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命题索引

李群与李代数的 1679 个命题，按章和节排列。选择一种类型，按词筛选，或把被引用最多的排在前面。

引用最多的在前

I. 李代数

§ 1. 。定义共李代数

定义 1 K 上的代数 g 被称为 K 上的李代数，如果它的乘法（用 (x, y) ↦ [x, y] 表示）满足以下恒等式： 09TJ
例 1 设L是代数在K上的结合律。括号[x, y] = xy - yx是x和y的双线性函数。很容易验证，K-模块L上的合成(x, y) ↦ [x, y]的律在K上使L变成李代数。 ↩ 3 09TK
例 2 在例 1 选择 L 中，是K-模 E 的自同态的关联代数。我们得到E的自同态的李代数，记为gl(E)。（如果E = Kⁿ，则李代数gl(E)表示为gl(n, K)。） ↩ 1 09TL
例 3 阶 n 方阵集合 Mₙ(K) 可以认为是 K 上的李代数与 gl(n, K) 自然同构。令(Eᵢⱼ)为Mₙ(K)的典范基（代数，章II, § 10, no. 3）。很容易得出： 09TM
定义 2 设 g 为 g 的李代数和 x 元素。 g 到 g 的线性映射 y ↦ [x, y] 称为 x 的伴随线性映射，用 ad_g x 或 ad x 表示。 09TN
命题 1 设g为李代数。对于所有 x ∈ g，ad x 是推导。映射x ↦ ad x是将李代数g同态转化为g的推导李代数𝔡。如果D ∈ 𝔡和x ∈ g，则[D, ad x] = ad(Dx)。 09TO
定义 3 如果 [x, y] = 0，则李代数的两个元素 x, y 被称为可交换的。如果元素中的任何两个是可交换的，则 g 被称为可交换的。 09TP
例 1 令 L 为结合律代数和由它定义的 g 李代数 (no. 2, 例 1)。当且仅当 L 中 xy = yx 时，两个元素 x, y 在 g 中可置换。 09TQ
例 2 如果实李群 G 是可交换的，那么它的李代数也是可交换的。 09TR
例设 G 为李群，g 为李代数，H 为 G 的谎言子群。H 定义上的每个左不变量向量域规范地是 G 上的左不变量向量域，从而有典范嵌入李代数 h 的 H 换算成 g； h 在这个单射下被 g 的谎言子代数识别。如果 H 在 G 中是正规的，则 g 中 h 的典范像是 g 的理想。 09TS
定义 4 在g的每个推导下稳定的g的子模称为g的特征理想。 09TT
命题 2 设g为李代数，a是g的理想（分别是特征理想），b是a的特征理想。那么 b 是 g 的理想（或特征理想）。 ↩ 1 09TU
命题 3 如果 a 和 b 是 g 的理想（或特征理想），则 [a, b] 是 g 的理想（或特征理想）。 09TV
命题 4 设g和h为K上的两个李代数，且g为h上的f同态。然后f(Dᵖg) = Dᵖf, f(Cᵖg) = Cᵖh. ↩ 4 09TW
推论设 g 为李代数且 g 的一个理想。为了使李代数g/a可交换，a ⊃ Dg是充分必要的。 09TX
命题 5 设 g 为李代数且为 g 的理想（或特征理想）。 g 中 a 的扶正器 a' 是 g 的理想（或特征理想）。 09TY
定义 5 设a和b是李代数除以K。 b除以a的扩张为序列： 09TZ
命题 6 让 ↩ 1 09U0
定义 6 让 ↩ 1 09U1
命题 7 设a和b是李代数除以K， 09U2
例 1 令g为李代数除以K，并且D推导除以g。令 h 为可交换李代数 K。映射λ ↦ λ D (λ ∈ K)是将h同态转化为g推导李代数。我们通过g半直接h形式相应的半直接乘积t。令 x₀ 为 t 的元素 (0, 1)。对于所有 x ∈ g、Dx = [x₀, x]。 ↩ 2 09U3
例 2 令g是K上的李代数，M是K模，ρ同态是g的𝔤𝔩(M)。如果将M视为可交换的李代数，则M的推导的李代数为𝔤𝔩(M)。因此，我们可以将g的形式半直接乘积h乘以M相应的到ρ。 ↩ 2 09U4

§ 2. 。包络代数的李代数

定义 1 令g为K之上的李代数，K模g的T张量代数和J生成的T的两侧理想张量x ⊗ y - y ⊗ x - [x, y]其中x ∈ g, y ∈ g。结合律代数 U = T/J 称为 g 的包络代数。 T的典范映射到限制到g到U称为g到典范映射到U。 ↩ 1 09UW
命题 1 令 σ 为 g 到代数 L 与单位元的α 映射。存在且仅有一个 U 的同态 τ 到 L，映射 1 比 1，这样 σ = τ ∘ σ₀，其中 σ₀ 表示 g 的典范映射到 U。 ↩ 6 09UX
命题 2 同态φ为代数同构 ↩ 1 09UY
命题 3 令h为g、g的p典范同态到g/h和W的理想，g/h的包络代数。同态: tildep: U → W 规范地定义p是满射，其核是由σ(h)生成的U的理想R。 09UZ
命题 4 同态 φ 是 V 的同构到 U⁰。 09V0
命题 5 T到G的映射φ是代数同态映射1比1，并且是张量x ⊗ y - y ⊗ x（x ∈ g, y ∈ g）生成的双面理想上的零。 09V1
命题 6 如果K是诺特并且g是有限生成模，则环U是正确的并且左诺特的。 ↩ 1 09V2
推论假设 K 为域并且 g 是 K 上的有限维。令 I₁, ..., Iₘ 为 U 中有限余维的右（或左）理想。则乘积理想I₁I₂...Iₘ 等于有限余维。 ↩ 1 09V3
注设g'在环K上为另一个李代数，U'其包络代数，过滤≤ nU'元素U'n集合和U^n(resp.U'^n)集合典范像在阶 n 的 g（分别为 g'）的齐次对称张量的 U（分别为 U'）中。令η为g到g'的同态，并令tildeη为U到U'的相应的同态。然后 09V4
定理 1 令 g 为谎言 K-代数，U 为其包络代数，G 为与过滤后的代数 U 相关的分级代数，S 为 K-模 g 的对称代数。如果 g 为自由K-模，则典范同态 ω : S → G 为同构。 ↩ 6 09V5
引理 1 对于每个整数p ≥ 0，K-模g ⊗_K Pₚ中存在唯一同态fₚ进入K-模P满足以下条件： beginalign* (Aₚ) & fₚ(x_λ ⊗ z_M) = z_λ z_M for λ ≤ M, z_M ∈ Pₚ; \\ (Bₚ) & fₚ(x_λ ⊗ z_M) - z_λ z_M ∈ P_q for z_M ∈ P_q, q ≤ p; \\ (Cₚ)… ↩ 1 09V6
引理 2 存在g到L_K(P)的α映射σ，使得： ↩ 1 09V7
引理 3 令Tₙ ∩ J中的t为张量。阶nt的齐次分量tₙ在典范同态T → S的核I中。 09V8
推论 1 假设 g 是一个免费的 K 模块。令 W 为 Tⁿ 的子 K 模。 ↩ 3 09V9
推论 2 如果 g 是自由K-模，则 g 的典范映射进入其包络线代数是单射的。 09VA
推论 3 如果g承认包络代数U的全序基(x_λ)_λ ∈ Λ、元素x_λ₁ x_λ₂ … x_λₙ，其中(λ₁, …, λₙ)是元素的任意递增有限序列 Λ、形式基共 K-模 U。 ↩ 4 09VB
推论 4 令 S'ⁿ ⊂ Tⁿ 为阶 n 的齐次对称张量的集合。假设K是特征0的域，那么典范映射的复合映射 ↩ 2 09VC
推论 5 令h为李代数g的子代数和U'其包络代数。假设K-模块h和g/h是免费的（对于例，如果K是域）。设(x_α)_α ∈ L为h的基，(y_β)_β ∈ M为g的元素的家庭，其典范像在g/h形式基为g/h。 ↩ 1 09VD
推论 6 假设K-模块g是直和/子代数g₁, g₂, …, gₙ，并且每个gᵢ都是一个免费的K-模块。令 Uᵢ 为 gᵢ (1 ≤ i ≤ n) 的包络代数。令φ为K模块U₁ ⊗_K ⋯ ⊗_K Uₙ到U的K线性映射，由U₁ × ⋯ × Uₙ到U的多线性映射(u₁, …, uₙ) ↦ u₁ … uₙ定义。那么φ是一个K模块同构。 ↩ 2 09VE
推论 7 如果 K 为整环并且 g 为自由K-模，则代数 U 没有零的除子。 ↩ 2 09VF
引理 4 设 V 为 K-模，T 张量代数为 V。让你成为V中的自同态。 T 中存在且仅有一个推导，其中扩展 u。这个推导与 T 上的对称算子交换。 ↩ 1 09VG
命题 7 Let g be a Lie algebra, U its enveloping algebra, σ the canonical mapping of g into U and D a derivation of g. (a) There exists one and only one derivation D_U of U such that σ ∘ D… ↩ 1 09VH

§ 3. 。表示

定义 1 令g为李代数超过K且M为K模。 g的同态进入李代数gl(M)在模M上称为g的表示。单射表示称为忠实的。如果K是域，M超过K的维数（有限或无限）被称为表示的维数。 K模g上g的表示x ↦ ad x称为g的伴随表示。 ↩ 1 09VS
例设 G 为实李群，g 为李代数，θ 为 G 在有限维实数向量空间 E 上的解析表示。那么 g 的相应的同态到 gl(E) 中就是 g 在 E 上的表示。 09VT
定义 2 设 g 为 K 上的李代数，U 为它的包络线代数。 U 上的酉左模称为左 g 模，或简称为 g 模。 09VU
命题 1 设 g 为 K 上的李代数，且 a 为 g 的理想值。设 M 为 g 模块，N 为简单的 a 模块。将M视为a模块，并假设M的子a模块中的集合是纯类N承认极大元素M'。那么M'是M的子g模块。 ↩ 1 09VV
推论令 g 为李代数超过 K，并且 a 为 g 的理想值。令 M 为简单的 g 模块，有限长度为 K 模块。存在一个简单的a-模块N，使得M是类N的纯a-模块。 ↩ 1 09VW
命题 2 令g是李代数超过K和Mᵢ一个g模（1 ≤ i ≤ n）。在张量积 M₁ ⊗_K M₂ ⊗ ⋯ ⊗ Mₙ 上，存在且仅有一个 g 模块结构，使得 ↩ 1 09VX
命题 3 设g是李代数超过K和Mᵢ一个g模（1 ≤ i ≤ n + 1）。令N为∏ᵢ₌₁ⁿ Mᵢ到Mₙ₊₁的多线性映射的K模L_K(M₁, …, Mₙ; Mₙ₊₁)。 N 上存在且仅有一个 g 模块结构，使得 ↩ 1 09VY
命题 4 令M₁, M₂为两个g模块。典范的 K 线性映射（代数、章 II, § 4, no. 2、命题 2 和 no. 1、命题 1）： ↩ 6 09VZ
例 1 令g为李代数超过K，并且M为g模。 M 上的g-模块结构和K 定义上的普通g-模块结构以及M 上双线性形式的K-模块N = L(M, M; K) 上的g-模块结构。然后 ↩ 1 09W0
例 2 我们保留例 1 的记号。 09W1
定义 3 令g为李代数，且M为g模。如果 x_M · m = 0 对于所有 x ∈ g，元素 m ∈ M 被称为不变性（相对于 M 上的 g 模块结构或相对于 g 的相应的表示）。 ↩ 1 09W2
例 1 令M, N为两个g模块和P = L_K(M, N)。为了使P的元素f保持不变，根据(6)，f是g-模块M到g-模块N的同态是必要且充分的。特别是，如果M = N和x_M = x_N对于所有x ∈ g，当且仅当f可与x_M置换时，f是不变的。 ↩ 2 09W3
例 2 设 M 为 K-模，且基有限。如果M具有g模结构，则L(M, M)和M^* ⊗ M具有g模结构，并且M^* ⊗ M到L(M, M)的典范映射是g模同构（命题4）。由于1 ∈ L(M, M)显然是一个不变量（cf.例1），M^* ⊗ M的相应的元素u是一个不变量。如果(eᵢ)_1 ≤ i ≤ n是M的基并且(eᵢ^*)_1 ≤ i ≤ n是对偶基，我们有u =… ↩ 1 09W4
例 3 设 M 为 g 模。令 M 上的 β 为双线性形式，并且 L(M, M^*) 的 f 相应的元素。为了使β保持不变，f是g模同态（命题4和例1）是充分必要的。假设 K 为域且 dim_K M < +∞。 g 模块 M 的 M 定义同构上的非简并不变双线性形式 β 到 g 模块 M^* 上，因此 g 模块 M ⊗ M 的同构到 g 模块 M^* ⊗ M 上。因… ↩ 1 09W5
命题 5 设g是谎言K-代数，h是g的理想，g在M上的ρ表示以及ρ到h的ρ'限制。那么M关于ρ'的不变量的元素的集合N在ρ(g)下是稳定的。 ↩ 3 09W6
命题 6 设 M 为半单 g 模。那么M的不变量元素的子模M₀承认唯一一个在x_M下稳定的补充，即由x_M.m（x ∈ g, m ∈ M）生成的子模M₁。 ↩ 5 09W7
命题 7 令g为李代数，β为g上的不变对称双线性形式，而a为g的理想。 ↩ 2 09W8
定义 4 令g为李K代数，M为g模。假设 M 被视为 K 模，承认有限的基。与g模块M（或与相应的表示）相关联的双线性形式是g上的对称双线性形式(x, y) ↦ Tr(x_M y_M)。如果所讨论的表示是伴随表示，则相关的双线性形式称为g的杀戮形式。 09W9
命题 8 令g为李代数，且M为g模块。假设 M 被视为 K 模，承认有限的基。与 M 相关的双线性形式是不变的。 09WA
命题 9 假设 K 是域并且李代数 g 是超过 K 的有限维。令a为g的理想，β为g的杀戮形式，以及β'为a的杀戮形式。那么β'就是β到a的限制。 ↩ 1 09WB
命题 10 假设K是域并且李代数g是K上的有限维。 g的杀戮形式β是完全不变的。 ↩ 1 09WC
命题 11 设g为域K之上的李代数，U其包络代数，h为g和β不变双线性形式的有限维理想g，其限制到h是非简并的。令(eᵢ)_1 ≤ i ≤ n, (e'ⱼ)_1 ≤ j ≤ n为h的两个基，使得β(eᵢ, e'ⱼ) = δᵢⱼ。那么U属于的元素c = ∑ᵢ₌₁ⁿ eᵢ e'ᵢ到U的中心并且独立于基(eᵢ)的选择。 ↩ 1 09WD
命题 12 令 g 为域 K 上的李代数，h 有限维 n 的 g 的理想以及有限维的 M g 模在 K 上。令 c 为与 M 和 h 相关的卡西米尔元素（假定存在）。 ↩ 3 09WE
命题 13 令K为K的域、K₁扩张、g一个李K代数和M, NK上有限维的两个g模。如果 M_(K₁) 和 N_(K₁) 是同构 g_(K₁) 模块，则 M 和 N 是同构 g 模块。 ↩ 1 09WF

§ 4. 。幂零李代数

定义 1 如果存在 g 与 g₀ = g, gₚ = 0 的理想 (gᵢ)_1 ≤ i ≤ p 递减有限序列，李代数 g 称为幂零，使得 [g, gᵢ] ⊂ gᵢ₊₁ 对于 0 ≤ i < p。 ↩ 3 09WS
命题 1 令g为李代数。以下条件是等效的： (a) g 幂幂； (b) Cᵏ g = 0 对于足够大 k； (c) Cₖ g = g 对于足够大 k； (d) 存在整数 k 使得 ad x₁ ∘ ad x₂ ∘ ⋯ ∘ ad xₖ = 0 对于所有元素 x₁, x₂, …, xₖ 在 g； (e) 存在递减序列个理想 (gᵢ)_0 ≤ i ≤ n 的 g 与 g₀ =… ↩ 5 09WT
推论 1 非零幂零李代数的中心是非零。 09WU
推论 2 杀死幂零李代数的形式是零。对于幂零李代数中的所有x和y，ad x ∘ ad y都是幂零的，因此零迹。 09WV
命题 2 子代数、幂零李代数的商代数和中心扩张是幂零的。 A finite product of nilpotent Lie algebras is a nilpotent Lie algebra. Let g be a Lie algebra, g' a subalgebra of g, 𝔥 an ideal of g, 𝔨 = g/𝔥 and φ the cano… ↩ 1 09WW
命题 3 令g为幂零李代数且g的𝔥子代数与g不同。 g 中𝔥的归一化器与𝔥不同。令k为最大的整数，使得Cᵏ g + 𝔥 ≠ 𝔥。然后 [Cᵏ g + 𝔥, 𝔥] ⊂ Cᵏ⁺¹ g + 𝔥 ⊂ 𝔥 因此g包含于Cᵏ g + 𝔥中的𝔥标准化。 ↩ 3 09WX
引理 1 令 V 为向量空间超过 K。如果x是V的幂零自同态，L(V)的映射y ↦ [x, y]到L(V)是幂幂的。如果f表示该映射，则fᵐ(y)与i + j = m为形式± xⁱ y xʲ项和。如果xᵏ = 0，则f²ᵏ⁻¹(y) = 0适用于所有y。 ↩ 2 09WY
定理 1（恩格尔） 设V是K上的向量空间，g是𝔤𝔩(V)的有限维子代数，其元素是V的幂零自同态。如果V ≠ 0，V中存在u ≠ 0，使得x.u = 0对于所有x ∈ g。 ↩ 5 09WZ
推论 1 For a Lie algebra g to be nilpotent, it is necessary and sufficient that, for all x ∈ g, ad\ x be nilpotent. ↩ 2 09X0
推论 2 设 g 为李代数，h 为 g 的理想。假设 g/h 是幂零的，并且对于所有 x ∈ g，ad\ x 到 h 的限制是幂零的。那么 g 是幂零的。 09X1
推论 3 令V为向量空间，g为𝔤𝔩(V)的有限维子代数，其元素为V的幂零自同态。那么 g 就是幂零李代数. ↩ 1 09X2
例代数 𝔫(n, K) (§ 1, no. 2, 例 2 (3)) 幂零。 09X3
引理 2 设 g 为李代数，g 的一个理想，M 是一个简单的 g 模。如果对于所有 x ∈ a,\ x_M 都是幂零的，那么 x_M = 0 对于所有 x ∈ a. ↩ 3 09X4
引理 3 设g为李代数，g的一个理想，M为有限维的g模 ↩ 2 09X5
命题 4 令g为李代数，M为有限维在K上的g模，A由x_M（x ∈ g）的1和集合生成的关联代数。 ↩ 5 09X6
定义 2 命题 4 的理想n称为g模M的最大的幂零理想或相应的表示的最大的幂零理想。 ↩ 1 09X7
命题 5 令V是K上有限维n的向量空间，并且g是gl(V)的李子代数，其元素是V的幂零自同态。那么存在向量子空间 V₀, V₁, …, Vₙ V 、维数 n, n-1, …, 0 的递减序列，使得x(Vᵢ) ⊂ Vᵢ₊₁ 对于所有x ∈ g 和i = 0, 1, …, n-1。 09X8
命题 6 令 g 为李代数，E 为由 1 和 ad_g x (x ∈ g) 生成的 L(g) 的关联子代数。 Let R be the Jacobson radical of E. (a) The set n of y ∈ g such that ad_g y ∈ R is the largest nilpotent ideal of g. (b) It is ort… ↩ 1 09X9

§ 5. 。可解李代数

定义 1 如果李代数g的第k个派生代数Dᵏ g对于足够大k来说是零，则称为可解。 09Y1
命题 1 子代数和可解李代数的商代数是可解的。可解代数与可解代数的每个扩张都是可解的。可解代数的每个有限乘积都是可解的。 ↩ 3 09Y2
命题 2 令g为李代数。以下条件是等效的： ↩ 2 09Y3
定义 2 李代数的根式是它的最大的可解理想。 ↩ 1 09Y4
命题 3 李代数g的根式r是g的最小的理想，使得g/r有根式0。 ↩ 2 09Y5
命题 4 令g₁, …, gₙ为李代数。 gᵢ的乘积的部首r是gᵢ的部首rᵢ的乘积。 ↩ 1 09Y6
定义 3 令g为李代数。 g的幂零根式是g的有限维简单表示的核的交。 09Y7
注 (1) 设s为g的幂零根。由于g的向量子空间的每个递减序列都是平稳的，因此存在g的有限维简单表示的有限数，其核有交s。 09Y8
引理 1 令 V 为 K 上的有限维向量空间，gl(V) 的 g 子代数，使得 V 是一个简单的 g 模，并且是 g 的交换理想。然后a ∩ Dg = 0。令 S 为由 1 和 a 生成的 L(V) 的子代数。 ↩ 1 09Y9
定理 1 设 g 为李代数，r 为其根式，s 为幂零根式。然后s = Dg ∩ r。 ↩ 10 09YA
推论 1 设g为可解李代数。 g 的幂零根是Dg。如果ρ是g的有限维简单表示，ρ(g)是可交换的，并且由1和ρ(g)生成的结合律代数L是K上有限次数的域。 ↩ 2 09YB
推论2（谎言的定理） 设g为可解李代数；假设 K 是代数封闭的。令M为有限维在K上的g模，并令(Mᵢ)_0 ≤ i ≤ r为M的Jordan-Hölder级数。那么，对于1 ≤ i ≤ r，Mᵢ₋₁/Mᵢ 是K 上的维数 1，对于所有x ∈ g，x_Mᵢ₋₁/Mᵢ = λᵢ(x) · 1，其中λᵢ 是g 上的线性形式，Dg 上是零。特别是，有限维超过K的每个简单g模实际上是维数… ↩ 2 09YC
注 (1) 如果将(Mᵢ)_0 ≤ i ≤ r替换为M的另一个Jordan-Hölder级数，序列(λ₁, …, λᵣ)替换为形式(λ_π(1), …, λ_π(r))的序列，其中π为置换 1, …, r，如下来自 Jordan-Hölder 定理。 ↩ 2 09YD
推论 3 假设 K 是代数闭的。如果g是r维可解李代数，则g的每个理想都是维数r, r-1, …, 0的理想的递减序列中的项。 09YE
推论 4 假设K = R。设g为可解李代数。 g 的每个简单表示都是维数 ≤ 2。 g 的每个理想都是递减序列 (gᵢ)_0 ≤ i ≤ m 理想中的项，使得 g₀ = g, gₘ = 0, dim gᵢ₋₁/gᵢ ≤ 2 (1 ≤ i ≤ m)。 09YF
推论 5 要使李代数 g 可解，Dg 幂零是充分必要的。 ↩ 2 09YG
推论 6 令φ为李代数g中的有限维表示。令 r 为g 的根式。每个元素x ∈ r使得ρ(x)是幂零属于到最大的ρ的幂零理想n。 ↩ 3 09YH
推论 7 设 g 为李代数，r 为其根式。以下四个集合是相同的： (a) g 的最大的幂零理想； (b) r 最大的幂零理想； (c) x ∈ r的集合使得ad_g x幂零； (d) x ∈ r 的集合使得 adᵣ x 幂零。 09YI
引理 2 令x为有限维向量空间V的自同态，并且s（分别为n）其半单（分别为幂零）分量（cf.代数、章VIII, § 9, no. 4、定义4）。令ad x, ad s, ad n为x, s, n在𝔤𝔩(V)的伴随表示中各自的像。那么ad s（或ad n）是ad x的半单（或幂幂）分量，并且等于ad x中的多项式，系数为K且没有常数项。 ↩ 2 09YJ
引理 3 设M为有限维向量空间，A和B为𝔤𝔩(M)的两个向量子空间，使得B ⊂ A，并且T为t ∈ 𝔤𝔩(M)的集合，使得[t, A] ⊂ B。如果z ∈ T对于所有u ∈ T来说Tr(zu) = 0是这样的，那么z是幂零的。 ↩ 2 09YK
定理 2（嘉当准则） 设 g 为 M 上 g 的李代数、M 有限维向量空间、ρ 表示，以及与 ρ 相关的 g 上的 β 双线性形式。那么 ρ(g) 是可解的当且仅当 Dg 相对于 β 与 g 正交。 ↩ 1 09YL
命题 5 设 g 为李代数，r 为根式。 (a) 如果 ρ 是 g 的有限维表示，且 β 是关联的双线性形式，则 r 和 Dg 相对于 β 正交。 (b) r 是 Dg 相对于 Killing 形式的正交。设 x, y 为 g，z ∈ r。然后[y, z] ∈ Dg ∩ r，因此 β([x, y], z) = β(x, [y, z]) = 0 （定理1）。因此(a)… ↩ 4 09YM
推论 1 设g为李代数。那么 g 是可解的当且仅当 Dg 相对于 Killing 形式与 g 正交。 09YN
推论 2 李代数 g 的根式 r 是一个特征理想。 ↩ 2 09YO
推论 3 设 g 为李代数，r 为 g 的根式，a 为 g 的理想。那么a的根式就等于r ∩ a。 ↩ 3 09YP
命题 6 设g为李代数，r为根式，n为最大的幂零理想。 g 映射 r 的每个推导转化为 n。 09YQ
推论最大的李代数的幂零理想是特征理想。 09YR
注总结上面的一些结果，注，若r、n、s、t分别表示g的根、最大的g的幂零理想、g的幂零根以及g相对于Killing形式的正交，则 09YS

§ 6. 。半单李代数

定义 1 设g为李代数。 g 称为半单当且仅当 g 的唯一交换理想是 {0}。 ↩ 1 09ZA
注 (1) 代数 {0} 为半单。维数 1 或 2 中的代数不是半单（cf. § 5, no. 1，例 1）。存在维数 3 个（cf. no. 7）中的半单代数。 09ZB
定理 1 设g为李代数。以下条件是等效的： ↩ 5 09ZC
推论设g为有限维向量空间V上g的半单李代数和ρ表示。然后ρ(g) ⊂ 𝔰𝔩(V). 09ZD
命题 1 令g为半单李代数且φ为g的有限维忠实表示。那么与φ相关的g上的双线性形式是非简并的。 ↩ 9 09ZE
推论 1 令g为李代数，β其杀戮形式和a半单g的子代数。 a相对于β的正交h是g和[a, h] ⊂ h中a的补充子空间。如果a是g的理想，那么h也是a在g的中心化子。 ↩ 4 09ZF
推论 2 半单李代数到半单李代数的每一个扩张都是半单并且微不足道。 ↩ 1 09ZG
推论 3 如果g是半单，则g的每一个推导都是内部。 ↩ 1 09ZH
引理 1 令 g 为半单李代数。 g 的伴随表示是半单。每个理想和g的每个商代数都是半单。 ↩ 2 09ZI
引理 2 令g为李代数。那么下面两个条件是等价的： (a) g 的所有有限维线性表示均为半单。 (b) 给定余维 1 上 g 的线性表示 φ 和有限维向量空间 V 和向量子空间 W，使得 ρ(x)(V) ⊂ W 对于所有 x ∈ g，存在一条 W 的补充线，该线在ρ(g)（因此被ρ(g)消灭）。 ↩ 2 09ZJ
引理 3 令 g 为余维 1 的有限维向量空间 V 上 g 的半单李代数、ρ 线性表示和 V 的 W 子空间，使得所有 x ∈ g 都有 ρ(x)(V) ⊂ W。则存在W的补充线，其在ρ(g)下稳定。 ↩ 2 09ZK
定理 2（H.韦尔） 半单李代数的每个有限维线性表示都是完全可约的。 ↩ 5 09ZL
定义 2 李代数 g 被称为简单的，如果 g 的唯一理想是 {0} 和 g 并且如果进一步的 g 是不可交换的。 ↩ 1 09ZM
命题 2 为了使李代数g成为半单，它是单代数中的乘积是必要且充分的。 09ZN
推论 1 半单李代数是其简单理想gᵢ的乘积。 g 的每个理想都是 gᵢ 中某些的乘积。 ↩ 1 09ZO
推论 2 设g、g'是两个李代数、r和r'它们的部首，并且g的f同态到g'。然后r' = f(r). 09ZP
注 (1) 定理 2 承认逆命题：如果g的每个有限维表示都是半单，则g是半单。因为由于伴随表示是半单，g的每个理想都承认一个补充理想，因此可以被视为g的商。如果 g 不是半单，则 g 承认非零交换商，因此商为维数 1。现在维数 1 的李代数 K 承认非半单表示，对于例 09ZQ
命题 3 设 M 大于 K 的有限维向量空间且g 半单子代数 𝔤𝔩(M)。然后 g 包含半单及其元素的幂零分量。 ↩ 2 09ZR
推论 g 的元素 x 是 M 的半单（幂零的）自同态当且仅当 ad_g x 是 g 的半单（幂幂）自同态。 ↩ 2 09ZS
定义 3 设g为半单李代数。 g 的元素 x 称为半单（幂零的），如果对于 K 上有限维的每个 g 模 M，x_M 是 M 的半单（幂幂）自同态。 ↩ 1 09ZT
命题 4 设 g、g' 为半单李代数，g 的 f 同态为 g'。如果 x ∈ g 是半单（或幂零），那么 f(x) 也是。如果 f 是满射，则 g' 的每个半单（幂零的）元素在 g 的半单（幂幂）元素的 f 下都是像。 ↩ 3 09ZU
定理 3 设g为半单李代数。 ↩ 5 09ZV
定义 4 如果伴随表示是半单，李代数称为约简。 ↩ 1 09ZW
命题 5 设g为李代数，r为其根式。以下条件是等效的： (a) g 是还原的。 (b) Dg 是半单。 (c) g是半单代数和交换代数中的乘积。 (d) g 具有有限维表示，因此相关的双线性形式是非简并的。 (e) g 有忠实的半单有限维表示。 (f) g的幂零根是零。 (g) r 是 g 中的中心。 ↩ 8 09ZX
注如果李代数 g 可以分解为交换律李代数 a 和半单李代数 b 的乘积 a × b，则这个分解是唯一的。更准确地说，g 的中心等于 a 和 b 的中心的乘积，因此等于 a。还有Dg = Da × Db = b。 ↩ 1 09ZY
推论 (a) 约化代数的每个有限乘积都是约约代数。 (b) 如果 g 是中心 c 的还原李代数，则 g 的每个理想都是直因子、其交与 c 和 Dg 的乘积，并且是还原的李代数。 (c) 约化李代数的每个商都是约约李代数。 ↩ 2 09ZZ
命题 6 设g为李代数，r为其根式，s为幂零根式。（一）s = [g, r] = Dg ∩ r。 (b) s 是 g 相对于与 g 的有限维表示相关的双线性形式的正交线的交。 ↩ 5 0A00
推论令g, g'为李代数，s（分别为s'）g（分别为g'）和g的f同态到g'的幂零根。 (a) 那么s' = f(s)。 (b) g' 是可还原的当且仅当 f 包含 s 中的核。 ↩ 1 0A01
定理 4 令g为李代数，r其部首，g、g' = ρ(g)和r' = ρ(r)的ρ有限维表示。那么下面的条件是等价的： (a) ρ 为半单； (b) g' 是还原性的，其中心由半单自同态组成； (c) r' 由半单自同态组成； (d) ρ至r中的限制为半单。 ↩ 10 0A02
推论 1 令g为李代数，并且ρ和ρ'为g的两个有限维半单表示。那么ρ和ρ'的张量积就是半单。 ↩ 4 0A03
推论 2 令g为g的李代数、ρ半单表示在有限维向量空间V、T和S张量以及对称的代数 T 和S 上的g 的V 和σ_T、σ_S 表示规范地源自ρ。那么σ_T和σ_S就是半单，更准确地说，是有限维简单表示的直和。 ↩ 1 0A04
推论 3 令g为李代数和ρ和ρ'在空间M和M'上g的两个有限维半单表示。那么L_K(M, M')上g的表示规范地源自ρ和ρ'是半单。 ↩ 2 0A05
推论 4 令g为李代数，a为g的理想，ρ半单表示为g。 (a) ρ 至a 中的限制 ρ' 为半单。 (b) 如果ρ是简单的，ρ'是简单的表示的和同构于1另一个。 0A06
定义 5 令g为李代数，且h是g的谎言子代数。如果h的表示x ↦ ad_g x是半单，h在g中被称为约简。 0A07
命题 7 令g在向量空间V和W上约化g的g、ρ表示、李代数、h子代数 V 的有限维子空间的和是简单的h 模块。那么W稳定在ρ(g)以下。 ↩ 3 0A08
推论 1 令g为李代数，𝔥子代数约化于g和ρ，g的有限维半单表示。那么ρ到𝔥的限制就是半单。 ↩ 3 0A09
推论 2 令g在g中还原为李代数，𝔥子代数还原，并在𝔥中还原𝔥的𝔨子代数。那么 𝔨 就可以还原为 g。 ↩ 1 0A0A
命题 8 令V为有限维向量空间。那么 gl(V) 是还原的。它的中心是V同位的集合，它的派生代数是sl(V)，后者是半单。 ↩ 1 0A0B
例我们将认同sl(K²)和阶2的矩阵李代数追踪零。我们写 ↩ 1 0A0C
命题 9 令 V 为 K 上有限维 n 的向量空间，且 β 为 V 上的非简并对称（分别为交错的）双线性形式。令 g 为 x ∈ gl(V) 的李代数由……组成，使得 β(xm, m') + β(m, xm') = 0 对于 V 中的所有 m、m'。那么 g 是还原的； g 是偶数半单，除非 β 是对称且 n = 2 的情况。 ↩ 2 0A0D
定义 6 g的特殊自同构是形式e^ad x的g自同构，其中x在g的幂零根中。 ↩ 2 0A0E
定义 7 设g为李代数，r为其根式。 g 的 Levi 子代数是 g 的任意子代数对 r 的补充。 ↩ 2 0A0F
定理 5（列维-马尔切夫） 李代数g总是有李维斯子代数s。每个 Levi 子代数 g 是 s 中的像在特殊的自同构下。 ↩ 7 0A0G
推论 1 令 s 为 g 的 Levi 子代数和 g 的 h 半单子代数。 (a) 在 s 的子代数上存在 g 映射 h 的特殊自同构。 (b) h 包含在 g 的 Levi 子代数中。 ↩ 2 0A0H
推论 2 为了使g的子代数h成为g的列维子代数，h是g的最大半单子代数是必要且充分的。 0A0I
推论 3 令 g 为李代数，m 为 g 的理想值，使得 g/m 为半单。然后将 g 包含子代数补充到 g 中的 m 中。在其他字中，半单李代数中的每个扩张都是无关紧要的。 ↩ 1 0A0J
推论 4 设g为李代数，r为根式，s为g的列维子代数，m为g的理想。那么 m 是其根式 m ∩ r 的直和，m ∩ s 是 m 的 Levi 子代数。 0A0K
引理 4 令ρ, σ, τ为向量空间M, N, P上g的表示。假设我们在 P 中得到了 M × N 的 K 双线性映射 (m, n) ↦ m.n，使得 ↩ 1 0A0L
引理 5 进一步假设 σ 和 τ 为半单，因此 N（分别为 P）为 N_δ（分别为 P_δ）的直和。对于所有n ∈ N（或p ∈ P），令n^natural（或p^natural）为其在N₀（或P₀）中的分量。让m₀ ∈ M₀。然后对于所有n ∈ N，(m₀.n)^natural = m₀.n^natural。 ↩ 2 0A0M
定理 6 令g为李代数、V半单g-有限维在K、S的模V和x_S的对称代数推导 / S 其中扩展 x_V（因此 x ↦ x_S 是 S 上的 g 表示）。 ↩ 1 0A0N

§ 7. 。阿多的定理

定义 1 令g为李代数，g的g'子代数以及V'上g'的ρ'表示。如果g'模块的单同态存在于g'模块V中，则V上g的表示ρ称为ρ'到g的扩张。我们还说，g-模块V是g'-模块V'的扩张。 0A1F
定理 1（扎森豪斯） 令g = g' + h为李代数，即理想g'的直和和g'的子代数h和ρ'有限维表示，其最大的幂零理想包含 [h, g']。 ↩ 4 0A1G
引理 1 令g = g' + h为李代数，即理想的g'和子代数h的和。令 σ 为 g 的有限维表示。假设σ(x)对于所有x ∈ g'和所有x ∈ h都是幂零的。那么σ(x)对于所有x ∈ g来说是幂幂的。 0A1H
命题 1 设g为李代数，n其最大的幂零理想，ag和ρ有限维表示为a，使得每元素 ρ(a) 幂零。然后ρ承认有限维扩张σ到g，使得σ(n)的每个元素都是幂零的。 ↩ 1 0A1I
定理 2 每个李代数都有一个有限维忠实的线性表示。 ↩ 2 0A1J
定理 3（废话） 设g为李代数，n其最大的幂零理想。存在 g 的有限维忠实表示 φ，使得 φ(n) 的每个元素都是幂零的。 0A1K

II. 免费李代数

§ 2. 。免费李代数

定义 1 免费李代数除以集合X是商代数 L(X) = Lib(X)/a, 其中 a 是由形式之一的元素生成的 Lib(X) 的两侧理想 (1) Q(a) = a.a for a in Lib(X), (2) J(a, b, c) = a.(b.c) + b.(c.a) + c.(a.b) Lib(X) 中的 a, b, c。 ↩ 1 0A2Q
命题 1 令ψ为Lib(X)的典范映射到L(X)以及ψ到X的φ限制。对于X到李代数g的每一个映射 f，存在且仅有一个同态 F：L(X) → g使得f = F ∘ φ。 ↩ 7 0A2R
推论 1 家庭(φ(x))_x ∈ X在L(X)中比K免费。 ↩ 3 0A2S
推论 2 令a为李代数。 L(X) 到 a 的每一个扩张都是无关紧要的。 ↩ 1 0A2T
注当X为空时，M(X)为空，因此L(X) = 0。如果X由单个元素x组成，L(X)的子模K.x是子代数的谎言 0A2U
命题 2 令X和Y为两个集合。每个映射u : X → Y都可以唯一地扩展到李代数同态L(u) : L(X) → L(Y)。对于每个映射 v : Y → Z，L(v ∘ u) = L(v) ∘ L(u)。 ↩ 1 0A2V
推论如果 u 是单射（分别是满射、双射的），则 L(u) 也是。 0A2W
命题 3 令K'为非零交换环和u : K → K'环同态。对于每一个集合 X 都存在且仅有一个李 K'-代数同态 ↩ 1 0A2X
注令𝔥'为李K'代数，𝔥为李K-代数，通过限制标量环从𝔥'导出。如果P ∈ L_K(X)，我们可以定义tildeP : 𝔥^X → 𝔥（no. 4）。我们立即看到 0A2Y
引理 1 定义 1 的理想a 已分级。对于 Lib(X) 中的a, b，设 B(a, b) = a.b + b.a。公式 (10) B(a, b) = Q(a + b) - Q(a) - Q(b) (11) Q(λ₁.w₁ + ⋯ + λₙ.wₙ) = ∑ᵢ λᵢ² Q(wᵢ) + ∑_i < j λᵢ λⱼ B(wᵢ, wⱼ) 对于M(X)中的w₁, …, wₙ… 0A2Z
命题 4 令 S 为 X 的子集。如果N^(S)与N^(X)中的典范像进行识别（代数，章I, § 7, no. 7），则L(S) = ∑_α ∈ N^(S) L^α(X)。此外，对于所有α ∈ N^(S)，L(S)上的多级化下次数α的齐次分量等于L^α(X)。 ↩ 3 0A30
推论对于(Sᵢ)_i ∈ I子集X的每个家庭， L(⋂_i ∈ I Sᵢ) = ⋂_i ∈ I L(Sᵢ). 这是从命题 4 和明显的公式得出的 N^(S) = ⋂_i ∈ I N^(Sᵢ) 我们写了S = ⋂_i ∈ I Sᵢ。 0A31
命题 5 令g为李代数，且P为g的子模。我们将g的定义子模Pₙ乘以公式P₁ = P，将Pₙ₊₁ = [P, Pₙ]乘以n ≥ 1。然后 [Pₘ, Pₙ] ⊂ Pₘ₊ₙ, Pₙ = ∑ₚ₌₁ⁿ⁻¹ [Pₚ, Pₙ₋ₚ] for n ≥ 2. 我们通过m上的归纳证明(18)。案例m = 1是显而易见的。由雅可比恒等式， [[P, Pₘ], Pₙ] ⊂ [Pₘ, [P, P… ↩ 1 0A32
命题 6 令g为李代数，(Cⁿ g)_n ≥ 1为g的下中央级数。然后 [Cᵐ g, Cⁿ g] ⊂ Cᵐ⁺ⁿ g for m ≥ 1 and n ≥ 1. 0A33
命题 7 Let X be a set and n an integer ≥ 1. (a) Lⁿ⁺¹(X) = [L¹(X), Lⁿ(X)]. (b) The module Lⁿ(X) is generated by the elements [x₁, [x₂, …, [xₙ₋₁, xₙ] …]] where (x₁, …, xₙ) runs through the… ↩ 2 0A34
推论设g为李代数，(xᵢ)_i ∈ I生成的为g的族。 g的下中央级数的第n第项Cⁿ g是模，由p ≥ n的迭代括号[x_i₁, [x_i₂, …, [x_iₚ₋₁, x_iₚ] …]]和I中的i₁, …, iₚ生成。让f是L(I)到g的同态，这样f(i) = xᵢ对于所有i ∈ I。作为(xᵢ)_i ∈ I生成g、g = f(L(I))、从而Cⁿ g = f… 0A35
命题 8 令X为集合，令M为L(X)模块，令d为X到M的映射。 L(X)到M延伸d和满足关系存在且仅有一个线性映射D： D([a, a']) = a.D(a') - a'.D(a) for a, a' in L(X). 我们通过括号将定义李代数 g 与底层模 M × L(X) 一起使用 [(m, a), (m', a')] = (a.m' - a'.m, [a, a'… 0A36
推论 X的每个映射到L(X)都可以唯一地扩展到L(X)的推导。 ↩ 1 0A37
命题 9 令S₁和S₂为S₁ × S₂的两个不相交的集合和d映射到L(S₂)。令g为元素[s₁, s₂] - d(s₁, s₂)与s₁ ∈ S₁, s₂ ∈ S₂生成的理想与L(S₁ ∪ S₂)的商李代数；设ψ是L(S₁ ∪ S₂)的典范映射到g。 ↩ 1 0A38
命题 10（消除定理） 设X为集合，X的S子集和序列(s₁, …, sₙ, x)的T集合，其中n ≥ 0, s₁, …, sₙ在S中，x在X- S.† ↩ 1 0A39
推论让y ∈ X。自由李代数L(X)是自由子模K.y和谎言子代数的直和，承认((ad\ y)ⁿ, z)的家庭为基本家庭，其中n geqslant 0和z ∈ X - y。 ↩ 2 0A3A
定义 2 大厅集合相对于X为M(X)满足以下条件总共有序子集H： (A) 如果 u ∈ H, v ∈ H 和 l(u) < l(v)，则 u < v。 (B) X ⊂ H和H ∩ M²(X)由乘积xy和X和x < y中的x, y组成。 (C) 长度 geqslant 3 属于 M(X) 的元素 w 至 H 当且仅当它是形式 a(bc) 与 a, b, c 时H、bc… ↩ 3 0A3B
命题 11 相对于X存在一个大厅集合。 ↩ 2 0A3C
命题 12 令H为相对于X的霍尔集合，并令x、y位于X中。（一）H ∩ M(x) = x。 (b) 假设x < y，并令d_y为M(X)的同态到N，使得d_y(y) = 1和d_y(z) = 0对应于z ∈ X, z ≠ y。集合或元素 w ∈ H ∩ M(x, y)，使得 d_y(w) = 1 由元素 xⁿ y 和 n 整数 ≥ 0 组成。 ↩ 2 0A3D
推论如果卡X≥ 2，则每整数n ≥ 1对应H ∩ Mⁿ(X) ≠ ∅。 ↩ 1 0A3E
命题 13 令 X 为有限集合，且至少有两个元素。令 H 表示相对于 X 的霍尔集合。则H上存在N的严格递增的双射p ↦ wₚ和H的子集的序列(Pₚ)_p ∈ N，具有以下性质：（一）P₀ = X。 (b) 对于每个整数 p ≥ 0，wₚ ∈ Pₚ。 (c) 对于每个整数n ≥ 1，都存在整数p(n)，使得Pₚ的每个元素对于所有p ≥ p(n)来说都是长度> n。 (… ↩ 2 0A3F
例假设X有两个元素x, y；让X被排序使得x < y。命题 11 的证明给出的构造给出集合 H，以及长度 ≤ 5 的 14 个元素在下面的表中给出： 0A3G
定理 1 令H为相对于X和Ψ典范映射的大厅集合，其中M(X)进入空闲李代数L(X)。 Ψ到H中的限制是模L(X)中的基。 ↩ 4 0A3H
引理 2 对于每个整数p ≥ 0，模Lₚ将(barwᵢ)_0 ≤ i < p承认为基，李代数gₚ承认(baru)_u ∈ Pₚ为基本家庭，模L(X)为直和共 Lₚ 和 gₚ。 0A3I
推论模 L(X) 是免费的，子模 L^α(X) 其中 α ∈ N^(X) 和 Lⁿ(X) 其中 n ∈ N也是免费的。模 L^α(X) 属于有限秩，模 Lⁿ(X) 如果 X 是有限的。 ↩ 2 0A3J
定义 3 免费李代数 L(X) 的大厅基是 L(X) 的任何基这是相对于 X 的大厅集合的典范像。 0A3K
注假设X由两个不同的元素、x和y组成，并令L^(·,1)为L^α(X)的L(X)和的子模，其中α ∈ N^X和α(y)=1。紧接no. 10的定理 1和命题 12，(ad x)ⁿ.y的元素，其中n是整数geqslant 0形式子模的基 L^(·,1)。由此可见，映射 ad x 限制到 L^(·,1) 是单射的。 0A3L

§ 3. 。包容代数免费李代数

定理 1 令α : L(X) → A(X)成为唯一的李代数同态将X的典范嵌入延伸到A(X)(§ 2, no. 2,命题1)。令 σ : L(X) → U(L(X)) 为 L(X) 的典范映射入其包络线代数，并令 β : U(L(X)) → A(X) 为唯一单位代数同态，使得 β ∘ σ = α (章 I, § 2, no. 1, 命题) 1）。然后： (a) α 是… ↩ 4 0A42
推论 1 代数 A(X) 上存在唯一的余积，使A(X) 成为一个大数，使得X 的元素是原始的。此外，β是大数U(L(X))的同构到A(X)与这个大数结构。 ↩ 2 0A43
推论 2 如果K是特征0的域，则L(X)是A(X)的原语元素的李代数。 ↩ 2 0A44
注 (1) 设K'为交换环包含K。若A(X)、L(X)、L_K'(X)与A_K'(X)的子集一致，则由部分推出 (a) 定理 1 关系 0A45
命题 1 (a) π到L(X)的限制π₀是L(X)的推导。 (b) 对于每个整数 n ≥ 1 以及 Lⁿ(X)、π(u) = n.u 中的所有 u。 ↩ 1 0A46
推论假设 K 是 Q 代数。令 P 为线性映射或 A⁺(X) 自身，使得 ↩ 1 0A47
注假设 K 是特征零的域，并让 Q 是 A(X) = U(L(X)) 的投影算子到 L(X)，与 U(L(X))、cf. § 1, no. 5 的规范分级相关。对于α ∈ N^(X)，Q(A^α(X)) ⊂ L^α(X)。只要验证Q的像和核的等级为A(X)的子模，等级为型N^(X)即可。这对于像来说是显而易见的，它等于 L(X)。另一方面，令n为整数≥ 1。… 0A48
引理 1 令 n 为整数 0，T₁, …, Tₙ 不确定，u₁, …, uₙ 元素为 Z。令 (c(α))_α ∈ Nⁿ - 0 为元素和 Z 的族，使得 ↩ 1 0A49
定理 2 令 X 为有限集合和 n = Card(X)。 ↩ 1 0A4A
例我们有 beginalign* c(1) &= n, & c(2) &= 1/2(n² - n), & c(3) &= 1/3(n³ - n), \\ c(4) &= 1/4(n⁴ - n²), & c(5) &= 1/5(n⁵ - n), & c(6) &= 1/6(n⁶ - n³ - n² + n). endalign 0A4B
注令X为集合，并令α ∈ N^(X)；自由的 K 模块 L^α(X) 的秩也由公式 (16) 给出。这紧随定理 2 (b) 和§ 2, no. 6 的命题 4。 0A4C

§ 4. 。中央过滤

定义 1 设G为群。对G的真正过滤是G的子群的(G_α)_α ∈ R族，使得 G_α = ⋂_β < α G_β for all α ∈ R. 0A4H
注设(Gₙ)_n ∈ Z为G的子群中的递减序列。它是交换代数、章III, § 2, no. 1、定义1意义上的递减过滤。对于R的区间]n-1, n]中的每个整数n和所有α，我们写H_α = Gₙ，特别是Hₙ = Gₙ。 It is immediate that we thus obtain a real filtration (H_α)_α ∈ R on… 0A4I
注如果 v(x) 并非处处都等于 +∞，则条件 (7) 和 (8) 意味着 v(1) = 0。 0A4J
注当过滤(G_α)为积分时，gr_α(G) = 0为非积分α，grₙ(G) = Gₙ / Gₙ₋₁为每个整数n。相关分级的群的定义因此重合本质上与交换代数、章 III, § 2, no. 3 相同。 0A4K
定义 2 令 G 为群。如果 G_α 的元素 x 的 G = ⋃_α > 0 G_α 和换位子 (x, y) = x⁻¹y⁻¹xy 以及 G_β 属于到 G_α + β 的元素 y，G 上的实过滤 (G_α) 称为中心过滤。 ↩ 1 0A4L
命题 1 (i) 设 α, β 在 R 中。存在双加法映射 φ_α β : gr_α(G) × gr_β(G) → gr_α + β(G) 0A4M
命题 2 集合Γ是A^*的子群，(Γ_α)是Γ的中央过滤。 ↩ 2 0A4N
注设α ≥ 0, β ≥ 0和x ∈ Γ_α, y ∈ Γ_β。由公式 (21), (22) 和 (23), (24) x⁻¹ - 1 ≡ -(x - 1) pmodA_2α (25) xy - 1 ≡ (x - 1) + (y - 1) pmodA_α + β (26) (x, y) - 1 ≡ [(x - 1), (y - 1)] pmodA_α + β… 0A4O
命题 3 (i) 对于所有α ∈ R，存在唯一群同态g_α : gr_α(G) → gr_α(A)，其中映射类对元素a ∈ G_α模G_α⁺到类对ρ(a) - 1模A_α⁺。 ↩ 2 0A4P
命题 4 (i) G 的下部中心级数是 G 上的整体中心过滤。 ↩ 1 0A4Q
命题 5 令 G 为群，gr(G) 为与 G 上的较低中心过滤相关的分级李Z-代数。然后 gr(G) 由 gr₁(G) = G/(G, G) 生成。 ↩ 2 0A4R
注令 k 为 n 行的下三角矩阵的环、n 整数 > 0 和 A 集合，k 中有 n 个列和元素。对于p ≥ 0，令Aₚ为(xᵢⱼ) ∈ A的集合，使得xᵢⱼ = 0对应于i - j < p。然后是A₀ = A和AₚA_q ⊂ A_p+q。让Γₚ = 1 + Aₚ。那么Γ₁是GL(n, k)的子群，称为阶n在k上的严格下三角群。通过no. 5的命题2，(Γₚ)是… 0A4S

§ 5. 。马格努斯代数

命题 1 设 B 是单位结合词代数，具有实数过滤 (B_α)_α ∈ R ，使得 B 是 Hausdorff 且完全的（§ 4，第 1 和第 2 项）。令 f 为 B 中 X 的映射，使得存在 λ > 0 且 f(X) ⊂ B_λ。那么 f 可以用一种且仅一种方式扩展到 B 中的 hatA(X) 的连续单位同态 hatf。 ↩ 4 0A5B
引理 1 要使hatA(X)的元素 a 可逆，其常数项在K中可逆是充分必要的。 0A5C
定理 1 让r是X到hatA(X)的映射，这样ω(r(x)) ≥ 2对于所有x ∈ X。将自由群 F(X) 的唯一同态 g 放入 Magnus 群 Γ(X)，使得 g(x) = 1 + x + r(x) 对于所有 x ∈ X 都是单射的。 ↩ 3 0A5D
引理 2 令n为非零有理数整数。在正式幂级数K[[t]]的环中我们写(1+t)ⁿ = ∑_j ≥ 0 c_j,n tʲ。存在整数j ≥ 1使得c_j,n ≠ 0。 ↩ 1 0A5E
引理 3 令x₁, …, xₛ为X的元素，使得s ≥ 1和xᵢ ≠ xᵢ₊₁对应于1 ≤ i ≤ s-1；令 n₁, …, nₛ 为非零有理数整数。那么hatA(X)的元素∏ᵢ₌₁ˢ (1+xᵢ)^nᵢ就是≠ 1。 0A5F
引理 4 令σ为hatA(X)的连续自同态，使得σ(x) = x + r(x)对应于x ∈ X（no. 1，命题1）。那么对于所有 m ∈ N，σ 就是自同构和 σ(hatAₘ(X)) = hatAₘ(X)。 ↩ 1 0A5G
定理 2 假设在环K关系n.1 = 0中对于每个整数n意味着n = 0。令r为X的映射进入hatA(X)，使得x ∈ X为ω(r(x)) ≥ 2，并令g为F(X)的同态进入马格努斯群Γ(X)，使得g(x) = 1 + x + r(x) x ∈ X。对于所有 n ≥ 1，Cⁿ F(X) 是逆像 g 子群 1 + hatAₙ(X) Γ(X)。 ↩ 3 0A5H
定理 3 对于所有x ∈ X，令c(x)为F(X)/(F(X), F(X))中x的典范像。令 g 为与 F(X) (§ 4, no. 6) 的过滤 (Cⁿ F(X))_n ≥ 1 相关的分级李 Z 代数。 The unique homomorphism of the free Lie Z-algebra L_Z(X) into g which extends c i… ↩ 1 0A5I
推论 ⋂_n geqslant 1 Cⁿ F(X) = e. 0A5J
注令 H 为相对于 X (§ 2, no. 10) 的霍尔集合。设 M 为由合成 (x, y) 的律 (x, y) \mapsto (x, y) = x^{-1}y^{-1}xy 在 F(X) 上定义的岩浆，并设 φ 为 M(X) 的同态到 M，其限制为X 是身份。 φ(H) 的元素被称为与大厅集合 H 相关的 F(X) 的基本换位子。对于每个整数 n \ge… 0A5K
例假设 X 是集合，有两个元素 x, y，令 H1 = \{x, y\}, H2 = \{xy\}。因此，F(X) 的每个元素 w 都可以写成 w ≡ xᵃ yᵇ (x, y)ᶜ mod. C³ with a, b, c in Z. 对于 w = (xy)^n、a = b = n 且 c = n(1 - n)/2 (cf. 习题 9)、从而 (xy)ⁿ ≡ x… 0A5L
命题 2 假设X是有限的。对于每个整数 n \geqslant 1，群 F(X)/Fn^{(p)}(X) 是幂零的有限 p 群类 \leqslant n. ↩ 1 0A5M
命题 3 对于F(X)中的所有w ≠ 1，存在一个有限p群G和F(X)的同态f进入G，使得f(w) ≠ 1。 ↩ 1 0A5N
推论 F(X)中有限指标的正常子群的交为1。 0A5O

§ 6. 。豪斯多夫级数

命题 1 指数映射是 m 到 1 + m 的同胚，对数映射是逆同胚。 ↩ 2 0A61
注 (1) 如果x ∈ m, y ∈ m和x和y通勤，则 ↩ 1 0A62
定理 1 hatA(X)到hatL(X)的指数映射的限制是hatL(X)的双射到马格努斯群Γ(X)的闭子群上。 0A63
注上述证明表明，exp(hatL)是b满足(4)的Γ由……组成中的子群Δ。 0A64
引理 1 设𝔤为过滤后的李代数（§ 4, no. 1），(𝔤_α)_α ∈ R为过滤后的α ∈ R。设 P 是不定式 (Γᵢ)_i ∈ I (§ 2, no. 4) 中次数 n 的齐次李多项式。 Then P((aᵢ)) ∈ 𝔤_nα for every family (aᵢ)_i ∈ I of elements of 𝔤_α. ↩ 1 0A65
命题 2 同态 fₜ : L(I) → g 使得 fₜ(Tᵢ) = tᵢ (§ 2, no. 4) 可以通过连续性扩展到一个且仅一个连续的同态 hatfₜ 的 hatL(I) 到 g。 ↩ 1 0A66
定义 1 元素 H = U circledast V = log(exp U · exp V) (no. 2) 李代数 hatL_Q(U, V) 在不定式 U 和 V 中称为 Hausdorff 级数。 ↩ 4 0A67
定理 2 如果 r 和 s 是两个正整数，使得 r + s ≥ 1，则 H_r,s = H'_r,s + H''_r,s，其中 0A68
注 (1) 我们将A(X)的(§ 3, no. 2,注)投影算子Q定义到L(X)上，使得Q(aᵐ) = 0适用于a ∈ L(X)和m geqslant 2和Q(1) = 0。然后立即H = Q(exp H) = Q(exp U.exp V)，从而 0A69
命题 3 如果a ∈ m, b ∈ m，则exp H(a, b) = exp a . exp b。 ↩ 4 0A6A
注 1 如果 a 和 b 可交换，则 H_r,s(a, b) = 0 对于 r + s ≥ 2，对于次数 ≥ 2 的每个齐次李多项式在 (a, b) 处都是零。然后H(a, b) = a + b和命题3恢复公式 exp(a + b) = exp a . exp b. 0A6B
命题 4 令g为完整的Hausdorff过滤李代数，使得g = ⋃_α > 0 g_α。映射(a, b) ↦ H(a, b)是g上的群运算，与g上的拓扑兼容，其中0是单位元素，-a是所有a ∈ g的a的逆。 ↩ 3 0A6C
注 (2) 取g为李代数hatL(X)。上面介绍了群运算命题重合以及no. 2中定义的律。在其他字中， a mathbinh b = H(a, b) for a, b in hatL(X); 因此 Hausdorff 群运算由 Hausdorff 级数给出。 ↩ 1 0A6D
命题 5 令K_r,s为多次(r, s)的H(U + V, -U)的分量。然后 K_n,1(U, V) = 1/((n+1)!) (ad U)ⁿ(V) for n ≥ 0. ↩ 2 0A6E

§ 7. 。 HAUSDOFF 的收敛性级数（真实或复杂的情况）

引理 1 | tildeH_r,s | ≤ M^r+s-1 η_r,s. 令rᵢ, sᵢ在N中，对于1 ≤ i ≤ m，有sₘ = 1；我们写 r = ∑ᵢ rᵢ, s = ∑ᵢ sᵢ 并考虑 L(U, V) 的以下元素： Z = ( ( ∑ᵢ₌₁ᵐ⁻¹ (ad\ U)^rᵢ (ad\ V)^sᵢ ) (ad\ U)^rₘ )(V). 然后是tildeZ = f ∘… ↩ 1 0A6L
命题 1 形式幂级数 tildeH 是收敛的级数 (可微分和解析流形, R, 3.1.1); 其绝对收敛域（可微分和解析流形，R，3.1.4）包含开集合 ↩ 2 0A6M
命题 2 让 0A6N
命题 3 对于|x| + |y| < 1/2 log 2， (23) exp_A x · exp_A y = exp_A h(x, y). 由 (18) 和关系 eᵘ eᵛ = eᵘ⁺ᵛ 得出 m ∘ (1 + tildee, 1 + tildee) = (1 + tildee) ∘ tildeH 在hatP(A × A; A)。因此，我们从可微分和解析流形, R… 0A6O

§ 8. 。 HAUSDOFF 级数的收敛性（超度量情况）

引理 1 令n为整数geqslant 0，并令n = n₀ + n₁ p + ⋯ + nₖ pᵏ与0 leqslant nᵢ leqslant p - 1一起为n的p进数展开。让S(n) = n₀ + n₁ + ⋯ + nₖ。然后 vₚ(n!) = (n - S(n))/(p - 1). 整数 i 的 vₚ(n!) = ∑ᵢ₌₁ⁿ vₚ(i) 和数在 1 和 n 之间… ↩ 2 0A6Q
引理 2 每整数 n geqslant 1 都有 v(n) leqslant v(n!) leqslant (n - 1)θ 和 v(n) leqslant (log n)/(log p)。 v(n!) = vₚ(n!) = (n - S(n))θ leqslant (n - 1)θ 引理 1。另一方面，n geqslant pᵛ⁽ⁿ⁾，从而v(n) leqslan… ↩ 3 0A6R
命题 1 令r和s为两个整数geqslant 0。如果 H_r,s = ∑_b ∈ B λ_b e_b（其中 λ_b ∈ Q）相对于基 (e_b)_b ∈ B 是 H 的分解，则 vₚ(λ_b) geqslant -(r + s - 1)θ for all b ∈ B. 环A_Z₍ₚ₎(I)与字w ∈ Mo(I)生成的A_Q(I)的子Z₍ₚ₎模块进行标识。由于L_Z₍… ↩ 3 0A6S
定义 1 K 上的李代数范数为李代数和范数使得 |x + y| ≤ sup(|x|, |y|) |[x, y]| ≤ |x| · |y| 对于g中的所有x, y。 0A6T
引理 3 | tildeH_r,s | ≤ a^-(r+s-1)θ. ↩ 2 0A6U
命题 2 形式幂级数 tildeH 是收敛的级数（可微分和解析流形，R，4.1.1）。如果 G 是球 x ∈ g | | x | < a^θ ，则tildeH 的绝对收敛域（可微分和解析流形，R，4.1.3）包含 G × G。 ↩ 3 0A6V
命题 3 设G为球 x ∈ g | | x | < a^θ 。解析映射 h : G × G → G 将G变成群，其中0是单位元素，-x是所有x ∈ G的x的逆。此外，如果R是实数使得0 < R < a^θ，球 x ∈ g | | x | < R （分别为 x ∈ g | | x | ≤ R ）是 G 的开放子群。 ↩ 1 0A6W
命题 4 令R为实数，使得0 < R ≤ a^θ。映射 exp_A 定义 G_R 到 1 + G_R 的解析同构，逆同构是 log_A 到 1 + G_R 的限制。 0A6X
命题 5 对于 G 中的 x、y， exp_A · exp_A y = exp_A h(x, y). e^U eⱽ = e^H(U, V) 因此 m ∘ (1 + tildeε, 1 + tildeε) = (1 + tildeε) ∘ tildeH tildeH(A × A; A)（其中 m 表示 A 上的乘法）。然后从命题 2、引理 3 以及可微分和解析流形，R，… 0A6Y

App. 0. 附录

命题 (i) 函数 μ 是 N^* 的唯一映射到 Z，使得 μ(1) = 1 并且 ∑_d|n μ(d) = 0 每整数n > 1。 0A73

III. 李群

§ 1. 。李群

定义 1 K 上的李群是集合 G 与群结构和解析 K 流形结构，使得这两个结构兼容。 0A76
引理 1 设 G 为李群，U 是 e 的开邻域，E 是完全规范的空间，φ : U → E 流形 G 的图表。存在包含在 U 中的 e 的邻域 W，使得 φ | W 是 W 的同构（其中右均匀结构）到φ(W)（由E上的均匀结构引起）。 ↩ 1 0A77
命题 1 李群是一个完整的可度量拓扑群。 ↩ 2 0A78
命题 2 令G为李群。 (i) 如果K = R或C，G是本地连接的。 (ii) 如果 K 不同于 R 和 C，则 G 为零维（一般拓扑、章 IX, § 6、定义 5）。 (iii) 假设 K 是局部紧致的。为了使 G 局部紧致，G 是有限维的是必要且充分的。 (iv) 如果G由子空间生成，而拓扑承认可数基，则G上的拓扑承认可数基。 0A79
推论如果 K = R 或 C 并且 G 是连通且有限维的，则 G 是局部连通且局部紧的，并且其拓扑承认可数基。 0A7A
引理 2 设X为类C^r流形，X、U e 点和V开e的邻域和U×U的类C^r m映射转化为X满足以下条件： (a) m(e, x) = m(x, e) = x 对于所有 x ∈ U； (b) V ⊂ U, m(V × V) ⊂ U 且 m(m(x, y), z) = m(x, m(y, z)) 对于 V 中的所有 x, y, z。 ↩ 1 0A7B
命题 3 设 X 为解析流形，m 为合成在 X 上承认单位元素的解析结合律律。 X 可逆元集合 G 在 X 开且 G 与 m 为李群 (G × G) 和 X 引起的流形结构。 0A7C
定义 2 设G和H为李群。 G 到 H 的李群态射（或者简单地，如果不会引起混淆，G 到 H 的态射）是 G 到 H 的映射，它是群同态并且是解析的。 G 的自同构群表示为Aut(G).。 0A7D
例 (1) 设G为李群。对于所有 x ∈ G，Int(x) 是李群 G 的自同构。 0A7E
命题 4 设 G 和 H 为李群，群 G 的 f 同态为群 H。要使 f 解析，存在 G 的非空开子集 U 使得 f|_U 解析是必要且充分的。 ↩ 1 0A7F
注如果 f 是 e 处的浸没（或 e 处的浸没），则显然 f 是浸没（或 e 处的浸没）。 0A7G
定义 3 设G为李群。如果 H 是子群并且是 G 的子流形，则 G 的子集 H 称为李子群。 ↩ 1 0A7H
命题 5 设 G 为李群，H 为 G 的谎言子群。 (i) H 在 G 中是闭的。 (ii) H 到 G 的典范嵌入是李群态射。 (iii) 设L为李群，L的f映射进入G，使得f(L)⊂H。对于f为L的态射进入H，f为L的态射进入G是充分必要的。 ↩ 1 0A7I
命题 6 设G是G的李群和H子群。要使H成为G的谎言子群，充分必要条件是存在点h ∈ H和G中h的开邻域U，使得H∩U是G的子流形。 ↩ 3 0A7J
注如果将定义 3 中的“子流形”替换为“拟子流形”，我们就得到 G 的李拟子群定义。（对于有限维 G，李拟子群就是李子群。）假设 K 的特征为 0。命题 5 仍然有效。证明为李拟子群。命题 6 对于相同的证明、替换仍然有效，“李准子群”的“李子群”和“拟子流形”的“子流形”。 0A7K
命题 7 如果映射 (m, l) ↦ σ(l)m of M × L 进入 M 是解析的，群 S，与乘积流形结构 of M 和 L，是李群。 0A7L
例 Let E be a normable space, G = GL(E), T the translation group of E and A the permutation group of E generated by G and T. 群A在代数上是G乘以T的半直乘积。（如果E是有限维的，则A是E、cf. 代数、章II, § 9, no. 4的仿射… ↩ 1 0A7M
命题 8 设G和H为李群、p: G → H和s: H → G李群态射，使得p ∘ s = id_H和N = Ker\ p。那么 N 是 G的谎言子群，s是 H的同构到 G的谎言子群并且李群 G 是内部半直接乘积的s(H)由N。 ↩ 2 0A7N
命题 9 让x ∈ X和g₀ ∈ G。 ↩ 3 0A7O
推论让x ∈ X。如果 K 的特征为 0 并且 X 是有限维的，则 ρ(x) 是浸没。如果进一步 ρ(x) 是单射的，ρ(x) 是浸入式。 ↩ 1 0A7P
命题 10 设G为类Cʳ的李群和X流形，以及X上G的类Cʳ的左运算律。假设： ↩ 4 0A7Q
注 With the above hypotheses, further let H be a manifold of class Cʳ and (x, h) ↦ m(x, h) a mapping of class Cʳ of X × H into X such that m(gx, h) = gm(x, h) for x ∈ X,\ g ∈ G,\ h ∈… 0A7R
命题 11 令X为李群，且G是X的谎言子群。 ↩ 1 0A7S
命题 12 令X为李群，Y为非空解析流形，其中律为Y上X的解析左运算。对于所有y ∈ Y，令φ(y)为X中y的y和X_y稳定子的轨道映射。以下条件是等效的： (i) 存在y ∈ Y使得φ(y)是满射淹没； (i') 对于所有 y ∈ Y，φ(y) 是满射淹没； (ii) 存在y ∈ Y，使得X_y是X的谎言子群，并且X/X_y到Y的典范映射是流形同构； (ii') 对于… 0A7T
例设G为李群。我们让G × G对(g₁, g₂)x = g₁xg₂⁻¹左边的G进行操作。令ρ为e的轨道映射。然后从T_(e, e)(ρ)到T_(e, e)(G × e) = Tₑ(G) × 0再到限制 T_(e, e)(e × G) = 0 × Tₑ(G) 其中空间中有同构到 Tₑ(G) 上。因此，T_(e, e)(ρ)是满射，并且Ker T_(e, e)(ρ… 0A7U
命题 13 设G为李群，H为G的正常谎言子群，类Cʳ的X流形以及(g, x) ↦ gx律的左运算 X G 类 Cʳ。假设命题 10 的条件(a)和(b)成立。 0A7V
推论设 G 为李群和 H 以及 L G 的正规李子子群和 L ⊂ H。则 H/L 是 G/L 的正规李子子群以及 G/H 的规范双射到(G/L)/(H/L) 为李群同构。 0A7W
命题 14 设 G 为李群、X 解析流形以及 (g, x) ↦ gx 律 G 在 X 上的解析左运算。设 x ∈ X。假设相应的轨道映射 ρ(x) 是浸没（如果 K 具有特征 0 并且 X 是有限维（命题 9 的推论），则总是这种情况）。令 Gx 为 G 中 x 的稳定子。 (i) Gx 是谎言子群并且 Te(Gx) = Ker Te(ρ(x))。 (ii) 齐次空间… ↩ 6 0A7X
注设G是类C^r的有限维李群、X流形和X上G的类C^r的左运算的(g, x)↦gx律。那么命题14仍然有效。唯一需要不同的证明的点是Gx是谎言子群这一事实。但如果 r ≠ ω，则 K = \mathbf{R}；显然 Gx 是闭集，Gx 是 § 8、定理 2 的谎言子群。 0A7Y
推论设G为李群，其拓扑允许可数基和X一个非空有限维解析流形，其中律为G在X上的解析左运算。假设 G 在 X 上运算传递性，并且 K 的特征为 0。则 X 是 G 的李齐次空间。 0A7Z
定义 4 如果ψ是类C^r的向量丛的φ-态射，则E称为类C^r的向量G丛。 ↩ 3 0A80
命题 15 如果E是类C^r的向量G丛，则τE是类C^r的向量G丛。 ↩ 1 0A81
命题 16 设 G 为类 C^r (r ≥ 2) 的李群、X 流形 (r ≥ 2) 以及 G 的类 C^r 的左运算 (g, x) ↦ gx 律 X，从而，通过运输结构，TX 上 G 的左运算就有律。在这个律下，TX 是类 C^{r-1} 的向量 G 束。 ↩ 2 0A82
推论如果 τ 是类 C^r 的同构的向量函子，则 τ(TX) 是类 C^{r-1} 的向量 G 丛。 ↩ 2 0A83
注 1 如果 τ 是类 C^r 的同构 in 有限维的向量函子，并且 E 是有限秩，则 τE 的定义类似，命题 15 仍然有效；如果 X 是有限维的，命题 16 的推论仍然有效。 0A84
例根据命题 16 的假设和记号，令F 为完全可范空间。那么L((TX)ᵖ; F)是类C^{r-1}的向量G丛；如果 K 为特征零或 X 为有限维（可微且解析流形, R, 7.7, 7.8），则 Alt^p(TX; F) 也是如此。如果X是有限维的，则⨂ᵖ (TX) ⊗ ⨂^q (TX)^*是类C^{r-1}的向量G丛。 0A85
命题 17 Let G be a Lie group, X a left Lie homogeneous space of G, x0 a point of X, G0 the stabilizer of x0 in G, E and E' left vector G-bundles of class C^r and base space X, E0 (resp. E'… ↩ 2 0A86
推论 1 令E0^{G0}为E0的元素的集合，其在G0下不变。对于所有 u ∈ E0^{G0}，令 σu 为 X 的映射，并由 σu(gx0) = gu 定义，对于所有 g ∈ G。 (i) E 的 G 不变量截面† 为类 C^r。 (ii) u ↦ σu 是 E0^{G0} 的双射到 E 的 G 不变量截面的集合。 ↩ 3 0A87
推论 2 假设 G₀ 对 E₀ 的运算很简单。令 E' 为具有基空间 X 和纤维 E₀ 的平凡 G 束。在E到E'上存在且仅有一个同构与G的运算兼容并扩展Id_E₀。 ↩ 1 0A88
注 2 在这个数中，左运算的律可以全部替换为右运算的律。 0A89
命题 18 令G为群、U和VG包含e中的两个子集。假设 U 有一个解析式流形结构满足以下条件： (i) V = V⁻¹, V² ⊂ U, V于U开放； (ii) V × V到U的映射(x, y) ↦ xy⁻¹是解析的； (iii) 对于所有g ∈ G，V中存在e的开邻域V'，使得gV'g⁻¹ ⊂ U并且使得V'到U的映射x ↦ gxg⁻¹是解析的。 ↩ 8 0A8A
命题 19 设G是群、H李群和群G的f同态到群H。假设G中存在eG的开邻域、eH处流形H的图(V,\phi,E)和闭图E 的向量子空间 F 承认拓扑补充，使得 f(U) \子集 V 和 \phi \circ f)U 是 U 到 \phi(V) \cap F 的同胚。那么存在唯一的流形结构在 G 上，使得 f 是浸没； this 结构 is 逆像 under f of 流… 0A8B
推论 Let G be a topological 群, N a discrete normal 子群 of G and \pi 典范映射 of G onto G/N. Suppose that an analytic 流形结构 is given on G/N, compatible with the topological 群结构 on G/N. Then th… 0A8C
注设 H 为连通实数或复数李群，\tilde{H} 是其通用覆盖†，而 \pi 典范映射是 \tilde{H} 到 H 上的。当我们谈到 \tilde{H} 时 0A8D
定义 5 K 上的李群胚芽为系统(G, e, θ, m)满足以下条件： (i) G 是K 上的解析流形； (ii) e ∈ G； (iii) θ 是 G 到 G 的解析映射； (iv) m 是G × G 的开子集 Ω 到G 的解析映射； (v) 对于所有g ∈ G、(e, g) ∈ Ω、(g, e) ∈ Ω、m(e, g) = m(g, e) = g； (vi) 对于… 0A8E
命题 20 令G为李群胚芽和g ∈ G。存在 e 的开邻域 U 和 g 的开邻域 V，具有以下属性： (a) ug 是为所有u ∈ U 定义的； (b) vg⁻¹是为所有v ∈ V定义的； (c) 映射 u ↦ ug,\ v ↦ vg⁻¹ 是U 的一个另一个到V 以及V 到U 的逆解析同构。 ↩ 1 0A8F
命题 21 令G, H为两个李群细菌，并将G的φ态射放入H。以下条件是等效的： ↩ 1 0A8G
命题 22 设H为李群，U是H的谎言子群胚芽，以及g ∈ H的N集合，使得U和gUg⁻¹在e处具有相同的胚芽（一般拓扑、章I, § 6, no. 10）。那么N就是H包含于U的子群。 N 上存在且仅有一个解析流形结构，具有以下属性： ↩ 2 0A8H
推论保留命题 22 的记号，令G 为U 生成的H 的子群。则G 是N 的开子群。G 上存在且仅有一个李群结构，使得U 是G 的开子流形，且G 的典范嵌入到H 中是浸没。 ↩ 2 0A8I
注保留命题 22 的记号及其推论，假设 K 的特征为 0，H 是有限维的，U 上的拓扑允许可数的基。即使有所有这些假设，G 也可能在 H (习题 3) 中不闭合。但是，如果 G 是闭集，G 是 H 的谎言子群。因为映射 (g, h) ↦ gh 是 G 在 H 上的解析左运算的律。e 的轨道是 G。然后我们的断言由命题 2 (iv) 和 14 (iii) 得出。 0A8J
定义 6 A law chunk of left operation of class Cʳ of G on X is a mapping ψ defined on an open subset Ω of G × X containing e × X, with values in X and with the following properties: (i) ψ… ↩ 1 0A8K
命题 23 设(G, e, θ, m)为李群胚芽，类CʳX流形，Xx₀点，Ω(e, x₀)开邻域将Ω的G × X和ψ映射转化为X，具有以下属性： (i) ψ 为类 Cʳ； (ii) ψ(e, x) 等于 x，因为 x 足够接近 x₀； (iii) ψ(m(g, g'), x) = ψ(g, ψ(g', x)) 对于 (g, g', x) 足够接近 (e, e, x₀)。… ↩ 1 0A8L
引理 3 设 X 为正常的空间，(Xᵢ)_i ∈ I 为 X 的局部有限开覆盖。对于所有(i, j) ∈ I × I和所有x ∈ Xᵢ ∩ Xⱼ，令Vᵢⱼ(x)为Xᵢ ∩ Xⱼ中包含的x的邻域。然后我们可以关联x的每个x ∈ X邻域V(x)，从而满足以下条件： (a) 关系 x ∈ Xᵢ ∩ Xⱼ 意味着 V(x) ⊂ Vᵢⱼ(x)； (b) 如果V(x)和V(y… ↩ 1 0A8M
命题 24 令 G 为李群胚芽、类C^r 的X流形以及 (Xi){i \in I} X的局部有限开覆盖。对于I中的所有i，令ψᵢ为Xi上G的类C^r的左运算的律块。假设 X 的基础拓扑空间是正规的，并且对于所有 (i, j) \in I \times I 和所有 x \in Xi \cap Xj，ψᵢ 和 ψⱼ 重合在邻域上（e，x）。在X上存在G的类C^r的左运算的律… ↩ 1 0A8N

§ 2. 。群向量与李群的切线

命题 1 设X为类C^r流形，且X上类C^r合成m律。如果 m 是结合律（或可交换的），则 T(m) 是结合律（或可交换的）。 ↩ 2 0A8Y
命题 2 令X为类Cʳ流形，X和e上类Cʳ合成m律单位元素换m。 ↩ 4 0A8Z
命题 3 设X₁, X₂, …, Xₚ, Y为类Cʳ流形，1, pi整数，mᵢ（分别为n）类合成律 Cʳ Xᵢ（分别为 Y）和u 映射类 Cʳ X₁ × X₂ × ⋯ × Xₚ 进入Y。如果 u 相对于指标 i 变量具有分配性，则 T(u) 相对于指标 i 变量具有分配性。 ↩ 1 0A90
命题 4 令G为李群。那么T(G)，合成的律与G的乘法相切，就是李群。 T(G)的单位元素是向量0ₑ。 0A91
命题 5 设G和H为G的李群和f态射到H。那么T(f)就是李群T(G)的态射变成李群T(H)。 0A92
推论令G₁, …, Gₙ为李群。流形 T(G₁ × ⋯ × Gₙ) 到流形 T(G₁) × ⋯ × T(Gₙ) 的典范同构是李群同构。 0A93
命题 6 令G为李群。 (i) 规范投影 p : T(G) → G 为李群态射。 (ii) p中的核为Tₑ(G)。这是T(G)的谎言子群。李群结构在 Tₑ(G) 上由 T(G) 诱发，是完整范数空间 Tₑ(G) 的李群结构。 (iii) 零截面 s 是李群 G 的同构到子群 s(G) 的T(G) 上（子群我们认同与G). (iv) 李群T(G)是G乘Tₑ(G)的半直… ↩ 1 0A94
命题 7 令G为李群、类Cʳ的M流形和f以及类Cʳ的g映射 M 转化为 G，因此 fg 就是类 Cʳ 的映射 M 转化为 G。让m ∈ M, x = f(m), y = g(m), u ∈ Tₘ(M)。然后 ↩ 2 0A95
推论设n ∈ Z。 G 到 G 的 e 到映射 g ↦ gⁿ 的切线映射是 Tₑ(G) 到 Tₑ(G) 的映射 x ↦ nx。 ↩ 1 0A96
命题 8 Let G1 and G2 be Lie groups, X1 and X2 manifolds of class C^r and fi a law of left operation of class C^r of Gi on Xi (i = 1, 2). 设\phi为G1到G2的态射，\psi为X1到X2的\phi同态。那么 T(\psi) 是 T(X… 0A97

§ 3. 。从李群到李代数的通道

定义 1 设G为李群、g和g'G的两个点，并让t ∈ T_g^(∞)(G)t' ∈ T_g'^(∞)(G)为G上g和g'的两个点分布（可微分和解析流形，R，13.2.1）。 t和t'的卷积乘积，用t * t'表示，是G × G的映射(h, h') ↦ hh'下t ⊗ t'的像到G（可微分和解析流形，R，13.2.3). ↩ 3 0A98
命题 1 (i) 如果 t ∈ T_g⁽ˢ⁾(G) 和 t' ∈ T_g'^(s')(G)，则 t * t' ∈ T_gg'^(s+s')(G)。 ↩ 2 0A99
命题 2 代数 \mathscr{T}^{(\infty)}(G) 是结合律。当且仅当 G 是可交换的时，它才是可交换的。 ↩ 4 0A9A
命题 3 如果 t \in \mathscr{T}^{(\infty)}(G) 和 g \in G，则 γ(g)_* t = ε_g * t, δ(g)_* t = t * ε_g⁻¹，(Int g) t = ε_g * t * ε_g⁻¹。特别地，εₑ是\mathscr{T}^{(\infty)}(G)的单位元。 ↩ 2 0A9B
定义 2 令 G 为李群。 e 中包含支持的分布的 T^(∞)(G) 由……组成的子代数表示为 U(G)。 ↩ 1 0A9C
例令 E 为完全可范化空间，视为李群。然后向量空间 U(E) 被规范地标识为向量空间 TS(E)（可微分和解析流形，R，13.2.4）。令 E 上的 m : E × E → E 为加法，则 m_* : TS(E × E) → TS(E) 等于 TS(m)（可微分和解析流形，R，13.2.4）。对于U(E) = TS(E)中的t, t'，m_*下的对称张量积t… 0A9D
命题 4 考虑 U(G) ⊗ K⁽ᴳ⁾ 到 T^(∞)(G) 的双线性映射 (u, v) ↦ u * v（分别为 (u, v) ↦ v * u）。 U(G) ⊗ K⁽ᴳ⁾到T^(∞)(G)的相应的线性映射是向量空间同构。 0A9E
命题 5 同构i_G,e : gr\ U(G) → TS(L)是代数同构。 ↩ 1 0A9F
命题 6 令G, H为李群，并将G的φ态射代入H。对于T^(∞)(G)、φ_*(t * t') = φ_*(t) * φ_*(t')中的t, t'。 ↩ 3 0A9G
例假设G是由完全可范化空间E定义的李群。然后，U(G) 用 TS(E) 标识，限制 θ_* 到 U(G) 用 TS(Tₑ(θ)) 标识（可微分和解析流形，R，13.2.4）。因此，如果t ∈ TSˢ(E)，则t^∨ = (-1)ˢ t。 0A9H
命题 7 令 G 为李群。令 t, t' 位于 T^(∞)(G) 中。 ↩ 2 0A9I
命题 8 设G、H为G到H的李群和φ态射。如果t ∈ T^(∞)(G)，则φ_*(t^∨) = (φ_*(t))^∨。 0A9J
命题 9 设G₁, …, Gₙ为李群和G = G₁ × ⋯ × Gₙ。如果向量空间T^(∞)(G)和T^(∞)(G₁) ⊗ ⋯ ⊗ T^(∞)(Gₙ)被规范地识别，则代数T^(∞)(G)是代数T^(∞)(G₁), …, T^(∞)(Gₙ)中的张量积。如果 tᵢ ∈ T^(∞)(Gᵢ) 对应 i = 1, …, n，则 0A9K
命题 10 设 H 是 G 的谎言子群和 i : H → G 典范嵌入。那么对于所有 t ∈ T^(∞)(H)，i_* 就是代数 T^(∞)(H) 的单同态到代数 T^(∞)(H) 和 i_*(t^∨) = (i_*(t))^∨。 ↩ 1 0A9L
注如果 H 是李准子群，命题 10 仍然有效。 0A9M
命题 11 令 G 为李群。 (i) 余代数 T^(∞)(G)，通过卷积，是一个大数 (代数, 章 III, § 11, no. 4)。 (ii) 令 c 为 T^(∞)(G) 上的余积。设 t ∈ T^(∞)(G) 并写 c(t) = ∑ᵢ₌₁ⁿ tᵢ ⊗ tᵢ'. 然后c(t^∨) = ∑ᵢ₌₁ⁿ tᵢ^∨ ⊗ t_i'^∨。 0A9N
命题 12 设G，H是G到H的两个李群和φ态射。则φ_*是T^(∞)(G)到T^(∞)(H)的大数态射。 0A9O
命题 13 令 t ∈ T⁽ˢ⁾(G), t' ∈ T^(s')(G), u ∈ T^(s'')(X), 使得 ↩ 1 0A9P
命题 14 (i) 设g₀ ∈ G和τ(g₀)为X的映射x ↦ f(g₀, x)到X。如果u ∈ T⁽ʳ⁾(X)，则τ(g₀)*u = ε_g₀*u。 ↩ 4 0A9Q
命题 15 设 G（分别为 G'）为李群和 X（分别为 X'）流形或类 C^r。假设给定X（或X'）上G（或G'）的类 C^r 的左运算的律。令φ是G到G'的态射，ψ是X到X'的φ态射。设t ∈ T⁽ˢ⁾(G)、u ∈ T^(s')(X)使得s + s' ≤ r。然后 ψ_*(t * u) = φ_*(t) * ψ_*(u). 这可以证明为命题 6 of no. 2。 ↩ 2 0A9R
注令f为X上G的类C^r的右运算的律。如果t ∈ T⁽ˢ⁾(G)和u ∈ T^(s')(X)，以及s + s' ≤ r，我们用f_*下的u ⊗ t的u * t像来表示。命题 13, 14, 15 以明显的方式回顾这种情况。 0A9S
命题 16 令 G、G' 为李群、X 流形或类 C^r，并假设 G（或 G'）在左侧（或右侧）的 X 上运行，对所有 x ∈ X, g ∈ G, g' ∈ G' 使用 (gx)g' = g(xg')。让t ∈ T⁽ˢ⁾(G)，t' ∈ T^(s')(G')，t'' ∈ T^(s'')(X)，还有s + s' + s'' ≤ r。然后 (t * t'') * t' = t… 0A9T
定义 3 让 t ∈ T⁽ˢ⁾(G) 与 s ≤ r。令 f : X → F 为类 C^r 的函数，其中值在豪斯多夫多项式空间中（对于例 F = K）。 t 和 f 的卷积（用 t * f 表示）是 X 上的函数，F 中的值定义为 (t * f)(x) = ⟨ t^∨ * εₓ, f ⟩. 然后 beginalign* (t * f)(x) &= ⟨ varrho(x… 0A9U
命题 17 让类Cʳ中的t ∈ T⁽ˢ⁾(G)、t' ∈ T^(s')(X)和f : X → F函数与s + s' ≤ r。然后 ⟨ t', t * f ⟩ = ⟨ t^∨ * t', f ⟩. beginalign* ⟨ t', t * f ⟩ &= ⟨ t', x ↦ ⟨ t, g ↦ f(g⁻¹x) ⟩ ⟩ by (4) \\ &= ⟨ t ⊗ t', (g, x… ↩ 2 0A9V
命题 18 设类Cʳ中的t ∈ T⁽ˢ⁾(G)、t' ∈ T^(s')(G)和f : X → F函数，以及s + s' ≤ r。然后 (t * t') * f = t * (t' * f). 对于所有x ∈ X， beginalign* ⟨ εₓ, (t * t') * f ⟩ &= ⟨ ((t * t')^∨ * εₓ), f ⟩ by (5) \\ &= ⟨ t'^… ↩ 1 0A9W
命题 19 让t ∈ T⁽ˢ⁾(G)，与s ≤ r。令 f（分别为 f'）为 X 上的类 Cʳ 的函数，其中值在 Hausdorff 多范数空间 F（分别为 F'）中。令 (u, u') ↦ uu' 为 F × F' 的连续双线性映射为 Hausdorff 多范数空间 F''，因此 ff' 为 X 上类 Cʳ 的函数，其中值在F''。让 ∑ᵢ₌₁ⁿ tᵢ ⊗ t'ᵢ b… 0A9X
注 1 令G为X上G的类Cʳ的李群、X流形和(x, g) ↦ xg律以及类Cʳ的右运算。如果t ∈ T⁽ˢ⁾(G)与s ≤ r和f : X → F是X上类Cʳ的函数，我们用X上的f * t函数表示，定义为 ⟨ εₓ, f * t ⟩ = ⟨ εₓ * t^∨, f ⟩ \\ = ⟨ ρ(x) * (t^∨), f ⟩ \\ = ⟨ t^∨, f ∘ ρ(x) ⟩ \… 0A9Y
命题 20 设 G、G' 为类 Cʳ 的李群、X 流形以及类的左（或右）运算 (g, x) ↦ gx（分别(x, g') ↦ xg'）律 G（或 G'）在 X 上的Cʳ。假设 (gx)g' = g(xg') 代表所有 x ∈ X, g ∈ G, g' ∈ G'。令t ∈ T⁽ˢ⁾(G)、t' ∈ T^(s')(G')和f : X → F为类Cʳ中的函数，使得s + s'… ↩ 1 0A9Z
注 2 令(g, x) ↦ gx为X上G的类Cʳ的左运算的律。设t ∈ Uₛ(G)与s ≤ r、Ω为X的开子集以及类Cʳ的f : Ω → F函数。 t * f也可以由公式(4)或(5)定义；它是在 Ω 上定义的函数，F 中的值，如果s < ∞，则为类 Cʳ⁻ˢ。这个结果没有。扩展以明显的方式应对这种情况。 0AA0
命题 21 设ψ为X与G的运算通勤的自同构，则Dₜ在ψ下不变。 ↩ 2 0AA1
命题 22 如果g ∈ G，则g下Dₜ的变换为D_ε_g * t * ε_g⁻¹。 0AA2
定义 4 设G为李群。如果 G 上的分布域在 G 的左（或右）平移下保持不变，则称为左（或右）不变。 0AA3
定义 5 令G为李群和t ∈ U(G)。让Lₜ表示G上的分布g ↦ ε_g * t的域和Rₜ域的G上的分布g ↦ t * ε_g。 ↩ 1 0AA4
命题 23 (i) 映射t ↦ Lₜ（或t ↦ Rₜ）是向量空间U(G)的同构到G上左（或右）不变分布的向量域。 (ii) 对于U(G)、L_t*t' = Lₜ ∘ L_t'、R_t*t' = R_t' ∘ Rₜ、Lₜ ∘ R_t' = R_t' ∘ Lₜ中的t, t'（滥用记号或no. 5）。 (iii) 如果 θ 是 G 的映射 g ↦ g⁻¹ 到 G，则θ(Lₜ)… ↩ 3 0AA5
注 1 它是 G 本身的作用右平移，即左不变分布的定义域。 ↩ 1 0AA6
注 2 假设 G 是有限维的。映射 0AA7
引理 1 令X和X'完全可规范空间，X₀是X中0的开邻域，并且将X₀的解析映射引入X'，使得f(0) = 0。令 f = f₁ + f₂ + f₃ + ⋯ 为 f 的展开作为级数关于 0 的积分，其中 fᵢ 是次数 i 在 X 上的齐次连续多项式，值在 X' 上。令t为TS²(X)的元素，被视为X上的点分布，且支持包含在\{0\}中。让t' = f_*(t) ∈ TS… ↩ 1 0AA8
命题 24 令 G 为李群和 (U, φ, E) G 上的图表，使得 φ(e) = 0。令 V 为 e 的开邻域，使得 V² ⊂ U。令 m 为 φ(V) × φ(V) 对 E 的解析映射 (a, b) ↦ φ(φ⁻¹(a)φ⁻¹(b))。令 ↩ 1 0AA9
推论 normable 空间 Tₑ(G) 与括号一起，是normable 李代数。 0AAA
定义 6 可范化空间Tₑ(G)与括号一起称为G的可范化李代数，或简称为G的李代数，记为L(G)。 0AAB
命题 25 设 G 为李群和 E(G) L(G) 的包络代数。将L(G)的典范嵌入转换为E(G)定义同态θ将代数E(G)转换为代数U(G)。如果 K 的特征为 0，则 η 是大数同构。 0AAC
命题 26 假设K的特征为p > 0。对于所有 a ∈ L(G)、aᵖ ∈ L(G) 和 ad(aᵖ) = (ad a)ᵖ（幂 aᵖ 按 U(G) 计算）。 0AAD
定义 7 设X为类Cʳ(r ≥ 2)的流形，且g为完全规范李代数。 A law of infinitesimal left (resp. right) operation of class Cʳ⁻¹ of g on X is a mapping a ↦ Dₐ of g into the set of vector fields on X with the follow… ↩ 2 0AAE
注令X为类Cʳ的流形，g为有限维李代数，将g的a ↦ Dₐ线性映射转换为向量域的向量空间类Cʳ⁻¹于X。那么定义7中的条件(a)成立。因为，通过考虑g和应用可微分和解析流形的基，R，7.7.1，问题被简化为情况dim g = 1，然后我们的断言是显而易见的。 0AAF
命题 27 设 G 为类 Cʳ 中的李群和 X 流形。 Suppose that a law of left (resp. right) operation of class Cʳ of G on X is given. 对于所有 a ∈ L(G)，令 Dₐ 为由 X 定义的点分布的域。 ↩ 2 0AAG
命题 28 设G和H为李群，G到H的φ态射。假设K的特征为0，H是有限维的。 ↩ 3 0AAH
命题 29 设G和H为李群，G到H的φ态射。假设K的特征为0，H是有限维的。如果 H' 是 H 的谎言子群，则 G' = φ⁻1(H') 是 G 的谎言子群，并且 L(G') = L(φ)⁻1(L(H'))。 ↩ 3 0AAI
推论 1 设G、H为李群，G的φ₁和φ2态射为H。假设K的特征为0，H是有限维的。 g ∈ G 的集合使得 φ₁(g) = φ2(g) 是 G 的李子子群 G'，并且 L(G') 是 x ∈ L(G) 的集合，使得 L(φ₁)x = L(φ2)x。 ↩ 3 0AAJ
推论 2 设G是有限维李群，G₁和G2是G的两个谎言子群。假设K的特征为0。则G₁∩G2是G的谎言子群，其中李代数L(G₁)∩L(G2)。 ↩ 3 0AAK
推论 3 令 G、G'、H 为李群，且 φ : G → H 且 φ' : G' → H 李群态射。假设 K 的特征为 0，并且 H 是有限维的。令 F 为 (g, g') ∈ G × G' 的集合，使得 φ(g) = φ'(g')。那么 F 是 G × G' 的谎言子群，L(F) 是 (x, x') ∈ L(G) × L(G') 的集合，使得 L(φ)x = L(φ'… 0AAL
命题 30 设 G 是有限维李群且具有可数基且 ↩ 2 0AAM
命题 31 设 G 为有限维李群，可数基，H 为 G 的正规谎言子群，A 为 G 的谎言子群。假设 K 的特征为 0，且 AH 是闭集。令 φ 为 G 在 G/H 上的规范态射。然后典范映射 0AAN
命题 32 令 G 和 H 为李群，k 为 K 的非离散闭子域和 G 的 φ 态射到 H 中，对于 k 上的李群结构。假设 K 的特征为 0。如果 L(φ) 是 K 线性的，则对于 K 上的李群结构，φ 是态射。 ↩ 1 0AAO
命题 33 映射t ↦ ⟨ t, f ⟩是代数T^(∞)(G)中的态射变成代数A。 ↩ 2 0AAP
推论 L(A^*)的典范映射ζ到A是李代数的同构，L(A^*)到李代数A。在其他字， ζ([a, b]) = ζ(a)ζ(b) - ζ(b)ζ(a) 对于L(A^*)中的所有a, b。如果 K 具有特征 p > 0，则 ζ(aᵖ) = ζ(a)ᵖ 对于所有 a ∈ L(A^*)。 ↩ 2 0AAQ
命题 34 设 H 为李群，A 为单位完全规范结合律代数和 φ : H → A^* 李群态射。通过将φ_*与T^(∞)(A^*)的规范态射组合到A中，获得T^(∞)(H)的相关态射φ'到A的关联。特别是，φ'(x) = L(φ)(x)适用于所有x ∈ L(H)。 ↩ 2 0AAR
命题 35 设E为有限维向量空间。令φ为李群GL(E)中的态射g ↦ det g变成李群K^*。 L(E)到K中的映射L(φ)为映射x ↦ Tr x。 φ的核SL(E)是GL(E)的谎言子群与李代数𝔰𝔩(E)。 0AAS
命题 36 设I为1, 2, …, n的子集，G子群为g = (gᵢⱼ)_1 ≤ i, j ≤ n ∈ GL(E)的GL(E)由……组成，这样gᵢⱼ = 0为i < j，gᵢᵢ = 1为i ∈ I。那么 G 是 GL(E) 的谎言子群，L(G) 是 x = (xᵢⱼ)_1 ≤ i, j ≤ n ∈ L(E) 的集合，这样 xᵢⱼ = 0 对应 i < j，xᵢᵢ = 0… ↩ 2 0AAT
命题 37 设 A 是完全规范单位结合律代数和 x ↦ xᵗ A 到 A 中的连续线性映射，使得 A 中所有 x, y 都有 (xᵗ)ᵗ = x 和 (xy)ᵗ = yᵗ xᵗ。假设 K 具有特征 ≠ 2。令 G 为 x ∈ A 的 A^* 由……组成的子群，使得 xxᵗ = xᵗ x = 1。那么 G 是 A^* 的谎言子群，并且 L(G) 是 y ∈ A 的集合，使… ↩ 2 0AAU
推论 1 假设K的特征为≠ 2。设 E 为 K 上的有限维向量空间，且 φ 为 E 上的非简并对称（分别为交错的）双线性形式。对于所有 u ∈ L(E)，令 u^* 为 u 相对于 φ 的伴随。令 G 为 φ 的正交（或辛）群。那么 G 是 GL(E) 的谎言子群，并且 L(G) 是 x ∈ L(E) 的集合，使得 x^* = -x。 ↩ 1 0AAV
注令 B 为 E 的基和 φ 的 J 矩阵关于 B。则 L(G) 为 L(E) 的元素集合，其中关于 B 的矩阵 X 满足等式 0AAW
推论 2 令 E 为复数（或实数）希尔伯特空间，U 为 E 的酉群。则 U 为 GL(E) 的实数子群，L(U) 为 x ∈ L(E) 的集合，使得 x^* = -x。 ↩ 1 0AAX
推论 3 设 E 为有限维复数向量空间，φ 为 E 上的非简并厄米特倍半线性形式，U 为 φ 的酉群。那么 U 是 GL(E) 的实谎言子群，L(U) 是 x ∈ L(E) 的集合，使得 ix 是厄米特。 0AAY
命题 38 将G视为在映射(g, x) ↦ π(g)x左侧的E上进行操作。设b ∈ E和φ(b)为其轨道映射。让 T_b(E) 与 E 被规范地识别。对于所有t ∈ L(G)， ↩ 1 0AAZ
命题 39 假设K的特征为0。令G为李群，E有限维向量空间，π为G在E上的解析线性表示。令E₁, E₂为E的向量子空间，使得E₂ ⊂ E₁。 g ∈ G 的集合 G₁，使得π(g)x ≡ x（模E₂）对于所有x ∈ E₁ 是G 的谎言子群，并且L(G₁) 是a ∈ L(G) 的集合，这样L(π)a映射E₁变成E₂。 ↩ 2 0AB0
推论 1 在命题 39 的记号、g ∈ G 的集合中，π(g)(E₁) ⊂ E₁ 是G 的谎言子群，并且它的李代数是a ∈ L(G) 的集合，这样L(π)a映射E₁变为E₁。 ↩ 1 0AB1
推论 2 令G, E, π 与命题 39 相同。令F 为E 的子集。 g ∈ G的集合，使得对于所有x ∈ F来说，π(g)x = x是G的谎言子群，并且它的李代数是a ∈ L(G)的集合，使得对于所有(L(π)a)(x) = 0 x ∈ F。 ↩ 3 0AB2
命题 40 令 G 为李群，E 完全可范空间，π G 在E 上的解析线性表示，以及F 闭向量 E的子空间稳定在π(G)以下。假设K的特征为0，或者F是E的直因子。 ↩ 2 0AB3
命题 41 设G为李群且π₁, π₂, …, πₙ, π在完全可规范空间E₁, E₂, …, Eₙ, E上解析G的线性表示。让 (x₁, x₂, …, xₙ) ↦ x₁ x₂ … xₙ 是 E₁ × E₂ × ⋯ × Eₙ 到 E 的连续多重线性映射。假设 π(g)(x₁ x₂ … xₙ) = (π₁(g)x₁)(π₂(g)x₂) … (πₙ(g)xₙ) 对于所有人… ↩ 3 0AB4
推论 1 设G为李群，E₁, …, Eₙ₊₁完全可范化空间和π₁, …, πₙ₊₁对G解析线性表示E₁, …, Eₙ₊₁。让 E = L(E₁, …, Eₙ; Eₙ₊₁) 将 E₁ × ⋯ × Eₙ 的连续多线性映射的完整可规范空间转化为 Eₙ₊₁ （一般拓扑、章X, § 3, no. 2）。对于所有 g ∈ G，让 π(g) 成为 E 的自同构定义为 (π(g… ↩ 6 0AB5
推论 2 令G为李群，且π为G在完全可规范空间E上的解析线性表示。 Then g ↦ ᵗπ(g)⁻¹ is an analytic linear representation ρ of G on the complete normable space L(E, K)\footnote{As when K = R or C, the transpose ᵗπ(g) co… 0AB6
推论 3 令G为李群，并且π₁, …, πₙ在有限维向量空间E₁, …, Eₙ上解析G的线性表示。则G(附录)的表示π₁ ⊗ ⋯ ⊗ πₙ解析，L(π₁ ⊗ ⋯ ⊗ πₙ)为L(π₁), …, L(πₙ)的张量积。 ↩ 2 0AB7
推论 4 令G为李群，且π为G在有限维向量空间E上的解析线性表示。然后对G(附录)的表示Tⁿ(π)、Sⁿ(π)和∧ⁿ(π)进行解析， L(Tⁿ(π)) = Tⁿ(L(π)), L(Sⁿ(π)) = Sⁿ(L(π)), L(∧ⁿ(π)) = ∧ⁿ(L(π)). 这是从推论 3 和命题 40 得出的。 0AB8
推论 5 令 A 为有限维代数。假设K的特征为0。A的自同构群Aut(A)是GL(A)的谎言子群，L(Aut(A))是A的推导的李代数。 ↩ 1 0AB9
注我们将推论 1 应用于 G = GL(F)（F 一个完整的可范数空间）、π₁ = π₂ = Id_G 和 π₃ G 的平凡表示在 K 上。我们在 L(F, F; K) 上获得 GL(F) 的解析表示 π。我们假设F是有限维的，K的特征为0。应用推论2到命题39到π，我们将推论1的部分恢复到命题37。 0ABA
命题 42 令G为李群，X为X上G的解析左（或右）运算的解析流形，(g, x) ↦ gx（或xg）律，并且X的x₀点在G下不变。对于所有g ∈ G，令τ(g)为X的自同构x ↦ gx（分别为xg），令π(g)为T_x₀(X)在x₀处的切线自同构到τ(g)。 (i) π 是G（或G^∨）在T_x₀(X) 上的解析表示。 (ii) 对于所有a ∈ L(G)和所有ξ₀ ∈ T… ↩ 2 0ABB
命题 43 让t, u位于T^(∞)(G)中。设∑ᵢ₌₁ⁿ tᵢ ⊗ t'ᵢ为余积下t的像。然后 t top u = ∑ᵢ₌₁ⁿ tᵢ * u * t'ᵢ^∨. 0ABC
推论 1 设u ∈ L(G)和u' ∈ T^(∞)(G)。然后u top u' = u * u' - u' * u. ↩ 1 0ABD
推论 2 设t ∈ T^(∞)(G)和g ∈ G。然后ε_g top t = ε_g * t * ε_g⁻¹。如果t ∈ L(G)，则ε_g top t = gtg⁻¹（其中后者乘积在群T(G)中计算）。 0ABE
推论 3 设a ∈ L(G)。向量域由a定义，G在G上的左边运算g ↦ Int g是域Rₐ - Lₐ。 ↩ 1 0ABF
定义 8 表示 G 在 L(G) 上的 Ad 称为 G 的伴随表示。 ↩ 2 0ABG
命题 44 对于所有a ∈ L(G)， (L(Ad))(a) = ad_L(G)a. 让b ∈ L(G)。由 no. 11 的命题 42 (ii) 以及推论 3 至命题 43， (L(Ad))(a).b = -[Rₐ - L_a₁L_b](e). 现在Rₐ ∘ L_b = L_b ∘ Rₐ（no. 6、命题23（ii））、从而[Rₐ, L_b] = 0；然后，使用命题… ↩ 7 0ABH
命题 45 假设G是有限维的并且K的特征为0。令s为整数geqslant 0。那么映射 π : g ↦ Ad_Uₛ(G)(g) 是 G 在 Uₛ(G) 和 L(π)a = ad_Uₛ(G)a 上对所有 a ∈ L(G) 的解析线性表示。 ↩ 1 0ABI
命题 46 设h ∈ G, x ∈ Tₕ(G)和a ∈ L(G)。设 φ 为 G × G 的映射 (g, g') ↦ gg'g⁻¹ 到 G。 T_(e, h)(φ)下(a, x) ∈ Tₑ(G) × Tₕ(G)的像y是y = x + h((Ad h⁻¹)a - a)。我们有 beginalign* y &= (T_(e, h)φ)(a ⊗ εₕ + εₑ ⊗ x) \… ↩ 2 0ABJ
命题 47 设 G 为李群，H 和 E 为 G 的子群，并假设对于所有 h \in H，hEh⁻¹ = E。则T^(∞)(H) ⊂ T^(∞)(E) ⊂ T^(∞)(E)。特别是Ad(H)(L(E)) ⊂ L(E)和[L(H), L(E)] ⊂ L(E)。 ↩ 2 0ABK
命题 48 设 G 为李群，H 和 E 位于 G 的子群。假设 G 是 H 通过 E 的半直乘积，如李群。设 φ 为李群 G 在 L(E) 上的线性表示 g ↦ (Ad g) | L(E) (cf. 命题 47) 并设σ为φ到H的限制。则： (i) L(G)是L(H)和L(E)的拓扑直和； (ii) L(H)是L(G)的子代数，并且L(E)是L(G)的理想； (iii)… ↩ 1 0ABL
推论令 G 为李群。让 Tₑ(G) 被赋予其唯一的交换律李代数结构。设τ是L(G)的伴随表示。那么T(G)的李代数就是τ定义的Tₑ(G)对L(G)的半直接乘积。在其他字中，对于L(G)中的x, x'和Tₑ(G)中的y, y'， 0ABM
命题 49 设 A 是完全规范单位结合律代数。我们认同 A 与L(A^*)。那么，如果g ∈ A^*和y ∈ A，则(Ad g)y = gyg⁻¹。 0ABN
推论对于所有 g ∈ A^*，令 i(g) 为 A 的自同构 y ↦ gyg⁻¹，因此 i 是 A 上 A^* 的解析线性表示。对于所有 z ∈ L(A^*) = A, L(i)z 为内部推导 A 的y ↦ zy - yz。 0ABO
命题 50 设 G 为李群（如果 K 的特征 0，则假定为有限维）。令E为Tₑ(G)上次数 k 的连续交替多重线性形式的向量空间。对于所有u ∈ E，令ωᵘ为G上次数k的微分形式，使得(ωᵘ)_g是T_g(G)上的多重线性形式，通过平移h ↦ gh（或h ↦ hg）从u导出。那么 ωᵘ 在 G 上是解析的且左（或右）不变的。映射 u ↦ ωᵘ 是 E 的同构到… ↩ 2 0ABP
命题 51 如果K具有特征> 0，则令G为有限维的李群，并令a₁, …, aₚ为L(G)的元素，F为完全规范的空间，并且α G 上次数 p-1 的形式与F 上值的差值。如果 α 保持不变，则 ↩ 3 0ABQ
推论 1 如果K的特征 0，则令G为有限维的李群，并且ω和ω'为G的左右规范微分形式。则 dω + [ω]² = 0, dω' - [ω']² = 0. 到命题51， (dω)ₑ(a₁, a₂) = -ωₑ([a₁, a₂]) = -[a₁, a₂] = -[ωₑ(a₁), ωₑ(a₂)] = -[ω]²ₑ(a₁, a₂) 从而第一个公式。第二个可以类似地建立。 ↩ 1 0ABR
推论 2 假设 G 是有限维的。令(e₁, …, eₙ)为L(G)、(e₁^*, …, eₙ^*)对偶基、(cᵢⱼₖ)的基、L(G)的结构相对于基、(e₁, …, eₙ)和ωᵢ的常数（分别为： ω'ᵢ) G 上的左（或右）不变微分形式与 K 中的值，使得(ωᵢ)ₑ = eᵢ^*（或(ω'ᵢ)ₑ = eᵢ^*）。然后 dωₖ + ∑_i < j cᵢⱼₖ ωᵢ ∧ ωⱼ… 0ABS
引理 2 设G为李群，U为G中e的对称开邻域，E为完全规范空间，φ : U² → E为解析映射。对于所有g ∈ U，令ω_g为映射h ↦ φ(g⁻¹h)在点g处的微分。那么ω对于G上的左不变微分形式的U来说是限制，其在e处的值是dₑ φ。 ↩ 2 0ABT
命题 52 令 n 为整数 0，G 为 n 维李群，U 为 G 中 e 的对称开邻域，ψ : U² → Kⁿ 为 G 的图，使得 ψ(e) = 0。如果(x₁, …, xₙ)是x ∈ ψ(U)的坐标，(y₁, …, yₙ)是y ∈ ψ(U)的坐标，我们表示为 ↩ 1 0ABU
命题 53 设G为李群，A为G的完全可规范代数和φ李群态射为A^*。对于所有g ∈ G，令ω_g = φ(g)⁻¹ d_g φ。那么ω是G上的左不变微分形式，其在e处的值是dₑ φ。 0ABV
命题 54 令 G 为有限维 n 的李群，ω 为 G 上次数 n 的左不变微分形式和 G 的 φ 自同态。则 ↩ 1 0ABW
推论对于所有g ∈ G， ↩ 1 0ABX
命题 55 假设 K 是局部紧致的。令 μ 为 K 的加法群上的 Haar 测度。令 G 为有限维 n 的李群。 ↩ 2 0ABY
推论对于所有g ∈ G，Δ_G(g) = (mod det Ad g)⁻¹。 In particular, for G to be unimodular, it is necessary and sufficient that mod det Ad g = 1 for all g ∈ G. ↩ 2 0ABZ
注保留命题 52 的假设和记号，假设 K 是局部紧致的。设 μ 为度量 mod det(Dₙ₊ᵢmₖ(x₁, …, xₙ, x₁, …, xₙ))_1 ≤ i, k ≤ n dx₁ … dxₙ 在ψ(U)。那么ψ⁻¹(μ)是G上哈尔测度的限制到U。 0AC0
命题 56 令G为有限维n的李群，H一个p维李子群和X李齐次空间G/H。假设 det Ad_L(G) h = det Ad_L(H) h 对于所有h ∈ H。然后： (i) 次数 n - p在X上的微分形式在G下不变，是解析的。 (ii) 这些形式中的向量空间是维数 1。 (iii) 如果ω是这样一个非零形式并且K是局部紧致的，mod(ω)_μ是X上的非零测度，它在G下… ↩ 1 0AC1
命题 57 设G为有限维n中的李群。选择基 bigwedgeⁿ Tₑ(G)^*；通过bigwedgeⁿ T(G)^*的右（或左）平凡化，我们用平凡的向量丛G × K来可以确定这个向量丛，这样标量微分算子的转置就可以用标量微分算子来标识。 ↩ 1 0AC2
推论令 G 为有限维实李群，μ（分别为 ν）为 G、k 整数 geqslant 0、u ∈ Uₖ(G) 和 f 的左（或右）Haar 测度，并且G 上的类 Cᵏ 的g 实值函数具有紧凑的支持。然后 0AC3
定义 9 设G为李群，类Cʳ的M流形以及M的类Cʳ的f映射入G。 f 的左（或右）微分是 M 上次数 1 的微分形式与 L(G) 中的值的微分形式，它与每个向量 u ∈ Tₘ(M) 元素 f(m)⁻¹ · (Tₘ f)(u)（或元素）相关联。 (Tₘ f)(u) · f(m)⁻¹）。 0AC4
例 (1) 如果 G 是完全可规范空间的加法群，并且 T₀(E) 与 E 规范地一致，则 f⁻¹.df 是微分和解析流形, R, 8.2.2 中定义的微分 df。 0AC5
命题 58 设G和H为两个李群、类CʳM流形、M类Cʳf映射》将G的G和h态射转换为H。然后 0AC6
命题 59 令G为李群、类Cʳ、f、M流形以及M的类Cʳg映射代入TM 的G 和p 典范满射到M。 ↩ 2 0AC7
推论 1 设s ∈ G和sg为M的映射x ↦ sg(x)到G。然后 0AC8
推论 2 如果M到G的映射f和g具有相同的左微分，则映射到fg⁻¹的切线处处都是零。如果进一步 K 的特征为 0，则 fg⁻¹ 是局部常数。 ↩ 1 0AC9
命题 60 如果K的特征 0，则令G为有限维的李群，类Cʳ的M流形，类的f映射将M的Cʳ分解为G和αf的左微分。然后dα + [α]² = 0. 0ACA

§ 4. 。从李代数到李群的通道

引理 1 设 G 为李群胚芽，𝔥是L(G)的谎言子代数，承认拓扑补充。 g ∈ G 的 g𝔥（或 𝔥g）的并是 T(G) 的可积向量子束。 ↩ 1 0ACK
定理 1 设G和H为李群细菌，f为L(G)到L(H)的连续态射。 (i) 存在 G 的开李子群胚G'和G'的态射φ进入H，使得f = L(φ)。 (ii) 设G₁, G₂开，将G的子群胚芽和Gᵢ的φᵢ态射放入H中，使得f = L(φᵢ)为i = 1, 2。然后是 e 的邻域上的 φ₁ 和 φ₂ 重合。让 p₁ : G × H → G, p₂ : G × H → H… ↩ 8 0ACL
推论 1 令G和H为两个李群细菌。如果 L(G) 和 L(H) 同构的，则 G 和 H 局部同构。 ↩ 4 0ACM
推论 2 设G为李群胚芽。如果 L(G) 是可交换的，则 G 与加法李群 L(G) 局部同构。 ↩ 1 0ACN
推论 3 令 G 为李群。如果L(G)是可交换的，则G包含是可交换的开子群。 0ACO
引理 2 令L是R或C的完全规范李代数。令 G 为 x ∈ L 的集合，使得 |x| < 1/3 log 3/2。令θ为G到G的映射x ↦ -x。令H为L(章II, § 7, no. 2)的Hausdorff函数的限制至G × G。 (i) (G, 0, θ, H) 是李群胚芽。 (ii) 设φ为G到L的恒等映射。 φ 在 0 处的微分是可规范李代数 L(G) 到 L… ↩ 1 0ACP
引理 3 令 L 为 K 上的完全范数李代数。令 G 为 x ∈ L 的集合，使得 |x| < λ。令 H : G × G → G 为 L (章 II, § 8, no. 3) 的 Hausdorff 函数。 (i) 当律为合成H时，G为李群，其中0为单位元素，-x为所有x ∈ G的x的倒数。 (ii) 设φ为G到L的恒等映射。 φ 在 0 处的微分是可规范李代数 L… ↩ 3 0ACQ
定理 2 令 L 为完全范数李代数。存在李群胚芽G，使得L(G)与L同构。两个这样的李群细菌是局部同构的。 ↩ 4 0ACR
推论 1 令 G 为李群。 e 存在邻域，其中包含没有与 {e} 不同的有限子群。如果 K = R 或 C，则存在 e 的开邻域，其中包含没有与 {e} 不同的子群。 ↩ 2 0ACS
推论 2 令 k 为 K 的非离散闭子域，k 上的 G 李群且 L = L(G)。假设L有一个可范李K-代数结构L'，与可范李K-代数结构兼容，且在G的伴随表示下不变量。则G上存在唯一一个与该李兼容的李K群结构k 群结构，其中李代数为 L'。 0ACT
定理 3 令 G 为李群胚芽和𝔥一个L(G)的谎言子代数，承认拓扑补充。 G 存在一个李子群胚芽 H，使得 L(H) = 𝔥。如果 H₁ 和 H₂ 是 G 的谎言子群细菌，使得 ↩ 5 0ACU
命题 1 设G为李群胚芽，H和H'两个李子群胚芽。在阶、L(H) ⊃ L(H')中，H ∩ H'在H'开放是必要且充分的。 0ACV
命题 2 令 G 为 K 上的李群，k 为 K 的非离散闭子域，H 为李 k 群 G 的李子群。假设 L(H) 是 L(G) 的向量子 K 空间，其中承认拓扑补充。那么 H 是李 K 群 G 的李子群。 ↩ 2 0ACW
定理 4 令G为李群胚芽，L其李代数，VL中0的开邻域，φ为V的解析映射进入G，使得φ(0) = 0且T0(φ) = IdL。以下条件是等效的： (i) 对于所有 b ∈ L，对于 λ ， φ((λ + λ')b) = φ(λb)φ(λ'b)和λ'足够小。 (ii) 对于所有 b ∈ L 且每个整数 n 0，φ(b^n) 是 U(G) 中次数 n 的齐次（T0^{(∞… ↩ 4 0ACX
定义 1 令 G 为李群胚芽，L 为李代数。 G 的指数映射是定义在 L 中 0 的开邻域、G 中的值和定理 4 的满足条件上定义的任何解析式映射 φ。 ↩ 1 0ACY
例 (1) 令 G 为完全可范空间 E 的加法群。L(G) 到 E 上的典范同构满足定理 4 的条件 (i)，因此是 G 的指数映射。 0ACZ
命题 3 令 G 为李群胚芽，L其李代数和φG的指数映射。令L₁, …, Lₙ为L的向量子空间，使得L是拓扑直和 L₁, …, Lₙ。映射 ↩ 1 0AD0
命题 4 设 G 为李群胚芽，φ G 的单射指数映射。对于 L(G) 中的所有 x、y， ↩ 3 0AD1
命题 5 令 G 为李群，k 为 K 的非离散闭子域，G' 群 G 被视为 k 上的李群，φ（或 φ'）为 G（或 G'）的指数映射。然后 φ 和 φ' 重合在 0 的邻域上。 ↩ 1 0AD2
命题 6 设G是李群胚芽，L是李代数，φ : V → G是G的指数映射。对于所有x ∈ V，让Tₓ(L)等同于L，这样φ在x处的右微分varpi(x)是将L的线性映射转化为L。对于 x 足够接近 0， ↩ 1 0AD3
命题 7 (i) 如果 t ∈ Z，则 e 的邻域上第 t 个幂映射重合与映射 g ↦ gᵗ。 ↩ 1 0AD4
命题 8 设G和H为李群细菌，G的h态射转化为H以及G和H的φ_G和φ_H指数映射。在L(G)中存在0的邻域V使得h ∘ φ_G和φ_H ∘ L(h)重合于V。 ↩ 3 0AD5
推论 1 设 G 为李群胚芽，G' 为 G 的谎言子群胚芽，φ 为 G 的指数映射。 ↩ 1 0AD6
推论 2 设 G 为李群，ρ G 的解析线性表示，φ G 的指数映射。在 L(G) 中存在 0 的邻域 V，使得 ρ(φ(x)) = exp(L(ρ)x) 对于所有x ∈ V。 ↩ 2 0AD7
推论 3 令 G 为李群和 φ G 的指数映射。 ↩ 1 0AD8
引理 4 设G是有限维李群，ΩG中e的对称开邻域和Ω包含e的H子集，使得条件x ∈ H, y ∈ H, xy⁻¹ ∈ Ω隐含xy⁻¹ ∈ H。让r ∈ N_K。对于所有x ∈ H，令hₓ为a ∈ Tₓ(G)的集合，其中性质：K中存在0的开邻域I和类Cʳ的映射f I 代入 G 使得f(0) = x, f(I) ⊂ H, (T₀f)(1) = a。 ↩ 1 0AD9
定义 2 𝔥 称为子代数在 e 处与 H 相切。 ↩ 1 0ADA
命题 9 令 G 为 G 的有限维李群和 H 子群。 ↩ 2 0ADB
定义 3 命题 9 中定义的H上的李群结构称为G上的李群结构在H上诱导的结构。 ↩ 1 0ADC
引理 5 令X为类Cʳ、F的流形和类Cʳ的F'向量丛和基空间X以及将F中的φ态射转换为F'。对于所有 x ∈ X，令 Sₓ 为集合 (a, φ(a)) ∈ Fₓ ⊕ F'ₓ a ∈ Fₓ。那么Sₓ的并S是F ⊕ F'的向量子束。 ↩ 2 0ADD
引理 6 令G为李群胚芽，ωG（§ 3, no. 18.9）的规范左微分形式，类Cʳ（r ≥ 2）的M流形以及α M 上的类 Cʳ⁻¹ 和次数 1 的差形式与L(G) 中的值。 ↩ 1 0ADE
定理 5 设G为李群胚芽，M流形为类Cʳ(r ≥ 2)和α微分形式为类Cʳ⁻¹和次数1在M上与值在L(G)，使得dα + [α]² = 0。对于所有x ∈ M和所有g ∈ G，存在映射f，定义为类Cʳ⁻¹在x的开邻域上，值在G中，这样f(x) = g 和 f⁻¹.df = α。 x的邻域上有两个映射，其中满足这些条件重合。 ↩ 2 0ADF
命题 10 设 M 为 M 上的解析流形、𝔤 完全可范李代数和 α M 上次数 1 的解析微分形式，其中值在 𝔤 中，具有以下属性： (a) 对于所有m ∈ M，αₘ是Tₘ(M)的同构到𝔤； (b) dα + [α]² = 0。 ↩ 1 0ADG
推论令 M 为有限维 n 的解析流形。令ω₁, …, ωₙ为M上次数1的解析微分形式，标量为值，其在M的每个点处线性独立，因此，对于所有k = 1, …, n，dωₖ为线性组合具有ωᵢ ∧ ωⱼ 的常数系数。那么，对于所有m₀ ∈ M，M中存在m₀的开放邻域M'，以及M'上的李群胚芽结构与M'上的流形结构兼容，与单位元素 m₀ 且使得次数 1 的 M' 上的左不… 0ADH
命题 11 设G₁和G₂为李群细菌，X₁和X₂流形为类Cʳ（r ≥ 2）。对于i = 1, 2，令ψᵢ为Xᵢ上Gᵢ的类Cʳ的左运算的律块，以及Dᵢ无穷小运算的关联律。令μ : G₁ → G₂为态射且φ : X₁ → X₂映射等于类Cʳ。假设对于所有 a ∈ L(G)，向量域 (D₁)ₐ 和 (D₂)_L(μ)a 与 φ 相关（可微分和解析流形，R，8.2.6）。那么G₁… 0ADI
推论令 G 为李群胚芽和类Cʳ中的X流形。考虑X上G的类Cʳ的左侧运算的两个律块。假设对于所有a ∈ L(G)，X上的相应的向量域Dₐ对于两个律块来说是相同的。然后这两个律块重合位于e × X的邻域上。 ↩ 3 0ADJ
定理 6 设G为李群胚芽、类Cʳ(r ≥ 2)的X流形和X的x₀点。令a ↦ Dₐ为X上L(G)的类Cʳ⁻¹的左无穷小运算的律。 ↩ 1 0ADK
推论 1 令G为李群胚芽，X为类Cʳ（r ≥ 2）的副紧致流形。令a ↦ Dₐ为X上L(G)的类Cʳ⁻¹的左无穷小运算的律。 ↩ 2 0ADL
推论 2 令 X 为类 Cʳ (r ≥ 2) 的仿紧凑流形和 X 上类 Cʳ⁻¹ 的ξ 向量域。 X 上存在运算 ψ 类 Cʳ⁻¹ K 的律块，使得对于所有x ∈ X，ξ(x) 是切线t ↦ (t, x) 下的像向量 1 到 K 位于 0。运算的两个律块以及上述性质重合位于 0 × X 的邻域。 ↩ 1 0ADM
注左运算的律当然可以在整个编号中被右运算的律替换。 0ADN

§ 5. 。李群中的正式计算

命题 1 （一） x^[-1] ≡ -x + B(x, x) mod deg 3 （二） x.y.x^[-1] ≡ y + [x, y] mod deg 3 （三） y^[-1].x.y ≡ x + [x, y] mod deg 3 （四） x^[-1].y^[-1].x.y ≡ [x, y] mod deg 3 （五） x.y.x^[-1].y^[-1] ≡ [x… ↩ 2 0AE1
命题 2 （一）ψⱼ ≡ 0 mod deg j。 (ii) 如果t ∈ K，则 x^[t] = ∑ᵢ₌₁⁸ binomti ψᵢ(x) 由于 (i)，右侧的正式幂级数才有意义。 ↩ 2 0AE2
注 (1) 我们将 t 整数 geqslant 0 写为命题 2 的条件 (ii)： 0AE3
命题 3 (27) L = ∑ₚ₌₁^∞ frac(-1)ᵖ⁻¹p ψₚ (28) E = ∑ₚ₌₁^∞ 1/p! ψ_p,p （回想一下，ψ_p,p是次数p的ψₚ的齐次分量。） ↩ 2 0AE4
命题 4 对于 G 的图表曾经是规范的，ψⱼ = 0 对于 j ≥ 2 是充分必要的。 0AE5

§ 6. 。真实而复杂李群

引理 1 令 G 为单连通†拓扑群，W 为 E、H 群和 W³ 的 f 映射的对称连通开邻域到 H，使得 ↩ 2 0AE8
定理 1 设G和H为李群和h，L(G)到L(H)的连续态射。假设 G 是单连通的。那么G到H中存在且仅有一个李群态射φ使得h = L(φ)。 ↩ 5 0AE9
推论令G为有限维单连通李群。存在 G 的有限维解析线性表示，其核是离散的。 ↩ 2 0AEA
注 (1) 存在有限维单连通李群，且无有限维单射解析线性表示 (习题 2)。 0AEB
定义 1 设G为李群。 G 的积分子群是子群 H，并连接了李群结构，使得 H 到 G 的典范嵌入是浸没。 0AEC
例 (1) G 的连通李子群是 G 的积分子群。 0AED
定理 2 设G为李群。 ↩ 3 0AEE
注 1 令 H 为 G 的积分子群。令 Y 为与 L(H) 相关的 G 的左叶。如果g ∈ G，则让gH由γ(g)从H上派生出流形结构。通过可微分解析流形，R，9.3.2，gH的典范嵌入到Y中是态射。这个态射是étale。因此，Y 的最大连通叶是模 H 的左陪集。 ↩ 1 0AEF
命题 1 设G和M为李群，H为G的子群和M的φ态射积分到G中，使得L(φ)(L(M)) ⊂ L(H)。假设M是连通的。那么φ(M) ⊂ H和φ，视为M到H的映射，是李群态射。 ↩ 5 0AEG
推论 1 设G和H为G的李群、φ李群态射到H、φ和h = L(φ)的N核。假设 G 是连通的并且 H 是有限维的。 (i) N 是 G 和 L(N) = Ker\ h 的谎言子群。 (ii) 令 H' 为 H 与李代数 Im h 的积分子群。然后φ(G) = H'. (iii) 当经过与李群同构的商为李群同构时，将 G/N 的映射转化为由φ 导出的 H'。 ↩ 3 0AEH
推论 2 设G为李群，H1和H2对G进行积分子群。如果L(H₂) ⊂ L(H₁)，则H2是H1的子群积分。 ↩ 2 0AEI
推论 3 设G是有限维李群和(Hᵢ)_i ∈ IG的李子群族。那么H = ⋂_i ∈ I Hᵢ是G的李子群并且 L(H) = ⋂_i ∈ I L(Hᵢ). 存在I的有限子集 J，使得⋂_i ∈ J L(Hᵢ)等于所有L(Hi)中的交 M。我们知道 H^ = \bigcap{i \in J} Hi 是一个谎言子群，使得 L(H^) = M (§ 3, no. 8，推论… ↩ 1 0AEJ
推论 4 设 G 为有限维连通李群。以下条件是等效的： (i) G 是幺模（整的，章 VII, § 1, no. 3，定义 3）； (ii) det Ad g = 1，对于 G 中的所有 g； (iii) Tr ad a = 0 对于L(G) 中的所有 a。 0AEK
命题 2 设 G 为有限维李群，H 为 G 的积分子群。以下条件是等效的： (i) H 关闭； (ii) H 上的拓扑由 G 上的拓扑诱导； (iii) H 是 G 的谎言子群。 (i) ⇒ (iii)：源自§ 1、命题 2 (iv) (no. 1) 和 14 (iii) (no. 7)。 (iii) ⇒ (ii)：显而易见。 (ii) ⇒ (i)：如果 H 上的拓… ↩ 1 0AEL
命题 3 设 G 为李群，H 为 G 的积分子群，M 为非空连通解析流形，M 的 f 映射进入 G 和 r \in NK。考虑以下条件： (i) f 为类 C^r 且 f(M) \子集 H； (ii) f(M) \子集 H 和 f，被认为是 M 到 H 的映射，是类 C^r； (iii) f 为类 C^r，f(M) 满足 H 并且 Tm(M) 的像包含在 f(m).L… ↩ 5 0AEM
推论 1 设 G 为有限维李群，H 为 G 的积分子群。则在 e (§ 4, no. 5, 定义 2 和 3) 处与 H 相切的李线子代数为 L(H)，且 H 上的李群结构为由 G 上的结构引起。 0AEN
推论 2 设G为李群，H1和H2对G的积分子群。假设H1上的拓扑承认可数基。然后 ↩ 3 0AEO
推论 3 令 G 为李群以及 H1 和 H2 对 G 的积分子群，其中拓扑承认可数基。如果H1和H2具有相同的底层集合，则H1和H2上的李群结构相同。 ↩ 1 0AEP
注 2 令 G 为有限维李群。设H是G的子群。我们滥用语言，可以说，如果H上存在李群结构S，则H是G的子群积分，使得H与S一起是G的子群积分。根据推论3到命题3，如果S存在，则S是唯一的。 ↩ 1 0AEQ
注 3 设V为类C^r中的流形。令 M 为 V 的子集，并且 M 的 x 和 y 元素。考虑以下性质： ↩ 1 0AER
命题 4 令 G 为 G 的有限维李群且 H 子群。令 r \in \mathbf{N}\mathbf{K}。以下条件是等价的： (i) H 是 G 的积分子群； (ii) 与 G 上的李群结构连接，H 相连； (iii) H 是 C^r 连接的。 (iii)\右箭头(i)：显而易见。 (i) \右箭头 (iii)：假设 H 有李群结构，使得 H 是 G 的子群积分。… 0AES
注 4 如果K = R，G的积分子群也可以表征为子群，它与G上的积分拓扑弧向连通（§ 8，习题4）。然而，子群可以连通，但不能积分（交换代数、章VI, § 9、习题2）。 0AET
推论设G是有限维李群，H1和H2是G的两个积分子群。H1和H2生成的G的子群和G的子群（H1，H2）是G的子群积分。 ↩ 1 0AEU
定义 2 令 a 为有限维李代数。设 Ad(a) 或 Int(a) 表示 Aut(a) 与李代数 ad(a) 的积分子群。这个群的元素称为a的内自同构。 ↩ 4 0AEV
定理 3 (i) 如果L是有限维李代数，则存在单连通李群 G，使得L(G)与L同构。 ↩ 2 0AEW
命题 5 设 G 为连通的实李群。假设L(G)有一个复范数李代数结构L'与其真实范数李代数结构兼容。 G 上存在且仅存在一个与实李群结构和李代数 L' 兼容的复数李群结构。 0AEX
命题 6 设 G 为连通复形李群。如果 G 是紧致的，则 G 是可交换的。 ↩ 2 0AEY
定理 4 设G为李群。存在且仅有一个定义在 L(G) 上的 G 指数映射。 0AEZ
例令 A 为完全规范单位结合律代数。那么exp_A^*就是章II, § 7, no. 3定义的指数映射。 0AF0
命题 7 令 G 为李群，且 L(G) 为 a 元素。 K的映射λ ↦ exp(λ a)到G的结果是李群K到G的唯一态射φ，使得(T₀ φ)1 = a。 ↩ 1 0AF1
命题 8 令G为李群。对于L(G)和n整数中的所有x, y， ↩ 5 0AF2
命题 9 令 G 为复数李群，G' 为底层实李群。然后exp_G = exp_G'。 0AF3
命题 10 设G和H为李群和φ态射，将G代入H。（一）φ ∘ exp_G = exp_H ∘ L(φ)。 (ii) 如果G是H的积分子群，则exp_G = exp_H | L(G)。 ↩ 3 0AF4
推论 1 令G为李群，G'是G和a ∈ L(G)的谎言子群。以下条件是等效的：（一）a ∈ L(G')； (ii) exp(λ a) ∈ G' 对于所有 λ ∈ K 和 |λ| 足够小； (iii) exp(λ a) ∈ G 对于所有 λ ∈ K。论证如§ 4、no. 4、推论1至命题8。 0AF5
推论 2 令G为李群，H为G和a ∈ L(G)的积分子群。考虑以下条件： (i) a ∈ L(H)； (ii) exp_G(λ a) ∈ H 对于所有 λ ∈ K。然后 (i) ⇒ (ii)。如果 H 的拓扑承认可数基，则 (i) ⇔ (ii)。设 i 为 H 的典范嵌入到 G。如果a ∈ L(H)，那么 exp_G(λ a) = (exp_G ∘ L(i))(λ… 0AF6
推论 3 令 G 为李群、ρ G、x ∈ L(G) 和 g ∈ G 的解析线性表示。 (i) ρ(exp x) = exp L(ρ)x； (ii) Ad(exp x) = exp ad x；（三）g(exp x)g⁻¹ = exp(Ad g.x)。论证如§ 4，no. 4，推论2和3至命题8。 ↩ 5 0AF7
推论 4 令G为有限维连通的李群。（一）Int(L(G)) = Ad(G)。 (ii) 令Z为G中的中心。那么Z是G的谎言子群，其李代数是L(G)的中心。当经过与李群同构时，将G/Z 的映射转化为Int L(G)，由g ↦ Ad g 派生。断言 (i) 由推论 3 (ii) 和注之后定义 2. 设g ∈ G。在阶 Ad g = Id_L(G) 中，Int g 重… ↩ 5 0AF8
定义 3 令G为有限维连通的李群。李群 Int(L(G)) = Ad(G) 称为G 的伴随群。 0AF9
命题 11 设 G 为连通交换律李群。 (i) exp 是添加剂李群 L(G) 到 G 的 étale 态射。 ↩ 1 0AFA
命题 12 设 G 为李群和 L = L(G)。对于所有x ∈ L，令Tₓ(L)与L等价，这样exp在x的右微分varpi(x)就是L到L的线性映射。对于所有x ∈ L， ↩ 2 0AFB
注 varpi(x) · (ad\ x) = exp ad\ x - 1。我们通过滥用记号来写道， 0AFC
推论设 G 为复数李群和 x ∈ L(G)。 x 到 exp_G 的切线映射有核 ⨁_n ∈ Z - 0 Ker(ad\ x - 2iπ n)。 0AFD
引理 2 设 E 为复数 Banach 空间，u 元素为 L(E)，S 为 u 在 L(E) 中的谱（谱理论，章 I, § 1, no. 2），f 为开邻域上的全纯复数函数 S 的 Ω。假设 f 在 Ω 中只允许有限的数不同的零 z₁, …, zₙ，多重性 h₁, …, hₙ。那么 Ker\ f(u) 就是 1 leqslant i leqslant n 的 Ker(… ↩ 1 0AFE
命题 13 令 G 为连接的李群和 φ G 的解析线性表示在完全可规范空间 E 上。令E₁, E₂为E的两个闭向量子空间，使得E₂ ⊂ E₁。以下条件是等效的： ↩ 3 0AFF
推论 1 为了使E₁稳定在φ下，E₁稳定在L(φ)下是必要且充分的。 ↩ 2 0AFG
推论 2 假设φ是有限维的。为了使φ简单（或半单），L(φ)简单（或半单）是必要且充分的。 ↩ 3 0AFH
推论 3 让x ∈ E。为了使x在φ(G)下不变，x被L(φ)(L(G))湮灭是充分必要的（即x在L(φ)下在章、I, § 3、定义意义上不变） 3). ↩ 4 0AFI
推论 4 令 φ' 为另一个在完全规范空间 E' 上解析 G 的线性表示。让T ∈ L(E, E')。以下条件是等效的： ↩ 1 0AFJ
推论 5 假设 ρ 和 ρ' 是有限维的。为了使ρ和ρ'等价，L(ρ)和L(ρ')等价是充分必要的。 0AFK
推论 6 假设 G 是有限维的。让t ∈ U(G)。为了使Lₜ（或Rₜ）右（或左）不变，U(G)的t属于到中心是必要且充分的。 0AFL
引理 3 令G为李群、H₁和H₂积分子群，其中拓扑承认可数基和g ∈ G。然后 ↩ 1 0AFM
命题 14 令G为李群，且H为子群的积分，拓扑承认可数基。以下条件是等效的： (i) H在G中是正常的； (ii) L(H) 在 Ad(G) 下不变。如果再连接G，这些条件等价于： (iii) L(H)是L(G)的理想。如果进一步G是单连通的，并且L(H)是L(G)中的有限余维，那么这些条件意味着H是G的谎言子群，并且G/H是单连通的。 ↩ 6 0AFN
推论 1 设 G 为有限维单连通李群。令 m, h 为 L(G) 的谎言子代数，使得 L(G) 是 m 通过 h 的半直乘积。设M、H为G的相应的积分子代数。则M和H是G的单联子群，并且作为李群，G是M与H的半直乘积。 ↩ 3 0AFO
推论 2 设 G 为有限维单连通李群，H 为 G 的正常连通李子群，π G 到 G/H 的规范态射。 ↩ 1 0AFP
推论 3 设 G 为有限维连通李群，H 为 G 的正常连通李子群。π₁(H) 到 π₁(G) 的规范态射是单射的。 0AFQ
命题 15 设 G 为李群，M 流形为类 Cʳ (r ≥ 2)，且 α 为类 Cʳ⁻¹ 和次数 1 的微分形式，其中值 L(G)，使得dα + [α]² = 0。假设 M 是单连通的。对于所有x ∈ M和所有s ∈ G，M到G的类Cʳ⁻¹中存在且仅有一个映射f，使得f(x) = s和f⁻¹ · df = α。 0AFR
引理 4 设 G 为 G 在 X 上左（或右）运算的连通拓扑群、X 豪斯多夫拓扑空间和 f₁, f₂ 律，使得对于所有 x ∈ X、映射 G到X的s ↦ f₁(s, x),\ s ↦ f₂(s, x)是连续的。假设G × X中存在e × X的邻域V，使得f₁和V上存在f₂重合。然后f₁ = f₂。 ↩ 3 0AFS
命题 16 Let G be a connected Lie group, X a Hausdorff manifold of class C^r and f1, f2 laws of left (resp. right) operation of class C^r of G on X. 如果与 f1 和 f2 相关的无穷小运算的律相等，则 f1 = f2。 ↩ 1 0AFT
引理 5 设 G 为单连通拓扑群，X 豪斯多夫拓扑空间，U 为 G 中 e 的开邻域，\psi 为 U \times X 到 X 的连续映射，使得 \psi(e, x) = x 和 \psi(s, \psi(t, x)) = \psi(st, x) 对于所有 x \in X 和 s, t 在 U 中，使得 st \in U。令 W 为 e 的对称连通开邻域，使得 W^… ↩ 1 0AFU
定理 5 设 G 为单连通李群，X 类 C^r (r \geq 2) 的紧致流形和类的左（或右）无穷小运算的 \mapsto Da 律 X 上L(G) 的C^{r-1}。在X上，G的类C^{r-1}的左（或右）运算存在且仅有一个律，使得无穷小运算的相关律是映射到Da。 ↩ 2 0AFV
命题 17 设 Δ 为 z ε C 的集合，使得 −π < J(z) < π 且 z ε C 的 Δ' 集合不是实数 ≤ 0。设 E 为 C 上的完全可范空间和 x ε 的 A (resp. A') 集合 L(E)，其频谱 Sp(x) 包含在 Δ（或 Δ'）中。则 A（分别为 A'）是 L(E)（分别为 GL(E)）的开子集，并且映射 exp: A → A' 且对数：A… ↩ 4 0AFW
定理 6 设 E 为实数或复数希尔伯特空间，U 为 E 的酉群。 ↩ 1 0AFX
命题 18 令 E 为 C 上的完全可范空间，v ∈ L(E) 且 g = exp v。假设 Sp(v) 包含点 2iπn 中没有一个，且 n ∈ Z − {0}。那么，对于所有 x ∈ E，条件 vx = 0 和 gx = x 是等价的。 ↩ 1 0AFY
推论 1 设E是Eⁿ到E的连续n线性映射的C和F空间上的完全可规范空间。对于所有v ∈ L(E)，令σ(v)是由定义的L(F)的元素 ↩ 1 0AFZ
引理 6 如果v ∈ L(E)，则Sp σ(v) ⊂ Sp v + Sp v + ⋯ + Sp v，其中和包含n+1项。 ↩ 1 0AG0
推论 2 设 E 是 C 和 w ∈ L(E) 上的完全可范数代数。假设每个z ∈ Sp w满足|J(z)| < 2π/3。以下条件是等效的： (i) w 是 E 的推导； (ii) exp w 是 E 的自同构。这是从 E 的 n = 2 和 f 乘法的推论 1 得出的。 ↩ 1 0AG1
命题 19 令 E 为 C、v ∈ L(E) 和 g = exp v 上的完全可范空间。假设每个z ∈ Sp v都满足-π < J(z) < π。那么，对于E的每个闭向量子空间E'，条件v(E') ⊂ E'和g(E') = E'是等价的。 ↩ 1 0AG2
推论令 E 为 C、v ∈ L(E) 和 g = exp v 上的完全范数空间。假设每个z ∈ Sp v满足-π/2 < J(z) < π/2。那么，对于L(E)的每个闭向量子空间M，条件gMg⁻¹ = M和[v, M] ⊂ M是等价的。 0AG3
引理 7 设 B 为群，A 为 B 的正常子群，C 群 B/A，i : A → B 和 p : B → C 为规范的态射。令A'为群，并将A的f同态代入A'。设ω为B的态射，代入A'的自同构群。假设对于a ∈ A'、a' ∈ A'、b ∈ B， ↩ 1 0AG4
命题 20 设 G 为有限维实李群。 ↩ 2 0AG5
定义 4 (G, γ)，或简称为tildeG，被称为G的万能复化。 0AG6
注 (1) 设(tildeG, γ)为G的万复化。令G₀（或tildeG₀）为G（或tildeG）的恒等分量。通过命题 20 的证明，(tildeG₀, γ|G₀) 是G₀ 和复合态射的万有复化 G → tildeG → tildeG/tildeG₀ 定义在经过上除以 G/G₀ 的商同构到 tildeG/tildeG₀。 0AG7

§ 7. 。李群超越超距域

命题 1 令 G 为李群 germ 和单位元素 e。 G 的谎言子群的 G 由……组成中存在 e 的开邻域的基系统。 ↩ 4 0AH2
定理 1 令 L 为完全范数李代数。存在李群 G 使得 L(G) 同构于 L。两个这样的群是局部同构的。 ↩ 2 0AH3
定理 2 设 G 为李群，并且 h 为 L(G) 的谎言子代数，承认拓扑补充。 G 存在一个谎言子群 H，使得 L(H) = h。如果 H1 和 H2 是 G 的谎言子群，使得 L(H1) = L(H2) = h，则 H1 \cap H2 在 H1 和 H2 中开集。 0AH4
定理 3 令G和H为李群，h为L(G)到L(H)的连续态射。 ↩ 1 0AH5
命题 2 设 G 为李群，并且有一个 L(G) 的谎言子代数，承认拓扑补充。以下条件是等效的： 0AH6
命题 3 令 G 为李群。 G 存在一个指数映射 φ，具有以下性质： (i) φ 定义在加法群 L(G) 的开子群 U 上； (ii) φ(U) 是 G 的开子群，φ 是解析式流形 U 到解析式流形 φ(U) 的同构； (iii) φ(nx) = φ(x)ⁿ 适用于所有 x ∈ U 和所有 n ∈ Z。 ↩ 4 0AH7
命题 4 令 G 为李群且 φ G 的单射指数映射。假设 p > 0。对于L(G)中的所有x, y， 0AH8
定义 1 设 r 为整数 ≥ 0。 K 上的维数 r 的标准群是李群 G，具有以下属性： (i) G 的基础解析流形是 m × m × ⋯ × m (r 因子)； (ii) 在 2r 个变量中存在形式的幂级数 F，其系数为 Aʳ，没有常数项，使得 x.y = F(x, y) 对于 G 中的所有 x, y。 ↩ 2 0AH9
例设G = 1 + Mn(m)，这是Mn(K)的开子集。如果 x ∈ G，则 det x ∈ 1 + m，因此 G ⊂ GL(n, K)。显然 GG ⊂ G。如果 x = 1 + y 且 y ∈ Mn(m)，矩阵的逆计算首先证明 x^{-1} ∈ Mn(A)；如果我们写 x^{-1} = 1 + y'，则 y + y' + yy' = 0，因此 y' ∈ Mn… 0AHA
定理 4 令 G 为有限维李群。存在与标准群同构的G的开子群。 ↩ 3 0AHB
命题 5 令G为标准群。 ↩ 1 0AHC
推论假设 K 是局部紧致的，并设 q = Card(A/m)。 0AHD
命题 6 令 a, b, c, c' 为 m 中包含的 A 的非零理想，使得 ↩ 1 0AHE
命题 7 (i) 族 (G(a_λ)) 是对 G (章 II, § 4, no. 4, 定义 2) 的中央过滤。 (ii) 对于 λ ∈ R₊^*、G(a_λ) = x ∈ G | ω(x) ≥ λ 、G(a_λ⁺) = x ∈ G | ω(x) > λ 。 (ii) 是显而易见的。我们证明（i）。显然G(a_λ) = ⋂_μ < λ G(a_μ)和G = ⋃_λ >… 0AHF
命题 8 设n ∈ Z和hₙ为映射x ↦ xⁿ的G到G。让a成为A包含在m中的非零理想，使得n ∉ a。然后 hₙ|G(a) 是解析流形 G(a) 的同构到解析流形 G(na)。 ↩ 1 0AHG
推论如果n在A中可逆，则hₙ是流形G自身解析的同构。对于m、hₙ(G(a)) = G(a)中包含的A的每个非零理想a。对于所有 x ∈ G、ω(xⁿ) = ω(x)。 0AHH
命题 9 假设p ≠ 0。 (i) 令a, b为A的非零理想，使得b ⊂ a ⊂ m。在群 G(a)/G(b) 中，每个元素都有 p 的阶幂。 (ii) 假设v(p) = 1。如果 x ∈ G 满足 ω(x) > 1/(p-1)，那么 ω(xᵖ) = ω(x) + 1. 由 § 5、公式 (4)，对于所有 x ∈ G， xᵖ = px + ∑_|α| ≥ 2 c_… ↩ 2 0AHI
引理 1 假设p ≠ 0。令G为李群，G₁是G的开子群，它与标准群和x ∈ G同构的。以下条件是等效的： (i) x存在幂，其中属于到G₁； (ii) 存在整数的严格递增的序列(nᵢ)，使得x^nᵢ趋于e，而i趋于+∞。 (ii) ⇒ (i)：显而易见。 (i) ⇒ (ii)：假设y = xᵐ ∈ G₁。在 no. 5 的命题 9 (i) 处，y^pⁿ 趋向 e… ↩ 3 0AHJ
命题 10 假设p ≠ 0。令 G 为有限维李群。令G_f为x ∈ G的集合，其中存在整数的严格递增的序列(nᵢ)，使得x^nᵢ趋于e，而i趋于+∞。 (i) G_f于G开放。 (ii) G_f 到 L(G) 中存在且仅有一个映射 ψ，具有以下性质： (a) ψ(xⁿ) = n ψ(x) 对于所有 x ∈ G_f 和所有 n ∈ Z； (b) G 中存在e 的开邻域 V… ↩ 1 0AHK
定义 2 命题 10 的映射 ψ 称为 G 的对数映射，并用 log_G 或简称为 log 表示。 0AHL
命题 11 假设p ≠ 0。令x, y是G_f的两个可置换的元素。然后是xy ∈ G_f和log(xy) = log x + log y。 0AHM
命题 12 假设p ≠ 0。让x ∈ G_f。以下条件是等效的：（一）log x = 0； (ii) x 在 G 中具有有限的阶。 0AHN
命题 13 假设p ≠ 0。如果 G 是紧凑型或标准型，则 G_f = G. ↩ 2 0AHO
推论假设K是局部紧的。那么G_f就是G的紧致子群的并。 0AHP
例假设 K 是局部紧致的。设U为A的可逆元的集合；它是李群 K^* 的紧凑型开放子群。然后U ⊂ (K^*)_f乘命题13；另一方面，如果x ∈ K^*使得x ∉ U，则当n趋向于+∞时xⁿ趋于0，或者当n趋于-∞时xⁿ趋于0；因此U = (K^*)_f。函数 log_K^* 在 U 上定义和解析，值在 L(K^*) = K 中，并且使得 log_K^*(x… 0AHQ
命题 14 假设p ≠ 0和v被选择使得v(p) = 1。令 G 为 G 的指数函数（或 G 的对数函数）的标准群和 E(X)（或L(X)）展开作为关于 0 的积分级数。 0AHR

§ 8. 。李群超过$\mathbf{R}$且$\mathbf{Q}_p$

定理 1 令 G 和 H 为超过 R 或 Qₚ 的两个李群细菌。设 f 是 G 到 H 的连续态射。那么 f 是解析的。 ↩ 5 0AI2
推论 1 设G为拓扑群。 G 上最多存在一个解析流形结构超过R（或Qₚ）与G 上的拓扑群结构兼容。 ↩ 1 0AI3
定义 1 拓扑群 G 称为实数（分别为 p-adic）李群，如果 G 上存在实数（分别为 p-adic）李群结构与其拓扑兼容。 0AI4
推论 2 设 G 是 e 的拓扑群和 V 开邻域。假设 V 具有解析流形结构，使其成为实数（或 p-adic）李群胚芽。那么 G 是实数（分别为 p-adic）李群. ↩ 1 0AI5
注 (1) 如果 R（或 Qₚ）被 C (习题 1) 取代，定理 1 及其推论不再成立。 0AI6
命题 1 设 G、G' 为拓扑群，且 f 为 G 到 G' 的连续态射。假设以下三种情况之一成立： (a) G 是实李群并且 G' 是 p 进数李群； (b) G 是 p-adic 李群并且 G' 是实李群； (c) G 是 p-adic 李群，G' 是 p'-adic 李群，且有 p ≠ p'。那么 f 是局部常数。 0AI7
定理 2 令G为R或Qₚ的有限维李群。 G 的每个闭合子群都是 G 的谎言子群。更一般地，令U是G中e的对称开邻域，而H是U的非空闭子空间，使得条件x ∈ H、y ∈ H和xy⁻¹ ∈ U 意味着xy⁻¹ ∈ H。那么 H 就是 G 的谎言子群萌芽。 ↩ 8 0AI8
推论 1 令G'为局部紧致群，G为R（或Qₚ）上的有限维李群，以及f为G'到G的连续态射。如果 f 的核是离散的，则 G' 是有限维实数（分别为 p-adic）李群。 0AI9
推论 2 设G是K上的有限维李群，G的H子群，V在G和(Mᵢ)_i ∈ I中的e的开邻域分析流形超过K的家庭；对于所有i ∈ I，让fᵢ是V到Mᵢ的K解析映射，这样 ↩ 2 0AIA

§ 9. 。换位子，李群中的集中器和标准化器

命题 1 设G是G的拓扑群，A和B子群。那么(overlineA, overlineB) = (overlineA, overlineB), overlineDⁱA = overlineDⁱA, overlineCⁱA = overlineCⁱA。 ↩ 5 0AII
推论 1 如果 G 是 Hausdorff，则以下条件等价： (i) G 是可解的（分别是幂零的）； (ii) overlineDⁱG = e（分别为overlineCⁱG = e）对于足够大 i。 DⁱG ⊂ overlineDⁱG, CⁱG ⊂ overlineCⁱG，因此 (ii) ⇒ (i)。 e = overlinee，因此 (i) ⇒ (ii) 命题 1。 0AIJ
推论 2 设 G 为 G 的豪斯多夫拓扑群和 A 子群。对于 A 可解（分别为幂零的、可交换，必要且充分 overlineA 如此。 ↩ 3 0AIK
命题 2 设 G 为拓扑群，G 的 A 和 B 子群。如果 A 连通，则 (A, B) 连通。 ↩ 1 0AIL
命题 3 令 G 为 G 的有限维李群，H1 和 H2 子群。令 h1、h2 和 h 分别为在 e 处与 H1、H2 和 (H1, H2) 相切的李子代数。那么 [h1, h2] ⊂ h。 ↩ 3 0AIM
注即使 H1 和 H2 连接为 G 的 Lie 子群，[h1, h2] 生成的 L(G) 的 Lie 子代数通常与 h 不同。 0AIN
命题 4 令 G 为有限维实数或复数李群。令 A, B, C 为 G 的积分子群，使得 [L(A), L(C)] ⊂ L(C) 且 [L(B), L(C)] ⊂ L(C). 如果 [L(A), L(B)] ⊂ L(C)，则 (A, B) ⊂ C。如果 [L(A), L(B)] = L(C)，则 (A, B) = C。 ↩ 3 0AIO
推论设 G 为与李代数 g 连接的有限维实数或复数李群。子群 DⁱG（分别为 CⁱG）是子群与李代数 Dⁱ𝔤（分别为 Cⁱ𝔤）的积分。如果 G 是单连通的，则它们是谎言子群。 ↩ 4 0AIP
命题 5 设 G 为有限维实数或复数李群，A 为 G 的积分子群。然后为 DA = DA。特别是，A 是 overlineA 的正规子群，并且 overlineA/A 是可交换的。 ↩ 1 0AIQ
命题 6 假设 K 是超量度的。令 G 为有限维李群。设 A, B, C 为 G 的谎言子群，使得 [L(A), L(C)] ⊂ L(C), [L(B), L(C)] ⊂ L(C)。若[L(A), L(B)] ⊂ L(C)，则存在A、B的开子群A'、B'使得(A', B') ⊂ C。如果[L(A), L(B)] ⊂ L(C)，则存在A、B、C的开子群 A'、B'、C'… ↩ 1 0AIR
推论假设 K 是超量度的。令 G 为有限维李群且李代数 g。存在 G 的开子群 G₀，使得对于所有 i，DⁱG₀（分别为 CⁱG₀）是 G 的谎言子群，其中李代数 Dⁱg（分别为 Cⁱg）。 ↩ 1 0AIS
命题 7 令G为有限维李群，g为李代数，a为g的子集。那么 Z_G(a) 是 G 的谎言子群与李代数 𝔷_g(a)。 ↩ 2 0AIT
命题 8 令G为有限维实数或复数李群，g为李代数，A子集为G。那么 Z_G(A) 是 G 的谎言子群与李代数 𝔷_g(A)。 ↩ 4 0AIU
命题 9 令G为有限维实数或复数李群，g为李代数，A为G和a = L(A)的积分子群。那么Z_G(A) = Z_G(a)、𝔷_g(A) = 𝔷_g(a)和Z_G(A)是G的谎言子群和李代数𝔷_g(a)。 ↩ 2 0AIV
命题 10 设 G 为有限维李群，g 为李代数，g 为向量子空间。那么 N_G(a) 是 G 的谎言子群与李代数 n_g(a)。这是从 § 3、命题 44 和推论 1 到命题 39 得出的。 ↩ 2 0AIW
命题 11 设 G 为有限维实数或复数李群，g 为李代数，A 为 G 和 a = L(A) 的积分子群。那么 N_G(A) = N_G(a) 和 N_G(A) 是 G 包含 overlineA 的谎言子群，其中李代数 n_g(a)。等式 N_G(A) = N_G(a) 由§ 6, no. 2推出，推论 2 为命题 3. 到命题 10，N_G(A) 就是 G 的谎言子群… ↩ 5 0AIX
推论如果 a = n_g(a)，A 是 G 的谎言子群，并且是 N_G(A) 的恒等分量。该恒等分量是一个谎言子群，其中李代数 n_g(a) (命题 11)，因此等于 A § 6, no. 2，定理2（一）。 ↩ 1 0AIY
命题 12 设 G 为有限维李群。为了使L(G)幂零，G有一个幂零开子群是充分必要的。假设G有一个幂零开子群G₀。根据命题 4 和 6、no. 2、CⁱL(G₀) = 0 的推论，足够大 i。因此L(G₀) = L(G)是幂零的。 ↩ 3 0AIZ
命题 13 令G为R或C上的有限维单连通幂零李群。 ↩ 2 0AJ0
命题 14 令 G 为在 R 或 C 上连接的有限维李群。 ↩ 3 0AJ1
命题 15 设G是R或C上的有限维连通幂零李群，并且A是G的积分子群。那么Z_G(A)就是G与李代数𝔷_G(L(A))的连通谎言子群。 0AJ2
命题 16 设G是R或C上的有限维幂零李群，并且A是G的积分子群，与G不同。那么N_G(A)是G的连通谎言子群，与A不同。 ↩ 1 0AJ3
命题 17 设g是g理想的K和(g₀, g₁, …, gₙ)递减序列的有限维幂零李代数，使得g₀ = g, gₙ = 0和[g, gᵢ] ⊂ gᵢ₊₁对于0 ≤ i < n。令a₁, a₂, …, aₚ为g的向量子空间，使得每个gᵢ是其交与aⱼ的直和。让 g 被赋予合成 H 的 Hausdorff 律。令 φ 为映射 0AJ4
命题 18 令k为交换域。 V 向量空间 of 有限维的 0 over k 且 G 子群 of GL(V) 其元素是单能的。 (i) 存在 V 的非零元素 v，使得对于 G 中的所有 g，gv = v。 (ii) 存在V的基B，使得对于G中的所有g \in，g相对于B的矩阵是下三角且其所有对角线元素等于1。 (iii) 群 G 幂零。 (a) 首先假设 k 是代数闭的并… ↩ 1 0AJ5
推论 1 设 G 为有限维连通实数或复数李群。要使 G 幂零，Ad G 的每个元素都是幂零的必要且充分。 0AJ6
推论 2 单能元素的GL(n, K)由……组成的每个解析子群都是单连通谎言子群。 0AJ7
命题 19 令 G 为有限维李群。为了使L(G)可解，G拥有可解开子群是必要且充分的。 ↩ 2 0AJ8
命题 20 令G为有限维n在R或C和g = L(G)上的单连通可解李群。令(gₙ, gₙ₋₁, …, g₀)为维数n, n-1, …, 0g子代数序列，使得gᵢ₋₁是gᵢ对于i = n, n-1, …, 1.dagger的理想令Gᵢ为子群的积分G相应的至gᵢ。令xᵢ为gᵢ中的向量，而不是属于到gᵢ₋₁。令 φᵢ 为映射 ↩ 3 0AJ9
命题 21 设G是R或C上的单连通有限维可解李群，并且M是G的积分子群。那么 M 是 G 的谎言子群并且是单连通的。 ↩ 1 0AJA
命题 22 假设K = R或C。令V为有限维向量空间，且G为GL(V)的连通可解子群。假设G的恒等式表示很简单。 (i) 如果 K = R，则 dim V ≤ 2 和 G 是可交换的。 (ii) 如果K = C，则dim V = 1。 (i) 假设K = R。那么GL(V)中G的闭包H是GL(V)的可解连通李子群（no. 1，推论2到命题1）。因此 L(H) 是可解的… ↩ 1 0AJB
推论令 V 为有限维 > 0 的复数向量空间和 G GL(V) 的连通可解子群。 (i) 存在 V 的非零元素 v，使得 gv ∈ Cv 对于所有 g ∈ G。 (ii) 存在V的基B，使得对于所有g ∈ G，g相对于B的矩阵是下三角形。令V₁为V的非零向量子空间中最小的元素，其在G下稳定。命题 22 (ii)，dim V₁ = 1。这就证明了(i)。通过d… 0AJC
命题 23 设G为有限维实数或复数李群，rL(G)的根式（章I, § 5，定义2）和n最大的L(G)的幂零理想（章I, § 4, no. 4）。令R（或N）为G与李代数r（或n）的积分子群。那么R（或N）是G的可解（或幂零）谎言子群，它在G的每个连续自同构下是不变的。 G 的每个可解（或幂零）连接法线子群都包含在 R（或N）中。 ↩ 1 0AJD
定义 1 令G为有限维实数或复数李群。 G的根式是最大的连接G的可解正规子群。 0AJE
注即使G是连通的，也可能存在不包含在G的根式中的G的可解正规子群。 0AJF
命题 24 假设K = R或C。令G₁, G₂是两个有限维连接的李群、R₁和R₂它们的根式，以及φ将G₁到G₂的满射态射。然后φ(R₁) = R₂. 0AJG
命题 25 假设K = R或C。令 G₁, G₂ 为有限维连接的李群和 R₁ 以及 R₂ 它们的根式。 G₁ × G₂的根部是R₁ × R₂。 0AJH
命题 26 令 G 为有限维连通实数或复数李群。以下条件是等效的： (i) L(G) 为半单； (ii) G的根是e； (iii) G 的每个正规交换积分子群都等于e。条件 (ii) 意味着 L(G) 的根部是 0，因此 (i) ⇔ (ii) (章 I, § 6, 定理 1)。 (i)和(iii)的等价由§ 6, no. 6、命题14得出。 ↩ 1 0AJI
定义 2 如果连通实数或复数李群是有限维且满足命题 26 的条件，则称为半单。 0AJJ
注 1 令 G 为有限维连通实数或复数李群。如果 G 不是半单，则 G 具有交换连通李子群 G'，它在每个连续自同构下保持不变，使得 G' ≠ e。令n为L(G)的最大的幂零理想；那么n ≠ 0和相应的解析子群N是一个谎言子群，它在G的每个连续自同构下保持不变（no. 7，命题23）； N 的中心 G' 具有所需的性质。 0AJK
命题 27 令 G 为有限维连通实数或复数李群。以下条件是等效的： (i) L(G) 很简单； (ii) G 的唯一正规积分子群是 e 且 G 且 G 不可交换。这是从 § 6, no. 6、命题 14 得出的。 ↩ 1 0AJL
定义 3 如果连通实数或复数李群是有限维的并且满足命题 27 的条件，则称为几乎简单。 ↩ 2 0AJM
命题 28 令 G 为单连通实数或复数李群。以下条件是等效的： (i) G 为半单； (ii) G 同构于几乎简单的群的有限数的乘积。如果 G 是几乎简单李群的有限乘积，则 L(G) 是简单李代数的有限乘积，因此是半单。如果 G 是半单，则 L(G) 同构于简单李代数 L₁, …, Lₙ 的乘积。令 Gᵢ 为李群与李代数 Lᵢ 的简单连接，因此这几乎是简单的。那么 G… ↩ 2 0AJN
引理 1 设G是连通拓扑群，Z是中心，Z'是Z的离散子群。则G/Z'的中心是Z/Z'。设 y 为 G 的元素，其类模 Z' 是的中心元素 ↩ 3 0AJO
命题 29 令 G 为半单连接实数或复数李群。（一）G = (G, G)。 (ii) G 的中心 Z 是离散的。 (iii) G/Z的中心是e。断言 (i) 由命题 4、no. 2 和章 I, § 6、定理 1 的推论得出。断言 (ii) 由§ 6, no. 4、推论4 到命题 10 和章 I, § 6, no. 1、注 2。断言 (iii) 由 (ii) 和引… ↩ 1 0AJP
命题 30 (i) 令𝔤为半单实数或复数李代数。那么 Int 𝔤 就是 Aut 𝔤. 的恒等分量。 (ii) 令 G 为半单连接实数或复数李群。 G 的伴随群是Aut L(G) 的恒等分量。中心约化至单位元素。 𝔤的每个推导都是内部（章I, § 6，推论3到命题1），因此L(Int 𝔤) = L(Aut 𝔤)，这证明了（i）。 (ii) 的第一个断言由 (i) 得出。… ↩ 1 0AJQ
注 2 令𝔤为复半单李代数，𝔤₀其底层实数李代数。然后Aut(𝔤)在Aut(𝔤₀)中打开，对于Int(𝔤₀) ⊂ Aut(𝔤)。 ↩ 1 0AJR
命题 31 设 G 为单连通有限维实数或复数李群，R 为其根式。 G 存在半单单连通李子群 S，使得 G 作为李群，是 R 对 S 的半直乘积。如果 S' 是 G 的半单积分子群，则L(G)的幂零根中存在 x，使得 (Adexp x)(S') ⊂ S. 这是从§ 6, no. 6，推论1到命题14和章I, § 6，定理5和推论1。 0AJS
引理 2 设 G 为群（或拓扑群），G' 为 G 的法线子群，V 有限维向量空间在交换域 k 上（或在 K 上），ρ 线性表示（或连续V 和 ρ' = ρ|_G' 上的 G 的线性表示)。 (i) 如果 ρ 为半单，则 ρ' 为半单。 (ii) 如果 ρ' 为半单，且 G/G'（或 G/overlineG'）的每个有限维线性 k 表示（或连续线性 K 表示）为半单，则… ↩ 2 0AJT
定理 1 设G为有限维实数或复数李群，G₀其单位分量，R其根式以及rL(G)的根式；假设 G/G₀ 是有限的。令 ρ 为 G 的有限维解析线性表示。以下条件是等效的： (i) ρ 为半单； (ii) ρ|G₀ 为半单； (iii)ρ|R为半单； (iv)L(ρ)为半单； (v) L(ρ)|r 是半单。 (i) ⇔ (ii) 通过引理 2 和积分，章 VII, § 3、… ↩ 4 0AJU
推论 1 令 ρ, ρ₁, ρ₂ 为有限维半单解析线性表示 ↩ 1 0AJV
推论 2 设ρ为G在向量空间V上的有限维半单解析线性表示，SV和Sᴳ的对称代数 S 的子代数元素的由……组成在(Sρ)(G) 下不变。那么Sᴳ就是有限生成的代数。 ↩ 1 0AJW
推论 3 设G为实数或复数李群，G₀为其恒等分量。假设 G₀ 是半单并且 G/G₀ 是有限的。那么G的每个有限维解析线性表示都是半单。 ↩ 1 0AJX
命题 32 令G为有限维连通的实李群。假设 L(G) 是可还原的。以下条件是等效的： ↩ 1 0AJY
命题 33 令 G 为有限维复数李群，其连通分量的数是有限的，φ G 的有限维解析线性表示和 G' 实李群 G 的积分子群，使得 L(G') 生成 L(G)超过C。那么，为了使φ成为半单，φ|G'成为半单是充分必要的。 0AJZ

§ 10. 。李群的自同构群

引理 1 设 G 为 G 上的李群和 α 向量域。对于所有 g ∈ G，让 β(g) = α(g)g⁻¹ ∈ L(G). 以下条件是等效的： (i) α 是群 G 中的同态变成群 T(G)； (ii) 对于 G 中的所有 g, g'，α(gg') = α(g)g' + gα(g')； (iii) 对于 G 中的所有 g, g'，β(gg₁) = β(g) + (Ad… ↩ 2 0AL6
定义 1 令 G 为李群。 G 的无穷小自同构是引理 1 的 G 满足条件上的任意解析向量域。 0AL7
引理 2 令K'为K、A、K'流形、B和CK流形的非离散闭子域，以及fA × B的K'解析映射为C。假设对于所有 ↩ 1 0AL8
命题 1 设 K' 为非离散闭子域 of K, G 李群 over K, V 流形 over K' 和 (v, g) ↦ vg a K'-解析映射 of V × G 入 G. 假设，对于所有 v ∈ V，映射 g ↦ vg 属于 G 进入 G 是 G 的自同构。让 ε 成为 V 的元素使得 ε g = g 对于所有 g ∈ G 和 a ∈ T_ε(V)。那么G上的… 0AL9
命题 2 设 G 为实数或复数李群且αG的无穷小自同构。G上存在K的解析运算(λ, g) ↦ φ_λ(g)的律，具有以下性质： (1) 如果 D 是无穷小运算的关联律，则D(1) = α； (2) 对于所有λ ∈ K、φ_λ ∈ Aut G。 (a) 对于所有μ > 0，令K_μ为K中中心 0、半径为μ的开球。对于所有g ∈ G，令F_g为在球中定义的α的解析积分曲线… ↩ 1 0ALA
命题 3 假设 K 是超度量的。令 G 为紧李群且 α G 的无穷小自同构。 There exist an open subgroup I of K and a law of analytic operation (λ, g) ↦ φ_λ(g) of I on G with the following properties: (1) if D is the asso… ↩ 2 0ALB
引理 3 令G和G'分别为G的李群和φ同态到Aut(G')。让 f(g, g') = (φ(g))(g') 代表 g ∈ G, g' ∈ G'。考虑以下条件： (i) f 是解析的； (ii) f解析于(e_G, e_G')的邻域； (iii) 对于所有 g' ∈ G'，映射 g ↦ f(g, g') 是解析的。然后 (i) ⇔ ((ii) 和 (iii))。如果… ↩ 1 0ALC
引理 4 令 H 为有限维单连通李群。 (i) 对于所有u ∈ Aut L(H)，令θ(u) 为H 中唯一的自同构，使得L(θ(u)) = u。那么(Aut L(H)) × H到H的映射(u, g) ↦ θ(u)g解析。 (ii) 令N为H的谎言子群和Aut(H, N)集合为v ∈ Aut H，使得v(N) = N。那么0⁻¹(Aut(H, N))是Aut L(H)的… ↩ 1 0ALD
定理 1 设 G 是有限维李群和 G₀ 其单位分量。假设 G 由 G₀ 和元素的有限数生成。 ↩ 4 0ALE
推论 1 设 G 是有限维实李群和 G₀ 其单位分量。假设 G 由 G₀ 和元素的有限数生成。那么 Aut G 有拓扑 T_β 并且是有限维实李群。 0ALF
推论 2 令 G 为半单连接实数或复数李群。群 Int G 是 Aut G 的恒等分量。 ↩ 2 0ALG
定理 2 当 K 是超度量且局部紧致且 G 为紧李群时，定理 1 的断言 (i)、(ii)、(iii)、(v) 和 (vi) 为真。 (a) (i) 中考虑的解析结构的唯一性是显而易见的。 (b) 假设 G 是由可范数李代数 L 定义的李群。那么G是L中的开球和闭球。让w ∈ Aut\ G。然后L(w)重合，w在邻域为0。让x ∈ G。设p为剩余类域的特征。… ↩ 1 0ALH
注如果 K = Qp，且李群 G 由紧致子集 (cf. 习题 2) 生成，则定理 1 的断言 (i)、(ii)、(iii) 和 (vi) 仍然为真，但 (v) (习题 3) 不为真。 0ALI

IV. 考克塞特群和山雀系统

§ 1. 。考克塞特群

定义 1 设 w \in W。w 的长度（相对于 S），用 lS(w) 或简称为 l(w) 表示，是最小的整数 q \geq 0，使得 w 是 S 的 q 元素的序列的乘积。 w 的约化分解（相对于 S）是 S 的元素中的任意序列 s = (s1, \ldots, sq)，使得 w = s1 \cdots sq 且 q = l(w)。 0ALN
命题 1 令 w 和 w' 在 W 中。我们有公式： 0ALO
推论令s = (s₁, …, sₚ)和s' = (s'₁, …, s'_q)为S的元素中的两个序列，使得w = s₁ … sₚ和w' = s'₁ … s'_q。如果序列 (s₁, …, sₚ, s'₁, …, s'_q) 是 ww' 的减少的分解，则 s 是 w 的减少的分解，并且 s' 是 w' 之一。 0ALP
注鉴于公式（1）和（2），公式d(w, w') = l(ww'⁻¹)定义在W上的距离，在右平移下不变。 0ALQ
定义 2 二面体群是群由阶两个不同的元素生成。 0ALR
例令 M 为乘法群 1, -1，并令 m 为整数 ≥ 2（分别为 m = ∞）。然后M通过(-1).x = -x作用于群Z/mZ（分别作用于Z），并且相应的通过Z/mZ作用于M的半直接乘积（分别作用于M） Z）用Dₘ表示。 Dₘ中的元素因此为对(ε, x)以及ε = ± 1和x ∈ Z/mZ（分别为x ∈ Z）； Dₘ 上的群运算由公式给出 (ε, x).(ε… 0ALS
命题 2 假设S由两个不同的元素s和s'组成阶2。 ↩ 3 0ALT
注考虑阶 2m 的二面角群 W 由两个不同的元素 s 和阶 2 的 s' 生成。用 s_q 表示（分别为 s'_q）长度 q 中的序列，其奇数（或偶数）编号项等于 s，其偶数（或奇数）编号项等于 s'，并设 w_q（或w'_q）为乘积序列 s_q（分别为 s'_q）。我们有 0ALU
定义 3 如果 (W, S) 满足以下条件，则称其为 Coxeter 系统： 0ALV
例 1 令m为整数≥ 2或∞，并令W为群，当m = ∞时，由生成元S = {s, s'}的集合和关系s² = s'² = 1定义，当m有限时，s² = s'² = (ss')ᵐ = 1。另一方面考虑由 (7) 定义的 Dm 的二面角群 Dm (no. 2, 例) 和元素 ρ 和 ρ'。由于ρ² = (ρ')² = 1和(ρρ')ᵐ = 1，当m有限时，从W到Dm存在… 0ALW
例 2 令 𝔖ₙ 为次数 n 的对称群，且n ≥ 2。令 sᵢ 为 i 和 i+1 对 1 ≤ i < n 的转置，并令 S = {s1, ..., s{n-1}}。可以证明（§ 2, no.4、例和 § 1，练习 4）(𝔖ₙ, S) 是 Coxeter 系统。 0ALX
例 3 对于有限 Coxeter 群、cf. 的分类4、§ 4。 0ALY
注假设 (W, S) 是 Coxeter 系统。对于所有 s ∈ S，存在从 W 到群 {1, -1} 的特征为 ε(s) = -1 的同态 ε。我们称ε(w)为w的签名；它等于(-1)ˡ⁽ʷ⁾。公式 ε(ww') = ε(w)ε(w') 因此转换为 l(ww') ≡ l(w) + l(w') mod 2。 0ALZ
命题 3 假设 (W, S) 是 Coxeter 系统。那么，当且仅当满足以下条件时，S的两个元素 s和s'在W中是共轭²： ↩ 2 0AM0
引理 1 (i) 设w ∈ W和t ∈ T。对于S的元素的所有序列s = (s₁, …, s_q)，数(-1)^n(s, t)具有相同的值η(w, t)，使得w = s₁ … s_q。 ↩ 3 0AM1
引理 2 设s = (s₁, …, s_q)、Φ(s) = (t₁, …, t_q)和w = s₁ … s_q。令T_w为T的元素中的集合，使得η(w, t) = -1。那么，当且仅当 tᵢ 不同时，s 是 w 的缩减分解，在这种情况下，T_w = t₁, …, t_q 和 Card(T_w) = l(w)。 ↩ 4 0AM2
引理 3 设w ∈ W和s ∈ S使得l(sw) ≤ l(w)。 For any sequence s = (s₁, …, s_q) of elements of S with w = s₁ … s_q, there exists an integer j such that 1 ≤ j ≤ q and ↩ 2 0AM3
注引理 2 中定义的集合 T_w 由形式 w''sw''⁻¹ 相应的的元素到三元组(w', w'', s) ∈ W × W × S 组成，使得w = w''sw' 和l(w') + l(w'') + 1 = l(w)。 0AM4
命题 4 令 s ∈ S, w ∈ W 和 s = (s₁, …, s_q) 为 w 的约分解。那么必须满足以下条件之一： ↩ 4 0AM5
引理 4 令w ∈ W具有长度q ≥ 1，令D为w减少的分解的集合，并令F为从D到集合E的映射。假设F(s) = F(s')如果元素 D 满足的s = (s₁, …, s_q); s' = (s'₁, …, s'_q) 以下假设之一： ↩ 1 0AM6
命题 5 设 M 为幺半群（其中单位元 1）且 f 映射从 S 到 M。对于 s, s' \in S，令 m(s, s') 为 ss' 的阶并放入 ↩ 3 0AM7
定理 1 (W, S) 是 Coxeter 系统当且仅当它满足 no. 5 的交换条件 (E)。 ↩ 2 0AM8
命题 6 设 (Pₛ)_s ∈ S 是子集的 W 满足 (C) 和以下条件的家庭： ↩ 5 0AM9
命题 7 让w位于W中。存在 S 的子集 S_w，使得 s₁, …, s_q = S_w 对于 w 的任何减少的分解 (s₁, …, s_q)。 0AMA
推论 1 对于S的任何子集X，W的子群W_X由W的元素w组成，使得S_w ⊂ X。 ↩ 5 0AMB
推论 2 对于 S 中的任意子集 X，我们有 W_X ∩ S = X。 ↩ 2 0AMC
推论 3 集合 S 是 W 的最小生成的集合。 0AMD
推论 4 对于S中的任何子集X和W_X中的任何w，w中的长度相对于W_X中的生成的集合X等于l_S(w)。 ↩ 1 0AME
定理 2 (i) 对于 S 中的任何子集 X，对 (W_X, X) 是 Coxeter 系统。 ↩ 3 0AMF
定义 4 令 I 为集合。型 I 的 Coxeter 矩阵是一个对称的平方矩阵 M = (mᵢⱼ)_i,j ∈ I，其条目为整数或 +∞ 满足关系 mᵢᵢ = 1 for all i ∈ I; tag25 mᵢⱼ ≥ 2 for i, j ∈ I with i ≠ j. tag26 0AMG
命题 8 令(Sᵢ)_i ∈ I为S的划分，使得Sᵢ的每个元素与Sⱼ的每个元素交换，如果i ≠ j。对于所有i ∈ I，令Wᵢ为由Sᵢ生成的子群。那么W就是家庭(Wᵢ)_i ∈ I的限制直接乘积。 ↩ 1 0AMH

§ 2. 。奶系统

定义 1 A Tits 系统是四元数(G, B, N, S)，其中G是群，B和N是G的两个子群，S是N/(B ∩ N)的子集，满足以下公理： ↩ 1 0AN8
注 1 我们将在no. 5（Th.3的Cor.）中看到，如果给定(G, B, N)，则N/(B ∩ N)中最多存在一个子集S，使得(G, B, N, S)是山雀系统。 0AN9
注 2 令(G, B, N, S)为山雀系统，并令Z为包含在B中的G的正常子群。令G' = G/Z, B' = B/Z, N' = N/(Z ∩ N)，并令S'为N'/(B' ∩ N')中S的像。然后人们立即看到(G', B', N', S')是一只山雀系统。 0ANA
引理 1 设 s₁, …, s_q ∈ S 并设 w ∈ W。我们有 C(s₁ … s_q).C(w) ⊂ ⋃_(i₁, …, iₚ) C(s_i₁ … s_iₚ w), 其中 (i₁, …, iₚ) 表示区间 [1, q] 中严格递增的序列的集合整数。 ↩ 4 0ANB
定理 1 我们有G = BWB。映射w ↦ C(w)是W到集合B backslash G / B的G相对于B的双陪集的双射。 ↩ 5 0ANC
注前面的证明中没有使用Axiom（T4）。 0AND
定理 2 对 (W, S) 是 Coxeter 系统。此外，对于s ∈ S和w ∈ W，关系C(sw) = C(s).C(w)和l_S(sw) > l_S(w)是等价的。 ↩ 1 0ANE
推论 1 让w₁, …, w_q ∈ W并让w = w₁ … w_q。如果 l_S(w) = l_S(w₁) + ⋯ + l_S(w_q), 然后 C(w) = C(w₁) … C(w_q). ↩ 5 0ANF
推论 2 令w ∈ W和T_w为通过§ 1, no. 4的引理2的过程与w相关联的W的子集。如果t ∈ T_w，那么 ↩ 1 0ANG
推论 3 令w ∈ W且H_w为由C(w).C(w⁻¹)生成的G的子群。然后： ↩ 2 0ANH
例 Th。 2，应用于no. 2中描述的山雀系统，表明对称群𝔖ₙ，其中集合是连续元素的转置，是Coxeter群。 0ANI
定理 3 a) 对于 S 的任意子集 X，集合 GX 是由 ⋃_s ∈ X C(s) 生成的 G 的子群。 ↩ 4 0ANJ
推论集合 S 由元素 w ∈ W 组成，使得 w ≠ 1 和 B ∪ C(w) 是 G 的子群。 ↩ 1 0ANK
注 1 上述推论表明，S由(G,B,N)决定；因此，我们有时允许自己说（G，B，N）是G中的山雀系统，或者（B，N）是G中的山雀系统。 0ANL
命题 1 令 X 为 S 的子集，N' 子群为 N，其中 W 中的像等于 WX。那么，(GX, B, N', X) 就是一个 Tits 系统。 0ANM
命题 2 设 X，Y ⊂ S 和 w ∈ W。我们有 ↩ 2 0ANN
注 2 用形式G_X g G_YG子集G_X backslash G / G_Y集合、g ∈ G表示；和定义 W_X backslash W / W_Y 类似。前面的命题显示了从 W 到 B backslash G / B 定义通过商 a 双射 W_X backslash W / W_Y → G_X backslash G / G_Y 的规范双射 w ↦ C(w)。 0ANO
命题 3 设X ⊂ S和g ∈ G。关系 g B g⁻¹ ⊂ G_X 意味着 g ∈ G_X. ↩ 1 0ANP
定义 2 如果B的包含共轭，则称G的子群为抛物线。 ↩ 1 0ANQ
命题 4 令P为G的子群。 ↩ 1 0ANR
定理 4 (i) 令P₁和P₂是G的两个抛物线子群，其中交是抛物线，并令g ∈ G使得gP₁g⁻¹ ⊂ P₂。然后是g ∈ P₂和P₁ ⊂ P₂。 ↩ 2 0ANS
命题 5 令P₁和P₂为G的两个抛物线子群。然后P₁ ∩ P₂包含共轭共T。 0ANT
引理 2 令H为G的正常子群。存在S的子集X使得BH = G_X并且使得X的每个元素与S - X的每个元素交换。 ↩ 1 0ANU
定理 5 设Z为B的共轭的交，设U为B的子群，设G1为G中U的共轭生成的子群。我们得到以下假设： ↩ 4 0ANV
推论 Th 假设以下。 5、群 G1/(G1 \cap Z) 要么是简单非交换矩阵，要么是约化到单位元素。 0ANW
注 1 假设 (2), (3), (4) 未在证明中使用，即 (G', B', N', S') 是山雀系统。 0ANX
注 2 假设 Z \cap U = \{1\}。由于 Z 和 U 在 B 中是正规的，因此 Z 的每个元素与 U 的每个元素交换，因此与 G1 的每个元素交换。鉴于前面的推论，G1 \cap Z 是 G1 的中心。 0ANY
注 3 假设 (3) 由以下条件隐含： 0ANZ
例 1 令 k 为域，n 整数 \geqslant 0，G = \mathbf{GL}(n, k)，并令 (G, B, N, S) 为 no. 2 中描述的山雀系统。令U为G的严格上三角子群，即矩阵的B由……组成的子群，其对角线条目等于1。Th中的条件 (1)。 5 是直接的，(2) 也是如此，因为 U 是可溶的。如果n ≥ 2则满足条件(4)。可以证明（cf. 代… 0AO0
例 2 令g为C上的简单李代数，并令G为g的内自同构的群（cf.第III, § 6, no. 2章，第2条）。通过使用 Th. 5, 可以证明 G 是简单非交换矩阵。 0AO1

App. 0. 附录

定义 1 组合图（或简单的图，如果没有混淆的风险）是对 (A, S)，其中S是集合，A是𝔓(S)的子集，集合的由……组成和两个元素。 0AOV
命题 1 令 Γ = (A, S) 为图，(S_α)_α ∈ L 为其连通分量族。用 Γ_α 表示 Γ 的完整子图，其中 S_α 作为其集合顶点。 ↩ 2 0AOW
推论 1 图Γ = (A, S)连接当且仅当不存在S的划分(S', S'')连接成两个非空子集，使得S'的元素不会连接到Γ到元素的任何元素 S''. ↩ 1 0AOX
推论 2 当且仅当没有顶点属于到 S' 与任何顶点属于到 S - S' 连接时，S 的子集 S' 是连通分量的并。 0AOY
命题 2 令 Γ = (A, S) 为仅具有有限数个顶点的森林。 ↩ 1 0AOZ
命题 3 图是一个链当且仅当它的顶点数是有限且非零的并且它是一个没有分支点的树。 ↩ 1 0AP0

V. 群由反射生成

§ 1. 。超平面，腔室和刻面

命题 1 设a为E的点。存在a的连通开邻域，不满足属于到H的任何超平面H且不通过a。而且，仅存在有限多个超平面属于到 H 并通过 a. ↩ 1 0AP1
定义 1 E 相对于 H 的面是上面定义的等价关系的等价类。 ↩ 1 0AP2
命题 2 面的集合是局部有限的。 0AP3
命题 3 设 F 为一个面，L 为其仿射支持。 ↩ 3 0AP4
推论令F和F'为两个面。如果 overlineF = overlineF'，则面 F 和 F' 相等。 ↩ 1 0AP5
命题 4 设F为一个面，并令L为E的仿射子空间，即超平面属于到ℌ的交；用超平面 H ∈ ℌ 的 𝔑 集合表示，但不包含包含 L。以下条件是等效的： ↩ 5 0AP6
定义 2 相对于 ℌ 的 E 室（或者如果关于 ℌ 没有歧义，则简称为室）是相对于 ℌ 的 E 的一个面，不包含在任何超平面属于到 ℌ 中。 0AP7
命题 5 令C为E的非空子集。假设存在 ℌ 的子集 ℌ'，具有以下属性： ↩ 1 0AP8
命题 6 E 的每点至少有一个封闭室。 ↩ 2 0AP9
命题 7 令L为E的仿射子空间，且Ω为L的非空开子集。 ↩ 3 0APA
定义 3 令 C 为 E 的一个腔室。C 的面是C 闭包中包含的面，其支撑为超平面。 C 的墙是超平面，即C 的面的支撑。 0APB
命题 8 每超平面 H 属于到 ℌ 是至少一个房间的壁。 ↩ 1 0APC
命题 9 设C为一个房间，M集合的墙壁为C。然后C = D_M(C)和每子集Lℌ使得C = D_L(C)包含M。子集 F 属于 overlineC 是一个方面当且仅当它是 E 相对于家庭 M 的一个方面。 ↩ 3 0APD
注 1 从公式 (6) 和命题 9 可以得出，C 室的封闭是由 C 和包含 C 的墙界定的封闭半空间的交。 0APE
注 2 令F为支持度为超平面L的面；我们将证明F是两个房间的面。设𝔑为超平面H ≠ L属于到ℌ中的集合；放置A = D_𝔑(F)并用D⁺和D⁻表示以L为界的两个开半空间。集合A开，包含F ⊂ L，由于L的每一个点都在D⁺和D⁻的闭包中，所以集合C⁺ = A ∩ D⁺和C⁻ = A ∩ D⁻是非空；这些是房间。而且，超平面L满足D_𝔑(F) = D_𝔑(C⁺)；命题… 0APF
引理 1 任何两个非平行的超平面都有非空的交。 ↩ 2 0APG
引理 2 设H和H'是E的两个不同的超平面，并且f，f'在E上两个仿射函数，使得H（分别H'）由E中的点a组成，使得f(a) = 0（分别f'(a) = 0）。最后，令L为E的超平面。假设满足以下假设之一： a) 超平面 H、H' 和 L 平行。 b) 超平面 H 和H' 不平行，且H ∩ H' ⊂ L。那么存在实数λ, λ'，而不是同时存在零，这样L由那些仿射函数… ↩ 1 0APH
命题 10 令C为一个房间，令H和H'为C的两堵墙，令L为超平面与D_H(C) ∩ D_H'(C)的交会。假设 H 与 H' 不同，并且满足以下条件之一： 0API

§ 2. 。反思

定义 1 如果 1 - s 为秩 1，则向量空间 V 的自同态被称为伪反射。 0APJ
命题 1 令 G 为群且 ρ 是 G 在向量空间 V 上的不可约线性表示；假设存在 G 的元素 g，使得 ρ(g) 是伪反射。 ↩ 5 0APK
命题 2 令 s 为 V 中的自同态。 ↩ 1 0APL
推论如果 V 是有限维的，则每次反射的行列式都是 -1。 0APM
命题 3 让我们反思V。 ↩ 5 0APN
推论两个不同的反射 s 和 u 通勤当且仅当 Vₛ⁻ ⊂ Vᵤ⁺ 和 Vᵤ⁻ ⊂ Vₛ⁺。 0APO
注令 a ≠ 0 在 V 中，并令 a^* 为 V 上的非零线性形式：由公式 (1) 得出 0APP
命题 4 假设 V 是有限维的。设B是V上的非简并对称双线性形式，V的X子空间和X⁰关于B的X的正交补集；最后，令 s 为关于 V 的非各向同性超平面 H 的正交反射。以下条件是等效的： 0APQ
命题 5 令H和H'为E的两个平行、非各向同性的超平面。存在唯一的向量 v ∈ V 与 H 正交，并且H' = H + v。位移s_H' s_H是向量2v的平移。 ↩ 4 0APR
推论设H和H'是两个不同的、平行的、非各向同性的超平面。如果 K 为特征零（分别为 p > 0，与 p ≠ 2），则 s_H 和 s_H' 生成的 E 位移的群是无限二面角群（分别为二面角）群阶 2p）。 0APS
注我们保留命题5的记号，并在加法中假设K = R。输入s = s_H和s' = s_H'。令Hₙ为超平面H + n.v，令Cₙ与a ∈ H及n < ξ < n + 1为形式a + ξ.vE点集合。 Cₙ 连接开路集合，形成E - ⋃ₙ Hₙ 的划分。因此，它们是 E 中系统 ℌ = (Hₙ)_n ∈ Z 定义的房间。将(s's)ⁿ变换将室C = C₀翻译成室C… 0APT
命题 6 令 s 为相对于 V 线 D 的正交反射。如果Δ和Δ'是从V的原点开始的两条半线（分别是穿过原点的两条线经过），我们有 0APU
推论设 D 和 D' 为 V 的两条线，并令 θ 为角度 (widehatD, widehatD') 的度量。然后s_D' s_D = ρ_2θ。 ↩ 4 0APV
命题 7 群 W 是二面角（第 IV, § 1, no. 2 章）阶 2m。它由 n ∈ Z 的旋转 ρ_2nθ 和乘积 ρ_2nθ s 组成。 D 的变换和 D' 除以 W 的元素是 D 的变换 ρ_nθ n ∈ Z 旋转。 0APW
推论令 C 为由从原点开始的开半线 Δ₁ 的并形成的开角扇区，并且满足 0 < (widehatΔ, widehatΔ₁) < θ。 Then no transform of D or D' by an element of W meets C if and only if m is finite and ↩ 1 0APX
注假设 m 是有限的且 θ = π / m。如果n ∈ Z，则令Cₙ为从0开始的开放半线Δ₁的并，使得 0APY

§ 3. 。反射产生的位移群

引理 1 超平面 H 的集合是局部有限的。 0AQ2
引理 2 令 C 为一个房间。 (i) 对于任意 x ∈ E，存在元素 w ∈ W 使得 w(x) ∈ overlineC。 (ii) 对于任意室 C'，有元素 w ∈ W 使得 w(C') = C。 (iii) 群 W 由集合相对于 C 墙壁的正交反射生成。 ↩ 2 0AQ3
定理 1 令C是一个房间，让S是集合相对于C墙壁的反射。 ↩ 7 0AQ4
推出设Σ为生成的W的反射集合。那么属于到W的每个反射都是Σ的共轭到元素。 ↩ 5 0AQ5
定理 2 对于任何室C，C的闭包overlineC是E上W的作用的基本域。 ↩ 7 0AQ6
命题 1 令 F 为一个面，且 C 为一个室，使得 F ⊂ overlineC。让w ∈ W。以下条件是等效的： (i) w(F) 满足 F； (ii) w(F) = F；（三）w(overlineF) = overlineF； ↩ 5 0AQ7
命题 2 令A为E的非空子集，令ℌ_A为超平面H ∈ ℌ包含A的集合，令A'为交 H ∈ ℌ_A，并令 F 为 E 在 A' 中开的一个面（§ 1, no. 3，第 7 条）。那么W(A) = W(A') = W(F)和W(A)是由ℌ_A相对于超平面的反射生成的。 ↩ 3 0AQ8
注 1 这是从 Th 得出的。由图 2 可知，如果 C 是一个腔室，F 是一个刻面，则overlineC 中存在一个唯一的刻面 F'，该刻面 F' 通过 W 的元素变换为 F。 0AQ9
注 2 它来自 Props。 1和2，对于E的任何非空子集A，存在点a ∈ E使得W(A) = W(a)；此外，群W(A)是Coxeter群（Th.1）。 0AQA
注 3 令 C 为 E 和 S 集合相对于 C 墙壁的反射室。令 w ∈ W 和(s₁, …, s_q) 为 w 相对于 S 的减少的分解。如果 x ∈ overlineC 由 w 固定，则sⱼ(x) = x 对于所有 j：这由上面的命题 1 和 Cor.1 得出。第 7 章提案 1 IV, § 1。 0AQB
命题 3 令C为一个房间，并令i, j ∈ I与i ≠ j。类似地放置 sᵢ = sᵢ(C), Hᵢ = Hᵢ(C), eᵢ = eᵢ(C) 和定义 sⱼ, Hⱼ 和 eⱼ。 ↩ 7 0AQC
注公式 (4) 实际上对所有i, j ∈ I有效：事实上，如果mᵢⱼ = ∞则π / mᵢⱼ = 0，如果i = j则mᵢⱼ = 1和(eᵢ|eⱼ) = 1。 0AQD
引理 3 令 q 为实数向量空间 V 上的正二次形式，并令 B 为关联的对称双线性形式。令a₁, …, aₙ 为V 的元素，使得B(aᵢ, aⱼ) ≤ 0 为i ≠ j。 ↩ 3 0AQE
引理 4 令 Q = (qᵢⱼ) 为阶 n 的实数、对称平方矩阵，使得： a) qᵢⱼ ≤ 0 为 i ≠ j； b) 不存在1, 2, …, n的划分分为两个非空子集I和J，使得(i, j) ∈ I × J蕴含qᵢⱼ = 0； c) Rⁿ 的二次方形式 q(x₁, …, xₙ) = ∑_i,j qᵢⱼ xᵢ xⱼ 为正。 ↩ 3 0AQF
引理 5 令 e₁, …, eₙ 为向量生成的 T，这样： a) (eᵢ|eⱼ) ≤ 0 为 i ≠ j； b) 不存在1, …, n的划分分成两个非空子集I和J，使得(eᵢ|eⱼ) = 0对应i ∈ I和j ∈ J。 ↩ 1 0AQG
引理 6 令 (e₁, …, eₙ) 为 T 的基，使得 (eᵢ|eⱼ) ≤ 0 为 i ≠ j。 ↩ 5 0AQH
引理 7 令A为T中单位向量中的集合。如果存在实数 λ < 1，使得 a, a' ∈ A 和 a ≠ a' 都有 (a|a') ≤ λ，则集合 A 是有限的。 ↩ 1 0AQI
定理 3 (i) 集合房间的壁是有限的。 (ii) 超平面属于到ℌ的方向集合是有限的。 (iii) 群 U(W) 是有限的。 ↩ 1 0AQJ
命题 4 令C为一个房间，𝔑集合为C的墙壁。令W_𝔑为W相对于𝔑的元素的正交反射生成的子群。对于H ∈ 𝔑，用与H正交且位于H与C同一侧的e_H 单位向量表示。以下条件是等效的： (i) 群 W_𝔑 是有限的。 (ii) 在W_𝔑的每一个元素下都存在E的点不变量。 (iii) 超平面属于到𝔑 有非空交。 (iv) 向量(e_H)_H ∈ 𝔑一家人在T免费。 ↩ 2 0AQK
注 1 由于 W 是由相对于室C 的壁的反射产生的，前面的命题给出了 W 有限的标准。我们将在no. 9回到这个问题。 0AQL
注 2 设 F 是 F 的自同构的有限维实仿射空间和 G 群。对于所有 g ∈ G，用与 g 伴随的 F 的平移 V 的空间的 U(g) 自同构表示。假设像 U(G) 是GL(V)的有限子群；那么 V 在 U(G) 下有一个标量乘积不变量（积分，第 VII, § 3, no. 1 章，命题 1）。如果在加法中，当G具有离散的拓扑时，G可以正确地作用于F，并且如果它是… 0AQM
命题 5 令 J₁, …, Jₛ 为 W 的 Coxeter 图的连通分量的顶点集合。对于 1 ≤ p ≤ s，输入 ↩ 4 0AQN
推论假设W ≠ 1。那么 W 是不可约的当且仅当它是必要的并且它的 Coxeter 图是连通的。 0AQO
注根据命题 5 的假设，0 ≤ p ≤ s 的子空间 Tp 是 T 上 W 的线性表示 U 的同型组成部分（代数，第 VIII, §3, no. 4 章）。由此可见（前述，第 11 条），W 下 T 稳定的每个向量子空间 V 是子空间 V ∩ Tₚ 对于0 ≤ p ≤ s 的直和；此外（参见第 10 条命题），每一次自同态与运营商 U(w) 的w ∈ W 通勤… 0AQP
命题 6 (i) 群Wₚ是欧氏仿射空间Eₚ位移的群；它是由反射产生的；配备分立拓扑，可正确作用于Eₚ； it is irreducible. ↩ 3 0AQQ
命题 7 假设群 W 是本质且有限的。然后： (i) W 下存在唯一的 E 不变量点 a。 (ii) 族 (cH){H \in \mathscr{M}} 是 T 的基。 (iii) 室 C 是开放的单纯圆锥体，其顶点 a 由 T 的基 (e'H){H \in \mathscr{M}} 定义，使得 (eHe'H') = \delta{HH'}。 ↩ 5 0AQR
命题 8 假设群W是本质的、不可约的和无限的。然后： ↩ 3 0AQS
注 1 认同 E 与 E₀ × E₁ × ⋯ × Eₛ 以及 W 与 W₁ × ⋯ × Wₛ 如no. 8 所示。根据命题 6，腔室 C 被识别为 0AQT
注 2 假设W是不可约且必要的。如果H和H'是C的两堵墙，则m_HH' = +∞当且仅当e_H = -e_H'（命题3）。通过道具。如图7和8所示，只有当H和H'是C的唯一墙并且E的维数为1时，才会发生这种情况。因此，m_HH'之一为无限的唯一情况是E为维数1并且群 W 由与两个不同的点 (cf. § 2, no. 4) 相关的反射生成。 0AQU
命题 9 让a ∈ E。以下条件是等效的： (i) 我们有 W = Wₐ.L； (ii) 同态U至Wₐ中的限制是Wₐ至U(W)的同构； (iii) 对于每个超平面H ∈ ℌ，存在与H平行的超平面H' ∈ ℌ，并且a ∈ H'。 ↩ 3 0AQV
定义 1 E中的点a对于W来说是特殊的，如果它满足第9条中的等效条件。 ↩ 1 0AQW
命题 10 W有一个特殊的点。 ↩ 1 0AQX
命题 11 假设W是必需的。让a成为W的特殊点。相对于Wₐ的室是顶点为a的开单纯锥体。对于相对于Wₐ的每个室C'，存在相对于C'中包含的W的唯一室C，因此a ∈ overlineC。 w' ∈ Wₐ的w'(overlineC)的并是E中a的闭邻域。每面C' 的墙都是C 的墙。如果 W 是无限且不可约的，则 C 的壁是 C' 的壁以及不平行于 C' 壁的仿射超平面。 ↩ 3 0AQY
推论假设W是必需的。 ↩ 2 0AQZ
注 1 假设W是本质的、不可约的、无限的，并保留命题11的记号。由于从Wₐ到U(W)，U是同构，因此可以从W的Coxeter图中省略位移U(W)的群的Coxeter图（由U(s_H)对H ∈ ℌ的反射生成）得到顶点 i 相应的到 C 的唯一墙，该墙不是 C' 的墙。 0AR0
命题 12 假设W是必需的。令a为特殊的点，令L(a)为其平移L的群下的变换的集合，并令C为房间。然后overlineC在独特的点中遇到L(a)；这个点是overlineC的极值点。 ↩ 1 0AR1
注 2 集合L(a)包含在特殊点的集合中，但总体上与它不同（cf.章节VI, § 2, no. 2和板片I至VI）。 0AR2

§ 4. 。 COXETER 群的几何表示

命题 1 B_M到E_s,s'的限制为正，当且仅当m是有限的时它是非退化的。 ↩ 3 0ARB
命题 2 由σₛ和σ_s'生成的GL(E)的子群是阶2m(s, s')的二面角群。 0ARC
命题 3 存在唯一同态 0ARD
注 1 我们将在no. 4中看到σ是内射；因此，群 W 可以与σₛ 生成的GL(E) 的子群进行识别。 0ARE
命题 4 a) 映射 s ↦ gₛ 从 S 到 W 是单射。 ↩ 1 0ARF
推论对 (W, S) 是 Coxeter 系统和矩阵 M。 ↩ 1 0ARG
注 2 因此，我们已经证明每个 Coxeter 矩阵对应到 Coxeter 群。 0ARH
定理 1（奶） 如果 w ∈ W 且 C ∩ w(C) ≠ ∅，则 w = 1。 ↩ 3 0ARI
推论 1 群 W 对 w(C) 的集合进行简单及物传递，因为 w ∈ W。 0ARJ
推论 2 表示 σ 和 σ 是单射。 0ARK
推论 3 如果 S 是有限的，则 σ(W) 是 \mathbf{GL}(E) 的离散子群并提供其规范的李群结构；类似地，σ(W) 是 \mathbf{GL}(E^) . 的离散子群 ↩ 2 0ARL
引理 1 令s, s' ∈ S，与s ≠ s'，并令v ∈ W_s,s'。那么v(Aₛ ∩ A_s')包含在Aₛ或s(Aₛ)中，而在第二种情况下l(sv) = l(v) - 1。 ↩ 1 0ARM
命题 5 设X, X' ⊂ S和w, w' ∈ W。如果w(C_X) ∩ w'(C_X') ≠ ∅，则X = X'、wW_X = w'W_X' 和 w(C_X) = w'(C_X')。 ↩ 1 0ARN
推论令X为S的子集和x^*元素为C_X。 W中x^*的稳定剂是W_X。 ↩ 1 0ARO
命题 6 (i) 圆锥 U 是凸的。 0ARP
命题 7 假设(W, S)是不可约的（第IV, §1, no. 9章）。设E⁰为E的子空间，与E相对于B_M正交。群 W 对 E⁰作用不大，且 E 的每一个子空间与 E 不同并且在 W 下稳定包含在 E⁰中。 ↩ 3 0ARQ
推论假设(W, S)是不可约的。然后： a) 如果 B_M 是非退化的，则 W 模块 E 绝对简单。 b) 如果 B_M 是退化的，则 W 模 E 不是半单。 0ARR
定理 2 以下属性是等效的： (1) W 是有限的。 (2) 形式 B_M 为正且非退化。 ↩ 5 0ARS
推论如果 (W, S) 不可约且有限，则 E 是绝对简单的 W 模。 0ART
命题 8 如果 W 是有限的，则 (W, S) 的图是一个森林（第IV、附录章）。 ↩ 3 0ARU
推论如果 (W, S) 不可约且有限，则其图是一棵树。 0ARV
命题 9 对于前面的记号，W是O(E)的子群由相对于ℌ的超平面的反射生成。这是一个重要的群（§ 3，no. 7）并且C₀是一个E相对于ℌ的房间。 0ARW
引理 2 E对B_M的正交补集E⁰为维数1；它由元素 v = ∑_s ∈ S vₛ eₛ 和 vₛ > 0 生成，适用于所有 s。 0ARX
命题 10 群 W 与分立拓扑一起作用于 A；它是由正交反射产生的；它是无限的、不可约的和本质的 (§ 3, no. 7)。交 C ∩ A 是 A 对于 W 的一个室。如果 Ls 表示 A 的超平面，由 A 的交和 E 的超平面与 es 正交，则 s ∈ S 的 Ls 是 C ∩ A 的壁。如果εₛ 是 T 的单位向量，在 Ls 与 C ∩ A 的同一侧与 Ls 正交… 0ARY
命题 11 令W为欧氏仿射空间A、满足假设的位移§ 3的群。假设 W 是无限的、本质的且不可约的。那么附加到 W 的 Coxeter 矩阵 M 的形式 B_M 是正简并的，并且存在来自与 M 关联的仿射空间 A_M 的唯一同构 A，通勤作用 W。这个同构变换将A_M的标量乘积转换为A的标量乘积的倍数。 ↩ 1 0ARZ

§ 5. 。对称代数中的不变量

定义 1 如果存在 n₀ ∈ Z 使得 Mₙ = 0 对于 n ≤ n₀，正式的级数 ∑_n ≥ n₀ rk_K(Mₙ) Tⁿ，是 Q((T))的元素，称为 M 的庞加莱级数，并表示为 P_M(T)。 0ASK
命题 1 令 S = ⨁_n ≥ 0 Sₙ 为齐次且代数独立的元素的可交换分级K-代数与生成元 (x₁, x₂, …, xₘ) 由……组成的系统。设dᵢ为xᵢ的次数，并假设dᵢ > 0对于所有i。那么Sₙ是免费的，并且有限秩超过K，和 ↩ 1 0ASL
推论次数 dᵢ 由 S 确定至阶。 0ASM
命题 2 保留前面的记号，并假设S和R是分级多项式代数。 ↩ 3 0ASN
注令 S = K[X₁, …, Xₙ] 为 K 上的分级多项式代数，Xᵢ 的 dᵢ 次数，以及 F(X₁, …, Xₙ) S 的次数 m 的齐次元素。则 0ASO
定理 1 设 K 为交换域，V K 上的有限维向量空间，S = S(V) V 的对称代数，V 自同构的 G 有限群，R 为 S 的分级子代数元素的由……组成在 G 下不变。假设 G 由赝反射 (§ 2, no. 1) 生成，q = Card(G) 与 K 的特性互质。则 R 模 S 具有 q 齐次元素的基由……组成。 ↩ 4 0ASP
注 1 它源自代数，第 1 章。 II, §11, no. 4，命题7，如果(z₁, …, z_q)是S的齐次元素族，其典范像在S/(R₊ S)的S/(R₊ S)形式基在K上，那么(z₁, …, z_q)是S在R上的基。 ↩ 1 0ASQ
注 2 设g为V的伪反射，其阶n ≥ 2是有限的且与K的特性互质。根据马施克定理（附录，命题2），V可分解为D ⊕ H，其中H为V的元素的超平面由……组成在g下不变，并且D是g通过乘法作用于单位元的原语第n个根的线。当K = R时，只有当n = 2时才有可能，并且g是反射；在这种情况下，群为Th。 1 适用的是有限 Coxeter 群。（另一方面，对于 K = C… 0ASR
定理 2 保留定理 1 中的假设和记号。 0ASS
定理 3 我们保留Th的假设和记号。 1. 齐次元素R由……组成理想R₊、选择最小元素(α₁, …, αₗ)中生成元系统集合。设kᵢ为αᵢ的次数。假设 kᵢ 与 K 的特征指数互质。那么 l = dim V、αᵢ 生成 K-代数 R，并且在代数上独立于 K。特别是，R 是 K 上超越次数 l 的分级多项式 K-代数。 ↩ 7 0AST
引理 1 令K为交换域，S为多项式的分级K-代数，R为有限型的S的分级子代数，使得R模S承认齐次元素的基(z_λ)_λ ∈ Λ由……组成。齐次元素R由……组成理想R₊、选择最小元素(α₁, …, αₛ)中生成元系统集合。假设对于所有 i，αᵢ 的次数 kᵢ 与 K 的特征指数 p 互质。则 αᵢ 生成 K-代数 R 和在代数上独立于 K。 0ASU
推论 Th 的假设和记号。 3、R的特征次数的乘积为Card(G). ↩ 2 0ASV
引理 2 设 K 为交换域，V K 上的有限维向量空间，S = ⨁_n ≥ 0 Sₙ V 的对称代数，V 的 s 自同态，以及s⁽ⁿ⁾ 规范扩张 s 至 Sₙ。然后，用 T 表示不定，我们有 K[[T]] ↩ 1 0ASW
引理 3 设K、V和S如引理2、V自同构G有限群、G的q阶、以及R元素S由……组成的分级子代数 G 下不变量。假设 K 的特征为 0。则 R 的庞加莱级数为 ↩ 1 0ASX
命题 3 Th 的假设和记号。 3、设H为G的伪反射属于的集合且不同于1。假设K的特征为0。则Card(H) = ∑ᵢ₌₁ˡ (kᵢ - 1)。 ↩ 2 0ASY
注当 K = R，G 是 Coxeter 群并且 H 是属于到 G 的反射的集合时，我们知道 (§ 3) H 的元素与 V 的墙是一一对应的对应。 0ASZ
命题 4 Th 的假设和记号。 3、假设K具有特征≠ 2。那么-1 ∈ G当且仅当R的特征次数k₁, …, kₗ都是偶数。 ↩ 1 0AT0
命题 5 (i) 令 D 为 S 的元素 ∏_g ∈ H e_g。G 下反对不变的 S 的元素为 RD 的元素。 ↩ 6 0AT1
引理 4 令K为交换域，VK上的有限维向量空间，V的自同构的G有限群，其阶q在K中可逆，S为V的对称代数，并且R 子代数 of S 由……组成 of 元素在 G 下不变。S 高度为 1 的素理想 B 在 p = B ∩ R (交换代数) 上分支当且仅当存在 V 的非零元素 a 和非零V^*的元素 f，使得B = Sa和到G的伪反射s_a,f属于。分解群G^Z(B)则为… ↩ 2 0AT2
引理 5 设 K 为交换域，S 为 K 上的分级多项式代数，R 为 S 的分级子代数。则 S 是自由分级 R 模（代数，第 II, § 11, no. 2）当且仅当满足以下两个条件时： a) R 是 K 上的分级多项式代数； b) 如果(α₁, …, αₛ)是代数独立齐次元素的K-代数R由……组成生成元系统，则该系统是一个S-正则序列。 ↩ 3 0AT3
定理 4 设 K 为交换域，V K 上的有限维向量空间，S V 的对称代数，V 自同构的 G 有限群，元素的 S 由……组成的 R 子代数 G 下不变。假设 q = 卡 G 在 K 中可逆。以下条件是等价的： ↩ 4 0AT4
注 1 Th 假设下。 4、R的特征次数的乘积是q（公式（6）和命题2（iii）），因此它们与K的特征互质。这在no. 3中得到了断言。 0AT5
注 2 如果我们不假设 Card(G) 在 K 中是可逆的，我们仍然有 (ii) Longleftrightarrow (iii) (cf. 引理 5) 和 (ii) Longrightarrow (i) (cf. Exerc. 8)；但蕴涵 (i) Longrightarrow (ii) 不再成立（练习 9）。 0AT6
命题 6 假设和记号是Th的。 4. 令 H 为 G 的伪反射属于的集合，并且与 1 不同。假设 H 生成 G。对于所有 g ∈ G，将 g(x) = x + f_g(x)e_g 与 e_g ∈ V、f_g ∈ V^* 放在一起。放 0AT7

§ 6. 。考克塞特转型

定义 1 由有序室确定的考克塞特变换 (C, (Hᵢ)_1 ≤ i ≤ l) 是 W 的元素 c = s_H₁ s_H₂ ⋯ s_Hₗ 。 0ATH
命题 1 所有 Coxeter 变换在 W 中均为共轭。 ↩ 2 0ATI
引理 1 设X为有限森林，并且x ↦ gₓ映射从X到群Γ使得gₓ和g_y每当x和时都是共轭 y 在X 中未链接。设 T 为X 上总订单的集合。对于所有ξ ∈ T，让p_ξ成为乘积在Γ中序列(gₓ)_x ∈ X由ξ定义。然后元素 p_ξ 是共轭在 Γ。 0ATJ
注设W₁, …, Wₘ是必不可少的有限群，作用于空间V₁, …, Vₘ并由反射生成。令 Cⱼ 为相对于 Wⱼ 的室。令W为群W₁ × ⋯ × Wₘ作用于空间V₁ × ⋯ × Vₘ。那么C₁ × ⋯ × Cₘ是相对于W的一个室。由 C 定义的 W 的 Coxeter 变换为乘积 c₁ c₂ … cₘ，其中 cⱼ 是由 Cⱼ 定义的 Wⱼ 的 Coxeter 变换… 0ATK
定义 2 整数 m₁, m₂, …, mₗ 称为 W 的指数。 ↩ 1 0ATL
引理 2 假设W是不可约的并且dim V ≥ 2。对于前面的记号，存在两个线性无关的向量 z', z'' 这样 (i)平面P由z', z''生成在s'和s''下稳定； (ii) s'P 和 s''P 是关于 Rz' 和 Rz'' 的正交反射； (iii) z', z'' ∈ overlineC，并且P ∩ C是z', z''的线性组合的集合，且系数 0。 0ATM
定理 1 假设W是不可约的。然后：（一）m₁ = 1, mₗ = h-1。 (ii) Card(ℌ) = 1/2 lh。 ↩ 4 0ATN
注保留前面的证明的记号。令c'为c至V ⊗_R C的C线性扩张，以及c''限制为c'至P ⊗_R C。根据我们对c|P的研究，c''有一个特征向量x相应的到特征值exp 2iπ/h，并且这个特征向量不属于到集合D ⊗_R C中的任何一个，其中D表示P的一条线（因为D在c下不稳定）。现在，对于任何H ∈ ℌ，我们已经看到H ∩ P是一条线；因此，x ∉ H… 0ATO
推论令R₀为V的单位向量的集合与ℌ的元素正交。如果 W 不可约， ↩ 3 0ATP
命题 2 如果 W 不可约且 h 为偶数，则变换 C 到 −C 的 W 唯一元素为 c^h/2。 ↩ 1 0ATQ
命题 3 假设W是不可约的。令u₁, …, uₗ是对称代数S = S(V)的齐次元素，在W（§ 5, no. 3，Th.3）下S不变量的元素的R和生成的代数上代数独立。如果pⱼ是uⱼ的次数，则W的指数是p₁ - 1, …, pₗ - 1。 ↩ 1 0ATR
推论 1 如果(mᵢ)_1 ≤ i ≤ l是W的指数的递增序列，则W的阶等于(m₁ + 1)(m₂ + 1) … (mₗ + 1)。 ↩ 1 0ATS
推论 2 如果 c 是 W 的 Coxeter 变换， ↩ 1 0ATT
推论 3 位似与V属于与W的比率−1当且仅当W的所有指数都是奇数。在这种情况下，h 是偶数并且 c^h/2 = -1 对于任何 Coxeter 变换 c of W。 ↩ 1 0ATU

App. 0. 附录

命题 1 设 K 为交换域、A K-代数、V 和 W 两个左A-模，它们是 K 上的有限维向量空间。如果存在 K 的扩张 L，使得 (A \otimesK L)-模 V \otimesK L 和 W \otimesK L 同构，则 A-模 V 和 W 同构。 0ATZ
命题 2（马施克） 设 A 为环，其中单位元，E 左A-模，F 为 E 的直接和，G 群为有限阶 q，G 的 ρ 线性表示在 E 上。假设 q.1 在 A 中可逆，且 F 在 G 下稳定。则 E 中存在 F 的补集，即G. 下稳定 ↩ 3 0AU0
推论设G为阶q中的有限群，且K为交换域，其特性不为除q。那么 G 在 K 上的群代数是半单。 0AU1
命题 3 令A为交换环，M为A模块，G有限群作用于M，A'为A模块。假设G的阶q在A中可逆。设Mᴳ为M元素集合在G下不变。然后典范同态从Mᴳ ⊗_A A'到M ⊗_A A'，定义同构从Mᴳ ⊗_A A'到模，M ⊗_A A'在G下不变的元素(M ⊗_A A')ᴳ。 0AU2
注当A'是A代数时，前面的命题尤其适用。在这种情况下，Mᴳ ⊗_A A'是M ⊗_A A'的A'子模块。 0AU3

VI. 根系

§ 1. 。根系

引理 1 令 V 为向量空间超过 k，R 有限子集 V 生成的 V。对于任何α ∈ R使得α ≠ 0，最多存在一个V的反射s使得s(α) = -α和s(R) = R。 ↩ 1 0AU4
定义 1 令 V 为向量空间超过 k，且 R 子集为 V。那么，如果满足以下条件，则称R为V中的根系： 0AU5
注 1 令 k' 为 k 的扩张。认同 V 与V ⊗ k' 的子集和V^* 与子集 V^* ⊗ k' = (V ⊗ k')^* 规范化。那么，V ⊗ k'中的R为根系，α^∼与之前相同。 ↩ 2 0AU6
引理 2 令 R 为 V 中的根系。令(x|y)是V上的对称双线性形式，在W(R)下非简并且不变。认同V和V^*通过这个形式。如果 α ∈ R，则 α 是非各向同性的，并且 ↩ 5 0AU7
命题 1 令V_Q（或V_Q^*）为由α（或α^∼）生成的V（或V^*）的Q向量子空间。那么V_Q（分别V_Q^*）是V（分别V^*）上的Q结构（代数，第II, § 8, no. 1章）。 V × V^*上的规范双线性形式的限制到V_Q × V_Q^*给出了空间V_Q, V_Q^*中的每一个与另一个的对偶的标识。集合 R 是 V_Q 中的根系。 ↩ 5 0AU8
注 2 命题 1 约化根系对案例k = Q的研究。注 1 约化进一步研究真实向量空间 V_R = V_Q ⊗_Q R中的根系。与这些不同的系统相关的 Weyl 群已被规范地识别。 ↩ 2 0AU9
注 3 由于α tilde生成V^*，群W(R)（被视为GL(V_R)的子群）是必不可少的（第V, § 3, no. 7章）。此外，科。的 Th。第 1 章V, § 3, no. 2 显示属于到W(R) 的唯一反射是s_α。 ↩ 1 0AUA
命题 2 V^*中的α tilde形式根系，以及所有α ∈ R中的α tilde = α。 ↩ 1 0AUB
命题 3 对于x, y ∈ V，输入 (x|y) = ∑_α ∈ R ⟨ α tilde, x ⟩ ⟨ α tilde, y ⟩. 那么(x|y)是V上的非简并对称双线性形式，在A(R)下不变。对于 x, y ∈ V_Q 我们有 (x|y) ∈ Q。规范扩张 (x|y) 至 V_R = V_Q ⊗_Q R 是非简并且积极的。 ↩ 5 0AUC
命题 4 (i) 令X为R中的子集，令V_X为由X生成的V中的向量子空间，并令V'_X为向量子空间 V^*由α⁻生成，其中α ∈ X。那么V就是V_X的直和和V'_X的正交补集； V^*是V'_X的直和和V_X的正交补集，V'_X与V_X的对偶一致。 ↩ 1 0AUD
推论设V₁为V的向量子空间，并令V₂为由R ∩ V₁生成的向量子空间。那么R ∩ V₁就是V₂中的根系。 ↩ 2 0AUE
命题 5 令 V 为向量空间超过 k，即向量空间 V₁, …, Vᵣ 的直和。令 R 为 V 中的根系。把Rᵢ = R ∩ Vᵢ。以下三个条件是等效的： ↩ 3 0AUF
推论令 R 为 V 中的根系。以下条件是等效的： (i) R 是不可约的； (ii) W(R)-模块 V 很简单； (iii) W(R)-模块V绝对简单。 (ii) Longleftrightarrow (i)：这源自第 5 条提案和 Maschke 的定理（第 V、附录、第 2 条提案）。 (iii) Longleftrightarrow (ii)：这源自第… ↩ 4 0AUG
命题 6 每个根系 R in V 是一个家族的直和 (Rᵢ)_i ∈ I 不可约的根系，在指标集合的双射范围内是唯一的。 0AUH
命题 7 令R为V、(Rᵢ)不可约成分族中的根系，由Rᵢ、B不变对称生成V的Vᵢ向量子空间双线性形式在命题3中定义的V上，而B'是V上的对称双线性形式在W(R)下不变。那么Vᵢ相对于B'两两正交，并且对于所有i，B的限制和B'到Vᵢ成比例。 ↩ 2 0AUI
注选择标量乘积在V_R W(R) 下不变量。然后就可以谈论根的长度和两个根之间的角度。命题 7 表明，这个角度与标量乘积的选择无关，就像两个根的长度之比一样，前提是它们属于与 R 的相同不可约分量。 0AUJ
命题 8 (i) 如果两个根成比例，则比例的因子只能是± 1, ± 1/2, ± 2。 ↩ 1 0AUK
定理 1 令α, β等于两个根。 ↩ 2 0AUL
推论令α和β为两个根。 ↩ 6 0AUM
命题 9 令α和β为两个不成比例的根。 ↩ 8 0AUN
推论设S是根的α链，γ是S的原点。S的长度是-n(γ, α)；它等于 0、1、2 或 3。 ↩ 1 0AUO
注我们保留上面的记号。然后： 0AUP
命题 10 令α, β为两个不成比例的根，使得β + α为根。令第 9 条命题中的 p, q 为整数。那么 ↩ 1 0AUQ
命题 11 假设 R 是不可约的。令α和β是两个根，使得| α | = | β |。存在 g ∈ W(R) 使得 g(α) = β. ↩ 2 0AUR
命题 12 假设 R 是不可约且可约化的。 ↩ 1 0AUS
命题 13 假设 R 是不可约的、不可约的且为秩 ≥ 2。 ↩ 1 0AUT
命题 14 假设R是不可约且可约的，并且(α|α)需要值λ和2λ来换取α ∈ R。令A为根α的集合，使得(α|α) = λ。假设 A 中任意两个不成比例的元素是正交的。那么R₁ = R ∪ 2A是不可约非约约根系，R是R₁不可分的根的集合。 0AUU
定理 2 (i) 群 W(R) 简单传递作用于室的集合。 ↩ 14 0AUV
注 1 断言 (vii) 特别表明W(R) 是由反射s_αᵢ“生成”的。 ↩ 1 0AUW
注 2 如果x, y ∈ C，则(x|y) > 0（第V, § 3, no. 5，引理 6），在其他字中，(x, y)是锐角。 0AUX
注 3 设m(α, β)为s_α s_β(α, β ∈ B(C))中的阶。矩阵 (m(α, β)) 与 (W, S) 的 Coxeter 矩阵（第 IV, § 1, no. 9 章）进行标识。如果 α ≠ β，第 3 章的命题 3 V, § 3, no. 4表明角度(α, β)等于π - π/(m(α, β))；特别地，这个角或者是钝角或者等于π和(α|β) ≤… 0AUY
定义 2 子集 B of R 被称为基 of R 如果存在一个房间 C of R 这样 B = B(C)。如果C是一个房间，B(C)被称为R定义的基由C定义。 ↩ 3 0AUZ
注 4 断言 (vi) 的 Th。图2示出了映射C ↦ B(C)是从集合室到基的集合的双射。因而，W(R) 简单传递作用于基的集合。 ↩ 2 0AV0
注 5 令C为R的腔室，并令B为相应的基。如果α ∈ B，如果2α ∉ R则放入φ(α) = α⁻，如果2α ∈ R则放入φ(α) = 1/2α⁻。那么φ(B) 是 R⁻ 的基由 C⁻定义；这是因为C⁻的墙是L_α⁻，对于α ∈ B。 ↩ 1 0AV1
定义 3 设B为R的基。R（相对于B）的嘉当矩阵为矩阵(n(α, β))_α, β ∈ B。 0AV2
注 6 Cartan 矩阵 (n(α, β)) 不应与 Coxeter 矩阵 (m(α, β)) 混淆。注特别是嘉当矩阵不一定是对称的。 0AV3
注 7 规范索引。如果B和B'是R的两个基，则存在唯一元素w ∈ W使得w(B) = B'。我们有 0AV4
命题 15 令 B 为 R 的基，且 α 是不可分割的根。存在β ∈ B和w ∈ W(R)使得α = w(β)。 ↩ 6 0AV5
推论令R₁和R₂为向量空间、V₁和V₂中的两个约化根系，并令B₁和B₂为R₁和R₂中的基。设f : B₁ → B₂为双射，即变换R₁的嘉当矩阵与R₂的嘉当矩阵。那么对于所有α ∈ B₁，存在同构F : V₁ → V₂、变换、R₁到R₂和α到f(α)。 ↩ 1 0AV6
命题 16 令B为R的基，并且G子群为元素的A(R)由……组成，使B保持稳定。那么W(R)是A(R)的正常子群，A(R)是G和W(R)的半直接乘积。 ↩ 3 0AV7
注 8 令R₁, …, Rₚ为向量空间V₁, …, Vₚ中的根系，V = ∏ᵢ Vᵢ中的Rᵢ的R直和，Cᵢ为Rᵢ和Bᵢ = B(Cᵢ)的腔室。 C = ∏ᵢ Cᵢ是R的一个房间，直接的是B(C) = ⋃ᵢ Bᵢ。这是从 Th 得出的。 2 如此得到所有的室和R的基。 0AV8
定理 3 每个根都是线性组合，其中整数系数与元素或B(C)的符号相同。特别是，每个根对于 C 要么是正数，要么是负数。 ↩ 8 0AV9
推论令γ为根的线性组合，系数为整数，且α不可分割的根。如果 γ 与 α 成比例，则 γ ∈ Zα。 0AVA
命题 17 假设减少R，令w ∈ W和α ∈ R。 ↩ 4 0AVB
推出 1 让β ∈ B(C)。反射s_β排列正值根，与β不成比例。 ↩ 2 0AVC
推出 2 假设 R 减小。令w ∈ W，令q为w相对于S的长度（第IV, § 1, no. 1章），并令w = s₁ … s_q为w的约化分解。令α₁, …, α_q为B(C)相应的到s₁, …, s_q中的元素。放 ↩ 4 0AVD
推论 3 假设R减小。 W中存在唯一的最长元素w₀，其长度等于正根和w₀变换室C至-C的数。我们为所有 w ∈ W 提供了 w₀² = 1 和 l(ww₀) = l(w₀) - l(w)。 ↩ 2 0AVE
命题 18 让x ∈ V。以下三个属性是等效的： ↩ 3 0AVF
推论元素x ∈ C当且仅当x > w(x)对于所有w ∈ W使得w ≠ 1。 ↩ 1 0AVG
命题 19 对于室 C，令 (βᵢ)_1 ≤ i ≤ n 为正根的序列，使得 β₁ + β₂ + ⋯ + βₙ 为根。那么存在置换 π ∈ Sₙ，对于所有 i ∈ 1, 2, …, n，β_π(1) + β_π(2) + ⋯ + β_π(i) 是根。 ↩ 8 0AVH
推论 1 让α ∈ R₊(C)。那么α ∈ B(C)当且仅当α是两个正根中的和。 ↩ 1 0AVI
推论 2 设φ为映射，从R到阿贝尔的群Γ，具有以下性质： ↩ 2 0AVJ
推论 3 a) 设 α ∈ R。那么Y(α)是B(C)的连通的子集（第IV，附录）。 0AVK
定义 4 令 P 为 R 中的子集。 ↩ 2 0AVL
引理 3 令C为R和P的腔室，以及R包含R₊(C)的封闭子集（在no. 6的记号中）。令Σ = B(C) ∩ (-P)，并令Q为根集合，即Σ的元素线性组合具有非正整数系数。然后，P = R₊(C) ∪ Q。 ↩ 3 0AVM
命题 20 设P为R的子集。以下条件是等效的： ↩ 4 0AVN
推论 1 令P为R中的子集。以下条件是等效的： ↩ 5 0AVO
推论 2 假设V配备了有序向量空间的结构，使得对于这个结构，R的每个根不是正就是负。对于这个结构，令 P 为正根的集合。那么存在一个独特的室C R 使得P = R₊(C)。 ↩ 2 0AVP
推论 3 R 的子集 B 是 R 的基当且仅当满足以下条件： ↩ 2 0AVQ
推论 4 设B为R的基、B的B'子集、B'生成的V的V'向量子空间和R' = R ∩ V'。那么B'就是根系B'中的基。 ↩ 4 0AVR
推论 5 设 B 为 R 的基，B 的A₁, A₂, …, Aᵣ 成对正交子集，以及A = A₁ ∪ A₂ ∪ ⋯ ∪ Aᵣ。那么A的每一个元素线性组合即根α实际上是Aᵢ之一的元素线性组合。特别是，如果 R 是不可约的，则 B 的划分不存在成对正交子集。 ↩ 1 0AVS
推论 6 我们采用命题20的假设和记号。令V₁为由Σ生成的V的向量子空间。那么 P ∩ (-P) = Q ∪ (-Q) = V₁ ∩ R 就是 V₁ 中的根系和基 Σ。 ↩ 1 0AVT
命题 21 令C（分别C'）为R室，Σ（分别Σ'）子集为B(C)（分别为B(C')），Q（分别为Q'）集合为线性组合 Σ（或Σ'）的元素，具有负整数系数，以及P = Q ∪ R₊(C)（或P' = Q' ∪ R₊(C')）。如果存在Weyl 群将P变换为P'的元素，则存在Weyl 群将C变换为C'和Σ变换为Σ'的元素。 ↩ 1 0AVU
推论令P、P'为R的两个抛物线子集通过Weyl群的元素相互转化。如果存在 R 的室C，使得 R₊(C) ⊆ P 和 R₊(C) ⊆ P'，则P = P'。 0AVV
命题 22 令 P 为 R 的闭子集，使得 P ∩ (-P) = ∅。那么存在 R 的室C使得P ⊆ R₊(C)。 ↩ 2 0AVW
命题 23 令P为R的子集和由P生成的V的V₁（分别为Γ）向量子空间（分别为子群）。以下条件是等效的： ↩ 2 0AVX
命题 24 设R'为R的交，向量子空间为V，则R'为向量子空间V'中的根系，则生成（cf. Prop. 4，no. 1）。令 B' 为 R' 中的基。 0AVY
命题 25 假设R是不可约的。令C为R的腔室，并令B(C) = α₁, …, αₗ为相应的基。 ↩ 3 0AVZ
注根 0AW0
命题 26 x ∈ V的集合，使得对于所有y^* ∈ Q(R^*)（或者等效地，对于所有y^* ∈ R^*），⟨ x, y^* ⟩ ∈ Z是V包含Q(R)的离散子群G。如果B'是R^*的基，则V的基对B'是G的基。 0AW1
命题 27 令R₁为R的子集，由R₁生成的Q(R)的Q₁子群，以及由s_α(α ∈ R₁)生成的W(R)的W₁子群。如果 p ∈ P(R) 和 w ∈ W₁，则 p - w(p) ∈ Q₁。 ↩ 1 0AW2
命题 28 Let B be a basis of R, B' a subset of B, V' the vector subspace of V generated by B', R' = R ∩ V' (which is a root system in V'), R'tilde the inverse root system (which is identifi… ↩ 1 0AW3
命题 29 令ρ为根> 0的一半和。 ↩ 5 0AW4
推论令 σ 为元素 > 0 R⁻ 的一半和（对于B⁻）。对于所有α ∈ V，α相对于基B的坐标和是⟨ α, σ ⟩。如果α ∈ R，这个和就等于1/2 ∑_β ∈ R₊ (C) n(α, β)。 ↩ 3 0AW5
命题 30 假设R是不可约的。令 m 为整数，介于 1 和 h - 1 之间，并与h素的。那么exp((2iπ m)/h)就是重数1c特征值。 ↩ 1 0AW6
引理 4 对于所有w ∈ W，w的特征多项式有整数系数。 0AW7
命题 31 假设R不可约且可约，令β = n₁ α₁ + ⋯ + nₗ αₗ为R(cf.no. 8)的最高根。然后n₁ + ⋯ + nₗ = h - 1. ↩ 4 0AW8
命题 32 假设 R 是不可约的，并且所有根具有相同的长度。让α ∈ R。 R 的元素的数不与 α 正交，为 4h - 6。 0AW9
命题 33 假设 R 是不可约且可约化的。放入s_αᵢ = sᵢ，并令Γ为c = s₁ … sₗ生成的W的子群。 ↩ 4 0AWA

§ 2. 。艾芬·韦尔群

定义 1 由α ∈ R和k ∈ Z的反射s_α,k生成的E的仿射变换的群称为根系R的仿射Weyl群，并用Wₐ(R)表示（或简称为Wₐ）。 0AWZ
命题 1 群Wₐ是W乘Q的半直接乘积 0AX0
命题 2 群Wₐ，与离散拓扑一起，正确作用于E并排列超平面L_α,k（对于α ∈ R和k ∈ Z）。 0AX1
命题 3 Wa 的特殊点（第V, § 3, no. 10，定义1）是R' 的权。 ↩ 1 0AX2
推论 (i) 如果 \overline{\omega} \in P(R')，则存在凹室 C，使得 \overline{\omega} 是 \overline{C} 的极值点。 (ii) 如果 C 是一个凹室，则 \overline{C} \cap Q(R') 约化为单个点，这是 \overline{C} 的极值点。 0AX3
命题 4 设 C' 为 R' 的一个室。 ↩ 1 0AX4
命题 5 令 C 为 C' 中包含的壁龛，且包含 0 位于其闭包中（命题 4）。 ↩ 5 0AX5
推论壁龛 C 是一个开放单纯形，顶点为 0 和 overlineωᵢ / nᵢ, i ∈ I。 ↩ 1 0AX6
命题 6 对于所有 i ∈ J，元素 γᵢ = t(overlineωᵢ)wᵢw₀ 属于至 Γ_C，映射 i ↦ γᵢ 是从 J 至 Γ_C - 1 的双射。 ↩ 1 0AX7
推论 P(R⁻)/Q(R⁻)非零元素中P(R⁻)的代表的(overlineωᵢ)_i ∈ J形式系统。 ↩ 2 0AX8
注 1 映射 γ ↦ γ(0) 是双射从 Γ_C 到 overlineC ∩ P(R⁻)。 0AX9
注 2 群G也是E的自同构的群中Wₐ的归一化器，仅提供其仿射结构（cf.练习3）。 0AXA
引理 1 令 X 为无穷大可数的局部紧凑空间，G 群连续且适当地作用于 X、μ，G、G' 子群下X 不变的测度G、U 和U' X 的两个开子集具有有限非零测度。假设s ∈ G的sU（或s' ∈ G'的s'U'）是成对的不相交的，并且它们的并可以忽略不计。那么G'在G和(G : G') = μ(U')/μ(U)中是有限的指标。 ↩ 1 0AXB
命题 7 假设 R 是不可约的。令B = α₁, …, αₗ 为R的基，fR（§ 1, no. 9）的连接指标和tildeα = n₁ α₁ + ⋯ + nₗ αₗ最高根的R（对于阶由B 定义）。那么 W 的阶等于 (l!) n₁ n₂ … nₗ f. ↩ 2 0AXC
命题 8 设 F 为有限维 l 的实希尔伯特空间。令 ℌ 为 F 和 G 群的仿射超平面的集合，该仿射超平面由关于超平面 H ∈ ℌ 的正交反射 s_H 生成。假设第 1 章的条件。满足V, § 3（即g(H) ∈ ℌ对于所有H ∈ ℌ和g ∈ G，并且G正确地作用于F）。还假设 0 是 G 的特殊点，并且属于到 G 的翻译群 T 为秩 l。那么V = F^*中存在唯… 0AXD
注 1 特别是当 G 不可约且无穷大时，满足假设 T 为秩 l。事实上，由向量相应的生成的向量空间到T中的平移在F的线性群中G的典范像下是不变的。如果G是无限的，则它与0不同，因此如果G是无限且不可约的，则它等于F的整体。 0AXE
命题 9 令V为有限维l的实向量空间，并令G为GL(V)的有限子群，由反射和本质生成。给V一个标量乘积在G下不变量。以下条件是等价的： ↩ 1 0AXF
定义 2 群 G 满足等价于第 9 条的条件称为晶体群。 0AXG
注 2 令 G 为有限群，由反射生成且本质。则 G 是晶体当且仅当其 Coxeter 矩阵的每个元素是整数 1, 2, 3, 4, 6 之一。事实上，这个条件是§ 1, no. 5的注3)所必需的。事实上，它是足够的，这可以从 § 4 中给出的有限 Coxeter 群的分类得出（对于直接证明，请参见第 V, § 4 章，练习 6）。 0AXH

§ 3. 。指数不变量

引理 1 假设 A 是阶乘（交换代数，第 VII, § 3, no. 1 章，定义 1）。 (i) 环 A[P] 是阶乘。 (ii) 如果u, v与P不成比例元素，则A[P]的元素1 - eᵘ, 1 - eᵛ互质。 ↩ 1 0AXN
定义 1 令 x = ∑_p ∈ P xₚ eᵖ 为 A[P] 的元素。 p ∈ P的集合 S，使得xₚ ≠ 0称为x的支持度，S的极大元素的集合X称为x的最大支持度。项 xₚ eᵖ 和 p ∈ X 被称为 x 的最大项。 ↩ 2 0AXO
引理 2 令 x ∈ A[P] 和(xₚ eᵖ)_p ∈ X 为 x 的最大项族。令q ∈ P和y ∈ A[P]使得e^q是y的唯一最大值项。那么，xy的最大项的族就是(xₚ e^p+q)_p ∈ X。 ↩ 4 0AXP
注由于x ≠ 0意味着x的最大支持度非空，引理2表明只要y承认形式e^q的唯一最大项，x ≠ 0就意味着xy ≠ 0。 0AXQ
定义 2 元素 x ∈ A[P] 据说在 W if 下是反不变的 w(x) = (-1)ˡ⁽ʷ⁾.x 对于所有人w ∈ W。 0AXR
命题 1 If 2 is not a zero divisor in A, the elements J(eᵖ) for p ∈ P ∩ C form a basis of the module of anti-invariant elements of A[P]. ↩ 3 0AXS
命题 2 (i) (3)定义的元素 d是A[P]的反不变量元素；其独特的最大值项（no. 2，默认值1）是e^ρ和d = J(e^ρ)。 (ii) 对于任何 p ∈ P，元素 J(eᵖ) 可被 d 唯一整除，并且商 J(eᵖ)/d 是 A[P] 在 W下不变的元素。 (iii) 如果2不是A中的零因子，乘法由d从A[P]元素集合到双射W下不变 A[P] 的反不变量元素… ↩ 3 0AXT
注 1 如果 2 不是 A 中的零因子，则很容易检查d 是 A[P] 的唯一反不变量元素，其中 e^ρ 为其最大值项。 0AXU
注 2 引理 2 of no. 2 显示商J(eᵖ)/d（对于p ∈ P ∩ C）的唯一最大值项是e^p-ρ。 ↩ 1 0AXV
引理 3 S(eᵖ)适用于A模块A[P]ᵂ的p ∈ P ∩ overlineC形式基。 ↩ 1 0AXW
定理 1 令overlineω₁, …, overlineωₗ为室C的基本权相应的，对于1 ≤ i ≤ l，令xᵢ为A[P]ᵂ的元素，其中e^overlineωᵢ为其唯一最大值项。让 φ : Λ[X₁, …, Xₗ] → A[P]ᵂ 从多项式代数Λ[X₁, …, Xₗ]到A[P]ᵂ得到同态，需要Xᵢ到xᵢ。那么，映射φ就是同构。 ↩ 2 0AXX
例 1 我们可以拿xᵢ = S(e^overlineωᵢ)。 0AXY
例 2 通过注 2 of no. 3，我们可以得到xᵢ = J(e^ρ + overlineωᵢ)/d（no. 3中有记号）。 0AXZ

§ 4. 。根系的分类

引理 1 对于所有 i、∑_j ≠ i qᵢⱼ² < 1。 ↩ 4 0AY2
引理 2 X 属于的任意顶点至多 3 条边。 ↩ 3 0AY3
引理 3 如果 i 属于为 3 个边，则这些边为阶 3。 0AY4
引理 4 如果存在阶≥ 6的边，则l = 2。 ↩ 2 0AY5
引理 5 顶点不能属于到阶≥ 4的两条不同边。 ↩ 1 0AY6
引理 6 如果 i, j 为阶 3，则 W(M') 是有限 Coxeter 群。 ↩ 1 0AY7
引理 7 我们有以下其中一项： ↩ 2 0AY8
引理 8 令i₁, i₂, …, iₚ为X的顶点，使得i₁, i₂, i₂, i₃, …, iₚ₋₁, iₚ为阶3的边。然后为q(∑ᵣ₌₁ᵖ r e_iᵣ) = 1/2 p(p+1)。 ↩ 2 0AY9
引理 9 假设 X 是一条具有顶点 1, 2, ..., l 和边 {1, 2}, {2, 3}, ..., {l - 1, l} 的链。 ↩ 1 0AYA
引理 10 如果 X 具有分支点 i，则完整子图 X - {i} 是三个链的并，并且如果 p - 1、q - 1、r - 1 是这些链的长度，则三元组 {p, q, r} 等于三元组之一，直到置换 {1, 2, 2}，{1, 2, 3}，{1, 2, 4}，{1, 1, m}（对于某些 m ≥ 1）。 ↩ 1 0AYB
定理 1 任何不可约有限 Coxeter 系统 (W, S) 的图同构于以下之一： ↩ 6 0AYC
定理 2 由 Th 的 Coxeter 图 A1、B1、...、I2(p) 定义的 Coxeter 群。 1 是有限的。 ↩ 2 0AYD
命题 1 令R₁和R₂为向量空间V₁和V₂中的两个约化根系。令B₁ = (αᵢ)_i ∈ I₁和B₂ = (αᵢ)_i ∈ I₂为R₁和R₂的基，按规范索引。设λ为同构，从R₁的Dynkin图到R₂的Dynkin图。那么，对于所有i ∈ I₁，存在从V₁到V₂的唯一同构，将R₁转换为R₂，将αᵢ转换为α_λ(i)。 ↩ 2 0AYE
推论同态φ定义通过从群A(R)/W(R)到群对R的Dynkin图自同构的商同构进行计算。 ↩ 2 0AYF
定理 3 如果 R 是不可约约化根系，则其 Dynkin 图同构于以下图表表示的图之一： ↩ 3 0AYG
注 1 图 A1 约化为单个节点；我们也用 B1 或 C1 表示它。图 B2 \circ-\circ-\circ-\circ 也用 C2 表示。图 A3 \circ-\cdots-\circ 也用 D3 表示。最后，D2 表示两个不连接节点的图由……组成。（这些约定源自相应的根系、cf.第5至8个属性。） 0AYH
注 2 如果(X,f)是约化根系R的Dynkin图，则逆系的Dynkin图可以用(X,f^{-1})来标识。在其他字中，与R^-的Dynkin图相关联的图表可以通过与R的Dynkin图相关联的不等式符号反转来获得。如果 R 是不可约的，我们看到 R 与 R^- 除非同构，R 属于型 Bl 或 Cl，在这种情况下，R^- 属于型 Cl 或 Bl。 0AYI
注可以证明规范的映射 Aut(tildeX, tildef) → Aut(Σ) 是同构。 0AYJ
定理 4 令 (W, S) 为不可约 Coxeter 系统，且 S 有限。当且仅当 (W, S) 的 Coxeter 图与以下之一同构时，相关的二次形式（第 V, § 4, no. 1 章）为正且简并： 0AYK

VII. Cartan subalgebras and regular elements

§ 1. 。初等分解 / 线性表示

命题 1 对于所有λ ∈ P， ↩ 5 00SJ
命题 2 令V,V',W为向量空间。令 r : S → End(V)、r': S→ End(V') 和 q: S→ End(W) 为映射。 ↩ 9 00SK
命题 3 和 ∑_λ∈ PV^λ(S) 是直达。和 ∑_λ∈ PV_λ(S) 是直达。 ↩ 2 00SL
引理 1 让x, y∈结束(V)。 ↩ 4 00SM
注该论证证明，如果 V 是有限维的，并且存在整数 n 使得 (ad x)ⁿy= 0，则 (ad x)^2 dim V-1y= 0。 00SN
定理 1 假设 V 是有限维的。以下条件是等效的： ↩ 5 00SO
推论 1 假设V是有限维的并且满足条件(AC)。令 k' 为 k 的扩张。假设对于所有 s∈ S，自同态 r(s)⊗ 1 或 V⊗ₖk' 都是可三角化的。令P'为从S到k'的映射中的集合。然后V⊗ₖk'=∑_λ'∈ P'(V⊗ₖk')^λ'(S)。 00SP
推论 2 假设V是有限维的并且满足条件(AC)。用V⁺(S)向量子空间∑_s∈ S((⋂_i≥ 1r(s)ⁱV)表示。然后： ↩ 1 00SQ
推论 3 令V和V'为有限维向量空间，并令r: S→End(V)和r': S→End(V')为映射满足条件(AC)。令 f: V→ V' 为满射线性映射，使得 f(r(s)v) =r'(s)f(v) 对于 s∈ S 和 v∈ V。然后 f(V^λ(S)) = V'^λ(S) 代表所有 λ ∈ P。 ↩ 2 00SR
命题 4 假设 k 是完美的。令V为End(V),uₛ, uₙ半单的有限维向量空间、u元素和u(代数的幂零分量，第1章。 VII, §5, no. 8）。 ↩ 4 00SS
命题 5 假设满足条件(AC)，并令λ : S→ k使得V^λ(S)not= 0。如果 k 的特征为 0，则映射 λ 是线性的。如果k具有特征pnot= 0，则存在p除暗V^λ(S)的幂q，以及次数q的齐次多项式函数P : S→ k，使得λ (s)^q= P(s)对于所有s∈ S。 ↩ 2 00ST
命题 6 假设k是无限的并且满足条件(AC)。令k'为k中的扩张。把V'= V⊗ₖk',S'= S⊗ₖk'。令r': S'→End(V')为从r通过标量扩张获得的映射。然后 ↩ 1 00SU
命题 7 假设k是无限的并且满足条件(AC)。令widetildeS为s∈ S的集合，使得V⁰(s) = V⁰(S)。如果s∈ S，则令P(s)是由r(s)定义的V/V⁰(S)的自同态的行列式（no. 1，Th.1的Cor.2(i)）。 ↩ 3 00SV
命题 8 设𝔥为李代数，L,M,N𝔥为模块。从𝔥到k用映射的P集合表示。 ↩ 1 00SW
命题 9 设 𝔥 为幂零李代数，M 为有限维 𝔥 模。从𝔥到k用映射的P集合表示。 ↩ 7 00SX
注假设k是完美的并且具有特征2。设𝔥=𝔰𝔩(2, k)，并且 00SY
推论令 𝔥 为幂零李代数，且 M 为有限维 𝔥 模，使得 M⁰(𝔥) = 0。令 f:𝔥→ M 为线性映射，使得 ↩ 2 00SZ
命题 10 令𝔤为李代数，𝔥是𝔤的幂零子代数。用从𝔥到k的映射的P集合来表示。 ↩ 9 00T0
引理 2 假设k的特征为0。令𝔤比k为半单李代数，B为𝔤的𝔤,𝔪子代数的杀戮形式。假设满足以下条件： ↩ 4 00T1
命题 11 假设k的特征为0。令𝔤为半单李代数，𝔥为𝔤的幂零子代数。代数𝔤⁰(𝔥)满足引理2的条件(1)和(2)；它在 𝔤 中是还原的。 ↩ 2 00T2
命题 12 令 𝔤 为李代数，a 自同构 of 𝔤。 ↩ 1 00T3
推论假设k是特征零，𝔤是半单。那么子代数𝔤¹(a)满足引理2的条件(1)和(2)；它在 𝔤 中是还原的。 00T4
命题 13 令𝔤为半单李代数，𝔤中𝔤的约简𝔞子代数，𝔪为𝔤中𝔞的交换子。子代数𝔪满足no. 3的引理2的条件(1)和(2)；它在 𝔤 中是还原的。 00T5
注 𝔤中𝔪的交换子不一定是约化到𝔞，cf.Exerc。 4. 00T6
命题 14 令 𝔤 为半单李代数、A 群和 r 同态，从 A 到 Aut(𝔤)。令𝔪为𝔤的子代数，元素的由……组成在r(A)下不变。假设线性表示r为半单。则𝔪满足no. 3的引理2的条件(1)和(2)；它在 𝔤 中被还原。 00T7

§ 2. 。嘉当子代数和正则元素李代数

定义 1 令𝔤为李代数。 𝔤的嘉当子代数是𝔤的幂零子代数，等于其自身的归一化器。 ↩ 2 00TJ
例 1 如果𝔤幂零，则𝔤中唯一的嘉当子代数就是𝔤本身（第I, §4, no. 1章，命题3）。 ↩ 2 00TK
例 2 设𝔤=𝔤𝔩(n, k)，并令𝔥为矩阵属于到𝔤的对角线集合。我们证明𝔥是𝔤的嘉当子代数。首先，𝔥是可交换的，因此是幂零的。令(Eᵢⱼ)为𝔤𝔩(n, k)的典范基，并令x=∑μᵢⱼEᵢⱼ为𝔤中𝔥标准化器的元素。如果inot=j，公式（5）章。 I, §1, no. 2表明Eᵢⱼ在[Eᵢᵢ, x]中的系数为μᵢⱼ。从Eᵢᵢ∈ 𝔥、[Eᵢᵢ, x]∈ 𝔥开始，所讨论… ↩ 2 00TL
例 3 令𝔥为𝔤中的嘉当子代数，并令𝔤₁为𝔤包含𝔥中的子代数。那么𝔥就是𝔤₁的嘉当子代数；这立即来自 Def。 1. ↩ 1 00TM
命题 1 令𝔤为李代数，令𝔥为𝔤的嘉当子代数。那么𝔥是𝔤的最大幂零子代数。 ↩ 1 00TN
命题 2 令 (𝔤ᵢ)_i∈ I 为李代数和 𝔤=∏_i∈ I𝔤ᵢ 的有限族。 ↩ 3 00TO
例 4 如果k具有特征，0,𝔤𝔩(n, k)是理想𝔰𝔩(n, k)和k.1的乘积。由例2和命题2可知，𝔰𝔩(n, k)中迹线0的对角线矩阵的集合是𝔰𝔩(n, k)的嘉当子代数。 ↩ 1 00TP
命题 3 设𝔤为李代数，𝔤为𝔥子代数，k'扩张为k。那么𝔥是𝔤的嘉当子代数当且仅当𝔥⊗ₖk'是𝔤⊗ₖk'的嘉当子代数。 ↩ 2 00TQ
命题 4 令𝔤为李代数，𝔥是𝔤的幂零子代数。那么𝔥是𝔤的嘉当子代数当且仅当𝔤⁰(𝔥) =𝔥。 ↩ 5 00TR
推论 1 令𝔤为李代数，𝔥嘉当子代数/𝔤。如果k是无限的，则存在x∈ 𝔥使得𝔥=𝔤⁰(x)。 ↩ 1 00TS
推论 2 令 f:𝔤→ 𝔤' 为满同态 / 李代数。如果𝔥是𝔤,f(𝔥)的嘉当子代数，那么𝔤'的嘉当子代数。 ↩ 6 00TT
推论 3 令𝔥为李代数𝔤的嘉当子代数，并令Cⁿ𝔤(n≥ 1)为𝔤的下降中央级数的项（第I, §1, no. 5章）。然后𝔤=𝔥+Cⁿ𝔤。 ↩ 1 00TU
推论 4 令𝔤为李代数，𝔤中的𝔥嘉当子代数，以及𝔤包含𝔥中的𝔞子代数。 ↩ 3 00TV
推论 5 设𝔤为李代数，E为𝔤的子集。让 E 通过伴随表示对 𝔤 进行运算。那么E是𝔤的嘉当子代数当且仅当E =𝔤⁰(E)。 ↩ 1 00TW
推论 6 Let 𝔤 be 李代数, let k₀ be 子域 of k such that [k:k₀]<+∞, and let 𝔤₀ be 李代数 obtained from 𝔤 by restricting 域 of scalars to k₀。 Let 𝔥 be 子集 of 𝔤.那么𝔥是𝔤的嘉当子代数当且仅当𝔥是𝔤₀的嘉当子代数。 00TX
命题 5 令𝔤为李代数，𝔠为中心，𝔥向量子空间为𝔤。那么𝔥是𝔤的嘉当子代数当且仅当𝔥包含𝔠并且𝔥/𝔠是𝔤/𝔠的嘉当子代数。 ↩ 3 00TY
推论令C_∞𝔤为李代数𝔤的升中中央级数的并（第I, §1, no. 6章）。 𝔤嘉当子代数是𝔤/C_∞𝔤嘉当子代数逆像。 00TZ
注 C_∞𝔤 is the smallest ideal 𝔫 of 𝔤 such that the centre of 𝔤/𝔫 is zero; it is a characteristic and nilpotent ideal of 𝔤. 00U0
注 1 如果 𝔤not=0,a₀= 0 自 (ad x)(x) = 0 对于所有 x∈ 𝔤。 00U1
注 2 设k'为k的扩张。为 x'∈ 𝔤⊗ₖk' 编写 det(T - ad x') =∑ᵢ₌₀ⁿa'ᵢ(x')Tⁱ。然后 a'ᵢ|𝔤=aᵢ 代表所有 i。 ↩ 1 00U2
定义 2 𝔤的秩，用rk(𝔤)表示，是最小的整数l，使得aₗnot= 0。如果aₗ(x)not= 0，则𝔤的元素x称为正则。 ↩ 1 00U3
例 1 如果𝔤是幂零的，那么rk(𝔤)=dim𝔤和𝔤的所有元素都是正则的。 00U4
例 2 让𝔤=𝔰𝔩(2, k)。如果x=(γ -α )∈ 𝔤，一个简单的计算可以得出 00U5
例 3 令V为有限维n和𝔤=𝔤𝔩(V)中的向量空间。令overlinek为k的代数闭包。令x∈ 𝔤，并令λ₁, . . . , λₙ为x的特征多项式的overlinek中的根（每个根被写入等于其重数的次数数）。典范同构从V^*⊗ V到𝔤与这两个空间的𝔤模块结构兼容，在其他字中需要1⊗ x-ᵗx⊗ 1到x（第I, §3, no. 3章，第4条）。根据命题4(i)§1… 00U6
命题 6 设𝔤为李代数，k的k'扩张，以及𝔤'=𝔤⊗ₖk'。 ↩ 1 00U7
命题 7 令(𝔤ᵢ)_i∈ I为李代数的有限族，并令𝔤=∏_i∈ I𝔤ᵢ。 01IY
命题 8 令 f:𝔤→ 𝔤' 为李代数中的满同态。 00U8
推论令Cₙ𝔤(n≥ 0)为𝔤的上升中央级数的项（第I, §1, no. 6章）。 𝔤中的正则元素是那些𝔤/Cₙ𝔤中的像是规则的。 00U9
命题 9 令𝔤为李代数，𝔤'子代数等于𝔤。 𝔤中的𝔤'正则中的每个元素在𝔤'中都是正则。 ↩ 2 00UA
注 3 𝔤中的𝔤'正则的元素不一定存在。如果至少存在一个，则这些元素中的集合恰好是上面证明中用S表示的集合。 00UB
定理 1 设𝔤为李代数。 ↩ 5 00UC
推论 1 每个李代数𝔤都有嘉当子代数，𝔤中的秩是嘉当子代数中最小的维数。 ↩ 1 00UD
推论 2 令 f:𝔤→ 𝔤' 为李代数中的满同态。如果𝔥'是𝔤'的嘉当子代数，则存在𝔤的嘉当子代数𝔥使得𝔥'=f(𝔥)。 ↩ 1 00UE
推论 3 每个李代数 𝔤 都是其嘉当子代数的和。 ↩ 1 00UF
命题 10 令𝔤为𝔤的李代数、𝔞交换子代数以及𝔠为𝔤中𝔞的交换子。假设所有 x∈ 𝔞 的 ad_𝔤x 为半单。那么𝔠的嘉当子代数就是𝔤包含于𝔞的嘉当子代数。 ↩ 7 00UG
命题 11 令 𝔫 为李代数 𝔤 的幂零子代数。 𝔤⁰(𝔫)中包含𝔤，存在嘉当子代数。 ↩ 1 00UH
定理 2 假设k的特征为0。令𝔤为半单李代数，𝔥嘉当子代数等于𝔤。那么𝔥是可交换的，并且它的所有元素在𝔤中都是半单（第I, §6, no. 3章，定义3）。 ↩ 3 00UI
推论 1 如果x∈ 𝔥和y∈ 𝔤^λ(𝔥)，我们有[x, y] =λ (x)y。 ↩ 1 00UJ
推论 2 𝔤的每个正则元素都是半单。 00UK
推论 3 令 𝔥 为约李代数 𝔤 的嘉当子代数。 ↩ 4 00UL

§ 3. 。共轭定理

定义 1 乘积 of 自同构 of 𝔤 of 形式 eᵃᵈˣ 且 x 幂零称为初等自同构 of 𝔤。 𝔤的初等自同构的群用Autₑ(𝔤)表示。 00V0
引理 1 令 V 为有限维向量空间，𝔫 𝔞=𝔤𝔩(V) 由……组成幂零元的谎言子代数。 ↩ 6 00V1
命题 1 令 𝔤 为 𝔤 的李代数、𝔫 子代数，使得 ad_𝔤x 对于所有 x∈ 𝔫 是幂零的。那么e^ad_𝔤𝔫就是Autₑ(𝔤)的子群。 ↩ 1 00V2
注 1 令V为有限维向量空间，𝔤为𝔞=𝔤𝔩(V)的谎言子代数，x元素为𝔤，使得ad_𝔤x为零。那么存在𝔞的幂零元n使得ad_𝔞n扩展ad_𝔤x。事实上，令s, n为半单且x的幂零分量；那么 ad_𝔞s 和 ad_𝔞n 是半单和 ad_𝔞x 的幂零分量（第 I, §5, no. 4，引理 2），因而 ad_𝔞s 和 ad_𝔞n 使 𝔤 保持稳定，而 ad_𝔞s|𝔤 和… ↩ 2 00V3
注 2 令 V 为有限维向量空间。对于所有g∈ SL(V)，令φ (g)为自同构x → gxg⁻¹除以𝔤𝔩(V)。然后 ↩ 3 00V4
引理 2 (i) 设𝔥ᵣ为x∈ 𝔥的集合，使得𝔤⁰(x) =𝔤⁰(𝔥)；这是 x∈ 𝔥 的集合，使得 λ (x)not= 0 对于所有 λ ∈ R，并且 𝔥ᵣ 在 Zariski 拓扑中的 𝔥 中是开放且密集的。 ↩ 2 00V5
命题 2 假设 k 是代数闭的。令𝔤为𝔤的李代数、𝔥和𝔥'嘉当子代数。存在u∈ E(𝔥)和u'∈ E(𝔥')使得u(𝔥) =u'(𝔥')。 ↩ 1 00V6
推论 E(𝔥) = E(𝔥')。 00V7
定理 1 假设 k 是代数闭的。令𝔤为李代数。群 E 在 Aut(𝔤) 中是正规的，并且在 𝔤 的嘉当子代数的集合上传递操作。 ↩ 10 00V8
定理 2 设𝔤为李代数。 ↩ 7 00V9
命题 3 令𝔤为李代数，𝔤'子代数等于𝔤。以下条件是等效的： ↩ 8 00VA
推论令𝔥为𝔤的幂零子代数。子代数 𝔤⁰(𝔥) 具有命题 3 中的属性 (i)、(ii)、(iii)。 ↩ 1 00VB
命题 4 令𝔤为李代数，𝔤,c的l秩，𝔤的嘉当子代数的幂幂类，以及x∈ 𝔤。存在𝔤的l维子代数，其幂零性类为≤ c，且包含x。 ↩ 1 00VC
定理 3 令𝔤为可解李代数，令𝔥,𝔥'为𝔤的嘉当子代数。存在x∈ C^∞(𝔤)使得eᵃᵈˣ𝔥=𝔥'。 ↩ 7 00VD
引理 3 令𝔤为李代数，𝔯其部首，φ典范同态从𝔤到𝔤/𝔯,v是𝔤/𝔯的初等自同构。存在 𝔤 的初等自同构 u 使得φ ∘ u=v∘ φ。 ↩ 1 00VE
命题 5 令𝔤为李代数，𝔯其部首，𝔤的𝔥和𝔥'嘉当子代数，以及从𝔤到𝔤/𝔯的φ典范同态。以下条件是等效的： ↩ 1 00VF
命题 6 假设k是R,C或特征为0的非离散完全超度量域。令G是k,e上的有限维李群其单位元素，𝔤其李代数，𝔥 𝔤,𝔥ᵣ嘉当子代数𝔤属于正则元素集合至𝔥。 00VG

§ 4. 。正则元素 / 李群

引理 1 设 M 为 k 上的解析流形以及 M 上函数的解析 a= (a₀, . . . , aₙ₋₁, aₙ= 1) 序列。对于所有 x∈ M，令 rₐ(x) 为 i∈ 0, n 的上界，使得 aⱼ(x) = 0对于j < i，令rₐ⁰(x)为那些i∈ 0, n中的上界，使得对于j < i，aⱼ是x的邻域上的零。 ↩ 4 00VU
引理 2 令 0→ V'→ V→ V''→ 0 分别为由 G 的解析线性表示 ρ ', ρ , ρ '' 定义的 G 模的正合序列。然后： 00VV
定义 1 如果 r_ρ(g) =r⁰_ρ(g)，则元素 g∈ G 被称为线性表示 ρ 的常规。 00VW
命题 1 G 的解析线性表示 ρ 的正则点是邻域中 G 的点，其中 r_ρ 是常数。它们构成了G的密集开子集。如果k=C和G连通，则ρ的正则点的集合连通。 ↩ 2 00VX
注设G^*是G的开子群。对于G的线性表示ρ，元素a∈ G^*是G的正则元素当且仅当它是线性表示ρ |G^*的G^*的正则元素。 00VY
定义 2 如果 G 的伴随表示是正则的，则称 G 的元素是正则的。 ↩ 1 00VZ
命题 2 令G'是k上的有限维李群，而f是从G到G'的开态射。 G的正则元素f下的像是G'正则元素。如果f的核包含在G的中心中，则元素g∈ G是规则的当且仅当f(g)是规则的。 ↩ 2 00W0
命题 3 令G₁和G₂是k上的两个有限维李群。 G₁× G₂的元素(g₁, g₂)是正则当且仅当g₁和g₂分别是G₁和G₂的正则元素。 00W1
引理 3 令a∈ G和𝔪为𝔤中𝔤¹(a)的补集。令 U 为 𝔤 中 0 的邻域，并用指数映射从 U 到 G。映射 ↩ 1 00W2
命题 4 令 a∈ G 和 H 为 G 与李代数 𝔤¹(a) 的李子子群胚芽。从H× G到G的映射(b, c) → cabc⁻¹是(e, e)的淹没。 ↩ 2 00W3
命题 5 设 a∈ G 并令 W 为 G 中 e 的邻域。存在 a 的邻域 V 以及以下性质：对于所有 a'∈ V，存在元素 g∈ W 使得𝔤¹(a')⊂ 广告(g)𝔤¹(a)。 ↩ 1 00W4
推论令G^*为G的开子群。如果a∈ G是正则，则存在a的邻域V，使得对于所有a'∈ V,𝔤¹(a')来说，在Ad(G^*)下，共轭到𝔤¹(a)。 ↩ 1 00W5
命题 6 令V为𝔤的开子群，并令exp: V→ G为在V上定义的指数映射。 ↩ 2 00W6
引理 4 令 U 为 𝔤 中 0 的邻域，并用从 U 到 G 的指数映射，在 U 的每点处进行 étale，并且对于所有 x∈ U，𝔤¹(exp x) =𝔤⁰(x)。 ↩ 2 00W7
命题 7 令V为G中e的邻域。𝔤的每个嘉当子代数都是形式𝔤¹(a)，其中a是G属于到V的正则元素。 00W8
命题 8 令 l 为 𝔤 的秩。存在 G 的开子群 G^* 使得： ↩ 1 00W9
注如果k=C、子代数𝔤¹(a)，对于a正则和属于到G的连通分量M，在Int(𝔤)下是共轭。事实上，令 R 为 G 的正则元素的集合。对于所有 a∈ R∩ M，令 Mₐ 为那些 b∈ R∩ M 的集合，使得 𝔤¹(a) 是 Int(𝔤) 下的共轭到 𝔤¹(a)。我们有 Int(𝔤) = Ad(G⁰)，其中 G⁰ 是 G 的恒等分量。根据命题的推论，5, Mₐ 在… 00WA
命题 9 令k为特征0的域，并且𝔤李代数超过k。如果a∈Autₑ(𝔤)，则a-1的零空间的维数大于或等于𝔤的秩。 ↩ 2 00WB

§ 5. 。可分解线性李代数

定义 1 设𝔤是𝔤𝔩(V)的谎言子代数。那么 𝔤 被认为是可分解的，如果 𝔤 包含半单并且它的每个元素的幂零分量（代数，第 VII, §5, no. 8）。 ↩ 1 00WG
例 1 令V'和V''为V的向量子空间，使得V''⊃ V'。 x∈ 𝔤𝔩(V)的集合使得x(V'')⊂ V'是𝔤𝔩(V)的可分解谎言子代数；事实上，对于所有x∈ 𝔤𝔩(V)、半单和x的幂零分量都是形式、P(x)和Q(x)，其中P和Q是没有常数项的多项式。 ↩ 1 00WH
例 2 假设V有代数结构。 V 的推导的集合是 𝔤𝔩(V) (§1, no. 1 的可分解谎言子代数，命题 4 (ii)）。 00WI
例 3 更一般地，可以证明 GL(V) 的任何代数子群的李代数都是可分解的。\ 01KQ
命题 1 令𝔤为𝔤𝔩(V),x∈ 𝔤,s和n半单的可分解李子子代数以及x的幂零分量。 00WJ
命题 2 令 𝔤 为 𝔤𝔩(V) 中 𝔤𝔩(V) 约简的谎言子代数，E 为有限维向量空间，E 上 𝔤 的 π :𝔤→ 𝔤𝔩(E) 半单线性表示。则： ↩ 5 00WK
注 1 π 上的半单纯性假设相当于说，对于所有x∈ 𝔠，π (x) 是半单。注，当通过连续应用以下运算：张量积、通向对偶、子表示、商、直和，从恒等式表示𝔤→ 𝔤𝔩(V)获得π时，满足假设。 00WL
注 2 设𝔤⊂ 𝔤𝔩(V)、𝔤'⊂ 𝔤𝔩(V')为可分解李代数、φ同构，从𝔤到𝔤'。注 φ 不一定是 𝔤 的变换半单（幂幂）元素到半单（幂幂）元素 𝔤'（练习 2）。然而，如果𝔤是半单（第I, §6, no. 3章，第3章），就会出现这种情况。 00WM
命题 3 令𝔞为𝔤𝔩(V)的可分解谎言子代数，并令𝔟和𝔠为𝔤𝔩(V)的向量子空间，使得𝔟⊂ 𝔠。令𝔞'为x∈ 𝔞的集合，使得[x,𝔠]⊂ 𝔟。那么𝔞'是可分解的。 ↩ 3 00WN
推论 1 如果𝔞是𝔤𝔩(V)的可分解谎言子代数，并且𝔫是𝔞的谎言子代数，则𝔞中𝔫的归一化器（或中心化器）是可分解的。 ↩ 2 00WO
推论 2 可分解谎言的嘉当子代数 𝔤𝔩(V) 的子代数是可分解的。 ↩ 2 00WP
注我们稍后将证明 Cor 的 (no. 5, Th.2) 逆命题。 2. 00WQ
命题 4 令𝔤为𝔤𝔩(V)的谎言子代数，而𝔫为𝔤的理想。那么𝔫和e(𝔫)是e(𝔤)和[e(𝔤), e(𝔫)] = [𝔤,𝔫]的理想。 ↩ 6 00WR
推论 1 (i) Dⁱ𝔤=Dⁱe(𝔤) 代表i≥ 1，Cⁱ𝔤=Cⁱe(𝔤) 代表i≥ 2。 ↩ 2 00WS
推论 2 设𝔯为𝔤的根式。如果 𝔤 可分解，则 𝔯 也可分解。 ↩ 3 00WT
命题 5 令 𝔤 为 𝔤𝔩(V) 的可分解幂零谎言子代数。令𝔱为集合/半单元素/𝔤。那么𝔱是𝔤的中心子代数，𝔤是𝔱的乘积，𝔫_V(𝔤)是李代数。 ↩ 1 00WU
命题 6 令 𝔤 为 𝔤𝔩(V) 的可分解谎言子代数。设T为半单元素𝔤由……组成交换子代数集合，以及T极大元素T₁集合。令H为𝔤的嘉当子代数中的集合。 ↩ 1 00WV
推论 1 𝔤的嘉当子代数是半单元素的𝔤的集中器。 00WW
推论 2 假设加法中𝔤是可解的。然后： ↩ 2 00WX
命题 7 令 𝔤 为 𝔤𝔩(V) 的可分解谎言子代数。 ↩ 4 00WY
引理 1 令 𝔫 为 𝔤𝔩(V) 由……组成幂零自同态的谎言子代数，以及 GL(V) (§3, no. 1、引理 1 的 N 子群 exp𝔫。 ↩ 4 00WZ
引理 2 ² (i) 令W为维数dV向量子空间，D线bigwedgeᵈW⊂ bigwedgeᵈV,θbigwedge V上𝔤𝔩(V)标准表示（第1章） III，应用程序。）。让x∈ 𝔤𝔩(V)。那么x(W)⊂ W当且仅当θ (x)(D)⊂ D。 ↩ 2 01JS
命题 8 令𝔫为𝔤𝔩(V)由……组成或幂零元的谎言子代数，𝔮为𝔤𝔩(V)中𝔫的归一化器。 E 上存在有限维向量空间 E、𝔤𝔩(V) 的表示 ρ，E 上存在向量子空间 F，满足以下条件： ↩ 1 00X0
定理 1 令𝔤为𝔤𝔩(V)的谎言子代数，令X为𝔤生成的𝔤的子集，因为李代数超过k。如果X的每个元素都是半单或幂零，𝔤是可分解的。 ↩ 1 00X1
推论 1 由其可分解的子代数生成的𝔤𝔩(V)的每个子代数都是可分解的。 ↩ 4 00X2
推论 2 设𝔤是𝔤𝔩(V)的谎言子代数。那么[𝔤,𝔤]是可分解的。 00X3
推论 3 令𝔤为𝔤𝔩(V)的谎言子代数，并令X为𝔤生成的𝔤(作为李代数超过k)的子集。 ↩ 2 00X4
推论 4 令 𝔤 为 𝔤𝔩(V) 的可分解谎言子代数。令T为半单元素𝔤由……组成交换子代数集合（cf.命题6）。 T中的极大元素都有相同的维数。 00X5
定理 2 设𝔤是𝔤𝔩(V)的谎言子代数。以下条件是等效的： ↩ 1 00X6

App. 1. 附录 I 多项式映射和 ZARISKI 拓扑

命题 1 令H为从A_V到k的代数同态的集合。对于任何x∈ V，令hₓ为从A_V到k的同态f → f(x)。那么，从V到H，映射x → hₓ就是双射。 00XC
推论对于任何x∈ V，设𝔪ₓ= Ker(hₓ)。那么映射x → 𝔪ₓ是A_V的理想𝔪从V到集合的双射，使得A_V/𝔪=k。 ↩ 1 00XD
命题 2 向量空间V，配备Zariski拓扑，是不可约的诺特空间。特别是，V的每个非空开子集都是稠密的。 00XE
定义 1 如果与 f 关联的从 A_W 到 A_V 的同态是单射的，则称多项式映射 f: V→ W 是显性的。 00XF
命题 3 假设 k 是代数闭的。设f: V→ W为支配多项式映射。 V 包含的任何密集开子集 f 下的像 W 的密集开子集。 00XG
命题 4 设 f: V→ W 为多项式映射。假设存在x₀∈ V使得(Df)(x₀)是满射的。那么f占主导地位。 ↩ 1 00XH
推论如果k是代数闭的，并且如果f满足命题4的假设，则像位于V包含的任何稠密开子集的f下，W的稠密开子集。 00XI

App. 2. 附录 II 一个连通性质

引理 1 令X为连通拓扑空间，Ω为X的稠密开子集。如果对于任意x∈ X，存在x的邻域V使得V∩ Ω连通，则Ω连通。 ↩ 1 00XN
引理 2 设 U 为 Cⁿ 中的开球，f: U→ C 为全纯函数，但与零不同。设 A 为 U 的子集，使得 A 上的 f= 0。则 U -- A 在 U 中稠密且连通。 00XO
引理 3 令X为有限维连通复解析流形，并令A为X满足以下条件的子集： 00XP

VIII. Split semi-simple Lie algebras

§ 1. 。李代数 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}$(2$\boldsymbol{, k}$) 及其表示

引理 1 设 A 是 A 的 k,H 和 X 元素的结合律代数，使得 [H, X] = 2X。 ↩ 5 00XS
引理 2 在𝔰𝔩(2, k)的包络线代数中， ↩ 1 00XT
引理 3 如果x是权λ中的元素，则X₊x是权λ + 2中的元素，X₋x是权中的元素 λ -2。 ↩ 2 00XU
定义 1 令 E 为 𝔰𝔩(2, k) 模。如果E的元素是H_E和属于到X_+E的核的非零特征向量，则称它是本原的。 00XV
引理 4 令 E 为非零有限维 𝔰𝔩(2, k) 模。那么 E 有原语元素。 ↩ 2 00XW
命题 1 令 E 为 𝔰𝔩(2, k) 模，e 权 λ 的 E 的原语元素。将 eₙ=((-1)ⁿ)/nX₋ⁿe 替换为 n≥ 0，以及 e₋₁= 0。然后 ↩ 4 00XX
推论 e生成的E的子模是eₙ生成的向量子空间。 ↩ 1 00XY
命题 2 如果由原语元素e生成的E的子模V是有限维的，则： ↩ 6 00XZ
推论令 E 为有限维 𝔰𝔩(2, k) 模。 ↩ 9 00Y0
命题 3 对于任何整数m≥ 0，V(m)是一个绝对简单的𝔰𝔩(2, k)模块。在这个模中，e⁽ᵐ⁾₀=uᵐ是权m的原语。 00Y1
定理 1 有限维 n 的每个简单𝔰𝔩(2, k)模都与V(n-1)同构的。每个有限维𝔰𝔩(2, k)模都是子模的直和同构于模V(m)。 ↩ 4 00Y2
注 1 简单 𝔰𝔩(2, k) 模的𝔰𝔩(2, k) 结构上𝔰𝔩(2, k) 定义的伴随表示。这个模通过同构与V(2)同构的，需要u²到X₊, 2uv到-H，以及v²到X₋。 00Y3
注 2 对于 n≥ 0 和 m > n， 00Y4
注 3 令 Φ 为 V(m) 上的双线性形式，使得 ↩ 2 00Y5
命题 4 设E是权m的原语元素的有限维𝔰𝔩(2, k)模、m整数≥ 0、Pₘ集合。令L为从𝔰𝔩(2, k)模V(m)到𝔰𝔩(2, k)模E的同态的向量空间。从L到E的映射f → f(uᵐ)是线性、单射的，其像为Pₘ∪ 0。 00Y6
推论型 V(m) 的 E 的同型成分有长度 00Y7
定义 2 设 E 为有限维向量空间，并且 E 上的 𝔰𝔩(2, k)（分别为 SL(2, k)）的 ρ（分别为 π）线性表示。则 ρ 和 π 被认为是兼容的，如果对于每个幂零元 x 𝔰𝔩(2, k),π (eˣ) =e^ρ(x)。 00Y8
定理 2 令 ρ 为 𝔰𝔩(2, k) 在有限维向量空间 E 上的线性表示。 ↩ 3 00Y9
注当k为R或C或完全非离散超度量域时，𝔰𝔩(2, k)为SL(2, k)的李代数。令 ρ 和 π 如 Th 中所示。 2. 同态π是李群从SL(2, k)到GL(E):的同态，这在E = V(m)时是清楚的，鉴于Th，一般情况如下。 1. 章。 VII, §3，没有。 1,ρ (X₊) = L(π )(X₊),ρ (X₋) = L(π )(X₋)。因此ρ =… 00YA
命题 5 令 E、F 为有限维 𝔰𝔩(2, k) 模，并令 f∈ Homₖ(E,F)。以下条件是等效的： 00YB
定义 3 群 SL(2, k) 的伴随表示是线性表示 SL(2, k) 在 𝔰𝔩(2, k) 上的广告，定义为 00YC
命题 6 令 E 为有限维 𝔰𝔩(2, k) 模，且为 t∈ k^*。令Eₚ为权pE元素集合。 ↩ 1 01L4
推论令 E = E'⊕ E'' 为 Cor 中定义的 E 的分解。提案 2. SL(2, k) 的元素 (-10) 在 E' 上按 +1 运算 00YD

§ 2. 。根系分裂的半单李代数

定义 1 设𝔤为半单李代数。如果对于所有 x∈ 𝔥，ad_𝔤x 可三角化，则 𝔤 的嘉当子代数 𝔥 称为分裂。如果半单李代数具有分裂嘉当子代数，则称为可拆分。分裂的半单李代数是对 (𝔤,𝔥)，其中𝔤 是半单李代数，𝔥 是𝔤 的分裂嘉当子代数。 00YK
注 1 设𝔤为半单李代数，𝔥嘉当子代数/𝔤。对于所有 x∈ 𝔥，ad_𝔤x 为半单（第 VII, §2, no. 4 章，第 2 章）。因此，说 𝔥 是分裂意味着 ad_𝔤x 对于所有 x∈ 𝔥 都是可对角化的。 00YL
注 2 如果k是代数闭的，则每个半单李代数𝔤都是可分割的，并且𝔤的每个嘉当子代数都是分裂。当k非代数闭时，存在不可分半单李代数 (Exerc. 2a))；此外，如果𝔤是可分割的，则𝔤中可能存在嘉当子代数不是分裂（Exerc.2b）)。 ↩ 1 00YM
注 3 令𝔤为半单李代数、𝔤的𝔥嘉当子代数，以及ρ为𝔤的有限维单射表示，使得ρ (𝔥)可对角化。那么 ad_𝔤x 对于所有 x∈ 𝔥（第 VII, §2, no. 1，例 2 章）可对角化，因此 𝔥 是分裂。 00YN
注 4 我们将看到（§3, no. 3，Prop. 10 的Cor.），如果𝔥,𝔥'是𝔤的分裂嘉当子代数，则存在𝔤的初等自同构将𝔥变换为𝔥'。 00YO
注 5 设 𝔤 为约简李代数。然后𝔤=𝔠× 𝔰，其中𝔠是𝔤的中心，𝔰=D𝔤是半单。 𝔤中的嘉当子代数是形式𝔥=𝔠× 𝔥'中的子代数，其中𝔥'是𝔰中的嘉当子代数（第VII, §2, no. 1章，第2条）。如果𝔥'相对于𝔰是分裂，则𝔥称为分裂。这以明显的方式导致可分割的定义或还原的分裂的代数。 ↩ 1 00YP
定义 2 (𝔤,𝔥) 的根是𝔤 上𝔥 的非零权。 00YQ
命题 1 令α ,β为(𝔤,𝔥)的根，并令⟨ · ,· ⟩为𝔤(上的非简并不变对称双线性形式，用于例对𝔤)的杀戮形式。 ↩ 5 00YR
定理 1 令 α 为 (𝔤,𝔥) 的根。 ↩ 3 00YS
推论令Φ为𝔤的杀戮形式。对于所有a, b∈ 𝔥， ↩ 2 00YT
命题 2 让α , β ∈ R。 ↩ 1 00YU
引理 1 (i) 对于所有h∈ 𝔥,θ_α(t).h=h-α (h)H_α。 ↩ 3 00YV
定理 2 (i) 集合 R = R(𝔤,𝔥) 是 𝔥^* 中的约化根系。 ↩ 2 00YW
推论 (𝔤,𝔥) 的 Weyl 群的每个元素，在 𝔥 上运行，是 𝔤 的初等自同构的限制到 𝔥。 ↩ 8 00YX
注 1 If 𝔥_Q (resp. 𝔥^*_Q) denotes the Q-vector subspace of 𝔥 (resp. 𝔥^*) generated by the H_α (resp. the α ), where α ∈ R, then 𝔥 (resp. 𝔥^*) can be identified canonically with 𝔥_Q⊗_Qk… 00YY
注 2 𝔥 定义中的根系 R^∨ 𝔥 上的非简并对称双线性形式 β（第 VI, §1, no. 1 章，第 3 条命题），即形式 (a, b) → ∑_α∈ R⟨ α , a⟩ ⟨ α , b⟩。由科。至 Th。 1、这个形式只是其中的限制 ↩ 1 00YZ
命题 3 设𝔤为𝔤的半单李代数、𝔥₁和𝔥₂分裂嘉当子代数。从𝔥^*₁到𝔥^*₂存在同构需要R(𝔤,𝔥₁)到R(𝔤,𝔥₂)。 00Z0
命题 4 令α和β线性无关根。令p（分别q）为最大的整数j，使得β +jα（分别β -jα）为根。 ↩ 2 00Z1
注 3 回想一下，章。 VI, §1, no. 3，科。 9号命题中，整数p+q+ 1只能取值1,2,3,4。 00Z2
注 4 令(𝔤,𝔥)为分裂约化李代数、𝔠中心/𝔤,𝔤'=D𝔤、𝔥'=𝔥∩ 𝔤'。然后𝔥=𝔠× 𝔥'，我们认同𝔥^'*和向量子空间𝔥^*。对于任何λ ∈ 𝔥^*使得λ not= 0，相对于λ的主子空间𝔤^λ等于𝔤'^λ|𝔥'。 𝔤 上𝔥 的非零权称为(𝔤,𝔥) 的根；每个根都会在𝔠消失。用(𝔤,𝔥)根R(𝔤,𝔥)集合表示；它可以用 R(𝔤',𝔥') 来规范地识别。让α… ↩ 2 00Z3
命题 5 令(𝔤,𝔥)为分裂的半单李代数，Φ为𝔤上的不变对称双线性形式，W为(𝔤,𝔥)的Weyl群。那么Φ到𝔥的限制Φ '在W下是不变的。此外，如果Φ是非简并的，Φ '也是非简并的。 ↩ 2 00Z4
命题 6 令(𝔤,𝔥)为分裂的半单李代数，Φ为𝔤上的非简并不变对称双线性形式。对于所有α ∈ R，令X_α为𝔤^α的非零元素。令(Hᵢ)_i∈ I为𝔥的基，且(H'ᵢ)_i∈ I基为𝔥，使得Φ (Hᵢ, H'ⱼ) =δᵢⱼ。 𝔤（第I, §3, no. 7）的包络线代数中与Φ相关联的卡西米尔元素则为 ↩ 2 00Z5
引理 2 存在一个族(X_α)_α∈ R，对于所有α ∈ R， ↩ 3 00Z6
引理 3 对于所有α ∈ R， ↩ 2 00Z7
引理 4 令α , β ∈ R 使得α +β ∈ R。令p（或q）为最大的整数j，使得β +jα ∈ R（或β -jα ∈ R）。然后， ↩ 3 00Z8
定义 3 (𝔤,𝔥) 的 Chevalley 系统是一个(X_α)_α∈ R 族，使得 ↩ 4 00Z9
命题 7 令 (X_α)_α∈ R 为 (𝔤,𝔥) 的 Chevalley 系统。我们保留引理 4 中的记号。然后，N_-α ,-β= N_α ,β 和N_α ,β=± (q+ 1) 代表α , β , α +β ∈ R。 ↩ 3 00ZA
命题 8 令 (X_α)_α∈ R 为 (𝔤,𝔥) 的 Chevalley 系统。设 M 是 𝔥 包含于 H_α 的Z子模，并包含在R^∨的权的群中。令𝔤_Z为由M和X_α生成的𝔤的Z子模。那么𝔤_Z是𝔤的Z-谎言子代数，并且从𝔤_Z⊗_Zk到𝔤的规范映射是同构。 ↩ 1 00ZB

§ 3. 。子代数分裂的半单李代数

引理 1 令V为𝔤的向量子空间且R(V)集合为α ∈ R，使得𝔤^α⊂ V。那么，(V∩ 𝔥) +∑_α∈ R(V)𝔤^α在广告𝔥下是稳定的V的最大的向量子空间。 ↩ 1 00ZO
引理 2 令𝔥'为𝔥的向量子空间，P为R的子集。则𝔥'+𝔤ᴾ为𝔤的子代数当且仅当P为R的闭子集且 ↩ 1 00ZP
命题 1 (i) 在ad𝔥下稳定的𝔤子代数是形式𝔥'+𝔤ᴾ的向量子空间，其中P是R的闭子集，𝔥'是向量子空间 𝔥 包含 𝔥_P∩(-P)。 ↩ 3 00ZQ
命题 2 令𝔞为在ad𝔥下稳定的𝔤的子代数，并令𝔥'⊂ 𝔥、P⊂ R为𝔞=𝔥'+𝔤ᴾ。 ↩ 4 00ZR
命题 3 令𝔞为在ad(𝔥)下稳定的𝔤的半单子代数，并令P为R的子集，使得𝔞=𝔥_P+𝔤ᴾ。 00ZS
命题 4 令𝔞为𝔞,s的𝔤包含𝔥,x元素和n其半单和幂零分量子代数。然后是s∈ 𝔞和n∈ 𝔞。 00ZT
命题 5 令 P 为 R 的闭子集。 ↩ 1 00ZU
命题 6 令 R₁, . . . ,Rₚ 为 R 的不可约分量。对于 i= 1, . . . , p，输入 𝔤ᵢ=𝔥_Rᵢ+𝔤^Rᵢ。那么𝔤₁, . . . ,𝔤ₚ就是𝔤的简单分量。 ↩ 1 00ZV
推论 1 当且仅当 R 不可约时，𝔤 是简单的（在其他字中，其 Dynkin 图是连通的）。 ↩ 3 01IZ
推论 2 可拆分的简单李代数绝对简单。 00ZW
命题 7 设𝔟=𝔥+𝔤ᴾ为𝔤包含𝔥中的子代数。以下条件是等效的： ↩ 3 00ZX
定义 1 𝔤 包含 𝔥 的子代数和满足等价于第 7 条提案中的条件称为 (𝔤,𝔥) 的博雷尔子代数。 ↩ 1 00ZY
注将 R₊(C) 关联到 R 的室 C 的映射是单射的（第 VI, §1, no. 7 章，第 20 条命题第 1 条）。因而，从R室的集合到(𝔤,𝔥)的博雷尔子代数的集合，C → 𝔥+𝔤^R₊(C)为双射。因而，(𝔤,𝔥)的博雷尔子代数的数等于R的Weyl 群的阶（第VI, §1, no. 5，第2章）。 00ZZ
命题 8 令 𝔟 为 𝔤,k' 扩张 k 中的子代数。那么𝔟⊗ₖk'是(𝔤⊗ₖk',𝔥⊗ₖk')的博雷尔子代数当且仅当𝔟是(𝔤,𝔥)的博雷尔子代数。 ↩ 1 0100
命题 9 设 𝔟 为由 R 的室 C 定义的 (𝔤,𝔥) 的博雷尔子代数。设 𝔫=𝔤^R₊(C)=∑_α∈ R,α >0𝔤^α。让l=变暗𝔥。 ↩ 7 0101
推论设𝔟为𝔤的博雷尔子代数。 ↩ 2 0102
命题 10 设𝔟,𝔟'为𝔤的博雷尔子代数。 𝔟∩ 𝔟'中包含𝔤，存在分裂嘉当子代数。 ↩ 6 0103
推论群 Autₑ(𝔤) 在对 (𝔱,𝔟) 的集合上传递操作，其中 𝔱 是 𝔤 的分裂嘉当子代数，𝔟 是博雷尔子代数 (𝔤,𝔱)。 ↩ 4 0104
命题 11 设𝔭=𝔥+𝔤ᴾ为𝔤包含于𝔥中的子代数。以下条件是等效的： ↩ 1 0105
定义 2 𝔤 包含 𝔥 的子代数和满足等价于第 11 条的条件称为 (𝔤,𝔥) 的抛物线子代数。 𝔤 的抛物线子代数是 (𝔤,𝔥') 的抛物线子代数，其中 𝔥' 是 𝔤 的分裂嘉当子代数。 ↩ 1 0106
注设B为R的基，且𝔟相应的博雷尔子代数。如果Σ ⊂ B，用根的Q_Σ集合表示，即Σ的元素线性组合，系数为≤ 0；把𝔭(Σ ) = R₊(B)∪ Q_Σ和𝔭_Σ=𝔥⊕ 𝔤^P(Σ)。由章。 VI, §1, no. 7、引理 3 和命题20,𝔭_Σ 是抛物线子代数包含 𝔟，𝔤 包含 𝔟 的每个抛物线子代数都是这样得到的。 0107
引理 3 设V为S的抛物线子集的V^*,P集合中的有限维实数向量空间、S根系；令H为α ∈ S的Ker α的集合，以及V相对于H的面的F集合（第V, §1, no. 2章，定义1）。 ↩ 1 0108
命题 12 令R中的H为𝔥_R超平面由……组成集合根核集合。令F为𝔥_R相对于H的面的集合。令S为(𝔤,𝔥)的抛物线子代数的集合。对于每个𝔭=𝔥+𝔤ᴾ∈ S，令F(𝔭)为与P相关的面。那么𝔭 → F(𝔭)是从S到F的双射。如果𝔭₁,𝔭₂∈ P， 0109
例 (𝔤,𝔥) 包含于 Borel 代数 𝔟 的抛物线子代数的小面相应的是包含在与 𝔟（上面的cf. 注）相关的腔室封闭中的小面。 010A
命题 13 令𝔭=𝔥+𝔤ᴾ为(𝔤,𝔥)的抛物线子代数、α ∈ P的Q集合，使得-α ∉ P和𝔰=𝔥+𝔤^P∩(-P)。 Then 𝔭=𝔰⊕ 𝔤^Q,𝔰 is reductive in 𝔤, and 𝔤^Q is the largest nilpotent ideal of 𝔭 and the nilpotent radical of 𝔭. 𝔭的中心是零。 ↩ 2 010B
命题 14 设k'为k和𝔤'=𝔤⊗ₖk'的扩张。设𝔪为𝔤和𝔪'=𝔪⊗ₖk'的子代数。如果 𝔪' 是抛物线（分别为 Borel ），则 𝔤',𝔪 的子代数是 𝔤 的抛物线（分别为 Borel ）子代数。 ↩ 2 010C
定义 3 令 𝔞 为半单（或更一般地还原）李代数，且overlinek 代数闭包为 k。如果 𝔪⊗ₖoverlinek 是 𝔞⊗ₖoverlinek 的抛物线（分别 Borel ）子代数，则 𝔞 的子代数 𝔪 被称为抛物线（分别 Borel ）。 010D
命题 15 令𝔞为李代数的约简，k'扩张为k的约简，𝔪子代数为𝔞的约简。那么𝔪是𝔞的抛物线（分别是Borel）子代数当且仅当𝔪⊗ₖk'是𝔞⊗ₖk'的抛物线（分别是Borel）子代数。 010E

§ 4. 。分裂的半单李代数由约化根系定义

命题 1 设(𝔤,𝔥)为分裂的半单李代数，R为根系，R的B基，(n(α , β ))_α ,β∈ B相应的嘉当矩阵。对于所有α ∈ B，设X_α∈ 𝔤^α, X_-α∈ 𝔤^-α。那么，对于 α , β ∈ B， ↩ 3 010T
定义 1 设(𝔤,𝔥)为分裂的半单李代数，R为根系。 A framing of (𝔤,𝔥) is a pair (B,(X_α)_α∈ B), where B is a basis of R, and where, for all α ∈ B,X_α is a non-zero element of 𝔤^α. 框架半单李代数是序列(𝔤,𝔥,B,(X_α)_α∈ B)，… 010U
引理 1 对于所有α , β ∈ B，我们有 ↩ 1 010V
引理 2 自同态 X_α⁰,H_β⁰,X_-γ⁰，其中α , β , γ ∈ B，是线性无关的。 010W
引理 3 元素 x_α, h_β, x_-γ 中的 𝔞 中的典范像，其中 α , β , γ ∈ B 是线性无关的。 010X
引理 4 存在 𝔞 的唯一对合自同构 θ，使得 010Y
引理 5 让z∈ 𝔞。那么z∈ 𝔞^μ当且仅当[h_α, z] =⟨ μ, α^∨⟩ z对于所有α ∈ B。 ↩ 2 010Z
注从引理 5 可以得出，𝔞 的每个理想都是齐次的，因为它在 ad h_α 下是稳定的。 0110
命题 2 (i) 李代数 𝔞₊ 是由(x_α)_α∈ B 家族产生的。 ↩ 1 0111
命题 3 李代数𝔞₊（分别𝔞₋）是免费的李代数，带有基本家庭(x_α)_α∈ B（分别(x_-α)_α∈ B）（cf.章节II, §2, no. 3）。 ↩ 1 0112
引理 6 让 α , β ∈ B 与 α not=β。然后 ↩ 1 0113
引理 7 由x_α β(α , β ∈ B, α not=β )生成的𝔞₊的理想𝔫是𝔞的理想。由y_α β(α , β ∈ B, α not=β )生成的𝔞₋的理想是𝔞的理想，并且等于θ (𝔫)。 0114
定理 1 令R为R的约化根系，B基。令𝔤为由生成的族((X_α, H_α, X_-α))_α∈ B和关系(16)至(22)定义的李代数。让𝔥=∑_α∈ BkH_α。那么(𝔤,𝔥)就是分裂的半单李代数。同构μ → μ_B从V到𝔥^*映射R到(𝔤,𝔥)的根系。对于所有 μ∈ R,𝔤^μ 是相对于根 μ 的特征空间。 ↩ 3 0115
引理 8 让α ∈ B∪ (-B)。那么 ad X_α 是局部幂零的。¹ ↩ 1 0116
引理 9 令μ, ν ∈ Q和w∈ W(R)使得wμ=ν。存在 𝔤 中的自同构，需要 𝔤^μ 到 𝔤^ν。 ↩ 1 0117
引理 10 设μ∈ Q，并假设μ不是根的倍数。存在w∈ W(R)，使得wμ相对于基 B 的某些坐标为>0，其中某些为<0。 ↩ 1 0118
引理 11 让μ∈ Q。如果μ ∉ R∪ 0，则𝔤^μ= 0。如果μ∈ R，则变暗𝔤^μ= 1。 0119
命题 4 设(𝔤,𝔥,B,(X_α)_α∈ B)为带框的半单李代数。设(n(α , β ))_α ,β∈ B和(X_α)_α∈ B∪(-B)为相应的嘉当矩阵和生成的族。 ↩ 3 011A
推论每个框架半单李代数都是通过Q到k标量的扩张从框架半单Q李代数获得的。 ↩ 1 011B
定理 2 设(𝔤,𝔥,B,(X_α)_α∈ B)和(𝔤',𝔥',B',(X'_α)_α∈ B')为半单李代数，设R和R'为(𝔤,𝔥)和(𝔤',𝔥')的根系，设(n(α , β ))_α ,β∈ B（或(n'(α , β ))_α ,β∈ B'）为R的嘉当矩阵（分别R'）相对于B（分别B'），并令Δ（分别Δ '）为R（分别R'）相对于B（分别B'）的Dynkin图。 ↩ 4 011C
学院任何可分割的半单李代数𝔤都与一个Dynkin图相关联，其中确定𝔤一直到同构（Th.2（iii））。当且仅当 𝔤 是简单的（§3, no. 2，命题 6 的 Cor. 1）时，该图才是非空且连通的。由 Th. no. 3 的第 1 章，以及第 1 章。 VI, §4, no. 2，周四。 3、可分割的简单李代数为型Aₗ(l≥ 1), Bₗ(l≥ 2), Cₗ(… 011D
命题 5 设(𝔤,𝔥,B,(X_α)_α∈ B)为框架半单李代数，(X_α)_α∈ B∪(-B)相应的生成的家庭。存在唯一的 𝔤 自同构 θ，使得 θ (X_α) =X_-α 对于所有α ∈ B∪ (-B)。我们有 θ²= Id_𝔤，以及所有 h∈ 𝔥 的 θ (h) =-h。 ↩ 1 011E
推论设(𝔤,𝔥)为分裂的半单李代数。那么(𝔤,𝔥)拥有Chevalley系统（§2, no. 4，Def.3）。 ↩ 3 011F

§ 5. 。自同构半单李代数

命题 1 设(𝔤,𝔥,B,(X_α)_α∈ B)为框架半单李代数，R根系为(𝔤,𝔥)。令G为使B保持稳定的s∈Aut(𝔤,𝔥)的集合，并且使得s(X_α) =X_ε(s)α对于(𝔤,𝔥,B,(X_α)_α∈ B))的自同构的其他字集合中的所有α ∈ B (。那么ε到G的限制就是从G到Aut(R,B)的同构。 ↩ 4 011N
命题 2 序列 / 同态 ↩ 7 011O
推论 1 令(B,(X_α)_α∈ B)为(𝔤,𝔥)的框架。令 G 为 s∈ Aut(𝔤,𝔥) 的集合，从而保持框架不变。那么Aut(𝔤,𝔥)就是G和ε⁻¹(W(R))的半直接乘积。 ↩ 2 011P
推论 2 群 ε⁻¹(W(R)) 在 (𝔤,𝔥) 的帧的集合上进行简单传递操作。 ↩ 1 011Q
推论 3 令B为R的基。群Kerε =f(T_Q)在形式(B,(X_α)_α∈ B)的(𝔤,𝔥)的帧的集合上进行简单传递操作。 011R
引理 1 设α ∈ R和t∈ k^*。设从 Q(R) 到 k^* φ 为同态 λ → t^λ(H_α)。然后f(φ ) =θ_α(t)θ_α(-1)。 ↩ 1 011S
命题 3 复合材料的像同态 ↩ 3 011T
引理 2 令𝔥为𝔤的分裂嘉当子代数，以及s∈Aut₀(𝔤,𝔥)。假设s到∑_α∈ R𝔤^α中的限制不像特征值那样为1。 ↩ 1 011U
引理 3 (i) 设 m= (P(R) : Q(R))。如果φ是T_Q中元素的第m第幂，则φ ∈ q(T_P)。 ↩ 1 011V
命题 4 我们有f(T_Q)⊂Aut₀(𝔤,𝔥)和ε⁻¹(W(R)) =Aut₀(𝔤,𝔥)。 ↩ 6 011W
推论 — 令 B 为 R 中的基。群Aut(mathfrak g,mathfrak h)同构于群Aut(R,B)和Aut₀(mathfrak g,mathfrak h)的半直接乘积。 01J0
注令ε',ε''为ε至Aut₀(mathfrak g,mathfrak h)、Autₑ(mathfrak g,mathfrak h)中的限制。令f'为同态，从T_P到Autₑ(mathfrak g,mathfrak h)，由f经由典范嵌入从Q(R)到P(R)诱导。前面我们建立了如下交换律图表： beginarrayccccccccc 1&longrightar… 011X
命题 5 — 假设 mathfrak g 是可分割的。群 Aut₀(mathfrak g) 在 mathfrak g 的帧的集合上进行简单传递操作。 ↩ 5 01J1
推论 1 — 令(mathfrak g,mathfrak h,B,(X_α)_α∈ B)为mathfrak g的框架，并且G群（与Aut(R,B)同构）为mathfrak g的自同构，使该框架保持不变。那么Aut(mathfrak g)就是G和Aut₀(mathfrak g)的半直接乘积。 ↩ 5 01J2
推论 2 Aut(𝔤) = Aut₀(𝔤)，当𝔤是型A₁,Bₙ(n≥ 2)、Cₙ(n≥ 2)、E₇,E₈,F₄,G₂的可分割简单李代数时。当𝔤为型、Aₙ(n≥ 2)、Dₙ(n≥ 5)、E₆时，商Aut(𝔤)/Aut₀(𝔤)为阶2；当𝔤为型D₄时，它与𝔖₃同构的。 ↩ 2 01J3
注 1 令e₁= (𝔤,𝔥₁,B₁,(X_α¹)_α∈ B₁),e₂= (𝔤,𝔥₂,B₂,(X_α²)_α∈ B₂)、e'₂= (𝔤,𝔥₂,B₂,(Y_α²)_α∈ B₂)为Aut₀(𝔤)的𝔤和s（分别为s'）元素，即变换e₁到e₂（分别为e'₂）。然后s|𝔥₁=s'|𝔥₁。事实上，s^'-1s∈Aut₀(𝔤,𝔥₁)和s^'-1s(B₁) = B₁，所以ε (s^'… ↩ 1 011Z
注 2 令X为对(𝔥,B)的集合，其中𝔥为𝔤的分裂嘉当子代数，以及(𝔤,𝔥)的根系的B基。如果x= (𝔥,B)和x'= (𝔥',B')是X中的两个元素，则存在s∈Aut₀(𝔤)将变换x转化为x'（命题5），以及限制s_x',x s 到 𝔥 不依赖于s (注 1) 的选择。特别是，如果x, x', x''∈ X和s_x,x= 1则为s_x'',x'∘ s_x',x=s… ↩ 6 0120
命题 6 令𝔥为𝔤的分裂嘉当子代数。我们有 no. 1 中的记号、Aut₀(𝔤) = Autₑ(𝔤).Ker ε = Autₑ(𝔤).f(T_Q)。 ↩ 2 0121
注 3 命题 6 表明典范同态 ↩ 1 0122
命题 7 令𝔤为𝔤的可分割半单李代数、𝔟博雷尔子代数，以及𝔭₁和𝔭₂不同的抛物线子代数为𝔤包含𝔟。那么𝔭₁和𝔭₂就不是Aut₀(𝔤)下的共轭。 ↩ 1 0123
注 4 令𝔤为𝔤、集合的抛物线子代数的可分割半单李代数、P集合，Aut₀(𝔤)在其上运行。保留注的记号 2. 令 Σ 为 B(𝔤) 的子集。给予Σ相当于给予B的每个x= (𝔥,B)∈ X、子集Σₓ，使得对于任何x, x'∈ X，s_x',x取Σₓ到Σ_x'。令𝔭ₓ为𝔤相应的到Σₓ的抛物线子代数（§3, no. 4，注）。 Aut₀(𝔤)下的𝔭ₓ的轨道是x'∈ X的𝔭… 0124
命题 8 令V为向量空间𝔤中的自同态中的集合。然后，Zariski 拓扑的 Aut(𝔤) 在 V 关闭（章节 VII，附录 I）。 0125
命题 9 设𝔥为𝔤的分裂嘉当子代数。 ↩ 1 0126
命题 10 假设𝔤是可分割的。 0127
命题 11 假设 k 是 R,C 或非离散完全超度量域。设𝔥为𝔤的分裂嘉当子代数。 0128

§ 6. 。模超过分裂的半单李代数

引理 1 令V为𝔤模块，v∈ V。以下条件是等效的： ↩ 1 012M
定义 1 令 V 为 𝔤 模块，v∈ V。如果 vnot= 0 和 v 满足引理 1 的条件，则 v 被称为 V 的原语元素。 012N
命题 1 令V为𝔤模块，v为V的原语元素，以及ω权为v。假设 V 由 v 作为 𝔤 模块生成。 ↩ 13 012O
定义 2 提案1（iv）的同态χ被称为𝔤模块V的中心特征标。 ↩ 1 012P
命题 2 令V是由权ω的基元元素e和X半单𝔤生成的𝔤模块。令Φ为从𝔤-模块V到𝔤-模块X的同态的集合。那么φ → φ (e)就是从向量空间Φ到向量空间X^ω_π的同构。 ↩ 1 012Q
引理 2 让V是一个简单的𝔤模块，ω权为V。以下条件是等效的： ↩ 3 012R
命题 3 让 V 成为一个简单的 𝔤 模块，其中包含最高权 ω。 ↩ 3 012S
推论如果 V 是有限维的，则典范同态 U(𝔤)→ End(V) 是满射的。 012T
命题 4 设 V 是一个简单的 𝔤 模块，其中最高权 ω、X 半单 𝔤 模块，以及 X' 型 V 的同型组件X。那么X'就是X^ω_π生成的X的子模。它的长度等于X^ω_π的维数。 ↩ 2 012U
命题 5 (i) Z(λ )的元素e是权λ和生成的𝔤模Z(λ )的原语。 ↩ 1 012V
定理 1 让λ ∈ 𝔥^*。 𝔤-模块E(λ )很简单，有最高权λ。最高权 λ 的每个简单𝔤模都与E(λ )同构的。 ↩ 1 012W
命题 6 令V为𝔤模块，𝔥^*的λ元素以及v为权λ的V的原语元素。 ↩ 3 012X
推论 1 令λ ∈ 𝔥^*和α ∈ B使得λ (H_α) + 1∈ N。那么Z(-α +s_αλ )同构于Z(λ )的𝔤子模块。 ↩ 2 012Y
推论 2 设ρ =1/2∑_α∈ R₊α和λ , μ∈ 𝔥^*。假设λ +ρ是R中的主导权，并且存在w∈ W和μ+ρ =w(λ +ρ )。那么Z(μ)同构于Z(λ )的子模。 ↩ 1 012Z
引理 3 把L = (𝔫₋U)∩ U⁰。 0130
命题 7 设λ ∈ 𝔥^*，E是由权λ ,χ的原语元素生成的𝔤模块，E的中心特征标，以及φ从U⁰到V的Harish-Chandra同态。然后，χ (z) = (φ (z))(λ )对于U的中心中的所有z。 ↩ 3 0131
推论令⟨ · ,· ⟩是𝔤上的非简并不变对称双线性形式，C与⟨ · ,· ⟩相关的卡西米尔元素。也用⟨ · ,· ⟩表示⟨ · ,· ⟩到𝔥(§2, no. 3的限制的𝔥^*的逆形式，命题5）。然后χ (C) =⟨ λ , λ + 2ρ ⟩，其中ρ =1/2∑_α∈ R₊α。 ↩ 3 0132

§ 7. 。有限维模超过分裂的半单李代数

命题 1 令 V 为有限维 𝔤 模。 ↩ 2 0138
推论令 ρ 为 𝔤 和Φ 双线性形式与 ρ 相关联的有限维表示。 ↩ 1 0139
引理 1 令V为𝔤模块，且ρ相应的表示为𝔤。 ↩ 3 013A
命题 2 令V为有限维𝔤模和s∈Aut₀(𝔤)。 ↩ 8 013B
注 1 令命题2(i)中的S满足条件，并令𝔥'=s(𝔥)；从𝔥^*到𝔥^'*用s^*同构λ → λ ∘ s⁻¹表示。很明显， 013C
推论 1 同构s^*取V相对于𝔥的权到V相对于𝔥'的权；相应的权具有相同的重数。 ↩ 1 013D
推论 2 让w∈ W。对于所有 λ ∈ 𝔥^*，向量子空间 V^λ 和 V^wλ 具有相同的维数。 V权集合在W下稳定。 ↩ 3 013E
注 2 由科.根据第 2 条命题 1 和 §5, no. 3、注 2，相对于 𝔤 的规范嘉当子代数以及它们的多重性，谈论 V 的权是有意义的。 01L8
注 3 引理 1 (i) 和提案 2 仍然有效，具有相同的证明，即使 𝔤 不被假定为可拆分。 013F
定理 1 一个简单的 𝔤 模是有限维的当且仅当它有最高权属于到 P₊₊。 ↩ 1 013G
推论 1 如果λ ∈ 𝔥^*和λ ∉ P₊₊，则𝔤模E(λ ) (§6, no. 3）是无限维的。 013H
推论 2 λ ∈ P₊₊的𝔤模E(λ )构成有限维简单𝔤模的类代表的集合。 ↩ 2 013I
注 1 令 E(λ ),s∈ Aut(𝔤) 上的 𝔤 λ ∈ P₊₊,ρ_λ 表示，以及 Aut(R,B) 上的 s σ 典范像 (§5, no. 3，Cor.提案 5 中的 1）。那么ρ_λ∘ s就相当于ρ_σ λ；事实上，如果 s∈ Aut₀(𝔤),ρ_λ∘ s 和 ρ_σ λ 等价于 ρ_λ（命题 2）；并且，如果s使𝔥和B稳定，则ρ_λ∘ s是最高权σ λ的… ↩ 1 013J
命题 3 令V为有限维𝔤模，X为权的集合。令t∈ Z的λ ∈ X,α ∈ R、I集合使得I的λ +tα ∈ X,p（分别-q）最大的（分别最小的）元素。令mₜ为λ +tα中的重数。 ↩ 4 013K
推论 1 如果λ ∈ X和λ (H_α)≥ 1，则λ -α ∈ X。如果λ +α ∈ X和λ (H_α) = 0，则λ ∈ X和λ -α ∈ X。 013L
推论 2 让μ∈ P₊₊和ν ∈ Q₊。如果μ+ν ∈ X，则μ∈ X。 ↩ 2 01J4
推论 3 设v∈ V是权ω的原语。令Σ为α ∈ B的集合，使得ω (H_α) = 0。 kv线的𝔤中的稳定子是与Σ (§3, no. 4、注相关的抛物线子代数𝔭_Σ）。 013M
命题 4 令V为有限维𝔤模，d整数≥ 1。重数≥ dV权集合是R-饱和的。 ↩ 1 013N
命题 5 令V为有限维简单𝔤模，ω为最高权，X为权的集合。选择 𝔥^*_R 上的 W 不变非简并正对称双线性形式 (· |· )，并令 λ → |λ |= (λ |λ )^1/2 为相应的范数。 ↩ 7 013O
推论令X为P的有限R饱和子集。存在一个有限维𝔤模，其权的集合为X。 013P
注 2 回想一下（第 17 条命题第 VI, §1, no. 6 章，Cor.3），存在 W 的唯一元素 w₀，变换 B 进入-B；我们有w₀²= 1。并且-w₀尊重P上的序关系。考虑到这一点，让V是一个有限维简单的𝔤模，ω它的最高权。那么w₀(ω )就是V中最低的权，它的重数就是1。 ↩ 1 013Q
命题 6 让 λ ∈ P 和 X 最小的 R 饱和子集的 P 包含 λ。选择范数 | · | 如提案 5。以下条件是等效的： ↩ 4 013R
命题 7 令V为有限维简单𝔤模，V的权的X集合，以及X的λ最高元素（cf. 提案 5 (i)）。提案6的条件(i)、(ii)和(iii)等价于： ↩ 1 013S
命题 8 假设 𝔤 很简单。用B的α₁, . . . , αₗ元素表示。令varpi₁, . . . , varpiₗ为相应的基本权。令 H = n₁H_α₁+⋯ +nₗH_αₗ 为 R^∨ 的最高根，且 i∈ 1, . . . , l 的 J 集合使得 nᵢ= 1。让 λ ∈ P₊₊ -- 0。那么第 6 条命题的条件(i)、(ii)和(iii)等价于以下条件： ↩ 1 013T
定义 1 假设 𝔤 很简单。 (𝔤,𝔥)的极小权是P₊₊ -- 0的元素，满足第6、7和8条的等价条件(i)、(ii)、(iii)、(iv)、(v)和(vi)。 013U
注假设𝔤很简单。令 Σ^'∨ 为仿射 Weyl 群 Wₐ(R^∨) 的 Coxeter 图。回想一下，Σ^'∨ 的顶点是 W(R^∨) 的 Coxeter 图 Σ^∨ 的顶点，以及补充顶点 0。群 A(R^∨) 在 Σ^'∨ 上运行，保持 0 固定。群 Aut(Σ^'∨) 与 A(R^∨)/W(R^∨) 的半直接乘积与群 Γ_C（cf. 第 VI, §2… 013V
命题 9 令 E,F 为有限维简单 𝔤 模，分别为最高权 λ , μ。 ↩ 3 013W
注保留命题 9 中的记号。令C 为最高权λ +μ 的E⊗ F 的同型成分。那么C只依赖于E和F，而不依赖于𝔥和基B的选择。在其他字中，令𝔥'为(𝔤,𝔥')的𝔤, R'根系分裂嘉当子代数，和 R' 的 B' 基；令λ ', μ'为E,F相对于𝔥'和B'的最高权；令C'为最高权λ '+μ'的E⊗ F的同型成分；然后C'= C。事实上，为了证明这一点，我们可以通过基… 013X
推论 1 令(varpi_α)_α∈ B是相对于B的基本权族。令λ =∑_α∈ Bm_αvarpi_α∈ P₊₊。对于所有α ∈ B，让E_α是最高权varpi_α的简单𝔤模块。在𝔤模⨂_α∈ B(⨂^m_αE_α)中，最高权λ的同型成分为长度1。 ↩ 1 01J5
推论 2 假设k是R或C或非离散完全超度量域。令 G 为李群和李代数 𝔤。假设，对于 𝔤 的任何基本表示 ρ，存在 G 的解析线性表示 ρ '，使得 ρ = L(ρ ')。那么，对于 𝔤 的任意有限维线性表示 π，存在 G 的解析线性表示 π '，使得 π = L(π ')。 013Y
命题 10 让λ , μ∈ P₊₊。让E,F,G是简单的𝔤-模块与最高权λ , μ, λ +μ。令X（或X',X''）为E（或F,G）的权中的集合。然后X''=X+X'。 ↩ 3 013Z
命题 11 令 E 为有限维 𝔤 模，并考虑 𝔤 模 E^*= Homₖ(E, k)。 ↩ 3 0140
注 1 令 E,E^* 如命题 11 中那样，并且 σ ∈ Aut(𝔤,𝔥) 使得 §5, no. 1 的记号中的ε (σ ) =-w₀（§5, no. 2，命题 2）。令 ρ , ρ ' 为与 E,E^* 伴随的 𝔤 中的表示。那么ρ ∘ σ是𝔤与最高权-w₀(ω )的简单表示，因此ρ ∘ σ等价于ρ '。 0141
注 2 假设w₀=-1。那么，对于任何有限维 𝔤-模 E，E 与 E^* 同构的。回想一下，如果 𝔤 很简单，则在以下情况下使用 w₀=-1：型 A₁,Bₗ(l≥ 2), Cₗ(l≥ 2), Dₗ(l 的 𝔤 甚至 ≥ 4), E₇,E₈,F₄,G₂（第 VI 章，板）。 0142
引理 2 让h⁰=∑_α∈ R₊H_α。然后是h⁰=∑_α∈ Ba_αH_α，其中a_α是整数≥ 1。令 (b_α)_α∈ B,(c_α)_α∈ B 为标量族，使得 b_αc_α=a_α 对于所有 α ∈ B。把x=∑_α∈ Bb_αX_α, y=∑_α∈ Bc_αX_-α。存在同态 φ ↩ 2 0143
命题 12 设E是E上的有限维简单𝔤模，ω其最高权，以及E上𝔤不变双线性形式的B向量空间。令m为整数∑_α∈ R₊ω (H_α)，因而m/2为和 ω 相对于 B 的坐标（第 VI, §1, no. 10 章，Prop. 29 的 Cor.）。令 w₀ 为 W 的元素，使得 w₀(B) =-B。 ↩ 4 0144
定义 2 如果 E 上存在非简并对称（或交错的）双线性形式在 ρ 下不变，则 mathfrak g 的有限维不可约表示 ρ 被称为正交（或辛）。 01J6
引理 3 令 G 为阿贝尔的群加法写，且 φ :F_𝔞→ G 映射；通过滥用记号，我们用任何有限维𝔞模F的类的φ下的φ (F)像表示。假设，对于任何正合序列 ↩ 2 0145
例取G =Z和φ (F) =dim F。从R(𝔞)到Z的相应的同态用dim表示。令c为维数1的平凡𝔞模的类，并令ψ为从Z到R(𝔞)的同态n → nc。就是直接的 0146
引理 4 在加法群R(𝔞)上存在加法上唯一的乘法分配性，使得[E][F] = [E⊗ F]对于所有有限维𝔞-模E、F。这样，R(𝔞)被赋予交换环的结构。维数 1 的平凡𝔞模的类是这个环的单位元。 0147
引理 5 存在环R(𝔞)的唯一对合自同构X → X^*，使得[E]^*= [E^*]对于每个有限维𝔞-模E。 0148
例假设Δ=N。设 T 为不定式。从代数Z[N]到代数Z[T]存在一个唯一的同构，对于所有n∈N需要eⁿ到Tⁿ。对于任何有限维 N 分级向量空间 E，Z[T] 中 ch(E) 的像是 E 的庞加莱多项式（第 V, §5, no. 1 章）。 01JX
注 P 定义的每个元素都是维数1的简单𝔥模，因此同态从群Z[P]到群R(𝔥)，即环的单同态。复合的就是直接的 0149
引理 6 如果 λ ∈ P₊₊，则 ch[λ ]∈ Z[P]ᵂ。 ch[λ ]（第 VI, §3, no. 2，定义 1）的唯一最大值项是 e^λ。 ↩ 1 014A
定理 2 (i) 令 (varpi_α)_α∈ B 为基本权相对于 B 的族。令 (T_α)_α∈ B 为不定族。从Z[(T_α)_α∈ B]到R(𝔤)的映射f → f(([varpi_α])_α∈ B)是环的同构。 ↩ 3 014B
推论令E,E'为有限维𝔤模。那么 E 同构于 E' 当且仅当 ch E = ch E'。 014C

§ 8. 。对称不变量

引理 1 令Π为V^*的子群，生成向量空间V^*，以及m整数≥ 0。然后 prₘ(exp Π ) 生成向量空间 Sᵐ(V^*)。 ↩ 1 0154
命题 1 令Sᵐ(𝔥^*)ᵂ为W下Sᵐ(𝔥^*)的元素的集合不变。则prₘ(ψ (k[P]ᵂ)) =Sᵐ(𝔥^*)ᵂ。 ↩ 3 0155
命题 2 令 E 为有限维 𝔤 模。令U(𝔥) =S(𝔥)为𝔥的包络代数。如果u∈ U(𝔥)，那么 ↩ 1 0156
推论 1 — 令 U(mathfrak g) 为 mathfrak g 的包络代数。让同态 ζ:U(mathfrak g)^*longrightarrowU(mathfrak h)^*=S(mathfrak h)^* 是典范嵌入中的转置 U(mathfrak h)longrightarrowU(mathfrak g). 以下图表通勤 beginarrayccccc R… 01J7
推论 2 — 设 m 为整数 geqslant 0。 Sᵐ(mathfrak h^*)ᵂ的每个元素都是形式x↦Tr(ρ(x)ᵐ)的mathfrak h上多项式函数的线性组合，其中ρ是mathfrak g的有限维线性表示。 ↩ 2 01J8
引理 2 令ρ为𝔞的有限维线性表示，以及m整数≥ 0。 𝔞 上的函数 x → Tr(ρ (x)ᵐ) 是不变量多项式函数。 ↩ 1 0157
引理 3 令 E 为有限维 𝔤 模，且为 x∈ E。那么x是𝔤模块E的不变量元素当且仅当对于𝔤的每个幂零元a有(exp a_E).x=x。 ↩ 1 0158
命题 3 令f在𝔤上为多项式函数。以下条件是等效的： ↩ 1 0159
定理 1 令I(𝔤^*)为𝔤上不变多项式函数的代数。设i:S(𝔤^*)→ S(𝔥^*)为限制同态。 ↩ 10 015A
推论 1 假设 𝔤 很简单。令 m₁, . . . , mₗ 为 𝔤 的 Weyl 群的指数。存在 I(𝔤^*) 的元素 P₁, . . . ,Pₗ，齐次次数 ↩ 1 015B
推论 2 设B为R的基，R₊（或R₋）集合为(𝔤,𝔥)相对于B,𝔫₊=∑_α∈ R₊𝔤^α,𝔫₋=∑_α∈ R₋𝔤^α的正（或负）根，S(𝔥)𝔥的对称代数，J为理想S(𝔤) 由𝔫₊∪ 𝔫₋ 生成。 ↩ 2 015C
命题 4 令𝔞为半单李代数，l为秩。令I（分别I'）为S(𝔞^*)（分别S(𝔞)）元素的集合，在表示下由𝔞的伴随物表示诱导不变。令Z为𝔞的包络代数的中心。 ↩ 2 015D
引理 4 ² 设A =⨁_n≥ 0Aⁿ 为k-代数，k' 扩张 k 和A'= A⊗ₖk'。假设A'是k'的分级多项式代数。那么 A 是 k 上的分级多项式代数。 ↩ 1 01JY
引理 5 当且仅当 P 是有限维且 g 是双射时，A 是分级多项式代数。 015E
命题 5 我们保留命题4的记号，并用𝔭表示由次数≥ 1的I齐次元素生成的S(𝔞^*)理想。让x∈ 𝔞。那么 x 是幂零的当且仅当 f(x) = 0 对于所有 x∈ 𝔭.³ ↩ 1 015F
注 1 \设P₁, . . . ,Pₗ是I的代数独立齐次元素，即生成代数I。那么(P₁, . . . ,Pₗ)是一个S(𝔞^*)-正则序列（第V, §5, no. 5章）。事实上，如果有必要的话，扩展基域，我们可以假设𝔞=𝔤是可分割的。现在让 N = dim 𝔤，并让 ↩ 1 01L5
注 2 代数 S(𝔞^*) 是超过 I 的分级自由模。事实上，这是从第 4 条、注 1 和第 1 章得出的。 V, §5, no. 5, 引理 5.\ ↩ 2 01L6
引理 6 令V为有限维向量空间，V的自同构的G有限群，以及V的v和v'元素，使得v'∉ Gv。 V 上存在 G 不变量多项式函数 f，使得 f(v')not=f(v)。 ↩ 2 015G
命题 6 令𝔞为半单李代数且s∈Aut(𝔞)。以下条件是等效的： ↩ 4 015H
推论群 Aut₀(𝔞) 在 Zariski 拓扑的 Aut(𝔞) 开放和关闭。 ↩ 1 015I
定理 2 设U为𝔤的包络代数，Z为中心，V⊂ U为𝔥(的包络代数，与S(𝔥))、U⁰为V在U中的交换子， φ Harish-Chandra 同态 (§6, no. 4) 相对于B从U⁰到V。 ↩ 3 015J
推论 1 对于所有λ ∈ 𝔥^*，令χ_λ为从Z到k的同态z → (φ (z))(λ )。 ↩ 3 015K
推论 2 令E,E'为有限维简单𝔤模，χ , χ '为它们的中心特征标。若χ =χ '，则E与E'同构的。 015L
命题 7 对于任何有限维简单𝔤模的类γ，令U_γ为𝔤模U的型γ的同型分量（对于U上𝔤的伴随表示）。令γ₀为维数1的平凡𝔤模的类。令[U,U]为由U的元素的对的括号生成的U的向量子空间。 015M

§ 9. 。魏尔公式

引理 1 在环Z⟨ P⟩，我们有K.∏_α∈ R₊(1-e^-α) = Ke^-ρd= 1。 ↩ 2 015T
引理 2 让λ ∈ 𝔥^*。模Z(λ ) (§6, no. 3）承认特征标是Z⟨ P⟩的元素，我们有d。第 Z(λ ) =e^λ+ρ。 015U
引理 3 设 M 是一个 𝔤 模，它承认特征标 ch(M)，其支持包含在集合 μ-P₊ 的有限并中。令U为𝔤的包络代数，U,λ₀∈ 𝔥^*的Z中心，以及从Z到k(§8的χ_λ₀相应的同态，Cor。 1 Th。 2）。假设对于所有 z∈ Z,z_M 都是位似，比率为 χ_λ₀(z)。令D_M为λ ∈ W(λ₀+ρ )-ρ的集合，使得λ + Q₊满足Supp(ch M)。… ↩ 1 015V
定理 1（H. Weyl 的特征标公式） 设 M 为有限维简单 𝔤 模，且 λ 为最高权。然后 ↩ 5 015W
例取𝔤=𝔰𝔩(2, k),𝔥=kH。令α为(𝔤,𝔥)的根，使得α (H) = 2。 𝔤-模块V(m)有最高权(m/2)α。因此 015X
定理 2 设 E 为有限维简单 𝔤 模，λ 为最高权，(· | · ) 为 𝔥^* 上的 W 不变非简并正对称双线性形式。然后： ↩ 5 015Y
例 1 在no. 1的例中，我们发现 015Z
例 2 取𝔤为型G₂的可分割简单李代数并采用第1章的记号。 VI，板IX。给出 𝔥^*_R W 不变正对称形式 (· | · )，使得 (α₁|α₁) = 1。然后 ρ =varpi₁+varpi₂ 和 0160
命题 1 让ω ∈ P₊₊。对于所有λ ∈ P，E(ω )中λ的重数是 ↩ 2 0161
推论如果λ是E(ω )的权，与ω不同， 0162
命题 2 让λ , μ∈ P₊₊。在 R(𝔤) 中，我们有 ↩ 3 0163
例我们回到no. 1的例。让 λ = (n/2)α , μ= (p/2)α、ν = (q/2)α 与 n≥ p。我们有 0164

§ 10. 。极大子代数 / 半单李代数

定理 1 令 V 为有限维向量空间，𝔤 𝔤𝔩(V),𝔮 𝔤 的谎言子代数中的还原谎言子代数以及 Φ 双线性形式 (x, y) → Tr(xy) 上𝔤× 𝔤。假设𝔮相对于Φ的正交补𝔫是𝔤的子代数、V的幂零自同态的由……组成。那么𝔮是𝔤的抛物线子代数。 ↩ 3 016L
引理 1 令 𝔤 为半单李代数，V 向量空间，ρ 线性表示 (𝔤) 在 V，D 向量子空间 (V,𝔥) 𝔤,𝔰 的嘉当子代数（分别为 𝔰'） x∈ 𝔥 的集合，使得 ρ (x)D⊂ D（分别为 ρ (x)D = 0），以及 𝔤 上的 Φ 双线性形式与 ⁵ 相关联ρ。 ↩ 1 016M
定义 1 设𝔮是半单李代数𝔤的谎言子代数。那么，如果对于所有x∈ 𝔮、半单以及x在𝔤属于到𝔮中的幂零分量，则称𝔮在𝔤中可分解。用𝔮的根的元素x的𝔫_𝔤(𝔮)集合表示，使得ad_𝔤x幂零的。 016N
定理 2 令𝔤为半单李代数，幂零元的𝔤由……组成的𝔫子代数，𝔮𝔤中𝔫的归一化器。假设𝔫是𝔮的根部幂零元的集合。那么𝔮是抛物线。 ↩ 1 016O
推论 1 令𝔮为与𝔤不同的𝔤子代数集合极大元素。那么 𝔮 在 𝔤 中要么是抛物线要么是约简。 016P
推论 2 令 𝔫 为 𝔤 由……组成幂零元中的子代数。存在 𝔤 的抛物线子代数 𝔮，具有以下性质： ↩ 5 016Q
定理 3 假设 k 是代数封闭的。令 𝔤 为半单李代数。设𝔞是𝔤的可解子代数。存在 𝔤 包含于 𝔞 中的博雷尔子代数。 016R
推论如果 k 是代数封闭的，𝔤 的每个最大可解子代数都是博雷尔子代数。 016S

§ 11. 。幂零元和 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}_{2}$-三胞胎的类

定义 1 𝔤中的𝔰𝔩₂三元组是𝔤的元素的序列(x, h, y)，与(0,0,0)不同，这样 0170
引理 1 让x, h, y, y'∈ 𝔤。如果(x, h, y)和(x, h, y')是𝔤中的𝔰𝔩₂三元组，则y=y'。 ↩ 3 0171
引理 2 令 𝔫 为 𝔤 的子代数，这样，对于所有 n∈ 𝔫，ad_𝔤(n) 是幂零的。设h∈ 𝔤使得[h,𝔫] =𝔫。然后e^ad_𝔤𝔫.h=h+𝔫。 0172
引理 3 让 x∈ 𝔤,𝔭= Ker(ad x),𝔮= Im(ad x)。那么[𝔭,𝔮]⊂ 𝔮，𝔭∩ 𝔮就是𝔤的子代数。 0173
引理 4 设(x, h, y)和(x, h', y')为𝔤中的𝔰𝔩₂三元组。存在 z∈ 𝔤 使得 ad_𝔤z 幂零且使得 ↩ 1 0174
命题 1 设G为𝔤包含Autₑ(𝔤)自同构群。设(x, h, y)和(x', h', y')为𝔤中的𝔰𝔩₂三元组。让 ↩ 3 0175
注如果我们仅假设k=k²（cf.练习1），则命题1的三个条件是等价的。 0176
引理 5 令V为有限维向量空间，A和B自同态为V。假设 A 幂零且 [A,[A,B]] = 0。那么AB是幂零的。 ↩ 2 0177
引理 6 令h, x∈ 𝔤满足[h, x] = 2x和h∈（广告x）(𝔤)。那么存在y∈ 𝔤使得(x, h, y)要么是(0,0,0)要么是𝔰𝔩₂三元组。 ↩ 2 0178
命题 2（雅各布森-莫罗佐夫） 假设𝔤是半单。令 x 为 𝔤 的非零幂零元。存在h, y∈ 𝔤使得(x, h, y)是𝔰𝔩₂三元组。 ↩ 3 0179
推论假设𝔤是半单。设G为𝔤包含Autₑ(𝔤)自同构群。映射与𝔤幂零元x定义中的任何𝔰𝔩₂三元组(x, h, y)相关联，通过从G-共轭类的集合求商双射非零幂零元的 G 共轭类的𝔰𝔩₂-三元组到集合。 ↩ 1 017A
引理 7 令 K 为交换域，且至少有 4 个元素。令 G 为矩阵 (α 0α β₋₁) 的群，其中 α ∈ K^*,β ∈ K。设G'为群 ↩ 1 017B
命题 3 假设𝔤是半单。群Autₑ(𝔤)等于其导出群。如果 𝔤 可拆分，则 Autₑ(𝔤) 是 Aut₀(𝔤) 的导出群。 ↩ 5 017C
定义 2 如果存在x, y∈ 𝔤使得(x, h, y)是𝔤中的𝔰𝔩₂三元组，则称𝔤的元素h是简单的。 017D
命题 4 令h为𝔤的非零元素。那么h是简单的当且仅当存在x∈ 𝔤使得[h, x] = 2x和h∈（广告x）(𝔤)。 017E
命题 5 假设𝔤可拆分半单。令𝔥为𝔤的分裂嘉当子代数，(𝔤,𝔥)的根为R集合，以及R的B基。令h为𝔤的简单元素属于至 𝔥。那么h是Autₑ(𝔤,𝔥)下的共轭到𝔥的元素h'，这样对于所有α ∈ B来说α (h')∈ 0,1,2。 ↩ 3 017F
推论如果k是代数闭的并且如果𝔤是秩l半单，𝔤的简单元素共轭类数，相对于Autₑ(𝔤)，至多是3ˡ。 ↩ 2 017G
引理 8 假设 k 是代数闭集，并且 𝔤 是半单。令h为𝔤的半单元素，使得广告h的特征值是有理数。令 𝔤⁰= Ker(ad h),𝔤²= Ker(ad h-2)。令Gₕ为𝔤的初等自同构的集合，使h固定。令x∈ 𝔤² 使得[x,𝔤⁰] =𝔤²。然后Gₕx包含子集𝔤²，在Zariski拓扑密集且开放。 ↩ 1 017H
命题 6 假设 k 是代数封闭的，并且 𝔤 是半单。设G为𝔤包含Autₑ(𝔤)自同构群。设 (x, h, y) 和 (x', h', y') 为 𝔤 中的 𝔰𝔩₂ 三元组。以下条件是等效的： ↩ 1 017I
推论 1 映射通过从𝔰𝔩₂三元组的G-共轭类的集合到简单的G-共轭类的集合的商双射与任何𝔰𝔩₂三元组相关联，它的简单元素定义元素。 ↩ 2 017J
推论 2 如果rk(𝔤)=l，共轭类的数，相对于Autₑ(𝔤)，𝔤的非零幂零元至多为3ˡ。 017K
推论 3 若rk(𝔤)=l，共轭类的数，相对于Autₑ(𝔤)，与𝔰𝔩(2, k)同构的𝔤的子代数至多为3ˡ。 017L
定义 3 假设𝔤是半单。 017M
命题 7 假设𝔤是半单。设(x, h, y)是𝔤中的𝔰𝔩₂三元组。以下条件是等效的： 017N
命题 8 假设𝔤是半单not= 0。令 𝔥 为 𝔤 的分裂嘉当子代数，(𝔤,𝔥) 的 R 根系，,h⁰ 元素的 B 基，𝔥 使得α (h⁰) = 2 对于所有α ∈ B。 ↩ 3 017O
推论在可分割的半单李代数中，存在主体幂零元。 017P
命题 9 假设 k 是代数闭集，并且 𝔤 是半单。 𝔤 的所有主要简单（或幂零）元素都是 Autₑ(𝔤) 下的共轭。 ↩ 1 017Q
引理 9 有了第8条命题的记号，把𝔤ᵖ= Ker(ad h⁰-p)换成p∈ Z。令 𝔤²_* 为 𝔤²=∑_α∈ B𝔤^α 的元素中的集合，其分量非零 ↩ 1 017R
命题 10 假设𝔤是半单。设𝔥为𝔤的分裂嘉当子代数，(𝔤,𝔥)的R根系，R的B基，相对于B的正根的R₊集合，并且𝔫₊=∑_α∈ R₊𝔤^α。主要的幂零元属于到𝔫₊是𝔫₊的元素，对于所有α ∈ B来说，𝔤^α中有一个非零分量。 ↩ 3 017S

§ 12. 。谢瓦利阶

命题 1 设 A 是一个大数，其中余积 c，并且 x 是 A 的原语元素（第 II, §1, no. 2）。那么 ↩ 2 017V
定理 1 令大数U(𝔤)中的U为双序。让G=U∩ 𝔤，即李代数𝔤中的阶。设(xᵢ)_i∈ I为G的基。给I总共阶，并假设对于所有n∈ Nᴵ，元素[n]为U，这样[n]-x^(n)在U(𝔤)中有过滤<|n|。那么，n∈ Nᴵ的[n]家族是Z模块U的基。 ↩ 3 017W
引理 1 让n∈ Nᴵ。如果|n|< r，则c⁺ᵣ([n]) = 0。如果|n|=r，那么 017X
命题 2 (i) (^V_Z) 是大数S(V) 中的双序，以及(^V_Z)∩ V =V。 ↩ 2 017Y
推论令 X 为不定式。多项式(^Xₙ)，其中多项式P∈ k[X]的Z模由……组成的n∈ N、形式基，使得P(Z)⊂ Z。 ↩ 2 017Z
引理 2 如果x, y∈ A和n∈ N， ↩ 3 0180
引理 3 令 x, h∈ A 和 λ ∈ k 满足 (ad h)x=λ x。对于所有 n∈ N 和所有 P∈ k[X]，我们有 ↩ 2 0181
引理 4 令 x, y, h∈ A 为 ↩ 2 0182
定义 1 如果对于所有 α ∈ R，我们有 H_α∈ H 和 α (H)⊂ Z，则 𝔥 中的格子 H 被认为是允许的（相对于 𝔤）。 ↩ 3 0183
注 1 设 B 为 R 的基。当且仅当 H_α∈ H 和 α (H)⊂ Z 对于所有 α ∈ B 时，𝔥 中的格H 是允许的。 0184
注 2 设𝔠为𝔤中的中心。那么，当且仅当 Q(R^∨)⊂ H⊂ P(R^∨)⊕ 𝔠 时，𝔥 中的格H 是允许的。那么格子H∩ D𝔤在D𝔤的嘉当子代数𝔥∩ D𝔤中是允许的。可能存在允许的格子H使得Hnot= (H∩ D𝔤)⊕ (H∩ 𝔠)(cf.§13, no. 1.IX)。 0185
注 3 如果 𝔤 是半单，则 𝔥 中允许的格子是 𝔥 的子群 H，使得 Q(R^∨)⊂ H⊂ P(R^∨)。 0186
引理 5 (i) U₊ 是向量空间 U(𝔫₊) 中的格子。 ↩ 1 0187
命题 3 令H为𝔥中的许用格子。令U₊,U₋,U₀为U(𝔤)分别由元素x_α⁽ⁿ⁾(α ∈ B,n∈ N),y_α⁽ⁿ⁾(α ∈ B, n∈ N),(ʰₙ)(h∈ H, n∈ N)生成的Z-子代数。令U为U₊,U₋,U₀生成的U(𝔤)的Z子代数。 ↩ 3 0188
注 4 根据§4, no. 4的第5条，𝔤存在唯一的自同构θ，使得θ (x_α) =y_α和θ (y_α) =x_α适用于所有α ∈ B，θ (h) =-h适用于所有h∈ 𝔥；我们有θ²= 1。通过 U 的构造，我们看到 U(𝔤) 的自同构扩展 θ 使 U 保持稳定。 0189
推论 1 把G=U∩ 𝔤。那么G就是李代数𝔤中的阶，在θ下稳定。我们有G=H+∑_α∈ R(G∩ 𝔤^α)。对于所有α ∈ B和所有n∈ N，映射（广告x_α）ⁿ/n！，（广告y_α）ⁿ/n！保持 U 和 G 稳定。 ↩ 2 018A
推论 2 让w∈ W。存在𝔤的基本自同构φ，它与θ可交换，使G和U稳定，以及扩展w。 ↩ 2 018B
推论 3 让α ∈ R。如果x∈ G∩ 𝔤^α和n∈ N，我们有x⁽ⁿ⁾∈ U，和（广告x）ⁿ/n！使 G 和 U 保持稳定。 ↩ 1 018C
推论 4 在 (𝔤,𝔥) (§2, no. 4 中存在 Chevalley 系统 (X_α)_α∈ R，Def。 3) 使得X_α=x_α和X_-α=y_α对应于α ∈ B。对于每个具有这些属性的 Chevalley 系统 (X'_α)_α∈ R，并且对于所有 α ∈ R,X'_α 是 G∩ 𝔤^α 的基。 ↩ 1 018D
注 5 令 (X_α)_α∈ R 为上面构建的 Chevalley 系统。如果α , β , α +β ∈ R并且如果我们放入[X_α, X_β] = N_α ,βX_α+β，我们有[X_α, X_β]∈G∩ 𝔤^α+β，并且我们恢复了N_α ,β∈ Z的事实（cf.§2, no. 4，第7条）。 018E
注 6 我们在经过中获得了Chevalley系统存在的新证明（cf.§4, no. 4，Prop.5的Cor.），独立于引理4，§2。 018F
定理 2 以下条件是等效的： ↩ 2 018G
定义 2 当 Th 的条件 (i) 至 (iv) 时。 2个都满意，G据说是(𝔤,𝔥)的Chevalley阶。 018H
注 (𝔤,𝔥)中的Chevalley阶始终存在。事实上，Chevalley 阶是形式 H⊕ ∑_α∈ RZX_α 的集合，其中 (X_α)_α∈ R 是 (𝔤,𝔥) 中的 Chevalley 系统，H 是 𝔥 中的格子，这样 018I
定理 3 我们保留no. 7开头的记号，并假设G是(𝔤,𝔥)中的Chevalley阶。 ↩ 2 018J
引理 6 设 M 是 M 的有限型、u 自同态和 M⊗_ZQ 的 v 自同态 u⊗ 1 的自由Z模。假设 (ᵛₙ)(M)⊂ M 对于所有 n∈ N。那么u可对角化的。 ↩ 1 018K
注 1 如果我们仅假设v与整数特征值可对角化，则u不一定可对角化（对于例，对所有(x, y)∈ M取M =Z²和u(x, y) =(y, x)）。 018L
定义 3 令 E 为 𝔤 模。如果满足以下条件，则 E 中的格 E 被认为是可接受的（相对于 G）： ↩ 2 018M
注 2 令ρ为𝔤在U(𝔤)上的伴随表示。令 α , x, n, h 如上面 (ii) 中所示。我们有ρ (x⁽ⁿ⁾).U⊂ U乘引理2。另一方面，如果p∈ N， 018N
注 3 设 E 为有限维 𝔤 模，E E 中的容许格，𝔠 中心 of 𝔤。到引理 6，𝔠 定义的每个元素都是 E 的对角化自同态。因此 E 是半单（第 I, §6, no. 5，第 4 章）。因此，E 是简单 D𝔤 模的直和，其中 𝔠 诱导同位。到引理 6,E=⊕ (E∩ E^λ) 并且，对于 E 的所有权 λ，我们有 ↩ 1 018O
注 4 如果𝔤是半单和H= Q(R^∨)，则Def的条件(i)和(ii)。 3 是等价的，由 Th 表示。 3（二），至 018P
注 5 设 B 为 R 的基；在上述条件 (i) 和 (ii) 中，“α ∈ R”可以替换为“α ∈ B∪ (-B)”（loc. cit）。 018Q
定理 4 令 E 为有限维 𝔤 模。以下条件是等效的： 018R
推论如果𝔤是半单和H= Q(R^∨)，则每个有限维𝔤模都有一个容许格。 018S

§ 13. 。经典可拆分简单李代数

引理 1 令V为有限维向量空间，Q为V,Ψ上的非简并二次形式，与Q相关的对称双线性形式，C(Q)相对于V的克利福德代数 Q,f₀ 规范映射的复合 ↩ 3 018T
引理 2 对于 1≤ r≤ℓ，令 Fᵣ 为由各向同性 r 向量生成的 bigwedgeʳ V 的子空间。然后 01K8

IX. Compact real Lie groups

§ 1. 。紧李代数

命题 1 令 𝔤 为（实数）李代数。以下条件是等效的： ↩ 6 019D
定义 1 紧李代数⁴是李代数，其具有命题1的性质(i)至(v)。 ↩ 1 019E
命题 2 a) 李代数的有限数的乘积是紧李代数当且仅当每个因子都是紧的。 019F
命题 3 令 G 为李群，其中连通分量的群是有限的。以下条件是等价的： ↩ 4 019G
定理 1 (H. Weyl) 设 G 是一个连通的李群，其李代数是紧致的半单。那么 G 是紧致的，并且它的中心是有限的。 ↩ 2 019H
命题 4 令 G 为连通的李群，其李代数是紧致的。存在环面 T，一个单连通紧半单李 ↩ 4 019I
推论 1 令 G 为连通的紧李群。那么C(G)₀就是环面，D(G)是一个连通紧致半单李群，而态射(x, y) → xy从C(G)₀× D(G)到G是一个有限覆盖。 ↩ 9 019J
推论 2 中心和连通紧凑半单李群的基本群是有限的。其通用覆盖物结构紧凑。 ↩ 3 019K
推论 3 连接的紧李群 G 的基本群是有限型的 Z 模，秩等于 C(G) 的维数。 019L
推论 4 令 G 为连通的紧李群。以下条件是等效的： 019M
推论 5 令 G 为连通的紧李群。那么 Int(G) 就是李群 Aut(G) 的恒等分量（第 III, §10, no. 2 章）。 ↩ 1 019N
命题 5 令 G 为李群，其李代数是紧致的。 ↩ 1 019O
推论如果 N 满足 b) (iv) 的条件，且K₁ 和 K₂ 是 G 的两个最大紧致子群，则存在n∈ N 使得 nK₁n⁻¹= K₂。 019P

§ 2. 。最大环面紧李群

引理 1 设 G 为李群，K 为 G 的紧致子群，F 为L(G) 上的 F 不变双线性形式。让x, y∈ L(G)。存在 K 的元素 k，使得对于所有 u∈ L(K) 都有 F(u,[(Ad k)(x), y]) = 0。 ↩ 1 019Z
定理 1 设𝔤为紧李代数。 𝔤（第VII, §2, no. 1，定义1）中的嘉当子代数是其最大交换子代数；特别是，𝔤是其嘉当子代数的并。群 Int(𝔤) 在 𝔤 的嘉当子代数的集合上进行传递运算。 ↩ 5 01A0
推论令𝔱和𝔱'为𝔱的𝔤,𝔞子集的嘉当子代数，以及将𝔞带入𝔱'的𝔤的u自同构。 Int(𝔤) 存在元素v，使得u∘ v将𝔱带到𝔱'，并且重合与u在𝔞上。 ↩ 1 01A1
定理 2 令 G 为连通的紧李群。 ↩ 12 01A2
推论 1 a) G 的指数映射是满射的。 01A3
注 1 存在 L(G) 的紧子集 K，使得 exp_G(K) = G。事实上，如果 T 是 G 的最大环面，则存在紧致子集 C⊂ L(T)，使得 exp_T(C) = T；取K =⋃_g∈ G（广告g）(C)就足够了。 01A4
推论 2 G 的最大环面交是 G 的中心。 ↩ 4 01A5
推论 3 令g∈ G，并令C为其扶正器。然后g属于到C₀；群 C₀ 是 G 包含于 g 的最大环面的并。 ↩ 4 01A6
推论 4 让g∈ G。如果 g 是正则的（第 VII, §4, no. 2，定义 2），则它属于为唯一的最大值环面，这是其集中器的恒等分量。否则，它属于到无限多个最大环面。 ↩ 2 01A7
推论 5 a) 令S为G的环面。S的扶正器是连通的；它是 G 包含 S 的最大环面的并。 ↩ 5 01A8
注 2 这是从 Cor 得出的。 5 G 的最大环面是最大交换律子群。逆命题不成立：对于例，在群 SO(3,R) 中，最大环面为维数 1，因此对角线矩阵的不能包含子群，即同构于(Z/2Z)²。此外，如果g∈ SO(3,R)是非标量对角矩阵，则g是未连接扶正器的SO(3,R)的正则元素（cf.Cor.4）。 ↩ 1 01A9
推论 6 G 的最大环面是它们自己的定中心器，并且是它们的李代数的固定器。 ↩ 2 01AA
推论 7 设T和T'是G的两个最大环面，T的A子集和G的s自同构，将A带入T'。存在 g∈ G 使得 s∘ (Int g) 将 T 带到 T' 和重合，其中 s 在 A 上。 ↩ 1 01AB
推论 8 设H为紧李群，T为H的最大环面。然后将H = N_H(T).H₀和N_H(T)的单射转化为H诱导同构，从N_H(T)/N_H₀(T)到H/H₀。 ↩ 1 01AC
注 3 令 G 为连通的李群，其李代数是紧致的。 G 的嘉当子群是积分子群，其中李代数是 L(G) 的嘉当子代数（连通紧体群的嘉当子群因此是其最大环面）。定理 2 及其推论对于 G 仍然有效，如果我们替换处处都是“Cartan 子群”的表达式“最大环面”。根据§1, no. 4的命题5，G是向量群V的直接乘积和连通紧凑群K，并且G的嘉当子群是乘积 V 具有 K 的… ↩ 1 01AD
命题 1 设 G 和 G' 是两个相连的紧李群。 ↩ 4 01AE
注 1 命题 1 立即概括为与紧李代数连接的群。特别是，如果 G 是一个连通的李群，且李代数是紧的，则 G 的嘉当子群 (cf. 注 3, no. 2) 恰好是连通的紧李群 Ad(G) 的最大环面的逆像（在典范同态下，从 G 到广告（G））。 01AF
注 2 设 G 是连通的紧李群，widetildeD(G) 群 D(G) 和 f: widetildeD(G)→ G 从 widetildeD(G) 到 D(G) 以及从 D(G) 到 G 的规范态射的组合。那么映射 T→ f⁻¹(T) 是双射 G 最大环面的集合到 widetildeD(G) 最大环面的集合；逆双射与 widetildeD(G) 的最大值环面 w… ↩ 1 01AG
命题 2 令 f : G → G' 为连通紧李群的满射态射，其中核为中心。映射H → f(H)和H' → f⁻¹(H')是最大秩的G连接闭合子群的集合和G'的类似集合之间的逆双射。 ↩ 1 01AH
命题 3 设 G 为连通的紧李群，H 为最大秩的连通的闭子群。 ↩ 2 01AI
命题 4 设G为紧李群，H是G的最大秩的连通闭子群，N是G中H的归一化器。则H是N中的有限指标，并且是N的单位分量。 ↩ 3 01AJ
注 1 G 的每个积分子群 H 使得 rk H = rk G 都是闭的：事实上，前面的证明表明 H 是其归一化器的恒等分量，它是 G 的闭子群。 ↩ 1 01AK
注 2 对于命题 4 的记号，G 包含于 H 的每个闭子群 H' 且(H': H) 是有限的，对 H 进行归一化，因此包含在 N 中；类似地，H'的归一化项包含在N中。特别地，N是它自己的归一化项。 ↩ 1 01AL
命题 5 G 的每a) 共轭类都会遇到 T。 01J9
推论 1 将 T 的典范嵌入转化为 G 定义，通过求 G 的共轭类的从 T/W_G(T) 到空间 G/Int(G) 的同胚。 ↩ 4 01JA
推论 2 设 E 为 G 在内自同构下稳定的子集。那么 E 在 G 中是开（或闭、或密）当且仅当 E∩ T 在 T 中是开（或闭、或密）。 ↩ 1 01JB
命题 6 a) 𝔤上G的每个轨道（对于伴随表示）满足𝔱。 ↩ 1 01JC
推论通过从𝔱/W_G(T)到𝔤/Ad(G)商同态，将𝔱的典范嵌入转化为𝔤定义。 ↩ 1 01JD
命题 7 令H为G包含T的闭子群。 ↩ 2 01JE
引理 2 令H为李群的李群、f_T: T→ H和widetildef: widetildeD(G)→ H态射，使得f_T(p(t)) = widetildef(t)对于所有t∈ widetildeT。存在李群f: G→ H的唯一态射使得f∘ p= widetildef并且使得f到T的限制是f_T。 ↩ 1 01AO
命题 8 令G为连通的紧李群，T为G的最大环面，H李群和φ : L(G)→ L(H)同态为李代数。存在李群 f: G→ H 的态射使得 L(f) =φ 当且仅当存在李群 f_T: T→ H 的态射使得 L(f_T) =φ |L(T)；然后f_T=f|T。 ↩ 2 01AP
命题 9 令 G 为连通的紧李群，T 为 G、H 李群和 f: G→ H 态射的最大值环面。那么 f 是单射的当且仅当它的限制到 T 是单射的。 ↩ 1 01AQ

§ 3. 。紧形式复半单李代数

定义 1 令 𝔞 为复数李代数。 𝔞的实数形式是𝔞的实数子代数𝔤，它是C向量空间𝔞(代数上的R结构，第1章。 II, §8, no. 1，防御。 1）。 01B1
命题 1 a) 令𝔤 为𝔞 和σ 的实形式，是𝔞 相对于𝔤 的共轭。然后： ↩ 3 01JF
命题 2 a) 𝔞 的真正向量子空间 𝔞₀=𝔥₀+∑_α∈ RRX_α 是 ↩ 1 01JG
注有了前面的记号，我们就有了下面的公式： 01B2
命题 3 令𝔤为𝔞的紧实数形式，使得𝔤∩ 𝔥=i𝔥₀。存在同态γ : Q(R)→ R^*₊使得𝔤=f(γ )(𝔞ᵤ)。 ↩ 2 01B3
定理 1 令𝔞为复半单李代数。 ↩ 2 01B4
注稍后我们将看到实形式复半单李代数的一般分类。 01B5
推论 1 令𝔤和𝔤'为两个紧实李代数。那么 𝔤 和 𝔤' 同构当且仅当复数李代数 𝔤_(C) 和 𝔤'_(C) 同构的。 ↩ 1 01B6
推论 2 令 𝔞 为复数李代数。以下条件是等效的： 01B7
推论 3 令𝔞₁和𝔞₂为两个复半单李代数。 𝔞₁× 𝔞₂ 的紧实数形式为乘积 𝔤₁× 𝔤₂，其中 i= 1,2,𝔤ᵢ 是 𝔞ᵢ 的紧实数形式。 01B8
命题 4 a) 复数李代数𝔰𝔩(V)的紧实数形式是代数𝔰𝔲(Φ )，其中复数向量空间V上分离正厄米特形式的Φ属于到集合。 01B9
推论型 Aₙ(n≥ 1) 的每个紧简实数李代数都同构于 𝔰𝔲(n+ 1,C)。 ↩ 1 01BA
注 1 我们有𝔤𝔩(V) =𝔰𝔩(V)× C.1_V,𝔲(Φ ) =𝔰𝔲(Φ )× R.i1_V； 𝔤𝔩(V) 的紧实数形式是𝔰𝔲(Φ )× R.α 1_V,α ∈ C^*。 01BB
注 2 如果复合体李代数𝔞=𝔰𝔩(n,C)配备了第1章中介绍的分裂和Chevalley系统。 VIII, §13, no. 1 (IX)，那么，记号在no. 2中， 01BC
命题 5 Every compact simple real Lie algebra of type Bₙ,n≥ 1 (resp. of type Dₙ,n≥ 3) is isomorphic to 𝔬(2n+ 1,R) (resp. 𝔬(2n,R)). ↩ 1 01BD
命题 6 秩 1 的每个紧致半单实李代数同构于𝔰𝔲(2,C)和𝔬(3,R)。秩 1 的每个连通的半单紧李群如果是单连通，则与 SU(2,C) 同构的，否则与 SO(3,R) 同构的。 ↩ 1 01BE
注上面我们已经看到，SU(2,C)是单连通的，π₁(SO(3,R))是阶2。稍后我们将看到这些结果分别推广到SU(n,C) (n≥ 1)和SO(n,R) (n≥ 3)（cf.还有§3，练习4和5）。 01BF

§ 4. 。根系与紧凑型群相关

命题 1 — 对于任何紧李群 H， Z-模 X(H) 是有限的型。如果 H 连通，则免费。 01JH
命题 2 — 设 H 是可交换的紧李群，并且 (aᵢ)_i∈ I 元素的族 X(H)；该 aᵢ 生成 X(H) 当且仅当 Keraᵢ 约化到单位元素的交。 ↩ 1 01JI
命题 3 双线性形式 (a, X) → ⟨ a, X⟩ 在 X(S)× Γ (S) 上是可逆的。 ↩ 1 01BP
命题 4 令 S 和 S' 为环面。从S到S'用李群态射M(S,S')群表示。映射 f → X(f) 和 f → Γ (f) 分别是从 M(S,S') 到 Hom_Z(X(S'),X(S)) 和到 Hom_Z(Γ (S), Γ (S')) 的同构或群。 ↩ 2 01BQ
注 1 令 f : S → S' 为 tori 的态射。与（1）相关的蛇图表（代数，第X, §1, no. 2）给出正合序列 ↩ 1 01BR
注 2 根据命题4，从M(U,S)到Γ (S)的映射f → Γ (f)(2π i)为同构；如果a∈ X(S) = M(S,U)和f∈ M(U,S)，则复合a∘ f∈ M(U,U)是自同态u → uʳ，其中r=⟨ a, Γ (f)(2π i)⟩。从现在开始，我们将认同M(U,U) = X(U)与Z关联，Z中的元素r关联到自同态u → uʳ；因此，对于以上记号， 01BS
注 3 正合序列 0→ Γ (S)→ L(S)longrightarrow^exp_SS→ 0 与Γ (S) 的同构关联到 S 的基本群，在续集中称为规范。对于环面f: S→ S',Γ (f)的任何态射，可以通过典范同构Γ (S)→ π₁(S)和Γ (S')→ π₁(S')以及由f诱导的同态π₁(f) :π₁(S)→ π₁(S')来识别。注，这给出了正合序列（5）… ↩ 1 01BT
注 4 Z-模块δ : X(S)→ Hom_C(L(S)_(C),C)和ι :Γ (S)→ L(S)_(C)(ι的同态由Γ (S)的典范嵌入诱导成L(S))扩展到同构 C-向量空间 01BU
引理 1 如果 G 是可交换的，则 widetildeV 是 λ ∈ X(G) 的 widetildeV_λ(G) 的直和。 ↩ 1 01BV
定义 1 G 的表示 ρ 的权，相对于 G 的最大环面 T，是 X(T) 的元素 λ，使得 widetildeV_λ(T)not= 0。 01BW
命题 5 集合 P(ρ ,T) 在Weyl 群 W 的运算下是稳定的。设n∈ N_G(T)，并令w为其在W中的类；对于λ ∈ X(T)，我们有ρ (n)( widetildeV_λ(T)) = widetildeV_wλ(T)和暗淡widetildeV_wλ(T) =暗淡widetildeV_λ(T)。 ↩ 2 01BX
命题 6 同态 ρ : G→ GL(V) 是单射当且仅当 P(ρ ,T) 生成 Z-模 X(T)。 ↩ 2 01BY
命题 7 a) 对于所有λ ∈ X(T)，我们有widetildeV_λ(T) = widetildeV_δ(λ)(𝔱_C)。 ↩ 2 01BZ
命题 8 令 Q(R) 为由 G 的根生成的 X(T) 的子群。 ↩ 5 01C0
命题 9 李群 G 的每个自同构，诱导 T 上的恒等式为形式 Int t，其中t∈ T。 ↩ 3 01C1
推论设u为G的自同构，H为u的固定点的G由……组成的闭子群。那么，自同构u是内部当且仅当H₀是最大的秩。 01C2
引理 2 令 S 为 T 的闭子群，Z(S) 为 G 中的归一化器。 ↩ 2 01C3
定理 1 让α ∈ R(G,T)。 α的核的扶正器Z_α是G的连通闭子群；它的中心是Kerα；它的导出群D(Z_α) = S_α是秩1的G的连通闭半单子群。我们有R(Z_α,T) =α ,-α 和暗淡Z_α=暗淡T + 2。 ↩ 2 01C4
推论 — 存在态射或李群 ν:SU(2, C)→ G 具有以下属性： ↩ 1 01C7
注对于所有x∈ R，我们有 01C5
命题 10 映射 u → L(u)_(C) 从 Aut(T) 到 GL(𝔱_C) 诱导同构从 W 到分裂约化李代数 (𝔤_C,𝔱_C) 的 Weyl 群。对于所有α ∈ R，W_Z_α(T)是阶2，W_Z_α(T)的非恒等元素前面的同构下的像是反射s_H_δ(α)。 ↩ 1 01C6
推论假设G是半单。那么G的每个元素都是G的两个元素的换位子。 ↩ 2 01JJ
命题 11 同态 f(G,T) :Γ (T)→ π₁(G) 是满射。它的核是由节点向量(K_α)_α∈ R(G,T)家族产生的Γ (T)中的子群N(G,T)。 ↩ 3 01C8
推论 1 G 是单连通的当且仅当族 (K_α)_α∈ R(G,T) 生成 Γ (T)。 01C9
推论 2 令 H 为 G 包含 T 的连通闭子群；有正合序列 01CA
注可以证明（cf.习题 2 of §5）π₂(G/H)是零。前面的序列的精确性则给出从π₂(G/H)到N(G,T)/N(H,T)的同构。 01CB
推论 3 同态π₁(D(G))→ π₁(G)相应的将D(G)纳入G诱导同构，从π₁(D(G))到挠元子群π₁(G)。 ↩ 1 01CC
命题 12 令 H 为 G 包含于 T 的连通闭合子群的集合，按包含排序。映射H → R(H,T)是R(G,T)的对称闭子集的从H到集合的递增双射，按包含排序。 ↩ 1 01CD
推论 1 G 包含于 T 仅有有限多闭子群。 ↩ 1 01CE
推论 2 设H为G 包含于 T的连通闭子群，并令Wᴴ_G(T)为R的子集R(H,T)的W_G(T)中的稳定子。群N_G(H)/H同构于商群Wᴴ_G(T)/W_H(T)。 01CF
注 1 群 Wᴴ_G(T) 也是 T 的子群 C(H) 的 W_G(T) 中的稳定子：这源自no. 4 的第 8 条命题。 01CG
命题 13 令 H 为最大秩的 G 的连通闭子群，且C其中心。那么G的C包含中心，H是C的中心化器的恒等分量。 ↩ 2 01CH
注 2 如果存在 G 的最大环面 S 和 R(G,S) 的子集 P，使得 C =⋂_α∈ P Kerα，则称 G 的子群 C 是激进的。根据第 13 条命题和 no. 5 的引理 2，映射 H → C(H) 诱导双射从最大秩的已连接闭合子群的集合到G. 逆双射的部首子群的集合是映射C → Z(C)₀。 01CI
推论 g∈ G的集合使得T∩ gTg⁻¹not= C(G)是不同于G的G的有限闭解析子流形数的并。 01CJ
命题 14 令X为T的子集，并令R_X为根α ∈ R(G,T)的集合，使得α (X) =1。群Z_G(X)/Z_G(X)₀同构于子群与W_G(T)的商，固定X除以由s_α对α ∈ R_X的反射产生的子群。 ↩ 1 01CK
定义 2 根图表（或者简称为图表，如果没有混淆的风险）是三元组 D = (M,M₀,R)，其中： 01CL
例 1 对于有限型 M 的每个自由 Z 模，三元组 (M,M,∅ ) 是根图表。 01CM
例 2 如果D = (M,M₀,R)是根图表，则令M^*₀为M^*中V(R)的正交补，令R^∨为D的逆根的集合，则D^∨= (M^*,M^*₀,R^∨)为根图表，称为 D 的逆。对于所有 α ∈ R，M^* 的对称性 s_α^∨ 是 M 对称性 s_α 的反对自同构；从 W(D) 到 W(D^∨)，映射 w →ᵗw⁻¹ 为同构。此外，V(R^∨)可以自然地识别为Q向… 01CN
例 3 令 (𝔤,𝔥) 为分裂的约简 Q-李代数，且 M⊂ 𝔥 为许用格（第 VIII, §12, no. 6 章，定义 1）。令M₀为与(𝔤,𝔥)的根和H_α,α ∈ R(𝔤,𝔥)的R^∨集合正交的M的子群。那么(M,M₀,R^∨)是根图表，(M^*,M^*₀,R(𝔤,𝔥))是图表的逆。 01CO
例 4 令V在Q上成为向量空间，并且在V中R根系；由 R 的权的 P(R) 群和 R 的基团权的 Q(R) 群表示（第 VI, §1, no. 9 章）。那么(Q(R),0,R)和(P(R),0,R)就是根图表。 A root diagram (M,M₀,S) is isomorphic to a diagram of the form (Q(R),0,R) (r… 01CP
定理 2 a) (X(T),X(T/(T∩ D(G)),R(G,T))) 是根图表的约化；它的 Weyl 群由 X(w) 和 w∈ W 组成；群 X(C(G)) 同构于X(T) 与R(G,T) 生成的子群的商。 ↩ 1 01CQ
例 1 如果 G 是秩 1 的半单，则 D^*(G,T) 和 D_*(G,T) 必然同构于两个图表 Δ₂= (Z,0,2,-2)、Δ₁= (Z,0,1,-1) 之一。如果 G 同构于 SU(2,C), D_*(G,T) 则同构于 Δ₁（因为 G 是单连通的），所以 D^*(G,T) 同构于 Δ₂。如果 G 同构于 SO(3,R), D^*(G,T) 则同构于 Δ₁（… 01CR
例 2 如果G和G'是两个连通的紧李群，分别具有最大圆环T和T'，并且如果D^*(G,T) = (M,M₀,R)和D^*(G',T') =(M',M'₀,R')，则D^*(G× G',T× T')可以与(M⊕ M',M₀⊕M'₀,R∪ R')识别。对于协变图表也是如此。 ↩ 1 01CS
例 3 设 N 为 T 的闭子群，以 G 为中心，(M,M₀,R) 为 G 相对于 T 的逆变图表。则 G/N 相对于 T/N 的逆变图表可以用 (M',M'₀,R) 来识别，其中 M' 为λ的M由……组成的子群使得λ (N) =1和M'₀= M'∩ M₀。 ↩ 1 01CT
例 4 类似地，令 N 为有限阿贝尔的群和 φ :π₁(G)→ N 满同态。设G'为与此同态相关的G的覆盖；这是一个连通的紧李群，其中N是一个中心子群（总论拓扑，XI章，正在准备中），G可以自然地与G'/N等同。令T'为G'的最大环面，即T的逆像。如果(P,P₀,S)是G相对于T的协变图表，则G'相对于T'的协变图表可以识别为(P',P'₀,S)，其中P'是复合同态… 01CU
注 1 设𝔠为𝔤_C中的中心；然后𝔠= L(C(G))_(C)。我们在 G 相对于 T 的图表和分裂的还原代数 (𝔤_C,𝔱_C): 的正向和逆向根系之间有以下关系 01CV
注 2 假设群G为半单；用 R (resp. R^∨) 根系 R(G,T) (resp. R^∨(G,T)) 表示，这样我们就有了包含项 01CW
命题 15 令从D^*(G',T')到D^*(G,T)（或从D_*(G,T)到D_*(G',T')）的φ为同构。存在同构 f: G→ G'，使得 f(T) = T' 和 φ = D^*(f)（分别为 φ = D_*(f)）；如果f₁和f₂是两个这样的同构，则存在T的元素t使得f₂=f₁∘Intt。 ↩ 2 01CX
推论两个相连的紧李群 G 和 G' 同构当且仅当图表 D^*(G) 和 D^*(G')（分别为 D_*(G) 和 D_*(G')）相等。 01CY
命题 16 对于每个约简的根图表 D，都存在一个连通的紧李群 G，使得 D^*(G)（分别为 D_*(G)）与 D 同构的。 01CZ
学院因而，连接的紧李群直到同构的分类被减少为减少的根图表的分类。连接紧凑半单李群对应到约化根图表 (M,M₀,R)，使得 M₀= 0；给出这样的图表相当于在Q和V的子群M中给出向量空间V中的约化根系R，使得Q(R)⊂ M⊂ P(R)。 01D0
注 3 令 T' 为 G、B（分别为 B'）基的根系 R(G,T)（分别为 R(G',T')）的另一个最大环面（第 VI, §1, no. 5，定义 2）。存在元素g∈ G使得Intg映射T到T'并且B到B'，并且这些元素形式是唯一的陪集模Int(T)（因为T和T'是共轭，我们可以假设T = T'，并且应用VI, §1, no. 5，注4和no. 4的第9条就足够… 01D1
命题 17 同态 Aut(G,T)→ Aut(D) 是满射，具有核 Int_G(T)。 01D2
命题 18 群 Aut(G)/Int(G) 与 Aut(D)/W(D) 同构。 01K9
推论如果 G 是单连通的，或者如果 C(G) 约化到单位元素，则群 Aut(G)/Int(G) 同构于 R(G,T) 的 Dynkin 图的自同构的群。 01D3
定义 3 (G,T) 的框架为对 (B,(U_α)_α∈ B)，其中 B 为 R(G,T) 的基（第 VI, §1, no. 5 章，定义 2），并且对于所有 α ∈ B,U_α 为 V(α ) 的元素，使得K(U_α) =-1。 ↩ 1 01D4
引理 3 令 B₀ 为 R(G,T) 的基。群Int_G(T)在形式(B₀,(U_α)_α∈ B₀)的(G,T)帧的集合上进行简单传递操作。 ↩ 2 01D5
命题 19 群 Int(G) 在 G 的框架集合上进行简单传递操作。 ↩ 1 01D6
推论令e为(G,T)的框架，并令E为G的自同构的群，使e保持稳定。那么Aut(G)就是E通过Int(G)半直接乘积，Aut(G,T)是E通过Int(G)∩Aut(G,T)=Int_G(N_G(T))半直接乘积。 01D7
注设G和G'为两个相连的紧李群，并令e=(T,B,(U_α))和e'= (T',B',(U'_α))分别为G和G'的框架。令X为从G到G'的同构中的集合，需要e到e'。映射f → D^*(f)（或D_*(f)）是双射从X到集合，同构从D^*(G',T')到D^*(G,T)（或D_*(G,T)到D_*(G',T')），映射 B' 至 B（或 B 至 B'）。… 01D8

§ 5. 。共轭类

命题 1 将n=暗淡G。存在维数n-3的紧实解析流形V和映射φ : V→ G，其像是G -- Gᵣ。 ↩ 2 01DV
注如果 Z(g) 是 G 的最大值环面，则称 G 的元素 g 非常规则。如果且仅当 w(g)not=g 对于 W_G(T) (§4, no. 7 的每个非恒等元素 w，则 g∈ T,g 非常规则，命题 14）。因而，正则元素的集合是G的密集开子集（§2, no. 5，命题5的Cor.2）。 01DW
命题 2 a) 群 Wₐ（分别为 W'ₐ）是 W 乘以 N(G,T)（分别为 Γ (T)）的半直接乘积； W'ₐ子群Wₐ是正常的。 01DX
推论 1 令 A 为其闭合的 𝔱,overlineA 的凹室，以及 A 在 W'ₐ 中的 H_A 稳定子。 ↩ 5 01DY
注 1 群 H_A 可以自然地与 Γ (T)/N(G,T) 等同，因此也可以与 π₁(G) 等同。因而，当 G 是单连通时，它从约化到单位元素。 01DZ
注 2 设 x∈ A；那么exp x∈ Tᵣ，所以Z(exp x)₀= T。此外，当且仅当所有w∈ W'ₐ的w(x)not=x与恒等式不同时，expx是非常规则的（no. 1，注）。由科. 1，这也意味着h(x)not=x对于所有h∈ H_A来说都不同于恒等式。特别是，如果 G 是单连通的，则对于所有 t∈ Tᵣ 都有 Z_G(t) = T，并且 G 的每个正则元素… ↩ 2 01E0
注 3 Wₐ（第VI, §2, no. 2章）的特殊点是𝔱的元素x，这样δ (α )(x)∈ 2π iZ适用于所有α ∈ R(G,T) (loc。引文，命题 3)，即 exp x∈ C(G) (§4, no. 4，命题 8)。对于这样的元素x，我们对所有w∈ W有wx-x∈ N(G,T)（第VI, §1, no. 9章，第27条提案），因而Wₐ和W'ₐ重合中的x有稳… 01E1
推论 2 令 C 为𝔱 的室，且overlineC 为其封闭。典范嵌入 overlineC→ 𝔱→ 𝔤 诱导通过商同胚 01E2
注 4 用𝔤（第VII, §2, no. 2章，定义2）的正则元素𝔤_reg集合表示并放入𝔱_reg=𝔱∩ 𝔤_reg。对于x∈ 𝔱，我们有 01E3
推论 3 假设G是单连通的；设g为G的正则元素。存在G的最大环面S和L(S)的凹室A，两者都是唯一确定的，使得g∈exp(A)和0∈ overlineA。 ↩ 1 01E4
引理 1 设u为G的自同构，H集合为其固定的点。 ↩ 1 01E5
引理 2 令x为T的元素，S为T的子环。如果Z(x)∩ Z(S)约化对T的恒等分量，则存在S的元素s，使得xs是正则的。 ↩ 1 01E6
引理 3 假设 G 是单连通的。令C为𝔱的腔室，且u为G的自同构，使得T和C在u下稳定。然后将由u固定的T的点与集合连接起来。 ↩ 1 01E7
命题 3 令u为G的自同构，并令x为由u固定的G的点。 ↩ 2 01E8
推出令𝔰为紧李代数，并令φ为𝔰的自同构。存在由φ固定的𝔰的正则元素。 01E9
定理 1 设 u 为连通的紧李群 G 的自同构。 ↩ 2 01EA
推出 1 假设Z-模块π₁(G)无扭转。 01EB
推论 2 令 Γ 为 Aut(G) 的紧凑子群，具有以下性质： ↩ 1 01EC
推论 3 令H为李群且Γ是H的紧致子群。假设H₀是紧致且Γ满足Cor的条件 ()。 2. 则存在最大环面 T 为 H₀，使得 Γ ⊂ N_H(T)。 ↩ 1 01ED
推论 4 紧李群的每个幂零子群都包含在最大值环面的归一化器中。 01EE
例取G =U(n,C)。稍后我们将看到，G 中对角线矩阵的子群是 G 的最大值环面，并且其归一化器是单项式矩阵的集合（代数，第 II, §10, no. 7、例） G 中的 II) 01EF
引理 4 令g∈ G,t∈ T，并令overlineg为G/T中g的像。通过左平移，G/T（分别为 T、分别为 G）在 overlineg（分别为 t、分别为 gtg⁻¹）与 𝔤/𝔱（分别为 𝔱、分别为 𝔤）的认同切线空间通过左平移γ (g) g（分别t、gtg⁻¹）。然后，f在(overlineg, t)处的切线映射可与定义如下的线性映射f': (𝔤/𝔱)× 𝔱→… ↩ 2 01EG
命题 4 a) 令g∈ G, t∈ T, x∈ 𝔱，并令overlineg为G/T中g的像。以下条件是等效的： 01EH
注 1 根据§2, no. 4的命题3，流形(G/T)× A是单连通的。由此可见φ_A是Gᵣ的万能覆盖；由于 π₁(Gᵣ) 与 π₁(G) 自然同构（no. 1，第 1 条命题和通则拓扑，第 XI 章，正在准备中），我们恢复了π₁(G) 可以与 H_A（即Γ (T)/N(G,T)）识别的事实。 01EI
注 2 φ_A到W× A⊂ (G/T)× A的限制使W× A成为Tᵣ与群H_A的主覆盖。这样我们就恢复了Cor。 no. 2 的第 2 号提案 1。 01EJ
注 3 用指数映射下的Gᵣ的𝔤ᵣ逆像和由exp_G诱导的ε :𝔤ᵣ→ Gᵣ映射表示。映射(g, x) →（广告g）(x)从G× 𝔱ᵣ到𝔤ᵣ定义通过商映射ψᵣ: (G/T)× 𝔱ᵣ→ 𝔤ᵣ。我们有ε ∘ ψᵣ=φᵣ。令 w∈ W, γ ∈ Γ (T) 和 ω ∈ W'ₐ 使得 ω (z) =w(z) +γ 对于所有 z∈ 𝔱；那么 ψᵣ((overlineg, x)… 01EK

§ 6. 。集成紧李群

引理 1 从 Altˢ(M'')× Altʳ(M') 到 Altˢ⁺ʳ(M) 存在一个 A 双线性映射，用 (u, v) → u∩ v 表示，其特征为以下两个性质之一： ↩ 2 01EX
命题 1 令ω_G, ω_G/T和ω_T分别为次数、n, n-r和r在G,G/T和T上的不变微分形式。如果 ω_G= ω_G/T∩ ω_T，那么 ↩ 1 01EY
引理 2 如果ω_G=ω_G/T∩ ω_T，那么 ↩ 1 01EZ
引理 3 逆像在(G/T)× Tᵣ上的测量dg在Gᵣ下的局部同胚fᵣ(积分，第1章。 V, §6, no. 6）是μ⊗ δ_Gdt的测度，其中μ是总质量1的G/T上唯一的G不变测度。 ↩ 1 01F0
定理 1（H.韦尔） G 上的测度 dg 是测度 dg⊗ 1/w(G)δ_Gdt 的 G× T 到 G 的映射 (g, t) → gtg⁻¹ 下的像，其中 ↩ 1 01F1
推论 1 (i) 设φ为G上的可积函数，且值位于Banach空间或overlineR中。对于几乎所有 t∈ T，G 上的函数 g → φ (gtg⁻¹) 对于 dg 都是可积的。函数 t → δ_G(t)∫_Gφ (gtg⁻¹)dg 在 T 上可积，我们有 ↩ 1 01F2
推论 2 令φ为G上的中心函数（即，对于G中的所有g和h，φ (gh) =φ (hg)），值位于Banach空间或overlineR中。 ↩ 4 01F3
推论 3 设 H 为 G 包含 T 的连通闭子群，𝔥 李代数，以及dh 总质量 1 的 H 上的 Haar 测度。设 φ 为 G 上的可积中心函数，其中值在 Banach 中空间或overlineR。那么函数 h → φ (h)det(Ad_𝔤/𝔥(h)-1) 可积且以 H 为中心，我们有 ↩ 1 01F4
注 1 如果我们在 Cor 中取φ = 1。 3、我们得到 01F5
注 2 令 ν 为商 T/W 的度量，定义为 01F6
注 3 假设 G 是单连通的。令 A 为 𝔱 的凹室，dx 对 𝔱 的 Haar 测度使得 ∫_Adx= 1。那么度量ν也可以通过在overlineA上传输度量1/w(G)∏_α∈ R₊(G,T)4sin²π widehatα(x)dx来获得： 01F7
例取G为群SU(2,C)，T为矩阵对角线子群（§3, no. 6）；认同𝔱与R乘以𝔱(loc的基iH选择。引用。）。把A = 0, π；这是𝔱的壁龛。区间A = 0, π可以用G的共轭类的空间、G的元素θ来识别 01F8
命题 2 令 H 为维数 m,𝔥 的（实数）李群李代数。令ω_H为H上次数m的右不变微分形式，令ω_𝔥为次数m在𝔥上的平移不变微分形式，重合，原点为 ω_H(e)。我们有 01F9
注考虑函数λ_𝔤与紧李群G相关；鉴于§2, no. 1，Th。 1、对于计算λ_𝔤只要知道𝔱上的值就足够了。但是，对于x∈ 𝔱，自同态和𝔤的x是半单，并且有特征值0（与重数r），并且对于所有α ∈ R(G,T),δ (α )(x)（与重数1）。紧随其后的是 01FA
命题 3 令ω_𝔤,ω_𝔱,ω_G/T分别为次数n, r, n-r在𝔤,𝔱、G/T上的不变微分形式。如果ω_𝔤=ω_G/T∩ ω_𝔱，我们有 01FB
命题 4 𝔤 上的度量dz 是度量dg⊗ 1/w(G)π_𝔤dx 的适当映射 (g, x) →（Ad g）(x) 下的像，从G× 𝔱 到𝔤。 ↩ 1 01FC
引理 4 运算 H× Sʳ(X; E)→ Sʳ(X; E) 的律是连续的。 ↩ 2 01FD
命题 5 假设群 H 是紧致的，并用 dh 表示总质量 1 的 H 的 Haar 测度。令 s 为类 Cʳ E 的截面。用s^sharp向量积分∫_Hʰs dh表示。则s^sharp为类CʳE的截面，在H下不变；对于x∈ X，我们有s^sharp(x) =∫_Hhs(h⁻¹x)dh∈ Eₓ。 Sʳ(X; E)的自同态s → s^sharp是投影到H不变量截面的子空间。 01FE
推论 1 设 F 为 Banach 空间、ρ : H→ GL(F) 解析线性表示、f∈ Cʳ(X; F)。对于x∈ X，输入 ↩ 1 01FF
推论 2 设 F 为 Banach 空间, f∈ Cʳ(X; F)；放 ↩ 1 01FG
推论 3 Let F be a Banach space, p an integer ≥ 0,ᵏΩᵖ(X; F) the space of differential forms of degree p on X, with values in F, and of class Cᵏ(2≤ k+ 1≤ r). 对于ω ∈ᵏΩᵖ(X; F)，输入ω^sharp=∫_Hτₕ^… ↩ 1 01FH
定理 2 典范嵌入 ι :Ω (X)ᴳ→ Ω (X) 是复数的同伦（阿尔盖布尔，第 X，p. 33，déf. 5）；映射 ω → ω^sharp=∫_Gτ_g^*ω dg 是同伦，与其逆同伦。特别地，映射H(ι ) : H(Ω (X)ᴳ)→ H(Ω (X))是双射的。 ↩ 2 01FI
推论 1 a) 在图表(18)中，所有态射都是同伦。 01FJ
注考虑 Ω (G) (Algèbre 的子复合体 Z(Ω (G)) 和 B(Ω (G))，第 1 章。 X、p. 25）。从公式给出两个形式的乘积微分（可微分和解析流形，结果，8.3.5），Z(Ω (G))是Ω (G)的子代数，并且B(Ω (G))是Z(Ω (G))；因而，外部乘积诱导在H(Ω (G))上分级为代数结构。前面现在给出了同构分级代数 H(Ω (G… 01FK
推论 2 设 H 是 G 的闭子群。 01FL

§ 7. 。不可约表示已连接紧李群

引理 1 设λ为X(T)中的元素。以下条件是等效的： ↩ 1 01FZ
引理 2 Let φ be 线性表示 of the complex 李代数 𝔤_C on a finite dimensional complex 向量空间 V.在V上存在G的表示τ，使得L(τ )_(C)=φ当且仅当φ是半单并且在V属于到δ (X(T))上存在𝔱_C的权。 ↩ 1 01G0
定理 1 a) 令τ : G→ GL(V)为G的不可约表示。则τ（相对于T）的权的集合有最大的元素λ，为主导，空间 V_λ(T)等于维数1。 ↩ 7 01G1
推论群 G 有一个（有限维）忠实的线性表示。 01G2
注 1 令𝔫₊为𝔤_C的子代数，即α >0的𝔤^α的和。令τ : G→ GL(V)为不可约表示，λ ∈ X₊₊为最高权，τ ':𝔤_C→ 𝔤𝔩(V)由τ诱发表示。那么V_λ(T)是V中向量v的子空间由……组成，这样对于所有x∈ 𝔫₊来说τ '(x)v= 0。 ↩ 1 01G3
注 2 令 Θ (G) 为 G 上连续代表函数的代数，第 1 章C(代数中的值。 VIII）。让G通过左平移和右平移对Θ (G)进行运算。对于每个λ ∈ X₊₊，令(V_λ, τ_λ)为最高权λ（第1章）的G的不可约表示，以及(V^*_λ,checkτ_λ)的对立表示（第III, §3, no. 11）；根据谱理论，对于X₊₊中的所有λ，Θ (G)上的G× G的表示… 01G4
注 3 设τ : G→ GL(V)为不可约表示。 X(C(G))存在元素ν，使得τ (s)v=ν (s)v对于所有s∈ C(G), v∈ V:确实，τ (C(G))包含在τ(G)的交换子中，它等于C^*.1_V(代数，第1章。 VIII, §3, no. 2，周四。 1）。对于τ中的每一个权λ，λ到C(G)中的限制等于ν。 ↩ 1 01G5
注 4 第 1 章的定义和叙述 VIII, §7，编号。 2至5可以毫无困难地推广到目前的情况；我们把细节留给读者。 01G6
命题 1 令τ : G→ GL(V)为最高权λ ∈ X₊₊的G的不可约表示。令m为整数∑_α∈ R₊⟨ λ , K_α⟩，并令w₀ 01G7
命题 2 同态 Ch 诱导同构从 R(G) 到 Z[X(T)]ᵂ。 01G8
引理 3 对于每个λ ∈ X₊₊，令C_λ为Z[X(T)]ᵂ中的元素，具有唯一的最大值项e^λ。那么家庭(C_λ)_λ∈ X₊₊就是Z[X(T)]ᵂ的基。 01G9
推论限制映射 r: ZΘ (G)→ Θ (T)ᵂ 是双射。 ↩ 1 01GA
命题 3 元素 J(λ ρ )/surdoverlinew(G)，对于 λ ∈ X₊₊，形式反不变量子空间的正交基 L²(T) 元素，以及反不变量子空间的代数基元素共 Θ (T)。 ↩ 2 01GB
引理 4 如果φ和ψ是G上两个连续的中心函数， ↩ 2 01GC
定理 2（H.韦尔） 对于所有λ ∈ X₊₊，我们有J(ρ ).χ_λ|T = J(λ ρ )。 ↩ 3 01GD
推论 1 对于no. 3的记号，我们在Z[X(T)]中有， 01GE
推论 2 对于 T 的所有 λ ∈ X₊₊ 和每个正则元素 t， ↩ 2 01GF
推论 3 映射关联到G上的任何连续中心函数φ函数w(G)^-1/2J(ρ )(φ |T)诱导同构从G上的中心代表函数的空间到G上的反不变量元素的空间 Θ (T)；它扩展通过从ZL²(G)到L²(T)的反不变量元素的子空间连续到希尔伯特空间的同构。 ↩ 1 01GG
推论 4 令φ为G上的连续中心函数。那么， ↩ 2 01GH
注 1 对于所有w∈ W，放入ρ_w=ʷρ /ρ；然后 01GI
注 2 同样，Cor 的第一个等式。如果没有假设和 ρ ∈ X(T)，4 仍然有效。 01GJ
注 3 我们可以推导出Th。 2 来自类似的无穷小叙述（第 VIII, §9, no. 1 章，第 1 章）； Th 也是如此。下一个数中的 3 个（与上文中的 Th. 2 no. 2 类似）。 01GK
定理 3 The dimension of the space of an irreducible representation of G of highest weight λ is given by ↩ 2 01GL
引理 5 我们有 01GM
推出 1 令| |在X(T)⊗ R上为范数。对于所有λ ∈ X₊₊，令d(λ )为最高权λG不可约表示空间维数。 ↩ 2 01GN
推出 2 假设G为半单；设d为整数。维数≤ dG表示类集合是有限的。 01GO
命题 4 设Γ为G的卡西米尔元素。 ↩ 2 01GP
注让x∈ 𝔤。存在严格正的实数 A，使得对于 G 下的每个不可约表示 τ : G→ GL(V) 和V 不变量上的每个希尔伯特结构， 01GQ

§ 8. 。傅里叶变换

命题 1 G 上的每个平方可积复形函数f在(fᵤ)_u∈widehatG族的希尔伯特空间L²(G)中都是和，其中，对于所有h∈ G和所有u∈ widehatG， ↩ 1 01GZ
命题 2 令 m → |m| 为 R 向量空间 R⊗ X(T) 上的范数，且 Γ G 的卡西米尔元素。令 φ 为 widehatG 上的函数，且为正实数值。 01H0
例函数 u → d(u) 中等递增（§7, no. 5，Th. 3 的 Cor. 1）；对于 R⊗ X(T) 上的任意范数 | |，函数 u → |λ (u)| 是适度的递增。对于任何卡西米尔元素Γ，函数u → widetildeΓ(u)适度递增；更一般地说： 01H1
命题 3 对于所有 t∈ U(G)，函数 u → |u(t)|_∞ 和 u → |u(t)|₂ 在 widehatG 上是中等的递增。 ↩ 1 01H2
定理 1 a) 令 f 为 G 上的无限可微复形函数。则族 (fᵤ)_u∈widehatG（其中 fᵤ(g) =⟨ u(g)|u(f)⟩）在 G 上一致可求，并且对于所有 h∈ G， 01H3
推论映射overlineF:f → (u(f))_u∈widehatG和F: A → ∑_u∈widehatG⟨ u(g)|Aᵤ⟩诱导逆同构位于拓扑向量空间C^∞(G;C)和S( widehatG)之间。 01H4
命题 4 让f∈ L²(G)。那么f是中心当且仅当对于所有u∈ widehatG来说u(f)是位似。在那种情况下 01H5
命题 5 令f为G上的连续中心函数。则f是无限可微的当且仅当函数u → |⟨ χᵤ|f⟩ |在widehatG上快速递减；在这种情况下， ↩ 1 01H6
推论设f是G上的连续中心函数。则f是无限可微的当且仅当f的限制对T是无限可微的。 ↩ 1 01H7

§ 9. 。作用的紧李群开流形

引理 1 设T和T'为两个拓扑空间，T和T'分别为A和A'紧子集，T× T'中A× A'的W邻域。在 T 中存在 A 的开邻域 U，在 T' 中存在 A' 的开邻域 U'，使得 U× U'⊂ W。 ↩ 1 01HE
命题 1 令φ : X→ Y为类Cʳ的态射，A是X的紧致子集。以下条件是等效的： 01HF
命题 2 假设流形 Y 是仿紧的；设A为X的子集，并令φ :X→ Y为类Cʳ的态射，诱导从A到φ (A)的同胚，并且在A的每个点处都是étale。那么存在一个开A 的邻域 U，使得 φ 诱导同构从 U 到 Y 的开子流形。 ↩ 1 01HG
命题 3 令 A 为 X 的紧凑子集。作为A的邻域中的嵌入的态射φ ∈ Cʳ(X;Y)的集合P在紧凑Cʳ收敛(§ 6, no. 4)的拓扑中的Cʳ(X;Y)中是开放的。 ↩ 1 01HH
引理 2 令x为X,φ : X→ Y态射或类C¹的点，这是x的浸没。 C¹(X;Y) 中存在 φ 的邻域 Ω，X 中存在 x 的邻域 B，因此，对于所有 ψ ∈ Ω，ψ 的限制对 B 是单射的。 01HI
命题 4 令 A 为 X 的紧凑子集。存在有限维向量空间 E 和态射 φ ∈ Cʳ(X;E) (rnot=ω )，它是 A 的邻域中的嵌入。 ↩ 3 01HJ
引理 3 设 G 是在拓扑空间 X 上连续运行的紧拓扑群；设A为X的子集，在G下稳定，且A的W邻域。则存在A在G下稳定且包含在_∘W中的开邻域V。 ↩ 2 01HK
定理 1 设G为X上G的类Cʳ左运算的紧李群，(g, x) → gx律，A为X的紧凑子集。在有限维向量空间 E 上存在 G 的解析线性表示 ρ，类 Cʳ 的态射 φ : X→ E，与 G 的运算兼容，以及 A 的开邻域 U，在 G 下稳定，使得 φ 到 U 的限制是嵌入。 ↩ 1 01HL
推论 1 假设 X 是紧致的。在有限维向量空间 E 上存在 G 的解析线性表示 ρ 和嵌入 φ : X→ E，使得 φ (gx) =ρ (g)φ (x) 对应于 g∈ G, x∈ X。 ↩ 1 01HM
推论 2 设 H 是 G 的闭子群。在有限维向量空间 E 和点 v∈ E 上，存在固定器 H 的 G 解析线性表示。 ↩ 1 01HN
推论 3 假设 X 是仿紧的。存在实希尔伯特空间 E、E 上 G 的连续酉表示 ¹⁰ρ 以及类 Cʳ 的嵌入φ : X→ E，使得φ (gx) =ρ (g)φ (x) 对于所有g∈ G 和所有x∈ X。 01HO
引理 4 令 H 为紧李群，ρ : H→ GL(V) H 在有限维实数向量空间上的连续（因此是解析的）表示，以及 V 中原点的 W 邻域。存在原点的开邻域 B，包含在 W 中并在 H 下稳定，以及解析同构 u: V→ B，与 H 的运算兼容，使得 u(0) = 0 和 Du(0) = Id_V。 ↩ 2 01HP
命题 5 设H为X上H的紧李群、类Cʳ左运算(h, x) → hx律，以及X固定下的x点 H 的运算。则群 H 在向量空间 T = Tₓ(X) 上线性运算；存在类Cʳ的开放嵌入φ : T→ X，与H的运算兼容，使得φ (0) =x和T₀(φ )是T的身份映射。 ↩ 1 01HQ
命题 6 假设流形 X 是仿紧的；设x为X的点，Gₓ为其固定器。存在有限维解析线性表示τ : Gₓ→ GL(W)，以及类Cʳ的开放嵌入α : G×^GₓW→ X，与G的运算兼容，(e,0)∈ G× W的映射类 x。 ↩ 5 01HR
引理 5 设Z为类Cʳ的分离流形，配备类Cʳ的左运算m: G× Z→ Z的律，以及μ: Z→ X态射（类） Cʳ）与G的运算兼容。令z为Z的点，且x=μ(z)。假设μ在z处是étale，并且G中z的固定器等于x的固定器Gₓ。那么，存在轨道Gz的开邻域Ω，在G下稳定，使得μ诱导同构从Ω到X的开子集。 01HS
引理 6 设G为李群。 01HT
定理 2 令G为李群在X上正常运行，使得运算(g, x) → gx的律为类Cʳ。假设 X 是仿紧的。 01HU
例 1 令 G 为连通的紧李群，通过内自同构对自身进行操作。 G 的元素x的固定器就是G中x的扶正器Z(x)；它包含每个最大环面包含x。由此可见最大的轨道型τ是G的最大环面的共轭类。开集合G_(τ)是G的正则元素的集合（§5, no. 1，注）。假设 G 是单连通的。则G_(τ)等于G的正则元素的集合Gᵣ（§5, no. 2，注2）；如果 A 是 𝔤= L(G)… 01HV
例 2 令E为E的超平面的实数欧氏仿射空间、ℌ集合，W群是E相对于ℌ的超平面的正交反射产生的位移。假设 ℌ 在 W 下稳定，并且群 W 与离散拓扑在 E 上正常运行。 01HW

App. 1. 附录I

命题 1 每个紧拓扑群 G 都同构于乘积的紧李群的闭子群。 01II
推论 1 令 V 为 G 的单位元素的邻域。则 V 包含 G 的闭法线子群 H，使得商 G/H 为李群。 ↩ 2 01IJ
推论 2 规范的映射G→lim__← -G/H_α是拓扑群的同构。 α ↩ 1 01IK
推论 3 G 是李群当且仅当存在 G 的单位元素 e 的邻域且包含不存在不同于 e 的正常子群。 01IL
引理 1 令(G_α, f_α β)为拓扑群相对于过滤的指标集合I的射影系统，G为极限。假设规范映射 f_α: G→ G_α 是满射的。 ↩ 2 01IM
引理 2 令 (Sₐ)_a∈ A,(T_b)_b∈ B 为几乎简单、单连通的李群的两个有限族（第 III, § 9, no. 8，定义 3）,u:∏_a∈ ASₐ→ ∏_b∈ BT_b 一个满射态射。那么存在一个单射映射l: B→ A和同构u_b: S_l(b)→ T_b(b∈ B)，使得u((sₐ)_a∈ A) = (u_b(s_l(b)))_b∈ B对于∏_a∈… ↩ 1 01IN
引理 3 在引理 1 的假设下，假设G_α 是单连通的紧李群。那么，拓扑群 G 同构于几乎简单、单连通紧李群族的乘积。 ↩ 1 01IO
命题 2 令 G 为连通紧凑群。 01IP
推论每个可解的连通紧致群都是可交换的。 01IQ

App. 2. 附录 II

命题 1 设 A 为 R 代数（结合和单位），V R 上的有限维单A-模。那么，我们一定处于以下三种情况之一： ↩ 1 01IS
命题 2 设 A 为 R 代数（结合和单位），W 为 C 上的有限维简单 A_(C) 模。那么，我们一定处于以下三种情况之一： ↩ 1 01IT
命题 3 假设 ρ 是不可约的。 ↩ 1 01IU
引理 1 设Wᴳ为W的子空间，元素的由……组成在G下不变。W的自同态∫_Gρ (g)dg为投影和像Wᴳ，与G的运算兼容。特别是，dimWᴳ=∫_GTr ρ (g)dg。 ↩ 1 01IV
引理 2 令 u 为域 K 上有限维向量空间 E 的自同态。则 ↩ 1 01IW
命题 4 假设 ρ 是不可约的。那么，ρ 是实数（复数，四元数）型当且仅当积分 ∫_G Trρ (g²)dg 等于 1（分别为 0，分别为 -1）。 01IX