Bourbaki

Quyển E · Tiếng Việt

Chỉ mục mệnh đề

381 mệnh đề của Lý thuyết tập hợp, theo chương và mục. Chọn một loại, lọc theo từ, hoặc xếp những mệnh đề được trích dẫn nhiều nhất lên đầu.

I. Description of formal mathematics

§ 1. Thuật ngữ và quan hệ

  • Ví dụ 1 Dãy ký hiệu ∨ 1 được biểu diễn bởi ⇒. 03P0
  • Ví dụ 2 Các ký hiệu sau đây biểu diễn các dãy ký hiệu (và hơn nữa là những dãy rất dài): 03P1
  • Ví dụ Ký hiệu τₓ(∈ xy) biểu diễn cấu tạo 03RY
  • Ví dụ Nếu ta thay thế x bởi square ở mọi nơi x xuất hiện trong hệ thức ∨∈ xy=xx, ta thu được hệ thức ∨∈square y=squaresquare. 03TO
  • Nhận xét Khi một ký hiệu viết tắt Σ được đưa vào, bằng một định nghĩa, để biểu diễn một cấu tạo nào đó, quy ước (thường là ngầm hiểu) được đặt ra là biểu diễn cấu tạo thu được bằng cách tha… 03P2
  • Ví dụ Trong lý thuyết tập hợp, trong đó ∈ là một dấu quan hệ có trọng số 2, dãy ký hiệu sau là một phép dựng kiến tạo: 077Q
  • Nhận xét Về trực giác, các thuật ngữ là các dãy ký hiệu biểu diễn các đối tượng, và các quan hệ là các dãy ký hiệu biểu diễn các mệnh đề có thể được phát biểu về các đối tượng này. Điều kiệ… 077R
  • Ví dụ Các ký hiệu ∅, N, “đường thẳng thực”, “hàm Γ”, f∘ g biểu diễn các số hạng. Các ký hiệu π=sqrt2+sqrt3, 1∈2, “mọi vành chia hữu hạn là một trường”, “các không điểm của ζ(s) khác với… 0E3Y

§ 2. Các định lý

  • Nhận xét Dưới các giả thiết của C5, nếu lý thuyết T hóa ra là mâu thuẫn, thì điều đó cũng sẽ đúng với T'. Vì nếu A và "không phải A" là các định lý trong T, thì (T₁|a₁) … (Tₕ|aₕ)A và not(T₁… 03G7

§ 5. Các lý thuyết bình đẳng

App. 0. Characterization of terms and relations

  • Mệnh đề 1 Nếu A₁, A₂, ..., Aₚ là p từ có nghĩa và f là một dấu có trọng số p, thì từ f A₁ A₂ … Aₚ là có nghĩa. ↩ 1 03P6
  • Mệnh đề 2 Một từ là có ý nghĩa khi và chỉ khi nó cân bằng. ↩ 1 03P7
  • Bổ đề 1 Một từ A là cân bằng. Khi đó với mỗi số nguyên k sao cho 0 leqslant k < l(A) tồn tại duy nhất một đoạn cân bằng S của A bắt đầu tại vị trí thứ (k + 1). ↩ 1 03P8
  • Bổ đề 2 Mọi từ cân bằng A có thể được viết dưới dạng 03GT
  • Hệ quả 1 Cho A là một từ có ý nghĩa. Với mỗi số nguyên k sao cho 0≤ k<l(A) có đúng một đoạn có ý nghĩa của A bắt đầu ở vị trí thứ (k+1). 03GU
  • Hệ quả 2 Mọi từ có ý nghĩa đều có thể được viết theo đúng một cách dưới dạng fA₁A₂… Aₚ, trong đó các Aᵢ là có ý nghĩa và n(f)=p. ↩ 2 03GV
  • Nhận xét Ngoại trừ trong một số lý thuyết toán học đặc biệt yếu về các tiên đề (xem Bài tập 7), ta không có một thủ tục tổng quát nào thuộc loại này cho phép kiểm tra xem một quan hệ R đã c… 03GW

II. Theory of sets

§ 1. Các quan hệ xác định tập

  • Định nghĩa 1 Quan hệ được ký hiệu bởi (∀ z)((z ∈ x) ⇒ (z ∈ y)), trong đó chỉ các chữ cái x và y xuất hiện, được viết theo một trong các cách sau đây : x ⊂ y, y ⊃ x, "x được chứa trong y", "y ch… ↩ 1 03H5
  • Mệnh đề 1 x ⊂ x. 03P9
  • Mệnh đề 2 (x ⊂ y và y ⊂ z) ⇒ (x ⊂ z). 03PA
  • Ví dụ 1 Quan hệ x ∈ y rõ ràng là xác định tập theo x. 03RZ
  • Ví dụ 2 Quan hệ x ≠ x không xác định tập theo x; nói cách khác, (not Collₓ(x ≠ x)) là một định lý. Ta lập luận bằng phản chứng và giả sử rằng x ≠ x là xác định tập. Gọi a là một hằng phụ t… 03S0
  • Định nghĩa 2 Tập hợp E_z (z = x hoặc z = y), có các phần tử duy nhất là x và y, được ký hiệu bởi x, y. 03H6
  • Nhận xét Cho R là một quan hệ xác định tập theo x, và cho S là một quan hệ sao cho (∀ x)(S ⇒ R) là một định lý. Khi đó S xác định tập theo x; vì R tương đương với x ∈ Eₓ(R), do đó 03H7
  • Định nghĩa 3 Cho A là một tập con của một tập hợp X. Tập hợp các phần tử của X không thuộc A, nghĩa là tập hợp Ex (x ∉ A và x ∈ X), được gọi là phần bù của A trong X, và được ký hiệu bởi comple… 03H8
  • Định lý 1 Quan hệ (∀ x)(x ∉ X) là phiếm hàm trong X. 03H9
  • Nhận xét Không tồn tại tập hợp nào mà mọi đối tượng đều là phần tử của nó; nói cách khác, "not (∃ X)(∀ x)(x ∈ X)" là một định lý. Bởi vì nếu có một tập hợp như vậy, thì theo C52 mọi quan hệ… 03PB

§ 2. Các cặp có thứ tự

  • Định lý 1 Quan hệ 03PC
  • Định nghĩa 1 Cho hai tập hợp X và Y, tập hợp 03PD
  • Mệnh đề 1 Nếu A', B' là các tập hợp không rỗng, quan hệ A' × B' ⊂ A × B tương đương với "A' ⊂ A và B' ⊂ B". 03PE
  • Mệnh đề 2 Cho A và B là hai tập hợp. Quan hệ A × B = ∅ tương đương với "A = ∅ hoặc B = ∅". ↩ 1 03PF

§ 3. Các sự tương ứng

  • Định nghĩa 1 G được gọi là một đồ thị nếu mọi phần tử của G là một cặp có thứ tự, tức là, nếu quan hệ 03PG
  • Mệnh đề 1 Cho G là một đồ thị. Tồn tại duy nhất một tập hợp A và duy nhất một tập hợp B có các tính chất sau : 03HI
  • Nhận xét Quan hệ x = y không có đồ thị, vì phép chiếu thứ nhất của đồ thị, nếu nó tồn tại, sẽ là tập hợp tất cả các đối tượng (xem § 1, no. 7, Nhận xét). 03S1
  • Định nghĩa 2 Một sự tương ứng giữa một tập hợp A và một tập hợp B là một bộ ba 03HJ
  • Định nghĩa 3 Cho G là một đồ thị và X là một tập hợp. Tập hợp tất cả các đối tượng tương ứng theo G với các phần tử của X được gọi là ảnh của X theo G và được ký hiệu bởi G⟨ X ⟩ hoặc G(X). ↩ 1 03PI
  • Nhận xét 1 Chính xác, G⟨ X ⟩ ký hiệu tập hợp E_y((∃ x)(x ∈ X và (x,y) ∈ G)). Từ nay về sau chúng ta sẽ không thường dịch các định nghĩa của mình sang ngôn ngữ hình thức. 03PH
  • Nhận xét 2 Các ký hiệu G(X) và Γ(X) đôi khi có thể gây nhầm lẫn với ký hiệu được đưa vào sau này (xem no. 4, Nhận xét sau Định nghĩa 9). 03S2
  • Mệnh đề 2 Cho G là một đồ thị và cho X, Y là hai tập hợp; khi đó quan hệ X ⊂ Y kéo theo G⟨ X ⟩ ⊂ G⟨ Y ⟩. ↩ 1 03PJ
  • Hệ quả Nếu A ⊃ pr₁ G, ta có G⟨ A ⟩ = pr₂ G. 03PK
  • Định nghĩa 4 Cho G là một đồ thị và x là một đối tượng. Tập hợp G⟨ x ⟩ (đôi khi được ký hiệu là G(x), do lạm dụng ngôn ngữ) được gọi là tiết diện của G tại x. 03PL
  • Định nghĩa 5 Cho G là một đồ thị. Đồ thị mà các phần tử của nó là các cặp có thứ tự (x, y) sao cho (y, x) ∈ G được gọi là nghịch đảo của G và được ký hiệu bởi overset-1G. 03PM
  • Định nghĩa 6 Cho G, G′ là hai đồ thị. Đồ thị (đối với x và z) của quan hệ (∃ y)((x, y) ∈ G và (y, z) ∈ G') được gọi là hợp thành của G′ và G, và được ký hiệu bởi G' ∘ G (hoặc đôi khi bởi G'G). ↩ 1 03PN
  • Mệnh đề 3 Cho G, G′ là hai đồ thị. Nghịch đảo của G′ ∘ G khi đó là overset-1G ∘ overset-1G'. ↩ 1 03HK
  • Mệnh đề 4 Cho G₁, G₂, G₃ là các đồ thị. Khi đó 03HL
  • Mệnh đề 5 Cho G, G′ là các đồ thị và cho A là một tập hợp. Khi đó ↩ 1 03HM
  • Định nghĩa 7 Cho Γ = (G, A, B) và Γ' = (G', B, C) là hai sự tương ứng sao cho đích của Γ là nguồn của Γ'. Khi đó sự tương ứng (G' ∘ G, A, C) được gọi là hợp thành của Γ' và Γ, và được ký hiệu b… 03PO
  • Định nghĩa 8 Nếu A là một tập hợp, tập hợp Δ_A gồm tất cả các đối tượng có dạng (x, x), trong đó x ∈ A, được gọi là đường chéo của A × A. 03PP
  • Định nghĩa 9 Đồ thị F được gọi là đồ thị phiếm hàm nếu với mỗi x có nhiều nhất một đối tượng tương ứng với x theo F (Chương I, § 5, no. 3). Một sự tương ứng f = (F, A, B) được gọi là một hàm nế… ↩ 1 03HN
  • Nhận xét Người đọc cần lưu ý sự nhầm lẫn có thể nảy sinh do việc đồng thời sử dụng các ký hiệu f(x) và f(X) (đồng nghĩa với f⟨ X ⟩) được đưa vào trong Định nghĩa 3 (xem Bài tập 11). 03HO
  • Ví dụ 1 Tập rỗng là một đồ thị phiếm hàm. Mọi hàm có đồ thị rỗng đều có miền xác định và miền giá trị bằng tập rỗng. Trong số các hàm như vậy, hàm có đích là tập rỗng (tức là hàm (∅,∅,∅))… ↩ 1 03V1
  • Ví dụ 2 Cho A là một tập hợp. Sự tương ứng đồng nhất của A (no. 3) là một hàm, được gọi là ánh xạ đồng nhất của A. 03V2
  • Ví dụ 1 Nếu f là một ánh xạ từ A vào B, hàm f bằng hàm x → f(x) (x ∈ A, f(x) ∈ B), được viết đơn giản là x → f(x) hoặc cũng là (fₓ)_x ∈ A (ký hiệu sau đặc biệt gắn với cụm từ “họ các phần… 03S3
  • Ví dụ 2 Cho G là một tập hợp các cặp có thứ tự. Các hàm 03S4
  • Mệnh đề 6 Nếu f là một ánh xạ từ A vào B, và g là một ánh xạ từ B vào C, thì g ∘ f là một ánh xạ từ A vào C. 03HP
  • Định nghĩa 10 Cho f là một ánh xạ từ A vào B. Ánh xạ f được gọi là đơn ánh, hay một đơn ánh, nếu hai phần tử phân biệt bất kỳ của A có các ảnh phân biệt qua f. Ánh xạ f được gọi là toàn ánh, hay… 03HQ
  • Ví dụ 1 Nếu A ⊂ B, ánh xạ từ A vào B có đồ thị là đường chéo của A là đơn ánh và được gọi là ánh xạ chính tắc hoặc đơn ánh chính tắc (hoặc đơn giản là đơn ánh) từ A vào B. 03S5
  • Ví dụ 2 Cho A là một tập hợp. Ánh xạ x → (x, x) từ A vào đường chéo Δ_A của A × A là một ánh xạ song ánh, được gọi là ánh xạ đường chéo của A. 03S6
  • Ví dụ 3 Cho G là một tập hợp các cặp có thứ tự. Ánh xạ pr₁ (tương ứng pr₂) từ G vào pr₁G (tương ứng pr₂G) là toàn ánh; pr₁ là đơn ánh khi và chỉ khi G là một đồ thị hàm. 03S7
  • Ví dụ 4 Cho G là một tập hợp các cặp có thứ tự. Ánh xạ 03S8
  • Ví dụ 5 Cho A là một tập hợp và b là một đối tượng. Ánh xạ x → (x,\ b) từ A vào A × b là một song ánh. 03S9
  • Mệnh đề 7 Cho f là một ánh xạ từ A vào B. Khi đó overset-1f là một hàm khi và chỉ khi f là song ánh. 03PQ
  • Nhận xét Cho f là một ánh xạ của A vào B. Với mỗi tập con X của A, ta có (no. 3) X ⊂ overset-1f⟨ f⟨ X⟩⟩. Hơn nữa, với mỗi tập con Y của B, ta có f⟨ overset-1f⟨ Y⟩⟩ ⊂ Y, vì quan hệ y ∈ f⟨ ov… 03HR
  • Mệnh đề 8 Cho f là một ánh xạ của A vào B. Nếu tồn tại một ánh xạ r (resp. s) của B vào A sao cho r ∘ f (resp. f ∘ s) là ánh xạ đồng nhất của A (resp. B), thì f là đơn ánh (resp. toàn ánh)… ↩ 5 03HS
  • Hệ quả Cho A, B là các tập hợp, cho f là một ánh xạ từ A vào B, và cho g là một ánh xạ từ B vào A. Nếu g ∘ f là ánh xạ đồng nhất của A và nếu f ∘ g là ánh xạ đồng nhất của B, thì f và g l… ↩ 1 03HT
  • Định nghĩa 11 Cho f là một ánh xạ đơn ánh (tương ứng, toàn ánh) từ A vào B. Mọi ánh xạ r (tương ứng, s) từ B vào A sao cho r ∘ f (tương ứng, f ∘ s) là ánh xạ đồng nhất của A (tương ứng, B) được… ↩ 6 03HU
  • Định lý 1 Cho f là một ánh xạ từ A vào B, cho f' là một ánh xạ từ B vào C, và cho f'' = f' ∘ f. Khi đó: ↩ 2 03PR
  • Mệnh đề 9 (a) Cho E, F, G là các tập hợp, cho g là một ánh xạ từ E lên F và f là một ánh xạ từ E vào G. Khi đó tồn tại một ánh xạ h từ F vào G sao cho f = h ∘ g khi và chỉ khi quan hệ g(x) =… ↩ 1 03PS

§ 4. Hợp và giao của một họ tập hợp

  • Định nghĩa 1 Cho (X_ι)_ι ∈ I là một họ các tập hợp (tương ứng, một họ các tập con của một tập hợp E). Tập hợp Eₓ((∃ ι)(ι ∈ I and x ∈ X_ι)), nghĩa là, tập hợp mọi x thuộc ít nhất một tập hợp của… 03I1
  • Định nghĩa 2 Cho (Xₗ)_l∈ I là một họ các tập hợp mà tập hợp chỉ số I là không rỗng. Tập hợp Eₓ((∀ l)((l∈ I)Longrightarrow(x∈ Xₗ))), nghĩa là tập hợp của mọi x thuộc mọi tập hợp của họ (Xₗ)_l∈ I… 03PT
  • Định nghĩa 3 Cho (Xₗ)_l∈ I là một họ các tập hợp con của một tập hợp E. Tập hợp Eₓ(x∈ E và (∀ l)((l∈ I)Longrightarrow(x∈ Xₗ))), 03PU
  • Mệnh đề 1 Cho (X_ι)_ι ∈ I là một họ các tập hợp, và cho f là một ánh xạ từ một tập hợp K lên I. Khi đó ↩ 5 03PV
  • Hệ quả Cho (X_ι)_ι ∈ I là một họ tập hợp sao cho X_ι = X_varkappa với mỗi cặp chỉ số (ι, varkappa). Khi đó với mỗi α ∈ I ta có 03I2
  • Định nghĩa 4 Cho 𝔉 là một tập hợp các tập hợp và cho Φ là họ các tập hợp được xác định bởi ánh xạ đồng nhất của 𝔉. Hợp của các tập hợp của Φ và (nếu 𝔉 không rỗng) giao của các tập hợp của Φ đượ… 03I3
  • Mệnh đề 2 Cho (X_ι)_ι ∈ I là một họ tập hợp mà tập chỉ số I là hợp của một họ (J_λ)_λ ∈ L các tập hợp. Khi đó ↩ 1 03I4
  • Mệnh đề 3 Cho (X_ι)_ι ∈ I là một họ các tập con của một tập hợp A, và cho Γ là một sự tương ứng giữa A và B. Khi đó ↩ 4 03I5
  • Mệnh đề 4 Cho f là một ánh xạ từ A vào B và cho (Y_ι)_ι ∈ I là một họ các tập con của B. Khi đó overset-1f⟨ ⋂_ι ∈ I Y_ι ⟩ = ⋂_ι ∈ I overset-1f⟨ Y_ι ⟩. ↩ 3 03I6
  • Hệ quả Nếu f là một đơn ánh của A vào B và nếu (X_ι)_ι ∈ I là một họ các tập con của A mà tập chỉ số I không rỗng, thì f⟨ ⋂_ι ∈ I X_ι ⟩ = ⋂_ι ∈ I f⟨ X_ι ⟩. 03I7
  • Mệnh đề 5 Với mọi họ (X_ι)_ι ∈ I các tập con của một tập hợp E, ta có ↩ 1 03I8
  • Mệnh đề 6 Cho f là một ánh xạ từ A vào B. Với mọi tập con Y của B, ta có ↩ 1 03PW
  • Hệ quả Cho f là một đơn ánh từ A vào B. Với mọi tập con X của A, ta có f⟨ A - X ⟩ = f⟨ A ⟩ - f⟨ X ⟩. 03PX
  • Định nghĩa 5 Một họ tập hợp (X_ι)_ι ∈ I được gọi là một phủ của một tập hợp E (hoặc là phủ E) nếu E ⊂ ⋃limits_ι ∈ I X_ι. Nếu (X_ι)_ι ∈ I và (Y_varkappa)_varkappa ∈ K là các phủ của E, thì phủ t… ↩ 1 03PY
  • Mệnh đề 7 (1) Cho E là một tập hợp và (X_ι)_ι ∈ I là một phủ của E. Nếu f và g là hai ánh xạ có miền xác định là E sao cho f và g trùng nhau trên E ∩ X_ι với mọi ι ∈ I, thì f và g trùng nhau… ↩ 5 03PZ
  • Định nghĩa 6 Hai tập hợp A và B được gọi là rời nhau (hay không giao nhau) nếu A ∩ B = ∅. Nếu A ∩ B ≠ ∅, ta nói rằng A gặp (hay giao) B. Cho (X_ι)_ι ∈ I là một họ các tập hợp. Các tập hợp của h… 03Q0
  • Mệnh đề 8 Cho (X_ι)_ι ∈ I là một họ các tập hợp đôi một rời nhau, và cho (f_ι)_ι ∈ I là một họ các hàm có cùng tập đích F sao cho miền xác định của f_ι là X_ι với mỗi ι ∈ I. Khi đó tồn tại đ… ↩ 5 03Q1
  • Định nghĩa 7 Một phân hoạch của một tập hợp E là một họ các tập con khác rỗng đôi một rời nhau của E mà hợp của chúng là E. 03Q2
  • Ví dụ Với mọi tập hợp khác rỗng A, họ (x)_x ∈ A là một phân hoạch của A. 03I9
  • Mệnh đề 9 Cho (X_ι)_ι ∈ I là một họ các tập hợp. Khi đó tồn tại một tập hợp X có tính chất sau : X là hợp của một họ (X'_ι)_ι ∈ I gồm các tập hợp đôi một rời nhau sao cho với mỗi ι ∈ I tồn t… 03Q3
  • Định nghĩa 8 Cho (X_ι)_ι ∈ I là một họ các tập hợp. Tổng của họ này là hợp của họ các tập hợp (X_ι × ι)_ι ∈ I. ↩ 3 03Q4
  • Mệnh đề 10 Cho (X_ι)_ι ∈ I là một họ các tập hợp đôi một rời nhau. Gọi A là hợp của chúng và S là tổng của chúng. Khi đó tồn tại một ánh xạ song ánh từ A lên S. ↩ 1 03IA

§ 5. Tích của một họ tập hợp

  • Mệnh đề 1 (1) Nếu f là một toàn ánh từ một tập hợp E lên một tập hợp F, mở rộng chính tắc hatf của f là một toàn ánh từ 𝔓(E) lên 𝔓(F). ↩ 1 03IJ
  • Mệnh đề 2 (1) Nếu u là một toàn ánh từ E' lên E và v là một đơn ánh từ F vào F', thì ánh xạ f ↦ v ∘ f ∘ u là đơn ánh. ↩ 2 03Q5
  • Hệ quả Nếu u là một song ánh từ E' lên E và v là một song ánh từ F lên F', thì f ↦ v ∘ f ∘ u là song ánh. 03Q6
  • Mệnh đề 3 Nếu với mỗi ánh xạ f của B × C vào A ta ký hiệu bởi tildef ánh xạ y → f(bullet, y) của C vào 𝔉(B, A), thì hàm f → tildef là một song ánh (gọi là song ánh chính tắc) của 𝔉(B × C, A)… ↩ 1 03Q7
  • Định nghĩa 1 Cho (X_ι)_ι ∈ I là một họ tập hợp. Tập hợp các đồ thị phiếm hàm F có miền xác định I sao cho F(ι) ∈ X_ι với mỗi ι ∈ I được gọi là tích của họ tập hợp (X_ι)_ι ∈ I và được ký hiệu bở… 03Q8
  • Mệnh đề 4 Cho (X_ι)_ι ∈ I là một họ các tập hợp, và cho u là một song ánh từ một tập hợp K lên tập chỉ số I. Nếu U là đồ thị của u, ánh xạ F → F ∘ U từ ∏_ι ∈ I X_ι vào ∏_x ∈ K Xᵤ₍ₓ₎ là song… ↩ 2 03IK
  • Mệnh đề 5 Cho (X_ι)_ι∈ I là một họ các tập hợp và J là một tập con của I. Nếu với mỗi ι∈ I ta có X_ι≠∅, thì phép chiếu pr_J là một ánh xạ từ ∏_ι∈ IX_ι lên ∏_ι∈ JX_ι. ↩ 1 03Q9
  • Mệnh đề 6 Cho (X_ι)_ι∈ I là một họ các tập hợp sao cho X_ι≠∅ với mọi ι∈ I. Nếu g là một ánh xạ từ J⊂ I vào A=⋃_ι∈ IX_ι, sao cho g(ι)∈ X_ι với mọi ι∈ J, thì tồn tại một mở rộng f của g lên I… ↩ 6 03QA
  • Hệ quả 1 Cho (X_ι)_ι∈ I là một họ các tập hợp sao cho với mỗi ι∈ I ta có X_ι≠∅. Khi đó với mỗi α∈ I phép chiếu pr_α là một ánh xạ từ ∏_ι∈ IX_ι lên X_α. ↩ 2 03QB
  • Hệ quả 2 Cho (X_ι)_ι ∈ I là một họ các tập hợp. Khi đó ∏limits_ι ∈ I X_ι = ∅ khi và chỉ khi tồn tại ι ∈ I sao cho X_ι = ∅. ↩ 4 03QC
  • Hệ quả 3 Nếu (X_ι)_ι ∈ I và (Y_ι)_ι ∈ I là hai họ tập hợp có cùng tập chỉ số I. Nếu X_ι ⊂ Y_ι với mỗi ι ∈ I, thì ↩ 1 03QD
  • Mệnh đề 7 Cho (X_ι)_ι ∈ I là một họ các tập hợp mà tập chỉ số I không phải là tập rỗng. Cho (J_λ)_λ ∈ L là một phân hoạch của I. Khi đó ánh xạ ↩ 2 03IN
  • Nhận xét 1 Cho α, β là hai đối tượng phân biệt và cho (J_λ)_λ ∈ α, β là một phân hoạch của I thành hai tập hợp J_α, J_β. Do đó ta thu được một ánh xạ một-một (cũng gọi là chính tắc) của tích… ↩ 1 03SA
  • Nhận xét 2 Cho α, β, γ là ba đối tượng, không có hai đối tượng nào bằng nhau (ba đối tượng như vậy tồn tại; ví dụ, ∅, ∅, ∅), và cho A, B, C là các tập hợp. Xét đồ thị của phiếm hàm (α, A), (β… 03SB
  • Mệnh đề 8 Cho ((X_λ,ι)_ι ∈ J_λ)_λ ∈ L là một họ (với tập hợp chỉ số L) gồm các họ tập hợp. Giả sử rằng L ≠ ∅ và rằng J_λ ≠ ∅ với mỗi λ ∈ L. Đặt ↩ 2 03IO
  • Hệ quả Cho (X_ι)_ι ∈ I và (Y_varkappa)_varkappa ∈ K là hai họ tập hợp có các tập chỉ số không rỗng I, K. Khi đó ↩ 1 03IP
  • Mệnh đề 9 Cho ((X_λ, ι)_ι ∈ J_λ)_λ ∈ L là một họ (với tập hợp chỉ số L) gồm các họ tập hợp. Đặt I = ∏_λ ∈ L J_λ. Khi đó ↩ 2 03IQ
  • Hệ quả 1 Giả sử rằng L ≠ ∅ và rằng J_λ ≠ ∅ với mỗi λ ∈ L. Nếu với mỗi chỉ số λ ∈ L họ (X_λ, ι)_ι ∈ J_λ là một phân hoạch của X_λ = ⋃_ι ∈ J_λ X_λ, ι, thì họ ( ∏_λ ∈ L X_λ, f(λ) )_f ∈ I là mộ… ↩ 1 03QE
  • Hệ quả 2 Cho (X_ι)_ι ∈ I và (Y_varkappa)_varkappa ∈ K là hai họ tập hợp. Khi đó 03QF
  • Mệnh đề 10 Cho (X_ι, varkappa)_(ι, varkappa) ∈ I × K là một họ các tập hợp mà tập chỉ số là tích của hai tập hợp I và K. Nếu K ≠ ∅, ta có ↩ 1 03QG
  • Hệ quả Cho (X_ι)_ι ∈ I và (Y_ι)_ι ∈ I là hai họ tập hợp có cùng tập hợp chỉ số I ≠ ∅. Khi đó 03IR
  • Định nghĩa 2 Cho (X_ι)_ι ∈ I, (Y_ι)_ι ∈ I là hai họ tập hợp, và cho (g_ι)_ι ∈ I là một họ hàm có cùng tập chỉ số I sao cho g_ι là một ánh xạ của X_ι vào Y_ι với mỗi ι ∈ I. Với mỗi f ∈ ∏_ι ∈ I X… ↩ 2 03IS
  • Mệnh đề 11 Cho (X_ι)_ι ∈ I, (Y_ι)_ι ∈ I, (Z_ι)_ι ∈ I là ba họ tập hợp và (g_ι)_ι ∈ I, (g'_ι)_ι ∈ I là hai họ hàm số, tất cả đều có cùng một tập chỉ số, sao cho g_ι là một ánh xạ từ X_ι vào Y_… 03IT
  • Hệ quả Cho (Xᵢ)_i∈ I, (Yᵢ)_i∈ I là hai họ tập hợp và cho (gᵢ)_i∈ I là một họ ánh xạ. Nếu gᵢ là một đơn ánh (tương ứng, toàn ánh) từ Xᵢ vào Yᵢ, với mỗi i∈ I, thì mở rộng g của (gᵢ)_i∈ I tớ… ↩ 1 03IU

§ 6. Quan hệ tương đương

  • Ví dụ Quan hệ x = y là đối xứng và bắc cầu. Quan hệ X ⊂ Y là bắc cầu nhưng không đối xứng. Quan hệ X ∩ Y = ∅ là đối xứng nhưng không bắc cầu. 077S
  • Ví dụ 1 Quan hệ x = y là một quan hệ tương đương không có đồ thị nào, vì nếu có thì phép chiếu thứ nhất của đồ thị này sẽ là tập hợp của mọi đối tượng. 03IX
  • Ví dụ 2 Quan hệ "x = y và x ∈ E" là một quan hệ tương đương trên E mà đồ thị là đường chéo của E × E. 03SC
  • Ví dụ 3 Quan hệ "tồn tại một song ánh từ X lên Y" là một quan hệ tương đương không có đồ thị nào (xem Chương III, § 3). 03TQ
  • Ví dụ 4 Quan hệ "x ∈ E và y ∈ E" là một quan hệ tương đương trên E, mà đồ thị là E × E. 03TR
  • Ví dụ 5 Giả sử A ⊂ E; khi đó quan hệ 03TS
  • Ví dụ 6 \ Quan hệ "x ∈ Z và y ∈ Z và x - y chia được cho 4" là một quan hệ tương đương trên Z.\ 03TP
  • Mệnh đề 1 Một sự tương ứng Γ giữa X và X là một quan hệ tương đương trên X khi và chỉ khi nó thỏa mãn các điều kiện sau : (a) X là miền xác định của Γ; (b) Γ = overset-1Γ; (c) Γ ∘ Γ = Γ. Cho… ↩ 1 03QH
  • Ví dụ 1 Cho R là quan hệ tương đương "x ∈ E và y ∈ E và x = y" trên một tập hợp E. Khi đó lớp tương đương của x ∈ E là tập hợp x, và ánh xạ chính tắc x → x từ E lên E/R là song ánh. 03SD
  • Ví dụ 2 Cho E, F là hai tập hợp và gọi R là quan hệ tương đương trên E × F liên kết với ánh xạ pr₁ của E × F lên E. Các lớp tương đương đối với R là các tập hợp có dạng x × F, trong đó x ∈… 03SE
  • Ví dụ 1 Quan hệ "x ∈ E và y ∈ E và x = y" mịn hơn mọi quan hệ tương đương trên E. Quan hệ "x ∈ E và y ∈ E" thô hơn mọi quan hệ tương đương trên E. 03SF
  • Ví dụ 2 \ Quan hệ tương đương "x ∈ Z và y ∈ Z và x - y chia được cho 4" mịn hơn quan hệ tương đương "x ∈ Z và y ∈ Z và x - y chia được cho 2". \ 03SG
  • Nhận xét Cho Px, x' là một quan hệ trong đó các chữ y, y' không xuất hiện. Ta nói P là tương thích với các quan hệ tương đương Rx, y và R'x', y' (đối với x và x') nếu quan hệ (Px, x' và Rx… 03IY

III. Ordered sets, cardinals, integers

§ 1. Quan hệ thứ tự. Tập hợp có thứ tự

  • Ví dụ 1 Các quan hệ đẳng thức và bao hàm không phải là các quan hệ thứ tự trên một tập hợp, vì các quan hệ x = x và X ⊂ X không xác định tập (Chương II, § 1, no. 7). 03SH
  • Ví dụ 2 Cho Rx,\ y là một quan hệ thứ tự giữa x và y, và cho E là một tập hợp sao cho x ∈ E kéo theo Rx,\ x (chú ý rằng tập rỗng thỏa mãn điều kiện này). Khi đó, quan hệ "Rx,\ y và x ∈ E v… 03SI
  • Ví dụ 3 Cho E, F là các tập hợp. Quan hệ "g mở rộng f" là một quan hệ thứ tự (giữa f và g) trên tập hợp các ánh xạ từ các tập con của E vào F. ↩ 3 03SJ
  • Ví dụ 4 Trong tập hợp 𝔓(𝔓(E)) các tập hợp gồm những tập con của một tập hợp E, gọi P là tập hợp các phân hoạch của E (Chương II, § 4, no. 7). Ta nhắc lại rằng một phân hoạch varpi được gọi… ↩ 2 03V3
  • Mệnh đề 1 Một sự tương ứng Γ giữa E và E là một thứ tự trên E khi và chỉ khi đồ thị của nó G thỏa mãn các điều kiện sau : 03JA
  • Ví dụ \ Cho A là một vành với một phần tử đơn vị. Quan hệ (∃ z)(z ∈ A và y = zx) giữa hai phần tử x, y của A là một quan hệ tiền thứ tự trên A; nó được đọc là "x là một ước phải của y" h… 03JB
  • Ví dụ 1 Cho E, F là hai tập hợp, và gọi Φ(E, F) là tập hợp mọi ánh xạ từ các tập con của E vào F. Với mỗi f ∈ Φ(E, F), gọi G_f là đồ thị của f, đó là một tập con của E × F. Nếu ta trang bị… 03WB
  • Ví dụ 2 Với mỗi phân hoạch varpi của một tập hợp E, gọi tildevarpi là đồ thị của quan hệ tương đương do varpi xác định trên E. Ánh xạ varpi → tildevarpi là một đẳng cấu của tập hợp 𝔏 các p… 03WC
  • Ví dụ 3 Cho E là một tập hợp và gọi Ω ⊂ 𝔓(E × E) là tập hợp các đồ thị của những tiền thứ tự trên E (no. 2) (hoặc, do lạm dụng ngôn ngữ, là tập hợp mọi tiền thứ tự trên E). Quan hệ thứ tự… ↩ 1 03WD
  • Định nghĩa 1 Cho E và F là các tập hợp tiền thứ tự (quan hệ tiền thứ tự trong mỗi tập hợp đều được ký hiệu bởi leqslant). Một ánh xạ f từ E vào F được gọi là tăng (hoặc bảo toàn thứ tự) nếu qua… 03JC
  • Định nghĩa 2 Cho E và F là hai tập hợp có thứ tự. Một ánh xạ f từ E vào F được gọi là tăng ngặt (hoặc bảo toàn thứ tự ngặt) nếu quan hệ x < y suy ra f(x) < f(y); f được gọi là giảm nghiêm ngặt… 03JD
  • Ví dụ 1 Cho E là một tập hợp. Ánh xạ X → E - X của 𝔓(E) (được sắp thứ tự bởi quan hệ bao hàm) lên chính nó là giảm nghiêm ngặt. 03SK
  • Ví dụ 2 Cho E là một tập hợp có thứ tự. Với mỗi x ∈ E gọi Uₓ là tập hợp mọi y ∈ E sao cho y geqslant x. Ánh xạ x → Uₓ là một ánh xạ giảm nghiêm ngặt từ E vào 𝔓(E) (được sắp thứ tự bởi quan… 03SL
  • Mệnh đề 2 Cho E, E' là hai tập hợp có thứ tự, và cho u : E → E' và v : E' → E là hai ánh xạ giảm sao cho với mọi x ∈ E và mọi x' ∈ E' ta có v(u(x)) geqslant x và u(v(x')) geqslant x'. Khi đó ↩ 2 03JE
  • Định nghĩa 3 Cho E là một tập hợp có thứ tự. Một phần tử a ∈ E được gọi là một phần tử cực tiểu (tương ứng cực đại) của E nếu quan hệ x leqslant a (tương ứng x geqslant a) suy ra x = a. 03JF
  • Ví dụ 1 Cho A là một tập hợp. Trong tập con của 𝔓(A) (được sắp thứ tự bởi quan hệ bao hàm) gồm các tập con khác rỗng của A, các phần tử cực tiểu là các tập con chỉ gồm một phần tử. 03SM
  • Ví dụ 2 Trong tập hợp Φ(E, F) các ánh xạ từ các tập con của E vào F (với F là không rỗng), được sắp thứ tự bởi quan hệ "v extends u" giữa u và v, các phần tử cực đại là các ánh xạ từ toàn… 03SN
  • Ví dụ 3 \ Trong tập hợp các số nguyên tự nhiên > 1, được sắp thứ tự bởi quan hệ "m divides n" giữa m và n, các phần tử cực tiểu là các số nguyên tố. \ 03SO
  • Ví dụ 4 \ Tập hợp các số thực không có phần tử cực đại và không có phần tử cực tiểu. \ 03SP
  • Định nghĩa 4 Cho E là một tập hợp có thứ tự. Một phần tử a ∈ E được gọi là phần tử nhỏ nhất (resp. lớn nhất) của E nếu với mọi x ∈ E ta có a leqslant x (resp. x leqslant a). 03JG
  • Ví dụ 1 Cho 𝔖 là một tập con không rỗng của tập hợp 𝔓(E) gồm các tập con của một tập hợp E. Nếu 𝔖 có một phần tử nhỏ nhất (tương ứng, lớn nhất) A đối với quan hệ bao hàm, thì A là giao (tư… 03SQ
  • Ví dụ 2 Đặc biệt, ∅ là phần tử bé nhất và E là phần tử lớn nhất của 𝔓(E). Trong tập hợp Φ(E, F) các ánh xạ từ các tập con của E vào F, được sắp thứ tự bởi sự mở rộng của các ánh xạ (no. 1… 03SR
  • Mệnh đề 3 Cho E là một tập hợp có thứ tự và cho E' là hợp rời nhau của E và một tập a gồm một phần tử duy nhất. Khi đó tồn tại một thứ tự duy nhất trên E' cảm sinh thứ tự đã cho trên E và đố… ↩ 1 03JH
  • Định nghĩa 5 Cho E là một tập hợp tiền thứ tự và X là một tập con của E. Mọi phần tử x∈ E sao cho x≤ y (resp. x≥ y) với mọi y∈ X được gọi là một cận dưới (resp. cận trên) của X trong E. 03JI
  • Định nghĩa 6 Cho E là một tập hợp có thứ tự và X là một tập con của E. Một phần tử của E được gọi là cận dưới lớn nhất hay infimum (resp. cận trên bé nhất hay supremum) của X trong E nếu nó là… 03JJ
  • Mệnh đề 4 Cho E là một tập hợp có thứ tự và A là một tập con của E có cả một cận dưới lớn nhất lẫn một cận trên nhỏ nhất trong E. Khi đó inf A leqslant sup A nếu A ≠ ∅; nếu A = ∅, sup A là p… ↩ 1 03JK
  • Mệnh đề 5 Cho E là một tập hợp có thứ tự và A, B là hai tập con của E, mỗi tập đều có một cận trên nhỏ nhất (resp. cận dưới lớn nhất) trong E. Nếu A ⊂ B, thì sup A leqslant sup B (resp. inf… ↩ 1 03JL
  • Hệ quả Cho (x_ι)_ι ∈ I là một họ các phần tử của một tập hợp có thứ tự E có một cận trên nhỏ nhất trong E. Nếu J là một tập con của I sao cho họ (x_ι)_ι ∈ J có một cận trên nhỏ nhất trong… ↩ 1 03JM
  • Mệnh đề 6 Nếu (x_ι)_ι ∈ I, (y_ι)_ι ∈ I là hai họ phần tử của một tập hợp có thứ tự E, được đánh chỉ số bởi cùng một tập hợp I, và sao cho x_ι leqslant y_ι với mọi ι ∈ I. Nếu cả hai họ đều có… 03JN
  • Mệnh đề 7 Cho (x_ι)_ι ∈ I là một họ các phần tử của một tập hợp có thứ tự E, và cho (J_λ)_λ ∈ L là một phủ của tập hợp chỉ số I. Giả sử rằng mỗi họ con (x_ι)_ι ∈ J_λ đều có một cận trên bé n… 03JO
  • Hệ quả Cho (x_λμ)_(λ,\ μ) ∈ L × M là một họ "kép" các phần tử của một tập hợp có thứ tự E sao cho với mỗi μ ∈ M thì họ (x_λμ)_λ ∈ L có một cận trên đúng trong E. Để họ (x_λμ)_(λ,\ μ) ∈ L… 03JP
  • Mệnh đề 8 Cho (E_ι)_ι∈ I là một họ các tập hợp có thứ tự. Cho A là một tập con của tập hợp có thứ tự tích E = ∏_ι∈ I E_ι, và đặt A_ι = pr_ι A với mỗi ι ∈ I. Để A có một cận trên bé nhất tron… ↩ 1 03QI
  • Ví dụ 1 \ Trong tập hợp có thứ tự E = R của các số thực, xét tập con F = Q của các số hữu tỉ và tập hợp A ⊂ F gồm các số hữu tỉ < sqrt2; sup_E A tồn tại nhưng sup_F A không tồn tại. ↩ 1 03SS
  • Ví dụ 2 Theo ký hiệu của Ví dụ 1, cho G là hợp của A và tập hợp 2; khi đó G ⊂ F và sup_G A tồn tại, nhưng sup_F A không tồn tại. 03ST
  • Ví dụ 3 Với cùng ký hiệu, sup_E A = sqrt2, sup_G A = 2. \ 03SU
  • Mệnh đề 9 Cho E là một tập hợp có thứ tự, F là một tập con của E, A là một tập con của F. Nếu cả sup_E A và sup_F A đều tồn tại, ta có sup_E A leqslant sup_F A. Nếu sup_E A tồn tại và thuộc… 03QJ
  • Định nghĩa 7 Một tập hợp tiền thứ tự E được gọi là có hướng phải (resp. có hướng trái) nếu mọi tập con gồm hai phần tử của E đều bị chặn trên (resp. bị chặn dưới). 03QK
  • Mệnh đề 10 Trong một tập hợp có thứ tự có hướng phải E, một phần tử cực đại a là phần tử lớn nhất của E. ↩ 3 03QL
  • Định nghĩa 8 Một tập hợp có thứ tự E được gọi là một dàn nếu mọi tập con gồm hai phần tử của E đều có một cận trên nhỏ nhất và một cận dưới lớn nhất trong E. 03QM
  • Ví dụ 1 \ Tập hợp các số nguyên geqslant 1, có thứ tự theo quan hệ “m chia hết n” giữa m và n, là một dàn; cận trên nhỏ nhất của m,n là bội chung nhỏ nhất của m và n, và cận dưới lớn nhất… 03SV
  • Ví dụ 2 Tập hợp các nhóm con của một nhóm G, có thứ tự theo quan hệ bao hàm, là một dàn. 03TT
  • Ví dụ 3 Tập hợp các tôpô trên một tập hợp A, có thứ tự theo quan hệ “T thô hơn T'” giữa T và T', là một dàn. (Tôpô đại cương, Chương I, § 2). 03TU
  • Ví dụ 4 Tập hợp 𝔉(I,R) của mọi hàm thực xác định trên một khoảng I của R là một dàn đối với quan hệ thứ tự fleqslant g (no. 4), và do đó đẳng cấu với tích Rᴵ. \ 03TV
  • Nhận xét Một dàn hiển nhiên vừa có hướng trái vừa có hướng phải. Nhưng một tập hợp có thứ tự vừa có hướng trái vừa có hướng phải thì không nhất thiết là một dàn. \ Một ví dụ của trường hợp… 03JQ
  • Định nghĩa 9 Hai phần tử x, y của một tập hợp tiền thứ tự E được gọi là so sánh được nếu quan hệ “xleqslant y or yleqslant x” là đúng. Một tập hợp E được gọi là được sắp thứ tự toàn phần nếu nó… 03JR
  • Ví dụ 1 Mọi tập con của một tập sắp thứ tự toàn phần đều được sắp thứ tự toàn phần bởi thứ tự cảm sinh. 03SW
  • Ví dụ 2 Cho E là một tập hợp có thứ tự tùy ý. Tập con rỗng của E được sắp thứ tự toàn phần, và mọi tập con của E gồm một phần tử duy nhất cũng vậy. 03TW
  • Ví dụ 3 \ Tập R các số thực được sắp thứ tự toàn phần. \ 03TX
  • Ví dụ 4 Nếu A là một tập hợp có ít nhất hai phần tử phân biệt, thì tập 𝔓(A) (được sắp thứ tự bởi quan hệ bao hàm) không được sắp thứ tự toàn phần, vì nếu x≠ y, thì các tập con x và y không… 03TY
  • Mệnh đề 11 Mọi ánh xạ đơn điệu ngặt f từ một tập hợp được sắp thứ tự toàn phần E vào một tập hợp có thứ tự F đều là đơn ánh. Nếu f tăng ngặt, thì f là một đẳng cấu của E lên f(E). ↩ 5 03JS
  • Mệnh đề 12 Cho E là một tập sắp thứ tự toàn phần và X là một tập con của E. Để một phần tử b của E là cận trên bé nhất của X trong E, điều kiện cần và đủ là (1) b là một cận trên của X, (2) v… 03JT
  • Mệnh đề 13 Trong một dàn, giao của hai khoảng là một khoảng. Chẳng hạn, xét giao của hai khoảng đóng [a, b] và [c, d], và đặt α = sup (a, c), β = inf (b, d). Nếu đồng thời có a leqslant x leq… 03JU

§ 2. Các tập được sắp thứ tự tốt

  • Định nghĩa 1 Một tập hợp E được gọi là được sắp tốt nếu nó có thứ tự và mỗi tập con khác rỗng của E đều có một phần tử nhỏ nhất. 03JY
  • Ví dụ 1 Cho E = α, β là một tập hợp có các phần tử phân biệt. Dễ dàng kiểm tra rằng tập con (α, α), (β, β), (α, β) của E × E là đồ thị của một thứ tự tốt trên E. 03SX
  • Ví dụ 2 Mọi tập con (đặc biệt là tập con rỗng) của một tập được sắp thứ tự tốt đều được sắp tốt theo thứ tự cảm sinh. 03SY
  • Ví dụ 3 \ Sự tồn tại của các tập hợp được sắp thứ tự toàn phần nhưng không được sắp thứ tự tốt tương đương với tiên đề vô hạn (§ 4, no. 4, Hệ quả 1 của Mệnh đề 3, và Bài tập 3). 03SZ
  • Ví dụ 4 Nếu Γ là một thứ tự tốt trên E, thì thứ tự đối với Γ là một thứ tự tốt trên E chỉ khi E hữu hạn (§ 4, Bài tập 3). \ 03T0
  • Ví dụ 5 Cho E là một tập được sắp thứ tự tốt. Tập hợp E₁ nhận được bằng cách thêm vào E một phần tử lớn nhất b (§ 1, no. 7) được sắp tốt, vì nếu H là một tập con khác rỗng bất kỳ của E₁ kh… 03T1
  • Nhận xét \ Hệ quả của tiên đề vô hạn (§ 6, no. 1) là tồn tại các tập được sắp tốt không có phần tử lớn nhất, chẳng hạn tập hợp N các số nguyên tự nhiên. \ 03JZ
  • Định nghĩa 2 Trong một tập hợp có thứ tự E, một tập con của E sao cho các quan hệ x ∈ S, y ∈ E, và y leqslant x suy ra y ∈ S được gọi là một đoạn của E. ↩ 1 03QN
  • Mệnh đề 1 Trong một tập hợp được sắp tốt E, mọi đoạn của E khác E chính nó đều là một khoảng ]←, a[, trong đó a ∈ E. ↩ 3 03QO
  • Mệnh đề 2 Tập hợp E\ các đoạn của một tập hợp được sắp thứ tự tốt E được sắp tốt theo quan hệ bao hàm. Ánh xạ x → Sₓ là một đẳng cấu từ tập hợp được sắp thứ tự tốt E lên tập hợp các đoạn của… ↩ 3 03QP
  • Mệnh đề 3 Cho (X_ι)_ι ∈ I là một họ các tập hợp được sắp thứ tự tốt sao cho với mỗi cặp chỉ số (ι, varkappa) một trong hai tập hợp X_ι, X_varkappa là một đoạn của tập hợp kia. Khi đó tồn tại… ↩ 2 03QQ
  • Bổ đề 1 Cho (X_α)_α ∈ A là một họ các tập hợp có thứ tự, có hướng đối với quan hệ ⊂ (nói cách khác, sao cho với mỗi cặp chỉ số α, β tồn tại một chỉ số γ sao cho X_α ⊂ X_γ và X_β ⊂ X_γ). Gi… 03QR
  • Bổ đề 2 Cho E là một tập hợp được sắp thứ tự tốt và 𝔖 là một tập hợp các đoạn của E có các tính chất sau: (1) hợp của mọi các đoạn thuộc 𝔖 đều thuộc 𝔖; (2) nếu Sₓ∈𝔖, thì Sₓ∪x∈𝔖. Khi đó mọi… 03K0
  • Bổ đề 3 Cho E là một tập hợp, cho 𝔖 là một tập con của 𝔓(E), và cho p là một ánh xạ của 𝔖 vào E sao cho p(X) ∉ X với mọi X ∈ 𝔖. Khi đó tồn tại một tập con M của E và một thứ tự tốt Γ trên… ↩ 3 03K1
  • Định lý 1 (Zermelo) Mọi tập hợp E đều có thể được sắp tốt. ↩ 7 03QS
  • Định nghĩa 3 Một tập hợp có thứ tự E được gọi là quy nạp nếu mọi tập con được sắp thứ tự toàn phần của E đều có một cận trên trong E. ↩ 3 03K2
  • Ví dụ 1 Cho 𝔉 là một tập hợp các tập con của một tập hợp A, được sắp thứ tự bởi quan hệ bao hàm, và sao cho đối với mọi tập con được sắp thứ tự toàn phần 𝔊 của 𝔉 thì hợp của các tập hợp th… 03T2
  • Ví dụ 2 Một ví dụ quan trọng về một tập hợp các tập con là quy nạp đối với quan hệ ⊂ là tập hợp 𝔉 các đồ thị của các ánh xạ từ các tập con của một tập hợp A vào một tập hợp B. Thật vậy, 𝔉… ↩ 2 03T3
  • Ví dụ 3 \ Từ tiên đề vô hạn (§ 6, no. 1) suy ra rằng tập được sắp tốt các số nguyên tự nhiên không là quy nạp đối với quan hệ leqslant. \ 03T4
  • Định lý 2 ("Bổ đề Zorn") — Mọi tập hợp có thứ tự quy nạp đều có một phần tử cực đại. ↩ 11 03QT
  • Mệnh đề 4 Cho E là một tập hợp có thứ tự trong đó mọi tập con được sắp tốt đều bị chặn trên; khi đó E có một phần tử cực đại. 03K3
  • Hệ quả 1 Cho E là một tập hợp có thứ tự quy nạp và cho a là một phần tử của E. Khi đó tồn tại một phần tử cực đại m của E sao cho m≥ a. ↩ 2 03K4
  • Hệ quả 2 Cho 𝔉 là một tập hợp các tập con của một tập hợp E sao cho, với mọi tập con 𝔊 của 𝔉 được sắp thứ tự toàn phần bởi quan hệ bao hàm, hợp (resp. giao) của các tập hợp thuộc 𝔊 thuộc về… ↩ 1 03K5
  • Định lý 3 Cho E và F là hai tập hợp được sắp tốt. Khi đó ít nhất một trong hai mệnh đề sau là đúng : ↩ 9 03K6
  • Bổ đề 4 Cho E, F là hai tập hợp được sắp tốt và f, g là hai ánh xạ tăng từ E vào F sao cho f(E) là một đoạn của F và g tăng ngặt; khi đó f(x)≤ g(x) với mọi x∈ E. ↩ 1 03K7
  • Hệ quả 1 Đẳng cấu duy nhất của một tập hợp được sắp thứ tự tốt E lên một đoạn của E là ánh xạ đồng nhất của E lên chính nó. ↩ 1 03K8
  • Hệ quả 2 Cho E, F là hai tập được sắp thứ tự tốt. Nếu tồn tại một đẳng cấu f của E lên một đoạn T của F và một đẳng cấu g của F lên một đoạn S của E, thì tất yếu có S=E, T=F, và g,f là nghị… 03K9
  • Hệ quả 3 Mọi tập con A của một tập hợp được sắp thứ tự tốt E đều đẳng cấu với một đoạn của E. ↩ 3 03KA

§ 3. Các tập hợp đẳng lực. Lực lượng

  • Định nghĩa 1 Một tập hợp X được gọi là đẳng lực với một tập hợp Y nếu tồn tại một song ánh từ X lên Y. Quan hệ “X đẳng lực với Y” được ký hiệu bởi Eq(X,Y). 03QU
  • Định nghĩa 2 Tập hợp τ_Z(Eq(X, Z)) được gọi là lực lượng của X (hoặc lũy thừa của X) và được ký hiệu là Card(X). 03QV
  • Mệnh đề 1 Hai tập hợp X và Y là đẳng lực khi và chỉ khi lực lượng của chúng bằng nhau. 03QW
  • Ví dụ 1 Card(∅) được ký hiệu bởi 0. Vì tập hợp duy nhất đẳng lực với ∅ là ∅ (Chương II, § 3, nos. 1 and 4), ta có 0 = Card(∅) = ∅. 03T5
  • Ví dụ 2 Mọi tập hợp gồm một phần tử duy nhất đều có cùng lực lượng, vì (a, b) là đồ thị của một song ánh từ a lên b; đặc biệt, chúng đều có cùng lực lượng với ∅. Lực lượng Card(∅) = τ_Z(Eq… 03T6
  • Ví dụ 3 Card(∅, ∅) được ký hiệu bởi 2; đó là lực lượng của mọi tập hợp gồm hai phần tử phân biệt. 03T7
  • Ví dụ 4 Một không gian Hilbert kiểu đếm được có cùng lực lượng với tập hợp các số thực. \ 03T8
  • Định lý 1 Quan hệ Rξ,η: “ξ và η là các lực lượng và ξ có cùng lực lượng với một tập con của η” là một quan hệ thứ tự tốt (§ 2, no. 1). ↩ 1 03QX
  • Hệ quả 1 Với hai tập hợp bất kỳ, một trong hai tập hợp là đẳng lực với một tập con của tập hợp kia. 03QY
  • Hệ quả 2 Hai tập hợp mà mỗi tập hợp là đẳng lực với một tập con của tập hợp kia thì đẳng lực. 03QZ
  • Nhận xét Cho một tập hợp bất kỳ A, tồn tại một tập hợp mà các phần tử là các lực lượng Card(X) của mọi tập con X của A, cụ thể là tập hợp các đối tượng có dạng Card(X) với X∈𝔓(A) (Chương II… 03R0
  • Mệnh đề 2 Với mọi họ (𝔞_ι)_ι ∈ I các lực lượng, tồn tại một lực lượng duy nhất 𝔟 sao cho 𝔞_ι leqslant 𝔟 với mọi ι ∈ I và sao cho mọi lực lượng 𝔠 mà 𝔞_ι leqslant 𝔠 với mọi ι ∈ I đều geqslant… 03KL
  • Mệnh đề 3 Cho X và Y là các tập hợp. Nếu tồn tại một toàn ánh f từ X lên Y, thì Card (Y) leqslant Card (X). ↩ 3 03KM
  • Định nghĩa 3 Cho (𝔞_ι)_ι ∈ I là một họ các lực lượng. Lực lượng của tích (resp. tổng) của các tập hợp 𝔞_ι được gọi là tích lực lượng (resp. tổng lực lượng) của các lực lượng 𝔞_ι và được ký hiệu… 03KN
  • Mệnh đề 4 Cho (E_ι)_ι ∈ I là một họ các tập hợp, P là tích của chúng, và S là tổng của chúng, và cho 𝔞_ι là lực lượng của E_ι. Khi đó lực lượng của P (resp. S) là tích lực lượng (resp. tổng… 03KO
  • Hệ quả Nếu (E_ι)_ι ∈ I là một họ tập hợp bất kỳ, lực lượng của hợp ⋃_ι ∈ I E_ι nhiều nhất bằng tổng ∑_ι ∈ I Card (E_ι). ↩ 1 03KP
  • Mệnh đề 5 (a) Cho (𝔞_ι)_ι ∈ I là một họ các lực lượng, và cho f là một song ánh từ một tập hợp K lên tập hợp chỉ số I. Khi đó ↩ 3 03R1
  • Hệ quả Cho 𝔞, 𝔟, 𝔠 là các lực lượng. Khi đó ↩ 4 03R2
  • Mệnh đề 6 Cho (𝔞_ι)_ι ∈ I là một họ các lực lượng, và cho J (resp. K) là một tập con của I sao cho 𝔞_ι = 0 với mọi ι ∉ J (resp. 𝔞_ι = 1 với mọi ι ∉ K). Khi đó ↩ 2 03R3
  • Hệ quả 1 Với mọi lực lượng 𝔞 ta có 𝔞 + 0 = 𝔞 . 1 = 𝔞. ↩ 1 03R4
  • Hệ quả 2 Cho 𝔞 và 𝔟 là các lực lượng và cho I là một tập hợp đẳng lực với 𝔟. Với mỗi ι ∈ I đặt 𝔞_ι = 𝔞, 𝔠_ι = 1. Khi đó ↩ 2 03R5
  • Mệnh đề 7 Cho (𝔞_ι)_ι ∈ I là một họ các lực lượng. Khi đó P_ι ∈ I 𝔞_ι ≠ 0 khi và chỉ khi 𝔞_ι ≠ 0 với mọi ι ∈ I. ↩ 1 03R6
  • Mệnh đề 8 Nếu 𝔞 và 𝔟 là các số lực sao cho 𝔞 + 1 = 𝔟 + 1, thì 𝔞 = 𝔟. ↩ 3 03R7
  • Định nghĩa 4 Cho 𝔞 và 𝔟 là các lực lượng. Lực lượng của tập hợp các ánh xạ từ 𝔟 vào 𝔞 được ký hiệu là 𝔞^𝔟, theo một sự lạm dụng ký hiệu. 03KQ
  • Mệnh đề 9 Cho X và Y là hai tập hợp, 𝔞 và 𝔟 là các lực lượng tương ứng của chúng. Khi đó tập hợp X^Y có lực lượng 𝔞^𝔟. 03KR
  • Mệnh đề 10 Cho 𝔞 và 𝔟 là các lực lượng và cho I là một tập hợp sao cho Card\ (I) = 𝔟. Nếu 𝔞_ι = 𝔞 với mọi ι ∈ I, thì ta có 𝔞^𝔟 = P_ι ∈ I 𝔞_ι. ↩ 4 03KS
  • Hệ quả 1 Cho 𝔞 là một lực lượng và cho (𝔟_ι)_ι ∈ I là một họ các lực lượng. Khi đó ↩ 1 03KT
  • Hệ quả 2 Cho (𝔞_ι)_ι ∈ I là một họ các lực lượng và 𝔟 là một lực lượng. Khi đó ( mathopP_ι ∈ I 𝔞_ι )^𝔟 = mathopP_ι ∈ I 𝔞_ι^𝔟. 03KU
  • Hệ quả 3 Cho 𝔞, 𝔟, 𝔠 là các lực lượng. Khi đó 𝔞^𝔟𝔠 = (𝔞^𝔟)^𝔠. 03KV
  • Mệnh đề 11 Cho 𝔞 là một lực lượng. Khi đó 𝔞⁰ = 1, 𝔞¹ = 𝔞, 1^𝔞 = 1; và 0^𝔞 = 0 nếu 𝔞 ≠ 0. 03KW
  • Mệnh đề 12 Cho X là một tập hợp và 𝔞 là lực lượng của nó. Khi đó lực lượng của tập hợp 𝔓(X) của mọi tập con của X là 2^𝔞. ↩ 4 03KX
  • Mệnh đề 13 Cho 𝔞 và 𝔟 là các lực lượng. Khi đó 𝔞 geqslant 𝔟 nếu và chỉ nếu tồn tại một lực lượng 𝔠 sao cho 𝔞 = 𝔟 + 𝔠. ↩ 4 03KY
  • Mệnh đề 14 Cho (𝔞_ι)_ι ∈ I và (𝔟_ι)_ι ∈ I là hai họ lực lượng, cả hai đều được đánh chỉ số bởi cùng một tập hợp I, và sao cho 𝔞_ι geqslant 𝔟_ι với mọi ι ∈ I. Khi đó ↩ 5 03KZ
  • Hệ quả 1 Cho (𝔞_ι)_ι ∈ I là một họ lực lượng. Với mỗi tập con J của I ta có ∑_ι ∈ J 𝔞_ι leqslant ∑_ι ∈ I 𝔞_ι. Nếu thêm nữa 𝔞_ι ≠ 0 với mọi ι ∈ I - J, thì P_ι ∈ J 𝔞_ι leqslant P_ι ∈ I 𝔞_ι. ↩ 1 03L0
  • Hệ quả 2 Nếu 𝔞, 𝔞', 𝔟, 𝔟' là các lực lượng sao cho 𝔞 leqslant 𝔞', 𝔟 leqslant 𝔟', và 𝔞' > 0, thì 𝔞^𝔟 leqslant mathfraka'^𝔟'. 03L1
  • Định lý 2 (Cantor) — Với mỗi lực lượng 𝔞, ta có 2^𝔞 > 𝔞. ↩ 4 03R8
  • Hệ quả Không tồn tại một tập hợp có mọi lực lượng làm phần tử. 03L2

§ 4. Số nguyên tự nhiên. Tập hợp hữu hạn

  • Định nghĩa 1 Một lực lượng α được gọi là hữu hạn nếu α ≠ α + 1. Một lực lượng hữu hạn còn được gọi là một số nguyên tự nhiên (hoặc đơn giản là một số nguyên nếu không có nguy cơ nhầm lẫn [^1])… ↩ 1 03R9
  • Mệnh đề 1 Một lực lượng α là hữu hạn khi và chỉ khi α + 1 là hữu hạn. ↩ 1 03RA
  • Mệnh đề 2 Cho n là một số nguyên. Khi đó mọi lực lượng α sao cho α ≤ n đều là một số nguyên. Nếu n ≠ 0, tồn tại một số nguyên duy nhất m sao cho n = m + 1, và quan hệ α < n tương đương với α… ↩ 11 03RB
  • Hệ quả 1 Mọi tập con của một tập hợp hữu hạn đều hữu hạn. 03RC
  • Hệ quả 2 Nếu X là một tập con của một tập hợp hữu hạn E và X ≠ E, thì ↩ 2 03RD
  • Hệ quả 3 Nếu f là một ánh xạ từ một tập hợp hữu hạn E vào một tập hợp F, thì f(E) là một tập con hữu hạn của F. ↩ 2 03RE
  • Hệ quả 4 Cho E và F là hai tập hợp hữu hạn có cùng số phần tử, và cho f là một ánh xạ từ E vào F. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương : ↩ 2 03RF
  • Nhận xét Có nhiều tiêu chuẩn thường được sử dụng dưới tên gọi "nguyên lý quy nạp". Tất cả chúng đều có thể dễ dàng suy ra từ C61, và chúng tôi nêu ra ở đây những tiêu chuẩn quan trọng nhất: 077T
  • Mệnh đề 3 Cho E là một tập tiền sắp thứ tự có hướng phải (tương ứng một dàn, tương ứng một tập sắp thứ tự toàn phần). Khi đó mọi tập con hữu hạn không rỗng của E đều bị chặn trên (tương ứng… ↩ 3 03L9
  • Hệ quả 1 Mọi tập hợp hữu hạn được sắp thứ tự toàn phần đều được sắp tốt và có một phần tử lớn nhất. ↩ 5 03LA
  • Hệ quả 2 Mọi tập hợp hữu hạn có thứ tự đều có một phần tử cực đại. ↩ 1 03LB
  • Định nghĩa 2 Cho E là một tập hợp. Một tập hợp 𝔖 các tập con của E được gọi là có đặc trưng hữu hạn nếu quan hệ X ∈ 𝔖 tương đương với quan hệ "mọi tập con hữu hạn của X đều thuộc 𝔖". 03LC
  • Ví dụ 1 Tập hợp các tập con được sắp thứ tự toàn phần của một tập hợp có thứ tự E có đặc trưng hữu hạn. Thật vậy, một tập con X của E được sắp thứ tự toàn phần khi và chỉ khi mọi tập con c… 03T9
  • Ví dụ 2 \ Tập hợp tất cả các tập con tự do của một môđun có đặc trưng hữu hạn. Điều tương tự cũng đúng đối với tập hợp tất cả các tập con tự do đại số của một mở rộng của một trường. 03TA
  • Ví dụ 3 Tập hợp các môđun con của một môđun E không có đặc trưng hữu hạn, bởi vì một tập con hữu hạn của một môđun con của E không nhất thiết là một môđun con của E. \ 03TB
  • Định lý 1 Mọi tập hợp 𝔖 gồm các tập con của một tập hợp E có đặc trưng hữu hạn đều có một phần tử cực đại (khi được sắp thứ tự bởi quan hệ bao hàm). 03LD

§ 5. Tính chất của các số nguyên

  • Mệnh đề 1 Cho (aᵢ)_i ∈ I là một họ hữu hạn các số nguyên. Khi đó các số ∑_i ∈ I aᵢ và ∏_i ∈ I aᵢ là các số nguyên. ↩ 1 03LP
  • Hệ quả 1 Hợp E của một họ hữu hạn (Xᵢ)_i ∈ I các tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu hạn. ↩ 2 03LQ
  • Hệ quả 2 Tích của một họ hữu hạn các tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu hạn. 03LR
  • Hệ quả 3 Nếu a và b là các số nguyên, thì aᵇ là một số nguyên. 03LS
  • Hệ quả 4 Tập hợp các tập con của một tập hợp hữu hạn E là hữu hạn. ↩ 1 03LT
  • Mệnh đề 2 Cho a và b là hai số nguyên. Khi đó a < b khi và chỉ khi tồn tại một số nguyên c > 0 sao cho b = a + c. ↩ 4 03LU
  • Mệnh đề 3 Cho (aᵢ)_i ∈ I và (b)_i ∈ I là hai họ hữu hạn các số nguyên sao cho aᵢ leqslant bᵢ với mỗi i ∈ I và aᵢ < bᵢ với ít nhất một chỉ số i. Khi đó ↩ 4 03LV
  • Hệ quả 1 Cho a, a', và b là các số nguyên sao cho a < a' và b > 0. Khi đó aᵇ < a'ᵇ. 03LW
  • Hệ quả 2 Cho a, b, và b' là các số nguyên sao cho a > 1 và b < b'; khi đó aᵇ < a^b'. 03LX
  • Hệ quả 3 Cho a, b, b' là các số nguyên (tương ứng, các số nguyên sao cho a > 0). Khi đó a + b = a + b' (tương ứng, ab = ab') khi và chỉ khi b = b'. ↩ 2 03LY
  • Hệ quả 4 Nếu a và b là các số nguyên sao cho a leqslant b, thì tồn tại duy nhất một số nguyên c sao cho b = a + c. ↩ 1 03LZ
  • Mệnh đề 4 a và b là các số nguyên. Khi đó ánh xạ x → a + x là một đẳng cấu tăng nghiêm ngặt của khoảng [0, b] lên khoảng [a, a + b], và y → y - a là đẳng cấu nghịch đảo. ↩ 1 03M0
  • Mệnh đề 5 Nếu a và b là các số nguyên sao cho a leqslant b, thì khoảng [a, b] là một tập hợp hữu hạn có số phần tử là b - a + 1. ↩ 3 03M1
  • Mệnh đề 6 Với mọi tập hợp hữu hạn E được sắp thứ tự toàn phần và có n phần tử (n geqslant 1), tồn tại duy nhất một đẳng cấu của E lên khoảng [1, n]. ↩ 3 03M2
  • Mệnh đề 7 Với mỗi cặp tập hợp con A, B của một tập hợp không rỗng E, ta có 03M3
  • Định lý 1 Cho a và b là các số nguyên sao cho b > 0. Khi đó tồn tại các số nguyên q và r sao cho a = bq + r và r < b, và các số nguyên q và r được xác định duy nhất bởi các điều kiện này. ↩ 2 03M4
  • Định nghĩa 1 Với ký hiệu của Định lý 1, r được gọi là số dư của phép chia a cho b. Nếu r = 0, ta nói rằng a là một bội của b, hoặc rằng a chia được cho b, hoặc rằng b là một ước của a, hoặc rằn… 03M5
  • Mệnh đề 8 Cho b là một số nguyên >1. Với mỗi số nguyên k>0, gọi Eₖ là tích từ điển (§ 2, no. 6) của họ (Jₕ)_0≤ h≤ k-1 các khoảng đều đồng nhất với [0,b-1]. Với mỗi r=(r₀,r₁,…,rₖ₋₁)∈ Eₖ, đặt ↩ 1 03M6
  • Mệnh đề 9 Cho E và F là hai tập hợp, 𝔞 và 𝔟 là các lực lượng của chúng, f là một toàn ánh từ E lên F sao cho các tập hợp overset-1f(y), với y ∈ F, đều có cùng lực lượng 𝔠. Khi đó 𝔞 = 𝔟𝔠. ↩ 3 03M7
  • Định nghĩa 2 Cho n là một số nguyên. Tích ∏_i < n (i + 1) được ký hiệu bởi n! (đọc là "giai thừa n"). 03M8
  • Mệnh đề 10 Cho m và n là các số nguyên sao cho m leqslant n. Khi đó n!/(n - m)! là số các ánh xạ đơn ánh từ một tập hợp A có m phần tử vào một tập hợp B có n phần tử. 03M9
  • Hệ quả Số các hoán vị của một tập hợp hữu hạn có n phần tử bằng n!. ↩ 1 03MA
  • Mệnh đề 11 Cho E là một tập hợp hữu hạn có n phần tử, và cho (pᵢ)_1 leqslant i leqslant h là một dãy hữu hạn các số nguyên sao cho ∑ᵢ₌₁ʰ pᵢ = n. Khi đó số các phủ (Xᵢ)_1 leqslant i leqslant h… ↩ 1 03MB
  • Hệ quả 1 Cho A là một tập hợp có n phần tử và cho p là một số nguyên leqslant n. Khi đó số các tập con của A có p phần tử là dfracn!p!(n-p)!. ↩ 2 03MC
  • Hệ quả 2 Cho E và F là các tập hợp hữu hạn được sắp thứ tự toàn phần có lần lượt p và n phần tử. Khi đó số các ánh xạ tăng ngặt từ E vào F là binomnp. 03RG
  • Mệnh đề 12 Với mỗi số nguyên n, ta có 03RH
  • Mệnh đề 13 Nếu n và p là các số nguyên, thì ↩ 2 03RI
  • Mệnh đề 14 Cho n là một số nguyên > 0. Khi đó số aₙ (resp. bₙ) các cặp có thứ tự (i, j) gồm các số nguyên sao cho 1 leqslant i leqslant j leqslant n (resp. 1 leqslant i < j leqslant n) là 1/2… 03RJ
  • Hệ quả Với mỗi số nguyên n > 0, ta có ↩ 1 03RK
  • Mệnh đề 15 Cho n và h là các số nguyên và E là một tập hợp có h phần tử. Khi đó số các ánh xạ u từ E vào [0, n] sao cho ∑_x ∈ E u(x) leqslant n (resp. ∑_x ∈ E u(x) = n, với h > 0) là ↩ 1 03RL

§ 6. Tập vô hạn

  • Định nghĩa 1 Một tập hợp được gọi là vô hạn nếu nó không hữu hạn. 03MV
  • Định lý 1 Quan hệ "x là một số nguyên" là xác định tập. ↩ 1 03MW
  • Định nghĩa 2 Một dãy (tương ứng, một dãy các phần tử của một tập hợp E) là một họ (tương ứng, một họ các phần tử của E) có tập hợp chỉ số là một tập con của N. Dãy được gọi là vô hạn nếu tập hợ… 03MX
  • Ví dụ 1 Giả sử rằng a là một phần tử của một tập hợp E và rằng Su là số hạng g(u), trong đó g là một ánh xạ của E vào chính nó [^3]. Khi đó ta thấy ngay bằng quy nạp theo n rằng với mọi n… 03TC
  • Ví dụ 2 Cho X là một tập hợp và cho E là tập hợp các ánh xạ của X vào chính nó. Gọi e là ánh xạ đồng nhất của X vào chính nó, và cho f là một phần tử bất kỳ của E. Lấy Su là số hạng f ∘ u… 03TD
  • Ví dụ 3 Nếu lấy Su là số hạng 𝔓(u), và a là một tập hợp E, thì tương tự suy ra rằng tồn tại một ánh xạ, được ký hiệu bởi n → 𝔓ⁿ(E), từ N vào một tập hợp V(E) sao cho 𝔓⁰(E) = E, 𝔓¹(E) = 𝔓(E… 03TE
  • Nhận xét Cho E là một tập hợp, cho A là một tập con của E, cho g là một ánh xạ từ A vào E, và cho a là một phần tử của A. Lấy Su là số hạng g(u). Tiêu chuẩn C63 áp dụng được và chứng minh s… 03MY
  • Định lý 2 Đối với mọi bản số vô hạn 𝔞 ta có 𝔞² = 𝔞. ↩ 6 03MZ
  • Bổ đề 1 Mọi tập vô hạn E chứa một tập hợp cùng lực lượng với N. ↩ 2 03N0
  • Bổ đề 2 Tập N × N cùng lực lượng với N. 03N1
  • Hệ quả 1 Nếu 𝔞 là một bản số vô hạn, thì 𝔞ⁿ = 𝔞 với mọi số nguyên n geqslant 1. ↩ 1 03N2
  • Hệ quả 2 Tích của một họ hữu hạn (𝔞ᵢ)_i ∈ I gồm các lực lượng khác không, trong đó lực lượng lớn nhất là một bản số vô hạn 𝔞, bằng 𝔞. 03N3
  • Hệ quả 3 Nếu 𝔞 là một bản số vô hạn và nếu (𝔞_ι)_ι ∈ I là một họ các bản số leqslant 𝔞 mà tập hợp chỉ số I có một bản số leqslant 𝔞, thì ∑limits_ι ∈ I 𝔞_ι leqslant 𝔞; và nếu 𝔞_ι = 𝔞 với ít… ↩ 4 03N4
  • Hệ quả 4 Nếu 𝔞 và 𝔟 là hai bản số khác không, trong đó có một bản số là vô hạn, thì ta có 𝔞𝔟 = 𝔞 + 𝔟 = sup (𝔞, 𝔟). ↩ 3 03N5
  • Định nghĩa 3 Một tập hợp được gọi là đếm được nếu nó đẳng lực với một tập con của tập N các số nguyên. 03N6
  • Mệnh đề 1 Mọi tập con của một tập đếm được đều đếm được. Tích của một họ hữu hạn các tập đếm được là đếm được. Hợp của một dãy các tập đếm được là đếm được. 03N7
  • Mệnh đề 2 Mọi tập vô hạn đếm được E đều đẳng lực với N. 03N8
  • Mệnh đề 3 Mọi tập vô hạn đều có một phân hoạch (X_ι)_ι ∈ I gồm các tập vô hạn đếm được X_ι, tập chỉ số I đẳng lực với E. ↩ 2 03N9
  • Mệnh đề 4 Cho f là một ánh xạ từ một tập E lên một tập vô hạn F sao cho, với mỗi y ∈ F, overset-1f(y) là đếm được. Khi đó F đẳng lực với E. 03NA
  • Mệnh đề 5 Tập hợp 𝔉(E) các tập con hữu hạn của một tập vô hạn E là đẳng lực lượng với E. 03NB
  • Định nghĩa 4 Một tập hợp được gọi là có lũy thừa của continuum nếu nó đẳng lực lượng với tập hợp mọi tập con của N. 03NC
  • Định nghĩa 5 Một dãy (xₙ)_n ∈ N các phần tử của một tập hợp E được gọi là dừng nếu tồn tại một số nguyên m sao cho xₙ = xₘ với mọi số nguyên n geqslant m. 03ND
  • Mệnh đề 6 Cho E là một tập hợp có thứ tự. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương : ↩ 4 03NE
  • Hệ quả 1 Một tập hợp sắp thứ tự toàn phần E được sắp tốt khi và chỉ khi mọi dãy giảm các phần tử của E đều dừng. 03NF
  • Hệ quả 2 Mọi dãy tăng các phần tử của một tập hợp có thứ tự hữu hạn đều dừng. 03NG
  • Mệnh đề 7 ("Nguyên lý quy nạp Noether") — Cho E là một tập hợp Noether, và F là một tập con của E có tính chất sau: nếu a ∈ E sao cho quan hệ x > a suy ra x ∈ F, thì a ∈ F. Trong các điều kiện ấy, F = E. 03RM

§ 7. Giới hạn nghịch và giới hạn trực tiếp

  • Ví dụ 1 Giả sử rằng quan hệ thứ tự trên I là quan hệ đẳng thức. Khi đó các cặp duy nhất (α,β) sao cho α≤β là các cặp (α,α) trong đó α∈ I; và vì f_αα là ánh xạ đồng nhất, quan hệ (1) được t… ↩ 1 03TF
  • Ví dụ 2 Giả sử rằng I là có hướng phải, rằng E_α là cùng một tập hợp F với mọi α∈ I, và rằng f_αβ là ánh xạ đồng nhất của F lên chính nó mỗi khi α≤β. Khi đó E=undersetlongleftarrowlim E_α… ↩ 1 03TG
  • Mệnh đề 1 Cho I là một tập hợp có thứ tự, cho (E_α, f_αβ) là một hệ ngược các tập hợp đối với I, cho E = varprojlim E_α là giới hạn ngược của nó, và với mỗi α ∈ I cho ↩ 4 03OC
  • Hệ quả 1 Cho (E_α, f_αβ) và (F_α, g_αβ) là hai hệ nghịch đảo các tập hợp đối với cùng một tập chỉ số I; cho E = varprojlim E_α, F = varprojlim F_α, và cho f_α (tương ứng g_α) là ánh xạ chín… 03RN
  • Hệ quả 2 Cho (E_α,f_αβ), (F_α,g_αβ), (G_α,h_αβ) là ba hệ ngược của các tập hợp đối với cùng một tập chỉ số I; đặt E=underset←lim E_α, F=underset←lim F_α, G=underset←lim G_α, và gọi f_α (tươ… ↩ 1 03RO
  • Mệnh đề 2 Cho (E_α,f_αβ) và (E'_α,f'_αβ) là hai hệ ngược của các tập hợp tương đối với I, và cho u_α là một ánh xạ từ E_α vào E'_α với mỗi α∈ I, sao cho các u_α tạo thành một hệ ngược của cá… ↩ 2 03RP
  • Hệ quả Nếu u_α là đơn ánh (tương ứng, song ánh) với mọi α ∈ I, thì u là đơn ánh (tương ứng, song ánh). 03OD
  • Mệnh đề 3 Cho I là một tập hợp tiền thứ tự, cho (E_α, f_αβ) là một hệ ngược các tập hợp đối với I, và cho E = varprojlim E_α. Cho J là một tập con đồng cuối của I sao cho J có hướng phải, và… 03OE
  • Nhận xét 1 Với mỗi α ∈ I đặt E'_α = f_α(E). Khi đó các tập hợp E'_α tạo thành một hệ ngược các tập con của các E_α theo (2), và thấy ngay lập tức rằng varprojlim E'_α = E = varprojlim E_α. Án… 03TH
  • Nhận xét 2 Cho I là một tập hợp có thứ tự có hướng (phải), cho (E_α, f_αβ) là một hệ ngược các tập hợp đối với I, và với mỗi α ∈ I cho u_α : F → E_α là một ánh xạ sao cho họ (u_α) thỏa mãn cô… 03TI
  • Nhận xét 3 Cho I là một tập hợp có thứ tự và cho (E_α, f_αβ) là một hệ ngược các tập hợp đối với I. Với mỗi tập con hữu hạn J của I, gọi F_J là giới hạn ngược của hệ ngược (hữu hạn) thu được… 03TJ
  • Mệnh đề 4 Nếu (E^λ_α, f^λμ_αβ) là một hệ ngược các tập hợp đối với một tích I × L của các tập tiền thứ tự, thì (sai khác một song ánh chính tắc) ta có ↩ 2 03OF
  • Hệ quả 1 Cho (E'^λ_α, f'^μλ_αβ) là một hệ ngược khác của các tập hợp đối với I × L, và với mỗi (α, λ) ∈ I × L cho u^λ_α là một ánh xạ từ E^λ_α vào E'^λ_α sao cho các u^λ_α lập thành một hệ… 03OG
  • Hệ quả 2 Cho (E^λ_α, f^λ_αβ)_λ ∈ L là một họ các hệ ngược của các tập hợp đối với I. Nếu ∏_λ ∈ L f^λ_αβ ký hiệu mở rộng tới các tích (Chương II, § 5, no. 7, Định nghĩa 2) của họ các ánh xạ… ↩ 1 03OH
  • Mệnh đề 5 Cho (E_α, f_αβ) là một hệ ngược các tập hợp đối với một tập hợp có hướng I có một tập con đồng cuối đếm được, và giả sử thêm rằng các f_αβ là toàn ánh. Khi đó, nếu E = varprojlim E… 03OI
  • Định lý 1 Giả sử rằng I có hướng, các tập hợp 𝔖_α thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii), và hệ ngược (E_α, f_αβ) có các tính chất sau: ↩ 2 03RQ
  • Nhận xét Giả sử rằng điều kiện (iii) trong Định lý 1 được thay bằng điều kiện yếu hơn sau đây : 03OJ
  • Ví dụ 1 Nếu các E_α là các tập hợp hữu hạn, thì Định lý 1 có thể được áp dụng bằng cách lấy 𝔖_α là tập hợp của mọi tập hợp con của E_α. \ Ví dụ này được tổng quát hóa trong Tôpô đại cương… 03TK
  • Ví dụ 2 \ Cho A là một vành có một phần tử đơn vị, và với mỗi α ∈ I cho T_α là một A-môđun trái Artin. Gọi E_α là một không gian thuần nhất của T_α mà trên đó T_α tác động một cách trung t… 03TL
  • Ví dụ 1 Cho A, B là hai tập hợp, và cho (V_α)_α ∈ I là một họ các tập con của A mà tập hợp chỉ số I có hướng, và sao cho quan hệ α leqslant β kéo theo V_β ⊂ V_α. Gọi E_α là tập hợp tất cả… 03TM
  • Ví dụ 2 Giả sử rằng, với mỗi α ∈ I, E_α là cùng một tập hợp F và rằng mỗi khi α leqslant β, f_βα là ánh xạ đồng nhất của F lên chính nó. Khi đó tồn tại một song ánh chính tắc từ varinjlim… ↩ 1 03TN
  • Bổ đề 1 Cho (E_α, f_βα) là một hệ trực tiếp các tập hợp, E = varinjlim E_α là giới hạn trực tiếp của nó, và với mỗi α ∈ I gọi f_α colon E_α → E là ánh xạ chính tắc. ↩ 11 03OK
  • Mệnh đề 6 Cho I là một tập có hướng, cho (E_α, f_βα) là một hệ trực tiếp các tập hợp đối với I, cho E = varinjlim E_α là giới hạn trực tiếp, và với mỗi α ∈ I cho ↩ 8 03RR
  • Nhận xét Giả sử rằng mỗi ánh xạ f_βα đều là đơn ánh. Khi đó mỗi f_α đều là đơn ánh, theo định nghĩa của quan hệ R. Trong trường hợp này, nói chung ta đồng nhất E_α với f_α(E_α) và do đó xem… ↩ 1 03OL
  • Hệ quả 1 Cho (E_α, f_βα) và (F_α, g_βα) là hai hệ trực tiếp các tập hợp đối với cùng tập chỉ số I; đặt E = varinjlim E_α, F = varinjlim F_α, và với mỗi α ∈ I gọi f_α (resp. g_α) là ánh xạ c… 03RS
  • Hệ quả 2 Cho (E_α, f_βα), (F_α, g_βα), (G_α, h_βα) là ba hệ trực tiếp các tập hợp đối với I. Đặt E = varinjlim E_α, F = varinjlim F_α, G = varinjlim G_α, và gọi f_α (resp. g_α, h_α) là ánh… ↩ 1 03RT
  • Mệnh đề 7 Cho (E_α, f_βα) và (E'_α, f'_βα) là hai hệ trực tiếp các tập hợp đối với I, và với mỗi α ∈ I cho u_α là một ánh xạ từ E_α vào E'_α sao cho các u_α tạo thành một hệ trực tiếp các án… ↩ 1 03RU
  • Hệ quả Cho (E_α, f_βα) và (E'_α, f'_βα) là hai hệ trực tiếp các tập hợp, cho (u_α) là một hệ trực tiếp các ánh xạ u_α : E_α → E'_α, và đặt u = varinjlim u_α. ↩ 1 03ON
  • Nhận xét Giả sử rằng, với mỗi α ∈ I, u_α : E_α → E' là một ánh xạ sao cho họ (u_α) thỏa mãn (23). Xét hệ trực tiếp (E_α, i_βα) đối với I, trong đó E'_α = E' với mọi α ∈ I, và i_βα là ánh xạ… 03OO
  • Mệnh đề 8 Cho I là một tập hợp có hướng, cho (E_α, f_βα) là một hệ trực tiếp các tập hợp đối với I, và cho E = varinjlim E_α là giới hạn trực tiếp của nó. Cho J là một tập con đồng tận của I… 03OP
  • Mệnh đề 9 Nếu (E_α^λ, f_βα^μλ) là một hệ trực tiếp các tập hợp đối với một tích I × L của hai tập hợp có hướng, thì (sai khác bởi một song ánh chính tắc) ta có 03RV
  • Hệ quả Cho (E'^λ_α, f'^μλ_βα) là một hệ trực tiếp khác của các tập hợp đối với I × L, và với mỗi (α, λ) ∈ I × L cho u_α^λ là một ánh xạ từ E_α^λ vào E'^λ_α, sao cho các u_α^λ tạo thành mộ… 03OQ
  • Mệnh đề 10 Cho (E_α, f_βα) và (E'_α, f'_βα) là hai hệ trực tiếp của các tập hợp, đều đối với cùng một tập có hướng I. Đặt E = varinjlim E_α, E' = varinjlim E'_α, và ký hiệu bởi f_α : E_α → E… ↩ 1 03RW
  • Hệ quả Cho (F_α, g_βα) và (F'_α, g'_βα) là hai hệ trực tiếp các tập hợp đối với I, và với mỗi α ∈ I cho u_α : E_α → F_α, u'_α : E'_α → F'_α là các ánh xạ sao cho (u_α) và (u'_α) là hai hệ… 03RX

IV. Structures

§ 1. Cấu trúc và đẳng cấu

  • Ví dụ Cho hai tập E, F, tập 𝔓(𝔓(E)) × 𝔓(F) là một thang trên E, F, với lược đồ 03V4
  • Ví dụ 1 Lấy T là lý thuyết tập hợp, và xét loài cấu trúc không có tập hợp cơ sở phụ nào, có một tập hợp cơ sở chính A, đặc trưng hóa điển hình s ∈ 𝔓(A × A), và tiên đề ↩ 2 03V5
  • Ví dụ 2 Lấy T là lý thuyết tập hợp, và xét loài cấu trúc không có tập hợp cơ sở phụ nào, có một tập hợp cơ sở chính A, đặc trưng hóa điển hình F ∈ 𝔓((A × A) × A), và lấy làm tiên đề quan h… ↩ 3 03V6
  • Ví dụ 3 Như trên, lấy T là lý thuyết tập hợp, và xét loài cấu trúc không có tập hợp cơ sở phụ nào, có một tập hợp cơ sở chính A, đặc trưng hóa điển hình V ∈ 𝔓(𝔓(A)), và lấy làm tiên đề qua… ↩ 5 03V7
  • Ví dụ 4 \ Lấy T là lý thuyết của loài các cấu trúc vành chia, loài này có (trong những thứ khác) một hằng K làm tập hợp cơ sở (chính) duy nhất. Loài cấu trúc của một không gian vectơ trái… ↩ 1 03V8
  • Ví dụ 5 Lại lấy T là lý thuyết tập hợp; trong lý thuyết này, trường C các số phức là một số hạng không chứa chữ nào. Loài cấu trúc của một đa tạp giải tích phức chiều n có C làm tập hợp cơ… 03V9
  • Nhận xét 1 Trong các ứng dụng, thường xảy ra trường hợp (như trong Ví dụ 4 ở trên) rằng thang S(E₁, …, Eₙ, A₁, …, Aₘ) là một tích của các thang 03VA
  • Nhận xét 2 Người ta đặt tên cho những loài cấu trúc được dùng thường xuyên nhất trong toán học, và cho những tập hợp được trang bị các cấu trúc thuộc các loài ấy. Như vậy một tập hợp có thứ t… 03VB
  • Nhận xét 3 Theo cách nói lạm dụng, trong lý thuyết tập hợp T, việc cho n chữ cái phân biệt x₁, …, xₙ (không có đặc trưng hóa điển hình và không có tiên đề nào) được xem là một loài cấu trúc Σ… ↩ 1 03VC
  • Nhận xét Do lạm dụng ngôn ngữ, nếu fᵢ là một song ánh bất kỳ của Eᵢ lên E'ᵢ (1 leqslant i leqslant n), thì (f₁, …, fₙ) được gọi là một đẳng cấu của E₁, …, Eₙ lên E'₁, …, E'ₙ đối với loài cấ… 03VD
  • Ví dụ 1 \ Loài các cấu trúc nhóm tôpô có một tập hợp cơ sở chính duy nhất A, không có tập hợp cơ sở phụ, và cấu trúc điển hình tương ứng là một cặp (s₁,s₂) (s₁ là đồ thị của luật hợp thành… 03VE
  • Ví dụ 2 Loài các cấu trúc không gian vectơ trên C (resp. R) có một tập hợp cơ sở chính E, một tập hợp cơ sở phụ bằng C (resp. R), và đặc trưng hóa điển hình 03VF
  • Ví dụ 3 Giả sử rằng Θ có cùng các tập hợp cơ sở (chính và phụ) như Σ, và cùng đặc trưng hóa điển hình. Hơn nữa, nếu tiên đề của Σ kéo theo (trong T) tiên đề của Θ, thì rõ ràng số hạng s là… 03VG
  • Ví dụ 4 \ Khi mỗi loài trong Σ và Θ là loài các cấu trúc nhóm (tương ứng, cấu trúc vành), trong đại số xác định một thủ tục suy diễn gắn với mỗi cấu trúc nhóm (tương ứng, cấu trúc vành) cấ… 077U
  • Nhận xét Khi P là một “q-bộ” (P₁,…,P_q), người ta cũng nói rằng các số hạng P₁,…,P_q tạo thành một thủ tục suy diễn một cấu trúc thuộc loài Θ từ một cấu trúc thuộc loài Σ. 03VH
  • Ví dụ 1 \ Cho Σ là loài các cấu trúc nhóm giao hoán; Σ có một tập cơ sở (chính) duy nhất A, và cấu trúc tổng quát của nó gồm một chữ duy nhất F; đặc trưng hóa điển hình của Σ là F∈𝔓((A× A)… 03VI
  • Ví dụ 2 Cho Σ là loài các cấu trúc tôpô (no. 4, Ví dụ 3), cho A là tập cơ sở (chính), và cho V là cấu trúc tổng quát của Σ. Xét quan hệ 03VJ

§ 2. Các cấu xạ và các cấu trúc dẫn xuất

  • Ví dụ 1 Lấy Σ là loài các cấu trúc thứ tự và cho σx,y,s,t ký hiệu tập hợp mọi ánh xạ f của x vào y sao cho quan hệ (u,v)∈ s kéo theo (f(u),f(v))∈ t. Theo ký hiệu của Chương III, § 1, điều… 03VL
  • Ví dụ 2 Lấy Σ là một loài cấu trúc đại số chỉ có một luật hợp thành (trong) duy nhất, xác định khắp nơi (§1, no. 4, ví dụ 2). Cho A, A' là hai tập hợp được trang bị các cấu trúc thuộc loài… ↩ 1 03VM
  • Ví dụ 3 Lấy Σ là loài các cấu trúc tôpô (§1, no. 4, Example 3). Cho A, A' là hai tập hợp được trang bị các tôpô V, V', tương ứng. Xét các ánh xạ f của A vào A' sao cho quan hệ X' ∈ V' kéo… ↩ 2 03VN
  • Nhận xét Đối với một loài cấu trúc Σ đã cho, có thể cần phải định nghĩa nhiều hạng thức khác nhau σ x,\ y,\ s,\ t thỏa mãn các điều kiện (MO_I), (MO_II), và (MO_III). Chẳng hạn, nếu Σ là lo… 03VO
  • Nhận xét Khi một loài cấu trúc Σ có nhiều tập cơ sở chính x₁, …, xₙ và các tập cơ sở phụ trợ A₁, …, Aₘ, thì một σ-cấu xạ là một hệ (f₁, …, fₙ), trong đó fᵢ là một ánh xạ của xᵢ vào yᵢ (1 le… 03VP
  • Ví dụ 1 Một cấu trúc thứ tự với đồ thị s trên một tập A mịn hơn một cấu trúc thứ tự với đồ thị s' khi và chỉ khi s ⊂ s'. Nói cách khác, quan hệ x leqslant y đối với s suy ra quan hệ x leqs… 03VQ
  • Ví dụ 2 Xét hai cấu trúc đại số F, F' cùng loài Σ trên một tập A, trong đó F và F' là các đồ thị của các phép hợp thành (được xác định khắp nơi) của hai cấu trúc này. Từ định nghĩa về các… ↩ 1 03VR
  • Ví dụ 3 Cho V, V' là hai tôpô trên cùng một tập A. Nói rằng V mịn hơn V' nghĩa là, theo định nghĩa về các cấu xạ trong trường hợp này (no. 1, Ví dụ 3), rằng V' ⊂ V; nói cách khác, mọi tập… 03VS
  • Nhận xét Ta vừa gặp một ví dụ (Ví dụ 2) trong đó hai cấu trúc so sánh được cùng loài Σ tất yếu trùng nhau. Có nhiều ví dụ tương tự khác: cấu trúc thứ tự tuyến tính, \ tôpô compact, cấu trúc… 03VT
  • Nhận xét Cho (S_λ)_λ ∈ L là một họ các cấu trúc thuộc loài Σ trên cùng một tập hợp A; ký hiệu A_λ là tập hợp A được trang bị cấu trúc S_λ, và ký hiệu I_λ là ánh xạ đồng nhất của A vào A_λ… 03VU
  • Nhận xét Đối với phần lớn các cấu trúc thông thường, điều kiện được cho trong CST16 không chỉ đủ mà còn cần thiết để f là một cấu xạ (xem Bài tập 7). Đặc biệt, điều này đúng trong các trườn… 03VV
  • Nhận xét Cho A là một tập hợp được trang bị một cấu trúc S của loài Σ, và cho R là một quan hệ tương đương trên A sao cho tồn tại trên E=A/R một cấu trúc thương S' của S theo R. Cho φ là án… 03VW