₂ = (αᵢ)_i ∈ I₂ là các cơ sở của R₁ và R₂, được đánh chỉ số một cách chính tắc. Cho… ↩ 2 0AYE
Hệ quả Đồng cấu φ xác định, qua thương, một đẳng cấu từ nhóm A(R)/W(R) đến nhóm các tự đẳng cấu của biểu đồ Dynkin của R. ↩ 2 0AYF
Định lý 3 Nếu R là một hệ nghiệm rút gọn bất khả quy, biểu đồ Dynkin của nó đẳng cấu với một trong các biểu đồ được biểu diễn bởi các sơ đồ sau: ↩ 3 0AYG
Nhận xét 1 Biểu đồ A1 rút gọn thành một nút duy nhất; ta cũng ký hiệu nó bằng B1 hoặc C1. Biểu đồ B2 \circ-\circ-\circ-\circ cũng được ký hiệu bởi C2. Biểu đồ A3 \circ-\cdots-\circ cũng được… 0AYH
Nhận xét 2 Nếu (X, f) là biểu đồ Dynkin của một hệ nghiệm rút gọn R, biểu đồ Dynkin của hệ ngược có thể được đồng nhất với (X, f^{-1}). Nói cách khác, sơ đồ gắn với biểu đồ Dynkin của R^- có… 0AYI
Nhận xét Có thể chứng minh rằng ánh xạ chính tắc Aut(tildeX, tildef) → Aut(Σ) là một đẳng cấu. 0AYJ
Định lý 4 Cho (W, S) là một hệ Coxeter bất khả quy với S hữu hạn. Dạng toàn phương liên kết (Chap. V, § 4, no. 1) là dương và suy biến khi và chỉ khi đồ thị Coxeter của (W, S) đẳng cấu với m… 0AYK

VII. Cartan subalgebras and regular elements

§ 1. Phân tích nguyên sơ của các biểu diễn tuyến tính

Mệnh đề 1 Với mọi λ ∈ P, ↩ 5 00SJ
Mệnh đề 2 Cho V,V',W là các không gian vectơ. Cho r : S → End(V), r': S→ End(V') và q: S→ End(W) là các ánh xạ. ↩ 9 00SK
Mệnh đề 3 Tổng ∑_λ∈ PV^λ(S) là trực tiếp. Tổng ∑_λ∈ PV_λ(S) là trực tiếp. ↩ 2 00SL
Bổ đề 1 Cho x, y∈ End(V). ↩ 4 00SM
Nhận xét Lập luận chứng minh rằng, nếu V hữu hạn chiều và nếu tồn tại một số nguyên n sao cho (ad x)ⁿy= 0, thì (ad x)^2 dim V-1y= 0. 00SN
Định lý 1 Giả sử V hữu hạn chiều. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 5 00SO
Hệ quả 1 Giả sử rằng V hữu hạn chiều và điều kiện (AC) được thỏa mãn. Cho k' là một mở rộng của k. Giả sử rằng, với mọi s∈ S, tự đồng cấu r(s)⊗ 1 của V⊗ₖk' là khả tam giác hóa. Cho P' là tậ… 00SP
Hệ quả 2 Giả sử rằng V hữu hạn chiều và điều kiện (AC) được thỏa mãn. Ký hiệu V⁺(S) là không gian con vectơ ∑_s∈ S((⋂_i≥ 1r(s)ⁱV). Khi đó: ↩ 1 00SQ
Hệ quả 3 Cho V và V' là các không gian vectơ hữu hạn chiều, và cho r: S→ End(V) và r': S→ End(V') là các ánh xạ thỏa mãn điều kiện (AC). Cho f: V→ V' là một ánh xạ tuyến tính toàn ánh sao c… ↩ 2 00SR
Mệnh đề 4 Giả sử rằng k là hoàn hảo. Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều, u là một phần tử của End(V),uₛ, uₙ là các thành phần nửa đơn và lũy linh của u(Đại số, Chương VII, §5, no. 8… ↩ 4 00SS
Mệnh đề 5 Giả sử điều kiện (AC) được thỏa mãn, và cho λ : S→ k sao cho V^λ(S)not= 0. Nếu k có đặc số 0, ánh xạ λ là tuyến tính. Nếu k có đặc số pnot= 0, tồn tại một lũy thừa q của p chia hết… ↩ 2 00ST
Mệnh đề 6 Giả sử rằng k là vô hạn và điều kiện (AC) được thỏa mãn. Cho k' là một mở rộng của k. Đặt V'= V⊗ₖk',S'= S⊗ₖk'. Cho r': S'→ End(V') là ánh xạ thu được từ r bằng mở rộng vô hướng. Kh… ↩ 1 00SU
Mệnh đề 7 Giả sử rằng k là vô hạn và điều kiện (AC) được thỏa mãn. Gọi widetildeS là tập hợp các s∈ S sao cho V⁰(s) = V⁰(S). Nếu s∈ S, gọi P(s) là định thức của tự đồng cấu của V/V⁰(S) do r(… ↩ 3 00SV
Mệnh đề 8 Cho 𝔥 là một đại số Lie, và L,M,N𝔥-môđun. Kí hiệu P là tập hợp các ánh xạ từ 𝔥 đến k. ↩ 1 00SW
Mệnh đề 9 Cho 𝔥 là một đại số Lie lũy linh và M là một 𝔥-môđun hữu hạn chiều. Kí hiệu P là tập hợp các ánh xạ từ 𝔥 đến k. ↩ 7 00SX
Nhận xét Giả sử rằng k là hoàn hảo và có đặc số 2. Cho 𝔥=𝔰𝔩(2, k), và 00SY
Hệ quả Cho 𝔥 là một đại số Lie lũy linh, và M là một 𝔥-môđun hữu hạn chiều sao cho M⁰(𝔥) = 0. Cho f:𝔥→ M là một ánh xạ tuyến tính sao cho ↩ 2 00SZ
Mệnh đề 10 Cho 𝔤 là một đại số Lie, 𝔥 là một đại số con lũy linh của 𝔤. Ký hiệu P là tập hợp các ánh xạ từ 𝔥 đến k. ↩ 9 00T0
Bổ đề 2 Giả sử rằng k có đặc số 0. Cho 𝔤 là một đại số Lie nửa đơn trên k, B là dạng Killing của 𝔤, 𝔪 là một đại số con của 𝔤. Giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn: ↩ 4 00T1
Mệnh đề 11 Giả sử k có đặc số không. Cho 𝔤 là một đại số Lie nửa đơn, 𝔥 là một đại số con lũy linh của 𝔤. Đại số 𝔤⁰(𝔥) thỏa mãn các điều kiện (1) và (2) của Bổ đề 2; nó là khả quy trong 𝔤. ↩ 2 00T2
Mệnh đề 12 Cho 𝔤 là một đại số Lie, a là một tự đẳng cấu của 𝔤. ↩ 1 00T3
Hệ quả Giả sử rằng k có đặc số không và rằng 𝔤 là nửa đơn. Khi đó đại số con 𝔤¹(a) thỏa mãn các điều kiện (1) và (2) của Bổ đề 2; nó là khả quy trong 𝔤. 00T4
Mệnh đề 13 Cho 𝔤 là một đại số Lie nửa đơn, 𝔞 là một đại số con của 𝔤 khả quy trong 𝔤, và 𝔪 là hoán tập của 𝔞 trong 𝔤. Đại số con 𝔪 thỏa mãn các điều kiện (1) và (2) của Bổ đề 2 của no. 3; nó… 00T5
Nhận xét Hoán tập của 𝔪 trong 𝔤 không nhất thiết rút gọn về 𝔞, xem Bài tập 4. 00T6
Mệnh đề 14 Cho 𝔤 là một đại số Lie nửa đơn, A là một nhóm và r là một đồng cấu từ A vào Aut(𝔤). Cho 𝔪 là đại số con của 𝔤 gồm các phần tử bất biến dưới r(A). Giả sử biểu diễn tuyến tính r là… 00T7

§ 2. Các đại số con Cartan và các phần tử chính quy của một đại số Lie

Định nghĩa 1 Cho 𝔤 là một đại số Lie. Một đại số con Cartan của 𝔤 là một đại số con lũy linh của 𝔤 bằng với chuẩn hóa tử của chính nó. ↩ 2 00TJ
Ví dụ 1 Nếu 𝔤 lũy linh, đại số con Cartan duy nhất của 𝔤 là chính 𝔤 (Chap. I, §4, no. 1, Mệnh đề 3). ↩ 2 00TK
Ví dụ 2 Cho 𝔤=𝔤𝔩(n, k), và gọi 𝔥 là tập hợp các ma trận đường chéo thuộc 𝔤. Ta chứng minh rằng 𝔥 là một đại số con Cartan của 𝔤. Trước hết, 𝔥 là giao hoán, do đó lũy linh. Gọi (Eᵢⱼ) là cơ… ↩ 2 00TL
Ví dụ 3 Cho 𝔥 là một đại số con Cartan của 𝔤 và cho 𝔤₁ là một đại số con của 𝔤 chứa 𝔥. Khi đó 𝔥 là một đại số con Cartan của 𝔤₁; điều này suy ra ngay lập tức từ Định nghĩa 1. ↩ 1 00TM
Mệnh đề 1 Cho 𝔤 là một đại số Lie và cho 𝔥 là một đại số con Cartan của 𝔤. Khi đó 𝔥 là một đại số con lũy linh cực đại của 𝔤. ↩ 1 00TN
Mệnh đề 2 Cho (𝔤ᵢ)_i∈ I là một họ hữu hạn các đại số Lie và 𝔤=∏_i∈ I𝔤ᵢ. ↩ 3 00TO
Ví dụ 4 Nếu k có đặc số 0,𝔤𝔩(n, k) là tích của các iđêan 𝔰𝔩(n, k) và k.1. Suy ra từ Ví dụ 2 và Mệnh đề 2 rằng tập hợp các ma trận đường chéo có vết bằng 0 trong 𝔰𝔩(n, k) là một đại số con… ↩ 1 00TP
Mệnh đề 3 Cho 𝔤 là một đại số Lie, 𝔥 một đại số con của 𝔤, và k' là một mở rộng của k. Khi đó 𝔥 là một đại số con Cartan của 𝔤 nếu và chỉ nếu 𝔥⊗ₖk' là một đại số con Cartan của 𝔤⊗ₖk'. ↩ 2 00TQ
Mệnh đề 4 Cho 𝔤 là một đại số Lie, 𝔥 là một đại số con lũy linh của 𝔤. Khi đó 𝔥 là một đại số con Cartan của 𝔤 nếu và chỉ nếu 𝔤⁰(𝔥) =𝔥. ↩ 5 00TR
Hệ quả 1 Cho 𝔤 là một đại số Lie, 𝔥 là một đại số con Cartan của 𝔤. Nếu k là vô hạn, tồn tại x∈ 𝔥 sao cho 𝔥=𝔤⁰(x). ↩ 1 00TS
Hệ quả 2 Cho f:𝔤→ 𝔤' là một đồng cấu toàn ánh của các đại số Lie. Nếu 𝔥 là một đại số con Cartan của 𝔤,f(𝔥) là một đại số con Cartan của 𝔤'. ↩ 6 00TT
Hệ quả 3 Cho 𝔥 là một đại số con Cartan của một đại số Lie 𝔤, và cho Cⁿ𝔤(n≥ 1) là một số hạng của chuỗi trung tâm giảm của 𝔤 (Chap. I, §1, no. 5). Khi đó 𝔤=𝔥+Cⁿ𝔤. ↩ 1 00TU
Hệ quả 4 Cho 𝔤 là một đại số Lie, 𝔥 là một đại số con Cartan của 𝔤, và 𝔞 là một đại số con của 𝔤 chứa 𝔥. ↩ 3 00TV
Hệ quả 5 Cho 𝔤 là một đại số Lie, E là một tập con của 𝔤. Cho E tác động lên 𝔤 bởi biểu diễn liên hợp. Khi đó E là một đại số con Cartan của 𝔤 nếu và chỉ nếu E =𝔤⁰(E). ↩ 1 00TW
Hệ quả 6 Cho 𝔤 là một đại số Lie, cho k₀ là một trường con của k sao cho [k:k₀]<+∞, và cho 𝔤₀ là đại số Lie thu được từ 𝔤 bằng cách hạn chế trường vô hướng xuống k₀. Cho 𝔥 là một tập con củ… 00TX
Mệnh đề 5 Cho 𝔤 là một đại số Lie, 𝔠 là tâm của nó, 𝔥 là một không gian con vectơ của 𝔤. Khi đó 𝔥 là một đại số con Cartan của 𝔤 khi và chỉ khi 𝔥 chứa 𝔠 và 𝔥/𝔠 là một đại số con Cartan của 𝔤… ↩ 3 00TY
Hệ quả Cho C_∞𝔤 là hợp của chuỗi trung tâm tăng dần của đại số Lie 𝔤 (Chương I, §1, no. 6). Các đại số con Cartan của 𝔤 là các ảnh ngược của các đại số con Cartan của 𝔤/C_∞𝔤. 00TZ
Nhận xét C_∞𝔤 là iđêan nhỏ nhất 𝔫 của 𝔤 sao cho tâm của 𝔤/𝔫 bằng không; nó là một iđêan đặc số và lũy linh của 𝔤. 00U0
Nhận xét 1 Nếu 𝔤not=0,a₀= 0 vì (ad x)(x) = 0 với mọi x∈ 𝔤. 00U1
Nhận xét 2 Cho k' là một mở rộng của k. Viết det(T - ad x') =∑ᵢ₌₀ⁿa'ᵢ(x')Tⁱ với x'∈ 𝔤⊗ₖk'. Khi đó a'ᵢ|𝔤=aᵢ với mọi i. ↩ 1 00U2
Định nghĩa 2 Hạng của 𝔤, ký hiệu là rk(𝔤), là số nguyên nhỏ nhất l sao cho aₗnot= 0. Một phần tử x của 𝔤 được gọi là chính quy nếu aₗ(x)not= 0. ↩ 1 00U3
Ví dụ 1 Nếu 𝔤 là lũy linh, rk(𝔤) = dim𝔤 và mọi phần tử của 𝔤 đều chính quy. 00U4
Ví dụ 2 Cho 𝔤=𝔰𝔩(2, k). Nếu x=(γ -α )∈ 𝔤, một phép tính dễ dàng cho 00U5
Ví dụ 3 Cho V là một không gian vectơ có số chiều hữu hạn n, và 𝔤=𝔤𝔩(V). Gọi overlinek là một bao đóng đại số của k. Cho x∈ 𝔤, và gọi λ₁, . . . , λₙ là các nghiệm trong overlinek của đa th… 00U6
Mệnh đề 6 Cho 𝔤 là một đại số Lie, k' là một mở rộng của k, và 𝔤'= 𝔤⊗ₖk'. ↩ 1 00U7
Mệnh đề 7 Cho (𝔤ᵢ)_i∈ I là một họ hữu hạn các đại số Lie, và cho 𝔤= ∏_i∈ I𝔤ᵢ. 01IY
Mệnh đề 8 Cho f:𝔤→ 𝔤' là một đồng cấu toàn ánh của các đại số Lie. 00U8
Hệ quả Cho Cₙ𝔤(n≥ 0) là một số hạng của chuỗi trung tâm tăng của 𝔤 (Chương I, §1, no. 6). Các phần tử chính quy của 𝔤 là những phần tử mà ảnh của chúng trong 𝔤/Cₙ𝔤 là chính quy. 00U9
Mệnh đề 9 Cho 𝔤 là một đại số Lie, 𝔤' là một đại số con của 𝔤. Mọi phần tử của 𝔤' chính quy trong 𝔤 đều chính quy trong 𝔤'. ↩ 2 00UA
Nhận xét 3 Các phần tử của 𝔤' chính quy trong 𝔤 không nhất thiết tồn tại. Nếu có ít nhất một phần tử như vậy tồn tại, thì tập hợp các phần tử ấy chính xác là tập hợp đã được ký hiệu bởi S tro… 00UB
Định lý 1 Cho 𝔤 là một đại số Lie. ↩ 5 00UC
Hệ quả 1 Mọi đại số Lie 𝔤 đều có các đại số con Cartan, và hạng của 𝔤 là chiều nhỏ nhất của một đại số con Cartan. ↩ 1 00UD
Hệ quả 2 Cho f:𝔤→ 𝔤' là một đồng cấu toàn ánh của các đại số Lie. Nếu 𝔥' là một đại số con Cartan của 𝔤', thì tồn tại một đại số con Cartan 𝔥 của 𝔤 sao cho 𝔥'=f(𝔥). ↩ 1 00UE
Hệ quả 3 Mọi đại số Lie 𝔤 đều là tổng của các đại số con Cartan của nó. ↩ 1 00UF
Mệnh đề 10 Cho 𝔤 là một đại số Lie, 𝔞 là một đại số con giao hoán của 𝔤 và 𝔠 là hoán tập của 𝔞 trong 𝔤. Giả sử rằng ad_𝔤x là nửa đơn với mọi x∈ 𝔞. Khi đó các đại số con Cartan của 𝔠 là các đạ… ↩ 7 00UG
Mệnh đề 11 Cho 𝔫 là một đại số con lũy linh của một đại số Lie 𝔤. Tồn tại một đại số con Cartan của 𝔤 được chứa trong 𝔤⁰(𝔫). ↩ 1 00UH
Định lý 2 Giả sử rằng k có đặc số 0. Cho 𝔤 là một đại số Lie nửa đơn, 𝔥 là một đại số con Cartan của 𝔤. Khi đó 𝔥 là giao hoán, và mọi phần tử của nó đều là nửa đơn trong 𝔤 (Ch. I, §6, no. 3… ↩ 3 00UI
Hệ quả 1 Nếu x∈ 𝔥 và y∈ 𝔤^λ(𝔥), ta có [x, y] =λ (x)y. ↩ 1 00UJ
Hệ quả 2 Mọi phần tử chính quy của 𝔤 đều là nửa đơn. 00UK
Hệ quả 3 Cho 𝔥 là một đại số con Cartan của một đại số Lie khả quy 𝔤. ↩ 4 00UL

§ 3. Các định lý liên hợp

Định nghĩa 1 Một tích hữu hạn các tự đẳng cấu của 𝔤 có dạng eᵃᵈˣ với ad x lũy linh được gọi là một tự đẳng cấu sơ cấp của 𝔤. Nhóm các tự đẳng cấu sơ cấp của 𝔤 được ký hiệu bởi Autₑ(𝔤). 00V0
Bổ đề 1 Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều, 𝔫 là một đại số con Lie của 𝔞=𝔤𝔩(V) gồm các phần tử lũy linh. ↩ 6 00V1
Mệnh đề 1 Cho 𝔤 là một đại số Lie, 𝔫 là một đại số con của 𝔤 sao cho ad_𝔤x là lũy linh với mọi x∈ 𝔫. Khi đó e^ad_𝔤𝔫 là một nhóm con của Autₑ(𝔤). ↩ 1 00V2
Nhận xét 1 Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều, 𝔤 là một đại số con Lie của 𝔞=𝔤𝔩(V), x là một phần tử của 𝔤 sao cho ad_𝔤x là lũy linh. Khi đó tồn tại một phần tử lũy linh n của 𝔞 sao… ↩ 2 00V3
Nhận xét 2 Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều. Với mọi g∈ SL(V), gọi φ (g) là tự đẳng cấu x → gxg⁻¹ của 𝔤𝔩(V). Khi đó ↩ 3 00V4
Bổ đề 2 (i) Gọi 𝔥ᵣ là tập hợp các x∈ 𝔥 sao cho 𝔤⁰(x) =𝔤⁰(𝔥); đây là tập hợp các x∈ 𝔥 sao cho λ (x)not= 0 với mọi λ ∈ R, và 𝔥ᵣ là mở và trù mật trong 𝔥 đối với tôpô Zariski. ↩ 2 00V5
Mệnh đề 2 Giả sử k đóng đại số. Cho 𝔤 là một đại số Lie, 𝔥 và 𝔥' là các đại số con Cartan của 𝔤. Tồn tại u∈ E(𝔥) và u'∈ E(𝔥') sao cho u(𝔥) =u'(𝔥'). ↩ 1 00V6
Hệ quả E(𝔥) = E(𝔥'). 00V7
Định lý 1 Giả sử rằng k đóng đại số. Cho 𝔤 là một đại số Lie. Nhóm E là chuẩn tắc trong Aut(𝔤) và tác động bắc cầu trên tập hợp các đại số con Cartan của 𝔤. ↩ 10 00V8
Định lý 2 Cho 𝔤 là một đại số Lie. ↩ 7 00V9
Mệnh đề 3 Cho 𝔤 là một đại số Lie, 𝔤' là một đại số con của 𝔤. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 8 00VA
Hệ quả Cho 𝔥 là một đại số con lũy linh của 𝔤. Đại số con 𝔤⁰(𝔥) có các tính chất (i), (ii), (iii) trong Mệnh đề 3. ↩ 1 00VB
Mệnh đề 4 Cho 𝔤 là một đại số Lie, l là hạng của 𝔤,c là lớp lũy linh của các đại số con Cartan của 𝔤, và x∈ 𝔤. Tồn tại một đại số con l-chiều của 𝔤 có lớp lũy linh ≤ c và chứa x. ↩ 1 00VC
Định lý 3 Cho 𝔤 là một đại số Lie giải được, và cho 𝔥,𝔥' là các đại số con Cartan của 𝔤. Tồn tại x∈ C^∞(𝔤) sao cho eᵃᵈˣ𝔥=𝔥'. ↩ 7 00VD
Bổ đề 3 Cho 𝔤 là một đại số Lie, 𝔯 là căn của nó, φ là đồng cấu chính tắc từ 𝔤 đến 𝔤/𝔯,v là một tự đẳng cấu sơ cấp của 𝔤/𝔯. Tồn tại một tự đẳng cấu sơ cấp u của 𝔤 sao cho φ ∘ u=v∘ φ. ↩ 1 00VE
Mệnh đề 5 Cho 𝔤 là một đại số Lie, 𝔯 là căn của nó, 𝔥 và 𝔥' là các đại số con Cartan của 𝔤, và φ là đồng cấu chính tắc từ 𝔤 đến 𝔤/𝔯. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 1 00VF
Mệnh đề 6 Giả sử rằng k là R,C hoặc một trường ultrametric đầy đủ rời rạc có đặc số 0. Cho G là một nhóm Lie hữu hạn chiều trên k,e là phần tử đơn vị của nó, 𝔤 là đại số Lie của nó, 𝔥 là một… 00VG

§ 4. Các phần tử chính quy của một nhóm Lie

Bổ đề 1 Cho M là một đa tạp giải tích trên k và a= (a₀, . . . , aₙ₋₁, aₙ= 1) là một dãy các hàm giải tích trên M. Với mọi x∈ M, gọi rₐ(x) là cận trên của các i∈ 0, n sao cho aⱼ(x) = 0 với… ↩ 4 00VU
Bổ đề 2 Cho 0→ V'→ V→ V''→ 0 là một dãy khớp của các G-môđun được xác định bởi các biểu diễn tuyến tính giải tích ρ ', ρ , ρ '' của G, tương ứng. Khi đó: 00VV
Định nghĩa 1 Một phần tử g∈ G được gọi là chính quy đối với biểu diễn tuyến tính ρ nếu r_ρ(g) =r⁰_ρ(g). 00VW
Mệnh đề 1 Các điểm chính quy đối với một biểu diễn tuyến tính giải tích ρ của G là các điểm của G mà trên một lân cận của chúng r_ρ là hằng. Chúng tạo thành một tập con mở trù mật của G. Nếu… ↩ 2 00VX
Nhận xét Cho G^* là một nhóm con mở của G. Một phần tử a∈ G^* là một phần tử chính quy của G đối với biểu diễn tuyến tính ρ của G khi và chỉ khi nó là một phần tử chính quy của G^* đối với… 00VY
Định nghĩa 2 Một phần tử của G được gọi là chính quy nếu nó chính quy đối với biểu diễn phụ hợp của G. ↩ 1 00VZ
Mệnh đề 2 Cho G' là một nhóm Lie hữu hạn chiều trên k và f là một cấu xạ mở từ G vào G'. Ảnh qua f của một phần tử chính quy của G là một phần tử chính quy của G'. Nếu hạt nhân của f được ch… ↩ 2 00W0
Mệnh đề 3 Cho G₁ và G₂ là hai nhóm Lie hữu hạn chiều trên k. Một phần tử (g₁, g₂) của G₁× G₂ là chính quy khi và chỉ khi g₁ và g₂ lần lượt là các phần tử chính quy của G₁ và G₂. 00W1
Bổ đề 3 Cho a∈ G và cho 𝔪 là một phần bù của 𝔤¹(a) trong 𝔤. Cho U là một lân cận của 0 trong 𝔤 và exp là một ánh xạ mũ từ U vào G. Ánh xạ ↩ 1 00W2
Mệnh đề 4 Cho a∈ G và H là một mầm nhóm con Lie của G với đại số Lie 𝔤¹(a). Ánh xạ (b, c) → cabc⁻¹ từ H× G vào G là một ánh xạ toàn phân tại (e, e). ↩ 2 00W3
Mệnh đề 5 Cho a∈ G và cho W là một lân cận của e trong G. Tồn tại một lân cận V của a có tính chất sau: với mọi a'∈ V, tồn tại một phần tử g∈ W sao cho 𝔤¹(a')⊂ Ad(g)𝔤¹(a). ↩ 1 00W4
Hệ quả Cho G^* là một nhóm con mở của G. Nếu a∈ G là chính quy, tồn tại một lân cận V của a sao cho, với mọi a'∈ V,𝔤¹(a') là liên hợp với 𝔤¹(a) dưới Ad(G^*). ↩ 1 00W5
Mệnh đề 6 Cho V là một nhóm con mở của 𝔤 và cho exp: V→ G là một ánh xạ hàm mũ được xác định trên V. ↩ 2 00W6
Bổ đề 4 Cho U là một lân cận của 0 trong 𝔤 và exp là một ánh xạ mũ từ U vào G, étale tại mọi điểm của U và sao cho 𝔤¹(exp x) =𝔤⁰(x) với mọi x∈ U. ↩ 2 00W7
Mệnh đề 7 Cho V là một lân cận của e trong G. Mọi đại số con Cartan của 𝔤 đều có dạng 𝔤¹(a) trong đó a là một phần tử chính quy của G thuộc V. 00W8
Mệnh đề 8 Cho l là hạng của 𝔤. Tồn tại một nhóm con mở G^* của G sao cho: ↩ 1 00W9
Nhận xét Nếu k=C, các đại số con 𝔤¹(a), với a chính quy và thuộc một thành phần liên thông M của G, là liên hợp dưới Int(𝔤). Thật vậy, xét R là tập hợp các phần tử chính quy của G. Với mọi… 00WA
Mệnh đề 9 Cho k là một trường có đặc số 0 và 𝔤 là một đại số Lie trên k. Nếu a∈ Autₑ(𝔤), thì chiều của không gian nghiệm của a-1 lớn hơn hoặc bằng hạng của 𝔤. ↩ 2 00WB

§ 5. Các đại số Lie tuyến tính phân tích được

Định nghĩa 1 Cho 𝔤 là một đại số con Lie của 𝔤𝔩(V). Khi đó 𝔤 được gọi là phân tích được nếu 𝔤 chứa các thành phần nửa đơn và lũy linh của mỗi phần tử của nó (Đại số, Chương VII, §5, no. 8). ↩ 1 00WG
Ví dụ 1 Cho V' và V'' là các không gian vectơ con của V sao cho V''⊃ V'. Tập hợp các x∈ 𝔤𝔩(V) sao cho x(V'')⊂ V' là một đại số con Lie phân tích được của 𝔤𝔩(V); thật vậy, với mọi x∈ 𝔤𝔩(V)… ↩ 1 00WH
Ví dụ 2 Giả sử rằng V có một cấu trúc đại số. Tập hợp các đạo hàm của V là một đại số con Lie phân tích được của 𝔤𝔩(V) (§1, no. 1, Mệnh đề 4 (ii)). 00WI
Ví dụ 3 Nói chung hơn, có thể chứng minh rằng đại số Lie của bất kỳ nhóm con đại số nào của GL(V) đều là phân tích được.\ 01KQ
Mệnh đề 1 Cho 𝔤 là một đại số con Lie phân tích được của 𝔤𝔩(V),x∈ 𝔤,s và n là các thành phần nửa đơn và lũy linh của x. 00WJ
Mệnh đề 2 Cho 𝔤 là một đại số con Lie của 𝔤𝔩(V) khả quy trong 𝔤𝔩(V), E là một không gian vectơ hữu hạn chiều và π :𝔤→ 𝔤𝔩(E) là một biểu diễn tuyến tính nửa đơn của 𝔤 trên E. Khi đó: ↩ 5 00WK
Nhận xét 1 Giả thiết về tính nửa đơn của π tương đương với việc nói rằng π (x) là nửa đơn với mọi x∈ 𝔠. Lưu ý rằng giả thiết này được thỏa mãn khi π được thu được từ biểu diễn đồng nhất 𝔤→ 𝔤𝔩… 00WL
Nhận xét 2 Cho 𝔤⊂ 𝔤𝔩(V), 𝔤'⊂ 𝔤𝔩(V') là các đại số Lie phân tích được, φ là một đẳng cấu từ 𝔤 đến 𝔤'. Chú ý rằng φ không nhất thiết biến các phần tử nửa đơn (tương ứng lũy linh) của 𝔤 thành cá… 00WM
Mệnh đề 3 Cho 𝔞 là một đại số con Lie phân tích được của 𝔤𝔩(V) và cho 𝔟 và 𝔠 là các không gian con vectơ của 𝔤𝔩(V) sao cho 𝔟⊂ 𝔠. Gọi 𝔞' là tập hợp các x∈ 𝔞 sao cho [x,𝔠]⊂ 𝔟. Khi đó 𝔞' là phâ… ↩ 3 00WN
Hệ quả 1 Nếu 𝔞 là một đại số con Lie phân tích được của 𝔤𝔩(V), và 𝔫 là một đại số con Lie của 𝔞, thì chuẩn hóa tử (tương ứng tâm hóa tử) của 𝔫 trong 𝔞 là phân tích được. ↩ 2 00WO
Hệ quả 2 Các đại số con Cartan của một đại số con Lie phân tích được của 𝔤𝔩(V) là phân tích được. ↩ 2 00WP
Nhận xét Sau này chúng ta sẽ chứng minh (no. 5, Định lý 2) một đảo lại của Hệ quả 2. 00WQ
Mệnh đề 4 Cho 𝔤 là một đại số con Lie của 𝔤𝔩(V) và 𝔫 là một iđêan của 𝔤. Khi đó 𝔫 và e(𝔫) là các iđêan của e(𝔤), và [e(𝔤), e(𝔫)] = [𝔤,𝔫]. ↩ 6 00WR
Hệ quả 1 (i) Dⁱ𝔤=Dⁱe(𝔤) for i≥ 1, và Cⁱ𝔤=Cⁱe(𝔤) for i≥ 2. ↩ 2 00WS
Hệ quả 2 Gọi 𝔯 là căn của 𝔤. Nếu 𝔤 phân rã được, 𝔯 phân rã được. ↩ 3 00WT
Mệnh đề 5 Cho 𝔤 là một đại số con Lie lũy linh phân rã được của 𝔤𝔩(V). Gọi 𝔱 là tập hợp các phần tử nửa đơn của 𝔤. Khi đó 𝔱 là một đại số con trung tâm của 𝔤, và 𝔤 là tích của 𝔱 và 𝔫_V(𝔤) nh… ↩ 1 00WU
Mệnh đề 6 Cho 𝔤 là một đại số con Lie phân tích được của 𝔤𝔩(V). Cho T là tập hợp các đại số con giao hoán của 𝔤 gồm các phần tử nửa đơn, và T₁ là tập hợp các phần tử cực đại của T. Cho H là… ↩ 1 00WV
Hệ quả 1 Các đại số con Cartan của 𝔤 là các tâm hóa tử của các phần tử nửa đơn chính quy của 𝔤. 00WW
Hệ quả 2 Giả sử thêm rằng 𝔤 là giải được. Khi đó: ↩ 2 00WX
Mệnh đề 7 Cho 𝔤 là một đại số con Lie phân tích được của 𝔤𝔩(V). ↩ 4 00WY
Bổ đề 1 Cho 𝔫 là một đại số Lie con của 𝔤𝔩(V) gồm các tự đồng cấu lũy linh, và N là nhóm con exp𝔫 của GL(V) (§3, no. 1, Bổ đề 1). ↩ 4 00WZ
Bổ đề 2 ² (i) Cho W là một không gian con của V có chiều d, D là đường thẳng bigwedgeᵈW⊂ bigwedgeᵈV,θ là biểu diễn chính tắc của 𝔤𝔩(V) trên bigwedge V (Ch. III, Phụ lục). Cho x∈ 𝔤𝔩(V). Khi… ↩ 2 01JS
Mệnh đề 8 Cho 𝔫 là một đại số con Lie của 𝔤𝔩(V) gồm các phần tử lũy linh, 𝔮 là bộ chuẩn hóa của 𝔫 trong 𝔤𝔩(V). Tồn tại một không gian vectơ hữu hạn chiều E, một biểu diễn ρ của 𝔤𝔩(V) trên E… ↩ 1 00X0
Định lý 1 Cho 𝔤 là một đại số con Lie của 𝔤𝔩(V) và cho X là một tập con của 𝔤 sinh ra 𝔤 như một đại số Lie trên k. Nếu mọi phần tử của X đều hoặc là nửa đơn hoặc là lũy linh, thì 𝔤 phân rã đ… ↩ 1 00X1
Hệ quả 1 Mọi đại số con của 𝔤𝔩(V) được sinh bởi các đại số con phân tích được của nó đều phân tích được. ↩ 4 00X2
Hệ quả 2 Cho 𝔤 là một đại số con Lie của 𝔤𝔩(V). Khi đó [𝔤,𝔤] là phân tích được. 00X3
Hệ quả 3 Cho 𝔤 là một đại số con Lie của 𝔤𝔩(V), và cho X là một tập con của 𝔤 sinh ra 𝔤(như một đại số Lie trên k). ↩ 2 00X4
Hệ quả 4 Cho 𝔤 là một đại số con Lie phân tích được của 𝔤𝔩(V). Cho T là tập hợp các đại số con giao hoán của 𝔤 gồm các phần tử nửa đơn (xem Mệnh đề 6). Các phần tử cực đại của T đều có cùng… 00X5
Định lý 2 Cho 𝔤 là một đại số con Lie của 𝔤𝔩(V). Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 1 00X6

App. 1. Ánh xạ đa thức và tôpô Zariski

Mệnh đề 1 Cho H là tập hợp các đồng cấu đại số từ A_V đến k. Với mọi x∈ V, gọi hₓ là đồng cấu f → f(x) từ A_V đến k. Khi đó, ánh xạ x → hₓ là một song ánh từ V lên H. 00XC
Hệ quả Với mọi x∈ V, đặt 𝔪ₓ= Ker(hₓ). Khi đó ánh xạ x → 𝔪ₓ là một song ánh từ V lên tập hợp các iđêan 𝔪 của A_V sao cho A_V/𝔪=k. ↩ 1 00XD
Mệnh đề 2 Không gian vectơ V, được trang bị tôpô Zariski, là một không gian bất khả quy Noether. Đặc biệt, mọi tập con mở không rỗng của V đều trù mật. 00XE
Định nghĩa 1 Một ánh xạ đa thức f: V→ W được gọi là trội nếu đồng cấu từ A_W vào A_V liên kết với f là đơn ánh. 00XF
Mệnh đề 3 Giả sử rằng k đóng đại số. Cho f: V→ W là một ánh xạ đa thức trội. Ảnh qua f của mọi tập con mở trù mật của V chứa một tập con mở trù mật của W. 00XG
Mệnh đề 4 Cho f: V→ W là một ánh xạ đa thức. Giả sử rằng tồn tại x₀∈ V sao cho (Df)(x₀) là toàn ánh. Khi đó f là trội. ↩ 1 00XH
Hệ quả Nếu k đóng đại số và nếu f thỏa mãn các giả thiết của Mệnh đề 4, thì ảnh qua f của mọi tập con mở trù mật của V chứa một tập con mở trù mật của W. 00XI

App. 2. Một tính chất liên thông

Bổ đề 1 Cho X là một không gian tôpô liên thông và Ω là một tập con mở trù mật của X. Nếu, với mọi x∈ X, tồn tại một lân cận V của x sao cho V∩ Ω là liên thông, thì Ω là liên thông. ↩ 1 00XN
Bổ đề 2 Cho U là một quả cầu mở trong Cⁿ và f: U→ C là một hàm chỉnh hình, không đồng nhất bằng không. Cho A là một tập con của U sao cho f= 0 trên A. Khi đó U -- A trù mật trong U và liên… 00XO
Bổ đề 3 Cho X là một đa tạp giải tích-phức liên thông hữu hạn chiều và A là một tập con của X thỏa mãn điều kiện sau: 00XP

VIII. Split semi-simple Lie algebras

§ 1. ĐẠI SỐ LIE $\mathfrak{s}\mathfrak{l}$(2$\boldsymbol{, k}$) VÀ CÁC BIỂU DIỄN CỦA NÓ

Bổ đề 1 Cho A là một đại số kết hợp trên k,H và X là các phần tử của A sao cho [H, X] = 2X. ↩ 5 00XS
Bổ đề 2 Trong đại số bao của 𝔰𝔩(2, k), ↩ 1 00XT
Bổ đề 3 Nếu x là một phần tử có trọng số λ, thì X₊x là một phần tử có trọng số λ + 2 và X₋x là một phần tử có trọng số λ -2. ↩ 2 00XU
Định nghĩa 1 Cho E là một 𝔰𝔩(2, k)-môđun. Một phần tử của E được gọi là nguyên thủy nếu nó là một vectơ riêng khác không của H_E và thuộc hạt nhân của X_+E. 00XV
Bổ đề 4 Cho E là một 𝔰𝔩(2, k)-môđun hữu hạn chiều khác không. Khi đó E có các phần tử nguyên thủy. ↩ 2 00XW
Mệnh đề 1 Cho E là một 𝔰𝔩(2, k)-môđun, và e là một phần tử nguyên thủy của E có trọng số λ. Đặt eₙ=((-1)ⁿ)/nX₋ⁿe với n≥ 0, và e₋₁= 0. Khi đó ↩ 4 00XX
Hệ quả Môđun con của E sinh bởi e là không gian vectơ con sinh bởi các eₙ. ↩ 1 00XY
Mệnh đề 2 Nếu môđun con V của E sinh bởi phần tử nguyên thủy e là hữu hạn chiều, thì: ↩ 6 00XZ
Hệ quả Cho E là một 𝔰𝔩(2, k)-môđun hữu hạn chiều. ↩ 9 00Y0
Mệnh đề 3 Với mọi số nguyên m≥ 0, V(m) là một 𝔰𝔩(2, k)-môđun đơn tuyệt đối. Trong môđun này, e⁽ᵐ⁾₀=uᵐ là nguyên thủy có trọng số m. 00Y1
Định lý 1 Mọi 𝔰𝔩(2, k)-môđun đơn hữu hạn chiều n đều đẳng cấu với V(n-1). Mọi 𝔰𝔩(2, k)-môđun hữu hạn chiều đều là một tổng trực tiếp của các môđun con đẳng cấu với các môđun V(m). ↩ 4 00Y2
Nhận xét 1 Biểu diễn kề của 𝔰𝔩(2, k) xác định trên 𝔰𝔩(2, k) cấu trúc của một 𝔰𝔩(2, k)-môđun đơn. Môđun này đẳng cấu với V(2) bởi một đẳng cấu biến u² thành X₊, 2uv thành -H, và v² thành X₋. 00Y3
Nhận xét 2 Với n≥ 0 và m > n, 00Y4
Nhận xét 3 Cho Φ là dạng song tuyến tính trên V(m) sao cho ↩ 2 00Y5
Mệnh đề 4 Cho E là một 𝔰𝔩(2, k)-môđun hữu hạn chiều, m là một số nguyên ≥ 0, Pₘ là tập hợp các phần tử nguyên thủy có trọng số m. Gọi L là không gian vectơ các đồng cấu từ 𝔰𝔩(2, k)-môđun V(m… 00Y6
Hệ quả Thành phần đẳng kiểu của E kiểu V(m) có độ dài 00Y7
Định nghĩa 2 Cho E là một không gian vectơ hữu hạn chiều, và ρ (resp. π ) là một biểu diễn tuyến tính của 𝔰𝔩(2, k) (resp. SL(2, k)) trên E. Khi đó ρ và π được gọi là tương thích nếu, với mọi ph… 00Y8
Định lý 2 Cho ρ là một biểu diễn tuyến tính của 𝔰𝔩(2, k) trên một không gian vectơ hữu hạn chiều E. ↩ 3 00Y9
Nhận xét Khi k là R hoặc C hoặc một trường ultrametric đầy đủ không rời rạc, 𝔰𝔩(2, k) là đại số Lie của SL(2, k). Cho ρ và π như trong Định lý 2. Đồng cấu π là một đồng cấu các nhóm Lie từ… 00YA
Mệnh đề 5 Cho E, F là các 𝔰𝔩(2, k)-môđun hữu hạn chiều, và cho f∈ Homₖ(E,F). Các điều kiện sau là tương đương: 00YB
Định nghĩa 3 Biểu diễn liên hợp của nhóm SL(2, k) là biểu diễn tuyến tính Ad của SL(2, k) trên 𝔰𝔩(2, k) được xác định bởi 00YC
Mệnh đề 6 Cho E là một 𝔰𝔩(2, k)-môđun hữu hạn chiều, và t∈ k^*. Gọi Eₚ là tập hợp các phần tử của E có trọng số p. ↩ 1 01L4
Hệ quả Cho E = E'⊕ E'' là phân tích của E được xác định trong Hệ quả của Mệnh đề 2. Phần tử (-10) của SL(2, k) tác động như +1 trên E' 00YD

§ 2. Hệ nghiệm của một đại số Lie nửa đơn tách

Định nghĩa 1 Cho 𝔤 là một đại số Lie nửa đơn. Một đại số con Cartan 𝔥 của 𝔤 được gọi là tách nếu, với mọi x∈ 𝔥, ad_𝔤x tam giác hóa được. Một đại số Lie nửa đơn được gọi là tách được nếu nó có m… 00YK
Nhận xét 1 Cho 𝔤 là một đại số Lie nửa đơn, 𝔥 là một đại số con Cartan của 𝔤. Với mọi x∈ 𝔥, ad_𝔤x là nửa đơn (Chap. VII, §2, no. 4, Th. 2). Do đó, nói rằng 𝔥 là tách có nghĩa là ad_𝔤x là chéo… 00YL
Nhận xét 2 Nếu k đóng đại số, mọi đại số Lie nửa đơn 𝔤 đều tách được, và mọi đại số con Cartan của 𝔤 đều tách. Khi k không đóng đại số, tồn tại các đại số Lie nửa đơn không tách được (Bài tập… ↩ 1 00YM
Nhận xét 3 Cho 𝔤 là một đại số Lie nửa đơn, 𝔥 là một đại số con Cartan của 𝔤, và ρ là một biểu diễn đơn ánh hữu hạn chiều của 𝔤 sao cho ρ (𝔥) chéo hóa được. Khi đó ad_𝔤x chéo hóa được với mọi… 00YN
Nhận xét 4 Ta sẽ thấy (§3, no. 3, Hệ quả của Mệnh đề 10) rằng nếu 𝔥,𝔥' là các đại số con Cartan tách của 𝔤, thì tồn tại một tự đẳng cấu sơ cấp của 𝔤 biến 𝔥 thành 𝔥'. 00YO
Nhận xét 5 Cho 𝔤 là một đại số Lie khả quy. Khi đó 𝔤=𝔠× 𝔰 trong đó 𝔠 là tâm của 𝔤 và 𝔰=D𝔤 là nửa đơn. Các đại số con Cartan của 𝔤 là các đại số con có dạng 𝔥=𝔠× 𝔥' trong đó 𝔥' là một đại số c… ↩ 1 00YP
Định nghĩa 2 Một nghiệm của (𝔤,𝔥) là một trọng số khác không của 𝔥 trên 𝔤. 00YQ
Mệnh đề 1 Cho α ,β là các nghiệm của (𝔤,𝔥) và cho ⟨ · ,· ⟩ là một dạng song tuyến tính đối xứng bất biến không suy biến trên 𝔤(chẳng hạn dạng Killing của 𝔤). ↩ 5 00YR
Định lý 1 Cho α là một nghiệm của (𝔤,𝔥). ↩ 3 00YS
Hệ quả Cho Φ là dạng Killing của 𝔤. Với mọi a, b∈ 𝔥, ↩ 2 00YT
Mệnh đề 2 Cho α , β ∈ R. ↩ 1 00YU
Bổ đề 1 (i) Với mọi h∈ 𝔥,θ_α(t).h=h-α (h)H_α. ↩ 3 00YV
Định lý 2 (i) Tập hợp R = R(𝔤,𝔥) là một hệ căn rút gọn trong 𝔥^*. ↩ 2 00YW
Hệ quả Mọi phần tử của nhóm Weyl của (𝔤,𝔥), tác động trên 𝔥, đều là hạn chế trên 𝔥 của một tự đẳng cấu sơ cấp của 𝔤. ↩ 8 00YX
Nhận xét 1 Nếu 𝔥_Q (tương ứng 𝔥^*_Q) ký hiệu không gian con vectơ trên Q của 𝔥 (tương ứng của 𝔥^*) sinh bởi các H_α (tương ứng các α ), với α ∈ R, thì 𝔥 (tương ứng 𝔥^*) có thể được đồng nhất… 00YY
Nhận xét 2 Hệ nghiệm R^∨ trong 𝔥 xác định một dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến β trên 𝔥 (Chap. VI, §1, no. 1, Prop. 3), cụ thể là dạng (a, b) → ∑_α∈ R⟨ α , a⟩ ⟨ α , b⟩. Theo Hệ qu… ↩ 1 00YZ
Mệnh đề 3 Cho 𝔤 là một đại số Lie nửa đơn, 𝔥₁ và 𝔥₂ là các đại số con Cartan tách của 𝔤. Tồn tại một đẳng cấu từ 𝔥^*₁ đến 𝔥^*₂ đưa R(𝔤,𝔥₁) lên R(𝔤,𝔥₂). 00Z0
Mệnh đề 4 Cho α và β là các nghiệm độc lập tuyến tính. Gọi p (tương ứng q) là số nguyên lớn nhất j sao cho β +jα (tương ứng β -jα ) là một nghiệm. ↩ 2 00Z1
Nhận xét 3 Nhớ rằng, theo Chương VI, §1, no. 3, Hệ quả của Mệnh đề 9, số nguyên p+q+ 1 chỉ có thể nhận các giá trị 1,2,3,4. 00Z2
Nhận xét 4 Cho (𝔤,𝔥) là một đại số Lie khả quy tách được, 𝔠 là tâm của 𝔤,𝔤'=D𝔤, 𝔥'=𝔥∩ 𝔤'. Khi đó 𝔥=𝔠× 𝔥', và ta đồng nhất 𝔥^'* với một không gian con vectơ của 𝔥^*. Với mọi λ ∈ 𝔥^* sao cho λ… ↩ 2 00Z3
Mệnh đề 5 Cho (𝔤,𝔥) là một đại số Lie nửa đơn tách, Φ là một dạng song tuyến tính đối xứng bất biến trên 𝔤, và W là nhóm Weyl của (𝔤,𝔥). Khi đó hạn chế Φ ' của Φ trên 𝔥 là bất biến dưới W. H… ↩ 2 00Z4
Mệnh đề 6 Cho (𝔤,𝔥) là một đại số Lie nửa đơn tách, Φ là một dạng song tuyến tính đối xứng bất biến không suy biến trên 𝔤. Với mọi α ∈ R, gọi X_α là một phần tử khác không của 𝔤^α. Gọi (Hᵢ)_… ↩ 2 00Z5
Bổ đề 2 Tồn tại một họ (X_α)_α∈ R sao cho, với mọi α ∈ R, ↩ 3 00Z6
Bổ đề 3 Với mọi α ∈ R, ↩ 2 00Z7
Bổ đề 4 Cho α , β ∈ R sao cho α +β ∈ R. Gọi p (resp. q) là số nguyên lớn nhất j sao cho β +jα ∈ R (resp. β -jα ∈ R). Khi đó, ↩ 3 00Z8
Định nghĩa 3 Một hệ Chevalley cho (𝔤,𝔥) là một họ (X_α)_α∈ R sao cho ↩ 4 00Z9
Mệnh đề 7 Cho (X_α)_α∈ R là một hệ Chevalley của (𝔤,𝔥). Ta giữ ký hiệu của Bổ đề 4. Khi đó, N_-α ,-β= N_α ,β và N_α ,β=± (q+ 1) với α , β , α +β ∈ R. ↩ 3 00ZA
Mệnh đề 8 Cho (X_α)_α∈ R là một hệ Chevalley của (𝔤,𝔥). Cho M là một Z-môđun con của 𝔥 chứa các H_α và được chứa trong nhóm các trọng số của R^∨. Gọi 𝔤_Z là môđun con trên Z của 𝔤 được sinh… ↩ 1 00ZB

§ 3. Các đại số con của các đại số Lie nửa đơn tách

Bổ đề 1 Cho V là một không gian con vectơ của 𝔤 và R(V) là tập hợp các α ∈ R sao cho 𝔤^α⊂ V. Khi đó, (V∩ 𝔥) +∑_α∈ R(V)𝔤^α là không gian con vectơ lớn nhất của V ổn định dưới ad 𝔥. ↩ 1 00ZO
Bổ đề 2 Cho 𝔥' là một không gian con vectơ của 𝔥 và P là một tập con của R. Khi đó 𝔥'+𝔤ᴾ là một đại số con của 𝔤 khi và chỉ khi P là một tập con đóng của R và ↩ 1 00ZP
Mệnh đề 1 (i) Các đại số con của 𝔤 ổn định dưới ad𝔥 là các không gian vectơ có dạng 𝔥'+𝔤ᴾ, trong đó P là một tập con đóng của R và 𝔥' là một không gian vectơ của 𝔥 chứa 𝔥_P∩(-P). ↩ 3 00ZQ
Mệnh đề 2 Cho 𝔞 là một đại số con của 𝔤 ổn định dưới ad𝔥, và cho 𝔥'⊂ 𝔥, P⊂ R sao cho 𝔞=𝔥'+𝔤ᴾ. ↩ 4 00ZR
Mệnh đề 3 Cho 𝔞 là một đại số con nửa đơn của 𝔤 ổn định dưới ad(𝔥) và gọi P là tập con của R sao cho 𝔞=𝔥_P+𝔤ᴾ. 00ZS
Mệnh đề 4 Giả sử 𝔞 là một đại số con của 𝔤 chứa 𝔥,x là một phần tử của 𝔞,s và n là các thành phần nửa đơn và lũy linh của nó. Khi đó s∈ 𝔞 và n∈ 𝔞. 00ZT
Mệnh đề 5 Cho P là một tập con đóng của R. ↩ 1 00ZU
Mệnh đề 6 Cho R₁, . . . ,Rₚ là các thành phần bất khả quy của R. Với i= 1, . . . , p, đặt 𝔤ᵢ=𝔥_Rᵢ+𝔤^Rᵢ. Khi đó 𝔤₁, . . . ,𝔤ₚ là các thành phần đơn của 𝔤. ↩ 1 00ZV
Hệ quả 1 𝔤 là đơn khi và chỉ khi R là bất khả quy (nói cách khác, đồ thị Dynkin của nó là liên thông). ↩ 3 01IZ
Hệ quả 2 Một đại số Lie đơn phân rã được là đơn tuyệt đối. 00ZW
Mệnh đề 7 Cho 𝔟=𝔥+𝔤ᴾ là một đại số con của 𝔤 chứa 𝔥. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 3 00ZX
Định nghĩa 1 Một đại số con của 𝔤 chứa 𝔥 và thỏa mãn điều kiện tương đương trong Mệnh đề 7 được gọi là một đại số con Borel của (𝔤,𝔥). ↩ 1 00ZY
Nhận xét Ánh xạ gán R₊(C) cho một buồng C của R là đơn ánh (Chap. VI, §1, no. 7, Cor. 1 of Prop. 20). Do đó, C → 𝔥+𝔤^R₊(C) là một song ánh từ tập hợp các buồng của R lên tập hợp các đại số… 00ZZ
Mệnh đề 8 Cho 𝔟 là một đại số con của 𝔤,k' là một mở rộng của k. Khi đó 𝔟⊗ₖk' là một đại số con Borel của (𝔤⊗ₖk',𝔥⊗ₖk') nếu và chỉ nếu 𝔟 là một đại số con Borel của (𝔤,𝔥). ↩ 1 0100
Mệnh đề 9 Cho 𝔟 là đại số con Borel của (𝔤,𝔥) được xác định bởi một chamber C của R. Cho 𝔫=𝔤^R₊(C)=∑_α∈ R,α >0𝔤^α. Đặt l= dim𝔥. ↩ 7 0101
Hệ quả Cho 𝔟 là một đại số con Borel của 𝔤. ↩ 2 0102
Mệnh đề 10 Cho 𝔟,𝔟' là các đại số con Borel của 𝔤. Tồn tại một đại số con Cartan tách của 𝔤 được chứa trong 𝔟∩ 𝔟'. ↩ 6 0103
Hệ quả Nhóm Autₑ(𝔤) tác động bắc cầu trên tập hợp các cặp (𝔱,𝔟) trong đó 𝔱 là một đại số con Cartan tách của 𝔤 và 𝔟 là một đại số con Borel của (𝔤,𝔱). ↩ 4 0104
Mệnh đề 11 Cho 𝔭=𝔥+𝔤ᴾ là một đại số con của 𝔤 chứa 𝔥. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 1 0105
Định nghĩa 2 Một đại số con của 𝔤 chứa 𝔥 và thỏa mãn các điều kiện tương đương của Mệnh đề 11 được gọi là một đại số con parabolic của (𝔤,𝔥). Một đại số con parabolic của 𝔤 là một đại số con pa… ↩ 1 0106
Nhận xét Cho B là một cơ sở của R, và 𝔟 là đại số con Borel tương ứng. Nếu Σ ⊂ B, ký hiệu Q_Σ là tập hợp các nghiệm là tổ hợp tuyến tính của các phần tử của Σ với các hệ số ≤ 0; đặt 𝔭(Σ ) =… 0107
Bổ đề 3 Cho V là một không gian vectơ thực hữu hạn chiều, S là một hệ nghiệm trong V^*,P là tập hợp các tập con parabolic của S; gọi H là tập hợp các Ker α với α ∈ S, và F là tập hợp các m… ↩ 1 0108
Mệnh đề 12 Cho H là tập hợp các siêu phẳng của 𝔥_R gồm các hạt nhân của các căn trong R. Cho F là tập hợp các mặt của 𝔥_R đối với H. Cho S là tập hợp các đại số con parabolic của (𝔤,𝔥). Với m… 0109
Ví dụ Các mặt tương ứng với các đại số con parabolic của (𝔤,𝔥) chứa một đại số Borel 𝔟 là các mặt được chứa trong bao đóng của buồng liên kết với 𝔟 (xem Nhận xét trên). 010A
Mệnh đề 13 Cho 𝔭=𝔥+𝔤ᴾ là một đại số con parabolic của (𝔤,𝔥), Q là tập hợp các α ∈ P sao cho -α ∉ P, và 𝔰=𝔥+𝔤^P∩(-P). Khi đó 𝔭=𝔰⊕ 𝔤^Q,𝔰 là khả quy trong 𝔤, và 𝔤^Q là iđêan lũy linh lớn nhất củ… ↩ 2 010B
Mệnh đề 14 Cho k' là một mở rộng của k và 𝔤'=𝔤⊗ₖk'. Cho 𝔪 là một đại số con của 𝔤 và 𝔪'=𝔪⊗ₖk'. Nếu 𝔪' là một đại số con parabolic (tương ứng, Borel ) của 𝔤',𝔪 thì là một đại số con parabolic… ↩ 2 010C
Định nghĩa 3 Cho 𝔞 là một đại số Lie nửa đơn (hoặc nói chung hơn là khả quy) và overlinek là một bao đóng đại số của k. Một đại số con 𝔪 của 𝔞 được gọi là parabolic (tương ứng, Borel ) nếu 𝔪⊗ₖo… 010D
Mệnh đề 15 Cho 𝔞 là một đại số Lie khả quy, k' là một mở rộng của k, và 𝔪 là một đại số con của 𝔞. Khi đó 𝔪 là một đại số con parabolic (tương ứng là Borel ) của 𝔞 nếu và chỉ nếu 𝔪⊗ₖk' là một… 010E

§ 4. Đại số Lie nửa đơn tách được xác định bởi một hệ nghiệm rút gọn

Mệnh đề 1 Cho (𝔤,𝔥) là một đại số Lie nửa đơn tách được, R là hệ nghiệm của nó, B là một cơ sở của R, và (n(α , β ))_α ,β∈ B là ma trận Cartan tương ứng. Với mọi α ∈ B, cho X_α∈ 𝔤^α, X_-α∈ 𝔤… ↩ 3 010T
Định nghĩa 1 Cho (𝔤,𝔥) là một đại số Lie nửa đơn tách được, R là hệ nghiệm của nó. Một sự đóng khung của (𝔤,𝔥) là một cặp (B,(X_α)_α∈ B), trong đó B là một cơ sở của R, và trong đó, với mọi α ∈… 010U
Bổ đề 1 Với mọi α , β ∈ B, ta có ↩ 1 010V
Bổ đề 2 Các tự đồng cấu X_α⁰,H_β⁰,X_-γ⁰, trong đó α , β , γ ∈ B, độc lập tuyến tính. 010W
Bổ đề 3 Các ảnh chính tắc trong 𝔞 của các phần tử x_α, h_β, x_-γ, trong đó α , β , γ ∈ B, là độc lập tuyến tính. 010X
Bổ đề 4 Tồn tại một tự đẳng cấu đối hợp duy nhất θ của 𝔞 sao cho 010Y
Bổ đề 5 Cho z∈ 𝔞. Khi đó z∈ 𝔞^μ khi và chỉ khi [h_α, z] =⟨ μ, α^∨⟩ z với mọi α ∈ B. ↩ 2 010Z
Nhận xét Suy ra từ Bổ đề 5 rằng mọi iđêan của 𝔞 đều thuần nhất, vì nó ổn định dưới ad h_α. 0110
Mệnh đề 2 (i) Đại số Lie 𝔞₊ được sinh bởi họ (x_α)_α∈ B. ↩ 1 0111
Mệnh đề 3 Đại số Lie 𝔞₊ (tương ứng 𝔞₋) là một đại số Lie tự do với họ cơ bản (x_α)_α∈ B (tương ứng (x_-α)_α∈ B) (xem Chương II, §2, no. 3). ↩ 1 0112
Bổ đề 6 Cho α , β ∈ B với α not=β. Khi đó ↩ 1 0113
Bổ đề 7 Iđêan 𝔫 của 𝔞₊ sinh bởi các x_α β(α , β ∈ B, α not=β ) là một iđêan của 𝔞. Iđêan của 𝔞₋ sinh bởi các y_α β(α , β ∈ B, α not=β ) là một iđêan của 𝔞 và bằng θ (𝔫). 0114
Định lý 1 Cho R là một hệ nghiệm rút gọn, B là một cơ sở của R. Cho 𝔤 là đại số Lie được xác định bởi họ sinh ((X_α, H_α, X_-α))_α∈ B và các quan hệ (16) đến (22). Cho 𝔥=∑_α∈ BkH_α. Khi đó (… ↩ 3 0115
Bổ đề 8 Cho α ∈ B∪ (-B). Khi đó ad X_α là lũy linh địa phương.¹ ↩ 1 0116
Bổ đề 9 Cho μ, ν ∈ Q và w∈ W(R) sao cho wμ=ν. Tồn tại một tự đẳng cấu của 𝔤 biến 𝔤^μ thành 𝔤^ν. ↩ 1 0117
Bổ đề 10 Cho μ∈ Q, và giả sử rằng μ không là bội của một nghiệm. Tồn tại w∈ W(R) sao cho một số tọa độ của wμ đối với cơ sở B là >0 và một số tọa độ khác là <0. ↩ 1 0118
Bổ đề 11 Cho μ∈ Q. Nếu μ ∉ R∪ 0, thì 𝔤^μ= 0. Nếu μ∈ R, thì dim𝔤^μ= 1. 0119
Mệnh đề 4 Cho (𝔤,𝔥,B,(X_α)_α∈ B) là một đại số Lie nửa đơn có khung. Cho (n(α , β ))_α ,β∈ B và (X_α)_α∈ B∪(-B) lần lượt là ma trận Cartan và họ sinh tương ứng. ↩ 3 011A
Hệ quả Mọi đại số Lie nửa đơn có khung đều thu được từ một đại số Lie nửa đơn Q có khung bằng phép mở rộng vô hướng từ Q đến k. ↩ 1 011B
Định lý 2 Cho (𝔤,𝔥,B,(X_α)_α∈ B) và (𝔤',𝔥',B',(X'_α)_α∈ B') là các đại số Lie nửa đơn có khung, cho R và R' là các hệ nghiệm của (𝔤,𝔥) và (𝔤',𝔥'), cho (n(α , β ))_α ,β∈ B (tương ứng (n'(α… ↩ 4 011C
Chú giải Với mỗi đại số Lie nửa đơn tách được 𝔤, liên kết với nó là một đồ thị Dynkin, đồ thị này xác định 𝔤 sai khác một đẳng cấu (Định lý 2 (iii)). Đồ thị này rỗng và liên thông khi và ch… 011D
Mệnh đề 5 Cho (𝔤,𝔥,B,(X_α)_α∈ B) là một đại số Lie nửa đơn có khung, và (X_α)_α∈ B∪(-B) là họ sinh tương ứng. Tồn tại một tự đẳng cấu duy nhất θ của 𝔤 sao cho θ (X_α) =X_-α với mọi α ∈ B∪ (-… ↩ 1 011E
Hệ quả Cho (𝔤,𝔥) là một đại số Lie nửa đơn tách. Khi đó (𝔤,𝔥) có một hệ Chevalley (§2, no. 4, Định nghĩa 3). ↩ 3 011F

§ 5. Các tự đẳng cấu của một đại số Lie nửa đơn

Mệnh đề 1 Cho (𝔤,𝔥,B,(X_α)_α∈ B) là một đại số Lie nửa đơn có khung, và R là hệ nghiệm của (𝔤,𝔥). Gọi G là tập hợp các s∈ Aut(𝔤,𝔥) làm cho B ổn định, và sao cho s(X_α) =X_ε(s)α với mọi α ∈ B… ↩ 4 011N
Mệnh đề 2 Dãy các đồng cấu ↩ 7 011O
Hệ quả 1 Cho (B,(X_α)_α∈ B) là một cơ sở của (𝔤,𝔥). Gọi G là tập hợp các s∈ Aut(𝔤,𝔥) bảo toàn cơ sở đó. Khi đó Aut(𝔤,𝔥) là tích nửa trực tiếp của G và ε⁻¹(W(R)). ↩ 2 011P
Hệ quả 2 Nhóm ε⁻¹(W(R)) tác động đơn bắc cầu trên tập hợp các cơ sở của (𝔤,𝔥). ↩ 1 011Q
Hệ quả 3 Cho B là một cơ sở của R. Nhóm Ker ε =f(T_Q) tác động đơn bắc cầu trên tập hợp các khung của (𝔤,𝔥) có dạng (B,(X_α)_α∈ B). 011R
Bổ đề 1 Cho α ∈ R và t∈ k^*. Gọi φ là đồng cấu λ → t^λ(H_α) từ Q(R) vào k^*. Khi đó f(φ ) =θ_α(t)θ_α(-1). ↩ 1 011S
Mệnh đề 3 Ảnh của đồng cấu hợp thành ↩ 3 011T
Bổ đề 2 Cho 𝔥 là một đại số con Cartan tách của 𝔤, và s∈ Aut₀(𝔤,𝔥). Giả sử rằng hạn chế của s lên ∑_α∈ R𝔤^α không có 1 là một trị riêng. ↩ 1 011U
Bổ đề 3 (i) Cho m= (P(R) : Q(R)). Nếu φ là lũy thừa bậc m của một phần tử của T_Q, thì φ ∈ q(T_P). ↩ 1 011V
Mệnh đề 4 Ta có f(T_Q)⊂Aut₀(𝔤,𝔥) và ε⁻¹(W(R)) = Aut₀(𝔤,𝔥). ↩ 6 011W
Hệ quả — Cho B là một cơ sở của R. Nhóm Aut(mathfrak g,mathfrak h) đẳng cấu với tích nửa trực tiếp của các nhóm Aut(R,B) và Aut₀(mathfrak g,mathfrak h). 01J0
Nhận xét Cho ε',ε'' là các hạn chế của ε lên Aut₀(mathfrak g,mathfrak h), Autₑ(mathfrak g,mathfrak h). Cho f' là đồng cấu từ T_P đến Autₑ(mathfrak g,mathfrak h) được cảm sinh bởi f qua đơn… 011X
Mệnh đề 5 — Giả sử rằng mathfrak g là tách được. Nhóm Aut₀(mathfrak g) tác động đơn bắc cầu trên tập hợp các khung của mathfrak g. ↩ 5 01J1
Hệ quả 1 — Cho (mathfrak g,mathfrak h,B,(X_α)_α∈ B) là một sự định khung của mathfrak g, và G là nhóm (đẳng cấu với Aut(R,B)) các tự đẳng cấu của mathfrak g để sự định khung này bất biến. K… ↩ 5 01J2
Hệ quả 2 Aut(𝔤) = Aut₀(𝔤) khi 𝔤 là một đại số Lie đơn phân rã được thuộc kiểu A₁,Bₙ(n≥ 2), Cₙ(n≥ 2), E₇,E₈,F₄,G₂. Thương Aut(𝔤)/Aut₀(𝔤) có cấp 2 khi 𝔤 thuộc kiểu Aₙ(n≥ 2), Dₙ(n≥ 5), E₆; nó… ↩ 2 01J3
Nhận xét 1 Cho e₁= (𝔤,𝔥₁,B₁,(X_α¹)_α∈ B₁),e₂= (𝔤,𝔥₂,B₂,(X_α²)_α∈ B₂), e'₂= (𝔤,𝔥₂,B₂,(Y_α²)_α∈ B₂) là các khung của 𝔤, và s (resp. s') là một phần tử của Aut₀(𝔤) biến đổi e₁ thành e₂ (resp. e'… ↩ 1 011Z
Nhận xét 2 Cho X là tập hợp các cặp (𝔥,B) trong đó 𝔥 là một đại số con Cartan tách của 𝔤 và B là một cơ sở của hệ nghiệm của (𝔤,𝔥). Nếu x= (𝔥,B) và x'= (𝔥',B') là hai phần tử của X, thì tồn t… ↩ 6 0120
Mệnh đề 6 Cho 𝔥 là một đại số con Cartan tách của 𝔤. Ta có, với các ký hiệu ở no. 1, Aut₀(𝔤) = Autₑ(𝔤).Ker ε = Autₑ(𝔤).f(T_Q). ↩ 2 0121
Nhận xét 3 Mệnh đề 6 cho thấy rằng đồng cấu chính tắc ↩ 1 0122
Mệnh đề 7 Cho 𝔤 là một đại số Lie nửa đơn tách được, 𝔟 là một đại số con Borel của 𝔤, và 𝔭₁ và 𝔭₂ là hai đại số con parabolic phân biệt của 𝔤 chứa 𝔟. Khi đó 𝔭₁ và 𝔭₂ không liên hợp dưới Aut₀… ↩ 1 0123
Nhận xét 4 Cho 𝔤 là một đại số Lie nửa đơn phân rã được, P tập hợp các đại số con parabolic của 𝔤, một tập hợp mà trên đó Aut₀(𝔤) tác động. Giữ các ký hiệu của Nhận xét 2. Cho Σ là một tập co… 0124
Mệnh đề 8 Gọi V là tập hợp các nội cấu của không gian vectơ 𝔤. Khi đó Aut(𝔤) là đóng trong V đối với tôpô Zariski (Chương VII, Phụ lục I). 0125
Mệnh đề 9 Cho 𝔥 là một đại số con Cartan tách của 𝔤. ↩ 1 0126
Mệnh đề 10 Giả sử rằng 𝔤 là khả phân. 0127
Mệnh đề 11 Giả sử rằng k là R,C hoặc một trường ultrametric đầy đủ không rời rạc. Cho 𝔥 là một đại số con Cartan tách của 𝔤. 0128

§ 6. Môđun trên một đại số Lie nửa đơn tách

Bổ đề 1 Cho V là một 𝔤-môđun và v∈ V. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 1 012M
Định nghĩa 1 Cho V là một 𝔤-môđun và v∈ V. Khi đó v được gọi là một phần tử nguyên thủy của V nếu vnot= 0 và v thỏa mãn các điều kiện của Bổ đề 1. 012N
Mệnh đề 1 Cho V là một 𝔤-môđun, v là một phần tử nguyên thủy của V và ω là trọng số của v. Giả sử rằng V được sinh bởi v như một 𝔤-môđun. ↩ 13 012O
Định nghĩa 2 Đồng cấu χ của Mệnh đề 1 (iv) được gọi là đặc trưng trung tâm của 𝔤-môđun V. ↩ 1 012P
Mệnh đề 2 Cho V là một 𝔤-môđun sinh bởi một phần tử nguyên thủy e có trọng số ω, và X là một 𝔤-môđun nửa đơn. Gọi Φ là tập hợp các đồng cấu từ 𝔤-môđun V đến 𝔤-môđun X. Khi đó φ → φ (e) là mộ… ↩ 1 012Q
Bổ đề 2 Cho V là một 𝔤-môđun đơn, ω một trọng số của V. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 3 012R
Mệnh đề 3 Cho V là một 𝔤-môđun đơn có trọng số cao nhất ω. ↩ 3 012S
Hệ quả Nếu V là hữu hạn chiều, đồng cấu chính tắc U(𝔤)→ End(V) là toàn ánh. 012T
Mệnh đề 4 Cho V là một 𝔤-môđun đơn có trọng số cao nhất ω, X là một 𝔤-môđun nửa đơn, và X' là thành phần đẳng kiểu kiểu V trong X. Khi đó X' là môđun con của X sinh bởi X^ω_π. Độ dài của nó… ↩ 2 012U
Mệnh đề 5 (i) Phần tử e của Z(λ ) là nguyên thủy, có trọng số λ và sinh ra 𝔤-môđun Z(λ ). ↩ 1 012V
Định lý 1 Cho λ ∈ 𝔥^*. 𝔤-môđun E(λ ) là đơn và có trọng số cao nhất λ. Mọi 𝔤-môđun đơn có trọng số cao nhất λ đều đẳng cấu với E(λ ). ↩ 1 012W
Mệnh đề 6 Cho V là một 𝔤-môđun, λ là một phần tử của 𝔥^* và v là một phần tử nguyên thủy của V có trọng số λ. ↩ 3 012X
Hệ quả 1 Cho λ ∈ 𝔥^* và α ∈ B sao cho λ (H_α) + 1∈ N. Khi đó Z(-α +s_αλ ) đẳng cấu với một 𝔤-môđun con của Z(λ ). ↩ 2 012Y
Hệ quả 2 Cho ρ =1/2∑_α∈ R₊α, và λ , μ∈ 𝔥^*. Giả sử rằng λ +ρ là một trọng số trội trong R, và rằng tồn tại w∈ W sao cho μ+ρ =w(λ +ρ ). Khi đó Z(μ) đẳng cấu với một môđun con của Z(λ ). ↩ 1 012Z
Bổ đề 3 Đặt L = (𝔫₋U)∩ U⁰. 0130
Mệnh đề 7 Cho λ ∈ 𝔥^*, E là một 𝔤-môđun được sinh bởi một phần tử nguyên thủy có trọng số λ ,χ là đặc trưng trung tâm của E, và φ là đồng cấu Harish-Chandra từ U⁰ vào V. Khi đó, χ (z) = (φ (… ↩ 3 0131
Hệ quả Cho ⟨ · ,· ⟩ là một dạng song tuyến tính đối xứng bất biến không suy biến trên 𝔤, và C là phần tử Casimir liên kết với ⟨ · ,· ⟩. Cũng ký hiệu bởi ⟨ · ,· ⟩ dạng nghịch đảo trên 𝔥^*… ↩ 3 0132

§ 7. Môđun hữu hạn chiều trên một đại số Lie nửa đơn tách

Mệnh đề 1 Cho V là một 𝔤-môđun hữu hạn chiều. ↩ 2 0138
Hệ quả Cho ρ là một biểu diễn hữu hạn chiều của 𝔤 và Φ là dạng song tuyến tính liên kết với ρ. ↩ 1 0139
Bổ đề 1 Cho V là một 𝔤-môđun và ρ là biểu diễn tương ứng của 𝔤. ↩ 3 013A
Mệnh đề 2 Cho V là một 𝔤-môđun hữu hạn chiều và s∈ Aut₀(𝔤). ↩ 8 013B
Nhận xét 1 Cho S thỏa mãn điều kiện trong Mệnh đề 2 (i), và đặt 𝔥'=s(𝔥); ký hiệu s^* là đẳng cấu λ → λ ∘ s⁻¹ từ 𝔥^* đến 𝔥^'*. Rõ ràng rằng 013C
Hệ quả 1 Đẳng cấu s^* đưa các trọng số của V đối với 𝔥 thành các trọng số của V đối với 𝔥'; các trọng số tương ứng có cùng bội số. ↩ 1 013D
Hệ quả 2 Cho w∈ W. Với mọi λ ∈ 𝔥^*, các không gian vectơ con V^λ và V^wλ có cùng chiều. Tập hợp các trọng số của V là ổn định qua W. ↩ 3 013E
Nhận xét 2 Theo Hệ quả 1 của Mệnh đề 2 và §5, no. 3, Nhận xét 2, có ý nghĩa khi nói về các trọng số của V đối với đại số con Cartan chính tắc của 𝔤, và về các bội số của chúng. 01L8
Nhận xét 3 Bổ đề 1 (i) và Mệnh đề 2 vẫn đúng, với cùng chứng minh, ngay cả khi 𝔤 không được giả thiết là khả phân. 013F
Định lý 1 Một 𝔤-môđun đơn là hữu hạn chiều khi và chỉ khi nó có một trọng số cao nhất thuộc P₊₊. ↩ 1 013G
Hệ quả 1 Nếu λ ∈ 𝔥^* và λ ∉ P₊₊, môđun 𝔤 E(λ ) (§6, no. 3) là vô hạn chiều. 013H
Hệ quả 2 Các môđun 𝔤 E(λ ) với λ ∈ P₊₊ tạo thành một tập hợp các đại diện của các lớp các môđun 𝔤 đơn hữu hạn chiều. ↩ 2 013I
Nhận xét 1 Cho λ ∈ P₊₊,ρ_λ là biểu diễn của 𝔤 trên E(λ ),s∈ Aut(𝔤), và σ là ảnh chính tắc của s trong Aut(R,B) (§5, no. 3, Hệ quả 1 của Mệnh đề 5). Khi đó ρ_λ∘ s tương đương với ρ_σ λ; thật v… ↩ 1 013J
Mệnh đề 3 Cho V là một môđun 𝔤 hữu hạn chiều và X là tập hợp các trọng số của nó. Cho λ ∈ X,α ∈ R, I là tập hợp các t∈ Z sao cho λ +tα ∈ X,p (tương ứng -q) là phần tử lớn nhất (tương ứng nhỏ… ↩ 4 013K
Hệ quả 1 Nếu λ ∈ X và λ (H_α)≥ 1, thì λ -α ∈ X. Nếu λ +α ∈ X và λ (H_α) = 0, thì λ ∈ X và λ -α ∈ X. 013L
Hệ quả 2 Cho μ∈ P₊₊ và ν ∈ Q₊. Nếu μ+ν ∈ X, thì μ∈ X. ↩ 2 01J4
Hệ quả 3 Cho v∈ V là nguyên thủy có trọng số ω. Gọi Σ là tập hợp các α ∈ B sao cho ω (H_α) = 0. Nhóm ổn định trong 𝔤 của đường thẳng kv là đại số con parabolic 𝔭_Σ liên kết với Σ (§3, no. 4… 013M
Mệnh đề 4 Cho V là một 𝔤-môđun hữu hạn chiều và d là một số nguyên ≥ 1. Tập hợp các trọng số của V có bội số ≥ d là R-bão hòa. ↩ 1 013N
Mệnh đề 5 Cho V là một 𝔤-môđun đơn hữu hạn chiều, ω là trọng số cao nhất của nó, X là tập hợp các trọng số của nó. Chọn một dạng song tuyến tính đối xứng dương bất biến theo W không suy biến… ↩ 7 013O
Hệ quả Cho X là một tập con R-bão hòa hữu hạn của P. Tồn tại một 𝔤-môđun hữu hạn chiều mà tập hợp các trọng số của nó là X. 013P
Nhận xét 2 Nhắc lại (Ch. VI, §1, no. 6, Hệ quả 3 của Mệnh đề 17) rằng tồn tại một phần tử duy nhất w₀ của W biến B thành -B; ta có w₀²= 1. và -w₀ tôn trọng quan hệ thứ tự trên P. Với điều này… ↩ 1 013Q
Mệnh đề 6 Cho λ ∈ P, và X là tập con R-bão hòa nhỏ nhất của P chứa λ. Chọn một chuẩn | · | như trong Mệnh đề 5. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 4 013R
Mệnh đề 7 Cho V là một 𝔤-môđun đơn hữu hạn chiều, X là tập hợp các trọng số của V, và λ là phần tử cao nhất của X (xem Mệnh đề 5 (i)). Các điều kiện (i), (ii) và (iii) của Mệnh đề 6 tương đư… ↩ 1 013S
Mệnh đề 8 Giả sử rằng 𝔤 là đơn. Ký hiệu bởi α₁, . . . , αₗ các phần tử của B. Gọi varpi₁, . . . , varpiₗ là các trọng số cơ bản tương ứng. Gọi H = n₁H_α₁+⋯ +nₗH_αₗ là nghiệm cao nhất của R^∨… ↩ 1 013T
Định nghĩa 1 Giả sử rằng 𝔤 là đơn. Một trọng lượng minuscule của (𝔤,𝔥) là một phần tử của P₊₊ -- 0 thỏa mãn các điều kiện tương đương (i), (ii), (iii), (iv), (v) và (vi) của Mệnh đề 6, 7 và 8. 013U
Nhận xét Giả sử rằng 𝔤 là đơn. Gọi Σ^'∨ là đồ thị Coxeter của nhóm Weyl affine Wₐ(R^∨). Nhắc lại rằng các đỉnh của Σ^'∨ là các đỉnh của đồ thị Coxeter Σ^∨ của W(R^∨), cùng với một đỉnh phụ… 013V
Mệnh đề 9 Cho E,F là các 𝔤-môđun đơn hữu hạn chiều, với các trọng số cao nhất lần lượt là λ , μ. ↩ 3 013W
Nhận xét Giữ lại các ký hiệu của Mệnh đề 9. Gọi C là thành phần đẳng kiểu của E⊗ F có trọng số cao nhất λ +μ. Khi đó C chỉ phụ thuộc vào E và F chứ không phụ thuộc vào lựa chọn 𝔥 và cơ sở B… 013X
Hệ quả 1 Cho (varpi_α)_α∈ B là họ các trọng số cơ bản tương ứng với B. Cho λ =∑_α∈ Bm_αvarpi_α∈ P₊₊. Với mọi α ∈ B, cho E_α là một môđun 𝔤 đơn có trọng số cao nhất varpi_α. Trong môđun 𝔤 ⨂_… ↩ 1 01J5
Hệ quả 2 Giả sử rằng k là R hoặc C hoặc một trường ultrametric đầy đủ không rời rạc. Cho G là một nhóm Lie có đại số Lie 𝔤. Giả sử rằng, với mọi biểu diễn cơ bản ρ của 𝔤, tồn tại một biểu d… 013Y
Mệnh đề 10 Cho λ , μ∈ P₊₊. Cho E,F,G là các 𝔤-môđun đơn có các trọng số cao nhất λ , μ, λ +μ. Gọi X (tương ứng X',X'') là tập hợp các trọng số của E (tương ứng F,G). Khi đó X''=X+X'. ↩ 3 013Z
Mệnh đề 11 Cho E là một 𝔤-môđun hữu hạn chiều, và xét 𝔤-môđun E^*= Homₖ(E, k). ↩ 3 0140
Nhận xét 1 Cho E,E^* như trong Mệnh đề 11, và σ ∈ Aut(𝔤,𝔥) sao cho ε (σ ) =-w₀ theo các ký hiệu của §5, no. 1 (§5, no. 2, Mệnh đề 2). Gọi ρ , ρ ' là các biểu diễn của 𝔤 liên kết với E,E^*. Kh… 0141
Nhận xét 2 Giả sử rằng w₀=-1. Khi đó, với mọi 𝔤-môđun hữu hạn chiều E, E đẳng cấu với E^*. Nhắc lại rằng, nếu 𝔤 là đơn, thì w₀=-1 trong các trường hợp sau: 𝔤 kiểu A₁,Bₗ(l≥ 2), Cₗ(l≥ 2), Dₗ(l… 0142
Bổ đề 2 Cho h⁰=∑_α∈ R₊H_α. Khi đó h⁰=∑_α∈ Ba_αH_α, trong đó các a_α là các số nguyên ≥ 1. Cho (b_α)_α∈ B,(c_α)_α∈ B là các họ vô hướng sao cho b_αc_α=a_α với mọi α ∈ B. Đặt x=∑_α∈ Bb_αX_α… ↩ 2 0143
Mệnh đề 12 Cho E là một môđun đơn hữu hạn chiều của 𝔤, ω là trọng số cao nhất của nó, và B là không gian vectơ của các dạng song tuyến tính bất biến bởi 𝔤 trên E. Cho m là số nguyên ∑_α∈ R₊ω… ↩ 4 0144
Định nghĩa 2 Một biểu diễn bất khả quy hữu hạn chiều ρ của mathfrak g được gọi là trực giao (tương ứng đối xứng symplectic) nếu trên E tồn tại một dạng song tuyến tính đối xứng (tương ứng phản… 01J6
Bổ đề 3 Cho G là một nhóm Abel viết theo phép cộng, và φ :F_𝔞→ G là một ánh xạ; bằng lạm dụng ký hiệu, ta ký hiệu bởi φ (F) ảnh qua φ của lớp của bất kỳ 𝔞-môđun hữu hạn chiều F nào. Giả sử… ↩ 2 0145
Ví dụ Lấy G =Z và φ (F) = dim F. Đồng cấu tương ứng từ R(𝔞) đến Z được ký hiệu là dim. Gọi c là lớp của một môđun 𝔞 tầm thường có chiều 1, và gọi ψ là đồng cấu n → nc từ Z đến R(𝔞). Điều… 0146
Bổ đề 4 Trên nhóm cộng R(𝔞) tồn tại một phép nhân duy nhất phân phối đối với phép cộng sao cho [E][F] = [E⊗ F] với mọi môđun 𝔞 hữu hạn chiều E, F. Theo cách này R(𝔞) được trang bị cấu trúc… 0147
Bổ đề 5 Tồn tại một tự đẳng cấu đối hợp duy nhất X → X^* của vành R(𝔞) sao cho [E]^*= [E^*] với mọi 𝔞-môđun hữu hạn chiều E. 0148
Ví dụ Giả sử rằng Δ=N. Gọi T là một phần tử bất định. Tồn tại một đẳng cấu duy nhất từ đại số Z[N] vào đại số Z[T] biến eⁿ thành Tⁿ với mọi n∈N. Đối với mọi không gian vectơ phân bậc N h… 01JX
Nhận xét Mọi phần tử của P xác định một 𝔥-môđun đơn có chiều 1, do đó một đồng cấu từ nhóm Z[P] vào nhóm R(𝔥), là một đồng cấu đơn ánh của các vành. Hiển nhiên rằng ánh xạ hợp 0149
Bổ đề 6 Nếu λ ∈ P₊₊, thì ch[λ ]∈ Z[P]ᵂ. Số hạng cực đại duy nhất của ch[λ ] (Chap. VI, §3, no. 2, Def. 1) là e^λ. ↩ 1 014A
Định lý 2 (i) Cho (varpi_α)_α∈ B là họ các trọng số cơ bản đối với B. Cho (T_α)_α∈ B là một họ các phần tử bất định. Ánh xạ f → f(([varpi_α])_α∈ B) từ Z[(T_α)_α∈ B] vào R(𝔤) là một đẳng cấu… ↩ 3 014B
Hệ quả Cho E,E' là các 𝔤-môđun hữu hạn chiều. Khi đó E đẳng cấu với E' khi và chỉ khi ch E = ch E'. 014C

§ 8. Các bất biến đối xứng

Bổ đề 1 Cho Π là một nhóm con của V^* sinh ra không gian vectơ V^*, và m là một số nguyên ≥ 0. Khi đó prₘ(exp Π ) sinh ra không gian vectơ Sᵐ(V^*). ↩ 1 0154
Mệnh đề 1 Cho Sᵐ(𝔥^*)ᵂ là tập hợp các phần tử của Sᵐ(𝔥^*) bất biến dưới W. Khi đó prₘ(ψ (k[P]ᵂ)) =Sᵐ(𝔥^*)ᵂ. ↩ 3 0155
Mệnh đề 2 Cho E là một 𝔤-môđun hữu hạn chiều. Cho U(𝔥) =S(𝔥) là đại số bao của 𝔥. Nếu u∈ U(𝔥), thì ↩ 1 0156
Hệ quả 1 — Cho U(mathfrak g) là đại số bao của mathfrak g. Cho đồng cấu ζ:U(mathfrak g)^*longrightarrowU(mathfrak h)^*=S(mathfrak h)^* là chuyển vị của đơn ánh chính tắc U(mathfrak h)longri… 01J7
Hệ quả 2 — Cho m là một số nguyên geqslant 0. Mọi phần tử của Sᵐ(mathfrak h^*)ᵂ là một tổ hợp tuyến tính của các hàm đa thức trên mathfrak h có dạng x↦Tr(ρ(x)ᵐ), trong đó ρ là một biểu diễn… ↩ 2 01J8
Bổ đề 2 Cho ρ là một biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của 𝔞, và m là một số nguyên ≥ 0. Hàm x → Tr(ρ (x)ᵐ) trên 𝔞 là một hàm đa thức bất biến. ↩ 1 0157
Bổ đề 3 Cho E là một 𝔤-môđun hữu hạn chiều, và x∈ E. Khi đó x là một phần tử bất biến của 𝔤-môđun E khi và chỉ khi (exp a_E).x=x với mọi phần tử lũy linh a của 𝔤. ↩ 1 0158
Mệnh đề 3 Cho f là một hàm đa thức trên 𝔤. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 1 0159
Định lý 1 Cho I(𝔤^*) là đại số của các hàm đa thức bất biến trên 𝔤. Gọi i:S(𝔤^*)→ S(𝔥^*) là đồng cấu hạn chế. ↩ 10 015A
Hệ quả 1 Giả sử rằng 𝔤 là đơn. Cho m₁, . . . , mₗ là các số mũ của nhóm Weyl của 𝔤. Có các phần tử P₁, . . . ,Pₗ của I(𝔤^*), thuần nhất với các bậc ↩ 1 015B
Hệ quả 2 Cho B là một cơ sở của R, R₊ (tương ứng R₋) là tập hợp các nghiệm dương (tương ứng âm) của (𝔤,𝔥) đối với B,𝔫₊=∑_α∈ R₊𝔤^α,𝔫₋=∑_α∈ R₋𝔤^α, S(𝔥) là đại số đối xứng của 𝔥, và J là iđêan… ↩ 2 015C
Mệnh đề 4 Cho 𝔞 là một đại số Lie nửa đơn, l là hạng của nó. Cho I (tương ứng I') là tập hợp các phần tử của S(𝔞^*) (tương ứng S(𝔞)) bất biến dưới biểu diễn cảm sinh bởi biểu diễn phụ hợp củ… ↩ 2 015D
Bổ đề 4 ² Cho A =⨁_n≥ 0Aⁿ là một đại số k phân bậc, k' là một mở rộng của k, và A'= A⊗ₖk'. Giả sử rằng A' là một đại số đa thức phân bậc trên k'. Khi đó A là một đại số đa thức phân bậc tr… ↩ 1 01JY
Bổ đề 5 A là một đại số đa thức phân bậc khi và chỉ khi P hữu hạn chiều và g là song ánh. 015E
Mệnh đề 5 Ta giữ các ký hiệu của Mệnh đề 4, và ký hiệu 𝔭 là iđêan của S(𝔞^*) sinh bởi các phần tử thuần nhất của I có bậc ≥ 1. Cho x∈ 𝔞. Khi đó x là lũy linh khi và chỉ khi f(x) = 0 với mọi… ↩ 1 015F
Nhận xét 1 \Cho P₁, . . . ,Pₗ là các phần tử thuần nhất độc lập đại số của I sinh ra đại số I. Khi đó (P₁, . . . ,Pₗ) là một dãy S(𝔞^*)-chính quy (Chương V, §5, no. 5). Thật vậy, mở rộng trườ… ↩ 1 01L5
Nhận xét 2 Đại số S(𝔞^*) là một môđun tự do phân bậc trên I. Thật vậy, điều này suy ra từ Mệnh đề 4, Nhận xét 1, và Chương V, §5, no. 5, Bổ đề 5.\ ↩ 2 01L6
Bổ đề 6 Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều, G là một nhóm hữu hạn các tự đẳng cấu của V, và v và v' là các phần tử của V sao cho v'∉ Gv. Tồn tại một hàm đa thức G-bất biến f trên… ↩ 2 015G
Mệnh đề 6 Cho 𝔞 là một đại số Lie nửa đơn và s∈ Aut(𝔞). Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 4 015H
Hệ quả Nhóm Aut₀(𝔞) là mở và đóng trong Aut(𝔞) đối với tôpô Zariski. ↩ 1 015I
Định lý 2 Cho U là đại số bao quanh của 𝔤, Z là tâm của nó, V⊂ U là đại số bao quanh của 𝔥(đồng nhất với S(𝔥)), U⁰ là hoán tập của V trong U, φ là đồng cấu Harish-Chandra (§6, no. 4) từ U⁰ đ… ↩ 3 015J
Hệ quả 1 Với mọi λ ∈ 𝔥^*, đặt χ_λ là đồng cấu z → (φ (z))(λ ) từ Z vào k. ↩ 3 015K
Hệ quả 2 Cho E,E' là các 𝔤-môđun đơn hữu hạn chiều, và χ , χ ' là các ký tự trung tâm của chúng. Nếu χ =χ ', E và E' đẳng cấu. 015L
Mệnh đề 7 Với mọi lớp γ của các 𝔤-môđun đơn hữu hạn chiều, gọi U_γ là thành phần đẳng kiểu kiểu γ của 𝔤-môđun U (đối với biểu diễn phụ hợp của 𝔤 trên U). Gọi γ₀ là lớp của 𝔤-môđun tầm thường… 015M

§ 9. Công thức của hermann Weyl

Bổ đề 1 Trong vành Z⟨ P⟩, ta có K.∏_α∈ R₊(1-e^-α) = Ke^-ρd= 1. ↩ 2 015T
Bổ đề 2 Cho λ ∈ 𝔥^*. Môđun Z(λ ) (§6, no. 3) thừa nhận một đặc trưng là một phần tử của Z⟨ P⟩, và ta có d. ch Z(λ ) =e^λ+ρ. 015U
Bổ đề 3 Cho M là một 𝔤-môđun thừa nhận một đặc trưng ch(M) mà giá đỡ của nó được chứa trong một hợp hữu hạn của các tập hợp μ-P₊. Gọi U là đại số bao của 𝔤, Z là tâm của U,λ₀∈ 𝔥^*, và χ_λ₀… ↩ 1 015V
Định lý 1 (Công thức đặc trưng của H. Weyl) Cho M là một 𝔤-môđun đơn hữu hạn chiều, và λ là trọng số cao nhất của nó. Khi đó ↩ 5 015W
Ví dụ Lấy 𝔤=𝔰𝔩(2, k),𝔥=kH. Gọi α là nghiệm của (𝔤,𝔥) sao cho α (H) = 2. 𝔤-môđun V(m) có trọng số cao nhất (m/2)α. Do đó 015X
Định lý 2 Cho E là một 𝔤-môđun đơn hữu hạn chiều, λ là trọng số cao nhất của nó và (· | · ) là một dạng song tuyến tính đối xứng dương, không suy biến, bất biến dưới W trên 𝔥^*. Khi đó: ↩ 5 015Y
Ví dụ 1 Trong Ví dụ của no. 1, ta thấy rằng 015Z
Ví dụ 2 Lấy 𝔤 là đại số Lie đơn phân rã được kiểu G₂ và dùng các ký hiệu của Chương VI, Bảng IX. Trang bị cho 𝔥^*_R dạng đối xứng dương bất biến dưới W (· | · ) sao cho (α₁|α₁) = 1. Khi đó… 0160
Mệnh đề 1 Cho ω ∈ P₊₊. Với mọi λ ∈ P, bội số của λ trong E(ω ) là ↩ 2 0161
Hệ quả Nếu λ là một trọng số của E(ω ) phân biệt với ω, 0162
Mệnh đề 2 Cho λ , μ∈ P₊₊. Trong R(𝔤), ta có ↩ 3 0163
Ví dụ Ta trở lại Ví dụ ở no. 1. Cho λ = (n/2)α , μ= (p/2)α, ν = (q/2)α với n≥ p. Ta có 0164

§ 10. Các đại số con cực đại của các đại số Lie nửa đơn

Định lý 1 Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều, 𝔤 một đại số con Lie khả quy của 𝔤𝔩(V),𝔮 một đại số con Lie của 𝔤 và Φ dạng song tuyến tính (x, y) → Tr(xy) trên 𝔤× 𝔤. Giả sử phần bù t… ↩ 3 016L
Bổ đề 1 Cho 𝔤 là một đại số Lie nửa đơn, V là một không gian vectơ hữu hạn chiều, ρ là một biểu diễn tuyến tính của 𝔤 trên V, D là một không gian con vectơ của V,𝔥 là một đại số con Cartan… ↩ 1 016M
Định nghĩa 1 Cho 𝔮 là một đại số con Lie của đại số Lie nửa đơn 𝔤. Khi đó người ta nói 𝔮 là phân tích được trong 𝔤 nếu, với mọi x∈ 𝔮, các thành phần nửa đơn và lũy linh của x trong 𝔤 thuộc 𝔮. K… 016N
Định lý 2 Cho 𝔤 là một đại số Lie nửa đơn, 𝔫 là một đại số con của 𝔤 gồm các phần tử lũy linh, 𝔮 là bộ chuẩn hoá của 𝔫 trong 𝔤. Giả sử rằng 𝔫 là tập hợp các phần tử lũy linh của căn của 𝔮. K… ↩ 1 016O
Hệ quả 1 Cho 𝔮 là một phần tử cực đại của tập hợp các đại số con của 𝔤 phân biệt với 𝔤. Khi đó 𝔮 hoặc là parabolic hoặc là khả quy trong 𝔤. 016P
Hệ quả 2 Cho 𝔫 là một đại số con của 𝔤 gồm các phần tử lũy linh. Tồn tại một đại số con parabolic 𝔮 của 𝔤 có các tính chất sau: ↩ 5 016Q
Định lý 3 Giả sử rằng k đóng đại số. Cho 𝔤 là một đại số Lie nửa đơn. Cho 𝔞 là một đại số con giải được của 𝔤. Tồn tại một đại số con Borel của 𝔤 chứa 𝔞. 016R
Hệ quả Nếu k đóng đại số, mọi đại số con giải được cực đại của 𝔤 đều là một đại số con Borel. 016S

§ 11. CÁC LỚP PHẦN TỬ LŨY LINH VÀ CÁC BỘ BA $\mathfrak{s}\mathfrak{l}_{2}$

Định nghĩa 1 Một bộ ba 𝔰𝔩₂ trong 𝔤 là một dãy (x, h, y) các phần tử của 𝔤, phân biệt với (0,0,0), sao cho 0170
Bổ đề 1 Cho x, h, y, y'∈ 𝔤. Nếu (x, h, y) và (x, h, y') là các bộ ba 𝔰𝔩₂ trong 𝔤, thì y=y'. ↩ 3 0171
Bổ đề 2 Cho 𝔫 là một đại số con của 𝔤 sao cho, với mọi n∈ 𝔫, ad_𝔤(n) là lũy linh. Cho h∈ 𝔤 sao cho [h,𝔫] =𝔫. Khi đó e^ad_𝔤𝔫.h=h+𝔫. 0172
Bổ đề 3 Cho x∈ 𝔤,𝔭= Ker(ad x),𝔮= Im(ad x). Khi đó [𝔭,𝔮]⊂ 𝔮, và 𝔭∩ 𝔮 là một đại số con của 𝔤. 0173
Bổ đề 4 Cho (x, h, y) và (x, h', y') là các bộ ba 𝔰𝔩₂ trong 𝔤. Tồn tại z∈ 𝔤 sao cho ad_𝔤z là lũy linh và sao cho ↩ 1 0174
Mệnh đề 1 Cho G là một nhóm các tự đẳng cấu của 𝔤 chứa Autₑ(𝔤). Cho (x, h, y) và (x', h', y') là các bộ ba 𝔰𝔩₂ trong 𝔤. Đặt ↩ 3 0175
Nhận xét Ba điều kiện của Mệnh đề 1 là tương đương nếu ta chỉ giả sử rằng k=k² (x. Bài tập 1). 0176
Bổ đề 5 Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều, A và B là các nội tự đồng cấu của V. Giả sử rằng A lũy linh và rằng [A,[A,B]] = 0. Khi đó AB lũy linh. ↩ 2 0177
Bổ đề 6 Cho h, x∈ 𝔤 sao cho [h, x] = 2x và h∈ (ad x)(𝔤). Khi đó tồn tại y∈ 𝔤 sao cho (x, h, y) hoặc là (0,0,0) hoặc là một bộ ba 𝔰𝔩₂. ↩ 2 0178
Mệnh đề 2 (Jacobson-Morozov) Giả sử rằng 𝔤 là nửa đơn. Cho x là một phần tử lũy linh khác không của 𝔤. Tồn tại h, y∈ 𝔤 sao cho (x, h, y) là một bộ ba 𝔰𝔩₂. ↩ 3 0179
Hệ quả Giả sử rằng 𝔤 là nửa đơn. Cho G là một nhóm các tự đẳng cấu của 𝔤 chứa Autₑ(𝔤). Ánh xạ gán cho mỗi bộ ba 𝔰𝔩₂ (x, h, y) trong 𝔤 phần tử lũy linh x xác định, bằng cách chuyển xuống t… ↩ 1 017A
Bổ đề 7 Cho K là một trường giao hoán có ít nhất 4 phần tử. Gọi G là nhóm các ma trận (α 0α β₋₁) trong đó α ∈ K^*,β ∈ K. Gọi G' là nhóm ↩ 1 017B
Mệnh đề 3 Giả sử rằng 𝔤 là nửa đơn. Nhóm Autₑ(𝔤) bằng nhóm dẫn xuất của nó. Nếu 𝔤 phân rã được, Autₑ(𝔤) là nhóm dẫn xuất của Aut₀(𝔤). ↩ 5 017C
Định nghĩa 2 Một phần tử h của 𝔤 được gọi là đơn nếu tồn tại x, y∈ 𝔤 sao cho (x, h, y) là một bộ ba 𝔰𝔩₂ trong 𝔤. 017D
Mệnh đề 4 Cho h là một phần tử khác không của 𝔤. Khi đó h là đơn khi và chỉ khi tồn tại x∈ 𝔤 sao cho [h, x] = 2x và h∈ (ad x)(𝔤). 017E
Mệnh đề 5 Giả sử rằng 𝔤 là nửa đơn tách được. Lấy 𝔥 là một đại số con Cartan tách của 𝔤, R là tập hợp các căn của (𝔤,𝔥), và B là một cơ sở của R. Lấy h là một phần tử đơn của 𝔤 thuộc 𝔥. Khi… ↩ 3 017F
Hệ quả Nếu k đóng đại số và nếu 𝔤 là nửa đơn, hạng l, thì số các lớp liên hợp của các phần tử đơn của 𝔤, đối với Autₑ(𝔤), không vượt quá 3ˡ. ↩ 2 017G
Bổ đề 8 Giả sử rằng k đóng đại số và 𝔤 nửa đơn. Gọi h là một phần tử nửa đơn của 𝔤 sao cho các giá trị riêng của ad h là hữu tỉ. Đặt 𝔤⁰= Ker(ad h),𝔤²= Ker(ad h-2). Gọi Gₕ là tập hợp các tự… ↩ 1 017H
Mệnh đề 6 Giả sử rằng k đóng đại số và 𝔤 là nửa đơn. Cho G là một nhóm các tự đẳng cấu của 𝔤 chứa Autₑ(𝔤). Cho (x, h, y) và (x', h', y') là các bộ ba 𝔰𝔩₂ trong 𝔤. Các điều kiện sau là tương… ↩ 1 017I
Hệ quả 1 Ánh xạ liên kết với mọi bộ ba 𝔰𝔩₂ phần tử đơn của nó xác định, bằng cách chuyển sang các thương, một song ánh từ tập hợp các lớp liên hợp theo G của các bộ ba 𝔰𝔩₂ đến tập hợp các l… ↩ 2 017J
Hệ quả 2 Nếu rk(𝔤) =l, số các lớp liên hợp, đối với Autₑ(𝔤), của các phần tử lũy linh khác không của 𝔤 nhiều nhất là 3ˡ. 017K
Hệ quả 3 Nếu rk(𝔤) =l, số các lớp liên hợp, đối với Autₑ(𝔤), của các đại số con của 𝔤 đẳng cấu với 𝔰𝔩(2, k) nhiều nhất là 3ˡ. 017L
Định nghĩa 3 Giả sử rằng 𝔤 là nửa đơn. 017M
Mệnh đề 7 Giả sử rằng 𝔤 là nửa đơn. Cho (x, h, y) là một bộ ba 𝔰𝔩₂ trong 𝔤. Các điều kiện sau là tương đương: 017N
Mệnh đề 8 Giả sử rằng 𝔤 là nửa đơn và not= 0. Gọi 𝔥 là một đại số con Cartan tách của 𝔤, R là hệ nghiệm của (𝔤,𝔥), B là một cơ sở của R,h⁰ là phần tử của 𝔥 sao cho α (h⁰) = 2 với mọi α ∈ B. ↩ 3 017O
Hệ quả Trong một đại số Lie nửa đơn phân rã được, tồn tại các phần tử lũy linh chính. 017P
Mệnh đề 9 Giả sử rằng k là đóng đại số và 𝔤 là nửa đơn. Mọi phần tử đơn chính (tương ứng, lũy linh) của 𝔤 đều liên hợp dưới Autₑ(𝔤). ↩ 1 017Q
Bổ đề 9 Với các ký hiệu của Mệnh đề 8, đặt 𝔤ᵖ= Ker(ad h⁰-p) với p∈ Z. Gọi 𝔤²_* là tập hợp các phần tử của 𝔤²=∑_α∈ B𝔤^α có một thành phần khác không ↩ 1 017R
Mệnh đề 10 Giả sử rằng 𝔤 là nửa đơn. Cho 𝔥 là một đại số con Cartan tách của 𝔤, R là hệ nghiệm của (𝔤,𝔥), B là một cơ sở của R, R₊ là tập hợp các nghiệm dương đối với B, và 𝔫₊=∑_α∈ R₊𝔤^α. Các… ↩ 3 017S

§ 12. Thứ tự Chevalley

Mệnh đề 1 Cho A là một bigebra, với đồng tích c, và x là một phần tử nguyên thủy (Chương II, §1, no. 2) của A. Khi đó ↩ 2 017V
Định lý 1 Cho U là một song thứ tự trong bigebra U(𝔤). Đặt G=U∩ 𝔤, đó là một cấp trong đại số Lie 𝔤. Cho (xᵢ)_i∈ I là một cơ sở của G. Gán cho I một thứ tự toàn phần, và giả sử rằng ta đã ch… ↩ 3 017W
Bổ đề 1 Cho n∈ Nᴵ. Nếu |n|< r, thì c⁺ᵣ([n]) = 0. Nếu |n|=r, thì 017X
Mệnh đề 2 (i) (^V_Z) là một song thứ tự trong đại số song của S(V), và (^V_Z)∩ V =V. ↩ 2 017Y
Hệ quả Gọi X là một phần tử bất định. Các đa thức (^Xₙ), với n∈ N, lập thành một cơ sở của Z-môđun gồm các đa thức P∈ k[X] sao cho P(Z)⊂ Z. ↩ 2 017Z
Bổ đề 2 Nếu x, y∈ A và n∈ N, ↩ 3 0180
Bổ đề 3 Cho x, h∈ A và λ ∈ k sao cho (ad h)x=λ x. Với mọi n∈ N, và mọi P∈ k[X], ta có ↩ 2 0181
Bổ đề 4 Cho x, y, h∈ A sao cho ↩ 2 0182
Định nghĩa 1 Một dàn H trong 𝔥 được gọi là chấp nhận được (đối với 𝔤) nếu, với mọi α ∈ R, ta có H_α∈ H và α (H)⊂ Z. ↩ 3 0183
Nhận xét 1 Cho B là một cơ sở của R. Một dàn H trong 𝔥 là chấp nhận được khi và chỉ khi H_α∈ H và α (H)⊂ Z với mọi α ∈ B. 0184
Nhận xét 2 Cho 𝔠 là tâm của 𝔤. Khi đó, một dàn H trong 𝔥 là chấp nhận được khi và chỉ khi Q(R^∨)⊂ H⊂ P(R^∨)⊕ 𝔠. Dàn H∩ D𝔤 khi đó là chấp nhận được trong đại số con Cartan 𝔥∩ D𝔤 của D𝔤. Có thể… 0185
Nhận xét 3 Nếu 𝔤 là nửa đơn, các dàn chấp nhận được trong 𝔥 là các nhóm con H của 𝔥 sao cho Q(R^∨)⊂ H⊂ P(R^∨). 0186
Bổ đề 5 (i) U₊ là một dàn trong không gian vectơ U(𝔫₊). ↩ 1 0187
Mệnh đề 3 Cho H là một dàn cho phép trong 𝔥. Cho U₊,U₋,U₀ là các Z-đại số con của U(𝔤) được sinh lần lượt bởi các phần tử x_α⁽ⁿ⁾ (α ∈ B,n∈ N),y_α⁽ⁿ⁾(α ∈ B, n∈ N),(ʰₙ)(h∈ H, n∈ N). Cho U là Z… ↩ 3 0188
Nhận xét 4 Theo Mệnh đề 5 của §4, no. 4, tồn tại một tự đẳng cấu duy nhất θ của 𝔤 sao cho θ (x_α) =y_α và θ (y_α) =x_α với mọi α ∈ B, và θ (h) =-h với mọi h∈ 𝔥; ta có θ²= 1. Theo cách dựng U… 0189
Hệ quả 1 Đặt G=U∩ 𝔤. Khi đó G là một thứ tự trong đại số Lie 𝔤, ổn định dưới θ. Ta có G=H+∑_α∈ R(G∩ 𝔤^α). Với mọi α ∈ B và mọi n∈ N, các ánh xạ (ad x_α)ⁿ/n!, (ad y_α)ⁿ/n! giữ U và G ổn định… ↩ 2 018A
Hệ quả 2 Cho w∈ W. Tồn tại một tự đẳng cấu sơ cấp φ của 𝔤 giao hoán với θ, giữ G và U ổn định, và mở rộng w. ↩ 2 018B
Hệ quả 3 Cho α ∈ R. Nếu x∈ G∩ 𝔤^α và n∈ N, ta có x⁽ⁿ⁾∈ U, và (ad x)ⁿ/n! để G và U ổn định. ↩ 1 018C
Hệ quả 4 Tồn tại một hệ Chevalley (X_α)_α∈ R trong (𝔤,𝔥) (§2, no. 4, Định nghĩa 3) sao cho X_α=x_α và X_-α=y_α với α ∈ B. Với mọi hệ Chevalley (X'_α)_α∈ R có các tính chất này, và với mọi α… ↩ 1 018D
Nhận xét 5 Cho (X_α)_α∈ R là hệ Chevalley được xây dựng ở trên. Nếu α , β , α +β ∈ R và nếu ta đặt [X_α, X_β] = N_α ,βX_α+β, ta có [X_α, X_β]∈ G∩ 𝔤^α+β, và ta suy ra được rằng N_α ,β∈ Z (xem… 018E
Nhận xét 6 Ta đã thu được nhân tiện một chứng minh mới về sự tồn tại của các hệ Chevalley (xem §4, no. 4, Hệ quả của Mệnh đề 5), độc lập với Bổ đề 4, §2. 018F
Định lý 2 Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 2 018G
Định nghĩa 2 Khi các điều kiện (i) đến (iv) của Định lý 2 được thỏa mãn, G được gọi là một cấp Chevalley trong (𝔤,𝔥). 018H
Nhận xét Các cấp Chevalley trong (𝔤,𝔥) luôn tồn tại. Thật vậy, các cấp Chevalley là các tập hợp có dạng H⊕ ∑_α∈ RZX_α, trong đó (X_α)_α∈ R là một hệ Chevalley trong (𝔤,𝔥) và H là một dàn tr… 018I
Định lý 3 Ta giữ các ký hiệu ở đầu mục 7, và giả sử rằng G là một cấp Chevalley trong (𝔤,𝔥). ↩ 2 018J
Bổ đề 6 Cho M là một Z-môđun tự do hữu hạn sinh, u một tự đồng cấu của M, và v là tự đồng cấu u⊗ 1 của M⊗_ZQ. Giả sử rằng (ᵛₙ)(M)⊂ M với mọi n∈ N. Khi đó u chéo hóa được. ↩ 1 018K
Nhận xét 1 Nếu chỉ giả sử rằng v chéo hóa được với các trị riêng nguyên, thì u không nhất thiết chéo hóa được (ví dụ, lấy M =Z² và u(x, y) = (y, x) với mọi (x, y)∈ M). 018L
Định nghĩa 3 Cho E là một 𝔤-môđun. Một dàn E trong E được gọi là chấp nhận được (đối với G) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: ↩ 2 018M
Nhận xét 2 Cho ρ là biểu diễn adjoint của 𝔤 trên U(𝔤). Cho α , x, n, h như ở (ii) trên. Ta có ρ (x⁽ⁿ⁾).U⊂ U theo Bổ đề 2. Mặt khác, nếu p∈ N, 018N
Nhận xét 3 Cho E là một 𝔤-môđun hữu hạn chiều, E một dàn chấp nhận được trong E, 𝔠 là tâm của 𝔤. Theo Bổ đề 6, mọi phần tử của 𝔠 xác định một tự đồng cấu chéo hóa được của E. Do đó E là nửa đ… ↩ 1 018O
Nhận xét 4 Nếu 𝔤 là nửa đơn và H= Q(R^∨), các điều kiện (i) và (ii) của Định nghĩa 3, theo Định lý 3 (ii), tương đương với 018P
Nhận xét 5 Cho B là một cơ sở của R; trong các điều kiện (i) và (ii) ở trên, “α ∈ R” có thể được thay bằng “α ∈ B∪ (-B)” (loc. cit). 018Q
Định lý 4 Cho E là một 𝔤-môđun hữu hạn chiều. Các điều kiện sau là tương đương: 018R
Hệ quả Nếu 𝔤 là nửa đơn và H= Q(R^∨), mọi 𝔤-môđun hữu hạn chiều đều có một dàn thích hợp. 018S

§ 13. Các đại số Lie đơn phân rã được cổ điển

Bổ đề 1 Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều, Q một dạng toàn phương không suy biến trên V,Ψ dạng song tuyến tính đối xứng liên kết với Q, C(Q) đại số Clifford của V đối với Q,f₀ hợ… ↩ 3 018T
Bổ đề 2 Với 1≤ r≤ℓ, cho Fᵣ là không gian con của bigwedgeʳ V sinh bởi các r-vectơ đẳng hướng. Khi đó 01K8

IX. Compact real Lie groups

§ 1. Đại số Lie compact

Mệnh đề 1 Cho 𝔤 là một đại số Lie (thực). Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 6 019D
Định nghĩa 1 Một đại số Lie compact⁴ là một đại số Lie có các tính chất (i) đến (v) của Mệnh đề 1. ↩ 1 019E
Mệnh đề 2 a) Tích của một số hữu hạn đại số Lie là một đại số Lie compact khi và chỉ khi mỗi nhân tử là compact. 019F
Mệnh đề 3 Cho G là một nhóm Lie mà nhóm các thành phần liên thông của nó là hữu hạn. Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 4 019G
Định lý 1 (H. Weyl) Cho G là một nhóm Lie liên thông mà đại số Lie của nó là compact nửa đơn. Khi đó G là compact và tâm của nó là hữu hạn. ↩ 2 019H
Mệnh đề 4 Cho G là một nhóm Lie liên thông mà đại số Lie của nó là compact. Tồn tại một xuyến T, một nhóm Lie nửa đơn compact đơn liên ↩ 4 019I
Hệ quả 1 Cho G là một nhóm Lie compact liên thông. Khi đó C(G)₀ là một xuyến, D(G) là một nhóm Lie nửa đơn compact liên thông và cấu xạ (x, y) → xy từ C(G)₀× D(G) vào G là một phủ hữu hạn. ↩ 9 019J
Hệ quả 2 Tâm và nhóm cơ bản của một nhóm Lie nửa đơn compact liên thông là hữu hạn. Phủ phổ quát của nó là compact. ↩ 3 019K
Hệ quả 3 Nhóm cơ bản của một nhóm Lie compact liên thông G là một Z-môđun kiểu hữu hạn, có hạng bằng chiều của C(G). 019L
Hệ quả 4 Cho G là một nhóm Lie compact liên thông. Các điều kiện sau là tương đương: 019M
Hệ quả 5 Cho G là một nhóm Lie compact liên thông. Khi đó Int(G) là thành phần liên thông của đơn vị của nhóm Lie Aut(G) (Ch. III, §10, no. 2). ↩ 1 019N
Mệnh đề 5 Cho G là một nhóm Lie có đại số Lie compact. ↩ 1 019O
Hệ quả Nếu N thỏa mãn các điều kiện của b) (iv), và nếu K₁ và K₂ là hai nhóm con compact cực đại của G, thì tồn tại n∈ N sao cho nK₁n⁻¹= K₂. 019P

§ 2. Xuyến cực đại của các nhóm Lie compac

Bổ đề 1 Cho G là một nhóm Lie, K là một nhóm con compac của G, và F là một dạng song tuyến tính bất biến trên L(G). Cho x, y∈ L(G). Tồn tại một phần tử k của K sao cho F(u,[(Ad k)(x), y])… ↩ 1 019Z
Định lý 1 Cho 𝔤 là một đại số Lie compac. Các đại số con Cartan của 𝔤 (Chap. VII, §2, no. 1, Def. 1) là các đại số con giao hoán cực đại của nó; đặc biệt, 𝔤 là hợp của các đại số con Cartan… ↩ 5 01A0
Hệ quả Cho 𝔱 và 𝔱' là các đại số con Cartan của 𝔤,𝔞 là một tập con của 𝔱, và u là một tự đẳng cấu của 𝔤 biến 𝔞 vào 𝔱'. Tồn tại một phần tử v của Int(𝔤) sao cho u∘ v biến 𝔱 thành 𝔱', và tr… ↩ 1 01A1
Định lý 2 Cho G là một nhóm Lie compact liên thông. ↩ 12 01A2
Hệ quả 1 a) Ánh xạ mũ của G là toàn ánh. 01A3
Nhận xét 1 Tồn tại một tập compact K của L(G) sao cho exp_G(K) = G. Thật vậy, nếu T là một xuyến cực đại của G, tồn tại một tập compact C⊂ L(T) sao cho exp_T(C) = T; chỉ cần lấy K =⋃_g∈ G(Ad… 01A4
Hệ quả 2 Giao của các xuyến cực đại của G là tâm của G. ↩ 4 01A5
Hệ quả 3 Cho g∈ G, và cho C là bộ tập trung của nó. Khi đó g thuộc C₀; nhóm C₀ là hợp của các xuyến cực đại của G chứa g. ↩ 4 01A6
Hệ quả 4 Cho g∈ G. Nếu g là chính quy (Chương VII, §4, no. 2, Định nghĩa 2), nó thuộc về một xuyến cực đại duy nhất, đó là thành phần liên thông chứa đơn vị của bộ tập trung của nó. Nếu khô… ↩ 2 01A7
Hệ quả 5 a) Cho S là một xuyến của G. Trung tâm hóa tử của S là liên thông; nó là hợp của các xuyến cực đại của G chứa S. ↩ 5 01A8
Nhận xét 2 Từ Hệ quả 5 suy ra rằng một xuyến cực đại của G là một nhóm con giao hoán cực đại. Mệnh đề đảo lại không đúng: chẳng hạn, trong nhóm SO(3,R), các xuyến cực đại có chiều bằng 1, và… ↩ 1 01A9
Hệ quả 6 Các xuyến cực đại của G là các trung tâm hóa tử của chính chúng, và là các bộ phận cố định của các đại số Lie của chúng. ↩ 2 01AA
Hệ quả 7 Cho T và T' là hai xuyến cực đại của G, A là một tập con của T và s là một tự đẳng cấu của G biến A thành một tập con của T'. Tồn tại g∈ G sao cho s∘ (Int g) biến T thành T' và trù… ↩ 1 01AB
Hệ quả 8 Cho H là một nhóm Lie compact, T là một xuyến cực đại của H. Khi đó H = N_H(T).H₀, và đơn ánh của N_H(T) vào H cảm sinh một đẳng cấu từ N_H(T)/N_H₀(T) lên H/H₀. ↩ 1 01AC
Nhận xét 3 Cho G là một nhóm Lie liên thông mà đại số Lie của nó là compact. Các nhóm con Cartan của G là các nhóm con nguyên mà các đại số Lie của chúng là các đại số con Cartan của L(G) (do… ↩ 1 01AD
Mệnh đề 1 Cho G và G' là hai nhóm Lie compact liên thông. ↩ 4 01AE
Nhận xét 1 Mệnh đề 1 tổng quát hóa ngay lập tức cho các nhóm liên thông với các đại số Lie compact. Đặc biệt, nếu G là một nhóm Lie liên thông mà đại số Lie của nó là compact, thì các nhóm co… 01AF
Nhận xét 2 Cho G là một nhóm Lie compact liên thông, widetildeD(G) là phủ phổ quát của nhóm D(G) và f: widetildeD(G)→ G là hợp thành của các cấu xạ chính tắc từ widetildeD(G) đến D(G) và từ D… ↩ 1 01AG
Mệnh đề 2 Cho f : G → G' là một cấu xạ toàn ánh của các nhóm Lie compact liên thông mà hạt nhân là trung tâm. Các ánh xạ H → f(H) và H' → f⁻¹(H') là các song ánh ngược giữa tập hợp các nhóm… ↩ 1 01AH
Mệnh đề 3 Cho G là một nhóm Lie compact liên thông, và H là một nhóm con đóng liên thông có hạng cực đại. ↩ 2 01AI
Mệnh đề 4 Cho G là một nhóm Lie compact, H là một nhóm con đóng liên thông của G có hạng cực đại và N là chuẩn hóa tử của H trong G. Khi đó H có chỉ số hữu hạn trong N và là thành phần đơn v… ↩ 3 01AJ
Nhận xét 1 Mọi nhóm con nguyên H của G sao cho rk H = rk G đều đóng: thật vậy, chứng minh trên cho thấy rằng H là thành phần đơn vị của chuẩn hóa tử của nó, mà chuẩn hóa tử này là một nhóm co… ↩ 1 01AK
Nhận xét 2 Với các ký hiệu của Mệnh đề 4, mọi nhóm con đóng H' của G chứa H và sao cho (H': H) là hữu hạn đều chuẩn hóa H, và do đó được chứa trong N; tương tự, chuẩn hóa tử của H' được chứa… ↩ 1 01AL
Mệnh đề 5 a) Mọi lớp liên hợp của G đều gặp T. 01J9
Hệ quả 1 Đơn ánh chính tắc của T vào G xác định, khi chuyển sang thương, một đồng phôi từ T/W_G(T) lên không gian G/Int(G) các lớp liên hợp của G. ↩ 4 01JA
Hệ quả 2 Cho E là một tập con của G ổn định dưới các tự đẳng cấu trong. Khi đó E là mở (tương ứng, đóng, tương ứng, trù mật) trong G khi và chỉ khi E∩ T là mở (tương ứng, đóng, tương ứng, t… ↩ 1 01JB
Mệnh đề 6 a) Mọi quỹ đạo của G trên 𝔤 (đối với biểu diễn liên hợp) đều gặp 𝔱. ↩ 1 01JC
Hệ quả Đơn ánh chính tắc của 𝔱 vào 𝔤 xác định, bằng cách chuyển sang thương, một đồng cấu từ 𝔱/W_G(T) vào 𝔤/Ad(G). ↩ 1 01JD
Mệnh đề 7 Cho H là một nhóm con đóng của G chứa T. ↩ 2 01JE
Bổ đề 2 Cho H là một nhóm Lie, f_T: T→ H và widetildef: widetildeD(G)→ H là các cấu xạ của các nhóm Lie sao cho f_T(p(t)) = widetildef(t) với mọi t∈ widetildeT. Tồn tại một cấu xạ duy nhất… ↩ 1 01AO
Mệnh đề 8 Cho G là một nhóm Lie compact liên thông, T một xuyến cực đại của G, H một nhóm Lie và φ : L(G)→ L(H) một đồng cấu của các đại số Lie. Tồn tại một cấu xạ các nhóm Lie f: G→ H sao c… ↩ 2 01AP
Mệnh đề 9 Cho G là một nhóm Lie compact liên thông, T một xuyến cực đại của G, H một nhóm Lie và f: G→ H một cấu xạ. Khi đó f là đơn ánh khi và chỉ khi hạn chế của nó trên T là đơn ánh. ↩ 1 01AQ

§ 3. Các dạng compact của các đại số Lie nửa đơn phức

Định nghĩa 1 Cho 𝔞 là một đại số Lie phức. Một dạng thực của 𝔞 là một đại số con thực 𝔤 của 𝔞, là một cấu trúc R trên không gian vectơ C 𝔞(Đại số, Chương II, §8, no. 1, Định nghĩa 1). 01B1
Mệnh đề 1 a) Cho 𝔤 là một dạng thực của 𝔞 và σ là phép liên hợp của 𝔞 đối với 𝔤. Khi đó: ↩ 3 01JF
Mệnh đề 2 a) Không gian con vectơ thực 𝔞₀=𝔥₀+∑_α∈ RRX_α của 𝔞 là một dạng thực của 𝔞, trong đó 𝔥₀ là một đại số con Cartan. Cặp (𝔞₀,𝔥₀) là một đại số Lie thực nửa đơn tách, trong đó (X_α) là… ↩ 1 01JG
Nhận xét Với các ký hiệu trên, ta có các công thức sau: 01B2
Mệnh đề 3 Cho 𝔤 là một dạng thực compact của 𝔞 sao cho 𝔤∩ 𝔥=i𝔥₀. Tồn tại một đồng cấu γ : Q(R)→ R^*₊ sao cho 𝔤=f(γ )(𝔞ᵤ). ↩ 2 01B3
Định lý 1 Cho 𝔞 là một đại số Lie nửa đơn phức. ↩ 2 01B4
Nhận xét Mãi về sau ta sẽ thấy một phân loại tổng quát các dạng thực của một đại số Lie nửa đơn phức. 01B5
Hệ quả 1 Cho 𝔤 và 𝔤' là hai đại số Lie thực compact. Khi đó 𝔤 và 𝔤' đẳng cấu nếu và chỉ nếu các đại số Lie phức 𝔤_(C) và 𝔤'_(C) đẳng cấu. ↩ 1 01B6
Hệ quả 2 Cho 𝔞 là một đại số Lie phức. Các điều kiện sau là tương đương: 01B7
Hệ quả 3 Cho 𝔞₁ và 𝔞₂ là hai đại số Lie nửa đơn phức. Các dạng thực compact của 𝔞₁× 𝔞₂ là các tích 𝔤₁× 𝔤₂, trong đó, với i= 1,2,𝔤ᵢ là một dạng thực compact của 𝔞ᵢ. 01B8
Mệnh đề 4 a) Các dạng thực compact của đại số Lie phức 𝔰𝔩(V) là các đại số 𝔰𝔲(Φ ), trong đó Φ thuộc tập hợp các dạng Hermit dương phân ly trên không gian vectơ phức V. 01B9
Hệ quả Mọi đại số Lie thực đơn compact kiểu Aₙ(n≥ 1) đều đẳng cấu với 𝔰𝔲(n+ 1,C). ↩ 1 01BA
Nhận xét 1 Ta có 𝔤𝔩(V) =𝔰𝔩(V)× C.1_V,𝔲(Φ ) =𝔰𝔲(Φ )× R.i1_V; các dạng thực compact của 𝔤𝔩(V) là các 𝔰𝔲(Φ )× R.α 1_V,α ∈ C^*. 01BB
Nhận xét 2 Nếu đại số Lie phức 𝔞=𝔰𝔩(n,C) được trang bị hệ tách và hệ Chevalley được đưa vào trong Chap. VIII, §13, no. 1 (IX), thì, với các ký hiệu ở no. 2, 01BC
Mệnh đề 5 Mọi đại số Lie thực đơn compact kiểu Bₙ,n≥ 1 (tương ứng, kiểu Dₙ,n≥ 3) đều đẳng cấu với 𝔬(2n+ 1,R) (tương ứng, 𝔬(2n,R)). ↩ 1 01BD
Mệnh đề 6 Mọi đại số Lie thực nửa đơn compact hạng 1 đều đẳng cấu với 𝔰𝔲(2,C) và với 𝔬(3,R). Mọi nhóm Lie compact liên thông nửa đơn hạng 1 đều đẳng cấu với SU(2,C) nếu nó đơn liên, và với S… ↩ 1 01BE
Nhận xét Ta đã thấy ở trên rằng SU(2,C) là đơn liên và π₁(SO(3,R)) có cấp 2. Ta sẽ thấy muộn hơn nhiều rằng các kết quả này lần lượt được tổng quát hóa cho SU(n,C) (n≥ 1) và SO(n,R) (n≥ 3)… 01BF

§ 4. Hệ căn nghiệm liên kết với một nhóm compact

Mệnh đề 1 — Với mọi nhóm Lie compact H, Z-môđun X(H) là hữu hạn kiểu. Nó là tự do nếu H liên thông. 01JH
Mệnh đề 2 — Cho H là một nhóm Lie compact giao hoán, và (aᵢ)_i∈ I là một họ các phần tử của X(H); các aᵢ sinh ra X(H) khi và chỉ khi giao của các Keraᵢ thu gọn thành phần tử đơn vị. ↩ 1 01JI
Mệnh đề 3 Dạng song tuyến tính (a, X) → ⟨ a, X⟩ trên X(S)× Γ (S) là khả nghịch. ↩ 1 01BP
Mệnh đề 4 Cho S và S' là các xuyến. Ký hiệu M(S,S') là nhóm các cấu xạ của các nhóm Lie từ S đến S'. Các ánh xạ f → X(f) và f → Γ (f) là các đẳng cấu của các nhóm từ M(S,S') đến Hom_Z(X(S')… ↩ 2 01BQ
Nhận xét 1 Cho f : S → S' là một cấu xạ của các xuyến. Biểu đồ rắn (Đại số, Chap. X, §1, no. 2) liên kết với (1) cho một dãy khớp ↩ 1 01BR
Nhận xét 2 Theo Mệnh đề 4, ánh xạ f → Γ (f)(2π i) từ M(U,S) đến Γ (S) là một đẳng cấu; nếu a∈ X(S) = M(S,U) và f∈ M(U,S), thì ánh xạ hợp a∘ f∈ M(U,U) là tự đồng cấu u → uʳ, trong đó r=⟨ a, Γ… 01BS
Nhận xét 3 Với dãy khớp 0→ Γ (S)→ L(S)longrightarrow^exp_SS→ 0 được liên kết một đẳng cấu từ Γ (S) vào nhóm cơ bản của S, được gọi là chính tắc trong phần sau. Với mọi cấu xạ của các xuyến f… ↩ 1 01BT
Nhận xét 4 Các đồng cấu của các Z-môđun δ : X(S)→ Hom_C(L(S)_(C),C) và ι :Γ (S)→ L(S)_(C)(ι được cảm sinh bởi đơn ánh chính tắc của Γ (S) vào L(S)) mở rộng thành các đẳng cấu của các không gi… 01BU
Bổ đề 1 Nếu G giao hoán, widetildeV là tổng trực tiếp của các widetildeV_λ(G) với λ ∈ X(G). ↩ 1 01BV
Định nghĩa 1 Các trọng số của biểu diễn ρ của G, đối với một xuyến cực đại T của G, là các phần tử λ của X(T) sao cho widetildeV_λ(T)not= 0. 01BW
Mệnh đề 5 Tập hợp P(ρ ,T) ổn định dưới phép toán của nhóm Weyl W. Cho n∈ N_G(T), và cho w là lớp của nó trong W; với λ ∈ X(T), ta có ρ (n)( widetildeV_λ(T)) = widetildeV_wλ(T) và dim widetil… ↩ 2 01BX
Mệnh đề 6 Đồng cấu ρ : G→ GL(V) là đơn ánh khi và chỉ khi P(ρ ,T) sinh ra Z-môđun X(T). ↩ 2 01BY
Mệnh đề 7 a) Với mọi λ ∈ X(T), ta có widetildeV_λ(T) = widetildeV_δ(λ)(𝔱_C). ↩ 2 01BZ
Mệnh đề 8 Cho Q(R) là nhóm con của X(T) sinh bởi các căn của G. ↩ 5 01C0
Mệnh đề 9 Mọi tự đẳng cấu của nhóm Lie G cảm sinh đồng nhất trên T đều có dạng Int t, với t∈ T. ↩ 3 01C1
Hệ quả Cho u là một tự đẳng cấu của G và H là nhóm con đóng của G gồm các điểm bất động của u. Khi đó, tự đẳng cấu u là nội khi và chỉ khi H₀ có hạng cực đại. 01C2
Bổ đề 2 Cho S là một nhóm con đóng của T và Z(S) là chuẩn hóa tử của nó trong G. ↩ 2 01C3
Định lý 1 Cho α ∈ R(G,T). Tâm hóa tử Z_α của hạt nhân của α là một nhóm con đóng liên thông của G; tâm của nó là Ker α; nhóm dẫn xuất của nó D(Z_α) = S_α là một nhóm con nửa đơn đóng liên th… ↩ 2 01C4
Hệ quả — Tồn tại một cấu xạ của nhóm Lie ν:SU(2, C)→ G với các tính chất sau: ↩ 1 01C7
Nhận xét Với mọi x∈ R, ta có 01C5
Mệnh đề 10 Ánh xạ u → L(u)_(C) từ Aut(T) đến GL(𝔱_C) cảm sinh một đẳng cấu từ W đến nhóm Weyl của đại số Lie khả quy tách được (𝔤_C,𝔱_C). Với mọi α ∈ R, W_Z_α(T) có cấp 2, và ảnh của phần tử… ↩ 1 01C6
Hệ quả Giả sử G là nửa đơn. Khi đó mọi phần tử của G là giao hoán tử của hai phần tử của G. ↩ 2 01JJ
Mệnh đề 11 Đồng cấu f(G,T) :Γ (T)→ π₁(G) là toàn ánh. Hạt nhân của nó là nhóm con N(G,T) của Γ (T) được sinh bởi họ các vectơ nút (K_α)_α∈ R(G,T). ↩ 3 01C8
Hệ quả 1 G là đơn liên thông khi và chỉ khi họ (K_α)_α∈ R(G,T) sinh ra Γ (T). 01C9
Hệ quả 2 Cho H là một nhóm con đóng liên thông của G chứa T; có một dãy khớp 01CA
Nhận xét Có thể chứng minh (xem Bài tập 2 của §5) rằng π₂(G/H) bằng không. Tính khớp của dãy trước đó khi ấy cho một đẳng cấu từ π₂(G/H) đến N(G,T)/N(H,T). 01CB
Hệ quả 3 Đồng cấu π₁(D(G))→ π₁(G) tương ứng với sự nhúng của D(G) vào G cảm sinh một đẳng cấu từ π₁(D(G)) lên nhóm con xoắn của π₁(G). ↩ 1 01CC
Mệnh đề 12 Giả sử H là tập hợp các nhóm con đóng liên thông của G chứa T, được sắp thứ tự bởi bao hàm. Ánh xạ H → R(H,T) là một song ánh tăng từ H tới tập hợp các tập con đóng đối xứng của R(… ↩ 1 01CD
Hệ quả 1 Chỉ có hữu hạn các nhóm con đóng của G chứa T. ↩ 1 01CE
Hệ quả 2 Giả sử H là một nhóm con đóng liên thông của G chứa T, và đặt Wᴴ_G(T) là nhóm ổn định trong W_G(T) của tập con R(H,T) của R. Nhóm N_G(H)/H đẳng cấu với nhóm thương Wᴴ_G(T)/W_H(T). 01CF
Nhận xét 1 Nhóm Wᴴ_G(T) cũng là nhóm ổn định trong W_G(T) của nhóm con C(H) của T: điều này suy ra từ Mệnh đề 8 của no. 4. 01CG
Mệnh đề 13 Giả sử H là một nhóm con đóng liên thông của G có hạng tối đại, và C là tâm của nó. Khi đó C chứa tâm của G, và H là thành phần liên thông đơn vị của nhóm trung tâm hoá của C. ↩ 2 01CH
Nhận xét 2 Ta nói rằng một nhóm con C của G là căn nếu tồn tại một xuyến cực đại S của G và một tập con P của R(G,S) sao cho C =⋂_α∈ P Kerα. Suy ra từ Mệnh đề 13 và Bổ đề 2 của no. 5 rằng ánh… 01CI
Hệ quả Tập các g∈ G sao cho T∩ gTg⁻¹not= C(G) là hợp của một số hữu hạn các đa tạp con giải tích đóng của G, khác G. 01CJ
Mệnh đề 14 Cho X là một tập con của T, và cho R_X là tập các nghiệm α ∈ R(G,T) sao cho α (X) =1. Nhóm Z_G(X)/Z_G(X)₀ đẳng cấu với thương của nhóm con của W_G(T) giữ X cố định bởi nhóm con sin… ↩ 1 01CK
Định nghĩa 2 Một biểu đồ nghiệm (hay đơn giản là một biểu đồ, nếu không có nguy cơ nhầm lẫn) là một bộ ba D = (M,M₀,R) trong đó: 01CL
Ví dụ 1 Với mọi Z-môđun tự do hữu hạn sinh M, bộ ba (M,M,∅ ) là một biểu đồ nghiệm. 01CM
Ví dụ 2 Nếu D = (M,M₀,R) là một biểu đồ nghiệm, hãy lấy M^*₀ là phần bù trực giao của V(R) trong M^*, và lấy R^∨ là tập các nghiệm nghịch đảo của D. Khi đó D^∨= (M^*,M^*₀,R^∨) là một biểu… 01CN
Ví dụ 3 Cho (𝔤,𝔥) là một đại số Lie Q khả quy tách, và M⊂ 𝔥 là một dàn được phép (Chương VIII, §12, no. 6, Định nghĩa 1). Hãy lấy M₀ là nhóm con của M trực giao với các nghiệm của (𝔤,𝔥) và… 01CO
Ví dụ 4 Cho V là một không gian vectơ trên Q và R là một hệ nghiệm trong V; ký hiệu P(R) là nhóm các trọng số của R và Q(R) là nhóm các trọng số căn của R (Chương VI, §1, no. 9). Khi đó (Q… 01CP
Định lý 2 a) (X(T),X(T/(T∩ D(G)),R(G,T))) là một biểu đồ nghiệm rút gọn; nhóm Weyl của nó gồm các X(w) với w∈ W; nhóm X(C(G)) đẳng cấu với thương của X(T) theo nhóm con sinh bởi R(G,T). ↩ 1 01CQ
Ví dụ 1 Nếu G nửa đơn có hạng 1, thì D^*(G,T) và D_*(G,T) tất yếu đẳng cấu với một trong hai biểu đồ Δ₂= (Z,0,2,-2), Δ₁= (Z,0,1,-1). Nếu G đẳng cấu với SU(2,C), D_*(G,T) đẳng cấu với Δ₁ (v… 01CR
Ví dụ 2 Nếu G và G' là hai nhóm Lie compact liên thông, với các xuyến cực đại T và T' tương ứng, và nếu D^*(G,T) = (M,M₀,R) và D^*(G',T') = (M',M'₀,R'), thì D^*(G× G',T× T') có thể được đồ… ↩ 1 01CS
Ví dụ 3 Cho N là một nhóm con đóng của T, trung tâm trong G, và cho (M,M₀,R) là biểu đồ phản biến của G tương đối với T. Khi đó biểu đồ phản biến của G/N tương đối với T/N có thể được đồng… ↩ 1 01CT
Ví dụ 4 Tương tự, cho N là một nhóm Abel hữu hạn, và φ :π₁(G)→ N là một đồng cấu toàn ánh. Cho G' là phủ của G liên kết với đồng cấu này; đây là một nhóm Lie compact liên thông, trong đó N… 01CU
Nhận xét 1 Cho 𝔠 là tâm của 𝔤_C; khi đó 𝔠= L(C(G))_(C). Ta có các quan hệ sau giữa các biểu đồ của G tương đối với T và các hệ nghiệm gốc trực tiếp và nghịch đảo của đại số khả quy tách (𝔤_C… 01CV
Nhận xét 2 Giả sử nhóm G là nửa đơn; ký hiệu R (tương ứng R^∨) là hệ nghiệm R(G,T) (tương ứng R^∨(G,T)), do đó ta có các bao hàm 01CW
Mệnh đề 15 Cho φ là một đẳng cấu từ D^*(G',T') đến D^*(G,T) (tương ứng từ D_*(G,T) đến D_*(G',T')). Tồn tại một đẳng cấu f: G→ G' sao cho f(T) = T' và φ = D^*(f) (tương ứng φ = D_*(f)); nếu f… ↩ 2 01CX
Hệ quả Hai nhóm Lie compact liên thông G và G' đẳng cấu khi và chỉ khi các biểu đồ D^*(G) và D^*(G') (tương ứng D_*(G) và D_*(G')) bằng nhau. 01CY
Mệnh đề 16 Với mọi biểu đồ nghiệm rút gọn D, tồn tại một nhóm Lie compact liên thông G sao cho D^*(G) (tương ứng D_*(G)) đẳng cấu với D. 01CZ
Chú giải Việc phân loại các nhóm Lie compact liên thông theo đẳng cấu do đó được quy về việc phân loại các biểu đồ nghiệm rút gọn. Các nhóm Lie compact nửa đơn liên thông tương ứng với các… 01D0
Nhận xét 3 Cho T' là một xuyến cực đại khác của G, B (tương ứng B') là một cơ sở của hệ nghiệm R(G,T) (tương ứng R(G',T')) (Chương VI, §1, no. 5, Định nghĩa 2). Tồn tại các phần tử g∈ G sao c… 01D1
Mệnh đề 17 Đồng cấu Aut(G,T)→ Aut(D) là toàn ánh, với hạt nhân Int_G(T). 01D2
Mệnh đề 18 Nhóm Aut(G)/Int(G) đẳng cấu với Aut(D)/W(D). 01K9
Hệ quả Nếu G liên thông đơn, hoặc nếu C(G) rút về phần tử đơn vị, thì nhóm Aut(G)/Int(G) đẳng cấu với nhóm các tự đẳng cấu của đồ thị Dynkin của R(G,T). 01D3
Định nghĩa 3 Một khung của (G,T) là một cặp (B,(U_α)_α∈ B), trong đó B là một cơ sở của R(G,T) (Chương VI, §1, no. 5, Định nghĩa 2) và trong đó, với mọi α ∈ B,U_α là một phần tử của V(α ) sao c… ↩ 1 01D4
Bổ đề 3 Cho B₀ là một cơ sở của R(G,T). Nhóm Int_G(T) tác động đơn bắc cầu trên tập hợp các khung của (G,T) có dạng (B₀,(U_α)_α∈ B₀). ↩ 2 01D5
Mệnh đề 19 Nhóm Int(G) tác động đơn bắc cầu trên tập hợp các khung của G. ↩ 1 01D6
Hệ quả Cho e là một khung của (G,T) và cho E là nhóm các tự đẳng cấu của G để e ổn định. Khi đó Aut(G) là tích nửa trực tiếp của E bởi Int(G), và Aut(G,T) là tích nửa trực tiếp của E bởi… 01D7
Nhận xét Cho G và G' là hai nhóm Lie compact liên thông, và cho e= (T,B,(U_α)) và e'= (T',B',(U'_α)) lần lượt là các framing của G và G'. Cho X là tập hợp các đẳng cấu từ G đến G' đưa e thà… 01D8

§ 5. Các lớp liên hợp

Mệnh đề 1 Đặt n= dim G. Tồn tại một đa tạp giải tích thực compact V có chiều n-3 và một ánh xạ giải tích φ : V→ G có ảnh là G -- Gᵣ. ↩ 2 01DV
Nhận xét Một phần tử g của G được gọi là rất chính quy nếu Z(g) là một xuyến cực đại của G. Nếu g∈ T,g rất chính quy khi và chỉ khi w(g)not=g với mọi phần tử khác phần tử đơn vị w của W_G(T… 01DW
Mệnh đề 2 a) Nhóm Wₐ (tương ứng W'ₐ) là tích nửa trực tiếp của W bởi N(G,T) (tương ứng Γ (T)); nhóm con Wₐ của W'ₐ là chuẩn tắc. 01DX
Hệ quả 1 Cho A là một ô của 𝔱,overlineA phần bao đóng của nó, và H_A là nhóm ổn định của A trong W'ₐ. ↩ 5 01DY
Nhận xét 1 Nhóm H_A có thể được đồng nhất một cách tự nhiên với Γ (T)/N(G,T), nên cũng với π₁(G). Vì vậy, nó thu về phần tử đơn vị khi G là liên thông đơn. 01DZ
Nhận xét 2 Cho x∈ A; khi đó exp x∈ Tᵣ, nên Z(exp x)₀= T. Hơn nữa, exp x rất chính quy (no. 1, Nhận xét) khi và chỉ khi w(x)not=x với mọi w∈ W'ₐ khác với phần tử đơn vị. Theo Hệ quả 1, điều nà… ↩ 2 01E0
Nhận xét 3 Các điểm đặc biệt của Wₐ (Chương VI, §2, no. 2) là các phần tử x của 𝔱 sao cho δ (α )(x)∈ 2π iZ với mọi α ∈ R(G,T) (loc. cit., Mệnh đề 3), tức là sao cho exp x∈ C(G) (§4, no. 4, Mệ… 01E1
Hệ quả 2 Cho C là một buồng của 𝔱 và overlineC là bao đóng của nó. Các đơn ánh chính tắc overlineC→ 𝔱→ 𝔤 cảm sinh, qua thương, các đồng phôi 01E2
Nhận xét 4 Ký hiệu 𝔤_reg là tập hợp các phần tử chính quy của 𝔤 (Chương VII, §2, no. 2, Định nghĩa 2) và đặt 𝔱_reg=𝔱∩ 𝔤_reg. Với x∈ 𝔱, ta có 01E3
Hệ quả 3 Giả sử rằng G đơn liên; cho g là một phần tử chính quy của G. Tồn tại một xuyến cực đại S của G, và một miền cơ bản A của L(S), cả hai được xác định duy nhất, sao cho g∈ exp(A) và… ↩ 1 01E4
Bổ đề 1 Cho u là một tự đẳng cấu của G, và H là tập hợp các điểm bất động của nó. ↩ 1 01E5
Bổ đề 2 Cho x là một phần tử của T và S là một xuyến con của T. Nếu thành phần liên thông chứa đơn vị của Z(x)∩ Z(S) bằng T, thì tồn tại một phần tử s của S sao cho xs là chính quy. ↩ 1 01E6
Bổ đề 3 Giả sử G là đơn liên. Cho C là một buồng của 𝔱, và u là một tự đẳng cấu của G sao cho T và C ổn định dưới u. Khi đó tập các điểm của T cố định bởi u là liên thông. ↩ 1 01E7
Mệnh đề 3 Cho u là một tự đẳng cấu của G, và cho x là một điểm của G cố định bởi u. ↩ 2 01E8
Hệ quả Cho 𝔰 là một đại số Lie compact, và cho φ là một tự đẳng cấu của 𝔰. Tồn tại một phần tử chính quy của 𝔰 được φ cố định. 01E9
Định lý 1 Cho u là một tự đẳng cấu của một nhóm Lie compact liên thông G. ↩ 2 01EA
Hệ quả 1 Giả sử rằng Z-môđun π₁(G) là không xoắn. 01EB
Hệ quả 2 Cho Γ là một nhóm con compact của Aut(G) với tính chất sau: ↩ 1 01EC
Hệ quả 3 Cho H là một nhóm Lie và Γ là một nhóm con compact của H. Giả sử rằng H₀ là compact và rằng Γ thỏa mãn điều kiện () của Hệ quả 2. Khi đó tồn tại một xuyến đại cực đại T của H₀ sao… ↩ 1 01ED
Hệ quả 4 Mọi nhóm con lũy linh của một nhóm Lie compact đều được chứa trong nhóm chuẩn hóa của một xuyến đại cực đại. 01EE
Ví dụ Xét G =U(n,C). Sau này ta sẽ thấy rằng nhóm con các ma trận đường chéo trong G là một xuyến đại cực đại của G và nhóm chuẩn hóa của nó là tập hợp các ma trận đơn thức (Đại số, Chap… 01EF
Bổ đề 4 Cho g∈ G,t∈ T, và cho overlineg là ảnh của g trong G/T. Đồng nhất không gian tiếp tuyến của G/T (tương ứng T, tương ứng G) tại overlineg (tương ứng t, tương ứng gtg⁻¹) với 𝔤/𝔱 (tươ… ↩ 2 01EG
Mệnh đề 4 a) Cho g∈ G, t∈ T, x∈ 𝔱, và cho overlineg là ảnh của g trong G/T. Các điều kiện sau là tương đương: 01EH
Nhận xét 1 Theo Mệnh đề 3 của §2, no. 4, đa tạp (G/T)× A là đơn liên. Suy ra rằng φ_A là một phủ phổ quát của Gᵣ; vì π₁(Gᵣ) đẳng cấu chính tắc với π₁(G) (no. 1, Mệnh đề 1 và Tôpô đại cương, C… 01EI
Nhận xét 2 Sự hạn chế của φ_A lên W× A⊂ (G/T)× A làm cho W× A trở thành một phủ chính của Tᵣ với nhóm H_A. Do đó ta thu lại Hệ quả 1 của Mệnh đề 2 của no. 2. 01EJ
Nhận xét 3 Ký hiệu 𝔤ᵣ là ảnh ngược của Gᵣ qua ánh xạ mũ và ε :𝔤ᵣ→ Gᵣ là ánh xạ cảm sinh bởi exp_G. Ánh xạ (g, x) → (Ad g)(x) từ G× 𝔱ᵣ đến 𝔤ᵣ xác định qua phép đi qua thương một ánh xạ ψᵣ: (G/… 01EK

§ 6. Tích phân trên các nhóm Lie compact

Bổ đề 1 Tồn tại một ánh xạ A-song tuyến tính từ Altˢ(M'')× Altʳ(M') vào Altˢ⁺ʳ(M), được ký hiệu bởi (u, v) → u∩ v, và được đặc trưng bởi một trong hai tính chất sau: ↩ 2 01EX
Mệnh đề 1 Cho ω_G, ω_G/T và ω_T là các dạng vi phân bất biến trên G,G/T và T, tương ứng, có các bậc tương ứng n, n-r và r. Nếu ω_G= ω_G/T∩ ω_T, thì ↩ 1 01EY
Bổ đề 2 Nếu ω_G=ω_G/T∩ ω_T, thì ↩ 1 01EZ
Bổ đề 3 Ảnh ngược trên (G/T)× Tᵣ của độ đo dg trên Gᵣ qua phép đồng phôi cục bộ fᵣ(Tích phân, Chương V, §6, no. 6) là độ đo μ⊗ δ_Gdt, trong đó μ là độ đo G-bất biến duy nhất trên G/T có tổ… ↩ 1 01F0
Định lý 1 (H. Weyl) Độ đo dg trên G là ảnh qua ánh xạ (g, t) → gtg⁻¹ từ G× T vào G của độ đo dg⊗ 1/w(G)δ_Gdt, trong đó ↩ 1 01F1
Hệ quả 1 (i) Cho φ là một hàm khả tích trên G với giá trị trong một không gian Banach hoặc trong overlineR. Với hầu hết t∈ T, hàm g → φ (gtg⁻¹) trên G là khả tích đối với dg. Hàm t → δ_G(t)… ↩ 1 01F2
Hệ quả 2 Cho φ là một hàm trung tâm trên G (nghĩa là, sao cho φ (gh) = φ (hg) với mọi g và h trong G) với các giá trị trong một không gian Banach hoặc trong overlineR. ↩ 4 01F3
Hệ quả 3 Cho H là một nhóm con đóng liên thông của G chứa T, 𝔥 là đại số Lie của nó, và dh là độ đo Haar trên H có khối lượng toàn phần bằng 1. Cho φ là một hàm trung tâm khả tích trên G, v… ↩ 1 01F4
Nhận xét 1 Nếu ta lấy φ = 1 trong Hệ quả 3, ta thu được 01F5
Nhận xét 2 Cho ν là độ đo trên thương T/W được xác định bởi 01F6
Nhận xét 3 Giả sử rằng G liên thông đơn. Cho A là một alcôv của 𝔱, và dx là độ đo Haar trên 𝔱 sao cho ∫_Adx= 1. Khi đó độ đo ν cũng có thể thu được bằng cách chuyển độ đo 1/w(G)∏_α∈ R₊(G,T)4… 01F7
Ví dụ Cho G là nhóm SU(2,C) và T là nhóm con của các ma trận đường chéo (§3, no. 6); đồng nhất 𝔱 với R bằng lựa chọn cơ sở iH của 𝔱(loc. cit.). Đặt A = 0, π; đó là một alcove của 𝔱. Khoả… 01F8
Mệnh đề 2 Cho H là một nhóm Lie (thực) có chiều m,𝔥 là đại số Lie của nó. Cho ω_H là một dạng vi phân bất biến phải bậc m trên H, và cho ω_𝔥 là dạng vi phân bất biến theo phép tịnh tiến trên… 01F9
Nhận xét Xét hàm λ_𝔤 liên kết với một nhóm Lie compact G; xét theo §2, no. 1, Định lý 1, để tính λ_𝔤 chỉ cần biết các giá trị của nó trên 𝔱. Nhưng, với x∈ 𝔱, tự đồng cấu ad x của 𝔤 là nửa đ… 01FA
Mệnh đề 3 Cho ω_𝔤,ω_𝔱,ω_G/T lần lượt là các dạng vi phân bất biến trên 𝔤,𝔱, G/T, có các bậc tương ứng n, r, n-r. Nếu ω_𝔤=ω_G/T∩ ω_𝔱, ta có 01FB
Mệnh đề 4 Độ đo dz trên 𝔤 là ảnh của độ đo dg⊗ 1/w(G)π_𝔤dx qua ánh xạ riêng (g, x) → (Ad g)(x) từ G× 𝔱 đến 𝔤. ↩ 1 01FC
Bổ đề 4 Luật tác động H× Sʳ(X; E)→ Sʳ(X; E) là liên tục. ↩ 2 01FD
Mệnh đề 5 Giả sử nhóm H là compact và ký hiệu dh là độ đo Haar trên H có tổng khối lượng bằng 1. Cho s là một tiết diện của E lớp Cʳ. Ký hiệu s^sharp là tích phân vectơ ∫_Hʰs dh. Khi đó s^sh… 01FE
Hệ quả 1 Cho F là một không gian Banach, ρ : H→ GL(F) là một biểu diễn tuyến tính giải tích, f∈ Cʳ(X; F). Với x∈ X, đặt ↩ 1 01FF
Hệ quả 2 Cho F là một không gian Banach, f∈ Cʳ(X; F); đặt ↩ 1 01FG
Hệ quả 3 Cho F là một không gian Banach, p là một số nguyên ≥ 0,ᵏΩᵖ(X; F) là không gian các dạng vi phân bậc p trên X, với giá trị trong F, và thuộc lớp Cᵏ(2≤ k+ 1≤ r). Với ω ∈ᵏΩᵖ(X; F), đặ… ↩ 1 01FH
Định lý 2 Phép đơn ánh chính tắc ι :Ω (X)ᴳ→ Ω (X) là một đồng luân tương đương của các phức (Algèbre, Chap. X, p. 33, déf. 5); ánh xạ ω → ω^sharp=∫_Gτ_g^*ω dg là một đồng luân tương đương, n… ↩ 2 01FI
Hệ quả 1 a) Trong biểu đồ (18), mọi cấu xạ đều là các homotopism. 01FJ
Nhận xét Xét các phức con Z(Ω (G)) và B(Ω (G)) của Ω (G) (Algèbre, Chap. X, p. 25). Từ công thức cho vi phân của tích của hai dạng (Differentiable and Analytic Manifolds, Results, 8.3.5) su… 01FK
Hệ quả 2 Cho H là một nhóm con đóng của G. 01FL

§ 7. Các biểu diễn bất khả quy của các nhóm Lie compact liên thông

Bổ đề 1 Cho λ là một phần tử của X(T). Các điều kiện sau là tương đương: ↩ 1 01FZ
Bổ đề 2 Cho φ là một biểu diễn tuyến tính của đại số Lie phức 𝔤_C trên một không gian vectơ phức hữu hạn chiều V. Tồn tại một biểu diễn τ của G trên V sao cho L(τ )_(C)=φ khi và chỉ khi φ… ↩ 1 01G0
Định lý 1 a) Cho τ : G→ GL(V) là một biểu diễn bất khả quy của G. Khi đó tập hợp các trọng số của τ (tương đối với T) có một phần tử lớn nhất λ, là trội, và không gian V_λ(T) có chiều 1. ↩ 7 01G1
Hệ quả Nhóm G có một biểu diễn tuyến tính trung thành (hữu hạn chiều). 01G2
Nhận xét 1 Cho 𝔫₊ là đại số con của 𝔤_C là tổng của các 𝔤^α với α >0. Cho τ : G→ GL(V) là một biểu diễn bất khả quy, λ ∈ X₊₊ là trọng số cao nhất của nó và τ ':𝔤_C→ 𝔤𝔩(V) là biểu diễn cảm sin… ↩ 1 01G3
Nhận xét 2 Cho Θ (G) là đại số các hàm đại diện liên tục trên G với các giá trị trong C(Đại số, Chương VIII). Cho G tác động trên Θ (G) bằng các phép tịnh tiến trái và phải. Với mỗi λ ∈ X₊₊… 01G4
Nhận xét 3 Cho τ : G→ GL(V) là một biểu diễn bất khả quy. Tồn tại một phần tử ν của X(C(G)) sao cho τ (s)v=ν (s)v với mọi s∈ C(G), v∈ V: thật vậy, τ (C(G)) được chứa trong hoán tập của τ(G)… ↩ 1 01G5
Nhận xét 4 Các định nghĩa và các mệnh đề của Chap. VIII, §7, nos. 2 đến 5 có thể được tổng quát hóa không khó khăn cho tình huống hiện tại; ta để các chi tiết cho người đọc. 01G6
Mệnh đề 1 Cho τ : G→ GL(V) là một biểu diễn bất khả quy của G có trọng số cao nhất λ ∈ X₊₊. Gọi m là số nguyên ∑_α∈ R₊⟨ λ , K_α⟩, và gọi w₀ 01G7
Mệnh đề 2 Đồng cấu Ch cảm sinh một đẳng cấu từ R(G) đến Z[X(T)]ᵂ. 01G8
Bổ đề 3 Với mỗi λ ∈ X₊₊, cho C_λ là một phần tử của Z[X(T)]ᵂ có số hạng cực đại duy nhất e^λ. Khi đó họ (C_λ)_λ∈ X₊₊ là một cơ sở của Z[X(T)]ᵂ. 01G9
Hệ quả Ánh xạ hạn chế r: ZΘ (G)→ Θ (T)ᵂ là song ánh. ↩ 1 01GA
Mệnh đề 3 Các phần tử J(λ ρ )/surdoverlinew(G), với λ ∈ X₊₊, lập thành một cơ sở trực chuẩn của không gian con các phần tử phản bất biến của L²(T), và một cơ sở đại số của không gian con các… ↩ 2 01GB
Bổ đề 4 Nếu φ và ψ là hai hàm trung tâm liên tục trên G, ↩ 2 01GC
Định lý 2 (H. Weyl) Với mọi λ ∈ X₊₊, ta có J(ρ ).χ_λ|T = J(λ ρ ). ↩ 3 01GD
Hệ quả 1 Với các ký hiệu của no. 3, ta có trong Z[X(T)], 01GE
Hệ quả 2 Với mọi λ ∈ X₊₊ và mọi phần tử chính quy t của T, ↩ 2 01GF
Hệ quả 3 Ánh xạ gán cho mỗi hàm trung tâm liên tục φ trên G hàm w(G)^-1/2J(ρ )(φ |T) gây ra một đẳng cấu từ không gian các hàm đại diện trung tâm trên G đến không gian các phần tử phản bất… ↩ 1 01GG
Hệ quả 4 Cho φ là một hàm trung tâm liên tục trên G. Khi đó, ↩ 2 01GH
Nhận xét 1 Với mọi w∈ W, đặt ρ_w=ʷρ /ρ; khi đó 01GI
Nhận xét 2 Tương tự, đẳng thức thứ nhất của Hệ quả 4 vẫn đúng mà không cần giả thiết rằng ρ ∈ X(T). 01GJ
Nhận xét 3 Ta có thể suy ra Định lý 2 từ mệnh đề vi phân tương tự (Chương VIII, §9, no. 1, Định lý 1); điều tương tự cũng đúng đối với Định lý 3 của số tiếp theo (là tương tự của Định lý 2 củ… 01GK
Định lý 3 Chiều của không gian của một biểu diễn bất khả quy của G có trọng số cao nhất λ được cho bởi ↩ 2 01GL
Bổ đề 5 Ta có 01GM
Hệ quả 1 Cho | | là một chuẩn trên X(T)⊗ R. Với mọi λ ∈ X₊₊, cho d(λ ) là chiều của không gian của một biểu diễn bất khả quy của G có trọng số cao nhất λ. ↩ 2 01GN
Hệ quả 2 Giả sử G là nửa đơn; cho d là một số nguyên. Tập hợp các lớp biểu diễn của G có chiều ≤ d là hữu hạn. 01GO
Mệnh đề 4 Cho Γ là một phần tử Casimir của G. ↩ 2 01GP
Nhận xét Cho x∈ 𝔤. Tồn tại một số thực dương ngặt A sao cho, với mọi biểu diễn bất khả quy τ : G→ GL(V) và mọi cấu trúc Hilbert trên V bất biến dưới G, 01GQ

§ 8. Biến đổi Fourier

Mệnh đề 1 Mọi hàm phức bình phương khả tích f trên G là tổng trong không gian Hilbert L²(G) của họ (fᵤ)_u∈widehatG trong đó, với mọi h∈ G và mọi u∈ widehatG, ↩ 1 01GZ
Mệnh đề 2 Cho m → |m| là một chuẩn trên không gian vectơ R R⊗ X(T) và Γ là một phần tử Casimir của G. Cho φ là một hàm trên widehatG có các giá trị thực dương. 01H0
Ví dụ Hàm u → d(u) là tăng vừa phải (§7, no. 5, Cor. 1 of Th. 3); với mọi chuẩn | | trên R⊗ X(T), hàm u → |λ (u)| là tăng vừa phải. Với mọi phần tử Casimir Γ, hàm u → widetildeΓ(u) là tă… 01H1
Mệnh đề 3 Với mọi t∈ U(G), các hàm u → |u(t)|_∞ và u → |u(t)|₂ trên widehatG là tăng vừa phải. ↩ 1 01H2
Định lý 1 a) Cho f là một hàm phức khả vi vô hạn trên G. Khi đó họ (fᵤ)_u∈widehatG, trong đó fᵤ(g) =⟨ u(g)|u(f)⟩, là tổng được đều trên G và, với mọi h∈ G, 01H3
Hệ quả Các ánh xạ overlineF:f → (u(f))_u∈widehatG và F: A → ∑_u∈widehatG⟨ u(g)|Aᵤ⟩ cảm sinh các đẳng cấu nghịch đảo giữa các không gian vectơ tôpô C^∞(G;C) và S( widehatG). 01H4
Mệnh đề 4 Cho f∈ L²(G). Khi đó f là trung tâm khi và chỉ khi u(f) là một phép vị tự với mọi u∈ widehatG. Trong trường hợp đó 01H5
Mệnh đề 5 Cho f là một hàm trung tâm liên tục trên G. Khi đó f khả vi vô hạn khi và chỉ khi hàm u → |⟨ χᵤ|f⟩ | là giảm nhanh trên widehatG; trong trường hợp đó, ↩ 1 01H6
Hệ quả Cho f là một hàm trung tâm liên tục trên G. Khi đó f khả vi vô hạn khi và chỉ khi hạn chế của f trên T là khả vi vô hạn. ↩ 1 01H7

§ 9. Các nhóm Lie compact tác động trên các đa tạp

Bổ đề 1 Cho T và T' là hai không gian tôpô, A và A' lần lượt là các tập con compact của T và T', W là một lân cận của A× A' trong T× T'. Tồn tại một lân cận mở U của A trong T và một lân c… ↩ 1 01HE
Mệnh đề 1 Cho φ : X→ Y là một cấu xạ thuộc lớp Cʳ, A là một tập con compact của X. Các điều kiện sau là tương đương: 01HF
Mệnh đề 2 Giả sử đa tạp Y là paracompact; cho A là một tập con của X, và cho φ :X→ Y là một cấu xạ thuộc lớp Cʳ cảm sinh một đồng phôi từ A vào φ (A), và là étale tại mọi điểm của A. Khi đó… ↩ 1 01HG
Mệnh đề 3 Cho A là một tập con compact của X. Tập hợp P các cấu xạ φ ∈ Cʳ(X;Y) là các phép nhúng trong một lân cận của A là mở trong Cʳ(X;Y) đối với tôpô hội tụ Cʳ compact (§ 6, no. 4). ↩ 1 01HH
Bổ đề 2 Cho x là một điểm của X,φ : X→ Y là một cấu xạ thuộc lớp C¹ và là một phép nhúng tại x. Tồn tại một lân cận Ω của φ trong C¹(X;Y) và một lân cận B của x trong X sao cho, với mọi ψ… 01HI
Mệnh đề 4 Cho A là một tập con compact của X. Tồn tại một không gian vectơ hữu hạn chiều E và một cấu xạ φ ∈ Cʳ(X;E) (rnot=ω ) là một phép nhúng trong một lân cận của A. ↩ 3 01HJ
Bổ đề 3 Cho G là một nhóm tôpô compact tác động liên tục trên một không gian tôpô X; cho A là một tập con của X, ổn định dưới G, và W là một lân cận của A. Khi đó, tồn tại một lân cận mở V… ↩ 2 01HK
Định lý 1 Cho G là một nhóm Lie compact, (g, x) → gx là một luật tác động trái lớp Cʳ của G trên X, và A là một tập compact của X. Tồn tại một biểu diễn tuyến tính giải tích ρ của G trên một… ↩ 1 01HL
Hệ quả 1 Giả sử X là compact. Tồn tại một biểu diễn tuyến tính giải tích ρ của G trên một không gian vectơ hữu hạn chiều E và một phép nhúng φ : X→ E sao cho φ (gx) =ρ (g)φ (x) với g∈ G, x∈… ↩ 1 01HM
Hệ quả 2 Cho H là một nhóm con đóng của G. Tồn tại một biểu diễn tuyến tính giải tích của G trên một không gian vectơ hữu hạn chiều E và một điểm v∈ E với nhóm cố định H. ↩ 1 01HN
Hệ quả 3 Giả sử X là paracompact. Tồn tại một không gian Hilbert thực E, một biểu diễn đơn vị liên tục ¹⁰ρ của G trên E và một phép nhúng φ : X→ E thuộc lớp Cʳ sao cho φ (gx) =ρ (g)φ (x) vớ… 01HO
Bổ đề 4 Cho H là một nhóm Lie compact, ρ : H→ GL(V) là một biểu diễn liên tục (do đó giải tích) của H trên một không gian vectơ thực hữu hạn chiều, và W là một lân cận của gốc trong V. Tồn… ↩ 2 01HP
Mệnh đề 5 Cho H là một nhóm Lie compact, (h, x) → hx là một luật tác động trái thuộc lớp Cʳ của H trên X, và x là một điểm của X cố định dưới tác động của H. Khi đó nhóm H tác động tuyến tín… ↩ 1 01HQ
Mệnh đề 6 Giả sử rằng đa tạp X là compact địa phương; cho x là một điểm của X, Gₓ là bộ ổn định của nó. Tồn tại một biểu diễn tuyến tính giải tích hữu hạn chiều τ : Gₓ→ GL(W), và một phép nh… ↩ 5 01HR
Bổ đề 5 Cho Z là một đa tạp tách biệt lớp Cʳ, được trang bị một luật tác động trái m: G× Z→ Z lớp Cʳ, và μ: Z→ X là một cấu xạ (lớp Cʳ) tương thích với các phép toán của G. Cho z là một đi… 01HS
Bổ đề 6 Cho G là một nhóm Lie. 01HT
Định lý 2 Cho G là một nhóm Lie tác động đúng lên X, sao cho luật tác động (g, x) → gx thuộc lớp Cʳ. Giả sử X là paracompact. 01HU
Ví dụ 1 Cho G là một nhóm Lie compact liên thông, tác động lên chính nó bởi các tự đẳng cấu nội. Nhóm ổn định của một phần tử x của G đơn giản là tập trung hóa Z(x) của x trong G; nó chứa… 01HV
Ví dụ 2 Cho E là một không gian affine Euclid thực, ℌ một tập hợp các siêu phẳng của E, W là nhóm các phép dời của E được sinh bởi các phép phản xạ trực giao đối với các siêu phẳng của ℌ… 01HW

App. 1. Structure of compact groups

Mệnh đề 1 Mọi nhóm tôpô compact G đều đẳng cấu với một nhóm con đóng của một tích các nhóm Lie compact. 01II
Hệ quả 1 Cho V là một lân cận của phần tử đơn vị của G. Khi đó V chứa một nhóm con chuẩn tắc đóng H của G sao cho thương G/H là một nhóm Lie. ↩ 2 01IJ
Hệ quả 2 Ánh xạ chính tắc G→ lim__← -G/H_α là một đẳng cấu của các nhóm tôpô. α ↩ 1 01IK
Hệ quả 3 G là một nhóm Lie khi và chỉ khi tồn tại một lân cận của phần tử đơn vị e của G không chứa nhóm con chuẩn tắc nào khác e. 01IL
Bổ đề 1 Cho (G_α, f_α β) là một hệ xạ ảnh các nhóm tôpô đối với một tập hợp chỉ số lọc I, và G là giới hạn của nó. Giả sử rằng các ánh xạ chính tắc f_α: G→ G_α là toàn ánh. ↩ 2 01IM
Bổ đề 2 Cho (Sₐ)_a∈ A,(T_b)_b∈ B là hai họ hữu hạn các nhóm Lie gần đơn, đơn liên thông (Ch. III, § 9, no. 8, Định nghĩa 3),u:∏_a∈ ASₐ→ ∏_b∈ BT_b là một cấu xạ toàn ánh. Khi đó tồn tại một… ↩ 1 01IN
Bổ đề 3 Dưới các giả thiết của Bổ đề 1, giả sử rằng các G_α là các nhóm Lie compact đơn liên. Khi đó nhóm tôpô G đẳng cấu với tích của một họ các nhóm Lie compact gần đơn, đơn liên. ↩ 1 01IO
Mệnh đề 2 Cho G là một nhóm compact liên thông. 01IP
Hệ quả Mọi nhóm compact liên thông giải được đều giao hoán. 01IQ

App. 2. Representations of real, complex or quaternionic type

Mệnh đề 1 Cho A là một R-đại số (kết hợp và có đơn vị) và V là một A-môđun đơn hữu hạn chiều trên R. Khi đó, ta ở trong một trong ba tình huống sau: ↩ 1 01IS
Mệnh đề 2 Cho A là một R-đại số (kết hợp và có đơn vị), và W là một A_(C)-môđun đơn hữu hạn chiều trên C. Khi đó, ta tất yếu ở trong một trong ba tình huống sau: ↩ 1 01IT
Mệnh đề 3 Giả sử rằng ρ là bất khả quy. ↩ 1 01IU
Bổ đề 1 Cho Wᴳ là không gian con của W gồm các phần tử bất biến dưới G. Tự đồng cấu ∫_Gρ (g)dg của W là một phép chiếu có ảnh là Wᴳ, tương thích với các phép toán của G. Đặc biệt, dim Wᴳ=∫… ↩ 1 01IV
Bổ đề 2 Cho u là một tự đồng cấu của một không gian vectơ hữu hạn chiều E trên một trường K. Khi đó ↩ 1 01IW
Mệnh đề 4 Giả sử rằng ρ là bất khả quy. Khi đó, ρ thuộc kiểu thực (resp. phức, resp. quaternionic) nếu và chỉ nếu tích phân ∫_G Trρ (g²)dg bằng 1 (resp. 0, resp. -1). 01IX