卷 E · 中文

命题索引

集合论的 344 个命题，按章和节排列。选择一种类型，按词筛选，或把被引用最多的排在前面。

引用最多的在前

I. Description of formal mathematics

§ 1. 项与关系

例 1 集合∨ 1由⇒表示。 03P0
例 2 以下符号代表组合（以及非常长的符号）： 03P1
例符号τₓ(∈ xy)代表装配 03RY
例如果我们将替换x除以square，只要x出现在程序集∨∈ xy=xx中，我们就获得程序集∨∈square y=squaresquare。 03TO
注当通过定义引入缩写符号Σ来表示某个程序集时，（通常是默认的）约定是用程序集B替换原程序集中的字母x得到的程序集，用替换中的字母x得到的符号来表示。 Σ 由程序集 B（或者更常见的是，由表示程序集 B 的缩写符号）。 03P2
例在集合论中，其中∈是权2的关系符号，组合的后续序列是形成构造： 077Q
注直观上，项是组合，代表对象，关系是组合，代表断言，可以由这些对象组成。条件(a)表示字母代表对象。条件 (b) 意味着如果B 是断言，则¬ B（称为B 的否定）是断言（读作：不是B）。条件 (c) 表示如果B 和C 是断言，则∨ BC（称为B 和C 的或）是断言（读作：B 或C）；因此¬→ BC是断言（在字中：“要么不是B，要么C”，或者“B意味着C”… 077R
例符号∅、N、“实直线”、“Γ函数”、f∘ g代表项。符号π=sqrt2+sqrt3、1∈2、“每个有限除法环都是域”、“除了-2、-4、-6、...之外的ζ(s)的零位于直线ℜ(s)=1/2上”表示关系。符号“3和4”既不代表项，也不代表关系。 0E3Y

§ 2. Theorems

注在C5的假设下，如果T理论被证明是矛盾的，T'也是如此。因为如果A和“不是A”是T中的定理，那么(T₁|a₁) … (Tₕ|aₕ)A和not(T₁|a₁) … (Tₕ|aₕ)A是T'中的定理。 \ 对于例，如果群的理论是矛盾的，那么集合论也会是矛盾的。 \ 03G7

§ 5. 平等的理论

定理 1 x = x。 ↩ 2 03P3
定理 2 (x = y) ⇔ (y = x)。 03P4
定理 3 ((x = y) and (y = z)) ⇒ (x = z)。 03P5

App. 0. 附录

命题 1 如果 A₁、A₂、...、Aₚ 是 p 有意义字并且f 是权 p 的符号，则字 f A₁ A₂ … Aₚ 有意义。 ↩ 1 03P6
命题 2 字当且仅当它是平衡时才是重要的。 ↩ 1 03P7
引理 1 设 A 为平衡的字。那么对于每个整数 k 使得 0 leqslant k < l(A) 恰好存在 A 的一个平衡线段 S，它从第 (k + 1) 位置开始。 ↩ 1 03P8
引理 2 每个平衡的字A都可以放入形式 03GT
推论 1 让 A 成为重要的字。对于每个整数k，使得0≤ k<l(A)恰好有一个从第(k+1)位置开始的A的重要部分。 03GU
推论 2 每个重要的字都可以用一种方式写成形式fA₁A₂… Aₚ，其中Aᵢ是重要的，而n(f)=p. ↩ 2 03GV
注除了在公理方面特别薄弱的某些数学理论（cf. 习题 7）之外，我们没有型的一般过程来使我们能够测试理论T中的给定关系R是否是T中的定理。 03GW

II. Theory of sets

§ 1. 集合化关系

定义 1 关系表示为 (∀ z)((z ∈ x) ⇒ (z ∈ y))，其中仅出现字母x和y，以下列方式之一书写： x ⊂ y、y ⊃ x、“x包含在y”、“y” 包含于 x”，“x 是 y 的子集”。关系“不是(x ⊂ y)”写为x not⊂ y或y not⊃ x。 ↩ 1 03H5
命题 1 x ⊂ x。 03P9
命题 2 (x ⊂ y 和 y ⊂ z) ⇒ (x ⊂ z)。 03PA
例 1 关系 x ∈ y 显然是 x 中的集合化。 03RZ
例 2 关系 x ≠ x 不是 x 中的集合化；在其他字，（不是Collₓ(x ≠ x)）是定理。让我们用反证法来论证，假设x ≠ x是集合化。令 a 为辅助常数，与 x 和理论常数不同，具有介绍性公理 03S0
定义 2 集合E_z (z = x or z = y)，其中元素只有x和y，用x, y表示。 03H6
注令R为关系，即x中的集合化，并令S为关系，使得(∀ x)(S ⇒ R)为定理。那么S在x中就是集合化；对于 R 等价于 x ∈ Eₓ(R)，因此 03H7
定义 3 设A为集合X中的子集。 X 元素集合不属于到 A，也就是说集合 Ex (x ∉ A 和 x ∈ X)，称为 A 中的补集X，并用 complement_XA 或 X - A 表示（如果不存在混淆风险，则用complementA 表示）。 03H8
定理 1 关系 (∀ x)(x ∉ X) 在 X 中起作用。 03H9
注不存在每个对象都是元素的集合；在其他字中，“不是(∃ X)(∀ x)(x ∈ X)”是定理。因为如果存在这样的集合，那么通过C52，每个关系将是集合化。但我们已经看到（no. 4）关系x ∉ x不是集合化。 03PB

§ 2. 有序对

定理 1 关系 03PC
定义 1 给定两个集合 X 和 Y，集合 03PD
命题 1 如果 A'、B' 为非空集合，关系 A' × B' ⊂ A × B 等价于“A' ⊂ A 和 B' ⊂ B”。 03PE
命题 2 设A和B为两个集合。关系 A × B = ∅ 相当于“A = ∅ 或B = ∅”。 ↩ 1 03PF

§ 3. Correspondences

定义 1 如果 G 的每个元素都是有序对，即如果关系，则 G 被称为图 03PG
命题 1 让G 是一个图。恰好存在一个集合 A 和恰好一个集合 B 具有以下属性： 03HI
注关系 x = y 没有图，对于图的第一个投影，如果存在，将是所有对象中的集合（cf. § 1, no. 7，注）。 03S1
定义 2 对应在集合 A 和集合 B 之间是一个三元组 03HJ
定义 3 设G是一个图并且X集合。所有对象中的集合，其中 G 下的对应到 X 的元素被称为 G 下 X 的像，并用 G⟨ X ⟩ 或 G(X)表示。 ↩ 1 03PI
注 1 准确地说，G⟨ X ⟩表示集合E_y((∃ x)(x ∈ X and (x,y) ∈ G))。从现在开始，我们通常不会将我们的定义翻译成正式语言。 03PH
注 2 记号 G(X) 和 Γ(X) 有时会导致与稍后介绍的记号混淆（cf. no. 4、注紧随定义 9）。 03S2
命题 2 设 G 为一个图，并让 X，Y 为两个集合；那么关系 X ⊂ Y 意味着 G⟨ X ⟩ ⊂ G⟨ Y ⟩。 ↩ 1 03PJ
推论如果A ⊃ pr₁ G，我们有G⟨ A ⟩ = pr₂ G。 03PK
定义 4 设G是一个图，并且x对象。集合 G⟨ x ⟩（通过滥用语言，G(x)表示为有时）被称为 G 在 x的截面。 03PL
定义 5 设G是一个图。元素为有序对(x, y)使得(y, x) ∈ G的图称为G的逆图，记为overset-1G。 03PM
定义 6 设G、G′为两个图。关系、(∃ y)((x, y) ∈ G和(y, z) ∈ G')的图（相对于x和z）称为G'和G的合成，并用G' ∘ G表示（或用G'G表示有时）。 ↩ 1 03PN
命题 3 设G，G′为两个图。 G′ ∘ G 的倒数是 overset-1G ∘ overset-1G'。 ↩ 1 03HK
命题 4 设 G₁、G₂、G₃ 为图形。然后 03HL
命题 5 设 G, G′ 为图，设 A 为集合。然后 ↩ 1 03HM
定义 7 设Γ = (G, A, B)和Γ' = (G', B, C)为两个对应，使得Γ的目标是Γ'的源。则对应 (G' ∘ G, A, C) 称为 Γ' 和 Γ 的合成，并表示为 Γ' ∘ Γ（或有时 Γ'Γ）。 03PO
定义 8 如果A是形式(x, x)的所有对象、集合、集合Δ_A，其中x ∈ A、称为A × A的对角线。 03PP
定义 9 如果对于每个 x 至多有一个对象在 F (章 I, § 5, no. 3) 下对应到 x，则 graph F 被称为函数图。对应 f = (F, A, B) 如果其图 F 是函数图并且其源 A 等于其域 pr₁F，则称为函数。在其他字中，对应 f = (F, A, B) 是函数，如果对于每个 x 属于到源 A f 关系 (x, y) ∈ F 在 y (章… ↩ 1 03HN
注读者应注意同时使用定义 3 (cf. 习题 11)中引入的记号f(x)和f(X)（与f⟨ X ⟩同义）可能会引起混乱。 03HO
例 1 空集是一个函数图。每个图为空的函数都有等于空集的定义域和值域。其中函数中，目标为空的（即函数(∅,∅,∅)）称为空函数。 ↩ 1 03V1
例 2 设A为集合。 A (no. 3) 的恒等式对应是函数，称为A的恒等映射。 03V2
例 1 如果f是A的映射入B，则函数f等于函数x → f(x)（x ∈ A，f(x) ∈ B），简单写为x → f(x)或(fₓ)_x ∈ A （后者记号尤其与短语“元素家族”相关，而不是“函数”）。 03S3
例 2 令 G 为有序对的集合。函数 03S4
命题 6 如果f是A到B的映射，并且g是B到C的映射，那么g ∘ f是A到C的映射。 03HP
定义 10 令f 为 A 到 B 的映射。映射 f 被称为单射，或单射，如果 A 的任何两个不同的元素在 f 下具有不同的像。映射 f 被称为满射，或满射，if f(A) = B。如果 f 既是单射又是满射，则称为双射，或双射。 03HQ
例 1 如果A到B的A ⊂ B、映射其图是A的对角线是单射的，则称为A到B的典范映射或典范嵌入（或简称为单射）。 03S5
例 2 设 A 为集合。 A 的映射x → (x, x)到A × A的对角线Δ_A是一个双射映射，称为A的对角线映射。 03S6
例 3 令 G 为集合 / 有序对。 G 的映射 pr₁（分别为 pr₂）到 pr₁G（分别为 pr₂G）是满射； pr₁ 是单射的当且仅当 G 是函数图。 03S7
例 4 令 G 为有序对的集合。映射 03S8
例 5 设 A 为集合和 b 一个对象。 A 的映射 x → (x,\ b) 到 A × b 是双射。 03S9
命题 7 设f是A到B的映射。则overset-1f是函数当且仅当f是双射的。 03PQ
注令 f 为 A 到 B 的映射。对于 A 的每个子集 X，我们有 (no. 3) X ⊂ overset-1f⟨ f⟨ X⟩⟩。此外，对于 B 的每个子集 Y，我们有 f⟨ overset-1f⟨ Y⟩⟩ ⊂ Y，对于关系 y ∈ f⟨ overset-1f⟨ Y⟩⟩ 相当于 03HR
命题 8 设f为 A 入 B的映射。如果存在映射r（分别为s）为 B 入 A 使得r ∘ f（分别为f ∘ s）为恒等映射 A（分别为 B），则 f 是单射（分别为满射）。相反，如果f是满射，则存在 B 到 A 的映射 s使得f ∘ s是 B的恒等映射。如果f是单射并且如果 A ≠ ∅，存在映射 B 的r进入 A 使得r ∘ f是 A的恒等映射。 ↩ 5 03HS
推论设 A，B 为集合，设f为 A 入 B的映射，并令g为 B 入 A的映射。如果g ∘ f是 A 的恒等映射且如果f ∘ g是 B 的恒等映射，则 f 和 g 是双射，且 g = overset-1f. ↩ 1 03HT
定义 11 设 f 为 A 到 B 的单射（或满射）映射。任意映射 r（或s）B 到 A 使得 r ∘ f（或f ∘ s）是 A（分别为B）的恒等映射称为撤回（分别为截面）f。 ↩ 6 03HU
定理 1 设f是A到B的映射，让f'是B到C的映射，并让f'' = f' ∘ f。然后： ↩ 2 03PR
命题 9 (a) 设 E，F，G 为集合，让 g 为 E 的映射到 F 和 f 映射 of E 到 G。则存在 F 到 G 的映射 h 这样 f = h ∘ g 当且仅当关系 g(x) = g(y) （其中 x ∈ E，y ∈ E）意味着关系 f(x) = f(y)。映射 h 则由 f唯一确定；如果s是g的截面，我们有h = f ∘ s。 ↩ 1 03PS

§ 4. 集合家庭的并和交

定义 1 令(X_ι)_ι ∈ I为集合的家族（分别为集合 E的子集家族）。集合Eₓ((∃ ι)(ι ∈ I和x ∈ X_ι))，也就是说，所有x中的集合其中属于到家庭(Xₗ)_l∈ I中至少一个集合，被称为家庭的并，并表示为 ⋃_l∈ IXₗ, [^1] 03I1
定义 2 令(Xₗ)_l∈ I为集合的一个族，其指标集合I不为空。集合 Eₓ((∀ l)((l∈ I)Longrightarrow(x∈ Xₗ)))，也就是说，所有x中的集合，其中属于到家庭(Xₗ)_l∈ I的每个集合，称为家庭的交，并用表示 ⋂_l∈ IXₗ. 03PT
定义 3 设(Xₗ)_l∈ I是子集和集合E的一个家庭。集合 Eₓ(x∈ E and (∀ l)((l∈ I)Longrightarrow(x∈ Xₗ))), 03PU
命题 1 设(X_ι)_ι ∈ I为集合的一个家庭，并让f为集合K的映射I。然后 ↩ 5 03PV
推论让(X_ι)_ι ∈ I成为集合的一个家庭，使得X_ι = X_varkappa对于指标(ι, varkappa)中的每个对。然后对于每个 α ∈ I 我们有 03I2
定义 4 设𝔉为集合的集合，并让Φ为由𝔉的恒等映射定义的集合族。 Φ 的集合并和（如果 𝔉 不为空） Φ 的集合交分别称为并和交 𝔉的集合，和由⋃_X ∈ 𝔉 X和⋂_X ∈ 𝔉 X表示。 03I3
命题 2 设(X_ι)_ι ∈ I是集合的一个家庭，其指标集合I是并的一个家庭(J_λ)_λ ∈ L的集合。然后 ↩ 1 03I4
命题 3 设(X_ι)_ι ∈ I是集合A的子集的一个家庭，并且让Γ是在A和B之间的对应。然后 ↩ 4 03I5
命题 4 设f是A的映射进入B并让(Y_ι)_ι ∈ I成为B的子集的一个家庭。然后overset-1f⟨ ⋂_ι ∈ I Y_ι ⟩ = ⋂_ι ∈ I overset-1f⟨ Y_ι ⟩. ↩ 3 03I6
推论如果f是 A 的单射进入 B 并且如果 (X_ι)_ι ∈ I 是 A 的子集的一个家庭，其指标集合 I 不为空，则 f⟨ ⋂_ι ∈ I X_ι ⟩ = ⋂_ι ∈ I f⟨ X_ι ⟩。 03I7
命题 5 对于每个家庭 (X_ι)_ι ∈ I 集合 E 子集，我们有 ↩ 1 03I8
命题 6 设f是A到B的映射。对于B的每个子集Y，我们有 ↩ 1 03PW
推论让f成为 A 到 B的单射。对于 A的每个子集 X ，我们有f⟨ A - X ⟩ = f⟨ A ⟩ - f⟨ X ⟩。 03PX
定义 5 集合(X_ι)_ι ∈ I的族据说是集合 E （或覆盖 E）如果E ⊂ ⋃limits_ι ∈ I X_ι的覆盖。如果 (X_ι)_ι ∈ I 和 (Y_varkappa)_varkappa ∈ K 是 E 的覆盖，这些覆盖中的第二个被认为比第一个覆盖更细（或者是第一个覆盖的精炼，或者精炼第一个），如果对于每个varkappa ∈ K，存在ι ∈ I使得 ↩ 1 03PY
命题 7 (1) 设 E 为集合和(X_ι)_ι ∈ I 覆盖E。如果f和g是两个函数，其域E使得f和g同意E ∩ X_ι 对于每个 ι ∈ I，然后 f 和 g 同意 E。 ↩ 5 03PZ
定义 6 两个集合 A 和 B 据说是不相交的（或不相交）如果 A ∩ B = ∅。如果A ∩ B ≠ ∅，我们说A满足（或相交）B。让(X_ι)_ι ∈ I成为集合的一个族。如果条件 ι ∈ I、varkappa ∈ I、ι ≠ varkappa 暗示 X_ι ∩ X_varkappa = ∅，则该家族的集合据说是相互不相交的。 03Q0
命题 8 设(X_ι)_ι ∈ I是相互不相交的集合的一个族，并且让(f_ι)_ι ∈ I是具有相同目标F的函数的族，使得f_ι的域是X_ι对于每个ι ∈ I。那么恰好存在一个具有域 ⋃_ι ∈ I X_ι 和目标 F 的函数 f，其中扩展每个函数 f_ι (ι ∈ I)。 ↩ 5 03Q1
定义 7 集合 E 的划分是非空互为 E 的不相交的子集，覆盖 E。 03Q2
例对于每个非空集合 A，族 (x)_x ∈ A 是 A 的划分。 03I9
命题 9 让(X_ι)_ι ∈ I成为集合的一家人。那么存在集合 X 与以下性质： X 是一个家庭的并 (X'_ι)_ι ∈ I 相互不相交的集合，这样对于每个 ι ∈ I 都存在一个一对一映射X_ι到X'_ι。 03Q3
定义 8 让(X_ι)_ι ∈ I成为集合的一家人。该家庭的和是集合(X_ι × ι)_ι ∈ I家庭的并。 ↩ 3 03Q4
命题 10 让(X_ι)_ι ∈ I成为相互不相交的集合的一家人。设 A 为其并， S 其和。那么存在 A 到 S 的双射映射。 ↩ 1 03IA

§ 5. 集族的积

命题 1 (1) 如果 f 是集合 E 到集合 F 的满射，规范的扩张 hatf of f 是 𝔓(E) 到 𝔓(F) 的满射。 ↩ 1 03IJ
命题 2 (1) 如果 u 是 E' 到 E 的满射，并且 F 的 v 单射到 F'，则映射 f ↦ v ∘ f ∘ u 是单射的。 ↩ 2 03Q5
推论如果u是E'的双射到E并且v是F的双射到F'，那么f ↦ v ∘ f ∘ u是双射的。 03Q6
命题 3 如果对于 B × C 进入 A 中的每个映射 f 我们用 C 进入 𝔉(B, A)的tildef 映射 y → f(bullet, y)表示，则函数 f → tildef是双射（称为规范双射）的𝔉(B × C, A)到𝔉(C, 𝔉(B, A))。 ↩ 1 03Q7
定义 1 设(X_ι)_ι ∈ I是集合的一个家庭。函数图 F 的集合，其定义域 I 使得 F(ι) ∈ X_ι 对于每个 ι ∈ I 被称为集合 (X_ι)_ι ∈ I族的乘积，并用 ∏_ι ∈ I X_ι表示。对于每个 ι ∈ I、X_ι 在乘积 ∏_ι ∈ I X_ι 中称为指标 ι 的因子。映射 F → F(ι) ( F ∈ ∏_ι ∈ I X_ι,\ F… 03Q8
命题 4 让(X_ι)_ι ∈ I成为集合的一个家庭，让你成为集合K的双射到指标集合I。如果 U 是 u 的图，则映射 F → F ∘ U of ∏_ι ∈ I X_ι 进入 ∏_x ∈ K Xᵤ₍ₓ₎ 是双射的。 ↩ 2 03IK
命题 5 令(X_ι)_ι∈ I为集合的家族，令J为I的子集。如果对于每个ι∈ I，我们有X_ι≠∅，投影pr_J是∏_ι∈ IX_ι的映射到∏_ι∈ JX_ι。 ↩ 1 03Q9
命题 6 Let (X_ι)_ι∈ I be a family of sets such that X_ι≠∅ for all ι∈ I. 如果g是J⊂ I的映射到A=⋃_ι∈ IX_ι，使得g(ι)∈ X_ι对于所有ι∈ J，则存在g到I的扩张f，使得对于所有f(ι)∈ X_ι ι∈ I. ↩ 6 03QA
推论 1 让(X_ι)_ι∈ I成为集合的一个族，这样对于每个ι∈ I我们都有X_ι≠∅。那么对于每个 α∈ I 投影 pr_α 都是 ∏_ι∈ IX_ι 的映射到 X_α。 ↩ 2 03QB
推论 2 设(X_ι)_ι ∈ I是集合的一个家庭。那么∏limits_ι ∈ I X_ι = ∅当且仅当存在ι ∈ I使得X_ι = ∅。 ↩ 4 03QC
推论 3 令(X_ι)_ι ∈ I和(Y_ι)_ι ∈ I为集合的两个族，具有相同的指标集合I。如果每个ι ∈ I都有X_ι ⊂ Y_ι，那么 ↩ 1 03QD
命题 7 设(X_ι)_ι ∈ I是集合的一个家庭，其指标集合I不是空集。设(J_λ)_λ ∈ L为I的划分。然后映射 ↩ 2 03IN
注 1 令α、β为两个不同的对象，并令(J_λ)_λ ∈ α, β为I的划分分成两个集合J_α、J_β。因此，我们通过将∏_λ ∈ α, β ( ∏_ι ∈ J_λ X_ι )的典范映射的合成形成到( ∏_ι ∈ J_α X_ι ) × ( ∏_ι ∈ J_β X_ι )上并将∏_ι ∈ I X_ι的典范映射形成到( ∏_ι ∈ J_α X_ι ) × ( ∏_ι… ↩ 1 03SA
注 2 令α、β、γ为三个对象，其中没有两个相等（存在三个这样的对象；对于例、∅、∅、∅），并令A、B、C为集合。考虑函数图(α, A), (β, B), (γ, C)，即集合(X_ι)_ι ∈ α, β, γ族，使得X_α = A、X_β = B、X_γ = C。对于由两个集合、α, β和γ形成的α, β, γ的划分，存在对应一个∏_ι ∈ α, β, γ X_ι… 03SB
命题 8 让((X_λ,ι)_ι ∈ J_λ)_λ ∈ L成为集合家庭的一个家庭（与指标集合L）。假设 L ≠ ∅ 和 J_λ ≠ ∅ 对于每个 λ ∈ L。让 ↩ 2 03IO
推论设 (X_ι)_ι ∈ I 和 (Y_varkappa)_varkappa ∈ K 为集合的两个族，其中非空指标集合 I，K。然后 ↩ 1 03IP
命题 9 让((X_λ, ι)_ι ∈ J_λ)_λ ∈ L成为一个家庭（与指标集合L）集合的家庭。让I = ∏_λ ∈ L J_λ。然后 ↩ 2 03IQ
推论 1 假设L ≠ ∅和J_λ ≠ ∅对于每个λ ∈ L。如果对于每个索引 λ ∈ L 族 (X_λ, ι)_ι ∈ J_λ 是 X_λ = ⋃_ι ∈ J_λ X_λ, ι的划分，那么家庭 ( ∏_λ ∈ L X_λ, f(λ) )_f ∈ I 是 ∏_λ ∈ L X_λ的划分。 ↩ 1 03QE
推论 2 设(X_ι)_ι ∈ I和(Y_varkappa)_varkappa ∈ K为集合的两个族。然后 03QF
命题 10 设(X_ι, varkappa)_(ι, varkappa) ∈ I × K是集合的一个家庭，其指标集合是两个集合的积I和K。如果K ≠ ∅，我们有 ↩ 1 03QG
推论设(X_ι)_ι ∈ I和(Y_ι)_ι ∈ I为集合的两个族，具有相同的指标集合I ≠ ∅。然后 03IR
定义 2 设 (X_ι)_ι ∈ I，(Y_ι)_ι ∈ I 为集合的两个族，并让(g_ι)_ι ∈ I 为函数的族，且具有相同的指标集合I使得g_ι为映射 X_ι 进入 Y_ι 每个 ι ∈ I。对于每个 f ∈ ∏_ι ∈ I X_ι 让 u_f 成为函数 ι = g_ι(f(ι)) (ι ∈ I)的图，这是 ∏_ι ∈ I Y_ι的元素。映射 f → u_f… ↩ 2 03IS
命题 11 设(X_ι)_ι ∈ I、(Y_ι)_ι ∈ I、(Z_ι)_ι ∈ I为集合的三个族，让(g_ι)_ι ∈ I、(g'_ι)_ι ∈ I为函数的两个族，都具有相同的指标集合，使得g_ι为映射X_ι进入Y_ι和g'_ι映射Y_ι进入Z_ι，对于每个ι ∈ I。让g和g'成为家庭中的扩张(g_ι)_ι ∈ I和(g'_ι)_ι ∈ I到乘积。那么家庭的扩张(… 03IT
推论令(Xᵢ)_i∈ I、(Yᵢ)_i∈ I为集合的两个族，并令(gᵢ)_i∈ I为函数的族。如果gᵢ是Xᵢ到Yᵢ的单射（或满射），对于每个i∈ I，则(gᵢ)_i∈ I到乘积的扩张g是单射（或单射）。 ∏_i∈ IXᵢ到∏_i∈ IYᵢ的满射）。 ↩ 1 03IU

§ 6. 等价关系

例关系 x = y 是对称且传递的。关系 X ⊂ Y 是传递性的，但不对称。关系 X ∩ Y = ∅ 对称但不传递。 077S
例 1 关系 x = y 是等价关系，它没有图表，因为如果有的话，该图表的第一个投影将是所有对象中的集合。 03IX
例 2 关系“x = y和x ∈ E”是E上的等价关系，其图形是E × E的对角线。 03SC
例 3 关系“Y 上存在X的双射”是等价关系，它没有图（cf.章III, § 3）。 03TQ
例 4 关系“x ∈ E和y ∈ E”是E上的等价关系，其图为E × E。 03TR
例 5 假设A ⊂ E；然后关系 03TS
例 6 \ 关系“x ∈ Z和y ∈ Z和x - y能被4整除”是等价关系在Z上。\ 03TP
命题 1 对应 Γ 在 X 和 X 之间等价在 X 当且仅当它满足以下条件 : (a) X 是的域 Γ； (b) Γ = overset-1Γ； (c) Γ ∘ Γ = Γ。令Γ为X和X之间的对应，并令G为其图。如果Γ在X上是等价，则(x, x) ∈ G对于所有x ∈ X；因此X是Γ的域。关系 (x, y) ∈ G 相当于 (y, x) ∈ G，因此相当于 (x… ↩ 1 03QH
例 1 令R为等价关系“x ∈ E和y ∈ E和x = y”在集合E上。 x ∈ E的等价类则为集合x，E的典范映射x → x到E/R是双射的。 03SD
例 2 令E、F为两个集合，并令R为与E × F的映射pr₁相关联的E × F到E上的等价关系。等价类相对于R是形式x × F中的集合，其中x ∈ E；映射 x → x × F 是 E 的双射到 (E × F)/R。 03SE
例 1 关系“x ∈ E和y ∈ E和x = y”比E上的每个等价关系为更细。关系“x ∈ E和y ∈ E”比E上的每个等价关系更粗糙。 03SF
例 2 \ 等价关系“x ∈ Z和y ∈ Z和x - y可以被4整除”是更细比等价关系“x ∈ Z和y ∈ Z和x - y可以被2整除”。 \ 03SG
注令Px, x'为关系，其中字母y、y'不出现。如果关系 (Px, x' 和 Rx, y 和 R'x', y') 隐含 Py, y'，则 P 被认为与等价关系 Rx, y 和 R'x', y'（相对于 x 和 x'）“相容的”。设Qu为关系(∃ x)(∃ x')(u = (x, x')和Px, x')；那么，Qu（相对于u）与等价关系、Su, v、乘积、R和R… 03IY

III. Ordered sets, cardinals, integers

§ 1. 序关系。有序集

例 1 等式的关系以及包含在集合上不是序关系，因为关系 x = x 和 X ⊂ X 不是集合化 (章 II, § 1, no. 7)。 03SH
例 2 令Rx,\ y为x和y之间的序关系，并令E为集合，使得x ∈ E蕴含Rx,\ x（注意空集满足条件）。关系“Rx,\ y和x ∈ E和y ∈ E”则E上的序关系，立即得到验证；它在 E (cf. no. 4) 上被 Rx,y 诱发称为序关系。通过滥用语言，短语“E 的元素之间的关系 Sx,\ y 是序关系”经常用来代替“E 上的关系（Sx,\ y 和 x… 03SI
例 3 设E、F为集合。关系“g 扩展 f”是 E 的子集映射集合到 F 上的序关系（f 和 g 之间）。 ↩ 3 03SJ
例 4 在集合E子集集合集合𝔓(𝔓(E))中，令P为E(章II, § 4, no. 7)划分集合。我们记得，如果给定任何Y ∈ varpi'，则存在X ∈ varpi使得Y ⊂ X（章II, § 4, no. 6），划分varpi据说比划分varpi'粗糙。对于E的每个划分varpi，令tildevarpi为E上varpi定义的等价关系图（章II, § 6, no… ↩ 2 03V3
命题 1 对应 Γ 在 E 和 E 之间是对 E 的排序当且仅当其图 G 满足以下条件 : 03JA
例 \ 令 A 为环和单位元素。两个元素x之间的关系(∃ z)(z ∈ A和y = zx)，A的y是A上的预序关系；它被读作“x是y的右除子”或“y是x的左倍数”。 \ 03JB
例 1 设E、F为两个集合，并令Φ(E, F)为E到F中子集的所有映射中的集合。对于每个f ∈ Φ(E, F)，令G_f为f的图，即子集 E × F。如果我们在 f 和 g (no. 1, 例 3) 之间赋予 Φ(E, F) 序关系“g 扩展 f”，则 f → G_f 是有序的同构集合 Φ(E, F) 到 𝔓(E × F) 的子集，按包含顺序排列。 03WB
例 2 对于集合 E 的每个划分 varpi，令 tildevarpi 为由 varpi 在 E 上定义的等价关系的图。映射 varpi → tildevarpi 是集合的同构 E 的划分的 𝔏，在 varpi 和 varpi' 之间按关系“varpi 更细 varpi'”排序（no. 1、例 4）到子集 / 𝔓(E × E)，按包含顺序排列。 03WC
例 3 设 E 为集合，Ω ⊂ 𝔓(E × E) 为 E 上预购图的集合（no. 2）（或者，滥用语言，E 上所有预购的集合）。 s和t之间的序关系s ⊂ t，在Ω上由𝔓(E × E)上包含关系诱导，由说表示“s的预排序是更细” t”（或者“t比s粗糙”）。令x(s)y和x(t)y分别表示E上的预序关系、(x, y) ∈ s和(x, y) ∈ t；那么说 s 比 t… ↩ 1 03WD
定义 1 让E和F被预先排序集合（预序关系，每个都用leqslant表示）。 E 到 F 的映射 f 据说是递增（或顺序保留）如果关系x leqslant y意味着f(x) leqslant f(y)；它是递减（或顺序反转）如果关系x leqslant y意味着f(x) geqslant f(y)。 E 到 F 的映射如果是递增或递减，则被认为是单调的。 03JC
定义 2 设E和F为两个有序集。 E 到 F 的映射 f 据说是严格递增的（或严格保序）如果关系 x < y 意味着 f(x) < f(y)； f 据说是严格递减（或严格顺序颠倒）如果关系 x < y 意味着 f(x) > f(y)。 E 的映射到 F 如果是严格递增的或严格递减，则被认为是严格单调的。 03JD
例 1 令 E 为集合。 𝔓(E)（按包含排序）的映射X → E - X自身为严格递减。 03SK
例 2 令 E 为有序集合。对于每个x ∈ E，令Uₓ为所有y ∈ E中的集合，使得y geqslant x。映射 x → Uₓ 是 E 的严格递减映射进入𝔓(E)（按包含排序）；事实上，关系x leqslant y相当于Uₓ ⊃ U_y。 03SL
命题 2 让 E，E' 为两个有序集，并让u : E → E'和v : E' → E为两个递减映射，这样对于所有x ∈ E和所有x' ∈ E'我们有v(u(x)) geqslant x和u(v(x')) geqslant x'。然后 ↩ 2 03JE
定义 3 令 E 为有序集合。元素 a ∈ E 据说是 E 的最小（或最大）元素如果关系 x leqslant a（或x geqslant a）意味着 x = a。 03JF
例 1 设 A 为集合。在A的非空子集的𝔓(A)（按包含排序）由……组成的子集中，最小元素是单个元素的子集由……组成。 03SM
例 2 E 的子集映射集合 Φ(E, F) 到 F 中（F 非空），在 u 和 v 之间按关系“v 扩展 u”排序，极大元素是整个 E 到 F 的映射。 03SN
例 3 \ 在自然整数 > 1的集合中，在m和n之间按关系“m除n”排序，最小的元素是素数数。 \ 03SO
例 4 \ 实数中的集合没有极大元素也没有最小元素。 \ 03SP
定义 4 令 E 为有序集合。元素 a ∈ E 据说是 E 中最小（分别为最大的）元素如果对于所有 x ∈ E 我们有 a leqslant x（分别为 x leqslant a）。 03JG
例 1 令 𝔖 为集合 E 的子集的集合 𝔓(E) 的非空子集。如果𝔖相对于包含关系有至少（或最大的）元素 A，则A是𝔖的集合的交（或并）。相反，如果𝔖属于的集合的交（或并）到𝔖，则它是𝔖的最小（或最大的）元素。 03SQ
例 2 特别地，∅是𝔓(E)的最小元素和E最大元素。 E入F的子集映射集合Φ(E, F)中，按映射扩张(no. 1，例3)排序，空的映射最少元素，且无最大元素除非 F 由单个元素组成。 E × E的对角线Δ是E上等价关系图（或E上预序的集合）的集合的最小元素。 03SR
命题 3 设 E 是一个有序的集合，并让 E' 是 E 和单个元素的不相交的并和集合a由……组成。那么在 E' 上存在唯一的排序，其中诱导在 E 上给定的排序，并且 a 是 E' 的最大元素。 ↩ 1 03JH
定义 5 令E为预定的集合，令X为E的子集。任何元素x∈ E使得所有y∈ X的x≤ y（或x≥ y）被称为E中X的下界（或上界）。 03JI
定义 6 令E为有序的集合，并令X为E的子集。 E的元素被称为下确界或E中X的下确界（分别为至少上界或上确界），如果它是下限的集合的最大的（或至少）元素 E 中X（或上限）的边界。 03JJ
命题 4 设 E 为有序集合，并令 A 为 E 的子集，其中 E 中既有下确界，且至少有上界。则 inf A leqslant sup A 如果 A ≠ ∅；如果 A = ∅, sup A 是 E 的最小且 inf A 最大元素。 ↩ 1 03JK
命题 5 令 E 为有序集合，并让 A、B 为 E 中的两个子集，其中每个在 E 中至少有上界（分别为下确界）。如果 A ⊂ B，则sup A leqslant sup B（分别为inf A geqslant inf B）。 ↩ 1 03JL
推论设(x_ι)_ι ∈ I是有序集合E的元素族，其中E中至少有上界。如果J是I的子集使得家庭(x_ι)_ι ∈ J在E中至少有上界，我们有suplimits_ι ∈ J x_ι leqslant suplimits_ι ∈ I x_ι。 ↩ 1 03JM
命题 6 让(x_ι)_ι ∈ I，(y_ι)_ι ∈ I成为有序集合E的元素的两个族，由相同的集合I索引，并且使得x_ι leqslant y_ι对于所有ι ∈ I。如果两个家庭在 E 中至少有上界，则 suplimits_ι ∈ I x_ι leqslant suplimits_ι ∈ I y_ι。 03JN
命题 7 让(x_ι)_ι ∈ I成为有序集合E的元素族，并让(J_λ)_λ ∈ L成为指标集合I的覆盖。假设每个亚族(x_ι)_ι ∈ J_λ在E中至少有上界。对于家庭 (x_ι)_ι ∈ I 在 E中至少拥有上界，家庭 ( suplimits_ι ∈ J_λ x_ι )_λ ∈ L 在 E中至少拥有上界是必要且充分的，然后我们有 03JO
推论让(x_λμ)_(λ,\ μ) ∈ L × M成为有序集合E的元素的“双”家族，使得对于每个μ ∈ M家族(x_λμ)_λ ∈ L在E中至少有上界。对于家庭 (x_λμ)_(λ,\ μ) ∈ L × M 在 E 中至少拥有上界，家庭 ( suplimits_λ ∈ L x_λμ )_μ ∈ M 在 E 中至少拥有上界是充分必要的，然后我们有 03JP
命题 8 让(E_ι)_ι∈ I成为有序集的一家人。令 A 为乘积的子集排序集合 E = ∏_ι∈ I E_ι，并令 A_ι = pr_ι A 对于每个 ι ∈ I。对于 A 在 E 中至少有上界对于每个 ι ∈ I、A_ι 在 E_ι 中应该至少有上界，这是必要且充分的，然后我们有 ↩ 1 03QI
例 1 \ 在实数的有序集合E = R中，考虑有理数的子集F = Q和有理数< sqrt2的集合A ⊂ F； sup_E A存在，但sup_F A不存在。 ↩ 1 03SS
例 2 在例 1 的记号中，令G为A的并且集合2；那么G ⊂ F和sup_G A存在，但sup_F A不存在。 03ST
例 3 与记号、sup_E A = sqrt2、sup_G A = 2相同。 \ 03SU
命题 9 设E为E的有序集合，F子集，F的A子集。如果sup_E A和sup_F A都存在，我们有sup_E A leqslant sup_F A。如果sup_E A存在并且属于到F，则sup_F A存在并且等于sup_E A。 03QJ
定义 7 预先排序的集合 E 被认为是右向（或左向）如果 E 的两个元素中的每一个子集都位于上方（相应地位于下方）。 03QK
命题 10 在右向有序集合 E 中，极大元素 a 是 E 的最大元素。 ↩ 3 03QL
定义 8 有序集合 E 如果 E 的两个元素中的每一个子集由……组成在 E 中至少有上界和下确界，则称其为格子。 03QM
例 1 \ 整数 geqslant 1的集合，在m和n之间按关系“m除n”排序，是一个格； m,n 中最小的上界是 l.c.m。 m 和 n，下确界是他们的 h.c.f. 03SV
例 2 群 G 的子群集合按包含排序，是一个格子。 03TT
例 3 集合 A 上的拓扑集合，在T和T'之间按关系“T比T'粗”排序，是一个格。（一般拓扑、章I, § 2）。 03TU
例 4 在R的区间I上定义的所有实值函数的集合𝔉(I,R)是关于序关系fleqslant g（no. 4）的格，因此与乘积Rᴵ同构的。 \ 03TV
注格子显然是左向和右向的。但同时向左和向右的有序集合不一定是格子。 \ 后者的例是R的映射x↦ p(x)的集合自身，其中p是R[X]的多项式，这个集合按关系pleqslant q（no. 4）排序。 \ 03JQ
定义 9 如果关系“xleqslant y 或 yleqslant x”为真，则预定的集合 E 的两个元素 x、y 被认为是可比较的。如果集合 E 是有序的并且E 的任何两个元素是可比较的，则称E 是完全有序的。 E 上的排序称为全排序，相应的序关系总计序关系。 03JR
例 1 全序集的每个子集都通过归纳排序完全排序。 03SW
例 2 令 E 为任意有序的集合。 E 的空子集是全序的，单个元素的 E 由……组成的每个子集也是全序的。 03TW
例 3 \ 实数的集合 R 是完全有序的。 \ 03TX
例 4 如果 A 是集合，并且至少有两个不同的元素，则集合 𝔓(A)（按包含排序）不是全序的，因为如果 x≠ y、子集 x 和 y 不可比较。 03TY
命题 11 全序集 E 的每个严格单调映射 f 到有序集合 F 都是单射的。如果f是严格递增的，则f是 E 到f(E)的同构。 ↩ 5 03JS
命题 12 设 E 为全序集并让 X 为 E 的子集。对于 E 的元素 b 为 E 中 X 的最小上界，必要且充分的是 (1) b 是 X的上界，(2) 对于每个c ∈ E使得c < b，存在x ∈ X使得c < x leqslant b。 03JT
命题 13 在格中，两个区间的交是一个区间。考虑两个闭区间[a, b]和[c, d]的例交，并令α = sup (a, c)，β = inf (b, d)。如果同时有a leqslant x leqslant b和c leqslant x leqslant d，则有α leqslant x leqslant β，反之亦然；如果[a, b]和[c, d]中的α notle… 03JU

§ 2. Well-ordered sets

定义 1 集合 E 如果它是有序的并且如果 E 的每个非空子集都有至少元素，则称它是良序的。 03JY
例 1 设 E = α, β 为集合，其元素不同。容易验证E × E的子集(α, α), (β, β), (α, β)是E上的良序图。 03SX
例 2 良序集的每个子集（特别是空的子集）都通过归纳排序进行了良序排列。 03SY
例 3 \ 非良序的全序集的存在性等价于无穷大公理（§ 4, no. 4，推论1到命题3，以及习题3）。 03SZ
例 4 如果Γ是E上的良序，则仅当E是有限的（§ 4，习题3）时，与Γ相反的排序才是E上的良序。 \ 03T0
例 5 令 E 为良序集。邻接 E 最大元素 b (§ 1, no. 7) 得到的集合 E₁ 是良序的，因为如果 H 是 E₁ 中除 b 以外的任何非空子集，则 H ∩ E 中最小的元素也是最小的H.的元素 03T1
注 \ 作为无穷大公理（§ 6, no. 1）的推论，对于自然整数的例集合N，存在没有最大元素的良序集。 \ 03JZ
定义 2 在 E 的有序集合 E、子集中，关系 x ∈ S、y ∈ E、和 y leqslant x 意味着 y ∈ S 被称为 E 的段。 ↩ 1 03QN
命题 1 在良序集 E 中，除 E 之外的 E 的每个线段本身都是一个区间 ]←, a[，其中 a ∈ E。 ↩ 3 03QO
命题 2 集合 E\ of 段 of 良序集 E 通过包含良序。映射 x → Sₓ 是良序集 E 的同构到 E 的段集合，除了 E 本身。 ↩ 3 03QP
命题 3 让(X_ι)_ι ∈ I成为良序集的一个族，这样对于指标(ι, varkappa)中的每个对集合X_ι，X_varkappa是另一个的一部分。那么集合 E = ⋃_ι ∈ I X_ι 上存在唯一的排序，其中诱导是每个 X_ι 上的给定排序。赋予这个顺序， E 是良序集。 X_ι 的每个段都是 E的段；对于每个 x ∈ X_ι，具有端点 x in X_ι… ↩ 2 03QQ
引理 1 让(X_α)_α ∈ A成为有序集的一个家庭，针对关系⊂（在其他字中，使得对于指标α中的每个对，β都存在指标） γ使得X_α ⊂ X_γ和X_β ⊂ X_γ）。假设，对于指标 (α, β) 中的每个对，使得 X_α ⊂ X_β，在 X_α 上由 X_β 引起的排序与在 X_α上的给定排序相同。在这些条件下，集合 E = ⋃_α ∈ A X_α 存在唯一的… 03QR
引理 2 令E为良序集，并令𝔖为E的段的集合，具有以下性质： (1) 段属于到𝔖的每一个并属于至𝔖； (2) 如果Sₓ∈𝔖，则Sₓ∪x∈𝔖。然后是E属于到𝔖的每一段。 03K0
引理 3 设 E 为集合，让𝔖 为 𝔓(E)的子集，并让 p 为 𝔖 的映射进入 E 使得 p(X) ∉ X 对于所有 X ∈ 𝔖。则存在 E 的子集 M 和 M 上的良序 Γ ，这样，如果 x leqslant y 表示关系 y ∈ Γ⟨ x ⟩ 并且 Sₓ 表示段 ]←, x]， ↩ 3 03K1
定理 1（策梅洛） 每个集合 E 都可以好好排序 ↩ 7 03QS
定义 3 有序集合 E 如果 E 的每个总共有序子集在 E 中有上界，则称其为归纳式。 ↩ 3 03K2
例 1 令𝔉为集合A的子集集合，按包含排序，并且使得对于𝔊属于的集合𝔉并总共有序子集𝔊到𝔉。则𝔉相对于关系⊂可归纳，因为𝔊的集合并是𝔓(A)中𝔊的最小上界。 03T2
例 2 相对于关系⊂归纳的一个重要的子集集合例是集合A的子集映射图集合𝔉到集合 B. 因为𝔉是𝔓(A × B)的子集，并且说𝔉的子集𝔊完全通过包含排序意味着𝔊的元素是映射的图，这样，给定这些映射中的任何两个，一个是另一个的扩张。紧接着，𝔊的集合的并是𝔉的元素（章II, § 4, no. 6，命题7）。因此A入B的子集映射的集合Φ(A, B)相对于u和v之间的序关系“… ↩ 2 03T3
例 3 \ 根据无穷大公理 (§ 6, no. 1)，自然整数的良序集相对于关系 leqslant 不可归纳。 \ 03T4
定理 2（“佐恩的引理”） — 每个订购集合的电感都有极大元素。 ↩ 11 03QT
命题 4 让 E 是一个有序的集合，其中每个良序子集都在上面有界；那么 E 有极大元素. 03K3
推论 1 令 E 为归纳有序集合，并令 a 为 E 的元素。则存在 E 的极大元素 m，使得 m≥ a。 ↩ 2 03K4
推论 2 令 𝔉 为集合 E 的子集的集合，这样，对于 𝔉 的每个子集 𝔊（按包含完全排序），并（分别为交）集合至 𝔊 属于至 𝔉；那么𝔉有一个最大（或最小）元素。 ↩ 1 03K5
定理 3 设E和F为两个良序集。那么以下两个叙述至少有一个为真： ↩ 9 03K6
引理 4 设E、F为两个良序集，并令f、g为E到F中的两个单调递增映射，使得f(E)是F的线段，g为严格递增的；那么 f(x)≤ g(x) 对于所有 x∈ E。 ↩ 1 03K7
推论 1 只有良序集 E 的同构在 E 的一段上才是 E 的恒等映射在其自身上。 ↩ 1 03K8
推论 2 设E、F为两个良序集。如果在 F 的线段 T 上存在 E 的同构 f，并且在 E 的线段 S 上存在 F 的同构 g，则我们必须有 S=E、T=F 和 g,f 互为逆。 03K9
推论 3 良序集 E 的每个子集 A 都同构于 E 的一段。 ↩ 3 03KA

§ 4. 自然整数。有限集合

定义 1 如果 α ≠ α + 1，基数 α 被认为是有限的。有限基数也称为自然整数（如果不存在混淆风险，则简称为整数 [^1]）。如果 Card(E) 是有限基数，则集合 E 被称为有限；然后Card(E)被称为E的元素的数。 ↩ 1 03R9
命题 1 基数α是有限的当且仅当α + 1是有限的。 ↩ 1 03RA
命题 2 令n为整数。那么每个基数α使得α ≤ n是整数。如果n ≠ 0，则存在唯一的整数m，使得n = m + 1，并且关系α < n相当于α ≤ m。 ↩ 11 03RB
推论 1 有限集合中的每个子集都是有限的。 03RC
推论 2 如果 X 是有限集合 E 和 X ≠ E 的子集，则 ↩ 2 03RD
推论 3 如果 f 是有限集合 E 到集合 F 的映射，则 f(E) 是 F 的有限子集。 ↩ 2 03RE
推论 4 设 E 和 F 为两个有限集合，且数与元素相同，并让 f 为 E 的映射入 F。则以下叙述是等价的： ↩ 2 03RF
注有各种判据，经常以“归纳的原理”的名称使用。它们都可以很容易地从 C61 推导出来，我们在这里指出其中最重要的： 077T
命题 3 令 E 为右向预序集合（分别为格子，分别为全序集）。然后 E 的每个非空有限子集都在上方（分别具有至少上界和下确界，分别具有最大元素和至少元素）。 ↩ 3 03L9
推论 1 每个全序有限集合都是良序的并且有最大元素。 ↩ 5 03LA
推论 2 每个有限有序集合都有极大元素。 ↩ 1 03LB
定义 2 令E 为集合。集合 𝔖 of 子集 of E 被认为是有限的特征标，如果关系 X ∈ 𝔖 等价于关系“每有限子集 of X 属于到 𝔖”。 03LC
例 1 有序集合 E 的总共有序子集中的集合是有限的特征标。事实上，E的子集X是全有序的当且仅当两个元素的X由……组成中的每一个子集都是全有序的。 03T9
例 2 \ 模的所有自由子集中的集合是有限的特征标。对于域的扩张的所有代数自由子集的集合也是如此。 03TA
例 3 模E子模集合不是有限的特征标，因为E子模有限子集不一定是E子模。 \ 03TB
定理 1 集合E的子集的每个集合𝔖，其有限特征标都有极大元素（按包含排序时）。 03LD

§ 5. 整数的特性

命题 1 令(aᵢ)_i ∈ I为整数的有限族。那么基数∑_i ∈ I aᵢ和∏_i ∈ I aᵢ是整数。 ↩ 1 03LP
推论 1 并 E 有限族 (Xᵢ)_i ∈ I 有限集合是有限集合。 ↩ 2 03LQ
推论 2 有限集合的有限族中的乘积是有限的集合。 03LR
推论 3 如果a和b为整数，则aᵇ为整数。 03LS
推论 4 有限集合 E 的子集的集合是有限的。 ↩ 1 03LT
命题 2 令a和b为两个整数。那么a < b当且仅当存在整数c > 0使得b = a + c。 ↩ 4 03LU
命题 3 令(aᵢ)_i ∈ I和(b)_i ∈ I为整数的两个有限族，使得aᵢ leqslant bᵢ对应于每个i ∈ I，aᵢ < bᵢ对应于至少一个指标i。然后 ↩ 4 03LV
推论 1 令a、a'和b为整数，使得a < a'和b > 0。然后aᵇ < a'ᵇ. 03LW
推论 2 令a、b和b'为整数，使得a > 1和b < b'；然后aᵇ < a^b'. 03LX
推论 3 令a、b、b'为整数（分别为整数，使得a > 0）。然后a + b = a + b'（或ab = ab'）当且仅当b = b'。 ↩ 2 03LY
推论 4 如果a和b是整数使得a leqslant b，则存在唯一的整数c使得b = a + c。 ↩ 1 03LZ
命题 4 令a和b为整数。那么映射x → a + x就是区间[0, b]到区间[a, a + b]的严格递增同构，而y → y - a就是逆同构。 ↩ 1 03M0
命题 5 如果a和b是整数使得a leqslant b，那么区间[a, b]是一个有限的集合，其元素的数是b - a + 1。 ↩ 3 03M1
命题 6 对于每个有限的集合 E ，它是全序的并且有 n 元素 (n geqslant 1)，在区间 [1, n] 上存在一个唯一的同构 E 。 ↩ 3 03M2
命题 7 对于非空集合 E 的子集 A、B 中的每个对，我们有 03M3
定理 1 设a和b为整数，使得b > 0。则存在整数 q 和 r，使得 a = bq + r 和 r < b，并且整数 q 和 r 由这些条件唯一确定。 ↩ 2 03M4
定义 1 当记号等于定理1时，r称为a除以b的余数。如果r = 0，我们说a是b的倍数，或者a可以被b整除，或者b是a的除子，或者b除a，或者b是a的因子。数 q 称为 a 除以 b 的商，并用 dfracab 或 a/b 表示。 03M5
命题 8 令b为整数>1。对于每个整数k>0，令Eₖ为与[0,b-1]相同的区间系列(Jₕ)_0≤ h≤ k-1的字典乘积（§ 2, no. 6）。对于每个r=(r₀,r₁,…,rₖ₋₁)∈ Eₖ，让 ↩ 1 03M6
命题 9 让 E 和 F 成为两个集合， 𝔞 和 𝔟 他们的基数， f 将 E 投射到 F 使得集合 overset-1f(y)，其中 y ∈ F，都具有相同的基数 𝔠。然后𝔞 = 𝔟𝔠。 ↩ 3 03M7
定义 2 设 n 为整数。乘积 ∏_i < n (i + 1) 表示为 n!（读为“阶乘n”）。 03M8
命题 10 设m和n为整数，使得m leqslant n。则 n!/(n - m)! 是集合 A 和 m 元素的单射映射数到集合 B 和 n 元素. 03M9
推论有限集合的置换的数且 n 元素等于 n!. ↩ 1 03MA
命题 11 让 E 是一个有限的集合，n为元素，并让(pᵢ)_1 leqslant i leqslant h为整数的有限序列，使得∑ᵢ₌₁ʰ pᵢ = n。然后数覆盖物 (Xᵢ)_1 leqslant i leqslant h 的 E 相互不相交的集合 Xᵢ 使得 Card (Xᵢ) = pᵢ 对于 1 leqslant i leqslant h 等于 ↩ 1 03MB
推论 1 设 A 为集合，n 元素，并令 p 为整数 leqslant n。那么 A 的子集的数有p元素是dfracn!p!(n-p)!。 ↩ 2 03MC
推论 2 设E和F分别是全序有限集合和p和n元素。那么 E 的严格递增的映射的数变成 F 是 binomnp。 03RG
命题 12 对于每个整数 n，我们有 03RH
命题 13 如果 n 和 p 是整数，那么 ↩ 2 03RI
命题 14 设n为整数> 0。然后数aₙ（分别bₙ）有序对(i, j)整数使得1 leqslant i leqslant j leqslant n（分别1 leqslant i < j leqslant n）是1/2n(n+1)（（分别1/2n(n-1)））。 03RJ
推论对于每个整数 n > 0，我们有 ↩ 1 03RK
命题 15 设n和h为整数，并让E 为集合以及h元素。那么 E 的映射 u的数进入[0, n]使得∑_x ∈ E u(x) leqslant n（分别∑_x ∈ E u(x) = n，对于h > 0）是 ↩ 1 03RL

§ 6. 无限集合

定义 1 集合如果不是有限的就说是无限的。 03MV
定理 1 关系“x是整数”是集合化。 ↩ 1 03MW
定义 2 序列（集合E 元素序列）是一个家庭（分别E 元素家庭）其指标集合为子集 N。如果指标集合是N的无限子集，则称序列是无限的。 03MX
例 1 假设a是集合E的元素，Su是项g(u)，其中g是E自身[^3]的映射。然后归纳立即在n上看到，对于所有n ∈ N，我们有f(n) ∈ E；因而，f是N的映射到E，这样对于所有整数n，f(0) = a和f(n+1) = g(f(n))。 03TC
例 2 令X为集合，并令E为X的映射的集合自身。令e将X的恒等映射表示为自身，并令f为E的任意元素。将Su视为项f ∘ u[^4]。通过应用 C63，我们看到E中存在N的唯一映射，用n → fⁿ表示，这样f⁰ = e和fⁿ⁺¹ = f ∘ fⁿ。映射 fⁿ 被称为映射 f 的n 次迭代。 03TD
例 3 如果我们取Su为项𝔓(u)，a为集合E，则同样存在N到集合的映射，记为n → 𝔓ⁿ(E)。 V(E)，使得每个整数n都有𝔓⁰(E) = E、𝔓¹(E) = 𝔓(E)和𝔓ⁿ⁺¹(E) = 𝔓(𝔓ⁿ(E))。 03TE
注令E为集合，令A为E的子集，令g为A到E的映射，令a为A的元素。取Su为项g(u)。准则 C63 适用并证明N的映射f存在于集合V上，使得对于每个整数n，f(0) = a和f(n + 1) = g(f(n))。可能会发生V ⊂ A；如果不是，则令p为最大的整数，使得f([0, p]) ⊂ A。然后是f(p + 1) = g(p) ∉ A，g(g(p))就是项… 03MY
定理 2 对于每个无限基数𝔞，我们有𝔞² = 𝔞。 ↩ 6 03MZ
引理 1 每个无限集合 E 包含集合等价于 N。 ↩ 2 03N0
引理 2 集合 N × N 相当于 N。 03N1
推论 1 如果 𝔞 是无限基数，则 𝔞ⁿ = 𝔞 对于每个整数 n geqslant 1。 ↩ 1 03N2
推论 2 非零基数有限族(𝔞ᵢ)_i ∈ I的乘积，其中最大的是无限基数𝔞，等于𝔞。 03N3
推论 3 设 𝔞 为无限基数，(𝔞_ι)_ι ∈ I 为leqslant 𝔞 基数家族，其中指标集合 I 有一个基数 leqslant 𝔞。然后∑limits_ι ∈ I 𝔞_ι leqslant 𝔞；如果 𝔞_ι = 𝔞 至少有一个指标 ι ∈ I，则 ∑limits_ι ∈ I 𝔞_ι = 𝔞。 ↩ 4 03N4
推论 4 如果 𝔞 和 𝔟 是两个非零基数，其中之一是无穷大，则我们有 𝔞𝔟 = 𝔞 + 𝔟 = sup (𝔞, 𝔟)。 ↩ 3 03N5
定义 3 如果集合与集合N等价于子集或整数，则称其为可数。 03N6
命题 1 可数集合中的每个子集都是可数的。可数集有限族中的乘积是可数的。可数集序列并是可数的。 03N7
命题 2 每个可数无限集合 E 等价于 N。 03N8
命题 3 每个无限集合有划分 (X_ι)_ι ∈ I 由可数无限集合 X_ι、指标集合 I 等价于 E。 ↩ 2 03N9
命题 4 让f成为集合E的映射到无限集合F，这样，对于每个y ∈ F，overset-1f(y)都是可数的。那么 F 等价于 E。 03NA
命题 5 集合 𝔉(E) 无限集合 E 有限子集等价于 E。 03NB
定义 4 如果集合与 N的所有子集中的集合等价，则称其具有连续统的幂。 03NC
定义 5 序列 (xₙ)_n ∈ N 元素集合 E 如果存在整数 m 这样 xₙ = xₘ 对于所有整数 n geqslant m，则称其为平稳。 03ND
命题 6 令 E 为有序集合。那么下面的叙述是等价的： ↩ 4 03NE
推论 1 全序集 E 是良序的当且仅当 E 的元素的每个递减序列都是平稳的。 03NF
推论 2 有限有序集合的元素的每个递增序列都是平稳的。 03NG
命题 7（“诺特归纳中的原理”） — 令 E 为诺特集合，并令 F 为 E 的子集，并具有以下性质：如果 a ∈ E 使得关系 x > a 意味着 x ∈ F，则 a ∈ F。在这些条件下， F = E。 03RM

§ 7. 逆极限和直极限

例 1 假设I上的序关系是等式的关系。那么唯一的对(α,β)使得α≤β是对(α,α)，其中α∈ I；并且由于 f_αα 是恒等映射，因此所有 x∈ G 都满足关系 (1)；在其他字中，undersetlongleftarrowlim E_α则为乘积 ∏_α∈ IE_α。 ↩ 1 03TF
例 2 假设I是右向的，E_α对于所有α∈ I来说都是相同的集合F，并且只要α≤β，f_αβ就是F的恒等映射到自身上。那么E=undersetlongleftarrowlim E_α就是乘积∏_α∈ IE_α=Fᴵ的对角的Δ。事实上，很明显每个 x∈Δ 都满足关系 (1)。相反，让x是E的元素，并让我们证明对于指标(α, β)的每个对，我们有pr_α x = pr_… ↩ 1 03TG
命题 1 令 I 为有序集合，令 (E_α, f_αβ) 为集合相对于 I的逆系，让 E = varprojlim E_α 为其逆极限，并且对于每个 α ∈ I 令 ↩ 4 03OC
推论 1 令(E_α, f_αβ)和(F_α, g_αβ)为集合中的两个逆系相对于相同的指标集合I；让 E = varprojlim E_α，F = varprojlim F_α，并让 f_α （分别 g_α）为 E 到 E_α （分别为 F 到 F_α）的典范映射，对于每个 α ∈ I，对于每个 α ∈ I，让u_α成为E的映射进入F_α使得图表 03RN
推论 2 令(E_α,f_αβ)、(F_α,g_αβ)、(G_α,h_αβ)为集合的三个逆系相对于相同的指标集合I；令E=underset←lim E_α、F=underset←lim F_α、G=underset←lim G_α，并让f_α（分别g_α,h_α）成为E（分别F,G）的典范映射到E_α（分别F_α,G_α）。如果(u_α)和(v_α)是两个映射的逆系、… ↩ 1 03RO
命题 2 令(E_α,f_αβ)和(E'_α,f'_αβ)为集合相对于I的两个逆系，并令u_α为每个α∈ I的E_α到E'_α的映射，这样u_α形式逆系映射。让u=underset←lim u_α。然后对于每个x'=(x'_α)∈ E'=underset←lim E'_α，bar u_α⁻¹(x'_α)形式，E_α和bar u⁻¹(x')=underset←lim b… ↩ 2 03RP
推论如果u_α是单射（或双射的）对于每个α ∈ I，则u是单射（或双射的）。 03OD
命题 3 令I为预定的集合，令(E_α, f_αβ)为集合相对于I的逆系，并令E = varprojlim E_α。令J为I的共尾子集，使得J右向，并令E'为通过限制指标从(E_α, f_αβ)获得的集合的逆系的逆极限集合至 J。那么 E 的典范映射 g 到 E' (no. 1, 公式 (3)) 是双射。 03OE
注 1 对于每个α ∈ I，放入E'_α = f_α(E)。那么根据(2)，E_α的集合E'_α形式子集的逆系，立即可知varprojlim E'_α = E = varprojlim E_α。映射f'_αβ : E'_β → E'_α（其中α leqslant β），其图与f_αβ到E_β的限制的图相同，是满射，我们有 03TH
注 2 令I为（右）定向有序集合，令(E_α, f_αβ)为集合相对于I的逆系，对于每个α ∈ I令u_α : F → E_α为映射，使得该族(u_α) 满足公式 (5)。考虑逆系(F_α, i_αβ)由I索引，其中F_α = F对于所有α ∈ I和i_αβ是F的恒等映射。然后（no. 1，例2）F被规范地标识为varprojlim F_α。如果我们将u_α视为F_… 03TI
注 3 令I为有序集合，并令(E_α, f_αβ)为集合相对于I的逆系。对于I的每个有限子集 J，令F_J为通过将指标集合限制为J而从(E_α, f_αβ)获得的（有限）逆系的逆极限。如果J和K是以下任意两个有限子集 I使得J ⊂ K，让g_JK表示F_K的典范映射（3）到F_J。那么关系 (4) 表明 (F_J, g_JK) 是集合相对于有限子集的定向集合（相对… 03TJ
命题 4 如果 (E^λ_α, f^λμ_αβ) 是集合的逆系相对于乘积 I × L 预购的集合，那么（直到规范的双射）我们有 ↩ 2 03OF
推论 1 设(E'^λ_α, f'^μλ_αβ)为集合的另一个逆系相对于I × L，并且对于每个(α, λ) ∈ I × L让u^λ_α为E^λ_α的映射到 E'^λ_α使得u^λ_α形式逆系等于映射。然后 03OG
推论 2 设(E^λ_α, f^λ_αβ)_λ ∈ L是逆系与集合相对于I的家庭。如果 ∏_λ ∈ L f^λ_αβ 表示扩张至乘积 (章 II, § 5, no. 7, 定义 2) 属于映射 (f^λ_αβ)_λ ∈ L 的家族，则 ( ∏_λ ∈ L E^λ_α, ∏_λ ∈ L f^λ_αβ ) 是集合相对于 I的逆系，并且（直到规范的双射）我们有 ↩ 1 03OH
命题 5 设(E_α, f_αβ)是集合的逆系，相对于一个有向集合I，它有一个可数共尾子集，并进一步假设f_αβ是满射的。然后，如果 E = varprojlim E_α，典范映射 f_α : E → E_α 对于每个 α ∈ I 都是满射（并且，更不必说， E 不为空，前提是 E_α 都不为空）。 03OI
定理 1 假设I是有向的，集合𝔖_α满足条件(i)和(ii)，并且逆系(E_α, f_αβ)具有以下属性： ↩ 2 03RQ
注假设定理 1 中的条件 (iii) 被以下较弱的条件替换： 03OJ
例 1 如果E_α是有限集合，则可以通过将𝔖_α取为E_α的所有子集的集合来应用定理1。 \ 这个例在一般拓扑中被推广到其中E_α是紧凑拓扑空间、f_αβ连续映射、以及封闭子集的𝔖_α集合的情况E_α（一般拓扑、章I, § 9, no. 6）。 \ 03TK
例 2 \ 设 A 为环和单位元素，对于每个 α ∈ I，令 T_α 为阿廷的左A-模。令E_α为T_α的同质空间，T_α忠实地在其上运行（因此E_α是附加到T_α的仿射空间）。对于 β geqslant α，假设 f_αβ : E_β → E_α 是仿射映射。取𝔖_α为空集的集合由……组成以及E_α中的仿射线性簇。那么条件 (i) 是平凡满足的，并且 (ii)… 03TL
例 1 设A，B为两个集合，并令(V_α)_α ∈ I为A的子集族，其指标集合I是有向的，并且使得关系α leqslant β蕴涵V_β ⊂ V_α。让E_α表示B中V_α的所有映射的集合，并且对于指标(α, β)的每个对，使得α leqslant β让f_βα成为E_α的映射进入E_β 将每个函数 u ∈ E_α 发送到其限制到 V_β。显然，条件(LI_I)… 03TM
例 2 假设对于每个 α ∈ I，E_α 都是相同的集合 F，并且无论何时 α leqslant β，f_βα 都是 F 自身的恒等映射。那么存在varinjlim E_α到F的规范双射。在序到定义varinjlim E_α，我们必须形式集合G，这是(E_α)族的和；因此，G 是相互不相交的集合的(G_α)族的并，并且对于每个α ∈ I，都有一个规范的双射h_α… ↩ 1 03TN
引理 1 设(E_α, f_βα)为集合的直接系统，E = varinjlim E_α其直极限，并且对于每个α ∈ I让f_α colon E_α → E典范映射。 ↩ 11 03OK
命题 6 设I为有向集合，让(E_α, f_βα)为集合相对于I的直接系统，让E = varinjlim E_α为直极限，并且对于每个α ∈ I让 ↩ 8 03RR
注假设映射 f_βα 中的每一个都是内射。那么每个f_α都是单射的，通过关系R的定义。在这种情况下，我们通常认同E_α和f_α(E_α)，因此将E视为E_α的并。相反，令(F_α)_α ∈ I为集合F的子集的递增族，并假设F是该族的并。如果j_βα将F_α的典范嵌入表示为α leqslant β的F_β，那么从命题6可以得出认同F与F_α家族的直极限F关于映射… ↩ 1 03OL
推论 1 令(E_α, f_βα)和(F_α, g_βα)为集合中的两个直接系统相对于相同的指标集合I；让 E = varinjlim E_α，F = varinjlim F_α，并且对于每个 α ∈ I 让 f_α（分别 g_α）成为 E_α（分别 F_α）的典范映射进入 E（分别 F）。对于每个 α ∈ I 让 u_α 成为 E_α 的映射进入 F_α 这样… 03RS
推论 2 令(E_α, f_βα)、(F_α, g_βα)、(G_α, h_βα)为集合相对于I的三个直接系统。令 E = varinjlim E_α、F = varinjlim F_α、G = varinjlim G_α、并令 f_α （分别 g_α、h_α）为 E_α （分别 F_α、G_α）的典范映射 E （分别 F、G）。如果(u_α)和(v_α)是映射u_… ↩ 1 03RT
命题 7 令(E_α, f_βα)和(E'_α, f'_βα)为集合的两个直接系统相对于I，并且对于每个α ∈ I让u_α为E_α的映射到 E'_α使得映射的u_α形式直接系统。让u = varinjlim u_α。如果每个 u_α 是单射（或满射）则 u 是单射（或满射）。 ↩ 1 03RU
推论设(E_α, f_βα)和(E'_α, f'_βα)为集合之二直接系统，令(u_α)为映射u_α : E_α → E'_α直接系统，且令u = varinjlim u_α。 ↩ 1 03ON
注假设对于每个 α ∈ I，u_α : E_α → E' 是映射，使得族 (u_α) 满足 (23)。考虑直接系统(E_α, i_βα)相对于I，其中E'_α = E'代表所有α ∈ I，i_βα是E'的恒等映射。那么(no. 5,例2)E'可以与varinjlim E'_α规范地识别。如果u_α被认为是E_α的映射进入E'_α，则(u_α)是映射的直接系统，… 03OO
命题 8 设I为有向集合，让(E_α, f_βα)为集合相对于I的直接系统，并让E = varinjlim E_α为其直极限。令 J 为 I 的共尾子集，并令 E′ 为从 (E_α, f_βα) 通过限制指标集合至 J 获得的集合直接系统的直极限。则典范映射 g 的 E′ 到 E 是双射的。 03OP
命题 9 如果 (E_α^λ, f_βα^μλ) 是集合的直接系统相对于乘积 I × L 两个有向集合，那么（直到规范的双射）我们有 03RV
推论令(E'^λ_α, f'^μλ_βα)成为集合的另一个直接系统相对于I × L，并且对于每个(α, λ) ∈ I × L让u_α^λ成为E_α^λ的映射到E'^λ_α，使得 u_α^λ 形式直接系统共映射。然后我们有 03OQ
命题 10 令(E_α, f_βα)和(E'_α, f'_βα)为集合中的两个直接系统，两者都相对于相同的有向集合I。让 E = varinjlim E_α、E' = varinjlim E'_α、并让 f_α : E_α → E, f'_α : E'_α → E' 表示典范映射，对于每个 α ∈ I。那么(E_α × E'_α, f_βα × f'_βα)是集合的… ↩ 1 03RW
推论设(F_α, g_βα)和(F'_α, g'_βα)为集合的两个直接系统相对于I，并且对于每个α ∈ I让u_α : E_α → F_α，u'_α : E'_α → F'_α为映射使得(u_α)和 (u'_α) 是映射中的两个直接系统。那么 (u_α × u'_α) 是映射的直接系统，并且（直到规范的双射）我们有 03RX

IV. Structures

§ 1. 结构和同构

例给定两个集合 E、F，集合 𝔓(𝔓(E)) × 𝔓(F) 是 E、F 上的一个梯队，其中概形 03V4
例 1 取T为集合论，并考虑没有辅助基集合的结构种，一个主基集合A，典型的刻画s ∈ 𝔓(A × A)，以及公理 ↩ 2 03V5
例 2 取T为集合论，并考虑结构种没有辅助基集合，一个主基集合A，典型的刻画F ∈ 𝔓((A × A) × A)，并且作为可传输公理关系 “F 是一个函数图，其定义域为 A × A”。这个类的结构是所谓的代数结构的特殊情况，而函数其图是F（A × A到A的映射）被称为the（处处定义）内部这样结构的合成律。 ↩ 3 03V6
例 3 作为之前，令T为集合论，并考虑结构种，它没有辅助基集合，一个主基集合A，典型的刻画 V ∈ 𝔓(𝔓(A))，并且作为公理，可运输关系 ↩ 5 03V7
例 4 \ 将T作为环结构除法的类的理论，它有（除其他外）一个常数K作为唯一（主）基集合。左向量空间之上 K 的结构类有K作为辅助基集合，主要基集合E，以及典型的刻画关系 ↩ 1 03V8
例 5 再次令T为集合论；在这个理论中，复数的域C是项，其中包含没有字母。维数 n 的复杂解析流形的结构类有C作为辅助基集合，以及一个主基集合 V。我们不会在这里指出典型的刻画或类或结构的公理。 \ 03V9
注 1 在应用中，经常出现这样的情况（如上面的例 4），梯队S(E₁, …, Eₙ, A₁, …, Aₘ)是阶梯的乘积 03VA
注 2 命名为数学中最常用的结构种，以及赋予这些类中的结构的集合。因此，有序的集合 (章 III, § 1) 是集合赋予序结构 (例 1)； \ 在本级数后面的书中，我们将群、域、拓扑空间、可微流形等定义概念等，所有这些都表示集合被赋予了一定的性质。结构。 \ 03VB
注 3 通过滥用语言，在集合论T中，给出n不同的字母x₁, …, xₙ（没有典型的刻画也没有公理）被认为是结构Σ₀的类，称为集合的结构在n本金基集合x₁, …, xₙ。 ↩ 1 03VC
注通过滥用语言，如果fᵢ是Eᵢ到E'ᵢ(1 leqslant i leqslant n)的任何双射，则相对于类，(f₁, …, fₙ)被称为是E₁, …, Eₙ到E'₁, …, E'ₙ的同构结构共集合（no. 4、注 3）。 03VD
例 1 \ 拓扑群结构的类具有单一主体基集合A，没有辅助基集合，相应的通用结构是对(s₁,s₂) （s₁为A上合成律的图，以及A拓扑中开集合s₂集合；cf.通用拓扑，章III, § 1）。项s₁,s₂中的每一个都是演绎的过程，并分别提供拓扑群结构(s₁,s₂)底层的群结构和拓扑。 03VE
例 2 超过C（或R）的向量空间结构的类，其本金基集合E，辅助基集合等于C（分别为R），以及典型的刻画 03VF
例 3 假设Θ与Σ具有相同的（主要和辅助）基集合，以及相同的典型刻画。 If, moreover, the axiom of Σ implies (in T) the axiom of Θ, it is clear that the term s is a procedure of deduction of a structure of species Θ from… 03VG
例 4 \ 当Σ和Θ中的每一个是群结构（或环结构）的类时，在代数中定义了演绎的过程，它与每个群结构（或环结构）群结构相关联（分别为环结构）在其中心上。当Σ在域K上是向量空间结构的类时，以及当Θ在K上是代数结构的类时，存在演绎的定义过程，其关联每个向量空间超过K，其张量代数或其外部代数。稍后我们将在这个级数中遇到许多其他例。 \ 077U
注当P是“q元组”(P₁,…,P_q)时，还可以说项P₁,…,P_q从类Σ的结构构成类Θ的结构的演绎的过程。 03VH
例 1 \ 令 Σ 为可交换的群结构的类； Σ有一个（主）基集合A，其通用结构由单个字母F组成； Σ的典型刻画是F∈𝔓((A× A)× A)，我们用RA,F表示Σ的公理。该公理特别意味着F是函数的图（群的“合成的律”；cf.no. 4，例2）。在理论T_Σ（其中T表示集合论）中，我们定义项MA,F是𝔓((Z× A)× A)中的函数图，并且满足以下关系BM,A,F： 03VI
例 2 令Σ为拓扑结构（no. 4，例3）的类，令A为（主）基集合，令V为Σ的泛型结构。考虑关系 03VJ

§ 2. 态射和导出结构

例 1 取Σ为序结构中的类，并让σx,y,s,t表示x的所有映射f到y的集合，这样关系(u,v)∈ s意味着(f(u),f(v))∈ t。当记号为章III, § 1时，这意味着u leqslant v蕴含f(u) leqslant f(v)，即f是递增。公理(MO_I)、(MO_II)、(MO_III)的验证是显而易见的。 03VL
例 2 将 Σ 视为代数结构的类，它具有合成的单个（内部）律，在任何地方都有定义（§1, no. 4，例 2）。设A、A'为赋予类Σ的结构的两个集合，并令p、p'为这两个结构的合成律。考虑将 A 的映射 f 转换为 A'，使得 p'(f(x), f(y)) = f(p(x,\ y)) 对于所有 x ∈ A 和所有 y ∈ A。这些映射满足(MO_I)、(MO_II)… ↩ 1 03VM
例 3 取Σ为拓扑结构的类（§1, no. 4，例3）。设A、A'为两个集合，分别赋予拓扑V、V'。考虑将 A 的映射 f 转换为 A'，使得关系 X' ∈ V' 蕴含 overset-1f(X') ∈ V（在其他字中，使得拓扑中每个开路集合的逆像 V'是拓扑V中的开放集合）。这些映射，其中满足(MO_I)、(MO_II)和(MO_III)，是A到A'的连续映射（相… ↩ 2 03VN
注对于给定的结构种Σ，我们可能有机会定义各种项σ x,\ y,\ s,\ t ，其中满足条件(MO_I)、(MO_II)和(MO_III)。对于例，如果Σ是拓扑结构的类，并且上面的例3的记号，则A到A'的映射f被称为“开”，如果关系X ∈ V暗示f(X) ∈ V'（在其他字中，如果每个开集合的f下的像都是开集合）。很容易检查到，类Σ的开放映射还有满足条件(MO… 03VO
注当结构种Σ有多个主基集合x₁, …, xₙ和辅助基集合A₁, …, Aₘ时，σ态射为系统(f₁, …, fₙ)，其中fᵢ 是 xᵢ 的映射变成 yᵢ (1 leqslant i leqslant n)，这些映射满足条件的系统类似于 (MO_II) 和 (MO_III)，读者可以很容易地指出他自己。 03VP
例 1 An order structure with graph s on a set A is finer than an order structure with graph s' if and only if s ⊂ s'. 在其他字中，关系x leqslant y相对于s意味着x leqslant y相对于s'；这与章 III, § 1, no. 4、例… 03VQ
例 2 考虑集合 A 上相同类 Σ 的两个代数结构 F、F'，其中 F 和 F' 是这两个结构的合成的（到处定义的）律的图。在这种情况下，从态射的定义（no. 1，例2），F是更细比F'当且仅当F ⊂ F'。但由于 F 和 F' 都是具有相同域 A × A 的函数图，因此我们必须有 F = F'。在其他字中，类Σ中的两个可比较结构必然相同。 ↩ 1 03VR
例 3 令 V、V' 为同一集合 A 上的两个拓扑。说 V 比 V' 更细意味着，在这种情况下 (no. 1, 例 3)，凭借态射的定义， V' ⊂ V；在其他字中，A的每个子集在拓扑V'中是开集合，也是拓扑V中的开集合（因此，更细拓扑，越开集合有）。 03VS
注我们刚刚遇到了例 (例 2)，其中相同类 Σ 的两个可比较的结构必然是相同的。还有许多其他这样的例：线性序结构，\紧凑拓扑，Fréchet空间结构（态射是连续的线性映射），由除法环上的绝对值（或评估）定义的拓扑，等等。\ 03VT
注设(S_λ)_λ ∈ L是类Σ在相同集合A上的结构家族；令A_λ表示集合A赋予结构S_λ，令I_λ表示将A的恒等映射赋予A_λ。设 B 为乘积集合 A^L = ∏_λ ∈ L A_λ，并令 Δ 为该乘积 (章 II, § 5, no. 3) 的对角线。令 h 为 A 到 Δ 的对角线映射，使得 h(x) 为元素 (x_λ)_λ ∈ L，这样对于所有 λ ∈… 03VU
注对于大多数常见的结构，CST16中给出的条件不仅是足够的，而且对于f成为态射（cf.习题7）来说也是必要的。特别是在以下情况下（对于例，如果Σ是序结构的类，\或群结构的类，或者拓扑结构的类等； cf. 习题 8) : 03VV
注令A为集合赋予类Σ的结构S，并令R为A上的等价关系，使得E=A/R上存在R与S的商结构S'。令φ是A到E的典范映射。一般来说，不存在φ(章II, § 3, no. 8)的截面s，即E到A的态射。让我们假设这样的截面s存在，并且而且s(E)上存在由S诱发的结构S''。然后，如果 j 表示 s(E) 的典范嵌入到 A 中，并且如果 s=j∘ f，则双射 f 是… 03VW